Автор: Галицкий В.М. Карнаков Б.М. Коган В.И.
Теги: физика квантовая механика задачи по физике задачи по квантовой механике
Год: 1992
Текст
В.М.Галщкий, Б. М.Карнаков, В.И.Коган
ЗАДАЧИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Учеб.пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1992. 880 с.
Содержит задачи по квантовой механике. Ко всем задачам даны решения. 1-е
изд.— 1981 г.
Второе издание книги существенно переработано и дополнено новым
материалом.
Для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Принятые сокращения
Наиболее часто используемые обозначения
Универсальные константы
Глава 1. Операторы в квантовой механике
§ 1. Основные понятия теории линейных операторов
§ 2. Собственные функции, собственные значения, средние
§ 3. Проекционные операторы
§ 4. Элементы теории представлений. Унитарные
преобразования
Глава 2. Одномерное движение
§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра
§ 2. Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении.
Функция Грина уравнения Шрёдингера. Интегральная
форма уравнения Шрёдингера
§ 3. Состояния непрерывного спектра. Прохождение через
потенциальные барьеры 30 228
§ 4. Системы с несколькими степенями свободы. Частица в
периодическом потенциале
Глава 3. Момент импульса
§ 1. Общие свойства момента
§ 2. Момент 1=1
§ 3. Сложение моментов
§ 4. Тензорный формализм в теории момента
Глава 4. Движение в центральном поле
§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях
§ 2. Состояния с малой энергией связи. Частица в совместном
поле короткодействующего и дальнодействующего
потенциалов
§ 3. Системы с аксиальной симметрией
Глава 5. Спин
§ 1. Спин 5=1/2
§ 2. Спин-орбитальные состояния частицы со спином 5=1/2.
Высшие спины 62 309
Задачи
11
13
15
18
19
21
23
27
6
8
8
9
Решения
194
194
197
206
207
212
212
220
33
35
37
40
41
44
46
47
52
55
56
58
241
248
248
253
257
264
268
268
285
293
299
299
64
66
68
318
324
324
72
74
75
77
78
81
337
349
353
363
363
376
§ 3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности. Угловые
распределения и корреляции в распадах
Глава 6. Изменение состояния во времени
§ 1. Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов
§ 2. Изменение во времени физических величин. Интегралы
движения 70 332
§ 3. Унитарные преобразования, зависящие от времени.
Гейзенберговское представление
§ 4. Временные функции Грина
§ 5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния
Глава 7. Движение в магнитном поле
§ 1. Стационарные состояния частицы в присутствии
магнитного поля
§ 2. Изменение состояний во времени
§ 3. Магнитное поле орбитальных токов и спинового
магнитного момента 82 380
Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод.
Внезапные и адиабатические воздействия
§ 1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр)
§ 2. Вариационный метод
§ 3. Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр)
§ 4. Нестационарная теория возмущений. Переходы в
непрерывном спектре
§ 5. Внезапные воздействия
§ 6. Адиабатическое приближение
Глава 9. Квазиклассическое приближение
§ 1. Квантование энергетического спектра
§ 2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и
средние
§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры
Глава 10. Тождественность частиц. Вторичное квантование
§ 1. Симметрия волновых функций
§ 2. Основы формализма вторичного квантования
(представление чисел заполнения)
§ 3. Системы из большого числа 7V>>1 частиц
Глава 11. Атомы и молекулы
§ 1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя
электронами
§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистическая модель атома
§ 3. Основные представления теории молекул
§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимодействие
атомных систем
§ 5. Нестационарные явления в атомных си-системах
Глава 12. Атомное ядро
83
85
88
89
91
94
95
97
100
104
106
108
ПО
111
115
117
118
121
124
126
131
137
383
383
397
405
414
430
434
449
449
475
486
501
501
508
521
532
532
554
569
580
606
638
§ 1. Основные представления о ядерных силах. Дейтрон
§ 2. Модель оболочек
§ 3. Изотопическая инвариантность
Глава 13. Столкновения частиц
§ 1. Борновское приближение
§ 2. Фазовая теория рассеяния
§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние. Резонансные явления при
рассеянии
§ 4. Рассеяние быстрых частиц. Приближение эйконала
§ 5. Рассеяние частиц со спином
§ 6. Аналитические свойства и унитарность амплитуды
рассеяния
§ 7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения
Глава 14. Квантовая теория излучения
§ 1. Излучение фотонов
§ 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов
Глава 15. Релятивистские волновые уравнения
§ 1. Уравнение Клейна — Гордона
§ 2. Уравнение Дирака
Дополнение
Список литературы
140
143
146
148
155
159
160
166
167
170
172
176
180
182
183
186
190
869
878
638
648
660
668
668
686
696
731
744
754
762
789
789
799
818
818
845
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга, как и первое издание 1981 г.,
содержит задачи различной степени трудности в
основном по нерелятивистской квантовой механике.
Она адресована физикам — студентам и аспирантам,
как экспериментаторам, так и теоретикам, изучаю-
изучающим квантовую механику по книгам Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица, Д. И. Блохинцева, А. С. Давы-
Давыдова или по другим руководствам соответствующего
уровня.
В задачах мы стремились уделить должное вни-
внимание как основам математического аппарата, фи-
физическим принципам и расчетным методам квантовой
механики, так и иллюстрациям ее конкретных при-
приложений — в основном к атомной физике, физике
ядра и частиц — в той мере, в какой это можно сде-
сделать, не прибегая к специальным методам и пред-
представлениям этих областей физики. Ко всем задачам
даны решения (при необходимости — достаточно по-
подробные).
Для второго издания книга полностью перерабо-
переработана и дополнена новым материалом. Введено не-
несколько новых разделов: частица в периодическом
потенциале, квазистационарные и квазиэнергетиче-
квазиэнергетические состояния, частица в совместном поле коротко-
короткодействующего и дальнодействующего потенциалов,
аналитические и унитарные свойства амплитуды рас-
рассеяния и др. Новые задачи включены и в остальные
разделы. Часть из них связана с основополагающими
вопросами теории адронных атомов, мезомолекуляр-
ных систем и (i-катализа, автоионизационных состоя-
состояний, суперсимметрии в квантовой механике. Увели-
Увеличено число более сложных — как в идейном, так
и в вычислительном плане — задач, рассчитанных на
студентов, начинающих специализироваться по тео-
теоретической физике, с целью выработки у них профес-
профессиональных навыков. Для удобства пользования кни-
книгой каждой главе предпослано краткое введение,
а также составлено небольшое математическое до-
дополнение. Для высвобождения объема под новый ма-
материал нам пришлось опустить некоторые задачи из
первого издания (в частности, исключен материал
§ 1 расформированной главы 16). И хотя мы стара-
старались сделать это за счет задач методического харак-
характера, такое сокращение в ряде случаев было сделано
не без сожаления.
Переработка книги выполнена после безвремен-
безвременной кончины В. М. Галицкого. Однако идеи значи-
значительного числа новых задач, включенных во второе
издание, обсуждались совместно всеми авторами еще
в процессе работы над рукописью первого издания
книги.
Мы хотели бы выразить искреннюю благодарность
С. Т. Беляеву и В. Г. Соловьеву за доброжелатель-
доброжелательные замечания по рукописи книги, а также В. Д. Муру
и В. С. Попову за полезные дискуссии по разнооб-
разнообразным вопросам квантовой теории. Мы признательны
многочисленным друзьям-коллегам по кафедре тео-
теоретической физики МИФИ.
Б. М. Карнаков
В. И. Коган
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
у. Ш. — уравнение Шрёдингера
в. ф. — волновая функция
с. ф. — собственная функция
с. з. — собственное значение
д. с. — дискретный спектр
с. ц. и. — система центра инерции
" — символ оператора (матрицы)," однако над операторами
умножения он, как правило, не ставится
со — знак пропорциональности
знак порядка величины
(т | / | n)=sfmn=f™=\W*mf4?n dx — матричный элемент опе-
оператора f
f, (f) — среднее значение величины /
[f, g] — коммутатор операторов f и §
По двум одинаковым («немым») векторным или спинорным
индексам подразумевается выполнение суммирования.
НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии
либо в решении каждой задачи. Однако имеется ряд величин
встречающихся во многих задачах, для которых мы старались
придерживаться стандартных обозначений. Обозначения таких
величин во всех случаях, когда это не может привести к недо-
недоразумениям, в тексте не поясняются.
ЧР, (<7) — при такой записи волновой функции q обозна-
обозначает совокупность переменных используемого
представления, a f — собственные значения
соответствующих физических величин или кван-
квантовые числа рассматриваемого состояния
Ф™П — с- Ф- линейного осциллятора, см. (II. 2)
8
e — заряд частицы ')
с — скорость света
Н — гамильтониан
Е, е — энергия
&, X — напряженности электрического и магнитного
полей
А — векторный потенциал
U — потенциальная энергия
V — оператор возмущения
d, d — дипольный момент
Ф, Аа — скалярный потенциал
ао' ав ~ Боровский радиус
6; — фазовый сдвиг
5 — матрицы Паули
w, W — вероятность перехода, вероятность перехода
в единицу времени
Z, Ze — заряд ядра
R — радиус потенциала
т, М — масса, магнитное квантовое число
\х — масса, магнитный момент
р, Р — импульс
к — волновой вектор
А — массовое число ядра
о — частота
/, L, /, / — момент (орбитальный н полный)
s, S — спин
/v (z) — функция Бесселя
Нп (х) — полином Эрмита
Ytm (9, ф) — шаровая функция
Г (г) — гамма-функция
6 (х), 6 (г) — 6-функция Дирака
bik — единичный тензор, символ Кронекера
е^.г — антисимметричный единичный псевдотензор
Формулы теоретических введений в начале каждой главы
нумеруются римскими цифрами.
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ
Решение ряда задач предполагает проведение числовых
расчетов. Для удобства вычислений ниже приведены значения
некоторых физических величин.
Постоянная Планка ft= 1,055- 10~27 эрг • с
Элементарный заряд е = 4,80 • 10~'° ед. СГСЭ
') Но если речь идет о конкретной реальной частице (элект-
(электроне, протоне, атомном ядре и т. д.), то е обозначает элемен-
элементарный заряд е « 4,80 • 10~'° ед. СГСЭ (так что заряд электрона
равен — е, протона +е, ядра Ze и т. д.).
Масса электрона /пе = 9,П • 10 28 г
Скорость света с = 3,00-10'° см/с
Боровский радиус (ат. ед. длины) а0 = 0,529 • 10~ см
Атомная единица энергии mee4/h =4,36-10 эрг =
= 27,21 эВ
Атомная единица частоты тее4/Н3 = 4,13 • 10 с
Атомная единица напряженности электрического поля е/а0 —
= 5,14-109 В/см
Постоянная тонкой структуры a = ei/hc= 1/137
Масса протона тр = 1836те = 1,67 • 10~ г
Разность масс нейтрона н протона та — тр « 2,5те
Энергия покоя электрона тес2 = 0,511 МэВ ,
1 эВ = 1,60-10~12 эрг
ЗАДАЧИ
Глава 1
ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Математический аппарат квантовой механики
тесно связан с теорией линейных операторов. Одно
из ее положений состоит в сопоставлении физиче-
физическим величинам (наблюдаемым) эрмитовых, или са-
самосопряженных, операторов, действующих в простран-
пространстве волновых функций (векторов состояний) W, опи-
описывающих состояния физической системы.
В общем случае произвольному линейному опе-
оператору L, задающему соответствие между функция-
функциями, Ф(q) — LW(q), можно сопоставить оператор L+
эрмитово сопряженный Ъ, определяемый соотноше-
соотношением
W, (q) dxq = <Z+W2 | W,> (I. 1)
(при некоторых ограничениях на функции Ч'ьг).
Если L+ = L, то оператор называют эрмитовым
(самосопряженнымI).
В вопросах сопоставления свойств физической
величины / и соответствующего ей самосопряжен-
самосопряженного квантовомеханического оператора f важную
роль играют понятия, связанные с уравнением на
собственные функции и собственные значения этого
') Строго говоря, понятия эрмитовостн и самосопряженно-
самосопряженности не совпадают, см. по этому поводу 1.29.
11
оператора:
Спектр собственных значений /«, являющихся
вещественными, определяет те значения величины /,
которые она только и может принимать. При этом
собственные функции Wf описывают состояния си-
системы с определенным, равным /„ значением физиче-
физической величины / (в случае произвольного состояния
она не имеет определенного значения). Эти функции,
отвечающие различным собственным значениям,
взаимно ортогональны и образуют полную систему.
Последнее свойство обеспечивает возможность раз-
разложения волновой функции W(q) произвольного со-
состояния в ряд по собственным функциям:
A.3)
n
где
с (/„) = (Vfn \4)^\ V*fn (?) ^ (?) dxq. (I. 4)
Здесь2) (как и часто специально не оговариваясь
в дальнейшем), предполагается, что с. ф. \Pf вы-
выбраны ортонормированными, причем они нормиро-
нормированы на единицу для дискретных с. з. и на б-функ-
цию — б(/ — /') — в непрерывной части спектра. Если
волновая функция рассматриваемого состояния так-
также выбрана нормированной ща 13), т. е. <ЧГ|ЧГ> = 1,
то коэффициенты c(fn) непосредственно определяют
вероятности w(fn) = \c(fn) |2 значений /„ величины /
в этом состоянии (плотность вероятности — в непре-
непрерывной части спектра с. з.). При этом среднее зна-
2) Ради краткости разложение по с. ф. записано в виде
суммы. В общем случае его следовало бы писать в виде двух
«слагаемых»: суммы по с. ф., отвечающим дискретным с. з., и ин-
интеграла по с. з. непрерывного спектра. Аналогично говорится
о полной системе с. ф. Wf , хотя более точно следовало бы го-
ворнть о собственных функциях совокупности операторов, обра-
образующих полный набор.
3) В. ф. *? любого физически реализуемого состояния должна
быть квадратично интегрируемой. Ненормнруемые на 1 собствен-
собственные функции непрерывной части спектра с. з. сами по себе не
описывают реальных физических состояний (они описываются
волновыми пакетами, составленными из таких с. ф.).
12
чение f = Yj fnw (fn) физической величины может
n
быть рассчитано по квантовомеханической формуле
f = <ЧП f 140=$ ЧГ (?) № (Ф dxq, A.5)
не требующей предварительного вычисления вероят-
вероятностей.
Если эрмитов оператор f (Я) зависит от некото-
некоторого вещественного параметра Я, то для производной
от с. з. /„(Я) в дискретной части спектра справед-
справедливо соотношение
dfn (Х)/дХ = (Wfn (Я) | df/dk | Wfn (Я)>, (I. 6)
имеющее многочисленные приложения.
§ 1. Основные понятия теории линейных
операторов
1.1. Рассмотреть следующие операторы (—оо <
<х< +оо):
1) отражения /: 1чг(х) = л? (—х);
2) сдвига Та: faW (x) = У (х + а);
3) изменения масштаба Мс: McW (х) = -\/с *? (сх),
с>0;
4) комплексного сопряжения К: КУ (х) = W* (х);
5) перестановки координат двух частиц Pi2:
P12W(xu x2)^W(x2> xx).
Являются ли эти операторы линейными? Найти
вид операторов, которые по отношению к ним яв-
являются: а) эрмитово сопряженными, б) обратными.
1.2. Операторы А и В эрмитовы, L — произволь-
произвольный линейный оператор4). Показать эрмитовость
следующих операторов:
1) L+L и LL+; 2) L + L+; 3) i A — L+);
4) LAL+; 5)АВ+ВА; 6)i(AB
*) В дальнейшем все рассматриваемые операторы предпола-
предполагаются линейными и термин «линейный» для краткости опус-
опускается.
13
1.3. Показать, что произвольный оператор L можно
представить в виде L = Л + IB, где А и В — эрми-
эрмитовы операторы.
1.4. Выразить коммутаторы [А, ВС] и [АВ, С] че-
через [Л, В], [А, С], [В, С].
1.5. Могут ли две матрицы Р и Q конечного ранга
удовлетворять каноническому коммутационному со-
соотношению [Р, Q] = — г/гТ?
1.6. Предполагая X малой величиной, найти раз-
разложение оператора (А — XB)~i по степеням X.
1.7. Оператор вида F = F(f), где F(z) — функция
z, разложимая в ряд F (z) = X) c«z", следует пони-
га
мать как оператор, равный F = X! cJn- Используя
п
это определение, найти явный вид следующих опе-
операторов:
1) ехр(ш/);
2) fa = exp(ad/dx);
3) La ^ exp (ax d/dx),
где а — вещественный параметр, Г—оператор от-
отражения. В связи с данной задачей см. 1.24, а также
1.8 и 1.57.
1.8. Каков явный вид оператора f(g(x)) =
— Q*p(g(x)d/dx), где g(;t) — некоторая функция х?
Рассмотреть частные случаи: a) g = ах; б) g =
= а3/3х2.
1.9. Показать, что имеет место равенство
-^ Sp (exp (IA + В)) = Sp (A exp (I A + В)),
где А, В — произвольные матрицы (одного и того же
ранга). Существенно ли взятие следа матриц в этом
соотношении?
1.10. Показать, что в случае, когда коммутатор
операторов А и В является числом: [A, B] = ic,
справедливо соотношение
ехр (А + В) = (ехр А) (ехр В) ехр (—/с/2).
1.11. В общем случае линейный оператор L можно
рассматривать как линейный интегральный оператор,
14
т. е.
где L(|, I') — ядро оператора L (g— совокупность
переменных используемого представления). Как ядро
L+(?, ?') оператора Ъ+ связано с ядром оператора
X? Найти ядра операторов /, Та, Мс, х?=х, р =
= — ihd/dx (по поводу /, fa, Д, см. 1.1).
1.12. Какой вид имеет ядро L(x,x') оператора L,
если этот оператор коммутирует с оператором:
а) координаты х = х, б) импульса р = —itid/dx?
Показать, что оператор L, коммутирующий как
с х, так и с р, кратен единичному, т. е. L == Lo =
= const.
§ 2. Собственные функции, собственные
значения, средние
1.13. В состоянии частицы с волновой функцией
V(x) = C exp [ipox/h -(х- хоJ/2а2],
где ро, Хо, а — вещественные параметры, найти рас-
распределение вероятностей различных значений коор-
координаты. Определить средние значения и флуктуации
координаты и импульса частицы.
1.14. Найти связь между средними значениями
координаты и импульса частицы в двух состояниях,
волновые функции Ч^ и Ч^ которых связаны соот-
соотношением
а) Ч2 (х) = ?, (* + а); б) Ч2 (х) = exp (ipox/h) W^x).
1.15. Показать, что средние значения эрмитовых
операторов L+L и LL+ в произвольном состоянии
неотрицательны.
1.16. Показать, что среднее значение дипольного
момента системы заряженных частиц в состоянии,
характеризующемся определенной четностью, равно
нулю.
1.17. Эрмитов оператор J удовлетворяет соотно-
соотношению
а) /2 = с2; 6)f2 = cf; в) f* = c2f,
где с — вещественный параметр. Каковы собствен-
собственные значения такого оператора?
15
1.18. Найти собственные функции и собственные
значения физической величины, представляющей ли-
линейную комбинацию одноименных компонент им-
импульса и координаты частицы: / = а$ + Р-?. Убедить-
Убедиться в ортогональности полученных функций и норми-
нормировать их соответствующим образом.
1.19. То же, что и в предыдущей задаче, для
эрмитова оператора F, ядро которого имеет вид 5
F(х,х') — f(x)f*(x') (см. 1.11). Каковы кратности
вырождения собственных значений?
1.20. Решить задачу на собственные функции и
собственные значения оператора комплексного со-
сопряжения К (см. 1.1).
1.21. Эрмитов оператор (матрица) f имеет N раз-
различных собственных значений. Показать, что опера-
оператор JN линейно выражается через операторы 1, f, ...
..., fN~\B качестве иллюстрации рассмотреть опе-
оператор отражения /.
1.22. Найти вид оператора F = F(f), где f — эр-
эрмитов оператор, F(z) — произвольная функция, в слу-
случае когда оператор f имеет N различных собствен-
собственных значений. Рассмотреть, в частности, случаи
N — 2 и Л^ ^ 3, причем в последнем считать спектр
собственных значений состоящим из величин 0, ±fo-
1.23. Доказать соотношение A.6).
1.24. Какой смысл можно придать оператору вида
F~= F (f), где F(z) — произвольная функция перемен-
переменной z, J— эрмитов оператор? Насколько существенно
предположение об эрмитовости f? В качестве иллю-
иллюстрации рассмотреть оператор \/-\J—А, где Л — лап-
лапласиан.
1.25. Эрмитовы операторы А, В, L удовлетво-
удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[А, Ц=0, [В, Ц = 0, [А, В]Ф0. Показать, что
среди собственных значений оператора L обязательно
есть вырожденные. Привести примеры.
6) Операторы такого вида используются в модельных зада-
задачах атомной и ядерной физики для описания взаимодействия
частиц — так называемые сепарабельные потенциалы (см. задачи
2.19, 2.34, 4.12). Заметим, что, не конкретизируя представления,
рассматриваемый оператор можно записать в виде F |f><f|
1 6
1.26. Привести примеры такой ситуации, когда
в некотором состоянии: а) две физические величины,
операторы которых не коммутируют, имеют одновре-
одновременно определенные значения; б) из двух физиче-
физических величин, операторы которых коммутируют,
определенное значение имеет лишь одна.
1.27. В состоянии, описываемом волновой функ-
функцией Wab, физические величины А и В имеют опре-
определенные значения. Что можно сказать о собствен-
собственных значениях а, Ь этих величин, если операторы
А и В антикоммутируют друг с другом? В качестве
иллюстрации результата рассмотреть операторы
х и /.
1.28. Найти оператор радиальной компоненты им-
импульса рг (в сферических координатах). Убедиться
в эрмитовости полученного оператора. Найти соб-
собственные функции и собственные значения. Вещест-
Вещественны ли с. з.? Ортогональны ли с. ф.? Объяснить
полученные результаты. В связи с данной задачей
см. также 1.29.
1.29. На примере оператора — ihd/dx, действую-
действующего в пространстве функций, заданных на
а) всей оси —оо < х < оо;
б) конечном отрезке а ^ х ^ Ь;
i в) полуоси 0 ^ х < оо,
) обсудить вопрос о различии понятий эрмитова и са-
- мосопряженного операторов и о свойствах собствен-
собственных значений и собственных функций таких опе-
* раторов.
* 1.30. Коммутатор операторов А и В двух физи-
физических величин имеет вид [A, B] = iC, где С—эрми-
С—эрмитов оператор. Доказать (при некоторых ограничениях
на волновые функции) справедливость соотношения
неопределенности
(А - АJ ¦ (В - ВJ > (СJ/4,
где все средние значения относятся к одному и тому
же состоянию системы.
Рассмотреть, в частности, операторы х и р и найти
для них явный вид волновых функций состояний,
в которых произведение неопределенностей прини-
принимает минимальное значение.
Обсудить также случай операторов^ и ф.
{ I 17
§ 3. Проекционные операторы
1.31. Проекционным называют эрмитов оператор
Р, удовлетворяющий соотношению 6) Р2 = Р. Пока-
Показать, что оператор P(fO> действие которого на соб-
собственные функции оператора физической величины /
состоит в следующем 7):
является проекционным (так как система с. ф. Wf
является полной, то приведенные соотношения опре-
определяют и результат воздействия P(fi) на произволь-
произвольную функцию Ч^.
На какие состояния проектирует этот оператор?
Какой физический смысл имеет среднее значение Р(f;)
в произвольном состоянии, описываемом волновой
функцией \Р?
Как выражается через P{fi) проекционный опе-
оператор P({f}), проектирующий на состояния, в кото-
которых физическая величина / принимает какое-либо
значение из некоторой совокупности с. з. {/}=
= {/*,' f'2> • • •' ^л?}?Убедиться, что при этомР2({/}) =
Какой вид имеет проекционный оператор
P(fi> ek, •••, U), проектирующий на состояния с опре-
6) У такого оператора с. з. равны 0 и 1. С его помощью
все пространство векторов \Ч?у может быть «разбито» на два
взаимно ортогональных подпространства: Р Ф) и A—Р) \^).
При этом под действием Р составляющая (проекция) любого
вектора в первом из них ие изменяется, а во втором обращается
в нуль, что и определяет название его как проекционного. При
этом оператор Р' = 1 — Р также является проекционным и про-
проектирует на второе из указанных подпространств.
7) Приведенное выше соотношение относится к дискретной
части спектра с. з. Обобщение на непрерывную часть спектра
состоит в проектировании на некоторый конечный интервал
(/, f + А/) с. з. согласно соотношению
о, }'<f,r>f + Af.
При этом Р (f, Af) определяет вероятность того, что значение
заключено в рассматриваемом интервале, см. 1.32.
18
деленными значениями ft, gk, . ¦ ¦, U физических ве-
величин, входящих в полный набор (т. е. как он свя-
связан с операторами P(ft), P(gk), ¦ ¦ • )?
1.32. Указать вид оператора, проектирующего на
состояния, в которых значения координаты частицы
удовлетворяют условию хо ^ а.
1.33. Найти проекционные операторы Р±, проек-
проектирующие на четные Р+ и нечетные Р- относительно
инверсии координат состояния частицы (выразить их
через оператор отражения 7).
1.34. Показать, что эрмитов оператор F, рассмот-
рассмотренный в задаче 1.19, может быть превращен в про-
проекционный оператор Р = cF умножением на некото-
некоторую постоянную величину с. На какое состояние про-
проектирует этот оператор?
1.35. Эрмитов оператор 7 имеет лишь N различ-
различных собственных значений. Найти вид проекционного
оператора P(ft) для состояний с заданным значением
fi величины /.
§ 4. Элементы теории представлений.
Унитарные преобразования
1.36. Указать нормированные соответствующим
образом собственные функции радиуса-вектора \Fro
и импульса WPo в г- и в р-представлениях.
1.37. Найти в импульсном представлении волно-
волновую функцию состояния частицы, рассмотренного в
задаче 1.13.
1.38. По заданной волновой функции ^(х, у, z)
вычислить вероятность нахождения частицы в ин-
интервалах значений z от Z\ до z2 и ру — от р\ до рг-
1.39. Найти явный вид в импульсном представле-
представлении операторов, рассмотренных в задаче 1.1.
1.40. Найти в одномерном случае вид оператора
1/р в ^-представлении и оператора l/х в р-представ-
лении.
1.41. Установить соотношение между ядрами
L(r,r') и L(p, р') одного и того же оператора L
в г- и р-представлениях (см. задачу 1.11).
1.42. Найти вид операторов 1/г и 1/г2 в импульс-
импульсном представлении.
19
1.43. Даны два эрмитовых оператора А и В. Ука-
Указать связь между собственными функциями опера-
оператора А в fi-представлении и собственными функ-
функциями оператора В в Л-представлении. Привести
примеры, иллюстрирующие полученный результат.
1.44. Какие из операторов, рассмотренных в 1.1,
являются унитарными?
1.45. Унитарный оператор удовлетворяет уравне-
уравнению 02 = 0. Каков его явный вид?
1.46. Оператор U унитарный. В каком случае
оператор O' = cU, где с — некоторое число, также
является унитарным?
1.47. Показать, что произведение 0^2 двух
унитарных операторов также является унитарным
оператором.
1.48. Может ли унитарный оператор (матрица)
являться одновременно и эрмитовым? Привести при-
примеры.
1.49. Показать, что эрмитова и антиэрмитова части
произвольного унитарного оператора коммутируют
друг с другом, так что унитарный оператор может
быть диагонализован. Каким свойством обладают его
собственные значения (сравнить с 1.50)?
1.50. Показать, что оператор вида U = exp(iF)
является унитарным, если г — эрмитов оператор. За-
Записать в таком виде унитарные операторы /, Та, Мс
из 1.1.
1.51. Квадратные матрицы А и А одного ранга
связаны унитарным преобразованием A' = DAU+.
Показать, что шпуры и детерминанты этих матриц
одинаковы.
1.52. Доказать соотношение
det || ехр Л || = exp (Sp A),
где А — эрмитова матрица.
1.53. Чем примечателен детерминант унитарной
матрицы? Найти его для матрицы вида U = exp(iF),
где F — эрмитова матрица. Показать, что преобра-
преобразованием вида U'=cU унитарную матрицу можно
сделать унимодулярной, т. е. такой, что det 0' = 1.
1.54. Сколько имеется независимых квадратных
матриц ранга N, которые являются: а) эрмитовыми;
20
б) унитарными? Каково число унимодулярных уни-
унитарных матриц ранга №
1.55. Показать, что при унитарных преобразова-
преобразованиях операторов А' = UAU+ алгебраические соотно-
соотношения между операторами вида
F (Л() = с0 + ? ctAt + Е cikAiAk + ... = О
i i, к
сохраняют свой вид, т. е. F (А'{} = 0.
1.56. Найти закон преобразования операторов х
и р при унитарных преобразованиях, осуществляемых
операторами: а) отражения Т; б) сдвига Та', в) из-
изменения масштаба Мс. Операторы Т, Та, Мс введе-
введены в 1.1.
1.57. Совокупность операторов U(a), зависящих
от непрерывного вещественного параметра а, обла-
обладает свойствами 0@) = 1 и 0(a3) = U\ax)U (а^, если
a3=ai + #2. Показать, что D имеет вид 0(а) =
^exp(i'aF), где F (так называемый инфинитези-
мальный оператор) определяет вид 0(8а) при беско-
бесконечно малом 8а согласно формуле О Fа) «* 1 + iF 6a.
В качестве иллюстрации рассмотреть связь операто-
операторов Та и Мс (см. 1.1) с операторами соответствую-
соответствующих бесконечно малых преобразований.
Глава 2
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Стационарное уравнение Шрёдингера
(х) (II.
с соответствующими граничными условиями (ограни-
(ограниченность волновой функции, обращение ее в нуль на
непроницаемых потенциальных стенках и др.) опре-
определяет энергетический спектр частицы в потенциале
U' (х) и волновые функции стационарных состояний.
Спектр Еп в области энергий min U(x)<, En <
< f/(±°o) (в которой согласно классической меха-
механике частица может совершать только финитное дви-
21
жение), является дискретным1). Эти уровни Еп яв-
являются ' невырожденными, а соответствующие соб-
собственные функции ^п{х) — квадратично интегрируе-
интегрируемыми (т. е. они описывают локализованные состоя-
состояния частицы в согласии с финитным характером дви-
движения в классической теории).
Для линейного осциллятора U(х) = kx2/2, ш =
= -\/k/tn решение уравнения Шрёдингера дает спектр
Е П( + 1/2) и с. ф.
где a = У ft/mco, Hn (z) — полиномы Эрмита; так
ЯоB) = 1, H1(z) = 2z, H2(z) =4г2 —2 и т. д. Приве-
Приведем также для осциллятора матричные элементы ко-
координаты
хп< „+1 = хп+к „ = У(л + 1)/2 а, (II. 3)
остальные равны нулю; матричные элементы опера-
оператора импульса связаны с ними соотношением pnk =
= imainkXnk, причем ©„* = ±© для n = fe±l.
В области ? > min t/(±oo) спектр является не-
непрерывным. Значения энергии Е >тах?/(±оо) (для
которых в классической механике возможно инфинит-
ное движение в обоих направлениях: как при х-*-
-v—с», так и х->- + оо) являются двукратно вырож-
вырожденными. При этом в качестве независимых решений
у. Ш.(П. 1) обычно рассматриваются такие, которые
связаны с физической задачей об отражении частиц
потенциалом и однозначно определяются видом асим-
асимптотики в. ф. при х->-±°°; так, в случае частиц, па-
падающих на силовой центр слева2)
'*'* + A(E)e~ik'x, х->- — оо,
<>
где ku2 = л/2т(Е — и(+ °o))/h2. Амплитуды А(Е),
') Мы используем такую нумерацию уровней д. с. Еп и
с. ф. Ч'я, при которой основному состоянию отвечает значение
п = 0. При этом п совпадает с числом нулей с. ф. ^?п(х), не
считая нулей при х->-±°о (или на непроницаемых потенциаль-
потенциальных стенках). Аналогичный смысл имеет радиальное квантовое
число пг состояний д. с. частицы в центральном потенциале.
2) Физически реализуемая ситуация описывается волновыми
пакетами из таких с. ф.; см. в связи с этим задачи 6.7, 6.8.
22
В (Е) определяют коэффициенты прохождения D (Е) =
= (k2/ki)\B\2 и отражения R{E) = \A\2 частиц. Эти
коэффициенты обладают следующими свойствами:
D(E) + R(E)=\\ D+(E) = D_(E);
D(E)-+l при Е-^оо; (II. 5)
D(E)->0 при ?-> max ?/(+ °°)-
Второе из них, D+(E) = D-(E), выражает независи-
независимость значения коэффициента прохождения при за-
заданной энергии Е от направления падения частиц,
слева или справа, на силовой центр; о последнем
из свойств см. задачи 2.37 и 2.39.
Своеобразными свойствами3) обладает энергети-
энергетический спектр частицы в пространственно периоди-
периодическом потенциале; некоторые из них рассмотрены
в задачах из § 4.
§ 1. Стационарные состояния дискретного
спектра
2.1. Найти энергетические уровни и нормирован-
нормированные волновые функции стационарных состояний час-
частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ши-
ширины а (т. е. в потенциале U(x)=Q при 0 < х < а
и U(x) — оо при х < 0 и х > а). Определить в таких
состояниях средние значения и флуктуации коорди-
координаты и импульса частицы.
В состоянии, описываемом волновой функцией
Чг = Лх(х — а) (при 0<х<а), найти распределе-
распределение вероятностей различных значений энергии час-
частицы и ее среднее значение.
2.2. Найти изменение энергетических уровней и
волновых функций стационарных состояний заряжен-
заряженного линейного осциллятора при наложении на него
однородного электрического поля, направленного
вдоль оси колебаний. Каковы поляризуемости4) ста-
стационарных состояний осциллятора?
3) Укажем также на своеобразие энергетического спектра
н свойств с. ф. гамильтониана при движении в магнитном поле,
см. 7.1.
4) Напомним, что поляризуемость р определяет средний ди-
польный момент, d « $Ш, индуцируемый слабым внешним элек-
электрическим полем; она же определяет квадратичную часть, АЕ =
= — [5(§Г2/2, сдвига энергетического уровня в таком поле.
23
2.3.Вычислив среднее значение энергии Е(а) в состо-
состоянии с волновой функцией W (х, а) ~ л/а ехр (—а | х \),
' а > О, показать, что в любом одномерном 5) потен-
потенциале U(x), удовлетворяющем условиям U(x) -*¦
->0 при х->±оо и \ U(x)dx < 0, всегда имеется
хотя бы одно состояние дискретного спектра с энер-
энергией Ео < 0 (так что такой потенциал всегда может
«связать» частицу; отметим, что при этом не тре-
требуется выполнения более жесткого условия 11{х)^0
при всех значениях х).
2.4. Обозначим через Еп и Еп значения n-го уров-
уровня энергии дискретного спектра в полях U(x) и О(х),
связанных условием U(x) = U(x)-\-8U(x),rfl.e8U(x) ^
^ 0. Показать, что Ёп ^ Еп (этот результат непо-
непосредственно переносится на случай системы с произ-
произвольным числом степеней свободы).
2.5. Найти соответствие между энергетическими
уровнями дискретного спектра и нормированными
Рис. 1
волновыми функциями стационарных состояний час-
частицы в потенциалах U(x) и О(х), связанных между
собой следующим образом: U(x)=U(x) при х > 0
и 0(х) — оо при х < 0, причем потенциал U(x) сим-
симметричен (рис. 1).
2.6. Потенциал имеет такой вид U(x)=D(x)-\-
-\-а8(х—хо), где Ь(х) — ограниченная функция. Как
ведут себя решение We(x) уравнения Шрёдингера
и его производная в точке х0?
2.7. Найти уровни энергии и нормированные вол-
волновые функции состояний дискретного спектра час-
5) Сравнить с результатами задач 4.21, 4.33.
24
тицы в б-потенциале 6) U(x)=—ссб(х), рис. 2. Найти
средние значения кинетической и потенциальной
энергии в этих состояниях. Вычислить произведение
неопределенностей координаты и импульса. Каков
вид волновой функции в импульсном представлении?
1/C!JI
V(x)
Fo*
~z1
-?- .Г
О
3!
Рис. 2
Рис. 3
2.8. Найти энергетический спектр и волновые
функции стационарных состояний частицы в потен-
потенциале, указанном на рис. 3.
2.9. Найти энергетические уровни дискретного
спектра и соответствующие волновые функции час-
частицы в потенциале U(х) = U0(e-2xla — be~x<a), причем
UQ > 0, а > О, Ъ > 0.
Указание. При решении у. Ш. сделать замену
переменной z = 2$e~xla и перейти к новой функции
w(z) согласно W = z*ae-Z'2w(z), где x = (—2mE/h2I12,
р = Bт?/0а2/Й2I/2-
2.10. То же, что и в предыдущей задаче, для по-
потенциала
e^); ?/1>2>0, а > 0.
Для решения уравнения Шрёдингера сделать за-
замену переменной г = —ех/а и подстановку W =
= A—z)~ezilw(z) (при соответствующем выборе па-
параметров ;е и (j, у. Ш. сводится к гипергеомётриче-
скому уравнению).
6) В одномерном случае б-потенциал притяжения модели-
моделирует мелкую потенциальную яму U(x) (достаточно произволь-
произвольного вида), для которой ma2t/0/A2<l; Uo, a — характерные ве-
величина потенциала и его раднус, прн этом —a = \ U (x) dx < 0.
В связи с данной задачей см. также 2.17, 2.20, 2.23.
25
2.11. Найти энергетический спектр в потенциале
вида: U(x) = аЬ(х), а > О при |х|< а и U = оо при
|л:|>>,а (рис. 4). Показать, что при выполнении усло-
условия maa/h2 ~Э> 1 нижняя часть спектра состоит из
последовательности пар близко расположенных уров-
уровней. Каков спектр сильно
возбужденных состояний
частицы? Какова картина
энергетических уровней при
а <0?
2.12. Обобщить резуль-
результат предыдущей задачи на
случай, когда б-барьер раз-
разделяет прямоугольную яму
несимметричным образом.
2.13. Исследовать пове-
поведение решения уравнения
Шрёдингера при х-^+оов
случае Е = 0 для потен-
потенциала, удовлетворяющего условию ?/(*)-»- 0 при *-»-
->±оо. Показать, что не возрастающее как при
х->+оо, так и при х->—с» решение х?Е=о(х)
уравнения Шрёдингера существует только при ис-
исключительных значениях параметров потенциала, от-
отвечающих условиям появления новых состояний
дискретного спектра при углублении потенциала.
L
¦ А
\
у
у
"",
у
у
у
у
-a ~ff ax
Рис, 4
Pftti
О ах
Wx)
а т
Рис. 5
Каково число дискретных уровней частицы, нахо-
находящейся: а) в прямоугольной потенциальной яме
глубины Uo и ширины а; б) в потенциале ?/ =
= —аб(х)—а6(х—а), в зависимости от значений
параметров потенциала?
26
2.14. Для частицы в потенциале U(x) вида:
a) U = оо при х<0, U = — Uo при 0<х<а,
?/ = 0 при х > а; б) U = оо при х < 0, ?/ =
= —аб(х— а) при х>0 (рис. 5, а, б), найти число
связанных состояний в зависимости от значений па-
параметров потенциала.
2.15. Найти условие существования связанных со-
состояний частицы в потенциальной яме, изображен-
изображенной на рис. 5, в. Рассмот-
Рассмотреть предельные случаи:
a) U\ = оо, б) U\ = U2.
2.16. Частица нахо-
находится в поле, имеющем
вид двух одинаковых
симметричных потен-
потенциальных ям, располо- • 6
женных на некотором расстоянии друг от друга
(рис. 6); области действия ям не перекрываются,
так что ?/@)=0. Показать, что средняя сила,
с которой частица действует на ямы в стацио-
стационарных состояниях дискретного спектра, приводит
к взаимному притяжению ям в четных состояниях
и к их взаимному отталкиванию в нечетных состоя-
состояниях.
§ 2. Уравнение Шрёдингера в импульсном
представлении. Функция Грина
уравнения Шрёдингера.
Интегральная форма уравнения Шрёдингера
2.17. Найти в импульсном представлении вид ста-
стационарного уравнения Шрёдингера в случае потен-
потенциала U(х), обращающегося в нуль при х->-±оо.
На основе этого уравнения исследовать состояния
дискретного спектра в потенциале U = —аб(х) и
сравнить с результатом 2.7.
2.18. Исследовать связанные состояния частицы в
потенциале U = —а[8(х — а)-\-8(х-\- а)] на основе
уравнения Шрёдингера в импульсном представлении.
2.19. Рассмотреть связанные состояния частицы
в случае сепарабельного потенциала, представляю-
представляющего нелокальный интегральный оператор U с ядром
U(x,x') = —Xf(x)f*(x'), исходя из решения уравне-
уравнения Шрёдингера в импульсном представлении.
j 27
2.20. Найти функцию Грина Ge(x, х') уравнения
Шрёдингера для свободной частицы при Е < 0, убы-
убывающую при \х — je'l-fr-oo. функция Грина удовле-
удовлетворяет уравнению
Каков вид функции Грина в импульсном пред-
представлении?
С помощью функции Грина записать уравнение
Шрёдингера для состояний дискретного спектра в
потенциале U(x) (?/(x)->-0 при х-^+оо) в виде ин-
интегрального уравнения. На основе этого уравнения
рассмотреть связанные состояния частицы в б-яме
и сравнить с результатами задачи 2.7.
2.21. Рассмотреть задачу о связанных состояниях
частицы в случае сепарабельного потенциала, см. 2.19,
исходя из решения уравнения Шрёдингера в инте-
интегральной форме.
2.22. Воспользовавшись интегральной формой
уравнения Шрёдингера, показать, что энергетические
уровни дискретного спектра в произвольном потен-
потенциале ?/(х)^0 (U(x)-^-O при х^-±°о) удовлетво-
удовлетворяют условию
г т
] U(x)dx\.
—оо J
2.23. В «мелкой» одномерной потенциальной яме
U(x), для которой Uo <?h2/ma2 (UQ, a—характерное
значение потенциала и его радиус), имеется только
одно связанное состояние, энергия которого при-
приближенно равна ?0« — -gfrl \ ?/(*)d*J . Воспользо-
Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шрёдин-
Шрёдингера, найти поправку порядка ma2Uo/h2 к этому
выражению.
2.24. Найти функцию Грина свободной частицы,
движение которой, однако, ограничено непроницае-
непроницаемой стенкой (т. е. О = 0 при х >0 и ?/=оо при
х < 0, рис. 7, а) для ?<С0. Функция Грина удовле-
удовлетворяет граничному условию Ge(x = 0,х') — 0 иубы-
вает при |я — х'\-*-оо.
28
С помощью функции Грина записать уравнение
Шрёдингера для связанных состояний частицы (Еп<.
< 0) в потенциале вида, приведенного на рис. 7, б
(т. е. U=U(x) при х>0 и U = оо при х<0) в
интегральной форме.
О '¦
Шя),
.-|
0
I
У
• a;
' 8
Рис. 7
2.25. Используя интегральную форму уравнения
Шрёдингера, показать, что условие
является необходимым условием существования свя-
связанных состояний в потенциале U{x) вида, приведен-
приведенного на рис. 1,6: U = оо при х < 0, U = 0(х) (при
этом &<0 и t7(jt)-»-0 для х^-оо) при л: > 0.
Применить полученный результат к потенциалам:
а) # = —и0 для х < а, 0 = 0 при х > а; б) 0 =
= —аб(х — а), см. рис. 5, а,б, и сравнить с точным
условием существования связанных состояний.
2.26. Найти функцию Грина QE(x,x') частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а.
Обсудить аналитические свойства Ge как функции
переменной Е. Показать, в частности, что она имеет
полюсы, и установить связь положений этих полюсов
в плоскости комплексной переменной Е со значе-
значениями энергетических уровней Еп частицы.
2.27. Рассмотреть потенциальные ямы различного
вида U(x), удовлетворяющие условиям:
?/(x)<0; U(x)->0 при х-*±оо;
\ U (x) dx = а = const.
29
Какой конкретный вид имеет потенциальная яма,
в которой:
а) энергия связи основного уровня |?0| прини-
принимает максимальное значение; б) содержится наи-
наибольшее число состояний дискретного спектра?
§ 3. Состояния непрерывного спектра.
Прохождение через потенциальные барьеры
2.28. Для свободной частицы, движение которой
ограничено непроницаемой стенкой (т. е. U = 0 при
х > 0 и U = оо при х< 0, рис. 7, а), найти волно-
волновые функции стационарных состояний. Нормировать
их на б-функцию по энергии. Убедиться в полноте
полученной системы функций (на интервале 0 <
<*<<*>).
2.29. Определить коэффициент отражения частицы
от потенциальной стенки, изображенной на рис. 8.
Рассмотреть предельные случаи E^-Uo и ?->-оо.
¦"о
О
Рнс. 8
¦ О а.
Рис. 9
2.30. Определить коэффициенты отражения и про-
прохождения частиц в случае б-потенциала i7 = a6(x).
Обсудить аналитические свойства амплитуд отра-
отраженной А(Е) и прошедшей В(Е) волн как функций
комплексной переменной Е. Убедиться, что точки
Е = 0 и Е = оо являются точками ветвления этих
функций. Проведя в плоскости комплексной перемен-
переменной Е разрез от точки Е = 0 вдоль вещественной
полуоси Е > 0, найти особенности функций А(Е) и
В(Е) на первом, так называемом физическом, и дру-
других листах их римановой поверхности (физический
лист фиксируется условием, что фаза точек Е на ве-
вещественной полуоси Е > 0 сверху равна нулю). По-
Показать, что такими особенностями являются полюсы,
и установить связь между положениями полюсов и
уровнями дискретного спектра.
30
2.31. Найти коэффициент прохождения частиц че-
через прямоугольный потенциальный барьер, изобра-
изображенный на рис. 9. Как изменяется полученное выра-
выражение при переходе к потенциальной яме (?/о<0)?
2.32. Найти значения энергий, при которых час-
частицы не отражаются от потенциального барьера вида
и = а[8(х) + 8(х — а)], рис. 10.
0
a
X
U№) J
.¦ Uo
0
N .
i
Рис. 10
Рис. 11
2.33. Доказать независимость значения коэффи-
коэффициента отражения при данной энергии от направле-
направления падения частиц на потенциал.
2.24. Найти коэффициенты прохождения и отра-
отражения частицы в случае сепарабельного потенциала
(см. 2.19). Убедиться, что общие свойства (И.5) этих
коэффициентов сохраняются и в случае сепарабель-
сепарабельного потенциала.
2.35. Найти коэффициент прохождения частиц че-
через потенциальный барьер, указанный на рис. 11.
Рассмотреть различные предельные случаи, допус-
допускающие наглядное восприятие полученного выраже-
выражения для D(E).
2.36. То же, что и в предыдущей задаче, в случае
барьера U = —F0\x\,pnc. 12.
Ulx)\
Uo
0
3!
Рис. 12
Рис. 13
2.37. Поле U(x) имеет вид потенциальной сту-
ступеньки, т. е. ?/(х)->0 при х->--— с» и ?/(*)->-?/0 >0
при х->--|-оо, рис. 13. Найти энергетическую зависи-
31
мость коэффициента прохождения частиц при Е-+-
-*~ Uq. Сравнить с результатом из 2.29.
2.38. Найти коэффициенты отражения и прохож-
прохождения медленных частиц, ka <^i\, в случае «слабого»
поля Uq <?ih2/ma2 (Uo, a — характерная величина и
радиус потенциала). Сравнить полученные выраже-
выражения с результатами для б-потенциала (см. 2.30).
2.39. Показать, что коэффициент прохождения в
произвольном потенциале, удовлетворяющем условию
U(x) = 0 для |х|>а, при ?~>-0 обращается в нуль:
D (Е) оо Е. В каких исключительных случаях нару-
нарушается эта зависимость?
Выразить коэффициент с в зависимости D = сЕ
через параметры, характеризующие асимптотику ре-
решения уравнения Шрёдингера с Е = 0. Применить
полученный результат к прямоугольному барьеру
(яме) и сравнить с результатом точного решения,
см. 2.31.
2.40. Найти коэффициент прохождения для мед-
медленных частиц в потенциале U = —1/оа4/(х2 -\- а2J.
Указание. При решении у. Ш. с Е — 0 сделать за-
замену переменной г = arctg(*/a) и перейти к новой
функции w = У ¦ (х2 + а2)~1/а.
2.41. Исходя из решения уравнения Шрёдингера
в импульсном представлении, найти волновые функ-
функции стационарных состояний частицы в однородном
поле U = —Fox. Нормировать их иа б-функцию по
энергии и убедиться в полноте полученной системы
функций.
Воспользоваться полученными результатами для
определения энергетического спектра в потенциале,
рассмотренном в задаче 2.8.
2.42. Найти функции Грина О^Цх, х') свободной
частицы при Е > 0; индексы (±) указывают на ха-
характер асимптотики:
G?±) оо exp (± i -y/2mE/h21 х — х' \) при [ jc — а:'1—>оо.
Записать уравнение Шрёдингера в виде инте-
интегрального уравнения, решения которого описывают
процесс отражения и прохождения частиц с импуль-
импульсом р (—оо<р<-|-оо) в потенциале U(x), обра-
обращающемся в нуль при х-*-±оо. На основе получен-
полученного уравнения рассмотреть случай б-потенциала.
2.43. В случае б-барьера, U = аЬ{х) с a > 0, до-
доказать непосредственным вычислением полноту
32
системы функций Ч(^(х), описывающих процесс от-
отражения и прохождения частиц с импульсом р
(—оо <р< +оо).
2.44. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай б-потенциала притяжения U = —аб(х),а>0.
2.45. Найти функции Грина: GE(x,x') при Е < О
и G^ (х, х') при Е > О для частицы в б-потенциале
отталкивания ?У = аб(х), а > 0. Обсудить их анали-
аналитические свойства как функций комплексной пере-
переменной Е. Сравнить со случаем свободной частицы,
см. 2.42.
2.46. То же, что и в предыдущей задаче, для
б-ямы.
2.47. Найти в импульсном представлении функ-
функцию Грина частицы в б-потенциале U = a8(x).
§ 4. Системы с несколькими степенями свободы
Частица в периодическом потенциале
2.48. Найти энергетические уровни и соответствую-
соответствующие волновые функции плоского изотропного осцил-
осциллятора. Какова кратность вырождения уровней?
2.49. Найти энергетический спектр частицы в по-
потенциале U = (i/2)k(x2 + у2) + осху, |а|<Сй.
2.50. Найти спектр гамильтониана
Н = ~Ш $ + 2^Г^ + Тk W + *а) + axtx2, \a\<k.
2.51. Две частицы одинаковой массы находятся
в одинаковом же потенциале U(xi,2) и взаимодей-
взаимодействуют друг с другом как «непроницаемые» точки.
Найти энергетический спектр и соответствующие вол-
волновые функции такой системы, считая известным ре-
решение одночастичной задачи в потенциале U(x).
Рассмотреть в качестве иллюстрации случай двух
частиц, находящихся в бесконечно глубокой потен-
потенциальной яме.
2.52. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай N частиц.
2.53. Для частицы в периодическом потенциале
оо
вида U = a 2] &(х — па) (идеальный бесконечный
П~ —оо
«кристалл», см. рис. 14) найти систему независимых
решений уравнения Шрёдингера для произвольного
значения Е.
2 В. М. Галицкий и др. 33
Определить энергетический спектр частицы.
2.54. Найти энергетический спектр частицы в по-
оо
тенциале U = a Л' &(х — па), где штрих у суммы
П— -оо
означает отсутствие слагаемого с п = 0 («кристалл»
Щх!
-2а -а 0 а 2а х
Рис. 14
с дефектом—вакансией, рис. 15). Показать, что в до-
дополнение к разрешенным энергетическим зонам в
случае идеального кристалла (см. 2.53) появляются
новые дискретные уровни, соответствующие локали-
локализованным вблизи дефекта состояниям частицы.
-2a -a 0 'a 2a г:
Рис. 15
2.55. Найти энергетический спектр и указать
кратность вырождения уровней частицы в потенциале
оо
вида: U = а^ 8(х ~ па) при х>0и [/ = [/0 > О при
х ^ 0 (частица в полубесконечном кристалле, см.
рис. 16). Сравнить со случаем идеального бесконеч-
бесконечного кристалла (см. 2.53). Обратить внимание на
34
возможность существования состояний частицы,
локализованных вблизи границы кристалла (так
Шсс)
О а 2а
Рис. 16
За
называемые поверхностные, или таммовские, состоя-
состояния, на возможность существования которых впервые
указал И. Е. Тамм).
Глава 3
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Операторы компонент момента импульса частицы
йТ=[гр] удовлетворяют коммутационным соотноше-
соотношениям ')
tt Jn, П2Д] = 0, (III. 1)
а также
Ци xk] = ieiknxn, [it, pk] = itik
(HI- 2)
В сферических координатах операторы It содер-
содержат только угловые переменные 0, ср. Так, оператор
1г = — /д/дф, его с. ф. и с. з. имеют вид (пг = 1г):
фт(ф) = е*™р/У2я\ т = 0, ±1, ±2, ... (III. 3)
Оператор квадрата момента I2 выражается через
угловую часть оператора Лапласа; его с. з. равны
/(/+1), причем / = 0, 1, 2, ... При исследовании
') Так: [/#, ty] — iiz и т. д. Говоря о моменте (включая
в дальнейшем и спиновый момент), мы имеем в виду измерение
его в единицах Ь, так что соответствующие операторы и их с. з.
безразмерны. Подчеркнем, что как соотношения (III. 1), так и
(III. 8), (III. 9) справедливы для момента любой системы (или
подсистемы) независимо от его природы (орбитальный, спино-
спиновый, полный).
2*
35
лишь угловой зависимости волновых функций час-
частицы операторы I2 и 1г образуют полный набор.
Шаровые функции Yim(Q, <p) являются нормирован-
нормированными с. ф. этих операторов:
]a ( в д\ . 1 d
H+)lm,
LYlm = ~i^Ylm = mYl!n, (HI-
и имеют вид (|m|^/)
у, «^и , /B/ + 1) (/_-|7^ттГ/,|/п|
», (III. 5)
P\m' (cos 9) = sin1 m' 9d' m' Pt (cos 9)/d (cos 9I m',
где Р/ и Р\т1— полиномы Лежандра и присоединен-
присоединенные полиномы Лежандра соответственно; при этом
у* l \\l-my
Шаровые функции имеют определенную четность
/, равную (—1)'. Для них имеет место «теорема
сложения»:
i
^ л (»»') = Е Y^ (»)уш(»'), аи- 6)
где п, п' — орты вдоль соответствующих направлений,
при этом
уш (n) = ytm (9, ф) и nn' = cos 9 cos 9' +
+ sin 9 sin 8' cos (ф — ф').
Приведем шаровые функции для низших мо-
моментов:
1 "' -" ¦ ' 3 cos 8;
lt ±i = =F / д/-|^ sin Qe*'»; (III. 7)
г. ±i = ± д/il sin 9 cos де±1ч>;
36
Отметим, что полезно иметь в виду возможность за-
записи шаровых функций через декартовы координаты;
так,
Fi,±! со sin в e±i(p == (л: ± /i/)/r, У10 оэ cos 0 = z/r и т. д.
«Повышающий» (значение проекции момента на
ось z) 1+ и «понижающий» /_ операторы, /+ =
— 1х±йу, удовлетворяют соотношениям коммутации
[lz, l±] — ±t±. Отсюда следует, что для них из мат-
матричных элементов (lm'\l±\tm) отличны от нуля
только 2)
V m)(l-m+l). (Ш. 8)
/_)_, т
Соответственно для операторов 1Х, 1У отличны от
нуля только матричные элементы:
(III. 9)
чем и определяется вид этих операторов в /г-пред-
ставлении, при этом Aг)тт' = т6тт,.
§ 1. Общие свойства момента
3.1. Найти волновые функции стационарных со-
состояний и уровни энергии плоского ротатора 3) с мо-
моментом инерции /. Какова кратность вырождения
уровней?
В состоянии ротатора с волновой функцией х? =
= Ccos2cp найти вероятности различных значений
энергии и проекции момента, а также средние зна-
значения и флуктуации этих величин.
2) Для определения величины матричного элемента следует
также учесть соотношение 12= t_t+ + l\ + Iг- Выбор фазо-
фазового множителя в (III. 8) фиксирует используемую в теории
момента относительную фазу в. ф. состояний с различными т
(для одного и того же значения I).
3) Ротатором называется вращающаяся относительно центра
масс (в плоскости или в пространстве) система из двух жестко
связанных друг с другом частиц. Момент инерции ротатора ра-
равен / = \ia2, где \i — приведенная масса частиц, а — расстояние
между ними.
37
3.2. Найти волновые функции стационарных со-
состояний и уровни энергии пространственного (сфери-
(сферического) ротатора с моментом инерции /. Какова
кратность вырождения уровней?
В состоянии, описываемом волновой функцией
xF = Ccos29, найти вероятности различных значений
энергии, момента и его проекции на ось z, а также
средние значения и флуктуации этих величин.
3.3. Показать, что равенство L2 = /(/+l) полу-
получается с помощью элементарных формул теории ве-
вероятностей, исходя из того, что проекция момента на
произвольную ось может принимать лишь значения
т = —/, —/+1, -¦-, /, причем все они равнове-
равновероятны, а оси равноправны.
3.4. Дать наглядную интерпретацию:
а) коммутативности операторов проекций им-
импульса,
б) некоммутативности операторов проекций мо-
момента импульса,
в) коммутативности операторов проекций импуль-
импульса и момента импульса на одну и ту же ось и их
некоммутативности для проекций на различные оси,
исходя из кинематического смысла этих операторов,
связанного с бесконечно малыми переносами и пово-
поворотами.
3.5. Найти следующие коммутаторы:
а) [tt, г2], [!„ р2], [tt, (pf)], [tt, fprJ],
б) [It, (рг)/У, [ih {pf)xk],
в) [th xkxt], [Ii
(a, b — постоянные величины). Обратить внимание
на одинаковую структуру коммутаторов для опера-
операторов, входящих в одну и ту же группу. С чем свя-
связана такая универсальность коммутационных соот-
соотношений?
3.6. Найти нормированные соответствующим обра-
образом волновые функции 4raim, описывающие состоя-
состояния частицы, находящейся на расстоянии г0 от на-
начала координат, имеющей момент / и его проекцию т
на ось z.
3.7. Найти общие собственные функции операто-
операторов проекций на ось z импульса и момента импульса
частицы.
38
3.8. Показать, что средние значения векторов
L, г, р в состоянии частицы с волновой функцией
Т = ехр(грог//1)ф(г), где ро — вещественный вектор,
а ф(г) — вещественная функция, связаны классиче-
классическим соотношением L = [rp].
3.9. Найти собственные функции операторов I2
и Iг в импульсном представлении. Показать, что в
состояниях с определенными значениями /, т сред-
средний импульс частицы р = 0.
3.10. Показать, что функции, получающиеся в ре-
результате действия операторов i± = lx±iiy на собст-
собственные функции ?га оператора lz, также являются
собственными функциями lz, отвечающими уже соб-
собственным значениям т±\.
Показать также, что в состоянии с волновой функ-
функцией ?га
а) 1х = '1„ = 0, б) й = 4, в) tJt + tJx = O.
3.11. В состоянии xYim с определенными значе-
значениями момента / и его проекции т на ось z найти
средние значения fx, fy, а также среднее значение
и флуктуацию проекции момента на ось г, состав-
составляющую угол а с осью z.
3.J2. Доказать соотношение
i
? \Yln(B, Ф) I2 = B/ + 1)/4я.
т~-1
3.13. Указать вид волновой функции 4//>й=о(п)
состояния частицы с моментом / и его проекцией
m = 0 на ось z, направление которой в пространстве
определяется единичным вектором По- В рассматри-
рассматриваемом состоянии найти вероятности различных зна-
значений проекции момента на ось г.
3.14. Обозначим через wt(mu m2, а) вероятность
значения тг проекции момента на ось z, составляю-
составляющую угол а с осью z, в состоянии частицы с опреде-
определенными значениями момента / и его проекции т\
на ось z. Доказать равенство wi(in\; m2, а) =
= wt(m2', ш\, а) (воспользоваться результатом за-
задачи 1.43).
3.15. Найти проекционные операторы Р(М), про-
проектирующие на состояния с заданным значением М
39
проекции момента на ось z (искомые операторы дей-
действуют в пространстве векторов состояний, отвечаю-
отвечающих определенному значению L момента).
3.16. Используя коммутационные соотношения для
операторов компонент момента, найти Sp/,-, где U —
матрица i-й компоненты момента /.
3.17. Найти шпуры следующих матриц:
a) Lit б) LtLk, в) LiLkLu г) L~iLkLiLm, где Z,—
матрица i-й компоненты момента L.
§ 2. Момент L= 1
3.18. В случае момента частицы /= 1 найти вол-
волновую функцию Wm-оф, ф) состояния с определенной
проекцией момента т = 0 на ось г, направление ко-
которой в пространстве определяется полярным а и
азимутальным р углами.
3.19. Найти волновые функции ~*?ix(B, ф) и
Wi (9, ф) состояний частицы с моментом / = 1 и опре-
определенным значением проекции момента на оси .г и у
соответственно. Воспользоваться известным видом
шаровых функций Yim(Q, cp), см. (III. 7).
3.20. Частица находится в состоянии с моментом
/=1 и его проекцией т (т = 0, ±1) на ось z.
Найти вероятности w{m',m) различных значений
проекции момента т' на ось z', составляющую угол а
с осью z.
Задачу предлагается решить одним из следующих
способов:
а) используя результат задачи 3.11;
б) путем нахождения коэффициентов разложения
с(т',т) заданной волновой функции в ряд по соб-
собственным функциям оператора 1г>.
3.21. Показать, что в случае момента частицы
/= 1 три Функции 4Vo(e, Ф), ч^_0(е,ф), ?/2_0(е, Ф),
описывающие состояния частицы с равной нулю про-
проекцией момента на оси х, у, z соответственно, обра-
образуют полную систему функций.
Какой смысл имеют коэффициенты разложения
волновой функции произвольного состояния с / = 1
по этим функциям?
3.22. Указать в /г-представлении явный вид опе-
операторов компонент момента, а также повышающе-
40
го /+ и понижающего \_ операторов (t± = ix±iiy)
для момента /= 1.
Найти из решения уравнения на собственные
функции волновую функцию в ^-представлении со-
состояния частицы с 1Х = 0.
3.23. В состоянии частицы с моментом 1 = 1 и его
проекцией т на ось z найти следующие средние:
I", ly (п — целое).
3.24. Найти явный вид оператора R (ф0) = ехр(г<р0 0
поворота системы координат на угол ф0, действую-
действующего в пространстве векторов состояний, отвечающих
моменту /= 1. С помощью этого оператора получить
из шаровой функции Yi0 волновую функцию
Ч'т-о^, ф) состояния частицы с моментом 1=1 и его
проекцией т = 0 на ось г, направление которой
определяется полярным а и азимутальным р углами.
Сравнить с 3.18.
3.25. В пространстве векторов состояний, отвечаю-
отвечающих моменту 1=1, найти проекционные операторы
Р(т) для состояний с определенной проекцией мо-
момента т на ось г. Обобщить результат на случай
произвольно направленной оси г. С помощью опера-
оператора Р(т) найти в 1г- и в координатном представле-
представлениях волновую функцию ?ш-о состояния частицы
с моментом 1 = 1 и его проекцией т = 0 на ось г.
Сравнить с 3.18 и 3.24.
§ 3. Сложение моментов
3.26. Записать оператор момента системы из двух
частиц в виде суммы двух слагаемых, соответствую-
соответствующих моменту частиц в с. ц. и. (т. е. моменту отно-
относительного движения) и моменту поступательного
движения системы как целого.
3.27. Моменты /( и /2 двух слабо взаимодействую-
взаимодействующих систем складываются в результирующий момент
величины L. Показать, что в таких состояниях (с опре-
определенным L) скалярные произведения fJQ, 1JL, T2L
также имеют определенные значения.
3.28. Найти следующие коммутаторы:
а) [Lh (Щ, [Lt, frp2)], [Lt,
б) [lt, xlk], [Lu ёь] с "g = [i,l2];
41
в) [Lt, Jclkx2l], [Lu x{kp2l\,
где 1Ь 12 — операторы моментов двух частиц, L =
= 11 + 12—оператор их суммарного момента. Обра-
Обратить внимание на универсальную структуру (внутри
каждой группы) коммутаторов. Сравнить с 3.5.
3.29. Имеются две слабо взаимодействующие си-
системы 1 и 2, состояния которых характеризуются
квантовыми числами (l\, ni\) и (/2, т2) момента и его
проекции на ось z.
Указать возможные значения полного момента L
совокупной системы A+2) и вычислить средние
значения L и L2 в рассматриваемом состоянии. Для
частного случая m\ = l\, /п2 =/2—1 найти вероят-
вероятности различных значений суммарного момента.
3.30. Показать, что при сложении двух одинако-
одинаковых по величине моментов {1\ = 12 = I) в результи-
результирующий момент L волновая функция Ч^(ть т-г) в
/:г/гг-представлении имеет определенную симмет-
симметрию по отношению к взаимной перестановке т\
и т2.
Как зависит характер симметрии от значения L?
3.31. Показать, что в состоянии системы из двух
одинаковых по величине моментов A\ = 12), отвечаю-
отвечающем определенным значениям суммарного момента L
и его проекции М на ось z, вероятности значений
проекций складываемых моментов тц2) = т и
т.\B) = М — т равны.
3.32. Две подсистемы, имеющие одинаковые мо-
моменты 1\ = /2 = 1, находятся в состояниях с опреде-
определенными значениями проекций момента ni\ и т2.
Найти вероятности различных значений суммарного
момента L в таких состояниях. При решении задачи
воспользоваться результатом 3.29 для значения L2
и учесть характер симметрии волновой функции со-
состояния с определенным значением L, установленный
в 3.30 (отметим, что при произвольных значениях
h,2 и т\,2 искомая вероятность w(L) = \Ci,'^i\t^2f,
где Cf,m,Bm, — коэффициенты Клебша — Гордана;
см. 3.38).
3.33. Проиллюстрировать связь, установленную в
задаче 1.43, и ее вероятностный смысл на примере
сложения моментов /i, /2 двух слабовзаимодействую-
щих подсистем в результирующий момент L.
42
3.34. Для системы из двух одинаковых по величине
моментов l\ = h = l найти в /^/гг-представлении
волновую функцию состояния с суммарным моментом
L = 0 (воспользоваться операторами L+). Указать
также ее вид в координатном представлении.
3.35. Моменты двух частиц равны l\ = h = 1. По-
Построить волновые функции Wlm состояний с опреде-
определенными значениями L суммарного момента и его
проекции М на ось z (при решении использовать ре-
результаты задач 3.30 и 3.34).
3.36. Используя технику проекционных операто-
операторов, для системы из двух моментов 1\ = /2 = 1 найти
волновую функцию Ti=0 состояния с суммарным
моментом L = 0. Сравнить с 3.34.
3.37. Произвести классификацию независимых со-
состояний системы, состоящей из трех слабовзаимодей-
слабовзаимодействующих подсистем с моментами h = к — 1 и
/з = / по значениям суммарного момента L си-
системы.
3.38. Как известно, проблема сложения моментов
двух систем 1\ и /2 в результирующий момент L ре-
решается в общем виде следующим соотношением:
Wlm = ? C/Z^C^l, M = m{ + тъ
где C/Im,/2m2 — коэффициенты Клебша — Гордана. Ис-
Используя технику повышающих (понижающих) опера-
операторов L+, найти коэффициенты Клебша — Гордана в
случае L = U + к-
3.39. То же, что и в предыдущей задаче, но в слу-
случае U = k, L = 0.
3.40. В случае двух слабовзаимодействующих си-
систем с моментами /[ и /2 усреднить следующие опе-
операторы:
а) /iB)«-; б) ]uhk — ]\khb в) hihk +hkiiu г) juhk+
+/ife/u> по состоянию с заданным значением / мо-
момента совокупной системы, не конкретизируя зави-
зависимости ВОЛНОВОЙ фуНКЦИИ СОСТОЯНИЯ ОТ iг-
Получить выражение для оператора магнитного
момента системы ?==griii ¦+- g2J°2 B состоянии с опре-
определенным значением / полного момента (здесь gu2—
гиромагнитные множители для подсистем, связываю-
связывающие их магнитные и механические моменты).
43
§ 4. Тензорный формализм в теории момента
3.41. Показать, что функция вида
4r{) ... пп,
где п = т/г, а е,-*... п — симметричный по любой паре
индексов тензор 4) ранга / с равным нулю следом,
ъик ... п = 0, является собственной функцией опера-
оператора квадрата момента частицы, отвечающей значе-
значению момента, равному /.
Показать далее, что число независимых компонент
у указанного тензора равно 2/ + 1, как и число ша-
шаровых функций Yim(n) (тем самым будет доказано,
что приведенная угловая зависимость волновой
функции является наиболее общей для состояний час-
частицы с моментом /).
В частных случаях / = 1 и 1 = 2 указать значе-
значения компонент соответствующего тензора, е.(пг)
и Bik(m), при выборе которых рассматриваемая
волновая .функция совпадает с шаровой функци-
функцией Yim.
3.42. Согласно предыдущей задаче наиболее об-
общая зависимость от углов волновой функции состоя-
состояния частицы с моментом / = 1 имеет вид 4r;=i =
= (еп), где е — произвольный комплексный вектор.
Найти:
а) какому условию должен удовлетворять вектор
е, чтобы волновая функция была нормирована на
единицу;
б) средние значения компонент тензора п;пк\
в) средние значения компонент вектора момента 1;
г) какому условию должен удовлетворять вектор
е, чтобы для рассматриваемого состояния можно
было указать такую ось z в пространстве, проекция
момента на которую имела бы определенное значе-
значение, равное пг = 0; пг = ±1.
3.43. В условиях предыдущей задачи найти ве-
вероятности w{fh) различных значений проекции мо-
момента пг на ось z, направление которой определяется
единичным вектором по. Показать, что для произ-
4) Не путать с антисимметричным тензором
44
вольного состояния с моментом / = 1 существует
такое направление в пространстве, вероятность про-
проекции момента m = 0 на которое равна нулю.
3.44. Согласно 3.41 угловая зависимость волновой
функции произвольного состояния частицы с момен-
моментом /=1 имеет вид *Р/=1 = (ап), т. е. полностью
определяется комплексным вектором а. Поэтому при
рассмотрении состояний с / = 1 можно перейти к
представлению (назовем его векторным), в котором
волновой функцией является совокупность компо-
компонент вектора а, т. е. W(k)^=a.k (k=\, 2, 3).
Найти явный вид операторов компонент момента
в векторном представлении. Установить соответствие
между векторным и /2-представлениями.
3.45. Для системы из двух частиц, имеющих мо-
моменты /х == /2 = 1, найти:
а) наиболее общий вид угловой зависимости вол-
волновой функции;
б) наиболее общий вид угловой зависимости вол-
волновых функций 'Ф'л, описывающих состояния системы
с определенными значениями L (L = 0, 1, 2) суммар-
суммарного момента;
в) угловую зависимость волновых функций xYlm,
описывающих состояния системы с определенным
значением L суммарного момента и его проекции М
на ось г.
При решении использовать результат зада-
задачи 3.41.
3.46. Для системы из двух частиц, одна из которых
имеет момент 1\ = 1, найти угловую зависимость вол-
волновых функций Ч^л состояний системы, отвечаю-
отвечающих определенным значениям ее суммарного момента
/ = 0 и 1, его проекции /2 на ось г и проекции
момента Л на направление радиуса-вектора второй
частицы (при этом ограничиться случаем Л = 0). Ка-
Каковы четности рассматриваемых состояний? Каковы
возможные значения момента 12 второй частицы в
таких состояниях?
Обобщить результат на случай произвольных зна-
значений /i, J, Jz (по-прежнему Л = 0).
3.47. Показать, что в системе из трех частиц со-
состояния с суммарным орбитальным моментом L = 0
(в с. ц. и.) имеют определенную, причем положитель-
положительную четность.
45
Глава 4
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Решение уравнения Шрёдингера для центрального
потенциала
^] (IV. 1)
с учетом взаимной коммутативности операторов Нг
{2, 1г можно искать в виде ^? = WnTim(*) =
= Rnri(r)Ytm(n), гДе Yim — шаровая функция. При
этом (IV. 1) сводится к одномерному радиальному
у. Ш.:
[}|^] . 2)
Граничное условие при г-*-О имеет вид ') /?Пго(О) =
= const < оо для / = О и Rnri @) = 0 для 1Ф0.
Для частицы в кулоновском потенциале притяже-
притяжения, U = —а/г, уровни энергии и радиальные функ-
функции для состояний дискретного спектра имеют вид
Еп = —ma2/2h2n2 и
(» — f — DI
rlna
\na) Ln+lVna)'
(IV. 3)
где n = nr + / + 1 — главное квантовое число, а =
= H2/ma (для атома водорода а определяет радиус
Бора), Ln(z) — обобщенный полином Лагерра, вы-
выражающийся через гипергеометрическую функцию
k)l F(k-n, k+l, z).
¦) При этом имеются в виду регулярные потенциалы, для ко-
которых r2U—>-0 при г-*-0. Для них два независимых решения на
малых расстояниях имеют вид Ri со г1 и i?2 °° r~l~l. Исключе-
Исключение из рассмотрения возрастающего решения для / =т^= 0 есте-
естественно и связано с его ненормируемостью. При I = 0 для рас-
растущего решения, i?2 °° 1/г. имеем Д/?2 °° б (г), так что оно ие
удовлетворяет уравнению (IV. 1) при г-»-0. Такое решение, квад-
квадратично интегрируемое на малых расстояниях, используется при
моделировании короткодействующего центра потенциалом нуле-
нулевого радиуса, см. задачу 4.10. Для сингулярного потенциала
притяжения возникает «падение на центр» и вопрос о выборе
граничного условия при л—>-0 требует дополнительного иссле-
исследования, см. в связи с этим 9.14.
46
В частности, для нескольких нижних состояний
Rl0 = 2a.-3l2e-rla (основное, ls-состояние),
У?20 = Bа3)/2 A - г/2а)е~г12а Bу-состояние), (IV. 4)
У?21 = B4а5)" ге~фа Bр-состояние).
Для решения уравнения (IV. 2) часто оказывается
удобным перейти к новой функции %nri = rRnrh Для
которой
h2t(l+\) , ,,, л с плт к.
+ U Щ X»r» = EnrKnri (IV. 5)
н Хяг/@) = 0; это уравнение по форме совпадает
с обычным уравнением Шрёдингера в одномерном
случае.
Часто используется также подстановка unri =
= дА" Rn i\ тогда уравнение принимает вид
(IV. 6)
а граничное условие в нуле unj.t @) = 0.
§ 1. Состояния дискретного спектра
в центральных полях
4.1. Указать связь энергетических уровней ЕПг0 и
нормированных волновых функций Ч^оо (г) стацио-
стационарных s-состояний дискретного спектра частицы в
центральном потенциале 0(г) с уровнями Еп и нор-
нормированными функциями Wn(x) в одномерном по-
потенциале О(х) вида О(х) = U(х) при х > 0, О(х) =
= оо при х <. 0 (см. также задачу 2.5).
Используя установленное соответствие, найти:
а) спектр s-уровней в бесконечно глубокой сфе-
сферической потенциальной яме, т. е. ?/(г) = 0 при г <С а
и U = оо при г > а;
б) условие существования связанных состояний
частицы в потенциале: U = ¦—Uo при г <. а и U = 0
при г > а.
4.2. Как изменяются значения Enri энергетиче-
энергетических уровней частицы дискретного спектра
а) при фиксированном значении I с увеличе-
увеличением пг,
47
б) при фиксированном значении пг с увеличе-
увеличением /?
4.3. Пусть N— номер уровня в центральном по-
потенциале в порядке возрастания энергии (основному
уровню отвечает N= 1). Каковы для N-ro уровня
а) максимально возможное значение момента /,
б) максимально возможная кратность вырожде-
вырождения уровня,
в) максимально возможная кратность вырожде-
вырождения уровня при условии, что он имеет определенную
четность?
4.4. Найти уровни энергии и нормированные вол-
волновые функции сферического осциллятора, U =
= kr2f2, используя при решении уравнения Шрёдин-
гера разделение переменных в декартовых коорди-
координатах. Определить кратность вырождения уровней и
произвести их классификацию по значениям кванто-
квантовых чисел пг, I и четности. Связать «случайное» вы-
вырождение уровней с коммутативностью операторов
Tik = pipk/m -f- kxak с гамильтонианом осциллятора.
4.5. Рассмотреть стационарные состояния сфери-
сферического осциллятора (см. предыдущую задачу), ис-
используя при решении уравнения Шрёдингера сфери-
сферические координаты.
4.6. В основном состоянии атома водорода найти:
а) гп для электрона, п — целое;
б) среднюю кинетическую и потенциальную энер-
энергию электрона;
в) распределение по импульсам электрона;
г) эффективный (средний) потенциал ф(г), созда-
создаваемый атомом.
4.7. Найти среднее электрическое поле ?(г) и его
флуктуацию (флуктуацию компонент поля) на боль-
больших расстояниях от атома водорода, находящегося в
основном состоянии. Обратить внимание на характер
убывания найденных величин с увеличением рас-
расстояния.
4.8. Найти s-уровни в потенциалах:
а) и = — аЬ(г — а); б) U = —Uoe~rla;
в) U = - Uo/(e«° - I).
4.9. Найти уровни с произвольным моментом / в
потенциалах:
a) U = — аб (г — а); б) U = 0 при г < а и U = оо
при г > а.
48
4.10. Потенциал нулевого радиуса (трехмерный
аналог одномерного б-потенциала, см. 2.7) задается
наложением на волновую функцию граничного усло-
условия вида 2)
(r))-+-a0 при
т. е.
Обсудить вопрос о возможности существования
(в зависимости от знака а0) в таком потенциале свя-
связанных состояний частицы. Найти волновую функ-
функцию связанного состояния в импульсном представле-
представлении. Каковы средние значения Т, U?
4.11. Найти энергетический спектр частицы, нахо-
находящейся в бесконечно глубокой сферической потен-
потенциальной яме радиуса а и испытывающей также дей-
действие в точке г = 0 потенциала нулевого радиуса
(п. н. р.). Сравнить со спектрами в яме и в п. н. р.
в отдельности. Обратить внимание на возможность
существенной перестройки спектра «ямных» уровней
под влиянием п. н. р.
4.12. Обсудить вопрос о связанных состояниях
частицы в случае сепарабельного потенциала, пред-
представляющего интегральный оператор с ядром (срав-
(сравнить с 2.19): U(r,r') = —kf(r)f*(r'), причем f(r)^O
при г-+оо. Рассмотреть конкретный случай U =
= — (Х/гг') ехр (—у (г + г')) (потенциал Ямагучи).
4.13. Рассмотреть связанные s-состояния частицы
в б-потенциале 0 = —а,8(г—а), исходя из решения
уравнения Шрёдингера в импульсном представлении.
4.14. Найти решение уравнения Шрёдингера пре-
предыдущей задачи с граничным условием Ф(р)=0 для
р < р0 (р0 > 0).
Показать, что в такой постановке задачи в яме
произвольной глубины имеется связанное состояние,
2) Такой «потенциал», оказывающий действие лишь на час-
частицу с / = 0, моделирует потенциальную яму достаточно произ-
произвольного вида U (г) конечного радиуса rs в случае, если в ней
имеется мелкий реальный (или виртуальный) уровень с энер-
энергией е0 такой, что е0 -С t?jmr\. При этом свойства состояний
частицы с моментом / = 0 и энергией Е -С tC''j'mr\ слабо зави-
зависят от конкретного вида U(r). Применения потенциалов нуле-
нулевого радиуса в задачах атомной и ядерной физики рассмотрены
в главах 11 и 13, см. также монографии [19,20].
49
в котором частица локализована в ограниченной об-
области пространства, и найти энергию связи частицы
в случае мелкой ямы. Образование связанного со-
состояния в рассматриваемой постановке задачи при
наличии сколь угодно слабого притяжения состав-
составляет содержание так называемого феномена Купе-
Купера— явления, лежащего в основе микроскопического
механизма сверхпроводимости.
4.15. Найти уровни энергии и нормированные вол-
волновые функции дискретного спектра в одномерном
потенциале U = —а/х при х > 0 и U = оо при
х <; 0 из решения уравнения Шрёдингера в импульс-
импульсном представлении. Используя полученный резуль-
результат, найти нормированные волновые функции s-co-
стоянип частицы в импульсном представлении для
кулоновского потенциала U(r)= —а/л
4.16. Найти поведение при р—>-0 волновой функ-
функции Фпг1т{р) стационарного состояния дискретного
спектра с моментом / частицы в импульсном пред-
представлении.
4.17. Показать, что асимптотика волновой функ-
функции стационарного s-состояния частицы в импульс-
импульсном представлении при р-э-оо имеет вид
Ф„гоо (р) - -2 BяЙK/2 ^„г00 @) mp-2U (р),
где Y^ooW — волновая функция состояния в коор-
координатном представлении,
О (р) = BпЙ)~3 J е-'р'/* U {r) dV
— фурье-компонента потенциала. Предполагается, что
О (р) при р-^-оо убывает степенным образом:
U{p)cap~n с я>1 и не содержит быстро осцилли-
осциллирующего множителя вида sin(apft) с k ^ 1.
4.18. Показать, что обобщение результата преды-
предыдущей задачи на случай состояния с произвольным
значением момента I имеет вид
Фмт(Р) ^ -2Bnhfl2Bi)lmhlRnr[@)X
50
где Rnri (г) связано с волновой функцией в коорди-
координатном представлении соотношением Wnrlm (г) =
= rlRnrl(r)Ylm(r/r).
4.19. Частица находится в потенциале, имеющем
при г-э-0 вид U m <x/rs с s<2. При этом радиаль-
радиальная волновая функция состояния с моментом / имеет
вид Rnri ~ Cnrirl. Найти поправку к этому выраже-
выражению при значениях 0 < 5 < 2.
4.20. Найти функцию Грина Gf(r,r') свободной
частицы для значений Е <; 0, убывающую при г->-
->-оо. С помощью функции Грина записать уравнение
Шрёдингера для состояний дискретного спектра в
потенциале U(r), обращающемся в нуль при г-э-оо,
в виде интегрального уравнения.
4.21. Как известно, у частицы в потенциале притя-
притяжения U(r)^0 (U(r)->-0 при r->oo) не всегда
имеются связанные состояния. Показать, что необхо-
необходимым условием существования таких состояний яв-
является выполнение неравенства
Сравнить это условие с точным условием суще-
существования состояний дискретного спектра в потен-
потенциальных полях: прямоугольная яма (см. 4.1), б-по-
тенциал и экспоненциальная яма (см. 4.8), см. так-
также 4.32.
4.22. Показать, что выполнение условия
(
^Ц$ U(г)[1 -ехр (-2
¦¦ч
является необходимым для существования в цент-
центральном потенциале U(r)^.O (U(r)-^0 при r-»-oo)
связанного состояния частицы с энергией связи so
(при So—>-0 это условие соответствует результату
предыдущей задачи).
4.23. Найти функцию Грина Gi,E(r,r') радиаль-
радиального уравнения Шрёдингера (IV. 6) для свободной
частицы с Е = —bs-v?jim <0 на отрезке [а, Ь] (при
51
этом 0 ^ а < Ь ^ оо):
ft» ГУ .1 д A+1/2)» Л Q . ,._
удовлетворяющую граничным условиям G/ Б(а, г') =
= GKB(b, r') = 0.
4.24. Показать, что выполнение условия
1)л,А2/2т
является необходимым для существования в потен-
потенциале притяжения U(r)^.Q (U-уО при г-voo)
«г уровней с моментом / частицы.
§ 2. Состояния с малой энергией связи.
Частица в совместном поле короткодействующего
и дальнодействующего потенциалов
4.25. Обобщить результат задачи 2.13 на случай
s-состояний частицы в центральном поле. Найти ус-
условия существования и появления новых дискретных
s-уровней в потенциалах:
а) U = —а/г* при г > а и U = оо при г < а, рис. 17;
б) и = -ф + аL, а > 0;
в) и =-и*ц2 tff
Vir)
1
1
Vlr)
а г
Рис. 17
—a/rs при г > a и t/ =
—a/rs при г < a и
-^ а Г
(
Рис. 18
оо при г < a; s > 2,
и =
0 при г > а;
г) U = —
рис. 17;
д) U /
0<s<2, рис. 18.
4.26. Обсудить вопрос об условиях существования
и появления новых связанных состояний частицы
52
с отличными от нуля значениями момента при углуб-
углублении потенциальной ямы на основе уравнения Шрё-
дингера для Е = 0. Каково качественное отличие вол-
волновой функции в момент возникновения связанного
состояния с 1ф0 по сравнению со случаем / = 0?
Рассмотреть конкретные потенциалы a) U=
= —аб(г— а); б) U = —а/г4 при г> а и U = оо
при г <. а, рис. 17.
4.27. Параметры центрального потенциала U0{r)
таковы 3), что в нем имеется состояние дискретного
спектра с моментом / = 0 и Е = 0. Волновая функ-
функция Wo = Xo(r)/'\^4nr этого состояния (т. е. в момент
возникновения уровня) считается известной и норми-
нормированной, для определенности, условием %о(г)-+1
при г—voo. Показать, что смещение этого уровня ЬЕ0
под влиянием малого возмущения Ы1 ^ 0 описы-
описывается выражением
Применить полученный результат к потенциалу
U = —аб(г — а) и сравнить с точным решением,
см. 4.8, а.
4.28. Показать, что обобщение результата преды-
предыдущей задачи на случай / ф 0 имеет вид
где xf — волновая функция в момент возникновения
уровня (Ч1"'0'= ХгО)^гт/г) — нормирована уже обычным
о
условием \ (xfJ dr = 1.
о
Обратить внимание на различные законы углуб-
углубления уровня 6Ei оо 6[/ и б^о оо—FUJ под влиянием
возмущения в случаях / ф 0 и / = 0 соответственно.
3) При решении считать для простоты, что UsO при г > а,
а — радиус потенциала. Утверждение задачи сохраняется и для
потенциалов, убывающих при г-*-оо быстрее, чем со 1/г2. В связи
с задачами 4.27 и 4.28 см. также 13.49.
53
Применить полученный результат к б-потенциалу
и сравнить с точным решением, см. 4.9, а.
4.29. Найти 4) сдвиги энергетических уровней час-
частицы в центральном поле U(г) под влиянием потен-
потенциала нулевого радиуса (п. н. р., см. 4.10), считая их
малыми по сравнению с расстоянием между невоз-
невозмущенными уровнями. Спектр и собственные функ-
функции оператора Гамильтона для потенциала U(r) счи-
считать известными. Указать условие применимости
полученного результата. В качестве иллюстрации
рассмотреть приложение к задаче 4.11.
4.30. Показать, что обобщение результата преды-
предыдущей задачи на случай, когда состояние Wn^(г) яв-
является слабосвязанным, имеет вид
nn — L V l-n a
здесь Rn]' (r) — радиальная волновая функция в мо-
момент появления s-уровня с Е = 0, нормированная ус-
условием ri?|j0) (г) —>" 1 при г->оо.
4.31. Частица находится в поле U(г) (причем
г?/—^0 при г-»-0) и испытывает также действие по-
потенциала нулевого радиуса, локализованного в точке
г = 0, см. 4.10. Считая известной функцию Грина
частицы G0(r, r';E) в потенциале 0 (г), показать,
что спектр связанных состояний в рассматриваемой
системе может быть определен из уравнения 5)
та0
Получить отсюда для сдвига уровня результат тео-
теории возмущений по длине рассеяния (см. задачу 4.29,
а также 11.4):
ДР ~ 2ЯЙ^ I @) @) 12
здесь ао=1/ос0-—длина рассеяния в п. н. р.,
Ч'п' (г) — волновая функция невозмущенного уровня,
существующего в потенциале U(r), а &Еп — его сдвиг
под влиянием п. н. р.
4) По затронутым в задачах 4.29—31 вопросам см. также
11.4 и 9.3.
5) Многочисленные приложения этой формулы рассмотрены
в [20].
54
4.32. Для монотонного потенциала притяжения:
?/'(/•) ^ О и U(r)-+0 при г-»-оо, показать, что вы-
выполнение неравенства
является необходимым условием существования свя-
связанного состояния; сравнить с 4.21.
Указание. Рассмотреть потенциал О (г), для кото-
которого волновая функция в момент возникновения свя-
связанного состояния имеет вид
Xo = cos I — j p0 (r) dr I, где p0 (r) = V'—2mU (r),
и сравнить его с U(r).
§ 3. Системы с аксиальной симметрией
4.33. Найти энергетические уровни дискретного
спектра частицы в двумерной потенциальной яме
вида
а) U (р) = — ссб (р — а);
б) U——Uu при р<а и [7 = 0 при р > а,
отвечающие значению проекции момента т = 0. Спе-
Специально обсудить случай мелкой ямы; сравнить с од-
одномерным движением.
4.34. Найти энергетический спектр связанных со-
состояний частицы с произвольным значением проекции
момента т в двумерных потенциальных полях:
а) U (р) = —сс/р;
б) U = 0 при р < а и [7 = оо при р > а.
Указать кратность вырождения уровней.
4.35. В двумерном случае найти функцию Грина
свободной частицы при энергии Е < 0, убывающую
при р —*- оо.
4.36. То же, что и в предыдущей задаче, но для
Е > 0. Рассмотреть функции Грина Git\ имеющие
асимптотики при p-voo вида расходящейся и сходя-
сходящейся волн.
55
4.37. Найти функцию Грина бг(ф, ф') плоского
ротатора (см. 3.1). Рассматривая ее как аналитиче-
аналитическую функцию комплексной переменной Е, показать,
что она имеет особые точки — полюсы, и установить
связь между положениями этих полюсов в плоскости
Е и энергетическими уровнями ротатора, сравнить
с 2.26.
4.38. Найти функцию Грина Ge{x\,x\') сфериче-
сферического ротатора, п — единичный вектор вдоль оси ро-
ротатора (см. 3.2). Задачу предлагается решить двумя
способами:
1) непосредственно решая уравнение для функции
Грина,
2) используя общий алгоритм построения функ-
функции Грина; см. [15, с. 136].
Глава 5
СПИН
Волновая функция частицы со спином s имеет
Bs+ 1) компоненту и в 5г-представленин изобра-
изображается в виде столбца
X, S)
¦ф(г, s — 1)
(V. 1)
г <л i
где ip (г, а) является амплитудой состояния с проек-
проекцией спина на ось г, равной а, причем а = s, s — 1, ...
..., —s. В этом представлении операторы компонент
вектора спина — механического момента по своей фи-
физической природе — изображаются матрицами sx, sy,
sz, элементы которых определяются общими форму-
формулами (III. 9) с / = s, т = а; матрица sz диагональна
И (§ \ — фЛ
Для спина s=l/2 эти операторы s = '/2o вы-
выражаются через матрицы Паули:
56
Матрицы Паули обладают следующим свойством1)::
(V.3>
(здесь /, k=\, 2, 3; при этом в\ = ох, а2 = ау>.
а3 =s az) ¦
В случае s = 1/2 для компонент спиновой функ-
функции часто используются обозначения •ф1==ф(а =
==+1/2) и 1|>2 = -ф(с = —1/2), так что W =
а скалярное произведение в спиновом пространстве
записывается в виде {Ф | W) = ф*Ч^ == ф*о|з1 + ф^-
Отметим характерное для s = 1/2 свойство про-
произвольного спинового состояния: возможность всегда
указать такое направление, на которое проекция
спина имеет определенное (равное ±1/2) значение.
Если записать нормированную на 1 спиновую функ-
функцию наиболее общего состояния в виде
е'<? sin F/2)
V (V4>
то 9 и ф определяют полярный и азимутальный углы
такой оси п, для которой sn = +1/2, см. 5.3.
Часто приходится иметь дело со спиновым со-
состоянием, описываемым матрицей плотности р. Эле-
Элементы рао, такой матрицы сопоставляются билинейной,
комбинации i|)(a)\l)*(a') из спиновых волновых функ-
функций и могут рассматриваться как результат некото-
некоторого усреднения ее2):
Р00, = Ч>(<т, 1)Г(о', A) (V.5)
(здесь К—-параметр усреднения). При этом среднее
значение оператора (матрицы) / в спиновом про-
') В частности: а2х = a2 = b\ = 1, ахау = iaz и т. д. Из (V. 3)
следует антикоммутативность разных матриц Паули: о.дк +
-)- ст^бч = 0 для i ф k.
2) Матрица плотности нормирована условием Sp p == 1. Ее
диагональные элементы pa(J определяют вероятности соответ-
соответствующих значений а проекции спина на ось г. В случае р2 = р
матрица плотности имеет вид раа, = ф (а) ф* (а') и характери-
характеризует чистое состояние, описываемое уже волновой функцией ty(o).
5Т
сгранстве описывается выражением / = Sp(fp) =
= Sp(pf).
Для спина s = 1/2 матрица плотности может быть
записана в виде
р=±(\ + Рв), (V.6)
где Р = 2s—-так называемый вектор поляризации.
Случай Р = 0 соответствует полностью неполяризо-
ванному состоянию, а при |Р|=1, наоборот, состоя-
состояние является чистым и описывается спиновой функ-
функцией (V. 4) с выбором соответствующей оси вдоль
вектора Р.
§ 1. Спин s=l/2
5.1. Для частицы со спином s = 1/2 найти соб-
собственные значения и собственные функции операто-
операторов §х, sy и sz соответственно.
5.2. Указать вид оператора проекции спина sn на
произвольное направление, задаваемое единичным
вектором п. В состояниях с определенным значением
проекции спина на ось z найти §п. Каковы в этих
состояниях вероятности значений проекции спина
±1/2 на направление п?
5.3. В случае спина 5=1/2 нормированная вол-
волновая функция наиболее общего спинового состояния
/ cos a \
имеет вид 4^ = 1 ,„ ), где 0<а<я/2, 0<Р<
Ч е р sin а /
< 2я. Найти полярный и азимутальный углы такой
оси п в пространстве, на которую проекция спина
имеет определенное значение, равное +1/2 (возмож-
(возможность указать такую ось для произвольного состоя-
состояния— специфика спина s = 1/2; сравнить с резуль-
результатом 3.42 для момента L = 1).
Используя полученный результат, решить за-
задачу 5.1.
5.4. Показать, что коэффициенты в разложении
произвольной квадратной матрицы 2-го ранга А по
полной системе матриц Т, ох, ау, oz
А = ОоГ + ах6х + ауди + агаг = «о + ао
равны 2а0 = Sp А, 2а = Sp (aA).
58
5.5. Упростить выражение (аа)", где а^—веще-
а^—вещественный числовой вектор, п — целое число, а — мат-
матрицы Паули.
5.6. Найти:
1) собственные значения и собственные функции
оператора f = a-\-ba,
2) явное выражение для оператора вида F =
= F(a + ba); здесь а и b — вещественные скалярный
и векторный параметры, F(z) — достаточно произ-
произвольная функция переменной г.
Рассмотреть в качестве иллюстрации оператор
R (qp0) = ехр (иро<т/2), описывающий преобразование
спиновой функции, W = ^((fo)^, при повороте си-
системы координат на угол <р0, и с его помощью найти
собственные функции Ws =±1/2 оператора проекции
спина на направление вектора п (сравнить с 5.3).
5.7. Используя закон преобразования спиновых
функций 4f = ( ) при вращении системы координат
\Vf2/
"У = ./?(q>oL; (см. предыдущую задачу), показать,,
что при этом величины вида
не изменяются, т. е. являются скалярами, а вида
V = 0>W ГИЛИ V = Z Фа (ЛОа
V а, р
преобразуются как вектор.
5.8. Рассмотреть матричный элемент вида
<У2) | А | ФA>> <Ф<2) | В | Ч*>> - ^ *Аа^у» %^'
где А, В — некоторые матрицы 2 X 2, a WiU 2), ФA> 2) —
спиновые функции. Показать возможность записи его
в форме
S ^(^Ча^^'Хф^и^Ф'1»)
с «переставленными» спиновыми функциями; здесь
для единообразия записи положено Г=ст0. Записать
таким образом скалярные матричные элементы
и <У2)|5|фA)><ФB)||>
59-
5.9. Найти проекционные операторы Psz=±\/2 для
¦состояний с определенным значением проекции спина
на ось z. Какой вид имеет их обобщение PSn==±i/2
на случай определенного значения проекции спина
на ось, направление которой задается единичным век-
вектором п? С помощью этих операторов найти спино-
спиновые функции Ws =±1/2 и сравнить с 5.3.
5.10. Для системы из двух спинов cs = 1/2 найти
собственные функции Wss операторов квадрата сум-
суммарного спина и его проекции на ось г. Обратить
внимание на характер симметрии этих функций по
отношению к взаимной перестановке спиновых пере-
переменных обеих частиц в зависимости от значения S.
5.11. Система из двух спинов cs= 1/2 находится
в состоянии, описываемом спиновой функцией вида
цгар = фа%р (мультипликативный вид Ч^р указывает
на отсутствие корреляции между спиновыми состоя-
состояниями частиц).
Каковы вероятности различных значений S сум-
суммарного спина в этом состоянии? Чему равно значе-
значение S2? Рассмотреть, в частности, случай, когда
фа = %а-
5.12. Для системы из двух частиц со спинами
s = 1/2 показать, что
1) оператор o{g2 в состояниях, отвечающих опре-
определенному значению суммарного спина, также имеет
определенное значение,
2) оператор (о^J может быть представлен в
виде, содержащем матрицы Паули аь2 в степени не
выше первой.
5.13. В условиях предыдущей задачи найти опе-
оператор спинового обмена С, действие которого на спи-
спиновую функцию Wafi состоит в следующем: СЧ^ар =
= Ч^а) т. е. он переставляет спиновые переменные
обеих частиц (задача состоит в том, чтобы выразить
С через матрицы Паули).
5.14. Для системы из двух частиц со спином s =
= 1/2 найти собственные функции и собственные
значения операторов:
а) Vi = F {a A-baia2), F {х) — некоторая функция х;
б) V2 = a (д„ + 6^)
-60
г) Vi = axblz-\- Oa^z + baxa2
(параметры a, b вещественны, так что операторы V
эрмитовы).
5.15. Спины N частиц, равные s каждый, склады-
складываются в результирующий спин 5 = Ns. Каков при
этом суммарный спин любых 2, 3 п частиц?
Имеет ли спиновая функция определенную симмет-
симметрию по отношению к перестановке спиновых пере-
переменных любых двух частиц?
5.16. Спиновая функция системы из N спинов
s = l/2 имеет вид
•¦¦ UJnuЛ+1 •' vi)n'
Найти s2. В частных случаях п=\ и п = N—1
найти также вероятности возможных значений 5 сум-
суммарного спина.
5.17. Состояние частицы со спином s = 1/2 харак-
характеризуется определенными значениями квантовых чи-
чисел /, т, sz. Найти вероятности возможных значений
/ полного момента j = 1 + s; воспользоваться резуль-
результатом 3.29.
5.18. Моменты двух слабо взаимодействующих
подсистем, равные 1 и 1/2, складываются в резуль-
результирующий момент /. В состояниях совокупной систе-
системы, характеризующихся определенными значениями
/ и Jz, найти вероятности значений проекций склады-
складываемых моментов на ось г и их средние значения.
При решении задачи воспользоваться операторами ]+,
не прибегая к коэффициентам Клебша — Гордана.
5.19. В системе из трех частиц со спином s= 1/2
имеется восемь независимых ^спиновых состояний.
Произвести их классификацию по значениям суммар-
суммарного спина системы. Найти полную систему спино-
спиновых функций Ssz, описывающих состояния с опре-
определенными значениями 5, Sz суммарного спина. Об-
Обратить внимание на характер симметрии этих
функций по отношению к перестановке спиновых пе-
переменных частиц и сравнить со случаем системы из
двух частиц.
61
§ 2. Спин-орбитальные состояния частицы
со спином s=l/2. Высшие спины
5.20. Состояния частицы с определенным значе-
значением X проекции спина на направление импульса на-
называют спиральными3). Для частицы со спином s =
= 1/2 найти волновые функции WPo, >, состояний
с определенными импульсом р0 и спиральностью
Х = ±1/2.
5.21. Для частицы со спином s = 1/2 показать,
что наиболее общая спин-угловая зависимость вол-
волновой функции pi/2-состояния (т. е. состояния с / = 1
и полным моментом / = 1/2) имеет вид
W = (an)%, или ^a = 5apnxp,
где % = [ь) — произвольный спинор, не зависящий
от направления вектора п (п = г/г или п = р/р в
зависимости от используемого представления).
Нормировать на единицу эту волновую функцию.
Каково распределение (усредненное по спину) по
направлениям импульса частицы в указанном со-
состоянии?
Вычислив среднее значение j, выяснить, как этот
вектор зависит от конкретного выбора спинора %.
Найти вид функций, описывающих pi/2-состояния
с определенным значением ]г= ±1/2.
5.22. Провести анализ состояний частицы со спи-
спином s = l/2, спин-угловая зависимость волновых
функций которых имеет вид 1?± = A ±оп)% (спинор
X не зависит от п), по значениям следующих кванто-
квантовых чисел: /, /, / (четность), а также X— с. з. опера-
оператора X = on/2—проекции спина на направление век-
вектора п (при этом если п = р/р, т. е. используется
импульсное представление, то X является спираль-
спиральностью) .
Как функции W+ преобразуются при инверсии ко-
координат?
5.23. Для частицы со спином s = 1/2 показать,
что наиболее общая спин-угловая зависимость волно-
волновой функции состояния рз/2 имеет вид W = {2(сп) +
3) Отметим, что так как вектор импульса — полярный, а
спина — аксиальный, то спиральность является псевдоскалярной
величиной и при инверсии координат изменяет знак.
62
+ i [en] a} x, где вектор с и спинор % = ( ь J от век-
вектора п = т/г не зависят.
При каком конкретном выборе с и % указанная
функция описывает р3/2-состояние с определенным
значением /г=±1/2, ±3/2 проекции полного мо-
момента на ось z?
5.24. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-
угловые волновые функции ^щг состояний с опре-
определенными значениями /, /г и / = /±1/2 (/, / — ор-
орбитальный и полный моменты).
Задачу предлагается решить следующими двумя
способами, не прибегая к коэффициентам Клебша —
Гордана:
1) используя проекционные операторы Р/,
2) используя повышающие (понижающие) опера-
операторы f±.
5.25. Показать, что функции ^щг, рассмотренные
в предыдущей задаче, связаны соотношением
Wlhu = (an) 4,iiU, /,, 2 = / ± 1/2 (n = т/г или р/р).
Найти спин-угловую зависимость волновых функ-
функций W/i я (в импульсном представлении) состояний
частицы с определенными значениями /, \г и спираль-
ности К.
5.26. Частицу со спином s = 1 можно описывать
как симметричным спинором4) второго ранга ^^(г)
(спинорное представление), так и векторной функ-
функцией V(r) (векторное представление). Указать:
1) вид оператора спина в этих представлениях,
2) связь этих волновых функций с волновой функ-
функцией ij)(r, a) в Яг-представлении,
3) явный вид рассматриваемых волновых функ-
функций для состояния частицы с орбитальным моментом
/ = 1 и полным / = 0.
4) Для решения задач 5.26 и 5.27 надо знать основы спинор-
ной алгебры и связь спиноров с тензорами, см. § 56, 57 в [1].
При этом следует различать ко- и контравариантные спинорные
компоненты. Соответственно обычные матрицы Паули (V. 2) те-
теперь надо писать не в виде (ст.) , а как ст? R; здесь i является
векторным, а а и Р контра- и ковариантными спинорными ин-
индексами. В 5.26 и 5.27 векторные индексы изображаются латин-
латинскими буквами, спинорные — греческими.
63
5.27. Частицу со спином s == 3/2 можно, описывать
как симметричным спинором третьего ранга \j)aPv (r),
так и спин-векторной функцией VI (г), удовлетворяю-
удовлетворяющей дополнительному условию (dft)jjFf = O. Указать
вид оператора спина и связь волновых функций в этих
представлениях друг с другом и с волновой функцией
i|)(r, а) в Sz-представлении.
Указать вид волновых функций состояний час-
частицы с / = 1 и полным моментом / = 1/2.
§ 3. Спиновая (поляризационная) матрица
плотности. Угловые распределения и корреляции
в распадах
5.28. Система из двух частиц с s= 1/2 находится
в состоянии с определенными значениями S и 5г (S—
суммарный спин). Найти спиновые матрицы плотно-
плотности каждой из частиц в этих состояниях.
5.29. Частица со спином s = 1/2 находится в со-
состоянии с определенными значениями /, / и ]г. Найти
спиновую матрицу плотности, характеризующую спи-
спиновое состояние частицы безотносительно к ее поло-
положению в пространстве.
5.30. Указать ограничения на квантовые числа5) —
спин / и внутреннюю четность Р —нейтральной час-
частицы А0, следующие из факта существования распа-
распадов такой частицы А°^-я+я-, идущих с сохранением
четности; квантовые числа пиона J^± = 0~.
Найти угловое распределение пионов в системе
покоя частицы А0, если она находится в состоянии
с определенным значением /г, см. также 5.32.
5.31. Показать, что существование у К-мезона,
имеющего спин /к = 0, каналов распада как на два
Up
ля пиона /п =
= 0"), свидетельствует о несохранении четности в
его распадах (до открытия несохранения четности
считалось, что эти каналы распада соответствуют
двум различным частицам 0 и т; и именно разрешение
т — б-проблемы стимулировало эксперименты, в ко-
которых непосредственно было установлено несохра-
несохранение четности в слабых взаимодействиях).
5) При применении закона сохранения четности к распадам,
когда изменяется вид частиц, необходимо учитывать их внут-
внутренние четности. О распаде А°->2я° см. 10.5.
64
5.32. Покоящаяся частица X со спином J распа-
распадается на две бесспиновые частицы (например, на
два пиона). Найти угловое распределение продуктов
распада в случае, если
а) распадающаяся частица имеет определенное
значение /г,
б) находится в состоянии, описываемом спиновой
матрицей плотности ртт,, где т — проекция спина
на ось z.
В качестве иллюстрации рассмотреть угловое рас-
распределение пионов в распаде векторной частицы
У-^2я (/?=Г).
5.33. Найти угловое распределение продуктов рас-
распада B-^-nN нестабильной частицы В со спином
/в = 1/2, если
а) в распаде сохраняется четность, и четность
частицы В отрицательная;
б) в распаде сохраняется четность, и четность
частицы В положительная;
в) распад происходит с несохранением четности.
Предполагается, что спиновое состояние образующе-
образующегося нуклона не фиксируется (напомним квантовые
числа нуклона и пиона: /n = A/2)+, /я =0~).
5.34. В распаде Х-*-а + В бесспиновой частицыX
спин частицы а также равен нулю, а у частицы В
спин равен /. Найти поляризационную матрицу плот-
плотности частицы В при
а) фиксированном выборе в пространстве оси
квантования z;
б) выборе оси квантования вдоль направления
относительного движения продуктов распада (в си-
системе покоя X).
В случае а) найти также элементы матрицы плот-
плотности, усредненные по направлениям вылета продук-
продуктов распада.
5.35. В условиях предыдущей задачи частица В
в свою очередь распадается на две бесспиновые час-
частицы: B-vb + c. Найти функцию распределения по
значениям угла у между векторами ра—'импульса
частицы а в системе покоя X и рь — импульса час-
частицы b в системе покоя6) В (такчтосоэ y —РаРь/рарь)>
6) Обратим внимание на то, что векторы р и р, опреде-
определены по отношению к различным системам отсчета.
3 В. М. Галицкий и др. 65
описывающую корреляцию между направлениями вы-
вылета этих частиц.
5.36. Установить соотношение между спиновыми
матрицами плотности р(а-Ь) (п) частиц а и Ь, имеющих
спин 1/2 и образующихся в распаде Х-»-а + Ь бес-
бесспиновой частицы X (вектор п направлен вдоль отно-
относительного импульса частиц а и Ь). Обсудить слу-
случаи, когда а) четность в распаде сохраняется; б) рас-
распад происходит с несохранением четности.
Глава 6
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
Изменение во времени состояний квантовомеха-
нических систем может быть описано несколькими
различными способами.
В шрёдингеровском представлении волновая функ-
функция (вектор состояния) изменяется во времени в со-
соответствии с уравнением Шрёдингера
ih-§fW(q,t) = H4(q,t), (VI. 1)
а операторы динамических переменных: координат
ф, импульсов pi, спина s, от времени не зависят.
Если гамильтониан не зависит явно от времени, то
волновая функция системы может быть записана в
виде разложения *)
W(q, f) = ? с (Еп) е~1Е"*1нЧЕп (q) (VI. 2)
п
по полной системе собственных функций Ч?еп (q) га-
гамильтониана (описывающих стационарные состоя-
состояния). Коэффициенты в нем однозначно определяются
заданием волновой функции в начальный момент
времени
с (Еа) = \ ЧГБп (q) W(q,t = 0) dxq. (VI. 3)
Если некоторой физической величине / сопостав-
сопоставляется квантовомеханический оператор f = f((), /), t),
то оператор, соответствующий физической величине
') По поводу формы записи разложения см. подстрочное при-
примечание на стр. 12.
66
(производной по времени), определяется
соотношением
Физическую величину, для которой / = О, называют
интегралом движения.
Временная функция Грина G(q,t; q',t'), удовле-
удовлетворяющая уравнению Шрёдингера по переменным
q, t и начальному условию G(q, t = f, q', t') =
= 6(<7 — q'), позволяет записать решение уравнения
(VI. 1) в виде
W(q, t) = J G (q, t; q', 0) % {q>) dVf (VI. 5)
где Л?0(д)^Л? (q, t = 0). При не зависящем от вре-
времени гамильтониане для функции Грина имеем
G (q, t; q', П = Z e~iE« ^l^^ (q) чГв {q'). (VI. 6)
п
В частности, для свободной частицы, Я = р2/2т, вре-
временная функция Грина имеет вид
„ , , , ,,> ( im \3/2 г im (г — г'J 1
(VI. 7)
В гейзенберговском представлении, наоборот, от
времени не зависит волновая функция системы, а вре-
временная зависимость операторов динамических пере-
переменных определяется уравнениями2)
jf qi (t) = ~ [Н, qt (t)], ± pt (t) = ±- [H, fa (t)], (VI. 8)
причем гамильтониан H(q(t),p(t),t) выражается уже
через гейзенберговские операторы q(t), p(t), удов-
удовлетворяющие каноническому коммутационному соот-
соотношению [pi if), qk(t)] =—ihbik. Теперь соотношение
2) Чтобы различать используемое представление, у операто-
операторов динамических переменных в гейзенберговском представлении
указывается на их' временную зависимость: q(t), p(t). Обозна-
Обозначения q, p сохраняются для операторов в шредингеровском пред-
представлении. Обычно связь этих представлений вводится таким
образом, что при t = 0 соответствующие операторы и волновые
функции состояний совпадают, сравнить с (VI. 9).
3* . 67
(VI. 4) является уже не определением f, а непосред-
непосредственным следствием (VI.8).
Шрёдингеровское и гейзенберговское представле-
представления для описания временной эволюции системы
связаны унитарным преобразованием: W(q,t) =
= U(t)Wo(q). Если гамильтониан не зависит явно от
времени, то U(t)=exp(—iHt/h) и соотношение меж-
между операторами в этих представлениях имеет вид
fT (t) = ё«Щше-^к. (VI. 9)
§ 1. Представление Шрёдингера.
Движение волновых пакетов
6.1. Для указанных ниже систем и их волновых
функций Ч^о в начальный момент времени (t = 0):
1) частицы в бесконечно глубокой потенциаль-
потенциальной яме ширины а и W0(x) = A sin3(гос/а) при 0<
< х < а,
2) плоского ротатора и Wo(q>) — A sin2(p,
3) сферического ротатора и Wo @, ф) = A cos2 в
найти волновые функции в произвольный момент
времени. Показать, что через некоторое время Т рас-
рассматриваемые системы возвращаются в исходное со-
состояние.
6.2. Состояние свободной частицы при t = 0 опи-
описывается волновой функцией
Wo (х) = А ехр (-х2/2а? + 1рох/Н).
Найти изменение состояния во времени и следующие
средние: 7Щ, ~рЩ, (Лх(ОJ, (Ар (ОJ (см- также 6.21).
Показать, что ширина волнового пакета (Ax(t)J не-
независимо от значений параметров, определяющих
волновую функцию \Ро(*), не может быть произ-
произвольно малой.
6.3. Рассмотрим при t = 0 нормированный волно-
волновой пакет
составленный из собственных функций гамильтониа-
гамильтониана, отвечающих непрерывной части энергетического
спектра. Показать, что плотность вероятности нахож-
68
дения частицы в любой точке при t-+oo стремится
к нулю. Почему это обстоятельство не противоречит
сохранению нормировки волновой функции?
6.4. Состояние частицы в поле б-ямы (см. 2.7) при
t = 0 описывается волновой функцией 4Fo(x) =
= Лехр(—Р|х|), р > 0. Какова вероятность W(x)dx
обнаружить частицу на отрезке (х, х-\-dx) при t-*-
-> оо? Найти значение интеграла \w(x)dx и срав-
сравнить его с первоначальным значением. Объяснить
полученный результат.
6.5. При t = 0 состояние свободной частицы опре-
определяется нормированной на 1 волновой функцией
Фо(р) в импульсном представлении. Найти асимпто-
асимптотическое при ^-voo поведение ее волновой функции
W(x,t). Убедиться в сохранении нормировки. Для
иллюстрации результата рассмотреть волновой па-
пакет из 6.2.
6.6. Рассмотреть отражение волнового пакета от
непроницаемой стенки, т. е. для потенциала U = оо
при х > 0 и U = 0 при х < 0. В начальный момент
времени
W (х, t = 0) = А ехр [iPox/h ~(x + хоJ/2а2],
причем ро > 0, Хо > 0 и предполагается х0 3> а, так
¦1ТО можно считать W{x, 0) = 0 при х ^ 0.
Указание. Предварительно найти временную функ-
функцию Грина G(x,t;x',t') для рассматриваемого по-
потенциала.
6.7. Рассмотреть отражение волнового пакета от
потенциальной ступеньки вида U(x)=U0~>0 при
х > 0 и U(x) = 0 при х < 0 (рис. 8), считая, что па-
падающий слева на барьер пакет включает с одинако-
одинаковой амплитудой импульсы из интервала ро±Ар с
Ар <S ро и ?0 < Uo. Найти время задержки в про-
процессе отражения от барьера по сравнению со случаем
классической частицы.
6.8. Рассмотреть процесс отражения частицы по-
потенциалом U(x). Состояние движущейся в область
действия потенциала частицы описывается нормиро-
нормированным на единицу волновым пакетом. Считая для
определенности, что в этом пакете с одинаковой ам-
амплитудой представлены импульсы частицы из интер-
интервала ро ± Д/?, выяснить, при каких ограничениях на
Ар значения коэффициентов отражения и прохожде-
69
ния не зависят от его величины и определяются обыч-
обычными выражениями стационарной теории, см. (П. 4).
6.9. На двухуровневую систему3) (уровни невы-
невырожденные, их энергии е<0) и ej,0))t находящуюся в
одном из стационарных состояний, при t > О начи-
начинает действовать внешнее поле. Взаимодействие V
системы с полем характеризуется матричными эле-
элементами Vu, V22, Vl2 — V2\ между исходными невоз-
невозмущенными состояниями |1> и |2>, причем Уаь от
времени не зависят (при />0). Найти волновую
функцию системы при />0 и вероятности нахожде-
нахождения ее в собственных состояниях невозмущенного
гамильтониана Но.
§ 2. Изменение во времени физических величин.
Интегралы движения
6.10. Для заряженной бесспиновой частицы, нахо-
находящейся в электромагнитном поле4), найти опера-
операторы скорости v и ускорения w. Сравнить с выраже-
выражениями классической теории.
6.11. Для нейтральной частицы со спином s, имею-
имеющей собственный магнитный момент р,о и движу-
движущейся в электромагнитном поле5), найти операторы
скорости v, ускорения w и производной по времени
вектора спина s.
6.12. Показать, что среднее значение производной
по времени физической величины, не зависящей явно
от времени, в стационарном состоянии дискретного
спектра равно нулю. Основываясь на этом резуль-
результате6), усреднением оператора d(pr)/dt доказать
3) Двухуровневая система моделирует поведение системы,
энергетический спектр которой имеет два близких уровня. При
не слишком сильном воздействии на систему переходы между
этими и другими ее состояниями малы.
4) Гамильтониан частицы — см. (VII. 1).
5) Гамильтониан частицы — см. (VII. 1).
6) В ряде случаев для конкретного вида потенциала при
подходящем выборе оператора f (r, р) из условия
/ = (//А) [Н, f ] = О
можно получить соотношения между различными средними; см.
в связи с этим [15, с. 61].
70
теорему вириала для частицы, движущейся в потен-
потенциале U = arv.
6.13. Показать, что для системы из N заряженных
частиц, находящейся в n-м стационарном состоянии
дискретного спектра, справедливо равенство (так на-
называемое «правило сумм», см. также 14.11)
Z (Em - Еп) | (dt)mn f = N (/=1,2, 3),
где {di)mn — матричные элементы дипольного момен-
момента системы; суммирование проводится по всем неза-
независимым стационарным состояниям системы, ц и е —
масса и заряд каждой частицы.
6.14. Показать, что если не зависящий явно от вре-
времени унитарный оператор О оставляет гамильтониан
системы неизменным, так что UHU+ = Н, то связан-
связанный с U = exp(if) (см. 1.50) эрмитов оператор F
описывает сохраняющуюся величину — интеграл дви-
движения. Выяснить физический смысл интегралов дви-
движения системы из N частиц, связанных с инвариант-
инвариантностью ее гамильтониана относительно преобразова-
преобразований координат:
а) сдвига гге ^ г^ = г„ + а,
б) поворота на угол q>0 = qpono,
в) отражения тп->т'п = — тп; п=1, 2, ...,N.
6.15. Указать механические интегралы движения
для системы из N бесспиновых частиц, находящейся
в следующих полях:
1) при свободном движении,
2) в поле бесконечной однородной плоскости,
3) в поле однородного шара,
4) в поле двух точек,
5) в однородном поле, зависящем от времени,
6) в поле равномерно заряженного прямого про-
провода,
7) в поле бесконечной однородной цилиндриче-
цилиндрической винтовой линии.
6.16. Для частицы со спином s = 1/2, взаимодей-
взаимодействие которой с внешним полем имеет вид7)
а) U = U0(r) + UAr){a\),
б) U^U0(r) + Ut (r) (аг)/Л
7) См. также задачу 12.5.
71
указать интегралы движения и спин-угловую зависи-
зависимость волновых функций стационарных состояний.
6.17. Показать, что если f, и f2 — интегралы дви-
движения некоторой системы, то gi = (fif2 + f2fi) и ?2 =
= i(fifz — ^fi) также являются интегралами дви-
движения.
Для иллюстрации результата указать еще один
механический интеграл движения для системы, у ко-
которой сохраняются а) Рх и ]г, б) )х и Jy; объяснить
полученный результат, исходя из свойств симметрии
рассматриваемой системы.
6.18. Показать, что для частицы в однородном
поле оператор G = p — Fo^ является оператором со-
сохраняющейся величины (Fo — сила, действующая на
частицу). Сравнить с результатом классической ме-
механики.
§ 3. Унитарные преобразования, зависящие
от времени. Гейзенберговское представление
6.19. Доказать соотношение
e^Be-s=B + -^[A, B] + ±[A, [А, В]]+...
6.20. Для указанных ниже систем:
а) свободной частицы,
б) частицы в однородном поле, U = —Fox,
в) линейного гармонического осциллятора —
найти гейзенберговские операторы координаты и им-
импульса следующими способами: 1) используя уни-
унитарное преобразование, связывающее шрёдингеров-
ское и гейзенберговское представления и 2) непо-
непосредственным решением уравнений движения для
гейзенберговских операторов.
6.21. Используя гейзенберговские операторы ко-
координаты и импульса, найти следующие средние:
x(t), p~Ji), (Ax(t)J, (Ap(t)J для указанных в пре-
предыдущей задаче систем, находящихся в состоянии
с волновой функцией
W{x) = A exp [ipox/h -(x- x0f/2a2].
6.22. Исходя из уравнений движения для гейзен-
гейзенберговских операторов, показать, что [pi(t),xk(t)] —
72
6.23. Найти значение «разновременного» ком-
коммутатора [p{t), i(f)] для указанных в 6.20 си-
систем.
6.24. Частица (описываемая некоторым нормиро-
нормированным волновым пакетом) находится в однородном,
переменном во времени поле, причем сила F(/)-»-0
при ^-*-'±<х>. Найти изменение среднего значения
энергии частицы, вызванное действием поля. Срав-
Сравнить с результатом классической механики.
6.25. На линейный осциллятор, находящийся при
t-> оо в основном состоянии, действует внешняя
сила F(t), причем F(t)^>~0 при t—>-±оо. Найти ве-
вероятности возбуждения различных стационарных со-
состояний осциллятора и среднее значение его энергии
при t—>--f-°°- Для решения задачи воспользоваться
гейзенберговским представлением и исходить из урав-
уравнений движения для операторов рождения и уничто-
уничтожения a+(t), a(t).
6.26. Найти унитарный оператор, соответствую-
соответствующий преобразованию Галилея, т. е. переходу в но-
новую инерциальную систему отсчета. Убедиться в ин-
инвариантности уравнения Шрёдингера относительно
этого преобразования. Как при этом преобразуется
волновая функция частицы в координатном и им-
импульсном представлениях?
6.27. Найти унитарный оператор, соответствую-
соответствующий калибровочному преобразованию потенциалов
электромагнитного поля. Убедиться в инвариантно-
инвариантности уравнения Шрёдингера относительно этого пре-
преобразования.
6.28. Как необходимо преобразовать оператор Га-
Гамильтона системы, чтобы при зависящем явно от
времени унитарном преобразовании уравнение Шрё-
Шрёдингера сохранило свой вид? Сравнить с кано-
каноническими преобразованиями в классической ме-
механике.
6.29. Указать вид унитарного преобразования,
описывающего переход к равномерно вращающейся
системе координат. Как при этом преобразуются опе-
операторы координат, импульса, скорости и гамильто-
гамильтониан частицы? Сравнить с результатом классической
механики. Для иллюстрации рассмотреть заряжен-
заряженную частицу, находящуюся в циркулярном электри-
электрическом поле, т. е. таком, что &>x==e>0cos(ot, <&« —
73
6.30. Гамильтониан системы имеет вид Н = Яо +
+ V, где «невозмущенный» гамильтониан Яо не за-
зависит явно от времени. Рассмотреть унитарное преоб-
преобразование от шрёдингеровского представления к но-
новому, так называемому представлению взаимодей-
взаимодействия, осуществляемое8) унитарным оператором
0 = exp(iHo(t — to)/h) (при У = 0 и ^0 = 0 это пре-
преобразование описывает переход к гейзенберговскому
представлению).
Как изменяются во времени операторы и волно-
волновая функция системы в представлении взаимодей-
взаимодействия?
Для иллюстрации использования этого представ-
представления рассмотреть возбуждение линейного осцилля-
осциллятора, находящегося при t->—оо в основном состоя-
состоянии, внешней силой F(t), причем F(t)—>-0 при t—*-
->-±оо. Взаимодействие V = —F(t)x считать сла-
слабым. Сравнить с результатом точного решения,
см. 6.25.
§ 4. Временные функции Грина
6.31. Показать, что для не зависящего от вре-
времени гамильтониана временная функция Грина удов-
удовлетворяет уравнению9)
q(-t)G(q, t; q\ t' = O) = q'G(q, t; q\ 0),
где q(t) — гейзенберговский оператор.
Используя это соотношение, найти функцию Грина
свободной частицы в координатном и импульсном
представлениях. Получить ее также по формуле
(VI. 6). С помощью найденной функции Грина ре-
решить задачу 6.2.
Указание. Предварительно показать, что если в
шрёдингеровском представлении волновая функция
при / = 0 является собственной функцией не завися-
зависящего от времени оператора /, то ^?(q, t) является с.ф.
гейзенберговского оператора /(—t).
8) Значение времени t0 выбирается обычно таким образом,
чтобы оно предшествовало моменту включения взаимодействия
?(t), либо *о = О.
9) В случае нескольких степеней свободы это — система со-
соответствующего числа уравнений.
74
6.32. То же, что и в предыдущей задаче, для час-
частицы в однородном поле U = —For.
6.33. То же, что и в двух предыдущих задачах,
для линейного гармонического осциллятора.
6.34. Найти временную функцию Грина заряжен-
заряженной частицы в циркулярном электрическом поле во
вращающейся системе координат; см. в связи с этим
задачу 6.29.
6.35. Найти временную функцию Грина заряжен-
заряженной частицы в однородном магнитном поле.
§ 5. Квазистационарные и квазиэнергетические
состояния 10)
6.36. Найти сдвиг и ширину основного уровня час-
частицы в одномерной б-яме (см. 2.7), возникающие при
наложении однородного поля V = —Fox. Поле пред-
предполагается слабым, так что aF0<^ti2/ma2, где а =
= \/xo = 1i2/ma определяет область локализации
частицы в основном состоянии (в U(r)
более сильных полях при наруше-
нарушении этого условия ширина уров-
уровня становится порядка энергии свя-
связи частицы и исчезают специфи-
специфические свойства квазистационарно-
квазистационарного состояния на фоне непрерывного
спектра).
6.37. Найти квазидискретные
уровни энергии (их положение и
ширину) s-состояний частицы в по-
потенциале U = а8(г— а), см. рис. 19.
Специально обсудить случай малопроницаемого барь-
барьера таа/п2 ^> 1 и не очень сильно возбужденных
уровней. Связать ширину уровня с проницаемостью
б-барьера, см. 2.30.
6.38. Обсудить вопрос о сохранении нормировки
волновой функции состояния частицы в случае, когда
потенциальная энергия является комплексной функ-
функцией: U = Uo(r) — iUi(r), где U0,i — вещественные
функции (так называемый оптический потенциал).
">) См. по этим, как и по многим другим, вопросам кванто-
квантовой механики монографию А. И. Базя, Я. Б. Зельдовича и
А. М. Переломова [15]. Общие представления о квазиэнергети-
квазиэнергетических состояниях изложены в решении задачи 6.40, рассмотре-
рассмотрение их в рамках теории возмущений см. в 8.41—43.
¦//////,
Рис. 19
75
Изменение со временем нормировки волновой функ-
функции можно интерпретировать как «поглощение» или
«рождение» частицы при взаимодействии. Как свя-
связан знак мнимой части потенциала с характером та-
таких процессов?
Рассмотреть одномерную б-яму с U = —(а0 +
-\-iaiN(x) и найти сдвиг и ширину основного уровня
в ней, связанные с возможностью «поглощения» час-
частицы (см. в связи с этим также следующую задачу).
6.39. Рассмотреть следующую модель системы
с двумя каналами. Система состоит из двух частиц,
совершающих одномерное движение. Одна из них
является бесструктурной, а другая — составной, при-
причем у нее имеется лишь два независимых состояния
«внутреннего» движения, разность энергий которых
равна Qo (сравнить с системой электрон + ядро).
Волновую функцию такой системы в с. ц. и. можно
рассматривать как двухкомпонентный столбец х? =
( *1 (*, t) \
— I , I, где х = х2 — х\ — относительная коор-
\ Vp 2\Х, I) /
дината, a i|)i,2 являются амплитудами нахождения
составной частицы в 1-м и 2-м внутренних состояниях
(соответственно этим двум возможностям и можно
говорить о двух каналах). Взаимодействие частиц
является точечным и описывается оператором
а, р — вещественные параметры, причем а > 0.
Найти спектр дискретных и квазидискретных
уровней такой системы. Показать, что при энергиях,
близких к порогу второго канала, динамика в нем
может быть рассмотрена на основе (одноканального)
оптического потенциала и найти его вид.
6.40. Заряженная частица находится в однород-
однородном электрическом поле <g (t), периодически изме-
изменяющемся со временем, % (t -f- T) = % (t), причем так,
что среднее за период значение напряженности поля
равно нулю. Найти спектр квазиэнергии и вид вол-
волновых функций квазиэнергетических состояний. Спе-
Специально обсудить случаи
а) * (9 = *о cos arf;
б) gx = «Го cos id, S'y^S'oSinat, &Z = Q
76
(электрическое поле соответственно линейно и цир-
циркулярно поляризованной монохроматической волны).
Указание. Воспользоваться описанием электриче-
электрического поля с помощью векторного потенциала:
%(t)~—A(t)/c, который в случае <d(/) = 0 является
периодической функцией времени. Об изменении ка-
калибровки потенциалов см. 6.27.
6.41. Исследовать квазиэнергетические состояния
(КЭС), возникающие из двукратно вырожденного
уровня гамильтониана Яо под влиянием периодиче-
периодического возмущения V(t), матричные элементы кото-
которого между двумя рассматриваемыми состояниями
невозмущенного гамильтониана равны11) Уп =
= У22 = О, V\2 = V2i = Vo sin at, при этом Vo = Vo-
Выполнить разложение волновых функций КЭС по
квазиэнергетическим гармоникам, см. 6.40. Наличием
других состояний пренебречь, сравнить с двухуров-
двухуровневой системой из 6.9.
6.42. Показать, что рассмотрение квазиэнергети-
квазиэнергетических состояний и вычисление спектра квазиэнер-
квазиэнергии для системы, находящейся в электрическом поле
циркулярно поляризованной волны, т. е. <SX = &0 cos at,
<oy = <gus\nat, ^z = 0, может быть сведено к реше-
решению стационарного уравнения Шрёдингера.
Глава 7
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Гамильтониан заряженной частицы со спином s
и спиновым магнитным моментом ') цо в присутствии
") Эта задача моделирует, например, влияние электрического
поля Ш (t) = Шо sin <at на заряженную частицу в потенциале с вы-
вырожденными s- и р-уровнями Bs- и 2/э-состояния с U = 0,
ось г вдоль So, в атоме водорода). При напряженности поля,
много меньшей атомной, искажение волновых функций мало и
наиболее существенным является их «перемешивание» внешним
полем.
') Оператор спинового магнитного момента ц = nos/s, так
что последнее слагаемое в (VII. 1) имеет вид —цЛ?; для час-
частицы с s = 1/2 оно равно — ЦцОХ.
Обратим также внимание на использование в решениях за-
задач следующих обозначений: буквы т — как для массы, так
и для магнитного квантового числа, а ц — как для магнитного
момента, так и для массы.
77
магнитного поля — гамильтониан Паули — имеет вид
при этом Ш = rot А и р = — i
Оператор скорости частицы v = (p — e\/c)/m
(см. 6.10); его компоненты удовлетворяют коммута-
коммутационному соотношению
[vt, vk] = ietvsiM3etlm2c, (VII. 2)
или в векторной форме v X v = ieft%?/m2c.
В однородном магнитном поле Жо энергетический
спектр поперечного движения 2) частицы является
дискретным:
Et п — Йюя (п + 1/2), я = 0, 1, 2, ... {уровни Ландау),
(VII. 3)
где Шя =\е\Ж0/тс, а вид собственных функций га-
гамильтониана зависит от калибровки потенциала,
см. 7.1.
Плотность тока в присутствии магнитного поля
представляется в виде двух слагаемых:
j=jop6 + jcn, (VII. 4)
где первое слагаемое связано с орбитальным движе-
движением
—
(VII. 5)
а второе — со спиновым магнитным моментом час-
частицы
V). (VII. 6)
§ 1. Стационарные состояния частицы
в присутствии магнитного поля
7.1. Найти уровни энергии и нормированные соот-
соответствующим образом волновые функции стационар-
стационарных состояний заряженной бесспиновой частицы в
однородном магнитном поле (направленном вдоль
2) Т. е. в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.
78
оси z) при следующих калибровках векторного по-
потенциала:
а) Ах = 0, Ау = Жох, Az = 0; б) А = [ЗД/2.
Обратить внимание на дискретность энергетиче-
энергетического спектра поперечного движения частицы и на
различный характер нормировки «поперечной» части
собственных функций. С чем связано такое свойство
с. ф.? Сравнить со случаем стационарных состояний
дискретного спектра частицы в потенциальном
поле U(г).
7.2. Для заряженной частицы в постоянном одно-
однородном магнитном поле указать операторы коорди-
координат центра орбиты ро поперечного (перпендикуляр-
(перпендикулярного магнитному полю, направленному вдоль оси z)
движения, квадрата радиуса-вектора этого центра р^
и квадрата радиуса орбиты рл.
Установить коммутационные соотношения для
этих операторов друг с другом и с гамильтонианом.
Найти спектры собственных значений операторов
Ро и Рл-
Охарактеризовать поперечное пространственное
распределение для частицы в стационарных состоя-
состояниях Wnmpz, рассмотренных в предыдущей задаче,
в случаях: а) т=—еп/\е\ (при этом специально об-
обсудить значения п»1 и произвести предельный пе-
переход к классической механике), б) п = 0 и |m|S> 1.
7.3. Найти волновые функции стационарных со-
состояний и соответствующие им значения энергии для
заряженной бесспиновой частицы, находящейся во
взаимно перпендикулярных однородных магнитном
и электрическом полях.
7.4. То же, что и в предыдущей задаче, но в слу-
случае параллельных полей.
7.5. Найти уровни энергии и нормированные вол-
волновые функции стационарных состояний заряженного
сферического осциллятора (заряженная частица в
потенциале U = kr2/2), находящегося в однородном
магнитном поле. Исследовать предельные случаи
а) слабого и б) сильного магнитных полей.
7.6. Показать, что магнитное поле Ж (г), отличное
от нуля в ограниченной области пространства, не
может «связать» заряженную бесспиновую частицу,
79
так что не существует стационарных состояний, в ко-
которых частица локализована в ограниченной обла-
области пространства. Почему этот результат не проти-
противоречит существованию магнитных ловушек для за-
заряженных частиц в классической механике?
7.7. Как известно, в одномерном и двумерном слу-
случаях в любом поле притяжения всегда существуют
связанные состояния частицы, в которых она локали-
локализована в ограниченной области пространства. В трех-
трехмерном случае таких состояний может и не быть,
если потенциальная яма достаточно «мелкая».
Показать, что при наличии в пространстве одно-
однородного магнитного поля у заряженной частицы в
произвольном потенциале притяжения, удовлетворяю-
удовлетворяющем условиям U(r)^.O, U(г)—*-0 при г—>-оо, всегда
имеются стационарные состояния, в которых она ло-
локализована в ограниченной области пространства
(и не только в поперечном направлении!), так что
при наличии магнитного поля любая яма может «свя-
«связать» частицу. В случае мелкой ямы, для которой
Uq <^h2/ma2 (где Uq, а— характерные величина и
радиус потенциала), получить приближенные выра-
выражения для энергии связи частицы; в связи с этим
вопросом см. также 8.61.
7.8. Найти волновые функции стационарных со-
состояний и соответствующие значения энергии для
нейтральной частицы, имеющей спин s = 1 /2 и спи-
спиновый магнитный момент ц0 (так что ц = |До<т) в од-
однородном магнитном поле.
7.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для
заряженной частицы со спином s = 1/2. Сравнить
с результатами задач 7.1 и 7.8. Обратить внимание
на появление дополнительного вырождения3) уров-
уровней поперечного движения для частицы, имеющей
магнитный момент, равный ц.о = eh/2mc (e, m — за-
заряд и масса частицы; такое значение цо> следующее
из уравнения Дирака [29], имеют электрон, мюон и
их античастицы).
7.10. Показать, что гамильтониан Паули (VII. 1)
для электрона в электромагнитном поле может быть
3) Это вырождение может быть связано с суперсимметрич-
суперсимметричным характером гамильтониана. О суперсимметрии в квантовой
механике см. обзор: Генденштейн Л. Э., Криве И. В.//УФН. —
1985. — Т. 146. — С. 553. Характерные черты и следствия супер-
суперсимметрии рассмотрены в задачах 10.26 и 10.27.
80
представлен в виде
Я = (о (р - е\/с)J/2т + еФ (г).
На основании этого выражения показать также,
что а) при движении электрона в стационарном одно-
однородном магнитном поле проекция спина на направле-
направление скорости является интегралом движения, б) маг-
магнитное поле <Ж(г), отличное от нуля в ограниченной
области пространства, не может «связать» электрон;
сравнить с 7.6.
Сохраняются ли утверждения задачи для других
частиц со спином s== 1/2 (протона, нейтрона и др.)?
§ 2. Изменение состояний во времени
7.11. Показать, что при движении заряженной час-
частицы с отличными от нуля спином и спиновым маг-
магнитным моментом в однородном переменном во вре-
времени магнитном поле Ж{?) (и произвольном электри-
электрическом) зависимость волновой функции частицы от
спиновых и пространственных переменных разде-
разделяется.
7.12. Найти зависимость от времени спиновой вол-
волновой функции и средних значений компонент век-
вектора спина частицы со спином s = 1/2 и магнитным
моментом |д, находящейся в однородном стационар-
стационарном магнитном поле (о разделении спиновых и про-
пространственных переменных в этом случае см. преды-
предыдущую задачу).
7.13. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай нестационарного магнитного поля, направле-
направление которого остается неизменным, т. e.3@(t) = 3^(t)n0.
7.14. Частица со спином s = 1/2 и магнитным мо-
моментом ц находится в однородном магнитном поле
Ж (t) вида
где Жо, 1, щ — постоянные величины.
При t — 0 частица находилась в состоянии с sz =
= 1/2. Найти вероятности различных значений sz
в момент времени t. Обратить внимание на резонанс-
резонансный характер зависимости вероятности «переворота»
спина от частоты ш0 в случае \Жо/Ж\\<^\.
81
7.15. Для заряженной частицы со спином s = 1/2
и спиновым магнитным моментом ц., находящейся в
однородном стационарном магнитном поле, найти
в гейзенберговском представлении операторы радиу-
радиуса-вектора, скорости, импульса и вектора спина.
Векторный потенциал выбрать в виде А = @, Ж$х, 0).
Задачу решить одним из способов, указанных в 6.20.
Сравнить зависимость от времени средних зна-
значений векторов скорости v(^) и спина s(Z), см. так-
также 7.10.
7.16. В условиях задачи 7.12 найти временную
спиновую функцию Грина Gap(t,t') частицы (а, E=1
и 2 — спиновые переменные).
7.17. То же в условиях задачи 7.13.
7.18. Для нейтральной частицы со спином s = 1/2
и магнитным моментом \х, находящейся в однородном
стационарном магнитном поле, найти временную
функцию Грина Gap(r, t; г', t'),
7.19. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай однородного нестационарного магнитного поля,
направление которого остается неизменным, т. е.
( 5?(
§ 3. Магнитное поле орбитальных токов
и спинового магнитного момента
7.20. Найти средние значения компонент плотно-
плотности тока для заряженной бесспиновой частицы, на-
находящейся в однородном магнитном поле в стацио-
стационарном СОСТОЯНИИ Wnmp , СМ. 7.1, б).
7.21. То же, что и в предыдущей задаче, для
частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом ^о
в стационарном состоянии Wnmp s из 7.9.
7.22. Найти среднее значение магнитного поля
Ж @), создаваемого в начале координат заряженной
бесспиновой частицей, находящейся в кулоновском
поле ядра U = -—Ze2/r в Is- и 2р-состояниях.
7.23. Найти среднее магнитное поле, создаваемое
в пространстве электроном, находящимся в основ-
основном состоянии в кулоновском поле ядра с зарядом Ze.
7.24. Найти среднее магнитное поле, создаваемое
в начале координат частицей со спином s = 1/2 и
магнитным моментом |До> находящейся в стационар-
стационарном s-состоянии в произвольном центральном по-
потенциале.
82
Глава 8
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД.
ВНЕЗАПНЫЕ И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Методы теории возмущений основаны на возмож-
возможности представления гамильтониана системы в виде
Н = Но -+- V, где возмущение V является малой по-
поправкой, а решение уравнения Шрёдингера с невоз-
невозмущенным гамильтонианом Но при этом предпола-
предполагается известным. Эти методы позволяют последова-
последовательными итерациями рассмотреть эффекты, связан-
связанные с действием возмущения.
В стационарном случае, когда Но и V, как и га-
гамильтониан Н в целом, от времени не зависят, соб-
собственные значения последнего в дискретном спектре
и соответствующие собственные функции1) записы-
записываются в виде рядов по степеням кратности возму-
возмущения:
Еп = ?<°> + ?<!> + Е«? + . . .; Wn = ? спт4%\
т
где Еп\ Чп* — спектр и с. ф. невозмущенного гамиль-
гамильтониана. При этом если невозмущенный уровень Е(п
не вырожден, то
<°)\
/
<2) — V
(VIII. 1)
(в сумме отсутствует слагаемое с т = п), а для с. ф.
(VIII. 2)
Условие применимости приведенных результатов
(пфк):
\(к\У\п)\<:\Е^~Е^\. (VIII. 3)
') О форме записи разложения по собственным функциям
см. примечание на с. 12, Подчеркнем, что ниже матричные эле-
элементы (k | V \ п) вычисляются с собственными функциями невоз-
невозмущенного гамильтониана.
83
Если невозмущенный уровень ?Й" является s-крат-
но вырожденным и ему отвечают взаимно ортогональ-
ортогональные с. ф. Ч^Л, где а= 1, 2, ..., s, то правильные
С. ф. НулеВОГО Приближения уРп= ? Са'Ч^а И С00Т"
а
ветствующие сдвиги уровней Е^ определяются реше-
решением системы уравнений
?
«ла | VI лр> - EH\f) cf = 0. (VIII. 4)
Условие совместности ее приводит к секулярному
уравнению
|<na|K|np>-?i1)eop| = 0. (VIII. 5)
Корни его ?¦«" (их число равно s) определяют рас-
расщепление уровня невозмущенного гамильтониана,
а их последовательная подстановка в (VIII. 4) поз-
позволяет найти волновые функции соответствующих
подуровней (в нулевом приближении).
При зависящем от времени возмущении V(t)
для в. ф.
? @ = ? ak (t) exp {-iEftlh) Wf (q) (VIII. 6)
из уравнения Шрёдингера ih dW/dt = (Но + V (t)) W
следует2)
*ft 4r = ? V^mfe @ exp (tom^) ab (VIII. 7)
где Vmk (t) = \WT (q) V^ (q) dxq, <omfe = (E$-Ef>)/h.
Решение уравнения (VIII. 7) последовательными
итерациями ak (t) = af1 (t) + a^ (t) + ... прежде всего
дает af (t) = const. Далее, считая, что V(t)-+O при
t-*—oo и что при этом (т. е. до включения возмуще-
возмущения) система находилась в п-и состоянии дискрет-
дискретного спектра Wn\q) и поэтому a,k{t-^>—оо)-*-6Л?,
выбираем я)?'= a^ = 6nft (вместо a,k(t) теперь пи-
2) Подчеркнем, что временная зависимость матричных эле-
элементов Vkn(t) определяется только оператором V (f) (множите-
(множители ехр (—iE^t/h) выделены отдельно).
84
шем akn(t) в соответствии с рассматриваемой поста-
постановкой задачи). Для поправки первого приближения
из (VIII.7) с учетом условия a^(t = — оо) = 0 имеем
t
aJJ» (t) = - х \ Vkn (t)ela^ dL (viH. 8)
Если при /-»--|-оо возмущение V(t) исчезает, то
a^n (t = + °°) определяет вероятность перехода си-
системы из начального n-го в конечное k-e (k ф п) со-
состояние под влиянием возмущения за все время его
действия
±
(VIII. 9)
§ 1. Стационарная теория возмущений
(дискретный спектр)
8.1. Показать, что поправка первого порядка Еп
к энергетическим уровням частицы в бесконечно глу-
глубокой одномерной потенциальной яме для достаточно
произвольного возмущения V(x) при больших значе-
значениях п не зависит от п.
8.2. Для заряженного линейного осциллятора най-
найти сдвиги энергетических уровней в однородном элек-
электрическом поле (направленном вдоль оси колебаний)
в первых двух порядках теории возмущений, а также
поляризуемости состояний. Сравнить с точным ре-
результатом.
8.3. То же, что и в предыдущей задаче, для заря-
заряженной частицы, находящейся в одномерной беско-
бесконечно глубокой потенциальной яме в основном со-
состоянии.
8.4. Для плоского изотропного осциллятора найти
в первом неисчезающем приближении теории возму-
возмущений сдвиг основного уровня под действием возму-
возмущения V = иху. Указать условия применимости по-
полученного результата и сравнить его с точным,
см. 2.49.
8.5. В условиях предыдущей задачи найти рас-
расщепление: а) первого возбужденного, б) второго
возбужденного уровней осциллятора. Указать пра-
85
вильные собственные функции нулевого прибли-
приближения.
8.6. На двухуровневую систему (уровни невырож-
невырожденные, их энергии 6i и е2) накладывается возмуще-
возмущение, характеризуемое матричными элементами Vn,
F22, V12 = F21 между исходными невозмущенными со-
состояниями 1 и 2. Найти сдвиги уровней в первых
двух порядках теории возмущений, указать условия
применимости полученных результатов и сравнить
их с точными.
8.7. Гамильтониан системы зависит от некоторого
параметра Я так, что H(k) = %-\-%W, где Л. и W от Я
уже не зависят. Доказать соотношение d2E0(X)/dX2<
< О, где Е0(Х) — основной уровень этого гамильто-
гамильтониана. Проиллюстрировать полученный результат на
примере осциллятора и частицы в кулоновском по-
потенциале.
8.8. Плоский ротатор с моментом инерции / и элек-
электрическим дипольным моментом d помещен в одно-
однородное электрическое поле §, лежащее в плоскости
вращения. Рассматривая действие поля как возмуще-
возмущение, найти поляризуемость основного состояния ро-
ротатора.
8.9. В условиях предыдущей задачи найти в пер-
первых двух порядках теории возмущений сдвиги и рас-
расщепления энергетических уровней возбужденных со-
состояний ротатора и их поляризуемости. Указать пра-
правильные собственные функции нулевого приближения.
Обратить внимание на выделенность свойств первого
возбужденного уровня.
8.10. Пространственный ротатор с моментом инер-
инерции / и дипольным моментом d, направленным вдоль
оси ротатора, помещен в однородное электрическое
поле, рассматриваемое как возмущение. Найти поля-
поляризуемость основного состояния ротатора.
8.11. В условиях предыдущей задачи рассчитать
в первом неисчезающем порядке теории возмущений
сдвиги энергетических уровней возбужденных со-
состояний ротатора. Каков при этом характер снятия
вырождения уровней? Происходит ли в более высо-
высоких порядках теории возмущений дальнейшее снятие
вырождения?
8.12. Найти сдвиг в слабом электрическом поле
и поляризуемость основного уровня заряженной час-
частицы в одномерном б-потенциале U = —аб(х).
86
8.13. Найти приближенный вид волновых функций
стационарных состояний и энергетические уровни
нижней части спектра плоского ротатора, имеющего
дипольный момент d, в сильном электрическом поле
Ш таком, что йё 3> ft2//.
8.14. То же, что и в предыдущей задаче, но для
сферического ротатора, см. 8.10.
8.15. Частица находится в центральном потен-
потенциале вида
a) U = - U0/(er'a - 1), б) U = — UQae~r'alr,
причем Uo 3> %2/та2. В первом порядке теории воз-
возмущений найти отличие энергетических уровней ниж-
нижней части спектра от уровней в кулоновском поле
U = —Uoa/r. Обратить внимание на снятие случай-
случайного кулоновского вырождения уровней.
8.16. Для частицы в центральном потенциале
U — —a/rv, причем 0 < v < 2, найти энергетические
уровни Enri с большим значением момента /» 1 и
с не слишком большим радиальным квантовым чис-
числом Пг- В случае кулоновского потенциала, v=l,
сравнить полученный результат с точным.
8.17. То же, что и в предыдущей задаче, но для
потенциала U = arv с a, v > 0 (теперь Enri > 0).
В случае сферического осциллятора, v = 2, сравнить
полученный результат с точным.
8.18. Частица находится внутри непроницаемого
эллипсоида вращения, так что потенциал имеет вид
U(x, у, г) -
причем la — b\<^a. Найти в первом порядке теории
возмущений сдвиг основного энергетического уровня
по отношению к уровню в сферической яме такого
же объема.
8.19. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай возбужденных состояний частицы. Обсудить
вопрос о характере снятия вырождения по проек-
проекциям момента в первом и более высоких порядках
теории возмущений.
8.20. Используя теорию возмущений, получить
правило квантования квадрата орбитального момента
и найти вид шаровых функций в случае I w\m\~5> 1.
87
Указание. Свести уравнение для с. ф. и с. з. опе-
оператора I2 к уравнению Шрёдингера для линейного
осциллятора.
§ 2. Вариационный метод
8.21. Найти вариационным методом энергию
основного уровня частицы в потенциале из задачи 2.8:
U = Fox для х ^ 0 и U = оо для х < 0, используя
пробные функции вида
a) W = Ах ехр (- ах), б) W = Вх ехр (— ах2/2)
при х ^ 0. Сравнить с точным значением.
8.22. То же, что и в предыдущей задаче, для
а) б-ямы, см. 2.7, с пробной функцией W =
= А(а+\х\)-,
б) линейного осциллятора и W = A (a2 -\-x2)~v/2,
v — целое,
в) кулоновского потенциала и W = А (а + г)~у,
a, v — вариационные параметры.
8.23. Найти энергию: а) основного, б) первого
возбужденного уровней частицы в бесконечно глубо-
глубокой одномерной потенциальной яме, аппроксимируя
собственные функции гамильтониана простейшими
полиномами, удовлетворяющими требуемым условиям.
8.24. Для двух частиц одинаковой массы т, на-
находящихся в бесконечно глубокой одномерной потен-
потенциальной яме и взаимодействующих друг с другом
как непроницаемые точки, найти энергию основного
уровня, аппроксимируя волновую функцию основ-
основного состояния простейшим полиномом, удовлетво-
удовлетворяющим требуемым условиям. Сравнить с точным ре-
результатом, см. 2.51.
8.25. Найти вариационным методом энергию ниж-
нижнего р-уровня частицы в бесконечно глубокой сфери-
сферической потенциальной яме радиуса а, воспользовав-
воспользовавшись пробной радиальной функцией вида R(r) =
= Ar(av — rv) при г s?; а, где v —вариационный па-
параметр (Wi=i,m(r) = R(r)Yim(n)). Сравнить с точным
значением.
8.26. Для основного состояния частицы в одно-
одномерной б-яме, U0{x) = —а8(х), найти вариационным
методом сдвиг уровня под действием слабого одно-
однородного поля, т. е. за счет возмущения V = —Fox,
воспользовавшись пробной функцией
где Ч^0' — волновая функция невозмущенного состоя-
состояния, см. 2.7, а е и у — вариационные параметры.
Сравнить с точным результатом из 8.12.
Данная задача иллюстрирует возможность вычис-
вычисления членов ряда теории возмущений для гамильто-
гамильтониана Н = Ho-\-V вариационным способом. В связи
с этим отметим, что использование в качестве пробной
функции невозмущенной собственной функции вос-
воспроизводит поправку первого порядка для сдвига
уровня.
8.27. Исходя из вариационного принципа и иеполь-
зуя пробную функцию вида W(r) = Се~*г, где % > 0—
вариационный параметр, получить достаточное ус-
условие существования в центральном потенциале U(r)
(причем ?/(/•)-»-0 при г-»-оо) связанного состояния
частицы. Применить полученное условие к потенциа-
потенциалам, рассмотренным в 4.8, и сравнить с точными ре-
результатами и с необходимым условием существова-
существования связанного состояния из 4.21.
8.28. Пусть Wa с а = 0, 1, ..., N — 1 представляет
некоторую систему из N взаимно ортогональных,
нормированных на единицу волновых функций, а
Еа — среднее значение гамильтониана Н в таких со-
состояниях. Показать, что
JV—1 JV-1
Урчу р<°)
/ . ?-а ==* Zj En »
а-0 га—О
где ?¦«' — точные энергетические уровни для указан-
указанного гамильтониана, и суммирование по ним прово-
проводится с учетом кратности их вырождения.
§ 3. Стационарная теория возмущений
(непрерывный спектр)
8.29. Основываясь на результате задачи 2.42, по-
получить выражения для амплитуды отраженной волны
в потенциале U(x) (?/(*)-»-0 при х-^±°о) в пер-
первых двух порядках теории возмущений. Обсудить
условия применимости теории возмущений для вы-
вычисления коэффициента отражения частицы. Рас-
89
смотреть приложения полученных результатов к кон-
конкретным потенциалам:
а) U = a6(x),
( U«e~xla при х > О,
б) ?/ = |
О
в) U=Uoch'
г) U = \
при
при
и сравнить с точными решениями.
8.30. Найти коэффициент отражения R(E) для
быстрых частиц в случае потенциала U(x), имеющего
скачок в точке х = 0 (рис. 20). Обобщить получен-
полученный результат на случай, когда потенциал имеет
Рис. 20
Рис. 21
разрывы в нескольких точках. Применить его к по-
потенциалу из 8.29,6) и к прямоугольному барьеру из
2.31; сравнить с асимптотикой при Е-^-оо точного
выражения для R(E), см. также 9.27.
8.31. То же, что и в предыдущей задаче, но в слу-
случае, когда потенциал имеет излом в точке х = 0
(рис. 21) или изломы в нескольких точках х„. При-
Применить полученный результат к параболическому
барьеру вида U(x)=U0(l—х2/а2) при |х|<а и
U(x) = 0 при \х\ > а.
8.32. Как известно, энергетический спектр час-
частицы в периодическом потенциале имеет зонную
структуру. Для такого одномерного потенциала
(U(x-f- a) = U(x)), рассматриваемого как возмуще-
возмущение, найти спектр En(q); здесь п — номер зоны, hq —
квазиимпульс (при этом —л/а ^ q ^Ln/a). Указать
связь импульса hk свободной частицы с квазиимпуль-
квазиимпульсом tiq и правильные собственные функции нулевого
приближения YJj0^ (x). Найти величину щели между
90
соседними энергетическими зонами. Рассмотреть при-
приложения полученных результатов к потенциалу
из 2.53.
§ 4. Нестационарная теория возмущений.
Переходы в непрерывном спектре
8.33. Заряженный линейный осциллятор подвер-
подвергается воздействию однородного электрического поля,
изменяющегося во времени по закону:
а) <Г@ = <
б)
в) & (t) = <Г0 ехр (— f/x2) cos (Hot.
Считая, что до включения поля (при /—>—оо) ос-
осциллятор находился в я-м квантовом состоянии, найти
в первом порядке теории возмущений вероятности
возбуждения различных его состояний при /—>- + оо.
Для случая я=0 сравнить полученный результат
с точным, см. 6.25.
8.34. На плоский ротатор, имеющий дипольный
момент d, накладывается однородное, переменное во
времени электрическое поле Ш (t) = & (t) n0. До вклю-
включения поля ротатор имел определенное значение
энергии и проекции момента т. Вычислить в первом
порядке теории возмущений вероятности различных
значений проекции момента и энергии ротатора при
t-*--{-oo. Рассмотреть конкретные виды S"(t), указан-
указанные в предыдущей задаче.
8.35. То же, что и в предыдущей задаче, но для
сферического ротатора. До включения электрического
поля ротатор находился в состоянии с квантовыми
числами /, 1г = т; поле направлено вдоль оси г.
8.36. В условиях задачи 8.34 рассмотреть пере-
переходы ротатора в случае, когда вектор электрического
поля вращается в плоскости вращения ротатора с уг-
угловой скоростью соо, так что Жх = S"(t) cos ы0}, <§v =
= & (^)sin coo^- Обратить внимание на возможность
существенного возрастания вероятности перехода
даже в случае «плавной» зависимости i? (t) вида а)
и б) из 8.33.
8.37. Получить выражения для волновой функции
и амплитуды перехода системы из начального (при
if-»-—оо) я-го состояния дискретного спектра в ко-
91
нечное (при ?->+°°) k-e во втором порядке неста-
нестационарной теории возмущений. Предполагается, что
возмущение при ^->±°о отсутствует.
8.38. В условиях задачи 8.33 найти во втором по-
порядке теории возмущений вероятности переходов
осциллятора, запрещенных в первом порядке3).
Сравнить их с №A)(я->&).
8.39. Если воспользоваться выражением (VIII. 8),
то для вероятности Wn = |aran(-f-c») |2 остаться си-
системе в первоначальном /г-м состоянии получится
Wn>\, что противоречит сохранению нормировки
волновой функции. Объяснить возникающий парадокс
и получить закон сохранения нормировки волновой
функции с учетом переходов в первом порядке теории
возмущений.
8.40. На систему, находящуюся при t-*—оо в
при квантовом состоянии, относящемся к двукратно
вырожденному уровню Е^ гамильтониана Йо, накла-
накладывается зависящее от времени возмущение V{t).
Найти волновую функцию системы в «нулевом» при-
приближении в произвольный момент времени4). Счи-
Считать, что диагональные матричные элементы для вы-
вырожденных состояний удовлетворяют условию
Vn,n, = Vmn, = 0 (это имеет место, например, в слу-
случае, когда состояния \п\,2У обладают определенной,
причем противоположной четностью, а возмущение
пропорционально дипольному моменту системы). Как
теперь надо модифицировать формулу (VIII. 8),
определяющую амплитуды переходов с изменением
энергии состояния?
8.41. Для периодического во времени возмущения,
V(q, t -\- Т) = V(q, t), действующего на систему, най-
найти волновые функции квазиэнергетических состоя-
состояний5) (КЭС) в нулевом приближении и спектр ква-
квазиэнергии в первом порядке теории возмущений.
Энергетический спектр невозмущенного гамильтониа-
гамильтониана считать дискретным, невырожденным и не содер-
содержащим уровней, отвечающих резонансному переходу:
Е$ — Е{ъФ±Ы с со = 2я/Г (в связи с этим
см. 8.43).
3) То есть таких переходов, для которых W<ll>(n-*-k) = 0.
4) Сравнить с задачей об изменении волновой функции си-
системы под влиянием резонансного возмущения, см. [1], § 40.
6) См. подстрочное примечание на с. 75.
92
8.42. В условиях предыдущей задачи найти по-
поправку второго приближения к квазиэнергии в слу-
случае, когда Vnn(t) = 0. Специально обсудить времен-
временную зависимость возмущения вида V = V(q)cos(at
и рассмотреть при этом предельные случаи со->-0 и
с9->-оо. Получить выражение для динамической по-
поляризуемости уровня в электрическом поле линейно
поляризованной монохроматической волны, V =
= — 3<§оcos °^> и найти ее для осциллятора.
Указание. Для системы в электрическом поле ли-
линейно поляризованной волны динамическая поляри-
поляризуемость Рп(со) связана с поправкой второго прибли-
приближения к квазиэнергии соотношением 6)
8.43. Рассмотреть квазиэнергетические состояния,
возникающие при наложении на двухуровневую си-
систему с энергиями ?¦{% периодического резонансного
возмущения вида V = Vo cos a>t, причем | со — соо | -С соо.
где /гсоо = еТ — ?J0). Оператор Vo от времени не
зависит, его диагональные матричные элементы рав-
равны нулю, a (V0)i2 = V0, V0=V*0, при этом Vo < ftw0.
Обсудить вопрос о квазиэнергетических гармониках
КЭС и сравнить с задачей 6.41.
8.44. Для системы с двумя каналами, рассмотрен-
рассмотренной в задаче 6.39, в случае слабой связи каналов
(Р <С а) найти по теории возмущений ширину ква-
квазистационарного состояния в канале с возбужденной
составной частицей. При решении задачи а) прене-
пренебречь взаимодействием в конечном состоянии,
б) учесть его и сравнить полученные результаты друг
с другом и с точным.
8.45. Найти в первом порядке теории возмущений
вероятность «ионизации» в единицу времени из основ-
основного состояния частицы в одномерной б-яме (см. 2.7)
под действием однородного, периодического во вре-
времени поля, так что V(x,t) = —xFoCOSco0^. Решить
задачу как в пренебрежении взаимодействием в ко-
конечном состоянии, так и при учете его. Сравнить со
6) Появление здесь дополнительного, по сравнению со стати-
статическим случаем, множителя 1/2 связано со средним значением
cos2 art = 1/2, сравнить с 8.56.
93
случаем туннельной ионизации в статическом одно-
однородном поле, рассмотренным в 6.36 и 9.28.
8.46. Частица находится в одномерном потен-
потенциале U{x), причем U(x)-+0 при х->-+оо. Рассмат-
Рассматривая его как возмущение, найти коэффициент отра-
отражения с помощью теории возмущений для переходов
в непрерывном спектре. Указать условия примени-
применимости полученного результата и сравнить его с 8.29.
§ 5. Внезапные воздействия
8.47. Система, описываемая гамильтонианом Н%,
находится в п-м стационарном состоянии дискретного
спектра. При t = 0 гамильтониан системы внезапно
изменяется и становится равным (при t > 0) Н; =
— Но + Vo, где Vo, как и Яо, от времени не зависят.
Найти вероятности различных стационарных состоя-
состояний системы при t > 0. Каково среднее значение
энергии, приобретаемой системой? Показать, что в
случае малого возмущения Уо установленные резуль-
результаты могут быть получены также в рамках нестацио-
нестационарной теории возмущений.
8.48. Система подвергается импульсному воздей-
воздействию V =Wo8(t), так что ее гамильтониан имеет
вид Н — Но-\- Wo8(t). При t < 0 система находилась
в п-м состоянии дискретного спектра. Найти вероят-
вероятности различных квантовых состояний при t > 0.
В случае Wo = —хР0 дать наглядную интерпретацию
полученного результата. Сравнить его для малого
возмущения V с результатом нестационарной теории
возмущений.
8.49. Частица находится в основном состоянии
в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной а
@ < х < а). В некоторый момент времени правая
стенка ямы за короткий интервал времени % сме-
смещается в точку b > а. Найти вероятности возбужде-
возбуждения различных квантовых состояний частицы после
остановки стенки.
8.50. Частица находится в основном состоянии
в 6-яме, так что U = —аЬ(х). Внезапно параметр
а, характеризующий «глубину» ямы, изменяется и
становится равным а (сравнить с изменением
заряда ядра атома, например, при C-распаде). Найти
94
а) вероятность того, что частица останется в связан-
связанном состоянии, б) распределение по импульсам для
частицы, вылетающей из ямы.
8.51. Частица находится в основном состоянии в
б-яме, U = —а&(х). При ^ = 0 яма приходит в дви-
движение с постоянной скоростью V. Найти вероятность
того, что она увлечет частицу за собой. Рассмотреть
яредельные случаи малых и больших скоростей V.
8.52. На заряженный осциллятор, находящийся в
основном состоянии, внезапно накладывается одно-
однородное электрическое поле, направленное вдоль оси
колебаний. Найти вероятности возбуждения различ-
различных состояний осциллятора после включения поля.
Сравнить с результатом задачи 6.25.
8.53. У линейного осциллятора, находящегося в
основном состоянии, в момент времени t = 0 «точка
подвеса» приходит в движение с постоянной ско-
скоростью V. Найти вероятности возбуждения различ-
различных состояний осциллятора при t > 0.
§ 6. Адиабатическое приближение
а) Адиабатическое приближение в нестационар-
нестационарных задачах.
8.54. Гамильтониан H(p,q,%(t)) некоторой систе-
системы явно зависит от времени. Для каждого момента
времени t предполагаются известными спектр соб-
собственных значений Еп(%(/)) «мгновенного» гамильто-
гамильтониана, являющийся дискретным, и полная система
соответствующих ортонормированных собственных
функций ~Vn(q,X(t)).
Записать волновое уравнение для системы в пред-
представлении, базисом которого является система функ-
функций ТД^Ц/)).
Показать, что при адиабатическом изменении га-
гамильтониана (в пределе Я->0) распределение по
квантовым состояниям системы не зависит от вре-
времени. Каков классический аналог этого результата?
8.55. В условиях предыдущей задачи, считая, что
при t = to система находилась в невырожденном
п-и квантовом состоянии, найти ее волновую функ-
функцию при t > to в первом порядке адиабатической тео-
теории возмущений.
На основе полученных результатов рассмотреть
возбуждение заряженного линейного осциллятора,
95
находящегося при t~*—оо в основном состоянии,
под влиянием однородного электрического поля <%{?)
и сравнить с точным решением, см. 6.25. Исследовать
случаи зависимости S{f) вида, приведенного в 8.33.
8.56. В условиях задачи 8.54 временная зависи-
зависимость гамильтониана является периодической. Ис-
Исследовать квазиэнергетические состояния7) в адиаба-
адиабатическом приближении. Энергетический спектр мгно-
мгновенного гамильтониана считать дискретным и невы-
невырожденным.
8.57. Частица находится в поле двух сближаю-
сближающихся 6-ям, так что
U (x, t) = - а [б (х - L @/2) + б (х + L @/2)].
При t-> оо ямы находились на бесконечно боль-
большом расстоянии друг от друга, а частица была свя-
связана одной из них. Расстояние L(t) между ямами
медленно уменьшается, и в некоторый момент вре-
времени ямы «сливаются» в одну: U(x) = —2сс6(х).
Какова вероятность того, что при этом частица оста-
останется в связанном состоянии?
б) Адиабатическое приближение в стационарных
задачах.
8.58. Гамильтониан системы, состоящей из двух
подсистем, имеет вид
где х, %— координаты 1-й и 2-й подсистем, V(x,\)
описывает взаимодействие между ними. Считая ха-
характерные частоты 1-й («быстрой») подсистемы мно-
много большими характерных частот 2-й («медленной»)
подсистемы, свести задачу приближенного вычисле-
вычисления энергетических уровней и соответствующих им
волновых функций совокупной системы к решению
"уравнений Шрёдингера для отдельных подсистем.
На основе полученных результатов исследовать
состояния нижней части энергетического спектра для
частицы, находящейся в двумерном потенциале вида
в случае ЬУ> а.
7) См. подстрочное примечание на с. 75.
96
8.59. Гамильтониан системы имеет вид
причем М !5> т (два связанных осциллятора с силь-
сильно различающимися массами). Найти уровни энер-
энергии системы и соответствующие им волновые функ-
функции на основе адиабатического приближения. Срав-
Сравнить полученный результат с точным решением,
см. 2.50.
8.60. Две частицы с сильно различающимися мас-
массами М^> т находятся в бесконечно глубокой потен-
потенциальной яме ширины а и взаимодействуют друг
с другом как взаимно непроницаемые точки. Найти
энергетические уровни нижней части спектра и соот-
соответствующие им волновые функции.
8.61. Используя адиабатическое приближение, об-
обсудить вопрос об энергетическом спектре и виде со-
соответствующих волновых функций связанных состоя-
состояний частицы в центральном потенциале притяжения
U (г) в присутствии достаточно сильного однородного
магнитного поля.
Найти сдвиги уровней Ландау под влиянием ко-
короткодействующего потенциала, а также основной
уровень атома водорода в сильном магнитном поле.
Глава 9
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Два независимых решения одномерного уравне-
уравнения Шрёдингера1) (II. 1) в квазиклассическом при-
приближении имеют вид
Условие применимости этого приближения
| dkjdx | = А | dp~4dx \ = mh\U' (х)/р3 (х) |< 1. (IX. 2)
') Напомним, что у. Ш. для частицы в центральном потен-
потенциале сводится к одномерному, см. (IV. 5).
4 В. М. Галицкий и др. 97
Обычно всегда имеются такие области значений х,
в которых оно нарушается (например, вблизи точек
остановки). В связи с этим возникает проблема2)
сшивания квазиклассиче-
квазиклассических функций, отвечающих
одному и тому же решению
уравнения Шрёдингера по
разные стороны от таких
областей. Часто применимы
условия сшивания, осно-
основанные на линейной ап-
\ а Ъ х проксимации потенциала в
окрестности точек останов-
Рис 22 ки классического движе-
движения3). Для самой правой
точки остановки, типа х = b на рис. 22, они имеют
вид
Шх),
\
_
\ /
?
-2Л х<Ь. (IX. 36)
Для левой точки остановки, х = а на рис. 22:
( а 1
¦exp\—-)r\\p{x)\dx> , х<а;
( а
с,
v X
X
I
с,
2 Vl P (х) I
у х
1 (х) dx + -j- \ , х>а. (IX. 46)
л/Р(х)
В случае потенциальной ямы приведенного на
рис. 22 вида, из условия совпадения выражений
(IX. 36) и (IX.46) (описывающих одно и то же ре-
решение у Ш.): кратности л суммы фаз синусов в
2) Ее решение требуется, в частности, для учета граничных
условий.
3) При этом предполагается, что на таком удалении от
точки остановки, где еще справедливо линейное разложение по-
потенциала, уже выполнено условие квазиклассичиости (IX. 2).
98
них, следует правило квантования Бора — Зоммер-
фельда4)
л = 0, 1, 2, ...
Хотя формально квазиклассические правила кванто-
квантования определяют спектр Еп лишь для я» 1, обычно
результат и при п ~ 1 имеет достаточно высокую
точность.
Дифференцирование в (IX. 5) по п определяет
расстояние между соседними уровнями ЬЕп = ?„+1 —
— Еп = h(a(En), где а>(Еп) = 2л/Т(Еп) — частота дви-
движения классической частицы с энергией Еп, Т — его
период.
Для волновой функции связанного состояния
обычно можно использовать следующее простое вы-
выражение (сравнить с (IX. 3,4)):
О, х < а, х > b,
(IX. 6)
пренебрегая возможностью проникновения частицы в
классически запрещенную область, где волновая
функция экспоненциально убывает. Для нормировки
в. ф. на единицу следует выбрать С\ = 2пкл(ЕпУл.
При вычислении производных от волновой функции
следует дифференцировать лишь тригонометрический
множитель (синус или косинус) как наиболее быстро
изменяющийся.
Проницаемость барьера, указанного на рис, 23,
в квазиклассическом приближении описывается
4) В более общем случае, когда неприменимы условия сши-
вання (IX. 3), (IX. 4), правая часть в правиле квантования равна
п(п + а), где квазикласснческая поправка а ~ 1. Именно при
корректном ее учете область применимости квазнклассического
результата обычно затягивается до значений п ~ 1 (в против-
противном случае происходит существенная потеря точности даже для
сравнительно больших значений п ~ 10).
4* 99
выражением
, ь .
D(E) = ^\-\\\p(x,E)\dx\. (IX.7)
Условием применимости этого выражения является
большая величина в нем показателя экспоненты, так
Wx)k что D«: 1. Формула (IX. 7),
как и (IX. 5), предпола-
предполагает возможность сшивания
квазиклассических решений
в окрестностях точек оста-
остановки, основанного на ли-
х нейной аппроксимации по-
потенциала. При нарушении
Рис- 2 этого условия квазикласси-
квазиклассический результат (IX.7)
справедлив лишь с точностью до предэкспонен-
циального множителя (но передает главное: экс-
экспоненциальную малость коэффициента прохождения
барьера).
§ 1. Квантование энергетического спектра
9.1. В квазиклассическом приближении найти
энергетический спектр: а) линейного осциллятора,
б) связанных состояний частицы в потенциале U(x) =
= —U0ch-2(x/a). Сравнить с точ-
точным результатом (в случае б) см.
[1, §23]).
9.2. Получить правило квантова-
"^. ния энергетических уровней и най-
найти соответствующие им квазиклас-
квазиклассические волновые функции в слу-
случае потенциала вида5), приведен-
приведенного на рис. 24.
Рис. 24 Применить полученный резуль-
результат к потенциалу, рассмотренному
в 2.8. Обратить внимание на близость квазикласси-
квазиклассического и точного значений Еп даже при п ~ 1.
9.3. Частица находится в центральном поле, пред-
представляющем суперпозицию «дальнодействующего»
5) Полученный результат непосредствеиио переносится и на
случай s-состояний частицы в центральном потенциале, см. 4.1.
100
потенциала U(r) вида, приведенного на рис. 24 (так
что на малых расстояниях нет потенциального барье-
барьера) , и «короткодействующего» потенциала, аппрокси-
аппроксимируемого потенциалом нулевого радиуса (п. н. р.,
см. 4.10, а также 4.31). Получить правило квантова-
квантования s-уровней и обсудить вопрос о сдвиге уровней
в потенциале V(г) под влиянием п. н. р. Обратить
внимание на возможность перестройки спектра, т. е.
больших сдвигов, сравнимых с расстоянием между
невозмущенными уровнями.
9.4. В квазиклассическом приближении исследо-
исследовать энергетический спектр частицы в симметричной
потенциальной яме U0(x), разделенной 6-барьером
а8{х), так что U = U0(x) + аб(х). Рассмотреть пре-
предельные случаи а) слабо отражающего, б) малопро-
малопроницаемого барьеров.
9.5. Для частицы в потенциале притяжения, имею-
имеющем на малых расстояниях кулоновский вид ?/(г)«
« —а/г, получить в квазиклассическом приближении
волновые функции и. правило квантования s-уровней
с энергией |Е | <с ma2/h2. Применить полученный ре-
результат к кулоновскому потенциалу О = —а/г и
к потенциалу Хюльтена U =—UQ/(er/a — 1); срав-
сравнить с точным выражением для спектра, см. 4.8.
9.6. Для центрального потенциала приведенного
на рис. 24 вида (ограниченного при г->-0) найти в
квазиклассическом приближении радиальные функ-
функции стационарных состояний частицы с моментом б)
1 ~ 1 в области классического движения.
Используя полученный результат, обсудить моди-
модификацию правила квантования (IX. 5) и найти энер-
энергетические спектры: а) сферического осциллятора
U = гп(а2г2/2, б) одномерного движения в потенциале:
U = Uotg2(nx/a) при |л:| <; а/2 и U = оо для
\х\> а/2. Сравнить с результатом квантования по
формуле (IX. 5) и с точным выражением для
спектра.
9.7. В предыдущей задаче для состояний частицы
с моментом / в центральном потенциале U(r), огра-
6) Именно этот случай и представляет самостоятельный ин-
интерес: при />1 центробежный барьер НЧA + 1)/2шг2 уже яв-
является квазнкласснческим и можно воспользоваться условиями
сшивания (IX. 4), см. также следующую задачу.
101
ничейном при г-*-0; было получено правило кванто-
квантования 7)
= п[пг + у,
Показать, что с квазиклассической точностью оно эк-
эквивалентно квантованию с поправкой Лангера:
*=»(«-+т) ¦
Показать также, что оба эти соотношения с той
же точностью эквивалентны более простому условию
квантования
о о
= Л (яг 4- у + -|
(в котором радиальный импульс р(г) вообще не со-
содержит центробежного потенциала, а от величины
момента / зависит лишь значение.квазиклассической
поправки к пг\).
Рассчитать согласно этим правилам квантования
энергетические спектры: а) сферического осциллятора
U = mcoV/2, б) частицы в бесконечно глубокой сфе-
сферической яме радиуса R (при этом учесть изменение
условий «сшивания» для правой точки поворота
г = R). Сравнить с точным спектром.
9.8. Для одномерного потенциала притяжения,
имеющего при |л:|->-оо вид U оо х~4, найти в квази-
квазиклассическом приближении условие появления но-
новых состояний дискретного спектра частицы при
7) Подчеркнем, что все три условия квантования предпола-
предполагают обычное, согласно (IX. 3), сшнванне квазикласснческнх ре-
решений в правой точке поворота.
Квантование по Лангеру справедливо и для потенциалов,
имеющих при г—>-0 вид U (r) m ar~v с 0 < v < 2. Обобщение
на этот случай последнего, наиболее эффективного условия
квантования, приведено в решении.
102
углублении ямы. Применить полученный результат
к потенциалу из 2.40 и сравнить с точным.
9.9. В квазиклассическом приближении найти ус-
условие появления новых связанных состояний частицы
с моментом / в центральном потенциале притяжения,
имеющем вид U ~ —а2г~У2 с V2 > 2 на больших рас-
расстояниях и U *»—ai/—Vl с 0 ^ vi < 2 при г-»-0, по
мере углубления потенциальной ямы. Проиллюстри-
Проиллюстрировать результат на конкретных потенциалах.
Указание. Рассматривая случай I ~ I, учесть, что
при этом в основной области классического движения
центробежным потенциалом можно пренебречь, см.
9.7. На малых и больших расстояниях, где нарушает-
нарушается квазиклассичность, воспользоваться точным реше-
решением уравнения Шрёдингера.
9.10. Исходя из правила квантования Бора — Зом-
мерфельда, получить выражение для смещения энер-
энергетических уровней при малом изменении потенциала
на 8U(x) и установить его связь с результатом пер-
первого порядка теории возмущений. Какова интерпре-
интерпретация полученного выражения в рамках классической
теории?
Для иллюстрации рассмотреть сдвиги уровней ли-
линейного осциллятора за счет ангармоничности 6G =
= Рх4 и сравнить с точным результатом первого
порядка теории возмущений.
9.11. Для частицы в симметричной потенциальной
яме U {х) получить в квазиклассическом приближе-
приближении выражение для смещения уровней под влиянием
слабого однородного электрического поля и найти по-
поляризуемость стационарных состояний. Какова ин-
интерпретация полученного результата в рамках клас-
классической теории? Найти поляризуемости для линей-
линейного осциллятора и частицы в бесконечно глубокой
лотенциальной яме.
9.12. Используя правило квантования Бора — Зом-
мерфельда, получить квазиклассические выражения
для поправок первого и второго приближения к сдви-
сдвигу уровня под влиянием возмущения V(x) потен-
потенциала. Найти сдвиги уровней линейного осциллятора
за счет ангармоничности V = <хх3 и сравнить их
с точным результатом второго порядка теории воз-
возмущений.
