Квантовая механика с задачами - Кривченков В.Д., Елютин П.В.

Автор: Кривченков В.Д. Елютин П.В.
Теги: физика механика квантовая механика
Год: 1976
Похожие
Квантовая механика с задачами
Задачи по квантовой механике. Том 1
Задачи по квантовой механике
Квантовая механика. Том 2
Текст
                    П. В. ЕЛЮТИН, В, Д. КРИВЧЕНКОВ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
С ЗАДАЧАМИ
Под редакцией
академика Н. Н. БОГОЛЮБОВА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для. студентов физических специальностей
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава /. Введение 5
Глава 2. Основные положения 25
Глава 3. Одномерное движение 39
Глава 4. Момент 66
Глава 5. Центральное поле 84
Глава 6. Теория возмущений и вариационный метод ... 109
Глава 7. Квазиклассическое приближение 132
Глава 8. Электрическое поле 151
Глава 9. Рассеяние 166
Глава 10. Релятивистские поправки 198
Глава 11. Переходы 213
Глава 12. Магнитное поле 236
Глава 13. Тождественные частицы 249
Глава 14. Атом 265
Глава 15. Двухатомная молекула 291
Глава 16. Взаимодействие с электромагнитным полем . . 299
Некоторые обозначения 327
Примечания 328
Предметный указатель 332

530.1
E 59
УДК 530.145
Квантовая механика (с * задачами),
П. В. Елютин, В. Д. К р и в ч е н к о в,
, учебное пособие, Издательство «Наука»,
Главная редакция физико-математической
литературы, 1976 г.
В основу настоящего издания положен
курс лекций, читавшийся в течение ряда лет
одним из авторов на физическом факультете
МГУ. В нем изложены физические основы
и математический аппарат нерелятивнстской
квантовой механики.
Большое внимание в книге уделяется
методам вычислений, в особенности
приближенным. Кроме большого числа примеров
в тексте, в книгу включено свыше 200
задач, предназначенных для самостоятельного
решения.
Книга представляет собой учебное
пособие по квантовой механике для студентов
физических факультетов университетов.
20402—057
Е 053(02)-76 90"76
<§) Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1976

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга является учебным пособием для
студентов физических факультетов высших учебных
заведений. В ней излагаются основы физических представлений
и математического аппарата нерелятивистской
квантовой механики. Особенностью этой книги и ее безусловным
достоинством является краткость, достигнутая авторами
не за счет упрощений, а благодаря лаконичности
изложения, которая позволила осветить весь круг вопросов
университетской программы в сравнительно небольшом
объеме. Такой характер изложения, естественно, требует
от читателя определенных усилий и сосредоточенности.
Книга является не самоучителем, не энциклопедией,
а учебником, рассчитанным * на то, что приступивший
к его изучению уже знаком с рядом физических курсов,
в частности с курсом атомной физики, содержащим
большой фактический материал. По той же причине авторы
не затрагивают вопросов, относящихся собственно
к специальным курсам.
Достоинством книги является логичный и
последовательный характер изложения на основе
сформулированных в явном виде положений и правил. Физически
строгое изложение использует во всех случаях только
математический аппарат, известный студентам. Большое
внимание в книге уделяется методам вычислений, в частности
приближенным методам (теории возмущений,
вариационному методу, методу В КБ), не только схемам их
использования, но и обсуждению условий применимости.
1* 3

Важным преимуществом данной книги является на-
личие в ней, кроме большого числа примеров в тексте,
свыше двухсот задач, которые представляют значительный
методический интерес при условии самостоятельного ре-
тения их читателями. Степень трудности задач
соответствует возможностям студентов.
Оригинальный и умелый методический подход авторов
к широкому кругу вопросов делает эту книгу,
безусловно, весьма полезной для избиения основ квантовой
механики.
4 июля 1975 г. Н.Н.Боголюбов
/

Г лава 1
ВВЕДЕНИЕ
0. Одной из первых задач квантовой теории было
объяснение того экспериментального факта, что
наблюдаемые разности энергий атомов принимают дискретное
множество значений.
Математический аппарат, пригодный для получения
дискретных величин как функций параметров (таких, как
заряд и масса элементарных частиц), можно строить
различным образом.
1. Можно потребовать, чтобы наблюдаемы были только
такие значения энергий, при которых некоторый
функционал от параметров и наблюдаемых принимает значения
из данного дискретного набора.
2. Можно потребовать, чтобы наблюдаемые
определялись корнями некоторого уравнения, коэффициенты
которого зависят от параметров.
3. Можно потребовать, чтобы наблюдаемые были
собственными значениями некоторого дифференциального
оператора, коэффициенты которого зависят от параметров.
Фактически в квантовой теории были использованы все
три подхода. Первый лег в основу старой квантовой теории
Бора (1913 г.). Второй был использован Гайзенбергом
(1925 г.) при построении матричной механики. Третий был
применен Шредингером (1926 г.) для создания волновой
механики.
Методы Гайзенберга и Шредингера лежат в основе
современной квантовой механики, аппарат которой основан
на использовании линейных операторов в гильбертовом
пространстве *.
1. Определение 1. Пусть g.^ \\-0d —линейные
множества. Оператор L, преобразующий элементы множества
a f в элементы множества 4%, называется линейным, если
для любых элементов fug из &-€ и комплексных чисел а
5

и р справедливо равенство
Множество orf называется областью определения оператора.
В дальнейшем мы чаще всего будем рассматривать
различные множества функций действительной переменной.
Поэтому элементы множеств ©^ и Si будем называть
функциями.
Определение 2. Произведение операторов LM
обозначает оператор, действие которого на функцию я|)
заключается в последовательном действии оператора М
на гр, а затем оператора L на ф = Мя|). В общем случае
в произведении операторов существен их порядок:
т. е. умножение операторов некоммутативно.
Определение 3. Оператор
Л. А. А. Л А. А.
[Л, В]=АВ-ВА
называется коммутатором операторов А и В. Если
произведение операторов не зависит от их порядка ([Л, В] =
— 0), то операторы называются коммутирующими.
Определение 4. Оператор /называется единичным,
если для любой функции i|)
Определение 5. Оператор М~г называется
обратным оператору М, если
(ММ-г) ф = {М-ХМ) я|) = ||>.
Если М =LNy то М-1^ ЛМ/К
2. Рассмотрим класс Соо всех непрерывных бесконечно
дифференцируемых функций действительного переменного
х^(—оо, + °°).
Линейные операторы можно задавать, непосредственно
указывая правило соответствия, например:
faW = **M. #(x) = -^, РЦ)(х) = 11)(-х). (1.1)
6

Линейность этих операторов очевидна. Многие операторы
можно представить в интегральной форме:
-f-co
Ь]>= $ L(x, |Ж£)4-
—со
Функция L(xf |) называется ядром интегрального
оператора. Ядро оператора N произведения интегральных
операторов М • L, если оно существует, есть
+ СО
N{x9 Е)= $ М<х> У)1(У> ®йУ-
—оо
В дальнейшем мы будем опускать обозначения
пределов интегрирования, если интегрирование по х ведется
по всей оси.
3. Пусть я|) (х) непрерывная функция. Ядро единичного
оператора, записанного в интегральной форме, называется
Ь-функцией Дирака*:
/ф(х) = $в(х-6)*(6)« = *М.
С помощью 6-функции можно представить в интегральной
форме многие линейные операторы. Например, ядро Q (х, |)
оператора q, определенного формулой (1.1), можно
представить как |б(х —|).
4. Если независимая переменная принимает счетное
множество значений, то в качестве аргумента функции
можно рассматривать номера этих значений. Обозначим
Аналогом интегральной формы операторов для таких
функций будет матричная форма:
где матрица Lmn играет роль ядра. Набор чисел ярл
рассматривается как матрица с одним столбцом. Числа i|)n
можно рассматривать как компоненты вектора в /г-мерном
комплексном евклидовом пространстве Е„. Набор я|)„ мы
будем называть вектором. Компоненты матрицы
единичного оператора / определяются символом Кронекера б«.
Матрица оператора М произведения операторов — матриц L
7

и N — есть
Min = ^LikNkn.
k
5V Определение 6. Скалярным произведением
функций f(x) и g(x) называется число
<&*)=$/*(*)*(*)<** (1.2).
(звездочка означает комплексное сопряжение). Очевидно,
скалярное произведение конечно не для любых функций
из Соо. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением
класса L2(—со, +со) функций, интегрируемых с
квадратом на действительной прямой*. Величина
\f\~YJFJJ (1-з)
называется нормой функции. Если (/, g) = 0, то говорят,
что функции fug ортогональны. Определенное таким
образом скалярное произведение обладает свойствами
(f> g+g')=(f> g)+lf> g'h
(/> <W) = a(fte)f (L4)
(tf. *) = «*</. g),
где а —любое комплексное число.
Множество функций L2, на котором определены
скалярное произведение (1.2) и норма (1.3), является
гильбертовым пространством.
6. Скалярное произведение для векторов фЛ
пространства Ей определим соотношением
(Ф> Ф)=2Ф*ФЛ = <Ф1<Р>.
^ п
Можно рассматривать это выражение как матричное
произведение вектор-строки <г|) | с компонентами г|$ на вектор-
столбец |<р) с компонентами <рй. При этом входящие
в скалярные произведения векторы принадлежат разным
пространствам: Е„ (строки) и Есп (столбцы). Очевидно, что
соответствие между векторами этих пространств взаимно
однозначно.
Такие же обозначения можно ввести и в
пространстве IA Функцию г|)(л:) можно рассматривать как вектор
8

|г|)>, которому соответствует вектор сопряженного
пространства <г|) | = г|)* (л;).
Произведение (f\g) есть, по определению, число.
Произведение \f)(g\ понимается как оператор, который
вектору | г|)) ставит в соответствие вектор
1/>&1Ф> = ««г1Ф»1/>.
Из соотношений (1.4) следует линейность такого
оператора. Число (f\t\g) называется матричным элементом
оператора L.
7. Определение 7. Если для любых функций я|)
и <р выполняется соотношение
<*Шфч=М1+1 *;•)•.
то оператор L+ называется сопряженным оператору L.
Отметим следующие свойства сопряженных операторов:
<*|lU>=«<p|l+|i>»* =
=((T|)|(L+)+k:')**=<^|t++|(p>,
{Vr-L (1.5)
<i|> | at | <p> = (a <<p | L* 11»* = a* <<p 1£+1 i|>>,
(aL)+ = a*L+.
Для операторов-матриц в пространстве Е„ имеем
т, п
Меняя местами индексы суммирования, находим
соотношение между матрицами сопряженных операторов:
2 г$Х„т<рЛ= 2 *т №Ьп)* «ft»"
т, я т, п (1«о)
Аналогичное соотношение выполняется и для ядер
сопряженных интегральных операторов в L2 (—со, -fco):
L+(*> £) = L*(£, x).

Рассмотрим оператор, сопряженный произведению
операторов М = LN:
(f\M\g) = (<g\M+\f))\
</|M!g>=(4%iI+|/>)*=((g|^+|/>)*,
8. Определение 8. Если оператор L совпадает
со своим сопряженным* оператором 2Л то он называется
эрмитовым.
Так, эрмитовыми являются операторы Ри?в классе L2:
Здесь предполагается, что как /(х), g(x), так и х/, xg
принадлежат L2:
Q\P\g) = y*(x)g(-x)dx = lf*(-x)g(x)dx = Cg\p\f))*.
(Значение интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования.) Для любого оператора L оператор
будет эрмитовым в силу (1.5). Любой оператор L можно
представить в виде
L = M + iN,
где операторы
Ai-^. N^L-^- (1.7)
эрмитовы. Мы будем называть М и Ш9 определенные так,
эрмитовой и антиэрмитовой частями оператора L. Опера-
тор-матрида в пространстве Еп будет эрмитовым, если
Отсюда, в частности, следует, что диагональные элементы
эрмитовой матрицы вещественны. Для интегральных
операторов условием эрмитовости будет равенство
L*(x. g) = L(gf x).
Произведение эрмитовых операторов будет эрмитовым
оператором только тогда, когда операторы коммутируют:
N* = (ML)+ = L+M+= LM.
10 ,

9. Определение 9. Если для оператора L и
функции ^(|| ^Ц^О) выполняется соотношение
tty^Aty, (1.8)
где к — комплексное число, то я|? называется собственной
функцией, а К —собственным значением оператора L. Если
множество собственных значений не более чем счетно, то
собственную функцию фл> соответствующую собственному
значению К„, будем обозначать как |п). В дальнейшем
будем использовать сокращения и писать СФ вместо
«собственная функция» и СЗ вместо «собственное значение».
Собственные значения эрмитовых операторов
действительны:
(п\1\п)=К(п\п) = ((п\1+\п))* = К(п\п)у
Собственные функции эрмитова оператора, относящиеся
к различным собственным значениям, ортогональны:
<т|£|л>==Яя<т|п>э (1.9)
(m\t\n) = ((n\L\m))*==km(m\n). (1.10)
Левые части выражений (1.9) и (1.10) равны.
Приравнивая правые части, получаем
(К-Ю(т\п) = 0. (1.11)
Так как по условию %т Ф %пу то {т \ п) = 0, что и
требовалось доказать.
Для оператора Р, например, собственными функциями
в пространстве L2 являются четные (Л=1) и нечетные
(Я = —1) функции. Выполнение равенства (1.11) "для СЗ
оператора очевидно.
10. Определение 10. Если собственному
значению %k оператора L соответствует больше одной
собственной функции, то собственное значение Kk называется
вырожденным, а число g различных линейно независимых
собственных функций tykg называется кратностью
вырождения.
11

Собственные функции я|)л, соответствующие
вырожденному значению %k, могут быть взаимно не ортогональны.
Линейные комбинации
s
также будут собственными функциями L, относящимися
к значению Я„. Если кратность вырождения конечна (или
счетна), то система функций <рл может быть сделана
ортогональной. Положим
92=^1 + 022^2,
где 022 определится из условия ортогональности
<ф11ф2) = 0 = <я1?1|я1?1> + а22<^1|я1?2),
откуда
„ _ Ш12 .
22 ~ <*iW
предполагается, что норма Ца^Ц конечна, а (а^ | aj>2) ^ 0.
Аналогично, полагая
Фз = я1?1 + Оза-фз + Озз-фз,
получим систему из двух линейных уравнений для
коэффициентов otgg, а33- Такая процедура, называемая орто-
гонализацией по Шмидту, может быть продолжена для
всех значений п до n = g. Ортогональную систему
функций ф/ для вырожденного собственного значения мы
будем называть правильной.
11. Определение 11. Операторе/ называется
унитарным, если он сопряжен своему обратному оператору:
Собственные значения унитарных операторов по
модулю равны единице:
и*-|Я|»-1.
12

Произведение унитарных операторов W^IJV также
будет унитарным оператором:
Определение 12. Пусть (/ — унитарный оператор.
Преобразование, при котором функции ф сопоставляется
функция ф = 0+а1>, а оператору L — оператор l = U+LU,
называется унитарным преобразованием {U}.
Унитарное преобразование обладает следующими
свойствами:
а) сохраняет коммутационные соотношения:
11, М] = #,
U+LMV-U*MLU = U*NU = n,
1Л Л "I А.
/,/п| = я;
б) сохраняет эрмитовость операторов; пусть L* — L.
Тогда
/+ = /;
в) сохраняет собственные значения:
(<>£0)(<Н)=М0^),
/ ф = ^ф;
г) сохраняет скалярное произведение и матричные
элементы:
=<Фх 10-£0 J ф2>=<фХ |/1 ф2>-
12. Оператор L называется ограниченным, если
существует такое число С, что для функции /е©^ такой,
13

Значения параметра Я, для которых оператор (£ — XI У1
существует, определен всюду в L2 и ограничен,
называются регулярными точками оператора L. Все
остальные точки комплексной плоскости образуют спектр
оператора L.
Собственные значения оператора L^ принадлежат его
спектру. В этом случае оператор L — Я/, область
определения которого о£% та же, что и у оператора L, не
осуществляет взаимно однозначного соответствия между &#
и SB%9 Если ^ — собственная функция L, то нз равенства
(L-tf)f=g
следует также равенство
и неоднозначность соответствия очевидна. Таким образом,
если % есть собственное значение оператора L, то
оператор L — %1 не имеет обратного. Множество собственных
значений называется дискретным спектром L. Кроме СЗ,
в спектр входят также значения Я, при которых оператор
(L —Я/)-1 существует, но определен не всюду в L2 или
не ограничен. Такие точки образуют непрерывный
спектр L.
•Если оператор L эрмитов, то невещественные точки
комплексной плоскости Я являются его регулярными
точками. Оператор (L —Я/)-1 существует, так как
Я = Б + «1 (4=5*0)
не может быть собственным значением L. Пусть
(L-Xf)f = g.
Тогда
ur-ia-tf)/r+*i/r.
Последнее неравенство означает ограниченность оператора
(L-Xl)-\
14

В дальнейшем изложении, следуя установившейся
в квантовой механике терминологии, мы все значения А,
принадлежащие спектру, будем называть собственными
значениями. Нетривиальные решения уравнения
где значение % принадлежит спектру, мы будем называть
собственными функциями оператора L и в том случае,
когда -ф не будет принадлежать пространству IA
13. Операторы, используемые в квантовой механике,
обладают полными системами собственных функций. Для
эрмитовых операторов с дискретным спектром на классе
L2 это означает, что любая функция f (x) <= L2 может быть
представлена в виде разложения по собственным
функциям tyn оператора L:
со
/(*)=2адМ*)> П. 12)
где коэффициенты в разложении определяются формулой
an=lf(x№Ux)dx. (1.13)
Так как собственные функции ty (x) определены формулой
(1.8) с точностью до постоянного комплексного
множителя, для однозначности разложения потребуем нормиро-
ваиности собственных функций на единицу:
hM=i. (1-14)
Если среди собственных значений оператора Я есть
вырожденные, то мы будем предполагать, что в систему фя
включены правильные собственные функции
для любых т и п. Такую систему будем называть орто-
нормированной. Из равенства
/(*>=!] Qf<SH* (5) «)*.<*) =
15

следует, что выражение
п
можно рассматривать как ядро единичного оператора (б-
функцию Дирака). Если эрмитов интегральный оператор
обладает полной системой функций дискретного спектра я|>Л|
то в силу соотношений (1.12), (1.13) его ядро может быть
представлено в виде
14. Пусть L-— оператор на L2 с полной системой
собственных функций я|>Л. Последовательность чисел
an=\f(x)№(x)dx
однозначно определяет, вследствие (1.12), функцию/(*).
Поэтому можно считать сам набор ап видом исходной
функции f(x) в представлении L. Пусть М — некоторый
оператор на L2. Тогда
п
Щ„(х)=Щ(П, хН^М^С", *)'
т
Мтп = \^(х)Щ„(х)йх.
Эта матрица определяет вид оператора М в дискретном
L-представлении:
Mf {X) = ^ ап S Мтп^т (X) = £ *» W S M»»»C»'
л m m л
Al/M = 5Xi|>m(*),
т
Можно сказать, что переход от функции f (x) (функции в
х-представлении) к набору чисел ап (функции в
L-представлении) есть результат действия унитарного оператора 1/+,
16

определенного условиями
f(x) = lJan = 21an%(x).
П
Легко проверить унитарность оператора 0+:
$4>(n, *)я|>*(т, x)dx = UU+ = I = &nm-
Матрица оператора L в своем собственном представлении
диагональна:
Lmn = J Я])*п (x)L$n (х) dx = Ятбтл.
Для определения, матричных элементов необходимо найти
собственные функции и собственные значения оператора L.
Если они известны, то оператор L приведен к
диагональному виду.
15. Пусть gn (x) — полная ортонормированная система
собственных функций оператора К*Функции gn{*) могут
быть разложены по СФ оператора L:
gn(x) = ^Ann$m{x).
т
Из условия ортонормированности системы следует:
lgt(x)gm(x)dx = 8nm,
S Г2 А%г®% (дг)1 [S Amfti (д)1 dx =
= 2 A%nAim ] % (х) ф2 (x) dx =
~ 2j AknAjmOik = 2j А%пАът = оят.
», * ft
Это условие означает, что матрица Апт унитарна:
Таким образом, переход от дискретного L-представления
к дискретному ^-представлению есть унитарное
преобразование, задаваемое оператором-матрицей Л. Поскольку
унитарное преобразование не меняет собственных значе-
17

ний, то в принципе дискретный спектр любого оператора
L можно найти следующим способом. Взяв произвольную
полную систему функций (например, функции Эрмита),
вычислить матричные элементы
Lmn = I tin (х) hpn (х) dx = (т\ L \ п)
и подобрать унитарную матрицу Аы такую, чтобы
унитарное преобразование
приводило к диагональной матрице. Тогда элементы 1тт =
= кт и будут собственными значениями оператора L.
Однако всякая полная в L2 система функций фл(х)
содержит бесконечное число функций. Это означает, что
все преобразования придется проводить с матрицами
бесконечного порядка. Этот способ не всегда является
лучшим. Кроме того, в изложенном виде метод неприменим
для отыскания непрерывного спектра: очевидно, число
собственных состояний любой матрицы Lmn счетно,
16. Эрмитовы операторы с непрерывным спектром не имеют
в классе L2 полной ортонормированной системы собственных
функций. Однако собственные функции -ф (Я, х)
оператора L с непрерывным спектром могут быть выбраны так,
что будут выполняться соотношения, аналогичные (1.12) и
(1.13). А именно, для любой функции f(x) из L2 будет
определена функция
a(k) = \f(x)Y(K *)dx9 (1.15)
принадлежащая L2 и такая, что
f(x) = ]a(K)$(k9 x)dk. (1.16)
Интегрирование по к всюду ведется по всему
непрерывному спектру. Функцию а (к), как и в п. 1.14, будем
называть функцией f(x) в L-представлении. Как и в
случае дискретного спектра, функции i|>(A, x) определены
соотношением (1.8) лишь с точностью до постоянного
комплексного множителя. Модуль этого множителя
определяется условиями (1.15), (1.16). Так как
f{x)^{Kx)dk\f{l)r{Kl)dl =
=\f(i)di\r{Km(Kx)dK
18

то функции, удовлетворяющие условиям (1.15), (1.16),
называют нормированными на б-функцию:
№*(ЬЛ)Ц(Кх)<1^Ь(х-1). (1.17)
Аналогично, при подстановке (1.16) в (1.15) получим
= 5 а (И) dp \ $ (Ш *) Ф* (&. -v) d*,
то есть
S♦*(*.£)*(и. Е)# = 6(I*-*)-
Функции f (х) и а (Я) дают два равноценных способа
описания. Переход от f(x) к а (К) можно представить как
результат действия унитарного оператора 0+, ядро
которого в интегральной форме имеет вид
£/+(Я, х) = ^*(Я, х).
Ядро сопряженного оператора U имеет вид
U (Я, л:) = ф (Я, л:).
Легко проверить, что такой оператор U унитарен. При
унитарном преобразовании оператор М преобразуется в
0+мй; такой вид преобразования можно получить и
непосредственно:
Щ(х) = 1а(Х)Щ(х, X)dXy
Щ(ху Я) = $ М (Я, Я')ф(х, Я') dV.
Здесь ядро М (Я, Я') определяется соотношениями
М (Я, Я') = \ ф* (х, Я) ЛГф (х, Я') dx,
f(x) = \a(b)dk\M(%% Я')ф(х, Я/)dЯ/ =
= $а'(Я)ф(х, Я)йЯ,
а(Я) = $М(Я, Я')а(Я')^Я\
Итак,
М (Я, Я') = ^ ^+ (^ х) MU (Я', х) dx.
Зная вид оператора, действующего на функции от х, мы
нашли вид оператора, действующего на функции от Я.
19

Если эрмитов оператор обладает как непрерывным, так
и дискретным спектром, то разложение (1.15) принимает
вид
/ (*) = 2М>«(*) + ]* (*) * (Я, х) dK (1.18)
я
где коэффициенты разложения определяются формулами
(1.12), (1.15). Функции дискретного и непрерывного
спектров взаимно ортогональны:
S *!!(*)♦(*. x)dx = 0.
В дальнейшем для упрощения записи мы будем
обозначать правую часть (1.18) одним только знаком суммы,
подразумевая включение интеграла по непрерывному
спектру.
17. Для эрмитовых операторов с дискретным спектром
имеют место следующие утверждения.
а) Если операторы L и М имеют общую систему СФ,
то они коммутируют. Для любой собственной функции
ЬЩп = L din%) = Я„М>« = MUpn.
Раскладывая произвольную функцию f(x) из L2 по
системе ф„(х)9 получим
LMf (х) = Ш2 ап% (х) = 2 вЛнА М = MLf (*).
п п
л. л.
б) Если операторы L и М коммутируют, то они имеют
общую систему собственных функций — матрицы Lmn> Mmn
одновременно приводятся к диагональному виду. Пусть
для определения матричных элементов используется
система СФ оператора L. Тогда
1~*тп == ЛтОтП9
*(иЙ)тя = (Ш)тп*
2j LmkMkn — 2j LktMmk*
k k
Mmn {Lmm — Lwi) = 0.
Если G L не вырождены, то Мтп*=1ип6тп: матрица М
диагональна. Если СЗ L вырождены с кратностью g, то
могут быть отличны от нуля g(g— 1) недиагональных
9П

элементов Мтп. Линейные комбинации iphg функций г|^,
соответствующих вырожденному значению Afr, могут быть
выбраны так, что Мтп = 0 при т-^п в системе функций
(фя, <p*g). Так как <pkg также суть СФ L, то L и М
будут одновременно приведены к диагональному виду.
18. Если для эрмитова оператора N существуют
эрмитовы операторы L и М такие, что
[M9N] = 09 [L, N\ = 0, [7W, L]^0,
то собственные значения N вырождены. Из утверждений
п. 1.17 следует, что существуют общие системы
собственных функций операторов MuN—ip(x\ ц, v) и операторов
L и N — ip(r, А, |л). Пусть спектр iV дискретный:
/М = ЕМ>(*. и. v)==2>v*l*- Я> v>.
V V
Вычислим матричный элемент 'f\ML\f):
Ц%а,Г(х, И. v)1mI|2MK-y. Л, v')JAr«
V V'
Если все СЗ Л/ различны, то в силу (1.11) получаем
'7!ml|/>=2^vMv.
V
Такой же результат получается и при вычислении
матричного элемента (f\LM\f/. Следовательно, предположение
о том, что все СЗ & различны, неверно: среди СЗ N есть
вырожденные. Аналогично проводится доказательство и
для непрерывного спектра.
19. Определение 13. Следом матрицы Lmn
называется сумма диагональных элементов
^Р Lmn = £j Lnn.
п
След произведения двух матриц не зависит от порядка
сомножителей:
Sp (йЬ ) = ^ Е °п*Ь*п = Е Ц bbflnk = Sp ( Ьй).
п k k п
21

След произведения нескольких матриц не меняется при
циклической перестановке сомножителей:
Sp(abc) = S\)(bca) = Sp(cab).
След матрицы не меняется при унитарном
преобразовании:
Sp А = Sp фО М) - Sp ф+Аи) =■- Sp a.
Унитарным преобразованием эрмитова матрица L может
быть приведена к диагональному виду. При этом ее след
SpL = 2>„
п
равен сумме собственных значений.
Определение 14. Следом интегрального оператора,
заданного ядром L(x, |), называется величина
SpL = ^L(Ar, x)dx.
Свойства SpL, аналогичные свойствам SpLmn, легко
доказать.
ЗАДАЧИ
1. Доказать тождество Якоби
Up. Ч1П + \К. rlp] + [[r. P].51 = 0.
2. Доказать соотношение
еЧе-^а+^[ь, а]+^ [£,[£. ЗД+...
Указание. Рассмотреть оператор а(х\), зависящий от
параметра т):
и найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет а (т]).
3. Доказать соотношение: если [S, a] = ih, то
exp[rj(a + 6)]= ехр (?]£) . ехр (ца) -ехр ( — i \h).
Указание, ехр [ц (а+&)]=ехр (r)S) L (т)). Найти уравнение
для L (т)).
4. Пусть Я,—малый параметр. Написать разложение оператора
(А — Я,В)~Х по степеням X.
5. Пусть [с, 2]=Ла, а!ф> = а!ф>. Найти с.
6. Найти [S, с], если [с, а]=Ла, [а, б] = с.
22

Указан и е. Использовать результат задачи 1.1.
Операторы, определенные соотношениями
[я, if]=/,
А Л А Ч А Л Л
играют исключительно важную роль в квантовой механике.
Введенные для них обозначения мы будем использовать постоянно.
7. Пусть
А * Л А. А. А А А А А А, А,
а „°''с +оо л __а+а + а€Г л _ ■а а — act
'•1- 4
Найти коммутаторы [Ait Л*].
8. Пусть функция / (х) разложима в ряд Тейлора. Доказать, что
(/а
Указание. Доказать для /(х)~хп по индукции.
9. Доказать, что формула задачи 1.8 правильна и для функции,
разложимых в ряд Лорана.
10. Пусть
А А А А АЛА А
С+сГ** п С+ — С п С+С — СС+
сг-
2 у wa 2 ' а— О *
Найти коммутаторы [Q, Сд].
11. Найти СФ и СЗ эрмитова оператора в Ео:
\С (1 I
12. Найти в Е2 матрицы г, ст.
13. Найти СЗ оператора /i — слс.
14. Доказать, что условие
й+й + Й6+ = — /,
противоречиво.
15. Доказать, что СЗ оператора (L+)n (t)n неотрицательны.
16. Найти СЗ оператора п — а^а-
Указание. Выразить {'аУ)п (а )п через Л и использовать
результат задачи 1.15.
17. Показать, что в Е3 матриц я, а+ нет. Объяснить, сравнив
с результатом задачи 1.16.
18. Найти СЗ оператора К = а+ а+ягА,-f-aA,*.
19. Найти СЗ оператора L^cfb +Ь^а% если [bt S+] = /, [а, £>] =
-0, [яЛ^О.
20. Найти СЗ оператора fy = i (ab+ — bab). Коммутаторы
такие же, как в задаче 1.19.
23

21. Доказать, что для функций комплексного переменного
величина
Q>e)^\e-Wf(z)g{z)dz
обладает свойствами скалярного произведения, (Интеграл берется по всей
комплексной плоскости.)
22. Показать, что если скалярное произведение определено, как
в задаче 1.21, то
*• d л
Такое представление а и а+ называется представлением Фока —
Баргмана.
23. Найти унитарное преобразование, при котором
а^а+К а+->а++Ь*.
24. Найти общий вид нетривиальных (отличных от 7) унитарных
эрмитовых матриц о (а) в Е2.
25. Найти унитарные эрмитовы матрицы ог (г = 1, 2, 3) в Е2
такие, что
в представлении, в котором о3 диагональна.
Ответ:
10 1
Hi 0
10 — il II 01
°П< о • °Но -1
Эти матрицы применяются в квантовой механике. Они называются
матрицами Паули. Введенные для них обозначения мы будем
использовать постоянно.
26. Найти унитарные матрицы Aik такие, что
(А'*)+о,(Д**)=ол.
27. Вычислить Ek (A,)=exp [kok].
28. Операторы D такие, что D2—D, называются проекционными.
Найти проекционные матрицы в пространстве Ез-
Л.
29. Доказать, что если L имеет дискретный спектр и все %п не
вырождены, то не существует оператора М такого, что
30. Доказать, что если % и В имеют обратные матрицы и
АВ + ВА = 0,
то А и В имеют четное число строк и столбцов и
SpA=Sp Б=0.

Глйва 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При изложении квантовой механики мы будем
исходить из следующих основных положений.
А1. Каждой физической величине сопоставляется
линейный эрмитов оператор L.
А2. Каждому состоянию физической системы
сопоставляется нормированная волновая функция if.
A3. Физическая величина L может принимать только
собственные значения оператора L.
А4. Математическое ожидание L значений величины L
в состоянии $ определяется диагональным матричным
элементом:
Аб. Матричные элементы операторов декартовых
координат xt и декартовых компонент обобщенного импульса pk,
вычисленные между волновыми функциями системы /и§,
удовлетворяют уравнениям Гамильтона классической
механики
'/1й1*>—О
лмг.|«.- \-
ой
dxi
!*>
1<1\ш-<!
дН
др!
«>.
где Я— оператор, соответствующий классической функции
Гамильтона.
А6. Операторы # и xk удовлетворяют
коммутационным соотношениям
[Ph **] = —tf&ik,
[Рь /5*1 = 0, [xh xk) = Q,
где й — постоянная Планка:
Й= 1,0546-Ю27 эрг-сек.
25

1. Сопоставление оператора физической величине L,
имеющий классический аналог, т. е. являющейся
функцией классических переменных L(xit pk), производится
заменой классических переменных иа операторы xh pk.
Функции предполагаются разложимыми в степенные ряды.
Если функция L (Xf pk) не содержит в своем разложении
членов вида (xk, Pk)* то оператор L(xiy pk) будет
эрмитовым. Например, кинетической энергии 7, = /^]pf\ /2m
сопоставляется эрмитов оператор:
Если в разложении L (xi9 pk) содержатся члены вида хкрк9
л. л.
то замена xi-**xu Pi~*Pi приведет к неэрмитову
оператору Л, так как произведение эрмитовых А и В есть
эрмитов оператор, только если А и В коммутируют.
В этом случае величине L сопоставляют эрмитову часть
оператора Л. Так, для величины W (xiy Pi) = ^РЛ соот-
i
ветствующий оператор будет иметь вид
з
W = -2- ^(PtXi + iiPi). (2.1)
Подчеркнем: из правил сопоставления следует, что время
в квантовой механике есть не оператор (наблюдаемая),
а параметр.
2. Если волновая функция грп есть собственная
функция оператора L, то математическое ожидание величины L .
в этом состоянии равно собственному значению
I = (п | L | п) = Кп (п | п) = Кп.
Аналогично доказывается, что для любого k
т. е. величина L в состоянии грЛ с достоверностью
принимает значение Яя. Если ф не есть СФ L, то, расклады-
26

вая по полной системе СФ L, получаем
П
п
<<р 111 ф> = Е G«G^« <m I «> =* 2I °»I2 Л*>
если спектр L дискретен. Итак,
В соответствии с А4 это означает, что квадраты модулей
коэффициентов аа в разложении волновой функции ср
по фЛ определяют вероятность наблюдения значения ЯЛ.
Если спектр L непрерывен, то
<р(т)=$а(А,)ф(т, Я^Я,
1^$А;$а*(Я)ф*(т, ЯЫЯ$[ш(|х)^(т, |x)d|Jt =
= J J а* (Я) а (|х) |i dЯ d|x J ф* (г, Я) ф (т, ji) dt,
L = \\a(X)\2Kdk.
Функция | а (Я) |2 есть, согласно А4, плотность вероятности
наблюдения значений Я в непрерывном спектре.
Диагональный матричный элемент (ср | L | ср> мы будем называть
также средним значением величины L в состоянии ср.
3. Дифференцирование по оператору в Аб понимается
как предельный переход:
dL
L е^оL 8 J
Для операторов, опред&тенных в п. 2.1, операции
дифференцирования и интегрирования по операторам х/ и рй
имеют смысл. К любой классической величине L(xif pk)
можно, не изменив ее значения, добавить выражение вида
PiXk — xkpt. (2.2)
При сопоставлении величине L оператора такие
выражения могут стать и отличными от нуля. Дифференцируя
27

(2.2) no xkJ получаем
4r (Ptxk - xkpd = p/-1 Pi = 0. (2.3)
Поскольку все производные оператора (2.2) по xt и рь
обращаются в нуль, то он должен быть константой:
PiXk~*kPi = const.
Величина этой константы и определяется в А6.
4. Найдем явный вид операторов рь р2, р3, если
аргументами волновых функций являются декартовы
координаты Xi\
Pifi ~ XlPi = piXiXi — XiPiXi -f XiPiXt — X^ft =:
= (PiXi - *iPf) Xi + Xf (ft*, - xSi) = — /Й • 2X.
Легко показать по индукции, что
РЛ — х* Pi = — tnnx •
Поэтому для всех функций, разложимых в степенной ряд,
Р&(х)~Ъ(х)Р1=-ЛН^;. (2.4)
Подействуем оператором р£ на cp(*i, х3> х3) = 1:
№ = fi(xu x2, х3).
Используя (2.4), получаем
р^- —/Й^Н-/^
и аналогичные соотношения для осей х2 и х3. Используя
коммутационные соотношения
[pi, Рл]==0,
получаем
^%v д*2 дх2 дх3 дх8 дхх
Эти соотношения выполняются, если
J1""^' '2~~дх.2> Гз — дх3>
где F(xi, x2, x3) —гладкая функция своих аргументов.
Итак,
К — Ящ + дхТ'
28

Произвольную функцию F можно исключить с помощью
унитарного преобразования
л.
Итак, найден явный вид операторов pi для функций,
аргументами которых являются декартовы координаты xt\
Pi=-ih£;: (2-5)
Компоненты оператора импульса образуют вектор
р = — ifiV.
5. Произвольную волновую функцию -ф (х) из L2,
зависящую от координаты, можно представить в виде
*W = Je(x-B*©dg
и рассматривать это выражение как разложение \р (х) по СФ
оператора координаты
Следовательно, согласно п. 2.2, величина |ф(х)|2 есть
плотность вероятности координаты в состоянии ip (x).
Отсюда ясен и смысл нормирования волновой функции:
h>p=Sii>(*)i«£te=i.
Система, описываемая такой функцией ty(x), с
достоверностью находится в какой-то области пространства.
Оператор импульса р в л'-представлении имеет вид
Собственные функции импульса определяются из уравнения
-»JJ = Pfl, • (2.6)
Найдем нормировочный коэффициент А. Известные
выражения для прямого и обратного преобразования Фурье
29

имеют вид
f{k)=\g{x)<r**dx, g(x) = ±\f(k)e»*dk.
Сравнивая эти выражения с (1.15), (1.16), получаем
\/2nfi
Из (1.15) следует, что собственные функции оператора
импульса образуют полную (для функций из L2) систему
1 с —
Ч(х) = уШ)а(р)еП(1р>
1 с - —
а{р)~ут\Щх)е ndx-
Эти формулы устанавливают связь между х- и р-пред-
ставлениями.
6. Рассмотрим р-представление. Явный вид операторов
pi и xk может быть, разумеется, найден из
коммутационных соотношений, как и в п. 2.4. Но мы воспользуемся
общими соотношениями, полученными в п. 1.16. Ядро
оператора х в р-представлении
х (р, Р) =U+xO= 2^й у h xe """Л"-
-ш\е h[-ih4en)dx-
Рассмотрим действие х на функцию а (р) из L2:
\х(р, P)c(P)# = -4J §<Г^(|Д)й(Р)<**# =
~ i J J
'Г*. «ft* . .
Оператор импульса в р-представлении задается ядром:
~ 2яЛ)
ipx tft.v
е л Рел (/л:=рб(р-Р),
р«(р)=ра(р).
30

В заключение отметим, что операторы х и р эрмитовы на
функциях f(x) из 1Д но не эрмитовы на своих собственных
функциях. В самом деле, пусть ра (р) = р^а (р) и х=х+9
р =р+. Тогда
(а|р*]а> — (а\хр\а) — — itl (a \ я>,
р0 {(а\х \а) — (а\х |а>} = — Ш (а |я>. (2.7)
Левая часть этого выражения равна нулю, правая
бесконечна. Этот результат является следствием одних только
коммутационных соотношений.
7. Уравнение движения для матричных элементов Аб
допускает различные интерпретации. В выражении
мы можем считать зависимость от времени отнесенной
полностью к волновым функциям или полностью к
операторам.
а) Рассмотрим описание с помощью операторов,
зависящих от времени.
Из Аб следует:
* дН а дН
Р/ = — -г=-, Х = -тс-.
dxi dpi
Используя формулы (2.4)
получаем уравнение движения для компоненты оператора
импульса
Pi = -{-lP»H] (2.8)
и аналогичное уравнение для оператора координаты
£ = -£[£„ Я]. (2.9)
Такой способ описания называется представлением Гай-
зенберга, а уравнения (2.8, 2.9) — уравнениями Гайзенберга.
б) Рассмотрим описание движения с помощью зависящих
от времени волновых функций. Используя формулу (2.8)*,
представим уравнение для матричных элементов в виде
31

Считая операторы р* и Н не зависящими от времени и
учитывая их эрмитовость, получим
(|. wf)+(pif. 8)--т<р* **>+4 (#.■**>•
(} + iAf.wf) + (pV.jF+t^)-o.
Последнее соотношение будет выполняться при
произвольных в начальный момент времени волновых функциях
f(x) и g(x), если они удовлетворяют уравнению
й| = Й*. (2.10)
Это уравнение называется уравнением Шредингера, а способ
описания системы с помощью операторов, не зависящих
от времени, — представлением Шредингера. В дальнейшем
мы будем использовать также сокращения ВФ вместо
«волновая функция» и УШ вместо «уравнение Шредингера».
В обоих представлениях времени эволюция системы
характеризуется гамильтонианом Н—оператором,
полученным из функции Гамильтона классической механики
согласно правилам, изложенным в п. 2.1.
Так, гамильтониан частицы во внешнем поле с
потенциалом £/(хь х2, х3) есть
& = $ц+и (*i> *2, *з).
В координатном представлении Я имеет вид
Н = — ^А + и(х19 х2, *з), (2.11)
где А—оператор Лапласа.
8. Уравнения Аб справедливы как в представлении
Гайзенберга, так и в представлении Шредингера. Поэтому
математические ожидания значений, наблюдаемых в этих
представлениях, совпадают. Должно существовать унитар'
ное преобразование, переводящее одно представление
в другое. Такое преобразование осуществляется оператором
S=e-K / (2-12)
. 32

Обозначим волновую функцию и оператор в представлении
Гайзенберга /, L, а в представлении Шредингера — Ц\ А:
^ = S+/, (2.13)
A = S+LS. (2.14)
Так как f по определению от времени не зависит,
дифференцируя (2.13), получим
Ot ~
что совпадает с
c?((7*)f
dt i~
уравнением
по времени равенство
получим
L =
:j.hs4=-
i Шредингера.
SA$+,
т&*-
. Дифференцируя
^^+44^-1^.
dL
"oi
-;7[Я, Д (2Л5)
что совпадает с уравнениями Гайзенберга. Уравнение (2.15)
можно записать в виде
Величина L называется интегралом движения, если
£<ф|1|1>> = 0.
Интеграл движения удовлетворяет двум эквивалентным
условиям:
[я, 1]-[я, А]=о.
9. Состояния, описываемые собственными функциями
гамильтониана Я, называются стационарными
состояниями^ а множество собственных значений Н
—энергетическим спектром. Для стационарных состояний уравнение
Шредингера имеет вид
1П^ = Еп%=Й%. (2.16)
Интегрирование по времени непосредственно дает
временную зависимость волновых функций стационарных
2 П. В. Елютин» В. Д. Крнвченкоз 33

СОСТОЯНИЙ
tyfl(t, x) = e~'h~am<pa(x)9.
1 bj
где Фл(х)— функция одних только координат.
Распределение вероятности зависит от квадрата модуля волновой
функции:
Р<х) = |*.(<. х)|2Н<РЛ(х)|2, (2.17)
и остается во времени постоянным. В стационарных
состояниях среднее значение коммутатора [Я, А], где А — любой
оператор, обращается в нуль:
(п\ЙА-Ан\п) = Еп(п\А\п)-Еп(п\А\п) = 0.
А А.
Пусть Я — гамильтониан частицы в поле II (г), а Л
—оператор W, определенный формулой (2.1). Тогда
<*1№. »]|*> = 0 = -tt(2<*|t'|*>-<*|r-W|*>).
Первый член в скобке есть удвоенное значение средней
кинетической энергии 7\ Если 1/(г) = (/0гл, то второй
член в скобке есть просто nU. Таким образом,
T=~V. (2.18)
Соотношение (2.18) называется теоремой вириала. Приведем
еще одно соотношение для стационарных состояний частицы
с гамильтонианом Я (2.11). Из (2.9) следует, что
Вычисляя матричные элементы обеих сторон этого
равенства с помощью ВФ стационарных состояний, получим
%(n\p\k) = (Ek-En)(n\r\k). (2.19)
10. Энергетический спектр может быть как дискретным,
так и непрерывным. ВФ дискретного спектра в
координатном представлении могут быть нормированы условием
5l*„(x)|"dx=l. (2.20)
Это означает, что плотность вероятности убывает при
больших х достаточно быстро, чтобы интеграл в (2.20)
сходился. Вероятность нахождения частицы вне некоторого
34

конечного объема может быть сделана сколь угодно малой.
Частицы совершают финитное движение. Поэтому состояния
дискретного энергетического спектра называются
связанными.
Для ВФ непрерывного спектра %,(*) дать
непосредственную вероятностную интерпретацию нельзя, так как
интеграл от плотности вероятности по всему пространству
расходится. Физический смысл имеют только состояния,
соответствующие квадратично интегрируемым ВФ <р. Если
такая ВФ представима в виде линейной комбинации ВФ
непрерывного спектра
4> = [a(K)yph(x)dx9
то мы будем говорить, что она соответствует инфинитпому
движению. В ряде случаев функция а (X) заметно отлична
от нуля только в окрестности точки X = Л0; свойства таких
ВФ во многом близки к свойствам функций ty).(x).
Рассмотрим изменение со временем вероятности
нахождения в объеме Q частицы с гамильтонианом Н (2.11):
" h
Используя уравнение Шредингера, получим
Тйг = -J- $ fo/N>*-ГЩ) dK. (2.21)
h
В правой части (2.21) отличны от нуля только члены
с производными. Учитывая соотношение
/ Ag - g Д/ = div (f grad g - g grad f),
получим уравнение
4t = - $ div ST «*** ~ V*v^ dx'
Преобразуя объемный интеграл в поверхностный по теореме
Гаусса, получаем
dJ = ~ § §ЙГ«*** -»***> dS. (2.22)
S(Q)
Величина
2* 35

называется плотностью потока вероятности. Уравнение
(2122) имеет смысл уравнения непрерывности. В
дифференциальной форме оно .имеет вид
g+divj=o.
Уравнение непрерывности означает, что вероятность
нахождения частицы в объеме Q может измениться только за
счет перехода частицы через границу объема: УШ с
гамильтонианом (2.11) не описывает источников (и стоков) частиц.
Если ВФ имеет вид $ (х) = AR (х), где R (х) —
действительная функция, а А — комплексная константа, то j (гр) = 0.
Для собственных функций импульса
YV ' (2лй)3/2
плотность потока вероятности
И*)
р.
т (2лй)з
пропорциональна импульсу и не зависит от координаты.
11. Если гамильтониан Н инвариантен по отношению
к переносу на любой вектор а:
#(г + а)==#(г), (2.23)
то должен существовать унитарный оператор Г (а) такой,
что
Т+(а)Я(г)Т(а)=Я(г+а).
Поскольку цоследовательные переносы коммутируют:
' Г(а)Г(Ь) = Г(Ь)Т (a) = f (a+b),
то оператор Т должен иметь вид
А. Л.
где К —некоторый эрмитов оператор. Рассмотрим
бесконечно малый перенос
t (ба) ЙТ (ба) ъ (7 + /К ба) Н (7 - еК ба),
Я(г) + /[К, tf]6a = //(r) + (v//)6a.
Из сравнения с (2.4) находим явный вид оператора К-
36

Из условия (2.23) следует, что [р, Я]=0, т. е. импульс есть
интеграл движения. Состояние системы описывается СФ
импульса
ф(р, г)-(2яй) 2 е*Р\
При унитарном преобразовании t
i
Оператор пространственного переноса 74 —е п анало-
i л
гичен оператору «временного переноса» S+ = e n ,
введенному в п. 2.8.
12. Гамильтониан может быть инвариантен по отношению
к дискретному набору переносов. Например, в
кристаллической решетке
Я(г + а)==Я(г), (2.24)
если а = У] а*я,-, где я* — целые числа, а* — базисные векторы
i
решетки. Для функций стационарных состояний
А(г)*(г) = ^(г),
Я(г + а)1|)(г + а) = £-ф(г + а) = Я(г)1|)(г + а).
Поэтому яр (г) и я|)(г + а) суть СФ Я (г), соответствующие
одному и тому же значению энергии. Можно представить
связь между этими решениями в виде
ф(г + а) = с(а)г|)(г),
где с (а) —матрица с числом строк и столбцов, равным g~
кратности вырождения уровня Е. Матрицы с (а) и с (Ь),
очевидно, коммутируют и могут быть одновременно
приведены к диагональному виду. Для них имеет место
уравнение
сп(*)си(Ь) =с«(а+Ь) (j = 1,2,..., g).
Это уравнение имеет решение вида
с« (а) = **«'.
Таким образом, решения уравнения (2.25) имеют вид
Ън(г) = ик{г)е**9 (2.26)
37

где к — произвольный вещественный вектор, а функция
uk (г) — периодическая с периодом решетки а
it* (r+a) = it*(r).
В случае, рассмотренном в п. 2.11, функция ик должна
быть константой — единственной функцией, периодической
с любым а. Утверждение о возможности представить СФ
гамильтониана, удовлетворяющего соотношению (2.24),
в виде (2.26) называется теоремой Блоха.
По аналогии с оператором переноса, рассмотренным
в п. 2.11, вектор К = йк называется квазиимпульсом.
Заметим, что вектор к определен неоднозначно. К.нему
можцо добавить любой вектор g такой, что
ga = 2пп,
где я — целое число. Множество таких векторов можно
представить в виде
. з
t=i
где m,— целые числа, а векторы
суть базисные векторы обратной решетки*
ЗАДАЧИ
1. Доказать тождества
[pX[xXp]] = tf*p + xp2--pxp,
[х X pj2=x2p2-(xp--i7i)2.
2. Показать, что если L=f(x)g(p), то
Spi=~2SF J J fi*)6(P)d*dp.
3. Найти вид гайзенберговского оператора х] в координатном
представлении для свободной частицы (J7(r)=0) и для
гармонического осциллятора (U (х)=Ах2).
4. Найти унитарный оператор, осуществляющий преобразование.
Галилея
Pi-*Pi + mVif Xi~*Xi + Vit.
5. Пусть гамильтониан Н и его СЗ Еп зависят от параметра Я.
Доказать равенство
дЕп(К) __/\ дН(К) \\
Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.