9.13. Найти следующую по % квазиклассическую
поправку к правилу квантования Бора — Зоммер-
103
фельда. Показать, что при учете ее энергия уровня
оказывается равной
где черта означает усреднение с классической вероят-
вероятностью, dw = 2dx/T(E)v(x), при энергии Е = Еп'~3'>
определяемой правилом Бора — Зоммерфельда.
Для осциллятора с ангармоничностью вида V =
= $х4 и V = ах3 найти следующие квазиклассические
поправки к результатам задач 9.10 и 9.12.
9.14. Для потенциала притяжения, имеющего при
г->0 вид U = —a/rv с v>2, возникает «падение на
центр» (см. [1], § 35). При этом на малых расстоя-
расстояниях оба независимых решения радиального уравне-
уравнения Шрёдингера ведут себя одинаковым образом
(сравнить с Ri go г1 и <х>г~г~'для регулярного потен-
потенциала с v<2), и на первый взгляд не возникает
квантования энергетического спектра, так как только
одно условие убывания волновой функции в класси-
классически запрещенной области при г->оо может быть
всегда удовлетворено.
Используя «обрезание» потенциала со стороны ма-
малых г в виде непроницаемой сферы радиуса г0, пока-
показать, что квантование спектра возникает, но в пре-
пределе г<)-> 0 для однозначного определения этих уров-
уровней необходимо фиксировать8) положение одного из
них (для каждого значения /). Получить правило
квантования спектра и выяснить соответствующее ему
дополнительное условие, накладываемое на волно-
волновую функцию при г->0.
Найти также энергетический спектр в потенциале
U = —а/г2 в условиях «падения на центр».
§ 2. Квазиклассические волновые функции,
вероятности и средние
9.15. Получить выражение для квазиклассической
волновой функции в импульсном представлении в
области характерных значений импульса частицы.
8) Здесь проявляется то обстоятельство, что гамильтониан
является эрмитовым, но не самосопряженным оператором, см.
1.29. Для его самосопряженного расширения необходимо введе-
введение дополнительного условия, что и эквивалентно фиксированию
положения одного из уровней.
104
Найти распределение по импульсам частицы в ста-
стационарном состоянии дискретного спектра. Дать клас-
классическую интерпретацию полученного результата.
9.16. В стационарном состоянии дискретного спек-
спектра найти вероятность нахождения частицы в класси-
классически запрещенной области. Применить полученный
результат к линейному осциллятору.
9.17. Каково в квазиклассическом приближении
среднее значение физической величины F(x), являю-
являющейся функцией только координаты частицы, в я-м
стационарном состоянии дискретного спектра? В ка-
качестве иллюстрации найти средние х2 и х4 для линей-
линейного осциллятора и сравнить с точными значениями.
9.18. В квазиклассическом приближении найти вы-
выражение для среднего значения физической величины
F (р), являющейся функцией только импульса части-
частицы, в п-м стационарном состоянии. Вычислить сред-
средние р2 и р4 для линейного осциллятора и сравнить
с точным результатом.
9.19. Какова оценка произведения неопределенно-
неопределенностей Ах-Др в стационарных квазиклассических со-
состояниях дискретного спектра? Сравнить полученную
оценку с точным значением л/(АхJ ¦ (АрJ для линей-
линейного осциллятора и частицы в бесконечно глубокой
потенциальной яме.
9.20. В квазиклассическом приближении найти
матричные элементы Fmn оператора вида F = F(x)
в случае \т — п\ -~ 1, т. е. между близкими по энер-
энергии стационарными состояниями дискретного спектра.
Установить соотношение между ними и фурье-ком-
понентами Fs функции F(x(t)) в классической ме-
механике:
S= —oo 0
где Т(Е) — 2л/в> — период движения в рассматривае-
рассматриваемом поле классической частицы с энергией Е =
= (Ет + Еп)/2.
Используя полученный результат, вычислить мат-
матричные элементы хтп и (л^)тл для осциллятора и
сравнить с точными значениями.
9.21. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай оператора вида F= F(p). Применить его для
105
вычисления матричных элементов операторов р и fiz
для осциллятора.
9.22. Частица находится в п-м стационарном со-
состоянии в потенциале U(x). Внезапно (при ?=0)
потенциальная энергия изменяется и становится рав-
равной U(x)-\-V{x). Каковы средняя энергия частицы
и ее флуктуация при t > 0?
Считая я»1 и изменение потенциала достаточно
большим9), так что | V'xap{x)\(b — а) » Йшп, где Тп =
— 2я/(ап — период движения классической частицы
в исходном состоянии, найти вероятности перехода ее
в новые стационарные состояния. В каком случае
может происходить «ионизация» системы? Дать ин-
интерпретацию полученных результатов в рамках клас-
классической механики.
Для иллюстрации рассмотреть линейный осцилля-
осциллятор, U = mtoV/2, на который внезапно наклады-
накладывается однородное поле, так что V = —Fox.
§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры
9.23. Используя квазиклассическое приближение,
найти проницаемости следующих потенциальных
барьеров: а) треугольный барьер из 2.36; б) U(x) =
= U0ch-2(x/a); в) барьер из 2.35.
Указать условия применимости полученных ре-
результатов и сравнить с точными значениями для
D(E).
9.24. Найти предэкспоненциальный множитель в
квазиклассическом выражении для коэффициента
прозрачности барьера вида, приведенного на рис. 25, ау
и при указанной там энергии частицы. Применить
полученный результат к барьеру из 2.35 и сравнить
с точным, см. также 9.23,в).
9.25. То же, что и в предыдущей задаче, но для
потенциального барьера вида, приведенного на
рис. 25, б). Применить полученный результат к пря-
прямоугольному барьеру из 2.31.
9.26. В квазиклассическом приближении найти
для медленных частиц, ?->0, проницаемость потен-
потенциального барьера, имеющего при х->-±о° степенное
9) Физически это условие означает, что в исходном состоянии
представлен достаточно широкий спектр состояний «конечного»-
гамильтониана fff.
106
убывание U «* Ul2(a/\ *l)v''2 с v1>2>2. Обобщить
полученный результат на случай барьеров с экспо-
экспоненциальным убыванием на больших расстояниях.
Указание. Воспользоваться результатом 2.39.
Utx)
Рис. 25
9.27. В квазиклассическом приближении найти
коэффициент надбарьерного отражения частиц в слу-
случае потенциала, имеющего скачок в точке х = О
(см., например, рис. 20). Сравнить с результатом
теории возмущений из 8.30.
9.28. Используя квазиклассическое приближение,
найти сдвиг и ширину основного уровня в б-яме,
U = —аб(х), возникающие при наложении слабого
Ufxh
Er-iV/2
Рис. 26
Рис. 27
однородного поля V = —Fqx. Сравнить полученные
результаты с 6.36 и 8.12.
9.29. Получить в квазиклассическом приближении
выражения для определения энергии ЕОп и ширины
Тп квазистационарных состояний в одномерном по-
потенциале вида, приведенного на рис. 26. Каково их
обобщение на случай, когда и слева от ямы барьер
имеет конечную проницаемость (рис. 27)?
107
Применить полученные результаты для вычисле-
вычисления сдвига и ширины уровней линейного осциллятора,
возникающих под влиянием слабой ангармоничности
V = —Ял:3.
9.30. Оценить проницаемость центробежного барь-
барьера и время жизни квазистационарного состояния
частицы (связанное с шириной уровня соотноше-
соотношением т = Й/Г) в короткодействующем потенциале
Us(r) радиуса rs', энергия состояния Е <С H2/mr2s.
9.31. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай, когда вне ямы на частицу действует куло-
новский потенциал притяжения 10) Не = —?е2/л при-
причем rs -С <2в = H2/mt,e2; для простоты считать If'I'C
2
Глава 10
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ.
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
Волновая функция системы, включающей тожде-
тождественные частицы, обладает определенной симмет-
симметрией относительно перестановки таких частиц, так
что
¦ф7 ? 2L ч = _i_ чат /" t t у
J- \ * • * » »а> • • •, toft, . . . f zli j- \ . . ¦ $ feft, . . ., Ьд, . . . Jy
здесь in = (rn, On) — совокупность переменных (про-
(пространственных и спиновых) соответствующих частиц*
При этом волновая функция симметрична при пере-
перестановке частиц с целым спином — бозонов и анти-
антисимметрична для частиц с полуцелым спином—фер-
мионов. Соответственно в случае, когда отдельные
частицы системы находятся в определенных кванто-
квантовых состояниях, волновая функция системы в целом
получается в результате симметризации произведе-
произведения волновых функций одночастичных состояний для
системы бозонов и антисимметризации—для фер-
мионов. При этом состояние системы определяется
лишь указанием занятых одночастичных состояний
(для различимых частиц важен и способ распределе-
распределения их по таким состояниям!).
10) Такая задача возникает в теории адронных атомов (см.
11.4). При этом речь идет о проницаемости барьера, разделяю-
разделяющего области ядерного притяжения на расстояниях r^rs и ку-
лоновского — при г $5 ав. Случай кулоиовского отталкивания рас-
рассмотрен в [I, § 50].
108
Исследование многочастичных систем, автомати-
автоматически обеспечивающее квантовомеханический учет их
тождественности, удобно проводить на основе пред-
представления чисел заполнения. Используемые при этом
операторы df, dt — операторы рождения и уничтоже-
уничтожения частиц (в соответствующих квантовых состоя-
состояниях, характеризуемых индексом i) в случае бозонов
удовлетворяют соотношению коммутации
[йг, dk] = [df, d+] = 0, [dt, d+) s dtd+ - d+dt = 6lk,
(X.I)
а в случае фермионов — антикоммутационным соот-
соотношениям
{dt, dk) = {d+, d+} = 0, {ult d+) s dtd+ + d+d, = bik
(X.2)
(так что для фермионных операторов dj = (d+J = 0).
Операторы nl = dfdi являются операторами чис-
числа частиц в соответствующих квантовых состояниях.
Для нормированных на единицу состояний с опреде-
определенными значениями чисел заполнения имеем ')
(для фермионов щ = 0 или 1, для бозонов щ = 0,
1,2,...).
Для системы тождественных частиц (как бозонов,
так и фермионов) оператор аддитивной физической
величины, FA)= ? f<?\ в представлении чисел запол-
а
нения следующим образом выражается через 'Ф'(Е)-
операторы2)
') Для фермиоиных систем здесь «опущен» фазовый мно-
множитель, см. [1], § 65.
2) Операторы W (|), Ф+ (|) являются важным частным слу-
случаем операторов u-t, dj1", соответствующим выбору i = г, а. Дру-
Другой часто используемый выбор ait af соответствует i = р, а.
Обобщение формул (X. 3), (X. 4) на слуга^глщоизвольного а(.-опе-
ратора (вместо W (|)) состоит в использовании в них г-предста-
влеиия для операторов f(I), fB).
109
здесь fA) —• уже обычный одночастичный оператор в
координатном представлении, операторы же Ф, Ф+—
операторы в пространстве функций чисел заполнения
и зависят от | как от параметра.
Для двухчастичной физической величины, Т7'2' =
= 2 !{а1' оператор в представлении чисел заполне-
а<Ь
ния имеет вид
{2)
Р{2) = 1 JJ Ф+ (|) Ф+ (Г) fB)w (Г) Ф F) <? d|'. (X. 4)
§ 1. Симметрия волновых функций
10.1. Для системы из двух одинаковых частиц со
спином s найти число различных спиновых состоя-
состояний, симметричных и антисимметричных по отноше-
отношению к перестановке спиновых переменных обеих
частиц.
10.2. Показать, что если п тождественных частиц
со спином s находится в различных орбитальных со-
состояниях ф1 (г), фг(г), ..., фл(г), то общее число неза-
независимых состояний системы с учетом спиновых сте-
степеней свободы равно G=Bs-f-l)" независимо от
того, какой статистике подчиняются частицы.
Каково число состояний в случае различимых
частиц?
10.3. Пусть tyf. (l) являются нормированными на 1
волновыми функциями одночастичных состояний
(/; — совокупность квантовых чисел полного набора).
Написать нормированные волновые функции состоя-
состояний системы из трех тождественных: а) бозонов и
б) фермионов, находящихся в состояниях с кванто-
квантовыми числами fi, /2, /з-
10.4. Три тождественных бозона со спином s = 1
находятся в одинаковых орбитальных состояниях,
описываемых волновой функцией ф(г). Написать
нормированные спиновые функции возможных со-
состояний системы. Каково число таких независимых со-
состояний? Каковы возможные значения суммарного
спина частиц?
10.5. Какие ограничения на квантовые числа (спин
Уд и внутреннюю четность Ра) нейтральной частицы
А0 следуют из факта существования распадов этой
но
частицы на два я°-мезона: А°->2я0 (для пиона /я =
= 0"), сравнить с 5.30?
10.6. Установлено, что в реакции n~-^-d-*-n-\-n
захват медленного я~-мезона (его спин Уя = 0) про-
происходит из основного состояния мезодеитерия с сохра-
сохранением четности.
Учитывая, что внутренние четности протона и
нейтрона одинаковы и квантовые числа дейтрона
Уй = 1+, найти отсюда внутреннюю четность пиона.
10.7. Три тождественных бозона со спином s = 0,
слабо взаимодействующие друг с другом, находятся
в стационарных состояниях с одинаковыми кванто-
квантовыми числами пг и /, причем / = 1, в некотором цент-
центральном поле. Показать, что суммарный момент L
системы не может принимать значения L = 0.
10.8. Какие значения может принимать суммар-
суммарный спин 5 двух тождественных бозонов со спином s
в состоянии с относительным орбитальным моментом
L (L — момент в с. ц. и.), т. е. какие состояния 2S+XL
системы возможны? Рассмотреть, в частности, слу-
случай s = 0.
10.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для
тождественных фермионов.
10.10. Система состоит из двух одинаковых бес-
бесспиновых бозонов, находящихся в состояниях, опи-
описываемых нормированными на 1, взаимно ортого-
ортогональными волновыми функциями i|)li2(r). Какова ве-
вероятность нахождения обеих частиц в одном и том
же малом объеме dV? Сравнить ее со случаем раз-
различимых частиц.
10.11. Два одинаковых бесспиновых бозона нахо-
находятся в состояниях, описываемых нормированными
на 1 волновыми функциями ipi, 2 Cr) - Найти (среднюю)
плотность частиц в такой системе и сравнить ее со
случаем различимых частиц.
§ 2. Основы формализма вторичного
квантования (представление чисел заполнения)
10.12. Найти коммутационное соотношение для
операторов, представляющих эрмитову и антиэрми-
антиэрмитову части бозонного оператора уничтожения а (или
рождения а+).
10.13. Построить из операторов координаты х и
импульса р частицы операторы а и п+, обладающие
ill
свойствами бозонных операторов уничтожения и
рождения.
Какова волновая функция Woix) «вакуумного»
состояния?
10.14. Можно ли для преобразования вида а' = &+,
а'+ = а рассматривать а', а'+ как операторы уничто-
уничтожения и рождения некоторых новых частиц? Прове-
Провести анализ состояний \п') (т. е. состояний с опреде-
определенным значением п новых частиц) в базисе со-
состояний исходных частиц. Указать вид унитарного
оператора U, осуществляющего рассматриваемое пре-
преобразование.
10.15. Найти собственные функции и собственные
значения операторов рождения и уничтожения. В рас-
рассматриваемых состояниях найти распределение по
числу частиц. Обсудить случаи бозонных и фермион-
ных операторов.
Показать, что применительно к линейному осцил-
осциллятору собственные функции оператора уничтожения
й = (тюх -\- ip)l-\/2тН(й описывают когерентные со-
состояния, см 6.21.
10.16. Является ли переход от операторов а, а+
к новым операторам а' = а-\-а, а'+ = а+ -}- ее* (ее—
комплексное число) унитарным преобразованием? Ка-
Каков при этом вид унитарного оператора? Рассмотреть
случаи как фермионных, так и бозонных операторов
а, а+.
Провести анализ состояния вакуума «новых» час-
частиц |0'> в базисе состояний |я> исходных частиц
и найти распределение по числу последних.
10.17. То же, что и в предыдущей задаче, для пре-
преобразования вида а' = аа -\- |3d+, а'+ = аа+ -f- |3d (a,
Р — вещественные числа).
10.18. Произвольное одночастичное состояние |1>
можно представить в виде | 1)= 2 Cfdf | 0), где й+
является оператором рождения частицы в состоянии
^Ff (fi — совокупность квантовых чисел полного на-
набора). Какой квантовомеханический смысл имеют
коэффициенты Q;?
Рассмотреть, в частности, одночастичное состоя-
состояние бесспиновой тастицы вида
112
Нормировать его на 1 и вычислить среднее значение
физической величины f с помощью вторично кванто-
квантованного оператора (X. 3).
10.19. Операторы at, й, и а+, а являются one-
one's 'k *k &k
раторами рождения и уничтожения частицы в состоя-
состояниях, определяемых квантовыми числами fk и gk
двух различных полных наборов. Указать соотноше-
соотношения между этими операторами.
10.20. Двухчастичное состояние системы тожде-
тождественных бозонов (или фермионов) описывается век-
вектором состояния \2) = dtat\0). Нормировать его на
единицу. Указать вид нормированных волновых функ-
функций в координатном представлении. Рассмотреть слу-
случаи как одинаковых, так и различных квантовых
чисел fi, 2.
10.21. То же, что и в предыдущей задаче, для трех-
частичного состояния | 3) = at a?at | 0).
10.22. Для системы, состоящей из одинаковых
частиц, найти в представлении чисел заполнения вид
оператора плотности числа частиц п(г) (в точке г
пространства) и числа частиц N(v) в некотором
объеме v.
10.23. Доказать коммутационные соотношения
[р, wm = ih-§Fv®, [р, Ф+ ©] = т4-*+ (?),
где Р, W (I) — операторы импульса и поля (\f-one-
раторы) в представлении чисел заполнения для системы
тождественных бозонов или фермионов.
10.24. Исследовать стационарные состояния (энер-
(энергетический спектр и волновые функции) поперечного
движения заряженной бесспиновой частицы в одно-
однородном магнитном поле, введя соответствующим об-
образом выбранные операторы рождения и уничто-
уничтожения3). Воспользоваться выражением А = [Жт]/2
для векторного потенциала.
3) Аналогично тому, как это делается для линейного осцил-
осциллятора с выбором а = (m(?>? + ip)/y2hma>, приводящим гамиль-
гамильтониан к виду Н = ha> (й+й + 1/2). Для рассматриваемой за-
задачи необходимо ввести две пары операторов рождения и унич-
уничтожения; при соответствующем их выборе гамильтониан зависит
только от одной из них.
ИЗ
10.25. Энергетический спектр ?„,П2 = Нщ {щ + 1/2)—f—
+ Лсо2 (% + 1/2) двумерного (плоского) осциллятора,
U = m (со2*2 + со2г/2У2, в случае кратных частот coi,?
содержит вырожденные уровни. Для частных случаев
а) @1 = ш2и б) ©1 = 2©2 связать это свойство спектра
с симметрией гамильтониана. Указать явный вид опе-
операторов симметрии.
10.26. Рассмотреть так называемый суперсим-
суперсимметричный осциллятор, характеризуемый гамильто-
гамильтонианом H = HB + HF = H(a{h+h + f+f); здесь Ь{Ь+)
и f (f+) — операторы уничтожения (рождения) бозона
и фермиона, соответственно; Яв = Ы(Ь + Ь + 1/2) и
#F=/ico(f+f—1/2). Спектр такого гамильтониана
EN — h(x>N, N = пв-{- tiF, а собственные векторы —
\пв, пр). Характерные особенности спектра: EN ^ 0,
уровни с EN > 0 двукратно вырождены, основной
уровень Ео = 0 невырожденный.
Указать вид операторов симметрии гамильтониана
и показать, что гамильтониан может быть выражен
через антикоммутатор этих операторов; объяснить
свойства спектра.
Указание. Симметрия, проявляющаяся в преобра-
преобразованиях, переводящих бозоны и фермионы друг в
друга (и соответствующая их равноправному рас-
рассмотрению), называется суперсимметрией. Она обла-
обладает рядом привлекательных особенностей и с нею
связывают, в частности, надежду на создание единой
теории элементарных частиц (см. обзор, указанный
в связи с задачей 7.9). В данной и следующей за ней
задачах рассмотрены характерные черты суперсим-
суперсимметрии и ее проявления в простейших квантовомеха-
нических системах.
10.27. Введем операторы
Q = A+f, Q+ = Af+, H=QQ+ + Q+Q,
где f, f+ обладают свойствами фермионных операто-
операторов уничтожения и рождения, а А, А+ — некоторые
коммутирующие с ними операторы.
Убедиться, что рассматриваемая система4) обла-
обладает суперсимметрией (см. предыдущую задачу).
4) При этом Й — ее гамильтониан, а пространство векторов
состояний системы определяется тем пространством, на котором
определены операторы A, f, а тем самым и Q, Q+, H.
114
Показать, что при подходящем выборе «коорди-
«координатных» операторов А, А+ и спиновых /, /+ рассмат-
рассматриваемый суперсимметричный гамильтониан харак-
характеризует одномерное движение частицы со спином
5 = 1/2. Каковы при этом следствия суперсимметрии?
Указание. Выбрать f==(l о) и А = р1^2т +
+ iW (x).
§ 3. Системы из большого числа N ^> \
частиц
10.28. В основном состоянии бозе-газа из N не-
невзаимодействующих частиц со спином s = 0, нахо-
находящегося в объеме V, найти среднюю плотность числа
частиц, среднее число частиц в некотором объеме v
и флуктуацию этого числа частиц.
Задачу предлагается решить усреднением соответ-
соответствующих операторов в представлении чисел запол-
заполнения.
10.29. В условиях предыдущей задачи рассмот-
рассмотреть пространственную корреляцию флуктуации плот-
плотности числа частиц. Для однородной системы она ха-
характеризуется корреляционной функцией v(r) (г =
= <"i —r2), равной
v (г) = {щп2 — п2}/п, nl>2 = n{rlt2),
где п — средняя плотность числа частиц.
Сравнить с соответствующим результатом для си-
системы из классических частиц.
10.30. В основном состоянии идеального ферми-
газа из iV частиц в объеме V найти среднюю плот-
плотность числа частиц и среднее число частиц в неко-
некотором объеме и.
Задачу предлагается решить усреднением соот-
соответствующих операторов в представлении чисел за-
заполнения.
10.31. В условиях предыдущей задачи рассмотреть
корреляцию плотностей числа частиц с определен-
определенными значениями проекции спина на ось z в различ-
различных точках пространства: найти n(ri, szi)n(r2, sz2) и
сравнить с произведением п(г\, sz\) -n(r2, sz2). Рас-
Рассмотреть случаи различных и одинаковых значе-
значений Szl И Sz2.
115
Найти корреляционную функцию плотности (см.
10.29).
10.32. Рассматривая взаимодействие между час-
частицами как возмущение, найти в первом порядке тео-
теории возмущений энергию основного состояния бозе-
газа, содержащего N частиц со спином s = 0 в объ-
объеме V (взаимодействие частиц друг с другом описы-
описывается короткодействующим парным потенциалом
отталкивания U(r) ^ 0, г = та — Ть).
10.33. То же, что и в предыдущей задаче, для
ферми-газа частиц со спином s = 1/2. Предполагает-
Предполагается, что потенциал парного взаимодействия частиц не
зависит от спина и удовлетворяет условию kpRo^L h
где Ro— радиус потенциала, ttkp — граничный им-
импульс.
10.34. Идеальный ферми-газ нейтральных частиц
со спином s = 1/2, имеющих спиновый магнитный
момент цо (так что ц = Иоо), находится во внешнем
однородном магнитном поле. Для основного состоя-
состояния рассматриваемой системы найти:
1) числа заполнения одночастичных состояний;
2) магнитную восприимчивость газа (для слабого
поля).
Взаимодействие магнитных моментов друг с дру-
другом пренебрежимо мало.
10.35. Выяснить характер экранировки электрона-
электронами проводимости электростатического поля точечного
заряда q, помещенного внутрь проводника. Восполь-
Воспользоваться статистическими соображениями5), рас-
рассматривая электроны проводимости как ферми-газ
(на фоне равномерного распределения положитель-
положительного заряда, обеспечивающего электронейтральность
проводника) при температуре Т = 0. Искажение
электронной плотности вблизи заряда считать
малым.
10.36. Найти распределение заряда вблизи по-
поверхности заряженного (с «поверхностной» плот-
плотностью заряда а) проводника. Воспользоваться
соображениями, высказанными в предыдущей за-
задаче.
s) Аналогичными используемым в методе Томаса — Ферми,
см. главу И, § 2, а также [1], § 70.
116
Глава 11
АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
Большинство расчетов атомных систем основано
на предположении, что отдельные электроны (а ие
только вся система в целом) находятся в определен-
определенных квантовых состояниях. При этом волновая функ-
функция системы записывается в виде антисимметричной
комбинации произведений волновых функций таких
одноэлектронных состояний. Наиболее точные рас-
расчеты в этом приближении связаны с численным ре-
решением уравнений Хартри — Фока, полученных на
основе метода самосогласованного поля для одно-
электронных состояний.
Для систем с большим числом электронов простая
реализация идеи самосогласованного поля лежит в
основе метода Томаса — Ферми. В этом методе (сред-
(средняя) электронная плотность п(г)ъ основном состоя-
состоянии нейтрального атома (или положительного атом-
атомного иона) на основе статистических соображений
связана с электростатическим потенциалом системы
ф(г) соотношением1)
п(г) = -з^[2(ф-ф0)р. (XI. 1)
Для нейтрального атома фо = 0 и из электростатиче-
электростатического уравнения Пуассона следует уравнение То-
Томаса— Ферми (г =5^=0)
-^ фЗ/г (XI. 2)
(самосогласованное уравнение для потенциала). Вво-
Вводя более удобные величины х и %(х) согласно
где Ь = (Зл/8 V2J/3 «* 0,885, Z — число электронов
(заряд ядра), приводим уравнение (XI.2) к виду
л/х%"(х) = %3'Цх) (XI. 4)
с граничными условиями %@) = 1 и %(оо) = 0. Функ-
Функция %(х) является универсальной в методе Томаса —
') Здесь (и часто не оговаривая в дальнейшем) используем
атомные единицы (а.е.), е = ft = /пе = 1.
117
Ферми. Числовые расчеты дают %'($)= —1,588, при
этом энергия полной ионизации атома в моде-
модели Томаса —Ферми равна Ео = — C%'@)/7b)Z7'3 =
= 0J69Z7/3 = 20.92Z7/3 эВ, см. 11.21.
В этой главе представлена серия задач, связанных
с исследованием свойств во внешних электрическом
и магнитном полях частицы, слабо связанной (т. е.
с малой энергией связи) центральным короткодей-
короткодействующим потенциалом. Такая одночастичная систе-
система2) используется в атомной физике для моделиро-
моделирования отрицательных атомных ионов, в которых
внешний слабосвязанный электрон рассматривается
как движущийся в короткодействующем потенциале,
создаваемом нейтральным атомом.
§ 1. Стационарные состояния атомов с одним
и двумя электронами
11.1. Найти поправку к уровням энергии водоро-
доподобного атома3) за счет так называемой реля-
релятивистской зависимости массы частицы4) от скоро-
скорости в первом порядке теории возмущений.
11.2. Рассмотреть сверхтонкую структуру s-уров-
ней водородоподобного атома, связанную с взаимо-
взаимодействием магнитных моментов электрона и ядра.
Ядро имеет спин / и магнитный момент цо, так что
для него }х = |ы0Т// (и рассматривается как точечная
частица). Оценить сверхтонкое расщепление и срав-
сравнить его с интервалом тонкой структуры (из преды-
2) Многие свойства состояний частицы с малой энергией
Е <С Л2jmrg, где rs — радиус короткодействующего потанциала,
определяются лишь двумя параметрами: энергией связи и так
называемым асимптотическим коэффициентом С ^ (см. 11.36,
11.37). Они, в свою очередь, связаны с параметрами низкоэнер-
низкоэнергетического рассеяния: длиной рассеяния ai и эффективным ра-
радиусом п, см. (XIII. 15).
3) Водородоподобным (и аналогично гелиеподобным) ато-
атомом нли ионом мы называем систему, состоящую из ядра с про-
произвольным зарядом Ze и одного (двух) электронов.
4) Для бесспиновой частицы получаемый результат опреде-
определяет тонкую структуру уровней водородоподобного атома. В слу-
случае же электрона, как это следует из уравнения Дирака [29],
кроме такой поправки имеется еще одно слагаемое в гамильто-
гамильтониане, описывающее так называемое спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие, вклад которого в смещение уровней имеет такой же
порядок величины, как и рассчитанная в данной задаче поправка.
118
дущей задачи); магнитный момент ядра порядка
eh/rripc, Шр — масса протона. В случае атома водо-
водорода сравнить полученный результат с эксперимен-
экспериментальным значением сверхтонкого расщепления основ-
основного уровня Avhfs = AEnFs/2nti « 1420 МГц5), маг-
магнитный момент протона равен цР = —1,396е%/тРс.
11.3. Вычислить в первом порядке теории возму-
возмущений сдвиги s-уровней водородоподобных атомов,
обусловленные неточечностью ядра. Распределение
заряда в ядре считать сферически симметричным.
Оценить значение поправки, рассматривая ядро как
i?l2X
равномерно заряженный шар радиуса ,
ХЮ~13Л1/3 см, А & 2Z, А — массовое число ядра; срав-
сравнить с результатами двух предыдущих задач.
Насколько существенна неточечность ядра для
ju-мезоатома? Взамодействие мюона, как и электрона,
с ядром имеет чисто электростатический характер.
11.4. Рассмотреть сдвиги кулоновских ns-уровней
пионных, и вообще адронных2) атомов, вызванные
короткодействующим сильным (ядерным) взаимодей-
взаимодействием пиона с ядром. Показать, что сдвиг уровня
описывается формулой теории возмущений по длине
рассеяния
где ^^'(О) — значение невозмущенной кулоновской
волновой функции, a as — так называемая длина рас-
рассеяния пиона на ядерном потенциале (сравнить
с 4.29; обобщение на случай / Ф О см. в 13.36).
Указание. Влияние короткодействующего потен-
потенциала Us(r) радиуса rs на уровни Ef> <С h2/mr2s в
дальнодействующем потенциале VL радиуса п *5> rs
можно учесть как изменение граничного условия:
вместо ограниченности волновой функции на малых
расстояниях теперь Wn оэ A — ajr) при г <С tl. Coot-
5) Энергия, соответствующая частоте v = 1 МГц, равна
е0 » 4,136- Ю-9 эВ.
6) Адронные атомы — связанные кулоновским взаимодей-
взаимодействием системы из двух адронов;_например, пион-протонный
(я~р) или протон-антипротонный (рр) атомы и др. Кулоновские.
уровни такой системы Е^ = —,m (t,e2J/2h2n2, где m = m\m2/
/(m.i+m2)—приведенная масса системы, ? = —ZiZ2 > 0, ZU2 —
заряды адронов; радиус Бора такой системы ав = fp'/^me2.
11»
ветственно сдвиг уровня определяется лишь длиной
рассеяния as на потенциале Us и не зависит от его
конкретного видя.
11.5. Рассчитать в первом порядке теории возму-
возмущений энергию основного состояния двухэлектрон-
ного атома (или иона), рассматривая взаимодей-
взаимодействие между электронами как возмущение. Получить
значение потенциала ионизации системы и сравнить
его с экспериментальными данными для атома гелия
и ионов лития, бериллия, углерода и кислорода:
/(Не) = 24,6 эВ; /(Li+)=75,6 эВ; /(Ве++)=154 эВ;
/(С4+) = 392 эВ; /(О6+) = 739 эВ.
11.6. Найти энергию и потенциал ионизации основ-
основного состояния двухэлектронного атома (иона) ва-
вариационным методом. В качестве пробной функции
взять произведение водородных функций с некото-
некоторым эффективным зарядом Z3$, играющим роль ва-
вариационного параметра. Сравнить с результатом из
11.5. Можно ли сделать вывод о существовании устой-
устойчивого иона водорода Н~?
11.7. Показать, что рассмотренная в предыдущей
задаче пробная функция с эффективным зарядом
?эф = Z — 5/16 является наилучшей из всех проб-
пробных функций вида ^Fnpoe = "ф(г1 + гг)/4я, т. е. зави-
зависящих только от переменной и = п + г2.
11.8. Найти среднюю энергию двухэлектронного
иона с зарядом ядра Z в состоянии с волновой функ-
функцией
^ (ri, г2) = С [ехр (— от, — Рг2) + ехр (— Ргх — аг2)].
Выбрав значения параметров ос=1, Р = 0,25, дока-
доказать существование стабильного иона водорода Н~.
11.9. Оценить значения энергий и потенциалов
ионизации возбужденных состояний гелиеподобных
атомов в приближении, в котором взаимодействие
между электронами эффективно учитывается как эк-
экранирование заряда ядра электроном, находящимся
в основном, ls-состоянии (при рассмотрении движе-
движения возбужденного электрона). Сравнить полученный
результат с экспериментальными данными, приведен-
приведенными в решении.
11.10. Найти энергию и потенциал ионизации
235-состояния гелиеподобного атома вариационным
методом. В качестве пробной функции взять должным
образом симметризоваиное произведение водородных
120
функций Is- и 2s-coctohhhh с некоторым эффек-
эффективным зарядом ядра Z3<b, играющим роль вариа-
вариационного параметра. В случае атома гелия и иона
лития Li+ сравнить полученные результаты с экспери-
экспериментальными данными (в атомных единицах):
/НеB35) = 0,175 и /Li+B35) = 0,610.
11.11. Рассчитать сверхтонкое расщепление для
триплетного 235-состояния атома гелия с ядром 3Не;
спин ядра 1=1/2, магнитный момент |и =
= —l,064eft/mpc. При вычислениях воспользоваться
приближенным видом волновой функции 235-состоя-
ния, отвечающим пренебрежению взаимодействием
электронов друг с другом. Сравнить полученный ре-
результат с экспериментальным значением величины
сверхтонкого расщепления AvHfs = A?HFs/2nft =
= 6740 МГц.
11.12. Показать, что у гелиеподобных атомов все
устойчивые возбужденные состояния, стабильные от-
относительно распада на соответствующий водородопо-
добный атом и свободный электрон, имеют электрон-
электронную конфигурацию \stil, т. е. один из электронов
обязательно находится в основном, ls-состоянии (не-
(неустойчивые относительно ионизации состояния атом-
атомных систем с двумя или более возбужденными элек-
электронами называют автоионизационными, см. 11.72).
11.13. Оценить значения потенциалов ионизации
основного 2S- (электронная конфигурация (lsJ2s)
и первого возбужденного 2Р-состояний (электронная
конфигурация (lsJ2p) литиеподобного атома, счи-
считая, что взаимодействие электронов, находящихся в
основном состоянии, с возбужденным сводится эф-
эффективно к экранировке на 2 заряда ядра (для воз-
возбужденного электрона).
В случае атома лития сравнить полученные зна-
значения с экспериментальными: /BS) = 5,39 эВ и
/BР) = 3,54эВ.
§ 2. Многоэлектронные атомы.
Статистическая модель атома
11.14. Найти возможные термы атома со следую-
следующей электронной конфигурацией (сверх заполненных
оболочек):
а) пр, б) {npf, в) {npf, г) (пр)\ д) (лр)», е) {npf.
Ш
Каковы их четности? Пользуясь правилами Гунда,
указать нормальный терм.
11.15. Указать атомные термы, возможные для
электронной конфигурации (nlJ.
11.16. Состояниям атома, имеющим электронную
конфигурацию nsn'l сверх заполненных оболочек, от-
отвечают два терма: 'L и 3L (L — суммарный орбиталь-
орбитальный момент, L = I). Рассматривая взаимодействие
между электронами как возмущение, показать, что
энергия триплетного терма ниже энергии синглет-
ного. Вид радиальных функций ns- и «'/-электронов
не конкретизировать.
11.17. Атом содержит сверх заполненных оболочек
два эквивалентных np-электрона. Рассматривая взаи-
взаимодействие между электронами как возмущение,
найти расположение термов lS, lD, ZP атома в по-
порядке возрастания энергии. Убедиться в том, что
значения квантовых чисел S я L нормального терма
подтверждают правило Гунда. Показать, что энергии
термов удовлетворяют соотношению
E0S)-EQD) 3
E{lD)-E(sP) ~~ 2
{в рассматриваемом приближении оно относится
также к атомам с электронной конфигурацией (прL).
Явный вид радиальной волновой функции пр-элек-
трона не конкретизировать.
Указание. При составлении правильных функций
нулевого приближения, отвечающих определенному
значению L орбитального момента, удобно использо-
использовать тензорный формализм (см. задачи § 4 главы 3).
11.18. То же, что и в предыдущей задаче, но для
атома с тремя эквивалентными пр-электронами. По-
Показать, что энергетические расстояния между тер-
термами удовлетворяют соотношению
. Е (*Р) - Е BД) _ 2
Е (Ю) - Е (*S) ~ 3 ¦
11.19. Рассмотреть статистическую модель основ-
основного состояния нейтрального атома с зарядом ядра
Z S> 1 в пренебрежении взаимодействием электронов
друг с другом. В рамках этой модели найти:
1) электронную плотность п(г) и rk для отдель-
отдельного электрона,
122
2) распределение электронов по импульсам п(р)У
а также р и р2,
3) характерную величину орбитального момента
электрона,
4) энергию полной ионизации атома ЕП0Лн. ион =
= -Е0.
Обратить внимание на зависимость от Z рассчи-
рассчитанных величин и сравнить с результатами модели
Томаса — Ферми.
В пренебрежении электрон-электронным взаимо-
взаимодействием получить точное выражение для энергии
основного состояния атома Ео и при Z S> 1 сравнить
его с результатом статистической модели.
11.20. Определить зависимость от Z числа элек-
электронов распределения Томаса — Ферми, находящихся
в s-состоянии.
11.21. В модели Томаса — Ферми выразить через
электронную плотность п{г) кинетическую энергию
электронов, энергию их взаимодействия друг с дру-
другом и с ядром, а также полную энергию Е[п{г)]
атома.
Показать, что функция по(г), минимизирующая
функционал Е[п(г)], является решением уравнения
Томаса —Ферми (XI.2) с ф = A/2)(Зя2п0(/-)J/3, и ис-
используя это экстремальное свойство функционала,
доказать в рамках модели Томаса — Ферми: а) соот-
соотношение ?/еЯд = —7[/ее между энергиями взаимодей-
взаимодействия электронов друг с другом ?/ее и с ядром Ue ЯД).
б) теорему вириала.
Используя пробную функцию вида 7)
«проб (г) = ^J ехр (- % л/Tz^), \ ппроб dV = aZ,
7) Подчеркнем, что в рассматриваемой задаче речь идет
о безусловном минимуме функционала Е[п(г)] без дополнитель-
дополнительного условия о нормировке «(г), при этом точная функция по(г)
оказывается автоматически нормированной на число Z электро-
электронов. Приближенная же пробная функция не обязана удовлетво-
удовлетворять такому условию.
Отметим интересное свойство функционала энергии. В усло-
условиях данной задачи Е[п(г)] для нейтрального атома принимает
минимальное значение. Если же ввести функционал Е[(р(г)]»
см. 11.22, то для нейтрального атома он, наоборот, принимает
максимальное значение. Таким образом, результаты 11.21, 11.22
дают ограничения как сверху, так и снизу для энергии атома
в модели Томаса — Ферми.
123
где а, к — вариационные параметры, найти энергию
Е основного состояния нейтрального атома с зарядом
ядра Z вариационным методом; сравнить с точным
результатом модели Томаса — Ферми.
11.22. В рамках статистической модели нейтраль-
нейтрального атома записать его энергию ?[ф(г)] через по-
потенциал ф(г) в таком виде, чтобы из условия экстре-
экстремальности функционала ?[ф(г)] следовало уравне-
уравнение Томаса— Ферми (XI. 2).
Используя пробную функцию
где а — вариационный параметр, найти энергию
основного состояния атома вариационным методом,
сравнить с предыдущей задачей и с точным резуль-
результатом модели Томаса — Ферми.
§ 3. Основные представления теории молекул
11.23. Произвести классификацию возможных тер-
термов молекулярного иона водорода Ht. Указать воз-
возможные значения орбитального момента электрона L
по отношению к центру симметрии для различных
термов иона.
11.24. Состояние системы из двух электронов опи-
описывается волновой функцией Ш = г|з(гь г2)хар, где
ЭѫР— спиновая функция, а ^(гьГг) имеет вид
а) q = f(rl, r2);
б) 1|з = (г,п0 + г2п0) f (rи г2);
в) ¦* = ([r1r2]no)f(r,1 r2);
г) if? = (r,n0 + r2n0) ([rir2] n0) f(ru r2).
Произвести принятую в теории двухатомных молекул
классификацию указанных состояний, рассматривая
постоянный вектор п0 как аналог радиуса-вектора
относительного положения ядер.
11.25. Для двухатомной молекулы оценить по по-
порядку величины отношения следующих величин:
а) интервалов между электронными, колебатель-
колебательными и вращательными уровнями;
б) межъядерного расстояния и амплитуды коле-
колебаний ядер;
124
в) характерных периодов и скоростей электрон-
электронных и ядерных движений.
11.26. Считая известными следующие характери-
характеристики молекулы водорода Н2:
1) энергию диссоциации основного состояния мо-
молекулы на два невозбужденных атома водорода
/о = 4,46 эВ;
2) частоту колебаний сое молекулы, Йсое = 0,54 эВ;
3) ротационную постоянную Ве = 7,6-10 эВ,
найти соответствующие величины для молекул HD
и D2, в которых одно или оба ядра-протоны заме-
заменены на дейтрон.
Сравнить величины эффекта изотопического сме-
смещения уровней атома и молекулы водорода.
11.27. Каковы возможные вращательные состоя-
состояния молекул водорода Н2, дейтерия D2 и HD, нахо-
находящихся в основном, 2g- состоянии, в зависимости от
значения суммарного ядерного спина молекул (спин
дейтрона равен 1)? Как зависит от значения орби-
орбитального момента молекулы знак8) терма?
11.28. Найти электронные термы E(R) отрицатель-
отрицательного молекулярного иона (АВ)~ в рамках модели,
в которой взаимодействие внешнего электрона с ато-
атомами А и В аппроксимируется потенциалами нуле-
нулевого радиуса, см. 4.10. Обратить внимание на:
1) возможность существования устойчивого иона
(АВ)~ в случае, когда стабильные ионы А- и В~ не
существуют;
2) закон изменения при i?->-oo разности энергий
четного и нечетного термов (в случае одинаковых
атомов А = В).
11.29. Найти основной терм E0(R) молекулярного
иона водорода Н2+ вариационным методом, аппрок-
аппроксимируя волновую функцию терма функцией вида
проб (г) = V^Fexp (- ar/R),
где г — расстояние электрона от центра отрезка, со-
соединяющего ядра-протоны, а — вариационный пара-
параметр.
8) Напомним, что знак терма —положительный или отрица-
отрицательный — характеризует поведение волновой функции молекулы
при одновременной инверсии координат всех электронов и ядер
и определяет по своему физическому смыслу четность состояния
молекулы.
125
Рассчитать минимальную энергию терма Ео, рав-
равновесное расстояние между ядрами Ro, энергию ну-
нулевых колебаний ядер Якол, о и сравнить их с экспе-
экспериментальными значениями: Ео ж —0,60 а. е., Ro «
« 2,0 а. е., ?кол, о » 0,0044 а. е.
Можно ли на основании результата расчета сде-
сделать вывод о существовании стабильного иона Нг"?
11.30. Оценить характерное расстояние между яд-
ядрами в |я-мезомолекулярном ионе водорода9), а так-
также значения величин ю^ и В^ для иона в адиабатиче-
адиабатическом приближении, воспользовавшись результатами
из предыдущей задачи для обычного иона Н^-
§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях.
Взаимодействие атомных систем
Атомные системы во внешнем электрическом поле.
11.31. Рассчитать поляризуемость основного со-
состояния атома водорода вариационным методом, вос-
воспользовавшись пробными функциями
а) T(r) =
= Сл-'12е~г (\ +
б) W (г) = Ся" [е~r + av5/2<Ve-v cos 8],
где а, у — вариационные параметры, 4/0 = e
волновая функция основного состояния невозмущен-
невозмущенного атома водорода, &й — напряженность внешнего
электрического поля. Сравнить с точным значением
Ро = 9/2 (использованы атомные единицы).
11.32. Используя известное значение р0 = 9/2 а. е.
поляризуемости основного состояния атома водорода,
получить приближенное значение поляризуемости
основного, 1]5-состояния двухэлектронного атома или
иона,
а) пренебрегая взаимодействием между элек-
электронами,
9) Из-за малости размера в мезомолекулярном ионе суще-
существенно возрастает проницаемость кулоновского барьера, разде-
разделяющего ядра. Поэтому в случае, когда ядрами иона являются
тяжелые изотопы водорода (d или t),MiooH выступает как катали-
катализатор реакций идерного синтеза (например, dt-> па+17,6 МэВ);
см. в связи с этим 11.59, 11.74, а также обзор по р,-катализу:
Зельдович Я. Б., Герштейн С. С.//УФН. — I960,—Т. 71—С. 581.
126
б) учитывая его результативно как взаимное час-
частичное экранирование заряда ядра, выбрав эффек-
эффективный заряд равным Zs$ = Z — 5/16, см. 11.6. Срав-
Сравнить полученные результаты с экспериментальными
данными, приведенными в решении задачи.
11.33. Рассмотреть эффект Штарка для возбуж-
возбужденных состояний атома водорода с главным кван-
квантовым числом п = 2 в первом порядке теории воз-
возмущений. При решении задачи воспользоваться
•собственными функциями невозмущенного гамильто-
гамильтониана Wnim в сферических координатах. Указать пра-
правильные функции нулевого приближения и условия
применимости полученных результатов.
11.34. Рассчитать вариационным способом энерге-
энергетический сдвиг в однородном электрическом поле и
поляризуемость связанного состояния частицы в по-
потенциале нулевого радиуса действия, используя
пробную функцию вида 10)
Ч'проб = С [Wo (г) + Я (80г) е-v], ?0 = л/^/bte-^/r,
где А, у— вариационные параметры, Wo— волновая
функция невозмущенного состояния. Сравнить с точ-
точным значением, см. следующую задачу.
11.35. Найти точное значение поляризуемости свя-
связанного состояния частицы в потенциале нулевого ра-
радиуса, см. 4.10. Применить полученный результат
к иону Н~, сравнить с 11.36.
11.36. Найти поляризуемость слабосвязанного со-
состояния заряженной частицы с моментом / = 0 в
центральном потенциале Us (г) радиуса rs, так что
Kofs -С 1, где х0 = д/— 2Ef)/h2, Ё^ — энергия невозму-
невозмущенного состояния. Применить полученный результат
к иону Н-.
Указание. Выразить поляризуемость через щ и
значение Ск0 так называемого асимптотического ко-
коэффициента, определяющего асимптотику невозму-
невозмущенной волновой функции WQ «s С^о л/хо/2пе-'к°г/г на
больших расстояниях (при /\s->-0 имеем Ся0->-1 и
Wo переходит в волновую функцию связанного состоя-
состояния в потенциале нулевого радиуса, см. 4.10).
10) Обращаем внимание на то, что Ч^робСг), как и ^(г),
при г->0 удовлетворяет граничному условию, определяющему
потенциал нулевого радиуса, см. 4.10.
127
Отметим, что достаточно надежные вариационные
расчеты свойств иона Н~ (двухэлектронной системы)
приводят к следующим результатам: к0 = 0,235 а. е.
(энергия связи е0 = 0,754 эВ), с?0 = 2,65, поляризуе-
поляризуемость Ро = 206 а. е.; см. также 13.40.
11.37. То же, что и в предыдущей задаче, для сла-
слабо связанного состояния частицы с моментом 1=1.
11.38. Получить приближенные выражения для
поляризуемостей возбужденных 235- и 2'5-состояний
двухэлектронного атома (или иона). Сравнить с экс-
экспериментальными значениями для атома гелия и
иона лития Li+ (в ат. ед.): рНе B35) = 316, flHe BlS) =
= 803, pu+ B35) = 47, f3u+ B>S) = 99.
Указание. Учесть близость 25- и 2Р-уровней и экс-
экспериментальные значения для разности их энергий:
?неB3Р) — ?неB35)=1,14эВ и?НеB1/э) — ?неB'5) =
= 0,602 эВ, а также аналогичные значения 2,26 эВ
и 1,29 эВ для иона Li+. Электрон в возбужденном
состоянии рассматривать как движущийся в поле
заряда ядра, экранированного на 1, а обменными
эффектами пренебречь.
11.39. Оценить порядок величины поляризуемости
атома и зависимость ее от заряда ядра Z в модели
Томаса — Ферми. Пренебрегая взаимодействием меж-
между электронами, см. 11.19, найти значение коэффи-
коэффициента в полученной зависимости поляризуемости
от Z. Сравнить с вкладом в поляризуемость атома ва-
валентных электронов.
11.40. Найти штарковское расщепление враща-
вращательных компонент уровней двухатомной молекулы,
имеющей постоянный дипольный момент (в системе
координат, жестко связанной с осью симметрии мо-
молекулы). Штарковское расщепление предполагается
малым по сравнению с расстоянием между соседними
вращательными уровнями, электронный терм моле-
молекулы 11>; сравнить с результатом задачи 8.11 для сфе-
сферического ротатора.
Атомные системы во внешнем магнитном поле.
11.41. Рассмотреть эффект Зеемана для атома
водорода. Магнитное поле считать настолько силь-
сильным, что зеемановское расщепление много больше
тонкой структуры уровней (см. 11.1). Указать усло-
условия применимости полученных результатов.
128
11.42. Рассмотреть эффект Зеемана для основного
уровня атома водорода с учетом его сверхтонкой
структуры, см. 11.2. Обратить внимание на характер
зависимости от Ж сдвигов уровней в случае слабого:
\хв2@ <С А и сильного: А <С \хвЖ внешних магнитных
полей; здесь А» 1420 МГц — сверхтонкое расщепле-
расщепление уровня.
11.43. Рассмотреть эффект Зеемана для основного
уровня позитрония — связанного состояния системы
из электрона и позитрона (аналогичной атому водо-
водорода)— с учетом его тонкой структуры11). Указать
правильные спиновые функции нулевого прибли-
приближения при наличии магнитного поля.
11.44. Для основного уровня атома водорода най-
найти диамагнитную часть сдвига уровня, связанную
с орбитальным движением электрона.
11.45. Найти магнитную восприимчивость атома
гелия в основном состоянии, используя приближен-
приближенный вид волновой функции из вариационного рас-
расчета, см. 11.6. Рассчитать также магнитную воспри-
восприимчивость 1 см3 газообразного гелия при нормальных
условиях и сравнить ее с экспериментальным значе-
значением, равным —8,4-1СН1.
11.46. Найти сдвиг и магнитную восприимчивость
основного уровня заряженной частицы в потенциале
нулевого радиуса во внешнем однородном магнитном
поле. Обобщить полученный результат на случай сла-
слабосвязанного состояния частицы с моментом / = 0
в короткодействующем потенциале Us {г) радиуса rs'r
сравнить с 11.35 и 11.36.
11.47. Найти пара- и диамагнитный сдвиги уров-
уровня для слабосвязанного состояния заряженной час-
частицы с моментом / = 1 в короткодействующем по-
потенциале Us (г).
и) Так как магнитный момент позитрона лишь знаком отли-
отличается от электронного, то магнитное взаимодействие спинов
в позитронии такого же порядка величины (нет малости
~me/mp), как и другие релятивистские поправки в гамильто-
гамильтониане, так что в отличие от обычных атомов в позитронии уже
не имеет смысла говорить о сверхтонкой структуре уровня. Клас-
Классификация уровней позитрония по значению S @ или 1) сум-
суммарного спнна сохраняется и при учете релятивистских эффектов
(пара- и ортопозитроний). Тонкое расщепление для основных
уровней орто- и парапозитрония составляет Д = А< — До ~
« 8,2-Ю-4 эВ.
5 В. М. Галицкий и др. 129
11.48. Найти зеемановское расщепление враща-
вращательных компонент уровней двухатомной молекулы,
предполагая его малым по сравнению с расстоянием
между соседними вращательными уровнями. Элек-
Электронный терм молекулы '2.
Взаимодействие атомных систем на далеких рас-
расстояниях 12).
11.49. Найти потенциал взаимодействия заряжен-
заряженной частицы (иона, электрона и т. д.) с невозбуж-
невозбужденным атомом водорода на больших расстояниях
друг от друга.
11.50. Найти энергию взаимодействия заряженной
частицы и двухатомной молекулы, находящихся на
большом расстоянии друг от друга. Предполагается,
что молекула обладает постоянным дипольным мо-
моментом d (в системе координат, жестко связанной
с осью молекулы) и находится в состоянии с враща-
вращательным квантовым числом К = 0. Электронный терм
молекулы '2.
11.51. Каков закон изменения с расстоянием взаи-
взаимодействия заряженной частицы с атомом водорода,
находящимся в возбужденном состоянии? Сравнить
с 11.49.
11.52. Найти энергию взаимодействия двух ато-
атомов водорода (находящихся в основном состоянии) на
большом расстоянии R друг от друга вариационным
методом. При расчете воспользоваться пробной функ-
функцией вида 13)
Ч'проб = CW0 (гО ?о (г2) [1 + а (ххх3 + уху2 - 2zxz2)],
где W0(r) — волновая функция основного состояния
атома водорода, а — вариационный параметр; Гь г2 —
радиусы-векторы электронов первого и второго ато-
атомов относительно своих ядер, ось г направлена вдоль
оси, проходящей через ядра.
11.53. Найти энергию взаимодействия на больших
расстояниях двух молекул, обладающих постоянными
12) При этом предполагается, что относительные скорости
сталкивающихся составных частиц не слишком велики, так что
применимо адиабатическое приближение.
13) Рассмотрение электронов как локализованных вблизи
«своих» ядер соответствует пренебрежению обменным взаимодей-
взаимодействием, убывающим экспоненциально на больших расстояниях.
Выбор пробной функции (отличие ее от невозмущенной в. ф.)
отражает диполь-дипольный характер взаимодействия атомов.
130
дипольными моментами d\ и d2 (в системах коорди-
координат, жестко связанных с осями молекул). Предпола-
Предполагается, что молекулы находятся в состояниях с вра-
вращательными квантовыми числами /(Ь2 = 0, а их
электронные термы — '2.
11.54. Рассмотреть взаимодействие, включая и об-
обменный потенциал14), отрицательного иона с соб-
собственным атомом (система А~А) на больших расстоя-
расстояниях. Валентный электрон в ионе рассматривать как
слабосвязанную частицу в короткодействующем по-
потенциале Us{r) атома, аппроксимируя его потенциа-
потенциалом нулевого радиуса.
11.55. Рассмотреть взаимодействие невозмущен-
невозмущенного атома водорода с атомом водорода, находя-
находящимся в возбужденном состоянии с п = 2. Указать
правильные функции нулевого приближения, диаго-
нализующие оператор диполь-дипольного взаимодей-
взаимодействия атомов.
11.56. Найти потенциал взаимодействия двух ато-
атомов на далеких расстояниях в случае, когда валент-
валентный электрон одного из атомов является слабосвязан-
слабосвязанным, так что \Е0\<^.%2/та2). Воспользоваться теорией
возмущений по длине рассеяния, см. 11.4, и указать
условия применимости полученного результата.
§ 5. Нестационарные явления в атомных
системах
11.57. Атом трития (сверхтяжелого изотопа водо-
водорода) находится в основном состоянии. В результате
р-распада тритон превращается в гелий: 3H-*-e-f-
+ v+ 3He. Найти:
1) среднее значение энергии, приобретаемой атом-
атомным электроном при р-распаде ядра,
14) Обменным потенциалом A(R) = Eg(R)—EU(R) назы-
называют разность энергий четного Eg и нечетного Еи электронных
термов. Он определяет (с коэффициентом 1/2) матричный эле-
элемент оператора взаимодействия B | Н (R) \ 1), взятый между со-
состояниями 11> и |2>, в которых электрон локализован соответ-
соответственно вблизи 1-го и 2-го ядер. Наглядно этот матричный эле-
элемент (в отличие от диагональных A B) | Н (R) \ 1 B))) характе-
характеризует взаимодействие, при котором происходит обмен электро-
электроном между атомом и ионом (сравнить, например, с обменным
потенциалом ядерного взаимодействия нуклонов [1], § 117). Об-
Обменный потенциал играет важную роль в процессах перезарядки,
см. 13.88.
5* 131
2) вероятность того, что при р-распаде образуется
ион гелия Не+, находящийся в основном состоянии,
3) вероятности образования возбужденных со-
состояний иона гелия с главным квантовым числом
л = 2.
При решении задачи иметь в виду, что электрон
ji-распада является релятивистским (энерговыделе-
(энерговыделение в распаде составляет «17 кэВ).
11.58. Ядро атома, находящегося в стационарном
состоянии Ч?о, испытывает внезапный толчок, в ре-
результате которого приобретает импульс Р. Выразить
в общем виде вероятность перехода атома в стацио-
стационарное состояние Wn в результате такого «встряхи-
«встряхивания». В случае атома водорода, первоначально на-
находящегося в основном состоянии, вычислить суммар-
суммарную вероятность возбуждения и ионизации.
11.59. Для мезомолекулярной dt ц-системы, нахо-
находящейся в основном состоянии (К = v = 0), оценить
вероятность того, что сс-частица, образующаяся в
реакции синтеза dt->- пес +17,6 МэВ, «подхватит»
мюон 15).
11.60. Обобщить результат 11.58 на случай двух-
двухатомной молекулы, т. е. получить общее выражение
для вероятности перехода молекулы из стационар-
стационарного состояния Wo в состояние Wn в результате вне-
внезапного «встряхивания», при котором одному из ядер
молекулы сообщается импульс Р (например, импульс
отдачи при излучении возбужденным ядром кванта).
Применить полученный результат для вычисления
вероятности того, что молекула останется в исходном
состоянии, если изменение скорости ядра много мень-
меньше характерных скоростей электронов в молекуле.
Электронный терм молекулы '2, и она находится
в состоянии с квантовыми числами К = v = 0. Об-
Обсудить условия возбуждения вращательных и колеба-
колебательных степеней свободы молекулы.
11.61. Найти изменение времени жизни основных
состояний орто- и парапозитрония, см. 11.43, при на-
наложении однородного магнитного поля.
15) Оказываясь при этом связанным в мезоатомный ион [Ше,
мюон перестает выступать в роли катализатора реакций синтеза.
Именно это обстоятельство (а не конечность времени жизни мю-
она) ограничивает число актов реакций, инициируемых одним
мюоном, а тем самым — и энергетическую эффективность р,-ката-
лиза, см. также 11.74.
132
Указание. Конечность времени жизни позитрония
связана с аннигиляцией электрон-позитроннои пары в
фотоны. При этом в отсутствие внешних полей вре-
времена жизни орто- и парапозитрония имеют суще-
существенно различные значения: ti « 1,4-10~7 с для ор-
топозитрония и то» 1,2-10~10 с для парапозитрония
[29], что связано с различием каналов их распада —
на три и на два фотона соответственно. Отметим
также, что при наличии нескольких каналов распада
полная вероятность его w (величина, обратная вре-
времени жизни т) равна сумме парциальных вероят-
вероятностей.
11.62. Найти изменение времени жизни метаста-
бильного 25-состояния атома водорода при наложе-
наложении слабого однородного электрического поля.
Указание. Возбужденные состояния атомных си-
систем являются, строго говоря, квазистационарными
состояниями, так как имеют конечное время жизни,
связанное с переходом электронов на более низкие
уровни с излучением фотонов. Обычно характерное
время жизни составляет т ~ 10~9 с; так, время жизни
2/?-состояния атома водорода Т2Р=1,6-10~9 с. Од-
Однако время жизни 25-состояния несоизмеримо боль-
больше: t2s « 0,1 с и определяется переходом в основное
состояние с излучением двух фотонов (см. в связи
с этим задачи 14.6, 14.8). При решении задачи сле-
следует иметь в виду аномальную близость энергий
2«i/2- и 2/?1/2-состояний, разность которых составляет
АЕ/2лН я* 1058 МГц (так называемый лэмбовский
сдвиг).
11.63. Найти в первом порядке теории возмущений
вероятность вырывания заряженной частицы, связан-
связанной потенциалом нулевого радиуса, электрическим
полем монохроматической электромагнитной волны.
Длина волны Я предполагается много большей обла-
области локализации частицы, так что электрическое поле
можно считать однородным, изменяющимся во вре-
времени гармоническим образом.
Рассмотреть наиболее общий случай волны эллип-
эллиптической поляризации. Обобщить полученный резуль-
результат на случай слабосвязанного состояния частицы
в короткодействующем потенциале Us (г) конечного
радиуса.
Указание. Для монохроматической волны эллип-
эллиптической поляризации, распространяющейся в на-
133
правлении оси z, электрическое поле в данной точке
пространства изменяется во времени по закону
g (/) = («Го cos со/, ?|Г0 sin со/, 0),
где t, — степень эллиптичности (|?|^1), a If о— ам-
амплитудное значение напряженности поля; знак ?
определяет направление вращения вектора g (/). При
? = 0 волна линейно поляризована, а при ?=±1
обладает круговой поляризацией.
11.64. То же, что и в предыдущей задаче, но для
слабосвязанного в короткодействующем потенциале
Us (г) состояния частицы с моментом 1=1 в поле
линейно поляризованной волны16); частота ее пред-
предполагается удовлетворяющей условию Йсо <С ti2lmr2s,
где rs — радиус потенциала.
11.65. То же, что и в задаче 11.63, но для водо-
родоподобного атома, находящегося в основном со-
состоянии. При этом ограничиться случаем большой
частоты внешнего поля, Йсо 3> т (Ze2J/ti2, так что
вылетающий электрон является быстрым.
Указание. При решении задачи воспользоваться
для описания взаимодействия заряженной частицы
с однородным электрическим полем оператором вида
V = —(е/тс)А(/)р, соответствующим выбору ска-
скалярного потенциала <р = 0; при этом Ш @ =
= — dA(t)/c dt, так что для эллиптически поляризо-
поляризованной монохроматической волны
А (/) = —(с^о/со) (sin со/, —I cos со/, 0).
Такое взаимодействие эквивалентно использованному
в двух предыдущих задачах V' = — e<g(/)r (А'= 0,
ф' = — % (/) г) и получается из последнего калиб-
калибровочным преобразованием с % = — cr\%(t)dt (см.,
например, 6.27). Его преимущество, по сравнению
с V', определяется тем, что в случае большой час-
частоты со, когда вылетающая частица является быстрой,
при вычислении матричного элемента возмущения
16) При этом волновые функции возникающих в поле волны
квазистационарных состояний характеризуются определенным
значением проекции момента частицы на направление электриче-
электрического поля. Для них вероятность ионизации в единицу времени
непосредственно связана с шириной уровня Г = hw.
134
в качестве волновой функции конечного состояния
WiT* можно воспользоваться плоской волной.
11.66. Найти динамическую поляризуемость Ро(и)
для частицы в потенциале нулевого радиуса. Обоб-
Обобщить полученный результат на слабосвязанное со-
состояние частицы с моментом / = 0 в короткодей-
короткодействующем потенциале Us {г) и в соответствующих
предельных случаях сравнить его с 11.36 и 11.63.
При решении задачи воспользоваться развитой в 8.42
теорией возмущений для квазиэнергетических со-
состояний.
11.67. Оценить с точностью до предэкспоненциаль-
ного множителя вероятность вырывания в единицу
времени заряженной частицы, связанной централь-
центральным потенциалом U(r) (при этом ?/(/¦)-»-0 при г->
-»-оо), слабым однородным электрическим полем.
11.68. Найти вероятность выбрасывания /(-элек-
/(-электрона из атома при дипольном переходе ядра из воз-
возбужденного состояния в результате прямого электро-
электростатического взаимодействия электрона с протонами
ядра (внутренняя конверсия в пренебрежении запаз-
запаздыванием). В качестве волновой функции начального
состояния электрона использовать Ч'-функцию
/(-электрона водородоподобного атома. Скорость
вылетающего электрона считать много большей
атомной.
11.69. То же, что и в предыдущей задаче, но
в случае, когда начальное и конечное состояния ядра
имеют равный нулю момент и одинаковую четность
(такие процессы называют конверсией при монополь-
монопольном, или ЕО-переходе).
11.70. Найти вероятность выбрасывания /(-элек-
/(-электрона в результате эффекта Оже в мезоатоме (при
этом находящийся в возбужденном состоянии ц~-мюон
переходит на более низкий уровень, передавая энер-
энергию электрону). Ограничиться рассмотрением ди-
польного, или так называемого Р-перехода Оже, при
котором изменение орбитального момента мюона
|А/| = 1. При проведении расчетов считать размеры
мюонной орбиты много меньшими электронных и
электрон в конечном состоянии — свободным. Рас-
Рассмотреть, в частности, мюонный переход 2p-Ms.
11.71. То же, что и в предыдущей задаче, но для
Д/= 0 E-переходы Оже). Ограничиться случаем,
когда орбитальный момент мюона в начальном и ко-
135
нечном состояниях равен нулю. Рассмотреть, в част-
частности, мюонный переход 2s-»-ls.
11.72. Произвести классификацию (т. е. указать
возможные значения квантовых чисел: суммарного
электронного спина S, полного орбитального мо-
момента L и четности /) нижних автоионизационных
состояний17) (АИС) двухэлектронного атома или
иона, связанных с электронной конфигурацией nlnl'
при п = 2. Рассматривая взаимодействие между
электронами как возмущение, найти в первом по-
порядке теории возмущений энергетические уровни этих
состояний. Указать правильные волновые функции
нулевого приближения.
Обсудить вопрос о зависимости ширины уровней
АИС от заряда ядра Z.
11.73. Найти зависимость от времени вектора по-
поляризации ц+-мюона в основном состоянии мюония,
находящегося в однородном магнитном поле, пер-
перпендикулярном начальной поляризации мюона (т. е.
исследовать прецессию спина мюона). Ограничиться
случаем слабого магнитного поля, когда ^Ж <С А,
где ц(ве)— электронный магнетон Бора, А — сверх-
сверхтонкое расщепление основного уровня мюония
(сравнить с 11.2). Считать, что при образовании
мюония электрон является неполяризованным, а
мюон, наоборот, полностью поляризован18).
11.74. Оценить скорость протекания реакции ядер-
ядерного синтеза dt-^-ла в мезомолекулярном сИц,- ионе
|7) Автоионизационными называют неустойчивые относитель-
относительно ионизации (вылета электрона) состояния атомных систем
с двумя или более возбужденными электронами: при передаче
возбуждения одному электрону последний вылетает из атома
(иона). АИС являются квазистационариыми состояниями и
обычно проявляются как резонансы.
18) Мюоний — своеобразный атом водорода, «ядром» кото-
которого является [1+-мюон. Изменением поляризаций мюона и элек-
электрона в процессе образования мюония можно пренебречь. На-
Напомним основные характеристики мюона: спин 1/2, масса m «*
л* 207т , магнитный момент равен eh/2m с, время жизни
т » 2,2 ¦ 10" с. Так как поляризацию мюона можно достаточно
просто измерить по угловому распределению позитронов, возни-
возникающих при его распаде (i+->-e+v v, то динамика спина мюона
может быть использована для исследования свойств вещества,
см. обзор И. И. Гуревича и 5. А. Никольского//У'ФН. — 1976. —
Т. 119.— С. 169.
136
в состоянии с вращательным квантовым числом
К = 0. Как ее величина сказывается на числе актов
реакции, инициируемых одним мюоном, сравнить
с 11.59?
Указание. Воспользоваться адиабатическим при-
приближением и формулой теории возмущений по длине
рассеяния, см. 11.4. Длина рассеяния в «-состоянии
для dt-системы as ~—(90 + i• 30) Фм (см. коммен-
комментарий в решении задачи). Оценку величины ^^'(О) |2
связать с проницаемостью кулоновского барьера, раз-
разделяющего ядра в мезомолекулярном ионе.
Глава 12
АТОМНОЕ ЯДРО
Ядерные силы, действующие между нуклонами —
протонами и нейтронами,-—из которых состоят атом-
атомные ядра, характеризуются малым радиусом и боль-
большой интенсивностью. Качественные закономерности
низкоэнергетического нуклон-нуклонного взаимодей-
взаимодействия можно описать, только предположив, что ра-
радиус сил составляет ^«2-10~13 см, а характерная
величина потенциала 1) ядерных сил Uq ж 40 МэВ.
При этом в протон-нейтронной системе имеется,
единственное в двухнуклонной системе вообще, свя-
связанное состояние — дейтрон, с энергией связи е0 =
= 2,23 МэВ; квантовые числа дейтрона Jp = 1+.
Близость свойств протона и нейтрона: одинаковое
значение спина, s = 1/2, и малое различие масс
тр = 1836,lme, тп — 1838,6те, является отражением
изотопической симметрии, проявляющейся в свойствах
и взаимодействиях ядерно активных (или, как гово-
говорят, сильновзаимодействующих) элементарных час-
частиц— адроноз. Согласно этой симметрии адроны
группируются в изотопические мультиплеты2), ха-
характеризующиеся определенным значением Т изото-
изотопического спина. Изоспин можно рассматривать как
векторную величину в некотором абстрактном трех-
') Для сравнения укажем, что потенциал кулоновского взаи-
взаимодействия на таком расстоянии составляет /7кул = e2/R да
да 0,7 МэВ, а взаимодействие магнитных моментов нуклонов —
еще меньше: ?/магн~ Ц2/Я3~ К)-2 МэВ, где (х = eh/mpc.
2) В дополнение к изодублету нуклонов (р, п) отметим нзо-
триплет пионов (я+, я0, л~); при этом 73(я±) = ±1, Т3 (я°)=0.
137
мерном пространстве — пространстве изотопического
спина. Формальные свойства изоспина, в том числе
и вид соответствующих операторов Т, аналогичны
свойствам момента (спина) в обычном пространстве.
Возможные значения Т при этом связаны с соб-
собственными значениями Т(Т-\-\) оператора Т2 и
равны 0, 1/2, 1, ... Частицы, принадлежащие дан-
данному изомультиплету, различаются значением элек-
электрического заряда и отвечают различным значениям
компоненты Т3 изоспина3); число частиц в изомуль-
типлете равно B7" —|— 1). Все они имеют одинаковые
спин и внутреннюю четность, близкие массы и обла-
обладают сходным сильным взаимодействием. Подобную
близость свойств имеют и системы, состоящие из час-
частиц, принадлежащих одним и тем же изомультипле-
там 4), в состояниях, различающихся лишь значением
компоненты Т3 суммарного изоспина системы (но
одинаковыми другими квантовыми числами, включая
и значение Т).
Изотопический спин нуклона Tn = t=1/2. Опе-
Операторы компонент изоспина нуклона т имеют вид
(сравнить с матрицами Паули для спина s = 1/2)
0.
(XII. 1)
Физические состояния нуклона — протон и ней-
нейтрон — описываются собственными функциями опера-
оператора т3, так что5)
vjr =C_,,/2 = fM ш зС_ 112=@} (XII 2)
при этом собственные значения т3 = ±1/2 опреде-
определяют заряд частицы q = e{\ -f- 2тз)/2.
3) Физическая выделенность «оси квантования» в изопро-
странстве связана с нарушением изотопической симметрии, при-
причем, в основном, за счет электромагнитного взаимодействия; оно
же ответственно за сравнительно небольшое расщепление масс
в изомультиплете.
4) Например, системы рр, рп, пп или различные зарядовые
состояния iiN-системы.
5) В литературе используется также и «обращенная» клас-
классификация, при которой тз = +1/2 соответствует нейтрону, а
т3 = —1/2 —протону; под т часто подразумеваются матрицы,
удвоенные по отношению к (XII. 1) (так что х{ = д(.).
138
Классификация состояний и ряд свойств атомных
ядер могут быть получены на основе модели оболо-
оболочек. В этой модели каждый нуклон рассматривается
как движущийся в некотором среднем (самосогла-
(самосогласованном) поле, создаваемом остальными нуклонами
ядра. При этом для описания последовательности
Еп it одночастичных нуклонных уровней, согласую-
согласующейся с экспериментальными данными, наряду с (до-
(доминирующим) сферически симметричным самосогла-
самосогласованным потенциалом U(г) необходимо также
ввести спин-орбитальное взаимодействие вида Uis =
= -f(r)Ts.
В модели оболочек спин и четность /р, магнит-
магнитный (.1 и квадрупольный Q моменты ядра определяют-
определяются лишь нуклонами сверх заполненных оболочек.
В частности, в случае ядра с одним таким нуклоном
на оболочке nl\ оно имеет спин /==/ = / ± 1/2 и чет-
четность Р = (—1)'. При этом оператор магнитного мо-
момента ядра принимает вид д = g;l + gsS, где gi и
gs — орбитальный и спиновый гиромагнитные мно-
множители, равные: gi=l, gs = 5,59 для протона
и ?( = 0, gs = —3,83 для нейтрона (ц и g выражены
в единицах ядерного магнетона, равного eh/2mPc).
Усреднение этого оператора с использованием резуль-
результата 3.40 дает магнитный момент нуклона на обо-
оболочке nlj и соответствующего ядра:
v-i = gji = 0'. l> iz = /1 ft* I /, i, iz = i) =
={(gt + gs) i (/ + 1) + (gi - gs) [I (I + 1) - 3/4]}/2 (/ + 1);
(XII. 3)
значения ц;- и gj для ряда состояний даны в таблице
Протон
Нейтрон
8
8
SI/2
2,79
5,59
-1,91
-3,83
Pl/2
—0,26
—0,53
0,64
1,28
Рз/2
3,79
2,53
-1,91
-1,27
d3/2
0,12
0,08
1,15
0,77
d5/2
4,79
1,92
— 1,91
—0,76
139
Приведенные результаты модели оболочек для
ядер, имеющих лишь один нуклон сверх заполненных
оболочек, непосредственно переносятся и на случай
ядер с одной (протонной или нейтронной) дыркой,
причем \\, и g для дырочного состояния такие же, как
для совтветствующего нуклона. Для других ядер
(например, с незаполненными оболочками как по
протонам, так и по нейтронам) предсказания модели
оболочек с одночастичным нуклонным потенциалом
уже не являются однозначными. Свойства таких ядер
существенно зависят от остаточного взаимодействия
нуклонов незаполненных оболочек друг с другом.
Как показывает анализ экспериментальных данных,
такое взаимодействие для нуклонов одного и того
же зарядового состояния носит характер попарного
«.спаривания» в состояние с суммарным моментом,
равным нулю. Поэтому при четном числе протонов
и (или) нейтронов их суммарный момент в основном
состоянии ядра равен нулю; при этом спин и четность
ядра с нечетным числом нуклонов полностью опреде-
определяются квантовыми числами неспаренного нуклона.
Характерный размер ядра, состоящего из А нук-
нуклонов, составляет R « г0А '/3, где г0 = 1,2-10~13 см.
§ 1. Основные представления о ядерных
силах. Дейтрон
12.1. Аппроксимируя потенциал взаимодействия
протона с нейтроном сферической прямоугольной по-
потенциальной ямой радиуса6) i?=l,7-10~13 см, оце-
оценить глубину ямы, используя значение ео = 2,23 МэВ
энергии связи дейтрона и найти для него вероятность
нахождения нуклонов вне ямы, а также <г> — сред-
среднее расстояние между нуклонами.
12.2. Каким был бы магнитный момент системы,
состоящей из протона и нейтрона, если бы она нахо-
находилась в состоянии
a) 'So", б) 35,; в) '/>,; г) 3Р0; д) 3РХ; е) 3DX?
Воспользоваться значениями магнитных моментов
б) Для прямоугольной ямы эффективный радиус взаимодей-
взаимодействия г0 совпадает с ее радиусом R, см. 13.43. Значение R вы-
выбрано так, что г0 совпадает с экспериментальным значением.
В связи с задачей о дейтроне — системе с малой энергией свя-
связи— см. также 11.36.
140
свободных нуклонов: цр=2,79 и цп = —1,91 (в ядер-
ядерных магнетонах). Имея в виду, что спин дейтрона
/а = 1, его магнитный момент \ла = 0,86 и он пред-
представляет суперпозицию 3S\- и 3ГI-волн, оценить при-
примесь D-волны (сравнить с 12.3).
12.3. Магнитный момент дейтрона, описываемого
суперпозицией CSi -}-3Z)i)-b(wih, равен
\iA = A - w) ц (%) + w\i C?>,) ~ 0,86 яд. маг.,
где nC5i) и \xCD\) — магнитные моменты протон-ней-
протон-нейтронной системы в состояниях 3Si, 3DU w « 0,04 —
примесь D-волны (см. предыдущую задачу).
Объяснить, почему для квадрупольного момента
дейтрона нет соотношения, аналогичного приведен-
приведенному выше для магнитного момента. В связи с этим
отметим, что квадрупольный момент ^-состояния
равен нулю, в состоянии 3D\ он отрицателен, а его
экспериментальное значение для дейтрона Qd a*
да 2,82-Ю-27 см2 > 0.
12.4. Какие свойства дейтрона указывают на за-
зависимость протон-нейтронного взаимодействия от
спинов нуклонов?
Рассмотрев зависящие от спина потенциалы:
а) US = V (г) ахо2 = V (г) BS2 - 3);
б) U = V(r)SL (спин-орбитальное взаимодействие);
в) 0 = V (г) [6 (SnJ - 2S~2]^ (тензорные силы) (п =
= г/г, г == Г[ — r2, S = 7г (оч + ^2) — оператор сум-
суммарного спина нуклонов), выяснить, какие из них сов-
совместно с центральным потенциалом могут быть исполь-
использованы для объяснения обсуждавшихся выше свойств
дейтрона. Указать интегралы движения для рассмат-
рассматриваемых потенциалов.
12.5. Показать, что волновая функция дейтрона,
представляющая суперпозицию 35i -f 3^1-волн, может
быть записана в виде
^d = ^ (%) + V CД>) = [/о (г) + f2 (r) Sl2) xs^.
Здесь 512 = 6 (SnJ — 2S2, S = 72 (ог + <т2) - опер атор
суммарного спина нуклонов, %s=i — произвольная
спиновая функция для спина7) 5 = 1.
7) Об использовании различных представлений для спина
5 = 1 см. 5.26.
141
Считая, что потенциал взаимодействия протона
с нейтроном имеет вид 0 = Us{r)-\- UT{r)S\2 (супер-
(суперпозиция центрального и тензорного взаимодействий,
сравнить с предыдущей задачей), получить систе-
систему уравнений для радиальных функций /о, 2(f) дей-
трона.
Показать также, что потенциал тензорных сил,
рассматриваемый как возмущение центрального по-
потенциала, приводит к сдвигу 35-уровня лишь во вто-
втором порядке теории возмущений.
12.6. Для системы из двух нуклонов:
1) найти собственные функции и собственные
значения изотопического спина (его величины Т и
проекции Т3);
2) указать значение изоспина Т в состоянии 2S+'L
с определенными значениями суммарного спина 5
и момента L относительного движения нуклонов
(сравнить с 10.9);
3) указать изоспиновую часть волновой функции
дейтрона.
12.7. От каких свойств инвариантности реальных
ядерных сил пришлось бы отказаться, если бы со-
состояние дейтрона представляло суперпозицию 'Pi +
+ ЪР\ (а не 35i + 3Oi, как у реального дейтрона)?
Указать возможный вид взаимодействия, которое
могло бы привести к такому состоянию.
12.8. Предположив, что взаимодействие двух нук-
нуклонов имеет следующую изотопическую структуру:
U =Vx-\- Ру^'т-з2', где V\,2 — операторы, уже не зави-
зависящие от изоспиновых переменных (они — операторы
в пространстве координат и спинов, симметричные
по отношению к перестановке нуклонов), найти вид
взаимодействия в системе из а) двух протонов,
б) двух нейтронов, в) протона и нейтрона.
Согласуется ли рассматриваемое взаимодействие
с 1) изотопической инвариантностью; 2) зарядовой
симметрией ядерных сил?
12.9. Для системы из двух нуклонов:
1) указать наиболее общий вид изотопически инва-
инвариантного оператора взаимодействия О и выразить его
через операторы От нуклон-нуклонного взаимодей-
взаимодействия в состояниях с определенным значением изото-
изотопического спина Т — 0 и 1;
142
2) указать изотопическую структуру оператора
кулоновского взаимодействия нуклонов.
12.10. Найти среднее значение энергии кулонов-
кулоновского взаимодействия протонов в ядре 3Не и оценить
размеры зеркальных ядер трития 3Н и гелия 3Не
исходя из того, что в C-распаде 3Н->-3Не + е~ + v
максимальная кинетическая энергия электрона е0 =
= 17 кэВ.
Указание. У рассматриваемых ядер нет возбуж-
возбужденных состояний. Напомним, что (тп — тР)с2 ж
ж 2,5тес2 ж 1,3 МэВ.
12.11. Как известно, размеры ядер определяются
соотношением R = г0А1^3, где А — число нуклонов
в ядре.
Оценить значение г о из данных о C+-распаде ядра,
содержащего (Z + 1) протонов и Z нейтронов, так
что А = 2Z -(- 1, выразив его через максимальное зна-
значение энергии е0 позитронов распада. Считать, что
распадающееся ядро и ядро — продукт распада, яв-
являющиеся зеркальными ядрами, находятся в одина-
одинаковых Состояниях (т. е. имеют одинаковые квантовые
числа, за исключением значений Г3-компонент изо-
спина). Энергию кулоновского взаимодействия про-
протонов в ядре считать равной электростатической
энергии равномерно заряженного шара, имеющего
такие же заряд и радиус, как и ядро.
Получить числовую оценку г0 из распада ^Si ->
—> ^А1 + е+ + v, для которого ео = 3,48 МэВ.
§ 2. Модель оболочек
12.12. Считая, что самосогласованное поле, дей-
действующее на нуклон в ядре, можно аппроксимировать
потенциалом U(r) = —UQ -j- тт2г212 (m — масса нук-
нуклона), найти одночастичные энергетические уровни.
К каким значениям магических чисел приводит
такая модель самосогласованного потенциала?
Каковы предсказания модели в отношении мо-
моментов и четностей основных состояний ядер?
Оценить значение параметра ft© модели, основы-
основываясь на данных о размерах ядер.
12.13. В условиях предыдущей задачи обсудить
изменения энергетического спектра однонуклонных
состояний, возникающие при введении спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия вида Uis = — al s. Для a =
143
= /гсо/10 нарисовать картину нижних одночастичных
уровней8).
В рамках рассматриваемой модели найти мо-
моменты (спины) и четности основных состояний сле-
следующих ядер: ^Не, gbi, 'gB, «с, 136С, 137N, Х\С, 1о,
40, ?з7А1, 240°Са.
12.14. В рамках модели оболочек указать спин-
изоспиновую зависимость волновых функций основ-
основных состояний ядер трития 3Н и гелия 3Не.
12.15. Указать возможные значения полного мо-
момента / и изотопического спина Т ядер, содержащих
сверх заполненных оболочек два нуклона в состоянии
Pi/2 с одинаковым п. Ядрами, имеющими такую кон-
конфигурацию, являются 'бС, '/N, 'зО (два нуклона
сверх заполненных оболочек (lsi/2L A/?з/2)8) ¦
12.36. То же, что и в предыдущей задаче, для двух
нуклонов в состоянии р3/2.
12.17. В модели оболочек найти спины и магнитные
моменты основных состояний следующих ядер9)
3Н G=1/2, ц = 2,91); 3НеA/2; -2,13);
"В C/2; 2,69); 40A/2; 0,70); '7N(l/2; -0,28);
'JO E/2; -1,89); uSi(l/2; -0,55).
При решении задачи воспользоваться схемой одно-
частичных уровней из 12.13.
12.18. В модели оболочек найти магнитный момент
ядра, содержащего сверх заполненных оболочек по
одному протону и нейтрону (или имеющего соот-
соответствующую дырку) в одинаковых состояниях nlj,
в зависимости от спина ядра /.
Сравнить полученный результат с эксперименталь-
экспериментальными данными для следующих ядер:
2Н(/=1; ц = 0,86); |Li(l; 0,82);
Ч|ВC; 1,80); 147NA; 0,40);
воспользоваться схемой однонуклонных уровней
из 12.13.
8) Параметр а > 0, так как согласно экспериментальным
данным уровень с / = I + 1/2 лежит ниже уровня с / = /— 1/2.
9) В скобках указаны экспериментальные значения спина /
и магнитного момента |л ядра. Заметим, что рассматриваемые
ядра содержат сверх заполненных оболочек лишь один нуклон
(или имеют одну дырку в незаполненной оболочке).
144
12.19. Рассчитать магнитный момент ядра, содер-
содержащего сверх заполненных оболочек по одному про-
протону и нейтрону (или имеющего соответствующие
дырки) в одинаковых состояниях в условиях LS-
связи 10).
Применить полученный результат к основному со-
состоянию ядра зЫ, имеющему спин /=¦!. Считая,
что нуклоны сверх заполненной оболочки (IsL нахо-
находятся в 1/7-состоянии, найти магнитный момент ядра
для различных возможных значений L и S и сравнить
с экспериментальным значением цЭКсп = 0,82, а так-
также с результатом предыдущей задачи. Каков изото-
изотопический спин рассматриваемых состояний?
12.20. Найти в схеме //-связи магнитный момент
ядра, имеющего одинаковое число протонов и ней-
нейтронов сверх заполненных оболочек в одинаковых
состояниях nlj в зависимости от спина ядра /.
Применить полученный результат к ядру nNa,
имеющему спин / = 3 и магнитный момент |1ЭКСП =
= 1,75.
12.21. То же, что и в предыдущей задаче, но в ус-
условиях LS-связи; сравнить с 12.19.
12.22. В рамках модели оболочек найти соотно-
соотношение между магнитными моментами основных со-
состояний зеркальных ядер. Считать, что все нуклоны
(обоих зарядовых состояний) сверх заполненных обо-
оболочек находятся в одинаковых состояниях nlj.
12.23. Найти квадрупольный момент Qo ядер:
имеющих сверх заполненных оболочек лишь один
протон в состоянии: a) Si/2; б) ps/2; в) d5/2 (выра-
(выразить Qo через (О). Считать А ~Э> 1.
12.24. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай ядер с протоном в состоянии с произвольным
значением / и / = / + 1/2.
12.25. Найти квадрупольный момент ядра, имею-
имеющего сверх заполненных оболочек лишь один протон
в состоянии с произвольным орбитальным моментом
1я} = 1 — 1/2.
Сравнить с результатами предыдущих двух задач.
12.26. Найти квадрупольный момент ядра, имею-
имеющего сверх заполненных оболочек лишь один нейтрон
10) При этом одночастичные уровни характеризуются кванто-
квантовыми числами п, I, а не п, I, /, как в схеме //-связи.
145
в состоянии с орбитальным моментом / и полным мо-
моментом / = / ± 1/2.
Указание. Ядро рассматривать как систему, со-
состоящую из двух подсистем: нейтрона сверх запол-
заполненных оболочек и нуклонов заполненных оболочек
(как целого), движущихся относительно центра
масс ядра.
12.27. В модели оболочек с самосогласованным
однонуклонным потенциалом осцилляторного вида,
см. 12.12, получить на основе квазиклассических со-
соображений выражение для радиальной плотности
ядер с Л > 1. При решении задачи пренебречь куло-
новским взаимодействием протонов и рассматривать
ядра с одинаковым числом протонов и нейтронов.
Согласуется ли полученный результат с эксперимен-
экспериментальными данными для тяжелых ядер?
12.28. То же, что и в предыдущей задаче, для са-
самосогласованного потенциала вида
«>, r>R.
Выбрав в соответствии с экспериментальными дан-
данными параметр R модели равным радиусу ядра R =
= г0Л1/3, го = 1,2-10~13 см, найти граничный импульс
нуклонов в ядре и максимальную их скорость.
§ 3. Изотопическая инвариантность
12.29. Заряды (в единицах заряда протона е) раз-
различных частиц, входящих в один и тот же изотопи-
изотопический мультиплет, в общем случае следующим об-
образом выражаются через значение компоненты изо-
спина Гз, соответствующее данной частице: q =
= l/2Y-\-T3, где Y — так называемый гиперзаряд
(так, для нуклона Kn = 1, для пиона Уя = 0 и т. д.).
Показать, что сохранение изотопического спина во
взаимодействиях частиц влечет за собой и сохране-
сохранение гиперзаряда.
12.30. Найти наиболее общий вид изотопически
инвариантного оператора взаимодействия пиона с нук-
нуклоном. Как операторы лЫ-взаимодействия в состоя-
состояниях с определенным значением изоспина О (Т = 1/2,
3/2) связаны с найденным оператором ?/?
Выразить U через операторы U(T).
146
12.31. То же, что и в предыдущей задаче, для
системы из двух пионов. Выразить оператор U через
операторы ля-взаимодействия в состояниях с опре-
определенным значением изоспина.
12.32. Для двухпионной системы указать изотопи-
изотопическую структуру оператора кулоновского взаимодей-
взаимодействия пионов.
12.33. То же, что и в предыдущей задаче, для ку-
кулоновского взаимодействия в лИ-системе.
12.34. Каковы возможные значения изотопиче-
изотопического спина двухпионной системы в состояниях с
определенным значением L орбитального момента от-
относительного движения?
12.35. Для системы, состоящей из двух л°-мезонов,
найти вероятности w(T) различных значений сум-
суммарного изотопического спина системы и среднее зна-
значение Т2.
12.36. Найти вероятности различных значений
суммарного изотопического спина пион-нуклонной си-
системы и среднее значение Т2 в следующих зарядовых
состояниях: л+р, л+n, л°р, я°п, я~~р, я~п.
12.37. Нейтральная частица /° с изотопическим
спином Г = 0 распадается на два пиона: /°^-2л.
Возможные каналы распада: /°->-я+я- и /°->-2я0.
Найти соотношение между вероятностями распада по
этим каналам.
12.38. Показать, что изоспиновая часть волновой
функции системы из трех пионов в состоянии с сум-
суммарным изотопическим спином системы Г(Зл) = 0
имеет определенную симметрию по отношению к пе-
перестановке изоспиновых переменных любых двух
пионов, и выяснить характер этой симметрии.
На основании полученного результата показать,
что нейтральная частица ю° с изотопическим спином
Т = О не может распадаться на три л°-мезона, т. е.
распад ©°->-Зя0 запрещен.
12.39. Частица А, имеющая изотопический спин
Т = 3/2 и зарядовые состояния А++, А+, А0, Д-, от-
отвечающие соответственно значениям +3/2, +1/2,
—1/2, —3/2 проекции Г3 изоспина, распадается на
пион и нуклон: Д-^л1М.
Указать возможные каналы распада для различ-
различных зарядовых состояний частицы А и найти соотно-
соотношения между вероятностями распада по этим ка-
каналам.
147
12.40. То же, что и в предыдущей задаче, для
частицы N*, имеющей изоспин Г =1/2, зарядовые
состояния N*+ G\j=l/2), N*° (Г3 = —1/2) и рас-
распадающейся на пион и нуклон: N*—^яЫ.
12.41. Показать, что
da (р + р -> d + п+) __ 2
da (n + р -> d + n°) '
где da — дифференциальные сечения соответствую-
соответствующих реакций, взятые при одних и тех же относитель-
относительных энергиях, углах разлета и взаимных ориентациях
спинов.
12.42. Показать, что
da (р + d -> d + n + п+) п
da (p + d->d+p + ji°) '
где смысл da такой же, что и в предыдущей задаче.
12.43. Предполагая, что рассеяние пионов нукло-
нуклонами (в некотором энергетическом интервале) про-
происходит главным образом через промежуточное со-
состояние яИ-системы с полным изотопическим спином
Т = 3/2 (так что при этом взаимодействие в состоя-
состоянии с Т = 1/2 пренебрежимо мало), найти при оди-
одинаковых относительных энергиях, углах разлета и
ориентациях спинов соотношения между дифферен-
дифференциальными сечениями следующих трех реакций:
_|- | _|_ | /т\ — j о ] /ТТЛ
я-4-р->я~ + р (Ш).
12.44. Основываясь на зарядовой симметрии нук-
лон-нуклонных и пион-нуклонных взаимодействий,
найти соотношение между дифференциальными се-
сечениями процессов
п 4- Р —> Р 4~ Р 4- я~, п 4~ Р —>п 4- п 4~ я+.
Глава 13
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
Исследование рассеяния частиц с импульсом ро=а
= ftk0 потенциалом U(r) связано с решением урав-
уравнения Шрёдингера
- -f-A + U (гI W+ (r) = EW+ (r), (XIII. 1)
148
имеющим следующую асимптотику на больших рас-
расстояниях '):
W+ (г) * eik°T + f(k'ko) eikr, k = kQr/r, (XIII. 2}
k — волновой вектор рассеянной частицы (k = ko =
—¦\j2mElh2). При этом амплитуда рассеяния /(к,ко)
определяет дифференциальное сечение рассеяния
d/dQ = \f(k,ko)\2-
Воспользовавшись функцией Грина свободной
частицы
Q+ (r r')= m pik\x-x'\
уравнение (XIII. 1) вместе с граничным условием
(XIII.2) можно записать в виде интегрального урав-
уравнения
) = в*г_^ \ ^1U (г') V+<r')dV'.(Xin. 4>
(г)
Отсюда, в частности, следует выражение для ампли-
амплитуды рассеяния непосредственно через волновую
функцию в области действия потенциала
f (к, к0) = —^ \ e-'*U(r) ?+(r) dV, (XIII. 5)
удобное для различных приближенных вычислений.
Так, при чг+=е'к°г из (XIII. 5) следует прибли-
приближение Борна для амплитуды рассеяния
. (XIII. 6)
Здесь q = к — к0 определяет изменение импульса час-
частицы hq = p — ро при рассеянии, при этом q =
= 2&sin(G/2), a G — угол рассеяния. Это выражение
представляет первый член разложения амплитуды по
степеням потенциала (кратности) взаимодействия.
Условием его применимости является выполнение
') При этом предполагается, что потенциал убывает быст-
быстрее, чем ool/r; в противном случае как падающая, так и рас-
рассеянная волиы искажаются на больших расстояниях (сравнить
с рассеянием на кулоновском потенциале).
149-
хотя бы одного из неравенств:
Uo < tl2/mR2 или Uo < hv/R, (XIII. 7)
где Uo и /? — характерная величина потенциала и его
радиус.
При рассеянии в центральном потенциале ампли-
амплитуда рассеяния зависит лишь от энергии Е и поляр-
полярного угла G (нет азимутальной асимметрии), а в бор-
новском приближении — лишь от величины hq пе-
передаваемого импульса. При этом (XIII. 6) можно
преобразовать к виду
гВ / \ 2т Г т т / ч sin qr . /VTTI оч
f ia) = — -jp-\U{r)—f-rdr. (XIII.8)
В случае центрального потенциала для ампли-
амплитуды рассеяния справедливо разложение по пар-
парциальным волнам
оо
, в) = Z B/ + 1) Ф/ (Е) Pi (cos в), (XIII. 9)
где фазовые сдвиги 8i(k) связаны с асимптотикой на
больших расстояниях радиальной волновой функции
rRki « Csin(^r — я//2 -f 6/), отвечающей моменту /
частицы. При этом полное сечение рассеяния
O[, at = -?-B1+ l)sin26/ =
1 = 0
^/+ir1. (XIII. 10)
Из сопоставления (XIII. 10) и (XIII. 9) следует соот-
соотношение — оптическая теорема2):
o(E). (XIII. 11)
2) Это соотношение носит общий характер. Оно справедливо
и для рассеяния составных частиц, когда возможны неупругие
процессы. При этом под а(Е) следует понимать полное сечение
столкновения, а под /(?,0) амплитуду упругого рассеяния на
угол 9 = 0 (без изменения внутренних состояний сталкиваю-
сталкивающихся частиц).
150
Приведем приближенные формулы для фазовых
сдвигов. В борновском приближении (при этом
[
= -^-\u (r) /?+Vl (kr) r dr. (XIII. 12)
В квазиклассическом приближении (г0 —точка по-
поворота)
72)-^о, (хш. 13>
причем в случае \U(r)\<g.E это выражение упро-
упрощается:
оо
= _ С
mU(r)dr
(XIII. 14)
При рассеянии медленных частиц, kR<^.\, в слу-
случае достаточно быстрого убывания потенциала
(см. 13.28—30) справедливо разложение эффектив-
эффективного радиуса
k2l+lctg6[ = -l/al + r[k2/2+ ..., (XIII. 15)
где ai и ri называют длиной рассеяния3) и эффек-
эффективным радиусом взаимодействия в состоянии с орби-
орбитальным моментом /; эти параметры согласно
(XIII. 9, 10) определяют низкоэнергетическое рассея-
рассеяние в соответствующей парциальной волне.
Если в потенциале нет мелкого реального или
виртуального (при / = 0) и квазистационарного (при
1ф0) уровня, то член с эффективным радиусом вы-
выступает как поправка. В этом случае 6/ ^ — а^2/+1у
| а, | ,< R2l+1 и а, ,< 4я B1 -j- 1) {kR)u R2, так что доми -
3) Подчеркнем, что эти параметры имеют размерность длины
лишь для / = 0. В общем случае их размерность: [а;] = L2t+l,
Yi\ = L ~ , где L — размерность длины.
15!
пирующий вклад в сечение вносит рассеяние в s-co-
стоянии.
При наличии в потенциале мелкого уровня с энер-
энергией |Ei | «С h2/mR2 и моментом / рассеяние в соот-
соответствующей парциальной волне имеет резкую энер-
энергетическую зависимость, а величина oi(E) значи-
значительно превышает нерезонансное значение. В случае
существования мелкого s-уровня имеем |Оо|Э># и
в(Е) ~ а,_0(?) » ^1-Lt^L, (XIII. 16)
где | Ео | = е0 = Н2хЦ2т, а и0 определяется соотноше-
соотношением 4) и0 = 1/а0 + го%Ц2. При а0 > О также и0 > О,
и е0 определяет энергию связи реального уровня
дискретного спектра; при ао < О уровень — вирту-
виртуальный.
Для резонансного рассеяния с моментом / ф О
характер энергетической зависимости и величина
oi{E) существенно зависят от природы уровня (реаль-
(реальный он или квазистационарный). При at < 0 уровень
квазистационарный. Записав Ei — ER— iVpJ2, где ER
и Гц — положение уровня и его ширина, из уравнения
ctg8i(Ei) = i находим5)
ER = Wky2m « h2fmalrl и Г^ « BW/m\rt\)k^+l.
В этом случае сечение имеет резкую энергетическую
зависимость в области энергий, близких к Er, в ко-
которой
»1+2>1 Г« . (XIII. 17)
E?J + гу4
4 E-?«J + гу4
При рассеянии быстрых частиц, когда выполнены
условия kR 3> 1 и | ?/(г) | <С ?, для амплитуды в наи-
наиболее существенной области малых углов рассеяния
4) С учетом (XIII. 15) оно следует из условия ctg 8^ (?^) = i,
определяющего положения полюсов парциальной амплитуды,
х= —I -y/2mE/h2. В случае I = 0 имеем, вообще говоря, ro~R
и слагаемое с эффективным радиусом выступает как поправка;
при этом ио»ао~', е0 я* Й2/2тад и гохо <К 1.
5) В условиях существования мелкого уровня с / ==? 0 эф-
эффективный радиус п < 0, так что, как и следует, ER, VR > 0;
см. 13.44.
152
справедливо выражение
l]^^Pd2p (XIII. 18)
(приближение эйконала). Здесь qx— составляющая
q в направлении, перпендикулярном импульсу ftko
падающих частиц (при этом q± ~ q ~ kQ, q,.^ /s02/2V a
S (р) = е™<•», 6 (р) = -~ $ ?/ (р, г) dz. (XIII. 19)
Воспользовавшись оптической теоремой, получаем со-
согласно (XIII. 18) полное сечение рассеяния6)
а (Е) = 2 J A — cos 26 (р)) d2P. (XIII. 20).
В случае центрального потенциала выражение
(XIII. 19) для б(р) совпадает с квазиклассическим
(XIII. 14) при /»йр»1, а (XIII. 18) можно запи-
записать также в виде
с»
/ (k, 9) = ik J A - e^W) /0 (Лрб) р dp. (XIII. 21).
При столкновении частиц с отличными от нуля
спинами и с зависящим от спина взаимодействием
амплитуда рассеяния является уже матрицей f — опе-
оператором в пространстве спиновых состояний. Ее мат-
матричные элементы x'fXi определяют амплитуду рассея-
рассеяния из начального спинового состояния, описываемого
спиновой функцией %,-, в конечное состояние, описы-
описываемое функцией %f. При рассеянии частицы со спи-
спином s = 1/2 на бесспиновой частице и при сохраняю-
сохраняющем четность взаимодействии7)
f = A(k,B) + IB(k, 9) w, v = [kok]/1[kok] |. (XIII. 22)
Дифференциальное сечение рассеяния, просуммиро-
6) Для справедливости этого соотношения достаточно вы-
выполнения лишь одного условия: kR » 1, см. 13.51.
7) Обращаем внимание на выделение перед В множителя i
по сравнению с формулой A40.4) из [1].
153-
ванное по различным спиновым состояниям рассеян-
рассеянной частицы
dcr/dQ = | Л р +1 S р + 2 Im (АВГ) vP0, (XIII. 23)
где Ро = 2%*я%1 — вектор поляризации частиц в на-
начальном (до столкновения) состоянии. Поляризацион-
Поляризационное состояние рассеянных частиц зависит как от
взаимодействия в системе, так и от начальной поля-
поляризации Ро. Если до столкновения частицы были не
поляризованы, Ро = 0, то после рассеяния вектор по-
поляризации
Р = 2 Im (AB*) v/( | А р + I В Р). (XIII. 24)
Приведем также разложение амплитуды (XIII. 22)
по парциальным волнам:
+ / (ехр BгбГ) — 1) Р/ (cos 9),
(XIII. 25)
— ехр B/6/ )) sin QP'i (cos 9),
здесь 6f — фазовые сдвиги (в радиальных волно-
волновых функциях) для состояний с определенными зна-
значениями орбитального момента / и полного момента
/=/±1/2.
Амплитуды процессов столкновения обладают
определенными аналитическими и унитарными свой-
свойствами. В частности для амплитуды рассеяния в по-
потенциале U(г) справедливо условие унитарности8)
f (k, ко) - Г (ко, к) = ?$/ (к'. ко) Г (к', к) dQ'
(XIII. 26)
(при к = к0 оно воспроизводит оптическую теорему).
8) Оно является следствием унитарности S-матрицы. Такой
же вид имеет условие унитарности и для рассеяния составных
частип, но лишь при таких значениях энергии, при которых не-
невозможны неупругие процессы («упругая» унитарность).
154
Отражением аналитических свойств амплитуд,
являются дисперсионные соотношения для них. Наи-
Наиболее простыми аналитическими свойствами обладает
амплитуда рассеяния на угол 0 = 0 в центральном
потенциале, рассматриваемая как функция энергии9)
в комплексной плоскости Е. Она удовлетворяет (на
физическом листе) дисперсионному соотношению вида
f(E, 0) = f @) + 2, Е _ Еп +п) Е'-Е dE ¦
(XIII. 27)
Е _ Еп +п) Е'-Е
п 0
Здесь /в@) — борновская амплитуда, см. (XIII.6);
суммирование ведется по всем уровням дискретного
спектра, существующим в потенциале, при этом вы-
вычет в соответствующем полюсе
l (XIII. 28)
определяется нормировочным коэффициентом в асим-
асимптотике на больших расстояниях радиальной функции
связанного состояния, rRn ж Л„ехр(—кпг), с момен-
моментом 1п, СМ. [1] .
§ 1. Борновское приближение
13.1. Найти в борновском приближении ампли-
амплитуду рассеяния и полное сечение рассеяния частиц
в указанных ниже полях. (Исследовать предельные
случаи медленных и быстрых частиц. Указать усло-
условия применимости результатов.)
а) ?/(/•) =-2-е-"*; б) U (г) = аб (г - Я);
в) и(г) = и#-'1«; e)U(r) = ±-,
д) U (г) = [ ^0> [ ^ RR_ e) U (г) = Uoe~r4R\
13.2. Показать, что при больших энергиях части-
частицы, kR^S> 1, полное сечение рассеяния в потенциале
9) Она имеет следующие особые точки: ? = 0 и ?=оо —
точки ветвления и полюсы Е„ на вещественной полуоси Е < 0,
совпадающие с положением дискретных уровней частицы.
155-
U (г) в. борновском приближении описывается выра*
жением 10)
2
(импульс частицы до рассеяния направлен вдоль оси
z; p — двумерный радиус-вектор в перпендикулярной
ей плоскости).
Применить полученный результат к полю U(r) —
= ?/оехр(—r2/R2) и к прямоугольной потенциальной
яме (барьеру) глубиной UQ и радиусом R; срав-
сравнить с 13.1.
13.3. Получить выражение для амплитуды рас-
рассеяния частиц в борновском приближении в случае
потенциала, имеющего обменный характер п), так что
tWF(r)= ?/(r)W (—г).
Как амплитуда рассеяния в этом случае связана
с амплитудой рассеяния на обычном потенциале
U(г)? Каково угловое распределение при рассеянии
быстрых частиц?
13.4. Найти дифференциальное и полное сечения
упругого рассеяния быстрых электронов на атоме во-
водорода, находящемся в основном состоянии, прене-
пренебрегая поляризацией атома, см. также 13.77.
13.5. То же, что и в предыдущей задаче, для ато-
атома гелия. Волновую функцию атома выбрать на
основании вариационного расчета, выполненного
в 11.6.
13.6. Найти зависимость от Z сечения упругого
рассеяния быстрых электронов нейтральным атомом
с Z~^> 1; воспользоваться моделью Томаса — Ферми.
13.7. Выразить в борновском приближении ампли-
амплитуду рассеяния на двух одинаковых силовых центрах,
находящихся на расстоянии а друг от друга, так что
U(v) = U0(r)+ U0(\r — aj), через амплитуду рассея-
рассеяния f®(q) на одном центре U0(r).
Используя полученное соотношение, обсудить
связь между дифференциальными сечениями рассея-
рассеяния быстрого электрона на атоме и на двухатомной
10)
")
Применительно к задаче двух тел г = ri — г2 и такой
потенциал описывает взаимодействие, в результате которого про-
происходит перестановка (обмен) частиц. Такое взаимодействие ес-
естественным образом возникает в задачах ядерной физики.
.156
молекуле (из одинаковых атомов; при этом усреднить
полученный результат по различным ориентациям оси
молекулы, считая их равновероятными).
Найти соотношения между сечениями рассеяния
на двух и на одном центрах в случаях:
а) 4о<С 1 (при этом величина kR может быть
произвольной, R— радиус действия сил отдельного
центра);
б) kR ~ 1 и а 3> R (т. е. расстояние между цент-
центрами много больше радиуса действия сил отдельного
центра).
13.8. Обобщить результат предыдущей задачи на
случай системы из произвольного числа N одинако-
одинаковых центров, расположенных в точках ая, п=\,
2.....N.
Обсудить характерные особенности углового рас-
распределения рассеянных частиц при упорядоченном
расположении большого числа (/VS>1) центров
вдоль прямой линии с одинаковым расстоянием Ъ
между ближайшими соседями.
13.9. В борновском приближении найти амплитуду
рассеяния для столкновения двух протяженных час-
частиц, взаимодействующих друг с другом электроста-
электростатическим образом. Частицы считаются протяженными
в том смысле, что они характеризуются некоторым
распределением заряда р\,2(г), предполагающимся
сферически симметричным относительно центра масс
соответствующей частицы12) и не изменяющимся в
процессе столкновения. Выразить амплитуду рассея-
рассеяния через формфакторы, FU2(q) зарядовых плотно-
плотностей pi,2(r).
13.10. Получить выражение члена я-го порядка
ряда теории возмущений для амплитуды рассеяния
частицы в потенциале U(r).
Указание. Предварительно получить согласно
(XIII.5,4) интегральное уравнение для амплитуды
рассеяния (уравнение Липпмана — Швингера).
13.11. В борновском приближении амплитуда рас-
рассеяния вперед (на угол 0 = 0) является веществен-
12) Неточечность распределения заряда указывает на состав-
составной характер сталкивающихся частиц (сравнить, например,
с 13.4). Так как, однако, изменением их внутренних состояний
в процессе столкновения пренебрегается, то задача сводится
к обычной задаче рассеяния двух тел. В связи с данной задачей
см. также 13.80.
157
ной величиной и поэтому не удовлетворяет оптиче-
оптической теореме (XIII. 11). Почему это обстоятельство
не противоречит успешному описанию дифферен-
дифференциального и полного сечений рассеяния в рамках
борновского приближения в условиях его приме-
применимости?
Написать выражение для амплитуды рассеяния во
втором порядке теории возмущений. Найти
Im /<2> (E, 8 = 0) и объяснить полученный результат.
13.12. Найти во втором порядке теории возмуще-
возмущений амплитуду рассеяния на потенциале Юкавы
U (г) = — e~rlR. Сравнить /A) и /<2> для различных
значений энергии и угла рассеяния.
13.13. Найти во втором порядке теории возмуще-
возмущений амплитуду рассеяния в потенциале U(r) = ?/oe~rW*
при больших передаваемых импульсах, qR ^> 1. Срав-
Сравнить вещественную и мнимую части /B) друг с другом
и с борновской амплитудой.
13.14. Показать, что амплитуда рассеяния вто-
второго приближения теории возмущений при больших
энергиях, kR^l, и передаваемых импульсах13)
qR <C 1 описывается выражением
' ~ ' 4nh*k
(R — радиус потенциала). Применить полученный ре-
результат к потенциалу U {r) = U0e~r2lR2 и сравнить
с 13.13.
13.15. Из решения уравнения Липпмана — Швин-
гера (см. 13.10) найти амплитуду рассеяния частицы
в случае сепарабельного потенциала, ядро которого
имеет вид U(r, г') = k%(r)%*(r'). Каково угловое рас-
распределение и полное сечение рассеяния?
13.16. Сравнить при Е = 0 значения точной и
борновской амплитуд рассеяния в потенциале U(r)
в случаях:
13) Эта область переданных импульсов вносит доминирую-
доминирующий вклад в полное сечение рассеяния. При этом | q± | » q, где
qj_—перпендикулярная первоначальному импульсу к0 (направ-
(направленному вдоль оси г) составляющая q. Заметим, что из выра-
выражения для /B) согласно оптической теореме следует результат
борновского приближения для сечения рассеяния, сравнить с
13.11.
158
а) потенциала отталкивания U{r)~^0;
б) потенциала притяжения, в котором, однако,
нет связанных состояний (т. е. потенциальная яма
достаточно «мелкая»).
Показать, что борновское приближение в случае
а) дает завышенное, а в случае б), наоборот, зани-
заниженное значение сечения рассеяния.
13.17. В борновском приближении получить вы-
выражение для амплитуды рассеяния заряженной час-
частицы магнитным полем Ж (г). Убедиться в калибро-
калибровочной инвариантности полученного результата и).
§ 2. Фазовая теория рассеяния
13.18. Получить выражение для фазовых сдвигов
непосредственно из разложения по парциальным вол-
волнам амплитуды рассеяния в центральном потенциале
в борновском приближении.
Указание. Воспользоваться формулой (XIII. 8) и
теоремой сложения для функций Бесселя.
13.19. Найти фазовые сдвиги в поле t/(r) = a/r2,
a>0.
Выполнить суммирование ряда (XIII. 9) разложе-
разложения амплитуды по парциальным волнам в случаях:
а) ma/ft2 <С 1 при произвольном угле рассеяния;
б) ma/ft2 i>, 1 при достаточно малом угле рас-
рассеяния;
в) та/Н2У?> 1 при рассеянии частиц назад @=я).
Найти в указанных случаях дифференциальное се-
сечение рассеяния и сравнить его с результатами рас-
расчетов в борновском приближении и согласно класси-
классической механике.
13.20. Найти волновую функцию Ч^г), амплитуду
рассеяния и сечение рассеяния частицы на потен-
потенциале нулевого радиуса (см. 4.10). Каково значение
эффективного радиуса г0?
13.21. Восстановить потенциал взаимодействия
U(г) по фазе s-рассеяния 60(?), считая ее известной
при всех энергиях частицы и предполагая, что
|«о(*)|«1.
Для иллюстрации полученного результата рас-
рассмотреть зависимости вида: a) 60(?) = const;
б) 60(?)=.а?/(р2)
и) В связи с данной задачей см. также 13.24.
159
13.22. Получить выражение для фазовых сдвигов
в борновском приближении в случае обменного потен-
потенциала (см. 13.3).
13.23. Развить фазовую теорию рассеяния в слу-
случае двумерного движения частицы в аксиально-сим-
аксиально-симметричном потенциале U(p). Каково обобщение опти-
оптической теоремы на этот случай?
13.24. Используя фазовую теорию рассеяния, най-
найти амплитуду и дифференциальное сечение рассея-
рассеяния заряженных частиц в аксиально-симметричном
магнитном поле Ж(р), направленном вдоль оси z и
локализованном на малых расстояниях р <<: а около
этой оси.
Указание. Ограничиться предельным случаем
а->-0, но конечной величины Фо потока магнитного
поля. При этом векторный потенциал удобно выбрать
в виде Лф = Ф0/2яр, Лг = Лр —0. Отметим, что рас-
рассеяние под малыми углами иным способом рассмот-
рассмотрено в [1, § 131].
13.25. Найти энергетическую зависимость фазовых
сдвигов 6t(k) с фиксированным значением / при
?->оо. Рассмотреть случаи потенциалов, имеющих
на малых расстояниях г->0 вид U ?» oc/rv cs) v<l;
б) 1 < v< 2; в) v= 1.
13.26. Показать, что при больших значениях энер-
энергии и момента, когда kR ~ 1^> 1, борновское выра-
выражение (XIII. 12) для фазового сдвига переходит в
квазиклассическое (XIII. 14).
Указание. Воспользоваться «приближением тан-
тангенсами» для функций Бесселя, см. [33, с. 977].
§ 3. Низкоэнергетическое рассеяние.
Резонансные явления при рассеянии
13.27. Найти энергетическую зависимость сечения
рассеяния о(Е) в поле, спадающем на больших рас-
расстояниях по закону U(r)tta/rv, r-voo, 2<v^3
при энергии частиц ?->0.
13.28. Найти зависимость от k фазовых сдвигов
di(k) для медленных частиц и обсудить разложение
эффективного радиуса в борновском приближении.
При каких ограничениях на убывание потенциала на
больших расстояниях справедливо разложение
(XIII. 15), т. е. можно ввести параметры низко-
низкоэнергетического рассеяния — длину рассеяния щ и
160
эффективный радиус взаимодействия п — с момен-
моментом /?
13.29. Для потенциала со степенным убыванием
на больших расстояниях, U « a/rv, v > 2, найти за-
зависимость от k фазовых сдвигов для медленных час-
частиц с различными значениями момента /. Рассмот-
Рассмотреть приложения полученных результатов к потен-
потенциалам, имеющим на больших расстояниях вид U ?»
да а/г'6 и U fa а/г4 (поляризационный потенциал,
см. 11.49).
13.30. Для потенциала со степенным убыванием на
больших расстояниях, U ?» a/rv, обсудить модифика-
модификацию разложения эффективного радиуса (XIII. 15) при
орбитальном моменте частицы /, удовлетворяющем
условиям (v — 5)/2 sg: / < (v — 3)/2. В качестве ил-
иллюстрации полученного результата рассмотреть
s-расстояние медленных частиц в потенциале, имею-
имеющем на больших расстояниях вид U да а/г4.
13.31. Найти длину рассеяния а0 в потенциалах:
0, r>R;
б) U(r) = -UoR6(r~R);
в) U(r) = - U«e-'i*; г) U (r) = - Uo [1 + (r/Rf]~2;
д) U(r) = U0(R/rL, U0>0.
Чем примечательны значения параметров потен-
потенциала, при которых длина рассеяния обращается
в бесконечность?
Какова причина неаналитической зависимости
Oq(Uq) от параметра UQ при [/0->-0 в случае E)?
13.32. Найти длину рассеяния и сечение рассея-
рассеяния медленных частиц непроницаемым эллипсоидом,
т. е. в потенциале
и(г) = 1 о,
Специально обсудить предельные случаи с да Ъ
и с :§> Ъ.
13.33. В квазиклассическом приближении найти
длину рассеяния а0 для отталкивательного потенциа-
потенциала, имеющего асимптотическое поведение U да а/г4
на больших расстояниях.
6 В. М. Галицкий и др. 16)
Для иллюстрации полученного квазиклассического
результата применить его к потенциалам a) U =
= а(#2 + г2)-2 и б) U = a(R + r)-\ где R > 0, и
сравнить с точным.
13.34. В условиях предыдущей задачи найти ква-
квазиклассическую поправку к длине рассеяния, связан-
связанную с учетом следующего члена в разложении потен-
потенциала на больших расстояниях: U = <zr~i(l-\-
+ Ъ/,г+ ...).
13.35. Для потенциала притяжения, U(r)??Z0,
имеющего степенное убывание U ?» —oc/rv с v > 3
на больших расстояниях, найти длину рассеяния а0
в квазиклассическом приближении. При этом счи-
считать, что на малых расстояниях г-*-0 потенциал
U со г~Р и 0 ^ Р < 2. Чем примечательны значения
параметров потенциала, при которых а0 обращается
в бесконечность?
Рассмотреть приложения полученного результата
к потенциалам a) U=—а(г + ?!)~4 и б) 11 =
=—а (г2 -f- R2)~2 и сравнить с точным решением.
13.36. Получить формулу теории возмущений по
длине рассеяния для сдвига уровня с произвольным
моментом / в потенциале UL{r) под влиянием корот-
короткодействующего потенциала Us (г) радиуса rs (обоб-
(обобщение результата 11.4 для / = 0). Предполагается,
что на малых расстояниях г <С rs взаимодействие Ul
является слабым, | UL | <C H2/mr2s, и для рассматри-
рассматриваемых уровней
13.37. Потенциал представляет суперпозицию силь-
сильного короткодействующего потенциала Us (г) радиуса
rs и дальнодействующего Ub(r) радиуса гь^> rs,
причем последний на расстояниях г^ rs предпола-
предполагается слабым: I UL I -С Й2/шг|. Считая известным ре-
решение уравнения Шрёдингера для потенциала Ui{r),
найти изменение A6fp фазового сдвига в этом потен-
потенциале под влиянием Us в случае медленных частиц,
когда krs <C 1. Выразить A6JS) через длину рассеяния
af) в потенциале Us.
В каком случае фазовый сдвиг в поле U = Us +
+ Ul приближенно равен сумме фазовых сдвигов в
потенциалах Us и Ul в отдельности?
162
Рассмотреть приложение полученного резуль-
результата к дальнодействующему кулоновскому потен-
потенциалу.
Указание. Воспользоваться изложенным в 11.4
приемом учета влияния короткодействующего взаи-
взаимодействия, см. также 13.36.
13.38. Как надо модифицировать формулу Резер-
форда, чтобы описать дифференциальное сечение рас-
рассеяния частиц в кулоновском потенциале, 0 =
= ±Ze2/r, искаженном на малых расстояниях г с< /"s?
Предполагается, что выполнены условия krs <C 1 и
Ze2 <C Йи. Искажение кулоновского поля описывается
потенциалом Us(r), для которого известна длина рас-
рассеяния a^S).
13.39. Найти длину рассеяния at с произвольным
моментом / для следующих потенциалов:
а) непроницаемая сфера радиуса R; б) U(r) =
= —аб(г — R); в) прямоугольная яма радиуса R и
глубины С/о.
Сравнить со случаем / = 0 из 13.31.
13.40. Оценить значение синглетной (с суммарным
электронным спином S = 0) длины рассеяния аоA)
электрона на невозбужденном атоме водорода,
учитывая существование слабосвязанного состоя-
состояния— иона Н- — с энергией связи е0 = 0,754 эВ =
= 0,0277 а. е. и
а) пренебрегая конечностью размера атома водо-
водорода и области взаимодействия внешнего электрона
с атомом;
б) рассматривая внешний электрон как слабосвя-
слабосвязанный в потенциале конечного радиуса и используя
для него значение С\й = 2,65 асимптотического ко-
коэффициента (см. 11.36).
Сравнить с результатом вариационного расчета:
соA) = 5,97 а. е.
13.41. Для протон-нейтронной системы оценить
значение триплетной длины рассеяния аоC), учиты-
учитывая существование в такой системе слабосвязан-
слабосвязанного состояния — дейтрона — с энергией связи е0 =
= 2,23 МэВ. Сравнить с экспериментальным значе-
значением аоC) = 5,39-1О-13 см.
13.42. а) Используя экспериментальное значение
синглетной длины рассеяния аоA) = —23,7-10~13 см
для протон-нейтронной системы, оценить энергию
6* 163
мелкого виртуального уровня15) в такой системе в
состоянии с S == О и / = 0.
б) Для протон-протонной системы аоA) = —7.77Х
ХЮ3 см. Не противоречит ли такое существенное
различие длин рассеяния для рп- и рр-систем изото-
изотопической инвариантности ядерного взаимодействия?
В связи с этим приведем значения эффективных ра-
радиусов взаимодействия гоA), равные 2,67-10~13 см
и 2,77 • 10~13 соответственно для рп- и рр-систем.
13.43. Показать, что для эффективного радиуса
взаимодействия г0, см. (XIII. 15), справедливо выра-
выражение
гДе %о(г)—радиальная волновая функция (%о = rR0)
состояния с / = 0 и Е = 0, нормированная условием
%о(г) = (—г/ао + 1) при г->оо (а0 —длина рас-
рассеяния).
Найти го для непроницаемой сферы радиуса R,
а также для б-ямы, U(r) = —ад (г — R), и прямо-
прямоугольной ямы радиуса R в момент возникновения в
них связанных состояний, когда ао = оо.
13.44. Показать, что эффективный радиус взаимо-
взаимодействия ri в состоянии с / ф 0, см. (XIII. 15), в мо-
момент появления в потенциале связанного состояния 16)
равен
г, = -2[B/-1)!!]2СГ2,
где Ci — нормировочный коэффициент в волновой
функции с Е = 0, при этом
оо
%,(r)«Cy-' при г-+оо и \)%]{r)dr=\.
о
Найти п для б-ямы.
16) Виртуальный характер уровня и знак ОоA)<0 следуют
из факта отсутствия реального связанного состояния. С учетом
эффективного радиуса гоA) следует еВиРТ = 67 кэВ.
IS) Этот случай наиболее интересен, так как в отсутствие
в потенциале мелкого уровня слагаемое с эффективным радиу-
радиусом в (XIII. 15) выступает как малая поправка.
164
13.45. Найти фазовый сдвиг 60(/г) и сечение рас-
рассеяния медленных частиц:
а) непроницаемой сферой радиуса R;
б) б-ямой, U(г) = —аб (г — R);
в) прямоугольной ямой радиуса R и глубины Uq.
Воспользоваться разложением эффективного ра-
радиуса.
13.46. Рассмотреть рассеяние медленных частиц в
парциальной волне с моментом / ф 0 в потенциале
U(r) = —аб(г — R). Специально обсудить случай ре-
резонансного рассеяния в условиях существования в
потенциале квазистационарного
состояния с малой энергией
ER <C h2/mR2, найти его ши-
ширину TR.
13.47. На примере модельной
задачи: потенциальная яма глу-
глубины Uo и радиуса R, окружен-
окруженная б-барьером 0(r) = a6(r — R)
(рис. 28), обсудить особенности
резонансного рассеяния медлен-
медленных частиц в s-состоянии, свя-
связанные с наличием малопрони-
малопроницаемого барьера 17).
У
I—J
-и„
Рис. 28
рр )
Указание. Воспользоваться разложением эффек-
эффективного радиуса, обсудить влияние малопроницаемого
барьера на значение эффективного радиуса взаимо-
взаимодействия Го-
13.48. Найти парциальную амплитуду s-рассеяния
в потенциале U(r)—ab(r — R). В случае малой про-
проницаемости б-барьера определить положения ER, „ и
ширины Tr п нижних квазидискретных s-уровней
(EyR2)
Сравнить сечения рассеяния на б- и непроницае-
непроницаемой сферах. Каково значение Аа(Е) разности этих
сечений при энергии частиц, близкой к энергии ква-
квазидискретного уровня?
13.49. Параметры потенциала U0(r) выбраны так,
что в нем имеется связанное состояние с энергией
Е = 0 и моментом / (длина рассеяния а(г0) = осЛ
17) Для физических приложений особенно интересен случай,
когда такой барьер связан с кулоновским отталкиванием заря-
жеииых частиц. Однако ввиду медленного убывания кулоиов-
ского потенциала этот случай требует специального рассмотре-
рассмотрения, см. [1, § 138].
,165
Найти длину рассеяния ai в этой парциальной волне
при малом изменении потенциала на Ш(г).
Используя полученный результат, обсудить во-
вопрос о различии зависимостей энергии уровня от
Ы) (г) в случаях / = 0 и / ф 0; сравнить с 4.27 и 4.28.
§ 4. Рассеяние быстрых частиц.
Приближение эйконала
13.50. Получить выражение (XIII. 18) для ампли-
амплитуды рассеяния быстрых частиц суммированием ряда
разложения ее по степеням потенциала (кратности
взаимодействия), см. 13.10.
13.51. Показать, что полное сечение рассеяния
быстрых частиц, kR S> 1, в потенциале U(г) радиуса
R может быть вычислено по формуле
1-cos
независимо от соотношения между энергией частиц
и характерной величиной потенциала, т. е. справед-
справедливость формулы не предполагает выполнения усло-
условия Е S> | U (г) | применимости приближения эйконала.
Использовать полученный результат для вычисле-
вычисления сечения рассеяния частиц потенциальным барье-
барьером (или ямой): U = Uo при г <С R и U — 0 при
r>R.
13.52. Найти полное сечение рассеяния частиц в
потенциале V (г) = a/rv cv>2 и a>0 при энергии
?->- оо. Сравнить с 13.2.
13.53. Рассмотреть «потенциал» вида U =
= g(E)e~r/R, экспоненциально спадающий на боль-
больших расстояниях и с константой связи18), возрастаю-
возрастающей степенным образом с увеличением энергии:
g(E) = go(E/Eo)n. Показать справедливость следую-
следующего ограничения: а(Е)^. ао\п2(Е/Ео) на возмож-
возможный рост сечения рассеяния при Е—>~оо.
18) Отметим, что спин-орбнтальное взаимодействие, U =
= s I f (г), эффективно растет, со -\/ГЕ, с увеличением Е, сравнить
с 13.59. Обсуждаемое ограничение на рост сечения в теории
сильных взаимодействий элементарных частиц известно как тео-
теорема Фруассара.
166
13.54. В приближении эйконала найти амплитуду
и дифференциальное сечение рассеяния частиц в ку-
лоновском потенциале U = а/г в противоположном
борновскому предельном случае |oc|/fty ^> 1, срав-
сравнить с 13.1.
Указание. При вычислении амплитуды считать ку-
лоновский потенциал «обрезанным» на некотором
большом, но конечном, расстоянии R (т. е. положить
U = 0 для г >/?).
13.55. Выразить в приближении эйконала ампли-
амплитуду рассеяния частиц в поле двух силовых центров,
находящихся на расстоянии а друг от друга, т. е.
в потенциале U (т) = Uo( |г — а/2|)+ Uo( |г + а/21),
через амплитуду fQ рассеяния на одном центре U0(r).
Какова связь полного сечения рассеяния с одноцент-
ровым о0?
Применить полученный результат к вычислению
полного сечения рассеяния на слабо связанной си-
системе из двух центров (подобной дейтрону), когда ее
характерный размер много больше радиуса взаимо-
взаимодействия налетающей частицы с отдельным центром.
13.56. Обобщить приближение эйконала на слу-
случай обменного взаимодействия, когда U06mW(t)^
= U(r)W(—г). Какова связь дифференциальных и
полных сечений рассеяния для обменного и обычного
потенциалов? Сравнить с рассеянием в борновском
приближении, рассмотренным в 13.3.
13.57. В случае рассеяния быстрых частиц, kR^\,
идеально отражающей (непроницаемой) сферой ра-
радиуса R найти амплитуду и дифференциальное сече-
лие рассеяния под малыми углами, когда kRd<?.l,
а также полное сечение столкновения. Воспользо-
Воспользоваться квазиклассическим выражением (XIII. 13) для
фазового сдвига.
13.58. То же, что и в предыдущей задаче, но в
случае не очень малых углов рассеяния Э S> (kR)~1/3.
Сравнить с результатом классической механики.
§ 5. Рассеяние частиц со спином
13.59. Оператор взаимодействия частицы со спи-
спином s= 1/2 с внешним полем имеет вид19)
w) Классический аналог спин-орбитального взаимодействия
V (г) а 1 рассмотрен в 13.60. Если для частицы со спином s =
167
Рассмотреть рассеяние в борновском приближе-
приближении. Какова энергетическая зависимость полного се-
сечения рассеяния для быстрых частиц? Сравнить
с рассеянием бесспиновых частиц.
Найти зависящую от спина часть амплитуды рас-
рассеяния электрона в кулоновском поле ядра, Uo =
= —Ze2/r, учитывая, что спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие для него описывается выражением U\ =
= (h2/4m2c2r)dU0/dr.
13.60. Найти в борновском приближении ампли-
амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния быстрых
нейтронов кулоновским полем.
Указание. Сначала установить вид взаимодействия
движущегося магнитного диполя с электрическим по-
полем в классической электродинамике, перейдя в си-
систему покоя диполя.
13.61. Какие ограничения накладывает условие эр-
митовости гамильтониана на взаимодействие 0 =
—Uo(r) + U\ (г) la частицы со спином s = 1/2 с внеш-
внешним полем?
Какова в первом борновском приближении поля-
поляризация рассеянных частиц, если первоначально они
были не поляризованы? Показать также, что если до
столкновения частицы были поляризованы, то в ре-
результате рассеяния происходит лишь поворот век-
вектора поляризации.
13.62. Найти поляризацию, возникающую при рас-
рассеянии быстрых (так что Ze2/hv «С 1) неполяризован-
ных электронов в кулоновском поле ядра. Какова
поляризация при рассеянии позитронов?
Указание. Спин-орбитальное взаимодействие ука-
указано в 13.59. При вычислении амплитуды второго при-
приближения теории возмущений рассмотреть сначала
экранированный кулоновский потенциал U0(r) =
Ze2
= e~rlR и в окончательном результате перейти
к пределу R-*¦ оо (сравнить с 13.54).
= 1/2 записать магнитный момент в виде Цо = eh/2mc + \i'y
где е, т — заряд и масса частицы, а ц.' — её аномальный магнит-
магнитный момент, то правильное квантовомеханическое обобщение
классического результата из 13.60 получается при подстановке
вместо Ц оператора вида цо<г с ц0 = eh/4mc + ц'; см. 15.32, а
также [29].
168
13.63. Взаимодействие частицы со спином s= 1/2
с внешним полем имеет вид U = Uo {г) + ?Л (г) 1 а.
Найти фазовые сдвиги &Т:
а) в борновском приближении,
б) в квазиклассическом приближении.
Получить также выражение для амплитуды рас-
рассеяния в приближении эйконала, исходя из разложе-
разложений (XIII. 25) по парциальным волнам.
13.64. Для столкновения частицы со спином s =
= 1/2 с бесспиновой частицей найти связь между
амплитудами рассеяния в спиральном представлении
(см. 5.20) и инвариантными функциями А и В в
(XIII. 22).
13.65. При столкновении двух бесспиновых частиц
происходит реакция с образованием также двух час-
частиц, одна из которых имеет спин s = 1, а другая —
спин s = 0. Внутренние четности всех частиц — по-
положительные.
Используя для описания спиновых состояний час-
частицы с s= 1 векторное представление (см. 5.26), по-
показать, что спиновая структура амплитуды рассмат-
рассматриваемой реакции описывается выражением
<flfU> = a*[PoPi]f(?, 6),
где а — спиновая функция, р0 и pi — импульсы отно-
относительного движения до и после столкновения.
Выполнить разложение f(E,Q) по парциальным
волнам.
Указать также спиновую структуру амплитуды
в случае, когда частица со спином s = 1 имеет отри-
отрицательную внутреннюю четность.
13.66. Бесспиновая частица рассеивается на си-
системе одинаковых, распределенных в пространстве
центров со спином s = 1/2. Взаимодействие с отдель-
отдельным центром описывается выражением U=Uo{r)-\-
-{-Ui(r)la. Исследовать в борновском приближении
амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния в
случае неполяризованных центров (Р„ = 0). Сравнить
с рассеянием на системе бесспиновых центров.
13.67. Каково обобщение оптической теоремы на
случай столкновения частиц с отличными от нуля
спинами?
§ 6. Аналитические свойства и унитарность
амплитуды рассеяния
13.68. Обсудить аналитические свойства и дис-
дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния на
потенциале нулевого радиуса, см. 13.20. Рассмотреть
случаи как существования, так и отсутствия связан-
связанного состояния в таком потенциале. Сравнить
с (XIII.27).
13.69. Воспользовавшись дисперсионным соотноше-
соотношением, показать, что для энергетической зависимости
сечения рассеяния частицы в потенциале отталкива-
отталкивания, U(r)^0, существует следующее ограничение:
оо оо
Г а (Е) , „ . . 2 У2от~ Г
\ —\=- аЕ < 4я2 — \ r2U(r)dr.
J V? й J
13.70. Показать справедливость соотношения
ОО
\ -У-^<яд/ а@)
для рассеяния в потенциале притяжения, С/(г)^О,
в котором, однако, не существует связанных состоя-
состояний частицы (яма недостаточно глубокая); здесь
а @) = Anal ~ сечение рассеяния при Е = 0. В каком
случае обе части неравенства близки друг к другу?
13.71. Используя только условие унитарности и
дисперсионное соотношение (при q2=/=0), можно, в
принципе, по известному выражению для амплитуды
рассеяния в борновском приближении восстановить20)
ее в виде ряда по степеням потенциала (кратности)
взаимодействия.
Показать на примере амплитуды второго прибли-
приближения при q2 = 0, что такой расчет ее воспроизводит
результат теории возмущений по потенциалу, осно-
основанный непосредственно на уравнении Шрёдингера
(см. 13.10).
13.72. Считая, что для парциальных волн с />
LkR^l взаимодействие пренебрежимо мало»
20) Подчеркнем, что уравнение Шрёдингера при таком под-
подходе не используется!
170
получить ограничения сверху на величину ампли-
амплитуды рассеяния бесспиновых частиц при высоких
энергиях для различных углов рассеяния21).
Указание. Для углов рассеяния, не очень близких
к 0 или я, воспользоваться квазиклассическим вы-
выражением для полиномов Лежандра, см. [1, § 49].
13.73. В условиях предыдущей задачи получить
ограничение снизу на величину сечения упругого рас-
рассеяния Oei быстрых частиц при заданном значении
Otot полного сечения столкновения.
13.74. Найти при больших энергиях ограничение
сверху на величину вещественной части амлитуды
упругого рассеяния вперед, Э = 0, считая известным
полное сечение столкновения и предполагая, что взаи-
взаимодействие частиц на расстояниях, превышающих
R, пренебрежимо мало. Каково ограничение на
|( )|
|
13.75. Показать, что при высоких энергиях имеют
место следующие ограничения на производную по 9
мнимой части амплитуды упругого рассеяния при
6 = 0:
q = 2k sin (9/2),
где Otot — полное сечение столкновения, a R — радиус
взаимодействия (на расстояниях, превышающих R,
оно пренебрежимо мало).
Проверить выполнение приведенных ограничений
для амплитуды дифракционного рассеяния из 13.57
и 13.90.
13.76. Показать, что амплитуда рассеяния в эйко-
нальном приближении удовлетворяет условию уни-
унитарности.
21) В задачах 13.72—13.75 рассмотрен ряд простых общих
ограничений на свойства амплитуд и сеченнй взаимодействия
частиц при больших энергиях, связанных, в основном, с возмож-
возможностью пренебрежения взаимодействием на расстояниях, превы-
превышающих его радиус R. Такая ситуация характерна для физики
элементарных частиц. При этом эффективный раднус взаимодей-
взаимодействия растет с энергией, ио не быстрее, чем со 1п(?/?о), см.
13.53. Необходимость использования релятивистской кинематики
фактически ие отражается на получеиных результатах.
171
§ 7. Рассеяние составных частиц.
Неупругие столкновения
13.77. Показать, что амплитуда упругого рассея-
рассеяния электрона на атоме — составной системе — в бор-
новском приближении в пренебрежении обменными.
эффектами22) совпадает с амплитудой рассеяния
электрона статическим локальным потенциалом U(r)t
и выяснить его физический смысл. Сравнить с
13.4—6.
13.78. Поляризованный электрон с sz = +l/2
сталкивается с атомом водорода, находящимся в
основном состоянии, электрон в котором имеет про-
противоположное значение, sz = —1/2, проекции спина.
Найти в первом борновском приближении амплитуду
и сечение столкновения с «переворотом» спина (т. е.
в случае, когда sz = —1/2 уже у рассеянного элек-
электрона, a s2 = +1/2 у атомного), атом остается в
основном состоянии. Сравнить со случаем упругого
рассеяния (без изменения спинового состояния элек-
электронов), см. 13.77.
Указание. Иметь в виду, что рассматриваемый
процесс относится к числу процессов с «перераспре-
«перераспределением» частиц, см. [25], гл. 18.
13.79. Оценить сечение перезарядки при столкно-
столкновении быстрого позитрона с атомом водорода, нахо-
находящимся в основном состоянии (т. е. найти сечение
образования позитрония — водородоподобной системы
из электрона и позитрона).
Указание. Воспользоваться приближением Оппен-
геймера — Бринкмана — Крамерса (ОБК) для про-
процессов перезарядки, основанным на пренебрежении
взаимодействием ядер друг с другом (в данном слу-
случае— позитрона с протоном); сравнить с предыду-
предыдущей задачей.
13.80. Выразить в борновском приближении ам-
амплитуду процесса А,- + B,->Af + Bf столкновения бы-
быстрых составных частиц А и В, взаимодействующих
22) В условиях применимости борновского приближения (для
быстрых частиц) пренебрежение обменными эффектами оправ-
оправдано; при этом существенно, что спиновое состояние свободного-
электрона, как и атомного, в процессе столкновения не изме-
изменяется; сравнить с 13.78.
172
электростатическим образом, через электрические
формфакторы23)
(q) = <^А (В) f | Z еа ехр (- iqra
о) (q) = <^А (В) f | Z еа ехр (- iqra
для соответствующих переходов i-*-f.
Обсудить поведение формфактора при q->0 в за-
зависимости от квантовых чисел начального и конечного
состояний.
Рассчитать для атома водорода формфакторы пе-
переходов ls-^-ls, Is—>-2s, ls—>-2pm; обратить внима-
внимание на их поведение при q-^ca.
Найти сечения столкновений для следующих про-
процессов:
1) H(ls) + H(ls)-+H(ls) + H(ls) — упругое рас-
рассеяние атомов водорода друг другом;
2) столкновения заряженной бесструктурной час-
частицы {электрона, мюона, протона и т. д., но не иона!)
с атомом водорода, находящимся в основном состоя-
состоянии, сопровождающегося возбуждением a) 2s-, б) 2р-
состояний атома.
13.81. Рассмотреть столкновение быстрой заря-
заряженной частицы с двухатомной молекулой, имеющей
собственный дипольный момент rf0 и находящейся
в основном состоянии; электронный терм молекулы
'Е. Оценить сечения столкновений, сопровождающих-
сопровождающихся возбуждением различных вращательных и коле-
колебательных уровней молекулы; сравнить со случаем
столкновений с атомом, см. предыдущую задачу.
13.82. Найти сечение столкновения быстрой заря-
заряженной частицы с атомом водорода, находящимся
в метастабпльном 2s-coctohhhh, сопровождающегося
переходом атома в 2р-состояния.
Указание. В данной задаче необходимо учитывать
релятивистское расщепление s- и р-уровней, см. 11.62.
13.83. Найти с логарифмической точностью сече-
сечение расщепления быстрого дейтрона в кулоновском
поле ядра с зарядом Ze (ядро, для простоты, счи-
считать точечным и бесконечно тяжелым). Волновую
23) Подчеркнем, что г„ является радиусом-вектором а-й за-
заряженной частицы в составной системе А (В) относительно цен-
центра масс этой системы.
Обычный атомный формфактор, см. [1], § 139, соответствует
случаю, когда атом до и после столкновения находится в основ-
основном СОСТОЯНИИ, ПРИ ЭТОМ Foo(q) = Z — ^ат(Ч)-
173
функцию дейтрона, учитывая малость энергии связи
протона и нейтрона, выбрать как в случае потенциала
нулевого радиуса, см. 12.1.
13.84. Найти асимптотику при q-^-oo электриче-
электрического формфактора двухчастичной системы. Предпо-
Предполагается, что фурье-компонента 0(q) потенциала
взаимодействия, ответственного за образование со-
составной системы, при <7—>-оо имеет степенное убыва-
убывание: 0 (q) оо q~nc n > 1; сравнить с 4.18. Рассмотреть
приложения полученных результатов к атому во-
водорода.
13.85. Найти дифференциальное и полное сечения
кулоновского возбуждения атомного ядра, находяще-
находящегося первоначально в состоянии с моментом / = О,
быстрой легкой заряженной частицей24) при а) ди-
польном (Е\—) и б) монопольном (ЕО—) переходе
ядра.
13.86. Найти соотношения между амплитудами и
дифференциальными сечениями упругого рассеяния
нейтрона на протоне и нейтрона на атоме водорода,
находящемся в основном состоянии. Взаимодействием
магнитного момента нейтрона с электроном прене-
пренебречь. Указать условия применимости полученного
результата.
13.87. Найти сечение рассеяния тяжелых заря-
заряженных частиц (например, протонов или ионов) ней-
нейтральными атомами, имеющими момент, равный
нулю. Скорость рассеиваемых частиц предполагается
много меньшей скоростей атомных электронов, но
в то же время V ^> h/Мав, М — масса частицы. Вос-
Воспользоваться квазиклассическим выражением для се-
сечения рассеяния, см. 13.51.
13.88. Найти сечение перезарядки25) при столкно-
столкновении медленного, v <С иат, отрицательного иона А~
с собственным атомом А. Считать атом и ион нахо-
находящимися в S-состояниях, а валентный электрон иона
рассматривать как слабо связанный, см. 11.28. Отно-
Относительное движение атома и иона рассматривать
24) Частицей (электрон, мюон), комптоновская длина волны
которой Н/пгс превосходит размер ядра; заряд частицы +е.
25) Сравнить с перезарядкой при столкновении медленного
протона с атомом водорода, см. [14, с. 99], а также моногра-
монографию [19], в которой изложена теория резонансных процессов
при медленных столкновениях атомных частиц.
174
квазиклассически в приближении прямолинейных
траекторий.
13.89. Для столкновения одинаковых атомов, один
из которых находится в основном состоянии, а дру-
другой— в возбужденном состоянии (связаны диполь-
ным переходом), оценить сечение взаимодействия и,
в частности, сечение передачи возбуждения. Считать
орбитальные моменты атомов равными 0 и 1. Ско-
Скорость относительного движения атомов предпола-
предполагается малой по сравнению с характерной атомной
скоростью, а энергия, наоборот, много большей
атомной; сравнить с предыдущей задачей.
Указание. По поводу взаимодействия атомов на
далеких расстояниях см. 11.55.
13.90. Найти полное сечение 0tot, сечения упру-
упругого 0ei и неупругого 0гпв1 рассеяния быстрых частиц,
kR 3> 1, поглощающей («черной») сферой радиуса R.
Найти также дифференциальное сечение упругого
рассеяния. Сравнить с 13.57 и 13.58.
Указание. Воспользоваться квазиклассическими
представлениями о движении частиц. Считать, что
все частицы, достигающие поверхности сферы, по-
поглощаются ею.
13.91. Как известно, в результате взаимодействия
электрона с позитроном может произойти их анни-
аннигиляция, т. е. превращение пары в фотоны. Вслед-
Вследствие этого уровни позитрония приобретают ширину,
связанную с конечным временем жизни состояний,
см. 11.61.
Найти соотношение между шириной уровней Tns
для s-состояний позитрония и сечением аннигиляции
пары 0ан(и).
Указание. Учитывая малость радиуса аннигиля-
ционного взаимодействия, Ra» ~ %/mec <С aB, восполь-
воспользоваться формулами теории возмущений по длине
рассеяния26) для сдвига уровней и для фазового
сдвига, см. 13.36 и 13.37.
13.92. С помощью принципа детального равнове-
равновесия связать сечения радиационного захвата нейтрона
протоном, n + p-^d + Т, и фоторасщепления дей-
дейтрона, d + у -+• п + р.
26) Полученные результаты непосредственно обобщаются на
случай уширения вследствие сильного взаимодействия кулоиов-
ских уровней адронных атомов, см. 11.4.
175
Указание. Соотношение между сечениями взаимно
обратных двухчастичных процессов, выражающее
принцип детального равновесия (см. [1], § 144),
справедливо и в релятивистской области. Заметим,
что хотя спин фотона равен 1, у него имеется лишь
два независимых поляризационных состояния (что
является отражением поперечности электромагнит-
электромагнитных волн).
13.93. Найти соотношение между сечениями фо-
фотоэффекта из основного состояния атома водорода и
радиационной рекомбинации электрона с протоном
(процесс, обратный фотоэффекту) в основное состоя-
состояние атома водорода.
Глава 14
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Последовательная теория процессов излучения и
поглощения фотонов связана с использованием пред-
представления чисел заполнения для фотонной подсисте-
подсистемы. При этом полю излучения (т. е. свободному элек-
электромагнитному полю) сопоставляется оператор век-
векторного потенциала ')
д /г\ __ X /_2лйс^_\1/2 /е ^ eikr I e* a+e'ikr).
ко
(XIV. 1)
Здесь ака, а?0 — операторы уничтожения и рождения
фотона с волновым вектором к, частотой он = ck
и поляризацией о; е^а — единичный (|е|2=1) век-
вектор поляризации фотона, удовлетворяющий условию
поперечности keka = 0. Состояние поля излучения
описывается волновой функцией Ф(/1ка, t), где п^0 —
числа заполнения фотонных состояний.
Оператор Гамильтона свободного поля излучения
¦^rad = И Нсокйъойъо, а взаимодействие нерелятивист-
ка
') Сравнить с Ф—операторами из гл. 10. Для описания поля
использована кулоновская калибровка: div Arad = 0, <prad s 0;
оператор Arad (г) задан в шрёдингеровском представлении.
Объем V, в который считается заключенной система, при V->-oo
не входит в физически наблюдаемые величииы.
176
ской частицы с этим полем имеет вид2) (в кулонов-
ской калибровке рА=Ар):
(Г) - -? S^rad (f),
(XIV. 2)
где еа, tn, s, ц — заряд, масса, спин и магнитный мо-
момент часТИЦЫ, ^rad = rot Arad (r).
Взаимодействие частицы (системы частиц) с по-
полем излучения характеризуется малым параметром
а = е2/he « 1/137 (для еа~е). Поэтому обычно
существенны лишь переходы, сопровождающиеся из-
излучением или поглощением минимально возможного
числа фотонов. При этом вероятности процессов
можно рассчитывать по теории возмущений. В част-
частности, для вероятности перехода (в единицу вре-
времени) между состояниями дискретного спектра си-
системы частиц с излучением одного фотона имеем
dwna = Щ-1 </ | Vint | i) f dpf. (XIV. 3)
Здесь волновые функции (векторы состояний) на-
начального и конечного состояний системы «частицы +
+ фотоны» имеют вид
| lko, 0, .. .)v, Ef = ef + ,
| — совокупность независимых координат частиц,
f'i.fd) и е,-, f — волновые функции и энергии соот-
соответствующих состояний системы частиц, |0>Y и
| lka, 0, .. .)v — векторы состояний фотонной подси-
подсистемы, соответствующие вакуумному и однофотонно-
му состояниям. Матричный элемент в (XIV. 3) с уче-
учетом (XIV. 1), (XIV. 2) (и свойств операторов а, а+)
2) Описываемое классически (неквантованное) внешнее поле,
как и кулоновское взаимодействие частиц, обычным образом
включено в гамильтониан частиц. Заметим, что если система
частиц находится во внешнем магнитном поле, так что А ф 0,
то в (XIV. 2) следует заменить р на р — (еа/с) А.
177
принимает вид
/f\V |Л /
+ ' КЛа) КаЧ ¦: } ^^ |^У. (XIV. 4)
В дипольном приближении здесь можно заменить
е~1кт на 1, пренебречь слагаемыми с магнитными
моментами частиц и преобразовать3) матричный эле-
элемент возмущения к виду
if \Vlat I О = * л/ЪШф eladfi, (XIV. 5)
где dfi =<1Ff | 2 ^oral ^i) — матричный элемент ди-
a
польного момента системы частиц. Так как для каж-
каждой из двух независимых поляризаций фотона плот-
плотность конечных состояний
dPf = J б (в, - ef - М ^ = -B^-г <Шп, (XIV. 6)
где На — &i — е^, dQn — элемент телесного угла в на-
направлении излучения фотона, k = kn, то выражение
(XIV. 3) принимает вид
Суммирование по поляризациям фотона, выполняе-
выполняемое с помощью формулы4)
0=1, 2
Воспользовавшись при этом соотношением
Оно справедливо и для системы, находящейся в магнитном поле,
когда ра следует заменить на ра — еоА (та)/с.
4) При этом
Е (ekoa) (ekab) =аЬ - <па) (°Ь) = [ап] • [Ьп].
о
178
дает угловое распределение излучаемого фотона:
a, (XIV. 9)
а последующее интегрирование по направлениям вы-
вылета его определяет вероятность излучения фотона
для соответствующего перехода i-*-f в системе частиц
в дипольном приближении
w^ we\ = \ dwn = o+ I dft I2. (XIV. 10)
Заметим, что взаимодействие (XIV. 2), имеющее
в дипольном приближении вид
А2,@), (XIV. 11)
эквивалентно выбору более простого по форме взаи-
взаимодействия 5)
Пн = -аСаЛ (XIV. 12)
где d = ex — дипольный момент частицы, а
trad @) = - Т ^rad @) = Ж №* Atad @)] =
. 13)
ka
Из (XIV. 12) непосредственно следует выражение
(XIV. 5) для матричного элемента возмущения, опре-
определяющего излучение фотона в дипольном прибли-
приближении.
В задачах данной главы для волновых функций
свободных частиц6) Wp = v~ll2etpT/h используется
нормировка на 1 в объеме V. При этом связь вероят-
вероятности dw какого-либо перехода (в единицу времени)
6) Такое изменение вида взаимодействия возникает в резуль-
результате выполнения определенного унитарного преобразования. Под-
Подчеркнем, что (XIV. 12) эквивалентно именно полному выраже-
выражению (XIV. И) (а не только линейной по операторам а, а+ его
правой части!).
6) При этом возможные значения импульса, образующие дис-
дискретный набор, определяются условием ортогональности волно-
волновых функций, <р | р'> = 6рр; число независимых состояний в эле-
элементе объема d?p составляет Vd3p/BnhK.
179
с участием такой частицы с дифференциальным се-
сечением соответствующего процесса определяется со-
соотношением
da = dw/j = V dw/v, (XIV. 14)
где / = pv — плотность потока, р = 1/V — объемная
плотность частиц, v — относительная скорость сталки-
сталкивающихся частиц; для столкновений фотонов с час-
частицей (атомом) v = с.
§ 1. Излучение фотонов
14.1. Найти время жизни и ширину возбужден-
возбужденного 2р-состояния атома водорода.
Применить полученный результат к [х-мезоатому
и сравнить со временем жизни свободного мюона
т,1 = 2,2-10-вс.
14.2. Найти время жизни первого возбужденного
уровня заряженного сферического осциллятора.
14.3. Найти вероятность электромагнитного пере-
перехода (в единицу времени7)) для сферического рота-
ротатора, находящегося на первом возбужденном уровне;
ротатор имеет момент инерции / и дипольный момент
d, направленный вдоль его оси.
14.4. Найти вероятность электромагнитного пере-
перехода между вращательными уровнями двухатомной
молекулы (без изменения электронного и колебатель-
колебательного состояний), имеющей дипольный момент do.
Электронный терм молекулы '2. Ограничиться слу-
случаем первого возбужденного ротационного уровня.
Произвести оценку вероятности перехода и срав-
сравнить ее с вероятностью дипольного перехода для
атомов.
14.5. Показать, что дипольные переходы между
а) уровнями атома с различной мультиплетностью
(например, между состояниями орто- и парагелия),
б) компонентами тонкой структуры одного и того
же терма атома (т. е. между различными подуров-
подуровнями одного и того же мультиплета с данными зна-
значениями L и S) запрещены.
14.6. Для 251/2-состояния атома водорода найти
вероятность электромагнитного перехода в 2р\/2-со-
<;тояние. Полученный результат сравнить с вероят-
7) В ряде последующих задач эта оговорка для краткости
опускается.
180
ностью перехода 2si/2-*-lsi/2 с излучением двух фото-
фотонов W2y « 8 г1 и с результатом 14.8. Напомним, что
разность энергий 2si/2- и 2р]/2-уровней (так называе-
называемый лэмбовский сдвиг) составляет A?is да
да 1058 МГц да 4,4- Ю-6 эВ.
14.7. Свободная нейтральная частица со спином
s=l/2, имеющая магнитный момент ц (так что
ц=|дс), находится в однородном магнитном поле
Ш§ в состоянии с определенным значением проекции
спина на направление поля. Найти вероятность излу-
излучения фотона в единицу времени в результате пере-
переворота спина.
14.8. Оценить вероятность однофотонного перехода
атома водорода из возбужденного 251/2-состояния в
основное lsi/2-состояние. Сравнить полученное зна-
значение с результатом 14.6. Какова мультипольность
перехода?
14.9. Найти вероятность электромагнитного пере-
перехода между компонентами сверхтонкой структуры
основного состояния атома водорода8) (см. 11.2).
14.10. Какова мультипольность излучения для до-
доминирующих электромагнитных переходов между
компонентами тонкой структуры одного и того же
терма атома? Оценить численное значение вероятно-
вероятности соответствующих переходов в единицу времени.
14.11. Для частицы в поле ?/(г) доказать спра-
справедливость следующих соотношений (так называе-
называемых «.правил сумм», сравнить с 6.13):
а) Y
б)
8) Отметим, что излучение, связанное с рассматриваемым
переходом (относящееся к радиодиапазону, длина волны 21 см),
играет важную роль в астрофизических исследованиях; так, по
красному смещению спектральной линии определяют расстояния
до (удаляющихся) галактик.
181
Здесь ц — масса частицы, суммирование проводится
по всем стационарным состояниям частицы, п) —
стационарное состояние дискретного спектра, <л я> =
§ 2. Рассеяние фотонов.
Излучение фотонов при столкновениях
14.12. Найти дифференциальное и полное сечения
упругого рассеяния фотонов свободной заряженной
частицей. Сравнить с результатом классической элек-
электродинамики.
14.13. Найти дифференциальное и полное сечения
упругого рассеяния фотонов сферическим ротатором,
имеющим момент инерции / и электрический диполь-
ный момент d (направленный вдоль оси рота-
ротатора) и находящимся в основном состоянии, см. так-
также следующую задачу.
14.14. В условиях предыдущей задачи найти диф-
дифференциальное и полное сечения неупругого рассеяния
фотона ротатором. Какие состояния ротатора при
этом возбуждаются?
14.15. Найти дифференциальное и полное сечения
рассеяния фотонов заряженным сферическим осцил-
осциллятором, находящимся в основном состоянии.
14.16. Найти дифференциальное и полное сечения
рассеяния фотонов нейтральной частицей со спином
s = 1/2, имеющей магнитный момент ц. Рассмотреть
следующие случаи:
1) до рассеяния частица находится в состоянии
с определенным значением проекции спина sz = +1/2
на ось z и в процессе рассеяния спиновое состояние
частицы не изменяется (ось z направлена вдоль им-
импульса падающих фотонов);
2) в процессе столкновения происходит переворот
спина, т. е. в конечном состоянии уже sz = —1/2;
3) спиновое состояние частицы после столкнове-
столкновения не детектируется.
Обобщить полученные результаты на случай час-
частицы с произвольным значением спина.
14.17. Выразить сечение рассеяния фотона малой
частоты, ftca-vO, атомом, находящимся в стационар-
стационарном состоянии с равным нулю моментом, через поля-
поляризуемость Ро атома (определяющую сдвиг уровня,
АЕ = — Ро«?2/2, в однородном электрическом поле).
182
14.18. Найти сечение фотоэффекта для водородо-
подобного атома, находящегося в основном состоя-
состоянии. Предполагается, что частота фотона удовлетво-
удовлетворяет условию На 3> /, где / — потенциал ионизации
атома.
14.19. Найти сечение радиационной рекомбинации
быстрого электрона с покоящимся протоном (процесс,
обратный фотоэффекту) с образованием атома водо-
водорода в основном состоянии.
14.20. Найти дифференциальное и полное сечения
фоторасщепления дейтрона, т. е. процесса y-{-d—>-
-»р + п.
Указание. Волновую функцию дейтрона взять в
приближении потенциала нулевого радиуса, а в ко-
конечном состоянии протон и нейтрон рассматривать
как свободные.
14.21. Найти дифференциальное сечение тормоз-
тормозного излучения электрона в кулоновском поле ядра.
Исследовать угловое и спектральное распределения;
излучаемых фотонов. Взаимодействие электрона
с ядром рассматривать как возмущение.
Глава 15
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
Характерная особенность физических явлений в
релятивистской области состоит в возможности взаим-
взаимного превращения (рождения и аннигиляции) частиц
при их взаимодействии. Поэтому постановка задачи
о свойствах состояний одночастичной системы во
внешнем поле имеет ограниченную область примени-
применимости, а обычная квантовомеханическая интерпрета-
интерпретация волновой функции частицы в координатном пред-
представлении как амплитуды вероятности оказывается
несостоятельной1). Для обеспечения релятивистской
инвариантности теории описание одночастичных со-
состояний связано с использованием волновых функ-
функций, обладающих определенными трансформацион-
') Действительно, из соотношения неопределенности р^
следует, что локализация частицы в малой области про-
проAS^ h/ "й бй
^ у р
странства, AjcS^ h/mc, сопровождается "передачей большой энер-
энергии частице (требует сильных внешних полей). При этом ста-
становятся возможными процессы рождения новых частиц и одно-
частичная задача теряет смысл.
ными свойствами относительно преобразования Ло-
Лоренца. Эти свойства, как и вид соответствующего
волнового уравнения, зависят от значения спина
частицы.
В случае бесспиновой частицы волновая функция
Ч^г, t) — однокомпонентная величина — является че-
четырехмерным скаляром2). Релятивистское волновое
уравнение для такой свободной частицы, уравнение
Клейна — Гордона, имеет вид
= U, ИЛИ 1Д J--T
(XV. 1)
Волновое уравнение для заряженной бесспиновой
частицы, находящейся во внешнем электромагнитном
поле, описываемом потенциалами А, ф, получается из
(XV. 1) заменами р->-р — еА/с, ih(d/dt)-+ih(d/dt) —
— еф и имеет вид
Из этих уравнений следует уравнение непрерыв-
непрерывности
. 8)
и сохранение зо времени величины Q = \ р (г, /) dV.
Хотя эти соотношения внешне подобны существую-
существующим в нерелятивистской квантовой механике (и иг-
играющим важную роль в интерпретации теории), су-
существенное отличие состоит в том, что теперь р не
является положительно определенной величиной и
не может рассматриваться как плотность вероятно-
вероятности. Однако в связи с отмеченным выше ограниче-
ограничением на область локализации одночастичного состоя-
состояния возможность введения плотности вероятности
2) При этом по отношению к преобразованиям лишь про-
пространственных координат, включающим и отражение, волновые
функции могут быть как скалярными, так и псевдоскалярными.
Эти две возможности отвечают частицам с различными внутрен-
внутренними четностями, см. 15.5.
184
координат р ^ 0 не является необходимым элементом
релятивистской квантовой теории. Некоторые во-
вопросы, связанные с интерпретацией решений уравне-
уравнения Клейна — Гордона и свойства состояний бесспи-
бесспиновой частицы во внешних полях, рассмотрены в за-
задачах § 1 данной главы.
Для свободной частицы со спином s = 1/2 реляти-
релятивистское волновое уравнение, уравнение Дирака,
имеет вид
*i
¦фг
(XV. 4)
При этом волновая функция W частицы является че-
тырехкомпонентной величиной3)—биспинором; мат-
матрицы Дирака
v for 0\
0x /on (XV-5>
0J, Y5=YYYY ( )
где о, 1, 0 означают двухрядные матрицы Паули,
единичную и нулевую (символ оператора над матри-
матрицами опущен).
Для электрона во внешнем электромагнитном
поле с потенциалами А, ср = Ао уравнение Дирака
получается из (XV. 4) с помощью указанных выше
замен (заряд электрона обозначен как —е<0):
ih-§ryP = (со (р + у А) + тс2р - еЛ0) V. (XV. 6)
Отсюда следует наличие у электрона спинового маг-
магнитного момента, причем для него гиромагнитное
3) Удвоение, по сравнению с нерелятивистским случаем, чи-
числа компонент в. ф. отражает то общее обстоятельство, что ин-
интерпретация решений релятивистских волновых уравнений при-
приводит к концепции античастицы. В случае бесспииовых частиц
появление «дополнительных» решений, соответствующих античас-
античастице, связано с тем, что уравнение Клейна — Гордоиа, в отличие
от уравнения Дирака, содержит вторые производные по времени.
185
отношение4) равно —е/тс в согласии с эксперимен-
экспериментальным значением.
Из (XV. 4) и (XV. 6) следует уравнение непре-
непрерывности
dp/df + divJ = O, p = 4^F, l=cVaW. (XV. 7)
§ 1. Уравнение Клейна — Гордона
15.1. Показать, что если 4/-±(r, t) представляет
волновой пакет, составленный из частных решений
уравнения Клейна — Гордона, отвечающих энергии
(или частоте) определенного знака (либо е ^ тс2,
либо s^—тс2), то независимо от конкретного вида
такой суперпозиции значение сохраняющейся во вре-
времени величины
является знакоопределенным.
15.2. Показать, что уравнение Клейна — Гордона
для свободной частицы инвариантно относительно
антилинейного преобразования волновой функции
вида
*?->Чс(г, t) = O?(r, /) = W(r, t).
Преобразование С описывает зарядовое сопряже-
сопряжение. Оно позволяет поставить в соответствие не имею-
имеющим непосредственного физического смысла реше-
решениям W~(r,t) уравнения Клейна — Гордона (Ч?- —
суперпозиция частных решений, отвечающих фор-
формально отрицательной энергии частицы, см. 15.1)
функцию ЧгсЬ=СЧг~, отвечающую уже положитель-
положительным энергиям и интерпретируемую как волновая
функция античастицы.
Убедиться в том, что если функция W является
собственной функцией какого-либо из операторов
& = Itl-Qr, р, tz, l2, то соответствующая зарядово
сопряженная функция Wc также является собственной
4) Этот результат, как и уравнение (XV. 6), справедлив лишь
для частиц со спином 1/2, не обладающих сильным взаимодей-
взаимодействием.
186
функцией. Как связаны собственные значения ука-
указанных операторов для таких функций?
15.3. а) Какой вид принимает уравнение Клейна —
Гордона для заряженной бесспиновой частицы во
внешнем электромагнитном поле при преобразова-
преобразовании волновой функции
W -+ Wc (г, t) = С? (г, t) s W* (г, О?
б) Какое преобразование электромагнитного поля
следует осуществить одновременно с указанным пре-
преобразованием функции W(r,t), чтобы получающееся
при этом уравнение имело такой же вид, как и ис-
исходное?
в) На основании полученных результатов дать ин-
интерпретацию преобразования С как преобразования
зарядового сопряжения, осуществляющего переход
от частицы к античастице (сравнить с 15.2).
15.4. Показать, что внешнее скалярное (по отно-
отношению к преобразованию Лоренца) поле оказывает
одинаковое действие на бесспиновую частицу и соот-
соответствующую ей античастицу. Сравнить со случаем
частицы во внешнем электромагнитном поле
(см. 15.3).
Указание. Уравнение, описывающее бесспиновую
частицу во внешнем скалярном поле U(r, t), имеет
вид
{сУ + m2c4 + 2mc2U} 4 = -h2-^W.
Не следует путать скалярное поле с электростатиче-
электростатическим (последнее представляет временную компоненту
4-вектора). В нерелятивистском пределе U(r,t) имеет
смысл обычной потенциальной энергии.
15.5. Показать, что внутренние четности бесспи-
бесспиновой частицы и соответствующей ей античастицы—•
одинаковые.
15.6. Основываясь на сохранении величины Q
(см. 15.1), обсудить вопрос об ортогональности и нор-
нормировке функций да Е (г, t), являющихся решениями
уравнения Клейна — Гордона, отвечающими опреде-
определенным значениям энергии (обоих знаков) и им-
импульса.
15.7. Показать, что для бесспиновой частицы в
релятивистском случае можно сохранить обычную ин-
интерпретацию волновой функции в импульсном пред-
187
ставлении как амплитуды вероятности значений им-
импульса (в отличие от координатного представления,
см. 15.1).
Какова связь волновых функций частицы и анти-
античастицы в импульсном представлении с решениями
4f±(r, t) уравнения Клейна — Гордона? Обсудить во-
вопрос о собственных функциях оператора координат
частицы.
Сравнить с нерелятивистским случаем.
15.8. Получить выражение для среднего значения
энергии свободной бесспиновой частицы в произволь-
произвольном состоянии, описываемом решением 4r+(r, t) урав-
уравнения Клейна — Гордона.
15.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для
среднего значения импульса частицы.
15.10. То же, что и в предыдущих двух задачах,
но для среднего значения момента частицы.
15.11. Найти в релятивистском случае энергетиче-
энергетический спектр заряженной бесспиновой частицы, нахо-
находящейся в однородном магнитном поле.
Сравнить с нерелятивистским случаем.
15.12. Найти энергетический спектр s-состояний
бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле
(см. 15.4) вида
Каков энергетический спектр античастицы в та-
таком поле?
Обсудить трудности в интерпретации энергетиче-
энергетического спектра, возникающие при значительном углуб-
углублении ямы.
15.13. Найти энергетические уровни дискретного
спектра заряженной бесспиновой частицы (заряд —е)
в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (ядро счи-
считать точечным и бесконечно тяжелым).
В случае Za <С 1 (а = е2/Нс та 1/137) сравнить
полученный результат с соответствующим выраже-
выражением нерелятивистской теории.
Обратить внимание на трудности, возникающие
в интерпретации энергетического спектра при доста-
достаточно больших значениях заряда ядра, и объяснить
их причину.
15.14. Показать, что для состояний свободной час-
частицы уравнение Клейна — Гордона можно записать
188
в виде уравнения Шрёдингера, ihdW/dt = Hpe\y?.
Найти соответствующий гамильтониан и обсудить его
нерелятивистский предел. Какова связь шрёдингеров-
ской волновой функции W с решением W+ (см. 15.1
и 15.7) уравнения Клейна — Гордона?
15.15. Исходя из стационарного уравнения Клей-
Клейна — Гордона для заряженной бесспиновой частицы,
находящейся в постоянном электромагнитном поле:
а) получить в нерелятивистском пределе уравне-
уравнение Шрёдингера;
б) найти первые две (~1/с2 и ~1/с4) реляти-
релятивистские поправки к гамильтониану частицы.
Показать, что поправка ~ 1/с4 включает слагае-
слагаемые, отличающиеся от разложения гамильтониана
Яге1 = д/с2 (р - еА/сJ + т2с* + eq> - тс1.
15.16. Показать, что в достаточно сильном элек-
электростатическом поле заряженная бесспиновая частица
испытывает притяжение (в квантовомеханическом
смысле) независимо от знака ее заряда5).
15.17. Найти в борновском приближении ампли-
амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния реляти-
релятивистской заряженной (заряд е\) бесспиновой частицы
в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (ядро считать
бесконечно тяжелым).
Сравнить со случаем нерелятивистской частицы.
Указать условия применимости полученных ре-
результатов.
15.18. Найти в борновском приближении энерге-
энергетическую зависимость сечения рассеяния а (г) заря-
заряженной бесспиновой частицы во внешнем электро-
электростатическом поле ф(г) при е->оо.
Указать условия применимости полученного ре-
результата; сравнить его с результатом нерелятивист-
нерелятивистской теории.
15.19. Найти в борновском приближении энерге-
энергетическую зависимость сечения рассеяния а (г) бес-
бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле U(r)
(см. указание к 15.4) при s->-oo.
Указать условия применимости полученного ре-
результата; сравнить его с результатами нерелятивист-
нерелятивистской теории и предыдущей задачи.
5) Это утверждение справедливо и для частиц с отличным
от нуля спином.
189
§ 2. Уравнение Дирака
15.20. Выяснить, какие из указанных ниже опера-
операторов коммутируют с гамильтонианом свободной ре-
релятивистской частицы со спином s = 1/2 (и тем са-
самым являются интегралами движения) :
2) f=-i-[rp] = — /[rV]; 3) Г2;
4) S = f 2; 5) s2; 6) J=l + S; 7) f; 8)A = pS;
9) 1[1чГ(г)&аЧ(—г)]; 10) P = fl\ 11) Ys-
Сравнить со случаем свободной нерелятивистской
частицы.
15.21. Найтн решения уравнения Дирака, описы-
описывающие свободную частицу, имеющую определенные
импульс и энергию.
Для конкретизации спинового состояния частицы
воспользоваться коммутативностью оператора Л = 2р
с операторами р и Н (см. также 15.26).
15.22. Найти компоненты 4-вектора плотности
тока свободной дираковской частицы в состоянии,
характеризующемся определенным значением ее им-
импульса.
Сравнить с соответствующими выражениями нере-
нерелятивистской теории.
15.23. Найти среднее значение вектора спина ди-
дираковской частицы, имеющей определенный импульс
(при этом спиновое состояние частицы — произволь-
произвольное). Считать для простоты, что импульс направлен
вдоль оси z.
Сравнить с результатом нерелятивистской теории.
15.24. Рассмотреть унитарное преобразование би-
спиноров, задаваемое унитарным оператором (мат-
(матрицей) U = -
V2
Какой вид имеют в новом представлении оператор
спина частицы и уравнение Дирака для двухкомпо-
нентных спиноров (W' = О^ ==())? Обсудить слу-
случай безмассовой частицы, т = 0.
15.25. Считая известным спиновое состояние в си-
системе покоя частицы, найти биспинор ы(р) в произ-
190
вольной системе координат, в которой частица имеет
импульс р.
Используя полученный результат, найти связь
средних значений вектора спина частицы в указан-
указанных системах координат.
15.26. Как известно (см. 15.21), для частицы со
спином s = l/2 волновая функция состояния с им-
импульсом р и энергией s = Ур2с2 + т2с4 имеет вид
/ ф \
; u(p) = \ cap )•
V в + тс* Ч>/
Указанное состояние является двукратно вырожден-
вырожденным (существует два независимых способа выбора
спинора ф), что связано со спиновой степенью сво-
свободы. Рассмотрим два таких независимых состояния,
соответствующие выбору спинора ср в виде щ, где
(an) фь = Лфа,,
п — произвольный единичный вектор, Я=±1, см.5.12.
Убедиться в ортогональности спиновых состояний
релятивистской частицы, отвечающих различным зна-
значениям К.
Учитывая результат предыдущей задачи, выяс-
выяснить физический смысл вектора п и соответствующих
собственных значений X.
Каков смысл вектора -д-ф*оф при нормировке
<р*Ф= 1?
15.27. Выполнив преобразование зарядового со-
сопряжения, найти явный вид волновой функции 4*"+
состояния античастицы, соответствующего решению
уравнения Дирака W~ с определенным импульсом,
равным—р, и отрицательной энергией е =
=— Vp2fi2 + гп2с4 частицы. Сравнить с волновой функ-
функцией физического состояния частицы (с энергией
е^тс2 и определенным импульсом), см. 15.21 и
15.26.
Как изменяется квантовое число спиральность при
зарядовом сопряжении (сравнить с 15.2)?
15.28. Показать, что для дираковской частицы
с массой m = 0 оператор (матрица) у$ коммутирует
с гамильтонианом свободной частицы.
191
Найти собственные значения указанного опера-
оператора и выяснить их физический смысл.
15.29. Показать, что операторы (матрицы) Р± =
= V2 (I ±Ys) являются проекционными.
Для дираковской частицы с массой т = О эти опе-
операторы коммутируют с гамильтонианом. На какие
состояния частицы и античастицы проектируют ука-
указанные операторы Р±?
15.30. Квантовомеханическое описание фотона мо-
может быть осуществлено с помощью двух векторов
Ш (г, t) и Ж (г, t), удовлетворяющих6) таким же
уравнениям, как уравнения Максвелла классической
электродинамики для свободного электромагнитного
поля <g (г, /), Ж (г, /) (т. е. для электромагнитных
волн в вакууме).
Показать, что эти уравнения можно представить
в виде, аналогичном уравнениям Дирака для двух-
компонентных спиноров (следует учесть, что масса
фотона т = 0, а его спнн s = 1).
15.31. Найти нерелятивистский предел (с точ-
точностью до членов порядка «1/е» включительно) вы-
выражений для плотности заряда и тока дираковской
частицы, находящейся во внешнем электромагнитном
поле.
15.32. Гамильтониан частицы со спином s = 1/2,
находящейся во внешнем электромагнитном поле,
имеет вид
Н = cap + mc2$ -f- ~ Z^vPYhYv,
где и — некоторый параметр, характеризующий час-
частицу, F^v — тензор электромагнитного поля.
Рассмотрев нерелятивистский предел (с точностью
до членов порядка «1/с» включительно) волнового
уравнения7) гЙ-^-Чг = ЯЧ/", выяснить физический
6) Подчеркнем, что Ш, 36, как и векторный потенциал А,
при этом являются комплексными величинами в отличие от ве-
вещественности соответствующих функций, используемых для опи-
описания классического электромагнитного поля.
7) Это уравнение можно записать в явно релятивистски ин-
инвариантном виде:
192
смысл параметра %, т. е. установить его связь с элек-
электромагнитными характеристиками частицы. Срав-
Сравнить со случаем заряженных дираковских частиц —
электрона и мюона, гамильтониан которых имеет вид
Я = са (р — -j- A) + тс2$ + еА0.
15.33. Найти энергетический спектр заряженной
дираковской частицы в однородном магнитном поле.
15.34. Найти в первом порядке теории возмуще-
возмущений дифференциальное сечение рассеяния дираков-
дираковской частицы в кулоновском поле ядра с зарядом Ze.
Ядро считать бесконечно тяжелым.
Указание. Воспользоваться .теорией возмущений
для переходов в непрерывном спектре под действием
стационарного возмущения; см. также 15.37.
15.35. Найти в первом.порядке теории возмущений
энергетическую зависимость сечения рассеяния а (г)
заряженной дираковской частицы во внешнем элек-
электростатическом поле Aq (г) при е-»-оо.
Сравнить с результатом 15.18.
15.36. Найти функции Грина G^fap (г, г') стацио-
стационарного уравнения Дирака для свободной частицы
при энергии е ^ тс2, удовлетворяющие уравнению
(Я — е) <5е = {—ihcav + mc2fi — е) <5е = б (г — г')
и имеющие при г->-оо асимптотики вида
Найти также функции Грина Jt уравнения Ди-
Дирака, записанного в симметричной форме:
(icp + тс2) ~Фе = 0, р = — ih vV + -j- Y4-
15.37. Найти в борновском приближении ампли-
амплитуду рассеяния дираковской частицы во внешнем по-
постоянном электромагнитном поле.
Применить полученный результат к случаю элек-
электростатического поля A0 = Ze/r и сравнить с 15.34.
7 В. М. Галицкий и др. 193
РЕШЕНИЯ
Глава 1
ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
1.1. Все операторы кроме R линейные.
Вид оператора ?+ следует из цепочки равенств
(х) ?аФ (х) dx s ? V (х)
" (х - а) Ф (х) dx&\ (Г+? (х))" Ф (х) dx
(интегрирование проводится в бесконечных пределах; при пре-
преобразованиях использована соответствующая замена переменной
интегрирования). Отсюда Т^ С*) =х^ (х — а) — f_aW (x), так
,то?+ = ?_а.
Аналогично находим: /+ = /, Atf = Afj^c, Pf2 = P\2,.
Так как оператор R нелинейный, та понятие оператора /?+
к нему неприменимо (такой оператор не существует).
Все приведенные операторы имеют обратные:
1.2. При доказательстве следует учесть соотношения
B+)+ = L и
1.3. Л = (? + ?+)/2, В = (Г —r+)/2j.
1.4. [Л, ВС] = ЛВС — ВСЛ=ЛВС — ВЛС + ВЛС — ВСА =
= [Л, В] С + В [Л, С]. Аналогично: [ЛВ, С] = Л [В, С] +[Л, С] В.
1.5. Нет, не могут. Взяв следы матриц в обеих частях ра-
равенства PQ—QP = — ihi и учтя, что Sp (PQ) = Sp (QP),
SpT = Ar (Af — ранг матрицы),, приходим к противоречию1).
') В случае N = <х> противоречия не возникает ввиду того,
что Sp (PQ) = оо.
194
1.6. Записав (Л— ХВ)~1 = ? Ьпдп, умножим обе части
л
равенства слева на (А — KB). Приравнивая в получающемся со-
соотношении члены при одинаковых степенях Я, находим
так что искомое разложение имеет вид
1.7. 1) Разложив экспоненту в ряд н учтя, что Р = 1, на-
находим ехр (га/) = cos а + i (sin а) /.
2) Представив оператор в виде ряда, яолучаем
ir?п) {х)=т (х
Последнее равенство в этих соотношениях определяет разложе-
разложение функции в ряд Тейлора. Таким образом, оператор
exp(ad/dx) является оператором сдвига.
3) Рассмотрим действие оператора
?ae E (W)(axdldx)n
п
на одночлен х*. Так как (xd/dx)xk = kx*, то (ахd/dx)"xk «
= (ak)nxk и соответственно Сахк = (е"х)*. Воспользовавшись
разложением функции Чг(х) в ряд Тейлора, получаем
La4> (X) = la J] 4r ** = Zlf (Л)* = Т (в"Х)>
к к
так что рассматриваемый оператор с точностью до множителя
л/с совпадает с оператором изменения масштаба Мс, введенным
в задаче 1.1; при этом с = е".
1.8. Перейдем к новой переменной у = у{х) согласно соот-
X
ношению у = \ g~l(x)dx. При этом T(g(x))= exp(d/dy), так
Ь
что рассматриваемый оператор является оператором сдвига на
Ау = 1 вдоль «оси» у (см. 1.7), и поэтому
Т (g (х)) ? (*) = ехр {dldy) V (х (у)) = V (х (у + 1)),
где х(у)—обратная функция по отношению к у{х).
7*
195
В частных случаях имеем:
а) У = (l/a)ln jc, так что х = ва» и х(у+1) = еах\ соот-
соответственно T(ax)W(x) = Ч?(вах) (сравнить с 1.7).
б) х = ауЧ3 и T(a3/3x2)W(x) = W ((х* + а3I'3).
1.9. Для доказательства следует разложить экспоненту в ряд
н после дифференцирования и взятия следа сравнить члены
с одинаковыми степенями Я. При этом, если операторы А н В
не коммутируют, взятие следа является необходимым для спра-
справедливости рассматриваемого соотношення.
1.10. Введем оператор ехр[Я(Л + В)] и запишем его в виде
ехр [Я (А + В)] = ехр (ХА) ехр (ХЪ) ехр (- iX2c/2) G (Я), A)
где G подлежит определению. Продифференцировав обе части
A) по X и воспользовавшись соотношением
ехр (ХА) В = (В + iXc) ехр (ХА)
(его легко установить, если разложить ехр (ЯЛ) в ряд и учесть,
что [А, В] = ic), находим dG/dX = 0, т. е. G от Я не зависит.
Положив к = 0 в A), получаем <3 == 1 и нз A) же при X = 1
вытекает утверждение задачи.
1.11. /.+ (!, !') = ?'(!',!).
Записав действие оператора Йс на функцию W(x) в виде
А}с? (х) = -y/cW (сх) = У<Г V в (с* —г х') ? (xr) dx',
находим его ядро Мс (х, хг) = л[сЪ (сх — х'). Аналогично полу-
получаем
/ (х, х') = б (х + ж'); Та (х, х') = 6 (х - х' + а);
X (х, хг) = хЬ (х - х')\ Р (х, х') = —lhdb(x — х')/дх.
1.12. а) Имея в виду, что ядро оператора С = АВ равно
С (х, х') = \ А (х, х") В (х", х') dx",
и учитывая вид ядра Х(х,х') — х6(х — х') оператора х, нз усло-
условия Сх — хЕ = 0 находим
(х' -х)Ь (х, х') = 0, так что L (х, х') = f (х) Ь (х - х'), A)
где f(x) —произвольная функция.
б) Аналогично, нз условия Ср—рС = 0 и вида ядра
Р (х, х') = — ih дб (х — х') /дх следует
(д/дх + д/дх') L (х, х') = 0, так что I (x, xr) = g (x - х'), B)
где g(x) —также произвольная функция.
196
в) Соотношения A) н B) одновременно могут иметь место
лишь при условии f(x) = Lo = const; при этом L(x,x') =
= L06(x— х'). Оператор с таким ядром имеет вид ?.ss Lo.
1.13. Нормировка в. ф. на единицу дает |С| = (яа2)-"<; при
этом dw(x) = yV{x)\4x. По формуле A.5) для средних на-
находим:
X ='Л
1.14. а) x2 = *i — а, рг — рй б) хг — хъ p~2 = Pi+Po, где
индексы 1, 2 соответствуют средним значениям в состояниях
с волновыми функциями Wu t(x).
1.15. LL+ =
1.16. Среднее значение дипольного момента системы
*(г,,.... rn) JvJfr,,.... дДЛ, A)
Сделав замену переменных та = — га, имеем
Так как по условию W (— п — rn) = /1F(ri, ..., гп), где
/ = ±1 — четность состояния, находим из A) н B) d = — d = 0.
1.17. Соотношение для оператора / вида A(f) = В (f), где
А(г) и В (г)—некоторые функции г, приводит к аналогичному
соотношению A(fi) =»В(/<) для его с. з. Поэтому у оператора f
могут быть только такие с. з.: a) /i, 2 = ±с; б) /i = 0, /2 = с;
в) /[ = 0, /2| з = ±с. Никаких других с. з. быть не может.
1.18. Уравнение для с.ф. и с. з. оператора / и его решение
имеют вид
-iaW'f(x) + №f(x)=r?f(x), A)
Vf {x) = С ехр {- I (Р* - f)*/2a(J} B)
(a = aft). Из B) следует, что с. з. / — произвольные веществен-
вещественные величины (при комплексных значениях / в. ф. B) возрастает
197
на больших расстояниях; а и ($ — вещественные параметры),
спектр — непрерывный н с. з. — невырожденные. С учетом Д1.1
условие нормировки
¦«(f-f)
приводит к значению С =Bяа)~1/2. Читателю предлагается по-
показать полноту системы с. ф. B).
1.19. Уравнение для с. ф. и с. з.:
имеет следующие решения. 1) Одна с. ф. % = С/(ж) отвечает
с з. /о = \ I f (х) |2 dx > 0. 2) Второе с. з. f i = 0 — бесконечно-
кратно вырожденное. Ему отвечают с. ф. ^(х), обладающие
свойством \ /* (х) Ч?( (х) dx = 0 (т. е„ как и должно быть, эти
функции ортогональны с. ф. 4V отвечающей другому с. з.). Ни-
Никаких других с. з. не существует.
1.20. С. ф. оператора R — это функции вида ?а = eiag (x)t
где g(x)—произвольная вещественная функция, а а — любое
вещественное число. Они соответствуют с. з. Аа = е~2'а.
1.21. Подействовав оператором G^(f—fi) (/ — /2) ¦•• (/ —
— f/i) на произвольную функцию 1У, получим 0W = 0. Действи-
Действительно, W можно представить в виде суперпозиции с. ф. ЧР« ,
образующих полную систему: ? = ? ck^fk' a U ~fk)r^fk "=0-
Итак, б sb 0; отсюда н следует утверждение задачи:
При А^ = 2 из A) имеем/ ={fi+h)f—№• Отсюда в слу-
случае оператора отражения, у которого с. з. равны ±1, получаем
/ = 1, как и следовало ожидать.
1.22. Имея в виду результат предыдущей задачи, можно
записать
? = F(f)~ ? cJn> F(fi)= X еЛ ' = »' 2 N (')
П n-0
198
(сравнить с 1.17). Второе из соотношений A) представляет си-
систему уравнений, позволяющую определить значения с.
В случае N = 2 легко находим е0, и а с ними и
В случае N » 3 для указанных в условии задачи с. з. с по-
помощью A) получаем
f |
1.23. Продифференцировав по Х обе части уравнения для
с.ф. и с.з.: 7(Я)?Я(<7Л)= и(Х)Чя(яЛ), получаем
" -Ж-? (Л) + f Ж Т (Х) A)
(ж) ?я <*> + * Ж Va
Умножим обе части A) слева на Ч^ и проинтегрируем по коор-
координатам д. Учитывая при этом равенство
[w'f —'
-It *. <«-%-'.$»". ж
вытекающее из эрмитовости f, получаем искомое соотношение.
1.24. Оператор F=*F(f) следует понимать как оператор, с. ф.
которого совпадают с с. ф. оператора /, а соответствующие с. з.
равны Ft = F(fi). Так как система собственных функций 4?f яв-
является полной (при этом существенна эрмнтовость оператора /),
то действие Р на произвольную функцию Т определено; дей-
действительно
FW = F ? с (/„) Wf (q) ^ ? с (fn)F (f„) Tf (v). («)
n n n n
Воспользовавшись здесь выражением A.4) для с({), находим,
что оператор Р представляет интегральный оператор с ядром2)
2) Система с. ф. ^* (^) предполагается ортонормнрованной.
199
Так'как (-^)~1/2V. *.'(?)/г^ А/1 & I'. то согласно B)
ядро этого оператора имеет вид
- Г')
(для вычисления интеграла удобно воспользоваться сферическими
координатами, выбрав полярную ось вдоль вектора г —г')-
1.25. Из операторного равенства АС— ?Я = О, примененного
к с.ф. *SL_ Оператора ? (Ц — с. з.), следует, что функция ШL
также является с.ф. ?, отвечающей тому же с. з. L. ("или
^ ' ч
AWL &* О). Если при этом с. з. L,- является невырожденным, то
AX?L. = AtVL , т. е. ЧР, является с.ф. и оператора А. Точно
так же она является и с. ф. В, т. е. ВЧ?,. ггВ.Ч'г Если бы все
с. з. Li были невырожденными, то во всех состояниях имело бы
место соотношение (АЪ — %A)WL == (AlBi—BiAiLL,==0, Но
такое равенство, справедливое для всех с. ф., образующих пол-
полную систему, означало бы АВ — ВА = 0, что противоречит усло-
условию задачи.
В качестве иллюстрации рассмотрим свободное одномерное
движение ^частицы.' Ее гамильтониан Я = р2/2т коммутирует
с операторами импульса р и отражения 7, не коммутирующими
друг с другом. Это обстоятельство объясняет двукратное вы-
вырождение уровней энергии.
¦ 1.26. а) Операторы различных компонент момента не ком-
коммутируют друг с другом, но в состоянии с моментом L = 0 все
компоненты момента одновременно имеют определенные значе-
значения L,-= 0. Еще один пример—см. 1.27. б) Операторы им-
импульса и кинетической энергии коммутируют друг с другом, ио,
например, функция W = С sin (pr/ft) является с.ф. лишь опера-
оператора кинетической энергии, но не импульса.
Эти примеры не противоречат, конечно, общим квантовоме-
ханическнм утверждениям об одновременной измеримости двух
физических величин, в том числе и соотношению неопределенно-
неопределенности, см. 1.30.
1.27. Имеем (АВ + BA)Wab = (ab + Ьа)Чаь = 2abWat = 0.
Таким образом, либо а, либо Ь равно нулю. Пример: 7? + ?Г=0;
при этом имеется только одна в. ф.: tP0 = C6(x), являющаяся
с. ф. операторов f н J одновременно, причем с. з. координаты
х0 = 0. Отметим, что антикоммутирующие операторы могут и
не иметь ни одной общей с.ф. (см. матрицы Паули, глава 5
«Спин»).
200
1.28. В классической механике рг = тг = рп, где а = г/г.
Квантовомеханнческим аналогом этого соотношений ' является
эрмитов оператор v ~ ¦•¦• ¦¦ ¦¦ •'
Рг — ~2 (Рп + " Р) = ПР + ~2f div n "== -у- -i- —^ f; ? -(v)
Решение уравнения на с. ф. и с.з. этого оператора ^меет
вид Vp (г) = (С (9, ф)/г) ехр (ip/lh), где С@, ф) —произволь-
—произвольная функция угловых переменных. При этом формально с. з. рг
могут принимать комплексные значения рг = р^ + 'ft с р% ^ О,
а с. ф., как легко убедиться, не являются ортогональными.
Установленные свойства с. з. н с. ф. оператора рг, исключаю-
исключающие их физическую интерпретацию, иллюстрируют деликатность
положения квантовой механики о сопоставлении физическим ве-
величинам (наблюдаемым — по терминологии Дирака) эрмитовых,
или самосопряженных, операторов. С физической точки, зрения
этот пример показывает, что не всякая физическая величина
классической механики имеет четкий квантовомеханичесдий ана-
аналог (так же, как не всякая квантовомеханическая величина —
например четность — имеет классический аналог). В математиче-
математическом плане он отражает различие понятий эрмитова и самосо-
самосопряженного операторов и свойств их с. з. и с. ф.-. оператор рг
эрмитов, но не самосопряженный, рм. следующую задачу.
1.29. Понятия эрмитова и самосопряженного операторов до-
довольно близки и связаны с существованием соотношений
2yyldz, A)
а различие проявляется лишь в.наличии ограничений на классы
функций 4V и Ч!г, Для которых они должны выполняться.
1) Если соотношение A) выполнено на некотором классе
функций Dr, то оператор jf называют эрмитовым (на ,этом классе
функций). Если этот класс функций .совпадает с область®, опре-
определения Df оператора f (вообще говоря, он уже), то такой эр-
эрмитов оператор называют самосопряженным. При этом, по опре~
делению, область Df включает все функции ^{fy, для которых
?{f}frfT<oo, - B')
jj | fVlfi fdx < oo, J V*fVm dx < oo, B")
где W — уже произвольная функция, удовлетворяющая лишь
условию, аналогичному /.B') (конечно, смысл могут иметь
и выражения fW для' функций, не входящих в t>f). С.з.
201
самосопряженного оператора вещественны, а с. ф. взаимно орто-
ортогональны н образуют полную систему8).
Так, в случае оператора —ihd/dx, действующего в простран-
пространстве функций, заданных на всей оси, имеем
X ^ ' dx
I . •
— 00
C)
При этом для функций ^Fi, 2, входящих в область определения
оператора, внеинтегральное слагаемое равно нулю, как это сле-
следует из условия B'), так что оператор является самосопряжен-
самосопряженным. Его с. з. рх вещественны, а с. ф. *РР {х) ортогональны и об-
образуют полную еистему.
Далее, эрмитовы, но не самосопряженные операторы де-
делятся на два различных класса: а) существенно самосопряжен-
самосопряженные операторы, допускающие самосопряженное расширение и
б) максимально эрмитовы операторы (не допускающие такого
расширения).
2) Если реализация оператора / как эрмитова с областью
определения /3, такова, что соотношение A) выполнено для лю-
любых функций Уг, 2 из Df н нарушается, если хотя бы одна нз
них таковой не является, то говорят о самосопряженном расши-
расширении эрмитова оператора, связанном е теми дополнительными
(типа граничных) условиями, которые отвечают данной реали-
реализации и ограничивают облаеть функций Df. Свойства с. з. и е. ф.,
удовлетворяющих указанным условиям, такие же, как и у са-
самосопряженных операторов.
Так, в случае оператора —ihd/dx, действующего в простран-
пространстве функций, заданных на конечном отрезке, имеем
ь
JL.
1 dx - ihV; (x)
ft
a
D)
3) При этом, однако, с. ф. уже могут быть и не нормируемы
на единицу, т. е. для них не требуется существования интегра-
интегралов B), а условие ортогональности формулируется с помощью
6-функцнн.
202
Внеинтегральное слагаемое, вообще говоря, отлично от нуля,
так что оператор не является самосопряженным, но он эрмитов
и допускает самосопряженное расширение. Например, он эрми-
эрмитов на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям
Чг(а)= ЧгF)= 0. Однако такие условия не реализуют самосо-
самосопряженного расширения. Действительно, для обращения внеин-
тегрального слагаемого в нуль при этом достаточно, чтобы лишь
одна из функций, Ч1^ илн Tj, удовлетворяла этому условию. При
таком выборе граничного условия у оператора —ihd/dx вообще
нет с. ф.
Другая реализация оператора как эрмитова связана с нало-
наложением граничного условия
(а) = (?, (а)/?, (Ь))* = const = ехр (<р), E)
где Р — вещественное число. Выбор такого граничного условия
определяет самосопряженное расширение оператора —ihd/dx
на отрезке. Прн этом с. з. и с. ф. оператора:
Хп = (р + 2яя) ЩЬ - а), Чп = (Ь - а)'112ехр (iknxlh),
я = 0, ± 1, ±2
причем с. ф. ортогональны и образуют полную систему.
Отметим, что к такому типу операторов принадлежит /* =
= —ift d/d<p — оператор проекции орбитального момента на
ось 2, прн этом а = 0, b = 2jt, P = 0.
3) Если у эрмитова оператора не существует самосопряжен-
самосопряженных расширений, то его называют максимально эрмитовым опе-
оператором.
Оператор —ihd/dx, действующий в пространстве функций,
заданных на полуоси, представляет пример такого оператора:
оо
4\(x)(-ih4\(x))dx =
(- IKVi (х))* ?, (х) dx + (Atp* (о) Y, @). F)
5
о
Единственная реализация его как эрмитова оператора связана
с наложением граничного условия Чг@)=. 0, причем для выпол-
выполнения соотношения A) этому условию в F) должна удовлетво-
удовлетворять лишь одна из функций Ti, & так что оператор является
максимально эрмитовым. С. ф., удовлетворяющих граничному
условию Чг@) = 0, у этого оператора не существует (если же
«забыть» о граничном условии, то с. з. оказываются комплекс-
комплексными, а с. ф. не ортогональными, как и в случае оператора рг,
203
рассмотренного в предыдущей задаче и также являющегося мак-
максимально эрмитовым оператором).
В заключение сделаем два замечания. Во-первых, классифи-
классификация данного эрмитова оператора f может быть просто уста-
установлена по его так называемым индексам дефекта (N+,N-), где
N± — числа независимых нормируемых на 1 решений уравнения
на с. ф. вида f*F = ±ifоЧ' (f0 вещественно, фиксировано и вве-
введено лишь для соблюдения размерности). Если N+ = N- = О,
то оператор самосопряженный; если N+ = N- = N Ф О, то опе-
оператор допускает самосопряженное расширение, реализуемое на-
наложением N дополнительных условий; если N+ =?t Л/_, то опе-
оператор максимально эрмитов. Читателю предлагается проиллю-
проиллюстрировать это положение на примере рассмотренного оператора
—гй d/dx.
Во-вторых, в задачах квантовой механики часто приходится
сталкиваться именно с самосопряженным расширением эрмито-
эрмитовых операторов. При этом выбор дополнительных условий обычно
диктуется физическими соображениями. В дополнение к отме-
отмеченному выше случаю оператора 1г укажем на самосопряженное
расширение оператора р2/2т на отрезке с использованием гра-
граничных условий4) W@) = Ч'(а) = 0, реализующееся в задаче
о частице в бесконечно глубокой потенциальной яме. Далее, ис-
используемое при решении уравнения Шрёдингера условие огра-
ограниченности в. ф. в нуле (т. е. при г = 0), даже в случае «хоро-
«хороших» потенциалов U(r), реализует фактически самосопряженное
расширение оператора Гамильтона. При этом более общее усло-
условие самосопряженного расширения вида
(r1P.(r)O('-1F (r))->a = const при г -> 0
с физической точки зрения соответствует включению дополни-
дополнительного взаимодействия в виде потенциала нулевого радиуса
(см. 4.10). В случае же сингулярных потенциалов притяжения,
когда в квантовой механике возникает «падение на центр» (см.
[1], § 35), указанные граничные условия уже не реализуют
самосопряженного расширения и должны быть модифицированы
(см. 9.14).
1.30. Рассмотрим интеграл / (а) = \ | (аЛ, — Ш,) Ч |2 dx > 0,
где Ai = Л — а, В\ = В — Ь; причем а, а, Ь — вещественные па-
параметры. Используя эрмнтовость операторов А\ н В\, соотноше-
4) При этом самосопряженное расширение определяется на-
наложением двух граничных условий: W@) =. 0 и Ч?(а) = 0 в со-
соответствии с тем, что индексы дефекта оператора р2/2т, задан-
заданного на отрезке, суть B,2) (приведенные условия реализуют
один to частных случаев самосопряженного расширения).
204
Вне [^i,Bi] = (С и считая в. ф. Ч^ нормированной на 1, интеграл
можно преобразовать к виду
= J ((
«Л, - <В,) У)* (аЯ, - /В,) V dx =
" (а2Я* - /а [Ау В,] + В2) ? dx =
A)
Положим а = Л, Ь = Б; прн этом условие неотрицательно-
неотрицательности квадратного трехчлена A) по а приводит к утверждению
задачи
(А — АJ ¦ (В — ВJ > (СJ/4. B)
Равенство в B) реализуется лишь прн условии (a.?i —
— iBtL? = 0. В частности, для операторов А = х, В = рх, С = Й
оно принимает вид W + {{х — xo)/d2 — ipo/ALr = 0 (вместо
a < 0, a, b введены более удобные их вещественные комбинации
х0, р0, d). Отсюда
Т = (nd2rI/4exp [ipox/A -(x- xo)*/2d2],
что определяет явный вид в. ф., минимизирующей соотношение
неопределенности для координаты и импульса (см. также 1.13).
При приложениях-формулы B) следует соблюдать осторож-
осторожность. Это видно уже из результата ее применения к случаю
операторов А = 1г = — id/dtp и В = ф = ф, для которых она
дает (Д/гJ • (ДфJ =& 1/4. что физически бессмысленно, так как
(АфJ во всяком случае не превышает л2, а (А/гJ может быть
равным нулю.
Дело в том, что прн выводе формулы A) были использо-
использованы соотношения
(AV)* (ЛУ) dx = [ чг*А2Ч dx, { (АЧ?)*-(ВЧГ) dx = [ W*ABW dx
и аналогичные им с взаимной перестановкой А и В. Обоснова-
Обоснование их состояло в ссылке на эрмитовость операторов. Однако
если иметь в виду результат предыдущей задачи, такая аргу-
аргументация обоснована лишь в случае самосопряженных операто-
операторов, а для операторов физических величин, представляющих са-
самосопряженное расширение эрмитова оператора (таковым яв-
является /2), требуется большее: необходимо, чтобы не только
в. ф. Ч*, но и функция BW входили в область определения опе-
оператора А как эрмитова (и аналогично ЛТ по отношению к В).
Если эти условия выполнены, то соотношение B) сохраняет свою
силу. В частности, в рассматриваемом случае операторов 1г и ф
205
для этого требуется, чтобы в. ф. состояния удовлетворяла усло-
условию 440)= WBn)= 0 (при этом W = фЧ'(ф) входит в область
эрмитовости 1г)', для таких состояний справедливо соотношение
(Д/г)* • (Дф)г > 1/4. Оно допускает обобщение и на случай про-
произвольных состояний:
(А/*)» • (Aq>)» > A - 2я | ? @)
которое читателю предлагается получить самостоятельно.
1.31. Записав произвольные функции V и Ф в виде Ч =
= Х ck^fk я ф= У1 bk^f (считаем, для простоты записи,
k * k к
спектр с. з. невырожденным), убеждаемся в эрмнтовостн опера-
оператора P(fi):
Ф*Р (f,) ? dx = с{ f <D*?ft dx = ctb\ =
p (ft) ФУ Vd
при преобразованиях учтена ортогональность с. ф. оператора f)
Из соотношений Р (ft) Y = Я (f() (c^f \ = c^f = Я (f,) *F
следует, что Р2 (^) = Р (^); таким образом, Р (/f) — проекцион-
проекционный оператор, проектирующий на состояние с определенным зна-
значением ft физической величины /. Далее, легко находим
(считаем в. ф. Ч? нормированной на 1), т. е. среднее Р (^) дает
вероятность значения fi величины f в рассматриваемом со-
состоянии.
Очевидно, что Я ({/}) = ? Р (f^). Так как Р (ft) Я (fk) —
а
— 6tkP(ft), то при этом Р2({/})= P({f}), как н следует.
Имея в виду, что операторы, входящие в полный набор,
взаимно коммутируют, нетрудно сообразить, что
L32. Па смыслу проекционного оператора Р(х0 ^ а) должно
быть РЧ'(х) — Ч'(х) для х > а и РЧ'(х) = 0 для х < а. Отсюда
Р(хо^ а)= ц{х — а), где 11B)—ступенчатая функция, равная
Ti = 1 при z>0 н t] = 0 при г < 0. Очевидно,
эрмитов оператор и Рг (х0 ^ а) = Р (хо > а).
206
1.33. Запишем произвольную функции? в виде суперпозиции
четной и нечетной составляющнх:
V (г) - (? (г) + ? (- г))/2 + (V <г) - V (-
Так как по смыслу операторов Р± должно быть "P±W
±4f(—r))/2, то они имеют вид P±—(l±I)f2. При этом
Р2± =¦= Р±, а также Р+ + ?_ = 1.
1.34. Оператор Р с ядром Р(х,х') = cf (*)/*(*'). где
е"» \ |f (x)fdx, является проекционным. Он проектирует на
состояние, описываемое в.ф. feW» f(x),
1.35. Пусть сначала N = 2. При этом из условия Р (f,) Vj2 = 0
следует, что Р (^) = а (f — f2). а из условия ? (f,) ?fi = 4fl
находим а = (f, ~f2)~1- Обобщение иа случай произвольного N
очевидно:
*(fi)-W{ft-fk)-l(i-f*>
ft-1
где штрих у символа произведения означает отсутствие сомно-
сомножителя с k = (.
1.36. Wu (г) = 6 (г - г0), ?ро (г) = BпА)-3/2 exp (ip0 г/Л),
ФГв (р) = BяА)~3/2 ехр (- «рГц/А), Фр, (р) = б (р - р0).
1.37. Ф (р) = V^VA С ехр (- t (р - р„) jtj/Л -аЦр- Р0)>/2И>).
1.38. Искомая вероятность
Z2 ?2 oo
Ш=5 S S \F{x,p)fz)fdxdplfdz,
г, Р, -я»
ГД«
F (х. ру, г) = BЯА)- J Т (*, у, z) exp (- i/
причем функция Ч? предполагается нормированной на 1.
1.39. 1) В координатном представлении Yj (х) = IW, (х) в*
se4'I(—д;). Умножим эти соотношения на ^(лг)""
=^Bnh)~^2 exp (— ipx/ti) и проинтегрируем по лг. В результате
получим
ф3 (р) = 7Ф, (р) »» BпА)-'/2 С ехр (- ipx/h) ?i {- дс) dx, A)
207
где <Dlj?(p) = л VpWTi.j (.*) d.x..— в.ф. д имдульсном' пред-
ставленнн. Замечая, что интеграя в A) равен Ф^—р), имеем
7Ф1(р)^ф[(—р), т. е. 7, в импульсном представлении также
является оператором отражения. .¦¦--'•¦
Аналогично находим и для других операторов:
, 2) ТЦФ (р.) = ехр (»ро/А>Ф@ Щ Щсф (p)^(l/i/7) Ф
4) ?ф(р) » Ф*(-р); 5) Р1аФ(р,, р2) - Ф(Р.2,
1.40. Так как pp-l = l, tb^d/dx){p-lyV.(x))
Интегрируя в пределах от —оо до х, находим явный вид опе-
оператора р-1 в координатном представлении:
fW(X)^T ) X?^dx'- (D
— оо
С другой стороны, интегрируя в пределах от х до оо, получаем
несколько иное соотношение:.'
1 ; I
1 m /y\ \ W lr'\ Иг' /2^
: x
Однако для функций, входящих в область определения опера-
оператора/?-1, оно совпадает с A)..; Такие функции должны удовлет-
оо
ворять соотношению \ W (x) dx = 0, обеспечивающему обраще-
— оо
ние в нуль функции fi^W- (*)• при- х-*- ±оо, как этого требует
условие 5) \ | /*Р |2 dx < оо для всех функций из области опре-
определения Dt оператора f (см. 1.29).
Заметим, что с. ф.. оператора-'Р"'являются, как и следовало
ожидать, с. ф. оператора импульса.
6) В импульсном представлении р ' ^ р и это условие
принимает вид д p~2\<S{p)\2dp<°°; отсюда Ф @) = 0, что
тождественно \ V (х) dx = 0.
208
Аналогично для оператора 2~1 в р-представленни получаем:
Ф (р) = — I ф (р') dp' = — \ Ф (р') dp';
р -оо
ОО
Ф(Р)^Р = О :¦¦•.• .,,м,:.; . :
)
(см. задачу 4.15, в которой это соотношение используется при
решении уравнения Шрёдингера в импульсном представлении
для частицы в кулоновском потенциале). " ' '
1.41. Приведем ответ:
L (р, р') = BяА)~3 J J ехр (i <p'r' - pr)/A) L (r, r')
L (r, r') = (to*) J J exp (»(pr - p'r')/A) L (p, p')
1.42. Оператор Gl = — имеет в координатном представле-
представлении ядро Gi(r,r')= r~l6(r — г'), а в импульсном представле-
представлении (см. 1.41) его ядро
G, (р, р') = Bяй)~3 J Г1 ехр (»(р' - р) г/й) dV =
. '. =[2я2А(р-Р'JГГ.
Для оператора G2 ^ -j- аналогично находим .,..¦;•..•
G2<r, r') = r-26(r-r') и О2(р,р') = [4яЙ2|р-р'ГГ1
(по поводу вычисления интегралов см. Д1.4). Читателю предла-
предлагается показать, что G2= GrGt (в импульсном представлении).
' 1.43. Обозначим 4% A7) и Ч?в (q) с. ф'. операторов А и 'В
п. п .
в некотором <7"пРеДставлении> a ^V(q)—в. ф. произбодьного со-
состояния. В. ф. этого состояния в А- н В-представлениях, а{Ап)
й Ь(Вп), определяются соотношениями
(*) = ? а (Ап) VAn(q), а {Ап) = J Т
(-7) = 2 Ь (Bm).VBm (q), b (Bm) =\VB
(для простоты ¦ записи ' мы ограничились случаем, когда спектры
операторов Я и В — дискретные и невырожденные).
зда
Взяв в качестве Y с.ф.Ч!в , находим согласие A) ее вид
в Л-представленнн
и аналогично получаем вид е. ф. Ч?А в В-представлеиии
Из выражений B) и C) вытекает ав (Лп)>^Ь*А (в*); как
иллюстрацию этого соотношения см. задачу 1.36. Из установ-
установленного результата следует равенство вероятностей wB (Л„) ¦=
-1 % iAn) f -1 Ьлп (вк) |2 = wAn iBk) (ег° приложения
см. в 3.14, 3.33).
1.44. Унитарными являются операторы 7, Та, &с, Рц.
1.45. Из О1 = О и 00+ = 0+0 = 1 следует 0=1.
1.46. \с\= 1, т. е. e==exp(ia), a — веществеииое число.
1.47. Иэ д=д1д2 следует 0+ = ?/+&+, откуда Ш+ =
= 0+?/= 1 (здесь учтена унитарность операторов Оь 2).
1.48. Из условий как унитарности, 00+ ш 1, так и эрмито-
вости, 0+ = О, оператора следует О2 = 1. Таким является опе-
оператор, имеющий с. з., равные только ±1 (сравнить с 1.17). При-
Примеры: операторы отражения 7 и перестановки Рц из 1.1; мат-
матрицы Паули (ем. гл. 5).
1.49. /Запишем U = (& + t/+)/2 + i (U - &+)/2i. Так как
VD+ = t/+&= 1, то [(& + 0+)> (f> - 0+)] = 0. Поэтому эрми-
эрмитовы даерато-ры D + 0+ и (D - &+)/f, а с ними и О, могут
быть одновременно нриведены к диагональному виду. При этом
с. э.^ы* йператора 0 удовлетворяют условию |ы*|«=«* 1.
1.50. Так как 0+= ехр (—(/'+)= exp(-ff), то 00+*=
в= 0+6-Jfe 1.- При этом с. з. и* оператора О связаны С с. з. fk
оператора F: щ = exp(if*).
в)Т= ехр.((Я (Г- 1)/2); б) fa = exp (iafl~lp):
в) J^, = exp {ih~l In с • {Ц + fi*)/2}. -v
Этл соотношения следуют из 1.7, см. также 1.57.
1.51. Ш Условий d+U=\ иА' = 0%0+ следует
_ Sp A' = Sp (?Ш+) = Sp (Л0+&) = Sp A
21Q г '-
Аналогично
det Я = det (UAU+) = det (W+D) - det X.
1.52. Унитарным преобразованием эрмитова матрица может
быть приведена к диагональному виду. В новом представлении,
в котором (ехр А)пт = (ехр Л„) блт, приведенное в условии со-
соотношение очевидно, а в силу инвариантности шпура и детер-
детерминанта матрицы относительно унитарных преобразований оно
справедливо и в произвольном представлении.
1.53. С одной стороны, det (UU+) = det 1 = 1. В то же время
det (UU+) = det U • det U+ и det U+ = det U* = (det ?/)*. Таким
образом, | det U |2 = 1, т. e. det U = exp (la), где а — веществен-
вещественное число (этот же результат следует нз свойства с. з. и*, см.
1.50). Если ввести матрицу О' = ехр(—ia/NH, где N — ее ранг,
то для нее det О' = 1.
Для оператора О=ехр((/?) согласно 1.52 имеем соотноше-
соотношение det О = ехр ((' Sp F).
1.54. Всего имеется N2 независимых матриц ранга N. Оче-
Очевидно, столько же имеется независимых эрмитовых матриц.
Число независимых унитарных матриц также равно N2, так как
между ними и эрмитовыми матрицами имеется соответствие:
?7 = ехр(^), см. 1.50. Чтобы унитарная матрица была уиимо-
дулярной, необходимо, чтобы Sp F = 0, см. 1.53, так что число
независимых унимодулярных матриц, как и число эрмитовых
матриц F' = Р — N~l SpF • 1 с равным нулю следом, равно
ЛР-1.
1.55.
i Ik
~co+Ttciu2iu++'?lcikd2l\u++ ... =0. (i)
< Ik
Учитывая, что О+О= 1, произвольный член суммы в выраже-
выражении A) можно записать в виде
так что A) принимает вид
со + ? °Л + g °tkWk + ¦ ¦ ¦ = F {Щ - 0.
что по форме совпадает с исходным соотношением и доказывает
его инвариантность при унитарном преобразовании операторов.
211
1.56. Операторы х' = ОЛО+ и р' = ОрО+ имеют вид:
а) х'='—х, /5' = —/9;
б) it' = * + а, р' = /5;
в) х' = с*, /5' = с~'/5.
Приведенные соотношения наиболее просто получить, если
воспользоваться координатным представлением. Так для
U = fa имеем &+ = ?+*=?_„, см. 1.1, и
ГУ (х) = UxU+yV (х) = ?а*Г „„Т (ж) = Та (х? (л: - а)) =
= (х + а) W (х) = (х + а) V (*),
Отсюда Л' = Л + а. Далее
E'Т (х) = [/ (- 1Й d/Эх) ?/+Т (х) = - ihfa (д/дх) Т_а^ (х) =
= - iftfa E/5х) V (х - а) = - »А (<3/<3x) W (х)
так что р' = /5. Аналогично выводятся остальные соотношения.
1.57. В соотношении D(ai + a2)= 0@2H@;) положим ai = a
и a2=da->-0. Учитывая, что O(da)= \-\-idaP, находим
dU—U(a + da) — U (a) = iFU (a)da.
Отсюда, с учетом условия 0@) = 1, следует 0(а) = exp(ta/J)
(то обстоятельство, что в данной задаче не возникает осложне-
осложнений при решении дифференциального уравнения для операторов,
связано с их коммутативностью).
При бесконечно малом сдвиге имеем
fdaV (х) = V (х + da) « A + da (д/дх)) У (х),
так что Ф = д/дх и Та = ехр (а (д/дх)).
В случае оператора Мс введем сначала с = еа и запишем
Д?с = Л}(а). Зависимость 1Й(а) от а удовлетворяет условиям
рассматриваемой задачи. При этом
М (da) "V (х) = ехр (da/2) V (edax) «
« A + da/2 + da • x (д/дх)) ? (x)
так .что iP ~ 1/2 +x (д/дх) и Мс = ехр{—Лп c(x-i(d/dx) +
+ i(d/dx)x)/2} (сравнить полученные результаты с 1.7).
Г л а в а 2
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
2.1. Уровни энергии и нормированные на единицу с. ф. га-
гамильтониана частицы имеют вид
ЕпШа*
.::¦ .V . . . 0 <х <а,
где: Л == 0,1, Л .- (Ч' = 0 при х < 0 и х > 0).
212
Искомые средние в л-м состоянии:
р = О, 0W = Й2я2 (я + 1J/а2.
Нормируя приведенную в условии задачи в. ф., что дает
А = V30/a5, найдем коэффициенты С„ в разложении ее по с. ф.
Ч'л согласно A.4):
а
г /0" 1 / ч ¦ я(п+ 1)х .
С„ = д / —- \ х (х — a) sin—5—!—'— dx =
о
_ V240 1 + (— 1)"
~ я3 (я+1K '
Они определяют вероятность нахождения частицы в л-м кванто-
квантовом состоянии и соответственно вероятность значения Епэнергии:
w(En) = |С„|2; в частности, ш(?0) «0,999. Наконец, по формуле
(I. 5) для средних получаем Е = 5h2/ma2ai 1,013?0.
В связи с данной задачей см. также 8.23.
2.2. В этой задаче U = kx2/2 — eSax (—е&ах — потенциаль-
потенциальная энергия заряженной частицы в однородном электрическом
поле <§Г0)., У. Ш. заменой переменной г = х — e&0/k сводится
к у. Ш для обычного линейного осциллятора, что позволяет
найти спектр и с. ф. гамильтониана:
Еп = Лео (я + 1/2) - e2&l/2k, со = -у/Щ, я = 0, 1, ...,
см. A1.2). Установленный вид собственных функций гамильто-
гамильтониана частицы показывает, что как и в классическом случае, дей-
действие однородного поля на осциллятор сводится лишь к смеще-
смещению его положения равновесия. Поляризуемости всех стацио-
стационарных состояний осциллятора одинаковы и равны р0 = е2/та>2.
2.3. Покажем, что Я(а)<0 при достаточно малых значе-
значениях а. Так как Ео ^ Е, где Ео — энергия основного уровня, то
тем самым будет доказано утверждение задачи. Находим:
F = р2/2т = Л2а2/2т со a2, a U « a [ U (x) dx со а при- a -»- 0, так
что при этом Е(а) »О < 0.
2.4. Обозначим Еп(к) и ^„(х, к) уровни д. с. и с. ф. гамиль-
гамильтониана Й(к)— р*/2т + U(x) + X8U(x). Согласно формуле A.6)
имеем
dEn (l)/dl = С 6t/ (х) | Ф„ (х, X) [2 dx > 0...
213
Отсюда вытекает утверждение задачи, так как Еп = Еп(Х = 0),
а ?„ = ?„(*,= 1).
2.5. Уровни энергии в симметричном потенциале U(x) имеют
определенную четвость, равную (—1)". При этом для нечетных
состояний прн х > 0 у. Ш. и условия ?@)= ?(<») = о точно
такие же, как в в потенциале О. Соответственно спектр ?* совпа-
совпадает со спектром нечетных уровней в потенциале U, а нормиро-
нормированные с. ф. различаются лишь множителем:
й=0, 1, ...;
здесь учтено, что четные и нечетные уровни чередуются, а са-
самый нижний — четный (см. рис. 29).
2.6. —?-Ч%(х) + [U(x) + ao(* - jg] Тд(х)-
Из у. Ш. A) вытекают непрерывность в. ф. Ч^х) в точке
и разрывный характер ее производной. Величина скачка
A)
fffx)
Ц
А
/^fr Z
-Е, -
C/(?J
О
I
1
/
Л/
г
Рис. 29
должна быть такой, чтобы 6-функционное слагаемое в WE (про-
(производная разрывной функции пропорциональна б-функции) ком-
компенсировало член а6(х — хо)Чгв(хо) в левой части A). Проинте-
Проинтегрировав A) по узкой области хо — е ^ х ^ дг0 ¦+• е и устремляя
в к 0, находим
0) ~ Ч'е (Ч - 0) = Bma/A2) WE (x0).
B)
2.7. Решение ') у. Ш с [/= — аи (х) имеет вид хР = Ае~кх
при * > 0 в Т == Ве*х прн * < 0; здесь х = (-2/п?/Й*I/2 > 0.
') Экспоненциально растущие при дс-»-±оо слагаемые в ре-
решении у. Ш. опущены.
214
Используй соотвошеввя B) предыдущей задача (е учетом за-
замены в инх а иа —а), находим А = В и уравнение для спектра:
х«=то/Л Из него следует, что прв а < 0 F — барьер) свя-
связанных состояний нет, а при а > О (Ь — яма) имеется, прячем
только одно состояние д. с. с Ее = —та*/2Аг; при этом нор-
нормированная в. ф.
?„ (*) = V%e~K>' * К где х„ = то/И».
Искомые средние
В. ф. основного состояния в импульсном представлении
a> (n\ — —1— \ w /»-^ —tpjc/л . v - » м\
4>o \p) /-—— \ *oK*)e ax .— . „ .o o\ ^1^
сравнить с 2.17.
2.8. У. Ш. заменой переменной г = Р (х — E/Fo) с р =
= (imFa/h1I/3 приводится к виду ^"(z)— гЧ'(г) = 0. Его реше-
решением2), убывающим при z (и jc)-»-+oo, является функция Эйри
Ai(z). Соответственно ?(*)= с к\($(х — E/Fo)), при этом гра-
граничное условие *?(())= cAi(—pE/Fo)!=O определяет энергетяче-
ский спектр. Обозначив —а*, где й=1,2 последователь-
последовательность нулей функции Эйри (они отрицательны) в порядке воз-
возрастания а*, находим уровни энергии
01/?(W и-0, 1,... A)
В частности, учтя зианеине си»2,338, получаем для основного
уровня Ео « 1,856 (A2fg/mK/3.
2.9. У. Ш. сводится к гипергеометрическому уравнению
zw" + A + 2ха - z) w' + {- tea ~ 1/2 + 6р72) w = 0. A)
Так как V со е"ях со z"a убывает при х-*¦ +оо (г-*¦ 0), то ре-
решение уравнения A) следует эыбрать в виде
w (г) = cF (на + 1/2 - &Р/2, 1 + 2ха, г). B)
Условие убывания Ч?(х) при х-*-—то (г-»-+<») требует, чтобы
функции F(a, p, z) в B) сводилась к полиному, что определяет
а) См. [34,35].
спектр:
a =.««a + J/2 - &Э/2 = - n, ; n = 0, l, ..., [b$/2 - 1/2],
или .......
При этом условие . V«62a2C/o/2ft2 = (У — 1/2) определяет зна-
значения параметров потенциала, соответствующие появлению но-
нового, iV-ro по счету уровня д. с. при углублении потенциаль-
потенциальной ямы.
. 2.10. Состояния д. с. могут быть лишь при U\ > U2/2 (иначе
потенциал не имеет минимума), причем для значений Е <
< min@,Ui — U2). У.Ш. принимает вид: (х\ •2='2mUli %/$,
Если параметры вир выбрать равными
• в = - 1/2
то A) приводится к, гипергеометрическому уравнение
z(l — z)a>" + [2fi+1 —Bц —2е+1)г]а»'— •
— [ц2 + х\а2 — 2ец — е — x2a2] w = 0 B)
с параметрами . ... . . ......
a = ц — е + ха, р = ц — е — иа, y =т= 1 + 2(л.
Так ш ?(i;) при л^— оо (z-»-0) имеет вид Ч?
то решение уравнения B) следует выбрать в , виде ад =
= cF(a, p, \, г). Соответственно
p.Y.z). r • ' C)
Отсюда при 2 (и x)->--f-oo имеем
7~?z ir№>T(Ya) ( ?; ^ - ¦ : '
216
f ак как г, е+|1 ^ = е** .возрастает при х-*-+оэ, то необхо-
необходимо потребовать-3) выполнения условия а = —п, п— целое,
которое фактически определяет энергетический спектр
У=Т^ + Vt/, -U2-En ¦¦
v
¦¦TJ, ft = 0,1, ... (Б)
Анализ спектра предлагается для самостоятельного исследовав
ния. Отметим в заключение, что при U\ = U2 = Uo рассмотрен-
рассмотренный потенциал переходит в U = — U0/D ch?(x/2a)); см. [1,
с. 98]. .
2.11. Стационарные состояния имеют определенную четность.
В. ф. четных уровней при 0<|л:|^а имеют вид 4'+ =
= A sin(k(\x\ — а)) (учтено граничное условие Чг(а) = 0), где
к = л/2тЕ1Н2 > 0. Условия сшивания в. ф в точке х = 0 (см.
формулы B) из 2.6) приводят к соотношению, определяющему
спектр четных уровней
— tgfta = fta/|, ! = maa/ft2. (Л)
При g » 1 для нижних уровней (таких, что ka <§; \) в пра-
правой части A) стоит малая величина. Поэтому кпа = пп — е, где
8 < 1, а л =1,2, ... — порядковый номер корня (и четного
уровня); согласно A) находим е»ля/|, так что
(индекс (+) указывает на четность уровня).
Для нечетных уровней в. ф. имеет вид W~ = В sin kx и усло-
условие Ч'-(а) = 0 определяет их спектр:
Е~ = Л2л2п2/2та2, п=1, 2, ...
(в нечетных состояниях частица не чувствует наличия 6-потен-
циала).
Сравнение Е% и Е~ подтверждает указанный в условии за-
задачи характер нижней части спектра.
Спектр четных уровней в области энергий ka ~> | легко
иайти из A), положив kna = (п—1/2)я + е, е <?С 1:
?+ да Й2я2 Bft - lJ/8ma2 + а/2. B)
3) При этом Г(а) = оо и второе слагаемое в D), возра-
возрастающее при х -*¦ +оо, обращается в нуль; условие у — р = —п
не может реализоваться.
217
влагаемое соответствует спектру четных уровней
в бесконечно глубокой яме ширины 2а, второе — смещению их
тияидшйствнем потенциала а6(х).
Заметим, что в случае о > 0 в каждой паре близких уров-
уровней нижним является четный, прн этом
ЬЕп -?--?+« BА2/"шв) ?* > 0. C)
В случае а < 0 ситуация иная: теперь четный уровень является
уже верхним. Однако в этом случае в нижней части спектра
в дополнение к опнсаииой картине пар близко расположенных
уровней появляется еще один четный уровень с энергией Eq~ я»
» — А2*о/2т н в. ф. Y<J" « ^/>T0 exp (— xQ | x |), где х0 =
= m | a |/A2. Этот уровень соответствует частице, «связываемой»
6-ямой, U = —|а|6(дг), сравнить с 2.7 (при этом наличие ие-
проинцаемых потенциальных стенок прн х = =fca приводит к не-
некоторому смещению такого «б-ямного» уровня вверх, найти его
предлагается читателю самостоятельно).
2.12. Решение у. Ш имеет вид V — A sin k(x + а) при —а <;
sj х < 0 и V = В sin k(x — b) при 0 < х < b, где к — -т/2тЕ/Н*
и учтены граничные условия W(—a)=4rF)=0. Сшивание ре-
решений прн х = 0 (см. формулы A, 2) нз 2.6) приводит к соотно-
соотношениям
A sin ка ¦« — В sin кЬ, В cos kb — A cos fca = -??¦ A sin ka,
из которых следует уравнение для спектра энергетических уров-
уровней частицы:
sin * (а + Ъ) = — B/na/ftA2) sin fee • sin fe& A)
(при b = а оно переходит в формулу A) из 2.11).
Отметим некоторые свойства спектра.
1) В области значений Е, для которых ma/W < 1, правая
часть A) мала и поэтому kn(a + b) «я(п.+ 1), как и при «сво-
бодном> движении частицы в яме шириной (а + Ь) (читателю
предлагается уточнить результат, найдя сдвиги таких уровней
под влиянием 6-потенциала, сравнить с формулой B) из 2.11).
2) В противоположном случае, когда ma/feft2 Э> 1, произве-
произведение синусов в A) мало, так что либо kni« n (ft, + l)/a, либо
кПг « п (n2 + \)jb. При этом спектр представляет наложение
спектров, соответствующих независимому движению частицы в
ямах шириной а и b F-потенциал выступает как малопроницае-
малопроницаемая «перегородка»).
218
2.13. При достаточно быстром4) убывании U(x) у.Ш. и его
решение при дс->-±оо принимают вид: V = О, W = А± + В±х,
т. е. решение является, вообще говоря, возрастающим. При про-
произвольных значениях параметров потенциала ие существует ре-
решения у. Ш., которое не возрастало бы как при *-»-+оо, так
и при х -*¦ —оо (точно так же, как не существует убывающего
одновременно прн *->-±оо решения у. Ш. при произвольном
?<0). Такие решения существуют только при избранных зна-
значениях параметров потенциала, отвечающих условиям появления
новых (по счету) состояний д. с. при углублении потенциаль-
потенциальной ямы.
Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим самый верхний уро-
уровень Еп д. с. Его в. ф. ^п °° ехр (—х | х |) прн дс-*±оо, где
х = *Jim. \ Еп |/Й2. При уменьшении глубины ямы все уровни
смещаются вверх и при некоторых значениях параметров поля
самый верхний из них принимает значение Еп = 0, при этом
его в. ф. Ч'я = const при *-»-±оо, а число нулей в. ф. равно
числу имеющихся состояний д. с. с Е < 0. В качестве иллюстра-
иллюстрации рассмотрим свободную частицу. У. Ш. имеет ограниченное
решение ^?е=о ¦= const, у которого отсутствуют нули. В соответ-
соответствии с вышесказанным сколь угодно мелкая яма уже связы-
связывает частицу (сравнить с 2.3) и возникающее состояние д. с.
является первым по счету.
а) Найдем сначала условие появления нового по счету со-
состояния д. с. при углублении ямы. Не возрастающее при *-»-±оо
решение у. Ш. с Е = 0 имеет вид: V = А при х < 0; *Р =
= В cos(y* + б) прн 0 < х < а (область ямы), у = */%1пЩ[Щ
V = С при х > а. Непрерывность в. ф. и ее производной в точ-
точках 0 и а дают: А = В; 6 = 0; уа = пп, где я — целое; С =
= (—\)пВ. Эта в.ф. имеет п нулей (аргумент косинуса изме-
изменяется от 0 до пп), так что условие уа = пп является условием
появления («+1)-го уровня. Отсюда следует, что число суще-
существующих в яме состояний д. с. iVc определяется условием
уа/п < iVc. < уа/п + 1.
б) При 0 < maa/ft* < 1 — одно связанное состояние, прн
maa/ft2 > 1 — два.
*) Требуется, чтобы потенциал убывал быстрее, чем оо \/хг.
В случае потенциала притяжения со степенным убыванием, U «
да —a/xs при х -*¦ во, с s ^ 2, решение у. Ш. для Е = 0 имеет
совершенво иную асимптотику, сравнить с 9.9 и 9.14. Физиче-
Физическая причина отмеченного различия состоит в том, что при мед-
медленном убывании потенциала притяжения число существующих
в нем состояний д. с. бесконечно велико за счет сгущения уров-
уровней при Еп -+-0.
219
2.14. а), я ' V2mf/0aVA2 - 1/2
б) единственное связанное состояние появляется при
/now/ft2 > 1/2.
2.15. Состояниям д. с. отвечают Е < С/2. Условие появления
новых (или первого) состояний д. с. прн углублении ямы можно
получить из условия существования не возрастающего при х-*-
-»-±оо решения у. Ш. с Е = U2 (сравнить с 2.13). Оно имеет
вид
tg ^2mU2a2/h2 = У?/,/[/2 - 1,
причем порядковый номер N уровня определяется условием
(N — 3/2) я < -^2mU2a2/h2 < (N — 1/2) п.
Соответственно условие существования связанных состояний5)
— U2)/U2.
В частности, прн Ut = оо требуется, чтобы С/2 ^ лгЬ2/8та2;
при C/i = С/2 хотя бы одно состояние д. с. существует всегда.
2.16. Среднее значение силы, действующей со стороны час-
частицы на правую яму, дается интегралом
(dU/dx) W2n (x) dx.
о
Выполнив интегрирование по частям н воспользовавшись у. Ш.,
получаем
Для четных состояний имеем Ч?„ @) = 0 и так как Еп < 0,
то (fnP)n/.<0; для нечетных уровней ?п@)=0 и (F^)nn > 0,
что и доказывает утверждение задачи6).
2.17. В импульсном представлении Т = p2/2m = pi1/2m яв-
является оператором умножения, a U является интегральным опе-
оператором с ядром U(p, p'), равным (см. 1.41)
и (р, р') -1/ (р - р'). 5 (р) = -2~тг $ ^ <*) ехР i-tpx/Wx. A)
5) Подчеркнем, что для состояний д. с. Еп ^ С/j; при этом
уровни Еп повышаются как при увеличении Uu так и при умень-
уменьшении а, см. 2.4.
?) Отметим, что сила, действующая на левую яму, отли-
отличается от A) знаком.
220
Таким образом, у. Ш в импульсном представлении имеет вид
со
ЯФ (р) ш, JJL Ф (р) + J 0 (р - р') Ф (р') dp' = ?Ф (р). B)
— оо
В случае С/ = —а6(*) имеем О = —а/2яЛ и уравнение B)
принимает вид
,С= \ <b{p)dp. C)
Отсюда (Е = — | Е | < 0)
Условие согласованности второго нз выражений C) и D) дает
2\Е\ ' К0)
— оо '
что представляет уравнение для спектра. Оно имеет (при а > 0)
только одно решение ?0 = —ma2/2ft2. Этому уровню отвечает
в. ф. D), которая прн С = у2пта/А нормирована на единицу,
сравнить с 2.7.
2.18. В данной задаче 0 (р) = - a {eipalH + e~ 'ра/А)/2яЙ
и у. Ш. принимает вид (см. предыдущую задачу)
?- Ф (р) - ¦— (е""ЧНС+ + е-1?а'нС_) = ЕФ (р), A)
где
оо
С±= J е*1?" Ф (р) dp. B)
— оо
Отсюда, обозначив и2 = —2mE/h2, a = та/Л2, находим
ф (р) = Jl (e'*/*c+ + e-'"a/ftc_) (р2 + aV)~1. C)
Подставив C) в B) и вычислив интегралы (см. Д1.3), получаем
C+=A(C+ + e-2«ac_)i С_ = -2-(е-2*аС++С_). D)
Условием существования нетривиального решения этой системы
является выполнение одного из двух соотношений
*=йA±е-2П E)
которые и определяют энергетический спектр-."
221
Первое нз уравнений E), отвечающее выбору знака (+),
имеет один корень (при а>0). При его реализации из D) сле-
следует С+ = С-, т. е. соответствующий уровень является четным
(см. C)). Энергия этого уровня при аа < 1 равна е? »
2/2
«— 2та /А (две 6-ямы иа близком расстоянии действуют как
одна, но с удвоенным значением а, сравнить с 2.7). При аа » 1
имеем
(в этом случае экспоненциальное слагаемое в E) мало, и пре-
пренебрегая им, получаем и^ « а; подставив это значение в пока-
показатель экспоненты, приходим к более точному выражению для
Xq, поторопи ^использовано при вычислении ?q").
Второе из уравнений E) определяет нечетные уровни. Един-
Единственный нечетный уровень имеется лишь при а а > 1/2, срав-
сравнить с 2.13. Его энергия в момент появления (т. е. при 0 <
< а а— 1/2 < 1) равна
?f » Bйа - IJ Й2/2/па2,
а при а а > 1 находим
При а -*¦ оо оба уровня, четный и нечетный, сливаются в одни
уровень, существующий в одной изолированной 6-яме.
2.19. Ядро оператора О в импульсном представлении
A)
(сепарабельная, или факторизованная форма ядра оператора
взаимодействия сохраняется, естественно, в любом представле-
представлении) ну. Ш, см. 2.17, принимает вид
j Ф (р) - \g (p) J g* („') Ф (р') dp' - ?Ф (р). B)
Отсюда
р^? g(p)) C= S f(P)*(P)dp. О)
222
Условие согласованности этих выражений приводят к соотно-
соотношению
определяющему энергетический спектр связанных состояний час-
частицы.
Рассмотрим следствия этого соотношения.
1. При Е < 0 интеграл в D) является монотонной положи-
положительной функцией |?|, равной нулю при |?|=оо. Соответ-
Соответственно в случае X < 0 уравнение не имеет корней (связанные
состояния отсутствуют). Если X. > 0, то имеются две возмож-
возможности:
a) g(Q)?'O, так что интеграл в D) при Е-+-0 равен +°°-
В этом случае всегда имеется только одно связанное состояние.
В пределе Х-»-0 также и Е0-+0; при этом в интеграле в D)
существенна область малых р, так что можно вынести за знак
интеграла ||f@)|2 и получить
)|4, Х->0. E)
В другом предельном случае, А,-»-оо, также и —?0-»-оо, при
этом
\e(p)?dP. F)
Заметим, что |?о(А.)| является монотонно возрастающей функ-
функцией параметра X.
оо
6)g@) = 0, причем \ | g |2 р~2 dp = А. В этом случае
— оо
при к>BтА)-* также имеется одно связанное состояние, а
при X <BтА)~1 нх нет.
2. При Е > 0 в случае сепарабельного потенциала может
иметь место необычная ситуация, если g(Po)=O для некоторого
Ра Ф 0, причем
В этом случае прн X = Хо = BтВ) ~1 имеется связанное состоя-
состояние частицы с энергией Ео = p\J2m > 0. Этот дискретный уро-
уровень находится непосредственно на фоне непрерывного спектра.
223
pmtG'E при х < х'
имеет вид G? = А \х') ехр [х (х — х')] + В (xr) exp {— х (л — х')],
х = V—2тЕ/Л2 > 0- Условие убывания G^ при х -*¦ —оо тре-
требует выбора В (х'у— 0.' Аналогично при х > х' имеем Gb =
= С(х')ехр(—х(х — х')). В точке х = х' функция Ge непре-
непрерывна, а производная G? имеет скачок, равный (сравнить с 2.6)
G'E (х = х' + 0, х') -G'E(x = x'- 0, х') = -2т/Н2.
С учетом этих условий находим
°я(*. *') =-^ ехр (-х |х - х'|). A)
С помощью функции Грина общее решение уравнения
~-^V"(x)-EW(x) = f(x) B)
для Е <С 0 можно записать в виде
оо
? (х) = Лв-** + Векх + ^ GE (х, х') / (х') dx'. C)
— оо
Если в B) положим / = —U(x)V(x), то приходим к у. Ш.,
а его формальное решение C) при этом является уравнением
Шрёдннгера в интегральной форме. Так как для физических
приложений обычно представляют интерес решения у. Ш., не
возрастающие при *->±оо, и так как при этом интегральное
слагаемое в C) убывает, то в C) следует положить А = В = 0,
так что у. Ш. в интегральной форме принимает вид
= - Ш \ ехР (—х | х — it' |) ?/ (х') WE (xr) dx'.
D)
Оио эквивалентно дифференциальному у. Ш. с учетом граничных
условий — убывания ~V(x) прн х-»-±оо, н имеет решение лишь
при значениях Е < 0, принадлежащих энергетическому спектру.
Для U = —аб(х) уравнение D) принимает вид
непосредственно определяющий в. ф. и энергию Ео = —та2/2Н2
единственного уровня д. с. в б-потенцнале.
Отметим, что функцию Грина можно рассматривать как ли-
линейный оператор бе, ядро которого в координатном представ-
224
лении имеет вид Ge(x, х'). При этом из уравнения для GE{x,х'}
следуе т
(Н - Е) бЕ = Т, Н = р*/2т. E)
Это операторное уравнение справедливо в произвольном пред-
представлении. Его формальное решение имеет вид бв=(Й — ?)-'.
В импульсном представлении Ge = (p*ftm — E)~l является опе-
оператором умножения. Используя результат задачи 1.41, находим
его ядро в координатном представлении
> x >
(p2l2m + | E |
что совпадает с A), значение интеграла—см. Д1.3.
2.21. У. Ш. в интегральной форме в случае сепарабельного
потенциала принимает внд
„, , v XtTl \ , . / I v ( / /\ М / /УМ» / //v # / « // лч
Обозначив
С = \ /* (х) ?? (х) dx, B)
— оо
мз A) сразу находим внд в. ф.
-ooj.
При этом условие согласованности выражений B) и C)
оо -
)ехр(—*\x~x'
определяет спектр. Отсюда в предельных случаях следует:
а) Прн Х->0 также и х->0; можно заменить экспоненту
в D) единицей и получить для едниствениого уровня д. с.
(Х>0)
б) Прн А-*оо также и х-»-оо. В интеграле D) при этом
существенна область переменных х'дах. Положив f(x')»f(x)
н вычислив получающийся интеграл по х', находим
?0« -Л J I f (х) I2 dx. F>
8 В. М. Галицкий и др. 225
Для более полного анализа D) удобно преобразовать это
выражение, воспользовавшись формулой Д1.3. Возникающее со-
соотношение воспроизводит формулу D) из задачи 2.19, к кото-
которой мы и отсылаем читателя.
2.22. Рассмотрим V0(x)—в. ф. основного состояния с ?о<О
(\Еп\ г?(?о[). Эта функция не имеет нулей при конечных х
и То (х) > 0 (этому условию можно удовлетворить соответ-
соответствующим выбором фазового множителя). Функция 4V*) удов-
удовлетворяет интегральному уравнению — уравнению D) задачи
2.20. Возьмем в этом уравнении х = х0, где х0 — точка макси-
максимума ~V0(x):
^o (*o) = —^2- \ t'¦ ' ° ' I U (x') I To (x') rfx'. A)
ХоЛ J
— oo
Замечаем, что подынтегральная функция здесь — неотрицатель-
неотрицательная и замена ехр(—хо|*о — х'|IРо(х') на То^о) может только
увеличить правую часть. После сокращения на То^о) получаем
Отсюда и следует
Приближенно равенство B) имеет место для «мелких» потен-
потенциальных ям, в связи с данной задачей см. также 2.23.
2.23. Воспользуемся интегральной формой у. Ш. — уравне-
уравнением D) задачи 2.20. Умножим обе части уравнения на U(x)
и проинтегрируем в бесконечных пределах. В получающихся ин-
интегралах существенную роль играют х, х' ~ а, н так как ха <С 1,
то можно разложить экспоненту, ограничиваясь первыми двумя
членами. Таким образом получаем
\ U (х) ? (х) dx » —^ \\A-к|* — *'1)Х
X U (x)U (х') ? (х') dx dx'
Отсюда, с рассматриваемой точностью,
-S \ \ | х-х' \U(x)U (x') T (х') dx dx'
J I/ (х) Т (x)
dx
В поправочном члене (второе слагаемое в скобках) можно пре-
пренебречь изменением в. ф. в области интегрирования, заменив ее
226
иа ^@), и получить уточненное значение х (а тем самым и
энергии Ео = —Л2х2/2т):
y^x-x'\U(x)U(x')dxdx' A)
(поправка всегда отрицательна в согласии с предыдущей за-
задачей) .
2.24. Функцию Грнна можно получить нз решения уравне-
уравнения как в 2.20. Однако, имея в виду результат этой задачи, на
основании соображений, аналогичных используемым при решении
электростатических задач методом изображений, ответ можно
иаписать сразу:
GE (х, х') = JjL- [ехр (-х | х - х' |) - ехр (-% \ х + х' |)]. A)
У. Ш. в интегральной форме, автоматически учитывающее
граничные условия Ч^О) = Ч^оо) = 0, записывается в виде
(сравнить с 2.20)
W (х) = - С GE (x, x') U (х') W (х') dx'.
B)
2.25. Идея доказательства точно такая же, как н в 2.22.
Укажем оценку экспоненциальных слагаемых в у. Ш. (см. пре-
предыдущую задачу), входящих в функцию Грнна. Так как |х+х'| —
— \х — х'\ ^ 2х' (напомним, что х, х' ~?z 0), то
0 < ехр (—х \х — х' |) — ехр (—х | х + х' \) =
= ехр (-х \х - х' |) [ 1 - ехр ( - % \х + х' \ + х | х - х' \)] <
< ехр (—х | х — х' \) [1 — ехр (—2х*')] < 2хх'.
Теперь утверждение задачи представляется очевидным.
Для прямоугольной потенциальной ямы необходимое усло-
условие существования состояний д. с. принимает вид UotncP/h2 5= 1,
а точное условие: иатаг/Нг ~&z n2/8 « 1,24. Для 6-ямы необхо-
необходимое услове 2maa/h2 ^_ 1 совпадает с точным.
2.26. Уравнение для Ge(x, х') и его решение имеют вид
- (Й2/2т) (d2/dx2) GE (x, x') - EGE (x, x') = б (х - х'),
А (х') sin хх,
В (х') sin x (x — а), х' < х
Здесь учтены граничные условия: Ge = 0 при х = 0 н х = а.
Условия сшивания Ge(x, х') в точке х = х', совершенно анало-
аналогичные отмеченным в задаче 2.20, позволяют найтн А я В
8* 227
и окончательное выражение для функции Грнна:
GE(x, х') = —2/л sin [х (х + х - *' — * |)/2] X
sin[
xft2 sin xa
Отсюда видно, что Gb является аналитической функцией Е
(х = ¦у2тЕ/Л1), имеющей следующие особые точки:
а) точка Е = оо — существенно особая точка;
б) точки ?„ = Й2х^/2т, где х„а = («+!) я, « = 0, 1
являющиеся полюсами Ge\ прн этом положения полюсов совпа-
совпадают с уровнями частицы в яме (точка Е = 0 является устра-
устранимой особой точкой).
2.27. а) Ответом на вопрос является результат задачи 2.22:
самый глубокий уровень — в б-яме U = —а8(х — х0).
б) Максимальное число уровней д. с. в условиях задачи
равно бесконечности за счет их возможного сгущения прн Е-^-0,
которое имеет место для потенциалов, убывающих прн *->±оо
как U ж — a \x\~v с a > 0 и 0 < v < 2 (см. [1], § 18). Прн
1 < v < 2 такие потенциалы удовлетворяют условиям задачи.
2.28. ЧЕ (х) = А (Е) sin (л/2тЕ/Н2 х) (учтено, что 4^@) =
= 0). Для нормировки этих функций на Ь(Е — Е') следует вы-
выбрать А (Е) = Bт/я2Й2?I/4. Условие полноты этой системы
функций
легко установить, если воспользоваться соотношением Д1.1.
2.29. Решение у. Ш., описывающее отражение н прохождение
частиц с Е > Uo, падающих на стенку слева, имеет вид
elkx + A (k) e~lkx, x < 0 (k = л/ШЩ? > 0),
В (k) elk'x, х > 0 (fe' = V2/n (E - f/0)/A2 > 0)
Из непрерывности *?? и Чг^+' в точке х=0 следует
1+А = В, k(\-A) = k'B; =%
Таким образом (R = \A\2,D = k'\B \2/к):
R (Е) = I
228
Как и следует, R(E) + D (?) = 1, при этом
а) R (Е) да C/g/16-Б2 -> 0 при ? -> со;
б) ?> (?) да 4 V(? — #о)/^о °° -y/E — U0-+ 0 при ? -> ?/0.
2.30. В. ф. имеет вид 4+=eikK + Л (ft) e~iAjc при КОи
4% = B(k)eikx при х>0 (здесь ft = У2т?/Й2 > о, падающие
частицы движутся слева направо). Сшивание Yj и Ч'У*' в точ-
точке х — 0 (см. соотношения B) из 2.6) дает
1 + А = В, /ft (В — 1 + Л) = 2таВ/Н2;
та
А(к)=-
В (ft) =
A)
iM2 -ma' v ' гйй2 - та
Коэффициенты отражения R(E) = \A\2 н прохождения D(E) =
= \В\2 удовлетворяют, как и следует, соотношению R + D = 1.
При этом
а) Я (?) да та2/2ЕЛ2 -> 0 при ? -> оо;
б) D (?) да 2Eh2lma2 оо ? -> 0 при ? -> 0.
Так как ft = ¦\2mE/hi, то из A) следует, что Л (?) и В(?)
являются аналитическими функциями ?, имеющими особые точки:
а) точки ? = 0 и Е = оо — корневые точки ветвления; б) по-
полюс в точке ?о, определяемой условием iy2mE0 = ma/h.
Из-за наличия точек ветвления функции Л (?) и В(?) яв-
являются многолистными (в данном случае—двухлистными). Для
однозначного определения их проведем в плоскости комплексной
Е-0
Рис. 30
переменной Е разрез вдоль вещественной полуоси ? > 0, см.
рис. 30, а. Так как на физическом листе фаза точек, непосред-
непосредственно примыкающих к верхнему берегу разреза (точки типа 1
на рисунке), равна нулю и при этом ft = л/2т?/Й2 > 0, то
в этих точках значения аналитических функций Л(?) и В(?)
совпадают со значениями физических амплитуд Л(?) и В(?).
Далее, фаза точек ? на отрицательной полуоси ? < 0 физиче-
физического листа равна я и для них -V'Е = i | V'Е I- Соответственно
полюс ?0 амплитуд при а < 0 (б-яма) находится на физиче-
физическом листе, а значение ?0 совпадает с энергией единственного
229
уровня д. с. в яме. В случае барьера, а > 0, связанные состоя-
состояния отсутствуют, а полюс амплитуд при этом находится на не-
фнзнческом листе (фаза ?0 равна Зя). Такие полюса отвечают,
как принято говорить, виртуальным уровням.
2.31. Приведем выражения для коэффициента прохождения
j
АЕ (Е - Щ) + t/osin2 д/2« (Е - Uo) a2/A2 '
D(E)=<
AE (Uo — E) + Ul sh2 /y/2m (I/o — ?) a2/ft2
Первое из них при ?/0 < 0 описывает D (Е) в случае потен-
потенциальной ямы, прн этом |{/о| —ее глубина.
Отметим, что ?>(?)->•1 прн ?->оо (естественный физиче-
физический результат). С другой стороны, D (Е) от Е -> 0 прн Е -*¦ 0.
Такое свойство ?>(?)—общий квантовомеханнческий результат
(см. задачу 2.39). Однако для потенциальной ямы в исключи-
исключительных Случаях, когда
¦\lirn | U0 \ a*/h2 =пп, п — целое,
указанная зависимость нарушается (при этом D(E)-*-\ при
?->-0). Выделенность этих случаев определяется тем обстоя-
обстоятельством, что при таких значениях параметров ямы в ней по-
появляются новые состояния д. с. при ее углублении (см. 2.13).
2.32. Значения Е, прн которых частицы не отражаются от
барьера, являются корнями уравнения
tg ka = - kh2/am; k = ^2~mEJW > 0.
Укажем, что прн решении у. Ш. в асимптотике (II. 4) в.ф.
следует опустить член, соответствующий отраженным частицам,
т. е. сразу положить А = 0, и в точках х = 0 и х = а восполь-
воспользоваться условиями сшивания, установленными в задаче 2.6.
2.33. Рассмотрим для определенности случай, когда ?/(*)-»-0
прн хчг — оо и U (x)->Uo прн х -> + °°- Обозначим Чг_ (х) н Ф+ (х)
в. ф. стационарных состояний с одинаковой энергией, но с про-
противоположными направлениями движения падающих частиц в об-
область действия потенциала. Они имеют следующие асимптотики:
eikx + A(k)e'ikx,
+ ~ ' В (k) eiklX, x-> + oo (ft, = V2m (E - U0)/h2),
~B(k)e~ikx л-»— оо, A)
и удовлетворяют у. Ш. - (h2/2m) Ч"± + U (х) ?± = EW±.
230
Умножая уравнение для 1Р+ слева на W-, а уравнение для
'V- на lF+ и вычитая их почленно, находим после простых пре-
преобразований
?_ (х) Ч'+ (х) - ?+ (х) Ч'_ (х) = const- B)
Вычислив левую часть B) при *->±оо с помощью асимпто-
асимптотик A) и приравняв результаты, получаем kB = k\B. Отсюда
и следует
D+ (Е) = (кг/k) | В |* = (ft/A,) | В |* = D_ (?).
2.34. Удобно исходить из интегральной формы у. Ш. (см.
2.42), имеющей для сепарабельного потенциала вид (k=\p\/h)
ЧГ+ (Х) = elpxlh + -gj- \{ е*'Л [х -х''/ (*') Г (*") ^+ (*") ^' ^".
Отсюда
?+ (х) = exp (ipjc/A) + (tmA,C (р)/йЛ2) ?fe (л), A)
где
^ ^1к^'х'Ч (x')dx'. B)
g (P) = ^ f U) exp (-ipx/h) dx.
Соотношения A), B) и (З) полностью определяют в. ф. Пе-
Переходя к ее асимптотикам при х-*-±°о, находим амплитуды
прошедшей В(р) и отраженной А (р) воли:
B(p)=\ + (ilmlkh2)C(p)g(p), D(p) = \B(p)\\-:
А (р) = (ibm/kh*) С (р) g (-р), R(p) = \A (p) |2
При этом условие согласованности выражений A) и B) дает
С (р) = g* (p) [l - (IKm/kh*) J J Г (х) / [x') elk *x~x'ldx d*'] ,
C)
(эти формулы справедливы как при р > 0, так и при р < 0).
Произведем некоторые преобразования в полученных резуль-
результатах D). Прежде всего, воспользовавшись формулой (Д1.3)
и соотношением (Д1.2):
(-L означает интеграл в смысле главного значения, е > 0 беско-
бесконечно мало), преобразуем C) к виду
С (р) = g* (p) [С, (p)/2ph - iC2 (p)/2kh2r '.
231
где
После этого из D) получаем
C2(p)+X2m2(\g(p)f-\g(-p)\2J
D (р) ¦
*%2m2\g(p)g(-p)\*
Отсюда непосредственно следует:
1) ?>(/>) + #(„)= 1,
2) ?>(р)=О(—р), т. е. коэффициент прохождения для час-
частиц, движущихся слева и справа, одинаков,
3) при ?->-оо имеем R(E) « ('Kmjhp)i\g(p)g(—р) |2-> О,
4) при Е-+0 также и ?(?)->-О (сравнить с 2.39).
2.35. В. ф. при *<0 имеет вид Ч^ =eikx + A {k) e ~ikx
(падающие частицы движутся слева направо, k = ¦^2mE/h2 > 0).
При х > 0 заменой переменной
z = | (х/а - 1 + E/Uo), где g = Bma2Ua/h2)ll\
у. Ш. приводится к уравнению ^+' +2:^^=0. Решение его,
имеющее при х->- + оо вид уходящей направо волны, следует
выбрать в виде
?+ = C(?)[Bi(-z)+tAi(-z)]
где Ai(z) н Bi(z) — функции Эйри. Из условий непрерывности
в. ф. н ее производной в точке х = 0 находим Л и С. Прн этом
С (Е) = 2 [BI (-*„) + / Ai ( - z0) + / (Б/*а) (ВГ (-z0) +
+ /АГ(-2о))Г1- A)
где 2„ =
Вычислив плотность потока частиц, j =
— ?4^'), прн х-*-+°°: /прош = ЛЦС^/ята, и учтя, что для
падающих частиц /пад = hk/m, находим коэффициент прохож-
прохождения
D = /прош//пад = Б I С (?) |2/яйа. B)
232
Формулы A) и B) решают задачу. Отметим частные случаи.
1) Е < Uo, причем g(l —E/Uo}> 1 (и g > 1)
C)
(при этом следует воспользоваться асимптотикой наиболее су-
существенного в A) слагаемого t (g/fea) Bi'(—zd), см. [34]).
2) E > tf0, причем g (?/?/„ — 1) > 1 (прн этом &a > g),
?>(?)«
3) При ?->0
4 Vf (E - ?/„) /(V^" + У? - t/0J. D)
Г ШJ + (Ai' (g)J]} <
2.36. В. ф. имеет вид
w+ = ( [Bi B,) - i Ai B,)] + a (?) [Bi B,) + i Ai (z,)l, x < 0,
t b (E) [Bi (-22) + i Ai (-22)], ж > 0,
где zi, 2 = g (* + E/Fo), g = BmF0/h2)l/\ Она записана в та-
таком виде, где каждое слагаемое в квадратных скобках на боль-
больших расстояниях описывает распространяющуюся в соответ-
соответствующем направлении волну; при этом а(Е) и Ь(Е) являются
амплитудами отраженной и прошедшей волн, так что R =
= |a(?)|2, D =\Ь(Е)\2 (сравнить с предыдущей задачей). Усло-
Условия непрерывности W+ и W(+)' позволяют найти а(Е) и Ь(Е).
В частности,
&(?) = - / {я (Bi (п) + « Ai (t|)) (Bi' (n) + / Ai' (n))} -1,
где 11 = —|?/Fo (при этом учтено значение вронскиана
W{M(z), ЕЦг)} = 1/я).
Используя асимптотики функций Эйри [34], нетрудно полу-
получить следующие выражения для D = \Ь(Е) |2:
1) при Е< 0, когда l\E\/F0 > 1,
4Bm|?|3/^2I/2}, A)
2) при Е > 0, когда \E/F0 > 1,
D (Е) « 1 — F%ti2/32mE3, B)
3) D(? = 0) = 3/4, R(E = 0) = 1/4.
2.37. В. ф. при х->-±оо имеет вид
(х) » [
~\ B(k) еШх, х -> +
при этом коэффициент прохождения D(E) = (k\/k) \B(k) |2. При
Е-»- ?/о имеем fei-»-0, В (k\)^>-В @) Ф О и соответственно D(E)ca
0, сравнить с 2.29.
2.38. Вне области действия потенциала в. ф. имеет вид
eikX + Ak(k)e~ikX' x<~a' 0)
В (ft) elkx, x>a.
В области же |x|s?a из у. Ш. W" = BmU(x)/h2 — Pj'V в усло-
условиях задачи следует, что приближенно *?? лг Cj + C2x (действи-
(действительно, так как W" ~ Т/а2, то у. Ш. в первом приближении для
слабого поля при ka < 1 принимает вид Чг" = 0). Сшивание
этого решения с A) дает С2«;0 и С1«5»М+/4- Отсюда
следует, что выражения A), дающие Ч1^ « const при \х\ < а,
приближенно справедливы при всех значениях х. Учитывая это
обстоятельство, проинтегрируем у. Ш. по х в пределах от —Ь
до Ь, где b > а. Так как при этом
W" (x) dx = ikBeikb - ike~ikb + ikAeikb,
~ь
b oo
-ь
dx я
к В
ь
0
rfx4
-6
0
- J
[ U (x) dx « В [и (х) dx,
Ь -oo
+ Ae~ikx) dx =
-b
= i/ST1 {A + В - 1 - (A + B) eikb + e~ikb},
то такое интегрирование приводит к соотношению
B-l)=-2maB/h2, a=[u(x)dx.
Отсюда, с учетом условия 1 + А = В, следует
А ж —ima (h2k + ima)~\ В ж h2k (h2k + /ma).
Полученный результат весьма нагляден, так как он озна-
означает, что в условиях задачи отражение частиц происходит так
же, как и в случае б-потенциала О = аб(х) с а = \ U (x) dx
(см. 2.30).
2.39. В выражениях для асимптотик в. ф.: tPjJ" a< etkx +
+ A(k) e~ikx (при х<0, |x|»a), ?j = В (k) eikx (при x»a),
234
перейдем к пределу
+ =( l+A(k) + ikx(l-A(k)), х<0, \х\>а,
k I B(k)(l + ikx), х>а. ( '
Рассмотрим теперь решение у. Ш. для Е = О, удовлетворяю-
удовлетворяющее граничному условию vF?=o(+°°) = 1. При x-s—оо это ре-
решение имеет вид We=o = bx + d, где постоянные b, d опреде-
определяются конкретным видом потенциала. Сравнивая A) с приве-
приведенными выражениями для We=o, находим ik(\—А) «65, 1 +
+ Л « dB. Отсюда А ж — 1, В Ki2ik/b, так что7) при ?->-0
D(E) = \B |2 « 8mE/b2h2 со ?. B)
Полученный результат теряет силу при b = 0. В этом ис-
исключительном случае у. Ш. для Е = 0 имеет решение, которое
не возрастает как при х-э-+°°, так и х—>—оо. Такая ситуация
может иметь место только в том случае, когда при малейшем
углублении потенциала в нем возникает новое по счету состоя-
состояние дискретного спектра (см. 2.13).
Для потенциала из задачи 2.31 имеем: Чг?=0 = 1 при х > а;
^?=0 = ch (I (х - а)) ПРИ 0<х<а(здесь ? = ^
уРц=0 = ch t,a — (| sh |а) х при х < 0, так что Ь = — \ sh ?a и
D (Е) я* DE/Ug) sh~ ?а при ?->0, что совпадает с результатом
точного решения (для перехода к потенциальной яме следует
под Uo > 0 понимать ее глубину и заменить sh ?a на sin?a).
2.40. У. Ш. для ? = 0 принимает вид
ш" (г) + l2w (г) = о, где 1 = Vl + 2ma2U0/h2.
Теперь не представляет труда найти в. ф. We=o(x), удовлетво-
удовлетворяющую граничному условию Чгя=о(+°°)= 1:
arctg x/a)). A)
Так как fe^o**—^xsin(n|)/|a при х-< оо, то согласно пре-
предыдущей задаче находим для медленных частиц D(?)«
«8m(|aJ?//j2sin2 л%. Это выражение неприменимо при л\ =
= nN (M — целое), или
2ma2U0/h2 = N2-\. B)
Условие B) определяет значения параметров потенциальной
ямы, соответствующих появлению нового, Af-го по счету уровня
д. с, при ее углублении.
7) Формула B), как и асимптотики A) в. ф., справедлива
в случае потенциалов, убывающих при х ->- ± оо быстрее, чем
1/М3
235
Отметим, что для перехода от ямы к барьеру в полученном
выражении для D(E) следует под —Uo понимать его высоту
и заменить |2sin-2Jt| на —g2sh-2Ji||| при |2 < 0.
2.41. У. Ш. в импульсном представлении и его решение, нор-
нормированное на б-функцию от энергии, имеют вид
(р'/2"») ФЕ 0») ~ '*f оф? (Р) = ЕФЕ (Р).
Ф? (р) = BnhF0yl!2 exp [- ip3/6mflF0 + iEp/ttF0].
Значения Е, для которых соответствующая в. ф. в коорди-
координатном представлении удовлетворяет условию Чгн(х = 0)=0,
или
оо
1 Г
Ч'р (х = 0) = —, \ Ф„ (р) dp =
В л/2яА J Е
— оо
= С \ cos (Ep/hF0 — p3/6mhF0) dp = 0,
епределяют энергетический спектр для потенциала из задачи 2.8
(совпадение результатов при этом следует из интегрального
представления для функции Эйри; отметим, что для таких свя-
связанных состояний Фе(р) уже не является в. ф. в импульсном
представлении, сравнить с 4.15).
2.42. Имея в виду результат задачи 2.20, в которой была
найдена функция Грина GE(x,x') при Е < 0, замечаем, что ис-
искомые функции Gf при Е > 0 могут быть получены непосред-
непосредственно из выражения A) указанной задачи, если в нем по-
положить
¦х = V-2m?/A2 = + Ik, k = л/imElh2 > 0,
т. е.
G^(x, x')=±-^exp(±ik\x-x'\). A)
Отметим, что функции Грина G^ при ? > 0 и Gt при Е < 0
можно рассматривать как различные граничные значения единой
аналитической функции комплексной переменной Е
4
236
Точка Е = 0 для нее является точкой ветвления. Проведя раз-
разрез вдоль вещественной полуоси плоскости Е от Е = 0 направо,
как на рис. 306, замечаем, что на верхнем берегу разреза на
физическом листе (см. по этому поводу задачу 2.30) функция ОЕ
совпадает с G+, на нижнем берегу разреза — с Gg, а иа полу-
полуоси вещественных отрицательных значений — с Ge из задачи 2.20.
Отметим также, что на физическом листе |G?|->-0 при |?| -»¦ оо
вдоль любого направления.
Функции Грина G* (р, р') в импульсном представлении
имеют вид
Gf (р, р') = 6 (р - р')/(р2/2т - Е ч= us) B)
(сравнить с 2.20), здесь е >0 — бесконечно малая величина.
Дифференциальное у. Ш. с граничными условиями вида
(И. 4), соответствующими процессу прохождения и отражения
частиц с импульсом р через потенциал, эквивалентно интеграль-
интегральному уравнению
тр+ (Х) = в'Р*/* _ Г G + (х, х') U (xr) Y+ (*') dx' C)
(сравнить со случаем состояний д. с, рассмотренным в 2.20).
Первое слагаемое в правой части C) описывает падающие час-
частицы, а интегральный член на больших расстояниях х—>-±°о
описывает как отраженные частицы, так и изменение в. ф. про-
прошедших частиц под действием потенциала (чтобы убедиться в
этом, следует рассмотреть асимптотику второго слагаемого при
х->-±°о и учесть, что fe = |p|/A).
Для потенциала ?7 = а6(х) уравнение C) принимает вид
хр + (х\ _ в'Р*/* чпа ^ik | х | ур+ /q\ /^\
Отсюда находим \F+ @) (а тем самым и ?+ (х)):
следующие из D), E) значения D и R совпадают, естественно,
с полученными ранее в задаче 2.30.
2.43. Рассмотрим интеграл / (х, х') = \ Ч?+* (*') *+ (х) dp,
— оо
считая в. ф. W+ (х) нормированными на 6(р — /?'). Они лишь
множителем Bяй)~1/2 отличаются от в. ф. D), найденных
237
в предыдущей задаче. Учитывая это, запишем интеграл в виде:
1 f Г ip (х — х')
2яЙ J L Л
оо
_ !а [
2я )
_
\k\+ia
— ОО
t*p[t(kx-\kx'\)] ехр [-/ (| kx'\ - | kx |
где a = ma/h2. Первый интеграл в A) равен б(х — х'), во
втором же проделаем следующие преобразования. Замечая, что
он является четной функцией х и х', заменим их на \х\ и \х'\;
разобьем область интегрирования на две: (—оо, 0) и @, оо), и
после простых алгебраических преобразований приводим его
к виду
_ /й Г
2я j
¦ dk. B)
Так как й>0 (S-барьер), то, замыкая контур интегрирования
в B) в верхнюю полуплоскость, находим, что этот интеграл ра-
равен нулю. Таким образом, 1(х, х')—8(х — х'), что и выражает
условие полноты системы функций ^Fl" (x).
2.44. Сделав в формулах предыдущей задачи замену а на
—а, имеем (а = ma/h2 > 0):
.11 [
2я 3
. *ч у ехр (tfe ([ л: | + 1 х' |))
°~ * k — m
Учитывая значение интеграла в правой части8) и вид нормиро-
нормированной в. ф. Wo(x) единственного состояния д. с. в 6-яме (см.
2.7), замечаем, что второе слагаемое справа в A) равно
-й ехр (-Й (| х | + | х' |)) = -V*o (х') Wo (x).
8) Интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием
контура интегрирования в верхнюю полуплоскость.
238
Таким образом приходим к соотношению
оо
W"o (*') Wo (х) + J ?<,+>* (*') V+ (х) dp = 6 (х- x'),
— со
выражающему полноту системы с. ф. гамильтониана в случае
б-ямы.
2.45. Искомые функции Грина удовлетворяют уравнению
и соответствующим граничным условиям. Используя общий ме-
метод их построения (см., например, [15, с. 136]) и учитывая, что
в поле отталкивания отсутствуют состояния д. с, имеем
(Y > 0 бесконечно мало). Здесь \F+ (x) — нормированные на
б(р — р') в. ф., описывающие процесс отражения. Подставляя
их явное выражение (они без множителя BяА)~1/2 приведены
в 2.42), получаем
иЕ ух, х ) -j
_?
z
fe
ima f dfe ( exp (-i (kx' - \ kx \))
яй2 _2 fe2 - (ft2 ±iy)\ [k\ + id.
exp (i (kx -\kx'\)) exp (-/ ( | kx' \ - \ kx \))
\k\-ia Л 2(|ft|-/a)
exp (-/ (\kx'\-\kx\))
где 5 = ma/h2, k\ = 2mElf?. Первый интеграл здесь представ-
представляет функцию Грина свободной частицы (см. Д1.3 и 2.42)
GE, ев = ±' ^т/2П2Е ехр (± I ^2шЕ1п2 \ х - х' |) D)
(отметим, что ± -\/Е~ = у Е ± iy и для перехода от значений
Е > 0, для которых и приведено это выражение, к Е < 0 сле-
следует просто заменить ± / уЕ на — V(—
Второй интеграл в C) (фактически сумму четырех интегра-
интегралов) можно упростить, если заметив, что он является четной
239
функцией х и х', заменить их на \х\, \х'\ и затем разбить об-
область интегрирования на две: (—°°,0) и @,°о). При этом про-
происходит взаимное сокращение большинства слагаемых, так что
весь второй интеграл в C) приводится к виду
оо
ima [ exp (ik (\ х \ + \к'\)) dk
Его легко вычислить с помощью вычетов замыканием контура
интегрирования в верхнюю полуплоскость. При этом внутри кон-
контура имеется лишь один полюс в точке k — ±?0 + 'Y (ПРИ ?<0
полюс в точке k=i\ko\) и выражение E) оказывается равным
та ехр(± iko(\ x\ +\ х'\))
^ h2k0 ±ko + ia
Окончательное выражение для функций Грина имеет вид
{/ехр(±г'
та exp (± I ^imEjh2 ([ х \ + | х'\)) 1
'\)) 1
) '
Точно так же, как и в случае свободной частицы, найден-
найденные функции Грина можно рассматривать как граничные значе-
значения единой функции Qe, рассматриваемой как функция комп-
комплексной переменной Е и получаемой из F) опусканием знаковых
индексов (±) (сравнить с 2.42). Отличие аналитических свойств
Qe в данной задаче от случая свободной частицы состоит в на-
наличии у нее полюса в точке уЕ0 = — га ут/2Л2, т. е. Ео =
= —ma2/2h2, причем так как а > 0, этот полюс находится на
нефизическом листе и отвечает виртуальному уровню (сравнить
с результатом следующей задачи).
2.46. Из уравнения для функции Грина частицы в б-потеи-
циаде и граничных условий следует, что полученное в предыду-
предыдущей задаче выражение F) справедливо при любом знаке а, т. е.
как для барьера, так и ямы. При этом в случае потенциала при-
притяжения полюс GE находится уже на физическом листе и Ео
совпадает со значением энергии уровня, существующего в б-яме.
Отметим, что если иметь в виду формулу B) предыдущей
задачи, то переход от барьера к яме состоит не только в за-
замене а на —а, но и в добавлении к правой части слагаемого
^PJ (х') Ч'о (x)/(? — Ео), отвечающего связанному состоянию. Од-
Однако теперь при вычислении интеграла E) с а < 0 внутри кон-
контура появляется еще один полюс: в точке k\ = l\a\. Вклад
240
от этого полюса компенсирует указанное дополнительное сла-
слагаемое, что и обеспечивает справедливость формулы F) при лю-
любом знаке а.
2.47. Уравнение для функции Грина в импульсном пред-
представлении
ш
p"'рГ) dp"= б (р -рГ)-
— оо
Здесь учтен вид оператора О (см. задачу 2.17) и введены до-
добавки dtziy к энергии, обеспечивающие выполнение требуемых
граничных условий (сравнить с 2.45). Обозначив
С| (Р') = (а/2яй) J G? (р", р') dp", B)
получаем из A)
Gf = [б (р - р') - С± (р')] (р2/2/и - (Е ± /у)). C)
Проинтегрировав это выражение по р в бесконечных пределах
и учтя B), находим явный вид функции Cjj (//), а с нею и
функцию Грина частицы:
_+ . б (о — р')
<?| (Р, Р') = рг/2т-Е=Р1у ~
== ал/ыШ D)
2яй {^2mh2E ± ima) (р2/2т — ? =F /у) (р'2/2т — Е 4= iy)
Отметим, что Gjj (p, р') можно было бы найти и по функ-
функции Of1 (я, а:') из 2.45 переходом к импульсному представле-
представлению согласно 1.41.
2.48. Так как операторы
а *LJ?_ , i?l & ___^1 a2 i кУ2
l~ 2m dx2 + 2 ' 2~ 2m <Э^2 + 2
коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осцил-
осциллятора, равным Й = Й\ + Й2> то с. ф. Й могут быть выбраны
также собственными функциями Й\ и Й2- Учитывая это обстоя-
обстоятельство и известное решение у. Ш. для линейного осциллятора,
см. (II. 2), находим уровни энергии и с. ф. плоского осциллятора
в виде (см. также 10.25):
241
где
и = л/fc/m, N = m+n2; nt=0,l,2 яа = 0,1,2,...
Так как уровню EN с данным значением N отвечают (N+1)
независимые с. ф. ~Vntn2 с щ = 0, 1, ..., N (при этом п2 =
= N — tii), то он является (JV + 1)-кратно вырожденным.
2.49. Запишем потенциал в виде U = ki(x + г/J/4 + k2(x—
— УJ/4, где k\, 2 = k ± а. > 0. Если теперь перейти к новым
переменным %\ = (х + у)/-\/2 и у\ = (—х + уIл/2 (поворот на
я/4 в плоскости (ху)), то гамильтониан примет вид суммы га-
гамильтонианов двух независимых осцилляторов:
й й2 д* к, 2 /г2 а2 й2 2
2т дх\ 2 2т ду\ 2
Соответственно энергетический спектр системы имеет вид
?„,„, = Л V(* + «0/m (я, + 1/2) + A V(* - а)/т («2 + 1/2);
а с. ф., отвечающие этим уровням, очевидным образом выра-
выражаются через с. ф. линейного осциллятора (сравнить с преды-
предыдущей задачей). Читателю предлагается обсудить свойства ниж-
нижней части спектра в случае |а| <S k (см. по этому поводу 8.4
и 8.5).
2.50. Положив yi = хг/у, у2 = х2, где у = i/m/М, получим
Я=--——т-—¦-т + — (
2т ду\ 2т ду\ 2
Путем поворота координатных осей в плоскости (У1У2) потен-
потенциал в этом гамильтониане может быть приведен к диагональ-
диагональному виду U = ^iPi/2 + k2y%J2. Для определения klt 2 заметим,
что если записать потенциал как U = &*</*г/*/2, то при повороте
системы координат величины ktk преобразуются как компоненты
тензора. В исходной системе координат ku = y2k, k22 = k, kl2 =
= k2\ = ay, а в повернутой kn=kx, k22 = k2' ^12==^21==O-
Учитывая инвариантность при вращении следа тензора и детер-
детерминанта матрицы, составленной из его компонент, имеем
ka = k1 + k2 = k(\ + y2), det || klk || = kxk2 = (ft2 -a2) y2.
Отсюда
fti, * = [(!+ Y2) k ± V(l-Y2) ]/
В новых переменных \j\,2 гамильтониан принимает вид суммы
гамильтонианов двух независимых осцилляторов, что позволяет
242
сразу определить его спектр:
Е„1Пг = А д/kj^ (в, + Г/2) + А Уу^ («2 + 1/2);
«I, п2 = 0, 1, 2, ...
Читателю предлагается рассмотреть свойства спектра в случае
М ~Э> т (см. по этому поводу 8.59).
2.51. У. Ш. при Х\ sg: х2 (считаем, что 1-я частица — слева
от 2-й, так что х?(х\,Хг) = 0 при хх ^ х2) имеет вид
(Я A) +Я B)) ? = ?•?, где Н = р2/2т + U (х)-
одночастичный гамильтониан. Рассмотрим теперь функцию
хУ(Х\,х2), равную 4?(xhx2) при хх sg х2 и —^{х^Хх) при x,>x2
(Ч' представляет антисимметричное продолжение Ч^ на область
*!>*:>). Так как она непрерывна в точках х, = х2 и имеет
при этом непрерывные производные9), то V удовлетворяет ука-
указанному у. Ш. уже при всех значениях Х\, х2 (для симметричного
продолжения производная в точках Х\ = х2 имеет скачок и та-
такое утверждение не справедливо). Его общее решение очевидно:
где ?п, 1Fn(^)—спектр и с. ф. одночастичного гамильтониана.
При этом антисимметричный характер рассматриваемых в. ф. W
требует выбора их в виде
Ф«,п2 = -щ \Vni (xt) ТЯ2 (х2) - Ч^ (х,) ЧГВ1 (х2)]
и накладывает ограничения на пь 2: /г, =5^ п2. Таким образом,
т < «2
(*1 ^ х2). При этом энергетический уровень является двукрат-
двукратно вырожденным: второе независимое решение у. Ш. соответ-
соответствует ситуации, когда 1-я частица находится справа от 2-й.
2.52. Энергетический спектр системы описывается выраже-
выражением
N
Etn...nN= E Епа> причем «,<п2< ... <tiN.
а= i
Вид с. ф. читателю предлагается обсудить самостоятельно.
9) Непрерывность производных W по xi,g в точках xt =
следует из дифференцирования соотношения Ф(х, х) = 0.
243
2.53. Общее решение у. Ш. при п < х/а < (п + 1) имеет вид
"Г = А„ exp (ik (х - па)) + Вп exp (-ik (х - па)), A)
где k = -т/2тЕ/Н3. Рассматривая независимые решения, удов-
удовлетворяющие условию Ч?(х + а) = \№(х), получаем
В то же время сшивание решения в точке х = па (согласно 2.6)
приводит к соотношениям
Ап + Вп = exp (ika) An_l + exp (-ika) Bn_v
C)
A + 2ima/h2k) An - A - 2ima/h2k) Bn= v
= exp (ika) An_l — exp (—ika) Ba_x.
Исключив отсюда Ап-\, Вп-Х с помощью B), получаем систему
двух линейных относительно Ап, Вп уравнений. Условие суще-
существования нетривиального решения системы дает
ц2 - 2ц/ (Е) + 1 = 0, / (Е) s cos ka + (ma/h2k) sin ka, D)
Bn = (|i - exp (rta)) (exp (-/fca) - ц) Ля. E)
©тсюда
При любом фиксированном Е F) определяет два значения
ц, соответствующие двум независимым решениям у. Ш., при
этом цгцг— 1- При f2(E)> 1 оба значения ц вещественны. При
этом оба решения у. Ш. возрастают на больших расстояниях
(отвечающее Hi > 1—при х-э-+оо, а (Хг < 1—при х-*—оо),
так что они не соответствуют физически реализуемым состоя-
состояниям частицы. Последним отвечают значения Е, для которых
|ц|= 1, т. е. f2(E)^ 1, или
—1 < cos ka + (ma/h2k) sin ka < 1. G)
Таким образом допустимые значения Е образуют зоны. Если
положить 10) \i = elqa, где —п ^ qa ^ я, fig — так называемый
квазиимпульс (не путать с hk\), то согласно D) уравнение для
определения зависимости En(q) принимает вид (га + 1—номер
зоны, см. рис. 31 для a > 0)
cos qa = cos ^2ma2En/h2 + ma Bmh2En)~112 sin л/2та2Еп/Н2. (8)
10) Решения у. Ш., отвечающие определенному квазимпуль-
су, называют функциями Блоха.
244
Отметим свойства спектра11), следующие из (8).
1) Зависимость En(q) от q является четной, так что состоя-
состояния, различающиеся знаком квазиимпульса, являются двумя не-
независимыми состояниями, соответствующими двукратно вырож-
вырожденному уровню En(q).
¦flEh
Рис. 31
2) Зоны не перекрываются. При а > 0 все они расположены
в области ?„ > 0, причем гая <kna ^ (га + 1)я, га = 0,1,...
При таа/[(п + 1)Й2] > 1 зоны узки, с увеличением п их ши-
ширина увеличивается и при таа/(п -f- l)ft2 < 1 они почти пол-
полностью занимают указанный выше интервал. При изменении
знака а нижняя зона опускается в область Е < 0 (при этом
k — мнимая величина).
3) При значениях энергии, близких к границам зоны (при
qt = 0 и qi = ±я/а), зависимость En(q) является параболиче-
параболической, т. е. Еп (q) — Еп (q^ 2)™(q— q^ 2J (сравнить с 8.32).
В заключение отметим, что с. ф. гамильтониана в данной
задаче не нормируемы на 1, так что локализованные стационар-
стационарные состояния частицы в периодическом потенциале отсутствуют;
в. ф. A), B) соответствует частице, «свободно» (т. е. без отра-
отражений) движущейся по кристаллу с квазиимпульсом hq.
2.54. Разрешенные зоны энергий, найденные в предыдущей
задаче, являются разрешенными и в условиях данной задачи.
Действительно, произвольное решение у. Ш. для значений энер-
энергии En(q) из разрешенных зон как при х > 0, так и при х < О
и) См. задачу 8.32, в которой более подробно обсуждается
случай слабого поля, шаа/й2<С1.
245
«сводится к некоторой суперпозиции двух независимых решений
в строго периодическом потенциале, отвечающих определенным
квазиимпульсам ±hq и не возрастающих при х->-±оо. Отличие
от случая строго периодического потенциала состоит лишь в том,
что теперь независимые решения у. Ш. уже не отвечают опре-
определенному значению квазиимпульса (наглядно: происходит рас-
рассеяние — изменение квазиимпульса — частицы на дефекте решет-
решетки). При этом двукратное вырождение уровней сохраняется.
Кроме этого, появляются новые разрешенные значения энер-
энергии, соответствующие локализованным вблизи дефекта состоя-
состояниям частицы. Для их определения рассмотрим решения у. Ш.,
отвечающие определенной четности (относительно отражения
х -*—х).
Для четных решений при \х\ < а имеем 'Fj? = С cos kx. В то
же время при х > 0 решение у. Ш. должно совпадать с реше-
решением у. Ш. в периодическом потенциале, удовлетворяющим усло-
условию Ч?(х + а) = \i4?(x) с [х < 1 (другому независимому реше-
решению отвечает ц/ = |х~' > 1, такое решение возрастает при х-*-
-¦-+00). Это решение при п < х/а <(п + 1) имеет вид (k —
= л/2/пЕ/Л2)
4+ = ц" [A cos k (x - па) + В sin k (x — па)]. A)
Из условия его совпадения с Wg (х) при 0 ^ х < а находим
А = С, В = 0, а сшивание решения A) в точке х = а (со-
(согласно 2.6) приводит к соотношениям
cos ka = ц, ka sin ka = Bmaajh2) cos ka, B)
второе из которых определяет искомые четные уровни. Отметим
свойства спектра этих уровней.
1) Уровни — дискретные, число их бесконечно.
2) Уровни расположены по одному между соседними зо-
зонами непрерывного спектра, и в случае а > 0 самый нижний
.из них лежит ниже основной зоны.
3) По мере увеличения энергии уровня, как видно из B),
имеем (х —»-1. При этом область локализации частицы вблизи
дефекта неограниченно увеличивается; для нормированной на
единицу в. ф. уровня
С2 = A - ц2) [а A + (sin 2ka)/2ka)]~l.
В связи с этим отметим, что в случае maa/h2 3> 1 в. ф. нижних
таких уровней Es (s = О, 1. • • •) с s <S maa/h2 локализованы
в области \х\ ^а (при этом ц<1) и близки к в. ф. стацио-
стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной
яме ширины 2а.
¦246
Что же касается «новых» нечетных уровней, то в условиях
данной задачи они отсутствуют (здесь проявляется специфика
«одноцентрового» потенциала в виде б-функции).
2.55. Независимые решения у. Ш. при х < О, где частица
свободная, известны. В области же х > 0 два независимых ре-
решения у. Ш. для любого значения Е обладают свойством
xPi,3(x + a) = [ii, j^i, sC*), причем цгЦг = 1. При этом для зна-
значений энергии En(q) из разрешенных зон в бесконечном кри-
кристалле (см. 2.53) оба эти решения не возрастают при х-*-{-оо,
а для остальных значений Е невозрастающим является только-
одно: с Hi < 1 (оно убывает при х^-+°°)- Имея в виду этн
замечания, легко сделать суждения о характере спектра частицы.
1) При Е > Uo спектр непрерывен. При этом значения энер-
энергии, принадлежащие разрешенным зонам бесконечного кристал-
кристалла, двукратно вырождены (в соответствующих состояниях час-
частица «свободно» движется по всему пространству, с некоторой
вероятностью отражаясь от границы кристалла). Остальные зна-
значения невырожденные, при этом в. ф. убывает в глубь кристалла
(частицы с такой энергией полностью отражаются от кристалла).
2) При Е < Uo спектр имеет такую же зонную структуру,
как и в случае бесконечного кристалла. При этом уровни уже
невырожденные; в. ф. убывает с увеличением расстояния от кри-
кристалла, а при х > 0 представляет определенную суперпозицию
состояний со значениями квазиимпульса ±fiq (частица с такой
энергией движется внутри кристалла, отражаясь от его гра-
границы).
3) Кроме этого, при Е < Uo могут существовать изолиро-
изолированные уровни, которым отвечают состояния частицы, локализо-
локализованные вблизи границы кристалла. Для их нахождения рассмот-
рассмотрим решение у. Ш., убывающее при *-*-±<х>. При х <с 0 оно
имеет вид цг = Секх, где -л = л] 2т (Uo — E)/h2, а при х > О
для значений п < х/а <(«+ 1) его можно записать в виде
W = Лцга sin [k (x - па) + б], k = л/2тЕ/п\ |ц|<1. A>
Сшивание решения в точках х = 0 и х = а приводит к соотно-
соотношениям
A sin б = 1, kA cos б = к; sin (ka + б) = p. sin б,
\ik cos б — k cos (ka + б) = Bдш/й2) ц sin б
(для удобства положено С = 1). Отсюда
ka cos ka = (sin ka) [Uoa/a — -y/2m (Uo — E) a2/h2], B)
ц = (Usa/aka) sin ka.
247
Уравнение B) определяет спектр рассматриваемых состоя-
состояний; число уровней зависит от параметров потенциала (их мо-
может не быть вообще). Они расположены между зонами разре-
разрешенных энергий для бесконечного кристалла. При изменении
параметров потенциала положение таких уровней также изме-
изменяется. При этом может происходить как появление новых свя-
связанных состояний, так и исчезновение уже существующих за счет
ухода уровня в ближайшую зону (состояние делокализуется).
Предоставляя читателю дальнейший анализ спектра, следую-
следующего из B), ограничимся для иллюстрации рассмотрением од-
одного частного случая, когда Uo 3> h2/ma2 и а < 0 (кристалл
из б-ям), причем та\а\/№~\. При этом в области энергий
?<?/0 из B) следует, что ka = гая + е, где га = 1, 2, ..., а
|е| -С 1, причем е~ пяа/С/оа. Для таких уровней (существую-
(существующих между каждыми соседними зонами)
ц = cos ka 4- У(?/о - Е)/Е sin ka « (-1)" (l + а л/2т/Н2и0),
так что [ [I | < 1 (при этом | ц | « 1, т. е. область локализации
состояния простирается далеко в глубь кристалла). В случае
а > 0 в этой области энергий связанных состояний нет (|[i|> I
для решений уравнения B)). Хотя такие состояния и появ-
появляются по мере увеличения С/о (в момент появления их энергия
Е = С/о), в дальнейшем уровень «сливается> с зоной.
Глава 3
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
3.1. Функция Гамильтона ротатора Н = M2ZJ2I (здесь Mz =
— Pq>—проекция момента ротатора на ось г, перпендикулярную
плоскости вращения); соответственно оператор Гамильтона имеет
вид Н = Щ/21 = h2l2zJ2I. Так как Я коммутирует с U,
то с. ф. Й могут быть выбраны одновременно и собственными
функциями lz< что позволяет сразу указать спектр и с. ф. га-
гамильтониана
?1т| = Й2/«2/2/, ^m = eimVV2^. « = 0, ±1, ±2, ... A)
Все уровни, кроме основного, двукратно вырождены. Укажем
также на возможность выбора с. ф. Й в виде 4?fm\ = л~^2 cos ту,
*Р\~т\ =n~^2sinm(f, при котором они имеют определенную чет-
четность (+1 или —1) при отражении координат относительно
оси х.
248
Так как cos <p = (ег* + е~'ф)/2, то
.V = С cos2 Ф = С (е21* + 2 +
Отсюда непосредственно следуют распределения вероятностей
различных значений проекции момента w(m) = \cm\2 и энергии
w {Е\т\) = w (т) + ш (—т) (при m # 0) ротатора (а также в
значение С2 = 4/Зя из условия нормировки в. ф. на 1):
w (?„) = ш @) = 2/3, ш (Е2) = 2ш B) = 2ш (-2) = 1/3,
вероятности остальных значений равны нулю. Наконец:
т = 0, (K^J2 = 4/3, E = 2h2/3I, (EFf = 8А4/9/2.
3.2. Функция Гамильтона ротатора Н = М2/2/; соответ-
соответственно оператор Гамильтона имеет вид Н = Л212/2/, а его с. а*
Ei = hH (I + 1I21, Vlm = Ylm (9, ф), A>
где / = 0, 1, ...; m = /, / — 1, ..., —/; Y ;m — шаровые функ-
функции; 6, ф — полярный и азимутальный углы оси ротатора. Уровни
энергии B/ + 1)-кратно вырождены, и имеют определенную чет-
четность, равную (—1)'.
Приведенная в условии задачи в. ф. описывает состояние ро-
ротатора с определенным значением U = 0. Записав ее в виде
! 1—3 cos2 6
cos2 6"!
г=—
4^ J
и учтя явный вид шаровых функций КОо и К2о (см. (III. 7)), на-
находим, что момент ротатора может принимать лишь два значе-
значения: / = 0 и / = 2, с вероятностями ш@)=5/9 и шB)=4/9.
При этом Е = 4h2/3f, (АЕJ = Ш*/ЗР; (С|2 = 5/4я.
3.3. Ввиду равновероятности различных значений Ьг имеем;
1 Г I
m=-l L m=0
=
L da 1-е" Ja=o
Отсюда в силу равноправности осей х, у, z следует
l2- i7=?f+Z|"+Zl=3Zf=/(/ +1).
3.4. Как известно ([1], §§ 15, 26), операторы импульса Р
и момента L системы связаны с операторами преобразований
249-
в. ф. при бесконечно малых переносах и поворотах системы ко-
координат:
Т (ба) « 1 + ih~ 'баР и R (б<р0) « 1 + «бфо1.
Любой перенос системы координат перестановочен с любым
другим переносом, поэтому коммутируют и операторы компонент
импульса. Совершенно аналогично обстоит дело и с переносами
и поворотами вдоль одной и той же оси. Наоборот, два враще-
вращения, как и перенос и вращение, относительно двух непараллель-
непараллельных осей не перестановочны друг с другом, что и отвечает не-
некоммутативности соответствующих операторов.
3.5. При вычислении коммутаторов удобно воспользоваться
результатом задачи 1.4 и формулой (III. 2). Приведем ответ.
а) Все коммутаторы равны нулю, что является проявлением
общего свойства равенства нулю коммутатора вида [It, f] = О,
где / — оператор скалярной величины.
б) Коммутаторы имеют структуру вида [/;, fk]==ieikifi>
где fk — оператор k-R проекции соответствующего векторного
оператора.
в)[?{> fki\ = i(*tkpbni+8{inhp)fpn' где Uk - операторы
компонент соответствующего тензора 2-го ранга.
Установленная универсальная структура коммутаторов опе-
оператора компонент момента /,• со скалярными, векторными и тен-
тензорными операторами является отражением свойства оператора 1
как оператора, описывающего преобразование в. ф. при враще-
вращениях системы координат и того обстоятельства, что при этом
все тензоры одного и того же ранга преобразуются одинаковым
образом (независимо от конкретного вида тензора).
3.6. Искомые функции Wnlm = С (/¦„) б (г - г0) Уlm (9, <р)
при этом из условия нормировки (r0, I , m | r0, /, mj =
= б (го — го) би'бтт' следует значение С (/¦<,) = г^1.
3.7. ^ (r) = BKhril2eipzZ/h.BKr[l2eim<Vf (p), где f (p) -
произвольная функция переменной р (расстояние от оси г) ци-
цилиндрической системы координат.
3.8. Считая в. ф. нормированной на единицу I при этом
\ Ф2(г) dV = 1 ), находим: г = \ rep2 (r) dV, p = р0. Так как
Ci = &ikixkf>l' то
Li = Чы \ Ф « {*ыРы + xkf>l) <? « dV- W
250
Преобразовав второе слагаемое под интегралом к виду
ч> (') *kPiV (') = ~ т h -щ (ф2^) + Т мыч>2> B>
замечаем, что его вклад в ?; равен нулю: равенство нулю инте-
интеграла от первого слагаемого в B) очевидно после преобразова-
преобразования его с использованием теоремы Остроградского — Гаусса, вто-
второе же слагаемое в B) обращается в нуль после свертки бы
с ей;. Таким образом, из A) следует L; = ешЯкРт, или
L =
3.9. В импульсном представлении р = р, а "г = /AVP, пр»
этом Л1 = [гр] = —ih [PVp]. что по форме совершенно анало-
аналогично виду 1 в г-представлении, отличаясь лишь заменой г на р,
и позволяет сразу указать вид с. ф. 4f;m(p) = Ytm(Q, ф), операто-
операторов F и 1г, здесь 6, ф — полярный и азимутальный углы век-
вектора р в сферических координатах (в р-, как и в г-представле-
г-представлении оператор момента действует лишь на угловые переменные).
Равенство нулю среднего значения </, т\р\,1,т) следует,
например, из соображений, связанных с определенной четностью-
шаровых функций (сравнить с 1.16).
ЗЛО. Из коммутационных соотношений для компонент мо-
момента следует, что tzi± = t±0z± 1). Применив это оператор-
операторное равенство к с. ф. Ч?т, получаем lz (t^m) = (т ± 1) (t±y?m)>-
т. е. функции i±yVm также являются с. ф. 1г (в частных слу-
случаях, когда т — ±/, где / — момент частицы, одна из этих функ-
функций равна нулю тождественно).
Из ортогональности с. ф. следует
(т\ 1±\т)сг>(т\т± 1) = 0, (т\ Р±\ т) = 0. A>
Отсюда 1Х ± пу — 0, или 1Х=1У — 0. Второе из соотноше-
соотношений A) эквивалентно равенствам
из которых следует, в частности:
txty+tytx = O,
3.11. Так как l\ + t2y =Т2 - 1\ = / (/ + 1) - т2, то с учетом-
результата предыдущей задачи I2. = 1у = [/ (/ + 1) — щ2]/2.
Далее, оператор проекции момента на ось z имеет вид
t- = cos а • tz + sin а cos р • tx + sin a sin P • ty, A>-
251
где а, Р — полярный и азимутальный углы направления оси г.
Усредняя оператор A) по состоянию Wim, находим i~ = mcosa
(согласно задаче 3.10 /^.= /^ = 0). Отметим, что для справед-
справедливости этого соотношения предположение об определенном зна-
значении / не является обязательным. Наконец, учитывая при
усреднении оператора /г результат предыдущей задачи, нахо-
находим /J, а с ним и
(Д//= /? - l\ = -J- [/ (I + 1) - т2] sin2 a.
3.12. Приведенное соотношение следует непосредственно из
(Ш.6), если в последнем положить в' = 9, q/ = ср; при этом
cos а = 1, Р;A)= 1.
3.13. В. ф. состояния с моментом I и проекцией U = 0
имеет вид Wt t =0 (п) = (B/ + 1)/4яI/2 Рх (cos 6). Замечая, что
cos 6 = nk, где к — орт вдоль оси г, и имея в виду равноправ-
равноправность всех направлений в пространстве, получаем 9 1 ;_=0 =
= (B/ + l)/4rt)''2Pj (nnQ). Значения коэффициентов в разложе-
разложении этой в. ф. по шаровым функциям K;m(n) непосредственно
следуют из (III.6) и вероятность значения 1г = т оказывается
равной аа(т) = Dя/B/+1)) |Kim(n0) |2 (она зависит только от
угла а между осями гиг).
3.14. Согласно 1.43 имеет место соотношение (при этом речь
идет о Пг- и //^-представлениях): w^m^ m2, a) = wlm(rnv а)>
где w, m^(mv а) является вероятностью значенияпр оекции т1
на ось г в состоянии с определенным значением проекции тг
на ось г. Эта вероятность зависит только от значения |а| и
поэтому
Из приведенных двух соотношений н следует утверждение
задачи.
3.15. Вид проекционного оператора
I
где штрих означает отсутствие сомножителя с т = М, следует
из результата 1.35.
3.16. Из соотношений tttk-- lklt = ieikll(, с учетом форму-
формулы Бр(ЛЛ) = Sp (BA), следует Sp/,=O (сравнить с 1.5).
252
3.17. Матрицы Ei представляют векторный (точнее, псевдо-
псевдовекторный) оператор, а их произведение &&, ... ?п — тензорный
оператор. После взятия шпура такой оператор становится обыч-
обычным числовым тензором, выражающимся лишь через универсаль-
универсальные тензоры б,> и еш, так как никаких других векторов и тен-
тензоров в условиях задачи не существует. Поэтому имеем:
а) Sp U = 0;
б) Sp (CiCk) — Аба,, значение А находим, взяв свертку по
индексам i и k:
ЗЛ = Sp L2 = Z. (Z. + 1) Sp Т = Z. (Z. + 1) BZ. + О;
в) Sp (L.LkLfi = Веш; для определения В имеем
2В = Sp (?,Г2?8) - SP fi-fiA) = l SP (?з) = -у SP L2 =
(здесь использовано соотношение Z.iL2 — Z-2Z-i =
г) Sp (?.?,?,?„) = С,в ikblm + ^6,^ + C3ft/mftw. A)
Для определения Са выполним сначала свертки по i и k, а также
по / и от, н получим
9Ci + ЗС2 + ЗС3 = Sp (L2L2) = BL + 1) L2 (L + IJ. B)
Затем возьмем свертки по i и от, а также k я I:
ЗС, + ЗС2 + 9С3 = Sp (L2LS) = BL + 1) L2 (L + IJ. C)
Наконец, свернем ¦) по индексам i и I, а также & и от:
ЗС, + 9С2 + ЗС3 = BL + 1) L2 (L + IJ - L (L + 1) BL + 1). D)
Из B), C), D) следует
С, = Сз = [2L2 (L + IJ BL + 1) + L (L + 1) BL + 1)]/30,
С2 = [L2 (Z. + IJ BL + 1) - 2L (L + 1) BL + 1)]/15.
3.18. В. ф. состояния с 1=1 и h = 0 есть Гю(п)<х>
со cos 9 s nk, где к — орт вдоль оси 2. Ввиду равноправиости
всех направлений в пространстве для перехода к случаю /г = ®
следует просто заменить к на по — орт вдоль оси г, так что
(сравнить с 3.13)
i C/4n)I/2 {cos 6 cos a + sin 6 sin а cos (<p —
') При этом в A) удобно подставить LkLt = L
и воспользоваться соотношением в) и равенством
253
3.19. Имея в виду выражения для Ylm и равноправность
различных ориентации системы координат, искомые в. ф. можно
получить с помощью циклической перестановки переменных х>
у, г. Так
Аналогично устанавливается внд и других в. ф. (см. также 3.18).
3.20. Обозначив через w(±\) вероятности проекций момента
т = ±1, согласно 3.11 имеем
2, w (fii) fh= w A) — w (—1) = m cos a,
/ft
- Зот2/2) sin2 а.
Отсюда
w A, m) = ai A) = [2m2 + 2m cos a + B - 3m2) sin2a]/4,
w(—\, m) = a) (-1) = [2m2 - 2m cos a + B — 3m2) sin2a]/4,
w@, m)= 1 — w(l) — w(—l).
3.21. В. ф. 5f;.=0(9, ф) (г = 1, 2, 3) имеют вид (a = i
T, =0 = Yl0 = az/r = a cos 8; ?z =0 = ajc/r = a sin 6 cos <p;
4?l =0 = aj//r = a sin 9 sinq>
и их независимость и полнота очевидны (в случае / = 1 имеется
трн независимых в. ф.). Легко заметить, что различные в. ф.
^/.=о ортогональны:
и поэтому коэффициенты С; в разложении произвольной, норми-
нормированной в. ф. Wi^i по этим функциям определяют вероятность.
w(i) = \Ci\2 того, что проекция момента на г-ю ось равна нулю.
Отметим, что этот результат не имеет непосредственного отноше-
отношения к обычному разложению произвольной в. ф. в ряд по с. ф.
эрмитова оператора!
254
3.22. По формулам (III. 9) для /
О 1/V2" 0
/V2" 0
О 1/V2* О
¦(
1 О
0 0
О О
= 1 * )
имеем уравнение на с. ф. в виде
0
Отсюда: 6 = 0, а = —с, причем для нормировки в. ф. на едн-
ннцу следует взять |а|= l/V2.
3.23. Так как с. з. 1Х н 1У прн / = 1 равны лишь 0, ±1, то
^x~^x и t3y~ly (сравнить с 1.17). Далее, в состоянии с /= 1
н/г = я имеем 1Х = / = 0 и l\ = l2y == B — от2)/2 (см., напри-
например, 3.11). Отсюда следует: /" = 1^ = 0, если /г — нечетное; Z" =
= 1у — B — т2)/2 при четном п (п > 0).
3.24. Так как оператор фо1 в пространстве векторов состоя-
состояний с /= 1 нмеег лишь три с. з.: О, ±фо, то согласно 1.22 сле-
следует
R — ехр (гф0?) = 1 + г sin ф0 • (п0Т) — A — cos <p0) (по1J, A)
где По = фо/фо- Выберем вектор поворота (р0 таким, чтобы в ре-
результате вращения ось z исходной системы координат по отно-
отношению к осям повернутой системы имела бы такую же ориента-
ориентацию, как и ось z по отношению к исходной системе. Прн этом
в. ф. Т л (9, ср) = KYin (9. Ф) будет описывать состояние час-
частицы с моментом / и его проекцией т на ось z в соответствии
со смыслом оператора К как оператора вращения системы
255
координат. Нетрудно сообразить, что для этого следует выбрать
«ро = (a sin p, —а cos р, 0). При этом
$ = 1 + i sin а (!х sin Р — 1У cos P) —
— A — cos а) (lx sin Р — iy cos РJ
»
и для в. ф. ?д=0 == -^ю» воспользовавшись выражениями для
/; и явным видом Fio, после простых вычислений получаем
Vm=0 = / л/Щп {cos a cos 9 + sin а sin 0 cos (<p — р)} B)
в согласии с результатом задачи 3.18.
3.25. Для Р(т) имеем выражения (сравнить с 3.15):
A)
Проекционные операторы Р(т) получаются из выражений
A) заменой Хг иа оператор ls, имеющий вид
i% = nQl = cos а?г + sin а cos $tx + sin a sin §ty,
no — орт вдоль оси г, а и р — полярный и азимутальный углы
направления По. В частности, для оператора Р(т = 0) в \г- пред-
представлении, воспользовавшись формулами A) из 3.22, получаем
р (от = 0) =
(sin2a)/2 -e-'P (sin 2a)/2 л/2 -e~2it (sin2a)/2
= - el p (sin 2a)/2 л/? cos2 a e ~l p (sin 2a)/2 V5"
-e2ip(sin2a)/2 e'P (sin 2a)/2 *J2 (sin2a)/2
Подействовав этим оператором на произвольную функцию
(которую удобно выбрать, например, в виде ? = I 0 II, на-
ходим с. ф. Ч^.о = СР(т = 0) W оператора /2, отвечающую
с.з. /г = 0:
/ (sina)/V2 \
^л-о-1 -eipcosa , 0)
V -e2ip (sin a)/V2" ^
где C=y2~/sina выбрано для нормировки в. ф. на 1. Прн
а = л/2 и C = 0 функция A) воспроизводит результат из 3-22
для в. ф. Vt =0. Далее, учтя вид шаровых функций Уш(п)
(см. (III. 7)), замечаем, что в. ф. состояния A) в координатном
256
представлении, W = ^ cmY\m, лишь фазовым множителем от-
отличается от найденных ранее в 3.18 и 3.24 другими способами.
3.26. Оператор момента системы из двух частиц имеет вид
Перейдем от п, г2 к новым переменным г, R:
г = г2 — гь R = (т,г, + т2г2)/(т1 + т2),
Г! = R — m2r/(tni + т2), г2 — R + m^/itm + пг2).
Так как
V, = ("»,/(«, + «a)) VR - Vr, V2 = (т.Д/и, + m2)) VR + Vr,
то оператор A) можно записать в виде
L=-«[rVr]-«[RVR],
где первое слагаемое является оператором момента системы
двух частиц в с. ц. и., а второе представляет оператор момента,
связанного с движением центра масс.
3.27. Из соотношения Ъ — Ь + 12 следуют выражения
Т? = (L2 - Ц -?!)/2, T.L = ( L2 +7? -Т1)/2.
T2L = (L2+^-T?)/2
(здесь учтена коммутативность одноименных компонент L н
Ь. г)- Из них непосредственно видно, что в состояниях с опреде-
2 2 9
леннымн значениями L , 1[( \2 рассматриваемые скалярные про-
произведения также имеют определенные значения.
3.28. Коммутаторы имеют такую же структуру, как н в 3.5.
3.29. Возможные значения момента совокупной системы:
шах {| /i — /21, | mi + m21 }< L < /, + l2.
Учитывая коммутативность Г1г- и t2k, соотношение L =
=7^ +T| + 2?, 12 и равенство нулю средних 1Х = 1у = 0 в состоя-
состоянии с определенным значением /г (см. 3.10), легко находим ис-
искомые средние: Ех = Еу — 0, Ег = гп\ + гщ, а также
Р=М/1+1) + /2(/2+ 1) + 2от,ОТ2. A)
При mi = Z], m2 = h — 1 возможны лишь значения суммар-
суммарного момента i-i = U + /2 и L2 = /1 + /2 — 1- Так как при этом
w(L2)= 1 — w(Li), то, с учетом A), имеем
+ 1) = if - Li + 2Lxw (Z.,) =
=/1 (/1 + 1)+ /*(/«+1) +2/i (Z,-I).
Отсюда: ш(^) == 12/A, + Z2), a»(La) = Л/(Л + fe).
9 В. М. Галицкий и др. 267
3.30. Рассмотрим сначала в. ф. Vlm состояния с L = 21
и М = 21, имеющую вид ^21,21 = 6m,,Z6m., /• Она симметрична
по отношению к перестановке т,\ и от2- Точно так же симмет-
симметричными являются н в. ф. состояний с L = 21 и другими значе-
значениями М. Это следует из соотношения Yl. м=ь-п = CL^WL, L,
где L_ = (f u + l2x) — i (tly + t2y) и прн /i = l2 является сим-
симметричным по отношению к перестановке переменных складывае-
складываемых моментов оператором (матрицей).
Далее, рассмотрим состояния с М — 21 — 1 и запишем са-
самую общую в. ф. таких состояний в виде суммы симметричного
и антисимметричного слагаемых
*М-21 -1 = С1 (бт„ lK,, 1-1 +К, I- 1V
+ с2Fт, 1Ьтг, 1-1
Очевидно, что симметричное слагаемое здесь отвечает суммар-
суммарному моменту L\ = 21, а антисимметричное — значению L2 =
= 21 — 1 (если бы в первом слагаемом были представлены оба
момента, то это противоречило бы ортогональности с. ф., отве-
отвечающих различным с. з.). Таким образом, в. ф. Ч^-ь 2<-ь а с
нею и любая другая в. ф., отвечающая L = 11—1 (см. выше),
антисимметрична по отношению к взаимной перестановке mi
и т,2.
Аналогично предыдущему, можно рассмотреть состояния
с М = 21 — 2. Теперь в. ф. Чг,и=2г-2 включает трн независимых
слагаемых, из которых два (с т1 и т^, равными I и /' — 2, а
также с ni\ = т2 = /—1) симметричны, а одно (с mUi отве-
отвечающими / и / — 2) антисимметрично. Антисимметричное состоя-
состояние соответствует моменту L = 21—1, а два симметричных —
моментам L\ = 21 и L2 = 21 — 2.
Продолжая такое рассмотрение дальше, можно прийти к за-
заключению, что состояниям с L = 21, 21 — 2, 21 — 4, ... отвечают
симметричные по отношению к перестановке Шх и т2 функции,
а с L = 21 — 1, 2/ — 3, ..., — антисимметричные в. ф.
Установленный характер симметрии в. ф. имеет место как
при целочисленных значениях /, так и при полуцелых, появляю-
появляющихся прн рассмотрении спина частиц (см. гл. 5).
3.31. Утверждение задачи является непосредственным след-
следствием двух обстоятельств: 1) в силу определенной симметрии
в. ф. ^lmJoti, m2) по отношению к перестановке mv и т2 (см.
3.30) вероятности одного н того же значения т для обоих мо-
моментов одинаковы, т. е. Wi(m) = W2(m) = w(m); 2) так как
т\ + т2 = М> то имеет место соотношение W\(m{) =W2(M — т:).
Отсюда и следует утверждение: teiu2(/n) = да^ г(М — т).
3.32. а) Прн от( = т2 = ±1 момент системы L = 2.
258
б) При m( = ±1, m2 = 0 (а также при тх = О, т2 = ±1)
момент принимает значения: Lt = 2 и L2 = 1- Вероятности этих
значений даB) = 1/2 и даA)= 1/2 следуют из результата 3.29
(и из 3.30).
в) При т1 = 1Щ = 0 момент может принимать лишь зна-
значения 2 и 0 (L = 1 сразу исключается из условия симметрично-
симметричности в. ф. по отношению к перестановке т,\ и mi, см. 3.30). При
этом из условия L2 = 6a»(L = 2)= 4 следует w B)= 2/3,
о,@)= 1/3.
г) При т.у = —«2 = ±1 момент может принимать все три
значения: 0, 1, 2. Записав для случая пц =—т2 = 1 в. ф. в
Лг/гг-представлении в виде
? 6 6 l-((fiz 16; _1+б/ _,б/ л/д/2" +
lv *i2-J '22- ' '1г' ' hz- 41
'22'
(О
замечаем, что вероятность значения L = 1, которому отвечает
второе, антисимметричное слагаемое в A), равна w(L=\) = \/2.
Далее: U = ? Z. (Z. + 1) w (L) = бда B) + 1 = 2. Отсюда да B) =
= 1/6, а» @) = 1/3.
3.33. Понимая в условиях задачи 1.43 под Л набор комму-
коммутирующих операторов /12 н 12г с с. з. ш, и т2, а под S — набор
из L2 и L2 = tiz + /22, имеем равенство вероятностей Wlm (tnu
т.2) = wm m (L, М), т. е. вероятности значений проекций тх н
т2 в состоянии с определенными значениями L н М (прн этом
М = mi + '«г) равны вероятностям значений величин L и М
в состоянии с определенными проекциями т1 и от2 (сравнить,
например, результаты задач 3.32 н 3.35).
3.34. Запишем искомую в. ф. в виде Ч'L-=Q = ? C^^Y^,
т
где TJ^' ' — нормированные в. ф. состояний систем с момен-
моментом / и его проекций т на ось г. Для нее очевидно
2*^-0-(Л± + ?2±) ^?-0 = 0, A)
где L± = Lx± LL = tl± + t2±. Учитывая соотношение (см.
(III. 8)) t+VL m = V(/ - m) (/ + /я + О ?/, m+I. из A) после
простых преобразований получаем
/n) (/ + m+l) (Cm +
Отсюда Cm+i = —Cm> так что \С„\= const =B/+ 1)-'/2 —
из условия нормировки в. ф. ^=о на единицу. Таким образом,
в состоянии с i = 0 вероятности различных значений проекций
9* 259
складываемых моментов на ось z (и на произвольную ось во-
вообще) одинаковы и равны w = B1 + 1)~'.
Вид в. ф. ^=0 в /и/гг-представленни следует непосред-
непосредственно из того, что в этом представлении ЧГ''12' = б, „.
т м B)z> т
В координатном же представлении W1^' 2' = Y 1т (п: 2). Учитывая,
что Ст = ( — \I~т B1 + I)'2, соотношение между шаровыми
функциями Y*lm (n) = (—l)/^mF/i _m (п) и теорему сложения для
них (III. 6), находим
m (n,) у;, _т (п2) =
m
Отметим, что такой вид в. ф. ЧГ?=0 вытекает также из сле-
следующих соображении. В силу того, что в. ф. не изменяется при
вращениях (L = 0), она является скаляром, т. е. функцией вида
^=0 = /ЧП1П2). При этом то обстоятельство, что f(x) сводится
к полиному Лежандра Pi(x), связано с тем, что складываемые
моменты имеют определенное значение / (сравнить, например,
с 3.13).
3.35. В /1г/2г-представлении в. ф. Ч^, ±2 очевидны:
*2,2=( 0 ) ( ° )¦ ЧГ2,-2=( 0 ) [О)
\ о Л \ о Л V1 /, V 1 /2
(Сх \
| со I
A)
( \
(здесь н ниже столбцы Чг]/2) = | со I представляют в. ф. 1B)
\С-1/И2)
частицы, нлн подсистемы, с моментом / = 1 в ее /г-представ-
лении). Вид в. ф. Tlm, отвечающих состояниям с L = 1,2 и
М = ±1, а также Z. = 1, ЛГ = 0, непосредственно следует из
характера симметрии в. ф. по отношению к перестановке пере-
-менных ту н т2, установленного в 3.30:
(знак <+> в B), C) отвечает L = 2, «—> отвечает L = 1).
260
Вид в. ф. 4V о следует из результата предыдущей задачи
В. ф. Ч^, о, прн учете ее симметричности по отношению к пе-
перестановке ni\ и Отг, можно записать в виде
а из условия ее ортогональности в. ф. То.о найтн С2 = 2Cj;
выбрав прн этом в F) С( = 1/л/6, С2 = 2/Vб . получаем нор-
нормированную в. ф. 4*2, о- Вероятности различных значений проек-
проекций складываемых моментов на ось г в состояниях Wlm непо-
непосредственно следуют из установленного вида A) — F) в. ф.
3.36. Так как в случае [t = h = 1 оператор lib имеет
в состояниях с определенным L следующие значения: 1 при
L = 2, —1 при 1 = 1 и —2 при L = 0, то оператор, проекти-
проектирующий на состояние с 1 = 0, имеет вид Р (L = 0) = ((libJ —
— 1)/3 (сравнить с 1.35). Подействовав этим оператором на
произвольную в. ф. W состояния с 1\ = 1% = 1, получим (ненор-
(ненормированную) с. ф. оператора квадрата суммарного момента, от-
отвечающую L = 0, т. е. Ч^о = CP(L = 0Lх (С — нормировоч-
нормировочный коэффициент). Записав
(вид /.j. для / = 1 приведен в 3.22) и выбрав для удобства
в. ф. в /и/гг-представленин в виде Т =( 1 I I 1 I , находим
после простых преобразований
Выбрав С = л/3 , получаем уже нормированную в. ф. состояния
с L = 0 в согласии с результатом задачи 3.34.
261
3.37. Всего имеется 3-3- B1 + 1)= 9B/ + 1) независимых со-
состояний. Классификация их по значениям суммарного момента L
представлена в таблице
L
Число
состояний
1 + 2
21 + 5
1+1
2 ¦ B1 + 3)
1
3 -B1+ 1)
1-Х
2-B1-\)
1-2
B1 - 3)
Для решения задачи удобно сначала сложить моменты двух
подсистем, имеющих /=1, в их результирующий момент L^, при-
принимающий значения 0, 1, 2, а затем сложить L12 и /3 = / в сум-
суммарный момент L всей системы. Прн этом следует учесть, что
данное значение L можно получить, вообще говоря, несколькими
способами. Так, значение L = I + 1 можно получить путем сло-
сложения с моментом / третьей подсистемы как момента L12 = 1,
так н L12=2. Приведенные результаты относятся к случаю /^2;
значение / = 1 читателю предлагается рассмотреть самостоя-
самостоятельно.
3.38. В данной задаче будем понимать под L его конкретное
значение L = /, + h- Очевиден вид в. ф. VLL = Ф^Ф^- Учи-
Учитывая свойство оператора С-
_ Г (L + М)\ 1'/2
LM - [ (Z, _ M)\ BL)! J '
\1<-Мл
A)
Так как ?_ = /_ + /_ и операторы I _ и I _ коммути-
коммутируют друг с другом, то из A) имеем
4^ = 0A, М) ? СГ_Л,(/]-)
где введены обозначения
да()
—от)!
• C)
Подчеркнем также, что М = m\ + m2.
262
Из B) следуют значения коэффициентов Клебша — Гордана
CfI^ = G(i, M)G~1(lv m,)G^{l2, m2)Cl?Z%.
Учитывая C), находим окончательное выражение (L = 1{ + 12):
rLM = Г Bll)\Bl2)\(L + M)\(L-M)\ -11/2
3.39. Коэффициенты Клебша — Гордана для этого случая
следуют из результата задачи 3.34. Положив там Ci = B/ +
-+¦ 1)~1/2, находим
/•>0. О _r _/_i\/-m/9/ , .v-l/2
L/, m, I, -т. — Lm—~ v W ^ + ')
3.40. Рассматриваемые тензорные операторы после усредне-
усреднения становятся операторами, действующими в пространстве век-
векторов состояний с моментом /. Любой такой оператор должен
выражаться через векторный оператор Jt и универсальные тен-
тензоры б,-* и е,*;. При этом условие одинакового тензорного харак-
характера исходного и усредненного операторов существенно ограни-
ограничивает вид таких выражений.
а) h B) i = ai v/t (векторы---вида fJ-Jk, ^ik/Jl и т- д-> как
это следует из коммутационных соотношений для компонент
J\, сводятся к JA. Умножив на /(., находим2) аН2) =
= (JiB)J)/^(/ + 1); здесь и ниже ради краткости записи скаляр-
скалярные произведения (ji<2)J) и (J1J2), имеющие определенные значе-
9 9 9
ния одновременно с jj, j2, J , в явном виде не расписываются,
см. 3.27.
б) Ввиду антисимметричного характера тензора имеем
Умножив обе части этого равенства справа на Jk и слева на J\,
находим, что при этом левая часть оказывается равной нулю,
а правая принимает вид bzikihhik = —U (J + 1N, так что 6 = 0.
в) Ввиду симметричности тензора имеем
hOik + hkhi = AAk + А2 (Jt h + h JiY B)
Первый раз, свернув по индексам i и k, а второй — умножив
обе части B) справа на 7* и слева на h и воспользовавшись
2) Умножение на jH (или 72j) лишено смысла, так как опе-
операторы j)J, в отличие от J, «перепутывают» состояния с раз-
различными значениями /.
,263
равенством JiJkhh = P(I + IJ — /(/ + 1), получаем два соот-
соотношения
ЗЛ, + 2/ (/+ 1) Л, = 2 (J.b),
/(/+1)Л, +/(/ + 1) B/2 + 2/ - 1) Л2 = 2 (j,J) (j2j).
Отсюда
л DЯ + 4/ - 2) 0,|а) - 4 (Ы) (j2J)
Л1~ B/ — 1) B/ + 3)
/ (/+ 1) B/ — 1) B/ + 3) '
г) Поступая как и в предыдущем случае, находим
hlhk + hkhl = BAk + В2 (JiJk + W
,J)
R /i »i + 1) НЯ + 4/ - 2) - 4 (j,J)« + 2 (j,J)
B/l)B/ + 3)
— 2/t (/. + 1) / (/ + 1) — 3 QtJ)
При выводе D) было использовано равенство
Vl B) kh B) t^ft = O'l B)J) — O'l B)J)-
Для оператора магнитного момента совокупной системы
имеем
и согласно результату пункта а) получаем выражение
(g. + g2) /(/+!) + (g. " g2) [/. (/¦ + 1) - h (/» + 1I -?
2/G+1)
3.41. Рассмотрим в. ф. вида
X^l~eik ... nxixk • ¦ ¦ xn = eik ... nnink • ¦ ¦ nnT •
Учитывая связь оператора I2 с лапласианом
Т2 = —г2Д9 = г2 (Д —Д), Д,.= л~2 — г2-т—, A)
находим
Л2ДГФ, = л2е,-ь „п.-Иь ... tljA/ = l(l+\) Ф,,
Дфг = E/Здст) (д/дхт) tlkp . n*^ft*p ... хп =
264
Из A) и B) следует "Р^( = Ц1+1)^( (очевидно, в.ф. Т/,
указанная в условии задачи, также является с. ф. I2).
Сначала найдем число независимых компонент g(l) у сим-
симметричного по любой паре индексов тензора ё« ... „ ранга /. Обо-
Обозначим: «1 — число индексов некоторой компоненты этого тен-
тензора, равных 1, л2 — равных 2 и л3 = (/ — п{ — п2)—равных 3.
В силу симметрии тензора его компоненты с одинаковыми чис-
числами щ и п2 равны. При фиксированном значении п\ число л2
может быть равным 0,1 / — щ, так что число различных
компонент при данном пх равно (/ — «j + 1). Общее число раз-
различных компонент
rai=O rai=O
Число же независимых компонент g(l) у симметричного тен-
тензора ранга / с равным нулю следом вытекает из того, что ра-
равенство Ziik,.,n = 0 представляет совокупность из g(l—2) ли-
линейных соотношений между компонентами ё« ... п, так что g(l) =
= g(l) — g {I — 2) = 2/+ 1.
Из сравнения выражения 4r;=i, m = (г(т)п) с (III. 7) на-
находим
е @) = -\/3/4л @, 0, i), e(±l) = V3/8n(+ i, I, 0). C)
Аналогично, в случае / = 2 находим компоненты тензора е;*(яг):
1 г 0,
0 0 К
,0 0 К
ж@0 0'
4 1 г 0 /
10 0
1 0
0 —2
3.42. а) Так как
| en | = е^е^и^п^ и \
то для нормировки в. ф. на 1 следует выбрать е = уз/4я а, где
• 1-1.
о) Из и и =^ вг8я \ tiitiitiuti^ dQi =
e/8
/8n
5-
265
в) Так как Т^1шт1<ш-1»1кяхкд/дхп (*mxjr) - -lelkn*nnhr
то
h = - ^ikr/nfin ) пт4 dQ = - i*ikna*kan,
т. е. 1 = —t[a*a], или, положив а = ai + ia2 (ai, 2 — веществен-
вещественные векторы, причем aj + а%— l), 1 = 2 [aja2].
г) Имея в виду, что е = д/з/4л (ai+г'а2), легко сообра-
сообразить, что в случае если atl|a2, проекция момента на ось, направ-
направленную вдоль at, 2, имеет определенное значение т = 0; если же-
ai _L a2 и при этом at = a2, то проекция момента на ось, направ-
направленную вдоль вектора [а^г], имеет определенное значение т =
= +1 (и т = —1 на противоположное направление).
3.43. Записав в. ф. в виде У = V3/4n (an), |a|2=l, имеем
ш (т = 0) = | (ап0) I2, w (т = ± 1) = | (an,) + i (a [non,] ) |2/2. A>
Здесь П1 — единичный вещественный вектор, перпендикулярный
п0 (выбор tit неоднозначен, однако от конкретного его выбора
значения выражений A) не зависят). Записав а = at + ia2, где
ai, 2 — вещественные векторы, замечаем, что вероятность значе-
значения проекции in = 0 на ось, направленную вдоль вектора [ata2j
равна нулю. Если а]||а2, то проекция момента на любую ось, пер-
перпендикулярную at, не может принимать значения т = 0.
3.44. Действие оператора It = —ШкпХ^д/дхп на в. ф. вида
х? = (an) дает
Ф* = '> = hamnm = - iBlkmamnk B bi, knk'
что эквивалентно соотношению bt, * = /;я* = —i&tkmam в вектор-
векторном представлении, и если в этом представлении записывать
в. ф. в виде столбца W = I a2 I, то операторами компонент
момента являются матрицы \t с элементами (t{)kn = — '8^„:
• 00 0ч • 0 0 г ч /0 -i 0v
tx=lo о -i\, ty = l о о о V lz = I i о о К
\о i о / V — j о о/ Vo оо/
Легко убедиться, что коммутационные соотношения для этих
матриц имеют стандартную форму, т. е. [?^, fft] = 'e^/W. a мат-
матрица Р равна 1*= 2- Г(Г— единичная матрица). Вид унитар-
унитарной матрицы О, связывающей векторное и /z-представлеиия: ak =
= V U. с , читателю предлагается найти самостоятельно.
т
266
3.45. а) Наиболее общий вид угловой зависимости в. ф. сле-
следующий: W = ЩкПиЩк, где iii = П/Гь п2 = г2/г2, ft* — произ-
произвольный тензор второго ранга, имеющий девять независимых
компонент, что соответствует девяти независимым состояниям
системы из двух частиц с моментами /i = /2 = 1.
б) Представив теизор ац, в виде
«<* = «„Л*/3 + (alk - aki)/2 + (aik + Hi - *l>anrfiik)l2> W
запишем указанную выше в. ф. следующим образом:
? = С(П1п2) + е[п1П2] + егйпи«№ B)
где
С = апп/3> *ik = Ы + аЫ ~ 21*аппЫ/2'
2гг = eiklaik' aik ~ akl = 2еШ8/
(е« — симметричный тензор с равным нулю следом).
Имея в виду результат задачи 3.41, нетрудно сообразить,
что запись в. ф. в форме B) является представлением ее в виде
трех слагаемых, каждое из которых отвечает определенному зна-
значению суммарного момента системы L = 0, 1, 2 соответственно.
При этом выражение для x?L=o = C(tiin2) согласуется, есте-
естественно, с результатом 3.34 для / = 1.
в) Для того чтобы в. ф. Ч7! в B) отвечали состояниям
с определенным значением М проекции суммарного момента на
ось г, компоненты вектора е,(Л1) и тензора Eit(M) должны
быть выбраны в виде, установленном в задаче 3.41. В частности,
в. ф. Ч'г, 2 при этом оказывается имеющей вид
sin 9, sin 92ei4"ei(PJ =
т. е. действительно является с. ф. (ненормированной) операторов
L2 и Lz, отвечающей с. з. L = 2 и М = 2.
3.46. Условия /i = 1 и Л = 0 однозначно определяют зави-
зависимость в. ф. от угловых переменных первой частицы в виде
Т со (щпг), где щ = т\/г\ и п2 = г2/г2 (сравнить с 3.18; при этом
следует учесть, что проекция Л суммарного момента на направ-
направление радиуса-вектора г2 полностью определяется проекцией мо-
момента только первой частицы, так как п2Т2 = 0). Так как (niii2)
является скаляром, как и в. ф. состояния с / = 0, то ?000 =
= const(n!ii2).
В. ф. состояния с / = 1 представляет линейную комбинацию
компонент вектора, зависящего только от ni и п2 (сравнить
с 3.41). При U = 1 и Л = 0 единственным таким вектором
267
является v = A (nin2) п2. Составляя из его компонент линейные
комбинации, отвечающие проекции момента /г, находим
?1/г0 = С(П1п2)У1/г(п2) A)
(Yu —шаровые функции). В. ф. A) имеет определенную чет-
четность, равную —1, и, как нетрудно сообразить, описывает состоя-
состояние, в котором момент второй частицы может принимать лишь
два значения: 0 и 2.
Обобщение выражения A) на случай произвольных значе-
значений /i, /, ]г и Л = 0 имеет вид
?//г0 = СР/(п1п2)У//г(п2), B)
где Pi(z) ¦—полином Лежандра.
3.47. В. ф. состояния с L = 0 не изменяется при вращениях
системы координат, т. е. является скалярной (или псевдоскаляр-
псевдоскалярной, в зависимости от четности состояния) функцией. В с. ц. и.
трех частиц независимыми являются радиусы-векторы ги 2 лишь
двух частиц, при этом г3 = — (п + Гг) (считаем для простоты
массы всех частиц одинаковыми). Из двух векторов ri,2 можно
образовать следующие скалярные величины: г^, г|, Г|Г2, являю-
являющиеся истинными скалярами (а не псевдоскалярами!). Скаляр-
Скалярная функция, зависящая от векторов п, 2, может быть функцией
только указанных скаляров. Соответственно в. ф. является функ-
функцией вида 4fi=0 = f (rj, г|, Г[Г2). При инверсии координат г]? 2-*~
-* П, 2 эта функция не изменяется: PVl=o = x?l=o, т. е. состоя-
состояние с L = 0 имеет положительную четность3).
Глава 4
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
4.1. Уравнение Шрёдингера (IV. 5) и граничные условия
Х@) = х(°°) — 0 имеют такой же вид, как в одномерном по-
потенциале. Соответственно Еп 0 = Еп (спектры совпадают) и
Чп 0(r) = Wn {гIл/Апг, пг = 0, 1, ... В частности, в случае
а) имеем Еп „ = Л2л2 (пг + \fj2ma2 (сравнить с 2.1). В слу-
случае б) условие существования связанных s-состояний (а тем са-
3) Подчеркнем, что речь идет об орбитальной четности. За-
Заметим также, что если число частиц в системе превышает 3, то
появляется возможность образовать псевдоскалярную величину
вида п [гзГз]. Соответственно состояния таких систем с L = Ь
могут иметь уже любую четность.
268
мым и связанных состояний вообще) имеет вид Uo > Й2зт2/8яга2
(сравнить с 2.14).
4.2. а) Так как уравнение (IV. 5) имеет вид одномерного
у. Ш., то как и в одномерном случае, можно утверждать, что
Еп { (при фиксированном /) возрастает с ростом п.,.
б) Рассматривая в у. Ш. (IV. 5) формально / как непрерыв-
непрерывный параметр, согласно формуле A.6) имеем
дЕп^д1 = дН/dl = Й2 B/ + 1)/2т/-2 > О,
что доказывает возрастание Еп ; с ростом /.
4.3. а) Имея в виду возрастание Еп ^ с ростом / (при
фиксированном пг, см. 4.2), легко сообразить, что независимо
от конкретного вида U(r), в N-u состоянии д. с. значение мо-
момента частицы не может превышать /тах = N — 1 (для такого
момента значение п, = 0).
б) Максимальная кратность вырождения уровня получается
в случае, когда этому уровню соответствуют состояния со зна-
значениями / от 0 до /тах и равна
N-1
gmax(JV)= X! B/+l) = JV2 A)
1 = 0
(такая ситуация реализуется в кулоновском потенциале). При
этом состояниям с данным значением / отвечает п, = N—1—/.
в) Так как четность / = (—1)', то теперь суммирование
в A) следует проводить по значениям / определенной четности
(четным или нечетным), такой же как и /шах = N—1. В этом
случае находим gm^{N) = N {N + 1)/2, причем состояниям
с данным / отвечает пг = Aтгх — /)/2 (такая ситуация реали-
реализуется у сферического осциллятора, см. 4.4 и 4.5).
4.4. Используя соображения, высказанные при решении за-
задачи 2.48 о плоском осцилляторе, находим решение в виде
()
Еп = Йсо (п + 3/2), п = п\ + иа + «з, и = 0, 1, ...
Уровни осциллятора имеют определенную четность, равную In =
= (—1)", и кратность вырождения (сравнить с 3.41)
п
g(n)= ? (п-т + \) = (п+\)(п + 2)/2.
Отличие g(n) от характерного для центральных потенциалов
значения gi = 2/ + 1 свидетельствует о наличии «случайного»
вырождения уровней. Имея в виду результат предыдущей
269
задачи, можно классифицировать независимые состояния, от-
отвечающие данному л, по квантовым числам пг и / только иа
основании полученных значений g(n) и /„ (в условиях 4.3 N=
= п+ 1): уровню Е„ соответствуют состояния с пг = О, / = л;
пг = 1, / = л — 2; Пг = 2, / = л — 4; ... (см. также 4.5).
4.5. У. Ш. (IV. 2) для U = kr2/2 заменой переменной х =
= -y/km г2/Л приводится к виду (со = -\/k/rn)
2Ло>
A)
Подстановкой Rn , = e x'2x '2w (x) преобразуем A) к гипер-
гипергеометрическому уравнению
xw" + (/ + 3/2 — х) ozi' + (?/2Йш — 1/2 — 3/4) ш = 0. B)
Так как R со /¦' оо х//2 ПРИ ''-^0, то решение уравнения B)
следует выбрать в виде
w = cF (— ?/2Йсо + //2 + 3/4, I + 3/2, х), C)
где F (а, [3, .v)—вырожденная гипергеометрнческая функция. При
этом условие убывания в. ф. при л->-оо требует, чтобы функ-
функция C) сводилась к полиному (иначе F т ех и R оо е*' при х,
г -> оо). Отсюда
— ?/2Йш + //2 + 3/4 = — пг, пг = 0, 1,2,...,
что непосредственно определяет энергетический спектр:
Еп t = Йсй (/ + 2лг + 3/2) = Асо (п + 3/2),
л = 2иг + / = 0, 1, 2, ...
Уровню с данным п отвечают состояния с моментом / = п,
п — 2, ..., так что он имеет определенную четность In = (—1)",
а его кратность вырождения, g (п) = ^ B/+1), оказывается
равной g(n) = (п + 1) (п + 2)/2, в согласии с результатом пре-
предыдущей задачи.
4.6. В. ф. имеет вид ?„ = (жг3)~1/2 е-Г/а, а = Л2/тее2.
а) Р*=\г*\ЧвМ*У=-1*±2Ц±у. О)
б) ZTG) = - J-?-|T0(r)lW = -e*/a. B)
Так как F + U=E0 = — е2/2а, то Г= е2/2а = — ?7/2.
270
в) В. ф. в импульсном представлении
C)
определяет распределение по импульсам электрона: dw =
г) Искомый потенциал ф(л) представляет электростатиче-
электростатический потенциал системы, характеризуемой плотностью заряда
р (г) = еб (г) - е | ?0 (г) |2,
здесь первое слагаемое соответствует ядру — протону (в начале
координат), а второе — электронному «облаку». Уравнение Пу-
Пуассона [27] Дф = —4яр при г ф 0 принимает вид
d2x __ 4er it la
dr2 ' аъ
где % = r<f(r). Интегрируя это уравнение с учетом граничных
условий х(°°) = 0 и 5с'(оо)= 0, получаем
Отсюда
4.7. Имея в виду формулу D) из 4.6, находим
т. е. (среднее) поле убывает экспоненциально.
Так как поле %> (R), создаваемое протоном (в начале коор-
координат) и электроном (в точке г), имеет вид
„ eR e (R - г) er (n - 3N (nN))
Со w R* | R — г |3 '~
где п = т/г, N = R/R, то
X (nft - 3NknmNm) dr dQn = e^2 (btk + 3JV(.^) ^-6 B)
(усреднение проводится по положениям электрона в основном
состоянии атома водорода). Таким образом, флуктуационные
значения электрического поля убывают лишь по степенному
271
закону: g2 (RI12 <*> R 3. Это обстоятельство проявляется в том,
что взаимодействие атомов (и молекул) на больших расстояниях
(например, силы Ван-дер-Ваальса) убывает степенным, а не экс-
экспоненциальным образом.
4.8. Спектр дискретен при Е < 0; ниже х = -у—2
а) С учетом граничных условий при г = 0 и г = с», реше-
решение уравнения (IV. 5) для / = 0 и U =—аб(г—а) имеет вид
A sh кг, г < а,
Ве~"лг, г > а.
Условия сшивания в. ф. в точке г = а, аналогичные установлен-
установленным в 2.6, приводят к соотношению
определяющему спектр ') s-уровней. При ? = maa/ffi < 1/2 это
уравнение не имеет корней, так что связанные состояния отсут-
отсутствуют. При | > 1/2 имеется, причем только один, s-уровень.
Его энергия
Ea»~(h2/2ma2)Bmaa/fi2—iJ при g —1/2«1,
Еа« — та2/2П2 при g > 1. ^
б) Уравнение (IV. 5) подстановкой х = ехр(—л/2а) сво-
сводится к уравнению Бесселя
где р = 2ка, К = (8т[/0а2/^2I/2- Условие обращения в. ф. в нуль
при г -у оо (при этом х->-0) требует выбора решения уравне-
уравнения B) в виде %п а = cJp (Xx). При этом условие х@)=0 при-
приводит к соотношению
/р(Я,) = 0, или 12ка W8mU0a2/fl2) = 0, C)
определяющему спектр s-уровней.
В условиях, когда уровень при углублении потенциальной
ямы только появился, его энергия сколь угодно мала. Соответ-
Соответственно условие Jo(h)=O определяет значения параметров ямы,
отвечающих появлению новых состояний д. с. при ее углубле-
углублении. Отсюда для JV-ro по счету уровня ?/0_ N = Л2х^/8та2, где
xN есть N-n нуль функции Ja(x). Так как xi « 2,40, то условие
существования s-состояний д. с. (а тем самым и связанных со-
состояний вообще) имеет вид Uo ^ 0,72h2/ma2.
') Сравнить, имея в виду результат 4.1, со спектром нечет-
нечетных уровней в условиях задачи 2.18.
272
При 0< (Я, — лгдг) <С 1 самый верхний s-уровень «мелкий».
Используя формулы (/, N — функции Бесселя и Неймана)
и ((d/dv)/„(*))„_„ = (я/2) JV0 (ж),
о энергию (п
ft2 J\{xn) f
2та2 Nl{xN) \
согласно C) находим его энергию (пг = N— 1);
в) Уравнение (IV. 5) при 1 = 0 заменой переменной х =
= е~'1а (прн этом U = —С/о*/A—*)) н подстановкой %п 0 =
= хеу, е = ха приводится к уравнению для гипергеометриче-
гипергеометрической функции F(a, P, у, х):
A - х) ху" + Bе + 1) A - х) у' + Х2у=-.О E)
с параметрами
к = (ZtnaWJH2) 1/2;
а = е + Уе2 + Я2,
Условие обращения в. ф. в нуль при г ->- оо (х ->- 0) требует
выбора решения уравнения E) в виде у = cF(a, p\ у, х), при
этом условие %(г = 0) = %(* = 1) =0 дает
что определяет спектр s-уровней. Отсюда, как нетрудно заме-
заметить, следует, что у — а = —п, где п = пг = 0, 1, ..., и окон-
окончательное выражение для энергии s-уровней принимает вид
причем пг <.%— 1. При этом условие К = N {N целое) опреде-
определяет значения параметров потенциала, соответствующие появ-
появлению Af-ro по счету уровня с / = 0 при углублении потенциаль-
потенциальной ямы. При а->-оо рассматриваемый потенциал переходит в
кулоновский, а формула G) при этом воспроизводит известный
спектр (IV. 3) в таком потенциале.
4.9. а) Решение уравнения (IV. 6) (х = */—2тЕп //ft2),
учитывающее граничные условия «@) = «(оо) = 0, для U =
= —аб (г — а) имеет вид
иПг1 = А1/+1/2 (хг) при г<а и и„^ = ВК[+1/2 (кг)
при г > о, где /v, Kv — функции Бесселя мнимого аргумента.
273
Условия сшивания в. ф. в точке г = а, такие же как для
одномерного б-потенциала в 2.6, дают
*+1/2 <ха) = ^2/2тао af1, (l)
что определяет энергетический спектр частицы.
Левая часть в A) при х-»-0, когда уровень имеет Сколь
угодно малую энергию, принимает вполне определенное значе-
значение, равное B1 + 1)~'. Это означает (как и при I = О, см. 4.8а)),.
что при |^|| = B/+ 1) имеется лишь один дискретный уро-
уровень (с данным /). Используя формулы для асимптотик /v (z)
и Kv(z) при z->-0 и 2->-оо, из A) получаем обобщение резуль-
результата A) из 4.8 на случай состояний с I ф 0:
?0'~ 4B/ + l)ma2 U - 6/ ;. 6-> ъ| . B)
?0/ да - та2/2й2 + ft2/ (/ + 1)/2та2, | -> оо.
б) Уравнение (IV. 6) в рассматриваемой задаче при г < а
сводится к уравнению Бесселя. Так как ип 1 @) = 0, то его ре-
решение следует выбрать в видеига ; = е/г + 1,2(&г).При этом усло-
усло( 0
Е„ [ = h2k2/2m = h2a2n +li ,/2та2, C)
где а„; — /1-й нуль (в порядке возрастания, не считая нуля при
х = 0) функции Бесселя /;+,/2(лг).
4.10. В рассматриваемой задаче (U г= 0 при Гт*0) норми-
нормируемое решение у. Ш. при Е < 0 имеет вид
я г, где к = -\/'—2тЕ/Л2 > 0
(оно отвечает частице, имеющей момент / = 0). При
имеем
Сравнение с соотношением из условия задачи дает х = ос0. Та-
Таким образом, если ао < 0, то связанных состояний в потенциале
нулевого радиуса нет; при а0 > 0 имеется, и только одно, свя-
связанное состояние с энергией Ео = _ /j2ao/2m.
Для нормировки в. ф. этого состояния на единицу следует
выбрать А = V2a> При этом в. ф. в импульсном представлении
имеет вид
Отсюда следует, что Т = р2/2пг = оо, соответственно О = —оо
(Г+?7 = ?о).
274
4.11. Энергетический спектр состояний с / ф 0 такой же,
как и в случае одной ямы, см. 4.96).
При / = 0 решение у. Ш., удовлетворяющее условию 1Р(а) =
= 0, имеет вид *? = As'mk(r— а)/г. При г-*-0 его асимпто-
асимптотика: W « —Asin ka(l/r — kcigka). Сравнив ее с соотношением
из условия задачи 4.10, определяющим п. н. р., получаем урав-
уравнение для спектра s-уровней:
= aoa, к = -у/2тЕ/Л2. A)
Отсюда при ао = ±оо следует ka = (п, + 1)п, что воспроизво-
воспроизводит спектр в яме (см. 4.1), а при о = а> в случае ао > 0 имеем
kt)=ia,o, т. е. Ео = — h ао/2т— уровень в изолированном п. н. р.
(при Е > 0 спектр уже непрерывный).
Рассмотрим некоторые следствия уравнения A).
1) При |аоа| > 1 в области значений ka <C |аоа| (не слиш-
слишком сильно возбужденные уровни) «ямные» уровни испытывают
лишь небольшой сдвиг за счет действия п. н. р. Записав при этом
ka = (nr+ 1)л + е, где |е|<1, из A) находим Еп 0 « Е(°}0 X
X (l + 2/аоа\. Если а0 > 0,то имеющийся в п. н. р. уровень также
испытывает небольшой сдвиг, равный
2) При аоа 5^ 1 ситуация совершенно иная. При этом у име-
имеющегося в п. н. р. уровня (реального или виртуального) энер-
энергия — порядка энергии нижних уровней в яме и, как видно из
A), спектр частицы при совместном действии п. н. р. и ямы
сильно отличается от спектров в изолированных п. н. р. и яме:
происходит перестройка спектра. В частности, при а0 = 0 (когда
в п. н. р. имеется уровень с нулевой энергией связи) спектр имеет
вид ЕП/,0 = А2я2(лг + 1/2J/2та2. Эта же формула описывает
спектр сильно возбужденных уровней и при произвольном ао-
4.12. У. Ш. для сепарабельного потенциала удобно решать
в импульсном представлении (сравнить с 2.19 и 1.41):
?- Ф (Р) - kg(p) ^ g* (р') Ф (Р') dV = ЕФ (р), A)
g (р) = BяЙГ3/2 jj f (r) e-iprlh dV.
Из A) видно, что рассматриваемый потенциал оказывает
действие только на частицу с / = 0 (в. ф. сферически симмет-
симметрична). Решение задачи дублирует решение 2.19. В частности, по-
полученные в 2.19 результаты в отношении энергетического спектра
связанных состояний полностью переносятся иа данную задачу
с единственной заменой в них |g(p)|2 на 4np*\g(p) \2r\(p), где
275
Г| (р) — ступенчатая функция. Так, уравнение для спектра прини-
принимает вид
p2-2m? ~l- B>
о
Для потенциала Ямагучи f = e~^r/r, при этом g (р) =
= -\f2h/n(p2 + ft2v2)~'. Вычисляя интеграл в B), получаем
(йу + л/2т (- ?)J = 4ятЯ,/У- C>
Отсюда видно, что единственное связанное состояние возникает
при Я, > Яо = Ягу3/4лт, при этом его энергия
ftV0 /t2Y2
а нормированная в. ф. в координатном и импульсном представ-
представлениях имеет вид
гт. / ^ Уй5*оУ (Y
Ф0(Р) = / 9 . .9
(«о + Y)
где
4.13. У. Ш. в импульсном представлении имеет вид
~- Ф (Р) + [и (р - р') Ф (р') d3p' = ЕФ (р), A)
U (q) = Bяй)~3 f f/ (г) e''qr/ft dV
(сравнить с 2.17). Для б-потенциала
U (q) = — (aa/2n2ft2<?) sin (aq/ti)
и уравнение A), с учетом того, что при 1 = 0 в. ф. не зависит
от углов, принимает вид
да Г f sin (а ¦
яй2 J J л/
ф (-} „2 s.n
+ P2 - 2pp cos 6
или, после интегрирования по 0:
D - *) • "> - ? * (^ J « G?) • «' #
276
Отсюда
_ . . АтаС sin (pa/h) _ f . . ...
Ф (Р) = nhp(p*-2mE) • С = ) sm (pa/ft) Ф
о
Условие согласованности этих выражений приводит к соотноше-
соотношению, определяющему спектр s-уровней (Е = — Й2х2/2от):
Ата Г sin2 (palК) dp , maa ,-, -2ак\
(для перехода от первого из них ко второму следует заменить
2 sin2(pa/h) на 1—cosBpa/A) и вычислить интеграл с помощью
вычетов). Приближенное решение уравнения E) приведено в
4.8а) (см. также 2.18). Здесь же напомним, что единственное
связанное s-состояние имеется при условии таа/Л2 > 1/2.
4.14. Решение может быть получено в результате простых
замен в формулах решения предыдущей задачи. При этом сле-
следует учесть два обстоятельства. 1) Ввиду условия Ф(р)=О
при р ^ р0 в формулах B)'—E) нижний предел интегрирования
по р (равный нулю) надо заменить на ро. 2) Связанному состоя-
состоянию частицы теперь отвечают значения энергии Е < Ео = p^jitn
(а не ? < 0, как раньше), удовлетворяющие уравнению
4wa f sin2 (pa/h) . . . .
Так как левая часть A) монотонно возрастает с увеличе-
увеличением Е от значения, равного нулю при Е-*-—°°, до значения
+оо при Е-+Ео (предполагается, что р0 Ф nnh/a н, естественно,
а > 0), то при любых значениях параметров ямы имеется, и
только одно, связанное s-состояние.
В случае ? = maa/fp -»• 0 (мелкая яма) из A) следует, что
Е-+Ео, при этом значение интеграла определяется областью зна-
значений р, прилегающих к нижнему пределу, и приближенно равно
оо оо
f sin2 (pa/h) ср . ,. ... f dp
\ ~~i г ** sm'(роа/п) \ —5 о ~
J р — pi + 2т& J Р — Рп-
Ро U Po F0
» 8l"'(Poa/») in JgiL. B)
2p0 e
Здесь e = ?0 — ? > 0 — энергия связи частицы. Из A) и B)
при | <с 1 следует
е ~ ?0 ехр [— яр0а/2|Й sin2 (poa/ft)] C>
277
(определение предэкспоненциального множителя в C) требует
более точного вычисления интеграла B)). Таким образом, при
| -»¦ 0 энергия связи стремится к нулю по экспоненциальному
закону со е~с^.
4.15. Сначала у. Ш. для U = —а/х на полуоси *>0с гра-
граничным условием Чг@)=0 запишем в виде такого уравнения,
уже на всей оси х, которое при х ^ 0 эквивалентно исходному,
а при х < 0 из него автоматически вытекает условие W(x)=0:
-j^ Ч(х)~-^-Ч (х) - EW (x) = - -^- W @+) б (х) A)
(так как при этом ?@—)= ^@+) = 0 и 4^@—) = 0, сравнить
с 2.6, то W(x)^ 0 при х sg 0). Имея в виду 1.40, запишем урав-
уравнение A) в импульсном представлении:
-?— Ф (р) + -г- \ Ф (р') dp' - ?Ф (р) =
2от ft J
р
= т^= ^'@+). B)
2 ¦yiziti от
Дифференцируя B) по р, приходим к уравнению с разде-
разделяющимися переменными, решение которого имеет вид (Е < 0)
ф(р) = 9. ехр( ,3^L arctg /_L_ 1, C)
р2 + 2m | E | I V2m I ? I ft V2ot | ? | J
а условие Ч' @) = BЯЙ)'2 \ Ф (p) dp = 0 дает спектр уровней:
лота „ „ та
0 и Е
¦ = 0, или Еп = — , л = 0, 1, ... D)
2ft2 (я + IJ
Для нормировки с. ф. C) следует выбрать
С = У2/я (ma/ft (я + 1)K/2.
Чтобы обобщить полученные «одномерные» результаты на
случай s-состояний в кулоновском потенциале, воспользуемся
связью в. ф. в координатном представлении
см. 4.1. Переходя к импульсному представлению, получаем
Флгоо (Р) = /o_fc43/2 \ ^"r00 ^ '
i
¦яр 0J
E)
278
где ФПг определяется C) и D) с п =в пт. Воспользовавшись со-
соотношением
exp (i arctg <p) = A + ф2)- + щ A + ф2)/2,
перепишем E) в виде (фазовый множитель (—1) опущен)
V2" з/2 sin[2(nr +
ф„г00 (р) _ __ ч __
(при п, = 0 и а = е2 отсюда следует результат 4.6s)).
4.16. Воспользовавшись соотношением
im (п') ^„' = (- 0' 2* д/|^ //+r/2 (fer) У,„ (п), A)
вытекающим из известного разложения плоской волны по поли-
полиномам Лежандра и теоремы сложения для последних (III. 6),
и учтя вид функции Бесселя I^(z) при г->-0, получаем
lm (г) dV
где
2/+1/2Й/+3/2Г(/
J r Rnrl
(сравнить полученный результат Ф; оо р' при р-+0 с соотноше-
соотношением Wl со г1 при г -> 0^.
4.17. Несложный анализ у. Ш. в импульсном представлении
¦^ Ф (р) + J t/ (р - р') Ф (р') rf3p' = ?Ф (р) A>
показывает, что при степенном убывании U (р) со р~п при р-*-оо
с и > 1, в. ф. Ф(р) убывает быстрее, чем П(р). При этом доми-
доминирующую роль в интеграле в A) играет область интегрирова-
интегрирования \р'\ ^ h/a, где а — радиус потенциала. Соответственно, вы-
вынося (?(р — р') за знак интеграла при р'«0 и используя связь
в. ф. Ф(р) и ^(г), сразу приходим к искомой асимптотике (/=0):
Ф (р) « -2 BяйK/2 mV @) p-2t/ (p), p->oo. B)
Еще один вывод формулы B), допускающий простое обобщение
на случай I ф 0, см. в 4.18.
27»
4.18. Сначала преобразуем 0(р) к виду (положено h =*= 1):
оо
= Dn2ip)~} jj геЧ>гЩ\г\)йг. A)
Имея в виду общие соображения о характере убывания фурье-
компонент при р->-оо (см., например [14]), замечаем, что ис-
используемые ограничения на потенциал означают, что функция
U(\r\) —четное продолжение U(г) на область г < О, рассматри-
рассматриваемая как аналитическая функция г, имеет особую точку г = 0.
При этом сингулярность U (г) ограничена условием U (г) г ->
->¦ 0 при г -*¦ 0, где 8 > 0 (для U = а/г2 имеем О = а/4яр).
Если для такого потенциала записать в. ф. связанного состояния
в виде
то #п I (°) = const ?= О И #„ , @) < oo.
r r
Наличие особенности при г=0 у потенциала проявляется
и в радиальной в. ф. Rn [ (г). Существенным, однако, является
то обстоятельство, что сингулярность функции Rn i более сла-
слабая, чем у потенциала. Это утверждение является непосред-
непосредственным следствием у. Ш. В частности, если сингулярная часть
U(г) имеет вид C/(s'(г) *» <zrv (при этом v>—2 и не равно
четному числу, несингулярная часть представляет разложение
по целым степеням г2), то сингулярная часть радиальной функ-
функции (см. 4.19)
п т\ .v+2
и обращается в нуль при г-*-0 в отличие от Rn ; @).
Для дальнейших преобразований удобно записать шаровую
функцию в виде (см. 3.41)
где е;... п является симметричным по любой паре индексов тен-
тензором ранга / с равным нулю следом е«... „ = 0. Для получения
искомой асимптотики умножим обе части у. Ш.
( L v)v«(r) - -и
280
на Bя)-8/*ехр(—ipr) и, проинтегрировав по координатам, вы-
выполним следующее преобразование:
V(r) dV=
При p-voo значение интеграла в B) определяется нали-
наличием у функции U (r) Rn t (г) особенности при г = О (точнее,
у ее четного продолжения, как и в A)). При этом наиболее
сингулярная часть такой функции, определяющая главный член
асимптотики, содержится в U(г). Соответственно, вынося в вы-
выражении B) из-под интеграла Rn [ (г) в точке г = О, исполь-
используя соотношение
dU(p)/dPi=:2pidU (р)/др2
и учитывая равенство нулю следа тензора е,-... л, приходим
к приведенной в условии задачи асимптотике в. ф.
Имея в виду проделанные вычисления, легко заметить, что
полученный результат может быть очевидным образом обобщен
и на случай, когда единственными особыми точками четного про-
продолжения потенциала являются точки г = ±а иа вещественной
оси (различного рода модельные потенциалы с резко выражен-
выраженными границами или изломами): для этого в выражении для
асимптотики следует заменить Rn l @) на Л!л 1 (а). Однако не-
несмотря на внешне похожий вид асимптотик в этих случаях,
между ними имеется существенное различие. Оно связано с тем
обстоятельством, что в случае особых точек г = ±а =/= 0 фурье-
компонента О(р) содержит быстро осциллирующий множитель
вида sin(pa), наличие которого приводит к тому, что все про-
производные О(р) убывают одинаковым образом, так же как и
О(р). Соответственно, в. ф. состояний с различными значениями/
при р—>-оо также убывают одинаковым образом. В случае же
особой точки г = 0 в. ф. состояния с моментом / убывает тем
быстрее, чем больше /.
4.19. Опустив в уравнении (IV. 2) члены, содержащие U
и Е, приходим к главному члену асимптотики:
v^^^v'при г^°-
281
Для нахождения поправки RJl\ имеем уравнение
Отсюда
? r
B - s) B/+ 3 - s) А2 V
При s < 0 первая поправка будет определяться уже чле-
членом, содержащим энергию. Если ?/ = О, то, как известно, R =
= CJ[ + 1i2(kr)/<\/r . Разложение этой функции по степеням (ferJ
остается справедливым и при наличии потенциала, но лишь до
тех пор, пока степень г не превышает значения 1 + 2 — s. Сле-
Следующий затем член разложения опять определяется выраже-
выражением A).
4.20. Функция Грина удовлетворяет уравнению
-— (- Д + х2) GE (г, г') = б (г - г') A)
ух, = -у—2тЕ/Л2 > 0). Из соображений симметрии представ-
представляется очевидным, что она является функцией вида Ge =
= /(|г — г'|). При этом уравнение A) при г ф г' и его реше-
решение имеют вид
-^ (rf (г)) - к2 (г/ (г)) = 0, / (г) = Се~ *г/г B)
(экспоненциально растущий член в f(r) опущен). Соотношение
ДA/г) = —4яб(г) позволяет определить значение С в B) и
окончательный вид Ge'-
С помощью функции Грина у. Ш. для состояний д. с. можно
записать в виде интегрального уравнения (сравнить с 2.20):
(г) = - J GE (г, г') U (г') ?? (г') dV -
4.21. Применим уравнение D) предыдущей задачи к основ-
основному состоянию с Еа < 0 (считая, что оно существует). Соот-
Соответствующая в. ф. Wa(r) сферически симметрична (/ = 0) и так
282
как она не имеет нулей, то можно считать Ч?о(г)^ 0. При этом
в уравнении
т.
? (Г)
\ | г - т'\ l~U {Г')] У°
dV'
подынтегральное выражение также неотрицательно.
Возьмем в A) значение г = г0, прн котором W0(r) прини-
принимает максимальное значение. После этого, заменив под инте-
интегралом Wo (г') на Wo(ro) и «опустив» экспоненту (от чего его
значение может лишь увеличиться), приходим к соотношению
Выполнив здесь интегрирование по углам (выбрав полярную ось
вдоль вектора г), которое дает
dQ.' . ( 4я 4я 1 . 4я
получаем утверждение задачи (имея в виду 4.1, легко заметить,
что результат данной задачи является аналогом результата 2.25
для одномерного движения).
Для прямоугольной ямы необходимое условие существова-
существования связанного состояния принимает внд | = ma2Ua/h2 ^ 1,
а точное: g ^ я2/8 ~ 1,24. Для б-потенциала необходимое усло-
условие совпадает с точным. Для экспоненциальной ямы необходи-
необходимое условие | = та2и0/Л2 ^ 1/2, а точное ?, ^ 0,72.
4.22. Сделаем сначала в уравнении (!) из предыдущей за-
задачи подстановку Ч^ = Х(г)/Г- Далее, поступая как и при ре-
решении этой задачи, выполним интегрирование по углам век-
вектора г', выбрав направление г за полярную ось. При этом
Г ехр (- к0 л/? + г'2 - 2rr' cos 6') rfQ, =
J Vг2 + г'2 - 2rr' cos 6'
и так же, как и в предыдущей задаче, получаем
I U {г) | A - е-2и°г) dr > Й2х0/2т, A)
283
что эквивалентно соотношению, приведенному в условии задачи
(при этом eo = ft25«o/2m).
4.23. Из уравнения и граничных условий следует (v = / +
+ 1/2):
(w)],
Г С, (г') [ffv (кя) /v (w)- /v (xe) /Cv
'¦ B I C2 (r') [/v {nb) Kv (xr)-Kv (x6) /v
6,
(кг)], a<r' </•<& '
где /v, Kv — функции Бесселя мнимого аргумента. Из условий
при г = г': 1) непрерывности Gi, e и 2) равенства скачка про-
производной OGi, е/Ог значению —2m/h2 (сравнить с 2.20), с уче-
учетом значения вронскиана W = [Iv (г), Кч (г)] = — 1/z, находим
С, (г') = Cv [/„ (*6) ^v (w') - /Cv («eft) /v (иг'I,
C2 (/•') = Cv [^v (xa) /v (иг') - /v (xa) /Cv (иг')],
где
Cv = -^~- (Kv (xa) /v (x6) — Kv(v.b)Iv (xa))""'. C)
Соотношения A), B), C) определяют вид функции Грина.