Глава 3
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
0. В квантовой механике движение частицы во
внешнем поле с потенциалом U(r) описывается уравнением
Шредннгера ■—линейным уравнением в частных
производных для функции четырех переменных ¥(х, у, z, f).
В отличие от классической механики, число степеней
свободы не может быть уменьшено наложением связей.
Однако если потенциал U (г) имеет вид
то уравнение допускает разделение переменных в
декартовых координатах. Рассмотрим его решение для
стационарного состояние
44*1, *>, *з, t)-=^i(x1)^1{x2)^3(xs)e h . (3.1)
Подстановка (3.1) в УШ (2.16) дает
ъ + * - * •
где
Л.
Определение спектра Н сведется к отысканию решений
и СЗ уравнений
Hib = E№. (3.2)
Тогда
Е= 2 Et.
1=1
В дальнейшем мы будем называть (3.2) одномерным
уравнением Шредингера, а параметр разделения /^ — энергией,
опуская индексы у Еи Ни ф,.
39

1. Гамильтониан свободной частицы в х-представлении
имеет вид
к2
#, = -^ =
pi я* а2
2т 2т dxl
Одномерное УШ для свободной частицы имеет вид
Так как собственные значения квадрата эрмитова
оператора неотрицательны, то непрерывный энергетический
спектр занимает полуось 0 <£< со. Решения уравнения
(3.3) имеют вид
4 (х) = А ехр (™ V2mEx)+В ехр ( - ™ УШЕх}. (3.4)
Стационарные состояния свободной частицы двукратно
вырождены; при заданном Е существуют два линейно
независимых решения:
и
^(£,х)-р~ехр^^]^2]^£гх)=-'Ф(— Р> *)>
соответствующие: я|>+ (£, х) — положительной и я|>_ (£, х) —
— отрицательной плотностям потока вероятностей. Это
связано с тем, что оператор Н для свободной частицы
коммутирует как с оператором импульса р, так и с
оператором инверсии Р, в то время как р и Р не
коммутируют.
Поскольку оператор импульса р и гамильтониан
свободной частицы Н коммутируют и имеют общую систему
СФ, то эти СФ могут быть нормированы различным
образом. В условии -^
$Ф*(Я, х)<рОг, х)Жс = 6(Я — и)
мы можем под Я понимать как импульс р, так и
энергию £. В первом случае коэффициенты А и В должны
удовлетворять условию
МГ+|ВГ-таг.'
40

Во втором случае (нормировка на 6-функцию от энергии)
коэффициенты должны удовлетворять условию
|Л|2+|В12=—[-—JUL*.
2. Потенциал U(x) мы будем называть потенциальной
стенкой, если пределы
lim U(x) = U„, lim U(x) = U+
*-*—со х-+-\-со
конечны и не равны. Будем полагать, что £/_ = 0 (выбор
начала отсчета энергии), £/+>0.
Рассмотрим движение в поле потенциальной стенки.
Простейшими для вычислений являются случаи, когда
потенциал U (х) является
кусочно-постоянным. Решение урав- U\
нений с разрывными коэффи- 1
циентами требует дополннтель- *Ь\
ных предположений. Мы будем
считать, что я|> (х) и i|/ (х)
всюду непрерывны и я|> (х)
удовлетворяет .условиям нормировки i
(1Л4) для дискретного и (1.17)
для непрерывного спектров. За- Рис. 1.
метим, что решения уравнений с
кусочно-постоянными потенциалами обладают некоторыми
специфическими особенностями по сравнению с гладкими
потенциалами U (х) и полученные результаты нужно
переносить на случай гладких потенциалов с осторожностью.
Физически это связано с тем, что в разрывных U(x)
бесконечные силы действуют на частицу в бесконечно малой
области.
3. Рассмотрим движение частицы в поле
прямоугольной стенки (рис. П:
U(x) = 0 (x<0), U(x) = U0 (х>0).
Спектр непрерывный: 0<£<оо. При х<0 ВФ имеет
вид
% = aeikx + be~ikx.
Введенное обозначение для волнового числа k
k=^lV2mE
41

мы будем использовать постоянно. При х>0 ВФ имеет
ВИА ...
1
1) Пусть E<U, </мнимое. Выбирая lmq>09 получим
tyR = cerV*, y=\mq.
Мы положили d = 0, чтобы ВФ была нормируема. Требуя
непрерывности if, if' в точке х = 0, получим систему
уравнений
ik(a — b) = — yc.
Введем обозначения:
а ' а
Тогда
л=4=^. в='2к
k+iy ' fe+r11
Окончательно коэффициенты а, Ь7 с находим из условия
нормировки
ib = -Д= leikx+5—i2- (rikx\
2 fe
" Уът k+iy
Функция ifi имеет вид ВФ свободного движения (ЗА).
Можно интерпретировать if+ как ВФ частицы (испущен-
ной источником, находящимся в точке х =— оо),
движущейся вправо, a if_ — как ВФ частицы, движущейся влево.
Поскольку при х>0 у(х) = 0, то if_ естественно
рассматривать как ВФ частицы, отраженной от потенциальной
стенки.
Если ВФ частицы с энергией Е в поле U (х) имеет
при х-* — со асимптотический вид
if (x)^aeikx + be-ikx,
то величина
K{L) |fl|2 ^imj,.^
называется коэффициентом отражения.
42

Для определения /?(£) нормировка ВФ не нужна:
достаточно найти асимптотический вид волновой функции.
Очевидно, в поле потенциальной стенки при E<U0
д(£)=1. Заметим, что между падающей и отраженной
волнами существует фазовый сдвиг.
2) Пусть £>£/, q действительное,
ф^ «= ае***+be~ikx (х < 0),
фя = &** + <кг**х (х > 0).
Из решений ф/?(х) и фЗ?(х) можно составить линейную
комбинацию <р#(х), которая будет содержать только ВФ
частицы, движущейся вправо. Например, положив
ф* (X) = $R(X) - ~г ф$ (X),
мы будем интерпретировать ее как ВФ частицы,
прошедшей над стенкой:
цн(х) = Вё*х.
Положим
qL(x) = eikx+Ae-ifcx.
Из условия непрерывности при х = 0 следуют уравнения
для А и В: -
1+Л=£,
Отсюда
k{\-A) = qB.
л — k-4 ft- 2fe
Л~ k + q> *~ k + q-
Коэффициент отражения определится выражением
яю-н^-Г- (3-5)
Так как q<fe, то коэффициент отражения /?<1 и
достигает максимального значения при 9 = 0 (£ = £/).
Зависимость R от отношения E/U0 показана на рис. 2. Поток
при х>0 отличен от нуля:
Если ВФ частицы с энергией Е в поле U (х) имеет
при х->~оо и при х-^+со асимптотики
фх(£, x) = eikx+A<rikx (х-^-оо),
»Л(£, х) = Вё** (х-Н-оо),
43

то величина
и^> lim |/(^)| ~ k
называется коэффициентом прохождения: Уравнение Шре-
дингера не описывает источников и стоков частиц при
конечных х. Поэтому
#+D=l.
Заметим, что* для прямоугольной стенки выражения для
R(E), D(E) не, содержат постоянной Планка ft.
4. Найдем ВФ частицы в поле гладкой потенциальной
стенки (рис. 3)
U(x) = U(l+e-*f*)~\
Спектр непрерывный: 0 < Е < оо. Потребуем, чтобы
асимптотика решения при л:-> + °о содержала только ВФ
частицы, движущейся вправо:
yRf**Ae**x q-= ~У 2m(E-U)
(3.6)
При *-►— оо асимптотика ВФ есть сумма решений,
соответствующих падающей слева и отраженной от стенки
частице:
Ц^В^+Вгег**. (3.7)
Найдем решение уравнения Шредингера
в виде
44
ф(х) = «(*)^*. hm и(х)фО,
х-*-\-сю

или, полагая
у = — е-*'.'«, -ф(х) = *г'*"ш (у).
Уравнение для w (у) *
— гипергеометрического типа, одно из его решений
w^Ffa — s2, —SJ — S2, —2s2 + 1, у),
где F —гипергеометрнческая функция, a sx = ikay s2 = iqa.
При f/->0 t£>->l, прн#-> — оо ш(#) есть
w ^ С! (— y)42~Si + с2 (— #)s* + *,
где коэффициенты. си с* определяются формулами
Г (-5Х) Г (-sa+l) r^n-so+l)
Таким образом, при х-> — со асимптотика ВФ
% (X) я^ (—1)~* [С^'^ + СаГ '**]
действительно имеет вид (3.7). Коэффициент отражения
меньше коэффициента отражения от прямоугольной стенки
той же высоты. Так как k-{-q>k — qt достаточно
показать, что функция
f(y) = y1shy
не убывает при у>0; условие положительности
производной /' (у) приводит к неравенству
4/>thf/,
справедливому при у>0.
В пределе ka->0 стенка переходит в прямоугольную;
раскрывая неопределенность в (3.8), получим
lim/?(£) = 4^
в согласии с результатом п. 3.3.
5. Поле с потенциалом U (х) мы будем называть
потенциальным барьером, если
lim U(x) = lim £/(*) = О,
45

Максимальное' значение U(x) будем называть высотой
барьера. Рассмотрим движение в поле прямоугольного
барьера (рис. 4):
U(x)^0 (х<0, х>а),
U(x) = U0 (0<x<a).
Как и в п. 3.3, рассмотрим решение в различных
областях свободного движения:
х < 0: -ф£ = eikx+Ae~ikx,
0<х<а: Цм = Вхе1*х + В2е-*х9
х>а: tyR = Ceikx.
Решения выбраны так, что падающая частица движется
слева:
k = ±V~2mE> tf=-J-l/2m(E-l/0).
Коэффициент прохождения через барьер
D = |CI2.
<&
Из условий непрерывности ф и ф' в точке х = 0 следует
система уравнений для Л, Вг
ffk и В*:
1+А=*Вг + В*9
k(l-A) = q{B1-Bj.
Из условий непрерывности в
точке х = а аналогично
получаем для Ви В2 и С:
Вхе*а + В2е~ *а = Ceika,
Рис. 4. 9 (Б^л - В2е-*°) = *&*«.
.z»
Решая эти уравнения относительно С, находим
коэффициент прохождения
D(E)-
4^2
(k* — q*ptin*qa+4k*q*
-{>+[■
(fe3—g2)singa p\-1
2fy
■ГГ
(3.9)
Выражение в квадратных скобках неотрицательно и
обращается в нуль при выполнении условия
smqa = 0f qa = nn, -^- ]/2m(£— {/0) = n—.
46

Таким образом, прн энергиях
коэффициент прохождения обращается в единицу: барьер
прозрачен. Обращение коэффициента отражения в нуль
при бесконечном дискретном наборе значений Еп есть
специфическое свойство прямоугольного барьера. Если
£<(/0, то q — чисто мнимое и коэффициент прохождения
монотонно убывает с ростом ширины барьера, не
обращаясь в нуль при конечных а, т. е. частица проходит
за барьер и при энергии меньшей, чем его высота.
Зависимость D от отношения E/U0~e показана на рис, 5.
Of е О а я
Рис. 5. Рис. 6.
6- Рассмотрим'' движение частицы в поле гладкого
потенциального барьера (рис. 6):
U(x) = U0dr2(x/a).
Для определения коэффициента прохождения D(e) надо
найти решение УШ для стационарных состояний
♦•—S-(£-t/ochr»f)» = Ofi (3.10)
асимптотиками которого являются ВФ свободного
движения АёПх при х->оо и Bie*hx + B2e-ifcx при х-> — оо.
Подстановками
47

уравнение (ЗЛО) превращается в
■^1(1-Л$-| + Н«+1)-Т^]*=-°- <ЗЛ1>
Асимптотики интересующего нас решения:
У-+ + 1: Ц(у)ъа(1-у)№,
Подстановкой
1Ф) = (1-#3)Р/2И#)
уравнение (3.11) сводится к гипергеометрическому виду:
-Р(Р+1)УЮ'-(Р-в)(Р+8+1)И1 = 0.
Решение этого уравнения, конечное при у=-\, есть
a,(0 = F(-§-sf-p+s+l, -р + 1;-Ь^).
Волновая функция
=0-#)2 2 F(—ika-s, — ika + s+l, — ika+l; ±-JL\
имеет требуемые асимптотики. При х-> — оо (у-*-—1)
VW~e Г(-8)Г(1+в) +
■ дц« Г(-Цо)Г(1-Цо)
т^ T(—tka—s)T(—ika + s+iy \°-1*)
Коэффициенты при экспонентах в формуле (3.12)
определяют значения коэффициента прохождения:
1—1
Г со#-*-У1-4Г«|'
I1 ^ • sh^ nka |
1
D(E)=\l+ , ^arfw 1 (i3>4),
(3.13)
ch^V\+4-al
D(«)->+-ra— (i2<4)-
Й2
Здесь |a = ... 8. Коэффициент прохождения D есть
монотонно возрастающая функция е = £Д/0 (ряс. 7). При
£->оо коэффициент отражения убывает экспоненциально:-
R(E)~e-2nka.
48

7. Выше мы рассматривали решения ВФ в полях с
потенциалами, принимавшими минимальное значение (/ = 0
на ±оо. Задача отыскания спектра Н не вызывала
затруднений: при любом Е>0 УШ имело решение вида
(3.4). При E>U+ мы искали решения с граничными
условиями вида
<<р(х-++оэ)^Ве1дх, ty(x^-oo)?veikx + Ae-ikx. (3.14)
Состояния частицы с определенной энергией в таком
случае являются двукратно вырожденными. Это вырождение
связано не с наличием некоммутирующих интегралов
движения, а с вырождением граничных условий (3.14).
Основные выводы, следующие из рассмотрения. ВФ
непрерывного спектра, таковы. В поле потенциального
барьера коэффициент
прохождения отличен от нуля, и при Я'
E<u\3xU(x) существует от- /
личный от нуля поток
вероятности и в области за барьером.
Это явление мы будем
называть подбарьерным •
прохождением или туннелированием
через барьер.
" В поле потенциального ба- О / &
рьера или стенки коэффициент
отражения отличен от нуля и
при E>maxU(х). Существует
отличный от нуля поток вероятности в направлении,
противоположном направлению движения прошедшей
частицы. Это явление мы будем называть надбарьерным
отражением.
Рис. 7.
8. Мы видели, что если пределы (/_, U+ конечны, то
оператор Гамильтона обладает непрерывным спектром при
Е > 0. Таким образом, дискретный спектр может
существовать, либо если
либо если
min (/(*)< min ((/_, U+)9
lim £/(x) = oo.
X-+-* oo
(3.15)
(3.16)
Физически наиболее интересен первый случай: все
осуществимые внешние поля обращаются в нуль на бесконеч-
49

ности. Мы будем рассматривать также потенциалы,
удовлетворяющие второму условию. Следует помнить, что
применение таких потенциалов есть идеализация,
допустимая лишь в ограниченной области пространства и при не
слишком больших х и Е. Поля с потенциалами,
удовлетворяющими (3.15) или (3.16), мы будем называть
потенциальными ямами.
Отыскание дискретного спектра сводится к решению
УШ с граничным условием
$|г]>(х)|2</х<оо. (3.17)
Отсюда следует, что при х -> оо г]) (х) -> 0, г]/ (х) ->• 0.
а) Если потенциал U (х) ограничен снизу: U(x)>UG,
то дискретный спектр ограничен снизу: Е> U0. Допустим
противное: г|>(х) есть решение УШ, принадлежащее L2 при
E<U0; тогда из УШ
-£-< = [fi-l/(x)]*
следует, что знак ф* всюду совпадает со знаком я]). Пусть
я|) (— со) = +0. Тогда г|>" и г]/ будут всюду положительны:
я|)(х) будет монотонно возрастающей функцией, что
несовместимо с (3.17). Мы будем нумеровать состояния
дискретного спектра в порядке возрастания энергии, присвоив
основному состоянию — состоянию с наименьшей
энергией—обозначение £0, Позже (в главе 5) мы увидим, что
требование ограниченности U (х) снизу есть достаточное,
но не необходимое условие ограниченности снизу
дискретного спектра.
б) Состояния дискретного спектра в одномерном
случае не вырождены. Допустим противное: я]) (х) и <р (х) суть
линейно независимые решения, соответствующие одному
значению Еп. Вычитая
Интегрируя от —со до х, получим
ИЗ
получим
50

Итак,
(In i|>)' — (In q))' =0, i]) = const ■ q>,
что противоречит предположению о линейной
независимости.
в) Для состояний дискретного спектра справедлива
осцилляционная теорема: ВФ % (х), соответствующая
значению Е,п имеет при конечных значениях х точно п нулей.
9. Рассмотрим движение частицы в поле
прямоугольной ямы:
U(x) = UQ (х<0, х>а)9
U(x) = 0 (0<x<a).
При E>U0 движение частицы ннфинитно. Коэффициент
прохождения получим из (3.9), поменяв местами k и q:
D(£)={l+[^-ynto]2f. (3.18)
При E<Uq ВФ экспоненциально убывает при х<0
и х>а: частица совершает финитное движение, находится
в связанном состоянии. Энергетический спектр —
дискретный — определим из условий непрерывности для ВФ (вместо
требования непрерывности г|> и г]/ в точках 0 и а удобнее
воспользоваться требованием непрерывности г|> и ty'-ilr1):
х<0: tyL = Ae**9
' х>а: фя = С<г**.
При хе(0, а) можно выбрать ВФ действительной:
i|>.„ = J3sin(£x+6).
Из условий непрерывности ty'-ilr1 следуют уравнения
k ctg 6 = — у*
Эквивалентные уравнения:
V 2mU0 \ 2mU0
51

Исключая из этих уравнений б, получаем
kb tm—ka
arcs 111 ,~ = .
Y2mU0 2
Вводя переменные
fi _ka *_ П
p 2 • *» a ^-ssDJ •
получим уравнения
cosp==±2gp (n нечетное, tgp>0),
sin p = ± 2gp (/г четное, tg p < 0).
to.i»;
(3.20)
(3.21)
Корни этих уравнений p„ определяют энергетический
спектр частицы в прямоугольной яме:
/па3
£* =
(3.22)
Число корней уравнений конечно. Для неглубокой ямы
(£/0-*0, £->оо) уравнение (3.21) не имеет корней, а (3.20)
всегда имеет корень. В прямоугольной яме всегда есть по
крайней мере один дискретный уровень. С ростом глубины
ямы (£/-* со, §->*0) число уровней растет, становясь в
пределе бесконечным. Переходя к
пределу в (3.19), получим
энергетический спектр частицы в
такой яме — прямоугольном ящике:
пл — ka, Еп — п2
я2/*2
2/яд2'
(3.23)
10. Рассмотрим другой пре-
Рис. 8. дельный случай: узкую и
глубокую прямоугольную яму.
Удобнее изменить начало отсчета энергии, положив (рис. 8)
Полагая
£/(х) = 0
U(x) = — U0
(х<0, х>а)9
(0<х<а).
(3.24)
k = ±V2m(U0-\E\)\
непосредственно из (3.19) получаем уравнение
-J-V2m(t/0-|£|) = /m-2arcsin|/"l
52
Е\
Uo
(3.25)

Пусть яма углубляется и сужается так, что ее площадь
остается постоянной:
U0-+cbf а->0, £/off = flf (3.26)
Уравнение (3.25) можно переписать в виде
^iTO^r^=n3t-2arcsin/r=W- (3-27)
При переходе к пределу левая часть (3.27) стремится
к нулю. Следовательно, может существовать только одно
связанное состояние с я=1. Так как
то из (3.27) следует:
Таким образом, в пределе (3.26) в прямоугольной
потенциальной яме есть одно связанное состояние, энергия
которого определяется параметром q = U0a. Выражение
(3.28) имеет и более широкую область применимости. Оно
относится ко всем потенциалам
t/(*) = -lV(-*-), (3.29)
которые при переходе (3.26) имеют своим слабым
пределом 6-функцию Дирака
limU(x) = — <fi(x).
Рассмотрим УШ с б-потенциалом
Нормированная ВФ при х=£0 есть
#=V*te-Ki*i, (З.зо)
где
*«/-¥ №<о).
В точке х = 0 вторая производная ВФ имеет
интегрируемую сингулярность. Следовательно, я|>' испытывает
конечный скачок, а я|) (х) непрерывна. Интегрируя УШ в окрест-
53

_0) = *Ф<0).
ности точки 0, получаем
2т \dx l-f-o cfx
Подставляя (3.30) в это уравнение, находим
к--™? Е ^£
При конечных значениях параметров l/0» я выражение
(3.27) имеет смысл главного члена разложения правой
части равенства
по степеням малого безразмерного параметра
2mU<fl*
g-2_;
Л2
(3,31)
Это обозначение для безразмерного параметра,
характеризующего потенциал V (х), однозначно представимыи в виде
(3.29), мы будем использовать
постоянно.
11. Рассмотрим движение частицы
в поле с потенциалом (рис. 9)
^(*) = —*'•
Как и в классической механике, мы
будем называть такую систему
гармоническим осциллятором. Движение
частице при любой энергии будет финитным: ни при
каких Е на всей оси не выполняется условие E>U0.
Существует только дискретный спектр. Гамильтониан имеет
вид
Рис. 9.
# =
р2 . fflO)2Xa
2/»""1 2
Уравнение Шредингера для стационарных состояний:
тш2*2^
.„ . 2т(г, т(йгх-\ , А
или, в безразмерных переменных
1 f mm *
2= |/ Тх, Я =
2Е
g + <*-*-)* = 0.
(3.32)
54

Асимптотику ВФ при z-~>oo найдем, опустив в (3.32)
величину А, —малую по сравнению с г2. Асимптотическим
решением уравнения
убывающим при z->±oo, будет (с точностью до главных
членов) функция erz*А Ищем решение (3.32) в виде
iK*)==*-2V2«p(*)-
Подстановкой в (3.32) получаем
ф"-2гф' + |1ф = 0, (3.33)
где ц, = А,— 1. Решая это уравнение подстановкой
степенных рядов, получаем
+ <P-H)(4-rt<8-rtg,+ f (3.34)
+ (2-Ю(6-Ю(Ю-Ю ,7+ _ (3.з5)
Нас интересуют решения уравнения (3.33), которые при
z-+oo растут не быстрее конечной степени г; из (3.34) и
(3.35) видно, что ф (г) удовлетворяет этому условию только
при |i = 2& (&=^0, 1, 2, ...). При других значениях \х оба
ряда содержат бесконечно много членов, знакопостоянных
с некоторого члена. При ц = 2& одно из разложений Fu
Ft превращается в полином (Fj.— при ц = 4&, F2~ при
\i = 4& + 2) — нетривиальное решение, возрастающее
достаточно медленно. Отсюда определим энергетический спектр:
(li = 2£, Х=1+2/г,
£, = ^(1+2£). (3.36)
ВФ стационарных состояний имеют вид
yk(x) = Ake-^Hk(z),
где Ak — нормировочные коэффициенты, Hk (z) — полиномы
Эрмита, которые определяются (с точностью до множителя)
55

первыми членами разложений Fx для четных k и F2 для"
нечетных k:
Я0=1, H1 = 2z, #2 = 4г2-2.
Полином Эрмита Hk имеет k действительных корней; это —
частный случай осцилляцнонной теоремы, упомянутой
в п. 3.8.
12. Выразим гамильтониан гармонического осциллятора
и — i?L a- то)2*2
"2т 1 2
через безразмерные операторы
Q=XV if» Р==р17?='
Введем новые операторы
Операторы, определенные таким коммутационным
соотношением, уже рассматривались в задачах к главе 1:
Гамильтониан, выраженный через новые операторы, имеет
вид
Й = Пю(#а +1/2).
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
удобно записать в безразмерных величинах:
56

Рассмотрим действие оператора а?'
Й+ (й+о + 1/2) % = а+ ((34+ - 1/2) % = (Я - 1) й+%,
Я(^е) = (е+1)(^8).
Итак, если i|)e — собственная функция гамильтониана,
соответствующая собственному значению 8, то tye+i~a+%
есть собственная функция, соответствующая СЗ е+1:
Найдем нормирующий множитель <?,. считая фе
нормированной:
аЩ\ = (е - 1/2) ф8, ш+ф в - (8 + 1/2) ф6,
Ы2 = (е + 1/2) №Е, tfc), д = V7+TJ2,
а+фе = |/*8+1/2^6+1. (3.37)
Аналогично
йф8 = 1^8—1/2^-1. (3.38)
Найдем наинизший энергетический уровень. По
определению
mfo^O, я+т|)0 = 0, (3.39)
#Фо - е0фь = («+я + 1/2) ф0: (3.40)
Из формул (3.39) и (3.40) следует, что минимальная
энергия осциллятора 80=1/2. Поскольку ранее было
показано, что разность между соседними СЗ гамильтониана
равна единице, то для энергетического спектра
осциллятора в обычных единицах получаем
?.-(»+т)
ЙО).
С помощью операторов а+ и а можно определить и вид
волновой функции:
57

Нормировочной множитель А определяется из условия
\VAQ)dQ = A2](r-VilQ = A2Vn=l,
А'=п-ч\
Так как оператор а+ уже нормирован соотношением (3.37),
то и ВФ получим сразу в нормированном виде:
• р=(й+)лФо = Ф„,
Ъ = (2-.nl ylF^(Q-£)V<^
ф„ = (2» • п! ^л)12 Нп (Q) ег<?*,
где #„ (Q) — полиномы Эрмита, определенные в п. 3.11.
Матричные элементы операторов Р и Q также могут
быть вычислены с помощью операторов й и d+:
a^n=Vn +1я|з„+1,
i<n+l|Q-/P|n) = ^T+T, (3.41)
±(n+l\Q+iP\n) = 0. . (3.42)
Из этой пары уравнений (3.41), (3.42) получим
(п+1\й\п)^Шг {п+цр\п) = ^Щ±, (3.43)
и аналогично для (n\Q\n + l)y (n\P\n + l); при этом
легко проверить, что матрицы Q и Р эрмитовы.
13. Использованный в п. 3.12 метод факторизации*
можно применять для отыскания спектра любого эрмитова
оператора, собственные значения которого ограничены
снизу. Изложим метод в общем виде.
Представим оператор Л, спектр которого требуется
найти, в виде
где число Ях следует выбрать наибольшим (в противном
случае ВФ, полученные методом факторизации, будут
58

ненормируемы). Положим
и представим А2 в виде
А 2 = й^йо + Я2 (Я2 > Яг),
Я2 также выбирается максимальным. В общем случае
А п = йя+i<W + ^л+1 = йй«« + ^« (Vu > К)- (3.44)
Пусть *ф — нормированная СФ Л^
Положим
1
(ф1» Фх) = (<ЭД>. а^) = (i|), dfdi-ф) = К - V
Так как скалярный квадрат любой функции
неотрицателен, то К^К1а По индукции
1=1
Поэтому либо К равно одному из
Kh либо К>Кп, Если с ростом п
в формуле (3.45) Кп неограниченно
возрастает, то спектр А полностью ц |
дискретен. Если* же при любом п °
К^К то спектр Л непрерывен Рис- 1а
при Я>Л и дискретен при Я<Л.
Так как по способу получения К+i^K* то СЗ
оператора А получаются в порядке возрастания.
14. В качестве примера применения метода найдем
энергетнческиц спектр частицы в поле (рис. 10)
{/(*) = —f/0ch-2(x/fl).
Гамильтониан частицы в таком поле имеет вид
*=Ai-Jr-afe=«4+** <3-46>
59

Выбирая оператор ах в виде
*-fo+**'m
найдем р из условия максимальности А*:
а/а = ^~ fp3 — -Шг-\—i— В
1 х 2т V V2ma)ch*(x/a) K
Сравнивая с (3.46), найдем уравнение для р:
Выбирая наименьший корень уравнения, имеем
Аналогично, полагая
находим, используя (3.44),
77= (Р« + P/i+l) + (К ~ ^n+l) = О,
CL У £Ш
(Р£-Р£+,) + (Я„-Я„+1) = 0.
Из этих уравнений следует соотношение
Так как Лп = —р„, находим энергетический спектр
где п ограничено условием (так как должно быть K+i>
Ж)
Заметим, что если в (3.47) возможно равенство, т. е.
параметры потенциала таковы, что один из уровней
дискретного спектра имеет (формально) нулевую глубину, то
из формул (3.13) следует, что при таких значениях £
надбарьерное отражение в поле с потенциалом
U(x) = — U0ch-2(x/a)
60

отсутствует при любых значениях энергии падающей
частицы. Формула (3.13) применима и для £/0<0.
15. Рассмотрим движение частицы в поле с
периодическим потенциалом
U(x) = q 2 Ь(х + па).
Поскольку потенциал не обращается в нуль на
бесконечности, решения УШ с таким потенциалом могут
существовать и- не при всех значениях £>0. В интервале
F\
' Рис. 11.
(ХЖаУШ описывает свободное движение, и ВФ,
согласно (3.4), имеет вид
я]) (х) = Ае*** + Be~ikx. (3.48)
На основании теоремы Блоха имеем
я|) (х+а) = eiYM (Аеш+&-»*). (3.49)
Сшивая решения (3.48) и (3.49) с учетом требований
непрерывности функции и заданного скачка производной,
получим систему двух линейных уравнений для А и 2J.
Для того чтобы эти уравнения имели нетривиальные
решения, необходимо выполнение условия
cosxa = Y^—\- coska,
(3.50)
где введено обозначение y = tnqal%2.
Функция F (ka) в правой части уравнения (3.50)
изображена на рис. 11. Очевидно, равенство возможно только
при значениях ka таких, что \F(ka)\^l. Такие области
отмечены толстыми линиями на оси ka. Непрерывный
спектр разбивается на ряд ограниченных областей —энер-
61

гетических зон. К точкам &а = пп справа примыкают
запрещенные зоны —области, в которых \F(ka)\^l. С ростом
энергии запрещенные зоны сужаются: левая часть (3.50)
принимает значение (— 1)Л, когда
cos(£a — <p) = (— l)recos<p, tg<p = ^,
т. е. при ka = nn и при £а = шт + 2<р. Отсюда следует,
что ширина запрещенных зон A=2arctg^. При
больших п
пп
16. Собственные функции операторов р их не
принадлежат классу IA Поэтому они не описывают
физически реализуемые состояния частицы; эти СФ следует
рассматривать как базисные функции, образующие полную
систему в смысле соотношений (1.15), (1.16). Поскольку
в физически реализуемых состояниях значения р и х
описываются некоторыми распределениями вероятностей,
наряду со средними значениями р, х представляют интерес
и вторые центральные моменты — дисперсии этих
распределений. Дисперсию величины А
АЛ*=^!(Л-Л)2|<ф> (3.51)
можно рассматривать как меру неопределенности ее
значений. Дисперсии значений величин, которым соответствуют
некоммутирующие операторы, связаны с коммутатором
этих операторов:
[х, y]=iA. (3.52)
Рассмотрим среднее значение оператора i+L> где
L^x + iyy-ix + iyy),
операторы х и у эрмитовы, а у — действительный
параметр. Собственные значения оператора L+L неотрицательны
(см. задачу 1.15), поэтому неотрицательно и среднее
значение:
<^ IК^ — ^) — t"Y (i/ — 1/)] [(х — х) + tV (i/ — /7)1! ^> S^ 0,
(q\TM*+y2J£ifi + iy[x, yj|ip>3*0.
62

Используя равенство (3.52), отсюда находим
Поскольку это неравенство выполняется при любом
значении у, то дискриминант трехчлена неположителен, т. е.
Л2~4даД^^0.
Итак, имеет место неравенство
Д^Д^^Л2/4. (3.53)
Это выражение называется соотношением
неопределенностей Гайзенберга. Отметим, что для его вывода
необходима эрмитовость операторов ху у. Поэтому соотношение
(3.53) неприменимо для состояний, которые описываются
собственными функциями операторов х или у.
Коммутатор операторов координаты и компоненты
импульса в декартовых координатах пропорционален
единичному оператору:
[ри **] = — *Й.
Поэтому в любых состояниях, описываемых ВФ из L2,
будет выполняться соотношение неопределенностей
Ар2Дх2^й2/4. (3.54)
В классической механике значения р и х определены
одновременно. В этом смысле состояния, наиболее близкие
к классическим, будут описываться ВФ с минимальным
произведением неопределенностей. Им соответствует знак
равенства в формуле (3.54). В силу неотрицательности
СЗ оператора UL такие состояния должны описываться
СФ оператора L с собственным значением, равным нулю.
Отсюда получаем уравнение
(*+У*а)ф = **. * = *+'№• (3.55)
Нормированное решение уравнения (3.55) имеет вид
tw«-» ехрГ-^-ме].
2^2лДх* L 4Дх* П] (3.56)
63

Оператор в левой части (3.55) лишь размерным мно-'
жителем отличается от оператора уничтожения а для
гармонического осциллятора, введенного в п. 3.6. Таким
образом, состояния с ВФ (3.56) могут быть определены
уравнением
где Я —произвольный комплексный множитель. Состояния,
описываемые ВФ, удовлетворяющими этому уравнению,
называются когерентными состояниями* гармонического
осциллятора.
ЗАДАЧИ
1. Найти общие СФ гамильтониана свободного движения Й0 и
оператора инверсии А.
2. При отражении от прямоугольной стенки ВФ при х < О можно
представить в виде
gift* -L. g-< (kx+б>#
•Найти зависимость б от £.
3. Доказать, что коэффициент прохождения D (£) не зависит от
направления падения.
4. Найти D(E) в поле U{x)=q6(x).
5. Найти D (Е) в папе
, U (*) = - U0ch* p [th (x/e + p)-th PP,
где £/0>0, р>0.
6. Найти D (Е) в поле
1/(х) = —С/о(х/а)«.
Результат этой задачи дает хорошее приближение для D (£) при
значениях энергии Е, близких к максимальному значению
потенциальной энергии U (х), в произвольных гладких Потенциалах
(ср. (3.13)).
7. Доказать, что в поле с четным потенциалом U (х) ВФ
дискретного спектра либо четны, либо нечетны.
8. Найти условие, при котором энергии связанных состояний
в поле с потенциалом yV {x) будут возрастающими функциями у.
9. Вычислить отличные от нуля матричные элементы операторов
ф3, О4 между ВФ стационарных состояний гармонического
осциллятора. Воспользоваться соотношением
Задачи 3.10—3.12 могут быть решены как методом факторизации,
так и приведением УШ к гипергеометрическому виду.
10. Найти дискретный спектр частицы в потенциале Морза
64

И. Найти спектр частицы в поле
12. Найти спектр частицы в поле
13. Доказать, что в поле с потенциалом
при Uvrna~ > й2 связанных состояний нет.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 3.8 и осцил-
ляиионной теоремой.
В предыдущих задачах и в тексте мы рассматривали решение
УШ исключительно в координатном представлении. Это объясняется
структурой гамильтониана Я: кинетическая энергия квадратична по
импульсам, и при любом V (х) мы получаем дифференциальное
уравнение 2-го порядка. Напротив, потенциальная энергия U (х)
содержит, в общем случае, произвапыю высокие степени х, что при
переходе в импульсное представление Ix—iH^r-j приводит к
дифференциальным уравнениям высокого (или неограниченного) порядка.
В общем случае УШ в импульсном представлении может быть
записано как интегральное уравнение. Решение этого уравнения в явном
виде тоже возможно лишь в небольшом числе случаев.
14. Найти нормированные ВФ стационарных состояний в
импульсном представлении для частицы в однородном поле
U(x)=Fx.
15. Найти нормированные ВФ стационарных состояний
гармонического осциллятора в импульсном представлении.
16. Найти спектр частицы в поле
t/(x)=co (*<0), V{x)^-~ (х>0),
решая задачу в импульсном представлении.
17. Найти спектр частицы в поле —qb (x), решая задачу в
импульсном представлении.
18. Найти произведение дисперсий Ах2 Ар2 для я-го состояния
гармонического осциллятора.
19. Найти все СЗ и СФ оператора Фурье Р
£/(x)=—Lr [ Jx*'f(x')dx'.
У 2я J
— СО
х
3 П. В. Елютии, В. Д. Кривченков

Глава 4
МОМЕНТ
0. Для построения явного вида оператора момента
импульса мы могли бы воспользоваться правилами
сопоставления, изложенными в п. 2.1. Однако в квантовой
механике момент импульса не есть, вообще говоря,
оператор, выражающийся только через х* и р* и
действующий только на функции координат. Поэтому мы вначале
установим коммутационные соотношения между
компонентами оператора момента. Для этого мы используем связь
между операторами проекций момента и унитарными
операторами, осуществляющими преобразование поворота
системы координат. Эти коммутационные соотношения
справедливы как для оператора орбитального момента,
выражающегося через xt и pk9 так и для спинового
момента, не имеющего классического аналога. Затем на
основе коммутационных соотношений мы найдем спектр
оператора момента и его явный вид в различных
представлениях.
1. Пусть в каждой точке «неподвижного» пространства
определена некоторая функция *ф(л:, у, г). Рассмотрим две
декартовых системы координат 2,2'. Система Б'
получена из Б путем поворота вокруг оси г на угол <р.
Сравним значение рассматриваемой функции в двух точках
«неподвижного» пространства, координаты которых в
системах Б и 2' имеют одно и то же значение (х, у, г).
Под «неподвижным» пространством мы понимаем
некоторую систему координат, отличную от Б и Б', Обозначим
через 1|Л(л:, у> г) и t|)(x, у, г) значения функции в
системах Б' и Б. Очевидно, что
У'(*t У* г) = ф(хcosq> — jfsinф, xsincp+f/coscp, г). (4.1)
Так как выбор системы координат не меняет
нормировки ВФ, то преобразование функций осуществляется
унитарным оператором. Для того чтобы установить вид
66

оператора #+(ф), который функции ty(x, у, z) ставит
в соответствие функцию г|/ (х, у, г), рассмотрим
бесконечно малый поворот на угол rf<p. Сохраняя в (4.1)
только линейные по dq> члены, имеем
Ц'(х, y,z)p&ty(x-ydy, xdy + y,z) = (l + itzdy)i)[>(x,y,z).
Здесь введено обозначение
iz^ft^ixpy-ykx}*
которое соответствует оператору г-проекции момента
импульса, построенному по правилам п. 2.1 и деленному
на Й. Легко убедиться, вчто при повороте на конечный
угол <р получим
Ч>' (х, У, z) = /'*фф (х, j/, z). (4.2)
Таким образом,
&+(ф)==Аф.
2. Рассмотрим некоторый векторный оператор А,
действующий на функции координат i|?(a:, у, г). Потребуем,
чтобы компоненты АХ9 Ауу Аг имели один и тот же вид
в системах Б' и Б. Разумеется, средние значения
оператора А, вычисленные в системах Б', Б, должны
совпадать, если рассматривать их из «неподвижного»
пространства:
№'*(*> У, г)(Ал' + Ад' + А#)ф(х, у, z)dr =
= \ Ф* (х, У, г) (A J + Ау\ + Azk) ф (*, у, г) dr. (4.3)
Рассмотрим следствие этого равенства. Поскольку орты
систем Б, Б' связаны соотношениями
i' = i cos<p + jsin<p,
j' = — i sin ф + j cos ф, (4.4)
k' = k,
а функции i|/(x, #, z) и i|?(a\ j/, г) связаны унитарным
преобразованием (4.2), то, подставляя (4.2) и (4.4) в (4.3),
получим
. №Ajra& = Ах cos ф - Ау sin ф,
faAjT6** = Ах sin ф + Ау cos ф, (4.5)
№А/га*=А..
3* 67

Рассматривая бесконечно малый поворот и раскладывая
левые части равенств (4.5), находим коммутационные
соотношения
\}г* Ах\ = lAy*
[L Ay] = -iAX9 (4.6)
[L Az] = 0.
Аналогичным путем можно получрть л коммутационные
соотношения между компонентами Ах, Л„, *AZ и операто-
рами lxt ly.
3. Итак, мы получили коммутационные соотношения
(4.6), основываясь на следующих требованиях:
а) ВФ при переходе от 2 к 2' преобразуется согласно
<4'2>; ft t я
б) компоненты векторного оператора АХ9 А„9 А~ имеют
один и тот же вид в различных системах 2, 2';
в) векторы среднего значения векторного оператора А
в системах 2 и 2' совпадают для наблюдателя в
«неподвижном» пространстве.
Можно перейти к другому представлению, в котором
координатная ВФ при переходе от 2 к 2' не меняется,
а сами векторные операторы преобразуются как векторы.
Переход к такому представлению в случае поворота на
угол ф вокруг оси z осуществляется оператором О (у):
е '*>'(*, у, г)=ф (х, у, г).
При этом
или, используя формулы (4.5),
Ах = Ах cos ф + Ay sin ф = е-/^Лл/л
А'у = — Ах sin ф+Ау cos ф =Гй^к^й^%
A'z = Az = e-il**A/1**.
Разумеется, переход к новому представлению
осуществляется унитарным оператором, поэтому коммутационные
* соотношения (4.6) не изменяются. Такое представление
удобно для нахождения интегралов движения. Заметим,
68

что оператор Л2 есть инвариант по. отношению к
поворотам:
Следовательно,
[lh Л21 = 0. * (4.7)
Если оператор Гамильтона имеет вид
то при вращении вокруг произвольной оси, проходящей
через начало координат, он сохраняет свой вид.
Следовательно,
[/„//] = О,
и операторы U являются интегралами движения.
Отметим, что представление, рассмотренное в п. 4.2,
аналогично представлению Шредингера — используются
инвариантные операторы и преобразующиеся функции,-
а представление, рассмотренное в п. 4.3, аналогично
представлению Гайзенберга — используются инвариантные
функции и преобразующиеся операторы.
4. Пусть At суть компоненты векторного оператора,
действующего на функций координат. Операторы //,
удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[lu A^mjkAk* (4.8)
[lh ij] = ieiJkik, (4.9)
называются компонентами оператора орбитального
момента. Далее, из (4.7) следует:
\lh /*] = <>. (4.10)
Разумеется, (4.10) можно получить и как
непосредственное следствие из (4.9). Имея в виду дальнейшее
обобщение, рассмотрим спектр векторного оператора момента/,
компоненты которого, удовлетворяют соотношениям
Оператор квадрата момента J2 коммутирует с каждой
из его компонент. Следовательно, существует общая
69

система СФ
Операторы Jt и /л (i ^ k) не коммутируют и общей
системы СФ не имеют. Найдем спектры операторов /2 и fz.
Введем операторы
А А А
J + = Jх ~Т ™у>
А А А
Рассмотрим коммутатор [Jz, J±]:
АА АЛ ГА Л1 1Л Л1 А А
h U±<t>W) = (И± 1) (/±*Y|i)"
Следовательно, /±^Yn СУТЬ также СФ J2 с собственным
значением jx±l, т. е.
А
А
Так как
то подбором фазового множителя вида е*а (а —
действительное) для функций фш можно сделать с^
действительным и равным 0^. Тогда
Л** hji = °ИЧи» *MV = °WPv. h-1- (4.11)
Так как
T«(*w [^+^+^]^) = fi2+a + 6,
(норма любой функции неотрицательна), то
При фиксированном у значения jx ограничены сверху
и снизу. Пусть Л и Я есть соответственно наибольшее
70

и наименьшее значения [i при заданном у:
Используя операторные равенства
Л Л Л Л А. ^ _
J-J+ = J2-Jl-Jz, (4.12)
^+/- = ^2-Л + Л, (4.13)
действуя (4.12) на ^vA и (4.13) на ф^я, получаем
у-Л2-Л = 0, y~^2 + ^ = °.
(Л-Я+1)(Л + Я) = 0.
Так как по условию Л^Я, то
Л = — Я = Л
Отсюда получаем
Y = '('+!).
При заданном у проекция момента р принимает 2J+1
отличающихся на единицу значений: от J до —J.
Поэтому разность
Л-Я-2У
должна быть целым числом.
Таким образом, собственные значения проекции
момента Jz (мы будем обозначать их буквой М) суть
целые,
M=k (£ = 0, ±1, ±2, ...),
или полуцелые,
Л1 = Л+1/2 (А = 0, ±1, ±2, ...),
числа. Заметим, что состояние с заданным y~J(J+l)
вырождено с кратностью 2/ +1 по значениям проекции
момента М. 3hro есть частный случай установленного
в п. 1.18 правила: операторы /, и Jk коммутируют с Р,
но не коммутируют между собой. Под «состоянием
с моментом J» мы будем понимать состояние с у = J (J + 1),
в котором максимальное значение проекции момента
есть J. Такие состояния будем обозначать tyj м или
\JM).
5. Найдем матричные элементы операторов /*, Jy
в представлении, в котором J2 и 2Ж диагональны. Из
71

(4.11) и (4.12) имеем
'/(У+1)-(М-1)2-(М-1)-а2ль
сеж = W + M)(J-M + l). (4.14)
Подставляя (4.14) в (4.11), получаем
Л*л ж-1 - V(J + М) (J - М +1) Ь. м.
Следовательно, матричный элемент оператора У+ есть
(jn\j+\j, M-i)=V.(J+M)(J-M + i)6jf9M.
Аналогично
(JN | /_| J, М)=VV + M)(/-M + 1) 8*.дм.'
Используя определения операторов J.b, J__, находим
<J, м|Л|Л М-1)-|К(7+7Щ7=^й[ТТ),
(JrM\jy\j, M-l) = -^V(J+M)(J-M + l).
6. Из коммутационных соотношений (4.8) следует,
в частности,
Таким образом, существуют общие СФ операторов \г —
проекции момента на ось z и pz — проекции импульса на
ось г. Гамильтониан свободного движения
может быть представлен как квадрат векторного
оператора. Поэтому существуют общие СФ операторов Я0, /2
и /*. Свободная частица может находиться в состоянии
с определенными значениями £, /, /п. Через т мы здесь
и всюду в дальнейшем будем обозначать проекцию
орбитального момента на' ось z.
Рассмотрим оператор орбитального момента одной
частицы в сферических координатах г, 6, ср:
z =; г cose, у = г sin 6 sin <p, x = rsin8cosq>. (4.15)
-72

Пусть Ф(/% б, ф) —ВФ частицы в системе 2; Ф' (г, б, ф) —
ВФ частицы в системе 2\ При повороте системы
координат на бесконечно малый угол вокруг оси г
Ф'(г, 8, ф) = Ф(г, б, ф + 6а) = Ф + 6а*?,
Ф'.(/\ б, <р) = (1+*4ба)ф(г, б, ф).
Из сравнения правых частей этих равенств следует:
g-rf/D, l = -/|. (4.16)
При повороте системы координат на бесконечно малый
угол вокруг оси х
•>.•.»>-<» + ««(?£+£Й)' (4Л7,
Ф' (г, б, ф) - (1 + йхЬа) Ф (г, б, ф). (4.18)
Так как при таком повороте
г' = г + */6а, #' = # —гба, х'=х,
то из формул (4.15) получаем
г cos (б + с/б) =- г cos б + г sin б sin ф 6а, (4.19)
г sin ф sin (б + db) = г sin б sin ф — г cos б 6а. (4.20)
Первое из этих соотношений дает
— sin б db = sin б sin ф 6а,
£ = -sin<p. (4.2I)
Из соотношения (4.20) получаем
cos 6fsin ф dB + sin б cos ф б?ф = — cos 0 6tf,
cos ф sin б -^ = — cos б — cos б sin ф ^.
* Подставляя сюда (4.21), имеем
3~ = -ctg6cos9. (4.22)
Подставляя (4.21) и (4.22) в (4.17) и сравнивая правые
части (4.17) и (4.18), находим
?,«i(sinfp^+ctgecosq)^).
73

Рассматривая поворот вокруг оси у, получаем
^==1\(_со8ф^4^б8тф^~).
Отсюда находим и явный вид операторов /±, Р:
Последний оператор с точностью до множителя есть
угловая часть оператора Лапласа.
l/b = mO = — i-:
7. Рассмотрим СФ оператора проекции орбитального
момента. Из (4.16) получаем
.дФ
откуда
Ф-^*-. (4.24)
где значения т, в силу коммутационных соотношений,
могут быть как целыми, так и полуцелыми. Потребуем
эрмитовости оператора lz\
2я )2п \*
о \ о /
Таким образом, оператор lz будет эрмитов на классе
функций, удовлетворяющих условию
Г*(2я)=/**(0). (4.25)
СФ lz принадлежат классу L2(0,2я) и удовлетворяют
условию эрмитовости (4.25). Этому условию удовлетворяют
также любые дифференцируемые ВФ, разложимые по
Фт(ф):
^(Ф) = £а/Л Л «О, ±1, ±2, ...;
ь
о(ф)=2ьл k=±\, ±Т' •■■•
только с целыми или только с полуцелыми значениями т9
но не комбинации функций F и G. Выбор возможных
значений m делается на основе сравнения с .экспериментом.
74

Величина проекции орбитального момента может
принимать только целочисленное значение (в единицах К).
Рассмотрим общие СФ операторов lz и /Ч Из (4.14)
следует:
По индукции легко показать, что
Полагая l — k — my получаем
По определению
Используя (4.23), подстановкой
получаем уравнение
^==/ctge.0„.
Отсюда
0,/ = Л sin'6.
Определяя постоянную А из условий нормировки, получаем
е„=(- iy УЩ^ шsin'e- <4-27>
Формулы (4.24), (4.26) и (4.27) полностью определяют
вид собственных функций оператора Р — сферических
функций
v--гё**(-'г'VtfZZ*^(cos">• <4-28>
где Pj" (cos б) — присоединенные полиномы Лежандра:
р? (cos е) - ^ sin- e ^J^, (cos* e - \у.
75

Мы будем использовать также обозначение Hf (cosG)
д,дя нормированных присоединенных полиномов Лежандра:
• да<со5в,=/ёЩ^Р?<со5е).
8, Оператор инверсии А введенный в п. 1.2 для
одномерного случая, меняет знак всех координат:
Ар(*. Ух г) = ф(— х9 — у, —г).
При инверсии правая и левая системы координат
переходят друг в друга. Определенный таким образом onepaV
тор Р эрмитов и унитарен. В силу равенства
Р2 = 7
СЗ оператора инверсии равны ±1. СФ оператора Р
называются четными при Р=1 ц нечетными при Р =—1.
В нерелятивистской квантовой механике гамильтониан
замкнутой системы при дискретном унитарном
преобразовании инверсии остается инвариантным:
Л. А. А. А Л. А. Л
РНР = Р 1НР = Н.
Поэтому гамильтониан коммутирует с оператором
инверсии. Следовательно, четность состояния является
интегралом движения.
Оператор инверсии Р коммутирует и с каждой
компонентой оператора орбитального момента
1А У=о.
Следовательно,
[А У-о.
Пусть if —общая СФ операторов Р, Р и 1г. Тогда из
последнего равенства вытекает, что четности состояний,
отличающихся только значением проекции орбитального
момента, совпадают.
Определим четность состояния одной, частицы с
моментом /:
Н{г, 8, ф) = -ф(г, я-6, я+ф).
Зависимость ВФ от углов определяется СФ момента (4.28):
\j) = Pf (COS8)£>**4>,
Рф = pf (_ Cos 6) e*«V»4> = (—iy-m Pf (cos 6) (—1)» eim{».
76

Таким образом, четность состояния частицы
Р-(—1)' (4.29)
совпадает с четностью значения ее орбитального момента.
9. Некоторые частицы, кроме орбитального момента,
обладают собственным моментом — спином s, не связанным
с движением в пространстве. Коммутационные
соотношения, выведенные из рассмотрения бесконечно малых
поворотов системы координат, справедливы и для векторного
оператора спина
[sh Sj]^iEijksk. (4.30)
Сохраняются для спина и все формулы, полученные
в пп. 4.4, 4.5: для их вывода использовались только
коммутационные соотношения.
Спектр проекций спина есть последовательность целых
или полуцелых чисел, отличающихся на единицу.
Собственные значения квадрата спина суть
s2ij?s-s(s + l)^.
При заданном s компонентам может принимать 2s+1
значений от —s до +s.
ВФ частицы со. спином зависит не только от
непрерывных переменных г (или р), но и от дискретной
спиновой переменной' а, указывающей значение проекции
спина на выбранную ось г. ВФ частицы со спином V (г, а)
можно разложить по СФ с заданной величиной проекции
спина:
¥(г, <т)= iS Ыг)х(°).
Спиновые ВФ 5С(а*) ортогональны при Oi^Gk. Функции
■фо(г)5С(а) называют компонентами ВФ частицы со спином,
функцию i|)0(r) называют орбитальной ВФ или просто
орбиталью. ВФ частицы нормирована условием
2 1*.<г)|-1.
10. Коммутационные соотношения (4.30) позволяют
определить явный вид операторов спина — матриц,
действующих в пространстве СФ оператора проекции спина.
77

Многие элементарные частицы (в том числе электроны и
нуклоны) обладают спином 1/2. Проекция s может
принимать лишь значения + 1/2 и —1/2 (в единицах й).
Матрицы операторов sx, sy, £г в пространстве собственных
функций s2, sg имеют вид
Л _ ! 1° Ч Л L 1° —'I c^-Ll1 °1 /4оп
S*~2|l 0|' Sy~ 2 \i 0|' ^ — 2(0 *-l\' l4-^1/
Матрицы a£ = 2s,- называют матрицами Паули. Их свойства
рассматривались в задачах к главе 1. В частности,
о? = /, о&ь = — а^. (4.33)
Пусть сферически-симметричные ВФ частицы ^ =
= *(г, +1/2) и *2 = *(''» —1/2) различаются лишь
значениями проекций спина. Значения вероятностей
проекций спина определяются квадратами норм этих функций
|*i. г II2. Очевидно,
I*iP+I*iP=!.
А.
Так как собственными функциями sg являются двухком-
понентные величины
— 14 I о |
%Х I 0 I > Л2 I 1 I'
то ВФ частицы со спином 1/2 можно представить в виде
V = ftXi+fcfc = |*|.
В дальнейшем мы не будем рассматривать зависимость V
от координат и заменим % и *ф2 числами.
Рассмотрим преобразование компонент ВФ частицы
при переходе к повернутой системе координат. Пусть ^¥
есть ВФ системы в некоторой декартовой системе 2.
Найдем вероятности значений проекции спина на
некоторое направление в пространстве, которое примем за ось г9
в системе 2'.
Мы имеем два различных подхода к решению этой
задачи. Во-первых, можно предположить, что компоненты
спиновой функции V не меняются при переходе от 2
к 2', а оператор s меняется как вектор. В этом случае
для того, чтобы определить вероятности значений проек-
78

ции спина на ось г' в системе 2', надо найти
нормированные СФ оператора sz и разложить W по этим СФ.
Квадраты модулей коэффициентов в разложении и дадут
искомые вероятности. Найдем унитарный оператор #+(ф)
для поворота на угол <р относительно оси г. В принятом
представлении имеем
s'x = sx cos ф + sy sin ф = er^s^^f
s'y = — sx sin ф+sy cos ф = er^Syeu-v, (4.34)
s'z = sz = er l^sz = e1^.
Рассматривая бесконечно малый поворот и учитывая
коммутационные соотношения (4.30), найдем, что L=*sz.
Можно перейти к другому представлению. Пртребуем,
чтобы при переходе от 2 к 2' вид операторов ^
оставался неизменным, а компоненты спиновой функции
изменялись. Переход к этому представлению есть унитарное
преобразование
V+s'l/ = s, (4.35)
kl v kr {q-6b)
Из (4.34) и (4.35) имеем
Используя последнее равенство и формулу (4.36), получаем
|*H-^v|*i|
1«1~~в кг
Оператор поворота Pj(«p) можно найти и в явном виде,
используя явный вид оператора sz и свойство матриц
Паули (4.33):
Ыф/2 0 |
О е—1ф/2 Г
vt(4>) =
IK Произвольная 'система координат 2' может быть
получена из 2 последовательными поворотами на угол ф
вокруг оси г, на угол 8 вокруг нового положения оси х
и на угол ij? вокруг нового положения оси г (рис. 12).
79

Параметры q>> e» Ф*) называются углами Эйлера.
Поскольку вид операторов s£ в выбранном представлении
одинаков во всех системах
координат, матрицу преобразования
можно найти простым
последовательным перемножением
матриц:
д 1/+(ф,^) = П»)П(б)П(ф).
Явный вид матрицы Ух(Щ
легко найти:
Рис. 12.
ГС(в):
cos (6/2) е sin (6/2) 1
г sin (в/2) cos (6/2)1*
Результирующая матрица имеет вид
V+(*f G, Ф) =
cos y * в £
,.^-ф
* sin -у • е
. . 6 '
е sm у • е
6
cos к- • е
—*
ф+^
(4.37)
Таким образом, при произвольном повороте системы
координат
6 i
Ф + Ф
^i = ^iCOSy.e 2 +/ihsin-2--e
,*-ф
,-ф—Ф
ф+*ф
44 «ill?! sin у-е" 2 +^cos|--e * 2 .
Повороту системы координат в трехмерном
пространстве соответствует линейное преобразование в
пространстве Е3 двухкомпонентных спиновых функций. Оно не
сводится к «повороту осей» в пространстве Е3, так как при
таком преобразовании должно оставаться инвариантным
произведение векторов — спиновых функций:
<<р' IЮ = <<р! ♦>=ф?%+«tffc.
Из (4.37) следует, что это равенство не выполняется.
Однако при преобразовании (4.37) остается инвариантной
*) Обозначение *ф для угла не смешивать с обозначением
волновой функции.
80

величина
{ср, ФНяЬфз-'фгф!.
(4.38)
Линейные преобразования, оставляющие инвариантной
такую билинейную форму, называются бинарными. Двух-
компонентная величина, для которой поворот системы
координат есть бинарное преобразование, называется
спинором первого ранга или просто спинором.
12. Рассмотрим спиновую ВФ системы двух частиц
со спином 1/2. Общие СФ операторов ts2 и tsz (индекс
/ = 1, 2 нумерует частицы) имеют вид
Введенные обозначения для СФ оператора проекции sz
частицы со спином 1/2 мы будем использовать в
дальнейшем. Для описания системы двух частиц удобно
использовать СФ оператора полного спина S, определенного
соотношением
Найдем нормированные общие СФ операторов S2 и Sz.
Мы будем обозначать их как \S, а). Очевидно, такие
функции будут линейными комбинациями произведений СФ
операторов £s2 и Д~:
!++> =
1 ^' |li 0 а' !
!+-> =
01
01
lis"
(4.39)
Функции (4.39) ортонормированы. В состоянии | + +)
S^=l. Это состояние описывается СФ оператора
<S2=1s2+21s2s + 2s2.
Докажем это:
S21 + +>=-| i + +> + 2(1s.v.2i + 1s^2sz/+1s,.2s,)i++>.
Во втором слагаемом в правой части-отличный от нуля
вклад дает лишь оператор iS^-2s«, что легко проверить
* непосредственным вычислением. Итак,
S31 + +> =.21 + +> = 1 (1 +1) | + +>.
81

Состояние | + +) есть состояние с полным спином S = l
и проекцией сг=1. (Выше она обозначалась как |1,1>.)
Введем оператор
Л. А А
Поскольку [S_, S2] = 0, состояния (S.)k |1, 1) также будут
описываться СФ оператора S2:
5-| 1, 1> = $_| + +> = 1/2| + - > + /2|-+>;
в этом состоянии S* = 0; из условия нормировки
„.о>-1±=*#=±*.
Далее,
5-| 1, 0>Н > + | > = а|1, -1>.
Нормируя, получаем
II, _i>=|_,_>.
Существует еще одна линейно независимая от |1, 1>,
|1, 0) и |1, —1) комбинация функций (4.39). Ее можно
найти из условий ортонормированности:
^ = l±^b±z+>. (4.40)
Легко убедиться в выполнении равенств
Следовательно, функция ifo===: 10, 0> описывает состояние
системы с полным спином, равным нулю. Состояние
системы двух частиц со спином 1/2 и с полным спином
S = 0 называется синглетным, а трехкратно вырожденное
по значению проекции Sz состояние с S=l называется
триплетным. Из (4.38) следует, что ВФ состояния с S==0
остается инвариантной при поворотах осей, т. е. является
скаляром.
13, Полный момент частицы j складывается из ее
орбитального и спинового моментов:
л. л. л.
А. А
Поскольку операторы I и s действуют в разных
пространствах, они коммутируют. Поэтому выполняются
82

соотношения
l/ь //] = *W*. I/* ^1 = °. lb s2] = 0. (4.41)
Из (4.41) следует, что существуют общие СФ операторов
/2, jg9 /2. Найдем спектр проекций полного момента для
частицы со спином s= 1/2. Рассмотрим состояние с
максимальной проекцией полного момента
* = *i|J| = |/. U +>. (4.42)
/гФ = (*+1/2)ф, /-/+1/2.
Введем оператор
А Л. Л. Л. [П 01
./--L+s.-L + i; J|. (4.43)
Учитывая (4.14), получаем
/-*,i|J| = V2/|/, /-1, +> + |/, /, ->.
Значения проекции полного момента в этом состоянии'
/, = (*-1)+1/2 = /-1/2.
Итак, оператор /_ уменьшает на единицу значения
проекции полного момента. В общем случае
л л. л. л
/* = /*+«*-is._.
Эта формула получается из разложения бинома, если
учесть (см. (4.43)), что si и все высшие степени я,
тождественно равны нулю:
h\u и +>=/ц/, /, +>+й*-ч«.'. ->•
Подставляя выражение для {/-)*, найденное в п. 4.7,
находим
Вводя m = / — ky получаем окончательно
tr-\l.u +>=j/^p|(, m,+> +
+ /T^+ol"'''-'"'"'m+1'->- <4-44>
83

Собственные значения проекции полного момента есть
последовательность чисел, отличающихся на единицу, от
/ = /■+-1/2 до / = / —1/2. Все построенные таким образом
состояния принадлежат тому же СЗ /2, что и | /, /, +),
поскольку [/_, /2| = 0:
/2|/, Л +> = (/2 + 2/s + s2)|/, /, +> =
/(/+1) = (/+1/2)(' + 3/2).
В правой части (4.45) отличный от нуля вклад дает только
член 244- Таким образом, полученные ВФ соответствуют
значениям / = /+1/2, /п;-==/п+1/2. Нормированные ВФ
имеют вид
ф|/ + |, гп + ^У =
= /^И, mf +> + ]/"^|/, т + 1, ->. (4,16)
Полное число линейно, независимых состояний ЛГ = (2/ +
-fl)(2s-f l) = 4/-f 2. Построенная система ВФ включает
(2/ + 1) === 2/ + 3 состояний. ВФ остальных 2/— 1
состояний можно получить из условия ортонормированности
14, Если две подсистемы взаимодействуют таким
образом, что момент }i каждой из' них сохраняется, то СФ
оператора полного момента
J-!i+l2
можно найти, как и в предыдущем пункте. Для
фиксированных значений Д и /2 имеется (2/\+1)(2/а4-1) орто-
нормированных СФ проекции полного момента Jz.
Функцию, соответствующую максимальному значению проекции
полного момента,
можно построить единственным образом. Следовательно,
J — h + h есть максимальное значение полного момента
84

системы. Применяя к функций
|/i + /«. /i + /a. /ь /*> = |/ь ii)-\h,h)
повторно оператор
АЛА.
j-=h-+U-
получаем все 2 (/j + j>)-\-1 ортогональных функций,
принадлежащих СЗ J — ji + k с различными М:
- (Л+ /sXAl< h + /,.
Так, функция, соответствующая значению Л1 = /i-f-/a—1,
есть
|/i + /a. /i + /a-l. /ь /2>=
Из условия ортонормнрованности легко получить
функцию, соответствующую J — jt -\- /2 — 1, М = /\ -+- /з — 1:
! Л + /а-Ь А+/а - 1, /i. /s> =
Применяя к полученной функции несколько раз
оператор J.., получим 2 (/! -j- /а — 1) — 1 функции,
принадлежащих J = ji + k~ 1- Повторяя эту процедуру, можно
построить все интересующие нас функции.
Легко проверить, что J может принимать значение
l/"i-/8|^</i + /a.
В самом деле,
max J
£ (2/ + 1) = (2/1+1)(2/,+1).
min J
Таким образом,
!А М9 /ь /2>= 2 (h^hmi\JM)\ju /иь /2, /я8>.
mt-{-mz~M
Коэффициенты (jimrfziih \ JM)> определяющие вклад
различных функций i/iW^'o/no) в СФ операторов J2, Jz с СЗ
J (J-\-l)9 M, называются коэффициентами векторного
сложения или коэффициентами Клебша — Гордана.
85

ЗАДАЧИ
1. Найти СЗ операюра J2 в состоянии с тахЛ1=/, учитывая
соотношение
Sp4=Sp/^Sp/|.
2. Пусть А—векторный оператор, удовлетворяющий соотношению
Доказать тождества
[j4a]=1([axJ]-[jaxa]),
[j\ [J«, A]] = 2(M+AJ2)-4JA(JA).
3. Доказать, что матричные элементы вектора А между функциями
с одним и тем же значением / пропорциональны соответствующим
матричным элементам оператора J:
{n'JM' | А | nJM)^K (nn'J) (JM' | J | JM).
4. Доказать равенство
{n'JM' | AJ \nJM) = K (nn'J) J(J+\) 6MM,-
5. Найти коммутационные соотношения [fzt Л;*], где Л,^
—компоненты антисимметричного тензора.
6. Найти коммутационные соотношения [/z, В;*]» где B^ —
компоненты симметричного тензора.
7. Найти спектр оператора JjJ2.
8. Найти 'ВФ свободного движения — общие СФ операторов #,
Л. Л
Р*> h-
9. Найти явный вид матриц // и унитарных операторов Uf(q>)
для / = 1.
10. Доказать, что для оператора скалярной величины £ отличны
от нуля только матричные элементы между функциями одинаковой
четности.
11. Наиболее общий вид спиновой функции частицы со спином
1/2 в s^-представлении есть
ф=е*а cos р | +)+e^'Y sin (31 —).
Найти сферические координаты <р, б такого направления в
пространстве, проекция спина на которое с достоверностью есть -f 1/2. Такое
направление называют направлением поляризации частицы со
спином 1/2.
12. Для операторов slf s2 спина двух частиц со спином 1/2 найти
спектр и матричные элементы оператора s^.
86

13. Доказать, что функция |/ь jl9 /3, /2) есть СФ операторов $2
и Jzy соответствующая значению /=/i+/V
14. Найти нормированные общие СФ операторов J3, Jz системы
двух частиц: /i=l, /а=А
15. Найти нормированные СФ операторов полного спина S2 и S-
системы трех частиц со спином 1/2. Отметим отличие от случая,
рассмотренного в п. 4.12: величина полного спина не определяет
однозначно спиновых ВФ.
16. Доказать равенство
е х Lze x = LzcosQ + LysmQ.
17. Показать, что операторы /+, /_ можно представить в виде
/_ = |/ 2/—а+я а, /+=£Г К 2/—ста,
где #*~, с —операторы Бозе. Найти вид /~ в этом представлении
(п^2/).