Так как /С@) = /(°°)= °°, то при а = 0 и (или) 6 = оо эти
соотношения несколько упрощаются.
4.24. Пусть в. ф. 4rnj_/m = ^т«„гг (/-)/V~ отвечает П/-му по
счету, самому верхнему уровню с Еп t < 0, при этом
nr = tii — '¦ а "л ; (г) имеет (яг + 1) нулей, включая г = 0 и
г = °о, и удовлетворяет уравнению (IV. 6). Пусть, далее, а и Ь
представляют соседние нули ип ;. Имея в виду результат пре-
предыдущей задачи, замечаем, что ип г на отрезке [a,b] удовлет-
удовлетворяет уравнению
Ь
ипг1 (О =\Gl,E ('> О [- и ('') unri (О] dr'. A)
а
На этом отрезке ип г не меняет знака и будем считать
«„ l ^ 0. Имея в виду монотонность функций /v (z), Kv (z)
(/ возрастает, а /Cv убывает), замечаем, что функция Грина Gг ?
из 4.23 Gj р^О и Gj ? принимает максимальное значение при
г = г'. Соответственно подынтегральная функция в (I) неотри-
неотрицательна. Взяв в A) значение г = го, отвечающее максимуму
ип i на отрезке [а, 6] и заменив ип г (/¦') под интегралом на
ип i (гЛ (от чего он может только увеличиться), получаем
284
Заменим Gi, е в B) ее максимальным значением при го=г'.
Имея в виду формулы A)—C) из 4.23, нетрудно получить
о,, е С'.r>) >^w~^ (»¦') 'v ("') > 727TW C)
{в условиях задачи следует считать и сколь угодно малым —
верхний уровень только появился, соответственно в C) исполь-
использованы асимптотики 1у (г) и Kv(z) при z-»-0). С учетом C)
из B) следует
D)
и так как на полуоси @, оо) имеется щ интервалов, на которых
ип i не изменяет своего знака и на каждом из них справедливо
аналогичное D) неравенство, то, суммируя по всем таким ин-
интервалам, приходим к утверждению задачи.
4.25. Условию появления нового, iV-ro по счету связанного
состояния с /= 0 при углублении потенциальной ямы отвечает
существование решения у. Ш. с Е = 0, которое является огра-
ограниченным при конечных значениях г и имеет при г ->- оо асимп-
асимптотику Y (г) ж С/г (при произвольных параметрах потенциала
*? « А + С/г при r-f-oo). Рассмотрим решения у. Ш., удовлет-
удовлетворяющие таким условиям.
а) Уравнение (IV. 2) для U = —а/г* при / = 0 и Е = О
заменой переменной х = \/г приводится к виду
d2Rldx2 + aR = 0, а =¦ 2та/Й2. A)
Решение его, в силу условия при г-*-<», следует выбрать в виде
# = В sin (Va /г). При этом условие /?(а)=0 определяет иско-
искомые значения параметров потенциала л/ТГ/а = nN, или
та/Н2а2 = n2N2/2. B)
б) Имея в виду уравнение (IV. 5) и граничные условия
к нему, замечаем, что спектры s-уровней в потенциалах и{ (г) =
= f(r + а) и U2 = f(r) при г > а> 0 и [/г=оо при г < а
совпадают (при 1Ф0 это утверждение уже не справедливо).
Соответственно, искомые значения параметров потенциала опре-
определяются формулой B).
в) Уравнение (IV. 5) для U = — иоа*/(г2+ а2J при / = 0
и Е = 0 с помощью подстановок w = %l*Jr2 + а2 и х =
= arctg(r/a) принимает вид
= 0, | = У1 + 2mU0a2/ti* .
285
В силу условия х(г = 0)= w(x = 0)= 0, его решение следует
выбрать в виде да = С sin \х, или
V = С -\Л + a2/'2 sin (i arctg (г/а)). C)
Прн г -*- оо имеем arctg г/а « я/2 — а/г, так что
? « С [sin (я?/2) - (ag/г) cos (пЦ2)],
и условие на асимптотику (foo 1/г), требующее, чтобы
sin(n?/2) = 0, приводит к искомому соотношению |/2 = jV (в.ф.
C) при этом имеет (N— 1) нулей при конечных г).
Для потенциалов из г) и д) решение уравнения (IV. 5) при
/ = 0 и ? = 0 согласно (Д2.11) выражается через цилиндриче-
цилиндрические функции. Приведем лишь ответы (в иих xvN есть N-й по
счету нуль функции Бесселя /v (*), не считая нуля при * = 0):
s —:
(при s = 4 имеем v = 1/2 и D) совпадает с B)); при этом в.ф.
в момент появления уровня имеет вид Т = C/v (Pr~1'2v)/vV
(при г > а), где E = v V8m<z/ft2; T = 0 при г < а.
д)
Bstl-2y^ = xvN, v =-1 + 1/B - s), E)
а в. ф. в момент появления уровня: гР = C/v+i (
при г<а и Т = Сд/а /v+i(pa1/2(v+1))/r при г > а; здесь 0 =
= (v + 1) л/Ша/W.
В случае s = 1 («обрезанный» кулоновский потенциал) из
E) следует: maa/ft2 = x2N/8. Имея в виду значение x0i~2,40
первого нуля функции Бесселя /о(х), находим условие суще-
существования связанных состояний в таком потенциале: maa/h2 ^
^ 0,72.
4.26. Условию появления нового связанного состояния с мо-
моментом / отвечает существование решения у. Ш. с Е = 0, ра-
радиальная функция которого имеет при г-*-оо асимптотику Rtv
~Cr~'~l (в общем случае R~Ar' + Cr~'~i), сравнить с 4.25.
При этом в случае / ф 0 в. ф. в момент появления уровня нор-
нормируема на 1, т. е. отвечает истинно связанному состоянию.
а) Радиальная в. ф. в момент появления уровня (т. е. при
Е = 0) согласно (IV. 5) имеет вид % = Art+1 при г <а и % =
= Сг~' при г > а. Сшивание решения в точке г = а согласно
2.6 дает: С = Aa?'+i и 2maa/h2 = B1 + 1), что и определяет
условие появления единственного дискретного уровня с момен-
286
том I при углублении б-ямы. Отметим, что для нормировки в. ф.
в момент возникновения уровня с / Ф 0 на 1 следует выбрать
С2 = А2а41+2 = [B1 - 1) B/ + 3)/2 B1 + 1)] а2'.
б) Уравнение (IV. 2) для U = —а/г* при ? = 0 заменой
переменной х = \/г приводится к виду
(d2/dx2 + a-l(l + l)/x2)R = O, а=2та/П2. A)
Его решение R = л/х /; + i/2 (V« х), или Я = /( + ]/2 (V^Ir)^/r .
дает для г ~> а радиальную в. ф. в момент появления уровня;
при этом условие R(a)=0 приводит к соотношению ¦\а/а =
==xl+ll2 jy. определяющему условие существования такого уров-
уровня, здесь x/+i/2 n — jV-й нуль функции Бесселя Ji+i/2(x), не счи-
считая х = 0.
4.27. Запишем у. Ш. (IV. 5) в потенциале U0(r) при ? = 0
и в потенциале Uo + 8U при энергии 8Е0 = —Н2к2/2т:
-7^ + U0(r)Xo = 0, -%"+ (U0(r) + 6U(r) + u2)x = 0 A)
(O = 2mU/h2). Умножив первое из них на x(r)> a второе —
на Хо(г) и почленно вычтя, получаем
-jp {ХоХ - XqX) = (&U (г) + х2) %%0. B)
Проинтегрируем теперь B) по г в пределах от г=0 до г=а,
где а — радиус потенциалов Uo (r) и bU (r). Учитывая, что
1) Хо @) = X @) = 0; 2) jc0 (а) = 1 и % (а) = 0; 3) х М » Хо (»")
при /• ^а (это условие фактически определяет нормировку в. ф.
у.(г), нормировка же функции Хо(г) определяется ее асимпто-
асимптотикой: Хо(г)= 1 при г>а), при этом %(a)ai е~"лаж 1 и %' (а) я;
ж — хе~ха л;—х, в результате интегрирования получаем
- х = J X И Хо (г) 6f7 (r) rfr + х2 U (г) хо (/¦) dr. C)
о о
В первом из интегралов в C) можно положить %~Хо и затем
устремить а->-°о. Второе же слагаемое справа, сох2, можно
опустить (оно мало по сравнению сив левой части). Таким
образом находим
(-bU)ti(r)dr,
о
287
а с ним и выражение для сдвига уровня, приведенное в условии
задачи. Для б-потенциала уровень с Е = 0 возникает при зна-
значении а = «о таком, что ma0o/ft2 = 1/2, см., например, 4.26. При
этом в. ф. в момент возникновения уровня имеет вид: Хо = 1
при г > а и Хо = г/а при г < а, а bU = —(a — aoN(r — а).
Соответственно сдвиг уровня при малом a — ao > 0 равен
что совпадает с результатом точного решения, см. 4.8а).
В заключение приведем еще один вывод формулы для сдвига
уровня, основанный на соотношении A.6). Для этого запишем
потенциал в виде U(г) = U0(r)+ %8U(r), где Я ^ 0. При этом
энергия уровня 6ЕО (к) = — ft2x2/2m также зависит от Я, причем
б?о(Я = О)=О. Согласно A.6) имеем
ОО
-Jj- 6?0 (Я) = J bU (г) у%(г,Х) dr. D)
о
где Хо(г,%) —нормированная на единицу в. ф. Эта функция про-
просто связана с %о(г):
%а(г; Х)&С(х)е-пгХо(г).
Действительно, при г^а функция %а(г,Х) лишь множителем от-
отличается от %о(г) (при этом e~*r« l), а при г > 0 имеем
ЗСо (f; Я) = С (х)е"г (при этом Хо(^) = 1)- Для нормировки
в. ф. Хо(г', к) следует выбрать С2 (х) « 2х (доминирующую роль
в нормировочном интеграле играет область г ~ 1/х > а, в которой
Хо (Л Я) = С (х) e~w). С учетом сказанного D) принимает вид
4
о
Интегрируя это соотношение (х(Я = 0) = 0), находим
Отсюда при 1=1 и следует выражение для сдвига уровня.
4.28. Задача решается аналогично предыдущей. Хотя теперь
уравнения A) этой задачи изменяются за счет членов с центро-
центробежной энергией, соотношение B) сохраняется и при / ф 0.
288
Проинтегрировав это соотношение по г в пределах от 0 до оо,
получаем
A)
В существенной при интегрировании в A) области г~а имеем
%1 ж Х[ ' (при / = 0 во втором интеграле такая замена не
оправдана из-за возникающей расходимости). При этом, имея
в виду нормировку \ %i dr = 1 для в. ф. х\ > сразу находим
значение х2, воспроизводящее приведенное в условии задачи вы-
выражение для сдвига уровня.
Отметим, что различие законов углубления уровней под
влиянием возмущения: 8E<x8U при / Ф 0 и 6Я со—(б?/J при
/ = 0 отражают то обстоятельство, что при I ф 0 состояние
с Е = 0 является истинно связанным состоянием и ему отве-
отвечает нормируемая на 1 в. ф.; в случае же / = 0 это не так —
в. ф. ненормируема. Физическая причина такого различия свя-
связана с наличием центробежного барьера, препятствующего
«уходу» частицы не бесконечность.
Для б-потенциала в момент возникновения единственного
уровня (с данным /) имеем 2ma,oa/h2 = B1 + 1), см. 4.26; там
же приведена нормированная в. ф. в момент возникновения уров-
уровня. При этом 8U = —(а—аоN(г — а) и энергия уровня при
малом (а — ао) > 0 оказывается равной
о
что совпадает с результатом точного решения, см. 4.9а).
В заключение отметим, что при / Ф 0 выражение для сдвига
уровня имеет вид формулы теории возмущений 1-го порядка по
взаимодействию bU(r), см. (VIII. 1). Отметим также еще один
простой вывод выражения для сдвига уровня, основанный на
использовании соотношения D) из предыдущей задачи. Так как
при 1фО в. ф. %f] (г) нормирована на 1, то в области г ^ а,
вносящей основной вклад в значение интеграла в указанном
соотношении, можно положить %г (г; Я) « %'/*' (г) (сравнить с
/ = 0, когда функции %о(г; X) и %о(г) имеют различную норми-
нормировку!). При этом соотношение D) из 4.27 сразу приводит
к выражению для сдвига уровня.
4.29. Под влиянием п. н. р. происходит сдвиг лишь s-уров-
ней. Нормированная радиальная в. ф. невозмущенного состояния
10 В. М. Галицкий и др. 289
при малых г имеет вид R^ (г)т R^ @). Обозначим через L
расстояние, на котором еще можно считать функцию R^ (r) по-
постоянной (значение L зависит от конкретного вида U(r) и энер-
энергии уровня Е^У При наличии п. н. р. радиальная функция со-
согласно 4.10 при малых г ведет себя следующим образом2):
i/<y + l + ...] (l)
и сильно отличается от R^ (г) при г->-0 за счет члена со 1/г.
Однако если |a0L|»l, то при
R,R I r~L функция Яп(О уже мало
,0, ] отличается от И^Цг) (рис. 32).
' ™ i /^ j ~*^ч~ Это означает, что в такой си-
/ I R(r)xR{0)(r) туации сдвиг уровня под влия-
/ I нием п. н. р. мал3), а в. ф. Rn и
i 1 ^_ /^jj' мало отличаются друг от
?/ccB«r«L г друга при всех г ^ L (именно
j эта область вносит доминирую-
доминирующий вклад в нормировочный ин-
Рис-32 теграл).
Для нахождения сдвига уровня поступим следующим обра-
образом. Напишем два у. Ш. (IV. 5):
2) Предполагается, что rU(r)-*-0 при г->-0. Для более син-
сингулярных потенциалов асимптотика A) модифицируется (срав-
(сравнить с 4.19) и граничное условие из 4.10, определяющее п. н. р.,
уже не может быть реализовано. В частности, оказывается несо-
несостоятельным моделирование потенциалом нулевого радиуса силь-
сильного короткодействующего потенциала при существовании на ма-
малых расстояниях кулоновского взаимодействия (хотя формула
теории возмущений по длине рассеяния остается справедливой).
3) Заметим, что график на рис. 32 отвечает значению а0 > 0,
когда в п. н. р. имеется уровень д. с. с энергией ?^ = — Й2<Хо/2т,
причем | Е^Р | > | 4°' | ~ h2/mL2. При нарушении условия a0L> 1
энергия уровня в п. н. р. такого же порядка величины, как и
у уровней Е^ в потенциале U(r). Однако в этом случае сдвиги
уровней велики: сравнимы с расстоянием между ними, так что
возникает перестройка спектра (см. 4.11 и 9.3); формула D) при
этом неприменима.
290
(% = ГЮ- Хотя эти уравнения одинаковы по виду, они отли-
отличаются характером граничного условия при г->-0: в отсутствие
п. н. р. %п^ *** %п 'г °° г< а ПРИ его наличии х„«/?„л«const, где
•Rn(r) определяется A). Умножая первое из уравнений B) на
%п, а второе — на %„ \ почленно вычитая и интегрируя по г
в пределах от г = 0 до г = °°, получаем
Левая часть здесь равна Л Я„ @)/2та0. В правой части можно
заменить %п (г) на Х„ (^") (такая замена не оправдана при ма-
малых г, но эта область не вносит существенного вклада в значе-
значение интеграла), так что интеграл приближенно равен единице.
Таким образом, из C) следует искомое выражение для сдвига
уровня:
Л* @) = 2я А. (?@) @)J а0. D)
« 2/иа0
Здесь а0 ^ 1/ссо — длина рассеяния на п. н. р. (см. 13.20).
Отметим, что приближение D) для сдвига уровня называют
формулой теории возмущений по длине рассеяния. Эта формула
применима и в случае нецентральных потенциалов U(r), см. 4.31,
а также 8.61.
Рассмотрим применение формулы D) в условиях задачи 4.11.
При этом
*{»> V2/T (sin *
где х^0' = я (я + 1)/л (не путать радиус ямы а с длиной рас-
рассеяния а0!) и
что при к^ <: | а0 | совпадает с результатом точного решения.
Последнее неравенство, как нетрудно заметить, соответствует
условию применимости |ао?|3>1 формулы D).
4.36. Применимость формулы D) предыдущей задачи пред-
предполагает, что сдвиг уровня мал по сравнению с энергией связи
частицы. Однако если невозмущенное состояние имеет аномально
малую энергию, то она допускает простое обобщение и на слу-
случай, когда сдвиг сравним с энергией связи. Это обобщение мо-
может быть получено непосредственно из формулы C) из 4.29,
если учесть следующие обстоятельства.
10* 291
Во-первых, в. ф. невозмущенного состояния в поле U(r)
с малой энергией связи просто связана с в. ф. R^ (r) в момент
появления уровня (при Е = 0, сравнить с 4.27):
A)
Во-вторых, совершенно аналогично, в. ф. состояния, возму-
возмущенного п. н. р., при rJS L имеет вид
(в. ф. A) и B) нормированы на единицу). С учетом A) и B)
из выражения C) предыдущей задачи находим (% = rR)
Е - ?@> П2
^i да).
(при вычислении интеграла следует учесть, что его значение
определяется, в основном, областью больших г, где подынте-
подынтегральная функция со ехр (— (х„ + x*f') r)). Отсюда и следует
приведенное в условии выражение для энергии уровня; при этом
При х^ > | R^2 @)/aQ | сдвиг уровня мал и полученный ре-
результат переходит в 4.29. Отметим в заключение, что рассмат-
рассматриваемое состояние является истинно связанным лишь при
у.п > 0, в противном случае уровень является виртуальным*).
4.31. Имея в виду уравнение для функции Грина, ее убы-
убывание при г-»-°о и поведение оо 1/г при г-»-0, замечаем, что
в. ф. связанного состояния в потенциале U (г) при наличии п. н. р.
имеет вид
Vn (г, Еп) = СпО0 (г, 0; Еп) = С„ -?ьг\т + Л (Еп) +...], A)
г_^о 2я7г L т J
С„ — нормировочный коэффициент (при этом существенно огра-
ограничение rf/(/•)->0 при г-+0 на потенциал; иначе указанное раз-
разложение не справедливо, сравнить с 4.19, и переход к прибли-
приближению п. н. р. невозможен). Сравнив разложение A) с выраже-
выражением, определяющим п. н. р., см. 4.10, получаем уравнение для
спектра уровней
А (Еа) = - о., B)
которое эквивалентно приведенному в условии задачи.
4) Заметим, что в зависимости от величины и знака ао, под
влиянием п. н. р. виртуальный уровень в потенциале U(r) может
стать реальным или, наоборот, реальный уровень может превра-
превратиться в виртуальный.
292
В случае большого значения а0 (в пределе ао->-ео) корни
уравнения B) близки к значениям Е®\ являющимся полюсами
функции Грина и отвечающим спектру в изолированном потен-
потенциале U(t). Имея в виду выражение для функции Грина
О» (г, г , Е) =
m m
замечаем, что при г' = 0, г -v О и Е->Е^
т 1 | 'Р^ @) |2
Отсюда A(En)^2nh2\xP^@)\2/m(E(°)~En), и из B) следует
приведенное в условии выражение для сдвига уровня h.En =
4.32. Указанная в. ф. удовлетворяет уравнению %^ —
— Bm/h ) С/эСо = 0 с потенциалом
2 V-
A)
и отвечает условию появления связанного состояния в таком по-
потенциале в случае5)
j^ V-2m?/(r) dr = j. B)
о
При этом, записав U(r)= O(r)+6U(r), замечаем, что
так что потенциальная яма U(r) мельче, чем О (г). Отсюда и
¦следует утверждение задачи.
Для прямоугольной потенциальной ямы глубины ?/0 и ши-
ширины а рассматриваемое необходимое условие принимает вид
¦Uo ^ Л?я2/8та?, что совпадает с точным условием существова-
существования связанных состояний. Для экспоненциальной ямы, U =
=—Uoe-r'a, получаем та2U0/h2 > Я2/32«0,31, сравнить с 4.21.
4.33. У. Ш. в двумерном случае для состояний с т = 0
ш энергией Еп 0 имеет вид (ц — масса частицы)
+ 7 -Ь + Ж
Ж (V - и
5) Это соотношение обеспечивает выполнение граничного
условия зсо(О)=0; об условии на бесконечности см. 4,25.
а) Решение уравнения A) для б-потенциала при ?л0 =
=— Н2м?/2т < 0, ограниченное в нуле и равное нулю на беско-
бесконечности, имеет вид: W(p)= cJotyp) при р<аи?= с2К0(хр}
при р>а (Ко— функция Макдональда). Условия сшивания ре-
решения в точке р = а, такие же как и в 2.6, приводят к соот-
соотношению
х [Kf0 (х) /0 (х) - Ко (х) /о (х)] = - Bцсш//г2) Ко (х) /0 (х), B>
х = ха, определяющему спектр. Используя значение вронскиана
W(I0(x), Ko(x))=—\/х, запишем B) в виде
Ко (хо) /о (ха) = 1/g, 1 = 2цаа//г2. C>
Рассмотрим сначала случай, когда уровень имеет малую-
энергию (%a<Sl). Используя асимптотики /0(г) « 1 + 22/4 и
Ко (г) да1пB/уг) при г->0, имеем6) из C)
In B/хуа) да 1/1, или ?00« —BA2/nY2a2)e^2/i, D>
причем ^<С1, т. е. уровень с малой энергией связи может быть-
только в случае мелкой ямы. Это означает, что в б-яме имеется
только одни уровень (с т = 0), как н в одномерном случае.
С увеличением а уровень понижается н при ?^1 его энергия
Еоо&—|ха2/2Й2, что легко получить нз C), если воспользоваться
асимптотиками Ko(z) и Io(z) при z->°o.
б) Решение уравнения A) для прямоугольной потенциаль-
потенциальной ямы имеет вид
Г с/ {/ф), р < а, k = д/2ц (?/0 - ? 0 ) h* ,
v
Из непрерывности Ч*1- 0 и Y- 0 при р = а следует
Р Р
х/0 (ka) Kq (ха) = kJ0 (ka) Ко (ха), F)
что является уравнением для спектра уровней с т = 0.
В случае мелкой ямы, ? = |ха2?/0/Я2<1, аргументы цилин-
цилиндрических функций в F) малы. Так как
/0(х)я»1, /й (х) » — х/2, Ко (х) да In B/y*), К'0(х)ж— 1/х
при д;<С1, то уравнение F) принимает внд
в) Здесь y = 1,781... — постоянная Эйлера.
264
Это уравнение имеет только один корень
жоторый легко найти, если заметить, что из G) следует I Еп 0 I <€.
-<€. UQ, и пренебречь I Еп о I по сравнению с Uo.
Таким образом, в мелкой двумерной яме, как и в (симмет-
(симметричной) одномериой) всегда имеется одно связанное состояние.
Однако теперь глубина залегания уровня, как видно нз D) и
(8), мала по сравнению с глубиной ямы уже экспоненциально.
4.34. У.Ш. принимает вид (Чп т = Rn , m ,е'тф/л/2я")
A)
а) В случае U = —а/р уравнение A) имеет такой же вид,
жак и уравнение (IV. 6), отличаясь от последнего лишь заменой
7+1/2 на \т\. Соответственно, используя известное выраже-
выражение для уровней энергии в кулоновском трехмерном потенциале
я заменяя в нем /+ 1/2 на \т\, находим
¦Отсюда видно, что в двумерном поле U = —а/р, как и в трех-
трехмерном U = —а/г, имеет место случайное вырождение, так как
энергия зависит только от комбинации пр + | т \ квантовых чи-
•сел /ip и т. Если ввести квантовое число N = лр + | т \ + 1
(аналог главного квантового числа п в кулоновском поле), то
выражение B) можно записать в виде
EN = - ца2/2А2 (V - 1/2J; N = 1, 2, ... C)
Этот уровень имеет кратность вырождения §(Л0=2ЛГ—1.
б) Решение уравнения A) в случае бесконечно глубокой
потенциальной ямы при р < а, ограниченное в нуле, имеет
вид
Rnp ! т | = ch m | (*Р). где х
При этом условие обращения в. ф. в нуль на стенке ямы опре-
определяет спектр
\|«|-*4p+l.*/W. D)
тде акт > 0 — /г-й нуль функции Бесселя Jm(a) (в порядке воз-
возрастания а*ш). В частности, учитывая значения aIO«2,40 и
295
an «3,83, находим энергии основного уровня
(для него т = 0) и ?oi«7,33ft2/l"»2 —самого нижнего уровня
с | т |=1. Отметим, наконец, что уровни, отвечающие т = 0,
являются невырожденными, а для |т|т&0 — двукратно вырож-
вырожденными.
4.35. Функция Грина удовлетворяет уравнению
- -^- (Д - х2) GE (р, р') = б (р - р') A)
(х = V—2|x?/A2 > 0). Из соображений симметрии представ-
представляется очевидным, что она является функцией вида Ge(p, p') =
= f(|p — р'|). Прн этом уравнение A) при р ф р' н его ре-
решение имеют внд
где Ко (г)—функция Макдональда (второе независимое реше-
решение, со / 0 (хр), экспоненциально растет при p-vco).
Для определения с проинтегрируем обе части уравнения A>
по кругу малого радиуса s с центром в точке р = р'. Прн этом
в правой части получаем единицу. Интегрирование второго сла-
слагаемого в левой части (с х2) дает нуль при e-vO. Интеграл же
от первого слагаемого преобразуем с помощью теоремы Остро-
Остроградского — Гаусса:
\ ДОЯ dV = dj) vGE dS.
В двумерном случае dV ss dS, dS ^ d\ = n dl7). Так как при
*->0 имеем Ко(х) «In 2/ух, то VK0(xp)« — р/р2 при р->0 н в
результате интегрирования получаем яА2с/|х = 1, так что окон-
окончательное выражение для Ge имеет внд
GE(p, р') = цК0(х|р-р'|)МА2. C>
4.36. Рассмотрение, аналогичное проведенному в предыду-
предыдущей задаче, приводит к следующему виду функций Грина:
Я(?° (Р. Р') = ± ФЯо'¦ 2) (^ I Р - Р' I )/2Й2, A >
где k = ¦\/2цЕ/Н2 > 0, а Н§' 2) (z) — функцни Ганкеля.
7) Обращаем вннманне на то, что орт п (орт «внешней нор-
нормали») перпендикулярен контуру интегрирования. В данной за-
задаче
dl =я n dl = 4U р d<f = p d<f (р = [ р — р' | = е).
296
4.37. Функция Грииа удовлетворяет уравнению
здесь х = л^21Е/Н2. Из соображений симметрии очевидно, что
GE является функцией вида <?е = <?е(|ф— <р'|). При этом из
уравнения A) при ср ф ф' следует
GE = C cos [х | ф — ф' | + а].
Значение С = I/xh2 sin а вытекает из условия сшивания
функции Ge в точке ф = ф' (сравнить с 2.6), а величина а на-
находится из условия равенства функции Грина и ее производной
по ф в точках ф — ф' = ±я, соответствующих одной и той же
точке пространства, и равна а = —хм.
Таким образом, функция Грина имеет вид
GE (Ф. ф') = — / cos [x j ф — ф' | — хя]/хА2 sin хя. B)
Она имеет полюсы в точках х = ±т (т — целые числа, т =
= 0, 1, 2, ...), т. е. в точках Ет = h2m2/2I плоскости комплекс-
комплексной переменной Е. При этом, как и следовало ожидать, поло-
положения полюсов совпадают со значениями энергетических уров-
уровней ротатора.
4.38. Функция Грина является решением уравнения
? = 6(п-п'). A)
Из соображений симметрии представляется очевидным, что Ge
является функцией вида GE = G?(nn'), т. е. зависит только от
угла между векторами п и п'. Соответственно, выбрав направ-
направление полярной оси по вдоль п' и введя обозначения z = ппо =
= cos 0 и Е = A2v(v + 1)/2/, перепишем уравнение A) в виде
A - г2) G'e (г) - 2zG'E (г) + v (v + 1) GE (г) = - -jjj- б (n - п„).
B)
При 9 Ф 0 (т. е. при z ф 1) правая часть B) равна нулю;
решение такого уравнения, как известно [33], можно предста-
представить в виде
GE (г) = С^„ (-г) + c20>v (г), C)
Где ^v (г) — сферическая функция Лежандра 1-го рода. Так
«aK^v(l) = l, a #>v(z)->-oo при z-*—1, то в C) следует по-
положить с2 = 0; значение же с, определяется б-фуикционным сла-
слагаемым в B). Для определения сх рассмотрим предел z -*-. \,
297
положив z«l— 92/2. Уравнение B) при этом принимает вид
совершенно аналогичный уравнению для функции Грина свобод-
свободной частицы в двумерном случае8) (см. 4.35). Так как9)
^v (— z) « B/я) sin (nv) In 9 при z = 1 — 92/2 -> 1,
то, имея в виду результат задачи 4.35, находим значение С] =
= —//2А2 sin jiv и окончательный внд функции Грнна
smw
(- пп')- E)
Нахождение функции Грина по общему методу сводится
в данной задаче к вычислению суммы
с т „ч V K""(n)K'"-(n')
El~E ' F>
I, m
где Ei = Я2/(/ + 1 )/2/ — уровни энергии ротатора, К/т — соот-
соответствующие с. ф. гамильтониана. Воспользовавшись теоремой
сложения для шаровых функций (см. (III. 6)), выражение F)
можно преобразовать к внду
Г / у B/ + 1)Жпп')
Е 2яЯ2 Li /(/+l)-v(v+ 1) ' Kf
l
Используя также соотношение (см. [33, с. 1033])
+
/-о
замечаем, что выражение F) совпадает с E).
8) Такая аналогия не случайна, так как оператор—I2 яв-
является лапласианом на сфере, а малая часть сферы совпадает
с касательной плоскостью. При этом вектор п — п0 приближенно-
перпендикулярен По и |п — по] «9 является аналогом перемен-
переменной р.
9) Этот результат легко получить из известного соотноше-
соотношения [33]
-.(гп-Г) « Г" со. (у + 1/2) р
я J V2 (cos p — cos 9)
замечая, что при 9-»-я интеграл расходится на верхнем пределе»
и вычисляя его расходящуюся часть.
298
Глав
СПИН
5.1. С. ф. 4?s =11 и с. з. sx оператора §х = dxj2 нахо-
находятся из решения уравнения SxyPs = sxy?s :
Ь
или b = 2sxa, a = 2sxb. Нетривиальное решение этой системы
уравнений существует при условии 4s^=l, определяющем воз-
возможные значения (спектр) величины sx = ±1/2. При этом а=Ь
для sx = 1/2 н а = —Ь для sx = —1/2. Нормированные на еди-
единицу, так что /Ws \WS \ = J a |2 + | 6 |2 = 1, с. ф. 4?s имеют вид
Аналогично находим
5.2. Оператор спина s = ff/2 является оператором векторной
{точнее, псевдовекторной) величины н поэтому оператор проек-
проекции его sn на произвольное направление п(п2 = 1) должен вы-
выражаться через операторы компонент sx, sy, sz так же, как
и в случае обычного (неоператорного) вектора, т. е.
*s 1 ^ I
§п = ns = -5- па = — (sin 9 cos ф • d^+s'n 9 sin q> • a^+cos 6 • дг),
где 9, ф — полярный и азимутальный углы направления п. Ис-
Используя явный вид матриц Паули (V. 2), имеем
1 /cos8 easing Л
= 2" \ei«> Sin 9 -cos 9 )'
Значение sn в состоянии Ws ^jy2 = ( j равно
sO e~i<f sin 9
299
Аналогично для состояния с «г = —1/2 находим Sn==—(cos 9)/2
(отметим, что соотношение §п = sz cos 0 аналогично результату
3.11).
Обозначим и»(+) вероятность значения sn = +l/2, при этонг
и>(—)=1 — «/(+)—вероятность значения sn = —1/2. ^Учиты-
^Учитывая, что sn = sz cos 0, находим
¦7) ) = -* [2а> (+) — 1] = sz cos9^
w (+) = ~ A + 2s2 cos 8), a, (-) = 1 A _ 2s2 cos 0).
5.3. Найдем сначала с. ф. XPS =1/2 = ( ) оператора проек-
проекции спина на направление п. Используя явный вид оператора!
Sn, установленный в предыдущей задаче, нз уравнения на с. ф-
получаем соотношение a sin (9/2) = be~i<f cos (9/2). Отсюда, вы-
выбрав а = cos F/2), находим b = ei<f sin F/2), так что спиновая
функция Ws =1y2 принимает внд, указанный в условии задачи;
при этом 0 = 2а и ф = ? определяют искомые полярный и ази-
азимутальный углы.
Выбрав 9 = 2а = я/2 и ф = р = 0, находим с. ф. Ys =1y2.
При 9 = я/2 и ф = я получаем с. ф. ЧГ4 =_i/2 и т- Д-l сравнить
с результатами нз 5.1.
5.4. Взяв шпур от обеих частей приведенного в условии со-
соотношения между матрицами и воспользовавшись тем, что
Sp 0; = 0, Sp 1 = 2, находим
ao=(l/2)Sp3.
Далее, умножив обе части указанного соотношения на матрицу at
справа, опять вычислим шпур. Используя при этом соотноше-
соотношение (V. 3), находим
ak = A/2) Sp (ifefc) - A/2) Sp (d*if).
5.5. (аЭ)ге = агеТ, если л четное, и (а<?)ге = аге~' (а5), если
п нечетное.
5.6. 1) Оператор имеет всего два с. з., равные f i, 2 = a ± 6.
Соответствующие' им с. ф. определяются результатом из 5.3, при-
причем теперь п = ±Ь/6.
300
2) Вид оператора F = F(j) следует из результата 1.22:
P = -j[F(a + b)+F(a-b)]+-^-[F(a + b)-F(a- Ь)\ Ьо.
В частности: Я (фо) = cos (фо/2) + i sin (фо/2) • (— <т"|. Чтобы
V Фо /
спиновые функции ЧГЯ =±1/2 в результате вращения системы
координат перешли в XFS =±1/2> вектор ф0 следует выбрать рав-
равным Фо = (б8тф, — бсозф, 0), см. 3.24, где 9, ф — полярный и
азимутальный углы вектора п. Прн этом R (ф0).— cos (9/2) +
+ i sin (9/2) (sin ф дх — cos ф ау), так что
' cos (9/2)
в согласии с 5.3.
5.7. Из преобразования (по = <Ро/фо)
следует закон преобразования комплексно сопряженной спино-
спиновой функции Ф =°(ф1» Фг):
ф" = (ф*', Ф*') = Ф* (cos *° - i sin -22- п0о) . B)
Отсюда сразу находим, что ф*'*?' = ф*1?.
Используя A), B) и соотношение (V. 3), после простых
преобразованнй находим
V' = Ф*'?^' = cos Фо • V — sin фо • [n0V] + 2 sin2 Щ- ¦ п0 (n0V), C)
что представляет закон преобразования вектора при повороте
системы координат на угол ф0. В частности, прн п0 =@,0,1)
(поворот относительно оси г) из C) следует Vz — Vz и
V'x = cos ф0 • Vx + sin Фо • Vy, Vy = — sin Фо • Vx + cos ф0 • Vy.
5.8. Выражение АарВу$ можно рассматривать как матри-
ДУ ') -Л^аб (Y> 3 )• зависящую от $ и у как от параметров, и за-
записать ее в виде
з
1 2 ci (Y. Р) F>)аб.
') Т. е. положить Л1ав (Y> р) ^ ^ар5ув-
301
где значения Ci(y, P) определяются результатом 5.4. Точно так
же можно разложить и Ci(y, f$). Таким образом приходим к со-
соотношениям
з
">
i
Cik = T
Используя A), нетрудно получить2)
(^2'|ФA))<ФB)|^A)) =
= 1. {(чгB) | чг<1)> (фB) | фA)) + (^B) | S | ЧгП)) (фB) |
= 1 {3 (qrW | тA)> (ФB)
(обратить внимание на скалярный характер всех фигурирующих
в этих соотношениях матричных элементов, см. в связи с этим
5.7).
5.9. Внд искомых операторов непосредственно следует из
результата 1.35:
здесь п2 = 1. Подействовав оператором Ps =1/.2 на произволь-
произвольную спиновую функцию W, получаем с. ф. оператора sn, отве-
отвечающую с. з. sn = 1/2. Выбрав для простоты вычислений W =
-a-
имеем
cos (9/2)
здесь 0, ф — полярный и азимутальный углы направления п,
а значение С = cos" (9/2) выбрано для нормировки спиновой
функции на 1; сравнить с 5.3.
5.10. Внд спиновых функций для S= 1 и S2=±l оче-
очевиден:
2) Подчеркнем, что здесь индексы 1 и 2 нумеруют различ-
различные спиноры, а не различные компоненты одной н той же спи-
спиновой функции!
302
Далее, спиновые функции с Sz = О имеют вид
Из уравнения S21Foo = О следует, что S^Woo = 0, т. е,
Отсюда С[," = — С$\ при этом из условия нормировки спиновой
функции имеем Cq2'=i/V2. Для определения CJ1'2' в A)
при S = 1 удобно воспользоваться условием ортогональности
с.ф. <Чгоо|ЧГ1о> = 0, что дает С{^ = С{^.
Таким образом, нормированные с. ф. Ws, о имеют вид
Спиновые функции имеют определенную симметрию по отноше-
отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц: оии
симметричны при S = 1 и антисимметричны при S = 0 в соот-
соответствии с результатом 3.30 (имея его в виду, выражение B)
для 4?$ s =0 можно было написать непосредственно без вычис-
вычислений).
5.11. Запишем спиновую функцию в виде суперпозиции сим-
симметричного и антисимметричного слагаемых:
1 1
"Рар = -J 1ФаХр + ХаФр] + -J 1ФаХр — ХаФр1- A)
Имея в виду характер симметрии функций Vss (см. преды-
z
дущую задачу), замечаем, что первое, симметричное, слагаемое
в A) отвечает S = 1, а второе, антисимметричное, — значению
S = 0. При этом (считаем спиновые функции <ра и %р> как
и Yap, нормированными на единицу) норма каждого из этих
слагаемых определяет вероятность соответствующего значения S,
так что
w (S = 0, 1) = — (фаХр =F ХаФр) (фаХр =F ХаФр) =
= уAТ|(ф|х>12).
знак -f- отвечает S = 1; наконец S2 = 2w (S = 1).
303
5.12. 1) Так как S2 = ^(ffi +ff2J, то а?^ = —3-f ) = 0)
с. ф. оператора S2 являются также собственными функциями и
оператора ff^, отвечающими с. з., равным —3 (при S = 0)
и +1 (при S = 1).
2) Так как у эрмитова оператора olai только два различ-
различных с. з., имеет место соотношение @102 — 1) (<*1<т2 + 3) = 0
(сравнить с 1.21); отсюда (О\О2J = 3 — 2<Ti<r2.
5.13. Запишем спиновую функцию системы в виде
Имея в виду характер симметрии функций 4?ss , замечаем
,
что Wjp отвечает суммарному спину S = 1, а W~p — значению
S = 0 (сравнить с E.11). Поэтому S2iPap = 2WC^ и соответ-
соответственно
— ^ag ~ ~2 S
Согласно определению С имеем CVa^ = W+g — W~p. Из приве-
приведенных соотношений следует
C=S2-l=-i-(l+a,S2)
(о связи операторов S2 и Oid2 см. предыдущую задачу).
Отметим свойства оператора С. Это — эрмитов оператор.
Спиновые функции 'Vs (S — суммарный спнн) являются его с. ф.,
а соответствующие с. з. равны +1 при S = 1 и —1 при S = 0;
очевидно также С2 = 1.
5.14. Напомним сначала, что «i«2 = —3 + 2S2, Sz =
а) Спиновые функции 4fs являются также с. ф. оператора
f = а + Ьа1а2, отвечающими с. з. fs = a — 36 + 2bS(S + 1); со-
соответственно с. з. оператора Vi равны (Vi)s = F(fs).
б) Спиновые функции W$s являются с. ф. оператора 92,
отвечающими с. з. (V^ss = 2aSz — 36 + 2bS (S -f 1).
s
в) Так как ft^a^ = 2SZ — 1, то, как и в б), функции Ч^
являются с. ф. V3, а с. з. равны (V3) = — a + 2aS^ — 36 +
+ 26S(S+1).
304
г) Найдем вид оператора
в SSz-представлении, где он является матрицей с элементами
(s'Sg | Р4 | SSzy Используя в матричных элементах следующую
нумерацию состояний, определяемых квантовыми числами S, Sz:
S=l, Sz=l->1; A,-1)^-2; A,0) -*3; @, 0) -> 4,
и учитывая
ходим
явный
А
0
0
0
внд
0
В
0
0
спиновых
0
0
С
Е*
0
0
Е
D
•
функций
A = ai
В = -
С=Ь,
Е=Е*
Vss
+ а2-\
Cti — С
D =
= fli -
(см. 5.10), на
Vb,
h + b,
-36, °
-а2.
Унитарным преобразованием эта эрмитова матрица может
быть приведена к диагональному виду, непосредственно опреде-
определяющему ее с. з. Из вида матрицы V± легко заключить, что два
еес. з. равны (V4)i = '4 и (^J = В и им отвечают с. ф., равные
Ws=1 s =i и ^i -1 соответственно. Унитарный оператор (мат-
(матрица), диагонализующий 9^, «перемешивает» лишь состояния
с квантовыми числами A,0) и @,0), и задача отыскания двух
других с. з. сводится к диагонализации двухрядной матрицы
(С Е\
I I. Их легко найти, если учесть, что при унитарных пре-
преобразованиях след и детерминант матрицы не изменяются (см.
1.51); отсюда получаем
, 4 = - Ь ±
5.15. Спин любых п частиц имеет определенное значение,
равное ns. При этом спиновая функция симметрична по отноше-
отношению к взаимной перестановке спиновых переменных любых двух
частиц (сравнить с 3.30). Если же S < N/2 для s = 1/2, то при
N > 2 спиновая функция уже не имеет определенной симметрии
при перестановке любых двух частиц (см., например, 5.19).
5.16. Учитывая, что
305
eo = 3 и что в рассматриваемом состоянии между спинами от-
отдельных частиц нет корреляции и средние значения аа равны
О, I = 1, 2,
— 1, i = 3, a^n+\,
легко находим S2 = (JV2 — AnN + 2N + An2)/A.
При я = 1 и п = N — 1 суммарный спин может принимать
лишь два значения: Si = N/2 и S2 = (N— 2)/2 (N ^ 2), веро-
вероятности которых легко найти, имея в виду значение S2:
w(S = N12) = l/N, w(S=(N- 2I2) = (N - l)/N
(сравнить с 3.29).
5.17. Имеем j2 = ll/4 + 2msz (сравнить с 3.29). Так как воз-
возможны лишь два значения полного момента: / = / ± 1/2, то
значение р позволяет найти их вероятности:
ю (/ + 1/2) = (/ + 2mSlz + 1IB1 + 1),
и; (/- 1/2) = (/- 2ms2)/B/+ 1)
5.18. «Спиновая» функция для состояния с / = 3/2, Jz = 3/2
имеет вид
при этом проекции «/*» и «sz» имеют определенные значения,
равные 1 и 1/2. Подействовав на эту функцию оператором
Т_ = Ix— Uу = jit _ + j2 _, находим (вид оператора /_ для
/= 1 см. в 3.22):
306
множитель 3~1/2 введен для нормировки. Из A) следуют иско-
искомые вероятности в состоянни с/ = 3/2 и Jz = 1/2:
w Aг = 1) = да (sz = -1/2) = 1/3, w(tg = 0) = w (sz=l/2)=2/3
л средние значения 1г = 1/3, s2 = 1/6.
Записав «спиновую» функцию для состояния с 7=1/2 и
1г = 1/2 в виде
2, 1/2 '
и воспользовавшись ортогональностью ее к Ч'з/г, i/г, находим
значения С\ = — V2 , С2 = V2/3 (с учетом нормировки), а с
ними искомые вероятности в состоянии с / = 1/2, !г = 1/2:
ш (lz = 1) = ш (Sz = -1/2) = 2/3, и> (/2 = 0) = w (s2 = 1/2)= 1/3
и средние U = 2/3, sz = —1/6.
Результаты для состояний с 1г < 0 могут быть получены
аналогично и представляются очевидными.
5.19. Возможные значения суммарного спина: S = 3/2 и 1/2.
Теперь набор с. з. S = 1/2, S2 является вырожденным в том
смысле, что при S = 1/2 и данном Sz имеется два независимых
спиновых состояния. Действительно, значение S = 1/2 может
быть получено двумя независимыми (при данном Sz) способами:
1) путем сложения спинов первых двух частиц в их результи-
результирующий спин Si2=0, при этом значение полного спина системы
определяется спином третьей частицей, 2) путем сложения ре-
результирующего спина Si2 = 1 со спином третьей частицы в сум-
суммарный спин S = 1/2. Так как число независимых спиновых со-
состояний при данном S (в отсутствие вырождения по S, Sz)
равно 2S + 1, то общее число независимых спиновых состояний
равно B-3/2+ 1)+ 2B-1/2 + 1)= 8, как и следует.
Вид спиновых функций 4rs=3/2 S =±з/2 очевиден:
Также без вычислений можно указать спиновые функции при
S = 3/2, Sj=±l/2, имея в виду их симметричность по отно-
отношению к перестановке спиновых переменных любых двух час-
частиц, для которых их результирующий спин равен 1 (сравнить
307
с 5.10):
B)
+
Далее, если спиновая функция отвечает результирующему
спииу первых двух частиц, равному Si2 = 0, то она, очевидно,
описывает состояние с S = 1/2. Поэтому
C)
Вторую пару функций ^f/2, ± i/2> линейно независимых по
отношению к C), можно найти, рассмотрев состояния с резуль-
результирующим спнном S23 = 0 второй и третьей частиц:
D)
Отметим, что хотя функции C) и D) линейно независимы,
они прн одинаковых значениях Sz не являются ортогональными.
Наиболее общая спиновая функция состояния с S = 1/2 пред-
представляет суперпозицию функций C), D). Читателю предлагается
рассмотреть состояние с результирующим спином S]3 = 0, также
отвечающее S = 1/2, и убедиться в том, что соответствующая
функция выражается через функции C) и D).
В заключение отметим, что спиновые функции состояний
с суммарным спином S = 1/2 не обладают определенной сим-
симметрией по отношению к перестановке спиновых переменных лю-
любой пары частиц. Так, хотя первая из функций C) антисиммет-
антисимметрична при перестановке спиновых переменных 1-й и 2-й частиц,
при перестановке 1-й и 3-й частиц она переходит совсем в дру-
другую функцию (в — Wfjlt i/2).
308
5.20. Указанные функции легко найти, имея в виду резуль-
результат задачи 5.3, см. также (V. 4):
e(p»r/ft / cos (9/2)
Po, A,-1/2 - BяДK/2 ^ еЩ sjn (g/2)
e«-p,r/* / Sin (9/2) 4
p- k= ~ m ~ BnhK'2 \-el* cos №)) •
здесь 9, <p — полярный и азимутальный углы вектора ро.
5.21. Подействовав на указанную функцию оператором j1,
приходим к выражению A + а/2J (ап) %. Учитывая соотношение3)
[]~г an] = 0 и равенство 1% = 0, приводим это выражеиие к виду
(an) (a/2J %, или C/4) (an) %. Отсюда следует, что f2w = C/4) V,
т. е. / имеет определенное значение, равное 1/2. То обстоятель-
обстоятельство, что указанная функция отвечает значению I = 1, следует
из ее линейной зависимости от вектора п (сравнить с 3.42).
Так как ЧГ*Ч/' = ^(ст)^— %*% — const и не зависит от п,
то распределение по направлениям импульса (или радиуса-век-
радиуса-вектора) является изотропным, как и в случае s-состояния, а усло-
условие нормировки \ w*w dQ = 1 будет выполнено при %*% =
= |а|2+|6|2= 1/4я.
Наконец, из соотношения
j = (w I j I w)= \ %* (9n) ( 1 + Г I (an) X^ == ^ЛХ* ~п~ X
J \ 2 / 2
следует, что вектор полного момента в рассматриваемом состоя-
состоянии точно такой же, как и вектор спина в состоянии со спино-
спиновой функцией %. Соответственно, выбрав л/in % в виде I J и
/0\
II, получим нормированные функции pi/2-состояний с )г =
= +1/2 и —1/2; так
1 /cos9
1 ~ (\\
л/4я \0j
Аналогично можно найти спин-угловую функцию состояния с
\г = —1/2; сравнить полученные результаты с 5.24.
5.22. Приведенные в. ф. являются суперпозициями функций
51/2-состояния % и pi/2-состояния (оп)% (см. 5.21) и поэтому
3) В связи с приведенным значением коммутатора см. также
3.5 и 3.28.
309
отвечают определенному значению /=1/2 полного момента. Ор-
Орбитальный же момент I, как и четность, не имеет определенного
значения. Имея в виду одинаковую нормировку указанных выше
функций, заключаем; что I с одинаковой вероятностью 1/2 мо-
может принимать два возможных значения: 0 и 1. Далее, заме-
замечаем, что VP± = ± -g- ?± (так что проекция спнна на направ-
направление вектора п имеет определенное значение, равное соответ-
соответственно ±1/2). Прн инверсии координат функции х?± взаимно
переходят друг в друга.
5.23. Наиболее общая спин-угловая зависимость в. ф. со-
состояния с / = 1 имеет вид Чгг_1= (сп)х, где сих Уже не за"
висят от п, сравнить с 3.42. Эта функция не отвечает, вообще
говоря, определенному значению /, а представляет суперпозицию
состояний с j = 1/2 и / = 3/2. Чтобы выделить из нее часть,
соответствующую / = 3/2, воспользуемся проекционным опера-
оператором
сравнить4) с 3.36. Легко находим
?/=3/2 = ^/=3/2^ = 1 = ^ с BП + / [nS] ) % A)
в согласии с условием задачи. Читателю предлагается самостоя-
самостоятельно нормировать в. ф. и убедиться в том, что оча ортого-
ортогональна в. ф. pi/2-состояния из 5.21. Отметим, что число незави-
независимых функций Чг;=1 равно 6 (три независимых способа выбора
вектора с и два — спинора %); независимых же функций вида
A) лишь 4, так как они получаются исключением из VPWi двух
независимых функций5), отвечающих / = 1/2.
Функция ~Vi=i при выборе с = @,0,1) и O^ln J описы-
описывает состояние с U = 0 (см. 3.18), sz = 1/2 и соответственно
с }г — 1/2; при этом / не имеет определенного значения. Функ-
Функция же A) для таких сих имеет вид
j / 2 cos 9
4) См. также 5.24.
5) Заметим, что функцию A) можно записать в виде Ч^з/г13
= nVa, где спин-векторная велнчииа Va = Bс — i [cff]) %a. Такой
спин-вектор удовлетворяет дополнительному условию <iVa = 0,
соответствующему исключению состояний с j = 1/2 (сравнить с
5.27).
310
и описывает состояние с / = 3/2, 1=1 и \г = 1/2 (так- как Р/
коммутирует с операторами Г2 и fz, то с. ф. последних н после
действия Pj остаются их с. ф.).
Аналогично можно найти в. ф. и других р3/2-состояний. Так,
выбрав с =(l,i,0) и % = l J, получим УР^/г, ьз/2 и т. д.;
сравнить с результатом 5.24.
5.24. 1) Рассмотрим спин-угловую функцию вида V =»
(Y. (9, ф)\
= | т 1 описывающую состояние частицы с определен-
4 0/
иыми значениями /, т, sz = 1/2 н jz = т + 1/2. Она не являет-
является с. ф. j2, а представляет суперпозицию состояний с / = 1± 1/2
(кроме случая т = I, когда / = / + 1/2). Подействовав на эту
функцию проекционным оператором6) Р,- для состояния с за-
заданным /
?1=1 ± 1/2 = (I + I/2 ± I/2 ± S 0/B/ + О
и учтя соотношения, аналогичные (III. 8):
I.+1. A)
легко находим явный вид искомых функций:
, I, lr=m+l/2-C\P 1 + 112?—
где коэффициенты С\, 2 выбраны из условия нормировки в. ф. иа
единицу. Из B) видна ортогональность функций:
</ь /, jz\h, I, W> = 0. гДе /i, 2 = / ± 1/2.
2) Очевидно ^1+1/2,1, t+ip— 1 П )¦ Подействовав на эту
функцию оператором 7". гдеи = / + 1/2 — /г, получим Ti+1/2>/,/ .
6) Вид которого следует из 1.35, если учесть при этом также
3.27. - -
3U
Учитывая, что J_ =* Т_ +§_, li =0, и поэтому
11 =¦?" +n?n_~1s_,
а также соотношения A), приходим к уже известной из B)
функции
1
Q I —
5.25. Утверждение задачи можно проверить непосредствен-
непосредственным вычислением, но проще его подтвердить следующим рас-
рассуждением, основанным на коммутативности операторов7) j{
и (<тп) и псевдоскалярном характере последнего.
Пусть Wjj i — с. ф. операторов j2, Т2, /г, причем 12 = j — 1/2.
Эта функция имеет определенную четность, равную /2 = (—1) .
Рассмотрим теперь функцию
Для нее легко находим
Т2^ = р (an) ?/г2/2 = (an) №ця,я = / (/ + 1) Т.
?Ф = Г(оп) ?/уг = - (вп) Лг//Л = (-l/2+1 Ф.
Отсюда следует, что *F также является с. ф. операторов Р,
/z, /, причем четность ее противоположна четности в. ф. Vyj у .
Так как при данном /' возможны лишь два значения /, равные
/ii2=/±l/2, а четность состояния равна (—1)', то \Р отвечает
значению / = / + 1/2. Таким образом, функция \Р является с. ф.
операторов j2. Р. 4> так чт0 ^/Z / — ^ = (•">) Т//2/в- ОтМ€"
тим, что после усреднения по спиновому состоянию частицы воз-
возникает соотношение
7) Сравнить с 3.5 и 3.28.
312
выражающее одинаковый характер угловых распределений (по
направлениям п) в состояниях с в. ф. 4%, , и ?»/ , .
Теперь легко сообразить, что
*//,. к-± 1/2 = 0/V2) (i ± (Sn)) ч/Ия,
н, учтя явный вид функций ЧГщ из предыдущей задачи, найти
х-1/2 = V
cos (e/2)
2/ТГ
cos F/2)
. . ч / cos F/2) \
+ V/ - т sin (в/2) е-'% ,,}( . ),
Z'm+l/4et(I)sin(e/2) У
Х- -1/2 = V
Sin <e/2) Ylm ~
27ТГ W/ + m+1 Sin <e/2) Ylm
sin (в/2)
- У/-/П cos (Q/2)e-l<s>Y,
где от = jz—1/2, при этом спиновая часть в. ф. такая же, как
и в 5.3.
5.26. Для s = 1 описание спиновых свойств частицы с по-
помощью симметричного спинора i|)a^ аналогично рассмотрению со-
состояний с суммарным спином 1 в системе из двух спинов с s =
= 1/2, сравнить с 5.10, 5.11. Отсюда, по аналогии с соотноше-
соотношением S = (ofi + e2)/2, сразу следует вид операторов компонент
спина в спииорном представлении:
Связь между в. ф. i|)a^ в спинорном представлении и в. ф. i|)(a)
в Sz-представлении определяется соотношением 8)
¦аР=5> (**)¦?. B)
чающие различным значениям s2, имеют вид
где спинор i|)j является с. ф. оператора $г. Эти спиноры, отве-
отве=-7 = б2%р О)
8) Обратим внимание на двоякий смысл переменной эг в со-
соотношении B): как аргумент в. ф. -ф(sz) она имеет смысл пере-
переменной Яг-представлеиия, а в случае спинора if™^ является с. з.
оператора sz.
313
(сравнить с 5.10), компоненты спинора б? равны б{=б|=1,
6^ = 6f = 0; Из B), C) следует
-ф22 ==-ф (—1), V2 = VJI=il'@)/V2'. D)
Переход для спина s=l к векторному представлению ана-
аналогичен рассмотренному в 3.44 в случае орбитального момента
1 = 1. В этом представлении
Обобщение соотношения B) на векторное представление имеет
вид
Здесь векторы va, являющиеся с. ф. оператора sz, равны9)
4=±1 = =F-^=A, ±/,0), %=0 = @, 0, 1) F)
¦(сравнить с 3.41). Ввиду взаимной ортогональности этих векто-
векторов имеем if) (a) = Vv* (a), откуда следует связь в. ф. в вектор-
векторном н в «г-представлениях:
Ц() г
Ух = (¦ (-1) - + A))/V2, Vy— I (* A)+*(—1))/V2T
С помощью D), G) приходим к соотношениям между спинор-
ной и векторной волновыми функциями
К,--5=-(*-*). Vy = --T=-W + V), Vz = ^2^.
V2 V2
(8)
Более наглядно эти соотношения могут быть записаны в виде
где ga — антисимметричный единичный спинор второго ранга,
компоненты которого равны gu = —g2i = 1, gu = gw = 0, а
9) Отметим, что выбор фазовых множителей в выражениях
C), F) для с. ф. vs , i|)"p прн различных значениях sz соответ-
соответствует принятому в теории момента, см. [1, § 27] (впрочем,
в F) по сравнению с [1] опущен несущественный, общий для
всех векторов vs , фазовый множитель, равиый Л.
314
C= l/V2~; при этом фр = tl>evgpv, причем *2 = ° ВВИДУ симмет-
симметричности спинора фа^. В таком виде связь волновых функций
V и i|)aP очевидна заранее, так как GpS^ является единствен-
единственным (с точностью до множителя, естественно) вектором, который
можно сопоставить спинору i|) . Воспользовавшись также со-
соотношением
получаем
^-L.vcv v = -Jr^
¦Фа» = -1 (-ф°^р + -Ф^а), -ф} = — ¦ф!=-ф12, (9)
• Т .11 9 99
щ = — Ф > г1I==г1)
(значения компонент контравариантного антисимметричного спи-
спинора gav совпадают с gap)-
Обсудим теперь для частицы со спином s = 1 вопрос о спин-
орбитальных с. ф. I Wyj. \ (в различных представлениях). Ко-
I ^ Z/
нечно, в общем виде он решается соотношением из теории сло-
сложения моментов (орбитального I и спинового s = 1 в результи-
результирующий /):
~~ " m (п) | 1, <т>, A0)
где 11, а) — чисто спиновая (т. е. не зависящая от координат)
с. ф. оператора &г, отвечающая с. з. sz = a; напомним, что коэф-
коэффициенты Клебша — Гордана в A0) отличны от нуля лишь при
jz = гп -\- а. В соответствии с формой записи соотношения A0)
коэффициент перед |1,сг> в нем является в. ф. рассматриваемого
состояния в Яг-представлеиии, т. е.
^т(п), т = /г-0. (И)
Если же под |1,а> в соотношении A0) понимать базисные век-
векторы va из F), то оно будет описывать спин-угловую часть
в. ф. частицы в векторном представлении, а заменив 11, сг> на
спиноры из C), приходим к в. ф. в спинорном представлении.
Поучительно, однако, рассмотреть состояния с низшими зна-
значениями /, не прибегая к A0), а исходя лишь из общих соебра-
жений, связанных с трансформационными свойствами в. ф. со-
состояний, отвечающих различным значениям момента (сравнить
с задачами из § 4 главы 3).
31S
Так, для определения вида в. ф. состояния частицы с 1=1
и / = 0 замечаем, что она должна линейно зависеть от век-
вектора п (ввиду 1=1, см. 3.41) н в силу сферической снмметрнн
состояния с / = 0 не должна включать каких-либо «внешних»
векторных или спинорных величин. Отсюда сразу следует вид
в. ф. в векторном представлении 10): V,- = сщ, или V = сп, при-
причем | с | = 1/-у/4я из условия нормировки \ V*V dQ = 1. Ко-
Конечно, этот результат можно получить и из A0) (коэффициенты
Клебша — Гордана для этого случая найдены в 3.39). Теперь
по формулам (9) легко находим в. ф. рассматриваемого состоя-
состояния с / = 1, / = 0 в спинорном представлении
¦" С ""sine, V2 —4=г COS6,
A2)
* ~yFe
где 6, ф — полярный и азимутальный углы направления век-
вектора п, а по формулам D) или G) находим в. ф. в Яг-представ-
лении:
ф A) = У,, _, (п)/Уз~, ф @) = - Yl0 (п)/Уз~,
в согласии с A1).
В заключение сделаем замечание о виде спин-угловых в. ф.
в случае / Ф 0 на примере состояний частицы с / = 1. Теперь
в. ф. включают «внешние» тензоры, характеризующие состояния
с отличным от нуля моментом /, сравнить с 3.41. В частности,
в векторном представлении искомые в. ф. имеют вид
V, = C/8яI/2 [en], Vy_2>, = C/4ЯI'2 eJftnft, A3)
причем из условия нормировки е*Е = 1, sikeik = 1. Конкрет-
Конкретный выбор е(/г), 8;й(/г), при котором векторные функции A3)
10) Примером частицы со спином s = 1 является фотои.
При этом ввиду специфического свойства фотона, связанного
с поперечностью электромагнитного поля, его в. ф. — векторный
потенциал А (р) (в импульсном представлении) — должна удов-
удовлетворять дополнительному условию вида рА (р) = 0 (или
divA(r) =0, см. главу 14). Найденная функция А = /(р)р со-
состояния с / = 0 этому условию не удовлетворяет. Это означает,
что состояний фотона с / — 0 ие существует, и указывает на
невозможность его излучения системой, если ее полный момент
как в начальном, так и в конечном состояниях равен нулю:
«0 — 0»-переходы запрещены.
316
описывают состояния с определенным значением /г, определяется
результатом нз 3.41. Вид в. ф. в других представлениях может
•быть найден, как и выше в случае / = 0.
5.27. Для частицы со спином s = 3/2 описание спиновых
свойств с помощью симметричного спинора ^а^у аналогично рас-
рассмотрению состояний с суммарным спнном 3/2 в системе нз
трех спинов с s = 1/2, сравнить с 5.19. Так же как и в преды-
предыдущей задаче, имеем
saPv _ _L (aa 6P6V 4- бавэ 6V 4- 6абМ )
SHVT — 2 \ И v°t ^ °ц v°x > on°v" x)"
¦ '"-¦(}). ¦'"--^¦(j).
(здесь приведены лишь независимые компоненты спинора).
Переход к спин-векторному представлению осуществляется
с помощью отмеченной в предыдущей задаче (см. формулы (9))
связи спинора второго ранга с вектором:
Отсюда автоматически вытекает дополнительное
capV^ = 0. Операторы компонент спина в этом представлении
имеют вид (сравнить с предыдущей задачей)
Для определения вида в. ф. состояний с / = 1 и / = 1/2
следует учесть, что они должны линейно зависеть от вектора п
и от «внешнего» спинора %а, задающего состояние системы с мо-
моментом j = 1/2. При этом выбор спинора %а в виде б" и б™
соответствует состояниям системы с \г = 1/2 и —1/2. Волновая
функция состояния частицы с / = 1/2, / = 1 в спинорном
представлении имеет наиболее простой вид для «смешанных»
и) Доказательство его основано на использоваинн соотно-
соотношения
В равенства ф„р =0.
317
(с ко- н контравариантными индексами) компонент спинора
^ = с { п« V + n«PYxa -1 (n«<V%4 + n° V6?) } D)
/здесь учтены как симметричность спинора по верхним индек-
индексам, так и равенство ^ = 0 для спинора i|>Yp = grYVtaPv). He
останавливаясь подробно на анализе в. ф. состояния в яг-пред-
ставлении, ограничимся видом лишь одной компоненты:
* (а =+т)=*П1 =¦ - *" = ~2С sin ее~'ф*'
(пропорциональность ее шаровой функции Ki, —i(n) и компоненте
спинора^1, отвечающей значению /г =+1/2, очевидны заранее
из физических соображений, так как /= 1/2, / = 1, }г = т-\-а,
а a = +3/2).
Спин-векторная в. ф. Va состояния с /= 1/2, 1= 1 может
быть найдена по формулам B), D). Воспользовавшись соотно-
соотношением
(сравнить с (V. 3)), получаем
Р = 1^1 (ГBп - / [nS]) x°. E)
Это выражение можно получить несколько иным способом. Для
этого заметим, что наиболее общий вид спин-вектора, завися-
зависящего линейно от п и х"> есть
При этом дополнительное условие <*ауУу = 0 приводит к соотно-
соотношению С! = 2icr, отсюда и следует E), сравнить также с 5.23.
5.28. Спиновая матрица плотности 1-й частицы р^/ выра-
выражается через спиновую функцию Wss (<jp a2) системы (<Ti, 2 —
спиновые переменные частиц) согласно общей формуле (V. 5):
at
318
Воспользовавшись явным выражением для ^.js из 5.10,
находим
A)
Сравнивая A) с общим выражением (V. 6) для р, замечаем,
что в состояниях с S = 1, S* = О и S = 0 вектор поляризации
Р = 0, т. е. имеем полностью неполяризованные состояния. В слу-
случае Sz = ±1 уже Р = @,0, ±1) так что |Р|=1, т. е. имеем
полностью поляризованные состояния; при этом спиновое состоя-
состояние является «чистым» и р2 = р (это связано с мультипликатив-
мультипликативным видом спиновой функции при 5г = ±1). Матрица плотно-
плотности 2-й частицы имеет такой же вид, как и для 1-й частицы.
Выражения A) можно было бы написать и без вычислений,
имея в виду способ решения, использованный в следующей
задаче.
5.29. Спиновая матрица плотности имеет вид р = A/2)A +
-f-Pcr), где Р = 2s — вектор поляризации. В данной задаче его
легко найти, если воспользоваться результатом из 3.40а):
Р - оГ_ /(/+l)-/(/ + D + s(s+lO
Н~ *~ /(/+1) j>
так что12) Р = @, 0, ±/г/(/ + 1/2)), где знаки (±) относятся
к значениям у = / ± 1/2. В случае /г = ±/ при / = / + 1/2
имеем |Р|= 1 и спиновое состояние является «чистым».
5.30. Спин пиона 1п = 0, так что полный момент / двух
лнонов в с. ц. и. (она же — система покоя А") совпадает с мо-
моментом L их относительного движения, / = L, и он же (в силу
сохранения момента) равен спину частицы Ja, т. е. 1л = L. Да-
Далее, четность системы из двух пионов (в с. ц. и.) равна -Ргл"^
= (—1)^ Рп.Рп. = (—1) А, здесь (—1)*" — орбитальная четность
лары. В силу предполагаемого сохранения четности, внутренняя
четность РА частицы Л° должна быть равна РА ~ Р2Л = (—1) А.
Таким образом, для частицы Л° возможны лишь следующие
квантовые числа: /^ = 0+, 1~, 2+, ...
Если частица Д° находится в состоянии с определенным зна-
значением /г, то у распадных пионов Lz = ]г. Фиксирование L = I
12) Сравнить Т с I из 3.10 а).
319
и Lz = Iz однозначно определяет угловую зависимость в. ф. двух
пионов в виде YJt (n) (п = р/р, р — относительный их нм-
пульс). Соответственно угловое распределение продуктов рас-
распада имеет вид dw/dQn =* I YfJ (n) р см. также 5.32.
5.31. В силу сохранения момента для системы пионов из рас-
распада L = 0. При этом двухпионная система имеет положитель-
положительную четность (сравнить с предыдущей задачей). В то же время
для системы из трех пнонов с L = 0 (в с. ц. и.) орбитальная чет-
четность положительная, см. 3.47, а внутренняя и соответственно
полная четность системы — отрицательная (четность является
мультипликативной величиной). Существование у одной и той же
частицы двух каналов распада с различной четностью конечного
состояния указывает на ее несохраненне.
5.32. а) В силу сохранения момента у частиц—продуктов
распада орбитальный момент относительного движения L = I
и Lz = Iz, что однозначно определяет угловую зависимость в. ф.
в виде Yjj (n) (п = р/р, р — относительный импульс распадных
частиц), а с нею и угловое распределение частиц в распаде
dwfdQn = | Yjjz (n) |2
б) Пусть с(т) (m = J,J — 1 —/)—нормированная спи-
спиновая в. ф. распадающейся частицы в /г-представлении. Она же,
в силу сохранения момента, описывает состояние частиц — про-
продуктов распада. Соответственно угловая часть в. ф. имеет вид
а угловое распределение частиц в распаде описывается выра-
выражением
dw
с (m) YJm (n)
2
m, m'
A)
Искомое угловое распределение получается из A) заменой
стс*т, -> pmm/ = с (от) с* (от'), где р —поляризационная матрица
плотности распадающейся частицы. В частности, в случае 1=1,
воспользовавшись явным видом шаровых функций (III. 7), по-
получаем
3 (, , . .
— 2 Re р, _, • cos 2ф • sin2 в + 2 Im p, _, sin 2ф • sin2 в —
— V2~ Re рм • cos ф • sin 26 + л/2 Im pi0 • sin ф • sin 26 +
+ V2~ Re p_,0 • cos ф • sin 26 + л/2 Im p_10 • sin <p • sin 26}, B)
320
где 0, Ф — полярный и азимутальный углы вектора п; рп + р00 +
-}— р 1, 1 = 1 (для полностью неполяризованного состояния
имеем р« = 6;s/3 и углевое распределение изотропное).
5.33. Прежде всего установим вид спин-угловой зависимости
в. ф. jtN-системы с моментом /= 1/2. Так как у пиона /? = 0~,
а у нуклона 7^=1/2+, замечаем, что при данном значении /
полного момента орбитальный момент L может принимать лишь
два значения: L = / ± 1/2. При этом четность jtN-системы равна
так что фиксирование / и PnN однозначно определяет L, Учи-
Учитывая сказанное, находим:
а) L = 0 при Рв = —1, так что в. ф. 1If'IxN -системы не за-
зависит от углов и ее спин-угловая зависимость имеет тривиаль-
тривиальный вид: Ч" ' = 5C*N', причем в силу сохранения момента спи-
спинор %<N> совпадает со спинором %' ' описывающим спиновое со-
состояние частицы В. Так как в. ф. не зависит от углов, то угло-
угловое распределение продуктов распада является изотропным.
б) Теперь L = 1 и спин-угловая часть в. ф. имеет вид
ip"N = С (On) х> где п = р/р и х = %'В'> см- 5.21. Угловое рас-
распределение пионов описывается выражением 13)
dw м (ipnN)* ipnN _ |С |2 Х(В)* (onJ х(В)=| С \2х{В)* %{В)= const,
т. е., как и в случае а), является изотропным (об одинаковой
зависимости угловых распределений при /. = /±1/2 см. 5.25).
Наконец, в случае в) в силу несохранения четности четность
лМ-системы не имеет определенного значения и соответственно
спин-угловая зависимость в. ф. представляет суперпозицию в. ф.,
рассмотренных в а), б):
iFnN = (а + ban) %{В),
а угловое распределение продуктов распада имеет вид
dw
~dQ~C
n) (a -f ban) y}B> =
= Х(В)* (I а |2 + I bf + 2 (Re ab*) (an)) x(B) °°
, 2 Re аб* ,_,
A)
13) После суммирования по независимым спиновым состоя-
состояниям нуклона. Если же в распаде фиксируется спиновое состоя-
ние нуклона, описываемое спинором хС , то
11 В. М. Галицкий и др. 321
здесь, как и в случае б), произведено суммирование по незави-
независимым спиновым состояниям возникающего в распаде нуклона.
Характерным свойством этого распределения является асим-
асимметрия вылета «вперед — назад» пионов в распаде относительно
вектора поляризации Р == <а>в распадающейся частицы В. Су-
Существование такой корреляции между направлениями аксиаль-
аксиального <сг>в и полярного п векторов, неинвариантной относительно
отражения координат, как раз и является проявлением несохране-
несохранения четности в рассматриваемом процессе14).
5.34. а) Так как момент системы / = 0, то спин-угловая
часть в. ф. конечного состояния имеет вид
^/=0= t C%il_tnYl,_m(n)Xm^YJc(n'm)tm (D
т = — j m
(орбитальный момент относительного движения равен / — спину
частицы В, п — единичный вектор вдоль импульса относительного
движения,
— коэффициенты Клебша — Гордана (см. 3.39), %т — с. ф. опера-
оператора компоненты \г спина частицы В). Величины с(п, т) при фик-
фиксированном п можно рассматривать как спиновую в. ф. части-
частицы В в /2-представлении, так что матрица плотности имеет вид
ртт, = Nc (п, т) с* (п, т') =
==17TT(~1)m~m'^-m(nM/^-m'(n) B)
(]V = 4л — нормировочный коэффициент). Отметим, что при фик-
фиксированном п спиновое состояние частицы В является чистым,
так как при этом 2 = р. Если же усреднить 9тт' по всем на-
направлениям п вылета распадных частиц, то с учетом ортогональ-
ортогональности шаровых функций получается естественный результат
5 /=6 ,/B/+1), что описывает матрицу плотности пол-
* mm mm Iх11 '
ностью неполяризованного состояния.
б) Чтобы перейти к этому случаю (см. условие задачи), сле-
следует, очевидно, в B) считать п направленным вдоль оси г. Так
14) Заметим, что примерами распадов такого типа, идущих
с иесохранением четности, являются распады гиперонов на нук-
нуклон и пион, например, А°->-рп-. Читателю предлагается само-
самостоятельно показать, что в таких распадах неполяризованных
частиц у нуклона возникает поляризация, равная
Р = 2 (Re ab*) п/( | а |2 + | Ъ |2).
322
как
то теперь находим
' т, От', О'
Этот результат имеет наглядный смысл. Он означает, что про-
проекция спина частицы на направление п имеет определенное, рав-
равное нулю значение. Это непосредственно следует из сохранения
момента: в условиях задачи (/ = 0) проекция J на любое на-
направление равна нулю, а так как проекция орбитального мо-
момента па направление п всегда равна нулю, то, следовательно,
и проекция спина на это направление также равна нулю.
5.35. Проекция спина частицы В на ось z, направленную
вдоль вектора п3 = ра/Ра, равна нулю. Соответственно в системе
покоя этой частицы распадные частицы b и с имеют орбиталь-
орбитальные момент / = / и его проекцию U = 0 п их угловое распреде-
распределение описывается выражением
(такое же распределение следует из результата 5.32, если для
матрицы плотности ртт' воспользоваться ее видом, установлен-
установленным в пункте б) предыдущей задачи). Так как |
и |Р;(±1) | = 1, то частицы в распаде В-^b + c вылетают пре-
преимущественно вдоль (по или против) импульса частицы а (при
5.36. Спиновые матрицы плотности имеют вид
(аь>A + Р«)
(они описывают спиновое состояние одной из частиц в случае,
когда проведено усреднение по спиновому состоянию другой).
В силу сферической симметрии рассматриваемого состояния
(I = 0) векторы поляризации Ра. ь = 5а, ьп определяются един-
единственным вектором п. Такое соотношение между аксиальным Р
и полярным п векторами, неинвариантное по отношению к ин-
инверсии координат, может иметь место лишь при несохранении
четности в распаде. Если четность сохраняется, то |а, ь = 0 и
спиновое состояние каждой из частиц является полностью непо-
ляризованным.
При несохранении четности в распаде, вообще говоря,
5а, ь Ф 0, но между ними существует соотношение \& = ¦—|ь.
Действительно, так как 7 = 0, то проекция /,- на любое
И* 323
направление равна нулю. Рассмотрим теперь среднее значение
проекции полного момента
на направление п. Так как tn = 0, то s^a) = — s^ и соответ-
соответственно Ра = —Рь (так как Р = 2s).
Примером рассматриваемого распада, идущего с несохране-
несохранением четности, является %2-распад: п+ ->¦ ц+ + v. В этом рас-
распаде мюон и нейтрино полностью поляризованы, Р = 1, анти-
параллельно своим импульсам.
Глава 6
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
6.1. Стационарные состояния этих систем были рассмотрены
в 2.1, 3.1 и 3.2. Воспользовавшись (VI. 2), находим:
1) Т (х, t) = 4- е~Ш Г3 sin — - е~&ш sin
4 V а
а )
2та2
2) ? (<р, 0 = А [1 - ехр (-2Ш/1) ¦ cos 2ф],
3) ? (9, t) =* 4- П + ехр (-ЗШ/1) ¦ C cos2 9 — 1)]
о
(для определения коэффициентов разложения в. ф. Ч^ по с. ф.
гамильтониана удобно воспользоваться известными тригономет-
тригонометрическими формулами, не прибегая к (VI. 3)).
Через время Т, равное: 1) пга2/2лГг, 2)я//Й, 3) 2я//ЗЙ, рас-
рассматриваемые системы возвращаются в исходные состояния (чи-
(читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о перяо-
дичиости «движения» квантовомеханических систем в общем
случае).
6.2. Разложим в. ф. W0(x) по с. ф. оператора импульса, яв-
являющимся также с. ф. гамильтониана свободной частицы:
с (р) ?р (х) dp, Чр (х)
Используя значение интеграла Пуассона, находим
с (Р) = J ^о (*) К (*) dx = -^= ехР [- (Р ~ РоJ /2ft2]. A)
324
Теперь, воспользовавшись (VI. 2), получаем
Г maW (х - v0tJ + tft3*2* + ta4m2t>oft Bs - po<) 1 ,
P L 2m (a«ft2 + t4*/m2) J' U'
где d0 = po/m. Отсюда (a2 (t) = a2 A + ИЧ2/т2а<))
|ЧГ(х f)P- а|Л|' схрГ (y-p»fJ1 C)
1 ( ' }| o@ PL a2(t) У ( >
Выбрав |Л|2= (яа2)~1/2 для нормировки в. ф. на единицу, на-
находим
jc(t)=[x\W(x, t) |2 dx = vQt, (Дд: (ОJ = a2 A+А2Р/т2а')/2. D)
Так как с(р, t)=exp(—ip4/2mh)c(p) является в. ф. в им-
импульсном представлении, то с учетом A) находим
¦@-S
р | с (р, 0 |2 dp = р„, (Др @)' = Й2/2а2 E)
(независимость импульсных характеристик от времени связана
¦с тем, что для свободной частицы импульс — интеграл дви-
движения).
Результаты C) — E) имеют простой смысл: распределение
по координатам C)—гауссовский пакет, центр которого x(t)
леремещается со скоростью v0 (равной р/т = v); при этом ши-
ширина пакета ~'у(Л*@J увеличивается (пакет расплывается).
Расплывание пакета связано с тем, что импульс (скорость) час-
частицы не имеет определенного значения.
Ширина пакета увеличивается вдвое за время ta = уЗ та2/Н.
Приведем числовую оценку ta в двух случаях. 1) Для микро-
микроскопической частицы с массой т = 10~27 г (электрон) при a =
= 10~8 см (атомные размеры) имеем <о~Ю~16 с. 2) Для малой,
:но уже макроскопической частицы с т = 10~6 г при a = 10~2 см
находим ^о~1017 с ~ 1010 лет. Подчеркнем, что особенно быст-
быстрое расплывание пакета с первоначально «узкой» локализацией
As@) связано с соотношением неопределенности Др-Дх^ЗЙ
(и так как расплывание определяется неопределенностью Av ско-
скорости, то оно особенно ярко проявляется при уменьшении массы
"частицы). Как видно из D), ширина пакета удовлетворяет со-
соотношению (\x(t)J^ (ht/maJ.
6.3. В произвольный момент времени
V(x, O=.Jc(?)exp(--i|i-)TB(x)d?, A)
325
и убывание {^(х, t)\2 при t->-oo представляется очевидным:
ввиду быстрой осцилляции подынтегральной функции (ее веще-
вещественной и мнимой частей) происходит взаимная компенсация
вкладов соседних областей интегрирования. Убывание | Ч? (х, t) |г
означает, что частица при t -*¦ оо уходит на бесконечно большое
расстояние. Это соответствует иифинитному характеру движе-
движения в классической механике. Отметим, что одновременно с
уменьшением плотности вероятности увеличивается ширина па-
пакета— он расплывается, что и обеспечивает сохранение норми-
нормировки в. ф. (в качестве иллюстрации см. C) из 6.2).
6.4. Разложив 4J'o по с. ф. гамильтониана, имеем
(x, t) = ехр ( - ^ ) cn?0 (x) +
)
c(E)exp(-iEt/hL E(x)dE, A>
о
где
чти / \ I , it i~. j. 9 9 / /j.9
4^ I 1* I л IV pvn / V 1* I \ A1 ft V / V/71 V HIП In
0 \ / ~~~ ^V/ nrl nil I' '^0 "—^ (\t у П —^ tVjC/ * fr
представляют в. ф. п энергию единственного состояния д. с.
в б-яме, см. 2.7.
Второе слагаемое в A)—вклад непрерывного спектра —
при /—>-оо обращается в нуль (сравнить с 6.3), так что
| ? (х, t = оо) р = | CoWo (х) |2 = щ | с0 |2 ехр (-2и01 д: | ). B>
Выбрав Л = VP Для нормировки в. ф. ^?а на 1 и вычислив
г \ W / v\ \ГГ* /Г1 /7г — О . /v R /v I tt\ ~ 1
перепишем выражение B) в виде
определяющем распределение по координатам частицы при
(-юо. Оно нормировано на значение
оо
w= \ W (x)dx =
— сю
отличие которого от 1 означает, что частица с конечной веро-
вероятностью, равной A—ш), уходит на бесконечность. Для пояс-
пояснения полученного результата отметим, что в общем случае
lim
326
х, t) \2 dx Ф lim [\-W{x,t)\2dx=\.
6.5. В. ф. имеет вид
\^(^--px)]ot(p)dp. A)
При t-+<x> (и д:-»-±оо) фаза в показателе экспоненты сильно
изменяется уже при небольшом изменении переменной р, что
приводит к быстрым осцилляциям и к взаимному сокращению
вкладов от соседних областей интегрирования. Наименее ском-
скомпенсированным (а поэтому и доминирующим) является вклад
тех областей интегрирования, в которых фаза как функция р
имеет экстремум и изменяется наиболее медленно. Экстремаль-
Экстремальная точка р0 = mx/t. Вынося из-под знака интеграла значение
«плавной» функции Фо(ро) в этой точке, находим искомый асимп-
асимптотический вид в. ф. при t—>-<x>:
У2яй J L ft V 2m
= -у/ml it Фо (mx/t) exp (imx2/2ht) B)
{очевидно, что она, как и Ф0(р), нормирована на 1).
Отметим наглядный смысл результата B): значение в. ф.
при i*-v оо в точке x-v +оо (так, что x/t = const = v0 = ро/т)
¦определяется в. ф. Фо(р) при р = р0, т. е. именно при таком
импульсе, который должна иметь свободная частица в класси-
классической механике, чтобы за время t сместиться на расстояние х.
При этом выражение под знаком экспоненты в B) есть
iS(x,t)/h, где 5 — действие для такой частицы.
6.6. Функция Грина по переменным х, t удовлетворяет у. Ш.
.для свободной частицы и граничному условию G(x = О, t; x', t') =
= 0. Имея в виду (VI. 7), нетрудно сообразить (по аналогии
с методом изображений в электростатике), что
О (х, t; x', О =
— л I m ~ Г im (х — х'J im (х + х'J \
~ Л/ 2ftiA (t - t') \ 6ХР 2ft (t - t') 6Xp 2h(t-t') Г
Подставив это выражение и Vo из условия задачи в (VI. 5)
и вычислив получающийся интеграл, находим
= А д/^Л-'ш {еХр[2A +H*Wa*)a* X
X (- (х + х0 - Pot/mJ + iht (x + xoJ/ma* + 2ip0a* (x + хо)/П -
- 2ip0x0 (a2 + ft2*2/mV)/ft)] - exp [(x -> - x)] }, A)
327
где ехр [ (х -»—х) ] означает выражение, получающееся из пер-
первого экспоненциального слагаемого заменой в нем х на —х.
В. ф, A) представляет суперпозицию двух волновых паке-
пакетов, первый из которых описывает падающие на стенку частицы,,
а второй — отраженные. В начальные моменты времени в A)
наиболее существенным является первое слагаемое, а при t >
>тх0/ро в случае1) ро>Й/а, наоборот, доминирующим является
второе слагаемое.
6.7. Сначала рассмотрим нормированный на 1 волновой па-
пакет для свободной частицы, в котором представлены с одинако-
одинаковой амплитудой импульсы р = hk из интервала (k0 — х0, йо+х3):.
своб
=- \
-^-(*0 + х)|-4^. A>
2m V ° ' \ л/2у.о
— Ко
При значении Хо'Сйо н для моментов времени таких, что ]^ | -С
¦С 7* = /п/Йх0,
со х2 и найти
¦С 7* = /п/Йх0, под знаком экспоненты можно опустить член
ехр
здесь i'o = hko/m, a— l/x0. Согласно B) |Чгсвов(-<, 0 |2 описы-
описывает волновой пакет, центр которого движется со скоростью Vo.
(находясь в точке х = 0 при ^ = 0); ширина пакета Ах =
= \х — vot\ ~a, причем он не расплывается (в течение лишь рас-
рассматриваемого времени!).
Переходя к рассмотрению отражения пакета от «ступеньки»,,
приведем с. ф. гамильтониана для Е = h2k2/2m < Uo при х < 0:
4+ {Х) = _• (е'** _ в'<Р<*)в-'**), C)
* V2
!) Отметим, что именно в случае po^Ph/a и имеет смысл
характеризовать исходный волновой пакет как описывающий па-
паВ ( ^Й/)
рр
дающую на стенку частицу. В противном случае (при
уже в исходном состоянии частица с заметной вероятностью
(~1) имеет отрицательное значение импульса (сравнить с 1.37),
как и отраженная частица; соответственно характеризовать пер-
первое слагаемое в A) как отвечающее падающим на стенку час-
частицам буквально лишено смысла. Отмеченное различие между
случаями po^>h/a и ро^Л/а проявляется в том, что при
ра ^Н/а первое слагаемое в A) не является пренебрежимо ма-
малым по сравнению со вторым даже при t -*¦ °°.
328
где
q> (k) = 2 arctg л/Е/((/0 - E)
•(это следует из сшивания C) с в. ф.
Ч^ = Л ехр [- д/2т (<70 - ?) х/А]
при д: > 0). Составим теперь из функций C) волновой пакет
W(x,t) таким же образом, как и в A). В результате в. ф. час-
частицы (уже с учетом наличия потенциальной ступеньки) при д:^0
запишется в виде
ЧГ (х, 0 = ?пад (х, t) + ?отр (ж, О- D)
Здесь Ч^ад — часть пакета, связанная с первым слагаемым
в C), совпадает с A) и B) и описывает частицу, движущуюся
к барьеру; она отлична от нуля (напомним: х ^ 0) лишь при
i й5 а/во, пока весь падающий пакет не достигает ступеньки.
Вторая часть пакета, Ч'отр, соответствует частице, отраженной
от ступеньки (она фактически отлична от нуля лишь при t > 0).
Если при интегрировании по х пренебречь изменением фазы ер(&)
отраженной волны, т. е. положить <f(k) « ф(?о), то для Ч;отр
придем к явному выражению, получающемуся из B) заменой х
на —х и умножением на — е!<р(*0'. В этом приближении эф-
эффект задержки частицы при отражении отсутствует. Для уточ-
уточнения результата выполним разложение: <f(k0 + к) «ф(&о) +
-4-ф'(&о)и- Теперь получаем2)
иг (х п , /"а" га (*, П sin [(л: - у' (k0) +
Отсюда следует выражение для времени задержки (.Бд =po/
т = Ф' (А0)/о0 = й/V^o (Со - Ео). F)
Так как т > 0, то при отражении частиц от барьера действи-
действительно просходит их задержка. Это можно понять, если иметь
в виду, что, в отличие от классической механики, частица про-
проникает и под барьер3). При этом естественным является умень-
уменьшение т с увеличением Uo, так что т = 0 при Uo = °°. В за-
заключение отметим, что x<€a/v0, т. е. время задержки мало по
сравнению со временем пролета частицей расстояния порядка
ширины пакета.
2) Очевидное значение фазы а(х, t) мы не указываем.
3) При этом т ~ 6x/v0, где дх ~ h/-\/m (Uo — Ео) — расстоя-
расстояние, на которое проникает частица в глубь барьера.
329
6.8. С. ф. гамильтониана, соответствующие падающим слева
частицам, вне области действия потенциала имеют вид
1
1~~— (е + A (k) е ), х < — d,
1 A>
j^B(k)eikx, x>d,
где k = y2mE/h2, d — радиус потенциала, так что можно счи-
считать U = О при \х\ > d. Рассмотрим нормированный на 1 вол-
волновой пакет (сравнить с предыдущей задачей)
Ко
*<*.'>= Wo+H(W-fi(*o+KJ]^- B>
J L 2m J V2xo
—Ко
При значениях хо<?о, причем настолько малых, что можно счи-
считать
A (ko ± Щ) ~ A (kg) И В (k(j ± Щ) <« В (k0),
а также пренебречь членом сох2 в показателе экспоненты (при:
11 \ <И Т = m/h'KQJ, в. ф. вне области действия потенциала с уче-
тем асимптотик A) принимает вид
•± \х, с) — f пад \х, I) -\- тотр ух, I), x <. а,
(о р
? (ж, 0 = ¦ф'проц, (х, t), х > d,
где4)
ОТР (х, о
ш /j, f л Г" Dik\ cialx- () S'n [(Д: ~
прош (х, Г)
а о0 = Hko/m, а
Интерпретация выражений C), D) представляется очевид-
очевидной. При t < —d/tio существенно отлична от нуля лишь часть-
в. ф. ''Упад, описывающая падающий пакет, еще не достигший-
области | х ) ^ d действия потенциала. При t > d/vo, наоборот^
отличны от нуля лишь части 4?OTV и \Рпрош, описывающие час-
частицу, вылетающую из области действия потенциала. При этом
*) Здесь фаза а (х, t) = kox — b.k\t\2m, см. формулу B) из-
предыдущей задачи.
330
вероятности нахождения частицы в отраженном и прошедшем
волновых пакетах равны соответственно R =\A(k;i)\2 и D =
= |Б(&о)|2 — в согласии со смыслом этих величин в стационар-
лом подходе.
6.9. В. ф. системы будем описывать двухкомпонентным столб-
/ *(>, (t) \
цом ? (/) = I I, где -фг 2 — амплитуды 1-го и 2-го соб-
Ч ^2 (t) J
•ственных состояний невозмущенного гамильтониана Йо, причем
в отсутствие возмущения ij^ 2 = Cj 2 exp (— ief^tlh^. При воз-
воздействии на систему внешнего поля ее новые стационарные со-
состояния (их энергии и в. ф.) определяются из решения у. Ш.
{Но + V) хУе = вУе, которое сводится к системе двух алгебраиче-
алгебраических уравнений для Ч?е = I ):
<ef + Vn - г) а, + Vl2a2 = 0, V2Xax + (е<°> + V22 - в) а2 = 0.
Решение ее дает «возмущенные» уровни 8ь 2 и с. ф.:
A)
/с. ф. ^gj 2, как и следует, взаимно ортогональны).
В. ф. системы при t > 0 имеет вид
где значения с1? 2 определяются начальными условиями. В рас-
рассматриваемом случае, Ч'(О) =f J, находим
м/* +1b I2 e"?2</ft
L_f
l+|6|4
и вероятность перехода системы в другое B-е) состояние не-
невозмущенного гамильтониана
»»W = I *» (о I* = A+^*1»)» sin2 ["яг(в2 ~8l)
Ее величина осциллирует между 0 и u>max = 4|Ь|2A
Значение wmax может быть близким к 1, если матричный
элемелт V12 является достаточно большим. Такая ситуация
331
реализуется, например, в случае5) e(j0' = е?0) (вырожденные
уровни) при Vu = V22 = 0. Как видно из A), при этом в ста-
стационарных состояниях возмущенной системы исходные состоя-
состояния представлены с одинаковой, равной 1/2, вероятностью.
6.10. Имея в виду гамильтониан (VII. 1), по формуле (VI. 4).
находим 6)
v = г= (р — еА/с)/ц, A>
±[8 ]
w =v =
±.[8, v] = -jS + -^ ( [vX] - [Xv] ), B)
где & = — Vcp — дА/с dt, X = rot А, что представляет естествен-
естественное квантовомеханическое обобщение соответствующих выраже-
выражений классической теории (при этом правая часть B) определяет
оператор силы Лоренца РЛор).
6.11. Как и в предыдущей задаче, находим
v = р/ц, w = (Цо/tw) grad (sX (r, t)),
s = «/А) [Я, s) = (jio/As) [sX (r, t)\
(сравнить с соответствующими классическими выражениями для
нейтральной частицы, имеющей магнитный момент ц и собствен-
собственный механический момент М = y.\i, взаимодействие которой.
с электромагнитным полем описывается потенциалом U =
= — РХ (г, t); при этом dM/dt — LBp = [\lX]).
6.12. Усредняя оператор f, находим
T = 0 A)
(здесь учтено, что НЧ?п = Е„Ч?п и под интегралом Ч^Я ... =
= (ffVV ... ввиду эрмитовости Й).
Учитывая, что dr/dt = р/т и dp/dt = —grad U, имеем
d(pr)/dt = pr + pf=2T — vU B)
и согласно A) для средних значений получаем ТПп = vUnn/2, что
и представляет квантовомеханическое обобщение теоремы вириа-
ла классической механики (в которой усреднение проводится по^
5) Отметим почти вырожденные 2s- и 2р-состояиия атома
водорода, значительные переходы между которыми возникают
уже в сравнительно слабом электрическом поле. Это, в свою-
очередь, приводит к существенному влиянию электрического поля
на время жизни метастабильного ^-состояния, см. 11.62.
') Не путать векторное произведение с коммутатором!
332
времени). Отметим, что полученное соотношение справедливо и
для системы из произвольного числа частиц, если взаимодей-
взаимодействие их друг с другом и с внешним полем описывается степен-
степенными потенциалами с одинаковым показателем v.
Приведем еще один вывод теоремы вириала, основанный на
использовании соотношения A.6). Для этого заметим, что сте-
степенной потенциал U = ± <xrv характеризуется только одним
размерным параметром а. Так как из трех размерных парамет-
параметров fi, т, а можно лишь единственным способом составить ком-
комбинацию, имеющую размерность энергии, е0 = a (h2/tna)v'^v+
и нельзя образовать ни одного безразмерного параметра, то для
с. з. гамильтониан^ Й = —(h2/2m)A -f U, относящихся к д. с, из
соображений размерности следует Еп = С (л, v)e0. Замечая, что
U = адЯ/да, согласно (I. 6) получаем
ппп = а дЕп1да = 2?n/(v + 2).
Из этого соотношения и равенства Е„ = Тпп + Ппп непосред-
непосредственно следует утверждение теоремы вириала.
6.13. Усредняя соотношения [ра;, xbk] =—iMabbikU dxaiXbkldt =
— (i/h\i) {paiXbk + xaipbk) (индексы a, b нумеруют частицы) по
состоянию д. с. с в. ф. Wn с учетом равенства нулю второго сред-
среднего, находим прн I = k (без суммирования!)
Z {<« I Ki I m> <m I hi I «> + H Чг I m> <m \Pat I ">} = iMab d >
m
(здесь использовано условие полноты 2_, \m){m\ = l\. Учтем
m )
теперь, что ро = (г'ц/й) [Н, га], и поэтому
(ш I Pal I n) = (*|i/A) (Em - Еп) (т | xal \ п). B)
Так как d = е^ та, то после умножения A) на е2, подстановки
а
в него B) и выполнения суммирования по а я b (по всем час-
частицам) приходим к приведенному в условии задачи правилу
сумм.
6.14. Из условия неизменности гамильтониана следует OR —
— ЙО = 0, и если записать унитарный оператор в виде О =
= exp(iF), где Р — уже эрмитов оператор, то, очевидно, и
[F, Я] = 0. Соответственно если dP/dt = 0, то Р является опе-
оператором сохраняющейся (во времени) величины — интеграла дви-
движения системы. Подчеркнем, что существование таких интегра-
интегралов движения связано именно с симметрией взаимодействия (га-
(гамильтониана) — его неизменностью при соответствующем преоб-
преобразовании координат системы — и не зависит от конкретного
вида взаимодействия.
333
а) Оператор сдвига О = exp(iaP/ft), см. 1.7; его коммута-
коммутативность с Я эквивалентна условию [Р, Я] = О, означающему со-
сохранение импульса системы, Р = ^Г р„.
п
б) Оператор вращения координат 0 = exp (iq>Jj), где
J = L + S — оператор полного момента системы. Коммутатив-
Коммутативность О с Я эквивалентна условию [J, Н] = 0, означающему со-
сохранение полного момента системы (если же взаимодействие не
зависит от спина, то инвариантность гамильтониана относительно
вращения координат приводит к сохранению как орбитального,
так и спинового моментов в отдельности).
в) Для преобразования отражения координат OW(rn)^
= Ч'(—г„) из коммутативности О с Я следует сохранение чет-
четности.
Гамильтониан любой замкнутой системы частиц инвариан-
инвариантен относительно рассмотренных выше преобразований, что свя-
связано со свойствами свободного пространства: его однородностью,
изотропией и эквивалентностью правого и левого (последняя
инвариантность и соответственно закон сохранения четности на-
нарушаются так называемыми слабыми взаимодействиями). Внеш-
Внешнее поле изменяет отмеченные свойства пространства. Соответ-
Соответственно гамильтониан системы во внешнем поле уже не обладает
такой высокой степенью симметрии. Однако отдельные элементы
симметрии и отвечающие им интегралы движения могут иметь
место и в этом случае, см. следующие задачи.
6.15. Гамильтониан Яо системы в отсутствие внешнего поля
имеет наиболее высокую симметрию: он инвариантен относи-
относительно произвольного сдвига, вращения и отражения координат.
Внешнее поле нарушает эту симметрию, так что именно сим-
симметрия потенциальной энергии частиц во внешнем поле
определяет симметрию гамильтониана системы Я = Яг, + Uвнеш
в целом.
В свою очередь симметрия ивнеш однозначно определяется
характером симметрии «источников» внешнего поля и для выяв-
выявления ее следует позаботиться о выборе системы координат,
адекватном симметрии системы (проявляющейся в независимо-
независимости f/внеш от соответствующих координат).
Имея в виду высказанные соображения, явный вид опера-
операторов проекций импульса и момента,
Рг=- ih ? д/dzn, U = - I ? д\дщп.
334
а также сохранение энергии системы в случае dUBxem/dt = О,
приходим к следующим заключениям об интегралах движения.
1) Интегралы движения: Е, Р, L, /. Так как для замкнутой
системы движение центра масс и относительное движение неза-
независимы, то Е, L, / сохраняются не только для системы в целом,
но н для обоих указанных движений в отдельности.
2) Система трансляционно инвариантна в любом направле-
направлении, параллельном плоскости х, у, создающей внешнее поле,
имеет азимутальную симметрию относительно любой оси г, пер-
перпендикулярной плоскости х, у, и зеркальную симметрию относи-
относительно этой плоскости; соответственно
f/внеш ='?lUn(\Zn\).
п
Интегралы движения: Е, Рх, Ру, Lz, I.
3) Система имеет центральную симметрию; интегралы дви-
движения: Е, L, /.
4) Система обладает аксиальной симметрией относительно
оси, проходящей через точки — источники внешнего поля;
^внеш = ^ Un (рп, zn) и интегралами движения являются Е,
п
Lz. В случае когда точки несут одинаковый заряд, имеем7) Un =
= Un(Pn,\zn\) и поэтому сохраняется также и четность /.
5) Если направление сил, действующих на частицы, зависит
от времени, то никаких механических интегралов движения у си-
системы нет. Если же от времени зависят только величины сил (но
не их направление, общее для всех частиц системы), то, выбрав
ось г вдоль этого направления, имеем
^внеш = — 2_, Fп (t) Zn
п
и интегралы движения Рх, Ру, Ьг (а при Fn(t) = const также
и интеграл энергии Е).
6) Система обладает аксиальной симметрией относительно
оси г, направленной вдоль провода, и трансляционно инвари-
инвариантна в этом направлении, так что Увнеш — ^1 Un (Рп) и инте-
п
тралами движения являются Е, Рг, Lz, I (сохранение четности /
отражает зеркальную симметрию относительно плоскости, пер-
перпендикулярной оси z).
7) Ось винта — ось z, шаг винта — а, угол поворота вокруг
оси — ф. Функция
= X! Un
7) Плоскость 2 = 0 проходит через середину отрезка, соеди-
соединяющего точки.
335
инвариантна относительно преобразования фп->-фп + ба, zn->
-*¦ zn + оба/2я при фиксированных значениях р„: при этом
6?/внеш = 0. Это означает, что оператор ?/в„еш, а потому и га-
гамильтониан R, коммутирует с оператором
Следовательно, интегралом движения является комбинация
Lz + aPz/2nh,
а также, в силу <Э[/В„еш/<Э/ = 0, и энергия Е.
6.16. В обоих случаях интегралами движения являются:
энергия Е, проекции полного момента j = I -f- s и соответственно
j2, а в случае а) также четность / и I2.
Так как с. ф. гамильтониана можно выбрать также и с. ф.
коммутирующих с ним и друг с другом операторов, то, оче-
очевидно, в. ф. стационарных состояний в случае а) имеют вид
где ?/7/. — известные спин-угловые в. ф. частицы со спином
s= 1/2, см. 5.24, /,.2 = /±1/2, при этом / = (—I)'1'2, а у. Ш.
сводится к одномерному уравнению для функции f(r).
В случае б) в. ф. стационарных состояний имеют вид
а у. Ш. сводится к системе двух линейных дифференциальных
уравнений для функций /[ и /2; сравнить с 12.5.
6.17. Из условий dfii2/dt = Q следует d(flf2)/dt = 0 и
d (fif\.)ldt = 0, так что f\f2 и /2/ь как и указанные в условии
задачи эрмитовы комбинации этих операторов (если fu 2 — эр-
эрмитовы), являются интегралами движения.
а) Так как Ру = i(PJz-hPx), см. (III.2), то из сохране-
сохранения Рх и /г автоматически следует сохранение и Ру. Это легко
объяснить. Действительно, сохранение Рх означает, что система
обладает трансляционной инвариантностью вдоль оси х, а со-
сохранение Jx свидетельствует о ее аксиальной симметрии отно-
относительно оси z. Наличие этих симметрии автоматически влечет
за собой н трансляционную симметрию вдоль оси у (и в пло-
плоскости х, у вообще).
б) Интегралом движения является также и 7г = —i(JxJy —
— Jyh). Сохранение Jx и Jy свидетельствует об аксиальной сим-
симметрии системы относительно осей х и у, что, в свою очередь,
автоматически приводит к аксиальной симметрии также и от-
336
носительно любой другой оси, имеющей общую точку пересече-
пересечения с указанными осями, и тем самым означает наличие у си-
системы центральной симметрии.
6.18. Учитывая, что Н = p2/2m — For, находим
6] = - F0-4 [(F0) г), ?] = О,
так что среднее значение
G = p (t) — T^t = const.
Это является естественным квантовомеханическим обобщением
результата классической механики, согласно которой при движе-
движении в однородном поле вектор ро = р(О—Fot (так как v(?) =
= v@)-f V0t/m) является интегралом движения и равен им-
импульсу частицы при t = 0.
6.19. Введем сначала оператор / (к) = еХА Ве~кА. Диффе-
Дифференцирование его по параметру Я дает
Аналогично находим производные второго и более высоких по-
порядков: f" (к) =е [А, [А, В]]е~ и т. д. Воспользовавшись
теперь разложением в ряд Тейлора, приходим к искомому соот-
соотношению:
= В + -ip [А, В] + -^ [А, [А, В]]+...
6.20. Вид гейзенберговских операторов координаты и им-
импульса согласно (VI. 9) легко установить, если воспользоваться
результатом предыдущей задачи. При определении же вида этих
операторов вторым способом следует учесть, что из-за линей-
линейности системы уравнений (в данной задаче) ее можно решать
так же, как для обычных, неоператорных функций, так как при
этом не возникает осложнений, связанных с некоммутативностью
операторов. Приведем ответ:
о) для свободной частицы
St{t) = St + (t/m) p, p (t) = р;
б) для частицы в однородном поле
337
в) для линейного осциллятора
?(t) = ? cos at + (р/та) sin at, p(t) = p cos at — mat sin at.
Здесь x, p — обычные шрёдингеровские операторы, с которыми
гейзенберговские операторы совпадают при t = 0.
Покажем, как определяется вид гейзенберговских операто-
операторов из уравнений движения на примере осциллятора. Для него
С учетом значения коммутатора [p(t),x(t)] =—ih уравнения
движения принимают вид
Решение этой системы уравнений дает (а = л/kjtn ):
? (t) = С\ cos at -\- С2 sin at, р (t) = — та [С\ sin at — С2 cos ®t],
а из условия совпадения при t = 0 гейзенберговских и шрёдиы-
геровских операторов следует С[ = х, С% = р/ты.
6.21. Временная зависимость средних значений физических
величин полностью определяется зависимостью от времени соот-
соответствующих гейзенберговских операторов. Учитывая значения
следующих средних в рассматриваемом состоянии:
* = х0, х2 = х\ + а2/2, ^ = р0,
?=Ро+Й2/2о2, ftp + р* = 2х0р0,
находим, воспользовавшись результатами из 6.20:
а) для свободной частицы
xljj=x~(ij=xo + pot/m, p~(F) = p0
(Ддг (ОJ = а2 A + ПЧ21т2а*I2, (Др (t)f = Й2/2а2;
б) для частицы в однородном поле
7G) = х0 + Pot/m + Fot2/2m, JW) = Ро + Fotlm,
(Ах (t)J = а2 A + ti2t2lm2al)l2, (Ар (t)f = h2/2a2;
в) для осциллятора
х (t) = х0 cos at + (ро/та) sin at, p (t) = po cos at — max0 sin
(Дх (ОJ = a2 (cos2 c^ + (Й2/т2ш2о4) sin2 co^)/2.
(Д/? @J = (cos2 at + (тга2аун2) sin2 at) h2/2a2.
Обратим внимание на то, что для осциллятора при значе-
значении а2 = h/ma дисперсии как координаты, так и импульса в рас-
338
сматриваемом состоянии не зависят от времени, а нх произведе-
произведение принимает минимально возможное значение, определяемое
соотношением неопределенности Ддг-Др = й/2. Такие состояния
осциллятора называются когерентными, см. в связи с этим также
10.15. В заключение отметим, что вычисление искомых средних
значений в шредингеровском представлении существенно более
трудоемко, сравнить с решением задачи 6.2.
6.22. Используя уравнения движения (VI. 4) для гейзенбер-
гейзенберговских операторов, нетрудно найти, что
d \pi (t), xk (t)]ldt = 0,
т. е. значение коммутатора не зависит от времени, и так как при
t = 0 оно равно —ihbik, то тем самым доказывается совмест-
совместность коммутационных соотношений с уравнениями движения.
6.23. Используя вид гейзенберговских операторов координа-
координаты и импульса, установленный в задаче 6.20, находим
а) [р (о, х (*')] = - /И; б) [р @, х (*')] = - /Л;
в) [р (t), х (f)] = — ih cos ti>{t — t')
соответственно для свободной частицы, частицы в однородном
поле и осциллятора.
Равенство нулю коммутатора в) для осциллятора при зна-
значениях / — /' = я (п + 1/2) /to (n — целое) имеет следующий
смысл. Пусть в момент времени t = 0 состояние осциллятора
характеризуется малым значением дисперсии координаты (в пре-
пределе Дх->-0), так что координата имеет (почти) определенное
значение. Тогда в моменты времени f = л(п+ 1/2)/со уже им-
импульс имеет (почти) определенное значение (сравнить с резуль-
результатом из 1.30 и выражениями для дисперспи координаты и им-
импульса осциллятора из 6.21).
6.24. Взаимодействие частицы с полем описывается выраже-
выражением U = —?(t)r(t). При этом
dp (t)/dt = (ЦК) [Н, р (t)] = F (t).
Отсюда следует (аналогично классическому случаю)
t
F (*')<«'. A)
Так как при ?->-±оо гамильтониан частицы имеет вид
&(±oo) = p2(-|-ooj/2OT>
то согласно A) получаем
.?(_oo)+-Lp(-oo) \ ?(t)dt + ^\ \ F(t)dt\. B)
339
i|j
Это соотношение, как и A), по виду аналогично классиче-
классическому, которое получается из B) заменой кваитовомеханических
средних величин их определенными классическими значениями,
при этом естественно Е(—оо)=р2(—оо)/2т. Если же рассмат-
рассматривать статистический ансамбль классических частиц с некото-
некоторым распределением по импульсам, то для средних уже в клас-
классическом смысле значений будет непосредственно применимо со-
соотношение B).
6.25. Используя гейзенберговские операторы
й+ (t) = [U (t) — il"lp (г)]/У§яГ, [a (t), a+ (t)] = 1,
запишем гамильтониан рассматриваемой системы в виде
Н (t) = ha> (d+ (t) A (t) + 1/2) — ^ЩпшF (t) (й (t) + &+ (t)).
Уравнения движения для этих операторов
U (t) = 4- [Н И), й (t)} = - Ш (t) + Д^_,
п ¦\J2mhtis
B)
позволяют сразу найти их временную зависимость
Отсюда при ^
a(t)=e~iataia при t -> — оо,
a(O = e"icoiaf, af = din+а при *-> + оо.
Здесь
оо
а=BтЙсоГ1/2 J F(t)e-iatdt.
Для гамильтониана системы получаем
Н (- оо) = Hin = йсо (d^n
Н (+ оо) = Йш (df+df + 1/2).
8) Оператор a+(t) получается эрмитовым сопряжением a(t).
Не зависящий от времени оператор dm играет роль «начального»
условия, при этом для него должно быть выполнено соотноше-
ние [din, d+] = 1.
340
Не зависящий от времени в гейзенберговском представлении
вектор состояния \Ч?у рассматриваемой системы определяется
тем условием, что при t-*-—оо осциллятор находится в основ-
~ 1
ном состоянии, т. е. для него Hin | W) = — Йш | ?). Согласно E)
это состояние является «вакуумным» по отношению к операто-
операторам din, й)+, т. е. |Чг>^ 10, in>, причем ain\0, in> = 0.
Стационарные состояния осциллятора при ?-*-+°° описы-
описываются векторами состояний
In, 0=<я!Г1/2(<1,+ )п|0, f>,
так что коэффициенты в разложении | 0, in) = 2_j cn\ n, f) опре-
п
деляют искомые вероятности переходов осциллятора w@-*-n) =
= |с„|2. Подействовав на обе части приведенного разложения
оператором ain и учтя его связь D) с df, а также соотношение
df \n, f) = V«"|n — I. f).
приходим к рекуррентному соотношению сп = (a/V«) cn_i. Иа
него следует, что сп = {ап/уп\ ) с0. При этом условие норми-
нормировки
@, in |0, in) = ?|с„р=1
п
дает |ео|2 = ехр(—|а|2), и для вероятностей перехода получаем
ш @ -> п) = | а |2" ехр (— | a |2)/«! F)
(распределение Пуассона). Воспользовавшись значением п =
= |а|2, находим
1 (+ оо) = йш (п + 1/2) = Йш (| а |2 + 1/2).
Укажем способ вычисления ?(+оо), не требующий расчета
вероятностей перехода осциллятора. Согласно D), E) имеем
?(+<»)= Я,п + йсо (| а |2 + ad+ + a*dln).
Соответственно если при f-* оо осциллятор находился в своем
п-м квантовом состоянии, т. е. l^^ln, in> (при этом
<чПй1п|т> = <чг|а+|чг> = о),
то
Ё (+ оо) = Е (- оо) + йш | а |2, ? (- оо) = йш (л + 1/2)
(заметим, что среднее значение приобретаемой осциллятором
энергии, равное Йсо|а|2, не содержит постоянной Планка и со-
совпадает с результатом классической механики, см. [26]).
6.26. Пусть система К' движется со скоростью V вдоль оси х
относительно системы К, так что х = х' + Vt, t = t'. Потенци-
Потенциальные энергии частицы в этих системах связаны соотношением
U' (x\ f) = U'(x- Vt, t) = U (x, t).
Унитарный оператор9) О, соответствующий преобразованию
Галилея, находится из того условия, что если волновая функция
^(х, t) удовлетворяет у. Ш. в системе К:
](x, t), A)
то функция xir'(x',t)=O4r(x,t) должна являться решением
у. Ш. в системе К' (и наоборот):
Ш -^ ЧГ' (х', t) = Н'ЧГ = [^ (Л2 + U' (хг, о] *' (*'. t). B)
Так как обе функции XV, W описывают одно и то же фи-
физическое состояние частицы (но по отношению к различным си-
системам координат), то должно бьпь выполнено условие
| ?' (*', t) |2 = | ЧГ (х - Vt, t)\2 = \4 (x, t) |2, C)
выражающее независимость от выбора системы координат плот-
плотности вероятности нахождения частицы в данной точке про-
пространства. Из C) следует, что искомый оператор имеет вид
U = exp {iS (x, t)},
где S(x, t)—вещественная функция. Подставив в уравнение B)
W (xr, t) = exp {iS (x, t)} Y (x, t) D)
н перейдя в нем к переменным х, t, получим
Потребовав, чтобы это уравнение было тождественно A), при-
приходим к системе уравнений
m дх + V ~ ' 2mdx2^2mKdxJ^dx^dt
Из первого из иих следует, что 5 = —mVx/h + f(t), а второе
позволяет найти f(t) и получить
S (х, 0 = - mVx/h + mVH/2h + С E)
^несущественную постоянную С здесь можно опустить).
9) Не путать с потенциальной энергией U(x,t); мы ограни-
ограничились для краткости записи случаем одномерного движения.
342
Найдем закон преобразования волновой функции частицы
в импульсном представлении. Умножив D) на *Рр, (*') (с. ф. опе-
оператора импульса) и проинтегрировав по х' с учетом E), полу-
получаем
ф' (/?', t) = exp t-i^J- + « il^-J ф (p, t), p=spr + mV. F)
Отсюда следует естественное соотношение
w' (p — mV, t) = w (p, t)
между функциями распределения по импульсам частицы в систе-
системах К' и К.
6.27. Пусть в. ф. Чг(г, <) является решением у. Ш.
где А (г, t), ф (г, f) —потенциалы внешнего электромагнитного поля.
Инвариантность у. Ш. относительно калибровочного преобразова-
преобразования потенциалов означает, что если перейти к новым потен-
потенциалам
А' = А + Vf (r, t), Ф' = Ф - ~ ! (г, 0.
то должен существовать такой унитарный оператор О, что вол-
волновая функция у?' = О^?, описывающая то же самое физическое
состояние частицы, что и исходная в. ф. W (но с другим выбо-
выбором потенциалов), и поэтому удовлетворяющая соотношению
|Ч^' (г, ^) |2 = ^(г, f) |2, является решением уравнения Шрёднн-
гера
Ввиду неизменности плотности вероятности, искомый опера-
оператор должен иметь вид
U = exp {iS (r, t)},
где S(r,t)—вещественная функция (сравнить с предыдущей за-
задачей). Подставив в. ф. вида
?' (г, t) = exp {iS (r, t)} V (г, t)
в уравнение B) н потребовав, чтобы получающееся уравнение
совпадало с уравнением A), прнходнм к соотношениям
ctiVS (г, t) = eVf (r, t), ch — S (r, t) = e — / (r, 0-
343
Отсюда находим S(r, t)= ef(r, t)/hc + С, что и решает задачу
(несущественную постоянную С здесь можно опустить). Оче-
Очевидно, что для системы заряженных частиц
& = expf-i-
6.28. При унитарных преобразованиях волновые функции и
операторы преобразуются следующим образом:
?->?'=?/?, f-+f' = UfO+.
В частности, для гамильтониана системы имеем
H'=UHU+. A)
Выясним, какой вид принимает уравнение Шрёдингера при
унитарном преобразовании, зависящем явно от времени. Подей-
Подействовав на обе части исходного у. Ш. оператором O(t), полу-
получаем
Подставив сюда Т' = CY и учтя, что 0+0 = 1, приходим
к уравнению
представляющему уравнение Шрёдннгера с гамильтонианом
Н" = UHU+ + fA (^) U+ = Я' + /А (^-) &+, B)
что и решает поставленную задачу (Й" — эрмитов оператор).
Итак, при зависящем от времени унитарном преобразовании
в соответствие гамильтониану системы Й можно поставить два
оператора: Я' и Я". Для понимания полученного результата
и выяснения роли этих операторов необходимо иметь в виду сле-
следующее обстоятельство. Гамильтониан системы играет, вообще
говоря, двоякую роль: 1) он определяет временную эволюцию
волновой функции в соответствии с уравнением Шрёдингера и
2) в случае его независимости от времени он является интегра-
интегралом движения, при этом его с. з. имеют непосредственный фи-
физический смысл, определяя энергетический спектр системы.
Если исходный гамильтониан Я не зависит от времени, то
при зависящем от времени унитарном преобразовании отмечен-
отмеченные его роли распределяются между операторами Я" и Я':
оператор Я" определяет временную эволюцию волновой функ-
344
ции системы, а оператор Й' принимает на себя роль интеграла
движения (спектры с. з. Й и Й'(t) совпадают).
Если же Й(г) зависит от времени, то гамильтониан утра-
утрачивает роль интеграла движения (энергия уже не сохраняется).
При этом с. з. «мгновенных» гамильтонианов tt(t) и Й'(t) в об-
общем случае не имеют глубокого физического смысла. Оператор
же Й"(t) по-прежнему определяет временную эволюцию10).
Иллюстрацией проведенного рассмотрения является переход
к гейзенберговскому представлению в случае дй/dt = 0, осуще-
осуществляемый унитарным оператором О = exp(i/fr/7i). Прн этом
Й' = Й, Й" = 0 н из у. Ш. в новом представлении следует, как
и должно быть, независимость в. ф. системы в гейзенберговском
представлении от времени.
Унитарные преобразования в квантовой механике являются
аналогом канонических преобразований в классической меха-
механике. При этом соотношение B) для гамильтониана системы яв-
является квантовомеханическим обобщением формулы
Н" (Р, Q,t) = H (P, Q, 0 + |f
классической механики [26, с. 181], выражающей преобразование
функции Гамильтона при каноническом преобразовании, осуще-
осуществляемом зависящей явно от времени производящей функ-
функцией f(t).
6.29. Вид унитарного оператора О = ехр(/1до/), осуществ-
осуществляющего рассматриваемое преобразование, определяется извест-
известным из теории углового момента законом преобразования вол-
волновой функции при повороте системы координат; здесь (о — уг-
угловая скорость вращающейся системы координат относительно
исходной инерциальной системы отсчета. При этом закон пре-
преобразования в. ф. имеет вид
Ч1" (г, t) = exp (iLcoO ? (г, t)=l? (r', t), A)
где ^'(г,^)—в. ф. во вращающейся системе, a W(r',t)—исход-
W(r',t)—исходная в. ф. в неподвижной системе координат. При этом г — ра-
радиус-вектор относительно вращающейся системы, а г' = fir —
радиус-вектор точки пространства в неподвижной системе, кото-
которая в момент времени t совпадает с точкой г. Равенство A)
означает, что значение в. ф. системы не зависит от того,
10) Если же Н", в отличие от Н (t), не зависит от времени,,
то он выполняет обе отмеченные выше роли гамильтониана, см.
в связи с этим 6.29.
345
в переменных какой системы координат (неподвижной г' или
вращающейся г) она описывается").
Найдем вид операторов физических величин в новом пред-
представлении, т. е. во вращающейся системе координат, н их связь
с операторами в исходной, неподвижной системе координат. Опре-
Определим сначала вид операторов радиуса-вектора гНеп@ и импуль-
импульса рНеп@ относительно исходной системы. Используя результат
задачи 6.19 и известные значения коммутаторов компонент г и р
с L, см. (III. 2), согласно общей формуле преобразования опе-
операторов f'=UfU , находим:
*неп (t) = OxU + = UxU + = х cos at — у sin at,
\ )
Уаеп (t) = x sin at + у cos at, iHen (t) = z,
а также
Px,aen(t) = U [ ~ih~fa) u+ = Pxcosat —py sin at,
Py, неп (t) = Px sin at + py cos (at, pZt Hen (t) = рг,
здесь рх = —ihd/дх и т. д., а ось z направлена вдоль век-
вектора (О.
Соотношения B) имеют очевидный смысл и означают12),
что оператор радиуса-вектора частицы является умножением на
г как во вращающейся, так и в неподвижной системах коорди-
координат (компоненты же вектора в этих системах координат раз-
различны и связаны обычными формулами для преобразования век-
векторов при поворотах системы координат). Аналогично соотно-
соотношения C), также имеющие вид формул преобразования компо-
компонент вектора при поворотах системы координат, означают, что
и оператор импульса частицы в обеих системах координат оди-
одинаков и имеет вид р = —ihV'. Точно так же одинаковый вид
в неподвижной и вращающейся системах имеет оператор мо-
момента импульса
AL = [fp] = [Г^
п) Сравнить с задачами 6.26 и 6.27, в которых при соответ-
соответствующих унитарных преобразованиях не изменялась лишь плот-
плотность вероятности.
12) Во избежание недоразумений сделаем следующее разъяс-
разъяснение. До преобразования г является радиусом-вектором отно-
относительно исходной системы координат, при этом г = г. После
выполнения преобразования это соотношение относится уже
к частице во вращающейся системе, а исходный оператор (со-
(сохраняющий свой физический смысл) преобразуется обычным об-
образом, ?' = t/r&+. Это замечание остается справедливым и
в отношении импульса частицы.
346
Гамильтониан же частицы Й = р2/2пг + U (г, t) при пере-
переходе во вращающуюся систему координат изменяется и со-
согласно формуле B) из 6.28 имеет вид
Явр = UHU+— fiwL = |— + U'(r, O-^fiwL, D)
где U' (r,t)= U(r',f)—потенциальная энергия частицы в пере-
переменных вращающейся системы координат. Теперь, имея в виду
соотношение v = г = / [Н, r]/h, нетрудно найти операторы ско-
скорости частицы в неподвижной н вращающейся системах:
= VHen - [<»Г] E)
(сравнить с результатами классической механики, см. [26]).
Наконец, рассмотрим частицу, находящуюся во внешнем
поле, источники которого вращаются с постоянной угловой ско-
скоростью относительно некоторой оси, так что потенциальная
энергия в исходной системе координат U(r,t) зависит явно от
времени. Переходя во вращающуюся вместе с источниками поля
систему координат, согласно D) находим
Существенно, что теперь как U'(r), так и гамильтониан в це-
целом не зависят явно от времени, так что энергия во вращаю-
вращающейся системе координат является интегралом движения; так,
для частицы в электрическом поле циркулярно-поляризованнои
монохроматической волны ?/'(г)=—е&ох.
В заключение заметим, что полученные в данной задаче ре-
результаты являются естественным квантовомеханическим обобще-
обобщением соответствующих выражений классической механики, см.
[26, § 39].
6.30. Связь волновых функций и операторов в представле-
представлении взаимодействия (они снабжены индексом int) со шрёдинге-
ровскими имеет вид
T,nt @ = exp (iHa (t - to)/h) V (t),
f int @ = «Ф C#o (' ~ ^)lh) f exP (~ iBo V - <o)/A)-
При этом если f = f (Д q, t), то f int = f (pint, qint, t).
Продифференцировав A) по времени, получаем уравнение
движения для соответствующего оператора
347
причем
Яа (/),*) = яо;,п4 = я0(Dtatl <?int); />tat (/0) = д <?int (*0) = <?•
Изменение со временем волновой функции системы опреде-
определяется уравнением
^¦^Г^Ы-Щп^Ы' #i'nt = Flnt C)
(такой вид гамильтониана Н^ в представлении взаимодействия
следует нз формулы B) задачи 6.28),
Проиллюстрируем использование представления взаимодей-
взаимодействия на примере осциллятора, находящегося в однородном, за-
зависящем от времени внешнем поле. При этом
а зависимость от времени операторов координаты и импульса
в представлении взаимодействия такая же, как и в гейзенбергов-
гейзенберговском представлении для свободного осциллятора. Соответствен-
Соответственно, используя результат задачи 6.20 для x(t), получаем
*Int =
-F (t)[
x cos и (t-t0)--^ sin a (t~to).-^L]. D)
Для решения уравнения C) с 9int из D) последовательными
итерациями, учитывающими малость внешней силы F(t), под-
подставим в него
Vini(x, t)=V0(x) +^l)(x, t),
где в соответствии с постановкой задачи Чг0(х) —в. ф. основного
состояния осциллятора и W^1)(x,t==—оо)=0 (до включения
силы осциллятор находится в основном состоянии). Теперь с уче-
учетом вида волновой функции, см. (II. 2),
?0 (х) = (па2) -1/4 ехр (- х2/2а2), а
согласно C), D) получаем
lh ~ У{1)(х, t) = -F (t) ei<a{t-U)
at
Отсюда YA) = С, (t) V2 хЧ>0 (х)/а, где
t
F(t')eiat'dt'.
348
Имея в виду, что Wi = V2 хх?0(х)/а является в. ф. первого воз-
возбужденного состояния осциллятора, замечаем, что под действием
однородного поля в низшем порядке по F только в это состоя-
состояние н возникают переходы из основного состояния. При этом
вероятность перехода при /->-+оо оказывается равной13)
оо 2
1 J F @ еш it
что для случая слабого поля согласуется с результатом точного
решения, см. 6.25.
6.31. Действуя на соотношение f4r(q,O)=f?(q,O) слева
оператором ехр (—iRt/h) и учитывая связь в. ф. и операторов
в шрёдингеровском и гейзенберговском представлениях, полу-
получаем f(—t)W(q, t)= fW(q, t). Если здесь выбрать f == q = q,
f = q', то функция ~V(q,t) будет совпадать14) с временной
функцией Грина G(q,i; q',0), и мы приходим к уравнению для
нее, приведенному в условии задачи.
Для свободной частицы p(t)=p (оператор от времени не
зависит). В импульсном представлении р = р и уравнение для
функции Грина принимает вид pG = p'G. Отсюда
G(p, t; р', 0) = с(р, <)б(р-р')." A)
Воспользовавшись теперь у. Ш. (по переменным р, t), находим
с (Р, t) = с0 (Р) ехр (- tP4/2mh),
а из начального условия при t = 0 следует со(р)= 1; приведен-
приведенные соотношения полностью определяют вид временной функ-
функции Грнна в импульсном представлении.
Аналогично, используя соотношение r(t)—r-{-tp/m, имеем
в координатном представлении (г — ip/m) G = r'G, что является
системой трех дифференциальных уравнений; для ^-компоненты
(х + (iht/m) д/дх) G = x'G
и аналогично для других компонент. Решение этой системы \пэав-
нений имеет вид
G (r, t; г', 0) = а (г', t) ехр [/ т{х^Г' >1]. B)
13) Как н следовало ожидать, выражение для вероятности
перехода не зависит от конкретного выбора момента времени t0.
н) Действительно, функция Чг(<7,/) при этом удовлетворяет
у. Ш. по переменным q, t и при / = 0 равна б(<7 — q'), как
и требуется для функции Грина.
349
Подставив эту функцию в у. Ш., получаем а = —3a/2t, так что
а (г', 0 = а0(т')Г3'2.
Для определения ао(г') замечаем, что согласно начальному усло-
условию V G dV -*¦ 1 при / ->- 0. Вычисляя интеграл, находим
а (г', t) = a (t) = (— im/2nhtK/2,
что с учетом {2) завершает определение вида функции Грина.
Заметим, что это выражение можно было бы также полу-
получить следующими двумя способами: 1) непосредственным вычис-
вычислением интеграла (VI. 6), выбрав в нем с. ф. Чг?(г) в виде пло-
плоских волн и выполнив интегрирование по р, и 2) воспользовав-
воспользовавшись A) и общим выражением, связывающим ядра оператора
в координатном и импульсном представлениях, как это было
сделано в 2.20 для функции Грина стационарного у. Ш.
В заключение подчеркнем, что показатель экспоненты в вы-
выражении B) равен iS/h, где
является действием для свободной классической частицы, движу-
движущейся из точки г' при / = 0 в точку г в момент времени V, ее
скорость при этом равна (г — r')/t, см. [26].
6.32. Так как г(<) = г + pt/m + F0t2/2m, см. 6.20, то урав-
уравнение для функции Грина r(—t)G = r'G отличается от рассмот-
рассмотренного в предыдущей задаче лишь заменой г' на г' — Fot2/2m.
Это же замечание справедливо и в отношении его решения B)
из 6.31. Теперь, однако,
а = [-3/2/ + i (For' - Fota/2m)] а.
Отсюда находим a(r',t) и окончательное выражение для функ-
функции Грина в координатном представлении
G (г, t; г', 0) =
V/2 I < Г 1 ( Fo<2Y рЬъ
( * V
(как и в 6.31, показатель экспоненты — действие для классиче-
классической частицы, движущейся в однородном поле).
В импульсном представлении
G (р, t; p', 0) =
-ехр [- -ш (р2 - F°p/ + т
350
6.33. Сначала найдем функцию Грина с помощью (VI. 6).
Для осциллятора
B» VJT««!)-1/2 exp (- -gr) Hn (-?) ,
где а = л/hlnuu; суммирование в (VI. 6) проводится с исполь-
использованием изсестной из теории полиномов Эрмита формулы
U ' epL I-г2 \~ L 2пп\ Z
п-0
и приводит к следующему результату:
G (х t- х' 0) = exp [I ctg (Ы) ¦ (х2 - 2xxr sec со/ + (х'J)/2аЦ
-\/2nia2 sin at
A)
При определении вида функции Грина с помощью уравнения
из 6.31 имеем (гейзенберговский оператор координаты осцилля-
осциллятора см. в 6.20):
Л (— t) G = (х cos со/ + ia2 sin со/ -г— ^ G = jc'G.
Отсюда
G = с (х', t) exp [/ {х2 ctg со/ — 2л;а:' cosec at)/2a'2].
Подставив это выражение в у. Ш., получаем уравнение
с + -i- (со ctg со/ + /со (х'J/а2 sin2 со/) с = 0.
Его решение
с = с0 (sin со/)~;/2 exp [/ (x'f ctg (co/)/2a2],
лри этом из начального условия имеем с0 = Bя/а2) ~1/2 и для
функции Грина опять приходим к выражению (I).
Так как для осциллятора у. Ш. в импульсном представлении
имеет такой же вид, как и в координатном, то выражение для
функции Грина G(p,t; р',0) получается из A) в результате
очевидных переобозначений: х -*¦ р, а-> yhma>.
6.34. Гамильтониан частицы во вращающейся системе коор-
координат имеет вид (см. 6.29)
Явр = р2/2т - ы12 -Fit, F = е$ъ-
Временную функцию Грина найдем с помощью уравнения
из 6.31. Для этого сначала установим вид гейзенберговских
351
операторов г(/) и р@- Для упрощения записи ниже в них будем
опускать аргумент t (а для шредннгеровских операторов будем
использовать лишь их явные выражения: г и —ihV\), а также
положим h = т = 1. Уравнения движения для операторов
имеют вид
к = рх + а>у, § = ру—ах, i = рг,
Рх = ®ру + F, р'у = — арх, рг = 0.
Ввиду линейности эту систему уравнений можно решать как для
обычных неоператорных функций. Вводя комбинации рх ± ipu
и х ± iy, находим
рх + 1ру = Аре~ш - IF/а,, х + iy = (Ах + tAp) е~ш - F/ш2,
где Ах, Ар — не зависящие от времени неэрмитовы операторы.
Их явный вид определяется из совпадения при t = 0 гейзенбер-
гейзенберговских и шрёдингеровских операторов, что дает
Ах = х + iy + F/co, Ap = i+
Функция Грина с точностью до множителя c(r', t) опреде-
определяется из системы уравнений г(—t)G = r'G, сравнить с преды-
предыдущими задачами. Для решения системы уравнений удобно пе-
перейти от переменных х, у к и = х -\- iy и v = х — iy. Далее,
определяя с (r',t) так же, как и в указанных задачах'5),
можно получить окончательное выражение для функции Грина:
G (г, t; г', 0) = Bяг7)~3/2 exp | j [у (г - г'J + Рр' (l-cosco<) +
+ (х'у — ху') sin at + со/7 A — cos at) (x + х') —
— <u-2F(a>t— sin at) (у — у') + co-4F2 A-cosco/) — (гю2)/"*2
A)
здесь р — составляющая радиуса-вектора в плоскости х, у. При
со->-0 выражение A) переходит в функцию Грина из 6.32.
6.35. Рассмотрим сначала поперечное движение частицы
в магнитном поле, воспользовавшись векторным потенциалом
А= @,а@х,0). Учитывая установленный в задаче 7.1 а) вид
ffjp (p) с. ф. гамильтониана и его спектр Et, n, согласно
15) При этом, учитывая независимость гамильтониана от вре-
времени, при подстановке функции Грина в у. Ш. гамильтониан
удобно выразить через шрёдингеровские операторы координаты
и импульса частицы.
352
формуле (VI. 6), как н в 6.33, получаем
ot (р, а р., о) -
(Ро) dPy =
Здесь Соси — функция Грииа линейного осциллятора, найденная
в 6.33, с частотой сол = \е\Ж/тс\ х=х —сру/еЖ и аналогично
для xq. Вычислив в A) интеграл и умножив получающееся вы-
выражение16) на Go(z,t;zo,O)—функцию Грина свободной час-
частицы, см. 6.31, приходим к искомой временной функции Грииа
(а2 = А//гасон):
О (г, /; го, 0) = BяШ/т)~912 eiS'h, B)
о
2ht
¦ +
-_ cth-?-.(p-po)« + 2
(У — Уо) J,
2 ^ ~™' ' ~ ~\T\ '
где S — действие для классической частицы в магнитном поле,
сравнить с 6.31 и 6.32.
Заметим, что при изменении калибровки векторного потен-
потенциала, т. е. при переходе к А' = A -f- Д/ (г), функция Грина
в новой калибровке получает-
получается умножением B) на
сравнить с 6.27. В частности,
для перехода к векторному по-
потенциалу А' = [%т]/2 сле-
следует выбрать f = —Жху/2.
6.36. Гамильтониан части-
частицы имеет вид
У/////
0
х
V////,
-Fox
Рис. 33
Уровень Ео дискретного спектра
в изолированной б-яме, см. 2.7,
при наложении однородного поля приобретает ширину (размы-
(размывается) и становится квазистационарным состоянием частицы.
Возникновение ширины уровня Г, определяющей время жизни
1 = Л/Г состояния, связано с возможностью проникновения час-
частицы через барьер и ухода ее на бесконечность, см. рис. 33. Для
1в) Мультипликативный вид функции Грина связан с разде-
разделением переменных поперечного и продольного движения час-
гицы.
12 В. М. Галицкий н др.
353
определения параметров квазистационарного состояния следует
найти, решение У-Ш., имеющее требуемые асимптотики при х-*-
->-±°о: уходящая направо волна при х-*--\-оо (условие излуче-
излучения) и затухающая волна в классически недоступной области
при х-*-—оо, см. [1, § 134].
Для решения уравнения Шрёдингера замечаем, что как при
х > 0, так и при х < 0, оно заменой переменной
приводится к уравнению W + zW = 0. С учетом отмеченных
выше асимптотик его решение следует выбрать в виде следую-
следующих комбинаций функций Эйри, см. [34, с. 264]:
С, [Ai (-z) ~ i Bi (-z)] со г-1/4ехрГг-|г3/2). х > °.
B)
x < 0.
Условия сшивания решения в точке х = 0 согласно 2.6 при-
приводят к соотношению (zo = %,E/F)
Ai(- z0) Bi (~zo) + * Ai2 (-2,) = ^!^, C)
определяющему спектр квазидискретных уровней.
В случае слабого поля17), когда \fp/ma*gi\, правая часть
в уравнении C) мала. Чтобы оно было выполнено, требуется
малость и Ai(—Zo), а для этого должно быть Re(—zo)»I. Вос-
Воспользовавшись асимптотиками функций Эйри [34], согласно
уравнению C) получаем
D)
где v = | (-гоK'2, *о = ^.
Решая уравнение D) последовательными итерациями
(Rev^> 1), находим в нулевом приближении (когда выражение
в квадратных скобках заменяется на 1) Е я» EQ = — tCl'a\J2in, что
17) При нарушении этого условия (в достаточно сильном
поле) происходит сильное ушнрение уровня и специфические
CBOftcfBa квазистационарного состояния на фоне непрерывного
спектра исчезают.
354
соответствует. невозмущелному уровню в б-яме. Записав далее
и заменив v в квадратных скобках в D) значением нулевого при-
приближения vQ s= }t2Klj3inF, получаем сдвиг, уровня АЕ и его ши-
ширину Г, возникающие при наложении однородного поля:
5 mF2 h2%l ( 2h2xl\
АЕ = 5—г, Г = ехр I . E)
8 Н2х* т \ ЪтР ) '
Квадратичный по полю сдвиг уровня определяет поляризуе-
поляризуемость основного, состояния частицы в б-яме, равную ро =
= 5те2/4А2х$ (положено F = е&), и может быть рассчитан на
основе второго порядка теории возмущений, сравнить с 8.12.
Экспоненциальная малость ширины уровня связана с малой
проницаемостью барьера и может быть получена на основе ква-
квазиклассического выражения Для проницаемости, см. (IX. 7),
а также задачу 9.28. Такая экспоненциальная зависимость ши-
ширины уровня от его энергии и «напряженности» поля харак-
характерна для частицы в достаточно произвольном потенциале, убы-
убывающем на больших расстояниях, см. 11.67.
6.37. В. ф. квазистационарного s-состояния, 4V /_0 = ЗСд, (г)/г,
удовлетворяет уравнению
- %'k + «б (г - а) гк = k2%k, A)
k = V2m?/A2, а = 2ma/h\
граничному условию Х*@)=0 и имеет при г->-оо асимптотику
вида %km ехр (ikr). В такой постановке задачи решение суще-
существует лишь при некоторых комплексных значениях k = kx —
— ikz, при этом
ft2 (k2 - k2) hh\k2
2 2m m
где Er, Г — энергия и ширина квазистационарного состояния (от-
(отметим, что k\, 2 > 0).
Решение уравнения A) имеет вид
Ci sin kr r < а,
С2 ехр (ikr), r > а.
Условия сшивания в. ф. в точке г = а согласно 2.6 дают
ika — ka ctg ka = aa, C)
что и определяет спектр квазидискретных «-уровней.
12* 355
В случае Sa»l из уравнения C) следует, что значения ka
для нижних уровней (таких, что |*a|<aa) близки к (а + 1)п.
Записав
kna — (п + 1) я + et — ie2; n = О, 1 | е:, 21 < 1
и подставив в C), легко находим приближенные значения в|, *:
е; « — (п+ 1) п/аа, j
а с ними и спектр нижних квазидискретиых «-уровней:
2
@>
n
Eа)*
Как и следовало ожидать, положения квазидискретных уров-
уровней близки к s-уровням fjj' частицы в бесконечно глубокой
потенциальной яме радиуса а и переходят в них при a ->- оо,
когда потенциальный барьер становится непрозрачным.
Ширина квазистационарного состояния Г = Aw определяет
вероятность w его распада в единицу времени (или время жизии
состояния т = 1/w). Выражение D) для ширины уровня по-
позволяет наглядно проиллюстрировать эту связь, если его запи-
записать в виде
здесь D(Erin)—вероятность прохождения б-барьера при одно-
однократном столкновении, см. 2.30, а
N = nh(n+ l)/2ma2 = v/2a
определяет число столкновений («ударов» частицы о барьер)
в единицу времени. Подчеркнем, что ширины уровней много
меньше расстояний между соседними уровнями.
В заключение отметим следующее обстоятельство. Получен-
Полученные результаты полиостью переносятся и на случай а < 0
(б-яма), что на первый взгляд представляется удивительным.
Здесь проявляется особенность квантовомеханического отраже-
отражения частиц потенциальной ямой в случае, когда она имеет резкие
скачки или изломы: коэффициент прохождения при этом может
быть малым, D-C1, даже при достаточно большой энергии час-
частицы. Однако если перейти к плавной яме («размазать» б-функ-
цию), то уже будет D~l и квазистационарное состояние фактя-
ческя исчезнет (время жизии его будет такого же порядка, что
и время пролета частицей области локализации).
356
6.38. Поступая обычным образок, находим
-^ р (г, 0 + div j (г, 0 = - -| ?/, (г) | ? (г, 01», A)
р=|?(г, 01*. J = - |^0*"W- VVV).
Интегрирование A) по произвольному объему дает
JL J|4T(r, t)\* dV = - § ) ds-l^U, (r)\V (r, t)\* dV. B)
V S V
В случае U\ = 0 соотношение B) представляет закон со-
сохранения вероятности: изменение вероятности нахождения час-
частицы в объеме V за единицу времени равно (со знаком минус)
потоку вероятности через окружающую этот объем поверх-
поверхность S. В случае же U\ ?= 0 второе слагаемое в правой части
соотношения B) нарушает этот баланс и тем самым представ-
представляет дополнительный механизм изменения со временем вероят-
вероятности, а следовательно, и нормировки волновой функции, что
можно интерпретировать как изменение числа частиц: «погло-
«поглощение» при 17] > 0 и «рождение» при U\ < 0. Отметим, что
оптический потенциал обычно используется при описании ка-
какого-либо конкретного канала в многоканальной системе. При
этом процессы «поглощения» н «рождения» отражают связь ка-
каналов, см. следующую задачу.
Для комплексной б-ямы, как и в задаче 2.7, находим
(«о, 1 > 0)
m
=-^2" (do-fid,).
Отсюда Е = Ео — гГ/2, где
W2 ' ?
определяют положение и ширину квазндискретиого уровня.
6.39. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
где т — приведенная масса частиц; ниже считаем Qo > 0, так
что 1-е состояние составной частицы, которому соответствует
верхняя компонента волновой функции (см. условие задачи),
является основным, Уравнение Шрёдингера сводится к системе
двух уравнений, причем для х Ф 0 имеем
357
где k\ = У2/га?/Й2 и k2 = л/2т (Е — Qo)/A2. Решение этой си-
системы следует выбрать в виде ^{< 2= Ci, 2exp(i&i,2\х\), здесь
учтены как условие непрерывности волновой функции в точке
х = 0, так и характер асимптотики 18) ¦— расходящаяся волна —
при #->-+оо. Сшивание производных в. ф. в точке х = 0 про-
производится как в 2.6 и дает
(ift, + а) С, + рС2 = 0, рС, + (iA2 + а) С2 = 0, B)
где а = ma/ft? и р = mft/h2. Условие существования нетриви-
нетривиального решения этой системы уравнений приводит к соотно-
соотношению
(iki + a) (ik2 + й) = Р2, C)
определяющему энергетический спектр дискретных и квазидис-
квазидискретных уровней системы. Мы не будем подробно исследовать
этот спектр, предоставляя это читателю, а ограничимся лишь
несколькими замечаниями.
Прежде всего отметим, что при р = 0, когда нет связи
между каналами (т. е. взаимодействие между частицами не
оказывает влияния на «внутреннее» движение составной час-
частицы), рассматриваемая система имеет два дискретных уровня:
по одному в каждом из каналов. Это — обычные уровни д. с.
в б-яме.При этом в случае Е^ = Qo + ?@0) > 0, где ?<") = ?<J»=
= — та jih , дискретный уровень во втором канале лежит
непосредственно на фоне непрерывного спектра первого канала.
В такой ситуации включение даже слабой связи между кана-
каналами, р-Са, приводит к появлению у этого уровня ширины, а
соответствующее состояние становится квазистационарным. При
этом из C) для энергии Е2 этого состояния получаем
Qo
D)
так что уровень сдвигается вверх и приобретает ширину (дис-
(дискретный же уровень Е^ из первого канала испытывает лишь не-
небольшой сдвиг вниз).
В заключение на примере рассматриваемой системы проде-
продемонстрируем возможность введения оптического потенциала.
18) При этом в случае закрытого канала волновая функция
убывает на больших расстояниях.
358
Считая, что во втором канале система может оказаться лишь
в результате перехода из первого канала, запишем в. ф. стацио-
стационарного состояния системы с (вещественной!) энергией Е в виде
ip = [ | Условия сшивания в. ф. в точке х = О
VC2exp (i*2 |*|)'Л
приводят к соотношениям (сравнить с B))
- 7Г б^ @) = S+1 (°) + РС2' ~ ' *2С2 = ЙС2 + Р*1 (°).' (В)
здесь 6i|)[ @) — скачок производной функции в точке х = 0.
Исключая Сг из этих соотношений, получаем
F)
Так как при хфО функция i|)i(jc) по-прежнему удовлетво-
удовлетворяет уравнению A), то условие сшивания F) (совместно с усло-
условием непрерывности i|)i(x)) означает, что эта функция является
решением стационарного у. Ш. с «потенциалом»
UOnr(x, Е) = -аапт(ЕN(х), G)
где
Таким образом, динамика в одном из каналов исходной двух-
канальной системы может быть рассмотрена на основе волно-
волновой функции только этого канала19), причем соответствующее
уравнение имеет вид стационарного уравнения Шрёдингера с од-
ноканальным гамильтонианом. Отметим следующие свойства эф-
эффективного (оптического) потенциала в таком гамильтониане 20).
1) Он сам зависит от энергии, так что соответствующий
«гамильтониан» не является самосопряженным оператором.
2) Как видно из G), (8), при значениях энергии в рассмат-'
риваемом канале, превышающих порог другого канала (т. е.
в случае Е > Uo), оптический потенциал приобретает мнимую
часть, причем знак мнимой части потенциала — отрицательный.
Это соответствует тому, что с точки зрения исходного канала
переход системы в другой, открытый канал выступает как ло-
глощение, сравнить с 6.38.
1Э) Несмотря на взаимодействие между каналами системы,
в том числе и переходы между каналами!
20) Такой простой вид эффективного (оптического) потен-
потенциала G), (8) является спецификой рассматриваемой системы
с точечным взаимодействием. В общем случае такой эффектив-
эффективный потенциал является нелокальным оператором, зависящим от"
энергии системы; . . :;
359
в.40. Понятия квазиэнергии и квазиэнергетического состоя-
состояния (КЭС) возникают при рассмотрении квантовой системы, га-
гамильтониан которой является периодической (с периодом Т =
= 2л/(») функцией времени. КЭС определяются как такие со-
состояния системы, волновые функции которых являются реше-
решением временного уравнения Шрёдингера и удовлетворяют
условию
Тв(/ + Г, ?) = «-'вГ/*ЧГ,(/, q), A)
при этом е называется квазиэнергией (сравнить с понятиями
квазиимпульса и с блоховскими функциями для частицы в про-
пространственно периодическом потенциале, см. 2.53).
Волновую функцию КЭС можно записать в виде
где ие (t, q) — уже периодическая функция времени. Ее разло-
разложение в ряд Фурье
k=-<x>
определяет квазиэнергетические гармоники q>Ej ь (q).
Квазиэнергия (как и квазиимпульс) определена не одно-
однозначно, а лишь с точностью до слагаемого, кратного ±Аи. Для
однозначного определения обычно используется либо условие
приведения ее значения к одной зоне, например —йш/2 < е ^
=^ йш/2, либо условие, требующее, чтобы при адиабатическом
выключении зависящей от времени части гамильтониана квази-
квазиэнергии совпадала с соответствующим значением энергии ?„
стационарного гамильтониана.
Понятие КЭС является естественным обобщением понятия
стационарного состояния, а система волновых функций КЭС
обладает свойствами, во многом аналогичными с. ф. стационар-
стационарного гамильтониана. Так, волновые функции КЭС с различными
квазнэнергиими ортогональны, причем в любой момент времени:
они образуют полную систему. Соответственно аналогичное
(VI. 2) разложение по волновым функциям КЭС с постоянными
коэффициентами определяет общее решение временного уравне-
уравнения Шрёдингера.
Существенное различие между КЭС и стационарными со-
состояниями проявляется, однако, в вопросах об излучении си-
системы и о резонансном воздействии возмущения иа иее. Если
для системы со стационарным гамильтонианом Йй частоты из-
излучаемых фотонов (при спонтанных переходах между стацио-
стационарными состояниями) и частоты гармонического возмущения,
360
вызывающего резонансные переходы в системе, определяются
лишь частотами перехода, hm^ = Я j?* — Ef\ то для КЭС си-
ситуация иная. Соответствующие частоты для иих определяются
соотношением
Atofens = eft — en ± sftco, s — О, 1, 2
где Bk, n — уровни квазиэнергин, при этом возможны и значения
п = k. Интенсивности же переходов для разных s зависят от
амплитуд квазиэнергетических гармоник в C).
Перейдем к решению задачи. Гамильтониан частицы имеет
вид
Так как оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, то
обобщенный импульс является интегралом движения. При этом
его с. ф., м ехр(фг/Й), является также собствеииой функцией
мгновенного гамильтониана, отвечающей с. з. E(t), получающе-
получающемуся из R(t) заменой в нем оператора р на импульс р. Это по-
позволяет сразу записать решение уравнения Шрёдингера:
t
которое при периодической зависимости21) векторного потен-
потенциала А(^) от времени описывает КЭС с квазиэнергией (ниже
для определенности считаем, что А(/)= 0)
, Г р2 + рп , е2
вр = ?(/)=— )Е«)а*-—ьГ-' Ро = -^АМО F)
о
(равной среднему значению энергии частицы за период).
В отношении физического смысла р и р2, заметим, что так
как
то р == mv (т. е. сохраняющийся импульс частицы определяет
среднюю скорость). Далее, из приведенных соотношений следует
- А (/) - т (v - v (/)), -у А2 (/) = m2(v-v (ОJ-
21) При этом существенно, что для электрического поля
«@ = 0.
361
так что p\J2m определяет среднюю кинетическую энергию ос-
осцилляции частицы в электрическом поле (на фоне равномерного
движения ее со скоростью v).
Для линейно-поляризованной монохроматической волны
имеем
9 О ™9
Р еХ
ер — -г-— = - =- (')
(при движении частицы в поле циркулярной волны в правую
часть следует ввести дополнительный множитель 2). Расходи-
Расходимость гр при ы-»-0 соответствует неограниченному увеличению
скорости частицы в постоянном однородном электрическом поле.
Зависимость же бе со ш~2 для изменения квазиэнергии под
влиянием поля при значениях частоты ш -*¦ со носит общий ха-
характер и справедлива для частицы, находящейся в достаточно
произвольном потенциале, сравнить с результатом из 8.42.
6.41. Записав в. ф. системы в виде W (t) = I ' ' 1 е~'е° ' ,
где функции if>i, а@ являются амплитудами 1B)-го стационар-
стационарных состояний невозмущенного гамильтониана Йо с энергией so,
д -~ ^
находим, что уравнение Шрёдингера ih -^- W = (Но + V) ^? сво-
сводится к системе уравнений
ihifi = Vo sin (<ot) ijJ, itv§2 = Vo sin (at) if>i.
Отсюда имеем
¦ф. ± % = A. exp (± if (t)), f (t) = -r-2- cos mt
и соответственно
! Л
iVV V5- Ur V2- Ui
Каждое из двух слагаемых в волновой функции A) описы-
описывает независимое КЭС, при этом квазиэнергии обоих состояний
одинаковы н равны е0. Разложение (см. [33, с. 987])
оо
exp (U cos Ы) = У ikJk (г) е*ш, г = ±-^-, B)
А=-оо
где Jk — функция Бесселя, позволяет определить в соответствии
с формулой C) из 6.40 амплитуды квазиэиергетических гармо-
гармоник полученных КЭС. Их интенсивности, со Jk (z), осциллируют
по мере увеличения Vo.
362
Отметим в заключение следующее обстоятельство. Если
у гамильтониана /?0 имеются и другие уровЕш е%\ то резонанс-
резонансному переходу в невозмущенной системе с частотой ш0 = eg—
— е^' при наличии возмущения V будет соответствовать серия
резонансных переходов с частотами, равными со/* = а>о rb km,
где к = 0,. 1, ... Дмплитуды таких переходов определяются ква-
квазиэнергетическими гармониками!
6.42. Доказательство утверждения задачи основано на пе-
переходе во вращающуюся с угловой скоростью со систему коор-
координат, в которой гамильтониан системы #Бр уже не зависит от
времени и энергия сохраняется, см. задачу 6.29. При этом ста-
стационарное состояние и его энергия во вращающейся системе
являются КЭС и квазиэнергией относительно исходной системы
координат, а соответствующие волновые функции связаны соот-
соотношением A) из 6.29.
Глава 7
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
7.1. а) Ввиду взаимной коммутативности операторов ру, рг
и гамильтониана частицы
с. ф. гамильтониана могут быть выбраны в виде
Г1
. V, г) = BЯЙГ1 ехр (/ (руу + pzz)/h) ф (х). A)
При этом из у. Ш. следует уравнение
Л2 ,„, . , 1
где введена энергия Et—E — Pz/2(x поперечного движения.
Решение этого уравнения выражается через решение у. Ш. для
линейного осциллятора с собственной частотой <вн = \е\Жй/\хс,
см. (II. 2), так что
uPz - сРу/еХ0),
B)
EnPz = Et>n+ pl/2[i, Etn=tiv>H(n+ll2), я = 0, 1, 2,...
Подчеркнем, что энергетические уровни поперечного движения
Et..n—уровни Ландау — являются дискретным^, кратность их
вырождения бесконечна (энергия не зависит от величины ру,
363
принимающей значения —оо < ры < -(-оо), а «поперечная» часть
с. ф. гамильтониана Vnp p не нормируема на единицу, так как
|Т|2 вообще не зависит от у).
б) При таком выборе векторного потенциала гамильтониан
частицы имеет вид
Так как операторы tz,pz и Я взаимно коммутируют друг с дру-
другом, то с. ф. гамильтониана можно выбрать в виде (восполь-
(воспользовавшись цилиндрическими координатами)
(р. *> ф) = -щщ ехР V («ф + Ргг/ЛI Vp7 (р) D)
и из у. Ш. получить уравнение для радиальной функции
2 Г 2ц?* т2 — 1/4 е/пЖ, е2^ 1
' + р ' + L Ь? р2 + he Atfc* Р J' -и-
р ' + L Ь? р2
Это уравнение лишь переобозначением величин отличается
от рассмотренного ранее в 4.5. Отсылая туда за деталями реше-
решения, приведем результаты:
*'т [!2F ((- 2?,/Асоя + | т \ +
х = р2/2ад, ая =
Требование, чтобы гипергеометрическая функция здесь сводилась
и полиному:
(-2^/Аюд + |/п | + 1 -е/п/|в|)/2=-лр, пр = 0, 1, 2, ...
определяет энергетический спектр поперечного движения час-
частицы. Отсюда, в согласии с B), следует
Et п = Ашд(п + 1/2), л=0, 1,2, .... п = пр + (\т\ - ет/\е\)/2.
F)
При этом уровню Et, п с данным п соответствуют состояния час-
частицы со значениями проекции момента т на направление маг-
магнитного поля, равными •)
т = —п, — л + 1, .... О, +1, ..¦;, + °° при е > О,
/я= — оо, ..., — 1, 0 л при е<0,
') Обратим внимание на то, что основному уровню Ландау,
с л = 0, отвечают состояния частицы лишь с такими т, что
е-т ^s 0. Для других значений проекции момента т уровни
е минимально возможной эиергией лежат выше, так как для них
уже я > 0.
364
бесконечное число возможных значений т отвечает бесконечной
иратности вырождения уровня Ландау.
Подчеркнем, что теперь с. ф. D), E) гамильтониана опи-
описывают локализованные в поперечных (перпендикулярных Хо)
направлениях состояния частицы. Для нормировки иа единицу
«поперечной» части ^пт (р. ф) с. ф. гамильтониана следует вы-
выбрать в E) значение нормировочного коэффициента
В связи с вопросом о нормировке волновых функций ста-
стационарных состояний д. с. напомним, что для частицы в потен-
потенциальном поле U(г) они всегда локализованы в ограниченной
области пространства. Необычные свойства их для частицы &
однородном магнитном поле связаны с тем обстоятельством, что
дискретные энергетические уровни поперечного движения имеют
бесконечную кратность вырождения. Действительно, рассмотрим
волновой пакет, составленный из с. ф. ^Vnpu B) (зависимость
в. ф. от z опускаем),
Эта волновая функция также отвечает уровню Ландау Et, n,
причем если \[С(Pu)fdPy= '. то она Уже нормирована иа
единицу и описывает локализованное состояние частицы, в от-
отличие от ненормируемых на единицу с. ф. Чпр... И наоборот,
из нормированных с. ф. Wnm можно составить волновые функции
вида Wn = 2j С/п^пт- Они также отвечают уровню Ландау
т
Et, „, однако в случае 2JJ | Ст f = °° Уже не описывают локали-
m
зованного в плоскости (х, у) состояния частицы.
7.2. 1) В классической механике движение заряженной час-
частицы в перпендикулярной магнитному полю плоскости происхо-
происходит по окружности (ларморовская орбита) с квадратом ра-
радиуса
При этом векторы р, р0, vx — радиусы-векторы частицы, центра
орбиты (окружности) и скорость связаны соотношением
[® (Р - Ро)] *- vx> й = @, 0, ш = -еив/\ е)}.
Эта формула выражает характер движения частицы в плоско-
плоскости (х, у) — равномерное врашвнче, причем знак «о определяет
3»
направление вращения (ось z направлена вдоль магнитного
поля). Из нее следуют соотношения
Квантовомеханическим. обобщением выражений A), B)
классической механики являются соответствующие эрмитовы опе-
операторы:
t Q = & — vje> = x — (— ihdjdy — еАу/с)/\т,
(о)
Уо=*У + $xh> Po = *l + dl Рл = О* + Л* )/«2
(при этом (xv = р — еА/с, р = —iftV), для которых нетрудно
установить следующие коммутационные соотношения2):
г , , , D)
[^У0] = -1ЛфЖ, [р2, р2л]=0,
Коммутативность введенных операторов с гамильтонианом час-
частицы означает, что соответствующие физические величины яв-
являются интегралами движения, как и в классической механике.
2) Так как р^ = 2Htj\na>%, где Нt = H — p2j2\i — гамильто-
гамильтониан поперечного движения частицы, то воспользовавшись ре-
результатом из 7.1, находим спектр с. з. квадрата радиуса орбиты
4 « = 0,1,2,...; а2„ = Ас/\е\Э№. E)
Далее, выбрав векторный потенциал в виде3) А = [^fr]/2,
замечаем, что
так что в. ф. 4) из 7.1 являются с. ф. оператора рд. при этом
спектр 4) его с. з.
= B*+1)<4 k = n + eml\e\ = 0, 1,2 ... F)
2) Их можно получить, не конкретизируя калибровки век-
векторного потенциала, однако вычисления несколько упрощаются,
если воспользоваться конкретным выбором А = @,3%х, 0).
3) Об изменении волновой функции системы при калибровоч-
калибровочном преобразовании потенциалов см. задачу 6.27.
4) Спектры операторов рл и р0 могут быть получены непо-
непосредственно из сопоставления выражений C) для них и ком-
коммутаторов [Jt0, #0], [vx, Vy] с соответствующей парой равенств
для линейного осциллятора: Н = р2/2т + тв>2&2/2 и [р, &\ = —ih,
определяющей его спектр Еп = Лев (п + 1/2).
366
Что же касается с. з. как оператора ito, так и у0, то они
имеют непрерывный спектр. Отметим^ в частности, что в_ф.
^пр р из 7.1 являются с. ф. оператора Хо, отвечающими с. з.
Хо = —А,/[ш. Однако ввиду некоммутативности операторов х0
и Уй положение самого центра орбиты точно не определено и
ограничено соотношением неопределенности Дх:0 • ку0 ^ а%/2,
сравнить с 1.30.
3) а) Воспользовавшись выражениями D), E) из 7.1 для
волновых функций рассматриваемых состояний частицы с т =
= —еп/\е\, получаем распределение вероятностей
e vp> G)
с помощью которого находим
р = [ р dw = л/2Т (п + 3/2) ан/п1
J (8)
р2 =2 (я+1L. Рн. в. = V2n + 1аи.
Здесь рв. в — наиболее вероятное значение переменной р, отве-
отвечающее максимуму распределения dw/dp.
Заметим также, что в рассматриваемых состояниях опера-
операторы Ро и pjj имеют определенные значения, равные согласно
E) и F)
В случае я»1 (квазиклассический предел), используя для
гамма-функции асимптотику
V (х) *» л/2лхх~1/2е~х при *->оо,
согласно (8) находим р «г у~2пан и, таким образом,
Рн. в = л/(Рл)в « Vp2 » р «
Полученные соотношения означают, что радиальное (по пере-
переменной р) распределение вероятностей при /г>1 имеет резкий
максимум вблизи значения рн. в. При этом выражение G) в наи-
наиболее существенной области значений р можно преобразовать
к виду
dw я» (я4I/2 ехр [- (р - Рн.
н найти Др =э VР3 — р2 » ан/-у/~2 < pi
367
Таким образом, вероятность нахождения частицы заметно
отлична от нуля лишь в узкой кольцеобразной области с радиу-
радиусом л/Чпац и шириной порядка аи. Это соответствует переходу
к классической картине движения, усредненной по периоду вра-
вращения: круговой орбите частицы, причем радиус ее связан
с энергией частицы точно так же, как и в классической механике.
При этом соотношение т = —еп/\е\ для значений п^>1 после
подстановок т = Мг/й и п«Я//Йш# переходит в классическую
связь между моментом частицы относительно центра орбиты
и энергией ее поперечного движения-.
б) Теперь, при п — 0 и т = е\т\/\е\, имеем распределение
вероятностей
*.--4- (
i«I' 4 V 24) \ 24
что отличается от G) лишь заменой п на |/п|. Аналогичная
замена вформулах (8), A0), A1) определяет для данного слу-
случая и другие характеристики радиального распределения час-
частицы.
Однако интерпретация рассматриваемых состояний частицы
имеет мало общего с предыдущим случаем. Энергия поперечного
движения при п = 0 принимает минимальное значение, равное
А@я/2, и такие состояния являются существенно «неклассиче-
«неклассическими». Тем не менее, имея в виду, что теперь вместо (9)
(р2л)о=4 ($lmt=BUi + iL
при |/я|»1 пространственному распределению частицы в таких
состояниях можно сопоставить следующую классическую кар-
картину: однородное распределение орбит минимального радиуса,
равного /у (p^j).==aff по узкой кольцеобразной области с ра-
радиусом R ял -у/2 \т\аи'> ан и шириной порядка ан.
7.3. Направив ось z вдоль магнитного поля, а ось х — вдоль
электрического и выбрав векторный потенциал в виде
Ах = 0, Ау = Жх, Аг = 0,
имеем гамильтониан частицы
388
Его с. ф. ввиду взаимной коммутативности операторов /J», pz, ft
можно выбрать в виде
WEPyPz = B"Л)~' exp [i (pyy + Pzz)/h] f (x). B)
При этом из у. Ш. следует уравнение
/" (*) + [2ц?, + 2»е&х - (ру - еЖх/cf] А~2f (х) = О, C)
здесь Et = E — p2zJ2v- Последнее уравнение сводится к у. Ш.
для линейного осциллятора с собственной частотой а>ц =
= \e\9f6f\ic, и, воспользовавшись его решением, см. (II. 2), на-
находим собственные функции и спектр гамильтониана A) в виде
Отметим ряд свойств полученных результатов D).
1) Энергетический спектр частицы — непрерывный, причем
он не ограничен снизу. Это означает, что любой уровень д. с.
заряженной частицы в потенциале, исчезающем (?/->-0) на
больших расстояниях, при наложении электрического поля даже
совместно с магнитным, приобретает ширину и становится ква-
зистационарньш, сравнить с 6.36.
2) Собственные функции гамильтониана D) описывают со-
состояния, в которых частица вдоль оси х является локализован-
локализованной. Это обстоятельство при <% < Ж согласуется с финитным
характером движения в направлении оси х классической час-
частицы, см. [27, § 22].
3) Производные
dpz й ' дру &S
определяют соответственно z-компоненту скорости частицы и
скорость ее дрейфа5) в направлении оси у, см. [27].
7.4. Направив ось z вдоль совместного направления элек-
электрического и магнитного полей, замечаем, что гамильтониан час-
частицы отличается от рассмотренного в 7.1 лишь одним дополни-
дополнительным слагаемым, равным —eSz. При этом сохраняется раз-
разделение «поперечного» и «продольного» движений частицы, но
s) Ввиду условия v <? с полученное решение D) применимо
фактически в случае, когда & < Ж.
Звв
теперь продольное движение соответствует частице в однород-
однородном поле, а не свободной, как в 7.1. Соответственно решение
рассматриваемой задачи получается из формул задачи 7.1 за-
заменой в них p2/2|i на энергии* Е1 продольного движения и пло-
плоской волны Ур (г) на волновую функцию ГРВ (г) частицы в од-
однородном поле, см. 2.41 а также [1, § 24]. Отметим в заклю-
заключение, что как и в предыдущей задаче, энергетический спектр
частицы является непрерывным и неограниченным снизу.
7.5. При выборе векторного потенциала А = [#г]/2, гамиль-
гамильтониан частицы в цилиндрических координатах с осью г, на-
направленной вдоль магнитного поля, принимает вид
- hi г1
~ 2(i L р
i
ch l
k
где
Благодаря взаимной коммутативности операторов 1г, Hi и Н
с. ф. гамильтониана можно выбрать в виде (оператор Ri описы-
описывает линейный осциллятор)
е _
*Втп, = у= КТ (z) Vp Г(Р). «2 = 0, 1, 2, ... A)
При этом у. Ш. сводится к уравнению
где Ef = Е — ha> (п2 + 1/2), ш = ч/ЩИ, шя = | е | Ж/цс, а =
= (A/jxI'2 Dш + a>fj^ . Оно лишь переобозначением вели-
величин отличается от уравнения Шрёдингера, рассмотренного в за-
задаче 4.5. Отсылая к ней за деталями решения, приведем окон-
окончательные результаты:
Vp7nim = С (р/а)'m' ехр (- р2/4а2) F (- в,, | /и | + 1,р72а2),
?¦(, n,m = ~ Ла,нет/2 \е\ + П д/ш^ + 4ш2Bп, + I от I
я, =0,1, 2, ...
37*0
Выражения A) и B) определяют собственные функции и спектр
гамильтониана осциллятора в магнитном поле:
Bл, + | т. | + 1 )/2 +
+ /to (п2 + 1/2) — Ашяет/2 [ е |. C)
В случае слабого поля, когда ан<?.в>, отсюда имеем
р - вт еНт У6 1 **Л B/г' + I от 1 + 1) Ж2 ш
Здесь Еу = Аоо (jV + 3/2) описывает уровни .невозмущенного ос-
осциллятора, см. 4.5, при этом N = 2п\ -\-\m\-\- п^. Линейная по
Ж часть сдвига уровня соответствует взаимодействию магнит-
магнитного момента осциллятора с магнитным полем, которое описы-
описывается выражением V = — \i%, где ц = etil/2\xc — оператор ор-
орбитального магнитного момента заряженной частицы. Квадра-
Квадратичное по Ж слагаемое в D) определяет диамагнитную часть
сдвига уровня. В частности, для основного уровня линейный по
полю сдвиг отсутствует и
Д?о » - ХоЗГ/2, где Хо = - е2А/4(х2с2<в
определяет магнитную восприимчивость основного состояния ос-
осциллятора.
В случае сильного магнитного поля, когда а>н»<», из C)
следует
ЕП1шпг ™Et,n + -^T Bnl + 1*1 + 1) + */. п,- E)
н
Теперь «поперечная» часть спектра определяется в основном
действием магнитного поля и Eti „ = А<вн(га + 1/2) воспроизво-
воспроизводит спектр уровней Ландау, при этом п = ti\ +1m|/2 — епг/2\е\.
Второе слагаемое в E) дает поправку, учитывающую влияние
упругой силы на поперечное движение частицы. Наконец, по-
последнее слагаемое, Е[ Пг= /to (n2 + 1/2), соответствует энергии
свободных колебаний вдоль направления магнитного поля.
7.6. Действительно, собственные значения гамильтониана
частицы Н = (р =- еА/сJ/2т являются положительными, а при
значениях энергии Е ~> 0 на больших расстояниях, где частица
является свободной, не существует убывающих при /•->-<» ре-
решений уравнения "Шрёдингера. Однако хотя истинно связанных
состояний частицы в магнитном поле и не существует, тем не
менее у нее могут существовать квазистационарные состояния
(см. § 5 главы 6), время жизни которых в макроскопических
условиях практически может считаться бесконечно большим.
371
7.7. Воспользуемся, как и в задаче 2.3, вариационным ме-
методом. Выбрав векторный потенциал в виде А = [<30г]/2, запи-
запишем гамильтониан частицы
где Rt — поперечная часть гамильтониана в чисто магнитном
поле, направленном вдоль оси г, см. формулу C) из 7.1. Рас-
Рассмотрим теперь нормированные на единицу волновые функции
вида
Ym=Vxe-*lzl4VOim(p, <p), A)
где xY,im — поперечная часть в. ф. D) из задачи 7.1. Для нее
Я^от = (Асо,7/2)Ч'от, где (он = \е\Эё/\1С, так что среднее зна-
значение энергии частицы в состоянии с волновой функцией A)
равно
Так как по условию ?/(г)<;0, то отсюда следует, что при до-
достаточно малых значениях параметра х всегда будет Ет(х)<.
< ЙШя/2. Это неравенство означает, что у рассматриваемого га-
гамильтониана имеются с. з., меньшие Йшя/2 — минимального зна-
значения энергии частицы в однородном магнитном поле и поэтому
соответствующие связанным состояниям частицы, в которых
она не может уйти на бесконечность. Подчеркнем, что число
таких независимых состояний бесконечно велико, как и число
различных значений величины проекции момента т (о возмож-
возможных значениях т в зависимости от знака заряда частицы см.
в 7.1).
Образование связанных состояний частицы в условиях рас-
рассматриваемой задачи даже в случае мелкой потенциальной ямы
допускает простое объяснение: в поперечном направлении час-
частица «связывается» уже одним магнитным полем, см. 7.1, а на-
наличие ямы приводит к связыванию и в продольном направле-
направлении, как это всегда имеет место при одномерном движении,
см. 2.3.
Обсудим случай мелкой ямы более подробно. При этом в. ф.
связанных стационарных состояний приближенно имеют вид,
сравнить с в. ф. A):
372
Здесь учтено, что зависимость с. ф. гамильтониана от попереч-
поперечных координат определяется в основном действием лишь маг-
магнитного поля. Подставив эту в. ф. в уравнение Шрёдингера^
Й^Ет^Е^Ет, после умножения его слева на Ч^ (р) и инте-
интегрирования по координатам поперечного движения приходим •)
уже к одномерному у. Ш.
- -g- <m B) + [Umi эф (z) - em] Wem B) = 0 C>
с эффективной потенциальной энергией
|m|.o
Здесь
p = р/л/2~аЯ' ан == -V^/M^tf • г ~ v Р2 + z3
и при преобразованиях использован явный вид в. ф. (см. 7.1)«
В случае мелкой ямы U(r) эффективный потенциал D) от-
отвечает также мелкой одномерной яме и энергия уровня ет (от-
счнтываемая от основного уровня Ландау, см. B)) определяется1
результатом 2.22:
00
(прн этом зависимость в. ф. B) от г такая же, как ив A) с х=
= цат/А2).
Простая оценка (она предлагается читателю) показывает,,
что, как и следовало ожидать, энергия связи рассматриваемых,
состояний мала: \ет\^Л<он. Прн этом энергия связи для состоя-
состояний с различными значениями т проекции момента частицы су-
существенно зависит от соотношения между «магнитной» дли-
длиной ан н радиусом ^ потенциальной ямы. Особенно резкой яв-
является зависимость ет от т, когда /!<адюЖ~''2, В этом
в) Подобный прием преобразования уравнения Шрёдннгера-
характерен для адиабатического приближения, см. в связи в этим?
8.61.
37»
-случае в интеграле D) можно заменить ехр(—р2) единицей и
-согласно D), E) получить
вт со (R/aHf 1т |+4 оо Л2' т I+2,
так что энергия связи частицы быстро уменьшается с увеличе-
увеличением \т\.
В заключение заметим, что ряд обобщений полученных выше
результатов на случай, когда потенциальная яма U(r) уже не
является мелкой, содержится в 8.61.
7.8. Направив ось г вдоль магнитного поля, имеем гамиль-
гамильтониан частицы Н = р2/2т — \1а3^6г> см. (VII. 1). Ввиду взаим-
взаимной коммутативности операторов //", р, аг сразу получаем с. ф.
гамильтониана и соответствующие им значения энергии час-
частицы
*рзг = Bя/гГ3/2 e'Pr/*xv Ер$г = р2/2т - 2HMsz;
-здесь %sz —¦ спиновые функции, являющиеся собственными функ-
функциями оператора sz, отвечающими с. з. sz = ±1/2, см. 5.1.
7.9. Гамильтониан частицы отличается от гамильтониана
•бесспиновой частицы дополнительным слагаемым, имеющим вид
— \1аЖ&г (см. (VII. 1), ось г направлена вдоль магнитного поля).
Оно не зависит от пространственных координат, так что в урав-
уравнении Шрёдингера координатные и спиновые переменные разде-
разделяются. Это обстоятельство с учетом результата решения за-
задачи 7.1 и сохранения sz позволяет записать с. ф. рассматривае-
рассматриваемого гамильтониана в виде
W = W (г) y • И1
npzvsz npzv "' Asz' УЧ
здесь ФПр v (г) — с. ф. гамильтониана бесспиновой частицы; их
явный вид зависит от выбора калибровки векторного потенциала
{при этом v = ру и vsm соответствует случаям а) и б) из
7.1). Приведенные собственные функции A) отвечают энергии
частицы
= E
t, nsz + ^, Et< nSz = hvH (л + -i) - 2n0Msz, B)
sz
(л + -i) -
n = 0, 1, 2 шя= \е\Ж/тс; при этом дискретная часть спек-
спектра Е{ ns связана с поперечным движением частицы и учиты-
учитывает также взаимодействие с полем магнитного момента частицы.
Для электрона магнитный момент \ia = —\e\h/2mc и из B)
¦следует Et_ ns з= EN = ha>HN, где N = n + sz+ 1/2, -N —
= 0, 1, ... Этот спектр имеет следующие характерные особенно-
.374
стн. Основной уровень, N = 0, является «невырожденным:»7),.
при этом его энергия Еа=0 (л = 0, sz = —1/2), а уровни»
с У^О «двукратно» вырождены: им отвечают состояния как
с п = N, sz = —1/2, так и с п = N — 1, s* = +1/2.
Отмеченные особенности спектра отражают суперсимметрич-
иый характер гамильтониана поперечного движения электрона
в магнитном поле. Действительно, этот гамильтониан сводится
к гамильтониану суперсимметричного осциллятора, рассмотрен-
рассмотренному в 10.26, так как его можно записать в виде
Здесь
1e IA j./cJ/2m +1е I У
= Йшя F + 6 + 1/2) + Аа>я (f + f - 1/2). C)
= (dx-idy)/2 = ( У при этом f+f=
* (f> f+}+ = 1. а й = (я + in^ls\Jirn.h<i>H, причем я ^ mv =
= (р + | е | А/с), [й, 6+] = 1. Соответственно спин играет роль
фермионной степени свободы, при этом Пр = s* + 1/2, а орби-
орбитальное движение отвечает бозонной степени свободы, так что
пв = п. Спектр гамильтониана C) теперь записывается в виде
Etnn = haH (nB + пру Он совпадает, естественно, со спек-
спектром Et ns и объясняет отмеченные выше его закономерности.
В заключение приведем выражения для операторов Q пре-
преобразования суперсимметрии, см. 10.26, в условиях данной за-
задачи:
Q = (Q+)+. Qi = Q+ + Q = (**ft» - ЪУ
Q2 = - t (§+ - Q) = (стЛяЛ + 6уЛу)/л/Ш
При этом </ = -\Jh<i>H и гамильтониан C) может быть записав
в следующих эквивалентных формах: /f^ = Q^ = Q| = {q, Q+}+..
7.10. 1) Имея в виду соотношения (V. 3) и (VII. 2), выпол-
выполним следующие преобразования указанного в условии задачи га-
гамильтониана:
Н = (а (р - е\/с)J/2т + е<р = mci fik<i fi fl + <?<p =
+ e<p - S
7) Мы отвлекаемся от вырождения, присущего уровням ?<, л
поперечного движения в магнитном поле бесспиновой частицы.
375.
Отсюда видно, что он действительно является гамильтонианом
Паули для заряженной частицы со спином s = 1/2, зарядом е
я собственным магнитным моментом цо = eh/2mc в электромаг-
электромагнитном поле (такое значение Цо. следующее из уравнения Ди-
Дирака [29], имеют электрон, мюон и их античастицы).
2) Для описания стационарного магнитного поля (в отсут-
отсутствие электрического поля) удобно выбрать <р = 0, прн этом
векторный потенциал А (г) не зависит от времени. Соответ-
Соответственно не зависят явно от времени как оператор скорости час-
частицы, так и оператор ov. Поэтому, имея в виду выражение для
гамильтониана Н = m(OvJ/2 и формулу (VI. 4) для дифферен-
дифференцирования операторов по времени8), приходим-к выводу о том,
что оператор <rv является оператором сохраняющейся физиче-
физической величины (интегралом движения). Далее, при движении
частицы в однородном магнитном поле v2 также является инте-
интегралом движения9). Сохранение как ov, так и v2 означает, что
проекция спина частицы на направление ее скорости является
интегралом движения.
Этот результат является отражением того физического об-
обстоятельства, что изменение со временем векторов скорости и
спина (и, в частности, их средних значений) частицы в однород-
однородном магнитном поле имеет одинаковый характер и представляет
прецессию с частотой, равной соя, см. 7.15. Если же магнитный
момент частицы отличается от значения eh/2mc (для s = 1/2),
то угол между векторами скорости и спина изменяется со вре-
временем. Это обстоятельство лежит в основе экспериментального
метода10) определения аномальной части магнитного момента
Но = ц0 — eh/2mc
¦в случае, когда она является малой величиной.
3) Соображения об отсутствии связанных состояний при
движении заряженной бесспииовой частицы в магнитном поле,
высказанные при решении задачи 7.6, непосредственно перено-
.сятся и иа гамильтониан A) (в случае <р = 0).
7.11. В условиях рассматриваемой задачи в гамильтониане
Паули (VII. 1) первые два слагаемых не зависят от спина, а
последнее — от пространственных координат. Поэтому уравнение
Шрёдингера имеет частные решения с разделенными перемен-
8) Заметим, что dv/dt = — (e/mc) 6A/dt.
9) Для бесспнновой частицы v2 сохраняется прн движении и
;в неоднородном магнитном поле.
10) См. подстрочное примечание к решению 7.15.
376
ными вида ^(r, f)=\|>(r, t)%(t), в которых функции i|> и х удов-
удовлетворяют соответствующим у. Ш.
Общее же решение уравнения Шрёдингера описывается супер-
позицией Bs+1) (в соответствии с числом независимых спино-
спиновых состояний) таких частных решений. При этом, записав вол-
волновую функцию произвольного состояния частицы в момент вре-
времени 1 = 0 в виде (для наглядности считаем s = 1/2)
где каждое из двух слагаемых представляет в. ф. с разделен-
разделенными переменными, в силу линейности у. Ш. получаем в произ-
произвольный момент времени
V (г, t) = ф, (г, t) xi (t) + Ч>2 (г, 0 %2 (/),
где функции tfi, 2 и Xi, 2 удовлетворяют уравнениям A) и соот-
соответствующим начальным условиям.
7.12. Направив ось z вдоль магнитного поля, имеем спино-
спиновую часть гамильтониана частицы в виде Й = —\1?ёаг. При.
этом у. Ш. Hi -^ У @ = HW (t) для спиновой в. ф. Ч (t) =
= 1 I сводится к уравнениям С\ = ia>Cu С2 = —гсоС2,.
V С2 (г) /
где ш = \уЖ/%. Отсюда
С, @ = ешС, @), С2 @ = е~шСг @),
где постоянные Ci,2@) определяются начальными условиями,,
причем для нормированной волновой функции |С1|2+|С2|2= 1.
Средние значения компонент вектора спнна равны:
I (t) = ?* @ j У (t\; sx (t) = sx @) cos 2Ш + sy @) sin 2wt,
Sy (t) = sy @) cos 2a>t — sx @) sin 2Ш, sz (t) = sz @) = const,
т. е. вектор s(f) прецессирует вокруг магнитного поля с угло-
угловой скоростью, равной 2о.
7.13. Результат предыдущей задачи непосредственно обоб-
обобщается на случай магнитного поля X (О = @, 0, Ж (t)). Теперь-
у. Ш. принимает вид
37Т
а его решение
t
0); 6@--jf-$«@ <*.
о
Средине значения компонент вектора спина s(t) описы-
описываются формулами A) предыдущей задачи с заменой в них wt
иа S,(t), так что вектор s(t) вращается (вообще говоря, нерав-
неравномерно) вокруг направления магнитгого поля.
7.14. Спиновая часть гамильтониана частицы имеет вид
о ехр (/шоО - ^i
При этом у. Ш. для спиновой в. ф. V (t) = ( ) сводится
\ о (t) /
•к системе уравнений
iha = — \i3e\a — \1Ж0 ехр ( — ia>ot) b,
ihb = — ц2ё0 ехр (tcooO а + ^Ь
•С помощью подстановок
а = ехр (— ia>0t/2) a, b = ехр (ia>at/2) b
•она приводится к системе дифференциальных уравнений для
функций a(t), 6(t) уже с постоянными коэффициентами, что по-
позволяет легко найти ее решение (сравнить с 6.9):
a (t) = С, ехр (Ш) + С2 ехр (—tat),
В (t) = (°~Vl С, ехр (Hot) — M + Vl- С2 ехр (- Ш);
Y2 \2
здесь
о/2- V2 = ^о/А> ш = Vvi + V2-
Учитывая, что согласно начальным условиям а@)=1,
&@)=0, находим окончательный вид нормированной в. ф.
так что вероятность переворота спнна, г. е. значения проекции
sz = —1/2, в момент времени t равна
W (sz = -1/2, t) = f^-J sin2 at = g sin2 at, C)
где
• (ЯГ, + А«0/2цJ "
378
Вероятность переворота спнна, как и значение параметра g,
при выполнении условия Жо<.3^\ мала при всех значениях час-
частоты соо, за исключением узкой области частот вблизи точки
«о, рез = — 2цЗ#У/Й и шириной порядка До)о~^оц/Л. Отмечен-
Отмеченный резонансный характер зависимости вероятности переворота:
спнна от частоты лежит в основе одного из экспериментальных
методов определения магнитных моментов частиц.
7.15. Задача решается аналогично 6.20. Приведем выраже-
выражения для гейзенберговских операторов компонент радиуса-век-
радиуса-вектора, импульса и спнна частицы:
х (t) = х cos aat -\ — sin ш0' Ч — A ~ cos aot),
Px W = Px cos <V + Py sin <V ~ m% * sin шо^-
й (t) = й — It sin a>nt A — (cos a>at — 1L ^— sin «>o^.
Py @ = Py, Ht) = & + tpjm, Pz (t) = pz;
s~ @ = i cos at -\- § sin a>t,
xx у
) = s cos at — sx sin at,
Здесь xi, pi, Si — соответствующие операторы в шрёдингеровском
представлении.
Оператор скорости частицы v = dr(t)/dt находится непо-
непосредственным дифференцированием оператора r(t). Изменение
со временем средних значений v(^) и s(^) описывает прецессию
этих векторов с угловыми скоростями, равными соо и ш соответ-
соответственно, так что в случае Шо = <о угол между ними остается
неизменным. Подчеркнем, что этот случай соответствует час-
частице, имеющей спиновый магнитный момент \i, равный |Ad =
= eh/2mc, сравнить с 7.10. Если же <в0 Ф а>, то угол между
векторами v(^) и s(t) в азимутальной плоскости (перпендику-
(перпендикулярной магнитному полю) изменяется со временем: Ay(t) =
= (g — 2)шо^/2, здесь g = 2\i/\iD. Это обстоятельство лежит в
основе экспериментального метода определения п) g-фактора
частицы, когда он мало отличается от значения gD = 2, следую-
следующего из уравнения Дирака; экспериментальные данные со-
согласуются с предсказываемым квантовой электродинамикой-
п) Изменение угла Д<р@ со временем — «накапливающий-
«накапливающийся» эффект. Поэтому за достаточно большое время движения
частицы Дф мажет стать порядка 1, что позволяет надежно-
определить {g — 2)-в случае малого значения этой величины.
37»
небольшим отличием ^-фактора для электрона я мюона от значе-
«ия gB = 2 129].
7.16. Функция Грииа Gag (t, t') по определению удовлетво-
удовлетворяет по переменным ос, t уравнению Шрёдннгера с гамнльто-
яианом Я = —\Ио9вг (ось г напрввлена вдоль Лагнитного поля)
и при t = ? равна Gap = бар. Ее явный внд (© =
(t-t')] о
0 expl-.coa-OlAp
7.17. Функция Грина получается из выражения предыдущей
t
задачи заменой в нем со(t — t') иа \(t,t')=-^-\S№(t)dt.
7.18. В соответствии с полученным ранее в 7.11 результатом
о разделении пространственных и спиновых переменных при дви-
движении частицы в однородном магнитном поле, искомая функция
Грина является произведением
Gap (г, *; г', О = G (г, Г, г', *') • Ga(J (t, t')
¦временной функции Грина свободной бесспииовой частицы, см.
(VI. 7), и спиновой функции Грииа из 7.16.
7.19. Функция Грина имеет такой же вид, как и в предыду-
предыдущей задаче, но теперь временная спиновая функция Грииа в со-
соответствующем выражении определяется результатом из 7.17.
7.20. Учитывая явный вид в. ф. ^nmp (см. формулы D)—
F) из 7.1), используемую при этом калибровку векторного по-
потенциала А = [Л?ог]/2 и выражение (VII. 5) для плотности тока
заряженной бесспнновой частицы в магнитном поле, находим
V ... Р;
)\ птРг\ '
р - 2цс
здесь использованы цилиндрические координаты. Подчеркнем,
что YV\2 для рассматриваемых состояний зависит только от ра-
радиальной переменной р.
7.21. Волновые функции рассматриваемых состояний имеют
вид
где %s. — спиновые с. ф. оператора ?>; см. 7.9, а также преды-
предыдущую задачу. Прн этом
HoT'orY = @, 0, 2n0s
380
Учитывая, что значение I ?птр \г зависит только от перемен-
переменной р, согласно (VII. 6) находим (в цилиндрических координа-
координатах) компоненты плотности тока, связанного со спиновым маг-
магнитным моментом частицы:
Результирующая плотность тока определяется суммой B) и со-
соответствующих компонент орбитального тока частицы из пре-
предыдущей задачи.
7.22. Согласно известной формуле классической электроди-
электродинамики [27] имеем
В отсутствие внешнего магнитного поля плотность тока опреде-
определяется выражением (VII. 5) с А = 0. Для стационарных s-co-
стояний в. ф. являются вещественными, так что j = 0 и X = 0.
Волновая функция наиболее общего 2р-состояния частицы
имеет вид
?2р = C2яа5)-1/2 (ег) е~ r/2a< a = й2/2е2^ | е |2 = 1
(по поводу угловой зависимости в. ф. см. 3.42). Согласно A)
и (VII. 5) при А = 0 получаем (заряд частицы обозначен через
-е)
(заметим, что при вычислении тока следует действовать опера-
оператором V лишь на сомножители ег и е*г в в. ф., так как
[rVf(r)]== 0; V(er) = e). Вводя вектор Ь=[е*е], замечаем, что
интеграл в выражении B) принимает вид
r dK - I. C)
Для его вычисления рассмотрим сначала интеграл
о — ^i^y y /i\/ — /°Л (АЛ
Выполнив здесь свертку по индексам i и к, получаем
= 4яа . (о)
381
Из C)—E) следует значение I = —8яа2Ь/3 и окончательное
выражение для магнитного поля «на ядре»
Отсюда, используя явный вид векторов в(т), см. 3.42, находим
X @)т __0 = 0, X @)т^± , = @, 0, т еПт^са?). G)
Заметим в заключение, что если атомное ядро обладает
магнитным моментом, то взаимодействие его с магнитным по-
полем X @) приводит к сверхтонкому расщеплению атомного
уровня.
7.23. Волновая функция рассматриваемого состояния элек-
электрона имеет вид Т = (na3)-i/2e-r'a%, где % — его спиновая функ-
функция, а = fl2/Ze2\i. Плотность тока, связанного с орбитальным
движением электрона, равна нулю, так что ток определяется
спиновым магнитным моментом. Согласно (VII. 6) имеем
J = Jcn=-Hoc[ffVp]; 5=Х*3Х, p{r) = J-re~2rla.
Имея в виду выражение для векторного потенциала [27]
выполним в нем следующее преобразование:
(здесь использована теорема Остроградского — Гаусса и соотно-
соотношение Vrg(R — г)= — VRg(R — г)). Входящий в B) интеграл
был вычислен в 4.6 и равен
Таким образом, получаем A(r)=—\*-o[oVf(r)]-
Приведем также предельные выражения для магнитного
поля X = rot A:
(на больших расстояниях это — поле магнитного диполя).
382
7.24. Исходим из формул A), B) предыдущей задачи:
dV, О)
где i|)(r) — в. ф. рассматриваемого s-состояния. При этом магнит-
магнитное поле (ц = Цо<т)
3€ (R) = rot A (R) = - ц A/ (R) + (цУ) V/ (Д),
так что для его компонент имеем
д2
-1*7537)
Рассмотрим теперь выражение
д2 г ,„, „. ^
Выполнив в нем свертку по индексам ( и k, получаем ЗС =
= Af (R) | r=o, а учтя явное выражение A) для f(R) и соотно-
соотношение Д — 1-= — 4яб (R — г), находим ЗС = — 4я|ф@) |2.
С учетом этого значения, из формул B) и C) следует
#@) = -^-14 4,@I», D)
сравнить с предыдущей задачей, а также с результатом 7.22.
Глава 8
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД.
ВНЕЗАПНЫЕ И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
8.1. Собственные функции невозмущенного гамильтониана
имеют вид Yj^ = V2/a sin (it (n + 1) x/a) (при Os^x^a). За-
Заменяя в матричном элементе <«|У(х)|«> быстро осциллирующий
при «3>1 квадрат синуса его средним значением, равным 1/2,
получаем ')
^ V(x)dx.
о
8.2. Возмущение V = — eSx и очевидно Е^ = 0. Для вьь
числения поправки второго приближения согласно (VIII. 1)
') Состояния квантовых систем с п > 1 являются квазп-
классическими. Теория возмущений для таких состояний рас-
рассмотрена в задачах 9.10—9.12.
383
воспользуемся известными значениями матричных элементов ко-
координаты осциллятора, см. (II. 3). Учитывая также вид спектра
Е$ ' иевозмущенного осциллятора, получаем
Еа « Е® + 4° + 42) -»«(»+ 1/2) -
так что поляризуемость для всех состояний осциллятора одина-
одинакова и равна Ро = еР/ты2. Результат A) совпадает с точным,
см. 2.2. Поэтому представляется очевидным, что поправки
третьего и более высоких порядков теории возмущений равны
нулю.
8.3. Возмущение V = —е&х. Используя вид с. ф. невозму-
невозмущенного гамильтониана, см. 8.1, н симметричность | Ч^' (х) |2
относительно центра ямы, находим </г|х|«> = а/2, так что в пер-
первом порядке теории возмущений для всех уровней Е^ =
= — еЖа.12. Далее, вычислив матричный элемент координаты
(для п ф 0):
а
. пх . п(п+\)х . 4((—1)" — 1)(/г+1)а
sin_.sln a dx= я^(я^2),
(он отличен от нуля лишь для нечетных значений /г) и учтя вид
невозмущенного энергетического спектра частицы в яме, см. 2.1,
согласно (VIII. 1) находим поправку второго приближения
Е^ s= — $u<o'lJ2, определяющую поляризуемость основного со-
состояния
а 1024
Л2
Этот ряд быстро сходится и его значение определяется практи-
практически лишь первым членом, так что $0tz4,39-l0-3me2a*/h2. Сде-
Сделаем замечание по поводу числовой малости коэффициента здесь.
Естественная оценка для поляризуемости имеет вид р ~
~ е 1т(й ( где шо — характерная частота (сравнить с поляризуе-
поляризуемостью осциллятора из 8.2). В свою очередь, оценка для ш0
следует из соотношения йщ = Д?, где Д? — расстояние до со-
соседнего уровня (противоположной четности). В рассматривае-
рассматриваемой задаче следует считать
лри этом согласно A) получаем ро да 0,96е2//па>о.
384
8.4. Собственные функции и спектр невозмущенного гамиль-
гамильтониана рассмотрены в 2.48 и имеют вид
Щ = *Г <*) ¦ К? (г/). 41 - в%> = йш (N +1), A)
N = m + /г2 = 0, 1, 2, ...
Сдвиг основного уровня в первом порядке теории возмущений
отсутствует, ?^' = 0. При вычислении поправки второго прибли-
приближения согласно (VIII. 1) под т теперь следует понимать набор
из двух чисел (щ, Пг), определяющий невозмущенные с. ф. A).
Воспользовавшись известными значениями для матричных эле-
элементов координаты линейного осциллятора, см. (II. 3), находим,
что <«itt2| У|00> отлично от нуля лишь при П[ = t%2 = 1, причем
<11|У]00> = aft/2/пи, и получаем Е^ = — а2й/8т2ш3. Условие
применимости теории возмущений (VIII. 3) в рассматриваемой
задаче принимает вид |a| -Cmco2 = k.
Согласно 2.49 точное значение энергии основного состояния
Ео = /го [Vl + a/k + Vl — а/^]/2. Разложение его по пара-
параметру a/k соответствует ряду теории возмущений. Как видно,
в случае |а/й|-с1, соответствующем применимости теории воз-
возмущений, ряд быстро сходится. При \a/k\^ 1 в рассматривае-
рассматриваемой задаче уже не возникает квантования энергетического спек-
спектра, а ряд теории возмущений оказывается расходящимся.
8.5. а) Невозмущенный уровень осциллятора с N = 1 яв-
является двукратно вырожденным. Отвечающие ему невозмущен-
невозмущенные с. ф. Т^'п , см. предыдущую задачу, обозначим как W\ =
= 'F'jq' и W^ = Ч'о?- Матричные элементы возмущения с та-
такими с. ф. с учетом (П.З) равны: Vn — ^22 = 0, Vl2 = V2i =
= a#/2mco. Секулярное уравнение (VIII. 5) и его решение имеют
вид
ай/2тш
аЛ/2т<о — Е
¦A)
= 0, Е\1\т=Т^И-, A)
I, 1B)
2т<о
так что вырождение уровня снимается. Правильные функции
нулевого приближения ?<"', B) = (V,0' + У^/л/!.
б) Этот уровень с N = 1 трехкратно вырожден. Ему отве-
чают с. ф. ?<0) ^ 4fo>, Wp s ^(о^ ^@) э ^ Отличные от
нуля матричные элементы возмущения равны: Va = V21 =
V23 = V32 = аЙ/У2тш. Решение секулярного уравнения дает
следующие значения поправок первого порядка:
\ ?^»2 = 0, El?3 = ah/me>, B)
13 В. М. Галицкий и др. 385
так что уровень расщепляется на три подуровня и вырождение
полностью снимается. Отвечающие расщепленным уровням B)
правильные функции нулевого приближеиия имеют вид
л/2
Читателю предлагается сравнить полученные по теории воз-
возмущений результаты с точным решением, см. 2.49.
8.6. Сдвиги уровней в первых двух порядках теории возму-
возмущений равны:
Условие применимости: \Vn\, | V22I. | Vi2\ <С е2 — еь
Эти результаты полезно сравнить с точным решением за-
задачи, состоящим в диагонализации оператора (матрицы)
+ Vn V12
Vn е2 + V
'-(¦
Эта матрица является гамильтонианом возмущенной двухуров-
двухуровневой системы в энергетическом представлении для невозмущен-
невозмущенного гамильтониана. Ее с. з. равны 2)
+ л/(е, - е2 + Vn ~ V22J + 4 \У12\Я B)
В условиях отмеченной выше малости матричных элемен-
элементов Vab разложение в B) радикала по степеням параметра
~V/(e2—б[) соответствует ряду теории возмущений для не-
невырожденных уровней, первые члены которого совпадают, есте-
естественно, с выражениями A). С другой стороны, в случае ei = e2
результат B) непосредственно следует из секулярного уравне-
уравнения (VIII. 5) для двукратно вырожденного уровня. Соответ-
Соответственно при ei ф е2 формула B) дает обобщение теории возму-
возмущений на случай двух близко расположенных уровней, взаимо-
взаимодействие которых друг с другом учитывается точно, а взаимо-
взаимодействием их с остальными уровнями системы пренебрегается.
8.7. Рассмотрим значения параметра X, близкие к некото-
некоторому Хо, и запишем гамильтониан в виде
Используя при Я->-Ло теорию возмущений, находим
Ео (Я) = Ео (А,о) + А (Яо) (Я - Яо) + В (Яо) (Я - Я„J + ...,
2) Сравнить с 6.9.
386
при этом В(Я0)<0, так как поправка второго приближения
к основному уровню всегда отрицательна. Отсюда и следует
утверждение задачи, так как
d2E0 (X)ldX9 = 2В (%) < 0.
Проиллюстрируем установленное свойство выпуклости зави-
зависимости Е0(Х) от параметра Я на примере линейного осцилля-
осциллятора. Для него Й = р2/2ш + kx2/2 и ?0 = Йсо/2, где ш = л/klm.
В роли параметра X можно выбрать X = k и непосредственным
дифференцированием убедиться в выполнении неравенства
?0 < 0. Аналогично можно рассмотреть и случай кулоновского
потенциала.
8.8. Для невозмущенного ротатора имеем, см. 3.1:
= 0, ±1, ±2, ... A)
Возмущение V = — d^? = — d<ET cos qp. Воспользовавшись фор-
формулой cos ф = (е<ч> + е~1Ч>)/2, находим, что матричные элемен-
элементы Vmm' отличны от нуля лишь для значений пг' — m ± 1 и
равны при этом —dig/2. Теперь согласно (VIII. 1) и A) полу-
получаем для основного уровня ротатора
Ео « 40> + 4" + 42) = - rf2'e2M2. B)
Соответственно поляризуемость основного состояния ротатора
Ро = 2rf2//A2, сравнить с 8.2 и 8.3.
8.9. Хотя возбужденные уровни ротатора являются дву-
двукратно вырожденными, для расчета их сдвигов в однородном
электрическом поле можно использовать теорию возмущений для
невырожденных уровней, если заметить следующее. Возмущение
V = —d<g cos ф, как и гамильтониан Йо, инвариантны при отра-
отражении координат относительно оси, направленной вдоль электри-
электрического поля, т. е. при преобразовании ф-э—<р. Следствием
этого является возможность классифицировать с. ф. гамильто-
гамильтониана по значению Р=±1 четности и рассматривать соответ-
соответствующие состояния раздельно. При этом сразу определяется си-
система правильных с. ф. нулевого приближения (сравнить с 8.8):
4=
и т»>+ = 1/VST, 4\ = 0 для ц = 0.
Начнем с расчета сдвигов четных уровней. Для них нахо-
находим, что отличны от нуля лишь следующие матричные элементы
13*
387
возмущения:
- d«f/V2; ц' — 1. (* = О ИЛИ 1*' = (
и по формулам (VIII. 1) получаем
ц2-1)/г2
Для нечетных уровней V > = — й(У/2 при ц' = ц ± 1
(остальные матричные элементы равны нулю), и их сдвиги
равны
B)
^ '
(X ^ 2.
Из сравнения выражений A) и B) следует, что во втором
порядке теории возмущений уровень ротатора с |т|=1 рас-
расщепляется и вырождение снимается, а при значениях \т\~^.1
происходит лишь сдвиг уровня (его расщепление возникает в
2|т|-м порядке теории возмущений).
8.10. С. ф. и с. з. гамильтониана невозмущенного ротатора
имеют вид (см. 3.2)
V?m = Ylm (9. Ф). Е?Лг = М^ = ^ (/ + 1)/2/, A)
а возмущение V = —йЖ cos 9 (ось z направлена вдоль электри-
электрического поля). Учитывая соотношение cos 0 • Уоо = —iYl0/'\/~5,
см. (III. 7), и ортогональность шаровых функций, находим, что
матричный элемент возмущения Vim, oo отличен от нуля лишь
при / = 1, m = 0 и равен Vl0] 00 = i d«f/V3 . Согласно (VIII. 1)
получаем
так что поляризуемость основного состояния ротатора равна
Ро = 2fcP/3h2.
8.11. Для вычисления матричных элементов возмущения (см.
предыдущую задачу) воспользуемся соотношением
yfOT-afOTyf+1OT-af_1>wrt_,fOT, A)
ln 1) B/ + 3)
(для его получения следует учесть связь шаровых функций Yim
с присоединенными полиномами Лежандра р\т\ и воспользо-
388
ваться рекуррентными соотношениями для последних; фазовый
множитель у Ytm, см. (III.5), выбран как в книге Л. Д. Ландау
л Е. М. Лифшица [1]). Согласно A) отличны от нуля только
матричные элементы возмущения
Vl + \ т,1т=- Vlm, l+ln=" йЖаШ
Хотя уровни энергии невозмущенного ротатора вырождены
(по проекции момента m при / ф 0), для расчета их сдвига и
расщепления в электрическом поле нет необходимости приме-
применять теорию возмущений для вырожденных уровней. Ввиду со-
сохранения 1г и при действии возмущения, состояния с различными
значениями т можно рассматривать раздельно по формулам тео-
теории возмущений без вырождения. С учетом этого замечания по
формулам (VIII. 1) получаем: ?^ = 0 и
B) _ Id2g2 1A + 1)- 3m2 B)
lm~ Й2 " 1A+ 1)B/-1)B/ + 3) • w
Как видно, B1 + 1) -кратное вырождение невозмущенного
уровня ротатора частично снимается: он расщепляется на I + 1
подуровней, из которых одни, с m = 0, является невырожден-
невырожденным, а остальные / — двукратно вырожденными по знаку про-
проекции момента на направление электрического поля. Дальней-
Дальнейшего снятия вырождения в более высоких порядках теории
возмущений не происходит. Это связано с тем, что, с одной сто-
стороны, величина т = 1г является интегралом движения и может
иметь определенное значение одновременно с энергией, а с дру-
другой стороны, энергия состояний, различающихся лишь знаком
проекции момента на направление электрического поля, одина-
одинакова в силу инвариантности гамильтониана относительно зер-
жального отражения координат в любой плоскости, проходящей
через ось г (при таком преобразовании энергия не изменяется,
а проекция аксиального вектора (момент импульса) на направле-
направление полярного вектора (электрическое поле) меняет знак).
8.12. Для основного уровня частицы в б-потенциале имеем
<см. 2.7):
Для вычисления его сдвига под действием возмущения V =
= —eg?х во втором порядке (очевидно ?^' = 0) в качестве
невозмущенных с. ф. непрерывного спектра удобно выбрать
¦функции "Fj^ (х), отвечающие определенной четности /=±1.
Так как для четных с. ф. гамильтониана, искажаемых б-потен-
циалом, матричный элемент возмущения равен нулю (и поэтому
389
их явный вид несуществен), а нечетные в. ф. не искажаются
— sin kx
6-потенциалом и поэтому совпадают с в. ф.
свободной частицы, то согласно (VIII. 1) имеем (Ek=h2k2/2m):
Г \<kI\e*x\0)\* _
Используя здесь значения интегралов
sin
(У.2 + k2J
— оо
и (Д1.5), находим сдвиг уровня и поляризуемость
сравнить с 6.36.
8.13. В сильном электрическом
поле в. ф. нижних уровней ротатора ло-
локализованы в области малых углов
|ф|<1, так как потенциальная энергия.
U = —dig cos q> имеет глубокий мини-
минимум при ф = 0, см. рис. 34. Разлагая
?/(ф) в ряд и ограничиваясь первыми
членами разложения:
U = - dS cos ф « — dS + dS ф2/2,
приводим в нулевом приближении га-
гамильтониан ротатора к гамильтониану
линейного осциллятора и воспользовавшись (П.З), получаем
„ = 0,1,2,...,
390
Условие применимости проведенного рассмотрения состоит в ма-
малости с. ф. B) при |ср|~1. Так как в. ф. W^ (<p) существенно
отличны от нуля лишь в области углов (доступных классиче-
классическому ротатору)
<Ш q>2/2 ^ ?<?> + <Ш, или ф2 ^ q,20 (n + 1/2),
то отмеченное условие принимает вид SS>h2{n + l/2J/dI.
Заметим в заключение, что взяв в A) следующие члены раз-
разложения по ф2 (ангармонические поправки), можно уточнить
значение Еп в B).
8.14. Гамильтониан системы имеет вид
я=|1Г2-Aг> = -^-де)ф-^со8е A)
'(полярная ось z направлена вдоль электрического поля &).
В случае сильного поля с. ф. гамильтониана для нижних
уровней локализованы при малых значениях угла 9<С1 из-за
глубокого минимума при 0О = 0 у потенциальной энергии U =
= —dS cos 9, сравнить с предыдущей задачей. Учитывая это
обстоятельство, а также тот факт, что оператор Ад — лапла-
-сиан на сфере единичного радиуса — при малых углах 9 можно
рассматривать как лапласиан в плоском двумерном простран-
пространстве (в плоскости, касательной к сфере радиуса R = 1 в точке
•0о = 0, так что при этом 9 является «радиальной» переменной),
гамильтониан A) можно приближенно записать в виде
Здесь х = 0 cos ф, у = 0 sin ф, 6 = л/х2 + г/2.
Гамильтониан B) описывает плоский осциллятор, что позво-
позволяет, воспользовавшись 2.48, получить в нулевом приближении
•спектр и собственные функции исходного гамильтониана A):
«1 + «2 = ЛГ,
где 0О =(h2/Id&I'*. Так как с. ф. осциллятора B) локализо-
локализованы в области 0 ^(W+1H^, то использованное выше усло-
условие 0<1 определяет условие применимости C) в виде Gjj <
или >(+ )/l.
391
В рассматриваемом приближении уровень Е$ имеет крат-
кратность вырождения g(N)= N + 1. Такое вырождение — свойство
принятого приближения. Учтя в разложении cos 0 следующий»
-~94, член, а также используя более точное выражение для
Де ф, можно уточнить C), определив малое расщепление уров-
ней ?#>.
8.15. При /'•Ся рассматриваемые потенциалы имеют вид
?/ж—Uoa/r. В таком кулоновском поле в. ф. нижних энергети-
энергетических уровней локализованы на расстоянии порядка Гп~аопг
от центра поля; здесь а0 = H2/maUo, n — главное квантовое чис-
число. Если гп<^.а (т. е. | = та2Gо/Й23>/г2), то, очевидно, в нуле-
нулевом приближении искомые уровни нижней части спектра и со-
соответствующие им с. ф. будут такие же, как и в кулоновском
поле:
р@) та
см. (IV. 3). При этом отличие рассматриваемых потенциалов от
кулоновского играет роль возмущения У (г) = U(r) + U$a/r,
Ввиду того что орбитальный момент частицы является интегра-
интегралом движения и при действии возмущения, с. ф. A) являются
правильными функциями нулевого приближения и поправка пер-
первого порядка определяется выражением
а) Разлагая потенциал возмущения в ряд по степеням г/а,
что дает
V (г) = - С/о (~1/2 + г/12а + О (г3/а3)), C>
и учитывая значение интеграла (см. [1, § 36])
5'
согласно B) — D) находим
(заметим, что учет в разложении C) слагаемого ~гъ/аъ был
бы превышением точности, так как его вклад в сдвиг уровня
~ t/o/l3 имеет такой же порядок величины, как и поправка вто-
второго приближения теории возмущений).
б) Теперь VmU0(\~r/2a + r2/&a2) и
392
Как видно из E) и F), случайное кулоновское вырождение
уровней по / снимается.
Заметим, что для потенциала Хюльтена у. Ш. для «-состоя-
«-состояний допускает точное решение, см. 4.8. При этом (для / = 0)
?^\ совместно с E) описывают точный результат.
8.16. У. Ш. для радиальной части, % = rR, с. ф. гамильто-
гамильтониана имеет вид
ft2 „ а НЧ (I + 1) _ р
1 v
2m " rv ~ 4mrl
Эффективная потенциальная энергия в этом уравнении
U^ = - -=г Ч
Чтг2
имеет минимум в точке
L awn J
В случае v < 2 и значениях момента частицы / -+• оо для
нижних радиальных состояний область локализации в. ф. вблизи
этой точки минимума (при этом го-^°°) существенно уже об-
области, в которой можно ограничиться первыми членами разло-
разложения эффективного потенциала
^=-laB-v)ro-' + }aBv-vVo-(v+2)(r-r0J+.- О)
{сравнить с предыдущими задачами 8.13—8.15). Поэтому в ну-
нулевом приближении мы приходим фактически к задаче о гармо-
гармоническом осцилляторе с точкой равновесия г = г0 и упругостью
к = ?/эф (гЛ, что позволяет получить3) (сравнить с (П. 2))
) =
C)
здесь а = (hV0+yma Bv - v2)I/4.
Для применимости полученных результатов требуется выпол-
выполнение использованного при их выводе условия: радиальная функ-
функция B) должна быть локализована на расстояниях \г — r0j -
3) Учет следующих членов в разложении A) (ангармониче-
(ангармонических поправок) позволяет с помощью теории возмущений уточ-
уточнить этот результат.
393
Отсюда следует, что 2» ( nr + -n\[ V2 — V (сравнить с 8.1$
и 8.14).
Проиллюстрируем полученный результат иа примере час-
частицы в кулоновском потенциале, т. е. для v = 1; при этом Е„ =
= —ma2/2ft2/i2. Записав п = I + 1/2 + пг + 1/2 и выполнив раз-
разложение
___ma^ 1
" 2ft2 (I + 1/2 + nr + 1/2J ^
ma2 , ma2
2ft2 (/ + 1/2J ^
замечаем, что результат C) представляет первые два члена раз-
разложения D) для Е„ по малому параметру (пг + \/2)/(I + \/2)
(при этом следует учесть, что /(/ + 1) « (/ + 1/2J ввиду />1).
8.17. Решение данной задачи получается заменой —а на а
и —v на v в формулах предыдущей задачи (теперь Еп ; > 0>
и ограничений на значения v > 0 не возникает).
В случае сферического осциллятора точный спектр EN =
= ftco (N + 3/2), где N = 2nr + l (см. 4.5) и ш = V2a/m . Фор-
Формула C) из предыдущей задачи воспроизводит этот спектр
с единственным отличием: заменой / + 1/2 на V' (I + 1) (несу-
(несущественным ввиду /3>1).
8.18. Замена переменных х' = х, у' = у, z' = az/b приво-
приводит у. Ш. и граничное условие для с. ф. гамильтониана к виду
2т V дх'2 ду'2 б2 dz'2
Так как по условию \а — b|<a, то, записав а — (I -\-e)b^
где |e|<Cl, представим гамильтониан в виде Й = Яо + V, вы-
выбрав
Яо=- —А', ?=- — ^
2 2
А, ? Bе+е)^. 0>
2m 2m <Эг'2
При этом V выступает как оператор возмущения.
Для основного состояния невозмущениого гамильтониана
имеем (сравнить с 4.1)
V2na г a 2ma2
(здесь и ниже для упрощения записи штрихи у переменных опу-
опущены).
Расчет поправки первого порядка по малому параметру е
согласно A) сводится к вычислению среднего значения дг/дг*-
394
для основного состояния. Ввиду сферической симметрии его в. ф.
имеем, очевидно,
дх2 ~~ ду2 dz2 ~ 3
Отсюда с учетом выражений A), B) следует
"° ~ Зта2 ' -о~-о т-о -^т з ) Ы*' ^>
Так как объем эллипсоида равен
4я , 4я , . 4я _,
-x-a2b я* -=- а6 A — е) = -^ R%
о о о
то согласно C) замечаем, что E0txn2h2/2mR2, здесь R — радиус
шара такого же объема, как и у эллипсоида. Таким образом,
в первом порядке по параметру деформации е энергия основ-
основного уровня определяется лишь объемом эллипсоида. Имея
в виду, что в s-состояниях частица оказывает одинаковое по
всей поверхности давление на стенки сферической ямы, а также
выражение для совершаемой работы, —Р dV, при изменении
объема, легко сообразить, что этот результат остается справед-
справедливым при малых деформациях поверхности достаточно произ-
произвольного вида, сохраняющих объем.
8.19. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь
iir(O) _ с i
Т п 1 m / J
rnjm ¦
см. 4.9; невозмущенный уровень B/-+- 1)-кратно вырожден.
Ввиду сохранения 1г приведенные в. ф. являются правильными
•функциями нулевого приближения для возмущенного гамильто-
гамильтониана, так что сдвиги уровней
(О _ eft2 Г„г<0), _d^_v@) , (и
V"" и J nrlm дг2 *nrlm d ()
Для вычисления здесь интеграла рассмотрим сначала более об-
общий матричный элемент вида
{nrlm'\~dTdi;\n'lrn^
После выполнения в нем интегрирования по координатам он
принимает вид (т' \ Тщ \ от>, где Тш является уже обычной мат-
матрицей, действующей в пространстве векторов состояний момента
величины /, в котором векторы Im> определяют базис. Из
395
соображений о тензорном характере оператора 7\* следует
(сравнить с 3.40, ti— матрицы-векторы компонент момента):
Ввиду симметричности ?(* имеем В = 0. Далее, из условия
if —i ° = о
lilik~li dx.dxk -
следует соотношение
A + [21A+ 1) — 1]C = O.
Наконец, свертка в B) по индексам ink дает
Определяя из C) и D) значения А и С, а также учитывая, что
— (Й2/2ц) А = е?\, получаем
Г
„,п „ 2/2 + 21 — 1 - 2т2 „.г»
Отсюда следует, что вырождение уровня частично сни-
снимается: он расщепляется на / + 1 подуровней, из которых один
(с т = 0) является невырожденным, а остальные (с т =
= ±\т\) двукратно вырождены. В более высоких порядках
теории возмущений дальнейшего снятия вырождения, очевидно,,
не происходит.
Заметим, что среднее по всем подуровням значение поправки
первого порядка равно
Ет
+ 1 Li nr
т
(о вычислении суммы см. 3.3), так что значение Еп 1т, как к
в случае основного состояния, определяется только объемом:
эллипсоида (см. по этому поводу замечание в предыдущей за-
задаче).
8.20. Уравнение l2^, = L2X?Lm с помощью подстановки
принимает вид одномерного уравнения Шрёдишера
396
с ft s 1, «массой> ц= 1/2, «потенциальной энергией» ?/(в) =
= (от2—l/4)/sin26 и «энергией», равной Z.2+l/4. В случае
/и23>1 «потенциал» имеет глубокий минимум при значении 8 =
= я/2 и в. ф. нижних «уровней» локализованы вблизи этой
точки. Разлагая ?/@) в ряд
замечаем, что рассматриваемая задача сводится к у. Ш. для ли-
иейиого осциллятора. В нулевом приближении, опуская в B)
слагаемое ~ F—я/2L, получаем (положено х = 0— я/2):
= с
+ \)-±, я = 0, 1,2,...,
здесь С — фазовый множитель, см. ниже; в волновой функции
и в выражении для Ln опущены члены порядка 1/|т|.
Для уточнения значения L2 найдем следующую поправку,
соответствующую учету в B) ангармоничности ~ @ — я/2L.
Она оказывается равной
(сравнить с [1, с. 166]), и прибавив ее к значению нулевого
приближения из C), замечаем, что получающийся результат
12 = Dуо> + D)<1> = (|т| + я)(|т| + я+1) D)
воспроизводит точное значение L2 = /(/ + l) с /= |т|+я-
Отметим, что условие локализации в. ф. C) в области уг-
углов |Э — я/2|<1, использованное при решении задачи, тре-
требует, чтобы /г<С|т|, |т|>1 (сравнить с 8.13). Наконец, как
известно, фазовый множитель у шаровых функций фиксируется
определенным условием, см. (III. 8), (III. 5). В соответствии
с ним в C) следует выбрать
8.21. Вычислим среднюю энергию Ё(а) и найдем ее мини-
минимальное значение ттЙ = Й(а0). В соответствии с основной
идеей вариационного метода его можно рассматривать как не-
некоторое приближенное значение энергит? основного состояния
?о, вар = Е(а.о). Так как используемые пробные функции отра-
отражают характерные свойства точной в. ф. основного состояния
397
Ч^х), очевидные из общих соображений: 1) условие Wo (х) сох
при х-*-0, 2) быстрое (экспоненциальное) убывание на больших
расстояниях, 3) отсутствие нулей (не считая граничных), 4) ее
плавный монотонный характер по разные стороны от экстре-
экстремальной точки, то следует ожидать, что отличие ?0, вар от точ-
точного значения Ео не будет слишком большим 4).
При вычислении среднего значения Е = Т + О удобно, про-
пронормировав пробную в. ф., воспользоваться соотношением
T = у— \ | ?' (х) |2 dx
и учесть значение интеграла (Д1.6).
а) Из условия нормировки в. ф. имеем А2 = 4а3; далее на-
находим
2т ' 2а
Минимизация Е(а) дает
243'
б) Аналогичным образом получаем
В2 = 4 л/аТя, Г = Зй2а/4т, Z7 = 2Р0/л/па,
Так как вариационный расчет дает ограничение сверху на
значение энергии основного уровня, то заранее можно утверж-
утверждать, что из полученных результатов A), B) более точным яв-
является второй; точное значение Ео = 1,856 (ft ^о/т) ' • Отме-
Отметим, что в обоих случаях имеет место соотношение 27" (сц) =
= U (а0) в согласии с теоремой вириала, см. 6.12.
8.22. Поступая как и в предыдущей задаче, приходим к сле-
следующим результатам.
V-1 7 ft2V2Bv-l)
a) A2 = i-Bv —
2mBv+l)a2'
Г, Bv-l)a
и ~ 2а
4) Сравнение результатов вариационного расчета с точными
в рассмотренных в этом параграфе задачах позволяет составить
представление о точности таких расчетов с использованием про-
простейших пробных функций.
398
Минимизируя Е(а, у) сначала по параметру а, получаем
2h2v2
ао=-
A)
Теперь минимизация по у (очевидно v0 = °°) дает Ео, вар =
= —ma2/2h2, что воспроизводит точный результат, см. 2.7. При-
Причину такого совпадения легко понять, имея в виду соотношение
lim A —z/v)v = е~г при у->-оо: пробная функция для значений
flo(v) из A) при v-»-oo совпадает с точной волновой функцией
основного состояния.
Как видно из A), значения ?(в0, м) близки к Ео и при v,
отличных от Vn = °°:
V
Ё/Ео
1
0,750
2
0,938
3
0,972
5
0,990
7
0,995
10
0,998
(существенное различие проявляется лишь для малых значе-
значений v, при которых начинает сказываться медленное убывание
иа больших расстояниях, по сравнению с точной, пробной вол-
волновой функции).
б) Используя значение интеграла (Д 1.5), находим
л2_ 2v-l(v-Wa2v~l f_ vBv-l)ft2
nBv — 3)!!
8(v + \)ma2
ka?
2 2 Bv - 3) •
Минимизация по параметру а дает (со = л/k/m)
jf (a0, v) = 1
ао =
ft2vBv — 1) Bv—3)
ftco,
B)
а последующая минимизация по v воспроизводит (при v =
= v0 = оо) точное значение Ео = ftco/2 (объяснение этого об-
обстоятельства— такое же, как и в случае 6-ямы, а сделанное
выше замечание о близости Ё(а0, v) к Ео и при v^v0 остается
справедливым и для осциллятора).
в) Для кулоновского потенциала, U = —а/г, находим
АяА2 = (v - 1) Bv - 3) Bv - 1) a2v
- _ у (у— l)Bv —3) ft2
- _
2Bv
та2
U = —
Bv - 3) a
2a
399
Минимизация по параметру а дает
3 \ та2
j
C)
а последующая минимизация по v приводит к точному резуль-
результату Ео = —ma2/2ft2. Ситуация здесь такая же, как и в случае
рассмотренных выше потенциалов.
В заключение отметим следующее обстоятельство. Как из-
известно, если используемая пробная функция обеспечивает доста-
достаточно высокую точность вариационного расчета -Ео, так что
то вычисление с ее помощью каких-либо других характеристик f
основного состояния (таких, как плотность вероятности \^\2,
(АхJ и т. д.) имеет существенно меньшую точность и, вообще
говоря, |/Вар//точ—15 — Y- Так, в случае 6-ямы рассматриваемая
пробная функция при v = 10 дает значение Ео с погрешностью
0,2 %. Вычисленное же с ее помощью среднее
-* 8v4 ( ft2
Bv-3)Bv-2)Bv+
-Г—V
2 \ та )
отличается от точного значения на 19 °/о. Далее, в случае куло-
новского потенциала, также при v = 10, согласно C) .Ео, вар
отличается от точного значения на 0,4 %• В то же время отличие
I m /m ,» _ Bv-3)Bv-l)Bv + lK (may
1 ( Л ~ I )
~ 32jtv3(v- IJ I ft2
от точного значения составляет 15 %. Такая существенная по-
потеря точности при вычислении пространственных характеристик
частицы связана, по-видимому, с тем, что используемые проб-
пробные функции при конечных значениях вариационного парамет-
параметра v убывают иа больших расстояниях лишь степенным обра-
образом, в отличие от экспоненциального убывания точных в. ф. рас-
рассматриваемых систем.
8.23. При определении вида полиномов, аппроксимирующих
в. ф. рассматриваемых состояний частицы и представляющих
простейшие пробные функции вариационного метода, прежде
всего следует учесть граничные условия Ч^О) = ^?(а) — 0 и от-
отсутствие нулей у в. ф. основного состояния (не считая гранич-
граничных). Далее, пробная функция для первого возбужденного
уровня должна быть ортогональна в. ф. основного состояния
(именно при выполнении этого условия значение Е представляет
ограничение сверху для энергии возбужденного уровня, сравнить
с 8.28). В задачах с одномерным симметричным потенциалом
такое условие ортогональности легко обеспечить благодаря раз-
400
личной четности в. ф. основного и первого возбужденного со-
состояний при отражении координат относительно центра сим-
симметрии.
а) Для основного состояния выбираем W = Ах(а~--х) при
О ^ х ^ а; эта пробная функция, как и точная в. ф., является
четной при отражении координаты относительно центра ямы
х = а/2. Пронормировав в. ф., находим (так как U = 0, то
б) Теперь, для первого возбужденного уровня, выбираем
W = Вх(а/2—х) (а — х); множитель (а/2 — х) обеспечивает
требуемую симметрию в. ф. Находим
840 — — ft2
а7 ' та2 ~ ' '
{при вычислениях удобно сделать подстановку х' = х — а/2).
Найденные значения A) и B) величины Е по смыслу рас-
расчета представляют приближенные значения энергетических уров-
уровней Ео и Ei. Близость их к точным значениям Еп = n2h2(n +
+ lJ/2ma2 связана с тем, что рассматриваемые пробные функ-
функции отражают основные свойства точных в. ф. Wo(x) и Wi(x),
сравнить с 8.21.
8.24. Ввиду взаимной непроницаемости точек в. ф. системы
удовлетворяет условию ? (хи х2) = 0 при xt = x2. Соответ-
Соответственно, учитывая граничные условия иа стенках ямы и считая
для определенности, что 1-я частица находится левее 2-й, ап-
аппроксимируем точную в. ф. основного состояния выражением
? = Ахх (xi — х2) (а — х2), 0 < хх < х2 < а,
играющим роль пробной функции при вариационном расчете
энергии основного уровня Ео. Пронормировав в. ф., что дает
А2 — 5040а~8, с учетом ?7 = 0 находим
¦?о,вар = Т\ + 7"г =
а х,
та2
о о " '
G"i = Т2). Это значение отличается на 13 % от точного Е„ =
= 5n2h2/2ma2, см. 2.51 и сделанное там замечание о вырожде-
вырождении уровня.
8.25. Для частицы в центральном потенциале при вариа-
вариационном расчете энергии нижнего уровня с произвольным
401
значением орбитального момента / не возникает осложнений,
связанных с необходимостью выбора пробной функции ортого-
ортогональной в. ф. более низких уровней (с меньшими значениями:
момента): угловая зависимость в. ф. в виде ooYlm (п) обеспечи-
обеспечивает такую ортогональность автоматически. Пронормировав ука-
указанную в условии пробную функцию, что дает
А2 = 5 E + v) E + 2v)/2v2a:
с учетом значения ?7 = 0 находим
^ 5 E + у) E + 2у) Л2
~ 4 C + 2v) та2 '
Минимум Е(\) определяет оптимальное приближенное значение
(дающее ограничение сверху) энергии нижнего уровня, пг = 0,
с моментом 1=1. При этом Еа\ вар5* 10,30ft2/ma2, точка мини-
минимума vo«O,37. Однако и при других значениях v~l получается
близкий результат, как это видно из таблицы
V
?/ft2(ma2)-'
0
10,42
0,4
10,30
1
10,50
2
11,25
Отметим, что точное значение ?Oi = 10,10Й2//тга2 следует
из 4.9, если воспользоваться значением Хо = 4,4934 первого нуля
функции Бесселя Js/s(x).
8.26. В соответствии с основной идеей вариационного метода
найдем среднее значение Ё(у,г), минимизация которого позволит
определить сдвиг уровня. Сначала нормируем пробную функ-
функцию, для чего следует выбрать
(П
2A+yK
здесь и ниже используется «слабость» внешнего поля, а также
система единиц, в которой А = пг = а = 1, при этом ио=1
и Eq ' = —1/2 — энергия уровня в отсутствие поля. Вычислив
F-4-
= - об (*) —
-C2(l
8ef2
B + YK
B)
402
и воспользовавшись A), получаем (ограничиваясь членами не
выше второго порядка по F)
Ё() ! 8е/72 | g + a + v'
Минимизация этого выражения по параметру е дает
- 1 __1_ 2
а 128A +VK D)
Наконец, минимизация по параметру у позволяет найти сдвиг
уровня. Минимум реализуется при значении у = \о&—0,34, прн
этом получаем |30, вар = 1,225, в то время как точное значение
р0 = 5/4 = 1,250.
8.27. Найдем среднее значение энергии частицы5) (С2 =
= х3/я из условия нормировки пробной функции):
r2U (r)e-2Krdr, ?(x)=T + Z7.
о
Так как ?0 ^ ?(х) (Ео — основной уровень частицы), то если
при каком-либо значении параметра х ^ 0 будет ?(х)^0, то
в рассматриваемом потенциале заведомо имеется хотя бы одно
состояние д. с. (потенциал связывает частицу). Поэтому искомое
условие принимает вид
С °
*- о
max<ix\ \U{r)\rh^rdr\>-^ A)
(использование здесь максимального значения соответствует оп-
оптимальному выбору параметра х).
Для потенциала U = —аб(г — а) условие A) принимает
вид
2'«'}>-^-, или | = ^- > ± » 0,68,
в то время как точное и совпадающее с ним необходимое усло-
условие 1 3s 1/2.
5) Так как для решения задачи важен лишь знак Е (%), то
нормировать пробную функцию необязательно.
403
Для потенциала из 4.86) согласно A) получаем
точное условие | ^ 0,72, а необходимое | ^ 1/2.
Отметим, что довольно существенное отличие результатов
вариационного расчета ? от точных значений связано с крайне
простым выбором пробной волновой функции.
8.28. Рассмотрим следующую сумму:
N-\ N-i
У С?а I H I Wa) = У ?а.
а-0 а-0
Выполнив здесь разложение волновых функций Wa = /. СапЧг-п
п
по с. ф. гамильтониана Я, приходим к соотношению
N-\ оо N-\_
а-0 п~0 а=0
Важным свойством коэффициентов разложения Сап, кроме
очевидного ^ | Сап |2 = 1, является то, что для них
п
ЛГ-1
а-0
С учетом этого неравенства из соотношения A) непосредственно
следует утверждение задачи.
Отмеченное свойство коэффициентов Сап является след-
следствием взаимной ортогональности волновых функций Wa. Дей-
Действительно, из условия <vFb|4/a> = баь имеем
Умножив это соотношение на Сап,СЬп, и выполнив суммирова-
суммирование по а и Ь, находим
JV-1
a = 0
N-1
У \с „.
f j i an
a-0
CO
|2=Z
n = 0
Усе*,
f j ^ an an
a = 0
ЛГ-1
где штрих у суммы означает отсутствие в ней слагаемого
с п = п''. Отсюда, очевидно, и следует обсуждаемое нера-
неравенство.
В заключение отметим, что результат задачи является обоб-
обобщением соотношения Е ^ ?о, лежащего в основе вариационного
404
метода расчета энергии основного состояния, на случай возбуж-
возбужденных состояний. Существенно, что в нем фигурируют пробные
функции, обладающие лишь взаимной ортогональностью (при
этом не требуется их ортогональность точным собственным
функциям гамильтониана, отвечающим более низким уровним
энергии).
8.29. Из уравнения Шрёдингера, записанного в интегральной
форме
оо
J [ ')W+(x')dx', A)
I P I
— ОО
следует выражение для амплитуды отраженной волиы
^ } (х) dx, B)
-60
определяющей коэффициент отражения частиц R = \А\2, см.
2.42.
Решение уравнения A) в виде ряда по степеням потен-
потенциала (кратности взаимодействия)
дает, очевидно,
C)
Соответственно имеем аналогичное разложение и для ам-
амплитуды Л (р) = ЛA) + Л<2) + • • •» гДе
\p\
— оо
ОО
J J ехр [т
¦ VP-* r pX -f- \ p \ \X — X
XU (x')U (x) dx dx'.
Вводя фурье-компоненту потенциала
оо
U(p)= J eiPx'kU(x)dx
— ОО
40S
и используя соотношение (Д1.3), формулы D) удобно записать
в виде
U (p — q) U (p + q)dq
Л =
nh21 p | J q2 — p2 — ie
— oo
(e > 0— бесконечно малая величина). На основе этих выраже-
выражений, отражающих структуру ряда теории возмущений для
А(р), можно сделать следующие заключения относительно ее
применимости.
1) Теория возмущений заведомо неприменима при р->0,
т. е. для медленных частиц. Это неудивительно: согласно 2.39
имеем R-+-1 при р-»-0, а применимость теории возмущений
предполагает У?<?;1.
2) Обозначив через Uo и а характерные величину и радиус
потенциала, замечаем, что в случае pa/ft sC I (т. е. для не
слишком быстрых частиц, при этом U(p) ~Uaa) применимость
теории возмущений предполагает выполнение условия
F>
при котором как | Т^ | < | Ч(^ |, так и | Л<2) | <| ЛA) |.
3) В случае быстрых частиц, р->-оо, хотя искажение волно-
волновой функции Yp по сравнению с в. ф. Ч™^' всегда мало, воп-
вопрос о применимости теории возмущений (и о сходимости ряда
для А (р) вообще) существенно связан с характером убывания
О(р) при р-*- оо.
Как видно из E), при законе убывания О(р), удовлетво-
удовлетворяющем условию
| 0 (р) | > С ехр (- а | р Г), | р | -> оо
с v < 1 (т. е. более медленном, чем экспоненциальное <» е~а'р')
интеграл в E) убывает быстрее, чем 0Bр) и соответственно
|Л<2)|/|ЛA)|-»-0 при р->оо (аналогичное условие имеет место
и для членов Л(п) более высоких порядков). Это означает, что
при р-»-оо теория возмущений применима и ряд для А(р)
сходится при любом значении Uo-
В случае закона убывания
|?7(р)|<Вехр(-а|рГ), v > 1, р ^ оо,
406
т. е. более быстрого, чем экспоненциальное е а'р1, наоборот,
интеграл в E) убывает более медленно, чем 0Bр) (см. ниже
случай г)), так что |Л<г'|/|Л<"|-> оо и ряд теории возмущений
расходится.
Отметим, что переходным между рассмотренными случаями
является режим убывания U (р) со | р \у е~а ' р ' с v= 1: при
Y > 1 теория возмущений применима, а при \ < 1, наоборот,
уже неприменима. В случае же \ = 1 интеграл в E) убывает
так же, как и 0Bр). При этом вопрос о применимости теории
возмущений и сходимости ряда для Л (р) зависит от числового
значения параметра ma2Uo/h2.
Рассмотрим приложения теории возмущений к конкретным
потенциалам, указанным в условии задачи.
а) Для б-потенциала согласно D) находим
*"'Щ ""G)
что полезно сравнить с разложением точного выражения для
амплитуды, см. 2.30:
/та /та /п2а2
+
Л\р\ +ima = ~ А | р | ~ Й2р2
В согласии с F) теория возмущений применима при
(для б-потенциала а = 0, а (/оа-~а); ряд теории возмущений
для Л (р) является сходящимся при выполнении условия
та/Нр < 1.
Для расчета амплитуды А{р) в остальных случаях будем
считать р > 0 и, учитывая симметричность подынтегральной
функции в формуле D), перепишем ее в виде
X
e2ipxlhU(x) ^ U(x')dx'dx. (8)
б) Для указанного в условии потенциала элементарное ин-
интегрирование в выражениях D) и (8) дает
Ар A — 2/ра/А) '
2 2,,2 (9)
ЛB) = _ . таио
Й2р2 A - />а/А) A — 2tpa/A) '
Как видно, при pa/h~l условие применимости теории возму-
возмущений, |Л<2>|/|Л<"|,<1, совпадает с F). Ввиду степенного убы-
убывания О(р) теория возмущений применима и при р->-°о, при
этом параметром разложения является mU0/p2. Дли рассматри-
407
ваемого потенциала точное значение амплитуды
где * = р/Н, I = Bma2U0/fl2I12, Iv (г) — функция Бесселя.
в) Для потенциала ?/= ?/0сг1-2(л:/а) в первом порядке
теории возмущений
A1)
Интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием контура
интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексной перемен-
переменной х. Особыми точками подынтегральной функции — полюсами
второго порядка — являются хп = ia(nn + я/2), где п =
= 0, 1, ..., а > о. Так как при х -*¦ хп имеем
ch2 (х/а) ъ-(х~ хпJ/а* + О ((х - х„L)
и соответственно при этом
e2iP*lh _ 2'р«„/*Г a2 2ipa2 1 1
cha(A:/a) * е l(x~xnJ + А (х-хп)У
то суммарный вклад всех полюсов оказывается равным
,A) imUp О ( 2ipa* 2f0хп/н\ _ 2nima?Ua
А ~ hp 1Ш L\ ~Т~ )-- Ь? sh (цРа1Н)
A2)
(члены ряда представляют геометрическую прогрессию).
Далее, интеграл в выражении для Л<2> согласно (8)
Л<2) = —
2maU0
в результате простых преобразований может быть выражен че-
через интеграл A1), что позволяет получить
ipa\ m2a3U20
+ ~)-гц—. ; ¦ ;V;-. A4)
г А ) h3p sh (яра/h) '
Сравнение A2) и A4) показывает, что при pafh~l при-
применимость теории возмущений, как и следует, предполагает вы-
выполнение условия F). Что же касается случая ра/А>1, то тео-
теория возмущений применима лишь при условии Uo<^.h2/ma2. Та-
Такая ситуация отличается от имевшей место для двух предыду-
предыдущих потенциалов и связана с экспоненциальным убыванием
408
В (р) со ре~лра1н ПРИ Р -*"°°- Отметим, что даииый потенциал
допускает точное вычисление А(р), см. [1, § 25]; на основании
этого результата легко прийти к заключению, что при | t/g | >
> Н2/8та2 ряд теории возмущений является расходящимся даже
при р-*- оо.
г) Для потенциала U = Uoe"x ^а получаем
( р2а2 \ .....
ехр (- -^-J. A5)
Для вычисления согласно E) амплитуды второго приближения
в случае быстрых частиц, p^hja, замечаем, что в интеграле
по q доминирующую роль играет область q^h/a (вклад от
остальной области несуществен из-за экспоненциального убыва-
убывания подынтегральной функции), так что в знаменателе можно
положить q = 0. После этого интеграл легко вычисляется, что
позволяет получить
р2а2 \ П
^ p>_. A6)
Сравнение с A5) показывает, что |Л<2'|/|ЛA>|->- оо при р->-оо
и теория возмущений неприменима (для быстрых частиц; ряд
для А(р) при этом является расходящимся).
В заключение подчеркнем, что отмеченная в этой задаче
различная роль высших порядков теории возмущений по взаи-
взаимодействию при р-*-оо в зависимости от закона убывания О(р)
отражает общую физическую ситуацию: при «медленном» убы-
убывании U (р) (грубо говоря, в случае | U | > Се~ар) большое из-
изменение импульса частицы происходит в результате однократ-
однократного взаимодействия, а при «быстром» убывании — в результате
большого числа актов взаимодействия, каждый из которых со-
сопровождается уже сравнительно небольшим изменением нм-
пульса, сравнить с результатами 4.18 и 13.84.
8.30. Фурье-компоненту потенциала, определяющую ампли-
амплитуду отраженной волны Л<" согласно формуле D) из предыду-
предыдущей задачи, преобразуем к виду
оо
D(k)= J U(x)eik*dx = -L
J еЩ
(для этого следует записать ikeikx = деШх/дх и выполнить инте-
интегрирование по частям). Для разрывного в точке х = 0 потен-
потенциала производная U'(х) содержит слагаемое (U2 — Ui)8(x)
с б-функцией, которое и определяет асимптотику
U ^i(U2 — Ui)lk при ?-><»
409
{при этом вклад остальной области интегрирования несуществен
из-за быстрой осцилляции подынтегральной функции). Соответ-
Соответственно
B)
а обобщение этой формулы на случай потенциала* с разрывами
в нескольких точках х„ имеет вид
I n
2iPxn/h
C)
где AUn — скачок потенциала в соответствующей точке х„; под-
подчеркнем, что для разрывных потенциалов R оо р~4 при р-»-оо.
Согласно B), C) находим коэффициенты отражения
0 9 9,,О
in U?\ ni U
4р4 ' р*
для потенциала из 8.296) и для прямоугольного потенциала со-
соответственно, которые совпадают, естественно, с асимптотиками
точных выражений для R{p) при р->-оо. В связи с данной за-
задачей см. также 8.31.
8.31. Аналогично формуле A) предыдущей задачи получаем
U
Sikx
е U"(x)dx. A)
В случае потенциала, имеющего излом, производная U'(x) раз-
разрывна, a U" (х) содержит б-функционное слагаемое вида
—hFb(x), где —AF = U'@+)—U'@—)—скачок производной
потенциала в точке излома, которое и определяет асимпто-
асимптотику ЛA). Коэффициент отражения для потенциала, имеющего
изломы в нескольких точках *„, при р ->- оо равен
R(P)
16р6
AFя/
п
-6
B)
так что при этом R (р) оо р . В приложении к параболическому
барьеру формула B) дает
а2рв
В заключение сделаем замечание о связи асимптотики при
р->-оо коэффициента отражения с аналитическими свойствами
потенциальной энергии U(x) как функции переменной х. Если
410
потенциал имеет особые точки (сингулярности) на вещественной
оси х, то R(p) убывает степенным образом. При этом чем сла-
слабее сингулярность, тем убывание более быстрое; сравнить ре-
результаты данной и предыдущей задач. Если же U(x) ие имеет
особых точек на вещественной оси х (бесконечнократно диффе-
дифференцируемая функция), то R(p) убывает экспоненциально.
8.32. Ввиду известного соотношения для функций Блоха —
собственных функций гамильтониана
я, „
(х + а) = е"а?я> „ (х), -™<?<Т
достаточно рассмотреть решение у. Ш. лишь на отрезке 0 <
< х <а:
~ -^ К, «(*) + " (*) *«, с, М = Еп (<?) ЧЯш q (х). B)
При этом A) выступает как своеобразное граничное условие,
определяющее самосопряженное расширение6) эрмитова опера-
оператора p2/2m-\-U(x) на этом отрезке (для каждого значения q),
см. 1.29. При фиксированном q спектр En(q) дискретный, а не-
непрерывная зависимость его от q приводит к зонной структуре
спектра в целом.
В пренебрежении U (х) решение уравнения B) дает невоз-
невозмущенные с. ф. и с. з.
Произведем, имея в виду соотношение A), их классификацию
по значениям квазиимпульса q (и номера п зоны). Замечая, что
k = 2ns/a + q, где 5 = 0, ±1, .. ., нетрудно получить
п = 0, 2, 4, ...
Этот спектр «собран» из участков невозмущенного спектра f
см. штриховые линии на рис. 35, так что соседние зоны
касаются друг друга (нет запрещенных значений Е). Связь
б) Фактически речь идет о наложении двух граничных
условий:
? (а) = е1«аЧ @), V (а) = eiqa4' @)
в соответствии с тем, что индексы дефекта этого оператора суть
B,2).
411
импульса свободной частицы с квазиимпульсом определяется
соотношениями
( —nn/a + q, q<0,
Da)
fe =
-n(n
7. 9 > 0,
n= 1, 3, 5 D6)
из которых следует явный вид Т„ . = е1 /уа невозмущенных
с. ф. гамильтониана, удовлетворяющих условию A).
Из выражений C) или D), см. также рис. 35, видно, что
при фиксированном q невозмущенные уровни Е^'(q) разделены,
вообще говоря, конечным интер-
интервалом. Поэтому для вычисления
их сдвигов под влиянием U(x)
можно воспользоваться форму-
формулами (VIII. 1) теории возмуще-
возмущений в отсутствие вырождения.
/ В частности, поправка первого
/ порядка
\
En(q)
I
\
\
\Г/
а
U (x) dx = U E)
-Л/а
Л/а.
(в этом приближении сдвиг оди-
одинаков для всех значений п и
q\). Условием применимости E)
является
Рис. 35
Как видно из C) и рис. 35, оно нарушается при следующих
значениях q: 1) q «0 и 2) qxztn/a, когда происходит касание
соседних энергетических зон при значениях энергии, равных со-
соответственно
I) 40> @) = 4°li @) и 2) 40) (± я/а) = 4°-1 (± я/а).
причем здесь в обоих случаях п = 1, 3, 5, ...
При указанных выше значениях q для вычисления сдвигов
Е^ (q) следует использовать теорию возмущений для близких
уровней, сравнить с 8.6. Теперь, как и в случае строгого вырож-
вырождения уровней, возмущение сильно «перепутывает» невозмущен-
невозмущенные с. ф. с близкими энергиями, так что
(х)
1хп, <7
(х) +
(х); п = 0, 1, 2, ... F)
412
Возмущенные уровни и коэффициенты Ci, 2, определяющие пра-
правильные функции нулевого приближения, находятся так же, как
и в теории возмущений при наличии вырождения. Секулярное
уравнение принимает вид
U,
п, п + 1
и,
ге + 1, п
= 0,
G)
здесь учтено значение E) для Unn. В матричном элементе
Vn+l п можно воспользоваться с. ф. yP^\n+i)> q M при значе-
значении q, отвечающем непосредственно условию совпадения рас-
рассматриваемых уровней. Значения соответствующих импульсов
равны А/г = ±я(п + 1)А/а (подчеркнем, что обсуждается слу-
случай пересечения я и п -\- 1 зон), так что в G)
а
\ exp I ± 2('я
U
п+1, п I
2/я
\)^\u(x)dx
- А„ (8)
{от выбора знака ± величина Дге не зависит).
ор ± ге
Решение уравнения G) дает
+ К] о)
(знак (—) отвечает нижней зоне п, а (+)—верхней зоне ra+l).
График зависимости En(q) согласно C), E), (9) представлен
на рис. 35 (сплошная линия, причем для определенности вы-
выбрано U = 0). Учет взаимодействия приводит к появлению зон-
зонной структуры с энергетической щелью в спектре. Ширина ще-
щели— расстояние между соседними зонами п и п -\- 1—равна
2ДЯ. Коэффициенты С\, 2 в F) находятся обычным образом:
(Ю)
{два значения Е здесь определяются соотношением (9)). В част-
частности, непосредственно в точке квазипересечення невозмущенных
уровней Ci = ± С2 = 1/V5".
Отметим, что при таком удалении (с изменением q) от
точки квазипересечения, при котором
из (9) следует
A1)
413
Последний член здесь является частью поправки второго по-
порядка теории возмущений, соответствующей учету в (VIII. 1)
лишь одного слагаемого, отвечающего ближайшему уровню.
Воспользовавшись явным выражением для Еп', форму-
формулу (9) можно переписать в более наглядном виде. Так, в слу-
случае, когда в (9) для нижней зоны значение п нечетное (квазн-
пересечение уровней при q = 0), имеем
где kn = п(п + \)/а, «=1,3, ... Прн | q | -С/яД„/й2/г„ отсюда
следует7)
А2 „ _ 1 Г h2kl
L ^[
1 1 9 ,
В случае когда для нижней зоны значение п четное и ква-
квазипересечение уровней имеет место при q = ±n/a, получаем
аналогичные A2) и A3) выражения, но уже с п = 0, 2, ...,
с единственной заменой в них |^| на л/а— \q\.
В заключение отметим, что в применении к потенциалу из
2.53 имеем О — а, н Д„= |а|, так что энергетическая щель
между соседними зонами принимает постоянное значение (не
зависит от п; здесь проявляется специфика б-потенциала, для
любого другого Дп->-0 при /г->-оо). В то же время ширина раз-
разрешенной зоны растет юд с увеличением п.
8.33. Возмущение осциллятора имеет внд V = —ex<S (t).
Его матричные элементы Vkn(t), а соответственно и вероятности
переходов осциллятора в первом порядке теории возмущений
отличны от нуля лишь для значений k = п ± 1, см. (II. 3) (пе-
(переходы возникают только между соседними уровнями). Вос-
Воспользовавшись формулой (VIII. 9), получаем
р2\1\2 f (я + 1), k = n + \,
' 2mfta> I /г, k = n—\, '
где
оо
/ (со) = [ exp (iat) Ж (t) dt
— оо
(заметим, что |/(со) |2 не зависит от знака со).
7) Обращаем внимание на квадратичную зависимость от ква-
знимпульса энергии вблизи границы зоны: E(q) —E(Q)ooq2.
414
Для рассматриваемых зависимостей &(t) находим (т>0):
Г / t2 \ I— ( со2т2\
а) I (со) = &0 \ ехр \iatt j" J dt = у я %<%0 ехр I j- J ,
— оо
оо
¦б) /(со) = ^о \ еш * ,2 =ят^ое~ |(от|,
— СО
со
а) / (со) = <?о \ ехр Г гсо^ — -у J cos (co0/) dt =
— СО
1 ,- „ f Г 1 , ,. Л . Г 1 . . ., Л)
= y Vл те о ^ ехр — -j (со — ю0Г т + ехр ^- (со + со0г ^ г.
Основным условием применимости полученных по теории
возмущений результатов является выполнение неравенства
(VIII. 3), принимающего в данной задаче вид
(п + 1) А/тш < Аш.
Для нерезонансного возмущения это условие обеспечивает ма-
малость вероятностей переходов, №A) (n->- k) -Cl. В случае же сла-
слабого резонансного воздействия (см. в)) условие малости веро-
вероятности перехода накладывает ограничение на время действия
возмущения.
Отметим, что при медленном включении и выключении по-
постоянного поля, т. е. при т-*-<», вероятности переходов стре-
стремятся к нулю 8) (однако в случае в) при а> ->а>0 онн с ростом т,
наоборот, возрастают, что связано с резонансным характером
действия поля).
8.34. Возмущение ротатора имеет вид V = —d<ST(^)coscp
(<р — угол между осью ротатора и направлением электрического
лоля). Матричные элементы возмущения отличны от нуля лишь
лри т' = т ± 1 и равны при этом
Vm'm = -d$ @/2,
см. 8.8. Соответственно в первом порядке теории возмущений
возникают переходы лишь на соседние по энергии уровни, их
вероятности
» 2
@ еШт'т' dt
т'~т±1. A)
8) Это утверждение при адиабатических воздействиях на си-
систему сохраняется и в случае достаточно сильных полей, см.
8.54, 8.55.
415
Значения интеграла в A) приведены в предыдущей задаче; сле-
следует только учесть, что теперь значения частот перехода com,m
равны A ± 2т) ft/2/ для т' = /п ± 1. В связи с условиями при-
применимости полученного результата см. 8.33.
8.35. Возмущение ротатора V = —d& (t) cos 0. Используя
значения матричных элементов Vkn из 8.11 (где рассматривался
случай стационарного поля), по формуле (VIII. 9) получаем
ГA) (/, m -> I'm) =
",-,,„
f- <'-'-!.
В первом порядке теории возмущений возникают переходы лишь
на соседние по энергии уровни, прн этом из-за сохранения U
значение т не изменяется. Частоты переходов равны:
Значения интеграла в A) приведены в 8.33.
8.36. Рассматривая взаимодействие ротатора с полем как
возмущение
V = — dS (t) = — dS (t) cos (ф —
нетрудно заметить, что результаты для вероятностей переходов
ротатора во вращающемся поле получаются непосредственно из
формулы A) задачи 8.34 заменой фигурирующего в ней инте-
интеграла на
5 Ш it) exp [I (com,m + м, - т'%) t] dt.
Существенно, однако, что теперь вероятность перехода опре-
определяется фурье-компонентой поля 8 с частотой
"т'т
+ (т — т') ш„,
которая прн соответствующем значении со0 может быть малой.
При этом вероятность такого перехода прн большой длительно-
длительности действия поля может резко возрасти. Возникновение резо-
резонансной ситуации легко понять, если перейти во вращающуюся
совместно с полем систему координат, см. 6.29. В этой системе
уровни энергии невозмущенного ротатора, Евр< т = Е^ — Йшот,
с различными значениями проекции момента т могут оказаться
вырожденными, и медленно изменяющееся во времени возмуще-
возмущение может привести (при достаточной его длительности) к су-
416
щественным переходам между соответствующими состояниями,
см. 8.40. В связи с этим заметим, что значение &т'т как .Раз
и представляет частоту перехода для рассматриваемых состояний
ротатора во вращающейся системе координат. Подчеркнем, что
сделанное замечание о переходах, вызываемых возмущением,
источники которого «вращаются» с постоянной угловой ско-
скоростью, носит достаточно общий характер.
8.37. Исходим из формул (VIII. 6) — (VIII. 9), отражающих
постановку задачи н ее решение в первом порядке теории воз-
возмущений. При этом
где значения амплитуд первого приближения a^ (t) опреде-
определяются формулой (VIII. 8). Подставив их в уравнение (VIII. 1),
получаем
akn(l> ft /_, vkm
Отсюда, воспользовавшись (VIII.8) и учтя, что aj^J (— оо) = О,
находим
t У
т
A)
Вероятность перехода системы из начального /г-го в конеч-
конечное /г-е (при t = +°°) состояние равна (k Ф п)
W (п -> k) = | akn (t = + оо) f = | а<?1 (оо) + a)g> (оо) + ... |2.
Если а'^ (оо) = 0, то
определяет вероятность соответствующего перехода, запрещен-
запрещенного в первом порядке теории возмущений.
8.38. Из выражения A) предыдущей задачи с учетом зна-
значений матричных элементов возмущения V = —eS"(t)x для ос-
осциллятора, см. (II. 3), следует, что во втором порядке появ-
появляются переходы осциллятора из начального /г-го состояния в
конечные состояния с квантовыми числами п. ± 2, запрещенные
в первом порядке теории возмущений, см. 8.33. При этом сумма
в указанном выражении сводится лишь к одному слагаемому,
соответственно с т — п±\. Фигурирующие в этом слагае-
слагаемом частоты переходов совпадают: ш*т = штя = ±<в (ввиду
14 В. М. Галицкий и др. 417
эквидистантности уровней осциллятора), что позволяет упрос-
упростить- интегрирование, так как
t .- оо 2
\
t .- оо 2
f @ еш dt J f (С) еШ' dt' = ~\ ^f (t) еш dt .
— оо ь- — оо -*
В результате описанных преобразований получаем
Г 7 Г
L —со J
где
^+) = V(«+!)(« +2) н ^-) = V(«-1)«.
Вероятности рассматриваемых переходов
Сравнение их с вероятностями переходов, происходящих в пер-
первом порядке теории возмущений, см. 8.33, показывает, что
U7<2)^[U7('>]2; соответственно U7<2>/№A)~ №A><1 в условиях
применимости теории возмущений.
8.39. Парадокса в действительности нет. Следует просто
иметь в виду, что для вычисления квадрата модуля величины
а = 1 -f- aA> + aB) + ..., представляющей разложение в ряд по
некоторому малому параметру V-C1 (так что |a<"' | ~ V4), с
точностью до членов второго порядка малости включительно,
с такой же точностью необходимо знать и вещественную
часть 9) а:
|а |2 = 1 + 2 Rea<" + | а<]) |2 + 2 Re aB> + О (К3),
|aA>|2~Rea<2)~K2
(апп согласно (VIII. 8) ~ мнимая величина).
Обсуднм теперь вопрос о сохранении нормировки волновой
функции системы с учетом переходов в первом порядке теории
возмущений. Согласно формуле A) нз задачи 8.37 имеем
оо
— \
+ «о) « 1 - — \ Vnn (t) dt -
L V
ft2 /^
v тп К1 ) е и»
9) Мнимую же часть а достаточно знать лишь в первом
порядке!
418
так что вероятность системе остаться при t-*-+oo в исходном
л-м состоянии с точностью до членов второго порядка по воз-
возмущению включительно
[-.2
\ Vnn(t)dt\ -
>
ЛПеГПП dt'dt + "-C]
A)
(к. с. означает слагаемое, получающееся комплексным сопряже-
сопряжением предшествующего слагаемого). Учитывая, что ®тп==
— со
I - „.
1
ОО ОО
[ dt [ { (t, t') dt' = [ dt' [ f (t, t') dt,
— оо — оо —оо V
выражение A) легко преобразовать к искомому виду
» 2
где штрих у символа суммы означает отсутствие в ней слагае-
слагаемого с т = п.
8.40. Хотя переходы системы в состояния, отличающиеся от
исходного по энергии, малы, переходы между состояниями, от-
относящимися к вырожденному уровню при достаточной длитель-
длительности возмущения могут быть существенными. Возникающая
ситуация аналогична случаю резонансного воздействия возму-
возмущения на систему, см. [1, § 40], и может рассматриваться фор-
формально как случай точного резонанса на частоте w = 0. Учи-
Учитывая возможность переходов между вырожденными состоя-
состояниями (не предполагая малости их вероятностей), запишем вол-
волновую функцию системы в нулевом приближении в виде,
сравнить с (VIII. 6),
(для краткости записи пишем 1,2 вместо П\,2). Как обычно,
получаем систему уравнений
fftdI=f@a2, iM2=>f(t)ai. A)
14* 419
Здесь учтено, что Vnn — 0, и введено обозначение Vn = f{t),
причем функция f(t) считается вещественной. Из A) следует
-jj- @1 ± а2) = Т -j- / @ (а, ф а2).
Отсюда с учетом начальных условий (при t = —оо) находим
а.\ (t) = cos | (t), a2 (t) = —i sin g (t), g (t) = — W (/') Л' B)
— oo
(этн результаты при g<Kl согласуются с (VIII. 8)).
Теперь обобщение выражения (VIII. 8) для амплитуд пере-
переходов в состояния с отличной от исходной энергией представ-
представляется очевидным и имеет вид
я —1, 2 -оо
t
В заключение обратим внимание на осциллирующий харак-
характер временной зависимости как амплитуд а^ 2(t), так и вероят-
вероятностей переходов, возникающий даже в случае слабого возму-
возмущения при его большой длительности. Заметим также, что
согласно A) суперпозиции |l>±i|2> исходных состояний явля-
являются диагональными (между ними нет переходов). Появление
таких независимых состояний связано с тем, что при решении за-
задачи были использованы определенные ограничения на значения
матричных элементов возмущения Уаь (см. комментарий в связи
с системой уравнений A)).
8.41. Запишем в. ф. КЭС в виде
*.„ (я. О =
(штрих у символа суммы означает отсутствие слагаемого с
k = я). Здесь 4°'и''Гл''" с-3- и с- Ф- невозмущенного га-
гамильтониана, с которыми совпадают квазиэнергня и в. ф. КЭС
в нулевом приближении. Коэффициенты разложения являются
периоднческимн функциями, в частности, cn(t + 7") = cn(t). Под-
Подставив A) в у. Ш., умножив его слева на Ч"^0' * и проинтегриро-
проинтегрировав по координатам, получаем, ограничиваясь членами первого
приближения:
ihcn @ + 44 @ = Vnn (t) cn (t). B)
420
Отсюда
|Д<^$Ы C)
Значение е^1'— поправки первого порядка в квазиэнергии, опре-
определяется из условия периодичности cn(t). Вводя Vnn(t)—сред-
Vnn(t)—среднее значение матричного элемента возмущения, перепишем по-
показатель экспоненты в C) в виде
_L fe0) _ у \ t _ I (V (t'\ — V \Ht'\
ft \\ьп vnnI jVn/i^l v nn)al \
L , 0 J
Так как интегральное слагаемое здесь является периодической
функцией, то условие периодичности c,,{t) дает
Таким образом, значение квазиэнергии в первом порядке теории
возмущений, еп яг Е^1 + ъ^\ совпадает со средним за период
значением энергии уровня «мгновенного» гамильтониана,?„ (/) =
= Е^ + Vnn (t), в том же приближении- (сравнить с результа-
результатом 8.56 для случая адиабатического изменения гамильтониана
системы).
8.42. Запишем волновую функцию КЭС в виде (сравнить
с предыдущей задачей, ниже полагаем А = 1)
при этом в рамках теории возмущений
Подставив (I) в у. Ш. и умножив его слева 10) на
с кфп, как обычно, находим в первом приближении
I0) Такая символическая запись означает умножение на
*('7) и последующее интегрирование по координатам.
421
Общее решение этого уравнения имеет вид
4'2 @ = «"'"*"' Ul @) - / J Vkn (П е^' dt\ B)
Значение постоянной с^ @) находится из условия периодичности
c^\(t + T) = c^k(t) и равно
с0> @) = -i \ Vkn (t) e'-ffl*»' Л/ (е'"*»71 - l) C)
(соотношения B), C) будут использованы ниже для определе-
определения поправки второго приближения для квазиэнергин).
Умножив теперь у. III. на (V^* |, находим для членов пер-
первого порядка по возмущению
Дальнейшие вычисления проведем для случая Vnns^Q. При
этом с^ = iB^t + <4'' @) и из условия периодичности следует
6^ = 0 (сравнить с предыдущей задачей). Значение же постоян-
постоянной можно выбрать cJj'(O) = O (выбор другого значения соответ-
соответствует изменению нормировки и фазы в. ф. A) и не отражается
на ее зависимости от q и t), так что с„ @=0. Для членов
второго порядка теории возмущений, возникающих при умноже-
умножении у. III. на (Ч^ |, получаем
где c^l определяются формулами B) и C). Отсюда
t
с™ @ = toft - i > \ Vnk it') сЩ (Г) df + cf @), E)
k о
при этом постоянную с^' @) можно опустить; как и с*!' @).
Значение е^ находится из условия периодичности коэффи-
коэффициента cjj2' (t). Имея в виду, что как Vnk (t) и сЩ (t), так и их
произведение в E) являются периодическими функциями с
422
периодом Т, находим искомую поправку:
г
k О
i
\vkn
(О
'Л
F)
Используя эрмитовость оператора возмущения, нетрудно заме-
заметить (при Шйп Ф 2nN/T), что выражение в фигурных скобках
является чисто мнимым, а е„ —вещественным. Если Vkn{q, <) =
5s yftfJ (^) (т. е. возмущение не зависит от времени) то F)
переходит в обычную формулу стационарной теории возму-
возмущений (VIII. 1) для сдвига уровня во втором порядке.
В случае гармонического возмущения вида V = V (q) cos cat
с о = 2л/Т выражение F) существенно упрощается:
Обсудим этот случай более подробно.
Прежде всего отметим, что при со —>- 0 выражение G) лишь
множителем 1/2 отличается от обычной формулы стационарной
теории возмущений для Т7 = V (q). Это соответствует тому,
что е^' получается как результат усреднения поправки второго
приближения Е^ (t) »э cos at для «мгновенного» возмущения
Vr(q)cos Ы, при котором cos2(co?)= 1/2 (и наглядно следует из
адиабатического приближения, см. 8.56). В противоположном
предельном случае со-»-оо из G) вытекает, что е^2'оо со (см.
ниже формулу A0)).
В важном частном случае системы заряженных частиц
в поле электромагнитной волны, когда V = —<?od cos со/, из G)
следует выражение для динамической поляризуемости системы
(ось z направлена вдоль ё0):
(8)
423
(при w = О динамическая поляризуемость совпадает с обычной
статической поляризуемостью). В частности, для линейного ос-
осциллятора, как и в случае стационарного электрического поля
в 8.2, находим
(9)
—
к-
J
где coo — его собственная частота.
Воспользовавшись соотношением рмп — юш1лГ»я и правилом
сумм из 6.13, замечаем, что для системы из N заряженных час-
частиц с одинаковыми массой т и зарядом е выражение (8) можно
преобразовать к,виду
/-д2 , г),лЗ | /ь | ^ | п\ |2 ^
A0)
е
Здесь первое слагаемое р*0 (со) = j- N соответствует такому
сдвигу уровня в поле волны, как если бы частицы были свобод-
свободными, сравнить с 6.40, а также с (9) при йH = 0; оно является
доминирующим при со ->- оо (при этом поправочный член в A0)
может быть сведен к диагональному матричному элементу, если
учесть правило сумм из 14.11).
Формулы G) —A0) неприменимы при <в -><Bftra, где ®kn =
= {jE^ — ?^)/й является частотой перехода между, дискрет-
дискретными уровнями невозмущенного гамильтониана, вызываемого
возмущением V. В возникающей при этом резонансной ситуации
даже слабое возмущение приводит к сильному взаимному влия-
влиянию резонирующих уровней, сравнить со следующей задачей.
Иная ситуация возникает в случае, когда резонирующее
состояние k = v относится к непрерывному спектру. Теперь дей-
действие возмущения приводит к «ионизации» системы и затуханию
КЭС со временем. Для определения его времени жизни со-
согласно G) следует сделать замену Ь'^0' -> Е$ + iy, или <а\п ->
-*" fflftn ~~ 'Y> гДе У > 0 — бесконечно малая величина (сравнить
с подстрочным примечанием на с. 646 в [1]).
Записав теперь
„B) _ ЛрB) _ _?_ г
и заменив суммирование по k интегрированием по v, находим
для ширины КЭС
?$|7wfe(?v-40>-<»)<'v A1)
424
в согласии с общей формулой [1, § 42] для вероятности пере-
- хода (напомним, что Г„ = Й/т„ = hwn).
В заключение заметим, что для системы в электрическом
поле линейно поляризованной волны, V == —?ай cos ((at), ши-
ширина уровня и определяемая ею мнимая часть динамической по-
поляризуемости могут быть связаны с сечением фотоионизации ")
этого состояния соотношением
Im ря (ш) = -^- <Хф. „ И; A2)
здесь с — скорость света, сравнить с 11.63 и 14.20.
8.43. Запишем волновую функцию системы в виде
(сравнить с 6.41). Уравнение Шрёдингера, ih — F = (Яо + 7) ?
сводится к системе двух уравнений (/zoH = ?S,' — ^i )•
thai = V0e~'Wcos (<of) a2, iha2 = Уаеш cos (<o0 au A)
Во входящих сюда временных множителях
е± iunt cos at _ J_ [g± t (eoo-co) < _|_ g± г (Ис+и) f]
первое слагаемое — медленно изменяющаяся, а второе — быстро
изменяющаяся функции времени. В случае слабого возмущения,
Vo<ftco, члены в уравнениях A), содержащие быстро меняю-
меняющийся множитель, могут быть опущены, так как не играют су-
существенной роли в переходах системы, сравнить с 8.40. Учиты-
Учитывая это обстоятельство и сделав подстановку
приводим систему A) к виду (v0 = V0/h):
2/ai = —yai + voa2, 2ia2 = voa\ + ya2. B)
Для двух независимых решений этой системы уравнений с по-
постоянными коэффициентами обычным способом, с помощью
") Это соотношение непосредственно следует из сопостав-
сопоставления рассматриваемого матричного элемента Vvn с матричными
элементами операторов (XIV. 12), (XIV. 13) для однофотонных
переходов, определяющих сечение фотоэффекта, см. 14.18—14.20.
425
подстановки Ci, 2 @ = Ct> 2e 'Н находим
jL
Таким образом, общее решение у. Ш. имеет вид
где
е, = Е?) + 4~ Y + Л, 82 = 40) - 4" V - ^ D)
(отметим, что в точном резонансе, при со = Шо, имеем \ = О
и Р= |fo|/yo== ±1).
Каждое из двух слагаемых в волновой функции C) описы-
описывает независимое КЭС, при этом ei, 2 являются квазиэнергиями
этих состояний. Как видно, в каждом из КЭС представлены
лишь по две квазиэнергетических гармоники, (см. 6.40), причем
fl\ /0\
они соответствуют состояниям | 1 и ( ), т. е. являются
собственными функциями невозмущенного гамильтониана Йо,
Более высокие гармоники имеют малые амплитуды, пропорцио-
пропорциональные степеням малого параметра Vg/haio^h и поэтому не
появились в рассматриваемом приближении (их «исчезновение»
связано с пренебрежением в системе уравнений быстро изменяю-
изменяющимися со временем слагаемыми).
В заключение рекомендуем читателю обсудить вопрос о пе-
переходах в системе, вызываемых возмущением, если при / = 0
она находилась в одном из собственных состояний невозмущен-
невозмущенного гамильтониана.
8.44. Воспользуемся известной формулой для вероятности
перехода в единицу времени из состояния дискретного спектра
в состояния непрерывного спектра под влиянием постоянного
возмущения
, = i2_ [ 1
h J '
6(Ev-E^)dv. A)
/0 p\
В данной задаче в роли возмущения V = — I J б (х) высту-
\р О/
пает часть взаимодействия, ответственная за связь между ка-
426
налами. Под в. ф. Ч1^' исходного состояния '2) д. с. следует
/ 0 \
понимать в. ф. \р(°) = I I связанного состояния системы
* \tyo(x)J
в канале с возбужденной составной частицей (по поводу обозна-
обозначений см. 6.39). При этом
ma ,,m „ h**l
1m
(рассматриваемое состояние отвечает основному уровню час-
частицы в б-яме, см. 2.7, со смещенной на Qo нижней границей
состояний непрерывного спектра энергии в этом канале). Нако-
нец, в. ф. У'°' = ( ), где функция г|) (х) описывает со-
стояния непрерывного спектра в основном канале системы (т. е.
с невозбужденной составной частицей) с энергией Ev = E^; о
конкретном выборе i|iv см. ниже.
а) В пренебрежении взаимодействием в основном канале
вместо точной в. ф. канала i|3v можно воспользоваться в. ф.
свободного движения, т. е. выбрать (приближенно) ifv=
= Bл,)~1'2е1кх; при этом v = k, —оо < k < оо, и Ev =
= h2k2/2m. Вычислив теперь матричный элемент возмущения
согласно A) получаем
B)
I 2tn
V 4°> '
б) Для более точного определения Г следует учесть взаи-
взаимодействие (б-потенциал) в конечном состоянии. При этом в ка-
качестве в. ф. i|5V удобно выбрать в. ф. г|)*, /, описывающие со-
состояния с определенной четностью /, и учесть, что теперь
k = V2m?v//z2 > 0. Для б-потенциала эти в. ф. имеют вид (об-
(обращаем внимание на их нормировку):
¦Фй, -i=~j=-smkx, г|^ =-—cos(fe|x| + 6),
л/л ' ул
12) Истинно связанным оно является лишь в пренебрежении
возмущением. Под влиянием возмущения оно становится уже
квазистационарным с шириной уровня Г = hw. Связь с откры-
открытыми каналами играет роль конечной проницаемости барьера
для квазистационарных состояний в случае систем с одним ка-
каналом, сравнить с 6.36, 6.37.
427
причем из условия сшивания решения при х = 0, см. 2.6, сле-
следует tg б == ma/tfik. Матричный элемент Vvn, где теперь v =
= (&,/), отличен от нуля лишь для четных состояний с / = +1
и равен
Vvn = — Р л/хо/я cos e-
Учтя значение б, согласно A) получаем
Сравним полученные результаты B) и C). По смыслу при-
приближения а) формула B) применима лишь при Qo > | ?0 | =
= h2lx.Qi2m, когда кинетическая энергия в основном канале
много больше энергии связи. Действительно, в этом случае фор-
формулы B) и C) практически совпадают. При значениях Qn~|?0|
формула B) неприменима (для частиц с энергией Е~\Е0\ ко-
коэффициент отражения /?~1, см. 2.30, и их нельзя рассматри-
рассматривать как свободные). Формула же C), основанная лишь на сла-
слабости связи каналов, E<?Са, остается справедливой и в этом
случае (в чем легко убедиться, сравнив ее с результатом точ-
точного решения, см. формулу D) из 6.39).
8.45. Воспользуемся общей формулой для вероятности пе-
перехода в состояния непрерывного спектра под влиянием перио-
периодического возмущения (см. [1, § 42]):
В данной задаче V = —Fox cos (aot) и соответственно F =
= —F0x/2. Далее 13), W^ = л/к е~х I *' — в. ф. основного состоя-
состояния в б-яме, к = ma/h2, Е^ зз Ео = —Л2к2/2т — энергия основ-
основного состояния.
В пренебрежении действием б-потеициала на частицу в ко-
конечном состоянии в качестве в. ф. Tv можно выбрать Wv =
= Bп)~^2 etkx — в. ф. свободной частицы; при этом v = k,
—оо < k < оо, ?v = h2k2l2m. Вычислив теперь матричный эле-
элемент
13) Сравнить с решением предыдущей задачи.
428
согласно A) находим
Хотя по способу вывода этой формулы (пренебрежение
взаимодействием в конечном состоянии) ее справедливость пред-
предполагает выполнение условия ктй~Э> |?о|. на самом деле она
применима и при h<o0?5\E0\ (в том числе и вблизи порога).
Действительно, для учета указанного взаимодействия выберем
в качестве в.ф. Vv точные с. ф. невозмущенного гамильтониана
(частица в б-яме) ~*?k, ь отвечающие определенной четности /
(сравнить с предыдущей задачей). Теперь заметим, что матрич-
матричный элемент Fvn отличен от нуля лишь для нечетных состоя-
состояний, волновые функции которых не искажаются б-потенциалом
и совпадают с в. ф. свободной частицы. Соответственно фор-
формула B) сохраняется и при учете взаимодействия в конечном
состоянии, когда не возникает ограничений на энергию выле-
вылетающей частицы.
В заключение заметим, что при частотах Йсоо < \Ео\ в рас-
рассматриваемом приближении вероятность w обращается в нуль.
При этом переходы частицы в состояния непрерывного спектра
происходят в более высоких порядках теории возмущений («мно-
(«многофотонная ионизация») и имеют поэтому существенно меньшие
вероятности (сравнить с туннельной ионизацией в статическом
поле, см. 6.39, соответствующей предельному случаю с»о->-О).
8.46. Для переходов в непрерывном спектре
см. [1, с. 190]. Под vo, v следует понимать волновые «векторы»
(одномерного движения) свободных частиц и соответствующие
волновые функции
=л/—
Л/ hk
ikx
Лк'х
Сделаем замечание об их нормировке. Для в.ф. конечных со-
состояний она обычная: на б-функцию по v, причем в данном слу-
случае v = к'. Нормировка же в. ф. начального состояния на еди-
единичную плотность потока выбирается из следующих соображе-
соображений. Считая рассматриваемую систему помещенной в «ящик»
большой длины L, в. ф. начального состояния следовало бы вы-
выбрать в виде ?Vo = e'*A:/V^ (нормированной на единицу). При
этом вероятность перехода w имела бы свой буквальный смысл
и требуемую размерность \/Т. Однако в состояниях непрерывного
429
спектра обычно рассматривается не отдельная частица, а
поток частиц с плотностью потока j = pv = v/L. При этом
в качестве характеристики процесса используется не сама веро-
вероятность, а соответствующее «сечение» процесса, определяемое
соотношением а = w/j. Оно уже не зависит от конкретного вы-
выбора значения L (в отличие от вероятности перехода). Исполь-
Используемая нормировка в. ф. Wk как раз и отражает описание про-
процесса с введением соответствующего «сечения». В одномерном
случае «сечение» — безразмерная величина и имеет физический
смысл коэффициента отражения частиц.
Выполнив в выражении A) интегрирование по v (т. е. по
к'), получаем
х> 2
= W(k->k'=—k) =
\
U (х) e2ikx dx
(переходы происходят в состояния с k' = —k, отвечающие от-
отраженным частицам). Этот результат совпадает с полученным
ранее другим способом в задаче 8.29, в которой обсуждается
ряд вопросов, связанных с вычислением коэффициента отраже-
отражения по теории возмущений.
8.47. Так как под влиянием ограниченного воздействия Ро
(не обязательно малого!) волновая функция системы не успевает
измениться за бесконечно малый промежуток времени его вклю-
включения, то непосредственно в первые моменты времени при / > О
она совпадает с Ч^,, ,¦ — с. ф. исходного гамильтониана Ri = Ra
(по условию задачи).
Изменение (в среднем) энергии системы в процессе вклю-
включения взаимодействия Фо, очевидно, равно и)
Д? = {п, i | Vo | п, i). A)
Коэффициенты в разложении в. ф. ^?п, i по с. ф. ЧЛ*, f конеч-
конечного гамильтониана (Rf = Ro -\- Vo),
k
определяют искомые вероятности перехода:
w{n-*k)=*\ckn?=\{k,f\n,0?. B)
Рассматривая Ро как малое возмущение, для Ч*^ f можно
воспользоваться известным разложением теории возмущений, см.
и) В связи с данной задачей см. 9.22, где случай внезапных
воздействий рассматривается в квазиклассическом приближении.
430
(VIII. 2), и найти согласно B)
«>'<*"*•'"*>'' ^n. C)
(Еп, i ~ Ek, i)
Этот же результат можно получить в рамках нестационарной
теории возмущений. Интегрирование в (VIII. 8) по частям дает
t
0)
dt - ^1 еШ^. D)
Применительно к данной задаче 9 = V<if\(t), где r\(t)— ступен-
ступенчатая функция (r\(t)= 1 при t > О и r\(t) = О при t < 0). Так
как dr\(t)/dt = b(t), то замечаем, что при / > 0 первое слагае-
слагаемое в правой части D), определяющее вероятность перехода,
воспроизводит результат C) (второе же слагаемое в D) опи-
описывает искажение в. ф. я-го состояния при t > 0 под влиянием
возмущения 9а и к переходам системы отношения не имеет).
8.48. Для определения изменения волновой функции под
влиянием импульсного воздействия его удобно рассматривать
как предельный переход при т-»-0 взаимодействия вида 9(t, х) =
= Wof(t), где функция f(t) отлична от нуля лишь при |^(<т,
а интеграл от нее в пределах от —х до т равен 1. Уравнение
Шрёдингера при |/|<т принимает вид ;ft? = Wof @ ? (слага-
(слагаемое #о в гамильтониане опущено, так как оно не дает изме-
изменения в. ф. за бесконечно малый промежуток времени х; в учтен-
учтенном же слагаемом при этом f (t) ~ l/x->oo). Решение этого
уравнения
t
--?¦ \f(t')dt'W0 |Y(-t). A)
-х
Положив здесь t = x и устремляя т->-0, находим искомое из-
изменение волновой функции
цг (t == 0 +) = ехр (- (to/ft) ? (f = 0 -). B)
Учитывая, что по условию задачи ? @ —) = V^\ находим ис-
искомые вероятности
w
-и
C)
Разложение экспоненты в ряд в случае малого возмущения, ко-
когда | (W0)kn | < ft, дает
1
431
что. совпадает с результатом нестационарной теории возмуще-
возмущений, получающимся непосредственным (благодаря б-функции)
интегрированием в формуле (VIII. 8).
Воздействие вида V(x, t)=—xP06(t) на классическую час-
частицу состоит в мгновенной передаче ей импульса Ро =
= \ F (t) dt. Это утверждение остается справедливым и в кван-
квантовой механике, что следует из формулы B). Действительно,
в. ф. состояний частицы в импульсном представлении непосред-
непосредственно до: ai(p)= (p\t = О—>, и сразу после: af(p)=<p|/ =
= 0+), воздействия связаны соотношением af(p)=ai(p— Ро),
что и отражает отмеченное выше обстоятельство об изменении
импульса частицы.
8.49. Согласно формуле B) из 8.47 находим
-* k) =
Условие применимости: тсо^о = n2hr(k + lJ/ma2 -С 1.
8.50. а) Используя выражение
Ч0(х, а) = V«e-x|JC|, где к = та/Р,
для в. ф. основного состояния частицы в б-яме, см. 2.7, согласно
общей формуле B) из 8.47 для вероятностей переходов при вне-
внезапных воздействиях на систему, находим вероятность того, что
частица останется связанной ямой
w0 = w @ -> 0) = \ % (х, а) ?0 (х, a) dx
4«а
б) Для рассмотрения переходов в состояния непрерывного
спектра в качестве с. ф. конечного гамильтониана удобно вы-
выбрать в. ф. ^?k,i(x), отвечающие состояниям с определенной чет-
четкостью /. Такие функции, нормированные на б-функцию по
k = ^2mE/h2 > 0', получены в задаче 8.44. Используя выраже-
выражения для них, согласно очевидному обобщению формулы B) из
8.47 на случай состояний непрерывного спектра, находим
dw (k) =
a)dx
2
dk =
_ _4_ к (к — х) 2k2 dk
~ я (к2 + k2J (х2 + k2) ¦ { >
Это выражение, как и следует, нормировано на значение, равное
1 — а>о, где w0 определяется формулой A). Переходы происходят
только в четные конечные состояния, при этом вероятности зна-
значений импульса р = ±hk одинаковые. Как видно из A) и B),
в случае а « а вероятность вылета частицы мала, а при зиа-
432
чениях 5Са и а»а, наоборот, мала вероятность частице
остаться в связанном состоянии.
8.51. Для расчета искомой вероятности перейдем в систему
координат К', движущуюся вместе с ямой, в которой х' = х —
— Vt. В. ф. частицы непосредственно сразу после начала движе-
движения ямы в исходной, хУо(х), и в движущейся, х?0(х'), системах
координат имеют вид
Wo (х') = ехр (- -J- mVx'^ Wo (x'), ?„ (х) = л/^е~^х\
х = та/Н2, см. 2.7 (здесь соотношение между в. ф. отражает
тот факт, что преобразование в. ф. состоит просто в замене им-
импульса р на р'= р — rnV, сравнить с 6.26). Так как в. ф. свя-
связанного состояния частицы в системе К' получается из ^(х)
с помощью замены х на х', то искомая вероятность согласно
формуле B) из 8.47 оказывается равной
(х') их'
1
где v\ = a /ft2 (заметим, что v0 совпадает с v —средним зна-
значением квадрата скорости в основном состоянии частицы в
б-яме). В случае V < v0 имеем ш0 « 1 — V2J2v\tn\ — частица с
подавляющей вероятностью увлекается ямой. В обратном пре-
предельном случае V 3> v0, наоборот, ш0 » Bvo/V)* <C 1, так что
частица с подавляющей вероятностью покидает яму.
8.52. Искомые вероятности ш@->-/г) = \<п,/|0, () | 2, см.
формулу B) из 8.47. Наиболее просто матричный элемент можно
вычислить, воспользовавшись формализмом операторов рождения
и уничтожения а+, а, сравнить с 6.25. Для невозмущенного ос-
осциллятора щ = BЙ)~1/2(Ях + Л-'р), где X = V'"® ! при этом
его основное состояние определяется соотношением а,-|О, О = 0.
Наложение электрического поля эквивалентно смещению точки
равновесия осциллятора на расстояние х0 — е$/та>2, так что
теперь а/ = &i—XBh)~1/2x0, а конечные (при t > 0, после на-
наложения поля) стационарные состояния определяются соотноше-
соотношениями
Коэффициенты в разложении | 0, i) = J] cn \ n, f) были вычи-
n
слеиы в 6.25. Воспользовавшись их значениями, находим искомые
433
вероятности переходов
w@->n) = \cn\2 = ~a2ne-a\ a = - -Щ- A)
(как видно, зависимость вероятностей от номера п квантового
состояния осциллятора описывается распределением Пуассона).
8.53. Поступим, как и в предыдущей задаче. Переход в дви-
движущуюся со скоростью V систему соответствует изменению им-
импульса частицы на —mV, так что теперь fif = d,—imVlyibX
и распределение вероятностей определяется формулой A) пре-
предыдущей задачи, в которой следует положить |<х| = mVj^2hX.
8.54. Запишем волновую функцию системы в виде разло-
разложения 15)
? (q, t) = Yj С" @ ?* fa. ') ехР ( ~ Т \ Еп {t'] dt' X A)
V о У
где Чг„(<7Д@), EnCk(t))— с. ф. н с. з. «мгновенного» (т. е. в дан-
данный момент времени) гамильтониана, для которых
Я (р, ц, X Ц)) Уп (q, I @) = Еп (X @) Tn (?, Я @), B)
а коэффициенты Cn(t) являются в. ф. в требуемом представле-
представлении. Подставив A) в у. Ш., умножив обе части этого уравнения
иа W*k (t) слева и проинтегрировав по координатам q с исполь-
использованием ортогональности в. ф. Wn(q,t), находим
Г -1 J
I = - }j Cn (t) exp | -i- ^ (Ek - ?„) Л' J TJT. rf,. C)
Это и есть искомое волновое уравнение16). Оно удобно для
исследования систем, гамильтониан которых медленно изменяется
со временем. Действительно, так как ^п = X д^п/дХ, то
('Ffc | Yn ) со А. <С 1 ив нулевом приближении правую часть в
15) Для краткости записи пишем Wn(q,t) вместо Wn(q,X(t)),
причем зависимость от координат q часто не указываем.
16) Его, естественно, можно записать в виде уравнения Шрё-
дингера, iftCk = J] H'krPn = ^"^к- Прн этом оператор (мат-
п
рица) Й" является эрмитовым и описывает гамильтониан си-
системы в энергетическом представлении мгновенного гамильто-
гамильтониана (однако связь его с исходным гамильтонианом ввиду за-
зависимости от времени соответствующего унитарного преобразо-
преобразования заранее не очевидна, сравнить с 6.28).
434
C) можно положить равной нулю и получить
Cre(/) = C<re0) = const, D)
что можно охарактеризовать как (приближенное) сохранение
номера квантового состояния при адиабатическом изменении га-
гамильтониана системы. Этот результат является квантовомехани-
ческим аналогом адиабатической инвариантности величины
I = ~W pdq,
в классической механике, см. [26]. Последнее обстоятельство ста-
становится особенно наглядным в квазиклассическом случае, см.
следующую главу, если иметь в виду правило квантования Бо-
Бора — Зоммерфельда.
В заключение подчеркнем следующее обстоятельство. Не-
Несмотря на медленность изменения гамильтониана, за достаточно
длительное время он может измениться очень существенно (даже
иметь мало общего с первоначальным гамильтонианом). Тем не
менее, если система в начальный момент времени находилась
в га-м квантовом состоянии, то и в последующие моменты вре-
времени она с подавляющей вероятностью будет находиться в том
же по счету квантовом состоянии, но уже с в. ф. y?n{q,X(t))
(другими словами, при адиабатическом изменении гамильтониа-
гамильтониана система успевает «подстраиваться» под его изменение).
8.55. Уточним условия, при которых справедлив результат
D) предыдущей задачи, преобразовав сначала матричный эле-
элемент (WklWn) из C). Для этого продифференцируем по X обе
части уравнения B) из 8.54, затем умножим слева на Т^ и
проинтегрируем по координатам. Учитывая при этом эрмнто-
вость Й, получаем
(точнее: при ЕкфЕп). В случае же n = k изменением фазо-
фазового множителя у с. ф. Чгп@ всегда можно добиться обраще-
обращения (Уп^пУ в нуль17). Таким образом, уравнение C) из 8.54
принимает вид
"Г * 1
п L о J
(слагаемое с п = k в сумме отсутствует, ha>kn = Ek —
7) Так, для вещественной собственной функции имеем.
435
Если производная dH/dt достаточно мала, то Cj и 0 и
С*«С?> = const = б,„
по условию задачи. В следующем приближении адиабатической
теории возмущений согласно B) для k Ф п имеем
о
и, интегрируя при заданном начальном условии, получаем
l .~ / t'
п ^ о '
Оценка С^\ дает
Справа стоит отношение изменения гамильтониана за время по-
порядка боровского периода co^re к разности энергий соответ-
соответствующих уровней, и именно малость этого отношения характе-
характеризует ситуацию, когда изменение гамильтониана можно счи-
считать медленным (адиабатическим). Подчеркнем, что если при
изменений R(t) со временем возникает сближение уровней, так
что Ek(t') ^ En(t'), то адиабатичность нарушается и именно
в эти моменты времени переходы в системе между п- и А-со-
стояниями происходят наиболее интенсивно.
Для осциллятора в электрическом поле,
Н = р2 /2m + kx2/ 2 — eW (t) x,
с. ф. и с. з. мгновенного гамильтониана приведены в 2.2. При
этом dft/dt = —еёх, а матричный элемент (dU/dt)ko Для .значе-
.значений k ф 0 отличен от нуля лишь при k = 1 и равен — eaW/^/2,
где а = л/Н/пкл. По формуле C) получаем (положено t0 =
= _оо)
Соответственно вероятность единственного разрешенного в
первом порядке адиабатической теории возмущений перехода
436
осциллятора
_ е2а2
$ (t) еш dt
(здесь, считая, что электрическое поле выключается при t-*-
-*¦ +°°, при подстановке D) выполнено интегрирование по час-
частям). Этот результат по форме совпадает с полученным ранее
в 8.33 в рамках обычной нестационарной теории возмущений 18)
и мало отличается от точного, см. 6.25 при W <€. 1. Значения ве-
вероятностей перехода для указанных в условии заэисимостей 8 (t)
совпадают в приведенными в 8.33.
8.56. В адиабатическом приближении (см. предыдущую за-
задачу) собственные функции мгновенного гамильтониана с соот-
соответствующим выбором временной зависимости фазового мно-
множителя:
У (q t) = exp \ Еп (Я (/)) dt гР„ (q, X (t))
n I ft J '
^ Ч 0
удовлетворяют (приближенно) уравнению Шрёдингера и описы-
описывают КЭС (при этом предполагается, что фазовый множитель
в самих .с. ф. ^?п выбран так, что Ч?'п ~ Я). Преобразовав сле-
следующим образом показатель экспоненты:
t t
[ Еп dt = ^ (En (t) - En) dt + Ent,
0 6
замечаем, что значение квазиэнергии этих состояний равно
г
8д = ?ге = -1 ^ ?„ (Я (/)) Л, B)
о
т. е. совпадает со средним за период изменения гамильтониана
значением En(t). Разложение периодической функции
Г if' - 1
СЛр I , 1 \1~* fi уС I Lu pi I til I i jj \4» Л fill
I- о
18) Причиной совпадения результата адиабатического при-
приближения (условия применимости которого: т»©. еа$1Ь.ч?х<.
¦С 1) с результатом теории возмущений (условие применимости:
еа.8 <g. и©) является специфическое действие однородного поля
на осциллятор, сводящееся фактически лишь к сдвигу «точки
подвеса».
43Г
в ряд Фурье определяет квазиэнергетические гармоники КЭС,
см. 6.40.
8.57. Вероятность того, что частица останется связанной,
равна 1/2. Имея в виду сохранение четности, удобно раздельно
анализировать временную зависимость четной и нечетной со-
составляющих в. ф. Обозначив через W0(x) в. ф. связанного со-
состояния в случае одной б-ямы, U = —аб(*), см. 2.7, и считая
для определенности, что при t-*-—оо частица была связана пра-
правой ямой, запишем в. ф. начального состояния в виде Т (t =
= -оо) = (?+ + ?_)/л/2 , где
При большом расстоянии между ямами, L(—оо)=оо7 как чет-
четная W+, так и нечетная ?_ составляющие в. ф. описывают свя-
связанную частицу с энергией, равной энергии в поле одной ямы
(уровень двукратно вырожден).
Теперь заметим, что каким бы ни был закон «сближения»
ям, можно утверждать, что когда ямы сливаются в одну, нечет-
нечетная составляющая в. ф. описывает уже несвязанную частицу.
Это вызвано тем, что в поле одной б-ямы имеется только одно,
четное состояние д. с. (при сближении ям до такого расстояния,
когда дискретный нечетный уровень сливается с континуумом,
адиабатическое приближение для нечетной части в. ф. уже не-
неприменимо).
Временная зависимость четной составляющей в. ф. суще-
существенно зависит от характера сближения ям, но если он носит
адиабатический характер, то частица будет оставаться в основ-
основном, связанном состоянии. Так как для начального состояния
.вероятность нахождения частицы в четном состоянии равна 1/2,
то вероятность частице остаться связанной при медленном сбли-
сближении ям также равна 1/2, что и было указано в начале реше-
решения. Условие применимости полученного результата: \L\<^a/h.
Фактически это условие должно выполняться лишь, когда ямы
¦сближаются на расстояние порядка размера области локализа-,
ции частицы в основном состоянии для б-потепциала, т. е.
L ^ H2jma. На больших расстояниях такого жесткого ограниче-
ограничения на скорость сближения ям уже нет, так как в этом случае
частица, локализованная вблизи одной из ям, наличия другой
уже не «чувствует», а при движении ямы с произвольной (но
постоянной) скоростью в соответствии с принципом относитель-
относительности никаких переходов не происходит (фактически на расстоя-
расстояниях L » h2/m<x требуется лишь, чтобы не было слишком боль-
большим ускорение L).
438
8.58. Введем Ч^, (х, 1) и ?ге, A) — систему с. ф. и спектр
с. з. оператора /Г' = Я\ (х) + V {х, \) при фиксированных («за-
(«закрепленных») значениях координат ? «медленной» подсистемы, так.
что
[Я, (х) + Р {х, I)] ?„, (х, g) = ?„, (Б)Т„, (х, 1) A)
(они играют роль, аналогичную с. ф. и е. з. мгновенного гамиль-
гамильтониана при рассмотрении адиабатических воздействий на си-
систему, см. задачи 8.54 и 8.55). Для точных с. ф. полного гамиль-
гамильтониана системы справедливо разложение вида
Существенным для дальнейшего является то обстоятельство,,
что для «быстрой» подсистемы изменение состояния «медлен-
«медленной» выступает как адиабатическое воздействие, при котором
сохраняется номер квантового состояния, см. 8.54. Пренебрегая
переходами, приходим к приближенному выражению для в. ф.
системы, соответствующему учету лишь одного члена в приве-
приведенной выше сумме:
Записав уравнение Шрёдингера
(Я, + V (х, g) + Н2) Ф„!„2(|)?ni (х, I) ыЕПуП<1 ФП1„2 (g) ?„, (х, |).
и учтя в нем соотношение A), проделаем следующие преобра-
преобразования. Умножим обе части получающегося уравнения на \Р*К
слева, проинтегрируем по координатам х «быстрой» подсистемы
и пренебрежем действием оператора 19) /?г(|) на переменную |,
входящую в в. ф. Wni (x, g) (т. е. положим //jCDY « ?Я2Ф;.
здесь опять проявляется различие характерных времен движе-
движения рассматриваемых подсистем); в результате приходим к урав-
уравнению Шрёдингера для «медленной» подсистемы
(Я2 (?) + ?•„, (?))Ф„1П2 (?) = ЕП1П2ФП1П2 (|). C)
Как видно, в рассматриваемом приближении взаимодействие ее-
с «быстрой» подсистемой характеризуется эффективным потен-
потенциалом, в роли которого выступает UЭф (g) = Eni (|).
19) Аналогия со случаем адиабатического воздействия на си-
систему, рассмотренным в 8.54, 8.55, проявляется в том, что там-
при вычислении производной dW/dt можно было опустить сла-
слагаемое, получающееся дифференцированием по времени с. ф„
4^( k(t)) мгновенного гамильтониана.
439-
Формулы A)—C) составляют основу адиабатического при-
приближения для стационарных состояний. Применительно к ука-
указанному в условии потенциалу, ввиду Ь » а, в роли «быстрой»
подсистемы выступает движение частицы вдоль оси х, а в роли
«медленной» — движение вдольч оси у. При фиксированном у
движение вдоль оси х— движение в бесконечно глубокой яме
шириной а (у) = 2aVl — y2/b2, так что
ч hW (щ + IJ
га' (У>~ 2ma2 (у) •
При этом согласно C) движение вдоль оси у происходит в эф-
эффективном потенциале
U (у) = ?„, (у) = Й2я2 (я, + IJ 62/8ma2 F* - j,*), | у |< 6.
Для такого потенциала в. ф. не слишком сильно возбужденных
уровней локализованы на расстояниях |г/|<С&, где его можно
разложить в ряд:
"«"~ 8ma*
При этом задача вычисления в. ф. ФП1п2 (у) и уровней ЕП1п2
сводится к задаче о гармоническом осцилляторе, что позволяет
получить
(п\ + IJ . Л2л (ni + 1
ехр Г- -?А НП2 (^Л Т„, (х, г/) D)
(у0 = л/2а6/я (/г, + 1), г/о ( + !/2) < Ь<2)
(поучительно убедиться в том, что при воздействии оператора
Й(у) на в. ф. D) можно пренебречь действием его на функцию
^П] (х> у) в соответствии со сделанным выше замечанием).
8.59. Быстрая подсистема — осциллятор с массой гп, харак-
характеризующийся координатой х. При фиксированном у, координате
медленной подсистемы, имеем (а> =
440
В. ф. и уровни энергии медленной подсистемы определяются со-
согласно уравнению C) предыдущей задачи; при этом
02+т>
сопоставить с точным результатом для спектра из 2.50, выпол-
выполнив в нем разложение по малому параметру л/гп/М
8.60. Воспользуемся адиабатическим приближением, см. 8.58.
Быстрая подсистема — легкая частица (координата Х\). Ее
уровни и в. ф. при фиксированном значении хг, координаты
тяжелой частицы (медленная подсистема), имеют вид
-x2)
"' У а — х2 а — х2
Н2л2 (я, + IJ
?"> W ~ 2т (а ~ x2f
(считаем для определенности х2 <с Х\\ в. ф. равна нулю при зна-
значениях Xi > а и Х\ < ^2, сравнить с 2.51).
Энергия ?П1 (х2) выступает в роли эффективного потен-
потенциала U (х2) для тяжелой частицы при 0 < х2 < а (вне этого ин-
интервала G = оо). Для не слишком сильно возбужденных состоя-
состояний характерные значения координаты х2 < а и ?/(дс2) можно
разложить в ряд (сравнить с 8.58):
При этом задача вычисления спектра ЕП1П2 и с. ф. Фге1„2 (^У
сводится к рассмотренной в 2.8, воспользовавшись результатом
которой получаем
?„„ =
2ота2
здесь —а^. где k — 1,2, ..., — последовательность нулей функции.
Эйри в порядке возрастания значений —а*.
8.61. Гамильтониан частицы имеет вид
где
_Й^_/_1__й_ а 1 д
2ц V р dp dp р2 3q
44 К
является гамильтонианом поперечного движения частицы в од-
однородном магнитном поле, направленном вдоль оси г, с вектор-
векторным потенциалом А = — \%т], см. 7.1.
В случае достаточно сильного магнитного поля движение
частицы в поперечном направлении определяется, в основном,
действием этого поля. При этом " а>н = | е \ Зв/\лс — характерная
частота такого движения значительно превосходит частоту про-
продольного движения. Поэтому для решения задачи можно вос-
воспользоваться адиабатическим приближением, см. 8.58. При этом
в роли «быстрой» подсистемы выступает движение частицы в по-
поперечном направлении. Для него действие потенциала U(г)
можно рассматривать как возмущение. Соответственно волновые
функции «быстрой» подсистемы (при фиксированном значении
координаты z продольного движения, характеризующей «мед-
«медленную» подсистему) в «нулевом» приближении имеют вид
т. егтф 1 г (я0 + |т|I I1'2
/2 \ }
ан\щ\\ р
-x'?F(-np,\m\ + \,x) A)
(они не зависят от z), где
х = р2/2а%, ан = д/й/ц(оя, п = лр + ( | m \ — em/\ e | )/2.
Энергетические уровни «быстрой» подсистемы в первом порядке
теории возмущений описываются выражениями
еЯ1 (z) ^ Enm (z)« 40) + 4'i (z); 40) =
) i
B)
о
здесь ?„ определяет уровни Ландау.
Теперь согласно 8.58 окончательное определение волновых
функций частицы, Ч?пт = Ч?пт (г) ?„2 (z), и энергетического
спектра Еп П1 = ?nmBg связанных состояний сводится к решению
одномерного уравнения Шрёдингера в эффективном потенциале,
совпадающем с Enm(z). Свойства таких связанных состояний
существенно зависят как от вида исходного потенциала U(r),
так и от квантовых чисел п, т, характеризующих поперечное
движение («быструю» подсистему).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) Наиболее полное исследование допускает случай «мел-
«мелкой» сферической ямы U{r) (достаточно произвольного вида)
442
радиуса R и характерной глубины Vo, для которой \iR2ll0/h2 -С I
и в отсутствие магнитного поля нет связанных состояний час-
частицы. При этом эффективный потенциал U3^ зз ?<^ (z) также
определяет «мелкую» яму, но уже одномерную. В такой яме
для каждой пары квантовых чисел п, т существует, причем
только одно, связанное состояние, для которого (сравнить, на-
например, с 2.22)
—2
со
0
oo
0
) |
0.
Отсюда, в частности, в случае слабого магнитного поля20)
для которого ан > R, следует
D>
(в интеграле существенны значения р ^J R < ая> для которых
согласно выражению A) ^"р''/"!/"^1). так что энергия
связи, равная ца2гт//'2ft2:, резко уменьшается с увеличением | m |,
Подчеркнем, что величина /ц —- А2/цашя определяет область ло-
локализации координаты z частицы и как легко заметить 'ц^'^
где /_ц —- ан — размер области локализации частицы уже в пер-
перпендикулярной магнитному полю плоскости. Таким образом, об-
область локализации частицы имеет спнцеобразную («игольчатую»)
форму. Это свойство сохраняется и при увеличении магнитного
поля, когда условие ан 2> R не выполняется. Спицеобразная
форма области локализации волновой функции частицы связана
с существенно различными значениями периодов движения вдоль
и поперек магнитного поля в условиях применимости адиабати-
адиабатического приближения.
2) Пусть теперь потенциал притяжения U (г) не является
слабым, так что iiR2U0/h2^l. Чтобы его можно было рассмат-
20) Подчеркнем, что полученные результаты в случае «мел-
«мелкой» ямы не предполагают каких-либо ограничений на величину
магнитного поля (поле может быть и слабым), сравнить с 7.7.
443
ривать как возмущение на • фоне магнитного ' поля, последнее
должно быть настолько сильным, что выполнено условие
R » ан со l/Уж При этом для состояний с квантовыми числами
п,т~ 1 (точнее, л[п, V| m \ <. R/aH, сравнить с 7.2) в выра-
выражении B) ^ можно, вообще говоря, вынестн за знак интеграла
?/(jz|) и получить
?<Ц,«</(М), E)
так что эффективный одномерный потенциал имеет такой же
вид, как и исходный центральный потенциал U(г) (см. 4.1 и 2.5
•о связи энергетического спектра в симметричном одномерном
потенциале t/(|z|) со спектром s-уровней в центральном поле
U(r)).
Замена, приводящая к формуле E), не оправдана на малых
расстояниях z | 5^ ан для потенциалов с кулоновским (и более
сильным) притяжением в связи с возникновением в них в одно-
одномерном случае «падения на центр». Оценим положение уровней
с п2 = 0 (нижних уровней продольного движения) для водоро-
доподобного атома в сильном магнитном поле. Для этого запи-
запишем Е^т « ~ Ze2/( | z \ + ан); по сравнению с E) здесь вве-
введено «обрезание» кулоиовского потенциала на малых расстоя-
расстояниях (как будет видно из окончательного результата F), он
слабо зависит от конкретного выбора способа обрезания). Вос-
Воспользовавшись вариационным методом с пробной волновой
функцией вида ^о — Vk е~и'2 , где х — вариационный пара-
параметр, находим
для приближенного вычисления интеграла с логарифмической
точностью можно заменить экспоненту единицей, а пределы ин-
интегрирования ±оо значениями ~ (±1/х). Минимум Епт(%)
реализуется при значении %, приближенно равном
2 й2
ио = — 1п (ав/ая). гДе ав = "jlzi2"-
В результате получаем
444
Подчеркнем, что, как- и в предыдущем случае согласно форму-
формулам C), «глубина залегания» уровней продольного движения
(при фиксированных квантовых числах п, пг) много меньше рас-
расстояния йшя между соседними уровнями Ландау.
Сделаем два заключительных замечания. Первое из них свя-
связано с возможностью обобщения полученных выше результатов
п. 1) о влиянии на уровни Ландау «мелкой» ямы в случае сла-
слабого магнитного поля, когда ан 3> R, на произвольный коротко-
короткодействующий потенциал радиуса R с помощью теории возмуще-
возмущений по длине рассеяния, см. 4.29, 4.31 н 4.11. Для этого заме-
заметим, ограничиваясь состояниями с пг = 0 (об обобщении на зна-
значения пгфО см. 13.36 и 13.37), что согласно C) при ан > R
интеграл в выражении
4 J
\ V (г) р dp dz
— <х> О
лишь коэффициентом ц/Й2 отличается от длины s-рассеяния а®
в борцовском приближении. Соответственно, замена а0 на точ-
точную длину рассеяния а0 в потенциале U(r) дает в случае а0 < О
искомое обобщение результатов C); теперь
^ 1 G)
\iaH ^
(при а0 > 0 рассматриваемых связанных состояний не возни-
возникает, как и в случае отталкивательного потенциала в условиях
п. 1)). Эта формула становится неприменимой в случае
|ао|^5ая, когда в самом (изолированном) потенциале U (г)
имеется «мелкий» s-уровепь с энергией ~йшй: при этом возни-
возникает существенная перестройка спектра уровней Ландау с пг=0
(т. е. их сдвиги становятся -~Ашн, сравнить с 11.4 и 9.3). Под-
Подчеркнем, что остальные, «глубокие> уровни как с моментом
I = 0, так и с / =т^ 0 в потенциале V(r), если они существуют,
под влиянием слабого магнитного поля испытывают лишь не-
небольшой сдвиг.
Далее, заметим, что рассматриваемые уровни ?гетге2 при
совместном действии магнитного поля и потенциала, строго го-
говоря, являются истинно связанными лишь при значениях кван-
квантового числа яр = 0 (для каждого пг). При значениях же пр ^ 1
они отвечают квазистационарным состояниям, так как под влия-
влиянием потенциала U (г) (приводящего к'образованию связанного
состояния в продольном направлении) возможен также переход
на более низкие уровни Е®) поперечного движения с яр < яр,
при котором в продольном направлении частица является уже
445
несвязанной и имеет энергию Et яа ha>H (np — п^ (при этом
учтена отмеченная ранее малость «глубины залегания» уров*
ней). В случае «мелкой» ямы и слабого магнитного поля, рас-
рассмотренном в п. 1), выражение для ширины таких квазиста-
квазистационарных состояний с т = О
n-l
a I 2u
-«o.
W^-* '
Л „ (я - п')
ге'-О "
(8)
оо оо
= -4- \ \ U(r)9dpdz
пи J J
a0
/rt. _ .
-oo 0
может быть получено аналогично21) формуле C) из задачи 8.44.
С помощью указанной выше замены «о на длину рассеяния а»
выражение (8) может быть обобщено на случай «сильного» ко-
короткодействующего потенциала.
Наконец, обсудим особенности квантовомеханической задачи
о движении частицы в одномерном кулоновском потенциале при-
тяжеиня U = —а/|х| на всей оси —оо < х < +оо. Как отме-
отмечалось в п. 2), при этом возникает «падение на центр» (в точку
х = 0): из формулы F) при радиусе «обрезания» потенциала
а.н->0 следует ?о~*—°°. Дело в том, что гамильтониан час-
частицы
при движении на всей оси является эрмитовым, но не самосо-
самосопряженным оператором. Это связано с тем, что с. ф. гамильто-
гамильтониана при jл:[ —»-0 имеют вид22) (справа н слева от точки х — 0):
A0)
21) В роли параметра |3, определяющего . в условиях за-
задачи 8.44 связь двух каналов, теперь выступает
сравнить с а„т из формулы C).
22) Обратить внимание на логарифмическое слагаемое и не-
независимость его от энергии; от последней зависят лишь попра-
поправочные члены в приведенной асимптотике A0) решений уравне-
уравнения Шрёдингера, сравнить с 9.14.
446
и обычное для регулярных потенциалов условие непрерывности
волновой функции и ее производной не может быть выполнено
в точке х = 0, так как ф'± (х) обращается в бесконечность при
Тем не менее эрмитов оператор (9) допускает самосопряжен-
самосопряженное расширение. Для введения дополнительных условий, задаю-
задающих такое расширение оператора, см. 1.29, заметим, что для
функций, удовлетворяющих при |л;|->-0 условиям A0), справед-
справедливо соотношение
dx + \ Ч^ЯТ, dx =
"?- {^2 (e) ^; (e) - V'2r (e) T, (e) - ^ (- e) w\ (- e) +
здесь e > 0, в котором внеинтегральное слагаемое при e
равно
где верхние индексы 1, 2 относятся к волновым функциям Ч^.я-
Сохраняя при самосопряженном расширении оператора (9) усло-
условие непрерывности волновых функций A0) в точке х = 0:
СA,2) = СA,2);
в дополнение к нему из условия обращения в нуль внеинтеграль-
ного слагаемого A2), получаем
(С2;>+ + С<:М/С<!>± = {(С<*>+ + С^_)/С|^}' = Р = const. A4)
Соотношения A3) и A4) более наглядно могут быть записаны
в виде
?(-0), {'Г (е) - Т' (- е)} [е^0 = № Ф)-
Вещественный параметр C, определяющий условия сшивания
решения уравнения Шрёдингера в точке х = 0, задает самосо-
самосопряженное расширение гамильтониана (9). С физической точки
зрения возможность выбора различных значений параметра |3
отвечает различным способам «обрезания» потенциала на ма-
447
лых расстояниях (сравнить со случаем, рассмотренным в п. 2)).
При этом значение {$ однозначно восстанавливается по положе-
положению основного уровня частицы.
Сделаем несколько' замечаний в отношении условий A5).
Прежде всего отметим, что они справедливы и в том случае,
когда потенциал имеет кулоновский вид лишь-при |я|->-0 (и
могут быть легко обобщены на случай, когда параметр а в нем
имеет различные значения при х > 0 и х < 0). Далее, внешне
они похожи на условия сшивания решения уравнения Шредин-
гера для S-потенциала, см. 2.6 (и переходят в них при «выклю-
«выключении» кулоновского потенциала на малых расстояниях, когда
У(х) при |х|->-0 становится ограниченным, т. е. перестает рас-
расходиться). Подчеркнем, что параметр |3 определяет не только
энергетический спектр связанных состояний частицы, но и со-
состояния непрерывного, спектра (отражение частицы потен-
потенциалом).
Найдем теперь дискретный спектр гамильтониана (9) с усло-
условиями сшивания A5) решения уравнения Шредннгера в точке
х = 0. Экспоненциально убывающее при |х|->-оо решение у. Ш.
с энергией Е = —ma2/2ft2v2 в одномерном кулоновском потен-
потенциале выражается через функцию Уиттекера Wv lpl (z), см. [34]:
21х \ 2\х
T(l-v)
_ Г J_ + 2lt, (i _ V) _ 2 + 4cl Jii + О (— In i?i"\ \. A6)
L v J aB V 4 aB Л
Здесь v > 0, if (г) = Г' (г) /Г (г)—логарифмическая производная
гамма-функции, С = 0,5772... — постоянная Эйлера.
Уровни имеют определенную четность. Для нечетных состоя-
состояний vP±@)=0. Чтобы удовлетворить этому условию, значение
выражения в квадратных скобках в A6) должно быть бесконеч-
бесконечным. Так как ty(z) обращается в бесконечность только в точках
z = —k, где k = 0, 1, 2, ..., причем
if (z) л: — (z + k)~ при г-> — k, A7)
то замечаем, что для нечетных уровней v принимает значения
v~ =п с п = 1, 2, ... Соответственно, спектр таких уровней
совпадает со спектром s-уровней в центральном поле U = — а/г
(как и следовало ожидать, см. 4.1 и 2.5).
448
Для четных уровней частицы согласно выражениям A5}
и A6) получаем
_i-_2i|>(l-v) + 2-W + 21n-y.-paB. A8)
Их спектр существенно зависит от значения параметра р. Огра-
Ограничимся анализом двух предельных случаев. Пусть р* > 0, при-
причем Рав >• 1. Имея в виду соотношение A7), замечаем, что
в этом случае четные уровни лишь слегка сдвниуты вниз отно-
относительно нечетных уровней. Записав v* = п + Avn. согласно
уравнению A8) получаем
Е+ = - та2/2Й2 (я + AvreJ, Avre « —2/Pea. « = 1,2 A9)
причем |Avn|<S 1. Эта же формула справедлива и в физически
более интересном случае р < 0 с | р | ав » 1 (см. «обрезание»
кулоновского потенциала, рассмотренное в п. 2)). Теперь четные
уровни A9) слегка сдвинуты вверх относительно нечетных уров-
уровней. Однако в дополнение к ним появляется еще один, «глубо-
«глубокий» уровень Eq, для которого из уравнения A8) находим
< - v0 « - (Рав + 2 In ( | р | ав))-' < 1 B0)
и соответственно
Е+ = - maWvl B1)
Именно этому уровню отвечает второе слагаемое в формуле F).
Определив из него значение параметра Р, согласно выражению
A9) можно получить спектр четных возбужденных уровней про-
продольного движения для водородоподобного атома в сильном маг-
магнитном поле.
Глава 9
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
9.1. а) Для линейного осциллятора элементарное интегриро-
интегрирование в формуле (IX.5) дает Еп = ha>(n + 1/2), что совпадает
с точным результатом.
б) Для указанного потенциала интегрирование в (IX. 5)
с помощью подстановки
sh — «=xsin<,
позволяет получить
В точном результате под корнем стоит 2ти0аг/Н2 +1/4, так
что при значениях | = -у/2mUаа2/Л* > 1, когда в потенциале
15 В. М. Галицкий и др. 449
имеется много связанных состояний, квазиклассический и точный
результаты мало отличаются друг от друга и для я ~ 1. Более
того, квазикласснческий результат неплохо воспроизводит точ-
точный спектр даже в том случае, когда в потенциале имеется
всего 3-4 уровня д. с. Действительно, максимальное значение я
определяется тем, что я + 1/2 < ?, т. е. яшах « | при g > 1;
при этом различие точного и квазиклассического результатов
проявляется в слагаемом V?2 + 1/4 — | « 1/8 | на фоне ква-
квазиклассического выражения |—(п + 1/2) в формуле A).
9.2. Сшивание квазиклассических решений в окрестности пра-
правой точки поворота (остановки) х = b производится обычным
образом с помощью формул (IX. 3). Теперь, однако, выражение
для в. ф. при х < b справедливо, вообще говоря, и для значе-
значений х, непосредственно примыкающих к левой точке поворота,
х = 0 (которая уже не является точкой остановки!). Использо-
Использование граничного условия Ч'(О)= 0 приводит к правилу кван-
квантования
-i-jy2/n[?n-tf(x)]d* = n^+TJ, я = 0, 1,... A)
о
Подчеркнем, что изменение условий сшивания отражается лишь
на величине квазиклассической поправки: я + 3/4 вместо я + 1/2
в правиле квантования (IX. 5). Заметим также, что соотноше-
соотношение A) можно получить и из правила Бора — Зоммерфельда,
примененного к нечетным уровням в симметричном потенциале
U = U(\x\) (т. е. заменив в нем я на 2я+ 1. сравнить с 2.5).
Для потенциала U = Fx при х > 0 согласно A) находим
. 3\2/з
Этот квазнклассический результат мало отличается от точного
для всех значений п (а не только при п » 1). Так, значения
?л/е0 по формуле B) для я = 0 н 1 равны 1,842 и 3,240; точ-
точный результат дает 1,856 и 3,245 (квантование согласно (IX. 5)
приводит, особенно при п ~ 1, к существенной потере точности:
1,405 и 2,923 вместо приведенных выше значений).
9.3. Для радиальной функции, %п =rRnQ, s-уровня (см
(IV. 5)) имеем при г < Ъ
450
(Y = 0 в отсутствие п. и. р.), так что при г-*-О :
ХПг (г) « С [sin у + (-^- cos Y) r]
(при этом ввиду квазиклассичиости достаточно учесть зависи-
зависимость от г лишь в аргументе синуса н заменить р(г) иа р@)).
Сравнивая это разложение с граничным условием из 4.10, опре-
определяющим п. и. р., находим у = —arctg(p(O)ao//i). Сшивая те-
теперь согласно (IX. 3) функцию A) с убывающим в классически
недоступной области решением, приходим к правилу кванто-
квантования
Рп(°)ао
При aQ = 0 это соотношение определяет спектр Е®\ для S"YP°B"
ней в потенциале U (г) (без п. н. р.). В случае I рп @) ао/й I <SC 1
значение арктангенса в B) также мало, соответственно мал и
сдвиг уровня. Записав Еп 0 = ?^0H + A?re о и выполнив разло-
разложение радикала в B)
Ъ ?*о
Г /—тт. Г ( I—— ЛР ^
.*¦,
I Ом/ C(U) Tl I
0 0 *¦
находим сдвиг уровня под влиянием п. н. р.
6.1 -1-1
где ш?' = | — \ —Тдт I — частота радиального движения
классической частицы с равным нулю орбитальным моментом
в потенциале U(r). Используя соображения о нормировке ква-
квазиклассических в. ф. (сравнить с (IX. 6)), этот результат можно
представить в виде {V = 5C/V4jir)
„г0^|П;о@)|Ч, C)
15* 451
что соответствует сдвигу уровня согласно теории возмущений по
длине рассеяния, см. 4.29.
В случае | рпг@) аа/Н |$г 1, наоборот, сдвиги уровней ве-
велики и сравнимы с расстоянием между невозмущенными уров-
уровнями в потенциале U(r). Это особенно наглядно видно при зна-
значении по = оо. Физическая выделенность этого случая опреде-
определяется тем обстоятельством, что в п. н. р. имеется «мелкий» ре-
реальный (при по > 0) или виртуальный (при а0 <С 0) уровень
с энергией Ео » — A2/2mao> сравнить с 13.49, такого же порядка
величины, как и у рассматриваемых уровней в потенциале U(r)
(так что возникает своеобразная резонансная ситуация).
В заключение заметим, что в. ф. A) относится к случаю
Е > Uo, который только и может реализоваться в отсутствие
п. н. р. При наличии п. н. р. следует рассмотреть и значения
Е <. Ug. При этом в. ф. при г > 0 описывается убывающей «ква-
знкласснческой экспонентой» вместо A). Как легко заметить, та-
такое решение существует лишь при значениях по > 0 и отвечает
энергии Ео = — t?J2ma\ + Uo, описывающей сдвинутый на Uo
уровень д. с, имеющийся в изолированном потенциале нулевого
радиуса.
9.4. Удобно раздельно исследовать спектры четных и нечет-
нечетных уровней. Для нечетных состояний Ч'@)= 0. При этом, имея
в виду условия сшивания для б-потенциала нз 2.6, замечаем,
что производная в. ф. непрерывна в точке х = 0. Поэтому час-
частица в нечетных состояниях не «чувствует» б-потенциала, а
спектр нечетных уровней определяется правилом квантования
(IX. 5) для значений n = Ik + 1 (здесь k + 1 — порядковый но-
номер нечетного уровня):
-U0(x))dx=*jih(k + T). A)
Для четных уровней условие на скачок производной в. ф.
принимает вид V@+) — (ma/h2)^@). Используя при х > 0
для в. ф. выражения (IX. 3), находим
(ввиду квазиклассичности достаточно дифференцировать лишь
по х в аргументе синуса). Отсюда, вводя tgy = ma/p(O)h,
452
получаем правило квантования для четных уровней с п = 2к:
*+
При а = 0 оно воспроизводит спектр четных уровней е? k в по-
потенциале Uo (х). В случае та/Лр~? @) ¦< 1 сдвиги этих уровней
малы (много меньше расстояния между невозмущенными уров-
уровнями). Записав Ек = ?д~ к + ^Ек и выполнив под интегралом
разложение радикала (сравнить с предыдущей задачей), полу-
получаем
*р+4/па
(о)
что совпадает с а | Ч?? k @) |2 и соответствует результату теории
возмущений для V = ad(x); здесь f(?^ft) и ?0+ft @) — период
движения и в. ф. при х = 0 в потенциале t/0(*) для четных со-
состояний (см. (IX. 6)).
Рассмотренный выше случай соответствует слабому отра-
отражению (R <К 1) от б-потенциала, коэффициент прохождения ко-
которого равен (см. 2.30)
•С увеличением а сдвиги четных уровней возрастают и при зна-
значениях ma/hpfc @) » 1 они сближаются с соседними сверху не-
нечетными уровнями. Это — случай малопроницаемого барьера,
« > 0. Подставляя
Pk @) « Pi @) =V2m(?ft -
в правую часть в соотношении B) и используя разложение
arctg* » я/2— 1/ж при х "> 1, находим согласно B) и A) рас-
•стояние между соседними четным и нечетным уровнями в этом
случае:
s/(];-U0@)), D)
или, учитывая выражение для .D(p),
() E)
453
Здесь т (?fe ) = Т (ffe )/2 — период классического движения ча-
частицы с энергией Е^ в потенциале U0(x), разделенном непро-
непроницаемым барьером (при х = 0). В таком виде (выражение E)>
формула для расщепления уровней в симметричном потенциале
носит общий характер и справедлива для малопроницаемого
барьера произвольной формы, см. [1, с. 223],
Полученные результаты справедливы и в случае а < 0, т. е-
для б-ямы. Теперь четные уровни смещаются вниз, и в случае
m | а \/Лр? @) >¦ 1 четный уровень (с номером k + 1) сближает-
сближается уже с нижним соседним нечетным уровнем (с номером k).
Прн этом основной уровень Е$ (а) с увеличением |а] обладаег
следующим свойством. Понижаясь, он сначала достигает значе-
значения Е? (а0) = Uo, a при дальнейшем увеличении | а | переходиг
уже в основной уровень в б-яме, сдвинутый на Uo (сравнить
с замечанием, сделанным в конце решения предыдущей задачи).
9.5. Особенность задачи состоит в том, что при решении
радиального у. Ш. для функции % = rR, см. (IV. 5), на малых
расстояниях, г->0, квазиклассичность нарушается. Действитель-
Действительно, при этом р (г) « у2та/г и dK/dr со г~ ' —> оо. Поэтому что-
чтобы учесть граничное условие х@)=0 в правиле квантования,,
следует найти точное (неквазиклассическое) решение у. Ш. на
малых расстояниях и сшить его с квазиклассическим реше-
решением (IX. 3).
У. Ш. на малых расстояниях принимает вид х" + <*ХЛ = 0>
где а = 2/па/Й2. С помощью подстановок % = V/" ф и z =
= 2л/аг получаем из него для функции qp(z) уравнение Бесселя
с v = 1 и с учетом граничного условия в нуле находим
Х(г) = Лл/Г/1Bл/й7). A)
Асимптотика этой функции при л/аг » 1 имеет вид
Теперь замечаем, что для значений г из интервала
г < а/| Е |, 1/Уй" < УТ"
уже | d%ldr | ~ (аг)~''2<8; 1, т. е. применима квазиклассика1
Квазиклассическое решение у. Ш. (р (г) = л/2т (Е — U (г))):
Хкв (г) = -7==- sin I -i- \ P (r) dr + Y )
C)
о
') При этом считается, что на таких расстояниях еще по-
прежнему U я; —а/г, причем значения Е отвечают верхним уров-
уровням, с л 3> 1, в таком потенциале.
454
на таких расстояниях принимает вид (прн этом р (г)
Хкв (г) « (-^г) sin B VST + Y), D)
и из условия совпадения его с точным решением B) находим
¦у = —я/4 (сравнить со значением y = я/4, следующим из усло-
условия сшивания квазиклассических решений в окрестности левой
точки поворота х = а в (IX. 4), основанного на линейной ап-
аппроксимации потенциала, а также с y = О В условиях за-
задачи 9.2).
Наконец, условие совпадения квазиклассического решения
C) при y = —я/4 с решением (IX. 36) (с заменой 'V(x) на
X (/¦)), обеспечивающим выполнение граничного условия при
г->оо, обычным образом (сумма фаз синусов в решениях долж-
должна быть кратна я) приводит к правилу квантования
(?v - U (г)) dr = n(nr + 1). E)
о
Для кулоновского потенциала, U = —а/г, отсюда находим
V~
что совпадает с точным результатом. Читателю предлагается
убедиться в том, что для потенциала Хюльтена из E) следует
также точный результат для спектра s-уровней (см. 4.8).
9.6. Особенность задачи состоит в том, что для потенциала
U(r)& а/г2 в случае 2/па/Й2 = / (/ + 1) ^ 1 на малых расстоя-
расстояниях г-»-0 квазиклассичность нарушается и использование усло-
условий сшивания (IX. 4) не оправдано. Поступая как и в предыду-
предыдущей задаче, воспользуемся точным (неквазиклассическим) реше-
решением у. Ш. на малых расстояниях, удовлетворяющим граничному
условию х@)= 0; получаем
%" + [*о - тЧ г = °- г = А V~'v (V)- A)
Здесь kl = 2т (Е — Uo @))/А2, при этом потенциал2) Uo (r) заме-
заменен его значением ?/о(О) в начале координат, а = 2та/Н2
и v = V« + 1/4. Воспользовавшись асимптотикой функций Бес-
2) Формулы A) относятся к одномерному у. Ш. с потенциа-
потенциалом ?/(/•) = a/r2 + U0(r), где U0[r) —плавная функция г. Для
центробежного потенциала й = /(/+1) hv = /+ 1/2.
455
селя, замечаем, что на таких расстояниях, где уже k& > 1 (для
значений v ~ 1), точное решение A) у. Ш. принимает вид
и совпадает с квазиклассическим выражением
г
2А . . ) 1
о ) C)
Действительно, на рассматриваемых расстояниях имеем
при этом интеграл в C) легко вычисляется интегрированием по
частям с последующей подстановкой z~ \/т и при г ^> -y/a/kb
оказывается равным A (kor — я У й/2) (отметим, что для сво-
свободной частицы, ?/0(г)=0, квазиклассическая фаза радиальной
в. ф. согласно C) на больших расстояниях равна kr — я//2 и со-
совпадает с точным выражением).
Формула C) решает проблему учета граничного условия
X @) = 0 в квазиклассическом решении в классически разрешен-
разрешенной области движения. При й-»-0 также у-+0 и из C) следует
результат из 9.2. Наоборот, при а 3> 1 барьер а/г2 является
уже квазиклассическим, | dk/dr \ со 5~1'2<С1; при этом y ~ ЛД
в согласии с (IX. 46).
Воспользовавшись C) и обычным условием сшивания (IX. 3)
для правой точки поворота, приходим к следующему правилу
квантования для уровней с моментом / в центральном потен-
потенциале U(г), ограниченном в начале координат:
Отсюда для сферического осциллитора, U = ma,2r2/2, вос-
воспользовавшись значением интеграла
6
456
яаходим Еп { = А© Bлг + / + 3/2), что совпадает с точным вы-
выражением для спектра, см. 4.5.
Рассмотрим теперь потенциал U = t/0 tg2 (nx/a). При зна-
значениях х-*¦ ±а/2 он принимает вид U « а/г2, где г=(*Т а/2)
я а = и0а2/л2. Поэтому для учета граничных условий
Чг(±а/2)= О при выводе правила квантования следует восполь-
воспользоваться аналогичными C) выражениями для квазиклассической
в. ф. в окрестности обеих точек поворота. После этого обычным
образом (сумма фаз синусов в квазиклассических решениях
кратна я) получаем
ь
сравнить с jt(/i+1/2) в правой части (IX. 5). Вычислив инте-
интеграл с помощью подстановки
sin (nx/a) = xsint, х = A + U0/EnI12,
находим
что воспроизводит точный спектр, см. [9]. В связи с полученным
результатом заметим, что квантование согласно (IX. 5) при зна-
значениях ma/A2 5-^ 1 приводит к заметной потере точности даже
при сравнительно больших п. Так, в случае Uo = 0 (т. е. при
переходе к бесконечно глубокой потенциальной яме) для точ-
точного спектра Епсо (гг + IJ, а согласно (IX. 5) Еп со (п + 1/2)*
при «=10 ошибка составляет 10%.
9.7. В квазиклассических состояниях с л,>1 для харак-
характерных значений величины Еп t — U (г) (кинетической энергии
частицы) на расстояниях г ^ Ъ классического движения имеем
по порядку величины оценку
следующую из правил квантования. При этом в основной обла-
области интегрирования в правилах квантования центробежный по-
потенциал выступает как поправка порядка (/ + l/2J/tp что на-
находится за пределами точности рассматриваемых правил кван-
квантования (и может быть опущено). Исключением является об-
область малых расстояний в окрестности левой точки поворота
457
и- именно различие вкладов этой области в значение интеграла
и определяет различие квазиклассических поправок в правых
частях правил квантования, приведенных в условии задачи.
Для доказательства утверждения разобьем области интегри-
интегрирования иа две: от а (или 0) до с и от с до 6, причем выбе-
выберем3) с таким образом, что: 1) еще можно пренебречь измене-
изменением U(г) в области т < с и заменить на U@) и 2) уже.
Н2/шсг <Я„ 1 — U @). При этом согласно 2) при интегриро-
интегрировании в пределах от с до Ь член с центробежным потенциалом;
может быть опущен, так что эта часть интеграла во всех трех
случаях одинакова ("при одном и том же Еп Л. Воспользовав-
Воспользовавшись теперь значением интеграла
1^ + v«arcsin
A)
где а = -у/а, С^> а (см. замечание в предыдущей задаче по
поводу его вычисления), убеждаемся, что, действительно, раз-
различие правых частей правил квантования компенсируется раз-
разницей интегралов в их левых частях. Отсюда и следует эквива-
эквивалентность (с квазиклассическон точностью) всех трех правил
квантования, указанных в условии задачи.
Для сферического осциллятора, U = та>2г2/2, все они при-
приводят к одинаковому, совпадающему с точным выражению для
спектра Еп { = Ъ® Bпг + / + 3/2) (при этом вычисление осо-
особенно элементарно по последнему—без центробежного потен-
потенциала — условию квантования, значение интеграла в первых
двух условиях см. в предыдущей задаче).
Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме
в рассматриваемых правилах квантования следует произвести
очевидную модификацию: заменить п, + 1/2 на лг + 3/4 (как и
в 9.2, но теперь она связана уже с правой точкой поворота
x = R). При этом последнее из правил квантования сразу даег
3) Возможность такого выбора с обеспечивается выполне-
выполнением условия квазиклассичности \dk/dr\.4Z 1 на малых расстоя-
расстояниях для движения в потенциале U(r) (без учета центробежного
потенциала!).
458
=где eo = H2/2mR2 (Ea = n2ea — основной уровень), а из кванто-
квантования по Лангеру, с учетом значения интеграла A), следует4)
т)8+(/+т)агС8'п[(/ +l
. C)
Для иллюстрации точности квазиклассического результата
приведем, записав Еп t= gn ге0, таблицу значений gn t для
ряда квантовых чисел п, и /, рассчитанных согласно B) и точ-
точных (указанных в скобках). Для точного спектра gn i = xn ;,
1
2
3
4
0
22,2
B0,2)
39,5
C3,2)
61,7
D8,8)
88,8
F7,0)
1
61,7
E9,7)
88,8
(82,7)
120,9
A08,5)
167,9
A37,0)
2
120,9
(П8,9)
157,9
A51,9)
199,9
A87,6)
246,7
B26,2)
3
199,9
A97,9)
246,7
B40,7)
298,6
B86,4)
355,3
C34,9)
4
298,6
B96,5)
355,5
C49,3)
417,0
D04,9)
483,6
D63,3)
где хп i есть (пг + 1)-й нуль (не считая х = 0) функции Бес-
Бесселя /v (х) с v = I + 1/2. Мы специально ограничились неболь-
небольшими значениями пг, когда квазикласснка формально неприме-
неприменима, чтобы подчеркнуть, что н в этом случае квазиклассиче-
¦скнй результат не слишком сильно отличается от точного. Прн
этом существенно, что выбор квазиклассической поправки в
условиях квантования обеспечивает выполнение правильных гра-
граничных условий5). В таблице не представлены s-состояния; для
4) При значениях пг>(/ + 1/2) имеем
я, опуская все поправки, связанные с S, из C) приходим к B).
Учет же поправок в этом случае (их вклад порядка A+\/2J/пг)
«а фоне (пг +1/2 + 1) был бы превышением квазиклассической
точности правила квантования.
5) Как легко убедиться, квантование согласно (IX. 5) при-
приводит к существенной потере точности, сравнить с 9.6.
459
них квазиклассический спектр совпадает с точным, ^в(|=*
= я2(пг+1J. Как видно из таблицы, различие между точ-
точным и квазиклассическим значениями Еп { при фиксированном t
слабо зависит от п,. Так как следующая квазиклассическая по-
поправка в правой части правила квантования ~1/пг при п, > 1,
то такое свойство является точным в рассматриваемом случае
и «затягивается» до значений п, ~ 1.
Сделаем два заключительных замечания в отношении пра-
правила квантования без центробежного потенциала. 1) Так как пг
и / входят в него лишь в виде комбинации 2пг + /, то отсюда
для квазиклассических состояний следует своеобразное (прибли-
(приближенное) «случайное» вырождение уровней, аналогичное имею-
имеющему место для сферического осциллятора при точном решении;
у. Ш. Конечно, такое вырождение снимается при учете следую-
следующей квазиклассической поправки. 2) Обсуждаемое условие кван-
квантования относится к потенциалу, ограниченному на малых рас-
расстояниях. Однако его можно обобщить и на случай, когда
U (г) со г~ ^ при г-*-0, причем 0 ^ v < 2, если заменить пра-
правую часть6) в ием значением
, 1 , 2/+1
(для ограниченного потенциала v = 0; сравнить также для
v = 1 и / = 0 с 9.5). При этом для кулоновского потенциала,
U = —а/г, получающийся квазиклассический результат воспро-
воспроизводит точный спектр для всех значений момента /.
9.8. С известной точностью искомое условие можно полу-
получить непосредственно из правила квантования (IX. 5), положи»
в нем п = N — 1 (N — порядковый номер уровня) и устремляя
Ец-1 к нулю и соответственно а-*-—оо и б-»--)-00- При этом,,
однако, учет квазиклассической поправки 1/2 на фоне п будет
превышением точности. Это связано с тем, что используемое при
выводе (IX. 5) условие сшивания квазнклассических решений,
основанное на линейной аппроксимации потенциала вблизи то-
точек остановки, в данной задаче заведомо неприменимо: точки
остановки «уходят» на бесконечность, где при Е = 0 квазиклас-
квазиклассичность нарушается, так как ] dk/dx | со | к |.
Для уточнения значения квазиклассической поправки сле-
следует найти точное решение у. Ш. на больших расстояниях, а за-
затем сшить его с квазиклассическим решением. У. Ш. принимает
вид
W" + ax-*W = 0, Uxs
в) Такая модификация правила квантования может быть по-
получена способом, использованным при решении задачи 9.9.
460
Отсюда с помощью подстановки Т = <p(z)/z, где г =
= -у/а/\х\ получаем <p"(z) +<p(z)= 0. Так как моменту воз-
возникновения нового состояния д. с. при углублении потенциаль-
потенциальной ямы отвечает существование не возрастающего при х-*-
->±°о решения у. Ш. для ? = 0, см. 2.13, то решение уравне-
уравнения для qp(z) следует выбрать в виде <p = .4sinz. Таким обра-
образом, точная в. ф. в момент возникновения уровня имеет на боль-
больших расстояниях вид
W (х) я* А±х sin (д/б±/*)> х-*-±<х>. A)
Теперь заметим, что на таких больших расстояниях,
где I х | <g. л/а, уже выполнено условие квазиклассичности
I dX/dx | -С 1 и применима квазиклассика (при этом, естествен-
естественно, предполагается, что на таких расстояниях потенциал еще
описывается асимптотическим выражением, т. е. Uoox~*).
В квазиклассическом приближении имеем
Vp
Значения параметров Yi, 2 находим из сшивания этих квазиклас-
квазиклассических решений с найденными выше точными A), удовлетво-
удовлетворяющими требуемым граничным условиям при *->-±оо. Так как
при этом р/Й ж л/а±/х2, то очевидно Yi = Y2 = 0. Теперь из
условия совпадения обоих решений в B) (сумма фаз синусов
в них равна nN), приходим к искомому соотношению
00
~ \ V-2/nt/ (х) dx = яЛГ C)
(непосредственное использование (IX. 5), как указано в начале
решения задачи, приводит к значению правой части, равному
я(ЛГ—1/2)). Отсюда для потенциала U = — U0(x2/a? + 1)~2
находим
I =а 2т?/0а2/Й2 = N* D)
Точный результат, см, 2.40, получается заменой JV2 на N2 — 1.
Как видно, уточненное условие C), D) имеет более высокую
461
точность7), чем полученное непосредственно с помощью (IX. 5).
Так, значение ?# для N = 10 согласно D) отличается от точ-
точного на 1 %, а «упрощенное»—на 10 %•
9.9. Поступая как и в предыдущей задаче, запишем сна-
сначала квазиклассическое выражение для радиальной функции
(Т = Y/mX/fr)//-) при значении Е = 0 следующими двумя спо-
способами:
[°
удобными для учета граничных условий (Х; °° г ПРИ г->0 и
Xi со г при г -> оо в момент возникновения связанного состоя-
состояния, см. 4.26). В выражениях A) р = л/—2ml] (г) — радиальный
импульс в пренебрежении центробежным потенциалом (обосно-
(обоснование такого приближения для состояний с моментом / ~ 1
в области квазиклассичности см. в 9.7). Однако в условиях
задачи как на малых, так и на больших расстояниях квазиклас-
квазиклассичность нарушается и следует воспользоваться точными реше-
решениями у. Ш., сшивание которых с квазиклассическнми решения-
решениями A) позволит найти значения YiB>/ и из совпадения обоих
выражений в A) получить искомое условие возникновения свя-
связанных состояний.
У. Ш. как при г-*-0, так и при г->-оо принимает вид
. _ 2та .„.
0 a B)
Как известно (см., например, [33]), решения этого уравнения
выражаются через цилиндрические функции
На малых расстояниях, чтобы удовлетворить граничному усло-
условию % со r'+1, решение следует выбрать в виде
7) При этом различие квазиклассического и точного резуль-
результатов проявляется в слагаемых "~ 1/N2.
462
Воспользовавшись асимптотикой функции Бесселя Js(z) при
э, получаем
C)
что соответствует квазиклассическому решению на таких малых
расстояниях, где еще U ял — at/rVl, но уже можно пренебречь
центробежным потенциалом8). Сравнение с первым из выраже-
выражений для %i в A) дает
Аналогичным образом замечаем, что на больших расстоя-
расстояниях решение уравнения B) следует выбрать в виде
и находим значение параметра
Теперь из требования, чтобы оба выражения для %i в A)
совпадали (для чего сумма фаз синусов в них должна быть
равна nNi), приходим к искомому условию возникновения Л^-го
по счету связанного состояния частицы с моментом /:
V—2mU (r) dr =
о
, 2/ + 1 , 2/ + 1 1
+2B-vI) + 2(v2-2) "
Отметим, что случай V2 ->- °° соответствует потенциалу с экспо-
экспоненциальным убыванием на больших расстояниях.
Рассмотрим ряд приложений формулы F).
1) Для s-состояний в потенциале Хюльтена, U(r) =
= —U0/(erla— 1), в F) следует выбрать Vi = 1, v2 = °° и / = 0.
После вычисления интеграла получаем
2ma2U0/h2 = N;,
что совпадает с точным результатом, см. 4.8.
8) Подчеркнем, что зависящая от г часть квазиклассической
фазы в выражении C) не содержит / в соответствии с отмечен-
отмеченным выше обстоятельством, что учет центробежного потенциала
в основной области классического движения находится за пре-
пределами точности рассматриваемого приближения, сравнить с 9.7.
463
2) Диалогичным образом для потенциала Юкавы,
U = _ 2- е~г1а, получаем согласно F) % э 2таа/Л2 = nN2sJ2.
Отсюда условиям появления нижних Is-, 2s- и Зв-состояний от-
отвечают значения параметра %, равные 1,57; 6,28; 14,14. Точные
значения, получаемые численным интегрированием у. Ш., оказы-
оказываются равными 1,68; 6,45; 14,34.
3) Рассмотрим, наконец, потенциал 11 = —а/г(г + аJ, для
которого vi = 1, v2 = 3. Согласно F) легко находим
2ma/h2a = (Nt + 21 + 1/2J.
Для этого потенциала можно найти точное условие появления
первого связанного состояния, Ni = 1, с произвольным момен-
моментом /. В. ф. в момент возникновения такого состояния имеет
вид
Xl = Crl+i(r + ar21-1,
прн этом
2ma/h*a = B/,-F'l) B/ + 2).
Как видно, даже для Ni. = 1 квазикласснческии результат не-
неплохо воспроизводит точное условие при всех значениях мо-
момента частицы /.
9.10. Обозначим через Е^ и Е$ + 6Еп уровни энергии
в полях Uo(x) и U0(x)+ 6U(x) соответственно. Разлагая подын-
подынтегральную функцию в правиле квантования
Ь+8Ь
J фт [40) + ЬЕп - Uo (х) - Ш (*)] dx = nА (я + у) A)
а+ва
с учетом малости б?„, 8t/, находим искомое смещение уровня9)
(¦*)
s) Сравнить с 9.3. Заметим, что изменение левой части A)
за счет смещения точек поворота в первом порядке равно нулю.
Если б U (х) отлично от нуля лишь вне области классического
движения частицы, то согласно B) сдвиг уровня ЬЕп = 0. Ко-
Конечно, сдвиг уровня есть и в этом случае. Однако он, вообще
говоря, экспоненциально мал и его расчет требует специального
рассмотрения; сравнить с 9.4.
464
где Г (i?j,0') — период движения классической частицы в потен-
потенциале U0 (х).
Полученный результат соответствует формуле первого по-
порядка теории возмущений (VIII. 1), bE^ = {fiU)nn, и также вы-
вытекает из нее, если при вычислении матричного элемента воз-
возмущения воспользоваться квазнклассическим выражением (IX. 6)
для невозмущенной в. ф. н заменить под интегралом быстро ос-
осциллирующий квадрат синуса его средним значением, рав-
равным 1/2.
Классическая интерпретация соотношения B) основана на
адиабатическом инварианте и состоит в том, что оно описывает
изменение энергии Е^ (которая в классической теории не кван-
квантована!) финитного движения частицы в потенциале Uo(x) при
адиабатическом изменении его на 8U(x). При этом / =
=-=—Ф р dx = const см. [26], и в случае малого возмущения
потенциала Ы1 отсюда вытекает B); сравнить с «мгновенным»
включением возмущения, рассмотренным в 9.22.
Для осциллятора с ангармоничностью по формуле B) на-
находим
Uo (х) = mcoV/2, Ef = Лео (п. + 1/2), 6U
****
. + L
Отметим, что учет 1/4 на фоне пг + п, строго говоря, является
превышением квазиклассической точности (см. в связи с этим
9.13). Действительно, точное выражение для Е^ отличается
от C) лишь значением указанной поправки: 1/2 вместо 1/4.
Как видно, квазиклассический результат неплохо воспроизводит
точный и при п ~ 1 (исключая лишь случай п. = 0).
9.11. Сдвиги Д?п (<S) невозмущеиных уровней Е^ опреде-
определяются правилом квантования
- U (х) + е$х\ dx. = яА (п. + -i-). A)
Здесь V = —е&х — потенциальная энергия частицы с зарядом е
в однородном электрическом поле 8. Так как Д?„ °° % , то
в разложении левой части в A) по полю 8 следует учесть
члены второго порядка. Для нх вычисления преобразуем левую
465
часть соотношения A) следующим образом:
где prt (х) = д/2m (.Е1^* — U (*)) , а ± а — точки остановки для
иевозмущенного движения. Первый член с j?n (х) в разложе-
разложении B) воспроизводит правую часть в выражении A), второй
равен 1/2Т (fijf*) А?„, а третий определяет искомое смещение
уровней, так что
a
, p 1 n г.9 me2<S2 д [ x2 dx
Д?« = 1
C)
Здесь Т (?^') — период невозмущенного движения, $п — поля-
поляризуемость га-го состояния, определяющая среднее значение ди-
польного момента системы dnn = pn<S\ индуцированного внешним
электрическим полем.
Согласно C) поляризуемость равна (при Е = Е^\
где х2 — среднее за период классического движения в потен-
потенциале U(x) значение величины х2. Классическая интерпретация
этого выражения основана на рассмотрении среднего за период
значения дипольного момента
v — ± V2 (Е — U (х) + eSx)lm.
Разлагая здесь, как н в B), интеграл по степеням &, прихо-
приходим к соотношению Зклас = $8, где р определяется форму-
формулой D) (отметим также, что поляризуемость определяет изме-
изменение энергии классической системы при медленном включении
466
поля, ДЕ = —1/гр^'2» в согласии с C), сравнить с предыдущей
задачей).
Для осциллятора Т(Е)= const, а хг = Е/пко2 (как это сле-
следует, например, из теоремы вириала); при этом p\t = ^/mco2,
что совпадает с точным квантовомехаиическим результатом,
см. 2.2.
Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме
Р„ = — е2а2/24?^0) < 0, здесь а — ширина ямы.
9.12. Записав Еп = ?<,0) + Е™ + Ef, U = U0(x) + V{x) и
выполнив в формуле (IX. 5) разложение способом, аналогичным
использованному в предыдущей задаче, находим
Здесь черта означает усреднение соответствующей величины по
периоду движения классической частицы в потенциале Ua(x)
с энергией Е^п\ определяемое соотношением
Для осциллятора, t/o = тш2х2/2, с ангармоничностью К = ах3
находим V(x)= 0 и
f
со f а2л;6^ 5 / ?<0) \3
Соответственно ?1JlI' = 0 и согласно A)
что лишь значением последней, равной 1/4, квазиклассической
поправки отличается от точного выражения, в котором она
равна 11/30 (такое различие согласуется, естественно, с квази-
квазиклассической точностью, обеспечиваемой правилом квантования
Бора — Зоммерфельда, сравнить с 9.13). Прн этом квазикласси-
квазиклассический результат хорошо воспроизводит точный и для состояний
с п. ~ 1 (исключая лишь случай п = 0).
9.13. Искомое уточнение правила квантования может быть
получено, если при выводе правила Бора — Зоммерфельда, из-
изложенном в книге Ландау и Лифшица [1], воспользоваться
467
более точными квазиклассическими волновыми функциями, учи-
учитывающими следующую по Л квазиклассическую поправку. Ука-
Укажем, какие при этом возникают изменения в соответствующих
формулах из § 47, 48 в [1]. В. ф. справа от правой точки оста-
остановки 10) х = Ъ вместо D7,1) теперь имеет вид
х
ехр
(if . imh F
s —\ pdx
\ч 4 p*
ih д2
24 дЕг
где F = —dU/dx; здесь использовано выражение D6,11), запи-
записанное в более удобном для дальнейшего виде: малые квази-
квазиклассические поправки внесены в показатель экспоненты и уч-
учтено соотношение
ihm2
8
Г F2 . ih д2 Г F2 .
¦ \ —Г dx = -7ГГ -,г,2 \ dx
J р5 24 дЕ2 J р
(на вещественной оси при х> Ь значение р(х) — мнимое, при-
причем ip<.0). Переходя в область классического движения по
контуру в комплексной плоскости х, как ив [1], получаем
волновую функцию при ") х < Ъ
( ь
С 1
( ь
1 1 f . , nth F
—- sin < — \ р dx + —
p I Л 1 4 p3
—
¦V
Аналогичным образом из сшивания с решением, убывающим
при х -»—оо, находим волновую функцию в области х > а
х
( х
„, С . I 1 Г J nth F
* = —т=- sin l — \ pdx
Vp [ л j 4 p3
Io) Отметим, чтс используемое нами обозначение а, Ъ левой
и правой точек остановки отличается от принятого в [1].
п) Обращаем внимание на необходимость выбора в инте-
интегралах квазиклассического решения B) в качестве верхнего пре-
предела интегрирования точки остановки х = Ь.
468
и из условия совпадении выражений B) и C) приходим к пра-
правилу квантования
ь ь
If , /_ , 14 , Л д* [Я
D)
Так как последнее слагаемое выступает здесь как поправка, то
записав Еп=Еп'~ + Д?П> где Д?„ — связанное с ним измене-
изменение энергии уровня, н выполнив в левой части разложение по
АЕп (сравнить с 9.3), получаем
dX E)
-J— {
12Г (?) дЕ* J л/2/п (Е-U (х))
а
= ЯБ.-3
(в правой части D) изменением энергии уровня можно прене-
пренебречь), что совпадает с приведенным в условии задачи выра-
выражением.
Рассмотрим некоторые приложения формулы E).
Для осциллятора имеем U' = та>2х; при этом {U'J =
= тш2Е и так как Т = 2я/со = const (не зависит от энергии),
то находим Ь?п = 0. Это — естественный результат, так как
для осциллятора правило Бора — Зоммерфельда воспроизводит
точный спектр н более высокие поправки по h должны отсут-
отсутствовать.
Для осциллятора с ангармоничностью $хА, выполняя в фор-
формуле E) соответствующие разложения, находим для линейной
по E части сдвига значение
объединяя которое с выражением C) из 9.10, приходим к ре-
результату для поправки первого порядка теории возмущений ?„ »
совпадающему с точным.
Аналогичным образом, для ангармоничности вида V = ах*
по формуле E) получаем
Д?п = -7а2й2/16т3со4
для квадратичной по а части поправки, которая совместно
с выражением C) из 9.12 воспроизводит точный результат вто-
второго порядка теории возмущений.
В заключение укажем еще один способ вычисления квази-
квазиклассических поправок более высокого порядка по Л в пра-
правиле квантования, основанный на исследовании эквивалентного
469
уравнению Шрёдиигера нелинейного уравнения
для логарифмической производной в. ф. % = V/W. При этом
X = - V2m (U (х) - ЕЯIП* - %' (х) G)
(о выборе здесь знака см. ниже).
Интегрируя соотношение G) по контуру, проведенному
в плоскости комплексного переменного х так, что он охваты-
охватывает отрезок вещественной оси между точками остановки а и Ь,
и используя теорему о вычетах, получаем
ф х dx = - —- & V2m (С/ - Еп) - К>%' dx = 2nin. (8)
с с
Здесь учтено, что полюсами функции %(х) являются нули в. ф.,
число их равно п, а вычет в каждом из полюсов равен 1.
Соотношение (8) является точным (для аналитических по-
потенциалов) и справедливо при достаточно произвольном выборе
контура С. Однако для дальнейших преобразований удобно сна-
сначала выбрать его не слишком близко от отрезка вещественной
оси между точками остановки. В этом случае в выражениях
G), (8) на контуре интегрирования слагаемое с %' выступает
как поправка. Действительно, непосредственно вблизи отрез-
отрезка (а, Ь) на вещественной оси функция V(x) имеет осциллирую-
осциллирующий характер, V со sin ( "~ \ р dx + у J и величины %' и у?
одного порядка. При удалении же в комплексную плоскость
в волновой функции «выживает» лишь одно, растущее экспонен-
экспоненциально слагаемое (сравнить с [1]). При этом % = W/W уже
не содержит быстро изменяющегося множителя и производная %'
оказывается малой величиной порядка dk/dx <C 1 по сравнению
с х2. Соответственно в этом случае уравнение F) можно ре-
решать последовательными итерациями
и найти
V2_
¦JB, _ ...о) Г *?" i
Здесь, как обычно, рп = У2« (Еп, — U (*))). Точки остановки а, Ъ
для функции Рп(х) являются точками ветвления. Для однознач-
однозначного определения р„ между ними следует провести разрез вдоль
470
отрезка (а, Ъ) на вещественной оси х. При этом па верхнем
берегу разреза рп > 0 (на нижнем уже р„<0). Заметим,
что можно записать рп = — » V2m (U (x) — Еп)), где фаза
U{x)—En справа от правой точки остановки b на вещественной
оси х выбрана равной нулю; это согласуется с выбором знака
в G), так как х<0 при х > Ъ. Подчеркнем также, что точки
остановки ие являются особыми точками (точками ветвления)
для точного решения %(хI
Подставляя разложение % в формулу (8), получаем12)
Л J Ип [ Т2 24я дЕ\ J pn(x) T
(Ю)
Здесь учтено, что 13)
{l)dx = - -^ § d In р (х) = - in,
а при преобразовании интеграла от хB) выполнено интегрирова-
интегрирование по частям в слагаемом с хA)' и использовано соотношение
3m2 аЯ2 J р 3m2
Правило квантования A0) совпадает с полученным выше дру-
другим способом соотношением D).
9.14. Наиболее общее решение радиального у. Ш. в квази-
квазиклассическом приближении в области финитного движения час-
частицы, примыкающей к началу координат, имеет вид
= Yim%El/r)
'"W7
12) Теперь контур интегрирования уже можно деформиро-
деформировать так, чтобы он непосредственно охватывал отрезок (а, Ь) ве-
вещественной оси. Подчеркнем, что аналитические свойства точного
решения и его квазиклассического разложения — различные!
13) При этом использована формула In z = ln|z| + iargz
и учтено, что фаза р(х) при обходе вдоль контура интегрирова-
интегрирования изменяется на 2я (при обходе каждой из корневых точек
ветвления «набегает» фаза, равная я).
471
Здесь1*) g=2ma/A3 и Е = —hh^/itn. Так как интеграл'в A)
при г-»-0 расходится (v>2), то оба независимые решения ве-
ведут себя при этом одинаковым образом — с бесконечными ос-
цилляциями синуса — и обеспечивают сходимость нормировоч-
нормировочного интеграла на малых расстояниях. Соответственно при про-
произвольном значении Е выбором параметра \ всегда можно
добиться того, чтобы в. ф. при г-*-оо убывала в классически за-
запрещенной области. Отсюда, на первый взгляд, и следует вывод
об отсутствии квантования энергетического спектра. Однако он
является преждевременным. Тонкость здесь в том, что условия
самосопряженного расширения оператора Гамильтона в рассмат-
рассматриваемом случае как раз и ограничивают определенным обра-
образом возможные значения параметра у. Это обстоятельство осо-
особенно наглядно проявляется, если предварительно «обрезать»,
как указано в условии, потенциал на малом расстоянии г0 и за-
затем перейти к пределу го-*-0.
При малом, но конечном г0 имеем граничное условие
Х(го)=О. При этом в A) следует положить а = г0 и \ = О,
после чего, как обычно, приходим к правилу квантования
V) B)
(сравнить с 9.2).
Спектр энергетических уровней, следующий из правила кван-
квантования B), зависит от выбора г0 н по мере уменьшения г0
обладает двумя характерными особенностями. Во-первых, уро-
уровень с данным фиксированным значением пг опускается вниз,
причем для него Еп t -*¦ — <х> при г0 -> 0. Во-вторых, в какой-
либо определенной энергетической области Е < Е < Е + &Е (с
Е < 0) появляются новые уровни со все большими значениями
я,, так что для них пт -*¦ <ю при г0 -*¦ 0. Хотя положение этих
уровней зависит от г0 и предела для них при го->0 не суще-
существует, тем не менее расстояние между соседними нз них (в
указанной области) — вполне определенное и равно ftco (En Л,
как обычно в квазиклассическом приближении.
Таким образом, энергетический спектр рассматриваемой за-
задачи при значениях Е < 0 является дискретным, однако нужны
дополнительные условия, однозначно фиксирующие положение
и) Для наглядности считаем.что потенциал имеет вид U =
= —a/rv во всем пространстве (причем v > 2). Подчеркнем, что
значение нижнего предела интегрирования а в. A) не связано
с точкой поворота и может быть выбрано произвольным образом.
472
уровней (сам по себе потенциал этого не обеспечивает, в отли-
отличие от случая v <2). Нетрудно заметить, что задание положе-
положения лишь одного уровня (при каждом значении момента /)
полностью определяет весь спектр. Действительна, написав ана-
аналогичное B) выражение с другим значением пг радиального
квантового числа и взяв их разность, приходим к соотношению,
в котором уже можно положить г0 = 0 и получить условие
квантования, определяющее спектр, в виде
Здесь произведены следующие переобозначения: Еп t заменено
на Еп1 и Еа i на Eot, а также введено квантовое число
п = п, — п„ характеризующее порядок расположения уровней
по отношению к фиксированному уровню Eoi. Задание Eoi опре-
определяет весь спектр, при этом число уровней бесконечно, так как
значения п не ограничены снизу и Eni -*—°о при п -*¦ —оо в со-
соответствии с наличием «падения на центр».
Обсудим связь правила квантования C) с ограничениями
на волновые функции A), ему соответствующими. Для этого
заметим, что соотношение C) следует из записи в. ф. в виде
Ш
, г Б
С .(if , If, л
= —, sin I — \ Pndr \ р dr
Л/Рп (г) V A J " A J ° 4
г-»о L (v — 2)
lVl 2)/2 + V
(v — 2) r(v)/2 '
J
Существеннейшим здесь является то обстоятельство, что значе-
значение фазы Y' не зависит от энергии. При этом волновые функ-
функции всех состояний (для данного I) при г-»-0 имеют одинако-
одинаковую, не зависящую от энергии частицы радиальную зависимость,
что обеспечивает обращение в нуль виеинтегрального слагаемого
в соотношении
~ Щ- [ЬЪ - xTXi] |r_
dr=\ {Ht%2) %,dr
о
473
и означает, что задание15) у{ осуществляет самосопряженное
расширение эрмитова оператора Я (на состояниях с моментом I,
сравнить с 1.29).
Проведенное исследование непосредственно переносится и
иа случай v = 2, если ввести поправку Лангера в центробежный
потенциал. Воспользовавшись значением интеграла
- ?¦ In C + Vc-ar , E)
2 с - Vc2 - aV
приводим правило квантования C) к виду
_ 1„ E0l
Отсюда следует явное выражение для спектра
Enl = Eoi exp Г- -^-Y n = 0, ±1, ±2, ... F)
Отметим, что число уровней бесконечно как за счет существова-
существования состояний со сколь угодно большой энергией связи (п->-
-*¦—оо), так и за счет сгущения уровней прн ? = 0 (для
л-»-+оо); последнее отсутствует в случае v > 2. Приведем
также выражение для в. ф. на малых расстояниях. Используя
E) н F), согласно D) находим
Как и следует, зависимость фазы от энергии при г -*¦ 0 отсут-
отсутствует.