Глава 5
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ
0. Если взаимодействие двух частиц можно описать
потенциалом f/ (1 гх — га I), зависящим только от
расстояния между частицами, то задача о движении таких частиц
в квантовой механике, как и в классической, сводится
к задаче о движении частицы в
центрально-симметричном поле.
Лагранжиан системы двух частиц в классической
механике имеет вид
X-2eL + !!»L-U(\rl-tt\).
Введем вектор взаимного расстояния
и вектор центра инерции
p_fflIr1 + mara
Тогда
где
M = mi + m3, m =
mitnz
mi+/722
Вводя импульсы с помощью соотношений
dR дг
получим классическую функцию Гамильтона
Оператор Гамильтона для квантовомеханической задачи
получим, заменив Р и р операторами с коммутационными
88

соотношениями
\Pi, Я*1~
Н=-
— i№ik,
~2ЛГЛ*~
\Р;, rk]^ — ih8ik,
-&Ar + U(r).
Волновую функцию системы можно представить в виде
Ф(гь r2) = (p(RH(r), (5.1)
где ф(И) описывает движение центра инерции (свободное
движение частицы массы М), а яр (г)—движение частицы
массы т в поле U (г). В дальнейшем мы ограничимся
рассмотрением ВФ движения в центральном поле.
1. Уравнение Шредингера для стационарных
состояний в центрально-симметричном поле
b* + %-[E-U{r)№ = 0
в сферических координатах имеет вид
г* дг\Г дг)^ rHsine дв \ЪШ d6J^sin2e Лрз J ^
+ -gl[£-l/(r)H = 0. (5.2)
А.
Используя выражение (4.23) для оператора 1\ получим
Операторы I2 и L коммутируют с гамильтонианом Я (г),
поэтому существуют общие СФ операторов Я, /2 и /г. Мы
будем рассматривать именно такие решения УШ. Это
требование определяет зависимость яр от углов:
яр (г, 9, q>) = tf(r)K/m(Of ф),
где Yim (6, ф) определяется (4.28). Так как
i2Ylm = l(l+l)Ylm,
то для радиальной части ВФ R (г) получаем уравнение
Это уравнение не содержит значения /г = /п: при
заданном I уровень энергии Е соответствует 2/ + 1 состояниям,
различающимся значениями lz. Это вырождение является
89

следствием правила: энергетические уровни вырождены
при наличии у системы двух сохраняющихся некоммути-
рующих операторов. Для движения в центральном поле
такими операторами являются любые два из трех
сохраняющихся операторов компонент момента lX9 lyj lz.
Для состояний с различными значениями
орбитального момента приняты обозначения:
/ = 0 12 3 4 (5.4)
sp d f g
Число^ / — максимальное значение проекции момента —
называют азимутальным, а т —проекцию момента —
магнитным квантовыми числами.
2. Приведем эквивалентные формы дифференциального
оператора в уравнении (5.3):
* d (r2 dR\ __d*R 2 dR _\ d* , pv
г2 dr X drj^dr^^rdr^r dr* *ГА;#
Последнее вьфажение позволяет придать уравнению (5.3)
вид одномерного УШ (3.2); полагая
X(r) = r#(r),
получим
-g--^x+^[s-W]x=o. (5.5)
Однако, в отличие от случая движения на
неограниченной прямой, для уравнения (5.5) необходимо задать
граничное условие при г = 0. Рассмотрим вид ВФ при г-^0
для слабо сингулярных потенциалов:
lim(/(r)r2 = 0.
Тргда в (5.5) при малых г наиболее существенны первые
два члена. Подставляя %(r)p^rv9 получаем
v(v—!) = /(/ + !).
Это уравнение имеет корни
vx = /+l, v2 = —/. (5.6)
Требование нормированное™ ВФ несовместимо со
значением v = -*-/ при /^0, так как будут расходиться*
90

нормировочные интегралы
о
для дискретного спектра и не будет выполняться условие
(1.17) для непрерывного спектра. При / = 0 граничные
условия определяются из требования конечности среднего
значения кинетической энергии, которое выполняется лишь
при v= 1. Итак, ВФ частицы в слабо сингулярном
потенциале всюду конечна и при любых /
Х(0) = 0. (5.7)
3. Решение задачи о движении частицы в
центральном поле U (г) сводится к отысканию решений
одномерного УШ с эффективным потенциалом
vM-uv+egp.
и граничным условием (5.7). Второй член в (5.5)
называют центробежным потенциалом. В этой главе мы будем
рассматривать только состояния дискретного спектра.
В главе 3 мы видели, что для УШ на неограниченной
прямой с потенциалом (/(*), удовлетворяющим условиям
M<U(x)<09 {/+ = {/_ = <), (5.8)
всегда существует по крайней мере одно связанное
состояние. Для уравнения (5.5) даже в случае / = 0 это не так.
Пусть
M<U(r)<0, £/+ = lim£/(r) = 0. (5.9)
г-» со
Рассмотрим одномерное УШ с потенциалом U (| х \) = U (г).
В поле с четным потенциалом ВФ либо четны, йибо
нечетны: ВФ основного состояния %(х) не обращается
в нуль в силу осцилляционной теоремы, и поэтому
функция %(г) не удовлетворяет условию (5.7). Функция
первого возбужденного состояния tyi(x) нечетна, так как
имеет один только нуль; соответствующее решение tyx (г)
удовлетворяет условию (5.7). Таким образом, дискретный
спектр для радиального УШ (5.5) содержит хотя бы одно
значение, если дискретный спектр одномерного УШ с
потенциалом U(\x\) = U(г) содержит не менее двух
значений. Последнее условие выполняется не всегда.
91

4. Если монотонный потенциал притяжения t/(r)<0.
слабо сингулярен при r = 0 (UmU (r)r* = 0) и убывает
при г-^-оо быстрее, чем г~2,
то существует некоторое
предельное значение момента Л
такое, что при />Л связанные
состояния отсутствуют (кривая
d на рис. 13). Необходимым ус-,
ловием существования
дискретного спектра является
существование области /i<lr<r2, в
которой Vi(r)<0 (рис. 13, s и
р). Будем рассматривать / как
непрерывный параметр. С
ростом / корни п, г3 уравнения
Рис. 13. Vi (г) = 0 сближаются, переходя'
при / = Длг в двукратный корень
г0. Пусть U(r) = U0f(r/a). Тогда в точке г0 VA(r0) = 0,
VaW = 0, т. е.
-А-^Г. о»*
«О-
^)-=-™^. (B.H)
Разделив (5.10) на (5.11), получим уравнение,
определяющее г0 = ах0:
/to»)—-|-П*ь).
зависящее только от вида функции /(х). Подставляя это
значение в (5.10), получаем
A(A+l)<i^i.f(x0) = r*{*Jf(*b)}. (5-12)
Максимальное значение Л, совместимое с (5.12),
обозначим Ду. Величина в фигурных скобках есть безразмерная
константа порядка единицы. Таким образом, при £~25>1
5. Рассмотрим энергетический спектр и ВФ связанных
состояний для системы двух зарядов. Связанные
состояния существуют только в случае притяжения. Такая
система описывает свойства атома водорода и водоро-
доподобных ионов (Не+, Li++ и т. д.). Уравнение для
92

радиальной ВФ:
^ + 44г-^« + £(* + 7-)*-0. (5.13)
где константа а, характеризующая потенциал, есть Ze2.
Здесь е — заряд электрона, a Z — целое число, равное
заряду ядра в единицах е. Константы е2, т и h
позволяют построить величины с размерностью длины
^tS^0*529'10"* см>
называемую боровским радиусом, и времени
^JJ.^0,242.10-1* сек.
Эти величины определяют типичные
пространственно-временные масштабы для атомных систем, поэтому их удобно
использовать в качестве основы системы единиц (так
называемые атомные единицы). -
Уравнение (5.13) имеет в атомных-единицах (при Z= 1)
вид
^ + ^-^-R + 2(E+l)R-^0. (5.14)
При £<0 движение финитно и энергетический спектр
дискретен. Нас интересуют решения (5.14), квадратично
интегрируемые с весом г2. Введем обозначения:
1 2г
V-2E' у п
Уравнение принимает вид
Найдем асимптотики радиальной функции R(r). При
р->оэ, опуская в (5.15) члены ^р~\ р~2, получаем
йЩ _ R
фа ~~ 4 *
Поэтому при больших р /?/-^е±Р-'2; требованию
нормированное™ удовлетворяет только Rr^erP-2. Асимптотики
при г->0 были определены в п. 5.2.
Подстановкой
R{p) = tfcr№w{p) (5.16)
93

уравнение (5.15) сводится к виду*
0$-+(2* + 2-р)-^ + (п-/-1)ш = О.
Решение этого уравнения, конечное при р = 0, легко
найти, подставив w(p) в виде степенного ряда
/ ч it (0—v) . (0-v)(l-v) 'p2 .
(0^v)(l-v)(2^v) рз . п ,_
"Г (0+%)(!+%) (2+К) 3! "*"•"• » v l '
где
Я = 2/ + 2, — v = — n + l+l. .
При р->оо функция w (р) должна расти не быстрее
конечной степени р, для этого v должно быть, целым» Тогда
w (р) будет полиномом степени v. Итак,
— п+/+1- — К ft = /+l+fc (£ = 0, 1,2,...) (5.18)
при заданном значении /. Отсюда, используя
определение п, находим энергетический спектр
Еп = —~. (5.19)
Число ft называется главным квантовым числом. В
обычных единицах это выражение имеет вид
*»—-*■*&■• 0-ЭД
Эта формула была получена Бором (1913 г.) на основе
старой квантовой теории, Паули (1926 г.) из матричной
механики и Шредингером (1926 г.) с помощью решения
дифференциального уравнения.
Задача о спектре атома водорода представляет
уникальный пример проблемы, допускающей точное решение,
прекрасно согласующееся с экспериментом.
6. В классической механике при движении в кулонов-
ском поле притяжения сохраняется вектор Рунге — Ленца
А~*- + -55ГЙР1- (5-21)
Докажем это:
<*А 1 ,iJ, , r(rr)-r(rr)
1Г~ та l,pj"t" fi
94

Из уравнений движения находим
а
7*
а
Р = — -#*-
Используя тождество
[г [гг]] = г (гг) — г (гг),
получаем
dA _ [It] t [r[mr, r]] _n ,- 9~
В квантовой механике вектору А сопоставляется
оператор
^ = Т + Т^Й-1рШ. (5.23)
Мы положили Z = 1 и использовали атомные единицы.
Оператор А коммутирует с гамильтонианом
£ = -£--!
- п 2 г "
Компоненты А% связаны коммутационными соотношениями
[Ah Aj]= — ie,j&.2U (5.24)
с компонентами оператора орбитального момента.
Компоненты оператора Рунге — Ленца не коммутируют с
компонентами Ц; в силу общих соотношений (4.8)
[/,, A;] = ieijkAk. (5.25)
Наличие не коммутирующих между собой и
сохраняющихся (т. е. коммутирующих с Н) операторов Л,-, I2 ведет,
согласно общим результатам п. 1.18, к вырождению
собственных значений гамильтониана Н частицы в кулонов-
ском поле. Непосредственно из формулы (5/18) видно,
что состояние с главным квантовым числом п вырождено
по значениям / с кратностью g = n. Такое вырождение,
связанное с наличием дополнительного интеграла
движения (5.23), специфично для кулоновского поля и
называется случайным.
Как и во всяком центральном поле, состояния с
заданными значениями пи/ вырождены по величине проекции
момента с кратностью 2/+1. Таким образом, полная
кратность вырождения состояния с главным квантовым
95

числом п есть
1=0
7. Состояния атома водорода с квантовыми числами
n, U т мы будем обозначать векторами \nltri), указывая
значения квантовых чисел всегда в таком порядке.
Радиальные ВФ определяются формулами (5.16) и (5.17) и
зависят, в .силу центральной симметрии, только от п и /:
Rm(Р) = Arf/e-pflivp (p), (5.26)
где АП1 — нормировочные множители, a L^-f/1 (р)
—полиномы Лагерра, которые с точностью до постоянного
"множителя определяются первыми членами разложения (5.17).
Приведем выражения для простейших случаев:
(Is): L}=1, (2s): 14=1—g-
"(2p):IS=l, (Зв):Ц=1-.|г + ^Л
Так как. угловые части ВФ, определякяциеся СФ
операторов Р и 1Х% мы выбрали нормированными, то
радиальные ВФ следует нормировать условием
\Rh{r)r*dr=\. (5.27)
о
Нормированные радиальные функции имеют вид
Приведем явный' вид полных ВФ состояний Is, 2s, 2p
с различными проекциями орбитального момента:
|1, 0, 0) = -^^
|2, 0, 0>-^U(1—W*,
|2, 1, ±l)^^i^^l-^)e-r;2sinQ.e±i^
96

8. При рассмотрении задачи двух тел в п, 5.0 мы
нашли, что система описывается ВФ вида
V (гь «•*) = V ("Х1+'>'Г")*(П-Гз)- (5>28)
Если между частицами существует взаимодействие, то
i|)(ri — г2) не есть ВФ свободного движения. В этом
случае ЧГ (гх, г2) нельзя представить в риде произведения ВФ
частиц <Pi(ri)<p2(r2)'. переменные, которые разделяются
в УШ, не есть координаты частиц. При наличии
взаимодействия между частицами волновой функцией
описывается лишь система в целом, но не каждая из частиц.
В соответствии с основным положением А2 это означает,
что теряет смысл понятие состояния отдельной частицы.
Для каждой подсистемы можно ввести некоторый
оператор, который позволяет вычислить все величины,
относящиеся к этой подсистеме. Ограничимся случаем, когда
подсистема есть отдельная частица. Пусть fx есть
оператор, действующий на координаты частицы 1. Тогда его
среднее значение можно представить в виде
Ь = И ** <гь Я) № (гх, д) dn dq, (5.29)
где q обозначает все, кроме гх, аргументы Ч.
Интегральный оператор с ядром
Р«. rx) = \V*(qf rOYfo, v)dq
называется матрицей плотности частицы 1. Из
сравнения с (5.29) получаем выражение для среднего значения
оператора fx:
Fi = Sp/ip.
Очевидно, матрица плотности есть эрмитов оператор
р*(г, г') = р(г', г).
Диагональные элементы матрицы плотности
Р0% г) = $|г|)(<7, г)12^
определяют распределение вероятности координат частицы.
Из условия нормировки следует, что Spp=l.
9. Матрица плотности зависит от состояния системы в
целом. Так, для системы двух тел в состоянии с импульсом
4 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков 97

центра масс Р
В состоянии с центром масс, локализованным в начале
координат,
P(r:,r1)=r[ri(.+^)]*b(i+^)].(5^)*.
В атоме водорода масса электрона тг много меньше массы
протона /я2. Поэтому в состоянии с центром масс в начале
координат матрица плотности для электрона
p<r[, ri)~**(rd1>(ri)
мало отличается от -матрицы плотности электрона в поле
неподвижного кулоновского центра. Поэтому ВФ if (г) УШ
для атома водорода иногда называют волновой функцией
электрона, что следует понимать с учетом сделанных выше
оговорок.
Состояния частицы, которые описываются ВФ (т. е.
состояния в смысле основного положения А2), называются
чистыми состояниями в отличие от смешанных состояний,
для которых матрица плотности не распадается на
произведения множителей if (r) i|/ (r'). В атоме водорода протон
и электрон находятся в смешанных состояниях.
Возможна и другая интерпретация: вместо смешанных
состояний протона и электрона мы можем рассматривать
систему двух невзаимодействующих квазичастиц: тяжелой,
с массой М, совершающей свободное движение, и легкой
с массой т?&те, находящейся в кулоновском поле
фиксированного центра. Введенные таким образом
квазичастицы находятся в чистых состояниях.
10. Рассмотрим движение частицы в поле трехмерного
осциллятора
Такой потенциал может быть использован для описания
некоторых свойств атомных ядер. В декартовых
координатах решение УШ можно искать в виде
Каждая из функций ifc удовлетворяет одномерному УШ
для гармонического осциллятора с энергетическим спектром
£| = (Я|+1/2) йю.
98

Полная энергия равна сумме £* согласно п. 3.0:
Е = (Пх+Пъ + /г3 + 3/2) Лео.
Итак, энергетический спектр трехмерного осциллятора
En=(n+3/2)fto. (5.30)
Уровни энергии вырождены: кратность вырождения уровня
равна числу способов разбиения целого числа п на сумму
трех целых неотрицательных чисел:
*(*)-y(*+l)(* + 9-
ВФ стационарных состояний в декартовых координатах
имеют вид
\пъ пгу Пъ) = Ае-^НгЛУЬх)НпАУ^У)НпАУЬг)>
где
Я = тсо/Й,
#* — полином Эрмита. Так как четность &-го полинома
Эрмита есть (—1)*, то четность волновой функции
Р\пъ Яг, /г3> = (—1)*«+*+". = (_1)".
Состояние с определенными пи щ, п3 не имеет, вообще
говоря, определенных значений / и т. Состояние с
определенными / и т найдем, рассматривая движение частицы
в сферических координатах. Уравнение для радиальной
части ВФ имеет вид
d2R J2 dR_ ^_ \2mE_ _ roW/* __ /(/+1)"
drl + r dr
■[^-i^-ii^]l?-0. (5.31)
Положим k = —y~~• Подстановкой х = tR уравнение (5.31)
сводится к виду
Учитывая асимптотики ВФ при r->0, r ->• со, представим
его решение в виде
Уравнение для w(r) есть
^^^2(^~Яг)^-[2Я(/+|-)--Л2]^===0.
4* 99

Вводя новую независимую переменную
перепишем (5.31) в форме
р$+[('+4Н5+ЕК'+1М£]-ь
Решение такого уравнения, растущее при р->-оо не быстрее
конечной степени р, отыскивалось в п. 5.6. Условие
существования такого решения
т(,+ Т-ж)"я' (ir = 0fl,2f ...)
определяет энергетический спектр
Еп^ i = йсо (/ + 2пг+3/2).
Сравнивая с (5.30), видим, что
п = / + 2яг.
Уровень энергии с заданным п может иметь разные
значения /, т. е., как и в кулоновском поле, имеется
случайное вырождение уровней по значениям момента. В
отличие от кулоновского поля состояние с заданным п имеет
определенную четность Р(/г) = (—\)п.
11. Рассмотрим состояние дискретного спектра частицы
в поле сферической ямы — разрывного потенциала
U(r) = -U (r<a),
£/(г) = 0 (г>а).
Сферическая яма представляет интерес как пример
короткодействующих потенциалов, убывающих при г ->■ оо быстрее
любой отрицательной степени г. Полагая
Х — ft »
мы получим внутри ямы уравнение, совпадающее с УШ
для свободного движения с энергией Я'»—\E\+U:
и вне ямы:
££('•■?■)-^«--.да-а (5.33,
100

Рассмотрим вначале решения, соответствующие нулевому
моменту; уравнения (5.32) и (5.33) принимают вид
d2
Конечное при г = 0 решение этого уравнения:
А
sinkr
Уравнение (5.33) при / = 0 принимает вид
^(r/?°)-KV/?°=:0.
Его решение, убывающее при л-^оо, имеет вид
(5.34)
(5.35)
(5.36)
А и В — нормировочные постоянные. Условие
непрерывности логарифмической производной от rR при г —а дает
Представим это уравнение в виде
-ctg2 = l/(|2)-a-l, (5.37)
где z = ka, и рассмотрим его решение графически. На
Ш,/
л 2л Зл Ы 5л 6л z
Рис. 14.
рис. 14 правая часть (5.37) изображена при двух
различных значениях £~2. Очевидно, уравнение не имеет
решений при
r2<f.
101

Таким образом, минимальная глубина Um-m сферической
ямы, при которой появляется связанное состояние,
связана с ее шириной соотношением
l/min =
8ma2'
С ростом |~2 график функции в правой части (5.37)
проходит все выше при малых г, и первые корни уравнения
приближаются к значениям
"
Число
связанных (
(Ы
и
гостояний с моментом / =
-1__
1<#(0)<(£я)-
*+1
■ О
растет пропорционально корню из значения глубины ямы.
Рассмотрим решение УШ при /^0; уравнение для
радиальной ВФ (свободного движения)
подстановкой.
Rl~r-WZ(r) (5.38)
и введением переменной x = kr сводится к уравнению
— уравнению для функций Бесселя с полуцелым
индексом; итак,
Rt-Ar-WJt + wikr),
где А — нормировочная постоянная. Функции Бесселя
Jt+i/2 могут быть в явном виде выражены через
элементарные функции. Общее выражение для нормированных
радиальных ВФ:
' «.И-УК-Т-Пт-й^. (5.39)
Аналогично, вне ямы уравнение (5.33) подстановкой (5.38)
превращается в уравнение для функций Бесселя мнимого
аргумента (физические решения должны убывать при
102

d f g
Рис. 15.
/•->oo). Определение спектра из условия непрерывности
при г = а в этом случае чрезвычайно сложно; ограничимся
рассмотрением предельного случая очень глубокой ямы
(£2*<1)- В этом случае ВФ для низколежащих уровней
вне ямы мала и
приближенно можно положить
я|)(я)^0.
Тогда положение уровней
над дном ямы определяется
уравнением
Ji+\/2(ka) = 0.
Порядок расположения
уровней (от основного состояния):
Is, 1р, Id, 2s, I/,
2р, lg, 2d, \hy 3s.
Схема расположения уровней (зависимость En+U0 от /)
приведена на рис. 15. Вырождение отсутствует: значение
энергии однозначно определяет величину орбитального
момента.
12. Функцией Грина для дифференциального уравнения
£>,Ф(х) = [-^а + /(х)]ф(х) = 0
называется симметричная функция двух аргументов
G(xf x'), удовлетворяющая уравнению
DXG (х, х') = б (х - х'). (5.40)
В дальнейшем будем вместо слов «функция Грина»
использовать сокращение ФГ. Найдем ФГ для радиального
уравнения Шредингера
d4 ,
dr2
!-e(r)]oc = 0,
(5.41)
где введено обозначение
"<г>--£1/(г>-^.
Так как при гф г'
DrG(r, r')' = £>r'G(r\ г)-0,
то ФГ следует искать в виде произведения решений /(г),
103

g(r') уравнения (5.41):
(> r)~\g(r)f(r'), r>r>. (542)
Тогда из условия (5.40) получаем
r+e r-\-e
lim \ Dfi(r, r')dr'= lim V -^G(r, r')dr'= 1. (5.43)
r—e r—e
Член с k2 — v(r) не дает вклада в интеграл, так как из
(5.42) следует, что ФГ всюду конечна. Из (5.43) следует,
что (5.42) есть ФГ, если
W<g, fl-^fCrj-'/W^-l. (5.44)
Условие (5.44) есть фактически условие линейной
независимости решений /(г), g(r); нормировка их выбирается
таким образом, чтобы вронскиан W {/, g} равнялся единице.
С помощью ФГ общее решение неоднородного УШ
£>r1>(r) = Q(r)f
где Q(r) есть некоторая функция, можно записать в виде
^(г) = Ф(г) + ^С(г, r')Q(r')dr',
о
где <р(г) и G(r, r') —общее решение и ФГ уравнения
Цд|? = 0. Используя это соотношение, можно представить
в виде интегрального уравнения и однородное УШ (5.41):
Ф(г) = х(г) —f G°(r, r')u(r')q>(г')dr\ (5.45)
о
где введено обозначение
u(r)~%U(r),
а %(г)> G°(r, г') —общее решение и ФГ радиального УШ
для свободного движения
|£ + [*--^]х-0. (5.46)
Уравнение (5.45) будет использовано в главе 9 при
рассмотрении состояний непрерывного спектра в
центральном поле*
104

13. Формулы (5.45) и (5.46) позволяют получить оценку
сверху для числа N (/) связанных состояний с заданным
значением I в поле с потенциалом U (г). Рассмотрим
уравнение (5.46). При £ = 0 линейно независимые решения
суть, согласно (5.6),
Пг) = г*+\ g(r) = r-1. (5.47)
Вронскиан вычисляется элементарно:
W= (l+l)rlrJ-(— /)/+V-*'+i> = 2/+1.
В соответствии с (5.42) ФГ есть
сиг, о=^г<(!-<-)',
где г< и г> есть меньшее и большее из г и г'
соответственно. Решения (5.47) не принадлежат L2(0, со), поэтому
(5.45) принимает вид
4iir)=\cH(r, r')u{r')^(r')dr\
о
Рассмотрим потенциал у и (г), где 0 ^ у ^ 1. Если и (г)
удовлетворяет условиям, полученным в задаче 3.8, — в
частности, если и(г)<0 всюду, —то число связанных
состояний iV(/, у) будет возрастающей функцией у:
N(t, 0) = 0, N(l,y) = N(t),
и энергия связанного состояния будет возрастающей
функцией у. Уравнение (5.45; принимает вид
оо
V Ч* (г) = ] G, (г, г') | и (г') | Ф| (г') dr'. (5.48)
о
Число N (/) равно полному числу состояний с нулевой
энергией, появляющихся при изменении у от 0 до 1, т. е.
равно числу СЗ yll уравнения (5.48) в этом интервале.
Ядру интегрального оператора в правой части (5.48) можно
придать симметричную форму, положив
Г,(г, r') = V\u(r)\.\u(r')\Gi(r9 r%
Тогда (5.48) принимает вид
со
у?*>1 (г) = J Г, (г, г') Фг (г') dr\ (5.49)
о
105

Оператор в правой части имеет симметричное
действительное ядро, поэтому он эрмитов. Сумма СЗ эрмитова
оператора, согласно п. 1.19, равна следу ядра:
оо со
2YF1 = Spr = ^lT5r|«(r)|rfr.
Так как в общем случае не все СЗ (5.49) лежат в
интервале 0^7**^1» т0
со
Л<0<-Зг5гг$11«(')|Л'. (5.50)
О
Это соотношение называется неравенством Баргмана.
Оно позволяет сделать некоторые выводы о дискретном
спектре в поле с потенциалом и (г). Если при г->0 \и(г)\
растет медленнее, чем г~2-, то интеграл сходится на нижнем
пределе и число состояний с ВФ, локализованными вблизи
начала координат, конечно: у
системы нет бесконечно
глубоких уровней. Если
потенциал | и (г) | при г ->- оо
убывает быстрее, чем г~2, то
интеграл сходится на верхнем
пределе: в системе нет сколь
угодно мелких уровней,
соответствующих большим
средним расстояниям частицы от
центра.
Из неравенства Баргмана
следует также оценка для
Л — максимального момента, при котором может
существовать связанное состояние. Если U (г) = — U0f (г/а),
то из (5.50) следует:
л\
2
1
ЛВл
/^
I . A i i
^Лн
J ш-
г 4
Рис. 16.
в S
~г
2KB+\^\-*\f(x)xdx.
(5.51)
Коэффициент при £~2 есть безразмерная константа порядка
единицы. Пренебрегая коэффициентами при |~2 в правых
частях неравенств (5.12) и (5.51), можно сравнить
следующие из них оценки Л. Зависимость AN и Л^ от £~2
показана на рис. 16. Видно, что неравенство Баргмана
дает существенно лучшую оценку для Л при небольших
значениях £~2<5. При больших £-2 лучше оценка Л^.
106

ЗАДАЧИ
1. Доказать, что в стационарных состояниях частицы в кулонов-
ском поле имеют место соотношения
Af=0=tA, Ь+пФ+\=п*,
где л—главное квантовое число.
2. Энергетический спектр атома водорода ограничен снизу.
Поэтому для его отыскания можно использовать метод факторизации.
Найти спектр, используя операторы
В приложениях часто необходимы средние значения величин г* в
стационарных состояниях частицы в кулоновском поле | л, /).
3. Вычислить г"1, используя теорему вириала.
4. Вычислить г"2, используя результат задачи 2.5.
5. Доказать рекуррентную формулу Крамерса
для средних значений гк.
Указание. Умножить уравнение (5.15) на
rknR>-b±LrkR
и проинтегрировать по /*.
6. Используя результаты задач 5.4, 5.5, вычислить средние
значения г\ г73.
7. Найти решение УШ для частицы в кулоновском поле при
£=0.
8. Определить средний потенциал электрического поля;
создаваемый атомом водорода в основном состоянии.
9. Найти дискретный спектр частицы в поле
10. Найти решение УШ в поле с потенциалом
U(r) = -U0(£-J.
Показать, что при |"~2— / (/ +1) < 1/4 связанных состояний нет.
Отметим, что граничное условие (5.7) в этой задаче неприменимо
из-за сингулярности потенциала. Поэтому любое квадратично
интегрируемое решение УШ будет описывать связанное состояние.
11. Случайное вырождение по / уровней энергии трехмерного
осциллятора указывает на наличие сохраняющихся операторов, не
107

коммутирующих с Г2. Найти эти операторы и их коммутационные
соотношения с 1Ь и Р.
Потенциалами, рассмотренными в пп. 5.5, 5.11 и в задачах 5.9
и,5.10, практически исчерпываются случаи, когда УШ допускает
точное решение при любых значениях I. Для короткодействующих
потенциалов мы ограничимся рассмотрением s-состояний.
12. Найти спектр s-состояний частицы в поле
£/(r)=— U&-r/a.
13. Найти спектр s-состояний частицы в поле
U(r)=UQ{er/a-\)~K
14. Рассмотреть предельный переход £/0-^оо, а->0 для
сферической ямы в s-случае. Найти условие, при котором в пределе остается
одно связанное состояние заданной энергии.
f5. Взаимодействие между нуклонами зависит от их спинового
состояния. В триплетном состоянии взаимодействие можно описывать
короткодействующим потенциалом притяжения с глубиной и0^20 —
— 30 Мэе и характерной длиной а =^2-10"13 см. Найти
Л—максимальное значение момента, при котором может существовать
связанное состояние двух нуклонов.
16. Используя результат задачи 5.8, оценить возможность
устойчивого существования иона Hf.

Глава 6
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД
0. Точное решение УШ возможно лишь в небольшом
числе случаев. Во многих задачах, однако, гамильтониан
может быть представлен в виде
Й = Н0 + г$9 (6.1)
причем уравнение
т% = н& (6.2)
л.
допускает точное решение, а оператор возмущения zV
в некотором смысле мал. Методы отыскания решений
(приближенных) УШ с гамильтонианом (6.1) составляют
предмет теории возмущений. В этой главе мы используем
теорию возмущений для нахождения дискретного спектра Я
и соответствующих собственных функций.
1. Пусть известны решения стационарного УШ
"H0<{>m = emq>m. (6.3)
Допустим, что СФ и СЗ уравнения
£*« = £«<>« (6.4)
можно представить в виде разложения по степеням малого
параметра е:
оо
Ф«= 2] enffl, (6.5)
£m=f;e»£W. (6.6)
/1=0
Такой метод, при котором СФ и СЗ представляются
в виде разложения по степеням малого параметра,
называется теорией возмущений Рэдея — Шредингера. Нумера-
109

ция Ет выбрана такой, что при е->0 Ет-*-ет.
Подставляя (6.5), (6.6) в УШ
получим
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е,
получаем
<Яв-Д£)1в? = 0, (6.7)
(Яо~да^> + ^ (6.8)
В дальнейшем параметр е будем включать в оператор V.
Рекуррентную формулу для 2?5? получим, умножая (6.8)
на *фт* и интегрируя по всем значениям аргументов:
S —I
£<*>« (т(о) | у | wu-i)) _ £ ££> <т<°> | т<*-'>>. (6.9)
Полагая s=l, получим, учитывая (6.7),
££ = <m<0>|V|m<0>>. (6.10)
Поправка первого порядка есть среднее значение
возмущения в состоянии фт. Определение высших поправок
к энергии требует использования поправок к ВФ.
Разложим tym по невозмущенным СФ фт (считая, что Н0 имеет
только дискретный спектр):
k
Подставляя (6.11) в (6.8) при s=l, умножая на фя0>* и
интегрируя, находим
^(^-^m) + (m|V|M>-<m|V|m>6mn, (6.12)
где введено обозначение
<т | V | п) = «, VV) = fl». (6.13)
Если СЗ не вырождены (етфеп), то при тфп формула
(6.12) дает
a%n = <J!lin±. (6.14)
еп—ет
110

При m = Ai уравнение (6.12) удовлетворяется тождественно;
если положить алп = 0, то ВФ
^^tf + y^'^'^tf (6Л5)
т
(где штрих у знака суммы означает, что слагаемое ст = п
исключено из суммирования) будет нормирована с
точностью до первого порядка по е.
2. Полагая в (6.9) s = 2, для поправки к энергии вто-
- рого порядка получаем
Е£> - <м(0> | V | az(1>> -£}Г <"(0) | "(1)>.
Используя разложение (6.11) и то обстоятельство, что
в силу эрмитовости (т | V | п) = (п \ V \ т)*, получаем
д?-У|(и|^^. (6.16)
т
Это выражение можно преобразовать, учитывая
соотношение
Z(m\V\k)(k\V\n) = \(m\V*\n)\, (6.17)
к виду
(6.18)
Формула (6.18) иногда более удобна для вычислений, чем
(6.16), например, если \Ет\<^\Еп\9 то вклад таких
слагаемых в сумму в (6.18) незначителен.
3. Для поправок высших порядков, полагая
т
из (6.8) находим
т г=2
где
111

При определении возмущенных ВФ для вычисления коэф-
р
фициентов а^ мы будем требовать, чтобы функция 2 ${т
/1=0
была нормирована с точностью до ер. Это приводит
к условию
Дг=0 fe=0 s
Мнимые части всех ejj^, влияющие на фазу г|)т, мы будем
полагать равными нулю. При п = +2
атт- 2£ (еп-ет)* »
п
Подставляя в последнее выражение формулы (6.10) и
(6.14), находим
0.2, 1 ^(m\V\k)(k\V\l) (m\V\m)(l\V\m) , Q.
k
Отсюда получаем окончательное выражение для ВФ
второго порядка:
s s
4. Индексы у Еп и г|)л в предыдущем изложении
представляют собой, в общем случае, не просто номера
энергетических уровней, а совокупность всех квантовых чисел,
определяющих положение системы. Если уровни
дискретного спектра вырождены, т. е. если при тфп
то полученные выше результаты неприменимы
непосредственно, так как в суммах (6.15), (6.16) могут появиться
бесконечные слагаемые. Напомним, что дискретный спектр
одномерного движения всегда не вырожден, а дискретный
спектр частицы в центральном поле в состоянии с момен-
112

том / всегда вырожден с кратностью (2/+1) по величине
проекции момента.
Пусть уровень Ет вырожден с кратностью g. Пусть
gw -~ произвольные ортонормированные ВФ этого уровня
(l^i^g). Используя формулы (6.7), (6.8), при любом i
имеем
Я0фЖ = ад«, (6.21)
(#о - ет) фйй - - WU + £». (6.22)
Умножая (6.22) на ц>тк скалярно, получим, учитывая
вытекающее из эрмитовости гамильтониана Я0 равенство
№, (Нь - ет) чй1) - ((Но - ет) qC*, фЭД = О,
следующее соотношение:
(mk\V\ mi) = £{£} (mk \ mi) = £Й18«. (6.23)
Таким образом, функция в правой части (6.22) должна
быть ортогональна ко всем ($&, что выполняется не при
всяком выборе ВФ нулевого приближения. Рассмотрим
линейную комбинацию ВФ вырожденного уровня
Такая комбинация тоже будет СФ невозмущенного
гамильтониана, соответствующей значению Ет. Набор фйй (1^
^i^g) будет ортонормированным, если матрица Ьц
унитарна.
Подставляя в правую часть (6.22) функции фЙ1 и
требуя ортогональности ко всем cpjjfc придем к системе
линейных уравнений для коэффициентов Ьц\
2(k\V\j)bif-EWik = 0. (6.24)
/
Система линейных уравнений (6.24) имеет нетривиальные
решения, только если детерминант из коэффициентов при
Ьц обращается в нуль:
Det(VJk-&%k) = 0. (6.25)
Это уравнение, называемое секулярным, имеет в общем
случае g различных действительных корней, которые и
представляют искомые поправки первого приближения
к энергии уровня Ет. Отсутствие комплексных корней
113

является следствием эрмитовости оператора возмущения е{Л
Нумеруя корни секулярного уравнения как £У} и
подставляя их в (6.24), найдем коэффициенты bik,
определяющие правильные ВФ нулевого приближения. Если все
Ei" различны (возмущение полностью снимает
вырождение), то вычисление высших поправок ведется, как в п. 6.1.
5. Если не^озмущенный уровень принадлежит к группе
близких уровней (квазивырожденный случай), то
вычисления по теории возмущений удобно вести так же, как и
при наличии вырождения. Этим подходом можно
исключить появление больших поправок к СФ и СЗ. Пусть
близко расположены уровни с l^n^g. Представим
оператор возмущения в виде
А. Л. Л
где операторы fl9 f2 определены соотношениями
<i\h\!> = (Ei-Ej)6v (!,/<«),
<m|/i|n) = 0 (m, fl>g),
<m|f2|rt>==<m|V|rt> (mfn>g)>
(i\f2\n) = (i\P\n) («>e. *<«)•
Собственными функциями оператора Н' = Я0+/Х являются
те же фт, что и у оператора Я0. Но теперь группе
первых g уровней соответствует одно значение Ег. Используя
результаты п. 6.4, представим ВФ нулевого приближения
в виде
ё
ЧГ=ЕМ/- (6.26)
/«1
Тогда имеет место система уравнений
2 bif [ф | V | /> - (Ег - Ej) б,,] = £(«6„. (6.27)
Поправки £(1) и коэффициенты 6/Л вычислим, приравняв
нулю определитель системы (6.27).
114

Рассмотрим случай двух близких уровней (g==2). Се-
кулярное уравнение для Е{г):
1 Vn-E*> V12
Det
-о,
где Д = £2 —£i есть расстояние между невозмущенными
уровнями, приводит к значениям поправок
2
rvi)
K(A + V22~Vu)2 + 4|V12|2. (6.28)
Рассмотрим вид этого выражения в различных
предельных случаях. Если | A + V22~- Уп|>| V121, то
£1"
'11-
A + l^-Vu'
]/22 + А +
42 I
(6.29)
A + V*-^
В частном случае Уц^у^^О из (6.29) следуют
выражения
£l<
V12I2
Таким образом, учет квазивырождения приводит в первом
порядке теории возмущений к формулам, которые
включают также и главный член второго порядка теории
возмущений без вырождения. Поправки к энергии зависят от
величины возмущения
квадратично. В другом предельном случае
|A + Vn-Vu|>|Vu|
получаем
Elt 2 ^ g —
4
12 1
+
(А + 1/22-У:
щ
Рис. 17.
8|VU|
Если Vn = ]/22 = 0, то зависимость
поправок от величины возмущения
близка к линейной. Положение возмущенных уровней в
зависимости от величины возмущения показано на рис. 17.
Заметим, что под действием возмущения расстояние
между близкими уровнями увеличивается. Это явление
называется отталкиванием уровней.
6. При вычислении поправок для СЗ Ет можно обойти
процедуру разложения ВФ по степеням малого параметра е
115

и ее последующей нормировки. В самом деле, система СФ
невозмущенного гамильтониана Н0 — полная и ортонорми-
рованная. Можно вычислить матричные элементы Н в этом
базисе (недиагоиальные элементы будут отличны от нуля
только для V) и диагонализовать полученную матрицу.
В принципе такой подход должен привести к точным
значениям уровней гамильтониана Н (см. п. 1.15).
Рассмотрим метод приближенной диагонализации,
который называется теорией возмущений Бриллюэна — Виг-
нера. Разложим решение УШ
(Яо+1^ *« = £«*« (6.30)
по СФ невозмущенного гамильтониана:
п
Подстановка этого разложения в (6.30) дает
стп (Еп - Е%) - 2 с*Уп*. (6.31)
k
Полагая n = m, получим
Ет - £Ж = Vmm + -i- У ckfnVmk. (6.32)
k
Повторными подстановками (6.32) в правую часть (6.31)
получаем, выделяя каждый раз в сумме слагаемое с k = m,
Е№=£е% + Ьм, (6.33)
где
F(1)— V
1 2 5
Д(и) :=—L V ' V yw*i— УМст*Я
CmmL'~L (Em-E*Q(Em~E'Q...(Em--EV;y
Ki кп
Очевидно, k-й член разложения имеет порядок е*.
Разложение (6.33) точное и становится приближенным, если
опустить член Д(л). Фактически разложение (6.33)
определяет Ет неявно, так как Ет входит в знаменатели всех
членов с s^2. Однако это разложение свободно от труд-
П6

ностей, связанных с наличием вырождения. В самом деле,
процедура отыскания правильных ВФ нулевого
приближения, рассмотренная в п. 6.4, состоит в диагонализации
субматрицы Нтп на подпространстве ВФ вырожденного
уровня. Если в разложении (6.33) подставлять в
формулы для Е{т вместо точных (искомых) значений Ет
приближенные значения Ет~~1)* то разложение (6.33) перейдет
в разложение собственного значения Ету следующее из
теории возмущений Рэлея — Шредингера.
7. Выше мы предполагали, что оператор возмущения V
в некотором смысле мал. Практически для вычислений
используются несколько первых поправок к СЗ. Поэтому
естественно под малостью оператора V. понимать малость
первых поправок по сравнению с величиной
невозмущенного СЗ. Малость первой гюправки
|£Л<Ы (6.34)
не есть достаточное условие применимости теории
возмущений. При наличии близких уровней во втором порядке
могут появиться члены, большие по сравнению с еп, даже
если (6.34) выполняется. Кроме того, в ряде случаев
JK'-O.
Например, это имеет место для системы с гамильтонианом
и возмущением eV (х), если U (х) — четная, a V(x) —
нечетная функции х. Малость второй поправки также не есть
достаточное условие применимости теории возмущений.
Поясним это на примере ангармонического
осциллятора—системы с гамильтонианом
//==У + Т + едг
(мы положили Й,.т, со=1). Пусть е мало; рассматривая
V = ел3 как возмущение и используя вычисленные в задаче
3.9 матричные элементы
<п-3|еУ|п> = е]/"ЯИ^Е1==<„|еУ|„-3>,
(п-1\У\п) = вУЩ- = (п\У\п~1),
117

находим
£J?} = -e2!(n*+n+^). (6.35)
Эта поправка мала при фиксированном л, если
|е2|<4/15л;
Однако сходимость ряда теории возмущений в этом
случае сомнительна. При х sign е> (31 г \)~г потенциал U (х) +
+ eV(x) убывает, стремясь к —сю. Формально движение
при любой энергии Е инфинитно. Однако потенциал
убывает так быстро, что квадратично интегрируемое
решение существует при любой энергии Е. Дискретный
спектр в этом случае можно отобрать, используя
требование ортогональности волновых
\\ |# функций в области (—сю, X). Спектр
ц будет зависеть от граничного усло-
\\ [ вия в точке X, которое, очевидно,
не учитывается в вычислениях по
теории возмущений.
Рассмотрим осциллятор с
возмущением У = ех*. При е>0 наличие
~~0 х \ *£ дискретного спектра очевидно.
Однако и в этом случае ряд теории воз-
Рис. 18. мущений будет, по-видимому,
расходящимся. Если ряд сходится в точке
е= + ео, то Е(г) есть аналитическая функция
комплексного переменного е в области | е j -< е©. Следовательно,
тогда ряд должен сходиться при отрицательных
значениях — е0 < е < 0. Но при е < 0 ситуация аналогична
рассмотренной выше.
Задача об ангармоническом осцилляторе возникает
при замене глубокой потенциальной ямы U(x), в которой
связанные состояния заведомо существуют, степенным
разложением U(x) в окрестности точки х0, где U (х) имеет
минимум (рис. 18). В этом случае сходимость рядов
обеспечивается учетом высших степеней х и выражение
(6.35) действительно определяет поправку к энергии
дискретного уровня.
8. Собственные значения гамильтониана Н могут быть
найдены из вариационного принципа. Покажем, что СФ
118

гамильтониана реализует экстремум средней энергии
£=.<Ч>|А|ф>-
Найдем условие экстремальности Е:
6$il>*/fyd<7 = 0 (6.36)
при дополнительном условии
Комплексно-сопряженные ^ и \|з* нельзя варьировать
независимо. Разделим эти функции на амплитудную
и фазовую части:
\|) = 6е£ф, \|5* = 6е-'Х
Тогда
Из (6.36) получаем, учитывая эрмитовость Я:
Подставляя (6.37), используя условие нормировки и вводя
множитель Лагранжа Я, получаем
$66 {е-^НЬе^+е^НЬе-^-2>А) dq+
+ \ i бф б (е**ЙВе-** - e^tidg») dq = 0. (6.38)
Используя независимость вариаций амплитуды и фазы,
получим, приравняв нулю второй интеграл в (6.38):
ё* filer** = ег**ЙВеР. (6.39)
Подставляя (6.39) в первый интеграл, получим
— стационарное УШ, где множитель Лагранжа Я = £ есть
собственное значение Я. Доказательство завершено.
9. Разложим произвольную квадратично
интегрируемую функцию по СФ Н:
к
119

Тогда среднее значение энергии, вычисленное с функцией
я|\ равно
<ф|я|1|>}=2£*|я*1а.
Пусть Ео — энергия основного состояния, тогда
Ео^ЕЩ] (6.41)
и
<*|/^*>^Яв2>*|\ (6.42)
k
где
^М = «*1*»^1-<*1^1*>- (6.43)
Таким образом, ВФ основного состояния реализует
минимум средней энергии; остальные экстремумы соответствуют
возбужденным состояниям.
Выражение (6.42) дает оценку сверху для энергии
основного состояния. Для получения оценки снизу
рассмотрим интеграл
/ = <гИ(Я-£)2|11>>, (6.44)
где ч|з — произвольная нормированная функция. Используя
разложение (6.40), получим
k
= (Е0-ЕГ+%\ак\П(Еь-Е)*-(Е0-ЕП
k
Если пробная функция выбрана так, что Е ближе к Е0,
чем к энергии любого другого состояния, то
1^{ЕЬ-Е)\
Поэтому, учитывая, что по определению
/ = £2-£2,
получаем неравенство
Е0^Е- VW2-E\ (6.45)
10. Практически неравенство (6.42) используется для
определения энергии основного и первого возбужденных
состояний. Выбирается пробная функция 6 (#, а£) где а* —
набор параметров, вычисляется E(at) и отыскиваются
120

значения параметров, минимизирующие Е9 что приводит
к уравнениям
Такой метод называется прямым вариационным методом
Ритца. В качестве простого примера рассмотрим
вычисление энергии основного состояния гармонического
осциллятора (Й, /п, (о= 1)
Среднее значение энергии
J [хЧ*(х)-Ъ(х)Ъ"(х)]йх
J e2(x)dx
—оо
Выбирая пробную функцию в виде
6(лг, a)=ch-»(a. х), (6.46)
получим
Это выражение достигает минимума при а2=*л/2;
соответствующее значение Е (а) = л/6 = 0,523 мало отличается
от точного значения: £=1,05-Е0- Другие примеры
приведены в задачах к этой главе.
При вычислении вариационным методом энергии
возбужденных состояний следует учесть требование
ортогональности
$6*(лг, а)6т(лг, a)dx = 0, Q^k<m. (6.47)
Иногда выполнение этого требования облегчается
свойствами симметрии: например, основное состояние частицы
в поле U(x) = U(—х) описывается четной функцией,
поэтому при нечетной Ъх(х, а) требование (6.47)
выполняется автоматически.
ВФ основного состояния при х-^±оо убывает (по
модулю) не медленнее экспоненты; поэтому можно
использовать (при большом числе связанных состояний в поле)
в качестве ВФ первых возбужденных состояний систему
полиномов, ортогональных с весом Щ(х). Коэффициенты
полиномов будут однозначно определяться требованием
121

ортонормированности; поэтому точность результатов будет
ухудшаться с ростом п.
Если £(0а) — значение энергии, вычисленное с помощью
пробной функции ф(дг, а), а пробная функция Ф(х\ а, Р)
такова, что при некоторых значениях р0
Ф(ос, р0; х) = ф(а; х),
то за счет расширения класса конкурирующих функций
всегда будет выполняться неравенство
Отметим, что отличие нормированной пробной функции
от точной (квадрат нормы их разности в L2) того же
порядка, что и относительная точность СЗ, полученного
вариационным методом.
11. Воспользовавшись прямым вариационным методом,
найдем условия существования связанного состояния при
одномерном движении в поле с четным потенциалом U (х).
Ограничения для этого потенциала будут получены ниже.
Используем пробную функцию
б(*, р)«1-р|*| (Р>о, икр-1),
*(*• Р) = 0 (| д: | > Р"1)-
Тогда вариационный функционал (6.43) можно
представить в виде
£(Р) = |р[2Р + 2Р5(/(х)(1-рх)2Лс]. (6.48)
Если при х-+0 U(x) = o(x~1), то при р->со первый
член в скобке неограниченно возрастает, а второй
стремится к нулю. Поэтому при достаточно больших р
£ (Р) я« бр2 > 0. Выражение (6.48) можно переписать
в виде
^(P) = 4H2p + 2Mo-4pM1 + 2p2M2-/(P)},
где интегралы
Mk = \U(x)xkdx
о
предполагаются сходящимися. Тогда
со
Hm/(P)=lim \ U(x)(l-$x)2dx = 0.
122

Так как в точке р = 0 £(Р) = 0, £'(Р) = ЗМ0, то при
М0<0 в некоторой окрестности точки р = 0 £(Р)<;0.
Из непрерывности Е (Р) и ранее доказанной
положительности £(Р) при больших р следует существование р*
таких, что
Е(Р«Н0. (6.49)
Пусть Pi — наименьший положительный корень (6.49);
между двумя нулями р = 0, p = pi функция £(р)
отрицательна, а ее производная имеет по меньшей мере один
нуль, соответствующий минимуму. Таким образом,
верхняя граница энергии основного состояния отрицательна.
Следовательно, в поле с четным потенциалом U(x)9
удовлетворяющим условиям
М0<0, |Afi|<oo, |M2|<oo,
всегда существует связанное состояние.
12. Прямой вариационный метод связан с теорией
возмущений. Из (6.10) следует, что вычисление поправки
первого порядка к уровням дискретного спектра есть
вычисление Е с ВФ невозмущенного уравнения в качестве
пробной функции. Очевидно, это не наилучшая пробная
функция.
Вычисление поправок второго и более высоких
порядков в общем случае сводится к суммированию
бесконечных рядов (6Л6). Приближенное вычисление может быть
проведено с помощью вариационного метода. Пусть
Я0фт = £тфт.
Для определения СЗ гамильтониана Н = Н0 + V выберем
пробную функцию в виде
* = фт + Хт,
где %т выберем ортогональной к фт; этому условию
можно удовлетворить, выбирая
Хт= 2 ОДР*.
Вычисляя среднюю энергию Е, получим
Em~E^^E,A,+2((fm\V\yU)+(Xmlf~^JXm>. (6.50)
123

Опуская члены третьего и более высоких порядков
малости, получим
£т = £- + £^ + 2(фт|У|Хт> + <Хт|Я-£^|Хт>. (6.51)
Условие стационарности правой части (6.51),
накладываемое вариационным принципом, приводит к уравнению
(Но - ЕХ) %т + V<pm = £й W (6.52)
Сравнивая с формулой (6.8), находим, что Хщ — 'фт —
поправка первого порядка к ВФ. В тех случаях, когда
решение (6.52) или, что то же самое, вычисление суммы
(6.16) затруднительно, приближенное значение ЦЦ может
быть получено минимизацией функционала в правой
части (6.50).
13. Иногда для оценки СЗ системы с гамильтонианом
H — f + ^Ui пробную функцию удобно выбрать в виде
линейных комбинаций СФ частей полного гамильтониана
(например, СФ операторов Hi = t + Ui). Такой подход
называется методом линейных комбинаций. Положим
в*-2*<фН*)-
i=i
Тогда
где
2323в2Л|^а
Ek (ctki) = ^ __ -,
2j2jakiakisu
i I
Ни = 1ч>ГНц>Гс1д9 (6.53)
Su^Wfdq. (6.54)
Последний интеграл не обязательно равен дц. Пусть,
например, H = f + Ui(x) + U2(x). Тогда функции ^(х) и
^20) (*)t описывающие основные состояния систем с
гамильтонианами Ях = f + Ux и Я2 = Т+ £/2, не имеют узлов и
S12 заведомо не обращаются в нуль. Вариационные
параметры находятся из условий стационарности Е:
дЕ
124

Эти условия дают п однородных линейных уравнений
JliHu-ESidai^O. (6.55)
Условие их совместности — равенство нулю детерминанта
системы (6,55) — дает уравнение n-й степени, /г
действительных корней которого являются приближенными
значениями энергии. Коэффициенты акъ ak2y ..., akr опреде-
деляются подстановкой Ей в (6.55) и дают я])й — ВФ
состояния, обладающего энергией Ек.
Отметим, что если в качестве фГ использованы про-
извольные ортонормированные ВФ, соответствующие
вырожденному с кратностью п состоянию с энергией £0, то
и условие совместности (6.55) приводит к секулярному
уравнению (6.25) теории возмущений с вырождением.
Рассмотрим случай я = 2. Тогда уравнения (6.55) имеют
вид
(h (#п - ESn) + си, (Н12 - ESV2) = О,
- ог (Н12 - ESn) + а2 (Я22 - ES22) = 0.
Детерминант этой системы есть
Det (Е) = (#ц - ESn) (Н22 - ES22) - (Я,/- ES12)2.
Введем обозначения:
С\—«—, д2 —о-> д2р>Д1.
Тогда
Det(£) (p pwp p, (Я12-£512)^
^11^22 ^11^22
В силу неравенства Коши SnS.Z2 ^ S2li9 поэтому при
достаточно больших Е Det(£)>0, а при Е = Ег и Е = Е2
Det (E) < 0. Следовательно, один из корней уравнения
Det(£) = 0 лежит при Е<Ег, т. е. ниже нижнего
невозмущенного уровня, а другой —при Е>Е29 т. е. выше
верхнего невозмущенного уровня. Таким образом, учет
возмущения методом линейных комбинаций приводит
к отталкиванию уровней.
14. Используем изложенные приближенные методы для
решения задачи об одномерном движении частицы в поле
125

с периодическим потенциалом V(x). Рассмотрим случай
сильной связи, когда ВФ частицы локализована вблизи
минимумов потенциала V(x).
Найдем уровни энергии частицы в поле с потенциалом
V(x) = %U(x-na)9
п
считая известными СФ и дискретные СЗ уравнения
Я0фт = —2~^ + г/(дг)фт = £тФт. .
Пусть £0 есть энергия одного из уровней гамильтониана
Я0. Используем метод линейных комбинаций. Выберем
пробную функцию в виде
•$(х) = %Ап<р(х~па). (6.56)
п
Функции ф(# — па) удовлетворяют уравнениям
~~ 2т У* (х ~ ЛС) + ^ (* — па) Ф (х — па) = £0ф (а: — па).
Используя равенство (6.55), получаем систему уравнений
2 А п (Нтп - ESmn) = 0. (6.57)
п
В силу периодичности потенциала интегралы перекрытия
Smn зависят только от разности /я — п. Матричные
элементы Нтп удобно представить в виде
где введено обозначение
йт-Л = $ф(* — /яд) 2 U(x — na)(p(x — na)dx.
п'фп
Таким образом, система (6.57) принимает вид
2 Лn [ftm_rt - (£ - £0) Sm^n] = 0. (6.58)
Поскольку потенциал V(#) периодический, можно потре--
бовать, чтобы пробная ВФ г|>(#) удовлетворяла
теореме Блоха:
я|> (лг+mc) = eikmaif) (x).
Для этого должны выполняться равенства
Ап = Аё*». (6.59)
19fi

Тогда из формулы (6.58) следует:
£ = £0+^ 77—; (6.60)
здесь введен новый индекс суммирования р = п — т.
Если период потенциала а больше характерной длины
спада функции <р(л:), то с ростом \р\ значения 1гр и Sp
быстро убывают. Это и соответствует предположению
о сильной связи. Учитывая, что S0=l, и пренебрегая Sp
при \р\^1 и hp при |р|>1, мы получим выражение
для энергетического спектра
Е (k)« E0 + hQ + 2h1 cos ka.
Таким образом, в случае сильной связи энергетический
уровень одиночной ямы Е0 превращается в зону ширины
4ЛЬ расположенную в окрестности уровня одиночной ямы.
15. В этом пункте мы рассмотрим задачу об
одномерном движении частицы в поле с периодическим
потенциалом в случае слабой связи, когда в качестве ВФ нулевого
приближения можно использовать ВФ свободного
движения.
Развитые в этой главе методы непригодны для
определения СФ и СЗ непрерывного спектра. Поэтому мы
воспользуемся распространенным приемом, позволяющим
заменить непрерывный спектр дискретным. Потребуем,
чтобы исходная ВФ свободного движения удовлетворяла
требованиям периодичности
я|)(*+Мг)==я|)(*)
и была нормирована на единицу в интервале O^x^Na.
Тогда
щ$~^-ё*. (6.61)
Возможные значения k определяются из условия
периодичности
k"=Wan (л = 0, ±1, ±2, ...). (6.62)
Таким образом, возможные значения k дискретны,
дискретным становится и невозмущенный энергетический
127