Заметим, наконец, что для потенциала U = —а/г2 у. Ш.
допускает точное решение. При этом
где /Cv (z) — функция Макдональда, а точный спектр совпадает
с квазикласснческим F).
15) Задание у i эквивалентно фиксированию положения од-
одного из уровней. Подчеркнем, что одни и тот же параметр ух
определяет свойства состояний как дискретного спектра, прн
Е < 0, так и непрерывного спектра, прн Е > 0. Заметим также,
что если рассмотреть «плавное» обрезание потенциала прн г<г9
вида U(r)= U(ro) (вместо непроницаемой «стенки»), то для за-
зависимости Yi от I можно получить соотношение у< = \ + я//2
сравнить с 9.7.
474
9.15. Рассмотрим сначала квазиклассическне волновые функ-
функции вида бегущей волны
ехр < ± —
р (х) = л/2т (Е - U (х)) >0.
Соответствующие им в. ф. в импульсном представлении имеют
вид
(не путать р как переменную представления с ±р(х)—импуль-
±р(х)—импульсом классической частицы!). Характерная особенность инте-
интеграла A) для квазиклассических состояний в том, что фаза ф(х)
его экспоненциального сомножителя как функция х быстро из-
изменяется и значение интеграла определяется в основном вкла-
вкладом окрестностей стационарных точек показателя экспоненты.
Обозначим положения этих точек как16) xf (р). Они опреде-
определяются из условия
^- = 0. или ±p{xf)=p. B)
Разлагая ф* (х) в окрестности точек xf (p), имеем
(,-,*)». C)
здесь w = —U'/m и v — ускорение и скорость классической
частицы в соответствующей точке xf. Выиося теперь в A) за
знак интеграла медленно меняющийся множитель р~1^2{х) (т. е.
заменяя его значением в стационарной точке) и вычисляя по-
получающиеся интегралы с использованием разложения17) C),
16) Если их нет, то в рассматриваемом приближении
Ф± (р) = 0. При этом в классически запрещенной области, где
в. ф. ~V{x) экспоненциально убывает, можно считать Ч = 0.
17) Хотя интегрирование проводится по узким областям около
точек xf, ввиду быстрой сходимости его можно производить
в бесконечных пределах; получающиеся интегралы — интегралы
Пуассона.
475
находим
<D*(p)«V _=_=__ оф^-LU- I pdx-pxs\\.(i)
^ tn-y/^iw(xs) ft J
Подчеркнем, что вклад в сумму вносят все точки классической
траектории частицы, в которых она имеет импульс р (при этом
ф+ = 0 для значений р < 0, а Ф~ = 0 прн р > 0).
Рассмотрим теперь в. ф. ^„(х) стационарного состояния
в потенциале с одним минимумом, рис. 22. Записав синус в
(IX. 6) через экспоненты н используя D), находим при р > 0:
Фп (р) =
Ч;
Z± [ ехр (ftp (*i (p))) exp (ftp (x2 (р)))
'(Еп) I Vo> (xi (p)) V«» (*2 (p)) J'
а Фл(р) для значений р < 0 получается комплексным сопряже-
сопряжением выражения E), вычисленного при импульсе, равном \р\.
Волновая функция E) отлична от нуля лишь при значениях
импульса
0 < Р < Ро = V2m (Еп — min U).
В ней учтено, что уравнение B) прн этом имеет два корня,
расположенные по разные стороны от точки минимума потен-
потенциала U(x), которые «сливаются» при р-+Ро (в точке мини-
минимума U(x), для больших значений р уравнение B) уже не имеет
корней).
Распределение по импульсам, dWn(p) = |Фл(р) \2dp, из-за
наличия в E) быстро осциллирующих экспонент также сильно
осциллирует (сравнить с осцилляциями ^/.(х)!2). Однако если
усреднить это распределение уже по небольшому интервалу им-
импульсов, то интерференционный член пропадает и получается
1 , 1 Л dp
(*, (/>)) т w (х2 (/>)) ) тТ (Ея) '
—Ро < р < Ро F)
(здесь w > 0). Это выражение допускает простую классическую
интерпретацию. Действительно, переходя в выражении dWKJI =
= dt/T(E) от времени движения dt вдоль траектории к изме-
изменению при этом импульса частицы
dt = (dt/dp) dp= ± dplmw (p)
я учитывая двузначность зависимости w(p) от р, приходим
к распределению по импульсам классической частицы, совпадаю-
476
щему с выражением F) (сравнить с классической вероятностью
dWxa = 2dx/Tv(x) для координат частицы).
9.16. Основной вклад в искомую вероятность вносят обла-
области, непосредственно примыкающие к точкам остановки, где на-
нарушается квазиклассичиость. Рассмотрим точное решение у. Ш.,
основанное на линейной аппроксимации потенциала в окрестно-
окрестности этих точек. Вблизи правой точки поворота, х = Ь, у. Ш.
принимает вид
2m\F(b)
V (х) -
— b)^ {x) = О,
где \F(b)\ = U'{b), E = U(b). Заменой переменной
A)
приводим A) к виду 'V'(z)—z^V{z) = 0. Решение этого урав-
уравнения, убывающее в глубь классически запрещенной области,
выражается через функцию Эйри, т. е. Ч = cAi(z). Ее асимпто-
асимптотики 18)
1
Ai (z)
,-с
1
1'2
sin U + — , -
B)
где ? = -s-1 z |3'2. Теперь из сшивания решения с иормироваи-
о
ной на единицу квазиклассической волновой функцией (IX. 6)
находим
с2 = 2я (W/m Й)'/3 Т~1(ЕЯ)
н для вероятности нахождения частицы в классически запре-
запрещенной области справа от точки остановки х = Ъ получаем
б о
Используя связь функции Эйри с функцией Макдональда:
Ai (г) = Vz/Зя2 /С1/3 (?), где ? = -j \ г |3/2, н известное значение
") Так как при этом ? = -т-
п
X
\ Р (х) dx
, то из B) следуют
приведенные в (IX. 3,4) условия сшивания квазнклассических
решений (область |?|> 1—уже область квазиклассичности).
477
интеграла \ z~yK*(z)dz (см. [33, с. 707]), находим искомую
о
вероятность
31/3Г2B/3) \( 2тЛ \U3 ( 2тП Ч 1/Зп
где для потенциала приведенного на рис. 22 вида учтены обе
классически запрещенные области; T(z)—гамма-функция, при
этом ГB/3)ж1,354.
Для осциллятора U ~ mcoV/2, Еп = Йш(и + 1/2) имеем
Я (а) = F2 (Ь) = 2отйш3 (п + 1/2)
и согласно C) получаем
ш„ «0,134 (га + 1/2) -1/3. D)
Как и обычно, квазиклассический результат имеет достаточно
высокую точность и для значений п ~ 1. Так, для основного
и первого возбужденного состояний осциллятора из формулы D)
следует w0 « 0,169 и w\ » 0,117, в то время как точные зна-
значения этих вероятностей равны 0,157 и 0,112 соответственно.
9.17. В приближении (IX .6) для волновой функции полу-
получаем
а 6
F(x)dx _ л/2т Г F(x)dx
v(x) ~ T (En) J л/еп —U(x)'
и. а '
так что квантовомеханическое среднее совпадает со средним
значением за период движения в классической механике.
Для линейного осциллятора, U = Ш(а2х2/2, по формуле A)
получаем
/ 1 ч Q / 1ч
B)
где а2 = fr/nica (для вычисления интегралов удобно сделать под-
подстановку х = */2Еп/тв}2 sin ф). Значение ж2 совпадает с точным;
отличие квазиклассического среднего х4 от точного только в том,
что в последнем вместо слагаемого 1/4 (в скобках) фигури-
фигурирует 1/2. Эти результаты согласуются с квазиклассической точ-
точностью выражения A), обеспечивающей правильные значения
первых двух членов разложения по параметру 1/и рассматри-
рассматриваемой физической величины; сравнить с 9.10 и 9.13.
478
9.18. Воспользуемся для волновой функции приближением
(IX. 6) и выразим сииус через экспоненты. Теперь заметим, что
k (х) exp
I -j \ р dx ) -
-(-/>(*))*ежр| -± }pdx)\, A)
a
так как ввиду квазикласснчности следует дифференцировать
лишь экспоненциальные сомножители как наиболее быстро из-
изменяющиеся. Аналогичным A) выражением, с заменой в правой
части (±р(х))к на F{±p{x)), описывается результат действия
на в. ф. оператора F = F (р). Теперь вычисление среднего Fnn
сводится к вычислению четырех интегралов. Два из них содер-
содержат быстро осциллирующие множители, оо ехр I ± -г- \ р dx >
поэтому они малы и могут быть опущены. В результате полу-
получаем
ь
F 2 { F{p (х)) - F (-р (х)) 1 JLF (p (x))dx
пп~Т(Еп)) v(x) аХ~Т(Еп)У v(x) '
а
B)
что совпадает со средним за период движения значением рас-
рассматриваемой величины в классической механике19).
Для осциллятора согласно B) находим
C)
Значение р2 совпадает с точным, а р* отличается от точного
лишь значением поправки на фоне п2 + п: в точном результате
она равна 1/2 вместо 1/4; см. замечание в предыдущей задаче
по поводу точности квазиклассического приближения при вы-
вычислении средних.
9.19. Искомая оценка следует из правила квантования
(IX. 5). Имея в виду, что интеграл в нем по порядку величины
19) Его можно записать также в видеFnn = \ F (p) dWn (p),
где распределение вероятностей для импульса определяется ре-
результатом из 9.15.
479
равен (ft — a)pXap, где рх>р — характерная величина импульса час-
частицы, и учитывая, что A*~(ft — а)/2, а Др ~ рх.р (так как
р = 0), получаем
(мы сохранили здесь 1/2 на фоне га, чтобы использовать эту
оценку и при п ~ 1, в том числе и при га = 0). Точное кванто-
вомеханическое значение20) -у (АхJ ¦ (ДрJ для осциллятора
равно Й(и + 1/2) (для всех п), а для частицы в бесконечно глу-
глубокой потенциальной яме пАп/2л/3 при га^>1.
9.20. Доминирующий вклад в значение матричного элемента
вносит область интегрирования между точками поворота и при
его вычислении можно воспользоваться выражением (IX. 6) для
в. ф. Ввиду предполагаемой близости состояний пят значения
точек поворота и частоты движения для них можно считать
одинаковыми и получить при этом
6
Подынтегральная функция во втором слагаемом быстро осцил-
осциллирует (ввиду т, и > 1), так что его значение пренебрежимо
мало. Учитывая, что в квазиклассическом приближении разность
энергий соседних уровней равна йш, находим
Рт U) - рп (х) « ftco (m — n)/v (*),
после чего получаем
ь
Ь г it -
— \ —~ cos со (т — га) \ , ,. rfx.
я J v (х) 'Jo (ж )
я *- я J
B)
Имея в виду зависимость от времени координаты классиче-
классической частицы х = x(t), которая движется с энергией21)
20) Заметим, что У(Л/)а >1А/1*
21) Физически естеетвеииое использование такого «усреднен-
«усредненного» значения энергии классической частицы обеспечивает вы-
выполнение условия эрмитовоети, Fmn = Fnm.
480
E= (En+En)/2, сделаем в B) подстановку t=t(x), что дает
Г/2
2 Г
Fmn = Y) F(x(t))ca&[<a(m-n)t\dt,
о
или
г
F =— \ F
(начальный момент времени выбран так, что х@)=а; измене-
изменению t от 0 до Т(Е) = 2я/м соответствует изменение х от а до Ь
и обратно).
Формула C) устанавливает искомое соотношение между
квантовомеханическими матричными элементами и фурье-ком-
понентами в классической механике.
Проиллюстрируем точность соотношения C) на примере ко-
координаты линейного осциллятора. Для него x(t) = A cos со/, так
что согласно C) отличны от нуля только фурье-компоненты
Xi = x_i = А/2. Так как энергия классического осциллятора
равна Е = т&2А2/2, то приравняв ее (Е„ + Ет)/2 и учтя, что
Еп = ht!i(n + 1/2), находим А2 и отличные от нуля матричные
элементы координаты осциллятора в квазиклассическом прибли-
приближении
=v:
хп+1, п=хп
что совпадает с точным результатом. Аналогично для квадрата
координаты, х2 (t) = A2 cos2(at), находим, что отличны от нуля
лишь следующие фурье-компоненты: (x2)Q = 2 (х2J = 2 (*2)_2==
= А2/2. Используя отмеченную выше связь А2 с Ет, п (значе-
(значения А2 для случаев т = п и m =?*= п — различные!), находим со-
согласно C) отличные от нуля квазиклассические матричные эле-
элементы
D)
где а2 = h/2m(ti. Точное значение [х2)пп совпадает с D), а для
(х2)п, п+2 оно отличается от D) заменой п + 3/2 на [(«+ 1)(я+
+ 2)]1/2. Как видно, квазиклассика обеспечивает достаточно вы-
высокую точность и для квантовых чисел п,т~ 1.
9.21. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь сле-
следует учесть, что при действии оператора р на квазиклассиче-
квазиклассическую функцию достаточно дифференцировать лишь по перемен-
16 В. М. Галицкий и др. 481
ной х в аргументе синуса (сравнить с 9.18). После простых
преобразований получаем
Г/2
. k __2f jtnk m . f cos [со (т ~ п) t], 6-четное, .
(P )mn - -f \ dtp (/) | _. s.n _ ft _ нечетное A)
0
Так как знаки импульса частицы при 0 < / < Т/2 и Г/2 <
< t <CT противоположны, то оба выражения A) можно объ-
объединить в оди»:
г
Очевидно, чтв аналогичное соотношение Fmn = Fs=,m-n между
квантовомеханическими матричными элементами и классически-
классическими фурье-компонентами имеет место и для произвольной физиче-
физической величины22) F(p), сравнить с соотношением C) из 9.20.
Матричные элементы р,пп и {р2)тп для импульса осцилля-
осциллятора вычисляются так же, как и в предыдущей задаче для ко-
координаты и описываются, по существу, такими же выражениями
с заменой Й/mca на Йтш (при этом в них появляются еще не-
несущественные фазовые множители). Такая аналогия не слу-
случайна: она отражает в квазиклассическом приближении то об-
обстоятельство, что у. Ш. и в. ф. для осциллятора в координатном
и импульсном представлениях имеют одинаковый вид.
9.22. Ввиду мгновенности изменения потенциала, в. ф. сразу
после включения V(x) совпадает с Wi. n (здесь и ниже индексы
i и f относятся к стационарным состояниям частицы в потен-
потенциалах U(x) и U(x)+ V(x), но если это не может привести
к недоразумениям, то мы их опускаем). При этом для искомых
средних легко получаем (при t > 0):
= V2(x)-(V(x))* A)
(после включения V(x) гамильтониан опять не зависит от вре-
времени, энергия сохраняется, а энергетические характеристики со-
состояния остаются неизменными). В общем случае квантовомеха-
ническое усреднение в A) проводится по состоянию с в.ф.
Wnix), но в квазиклассическом приближении оно может быть
заменено более простым усреднением по периоду финитного дви-
движения классической частицы с энергией Еп в потенциале U(x)
(см. по этому поводу 9.17).
22) Оно справедливо в квазиклассическом приближении для
произвольиой физической величииы F(x,p).
482
Вероятность перехода при внезапном изменении потенциаль-
потенциальной энергии (см. 8.47)
2
B)
Воспользовавшись здесь для волновых функций выражениями
вида (IX. 6) (для указанных выше потенциалов), преобразуем
матричный элемент следующим образом:
C)
где к. с. означает комплексно сопряженное выражение по отно-
отношению к выписанному в фигурных скобках, а = тах(аь at),
b = minFi, &[); й], f и 6j, f — точки остановки в квазиклассиче-
квазиклассических состояниях Wi, п, Wt, *.
Характерная особенность интегралов в C) — большое и
быстро изменяющееся значение фаз экспонент. Такие интегралы
существенно отличны от нуля в случае, когда у фазы как функ-
функции х имеются стационарные точки, интегрирование в окрестно-
окрестностях которых и вносит доминирующий вклад в его значение.
У второй экспоршнты в C) и ей комплексно сопряженной, оче-
очевидно, таких точек нет (по определению рп, и > 0) и эти слагае-
слагаемые могут быть опущены. Для первой экспоненты условие ста-
стационарности фазы, d<p/dx = 0, принимает вид23) pi,k(xs) =
= pi, n(xs), т. е.
, n - U К) =
D)
23) Число стационарных точек xs зависит как от вида потен-
потенциалов, так и значений Еп, *. Если V(x)—монотонная функ-
функция х, то их либо одна, либо вообще нет; в случае, когда 0' (х)
и V(х)—симметричные функции (с одним минимумом), таких
точек две или ни одной. Отсутствие стационарных точек озна-
означает, что вероятность соответствующего перехода в рассматри-
рассматриваемом приближении пренебрежимо мала.
16* 483
Отсюда видно, что энергетический интервал разрешенных пере-
переходов ограничен условиями
min < El, k ~ Ei, n < ^max'
где Vmax(min) — максимальное (минимальное) значение V(x) на
интервале движения а-, < х < Ь\ классической частицы в исход-
исходном сэстоянии. Отметим, что условие D) имеет наглядный фи-
физический смысл. Так как в результате мгновенного изменения
потенциала импульс классической частицы не изменяется, то оно
определяет такие точки траекторий в фазовом пространстве
(р,х), которые являются общими для начального и конечного
состояний.
Для вычисления интеграла разложим фазу экспоненты
в окрестности стационарной точки
Теперь заметим, что ввиду предполагаемого условия |V"|F —
—а) »hbin область значений (x — xs), в которой изменение
фазы порядка единицы и которая вносит основной вклад в ин-
интеграл, мала по сравнению с характерной областью движения
частицы, ~(Ь — а). Соответственно в E) можно ограничиться
квадратичным членом разложения, распространить интегрирова-
интегрирование в окрестности каждой стационарной точки xs на всю об-
область (из-за быстрой сходимости возникающих интегралов) и
получить
r,rf { V(.).(.)
F)
Из-за большой величины фаз ц>к(х$) в F) значения вероят-
вероятностей B), как и само значение матричного элемента F), испы-
испытывают сильные осцилляции уже при небольшом изменении но-
номера k конечного состояния. Однако после усреднения по
небольшому интервалу конечных состояний такие осцилляции
484
исчезают и получается следующее выражение24):
- / и\ 4nmh
Найдем теперь вероятность возбуждения конечных состоя-
состояний k, относящихся к некоторому энергетическому интер-
интервалу dEf. Так как расстояние между соседними уровнями в ква-
квазиклассическом приближении равно АЕк = h<i>i(Ek), то искомая
вероятность получается умножением G) на dk = dEs/AEk —
число состояний в этом интервале — и описывается выражением
2/п ¦г-) dEf
f
В эту формулу уже не входит постоянная Планка и она
допускает наглядную интерпретацию в рамках классической ме-
механики. Для этого заметим, что энергия классической частицы
при внезапном включении V(x) зависит от точки х нахождения
ее в этот момент времени и равна ?f = Ег + V(x). Соответ-
Соответственно распределение вероятностей для ?f определяется рас-
распределением по координатам частицы в исходном состоянии, ко-
которое имеет вид
dw = 2 dx/T (?,) о, (х).
Переходя теперь от переменной х к энергии Е[ и учитывая, во-
вообще говоря, многозначный характер зависимости х от Ei,
приходим к формуле (8), что, кстати, подтверждает нормировку
на единицу этого распределения, а тем самым и распределения
вероятностей G).
Если при энергии частицы Е ^ Ео движение ее в потен-
потенциале U(x)-\- V(x) является уже инфинитным, то формула (8)
при Ei > Ео определяет распределение по энергиям частицы,
покидающей яму, а интегрирование по энергии ?f в пределах
от Ео до Етах = ?|, n-\- max V дает вероятность вылета час-
частицы («ионизации» системы) при внезапном изменении потен-
потенциала25).
24) Читателю предлагается обсудить вопрос об особенностях
интерференции вклада симметричных стационарных точек в слу-
случае, когда U(x) и V(x) являются симметричными потенциалами;
отметим лишь, что при этом переходы происходят между со-
состояниями пий одинаковой четности и w для таких переходов
отличается от G) множителем, равным 2, для других переходов
w(n^k) =0.
25) Это обстоятельство представляется очевядным, если иметь
в виду отмеченную аналогию с классической механикой. При
квантовомеханическом рассмотрении следует учесть изменение
вида в. ф. Wt, к, которая при Ек > Ей описывает уже состояния
непрерывного спектра.
485
В приложении полученных результатов к осциллятору имеем
Согласно D) находим
xs = [йсо (n-k)+ Fof]/o
после чего по формуле G) получаем вероятности переходовгв)
/
w{n-+k) = l—5-9 I X
««о Г
1 5 Uco (га - ft)
2AF§(+l/2) L
Fl
- I
(они отличны от нуля лишь для таких значений k, при которых
выражение под радикалом положительно). Формула (8) при
этом может быть записана более наглядным образом:
dEf
dWi= „UF.-F.
где ?f, max(min) = Eu „ ± anF0 — максимальная (минимальная)
энергия, которую может иметь в условиях рассматриваемой за-
задачи осциллятор при t > 0, здесь ап = л/2Н (п + 1/2)/тш —
амплитуда колебаний классического осциллятора при t < 0.
9.23. По формуле (IX. 7) получаем следующие результаты.
а) O(?) = expi - v „I ' f, 0)
(. onto )
что при большой величине показателя экспоненты, когда D <?; 1,
совпадает с точным результатом для проницаемости треуголь-
треугольного барьера, см. 2.36.
б) В случае потенциала U = Ua ch~2(x/a), используя для
вычисления интеграла подстановку
sh (х/а) = х sin t, x = л/иа/Е — 1 ,
находим проницаемость барьера в квазиклассическом прибли-
приближении
D (Е) = ехр [_2п д/
B)
26) Заметим, что ю (п ->• ft) = ю (ft -> /t).
486
в то время как точное выражение (см. [1, § 25])
D (Е) = sh2 №а) =
sh2 (nka) + ch2 (я л/2тийа2/Н2 - 1/4 ) ' 'V ft2
Как видно, при выполнении условий
2я V2maW (V^o" — V^") > 1, Е > fi^ma2 C)
квазиклассический результат великолепно воспроизводит точный.
Первое из условий C), обеспечивающее значение D <с 1,—
обычное для применимости квазиклассического выражения для
проницаемости барьера. По поводу второго необходимо сделать
следующее замечание. Его происхождение связано с тем обстоя-
обстоятельством, что в основе вывода формулы (IX. 7) лежат условия
сшивания квазиклассических решений в окрестностях точек оста-
остановки классического движения, основанные на линейной ап-
аппроксимации потенциала. Однако в задачах, подобных данной
(когда на больших расстояниях U-*-0), при малых энергиях
частицы использование таких условий не оправдано27). Это осо-
особенно наглядно видно из рассмотрения случая Е = 0, когда на
больших расстояниях квазиклассика вообще неприменима, срав-
сравнить с 9.8 и 9.9. Изменение условий сшивания решений приводит
к модификации квазиклассической формулы (IX. 7), сводящейся
к появлению дополнительного предэкспоненциального множите-
множителя, имеющего величину порядка единицы28).
Для данной задачи он, как видно из сравнения приведенных
выражений для D(E), равен 4 sh2 (nka) е~2яка и особенно су-
существен при Е-*-0, так как при этом он оо Е (ас увеличением
энергии, как и следует, обращается в единицу).
в) Для указанного потенциала
D)
Это выражение определяет коэффициент прохождения лишь по
порядку величины, но передает главное: его экспоненциальную
малость. В точном выражении имеется дополнительный пред-
экспонеициальный множитель, равный 4д/?(У0—E)/Uo. Его
появление отражает изменение условий сшивания квазикласси-
квазиклассических решений в окрестности точки поворота х = 0 (которая
27) Исключая случай медленно убывающих, U т | х | v с
¦V < 2, при х->-±оо потенциалов.
28) Сравнить с аналогичным изменением фазы квазикласси-
квазиклассической волновой функции при рассмотрении связанных состоя-
состояний, приводящим к модификации правила квантования Бора —
Зоммерфельда в задачах § I.
487
уже не является точкой остановки!) по сравнению с теми, ко-
которые приводят к (IX. 7), сравнить с проницаемостью барьера
из б) при ?->-0.
В заключение отметим, что вопросы вычисления предэкспо-
ненциального множителя в квазиклассических выражениях для
проницаемостей барьеров, когда неприменимы условия сшивания
квазиклассических решений уравнения Шрёдингера, основанные
на линейной аппроксимации потенциала в точках поворота, об-
обсуждаются в задачах 9.24—9.26.
9.24. Поступая так же, как и при выводе квазиклассической
формулы (IX. 7) для проницаемости барьера, см. [1, § 50], и
считая, что падающие на барьер частицы движутся слева на-
направо, запишем волновую функцию при х > b в виде
При этом в. ф. в области барьера
Ь
(О
B)
(здесь пренебрежем затухающим в глубь барьера слагаемым).
Существенно, что в условиях задачи это решение применимо,
вообще говоря, непосредственно вплоть до точки 29) х = 0, в ко-
которой потенциал испытывает скачок. Волновая функция при
х ^ 0 имеет вид
при такой нормировке коэффициент прохождения барьера D =
= I С" 12-
Сшивая выражения B) и C) в точке х = 0 (используя
непрерывность в. ф. и ее производной, причем ввиду квазиклас-
квазиклассичности достаточно дифференцировать лишь экспоненциальные
множители как наиболее быстро изменяющиеся), получаем
29) При этом Е не должно быть слишком блиеким к С/2
и U\ (чтобы в окрестности точки х = 0 не нарушалось условие
квазиклассичиости), но если U(x) = Ui = const при х < 0, то
второе ограничение отсутствует.
488
где
pi @) = ¦y/2m(E-Ul), | р2 @) | = У2т (U2 - Е),
a D0(E) определяется обычным квазиклассическим выражением
(IX. 7) для проницаемости барьера. Отсюда легко находим зна-
значение С, а с ним и коэффициент прозрачности барьера:
Появление здесь предэкспоненциального множителя (величина
которого порядка единицы) по сравнению с (IX. 7) связано с из-
изменением условий сшивания квазиклассических решений в
окрестности точки поворота х = 0.
Применительно к потенциалу из 2.35 имеем U2 = Uo, U\ = 0
и предэкспоненциальный множитель оказывается равным
4 -у Е (Uo — Е) /С/о* При этом D) совпадает с точным резуль-
результатом (естественно, при большой величине показателя экспо-
экспоненты, когда D <Si 1, сравнить с 9.23s).
9.25. Задачу можно было бы решить так же, как и преды-
предыдущую, учитывая, что теперь условия сшивания квазикласси-
квазиклассических решений, основанные на линейной аппроксимации по-
потенциала, изменяются в обеих точках поворота а, Ь. Однако
окончательный результат представляется очевидным и без вычис-
вычислений. Для этого заметим, что модификация квазиклассичгской
формулы (IX. 7), связанная с изменением условий сшивания
волновой функции, используемых при ее выводе, сводится к по-
появлению дополнительного предэкспоненциального множителя
ос(?), зависящего от характера нарушения условий квазиклас-
квазиклассичности в окрестности точек поворота. Важным свойством этой
зависимости является ее факторизованный вид:
а (Е) = а, (Е) ¦ а2 (Е), A)
где не зависимые друг от друга множители ai,2(?) связаны
с каждой из точек поворота (на первый взгляд такое соотноше-
соотношение неочевидно из-за различного вида решений, сшиваемых в
левой и правой точках поворота; однако если учесть независи-
независимость коэффициента прохождения при данной энергии от на-
направления падения частиц на барьер, то оно представляется уже
естественным, сравнить с 9.26). В условиях сшивания решения,
основанного на линейной аппроксимации потенциала и приводя-
приводящего к формуле (IX. 7), имеем cci, 2= 1, а в условиях преды-
предыдущей задачи
-1/1)A/2-?)
J-. у, , а2=1.
U 2 — U\
489
Согласно A) для даииой задачи оц описывается выраже-
выражением B), а а2(Е) отличается от ai(E) лишь заменами U, на
U3 и С/г на С/4. Это замечание решает вопрос о вычислении про-
проницаемости барьера:
D (Е) = а, (Е) а2 (Е) Da (E),
где Do(E) описывается (IX. 7). Отсюда для прямоугольного
барьера высоты С/о и ширины а получаем
D (Е) = 16 Е {Uo~ Е) ехр (- - л/2т (С/о - Е) аЛ C)
А Аи
при m(Ut> — ?)а2/Й23>1; сравнить с точным результатом для
проницаемости барьера из 2.31.
9.26. Формула (IX. 7) при ?—>-0 неприменима30). Согласно
ей D(E = 0)ф О, в то время как точный результат дает D(E)&
« ЬЕ -*¦ 0. Для вычисления коэффициента b в этой зависимости
согласно 2.39 надо найти решение у. Ш. с Е = 0, удовлетворяю-
удовлетворяющее граничному условию ^(х) -*¦ 1 при х-*- -\-со. Так как в слу-
случае Е = 0 квазиклассичность на больших расстояниях нару-
нарушается, то в этих областях следует воспользоваться точным
решением у.Ш., а затем сшить его с квазиклассическим реше-
решением на конечных расстояниях (где точное решение уже ие мо-
может быть получено, но применима квазиклассика; сравнить
с аналогичным подходом при решении задач 9.8 и 9.9).
У. Ш. на больших расстояниях, где U (x) tv Ult 2 (a/I x |) '>2f
принимает вид
2mUav
= 0, а =
Решения этого уравнения выражаются через цилиндрические
функции (см., например, [33])
VlTT Zs B1 ^as\x\ s), s = 2^-.
С учетом граничного условия 1F(+oo)= 1, решение у. Ш. на
больших расстояниях справа следует выбрать в виде
slXll2si
О)
30) Сравнить с 9.236).
490
где Г(г)—гамма-функция. На расстояниях лг<Са,51, восполь-
воспользовавшись асимптотикой функций Бесселя
J2_\i/2 . / ку
яг) Sm \Z 2
получаем
Vi — 2 ^\ „v./'
. хчч*ехр\ v"' xl'zs'\ B)
) V^i-2 )
(здесь учтено, что аргумент функции Бесселя в A)—чисто мни-
мнимый, a v > 2; при этом экспоненциально убывающее с умень-
уменьшением х слагаемое в B) опущено). Это решение имеет уже
квазиклассический вид, что определяет в. ф. х?(х) во всей обла-
области квазиклассичности на конечных расстояниях (где потенциал,
конечно, не описывается своей асимптотикой):
-1 J| p\dx\ C)
\p\dx =
~ vn
здесь
р = V—2т?/ (х), Ci=C2 ехр — -т-
аГ 1/2 (v,-2)rn_s.V D)
Теперь заметим, что решение у. Ш. на больших расстояниях
слева (т. е. при х-*-—оо) должно быть выбрано в виде
V {х) = С y=Ftf<2>S2 B/ V^T s2 1-хI12 s-'), E)
где Н*® (г) — функция Ганкеля, так как именно оно при значе-
значениях | х | <С a^~S2 в квазиклассической области переходит в экс-
экспоненциально убывающее в глубь барьера решение C). Вос-
Воспользовавшись асимптотикой //' >{z) при z-*-oo, получаем
= -l V
(v,-2)-0
F)
Теперь, используя связь функций Ганкеля и Бесселя, находим
асимптотику решения E) при х -*¦ —оо (при этом аргумент
491
функции Ганкеля стремится к нулю). Она, как и следует, имеет
вид *Р « —Вх, причем, с учетом выражений D) и F), коэф-
коэффициент В оказывается равным
I ( 1 Г, М
¦В = \ pi P2 s^P I —тг \ IPI rfjc 1 г ,
I V я J / I
где значения Pi, 2 определяются выражением
(индексы 1, 2 для краткости записи опущены).
Наконец, воспользовавшись результатом 2.39, приходим
к искомому выражению для коэффициента прохождения мед-
медленных частиц, которое можно записать в виде
D (Е) = Yl (?) Y2 (Е) ехр
где
Установленный характер модификации квазиклассической
формулы (IX. 7): появление дополнительного предэкспоненци-
ального множителя \(Е) и его факторизованный вид
Y (Е) = y, (E) ¦ Y2 (E)
отражают общую закономерность, отмеченную в предыдущей
задаче.
Аналогичным образом можно было бы рассмотреть случай
потенциала с экспоненциальным убыванием, ?/сое~'*'' , на
больших расстояниях (о точном решении при этом у. Ш. см.,
например, 4.86)). Однако если иметь в виду 9.236), то оконча-
окончательный результат представляется очевидным и без вычисле-
вычислений: в этом случае
Yi, 2 — 2 sh BnkRlt г) ехр (—2nkRu 2) (Ю)
и для медленных частиц
Yi, 2 «4я?#1,2. A1)
Поучительно получить последнее соотношение из выражений
G), (9), рассматривая экспоненциальный потенциал как пре-
предельный переход при v -»- оо степенного потенциала. Для этого
введем сначала Хо = vR и рассмотрим значения х, близкие к х0.
492
При этом
х„
Хо+ (X —
,-т
= X — Хо.
Соответственно для перехода от потенциала U = а/хч к экс-
экспоненциальному U = Uoe~x/R надо положить
fi/jtj = a/(v/?)v = Uo, т.е. a = (vtf)v?/0. A2)
Подставив A2) в G) (при этом a = 2md/h2) и выполнив пре-
предельный переход v -*¦ о°, получаем р = -yj2nR и согласно (9)
приходим к соотношению A1) для потенциала с экспоненциаль-
экспоненциальным убыванием.
9.27. Отражение частиц обусловлено, главным образом, на-
наличием особенности потенциала в точке х = 0. В. ф., описы-
описывающая процесс отражения (и прохождения) частиц, падающих
на барьер, для определенности, слева, в квазиклассическом при-
приближении имеет вид
1
(х) =
+ А ехр
И'4
х<0,
A)
• ехр
4
о
х> 0,
здесь р = V2ffi (Е — U (х)) > 0; при этом коэффициент отра-
отражения равен R(E) = \A\2. Из условий непрерывности в. ф. и ее
производной в точке х = 0 (при этом ввиду квазиклассичности
достаточно дифференцировать лишь экспоненциальные сомножи-
сомножители, как наиболее быстро изменяющиеся) получаем
где p1,2 = ^2m(E — U1,2)- Отсюда А = (р, — p2)/(pi + p2) и
коэффициент отражения оказывается равным
B)
Подчеркнем, что при конечных значениях энергии справедли-
справедливость формулы B) не предполагает малости R(E). Однако при
493
• со из нее следует
16?2
что соответствует результату теории возмущений, сравнить
с 8.30.
9.28. Рассматриваемый уровень при наложении поля отве-
отвечает квазистационарному состоянию. Положение Ео и ширина Г
квазидискретных уровней определяются условиями существова-
существования решений у. Ш. для комплексных значений энергии Е = Ео —
—5" Г, имеющих при х ¦
¦ ±оо вид уходящей волны (если в ка-
каком-либо направлении движения U{x)>E0, то в этом направ-
направлении решение является экспоненциально убывающим), сравнить
с 6.36.
В данной задаче решение у. Ш. в квазиклассическом при-
приближении имеет вид 3I) (см. рис. 33):
о
х < 0,
0<х < Ь,
х > Ь,
A.1)
A.2)
A.3)
где р (х) = д/2т (Е + Fox) (подчеркнем, что в классически за-
запрещенных областях в пренебрежении шириной р(х)—чисто
мнимая величина, причем ip(x)<C0)- Здесь использовано из-
известное условие сшивания решений в окрестности точки пово-
поворота х = 6, см. [1, § 50], при этом в A.2) оставлено лишь экс-
экспоненциально растущее в глубь барьера слагаемое.
Сшивание решения в точке х = 0, см. 2.6, дает
А = С ехр
= Bimalhp@))A B)
3I) Строго говоря, теперь точки остановки из-за ширины
уровня являются комплексными; однако ввиду экспоненциальной
малости Г это обстоятельство не отражается на условиях сши-
сшивания решения.
494
(при вычислении производных в. ф. дифференцируются лишь
экспоненциальные сомножители как наиболее быстро изменяю-
изменяющиеся в условиях квазиклассичности, см., однако, ниже F)).
Отсюда получаем Нр(О)= Ша, илн Е = Е^ = — та2/2Н2, что
совпадает с энергией уровня в отсутствие возмущения V =
= — Fox.
Как видно, в рассматриваемом приближении непосредствен-
непосредственно не получены ни сдвиг, ни ширина уровня! Для получения
сдвига уровня следовало бы воспользоваться более точными
квазиклассическими выражениями для в. ф., учитывающими сле-
следующие поправки по Й, см. ниже.
Что же касается ширины уровня, то она «исчезла» по той
причине, что в области барьера 0 < х < Ъ была опущена экс-
экспоненциально убывающая от точки х = b в глубь его часть
решения. Вычисления, основанные на ее учете, несколько гро-
громоздки 32), но их можно избежать, использовав следующие со-
соображения.
Имея в виду физический смысл Г как величины, определяю-
определяющей вероятность распада системы (в данной задаче — прохож-
прохождение частицы через барьер) в единицу времени: w = Y/h,
найдем в рассматриваемом состоянии плотность потока справа
от точки поворота х = Ь. Используя A.3), получаем
!~ 2т К дх * дх
При этом если в. ф. нормирована таким образом, что частица
с вероятностью ж 1 находится в окрестности ямы, то плотность
потока непосредственно определяет вероятность распада в еди-
единицу времени, w = /. Как видно из A.1) и A.2), плотность
вероятности [\f J2 существенно отлична от нуля лишь при зна-
значениях
2т | Е | « h2fma,
и если при этом
Fo ¦ h2lma < I ?01, т. e. Fo < m2a3/h* D)
(что и предполагается), то в р(х) можно опустить член с Fox.
В результате для в. ф., нормированной на единицу в существенной
32) Вывод формулы для ширины уровня таким способом см.
в [9, § 2].
495
области локализации частицы вблизи ямы, получаем
I Т |2 « | р @) I А2 ехр (-2та | х |/Й2), А2 = /nV/ft3
(в рассматриваемом приближении в. ф. в этой области совпадает
с невозмущенной полем в. ф. связанного состояния в б-яме). Со-
Согласно B) имеем
dx) = Л2 = ¦?¦? .
После элементарного интегрирования получаем значение |С|2,
а с ним и ширину уровня
fiJCPma / 2«iV
1 -ехр{
Вернемся к вопросу о сдвиге уровня. Воспользовавшись
в A) более точными выражениями для квазиклассических вол-
волновых функций, см. [1, § 46]:
imh F
и выполняя при сшивании решения в точке х = 0 дифференци-
дифференцирование также и предэкспоненциальных множителей, можно по-
получить уточнение формул B) и найти
Ы m2h2Fn та
Заменяя во втором, поправочном члене р@) его невозмущенным
значением ima/H, находим
Второе слагаемое здесь определяет искомый сдвиг уровня (и
поляризуемость состояния) и совпадает с точным результатом
второго порядка теории возмущений, см. 8.12, а также 6.36, где
сдвиг и ширина уровня получены из точного решения уравне-
уравнения Шрёдингера.
496
9.29. В квазиклассическом приближении решение у. Ш. для
квазистационарных состояний имеет вид 33)
A.1)
\ A.2)
4 \
VpM
eXP| Т
exP I T \ P dx > *i < •* < «2; A-3)
A.4)
Здесь A.1) экспоненциально убывает при х -*¦—с»; A.2) запи-
записано с учетом условия сшивания решения (IX. 4). Далее, в вы-
выражениях A.3) и A.4) фигурирует один и тот же коэффи-
коэффициент Си как это следует из условия сшивания решения в
окрестности точки х = а2 согласно [1, § 50]. Пренебрегая
в A.3) вторым, экспоненциально убывающим в глубь барьера
(от точки х = а2) слагаемым, для сшивания решения в окрест-
окрестности точки х = 6j можно уже воспользоваться условиями
(IX. 3). Отсюда сразу приходим к правилу квантования Бора —
Зоммерфельда для определения Еоп — положений квазидискрет-
квазидискретных уровней и к соотношению между коэффициентами
Ci=^(-l)"expl -j^ |p(*)|dx 1С
Воспользовавшись теперь значением |С|2 = 4т/Т(Ео„), обеспе-
обеспечивающим нормировку на единицу в. ф. (i) в области движения
классической частицы а,\ < х < blt и вычислив поток вероят-
вероятности при х>а2 (сравнить с предыдущей задачей), приходим
33) См. ряд общих замечаний о рассмотрении квазистацио-
квазистационарных состояний в квазиклассическом приближении, сделанных
в предыдущей задаче.
497
к следующему выражению для ширины рассматриваемых квази-
квазистационарных состояний:
Отметим наглядный смысл wn здесь: вероятность подбарьерного
вылета частицы из ямы в единицу времени равна числу ударов
\/Т о барьер классической частицы в единицу времени, умно-
умноженному на вероятность проникновения через него при одно-
однократном столкновении. В таком виде выражение для ширины
уровня имеет более широкую область применимости, так как не
связано с (квазиклассическим) способом вычисления прони-
проницаемости барьера; сравнить, например, с 6.37. Если барьер
имеет конечную проницаемость по обе стороны от ямы, то то-
тогда очевидно
Рассмотрим приложение полученных результатов к осцилля-
осциллятору с ангармоничностью: U — пга>2х2/2— кх3. Сдвиги уровней
невозмущенного осциллятора были вычислены в задачах 9.10
и 9.13. Расчет ширин уровней согласно B) сводится к вычис-
вычислению интеграла
Xi XI
\ \p(x)\dx=\ A/2m [-i- ma>42 - Ax3 - ?„„] dx. C)
Xi X,
Для его приближенного вычисления разобьем область интегри-
интегрирования на две: от х{ до d и от d до xj, где величина d пред-
предполагается удовлетворяющей условиям
При этом можно в первом интеграле рассматривать как малую
поправку Хх3, а во втором — слагаемое с ЕОп и выполнить раз-
разложение по этим параметрам. Поступая таким образом, на-
находим
dx ж -^ \J л/(т(йхJ — 2mE0n —
dx
у(т(йхJ — 2тЕо
E)
mad2 Eon
498
а также
4- \ Ы(тшУ — 2т%хъ —
/mod2
mEOn
— 2/иЯа:3
15ЙЯ2
2fi
2mm2
dA
F)
Сумма выражений E) и F) определяет показатель экспоненты
в формуле B), а с ним и искомую ширину уровня (при этом
введенная лишь для удобства вычислений величина d в окон-
окончательный результат не входит):
Tn =
здесь Eon заменено невозмущенным значением Лео (/г + 1/2).
9.30. Качественный вид эф-
эффективного потенциала
приведен на рис. 36; на малых
расстояниях г-*-0 и в области
значений г > rs доминирует цен-
центробежный потенциал. При этом
Uo?5 ft /mrg, так как в против-
противном случае «мелкой» ямы как ис-
истинно связанных, с Е < 0, так и
квазистационарных, с Е > 0, со-
состояний не существует. Для ра-
радиальной функции % = /¦/? (см. (IV. 5)) можно воспользоваться
общими формулами одномерной квазиклассики.
Вычислив интеграл (Е = h2k2/2m)
Рис. 36
1/2J
— кг dr:
С B1 +
J 27
1) dr 2/ + 1 2/+1
499
(здесь точки остановки а ~ га в Ъ « (/ + 1/2) /к; в центробеж-
центробежном потенциале сделана поправка Лангера, т. е. произведена
замена /(/+1) на (/+1/2J), по квазиклассической формуле
(IX. 7) получаем оценку проницаемости центробежного барьера
(обратить внимание на ее энергетическую зависимость).
Заметим, что использование аналогичного A) выражения
для барьера, отделяющего начало координат (с заменой в нем b
на г0 и rs на г < Ь), дает
\-T\\Pr\dry
в согласии с точным результатом, Ri = %/г со г1.
Для оценки времени жизни квазистационарного состояния м)
т найдем вероятность w вылета частицы из ямы в единицу вре-
времени. Эта вероятность получается умножением числа ударов
частицы о барьер в единицу вре-
U,a
мени, по порядку величины рав-
равного 35) vsjrs ~ h/mrs, на вероят-
вероятность прохождения барьера при
однократном столкновении, совпа-
совпадающую с D (сравнить с преды-
предыдущей задачей), что дает
h /
-[
тг% \ 21 + 1
Рис. 37 C)
(более точное выражение для т см. в связи с (XIII. 17));
сравнить энергетическую зависимость w со k Для центробеж-
центробежного барьера в случае медленных частиц с экспоненциальной за-
зависимостью для кулоновского барьера, см. следующую задачу.
34) В квазиклассическом приближении энергия квазистацио-
квазистационарного состояния, как и истинно связанного, определяется пра-
правилом квантования Бора — Зоммерфельда, сравнить с предыду-
предыдущей задачей.
35) Здесь vo:=Pslm — характерная скорость частицы в яме
ps ~ д/mt/g ^3 h/rs (не путать ps с импульсом р = hk выле-
вылетающей частицы, ps > hk).
500
9.31. График эффективного потенциала приведен на рис. 37.
Теперь для состояний с малой энергией (?->-0):
ь ъ
(I + 1/2)а 2_11/2
л2 а
здесь а « rs, b = (I + l/2Jag/2 и учтено, что rs ¦< ав. Соответ-
Соответственно
(в последнем выражении использована формула Стирлинга).
Заметим, что кулоновское притяжение «укорачивает» цен-
центробежный барьер и для малых энергий, ?->-0, существенно
изменяет (увеличивает) его проницаемость, сравнить с преды-
предыдущей задачей.
Наоборот, в случае отталкивательного характера кулонов-
ского потенциала проницаемость барьера для медленных частиц
резко падает. При этом доминирующую роль в интеграле (Е =
= mv2/2, Uc = а/л)
ь а/в
/ 2 " ГГ . яа
л
о
играют большие расстояния, на которых центробежный потен-
потенциал мал. Его учет изменяет лишь предэкспоненциальный мно-
множитель в выражении
D (Е) ~ е-2яа'м C)
для проницаемости барьера; сравнить C) с выражением B),
а также с формулой B) предыдущей задачи для проницаемости
центробежного барьера.
Глава 10
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ. ВТОРИЧНОЕ
КВАНТОВАНИЕ
10.1. Спиновые функции системы (не симметризованные
в спинах) имеют вид1) % A) % ,B), их число равно Bs + IJ.
sz %
') Здесь %$z — нормированная спиновая функция отдельной
частицы с определенным значением проекции спина sz. В Sz-пред-
() *
ставлении она имеет вид %s (ст) =
501
¦Следующие комбинации этих функций
(an, Sz^s:,
-2 ¦ *
нормированные на единицу, имеют определенную симметрию от-
относительно перестановки частиц: W+ — симметричные, a XY~ —
антисимметричные функции. Число независимых симметричных
состояний равно (s+l)Bs+l), а антисимметричных — sBs-fl).
Приведенные функции не отвечают, вообще говоря, опреде-
определенному значению S суммарного спина частиц (исключая слу-
случай s = 1/2, см. 5.10). Однако имея в виду результат 3.30,
можно утверждать, что в симметричных состояниях представ-
представлены значения S = 2s, 2s — 2, 2s — 4, ..., а в антисимметрич-
антисимметричных — S = 2s — 1, 2s — 3, ... (при этом, конечно, S ^ | sz + s2 И.
10.2. С учетом спина в. ф. рассматриваемых одночастичных
состояний имеют внд
гДе Xsz — спиновая функция (индекс i у sz> ; подчеркивает,
что для разных орбитальных состояний sz имеет свое значение).
Задание значений sZ|, однозначно определяет п различных од-
иочастичных состояний
и единственное состояние системы из п одинаковых частиц в це-
целом, волновая функция которого получается симметризацией
(или антисимметризацией) произведения функций A), см. сле-
следующую задачу. Любое изменение набора значений sz.; приво-
приводит к новому набору одночастичных состояний A), а соответ-
соответственно и к новому состоянию системы в целом (при этом суще-
существенно, что все в. ф. ср; — различные!). Так как каждое Sz, i
принимает Bs + 1) значений, то общее число различных наборов
одночастичных состояний A), а с ним и число независимых со-
состояний системы равно Bs + 1)".
Для системы различимых частиц важен способ их размеще-
размещения по различным одночастичным состояниям. Число различных
орбитальных состояний при этом равно п\, а общее число со-
состояний системы с учетом спиновых степеней свободы состав-
составляет Bs + \)пп\.
10.3. Для бозонов вид волновой функции системы зависит
от того, совпадают или нет занятые одночастичные состояния.
При этом следует различать три случая.
502
1) Все частицы — в одинаковом состоянии, Л = /г = /з = /•
Нормированная на единицу в. ф. системы Ч* = %A)%B)%C)
(здесь и ниже вместо переменных частицы указываем лишь ее
номер, так г|зA)= ^(гьсг!) и т. д.).
2) Два из трех занятых состояний совпадают. Теперь
1
= ~JT {Ь A) *¦B) *"C) + ^2 A) *' B) ^2 C) +
+ -ф2 A) -ф2 B) ф, C)} A)
(для определенности положено f\ ?= 1г = /з и для краткости
записи указываем индекс а вместо fa)- Вид выражения в фигур-
фигурных скобках определяется из условия симметрии в. ф. по отно-
отношению к перестановке переменных § любых двух частиц. Коэф-
Коэффициент 1/V3 выбран из условия нормировки в. ф. Т на еди-
единицу:
$2 5aF)*6F)dg = ee6 B)
(интегрирование по ? включает и суммирование по спиновой
переменной); при вычислении нормировочного интеграла из де-
девяти слагаемых в | Ч** |2 отличный от нуля вклад дают лишь три
нз-за указанной в B) ортогональности волновых функций одно-
частичных состояний.
3) Если все три занятые состояния различны, то
Т = -\=г Н>! A) ф2 B) фз C) + -ф2 A) фз B) ф, C) +
л/б
+ т]3з A) i|)i B) г|JC) ± г|), A) г|K B) г|J C) ±
± фз A) ф2 B) ф, C) ± 1|,2 A) -ф, B) ф3 C)}, C)
при этом следует выбрать верхние знаки.
В случае фермионов все три занятые состояния должны
быть различными и антисимметричная волновая функция систе-
системы определяется выражением C) с выбором в нем нижних
знаков.
10.4. Так как координатная часть волновой функции систе-
системы, имеющая вид ф(г1)ф(г2)ф(гз), симметрична, то спиновая
часть в. ф. также должна быть симметричной относительно вза-
взаимной перестановки частиц. Несимметризованные в спинах функ-
функции имеют вид
XsZ; i (Oi) %sz> 2 (cr2) XsZj з (<*з),
где %Sz (a) — спиновая функция отдельной частицы с опреде-
определенным значением проекции спина sz. Их число равно 3 X 3 X
Х3=27, однако условие симметричности существенно уменьшает
503
число независимых состояний. Такие состояния отвечают различ-
различным наборам {sz, а} значений Sz отдельных частиц (не сво-
сводящимся к взаимной перестановке sza!), а соответствующие
спиновые функции системы получаются в результате симметри-
симметризации одиочастичных спиновых функций, сравнить с предыдущей
задачей.
Так, например, для набора значений sz,, = sz, 2 = sz, з = 1
имеем
*m = JCi(l)JC2B)jCiC) =
а для набора sz, 1 = sz, 2 = 1, sz, 3 = О
фпо = -4=" {Xi (О Xi B) хо C) + Xi A) Хо B) %i C) +
,A)Х1B)Х1C)}=-ЬИ 0I 0)( 1 ) +
V3 I V n /, \оЛ \0/3
Выпишем также другие наборы значений (s0, i. sz, 2, sz, 3), при-
приводящие к новым независимым состояниям системы: A,1,—1),
A,0,0), A,0,-1), A,-1,-1), @,0,0), @,0,-1), @,-1,-1),
(—1,—1,—1). Как видно, общее число независимых спиновых
состояний системы равно 10.
Из этих 10 состояний 7 соответствуют значению S = 3
суммарного спина системы, а 3 — значению S = 1. Действи-
Действительно, очевидно, что спиновая функция A) отвечает S = 3.
Также л = 3 отвечает и функция B), как единственное состоя-
состояние с Sz = 2. Значение S2 = 1 имеют два состояния: A,1,—1)
и A,0,0). Существование одного из них связано с суммарным
спином S = 3, а другого — с S = 1.
10.5. Полный момент двух пионов в их системе ц. и. (она
же — система покоя частицы А0) совпадает с орбитальным мо-
моментом L их относительного движения и в силу сохранения
момента равен спину частицы А0, так что /д = L. Но из усло-
условия симметричности в. ф. двух я°-мезонов следует, что L может
принимать лишь четные значения, и поэтому /а = 0,2,4, ...
(действительно, перестановка пионов эквивалентна отражению
координат в их системе ц. и., так как г == Гх—Гг, и приводит
к умножению в. ф. на (—l)L). При этом четность двухпионной
системы — положительна и если она сохраняется в распаде, то
Ра = +1.
504
10.6. В условиях задачи квантовые числа я~A-системы та-
таковы: / = /d = 1 — полный момент, Р = Рп — четность, совпа-
совпадающая с четностью пиона. В силу сохранения момента два
нейтрона в конечном состоянии также имеют полный момент
/= 1 (в системе ц. и.), и так как для них J = L + S (L — ор-
орбитальный момент относительного движения, S—суммарный
спин, спин нейтрона s = 1/2), то возможны лишь следующие
значения L и S:
1) L = 0, S = 1; 2) L = 1, S = 0; 3) L = 1, S = 1,
4) L = 2, S = \. A)
Легко заметить, что условие антисимметричности волновой
функции системы из двух нейтронов запрещает им находиться
в состояниях с квантовыми числами наборов 1), 2) и 4). Для
этого следует учесть, что спиновые функции с S = 1 и S = 0
соответственно симметричны и антисимметричны (см. 5.10), а
симметрия координатных функций с данным значением орби-
орбитального момента L совпадает с четностью этих функций (—l)L
(так как перестановка координат эквивалентна их отражению
относительно центра масс, г = Г; — г2). Таким образом, при пол-
полном моменте / = 1 система двух нейтронов может иметь только
квантовые числа L = 1 и S = 1, а соответственно и отрицатель-
отрицательную четность. Отсюда следует, что Рп=—1 и пион, как гово-
говорят, является псевдоскалярной частицей, т. е. у него /п=0~.
10.7. Задача о возможных состояниях рассматриваемой си-
системы из трех одинаковых бозонов по существу эквивалентна
10.4, а волновые функции могут быть получены заменой спино-
спиновых функций %sz в 10.4 иа шаровые функции Y\m(ri). Отсюда,
в частности, следует, что полный орбитальный момент может
принимать лишь значения L = 3 и L = 1.
Факт отсутствия у рассматриваемой системы состояния
с суммарным орбитальным моментом L = 0 более наглядно
следует из вида волновой функции ^^„о- ^ условиях задачи
в. ф. трех независимых состояний частицы с / = 1 могут быть
выбраны в виде if* = xtf (г), где xi — компоненты радиуса-век-
радиуса-вектора г, см. 3.21. При этом в. ф. (несимметризованные!) для си-
системы из трех частиц с / — 1 имеют вид
Wm = Xlix2kx3lf (Г1) f (r2) f (гг). A)
Волновая функция состояния с суммарным моментом L = 0
является скаляром (не изменяется при вращениях системы коор-
координат). Из волновых функций A) можно составить только одну
скалярную (точнее, псевдоскалярную) функцию:
505
но она антисимметрична относительно перестановки частиц и не
может описывать состояния системы одинаковых бозонов.
10.8. Перестановка координат двух частиц эквивалентна их
отражению относительно центра масс (так как г = г( — г2). По-
Поэтому симметрия координатной части волновой функции состоя-
состояния с данным значением L момента относительного движения
совпадает с орбитальной четностью состояния, равной (— l)L.
Соответственно условие симметричности в. ф. системы тожде-
тождественных бозонов требует, чтобы в четных состояниях переста-
перестановка спиновых переменных частиц не изменяла волновой функ-
функции, а в нечетных состояниях приводила к изменению знака в. ф.
Отсюда, имея в виду результат задачи 3.30 е характере сим-
симметрии в. ф. при сложении двух одинаковых моментов, заклю-
заключаем, что в состояниях с орбитальным моментом L = О, 2, 4, ...
возможны лишь значения суммарного спина S = 2s, 2s — 2, ..., О,
а для состояний с L= 1,3,5, ..., возможны лишь S = 2s—1,
2s —3, ..., 1.
В частности, для бесспиновых бозонов, s = 0, возможны
только четные значения L. Следствием этого результата явля-
является, например, запрет на распады нейтральной частицы со спи-
спином Sv=l (векторного мезоиа) на два я°-мезона, см. также 10.5.
10.9. В системе из двух тождественных фермионов при чет-
четных значениях L орбитального момента суммарный спин может
принимать также только четные значения S = 2s— I, 2s — 3, ...
..., 0, а при нечетных L возможны только нечетные S = 2s,
2s — 2, ..., 1; сравнить с предыдущей задачей, а также с 10.6.
10.10. Нормированная в. ф. системы имеет вид
W (Г,, Г„) = -)=Hi|>i (Г|) ^2 (Г„) + 1|>, (Г,) 1|), (Г,)). A)
V2
Вероятность нахождения обеих частиц одновременно в одном
и том же объеме dV равна
dw6o3 = | V (г, г) |* dV dV =
= | ф, (г) f dV ¦ | % (г) fdV + \ i|>; (r) ife (r) |2 (dVJ, B)
что больше аналогичной вероятности
dwpa3JI = | ф, (г) р dV ¦ | ф, (г) |2 dV C)
в случае различимых частиц. Этот результат иллюстрирует су-
существование интерференции между различными (но тождествен-
тождественными!) частицами. Качественно эту интерференцию можно оха-
охарактеризовать как тенденцию бозонов к взаимному сближению.
Несколько иной аспект такой интерференции рассмотрен в сле-
следующей задаче.
506
Подобная интерференция между различными тождествен-
тождественными частицами, находящимися в одинаковых спиновых состоя-
состояниях, имеет место и в случае фермионов. При этом <йг>ферм = (У
и характер интерференции можно описать как тенденцию фер-
миоиов к взаимному отталкиванию. Для частиц (как фермио-
фермионов, так и бозонов) в различных (ортогональных) спиновых со-
состояниях отмеченная интерференция не проявляется.
10.11. Нормированная на единицу волновая функция систе-
системы имеет вид
^ (г,, г2) = С {ф, (г,) г|J (г2) + -ф2 (гО ф, (г2)}, A)
где 2С2 = A+j<Tj32]\|3i>|2)~1. Средняя плотность частиц полу-
получается усреднением соответствующего оператора
и (г, га) = я (г, ra)= ? б (г ~га). B)
а
где суммирование проводится по всем частицам системы. Такой
вид оператора связан с тем, что аналогичная ему классическая
величина зависит только от координат частиц (но не от их им-
импульсов, сравнить с оператором потенциальной энергии 0(г„) =
= U(га) в координатном представлении), при этом г выступает
как «внешний» параметр. Очевидно
га (г) = (? | й (г) | ?} = 2С2 { | ч»ж 00 I2 + I Ч>* (г) I2 + А (г)}. C)
где
Д (г) = ф, (г) Mfl (г) (ф, 11]J) + ф2 (г) ^ (г) (i|>2 \%).
Обсудим полученный результат для «(г). Прежде всего от-
отметим, что, как и следовало ожидать, \ га (г) dV = 2 независимо
от вида функций -ф^ 2(г). Далее, если эти функции ортогональ-
ортогональны, так что <\]з2|%> = 0, то С2 = 1/2, Д(г)= 0 и
п (г) = | г|>, (г) |2 + | г|J (г) |2 а празл (г), D>
как и в случае различимых частиц. Однако если <"ф2|ф,>=5^ 0,
то Я (г) отличается от /гразл(г). В этом проявляется отмеченная
уже в предыдущей задаче интерференция между различными
(но тождественными!) частицами. Так как 2С2 < 1, то в тех об-
областях пространства, где в. ф. 0431, 2(г) не «перекрываются» (так
что !(>! (г) -ф2 (г) « 0), имеем п < «разл. Соответственно, учитывая
нормировку га (г), заключаем, что в существенной области пере-
перекрытия в. ф. уже п > Яразл в согласии с характером интерферен-
интерференции — тенденцией бозонов к взаимному сближению. Случаю
фермионов, находящихся в одинаковых спиновых состояниях,
507
соответствует изменение в A), C) знака слагаемых, содержащих
<гр2|Ч'1> и противоположный характер интерференции — взаимное
отталкивание, сравнить с 10.10.
10.12. Записав
л = у (d + а+) + / -|- (а - й+) = а + iS,
(при этом A = (d + й+)/2), находим [А, §] = i/2.
10.13. Записав й = at + PjS и й+ = а*? + р*Д имеем
[й, й+] = jft (ар* - а*Р) = 1.
Как видно, выбор параметров а, р не однозначен. Можно взять,
например,
а = 1/V2" L, р = iL/s/2h
(L — вещественный параметр с размерностью длины, как и
у координаты х). При этом из условия а|0> = 0, или
находим волновую функцию «вакуумного» состояния:
?о (*) = (я!2) ~~1/4 exp (-x2/2L2)
(сравнить с в. ф. основного состояния линейного осциллятора).
10.14. Для бозонных операторов — нельзя, так как при этом
[а',а'+] =—1 (в отличие от [а, а+] — I).
В случае фермиоиных операторов — можно, так как по-
прежнему а' = 0 и \й'', й'+}+ = 1. При этом вакуумное состоя-
состояние «новых» частиц |0'> является одночастичным состоянием 11>
исходных частиц, т. е. |0'>=|1>, и наоборот: |1'>=|0>. Такие
«новые» частицы называют дырками (на фоне исходных частиц).
Для фермионов рассматриваемое преобразование является уни-
унитарным и осуществляется оператором U = а + а , тик что при
этом й' = UaU+ = a+.
10.15. Напомним, что операторы а и а+ действуют в про-
пространстве функций 2) — векторов состояний
где символ |я> соответствует я-частичному состоянию. При этом
d|n> = Vn |л-1>, я+ | п) = Vn + 1 I л + !)•
Для фермионов | п > 2> = 0 (таких состояний нет).
2) Здесь и ниже суммирование по п во всех формулах ве-
ведется от п = 0 до п = °°.
508
Собственные функции |<х)=* ^сп|я) и собственные зна-
значения а бозонного оператора й определяются из уравнения
4|а>= а|а>. Так как
& |а) = й ? с„|п)= Z сп V" In- 1>= ? cn+i V^TTl «>,
то уравнение принимает вид
A)
Отсюда, с учетом независимости состояний |я>, следует
а а а ап+х
B)
Как видно, собственным значением бозоиного оператора й
является любое комплексное число а (оператор а — неэрмитов!),
а соответствующая с. ф. | а> может быть нормирована на еди-
единицу. Условие <a|a>= 1 дает
= 1, т.е.
C)
так что распределение по числу частиц в состоянии | а> опреде-
определяется выражением
fin
D)
и представляет собой распределение Пуассона с Я = |а|2.
Уравнение на с. ф. и с. з. бозонного оператора й+ ие имеет
ии одного решения. У фермионных же операторов а, а+ имеется
по одной с. ф.: |0> — с. ф. а, а |1> — с. ф. й+, соответствующие
им с. з. в обоих случаях равны 0.
Рассмотрим теперь линейный осциллятор и найдем для него
вид с. ф. Тц (х) оператора
1
- (max + ip) E)
в координатном представлении. Из уравнения ??а = ti!Va сле-
следует
509
что совпадает с в. ф. когерентного состояния, рассмотренной
в 6.21, если положить (сравнить с. з. с оператором E))
а = (отсохо + г'
V2/
Далее замечаем, что изменение во времени когерентного состоя-
состояния для осциллятора происходит таким образом, что его в. ф.
в произвольный момент времени t остается с. ф. оператора а,
но с. з. а(/) зависит от t, причем
a@ = ae"iMi. G)
Это обстоятельство очевидно в гейзенберговском представлении,
в котором a (t) = e~la>ta (сравнить с 6.25), а в. ф. Ч/^ от вре-
времени не зависит. Оно также следует из установленного выше
разложения | а) = ^ сп \ п), если учесть, что для осциллятора
|я, 0 = ех
и воспользоваться соотношением B) для коэффициентов разло-
разложения.
10.16. Для фермионных операторов (а'J = 2аа + а? ф 0
(при а ф 0) и рассматриваемое преобразование не является
унитарным.
Для бозонных же операторов по-прежнему [а', а/+] = 1 и
преобразование является унитарным. Имея в виду результат
6.19, легко найти явный вид унитарного оператора
U = exp (a*a — ай+), A)
осуществляющего такое преобразование, при этом а' = 0а0+.
Далее, с помощью формулы из условия задачи 1.10 оператор A)
можно записать в виде
после чего легко найти состояние «нового» вакуума в исходном
базисе:
10'} = в 10} = е~ I a №e-а*+еа*й | 0) = е~ ' a № У -^Ж- | я),
п
B)
если воспользоваться разложением экспонент с операторами а
и й+. Другой способ определения состояния |0'> непосредственно
из уравнения а|0'> = 0 см. в предыдущей задаче; при этом рас-
распределение по числу исходных частиц в состоянии |0'>, следую-
следующее из B), совпадает, естественно, с выражением D) (распреде-
(распределением Пуассона) указанной задачи.
510
10.17. Для фермионных операторов рассматриваемоое преоб-
преобразование ивляется унитарным при выполнении условий
т. е. только в тривиальном случае a = ±1, р = 9, а также
в случае a = 0, р = ±1, соответствующем переходу от частиц
к дыркам, см. 10.14.
Для бозониых операторов преобразование является унитар-
унитарным при выполнении условия а2—Р2 = 1. При этом, записав
]0')= ^\ сп | п) и поступая как и при решении задачи 19.15,
п
из уравнения а'|0') = 8 мвжно найти
Р V л /
B* — 1I1
2*6!
и с„ = 0 для нечетных значений п. Из условия нормировки
<О'|0'> = 1 получаем |со|2= |а|-'; распределение по числу ис-
исходных частиц в состоянии «нового» вакуума есть и>„=|с„|2.
10.18. Рассматриваемое соотношение между векторами со-
состояний
эквивалентно разложению 3) W = V C.'F, волновой функции Т
произвольного одночастичного состояния по полной системе соб-
собственных функций Wf. Поэтому Cf является в. ф. рассматривае-
рассматриваемого состояния в f-представлении.
Так как оператор lF+(r) «рождает» частицу в точке г, то
Ф(г) (см. условие) является в. ф. (обычной ^-функцией) состоя-
состояния частицы в координатном представлении (/s=r). Естествен-
Естественно, что вычисление среднего значения любой аддитивной физи-
физической величины, оператор которой в представлении чисел за-
заполнения определяется выражением (X. 3), в рассматриваемом
состоянии приводит к обычной квантовомеханическои форму-
формуле (I. 5) для средних значений:
F=<l|F|l)= J q>* (r) fq> (г) <W,
а условие нормировки <1|1)= 1 принимает вид \ J ф f2 rfV = 1.
Читателю предлагается самостоятельно подтвердить эти соотио-
3) Формальное доказательство этого соотношения состоит
в проектировании векторов состояний в A) на векторы Ц>;
при этом (|| 1) = Т (|), (| | af" | о) = Vf (?).
511
шения, воспользовавшись общими свойствами операторов рож-
рождения и уничтожения, сравнить с решением задачи 10.23.
10.19. Операторы связаны линейными соотношениями
К. К
Для определения C(fi,gk) подействуем на вакуумное состояние:
Это равенство эквивалентно соотношению между собственными
функциями
^ = ЕС (/<•**) *«*. B)
' k R
сравнить с предыдущей задачей. Отсюда следует, что
так что C(fi, gk) является с. ф. Ч^,- в ^-представлении.
10.20. Если f j ф /2, то вектор состояния | 2} = а^й^Щ нор-
нормирован на единицу; действительно:
<2 1 2> = <0 | а2й]а+а+ | 0} = @ | а2 (l ± а+ах) а+ | 0} =
= <0 | 1 ± й+а2 ± а2й+ (± а+d,) | 0) = @ | 0) = 1
(знаки + и — соответствуют бозонам и фермиоиам).
В случае ft = f2 = { нормированное двухбозонное состоя-
состояние имеет вид
а аналогичного двухфермионного состояния не существует.
Волновые функции рассматриваемых двухчастичных состоя-
состояний в координатном представлении имеют вид
ь Ы = -4=- M>i F0 ^ (Ы ± ^2 (si) i|)i F»)). U Ф Ы
V2
10.21. В случае различных значений всех трех квантовых
чисел /а для указанного в условии вектора состояний имеем
<313> = 1 (как для бозонов, так и для фермионов). При этом
в. ф. системы в координатном представлении описываются фор-
формулой C) из 10.3.
512
Если все три fa — одинаковые, то для сохранения норми-
нормировки следует ввести множитель 1/V5T = l/V^", в. ф. соответ-
соответствующего трехбозонного состояния Ч? = tyf (?i)i|>f (|г)% (?з).
Если же совпадают лишь два значения квантовых чисел {а, то
нормировочный коэффициент в векторе состояний следует взять
равным 1/V2, а соответствующая в. ф. описывается форму-
формулой A) из 10.3.
10.22. Плотности числа частиц с данным значением sz про-
проекции спина в точке г пространства сопоставляется оператор
(сравнить с 10.11; оператор записан в координатном представ-
представлении для орбитальных переменных и в Sz-представлении — для
спиновых). Он является суммой одночастичных операторов
(плотность частиц — аддитивная величина), так что его вид
в представлении чисел заполнения определяется формулой (X. 3),
согласно которой получаем
А (г, sz) = Ф+ (г, sz) Ф (г, sz), А (г) = ? Л (г, s2), B)
sz
здесь А (г)—оператор плотности частиц уже безотносительно
к значению их проекции спина. Операторы jV (v, sz) и jV (v) по-
получаются из А интегрированием по соответствующему объему v;
в связи с данной задачей см. также 10.28—31.
10.23. Оператор Р импульса (аддитивной физической вели-
величины) системы тождественных частиц согласно формуле (X. 3)
имеет вид
Используя коммутационные соотношения для бозонных Ч'-опе-
раторов
[Ф (Б), Ф (Б'I = №+ (Б), Ф+ (Б'I = 0;
легко находим
[Р, Ф(Б)] = РФ(Б)
= -Л J $+ (Г) -^т- Ф (Б0 d\' 9
+ (Г)-§р-Ф(БО^' =
17 В. М. Галицкий и др. 513
= -IK J {W+ (Г) W (?) - V (g) V+ (I')} -^r
Л,- ф (g') dg' = /a JL
= /A J 5 (g - l') Л,- ф (g') dg' = /a JL f (g). A)
Аналогично получаем
[p, f + (g)] = -in J Ф+ (go -^т- в (Е - Б') ^Г = /й -|r
B)
Теперь нетрудно заметить, что замена коммутационных со-
соотношений для бозоиных ^-операторов иа аитикоммутациои-
ные для фермионных не изменяет полученных результатов,
10.24. Гамильтониан поперечного движения частицы в маг-
магнитном поле имеет вид (см. 7.1)
A)
где со = \е\Ж/2тс. Его, введя обычным образом операторы
уничтожения и рождения «квантов колебаний» вдоль осей х и у:
ах = . . (тв>х + ipx), ау = (теш/ + ipy),
V2mrtco V2rtco
можно преобразовать к виду
Ht =-- А(о \а+ах + а+ау + 1 + / -~- (ауй+ - а+йх)}. B)
Вместо операторов йх, у удобно ввести их линейные комбинации
также являющиеся операторами уничтожения (причем независи-
независимыми), так как для них
[dt, u + ]=6ik, [a,, ak] = [af, a + ]=0; i,k = l,2.
Теперь имеем (ан = 2ш):
Так как эти операторы выражаются только через операторы чи-
чисел «квантов» «1,2, то собственные векторы |/гь /г2> последних
являются также собственными векторами гамильтониана Яг и
514
оператора / Отсюда сразу следует выражение для спектра
уровней Ландау
t, п, = йия ( + 1")
и их бесконечная кратность вырождения, так как они не зависят
от щ, при этом 1г = (n2 — /ii)e/|e|, сравнить с 7.1.
Покажем, как можно найти вид с. ф. ?„,„,, в координат-
координатном представлении. Сначала получим в. ф. Ч'оо «вакуумного» со-
состояния. Из решения уравнений fli^oo = 0 и йг^оо = 0 имеем
ft
Волновые функции
получаются из ^оо дифференцированием. При этом вместо х, у
удобно ввести переменные
1 {Х + 1) г'1Х')
В случае е > 0 находим
п IIP, g у», t
для е < 0 с. ф. получаются комплексным сопряжением F).
10.25. Гамильтониан плоского осциллятора имеет вид Я =
= Йх + Яу, где #*, у — гамильтонианы линейных осцилляторов.
Коммутативность ftx, у Друг с другом и с гамильтонианом R по-
позволяет сразу найти спектр последнего
+ у) + ЙИ2 («2 + у) : «1.2 = 0, 1, 2, ...
) + ЙИ2 («2 + у) : «1.2 =
A)
и его с. ф. в виде произведения осцилляторных волновых функ-
функций, сравнить с 2.48. Для несоизмеримых частот уровни осцил-
осциллятора — невырожденные.
В случае кратных частот появляется дополнительная сим-
симметрия гамильтониана4), проявляющаяся в существовании но-
4) В классической физике такая симметрия проявляется
в том, что траектории плоского осциллятора становятся замкну-
замкнутыми кривыми.
17* 515
вых операторов, коммутирующих с Я (и не коммутирующих
с Йх, у), и объясняющая вырождение уровней. При этом опера-
операторы симметрии, действуя на собственные функции гамильтониа-
гамильтониана, отвечающие данному уровню, преобразуют их друг через
друга. Характер такой симметрии особенно нагляден в случае
совпадения частот, <»! = а>2 (т. е. для изотропного осциллятора)
и состоит в инвариантности гамильтониана относительно пово-
поворотов системы координат, приводящей к сохранению компоненты
момента /2.
Учитывая сказанное и вид энергетического спектра A),
операторы симметрии легко связать с операторами рождения
и уничтожения «квантов колебаний» вдоль осей х и у. В случае
соотношения между частотами kai = sw2, где k, s — целые чис-
числа, такие «дополнительные» операторы симметрии, как легко со-
сообразить, могут быть выбраны в виде
При этом эрмитовы комбинации таких операторов
Qi=Q + Q+, Q2 = /(Q-Q+) C)
являются операторами сохраняющихся физических величин — ин-
интегралов движения рассматриваемой системы. В частности, в
случае coi = со2 (когда k = s = 1) имеем (выражение для а
см., например, в 10.15):
- U = « (Q - Q+), РхРу + mWxy = тЫ (Q + Q+). D)
Сохранение 1г для изотропного осциллятора не требует коммен-
комментария. Появление же второго интеграла движения в D) отра-
отражает специфическую особенность изотропного осциллятора, пере-
переменные в гамильтониане которого разделяются как в декарто-
декартовых, так и в полярных координатах; сравнить с 4.4 и 4.5 для
сферического осциллятора.
10.26. Так как для рассматриваемой системы энергетический
спектр EN = Йи (пв + iF) зависит только от общего числа час-
частиц N — пв + nF, то, очевидно, операторы
Q = qh+f, Q+ = 95/+? при этом Q2 = (q+J = 0 A)
(q — вещественный параметр, удобно выбрать q = -y/ha), «заме-
«заменяющие» фермиои на бозон —Q и, наоборот, бозон на фермион
—Q+, коммутируют с гамильтонианом и являются операторами
симметрии рассматриваемой системы (сравнить с предыдущей
задачей).
Важное свойство рассматриваемой симметрии состоит в том,
что гамильтониан системы Я сам выражается через операторы
516
симметрии и совпадает с их антикоммутатором, так что 5)
{Q, Q+} = QQ+ + Q+Q = Я, {Q, Q} = {q+, q+} = 0,
[H, Q]=[H, Q+] = 0. B)
Если вместо операторов Q, Q+ ввести их эрмитовы комбинации
&=Q + Q+, Q2 = i(Q-Q+),
то соотношения B) принимают более компактный вид:
{% Qk} = 26ikff, [Q., Я] = 0; i, k = 1, 2. C)
Появление в B), C) наряду с коммутаторами также и ан-
антикоммутаторов, через которые выражается гамильтониан си-
системы,—-характерное свойство суперсимметрии. При этом только
из алгебры операторов B) (или C)) следует ряд заключений
относительно спектра гамильтониана (без конкретизации вида
операторов Q, Q+ и Й\). Перечислим их.
1) Неотрицательность с. з. гамильтониана, т. е. Е ^ 0. Дей-
Действительно, в любом состоянии средние значения QQ+ J> 0 и
Q+Q^0 (сравнить с 1.15), так что Я ^ 0, а соответственно и
2) Двукратное вырождение уровней с Е ф 0. Сначала за-
заметим, что эрмитов оператор S = Q+Q коммутирует с гамиль-
гамильтонианом, так что существует полная система функций 4rEs,
являющихся собственными функциями Й и S одновременно. Да-
Далее, из уравнения SWEs = SWEs, ввиду равенства (§+J = 0,
следует SQ+XF?S = O. Отсюда либо с. з. S = 0, либо Q+4rES = 0;
но во втором случае из уравнения ЯЧ7?3 = EWES находим,
что с. з. S = Е. Других собственных значений (на состояниях
с данным Е) у оператора S нет. Существенно, что при Е ф 0
реализуются оба значения S, = 0 и S?. = Е, а соответствующие
им с. ф. переходят друг в друга под действием операторов Q
и Q+, что и объясняет двукратное вырождение уровняв)
с Е ф 0. Действительно, пусть WEo Ф 0 (при этом Q^eo = 0),
тогда имеем Ч>ЕЕ со Q+VEQ ф 0 (так как Q (Q+4%) =ЕЧгЕ0Ф
ф0); аналогично Ч?"?0 со <УР?? (при этом Q+XF?? = O).
=) Напомним: [5, 5+] = 1, {/, f+} = 1, /2 = (f+J = 0.
в) При этом вырожденные состояния называют суперпартне-
суперпартнерами. Подчеркнем, что речь идет о вырождении уровней, свя-
связанном именно с суперсимметричностью гамильтониана. О воз-
возможном «дополнительном» вырождении см., например, в 7.9.
517
3) Невырожденность уровня7) Е = О (если ои вообще су-
существует!). Из уравнения ЯЧ'о = О следует, что QW0 = 0 и
Q+Wo = 0, так что под действием операторов симметрии Q, Q+
нового состояния из Ч'о уже не.возникает.
Спектр и собственные векторы гамильтониана суперсиммет-
суперсимметричного осциллятора наглядно иллюстрируют отмеченные общие
закономерности. Укажем еще одну, тривиальную реализацию ал-
алгебры операторов B), связанную с выбором Q = f и Q+ = f+>
при этом Н — 1. Спектр такого «гамильтониана» состоит из од-
одного «уровня», Е=\ (при этом Е > 0!), являющегося двукратно
вырожденным с собственными векторами |raF>, где nF = 0 или 1;
уровня с Е = 0 нет. Более интересные примеры см. в следующей
задаче, а также в 7.9.
10.27. Легко убедиться, что в условиях задачи
{Q,Q + } = H; [Q, H] = [Q + , Я] = 0; Q2 = (Q+J = 0,
как это и требуется для суперсимметричной системы. При этом,
записав А = Ai + 1X2, где А1:2 — эрмитовы операторы, преобра-
преобразуем гамильтониан системы к виду
2] f-ff+). A)
Теперь замечаем, что если выбрать
где W (х) — вещественная функция, а операторы f, f+ связать
/О 0\ /0 1\
со спиновыми операторами: / = I i О J и ^+ = V О 0 )• так ЧТО
то гамильтониан A) принимает вид гамильтониана Паули
(VII. 1) для одномерного движения частицы со спином 5 = 1/2:
.-• 1
7) Если состояния с Е — 0 не существует, то говорят о спон-
спонтанном нарушении суперсимметрии.
518
гдев)
U (х) = W2(х).
¦\lirn
На основе общих свойств с. з. и с. ф. суперсимметричного
гамильтониана, установленных в предыдущей задаче, можно
сделать ряд интересных замечаний в отношении спектра обыч-
обычного одномерного гамильтониана (уже бесспиновой частицы).
Действительно, с. ф. vP?a гамильтониана B) и коммутирующего
с иим оператора аг имеют вид
о
При этом из уравнения Шрёдингера, Й*?Е = EWe, следует
(^¦P2 + t/±w)tf = ?±Ф|- C)
где
U+ (х) = W2 (х) =F -Д= W' (х). D)
V2т
Хотя формально уравнения C) являются у. Ш. для одно-
одномерного движения в двух различных потенциалах U±(x), на
основе суперсимметричности гамильтониана B) следует вывод
о совпадении дискретных спектров уровней9) Е±, за исключе-
исключением, быть может, одного уровня Ео = 0, который может суще-
существовать только в одном из этих полей. Такое заключение осно-
основано на том, что функции х^Еа совпадают с введенными в пре-
предыдущей задаче функциями Wes, причем, как легко заметить,
S= (l±0)?'/2. Учитывая отмеченную ранее связь с. ф. 4?es
для различных значений S, находим соотношения для с. ф.
i|)jj (х) из C) (для состояний с Е+ = Е_у,
tf (х) оо (—L= p + IW (х)Л Щ (х). E)
V V2m /
8) То обстоятельство, что одна и та же функция W (х)
(так называемый суперпотенциал) описывает как не зависящую
от спина часть взаимодействия (аналог взаимодействия бозонов
с бозонами), так и зависящую от спииа часть (аналог взаимо-
взаимодействия фермионов с бозонами), приводит к важным послед-
последствиям в суперсимметричной квантовой теории поля (сокраще-
(сокращению расходимостей).
9) Так как Е± ^ 0, то существование состояний дискрет-
дискретного спектра предполагает, что пределы U±(x)->- С± > 0 при
х-)-±оо (так что при этом lim W(x) Ф 0). Если W(x) —четная
функция, то потенциалы U± (х) получаются друг из друга зер-
зеркальным отражением и совпадение спектров, Е+ = Е-, оче-
очевидно; при этом уровня Ео = 0 ие существует.
519
Отмеченное для уравнений C) совпадение уровией, ?+=?_,
позволяет в ряде случаев найти спектр чисто алгебраическим
способом, вообще не прибегая к решению уравнения Шрёдии-
гера. Так, рассмотрим осциллятор с [/ = пга2х2/2 и обозначим
его спектр как Е„. Выберем теперь суперпотенциал
W = Л/—т—х, при этом U± = — пмо2х2 + — Ли, F)
а соответствующие спектры ?* = Еп + Й(о/2. Различие их озна-
означает, что в одном из них (очевидно среди ?+) реализуется
значение ?д~ = 0, а совпадение остальных уровней означает, что
E^+i = Еп ¦ Отсюда следует Еа = Йсо/2 и En+i == En-\-ha>, что
сразу воспроизводит спектр линейного осциллятора Еп = кь>(п-\-
+ 1/2). Читателю предлагается аналогичным образом найти
спектр в поле U = —Uo ch~2(x/a), выбрав суперпотеициал W &э
°о th (х/а) и сравнить с результатом решения уравнения Шрё-
дингера, см. [1, § 23].
Обсудим вопрос о возможности существования связанного
состояния с энергией ?0 = 0. Для него из уравнения Йх?3 — 0
следует, что
(сравнить с предыдущей задачей); отсюда в приложении к га-
гамильтониану B) получаем
, х
G= ± iw М) Ъо (х) = 0, to" = В* ехр { ± ^-
Имея в виду, что №(±00)=^ 0 (см. подстрочное примечание),
замечаем, что одна из функций 'ф* заведомо возрастает на
больших расстояниях и для нее следует выбрать В = 0 (в со-
согласии с общим результатом о невырожденности уровня с
Е = 0). Для другой из них возможность выполнения граничных
условий Ф0(±оо)=0, а тем самым и существования состоя-
состояния Ч'о определяется только лишь различием знака (!) супер-
суперпотенциала при х—>-±оо. Если W(~\-oo) > 0, a W(—оо)<;0, то
состояние с Ео = 0 существует и реализуется при значении
о = +1; при изменении знаков W(±°°) ему отвечает уже
0 = —1. Если же знаки суперпотенциала при х->-±оо одина-
одинаковые, то состояния с ?0 = 0 не существует. Так, для W(x) =
= Wo = const в уравнениях C) имеем U± = W\ = const > 0
и отсутствие состояния с Ео = 0 очевидно. В случае W(x) =
520
= Wox/\x\ уже
U± (x) = 1Г^аб (х), а = aJ^
и существование состояния с Е° = 0 очевидным образом свя-
связано с наличием единственного дискретного уровня в б-яме,
см. 2.7.
В заключение рекомендуем читателю вопрос о связи энер-
энергетических спектров частицы в потенциалах U±(x) D) обсудить
в квазиклассическом приближении на основе правила квантова-
квантования Бора — Зоммерфельда (при этом слагаемые 4F hW /л/2т со
сой в потенциалах рассматривать как возмущение).
10.28. Выразив в операторе плотности числа частип п (г) =
= Ф+(г)Ф(г) (см. 10.22) W (г)-операторы через операторы уни-
уничтожения ак и рождения dj частицы с данным импульсом р =
= Йк (при этом Ф (г) = ]Г etk''ak/'л/'V\ , находим
V к )
'<к'-к'>ч+Л/ а)
ki, кг
Средняя плотность числа частиц Я (г) получается усреднением
оператора A) по основному состоянию бозе-газа | Vq) =
= | Л'к___0, О^фо) (все частицы имеют импульс р = 0). Так как
при этом
\a
0 I k
a a
г N,
о/ | о
ki = k2 = 0,
в остальных случаях,
то для п имеем естественный результат п = N/V.
Среднее число частиц в объеме v получается усреднением
оператора N (v) = \ п (г) d%r и равно Л' (v) = Nv/V.
V
Для расчета флуктуации числа частиц усредним сначала
оператор ft2(v) по состоянию l^o). Так как
N2 (v) =
v v kik:k k)
то для вычисления N2(v) прежде всего найдем значения мат-
матричных элементов
521
Используя вид \W0), замечаем, что они отличны от нуля лишь
при выполнении условий Id = к4 = 0, кг = кз и равны N2 для
кг = кз = 0 и N — для к2 = кз = к ф 0. С учетом этого по-
получаем
B)
Ввиду полноты системы функций lfk = elkr/^/V сумма здесь
равна V6 (г — г') — 1 и элементарное интегрирование дает
Nv Nv2
+C)
Соответственно
(hN (v))*=W(p) -1Щ 2 = ~- (l ~ -у) ¦ D)
При v = V имеем (AjV(V)J = 0 — очевидный результат, так
как полное число частиц в системе равно Л1 и не флуктуирует.
В случае v <g; V согласно D) имеем
(v)J « Nv/V = N (v).
Отметим, что для системы из N невзаимодействующих клас-
классических частиц, находящихся в объеме V, распределение по
числу частиц Nv в объеме v имеет вид
Nv/ v \N~Nv
О)
(биномиальное распределение). Вычисление для такого распре-
распределения средних значений Nv, N^, (ЛА^) приводит к результа-
результа)
там, совпадающим с полученными выше (см. по этому поводу
замечание, сделанное в следующей задаче).
10.29. Так как операторы плотности числа частиц в различ-
различных точках пространства коммутируют друг с другом, то опера-
оператор величины п.\пг имеет вид
/г,п2 = Ф+ (г,) Ф (г,) Ф+ (г2) Ф (г2) =
=w E exp v uk* - ki) ri+(k* ~к*) гм *&*<**
к,к:к3к,
и его среднее значение в основном состоянии бозе-газа
A)
522
сравнить с выводом формул B), C) в предыдущей задаче. Та-
Таким образом 10),
— {п.\Пп — Я2} = б (г) —
га N
и корреляционная функция оказывается равной
v = -гё/JV. B)
Чтобы лучше понять полученные результаты, найдем анало-
аналогичные A), B) характеристики для случая невзаимодействую-
невзаимодействующих классических частиц. Учитывая, что при этом распределение
координат частиц системы описывается произведением вероят-
вероятностей d3ra/V и п (г) = 2_j Ь (г — га), легко находим
а
V
, О)
Что совпадает с A) (заметим, что слагаемое с б-функцией в C)
отвечает членам суммы с а = Ь, их число N; второе слагаемое —
от членов с а ф Ь, их число N(N — 1)).
Конечно, для макроскопических систем значение N огром-
огромно, так что последнее слагаемое в A) пренебрежимо мало и
соответственно в B) имеем v = 0 (корреляция отсутствует).
С другой стороны, для конечных значений N уже v Ф 0. При
этом характерные свойства v: независимость от г и ее знак v<0,
имеют простое объяснение для классических частиц. Действитель-
Действительно, значение rti«2 меньше чем Я2 по той причине, что одна и
та же частица не может вносить вклад в плотность одновре-
одновременно в различных точках пространства, независимо от расстоя-
расстояния между ними (в случае N 3> 1 плотность в разных точках
пространства определяется в основном вкладом различных
частиц).
Характеристики бозе-газа в основном состоянии, рассмотрен-
рассмотренные в данной и предыдущей задачах, оказались такими же, как
для газа классических частиц. Это не случайно. Действительно,
волновая функция основного состояния имеет вид
^0 = *0 (Г1) % (Г2) • • • *0 (ГЛ/). ^0 <')
10) Слагаемое с б-фуикцией, обращающееся в нуль при
г Ф 0, носит универсальный характер и вообще не зависит от
вида функции распределения.
523
т. ¦ е. представляет произведение в. ф. отдельных частиц, как и
в случае различимых частиц. Соответственно частицы ие интер-
интерферируют друг с другом, а для каждой из них |i|>o|2= UV,
что соответствует равновероятному распределению их по объему.
10.30. Оператор плотности числа, частиц п(г) имеет вид
п (г) = ? Л (г, а) = | ? ? J M'lX A)
о a kik2
сравнить с 10.28 и 10.22, а = st. Основное состояние ферми-
газа определяется числами заполнения п^а, равными 1 для
|k| < kw и 0 для |к| > k-g, так что для него
I Т0> = П йка I 0>. B)
где произведение включает операторы а?а с квантовыми чис-
числами (kcr) заполненных состояний. При этом импульс Ферми,
Pf — hkp, находится из условия
У
V ДТй^- ж ~ы' C)
т. е. для него
Замечая, что матричный элемент (Wй [#?104кг0| Vo) отличен от
нуля (и равен при этом 1) лишь для к] = к2 = к, причем
|к|^Ар, по формулам A), B) получаем
п = (То I Л (г) I ^o> = ff/V
(что и следовало ожидать); наконец, й(сг)= n/Bs + 1), а
JV(d)= як = JVy/V.
10.31. Оператор величины я(гь ffi)n(r2, ст2) имеет вид
Т Z exp t? Kk2 - ki) ri + (k4 ~ кз) гг]} ^toA^fltoA,^ »)
ы
(сравнить с 10.29 и 10.31). Легко сообразить, что получаю-
получающийся при усреднении матричный элемент
где j^o) — указанная в предыдущей задаче в. ф. основного со-
состояния ферми-газа, в случае cri ф а2 отличен от нуля (и равен
524
при этом 1) лишь для значений к] = кг, кз = к4, причем
|ki, з|г?^ kF. Учитывая это, для в\ ф а2 находим
0 " ъ) — -уг 2-i ~ Bs 4- П2 ' П~ V
(вычисление сумм по ki,г см. в предыдущей задаче). Так как
й(сг) = Я/Bs + 1), то полученный результат C) означает, что
п\П2 = h\ • г>2, т. е. в случае различных значений проекций
спина, Oi ф ог, между плотностями частиц в различных точках
нет корреляции.
В случае Oi = о2 ситуация иная. Теперь матричный элемент
B) отличен от нуля, и равен 1 в следующих случаях:
1) к, = к2, | к2 |< V- к3 = к4, | к4 |< ke\
2)к, = к4, |k4|<ftF; к2 = Ь3, | kg 1 > ftF.
Учитывая это обстоятельство, находим
п (гь а) я(г2, сг) =
Далее, воспользовавшись соотношением
1 V „<kr_ I rv^kr V jkrl
и вычислив интеграл (в сферических координатах с полярной
осью, направленной вдоль вектора г):
., V С ., . V ( sin kFr
IkKft
приводим выражение D) к виду (г = rj — r2, h (a) = n/Bs + 1))
1 f sin ftFr 12
n (rp a) n (r2, o) = n (a) 2 - -^^ ^—? kF cos kFrj .
Отсюда получаем корреляционную функцию
fsin kvr — feFr cos кт,г\г
525
Обсудим полученные результаты. Характер установленных
корреляций плотностей частиц физически весьма нагляден. Тож-
Тождественные частицы с различными значениями проекции спииа
ведут себя как различимые частицы, и отсутствие корреляций
вполне естественно. Знак корреляционной функции v(r, cr)<0
в случае одинаковых проекций спина — также естественный ре-
результат, отражающий «отталкивательный» характер обменного
взаимодействия для фермиоиов, при этом для значений г =
— lri — г2|-»-оо корреляция исчезает.
В заключение заметим, что корреляционная функция v(r)
плотности числа частиц вообще (безотносительно к значениям
проекций спина) совпадает с v(r,cr).
10.32. Оператор взаимодействия между частицами в пред-
представлении чисел заполнения согласно (X.4) имеет вид
iff "
U = -^ \ \ W+ (г,) Ф+ (r2) U (| ri — г21) W (г2) ? (г,) rfVi d3r2. A)
Воспользовавшись разложением Т-оператора по плоским волнам
{оно приведено в 10.28), преобразуем выражение A) к виду
kIk2kJk4
где матричные элементы потенциала взаимодействия
¦ (к2 - к4) г2] } ,
В первом порядке теории возмущений имеем
Е & Е^-{-е№ = (Vr.\U\W0), C)
5 \и
где | То) — в. ф. основного состояния системы невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц, в котором все частицы имеют импульс р = hk = 0.
При этом Е^ = 0, а матричный элемент
отличен от нуля лишь в случае, когда все ка = 0 и равен
N (N — 1) « N2 (ввиду N > 1). Поэтому
Так как радиус R потенциала U(r) предполагается, ес-
естественно, имеющим микроскопические размеры, так что
526
R <C L ~ V1'3, то при вычислении интеграла
oo
U (г, - r2) dh2 = (j jj jj U (r, - rO dV2 = ^U (r) dh = t/0 C')
V -oo
можно интегрировать по всему пространству н он оказывается
не зависящим от rj. В результате получаем UOq = UJV и окон-
окончательное выражение для энергии
E0»~Uu^- = ^nU0N, n = N/V. D)
Оно имеет простой смысл, представляя собой произведение
Oo/V—средней энергии взаимодействия любой пары частиц друг
с другом при их равновероятном распределении по объему
(w — 1/V) на общее число Л'2/2 пар.
В заключение сделаем следующее замечание. Полученный
на основе теории возмущений по потенциалу результат D)
предполагает, что взаимодействие между частицами является
достаточно слабым, так что выполняется условие и) О0 «С H2R/m.
Однако с помощью теории возмущений по длине рассеяния (см.
4.29, 4.31, 11.4) его легко обобщить на случай сильного оттал-
кивательного12) потенциала с малым радиусом действия. Имея
в виду отмеченный в 11.4 способ учета короткодействующего
потенциала и замечая, что О0 лишь множителем, 00 = 2яЛ2а0/)л
(ц = т/2 — приведенная масса частиц), отличается от длины
рассеяния а0 в борновском приближении, можно утверждать,
что формула D) для ?о, выраженная через точную длину рас-
рассеяния по, остается справедливой и в случае сильного коротко-
короткодействующего потенциала, когда а0 <?С (Я)~1/3; дальнейшее ис-
исследование вопроса — см. [28], § 25 (для бозе-газа) и § 6
(для ферми-газа).
10.33. Задача решается аналогично предыдущей. Оператор О
взаимодействия частиц друг с другом определяется приведен-
приведенными в ней формулами A), B), в которых следует только снаб-
снабдить операторы dk, 3^ спиновым индексом а = sz (т. е. заменить
аь на о,,» и т. д., а в суммирование по к0 включить и сум-
мирование по o"i. г, при этом cr3 = <Ji и сг4 = сг2).
и) Заметим, что Uo ~ U^R3, где Uo, R — характерная вели-
величина и радиус потенциала парного взаимодействия частиц.
12) Именно отталкивательныи характер взаимодействия обес-
обеспечивает устойчивость газообразной фазы при температуре
Г = 0.
527
При вычислении поправки Е^) = (?о\О\1?оу первого по-
порядка к энергии еЧР основного состояния ферми-газа в отсут-
отсутствие взаимодействия следует учесть значения чисел заполнения
пка в этом состоянии (Ч'о), равные 1 для k < /eF и 0 для k > kr.
При этом легко заметить, что в суммах по к0 при усреднении
оператора О (см. формулу B) из 10.32) все слагаемые, для ко-
которых хотя бы одно из ka больше ?f, обращаются в нуль, так
что в ?}/' входят матричные элементы U^' с ka < kF. Перейдя
к новым переменным
г = Г1-г2, R = (r1+r2)/2,
преобразуем рассматриваемый матричный элемент к виду
U (г) ехр I — (к, — к„ - 1
V
X \ ехр [i (к, + к2 - к3 - к4) R] dbR .
Учитывая условие Ro -с К1/3 для радиуса потенциала U(r),
интегрирование по т можно распространить иа все пространство
(сравнить с предыдущей задачей) и ввиду предполагаемого не-
неравенства kFRo < ! заменить экспоненциальный множитель на 1;
при этом получаем
7к9к< ^ J_a rl . Tl — \ U (г)
И
^множитель 6^^^, i(,+k отвечает сохранению импульса при
взаимодействии частиц\, и соответственно
°1.2 (М
Основываясь иа явном виде в. ф. [Vo), замечаем, что здесь из
всех слагаемых отличны от нуля лишь такие, для которых либо
k3 = ki, к4 = к2, либо к4 = кь к3 = кг, так что A) можно пре-
преобразовать к виду
Е (СЛ+,а= + <»kViU) &ША^ I ^0>- B)
°1,2 kl,2
Здесь двойная сумма по ki, 2 при значениях ах = ст2 равна
нулю, так как для фермионных операторов
*1А+СС=Ka. «U - о.
528
При (Ji ф а2 первую часть суммы B), используя антикоммута-
антикоммутационные свойства операторов й, а+, можно записать в виде
?' Е йк,а,йк2аА2аА,о, = Е' Е йк2аЛ,а,' °\ =И= ^ C)
Г|а2 кхк2 а1 2 к[ 2
Где пк а — операторы чисел заполнения. Так как N (а) = J] nka
к
является оператором числа частиц в спиновом состоянии а, а
в основном состоянии эти числа имеют определенные значения,
равные N/2, то усреднение выражения C) по состоянию
дает 2(N/2J = N2/2. Вторая же часть суммы в B) при
отлична от нуля лишь при значениях ki = кг и, как легко за-
заметить, оказывается равной N, т. е. пренебрежимо малой (ввиду
iV^>l) по сравнению с первой частью суммы. Таким образом,
находим
и энергию основного состояния ферми-газа
Появление дополнительного множителя 1/2 в выражении для
?^' по сравнению со случаем бозе-газа, см. предыдущую за-
задачу, имеет простое объяснение: в рассматриваемом приближе-
приближении, kpRo <S 1, фермионы с одинаковым значением проекции
спина не взаимодействуют друг с другом в силу принципа Паули,
сравнить с 10.31.
В заключение заметим, что указанное в предыдущей задаче
обобщение результата теории возмущений на случай сильного
короткодействующего потенциала справедливо и для ферми-газа.
10.34. Энергия частицы с импульсом р и проекцией спина sz
на направление магнитного поля равна (для s = 1/2):
Обозначим через N± числа частиц в основном состоянии фер-
ферми-газа, имеющих соответственно sz = ±1/2. Так как в основ-
основном состоянии энергия системы имеет минимальное значение, то
ему отвечают следующие значения чисел заполнения:
яр ± = 1 для | р | < рРъ ± и яр ± = 0 для | р | > pF> ±,
причем
J L2 (I)
629
Это соотношение, означающее равенство максимальных значений
энергий заполненных состояний с sz = ±1/2, обеспечивает ми-
минимальность энергии всей системы в целом.
Выражая обычным образом pF, + через N±:
»*-!.»- S
Vd'"
6tc2/z3JV± V/3
находим согласно A) уравнение для определения N±:
N++N_=N. B)
При этом магнитный момент газа в целом равен
Лг = ц0 (N+ - JV_), ^Гх = Жу = 0. C)
В отсутствие магнитного поля имеем JV+ = JV_ = iV/2. Со-
Соответственно в случае достаточно слабого поля значения N±
мало отличаются от N/2. Записав их в виде N± = ЛГ/2 ± п и
выполнив после этого в уравнении B) разложение по малому
параметру n/N (используя (N/2±nJ/3» (N/2J'3(l ± 4n/3N)),
находим
( л/зу У/3
2л = (^j
(условие я/ЛГ < 1 как раз и определяет случай слабого поля).
Согласно C) и D) в случае слабого поля имеем
У/3
Так как магнитная восприимчивость %о > 0, то рассматриваемый
ферми-газ является парамагнетиком.
С увеличением поля значение \N+ — JV_| монотонно возра-
возрастает и при 2$ ;з= 5^кр, где
) '
спины всех частиц выстраиваются в одном направлении. При
этом магнитный момент системы достигает насыщения
Ж = I Но I ff G)
и ориентирован в направлении магнитного поля.
10.35. При температуре Т = 0 электроны занимают нижние
по энергии состояния. При этом электронная плотность п(г),
530
максимальная кинетическая энергия электронов в точке г,
равная е0 (г) =р0 (r)/2m, и электростатический потенциал ф(г)
внутри проводника 13) связаны соотношениями
Лф = —4jcp = —4nq Ь (г) + 4тсе Ьп (г), A)
где
1 1
B)
Здесь е>0 — величина заряда электрона, 8п(г)—изменение
электронной плотности, вызванное внесением заряда <?; соотно-
соотношение B) обеспечивает минимальность энергии всей системы
электронов, при этом eF характеризует невозмущенную систему
(каковой она остается и при внесении заряда на большом рас-
расстоянии от него).
Ввиду предполагаемой малости |бя| -С «о имеем |ро— Pf]-C
« pF н из соотношений B) получаем
еф «* — Р? (Ро И - Pf)> 6n
При этом уравнение A) принимает вид
Лф = -4nqb (г) + х2ф, х = I лН'3Г) • C)
а его решение 14)
ф(г)=— е~чг D)
показывает, что электрическое поле в проводнике экранируется
на расстояниях г ~ х~'.
10.36. Так как ширина приповерхностной области внутри
проводника, в которой распределен заряд (т. е. р=^0), имеет
микроскопические размеры, то при рассмотрении поля вблизи
поверхности можно пренебречь ее кривизной и ограничиться од-
одномерным случаем. При этом распределение заряда электронов
и потенциала вблизи поверхности проводника, которую выби-
выбираем как плоскость z = 0, описываются уравнением
ф" (г) = —4кр (г) = 4яе Ьп (г) ~ х2ф (г), A)
13) Рассматриваемые величины сферически-симметричны отно-
относительно точки г = 0 расположения вносимого заряда q. Под-
Подчеркнем, что в отличие от атома теперь п(г) -*¦ ПаФО при г-»-оо.
14) Сравнить, например, с 4.20.
531
где
4me2pF \i/2
сравнить с предыдущей задачей. Решение уравнения, удовле-
удовлетворяющее граничному условию g>(z) -*¦ <р0 = 0 при z-*-oo (счи-
(считаем, что области проводника отвечают значения г > 0), имеет
вид
Ф(г) = АГкг. г>0, B)
а объемная плотность заряда
Значение А определяется «поверхностной» плотностью заряда
Сто = \ Р (г) dz, А = ^р-. D)
о
Это же значение А следует, естественно, и из граничного усло-
условия Еп@) = ф'@) = 4яст0 электростатики проводников.
Глава 11
АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
11.1. Релятивистская поправка к функции Гамильтона за-
заряженной частицы в электростатическом поле в классической
теории согласно формуле (—е — заряд частицы, р < тс)
Ж = Ур2с2 + т2с* — еф (г) — тс2 ~ у ¦ Р3 2 ~ еФ (г) (О
равна —р4/8т3с2. Квантовомеханическим обобщением этой по-
поправки является оператор V = — р4/8т3с2, рассматриваемый как
возмущение гамильтониана. Так как он коммутирует с операто-
операторами Т2 и tz, то с. ф. ^п\,п невозмущенного гамильтониана (с
U = —еф = —Ze2/r, см. (IV. 3)) являются правильными функ-
функциями нулевого приближения при наличии возмущения. При
этом согласно (VIII. 1)
WTl = \ </Л
532
где #о — невозмущенный гамильтониан водородоподобног»
атома.
Так как ^п\т является с. ф. оператора Яо, то во всех
слагаемых последнего из равенств B) можно Йо заменить') его
с. з., равным
После этого расчет поправки первого приближения сводится к
вычислению двух матричных элементов
(nrlm | — | nrlm) = - + x)h2n ¦
Их значения проще всего получить с помощью соотношения
A.6). Для этого заметим, что C) можно рассматривать как с. з.
оператора
д. ft2 I d 2 d ft2/ (/ + 1) Ze2
l~ ~1ы12~1Гг 17Л шГ2 Т'
Теперь дифференцирование в соответствии с A.6) по парамет-
параметрам Z и / приводит к соотношениям D).
В результате получаем
\ F{0) iz\
he ) { 4«2 + Bl + \)n J п
Отсюда видно, что учет релятивистской поправки полностью сни-
снимает случайное вырождение уровней в кулоновском поле: уро-
уровень с данным п расщепляется иа п компонент в соответствии
с возможными значениями момента / = 0, 1, ..., (п—1) для
невозмущенного уровня. При этом сдвиг уровня с увеличением
момента уменьшается, что физически естественно. Действительно,
чем больше значение /, тем в среднем на больших расстояниях
от ядра находится частица. Соответственно тем больше и ее по-
') В частности,
С
Tjf> л=40) \ 1?
(ввиду эрмитовости Йо его действие можно перенести на функ-
функцию, стоящую в матричном элементе слева).
533
тенциальная энергия, а кинетическая энергия и сдвиг уровня
•?/j \ те Р*> наоборот, меньше (так как Т + U = Еп). По этой
же причине ширина интервала тонкой структуры уровня — раз-
разность энергий крайних компонент, отвечающих значениям / = О
и / = (п— 1), равная
F)
уменьшается с ростом п, здесь а = ег/йс = 1/137 — постоянная
тонкой структуры. Отметим, что для уровня с п = 2 согласно
F) расщепление составляет A?VsB) = l,21-10~4Z4 эВ.
Для значений п ~ 1 формула E) дает
-(ZaJ- 1CT4Z2,
так что условие применимости полученного результата предпо-
предполагает, что Z <С 137 (это — естественный результат, так как ско-
скорость электрона в атоме о ~ Ze2/ft = Zac и при значениях
Z ~ 100 его уже нельзя считать нерелятивистским).
Сделаем несколько заключительных замечаний.
Как отмечалось в условии задачи, рассматриваемая по-
поправка, не учитывающая спин-орбитального взаимодействия, от-
относится к случаю бесспиновой частицы. При этом она правильно
описывает сдвиг уровня в первом порядке теории возмуще-
возмущений по (ZaJ. Однако, как это следует из релятивистского ура-
уравнения для таких частиц — уравнения Клейна — Гордона, в бо-
более высоких приближениях возмущение гамильтониана не «по-
«повторяет» разложения A) классической функции Гамильтона, см.
в связи с этим 15.13—15.15. Реально существующие частицы со
спином s = 0 (например, я- и К-мезоны) обладают сильным
взаимодействием, оказывающим более существенное влияние на
сдвиги атомных уровней, чем релятивистские поправки, см. 11.4.
При учете спин-орбитального взаимодействия для электрона
тонкая структура водородоподобного атома с точечным ядром
согласно уравнению Дирака имеет следующую характерную осо-
особенность [29]. Уровень с данным п, имеющий согласно нереля-
нерелятивистской теории кратность вырождения 2«2 B — из-за спина),
при учете релятивистских поправок расщепляется на п компонент
(как и в случае бесспиновой частицы), каждая из которых отве-
отвечает определенному значению / полного момента электрона / =
= 1/2, 3/2, ..., п—1/2. При этом случайное вырождение сни-
снимается не полностью, так как остаются вырожденными уровни с
¦одинаковым значением /, но с различными значениями орбиталь-
орбитального момента / = / ± 1/2. Так, для п = 2 уровень расщепляется
на две компоненты, одна из котсрых отвечает 2р3/2"состояниям,
534
а другая — вырожденным 2si/2- и 2р1/2-состояниям. При этом ин-
интервал тонкой структуры равен A?Vs ~ 4,5-10~5Z4 эВ. Дальней-
Дальнейшее снятие вырождения по / (лэмбовский сдвиг) возникает при
учете так называемых радиационных поправок [29], о величине
эффекта см. 11.62.
11.2. Согласно классической электродинамике взаимодей-
взаимодействие двух магнитных моментов друг с другом имеет вид2)
V = — \ix%2 (г), см. [27], где
(г) = rot А2 = rot -t^J- = {(|n2V) у - Ц2Л} у
— магнитное поле, создаваемое 2-м моментом в точке нахожде-
нахождения 1-го. Квантовомеханическим обобщением этого взаимодей-
взаимодействия на случай спиновых магнитных моментов является опера-
оператор взаимодействия V, получаемый заменой классических вели-
величин на соответствующие операторы (считаем 1-й момент элек-
электронным, е > 0):
Hl->M^= --~7-r- S, 1*2 -> Ряд = Щ~ Т ¦
ПТ (tC 1
При этом эрмитов оператор V можно записать в виде
mecl l
Рассматривая его как возмущение и учитывая вид с. ф. s-состоя-
ний невозмущенного гамильтониана Ч1'*0' = i|)jjS' (г) %, где %— спи-
спиновая функция электрона и ядра, усредним оператор V в соот-
соответствии с секулярным уравнением3) (VIII, 5) по координатам
электрона. При этом имеем
2) Взаимная перестановка частиц не изменяет вида взаимо-
взаимодействия.
3) Такое усреднение является общим для всех матричных
элементов оператора возмущения V между рассматриваемыми
«s-состояниями атома. При этом то обстоятельство, что при вы-
вычислении сверхтонкого расщепления правильные функции нуле-
нулевого приближения отвечают определенному значению орбиталь-
орбитального момента (/ = 0 в данной задаче), связано с тем, что слу-
случайное кулоновское вырождение атомных уровней снимается уже
прн учете релятивистских поправок, приводящих к (более «гру-
«грубой»!) тонкой структуре атомного спектра, см. предыдущую за-
задачу (заметим, что рассматриваемое взаимодействие V не при-
приводит к перемешиванию sf/2- и pi/2-состояиий).
535
¦(пропорциональность интеграла тензору 8цг связана с тем, что
ввиду сферической симметрии s-состояния нет никаких других
тензорных величин). Для определения значения С выполним
свертку по индексам i и k. Учитывая, что 8н = 3 и
__а д_ i_ = j_ ^ _ 4яб
находим С = (8я/3) | ifjj'j @) 2. Таким образом, в результате
усреднения получаем
При этом F все еще является оператором, действующим в про-
пространстве спиновых состояний электрона и ядра. Очевидно, что
собственными функциями этого оператора являются спиновые
функции, отвечающие определенному значению / = / ± 1/2 пол-
полного момента (спина) атома, а его с. з. определяют сверхтонкое
расщепление ns-уровня
- ', + ,,, ', 11+- щ. №
(т. е. уровень расщепляется на два подуровня в соответствии
с двумя возможными значениями суммарного спина атома, срав-
сравнить с 3.27).
Величина сверхтонкого расщепления
AEHFS ins) = EHFS (/ = / + 1) - ?
HFS
Сравнение (для значений п -~ 1 и Z ~ 1) с интервалом тонкой
структуры F) из 11.1 дает A?hfs/A?fs ~ me/mp ~ 10~3, т. е.
сверхтонкое расщепление значительно меньше тонкой структуры.
Для основного состояния, п = 1, атома водорода согласно
D) получаем Avhfs(Is) = A?Ws/2nft » 1420 МГц, как и экспе-
экспериментальное значение. Однако более тщательное сравнение по-
показывает, что теоретический результат 1418,6 МГц отличается от
экспериментального значения 1420,4 МГц на «0,1 %. Это на по-
порядок превосходит величину неучтенных релятивистских попра-
поправок (~а2 ~ 10~4, при вычислениях следует учесть отличие при-
приведенной массы ер-системы от те). Объяснение расхождения свя-
связано с наличием у электрона аномального магнитного момента,
•с учетом которого его магнитный момент равен (Ло A + а/2я),
где цо =—ей/2отес, см. [29].
Сделаем два заключительных замечания. При обобщении по-
полученных результатов на компоненты тонкой структуры с от-
536
личным от нуля орбитальным моментом следует, наряду с вза-
взаимодействием магнитных моментов, учитывать также взаимодей-
взаимодействие с магнитным полем ядра и орбитального тока электрона:
jop6 = 0 при / = 0. Далее, магнитное взаимодействие не яв-
является единственной причиной сверхтонкого расщепления уров-
уровней. Вклад в него вносит также и искажение кулоновского по-
потенциала, связанное с наличием у ядра со спином / Г2г 1 ква-
друпольного момента. Однако он менее существен, чем вклад от
магнитного взаимодействия, а для s-состояний вообще отсут-
отсутствует.
11.3. Обозначим ф(г) потенциал, создаваемый ядром. Вне
ядра 4) ф = Ze/r, а отличие потенциала от кулоновского бф =
= Ф — Ze/r в области ядра определяет возмущение V =
= —ебф(г). При этом сдвиги кулоновских ns-уровней равны
^Eпs - \ V (г) | Т<2 (г) |2 А « - е | TJJ2 @) |2 [ бФ (г) А. A)'
Здесь положено | Ч^0] (г) f » | yfs @) |2, так как в. ф. W^ (г)
в области ядра (т. е. на расстояниях г ^ R « 10~13—10~12 см),,
по которой и проводится интегрирование, почти не изменяется5).
Значение интеграла A) зависит от характера распределения за-
заряда в ядре. При этом, учитывая, что Аг2 = 6, интеграл в A)
можно преобразовать к виду в)
\бф (г) dV = -i- \ бф Дг2 dV = -i- \ г2А (бф (г)) dV =
= -^\r'9(r)dV = -^{r*). B)..
Здесь р(г)—плотность заряда внутри ядра,
при этом ге называют среднеквадратичным зарядовым (протон-
(протонным) радиусом ядра. Заметим, что величина (г2) определяет
также поведение электрического формфактора ядра F(q) при
<7 —0:
(сравнить с атомным формфактором, см. [1, § 139]).
4) Имеется в виду ядро со сферически-симметричным рас-
распределением заряда.
5) Для состояний с моментом / Ф 0 на малых расстояниях
Ч со г1, так что сдвиг уровня резко уменьшается с увеличением /.
6) При этом использовано уравнение Пуассона электроста-
электростатики, согласно которому Д(бф) =—4я(р — Zeb(r)) и учтено,,
что вклад слагаемого с б-функцией в интеграл B) равен нулю.
53Г
Для равномерного распределения заряда по шару радиуса
Я имеем, очевидно, (г2) = ZR2/5 и согласно формуле A) по-
получаем 7)
Числовое значение отношения
(^J-«-10-^ D)
(здесь для оценки положено R » 1,5-10~I3Z1/3 см). Оно сущест-
существенно меньше аналогичных отношений для релятивистской по-
поправки, см. 11.1, и сверхтонкого расщепления, см. 11.2, и при
Z ~ 1 составляет ~ 10~5 и ~ 10~2 от значений этих величин
соответственно.
Интересно оценить вклад размера протона, для которого
среднеквадратичный зарядовый радиус ге«0,8-10-13 см, в ве-
величину лэмбовского сдвига уровней 2si/2 и 2pi/2 атома водо-
водорода, см. 11.1. Согласно A) и B) получаем
^-~5'2-1(г10эВ~0'12 МГц
"в
(сдвиг 2р1/2-уровня при этом в (ав/reJ ~ Ю10 раз меньше!). Так
как экспериментальное значение лэмбовского сдвига составляет
Als « 1058 МГц, то вклад размера протона в него несуществен
я находится на уровне экспериментальной ошибки в измере-
измерении Als.
Заметим, что эффекты неточечности ядра более резко про-
проявляются в ц-мезоатомах. Это связано с тем, что боровский ра-
радиус мюона а в = (т^/т^ ав в 207 раз меньше электронного.
Соответственно в оценку D) теперь должен быть введен до-
дополнительный множитель, равный (/n^/meJ ж 4,3 • 104. При этом
для основного уровня, я = 1, уже при значении Z = 27 имеем
|A?ls/?{°s>|«0,2.
11.4. Рассмотрим влияние короткодействующего потенциала
Us (г) радиуса rs (так что можно считать Us (г) « 0 при зна-
значениях г J3 rs) на уровни частицы с энергией | Е„ | <С h2/mrs,
существующие в «дальнодействующем» потенциале UL(r) ра-
радиуса Tl 3> rs. Последний на расстояниях г ~ rs предполагается
7) Этот же результат может быть получен непосредственно
по формуле A), если в ней воспользоваться известным из элек-
электростатики выражением ф = ZeCR2 — r2)/2R3 для потенциала
внутри равномерно заряженного шара радиуса R.
538
слабым, так что UL<. Л2/тг% однако при r^ZrL никаких ог-
ограничений на его величину не накладывается. Применительно к
адрониым атомам в роли Ul выступает потенциал кулоновского
притяжения адронов, a 17s описывает их сильное (ядерное) вза-
взаимодействие. При этом, например, для пионных атомов.
rL~an в = Й2/тяе2«2-1(Гп см, a rs» 2 • 1O'i3cm. Для доста-
достаточно произвольного взаимодействия Us сдвиги невозмущенных
уровней ?„ малы и описываются формулами теории возмущений
по длине рассеяния, которые могут быть получены в результате
простой модификации формул обычной теории возмущений по
потенциалу.
Начнем со случая, когда UL(r)—центральный потенциал, и
рассмотрим сдвиги s-уровней. Согласно обычной теории возму-
возмущений по потенциалу в первом приближении имеем
AEns = \ Us (r) I T<°> (/¦) i2 d3r » I T<"> @) I2 \ Us (r) d3r A)
(в интеграле существенны расстояния г fi^ rs\ ввиду малости
rs значение невозмущенной в. ф. при этом почти не изменяется
и она может быть вынесена из-под интеграла, сравнить с фор-
формулой A) из предыдущей задачи).
Теперь заметим, что последний интеграл в формуле A) с
точностью до множителя совпадает с амплитудой рассеяния ча-
частицы с энергией ? = 0 в потенциале Us (r) в борновском при-
приближении, см. (XIII. 6). Учитывая, что as = —f(E = 0) является
длиной рассеяния (s-волны) для потенциала Us(r), перепишем
A) в виде
здесь а° — длина рассеяния в борновском приближении.
Формулы A) и B) применимы лишь в случае «слабого» по-
потенциала Us (г), удовлетворяющего условию применимости тео-
теории возмущений, Us <С h2/mr's, при этом также | а^ I <C rs. Если
же потенциал Us является «сильным», то они непосредственно
не применимы. Тем не менее и в этом случае выражение для
сдвига уровня может быть получено в результате простой моди-
модификации формулы B): в ней следует только заменить борнов-
скую длину рассеяния а^ на точную длину рассеяния as в по-
потенциале Us (г). При этом, вообще говоря, as ~ rs и сдвиг уро-
уровня остается малым. Действительно, для дальнодействующего
потенциала притяжения UL(r) радиуса Tl характерные значения
53»
энергетических уровней ?„ ~ A /W/, и для s-состояний в. ф. в
нуле
®l
~ г?3. Сдвиги s-уровней согласно B) AEn
при значениях as<rL малы (случай as^rL
см.
Для пояснения указанного формального приема учета
влияния короткодействующего потенциала прежде всего приве-
приведем рис. 38, иллюстрирующий качественное изменение в. ф. рас-
рассматриваемого состояния частицы
(сравнить с 4.29 и приведенным
там рисунком). Сплошная линия
на нем изображает невозмущен-
невозмущенную в. ф. ^?^°J (r), удовлетворяю-
удовлетворяющую условию ограниченности
при г = 0. Штриховая линия
соответствует в. ф. ?„5 (г) при
учете потенциала Us (г). Эта
в. ф. обладает следующими свой-
свойствами: 1) она ограничена в
точке г = 0; 2) ее явный внд
на расстояниях г ^rs сущест-
существенно зависит от потенциала
rs«r«rL
Рис. 38
Us(r); 3) вне области действия Us на расстояниях
C)
она имеет вид ?as«j4(l-ei/f), где as — длина рассеяния в
потенциале Us, и (почти) не зависит от величины Е„ и вида по-
потенциала UL. Это связано с тем, что на расстояниях C) у. Ш.
приближенно принимает вид AWns(r)=0, или (rWns {г))" = 0.
Теперь заметим, что при значениях длины рассеяния, удовле-
удовлетворяющих условию
\а \«г, и Ы?<°>1/Й2Г1/2. D)
точная в. ф. 1Fns (r), сильно отличаясь от невозмущенной в. ф.
Т^' (г) на малых расстояниях, в области г» \as] с ней уже
почти совпадает. Отсюда и следует вывод о том, что сдвиг
уровня мал, а его величина зависит лишь от значения длины
рассеяния as, но не от конкретного вида потенциала Us (г). На
этом основана возможность рассмотрения влияния короткодей-
короткодействующего потенциала 17s, состоящая в замене его на некоторый
фиктивный потенциал (псевдопотенциал) Os{r), который уже
можно рассматривать как возмущение; причем борновская длина
.540
рассеяния й^ в потенциале8) должна совпадать с as, а его ра-
днус должен удовлетворять условию, аналогичному D) для as,
сравнить с [28, § 6].
Получим теперь формулу для сдвига уровня непосредствен-
непосредственно из уравнения Шрёдингера. Исходим из уравнений
Умножая первое из них на xPns, а второе — на W^j*, почленно
вычитая одно из другого и интегрируя по всему пространству,
за исключением шаровой области радиуса d вблизи начала коор-
координат (причем выбираем d так, что rs -С d -С rt), находим
nsav 2m
r = d
(фазы в. ф. выбраны так, что отношение "V^l/^ns вещественно,
при этом слагаемые с UL сокращаются).
Имея в виду малость сдвига уровня и близость в. ф. 4^j
и 4?ras в области расстояний г >¦ rs, as, вносящей доминирующий
вклад в нормировочный интеграл, интеграл в левой части соот-
соотношения E) можно заменить единицей. В правой же части
можно воспользоваться асимптотиками волновых функций на
расстояниях rs <C r <g rL вида
и получить
»? =? - ?@)
ns
в согласии с отмеченным выше обобщением формулы B).
Сделаем несколько замечаний в отношении формулы F).
8) Выбор потенциала Os{r), конечно, неоднозначен и доста-
достаточно произволен. Имея в виду рассмотрение его в первом по-
порядке теории возмущений, можно ограничиться простейшим вы-
выражением
Us == <х6 (г), где а = 2nh2ajm.
Заметим, что такой «потенциал», в отличие от одномерного
б-потенциала и трехмерной б-сферы, имеет формальный смысл
и может рассматриваться только как возмущение, причем лишь
в первом порядке.
541
1) Условием ее применимости является выполнение исполь-
использованного при ее выводе соотношения D). Оно может нару-
нарушаться только в резонансном случае, когда в потенциале Us{r)
имеется «мелкий» (реальный или виртуальный) уровень9) с мо-
моментом ( = 0 и энергией
В этом случае сдвиги уровней уже не описываются формулой
F) и могут быть большими10)—сравнимыми с расстоянием ме-
между невозмущенными уровнями ?(n°j, так что может возникать
перестройка энергетического спектра в дальнодействующем по-
потенциале под влиянием короткодействующего центра — эффект
Зельдовича (сравнить с 4.11 и 9.3).
2) Формула F) применима, вообще говоря, и в случае не-
нецентральных потенциалов Ul(t).
3) Обратим внимание на то, что знак сдвига уровней опре-
определяется знаком длины рассеяния as (а не потенциала Us(r)).
Для отталкивательного потенциала длина рассеяния всегда
больше нуля и уровни, естественно, сдвигаются вверх («вытал-
(«выталкиваются»). Для потенциала притяжения возможны оба знака
as (в случае «мелкой» ямы as < 0 и уровни сдвигаются вниз).
4) Отмеченный выше прием учета влияния «сильного» ко-
короткодействующего центра Us (г), основанный на предваритель-
предварительном рассмотрении его как «слабого» возмущения с последующей
заменой борновской длины рассеяния на точную as, является
общим и может быть применен и в тех случаях, когда исход-
исходная формула отличается от A), как, например, в задачах 4.27
и 8.61.
5) Обобщение формулы F) на случай отличных от нуля ор-
орбитальных моментов частицы дано в 13.36, а теория возмуще-
возмущений по длине рассеяния для состояний непрерывного спектра
рассмотрена в 13.37.
6) Отметим, наконец, что формула F) справедлива без ка-
каких-либо ограничений на вид взаимодействия на малых расстоя-
9) Наличие в потенциале Us {r) своих «глубоких» уровней
с энергией | Es | ~ Л /mrs не приводит к каким-либо ограниче-
ограничениям в применимости формулы F) (такие уровни, если они су-
существуют, под влиянием потенциала UL(r) также испытывают
лишь небольшой сдвиг).
10) Если область притяжения в потенциале Us{r) отделена
малопроницаемым барьером, то сдвиги уровней «дальнодей-
ствующего» потенциала всегда малы. В частности, это имеет
место для состояний с отличным от нуля орбитальным моментом,
где в роли такого барьера выступает центробежный потенциал,
см. также 11.74.
542
ниях. Оно может даже не носить потенциального характера и,
в частности, приводить к неупругим процессам (как, например,
в случае р р-атома, для которого возможна аннигиляция в пио-
пионы). При этом, однако, длина рассеяния as становится комплекс-
комплексной величиной. Комплексным оказывается и сдвиг уровня. При
этом его мнимая часть определяет ширину уровня, так как при
включении неупругого взаимодействия рассматриваемое состоя-
состояние становится уже квазистационарным, см. задачи § 5 главы 6.
11.5. В пренебрежении взаимодействием между электронами
энергия основного состояния системы Eq = — Z , а его вол-
волновая функция имеет вид
Поправка первого порядка к энергии за счет взаимодействия
электронов друг с другом
„, , ч r\r\dr, dr9dQ, dQr,
-у r\ + r2 — 2Г[Г2
|Г,-Г2|
Для вычисления интегралов вида
drndQ.,dQ.o
B)
r\r\drx dr2dQ.xd0.2
Г2 - 2Г1Г
1Г2
удобно сначала при фиксированном п проинтегрировать по уг-
углам вектора г2 в сферических координатах, выбрав направление
Ti за полярную ось. При этом
4я
4я
J|ri-r2.
и выражение
( °°
16л;2 < \ /(/-,)
*- 0
B)
о
принимает вид
п
\ В (r2) r\ dr2 drx H
r2 cos 9
Гг
543
По формулам B), B') нетрудно найти
J I ri — г21 ' 2'
и согласно A) получить (положив в C) а = |3 = 2Z)
?„*?§» +4" = -Z2 + |-Z. D)
При этом потенциал ионизации оказывается равным
/ ? ? Z2Z E)
(здесь ?о, н = —22/2 — основной уровень соответствующего од-
ноэлектронного иона).
Заметим, что полученные на основе первого порядка тео-
теории возмущений по взаимодействию электронов друг с другом
результаты можно улучшить, не производя фактически допол-
дополнительных вычислений. Для этого изменим «разбиение» гамиль-
гамильтониана системы на Йо и возмущение, выбрав в невозмущенном
гамильтониане вместо заряда Z ядра некоторый эффективный
заряд Zb§, т. е. положим
д2) - гэф (-L + -L
При этом выбор Z3ij> < Z, отражающий взаимную экранировку
электронами заряда ядра, приводит к «уменьшению» возмуще-
возмущения УЭф по сравнению со случаем V = l/|ri — Гг|, использован-
использованным в A). Из физических соображений представляется естест-
естественным такой выбор значения 2эф, при котором поправка пер-
первого приближения обращается в нуль, т. е. V3$ = 0. Так как
теперь 40) = - 2эф. а
(последнее соотношение следует, например, из теоремы вириала,
см. также 11.1), то из условия ГЭф = 0 находим 2,ф = Z —
— 5/16 и получаем
544
(сравнить с D), E); заметим, что «новое» значение Е^ совпа-
совпадает с результатом вариационного расчета в 11.6).
В таблице представлено сравнение результатов расчета по-
потенциалов ионизации /о в эВ с экспериментальными данными для
ряда двухэлектронных иоиов (атомная единица энергии равна
27,2 эВ)
Ион
Согласно E)
Согласно F) и 11.6
Эксперим. значение /0
Не
20,4
23,1
24,6
Li +
71,4
74,0
75,6
Ве+ +
150
152
154
СГ +
388
390
392
о6+
735
737
739
Заметим, что поправки второго приближения к полученным
результатам D), E) и F) по параметру теории возмущений
Z~x и Z^1 соответственно не зависят от Z. Поэтому видная из
представленной таблицы «слабая» зависимость от Z разницы экс-
экспериментального и рассчитанного значений /0 вполне естественна.
11.6. Среднее значение энергии двухэлектронного иона в со-
состоянии с пробной волновой функцией
а3
Ч'щюб = -г-ехр [— а (/ + г2)), а = Za$,
л
легко найти, если
1) записать гамильтониан системы в виде
2) учесть соотношение
3) воспользоваться значениями интегралов
dVidV2
|Г,_Г2|
5а
8
(вычисление второго из иих см. в 11.5).
В результате находим
Ё (а) = а (а — 22 + 5/8).
18 В. М. Галицкий и др.
545
Минимизация по параметру а дает (при а = Z3ф = Z — 5/16)
искомое вариационное значение энергии основного состояния
двухэлектронного атома (или иона)
о, вар
— / 5 \2
= min Е (а) = — I Z — -jg-1 A)
и потенциал ионизации системы
! z2E
Сравнение с экспериментальными данными см. в таблице из пре-
предыдущей задачи.
Для иона Н- согласно A) имеем Ео, „ар = —0,47, что выше
энергии основного уровня атома водорода, равной —0,50, и по-
поэтому нельзя сделать вывода о существовании устойчивого (от-
(относительно автоионизации) иона Н~, см. по этому поводу 11.8.
11.7. Для решения задачи запишем Е = (Ч'прое,\Н\'1?„рОб)
в виде интеграла по переменной и. Варьирование получающегося
функционала по г|з*(и) позволит получить оптимальный вид в. ф.
г|з(и). Для преобразования исходного интеграла по координа-
координатам электронов удобно воспользоваться сферическими перемен-
переменными и, сделав замену переменной Гг = и — г\, проинтегриро-
проинтегрировать ПО /.
Нормировочный интеграл принимает вид
I2 Л dri
Заметив, что
г2) « {и^пJ Л-(и- „J -%;* (и).
находим среднюю кинетическую энергию электронов в рассма-
рассматриваемом состоянии:
" - '¦о2-k *(и) г* *¦'du=
546
Энергия взаимодействия электронов с ядром описывается вы-
выражением
оо и
яд \ ^
О О
\ *-llt' ¦ \ |2 /О\
о
а энергия взаимодействия электронов друг с другом может быть
записана в виде
проб! )г,-г2|
и/2 оо
= 2 \ | ф (и) |2 \ (к — /•[) r\ drx du = \ -q?- | i|) (a) |2 du D)
оо о
(так как г|з (ri + ''г) не зависит от углов, то интегрирование по
углам в исходном выражении D) может быть выполнено так
же, как и в интеграле B) из задачи 11.5).
Вия оптимальной функции г|з (и), для которой ?=Г +
+ Uе яд + Uее принимает минимальное значение, удобно искать
из условия экстремальности функционала Е — Ео, варЛ^. Здесь
Ео, вар играет роль множителя Лагранжа; введение слагаемого
Ео, варЛ^ позволяет при варьировании не «заботиться» о норми-
нормировке в. ф. i|)(u). Воспользовавшись выражениями A) — D), из
условия обращения в нуль вариации рассматриваемого функцио-
функционала при варьировании функции ф*(и), приходим к уравнению
(сравнить с вариационным принципом для уравнения Шрёдин-
гера в [1, § 20]):
Отсюда заменой функции г|з(«) = u-s'2%{u) (которая предпо-
предполагает, что ЗС(О) = 0) получаем уравнение
Оно имеет вид радиального у. Ш. (IV. 5) (с ft = пг — 1) для ча-
5 / 5 \
стицы в кулоиовском потенциале —а/г с а = — I Z — J и
18* 547
с «моментом» / таким, что /(/+ 1) = 15/4, или11) / = 3/2; при
этом ?, = -=-? . Спектр собственных значений
•**¦*¦ ^ и, вар
«* _ _ 25 (Z — 5/16)а
2
"V ~" 2 {пг + 1 + IJ 8 (пг + 5/2)
и минимальное из них, с пг = 0, определяет вариационное зна-
значение энергии основного состояния системы на рассматривае-
рассматриваемом классе пробных функций
При этом соответствующая функция, минимизирующая значе-
значения Е, имеет вид (согласно E) она — радиальная кулоновская
функция для I = 3/2 ии = яг + /+1 = 5/2)
или Ч?о = — Z3(b ехр {—Z9cb (/-, + /-2)), G)
где гэф = г — 5/16.
Эти результаты и доказывают утверждение задачи.
11.8. Расчет ?=((?(г,, г2) ЯТ (г,, r2) dVi dV2 сводится
к вычислению нескольких интегралов, которые выражаются че-
через следующие четыре:
и интеграл C) из задачи 11.5.
В результате вычислений получаем
И (а, р) ^ 2С* [-Z (« + р) + -1(а' + р*) + -^ + (Д^, +
l} A)
где 2С2 = [1 + 64а3рз/(а + РN]" из условия нормировки проб-
пробной волновой функции.
При значениях a = p = Z — 5/16 из A) следует результат
11.6. Однако возможность независимого варьирования парамет-
параметров а и Р позволяет его уточнить. В частности, для иона Н-,
выбрав a = 1 и Р = 0,25, находим
?овар = ?=-0,512, B)
") Для другого значения, / = —5/2, волновая функция
и!+1 не удовлетворяет граничному условию в нуле.
548
что ниже энергии основного состояния атома водорода, равной
— 1/2, и тем самым доказывается существование устойчивого
иоиа Н"~ (прецизионный вариационный расчет дает ?о =
= -0,528).
11.9. В рассматриваемой модели энергия ^/.-состояния ге-
лиеподобного атома, одинаковая для пара- и ортосостояний,
представляет сумму энергии En=i = —Z2/2 основного состояния
водородоподобного атома с зарядом ядра Z и энергии Еп =
= —(Z—1J/2и2 состояния с главным квантовым числом п
в поле экранированного заряда Z — 1. Таким образом, энергия
и потенциал ионизации системы в рассматриваемом приближе-
приближении равны
7Z G 142 (у 1 \2
nL\z> 2 2r? ' nL 2л2
A)
Для 2/.-состояний атома гелия получаем hi (He) = 0,125,
что следует сравнить с экспериментальными значениями
Терм
'эксп.
A) с поправкой Рид-
Ридберга
2'S
0,175
0,172
2'S
0,146
0,145
?Р
0,133
0,134
2,р
0,124
0,124
Для 3/.-состояний атома гелия согласно модели /зг.(Не) =
556-10~4, а экспериментальные значения
^ЭКСП.'
A) с
берга
Терм
104
поправкой
Рид-
3S
685
684
3'S
612
611
З'Р
580
582
З'Р
550
551
3'D
560
557
3'?>
555
556
Рассмотренная модель основана, по существу, на возможно-
возможности пренебрежения «перекрытием» в. ф. Is- и wZ-электронов (с
l = L). При значениях п> 1 это обеспечивается большим раз-
размером орбиты «/-электрона (напомним, что гп <*> л2) и соответ-
соответственно малой вероятностью нахождения его в области локали-
локализации ls-электрона. Для уточнения результата, учитывающего
квазиклассичность движения электрона при п > 1, следует вве-
ввести поправку Ридберга Дг (не зависящую от п, см. [1, § 68]),
549
заменив л на л + Дг. Как видно из таблиц, ее введение 12) су-
существенно увеличивает точность, особенно для S-термов, и при
рассмотренных выше значениях 13) п = 2 и 3. Что же касается
состояний с моментом I ф 0, то для них рассмотренная модель
неплохо воспроизводит экспериментальные данные и без введе-
введения поправки Ридберга. Это связано с тем, что с ростом / ве-
вероятность нахождения электрона в области малых расстояний
быстро уменьшается, так как при этом Ч?"/ <*>/"'. Соответственно
быстро уменьшается с ростом / и значение поправки Ридберга.
11.10. Нормированная пространственная часть волновой
функции 23S- состояния имеет вид (а = Z3$)
Г2) = —)=- {ф, Ы ф2 (Г2) - Я|32 (/",) 1|)! (Л,)}, A)
V2
Для вычисления средней энергии в состоянии с в. ф. A)
удобно записать гамильтониан системы в виде суммы трех сла-
слагаемых
Так как волновая функция A) является с. ф. гамильтониана Й\,
то сразу находим Hi = —5a2/8. Также сразу, с использованием
теоремы вириала, находим среднее значение
Наконец, Нъ = К — J, где
-\w
F)
12) Экспериментальные значения поправок Ридберга Д5; для
атома гелия (S — суммарный спин электронов) равны [1, § 68]:
Д05 = -°'140' V = +0'012' Aod = -0-0022 (npnS = 0),
bls = —0,296, ^l = —0,068, Ды = —0,0029 (при S = 1).
13) Здесь опять проявляется отмечавшаяся ранее в задачах
главы 9 особенность квазиклассического приближения: при пра-
правильном выборе квазиклассической поправки в правиле кванто-
квантования оно обеспечивает достаточно высокую точность даже при
значениях п ~ 1.
550
характеризует кулоновское взаимодействие электронов. Первая
часть его, связанная с интегралом К, имеет очевидную классиче-
классическую интерпретацию, определяя кулоновское взаимодействие
плотностей заряда, отвечающих Is- и 25-электронам. Интеграл /
определяет так называемое обменное взаимодействие. Оно яв-
является частью кулоновского взаимодействия электронов и имеет
чисто квантовое происхождение, связанное со свойствами сим-
симметрии в. ф. системы тождественных частиц.
Имея в виду выражения B) для функций i|)i, г(>). замечаем,
что расчет К и / сводится к вычислению интегралов
' 2
k-n )) |r,-rs|
где п, k — целые числа. Для них
г( — r2|
к ,п
_/ nfe+n д д
~( } да" ар" °-01
а интеграл /о,о был вычислен ранее, см. формулу C) из 11.5.
Теперь простое, но несколько утомительное вычисление дает
К = 17а/81 и / = 16а/729 (заметим, что обменная часть ку-
кулоновского взаимодействия в 10 раз меньше прямого кулонов-
кулоновского взаимодействия электронов).
Таким образом, получаем
Е (о) = Я, + Н2 + К - J = -у а2 - -J- aZ + -^g- a
и минимизация по параметру a = 2Эф дает искомое вариацион-
вариационное значение энергии
Е B3S) = min ? = - -f- (* ~ -^g-J * ~ Т (Z - 0Д50J' G)
при этом Z3$ = Z — 0,150, и потенциал ионизации рассматри-
рассматриваемого состояния
/ B»s) = -§¦(z ~0Д50J ~ ~к7-2- (8)
Согласно (8) имеем / = 0,139 для атома гелия и / = 0,576
для иона лития Li+ (довольно значительное отличне для атома
гелия вариационного значения / от экспериментального связано
с тем, что в пробной функции было использовано одинаковое
значение эффективного заряда как для «внутреннего» 15-, так
и «внешнего» 25-электронов, сравнить с 11.6 и 11.8).
551
11.11. Задача решается аналогично 11.2. Теперь оператор
возмущения имеет вид V = Pi + Р2, где 9и 2 описывает вза-
взаимодействие каждого из электронов с магнитным полем ядра,
см. формулу A) из 11.2 (из-за сферической симметрии S-co-
стояния взаимодействие орбитального тока электронов с магнит-
магнитным полем в первом порядке отсутствует). Усредняя оператор 9
с волновой функцией Ч^ГьГг) пространственного движения
электронов в 23S-coctohhhh, находим
где S = S) + S2 — оператор суммарного спииа электронов, а
С = J I V (О, г2) |2 dVt = J IT (i-i, 0) |2 d\\. B)
Собственные значения оператора V (в пространстве спино-
спиновых состояний) определяют сверхтонкую структуру уровня. Так
как S = 1, а / = 1/2, то
_ 8яеЙцС / 1, / = 3/2,
~ 3mec Ч -2, /=1/2 Кй)
(I — полный момент системы); при этом величина сверхтонкого
расщепления равна
A?HFS =
\J гГ J ~~ ?hfs ^ — ~2~J |
D)
Воспользовавшись для в. ф. приближенным выражением
W ( ) ] {ф
—]=
V2
'ф2 {г2) -
где г|I, г — волновые функции водородоподобного атома с Z = 2
для Is- и 25-состояний, находим:
^- (I *i @) I2 Н-1 *2 @) I2) — -^- я,
Численное значение A?hfs согласно D), E) оказывается рав-
равным
AvHFS = Л?НРЗ/2яЙ я! 7340 МГц. F)
Как видно, доминирующий вклад в сверхтонкое расщепление вно-
вносит ls-электрон. Вклад 25-электрона в рассматриваемом прибли-
приближении в 8 раз меньше. На самом деле его вклад еще меньше,
так как в. ф. 25-электрона в нуле (при г = 0) меньше из-за эк-
экранировки заряда ядра ls-электроном. Если для в. ф. г|з2 (г) вос-
воспользоваться значением, отвечающим экранированному заряду
552
2=1, то вклад 25-электрона оказывается меньше уже в 64 ра-
раза; при этом вместо F) получаем Avhfs « 6630 МГц, что, есте-
естественно, ближе к экспериментальному значению.
В заключение заметим, что для вычисления сверхтонкого
расщепления можно было бы воспользоваться выражением для
магнитного поля, создаваемого s-электроном «на ядре», см. 7.24,
и учесть взаимодействие с ним магнитного момента ядра.
11.12. Замечаем, что в пренебрежении взаимодействием элек-
электронов, когда
f = \-72(—А- —
энергия состояния, в котором оба электрона возбуждены, т. е.
для них tti, 2^2, выше энергии Еа = —Z2/2 основного состоя-
состояния соответствующего одноэлектронного нона, что и указывает
на неустойчивость системы. Действительно, в результате взаимо-
взаимодействия между электронами может произойти (авто)ионизация
системы, когда один нз электронов переходит в состояние непре-
непрерывного спектра, а одноэлектронный ион при этом оказывается
в своем основном, ls-состоянии.
Представляется очевидным, что учет взаимодействия между
электронами, носящего отталкивательный характер, лишь повы-
повышает энергию системы, так что сделанный вывод сохраняется.
Формальное доказательство повышения энергетических уровней
основано на соотношении A.6). Для этого рассмотрим гамиль-
гамильтониан
Для его с. з. ?п(Р), относящихся к д. с, имеем
дЕп _ дН 1 ~
так что включение ее-взаимодействия повышает уровни.
В заключение заметим, что сделанный вывод о неустойчиво-
неустойчивости относительно автоионизацнн рассматриваемых состояний
двухэлектронной системы основывался только на энергетических
соображениях. При этом среди состояний, связанных с электрон-
электронной конфигурацией 2pnl с л>2, имеется ряд состояний, устой-
устойчивых относительно ионизации, так как их распад запрещен за-
законами сохранения момента и четности. Это — состояния с сум-
суммарным орбитальным моментом системы L ^ 1 и четностью,
равной (—1I+1 (например, ЗР+-терм для электронной конфигу-
конфигурации BрJ, см. по этому поводу 11.72).
553
11.13. В рассматриваемой модели энергию состояния трех-
электронного атома (нли иона) с электронной конфигурацией
(\sJnl, n ;3г 2, можно приближенно представить в виде двух
слагаемых: Еа — энергии основного состояния соответствующего
двухэлектронного иона, сопоставляемой двум ls-электронам, н
Е„ — энергии внешнего «/-электрона в кулоновском поле ядра,
заряд которого частично экранирован двумя ls-электронамн,
определяющей потенциал ионизацнн системы
Его численное значение для нижних 2S- и 2Р-состояний атома
лития одинаково (в рассматриваемой модели) и составляет
/2? = 0,125 а.е. « 3,40 эВ.
В заключение отметим, что общие соображения о харак-
характере рассмотренной модели и о возможности ее уточнения ана-
аналогичны высказанным в решении 11.9. Имея их в виду, огра-
ограничимся указанием значения поправки Ридберга До = —0,400
для S-состояний, с учетом которой получаем hs = 5,31 эВ
(близкое к экспериментальному значению; для Р-термов Ai =
= —0,047).
11.14. Атомные термы, отвечающие электронной конфигура-
конфигурации (пр)к сверх заполненных оболочек, представлены в таблице
Конфигурация
Термы
Четность /
np, (rapM
2D
*1/2, 3/2
— 1
(пр)\ (прУ
'So, lD2,
ЗР0, 1, 2
+1
(npK
2^1/2, 3/2'
2-^3/2, 5/2'
4С
°3/2
— 1
(npf
'So
+1
Так как четность состояния электрона с орбитальным моментом
/ равна (—1)' и является мультипликативной величиной (при
этом для электронов, образующих заполненную оболочку, она
положительна, +1), то / = (—1)*.
Нормальными термами, согласно правилам Гунда, являются
2Pi/2, sPo, 4S3/2, 3Рг, 2Рз/г соответственно в случаях а) — д) (в
порядке возрастания k), см. по этому поводу 11.17, 11.18.
11.15. Волновая функция двух электронов должна быть ан-
антисимметричной по отношению к перестановке спиновых и про-
пространственных переменных обоих электронов. Так как: 1) ра-
радиальная зависимость в. ф. двух эквивалентных электронов
симметрична при перестановке г, и г2> 2) спиновая часть в. ф.
симметрична при суммарном спине электронов S = 1 и антисим-
антисимметрична прн S = 0, 3) характер симметрии угловой зависимости
554
в. ф. определяется значением L суммарного орбитального момен-
момента, см. 3.30, то приходим к следующему заключению о значениях
S и L для термов, отвечающих электронной конфигурации (д/J:
5 = 0, L = 21, 2/ — 2 0
S — l, L = 2/— 1, 2/— 3, ..., 1
(синглетные термы),
(триплетные термы,
сравнить с 10.8 и 10.9.
11.16. Пространственные части волновых функций термов
имеют вид
где знаки + и ¦— отвечают синглетному и триплетному термам,
г|н и -ф2 представляют в. ф. ns- н «'/-электронов. В пренебреже-
пренебрежении взаимодействием электронов в. ф. A) отвечают одинаковой
энергии, изменение которой за счет взаимодействия электронов в
первом порядке теории возмущений равно
При этом обменный интеграл (сравнить с 11.10)
Г Ы Ч>2 (Г,) |Г11Гг| *1 Ы Ь
B)
определяет расщепление термов.
Покажем, что / > 0. Замечая, что без ограничения общно-
общности в. ф. а|3) (невырожденного) Ms-состояния можно считать веще-
вещественной, и записав14) г|5а в виде ф» = q>i + tq>a, где q>i, j — уже
вещественные функции, перепишем выражение B) следующим
образом:
= \ \ )г _
ф1
ф2
Положительность этого выражения следует из сравнения его с
известными формулами для энергии электростатического поля,
м) Одноэлектронные «/-уровни с / ф 0, как и рассматривае-
рассматриваемые термы >'3L с L = /, вырождены по проекции момента. Так
как энергия не зависит от значения /г, то, рассматривая состоя-
состояние с Lz = /z = 0 и учитывая вещественность в этом случае
волновой функции -фа» можно заключить, что / > 0 непосред-
непосредственно на основании выражения B).
555
создаваемого распределением заряда с объемной плотностью
р(г) [27]:
Таким образом, / > 0 и синглетный терм выше триплетного. Фи-
Физическое объяснение этого обстоятельства состоит в том, что в
антисимметричном по координатам электронов триплетном со-
состоянии плотность вероятности обращается в нуль при ri = Г2,
что приводит к уменьшению энергии кулоновского взаимодей-
взаимодействия электронов (и энергии системы в целом) по сравнению
со случаем синглетного терма; сравнить с условием максималь-
максимальности S для основного терма атома согласно правилу Гунда
[1, § 67].
В заключение заметим, что в рассматриваемом приближе-
приближении не фигурируют электроны заполненных оболочек. Их нали-
наличие проявляется неявно в виде самосогласованного поля, опре-
определяющего одноэлектронные в. ф. я|з», г «внешних» электронов.
О точности такого приближения см. задачи 11.17 и 11.18.
11.17. Нормированная на единицу волновая функция отдель-
отдельного р-электрона имеет вид
^(г); n = -L |а|2 = 1,
а координатная часть волновой функции системы из двух пр-
электронов с определенным значением L суммарного орбиталь-
орбитального момента описывается выражением
г2) = a
ik
сравнить с 3.45. При этом в зависимости от значения L тензор
ац, (L) обладает следующими свойствами:
2 i / n B)
0. «/*««=¦-7r=t. l = 2 Ф-терм).
Как видно, в. ф, S- и D-термов симметричны по отношению к
перестановке п н тг, так что эти термы являются синглетными,
5 = 0, а антисимметричный в координатах Р-терм — триплетный,
S= 1.
В пренебрежении взаимодействием пр-электронов все термы
имеют одинаковую энергию, изменение которой за счет их
556
взаимодействия в первом порядке теории возмущений
Е? = \ \ I *L ('I- Ч) I' |Г,1
Г2|
' = ^iAm \ dr2 \ drx r\ttf (г,) cp' (r2) X
0 0
можно записать в виде
OO Г2
V'-i+'-2-2r1r2
Здесь учтено, что вклад областей интегрирования г\> Гг и Г\ <
< г2 в выражении C) одинаков.
Выполним в D) сначала интегрирование по углам первого
электрона, записав нз соображений о тензорном характере инте-
интеграла
nitnildQl
¦\-\-r\ — 2rJr2n1n2
Взяв здесь первый раз свертку по индексам i и /, а второй раз
умножив E) на пцп^, получаем два соотношения (прн г2 >
1
*****
-ЛD-
позволяющие определить Л и В (при вычислении интегралов по
01, ф1 удобно полярную ось направить вдоль вектора п2, при
этом П1П2 = cos 61 = г).
Теперь выполним интегрирование по углам второго элек-
электрона, воспользовавшись известными соотношениями
ninknlnm dQ =
557
В результате интегрирований по углам электронов выра-
выражение D) принимает вид
2alk (I) a\m (L) ^ dr2 J dr{ r\ г2Ф2 (г,) Ф2 (г2) X
о о
X [^- ЬпЬктА + -g- F(ik6Zm + в„*Лт + Ь1тЬы) в]. G)
Эту формулу, используя соотношения B) и значения А, В, сле-
следующие нз F), можно записать в виде
Г 8 /i 1
1ф2С-1)ф2Ы h+т^^- • (8)
где
1/4, 1 = 0,
bL = { -1/8, 1 = 1,
1/40, L = 2.
Отсюда непосредственно следует порядок расположения термов
ЕCР)< ? ('?>)< ?('S),
так что нормальным является терм V в согласии в правилами
Гунда [1], а также приведенное в условии задачи соотноше-
соотношение между энергиями термов. Подчеркнем, что это соотношение
не зависит от конкретного вида в. ф. ир-электрона, определяемого
самосогласованным полем электронов заполненных оболочек
(явно они вообще не учитываются!), и поэтому может быть нс-
пользовано в качестве критерия точности рассматриваемого при-
приближения. В связи с этим сравним рассчитанное значение отно-
отношения Л = 3/2 с его экспериментальными значениями для неко-
некоторых атомов и ионов, имеющих электронную конфигурацию
(лрJ, а также (ярL (т. е. две дырки на др-оболочке), пред-
представленными в таблице (они взяты из книги [17, с. 138])
Атом
Конфигур.
"эксп.
с
2р*
1,13
N+
2р2
1,14
О2+
2р2
1,14
О
2р4
1,14
Si
Зр*
1,48
Ge
4р2
1,50
Sn
5р2
1,39
Те
5р<
1,50
11.18. Возможные термы 4S, 2P, 2D. Расчет сдвигов их энер-
энергий за счет взаимодействия лр-электронов друг с другом может
быть выполнен так же, как и в предыдущей задаче. Однако те-
558
перь он более громоздок, что связано с более сложной струк-
структурой волновой функции трехэлектронной системы.
Начнем с терма 4S, отвечающего максимально возможному
значению суммарного спина S = 3/2. При этом спиновая часть
5Capv волновой функции симметрична по отношению к перестановке
спиновых переменных любых двух электронов. Соответственно
пространственная часть в. ф. (фактически угловая часть, так как
радиальная зависимость в. ф. для всех электронов одинакова)
должна быть антисимметричной, что однозначно определяет уг-
угловую зависимость волновой функции в виде
П1 [П2Пз] s еШПНП2кП31'
так что
V (*S) = СхгшппП!1кппч (л,) Ф (г2) Ф (r3) xapv (D
(так как координатная часть в. ф. является скаляром, точнее
псевдоскаляром, и не изменяется при вращениях, то она дей-
действительно отвечает моменту L = 0 и описывает S-терм, срав-
сравнить с 3.47). Нормировка в. ф. A) дает С^ = 9/128я3 (при вы-
вычислении нормировочного интеграла следует учесть значения
«угловых» интегралов, указанные в предыдущей задаче и из-
известное соотношение 8ш = б).
Сдвнг 'S-терма за счет взаимодействия электронов друг с
другом в первом порядке теории возмущений равен
B)
После элементарного интегрирования по г3 это выражение при-
принимает иид формулы D) из предыдущей задачи, в которой
только следует заменить aika*im на
^C]{?,abkm-blmbkl); C)
при этом использовано соотношение
вшвш = б«А* ~ 6г А*-
С учетом указанной замены и все остальные формулы из
11.17, вплоть до G) включительно, непосредственно переносятся
на данную задачу. Более того, после подстановки C) в формулу
G) из 11.17, для сдвига B) 4S-TepMa получается выражение,
отличающееся от результата (8) из 11.17 лишь дополнительным
множителем, равным 3, причем значение параметра bL оказы-
оказывается равным b(kS) = —1/8.
559
Перейдем к терму 2Р. Так как он отвечает орбитальному
моменту L = 1, то координатная часть в. ф. терма должна вы-
выражаться через компоненты вектора. Такой вектор, в условиях
задачи линейный по всем трем векторам па, где о = 1, 2, 3, мо-
может быть образован тремя независимыми способами:
(п1П2)пз, (п1П3)п2, (n2n3)ni.
При этом условие антисимметричности волновой функции, пред-
представляющей суперпозицию этих векторов, умноженных на соот-
соответствующие спиновые функции, однозначно определяет ее
вид:
= ф (Г]) ф (Г2) ф (Гз) Си {(n,n2) n3j8apxv —
— (n2n3) Mii8vp5Ca — (П1П3) «2i8aYxp}. D)
Здесь a, j3, y — спиновые переменные соответственно 1, 2 и
3 электронов; антисимметричная спиновая функция eap= —8ра=
/ 0 1\
= 1 I описывает состояние соответствующих двух элек-
электронов с их суммарным спином, равным нулю (она нормиро-
нормирована на 2); % = 1 )— нормированный на 1 спинор, определяю-
определяющий как спиновое состояние одного из электронов (у двух дру-
других при этом суммарный спин равен нулю), так и всей системы
с 5 = 1/2 в целом. Вектор С2 характеризует орбитальное со-
состояние терма, сравнить с 3.45. Дальнейшие вычисления анало-
аналогичны проведенным для 'S-терма. Нормировка в. ф. D) дает
|С2|2 = 9/256я3. Сделанные выше замечания о связи сдвига
S-терма с результатами предыдущей задачи непосредственно пе-
переносятся н на 2Р-терм. Только теперь вместо выражения C)
появляется множитель
4я [2 | С2 |2 blkblm + 2C2iC*2l6km + 2CnC*2fikm -
-3C2mC'2l6ik-3Cnc;m6ik], E)
а формула (8) из 11.17, умноженная на 3, определяет сдвиг
терма АЕBР), если в ней положить bL равным Ь(гР) = 0.
Наконец, терм 2?> отвечает моменту L = 2 и координат-
координатная часть соответствующей ему волновой функции должна выра-
выражаться через компоненты симметричного тензора второго ранга,
в условиях задачи линейного по всем векторам па, с равным ну-
нулю следом. Такой тензор представляет определенную суперпо-
суперпозицию тензоров вида
[niL "зй s eistnisn2tn3k F)
560
и других, получаемых из приведенного перестановкой как индек-
индексов, так и векторов па. Вид этой суперпозиции определяется тре-
требованием антисимметричности волновой функции трехэлектрон-
ной системы 15):
ClkBlp[ {nlkn2pn3l (eaf5xv + 8avXp) +
Ф
Ф (Гз)-
Здесь Ctk = Сы и Си = 0, этот тензор определяет орбитальное
состояние системы, см. 3.45. Смысл спиновых функций типа
еар и Ху такой же, как н в выражении D). Нормировка этой
волновой функции дает
C,fcc;4= 1/128Я3.
Вычисление сдвига Л?BД) терма опять приводит к выражению
(8) нз 11.17, умноженному на 3, причем значение bL следует по-
положить равным bBD) = —1/20.
Из приведенных выше значений bL следует порядок распо-
расположения термов:
Е (<S) < Е BД) < Е
так что нормальным является 4S-TepM в согласии с правилом
Гунда в отношении значения суммарного спина S такого тер-
терма 16), а также укаазнное в условии задачи отношение Д = 2/3
энергетических расстояний для рассматриваемых термов. Экс-
Экспериментальные значения этого отношения для атомов с элек-
электронной конфигурацией (прK, взятые из [17, с. 138], приве-
приведены в таблице
Атом
Конфигур.
"ЭКСП.
N
2р3
0,500
О+
2рэ
0,509
S +
Эр*
0,651
As
4р3
0,715
Sb
5р3
0,908
Bi
6р3
1,121
Сравнить с результатами предыдущей задачи.
|5) Заметим, что выражение F) антисимметрично по отно-
отношению к перестановке векторов П[ и пг. Аналогично выраже-
выражение G) антисимметрично при перестановке внутри фигурных
скобок индексов р и /, свернутых с индексами антисимметрич-
антисимметричного тензора ttPi-
1б) В рассматриваемом случае S = 3/2. Прн этом для си-
системы из трех эквивалентных р-электронов орбитальный момент
1 = 0.
561
11Л9. Основное состояние системы как целого возникает в
результате последовательного заполнения нижних по энергии од-
ноэлектронных состояний. При этом плотность электронов п(г)
связана с максимальным значением ро(г) их импульса соотно-
соотношением
1
- xf2
____
_
г ...
в_. A)
Здесь учтено, что максимальное значение энергии электронов
1 о Z t Z
= -2Ро~Т = const ~ ~ Т
B)
не зависит от г (это обеспечивает минимальность энергии всей
системы). При r>R имеем17) п = 0, а само значение R опре-
определяется нз условия нормировки и для нейтрального атома,
\n(r)dV—Z, оказывается равным R = A8/ZI/3.
Найденную плотность числа электронов интересно сравнить
с результатом модели Томаса — Ферми. Для этого заметим, что
если записать A) в виде (XI. 1,3), то для %(х) получим (при
Хмод
(*) = 1 - -^- = 1 - 0,338*; х = ZI/3 -p Ъ = 0,885.
Сопоставление результатов рассматриваемой модели и модели
Томаса — Ферми представлено в таблице
X
Хт.-ф. (*)
ЭСмод (*)
0
1
1
0,5
0,607
0,831
1,0
0,424
0,662
"ел
0,314
0,493
2,0
0,243
0,324
2,5
0,193
0,155
3,0
0,157
0
Более высокая вблизи ядра плотность электронов в рассматри-
рассматриваемой модели отражает отсутствие экранировки заряда ядра,
связанное с пренебрежением взаимодействием электронов друг
с другом, носящим отталкивательиый характер.
Обсудим основные закономерности, следующие из рассма-
рассматриваемой модели.
1) Так как плотность п(г) нормирована на полное число
электронов, равное Z, то функция w(r) = n(r)IZ имеет смысл
17) Так что в рассматриваемой модели атом имеет четко вы-
выраженный радиус. Однако для «периферийных» электронов эф-
эффект экранировки заряда ядра является определяющим и пред-
предсказания модели для них уже несостоятельны.
562
функции распределения вероятностей координат отдельного элек-
электрона. Очевидно rnooZ~"'3, прн этом нетрудно получить, что
г « 0,98Z~1/3. Таким образом, электроны находятся в среднем
на расстоянии от ядра, убывающем с ростом Z как Z~1/3.
2) Плотность числа электронов в пространстве импульсов
1 8Z3
П {) V () C)
сравнить с A). Здесь Vq(p) —объем в r-пространстве, находясь
в котором электрон еще может иметь импульс р. Как видно из
соотношения B), это —объем шара радиусом
r(p) = 2z(p2 + 2Z/R)~l. D)
Эта плотность также нормирована на число электронов Z, так
что выражение w(p) = n(p)/Z имеет смысл функции распреде-
распределения вероятности значений импульсов отдельного электрона.
Теперь нетрудно получить
p^l.HZ2'3 и pT=A2I^Z4/3«2,29Z4/3.
Таким образом, характерная величина импульса электрона с ро-
ростом Z возрастает как Z2/3.
3) С учетом 1) н 2) для характерных значений орбиталь-
орбитального момента электронов имеем очевидную оценку
'хар ~ гхар ' Рхар ~ Z ' . E)
4) Воспользовавшись теоремой вириала, согласно которой
для кулоновского взаимодействия Е = 0/2, находим энергию
полной ионизации атома
R
?пол„. „он. = ~ \ f я (D W dr = (-§-I/3 Z7'3 « U4Z7/3 F)
о
(интеграл вычисляется подстановкой r/R = sin2u). Этот же ре-
результат следует и из соотношения —Е = Т = Zp2/2, в то вре-
время как в модели Томаса — Ферми ?Полн. ион. « 0.77Z'/3 (более
высокое значение F) связано с пренебрежением взаимодействием
электронов друг с другом, носящим отталкивательный характер,
что понижает полную энергию системы).
Заметим, что в пренебрежении электрон-электронным вза-
взаимодействием энергия атома равна сумме энергий отдельных
электронов е„ = —Z2/2n2. Размещая их по нижним уровням с
учетом принципа Паули и кратности вырождения кулоновских
563
уровней, равной 2пг (множитель 2 — из-за спина электрона),
имеем
"max "max
?0 = ? 2пЧп = -Z2rtmax, ? 2n2 = Z, G)
n \ n = I
где rtmax — максимальное значение главного квантового числа
уровня, на который еще попадают электроны. В случае rtmax > 1,
заменяя во второй из сумм в G) суммирование интегрирова-
интегрированием, находим rtmax да CZ/2I''3. Прн этом энергия основного
состояния атома согласно первой из сумм в G) оказывается
совпадающей (с точностью до знака) с результатом F) стати-
статистической модели.
В заключение подчеркнем, что результаты рассмотренной
простой модели атома для основных физических характеристик
электронов в нем отличаются от результатов модели Томаса —
Ферми лишь численным коэффициентом ~ 1 и правильно пере-
передают их зависимость от Z.
В связи с данной задачей см. также 11.39.
11.20. Одноэлектронные s-уровни определяются квазикласси-
квазиклассическим правилом квантования для электрона в самосогласован-
самосогласованном поле (U = —ф(/")):
J У 2 [Еп + Ф (г)] dr = я (п + у). A)
о
По смыслу распределения Томаса — Фермн (в каждом из ниж-
нижних по энергии состояний — один электрон) общее число s-элек-
тронов в атоме равно удвоенному (с учетом спина) числу за-
занятых уровней, для которых Еп =?J ?max, где ?max — макси-
максимальное значение энергии томас-фермиевских электронов. Для
нейтрального атома Етвх = 0, и для соответствующего значения
rtmax в A) следует положить го = оо. Переходя к томас-фермиев-
ским единицам (XI. 3) и опуская квазикласснческую поправку
у ~ 1 в выражении A), получаем для общего числа s-электро-
нов в атоме
iV(/ = 0) = 2nmax^-^-V26 Z\ л M±Ldx = aZ113, B)
о
причем численное значение а « 3,5 (его можно найти, восполь-
воспользовавшись для Х(х) простым приближенным выражением из
11.22).
Согласно B) для Z = 27 имеем N « 10, в то время как
в атоме 27Со число s-электронов равно 8. Для Z = 64 согласно
B) N = 14, а число s-электронов в атоме e*Gd составляет 12.
564
11.21. Энергия взаимодействия электронов друг с другом и
с ядром определяется известными формулами электростатики
[27]
A)
Кинетическая энергия электронов определяется из условия, что
они распределены (с числами заполнения и* = 1) по нижним
энергетическим уровням в самосогласованном поле атома, и
равна
(это выражение является непосредственным следствием квази-
квазиклассической формулы для числа квантовых состояний
ЛЛ, 2ДГ
ЛЛ
BяK BяK '
которая прн значениях AVq — 1 и AVp = 4яр^ах/з связывает
плотность электронов п = &.N с ртах, ПРИ этом р2 = 3p^ax/5J.
Таким образом, энергия атома (или иона) в квазикласси-
квазиклассическом приближении выражается через электронную плотность
в виде
Вариация фуницнонала Е[п(г)] равна
j
и условие, 8Е = О, его экстремальности приводит к уравнению
для функции п(г), минимизирующей энергию атома
-i- (Зя2J'3 «2'3 (г) —f + J -j^rj dV = 0. D)
Подействовав оператором Лапласа на обе части этого уравне-
уравнения и учтя при этом соотношение
Д|г-г'Г1 = -4я6(г-г'),
56S
получаем дифференциальную форму уравнения D)
Д [±- (Зк2J'3 п2'3 (г)] = -4я [Z6 (г) - п (г)]. E)
Отсюда, имея в виду уравнение Пуассона электростатики, Дф =
= — 4яр, заключаем, что величина Ф = — (Зя2J'3 л2'3 описывает
электростатический потенциал атома, а уравнение E) при этом
8 У 2" з/2
Дф — 1 ф '
(для значений г ф 0) совпадает с уравнением Томаса — Ферми
{XI. 2).
Из уравнения D) при г -.> оо следует, что \ п (г) dV = Z, т. е.
минимальную энергию имеет именно нейтральный атом, а не
ион18). Это доказывает устойчивость такого атома в модели То-
Томаса — Ферми н в то же время означает, что статистическая мо-
модель не может объяснить существование устойчивых отрицатель-
отрицательных ионов 1Э): «лишним» электронам в таком ионе энергетически
выгоднее покинуть его.
Установим теперь соотношения между величинами Т, ?/ее,
i/еяд для нейтрального атома. Обозначим через по(г) объемную
плотность электронов согласно модели Томаса — Ферми. Измене-
Изменение значения функционала Е[по(г)], определяющего энергию
атома, при замене функции по(г) на п(г) = (I -$- \)по{г) с
|Х| <С 1 равно
6Е=Е[п (г)] - Е [п„ (г)] « (А г + 2Uee + Ue яя) А
и условие его экстремальности, 6Е = 0, дает
5Г + б^ее + 3?/е яя = 0. F)
Аналогичным образом, рассмотрев преобразование вида п(г) =
= ло(A + Х)г) с \Х\ < 1, получаем
ЗГ + 5*Уее + 2Ue яд = 0. G)
18) Из экстремальности функционала Е[п(г)] при дополни-
дополнительном условии \ п (г) dV = Z', отвечающем числу Z' электро-
электронов, при значениях Z' < Z следуют обычные результаты для
положительных атомных ионов, см. [1, § 70]; в случае Z'> Z
«функционал не имеет экстремума.
ls) Существование таких ионов связано со свойствами внеш-
внешних электронных оболочек, рассмотрение которых в рамках ста-
статистической модели несостоятельно.
366
Из F) и G) следуют как соотношение Ue яд = —7Uee, так и
теорема внриала 2Т = —(?/ее + Uе яд) = —U.
Наконец воспользуемся условием минимальности Е[п<, (г)J
для вычисления энергии основного состояния нейтрального атома
вариационным методом. Для указанной в условии пробной функ-
функции согласно выражению C) получаем
Е (а' А) = 00" \2~) а %1 ~ТаЯ2+1б"
(при вычислении Uee удобно воспользоваться значением инте-
интеграла B) из 11.5). Минимизация значения выражения (8) сна-
сначала по параметру X дает
Е (а) = min Е (а, А) =- - -==?-1 -^- ) а1/3 (а - 8J Z7'3, (9>
при этом
а последующая минимизация по параметру а, при а = ао =
= 8/7, определяет энергию атома
?o,Bap«-O,759Z7/3, A0)
и значение параметра Х0(а0) = 1,761; сравнить с точным резуль-
результатом Ео = —0,769Z для модели Томаса — Ферми.
В заключение сделаем замечание о свойствах пробной функ-
функции Плроб^). Формально она нормирована на число электронов,,
равное aZ, но получаемое с помощью ее значение Ео, ваР отно-
относится именно к нейтральному атому с числом электронов Z (вы-
(выбор же а = 1 приводит к менее точному значению Ео, хотя от-
отличие и несущественно: вместо 0,759 в A0) появляется значение
0,757). Рассматриваемая пробная функция после выполнения
минимизации по А соответствует выбору универсальной функ-
функции %(х) модели Томаса — Ферми в виде F = 0,885)
. , 25 (8 — а) / - /-,
/проб (х) = ш exp (-A л/х );
Нетрудно заметить, что отличие ^проб от точной функции Хт.-Ф
гораздо более значительное, чем в случае значений энергии Ео.
Так, для а = 8/7 имеем %проб@)= i)ig> В то время как
%т.—Ф @) = ' (такая ситуация является типичной для вариа-
вариационного метода, сравнить с 8.22).
567
11.22. Записав электростатический потенциал атома в виде
¦ср = Zjr + фэл, где фэл (г) — потенциал, создаваемый электронами,
и воспользовавшись соотношением
п (г) = -рэл (г) = BфK/2/Зя2,
•см. (XI.1), по известным формулам электростатики находим
jj Рэл (г) Ф (г) dV=- ^- J Ф5/2 (г) dV = 2Uee + Ue ад,
(о выражении для кинетической энергии электронов см. формулу
B) из предыдущей задачи). Отсюда
Е [ф (г)] = Т + Ue Яд + Uee =
Варьируя ф(г), из условия экстремальности функционала
] (в данном случае — максимальности!, сравнить с пре-
предыдущей задачей) действительно приходим к уравнению Тома-
Томаса— Ферми для потенциала. Далее, рассмотрев потенциал20)
где Фо('')—решение уравнения Томаса — Ферми, |Д.| <SC 1, из
условия экстремальности E[<f(r)] приходим к соотношению
Г + 4*Уее + <7еяд = 0, C)
а нз выражений A) имеем
5Г + 6*Уее + 3;Уеяя = 0. D)
Отсюда следуют как равенство Ue яд = ¦—7?/ее, так и теорема
вириала для кулоновского взаимодействия.
Для вариационного расчета энергии Еа основного состоя-
состояния нейтрального атома по формуле B) ее удобно преобразо-
преобразовать к виду
1 I Г д 12
-у \ Ь7(Г(Р(Г)) dr E)
20) При варьировании потенциала должно соблюдаться усло-
условие ф(г)я* Z/r при г-*-0; в противном случае, как видно нз вы-
выражений A), значение Uee обращается в бесконечность.
568
(так как функция q> — Zjr ие имеет особенности в точке г = 0г
1 д2
то во втором из интегралов B) можно заменить Л на —-^-j- г>-
после чего интегрирование по частям приводит к выражению
E)). Отсюда для указанной в условии пробной функции полу-
получаем (первый интеграл подстановкой х=л/г сводится к Д1.5):
24
—7=r Z'i"a.
л/а 5
Максимальное значение Е(ао) этой величины определяет энер-
энергию основного состояния атома
-о, вар
= ?(ао) = -0,77127/3.
G)
при этом
а0 = C5/48 V2 J/3 « 0,643
(в условиях задачи G) является ограничением снизу для истин-
истинного значения Ео в модели Томаса — Ферми, равного Еа =
= —0,769Z7'3, сравнить с результатом предыдущей задачи).
В заключение заметим, что рассмотренная пробная функ-
функция воспроизводит с высокой точностью не только значение Ео,
но и универсальную функцию %(х) модели Томаса — Ферми.
Сравнение Хпроб = A + ах)~2; x = Zl/3r/b, а = аф « 0,569-
с точной функцией Хт -ф проведено в таблице
X
Хт.- ф(х)
Хпроб {%)
0
1
1
0,5
0,607
0,606
1,0
0,424
0,406
2,0
0,243
0,219
5,0
0,079
0,068
Различие их особенно мало в области x^l, где сосредо-
сосредоточено наибольшее число электронов; с ростом х отношение
%проб/ЗСт.-Ф убывает- Это связано с тем, что рассматриваемая
пробная функция п= BфK/2/Зя2 нормирована на число элек-
электронов, равное
V2" , 32 ,
3af 35 '
меньшее Z; сравнить с предыдущей задачей.
11.23. Для термов молекулярного иона водорода Н^" с кван-
квантовым числом Л проекция орбитального момента электрона на:
направление оси, проходящей через ядра — протоны, может при-
принимать лишь значения т = ±Л. Поэтому волновые функции
56»
таких термов могут быть записаны в виде следующего разложе-
разложения по шаровым функциям:
где г, 6, ф — сферические координаты с полярной осью, направ-
направленной вдоль оси симметрии иона, и началом системы координат
в центре отрезка, соединяющего ядра.
Для 2-термов (у которых т. = Л = 0) волновая функция
A) при отражении координат электрона в плоскости, проходя-
проходящей через ось симметрии нона, не изменяется (при таком пре-
преобразовании координаты гиб остаются неизменными, а от ф
в. ф. не зависит, так как т = 0). Это означает, что 2-состояния
являются 2+-термами, а 2~-термову ионаН^ не существует, что
является специфическим свойством одноэлектронной системы.
В. ф. терма A) должна быть собственной функцией опера-
оператора / отражения координат электрона относительно точки
г = 0, коммутирующего с гамильтонианом системы. Так как при
этом IYLm = { — 1) УLm> то сУмма в A) включает либо лишь
четные значения L, либо только нечетные L. В первом случае
в. ф. A) соответствует четным термам с квантовыми числами Ag,
а во втором — нечетным термам Ли (напомним, что классифи-
классификация термов двухатомной молекулы на четные и нечетные воз-
возникает в случае одинаковых зарядов ядер молекулы и связана
с поведением в. ф. терма при отражении координат только лишь
электронов, см. [1, § 78]).
Итак, возможные термы иона:
2у+ 2у+ 2т
2тт
11.24. Все четыре указанные в условии в. ф. не изменяются
при повороте системы координат вокруг оси, параллельной век-
вектору п0 и проходящей через точку г = 0. Поэтому все они опи-
описывают состояния с проекцией m = Л = 0 суммарного орби-
орбитального момента электронов на эту ось, т. е. 2-состояния.
Далее, приведенные в. ф. имеют определенную четность по
отношению к инверсии координат элкетронов: в. ф. а) и в) яв-
являются четными, т. е. описывают 2г-состояния, а нечетные в. ф.
б) и г) описывают 2„-состояния (сравнить с предыдущей зада-
задачей).
Наконец, прн отражении координат электронов в плоскости,
проходящей через указанную выше ось, в. ф. а) и б) не изме-
изменяются, т. е. отвечают 2+-состояниям, а меняющие знак в. ф. в)*
и а) описывают 2--состояния.
¦570
Таким образом, имеем следующую классификацию рассма-
рассматриваемых состояний:
а) 2+, б) 2+, в) 2~, г) 2"
(нх мультиплетность — 1 или 3 — определяется значением S сум-
суммарного спина электронов, зависящим от симметрии координат-
координатных в. ф. -ф (г±, гг) по отношению к перестановке координат элек-
электронов).
11.25. Основным физическим обстоятельством в квантовой
механике молекулы является малость отношения
т/М~ 1(Г4-*- 10~3
(т—масса электрона, а М — приведенная масса ядер), кото-
которая и обусловливает значительные различия порядков величин,
перечисленных в условии задачи.
а) Линейные размеры молекулы амол и расстояния аяя ме-
между ядрами в ней имеют такой же порядок величины, как и
линейные размеры аат области локализации валентных (внешних)
электронов в атоме:
Характерные значения энергий валентных электронов в ато-
атоме и в молекуле, как и разности соседних электронных термов
молекулы при «закрепленных» ядрах, равны по порядку вели-
величины Еэл ~ А /тав. Характерные же значения интервалов ме-
между колебательными и вращательными уровнями молекулы для.
одного и того же электронного терма имеют существенно мень-
меньший порядок
F h I m F
кол ~ЛШкол ~ Л/ ~м эл>
А2 А2 / т т „
?вр ~ . ~ .. о ~ Л / .. ?кол '~ —~ ?эл.