спектр
(6.63)
Теперь для определения энергетического спектра в поле
можно использовать теорию возмущений. Это и
соответствует предположению о слабой связи. Учитывая поправки
к энергии до второго порядка, получаем
Еп = Е? +
Na
—ikx
е *
V(x)eiknxdx+
E0(k)-E0(q)
Рис. 19.
(6.64)
Поправка первого порядка ко всем уровням одинакова.
В пределе при N-^oo она
не зависит от N и есть
просто среднее значение
потенциала
En=U = \ J U(x)dx.
— оо
Выражение (6.64)
применимо, если разности
энергий в знаменателе
третьего члена не малы по
сравнению с
соответствующими матричными
элементами в числителе. В силу периодичности потенциала V (х)
входящие в выражение для поправки второго порядка
матричные элементы
<q\v\k)=±^e^*V(x)dx
отличны от нуля, только если
л — я =— /г.
п а
Невозмущенный энергетический спектр двукратно
вырожден по возможным значениям k. Поэтому выражение (6.64)
заведомо теряет применимость в окрестности точек k =
= я/г/а. Возмущенное значение энергии в окрестности
этих точек можно определить с помощью теории
возмущений для двукратно вырожденного уровня. Пренебрегая
128

всеми матричными элементами, кроме <& — 2пп/а\ P\k),
при к, близком к пп/а9 получаем
Ег = 11(£* + £(r) ± V{E*-EqY + №,\ (6.65)
Дискретный спектр как функция п в невозмущенном и
возмущенном случаях изображен на рис. 19. При
значениях kn = nn/a в дискретном спектре (квазинепрерывном
при больших N) возникает запрещенная зона ширины
ДЯ = 2У* q . Отметим, что с возрастанием п размеры
запрещенных зон убывают.
ЗАДАЧИ .
1. Вычислить, ограничиваясь первым порядком теории
возмущений, спектр s-состояний в экранированном кулоновском потенциале
при Х^>а0: Оценить максимальное л, при котором применима теория
возмущений.
- 2. Найти поправку первого порядка к энергии основного
состояния атома водорода с учетом конечности размеров ядра. Ядро
полагать однородно заряженным шаром радиуса /?. Оценить границы
применимости результата для мезоатомов, в которых один из
электронов заменен ц-мезоном (т|Л«а207т^, R «йЛ1^3» 1,25- 10~~i3 см, где
Л —число нуклонов).
3* Вычислить поправку первого порядка к уровням энергии
гармонического осциллятора (й, /и, ©=1) при наличии возмущения
Р = ЕХ*.
4. Показать, что для частицы в s-состояниях в кулоновском поле
центробежный потенциал нельзя рассматривать как возмущение при
Еп ^.Еп •
Указание. В области выполнения неравенства сравнить
результаты с разложением точного решения.
5. Вычислить поправки первого и второго порядков к уровням
энергии гармонического осциллятора (fi, m, со—1) при наличии
возмущения 1/ = е*2. Сравнить с разложением точного решения. Оценить
радиус сходимости ряда.
6. Найти поправку второго порядка к энергии основного
состояния атома водорода в однородном электрическом поле.
Указание. Решить уравнение для поправки первого порядка
к волновой функции я]?{1).
5 П. В. Елютин, В. Д. Крнвченков
129

7. Найти поправку первого порядка к СЗ эрмитовой матрицы"
Я0 при наличии возмущения гУ'-
Чо
0 ft \ Р Я
*2 Г \Я* Г
Сравнить с разложением точного решения.
В условиях задач 6.8—6.12 использованы следующие обозиаче-'
ния: £0, Ег—энергии основного и первого возбужденного состояний,
££, ££—оценки сверху и снизу, б (х, а)—пробная функция.
8. Используя б(х, a)=xch_1(ax), найти Е£ для гармонического
осциллятора, положив ft, т, ca= 1. Проверить выполнение теоремы
вириала.
9. Найти Е+ для гармонического осциллятора, используя
а) б^х, a)=e-aW;
б) б2(х, a)=l-a|x| (|х|<а"1);
в) б3(х, a) = (l + a*2)e~*8.
Указание. При вычислении £ с пробными функциями ех(х)
и б2(*) учесть разрывность б'(х) при х=0.
10. Вычислить ££ для гармонического осциллятора, используя
б(х, а, Р)=е~*а|х| cospx.
Указание. Уравнения для параметров a, p удобно решать
методом итераций, приняв в качестве нулевого приближения для а
значение, полученное в задаче 6.9, а).
11. Используя неравенство (6.45) и пробную функцию (6.46),
найти £^ для гармонического осциллятора.
12. Доказать неравенство
Указание. Рассмотреть интеграл
13. Используя вариационный метод, решить задачу 3.8.
14. Доказать, что с ростом / энергия наинизшего связанного
состояния частицы в центральном поле с моментом / возрастает.
15. Вычислить энергию основного состояния ангармонического
осциллятора (е < 1)
A--g-(j5»+*i)+exS
используя пробную функцию G(x, a)=e"~a**, с точностью до ё2.
Сравнить с результатом задачи 6.3.
130

16. Доказать следующую формулу:
ЕЯ'-^' I v | №-¥„„, <1Й'|1Й>,
используя для определения E<ni .теорию возмущений Бриллюэна*—
Вигнера.
17. Найти поправки первого и второго порядков к энергии
уровня в поле
£/(х)=~<7 «М
при наличии возмущения

Глава 7
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
0, Рассмотрим метод отыскания приближенных СЗ и
*<2Ф для одномерного уравнения Шредингера, носящий
название квазиклассического приближения или метода
ВКБ — по именам Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна.
В этом приближении дискретный энергетический спектр
появляется как множество тех значений Еп% при которых
определенный функционал, зависящий от Е> принимает
значения из заданного набора (см. п.* 1.0).
1. Рассмотрим одномерное УШ для стационарных
состояний
-£3+"<w«-*« <71>
с потенциалом вида U(y) = U0fU4. Вводя безразмерные
параметры
6 ~2т{У0а2' а9 ^ "~ (V
i
мы перепишем (7.1) в виде
где
Подставив в (7.2) решение вида
Ч>(ж)-ёхрГ|5^(ж)Лг1 (7.3)
получим для q{x) нелинейное уравнение Риккати
*i+/-M-«"«0. (7.4)
132

Решение уравнения (7.4) мы будем искать в виде
асимптотического ряда по степеням £, полагая | малым:
ff(*H2(-*sr*w. (7.5)
Подставляя (7.5) в (7.4), приходим к рекуррентным
уравнениям
п
^— 2 9v9n-v (n>1)-
dx ~~
V = 0
С точностью до членов второго порядка по £
Я (*) = <7о - 'Stfi - IV (7.6)
Здесь
Последняя формула есть классическое выражение для
импульса частицы с энергией Е в поле U(x) (в единицах
У 2т(70). Мы сохраним за этой величиной название и
обозначение импульса
q* = p(x) = Vil4(x)f (7.7)
так как в этой главе оператор импульса р не
используется* Следующие члены разложения (7.6) суть
а лл Я'у+fi
Я*(Х) 2^Г-
Разложение (7.5) представляет собой, вообще говоря,
расходящийся ряд. Первые члены его дают хорошее
приближение для q (х), если
Ы*)|>1|*(*)|. (7.9)
Условие (7.9) заведомо не выполняется вблизи точек xk
таких, что
В классическом случае при действительных хк частица
меняет направление движения на противоположное.
Точки хк мы будем называть точками поворота. Функции,
. 133

полученные подстановкой (7.7) и (7.8) в (7.3):
^тш^^т f Pix)dx\ {1ЛЩу
мы будем называть ВКБ-решениями УШ; общее решение
в области, где выполняется условие (7.8), имеет вид
Щх) = а&Г+а-фь1. (7.11)
В дальнейшем безразмерную величину £ мы будем
включать в р(х). Индексы + и — будем называть знаками
2. Рассмотрим случай дискретного спектра УШ. Нам
требуется найти решения ty(x) во всей области их
определения и соответствующие
собственные значения
энергии Еп. Поскольку решение'
(7.10) заведомо не
существует в точках поворота, то
. задача отыскания решений
сводится к установлению
формул связи —правил
сопоставления
q(x<xk)-+ip(x>xk).
р*-\р\ хг Де# Рассмотрим решение (7.11)
в плоскости комплексного х-
Рис 20. Рассмотрим движение в
поле с потенциалом U (х) с
энергией Е такой, что импульс действителен менаду двумя
точками хг и х2 (рис. 20). Значения х на действительной
оси, при которых импульс р (х) действителен, называются
классически доступной областью. Точки хи х2 суть точки
ветвления функции р(х); проводя между точками
поворота разрез, выберем знаки р на берегах разреза, как
показано на рис. 20. Вблизи точек поворота решения
неаналитичны; при обходе вокруг точки Xf по контуру Сг
p(x)-+einp(x)i
_,JL _,JL (7.12)
Неаналитичность ВКБ-решений в точках xk есть
следствие выбранного приближения. Из (7.11) и (7.12) видно,
134

что даже общее выражение (7.11) с постоянными
коэффициентами ак не является асимптотикой решения во всей
плоскости комплексного х.
Для того чтобы решение вида (7.11) было
асимптотически правильным во всей плоскости х> коэффициенты а+,
а_ должны меняться скачком при переходе через линии
Стокса (такое поведение коэффициентов называется
явлением Стокса). Линией Стокса решения г|)£ называется
контур на комплексной плоскости, для точек которого
х
Re$ p(x)dx = 0
*k
и знак мнимой части совпадает со знаком %. На линии
Стокса для г|)± эта функция экспоненциально мала.
Скачок коэффициента при экспоненциально малой функции
не приведет к ухудшению точности асимптотики.
Мы потребуем, чтобы асимптотическое решение (7.11)
было однозначно во всей плоскости х. Будем искать
формулы связи при переходе через линии Стокса в виде
Коэффициенты а, Р называются параметрами Стокса.
Направление линий Стокса определится условиями:
Ц*: arg — i \p(x)dA = 2nn, (7.14)
Ш- arg\ + i\ p(x)dx\ = 2nn. (7.15)
Угол <р, определяющий направление линий Стокса, будем
отсчитывать от положительного направления оси х.
Найдем положение линий Стокса. Вблизи xk их можно
считать прямыми
г— I
ф
р{х)?^АУх—Xi^^Vr e 2,
х ч 3_ Зф
5 p(x)dx^r2 e 2.
Используя условие (7.14), получим
?Ф_И — О™- rn+1 — Я ГП+2 — —
135

Из условия (7.15) для линии [—] имеем
^ + у = 2яп; фГ = я.
Мы выбираем решения, для которых <р е [О, 2я].
Аналогично, вблизи точки х2,
выбирая в интервале <р е
д е [— я, я], найдем
Ф2 =0.
Направления линий
Стокса показаны на рис. 21.
Параметры Стокса а, р,
у для линий, выходящих
из точки л*, найдем, совершив обход вокруг этой точки.
Используя формулы (7.13) и правило перехода через
разрез (7.12), получаем
al*+ + flL4u = [a- + p(a++a-)]r'»"*+ +
+ {a+ + aaL + v[a. + p(al. + aflL)]}e 2 г|>_.
Приравнивая коэффициенты при г|)+, г|ь, находим
Подчеркнем, что эти значения параметров Стокса
относятся к случаю простого нуля функции г(х).
Построим теперь общее решение. В области А
физическое экспоненциально убывающее решение дается
функцией г|>7. В области В решение определяется переходом
через линию [+ Ц и может быть выражено как через г|>*,
так и через г|>±:
.я \ я
Здесь введено обозначение
со = $ р (х) dx.
В области С решение также должно убывать
экспоненциально. Используя выражение г|)В через г|>± и совершая
136

переход через линию [+1]2, в области С находим
Требуя обращения в нуль коэффициента при растущей
функции iff:
е 2 (еш+е~1<») = 09
приходим к. требованию
ю = я(п+1/2). (7.16)
Действительное решение, экспоненциально убывающее
в области А:
"Фл = ФГ^ "4 = -7= GXP
$p(x)d*
*i
приводит в области В к решению вида ,
1
УГр"1
*^;тЬт^($рм^-тУ <7Л7>
л*1
Отметим, что все предыдущие рассуждения относились
к случаю, когда импульс действителен только между двумя
точками поворота.
3. Полученное из формул связи соотношение (7.16)
в обычных единицах имеет вид
J p{x)dx = nh[n + I). ' (7.18)
Это есть правило квантования Бора — Зоммерфельда,
известное из старой квантовой теории. Значения Еп,
вычисленные с помощью этой формулы, мы будем называть
ВК.Б-спектром.
В тех случаях, когда дискретный спектр
гамильтониана удается определить точно, между точными СЗ Еп
и вычисленными методом ВКБ значениями Е'п можно
установить соотношение
Е'п = Еп[\+о[Щ. (7.19)
Таким образом, значения ВКБ-спектра дают хорошее
приближение для высоких уровней.
137

Собственные значения уравнения (7.1) могут быть
представлены в виде
Ея = Е'я+&\ь+6(Р). (7-20)
Выражение для цЛ было найдено Масловым *. Если
в окрестности минимума потенциала U (х) величина f (х) =»
= 0, то при малых п
Й-О®. |i„ = 0(1)."
Таким образом, формула Бора — Зоммерфельда дает
хорошее приближение и для низколежащих уровней, если
Р<1. (7.21)
Неравенство (7.21) является условием квазиклассичности
потенциала U (х) в смысле близости точного и ВКБ-спект-
ров при любых значениях п. Приближение ВКБ
называется квазиклассическим потому, что при выполнении
условия (7.21) квантовый масштаб действия ft мал по
сравнению с величиной S = "J/2ml/0G2, характеризующей
потенциал. Заметим, что рассмотрение четной
потенциальной ямы в пределе, противоположном ква^иклассическому
(£а^1)» приводит к задаче об-яме, рассмотренной в
главе 3.
Рассмотрим потенциальную яму U(x) такую, что
£/(*)< 0, t/+ = lL = 0. Тогда с ростом энергии точки
поворота будут удаляться на бесконечность. Номер
наивысшего связанного состояния N определится из условия
N^ J VWW\dx-±. (7.22)
— оо
Эта формула дает оценку для числа связанных состояний.
Отметим, что Nг^^-1. Неравенство Баргмана (5.50) можно
при I = 0 рассматривать как оценку для числа связанных
состояний с четной ВФ в четном потенциале U(x).
Поскольку уровни различной четности чередуются, то
оо
N^2+l~2\ \f(x)\xdx. (7.23)
о
Это неравенство дает оценку N~£~2; для
квазиклассического случая (£2<<1) оценка (7.22) значительно лучше.
Отметим, что интегралы в правых частях (7.22) и (7.23)
сходятся при одинаковых условиях: при х->оо |/(х)| =
= о (*-*), при х->0 f(x) = o(xrl).
138

Величина в левой части равенства
§pdx = 2nH(n+±\ (7.24)
определяет объем фазового пространства, охваченный
классической траекторией. Поэтому, основываясь на равенстве
(7.24), говорят, что одному связанному состоянию в
фазовом пространстве соответствует объем 2nh на одну
степень свободы.
4. Рассмотренные выше ВКБ-решения для дискретного
спектра не были нормированы. Рассмотрим
нормированные ВКБ-функции для состояний дискретного спектра
с большими п. Так как вне классически доступной
области ВФ экспоненциально убывает, то основной вклад
в нормировочный интеграл будет вносить область между
точками поворота. Можно потребовать, чтобы
где А — нормировочная постоянная, а $в определяется
формулой (7.17):
\ = А%^ р~1 (х). cos2H p(x) dx-~\dx.
При больших п можно заменить быстро осциллирующий
квадрат косинуса его средним значением. Таким образом,
находим
*i
Вблизи точки поворота нормированная плотность
вероятности в квазиклассическом приближении имеет вид
тоМ^*^ ! К dx Г .
Определим теперь классическую функцию распределения
вероятностей в одномерном случае W(x) следующим
образом: W(x)dx есть отношение времени, в течение
которого частица находится в интервале йх% к периоду
139

движения. Тогда
1- 1
Х2 "I- 1
f dX
} \/e-u(x)\ :
Таким образом, вблизи точек поворота в классически
доступной области ВКБ-функ-
ция распределения w (х)
стремится к классической
функции распределения W(x).
В рассматриваемом нами
случае больших п
существует связь между величиной
нормировочных постоянных
Im4 ,ч/ о +ts„ An и вид™ энергетического
спектра Е (п).
Дифференцируя выражение (7.18) по п,
получаем
(7.26)
Так как по определению
р2 = 2т [En-U(x)l
то
dEn ^ р
dp m*
Таким образом, равенство (7.26) принимает вид
^=«tff- " <727>
хх
Интегралы в правых частях (7.25) и (7.27) совпадают.
Итак, находим соотношение
5. Рассмотрим ВКБ-решения УШ для состояний
непрерывного спектра. Пусть частица находится в поле
потенциального барьера U (х) с энергией, меньшей
максимального значения U (рис. 22). Такой случай соответствует
задаче о подбарьерном прохождении.
140

Пусть при х>х2 р(х) = \р(х)\. Тогда импульс р(х)
можно представить в виде
р(х) = С (х) V(x-xi)(x-x2).
Здесь С (х)— функция без нулей.
Найдем направления линий Стокса из точек хг и х2.
У точки поворота хх
р(х) ъСгV(x-Xi)ein(x2-x)~Сх}/7е V*"+ т\
]p(x)dx^r2e Vs "*" *)m
Отсюда находим направления линий Стокса: -
У точки поворота х2 импульс р(х) можно представить
в виде
р{х)р^С2Ух-Хъ~С2Уге 2.
Направления линий Стокса в точке х2:
4>i1==-J. 9its= —я. Ф21==-J ,. Ф22 = я.
Направления линий Стокса показаны на рис. 22.
При решении одномерного УШ для состояний
непрерывного спектра мы отыскивали решения, асимптотиками
которых при *-**±оо являлись ВФ свободного
движения — одномерные волны eikx. ВКБ-решения аналогичны ВФ
свободного движения на сопряженных линиях Стокса —
линиях, на которых .
х
Im \p(x)dx=>0. (7.29)
xk
В нашем случае сопряженные линии Стокса совпадают
с лучами вдоль действительной оси х>х2 и х<.хг.
Направление потока вероятности на сопряженных
линиях Стокса определяется правилом Хединга: Если
решения я|$, я|£ убывают в верхней полуплоскости, то на
сопряженных линиях Стокса они описывают поток вправо.
Так, при х>х2 волне, распространяющейся вправо,
соответствует я|£: в области С, ограниченной осью х и линией
141

4>B=4?£=4>i"exp[
Стокса [+1], решение ift убывает (по определению
решение ф£ экспоненциально мало .на линии [+1]).
Установим формулы связи между ВКБ-решениями
в областях А и С:
Ai] p(x)dx = #?*,
Так как в области A p(x)=et3l\f>wi9 то решения,
представляющие в этой области простые волны, даются
формулами
Используя эти выражения, находим формулу связи
qt+e~iJ*'ifi+-e-K<pt (7'3°)
Физическая интерпретация формулы связи (7.30)
очевидна. В области С существует только поток вправо
(распространение частицы, прошедшей за барьер). В области А
существуют потоки вправо и влево, соответствующие
падающей и отраженной частице. По определению, данному
в п. 3.3, находим ВКБ-выражение для коэффициента
прохождения:
D(E)
Г **
V2m(E-U(x))
dx\. (7.31)
6. Рассмотрим ВКБ-решение в непрерывном спектре
при £>1/0. В этом случае на действительной оси точки
поворота отсутствуют. Мы ограничимся рассмотрением
простейшего случая, когда уравнение
р(х)«0
имеет два комплексно-сопряженных корня (рис. 23):
Точки хи х2 мы будем называть комплексными точками
поворота. Проводя между точками поворота разрез и
полагая
x = a+i£f dx=e 2 d£,
142

запишем выражение для импульса вблизи точек поворота:
р (х) = А (х)У(х-хг)(х-х2), (7.32)
где А (х) — действительная функция без нулей. Положим
р (z) s | р (г) | на правом берегу разреза; угол <р будем
отсчитывать от положительного направления мнимой оси.
Тогда вблизи Хх
*-*1 = ^(£-р).
(7.32), можно
Учитывая
записать
р (х) я^ Ах ]/V в
$p(x)dx*
'(f + f)
«я+з^
Отсюда-
Rex
■направление линий Стокса у точки хх будет:
<рГ = -
<pf =я,
«Pi1 = — я,
<РГ
У
У точки х2 аналогично находим
u+i __ 2"
*Г =
<р£2 =2я,
Фз1 =0,
Фа2 =
4л
Сопряженные линии Стокса выходят из точки Хх под
углами
< = Т. 44-= - Т
и лишь асимптотически приближаются к действительной
оси при *->±оо. Расположение линий Стокса [+], [—]
и сопряженных линий Стокса {0} показано на рис. 23.
Рассмотрим формулы связи для ВКБ-решений на 01 и
на 02:
tyc = i|>o> Ч>в = Цо>
4>л = * + е'^. (7'33)
По правилу Хединга на 02 функция фГ соответствует
потоку вправо, tyo — потоку влево, на 01 направления
обратные. Деформируем контур интегрирования для х, далеких
от а, придвинув контур к действительной оси и разрезу
143

(рис. 24). Тогда
х а х к
i \pdx?vi \pdx-\-i \pdx. (7-34)
Xg Xt a x
Положим .
fc = Im — 5 p(x)dx.
Тогда на левом берегу разреза первый из интегралов в
правой части (7.34) есть —k/2 и
k , . я k
где введено обозначение
2 Ш,
VS*
k
*е 2 ^,
. (7.35)
а индексы i?, L соответствуют потокам вправо (R) и
влево (L). Направление определяется по правилу Хединга
для ВКБ-решенМ г|)±.
Подставляя (7.35) в формулы
перехода (7.33), получим
-*-1*(С). (7.36)
* Физическая интерпретация
Кед? этой формулы очевидна. В
области С существует
только поток вправо
(распространение частицы,
прошедшей за барьер). В области А существуют потоки
вправо и влево. ВКБ-выражение для коэффициента над-
барьерного отражения, согласно определению, данному
в п. .3.3, есть
Рис. 24.
Я(£)=<г2* = ехр
|- \ Im J ]/2m[E^U (х)] dx\. (7.37)
7. Применимость квазиклассических выражений для
коэффициентов прохождения и отражения можно оценить
144

с помощью уравнения непрерывности. Для подбарьерного
прохождения
/л = 0, Jc = D(E)
(мы предполагаем, что поток вправо в области А
нормирован на единицу). Аналогично, для надбарьерного
отражения
Нт/л=1-Я(£), Нт/с-1-
Таким образом, область, в которой потенциал U(x)
заметным образом отличен от нуля, действует как источник
частиц. Это физически неудовлетворительно; поэтому
выражениями (7.31) и (7.37) можно пользоваться только при
условиях
D(£)<1, Я(£)<1.
Эту трудность можно обойти, потребовав, чтобы
коэффициент при экспоненциально большой на линии Стокса
функции (ф+ на линии [—], ^г на линий [+]) менялся
так, чтобы выполнялось уравнение непрерывности.
Полагая (для подбарьерного прохождения)
и требуя сохранения тока в асимптотической области,
получаем
откуда
D<*>=i7F^' R{B>-i+h*- (7-38)
Аналогично, для надбарьерного прохождения
Такое приближение, лежащее за пределами метода ВКБ,
называется приближением Кембла. Коэффициенты D (Е) и
R{E) в приближении Кембла дают результат, близкий
к точному, при любых Е для полей с потенциалами
Щ{х/а) при
£2<1.
Отметим, что при £ = {/0 в этом приближении D = /?=1/2.
146

Представим выражение для коэффициента надбарьер-
ного отражения (7.37) в виде
1?(£)-ехр|-|н1т5|/"1-^л1
где
й „ 2тЕ
* "" U0 *
Для высоких энергий (и2>>1) интеграл в правой части
может быть представлен как разложение по степеням тс1:
J?(£)-exp[~|-(al+-*- + ...)]. (7.40)
Очевидно, наиболее существенную роль играет первый
член (7.40):
Д(£)^ехр (-^flij) = exp (_fll?£SyE).
Показатель экспоненты не содержит характерной глубины
потенциала 1/0. Таким образом, в приближении ВКБ
коэффициент отражения при заданной энергии останется
конечным и при (/0->0, что физически неудовлетворительно.
Поэтому для рассмотрения надбарьерного отражения
частиц высоких энергий точность принятых асимптотических
решений оказывается недостаточной *.
8. Выше мы рассматривали ВКБ-решение для
одномерного УШ (7.1). Результаты могут быть использованы
и в тех случаях, когда УШ допускает разделение
переменных в криволинейных координатах. Особенно большой
интерес представляет случай центрального поля U (г) =*
= U0f (г/а), так как к этому случаю приводит задача двух
тел. Уравнения для радиальной R(r) и угловой F(6)
частей ВФ имеют вид
' 'HwI + H-tS^O; (7.42,
sine (to
здесь Л—константа разделения. Эти уравнения относятся
к типу более общему, чем (7.1), а именно:
146

Такое уравнение можно привести к виду (7.1)
бесконечным числом способов, определенных с точностью до
произвольной непрерывной, функции у(х); замена
где
сводит уравнение (7.43) к квазиклассическому виду
щ* + [у'(х)Пг(х)+з(х))<е=о,
t(x) = lln[9(x)y'(x)}.
Соответствующее квазиклассическое решение (в исходных
переменных) имеет вид
$± х) = ^4= [г (х)+s (х)\- »* ехр [± i \ Vr(x)+s{x)<b\.
(7.44)
В качестве дополнительного условия потребуем, следуя
Пономареву, чтобы квазиклассическое решение (7.44)
в особых точках уравнения (7.43) имело степенную
асимптотику.
ф(х) = х*(с1+с2х+...)
с тем же показателем v, что и точное решение. В случае,
когда р(х) имеет простой нуль, этому условию отвечает
преобразование
У=\$к' *&<*>] = *<*>• (7.45)
приводящее к равенству
s(x) = 0.
Для уравнения (7.41) эта процедура нуждается в
изменении, так как р(х) имеет нуль второго порядка. Начнем
с уравнения (7.42):
0(6)~lntg(6/2).
147

ВКБ-решение в классически доступной области есть
Y (6) = ,-т=1= cos \\р (6) db - £ ,
где
Константу разделения определим из условия квантования
fit
С V— Л(1-*2)-т2 / 1\
J -—гаН—л-я(/1в+Т),
ei
где x = cos6. Вычисляя интеграл, получаем
А = - (яв+1 т | +1/2)2 = - (/ +1/2)2 — Я2,
что отличается от точного значения константы разделения
Л0 = —/(/+1).
ВКБ-решение для угловой ВФ имеет вид
™-Yt F=r(»-=f "■*
\ J r sin36 4 /
При ^2>>m2siir26 это выражение переходит в
Ylm® = Y- 1лЧ cosfxe-^L-^-).
г п К sin 6 \ 2 4/
Подставляя полученное значение константы разделения А
в уравнение (7.41) и используя преобразование
Пономарева (7.45), которое в настоящем случае имеет вид
У(г) = г-\
найдем квазиклассическое решение радиального уравнения.
Собственные значения энергии определятся из условия
квантования для радиальной компоненты
^yn-f(x)-^dx = nl(nr + ±).
148

Отметим, что для любых несингулярных потенциалов
квазиклассическое радиальное УШ имеет по крайней мере одну
действительную точку поворота при любых энергиях, так
как даже в s-случае центробежный потенциал отличен
от нуля.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что ВКБ-решение применимо тем ближе к
действительной точке поворота, чем больше в ней V (х).
2. Найти ВКБ-спектр гармонического осциллятора.
3. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале Морза
4. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
£/(*)»--£/0с1г2(х/а).
5. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
U (х)«£/0ф(ях/4, \*\<Ф-
6. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
"«-"•(т-тг)"- х>0-
7. Найти ВКБ-коэффициенты D (£), R (Е) в поле с потенциалом
Использовать приближение Кембла. Сравнить с точным решением.
8. Разложив потенциал
(У(х) = £/0с1г2(*/а)
до членов ~х2, найти ВКБ-коэффициенты D(E), R(E) при E^^U09
используя результат задачи 7.7. Сравнить с разложением точного
решения при £2 <^ 1.
9. Найти ВКБ-коэффициент R (Е) для частицы в поле
Рассмотреть случаи U0>0, £/0<0.
По принципу построения формул связи ВКБ-приближение
пригодно для решения УШ только с аналитическими потенциалами.
Однако в ряде случаев для оценки коэффициента подбарьерного
прохождения D (Е) можно использовать и разрывный потенциал, так как
интеграл в показателе экспоненты (7.31) нечувствителен к наличию
разрывов. Для рассмотрения надбарьерного отражения использование
разрывных потенциалов недопустимо.
149

10. Оценить ВКБ-коэффициент прохождения D (Е) в поле с
потенциалом (рис. 25)
U(x)**-U0 (*<0),
U(x)w—Fx (*>0).
Такой потенциал представляет интерес для описания холодной
эмиссии электронов из металла в электрическом поле напряженности F.
Величина UQ соответствует работе выхода.
V,
J
1
Г\
•*
Z
V
\
Рис. 25.
Рис. 26.
11. Показать, для радиального УШ в сферических координатах
использование точной константы разделения Л0=/(/+1) и
преобразования Лангера
у(г) = \пг
приводит к тому же ВКБ-решению, что и преобразование Пономарева.
12. Найти ВКБ-спектр частицы в кулоновском поле.
13. Найти ВКБ-спектр сферического осциллятора
14. Показать, что в квазиклассическом приближении условие
существования связанного состояния в поле
"М — У/г*
совпадает с точным.
15. Найти условие ВКБ-квантования для уровней энергии в
потенциале, имеющем вид двойной ямы (рис. 26).

Глава 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
0. Многие физические свойства веществ определяются
в конечном счете кулоновским взаимодействием
электронов и ядер. Поэтому задачи о спектрах систем
заряженных частиц представляют большой интерес. Простейшая
задача о спектре частицы в кулоновском поле была
рассмотрена в главе 5. В этой главе ,мы рассмотрим более
сложные случаи, используя приближенные методы.
1. Рассмотрим расщепление уровней атома водорода
в однородном электрическом поле (эффект Штарка). Пусть
напряженность поля F такова, что энергия расщепления
мала по сравнению с разностями уровней невозмущенного
спектра, но велика по сравнению с энергией
спин-орбитального взаимодействия (см. главу 10). Потенциальная
энергия в атомной системе единиц имеет вид
U(r) = -±+Fz. (8.1)
Так как функция £/(г) инвариантна относительно
вращения вокруг оси г, то проекция 1г является интегралом
движения. Далее, при отражении в плоскости,
проходящей через ось г, проекция 12 изменяет знак, а функция
(У (г) остается неизменной. Следовательно, стационарные
состояния, отличающиеся только знаком проекции момента,
имеют одну и ту же энергию.
Невозмущенные стационарные состояния атома
водорода вырождены с кратностью п2. Если в качестве базиса
при вычислениях по теории возмущений выбрать общие
СФ операторов Я0> I2 и 4, то при заданном значении m
для отыскания первой поправки к энергии надо решить
секулярное уравнение степени (я — \т\).
Задачу можно упростить, если в качестве базиса взять
другие функции, симметрия которых соответствует
симметрии £/(г). Характер потенциального поля таков, что
151

начало координат является выделенной точкой, а
направление электрического поля — выделенным
направлением. Такой симметрией "обладает параболическая система
координат, если фокус семейств параболоидов вращения
поместить в начало координат, а ось вращения направить
вдоль оси z. В этом случае
X = V¥\cosq>9 y = V¥\$inq>, 2 = ^(g-T]). (8.2)
Такая система. координат ортогональна. Квадрат длины
дуги определяется выражением
а элемент объема
Уравнение" Шредингера имеет вид
_ 1Г 4 _д_ит, _4 ^/ дГ\ , _L.£♦ 1 _
2 LE+n di \« di) + б+л ап V' ftj + бп *Н
-|^* + Т<^Ч)*~£»- (8.3)
Разделим переменные, полагая
* = »!©«■ (4)^=-. (8.4)
Тогда уравнения для функций их и и2 примут вид
S^ + t + (-3f--41-S-TP+*.)«.-0.(8.5)
Константы разделения ^ и Я2 удовлетворяют условию
Я1 + Я2=1. (8.7)
Мы будем искать поправки к энергии в первом
приближении, поэтому положим в уравнениях (8.5), (8.6) F = 0 и
найдем невозмущенные ВФ в параболических координатах.
Число поверхностей, на которых ВФ обращается
в нуль*, зависит от значения Е (£ = —1/2и2), а не от
вида системы координат. Если обозначить через гг± и л2
число нулей функций их и и^ то
«i + «a + |m| + l=n. (8.8)
152

Числа пг и «2 называются параболическими квантовыми
числами. Так как оператор
эрмитов на полупрямой (0, оо), то решения уравнений
(8.5) и (8.6), соответствующие различным значениям пг
и п2, ортогональны. При пхфп\
\иг(1; п'и £, т)иг(1; ль £, m)dg = 0. (8.10)
Из ортогональности функций нь щ, и из условия
я1 + Яя = Я1 + «2
следует, что недиагональные матричные элементы
оператора возмущения равны нулю:
(п[, /4 /n|Fz|rtlf п2. ™> =
- J ^^©^©(Р-Ч1)^;^»^^!7^^. (8.11)
Следовательно, при нахождении поправки £(1) отпадает
необходимость решать секулярное уравнение: найденные
ВФ в параболических координатах являются правильными
в смысле п. 6.8.
Найдем поправки к значениям энергии уровней атома
водорода:
£(1) e L Rro^Wg-ifl**! ,g 12)
Подстановками
где
Pi = |/ ft—J, (8.14)
уравнения (8.5), (8.6) можно привести к виду (5.15):
R'^R'+{t-i-^)R^°- (8Л5)
Полагая функции Rt нормированными условием
мы представим выражение для поправки к уровням в виде
£(*> = -£-и fag-gj> . (8.16)
153

3. Рассмотрим задачу о движении электрона в поле
двух кулоновских центров 1 и 2, находящихся на
расстоянии R друг от друга. Такая модель используется,
например, для описания
молекулярного иона водорода
Щ. Применительно к этому
случаю рассмотрим
вычисление энергии основного
состояния электрона в поле
одинаковых кулоновских
центров Z1 = Z2 = 1.
Используем метод
линейных комбинаций, изложенный
в п. 6.13. Вблизи каждого из ядер поле близко к чисто
кулоновскому; положим
где фо (г) — нормированная ВФ основного состояния атома
водорода:
ФоМ —
v\
nag
.e-r/co#
Гамильтониан системы имеет вид
Я = -
д__£? е2 . е2
где /? —расстояние между ядрами, гг и г2 — расстояние
электрона от первого и второго ядер (рис. 27). Так как
Sn = S22 = 1,
Яи = Я22 = Я,
то решение уравнения (6.55) имеет вид
#±#12
£+ =
(8.27)
-~ 1±S12 •
Подстановка полученных значений в (6.55) дает
«!= ±02.
Поэтому экстремальная нормированная пробная функция
есть
1 (ФХ±Ф2). (8.28).
6-ЧФ
K2(1±5W)
156

Матричные элементы имеют вид
#12 = S12 (-J- - ~j - е2 J i- ф0 (гх) ф0 (г2) rfr.
Для вычисления интегралов удобно использовать
конфокальные эллиптические координаты, определяемые
соотношением
6 = -
Ф = Ф,
(8.29)
где ф — азимутальный угол. Элемент объема в этих
координатах есть
dV=-x(P-if)dgAid'p.
Тогда
S12=(l+y+±y2)e-y,
(8.30)
где y = RaQl. Зависимость £+ и £_ от расстояния между
ядрами показана на рис. 28.
Минимальное значение Е
соответствует симметричной функции
е+=711ад[фо(Г1)+фо(Г2)ь
При #0 = 2 £J = — 0,554, '£о =
= — 0,161 (в атомных единицах).
Значение ££ меньше, чем сумма
энергий основного состояния
атома водорода Els и удаленного на
бесконечность протона: возникает
устойчивое состояние иона HJ. В Рис. 28.
этом состоянии, описываемом
четной относительно перестановки ядер функцией б+,
вероятность нахождения электрона между ядрами больше, чем в
антисимметричном состоянии.
Точное значение Е£ = — 0,6026 находится в
приемлемом согласии с результатом наших вычислений. Следует
157

учесть, что в нашем расчете предполагалась малость
величины
у-тИ1' (8'31>
так как только при этом условии ВФ основного
состояния атома водорода можно использовать как ВФ
нулевого приближения. В наиболее интересной области —
в окрестности минимума £+ —значение £г*я«0,5 с трудом
удовлетворяет требованию (8.31).
Энергия иона Щ есть функция расстояния между
ядрами En(R). В нашем расчете ядра предполагались
фиксированными. В следующем приближении функции
Еп (R) — электронные термы — можно рассматривать как
эффективный потенциал взаимодействия между ядрами и
решать задачу о движении ядер в таком потенциале.
4. Выражение (8.27) представляет собой полученную
вариационным методом оценку сверху для электронных
термов. Эта оценка не дает правильной асимптотической
зависимости En(R) при /?-»-оо. В самом деле,
при'больших R ВФ электрона можно считать локализованной
в окрестности одного из ядер (припишем ему заряд Zt)
и описывать ее квантовыми числами пъ п2, т (или nr, I, т),
а поле, создаваемое вторым ядром (с зарядом Z2),
считать однородным:
F = Z2eR~2t (8.32)
и рассматривать как возмущение. Тогда для
возбужденных состояний с отличным от.нуля дипольным моментом
будет отлична от нуля поправка к энергии первого порядка:
и во всяком случае будет отлична от нуля поправка
второго порядка:
E™(R) = ^(Z2eR~*)*. (8.33)
Эти поправки с ростом R убывают степенным образом,
а не экспоненциальным, как S и Н^ в п. 8.3.
Электронные термы, соответствующие ВФ, локализованным вблизи
ядра Zlt называются Д-термами задачи двух кулоновских
центров.
Отметим, что использование теории возмущений для
вычисления сдвига уровней атома водорода однородным
158

электрическим полем нуждается в той же оговорке, что
и вычисление по теории возмущений уровней энергии
ангармонического осциллятора. Потенциал возмущающего
поля неограниченно убывает при больших г, и система
обладает только непрерывным энергетическим спектром.
Однако вычисленные поправки имеют смысл как члены,
пропорциональные Z2R~2 и
Z\R-* соответственно в
разложении Zi-термов задачи двух
кулоновских центров при
5. Электростатическое *
взаимодействие может играть
существенную роль и при
взаимодействии между
электронейтральными атомами. Энергия электростатического
взаимодействия между двумя атомами с зарядами ядер Zx и
Z2 имеет вид
Z\ Z2 Z\ Z2
R jL 'rba jL rcP ^ Ал Zd r<$;
Электроны атомов а и Ь нумеруются индексами аир
соответственно. Обозначения переменных показаны на
рис. 29. При расстояниях R, больших по сравнению
с атомными:
Я>|г«|, |гр|,
имеет смысл разложить оператор 9 по степеням r/R.
Учитывая соотношения
1 _ 1
1
1
1
Га$ jRn+rp—ra|
1 , (Г(5-Га. П)
К") . 3^аП)»-Г&
fan) 3(rpn)2+r|
1
2Д3
3(Г(5-Га, П)2-(Га-Гр)2
Д~ Д2 ~ 2Д» T-'-f
для энергии взаимодействия нейтральных атомов получаем
Z\ Z2
$ = —& 2 2 {3(r„n)(r&n)-rarp}+... (8,34)
159

В разложении V по степеням r/R первый член,
пропорциональный /?~3, соответствует диполь-дипольному
взаимодействию, второй (<^R*) соответствует диполь-квадру-
польному взаимодействию и т. д.
Поправка к энергии первого порядка по диполь-ди-
польному взаимодействию может быть отлична от нуля,
если атомы (водорода) находятся в возбужденных
состояниях с отличными от нуля значениями дипольного момента.
Поправка, пропорциональная R~3, может быть отлична
от нуля и при вычислении взаимодействия между
произвольными одинаковыми атомами, находящимися в
различных состояниях tym и я|>л, и в том случае, когда средние
значения дипольного момента в этих состояниях равны
нулю (т. е. в отсутствие случайного вырождения). В
случае двух атомов состояния системы я|?т (l)\J?n(2) и i|?w(l)i|>,„(2)
обладают одинаковой энергией. Поэтому при вычислении
поправок к энергии системы под действием возмущения
(8.34) следует использовать теорию возмущений для
вырожденных уровней. Входящие в секулярное уравнение
матричные элементы V12 могут быть отличны от нуля;
поправки к энергии будут равны
Е\% = ± <m, n | V \ п, т). (8.35)
Отметим, что при вычислении (8.35) атомы
предполагаются ориентированными. Для системы без выделенных
направлений среднее по ориентациям значение поправки
(8.35) есть нуль. Отличный от нуля вклад члены
резонансного днполь-дипольного взаимодействия дают при
наличии выделенных направлений (например, полем в
кристаллической решетке).
6. Если в атоме распределение заряда обладает
сферической симметрией, то все электрические мультиполь-
ные моменты обращаются в нуль. Поэтому в первом
порядке теории возмущений в нуль обращаются средние
значения всех членов в операторе V(R). Во втором
приближении энергия взаимодействия имеет вид
у<*> (Я) = - yJMJML.. (8.36)
т, п
Если атомы находятся в основных состояниях, то
160

и взаимодействие (8.36) соответствует притяжению силами
Ван-дер-Ваальса
F2(#)~#-6. (8.37)
Рассмотрим более подробно взаимодействие двух
атомов водорода. Ограничимся диполь-дипольным
взаимодействием
и = — ^з (2ад8 - *i*2 - УхУ*)- (8.38)
В первом приближении теории возмущений ВФ системы
двух атомов имеет вид
> <л|«|0>
♦-*+Г-№*.
где ВФ невозмущенного состояния я|>0 в атомных
единицах имеет вид
Оценим константу, входящую в (8.37), вариационным
методом. Учитывая, что
% (п\и\0)% = -Ц0(0\и\0)+%(п\и\0)%=и%,
п п
в качестве пробной функции в вариационном методе
используем однопараметрическую функцию
»(1+>1«)— (839)
Для среднего значения энергии получим выражение
Так как
Е = II И1**»)2 | х* <fr")*+(W /840)
~Г (1+Я.и)2 "*" 2 (1+Я.и)2 ' К ' '
то
** = #,= 2, = 0,
12
м (8.41)
(V!«)2 + (V2«)2=^.
6 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков 161

Используя соотношения (8.40) и (8.41) и пренебрегай
членами, убывающими быстрее, чем i?~6, получим
- £ = -1+£(х+£). (8.42)
Из условия стационарности Ё получаем к = —1. Поскольку
для оценки £(2) (R) мы пользовались вариационным
методом, то результат (8.42) представляет собой оценку сверху
V{2)(R)<-^ (8.43),
Для получения оценки снизу в формуле {8.36)
заменим все Еат и ЕЬп на значение энергии первого
возбужденного состояния
р -*? _ J__— __ {
*Еа2 — &№ — 2 • 22 — ТГ"
Тогда
{ V& (R)>-^%' \(тп\и\0 0)\\
Так как
Ц/|<тл|«|0 0>|2 = <0 0|«2|0 0>-|<0 0|«|0 0>|2;
то
Таким образом, для потенциала сил Ван-дер-Ваальса,
действующих между двумя атомами водорода, получаем
оценку
-~<V(/?)<-£. (8.44)
Более точные вычисления приводят к значению
константы 6,5.
71 Поясним то обстоятельство, что нейтральные атомы
притягиваются в результате электростатического
взаимодействия, хотя все электрические мультипольные моменты
равны нулю. Для ВФ в первом приближении мы получаем
выражение
-ф = -фо ('i*)> Ы) [ 1 + ^ (2zxZ2 - х±х2 - угуг)\. (8.45)
Если пренебречь членами, пропорциональными R~6> то
плотность вероятности для электронов будет иметь вид
= w (rla) w (r2b) [l + ~ (2ггг2 - хгх2 - j/^2)]. (8.46)
162

Таким образом, и при учете диполь-дипольного
взаимодействия распределение зарядов в каждом атоме остается
сферически-симметричным:
\ W (г1а, гм) dr.2b = w (rla).
Однако ВФ (8.45) нельзя представить в виде
* = ф(^т)ф(^)-
Между положениями электронов в атомах с ВФ (8.45)
существует корреляция, причем более вероятны состояния
с меньшей энергией. Таким образом, существование сил
Ван-дер-Ваальса в первом приближении можно объяснить
не деформацией электронных оболочек, а корреляцией
между положениями электронов.
Докажем аддитивность сил Ван-дер-Ваальса на
примере системы, состоящей из трех атомов. Запишем энергию
взаимодействия в виде
V=V(h 2) + V<2f 3) + V(3, 1),
где черед 1, 2 и 3 обозначена совокупность координат
первого, второго и третьего атомов. ВФ системы в
нулевом приближении представим в виде
*-*el(l)*ft*(2)»cf(3)f
где индексы i9 k, I указывают квантовые состояния
атомов а, Ь, с. Функции я|)Л£- (1), принадлежащие различным
состояниям *, ортогональны.
Во втором порядке теории возмущений энергия
взаимодействия имеет вид
£ = <0 0 0|У|0 0 0> +
1_<Ш|Р|000>|« (g47)
+г
£«о + Ebo + £со — Eai — Еы — Ес
Индекс 0 соответствует основному состоянию. Первый
член в (8.47) описывает энергию классического
взаимодействия мультиполей и в нашем случае равен нулю.
Во втором члене все слагаемые, в которых одновременно
U ky I ф 0, исчезают вследствие ортогональности
исходных ВФ:
<i£/|I/(l, 2)|0 0 0> = <Jft|V(lf 2) 10 0></10> = 0. (8.48)
Частные суммы, в которые входят слагаемые с4одним
отличным от нуля индексом, учитывают поляризационные
6* * 163

взаимодействия в результирующем поле двух остальных
атомов. В случае, когда распределение зарядов в атомах
обладает шаровой симметрией, эти суммы также исчезают.
Заметим, что эти суммы не могут быть получены путем
аддитивного учета энергии взаимодействия каждой пары
атомов.
Таким образом, в выражении (8.47) сохраняются только
члены, в которых два индекса ky l отличны от нуля. При
сделанных предположениях относительно распределения
заряда в атомах энергия взаимодействия может быть
разложена на три частных суммы:
£= V \(^0\У\000)\2 ■ \1' 1 (О k 11 V 1 0 0 0) I2 .
| (i 0 /1 V 1 0 0 0> !*
+r
(8.49)
Eao+ECQ — Eai — Eci '
Так как
<tfeO|l/|000) = <tfe!F(l,2)[00>,
то выражение (8.49) состоит из трех слагаемых, каждое
из которых описывает взаимодействие пары атомов силами
Ван-дер-Ваальса. Легко видеть, что этот расчет может
быть распространен на произвольное число атомов.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в состоянии атома водорода с параболическими
квантовыми числами п4, п2 проекция вектора Рунге—Ленца на
ось г есть
А — п*~~п*
г п
2. Доказать, что в классическом случае при движении в поле
(/(г)=-*-- Fr
г
сохраняется величина
B = AF+l[Frp,
где А—вектор Рунге—Ленца. Показать, что соответствующий кван-
товомеханический оператор коммутирует с гамильтонианом.
3. Определить наибольшее значение квантового числа я, при
котором движение электрона в поле (8.1) остается квазифинитным
(имеет три действительных точки поворота).
164

4. Выразить квадрупольный момент заряженной частицы в
центральном поле через средний квадрат ее расстояния от центра.
5. Оценить величину квадрупольного расщепления уровней атома
водорода в поле удаленного ядра Z2 на расстоянии R.
6. Рассмотреть методом линейных комбинаций возможность
существования иона Het++.
7. Оценить вариационным методом поляризуемость системы двух
частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом
C/(r) = —fft(/--a)9 .
в s-состоянии. Частицы считать заряженными, но кулоновским
взаимодействием пренебречь.
8. В случае a2^>ti2fma2 систему, описанную в предыдущей
задаче, можно считать по свойствам близкой к жесткому ротатору
классической механики Напомним, что непосредственное наложение
связей в квантовой механике невозможно. Найти уровни энергии
такой системы.
9. Найти поправку второго порядка к уровням энергии «жесткого
ротатора» с дипольным моментом d в однородном электрическом поле.

Глава 9
РАССЕЯНИЕ
0. В главе 5 мы рассматривали стационарные
состояния дискретного спектра для задачи двух тел,
взаимодействие которых можно описать потенциалом U {г). При
этом нас главным образом интересовали свойства спектра,
а не волновых функций. Если при г->оо потенциал
взаимодействия обращается в нуль, то при £>0
энергетический спектр будет непрерывным. При рассмотрении
состояний непрерывного спектра нашей основной задачей
будет отыскание волновых функций, удовлетворяющих
определенным граничным условиям.
Решение стационарного УШ
^[Ё+^Ф = £* <9Л)
при г->оо имеет асимптотический вид ВФ свободного
движения. Мы будем искать решения УШ (9.1), которые
при г->оо имеют вид суперпозиции плоской волны и
расходящейся сферической волны:
^ (г) те e*r + ^ eikr. *(9.2)
Здесь мы ввели волновой вектор к, определяемый
соотношениями
р-ftk, £ = ^. (9.3)
Выберем ось сферической системы координат в
направлении волнового вектора к падающей волны. Тогда такую ВФ
можно записать в виде
% (г, б, <р) те <?*+f (*; 6, » ^. (9.4)
Волновую функцию (9.2) можно интерпретировать, по
аналогии с (3.25), как суперпозицию ВФ падающей частицы
с заданным импульсом р=йк, испущенной источником,
166

удаленным на бесконечность, и ВФ частицы, рассеянной
в центральном поле. Поскольку гамильтониан Н
инвариантен при поворотах вокруг оси z (оси сферической
системы координат), то граничное условие также можно
выбрать инвариантным:
(9.5)
%(г, е, <р)~в**+/(в)^.
1та
■ <
Волновые функции, имеющие асимптотический вид (9.5),
мы будем называть волновыми функциями рассеяния,
а задачу их отыскания — прямой задачей рассеяния.
Коэффициент при расходящейся волне
в ВФ рассеяния (9.5) называется
амплитудой рассеяния.
1. Рассмотрим поток
вероятности j(r), соответствующий
волновой функции (9.4). По определению
l^^WW-ГШ (9.6)
В пределе г ->• со, используя асимп- Рис- 30-
тотическое выражение для
волновой функции и сохраняя лишь наиболее медленно
убывающие члены, получаем
Re*
-/
— ibS^k ъ tikne^ + hkxf (В) -
eikr
(9.7)
где
ti'
к
v =
Подставляя (9.7) в (9.6), находим
т
1 k
j = kn +^г - (n + v) [f (6) er*o*-** +/* (6) ё *«-*')] +
-\-kx
(9.8)
Преобразуем второй член в (9.8); рассмотрим интеграл
от него в интервале от 6 = 0 до 6 = я:
lim \ f (6) eikrcosG dcos 6 = / (a = cos 6).
r-+oo
Рассмотрим контур, изображенный на рис. 30. Приг-*-оо
интеграл по (я, Ь) мал; при вычислении интегралов по
(6, —1) и (+1, а) можно вынести значение /(a) в точках
167

a = —1 и a = + l из-под знака интеграла, так как
экспонента меняется значительно быстрее. Таким образом,
Формально можно получить
lim ekra = ^ [е-'*'6 (а +1) - е<*'6 (а -1)] (9.9)
(только при интегрировании от а=—1 до а=+1).
Подставляя (9.9) в (9.8), получим
fi^-*n£lm/(e)6J^ + b^. (9.10)
Таким образом, при п Ф v полный ток ВФ рассеяния есть
сумма токов падающей (плоской) волны и рассеянной
(сферической) волны. Интерференции между падающей и
рассеянной волнами нет. Полный поток, рассеянный в
телесный угол dQ (не включающий направление 6 = 0),
Jr dQ = jrr2 dQ = JI /(e) I2 dQ.
Отношение полного потока - вероятности ВФ рассеяния
в элемент телесного угла dQ к плотности потока в
падающей плоской волне называется дифференциальным сечением
рассеяния:
do = \f{B)\2dQ.
Учитывая, что источники частиц при конечных г
отсутствуют, интегрируя (9.10) по поверхности большой сферы
и переходя по теореме Гаусса
$jdS= $divjdV
S V
к интегралу по объему, получим
0--^Im/(n, n) + $l/(n'f n)|2dQ.
Интеграл в правой части называется полным сечением
рассеяния:
о = ] |/(6) |»еК1.
Таким образом, получаем
Ьп/(0)*£*. (9.11)
168

Соотношение (9.11) называется оптической теоремой. Его
физический смысл в том, что интерференция падающей
волны с волной, рассеянной на нулевой угол, приводит
к выбыванию частиц из падающей волны, что
обеспечивает сохранение вероятности.
2. Стационарное УШ (9.1) может быть представлено
в интегральной форме:
Ф (г) = X (г) - $ С (г, г') и (г')-ф (г') dr\ (9.12)
где х (г) и G0 (г, г') — общее решение и ФГ для УШ
свободного движения. Аналогичная форма радиального УШ
рассматривалась в п. 5.11. По определению
(Ar+£2)G(r, г')-б(г-г'). (9.13)
Как и в п. 5.11, будем искать ФГ в виде произведения
линейно независимых решений х(г)- В качестве таких
решений можно выбрать плоские волны
Подставляя в (9.13) выражение для ФГ в форме
G(r, г') = $Л(Ч)^«—->dq, .
получим
5 A (q) (ft* - q2) e*Jfr-«"> cfq = б (г - г').
Это равенство выполняется тождественно, если
Л (q) = (2n)-»(*»-/)-».
Производя в выражении
интегрирование по угловым переменным, получим
J
— СО
Формула (9.15) не определяет ФГ однозначно. Отличный
от нуля вклад дают только вычеты в полюсах
подынтегрального выражения q = ±k. Направление обхода полюсов
169

выбирается с помощью граничных условий. Решение (9Л2)
будет содержать расходящуюся волну, если обходить
полюсы, как показано на рис. 31.
Соответствующая ФГ
обозначается G+(r, г'):
eik\*-r'\
G+(r'r') = -5TT73Fi- (9-16)
Формально правило обхода можно
задать, положив k = k+ie и
устремив е к нулю после вычисления
интеграла.
Итак, интегральное уравнение для. ВФ рассеяния
имеет вид
Ч>(£, г) = Ф(£, г)-~г$9=^(Г'Ж*'Г')С&"'-
Используя асимптотический вид ФГ (9.16):
G+(r, г')^-^е-^\ g = f *,
получим асимптотическое выражение для я]?(£, г):
q(k, r)^q>(k, r)-^y^e-*rU(r)$(k, r)dr, (9.17)
представляющее суперпозицию плоской и расходящейся
волн в соответствии с условием (9.5).
3. При нахождении явного вида ФГ (9Л5) мы
использовали в качестве базиса СФ импульса (9.14), что вовсе
не обязательно. ВФ рассеяния может быть представлена
согласно (9.12) в виде
% = 4> + GQ_(E+ie,)Uip, (9Л8)
где Go — ФГ однородного УШ — есть
60(Е + 1г) = (Е + 1г~НоУК
Формальное решение УШ (9.18) фактически определяется
интегральным уравнением. Выбрав в качестве базиса
произвольную систему СФ гамильтониана #0{фа}> можно
представить (9.18) в виде
(<Pplfrl<Prx)
где интегрирование проводится по всем возможным р.
170
. С <<Ppi£|<P«> ,ft

' Решение (9.18) можно выразить непосредственно через
функции базиса фа. Введем ФГ неоднородного УШ (9.1):
G(E) = (E-H)-K
Тогда
G(E) = G0(E) + G0(E)UG(E). (9.19)
Решение (9.18) принимает вид
q = <P + G(E + ie)U<p.
Уравнение (9.19) допускает формально решение методом
итераций
G = G0 + G0UG() + GoUGbUGo +... (9-20)
4. Если потенциал взаимодействия V (г) в некотором
смысле мал, то в разложении (9.20) можно ограничиться
нулевым приближением, .положив (3 = 4). Тогда из (9.19)
следует:
fW^~^\4*{V>r)V{r)<f{k,r)dr.
Выбирая в качестве ф(&, г) плоские волны, получим
f<e) = -2sHe'qrt/(r)rfr' (9-21)
где q есть изменение импульса при рассеянии:
q = k-k\ |9| = 2fesin|-.
Разложение (9.20), использующее в качестве базиса
систему СФ импульса, называется борновским разложением,
а решение (9.19), использующее N членов разложения,—
N-м борновским приближением. Решение при N =\ мы
будем называть просто борновским приближением. В
случае центрального поля интегрирование по углам приводит
к выражению
оо
f^ = -^\r^U(r)dr. (9.22)
Введем безразмерный параметр
171

где а — характерная длина потенциала. Для медленных
частиц (т < 1) (9.22) принимает вид
со
f(Q) = -f2\r*U(r)dr. (9.23)
6
Таким образом, амплитуда рассеяния медленных частиц
не зависит ни от энергии, ни от направления. Для быстрых
частиц (т^>1) заметный вклад в интеграл дает только
область малых значений углов (6 ^тг1) — окрестность
главного максимума функции
sin or • i \
где /о (*) —сферическая функция Бесселя. Быстрые частицы
рассеиваются преимущественно вперед.
Необходимым условием применимости борновского
приближения является малость интегрального члена —
поправки к ВФ
Ч^*- O^-^S^fr-OfpHr-rOilr' (9.24)
по сравнению с невозмущенной ВФ <р0 (k* r). Для
медленных частиц можно оценить интеграл в (9.24), положив
eikr' р& 1, тогда
и условие применимости борновского приближения есть
Г*<1 (*<!)• (9.25)
Для быстрых частиц вклад в интеграл (9.24) дает не
область Дв/—* 1^ как в случае рассеяния медленных частиц
(изотропного), а область Дб/^тг1. Поэтому
<Р(1)(*> г)~£*и0±&\
и борновское приближение применимо при условии
Г2<1/т (т>1). (9.26)
Таким образом, ограничение на величину £2,
характеризующую потенциал, гораздо слабее для быстрых частиц.
Достаточным условием применимости борновского
приближения является сходимость ряда (9.20).
172

Существенным недостатком борновского приближения
является действительность амплитуды /(б), несовместимая с
оптической теоремой (9.11). Иными словами, в борновском
приближении область, в которой потенциал U (г) заметным
образом отличен от нуля, действует как источник частиц.
5. Рассмотрим приближенный метод для вычисления
амплитуды рассеяния частиц высокой энергии
£>(Л>. (9.27)
При этом условии потенциал (У (г) можно рассматривать
как возмущение. Представим ВФ в виде
i|)(fe, г) = е^Ф(г), (9.28)
где Ф (г) —амплитуда, медленно меняющаяся вдоль оси г
(dO/dz^k). Подставляя (9.28) в УШ и сохраняя только
главные члены, получим уравнение первого порядка
2^*-==?|(/(г)Ф. (9.29)
Решение (9.29), имеющее асимптотикой при2-> — со
плоскую волну, есть
i|)(fc, r) = expt
у*-ж \ U^dz ■ <азо>
L —оо J
Используя формулу (9.17), амплитуду рассеяния
представим в виде
Так как рассеяние быстрых частиц происходит
преимущественно на малые углы, то вектор переданного импульса
можно считать перпендикулярным к импульсу падающей
частицы:
— tk'r -f ikz = iq^p + i (kz cos G — kz) ^ iqp.
Здесь р означает вектор в плоскости ху. Итак,
/<в) = -5да$4**я \ dzU(r)exp \-£ $ U(r)dz\
—оо L —оо J
Интегрирование по z приводит к выражению
Д6) - — Ц \ е№ {е™ te) - 1) dp, (9.31)
173

где
+я
«<р)=- '■£& S u^dz-
В центральном поле фаза б зависит лишь от величины,
но не'от направления вектора'р. Введем в плоскости ху
полярные координаты р, ф. Тогда, учитывая соотношение
о
мы можем произвести в формуле (9.31) интегрирование
по <р. Окончательное выражение имеет вид
оо
f{b) = — ik J p/0(2fepsin \\ (£**<">- l)dp. (9.32)
Выражение (9.32) называется приближением Мольера* для
амплитуды рассеяния. Условие
применимости метода в
безразмерных переменных имеет вид
*>U Г2<^2. (9-33)
Из сравнения с (9.26) видно,
что для описания рассеяния
быстрых частиц приближение
Мольера имеет область
применимости большую, чем приближение
Борна. Области применимости
приближений Борна и Мольера ограничены на рис. 32 снизу
кривыми В и М соответственно. Борновскому приближе:
нию соответствует случай, когда показатель экспоненты
в (9.31) мал:
т
Заменяя экспоненту единицей, возвращаемся к (9.21).
6. В предыдущем изложении основную роль играли
базисные СФ импульса — плоские волны. Другой часто
используемый базис —общие СФ операторов р2, г, 1г —
сферические волны. Радиальное УШ для свободной частицы
с моментом / имеет вид
1(1+1)
lr*dr\r drj
-k?
]mr)=
= 0.
(9.34)
174

В качестве независимой пары решений (9.34) можно
выбрать сферические функции Бесселя \t (kr) и Неймана щ (kr)
2 2
или же сферические функции Ханкеля 1-го и 2-го рода
hf(z) = jl(z)±inl(z).
При г^>1, г>1 справедливы асимптотические формулы
. / Ы\ I 1п\
sin г— cos г—=г
Ыг)= г » М*)~- \ 'У: (9.35)
Асимптотики ВФ непрерывного спектра частицы с
моментом / в центральном поле U (г) также можно представить
в виде, аналогичном (9.35). Рассмотрим ВКБ-решения:
они заведомо дают хорошее приближение на больших
расстояниях от точки поворота. Напомним, что
вещественная точка поворота существует в любом потенциале U(r)
таком, что при г-*0 — и (г) < (2г)~2. ВКБ-решение,
согласно (7.45), есть
%(r)~|sinK Y&~^-u{r)dr + -n\ (9.36)
Выберем некоторое гх так, что
*2>^ +и(гг).
'1
Тогда при г>гг подынтегральное выражение можно
представить в виде
/4S+«m]~*-¥-&
и асимптотика функции (9.36) может быть представлена
в виде
% (г) ~ J-sii^ftr-J+e,), (9.37)
где фаза
-гЛ^^+Ш-^у <938>
175

Выделение в аргументе (9.37) слагаемого —1л/2 связано
с тем, что при I >> 1 при вычислении первого интеграла
в (9.38) можно пренебречь и (г) по сравнению с Я2/-2,
тогда значение первообразной на нижнем пределе равно
Язт/2 и от интеграла остается только некоторая
ограниченная функция гг. В частности, при и(г) = 0 б/ = 0
в согласии с (9.35). Необходимым условием конечности
фазы б/ является достаточно быстрое убывание потенциала:
и(г) = о(г-г) при г->-оо. Для кулоновского потенциала
U (г) = а/-1 второй интеграл в (9.38) расходится
логарифмически:
6г~а1п/\ (9.39)
7. Граничное условие для ВФ рассеяния не обладает
центральной симметрией, так как содержит СФ импульса —
плоскую волну. Разложим плоскую волну в направлении
оси г по полной системе СФ момента:
со
eikz = £ ii pi +1) р, (cos 6) /, (kr). (9.40)
Заметим, что из-за аксиальной симметрии в разложение
(9.40) вошли только сферические гармоники с т = 0
Р,(с05В) = У^¥,,(В).
Общий вид аксиально-симметричного решения УШ при
больших г, с учетом (9.37), есть
Ь (г) ~ 2(2/ + l) AtPt (C0S 6) Tr sin [kr ~ T + 6') **
~2<И+1)-1А<««ч£И*-^)-.'(^*+,0].
Асимтотический вид (9.40), согласно (9.35), есть
«*= 2^(2/+1)РПсо5е)^[г1'^~^)--.^("г"*"^)].
Потребуем, чтобы разность
176

содержала только члены, соответствующие расходящейся
волне. Для этого должно быть
Таким образом, асимптотическое выражение для ВФ
рассеяния можно представить в виде
оо
»~ ш 2(2/+l) Pi (cos б) к- X)le'ikr -Sfi^ (9-41)
где введено обозначение
St = ewi. (9.42)
Коэффициент при расходящейся волне в разности \р — еш
есть введенная нами ранее амплитуда рассеяния
со
f®=4k 2 (2*+l)<Si-l)Pi<cose). (9.43)
Это выражение называется формулой Факсена — Хольт-
смарка.
Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид
с(В) = 2я|Кв)Г = ^2 (2Ь+1)(% + 1)Х
X P/t (cos 6) P/s (cos 6) I St, - 111 Si2 - 11. (9.44)
Интегрируя (9.44) по углу 6 с учетом равенства
J Pk (cos 6) Pt (cos 6) sin 6 db = -^j 8kh
0
получим выражение для полного эффективного сечения
рассеяния:
оо
°=w 21(2/+1) sin2 6/- (9-45)
Таким образом, полное сечение рассеяния (в отличие от
дифференциального (9.44)) есть сумма парциальных сечений
рассеяния в состояниях с заданными /:
a/ = -^(2/+l)sin26/. (9.46)
177

Парциальное сечение можно выразить через парциальные
амплитуды, определяемые соотношением
/ (в) =» S fi (2/ +l)Pi (cos 8). (9.47)
Из сравнения с (9.43) находим
(e™i-l)y
а из (9.46) получим выражение Для парциальных сечений
через парциальные амплитуды:
0^4д(2/+1)|/г|2.
8. Рассмотрим радиальное УШ в поле с
короткодействующим потенциалом U(r)
[ г* дг \
г2—)~
г дг)
Г2
■ и (г)+ *?]*! (г) = 0. (9.48)
Рассмотрим рассеяние медленных частиц (т<^1). Тогда
в области А (рис. 33) (при
r>i?), где
1(1+1)
>k\
Рис. 33.
в уравнении (9.48) можно
пренебречь и потенциалом U (г), и
членом к2. Решение в области
А у согласно (5.6), имеет вид
tyf = c/+c/-{l+1K (9.49)
В области В (г ^ кггУ 1(1+1))
становится существенным
член с k2. УШ превращается в уравнение для свободной
частицы с энергией k2 и моментом /. Его решение, согласно
п. 9.6, можно представить в виде
tf^Adiikri + AiHiikr).
Асимптотики сферических функций Бесселя при малых z
суть
ЫФ
Л|(Ф
(2/—1>!1
(2/+1)!! '
Потребуем, чтобы в области А решение г|)в
в г|)л . Тогда
- (2/+1)1! л _ **«
(9.50)
переходило
к*
Л2 = — с»
' (2/ —1)1!
178

Используя асимптотики функций Бесселя при больших г
{9,35), найдем
Л* #+1 f \ 2/T "(2/-l)!!r \ 2}
"Это выражение можно представить в виде
вЯ|ЛД81п(*г--£ + в/). (9.51)
где
' ^6, = ^- (2/-1)!!(2/+1)!! • (9'52)
Из выражения (9.52) видно, что при достаточно больших /
-при данном k tg6f?^6j стремится к нулю. Парциальные
амплитуды
Отсюда в предельном случае малых k
Таким образом, при рассеянии медленных частиц (т<<1)
все парциальные амплитуды с /^0 малы по сравнению
с амплитудой рассеяния s-волны (/ = 0). Поскольку
PQ (cos 8) = 1, рассеяние медленных частиц изотропно.
В п. 9.4 мы пришли к такому выводу в рамках борнов-
ского приближения. Отметим, что выполнение условия
малости фаз б/ при 1^0 облегчается из-за больших
числовых множителей в знаменателе (9.52). Даже при
т~1
60^96x^22562.
9. Задача о рассеянии медленной, частицы на
короткодействующем потенциале представляет интерес как модель
для описания рассеяния нуклонов. Характерный размер
межнуклонного потенциала а <^2- Ю-13 см; частицы будут
медленными при £<5 Мэв. Для рассеяния медленных
частиц малых энергий свойства короткодействующих
потенциалов можно/ полностью описать двумя параметрами:
длиной рассеяния а и эффективным радиусом г0.
Рассмотрим УШ при / = 0:
.^ + [£2_и(г)]ф==0. (9.53)
179

Пусть фх(г) и ф2 (г) — решения (9.53) при E = k\ и E = k\,
удовлетворяющие граничным условиям в нуле и имеющие
асимптотики
ф1 (r)^!E^sin(*ir + 6i)'
(9.54)
4)3 (г) ~* 1йГбГ Sin ^2Г + 6г)'
Из (9.53) следует:1
я
(«fc -т£— «h Ф-) |о = (*5 " «) $ Ф1Ф2 dr, (9.55)
О
где величина R произвольна. Пусть Хь Х2 — решения УШ
свободного движения, совпадающие с асимптотиками (9.54).
Тогда
(lb *fc - Xi ^f) \* = (« - A» $ X1X2 dr. (9.56)
0
Вычитая (9.56) из (9.55) и переходя к пределу при /?->оо,
получаем
h clg S2 - *! ctg Ъ = (^ - *S) J (X1X2 - Ф1Ф2) dR. (9.57)
0
Предел амплитуды рассеяния при /г->0, взятый с
обратным знаком, называется длиной рассеяния:
-—=-lim[Actg6(A)].
Полагая в (9.57) kt = kf ^-^О, получаем
где
со
/•о = 2 5 (ХоХ-Ч*Р)Л\ (9.58)
о
Поскольку асимптотики Ф и ф0, х и Хо совпадают,
интеграл в (9.58) определяется главным образом областью,
в которой U (г) имеет заметную величину. При т <11
в этой области ВФ не будет сильно зависеть от k2, и
можно положить, с точностью до членов ~/г2, ф^фоэ
180

Х^Хо- Тогда
fectg8 = —l~ + %k\
где величина
>o = 2S(xS-(p5)dr (9.59)
о
называется эффективным радиусом потенциала U(r).
Полное сечение 0О, выраженное через длину рассеяния а и
эффективный радиус г0, имеет вид
а = 4да2[1+а(а-Го)й2+(~-Гоа)2^Х.
В пределе при /г->0 получаем
а = 4яа2.
Знак длины рассеяния зависит от параметров
потенциальной ямы.
, 10. Рассмотрим рассеяние на сферическом потенциале:
U(r) = U0 (r<a)9
(9.60)
U(r) = 0 (r>fl).
Знак и абсолютная величина £/0 произвольны. Уравнение
Шредингера во внешней области:
- • [^Ю-^ + фм-*
Во внутренней области:
где (f = k2 — U0. Рассмотрим вначале случай ?2>0
(потенциал притяжения или слабого отталкивания). Тогда
решение ф/(г), конечное при г->0, во внутренней области есть
<Pi(r) = C/,for).
Вне ямы
^ Мг) = Ап(кг) + Впв(кг).
Из граничного условия на бесконечности имеем
А = 4я/У6' cos 6/t
£ = _ 4mV6'sin6/.
181

Потребуем равенства функций и логарифмических
производных в точке а. Тогда из первого условия следует
1 и (е)
Из второго условия имеем
ПФ) __ь /П'>-*8У"|('>
Я иФ) * //(T) + tg6/n7(T) >
где
Ъ — qa, % — ka.
Ограничимся случаем медленных частиц (т<1). Тогда
основную роль играет рассеяние s-волны. Решение
однородного уравнения Шредингера:
. t v sin х , ч cos x
/о(*)=—— > fi°W = ~-
Отсюда
Условие сшивания дает
9ctge = ^ctg(r+60),
откуда
60==arctg(^tge)-Tt
или
к
— tge-tgx
tg60 = ^-z . (9.61)
l+^tgetgt
а) Рассмотрим случай ямы малой глубины: \щ\<^Ыгу
qp&k. Тогда, учитывая асимптотики при малых х
tgx^x + 4", ^rctgx^x-^-,
для рассеяния медленных частиц получим, сохраняя в
разложении члены до третьего порядка,
или
* bi^L
182

Длина рассеяния (парциальная амплитуда s-волны)
3
Для ямы малой глубины знак длины рассеяния совпадает
со знаком потенциала. Сечение
не зависит от энергии.
б) Рассмотрим случай потенциала сильного притяжения
Тогда
ы0<0, К1>#>.
= <1, tgr<l
V**
и в знаменателе (9.61) можно пренебречь вторым членом
Рис. 34.
по сравнению с единицей. Положив tgt^t, получаем
tg^M-.).
Рассмотрим .зависимость tg60 от 6 (рис. 34). При значениях
Ъу> определяемых условием
6к=(2п+1)|-, (9.62)
сечение достигает максимального значения
4я
б =
к*
Значения k29 соответствующие максимальным сечениям:
183

называются виртуальными уровнями энергии. Если й->0,
то условие (9.62) выполняется при
l^=(2ft + l)y.
Это выражение совпадает с условием возникновения
связанного s-состояния в сферической яме. Виртуальный
уровень имеет в этом случае нулевую энергию. Длина
рассеяния обращается в бесконечность.
При некоторых значениях 6#, таких, что
tg6^ = G^, (9.63)
фазовый сдвиг и сечение рассеяния обращаются в нуль.
Явление, состоящее в резком уменьшении сечения
рассеяния медленных частиц при некоторых &, называется
эффектом Рамзауэра. Эффект был обнаружен
экспериментально при наблюдении рассеяния электронов на атомах
инертного газа. Хотя эффективный потенциал
взаимодействия электрона с нейтральным атомом не является
короткодействующим в смысле определения, данного в п. 9.5.
(u(R)^R~* при #-*оо), но вывод п. 9.8 о
доминирующей роли s-рассеяния при малых k остается в силе, так
как требует лишь более быстрого убывания потенциала
и (г) по сравнению с г Л Для волн с /^0 условием
применимости (9.52) является
У (г) = о [/-<**>].
Только в этом случае законно пренебрежение в области А
членом U (r) Rt (r) ~ U0ctrl по сравнению с членом / (/ + 1) х
Х/^2#/~/(/+1)гх-3. Отметим, что эффект Рамзауэра
имеет место при значениях qR> близких к значениям qv
для виртуальных уровней. При заданном k с ростом
глубины ямы значения bR и bv становятся близки
6^=2^^1,57, 6^^4,49, 6К2я«-у-я^4,71.
В области
длина рассеяния положительна. Напомним, что все
результаты относятся к случаю малых k. При этом значения q
могут быть, понятно, сколь угодно большими.
в) Рассмотрим случай q2<0 (потенциал сильного
отталкивания). Тогда во внутренней области
184

Условие сшивания решений дает уравнение для
определения фазы
к cth ш = k ctg (т + б0),
б0 = arctg (— th тип — т.
Для рассеяния медленных частиц (т<<1, №^и0)
б0я^ —т.
Интегральное сечение рассеяния
с0 = 4зш*(-^-1)\ (9.64)
В пределе (#7«о)-*0 условие медленности частиц т<1
•становится несущественным. Для рассеяния на
непроницаемой сфере (и0-*оо)
а0 = 4яа2,
что в четыре раза превышает классическое значение.
11* При рассмотрении в предыдущем пункте рассеяния
медленных частиц на сферическом потенциале мы видели,
что величина сечения тесно связана с положением
дискретных уровней. Единым образом состояния дискретного и
непрерывного спектров можно рассматривать, считая k
комплексной величиной. В этом пункте мы получим
интегральное уравнение для парциальных ВФ рассеяния,
которое послужит основой для дальнейшего рассмотрения.
Найденная в п. 9.2 ФГ для свободного движения может
быть представлена в виде
Go (г, г', №) = (2л) 3 \ q* dqG0 (q*, k*) \ due* <r~r'>. (9.65)
В последнем интеграле используем формулу для
разложения плоской волны
efccose e |/JL ^ (2/ + 1) il JK (z) Pt (cos 6),
где Я = /+1/2. Тогда получаем
со
Со (г, г', #) = (2я)-з § tfdqQotf, P)j-^=rX
X \ d& [2 (2/ + 1) i'h (qr) P, (na)] X
185

Интегрирование по угловым переменным можно провести,
используя теорему сложения для полиномов Лежандра:
оо
Со (г - г', А2) = (2я)-3 —*Ц- \ q dqG0 (q\ А2) х
X S (2/ + 1) (2/х + 1) il (- О1'А М Л, for') X
4л
x-2/qprs".p'(n«n)-
Таким образом, ФГ для свободной частицы может быть
представлена в виде суммы парциальных ФГ:
G?(r-r\ &) = -—X^^(2l^\)Gt(r, r\ 0)P,№h
(9.66)
СО
Gt(r,r'^)^-\qdq 'ffiffi? - -^Ht (kr) J,(kr').
Здесь Щ*(г) есть первая функция Ханкеля.
Пусть я|)+(к, г) есть решение уравнения Шредингера,
удовлетворяющее граничным условиям задачи рассеяния.
Разложим if+(&, r) по парциальным волнам:
Г (к, г) = У-шЪР +1) *'*Г ^ Р'(пп,)-
Тогда парциальная ВФ %+(A/-) удовлетворяет
интегральному уравнению
%+ (kr) =» /х (Ar) + J г'Ф (г, г», Л) и (г') tf (At*) dr'.
О
Используя явный вид парциальной ФГ (9.66), получаем
интегральное уравнение
г
1>Г (Лг) = Л (Аг) - -f Hit (kr) \ r'Ji (kr') и (r') i|>? (Ar') dr' -
0
oo
- -f- /x (Ar') J г'Ях" (kr') и (г') %+ (Ar') dr'. (9.67)
Г
12. Рассмотрим асимптотику волновой функции <§t(kr).
При больших г
со
Ч>Г (kr) ** Д (Аг) - 4 я*" (И \ r'^ (*r'> " <r') # (*r'>dr'-
186

Используя асимптотическое выражение для функции Хан-
келя
получаем
о
Асимптотическое при больших г выражение для ВФ
рассеяния через парциальные волны имеет вид
хК rJh(kr)u(r)^f(kr)dr .
Определяя парциальные амплитуды рассеяния
соотношением
/(пп')-х2(И+1)Л(Л)Р|(Ш1г'
получаем выражение для парциальных амплитуд
со
U (к) - - \ J rJh (kr) и (г) itf (kr) dr. (9.68)
Рассмотрим асимптотическое поведение функций tyt(kr)
при малых г:
*f (*г) ^ Л (Лг) [ 1 - ? J rflif1 (kr) и (г) qt (kr) dr\ ' (9.69)
Пусть q>i(kr) есть функция, удовлетворяющая
интегральному уравнению
т
<Р/ (kr) = /х (Аг> - 5£ fflfl (Ar) J Я*' (ftr*) a (r') q* (ftr') r' dr/ +
о
г
+ ?J НГ (kr) $ Щ' (kr') и (г') ф. (Лг') г' dr'. (9.70)
I 187

Функция q>i(kr) действительна и удовлетворяет тому же
дифференциальному уравнению
что и решение ^t(kr). При малых г
Таким образом, функция %{kr) представляет регулярное
в нуле действительное решение радиального уравнения
Шредингера. Функция ^Цкг) также регулярна1 в нуле,
поэтому эти два решения должны быть пропорциональны:
•ф^(£г)===С/Ф/(Ат).
Подставляя это равенство в (9.69), находим
С/ =
1 +
со -,-
%\rH^(kr)u(r)^(kr)dr\
Выражение для парциальной амплитуды рассеяния через
действительное регулярное решение УШ имеет вид
\ r<?h (kr) и {г) ф/ (kr) dr
_0
со •
1 +t ~ J rH£ ■ (kr) и (г) Ф, (kr) dr
fi —f 4s : • (9-71)
Элемент S-матрицы связан с амплитудой соотношениями
1
:2i
/, = g(Si-l). (9.72)
Таким образом,
со
1-i J § rH£> (kr) <pt (kr) и (г) dr
Si (k) = 1 . (9.73)
l+'-J jj rH£(kr)<pt(kr)u(r)dr
6
13. Пусть fe2 = — x2 есть значение энергии,
соответствующее связанному состоянию. Тогда при & = ±г/
регулярное действительное решение УШ должно убывать
при г->-оо. Согласно (9.70) асимптотический вид такого
188

решения есть
т
Ф, (kr) л* h (*г) - т Н* (Ьг) ) W (kr') и (г') <р, (ft/) r' dr' +
+ ^ Щ- (kr) § Яя" (fe-O и (г') <р( (*/-') r' dr'. (9.74)
О
Учитывая соотношение
Ji(kr) = ~[H? (кг) + Щ' (kr)],
перепишем формулу (9.70) в виде
тт. t, yt » Г СО
*(И~-Ц— »-*f J ^(fcr) и (г)<pt(kr)rdr] +
+ ^^[l+«yjHx14H"(09i(Hrdrl (9.75)
При fc = + ix (я > 0) функция Я11) экспоненциально
убывает, а Я(2) экспоненциально растет. Требуя обращения
в нуль коэффициента при экспоненциально растущей
функции, приходим к условию
со
1 + i-ь~ [ Н£ (kr) и (г) <р, (kr) rdr^O. (9.76)
2 g
Из сравнения (9.76) с (9.73) видно, что в точке fc= + ix
функция St(k) имеет полюс. В
точке k = — iK функция St(k) Ьп/г]
имеет нуль, что доказывается
аналогично. о - нуль
Итак, связанному состоянию • - лолюс
с энергией —и2 соответствует
нуль матрицы рассеяния St(k)
. на нижней мнимой полуоси и
полюс на верхней мнимой
полуоси (рис. 35). Обратное
справедливо не всегда.
14. Значения волнового чис- Рис* 35#
ла ky соответствующие
рассеянию, лежат па действительной оси. Поэтому наличие
полюса Si (k) будет заметно влиять на парциальную ампли-
189
Re*

туду, лишь если полюс близок к действительной оси.
Соответствующие связанным состояниям полюсы будут
поэтому проявляться главным образом в рассеянии
медленных частиц (т<1), когда основную роль играет s-рассея-
ние. В окрестности полюса
сечение рассеяния имеет вид
Оо«£|1-5„(А)Г = ^.- <9'77>
Вводя энергию связи & = — fi2x2(2m)ly получим формулу
Вигнера
' O'^ZhW <9-78>
Таким образом, если в потенциале и (г) существует
связанное состояние с энергией связи, малой по сравнению с и0,
то сечение рассеяния медленных частиц сильно зависит
от энергии. В борновском приближении сечение рассеяния
медлейных частиц равно
Формула Вигнера дает при £->0 значение
а****Щав. (9.79)
Из этого выражения видно, что при типичных для меж-
нуклонных взаимодействий значениях £2 ~ 1 вигнеровское
сечение значительно больше борновского.
Заметим, что в формуле (9.77) знак % не играет роли.
Поэтому к возрастанию сечения рассеяния медленных
частиц приведет как полюс S0(k) на положительной
мнимой полуоси, соответствующий связанному состоянию, так
и полюс на отрицательной мнимой полуоси. Состояния,
которым соответствуют такие полюсы, называются
виртуальными. Из (9.75) следует, что ВФ виртуального
состояния экспоненциально растет при больших г.
Из (9.75) следует также, что полюсу виртуального
состояния на отрицательной мнимой полуоси соответствует
симметричный нуль на положительной мнимой полуоси.
В потенциале притяжения —yu(r)<zO с уменьшением у
полюсы на мнимой оси, соответствующие связанным
состояниям, приближаются к действительной оси, а полюсы
190

виртуальных состояний удаляются от нее, как показано
на рис. 36.
:. Формула (9.78) хорошо описывает зависимость сечения
от энергии при рассеянии нейтронов на протонах в три-
плетном состоянии (связанное состояние с энергией г =
?=—2,23 Мэв) и в синглетном состоянии (виртуальное
состояние с энергией в = + 0,06 Мэв).
1тк ]
i
<
<
<
Л Be A
1тЛ ]
j
V
Re/-
Рис. 36. Рис. 37.
V 15. Матрица рассеяния может иметь особенности и вне
мнимой оси. Их расположение подчинено определенным
требованиям симметрии. Пусть St (к) имеет полюс в точке
k = q + iK. Тогда из формулы
JK{zeim3t) = eimn4K(z)
Следует равенство
•;. S^^Sj^-k). (9.80)
Таким образом (рис. 37), полюсу в точке / соответствует
>!уль в точке 2, симметричной относительно начала
координат. Далее, из соотношений
Л (**)=== [Л (*)]*,
НТ (*•) - [Ял2 (*)]•, НГ (*•) = № (г)]*
;£ледует равенство
( St(k*) = Si*(k). ' (9.81)
Яоэтому Si (к) будет иметь полюс в точке 3,
симметричной точке / относительно действительной оси, и нуль
Ж точке 4.
\~' В верхней полуплоскости St(k) имеет полюсы только
/На мнимой оси. В самом деле, полюсу в точке k0 = q+ix
'соответствовало бы регулярное в нуле решение с
экспоненциально убывающей асимптотикой. Поэтому • ф/ (к0г)
?: 191

было бы квадратично интегрируемым решением УШ,
соответствующим СЗ Е = (q2 — к2) + 2iqu, что несовместимо
с требованием эрмитовостн гамильтониана. Состояния,
которым соответствуют пары полюсов в нижней
полуплоскости комплексного &, называются квазистационарными
состояниями. В окрестности такого полюса Si(k) имеет вид
Сечение рассеяния равно
a-£|S-ir-£[l-^coe2A+^sin2A} (9.82)
здесь введено обозначение g = k — q. При g = О
a^(!+cos2A),
и при небольших фазах А это сечение близко к
максимально возможному. При K<^q зависимость сечения от
волнового числа k имеет явно выраженный резонансный
характер. Формулу (9.82) при k~q> <?;>x принято
записывать в виде
+ 4 sin2 А}, (9.83)
где величина E0 = ft2 (2т)~г (q2 —к2) называется резонансной
энергией, а величина T^h2m~xqH называется шириной
резонанса. Первый член в фигурной скобке (9.83)
соответствует резонансному рассеянию на квазистационарном
уровне, третий член называется сечением потенциального
рассеяния, а второй описывает интерференцию между
потенциальным и резонансным рассеяниями. .
16, Все результаты, полученные с помощью
рассмотрения рассеяния парциальных волн, предполагают
конечность фаз б/ и относятся к потенциалам и (г),
убывающим при г->оо не медленнее, чем г2. Кулоновскии
потенциал, представляющий особый интерес, этому
требованию це удовлетворяет. Однако для рассеяния частиц,
взаимодействующих только по закону Кулона, можно
получить точное выражение для ВФ рассеяния.
Задача рассеяния обладает аксиальной симметрией.
Поэтому удобно использовать, как и в п. 8.1,
параболические координаты, допускающие разделение переменных
192

в УШ
Уравнения имеют вид (в кулоновских единицах)
*W9 + (t-«-N)«-0. (9-86)
где параметры разделения рх, р2 удовлетворяют условию
Pi + Рг = 1 • Граничное условие
ф^^^'**-* (z = (C-iD->-oo) - (9.86)
можно выполнить при всех £, положив
(подстановка в (9.84) дает Pi = y. Тогда из (9.86)
следует граничное условие для g(r\):
Уравнение (9.85) переходит в
4 (ч£)+(тч-1+*)«-* «"»>
"Ищем решение в виде
i g(T])=e 2 оу (rj)
(ср. (5.23)). Тогда (9.87) дает
r\w" + (1 — tan) до' — до = 0.
Полагая x = ifa\t получим
до = const/7(—ilk, l, х).
При больших х справедливо асимптотическое представле-
-ние для вырожденной гипергеометрической функции
X h ■ (а-Ц^-у) ■ (а--1)(а--2)(а-у)(а-у--1) ■ 1.
4_ М y-aptaJt v
-ГГ(а-Т)
XL1 + х + 21^ +—J'
7 П. Bs Елютин, В. Д. Кривченков 193

Сохраняя члены до ту1 включительно (члены высших
порядков не дадут в пределе г-*-оо вклада в ток /,.),
получим
Р/ .. , *х*й+т1пкгЧ, , 1 \
F(a, Y,ifa|)~ r(l+f/fe) V + mi)-
expfi~~TlnfeT1+rt,l
Перейдем к сферическим координатам
Г] = г (1- COS 6), g = r(l+COS6).
Тогда ВФ задачи рассеяния примет вид
П12к
^/2fe exp I ttr — у In fer (1 —cos 0)1
Нормировочную постоянную А определим, потребовав,
чтобы коэффициент при падающей плоской волне был
равен единице. Тогда
л=ехр[(-й)г(1+т)]- <9-89>
Используя (9.88), (9.89) и определение амплитуды
рассеяния, получим
Выражение для дифференциального сечения рассеяния
в обычных переменных имеет вид
°<W-(g)'«ta-«f (9.91)
.Выбранные в уравнениях (9.84), (9.85) знаки
соответствуют потенциалу отталкивания. В случае притяжения
величина (9.90) заменяется комплексно-сопряженной, а
выражение для сечения (9.91) остается неизменным. Наличие
члена ~г~1в амплитуде падающей волны и логарифми-
194

ческих членов в фазах связано с медленным убыванием
кулоновского поля. Однако эти члены в пределе r-vco
не дают вклада в радиальную компоненту потока
вероятности.
17. Выражение (9.91) для дифференциального сечения
рассеяния в кулоновском поле совпадает с формулой Ре-
$ерфорда, полученной из классической механики. Это
уникальное совпадение в значительной степени ускорило
возникновение квантовой механики. Ни в старой
квантовой теории Бора, ни в матричном расчете Паули, ни^
работе Шредингера при вычислении спектра атома водорода
не подвергалось сомнению, что потенциал взаимодействия
электрона и протона является чисто кулоновскпм. Однако
основным доводом в пользу кулоновского потенциала
являлось прекрасное сргласие данных по рассеянию а-ча-
стиц на ядрах с результатом классического расчета.
Другие потенциалы, в которых классический и квантовый
подходы приводили бы к одинаковым выражениям для
дифференциальных сечений, не известны.
Всюду в этой главе мы предполагали потенциал U (г)
известным. На практике имеет место противоположная
ситуация. За исключением случаев рассеяния электронов
на заряженных частицах и на атомах, когда основную
роль играет электростатическое взаимодействие, потенциал
U (г) не известен. Возникает задача об определении
потенциала по данным рассеяния —обратная задача теории
рассеяния.
В общем случае для однозначного определения И (г)
•необходимо знать функцию б/ (Е)— сдвиг фаз , для всех
энергий для одного фиксированного значения I. Знание
этой функции достаточно для определения потенциала
отталкивания или потенциала притяжения, не имеющего
"нри данном / связанных состояний. Для потенциалов со
связанными состояниями этого недостаточно: известны
примеры потенциалов с одинаковыми функциями бо(£), но
с различными дискретными спектрами. Для восстановления
таких потенциалов достаточно, кроме 6j (£), знать энергии
связи Ещ состояний дискретного спектра и коэффициенты
Ял/» входящие в асимптотическое выражение для ВФ
связанных состояний:
Rni(r)**anlr-4~***r,
ЩХ1 = 2тЕщЬгг.
7* 195

Коэффициенты ап1 связаны с вычетами в полюсах S-мат-
рнцы. Задача определения U (г) по этим данным сводится
к решению некоторого линейного интегрального
уравнения.
ЗАДАЧИ
1. Определить асимптотическую зависимость a (k) при k -> со
в борновском приближении.
2. Вычислить в борновском приближении а (б) и а в потенциале
Юкавы
1/(г)=-</„-?-е-"*.
3. Вычислить в борновском приближении а (б) и а в потенциале
(/(г)=(/0е-"г/о.
4. Используя разложение (9.20), найти выражение для
амплитуды рассеяния во втором борновском приближении.
5. Определить а для рассеяния частиц высокой энергии
сферической потенциальной ямой, считая, то в приближении Мольера
выполняется оптическая теорема.
6. Используя приближение Мольера, найти поправку к борнов-
скому приближению для частиц высокой энергии.
7. Показать, исходя из формулы (9.31), что для рассеяния
нуклонов высокой энергии на дейтроне амплитуда рассеяния имеет вид
f (Я) = fn («0 5 (у q)+fp ft) S (j q) +
+ ^Js(qO/„(-Jq + q')/p(J.q-q')lfir.
где fn и fp суть независимые от спинов амплитуды рассеяния на
нейтроне и протоне, а формфактор S (q) определяется формулой
где ф есть ВФ основного состояния.
8. Вывести оптическую теорему из формулы Факсена — Хольтс-
марка.
9. Найти выражение для фазовых сдвигов б/ (k) в борновском
приближении.
10. Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потенциале
U (г) =11*-™*.
П. Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в
потенциале
196

12. Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в
потенциале
U(r) = —Ar-*.
13. Найти эффективный радиус сферической ямы.
14. Доказать, что при вещественных k фаза рассеяния б/ (k) есть
нечетная функция k.
15. Показать, что в приближении Вигнера выполняется
оптическая теорема.
16. Найти матричный элемент S0 (fe) для рассеяния в потенциале
U(r) = -U4e-r>a.
Исследовать особые точки SG (k).
17. Найти в первом борновском приближении S0(k) для
рассеяния в потенциале Юкавы
Исследовать особые точки.
18. Показать, что в кулоновском потенциале
притяжения*связанным состояниям соответствуют полюсы полной амплитуды р
рассеяния на положительной мнимой полуоси. Отметим, что кулоновский
потенциал не удовлетворяет условиям конечности фазовых сдвигов,
а потому теория, изложенная в пп. 9.11—9.15, для него неприменима.
19. Вычислить в борновском приближении с (б) в кулоновском
потенциале £/ = — аг~х. Рассмотреть предельный переход а-*со,
£/оа=а в результате задачи 9.2.
20. Объяснить, почему при k->0 рассеяние в кулоновском поле
не становится изотропным.

Г лава 10
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ
0. Всюду в книге мы ограничиваемся описанием
явлений, происходящих в нерелятивистской области: при
энергиях частиц, малых по сравнению с их энергией покоя
тс1. Но даже в этом случае возникает необходимость
в рассмотрении релятивистских волновых уравнений.
Причин для этого две.
Во-первых, релятивистские поправки к атомным
уровням энергии хотя и малы по сравнению с самими
значениями уровней, но все же являются существенными.
Относительную величину поправок для спектра водородо-
подобных ионов можно оценить отношением Eni к
энергии покоя электрона
Даже для атома водорода (Z=l) 8E{r) ~ 1(И£Л и
значительно превышает экспериментальные ошибки в
определении разности энергий. Для ядер с большими
зарядами поправка еще значительней.
Вогвторых, спиновый момент частиц, свойства которого
рассматривались в главе 4, в нерелятнвнстском
приближении входит в теорию лишь кинематически. В частности,
в главах 5 и 8 мы вообще не рассматривали зависимость
ВФ от спиновых переменных. Это оправдано лишь при
рассмотрении движения одной частицы в электрическом
поле. Зависимость энергетических уровней одной частицы
от спиновых переменных есть релятивистский эффект,
который может проявляться и в иерелятнвистской области.
В этой главе мы рассмотрим следующие из
релятивистских волновых уравнений поправки к уравнению
Щредингера, оставляя в стороне вопросы
последовательной релятивистской теории.
1. В нерелятивистской квантовой механике движение
системы описывается уравнением первого порядка по вре-
198

мени. То же должно иметь место и в релятивистской
теории: задание состояния системы в некоторый момент
времени должно определять ее дальнейшую эволюцию.-^
Поэтому уравнение движения должно иметь вид
«1-й*.
Релятивистское волновое уравнение должно быть одного
порядка по временной и пространственным производным.
Поэтому наиболее общий вид релятивистского
гамильтониана для свободной частицы есть
// = с(ар) + тс2р, (10.1)
где р — обычный оператор импульса. Коэффициенты
введены в это определение так, чтобы аир были
безразмерными. Из требования эрмитов&сти гамильтониана имеем
« = «+, Р = р+.
Потребуем, чтобы для свободного движения частицы
с импульсом р выполнялось обычное соотношение
релятивистской механики
где е означает релятивистскую энергию частицы,
включающую энергию покоя. Тогда должно выполняться
равенство
+ -J c (aiak + a**/) PiPk = т2с4 +с2р*.
Таким образом, величины аир должны удовлетворять
условиям *
Р2=1, (Ю.2)
Ра+ар = 0, (10.3)
а<а* + аЛа| = 2в<*. .(10.4)
Очевидно, эти требования нельзя выполнить, если считать
<х* и р обычными числами, но можно выполнить, если
.считать их матрицами.
2. Рассмотрим свойства матриц р и at (/=1, 2, 3).
Из условий (10.2) и (10.4) следует
аГ = а*, р-х = Р-
199

Из (10.3) получаем
аГра, = — р, Sp (aj-'POf) - Sp p == — Sp p - 0.
Матрица р может быть приведена к диагональному виду.
Из условий
Spp = 0, р2=1
следует, что в диагональной форме на главной диагонали
матрицы р стоят в равных количествах числа +1 и — 1.
Таким образом, at и р суть матрицы четного порядка.
Перенумеруем компоненты так, чтобы матрица р имела
вид
I/ 01
а—|° q*
= (rf=:
(Ю.7)
где / — единичная субматрица. Рассмотрим условие (10.3).
Представим матрицу а* разбитой на субматрицы того же
порядка, что и р в формуле (10.5). Тогда
atP + Pq^l'X Д| = 0. (10.6)
Следовательно, pi = s/ = 0. Из условия эрмитовости
матрицы щ следует
|о rt|
Используя эти соотношения вместе с равенством (10.4),
придем к формуле
ДО* + 0*# = 26Л. (10.8)
Пусть i Ф k. Тогда, перенося второй член в каждой из
формул (10.8) в правую часть и перемножая все три
равенства, получим
Wz:<h<& qtft = — Чъ&ЧъЯьЯгЯг-
По теореме о произведении определителей
Det (qiqtqtftMi) = Det (?i Wtffr*?!) =
= Det (— qtftqtfiqtql) = (— 1)" Det faiflWstf tftf).
где N есть размерность матриц qt. Таким образом, N
должно быть четным числом. При t=£ из (10.8) следует,
что субматрица qt должна быть унитарна. Итак, условиям
200

(10.2), (Ю.З), (10.4) могут удовлетворить только матрицы
размерности 4/(. Пусть /С=1. Уравнение
<й1Г = И«р) + ™2р]я|) (10.9)
для четырехкомпонентнои функции яр, где at и р суть
матрицы четвертого порядка, называется уравнением
Дирака.
Субматрицы второго порядка, удовлетворяющие
соотношениям (10.8), нам уже известны (см. главу 4): это
матрицы Паулн
10 —* | и 01
о h 03~ о ~1 •
Сх =
1 о1- 02 =
Итак, в представлении, в котором р имеет вид (10.5),
0 а.
\Oi 0
(10.10)
Такое представление мы будем называть стандартным.
3. «Умножим уравнение Дирака (10.9) на р/с. Тогда
его можно записать в виде
Найдем унитарный оператор, осуществляющий
преобразование поворота системы координат. Выберем
представление, в котором в новой системе координат волновая
функция of имеет тот же вид как функция независимых
переменных, что и в старой (см. п. 4.10). Поскольку
при пространственном повороте р преобразуется, как
вектор, то для того, чтобы уравнение (10.11) обладало
правильными трансформационными свойствами, величина р«
также должна преобразовываться, как вектор. Оператор,
осуществляющий - преобразование р, известен. При
повороте вокруг оси г он имеет вид
p' = U+pU, 0=е(Г**. (10.12)
Здесь 1г есть оператор орбитального момента. Он
действует на функции пространственных переменных. Матрицы
Щ и р от пространственных переменных не зависят,
А.
а потому преобразовываться оператором U не будут.
Из требования инвариантности уравнения (10.11) следуют
201

соотношения
е^фрс^е—^ф = Pai cos <р + Р«2 s*n Ф»
е*£фра2е-*£ф = — р«х sin <р + Р«а cos <р,
е^^ра3^£ф=Р«з.
Используя явный вид матриц
найдем явный вид оператора L*
? _ ! v v _ I аз 0 1
Очевидно, операторы 1г и 2^ действуют в разных
пространствах, а потому коммутируют. Поэтому унитарный
оператор, . осуществляющий преобразование поворота
системы координат вокруг произвольной оси <р, можно
представить в виде
Непосредственным вычислением можно убедиться, что
оператор 2 коммутирует с р. 'Поэтому
v+ (ря) v = ря=р (1/+я I/).
Следовательно, в случае свободного движения величина
А. А
1 + 2/2 есть интеграл движения. Оператор
J = l + i=f + li (10.13)
есть оператор полного момента частицы, a s = S/2 есть
оператор спина. Рассмотрим проекцию спинового момента
на направление импульса свободной частицы
1 Л
sp 1 ар 0
~ "~ ?Р~ J 0 <гр |
Гамильтониан уравнения Дирака, выраженный через
субматрицы, имеет вид
# = с|° <*
1<гр 0
202
h.
. »1' °1

используя формулу
'"- (crA)(aB) = AB + to[AxB], (Ю.14)
непосредственным вычислением легко убедиться, что
оператор h коммутирует с гамильтонианом. Для свободной
частицы величина проекции спина на направление
импульса, называемая спиральностью, сохраняется. Из явного
ззида матрицы 2 ясно, что проекция спина может
принимать лишь значения ± 1/2 (в единицах Й). Таким
образом, уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2.
-Замечательно, что для установления этого не требуются
никакие дополнительные предположения, кроме
выдвинутых в п. 10.1. \
4. Найдем стационарное решение уравнения Дирака
для свободной частицы в состоянии с заданными
значениями компонент импульса". Полагая
ф(г, /) = *(г)е п9
получим
е-ф(г) = Я^(г).
Выразим четырехкомпонентную функцию ty через две двух-
компонентные функции: . *
; ф Ш9 % \%
\йепользуя стандартное представление матриц aky f},
полупим, систему
'*• * ех = сорф —тс2х-
^Волновые функции состояния с определенным импульсом
-удовлетворяют уравнениям
.' (т^-в)ф+Сарх = 0, 015)
сорф — (nw2 + s) X = 0.
Условие совместности этой системы линейных уравнений
состоит в равенстве нулю ее определителя. Учитывая
операторное тождество (10.14), получаем
т2с%-г2 + с*р2 = 0,
г = Х\/р2с2 + т2с\ Я = ±1.
203

Двум знакам в этом выражении соответствуют два типа
решений уравнения Дирака. Таким образом, задания
компонент оператора импульса в общем случае
недостаточно для описания движения свободной релятивистской
частицы: нужно указать еще значение параметра Я.
Решения с Я= + 1 будем называть положительными.
Одна из двухкомпонентных функций может быть
выражена через другую:
х-ййт* <1016>
Таким образом, из четырех компонент функции г£>,
соответствующей заданному р, только две могут быть заданы
независимо, а остальные две определяются при
выбранном Я из формулы (10.16). Пусть
Н£|е ае '
где а есть спиновая функция, не зависящая от координат.
Тогда
а
-0ра
Ф(г) =
тпс2+г
■е п.
В нерелятивистской системе отсчета е = Л(тс2 + £),
где Е^тс2. Поэтому для положительных решений (при
е>0)
сор р ^
а для отрицательных (при е<0)
v cap 2mc ^
х=-^НЬгч>~—р-ф>ч>-
Таким образом, в нерелятивистском предельном случае
две из четырех компонент г|? оказываются малыми по
сравнению с двумя другими.
5. Уравнение Дирака часто бывает удобно представить
в другой форме. Положим x^ = (rf, г) (|д. = 0, 1, 2, 3).
Выберем метрический тензор в виде
g»v = <W (— 1 + 26^).
Введем оператор 4-импульса
204

Тогда уравнение (10.11) можно переписать в форме
(Пь-т)Ъ=о> (10-17)
где матрицы у11 определяются равенствами
Y° = P, Y* = P<x*, ft-1,2,3.
Матрицы у1 удовлетворяют соотношению.
^lYv + YvY,A = 2g»xv. (10.18)
Индексы матриц у* поднимаются и опускаются по
правилу
6. Рассмотрим уравнение Дирака для движения
заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем
электромагнитном поле, которое описывается 4-потенциалом Avv =
= (Ф, А). Классическая функция Лагранжа имеет вид
% = -т$ YX~\% + 7Ау~еф-
Компоненты обобщенного импульса соответственно равны
Ро = Р1+еФ, P = -^ = p/+iA,
где р£ суть компоненты 4-импульса свободной частицы.
Обобщив правило главы 2 на релятивистский случай, мы
заменим в уравнении Дирака оператор р^ на выражение
для него, содержащее обобщенный импульс. Итак,
уравнение Дирака для частицы во внешнем электромагнитном
поле имеет вид
Н^-7^)-Н*я0' (10Л9)
Рассмотрим уравнение Дирака в электромагнитном
поле в нерелятивистском предельном случае. Четырех-
компонентную функцию if удобно выразить через двух-
компонентные <р и %. Уравнение (10.19) в стандартном
представлении приводит к системе уравнений
(е — еФ — тс2) <р = со (р — — A J x,
(е- еФ+тс2)Х = со(р — *-AW
Ограничимся случаем слабого поля
е — еФ — тс2<^тс2.
205

Выбирая положительное решение и полагая £ = е — тс2,
получим
Яф = со (р - ~ А) %+еФц,
са[р
к*)
Х Е+2тс-
Исключая функцию %, находим
fas4>~i*(p-TA)<P- (Ю.20)
-!*£М*
£(р =
Используя тождество (ЮЛ4), приходим к равенству
Введем напряженность магнитного поля
H = rotA.
Тогда
^Шр-Т^У + ^-Ш^Ъ- СЮ.21)
Это уравнение для большой в нерелятпвпстском пределе
двухкомпонентной функции <р называется уравнением
Паули. Соответствующее уравнение для (р(/) имеет вид
as-[4^+«*-=№]
Ф- (10.22)
Дополнительный член в гамильтониане (10.22) можно
интерпретировать как энергию взаимодействия
собственного магнитного дипольного момента частицы
с магнитным полем. Величина |i0 называется магнетоном
Бора,
1*0 = 9,27.10-21 эрг/ге.
Экспериментально наблюдаемый магнитный момент
электрона действительно очень близок к значению {л0. Для
нуклонов имеют место значительные отклонения.
206

: 7. При выводе уравнения Паули мы пренебрегли
членами порядка (тс2)~1(Е—еФ). Поэтому полученное
уравнение не содержит релятивистских поправок к гамиль--
^ониану заряда во внешнем электростатическом поле.
Отыскание таких поправок представляет интерес для
задач атомной спектроскопии. Пусть А = 0, еФ = £/(г).
Тогда
[£-(/(г)]ф = сорх,
^ [2тс2 + Е — (7(г)]х = сорф.
Учтем члены следующего порядка в разложении (10,20):
л~|/ 2mc* ]2тсЧ>-
Тогда для функции <р получаем
•[Е_1/(г)]Ф^1-*^]«рф. (10.23)
Учитывая коммутационное соотношение
[ор, /ор] = — Ш (в grad /) (ар)
•й используя тождество (10.14), получаем равенство
ор • /ор = /р2 - itl (V/. р + iff [V/ X р]).
:С учетом этого равенства уравнение (10.23) принимает
'вид
•М1--УЧ£ф+«'ф+
"■' +^Л(Щ><Р]<Р-Ш«тРЧ. (Ю.24)
В первом члене в правой части с принятой точностью
можно произвести замену
E-t/(r)~g.
Окончательный вид оператора Н:
Н^Но + Уг+Ъ + К .
где
&=£+"<«■>
207

есть обычный нерелятивистский гамильтониан частицы
в заданном поле. Первый член
Ъ—яга? (1а25>
учитывает релятивистскую зависимость кинетической
энергии от импульса. Второй дополнительный член
$* = ШГЛ(ЩХР) (Ю.26)
описывает энергию спин-орбитального взаимодействия.
Он может быть интерпретирован как энергия
взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим
полем. В центральном поле
г dr y
и оператор У2 может быть преобразован к виду
v» = W Ir xPlT 57 = 5S* d?!s- <10-27)
Наконец, третий дополнительный член
t>s = ^(Vt/)V
не может быть сохранен в таком виде из-за своей неэр-
митовости:
Заменяя его в соответствии с правилом п. 2.1 эрмитовой
частью, получим
Это выражение назьюается энергией кошпашпного взаимо-
, действия и не имеет наглядной интерпретации или
классического аналога.
8. Рассмотрим влияние релятивистских поправок на
положение энергетических уровней водородоподобных
ионов. Поскольку в стационарных состояниях рг^1ш~1^
<^тс, то релятивистские члены малы, и можно
ограничиться их учетом в первом порядке теории возмущений.
208

Введем атомные единицы. Тогда операторы Vt примут
вид
Здесь введено обозначение а для безразмерной величины
— fL 1
а^Ьс^ 137,04'
которая называется постоянной тонкой структуры.
Вычисление поправок от операторов V± и V8
облегчается тем, что они действуют только на радиальную
часть ВФ. В кулоновском поле ядра 1/ = —Z/r
1/3 = ^4л6(г), Е» = **6Л. (10.29)
Таким образом, контактная поправка отлична от нуля
только для s-состояний. Поправка от члена Vt
вычисляется с помощью представления оператора Уг в виде
Таким образом,
.При вычислении использованы результаты задач 5.4 и 5.5.
В нерелятивистском приближении энергия электрона
в водородоподобном атоме не зависит от спина. Поэтому
для вычисления спин-орбитальной поправки можно взять
в качестве невозмущенных ВФ общие СФ операторов /2,
U и /2, рассмотренные в п. 4.13. Учитывая тождество
2Sf = /2—/2 —sa,
мы можем переписать выражение для оператора
возмущения в виде
Таким образом, для поправки Е*' имеем выражение
£'«- = ^F>[/(/+i)-/(/+I)--|] (^0).
£У' = 0 (/ = 0).
209

Используя результат задачи 5.6
Г пЧ(1+1/2) {1+\)>
получаем окончательное выражение для поправки £i":
.-„, _q«Z* [/(/+!)-< (/+!) —3/41 , Л .
^2 -"5?V /(/ + l/2)(/+l) J^
""Подвыражение в квадратных скобках можно выразить через /
для различных значений / = /±у (/^0):
,-Ijl.}. /(/ + !)-/(/ + !)-3/4 _^ 1
'-*"•" 2"- /(/+1/2)(/ + 1) (/+1/2)(/ + 1)>
,1. /(/+П —/(/+!) —Э/4 -1
'-* 2* " /(/+1/2)(/+1) (/+1/2)/'
Складывая поправки Ег и £2 при / = /-4-1/2. имеем
1+2-~ 2п3 \4п / + 2/(/+1/2)/ 2п3 \4п /+1/2/#
Аналогично, при / = /--1/2
£i+2— 2пз \4п у + 1 2(/+l)(/+l/2)j 2n3 \4n / + 1/2J
Таким образом, суммарную поправку при 1^0 можно
представить в виде
Формулы (10.29) показывают, что это выражение
справедливо и при / = 0, Отметим, что выражение (10.31),
определяющее тонкую структуру атома водорода,
впервые было получено Зоммерфельдом на основе старой
квантовой теории.
Релятивистские поправки приводят к частичному
снятию вырождения по I. Кроме главного квантового числа //,
энергия уровней зависит и от значения полного момента /.
Однако уровень с заданными п и / остается двукратно
вырожденным. Число / может принимать значения /± 1/2.
Этот результат не является следствием приближенного
характера вычислений и сохраняется для точного
решения. Такре вырождение указывает на существование
дополнительного интеграла движения, не коммутирующего
с оператором полного момента.
210

При учете спина электрона состояние частицы в
центральном поле задается тройкой чисел я, /, /. Значение /
принято указывать в виде правого нижнего индекса при
нерелятнвнстском обозначении.
Отметим, что вычисление поправок высших порядков
или рассмотрение точного решения в случае Za <^ 1 не
представляют особого интереса по следующей причине.
В классической электродинамике система заряженных частиц
может быть описана с помощью функции Лагранжа,
зависящей от координат и скоростей частиц, лишь с
точностью до членов порядка (v/c)2. В следующем порядке (~ (и/с)3)
необходимо учитывать излучение. Вычисление поправок
второго порядка по операторам Vi приведет /лишь к
величинам порядка (и/с)4.
В главе 5 рассмотрение задачи двух тел привело нас
при вычислении спектра атома водорода к задаче о
движении частицы с приведенной массой в поле кулоновского
центра. В этой главе мы использовали в. качестве
исходного пункта релятивистское уравнение для движения
заряда в кулоновском поле ядра. Такое приближение
для задачи двух тел оправдано лишь постольку,
поскольку можно пренебречь движением ядра. Уравнение для
задачи о движении двух заряженных частиц со спином 1/2
было получено Брейтом. Как следует из изложенного,
это уравнение справедливо лишь с точностью до
членов {vlcf.
* ЗАДАЧИ
: 1. Найти унитарный оператор, осуществляющий преобразование
Лоренца.
2. Доказать, что из уравнения Дирака для частицы в
электромагнитном поле следует уравнение
- [(р^—~- Лм) (ри- ес Ли) +1 ом^-лда]+-0,
где
. дмv=-^ (y'1yv—YW=— a<ViX»
* Fpy есть тензор электромагнитного поля.
3. Найти собственные значения оператора скорости
релятивистской частицы со спином 1/2. Этот оператор определяется соотношением
211

4. Вычислить производную по времени от оператора
Л с а
р А.
Результат сравнить с классическим уравнением движения..
.5. Доказать соотношения
irr+J*.Bal-fe
dt[Г + 2тсРа\- т>
6. Доказать, что релятивистский аналог оператора Рунге—Ленца
где
Y5 = — iyuyiyZyS,
коммутирует с гамильтонианом уравнения Дирака для частицы
в кулоновском поле.