Колебательные уровни молекулы ?Кол, о = АсйКол(у + 1/2) —
уровни осциллятора с массой М н коэффициентом упругости k+.
порядок величины которого из соображений размерности опре-
определяется соотношением kaB ~ ft //яав, а сокол = yk/M . Враща-
Вращательные уровни молекулы ?ВР, к = Й2/С(К + 1)/2/ — уровни сфе-
сферического ротатора с моментом инерции I=MR0, где ^0 — равно-
равновесное расстояние между ядрами, Ro ~ ав (фактически в слу-
случае термов Л ф 0 вращение молекулы моделируется симме-
симметричным волчком).
57Е
б) Оценка амплитуды колебаний ядер нз соотношения
в) Характерные периоды различных движений в молекуле:
-I
шк
"вКд. вр «
Различные порядки этих периодов обусловливают применимость
адиабатического приближения (см. § 6 главы 8), согласно кото-
которому энергетические уровни молекулы представляются в виде
Е = Яэл т -^кол ~f" ^вр>
причем ?ВР < ?Кол < ?эл.
11.26. Энергия основного состояния молекулы равна
Ео = Еэл< о + -?кол, о = Ео (/?о) + ~2 ^школ- A)
Здесь E0(R) ¦—основной терм, Ro — равновесное расстояние
между ядрами, школ = ше = у е" (Ro)/M, M — приведенная
масса ядер; ротационная постоянная молекулы Ве = ft /2MR0.
Так как при замене ядер молекулы их изотопами зависи-
зависимость E0(R) н значение Ro остаются неизменными, то с учетом
соотношения т& « 2/лР находим
(ftcoe)HD » ~y (Йше)н2 — °-46 эВ>
(fto)e)D2 « ~ (Йше)Н2 = 0,38 эВ;
Энергия диссоциации молекулы
/„ = ?») + ?§»-?„,
где ?|_ 2 — основные уровни соответствующих атомов водорода
с учетом конечности массы их ядер 21)
?@)яв_ т^Л_ те_Л _ Л_ т^Ч эВ_
2ft2 V .Мяд / V Мяд /
21) См. подстрочное примечание в решении задачи 11.30.
572
По приведенным формулам получаем
('o)hd « 4>50 эВ. (;o)d2 » 4.54 эВ-
Эффект изотопического смещения уровней в атоме водорода
имеет величину порядка (AE/EKT ~ те/Мяд. ~ 10~3, а в моле-
молекуле составляет
(А?/?)МОл ~ ^те/Мяп ~ 1/40,
при этом в молекуле он наиболее ярко проявляется в изменении
ЧаСТОТЫ КОЛебаНИЙ Ядер Школ-
11.27. Ограничения на возможные значения орбитального
момента К молекулы при фиксированном значении суммарного
ядерного спнна возникает по той причине, что волновая функ-
функция системы тождественных частиц (в данном случае — ядерной
подсистемы в молекулах Hj и D2) должна обладать определен-
определенной симметрией по отношению к перестановке переменных (спи-
(спиновых н координатных) любых двух частиц. Учитывая, что спи-
спиновая в. ф. системы двух спинов величины22) i при значениях
суммарного спина / = 2i, 1i — 2, ... симметрична по отношению
к перестановке спиновых переменных, а при / = 21— 1, 2i—3, ...
антисимметрична (см. 3.30), а также характер симметрии в. ф.
для тождественных бозонов н фермионов, заключаем, что при
перестановке пространственных переменных ядер волновая функ-
функция молекулы не изменяется прн четном значении ядерного
спина (/ = 0 у Н2 и / = 0; 2 у D2) и меняет знак при нечет-
нечетном /. Подчеркнем, что это заключение, как и окончательный
результат о возможных значениях момента К относятся к лю-
любой двухатомной молекуле с Л = 0 и тождественными ядрами.
Выясним, к каким ограничениям на значения К приводит отме-
отмеченное обстоятельство.
Для рассматриваемых молекул с Л = 0 зависимость вол-
волновой функции от ядерных координат определяется выраже-
выражением
*КМп Л = 0 = *» Л = 0 (',. Г2> *) *кол W YKM @. <*>)¦ 0)
Здесь У/см — шаровая функция; 0, <р — полярный н азимуталь-
азимутальный углы радиуса-вектора R = R2 — Ri = ^?п взаимного рас-
расстояния ядер; ?„ д._0—в. ф. электронного 2-терма молекулы:
4>кол (/?)—в. ф. колебательного движения ядер. При переста-
перестановке координат ядер, т. е. при преобразовании R->—R, коле-
колебательная часть в. ф. не изменяется, а шаровая функция умно-
умножается на (—1)к.
22) Спины ядер обычно обозначаются буквами г, /.
573
Более тонким является вопрос о преобразовании в. ф.
^гаЛ-о электронного терма. Эта функция является скаляром
(или псевдоскаляром, в зависимости от квантовых чисел терма),
зависящим лишь от векторов п, г2 и R. Наиболее общий вид та-
такой функции
vn л.о = * ('i. r2, R, r,R, r2R, r,r2> [r,r2] R) B)
(она не изменяется при вращении электронной подсистемы во-
вокруг осн, проходящей через вектор R, как и требуется для терма
с Л = 0). При отражении координат электронов в плоскости,
проходящей через вектор R, имеем
Р^п л-о s * Ci. '2. Л, r,R, r2R, r,r2, - [r,r2] R) =
= a14r(r1, r2, /?, r,R, r2R, r,r2, [r,rs] R), C)
где 0i равно +1 и —1 соответственно для положительных 2+- и
отрицательных 2~-термов. Аналогично при отражении коорди-
координат электронов относительно центра отрезка, соединяющего ядра,
получаем
РЛыаЧ'^, r2, R, -r,R, -r2R, г,га, [r,rJR) =
= a24r(rb r2, #, r,R, r2R, nr2, [r,r2] R), D)
где Ст2 равно +1 для четных 2g- и —1 для нечетных Su-термов.
Теперь замечаем, что преобразование R-*-—R эквивалентно
произведению преобразований, выполненных в C) и D), т. е.
Р (R -> —R) = Р1Р2, так что
и для волновой функции молекулы
P(R^-R)VKMni^o = (-l)Kala2VKMnX,(, E)
В соответствии со сказанным в начале решения имеем
^ (-l)/. F)
Это соотношение определяет связь возможных значений кванто-
квантовых чисел К, I, оч, о2 для двухатомной молекулы с тождествен-
тождественными ядрами. В частности, для молекулы водорода основной
терм 2^. При этом ст1=ст2 = +1, так что согласно F) у моле-
молекулы Нг при суммарном ядерном спиие / = 0 и у молекулы D2
при / = 0;2 возможны только четные значения орбитального
момента К = 0, 2, 4, ..., а при / = 1 — только нечетные К
(возможные же значения ^С для молекулы HD с различными яд-
ядрами не зависят от суммарного спина ее ядер).
574
Теперь заметим, что из соотношений C) и D) следует, что
для в. ф. B) произведение преобразований Р (R->—R) • Р^, со-
соответствующее инверсии координат как электронов, так и ядер,
эквивалентно преобразованию Pi и в. ф. A) при инверсии умно-
умножается на (—-l)KGi. Этот множитель н определяет знак состоя-
состояния молекулы с Л = 0 (но уже не обязательно с тождествен-
тождественными ядрами!). Соответственно для 2+- B~-)термов состояния
молекулы с четным (нечетным) моментом К являются положи-
положительными, а при нечетном (четном) К— отрицательными23).
Сделаем несколько заключительных замечаний. Прежде всего
обсудим вопрос о значениях орбитального момента ядер. Он не
совпадает со значением К вращательного момента молекулы и,
более того, не имеет определенного значения, как и орбитальный
момент электронов. Однако для 2-термов молекулы с одинако-
одинаковыми ядрами все его возможные значения /,яд имеют одинако-
одинаковую четность, так что (—1) яд = (—1) ; при этом соотноше-
соотношение F) связывает значения Z-яд с квантовыми числами К, оч, сгг-
Так, для Z+- и 2~-термов имеем /,яд = К, К ± 2, ... С опреде-
определенным значением величины (—1) яд (для двухатомных моле-
молекул с одинаковыми ядрами), отвечающим инвариантности га-
гамильтониана по отношению к взаимной перестановке коорди-
координат ядер, связана классификация состояний молекулы на сим-
I К
метричные относительно ядер при (—1) яд = (—1) о^о^ = +1 и
антисимметричные при (—1) яд — (— 1)^ст,ст2 = —1 (напомним,
что множитель (—l)%i = (—1Oа2 определяет знак молеку-
молекулярного уровня).
Установленное ограничение F) на возможную величину вра-
вращательного момента молекулы К при различной четности сум-
суммарного спина ядер / приводит к зависимости молекулярных
уровней от / за счет различных значений вращательной энер-
энергии (даже в отсутствие спиновых слагаемых в гамильтониане).
В этом проявляется обменное взаимодействие ядер. Однако вви-
ввиду малости вращательной энергии (~те1Мял) оно значительно
слабее обменного взаимодействия электронов в атоме. Так, для
соответствующих уровней Е,, к ортоводорода A=1) и параво-
дорода (I = 0) имеем
Е1=и К+\ ~ Е1-о, К = 2Ве (#+!)= °-015 (Я + !) эВ-
здесь К = 0, 2, 4, ... (значение ротационной постоянной для
молекулы Н2 см. в 11.26).
23) Не путать знак молекулярного уровня со знаками + и —
электронных термов 2*1
575
11.28. Решение у. Ш. для частицы в совместном поле двух
потенциалов нулевого радиуса, локализованных в точках п, г,
при значениях энергии Е = — й2к2/2т < О имеет вид24)
О -
A)
Граничные условия для в. ф. при r-*-ri, г, определяющие потен-
потенциалы нулевого радиуса, дают (см. 4.10)
(х-а,)#с,=е~иКс2, е~и*с, = (у, - а2) Rc2, B)
здесь R = г\ — гг. Условие совместности этой системы уравнений
относительно а, г приводит к уравнению для спектра E(R), мо-
моделирующего электронные термы молекулярного нона:
(х -
-1-
C)
Рассмотрим некоторые следствия этого уравнения.
1) В случае at, г > 0 в каждом из потенциалов в отдель-
отдельности существуют связанные состояния (отрицательные атомные
ионы) с энергиями Е^2 = ~~ ^а\, г/2'"- При совместном дей-
действии потенциалов состояния с
E(R) < 0, соответствующие тер-
термам молекулярного иона (оче-
(очевидно, это 2+-термы, так как в. ф.
A) не изменяется при вращении
вокруг оси, проходящей через век-
вектор R), обладают следующими
свойствами. Прн R ->- с» таких со-
состояний два, причем для них
?] 2 (R) ~> Ef\, а их в. ф. в слу-
случае <х\ ф сс2 локализованы на
каждом из центров в отдельно-
сти. При уменьшении R более
низкий терм понижается, при-
причем для него ?(#)-*-— °о при R-*-0, а более высокий терм
идет вверх и при R = Re = (а!а2)~1/2 выходит в непрерывный
спектр, см. рис. 39. Понижение терма с уменьшением R (при-
(притяжение) указывает на существование устойчивого нона (АВ)-.
При этом в рассматриваемой модели равновесное расстояние
между ядрами Ro = 0 и E(R0) = —°о (т. е. возникает «паде-
«падение» на центр). Это означает, что истинные значения этих вели-
Рис. 39
24) Сравнить с 4.10. Заметим, что аналогичная A) супер-
суперпозиция определяет внд решения для связанных состояний час-
частицы при произвольном числе потенциалов нулевого радиуса (это
следует из интегральной формы уравнения Шрёдингера, см. 4.20).
576
чии существенно зависят от вида потенциала на атомных рас-
расстояниях. В связи с этим подчеркнем, что аппроксимация взаимо-
взаимодействия электрона с атомом потенциалом нулевого радиуса
действия оправдана лишь в случае, когда энергия связи элек-
электрона в атомном ионе | EQ | <C h /maB, а область локализации его
в. ф. ~к~г = а,~г ~> ав. Второй, повышающийся с уменьшением
R электронный терм соответствует отталкнвательному взаимо-
взаимодействию и не приводит к образованию устойчивого молекуляр-
молекулярного иона.
В случае а* = аг = а из B) и C) видно, что для рассма-
рассматриваемых термов с\ = ±С2, так что они имеют определенную
четность, т. р. являются Z + - н 2 +-термами. Для разности их
энергий прн R ->- оо из C) получаем
Eu(R)-EeW**^e-a« D)
(прн этом в правой части уравнения C) можно положить
¦л = а, так что (xg) и — а) л; ± e~aK/R, а АН « Н2а Ах/от).
2) В случае cci > 0, ссг < 0 существует лишь один устой-
устойчивый атомный ион. Согласно C) при этом имеется также лишь
один терм с E(R) < 0, причем для него, как и в предыдущем
случае, Е (R) -> Ef^ при R -.> оо и E(R)->— оо при #~>0.
3) Наконец в случае а*, г < 0 устойчивые атомные ионы не
существуют. Однако для электрона в поле двух атомов, находя-
находящихся на расстоянии R < Rc = (соссг)72, уже возникает свя-
связанное состояние. При этом E(RC) = 0 и Е (R) с уменьшением R
понижается, причем ?(#)-»-—оо при /?->-0. Это указывает на
возможность существования устойчивого молекулярного нона.
Однако этот вывод обоснован лишь в случае Rc 3> ав. Если же
Rc $5 ав> то рассмотрение, основанное на модели потенциалов
нулевого радиуса, является уже несостоятельным (так, взаимо-
взаимодействие частицы с непроницаемой сферой радиуса а прн зна-
значениях энергии Е <g; h2/ma2 может быть аппроксимировано по-
потенциалом нулевого радиуса с а = —11а; вывод же о существо-
существовании связанного состояния в поле двух непроницаемых сфер,
конечно, ошибочен).
11.29. Среднее значение гамильтониана электрона при «за-
«закрепленных» ядрах иона
ъ 1 , 1 L__j- !
лэл - 2 а | г - R/2 | | г + R/2 | + R
в состоянии, описываемом волновой функцией 1Рпроб('-), равно
E0(R, а) = ^эл = -^г-[3-2B + а)е-а]-|- A)
19 В. М. Галицкий и др. 577
(так как в. ф. имеет вид «водородной» функции, то для средних
значений Т и |r + R/2| можно воспользоваться известными
выражениями; в частности
|r + R/2| Ч2-B + «)е~а]^~''
как это следует из формулы D) задачи 4.6, если в ней поло-
положить г = R/2, a = R/a, e = 1 и вычесть 2/R).
В рамках вариационного метода выражение A) можно рас-
рассматривать как некоторое приближенное значение истинной энер-
энергии25) Eq(R) основного терма, причем наилучшее приближение
получается после минимизации A) по параметру а. Оптималь-
Оптимальное значение a(R) из условия dE0(R, a) Ida = 0 таково, что
aea/(a+ l) = 2R. B)
При этом выражения A) и B) определяют зависимость Ео, Вар(#),
имеющую вблизи точки Ro абсолютного минимума вид
Ео, вар (Я) = EQ (Ro) + ~ Е" (До) (R - RQf. C)
В результате несложного численного расчета получаем26)
Яо, вар (R) = -0,470 + 0,078 (R - 1,78J. D)
Согласно D) искомые характеристики основного терма
Ей = — 0,47, #о = 1,78, ?K0JIi 0 = — сое =
2отр
Этн результаты значительно отличаются от экспериментальных
значений, что связано с крайне простым выбором пробной функ-
функции (отметим, что в [10] проведено более реалистическое иссле-
исследование иона Н2 с пробными функциями в виде суперпозиции
«водородных» волновых функций, связанных с каждым нз ядер
иона).
25) Более точно, к Нэл следовало бы добавить также малое
слагаемое [23J2MR2 со те/Мяд, получающееся при усреднении
по электронному состоянию центробежной энергии ядер, см. [1,
§ 82].
26) Расчет может быть выполнен следующим образом. Заме-
Заметив, что рассматриваемым значениям R отвечают а, близкие
к 1,7, по формулам B) и A) найдем R н E(R) для трех значе-
значений а, равных 1,7; 1,725 и 1,75; после этого легко определить
параметры в выражении C).
В78
11.30. Так как /и„/тр « 1/9 -С 1, то характерные скорости
ядер много меньше скорости мюона и можно использовать
адиабатическое приближение. При этом движение ядер про-
происходит в эффективном потенциале U(R) = E0(R), определяе-
определяемом энергией основного мюонного терма при «закрепленных»
ядрах и имеющем такой же вид, как и в случае обычного моле-
молекулярного нона Н^", если воспользоваться мюоннымн атомными
единицами т^ = е = Й = 1.
В этом приближении характерный размер иона определяется
расстоянием Ro, отвечающим минимуму зависимости E0(R) и для
мезомолекулярного нона составляет Ro « 2 а. е. = 2Й /отц,е *»
«5- 10 " см. Значения величин Шц, и Вц, (в мюонных атомных
единицах):
= mjm, A)
где М — приведенная масса ядер, сравнить с 11.26.
Необходимо сделать замечание об особенностях применения
адиабатического приближения для мезомолекулярных систем,
связанных со значением % ~ 1/10 параметра аднабатнчности,
сравнить с %~ 10—4 -г— 10—3 для обычных молекул, см. 11.25.
Хотя приближение «закрепленных» ядер для вычисления E0(R)
еще оправдано (но с существенно меньшей точностью), даль-
дальнейшего разделения ядерного движения на независимые колеба-
колебательное и вращательное уже не происходит. Колебательное дви-
движение носнт сильно ангармонический характер и существенно за-
зависит от величины момента К, так что использование формулы
адиабатического приближения для спектра
уже не оправдано. Впрочем, для состояний с л = 0, /С = 0 и 1
она дает еще разумные значения энергии. Так, для dtfi-системы
из нее следуют значения энергии связи27), е*о = —1/2 — EKv,
27) Здесь в энергии основного состояния мезоатома, равной
—1/2, не сделана поправка на конечность массы (более тяже-
тяжелого) ядра, приводящая к увеличению энергии связи. Ее вели-
величина такого же порядка ~т^/Мял, как и вклад в энергию терма
от слагаемого 1 /2MR2, получающегося при усреднении по мн>
онному состоянию центробежной энергии ядер, см. [1, § 82].
Это слагаемое в мезомолекуле более существенно, чем в обыч-
обычных молекулах н приводит к повышению терма (и уменьшению
энергии связи). Таким образом, указанные неучтенные слагаемые
имеют противоположные знаки и частично компенсируют друг
Друга.
19* 579
равные 8оо » 0,059 а. е. « 330 эВ и ею « 0,036 а. е. « 200 эВ;
сравнить с точными значениями 319 эВ и 232 эВ соответственно.
Заметим, что, как показывают точные вычисления, у мезомолеку-
лярных ионов водорода имеется по два связанных состояния
(»=0и 1) с /( = 0 н 1, одно (и = 0) — с К = 2, а устойчивых
состояний с К J3= 3 не существует.
11.31. Запишем пробную волновую функцию в виде Ч^ров =
где
cose^e
4л 2Уб
Теперь заметим, что нормированная на единицу (как и Wo)
функция 4% совпадает с в. ф. состояния с квантовыми числами
я = 2, / = 1, т = 0 водородоподобного атома с зарядом ядра
Z = 2у (у = 1 в случае а) и поэтому удовлетворяет уравнению
2 Л /•>/*' 2п2 *' 2 *ь
Соответственно записав гамильтониан системы в виде
Я = -4"А- — + ^2^ Яо + ^z-cose
(ось 2 направлена вдоль электрического поля), находим
A)
B)
(значение (?i | — | Ч'])^— (?, [ —^ | ?,) = -|- непосредственно
следует нз теоремы вириала ). Далее очевидно:
Г„ I Яо | Yo> = - у,
о) = <Vi I 2 | Т,> = 0,
, ] Я„ |
= (ЧГ01 Яо | ЧГ,> = - у
'о) = 0, C)
(заметим, что в. ф. ^о н Ч*^ взаимно ортогональны как отвечаю-
отвечающие различным значениям орбитального момента). Наконец
Соотношения A) —D) позволяют найти Е (а, у) = (Ч? \ Н \
с точностью до членов ~&г включительно.
580
В случае а) имеем
Минимизация по параметру а дает
?o,Bap=minI(a)=?(ao) = -y-2^2> a0 =-2. E)
Сравнивая это приближенное значение энергии основного состоя-
состояния атома водорода, находящегося в слабом электрическом поле,
с точным —1/2— Ро^/2, где |3о — поляризуемость основного со-
состояния атома, находим ее приближенное (вариационное) значе-
значение
Ро,вар = 4. F)
В случае б) имеем
- 1 1 R4v5/2
Минимизация по параметру а дает
Е (y) = —5 (ТТ.—ив /I _—Z—аГ <^2>
а последующая минимизация по параметру28) у позволяет найти
более точное, чем в случае а), значение поляризуемости
G)
отличающееся от точного, Ро = 9/2, лишь на 0,6 %.
В заключение заметим, что если пробная функция выбрана
таким образом, что в отсутствие электрического поля она сов-
совпадает с точной волновой функцией невозмущенного гамильто-
гамильтониана, то вариационный расчет поляризуемости основного состоя-
состояния дает ограничение снизу на ее точное значение (поэтому ре-
результат G) заведомо более точен, чем F)).
11.32. Гамильтониан и энергия основного состояния атома
водорода, находящегося в однородном электрическом поле, имеют
вид
Н — — — — 4- p%z- F ~ F<0> '
2m r ^e<sz' ?O~?o
28) Оптимальное значение у0 получается из условия
дЕ/ду = 0, представляющего алгебраическое уравнение третьей
степени относительно Y- Из него следует -уо ~ 0,80 (два других
корня уравнения — комплексные).
581
причем ?^' = —1/2, аро = |
атома с зарядом ядра Ze гамильтониан
—1/2, а |30 = -д- (h2/nte2K. Для водородоподобного
Й- Р
Ze2
A)
а энергия ?0 может быть получена из приведенных выше выра-
выражений с помощью замен е -> VZ е, & -> &Ы2, так что
?B) 9 ав у2
?о - 4 Z*
и поляризуемость такого атома po^9
Гамильтониан гелиеподобного атома в электрическом поле
в пренебрежении взаимодействием между электронами равен
Н = Hi + Я2, где Я1J имеют вид A). Очевидно, энергия и по-
поляризуемость основного состояния такой системы получаются ум-
умножением на 2 соответс /вующих величин для водородоподобного
атома с тем же зарядом ядра Z. В этом приближении
e-
B)
Физически естественным представляется, что более точное
значение поляризуемости двухэлектронного атома (иона) может
быть получено в результате замены в формуле B) заряда Z на
эффективный заряд:
g
Р C)
Сравнение рассчитанных значений поляризуемости с экспери-
экспериментальными данными29) для 1'5-состояний атома гелия и не-
некоторых двухэлектронных ионов представлено в таблице
Ион
Согласно
Согласно
Эксперим.
знач.
B)
C)
Не
0,56
1,11
1,36
Li +
0,111
0,173
0,196
Ве2+
0,03В
0,049
0,054
В
1,4-
1,9-
2-
3 +
ю-2
ю-2
ю-2
с
6,9-
8,6-
8,8-
4 +
ю-3
ю-3
ю-3
29) Они взяты из книги: Ч. Киттель. Введение в физику твер-
твердого тела, Наука, 1978, С. 480.
582
11.33. Невозмущенный уровень атома водорода с п = 2 яв-
является четырехкратно вырожденным (без учета спина электро-
электрона). Для расчета его расщепления в однородном электрическом
поле воспользуемся секулярным уравнением. Соответствующие
с. ф. Чпш невозмущенного гамильтониана перенумеруем следую-
следующим образом:
Прн этом
д/2а
т = R2t (r) Ytm, где
(\ г
\ ~2а
а шаровые функции Yoo, Ylm приведены на стр. 36. Легко заме-
заметить, что отличны от нуля только следующие матричные эле-
элементы возмущения V = ez<5 = егcosG-dF:
X г4 cos e dr dQ = —
так что секулярное уравнение, Vik — Е)^'
ние принимают вид
0, и его реше-
— Е[1} —Siea
R
0
0
- ?2П
0 -
1, 4! 2 =
= 4°4 = 0-
Таким образом уровень расщепляется на три подуровня, из ко-
которых два являются невырожденными, а один — двукратно выро-
вырожденным (с учетом спина электрона эти кратности вырождения
удваиваются; заметим также, что в более высоких порядках тео-
теории возмущений дальнейшего снятия вырождения не происхо-
происходит— сравнить с 8.11).
Правильиые функции нулевого приближения V^\ отвечаю-
отвечающие расщепленным уровням
B)
= ±
имеют вид
В этих состояниях, не имеющих определенной четности, электрон
имеет отличный от нуля средннй дипольный момент, направленный
583
вдоль электрического поля S и равный Т §еав. Здесь прояв-
проявляется специфическое для кулоновского потенциала случайное
вырождение уровней с различными значениями I и с противо-
противоположной четностью, приводящее к линейному эффекту Штарка
в атоме водорода (для возбужденных уровней). Состояния же
^з?4 с '=1> 'z = ±1 отвечают определенной четности и изме-
изменение их энергии в электрическом поле °° <8%.
Условие применимости полученного результата A):
5 • 10~5 эВ < 6еав<? < 3 эВ, или 2 ¦ 103 В/см < 8 < Ю8 В/см
(штарковское расщепление должно быть много большим интер-
интервала тонкой структуру, см. 11.1, но много меньшим разности
энергий соседних невозмущенных уровней атома).
11.34. Запнсав пробную функцию в виде 'Рпроб = С (?(, + yPi)f
где Wi = Я (Sr) e~yr, находим матричные элементы невозмущен-
невозмущенного гамильтониана Но:
А2х2
и возмущения V = —е (&т):
<Т0| f | ?„> = <?, | f | Т,> = 0, <Т, | V | ?о> = fP01 V | ?,) =
Г dV =
(Y +
Выбрав теперь
С2 = A + кХ2у-5&Т1 « 1 - яХ%-5,Г2
из условия нормировки пробной в. ф. на единицу, имеем
1 (Я, у) = (Ч'проб I #о + V | ?проб> «
Яв "^2 (y2 + *02
2ту5
х2 8
2m (y + КоL
После минимизации по параметру X получаем
584
а последующая минимизация по параметру y (минимум B) до-
достигается при у = ко) приводит к вариационному значению энер-
энергии смещенного под действием электрического поля уровня
+1 2 2
_ л х» те
Еа% вар = min Е (К у) = - — -^-j^ C)
2т 8/ГИ
2т 8/ГИо
и поляризуемости состояния
что совпадает с точным результатом, см. следующую задачу.
11.35. Для расчета сдвига основного уровня в потенциале
нулевого радиуса под влиянием возмущения V = —effz удобно
в качестве системы собственных функций невозмущенного га-
гамильтониана выбрать в. ф., отвечающие также определенным зна-
значениям момента / и его проекции U. Так как в. ф. основного со-
состояния
У;Ге-кг/УЙГг (его энергия 4°* = - ftV/2-л)
отвечает значению / = 0, то матричные элементы возмущения
(п\ (—е<Вz) |0) отличны от нуля лишь для состояний \пу с / = 1
и 1г = 0. Потенциал нулевого радиуса не оказывает действия на
частицу с моментом I ф 0, поэтому с. ф. /?0 Для / ф 0 совпа-
совпадают с в. ф. свободной частицы, и при / = 1, U = 0 они имеют
вид [1, § 33]
sin kr
(они нормированы так, что {k'l'm' \ к 1т) = б (k — к') Ьц'
Вычислив матричный элемент возмущения
(k 10|(—е
e *r (sin kr — krcoskr) dr =
о
~t~ ek2g
X (k2 + Y2J ' V '
oo
согласно (VIII. 1) получаем (теперь \ -> д Wfe, причем в сумме
585
по /, т отлично от нуля лишь одно слагаемое с / = 1,- т = 0):
оо
B) 32те2*<У2 С fe4 dk _ me2
0 ~ 3nh2 ) (fe2 + *2M
о
Отсюда поляризуемость состояния
О приложениях этой формулы, после введения поправки на ко-
конечное значение радиуса потенциала, к иону Н~ см. в следую-
следующей задаче.
11.36. Ввиду того, что в. ф. состояния с малой энергией
связи с увеличением г убывает достаточно медленно, а возму-
возмущение V = —eSz при этом возрастает, доминирующую роль в
сумме (VIII. 1) второго приближения теории возмущений, опре-
определяющей сдвиг уровня, играют состояния непрерывного спек-
спектра с малой энергией Ef, c^ hV/m Действительно, для таких со-
состояний матричные элементы возмущения (fe|V|0), в которых
определяющую роль играют большие расстояния г ~ у.~\ осо-
особенно велики (по мере увеличения энергии их значения на-
начинают уменьшаться из-за осцилляции в. ф.). На больших же
расстояниях волновые функции рассматриваемых состояний до-
достаточно просто связаны с в. ф. свободных частиц. Так, нормиро-
нормированная на единицу в. ф. невозмущенного связанного состояния
с моментом I = 0 вне области действия потенциала лишь до-
дополнительным множителем Си0 отличается от в. ф. в потенциале
нулевого радиуса, см. предыдущую задачу. Волновые функции
непрерывного спектра для медленных частиц с моментом / Ф 0
на расстояниях г > rs фактически совпадают (в отсутствие воз-
возмущения) с в. ф. свободной частицы (из-за наличия центробеж-
центробежного барьера, мало проницаемого для медленных частиц, они не
«чувствуют» потенциала центра) и описываются формулой A)
из предыдущей задачи.
С учетом высказанных соображений очевидно, что сдвиг и
поляризуемость мелкого s-уровня в короткодействующем потен-
потенциале определяются непосредственно формулами предыдущей за-
задачи для потенциала нулевого радиуса введением в них дополни-
дополнительного м
ражением
тельного множителя СкР; так, поляризуемость описывается вы-
те
„2 /П
Подчеркнем, что отмеченная выше доминирующая роль больших
расстояний в матричных элементах (k\e<?z\Q) для состояний
586
с малой энергией в случае мелкого s-уровня (наглядно видная
из формул B) и C) предыдущей задачи) проявляется в расхо-
расходимости выражений для Е$ н ро прн и—>0.
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) для s-состояния частицы с малой энергией связи в ко-
короткодействующем потенциале два параметра, и и С^о> опреде-
определяют большинство его физических свойств, проявляющихся во
влиянии на него внешних электрических и магнитных полей (см.
11.46 и 11.66). Они же определяют и рассеяние медленных ча-
частиц, krs -С 1, на этом потенциале. В приближении эффектив-
эффективного радиуса (см. [1, § 133], а также задачи § 3 главы 13)
при этом параметры низкоэнергетического s-рассеяиия — длина
рассеяния а0 и эффективный радиус взаимодействия г0 — свя-
связаны с у. и Си0 соотношениями
(для потенциала нулевого радиуса С2к0= \ и ло = о).
2) В отрицательных атомных ионах внешний электрон с из-
известной точностью может рассматриваться как находящийся в
короткодействующем потенциале нейтрального атома. На основе
такого подхода (без какой-либо детализации состояний «внутрен-
«внутренних» электронов!) можно описать свойства иона, определяемые
этим внешним электроном. Для иона Н~, воспользовавшись зна-
значениями >с = 0,235 а. е. (энергия связи электрона 0,754 эВ) и
С^0 = 2,65, согласно A) находим (Зо = 216; сравнить с резуль-
результатом вариационного расчета (Зо = 206. См. также 13.40 о рас-
рассеянии медленных электронов на атомах водорода.
3) Отметим, что доминирующая роль больших расстояний в
значениях поляризуемости состояний с малой энергией связи со-
сохраняется как при / — 1 (при этом Pj_, оо и~3, см. следующую
задачу), так и для / = 2 (р*г=2 оох-'). Для больших значе-
значений момента поляризуемость определяется уже расстояниями
г ^ гs и зависит от конкретного вида потенциала и волновой
функции на таких расстояниях, при этом порядок ее величины
Отмеченный характер зависимости поляризуемости от значения
момента связан с уменьшением проницаемости центробежного
барьера с увеличением /.
587
11.37. Расчет поляризуемости аналогичен проведенному в
двух предыдущих задачах. Теперь волновая функция невозму-
щенного связанного состояния вне области действия потенциала,
при г > rs, имеет вид (для / = 1):
/С ()У(п)
яг
A)
где Ку — функция Макдональда, Си; — асимптотический коэф-
коэффициент30), являющийся, как и энергия Ef> = — Й2и2/2т, важ-
важной характеристикой состояния частицы. Как и в 11.36, в ка-
качестве волновых функций состояний непрерывного спектра можно
выбрать в. ф. свободных частиц31)
r)Ylm(n). B)
Приведенные в. ф. совпадают с точными лишь на больших
расстояниях г > rs (вне области действия потенциала). Однако
матричные элементы возмущения {klm | — eSz \ %\ш) при k ^ х
определяются именно большими расстояниями г ~ 1/х. При вы-
вычислении матричного элемента (klm\z\%\m) интегрирование по
углам проводится элементарно, а значения радиальных интегра-
оо
лов, имеющих вид \ г2Кщ2 (хг) ^v ^г) ^г' пРивеДены в [33, с. 707].
о
0) Асимптотика в. ф.
при г—оо. Как и в случае / = 0, асимптотический коэффи-
коэффициент связан с параметрами низкоэнергетического рассеяния час-
частицы с моментом /, определяющими разложение эффективного
радиуса
соотношением
Сиг2 = - 'г*'' + (-1)' B' + 1) + О ((кг3K-21).
При этом rt < 0 и Сиг оох2'™1 при ин*0 для значений момента
31) Для медленных частиц, Jrs « 1, в. ф. непрерывного
спектра прн произвольном значении момента / вне области
действия потенциала существенно отличаются от волновых
функций свободной частицы лишь в резонансной волне, см.
§ 3 главы 13 (в данной задаче это р-волна). Однако для резо-
резонансной волны матричный элемент возмущения в рассматривае-
рассматриваемой задаче равен нулю.
588
Для связанных состояний частицы с I = 1 и проекцией мо-
момента иа направление электрического поля U = ±1 отличен от
нуля лишь один матричный элемент возмущения, для которого
16С2.,*:6
Соответственно сдвиг уровня во втором порядке теории возму-
возмущений оказывается равным
2m f К*. 2, ±1|^г|х, 1, ±1) Р те2^
J F+l?
о
так что поляризуемость таких состояний
(напомним, что С^ oo х, см. примечание на с. 588).
Для состояния с / = 1 и 1г = 0 отличны от нуля уже два
матричных элемента возмущения, отвечающих значениям момента
/ = 2 и I = 0, для которых
АС2^к2 (к2 + Зх2J
|1О)|' 1
I (А 20 | г | х 10)|2 =
Вычисление интегралов, аналогичных для ?' ±1, позволяет най-
найти изменение энергии рассматриваемого состояния и его поля-
поляризуемость, которая оказывается равной
(в состоянии с 1г = 0 область локализации частицы более «вы-
«вытянута» в направлении электрического поля, чем в состояниях
с /г = ±1, так что оно оказывает на частицу более существенное
влияние).
11.38. Характерной особенностью рассматриваемых состоя-
состояний, определяющей большие значения их полярнзуемостей, яв-
является близость 2S- и 2Р-уровней гелиеподобных атомов (ио-
(ионов). Соответственно в сумме (VIII. 1) для сдвига уровня под
влиянием возмущения V= (zi + z%)<§ во втором порядке до-
доминирующую роль играет одно слагаемое, так что
Eg - ~ j Р BS) S2 « 1 BР, 1г = 0 | (г, + г2) | 2S) |» ^_ ^
(символ мультиплетности пока опущен).
589
В состояниях 2S и 2Р один из электронов находится в ос-
основном Is-, а другой — в возбужденном 2s- или 2р-состояниях.
Так как «возбужденный» электрон находится в среднем на су-
существенно больших расстояниях от ядра, чем «иевозбужденный»,
то для вычисления матричного элемента возмущения в формуле
A) можно воспользоваться следующими приближенными выра-
выражениями для волновых функций (одинаковыми как для сннглет-
ных, так и для триплетных состояний):
W2S « +1, ('.- Z) %s (r2> z ~ >)• Ч'гя * Ф„ (rv Z) %a (r2, Z - 1)
B)
(эти в. ф. не имеют определенной симметрии, что соответствует
пренебрежению обменными эффектами). Одночастичные волновые
функции в выражениях B) — соответствующие кулоновские в. ф.,
причем для «возбужденного» электрона заряд ядра выбран рав-
равным Z — 1, что отражает его частичную экранировку ls-электро-
ном, сравнить с 11.9. Воспользовавшись известными выражения-
выражениями для кулоновских в. ф., находим матричный элемент возму-
возмущения
(вклад в него вносит лишь 2-й, «возбужденный» электрон) и со-
согласно A) получаем
1Я
Воспользовавшись теперь экспериментальными значениями для
разности энергий 2S- и 2Р-состояиий, приведенными в условии
задачи, находим значения поляризуемостей
РНе B3S) = 428, pHeB'S) = 813;
Pu+ B'S) = 54, pL1+ B'S) = 95.
В заключение отметим, что аналогичная близость энергети-
энергетических уровней является типичной для многих атомных систем
и объясняет большие численные значения их поляризуемостей.
Так, для основного 225-состояния атома лития E2s = 5,39 эВ,
а для возбужденного 22Я-состояния Ягр = 3,54 эВ. Оценка по-
поляризуемости согласно формуле C) с заменой в ней Z — 1 на
Z — 2 (из-за наличия двух ls-электронов) дает ри « 265 а.е.
(экспериментальное значение составляет 162; основная причина
более завышенного значения C согласно C) связана с рассмо-
рассмотрением «возбужденного» электрона как движущегося в поле за-
заряда ядра, экранированного на 2 двумя ls-электронами: для
590
атома лития экранировка проявляется не так сильно, что видно
из значения поправки Ридберга As = —0,40).
11.39. Для оценки поляризуемости томас-фермиевских (т.-ф)
электронов Рт..ф. определяющей их индуцированный электриче-
электрическим полем дипольный момент d = PT.(j)<F, заметим, что хотя
приведенное соотношение строго справедливо лишь для доста-
достаточно слабого поля, с но тем не менее дает правильный поря-
порядок величины d и в случае сильных полей. Но при значениях на-
напряженности поля ё" ~<УТ _ф (здесь <^т._ф ~ Ze/rT _^ — харак-
характерное значение напряженности атомного электрического поля в
области г ~ гт _ф ~ aB/Z1/Q, где в основном локализованы т.-ф
электроны ) смещения электронов под действием внешнего поля
будут порядка гт _ф, так что при этом d ~ Zen--$ и
Для оценки числового значения коэффициента в получен-
полученной зависимости Рт _ф = y/Z рассмотрим статистическую мо-
модель атома в пренебрежении взаимодействием между электро-
электронами, сравнить с 11.19. Теперь при наличии слабого электриче-
электрического поля в соотношении п (г) = р\ (г)/3я2 для р0 (г) имеем
Соответственно
где По (г) = 2Z2 A — х) 3/2/9л;гдг3/2 — электронная плотность в не-
невозмущенном атоме, х = r/R, а значение R = (l8lZ)i/3 остает-
остается неизменным. Вычисление дипольного момента 32)
R С r*no(r) JW\ , _ 63
16Z
дает значение поляризуемости в рассматриваемой модели
в 63
B)
32) Сравнить, например, с вычислением интеграла I в 7.22.
591
Аналогичная A) оценка для внешних (валентных) электро-
электронов, находящихся на периферии атома (г ~ ав), где характер-
характерная величина поля 8т ~ е/ад<С<Ут._ф, дает {$вал ~ а| = 1 а. е.,
так что поляризуемость атома определяется валентными
электронами. Отметим, однако, что типичные значения поляри-
зуемостей атомов обычно велики и составляют ~ 10 — 100 а. е.,
см. в связи с этим 11.38.
11.40. Стационарные состояния молекулы в отсутствие элек-
электрического поля описываются волновыми функциями (сравнить
с 11.27, A = S = 0)
(ia — координаты и спиновые переменные электронов), а их
энергия
Матричные элементы возмущения V = — && удобно вычис-
вычислять в два приема: сначала проинтегрировать по координатам
электронов и относительному расстоянию R между ядрами при
фиксированной ориентации оси молекулы, а затем уже выпол-
выполнить интегрирование по углам G, ф, определяющим направление
этой оси. В случае диагональных по квантовым числам п, v
матричных элементов первое интегрирование дает
эл, Лол, v)" й^эл, Лол, v dx = d = dn0, n0 = R/# B)
(направление вектора d вдоль оси молекулы очевидно из сооб-
соображений симметрии). Направив теперь ось z вдоль электриче-
электрического поля & и учтя, что вращательная в. ф. 4%, км (при Л =
= 0) является шаровой функцией У/ш(Э, ер), находим, что мат-
матричные элементы возмущения между в. ф. A), относящимися к
данному уровню молекулы (т. е. отличающимися лишь значе-
значениями М), равны нулю, так как \ cos 6 У^м'^км ^ == ^- ^о-
¦ответственно в первом порядке теории возмущений уровни мо-
молекулы не смещаются. Так как в случае однородного поля про-
проекция момента на направление вектора & является «хорошим»
квантовым числом, то в. ф. A) являются правильными функ-
функциями нулевого приближения и можно использовать теорию
возмущений для невырожденных уровней. При этом поправка
второго порядка
р<2> .= "' " '"
592
где для краткости записи использован один индекс k для описа-
описания различных состояний молекулы.
Теперь заметим, что в сумме C) можно ограничиться лишь
такими состояниями \k'), которые отвечают исходному элек-
электронному терму и отличаются только вращательным квантовым
числом К. При этом в формуле C)
40) - 4°' = ве I* (* + 1) - К' {Кг + 1)],
а вклад состояний с другими квантовыми числами существенно
меньше из-за гораздо большей величины энергетических знаме-
знаменателей, так как Евр -С Екол -С Езл- Учитывая это обстоятельство
и соотношение B), выражение C) можно записать в виде
B) rf2^2 у | (К'М \ cos 9 | КМ) | 2 =
KM Be Lj к(К+\)-К'(К'+\)
К'
2BeK(K+ 1) B/С — 1) B/С + 3) ' v '
Здесь использован результат задачи 8.11. Так как волновая функ-
функция состояния \КМ) является шаровой функцией, то сумма D)
аналогична вычисленной в 8.11 и получается из нее с помощью
замен 1-+К, т-+М, Л2/21-+Ве. В частности, для К = 0 имеем
Заметим в заключение, что для двухатомных молекул с оди-
одинаковыми ядрами дипольный момент B) обращается в нуль и
влияние электрического поля на уровни таких молекул требует
специального рассмотрения.
11.41. В линейном по магнитному полю приближении воз-
возмущение гамильтониана атома водорода имеет вид
где [Хв — магнетон Бора, а ось г направлена вдоль вектора Ж
Так как операторы lz и sz коммутируют друг с другом и с га-
гамильтонианом, то с. ф. невозмущенного гамильтониана *Pnim%sz
(см. (IV. 3), xsz — спиновая часть в. ф.) являются правильными
функциями нулевого приближения и поправка первого порядка
к уровням энергии равна
4'/Л = <"" А I? I п11г*г) = Ив^ ('г + 2*г)- A)
Как видно, 2я2-кратно вырожденный уровень расщепляется на
2п + 1 компоненты (напомним, что 1г = 0, ±1, ..., ±(я—1),а
sz = ±1/2), крайние из которых невырожденные.
593
Условия применимости результата A) предполагают, что
расщепление уровня Д^зеем= 2яцв5# много больше интервала
его тонкой структуры A?Fs, см. 11.1, но много меньше расстоя-
расстояния Д?л между соседними уровнями атома водорода. Для п = 2
условие Д?р3 < Д?3еем ^ д?« принимает вид
5-10~5 эВ<4ца^<2 эВ, или 3 • Ю3 Э < 20 < 108 Э
(напомним, что е/ав = 5,14- 109 В/см = 1,71 • 107 Э).
11.42. Обозначим Д0A) сдвиги основного уровня атома водо-
водорода за счет взаимодействия спиновых магнитных моментов
электрона и протона для состояний с их суммарным спином
S = .0A). Они определяются формулой C) из 11.2, причем Д =
= Ai — До = 1420 МГц. В отсутствие магнитного поля в. ф. со-
соответствующих невозмущенных состояний имеют вид Ч1^ (г) xss t
гДе Xss ~ спиновая функция системы, а Ч\> (г) — в. ф. ос-
основного состояния атома водорода; уровень с S = 0—невыро-
0—невырожденный, а с S = 1 — трехкратно вырожден. Для расчета сме-
смещения (и расщепления) рассматриваемых близких уровней под
влиянием возмущения 33) t? = цв (lz + 2se> г) Ж найдем его
матричные элементы. Используя следующую нумерацию состоя-
состояний: 1 —для S = 0, Sz = 0; 2 —для 1,0; 3 —для 1, +1 и 4 —
для 1, —1 а также явный вид спиновых функций34) %ss (CM-
5.10), находим, что отличны от нуля лишь четыре матричных
элемента
Включая в матрицу возмущения также и невозмущенные сверх-
сверхтонкие сдвиги До, ь как обычно приходим к секулярному урав-
уравнению
До — ?A) цв?? 0 0
0 0
= 0, A)
0 0 h>x+\iB38— ?u' 0
0 0 ОД,— иа38
33) Мы ограничились линейной по полю Ж его частью, при
этом взаимодействием магнитного момента протона, ввиду его
малости (Цр/Це ~ те/тр ~ Ю~3), с магнитным полем прене-
брежено.
34) В частности,
при этом аегх, @)>0 =Xo(i),o-
594
из которого легко находим
Eui = т[(до + Д
B)
Отсюда видно, что для состояний с S = 1 компоненты уро-
уровня с Sz = ±1 испытывают линейный по Ж сдвиг. Для состоя-
состояний с Sz = 0 синглетного и триплетного невозмущенных уров-
уровней, «перемешиваемых» магнитным полем, сдвиги уровней в сла-
слабом поле, \хвЖ <?С Д (отметим, что Жо = Д/цв ~ Ю3 Э), квадра-
квадратичны по полю:
/7A) ~ \ =П В (Х\
?1 B) ~ ^0A) ^ Д, — До * '
(из-за малости сверхтонкого расщепления Ai — Ао эта часть
сдвига существенно больше, чем от пренебреженных в возмуще-
возмущении членов со Ж2).
В сильном же поле, когда Д <?С цвЖ, имеем
1
D)
при этом в возникающих состояниях проекции электронного и
протонного спинов на направление магнитного поля имеют оп-
определенные значения (а нарушающее их сохранение взаимодей-
взаимодействие спиновых магнитных моментов выступает как возмущение).
11.43. Решение задачи аналогично предыдущей. Теперь взаи-
взаимодействие системы с магнитным полем имеет вид)
Используя такую же нумерацию состояний, как и в предыдущей
задаче, с заменой спина протона на спин позитрона, замечаем,
что отличны от нуля лишь два матричных элемента возмущения:
A | V | 2) = B [ V 11) = 2цв5?> а секулярное уравнение прини-
принимает вид
и,-?A) 2апЖ 0
0
0 0
- ?<»> 0
0 Д, - ?<'>
= 0
35) Орбитальный магнитный момент позитрония равен нулю,
так как вклады в него электрона и позитрона компенсируют друг
Друга.
595
(ДоA) — сдвиги уровней пара-(орто-) позитрония, определяющие
его тонкую структуру). Его решение дает сдвиги уровней
*№ = у [(Л0 + ДО ^ Д/(Д1 - ДоJ + 16I4»8]. 4°4=Al-
Таким образом, компоненты уровня ортопозитроиия с 5г =
= ±1 в рассматриваемом приближении вообще не испытывают
сдвига в магнитном поле. Сдвиг же компонент с S2 = 0, как и
в предыдущей задаче, в слабом поле, \1вЖ <Si Л, квадратичен по
Ж и описывается формулой C) из нее, если во второе слагае-
слагаемое ввести множитель, равный 4. В случае сильного поля, Лоп)^
<S [Хв<Ж, сдвиги уже линейны: Е\2 *** -F 2цвЖ
Правильные спиновые функции нулевого приближения для
состояний с 5г = 0, «перемешиваемых» магнитным полем, опре-
определяются по известному общему правилу и имеют вид
v _ ГA) v +ГB> v Г<'> - 2|АВ^ гB)
*1 B) — °1 B) АО, 0 • °1 B)А1, 0' °1 B)— „A) Ь1B)-
? 1 B) ~ Д0
В частности, в случае сильного поля имеем CJ'j2> яг Т Cf|2)>
так что
т. е. проекции спинов частиц на направление поля ЗС уже имеют
определенные значения — естественный физический результат.
В случае же слабого поля «перемешивание» состояний мало
(однако это обстоятельство, тем не менее, существенно сказы-
сказывается на времени жизни позитрония, см. в связи с этим 11.61).
11.44. Рассматриваемый сдвиг уровня равен Ь.Е = — %Ж2,
где % определяется известной формулой для диамагнитной вос-
восприимчивости 36)
(среднее значение гг вычисляется для основного состояния ато-
атома водорода). Этот сдвиг одинаков для всех спиновых состоя-
состояний электрона. Зависящая от спинового состояния электрона (и
36) Здесь <х=е2/Йс« 1/137 — постоянная тонкой структуры.
Подчеркнем, что малость ~<х2 в величине % отражает реляти-
релятивистский характер взаимодействия с магнитным полем, сравнить
со значениями 0 ~ а\ поляризуемостей атомных систем в элек-
электрическом поле.
596
доминирующая!) часть сдвига уровня рассмотрена в 11.41, см.
также 11.42.
11.45. Согласно известной формуле для диамагнитной вос-
восприимчивости получаем
a-l, 2
Здесь средние значения л2 вычисляются с волновой функцией
из 11.6, причем Z3(|j = 27/16. Численное значение восприимчи-
восприимчивости согласно A) составляет %ат = —2,77-10~30 см3 (см. под-
подстрочное примечание в предыдущей задаче). При нормальных ус-
условиях можно считать все атомы газа находящимися в основ-
основном состоянии, так что для магнитной восприимчивости 1 см3
газа гелия получаем
здесь щ = 2,69-1019 см~3 — число Лошмидта.
11.46. Рассматриваемое состояние имеет момент / = 0, a era
невозмущенная в. ф. Ч'о = Vх е~хг/л/2п г, см. 4.10. Диамагнит-
Диамагнитный сдвиг уровня равен
так что магнитная восприимчивость
е2
Ха ^ ~ 12mcW ' B>
Условие применимости полученного результата: АЕ0 <С | ?о | =
== ft2x2/2m.
Полученные формулы справедливы и для состояний частицы
с малой энергией связи и орбитальным моментом ( = 0 в доста-
достаточно произвольном короткодействующем потенциале (отрица-
(отрицательный атомный ион) Us (г) радиуса rs, когда область лока-
локализации частицы, она —к~1, много больше rs. При этом домини-
доминирующая роль больших расстояний проявляется в расходящемся
при и-»-0 характере зависимости ДЯ0 и %о от энергии связи
частицы. Поправка на конечность (rs ф 0) радиуса потенциала
определяется введением в полученные выражения множителя
С2^, где Си0 — асимптотический коэффициент, сравнить с 11.36.
При этом, в частности, магнитная восприимчивость
597
11.47. Ввиду того, что в. ф. состояния частицы с малой
энергией связи убывает на больших расстояниях достаточно мед-
медленно, а возмущение (его квадратичная по полю часть)
^^^\г A)
при этом возрастает, доминирующую роль в интеграле матрич-
матричного элемента (Uz | [ffir]21 \lz), определяющего оо Ж2 диамагнит-
диамагнитную часть сдвига уровня, играют большие расстояния37). Вне
области действия потенциала Us в. ф. невозмущенного состоя-
состояния имеет вид, указанный в 11.37. При вычислении матричного
элемента возмущения этим выражением для в. ф. можно вос-
воспользоваться уже прн всех значениях г (вклад области r^.rs не-
несуществен). Теперь, имея в виду значение интеграла
(см. [33, с. 707]), легко находим энергетические сдвиги (ось г
направлена вдоль магнитного поля):
s——, (Ю | sin2 6 | 10) \ г3к1р Ыг) dr =
2птсл ч ' J 3'2
о B)
'-'•'z~=' 2mc ""
Подчеркнем, что линейный по полю член возмущения A) при-
приводит только к линейному же по Ж парамагнитному сдвигу
уровня (высшие поправки по нему равны нулю). Напомним так-
также, что С2! оо х при и->0, см. 11.37, так что Д?B> оо х.
37) Это проявляется в расходимости восприимчивости при
х->-0. Отметим, что при значениях момента / ^3= 2 роль больших
расстояний уже не выделена. Диамагнитная восприимчивость
определяется видом волновой функции на расстояниях ~rs и
ее величина
Хдиа ~ e2r2s/mc2
зависит от конкретного вида потенциала Us. Сравнить со свой-
свойствами поляризуемости слабосвязанных состояний, рассмотрен-
рассмотренными в 11.36 н 11.37.
598
11.48. Возмущение гамильтониана молекулы при наложении
однородного магнитного поля имеет вид
Здесь суммирование ведется по всем электронам молекулы, L и-
S — их суммарные орбитальный и спиновый моменты, а ядерным-
магнетизмом ввиду его малости ~ ше/Мпл пренебрежено.
Используя выражение для с. ф. ^V^vKM невозмущенного га-
гамильтониана молекулы, приведенное в 11.40, и указанный там
способ вычисления матричных элементов, замечаем, что в пер-
первом порядке по 36 сдвиг уровней молекулы отсутствует, так как
Л = 5 = 0 и
УС (ПлПол) - лпо = лпо= о.
Сдвиг уровня за счет второго слагаемого в выражении A) ра-
равен
\ ^пГкм ? {r%k - XalXak} 4>%ки *'. B)
а
Проинтегрировав по координатам электронов и переменной R,
получаем
где a, b — некоторые постоянные, не зависящие от квантовых чи-
чисел К и М. Воспользовавшись соотношением
щ = \
У
KM I ""- BК_1)BЛ; + 3)
(см. 8.11), согласно формулам B) и C) находим
ЕКМ = 8тс2 {а-Ь BК-1)BК + 3) ]' D)
Теперь заметим, что вклад второго приближения теории воз-
возмущений для слагаемого V = цвЬЛ? в выражении A) имеет
такую же зависимость от К и М, как и в формуле D). Это свя-
связано с тем, что вся зависимость от К, М в соответствующей
сумме (VIII. 1) определяется, по существу, лишь матричным эле-
элементом возмущения, а в энергетических знаменателях ею можно
пренебречь ввиду малости вращательной энергии. Поэтому после
выполнения суммирования по всем промежуточным состояниям в
599
•формуле теории возмущений второго приближения она прини-
принимает вид, аналогичный выражению B).
Таким образом, формула D) определяет искомое зееманов-
ское расщепление вращательных уровней двухатомной молекулы
•с электронным термом '2, возникающее во втором порядке по
магнитному полю. Заметим, что вклад в сдвиг уровня Е^м не-
непосредственно от квадратичного по Ж слагаемого в A) положи-
положителен. Он, как и в случае атомов с L = S = 0, соответствует
диамагнетизму молекул. Вклад же второго приближения от ли-
линейного по Ж слагаемого в A) (отсутствующий в случае ато-
атомов с L = S = 0) может иметь оба знака. В частности, если
рассматриваемый молекулярный терм является основным, эта
часть сдвига отрицательна.
В заключение заметим, что для молекул с термами, отлич-
отличными от 12, сдвиги уровней в слабом магнитном поле линейны
по Ж, см. задачи к § 113 из [1].
11.49. Оператор взаимодействия частицы с атомом (обычное
электростатическое взаимодействие системы зарядов) с учетом
малости по сравнению с расстоянием между ними размера атома
имеет вид (Ze — заряд частицы, атом — в начале координат)
0 = геФат (R) = Ze { -^- + Фат. квадр (R) + .., }. A)
Потенциал же взаимодействия U (R) частицы и атома при их
медленном относительном движении, когда возбуждением атома
можно пренебречь, в соответствии с основной идеей адиабатиче-
адиабатического приближения (см. задачи § 6 главы 8, особенно 8.58) оп-
определяется изменением энергии атома под влиянием взаимодей-
взаимодействия A) и получается усреднением этого оператора, рассматри-
рассматриваемого как возмущение, по состоянию атома, т. е. U (R) = U.
В первом порядке теории возмущений G=0, так как все муль-
типольные моменты атома обращаются в нуль ввиду сферической
симметрии (для состояний с L = 0). Во втором порядке, огра-
ограничиваясь в A) первым, наиболее медленно убывающим с ро-
ростом R дипольным слагаемым, получаем искомый потенциал вза-
лмодействия:
.__AfiiY-_.
4R*
B)
Здесь учтено, что возмущение V = Ze dR/R3 эквивалентно вза-
взаимодействию атома с однородным электрическим полем
,& = — ZeR/R3, и использовано значение ро = 9о|/2 для поля-
поляризуемости основного состояния атома водорода. Подчеркнем,
600
что взаимодействие B) (его называют поляризационным) имеет
характер притяжения и убывает со R с ростом R.
11.50. Как и в предыдущей задаче, взаимодействие опреде-
определяется дипольным слагаемым V — Ze (dR)/Rb (при этом сущест-
существенно, что молекула находится в состоянии с вращательным
числом К = 0, так как в противном случае доминирующим будет
квадрупольное взаимодействие, отличное от нуля уже в первом
порядке теории возмущений и убывающее с ростом R как R~3).
Соответственно
здесь в поляризационном потенциале использовано значение по-
поляризуемости молекулы из 11.40 (при К = 0).
11.51. Вообще говоря, U (R) oo R , что соответствует вза-
взаимодействию заряда с дипольным моментом, наличие которого
у невозмущенного атома водорода в возбужденном состоянии
связано со специфическим для кулоновского потенциала случай-
случайным вырождением уровней с различными значениями / и раз-
различной четностью. Коэффициент пропорциональности в указан-
указанном законе зависит от состояния атома, причем соответствующие
независимые состояния38), диагонализующие возмущение — точно
такие же, как для атома в однородном электрическом поле, и
для уровня с п = 2 рассмотрены в 11.33.
В заключение отметим, что среднее значение U(R) по всем
независимым состояниям атома водорода с данным п обращает-
обращается в нуль. Также равно нулю и среднее значение следующего,
о
°о R , члена в потенциале, соответствующего взаимодействию
частицы с квадрупольным моментом атома. Значение U (R) oo R
носит рассмотренный в двух предыдущих задачах поляризацион-
поляризационный характер.
11.52. Потенциал взаимодействия атомов U(R) определяется
электронным термом E(R), см. [1, § 89]. Для атомов, находя-
находящихся в основных состояниях, терм E0{R) можно рассчитать ва-
вариационным методом. В рассматриваемой задаче гамильтониан-
электронной подсистемы имеет вид
Н = Н01+ Н02 + U~ Яо1 + Я02 _
38) Для них проекция орбитального момента на направле-
направление R имеет определенное значение. При этом вектор d направ-
направлен вдоль R, причем d = 0 в состояниях с 1г = ±(п— 1). Сле-
Следует, однако, иметь в виду, что при движении частиц между рас-
рассматриваемыми состояниями возникают переходы, сравнить,
с 11.55.
60t.
где //oiB) — гамильтонианы изолированных атомов водорода, а
их взаимодействие учитывается в диполь-дипольном приближе-
приближении, сравнить с 11.49.
Среднее значение энергии системы Е(а, R) в состоянии с
волновой функцией Ч^ров легко найти, если учесть значения
следующих интегралов:
1) @ | х | 0) = \ хЧ?\ (r) dV = 0 ввиду нечетности по х подын-
подынтегральной функции; аналогично равны нулю все интегралы, в
которых какая-либо из компонент векторов г4 или г2 входит в не-
нечетной степени;
2) @ | Но | 0) = — е2/2аа, так как Ч?а является собствен-
собственной функцией оператора Но;
4) @ | xffox | 0)=@ | уНоу | 0)=@ | zHoz | 0>= J (*?„) Ho (z?0) X
X dV = 0, наиболее простой способ вычисления таких матричных
элементов указан в начале решения задачи 11.31.
В результате получаем (при этом С2 « 1 — 6а2а^ из усло-
условия нормиродки на единицу пробной в. ф.)
~Р п\ &г л 2 2 3 i 2 4 1
ав в R3
и после минимизации по параметру а находим приближенное ва-
вариационное значение энергии основного состояния рассматривае-
рассматриваемой системы из двух атомов водорода E0(R) и энергии их вза-
взаимодействия U(R):
е2 eV
здесь слагаемое —е2/ав соответствует энергии двух изолирован-
изолированных атомов.
Полученный закон изменения с расстоянием энергии взаимо-
взаимодействия атомов U со R~6 соответствует силам Ван-дер-Ваальса.
Отметим, что точный численный расчет приводит к значению ко-
коэффициента, равному 6,5 (вместо 6 в формуле A)).
11.53. Взаимодействие молекул возникает во втором по-
порядке теории возмущений по диполь-дипольному взаимодействию
(сравнить с предыдущей задачей)
f> (d,<f2) R* - 3 (d,R) (d2R)
602
и определяется выражением
U /m _ FB) ,„, _ V' I <M» I d,d2fl2 - 3 (d,R) (<T2R) | 0, 0) \2
^ '— 0 W)— / ТЕ _i p Б p \ nio '
A)'
где kt, 2 — наборы квантовых чисел, характеризующие стационар-
стационарные состояния изолированных молекул, см. 11.40. При этом су-
существенно, что вращательные квантовые числа молекул Ki =
= Кг = 0, так как в противном случае взаимодействие возни-
возникает в первом порядке по квадруполь-квадрупольному взаимо-
взаимодействию и убывает с расстоянием как R~s.
Теперь заметим, что доминирующую роль в сумме A) иг-
играют слагаемые, отвечающие таким состояниям, все квантовые
числа которых, за исключением К и М, такие же, как и у стал-
сталкивающихся молекул, так как при этом аномально малы энерге-
энергетические знаменатели (ввиду малости вращательной энергии,
сравнить с 11.40). Направив ось г вдоль вектора R и выполнив,
в матричных элементах интегрирование по координатам электро-
электронов и относительному расстоянию между ядрами для каждой,
из молекул, запишем сумму A) в виде
U
<*>=- z
,, К2М2\ 3nlzn2z - п,п2 | 0, 0) |2
B)
здесь in, 2 — единичные векторы, определяющие ориентации осей
молекул, волновые функции состояний | КМ) — соответствующие
шаровые функции. Учитывая их вид (III. 7), находим, что мат-
матричные элементы (КМ \ т \ 00) отличны от нуля лишь при К = 1
и равны при этом
A1 |«*|00> = <ll|sin9cos(p|00>=-<l,-1 1/1*100) = —?=-,
-уб
A1 | пу | 00) = A, - 1 | пу | 00) = -т=-. (Ю | пг | 00) = - -±=г..
Окончательное выражение для энергии взаимодействия мо-
молекул принимает вид
44
(ван-дер-ваальсовское притяжение).
11.54. Рассматриваем электрон в совместном поле двух оди-
одинаковых атомов как находящийся в поле двух потенциалов
нулевзго радиуса. Электронные термы такой модели был».
603"
•определены в 11.28, откуда следует, что обменный потенциал на
больших расстояниях равен
^-aIi. A)
Записав теперь потенциал взаимодействия для четного и нечет-
нечетного термов в виде Ug: и (R) = Uo (R) ± -5- Л (R), находим для
общей их части выражение
в котором также учтен согласно 11.49 поляризационный потен-
потенциал, при этом Ро — поляризуемость атома (этот достаточно мед-
медленно убывающий с расстоянием потенциал при более последо-
последовательном рассмотрении должен учитываться в потенциале вза-
взаимодействия электрона с атомом, приводящем к образованию
иона). Заметим также, что для вывода взаимодействия B) из
формулы C) задачи 11.28 последовательными итерациями, ее
•следует переписать в виде (ai = а,г = а*)
>ce,B-a = ±-i.exp(-xg,B«)»±-i-e-a«--i-e-2a/?.
Здесь для xg, и в показателе экспоненты использовано его зна-
значение первого приближения, xgt ц я* a ± e~ /R, и выполнено
соответствующее разложение экспоненциального сомножителя.
11.55. Потенциалы взаимодействия (для различных состоя-
состояний) получаются в результате диагонализации оператора диполь-
ного взаимодействия атомов
V =
(d1d2)^2-3(d1R)(d2R)
где п, 2 — радиусы-векторы электронов в атомах водорода отно-
относительно своих ядер, сравнить с 11.49. Такая диагонализация
проводится на базисе из собственных функций оператора Га-
Гамильтона #о = #01 + #02 для двух невзаимодействующих друг
с другом атомов водорода, отвечающих вырожденному невозму-
невозмущенному уровню
F@) __J !_=_A
9 9
2п\ 2«2 8
(одно из п равно 1, а другое 2). В условиях задачи для выро-
вырожденных состояний отличны от нуля как матричные элементы
операторов di, 2, так и возмущения V.
¦604
С учетом того, что:
1) матричные элементы di, 2 отличны от нуля лишь для со-
состояний с различной четностью,
2) проекция момента на направление R является интегра-
интегралом движения, а также
3) симметрии задачи относительно обоих одинаковых ато-
атомов, — вид комбинаций невозмущенных собственных функций,
диагонализующих оператор возмущения V, т. е. являющихся
правильными функциями нулевого приближения, представляется
очевидным:
4^
V2
s; Is});
2рО; Is));
?7,8 = —)=- (| ls;2p, _i)±|2p, -1; Is».
V2
Здесь первые символы Is, 2s, 2pm в векторах состояний |...>
характеризуют состояние электрона в первом атоме, вторые —
во втором (каждый из атомов с вероятностью 1/2 находится
как в основном, ls-состоянии, так и в возбужденном состоянии
с п = 2, ось г направлена вдоль вектора R).
Воспользовавшись известными выражениями для «водород-
«водородных» в. ф. Wnim = RniYim, см. (IV. 3) и (III. 7), находим значе-
значения отличных от нуля матричных элементов B//n|r|ls):
B)
iy\ls)=~ <2p, -\\x-ty\ls)=i д/|-
Теперь, записав
did2 = -J (*i + lVi) (-«г — iyi) + -j (Xi — iyi) (x2 + iyi)
нетрудно найти потенциалы диполь-дипольного взаимодействия
Ua(R) = <а] Р| а) в указанных выше A) состояниях, а = 1 -е- 8.
Они имеют вид
4 2
Ua(R) = ga-^f, где gi,2=0, g3, «=Т-д-,
605
В заключение отметим, что при относительном движении ато-
атомов направление вектора R в пространстве изменяется. Поэтому
между рассмотренными, почти вырожденными состояниями A),
являющимися собственными векторами «мгновенного» гамильто-
гамильтониана, будут возникать переходы, см. в связи с этим 13.89.
11.56. Потенциал взаимодействия U(R) = hE(R) опреде-
определяется изменением энергии АЕ валентного электрона, вызванным
его дополнительным взаимодействием с другим атомом. Это
взаимодействие можно описать короткодействующим потенциа-
потенциалом Us(r) с радиусом действия порядка атомного размера. Вви-
Ввиду того, что область локализации валентного электрона по ус-
условию задачи достаточно велика: L я* Kq' ^> ав, сдвиг уровня
определяется формулой теории возмущений по длине рассеяния
?IЧ, A)
т
где ^'"'(г)—невозмущенная в. ф. валентного s-электрона, as —
длина рассеяния электрона на «чужом» атоме, см. 11.4 и 4.29.
Сделаем несколько заключительных замечаний в отношении
условий применимости выражения A).
1) Предполагается, что \as\ -С L, см. 11.4. Это означает,
что не существует слабосвязанного отрицательного иона для
«чужого» атома.
2) Эта формула справедлива для расстояний R ~ L. На
больших расстояниях она приводит к экспоненциально малому
сдвигу. Прн этом взаимодействие атомов будет определяться
ван-дер-ваальсовскими силами (считается, что оба атома нахо-
находятся в S-состояниях).
3) Формула A) требует уточнения в случае, когда орби-
орбитальный момент / слабосвязанного электрона отличен от нуля.
Теперь взаимодействие будет зависеть от значения проекции мо-
момента на направление вектора R. Если 1г = 0, то потенциал
по-прежнему описывается выражением A). В случае же 1г ф О
формула A) дает U(R) = 0; при этом сдвиг уровня будет
определяться взаимодействием электрона с атомом в состоянии
с относительным моментом, равным \1г\.
4) Отметим, что формула A) описывает также взаимодей-
взаимодействие отрицательного иона со слабосвязанным внешним элек-
электроном с «чужим» атомом (для «своего» атома заведомо не вы-
выполнено условие 1), см. в связи с этим 11.54).
11.57. Ввиду малости времени пролета р-электрона через
атом, в результате его взаимодействия с атомным электроном
состояние последнего не успевает заметно измениться и задачу
можно решать в приближении ,внезапных воздействий, считая
606
что гамильтониан электрона до распада ядра Hi, в момент рас-
распада мгновенно превращается в Яг, здесь39)
При этом в. ф. атомного электрона непосредственно сразу после
распада ядра (в момент времени t = 0), как и до его распада,
имеет виц
4ls(r, Z) = VF/3te~Zr с 2=1.
Изменение энергии атомного электрона происходит только в мо-
момент распада ядра, а при t > 0 среднее значение ее уже не за-
зависит от времени и равно
? = (Is, Z = 1 | Я2 | Is, 2 = 1> =
^<ls, l|tf,-i|ls, 1) = --§•. A)
Таким образом, средняя приобретаемая при распаде ядра энер-
энергия атома (за счет р-электрона) составляет
?пр = ? _ Ео = —1 а. е. = -27,2 эВ
(?„р < 0, т. е. энергия атома (иона) уменьшается).
Вероятность электрону остаться в основном состоянии обра-
образующегося при распаде ядра иона гелия согласно исходной фор-
формуле теории внезапных воздействий, см. 8.47, составляет
729 ~ ' K >
Аналогично, учитывая вид в. ф. 2«-состояния водородоподобного
атома (иона гелия при Z = 2)
W2S (r, Z) = л/1Щп A — Zr/2) e~Zr'2,
находим вероятность перехода в это состояние
г (г Z — ^W (г 7 = П dV
Заметим, что ввиду сферической симметрии гамильтонианов
Hi, 2 в приближении мгновенного вылета ^-электрона орбиталь-
орбитальный момент атомного электрона сохраняется, и так как он ра-
равен нулю в исходном состоянии, то после распада ядра возмож-
39) Эффект отдачи ядра при распаде также несуществен,
сравнить с 11.58. Поэтому ядро на всех стадиях процесса счи-
считается неподвижным и находящимся в начале координат.
607
ны переходы электрона лишь в s-состояния. При распаде ядра
может произойти ионизация атома (иона), т. е. переход атом-
атомного электрона в состояния непрерывного спектра с Е > 0; при
этом угловое распределение вылетающих электронов изотропное.
Впрочем, вероятность ионизации мала, как это видно из рассчи-
рассчитанных значений вероятностей B) и C).
11.58. Обычно под в. ф. атома понимают волновую функцию
электронной оболочки xV(fi, r2, ..., r,v) (спиновые переменные
для краткости записи опущены), а атомное ядро считается не-
неподвижным и находящимся в начале координат. При этом сво-
свободное равномерное движение ядра (положение которого прак-
практически совпадает с центром масс системы) не влияет на со-
состояние электронов. Для определения изменения состояния атома
при внезапной передаче ядру импульса Р = MV (M — масса яд-
ядра) замечаем, что в силу принципа относительности Галилея оно
эквивалентно изменению состояния системы при внезапном же
изменении на р = —mV импульсов всех электронов (и прежнем
импульсе ядра). Соответственно в. ф. электронной оболочки сра-
сразу после «встряхивания» принимает вид
0(г,, ...,гЛ,), A)
где Ч'о — в. ф. непосредственно перед «встряхиванием», сравнить
с 6.26. Дальнейшая эволюция волновой функции атомных элек-
электронов определяется уравнением Шрёдингера, а вероятности воз-
возбуждения различных стационарных состояннй атома
2
,dr
B)
от времени не зависят, сравнить с 8.47.
В частности, для водородоподобного атома, находящегося
в основном, ls-состоянии, вероятность остаться в исходном со-
состоянии согласно формуле B) равна (q = tnP/AM):
гв
\ exp ( /qr | dV
J V % )
2 1
C)
При этом суммарная вероятность возбуждения и ионизации ато-
атома w = 1 — а>о. Для нее в предельных случаях слабого,
<^С 1, н сильного, qaB/Z S> 1, «встряхивания» имеем
.-BZ/</oB)8«l, <7flB/Z»l
(заметим, что qaB/Z = Vlvar, где уат = ZA/тав — характерная
скорость электрона в исходном состоянии).
608
11.59. Имея в виду адиабатическое приближеиие для <Нц-си-
стемы, см. 11.30, замечаем, что когда дейтрон и тритон сбли-
сближаются до ядерных расстояний, на которых протекает реакция
синтеза dt->noc, волновая функция мюона сводится к в. ф. ос-
основного состояния водородоподобного атома с зарядом ядра
Z = 2. Далее, в результате реакции образуется быстрая а-ча-
стица (ядро 4Не) и вероятность подхвата ею мюона, т. е. обра-
образования мюонного атомного иона (ца)+, определяется фор-
формулой B) предыдущей задачи. Доминирующую роль играет
подхват мюона в основное состояние, вероятность w0 которого
рассчитывается непосредственно по формуле C) этой задачи,
если в ней положить Z=2, а под а,ъ понимать мюонный радиус
Бора. Значение q2 при этом определяется энерговыделением
17,6 МэВ в реакции dt->na, из которых 3,52 МэВ приходится
иа a-частицу. Учитывая, что т^ = 207me, ma = 7286me, находим
q2a\ я» 35,5 н соответственно а>о « 9,3-10~8. Таким образом,
один мюон может вызвать около 100 актов реакции dt-> na. Бо-
Более точные расчеты, учитывающие адиабатические поправки в
волновой функции, конечность отношения т^/та, а также и пе-
переходы в другие связанные состояния системы (jia) + приводят
к числу я» 160 актов реакции синтеза (при этом отношения вре-
времени жизни мюона как ко времени образования dt^-cncTeMbi ос-
освободившимся мюоиом, так ч ко времени протекания реакции
синтеза в мезомолекулярном ионе, см. 11.74, существенно боль-
больше этого числа).
11.60. Волновая функция всей системы непосредственно пе-
перед «встряхиванием» имеет вид
^сист = ^ (^ц. м) ' ^0 (Pi ~~ Чц. м' • • ¦' PjV ~ Кц. м*> ^1 "~ ^г).
Здесь в. ф. 4r(R4. м) описывает движение центра масс системы,
а Wo является волновой функцией «внутреннего» состояния мо-
молекулы. Именно ее имеют в виду, когда говорят о состоянии
молекулы, сравнить с 11.40, при этом га = ра — R4. M являются
радиусами-векторами электронов относительно центра масс мо-
молекулы.
Считая, что импульс Р передается ядру 1, радиус-вектор ко-
которого Ri, имеем в. ф. системы сразу после «встряхивания» в
виде
(i)CIlcT. A)
Учитывая соотношение (R = Ri — R2, М = Mi + Afs
Ri = Ru. м + -д^- R - -?j-
a
20 В. М. Галицкий и др. 609
из формулы A) находим изменение волновой функции молекулы
в результате «встряхиваиия> (сравнить с A) из 11.58 для ато-
атома):
Теперь вероятности переходов в молекуле вычисляются по обыч-
обычной формуле w (О -> п) = | ОРп | ? о) |2, при этом в матричном
элементе проводится интегрирование по координатам всех элек-
электронов, относительному расстоянию между ядрами R и по углам,
определяющим ориентацию оси молекулы (а также суммирова-
суммирование по спиновым переменным).
Для молекулы с электронным термом *2 вероятность ос-
остаться в исходном состоянии с квантовыми числами К = v = О
с учетом вида в. ф. из 11.40 определяется выражением
Ш2РЯ imP
B)
Так как по условию Р/М <С v31t ~ h/maB, а характерные значе-
значения координат электронов г ~ аъ, то, заменив множи-
множитель exp f — i (тР/ЛМ) ^ ra \ единицей, в B) получим
г^л I2 dt3JI = 1 (это соответствует тому, что изменение
электронного терма в условиях задачи происходит с малой ве-
вероятностью). Выполнив далее интегрирование по углам (что
легко сделать, направив полярную ось вдоль вектора Р)
ш
sinai?
M2P
— приведенная масса ядер), приводим выражение B) к виду
2
C)
Волновая функция
^о°Л = (М-ше/яйI/4 ехР [— М-»е (R — Я0J/2А]
существенно отлична от нуля лишь в области значений
610
(Ro— равновесное расстояние между ядрами молекулы, сос — ча-
частота колебаний). Поэтому при вычислении интеграла в C) зна-
значение R в знаменателе можно заменить на Ro, после чего он
вычисляется элементарно, так как
= exp (± iaRo — Аа2/4цсое)
(ввиду быстрой сходимости интегрировать можно в бесконечных
пределах).
В результате окончательное выражение для вероятности мо-
молекуле остаться в исходном состоянии с квантовыми числами
К = v = 0 принимает внд
Появление в нем двух сомножителей имеет простой смысл. Пер-
Первый из них, [(sin aRo)IaRo]2, определяет вероятность того, что
не возбуждаются вращения. Он становится заметно отличным
от 1 лишь при условии aR0 JS 1, или iiVR0 $S ft. Это — естест-
естественный физический результат, если учесть, что liVRo характери-
характеризует величину передаваемого молекуле момента, и иметь в виду
условие квантования момента. Второй сомножитель в выражении
D) определяет вероятность того, что не возбуждаются колебания
молекулы. Как видно, условие возбуждения их Йа2 J3 цсое) нли
цУ2 ^ Йсое, что не требует комментария.
11.61. Физическая причина существенного влияния магнит-
магнитного поля на время жнзни позитрония определяется тем обстоя-
обстоятельством, что оно «перемешивает» орто- и парасостояния, см.
11.43, имеющие сильно различающиеся времена жизни. Времена
жизни возникающих при этом квазистационарных состояний оп-
определяются соотношением
где гг»о<1) ==г | ^-0A) |2 являются вероятностями нахождения пози-
позитрония в пара- (орто-) состоянии. Спиновые функции для основ-
основного состояния позитрония в магнитном поле были установлены
в 11.43. Так как состояния ортопозитрония с проекцией спина
Sz = ±1 на направление магнитного поля остаются (квази) ста-
стационарными и ие искажаются слабым полем, то время жизни
их не изменяется.
20* 611
Совершенно иная ситуация имеет место для состояний с
Ss — 0. Теперь магнитное поле «перемешиваете орто- и парасо-
стояния. Воспользовавшись результатами 11.43 для коэффициен-
коэффициентов С^',), согласно A) находим
Здесь у = y\J\ + DцвЭ?/ДJ (д — тонкое расщепление основного
уровня позитрония), знаки + и — соответствуют состояниям 1
и 2, первое из которых при выключении магнитного поля описы-
описывает парапозитроний, а второе—ортопозитроний. Так как ti 3>
» То, то из B) видно, что даже слабое магнитное поле сильно
влияет на время жизни ортопозитрония, уменьшая его:
(этот результат непосредственно следует из выражения A), если
в нем воспользоваться значениями коэффициентов С\ да 1 и
С1!*,2' да 2цв5?/Д согласно формуле (VIII. 2) теории возмущений).
По мере увеличения магнитного поля значение fi также уве-
увеличивается, а Тг уменьшается и в сильном поле, когда цв<Э# > А,
эти времена жизни сравниваются: Т\ да т2 да то/2 (при этом в
рассматриваемых состояниях 1 и 2 с равной вероятностью пред-
представлены орто- и парасостояиия позитрония).
11.62. Физическая причина сильного влияния даже слабого
электрического поля на время жизни 2з-состояния атома водо-
водорода состоит в том, что оио «перемеши-
«перемешивает» его с 2р-состояиием, а последнее
уже быстро излучает фотои, переходя
в основное состояние; сравнить с пре-
» Т 2' дыдущей задачей. Выделенность 2р- (и
' *• ¦ особенно 2pi/2-) состояний определяется
Рис- 40 почти вырожденностью их по энер-
энергии с 2з-состояиием. Схема уровней, возникающих из нере-
нерелятивистского уровня Еп=2 атома водорода за счет реляти-
релятивистских и так называемых радиационных, см. [28], по-
поправок, приведена на рис. 40. Прн этом Als/2jiA = 1058 МГц —
лэмбовский сдвиг, a Afs/2ji/j да 1,Ы04 МГц — тонкая структура.
При наложении слабого электрического поля вместо «чи-
«чистого» 25!/2-состояния возникает суперпозиция
в которой мы ограничились лишь состоянием 2pi/2 ввиду мало-
малости Als по сравнению с AFs (см. ниже). Время жизни такого
612
состояния
Как обычно, из уравнения Шрёдингера, H\WE} — Е^еУ, После-
Последовательным умножением иа <2si/2| и <2pl/2j получаем
где ?<*'— энергия состояния, отсчитываемая от невозмущенного
уровня Е$> а
2si/2> = ' */beaBff. A)
Этот матричный элемент возмущения вычисляется для состояннй
с одинаковыми значениями проекции момента \г = ±1/2 на на-
направление электрического поля и лишь множителем 40) 1/V3 от-
отличается от матричного элемента {2pQ\e&z\2s), вычисленного в
11.33 в пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием.
Мы не будем приводить общего решения") системы урав-
уравнений A), определяющего сдвиги 2si/2- и 2р1/2-уровней и зна-
значения соответствующих коэффициентов Ci, а ограничимся лишь
предельными случаями.
Прн выполнении условия еаъ& <. Als для коэффициентов
Ct, описывающих искажение в. ф. 2s-coctohhhh электрическим
полем, можно воспользоваться результатом теории возмущений
(VIII. 2), согласно которому C2s«l и С2 « F/ALS, и полу-
получить для времени жизни рассматриваемого состояния выражение
1 1 Зе2а2в&2 1
— = 1 — . D)
х X2s ALS T2p
Заметим, что при этом С2 = л]ч V/(Ahs — AFS) и поправка
связанная с учетом 2р3/2-состояния, составляет «4 % от вто-
второго слагаемого в правой части соотношения B).
В случае же ea%S > Als (отметим, что <§а = ALs/eaB «
ж 800 В/см) в рассматриваемой суперпозиции 2s- и 2р-состояния
представлены с одинаковой вероятностью и теперь т ж т2р/2.
40) Он представляет соответствующий коэффициент Клеб-
ша — Гордана, его значение следует, например, из результата
задачи 5.18.
41) Оно может быть получено в результате очевидных пере-
переобозначений из формул, дающих решение задач 11.61 и 11.43
(для состояний с S* = 0).
6C
В заключение отметим, что как в данной, так и в предыду-
предыдущей задачах ширины рассматриваемых состояний Г = Й/т малы
по сравнению с расстоянием Д? между невозмущенными уров-
уровнями. В аналогичных задачах в случае Г53Д.Е необходимо учи-
учитывать затухание состояний, см. в связи с этим [14, с. 118].
11.63. Воспользуемся общей формулой для вероятности пере-
перехода в единицу времени из состояния дискретного спектра в со-
состояния непрерывного спектра под действием периодического воз-
возмущения
rfoi = \F п?д(Е —Е^— Йсо) rfv, A)
см. [1, § 42]. В рассматриваемой задаче возмущение имеет вид
V = - eg (t) г s Ре~ш + F +еш,
причем
В матричном элементе возмущения Fvn = (V^ | F | W^ под
в. ф. Wjj0' исходного состояния следует понимать в. ф.
основного состояния частицы в потенциале нулевого радиуса,
см. 4.10. Выбрав в качестве42) v волновой вектор к вылетаю-
вылетающей при ионизации частицы на бесконечности, под Ч^,' следует
понимать волновые функции Ч^"', см. [1, § 136]. Однако в ус-
условиях рассматриваемой задачи вместо Чг}[""' можно воспользо-
воспользоваться волновыми функциями свободной частицы Ч?^'=Bя)~ X
Хе'кг. Это связано с тем, что в случае потенциала нулевого ра-
днуса Ч^"' отличается от Ч^' лишь слагаемыми, отвечающими
моменту / = 0 (на частицу с / ф 0 п. н. р. не оказывает влия-
влияния), а их вклад в матричный элемент Df'k~'|/:' | Уо) равен нулю.
Таким образом,
rvn — q-j—V е av. (z)
42) Напомним, что v представляет набор квантовых чисел
для описания невозмущенных состояний непрерывного спектра.
Еще один удобный набор v= (k,l,m), где / — момент вылетаю-
вылетающей частицы. При этом матричный элемент возмущения отли-
отличен от нуля лишь для значения / = 1, а соответствующие в. ф.
W^ совпадают с в. ф. Т^т свободной частицы, см. 11.35.
614
Входящий сюда интеграл равен
+ *^-\-?тт C)
dkx dkj^ + k2
(он вычисляется в сферических координатах с полярной осью,
направленной вдоль вектора к). Учитывая, что
dv 53 d*k = k2 dk dQk = m/г dEk
и выполняя в формуле A) интегрирование no?ft = Ev, получаем
dw 2е1тп1
° ^cOs4 + S2sin4), D)
rfQk я/Г (xq + ^¦'J4
при этом направление полярной оси выбрано вдоль оси z, так
что kx = k sin 8 • cos ф; так как Е$ = — h2x%/2m, то для выле-
вылетающих частиц А^ = д/2тАсо — А2Хо •
Отметим следующие закономерности в угловом распределе-
распределении вылетающих частиц. При значениях ?=±1 (отвечающих
круговой поляризации) имеем
go sin2 fl,
что соответствует частице с моментом / = 1 и его проекцией
U = ±1. В случае t, = 0 (линейная поляризация волны вдоль
оси х) угловое распределение
dai/dQkoo cos2 6',
где 8' — угол между вектором к и осью х, что соответствует вы-
вылетающей частице с / = 1 и U = 0.
Выполнив в выражении D) интегрирование по углам, полу-
получаем полную вероятность ионизации в единицу времени
t- «•>
здесь со0 = Ахр/2т — пороговая частота ионизации. Отметим, что
зависимость
w со (со — MoK'2 go k3 при со -> со0
определяется значением момента (йУ&о?2' + 1) вылетающей ча-
частицы, равным / = 1, и связана с проницаемостью центробеж-
центробежного барьера для медленных частиц, сравнить с 9.30.
615
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) При со < (оо вероятность ионизации согласно A), E)
равна нулю. В этом случае она определяется более высокими
порядками теории возмущений.
2) Отметим, что обобщение полученных результатов D) и
E) на случай ионизации состояния с малой энергией связи и
моментом 1 = 0 в короткодействующем потенциале Us(r), учи-
учитывающее конечность его радиуса, rs ф 0, получается введением
в эти формулы множителя С^о, сравнить с 11.36.
3) Подчеркнем, что кроме обычного условия применимости
теории возмущений, [ Fm |<| Ev — Еп |, или ет&о/Л2^<1,
справедливость выражений D) и E) предполагает выполнение
еще двух условий: xors < 1 и krs < 1. Первое из них отражает
слабосвязанный характер рассматриваемого состояния, а второе
накладывает ограничение на частоту волны, Ай> •< h2lmr\. В про-
противном случае в интеграле матричного элемента Fvn существен-
существенную роль будет играть область расстояний г ^г^ (в случае krsj3
^51 это связано с быстрыми осцнлляциями e'kr). B которой
волновые функции W^ и ?^*уже зависят от конкретного вида
потенциала и замена его потенциалом нулевого радиуса ие оп-
оправдана.
4) Рассматриваемое состояние в периодическом во времени
поле волны, строго говоря, является уже квазиэнергетическим,
см. § 5 главы 6. Соответственно по формуле (8) из 8.42 можно
рассчитать его квазиэнергию, мнимая часть которой определяет
ширину этого КЭС, связанную с вероятностью ионизации E)
соотношением Г = hw, см. в связи с этим 11.66.
Отметим, наконец, что в последнее время интенсивно иссле-
исследовалось поведение атомных систем в поле сильной волиы, см.
монографию [21].
11.64. Задача решается аналогично предыдущей. Ввиду сла-
слабосвязанного характера рассматриваемого состояния, xors <?. 1,
и предполагаемого ограничения на частоту волны Йсо -с А2/тл|,
в матричном элементе возмущения {v\e&z\n) (ось г направлена
вдоль вектора & (t)) существенную роль играет область больших
расстояний43) г»rs, на которых для волновой функции ис-
исходного состояния ^n^^x,i = [,mможно воспользоваться выра-
выражением A) из задачи 11.37. Волновую функцию конечного со-
состояния, как и в 11.63, можно взять в виде плоской волны
ЧГ^~'=ЧГ)С (это связано с тем, что вылетающая частица являет-
*) Сравнить со случаем статического электрического поля
в условиях задачи 11.37.
616
ся медленной, krs <1, и соответственно малы фазовые сдвиги
bi~(kr^f+l, см. (XIII. 15), определяющие при г > rs отли-
отличие радиальных в. ф. от случая свободной частицы). С учетом
этих замечаний и выражения Ylm(n) = a.i(m)xi/r для шаровой
функции, см. 3.41, матричный элемент возмущения можно преоб-
преобразовать к виду
(к | е<Уог | у,\т) =
¦ \
причем е ->- 0 (е > 0; сразу полагать е = 0 нельзя из-за воз-
возникновения «искусственной» расходимости интеграла, которая
устраняется после дифференцирования по ?,). Интеграл здесь по-
после выполнения интегрирования по углам в сферических коор-
координатах с полярной осью, направленной вдоль вектора к, при-
принимает вид
—¦ -¦ - -4
2 2 2 x2
B)
см. [33, с. 761], где F—гипергеометрическая функция:
Замечая, что при е-»-0
F (у + е, е, Y. г) « 1 + е ^ -^-= 1 - е In A - г)
и Г(е) « е-1, интеграл в выражении A) согласно B) можно
записать в виде
2я3
Первое слагаемое здесь, расходящееся оо 1/е при е->0, не за-
зависит от k и поэтому не вносит вклада в значение матричного
элемента A).
617
Теперь, учитывая приведенную выше связь щ(т) с Y\m(n),
находим значение выражения
у) + 2/ д/-^ (* + к) бт, 0
определяющего фактически матричный элемент возмущения A),
и получаем угловое распределение вылетающей при ионизации
частицы
dw
2ftmco4 Vcoo
D)
сравнить с выводом формулы D) из 11.63.
Обсудим полученный результат D).
При ионизации из состояний с проекцией момента 1г = ±1,
угловое распределение вылетающей частицы описывается выра-
выражением
4^-«>cos28- sin26oo|y21|2,
что соответствует частице, имеющей момент 1 = 2 и /*=±1.
При этом на пороге ионизации, т. е. при со ->• со0 = hxl/2m,
имеем dffi)/rfQ со (со — сооM'2, как и следует (ook2l + l) при мо-
моменте / = 2; сравнить с предыдущей задачей.
В случае значения U — 0 у связанной частицы угловое рас-
распределение D) описывает интерференцию s- и d-волн; при этом
на пороге доминирует s-волна и
dw/dQ, со (со — сооI'2 при со->-соо-
Выполнив в выражении D) интегрирование по углам, нахо-
находим полную вероятность ионизации в единицу времени. Для ча-
частицы, имеющей в исходном состоянии момент / = 1 и его про-
проекцию 1г = ±1, получаем
618
w, =±, =
z 5тА(?>* ¦
а для частицы с / = 1 и 1г = О
W, _n =-
11.65. Как и в двух предыдущих задачах, расчет вероятно-
вероятности ионизации выполним по формуле A) из 11.63. Теперь, од-
однако,
(используем атомные единицы), но по-прежнему
«Bя)-3/2егкг.
Матричный элемент возмущения
~Zr dv -
4 -
(под интегралом операторы ^х, у, перенеся их действие «налево»,
можно заменить на kx, у, после чего он легко вычисляется в сфе-
сферических координатах с полярной осью вдоль к; в приведенном
выражении учтено, что k « V2co » Z). Соответственно вероят-
вероятность ионизации в единицу времени с заданным направлением
вылета электрона оказывается равной
dw - -.,
^ sin2 в- (cos2 ф-К2 sin2 Ф). A)
Угловое распределение имеет такой же вид, как и в условиях
задачи 11.63, см. формулу D) этой задачи и связанный с ней
комментарий.
Интегрирование выражения A) по углам дает полную ве-
вероятность ионизации атома (иона) в единицу времени:
64(i-к2) ,
w (со) = з Z
здесь мы перешли к обычной системе единиц, «о = tnekjh^.
11.66. Динамическая поляризуемость рп(«) определяет изме-
изменение квазиэнергии (ее квадратичной по полю части) системы,
находящейся в монохроматическом однородном электрическом
поле, в квазиэнергетическом состоянии Ч?г . В случае линейно
поляризованной волны, т. е. электрического поля вида Ж (t) =
= <У0 cos at, КЭС характеризуются определенным значением
619
проекции момента на направление поля (выбираемое вдоль оси
г), так что для их рассмотрения можно воспользоваться разви-
развитой в 8.42 теорией для невырожденных (в отсутствие возмуще-
возмущения) уровней. Отметим, что для состояний с отличным от нуля
моментом в поле эллиптически поляризованной волны возникают
осложнения, связанные с отысканием правильных функпий нуле-
нулевого приближения. Однако для исходных состояний с моментом
I = 0 нх нет, при этом изменение квазиэнергии описывается вы-
выражением
где t, — степень эллиптичности.
Итак, исходным для вычисления Ро(ш) является выражение
(8) из 8.42, которое теперь принимает вид
Ро (со) = 2 \ ^olv^ lzlYo)| dk f A)
J cotn — со — iy
здесь у > 0 — бесконечно малая величина, волновые функции ЧГ
и Ч^~' такие же, как и в 11.63, Ео = —х2/2 — энергия рассмат-
рассматриваемого невозмущенного состояния, ?ft = /г /2 н со^0 =
= (/г2 + х2)/2, при этом используем систему единиц е = А = т. =
= 1.
Матричный элемент координаты z в выражении A) был
вычислен в 11.63. Его угловая часть со кг = к cos 8, и после эле-
элементарного интегрирования по углам (d3k = k2dkdQ) выраже-
выражение A) оказывается равным
оо
„ - . 32х„
Входящий сюда интеграл вычисляется с помощью вычетов за-
замыканием контура интегрирования, например, в верхнюю полу-
полуплоскость комплексного переменного к. Вычисления можно не-
несколько упростить, если предварительно выполнить простые ал-
алгебраические преобразования н записать сначала подынтеграль-
подынтегральную функцию в выражении B) в виде
1 , 1
1 1
- 4С02 - iy J •
C)
4со2 D + k2
При этом интеграл от первого слагаемого в скобке вычисляется
элементарно (и особенно просто, если записать в нем (г + k2) 3
620
с «=Xq как d2(z + ft2) '/2rfz2 и вынести дифференцирование
по г за знак интеграла). Оно дает вклад в Ро(ш), равный
— 1/ш2. Далее, записав слагаемое, отвечающее второму члену в
скобке выражения C), в виде
к* / 2 1 1
32со4 V xl + k2 xg + k2 - 2со - iy xg + k2 + 2co + iy
D)
(со > О), легко приходим к окончательному результату
Здесь мы ввели множитель С^ (квадрат асимптотического ко-
коэффициента), что соответствует обычному обобщению результата,
полученного для потенциала нулевого радиуса, на случай слабо-
слабосвязанного состояния частицы с моментом / = 0 в короткодейст-
короткодействующем потенциале Us (г), сравнить с 11.36 и 11.63.
Отметим ряд свойств выражения E) для динамической по-
поляризуемости.
1) Для малых частот, со < Xq, имеем
fZ^iY Где po = _L_c2o, F)
при этом р*о воспроизводит значение статической поляризуемо-
поляризуемости из 11.36.
2) При значениях частоты со > xjj/2 (выше порога иониза-
пии) у Ро(«) появляется мнимая часть, определяющая ширину Г
рассматриваемого состояния, Е° *) = Д? — /Г/2,
Наличие ширины квазиэнергетического уровня отражает возмож-
возможность ионизации системы, вероятность которой в единицу вре-
времени w = Г (так как Й = 1) совпадает, естественно, с резуль-
результатом из 11.63.
3) В случае потенциала нулевого радиуса С^о = 1 и нз
выражения E) имеем Ро(ш) « — 1/со2 при со->-оо в согласии с
общим результатом, см. 6.40. Для потенциала же конечного ра-
радиуса rs формула E) применима лишь для ие слишком больших
частот (й<?г$2, см. по поводу этого ограничения 11.63.
621
11.67. Наиболее существенный, экспоненциальный множитель
в искомой вероятности определяется проницаемостью электро-
электростатического барьера V = —e&z и равен (ниже е = А = т = 1)
v iff /-;
» D ^ „П -2 Wxg -
1 Г
-J- exp j -
(i)
Здесь b = xl/2ff—правая точка поворота, левая точка поворота
а ~ rs, где rs — радиус потенциала и положено Xofs <C 1 (слабо-
(слабосвязанная частица, ее энергия Ео = —^о/^) ^ наконец, oyrs —
число ударов о барьер в единицу времени; сравнить с 9.30 и 9.28.
Для уточнения этого результата заметим, что использованное
в выражении A) значение проницаемости барьера отвечает ча-
частице, движущейся строго вдоль поля (в направлении оси г).
Для частицы, движущейся под углом 6 к полю, барьер менее
прозрачен и это обстоятельство качественно можно учесть, счи-
считая, что эффективное электрическое поле для нее есть Ж cos 9«
« Ж(\—82/2). При этом для вероятности туннельной иониза-
ионизации частицы из состояния с орбитальным моментом / и его про-
проекцией т на направление поля получаем ")
~ -J \ \
f D (#
C0S
2/ + 1 (/+|m|)! /3ff 2xg\
3^/
(так как существенны лишь малые углы 6 < 1, то в шаровой
функции достаточно ограничиться лишь со б' т сомножителем)
Для короткодействующего потенциала эта формула правильно
передает зависимость вероятности ионизации от напряженности
слабого электрического поля как в экспоненциальном, так и в
предэкспоненциальном сомножителях.
44) Строго говоря, в выражение B) следовало бы также
ввести множитель ~ (x0rsJ'+I, учитывающий уменьшение веро-
вероятности вылета частицы из-за центробежного барьера, сравнить
с 9.30.
622
11.68. Гамильтониан системы «ядро + электрон> имеет вид
Здесь #Яд — гамильтониан ядерной подсистемы в с. ц. и. ядра
(и всей системы в целом), суммирование проводится по всем
протонам ядра. Записав
U ¦¦
у 1
i-J I «"e — Гр
ге
(начало координат выбрано в центре масс), замечаем, что V
представляет часть взаимодействия, зависящую от состояния
ядерной подсистемы и ответственную за рассматриваемый пере-
переход (в приближении точечного ядра V = 0). Его вероятность (в
единицу времени) рассчитывается по формуле
dw4 = 2n\Vmfb{E4-Ef)dv. B)
Волновые функции, входящие в матричный элемент возмуще-
возмущения Vvn, имеют вид
1 .< '"-' if Tb» i
1 k> k BяK'2 '
где ^o^n — в< Ф# яДеРн°й подсистемы, так что
v3/2 С Г — iitr T^ /I I
г/ ^ \ I щяд * . *кге \ I ' J_
1 Z-I \ | Ге — Гр | Ге
Р
Здесь dt — произведение днфференциалов всех независимых ко-
координат ядра (включая и спиновые переменные).
Для вычисления матричного элемента воспользуемся разло-
разложением кулоновского потенциала в интеграл Фурье:
L |re-fp| 2^ } q2 e
623
при этом
vJ^^Z\ C)
Здесь можно разложить «ядернук» экспоненту в ряд по степе-
степеням qrP. Это соответствует разложению слагаемых |ге — гР| —4 по
малому параметру гр/ге ~ ZR^/ub <C 1 (однако оно менее удоб-
удобно для дальнейших преобразований, чем используемый прием с
переходом к фурье-компонентам). Разложив экспоненту, полу-
получаем
* ( ? ) -*qd10, D)
где dio обозначает матричный элемент дипольного момента ядра.
Далее, проинтегрировав по координатам электрона, что дает
exp [i (q — к) ге - Zre] dVe = " ггщ-,
i^ т ^q — Ki j
приводим матричный элемент C) к виду
Так как скорость вылетающего электрона много больше
атомной45), т. е. k~^>Z (при этом энергия вылетающего элек-
электрона Ek = kzj2 « Яяд, о — ?Яд, i), то в интеграле E) домини-
доминирующую роль играет область значений q, для которых |q — k|$5
^ Z, и поэтому
J3<7 q / Jc_ f d?q_ п?_ _k_
у2 [Zz + (q — кIУ kr J [Z2 -J- (q — k)-4]2 Z kl
(q « k, отсюда, кстати, следует неравенство <?гяд <S 1, непосред-
непосредственно подтверждающее возможность использованного выше
разложения экспоненты). Таким образом,
Vvn= l^2J kd.n. F)
45) Именно в этом случае в качестве волновой функции вы-
вылетающего электрона можно выбрать плоскую иолну (в.ф. сво-
свободного электрона).
624
Так как в формуле B) dv ss №dkdu = kdEkdu, то, выполняя
в ней с учетом F) интегрирование сначала по Я*, а затем и по
углам вылета электрона, находим
igLd|oI.. G)
Так как в атоме имеется два iC-электрона, то полная вероят-
вероятность внутренней конверсии (в единицу времени) на электронах
iC-оболочки равна
32Z3 , . ,2 32т3е* Z3e2 , . ,2 /о.
Юк: — 2с» 3fe—I Л1о1 =~Ш ftirldiol <8>
(в последнем выражении мы перешли к обычной системе еди-
единиц).
С другой стороны, вероятность дипольного излучения фотона
при ядерном переходе
4ш3
см. (XIV. 10), Йо) = mt>2/2, так что коэффициент внутренней кон-
конверсии
wK Z3a* /2mc2
Как видно, он резко возрастает с увеличением Z и с уменьше-
уменьшением частоты оз.
11.69. Задача решается аналогично предыдущей, причем на-
начальная стадия решения обеих задач одинакова. Однако теперь
при вычислении ядерной части матричного элемента уже нельзя
воспользоваться формулой D), так как в условиях данной за-
задачи dio = 0. Беря следующий член разложения экспоненты по
степеням qrp, получаем ядерную часть матричного элемента в
виде
где
625
(при этом предполагается, что четности начального и конечного
состояний ядра одинаковые, в противном случае Qo = 0).
Соответственно матричный элемент возмущения равен
v
и после интегрирования по q, приводящего к 6-функции 6(ге),
получаем
^ = ^00^@)^0@). C)
Теперь легко находим угловое распределение вылетающего элек-
электрона н полную вероятность его вылета (в единицу времени)
(изотропный характер распределения dwfdQ очевиден заранее из
соображений симметрии).
С учетом наличия в атоме двух /(-электронов вероятность
рассматриваемого ?0-перехода равна w?O = 1w. В частности,
если вылетающий электрон является быстрым, k ^> Z, то W^ @)»
« Bя)~3'2, и соответственно
В заключение отметим, что из полученных формул видно, что
доминирующую роль внутренняя конверсия играет именно на
электронах /(-оболочки (так как w со ) *Р @) |2, сравнить с 14.18
и 14.19).
11.70. Гамильтониан системы, состоящей из мюона и элек-
электрона (представляющего один из электронов /(-оболочки), нахо-
находящихся в кулоновском поле ядра с зарядом Z, имеет вид
Так как размер мюонной орбиты много меньше электронной
( «(г= 207«е, а радиус Бора ав со т~'), то этот гамильтониан
естественно записать в виде
Н = #„ + Яе + V,
где
н Х л Z ft J л Z~X
Ml ^ Гр
2«ц
626
В пренебрежении возмущением V рассматриваемая система пред-
представляет две независимые подсистемы: мюонную и электрон-
электронную (с экранированным на 1 зарядом ядра).
Легко заметить, что расчет эффекта Оже совершенно ана-
аналогичен расчету вероятности внутренней конверсии, см. 11.68, так
как формально можно рассматривать мюонную подсистему как
ядро. Более того, формулы, описывающие дипольный (нли Р-)
эффект Оже, получаются из формул задачи 11.68 заменой в них
Z на Z — I и подстановкой мюонных в. ф. начального и конеч-
конечного состояний вместо ядерных в. ф. ^[J'l- Вероятность его (в
единицу времени) с учетом наличия двух iC-электронов имеет
вид
32 (Z-lfe2 тЪР
H2
(сравнить с формулой (8) из 11.68), где v — скорость вылетаю-
вылетающего электрона, dm — матричный элемент дипольного момента
мюона. В частности, для мюонного перехода 2p->-ls имеем
в атомных единицах, т^ = 207) н согласно B) получаем
wp Bр -> Is) « 4,6 • 10й (Z - 1K/г3 с,
сравнить с вероятностью излучения фотона шизл « 1,3- \QllZi с1.
В заключение отметим, что так как размер мюонной орбиты
ап ~ n2/Zm а размер орбиты /(-электрона ~ 1/Z, то jc-
ловием применимости формулы B) является неравенство
п2 <С т л; 200 (прн этом вылетающий электрон является быст-
быстрым).
11.71. Если дипольный переход Оже аналогичен процессу
внутренней конверсии при дипольном переходе ядра, см. 11.68,
то S-переход Оже в случае, когда мюон имеет орбитальный мо-
момент / = 0 и в начальном и в конечном состояниях, является
аналогом конверсии при ЯО-переходе в ядре, см. 11.69. Точно
так же, как решение предыдущей задачи дублировало решение
11.68, решение данной задачи дублирует 11.69.
627
Вероятность рассматриваемого перехода (с учетом наличия
двух iC-электронов) описывается выражениями
сравнить с формулами E) и B) из 11.69.
В частности, используя явные выражения для в. ф. Ч'поо во-
дородоподобного мезоатома, находим для мюонного перехода
2s->-ls значение Q2, = 219/CI0Z4m*), и так как при этом ?2 =
= 3Z2m /4, то согласно A) получаем
Bs_>ts) =-^ (г-'>3 а, e^2t
s V3 З11 mfz*
11.72. Существует 4 (с учетом спина 8) независимых одно-
частичных состояний с главным квантовым числом п = 2: одно
2s-состояние и три 2р-состояння (с h = 0 н ±1). Для элек-
электронной конфигурации 2s2 имеем, очевидно, L = О, /'= +1,
S = 0; при этом в. ф. такого терма 4S+ имеет внд
^-^(^feWxl'p1. («)
где i|Js (/¦) = У23/8я A — Zr/2) e"Zr/2 — в. ф. 2s-coctohhhh водо-
родоподобного атома, а х'ор' — антисимметричная спиновая в. ф.,
отвечающая значению S = 0 (в силу принципа Паули состояния
с S = 1 для конфигурации 2s2 не существует).
Для конфигурации Isip имеем L = 1, / = — 1 и возможны
как синглетные, S = 0, так н триплетные, S = I, состояния. Ко-
Координатные части волновых функций таких термов i3P~ имеют
вид
x*r2s2p = —т= M2S (г\) "фар (г2) ± "фзр (ri) fe Ы), B)
V2
где i|Jp (г) =-^25/32я (ar) e~Zr^ — в. ф. 2р-состояннй, при этом
|а| = 1, см. 3.42, а знаки + и — относятся к значениям S, рав-
равным 0 н 1.
Наконец, с четной, / = +1, конфигурацией 2р2 связаны
как синглетные lS+- и 1?>+-термы, так и триплетный 3.Р+-терм.
Волновые функции этих термов определяются формулой B) из
11.17, где под ф(г) следует понимать радиальную в. ф. 2р-со-
стояния. В частности, для JS+-TepMa имеем
^.L-o-^^fr.r,).-^"^ >'2Х<ГР>. C)
628
В пренебрежении взаимодействием между электронами энер-
энергия всех указанных состояний одинакова и равна Я'0' «=
= —2 (Z2/2n2) = —Z2/4. Она больше энергии основного состоя-
состояния соответствующего одноэлектронного иона, равной —Z2/2, что
и указывает на неустойчивость таких состояний: в результате
электрон-электронного взаимодействия возможен переход одного
из электронов в ts-состояние с одновременным вылетом дру-
другого, сравнить с 11.12.
Перейдем к расчету изменения энергии рассматриваемых со-
состояний за счет взаимодействия электронов друг с другом. Нач-
Начнем с JS+-TepM0B. Так как их два (для конфигураций 2s2 и
2р2), то следует воспользоваться секуляриым уравнением. Вы-
Вычисление матричных элементов дает
D)
|V) = Bp| [2s) = _^
r, — r2] I r, — r21 512 V3
(методы вычисления соответствующих интегралов описаны в за-
задачах 11.5, 11.10 и 11.17). Теперь решение секулярного уравне-
уравнения позволяет найти сдвиги 15+-термов и правильные функции
нулевого приближения:
47^241-. {
Z-| 0,2442
| lS+, 1) = 0,880 { | 2s2) + 0,540 | 2p2)},
F)
| >S+, 2) = 0 880 {-0,540 | 2s2) + | 2p2)}.
Как видно, в нижнем по энергии нз расщепленных 1S+ -термов
с большей вероятностью представлена конфигурация 2s2, для
нее w2s2i i «0,774, а в верхнем, наоборот, конфигурация 2р2.
Соответственно эти термы иногда так и классифицируют как
2s2 lS+ и 2р2 lS+ (следует, однако, иметь в виду, что «смешива-
«смешивание» конфигураций F) существеннейшим образом сказывается
на значениях ширин этих автоионизационных состояний).
Сдвиги остальных термов определяются средним значением
1
возмущения k=-j— Гв соответствующих состояниях и ока-
I М — Г2 |
зываются равными
= ^L г « 0,1642,
0,1912, '/>-,
.1332. '/>-,
629
Отметим, что сдвиги термов для конфигурации 2р2 легко вычис-
вычислить по формуле G) нз 11.17.
Из выражений E) и G) видно, что наименьшую энергию
имеет один из термов lS (у другого из них, наоборот, энергия
максимальна). Для этого АИС энергия вылетающего электрона
равна Z2/4 + 0.123Z, что для атома гелия составляет 33,9 эВ;
энергия же возбуждения этого состояния из основного состоя-
состояния атома (?о (Не) = — 79,0 эВ) равна 58,5 эВ (хотя 2 = 2
невелико, тем не менее приведенные значения отличаются от точ-
точных лишь на 0,5 эВ, для других термов отлнчие не превышает
2 эВ).
Перейдем к вопросу о ширинах рассматриваемых АИС. Их
значения в первом приближении по возмущению V = |г4—г2|-1
могут быть найдены по обычной формуле для вероятности пере-
перехода в единицу времени (Г; = wi^.;, Й = 1):
= 2я \ | (/ | V Ю |2 б (Ef - Et) dvf_ (8)
Для описания конечных состояний |/) в качестве набора кван-
квантовых чисел вылетающего электрона удобно выбрать k, I, m;
Ek = k2/2. Так как при этом другой электрон переходит в ls-
состоянне, а суммарный спин при ионизации не изменяется, S; =
= Si, то координатная часть в. ф. Wf получается в результате
соответствующей симметризации (или антиснмметризации) функ-
функции
где Rki является радиальной в. ф. электрона в кулоновском по-
потенциале
D, . — I х ' -~/.у | in, \1 „-1КГ + Я61<!К ч/
t\kl — /— \/.кт) е /\
X F (~ + 1 + 1, 21 + 2, 2ikA .
Здесь, по сравнению с [1, § 36], произведена модификация, учи-
учитывающая вид потенциала —Z/r (а не —Mr, как в [1]), и вве-
введен дополнительный множитель Bя)~1/2, соответствующий нор-
нормировке в. ф. 'Vkim = YimRki вида
{klm | k'l'm') = bnAmmA (k - *').
При такой нормировке интегрирование \ dv^ ... в формуле (8)
630
сводится к У^\ dk ... и она принимает вид
1т
(момент вылетающего электрона lf совпадает с орбитальным
моментом L рассматриваемого состояния). Здесь в. ф. конечного
состояния совпадает с (9), т. е. не является симметрнзованнои;
поэтому в формулу A0) введен дополнительный множитель, рав-
равный 2 (при этом существенно, что в. ф. начальных состояний,
указанные выше, должным образом симметризованы!).
Вычисление радиальной части матричного элемента возму-
возмущения в формуле A0) требует численных расчетов (интегрирова-
(интегрирование же по углам проводится обычным образом, например, как
в 11.17). Поэтому ограничимся рядом общих замечаний в отно-
отношении ширни рассматриваемых автоионизационных состояний.
1) Если для k воспользоваться невозмущенным значением,
k2J2 = Ef* — Els, т. е. k = Z/V2 , то легко заметить, что значе-
значение ширины Tt = wi_^f согласно A0) оказывается не завися-
зависящим от заряда ядра Z.
2) Числовые значения ширины существенно различны для
разных АИС. Наибольшую ширину, Г ~ 0,2 эВ, имеют ннжннй
'5+-, а также lD+- и ф--термы (то, что величина ширины на
два порядка меньше характерного значения meijh1 x, 27 эВ,
можно понять, если заметить, что согласно F), G) матричный
элемент возмущения имеет малость ~0,1 4-0,2). Для состояния
гР~ и второго терма 'S+ ширины существенно (более чем на
порядок) меньше. Это связано с заметной компенсацией в мат-
матричном элементе вкладов различных слагаемых, представляющих
в случае 3Я--состояния «прямое» и «обменное» взаимодей-
взаимодействия, а в случае >S+-TepMa— вклады от 2s2- н 2р2-конфигура-
ций, см. F).
3) Вычисление ширины в первом порядке теории возмуще-
возмущений прн небольших значениях Z не обеспечивает достаточно хо-
хорошей точности (результаты носят скорее качественный харак-
характер). Это связано, в основном, с эффектом экранировки заряда
ядра для вылетающего электрона, оказываемой ls-электроном.
4) Отметим, наконец, интересное обстоятельство, связанное
с состоянием 3Р+ (для конфигурации 2р2), имеющим орбиталь-
орбитальный момент L = 1, положительную четность н электронный спин
5=1. Распад такого состояния с переходом одного из элек-
электронов в ls-состояние и вылетом другого запрещен законами
сохранения момента н четности. Действительно, вылетающий
631
электрон должен иметь орбитальный момент If = 1, но прн этом
четность конечного состояния оказывается отрицательной. Это
означает, что прн учете лишь кулоновского взаимодействия такое
состояние, находящееся непосредственно на фоне непрерывного
спектра, остается истинно связанным состоянием. Релятивистские
поправки к взаимодействию (нх часть, описывающая взаимодей-
взаимодействие спина и орбиты) приводят к появлению у этого состояния
ионизационной ширины.
11.73. Гамильтониан спиновой подсистемы для основного со-
состояния мюония, находящегося в магнитном поле (направлен-
(направленном вдоль оси г), имеет вид
Первое слагаемое здесь описывает взаимодействие спиновых
магнитных моментов мюона и электрона н определяется форму-
формулами B) и D) задачи 11.2; прн этом
является сверхтонким расщеплением основного, ls-уровня мюо-
ння. Во втором слагаемом в A) пренебрежено взаимодействием
с Ж магнитного момента мюона ввиду малости (в 207 раз) со-
соответствующего магнетона Бора по сравнению с электронным цИ
Учитывая сохранение Sz н рассматривая взаимодействие
с магнитным полем как возмущение (у^Уб ¦€. Д), замечаем, что
спиновые функции %ss электрон-мюонной системы, отвечающие
состояниям с определенными значениями суммарного спнна S
и его проекции Sz (см. 5.10), являются правильными функциями
нулевого приближения для гамильтониана A). Соответствующие
с. з. Ess определяются формулами (VIII. 1) теории возмущений
первого и второго приближений (см. также 11.42):
Л , , Д
ЗД ЫФж)
Для временной зависимости спиновой волновой функции си-
системы согласно формуле (VI. 2) имеем46) (га = S, Sz):
46) Сначала рассмотрим чистое спиновое состояние системы,
а затем перейдем к описанию с помощью матрицы плотности.
632
Коэффициенты сп в этом разложении определяются начальными
условиями. Так как при t = 0 мюон поляризован в направле-
направлении, перпендикулярном магнитному полю, то, выбирая это на-
направление за ось х, имеем (см. 5.1):
? @) оо ХМ так что ЧГ(О) = -±ГA\ ( п{ ) . D)
* V2 V 1 /pi V &г /е
Используя явный вид спиновых функций
из условия совпадения в. ф. C) при f = 0 с функцией D) на-
находим
Отсюда
С1 @), о = (ai ± агI%
Задание (комплексных) величин щ однозначно определяет
спиновую функцию системы Ч'(^). Соответственно именно через
них — в виде билинейной комбинации по акаг — выражается в
произвольный момент времени любая спиновая характеристика
электрои-мюонной системы. Как видно из выражения D), эти
величины щ определяют спиновую функцию электрона в момент
времени t = 0. Если же начальное состояние электрона задано
матрицей плотности р (см. (V. 5)), то в соответствующих би-
билинейных комбинациях следует сделать подстановку
причем для полностью иеполяризованного состояния (как в ус-
условиях задачи)
а1а\ = а2а2 = —, aia* = 0. F)
Для вычисления вектора поляризации мюона
предварительно удобно рассмотреть действие операторов 6^ и
а^ + ia^ на спиновые функции xss . При этом
6М | 1 @), 0) = | 0 A), 0), д^ I 1. ±1> = ± 11, ±1);
(df + idf) | 1 @), 0) = ± V2" 11, 1), (df + /ftW) 11, 1) = 0,
(af + iof) 11, -1> = л/2" A1, 0) + | 0, O».
633
Теперь нетрудно иайти
РЫ (fl + tfjf>@—j-JV**', Pf(t) = O, G)
k
где
(8)
= ?00 - EU ~1 = АСО1 -
Обсудим полученные результаты.
1) При ? = 0 имеем Р@) = 1 — полностью поляризованный
(вдоль оси х) мюон в соответствии с условием задачи. Однако
в последующие моменты времени уже P(t) < 1, так что возни-
возникает деполяризация.
2) Зависимость Рх + iPy со еги> описывает равномерную пре-
прецессию с частотой (о вектора поляризации Р@ вокруг оси г.
Согласно G) полученную временную зависимость Р(^) нагляд-
наглядно можно охарактеризовать как четырехчастотную прецессию.
3) Частоты прецессии ю« имеют существенно различный по-
порядок величины. Две из них: а3 н со4 велики, для них
| со |/2я s» Д/2ЯЙ = v0 ss 4,5 • 103 МГц
(сравнить с 1420 МГц для водорода, см. 11.2). Частоты wi, 2,
ввиду условия [ig 36 -С А, имеют значительно меньшую вели-
величину. Если усреднить вектор Р(^) по периоду быстрых осцилля-
осцилляции, T = Vgi ~ 10~10 с (это время существенно меньше вре-
времени жизни мюона), то выражение G) принимает вид
(Рх + iPy) = -г (е"*1' + е"°20 = -о" е"""' cos ( —Г- * ) (9)
(уже двухчастотная процессия), где <вя = ц^Зё/Л. Заметим, что
в отсутствие магнитного поля coi = Шг = 0, так что (P(t)) =
= A/2, 0, 0), т. е. степень деполяризации мюона вообще не за-
зависит от сверхтонкого расщепления Д (именно поэтому инте-
интересна динамика мюонного спина при наличии магнитного поля).
11.74. Формула теории возмущений по длине рассеяния для
сдиига уроиня, см., например, E) из 11.4, остается справедливой
и при наличии в системе поглощения на малых расстояниях. Та-
Такое поглощение, соответствующее иеупругому взаимодействию,
634
возникает за счет связи различных каналов47}, которые в от-
отсутствие короткодействующего взаимодействия выступают как
независимые системы: dt и па в условиях данной задачи. При
этом длина рассеяния является комплексной величиной. Изме-
Изменение энергии системы под влиянием короткодействующего вза-
взаимодействия также становится комплексным, а мнимая часть его,
Д? = Д?, — гТ/2, описывает ширину s-уровня
)|2Imas> A)
определяющую время жизни рассматриваемого состояния т =
= А/Г и скорость протекания
реакции lf = х~1 = Г/А.
Для мезомолекулярного
нона под волновой функцией
4F<°>(rdt) в выражении A)
следует понимать в. ф. ядер-
ядерной подсистемы в адиабатиче-
адиабатическом приближении для s-co-
стояния (так как вращательное
квантовое число К = С). Гра-
фик эффективного потенциала
для этой подсистемы без его л.
Рис. 41
короткодействующей ядерной
части приведен на рис. 41.
Для оценки величины |'Р*0'@) |2 прежде всего заметим, что
характерные значения ^'"'(г)]2 в существенной области локали-
локализации ядер в ионе порядка
^ Bа)
где Ro = 2L|t — характерный размер иона, см. 11.30; L^ = Й2/"»дв*
н Шц — масса мюона. В связи с этой оценкой заметим, что
в адиабатическом приближении более естественной является
оценка
|ТМР|* ^ , B6)
соответствующая области локализации волновой функции в сфе-
сферическом слое радиуса Ro и шириной порядка удвоенной ампли-
амплитуды колебаний ядер в ионе. Так как акол ~ (т^Мяа) ' Z-ц.
47) Включая каналы с непрерывным спектром при рассмат-
рассматриваемой энергии (пац-канал в данной задаче).
635
(сравнить с 11.25 и 11.30), то обе указанные оценки приводят к
одинаковым значениям.
Однако величина [W^O)!2 существенно меньше, что свя-
связано с наличием малопроницаемого кулоиоиского барьера, раз-
разделяющего «молекулярную» область движения ядер и ядерную
область, где протекает реакция синтеза dt-»-na. С учетом этого
обстоятельства для ^'"'(О)!2 имеем следующую оценку:
I Ч*°> @) I2 ~ P (k) | ?хар |2 * _Ц- е-2л/*"в. C)
16toZ
Здесь ав = А2/те?, т—приведенная масса ядер, как ив A),
Е = h2k2/2m — энергия относительного движения dt-системы на
идериых расстояниях. Множитель
P(k)-
kaB exp Bn/kaB) -
характеризует отношение квадратов волновых функций частицы
при г-+0 в кулоиовском потенциале отталкивания, U = e2lr, и
свободной, сравнить с [1, § 143] (при этом наиболее существен-
существенный при 1шв < 1 экспоненциальный сомножитель ехр(—2n/kaB)
может быть рассчитай согласно квазиклассической формуле
(IX.7), см. 9.31).
Важным в рассматриваемой задаче является числовое зна-
значение энергии Е в выражении для P(k). Оно определяется из
следующих соображений. Эффективный потенциал dt-системы в
адиабатическом приближении, см. рис. 41, вне ядерной области
имеет вид U = ег\т + Е^ (г), где Е^ (г) — энергия основного мюон-
иого терма при «закрепленных» на расстоянии г ядрах. При
г-*-0 (в существенной области кулоновского барьера) имеем
- С/о,
где ц = m МЦт + М), М = md + mt. Это следует из того, что
при г <§; /.ц, молекулярный терм Е^ (г) совпадает с основным
уровнем уже ц-мезоатома с ядром, имеющим заряд Z = 2 в
массу М. Если обозначить через ?$о мезомолекулярные уровни
(с К = 0) в эффективном потенциале, то, очевидно, искомое зна-
значение энергии Е = Е§1 — Uo. Обычно мезомолекулярные уровни
характеризуют энергией связи е$), которая отсчитывается от ос-
нового уровня мезоатома с более тяжелым из ядер иона (опре-
(определяющего нижнюю границу непрерывного спектра энергии си-
системы при разведенных ядрах). При этом
где Д =в т т^(т Н- fj), тек что
' IF ~ со°о'
или ?»8,3 кэВ —е^.
Воспользовавшись для dt-системы значениями ав = 24,0 Фм,
ft2/ma| = 60,0 кэВ, L^ = 2,56• 10~п см и положив ? = 8 кэВ,
так что kaB = 0,52 (об энергии связи молекуляриых уровней см.
11.30), по формулам A) и C) находим
Г~1,5-10~3 эВ,
10~13с.
D)
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) Время протекания ядерной реакции в мезомолекуле на
7 порядков меньше времени жизни мюона. Поэтому оно не иг-
играет заметной роли в кинетике ц-катализа и не сказывается на
числе актов реакций синтеза48), инициируемых одним мюоиом,
сравнить с 11.59.
2) Обращает на себя внимание большое значение длииы рас-
рассеяния для dt-системы. Оио связано с существованием в системе
квазистационарного состояния с малой энергией — ядра 5НеC/2+)
(энергия резонанса ER « 50 кэВ и ширина Г* « 70 кэВ; резо-
резонансные явления при рассеянии обсуждаются в задачах § 3
главы 13).
Приведенное выше значение т относится именно к резонанс-
резонансному s-состояиию dt-системы с суммарным спином / = 3/2. Для
нерезонансиого состояния с / = 1/2 оценка т (и Г) отличается
от D), однако вывод о малости времени протекания реакции
синтеза сохраняется и для этого состояния.
3) Как отмечалось в задачах 11.4, 9.3, при существовании
в короткодействующем потенциале s-состояния с малой энергией
происходит перестройка спектра s-уровней в дальиодействующем
потенциале. Однако перестройки мезомолекуляриых уровней под
влиянием ядерного резоиаисиого изаимодействия не происходит.
Это связано с малой проницаемостью кулоиовского барьера, раз-
разделяющего молекулярную и ядерную области движения ядер
в мезомолекуле. Аналогичная ситуация, из-за центробежного
48) Заметим, что kaB « л/3ти/т и показатель экспоненты
в проницаемости кулоновского барьера да—12,5. При переходе
к обычным атомным системам (замене ntp, на те) величина по-
показателя экспоненты сильно возрастает и время жизии молекулы
оказывается столь большим, что протекание реакции синтеза ста-
становится ненаблюдаемым.
637
барьера, имеет место и для состояний с отличным от нуля орби-
орбитальным моментом (даже в отсутствие кулоиовского барьера).
При этом сдвиги уровней с /^0 и условиях резонанса также
малы, см. 13.36.
Г л а в а 12
АТОМНОЕ ЯДРО
12.1. Для частицы с массой ц в прямоугольной потенциаль-
потенциальной яме радиуса R и глубины Uo волновая функция s-состояния
дискретного спектра энергий, W? = %Е (г)/у Ал г, имеет вид
A sin (д/2ц (Uo — 80)/А2 г), г < R,
Ве~нг, г > R,
_ (
где 80 = \Е\ = А2х2/2ц — энергия связи. Условия непрерывности
в. ф. и ее производной в точке г = R приводят к уравнению для
спектра
х ctg х = -xR, x = л/2ц (?/„ - во) #2/Й2- A)
Применительно к дейтрону под ц следует понимать приведенную
массу протон-нейтронной системы, ц « (тр + тп)/4; при этом
2ц mp + mn
. fl| « 4,15 • Ю-25 МэВ • см2
и xR « 0,394. Из уравнения A) находим х « 1,79, и Uo =
= 48,1 МэВ (этот наименьшнй положнтельный корень уравнения
отвечает яме, в которой рассматриваемый уровень является ос-
основным и единственным дискретным уровнем вообще).
Поучительно также получить оценки с помощью общих фор-
формул для частицы с малой энергией в потенциальной яме с мел-
мелким уровнем. Для этого достаточно знать в. ф. лишь в момент
возникновения связанного состояния. Для частицы в прямоуголь-
прямоугольной яме она имеет внд
С sin Яг, r<R,
r> R,
где X = ¦y2\iU0/tl2, a Uo — глубина ямы в момент возникнове-
возникновения s-уровня, сравнить с 4.25. Сшивание в. ф. при г = R дает
XR = (п + 1/2) к и С = (—1)",
причем п = 0, 1,2, ... Для основного (первого по счету) уровня
XR == я/2. Отсюда применительно к рассматриваемой протон-ней-
трониой системе имеем
Uо = n2h2/8\iR2 = 35,4 МэВ
638
(R = 1,7-10~18 см). При этом для дейтрона е0 -С Uo, так что он
действительно является слабосвязаниой системой. Чтобы уровень
Е = 0 опустился до значения Ей = — е0, яма должна быть уг-
углублена на 6U0. Согласно результату 4.27 находим
6С/О « -y/2h2e0/\iR2 = 4 Veot/o /я = 11,3 МэВ
я получаем
U0=U0 + Шо « 46,7 МэВ. C)
Как видно, значение б С/о существенно больше во. Это есте-
естественный результат, так как слабосвязанная с моментом / = О
частица находится в основном вне области действия сил, т. е.
вне ямы. Заметим также, что для слабосвязанного состояния,
строго говоря, должно быть выполнено условие xR < 1. Для
дейтрона значение vR « 0,4 ие так уж и мало. Тем не менее
результат C) отличается от точного значения 48,1 МэВ лишь
иа 3 %, что неудивительно, так как его точность порядка
Для слабосвязанного состояния волновая функция имеет внд
Х?(г)«л^СиОе-*гХ?=о(г), D)
где Си0 — асимптотический коэффициент, сравнить с 11.36; для
него
сио = A-х'-о)~1 = A -^)-'»1,65 E)
(это значение можно получить и непосредственным интегрирова-
интегрированием %2Е, если в области ямы положить е~иг равным 1 и выпол-
выполнить в получающемся выражении разложение с учетом малости
xR).
Теперь легко оценить как вероятность нахождения нуклонов
в дейтроне вне ямы
оо
о-вне = \ & (г) dr = С>-2*« « 1,65е^79 « 0,75,
R
так и среднее расстояние между нуклонами
(г)«С^0/2х«3,6-10~13 см
(в два раза превышающее радиус действия сил).
12.2. Напомним, что магнитным моментом Цо некоторой си-
системы, характеризующейся полным моментом / (и другими кван-
квантовыми числами), по определению называют среднее значение
г-компоиеиты оператора магнитного момента системы ц в со-
состоянии с проекцией момента /2 = /, т. е.
639
Для системы, состоящей из протона и нейтрона, имеем
1
? = ?орб + ?сп = -J L + ИрОр + Дп«п =
= у L + (цр + цп) S + — (цр - цп) (Op - оп) B)
(магнитные моменты выражены в ядерных магнетонах eft/2mpc;
орбитальный магнитный момент связан с движением протона и
равен L/2, так как орбитальный момент протона составляет по-
половину полного орбитального момента системы в с. ц. и.).
В синглетных '/.-состояниях (S = 0) очевидно S = ор = оп=0
и J = L, так что согласно A) и B) имеем [х('?) = L/2; в част-
частности,
ц('50) = 0; ц('Р0 = 1/2; ц (Ч>2) = { и т. д.
Для триплетных по спину ^-состояний замечаем, что для них
(ор — оп) = 0 (спиновая функция состояния с S = 1 симметрич-
симметрична, а оператор (ор — ап) антисимметричен по отношению к пере-
перестановке спинов протона и нейтрона), так что из A) и B) сле-
следует
»CLl) = (J' 7z=7- L' S\TZz + K + »n)Sz\J' 7z = 7' L> S>-
C)
Отсюда, воспользовавшись результатом 3.40, получаем
|i CLj) = 2 (/+ ц {1,38/ (/ + 1) - 0,38 [L (L + 1) - 2]} D)
(учтено, что 5 = 1 и подставлены значения цр, п); в частности,
имеем
ц C5,) = 0,88; ц CР,) = 0,69; ц CР0) = 0; ц C?>,) = 0,31.
Для дейтрона экспериментальное значение магнитного мо-
момента [га = 0,86 свидетельствует о том, что волновая функция
дейтрона, имеющего спии 1& = 1, представляет суперпозицию 5-
и D-воли, причем примесь ?>-волны мала и состаиляет Wd « 0,04,
сравнить с 12.3.
12.3. Записав волновую функцию дейтрона в виде суперпо-
суперпозиции S- и ?>-волн, Wt = Ws -f Ч'п, где
(конкретные выражения для в. ф. ^Vs.o см. в 12.5), находим
jT = J ?з? ^s rft + J v]fivD ax.
640
Здесь учтено, что интерференционные слагаемые равны нулю:
Действительно, так как ц = цорб + Цсп, см. 12.2, имеем f^g^s
-~- Dps = 0 (L = 0 для S-волиы), а также
из-за ортогональности в. ф. состояний с различными значения-
значениями L. Непосредственным следствием соотношения A) и является
приведенное в условии задачи выражение для \и.
Для квадрупольиого момента дейтрона," Qzz = e CZp — r^j
ситуация иная, так как интерференционный член уже отличен от
нуля:
Т{ \ V's№~Л?о<** + \ V'd(Зг2- г2L8<1х}ф 0.
Более того, имея в виду малость примеси ?>-волиы в дейтроне,
следует ожидать, что непосредственно ее вклад в квадрупольиый
момент со wD будет существенно меньше вклада интерферен-
интерференционного слагаемого <» *JwD.
12.4. Совокупность экспериментальных даииых о дейтроне, в
том числе и об его магнитном и квадрупольном моментах (срав-
(сравнить с предыдущими задачами), указывает иа то, что его вол-
волновая функция представляет суперпозицию S- и D-воли, так что
орбитальный момент L не имеет определенного значения, как
это должно быть для ие зависящих от спина центральных сил.
Из приведенных в условии задачи потенциалов только третий,
описывающий тензорные силы, может привести к указанному со-
состоянию дейтрона.
Действительно, первый из потенциалов является централь-
центральным, хотя для него интенсивность взаимодействия и зависит от
значения суммарного спина нуклонов: Us = — ЗУ (г) в состоя-
состояниях с S = 0 и Us = V (г) в случае 5=1. Для этого потенциа-
потенциала интегралами движения являются орбитальный момент L и
суммарный спин S и отдельности.
Для спин-орбитальиого взаимодействия векторы L и S в от-
отдельности не сохраняются, интегралом движения является только
суммарный момент J = L + S. Тем ие Менее и этот потенциал
ие может привести к состоянию, представляющему суперпозицию
S- и ?>-воли. Это связано с тем, что хотя для такого потенциала
сами векторы L и S ие сохраняются, квадраты этих векторов
21 В. М. Галицкий и др. 641
являются интегралами движения: операторы L2 и S2 коммути-
коммутируют с оператором спин-орбитального взаимодействия.
Тензорное взаимодействие, в отлнчие от спии-орбнтальиого,
не сохраняет не только вектор L, но и его квадрат. Оио при-
приводит к состоянию, представляющему суперпозицию 3Si + 3?>i,
и совместно с центральным потенциалом используется для опи-
описания свойств дейтрона, см. следующую задачу.
Заметим, в заключение, что потенциал тензорных сил, ие
сохраняя вектор S, все же сохраняет значение S2; для всех
рассмотренных потенциалов интегралами движения являются как
полный момент J (и соответственно J2), так и четность системы.
12.5. Сферически-симметричная волновая функция 4fCSi) =
= fo(r)%s=i описывает состояние с L = 0; для него J — S, так
что эта в. ф. соответствует ^-волие.
Покажем, что в. ф. VCDi) = ft(r)Sa%s=t описывает 3?>i-
состояние. Запишем ее в виде
= f2 (г) {6n,/i* - 26а) S&Xs-i- (I)
Угловая часть этой в. ф., Г« = Ъпщк — 2б<*, является симметрич-
симметричным тензором 2-го ранга с равным нулю следом, Г« = 0, так что
согласно 3.41 можно утверждать, что волновая функция A) опи-
описывает состояние с орбитальйьш моментом L = 2. Далее, так
как коммутатор [S2, SfSji] = 0, то имеем
т. е. волновая функция WCDi) описывает состояние со спииом
S = 1. Аналогично, из условия коммутативности оператора пол-
полного момента системы U со скалярным оператором f2(r)Si2 сле-
следует
Г = f2 (г) {6n.nk - 25
(так как спиновая функция xs=i не зависит от углов, то для
иее J2^ = S2/ = 2%). Таким образом, и. ф. ЧгC?)«) отвечает со-
состоянию с / = 1 и действительно соответствует 3Д1-волие.
Обсудим свойства оператора §i2 = 6 (SnJ — 2S2. Учитывая
что (SnK = (Sn) для спииа 5 = 1, сравнить с 1.21, получаем
3?2=-2S12 + 4S2 B)
(это соотношение справедливо как для значений S = 1, так и в
случае S=0, т. е. для всех состояний системы из двух нуклонов).
642
Далее, воспользовавшись значением интеграла
4я ,
находим
S12 dQ = 0, \ S 212 dQ = 16nS2. C)
Отсюда приходим к условию нормировки для волновой функции
дейтрона в виде рассматриваемой суперпозиции 3St и 3Dt волн:
I2 + 8 [ /2 (/") |2} r2 rfr = 1, D)
при этом (Xs-\ |Xs=i)= *> a также к отмеченному в условии
задачи результату об отсутствии сдвига ^-уровня
под влиянием тензорного взаимодействия в первом порядке тео-
теории возмущений.
Наконец, уравнение Шрёдингера для дейтрона
(т — приведенная масса системы) с учетом соотношения B)
сводится к системе двух дифференциальных уравнений для ра-
радиальных фуНКЦИЙ J о, 2 = rfo, 2-
- 2^Г ^ + Vs {Г) ~ ?d3 ^0 + Шт {Г) ^2 = °' E)
Заметим, имея в виду состояния непрерывного спектра, что
тензорное взаимодействие вызывает переходы между состояния-
состояниями с различными (но одинаковой четности!) значениями орби-
орбитального момента L лишь в триплетных по спииу, S = 1, состоя-
состояниях. В синглетных состояниях, S = 0, тензорные силы отсут-
отсутствуют и орбитальный момент является интегралом движения,
совпадая с J.
В заключение, в связи с рассмотренным видом волновой
функции дейтрона, укажем на соотношение
<J> = x'sx,
сравнить с 5.21.
12.6. 1) Ввиду аналогии свойств изоспина и обычного спниа
изоспиновые волновые функции ^j-j-3 двухнуклоииой системы
21* 643
с определенными значениями суммарного изоспина Г и его про-
проекции Гз могут быть найдены как в 5.10, см. (XII. 1) и
(XII. 2):
„ A) ?р B)};
A) ?п B) - Тп A) ?р B)}.
Подчеркнем, что в состояниях ^г.Га-О каждый из нуклонов
ие находится в определенном зарядовом состоянии, а с вероят-
вероятностью 1/2 может находиться црк в протонном, так и в нейтрон-
нейтронном состояниях. Поэтому взаимодействие, сохраняющее изоспин,
иоснт, вообще говоря, обменный характер.
2) Согласно изотопической симметрии протои и нейтрон
рассматриваются как различные зарядовые (или изотопические),
состояния одной и той же частицы — нуклона. Так как нуклон
является фермионом, то волновая функция системы нуклонов
должна быть антисимметричной по отношению к перестановке
всех переменных — координатных, спиновых и изоспииовых — лю-
любых двух нуклонов (обобщенный принцип Паули).
Так как для системы из двух нуклонов:
а) перестановка координат эквивалентна инверсии относи-
относительно центра масс системы и поэтому симметрия координатной
функции с данным значением орбитального момента L совпадает
с четностью (—l)L,
б) симметрия спиновой фуякции для состояний с суммарным
спииом S относительно перестановки спиновых переменных опре-
определяется множителем (—l)s+1,
в) симметрия изоспиновой волновой функции, аналогично
спиновой, дается множителем (—1)т+1,
то волновая функция 4?lst состояния с определенными значения-
значениями квантовых чисел L, S н Т при перестановке нуклонов умно-
умножается на (—l)L+T; при этом из условия антисимметричности
644
в. ф. следует соотношение
(_1)*-(_1)*+*Ч B)
Так, в состояниях с S = 1 и четными значениями L — как, на-
например, у дейтрона, см. 12.5, — изоспин двух нуклонов Г = О
(при этом аналогичные состояния в системе из двух одинако-
одинаковых нуклонов — двух протонов или двух нейтронов, соответст-
соответствующие Т = 1, запрещены принципом Паули, см. 10.9).
3) Изоспиновая часть волновой функции дейтрона, имею-
имеющего Т = 0, описывается функцией Ч^о из выражений A).
12.7. В состояниях гР и 1Р протон-нейтроиная система имеет
различные значения изоспина, соответственно Г = 1 и 0, см. пре-
предыдущую задачу. Это означает, что взаимодействие, приводящее
к состоянию в виде суперпозиции *Pi + sPi, не сохраняет изо-
изоспин, т. е. не является изоскаляром. Так как в рассматриваемом
состояиии суммарный спин (обычный) также не имеет определен-
определенного значения, то обсуждаемое взаимодействие ие сохраняет и
спин. В качестве примера такого взаимодействия можно указать
U = V (г) (<?,$> + в2*<2>) Г = 1 V (г) (*р - <гп) Г.
Заметим, что это взаимодействие не только ие является изото-
пическн симметричным, ио даже не является и зарядово незави-
независимым, сравнить с 12.8.
12.8. Так как для протона н нейтрона ТзР = +1/2 и Tjn =
= —1/2, то для рассматриваемого взаимодействия в различных
зарядовых состояниях имеем
Upp = Um^Vt + -jV2, ?/pn=F,-i-F2.
Равенство ?/рр = ?/ПпСвидетельствует о зарядовой независимости
рассматриваемого взаимодействия. Однако оно не обладает изо-
изотопической инвариантностью, так как представляет суперпозицию
изоскаляра Vl и компоненты изотеизора Т^з^з2*' сравнить с
12.9. Поэтому взаимодействие в рп-системе отличается от вза-
взаимодействия в системе из двух одинаковых нуклонов.
12.9. 1) Искомый оператор, являющийся скаляром в изо-
простраистве, может выражаться только через следующие изо-
скалярные операторы:
1, х\2, ?2т1 т,тв, (?,т2J----
здесь т?, ? — (изовекторные) операторы изоспииа отдельных нук-
нуклонов. Однако из всех этих операторов независимыми являются,
только два: 1 и xtx^, Действительно, операторы "г? == ^1 — Щ.
645
т. е. кратны единичному оператору, а степени оператора
линейно выражаются через 1 и fit2, так как
(tit,)*—^""Т^^-
сравнить с 5.12. Соответственно, наиболее общий вид искомого
оператора в нзопростраистве есть
i^/ A)
где Vi, 2 — уже не зависящие от изоспина операторы в коорди-
координатном и спиновом пространствах, симметричные относительно
перестановки нуклонов.
Так как fit2 = — Т2 — -j, где Т — оператор суммарного
изоспина двуиуклонной системы, то согласно соотношению A)
для взаимодействия в состояниях с определенным значением Т
получаем
U(T = 0) = V1-^V1, & (Г =!) = ?,+ jV2. B)
Отсюда можно выразить Vit 2 через О (Г) и записать взаимо-
взаимодействие (t) в виде
U = ^(Uo + 3Ul) + (Ul-Uo)r1?2, C)
где Do,, ^&(Г = 0, 1).
2) В двухнуклонной системе кулоновское взаимодействие от-
личио от нуля лишь в случае, когда оба нуклона находятся в
протонном зарядовом состоянии. Так как оператор заряда ну-
нуклона
то оператор кулоновского взаимодействия нуклонов имеет вид
Отметим, что кулоновское взаимодействие нарушает как изото-
изотопическую инвариантность, так и зарядовую независимость ядер-
ядерных сил, сравнить с предыдущими задачами.
12.10. Если бы изотопическая симметрия была строгим зако-
законом природы, то свойства ядер трития и гелия 'Не (как и лю-
любой, пары зеркальных ядер)—нх массы, энергетические уровни
и их квантовые числа —были бы одинаковыми и E-распад был
бы запрещен законом сохранения энергии (фактически в данной
646
задаче речь идет о более низкой форме симметрии взаимодей-
взаимодействия нуклонов — зарядовой независимости ядерных сил).
Нарушение зарядовой независимости ядериых сил, проявляю-
проявляющееся и в различии масс ядер *Н и sHe, а соответственно и в
энергиях покоя Мс2 ядер, связано с электромагнитным взаимо-
взаимодействием. Это различие определяется, в основном *), двумя фак-
факторами: разницей масс тр, п, протона и нейтрона, а также энер-
энергией кулоновского взаимодействия протонов в ядре 'Не; при
этом
[М CН) - М CНе)] с* = (mn - тр) с* - J -у-1 ? |* dx,
где Ч*1 — в. ф. ядра 3Не, а г = гч — гг — расстояние между про-
протонами. Отсюда, с учетом соотношения
тес» + е0 = [М CН) - М CНе)] с2,
находим
^кул = (—\ = (та — тр — те) с2 — е0 « 1,5/иес2 « 0,77 Мэв,
что позволяет получить оценку среднего расстояния между ну-
нуклонами и размера R рассматриваемых ядер:
1\1 «1,9-1(Г13см
(напомним, что e2/as « 27 эВ, ав » 0,53-10~8 см).
12.11. Имея в виду соображения о разности масс зеркаль-
зеркальных ядер, высказаиные в предыдущей задаче, и учитывая значе-
значение t/кул = 3(ZeJ/5/? электростатической энергии равномерно
заряженного шара с зарядом Ze и радиусом R, находим
...
e° = -(W"-/np)C +
где последнее слагаемое представляет разность электростатиче-
электростатических энергий для двух шаров радиуса R = лоЛ1/3 с зарядами
B+1)е и Ze соответственно, при этом A = 2Z+1. Отсюда
3B2+1) е2
г0 = — —
(ео + Д)
') При этом пренебрегается как взаимодействием магнитных
моментов нуклонов в ядре (оио много меньше кулоновского
взаимодействия), так и влиянием электромагнитного взаимодей-
взаимодействия непосредственно на ядерный потенциал.
647
где Д = (та*- тр)сг « 1,29 МэВ, я из данных, основанных на
р-распаде ядра »7Si, получаем г0 «1,6-10^" см.
12.12. Задача определения одночастичных энергетических
уровней и соответствующих им собственных функций из урав-
уравнения Шрёдиигера
фактически была решена ранее, см. 4.4. Прн этом
Каждому уровню с данным значением N отвечают одноча-
стичные состояния ?„ tm с орбитальными моментами / = N,
N — 2, ..., 1 @); кратность вырождения уровня G (N) = (N +
¦+¦ l)(W+2)/2 (без учета спина нуклона).
•4t,3Jt2/,l
¦ 3jO, 2f, fA
3s,2tf,fff
faff
2s, Id
1p
Is
. W
( 28
¦ 11
rs
10
s
i
1
SB
42
SO
20
n
6
г
168
ffZ
70
40
го
8
2
5-
4 -
3 -
2 -
Рис. 42
На рис. 42 изображен спектр одночастичных уровней для
рассматриваемого потенциала. Справа указаны следующие числа:
G(N) — кратность вырождения уровня; n(N)=2G(N)—мак-
n(N)=2G(N)—максимальное число нуклонов каждого зарядового состояния (т. е.
как протонов, так и нейтронов), которые могут находиться иа со-
соответствующем уровне (удвоение значения G(N) связано со спи-
иом нуклона); М (N) — максимальное число иуклонои каждого
зарядового состояния, которые могут быть размещены по всем
уровням, начиная с нижнего и кончая рассматриваемым, при
этом M(N+ I) =M(N) +n(N + 1).
Найденные числа M(N), равные 2, 8, 20, 40, 70, ..., пред-
представляют значения магических чисел для рассматриваемой мо-
модели.
Специфической особенностью осцилляторного потенциала яв-
является случайное вырождение уровней. Если слегка изменить иа
bU(r) этот потенциал, то случайное вырождение снимется, что
648
приведет к расщеплению каждого уровня иа столько подуров-
подуровней, сколько различных значений / ему отвечает*). Это обстоя-
обстоятельство иллюстрируется рис. 43, на котором схематически изо-
изображена картина расщепления уровней с N = 3 и 4.
Предсказания значений полных моментов (спииов) / ядер в
рассматриваемой модели носят весьма неопределенный характер
(исключая легчайшие и дважды магические ядра) ввиду боль-
большой кратности вырождения уровней по /. Однако предсказания
Г® , 1f
cl> lp,1f -ip
Рис. 43
четностей основных состояний ядер — вполне определенные, что
связано с одинаковой четностью, равной Р — (—1)'=(— 1)"
всех одиочастичных состояний, отвечающих уровню с данным
значением N, и с тем обстоятельством, что четность является
мультипликативным квантовым числом. Так, для основного со-
состояния ядра gC модель предсказывает отрицательную четность,
для ядра \О — положительную и т. д.
Оценку значения параметра Лео для ядер с А « 2Z ~> 1
можно получить, отождествив размер ядра R = г0Л1/3, где Ло =
= 1,2-10—13 см, с «радиусом» R(Nm3x) квазиклассической орбиты
нуклона на верхнем из заполненных уровней, определяемым из
соотношения
ггш*Я* (<Vmax) = Лю BJVmax + 3).
Отсюда, учитывая оценку Л^тах = (ЗЛ/2I/3, следующую из усло-
условия
J] 4G(JV)«
(сумму можио замеиить иитегралом), находим
Лео « 2Nmaxh2/mrlA2/3 » 60A~1/Э МэВ.
12.13. Энергетические уровни частицы со спином в централь-
центральном потенциале не зависят от ее спинового состояния и опреде-
2) Порядок расположения подуровней по / зависит от кон-
конкретного вида возмущения 6U(r). Заметим также, что характер-
характерное для осцилляторного потенциала случайное вырождение и
порядок следования уровней с различными значениями / в ква-
зиклассическом приближении справедливы и для достаточно про-
произвольных потенциалов, см. правила квантования из 9.7.
649
ляются лишь квантовыми числами п„ I (но не /*, sz). При на-
наличии спин-орбитального взаимодействия уровень частицы со
спииом s = 1/2 с данным значением I расщепляется на два под-
подуровня, отвечающие значениям / = / ± 1/2 полного момента (за
исключением s-уровней). В этом случае «хорошими» квантовыми
числами являются: полный момент /, его проекция /* и четность
Р = (—1)' (хотя вектор 1 не сохраняется, его квадрат по-преж-
по-прежнему является интегралом движения: оператор I2 коммутирует
с гамильтонианом). Соответственно собственные функции гамиль-
гамильтониана могут быть выбраны в виде
где спин-орбитальные функции ^ ц, обсуждались в 5.24 (впро-
(впрочем, нх явный вид для дальнейшего не существен).
Так как оператор Ю=р — Р— 3/4 в состояниях частицы
с определенными значениями квантовых чисел / и / также имеет
определенное значение
/, в состоянии с / = / + 1/2,
— / — I, в состоянии с j = I — 1/2,
то рассматриваемое спин-орбитальное взаимодействие приводит
к расщеплению и сдвигу на
/=/-1/2,
А " \ -а/ , / = / + 1/2
невозмущенного уровня Еп 1 независимо от конкретного вида
центрального потенциала U(r). Соответственно энергетические
уровни для рассматриваемой модели описываются выражением
Епгц = -U0 + ha> Bnr + I + -|) + hEn. B)
Как видно, ширина расщепления уровня
АС р р /О/ _L» 1 \ п 1 ^^ Л
f \ I * t ' '¦¦¦ Lj • / *^ | /О / ^^ i-/ ; / t j /Q / ' ' \ ллу ^|^ 1 I \Мл v t \J\
возрастает с ростом /. Для вырожденных уровней осциллятора
максимальное значеиие орбнтального момента /max = N, так что
для них полное расщепление составляет
. AEN = BJV + 1) а, N > 1.
Отметим также, что среднее значение смещения уровней с
учетом их статистических весов, равных 2/ + 1, обращается в
нуль, так как
/
650
На рис. 44 слева изображено расщепление уровня невозму-
невозмущенного осциллятора с N = 2, а справа представлена картина
нижних одночастичиых уровней для рассматриваемой модели.
Она лишь взаимной перестановкой 2si/2- и ldj/2-уровией отли-
отличается от последовательности,, определяемой непосредственно из
анализа экспериментальных данных (следует, однако, иметь в
виду, что при заполнении одиочастичиых уровней иногда возни-
возникают нерегулярности, как и в случае заполнения электронных
оболочек в атомах).
Рис. 44
Имея в виду, что основное состояние ядра в модели оболо-
оболочек определяется размещением нуклонов по нижним одночастич-
ным уровням с учетом принципа Паули, полный момент / и
четность Р нуклонов заполненных оболочек равны F = 0+, а
квантовые числа «дырочного» состояния такие же, как у соот-
соответствующего одночастичного уровня, приходим к следующим
предсказаниям в отношении спннов и четностей основных со-
состояний указанных в условии задачи ядер.
1) У ядер 12С, 14С, 16О, 40Са квантовые числа Iе = 0+ (эти
ядра имеют лишь заполненные как по протонам, так и по ней-
нейтронам оболочки).
2) Ядра i3C, 13N, i7O, 27А1 имеют сверх заполненных оболо-
оболочек лишь один нуклои (протон или нейтрон) или одну дырку,
квантовые числа которых определяют 1Р этих ядер: A/2)~,
A/2)-, E/2)+, E/2)+ соответственно.
3) Предсказания модели в отношении спина (но не четно-
четности) ядер еНе, eLi, 10В неоднозначны. Так, для ядра eLi, имею-
имеющего сверх заполненной оболочки (IsL протон и нейтрон в со-
состоянии l/?j/2, согласно модели Jp может принимать одно из
следующих значений: 3+, 2+, 1+, 0+. Аналогично предсказание и
для ядра 10В, имеющего по одной протонной и нейтронной дыр-
дырке на оболочке 1/?з/2. Ядро вНе имеет два нейтрона в состоянии
1рз/2 сверх заполненной оболочки (IsL, и согласно модели воз-
возможные значения /р есть 2+ и 0+ (квантовые числа 3+ к 1+ за-
запрещены принципом Паули, сравнить с 12.6). Однако если иметь
в виду спаривательный характер остаточного взаимодействия
651
нейтронов, то для ядра вНе, как и для любого четно-четиого
ядра, предсказание однозначно: F *= 0+.
12.14. В рассматриваемых ядрах три нуклона находятся на
оболочке Is. Такую конфигурацию можно рассматривать как од-
одну дырку в la-состоянии, чем и определяются кваитовые числа —
спин, четность и изотопический спин — этих ядер: Р ¦= A/2)+,
Г => 1/2 (при этом Г3 == —1/2 и +1/2 для ядер SH н 3Не соот-
соответственно) .
Орбитальная (координатная) часть волновых функций ядер
симметрична относительно перестановки координат нуклонов (так
как все они находятся в одном и том же ls-состоянии). Соот-
Соответственно спин-изоспиновая часть в. ф. должна быть антисимме-
антисимметричной (сравнить с 12.6). Ее явный вид определяется согласно
общему правилу антисимметризации волновой функции системы
тождественных фермионов в случае, когда указаны занятые од-
ночастичные состояния. Для краткости записи ниже будем ис-
использовать для одночастичных спин-изоспиновых волновых функ-
функций обозначения вида: р^ A) — в. ф. 1-го нуклона в протонном
зарядовом состоянии с определенным значением sz = + 1/2 про-
проекции спина и т. п.
Если три нуклона занимают состояния р» р^ и п^, то спин-
изоспииовая часть в. ф. такого состояния системы в целом опре-
определяется детерминантом
_ 1
* 1/Z, 0 — =^ 1/^ /л
A)
плC)
Эта в. ф. соответствует ядру 3Не в состоянии с /z = +1/2.
Сделав в выражении A) замены р*->п, получим спин-изо-
спиновую в. ф. ядра 3Н с /2 =+1/2. Аналогично, замены
|ч—»-| дают в. ф. рассматриваемых состояний с /*=—1/2.
12.15. Так как момент и изоспин полностью заполненной иу-
клоиами обоих зарядовых состояний оболочки равны нулю, то
спии ядра / н его изоспин Т определяются нуклонами сверх за-
заполненных оболочек. Прн этом возможные значения J и Т для
ядра ограничиваются условием антисимметричности волновой
функции таких нуклонов (в соответствии с обобщенным принци-
принципом Паулн, сравнить с 12.6).
Имея в виду характер симметрии изоспииовой части в. ф.
двух нуклонов: ее симметричность при значении Г = 1 и антн*
симметричность при Г = 0 относительно перестановки изоспиио-
вых переменных нуклонов, а также характер симметрии в. ф.
двух моментов одинаковой величины, в данной задаче \х = \% =
= 1/2, по отношению к перестановке нх /z-перемеиных в \uiu-
652
представлении (в данном случае эта симметрия совпадает с сим-
симметрией спйн-угловой части волновой функции), см. 3.30: сим-
симметричность в. ф. для значений 1 = 1), 2/ — 2, ... и антисимме-
антисимметричность ее для / = 2/—1, 2/—3, ... и, наконец, учитывая
одинаковую радиальную зависимость в.ф. обоих нуклонов, за-
заключаем:
1) для Т = 1 возможны лишь значения / = 2/ — 1, 2/ — 3
2) для Т = 0 возможны лишь значения -1 = 2}, 2/ — 2, ...
12.16. Для Т = 1 возможны лишь значеняя 1 = 2 и 0, а
для Т = 0 — лишь / = 3 и 1.
12.17. Имея в виду порядок расположения однонуклонных
уровней, установленный в 12.13, замечаем, что рассматриваемые
ядра содержат сверх заполненных оболочек лишь один нуклон
(или имеют только одну дырку). Именно им (или дыркой) опре-
определяются спнн / и четность Р ядра, а согласно (XII. 4) н маг-
магнитный момент \х:
Ядро
аН(р(Ц/2))
3He(n(ls)/2))
ИВ(рAРз/2))
13С(пAр)/2))
jP
1/2+
1/2+
3/2-
1/2-
2,79
-1,91
3,79
0,64
Ядро
13N(p(lP)/2))
»O(n(ld5/2))
29Si(n<2S,/2))
jP
1/2-
5/2+
1/2+
—0,26
-1,91
-1,91
(в таблице указана нуклоииая конфигурация ядра лишь сверх
заполненных оболочек; запись (и//)~' означает дырку в состоя-
состоянии ntj).
Согласие рассчитанного н экспериментального значений ц
вполне удовлетворительное, за исключением ядер ИВ и J9Si.
12.18. В модели оболочек магнитный момент, спин и чет-
четность ядра определяются нуклонами сверх заполненных оболо-
оболочек. В рассматриваемом случае оператор магнитного момента
ядра принимает вид3)
? = gpTp + gnfn, A)
где gP, n(/, /) — гиромагнитные множители для протона н ней-
нейтрона в состоянии //, см. таблицу (XII.4). Усредняя этот опера-
оператор, с помощью результата 3.40 находим магнитный момент
ядра с нуклонной конфигурацией р (п/у) *&(п/у) < при спнне ядра J
3) Сравнить с 12.20.
653
<при этом J=7p+Tn,
= /п==/):
1 Л /« = /) - у l
gn {l'
Эта формула определяет также магнитный момент1 ядра, имею-
имеющего по одной протонной и нейтронной дырке в состоянии nlt.
Согласно B) получаем
Ядро
2H(p(ls)>, n(lsI)
6Li(p(lp3/2y, n(lp3/2)')
I0B(p(lp3/2)-I> пAр3/2)-')
"N<P<l,lfl)'.n(lp1/2)")
'
1
1
3
1
0,88
0,63
1,89
0,38
(о вычислении ц. в схеме LS-cbsSh cm. 12.19 и; 12.21).
12.19. В условиях задачи оператор магнитного момента ядра
где gL, s — орбитальный и спиновый гиромагнитные множители
для нуклонов незаполненной оболочки^ Усредння этот оператор
согласно 3.40, находим '
+ (gL-gs)[L(L + \)-S(S + \))}, A)
здесь L, S — полные орбитальный и спиновый моменты нуклонов,
которые в схеме LS-связи, наряду с /, характеризуют состояние
ядра.
Найдем gL, s для протон-нейтронной системы. Оператор ор-
орбитального магнитного момента для нее (сравнить с 12.21)
(орбитальные гиромагнитные множители gt = 1 и gt n = 0)
н он принимает вид ?iop6 = gLL лишь после усреднения по со-
состоянию системы с определенным значением L. Как и выше, с
помощью 3.40 получаем (при этом /р = /п):
)
B)
654
Аналогично находим
l*s«*^. ^ = 1(^,р + ^,п) = 0.88 C)
и согласно A), B), C) прнходнм к искомому значению
ц (L, 5,1) = 0,69/ - -^ру [L (L + 1) - S (S + 1)]. D)
В применении к ядру eLi с / = 1 формула D) дает при раз-
различных значениях L, S (совместимых с / = 1)
ц@, 1, 1) = 0,88 (Г = 0); ц B, 1, 1) = 0,31 (Г == 0),
ц A,0,1)-0,60 (Г = 0); цA, 1, 1) = 0,69 (Г = 1),
здесь также указаны значения изоспина Т для соответствующих
состояний ядра, сравнить с 12.6 и 12.15. Совокупность экспери-
экспериментальных данных о свойствах ядра eLi указывает на «предпо-
«предпочтительный» характер LS-связн в этом ядре, при этом L = 0,
S= 1.
12.20. Оператор магнитного момента нуклона в состоянии nlf
может быть записан в виде (сравнить с 12.9)
? N = 8р (I
где гиромагнитные множители, gP, n определяются (XII. 3) и
(XII. 4). Соответственно для ядра
2 (Sp + gn) Yj Ь + <?P ~ 8n) ^т3) aia, @
где сумма берется по всем нуклонам на (незаполненной) обо-
оболочке nlj. При усреднении этого оператора по состоянию ядра
с определенным значением нзоспнна Т вторая сумма обращается
в нуль ввиду того, что в условиях задачи 7"з = 0; действительно,
(Т, Т3 = 0 | t,e | Г, Т3 = 0) со (Т, Т3 = О | Тг | Г, Тъ = 0> = 0.
Поэтому магнитный момент ядра определяется первой суммой в
A), итак как ^ Ja = J, то для него получаем
а
te(W) + (U)l/ B)
Ядро ^jNa в основном состоянии имеет нуклонную конфигура-
конфигурацию рA^5/2KпA^5/2K сверх заполненных оболочек, см. схему
одночастичных уровней в 12.13. Учтя значения gP, n(l, j), иахо-
днм согласно B) предсказание модели оболочек для магнитного
655
момента цовол = 1,74 ядра и№ (имеющего / — 3),. практически
совпадающее с экспериментальны^ значением цЭксп = 1,75.
12.21. Оператор магнитного момента нуклона -
?n - (8t, р И" 8s, j> • ) (у + fs) + {fit, J + 8в, „ S) (у - t3)>
где гиромагнитные множители gi, Р = 1, gi, п = 0, gs, р = 5,59,
gs, п = —3,83. Соответственно для ядра имеем
~ 8In) «a + (Ssp ~ Ssn) sa] t
-~- Sip + gin l
Sa- *L- 2 =?'
где сумма берется по всем нуклонам в незаполненной оболочке
(сравнить с формулой A) предыдущей задачи, определяющей
магнитный момент в схеме //-связи).
После усреднения выражении A) по состоянию ядра, отве-
отвечающему определенному значению изоспина Т и его проекции
7 = 0, последнее слагаемое (сумма) обращается в нуль. Соот-
Соответственно магнитный момент такого ядра определяется лишь
первой, изоскалярной частью, ? = оХ+гД оператора {I
ИЗОСК Lt о
н равен
/)=
сравнить с 12.19 н 12.20.
12.22. Оператор магнитного момента ядра, в котором все
нуклоны сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых
состояниях я//, имеет вид (сравнить с 12.20)
ц = у [gp (К i) + gn (i, /)] J~+ Igp (/, /) - gn d, /)]
После соответствующего усреднения (сравнить с 12.18 и 12.21)
для магнитного момента ядра получаем
Ц = Низоск "Г Цизовек,
где
Цизоск = -Z (gp + gn) А Цизовек =» (gp ~ gn)
A)
бёб
Так как зеркальные ядра, обозначим их А к А, различаются
лишь знаком проекции изоспина 7*J( то для них иаоскалярные
части магнитного момента одинаковы, а шовектарные части
имеют противоположные знаки, так что
ц (Л) + ц (А) = [g-p {I, j) + gn (I, /)] A B)
Применительно к зеркальным ядрам 3Н и 'Не согласно B)
получаем
ц (»Н) + Ц CНе) = 0,88,
а экспериментальное значение составляет 0,78 (см. 12.17).
12.23, Напомним, что квадрупольным моментом ядра по оп-
определению называется среднее значение
Для рассматриваемых ядер доминирующий вклад в Q» вносит
лишь протон сверх заполненных оболочек, поэтому
Qo «$</,/(з cos2 е-О^/л', A)
где Ч!п\1\г — в. ф. такого протона, при этом / = / и /г = Д.
Так как в данной задаче / = / + 1/2, то волновая функция имеет
вид
При этом согласно A) имеем
где
— среднее значение квадрата радиуса-вектора для рассматривае-
рассматриваемого протона.
Элементарное интегрирование в выражении B) по углам
дает
657
(обратить внимание на знак Q<>; см. также две следующие за-
задачи) .
Прн вычислении квадрупольного момента пренебрегалось
вкладом протонов заполненных оболочек. Они дают сферически
симметричное распределение заряда, квадрупольный момент ко-
которого относительно центра симметрии равен нулю. Вклад же и*
в Qo, определяемый относительно центра масс ядра, составляет
~1\Аг < 1 от величины B), сравнить с 12.26.
Заметим в заключение, что квадрупольные моменты ядер,
имеющих соответственно один протон сверх заполненных оболо-
оболочек и одну протонную дырку, различаются знаком (в противопо-
противоположность магнитным моментам таких ядер).
12.24. Квадрупольный момент определяется формулой B)
предыдущей задачи. Переписав ее в внде
cos29- l)\YufdQ(rl) A)
0=JC
и воспользовавшись соотношением
(см. выражение для \Уи\2 в 12.23), в формуле A) легко вы-
выполнить интегрирование н получить
В заключение сделаем замечание о знаке Qo < 0 и предель-
предельном значении Qo = — (r^} при / -*¦ <». Оба эти свойства пред-
представляются естественными, если заметить, что в классическом
пределе траектория частицы с /г = / лежит в экваториаль-
экваториальной плоскости (при этом z = 0 н из выражения для Q следует
Qo —«»•
12.25. Выражение для Qo через значение полного момента
протона /, полученное в предыдущей задаче, остается справедли-
справедливым н в случае / = / — 1/2. Этот результат непосредственно сле-
следует из. отмеченного в 5.25 одинакового вида угловых распреде-
распределений плотности вероятности в состояниях, описываемых волно-
волновыми функциями Vtll B)/г с lu 2 = j ± 1/2.
; Соответственно сделанные в двух предыдущих задачах за-
заметания О знаке квадрупольиого момента ядра непосредственно
переносятся и на рассматриваемый случай.
12.26. В приближении, в котором центр масс ядра совпадает
с центром масс системы нуклонов замкнутых оболочек, квадру-
квадрупольный момент ядра в условиях данной задачи равен нулю
(сравнить с 12.23).
Руководствуясь- указанием к условию задачи, замечаем, что
центр сферического распределения заряда нуклонов заполненных
оболочек, совпадающий с их центром масс, находится в точке
Гобол= — Гп/(Л — 1),
где гп — радиус-вектор нейтрона относительно центра масс ядра.
При этом квадрупольный момент ядра связан с протонами за-
заполненных оболочек, определяется выражением
e -
(сравнить с 12.23), где ^„у^ — в. ф. нейтрона, н равен
Q(n) . Д/-1 ^ /2х A)
как это непосредственно следует из результатов двух предыду-
предыдущих задач; при этом спин ядра / = /. Заметим, что Qq1' < 0.
12.27. Основному состоянию ядра соответствует распределе-
распределение нуклонов по нижним одночастичным уровням с учетом прин-
принципа Паули. В пренебрежении кулоновским
взаимодействием уровни для протона и ней- '
трона одинаковы. При этом для ядра с А =
== 2Z в основном состоянии будут занятыми
одни и те же одночастичные протонные и ней-
нейтронные уровни.
Обозначив через Zf максимальную энер- ° Я р
гню занятых состояний (см. рис. 45, постоян- Рнс. 45
иая —?/о в потенциале опущена), замечаем,
что объем фазового пространства, соответствующий занятым
состояниям в объеме dV, равен :¦•••'¦
^Г = ¦—- dV = -^- Bтвр - ш2ш2г2K/2 dV.
Разделив его на BяА)*, получим число занятых орбитальных со-
состояний. В каждом из них находится по четыре нуклона (в раз-
различных зарядовых или спиновых состояниях), так что общее чис-
число нуклонов в объеме dV составляет
2 / Г2
Соответственно плотность нуклонов в ядре описывается выра-
выражением
(прн этом пр = пп = п/2; для г > R, очевидно, п гв 0).
€59
Условие нормировки выражений A), B) иа полное число иу-
клонов приводит * соотношению
между параметрами со и R рассматриваемой модели ядра и поз-
позволяет записать выражение B) в виде
(нормировочный интеграл вычисляется подстановкой r/R =
= sin и).
Заметим, что для тяжелых ядер выражение C), основанное
на осцнлляторном самосогласованном потенциале, противоречит
экспериментальным данным, согласно которым для таких ядер
плотность нуклонов почти постоянна, за исключением узкой об-
области вблизи границы, сравнить с 12.28.
12.28. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь, од-
однако, граничный нмпульс внутри ядра постоянен, р = ^2meF'
так что вместо формулы B) предыдущей задачи получаем
r<R- A)
Нормировка на полное число нуклонов А дает (prR)* — 9яЛй3/8,
или
с учетом выражения для R.
Соответствующая такому импульсу pf максимальная ско-
скорость нуклонов в ядре (рассматриваемом в условиях задачи как
идеальный ферми-газ) составляет
(здесь т/те « 1840, пъ « 0,53-10~8 см, var = Й//пеав = с/137,
с — скорость света), а максимальная кинетическая энергия 6f »
* 30 МэВ -С тс2 « 940 МэВ, так что нуклоны в ядре еще мо-
можно рассматривать как нерелятнвистскне.
12.29. Будем нумеровать индексами i и / частицы в началь-
начальном и конечном состояниях, так что
660
Из закола «бхраненияь заряда Следует ? ?f = ? ?f> * из сОХ"
ранения ЯЗвспииа 4) имеем ? T3 t = JJ Т3 ,. Отсюда получаем
^ Y{ = 2^ Yf, что и означает сохранение гиперзаряда.
Заметим, что так как среднее значение Г, для частиц дан-
данного изомультиплета равно нулю, то гиперзаряд равен удвоен*
ному среднему электрическому заряду частиц в изомультиплете.
12.30. Искомый оператор в йзопространстве Должен выра-
выражаться через следующие: единичный 1, операторы компонент изо-
спина нуклона ? и пиона /* и быть изотопическим скаляром. Так
как операторы т, t являются изовекторнымн операторами, то
из них можно построить только следующие изоскалярные опера-
горы: т2,12, (т?), а также различные комбинации этих операто-
операторов. Однако все они линейно выражаются через два оператора:
1 и Tt, сравнить с 12.9. Действительно, операторы т* = 3/4 к
\2 = 2 кратны единичному, а для Tt справедливо соотношение
(т?J= A — Tt)/2. Оно следует, например, нз 1.21, если заме-
заметить, что оператор tt = Т2/2 — 11/8 имеет лишь два различных
с. з., равных —1 н +1/2 (в состояниях с суммарным значением
нзоспнна nN-снстемы Т = 1/2 н 3/2, соответственно).
Таким образом, искомый оператор имеет вид
U = V, + V2 (Tt), A)
где V\, г — операторы в конфигурацнонном пространстве, ие зави-
зависящие от изоспина. Отсюда находим вид операторов V (Т) nN-
взанмодействия в состояниях с определенным значением Т = 1/2
н 3/2 суммарного изоспниа:
U (Т = 1/2) = К, - V2, f/(r = 3/2)=?,+-i-P2( B)
а также связь С с этими операторами:
V = ~IU A/2) + 2U C/2)] - -| [О A/2) - U C/2)] тt. C)
12.31. Задача решается аналогично предыдущей. Различие
проявляется в том, что теперь оператор f^ = — f2 — 2 имеет
три различных с. з., равных —2, —1, +1, соответственно значе-
значениям 0, 1, 2 суммарного изоспнна пноиов. Поэтому независимыми
нзоскалярными операторами являются 1, ?if2 и (t^J (при этом
4) Фактически достаточно сохранения лишь Тз-компонеиты
изоспина.
661
(titaK = 2 + (tit2) — 2 (tit2J), а изотопически инвариантное
яя-взаимодействие имеет вид
&яя = V\ + ?2 (W.) + V, (СГ2J. A)
Операторы взаимодействия пионов в состояниях с определенными
значениями изоспина:
Unn (Т = 0) = V, - 2?2 + 4V3; Um (Т = 1); = ?, - V, + V,;
&яя (Т = 2) = F, + V2 + V3.
12.32. Так как оператор заряда пиона связан с оператором
его ^-компоненты нзоспина соотношением ^n = et% (сравнить
с 12.29, е > 0), то оператор кулоновского взаимодействия двух
пионов имеет вид
кул I г, — г21 3 3
12.33. Оператор кулоновского яМ-взанмодействня
сравнить с 12.9 и 12.32.
12.34. Изотопическая инвариантность предполагает, что раз-
различные частицы, относящиеся к одному и тому же нзомульти-
плету, следует рассматривать как тождественные частицы, нахо-
находящиеся в различных зарядовых состояниях. При этом кванто-
вомеханнческий принцип неразличимости тождественных частиц
распространяется и на различные частицы одного и того же изо-
мультиплета. В частности, при взаимной перестановке двух пио-
пионов, являющихся бесспиновыми бозонами, волновая функция си-
системы должна оставаться неизменной (быть симметричной).
Для двухпионной системы перестановка пространственных
переменных пионов эквивалентна отражению координат относи-
относительно центра масс, так что симметрия координатной в. ф. сов-
совпадает с четностью (—1)L. Симметрия же нзоспнновой части
в. ф. определяется множителем (—1)г, где Т — суммарный нзо-
спнн системы, как это следует из результата 3.30 с учетом ана-
аналогии свойств момента и изоспнна (и значения Тп— 1). Отсюда,
ввиду симметричности волновой функции двухпионной системы,
следует (_i)i+r = i> так что возможные значения L н Т —
одинаковой четности: в состояниях с четным L — лишь Т = 0 и
2, с нечетным L — лишь 7=1.
12.35. Для пиона Тя=\, Т3 (я0) = 0. Ввиду аналогии
свойств момента и нзоспнна, решение данной задачи дублирует
662
решение 3.32. Приведем ответ:
2 1 —
до (Т = 2) = —, до (Г = 1) = 0, до (Г = 0) = —, TJ = 4.
12.36. В рассматриваемых зарядовых состояниях яМ-сиетемы
/з-компоненты изоспина иуклоиа и пиона имеют определенные
значения5). Поэтому, учитывая аналогию свойств момента и
нзоспнна, решение данной задачи может быть получено анало-
аналогично 3.29. Приведем окончательные результаты для Т2 и ве-
вероятностей до G") значений суммарного нзоспина яЫ-системы Т==
= 1/2 н 3/2 в рассматриваемых изотопических состояниях:
1) для я+р- н я~п-систем w C/2) = 1, Т2 = 15/4;
2) для я+п- и я~р-систем Т2=7/4, до A/2)=2/3, доC/2)=1/3
3) для я°р- и я°п-снстем T5=ll/4, ai(l/2)=l/3, w C/2)=2/3.
12.37. Задачу можно решить различными способами. Напри-
Например, учитывая аналогию свойств момента н изоспина, можно вос-
воспользоваться коэффициентами Клебша — Гордана. Для случая
сложения двух одинаковых моментов в результирующий момент,
равный нулю, онн были найдены в 3.39. В применении к рассма-
рассматриваемой задаче результат 3.39 дает
?г=0 Bя) = -±=г {ф, A) ф_, B) - %A) %B) + г|>_, A) ф, B)}
A)
Здесь х?т=о Bя)—изоспиновая в. ф. состояния двух пионов с
Т = 0, a \|><t A B)) — изоспиновые e.-ф. отдельных пионов с оп-
определенным значением компоненты ts нзоспина (?з = ±1, 0).
Вероятности распада частицы /° в различные зарядовые со-
состояния двухпнонной системы, я+я- и 2я°, пропорциональны ве-
вероятностям нахождения пнонов в таких состояниях прн суммар-
суммарном изоспине 7" = 0 (в силу сохранения нзоспина в распаде).
Согласно A) вероятность зарядового состояния с двумя я0 рав-
равна а)г=0Bя°) = A/л/з~J= 1/3 (напомним, что /3(я°) = 0); соот-
соответственно Шг=о(я+я-) = 2/3, так что
о>A°->2я°) у>
Приведем два других способа решения.
1) Рассмотрим распад некоторого числа N частиц f°. В ре-
результате Их распада образуются Nw(i°-+n+n-) заряженных
5) Напомним, что для пиона 7"л = 1 и 7 (я*) = ± 1
Г, (л°) = 0.
66Э
я+-мезоиов, столько же я- и 2Nw(l°-*-2iP) незаряженных пио?
нов (в распаде f ° -»- 2я° образуется сразу два яв). Исходная си-
система из f° является изотопически симметричной (изотропной в
изопространстве, так как Tt = 0). Также изотопически симме-
симметричным должно быть конечное состояние, включающее распад-
ные пиоиы. Отражением этой симметрии должно быть одинако-
одинаковое число пионов в различных зарядовых состояниях я+, я-, я0,
что сразу приводит к установленному выше другим способом со-
соотношению B).
Приведенное решение представляется очень наглядным с фи-
физической точки зрения. Оно может быть обобщено и на случаи
более сложных (в отношении изоспина) распадов и реакций, см.,
например, 12.39.