Глава 11
ПЕРЕХОДЫ
0. В предыдущих главах мы рассматривали только
стационарные состояния систем. Они описывались СФ не
зависящих от времени гамильтонианов. Средние значения
наблюдаемых в таких состояниях не зависят от времени.
Вне нашего рассмотрения остались два круга задач.
Во-первых, система может описываться гамильтонианом Я,
не зависящим от времени, но состояние системы в
некоторый момент 2 = 0 может не быть СФ Я. Возникает
вопрос об изменении со временем средних значений
наблюдаемых.
Во-вторых, гамильтониан Я может зависеть от времени
явно. Если система взаимодействует с источником
внешнего переменного поля, а влияние системы на источник
пренебрежимо мало, то гамильтониан можно представить
в виде
H = H0 + V(t). (11.1)
Такая система по определению не имеет стационарных
состояний. Если при *-V±:oo внешнее поле V (t\
обращается в нуль, то для описания системы удобно
использовать полную систему СФ Я0. Тогда ВФ системы может
быть представлена в виде
я
где введено обозначение
&я = ПггЕП9
которое мы будем постоянно использовать в дальнейшем.
Пусть начальное (/->►-—оо) состояние системы
описывается одной из СФ Я0:
Hj-= lim ifc (0 = Ф„.
213

В общем случае при t-+ + co ВФ системы
t+= lim *(/) = 2]fl«»4>«
не совпадает с ВФ начального состояния. Под действием
внешнего поля система совершает переходы в другие
стационарные состояния. Вероятность наблюдения системы
при /-->-|-оо в состоянии Ут — вероятность перехода из
состояния \п) в состояние | т) — определяется величиной
wnm = I 0-тп \ •
Индекс п относится к начальному, а т к конечному
состояниям.
1. Пусть при /<0 гамильтониан частицы
Я_ = ^ + (/_(х)
обладает дискретным спектром и частица находится в
стационарном состоянии tyn(x) с энергией Еп. Пусть при
/ = 0 поле мгновенно изменяется:
Состояние *фя(х) не есть, конечно, собственное состояние
Н+ш Вероятности переходов при внезапном возмущении
определяются значениями коэффициентов атп в
разложении ф„(х) по собственным функциям Я+:
Ы*)=1>*<Ра(*).
k
Приближение внезапных переходов оправдано, если
интервал А/, за который происходит изменение поля, мал по
сравнению с величинами
1 п
где Еи относится к конечным состояниям.
В качестве примера рассмотрим вероятность перехода
атома трития Н3 в основное и возбужденные состояния
иона Не35 при р -распаде ядра. Время изменения
потенциала ядра по порядку величины равно времени пролета
214

|$-электрона через атом:
где <ц — боровский радиус. Это время мало по сравнению
с характерным атомным временем Т,а = й3т_1б 4.
Вероятность перехода в ls-состояние определяется скалярным
произведением ВФ начального и конечного состояний:
■<■„...- _$Sgf„p[-*].2(JJ"ep[-&].,.*.
t0i,i = Ki!2 = (!-)a~O,7O. (11.3)
Здесь Zx и Z2 суть начальный и конечный заряды ядра.
Заметим, что переходы в состояние с / Ф О невозможны
из-за ортогональности угловых частей ВФ. Аналогично
вычисляется и и;^, а* = 0,25. Таким образом, при
Р^-распаде ядра атома трития образующийся ион Не3+ будет
с. подавляющей вероятностью находиться в основном или
В первом возбужденном состояниях.
2. Задача об эволюции состояния ^(х),
приготовленного в момент t = 0 мгновенным изменением поля (/_ ->• U+,
Представляет особый интерес, если гамильтониан Я+
обладает непрерывным спектром. Физически реализуемые
Состояния частиц описываются ВФ, локализованными
Б некоторой области пространства (принадлежащими L2),
Н не могут совпадать с ВФ непрерывного спектра.
*Г Состояние, которое описывается функцией из L2,
представляющей суперпозицию ВФ непрерывного спектра,
Называется волновым пакетом. Задачи об эволюции вол-
Новых пакетов относятся к первому типу задач,
упомянутых в п. 11.0.
ь;._ Рассмотрим волновой пакет свободного движения,
который при / = 0 имел вид
& г|)(х, 0) = е 2а2'
Готовящее поле V~{x) есть потенциал гармонического
Ьсциллятора:
_f 215

Поле U+ равно нулю. Спектральная функция a(k)
определится выражением
+ ф
a(k) = — [ я|)(л% 0)e~ik*dx = -£=e-k2a2'2.
— oo
Зависящая от времени ВФ имеет вид
+ <*>
— оо
Вычисление интеграла дает
♦ (*. 0 =
/*+':-'*["«(-+'£)}'
Распределение плотности вероятности
1
р(*. 0 =
у^Г\~"Ы
с течением времени сохраняет ту же форму, что и в
начальный момент. Однако ширина распределения возрастает
со временем: происходит расплывание волнового пакета.
Расплывание становится существенным при
Величину Т естественно назвать временем жизни
волнового пакета. Отметим, что аналогичный результат мы
получим для любого волнового пакета, который при * = 0
описывается действительной ВФ.
Наличие расплывания связано
с законом дисперсии для
свободных частиц E(k)~k2.
3. Особыми чертами
обладает процесс расплывания вол-
Рис. 38. нового пакета в центральном
поле, имеющем вид барьера
(рис. 38). Пусть приготовленное при £ = 0 состояние
описывается ВФ -ф(г, 0) лсжализовашюй внутри барьера*.
Схема отыскания зависящей от времени ВФ остается той
же, что и в предыдущем пункте. Раскладывая начальную
ВФ по системе ВФ стационарных состояний Ф(£, г), нор-
216

мированных на 6-функцию от &, мы найдем спектральную
плотность
оо
A (k) = \ я|)(г, 0)Ф(Л, r)dr. (11.4)
о
Зависящая от времени ВФ будет определяться интегралом
со
я|) (г, 0 = \ А (к) Ф (k, r) е~ш dk. (11.5)
асимпто-
асимптотику
где
Пусть f(k, r) есть решение радиального УШ с
.такой e~ikr. Тогда функция Ф(£, г), имеющая аск
Ф(А, rJ^jAlsin^r + eo^)],
где Ь0(к)— фаза рассеяния, может быть представлена
в виде
(11.6)
где S0(k) ^ть элемент матрицы рассеяния. Подставляя
(1.1.6) в (11.4), спектральную плотность представим в виде
A(k) = ^{ik)V^)~*{-ik)^^, (11.7)
a(ik)^^(r,0)Y^f(k, r) dr.
О
Подставляя (11.6) и (11.7) в выражение (11.5), получим
оо
»(л, 0=]}[.(,'ЧУЗД-«(-»)^]х
ОО
'--r?=$ia<tt)Si<*)-a<-ft)]f<-*,r)«-,,*ift +
+ r^|[a(*)-a(-a)s^]'(*'r)c"""*-
Учитывая, что согласно (9.80)
S,-(*) = So(—А),
217

и заменяя во втором интеграле k на —к, получим
-<-СО
1
12л
§ [a (ik) S0 (ft) - а (- ift)] f(—k,r) <-** rfft.
—oo
(11.8)
Формула (11.8) точная. Найдем асимптотический вид
я]) (г, t) на больших расстояниях вне барьера. Тогда под
интегралом в (11.8) можно заменить функцию / (—£, г) ее
асимптотическим значением v
Ч>(/\ /)^--4= ^ [a(ift)S0(ft)-a(— ik)]eV-*>dk. (11.9)
— оо
Введем новую переменную
Тогда формула (11.9) примет вид
ф(г, 0^В^и[а+(У)5(у)-а-(»)]ф, (11.10)
С
где
Интегрирование в (11.10) ведется вдоль контура С
—диагонали третьего и первого
квадрантов плоскости комплексного у.
Функции а+(у) и а,'(у) не имеют
осрбенностей. Если S(y) не имеет
особенностей, то контур С может
быть смещен к действительной
оси, а интеграл (11.10) вычислен
методом перевала. В поле с
потенциалом вида, изображенного на
рис. 38, отсутствие связанных
состояний очевидно. Возможно
наличие особенностей S (ft),
связанных с квазистацнонарными
состояниями. Пусть существует одно квазнстацпонарное
состояние
218

Тогда элемент 5-матрицы имеет вид
8<*>-*<:5йй-
где М (k)— функция без особенностей. В плоскости
комплексного переменного у
[у+У'Кт-1*)]
[*+/'-*(■;--*)]
[*+/'t(v+4I
['+уЧ(т+«)]
S(y) = M(y)
Рассмотрим полюсы S(y}. Они определяются равенствами
Pi' y + Y~i^{j-q + ™) = Oy
Изменение их положения со временем показано на рис. 39.
Пусть <7>х. Тогда при z<r{q — у)л полюс Рг лежит
ниже действительной оси. Контур интегрирования может
быть смещен на действительную ось. Вычисление
интеграла (11.10) методом перевала дает
* (г, i) = % (г, 0 ~ В[/И [at (0) S (0) - a- (0)].
При z>r(q — у)-1 нужно учитывать вклад от полюса Рг
в первом квадранте. Тогда
я])(г, t)^г|?0(г, 0-2niBa(ik0)e~y«ResS(Рх).
Второй (полюсный) член в этой формуле можно
переписать в виде
я|)Р (г, t)^V'2nа(|*0) М (ko) хе(*г+*ге 'Vе' V *.
Здесь использованы введенные в главе 9 обозначения ре-
- зонансной энергии и ширины уровня:
Таким образом, при наличии у системы
квазистационарного состояния в расплывапии волнового пакета можно
выделить две стадии. Первая — иерезоиансное расплывание,
которое описывается членом ^0(r, t). Оно связано с
наличием в разложении начальной волновой функции компо-
219

нент с большими k и наиболее существенно при малых
временах. Вторая —распад квазистацпонарного состояния,
который описывается членом i|)P(r, t). В общем случае
этот член не мал по сравнению с фо (/\ 0- Функцию i|)P (г, t)
можно интерпретировать как ВФ состояния с
комплексной энергией
убывающую со временем по экспоненциальному закону.
Отметим, что ВФ квазистационарного состояния возрастает
при больших г. Поэтому приготовленный волновой пакет
не будет совпадать с ВФ квазистационарного состояния и
распад не будет в точности следовать экспоненциальному
закону.
4. Рассмотри в качестве примера потенциал сфериче-
скрй оболочки
w(r) = ?6(r — a).
Рассмотрим s-случай. Особенности S-матрицы будут
определяться, согласно (9.76), уравнением
со
l + i~^H\%(kr)u(r)y0(kr)rdr = 0. (11.11)
Для вычисления корней этого уравнения нам даже не надо
определять регулярное решение УШ при всех г.
Очевидно, что при г^а оно совпадает с J\/2(kr). Используя
равенства
H\%{z)=-iYi;eiz> JmV) = Y^*mz'
перепишем уравнение (11.11) в виде
l+^-fg^-O. (11.12)
Здесь введены обозначения: x = ka, b = qa. Полагая 2т =
= x + iy и приравнивая нулю действительную и мнимую
части (11.12), находим
у + В — 8^cosjc=0, x-f0r^sirr# = O.
Этой системе удобно придать вид .
*-_е^, .cos*=(i+j.)*
22П

Очевидно, что второе из этих уравнений определяет
действительную кривую только при у <С 0. Полюсы S (k) вне
мнимой оси лежат в нижней полуплоскости комплексного k
в согласии с общим результатом. Графическое решение,
определяющее положение полюсов, показано на рис* 40.
$Я Re*
Рис. 40.
Отметим следующие свойства полученного решения.
По мере уменьшения прозрачности барьера (с ростом 6)
действительные части полюсных значений qn стремятся
к плат1, а резонансные уровни энергии —к значениям
уровней энергии в сферической яме большой глубины.
Мнимые части кп полюсных значений сильно зависят от п.
)8 пределе при 6-> со
У<п
,2(^21
Ь) а
Выражение для ширины уровней квазистационарных
состояний можно представить в виде
Тп = 2Knqn~^D (Еп) — рПУ
(11.13)
где D(En) есть коэффициент прохождения через барьер
?8(х) для частицы с энергией Еп (см. задачу 3.5).
... Соотношение (11.13) сохраняется и в общем случае,
вели только область внутри барьера достаточно широка:
* й(рп)~г<а.
В самом деле, решение с асимптотикой eifcr можно
рассматривать Как стационарную ВФ системы с источником
Частиц единичной мощности в начале координат. Пусть
;"' 221

при t — Q источник выключен. Запишем уравнение
непрерывности
R
d_
dt
о"
JliNr, tyfdr = j(R9f), (11.14)
где # —точка, лежащая вне барьера. Учитывая, что при
наличии квазистационарного состояния изменение /(г, t)
происходит медленно, можно положить
Р „J г
/= ехр
3 т *
(-£')•
Плотность вероятности оу (г) = ] ij) (r) j2 внутри барьера
существенно больше, чем вне его. Поэтому, используя
определение коэффициента прохождения D (£), можно записать
R
уМ^^ЩЁу
Учитывая уравнение непрерывности, получаем
а г ^ р
Ь(В)'П ^т'
откуда следует оценка (11.13). Используем формулу (11.13)
для оценки скорости радиоактивного а-распада ядер.
Потенциал взаимодействия а-частицы и ядра складывается
из сильного короткодействующего притяжения при г<г0
и кулоновского отталкивания (Z —заряд ядра до распада)
(У(г)я«2(£^2)£! = _«
\ / r r
при г>г0. Для оценки коэффициента прохождения можно
воспользоваться методом В КБ:
D(£)^exp*
-пУч^Н-
Вычисление интеграла приводит к результату
D(£)~exp[- «J |/f arccos /f _ /ЩГГЩ].
Для типичных значений энергии а-частицы Е ~ 1 Мэв,
а~4-10 17 ед. СГСЭ, г0~7-10 "сде
222

и наибольшую роль играет первый член в квадратной
скобке
D(E)^exp[-(Z-2)^]. (11.15)
Здесь
_ 8л2те*
eo—fe-.
Такой вид коэффициента прохождения объясняет сильную
зависимость времени жизни а-активных ядер от энергии
а-частиц (закон Гейгера:— Неттола).
5. Рассмотрим теперь переходы в системах,
гамильтонианы которых зависят от времени явно. Практически
важен случай, когда зависящая от времени часть
гамильтониана мала. Это позволяет использовать теорию
возмущений.
Пусть гамильтониан Н0 обладает только дискретным
спектром, а зависящая от времени часть V (t) мала по
сравнению с #0. Решение нестационарного УШ ** .
^=l//0+i>(oh (иле)
представим в виде разложения по собственным
функциям Н0-
*Л^-#Л>* = £*Ф*. (Н.17)
* = 2а*(*>Ф*(0. (Н.18)
k
Подставляя (11.18) в (11.16) и учитывая (11.17), получим
Умножая разложение (11.19) на ф„ скалярно, получим
k
Зависимость от времени матричного элемента Vnk (t)
включает в себя, кроме зависимости V(t), экспоненциальный
Множитель
223

Пусть при * = 0 akn = 6kn. Представляя akn(t) в виде
разложения по степеням е, в первом порядке получаем
da'hl
откуда
in4r=v*n(t)>
Вероятность перехода равна
+ 00
wnk--
1
:ft*
io>i,J
Vknfi^dt
(11.20)
(11.21)
Необходимым условием применимости (11.21) является
сходимость интеграла: при *-*оо гамильтониан должен
совпадать с невозмущенным #0. Если возмущение
стремится к конечному пределу
lim V (/) = t>+ Ф 0,
то решение (11.20) следует преобразовать. Интегрируя
по частям, получаем
Okn-
VMif)^L, { dV** *****
dt lmkn'
hmkn
+
Первый член в этой формуле в пределе t-+co определяет
поправку первого порядка к ВФ состояния г|) (см.
формулу (6.14)). Вероятность перехода определяется
квадратом второго члена:
w»>=m
'nk
(11.22)
В предельном случае внезапного включения поля
^г = П„б(0.
где Vkn — (k\fi+ — H-\n), и формула (11.22) принимает
вид
/ Укп ••>
Wnk = -
Л'Ч«
(11.23)
224

Условие применимости формул (11.21), (11.22), (11.23)
состоит в малости соответствующих вероятностей перехода.
Поэтаф результат (11.23) нельзя использовать для
решения з^ачи, рассмотренной в п. ИЛ.
Рассмотрим противоположный предельный случай,
когда изменение V (t) за промежуток времени Д*~со*А
мало. В этом случае под интегралом (11.22) будет стоять
произведение медленно меняющейся и быстро
осциллирующей функции и значение интеграла будет малым.
Рассмотрим возмущение
V{t) = V»(± + ±arc\gat).
Тогда интеграл в (11.22) вычисляется элементарно:
п \
aVk»^<*tdt=Vokn(r<*knl*
1+(«09
и вероятность перехода
при щп^а оказывается экспоненциально малой. При
.медленном (адиабатическом) изменении внешнего поля
система с подавляющей вероятностью будет оставаться
в основном состоянии.
6. Рассмотрим важный частный случай возмущения,
периодически зависящего от времени:
. l>(0=l/ocosorf.'
Тогда согласно формуле (11.20)
OfcnW- 2й"[ ^j^ - ©-a J'
где мы ввели обозначение
Полагая
S = co+a, /? = со —a,
для вероятности перехода получим выражение
= I vnk I2 (1 — cosRt , 1—cos5^ , 1 -f cos2a/—cosRt—cos 5/ \
2йз \ Д* "Г S2 + дд J-
(11.24)
8 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков 225

Вероятность перехода периодически меняется во времени.
Если частота внешнего поля близка к Ъдной из
собственных частот системы а, то R^S и в формуле (11.24)
можно пренебречь вторым и третьим членами:
Wnk{t)^V*^l-™Rt. (11.25)
В частном случае точного резонанса (7? = 0) вероятность
перехода
^И0=-Ц^М2 (И.26)
квадратично зависит от времени. Условием применимости
формул (11.25), (11.26) является малость соответствующих
вероятностей перехода.
Если частота внешнего поля близка к одной из
собственных частот, со01 = а, то наиболее вероятными будут
переходы между состояниями |0) и j 1). Пренебрегая
переходами в другие состояния, можно ограничиться
рассмотрением двухуровневой системы. Отметим, что из (11.25)
следует, что при рассмотрении двухуровневой системы
мы можем заменить оператор V неэрмитовым оператором
Пусть на двухуровневую систему действует внешнее поле
Функцию f(t) мы будем называть "огибающей импульса.
Ограничившись рассмотрением состояний |0> и 11), мы
можем представить ВФ системы в виде
ф (л\ t) я^ а (0 <р0 (л:) е?*>* + b (t) <px (л:) ё<**.
Уравнения для коэффициентов разложения a (t), b(t)
имеют вид
(11.27)
Здесь введено обозначение 6 для расстройки частот
системы и поля:
б = со10 —со.
226

исключая а из второго уравнения системы (11.27), получаем
': £-2[>/«+e]+u4P£»-a а'-2*).
Решение уравнения (11.28), удовлетворяющее начальному
условию Ь(—оо) = 0 при б —0, имеет вид
t
&(<) = sin J Щ®-<и.
—со
Вероятность перехода при ^оо в состояние [1>
Н-со
^01 = sin2^ \ f(t)dt^sin2Q
—со
зависит от единственного параметра Q. При значениях
ф = 2й=:(2п+1)я
ристема с достоверностью переводится в другое состояние.
Такой импульс внешнего поля называется я-импульсом.
При
Ф = 2шг
система с достоверностью остается в начальном состоянии.
Рассмотрим случай отличной от нуля расстройки при
>f(t) = const (прямоугольный импульс). Решение уравнения
(11.28) имеет в этом случае вид
:где
ft = —-g* + Qf 92 = "2+й»
Пусть при t = Q система находится в состоянии |0> (Ь (0) = 0).
Соответствующее решение имеет вид
Зависящая от времени вероятность перехода есть
8* 227

При наличии расстройки двухуровневая система не может
быть с достоверностью переведена в состояние 11).
Максимальное значение вероятности
-[•+С&ГР
при заданной расстройке тем ближе к единице, чем
больше | Voi |-
7. Выше мы рассматривали переходы между
состояниями дискретного спектра под действием когерентного
внешнего поля
V{t) = V-f(t)e™.
Рассмотрим в рамках теории возмущений переходы между
парой уровней под действием импульса резонансного
внешнего поля (ш = со10), амплитуда которого f(t)
обращается в нуль при t>T, t<0, а в интервале 0<t<iT
представляет случайный стационарный гауссов процесс
с равным нулю средним
(f(t)) = 0
и заданной функцией корреляции
В (г) = 0(0/(* + *)>.
Под усреднением здесь понимается усреднение по
различным реализациям случайного процесса. Вероятность
перехода в теории возмущений определяется формулой (11.21):
W01:
Л*
$'«
dt
V-
Так как / (t) — случайный процесс, то наибольший
интерес представляет среднее по реализациям значение
вероятности перехода w01. Среднее же значение функции F*(T)
выражается формулой *
<Я(Т)>= $ sin*f^g(o>)tf<D, (11.29)
— оо
где спектральная плотность случайного процесса g(to)
есть фурье-образ функции корреляции
-J-CO
вИ = -^ )j В(т)е«->Ыт.
— СО
228

В качестве примера рассмотрим экспоненциально
коррелированный процесс
Ъ(х)=1*егЫ*9
где в — характерное время корреляции. Тогда
Лри подстановке последнего выражения в (11.29) интеграл
вычисляемся элементарно:
</я(Г)> = /22в*[-^-1+в-г.«]. (11.30)
Зависимость функции (F2) от Т показана на рис. 41.
При Т ^ б (F2 (Т)) я^рТ2 — вероятность перехода меняется
со временем квадратично, как и в случае когерентного
поля. При 7^>б второй и
третий члены в скобке в <F2>[
формуле (11.30)
несущественны и
<Я(7)> = /2-276 =
=/2- 2ng(0)T. I
Последнее выражение при- ^
менимо не только для
выбранной функции
корреляции. В самом деле, в
подынтегральном выражении формулы (11.29) функция g (со)
заметно отлична от нуля при co<6-J и плавно меняется
в этой области. Первая же подынтегральная функция
отлична от нуля главным образом в области &<T~K
Поэтому при 7;>б можно приближенно положить
-j-oo
<Я(Г)>~£(0) J sin*(-?ff±d«> = 2nTg(0).
— оо
Таким образом, если длительность импульса внешнего
поля велика по сравнению со временем корреляции, то
вероятность перехода линейно растет со временем:
wa=Vyt-*.2ng(Q)T. ' (11.31)
В общем случае нерезонаисного поля выражение для
средней вероятности перехода имеет такой же вид, с
заменой g(0) на g(co~ co10). Поэтому формулу (11.31) удобно
229

представить в виде
wi = Viift-a-2n/(<oM)rf
(11.32)
где / (о)01) — спектральная плотность поля на частоте
перехода.
Формула (11.32) выведена из теории возмущений.
Поэтому она применима только при не слишком больших Г,
пока вероятность перехода хюа остается много меньше
единицы.
8. Если при гармоническом воздействии на систему
значение энергии
Е+ = Е0 + Лсо
попадает в область непрерывного спектра, то переход
в состояние Е± будет резонансным. Однако выделение
двухуровневой системы в этом случае невозможно, так
как знаменатели в (11.24) будут малы для группы
состояний с Ер^Е+.
Для вычисления вероятности переходов в этом случае
удобно заменить непрерывный спектр конечных состояний
дискретным квазинепрерывиым. Это можно сделать,
наложив на ВФ непрерывного спектра условие
периодичности на границах куба с ребром L, предполагая, что L
много больше размеров системы (ср. п. 6.13). Тогда можно
использовать выражение для вероятности переходов
t£W =
+ со
(11.33)
При вычислении матричных элементов V0v использованы
ВФ конечных состояний, нормированные на единицу
в объеме L3. Найдем суммарную вероятность перехода
в состояния непрерывного спектра. Она будет определять
скорость распада начального состояния:
w-2w\Xv^xot
dt
(11.34)
Число дискретных уровней Nv в интервале (Ех, Ev + АЕХ)
в пределе L3-»-oo пропорционально ширине интервала
АЕХ. Определим функцию плотности состояний р (v) такую,
что
N (£v> Ev+A£v) = р (v) A£v.
230

Функция р (v) имеет размерность эрг-1 и пропорциональна
объему L3 куба периодичности. Тогда в пределе L->-oo
суммирование по v можно заменить интегрированием:
l-foo |2
W = -^^dEvp(v)\ J Vo^dtl.
I— со I
Пусть на систему в течение времени Т действует
возмущение
V(t) = ur«*. (11.35)
V
Тогда интеграл по t вычисляется элементарно:
У-^рШъГ ^Д. dE,
При больших Т функция
меняется значительно быстрее, чем р (v) и | v0v |2. Эти
функции можно вынести из-под интеграла, взяв их
значение в точке максимума F(v, Г) —точке (o = <ov0. Тогда
йаъ?Ж=±т
W
_Р(Б±)К+Л С п » 2 .
й2 3й* (©«-«о)» й ov'
Вычисление интеграла по ©о,, элементарно:
^ = p(£+)b0+|2-|Lr. (11.36)
Таким образом, вероятность перехода в состояния
непрерывного спектра под действием возмущения (11.35)
пропорциональна длительности его действия. Иными словами,
вероятность перехода в непрерывный спектр в единицу
времени постоянна. Формула (11.36) называется золотым
правилом.
Отметим аналогию между формулами (11.32) и (11.36):
их можно записать в виде
^ = %-\V01\4(Ef-Et-tK>>),
где 6-функция указывает на необходимость
интегрирования по dE (с весом р (£)) в случае перехода в непрерыв-
231

ный спектр или по da> (с весом / (со)) в случае перехода
под действием некогерентного поля.
9. Состояния непрерывного спектра обычно
вырождены. Если при * = 0 система находилась в состоянии
■фо (£) — собственном состоянии гамильтониана #0, то под
действием постоянного возмущения V система может
перейти в другое собственное состояние гамильтониана
Ho — tyy(E), соответствующее той же энергии. Вероятность
такого перехода дается, согласно (11.36), формулой
2л;
Wn = p(E)\Vw\*^-T.
(11.37)
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение.
Состоянию с данной энергией соответствуют две ВФ
свободного движения:
Рассмотрим переходы между этими состояниями в слабом
постоянном поле V (х). Вводя «длину периодичности» I,
получаем
/ГЧ iriL
Вероятность перехода за время Т
|+со
w=
mL
nfip
w*>
ermxL'1dx
2л т
ti *'
Отношение вероятности перехода за единицу времени
к плотности потока в одном из состояний -ф+, if. есть, по
определению, коэффициент отражения
+ 00
та
RW=W
\ U(x)i
-likx
dx
(11.38)
Для потенциального барьера U (х) = qS (х) из формулы
(11.38) следует:
*и-(ал
что совпадает с результатом задачи 3.5 при /?(£)<^1.
Отметим, что формула (11.38) дает одинаковые
выражения для потенциалов притяжения и отталкивания оди-
232

наковой формы. В главе 3 мы видели, что коэффициент
отражения резко меняется при изменении знака E — U и
становится малым лишь при E>U. Поэтому (11.36)
относится к надбарьерному отражению. Значение R(E) по
порядку величины есть £_2тг2. При т~1 условие
применимости теории возмущений (£-2<<1) противоположно
условию применимости метода ВКБ (£2 <[ 1).
10. В трехмерном случае вычисление вероятности
переходов между состояниями с ВФ —плоскими волнами
различающимися лишь направлениями р, в поле U (г)
приводит, при использовании (11.37), к борновскому
приближению для сечения рассеяния. В общем случае прямая
задача теории рассеяния также может быть сформулирована
как задача о переходах. Пусть функция ip(t)
удовлетворяет УШ
/Й§ = (Я0+УН, (11.39)
где #0 не зависит от времени. Проведем унитарное
преобразование:
. Hot • Hot . Hq^
4>(t,.x) = e hty(t9x)9 h(t)=e n Vе n •
Тогда (11.39) примет вид
Л ?J-= Ъф. (И-40)
Представление (11.40) для уравнений движения называют
представлением Дирака или представлением
взаимодействия. Введем унитарный оператор U (tl9 t>) такой, что
*>(ti. *)<P(<i) = <P(ti). (1141)
Из определения (11.41) следуют свойства оператора U:
U(h, t*)t!(tt9 t3) = U(tl9l3).
Оператор U(ti9 /2), описывающий эволюцию системы,
233

удовлетворяет уравнению движения
или, в интегральной форме,
и
U(h, t2) = l-~-~yh(r)U(Ttt2)dr.
h
Пусть <р_ и ф+ — начальное и конечное состояния системы. '
Оператор 0(tlt /3) при /х ~>- — со будем обозначать #+(/)»
a U(ty t2) при t2->-\-oo будем обозначать U-(t):
^ ф(*Н0+<Оф_.
Предел оператора U+(t) при t->+oo мы будем называть
оператором рассеяния S:
S= lim U+(t).
/-►-boo
Оператор S унитарен, так как по определению унитарен
О. Физический смысл оператора S очевиден: если <р_—- '
начальное состояние системы, то S<p_ = <р+ есть
соответствующее конечное состояние. Пусть при £->ztco внешнее
воздействие V (t) адиабатически выключается. Тогда
начальное состояние ф_ и конечное состояние <p+ = S<p_
можно разложить по СФ гамильтониана Я0. Пустыр_ = <р,м
где а — набор значений интегралов движения
гамильтониана Я0. Вероятность перехода в состояние <р6 есть
^«Ч(ф*[3|фя>|2.
Из рассмотрения, проведенного в п. 11.8, следует, что
переходы возможны только при равенстве энергий
начального и конечного состояний. Элементы S-матрицы суть
функции интегралов движения. Для случая рассеяния
в центральном поле S-матрнца содержит только
диагональные элементы S//,j?£ = £/(#)» свойства которых
рассматривались в главе 9.
' ЗАДАЧИ
1. Определить зависимость от времени дисперсии координаты
волновых пакетов, которые при * = 0 описывались действительными
волновыми функциями.
2. Рассмотреть изменение со временем произведения дисперсий
А*2- Ар2 для пакета, рассмотренного в п. 11.2.
234

3. Пусть при tf=0 свободная частица описывалась ВФ
'И*, 0) = Ф(*)ехр(:Ы^,
где ф (#) —-действительная четная функция из L2. Исследовать
изменение дисперсии координаты со временем.
• 4. Рассмотреть расплывание волнового пакета
Меняется ли его форма со временем?
5. На гармонический осциллятор мгновенно накладывается
внешнее однородное поле F. Найти вероятность перехода в я-е состояние,
если при tf<0 осциллятор находился в основном состоянии.
6. Вычислить в приближении внезапных возмущений вероятность
перехода [л-мезона в мезоатоме с Z > 1 при распаде ядра из
состояния Is в состояние 2s.
7. Вычислить вероятность того, что частица, находившаяся в б-
яме, двигавшейся с постоянной скоростью v, останется в связанном
состоянии при внезапной остановке б-ямы; зависящий от времени
потенциал
U(x, t) = —q&{x — vf) (*<0),
U(x, t) = q6(x) (*>0).
8. При каких временах Т применимо золотое правило для лере-
ходов в непрерывный спектр (11.36)?
9. Вычислить по теории возмущений коэффициент отражения
R(E) в поле
Сравнить с результатом расчета методом ВКБ.
10. На осциллятор, находившийся при *->—со в основном
состоянии, действует однородное поле, меняющееся со временем по закону
F (t)=F0 ch-i (a*)-
Найти вероятности переходов won, не ограничиваясь первым
приближением теории возмущений.
11. Показать, что вне зависимости от того, в каком состоянии
- находился гармонический осциллятор при *->—со, его средняя
энергия под действием переменного однородного поля
всегда увеличивается.

Г лава 12
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
0. В предыдущих главах мы рассматривали различные
случаи движения частицы во внешних полях,
определявшихся потенциалом V (г), в том числе в электростатических
полях. При этом оператор Гамильтона содержал только
операторы, действующие на пространственные переменные
и не затрагивающие спиновую часть ВФ. Учет
релятивистских поправок к УШ, следующих из уравнения Дирака
для электрона, уже в первом порядке по v/c приводит
к необходимости рассматривать взаимодействие
собственного магнитного момента электрона с магнитным полем.
Оператор этого взаимодействия .
t/ = eA-SH
тс
действует на спиновые ВФ. Таким образом, наложение
магнитного поля дает, в общем случае, способ
воздействовать на спиновые состояния частиц.
1. Рассмотрим движение заряженной частицы без спина
в электромагнитном поле. Классическая функция Лагран-
жа в поле, заданном скалярным потенциалом <р и
векторным потенциалом А, имеет вид
4 с* mv2 . е А
^ = Т+ ~-Av-eq>.
В дальнейшем будем полагать <р = 0. Обобщенный импульс
определяется соотношением
дХ , е А
В дальнейшем изложении отличие обобщенного
импульса р от кинематического mv будет играть существенную
роль. Классическая функция Гамильтона определяется
236

соотношением
Заменяя, в соответствии с основными положениями,
обобщенный импульс на оператор с коммутационными
соотношениями А6, получим выражение для оператора
Гамильтона
Пусть векторный потенциал А не зависит от времени
(электрическое поле отсутствует). Гамильтониан (12.1)
имеет вид квадрата эрмитова оператора. Поэтому, в силу
результата задали 1.15, все его собственные значения
неотрицательны. В реальных случаях на больших
расстояниях от источников магнитное поле Н стремится к нулю.
Поэтому потенциал А мы также можем выбрать
обращающимся в-нуль на бесконечности. Поскольку в этом случае
то волновая функция для состояний с положительными
значениями энергии не будет убывать. Итак, в реальном
магнитном поле оператор Н не имеет дискретного спектра
и движение частицы инфинитно. Следовательно, если
область, в которой имеется магнитное поле, не ограничена
стенками, то вместо стационарных состояний мы должны
говорить о квазистационарных состояниях. В
практических, ситуациях, однако, времена жизни таких состояний
оказываются весьма большими (см. задачу 12.7).
2. Рассмотрим идеализированный случай движения
частицы в однородном постоянном магнитном поле.
В классической механике движение частицы в области,
тде поле однородно, не чувствительно к свойствам поля
вне этой области. Очевидно, в квантовой механике это не
так: в любом реальном поле плотность вероятности |я|)|2
не обращается в нуль тождественно ни в какой области
пространства. Поэтому даже в идеализированной
постановке задачи мы должны косвенно учесть правильные
граничные условия, выбрав систему координат в
соответствии с симметрией реального магнитного поля.
Пусть магнитное поле имеет аксиальную симметрию и
лрнейные размеры области, в которой поле однородно,
237

велики по сравнению с характерной длиной Л =
В этом случае юспользуемся цилиндрической системой
координат. Векторный потенциал выберем в виде
УШ в цилиндрических координатах имеет вид
2т \аг2 + ар2 + "р ар + р2" дф2У
Разделяя переменные, ищем решение в форме
яИр, Ф, z)^-^=R(p)e^elm\ (12.2)
Обозначим через у и р величины
Уравнение для радиальной части ВФ имеет, с учетом этих
обозначений, вид
Я" + -J" Д' + (Р - Y2P2 - 2ym - m2p-2) Я = 0. (12.4)
Введем новую независимую переменную |==YP2* -Тогда
уравнение (12.4) перепишется в виде
6Я-+/г' + (*-4-5£)я = 0, (12.5)
где
*~£-т- <12-6>
Легко найти асимптотики функции /?(£):
Выделяя асимптотики, ищем решение уравнения (12.5)
в виде
R{l)^e-H^m^w^). (12.7)
Функция до(|) находится из уравнения
238

решение которого представляет вырожденную
гипергеометрическую функцию
^ = F[^(X^W±1), |m| + l, g]. (12.8)
Для того чтобы ВФ R(l) обращалась в нуль при |->оо,
первый из аргументов гипергеометрической функции
должен быть целым неположительным числом:
-п = яЛ*1+1. (12.9)
Учитывая уравнения (12.3), (12.6), (12.9), получим
окончательное выражение для энергетического спектра:
Таким образом, при заданном k спектр заряженной
частицы в однородном магнитном поле оказывается
эквидистантным с расстоянием между уровнями
тс
Дискретные уровни, соответствующие движению в
плоскости, перпендикулярной полю, называются дровнями
Ландау. Найденная выше ВФ, определяемая формулами
(12.2), (12.7) и (12.8), пригодна для описания
стационарных состояний частицы, движение которой ограничено
цилиндрической поверхностью радиуса /?, большого по
сравнению с характерной длиной Л. Если движение вдоль
оси z свободное, то k может принимать • любые значения
и спектр непрерывен в области
Спектр становится дискретным, если движение по оси z
финитно. В частности, при наличии стенок,
перпендикулярных оси г, возможные значения k определяются
условием
k2^=~n (гс = 1,2,3,...).
3. Рассмотрим магнитное поле, однородное и
направленное вдоль оси г, в прямоугольном потенциальном ящи-
Jce с размерами LX9 Ly, Lz. Найдем ВФ заряженной
частицы и ее энергетический спектр в такой системе. Выберем
239

векторный потенциал в виде
Ах = 09 Ау = Жх, Л* = 0. (12.11)
Гамильтониан Н примет вид
где использовано введенное ранее обозначение
СО = ■.
тс
Разделяя переменные, ищем ВФ в виде
* = X М ехр [ • J- (р^ + рЛ~г)].
Для компоненты х(*) получаем уравнение
Это уравнение совпадает с УШ для гармонического
осциллятора (3.32). Используя результат, полученный в п. 3.11,
находим выражение для спектра
и для волновой функции
^^exp[^(pyy + Pzz)--^^(x+x0f]x
Хнп[Уе^(х+Хо)], (12.12)
где
Учет граничных условий на стенках ящика приводит
к тому, что ру и pz могут принимать только дискретное
множество значений
р1^Ь~щ (щ= 1,2,3, ...).
Влиянием стенок на компоненту волновой функции %(х)
можно пренебречь, если одновременно выполняются условия
LV>A, Lr>x0.
240

Отметим, что вид спектра и ВФ не инвариантен
относительно перемены х++у> хотя в исходной постановке
направления х и у равноправны. Причина этого,* очевидно,
связана с выбором векторного потенциала А в виде (12.11).
4. В классической механике проекция траекторий заряда
в магнитном, поле на плоскость, перпендикулярную полю,
есть окружность. В квантовой механике плотность
вероятности в плоскости, перпендикулярной полю, может вообще
не обладать аксиальной симметрией (12.12). Причина этого
заключается в вырождении состояний заряженной частицы
в магнитном поле с заданной энергией. В классической
механике этому вырождению соответствует неопределенное
положение оси симметрии траектории в плоскости ху.
Рассмотрим классически движение заряда в магнитном
поле с векторным потенциалом-
Ах = -±ЯГу, Аш = ±Жх% Ая = 0. (12.13)
Классическая функция Гамильтона имеет вид
Отсюда следуют гамильтоновы уравнения движения:
Решение уравнений для хну имеет вид
х = г cos (со/ — ф)+х0,
(12.15)
0=*=rsin(<rf —<р) + Уо,
где х0 и у о —- координаты центра окружности. Используя
.уравнения (12.14), можно выразить коо'рдинаты центра дг0,
Уо через канонически сопряженные величины (х, рХ9 уу ру).
[Вычисляя, получим
■:■ „ -.у \Рх
_ X Ру
^ -41

Перейдем к квантовой механике, сопоставляя классическим
величинам эрмитовы операторы:
А.
- __Х_ J а
*°"~ 2 ~ пшрУ*
(12.16)
л у ' 1 *
Из формул (12.16) следует, что координаты центра
окружности не коммутируют и не могут быть определены
одновременно:
iА Л ] Иг
l*o, f/oj — — ^-
Используя решение (12.15) для классических уравнений
движения, можно найти вид операторов х, у в гайзен-
берговском представлении. Представим решение (12.15)
в виде
х (t) = Л cos <ot — E sin со* +*о>
<12Л7>
y(t) = A sin (о/ + В cos ©J + f/o>
где Л и В — операторы, не зависящие от времени. Положив
в уравнениях (12.17) / = 0и потребовав, чтобы
*(0) = *, У(0) = У>
определим выражение для операторов Л, В. Окончательно
получим {
w \m<i) '2/ ' \иио 2/ • \2 тю'
(12.18)
у (t) = (Ь. + |.) Sin о/ + (| - is) cos о)/ + (^ + •!).
^ * ; \/п© '2/ ' \2 /и©/ ' \/п© ' 2/
Таким образом, операторы в гайзенберговском
представлении зависят от времени периодически. Это означает,
что у любого волнового пакета, который при t = О может
быть описан функцией вида
поперечная часть <р (,v, #) примет первоначальную форму
242

через время
Г =
2я
совпадающее с периодом классического движения заряда
в магнитном поле.
5. Рассмотрим движение заряженной частицы со
спином 1/2 в магнитном поле. Уравнение Паули имеет вид
»т = а(Ь-~АГ,г-и.('Н)^.
Очевидно, в постоянном и однородном поле <3VZ ВФ могуг
быть представлены в виде произведения орбитальной и
спиновой функций, причем собственными спиновыми
функциями будут состояния с заданной проекцией спина на
направление поля:
*=!+> =
Ха = | —> =
При учете спина энергетический спектр имеет вид
Бр = Й©(п + |) + ^±И|ЛГ. (12.19)
f Рассмотрим случай зависящего от времени поля.
Нестационарное уравнение Паули имеет вид
ifl-хг
*l-*-l*l-,-(jxnl*l- «i2'2o)
где Йс — гамильтониан заряженной частицы без спина
(12.1). Представим волновую функцию в виде
произведения двух зависящих от времени частей:
%|=ф(г JM0I
Ъ| ф(' 'МОГ
где функция ф является решением уравнения
(12.21)
ih
а^ __
#cq>.
Подставляя (12.21) в уравнение (12.20), для спиновой
-функции получим уравнение движения
ih-
МО
МО
— [1о(оЩ
*1 (01
MOl
(12.22)
243

Если магнитное поле однородно, Н = -Жг (/), то уравнение
(12.22) распадается на пару уравнений:.
dt
ds>
— \i0 я%" (t) su
ib^a-^ib&r®**
Эти уравнения могут быть проинтегрированы:
где константы сх и с2 определяются начальными условиями.
Отметим, что вероятности
V
П
Рис. 42.
проекции спина на
направление магнитного поля со
временем не меняются.
6. Рассмотрим движе-
7 ние заряженной частицы
со спином в неоднородном
магнитном поле (опыт
Штерна — Герлаха). Форма
полюсных наконечников
электромагнита и
расположение координатных осей изображены на рис. 42.
Плоскость zOy является плоскостью симметрии магнитного
поля. При малых значениях г, х напряженность поля
можно представить в виде
£Tx = kx, <ЯГу = 0, «аГ, = <йГ0-Лг. (12.23)
Для простоты рассмотрим движение в таком поле
нейтральных частиц с магнитным моментом (х и спином 1/2
(нейтрон, атом водорода). Пусть волновой пакет,
описывающий состояние частицы, характеризуется при < = 0
средними значениями
x=z = 0, y=v.
Если размеры волнового пакета малы по сравнению с
областью, в которой применимы формулы (12.23), то уравнение
244

Паули можно записать в виде
•* д
2m
м
0 1
1 о
$Сх-\-
1 U ! evv^
0—1 *
Л*.
Уравнение для каждой из компонент имеет вид
я*
*Й% = — «-г Д^ + цЛх ife + ц(^0 — *г) *Фь
ft»
(12.24)
Будем искать решение этой системы в виде
ik = Ul ехр {— i Щ± <), ф2 = и2 exp i Щ± L (12.25)
Подставляя (12.25) в (12.24), получим
ft*
ittux = — о— A^i + (ii&xttg ехр ^г**0* — tite^i,
24^0,
(12.26)
/Йй2 = — -g£ Д^2 + H^a-Wx ехр f ф^° Л + \xkzu2.
# Экспоненциальные функции в правых частях уравнений
осциллируют с периодом
. Для значений поля ©%"^103 гс и магнитных моментов
порядка воровского магнетона
Iх ~~ 2тс
v время осцилляции Тя« 10 10 сек мало по сравнению с харак-
- терным временем пролета частиц через систему
* ^ % = Llv.
Приняв длину полюсов магнита L=l см> а скорость
г частиц ия^Ю3 м/сек (порядка тепловых скоростей моле-
( кул), получим хя& 10"5 сек. Усреднив уравнения (12.26)
по промежутку времени At при условии
Г<Д*<т,
245

получим пар^ независимых уравнений для усредненных
функций иХу Щг
th-jf- = - ^ Aw-з + ^zw2.
Каждое из этих уравнений имеет вид нестационарного УШ
для частицы в однородном поле, направление которого
зависит от значения проекции спина. Поскольку средние
значения г для каждого из пакетов удовлетворяют
классическим' уравнениям движения, то среднее значение ~
будет увеличиваться для частиц в состоянии | -j- > и
уменьшаться для частиц в состоянии | —). При достаточно
большом времени пролета смещение волновых пакетов
может значительно превышать их ширину. На выходе из
прибора падающий пучок частиц расщепится на два пучка,
в каждом из которых проекция спина на ось г будет
иметь определенное значение.
7. При рассмотрении уравнения Паули в п. 10.4 мьг
нашли, что в нерелятивнстском приближении частице со
спином 1/2 можно приписать магнитный момент
Выше мы рассматривали взаимодействие спинового
магнитного момента с внешним магнитным полем. Аналогичным
образом можно описывать и взаимодействие между
магнитными моментами частиц.
Если ядро атома обладает магнитным моментом, то
при учете взаимодействия электронов с магнитным полем
ядра атомные уровни энергии —вообще говоря,
вырожденные—расщепляются. Такое расщепление называют
сверхтонкой структурой уровней. Рассмотрим сверхтонкое
расщепление в атоме водорода. Оператор взаимодействия
имеет вид
V-2iio[(Ap)^- + s»]. (12.27)
Будем рассматривать ядро как классический точечный
матнитный диполь с моментом \х. Вектор-потенциал имеет
вид
А = —[juixgrady].
246

Вводя напряженность поля
3€ = rot A
и используя равенства
rot(AxB) = AdivB-BdivA+(BV)A-(AV)B,
div grad — *= — 4яб (г),
для оператора (12.27) получим
^ = 4ям1б(г)-4+^^-^-. (12.28)
Для отыскания поправки к энергии в первом порядке
теории возмущений надо вычислить среднее значение
оператора возмущения V по невозмущенным ВФ.
Ограничимся рассмотрением s-случая. Тогда последний член
-в (12.28) обращается в нуль. При вычислении интеграла
от второго и третьего членов следует проявить
осторожность, так как интеграл от каждого из этих членов по
отдельности расходится. Однако, учитывая, что
1»_ъЩ£±=-т№).1, (12.29)
а интеграл может зависеть лишь от относительной
ориентации векторов s, |ш, можно заменить (12.28) средним по
направлениям значением
> 0*V) (sV) i-> {- das) V* 1. (12.30)
Итак
P =-y-Me(s|*)9i(0) = -g-|je-i^.
Магнитный момент ядра |ш связан с его спином i
соотношением
Таким образом, усредненный по ВФ оператор возмущения
у> 16 si
-Собственные значения оператора is вычисляются так же,
как и для 1 s:
i s = / (/ +1) — t (г +1) — s (s + 1),
947

где через f обозначен полный момент атома. Так как
s = 1/2, то возможны только два значения f:
f = i±l/2.
Для атома водорода (f = 1/2) уровень lsi 2 расщепляется
на два подуровня, расстояние между которыми
НЕ = у№^(Я+1)^0,93-10-» эрг (12.31)
мало по сравнению с расстоянием между компонентами
тонкой структуры (см. главу 10).
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в классическом случае при движении заряда
в поле (12.13) проекция кинематического момента на направление
поля всегда положительна, в отличие от г-проекции обобщенного
момента
2. Найти'коммутационные соотношения для компонент скорости vt
заряда в однородном магнитном поле.
3. Определить спектр и ВФ заряда в постоянных однородных
и взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.
4. Частица со спином 1/2 находится в переменном магнитном
поле (^Hrz(i). При / —0 спиновая функция частицы имела вид
/ x=f?-'aCos6| + )+e'asin6;~).
Определить среднее значение проекций спина на оси х, у и
зависимость направления поляризации частицы от времени.
5. Определить спиновую ВФ частицы со спином 1/2 в магнитном
поле
<&Гх=£Г sine cos (ott Жу=Ж&™ЪьтЫ9 ЛГг^&ЙГса&Ъ.
6. Два протона зафиксированы на расстоянии а в магнитном поле
напряженности ^%^, образующем угол 8 с линией, соединяющей
протоны. Определить уровни энергии, рассматривая дйполь-дипольное
взаимодействие как возмущение.
7. Магнитное поле создается кольцами Гельмгольца — двумя
круговыми витками проволоки, расположенными-в параллельных
плоскостях так, что центры их находятся на общей оси. Ток / по ним
течет в одном направлении, радиусы колец и расстояния между их
центрами —а. Движение вдоль оси колец ограничено стенками на
расстоянии jfc b от плоскости симметрии (/;<о). Используя метод,
изложенный в п. 11.3, оценить время жизни квазистационариого
состояния электрона, соответствующего низшему уровню Ландау.
Положить J— \ а, расстояние а==102*ж.

Глава 13
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
0. В классической механике описание движения
коллектива частиц в принципе сводится к определению закона
движения каждой отдельной частицы. При этом совпадение
физических параметров частиц не играет принципиальной
роли.
Качественно иная ситуация в квантовой механике.
Волновой функцией описывается поведение всего
коллектива частиц. Отдельной частице при наличии
взаимодействия нельзя сопоставить ВФ. Если ВФ коллектива
совпадающих по своим физическим свойствам частиц
отлична от нуля в некоторой области, то вопрос о том,
какая именно частица может быть обнаружена в этой
области, не имеет смысла. В квантовой механике
совпадение физических свойств частиц приводит к их полной
'неразличимости.
1. Все известные частицы таковы, что ВФ,
описывающая коллектив из N тождественных частиц,
4(qi, ..., Як),
где qi означает совокупность координат и проекции спина
частицы, при замене
либо меняет знак (антисимметричная ВФ), либо остается
неизменной (симметричная ВФ). Симметрия ВФ не зависит
.ни от взаимодействия между частицами, ни от наличия
внешних полей и определяется следующим правилом.
Система тождественных частиц с целым спином — система
бозонов—описывается симметричной ВФ. Система
тождественных частиц с полуцелыми спинами — система фермио-
.нов — описывается антисимметричной ВФ. В не
релятивистской квантовой механике это правило следует
рассматривать как одно из основных положений*
249

Рассмотрим систему из N невзаимодействующих
тождественных частиц. Гамильтониан такой системы имеет вид
Пусть %(#) есть полная ортонормированная система СФ
одночастичпого гамильтониана А.
Рассмотрим коллектив из N тождественных бозонов.
Обозначим через (/?,) произведение функций %, зависящих
от координат и спиновых переменных каких-то
определенных Я/ частиц. Порядок расположения сомножителей
безразличен. Произведем упорядоченное разбиение множества
из N частиц по бесконечному числу состояний, первое
из которых содержит пг частиц, второе п2 частиц и т. д.
Число упорядоченных разбиений равно
( N \ N\
\ЩП2...П,-...У со •
Здесь 2^/ = Af. Мы считаем, что (я,)=1, если п/ = 0.
Базисные ортонормированные функции для коллектива
из N бозонов имеют вид
В этом выражении числа щ фиксированы, а суммирование
проводится по всем упорядоченным разбиениям. ^Функции
(13.1) являются симметричными функциями.
Для двух частиц
Ф (Ях> <h) = — [*я (Яг) Ф« Ш+'♦« (Яг) Цт (?«)]•
если тфп. Если т = п, то
Ф(<71, *) = *«Ы*|Ы. (13.2)
Нормированная антисимметричная ВФ стационарного
состояния системы тождественных фермионов может быть
записана в виде детерминанта, составленного из одноча-
стнчных ВФ:
250

Индекс i —- номер строки (l^i^N) — фиксирует состояния,
в которых находятся частицы,. причем индексы а
расположены в порядке возрастания (ах < Og < ... < aN).
Индекс k (l^k^N) указывает номер столбца. Функции,
находящиеся в k-ы столбце, зависят от координат и
спиновой переменной Ы\ частицы. Перестановка двух наборов
координат (замена qt ++ qj) есть перестановка двух столбцов
детерминанта. Она приводит к изменению знака Т.
Требование антисимметричности приводит к условию
Ч(Яи ...» <7м Чи ..-, <Ы = 0>
что соответствует равенству двух столбцов матрицы.
Вместе с этим ВФ обращается в нуль и при равенстве
двух строк матрицы (ak=^am).
* Таким образом, для того чтобы ВФ системы
невзаимодействующих фермионов была отлична от нуля (т. е. чтобы
состояние было физически реализуемо), необходимо, чтобы
в каждом состоянии фл находилось не более одной частицы.
Это требование называется принципом Паули. Оно
справедливо и для состояний системы слабовзаимодействующих
фермионов, которые можно приближенно описывать с
Помощью детерминанта одночастичных ВФ. Для системы
двух фермионов
v=тт [*« (ft) *» (я&- *» (ft) *■ (*)]• <13-4)
- 2. Гамильтониан системы электрически
взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении не зависит
От спинов. Поэтому УШ удовлетворяет каждая из спиновых
компонент ВФ. Полная ВФ может быть записана в виде
>" Y = q>(rlf г2, ...)Х(*ь с2, ...).
Однако требования симметрии полной ВФ приводят к
некоторым ограничениям на координатную ВФ cp(rlf г2, ...),
(Ьоэтому из всех возможных решений УШ физически может
реализоваться лишь некоторая часть.
^ -Рассмотрим следствие симметрии для проблемы двух
К>ждественных частиц. ВФ может быть записана в виде
: ^ = Цг1 + г^Ф(Тг-т2)%(аи <*).
Функция б^х+Гз), очевидно, всегда симметрична по
отношению к перестановке гх <*-» г2. Для Ф (тг — г2) перестановка
■кюрдинат эквивалентна инверсии системы координат.
251

Для частиц со спином 0 спиновый множитель равен
единице. Требование симметричности ВФ при перестановке
эквивалентно требованию четности Ф (гх — г2) при инверсии.
Если взаимодействие частиц описывается центральным
потенциалом f/ (| гх — rs'.), то переменные в УШ для
функции Ф разделяются в сферической системе координат. Так
как четность состояния совпадает с четностью
орбитального момента, то система двух одинаковых частиц со
спином нуль может находиться только в состояниях с четным
орбитальным моментом /.
Рассмотрим систему двух частиц со спином 1/2.
Спиновые ВФ такой системы были рассмотрены в п. 4.11. Общая
СФ операторов S2 и S~, соответствующая синглетному
состоянию (S = 0), есть
|0.0>=-|^{| + ->-|-+>}.
Очевидно, спиновая ВФ нечетна при перестановке частиц.
Поэтому в состоянии с S = О Ф (гх — г2) должна быть
четной функцией: возможны только четные значения
орбитального момента /. Спиновые ВФ триплетного состояния
11. !> = ! + +>.
I». o>rTL{|+-} + |-+>}f
|1,-1>Н + ,->.
очевидно, четны по отношению к перестановке координат.
Следовательно, в состоянии с S = 1 орбитальная ВФ
<D(ii —га) должна быть нечетной функцией: возможны
только нечетные значения орбитального момента L
В общем случае энергетический спектр задачи двух тел
зависит от /. Поэтому возможные значения энергии зависят
от полного спина системы. Про такую зависимость говорят,
что она вызвана обменным взаимодействием. Если оператор
взаимодействия 1^(;га —г21) двух тождественных частиц
со спином 1/2 мал (например, по сравнению с энергией
внешнего поля I/ (г/)), то взаимодействие можно учесть
как возмущение. Невозмущенным орбнталям
*1Л=ТТ ^ф1 *ri) ф2 ^ ± ф1 ^ ф2 ^
соответствуют в первом порядке теории возмущений
средние значения энергии -взаимодействия
£,,2 = Л±/,
252

где
^ = И F (fi - г«) I ^ (fi) I2 IФ3 (r2) ia dri Ла,
(IO.O)
/ == J 5 Ф? (r2) <Pi (r2) V (14 - r2) ф| (тг) ф2 (r2) йххдхг.
Величина У, определяющая разность энергий, называется
обменным интегралом,
3". При рассмотрении задачи рассеяния двух
тождественных частиц орбитальная ВФ должна быть, в соответствии
<;о сказанным в п. 13.2, симметрична или антисимметрична
по отношению к перестановке координат частиц в
зависимости от их суммарного спина. Это относится к
взаимодействиям, при которых суммарный спин является
интегралом движения.
Вместо граничного условия (9.4) вы выберем
асимптотическое выражение ВФ рассеяния тождественных частиц
в виде
Akr
Ц = е*к*±<г*кг+—и(Щ±1(л-Щ.
Верхний знак (плюс) соответствует четной орбитальной ВФ
(четный суммарный спин). Дифференциальное сечение
рассеяния в этом случае
crs(fl) = |/(B)+/(n-fl)|i. (13.6)
Аналогично, дифференциальное сечение рассеяния для
нечетного суммарного спина
Мв)Н/<0)-/(я-в)|». (13.7)
Формулы (13.6), (13.7) относятся к случаю, столкновения
частиц с заданным суммарным спином. Обычно опыты по
рассеянию проводятся с неполяризованными пучками частиц
и мишенями и наблюдается среднее значение эффективного
сечения. Предполагая равновероятность осуществления
каждого спинового состояния, для двух фермионов со
спином 1/2 получим
1 . з
Ceff = ^ C5 + -4 °а-
4. В предыдущем изложении мы ограничивались случаем
системы двух тождественных частиц. Для рассмотрения
систем с большим числом тождественных частиц удобно
Использовать метод вторичного квантования.
; 253

Рассмотрим систему тождественных фермионов. Пусть
tya- (q) есть некоторая полная система ортонормированных
функций. Выбор этой системы определяется соображениями
удобства. Эти функции совсем не обязаны быть
собственными функциями одночастичиого гамильтониана.
Для описания системы тождественных фермионов
достаточно указать, какие одночастичные состояния заняты:
Ф = |...1а1... Ц... lajv...>. (138)
Напомним, что все состояния перенумерованы и номера
состояний в этой записи возрастают слева направо. Такая
функция соответствует функции (13.3) — детерминанту,
включающему строки с индексами ai9 соответствующими
единицам в функции (13.8). Функцию (13.8) мы будем
называть ВФ системы в представлении чисел заполнения.
Функцию Ф удобно представить в несколько ином виде.
Пусть |0) есть ВФ вакуумного состояния, для которой все
числа заполнения в (13.8) равиы нулю. Введем операторы
Сь с%* удовлетворяющие соотношениям
CiCk + ckCt=09
ctct + Hct = 09 ' О3-9)
CiCt+cici^bu,,
действие которых на вакуумную ВФ в представлении
чисел заполнения определяется правилом
&|б, 0к9 б) = |б, Ц, б>, 0)
cfc\09 1*, 0>=]б, 0к9 0>.
Здесь и в дальнейшем мы обозначаем через А набор чисел
заполнения; б означает набор, состоящий из одних нулей.
Операторы cf и ск называются ферми-операторами
рождения и уничтожения соответственно. Смысл названий ясен
из формул (13.10). Свойства ферми-операторов при * = к
рассматривались в задачах к главе 1.
Из формул (13.10) следует, что функция Ф может быть
представлена в виде
Ф = с&&...с£ы\0\ (13Л1)
Отметим существенность порядка операторов рождения в
этой записи: такая функция соответствует детерминанту
со строками (al, a2, ...). Очевидно, что ВФ (13.11) удов-
254

летворяет правилу симметрии, меняя знак при
перестановке ai<-*ak. Такой замене соответствует перестановка
строк детерминанта (13.3).
Выше мы подразумевали, что речь идет о системе
невзаимодействующих частиц. Однако функции Ф образуют
полную ортонормированную систему, по которой может
быть разложена произвольная ВФ системы
взаимодействующих частиц, удовлетворяющая правилу симметрии.
5. Пусть гамильтониан системы тождественных фермио-
нов имеет вид
Я=2*7+2 ft/. (13.12)
где hi есть одночастнчный гамильтониан:
a Vij есть потенциал взаимодействия между частицами i и /:
Uy=P(|r,-r,|).
Поскольку ВФ, представленные в виде (13.11), обладают
правильной симметрией, гамильтониан Н также удобно
представить через операторы, действующие в пространстве
чисел заполнения.
В дальнейшем для краткости будем обозначать через А
произведение операторов рождения, подобное записанному
jb (13.11). Очевидно, что
с,И|0>=0,
если в А отсутствует с£;
&СаА|0> = Л!0>,
если в А есть оператор с£.
Детермннаитную ВФ (13.3) можно преобразовать на
основании известной теоремы Лапласа. Пусть в
детерминанте D порядка N произвольно выбраны k строк (или k
столбцов). Тогда сумма произведений всех миноров &-го
порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах),
на их алгебраические дополнения равна детерминанту.
255-

Итак, можно записать
Ф = 1Ш1(_ ^"^«ЫЛГ, (13.13)
а
где п (а) — номер столбца, соответствующего состоянию а,
а минор М' получен из детерминанта путем вычеркивания
строки k и столбца п(а). В дальнейшем для краткости
набор координат qk будем обозначать просто индексом к.
Аналогично
ф=4-УУ(-1)^^^(Р)|фа2 ^SIat. (13.14)
J/ М ^J^JV ' I фа (*/ Ф0 (b) I v '
Минор ЛГ получен из детерминанта путем вычеркивания
строк I, k(i<Lk) и столбцов л (а), п(Р)(п(а)<л(Р)).
Легко убедиться, что
c0i4 0> = U4L=Alff (13.15)
СдСъА 0)^( !) ЛГ. (13.16)
Формулы (13.13) можно записать в смешанных
представлениях:
Ф = у=%(-\)Ы<ра(к)гаА\0), . (13.17,
а
л(сс)<я(Р)
<х р
4 (13.18)
При переходе к последней строке в (13.18) мы опустили
условие л(а)</г(Р) в суммировании, воспользовавшись
антикоммутативностью са, с р.
Используя смешанные представления, найдем вид
оператора ЛГ. Учитывая формулы
**Фв(*)=2<Р!Л|«>Ф||(*).
15 (13.19)
vtt <р« (о фр (Л)=2 <т« | к | сф> cpY (о Фб (*),

"получим
^ф==т^2<р|/1|а>2(^1)"+1<рр(^а°л'0>+
V Ра к
ХСаС$А\0). (13.20)
Перейдем теперь от смешанного представления к
представлению вторичного "квантования. Преобразование одноча-
стичной части гамильтониана проводится с учетом формулы
*^(-1)Ьщ(к)саА \0) = фаА |0>, (13.21)
непосредственно следующей из (13.13) и (13.15). В левой
части (13.21) стоит разложение детерминанта по первому
столбцу, содержащему функции q>p(fc):
/^-SSGIftla^i.. 03.22)
ft a
Рассмотрим теперь второй член в (13.20):
Tf=== 2 <Y6|V|«P> 2 (-1)'+Ч(Офв(*)^И10> =
тбаЭ
1 1
2(<Тв|^1«Р>Х
X S (- 1)4+Ч (0 Фв (*) AiM | 0> +
+ ФУ\У\ Ра> 2 (- 1)'ч*Фб (О ФУ (*) фаА 10 >1 (13.23)
Учитывая равенство
<T6|V|ap>-<6T|l/|pa), (13.24)
преобразуем правую часть формулы (13.23) следующим
образом:
^2)ф - v'ytf-n • т 2 <^ |v | «р> 2 <-!^ ****■х
х (Фу (0 Фв (k) - Фа (О Ф¥ (Л)) срс„Л 10). (13.25)
9 П. В, Елютин, В. Д. Кривченков 257

Здесь мы учли антикоммутативность операторов са, ср. Из
формул (13.14) и (13.16) следует равенство
1 У / iv+ft+i+21 Фу (0 Фб (О I ; ; а !0\_
= c$tclcaA\0). (13.26)
Выражение, стоящее в левой части формулы (13.26),
представляет собой разложение детерминанта по первому
и второму столбцам. Итак, гамильтониан системы
тождественных фермионов в представлении вторичного
квантования имеет вид
Н = %ф\к\а>^са +
рос
+ т2^б<те|^|ар>^„. (13.27)
6. Рассмотрим теперь представление вторичного
квантования для системы тождественных бозонов. Определим
операторы at, ak, действие которых на функции чисел
заполнения определяется правилами
йк\А9пк,в)=\/1ь\А9пк-19в)9
ti\A,nktB)=Vnk+i\A9nk+itB).
Из правил (13.28) следуют коммутационные соотношения
akdi — а-Дь = О,
djdf--djtfjt=0f (13.29)
ui&t —utdi = bik.
Операторы dkJ at с коммутационными соотношениями (13.29)
называются бозе-операторами уничтожения и рождения
соответственно. Свойства таких операторов при i = k
рассматривались в задачах к главе 1.
Волновой функции (13.1) сопоставим функцию от чисел
заполнения и будем рассматривать числа заполнения как
независимые переменные
Ф = |Яь я»....»й|, ...>. (13.30)
258

В смешанном представлении Ф имеет вид
оо
ф = 21 ** ^ V т'Пь п*' - - •»Л|"" *»• • -^
оо
« 2^^)^^!%, л2,...,п£,...>, (13.31)
Легко показать, что
л/
S^(?a)SK)(^2).-.(^-l)...=
= "*I>i)("2)...("/), (13.32)
где суммирование ведется по всем упорядоченным
разбиениям. Из формулы (13.32) следует соотношение
N
a= 1
==>/"/^1л1, л2, ...,ль ...>=#|ль ^2,..., tii— 1,...>.
(13.33)
Используя формулы (13.19) и (13.31), получим
N
1
Imik
N N
+ ±Y<!m\V\ikyx
Imik
x 2 2*1 (9p)^m (9a) KF(F3ri)A*A I «i» «2» • • ->- (13-34)
Ji = l a=l
При помощи соотношения (13.33) совершим переход от
смешанного представления к представлению, в котором
переменными являются только числа заполнения. В результате
этого перехода получим
#|«i. п*-~)=ЖЬ\к\1>№1\пи /г2, ...> +
ki
+ \ 2 <;» ml ^ if» *>^di4Ail«i, «2, .-.>-
/mifc
Q* v 259

Таким образом, гамильтониан Й в представлении
вторичного квантования имеет вид
ар убар
Это выражение формально совпадает с (13.27), отличаясь
заменой ферми-операторов на бозе-операторы.
Отыскание собственных значений гамильтониана
системы взаимодействующих тождественных частиц
представляет сложную задачу, решение которой требует либо
рассмотрения специальных простых моделей, либо
использования приближенных методов.
7. Развитый выше формализм можно представить
в несколько ином виде. Используя явный вид
функций tyi(q), введем операторы
' * (13.35)
V(q) = Zi№(q)bT.
i
Здесь $i, t?t суть операторы at или ct. Оператор ф+(0о)
увеличивает полное число частиц в системе на единицу,
рождая частицу в состоянии с <7 = <7о- В самом деле,
оператор hi создает частицу в состоянии tyi(q). Поэтому
4^(Чо) создает частицу с ВФ
¥(qo)\0)^^t(q0ni(q)^^(q-qoh
i
так как использованная система функций tyi(q) полна.
Правила перестановки операторов -ф£, я$ следуют
непосредственно из определения (13.35) и перестановочных
соотношений для операторов bt:
Ф (I) ¥ (п) ± ¥ (п) * Ю «в £ - п). (13.36)
Верхний знак (плюс) —для фермионов, нижний — для
бозонов. Операторы -ф позволяют представить гамильтониан
системы тождественных частиц с парным взаимодействием
в виде
. + J- J J ^(Е)*1 (4)^(6. П)Ф(Л)*(1)«А|- (13-37)
2G0

Аналогия между формулами (13.35), представляющими
разложение операторов ty по операторам Ъ(, и формулой
ч>(*)=2ч>'(*)а'
i
для разложения произвольной функции по полной орто-
нормированной системе функций и послужила одной из
причин, по которой описанный метод был назван методом
вторичного квантования.
8. Рассмотрим кристаллическую решетку, узлы которой
определяются вектором
qn = пгаг + м2а2 + п3а3.
Здесь а/ суть базисные векторы решетки, an = [nlt /г2, п3]
есть тройка целых чисел. Пусть в узлах решетки
расположены атомы, каждый из которых имеет один валентный
электрон. Пусть координатные ВФ валентного электрона
для изолированного атома суть i])(r — qn). Эти функции
можно приближенно считать ортогональнымл:
<^r-q„)|*Mr-qm)> = 6wm.
Пренебрежем возможностью электрона переходить от
одного узла к другому. Рассмотрим, как зависит
энергия системы от спинового состояния всех валентных
электронов.
Выберем функции -ф(г — qn) в качестве базиса.
Гамильтониан системы валентных электронов в представлении
вторичного квантования имеет вид
(13.38)
Здесь А есть оператор энергии валентного электрона
в потенциальном поле всех атомов, а V есть энергия
электростатического взаимодействия валентных электронов.
Преобразуем гамильтониан (13.38) к такому виду,
чтобы объектом действия Н являлись функции от спиновых
переменных всех валентных электронов. Каждый из
индексов а, р, Y» 6 есть совокупность чисел [nlf и2, п3, а],
^указывающая номер узла и спиновое состояние электрона
в этом узле.
261

Рассмотрим первый член суммы. При а = [п, +1/2] и
Р = [п, —1/2] матричный элемент между этими
состояниями равен нулю. Поскольку каждый атом содержит
только один валентный электрон, то случай а = [п, с],
Р = [м' </] не реализуется. Поэтому в первом члене можно
положить
с$ са — *•
Матричный элемент (уЬ \ V | ар ) отличен от нуля тогда,
когда пары состояний (у, а) и (6, Р) обладают
одинаковыми значениями проекции спина. Так как каждый атом
имеет один валентный электрон, то во второй сумме
либо
Y=:a = [n, о], б = р = [< </],
либо
a = [n, о], Р = [< а'], 6 = [я, </], v«[n' a].
В первом случае спиновые состояния электронов в узлах п
и п' не изменяются. Во втором случае происходит «обмен
спинов» между атомами п и п'.
Введем новый оператор РПп'> который производит обмен
спинов. Тогда в первом случае
Л. Л Л. Л. Л. Л. Л. А А
СуСьс$са = с^сас%с$ = 7,
а во втором
Заметим, что если спины валентных электронов у
атомов п и п' параллельны, то Р/Ш' = /. Введем обменный
интеграл
J (Ч« — Чп-) = J (Qn' — qn) =
Зависимость / от (qrt —q«') следует из трансляционной
симметрии. Таким образом, оператор Н может быть
представлен в виде
или
Я = £0-у 2 ^(*.-Яя')(^-0. 03.39)
пфп'
262

Если спины всех электронов в состоянии Ф
параллельны, то #Ф = Е0Ф.
Рассмотрим состояние ¥, в котором суммарный спин
системы на единицу меньше максимального. Обозначим
через Ф/ состояние, отличающееся от Ф тем, что спин
у £-го электрона перевернут. Решение уравнения Шре-
дингера ищем в виде
V = %Afl>i. (13.40)
i
Подставляя функцию (13.40) в (13.39), получаем
пфп' i
(13.41)
Если п и rl не равны i, то левая часть выражения (13.41)
есть нуль. Рассматривая два случая: 1) m' = i, пф1 и
2) n = t, п'Ф1у мы получим
- Z Z J (Я« - 40 (АгФп - А&) = (£х - Ео) % А&й.
in i
Так как функции Ф/ и Фу при 1ф\ ортогональны, то,
составляя скалярное произведение, получим
2 / (Ф - qy) (Л' - Аг) = (£ - £0) Л7, (13.42)
г
Для того чтобы функция V удовлетворяла теореме Блоха,
должно быть (ср. п. 6.14)
^' А^АеР*. . (13.43)
Подставляя (13.43) в (13.42), получаем
ЕХ = Е0+ 2 /(qrt)(l-e'4>), q„ = q*-q7, (13.44)
Если />0, то энергия состояния с максимальным
спином соответствует основному состоянию, а состояния
с ВФ
и энергией (13.44) описывают возбужденные состояния
системы, которые называются спиновыми волнами.
263

••ЗАДАЧИ
!• Считая, что взаимодействие между нуклонами в трип летном
состоянии описывается потенциалом задачи 5.18, объяснить
отсутствие связанных состояний в системе двух нейтронов.
2. Найти зависимость дифференциального сечения рассеяния
поляризованных тождественных частиц со спином 1/2 от угла р
между направлениями поляризации.
3. Потенциал взаимодействия тождественных фермионов со
спином 1/2 представляет сферический барьер (ga < I). Найти о (6) для
медленных частиц в синглётном и триплетном состояниях.
4. Показать, что величина обменного расщепления уровней
системы из двух слабовзаимодействующих тождественных фврмионов
со спином 1/2 может быть представлена как СЗ обменного оператора
Дирака
/Pi2 = i- ^(l + oiSa).
5. Найти СФ и СЗ оператора обменного взаимодействия системы
из трех электронов
6. Показать, что оператор полного числа частиц
i
коммутирует с гамильтонианом в представлении вторичного
квантования. Здесь Ьь bt—операторы Бозе или Ферми.
7. Для системы из N тождественных частиц со спином 1/2
определить максимальное число различных уровней энергии с
заданным значением полного спина 5.
8. Показать, что оператор квадрата полного спинового момента
системы N электронов может быть представлен в виде
9. Показать, что оператор
коммутирует с оператором квадрата полного спинового момента.

Глава 14
ATOM
0. Энергетический спектр и волновые функции атома
водорода подробно рассматривались в главе 5. В этой
главе мы рассмотрим методы отыскания энергетического
спектра и ВФ атомов, содержащих более- одного
электрона. При этом учет тождественности атомных
электронов и требование правильной симметрии ВФ будут
играть существенную роль. Точные решения уравнения
Шредингера для системы из трех и большего числа
частиц не известны. Поэтому для нахождения спектров
сложных атомов мы используем приближенные методы.
1. Простейшими после атома водорода и водородо-
подобных ионов системами являются двухэлектронный
атом гелия (2 = 2), и гелнеподобные ионы (Z>2).
Рассмотрим вычисление энергии основного состояния
атома гелия по теории возмущений. В нулевом
приближении атом можно рассматривать как систему двух
невзаимодействующих электронов в поле ядра:
ВФ нулевого приближения есть просто произведение
одноэлектронных ВФ:
Ф(гь ra) = i.(|)3exp[-|(r1 + r2)]. (14.2)
Энергия системы в нулевом приближении есть
Взаимодействие между электронами учтем как
возмущение. ^Оператор возмущения имеет вид
265

В первом порядке теории возмущений поправка
определяется средним значением энергии возмущения
£W=Voo=$<W(rif г2)£ф0(гг, r2)diidr2. (14.4)
Для вычисления интеграла воспользуемся известным
выражением
> /, m \ /
где индексы <С и > относятся к меньшей и большей из
величин rlf r2 соответственно. Поскольку ВФ нулевого
приближения сферически симметрична, отличный от нуля
вклад в интеграл (14.4) дадут только члены с / = т = 0.
Итак,
со 2Zr2 "I
Je~"*"ridrihdri. (14.6)
Интегралы вычисляются элементарно:
£W = 5Ze»/8ao.
Окончательное выражение для энергии основного
состояния:
£^_Z2-J- + |z-J-. (14.7)
Этот результат можно улучшить, заменив в (14.2)
величину Z вариационным параметром £. Напомним, что
вычисления в первом порядке теории возмущений
эквивалентны вычислениям с помощью вариационного метода
при не наилучшем выборе пробной функции. Итак,
£(0=--J(P-2ZC+ic).
Минимальное значение £(£), соответствующее значению
16
*--S(*~l*+5)
C-Z-4, (14.8)
есть
25
266

Меньшую, чем Z, величину «эффективного заряда» £
можно объяснить взаимной экранировкой электронов.
Экспериментально наблюдаемой величиной является
энергия ионизации /, необходимая для отрыва одного
электрона. Она равна разности Е$ — Е0> где £J — энергия
оставшегося иона —
'-£(*-tz+5)- <14-9>
Для атома Не формула (14.9) дает значение / = 0,85 а. е.
Экспериментальное значение / = 0,9035 а. е. Как видно
из сравнения формул (14.1) и (14.3), малым параметром
теории возмущений г в нашем случае является величина
Z*1. Поскольку для гелия е = 0,5, то согласие нашего
расчета с экспериментом может расцениваться как
удовлетворительное. Для гелиеподобных ионов с большими
Z согласие с экспериментом улучшается. С другой стороны,
при Z=l формула (14.9) дает отрицательное значение-
потенциала ионизации. Однако в действительности
энергия ионизации иона Hi положительна: /*=^0,7 эв.
Причины неприменимости теории возмущений очевидны.
2. Выбранная нами ВФ основного состояния (14.2)
симметрична по отношению к перестановке
пространственных переменных гь г2. В соответствии с общим
требованием антисимметричности полной ВФ эта
координатная ВФ соответствует состоянию системы с полным
спином S = 0 (парасостояние). Система в ортосостоянии —
состоянии с S = l—должна описываться
антисимметричной координатной ВФ. Такая ВФ не может быть
построена из двух одинаковых орбита лей. Поэтому в качестве
исходных функций используем
*«-4Ре£П*-Э*""~- <Г410)
Это —ВФ основного и первого возбужденного (2s)
состояний частицы в кулоновском поле. Из функций iflf я|?2
могут быть построены как антисимметричная орбиталь
- ортосостояния
267

так и симметричная орбиталь парасостояния
Ф* =» тр£ №i (ri) Ь (г,) +фх (г2) ф2 (гх)].
Вычисление поправки по теории возмущений дает
Egl,=*A + J9 ElQ" = A-J. (14.11)
Существенно, что обменный интеграл
J = S S*1 ^ ^ ^ 5 *х ^ *■ ^dr± dr2
положителен. Таким образом, ортосостояние лежит ниже
парасостояния. Расщепление уровней незначительно.
Экспериментальные значения энергии возбужденных
состояний суть Es = — 2,146; Еа = — 2,175 (в атомных
единицах).
3. Для вычисления низших энергетических уровней
атома гелия мы применили прямой вариационный метод.
При этом в качестве пробных одночастичных ВФ мы
использовали ВФ частицы в кулоновском поле, строя
из них функции правильной симметрии. Очевидно, если
использовать единственный вариационный параметр —
эффективный заряд £, то точность такого метода будет
ухудшаться с ростом числа электронов.
Расширим класс пробных функций, потребовав
выполнения правила симметрии. Простейшая пробная
функция для системы из N взаимодействующих ферми-
рнов имеет вид
«D-^Detlq^iy, о» |, (14.12)
где индексы i и / принимают значения от 1 до N. Одно-
частичные функции Ф,-(<7) предполагаются ортонормиро-
ванными:
Воспользовавшись совпадением пробной ВФ (14.12)
с ВФ коллектива невзаимодействующих фермионов, в этом
приближении мы можем" говорить о состоянии отдельного
электрона. Выражение «электрон в состоянии ср,-»
применительно к системе взаимодействующих частиц означает,
что функция ер* входит в детерминант (14.12). Из вариаци-
268

онного принципа следует уравнение
<6Ф; н >>=о.
л.
Гамильтониан атома Н в системе, связанной с ядром,
имеет вид
N N
#=2^+!2'й-*- (14ЛЗ)
Одночастичный гамильтониан А, содержит кинетическую
энергию и энергию взаимодействия с ядром 1-го электрона:
Двухчастичный оператор Vfk описывает взаимодействие
электронов:
Vik=e2/rik.
4. Пусть ц>к есть одночастичная ВФ, ортогональная
ко всем ф/ при 1 ^ i <; N. Иными словами, щ есть ВФ
одночастичного состояния, не заполненного в
конфигурации Ф. Заменим в детерминанте (14.12) одну из функций
Ф/ на Ф* + ^Фъ где Л— малый параметр. Полученный
таким образом детерминант будет нормирован на единицу
в первом порядке по Я. Такую вариацию 6Ф удобно
записать в представлении вторичного квантования:
|6Ф> = х£*с,|Ф>.
Выражение для гамильтониана (14.13) в представлении
вторичного квантования, согласно формуле (13.27), имеет
•вид
И it'll'
Потребуем выполнения условия стационарности в первом
порядке по К:
2<Ф|Ал^с*с + а||ф> +
//
+ Т 2 vinr<<b№w} сУм |Ф> = 0. (14.14)
ii'li'
269

Для преобразования равенства (14.14) используем
коммутационные соотношения для операторов с и следующие
из определения функции Ф равенства
£+|ф> = 0 (i^N), с*|Ф> = 0 (k^N).
Матричные элементы в первой сумме (14.14)' отличны
от нуля, только если i = l^N, a j = k>Ny и иэ всей
суммы остается только hki. Проверяя различные
комбинации индексов, которые обеспечивают отличие матричных
элементов во втором члене от нуля, приходим к уравнению
N
hM + i2 (^/».ii-V/*.i/-^y.ii+V*Aiy) = 0.
Используя соотношение
Усф, уЬ ^ ^ (За, 6y»
имеем окончательно уравнение
N
Ны+ 2 (У*у.|/-V*/tiIH0. (14.15)
Эти уравнения должны выполняться при всех k>N,
5. Введем эффективный гамильтониан — одночастич-
ный оператор
Я'-2к,+ |] (Vkft if-Vkft fdVcfct. (14.16)
kil /=i J
Условия стационарности среднего значения энергии,
вычисленного с детерминантной пробной функцией Ф,
которые определяются уравнениями (14.15), означают,
что матричные элементы Н\ вычисленные между ВФ
одночастичного состояния <р/, заполненного в Ф, и одно-
частичного состояния <рд, не заполненного в Ф, равны
нулю.
С помощью некоторого унитарного преобразования
можно перейти к представлению, в котором оператор
Н' является диагональным. В силу (14.15) в этом
представлении ВФ новых заполненных состояний %
выражаются через линейные комбинации q>/ (l^i^N),
а ВФ новых незаполненных состояний tyk выражаются
270

через линейные комбинации Ф* (£>#). Поскольку
сумма по у в (14Л6) есть след по подпространству
заполненных состояний, то определение оператора Н'
инвариантно по отношению к такому преобразованию.
Новое представление определяется соотношениями
N
hki + 2 (П/, а - У v. п) = «Ai- • <14-17)
/=i
Уравнения (14.17) называются уравнениями Хартри—Фока.
Из формулы j(14.17) следует, что
B, = (i\h\i> + ^«.ii\V\i/)-(ij\V\ji)). (14.18)
/
Среднее значение Н для пробного основного состояния ф
равно
*=4 2 (*« + *).
1=1
Это выражение можно, используя полученное выше
выражение для еь представить в виде
i it
Энергия, необходимая для удаления.из атома г-го
электрона, равна разности энергий атома и иона. Если
считать, что одночастичные электронные ВФ для атома и
иона совпадают (это приближение оправдано при Z^>1),
то разность будет равна среднему значению тех членов
в гамильтониане, которые зависят от координат данного
электрона. Из (14.18) следует, что эта энергия равна — е*.
6. Уравнения (14.17) для одночастичных ВФ ift(r, а)
электронов в атоме имеют вид
-£v«fo(r,a)-nrl*(r,a)+-
+ е»22 \ V (г* <0 ^Ь (г*. <0 dr&i (гь о) -
/ с
-«■2 2 S *?(Га> 0,) -^*/(гь a>*» <г-а'> **=
= 8^ (г, а). (14.19)
271

Каждое из уравнений (14.19) можно рассматривать как
уравнение Шредингера для частицы в некотором поле.
Выражение
/
входящее в третий член в левой части (14.19),
называется самосогласованным полем Хартри. Его можно
интерпретировать как действующее на i-й электрон
среднее кулоновское поле, создаваемое всеми электронами.
Слагаемое с i = /' в четвертом члене компенсирует
электростатическое воздействие электрона самого на себя,
включенное в самосогласованное поле Хартри. Вообще
четвертый член в левой части (14.19) нельзя
интерпретировать как локальный потенциал. Его можно
представить в виде интегрального оператора
VF (г) = - е26 (с„ oj) \ W (гь г.) ^ (г,) dr2
с симметричным ядром
/
которое мы будем назьгоать нелокальным потенциалом.
Для решения системы уравнений Хартри —Фока
обычно применяют итерационный метод. В нулевом
приближении самосогласованные потенциалы заменяют
некоторым потенциалом, одинаковым для всех уравнений
(например, потенциалом Томаса —Ферми, см. п. 14.14),
и решают соответствующее уравнение Шредингера.
Получившиеся ВФ первого приближения используют для
получения эффективных .потенциалов первого
приближения, и т. д.
7. В большом числе случаев хорошим приближением
для системы уравнений Хартри — Фока является
приближение центрального самосогласованного поля. В этом
приближении каждую одночастичную функцию ф/,
входящую в детерминант (14.12), можно характеризовать
определенными значениями квадрата и проекции орбитального
момента, т. е. выбрать орбитали в виде
9(гд=Ъа(П)У1т(йьЪ). (14.20)
Состояния с моментом / обозначаются буквами так же,
как и в задаче двух тел (см. главу 5). Одиочастичные
272

функции с заданными / нумеруются в порядке
возрастания энергии главным квантовым числом я=яг+/+1,
где пг — радиальное квантовое число, равное числу узлов
соответствующей радиальной функции. Напомним, что
для атома водорода значение энергии зависело только от
главного квантового числа состояния. Для сложного
атома это, понятно, не имеет места. Главное квантовое число
указывается цифрой перед буквенным обозначением
момента.
Совокупность, состояний с заданными п и / мы будем
называть оболочкой. Такая совокупность содержит 4/+2
состояния. Электроны, находящиеся в состояниях с
одинаковыми п и /, называются эквивалентными. Число
эквивалентных электронов указывается в виде верхнего
индекса у обозначения оболочки. Так, основное состояние
атома гелия обозначается (Is)2; возбужденное состояние,
рассмотренное в п. 14.2, есть (Is)1 (2s)x. Распределение
электронов по оболочкам называется электронной
конфигурацией. Оболочка, содержащая 4/+2 электрона,
называется заполненной.
8. Электронные конфигурации атомов в основных
состояниях в общих чертах определяются эмпирическим
правилом. Заполненными оказываются оболочки с
минимальными значениями я + /, а из оболочек с равными
п + 1 — оболочки с минимальным значением п. Заполнение
оболочек с ростом Z идет вдоль диагоналей таблицы
сверху вниз.
Это правило лучше всего выполняется для
легких атомов. Вплоть до значения Z = 40 (атом Zr)
встречаются только два отклонения от правила. А именно
атом Cr (Z = 24) вместо конфигурации (...) (As)2 (3d)4
имеет конфигурацию (...) (4s)1 (3d)5 и атом Cu(Z = 29) вместо
конфигурации (...) (4s)2 (3d)9 имеет|конфигурацию (4s)1 (3d)10.
Отклонения чаще всего встречаются при заполнении
оболочек 4d, 4/.
Приведенное выше правило можно качественно
пояснить, рассматривая движение одного электрона в поле
ядра, экранированного другими электронами. В
состояниях с моментом I асимптотика ВФ при малых г имеет
вид г1. Поэтому в состояниях с меньшими значениями /
вероятность малых расстояний от ядра, где экранирующее
действие остальных электронов сказывается слабо,
относительно велика. Соответствующее значение Е сказывается
1П п. в. Елютин. В. Д. Коивченков
273

ниже, поэтому из оболочек с равными п в первую
очередь заполняются оболочки с меньшими /.
Радиальная функция Rnl имеет п — 1 узлов. Поэтому,
несмотря на относительно большую вероятность
значений г, близких к нулю, среднее расстояние электрона
от ядра для состояний с большими п оказывается больше
из-за осциллирующего характера радиальной ВФ. Из-за
этого энергия связи электрона резко уменьшается при
переходе от яр-оболочек к (п +l)s-o6oпочкам. При
дальнейшем увеличении заряда ядра Z и числа электронов
ионизационные потенциалы атомов, в общем, монотонно
возрастают вплоть до очередного перехода к s-оболочке.
X
1
2
3 '
4
5
п-\-1
0
Is
2s
3s
4s
5s
l
2p
3p
4p
bp
l
2
Ы
M
Ы
2
i 3
4/
Щ
3
4
5£
4
Таким характером изменения структуры атомов можно
объяснить периодичность химических свойств, лежащую
в основе периодической системы элементов Менделеева.
Каждому периоду таблицы (кроме первого, состоящего
из единственной оболочки Is) соответствует группа
оболочек, начинающаяся /is-оболочкой и заканчивающаяся
пр-оболочкой.
9. Приближение центрального самосогласованного поля
упрощает задачу о вычислении одночастичных ВФ. Однако
самосогласованное поле, вычисленное с помощью ВФ
вида (14.20), является центральным только для атомов
274

со всеми заполненными оболочками*. Строго говоря, само
понятие об оболочках применимо лишь для атомов,
в которых самосогласованное поле центрально. Однако
отклонение поля от центрального, как правило,
незначительно. Это позволяет использовать ВФ вида (14.20) для
Произвольных атомов.
Состояние атома с незаполненной оболочкой в
приближении центрального поля сильно вырождено. При
k электронах в оболочке (п I) кратность вырождения
g _ -(« + 2)1
Поскольку влияние нецентральности самосогласованного
поля мало, то для определения спектра в этом случае
можно использовать теорию возмущений для
вырожденного уровня. Иначе говоря, для незаполненной оболочки
следует использовать пробные ВФ, представляющие
собой линейные комбинации детерминантных ВФ, в
которые одночастичные орбитали ф* для электронов в
незаполненных оболочках входят с разными
значениями пц и sh
Операторы полного орбитального момента L и полного
спинового момента S системы электронов коммутируют
с точным гамильтонианом и потому являются интегралами
движения. Поэтому состояние атома с заданной
конфигурацией можно классифицировать по значениям полного
момента L и полного спина S. Очевидно, что суммарные
момент и спин заполненных оболочек равны нулю и
вклад в L и S дают только электроны незаполненных
оболочек.
При учете нецентральности эффективного поля по тео-
. рии возмущений вырождение частично снимается.
Состояния незаполненной оболочки расщепляются на спектральные
термы. Разность энергий термов называется энергией
остаточного взаимодействия. Для описания состояния атома
в этом приближении нужно задать, кроме электронной
конфигурации, также значения L и S. Для указания
значений L приняты буквенные обозначения:
L=0 12 3 4 5
S P D F G Н
Величина 2S+1, называемая мультиплетностью терма,
ш* 271

указывается в виде верхнего индекса слева от
обозначения L. Полный момент J указывается в виде правого
нижнего индекса при обозначении терма.
Найдем возможные термы конфигурации (яр)2.
Существует шесть различных одноэлектронных состояний.
Опустив квантовые числа п и /=1, одинаковые для всех
одноэлектронных состояний, мы будем указывать
величину проекции спина электрона знаками + и —, а
значения проекции момента будем обозначать цифрами 1, 0 и 1.
Последний знак означает т = — 1. С учетом принципа
Паули возможны 15 различных размещений двух
электронов, а именно:
ц + 1->, |i+o->, |i + l->, |l+o->, |i+l->,
|1+о+>, |1 + 1+>, |1+о+>,
|1-0+>, |1-Т+>, |!-0+>,
|1-0->, |1-1->, 11—0 —>,
|0 + 0->. (14.21)
Состояние 11 + 1 — ) имеет проекцию полного момента
М = 2 и мультиплетность 2S +1 = 1, поэтому оно
принадлежит терму Ч). Этому же терму должны принадлежать
еще четыре состояния с наборами чисел М, S: (1, 0),
(0, 0), (— 1, 0) и (—2, 0). Соответствующие этим
состояниям ВФ будут линейными комбинациями функций,
записанных в первой, третьей и пятой строках (14.21).
Далее, квантовые числа состояния 11 + 0+) соответствуют
терму 3Р. Ему принадлежат девять состояний с
квантовыми числами М и S, принимающими любые значения
из набора (+.1, 0, —1). В (14.21) содержатся три
состояния с числами М = 0, S = 0. Термам Ю и 3Р
принадлежит по одной линейной комбинации таких
состояний. Оставшаяся линейно независимая комбинация может
принадлежать только терму *S. Итак, для конфигурации
(пр)2 возможны термы Ч), 3Р, *S.
Для энергий термов выполняется эмпирическое правило
Хунда: наименьшей энергией обладает терм с наибольшим
возможным значением Sue наибольшим при данном S
значением L. В разобранном примере конфигурации (пр)2
наименьшей энергией обладает терм 3Р. Требование
максимальности S можно пояснить на примере системы двух
электронов. Спину S — 1 соответствует антисимметричная
орбиталь, обращающаяся в нуль при гг = г2. Поэтому
276

вероятность малых значений г12 меньше, чем для случая
S = 0, меньше и соответствующая энергия
электростатического отталкивания.
10. Вычисление энергий термов представляет собой
чрезвычайно сложную задачу. Во-первых, нужно решить
систему уравнений Хартри — Фока с одночастичными орби-
талями ф,- вида (14.19), соответствующими центральному
полю. Такое решение, вообще говоря, возможно лишь
численными методами. Затем из детерминантных ВФ, в
которые для электронов незаполненной оболочки должны быть
включены одночастичные ВФ с различными значениями
mi и sh должны быть образованы линейные комбинации,
которые являются общими СФ операторов Z,2, Lzy 32, SZf
поскольку L и i§ коммутируют с точным гамильтонианом.
Такая процедура есть, в сущности, построение
правильных ВФ нулевого приближения в теории возмущений
для вырожденного случая, рассмотренное в п. 6.4.
Наконец, надо вычислить диагональные матричные элементы
точного гамильтониана Н для состояний^ принадлежащих
различным термам. Разности энергий Ет и определяют
расстояния между термами. Вычисление значений Ет
f значительно упрощается тем обстоятельством, что
матричные элементы кулоновского взаимодействия Vik отличны
от нуля, только если индексы ink относятся к
электронам в незаполненных оболочках*.
Если считать известными решения уравнений Хартри —
Фока для радиальных функций, то можно получить
некоторые соотношения для разностей энергий атомных термов.
Рассмотрим конфигурацию (яр)2, для которой возможны
термы *Д SP и 1S. Поправки к значению энергии,
вычисленному в приближении центрального поля, будут
определяться величинами
где а и Р суть наборы чисел, определяющих вид
орбитальной функции, a Q и J суть кулоновский и обменный
интегралы соответственно:
Qap = 5 I фа (Гх) I2 — | фр (Гг) |2 йтг rfr2,
Лхр = J <ГЙ (ri) Щ (ГХ) -2 ф^ (Г2) фа (г2) йтг dt2.
Состояние j 1 +1 —) есть правильная ВФ, принадлежащая
277

терму Ю. Соответствующее значение энергии можно,
используя (14.5), записать в виде
E(iD)==Qll= S \mR2Ari)r2LR?Ar2)rjx
t, m
X | Yu (вь «ft) i21 Yu (82, qu) |2 g 2JTT X
X (^J П„ (вь <Pi) Fto (63, фг) df! dr2 dQ2 rfQ,.. (14.23)
В силу теорем сложения для шаровых функций в
формуле (14.23) будут отличны от нуля только угловые
интегралы вида
dQ (14.24)
с индексами, удовлетворяющими соотношениям
|/-Г|</</ + Г, / + /' + / = 2/г. (14.25)
Поэтому в сумме (14.23) останутся только два слагаемых
с / = 0 и / = 2:
£(Ц>Нао(1, l)F0+as(l, 1)F2.
Здесь F0 и F2 обозначают интегралы по радиальным
переменным. Для вычисления а0 и а2 используем явный вид
сферических функций:
*о=4я[$|Ги(е. vWYudQ]*.
Учитывая, что К00 = (4я;)~1'2, а функция Yn нормирована,
получаем а0=1. Аналогично вычисляется и
flk = y[J|Ku(8f <p)prMdG]*.
Подставляя явный вид сферических функций
ly"l = /84sin6' По = /щ (1-3 cos2 6),
получаем а2 = 1/25. Итак,
Qn-Fo + ~F^E(W). (14.26)
Аналогичные вычисления для состояния j 1+0+) —
правильного состояния терма 8.Р — дают
EeP)^Q10-Jio-F0^^F2. (14.27)
278

Правильной ВФ, соответствующей терму *S, в наборе
состояний (14.21) нет. Мы не будем находить правильные
ВФ, а воспользуемся тем, что различные линейные
комбинации функций |0 + 0 —), 11 + 1 — >, 11 + 1 —)
принадлежат каждому из трех термов. При унитарном
преобразовании, переводящем- эти функции в правильные ВФ
термов, след оператора Н останется неизменным. Поэтому
можно записать
£eS) + £(sP)+£CD) = <300+Qir+QTr
Вычисляя значение
Qoo ==r м> + §5 2
и используя выражения (14.26), (14.27), получим
EfS) = F0+~F2. (14.28)
Из формул (14.26), (14.27) и (14.28) можно получить
соотношение для разностей энергий термов, которое не
включает значений радиальных интегралов F0 и F2:
E?S)-E(W) _ 3
E{W)— Е{*Р) 2*
Экспериментальные значения энергий термов атомов
с конфигурациями (пр)2 дают следующие значения для
отношения к: (2р)2 — атом С — к= 1,13, (Зр)2 —атом Si —
— х = 1,48, (4р)2 - атом Ge - к = 1,50.
11. Все предыдущие вычисления основывались на
использовании гамильтониана (14.13) и полностью
игнорировали релятивистские эффекты. В этом приближении
полный момент L и полный един S являлись интегралами
движения и использовались нами в качестве основы для
классификации атомных состояний. Среди релятивистских
поправок второго порядка по а наибольший интерес для
многоэлектронных атомов представляет член
спин-орбитального взаимодействия
Если влияние спин-орбитального взаимодействия мало
по сравнению с влиянием нецентральности поля, то можно
сохранить описание состояния атома с помощью квантовых
279

чисел L и S, а оператор Vls рассматривать как малое
возмущение.
Вычислим среднее значение энер!ин спин-орбитального
взаимодействия для заданного терма. Учитывая, что
операторы \i и ^ действуют только на ВФ /-го электрона,
можно сразу записать
fc.=w2V(n/),1,Sf' (14'30)
i
где W (nl)< есть радиальный интеграл спин-орбитального
взаимодействия:
W
(п/)=Н^/?"/(г)гМг- (14-31)
Здесь через U обозначен эффективный потенциал,
который считается центрально-симметричным. Из результата
задачи 4.8 следует, что при вычислении матричных
элементов оператора V, диагональных по L и S, можно заменить
li на a(L и st на 6,S, причем константы щ и bt зависят
только от L и S. Таким образом,
<V/s> = {LM'SyJ | Vls | LMSp) =
Оператор LS диагонплизуется одновременно с
операторами Р, /*, L2 и S2, так как
А. А Л.^ А ^ А
2LS = /2~L2-S2.
Если не заполнена только одна «/-оболочка, то
диагональные матричные элементы равны
(Vis) = ^^yAVV + l)-L(L+l)-S(S+l)],
где
A =W(nl) %аМ.
Таким образом, при учете спин-орбитального
взаимодействия спектральный терм расщепляется на группу уровней.
Расстояние между соседними двумя уровнями зависит для
заданного терма только от /:
Д£,,,-1 = Л'Л (14.32)
280

Соотношение (14.32) назьюается правилом интервалов
Ланде. Уровни, на которые расщепляется атомный терм
при учете спин-орбитального взаимодействия, называются
компонентами тонкой структуры атомных уровней.
Рассмотренное выше приближение, в котором в качестве
невозмущенных рассматривались состояния атома с
заданными L и S, пригодно, только если интервалы тонкой
структуры малы по сравнению с расстоянием между
термами. Такой случай называют случаем Рассела —Саундерса
или LS-типом связи. Практически такое приближение
хорошо описывает спектры легких атомов.
По мере увеличения заряда ядра роль релятивистских
эффектов возрастает. Если спин-орбитальное
взаимодействие значительно превышает энергию остаточного
взаимодействия, то лучшие результаты получаются, если в
качестве ВФ отдельных электронов использовать общие СФ
операторов /?, fZi, /f, sf. При этом оболочка (nl)
распадается на подоболочки (п, /, / = /+1/2) и (я, /, j = 1—1/2).
Учет нецентрального электростатического взаимодействия
приводит к расщеплению подоболочек на уровни с
различными значениями полного момента J. В этом случае
2J< = J. (14-33)
i
Такую схему описания состояния атома называют jj-связью.
В чистом виде этот тип связи не проявляется даже для
самых тяжелых атомов: для них реализуются случаи,
промежуточные между LS- и //-типами.
12. Рассмотрим влияние магнитного поля на
положение атомных уровней энергии. Гамильтониан атома
во внешнем однородном магнитном поле имеет, при учете
релятивистских поправок, следующий вид:
+ i2lT,-£X2il- (I4.34)
ik i
Обозначим через На гамильтониан атома в отсутствие поля.
Тогда (14.34) можно переписать в виде
i i
281

Выбрав вектор-потенциал однородного магнитного поля
в форме
получим
i i
Векторное произведение во втором члене после
симметризации есть оператор орбитального момента электрона 1£.
В случае LS-связи гамильтониан приобретаег вид
H = Ha-ii0(L+2S)M + ^2№riY. (14.35)
i
Если поле достаточно слабо и величины сдвигов уровней
малы по сравнению с расстоянием между компонентами
тонкой структуры, то состояние атома можно описывать
набором квантовых чисел J, My, L и S, а второй и
третий члены в правой части (14.35) рассматривать как
возмущение. В первом порядке по полю третьим членом можно
пренебречь. Диагональные элементы оператора
P„--|io(L+2S)af
можно вычислить, представив его в виде
Р« = — lh^0+S) = — 110Ш$, (14.36)
где скалярный оператор А можно определить, домножив
обе части равенства (14.3G) на J:
Учитывая, что оператор JS диагоналей в JMLS-представле-
нии, для диагональных матричных элементов,
определяющих сдвиг уровней, получим
AEW = —m^gAf, (14.37)
где М есть значение проекции полного момента на
направление магнитного поля, а безразмерная величина
„ 1 , J(J + \) + S(S+\)-L(L+l) п
называется множителем Ланде. Расщепление атомных
термов в магнитном поле, определяемое формулой (14.37)t
282

носит название эффекта Зеемана. Эффект называется
нормальным для синглетных термов, когда g = 1.
Если расщепление уровней в магнитном поле велико
по сравнению с интервалами тонкой структуры, то зеема-
иовскнй член в гамильтониане более существен, чем спин-
орбитальный и сдвиг уровней в магнитном поле следует
вычислять в представлении LMlSMs- Напомним, что
представление JMLS было введено нами в п. 14.8 для
диагонализации оператора спин-орбитального
взаимодействия. Поскольку в LMiSMs-представлении проекции
орбитального Ml и спинового Ms моментов на направление
поля сохраняются, то диагональные матричные элементы
оператора Vm вычисляются элементарно:
Д£<1> = _ pjffi (ML + 2MS). (14.39)
Спектральный терм расщепляется на 2L + 3
равноотстоящих компоненты. Сдвиг атомных уровней в сильном
магнитном поле, определяемый формулой (14.39), носит название
эффекта Пашет— Бака. Для магнитных полей
промежуточной .величины секулярное уравнение для энергии надо
решать точно.
13. Если электронная конфигурация атома не содержит
незаполненных оболочек, то атом не обладает ни спином,
ни орбитальным моментом (если, как и всюду выше,
отвлечься от спина ядра). В этом случае второй член
в формуле (14.35) не приводит к расщеплению термов ни
в одном порядке теории возмущений. Для таких
конфигураций эффект воздействия магнитного поля полностью
определяется третьим членом в (14.35):
^^IW' <14-4°)
i
Волновая функция в состоянии с L = 0, S = 0 сферически-
симметрична. Представив каждый член в сумме (14.40)
в виде
[^rj2 = ^r2rfsin28
и усредняя по направлениям г*, получим
E(1)-m^2ld- <I4-4l>
i
283

Таким образом, энергия атома с заполненными оболочками
в магнитном поле iff выше, чем в его отсутствие: такой
атом диамагнитен. Магнитный момент атома,
приобретаемый им в поле <£%\ есть
-$£--**•-(--£■?*)*•• <"•«>
Величину % следует рассматривать как магнитную
восприимчивость атома.
Отметим, что формула (14.41) для квадратичного
эффекта Зеемана получена в первом порядке теории
возмущений, а квадратичный эффект Штарка появляется во
втором порядке теории возмущений и приводит к понижению
уровней энергии (поляризуемость атома всегда
положительна). Аналогично, к понижению энергии терма основного
состояния приведет и квадратичный по полю вЭГ член
второго порядка по возмущению Vm в случае L Ф О,
S^O. Поэтому атомы с незаполненными оболочками могут
быть и парамагнитны.
14. Для определения самосогласованного поля в
тяжелых атомах можно воспользоваться методом ВКБ.
Потенциал эффективного поля (У (г) можно связать с плотностью
электронов р (г) электростатическим уравнением Пуассона
Д(У(г) = — 4яр(г). (14.43)
В этом пункте мы будем использовать атомные единицы.
Считая самосогласованное поле И (г) центральным, что
оправдано для тяжелых атомов, так как большая часть
электронов в них находится в заполненных оболочках,
мы сможем представить одиоэлектрониые ВФ в виде
%im = ^Ylm(Q,<p)9
где функция Хл/ (г) удовлетворяет радиальному уравнению
Х" + 2[£-^(г)-Ц±2>]х=0.
Электронная плотность определится суммированием
плотностей электронов, определяемых одночастичными ВФ:
р(г) = —2 2-#-|^ml2. (H.44)
nlm
284

Здесь двойка перед суммой учитывает наличие двух
возможных значений проекции спина электрона. Для
суммирования по т в (14.44) используем известное тождество
Е \Ylm? = 2±t±. (14.45)
4я
В результате получаем
nl
В квазиклассическом приближении в области между
действительными точками поворота радиальная ВФ имеет
вид
ЫГ)=^ЧЬ'"'~4 (14.47)
где рП1 есть классическое выражение для импульса частицы:
Нормировочная постоянная Ani связана с энергетическим
спектром приближенным равенством (см. п. 7.4)
л»<~-!%-'• <14-49>
Подставляя соотношения (14.47)—(14.49) в формулу
(14.46) и заменяя квадрат косинуса его усредненным
значением (что оправдано лишь при больших п), получаем
nl
Предполагая, что большая часть электронов находится
в состояниях с большими значениями чисел п и /,
заменим суммирование по п и / интегрированием:
h п±
Рассмотрим внутренний интеграл. Интегрирование по dn
переходит в интегрирование по dE:
3 дп Pni J V2SP — W))
По Eq
E0
285

Интегрирование по dE ведется от действительной точки
поворота £у — V (г) до границы дискретного спектра £i = 0.
Через V(г) обозначен эффективный потенциал.
Подставляя пределы интегрирования, приходим к соотношению
h
PW = -2SsS-£y±V-2Vi(r)rf/. (14.51)
/о
Интегрирование по dl выполняется с учетом равенства
?F'- d\lNr\ \ </ Ь l/2)-i _ 2/Н-1
dl ~ al\Uyn^' 2r* J"" 2г* •
Таким_ образом, интегрирование по dl переходит в
интегрирование по dV:
?№ = -&]%¥-'& dl = -^ \V-2VdV. (14.52)
la V (/о)
Интегрирование ведется в пределах от /-^0
(соответствующее значение эффективного потенциала Vu^U(r) —
— (8г2)-1) до максимального значения ll9 при котором
эффективный потенциал меняет знак (ср. п. 5.4):
Выполняя интегрирование в (14.52), подставляя пределы
и пренебрегая центробежным потенциалом в случае / = 0,
мы получим
P(0 = ^[-2t/(r)]3/2.
Используя уравнение Пуассона, приходим к равенству
АФ(0 = ^Ч>(')3/2- (14'53>
Здесь введено обозначение <р (г) = — U (г). Уравнение (14.53)
называется уравнением Томаса— Ферми.
Граничные условия для функции <р определяются
требованиями
lim<p(r) = 0,
(14.54)
Первое нз этих условий очевидно, а второе следует из того,
что на малых расстояниях от ядра экранировка стано-
286

вится несущественной и эффективный потенциал в
основном определяется взаимодействием электронов с ядром.
Вводя новую функцию
<S>(r) = /4p(r)Z~\
получим для нее уравнение
z
Ф":
о |/0/3/2
b| ~Z_<£3/2#
ЗЯ гЗ/2
(14.55)
Вводя безразмерную переменную
Ф3/2.
(14.56)
преобразуем уравнение (14.55) к виду
d*D __ 1
Уравнение (14.56) уже не содержит констант, относящихся
к данному атому, и опре- ф,
деляет некоторую универ- А
сальнуЕО функцию Ф(х),
у довлетво ряющу ю усло-
виям
ф(0)=1, Ф(оо)=-0.
(14.57)
15. Решение уравнения
Томаса — Ферми с
граничными условиями (14.57)
может быть найдено только
численными методами. Оно показано на рис. 43. Получим
приближенное решение этого уравнения, впервые
найденное Зоммерфельдом. Асимптотику Ф (х) при х ->• оо
выберем в виде
Подстановка этого решения в формулу (14.56) дает
АП (П+ 1) Х-п~2 = ЛЗ/2х-3«/2-1/2в
Приравнивая показатели степени и числовые коэффициенты,
получаем
п = 3, А1*2 = п{п+1) = 12. (14.58)
Таким образом, уравнение (14.56) имеет точное решение
Ф0(х)=144х 3, которое не удовлетворяет, однако, гранич-
287

ному условию в нуле. Решение, удовлетворяющее такому
условию, будет в бесконечности иметь вид
Ф1(*) = Фо(*)+Ч>(х).
Считая функцию гр (х) малой по сравнению с Ф0 (х) в
области больших ху можно подставить решение Фг (х) в
уравнение Томаса —Ферми и сохранить лишь линейные по г|)
члены. Тогда получим уравнение
чг"751ф4/**в?* (14-59)
Очевидно, уравнение (14.59) имеет решение, убывающее
степенным образом:
в —1+1/73
^ = ^г, v = —-у—я*3,77,
с показателем степени v большим, чем п = 3. Это
оправдывает сохранение в (14.59) лишь линейных по ifc членов.
Итак, при больших х
Фг (х) ъ 144x-3 + Bjtv. (14.60)
Решение с асимптотикой (14.60) может быть выбрано
в виде
144
Фх W=—7 Гут*
*зГ
1 +
аЛ^У
где а, р —константы. Потребуем выполнения граничных
условий. Тогда из требования конечности величины Ф (0)
следует:
3-a(v-3) = 0,
а = —-гя«3,90.
V — о
Константа р определится из условия ф(0)=1:
Ра=144.
Итак, окончательный вид приближенного решения есть
Такое выражение удовлетворительно согласуется с
численным решением, давая несколько меньшие
значения Ф(х).
288

Отметим, что в описании атома с помощью уравнения
Томаса —Ферми детали спектров, связанные с оболочеч-
ной структурой, оказываются утраченными. Кроме того,
существенным недостатком решения Ф(х) является
степенной характер убывания электронной п'лотности на
больших расстояниях вместо экспоненциального. Поэтому
решение Ф(х) приводит к завышенным значениям таких
величин, как rt или г\\ в частности, его нельзя применять
для оценки магнитной восприимчивости %.
ЗАДАЧИ
1. Определим функцию распределения расстояния между
электронами в атоме гелия соотношением
в
\ 6 (r12) dr12 = 55 ф? (гъ r2) drx dr2.
A A<ri2<B
Найти 6 (г12) для основного состояния с ВФ (14.2).
2. Вычислить кулоновский и обменный интегралы для атома
гелия в состоянии с одноэлектронными ВФ (14.10). Найти Es и Я/.
3. Оценить потенциал ионизации отрицательного иона водорода,
используя пробную функцию
Ф(а, р)=е-аг*-рг| + е-рГ1~аг*.
4. Показать, что термы конфигураций (nt)k и (nt)*l+2rk
совпадают.
5. Найти возможные термы для конфигураций (nst n's)f (nst n'p)t
(fts, n'd), (tip, n'p).
6. Найти возможные термы для конфигураций с одной
незаполненной оболочкой (мр)3, (nd)2, (ndf, (nd)\ (nd)*, (л/)2.
7. Используя правило Хунда, найти термы основных состояний
для электронных конфигураций, рассмотренных в задаче 14.6.
8. Показать, что для конфигурации (nt)k при £^2/+1 терм
с наибольшим значением L будет синглетом при четном k и дублетом
при нечетном k. Найти соответствующие значения L.
9. Построить общие СФ операторов L2, Lz, S2, Sz для
конфигурации (п/?)3.
10. Конфигурация (ndf обладает двумя термами 2D. Найти ВФ
для каждого из этих термов.
11. Найти для конфигурации (ft/?)3 отношение
Е(*Р)-Е(*Р)
Х E(W)—£(45) *
289

12. Найти для конфигурации (nd)2 отношение
__ E(SP)-E(3F)
* E(*G)—E(W) •
13. Найти пределы изменения множителя Ланде g при заданных
значениях L и 5.
14. Найти терм конфигурации (nd)5, для которого отсутствует
линейный эффект Зеемана.
15. Вычислить диамагнитную восприимчивость гелия.
16. Найти расщепление уровней энергии атома водорода во
внешнем однородном магнитном поле, если величина расщепления
сравнима с интервалами тонкой структуры.
17. Оценить в модели Томаса — Ферми число заполненных s-обо-
лочек для атома с зарядом ядра Z.
18. Используя метод, рассмотренный в п. 5.4, найти значения Z,
при которых в атоме начинают заполняться оболочки /+*> /.

Глава 15
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА
1. Если пренебречь различием -между центром масс
молекулы и центрами масс ядер и считать, что центр масс
закреплен в начале координат, то уравнение Шредингера
для двухатомной молекулы будет иметь вид
п* г о \ 2^\ j 1 а/ . fi^\ . 1 ае 1
2Мр4ф 1Р Ф/ + sin б ае ГШ дь) + sin2 б dq>*\ +
+ V(xh yh zc, p, 6, ф)}*Ф(лг£э yt zi\ p, 6, ф) = £г1). (15.1)
Здесь xh yi9 Zi суть координаты i-ro электрона
относительно неподвижной системы координат 2, углы 6 и ср
определяют положение в пространстве прямой,
соединяющей ядра, р — расстояние между ядрами, а М
—приведенная масса двух ядер.
В системе координат 2 потенциальная энергия
электростатического взаимодействия V зависит от 6 п ср.
Перейдем в систему координат 2', вращающуюся вместе с
ядрами. Координаты электронов в новой системе будем
обозначать прежними буквами xh yh zh Ось Oz системы 2'
направим вдоль прямой, соединяющей ядра, а ось Ох
расположим в плоскости (Oxy)s,. Новая система 2' получена
из 2 путем последовательных поворотов на углы Эйлера
ср + л/2, 6, 0. Поэтому
ty' {*h Уь Zt) = Oifr (хь yh zt)y
0 = е***М^%). (15.2)
Заметим, что операторы Lxt Ly, Lz имеют одну и ту
.же структуру относительно переменных *,, #,-, zt в
системах 2 и 2'. Рассмотрим изменение гамильтониана при
унитарном преобразовании (15.2). Первый член —сумма
291

лапласианов в пространстве электронных координат —
остается неизменным. Для преобразования второго члена
заметим, что
dtp Y
Так как
ei£^L,e" lt*b = L* cos 6 + 2^ sin 6,
TO
tf^tf+^-utcose-t-^sine). (153>
Аналогично получаем
От*-ш-&*> <15-4>
Таким образом, в системе £' гамильтониан двухатомной
молекулы имеет вид (в атомных единицах)
+(я-'1')*+лк{£- isme.£„-«cose.L)i!]+e.<I5.5)
Потенциальная энергия в новой системе координат будет
иметь вид
9 ^d Hk Zd rlk jU r2k'
i>k Л=1 Л=1
Здесь rik — расстояние между f-м и fe-м электронами:
гш = V(*i - х*)2 + (#* - #*)2 + (г, - г*)2,
Гц — расстояние от fe-ro электрона до первого ядра:
Гг* — расстояние от fe-го электрона до второго ядра:
Таким образом, потенциальная энергия V в системе £'
не зависит от углов 6 и <р. Вышеприведенные формулы
292

не учитывали зависимости ВФ от спиновых переменных.
Если спиновые состояния электронов описывать в системе
Е', то в формуле (15.5) следует заменить Lt на (Lt+S,-).
2. Величина М-1, входящая в коэффициент при втором
члене в гамильтониане (15.5), есть отношение массы
электрона к приведенной массе ядер и представляет собой
малый безразмерный параметр. В первом приближении
мы можем пренебречь вторым членом и рассматривать
задачу с гамильтонианом
a—t2Ai+v^p)- (15-6)
i
ВФ молекулы можно представить в виде
4 = Ve(Xh Уь Zi\ Gt\ р)фЛ(р, 6, ф), (15.7)
где зависящие от параметра р электронные ВФ суть СФ
гамильтониана (15.6). Соответствующие им собственные
значения Еп (р) — энергии электронов как функции
расстояния р между неподвижными ядрами —'называются
электронными термами. Преобразование, сделанное в п. 15.1,
и малость параметра М'1 позволяют исключить
зависимость электронной ВФ г|)е от углов 6 и <р.
3. Полный момент молекулы К в неподвижной системе
Е определяется выражением
K = [pp]5+i;[rI-, pjs, (15.8)
i
где р —импульс относительного движения ядер, а индекс s
означает симметризацию в соответствии с правилом п. 2.1.
Компоненты момента в системе Е имеют вид
^+.£++^(| + /dge|.)t (15.9)
tf-_£-+H»(-.£+*dge£). (i5.io)
Перейдем в систему Е'; при таком переходе
А. Л Л Л
293

где унитарный оператор О определен формулой (15.2).
Рассмотрим преобразование компонент Lt, Положим ф' =
— Ф + л/2:
е х е ~ Lve * е х =
= Lx cos <р — (by cos 6 — Lg sin б) sin ф, (15.12)
= L* sin ф+ {by cos 6 — L* sin G) cos ф. (15ЛЗ)
Итак,
UbU+ = /L.v^ - (L„cos 6 - L. sin б) Л
Аналогично преобразуется и выражение для а-компоненты
электронного момента L/.
OLjD+ = Lz cos 6 — Ly sine.
Учитывая соотношения (15.3) и (15.4), для компонент
оператора полного момента находим в системе 1У
^=^(?-+t-ctge|) + |^,, (15.Н,
&=-'£• <15-1G>
Оператор L- в этих формулах действует на переменные
в системе £'. Выражение для квадрата полного момента
молекулы имеет вид
^ = -{^el(sin<)+ie(^-^cose)2}+^ (15.17)
4. Вернемся теперь к рассмотрению УШ с
гамильтонианом (15.5). Пусть известны решения задачи с
неподвижными ядрами, т. е. определены электронные термы Ее(у)
и электронные ВФ ift, (/*,♦; а,-; р). Умножим УШ
Ще%(Ру 6, <P) = £V*MP, е> Ф)
на ty? слева, проинтегрируем по координатам электронов
и просуммируем по спиновым переменным. Положим, что
в состоянии ijv проекция полного (орбитального и
спинового) электронного момента на ось, соединяющую ядра,
294 *

равна Л. Тогда
ВФ ядер можно представить в виде
ЫР> в, <р)=/(р)в(6, ср)."
Разделяя переменные, придем к уравнениям
[BdP{(>"bP)-Ee((>)-U(p)-Eroi+E]f(f>)=0> (15.18)
+ £r0f©(6, <p) = 0. (15.19)
Здесь введены обозначения:
я-аир. О5-20)
^(P) = M<^I%^-^I^>. (15.21)
Из формулы (15.17) видно, что оператор в левой части
(15.19) есть
Л2-К2. (15.22)
Поскольку полный момент К является сохраняющейся
величиной, в стационарных состояниях оператор можно
заменить его собственным значением. Итак,
Erot = B(p){K(K+l)-A*}.
Радиальное уравнение (15.18) принимает вид
{в1(р2.1)-£^р)-^(р>-
-B(p)lK(K+l)-A*]+E}f(p) = 0. (15.23)
Удобно объединить члены, зависящие лишь от
электронного состояния молекулы, обозначив
W(p) = Ee(p) + U(p)-A*B(p).
Тогда уравнение (15.23) примет вид
[B^(p*^-W(p)-BK(K+l) + E]f(p) = 0. (15.24)
Решение этого уравнения и определяет энергетический
спектр молекулы.
295

5. Определение электронных термов Ее(р) и
последующее решение уравнения (15.23) представляет собой
сложную задачу. Свойства низколежащих возбужденных
уровней можно приближенно описать, воспользовавшись
малостью параметра М-1. Для электронных термов
поэтому число дискретных значений Еп велико. Для
описания низколежащих возбужденных уровней можно
заменить потенциал W (р) в окрестности минимума р0
потенциалом гармонического осциллятора
W(p)^W(p0) + ^(p-Por. (15.25)
Волновые функции f(p) будут локализованы вблизи р0.
Поэтому в первом приближении в (15.23) можно положить
5(р) = 5(Ро) = 2Щ = В. (15.26)
Величина В называется ротационной постоянной. Тогда
En^W(Po) + BK(K+l) + (»(v+{),
где число v, нумерующее СЗ энергии при постоянном /С,
называется колебательным квантовым числом.
В первом приближении энергии, обусловленные
электронным состоянием молекулы, ее вращательным
состоянием и ее колебательным состоянием, складываются
независимо. Поскольку в атомных единицах
№(р0)~1, <*~Ь В~1\
то колебательные уровни представляют собой малые
поправки к электронным термам, а вращательные уровни
представляют собой малые поправки к колебательным
уровням. В следующих приближениях разделение энергии
на колебательную и вращательную части уже невозможно.
6. Рассмотрим электронные термы молекулы водорода —
системы из двух протонов и двух электронов.
Гамильтониан системы при неподвижных ядрах запишем в виде
Я0 = — |Ai-4-A2 + — + — -—+ — + — --• (15.27)
УШ с гамильтонианом (15.27) не допускает точного
решения. Приближенные выражения для электронных термов
296

можно получать, рассматривая часть членов,
описывающих потенциальную энергию, как возмущение. Эти члены
можно выделить различными способами. Лучшие
результаты получаются, если выбрать ВФ нулевого приближения
в виде линейных комбинаций ВФ атома водорода,
представив гамильтониан в виде
1».-(-±л.+;=)+Н4.+;5)+*-А+Л!+0.
0=__L + J- + ±__L.
Ги rib Гга ГаЬ
Такое приближение называется методом Гайтлера
—Лондона. Заметим, что оператор V можно рассматривать как
возмущение только при гаЬ^>а0. Двум возможным
спиновым состояниям электронов соответствуют ВФ
Ф, = v[%(14) % (г2) +я|>„(г2)% (Тг)] (S =0), (15.28)
Ф/^Ы^Ы^-ЫгОЫП*)] (S=l), (15.29)
где нормироючная постоянная
1
v =
V2V + S*)
выражается через интеграл перекрытия ВФ
S= J«.0ri)*(rO*i-^ $ exp (-**£*)*.
Учитывая, что функции я|)(г*), входящие в (15.28), (15.29),
суть собственные функции одночастичных
гамильтонианов Щ:
^a(ri) = ^a(ri),. (15.30)
в первом порядке теории возмущений получим
где кулоновский интеграл Q и обменный интеграл /
определяются формулами
Q = I <Р* (ri) Я]?2 (Г2) Ща fa) % (Г2) *1 ЙГ2,
J =S Va (rx) tyt (r2) V% (r2) % (14) dvx dr2.
Вычисление интегралов Q и J для молекулы водорода
возможно и в явном виде, но очень громоздко.
Зависимость энергии термов от относительного расстояния между
297

Рис. 44.
ядрами R/a0 изображена на рис. 44. Существенно, что
обменный интеграл отрицателей и энергия меньше для
синглетного терма с ВФ (15.28). Электронный терм син-
глетного состояния имеет соответствующий устойчивому
состоянию глубокий минимум с параметрами R0 = 0,80 А,
£min = 3,2 эв. Экспериментальные значения этих величин
суть #0 = 0,74 A, £,min = 4,7 эв. Для триплетного
состояния (15.29) устойчивое
состояние отсутствует.
Таким образом, возможность
соединения атомов в молекулу
зависит от спинового состояния
электронов. Это обстоятельство
можно качественно пояснить,
рассматривая координатные ВФ
(15.28) и (15.29). Координатная
функция триплетного состояния
обращается в нуль в плоскости,
перпендикулярной линии,
соединяющей ядра, и проходящей
посредине между ними. Координатная функция синглетного
состояния в этой плоскости максимальна. Поэтому велика
вероятность нахождения электронов между ядрами, что
приводит к меньшему значению энергии синглетного состояния.
Отбирая в качестве возмущения оператор Vt мы
считали, что электроны описываются атомными ВФ, т. е.
локализованы вблизи своих ядер. Такой вид химической
связи, при котором электроны не смещаются заметным
образом от одного ядра к другому, носит название гомео-
полярной связи.
ЗАДАЧИ
1. Используя результат п. 8.3, найти выражение для
колебательной энергии иона Н2Ь и оценить максимально возможное значение
колебательного квантового числа.
2. Энергия нулевых колебаний и энергия диссоциации
молекулы Н2 равны соответственно 0,26 эв и 4,46 эв. Найти энергию
диссоциации молекулы D2.
3. Показать, что вычисление электронных термов молекулы
водорода с использованием ВФ, построенной из молекулярных орбиталей
Фт* = №а (ri) +4h (r2)J fФа (Г2) +Vb 0i)]f
приводит к большему значению £ (/?), чем метод Гайтлера —Лондона.

Г лава 16
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
0. В главе 11 мы рассматривали изменение состояний
системы под действием зависящего от времени внешнего
поля. Под внешним полем практически всегда
подразумевается электромагнитное поле, создаваемое классическим
источником. Влияние изменений состояния системы на
состояния источника при этом не учитывается. Такой
подход, очевидно, неприменим для описания явлений,
в которых источником поля является квантовая система.
В таких задачах электромагнитное поле также должно
быть описано квантовым образом.
1. В основе квантовомеханического описания лежит
использование классических уравнений движения для
системы в гамильтоновой форме. Рассмотрим гамильтонов
формализм для электромагнитного поля. Уравнения
Максвелла для поля в вакууме имеют вид
rotE+|f = 0, divE = 0, Ч
rotH--^ = 0, divH = 0.
с ot
Введем векторный потенциал А, удовлетворяющий куло-
новской калибровке:
divA = 0. (16.2)
Тогда из уравнений (16.1) следует волновое уравнение
для вектор-потенциала
ДА-4^ = 0. (16.3)
Допустим, что все поле излучения находится в кубе
с ребром L и подчинено граничным условиям
периодичности на стенках куба. Тогда решение уравнения (16.3)
можно представить в виде
А = X [о* (0 А„ (г) + at (/) М (г)], (16.4)
299

где коэффициенты ак зависят только от времени. Решение
уравнений для функций А* (г), удовлетворяющих условиям
периодичности и поперечности, имеет следующий вид:
Ax(r) = tfe*Ar. (16.5)
Здесь вектор еь подчиненный требованию
е?кя = 0, (16.6)
задает направление поляризации, а вектор к,
определяющий направление распространения, может принимать
лишь дискретный набор значений
to-Ир4. (16.7)
где Па* — целое число. Итак, для задания состояния A;u(r)
надо указать значения четырех параметров: Пц, гигЪ
п3ъ а. Параметр а указывает поляризацию и принимает
два значения. Решение (16.5) может быть умножено на
постоянный множитель, определенный из условия
нормировки. Потребуем выполнения равенства
\AkAfdr = 4nc26k[. (16.8)
Соответствующие решения (16.5) примут вид
*£е**. (16.9)
Зависимость от времени коэффициентов aK(t) определится
формулой
а% (0 = КI <Г*Ч <Ъ = о | кк |. (16.10)
Полная энергия поля в объеме периодичности L3 есть
я=jL $(*+»)*. (16.11)
Выражая поля Е и Н через векторный потенциал с
помощью соотношений
E==-4S> H = rotA (16.12)
и используя решение волнового уравнения в виде (16.9),
получим
Е^2щаКоЬ (16.13)
я
300

Введем классические действительные переменные
Qb=aK+at Рх = —toxte-fl». (16.14)
Тогда выражение для полной энергии поля (в кубе U)
может быть представлено в виде
E = ~^{Pi + <4Ql) = HFc. (16.15)
я
Это выражение можно рассматривать как запись
классической функции Гамильтона для свободного поля
в кубе L3 в канонических переменных Рк, QK.
Соответствующие уравнения Гамильтона имеют вид
^Г==^ = Сь (16.16)
^«<чЮх = -А. (16.17)
2. Обобщая основные положения на описание
немеханических систем, для квантового описания свободного
электромагнитного поля мы заменим классические
канонические переменные i\, Qi на операторы,
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
^"Л л (leas)
Как классическая функция Гамильтона (16.5), так и
оператор Гамильтона для свободного поля распадается на
сумму гамильтонианов невзаимодействующих
осцилляторов:
я=2!^т2!^+^- (16Л9>
я х
Собственные значения энергии каждого осциллятора
определяются, как известно, формулой
Ек = йозя (пк +1/2). (16.20)
Рассмотрим классическое выражение для импульса
поля
S^J [ExH]dr. (16.21)
301

При подстановке в это соотношение выражений для полей
мы придем к формуле
S = У] SA = У] 2щккака1 (16.22)
к к
Выражение (16.22) отличается от формулы (16.13) для
энергии поля лишь наличием векторных (неоператорных)
множителей. Поэтому при переходе к квантовому
описанию оператор импульса электромагнитного поля
коммутирует с гамильтонианом, а его собственные значения для
каждого из осцилляторов поля суть
SjL = M(n*+l/2). (16.23)
Таким образом, энергия и импульс электромагнитной
волны коммутируют, что в квантовой механике частиц
соответствует случаю свободного движения. Далее,
разности энергий и импульсов плоской волны с заданным
значением К и основного состояния поля кратны
величинам Йсох и /fcfy/r1 соответственно. Поэтому плоскую
поперечную электромагнитную волну можно рассматривать
как систему невзаимодействующих частиц — фотонов —
с энергией Ьщ, и импульсом h&)jcr1n.
3. Как и при рассмотрении гармонического-
осциллятора в п. 3.12, введем безразмерные операторы
ti=Y£^(<$K-iPJ, (16.24)
ак = Уъ£ На + <*А). (16.25)
Из коммутационных соотношений (16.18) следуют
перестановочные соотношения для операторов
Ьг$Гг .., п (16.26)
Таким образом, операторы а* \\а можно рассматривать как
операторы рождения и уничтожения фотонов, действующие
в пространстве чисел заполнения с базисными функциями
(16.10). Из (16.26) видно, что фотоны являются бозонами.
Гамильтониан свободного электромагнитного поля,
выраженный через операторы а% и а^ имеет вид
Я = >^ (wU + Йо*) =2M"*+i)- (16-2?)
302

Выражение для оператора вектор-потенциала А через
операторы рождения и уничтожения фотонов можно
записать, сравнив формулы (16.15) и (16.24):
А = %(а>Ак + ат). (16.28).
а,
При переходе от классического выражения для
функции Гамильтона к оператору Гамильтона (16.19) мы
можем, как и в механике частиц, считать зависимость
от времени включенной только в ВФ А^ (представление
Шредингера) или только в операторы /\, QK
(представление Гайзенберга). Мы выберем первый вариант —пред-"
ставление Шредингера. Зависящие от времени ВФ имеют
вид
^ = Y^eae^^Oy (16.29)
4. Рассмотрим уравнение Шредингера для
нерелятивистской заряженной частицы без спина,
взаимодействующей с переменным электромагнитным полем, которое
будем описывать классическими (не операторными)
потенциалами А и ф. УШ имеет вид
Второй член в правой части преобразуем с помощью
равенства
[р, А] = — iHdivA. (16.31)
Если векторный потенциал удовлетворяет условию куло-
новской калибровки (16.2), то УШ примет вид
Оценим порядок величин в правой части для внешнего
поля, гармонически меняющегося во времени:
А (0 = -^- sin со*. (16.33)
Тогда, если импульс частицы имеет типичную для
атомных систем величину р ~ me^h'1, то члены в правой части
308

(16.32) имеют порядок величины Е0, £0р и £0р2
соответственно, где р — безразмерный параметр:
^iL^JL. (16.34)
г сор теы х '
В оптическом диапазоне (соя^ Ю16 сект1) параметр р
сравним с единицей в полях с напряженностью ^я«106 ед.
СГСЭя^Ю8 в/см, т. е. при интенсивности излучения I ~
~101ь вт-см~2. Чаще приходится иметь дело с полями,
в которых выполняется условие р <[ 1. Поэтому второй и
третий члены в правой части (16.32) можно
рассматривать как малые возмущения. Отметим, что даже при р <[ 1
членом, квадратичным по Л, нельзя пренебрегать по
сравнению с линейным, так как они описывают
различные явления.
5. Рассмотрим взаимодействие квантовомеханической
системы с квантованным электромагнитным полем. Для
этого в УШ (16.32) заменим классическое выражение для
вектор-потенциала на оператор (16.28). В дальнейшем для
краткости квантовомеханическую систему будем называть
атомом. Гамильтониан системы «атом + поле» имеет вид
H = Ha+V + HF, (16.35)
где
к
Огметим, что оператор взаимодействия зависит от
времени явно. В (16.35) мы опустили оператор возмущения,
квадратичный по вектор-потенциалу.
В отсутствие взаимодействия стационарные состояния
системы описываются произведениями СФ гамильтониана
атома |v> (под v понимается набор квантовых чисел)
и СФ гамильтониана свободного поля в представлении
чисел заполнения |%>. Здесь щ, означает число фотонов
с заданными значениями волнового вектора к>, и
поляризации еа. Матричные элементы зависящего от времени
оператора V(t) в первом порядке теории возмущений
отличны от нуля только между функциями состояний,
304

в которых число фотонов с некоторым Я отличается на
единицу:
<v, nh\V\v, /ъ+1> = <у, /i|falm л+1>.
где введен оператор
Такой переход соответствует поглощению фотона атомом.
Аналогично, переход, соответствующий испусканию фотона,
определяется вторым слагаемым в операторе V:
<v, Лх|^|(*. wx-l> = <v, n\V£\ii, n-l),
где введен оператор
6. Пусть в начальный момент времени поле находится
в вакуумном состоянии. Все числа заполнения равны нулю.
Тогда единственным возможным процессом будет
испускание фотона. Поскольку при размерах куба L3, больших
по сравнению с длиной волны фотона Я, спектр
свободного поля является квазинепрерывным, мы используем
полученное в п. 11.8 золотое правило
*&=irl<f. ^ftl'. °>Ip(£/). О6-38)
где индексы / и i относятся к конечному и начальному
состояниям атома соответственно. Определим плотность
числа состояний. Число состояний поля с фотоном, импульс
которого лежит в интервале значений (р, р + dp) и
интервале углов dQ, есть
AM — L*p*dpdQ _ L3e2 dp dQ
В последнем выражении через е обозначена энергия фотона
с импульсом р:
е = ср = йсэ.
Учитывая это равенство, для функции плотности
состояний получаем выражение
TF«r- <16'39>
305
11
dNp
П. В. Елютин, В. Д. Кривченков

Подставляя это выражение в формулу (16.38), получим
jri 2n /Ао3 \/£} ,1^*1» е т Г 2пЪ I2 _.^
^'\<f\e-^p\i)eafdQ.
2пЪсъ
Наибольший вклад в матричный элемент
Q | ё* р 11> - \ $ (г) e-^wi (г) <*г
дают области значений г, в которых атомные ВФ заметным
образом отличны от нуля: г~а0ъ*0,5- 1(Н еж. В
оптическом диапазоне £^105 слг\ и в существенной области
интегрирования показатель экспоненты оказывается малым.
Ограничиваясь первым членом разложения
rfl»=l-ftr-^ + ...l (16.40)
получаем
<f\<rikrP\!>~<f\p\i>.
Учитывая доказанное в п. 3.9 тождество
т
■<j\p\i) = Hiofi<J\r\i)9
получаем для dP+ следующее выражение:
dPtiSn\dfiea\2dQ. (16.41)
Здесь Ап означает матричный элемент дипольного момента:
d = ег. Выбирая ось сферической системы координат в
направлении импульса фотона к и учитьюая, что вектор
поляризации ортогонален импульсу, представим (16.41) в виде
dP» = Wn Id/' i2 sin2 6 d cos e d^
Полная вероятность испускания фотона в единицу
времени определится интегрированием по углам 6 и <р:
^ = Та(-7г)"«* <16-42>'
где а —постоянная тонкой структуры. Для атомов
матричный элемент rfi по порядку величины равен е2/йсо и
вероятность излучения Pfi имеет порядок
Pti^cPa. (16.43)
306

Вероятности переходов при наличии фотонов в
состоянии с числами К отличаются от Р$( только числовыми
множителями. Учитывая соотношения
(n+l\a+\n) = Vn+l>
(п— 1|а|л> = |/"л,
получаем
Ра {(пк - 11 ft | Щ)} = пкР\ (16.44)
Ре {(пк+11 ft | %>} = <«*+1)Р*. (16.45)
Процесс испускания фотонов в отсутствие квантов
в начальном состоянии называется спонтанным
излучением. Процесс испускания, связанный с наличием
квантов в начальном состоянии,' с вероятностью в единицу
времени
PsB = *h.P+
называется вынужденным излучением. Формула (16.44)
относится, очевидно, к поглощению.
7. Заметим, что в выражение для вероятности
спонтанного излучения Р+ не входит объем куба периодичности
L3. Поэтому его можно отнести и к излучению атома
в свободном пространстве. То обстоятельство, что
вероятности процессов, происходящих в присутствии поля, (16.44),
(16.45) также не зависят от объема L3, позволяет
установить связь между локальной плотностью энергии поля
и числом фотонов в единице объема пЛ, которое входит
в наши вычисления, предполагая, что соотношения (16.20),
(16.23) выполняются и в этом случае.
Формула (16.45) указывает условие применимости
классического рассмотрения электромагнитного поля,
действующего на атом; таким условием является неравенство %^> 1.
Отметим также, что использованная нами ВФ фотона
соответствует однородному распределению координаты в
объеме L3 (как и для нерелятивистской частицы с заданным
11*
307

импульсом). Однако функция, определенная таким
образом, не является калибровочно инвариантной. Заменив
еа на еа + к/(со), мы получим прежние выражения для
полей Е и Н, но другое выражение для плотности
вероятности координат фютона.
8. Электромагнитное излучение, вероятность которого
определяется матричным элементом дипольного момента,
называется дипольным электрическим излучением или
Е1-излучением. Рассмотрим матричные элементы диполь-
ных переходов для частицы, связанной в центральном
поле. Состояние системы определяется квантовыми числами
п, 1У т. Волновая функция допускает разделение
переменных
г|>(6, Ф, r) = Rnl{r)Ylm(by Ф).
Угловая часть ВФ имеет вид
r,^e^) = n?'(cosG)i=^L, (16.46)
где ПГ (cos б) — нормированные присоединенные функции
Лежандра:
ДГ(со89)-/^><у Pf(cose).
Матричный элемент компоненты дипольного момента
может быть записан в виде
(vK\i | d§ | film) - \ \ RnlR*K dinv,Ytmr* dr rfG. ;(16.47)
Вместо декартовых компонент dX9 dyf d^ мы воспользуемся
разложением вектора d по сферическим гармоникам:
d0 = er cos б = у • 2-12rY10 = dz,
di = er sin 6e/(J) = yrYlx = dx + idy,
d_! = er sin tor** =• yrYXt -i = dx — idy>
где
т/""5Г
у=еу-г-
Рассмотрим вычисление интеграла (16.47):
<уЪрШп1т) =v2tCIk,""I> \RvKRmr2dr J Y^YtmY^dQ.
308

Начнем с интеграла по угловым переменным:
/<?> = $ ПГ (cos G) П£ (cos 8) ПГ (cos 6). I™d cos 6,
/£> = (2я)-3/2 ^ (_l)|i+m+Kl4l-X+l)gl(m+x^|i)vdq)e
Последний интеграл вычисляется элементарно:
(2л)3'2 i(m+x—fi) |о
Он обращается в нуль, если только не выполняется
условие
при котором
7(ф)_ i<l-l+1}
У 2л
Для вычисления интеграла по б воспользуемся
значениями низших присоединенных функций ПГ:
соотношением ортогональности
— i
и рекуррентными формулами
*ПГ(*) =
_ 1/"(* + »* + 1H/-ffl+1> пт 4- ЛГ (1+т)(1~т) пт
— У (2/+1)(2/ + 3) "H-lT" J/ (2/+1)(2/-1) lll~l>
(16.48)
1/Т=^?ПГ(х) =
1Л*-'"+1)(*+т+2)ггт-1 i т/"(/+т)(*+т~1)пт--1
"~~ J/ (2/+1)(2/ + 3)- 1J/+1 "*" У (2/+1) (2/ —1) 11/~1 »
(16.49)
1/7=3? ПГ(*)==
1/Л(/ + т+1)(/ + /П + 2)пт+1 |/"(<-«)(/-«+l)nm-l
— "Г^ (2/+l)(2/ + 3) 11/+l Г (2/ + 1) (2/—1) Х1'-1'
(16.50)
309

Рассмотрим /о0):
/Г = J ПГ (*) Iff (ж) j/"f * р^ I»"-*» Л.
Учитывая формулу (16.48), получаем
#<Q> ^-^i> 1/ТГ1/"Р+^+1)(1-т+1)Л ,
/о =~VW V YLF (2/+i)(2/+iT~ /+1^+
+ |/ (2/+7)((2^)^-^4 <16'51)
Таким образом, отличны от нуля будут только
матричные элементы переходов между состояниями с I и
/±1. Используя (16.49), (16.50), можно показать, что
то же требование распространяется и на переходы с и = ± 1.
Для них
r<fl)_ ;<'•"-*> -,/~ЗГ|Л*+'и+2)(*+"Ч-1)*
~ К (2/ + 1)(2/-1) 6'. >-«J' <16-52)
'-l = !/W У ТГ ' (2/ + 1)(2/+3) -*/.*-* +
+ |/ (2/+l)(2/-l) 6/^+iJ- (16-53)
Таким образом, в дипольном приближении для частицы,
связанной в центральном поле, отличны от нуля только
матричные элементы переходов из состояния (гс, /, т)
в состояние (v, Я, |ш), где
X = f±l, jx = m, m±l. (16.54)
9. Формулы (16.54) задают правила отбора для
векторного оператора d.
В случае многоэлектронного атома в дипольном
приближении возможны лишь такие изменения электронной
конфигурации, при которых изменяются квантовые числа
я, I одного только электрона, так как оператор
суммарного дипольного момента ^crz-есть аддитивный оператор.
Из правил отбора следует, что при дипольном
излучении или поглощении одного фотона момент атома
изменяется на единицу. Поскольку система «атом + поле»
310

замкнута, то из закона сохранения момента в этом
случае следует необходимость приписать фотону момент
импульса, равный единице. Использованная нами при
вычислениях координатная приближенная ВФ фотона изотропна.
Поэтому разумно предположить, что этот момент связан-
со спиновым состбянием, и приписать фотону спин, равный
единице. Частица с конечной массой покоя и спином
единица при заданном значении импульса р находится в трех
различных спиновых состояниях с проекциями s на
направление импульса, равными 1, 0 и — 1. Для фотона
возможны лишь два направления поляризации: sp = ±l. Это
связано с равенством нулю массы покоя фотона, которое
связано с условием поперечности векторных ВФ фотона.
10. В качестве примера вычислим вероятность
спонтанного перехода между состояниями 2p->ls в атоме
водорода (спектральная линия Ly-a). Для переходов из р-
состояния в s-состояние вероятности переходов вне зави*
симости от величины Am равны
P+ = tSh4-*2> 06.55)
где через R обозначен радиальный интеграл
R = \RVKrRnlr*dr.
Радиальные ВФ имеют (в атомных единицах) вид
Rl0(r) = 2e-r,
Радиальный интеграл вычисляется элементарно:
^-зг/2^ дг _ 215/2 . з-9/2.
*-7Т$
Переходя к обычным единицам и подставляя это значение
в формулу (16.55), получим
9 Йс? 3» mW
Частота излучения определяется формулой
<о = 1[£(2р)-£(15)] = 4-^-.
311

Отсюда находим окончательное значение:
1 ~'\3) \tw) Л3 '
или Р+ (Ly-a) = 0,62-108 сек*1. Это значение примерно
в три раза больше, чем оценка (16.43).
11. Если матричный элемент d/* обращается в нуль,
то говорят, что дипольныи перевод между состояниями
\i) и \f) запрещен. В этом случае для вычисления
вероятностей перехода следует улучшить приближение (16.40),
положив
er^p&l — ikr.
Матричный элемент перехода определится интегралом
/i = S%*(r)(kr)(pe«)%(r)dr.
Поскольку ке = 0, удобно выбрать направления векторов
к и е за оси декартовых координат, например Ох и Оу
соответственно. Тогда интеграл примет вид
h = <f\Hxpy)\0 = g<f\(xplf + pxy) + {xps--pxy)\i).
Второй член пропорционален ^-компоненте орбитального
момента L. Аналогично, для других направлений k, e
матричные элементы равны
-Y<f\U0, iHlllO.
Излучение при переходах, вероятности которых
определяются этими матричными элементами, называется
магнитным дипольным или Ml-излучением. В нерелятивистском
приближении при движении в центральном поле
орбитальный момент сохраняется и не имеет недиагональных
матричных элементов, отличных от нуля. Поэтому
магнитные дипольные переходы в этом приближении запрещены.
Для многоэлектронных атомов в случае LS-связи
Ml-переходы должны удовлетворять правилам отбора
Дп, = 0, Д/; = 0 (16.56)
для всех одноэлектронных ВФ. Поэтому возможны
переходы только между двумя состояниями, принадлежащими
одной конфигурации и обладающими одинаковыми
значениями L и S. Разности энергий таких состояний малы
312

и соответствуют излучению частот микроволнового
диапазона.
Первый член может быть преобразован следующим
образом:
xpy+ypx=-Y^2yx-yxV2) = — ^\уХу На] = $.
Вычисляя матричный элемент оператора 6 между
состояниями \т) и |п>, получим
(т | Ь | п) =
= -52««I^IO</|^|n>-<m|^|0<«|ffx|/i».
Учитывая, что у гамильтониана Н в собственном
представлении отличны от нуля только диагональные элементы,
получим
^ЬЦ\хры + урх\1) = ~^<р1\ху\п).
Излучение, испускаемое системой при переходах,
вероятности которых определяются такими матричными
элементами, называется электрическим квадрупольным или Е2-
излучением.
Правила отбора для квадрупольных переходов можно
получить из правил (16.54), представив матричный
элемент в виде
{т\ху\п)^^(т\х\1){1{у\п)щ
i
Таким образом, для квадрупольного излучения отличны
от нуля вероятности переходов из состояния (п, /, т)
в состояние (v, Я, ц), где
Я = /^0, Л=/±2, |[х — т\<,2.
Напомним, что все вычисления в пп. 16.8 — 16.! 1
относились к случаю, когда состояние системы можно
описывать УШ без учета релятивистских поправок. В
частности, во всех рассмотренных случаях выполнялось
условие
При учете взаимодействия спинового магнитного момента
с внешним нолем отличные от нуля матричные элементы
Ml-переходов возможны и для состояний частицы в
центральном поле,
313

12. Выше мы установили, что возбужденные состояния
атомов при учете взаимодействия с электромагнитным
полем не являются стационарными. Даже при отсутствии
фотонов в начальный момент амплитуда возбужденного
состояния атома со временем изменяется:
Поэтому начальное состояние системы «атом + поле» не
обладает определенной энергией. Рассмотрим однофотон-
ный переход между возбужденным состоянием атома |1>
с энергией Е± (вычисленной без учета взаимодействия
с полем) и основным состоянием |0> с энергией Е0. При
временах, больших по сравнению с Prf, атом почти
наверное будет находиться в основном состоянии с
определенной энергией Е0. Но поскольку в начальном
состоянии система «атом + поле» не обладала определенной
энергией, то в конечное состояние поля (при t->+co)
будет описываться некоторой функцией распределения
по энергии. Найдем вид этой функции.
Уравнения движения для амплитуд начального
состояния а10 и конечных состояний а^ (индекс Я здесь
означает квантовые числа фотонов) имеют вид
'* Т = 2<Ю I ^ 10Я>e£(C*rt)' <hb (16.57)
к
ih ^Ж в 2<0Я! ^' 10>«"^"^Ч- (16.58)
Нас интересует решение этой системы с начальными
условиями
«ю(0)=1, аол(0) = 0.
Будем искать решение в виде
flw(0 = e-*'2. (16.59)
Подстановка этого решения в уравнение (16.58) и
интегрирование по времени с учетом начальных условий
приводят к соотношению
п - /rot, 1 V11П>> ехр [i ^-03") *-У*Ю-1 1\ьт\
314

Подстановка этого решения в уравнение (16.57)
приводит к соотношению
Поскольку спектр фотонов квазинепрерывен,
суммирование по Я можно заменить интегрированием по частотам.
Итак
- »1 -1 p w | vt |» 'ЛГЛУ'dQ *■ •
О
Предполагая у малым по сравнению с со, мы можем
пренебречь этой величиной в правой части. Разобьем
функцию времени под интегралом на действительную и мнимую
части:
F ( f\— *~~expt((Qo — <u)t __ 1—cos ((Op—co)f _ . sin (to0—co)l
* * '~~ COq —(0 ~~ (t00 —to) ' too —to
В пределе (co0 — co)tf->oo вклад в интеграл от
действительной части даст только монотонная функция (о>0 — со)"1,
так как cos(co0 — со)* быстро осциллирует. При этом
интеграл от действительной части следует вычислять в смысле
главного значения, учитьюая нечетность RejF(co). Таким
образом, у имеет отличную от нуля мнимую часть
Imv-IJpHIVI-dQf^, (16.61)
.0
соответствующую поправке к средней частоте излучения.
Обычно эта поправка незначительна. Интеграл от мнимой
части jF (со) определяется окрестностью точки со=со0:
о
со
?^ — i
Таким образом, действительная часть у определяется
равенством
Rey='^^p(k0)\V\*h-ldQ
315

и равна полной вероятности излучения в единицу времени.
Распределение фотонов в конечном состоянии по энергии
можно получить из (16.60), положив t-*co:
Интегрируя по телесному углу и умножая на плотность
конечных состояний (в интервале энергий), получим с
учетом (16.62)
^W~&(m-,?+TM- <16-63)
Форма линии, описываемая выражением (16.63),
называется естественной или лореицевской.
Отметим, что ширина линии оказывается
пропорциональной интенсивности спонтанного излучения: чем
спектральная линия интенсивней, тем она шире. Такая же
связь между шириной и интенсивностью линий имелась
и. в классической модели осциллятора с радиационным
затуханием. Однако при переходе между возбужденными
состояниями ширина линии определяется суммой констант
у для верхнего и нижнего уровней:
Y* = Y/ + Yf-
Поэтому спектральная линия, соответствующая переходу
в короткоживущее состояние, будет широкой, но,
возможно, слабой.
13. Выше мы рассматривали переходы под действием
электромагнитного поля, в которых как начальное, так
и конечное состояния атома принадлежали дискретному
спектру. Если энергия поглощаемого фотона йсо больше
потенциала ионизации /, то в результате поглощения
один из атомных электронов может перейти в состояние,
принадлежащее непрерывному спектру. Это явление
называется фотоэффектом. Вероятность перехода в единицу
времени определится формулой
P/i=?l</.0|fT|/. 1>|р(£/).
Основное упрощающее предположение в теории
фотоэффекта состоит в замене ВФ конечного состояния,
учитывающей взаимодействие электрона с атомным остатком,
316

на ВФ свободного состояния — плоскую волну
Плотность числа конечных состояний для свободного
электрона имеет вид
d?=j0wdQ- (1664)
Итак, вероятность испускания в единицу времени
электрона с импульсом, лежащим внутри телесного угла dQ,
имеет вид
«HVi-S^ltoolfcrl*. 1>Г.
Используя явный вид оператора взаимодействия
получим выражение для вероятности фотоэффекта в виде
аРП = ШШ?\ \ e'-<kr-^(e^)^(r)d¥|2dQ. (16.65)
Очевидно, это выражение явно зависит от нормировочного
объема L3 для фотонов. Удобнее вычислять величину
сечения перехода, равную отношению вероятности перехода
к плотности потока фотонов Lrbc. Вычислим сечение
фотоэффекта для атома водорода в основном состоянии. ВФ
начального состояния имеет вид
упа*
Введем обозначение х для волнового вектора переданного
импульса:
и = к — q.
Проводя в формуле (16.65) интегрирование по частям и
учитывая поперечность поля, найдем
|$ (*™ (eaV)^ dv | = | eaq \^е-™ dx|. (16.66)
Интеграл вычисляется элементарно в сферических
координатах:
—L-Д ехр(--+|хгсо8вУ2я8шв-гМгЛ=У^£й1в
(16.67)
317

Обозначим через б угол между направлениями импульсов
фотона к и электрона q, а через ф —угол между
плоскостями kq и ек. Тогда
eq = q2 sin2 б cos2 <р,
x2 = ?2(l~2|cos6+p).
Если энергия электрона в конечном состоянии много
больше энергии связи:
2т ^ й2'
то волновой вектор электрона много больше обратного
воровского радиуса:
ЯЧ>^=1. (16.68)
Далее, учитывая, что волновой вектор фотона Л = охг1,
имеем
k со Ьа
д сц 2тс
В нерелятивистском приближении можно ограничиться
членами r^tiqlmc. Тогда, пренебрегая в знаменателе
формулы (16.67) единицей в силу неравенства (16.68),
получаем
^-^Т^сг^ТХ^- (16-69)
Угловая зависимость в числителе показывает, что
наиболее вероятно испускание электрона в направлении
электрического поля падающей юлны. Отметим, что при выводе
формулы (16.69) мы не использовали разложение
экспоненты в операторе взаимодействия, а потому учли все
порядки мультипольности перехода. Проводя вычисление
в дипольном приближении, что эквивалентно замене
z = q, k = 0,
мы получим вместо углового фактора в знаменателе (16.68)
единицу. В этом случае можно провести интегрирование
по углам и получить явный вид полного сечения:
2«я о//\7/2 t\a-7t\\
a=~3-ooo(Ej , (16.70)
где £ = Йсо —энергия фотона» Подчеркнем, что наше при-
318

ближение пригодно лишь при Е^>1. Вблизи красной
границы фотоэффекта нужно пользоваться точными ВФ
электрона в кулоновском поле. Соответствующие расчеты
показывают, что учет взаимодействия в конечном
состоянии приводит к появлению в формуле для сечения
дополнительного множителя
F №\ - 2зт i/TE£±zilEE£lL с - l/"ZZZ
t[&-tny Е ^^^эд , е-р/ Е__г
Множитель F(g) уменьшает сечение фотоэффекта вблизи
Рис. 45.
красной границы. При £ = / F© = 2*Be"* = 0f12 и
медленно возрастает с увеличением энергии Е. Даже при
Е = 50 / значение F (g) составляет всего 0,66.
Отметим, что сечение ионизации на красной границе
имеет конечную величину. Это связано со
специфическим поведением кулоновских ВФ непрерывного спектра
на больших расстояниях. Для частиц, связанных
короткодействующими потенциалами, при £ = / сечение
фотоэффекта обращается в нуль. На рис. 45 показана
зависимость сечений от E/I для атома Нх и отрицательного
иона Hf. Отметим также степенной характер убывания
сечения при £->оо.
14. Выше мы рассматривали однофотонные процессы,
в которых начальное состояние системы принадлежало
дискретному спектру. Если начальное состояние электрона
принадлежит непрерывному спектру, а фотонов в
начальном состоянии нет, то возможны два типа однофотонных
процессов.
319

Конечное состояние электрона может принадлежать
дискретному спектру, а конечное состояние поля будет
содержать один фотон. Такой процесс — рекомбинация —
противоположен фотоэффекту. Его сечение определяется
матричным элементом (16.66). Конечное состояние
электрона может принадлежать непрерывно*му спектру, а
конечное состояние поля будет содержать один фотон. Такой
процесс неупругого рассеяния называется тормозным
излучением.
Рассмотрим тормозное излучение электрона в кулонов-
ском поле ядра. Вместо использования точных ВФ
непрерывного спектра мы, как и в п. 16.13, будем описывать
начальное и конечное состояния электрона ВФ свободного
движения с определенным импульсом
Vl I/ /8 ' Т/ I/ / 3 '
а влияние кулоновского поля ядра учтем как возмущение
Vn— — •
Матричный элемент оператора взаимодействия с полем
VF между функциями % и % обращается в нуль:
свободный электрон не излучает. Отличный от нуля вклад
возникает только во втором порядке теории возмущений от
члена первого порядка по Vn и по Vf:
ab ^ '
(16.71)
Л. Л.
Матричные элементы операторов VF и VN вычисляются
элементарно:
<b!^[p> = -^[?JFF> . (16.72)
<b, k\PP\p, 0) = -|]/"ge,p6(p-b-k). (16.73)
Энергии начального и конечного состояний определяются
импульсами соответствующих свободных частиц:
320

Учитывая закон сохранения импульса, имеющий место при
взаимодействии с квантованным полем, энергии
промежуточных состояний можно выразить через импульсы р, q, k:
£.-£(q+k)«.
*.-£[*-ч-+**].
Подставляя выражения (16.72), (16.73) в матричный
элемент (16.71), получим
(f\v\»= _
4jrZg2 eti лГШг 1 Г (еЛр) ■ (e?q) I /ifi 74ч
— I* т\ iAo|p-q-kp|£r- Ea^Et-ЕъУ К iU'V
Направления импульсов фотона к и электрона р в
конечном состоянии независимы. Поэтому функция плотности
конечных состояний может быть представлена как
произведение плотностей состояний для фотона и сюбодного
электрона:
Определим дифференциальное сечение тормозного
излучения как отношение вероятности перехода к плотности
потока начальных электронов: ^^. Используя золотое
правило, получим
Найдем выражение для энергетического спектра
испускаемых фотонов. Для этого надо формулу (16.75)
просуммировать по возможным направлениям поляризации е^ и
проинтегрировать по угловым переменным.
Введем систему координат с осью Oz вдоль р и
плоскостью Охг, совпадающей с плоскостью рк (рис. 46). Тогда
компоненты векторов р, q, k будут определяться выражениями
р = р(0, 0, 1),
к = к (sine, 0, cosG),
q = ^(sinacosp, sin a sin p, cos a).
321

Вектор поляризации еа ортогонален импульсу фотона к,
поэтому удобно положить
ех = (— cos б, 0, sin б), eg = (0, 1, 0).
В нерелятивистском приближении формулу (16.75) можно
Рис. 46.
упростить, воспользовавшись, как и в п. 16.13, малостью
импульса фотона. Тогда
£^£^£(-2iFfe+24k-^)^£(?2-P2)'(16.76)
р—q—к|4я^(р — q)4 = (p24-<72 — 2p<?cosa)2.
Энергетические знаменатели в квадратной скобке формулы
(16.75) различаются только знаками и не содержат
угловых множителей. Поэтому мы можем ограничиться
рассмотрением угловой зависимости числителей. Для
различных значений поляризации имеем:
a=l: (e!p —e!q) = —pcos6 + 9(sin0cosp —cosesinasinp),
a = 2: (e2p—e2q) = — ^sinasinp.
Возводя эти функции в квадрат, складывая и интегрируя
по 6 и р, получим
2я J rfp J dcose2](eAP-e^2=-^(92 + p2-2p9cosa).
а,
Оставшееся интегрирование по а также выполняется
элементарно:
dx
— 1
l+q*—2pqcosa
322

T) = &-
Отсюда находим окончательный результат:
*<*H«.Zv£ta[!±SL]i*. (,6.77)
Введем безразмерную величину rj, равную отношению
энергий фотона tick и начального электрона £,♦:
Яр*'
Тогда выражение (16.77) можно представить в виде
Логарифмический множитель при не слишком малых ц
меняется медленно, и зависимость сечения от энергии
определяется главным образом множителем ip1.
Спектральная интенсивность тормозного излучения
выражением
1 + КГ-
определяется
dS(w)=-^Z2a3 — In
-л
i-Кь
dw. (16.78)
ра \ г— х I — тр
Зависимость спектральной интенсивности от rj показана
на рис. 47. Отметим логарифмический рост S (со) при <о-*0.
Такое поведение характерно для чисто кулоновского
потенциала. Отметим, что при о->0 матричные элементы
возмущений (16.72), (16.73)
становятся большими, а
энергетические знаменатели в
(16.74), напротив, становятся
малы. Таким образом, в этом
случае нарушаются условия
применимости теории
возмущений.
Рис. 47.
15, Выше мы
рассматривали одноквантовые процессы,-
в которых начальное и
конечное состояния поля
отличались значениями только одного из чисел заполнения.
Сечения таких процессов определялись в первом порядке
теории возмущений по полю матричным элементом возмущения,
линейного по оператору А. В нерелятивистском
приближении возможны следующие двухквантовые процессы: двух-
фотонное поглощение (в начальном состоянии — два фотона,
323

в конечном—фотонов нет), двухфотонное излучение (в
конечном состоянии —два фотона, в начальном —фотонов нет)
и рассеяние (в начальном и конечном состоянии — по одному
фотону с различными, вообще говоря, квантовыми числами).
Рассмотрим рассеяние фотонов свободными электронами.
В этом случае в первом порядке теории возмущений
отличный от нуля вклад дает только второе слагаемое в
операторе возмущения в (16.32):
Здесь для А должно быть взято выражение (16.28).
Выбирая ВФ электрона в начальном и конечном состояниях
в виде плоских волн, как и в п. 16.14, и обозначая через
Ь, е/ и к, е^ импульсы и поляризации фотона в начальном
и конечном состояниях, запишем матричный элемент
перехода:
4/1 2! ' 2тс* 1 L*Vbk ' '
Интеграл отличен от нуля только при условии
k+q-p+b
и вычисляется в этом случае элементарно:
У l 2| ' rncL* Vbk
Нашей конечной целью является вычисление сечения
рассеяния фотона. Дифференциальное сечение рассеяния
определяется золотым правилом:
do(k, а) = ^-^|</|^2|01аР(£/)> 06-79)
где плотность конечных состояний
Р1Ед = -Щ—Щ- (16'80)
При заданных b и р величина и направление импульса
фотона в конечном состоянии связаны с углом рассеяния 6
между направлениями b и к. Примем для простоты, что
в начальном состоянии электрон покоится: р = 0. Тогда
из закона сохранения энергии следует равенство
ПсЬ = Пск+^ = Яс[к+-\(к-Ъ)*], (16.81)
324

где введена величина
тс и*
называемая комптоновской длиной волны электрона.
Дифференцируя формулу (16.81) по &, найдем величину
^-Л входящую в выражение для плотности конечных
состояний:
7Ff={-W) ={Ml+b(b-kcosb)]}-\ (16.82)
Рассмотрим произведение векторов поляризации е*е/.
В качестве базисных направлений удобно выбрать вектор е!
в плоскости bk, а вектор е2 — перпендикулярным этой
плоскости. Тогда отличны от нуля будут только произведения
eJe£ = cos6, eM=l.
Если начальный фотон не поляризован, то формулу
(16.82) следует усреднить по поляризациям. Это приводит
в появлению в выражении для сечения множителя
(e'c/)a = -g-(l+cosae).
Итак, для усредненного по поляризациям
дифференциального сечения рассеяния получаем формулу
Учитывая малость величины kh в нерелятивистской
области, можно разложить b по этому параметру. Сохраняя
члены первого порядка по kky получаем
dG <*> ~ {ш)211 - ш (! -cos e)i 1+Г2е dQ-
Интегрирование по угловым переменным элементарно.
Полное сечение рассеяния имеет вид
Здесь ат есть классическое томсоновское сечение
рассеяния свободными электронами. Квантовая поправка
уменьшает сечение с ростом энергии фотона *.
325

ЗАДАЧИ
1. Показать, что в дипольном приближении в системе двух
тождественных заряженных частиц излучения нет. Аналогичное
утверждение имеет место и в классической электродинамике: для двух
частиц с одинаковыми е и т дипольное излучение невозможно.
2. Доказать, что переход из s-состояния в s-состояние запрещен
во всех порядках мультипольности.
3. Найти зависимость от N вероятности дипольного перехода
между состояниями частицы в кулоновском поле с главными
квантовыми числами п и N при N~*-co.
4. Определить зависимость сечения рекомбинации электрона в
состояние Ь атома водорода от начального импульса электрона.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Постоянно используются сокращения: ВФ —волновая функция,
СЗ—собственное значение, СФ—собственная функция,
УШ—уравнение Шредингера, ФГ—функция Грина.
Операторы:
Операторы обозначаются знаком Л над буквой. Постоянно
используются обозначения:
й+, й—операторы Бозе;
с+, с—операторы Ферми;
fa—гамильтониан;
/, /—полный момент частицы, системы;
?, L—орбитальный момент частицы, системы;
р — импульс;
s, S—спиновый момент частицы, системы.
Параметры:
а—характерная длина потенциала;
k—волновое число;
£—энергия;
(/о—характерная величина потенциала;
Z— заряд ядра в атомных единицах;
Константы:
я0—боровский р адиус = Ш1те*=5,292 • 10~» см;
с—скорость света = 2,99793 • 10*0 см/сек;
е—заряд электрона = 4,803- 10_ю ед. СГСЭ;
те—масса электрона = 9,109-10"28 г;
тр—масса протона = 1,673-10~2* г;
й—постоянная Планка = 1,054 -10~27 эре • сек;
а—постоянная тонкой структурbi=e2//fr> l/a=137,04.

ПРИМЕЧАНИЯ
К стр. 5. Приведенные в первой главе определения и
формулировки теорем достаточны для понимания дальнейшего изложения.
Более строгое и последовательное изложение можно найти в книгах:
Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. Теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве. «Наука», 19G6.
Ф. Рисе, Б. Секефальв и-Надь. Лекции по
функциональному анализу. ИЛ, 1954.
Изложение математического аппарата, тесно связанное с задачами
квантовой механики, можно найти в книге:
П. А. М. Д и р а к. Принципы квантовой механики. Физматгиз,
1960.
К стр. 7. Приведенное определение б-функции достаточно для
целей дальнейшего изложения. Теорию см. в книге:
В. С. Владимиров. Уравнения математической физики.
«Наука», 1971.
К стр. 8. В дальнейшем мы будем считать, что
рассматриваемые функции дифференцируемы необходимое число раз.
К стр. 31. Отметим, что равенство
дН t гл л -,
является следствием одних только коммутационных соотношений
и потому выполняется в любом представлении.
К стр. 45. Гипергеометрическим называется уравнение
*(1-г)^ + [с~(а+Ь + \)г]^--аЬи=0,
где я, Ъ и с—любые комплексные числа. Если с не равио нулю
или отрицательному целому числу, то одно из его решений,
регулярное в нуле, есть гипергеометрическая функция F (а, Ь, с, г)
328

(иногда обозначается как 2Fi), которая определяется рядом
^"cl!1" с(с+\) 2! "*" —
Второе независимое решение есть
Uz(z)=zl-cF(a-c + l, b—c+h 2-е, z).
Свойства гипергеометрической функции подробно описаны в
книге:
Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные
функции. Том I. Гипергеометрическая функция. Функции Лежаидра.
«Наука», 1965.
К стр. 58. Другие примеры применения метода факторизации
можно найти в книге:
X. Грин. Матричная квантовая механика. «Мир», 1968.
К стр. 64. Теорию когерентных состояний можно найти,
например, в книге:
Дж. Клаудер, Э. Сударшан. Основы квантовой оптики.
«Мир», 1970.
К стр. 94. Вырожденное гипергеометрическое уравнение имеет
вид
Если с не есть целое число, то общее решение этого уравнения
имеет вид
y=AxF(ay с; x) + A2x1"cF (а—с+1, 2-е, х).
Регулярное в нуле решение есть вырожденная
гипергеометрическая функция F(a, с, х) (иногда обозначается как XFX или Ф).
Свойства эгой функции подробно рассмотрены в главе 6 книги,
указанной в примечании к стр. 45.
К стр. 138. В. П. Масло в. Теория возмущений и
асимптотические методы. Изд-во МГУ, 1965.
К стр. 146. Задача о надбарьерном отражении частиц высокой
энергии решена в работе:
В. Л. Покровский, И. М. Халатников. ЖЭТФ, 40,
1713 (1961).
К стр. 152. Для подсчета числа узловых поверхностей
угловую часть ВФ У/т(6, ф) следует выбрать действительной, опустив
множитель il в формуле (4.28) и заменив СФ оператора проек-
329

ции момента e'm(P для m=±l/n| их действительными линейными
комбинациями cosmcp и sin/тр. Такая угловая функция Уцт\
обращается в нуль на | т | плоскостях, проходящих через ось
сферической системы координат, н на Z — \m\ конических поверхностях.
Подробнее см. Дополнение 2 в книге:
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения
математической физики. «Наука», 1966.
Итак, полное число узловых поверхностей для ВФ
стационарного состояния есть
N = nr+(l—\m\) + \m\ = nr+l=n~ 1.
В параболических координатах
tf = hH-/!a + |m|.
Сравнение двух выражений для N и дает формулу (8.8).
К стр. 155. Подробное рассмотрение эффекта Штарка для атома
водорода можно найти в книге:
Г. Бете, Е. Солпитер. Квантовая механика атомов с одним
н двумя электронами. Физматгиз, 1960.
К стр. 167. Математический аппарат теории потенциального
рассеяния изложен в книге:
В.де Альфаро, Т. Редже. Потенциальное рассеяние. «Мир»,
1966.
К стр. 174. Приближение Мольера называется также
приближением Глаубера, дифракционным приближением и эйкональным
приближением. Применениям этого метода посвящен обзор:
Р. Глаубер. УФН, 103, 4, 641 (1971).
К стр. 216. В этом пункте мы следуем изложению метода
Г. Ф. Друкарева в книге:
А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов.
Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой
механике. «Наука», 1971.
Глава 7 этой книги представляет подробный обзор теории
квазистационарных состояний.
К стр. 223. Материал, дополняющий содержание этой и других
глав (в частности, 7 и 14), можно найти в книге:
А. Б. Миг да л. Качественные методы в квантовой теории,
«Наука». 1975.
К стр. 228. С. М. Рыто в. Введение в статистическую
радиофизику. «Наука», 1966.
330

К стр. 262. Гамильтониан (13.39) носит название гамильтониана
Гайзенберга — Дирака—Ван-Флека и играет важную роль в теории
магнетизма. См., например,
Д. Маттис. Теория магнетизма. «Мир», 1967.
К стр. 275, 277. Доказательства этих утверждений можно найти
в книге:
Г. Бете. Квантовая механика. «Мир», 1965.
К стр. 305. Поскольку спектр фотонов в кубе дискретен и
возможные значения каждой из компонент волнового вектора есть
ki = 2jtniLTlt то плотность фотонных состояний в пространстве
волновых векторов есть (L/2n)3.
К стр. 325. Рассеяние в релятивистском случае и большое
число других задач рассматривается в книге:
В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. И«П 1956,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда рассеяния 167
Ангармонический осциллятор 117
Баргмана неравенство 106
Блоха теорема 38
Бозе операторы 23, 56
Бора магнетон 206
Борновское приближение 171
Боровский радиус 93
Бриллюэна — Вигнера теория
возмущений 116
Вакуумное состояние 254
Ван-дер-Ваальса силы 161
Вариационный принцип 118
Вероятность перехода 214
Вигнера формула 190
Виртуальные состояния 190
Внезапные переходы 214
Волновое число 41
Волновой вектор 116
— пакет 215
Время жизни 216
Вырождение случайное 95
Вырождения кратность 11
Гайзенберга представление 31
— уравнения 31
Гайтлера — Лондона метод 297
Гармонический осциллятор 54
Гейгера — Неттола закон 223
Гильбертово пространство 8
Дельта-функция 7
Дипольное электрическое
излучение 308
Дирака уравнение 201
Дифференциальное сечение
рассеяния 168
Длина рассеяния 180
Зеемана эффект 283
Золотое правило 231
Инверсия 76
Квадрупольное излучение 313
Квазистационарное состояние
192, 219
Квазиимпульс 38
Кембла приближение 145
Когерентные состояния 64
Коммутатор 6
Комптоновская длина волны
324
Коэффициент отражения 42, 144
— прохождения 44, 142
Крамерса формула 107
Лангера преобразование 150
Ландау уровни 239
Ланде множитель 282
Линейных комбинаций метод 124
Магнитное излучение 312
Максвелла уравнения 299
Матрица плотности 97
Матричный элемент 9
Мезоатом 129
Мольера приближение 174
Морза потенциал 64, 149
Мультиплетность терма 275
Обменный интеграл 252
Оптическая теорема 169
Орбитальный момент 69
Осцилляционная теорема 51
Отталкивание уровней 115
332

Парциальные сечения 177
Паули матрицы 24
— принцип - 251
— уравнение 206
Пашена — Бака эффект 283
Периодический потенциал 61, 126
Периодическое возмущение 225
Плотность потока 36
Поляризуемость 155
Пономарева преобразование 147
Постоянная тонкой структуры 209
Правила отбора 310
Правило квантования Бора —
Зоммерфельда 137
Представление чисел заполнения
254
Работа выхода 150
Радиус эффективный 181
Рамзауэра эффект 184
Рассела — Саундерса случай 281
Резерфорда формула 195
Рунге — Ленца вектор 94
Рэлея — Шредингера теория
возмущений 109
Самосогласованное поле 272
Сверхтонкая структура 246
Секулярное уравнение 113
Сечение рассеяния 168
След матрицы 21
Собственные значения 11
— функции 11
Соотношение неопределенностей
63
Спектр оператора 14
Спектральные термы 275
Спин 77
Спин-орбитальное
взаимодействие 208
Спиральность 203
Спонтанное излучение 307
Стационарные состояния 33
Стокса линии 135
— параметры 135
Теорема вириала 34
Томаса — Ферми уравнение 286
Тонкая структура 210
Тормозное излучение 320
Унитарное преобразование 13
Унитарный оператор 12
Факсена — Ходьтсмарка
формула 177
Факторизации метод 58
Ферми операторы 23
Форма линии 316
Фотоны 302
Фотоэффект 316
Функция Грина 103, 169
Хартри — Фока уравнения 271
Хединга правило 141
Хунда правило 276
Ширина резонанса 192
Шредингера уравнение 32
— представление 32
Штарка эффект 151
Штерна — Герлаха опыт 244
Эйлера углы 80
Электронная конфигурация 273
— оболочка 2/3
Энергетический спектр 33
Эрмитов оператор 10
Эффективный заряд 267

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие , 3
Глава 1. Введение 5
Глава 2. Основные положения 25
Глава 3. Одномерное движение 39
Глава 4. Момент 66
Глава 5. Центральное поле 84
Глава 6. Теория возмущений и вариационный мегод ... 109
Глава 7. Квазиклассическое приближение 132
Глава 8. Электрическое поле 151
Глава 9. Рассеяние 166
Глава 10. Релятивистские поправки 198
Глава П. Переходы 213
Глава 12. Магнитное поле 236
Глава 13. Тождественные частицы 249
Глава 14. Атом 265
Глава 15. Двухатомная молекула 291
Глава 16. Взаимодействие с электромагнитным полем . . 299
Некоторые обозначения 327
Примечания 328
Предметный указатель 332

Павел Вячеславович Елютин,
Владимир Дмитриевич Кривченкое
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
С ЗАДАЧАМИ
под редакцией Н. Н. Боголюбова
M.f 1976 г., 336 стр. с илл.
Редактор Т. Г. Корышева
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, Л. С. Сомова
Сдаио в набор 24/ХИ 1975 г. Подписано к печати
2/1V 1976 г. Бумага 84хШ8!/зг. № 3. Физ. печ. л.
10,5. Условн. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 15,68. Тираж
32 500 экз. Цена книги 71 коп. Заказ № 364.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградское производственно-техническое объединение
«Печатный Двор» имени А. М. Горького Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград,
П-136, Гатчниская ул.., 26-