2) Воспользуемся результатом нз 1.43, согласно которому
\?л (В) р = | VB(A) р. Будем понимать под В операторы?^1',
?^2' компонент изоспина отдельных пионов, а под А — опера-
операторы Т2, Г3 квадрата суммарного изоспина н его компоненты.
Приведенное соотношение при этом принимает вид (сравнить
С 3.33)
3 3
Положив здесь Т = 0, t^)=tf) = O, получаем
wT=0 Bя°) = w2n, (Т = 0) = i-, D)
где использовано значение вероятности суммарного изоспнна
Г = 0 в системе из 2я°, полученное в 12.35. Указанный способ
решения основан на возможности вычисления в ряде ¦¦ случаев
коэффициентов Клебша — Гордана (точнее, нх квадратов) с по-
помощью соотношения C).
12.38. Изоспиновую в. ф. трехпнонного состояния с суммар-
суммарным изоспином Т = 0 легко найтн, имея в виду формальную
аналогию свойств момента и изоспина, если учесть следующие
обстоятельства.
1) Возможность описания изотопического состояния отдель-
отдельного пнона, имеющего tn= 1, с помощью вектора q> в изопро-
етранстве. При этом связь векторного представления с обычно
используемым /з-представленнем такая же, как и в случае мо-
момента, см. 3.44; так, пион в зарядовом состоянии. я0, т. е. с
U = 0, описывается в нзопространстве вектором ф„о с компонен-
компонентами <р„„ = @, 0, 1).
2) Волновая функция состояния с нзоспином Т = 0 является
скаляром (или псевдоскаляром) в изотопическом пространстве
(не изменяется при вращениях в этом пространстве).
3) Из трех векторов ф„, описывающих нзоспнновые состоя~
ния отдельных пионов, можно построить лишь одну скалярнук
(точнее, псевдоскалярную) изоспнновую в. ф. трехпионной си-
системы:
*г.о (Зя) = Ф, [Ф2Ф3] = ««/ФнФ^Фз,. , A)
Найденная изоспиновая функция антисимметрична относи-
относительно перестановки изоспиновых переменных любых двух пио-
пионов. Поэтому она не содержит слагаемого, отвечающего нахож-
нахождению всех трех пионов в одинаковом зарядовом состоянии, что
и доказывает невозможность указанного в условии задачи рас-
распада (прн сохранении нзоспнна).
12.39. Распады частиц Д++, Д- происходят по одному заря-
зарядовому каналу, а частиц А+, Д° — по двум:
Д++->я+р, Д~->я~п,
д+ 1«;п, ... до_ j « Р, -и 0)
я°р, Шг, I я°п, а>2-
Заметим, что в силу изотопической инвариантности вероятности
распада в единицу времени для всех частиц одного и того же
изомультиплета одинаковы в). Также одинаковы и относительные
вероятности различных каналов распадов, являющихся зеркаль-
зеркальным отражением друг друга в изопростраистве (как, например,
распады Д+->-я+п н Д°-*-я-р).
Для расчета относительных вероятностей распадов t»i, 2 ча-
стнц Д+, Д° заметим, что они определяются вероятностями реа-
реализации соответствующих зарядовых состояний яЫ-системы с
учетом того, что она находится в изотопическом состоянии с
Т = 3/2 и Тг = ±1/2. Изоспиновая в. ф. яЫ-системы, образую-
образующейся при распаде Д+, имеет внд
^Г=3/2, Г, = 1/2 = С, I Я+п) + С2 | Я°р> =»
= С1\|I (я) \|>_1/2 (N) + С2% (я) ф1/2 (N),
где tyta (я (N)) являются нормированными изоспиновыми в. ф.
пиона (нуклона) в состоянии с определенным значением ^-ком-
^-компоненты нзоспнна. Прн этом величины |Ci|2 и |C2|J определяют
вероятности различных зарядовых состояний (я+п и я°р соответ-
соответственно) JiN-снстемы, а тем самым н вероятности распада Д по
6) Одним из следствий нарушения изотопической симметрии
является различие масс частиц данного изомультиплета. Это от-
отражается на энерговыделенин в распаде н в случае сравнительно
малой его величины может существенно отразиться на соотно-
соотношениях между вероятностями распадов по различным каналам.
665
р**ЯЖиым каналам: нч = |Ci|* и w2 — \Ct\*. Имея в виду ана-
аналогию свойств момента и изоспина, замечаем, что &, г пред-
ставлядаг фактически соответствующие коэффициенты Клебша —
Гордана и легко могут быть найдены по известным формулам
для этих коэффициентов. Впрочем, нх значения Ci=l/V3 и С2==
= V2/3 были получены в 5.18. Отсюда следуют искомые соот-
соотношения
да(А+->я+п) _^ а>(А°->лГР) = 1
ш(Д+->я°Р) ш(Д°^я°п) 2" U
Прнведем еще два способа расчета вероятностей, не требую-
требующие предварительного вычисления коэффициентов &, 2-
Первый из них основан на наглядных физических соображе-
соображениях. Рассмотрим нзотопическн неполярнзованный «пучок» ча-
стнц А, в котором все зарядовые состояния А представлены в
одинаковом количестве No. Среди продуктов распада — пнонов
и нуклонов — различные зарядовые состояния будут представ-
представлены в следующем количестве:
ЛГ(я+) = Л?(я~) = ЛГ„A+ш1).
N (я0) = 2Now% = 2N0 (I — w^.
Из фнзическнх соображеннй представляется очевидным, что «пу-
«пучок» распадных пионов в изопространстве также будет неполя-
ризованным и различные зарядовые состояния пиона будут пред-
представлены в нем одинаково: N(л+) = N (л~) — N(ла). Отсюда
находим o>i = 1/3 и приходим к соотношению B).
Отметим, что при этом «пучок» распадных нуклонов, есте-
естественно, также является неполяризованным, т. е. N(p) = JV(n).
Второй способ основан на использовании соотношения C) из
12.37. Получить результат B) таким образом читателю предла-
предлагается самостоятельно, сравнить с 12.37.
12.40. Поступая как н в предыдущей задаче, находим
) _
)
12.41. Поскольку нзоспины 7"d = 0, 7"я=1, то конечные со-
состояния обеих рассматриваемых реакций являются различными
изоспиновыми состояниями одной и той же физической системы
«пион + дейтрон» с изоспином Т = 1, отличающимися лишь зна-
значением Гз-компоненты изоспина. В силу сохранения нзоспнна
рассматриваемые реакции происходят лишь в состояниях началь-
начальной нуклон-нуклонной системы с Т= 1. При этом в реакции
рр -*¦ Aя+ оба нуклона находятся как раз в требуемом изотопи-
изотопическом состоянии с Т = 1 (и Г» = 1), в то время как в реак-
666
ции pn -*• dn" требуемое изотопическое состояние системы нукло^
нов. с- t = 1 и Гз = 0 представлено лишь с вероятностью 1/2.
С такой же вероятностью представлено состояние нуклон-нуклон-
ной системы с изоспином Т = О (эти утверждения являются не-
непосредственным следствием аналогии свойств момента (спина) и
изоспина).
По условию отбора сеченнй обе реакции совершенно одина-
одинаковы в смысле координатных н спиновых степеней свободы, так
что в силу изотопической инвариантности отношение их сеченнй
равно отношению вероятностей необходимого изотопического со-
состояния с Т = 1 н начальных состояниях, т. е. 2, что и требова-
требовалось доказать.
12.42. Так как Та = 0, то в смысле изоспина дейтрон в рас-
рассматриваемых реакциях играет роль «катализатора» в процессе
«диссоциации» протона на нуклон и пион:
р->Ы(Г=1/2)+я(Г = 1).
В начальной стадии процесса Т = 1/2, Тз = 1/2 и в силу сохра-
сохранения нзоспнна такие же значения Т и Уз имеет яЫ-система в
конечном состоянии. По условию отбора сеченнй обе рассматри-
рассматриваемые реакции совершенно одинаковы в смысле координатных
и спиновых степеней свободы, так что в силу изотопической ин-
инвариантности отношение их сеченнй равно отношению «весов»
зарядовых состояний я+п и я°р в пнон-нуклонной системе с Т =
= 1/2 и Ts= 1/2. Последнее отношение равно 2 (сравнить с
12.40 и 12.36), что и доказывает утверждение задачи.
12.43. Поскольку по условию рассматриваемые реакции идут
только через состояние с нзоспнном Т = 3/2 н совершенно оди-
одинаковы в смысле координатных и спиновых степеней свободы, то
их сечения пропорциональны вероятностям («весам») требуемого
изотопического состояния с Т = 3/2 как в начальных, так и в
конечных состояниях пион-нуклонной системы
da со wt (Т = 3/2) • wf (Т = 3/2). A)
Требуемые вероятности были вычислены в 12.36 (см. также 12.39)
и равны: 1—для я+р-, 2/3—для я°п- н 1/3 — для я-р-систем.
Отсюда непосредственно следует соотношение
da (I): da (II): da (III) = 9:2:1 B)
между сечениями рассматриваемых реакций (заметим, что до-
доминирующая роль взаимодействия с Т = 3/2 в яЫ-системе про-
проявляется в окрестности А-резонанса).
12.44. Реакции
667
являются «зеркальным» отражением друг друга в нзопростран-
стве. Поэтому в силу изотопической инв«рнантностн дифферен-
дифференциальные сечения этих реакций при одинаковых импульсах и
спинах соответствующих «зеркальных» частиц (р н п, п+ и я~)
совпадают. Подчеркнем, что замена частиц их «зеркальными»
изотопическими партнерами должна производиться на обеих ста-
стадиях процесса — начальной и конечной. Это означает, что им-
импульсные и спиновые характеристики протона и нейтрона в на-
начальных состояниях рассматриваемых реакций должны быть вза-
взаимно заменены.
Глава 13
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
13.1. Вычисления амплитуды рассеяния в борновском прибли-
приближении по формулам (XIII. 6, 8) и полного сечения рассеяния со-
согласно
я 8т?/А2
^ ^ -~- J f> (?) rf<7» A)
о о
(<7 = 2k sin F/2)) приводят к следующим результатам.
. f 2tnaR% _ ,. f"№?lV__L_
a)f—*'A+?'*т 0(?)==16Ч-р-\) i+4*»««-
B)
При конечном значении R сечеиие рассеяния имеет также ко-
конечную величину. Однако при R-*-<x> рассматриваемый коротко-
короткодействующий потенциал Юкавы переходит в дальнодействующий
кулоновский потенциал V = а/г. При этом дифференциальное се-
ченне da/dQ = 4m8a2/ft*<7* описывается формулой Резерфорда, а
полное сечение рассеяния — бесконечно.
_. . 2maR2 sin qR
6)f= ? T~
В предельных случаях отсюда имеем:
а (Е) » Ь-,—'—, а (Е) « —ш— In —р—
(при ?-*-<» интеграл в C) расходится; для вычисления его
расходящейся части следует заменить осциллирующий миожитель
668
sin2* средини значением, равным 1/2).
'Ю-'жЬ-у+^ЕУмЛ D)
f пта пта .,
г> Т~ h?q ~ 2йЧ sin (Э/2) ' К)
Полное сечение рассеяния бесконечно, что связано с достаточно
медленным убыванием потенциала на больших расстояниях; о
рассеянии на потенциале U = а/г* см. также 13.19.
д) f,
(в)
2я / mUoR* у Г 1 .
ff(?)=lFl-^—J V--BkRT +
В предельных случаях имеем
sin 4kR
(случай Е-+оо см. также в 13.2).
е} Т
2А2 е
п mUnR , ,<_1гп]/«,!>
а (Е) = 4ft4 (l ~ «"*"W/* )¦
Ввиду экспоненциального убывания f(q) борновское приближе-
приближение неприменимо при достаточно больших значениях ф (см.
13.13). Соответственно н учет в выражении для а(Е) при боль-
больших значениях Е экспоненциально малого слагаемого является
превышением точности.
13.2. В борновском приближении амплитуда рассеяния /e(q),
см. (XIII. 6), как и фурье-компонента потенциала U(q),
существенно отлична от нуля лишь при qR^l (R — радиус
потенциала), так как при qR » 1 интеграл мал нз-за быстрых
осцилляции подынтегральной функции, связанных с множителем
•~'qr- Так как q2 = 2?2A — cos 9), то из условий kR > 1 и
669
следует известный факт, что рассеяние быстрых частиц
происходит в основном под малыми углами 6 ~ 1/kR ¦< 1, при
этом q « kQ ~ R-*.
Для дальнейших преобразований разложим вектор q на две
составляющие: q = Яц + q^> гДе вектор q^ направлен вдоль к0
Рнс. 46
(импульса частнцы до рассеяния), a qxJ_ko, рис. 46. Прн 6 <С 1
имеем
<7а = k A — cos 9) яг -^ kQ\ q± = k sin Э «* kQf
так что 9j_ "> </]• При этом q « qx и
LP 2. A)
Далее, величина кгйй (rfQ —элемент телесного угла, заклю-
заключающий направления импульсов рассеянных .частиц) представ-
представляет элемент площади сферы радиуса к. Часть сферы вблизи
полярной оси, направленной вдоль ко, можно рассматривать как
плоскую поверхность, перпендикулярную к0, и поэтому кг dQ =
= dS = dqj_ x dqx y = d2q±. Соответственно
Воспользовавшись здесь выражением A), имеем
х [\ \ SeU и (р/> *г) dz' d2
После выполнения интегрирования по q^:
J J ехр [- jqx (р - р')] d}qL = BяJ в (р - р'), B)
благодаря в-функции сразу можно проинтегрировать по р' н по-
получить
670
Для потенциалов U = 1/оекр(—г*/Н*) и прямоугольной ямы
(барьера) по формуле C) получаем
соответственно, сравнить с 13.1д, е.
Аналогичным образом можно найти энергетическую зависи-
зависимость при Е -*¦ оо транспортного сечения
atr (?) = \ A - cos 9) do Е»ж j^pp \\&\0 (ЧХ) р dV
Теперь вместо B) появляется интеграл вида
После несложных преобразований для случая центрального по-
потенциала получаем
Это выражение не содержит постоянной Планка и совпадает
с О4г Для быстрых частиц, Е > U, в классической механике. Та-
Такое совпадение связано с тем, что формула D) остается спра-
справедливой и в (квазнклассическом) эйкональном приближении
(XIII. 18); сравнить со статусом формулы Резерфорда.
13.3. Заменив в формулах (XII. 4,5) 1ЛР? на Uo6HV?a, V^ (r)
на е'коГ и учтя вид оператора Uo6w находим
fo6» (К' к) = &« (Л) - - -?пГ \ е~* ЛГ U (r) dV, A)
здесь А = к + ко, при этом Д2 = 2&2A + cos6). Таким образом,
где fB(E, 9) — амплитуда рассеяния обычным центральным по-
потенциалом ?/(/•)• Как видно, в случае обменного потенциала рас-
рассеяние быстрых частиц, kR "> 1, происходит в основном назад,
под углами п — 6 ^ (kR) '. В связи с рассеянием на обмен-
обменном потенциале см. также 13.56.
13.4. В условиях задачи рассеивающий потенциал имеет
вид
671
ш. 4,6. Согласно формуле (XIII. 8) получаем
' 2 (8 + q2al)
[4 + q aB)
Полное сечение упругого рассеяния (dQ = як~гйд%):
*2 [ 12 12A +t?alY ]
) A +t?alY ]~3(kaBf
B)
здесь учтено, что условие применимости борновского приближе-
приближения (XIII. 7) принимает вид ka%» 1. Несколько иной способ
расчета сечення, связанный с вычислением формфактора, см. в
следующей задаче. В связи с данной задачей см. также 13.77
и 13.78,
13.5. В приближении задачи 11.6 средняя плотность элеитро-
2 -2т la
иов в основном состоянии атома гелия п = —г е ' , где а =
яа°
= ав/2Эф = 16ав/27. Вычислив формфактор
и воспользовавшись известной формулой [1, § 139]
da
находим дифференциальное и полное сечения упругого рассея-
рассеяния электрона атомом гелия:
_ я Г do 2_ Ana
~ k2 J dQ dQ ~ k2a
Ana3 7ksas + I8k*a* + 12fe2a2 28яаг
k2 J dQ dQ k2a% A + *VK * 3 (kaBf
(Ыв > 1; полное сеченне отличается от сечения рассеяния ато-
атомом водорода множителем 4A6/27J г» 1,40).
13.6. Взаимодействие рассеиваемого электрона с нейтраль-
нейтральным атомом в приближении Томаса — Ферми и в пренебрежении
поляризацией атома имеет вид
U (г) = -ер (г) . - i- Х {rZl'3/b),
где % (х) — универсальная функция модели Томаса — Ферми, см.
(XI. 3) (используем атомную систему единиц е = Й = те = 1).
672
Амплитуда рассеяния в борйовском приближении описывается
выражением
оо
fB (Z, q) = -2 \ U (r) ii^ л dr = Zl/3 Ф iq/Z1'3), A)
о
где новая универсальная (одинаковая для всех атомов) функция
Ф(л:) равна
ф (л:)=т 3г ("I")si
sin (xy) dy. B)
Отметим, что при *->-оо в интеграле B) существенная область
лишь малых у вблизи нижнего предела. Учитывая при этом, что
оо
% @) = 1 и \ sin у dy — \ (для вычисления интеграла следует
б*
ввести «обрезающий» множитель е~<ч/ с а > 0 и в окончательном
выражении положить а = 0), находим Ф(л:) » 2/х2 при л:-»-°о.
Соответственно при <7 3> 21'3 согласно A) имеем fB « 2Z/92, что,
как и следовало ожидать, описывает амплитуду резерфордов-
ского рассеяния электрона иа атомном ядре, так как при боль-
больших переданных импульсах несущественно экранирующее дей-
действие атомных электронов. При *->-0 функция Ф(л:) принимает
конечное значение.
Формулы A), B) определяют дифференциальное сечение уп-
упругого рассеяния; при этом полное сечение рассеяния
4k? 00
а = ?
где С = 7,14 [22].
13.7. Амплитуда рассеяния на двух центрах
= fB(9)[l + e-'4a], A)
а дифференциальное сечение рассеяния
' * Ю, B)
Возможность применения соотношений A), B) к рассеянию
быстрых электронов двухатомной молекулой (при этом /в опи-
описывает рассеяние иа изолированном атоме) связана с тем, что
22 В. М. Галицкий и др. 673
при образовании молекулы существенно изменяются состояния
лишь внешних, валентных электронов атомов. Поэтому в случае
не слишком легких атомов нх взаимодействие с налетающим
электроном прн этом существенно не изменяется и потенциал
имеет приведенный в условия задачи внд, где теперь а опреде-
определяет расстояние между ядрами молекулы. Выражение B) сле-
следует усреднить по возможным положениям вектора а. Так как
амплитуда колебаний ядер мала, см. 11.25, то |а| « const и все
сводится к усреднению по ориентациям а. Для изотропного рас-
распределения, dw = dQn/4n (здесь dQn — элемент телесного угла,
заключающий направления вектора а = an), находим
4я J
cos qa = —— х cos qa dQn ¦
sin qa
(для вычисления интеграла удобно направить полярную ось
вдоль вектора q) н соответственно получаем
daиол п Л , sin qa \ daar
¦ = 2(i + ^i
dQ V qa J dQ '
Как видно, соотношение между «атомным» и «молекулярным» се-
сечениями непосредственно определяется межъядерным расстоя-
расстоянием а (подобные соотношения возникают и в случае многоатом-
многоатомных молекул, причем и с различными атомами; они лежат в ос-
основе дифракционных методов исследования молекулярных струк-
структур).
Обсудим связь между полными сечениями рассеяния. В слу-
случае ka -С 1 также и qa <?C 1, при этом ffn&2fo и сечение рас-
рассеяния на двух центрах в четыре раза больше одноцентрового.
В случае kR^ I ho>J? имеем ka ^ 1, и поэтому величина qa
заметно изменяется уже при небольшом изменении угла рассея-
рассеяния. Соответственно при интегрировании по углам выражения
B) слагаемое с быстро осциллирующим множителем cos qa
даст вклад, много меньший вклада первого слагаемого, так что
в этом случае сечение рассеяния на двух центрах больше одно-
центрового в два раза.
13.8. В борновском приближении амплитуда рассеяния опи-
описывается выражением (сравнить с предыдущей задачей)
f% (Ч) = fo (?) Од, (q), Од, (q) = ? е ча". A)
п.
Подчеркнем, что множитель Gn(q) зависит только от взаимного
расположения центров и вектора q (ио не от вида взаимодей-
взаимодействия частицы с отдельным центром).
674
В случае,упорядоченного расположения рассеивающих цент-
центров вдоль прямой с ортом j имеем а„ = b(n— l)j; при этом
N
/"• V Г •!. / . S 11 1 еХР ("
Ov = > ехр [—to (и — 1) qjl = —; E-i-
" i—i 1 — ехр i
re-l
sin (MTqj/2) -12
sin (ftqJ/2) J * W
В случае N > 1 величина |Gw(q)|2 особенно велика при выде-
выделенных значениях q = qs таких, что ') bqsj = 2ns, где s =
= 0, ±1, ±2, ... Поэтому частицы рассеиваются в основном
лишь в определенных направлениях, для которых
cos ps ж koj/ko -+¦ 2ns/bkQ,
где ps — угол между векторами к и j (заметим, что qj = kj —
— koj). В точках максимума |G«|2 = N\ Максимумы очень рез-
резкие: их ширина ДР5 оо l/-\/N. Сечение рассеяния в такой интер-
интервал углов со N. Для остальных углов рассеяния |Gw|2 ~ 1.
Отмеченные результаты могут быть наглядно получены на
основе следующего преобразования выражения для |G«|2 при
N » 1. Имея в виду соотношение (см. [1, § 42])
sin2cdV , . .
и разлагая sin(iqj/2) в выражении B) в окрестности векторов
qs, находим
оо
-ko]--rJ. C)
Такой подход допускает простое обобщение и на случай «кри-
«кристаллического» расположения рассеивающих центров. В частно-
частности, для системы центров а^п, = n,bj + «2b2 + n3b3 с пд = О,
1, ..., Na—\, имеем 2)
a
Р
. ? 6 (к - kQ -
D)
') Ограничение на |s|max определяется импульсом рассеи-
рассеиваемых частиц. В случае k < n/b возможно только значение
s = 0; при этом q = 0, так что когерентное рассеяние отсут-
отсутствует.
2) При этом использовано соотношение
з
П6 (qba - 2nsa) = ' 6 (q - 2ят).
22* 675
где N = N\N2Nt — общее число рассеивающих центров,
. т = s,a, + stat + s3a3, sa = 0, ±1
a, = -?- tb2b3], a2 =-i {ЬзЬ,], a3 = -|- [Ь,Ь2], Д = (b, [b2b3])
(прн этом aibi = a2b2= a3b3= 1).
Фигурирующие в выражении D) 6-функцнониые слагаемые
определяют направления, к = к0 + 2ят, упругого рассеяния ча-
частицы в кристаллах (условие Вульфа — Брэгга).
13.9. В условиях задачи потенциал взаимодействия частиц оп-
определяется известной формулой электростатики
|г + г,-г2|
где г = 14 — г2, а п, 2 — радиусы-векторы центров масс сталки-
сталкивающихся частиц. Имея в виду соотношение
I г + г, — r2 | q2
согласно формуле (XIII. 6) получаем
.<
(т—приведенная масса частиц), здесь
являются формфакторами соответствующих распределений элек-
электрического заряда. При q — 0 имеем Fi, г@) = ei, 2 — заряды
частиц. Ряд свойств формфакторов составных частиц рассмотрен
в задачах 13.80 и 13.84.
13.10. Подставив в формулу (XIII. 5) выражение (XIII. 4) и
воспользовавшись импульсным представлением для функцин Гри-
Грина свободной частицы
| г-г'| 2я" J vf — k%-iz
(е > 0, е->-0), приходим к уравнению Лнппмана — Швиигера
я2(х2 — Щ — U)
Подчеркнем, что для реального упругого рассеяния k =fco=s
= 2mE/h2. Уравнение же A) связывает амплитуды и при значе-
676
йиях k2 Ф1г\ (как говорят в таких случаях: вне энергетической
поверхности; «выход» с энергетической поверхности осущест-
осуществляется согласно формуле (XIII. 5)).
С помощью уравнения A) легко установить рекуррентное со-
соотношение для членов разложения > f (k, к0) = ^ fn\ амплитуды
п
по степеням кратности взаимодействия н получить для них яв-
явные выражения (q = k — ко):
(к, ко) = fB (q) = - -2^f U (q), U (q) = J e~^U (r) dV;
, k0) = B)
U (X! - kp)
(о приложениях полученных результатов см. 13.15 и 13.50).
13.11. Борновское приближение является первым, линейным
членом разложения амплитуды рассеяния в ряд по степеням
кратности взаимодействия (точнее, по одному из параметров,
приведенных в (XIII. 7)). Подобное разложение для сечения
рассеяния начинается с членов второго порядка малости, так
как а со | f |2. Поэтому в соотношении 4я Im f (E, 0) = ko(E)
в левой части, как и в правой, не должно быть линейного по по-
потенциалу слагаемого. Отсюда с необходимостью следует, что
ImfB (9 = 0) = 0.
Во втором порядке теорин возмущений амплитуда рассеяния
описывается выражением B) из предыдущей задачи. В частно-
частности, для рассеяния вперед (9 = 0, к = ко) оно дает
| U (х - к0) |2 .з ...
о .¦> Г" d°x A)
(здесь учтено, что U (q) =» U* (—q)). Отсюда следует
Im f<2> (к0> к0) = з^Г \ (х2_/2J + 82 l"i*~ ko) I2 **. B)
Замечая, что3) е/я(д:2 + в2) = 6(д:) (при бесконечно малом е >
> 0), и записав х = хп, (Рк = — xdx2 dQn, выражение B)
3) Действительно, эта функция отлична от нуля лишь при
\х | ^ Vе ->0, а интеграл от нее в бесконечных пределах ра-
равен единице, как и требуется для б-функции.
677
легко преобразовать к виду
тЧй ^U (М - к») I2 dQn - -И" \ I fB (к ~ к°)
или Imf*2'^, 9 = 0) = 1юв{Е)/4п, что отражает оптическую
теорему во втором порядке теории возмущений.
13.12. Для потенциала Юкавы
^_t q = k_ko (i)
и согласно формуле B) из 13.10 во втором порядке теории воз-
возмущений имеем
P>(k,ko) =
2m2a2R* f dhi
= ~1Ы~ \[\+R2{\- *J] [1 + R2 (k - x)»J (x2 - k\ - is) ¦
B)
Воспользовавшись здесь соотношеиием (&2 = &q)
1 1 =
1 + R2 (k0 - xJ ' 1 + R2 (k - x)«
[ко?+A-Юк]}2'
о
в выражении B) легко выполнить интегрирование по углам
(d3K = к2 dy, dQ) и получить
1 оо
f'2) (k, ко) = гт \ \ —з Г5 — ^Г (Л, <7, х, Е) rfx d?, C)
nh* J J x'-r-ie
О —оо
где
/С = {A + fc2#a + y,2R2J — Ay?R* [k2 — | A — |) <72]} W
н, с учетом четности подынтегральной функции, интегрирование
по переменной к распространено на всю ось.
Выражение D) для К удобно преобразовать к виду
1
(kR — ai) (%R — а2) (xR — а3) (kR — а«)
Эта функция, рассматриваемая как функция комплексного пере-
переменного к, является (как н подынтегральное выражение в фор-
678
муле C) в целом) мероморфной и имеет только простые полюсы
в точках хп = ап/R; при этом
= а =
(так как 0 =s: | ^ 1 и <72 =s: 4k2, то оба радикала здесь вещест-
вещественны и положительны) и аг = а*, ос3 = —а, а* = —а*.
Теперь в выражении C) легко выполнить интегрирование по
х с помощью вычетов, замыкая контур интегрирования в верх-
верхнюю полуплоскость комплексного переменного и. Расположение
knR + ie
-kgR- ie
Рис. 47
полюсов показано на рис. 47. Вклад в интеграл выражения C)
от полюса в точке к = k + ie составляет
F) =
ink
4k2R2
Эта часть интеграла — чисто мнимая. Суммарный же вклад по-
полюсов, расположенных в точках к = a,i/R и у. = a,i/R, является
вещественным и равен
2 27? Vl + Q2R2l (I - I) [1 + M2R2 A + q2R% A - %))] '
Наконец, выполняя интегрирование по переменной % в формуле
приходим к окончательному выражению для амплитуды рассея-
рассеяния на потенциале Юкавы во втором порядке теории возмуще-
возмущений:
fB) (k, ко) =
2m2a2R3 ( 2 arctg (qR/2 -у/A (k, q))
E)
679
где
tt(k, q) = 1 + k2R2 D + q2R2).
Обсудим некоторые следствия полученных результатов. Пре-
Прежде всего отметим, что, вычислив мнимую часть амплитуды вто-
второго порядка теории возмущений прн 9 = 0 (при этом также
и <7 = 0) и воспользовавшись оптической теоремой (XIII. 11),
можно иайти полное сечение рассеяния в борновском приближе-
приближении. Получающийся результат совпадает, естественно, с вычис-
вычислением сечения по формуле сгв = \ (fBJ dQ, см. 13.1а).
Интересно сравнить Im f<2> и Re fт друг с другом и с ам-
амплитудой первого приближения при различных значениях энер-
энергии и угла рассеяния. В случае медленных частиц, когда W?<1,
согласно выражениям E) и A) получаем
Im f<2)/Re f<2> » 2kR < 1, f<2>/f(l)« maR/h2.
Имея в виду оптическую теорему, можно заключить, что ма-
малость отношения Im fB)/Re f<2) является общим результатом для
достаточно произвольных короткодействующих потенциалов. Ма-
Малость же отношения f*2'//41' предполагает выполнение условия
maR/h2 <C 1, обеспечивающего применимость борновского при-
приближения, см. (XIII. 7) (для потенциала Юкавы ?/о ~ a/R). При-
Приведенные оценки сохраняются и для частиц «умеренной» энер-
энергии, kR ~ 1; теперь Imf<2> и Ref<2> являются величинами од-
одного порядка при произвольном угле рассеяния.
Рассмотрим случай быстрых частиц, kR > 1. При малых уг-
углах рассеяния, когда qR ^ 1 (эта область вносит доминирую-
доминирующий вклад в полное сечение рассеяння), находим
Im fB)/Re f<2> ~ kR » 1, | f<2>/f<'> | - та/ПЧ.
Малость Ref<2> по сравнению с Im/<2> является общим резуль-
результатом (см. 13.14) а условие |/B)//A)| < 1, как и следовало ожи-
ожидать, предполагает выполнение условия применимости борнов-
борновского приближения для быстрых частиц — второго из условий
(XIII. 7). Приведенные оценки сохраняются и при увеличении
значения qR (при этом проявляются характерные для юкавского
потенциала, как потенциала со степенным убыванием U(q) при
q->-<x>, закономерности; сравнить с результатом следующей за-
задачи).
13.13. Фурье-компоиеита потенциала
д (q) = J U0 exp (-iV - -?) dV =
680
и согласно формуле B) из 13.10 амплитуда рассеяния во вто-
втором порядке теорнн возмущений описывается выражением
8яй4 J кг — k\ — is.
Доминирующую роль в интеграле играет область значений к, в
которой | к — (к + ко)/2 | R 5SJ 1 (вне этой области подынтеграль-
подынтегральная функция экспоненциально мала). Прн высоких энергиях,
kR 3> 1, и больших переданных импульсах, qR > 1, в этой об-
области знаменатель подынтегральной функции в выражении A)
изменяется незначительно и его можно вынести за знак инте-
интеграла в точке х = (k+ko)/2. После этого простое интегрирова-
интегрирование дает (&2=?q):
f<2> (k, ко) « Re f'2» » - htq2 ° exp (- 19^2). B)
В этом приближении амплитуда /B) — вещественная функция. Ее
мнимую часть согласно A) легко найти в общем случае, если за-
заметить, что
(сравнить с 13.11). Записав d3x = -^-v,dn2 dQ и интегрируя сна-
сначала по х2, а затем по углам (выбрав полярную ось вдоль век-
вектора к + ко), находим
X ехр [- x?R2 + -j х(к + ко) R2] dx2 dQ =
.2D2
(заметим, что | к + к01 = DЛа -
При больших энергиях, W> 1, и малых углах рассеяния,
когда qR^\, амплитуда второго порядка определяется в ос-
основном мнимой частью C), как это следует из 13.14 (формула
B) при qR ^ 1 неприменима). При больших же изменениях
681
импульса, наоборот, доминирующей является веществеиная часть
амплитуды f<2>. Более того, так как
p а f(D = fB т fj (q) т е-М>1\
то при достаточно больших значениях qR будет |ReP>| >
> |/в|, что указывает на неприменимость борновского прибли-
приближения независимо от величины параметра Uo, характеризующего
силу взаимодействия4). Подчеркнем, что отмеченные закономер-
закономерности характерны для потенциалов с экспоненциальным убыва-
убыванием фурье-компоиенты U (q) оэ ехр (—aq )c л^ 1 при q^>-oo
(сравнить с 8.29, а также со случаем степеиного убывания 0{q),
рассмотренным в предыдущей задаче).
В заключение отметим, что с помощью формулы C) и опти-
оптической теоремы (XIII. 11) можно найти сечение рассеяния в
борновском приближении; результат, естественно, совпадает с
вычислением его по формуле ав = \ (fBJ dQ, см. 13.1е).
13.14. Во втором порядке теории возмущений амплитуда рас-
рассеяния описывается выражением
Р»(к, ка)._^!_\ Ъ(к-«)и(«-ъа) аы
8я4/Г J х2 — Щ — ie
(см. 13.10). При большой энергии, kR 3> 1, и малом угле рас-
рассеяния, когда <7#^1, как видно из A), вектор к, как и к, «бли-
«близок» к ко. Запишем эти векторы в виде
Tneao=kJkQ, а Ч±, к± J. п0. При этом | qx |«9 и A, =kQ+qu
q а iv — q2/2kQ, сравнить с 13.2. После подстановки явных выра-
выражений для фурье-компонент потенциала (через U(r)) интеграл
в A) принимает вид
Г Ц (р,, г,) U (р2, г2) ехр {-«[%\ B,-22)+хх(р,-Р2) +qxP2]}
J 2Аок;+(к^J+к2х-/в
X d3rx d3r2 dn\ d2n±. B)
Здесь Хц = »<и— k0 и в показателе экспоненты опущено слага-
слагаемое — iqnz2, так как \ qiz2\^q2R/k0<g. 1. Заметим, что члены
ряда теории возмущений для амплитуды рассеяния, см. формулу
B) из 13.10, наглядно можно интерпретировать как описываю-
описывающие последовательность однократных столкновений частицы с
4) Это относится лишь к большим зиачеиням qR (вклад ко-
которых в полное сечение рассеяния мал).
682
внешним полем, в каждом из которых происходит соответствую-
соответствующее изменение импульса частицы. В этом смысле радиус-вектор
14 в приведенном интеграле соответствует точке первого столк-
столкновения, после которого импульс частицы к0 становится рав-
равным и (после второго столкновения он принимает конечное зна-
значение к). •
Замыканием контура в верхнюю полуплоскость комплексной
переменной х[ в случае z% > z4 и в нижнюю полуплоскость при
гг < Z\ в выражении B) можно выполнить интегрирование по к\:
Г ехр [- te\ (z, - z2)] dx[
in
4~ exp [2ik0 (zi — z2)], z2 < Zi.
Показатели возникающих экспоненциальных сомножителей здесь
имеют существенно различные значения. Так как |&ozi,2| ~
~ k0R » 1, то в случае Zi > z2 экспонента в C) является бы-
быстро осциллирующей фуикцией. Это означает, что при последую-
последующем интегрировании по zi, 2 в выражении B) вклад таких zi, г
будет малым и им можно пренебречь. Соответственно выражение
C) можно считать равным
х2, (г. - г
D)
где r\(z) —ступенчатая функция5), а так как характерные зна-
значения Zj 2^ Я и xj_^^~ > то экспоненту вообще можно заме-
заменить на 1. Появление в выражении D) ступенчатой функции
допускает наглядное объяснение: для быстрых частиц каждое
последующее «столкновение» происходит при все больших зна-
значениях z (нет рассеяния назад).
Теперь в выражении B) легко выполняется интегрирование
по Xj_, а возникающая при этом 6-функция S(pi—р2) позволяет
проинтегрировать и по р2. В результате получаем
Наконец, заменяя здесь нижний предел интегрирования по z2 на
—оо и вводя при этом коэффициент 1/2, приходим к приведен-
5) Напомним, что r\(z) = 1 для z > 0 и iq(z) = 0 для z < 0.
683
ному в условии задачи выражению. Отметим, что для централь-
центрального потенциала оно является чисто мнимым (вещественная часть
амплитуды /<2) много меньше мнимой и в рассматриваемом при-
приближении не возникает, сравнить с 13.12 и 13.13).
/ г2 \
Применительно к потенциалу U = Uo exp I —jry I получаем
что совпадает с формулой C) из 13.13 для значений
В заключение заметим, что, положив <? = 0 в формуле для
/B) и воспользовавшись оптической теоремой (XIII. 11), получаем
выражение, определяющее в борновском приближении полное
сечение рассеяния и совпадающее с результатом 13.2.
13.15. Уравнение Липпмана — Швингера (A) из 13.10) ос-
остается справедливым для достаточно произвольного взаимодей-
взаимодействия U, если заменить фурье-компоненту потенциала U (к — к')
иа ядро U (к, к') оператора U в импульсном представлении. Для
сепарабельного потенциала
U (к, к') = Xg (k) g* (kr), g(k)=\ е~1кг % (г) dV
и уравнение Липпмана — Швингера принимает вид
Хт Г f я* (х) f (х ко) d3
f (к, ко) = 5" 8 W 8* (k0) + \ —5~7~5—Ч~"^ Г I •
2nhz I J 2Я (х2 — ?j) — ie) J
Обозначив фигурирующий здесь интеграл через F(ko), имеем
f (к, к0) = - -75-тт g (k) [g* (k0) + F (k0)]
и после подстановки этого выражения в указанный интеграл на-
находим F(k0) и амплитуду рассеяния (k = kt>):
где
- k2 - is
Одним из характерных свойств ее является независимость от
угла рассеяния 6), так что угловое распределение рассеянных ча-
частиц оказывается изотропным и полное сечение рассеяния а(Е) =
6) Сравнить с рассеянием на потенциале нулевого радиуса,
рассмотренным в 13.20.
684
= 4л;If |2 (поучительно убедиться в совпадении его с результатом
вычисления согласно оптической теореме). Отметим также пре-
предельный случай больших энергий: а (Е) оо | g (k) |4 при Е -> оо.
13.16. При Е — О имеем
и(г)dV- /точ@) = - ss» \и (
где в. ф. Ч'о(г) удовлетворяет уравнению (XIII. 4)
Если в потенциале U(r) нет связанных состояний частицы,
то волновая функция при Е = 0 не имеет нулей, и так как
Ч'о(оо) = 1, то Ч'о(г) > 0. При этом, как следует из уравнения
B), для потенциала отталкивания 0 ^ Чго(г) ^ 1 и согласно A)
имеем неравенство |Р@)| > |/точ@)|, т. е. борновское прибли-
приближение дает завышенное значение сечения рассеяния. Аналогично
в случае потенциала притяжения, U(г) ^0, получаем |/в@)| <
< |/точ@)|, так что борновское приближение дает заниженное
значение сечения рассеяния (в отсутствие в потенциале связан-
связанных состояний). Подчеркнем, что установленные соотношения ме-
между сечениями не предполагают малости потенциала, требуемой
для применимости борновского приближения. В связи с данной
задачей см. также 13.69 и 13.70.
13.17. В первом порядке по магнитному полю взаимодей-
взаимодействие имеет вид
Подставляя это выражение в формулу (XIII. 5) вместо U(т) н
заменяя в. ф. YjJ" плоской волной, получаем амплитуду рассея-
рассеяе-''кг (рА + А?) е'к°г Л =
где A (q) = X е~щг А (г) dV — фурье-компонента векторного по-
потенциала. При калибровочном преобразовании А (г) изменяется
на V%(r), при этом к A(q) добавляется слагаемое iq%(q). Од-
накэ так как q(k + k0) = 0, то значение /, как и величина диф-
дифференциального сечения рассеяния, не изменяются в согласии с
калибровочной инвариантностью.
685
13.18. Воспользуемся разложением
sin qr _ sin -\/2fe2r2 — 2k2r2 cos 9" =
qr
1=0
которое следует из теоремы сложения для цилиндрических функ-
функций, если заметить, что (sin z)/z = /jm (z) -\Jnl2z. Подставив его
в формулу (XIII. 8), получаем борновскую амплитуду в виде
ряда
1 = 0
A)
Сравнивая с разложением (XIII. 9) амплитуды рассеяния по
парциальным волнам, заключаем, что борновское приближение
соответствует случаю малых фаз рассеяния7), |6/(&)|<С 1, когда
v^ е2'6' - 1 у-* б, (к)
f = 2^B1+1) ш Pi (cos 9) « 2j B/ + !> "ПГ~
1 l
B)
Из сопоставления A) и B) следует известное выражение
(XIII. 12) для фазовых сдвигов в борновском приближении, пред-
представляющее первый, линейный по потенциалу член разложения
8i(k) (сравнить с задачей к § 126 из [1]).
13.19. Записав в. ф. 4Fktm = ukl (r) YtnJ^7, имеем для функ-
функции Uki(r) уравнение (сравнить с (IV. 6))
1 / , f .2 1 \(, , IV , 2та
Решение его, удовлетворяющее граничному условию а@) = 0,
есть ик1 ~ C/v (kr), где /v — функция Бесселя с индексом
2ma
A2
7) Малость всех фазовых сдвигов является необходимым
(но не достаточным!) условием жрименимости борновского при-
приближения; именно она обеспечивает вещественность амплитуды
рассеяния в этом приближении.
686
По асимптотике решения при г-»-оо
2 .Г, nv . я
Sinr +
находим фазовые сдвиги
Так как 6; не зависит от k, то согласно формуле (XIII. 9) ам-
амплитуда рассеяния имеет вид f(k, 9) = F(Q)/k, а дифферен-
дифференциальное сечеиие рассеяния do^dQ, <лк со Е . Такая же за-
зависимость от энергии 8) (ио не от угла рассеяния!) характерна и
для дифференциального сечения рассеяния в классической меха-
механике, см. E).
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда удается (при-
(приближенно) выполнить суммирование ряда (XIII. 9) с фазовыми
сдвигами A).
а) В случае /иа/й2 <С 1 согласно A) имеем
81 ~ ~ B/ +Т) W • ИР» этом |бг|«1, B)
и, разлагая е2'6' в выражении (XIII. 9), получаем 9)
оо
^ (?' 9) ~ ~ "ТЯГ L Pl (C°S 9) = - C)
ТЯГ L Pl (C°S 9) = - 2h'k sin (9/2) ' C)
1-0
что совпадает с результатом борновского приближения, см.
13.1г). При этом угловая зависимость дифференциального сече-
иия
Jl | f | 4)
dQ " ' 8h2E sin2 (9/2) v '
имеет мало общего с результатом классической механики [26]
(da\ я»а (я - 9) ...
V dQ Лл ?62 Bя - вJ sin 9 - w
8) Для потенциала U = а/г2 зависимость do/dQ со ?-' как
в классической, так и в квантовой механике легко получить из
соображений размерности.
9) Для суммирования ряда использована производящая
функция полиномов Лежандра (с z = cos 9 hj= 1):
'
: = JVP,(Z).
1 = 0
687
б) В случае rna/h.2 ^ 1 выполнить суммирование ряда по пар-
парциальным волнам при произвольном угле рассеяния не удается.
Легко, однако, заметить, что для достаточно малых углов рас-
рассеяния сохраняют силу выражения C) и D). Это связано с не-
неограниченным возрастанием амплитуды рассеиния при 0-»-О.
Так как каждый член ряда (XIII. 9) ограничен, то такая расхо-
расходимость амплитуды означает, что в сумме существенно много
слагаемых с большими значениями I (тем большими, чем мень-
меньше угол рассеяния). Но при достаточно больших I по-прежнему
справедливо соотношение B), из которого и вытекают формулы
C), D). То обстоятельство, что при малых углах рассеяния
борновское приближение применимо независимо от величины па-
параметра та/№, вполне естественно: в условиях данной задачи
при этом существенны большие расстояния (ввиду расходимости
амплитуды), на которых U = а/г2 <IC hvjr и потенциал можно
рассматривать как возмущение.
в) Рассмотрим рассеяние частиц назад. Так как
оо
? B1 + 1) Pi (cos 9) = 46 A - cos 9),
i-о
т. е. такая сумма при 9 Ф О равна нулю (см. [1, § 124]) и
Pi(—1) = (—1)', то ряд (XIII. 9) принимает вид
f (?. 9 = я) = -±- ? B/ + 1) ехр [- Ы д/(/ + IJ +
1-й
F)
В случае ma/ft2 5> 1 в этой сумме основную роль играют
слагаемые с большими значениями 10) I ^ (ma/A2I'4. При этом
соседние слагаемые мало отличаются друг от друга и суммиро-
суммирование можно заменить интегрированием:
G)
С помощью подстановки х = V'2 + 2ma/ft2 получаем
10) При больших значениях I слагаемые суммы F) начи-
начинают быстро осциллировать и в результате взаимной компенса-
компенсации их вкладов соответствующая часть суммы оказывается ма-
малой. Заметим, что для вычисления ряда F), как и предшествую-
предшествующей суммы для 6-функции при 9 ф 0, а также и интеграла G)
следует ввести обрезающий множитель типа e~v с у>0 и за-
затем в окончательном результате положить у = 0.
688
При этом дифференциальное сечение рассеяния для 9 = я сов-
совпадает с результатом E) классической механики. Это замечание
справедливо и для области углов рассеяния (расширяющейся
с увеличением а), примыкающих к 9 = я; см. по этому поводу
[1. § 127].
Заметим в заключение, что в случае потенциала притяжения.
а < 0, фазовые сдвиги A) могут стать комплексными. Фор-
Формально это соответствует появлению «поглощения» в системе.
Причина появления неустойчивости связана с возникновением
«падения на центр», см. в связи с этим 9.14. Что же касается
рассеяния под малыми углами, то оно описывается формулами
C), D) независимо от знака а.
13.20. Так как потенциал нулевого радиуса оказывает дей-
действие на частицу только с моментом / = 0, то отлична от нуля
лишь фаза s-рассеяния бо(&), а амплитуда рассеяния не зависит
от угла 0. При этом асимптотическая форма волновой функции
A)
определяет фактически точное решение у. Ш. для всех г > 0.
Сравнивая при г-*-0 разложение в. ф.
с граничным условием, задающим потенциал нулевого радиуса,
см. 4.10, находим
4я 4я«л
f(E) °
,B)
, ° 4n\f\ mf()
1 + ika0 k I +
здесь а0 = 1/а0; при этом /@) = —«о, так что а0 является дли-
длиной рассеяния на п. н. р.
Наконец, используя равенство е2гв — 1 = 2z'/(ctg б — г), полу-
получаем для фазы s-рассеяния на п. н. р. соотношение
6ctg60F) = -—. C)
по
Сравнение его с разложением эффективного радиуса (XIII. 15)
показывает, что для рассеяния на п. н. р. эффективный радиус
взаимодействия г о = 0.
13.21. Так как по условию |6о(&)| <. 1 при всех энергиях, то
потенциал можно рассматривать как возмущение и воспользо-
689
ватьси выражением (XIII. 12) для фазового сдвига s-волиы:
оо оо
6o{k)== ~Ж \ U(r) sinSkrdr = - -^ \ U (r)[l -cos2kr]dr.
о о
A)
Умножим обе части равенства A) иа (—hsk/2m), а затем
продифференцируем по k; в результате получим
о
~ ш ~ш ik6°(*)J = \
rU (r) sin 2kr dr =
oo
rU (\г\)е-"кгйг B)
(здесь использовано четное продолжение потенциала, U(—|г|) —
= U(\r\), на область отрицательных значений г).
Формула B) определяет фурье-компоненту потенциала (точ-
(точнее, функции г?/([г|)) и позволяет найти сам потенциал с по-
помощью обратного преобразования Фурье:
Так как согласно A) 6о(&) следует рассматривать как нечетную
функцию переменной k и соответственно б0 (Щ — как четную
функцию, то выражение C) принимает вид
оо
U (г) = - -^- \ sin Bkr) 4тг №о Ш dk. D)
nmr J ак
о
Рассмотрим приложения этой формулы.
а) В случае 60F) = const = С (при k > 0) согласно D)
получаем
оо
U (г) = \ s n 2kr dk = =- =-V E)
' nmr J nmr2 r2
о
(для вычисления интеграла следует ввести «обрезающий» множи-
множитель е~ с Я > 0 и в окончательном результате положить
Я= 0).
690
б) Подставляя [kS0(k)Y = 2a?/(l + рб2J в формулу C)
и вычисляя интеграл с помощью вычетов, находим
Заметим, что условие |6о(&)| ¦< 1 предполагает, что |С|<С 1
и |a|-cVP'> при этом найденные потенциалы E), F), как и
следовало ожидать, удовлетворяют условию применимости, пер-
первому из (XIII. 7), борновского приближения при любой энергии.
13.22. Так как действие оператора U06u на волновую функ-
функцию состояния с определенным значением I момента сводится
к умножению ее на (—1)'{/(г)> то выражение для фазового
сдвига бдбм | (А) лишь множителем (—1)' отличается от бор-
новского выражения (XIII. 12) для обычного потенциала U(r).
13.23. Фазовую теорию рассеяния в двумерном случае мож-
можно развить в полной аналогии со случаем центрального поля,
рассмотренным в [1, § 123]. Имея в виду содержание этого па-
параграфа, укажем изменения, которые следует внести в соот-
соответствующие формулы для обобщения их на рассматриваемый
случай.
Гамильтониан плоского движения в аксиально симметричном
поле имеет вид
2ц V р (Эр «Эр р2 (Эф2 /
A)
а интересующее нас решение уравнения Шрёдингера имеет асим-
асимптотику
Ч>? (р) » eikp cos ф + л/Т f (fe'/-?) eikp, р-»оо B)
Vp
(поток частиц падает в направлении оси х, при этом х =
= р cos <р). Заметим, что теперь расходящаяся волна — цилин-
цилиндрическая (а не сферическая), и поэтому вместо 1/г появляется
1/Vp- Далее> в Двумерном случае амплитуда рассеяния f(k, <p)
имеет размерность корня из длины, а дифференциальное сечение
рассеяния do/dq> = \f\2 — размерность длины. Наконец, фазо-
фазовый множитель yi введен для удобства.
Так как оператор /2 = —/д/<Эф коммутирует как с гамиль-
гамильтонианом свободного движения, так и с гамильтонианом A),
то плоскую двумерную волну и точную в. ф. Yj^p) удобно
разложить по с. ф. Wm = e ф этого оператора (аналогично
691
разложению по шаровым функциям в случае центрального по-
потенциала):
*ke E BnRkn(p)etm*. C)
/71= —оо
Здесь учтено, что радиальная функция свободного движения с
«моментом» /п выражается через функцию Бесселя /| m | (kp),
при этом коэффициенты разложения Ат = i , см. [33, с. 987].
Значения коэффициентов Вт определяются из условия, что раз-
разность Ч1^ — eikx содержит на больших расстояниях лишь рас-
расходящиеся, со etkp, волны для каждого члена суммы по т. Запи-
Записав асимптотику радиальной функции в виде и)
находим Вт = е тАт- В результате для амплитуды рассеяния
получаем искомое разложение по парциальным волнам
г(к,9)^—1=. У G^-O^. E)
i Ik ti
Заметим, что фазовый сдвиг бш не зависит от знака т.
Согласно формуле E) полное сечение рассеяния равно
2я
О
1 ? sin2 6m, F)
т= —о
а оптическая теорема в двумерном случае гласит
Im / (k, Ф = 0) = /\J-JL а (Е) G)
(при этом существенным является отмеченное выше выделение
множителя у i в выражении B); в борновском приближении
для двумерного случая, когда |Sm| <C 1, так введенная ампли-
амплитуда согласно E) оказывается вещественной).
") Нормировочный множитель в этой функции и фаза би
выбраны таким образом, что при бт = 0 асимптотика D) совпа-
совпадает с асимптотикой функции Бесселя — радиальной функции
свободного движения.
692
13.24. Гамильтониан поперечного движения заряженной ча-
частицы в магнитном поле Н± ¦= (р — еА/сJ/2ц, для рассматри-
рассматриваемого случая в полярных координатах принимает вид12)
где Л = e<t>0f2nhc. Так как оператор #х коммутирует с tz, то
развитая в предыдущей задаче фазовая теория рассеяния для
двумерного случая применима и в данной; теперь, однако, фа-
фазовый сдвиг 6т зависит от знака т. Радиальные функции в рас-
рассматриваемой задаче, как и в случае свободного движения, вы-
выражаются через функции Бесселя Jv(kp), но уже с индексом
v= \т — Х\. Используя их асимптотику, находим
При этом амплитуда рассеяния (см. формулу E) из предыду-
предыдущей задачи) оказывается равной
Обозначив через т0 минимальное из значений т, которые еще
больше Л, и разбив сумму на две: со значениями т ^ то и с
т ^ то — 1 соответственно, находим значения последних (пред-
(представляющих суммы геометрических прогрессий), что позволяет
получить замкнутые выражения для амплитуды и дифферен-
дифференциального сечения рассеяния:
, _ . exp [i(m0 — 1/2) ф] sin nX
~' V2JtF sin (ф/2) '
da sin2 (еФо/2Йс)
~d<t ~ 2nk sin2 (ф/2)
-2
Интересной особенностью полученного результата является
бесконечное значение полного сечения рассеяния, т. е. рассеяние
частиц происходит даже при сколь угодно большом прицельном
параметре. С точки зрения классической теории это обстоятель-
обстоятельство представляется удивительным: магнитное поле н сила Ло-
12) Свободное движение вдоль поля не представляет инте-
интереса. Отметим, что при расписывании гамильтониана учтен вид
азимутальной компоненты градиента: V = д/р <3ф.
693
ренца отличны от нуля лишь на оси и поэтому вообще ие оказы-
оказывают никакого влияния на движение частиц! Дело в том, что этот
эффект Ааронова—Бома является чисто квантовым и исче-
исчезает при переходе к классической механике: при Й-+-0 также
k~l = h/p-*-0 и рассеяние действительно отсутствует. В кванто-
квантовой механике взаимодействие заряженной частицы с магнитным
полем характеризуется векторным потенциалом: именно он вхо-
входит в гамильтониан13). В данной задаче, несмотря на то, что вне
оси 36 = 0, векторный потенциал никаким калибровочным пре-
так как ф A d\ =
= Фо], а его медленное, оо 1/р, убывание на больших расстоя-
расстояниях объясняет бесконечность сечення рассеяния.
13.25. При больших энергиях применимо, вообще говоря, бор-
иовское приближение и для фазовых сдвигов можно воспользо-
воспользоваться выражением (XIII. 12). В нем при fe->-oo во всей обла-
области интегрирования, исключая узкую область малых значений г,
аргумент фуикции Бесселя х = kr » 1. Воспользовавшись извест-
известной асимптотикой /ц (х), получаем
h2k
о
A)
(быстро осциллирующий множитель sin2(x — я//2) заменен его
средним значением, равным 1/2). Этот результат справедлив
в случае а), когда rU(r) ->-0 при г-»-0.
Для более сингулярных при г-*-0 потенциалов формула A)
неприменима ввиду расходимости в ней интеграла. Такая рас-
расходимость означает, что теперь область малых г играет домини-
доминирующую роль и в ней нельзя заменять /ц (х) ее асимптотикой.
Разбив область интегрирования по г в выражении (XIII. 12) на
две: от г = 0 до некоторого малого, но конечного R и от г = R
до бесконечности, замечаем, что вклад второго из этих интегра-
интегралов в значение б(, как и в A), пропорционален k~l. Доминирую-
Доминирующим же является вклад первого из интегралов, в котором можно
13) См. в связи с этим интересное обсуждение вопроса о «ре-
«реальности» векторного потенциала в «Фейнмаиовских лекциях по
физике», т. 6, гл. 15.
694
положить U = a//-v и, сделав подстановку х = kr, получить
' » .
пта Г(у-1)Г(/ + C-у)/2)
1 <v<2.
Здесь для указанных значений u) v верхний предел интегриро-
интегрирования, равный kR, при fe->-oo заменен на оо. При v= 1 такая
замена не оправдана ввиду расходимости интеграла (на верхнем
пределе). Воспользовавшись асимптотикой /^ (х) при дг-^-оо,
легко вычислить его расходящуюся часть и получить
Ъъ—щ-ЬкЛ, v=l C)
(эта формула имеет логарифмическую точность в соответствии
с неопределенностью в значении R).
Отметим, что установленная различная зависимость от значе-
значения v закона убывания 6i(k) при fe->-oo отражается иа рассея-
рассеянии частиц лишь с большим изменением их импульса. Это свя-
связано с тем, что /в оо U (q) при больших значениях q определяет-
определяется особенностями потенциала U (г) как функции г. Для сингуляр-
сингулярных при г-*-0 потенциалов U « a/rv имеем U оо <^v~3 оо ?*~3
при q -*¦ оо. На величину же полного сечеиия рассеяния,
а оо 1/Е, определяемого моментами / ~ kR » 1, такое различие
в энергетической зависимости фаз с фиксированным значением I
не влияет.
13.26. В выражении (XIII. 12) при значениях / ~ kR ~> 1
(R — радиус потенциала) разобьем область интегрирования на
две: от г = 0 до г = га *= (/ + l/2)/fe и от г = г0 до г = оо. Во
втором из получающихся интегралов воспользуемся приближе-
приближением тангенсами для функции Бесселя, т. е. асимптотикой
При этом v = / + 1/2, а v/cos р = kr, так что v tg p = k -у г2 — г2,.
м) При v = 2 независимость фазового сдвига от k имеет
место при любых значениях аи/, даже когда борцовское при-
приближение неприменимо, см. 13.19. Значение интеграла в выра-
выражении B) см. в [33, с. 706]. Отметим также, что для v > 2
бориовеиое приближение неприменимо.
695
После замены быстро осциллирующего множителя cos2 [...] под
интегралом его средним значением, равным 1/2, получаем
Мы ограничились здесь вкладом в 6г лишь второго из указан-
указанных выше интегралов, так как вклад первого пренебрежимо мал.
Его малость связана с тем, что при v ^> 1 функция Л> (х) бы-
быстро (экспоненциально) убывает с уменьшением х от значения
х = v. Такое убывание /v (x) — проявление обычного убывания
квазиклассической функции в глубь барьера (в данном случае —
центробежного барьера; непосредственно оио видно из аналогич-
аналогичной A) асимптотики, но уже при х < v).
По форме B) совпадает с известным квазиклассическим
выражением (XIII. 14) для фазового сдвига в случае |?/(г)| <
<; Е (в то время как использование борновского приближения
предполагает выполнение более жесткого условия | ?/(/•)[ < hv/r,
при этом |б?|<1).
Согласно B) зависимость фазового сдвига от / и k (в наи-
наиболее существенной области этих параметров) определяется вы-
выражением
* C)
где функция g(s) зависит от конкретного вида потенциала. При
этом в условиях применимости борновского приближения по фор-
формуле (XIII. 9), заменяя в ней суммирование по / интегрирова-
интегрированием, приходим к известному результату ои1/? при Е-*-оо
(для короткодействующих потенциалов).
13.27. Для потенциалов с рассматриваемым поведением на
больших расстояниях борновская амплитуда при значениях
<?->-0 расходится. Так как q = 2fesinF/2), то при Е-*-0 в бор-
новском приближении будет расходиться и полное сечение рас-
рассеяния (при этом q-*-Q для всех углов рассеяния). Расходимость
сечения рассеяния означает, что в задаче становятся сущест-
существенными большие расстояния, на которых выполнены условия
(XIII. 7), так что использование борновского приближения дей-
действительно оправдано. При этом согласно (XIII. 12) имеем
оо
f , 2ma С sin x ,.,
д2 3-V J jjV-1
4 qR
(ограничиваясь рассмотрением лишь расходящихся частей ампли-
амплитуды и полного сечеиия рассеяния, вклад конечных расстояний
696
г ^ R, на которых потенциал не описывается своей асимптотикой,
не обсуждаем).
При v < 3 в выражении A) можно положить нижний пре-
предел интегрирования qR = 0 и получить
f _ Су с яти.
Л2Г (v — 1) cos (nv/2) '
воспользовавшись значением интеграла
оо
С sin x _, „,_ . . п\ л sin (nv/2)
\ dx = Г B — v) sin = -——
J x*-1 2 Г (v - 1) sin ям
При этом полное сечение рассеяния (q2 = 2fe2(l—cos 6))
л l
dz
C)
a = 2
J ?->0
0 -1
1
со —
p3-v
Для случая v = 3 заменять нижний предел интегрирования
в A) нулем нельзя из-за расходимости интеграла. Так как
sin л: я* л; при х-*-0, то расходящаяся часть интеграла равна
in(llqR), так что
f « -p- In <?/?, D)
а полное сеченне рассеяния
а= [f*dQ& [-^-ln2kRdQ=-^^-ln2kR->oo E)
(при вычислении расходящейся, оо In2 kt части сечения можно
положить In qR « In kR; неопределенность в значении R харак-
характеризует логарифмическую точиость формул D) и E)).
13.28. При к-*-0 аргумент х = kr функции Бесселя в вы-
выражении (XIII. 12) мал и, вообще говоря, можно воспользовать-
воспользоваться известным разложением /ц, (х) при х-*-0. Оставляя лишь пер-
первые два члена разложения15), получаем
б? (fe) * k2t+' {At + Btk2 + ...] оо k2l+1, A)
15) Описываемые преобразования справедливы и при фик-
фиксированном конечном значении к, ио I ~>(kRJ, что позволяет
сделать заключение о фазовых сдвигах для больших значений
момента: bt оо (kR/lJl + l.
697
здесь
00
J r2l+2
J U(r)r2l+2dr, jBj.-^A^J U(r)P+ldr, B)
о о
a cz = — ят/22/+1Г2 (/ + 3/2) Й2.
Имея в виду разложеиие эффективного радиуса (XIII. 15) и
учитывая малость фазового сдвига в борновском приближении,
находим
a^ = -At, r^-2BtAT2. C)
Одним из условий применимости полученных результатов
является достаточно быстрое убывание потенциала на больших
расстояниях, обеспечивающее сходимость интегралов в выраже-
выражениях B). При экспоненциальном убывании потенциала не возни-
возникает никаких ограничений для всех значений 16) /. Для потен-
потенциалов со степенным убыванием, U я! <x/rv, ситуация иная. Для
значений /< (v — 5)/2 интегралы в B) сходятся на верхнем
пределе и понятия длины рассеяния сц и эффективного радиуса
Л по-прежнему определены. В случае (v— 5)/2 ^ I < (v—
— 3)/2 второй из интегралов B) расходится. При этом разложе-
разложение эффективного радиуса (ХШ. 15) уже несправедливо, од-
однако понятие длины рассеяния и зависимость б/ « —atk2l+i для
тт , v—3
медленных частиц сохраняются. Наконец, для значении / ^ —^—
нарушается и зависимость bt со k2l+ ' при fe->-0. Низкоэнергетн-
ческое рассеяние с произвольным моментом I в потенциалах со
степенным «хвостом» рассмотрено в двух следующих задачах,
см. также 13.27.
13.29. Для значений К (v — 3)/2, как обычно [1, § 132],
б/ = Aik2l+i. В борновском приближении коэффициент At в этой
зависимости получен в предыдущей задаче. В случае I ^ (v —
— 3)/2 заменять в формуле (ХШ. 12) функцию Бесселя /м (х)
ее первым, со х^, членом разложения, приводящим к зависимо-
зависимости б^ со k + , нельзя ввиду возникновения расходимости инте-
интеграла. Теперь, разбив область интегрирования в (ХШ. 12) на
две: от/" = Одог = /?иотг = ./?до/"=оо (значение R та-
таково, что при г > R для потенциала можно использовать его
асимптотическое выражение), замечаем, что вклад первой из об-
Ie) При этом зависимость б^ со k справедлива и для
«сильных» потенциалов, к которым бориовское приближение не-
неприменимо.
fi98
ластей, пропорциональный ft2/+1, менее существен, чем вклад вто-
второй области. Таким образом находим
c)dx. О)
k'R x
При значениях /> (v — 3)/2 здесь можно заменить ниж-
нижний предел интегрирования нулем и получить (интеграл см. в
[33, с. 706])
пта Г(у-1)Г(/ + C-у)/2) ^_2
l™ h2 v-'r2(/2)r(i + ( + l)/2)
В случае I— (v — 3)/2 интеграл в выражении A) при fe->0
расходится на нижнем пределе. Воспользовавшись разложением
/ц (х) при х->-0, легко найти расходящуюся часть интеграла и
значение фазового сдвига
яотаft»' +' In АЛ. C)
Сделаем два заключительных замечания.
1) Хотя полученные результаты основаны на использовании
борновского приближения, они на самом деле при v > 2 носят
достаточно общий характер. Действительно, в задаче сущест-
существенны большие расстояния, на которых |С/(/")| ¦< hz/mr2, так что
потенциал можно рассматривать как возмущение.
2) Для потенциала, представляющего суперпозицию «силь-
«сильного» короткодействующего и «слабого» дальиодействующего (со
степенной асимптотикой) потенциалов, вообще говоря17), их
вклады в фазовый сдвиг аддитивны, б; « бг, кор + бг, дал- При
этом для аномально малых k доминирующим будет вклад даль-
нодействующего потенциала, а для не слишком малых k — уже
вклад короткодействующего потенциала; см. в связи с этим
13.37, а также 13.42.
13.30. Имея в виду решения двух предыдущих задач, не-
нетрудно получить следующие разложения:
J х
A)
(v - 5)/2 < / < (v - 3)/2.
") Исключая случай, когда в короткодействующем потен-
потенциале имеется состояние с малой энергией связи.
699
В случае /= (у — 5)/2 в аналогичном A) выражении нижний
предел интегрирования равен kR и, вычисляя расходящуюся
часть интеграла, находим
i kR. B)
В частности, для потеициала, имеющего на больших расстоя-
расстояниях вид U « а/г4 (т. е. v = 4), при / = 0 согласно формуле
A) получаем
оо
А 4- 1.2Z + 1 ^ 2/па ,2 Г 1 Г sin2 х "I _ 2ята 2
о
При этом обобщение разложения эффективного радиуса (XIII. 15)
принимает вид
йп sh йп
13.31. Для вычисления длины рассеяния а0 следует найти
ограниченное решение радиального уравнения Шрёдингера с
Е = 0 и I = 0. Его асимптотика 18)
определяет значение по. Решения у. Ш. для рассматриваемых по-
потенциалов обсуждались в задачах главы 4, поэтому здесь огра-
ограничимся лишь некоторыми замечаниями19); ниже % — rRExQ г_0
н X =
а) Для прямоугольной потенциальной ямы
Л sin (Xr/R), r<R,
г - а0, r> R.
Из условий непрерывности % и %' в точке г = R находим
. A)
б) Для fi-сферического потеициала
_( Cr, r <R,
X~\a0-r, r>R.
l8) Такая асимптотика предполагает более быстрое, чем
ool/r3, убывание потеициала на больших расстояииях.
") Используемое для состояний д. с. граничное условие
Ч'(оо) = 0 теперь, естественно, не возникает.
700
Сшивание решения в точке г = R, см. 4.8,. дает
B)
в) Для экспоненциального потенциала решение радиального
уравнения Шрёдингера
X = J0BX)N0(x)-N0BX)J0(x), где х = 2Яе"г/2Л,
/о и Na — функции Бесселя и Неймана. При этом учтено гра-
граничное условие %(г — 0) = 0, сравнить с 4.8. Так как при г-*-
-»-оо имеем х-+0, то, используя соотношения (у = е® = 1,781...,
в* = 0,5772... —постояниая Эйлера)
N0(x) «| /о Win |- + Щ- + -^A -<&) х\
по асимптотике %(г) находим длину рассеяния
а°= 17Щ [l^ J°BX) ln^~No BЯ>] •
г) Для указанного потенциала решение у. Ш. имеет вид
(сравнить с 4.25)
где | = Vl+^2- По его асимптотике находим
D)
д) Аналогично решению задачи 4.25 находим волновую функ-
функцию ^е=0 /=0 = Л ехр (—Я/?/г) и длину рассеяния
а0 = Я/?. E)
Переходя к обсуждению полученных результатов, прежде
всего отметим существенное отличие характера зависимости дли-
длины рассеяния а0 от параметра Я оо VТГ0 при Uo-*-O в случае д)
по сравнению с другими случаями а)—г). Согласно A) — D)
а0 при малых X разлагается в ряд по степеням Л2 и является
аналитической функцией параметра С/о. При этом в зависимости
от знака С/о эти выражения определяют длину рассеяния либо в
потенциале притяжения, С/о > 0, либо в потенциале отталкива-
701
ния —при С/о < 0. Так, формула A) при Uo < 0 принимает
вид
и описывает длину рассеяния на потенциальном барьере. В случае
потенциала U = а/г4, а = UoR*, зависимость а0 от параметра а
(илн Uо) является уже иеаналитической, так как а0 <*> V«- Та-
Такая неаналитичность отражает существенно различный характер
влияния потенциала на частицу при малых значениях а > 0 и
а < 0, проявляющийся в возникновении «падения на центр»
в случае20) а < 0. При этом формула E) несправедлива, так
как использованное при ее выво-
выводе граничное условие Ч^О) =0
уже не может быть реализовано
и требует модификации, срав-
сравнить с 9.14.
Далее, формулы A) — D) от-
ражают общий характер зависи-
зависимости длины рассеяния а0 от па-
параметров Ua и R для знакопо-
знакопостоянного (как функции г) регу-
регулярного потенциала вида U(r) =
= -Uof(r/R), где /(|z|KsO
(притяжение— при Uo > 0 и от-
отРис. 48
талкивание— при С/о<0). Качественный ее характер изобра-
изображен на рис. 48. Здесь проявляются следующие закономерности.
1) При |Я|2 <1С 1 («слабый» потенциал) длина рассеяния
также мала, так как \ао\ ~ \X\2R <Z R. Записав а0 = — $№R,
согласно A) —D) находим значения параметра р, равные соот-
соответственно 1/3, 1, 2, л/4. Эти результаты могут быть получены
непосредственно по формуле борновского приближения
а« = —i
U (r) dV,
при этом знак длины рассеяния совпадает со знаком потен-
потенциала.
2) При увеличении \К\2 величина длины рассеяния также
возрастает. При этом зависимость ао от Uo является монотонной,
кроме исключительных значений Хп параметра X в случае притя-
притяжения, при которых длина рассеяния а0 обращается в бесконеч-
20) Сравнить с аналогичным свойством фаз рассеяния б/
в случае потенциала притяжения U = —|а|/г2, следующим иэ
формулы A) задачи 13.19, когда при 2m\a\/Ai =(/+ 1/2J воз-
возникает «падение иа центр» частицы с моментом /.
702
ность. Такие значения Х„ отвечают условию возникновения в по-
потенциале нового связанного состояния с моментом I = 0 по мере
углубления ямы "). Действительно, асимптотика волновой функ-
функции при г-юо в момент появления связанного состояния имеет
вид Y?_0co 1//- (а не Ci + Czlr, как в общем случае, сравнить
с 4.25), что и соответствует длине рассеяния а0 = оо.
Покажем монотонность изменения по с изменением Uo в слу-
случае знакопостоянного потенциала. Запишем два уравнения Шрё-
дингера:
// 1т .. , ( г \ гг 2т ,Г1 , -Г1
при значениях Е = О и I = 0. Граничные условия имеют вид
Хо(О) = х@) = 0, а асимптотика решений при л-»-оо соответ-
соответственно %о za а0 — г и )(«о — г, причем а = ао + бао (ба0 оп-
определяет изменение длины s-рассеяния при изменении потен-
потенциала на —6Uof). Умножая первое из уравнений на %, второе —
на Хо. почленно вычитая их друг из друга и интегрируя по г в
пределах от 0 до оо, получаем
оо
" ^ $ f (-J-) ^ (г) dr
В интеграле положено, % « Хо, что имеет место ввиду предпола-
предполагаемой малости 6fо—>-0 и условия аоф °°; при этом ба0 также
мало, причем 8ao/8U0 < 0, что и доказывает монотонность зави-
зависимости ao(Uo).
3) Наряду со значениями Я, близкими к Я„, для которых
длина рассеяния аномально велика (резонансное рассеяние), су-
существуют и такие значения Хп параметра X, при которых, наобо-
наоборот, а0 = 0. Так, в случае прямоугольной ямы согласно A) это
имеет место при условии tgA.n = %п- Для таких значений %п па-
параметров потенциала сечение рассеяния а = Апа^ частиц с энер-
энергией Е — 0 обращается в нуль. Соответственно при значениях Я,
близких к %п, сечение рассеяния медленных частиц, kR <Ц\, мо-
может быть аномально малым, что и проявляется в эффекте Рам-
зауэра — Таунсенда. Подчеркнем, что отмеченная малость сече-
сечения рассеяния, a <g nR2, медленных частиц в «сильном» коротко-
короткодействующем потенциале радиуса R может возникать только в
том случае, если он имеет притягивающий характер.
2I) В случае 6-ямы при ее углублении появляется только
одно связанное состояние с моментом 1 = 0 при значении пара-
параметра X ^ Хо = 1, см. B).
703
Наконец, отметим следующую закономерность для длины
рассеяния в случае очень сильного потенциала, когда |Я,| » 1.
Если потенциал имеет резко выраженный радиус R, как для
прямоугольной или б-ямы (или соответствующих барьеров), то
при этом flo « R, исключая лишь очень узкие области значений X
вблизи точек22) %,„ см. выражения A), B). Подобная ситуация
сохраняется и в случае резко —¦ экспоненциально — спадающих
потенциалов. Из формулы C) при 1п уХ » 1 имеем а0 fa R^ ж
« 2R In y^., исключая близкие к нулям функции Бесселя /0 BЯ)
значения Я, отвечающие появлению новых связанных состояний.
Отличие от предыдущего случая состоит лишь в слабой, лога-
логарифмической зависимости ^Эф от Я, которая может быть полу-
получена из соотношения | U (R3$) I « Й2//п/?|ф. Для потенциалов со
степенным убыванием, как видно из формулы D), ситуация
иная. Теперь ао(Я) является «живой» функцией % во всем интер-
интервале между точками Хп и Я„+4 и выполаживания зависимости
ао(Х) не происходит.
13.32. Задача сводится к решению уравнения Шрёдингера с
энергией Е = О, принимающего вид ДЧ'(г) = 0, с граничным ус-
условием Ч'(го) = 0 на поверхности эллипсоида и асимптотикой ре-
решения V « 1 — aolr на больших расстояниях, определяющей
длину рассеяния 23) а0 = —f(E= 0).
Для функции ср (г) = 1—Т уравнение, граничное и асимп-
асимптотическое условия принимают вид
Д<р = 0, ср (г0) = 1, ц>»ао/г при л->оо. A)
Согласно соотношениям A) функцию q>(r) можно рассматривать
как электростатический потенциал заряженного эллипсоида вра-
вращения (ось вращения — ось г), принимающий на его поверхно-
поверхности значение сро = 1; при этом е = а0 —заряд эллипсоида. Так
как е = Сф0, где С — емкость проводника, то длина рассеяния
частиц на «непроницаемом» эллипсоиде численно равна электро-
электростатической емкости проводника такой же формы24). Решение
22) Эти узкие области включают и точки %п- Как видно
из A), C), для быстро спадающих потенциалов Хп и Х„ сбли-
сближаются при га->-оо; для степенного потенциала — см. D)—это
замечание несправедливо.
м) Подчеркнем, что в пределе нулевой энергии рассеяние
частиц является изотропным даже в случае нецентрального ко-
короткодействующего взаимодействия.
24) Соотношение ао = С справедливо для «непроницаемого»
тела произвольной формы. В частности, при рассеянии частиц на
непроницаемом диске радиуса R сечеиие рассеяния а(?=0) =
= A6/я)#2 (емкость диска С = 2R/n).
704
электростатической задачи A) для вытянутого эллипсоида вра-
вращения известно и имеет вид (при с > Ь)
+ [(г + Ус2 - Ь2J + х* + v
(оно может быть получено методом изображений: потенциал та-
такого проводящего эллипсоида вращения совпадает с потенциалом
равномерно заряженного отрезка, концы которого находятся в
фокусах эллипсоида с координатами х = у = О,г=± л/с2 — Ь").
Определяя е из условия ф(го) = 1 (для чего удобно выбрать
точку эллипсоида, лежащую на оси вращения: х = у = 0, z=c),
находим длину рассеяния
C)
Отсюда в случае с = Ь имеем а0 = с и а — 4яс2 — извест-
известный результат для рассеяния медленных частиц непроницаемой
сферой радиуса R = с. Для сильно вытянутого эллипсоида,
с > Ь, формула C) дает
Заметим, что обобщение на случай сплюснутого эллипсоида
вращения, b > с, может быть получено с помощью аналитиче-
аналитического продолжения длины рассеяния C). Для этого, записав
*/с2 — Ь2 = i У&2 — с2 ез iv, воспользуемся соотношением
y In (с2 + в2) ± j arctgy.
— 2i arete — = 2г arete — = 2/arccos -т->
с — iv ъ с с Ъ
и для длины рассеяния получаем (Ь > с)
а - Уь2~с2 E)
0 arccos (с/6)
Положив здесь с = 0 и b = R, приходим к длине рассеяния
а0 = 2R/n на непроницаемом диске радиуса R.
13.33. На конечных расстояниях квазиклассическое решение
уравнения (IV.5) для функции %=rR(r) при значениях Е=0
23 В. М. Галицкий и др. 705
и / = 0 следует выбрать в виде
\ р|=л/2^Щ. A)
= -^==-ехр\ -1 J| p\dr\,
Здесь оставлена лишь затухающая к началу координат квази-
квазиклассическая в. ф. Пренебрежение возрастающей частью реше-
решения соответствует учету граничного условия25) %@) =0.
Однако на больших расстояниях, при г->-оо, имеем | р (г)|| со
col/r2->-0 и квазиклассика неприменима. Поэтому решение A)
на больших расстояниях, где уже U « а/г4, следует сшить с точ-
точным решением у. Ш., асимптотика которого jc(r)«ao— г опре-
определяет длину рассеяния. Такое точное решение имеет вид (см.
4.25)
[a0 , d , d~\ , 12ma ...
_sh__ch_j^fl0_r, d=y_. B)
Сшивание решений A) и B) может быть выполнено лишь в слу-
случае, если в B), как и в A), на конечных расстояниях отсутст-
отсутствует экспоненциально возрастающее к началу координат слагае-
слагаемое. Отсюда находим значение длины рассеяния в квазикласси-
квазиклассическом приближении:
2/гаа
Этот результат для потенциала, имеющего вид U = а/г4 во всем
пространстве, совпадает с точным.
Для указанных в условии потенциалов точные значения дли-
длины рассеяния (см. 13.31г); | = ^/2ma/fl2R2 = d/R):
а) а0 = tf УР7! cth ( 1 д/р^П"),
D)
б) ao = R()
Как и следовало ожидать, они при | -*¦ оо переходят в C). Од-
Однако и для значений ?5^1 квазиклассический результат ие силь-
25) Если U (г)—ограниченный потенциал, то в этом случае
Хкв@) хотя и отлично от нуля, но экспоненциально мало. Такое
нарушение граничного условия приводит лишь к экспоненциально
малым погрешностям в значениях и других величии. Более су-
существенны поправки, связанные с отклонением потенциала от
его асимптотического выражения иа больших расстояниях, см.
следующую задачу.
706
но отличается от точного. Для иллюстрации приведем таблицу,
в которой представлено отношение ц = а0, кв/ао для ряда ?:
i
¦П. а.)
% б)
1
1,571
3,202
2
1,145
1,862
4
1,033
1,332
6
1,014
1,200
Меньшая точность в случае б) связана с более существенной
ролью квазиклассических поправок, обусловленных отличней по-
потенциала U(г) на больших расстояниях от его асимптотического
выражения а/л4; см. по этому поводу следующую задачу.
13.34. Если потенциал U (г) отличается от а/л4 лишь на ко-
конечных расстояниях г sg R, то для % = л/2та/Н2Я2^> 1 отличие
а0 от квазиклассического значения
экспоненциально
мало и находится за пределами точности квазиклассического при-
приближения.
Если же разность U(r) — а/г* отлична от нуля и при г>
> R, то возникают степенные поправки по параметру 1/? со ft.
Для определения первой такой поправки в случае, когда U (г) «
»—j-( 1 Н J при г-*-оо, надо найти такое решение у. Ш. на
больших расстояниях, точность которого обеспечивает корректный
учет поправочного члена в асимптотике потенциала. Это легко
сделать, заметив, что с рассматриваемой точностью U =
= а/(г — 6/4L, а для такого потенциала уравнение Шрёдин-
гера допускает точное решение. Оно очевидным образом (заме-
(заменой г на г—6/4) может быть получено из формулы B)
предыдущей задачи и имеет вид
A)
При этом сразу опущено второе независимое решение у. Ш., экс-
экспоненциально растущее с уменьшением г, как этого требует сши-
сшивание A) с квазиклассическим решением на конечных расстоя-
расстояниях. По асимптотике выражения A) при г-»-оо получаем
ft2 V ' -V32ma
Аналогичным образом для потенциала с асимптотикой
23*
707
может быть иайдеиа и следующая квазиклассическая поправка
к формуле B), если заметить, что с рассматриваемой точностью
его можно записать в виде
Для такого потенциала решение у. Ш. с Е = 0 может быть полу-
получено как в 4.25, после чего легко найти уточнение формулы B):
л I 2та (л , hbi , ft2 (ок 2Л
а0, кв = Л/ —Г" • + /^ + — \8Ь2 - 5bl) •
V h2 V У32/гаа 64та /
C)
Учет квазиклассических поправок существенно увеличивает
точность полученного результата. Так, согласно формуле C) вме-
вместо чисел, приведенных в таблице предыдущей задачи, теперь
появляются соответственно: 0,786; 1,002; 1,0005; 1,0001 в случае
а) и 0; 0,931; 0,999; 0,99998 в случае б).
В заключение приведем квазиклассические выражения для
длины рассеяния по в случае потенциалов отталкивания с дру-
другим асимптотическим поведением при г-*-оо.
В случае степенной асимптотики U = — A Н (-•••)
Г \ г )
с v > 3 можно получить
Г[(у-3)/(у-2)] ( 2та y/(v-2) , Ь
а°'кв ~ r[(v-l)/(v-2)] l(v-2Jft2J +v' {>
где Г B)—гамма-функция. При v-*-3 имеем ао,кв->-°°, что от-
отражает то обстоятельство, что в потенциале U = а/г3 сечение
рассеяния частиц при Е -*¦ 0 обращается в бесконечность.
Для потенциала с эксп-оненциальным убыванием, ?/«?/oe-r/R:
E)
де V = 0,5772... — постоянная Эйлера.
13.35. На конечных расстояниях квазиклассическое решение
у. Ш. (IV. 5) для Е = 0 и / = 0 имеет вид (сравнить с 9.9)
V() \ ^ ( }
где значение параметра y зависит от вида потенциала иа малых
расстояниях; в случае U « — А/r^ при г -> 0 имеем
Y=-Jip/4B-p).
708
На больших расстояниях р(г)->-0 и квазиклассика непри-
неприменима. Здесь, однако, учитывая вид потенциала U яг — a/rv,
можно получить точное решение уравнения Шрёдингера:
X = У" [С,7, Bs Var-'/2s) + С2/_4 Bs V5r-1/2s)], B)
где s= l/(v —2), а а = 2/гаа/й2. На расстояниях г, для кото-
которых аргумент функции Бесселя велик, уже применимо квази-
квазиклассическое приближеиие и наряду с выражением B) справед-
справедливо и A). При этом, воспользовавшись асимптотикой функций
Бесселя Jv (z) при 2->-оо, решение B) можно преобразовать к
виду
_ . | 1 ( , ns я
Cs.n^TJ Pdr- — + T
*+^ + -i)]. C)
t-де р (г) = у2та/г1, и^из условия совпадения выражений C) и
<1) получить
С, _ sin (т + Я5/2 + я/4)
С2 "~ sin (г — jis/2 + я/4) '
00
т = 4-\ V— 2mU(r)dr + \. D)
о
Далее, воспользовавшись разложением J±s(z) при 2-»-0, иа-
ходим асимптотику решения B) на больших расстояниях:
и так как при этом х t» л — ао, то с учетом соотношения D) при-
приходим к искомому квазиклассическому выражению для длины
рассеяния:
„(О ГA -s) sin (т + Я8/2 + п/4) ( f2ma\2s m
°6,кв— r(l+s) sin (т - ns/2 + я/4) V Л/ h* ) ¦ К>
Значения параметров потенциала, при которых длина рас-
рассеяния обращается в бесконечность, соответствуют такой си-
ситуации, когда при углублении потенциальной ямы в ней появ-
появляется новое по счету состояние дискретного спектра. Согласно
•формулам F), D) это имеет место при выполнении условия
709
(/ = 0)
=ШЩ^ + т^ + т^-{). G)
где JV = 1, 2, ... — порядковый номер появляющегося связанного
состояния; сравнить с 9.9.
Для указанных в условии потенциалов имеем v = 4, s=l/2,,
Y = C = 0 и по формуле F) получаем
а) a<°>KB = /?gctgrg,
б) a<°)KB = ^ctg(^E)) (8)
где g = Va/^. Точное значение длины рассеяния равно соот-
соответственно 26)
a) fl0 = /?(gctgg-l),
6) ao = ^Vl2+lctg(nVi2+l/2). (9)
Как видно, при ?->-°о квазиклассическое и точное выражения
для длины рассеяния совпадают. Их различие ~1/? при конеч-
конечных значениях | связано с квазнклассическими поправками.
Вычисление таких поправок теперь более трудоемко, сравнить
с 13.34, так как необходимо учитывать следующее по h слагае-
слагаемое в фазе волновой функции на конечных расстояниях (т. е.
в области квазиклассичности), см. формулу D6.11) в [1]. Этот
вопрос предлагается читателю для самостоятельного исследо-
исследования.
13.36. Воспользуемся приемом, описанным в 11.4. Исходим
из выражения для сдвига уровня обычной теории возмущений по
потенциалу Us (г):
Us (г) | ?<„°>гт (г) |2 dV. A)
Учитывая, что на существенных в интеграле малых расстояниях
(в области локализации Us (г)) для невозмущенной волновой
2в) Точное решение уравнения Шрёдингера может быть по-
получено с помощью подстановок, аналогичных использованным
в 4.25 6), в).
710
функции справедливо разложение
*?%(r) = V(r)K<'"(n)' 4'(r)*V' при
выразим интеграл в выражении A) через длину рассеяния с
моментом / иа потенциале Us (г) в борновском приближении (см.
13.28)
nm
Л r21+2Us<r)dr.
l 22/ + 1Г2(/-ЬЗ/2)Й:
Заменяя, наконец, ctf на точную длину рассеяния а\ ' в коротко-
короткодействующем потенциале Us (г), приходим к искомой формуле
теории возмущений па длине рассеяния для сдвига уровня:
¦(здесь использовано, что 2/ + 1Г (/ -+- 3/2) = д/я B/ + 1I1; заметим
также, что для s-состояний Q^s = 4nW^s @)).
Сделаем несколько замечаний в отношении формулы B).
1) Так как, вообще говоря, a(;S) со г|;+1, а Q^ г со г^
то с увеличением / сдвиги уровней быстро уменьшаются,
•со {?slr Л21, что связано с уменыпенем проницаемости центро-
центробежного барьера, разделяющего коротко- и дальнодействующие
•области потенциала.
2) Если с короткодействующим взаимодействием связана
возможность протекания неупругих процессов (как, например, ан-
аннигиляция в пионы за счет ядерного взаимодействия для рр-ад-
ронного атома, см. также 11.74), то у длины рассеяния а\ ' по-
появляется мнимая часть. Соответственно теперь АЕп г описывает
не только сдвиг, но и уширение уровня, который становится уже
квазистационарным с конечным временем жизни.
Заметим, что возникающая ширина уровня
Г„ г = — 2 Im AEn { со Im af>
может быть связана с сечением неупругого рассеяния (с сече-
сечением реакций) a^\ в парциальной волне с моментом / за счет
короткодействующего взаимодействия для медленных частиц, так
как
f 4f> B/ + 1) nk2l~l j^Q C)
711
(см. [1, § 143]; подчеркнем, что наличие дальиодействующег»
потенциала моз«ет существенно изменить сечеиие реакций для
медленных частиц, см. следующую задачу).
3) Как отмечалось в 11.4, в случае момента / = 0 при на-
нарушении неравенства | о^ ' | <С rL формула B) неприменима. При
этом возможны большие сдвиги s-уровией в дальнодействующем
потенциале—перестройка спектра, см. также 9.3. В случае 1Ф9
ситуация иная и больших сдвигов уровией не возникает, что свя-
связано с наличием малопроиицаемого центробежного барьера. Од-
Однако в случае большой длины рассеяния, I ау^ | ^> г$ ', когда в
потенциале Us [г) имеется мелкий уровень с моментом /, фор-
формула B) требует модификации. Для выполнения ее заметим,
что решение у. Ш. в потенциале Us (r) для медленных частиц,
krs < 1, на расстояниях rs < г < k~l, rL имеет вид [1, § 132J
где
o-l I l21+1
Нерезонансному случаю, когда а^ ^ г|' + 1, отвечает замена
k2l + 1 ctg 6(jS) на — l/af\ приводящая к формуле B) для сдви-
сдвига уровня (при этом ее формальное обоснование может быть-
получено, как и в 11.4 для момента / = 0). Обобщение этой
формулы на резонансный случай с учетом разложения эффек-
эффективного радиуса (XIII. 15) получается заменой a\S^ множителем2 )
в котором, вообще говоря, можно положить Е = Е^\. При
этом для значений / Ф 0 независимо от величины af* второе,,
сингулярное слагаемое (ool/r+1) в выражении D) при пере-
27) Ниже h = т = 1, так что Е = k2/2. Заметим, что выра-
выражение D) можно рассматривать как своеобразное граничное-
условие на малых расстояниях к у. Ш. с потенциалом Ui.(r)r
связанное с включением короткодействующего потенциала Us (г),
сравнить с 11.4. Однако в случае / ф 0 в нем невозможен пере-
переход к пределу г-»-0 из-за возникновения расходимости норми-
нормировочного интеграла (так как оно дает W <х>1/г1+1; на малых
расстояниях r^rs в. ф. совпадает с в. ф. в короткодействующем
потенциале). В случае же / = 0 предел rs = 0 возможен и соот-
соответствует моделированию короткодействующего потенциала по-
потенциалом нулевого радиуса, см. 4.10.
712
ходе в область расстояний г ~ rL оказывается малым, что и
требуется для обоснования справедливости формул B), E) и со-
соответствующей модификации выражения для сдвига уровня:
. F)
4) Существенность условия IФ 0 для ^справедливости вы-
выражения F) в резонансном случае связана с большой величиной
при этом эффективного радиуса, так как r's) со rls~21 (см.
13.44), обеспечивающей малость сдвига уровня. Указанная за-
замена Е=Е®\ в формулах E), F) не оправдана лишь в слу-
случае, когда
40)-iMs4S)~4°> G)
«физическая выделениость которого определяется тем, что E^s
описывает уровень с моментом /, существующий в изолированном
потенциале Us(r). Таким образом, в условиях выполнения соот-
соотношения G) в системе имеются два близких уровня, связанных
лак с дальнодействующим, так и короткодействующим потенциа-
потенциалами. Не делая в формуле F) замены Е на Ef\, получаем урав-
уравнение для КЕп [-Е — Е^\, решение которого
(8)
дает энергии этих уровней с учетом их взаимодействия. Как
видно, оно носит характер квазипересечения термов, сравнить с
[1, § 79]. В случае ?^0) > Е^у первый из корней (8) описывает
смещение невозмущенного уровня Е$ в потенциале Us (r) под
влиянием дальнодействующего потенциала28) UL(r), а второй —
28) Строго говоря, при этом воспроизводится лишь часть
сдвига, связанная с действием потенциала Ut,(r) на больших,
г 3> rs, расстояниях. Влияние UL на малых расстояниях на сдвиг
уровня ?§' проявляется в так называемой перенормировке па-
параметров af\ r^fK Так, если UL(r) « ?/0 для r^rs, то бо-
более точно заменить Е в формуле E) на ? — Uo. Такая замена
соответствует перенормировке длины рассеяния, т. е. замене e's*
«a afL), причем l/afL) = l/af* + rf}U0. Эффективный радиус
при этом не перенормируется; см. также 13.42.
713
смещение уровня ?„ \ под влиянием короткодействующего цен-
центра Us(r) (он смещен вниз). В случае Е^ < Е§\, наоборот,,
уже Ei отвечает смещенному, причем вверх, уровню Е^\.
Обсудим вопрос о виде волновых функций в условиях квази-
квазипересечения уровней. При не слишком близких значениях р№> н
в случае Е^ > Е®\ первому из уровней в (8) отвечает
в. ф. ж Т5 , локализованная на малых, r^rs, расстояниях,
а второму — в. ф. ж Ч'д I, локализованная на больших, г^Зг^,.
расстояниях. В случае Е^ < Е^\ сопоставляемые уровням вол-
волновые функции (в существенной области локализации) меняются
местами. В случае же точного резонанса, 4 4l' частица
в обоих состояниях 1 и 2 с одинаковой вероятностью, равной
1/2, находится как в области локализации связанного состояния
в потенциале Us(r) (при r^rs), так и в области г ~ rL. В. ф.
соответствующих состояний, одинаковые прн г 5^ rs, отличаются
знаком в области г 3> rs, что обеспечивает их ортогональность.
13.37. Для решения данной задачи можно воспользоваться
приемом, аналогичным использованному в предыдущей: найти из-
изменение Дб| ' фазы по теории возмущений, выразить его через-
длину рассеяния на короткодействующем потенциале в борнов-
ском приближении и затем заменить ее на точную длину рас-
рассеяния a(s) в «сильном» потенциале Us(r). Формальное обос-
обоснование такого подхода может быть получено как и в 11.4.
Для определения сдвига A6^S) под влиянием Us (r) по теории
возмущений запишем два у. Ш. для радиальных волновых функ-
функций, ~^klm = ^klYlmlr' непрерывного спектра
«Г, + [*2 - Щ^ - ^ <Pl (г) + "s (r))] XU =
Их решения, удовлетворяющие граничному условию %@) = 0„
имеют следующие асимптотики на больших расстояниях:
xf] « sin I kr ± —r— In 2kr — / + 8; ' ),
/ г 1ч B>
%и « sin ( kr ± -^— In 2kr — -2-1 + 6\L) + A6f' ],
714
причем для общности рассматривается случай, когда на больших
расстояниях Ul « ^ZtP/r, aB = ti2/me2; см. [1, § 36].
Умножая первое из уравнений A) на ikl, второе —на x'^j,
почленно вычитая и интегрируя по г в пределах от 0 до °°, с
учетом асимптотик B) получаем
k sin A6f > = - ~ \ Us (r) %kl (r) xf\ (r) dr. C)
о
Здесь можно заменить: синус — его аргументом, %kl — на Xki и>
учитывая короткодействующий характер потенциала Us, а так-
также соотношение Хм ** Qkir + Для т ~* ^> получить
Jj)dr. D)
о
Интеграл здесь, как и следовало ожидать, выражается через
длину рассеяния с моментом / в борновском приближении, см.
предыдущую задачу; заменяя ее на точную длину рассеяния,
приходим к искомому результату:
тг-. E)
Рассмотрим некоторые следствия формулы E).
1) Заметим прежде всего, что в случае UL = 0 имеем
При этом
так что
Дбр = -арй2/ + 1, F)
т. е., как и следует, F) совпадает с фазой рассеяния 6^' на
изолированном потенциале Us(r).
2) Такое же соотношение, A6|S) = df\ приближенно имеет
место и в том случае, если дальнодействующий потенциал ?/t,(r)
можно рассматривать как возмущение, см. условия (XIII. 7).
В этом случае фаза рассеяния в потенциале, представляющем
суперпозицию Us(r) + Ut(r), равна сумме фаз рассеяния для
каждого из них в отдельности.
715
3) Обсудим случай дальнодействующего кулоновского по-
потенциала, UL = ^1ег\г. При этом (см. [1, § 36])
?@)_ Zr Г№)
X F (i ~^-+l + 1, 2/ + 2, ± 2ikr\
8</-> = arg Г (/+ 1 + iZ/kaB),
~е Uh як' ) 11 V
¦S-1
здесь k' = kaB/Z, так что
, ,т) J _ nZBkfl+l Tl
^ ^ [B/ + 1)Г]2ав Д
(при 1=0 произведения заменяются на 1).
В случае «быстрых» частиц, когда kaB ;§> Z (но по-преж-
по-прежнему krs < 1), кулоновский потенциал можно рассматривать как
возмущение и из выражений E), G) следуют результаты, отме-
отмеченные выше в 1) и 2).
Совершенно иная ситуация возникает в случае, когда
kaB^.Z. При этом значения Q/fj сильно отличаются от невозму-
невозмущенного, приведенного в 1). В частности, при kaB < Z согласно-
E) и G) для s-волны получаем:
соответственно для кулоновского потенциала притяжения и от-
отталкивания. Существенное изменение величины фазового сдвига —
увеличение его в 2nZ/kaB 5> 1 раз в случае притяжения и экс-
экспоненциальное уменьшение при отталкивании — имеет очевид-
очевидную физическую причину: в случае медленных частиц дально-
действующее кулоновское притяжение (отталкивание) сильно
увеличивает (уменьшает) вероятность нахождения частицы на-
малых расстояниях. Отмеченный эффект проявляется и в измене-
изменении сечений иеупругих процессов, вызываемых короткодействую-
короткодействующим взаимодействием, сопровождающих столкновение медленны*
заряженных частиц.
В заключение отметим, что проведенное рассмотрение пред*-
полагает, что рассеяние на короткодействующем потенциале но-
-716
сит иерезонансиыи характер, т. е. в потенциале Us(r) иет «мел-
«мелкого» уровня. При этом a\s)^r2sl+i и 6(рл> — a\s)k2l+1 < 1.
Однако с помощью обсуждавшейся в предыдущей задаче за-
замены длины рассеяния a\s^ выражением
формула E) может быть непосредственно обобщена и на резо-
резонансный случай. При этом условием ее применимости является
малость A8^S) < 1 (что было использовано при преобразованиях
выражения C)). В связи с этим условием заметим, что для от-
талкивательного дальнодействующего потенциала оно может быть
выполнено даже в том случае, когда фаза рассеяния б; ' на
изолированном короткодействующем потенциале Us(r) не яв-
является малой29); сравнить результат (86) теории возмущений по
длине рассеяния для отталкивательного кулоновского потенциала
с точным выражением для фазового сдвига из [1, § 138].
13.38. В условиях рассматриваемой задачи амплитуда рас-
рассеяния описывается выражением
f~f 4-f • f -¦! Ze2fn f ,7<s> m
'~'кул~'кор> 'кул -^ 2ft2k2 sin2 (8/2) ' KOp ° '
Это следует из того, что можно ограничиться влиянием коротко-
короткодействующего потенциала Us (r) лишь на частицы с моментом
[ = 0 (так как krs < 1) н рассматривать кулоновский потен-
потенциал каи возмущение (ввиду Ze2 <С Hv). При этом согласно пре-
предыдущей задаче фазовый сдвиг в потенциале, представляющем
суперпозицию UKylt + Us, равен (приближенно) сумме сдвигов
для каждого из потенциалов в отдельности. Отсюда, учитывая
их малость, и приходим к выражению A).
Дифференциальное сечение рассеяния описывается выраже-
выражением
da f
1
V 2mi>2) sin4 (e/2) "*~ v"o ; ¦+¦ mvi sin2 (e/2) • v '
Последнее слагаемое здесь отражает интерференцию амплитуд
рассеяния для кулоновского и короткодействующего взаимодей-
взаимодействий. Как видно, характер ее зависит от знака длины рассея-
ния а.
(S)
о •
2S) При этом в случае большой длины рассеяния может
стать существенной перенормировка параметров низкоэнергетиче-
низкоэнергетического рассеяния; см. предыдущую задачу, а также 13.42.
717
13.39. Длина рассеяния щ может быть найдена по асимпто
тике радиальной волновой функции Rki(r) для Е = 0:
d ~,l__l {B/-1I1 B/ +1I! а,} при г->оо.
Это следует, например, из сопоставления выражения для в. ф.
в случае медленных частиц на расстояниях (i « г« l/k (см.
[1, § 132], d — радиус потенциала)
Rkl » rl + В, (к) —--, В71 =
Ы l l+l l
B/-1)!! B1+1I!
с разложением эффективного радиуса (XIII. 15).
Приведем окончательные результаты:
а) для рассеяния на непроницаемой сфере
"' = B/ —1I1B/4-1I! *2' + 1 = ас
б) для рассеяния на б-яме
e) для рассеяния на прямоугольной потенциальной яме
^+3/2 W , / 2mf/0/?2 ..ч
а, = ! а.А ,, Х= л / , !^— C)
Л-1/2(*) V й2 '
Обсудить свойства длины рассеяния а/ как функции парамет-
параметров потенциала (в случаях б) ив)), во многом аналогичные
рассмотренным в 13.31 для s-волны, читателю предлагается са-
самостоятельно. Ограничимся лишь замечанием, что в момент воз-
возникновения связанного состояния длина рассеяния а( обращает-
обращается в бесконечность.
13.40. а) В приближении, соответствующем рассмотрению
внешнего электрона как находящегося в потенциале нулевого
радиуса, имеем (см. 13.20 и 4.10):
ао = Ко-1=-.Bео)-1'2 = 4,25 (О
(в атомных единицах).
б) Рассматривая внешний электрон иона как слабосвязан-
слабосвязанный в потенциале конечного радиуса rs, прежде всего восполь-
воспользуемся связью эффективного радиуса взаимодействия го с асим-
асимптотическим коэффициентом (см. [1, § 133]):
718
Теперь, имея в виду разложение эффективного радиуса (XIII. 15)
и то обстоятельство, что амплитуда рассеяния как функция энер-
энергии имеет полюс при Е = —е0 (при этом в полюсе к ctg 60 =
= ik = — Хо), находим
2С
Как видно, поправка на эффективный радиус существенно
сказывается на значении длины рассеяния. Это связано с тем,
что в данном случае Яог^ « 0,6 не так уже и мало. В связи
с этим отметим роль следующего, со k*, члена в правой части
разложения эффективного радиуса (XIII. 15). Его обычно запи-
записывают как
- Pr30k4, C)
где Р — так называемый параметр формы. Как правило, чис-
числовое значение этого параметра мало, | Р |^0,1, см. [23]. С уче-
учетом этого замечания следует ожидать, что величина длины рас-
рассеяния B) определена с точностью порядка нескольких процен-
процентов.
13.41. В пренебрежении эффективным радиусом взаимодей-
взаимодействия
71/2 = 4,З.Ю-13 см, A)
где (х « Шр/2 — приведенная масса рп-системы. Так как радиус
действия ядерных сил rs ~ К)-'3 см, то xars ~ 0,3. Такую же
точность, «20 %, имеет полученный результат A). Учет слагае-
слагаемого с эффективным радиусом в разложении (XIII. 15) воспро-
воспроизводит экспериментальное значение триплетной длины рассея-
рассеяния, сравнить с предыдущей задачей.
13.42. а) В пренебрежении эффективным радиусом взаимо-
взаимодействия получаем (сравнить с 13.20 и 4.10, а также с 13.40):
== ^^ КЭо,
)
здесь [х = ОТр/2 — приведенная масса рп-системы.
б) Так как кулоновское взаимодействие на малых расстоя-
расстояниях примерно на два порядка слабее ядерного, то, на первый
взгляд, следовало ожидать, что отличие параметров низкоэнер-
низкоэнергетического рассеяния для рр-системы от параметров рп-системы
будет в пределах нескольких процентов. Это действительно так
в отношении значений эффективных радиусов взаимодействия.
Длины рассеяния различаются существенно: в 3 раза.
Это, однако, не означает сильного нарушения изотопической
719
инвариантности ядерного взаимодействия нуклонов, так как мо-
может быть объяснено кулоновским взаимодействием в рр-системе.
Дело в том, что в рп-системе имеется мелкий виртуальный урс
вень и длина рассеяния велика (примерно в 20 раз больше ра-
радиуса взаимодействия!), а в таких условиях сна является резкой
функцией параметров потенциала, см. 13.31, и сильно изменяется
уже при небольшом изменении потенциала (в дайной задаче —
за счет кулоновского взаимодействия).
Приведем простую оценку рассматриваемого эффекта — пе-
перенормировки длины рассеяния. Запишем потенциал рп-взаимо-
действия в виде ?/РП = ?/о(г)+6?/(г), где U0(r) отвечает моменту
появления связанного состояния; при этом 6U(r) ^ 0, так как
уровень в рп-системе виртуальный. Для рр-системы, считая про-
протоны точечными, имеем Upp = Uo + 6U + е2/г. Воспользовавшись
теперь результатом задачи 4.27 для глубины залегания мелкого
^-уровня, находим
d
Здесь Хо(г)—волновая функция (% = rR) в момент возникно-
возникновения уровня, нормированная условием %о(г) = 1 вне области
действия потенциала. Верхний предел интегрирования d -~ ав =
= й2/отре2 « 29-10~13 см (на больших расстояниях вклад куло-
кулоновского взаимодействия учитывается уже независимым образом
и представлен в амплитуде кулоновского рассеяния протонов).
Интеграл с bU(r) в выражении A) определяет значение хрп (в
обеих системах к < 0, так как уровни — виртуальные). Для
оценки интеграла с кулоновским потенциалом положим в нем
ЗСо (г) == !• При этом из-за возникновения расходимости на ниж-
нижнем пределе введем «обрезание» на расстоянии rs « 10~18 см
(порядка радиуса ядерного взаимодействия). Учитывая, наконец,
соотношения Хрп = цаРп ()) и Хрр= l/agp A), согласно A) полу-
получаем
1 |__ _ __ J_
agP(l) agn(l) ~ ав
(здесь вместо rs мы подставили эффективный раднус взаимодей-
взаимодействия Го; подчеркнем, что имеющаяся неопределенность в значе-
значениях параметров d и rs, для которых d/rs 3> 1, в окончательном
результате B) «сглаживается» тем, что они входят под логариф-
логарифмом). Теперь нетрудн© убедиться, что учет «слабого» кулонов-
кулоновского взаимодействия протонов естественным образом объясняет
существенное различие длин рассеяния для рп- и рр-систем.
720
13.43. Обозначим через %0 и % радиальные волновые функ-
функции для значений энергии Е = 0 и Е = h2k2/2m. Для них
5to-t/(r)Xo = O, x"-[&(r>-*2h = 0; U = ^U{r). A)
Нормируем Хо(г) условием Хо('')«A—r/aQ) для r>d (d —
радиус потенциала). Для в. ф. %(г) на расстояниях rf<r< 1/fc
имеем (сравнить с [1, § 132])
X (г) = к ctg бо • г [1 + О (/А-2)] + [1 + О (feV)], B)
где 0(№гг) соответствует поправочным членам в асимптотике.
Умножая первое из уравнений A) на %, второе — на %о> по-
почленно вычитая одно из другого и интегрируя в пределах от О
до значения г, для которого справедливо разложение B), по-
получаем
г
«о 4) nJ
C)
Здесь в левой части соотношения учтены указанные выше асим-
асимптотики волновых функций, граничное условие %@) =0 и раз-
разложение эффективного радиуса (XIII. 15). Интеграл справа пре-
преобразуем следующим образом:
(здесь использовано, что % « хо; запись ±(—г/а.о+1J озна-
означает добавление и вычитание соответствующего слагаемого).
В последнем интеграле уже можно распространить интегрирова-
интегрирование до бесконечности, после чего, оставляя в выражении C)
лишь не зависящие от г слагаемые, получаем
о
Для рассеяния на непроницаемой сфере радиуса R имеем
/о = 1 — r/R при г > R и %0 = 0 при г < R; при этом длина
рассеяния аи = R и согласно D) находим эффективный радиус
2
взаимодействия го = -5- R.
о
721
При а<> = то из выражения D) следует известный резуль-
результат для эффективного радиуса Гц в момент возникновения s-ypo-
вия [1, § 133]. В частности, в этом случае для рассеяния на
б-яме имеем %0 = 1 при г > R и %о = r/R при г < R; согласно
4
D) с ао = то получаем г о =-cT-ft- Для рассеяния на прямо-
прямоугольной потенциальной яме го = R — эффективный радиус оди-
одинаков в момент появления любого по счету связанного состоя-
состояния (теперь при г < R в. ф.
Хо= sin [я (л,+ 1/2) г/#],
где п., = О, 1, 2, ... в порядке появления s-уровней при углубле-
углублении ямы).
Подчеркнем в заключение, что установленные для рассеяния
на потенциальных ямах свойства эффективного радиуса Го в мо-
момент возникновения связанного s-состояния: величина Го ~ R и
знак го > 0 являются достаточно общими для потенциалов при-
притяжения U(г) ^С 0; сравнить со случаем моментов 1^0в 13.44,
а также случаем / = 0 для ямы, окруженной потенциальным
барьером, в 11.47.
13.44. Поступим как и при решении предыдущей задачи. Учи-
Учитывая, что теперь волновая функция в момент возникновения
уровня имеет вид Xi ==Clr~ при г 3> d, а также соотношение
(сравнить, например, с 13.39), находим
1B/-1I1]» C'fe
о
Отсюда, заменяя ввиду малости к2 в правой части %ы на %\ ,
распространяя интегрирование до бесконечности (в случае / = 0
этого нельзя сделать ввиду расходимости интеграла на верхнем
пределе) и используя соотношение кп + х ctg б/ = п&2/2 (так как
0-1 — оо в момент появления связанного состояния), получаем
rt = ~2[{2l-\)\\fcj2, />1. A)
При этом значение С^ однозначно определяется условием нор-
нормировки радиальной в. ф. %? на 1.
Как видно, теперь, в отличие от случая s-рассеяния, эффек-
эффективный радиус взаимодействия отрицателен, п < 0 и по порядку
величины | г/ | ~ R ~ , где R —• радиус потенциала (такого же
722
порядка и размер области локализации волновой функции свя-
связанного состояния с моментом I Ф 0 и энергией Е = 0).
Для б-ямы в. ф. в момент возникновения связанного состоя-
состояния с моментом / имеет вид
Cir~l, r>R,
/~* *.' "t" * / q2* + 1 — ^ D
ь/Г IK i Г <^ К.
Из условия нормировки находим с^ и эффективный радиус
взаимодействия
4 B/-3I1 B/+ 1I1 „1-2г ;>,
' 2/ + 3 * ""
В заключение подчеркнем, что при небольшом изменении по-
потенциала эффективный радиус изменяется также незначительно.
Поэтому значение г; в момент возникновения связанного состоя-
состояния применимо и в случае, когда уровень является мелким (ре-
(реальным или квазидискретным).
13.45. а) У. Ш. для радиальной функции %; = rRi в случае
/ = 0 и его решение, удовлетворяющее граничному условию
%i(R) = 0, имеют вид
•& + k\ = 0, %а (г) = A sin [k (r - R)].
Отсюда фаза s-рассеяния бо(&) = —kR и сечение рассеяния
медленных частиц, когда kR <§C 1, описывается выражением
4зт ( 1
*** ст/ = о ' ' — ~]?2~ п °0 ~ " I 3"
(напомним, что поправка к сечению, связанная с рассеянием в
р-волне, со ?4; вклад более высоких волн еще менее существен).
В случаях б) и б) также можно было бы найти 80(k) из
точного решения у. Ш. Однако более просто рассеяние медлен-
медленных частиц может быть рассмотрено на основе разложения эф-
эффективного радиуса (XIII. 15). При этом параметры низкоэнер-
низкоэнергетического рассеяния щ и г; могут быть получены с помощью
решения у. Ш. для энергии ? = 0; см. 13.31 и 13.43 для s-рас-
s-рассеяния.
б) Решение у. Ш. при Е = 0 и I = 0 имеет вид
г — а0, r>R,
Cr, r < R.
Сшивание решения в точке г = R, см. 2.6, дает
п°~а — 1' ~" R ' a~~t? '
723
Если й не близко к 1, то |ао|^# и для медленных частиц
о«4яял (поправку порядка k2R? к этому выражению можно.
найти, вычислив эффективный радиус г0 согласно 13.43). Если
же а близко к 1, то \ао\ > R и сечение рассеяния имеет рез-
резкую энергетическую зависимость, опнсываемую резонансной фор-
формулой (XIII. 16), при этом эффективный радиус взаимодействия
для б-ямы в момент возникновения связанного s-состояния
г о = -g- R, см. 13.43. Отметим, что соотношение о »Ьпа\ тре-
требует уточнения также при значениях параметра а, близких к
2/ + 1 с / ^ 1 (когда в системе появляется связанное состояние
с орбитальным моментом /), ввиду резонансного характера рас-
рассеяния в 1-й парциальной волне, см. 13.46.
б) Параметры низкоэнергетического рассеяния а<> и Го для
прямоугольной потенциальной ямы были найдены в 13.31 и 13.43.
13.46. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся разложе-
разложением эффективного радиуса (XIII. 15). Длина рассеяния
1 а гJ/ + 1 - _ 2maR ..
п1~ B/-1I1 B/+ 1I1 2/+1-а ¦ а~ a2 {i>
была вычислена в 13.39. Пока а не близко к 2/ + 1, рассея-
рассеяние в 1-й парциальной волне носит нерезонансный характер, при
этом для медленных частиц
а,«4яB/ + \)a]kil
и доминирующим является s-рассеяние.
Если же а близко к 21 + 1, то в потенциале имеется мел-
мелкий реальный (при а > 21 + 1) или квазидискретный 30) (в слу-
случае а < 21+ 1) уровень. При этом рассеяние носит резонансный
характер и существен член с эффективным радиусом, равным,
согласно 13.44,
г/ « -4 B1 - 3)!! B1 + 1)!! Rl ~2llBl + 3). B)
Энергетический спектр системы определяется полюсами пар-
парциальной амплитуды рассеяния fi(E) = l/?(ctg б; — I). В полюсе
Ei имеем ctg6;(?j) =i и с помощью разложения эффективного
радиуса (XIII. 15) для «мелких» уровней получаем уравнение
+ ** C)
В случае /^ 1 величина левой части этого уравнения мала
по сравнению с каждым из слагаемых в правой части уравне-
30) Так как / ^ 1; s-уровень при й < 1 является вирту-
виртуальным.
724
иия, так что его можно решать последовательными итерациями.
В «нулевом» приближении, пренебрегая левой частью в уравне-
уравнении C), получаем
р - А* _.B*-0(И + 3)B/ + 1-5) А* ,,.
*~ тпсц ~ 4B*+1) mR2 ' Kf
Так как rt < 0 (для / ^ 1), то в случае aj > О (т. е. при а >
> B1 + 1)) имеем ?r < 0, так что этот уровень отвечает свя-
связанному состоянию в б-яме (сравнить с 4.9). При рассеянии
медленных частиц в этом случае ft « (kctgdi)-*, а соответст-
соответствующее парциальное сечение рассеяния
at (Е) = An B1 + 1) |//12 « 4я B/
Как видно, oi со (й/?) /? , т. е. в этом случае резонансное
сечение в /-и парциальной волне по порядку величины совпа-
совпадает с нерезонансным сечением в более низкой парциальной вол-
волне с моментом, равным /—1. Поэтому, кроме случая / = 1,
оно вносит малый вклад в полное сечение рассеяния.
В случае щ < 0 (т. е. для значений а < 21 + 1, I ^ 1) си-
ситуация иная. Теперь, согласно D), ER > 0 и левая часть урав-
уравнения C) является мнимой. Следующая итерация позволяет
получить мнимую часть полюса амплитуды, Ei = ER — (Тд/2,
определяющую ширину рассматриваемого квазистационарного
состояния,
2l + l h* k — —
Заметим, что зависимость TR от kR определяется энергетической
зависимостью коэффициента прохождения центробежного барь-
барьера:
, ь ' v
ГяОо?>,~еч>|-2^ Д/(/+г1/2J -*W~
~ ехр |- B1 + 1) In г j" ^21 со {kRRfl+t
(&=(/+ \/2)/kR — квазиклассическая точка поворота), сравнить-
с 9.30.
Теперь парциальное сечение рассеяния ai(E) в узкой обла-
области, шириной ~Гя, энергий, близких к ER, описывается выраже-
выражением
k2 (E - ERf + Т%/4
72S
Как видно, оно велико, <т; ~ k^ 3> R2, и значительно превышает
сечение рассеяния в s-волне (а0 ~ nR2), так что полное сече-
сечение а « ctj. Вне этой области энергий, при \E — ER\ > Гд, се-
сечение описывается аналогичным E) выражением, с заменой в
нем (Е + |?*|)г на (•? ~ ^я)г; соответственно приведенная выше
оценка сечения рассеяния при ai > 0 переносится и на рассма-
рассматриваемый случай щ < 0.
13.47. Для решения задачи воспользуемся разложением эф-
эффективного радиуса и вычислим параметры низкоэнергетического
рассеяния по и г0. Волновая функция %о = rRo(r) для значений
Е = 0 и I = 0 имеет вид
Хо (г)
) С sin xor, r < R;
<• 1 - г/а<„ г > Л.
Из условий сшивания решения в точке г — R, см. 2.6, получаем
С sinX=l -~, — +XCcosX = a Г— - Л, A)
где X = хо# и а = 2maR/h2. Отсюда находим длину рассеяния
При выполнении неравенств а » 1 и а > Я имеем, вообще го-
говоря, ао « R, что соответствует длине рассеяния на непроницае-
непроницаемой сфере радиуса R (физически естественный результат ввиду
малой проницаемости барьера).
Существенное отличие от рассеяния на непроницаемой сфере
возникает при такой глубине ямы Uo, когда % близко к пп с
я = 1, 2, ... Записав в этом случае X = пп + у, где |y| ^ 1.
получаем
ao»fl|"l- -,1 . 1. C)
L а + пп/у J
Как видно, когда а » а0, л = —яя/у, длина рассеяния уже ве-
велика, |ао| 3> Л, и обращается в бесконечность при а = «о, п-
Такие значения параметров потенциала соответствуют появлению
в системе уровня с энергией Е = 0 (я-го по счету) при углубле-
углублении ямы. В случае |ао| ^" R рассеяние медленных частиц носит
резонансный характер.
Вычислим эффективный радиус га. Согласно A) при значениях
параметра % я* пп имеем С« (—1)л+1а/яя; и по формуле для
726
эффективного радиуса п> в момент возникновения s-уровня
оо
^0=2^ (l-Xo(r))dr, Хо = 1 при г->оо
о
(сравнить с 13.43 для случая по = оо), находим
Теперь, в отличие от случая s- рассеяния ямой без барьера
(когда Го ~ R и г0 > 0, см. 13.43), эффективный радиус в мо-
момент возникновения связанного состояния велик, |ro| Э> R, н
отрицателен, г0 < 0. Это приводит к тому, что слагаемое с эф-
эффективным радиусом в (XIII. 15) является существенным31) при
описании резонансного s-рассеяния. Ситуация аналогична имею-
имеющей место при рассеянии с отличным от нуля орбитальным мо-
моментом частицы, а физическая причина этого связана с нали-
наличием малопроницаемого б-барьера, играющего при 1=0 такую
же роль, как центробежный барьер при / Ф 0.
Амплитуда резонансного рассеяния
:}
а0 2
E)
как и сечение рассеяния, 0 « 4jt|fo|2, имеет резкую энергетиче-
энергетическую зависимость, характер которой зависит от соотношения ме-
между тремя малыми параметрами kR < 1, R/\ao\ < 1, R/\ro\ < 1.
Ограничимся анализом двух случаев.
1) Если |«оJ » |Л>|, то
F)
так что сечение рассеяния (почти) ие зависит от знака длины
рассеяния. Прн этом в области значений k <C l/|fo| слагаемое
с эффективным радиусом, как и в обычном случае s-рассеяния,
выступает как поправка; оно начинает играть существенную роль
при k > l/|fo|.
2) В случае ]ао\ <?. \го\ рассеяние существенно зависит от
знака длины рассеяния. При этом для значенй ао > 0 имеем
31) Заметим, что соотношение |гоГ > R имеет место лишь
в условиях существования «мелкого» уровня в системе.
727
(в зиамеиателе выражения E) можно пренебречь слагаемым
r-ik)
a (E) ы 4я f-^-V
__L_ . *L_
(?+еJ' е~~ таого
Аналогичной формулой (но уже ces — ER < 0) описывает-
описывается сечение и в случае а<> < 0, исключая узкую область значений
энергии32) \Е — ER\ ~ ГД) в которой
я Т%
°(Е)~ . _,,, (8)
R~ m\ra\ ~ ma2R ' W
Параметры ?R и Гд определяют положение и ширину квазидис-
квазидискретного уровня, существующего в системе в рассматриваемом
случае; значение ширины связано с проницаемостью б-барьера,
сравнить с предыдущей задачей, а также с 13.48.
В заключение рекомендуем читателю обсудить вопрос о по-
полюсах амплитуды рассеяния E) и о связи энергетической зависи-
зависимости сечения рассеяния F)—(8) с характером уровня (реаль-
(реальный, виртуальный или квазистационарный).
13.48. У. Ш. и его решение для s-волны имеют вид
%" -a6(r-R)x + k2x = 0; a = 2ma/A2,
A sin kr. r < R
(Soe'*'-e-<*O. r>R.
Из условия сшивания в. ф. в точке г = R, см. 2.6, находим
с _ 2«6o_ -2ikR~aR s'n kR + kR cos kR + ikR sin kR . .
°~ aR sin kR + kR cos kR - ikR sin kR " UJ
При выполнении условий aR 5> 1 и fe/? ~ 1 (точнее, A/f «C
-C aR), из A) имеем, вообще говоря, So « e-iihR, т. е. б0 »
« — kR, что соответствует рассеянию на непроницаемой сфере
<см. 13.45).
Специального рассмотрения требует при этом случай таких
энергий частицы, для которых kR » пл, с п = 1, 2, ..., и в вы-
выражении A) нельзя заменять дробный сомножитель на 1. Записав
32) В которой вещественная часть знаменателя в выраже-
выражении E) близка к нулю.
728
kR = пя + у с |y| < 1. имеем
aR sin kR + kR cos kR — ikR sin kR m (—1)" (й#у + пп — inny)
где X = rrn/aR <1, и выражение A) оказывается равным
Умножив здесь числитель и знаменатель на
преобразуем выражение B) к более удобной форме
„ _ 2«g» E-ERtn-lTRtnj2
Е Е +f /2~'
где б},0) = — kR и
¦ - - ¦з яя
Л«~
Л 2 4
V aRj'
Выражение C) имеет обычный для случая резонансного рас-
рассеяния на квазидискретном уровне вид, см. [1, § 134]. При этом
6^ (k) описывает фазу потенциального рассеяния (т, е. фазу
вдали от резонанса), a ERt „ и Гд, п определяют положение и ши-
ширину квазидискретного уровня. Таким образом:
1) фаза потенциального рассеяния совпадает с фазой рас-
рассеяния на непроницаемой сфере радиуса R;
2) положение Er, n квазидискретных уровней почти совпа-
совпадает с уровнями в бесконечно глубокой яме радиуса R;
3) ширина уровня, определяющая время жизни квазистацио-
иарного состояния, может быть представлена в виде
где D — коэффициент проницаемости (при однократном столк-
столкновении) б-барьера прн энергии, равной ER, „ (см. 2.30), а
N = v/2R = nnh/2mR2 характеризует число ударов частицы о
«стенку» в единицу времени.
Из физических соображений следует ожидать, что аналогич-
аналогичные результаты имеют место и для значений момента I ф 0. По-
Поэтому при значениях kR <C aR сечение рассеяния на б-сфере по-
почти совпадает с сечением рассеяния на непроницаемой сфере та-
• кого же радиуса, за исключением узких областей ДЯ вблизи
положений квазидискретных уровней. Так как парциальное се-
сечение описывается выражением
и при энергии частицы, близкой к резонансной энергии ERl „
для s-уровней, рассеяния с моментом / = 0 иа непроницаемой
сфере не происходит (при этом б^0) я» пп), то разность сечений
рассеяния иа б- и непроницаемой сферах в окрестности квази-
квазидискретного s-уровня оказывается равной (рис. 49)
Дст = nR2T2Ri п/п2п2 [(Е - ER< nf + ~ Г|_ „] > 0.
13.49. Обозначим через xf1 и %i регулярные решения урав-
уравнения Шрёдингера (% = rR) с нулевой энергией в потенциалах
Uо (г) и Uo(r) -\-6U(r), нормированные условиями
xf) = r~l и xt = r~l — rl + l {B1 — l)\\ B1 + l)Ua^~l при r-^оо
(сравнить с 13.39). Написав у. Ш. для %^ и %t, умножив первое
из иих на %v а второе — иа %fJ и вычтя почленно, проинтегри-
проинтегрируем по г в пределах от 0 до оо; в результате получим
(сравнить с аналогичным преобразованием в 13.31; подчеркнем,
что соотношение A) справедливо при любом значении момента
частицы).
Используя полученный результат и разложение эффектив-
эффективного радиуса (XIII. 15), из условия ctgdt(Ei) =i можно найти
положение полюса парциальной амплитуды рассеяния, определяю-
определяющего изменение уровня ?'(г0) = 0 в потенциале U0(r) под влия-
730
иием возмущения Sf/(r). В случае момента частицы / = О имеем
хо = — i л/2тЕ0/Нг я» \/а0
и для значений длины рассеяния ао > О (при 8U < 0) прихо-
приходим к известному результату
о квадратичной зависимости, Ец со — FUJ, от 6U глубины «за-
«залегания» s-уровия, сравнить с 4.27. В случае па < 0 также и
х0 < 0, так что уровень Ео является виртуальным (находится
на нефизическом листе). Подчеркнем, что сечение s-рассеяния
слабо зависит от знака Д?/(г), см. (XIII. 16).
В случае орбитального момента частицы / =И= 0, воспользо-
воспользовавшись выражением A) и результатом 13.44 для эффективного
радиуса взаимодействия rt в момент возникновения связанного
состояния, замечаем, что сдвиг уровня (полюса парциальной ам-
амплитуды)
r{ J, 1>\ C)
линеен по Ы] и описывается первым порядком теории возмуще-
возмущений, сравнить с 4.28. Для значений щ > 0 уровень — реальный с
Et < 0. Если же щ < 0, то Ei > 0 определяет энергию квази-
квазистационарного состояния; при этом его ширина
2А2 BmEl\l+W
В случае I ф 0 характер резонансного рассеяния существенно за-
зависит от знака 6U(r), определяющего характер уровня, см., на-
например, 13.46.
13.50. Общее выражение для членов разложения, f = ]Г] f(/l',
П
амплитуды рассеяния по степеням кратности взаимодействия
дается формулой B) из 13.10. Так как входящие в иее фурье-
компоненты потенциала V(у.) существино отличны от нуля лишь
при значениях xR^l (R — радиус потенциала), то замечаем, что
в случае быстрых частиц, kR » 1, и малых углов рассеяния,
когда qR = | к — kQ \R^ 1, в интегралах по xk в этой формуле
доминирующую роль играют области интегрирования, в кото-
которых | xfc — k0 | ^ l/R. Записав
х* = ко + *!п + х
731
где n0 = ko/fto и x? _L n0, имеем для энергетических знаменателей
приближенное выражение
— kl — и
(здесь пренебрежено слагаемыми (й|J и (>«й"J по сравнению
с 2к0й\, что приводит к относительной погрешности ~ 1/kR).
Теперь, после подстановки в указанную формулу выражений для
фурье-компонент потенциала
U (** - **-i) - \ \ \ U (Рк. гк) ехр {- / [(й« - й|_,) г +
замечаем, что с помощью соотношения
выполняются интегрирования по Х1 а появляющиеся б-функ-
цин позволяют проинтегрировать и по р*, так что во всех множи-
множителях U (pk, zfe) значения pk (с разными k) оказываются оди-
одинаковыми. Используя, наконец, значение интеграла
ехр
1 ч *т; " n' dxl = г\(гъ, . —гЛ
ZB0**fe le K0
(т](г) — ступенчатая функция, см. 13.14), находим в результате
описанных преобразований (k = k0):
J Л„ J J t/ (р, z,) ... I/ (р, 2„) е"'*1' rf*p, B)
причем здесь в показателе экспоненты пренебрежено слагаемым
— (?|Zn, TaKKaK^j^j^ (сравнить с 13.2). В этом выражении мож-
можно по исем z* интегрировать в бесконечных пределах, если ввести
множитель (я1)~'; после этого получаем амплитуду рассеяния
732
в эйкональном приближении:
, k
S 5 {Ё-Н-
В заключение укажем условия применимости этого выраже-
выражения, следующие из приведенного выше его вывода. Пренебреже-
Пренебрежение в показателе экспоненты формулы B) слагаемым
¦q«z ^ q2R/k « fe92# < 1 предполагает, что угол рассеяния
6<l/Vk.R. Так как kR > 1, то эта область включает углы рас-
рассеяния 9 ^\/kR, вносящие доминирующий вклад в полное се-
сечение. Далее, в связи с соотношением A) отмечалось, что его
использование вносит погрешность ~ 1/kR. Однако вычисляемая
(приближенно) величина входит в показатель экспоненты выра-
выражения C). Поэтому условием его применимости является ма-
малость по сравнению с единицей абсолютной (а не относитель-
относительной!) погрешности показателя экспоненты, что приводит к сле-
следующему ограничению:
UR<1 '^>1«?
(известному из других соображений, см. [1, § 131]).
13.51. Приведенное в условии задачи выражение для сече-
сечения рассеяния следует из оптической теоремы, если для ампли-
амплитуды рассеяния воспользоваться эйкональным приближением
(XIII. 17). Условием его применимости для быстрых частиц яв-
является выполнение неравенства \U(r)\ <g E; при этом оно спра-
справедливо для существенной области углов рассеяния 9 ^ 1/kR (см.
предыдущую задачу). В случае «сильного> потенциала, для ко-
которого | U (г) | ^ Е при г ~ R, рассеяние под углами 9 ~ 1/kR
уже ие описывается эйкоиальным выражением. Однако для рас-
рассеяния вперед, т. е. под углом 9 = 0, амплитуда
+ 1)(,Ш'-1) A)
по-прежиему сохраняет эйкональиый вид (фактически это спра-
справедливо для области малых углов рассеяния 9 < \/kR, пока не
начинают сказываться осцилляции полиномов Лежаидра с
l^kR и можно положить Pi « 1 в разложении амплитуды
(ХШ. 9) по парциальным волнам). Чтобы пояснить сделанное
733
утверждение, заметим, что эйкональная формула для амплитуды
рассеяния получается при использовании для фазовых сдвигов
квазикласснческого выражения (XIII. 14), см. [1, § 131]. В слу-
случае же <сильного> потенциала для них следует использовать бо-
более общее выражение (XIII. 13). Однако это обстоятельство не
отражается на значении амплитуды рассеяния вперед A). Дело
в том, что для таких значений / в сумме A), для которых
I U (го) | ^ Е (го — квазиклассическая точка поворота в выраже-
выражении (XIII. 13)), фазовый сдвиг обладает следующими свойствами:
он велик, |6(| ;s> 1, и быстро изменяется с ростом /, так
что | 6г+, ~ 6г |^3 1, причем эти свойства следуют как из фор-
формулы (ХШ. 13), так и из ss) (XIII. 14). Это приводит к тому,
что в соответствующей части суммы A) вклад слагаемых с
ехрB/б|) пренебрежимо мал из-за взаимной компенсации, связан-
связанной с быстрыми осцилляциями. Такая компенсация вкладов со-
соседних слагаемых имеет место независимо от того, какое выра-
выражение— правильное (XIII. 13) или «неправильное» (XIII. 14) —
используется] Для значений же /, для которых ]U(r<,)\ <S E, по-
прежнему справедливо (XIII. 14). Таким образом, амплитуда рас-
рассеяния вперед быстрых частиц описывается эйкональным выра-
выражением и при нарушении условия |?/(r)| <g; E; отсюда, согласно
оптической теореме, и следует утверждение задачи. Отметим, что
унитарные свойства амплитуды рассеяния в эйкональном при-
приближении рассмотрены в 13.76.
В случае потенциального барьера (или ямы) находим
R
[l - cos (| д/l - -g-)] p rfp =
(интеграл вычисляется подстановкой х = Vl — P3/R2)- При зна-
значениях J < 1 из выражения B) следует результат борновского
приближения
для быстрых частиц (см. 13.1), а при g > 1 имеем а « 2nRz —
известный результат для сечения рассеяния быстрых частиц не-
непроницаемой сферой (см. 13.57).
33) Так, согласно (XIII. 14) имеем
т i Ti 1. \ i ' m\U (гр) |
734
13.52. Воспользуемся квазиклассической формулой для сече-
сечения рассеяния из предыдущей задачи. Учитывая значение инте-
интеграла
M r(v/2)
{подстановкой 1 + и2 = l/t интеграл приводится к эйлерову
интегралу — бета-функции В(х, у) с х = 1/2 и (/=(v—1)/2),
можно выполнить интегрирование34) по переменной р и полу-
получить
где Я = (v —3)/(v— 1) и [х = 2/(v— 1).
Как видно из формулы A), убывание сечения рассеяния при
Е -*¦ сю является более медленным, чем в условиях применимо-
применимости борновского приближения, когда сгсо1/?. Это связано с тем,
что при рассеянии быстрых частиц в потенциале V oor~v с v>2
доминирующую роль играют малые расстояния (малые прицель-
прицельные параметры), на которых потенциал нельзя рассматривать как
возмущение. Соответственно формула A) при значениях энергии
Е -*¦ сю справедлива для достаточно произвольного потенциала,
имеющего рассматриваемый вид лишь на малых расстояниях. За-
Заметим, что для значений v—>-2 энергетическая зависимость сече-
сечения, определяемая формулой A), «сшивается> с результатом,
полученным в борновском прнближении.
13.53. Для вычисления сечения рассеяния воспользуемся ре-
результатом 13.51. Квазиклассический фазовый сдвиг при значе-
значениях прицельного параметра р ~> R равен
оо
2Йо \ En )
2Йо
— ОО
S4) Сначала делаем подстановку х = р2 и выполняем инте-
интегрирование по частям, что приводит к интегралу вида
X —5-sin f —j-J dx с s==(v—l)/2. Выразив теперь синус че-
через экспоненты и сделав подстановки о = ±ia/xs, приходим к ин-
интегралам, определяющим гамма-функцию.
735
(для вычисления интеграла следует воспользоваться разложе-
разложением Vp2 + г* «* Р + z3/2p).
Обозначим через ро значение р, для которого б(ро) = 1.
В случае п > 1/2 н больших энергий имеем ро ~> R (прн Е-*-аа
также и ро-*-°°). Теперь заметим, что фазовый сдвиг является
резкой, быстро убывающей функцией р. Поэтому при вычисле-
вычислении сечения по формуле из 13.51 вкладом области интегрирова-
интегрирования р > ро можно пренебречь вообще (так как в ней 6 « 0), а
в области значений р < ро можно пренебречь вкладом, отвечаю-
отвечающим быстро осциллирующему слагаемому с cos 26 (р) (ввиду
б ^> 1) и получить в результате cr (Е) »2яро(?). Отсюда, исполь-
используя выражение A), находим
а (?)« (То In2 (-?-). где <т0 = 2я (n - y)V. B)
в случае п> 1/2 (при приближенном вычислении ро(?) из соот-
соотношения 1п6(ро) = 0 пренебрежено слагаемым 1п(р<>//?) по срав-
сравнению с ро//?; заметим, что при значениях п < 1/2 сечение рас-
рассеяния с ростом Е убывает).
13.54. Согласно (XIII. 19) имеем для значений р <С R
и для амплитуды рассеяния (XIII. 19) при q ф 0 получаем выра-
выражение
оо 2я
) ^
О О
где
S = — 1п -^- - <7р cos ф. B)
В случае |а| ~Э> hv фаза экспоненты велика и быстро изменяется
с изменением р и ф. В такой ситуации значение интеграла опре-
определяется в основном вкладом областей интегрирования в окрест-
окрестностях экстремальных точек фазы как функции переменных р,
ф. Из условий экстремума находим
2а = Йоро<7 cos фо, <7ро sin фо = 0;
отсюда ро = 2\а\Ihvq н фо = 0 в случае а > 0 или ф = я для
а<0 (при этом lal/po'CAfto, т. е. \U\ <?. Е, что оправдывает
использование приближения эйконала). Разлагая S(p, ф) в ок-
окрестности экстремальной точки ро, Фо с «квадратичной» точ-
736
иостью и используя значение интеграла Пуассона, получаем ам-
амплитуду рассеяния
^i) C)
При этом дифференциальное сечеиие рассеяния
2та \2 ^ а2
da _ / 2та \2
dQ ~ \ AV J
что, как и в условиях применимости борновского приближения,
совпадает с формулой Резерфорда (для углов рассеяния 0 <? 1).
Заметим в заключение, что необходимость «обрезания» по-
потенциала и отсутствие предела при R -*¦ со для амплитуды рас-
рассеяния (но не для дифференциального сечения) связано с мед-
медленным убыванием кулоновского потенциала, так что на больших
расстояниях волновая функция не переходит в в. ф. свободной
частицы. Возникающее при этом искажение, равное
д (/•) = _ JL in 2kr,
фазы радиальной функции, см. [1, § 36], при обрезании потен-
потенциала на расстоянии г = R переносится в амплитуду рассеяния
в виде множителя ехрB(Д(Л)). Соответственно, исключая его из
выражения C), получаем амплитуду рассеяния
) = fe=_ в ,
4 D)
., , 2а , q , 2а , |а| 2а я а
m (k, q)— — In -?г + -г— In -4-1- г h -х- -,—г ,
ч/ hv 2k hv hv hv 2 |«| '
уже не зависящую от радиуса обрезания и совпадающую, как и
следовало ожидать, с амплитудой кулоновского рассеяния 35)
_ а Г A + га/До) / 2га 9 \
Гкул - ~ 2mo2 sin2 (9/2) Г A - /а/Ао) 6Хр V hv ln Sm 2 ) '
см. [1, § 135], в квазнклассическом случае \a\/hv > 1 (причем
для всех углов рассеяния, хотя формально эйкональное прибли-
приближение применимо для углов 0 <^ hv/\a\).
13.55. В приближении эйконала амплитуда рассеяния описы-
описывается выражением
зб) Здесь отношение гамма-функций определяется лишь их
фазами, которые легко найти, если воспользоваться известными
асимптотиками для In Г (г).
24 В. М. Галицкий и др. 737
Отсюда с помощью преобразования Фурье получаем
Г °° 1
" W S и (р> z) dz =
ехр W S ^F И ( х)
B)
Подставляя теперь в формулу A) потенциал
U (г) = [/, (г - а/2) + ?/„ (г + а/2)
и переходя в получающемся выражении к одноиентровым ампли-
амплитудам рассеяния /ь 2 на потенциалах [/(, 2 (г) согласно соотно-
соотношению B), получаем амплитуду рассеяния на двух центрах в эй-
кональном приближении
f (ft. q±) = /, (*, qx) exp (- у
X^ + ¦?¦)f2(fe- -xx + ^)exP (-гхха±) rf4 ;
C)
здесь а±, хх — составляющие векторов, перпендикулярные на-
направлению импульса падающих частиц по; так, а = ацП0 + ах.
Для приложения формулы C) к вычислению амплитуды уп-
упругого рассеяния частицы на связанной системе из двух цент-
центров (т. е. на некоторой составной частице), ее следует усреднить
с волновой функцией 4fo(a) составной системы, т. е. выполнить
интегрирование \ dza \ Vo (а) |2 ... (при этом предполагается, что
скорости частиц «мишени» малы по сравнению со скоростью на-
налетающей частицы). Подчеркнем также, что 4f0(a) является в.ф.
составной системы в ее с. ц. и. (причем мишень как целое счи-
считается неподвижной). Далее, поскольку радиусы-векторы частиц
мишени были выбраны равными ±а/2, то имеется в виду, что
у них одинаковые массы (подобная дейтрону составная система).
Возникающие при отмеченном усреднении интегралы выражаются
через формфактор составной системы, равный
F (q)=
В результате усреднения выражение C) принимает вид
(f (k< Чх)> = U (fe. ч±)F (а±) + h
+
738
f 1 (Й> ^ + "V
Полное сечеиие рассеяния на составной системе с помощью
оптической теоремы (XIII. 11) может быть выражено через ам-
амплитуду упругого рассеяния на угол 9 = 0 (при этом qx — 0),
так что
Jtof
4" Re \ F B*±) fl (^ *±) f2 (k> ~ *
здесь o"i, 2 — сечеиия рассеяния на свободных частицах мишени
(подчеркнем, что полное сечение рассеяния включает и процессы
с «развалом» исходной составной системы).
Теперь заметим, что специфика рассеяния на слабосвязан-
слабосвязанной системе определяется тем обстоятельством, что убывание ее
формфактора происходит при значениях импульса
ц ~ 1/Я ~ (цесв/Й2I/2, F)
где R — размер системы, есв и [х — энергия связи и приведенная
масса частиц мишени, причем R существенно превосходит радиус
взаимодействия. Так как характерные значения q при рассеянии
порядка обратного радиуса взаимодействия, т. е. велики по срав-
сравнению с F), то в выражении E) амплитуды fi, 2 можно выне-
вынести из-под интеграла в точке ях= О и после этого выполнить
следующее преобразование:
F Bх±) Л<х = J J J exp (-fxlP) | VQ (p, z) f.d^p dz
CO OO
Wo @, z) I* dz = 2n \ -I-1 Wo (r) |
Здесь предположено, что орбитальный момент составной систе-
системы равен нулю, и поэтому в. ф. fo^) является сферически-сим-
сферически-симметричной; (R~2) — среднее значение обратного квадрата рас-
расстояния между частицами мишени. Таким образом, получаем
*,O)f2(*fO). G)
В частности, если f\,2(k, 0) — чисто мнимые величины, то, ис-
используя оптическую теорему для одноцентровых амплитуд, на-
находим
Заметим, что такой случай мнимых амплитуд можно рассматри-
рассматривать (моделировать) как рассеяние на непроницаемых (нли «чер-
«черных») сферах, сравнить с 13.57 н 13.90. При этом несколько
24* 739
меньшее (так как Д < 0), чем суммарное cri + сг2 сечение рас-
рассеяния на двух центрах наглядно можно объяснить как резуль-
результат взаимного «затенения» сфер. Читателю предлагается убе-
убедиться в том (ограничиваясь, для простоты, случаем одинаковых
рассеивающих центров), что при R 3> а расчет эффекта «затене-
«затенения» в рамках классической механики воспроизводит результат
(8) данной задачи при условии, что радиусы сфер а выбраны
такими, что одноцентровые сечения CTi = Стг = яа2.
13.56. Имея в виду вывод выражения для амплитуды рас-
рассеяния в эйкональном приближении для «обычного» потенциала,
основанный на использовании квазиклассического выражения
(XIII. 14) для фазового сдвига я замене суммирования по пар-
парциальным волнам интегрированием по прицельному параметру,
см. [1, § 131], и замечая, что в приближении (XIII. 14) для об-
обменного потенциала фазовый сдвиг
6Z, обм = (-!)' 6Лобыч, A)
легко прийти к следующим результатам.
В области малых углов рассеяния, в< 1, в случае обмен-
обменного потенциала амплитуда рассеяния описывается аналогич-
аналогичной (XIII. 18) формулой с cos 26; вместо е 1, т. е.
fO6u (k,Q) « ^7 \ \ [cos 26 (р) - 1 ] ехр (- iqp) d'p =
00
= — ik \ [cos 26 (р) — 1 ] /, (fep9) p dp, B)
о
где б(р) определяется прежним выражением. Это связано с тем,
что появление множителя (—1)' в формуле A) не изменяет зна-
значения части амплитуды рассеяния, связанной с четными, как
функциями б;, слагаемыми. Для нечетных слагаемых,
со sin 26^ обм, происходит сильная взаимная компенсация вкла-
вкладов соседних членов суммы по /, и эта часть амплитуды прене-
пренебрежимо мала.
Заметим, что амплитуда B) — чисто мнимая и совпадает с
мнимой частью амплитуды рассеяния на обычном потенциале
U(г). С учетом оптической теоремы совпадают н полные сече-
сечения рассеяния (одинаковы и парциальные сечения рассеяния ai).
В случае обменного потенциала амплитуда рассеяния имеет
резкий максимум в области углов, близких к л (при рассеянии
назад, сравнить с 13.3). Учитывая соотношение для полиномов
740
Лежандра Pt (г) = (—1) Рг(—z), находим
/обм (А, в) ж -?¦ t ( sin 26 (р) ехр (- i Др) rf*p =
= ?\ sin 26 (р)/о (fep (n — 9))рйр, C)
о
тде Д = к + ко. В этой области углов амплитуда — вещественная
функция и совпадает с вещественной частью амплитуды рассея-
лия на обычном потенциале под углом 9' = я— 9 4С 1. Из полу-
полученных выражений B) и C) для амплитуды равенство полных
¦сечений рассеяния на обменном и обычном потенциалах оче-
очевидно и без привлечения оптической теоремы.
13.57. Для вычисления амплитуды рассеяния быстрых частиц
воспользуемся разложением ее по парциальным волнам (XIII. 9)
и квазиклассическим выражением (XIII. 13) для фазовых сдви-
сдвигов. Так как U = 0 при г > R, то интегрирование по частям в
(XIII. 13) дает
<=0+т
arccos
где L = kR— 1/2 (при этом го'= R), а для значений / > L по-
получаем (при этом Го = (I + 1/2) /&)
6f = 0, / > L. B)
При I ~> L точные фазовые сдвиги экспоненциально малы; по-
поэтому квазиклассика, не обеспечивающая такой точности, дает
¦б; = 0. Заметим также, что, строго говоря, в формулу A) следо-
следовало бы ввести дополнительное слагаемое, равное —я/4, имею-
имеющее такое же происхождение, как и рассмотренная в 9.2 модифи-
модификация правила квантования (для KL в данной задаче квазиклас-
¦сика применима, вообще говоря, непосредственно вплоть до точки
поворота Г'= R). Укажем, наконец, что полученные результаты
для 6i требуют уточнения при значениях /, близких к L, так как
в этом случае в окрестности точки г = R квазиклассика непри-
неприменима и условия сшивания решений требуют дополнительного
лсследования (отмеченные обстоятельства несущественны для
дальнейших вычислений).
Воспользовавшись соотношениями A) и B), амплитуду рас-
рассеяния удобно записать в виде
/ = /дифр + /кл. C)
741
где
1=0
L
Поясним, имея в виду дальнейшее исследование в данной и в
следующей за ней задачах, смысл используемого разбиения ам-
амплитуды на «дифракционную» и «классическую» части. В обла-
области малых углов рассеяния (фактически при значениях О <?С
<С (kR)~i/3 <? 1) имеем |?ДИфр| > |/кл|, при этом вклад в полное
сечение этой области составляет л,Яг. Рассеяние под малыми уг-
углами в условиях, подобных данной задаче, называют дифрак-
дифракционным, так как по своей физической природе оно аналогично
дифракции плоскопараллельного пучка света, падающего на не-
непрозрачный (отражающий или поглощающий) экран — дифрак-
дифракции Фраунгофвра [27], см. также 13.90. При углах рассеяния
6 ;§> (kR)~il3 уже пренебрежимо мала часть амплитуды /ДИфр-
При этом /кЛ описывает изотропное распределение рассеянных ча-
частиц: da/dQ « |/кл |2«/?2/4, так что сечение рассеяния под та-
такими углами также составляет nR2 (как и в классической меха-
механике). Полное сечение рассеяния равно 2nR2. Наконец, в обла-
области углов 0 ~ (kR)~i/3 амплитуды ?ДИфР и {Кл одного порядка;
вклад в сечение от рассеяния под такими углами пренебрежимо-
мал по сравнению с nR2.
Для достаточно малых углов рассеяния (пока не начинают
сказываться осцилляции полиномов Лежандра как функций I:
при 0 = 0 они вообще отсутствуют, так как Pi(l) = 1) дифрак-
дифракционная часть амплитуды рассеяния оказывается доминирующей-
и / я* /д„фР. Действительно, так как фазовые сдвиги A) велики,
|6(| ^> 1, и быстро изменяются, то в сумме для /кл происходит
взаимная компенсация, из-за осцилляции е , вкладов различ-
различных слагаемых. Воспользовавшись соотношением P;(cos0)«
<& /о((/+ 1/2)9) при I ~> I, 9 < 1 и заменяя суммирование в
/дифр интегрированием по /, получаем (L та kR):
L
?д„ФР « -^ \ B/ + 1) /„ ((/ +±) 9) dl « IR
о
D)
(здесь использована формула \ xJ0 (x) dx = xJ\ (x) J.
742
Амплитуда дифракционного рассеяния — чисто мнимая. Вос-
Воспользовавшись оптической теоремой и соотношением h(x) «
«х/2 при х-*-0, находим полное сечение рассеянии а = 2nR2,
что в два раза превышает классическое сечеиие (сравнить с
13.51).
В области малых углов рассеяния дифференциальное сече-
сечение —ттт- = | fдифр |2 является осциллирующей функцией 9, при-
причем расстояние между соседними максимумами имеет порядок ве-
величины Д9 ~ IJkR. Воспользовавшись известными асимптотиками
функций Бесселя, согласно D) находим
^ _1 ц,п\г р2.
9< I/ft/? 4
^ — л/4)
dQ i/ft/?<Te«i л?93
Наибольшую величину дифференциальное сечение рассеяния
имеет в области углов Q^l/kR и быстро спадает с ростом 9.
Полное сечение дифракционного рассеяния
о-дифр = ) I /д„фр I2 dQ
/? (kRQ)
т. е. составляет половину полного сечения рассеяния (ввиду бы-
быстрого убывания подынтегральной функции интегрирование рас-
распространено до бесконечности и использовано значение интеграла
1 72 / \ j
о
13.58. Рассмотрим часть /кл амплитуды рассеяния
I
/кл =1ГТ У B'+ 1) e2l8'P, (cos 9), L = kR, П)
ZIk ' ' *
/=о
тде б; даются формулой A) предыдущей задачи.
Общий подход к вычислению сумм вида A) в квазиклассиче-
квазиклассическом случае изложен в [1, § 127]. Не повторяя вывода основ-
основных формул, укажем лишь результаты их применения к рассма-
рассматриваемому случаю. Формула A27.3) из [1] принимает вид
2 arccos l ."j" 1/2 ± 6 = 0.
743
Отсюда следует, что экстремум имеется лишь у показателя первой
экспоненты в A27.2), причем для экстремальной точки /0 имеем
!-*« «.
!• ч=т(?о+т)е-адз1пт-
Окончательное выражение для f™ определяется непосредственно
формулой36) A27.6), принимающей вид
/кл = - \ R ехр [- 2ikR sin |-].
B)
Отсюда имеем
daKn
R2
—,
акл =
что совпадает с результатами классической механики.
В заключение приведем рис. 50, иллюстрирующий качествен-
качественную зависимость дифференциального сечения рассеяния da/dQ от
JtS.
Рис. 50
угла Э при рассеянии быстрых частиц, kR >> 1 (более точно, при
(kRI'3 S> 1), на непроницаемой сфере согласно результатам дан-
данной и предыдущей задач.
13.59. Формулы (XIII. 1—XIII. 5) очевидным образом обоб-
обобщаются на случай рассеяния частицы с отличным от нуля спи-
36) Она относится фактически к отталкивательному потен-
потенциалу; в ней пропущен фазовый множитель e~tn' , возникаю-
возникающий при переходе от суммирования по / к интегрированию по 1
(что, конечно, ие отражается на величине дифференциального"
сечеиия рассеяния).
744
ном. Подстановка оператора взаимодействия U (вместо потен-
потенциала U) и невозмущенной волновой функцииЧ1^ = е'к°г&. где
%1 — спиновая функция частицы до столкновения, в (XIII. 5)
определяет спинорную амплитуду рассеянной волны F = f%t в
борновском приближении. Отсюда
где Т/о, 1 (q) = \ Uо, i (r) exp (— iqr) dV.
Согласно A) и (XIII. 23) полное сечение рассеяния в борнов-
борновском приближении описывается выражением (сравнить с 13.1)
((подчеркнем, что в общем случае слагаемое в дифференциальном
сечении со vP0, описывающее азимутальную асимметрию в рас-
рассеянии, см. (XIII. 23), при вычислении полного сечения рассея-
рассеяния исчезает: сечение, просуммированное по проекциям спина
рассеянных частиц, от вектора поляризации Ро в начальном со-
состоянии не зависит). Отсюда для быстрых частиц получаем37)
а (Е) » Со/Е + С,, C)
где
оо оо
dq2.
Оставленные здесь слагаемые отвечают различным взаимодей-
взаимодействиям, и при большой, но конечной энергии они могут быть од-
одного порядка. Фактически из релятивистского характера спин-
орбитального взаимодействия для электрона следует, что именно
37) Читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос
о применимости борновского приближения для спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия и вопрос об ограничении на закон убыва-
убывания Ui(r) на больших расстояниях, обеспечивающем конечность
полного сечения рассеяния. Подчеркнем лишь, что независимость
от энергии при ?->-оо сечения рассеяния при таком взаимодей-
взаимодействии отражавшего эффективный рост с увеличением Е, так как
/Ъ~
745
второе, не убывающее с ростом энергии слагаемое в иереляти-
вистском случае оказывается менее существенным.
Для рассеяния электрона в кулоновском поле получаем
где v = [кок]/| [кок] |; зависящая от спина часть амплитуды рас-
рассеяния имеет малость ~Qv2/c2.
Сделаем замечание о вычислении зависящей от спина части
амплитуды рассеяния в случае спин-орбитального взаимодействия
V д
с Ui(r) = —Un(r), Имея в виду для нее выражение A),
выполним следующие преобразования:
U, \Tkn)e"iqrdV =
= - Y \ е~'ЧГ [koVtfo (г)] dV=- iy [koq] Uo (q>
Поэтому для рассматриваемого спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия амплитуда рассеяния в борновском приближении описы-
описывается выражением
f ^ &° (<?) С - 'V [kok] о). E>
Отсюда, воспользовавшись выражением Uo = —4я2е2/<72 для
фурье-компоненты кулоновского потенциала и значением пара-
параметра у = Й2/4т2с2, приходим к D).
13.60. В исходной системе координат имеется только элек-
электрическое поле S = —¦ V(f с ф = Ze/r. Чтобы получить выраже-
выражение, описывающее взаимодействие с ним нейтрона, движущегося-
со скоростью v = р/М, перейдем в систему координат, связан-
связанную с нейтроном. В этой системе появляется магнитное поле
К«[Sv]/c, см. [27], и энергия взаимодействия оказывается
равной (fi — магнитный момент нейтрона)
Квантовомеханическое обобщение этой формулы, получающее-
получающееся путем замен: ц на оператор спинового магнитного момента 38)
\i = \х0о, где цо = $eh/2Mc (для нейтрона экспериментальное зна-
значение Р = —1,91), и L на А1, определяет оператор взаимодей-
взаимодействия
38) См. сноску к условию задачи 13.59.
746
Используя выражения для амплитуды рассеяния при спин-
србитальиом взаимодействии в борновском приближении, полу-
полученные в предыдущей задаче, находим
C)
{v = [kok]/| [kok] | —орт нормали к плоскости рассеяния). Диф-
Дифференциальное сечение рассеяния, просуммированное по спино-
спиновым состояниям рассеянного нейтрона,
da „.„ ««+*
здесь F = f%. — спинорная амплитуда рассеянной волны. Для
рассеяния под малыми углами, 9 ->- 0, имеем da/du со Э , так
что полное сечение рассеяния оказывается бесконечным (расходи-
(расходимость сечения устраняется при учете экранировки заряда ядра).
13.61. Эрмитовость оператора взаимодействия С/ = С/о (г) +
+ U\ (г) а 1 предполагает вещественность функций Uo,i(r). Прн
этом вещественны и их фурье-компоненты Uo, i(<7), а соответ-
соответственно и инвариантные функции А я В в выражении для ам-
амплитуды рассеяния
f = A(k,B)+iB(k,B)w A)
в борновском приближении, см. формулы A) и E) из 13.59. От-
Отсюда согласно общей формуле (ХШ. 24) для поляризации рас-
рассеянных частиц следует, что вектор поляризации Р = 0, если
первоначально частицы были неполяризованы, Ро = 0.
При рассеянии поляризованных частиц вектор поляризации
рассеянных частиц равен39), см. [1, § 140]:
Так как в борновском приближении А и В — вещественные функ-
функции, то
рв = л» + д» {{А* ~ В2) Ро + 2ВЧ (vPo) ~2АВ [vPol} •
я, как легко убедиться, Pg = Pq. Поворот вектора поляризации
происходит вокруг нормали к плоскости рассеяния, при этом
vPB = vP0.
зв) Напомним, что по сравнению с [1, § 140] в выражении
перед инвариантной функцией В введен множитель L
747
13.62. В первом порядке по взаимодействию
амплитуда рассеяния имеет вид
~ А<1} + iB<l)v$ A)
(см. формулы D) и E) из 13.59). Функции Л*1' и В*1»—вещест-
В*1»—вещественные, и поэтому в первом порядке теории возмущений поля-
поляризация при рассеянии не возникает, см. формулу (XIII. 24).
Общее выражение для амплитуды второго приближения по-
получается, как и в случае рассеяния бесспиновых частиц (см.
13.10):
* С F<!) /t, хч f
d)
При вычислении ЛB) — не зависящей от спина части амплитуда
/B), в амплитудах первого приближения /о в выражении B)
следует учитывать только слагаемые Л<'> (вклад в Л<2> от «спино-
«спиновых» слагаемых в обеих амплитудах /A) имеет дополнительную
малость ~ (и/сL). При этом Л<2> совпадает с амплитудой рас-
рассеяния второго приближения на потенциале U0(r). Для потен-
потенциала Юкавы она была рассчитана в 13.12. С помощью формулы
E) этой задачи получаем (с заменой в ней а на — Ze2)
Для зависящей от спина части амплитуды f<2) согласно B)
и A) находим
1 (Ze* \2 ~ Г
= -(—] ko J [{ko_
D)
(|x| = k = k0; о вычислении мнимой части интеграла см., на-
например, 13.11). Входящий сюда интеграл запишем в виде
J [(ko_xJ+tf 2] [(к - xJ + R~2]
После умножения на (ко + к) получаем
I
+ C2q.
(ко — хJ + # 2
748
2R~2
Интегралы от первых двух слагаемых здесь вычисляются эле-
элементарно, а интеграл от третьего слагаемого непосредственно вы-
выражается через мнимую часть амплитуды рассеяния /<2> на по-
потенциале Юкавы, см. 13.12; в результате получаем при kR 3> 1
(напомним, что |х| = k):
Замечая, что слагаемое СгЦ в E) не вносит вклада в значение
интеграла D) и что (ко + кJ = 4k2 cos2(9/2), находим
Теперь, используя соотношения A), C), F), по формуле
(XIII. 24) получаем поляризацию электрона при рассеянии в ку-
лоновском поле ядра:
• В"» - Л(!> Im BB>} v =
v sin3 (9/2) , ( . 9 \ [kok]
(подчеркнем, что радиус обрезания потенциала в окончательный
результат не входит).
При рассеянии позитронов вектор поляризации имеет проти-
противоположное направление (амплитуда /A) изменяет знак, а /<2)
остается неизменной).
13.63. Решение уравнения Шрёдингера, отвечающее опреде-
определенным значениям квадрата орбитального момента /(/+ 1), пол-
полного момента / = / ± 1/2 и его проекции jz, имеет вид
Здесь Ч?jij — спин-угловая часть волновой функции (см. 5.24 и
5.25, однако в данной задаче ее явный вид несуществен). Так
как
то замечаем, что радиальное уравнение Шрёдингера для Rkji
имеет точно такой же вид, как и в случае бесспиновой частицы
с орбитальным моментом / в потенциале
И = Щ (г) ± (/+ \ =F 1) t/, (r)
749
(верхние и нижние знаки относятся соответственно к значениям
/¦=/±1/2). Поэтому замена в выражениях (XIII. 12—XIII. 14)
потенциала U(г) на Uf определяет фазовые сдвиги 6* в разло-
разложениях (XIII. 25) инвариантных функций амплитуды рассеяния
по парциальным волнам в соответствующих приближениях. Так,
обобщение выражения (XIII. 14) имеет вид
оо
6f « - —- $ {Uo (УрМ7^) ± kpUx (VpM7^)} dz,
Используя это соотношение, с помощью формул (XIII. 25),
как и в случае бесспиновых частиц [1, § 131], можно получить
выражения для инвариантных амплитуд Л и В в приближении
эйконала; при этом полезно иметь в виду, что
sin9P,(eos9)«--^/0(/9) = //, (/9); /»1, B<1.
Особенно наглядно выглядит в эйкональном приближении
выражение для амплитуды рассеяния / как оператора (матрицы)
в пространства спиновых состояний
ko, P)]}e^qpd2p, A)
если ввести оператор квазиклассического фазового сдвига (срав-
(сравнить с (XIII. 19))
— oo
С помощью соотношения
exp (iaax) = cos a + i°v sin а, где v2 = 1,
теперь не представляет труда получить эйкональные выражения
для амплитуд А я В в формуле (XIII. 22).
13.64. Пусть плоскость реакции есть плоскость (х, г), причем
ось г направлена вдоль импульса р0 частицы со спином s = 1/2 в
с. ц. и. до столкновения. При этом имеет место: ро = @,0,р),
р = (р sin 9, 0, р cos 9) и v = @, 1, 0), так что ах = ау.
Учитывая, что спиральные состояния: <р^ — до столкновения
н y — после рассеяния, описываются спинорами (см. 5.20)
= (о).
_ / cos (9/2) \ _ / - sin (9/2) \
Xl/2~4sin(9/2)> Х-У2~\ cos (В/2) У
750
находим спиральные амплитуды f^ =
/1/2,1/2 = f-i/2. -1/2 = cos (e/2) • Л - sin (9/2) - В,
fi/2, -1/2 = - f-i/2. i/2 = - sin W2) • A - cos (9/2) • B.
13.65. Волновая функция относительного движения сталки-
сталкивающихся бесспиновых частиц на больших расстояниях имеет
вид
B/ + О Pl <cos 9) W ^
Слагаемое «' B/+ 1) Я/(cos 9) e'ukr~nI/2)/2kr этой суммы опи-
описывает состояние сталкивающихся частиц (до взаимодействия)
с моментом / = /, четностью Л = (—1)' и проекцией момента на
ось г, направленную вдоль импульса ро = ftk, равной нулю, т. е.
/г = U = 0. Возникающие при этом в результате взаимодейст-
взаимодействия частицы в рассматриваемом канале реакции на большом от-
относительном расстоянии л4 друг от друга будут описываться
расходящейся волной вида
Ч/^Фу-Л^/^оЫ-ТГ^', п.--*-. A)
Здесь Ф.-/у (п) описывает спин-угловую зависимость в. ф. раз-
разлетающихся частиц в состоянии с соответствующими квантовыми
числами; величина параметра r\t определяется интенсивностью
взаимодействия. Для определения явного вида Ф(П[) замечаем,
что орбитальный момент в конечном состоянии совпадает с ис-
исходным /. Действительно, при полном моменте /=/ и спине s=l
орбитальный момент может принимать лишь значения /' = /,
/ ± 1; при этом с учетом значения четности состояния следует,
что /''= / (причем /^ 0). Поэтому
Ф//,оК>= Z С/шМ.-т^тЫХ-т- B)
' т=0, ±1
Используя здесь выражения для шаровых функций У/т, компо-
компонент вектора %т (см. 3.41) и коэффициентов Клебша — Гор-
дана:
л.
/0, 10 — °-
751
приводим выражение B) к виду
ф//,о = Y/ sin QyP't (cos 9^ (— sin фр cos <pp 0),
где
Замечая, что вектор с компонентами sin 9i(—sin фь cos фь 0)
равен [poPi]/PoPi, и выполняя суммирование по /, приходим
к выражению для векторной амплитуды «рассеянной» волны —
коэффициенту перед el ir'/ri в асимптотике волновой функции
при rt -*¦ оо в рассматриваемом канале реакции
Ф(п,) = /(?, в)[рор,], f(E, В) = ? fj, (?) Pj (cos В), C)
здесь r\t(E) = r\i(E)yijpopi. При этом дифференциальное сечение
da
реакции, просуммированное по спиновым состояниям, -Tq" =
= 1 Ф |2, где оо, 1 — скорости относительного движения частиц в
начальном и конечном состоянии. Пэлное сечение реакции
I л, f=^-| ni (?) I2-
Из условия унитарности S-матрицы вытекает ограничение на
парциальные сечения реакции: ar t < B1 + 1) я/йц. см. [1, § 142].
Амплитуда реакции с образованием частицы с s = 1 в кон-
конкретном спиновом состоянии, описываемом вектором поляризации
а, определяется выражением
<f | / | г) = а'Ф = М?\ e)a'[poPi]. D)
Оно очевидно заранее (и не требует проведенного выше иссле-
исследования) из соображений о скалярном характере амплитуды ре-
реакции, так как представляет единственно возможную скалярную
комбинацию, которую можно образовать из векторов ро, р( и а
(причем в силу принципа суперпозиции вектор поляризации дол-
должен входить линейно). При этом следует учесть, что а является
аксиальным вектором (псевдовектором), так как при инверсии
/а=-|-а ввиду положительной внутренней четности частицы с
s = 1. Заметим, что согласно D) частица с s = 1, образующая-
образующаяся в рассматриваемой реакции, оказывается линейно-поляризо-
линейно-поляризованной в направлении, перпендикулярном плоскости реакции
(проекция спина на это направление имеет определенное, равное
нулю, значение).
752
В случае реакции, когда частица со спином s = 1 имеет от-
отрицательную внутреннюю четность, ее вектор поляризации v яв-
является полярным вектором (так как при инверсии /v = —v). Со-
Соответственно теперь из условия скалярности амплитуды перехода
следует, что ее спиновая структура имеет вид 40)
<I\f\l> = v* if i (E. 9) Ро + h (E, 6) р,}. E)
Появление здесь двух инвариантных амплитуд f1? 2 связано с тем,
что при данном орбитальном моменте / сталкивающихся частиц
орбитальный момент частиц в конечном состоянии может при-
принимать два значения: /' = I ± 1.
13.66. В борновском приближении амплитуда рассеяния опи-
описывается выражением (сравнить с 13.7 и 13.8)
/ = ? iA° <9) + '5о (<7) Srav} exp (— /qan); A)
п
здесь а„ — раднус-вектор n-го центра; вещественные функции
A0(q) и Во(<7) определяются формулами из 13.59.
Дифференциальное сечение рассеяния, усредненное по началь-
начальному спиновому состоянию рассеивающих центров и просумми-
просуммированное по их конечным спиновым состояниям, имеет вид
dQ/-'4'
X
!¦
2A0(q)B0(q)X
кфп
ад
где черта означает усреднение по исходному спиновому состоя-
состоянию центров. Если между состояниями отдельных центров нет
корреляции, то
и в случае неполяризованных центров, Р„ = 0, из всех слагаемых
в выражении B) отличны от нуля лишь первое и третье. Первое
из них определяется не зависящей от спина частью U0(r) взаи-
взаимодействия и имеет такой же вид, как и в случае рассеяния на
40) При этом, как и в предыдущем случае, существенно, что
все остальные бесспиновые частицы, участвующие в реакции,
имеют положительную внутреннюю четность (точнее: должно
быть положительным их произведение; в противном случае вы-
выражения D) и E) должны быть взаимно заменены друг другом).
753
бессипиовых центрах, сравнить с 13.8. Слагаемое же NBq (q)
определяется спии-орбитальным взаимодействием. Характерная
его особенность — пропорциональность числу рассеивающих цент-
центров — указывает на некогерентность рассеяния. Дело в том, что
это слагаемое отвечает рассеянию, при котором происходит «пе-
«переворот» спина рассеивающего центра (так что можно указать,
на каком именно центре произошло рассеяние; в таких условиях
интерференция не возникает, см. [13]).
13.67. Из условия унитарности 5-матрицы следует оптиче-
оптическая теорема
Im(p, a|/|p, а>= —<rtot(p, a),
где р = Лк — импульс относительного движения сталкивающихся
частиц, а а характеризует их спиновое состояние, так что в ле-
левую часть равенства входит мнимая часть амплитуды упругого
рассеяния вперед, 9 = 0, без изменения спинового состояния час-
частиц, а в правую часть — полное сечение рассеяния (включая не-
s . упругие столкновения) из того же
спинового состояния.
13.68. Амплитуда рассеяния на
потенциале нулевого радиуса дей-
действия (см. 13.20)
(Е) =
1
— l/a0 — (i/h)
A)
Как аналитическая функция комп-
комплексной переменной Е она имеет точ-
точки ветвления Е = 0 и °о и полюс
Рис. 51 в точке Еа, для которой Ео =
= — h /2tna%. Проведя, как обычно,
разрез вдоль вещественной полуоси, см. рис. 51, и выбирая
фазу на верхнем берегу разреза равной ф = 0, замечаем, что
полюс Ео находится на физическом листе при а0 > 0 и соответ-
соответствует связанному состоянию, существующему при этом в по-
потенциале нулевого радиуса (сравнить с 2.30). В случае а0 < О
полюс находится на нефизическом листе и отвечает виртуаль-
виртуальному уровню.
Рассмотрим взятый по контуру С на рис. 51 интеграл
1 Г f (E') dE'
2ш J (Е'-Е)
B)
754
Используя теорему Коши и устремляя радиус окружности кои-
тура к бесконечности, /??->-°о, в случае а0 > 0 получаем
f(E) Ь2 , 1 f lmf(E')dE'
f(E)~ тао(Е-Ео) + 1Г) Е'-Е " C)
о
Здесь также учтено, что величина скачка амплитуды на разрезе
(при Е' > 0) совпадает с 2ilm f(E') (на нижнем берегу раз-
разреза VЕ =—| VЕ |) и что значение интеграла определяется
вкладом двух полюсов: в точках Е и Ео.
В случае а0 < 0 полюс Ео находится уже на нефизическом
листе. Он не вносит вклада в значение интеграла B) и теперь
дисперсионное соотношение имеет аналогичный C) вид, но уже
без полюсного слагаемого.
Дисперсионное соотношение в случае потенциала нулевого
радиуса можно подтвердить непосредственным вычислением.
Подставив мнимую часть амплитуды рассеяния A), равную
б интеграл в выражении C) и вычислив его, получаем
оо
л/1? dE'
1
У 2m У|?о| -i«jE '
что в случае а0 < 0 (в отсутствие связанного состояния) совпа-
совпадает с амплитудой рассеяния A). В случае же а0 > 0 прихо-
приходим к амплитуде рассеяния после добавления, согласно C), по-
полюсного слагаемого.
Установленные дисперсионные соотношения отличаются от
(XIII. 27) отсутствием борцовского слагаемого /g °° \ U dV Это
имеет простое объяснение. Потенциал нулевого радиуса можно
получить из потенциала конечного радиуса R предельным пере-
переходом R -*- 0, при котором U0R2 = const, так что при этом
/ в со UQR3 -> 0. В потенциале конечного радиуса амплитуда рас-
рассеяния в пределе Е—>-оо совпадает с борновской и для обраще-
обращения в нуль интеграла в B) по окружности бесконечного ра-
радиуса из f надо вычесть fB; для потенциала нулевого радиуса
амплитуда рассеяния сама обращается в нуль при ?->-оо.
В заключение отметим, что вычет в полюсе Е = Ео в выра-
выражении C) равен —Н2/тао = —h2A2/2m. При этом А = У2/ао =
755
совпадает с нормировочным коэффициентом в волновой
функции
Wo = А ехр (— x0r)lij4n r
связанного состояния в потенциале нулевого радиуса, см. 4.10,
в согласии с (XIII. 27) и (XIII. 28).
13.69. Так как согласно оптической теореме lmf(E, 0) =
= ka(E)/4n, то из дисперсионного соотношения (XIII. 27) при
энергии Е = 0 следует
= 0) = -
2лй2
Здесь также учтено, что в отталкнвательном потенциале,
U (г) ^ 0, нет связанных состояний. Отсюда, ввиду того, что
в таком потенциале f (Е = 0) < 0 (см. 13.16 и 13.31), сразу при-
приходим к приведенному в условии задачи неравенству.
Заметим, что в случае «слабого» потенциала, UB -С h2/mR2,
рассматриваемое неравенство представляется достаточно оче-
очевидным (так как / со Uo, а а со С/о) и должно выполняться
с большим «запасом». Однако для «сильного» отталкивательного
потенциала, Uo » H2/mR2, уже41) |/в| » |/(? = 0) | и значения
обеих частей неравенства близки друг к другу, так что в этом
случае
A
U(r)r*dr. B)
В заключение укажем, что из соотношения A) следует по-
полученный ранее в 13.16 другим способом результат о том, что
в отталкивательном потенциале борцовское приближение при
энергии Е = 0 дает завышенное значение сечения рассеяния.
13.70. Пока в потенциале притяжения нет связанных состоя-
состояний, справедливо соотношение A) из предыдущей задачи, од-
однако теперь все три слагаемых в нем уже положительные. От-
Отсюда, в частности, следует результат из 13.16 для потенциала
притяжения. Далее, отмеченное в условии задачи неравенство
в случае «слабого» потенциала должно выполняться с большим
запасом, сравнить с предыдущей задачей. Однако при прибли-
приближении потенциала к «критическому», когда появляется связан-
связанное состояние, имеем }(Е = 0) ->- оо; при этом f(E = O) S> fe
41) Так, для прямоугольного потенциального барьера радиу-
радиуса R при U0~^-oo имеем также и |/в|-*-°°, в то время как при
этом / (Е = 0) = — R = const.
756
и значения обеих частей неравенства уже близки друг к другу,
так что
Впрочем, это соотношение в случае существования в потенциале
«мелкого» реального или виртуального s-уровня достаточно оче-
очевидно заранее. Согласно (XIII.16) при этом в области малых
энергий сечение рассеяния
а (?¦) « 2лЙ2/от (Е + е0), е0 < h'/mR2
аномально велико. Именно эта область вносит доминирующий
вклад в значение интеграла; вычислив его, убеждаемся в спра-
справедливости соотношения A).
13.71. Итерационная процедура вычисления амплитуды рас-
рассеяния / = 2_j< рассматриваемым способом состоит в следую-
п
щем. Сначала по известной амплитуде первого приближения,
fA) = /в, с помощью условия унитарности (XIII. 26) находим
мнимую часть амплитуды второго приближения42) lm fW(E, q2)f
а затем, используя дисперсионное соотношение при q2 ф 0 (ана-
(аналогичное (XIII. 27)), и всю амплитуду f<2> в целом. Подобным
образом вычисляются и члены более высоких приближений.
В частности, при значении q2 = 0 таким способом сразу
находим
оо 4
= 0) = -M ,— dE' \
4я J ^E' (E' — E)J
f%(x)dx. A)
^E (E E)*
Здесь мнимая часть амплитуды рассеяния с помощью оптической
теоремы выражена через сечение рассеяния в борновском при-
приближении и во избежание загромождения формул использована
система единиц Й = 2пг = 1, при этом Е = k2. Борновская ам-
амплитуда /в записана в виде /в(92)-
С другой стороны, во втором порядке теории возмущений
согласно результату из 13.10 имеем
42) При этом, в принципе, получающееся выражение опреде-
определяет мнимую часть амплитуды и при «нефизических» значениях
энергии 0 < Е < h2q2/8m.
757
Для доказательства равенства приведенных выражений вы-
выполним во втором из них следующие преобразования (заметим,
что при ?->-0 равенство становится очевидным, если в соотно-
соотношении A) выполнить интегрирование по частям). Прежде всего
«внутренний» интеграл в формуле B) разобьем иа два, с точ-
точкой х = 0 в качестве одного из пределов интегрирования. Да-
Далее, в первом из получающихся при этом слагаемых сделаем
подстановку 2х' = х + V' Е , а во втором 1-х,' = х — Vf. В воз-
возникающих интегралах по и' опять разобьем области интегриро-
интегрирования на две: одну в пределах от 0 до оо, а вторую — в преде-
пределах от 0 до ± VЕ /2. Вклады вторых областей интегрирования
взаимно сокращаются, а сумма вкладов первых из них после
подстановки ?" = (и'J воспроизводит формулу A).
13.72. В разложении амплитуды рассеяния (XIII. 9) по пар-
парциальным волнам имеем неравенство |ф/| ^ l/k, так что в со-
соответствии с условием задачи получаем
If (ft, V\<\ ?B/+1)| Л (cos 6)|. A)
1 = 0
Отсюда, заменяя суммирование интегрированием, для углов
в = 0 и it находим
\f\^L%/k = kR2, 6 = 0; л. B)
Для углов рассеяния 9, не слишком близких к 0 и я, имеем
(см. [1, § 49])
| Pi (cos 6) | < B/я/ sin 6I/2
и аналогичным образом получаем
Заметим, что из-за осцилляции полиномов Лежандра при 0 ф 0
такое ограничение для произвольного угла рассеяния представ-
представляется слишком слабым и должно выполняться с большим за-
запасом. Действительно, вытекающее из неравенства C) ограни-
ограничение на величину полного сечения упругого рассеяния, <те1 =
= \ ]f\2dQs^CR2-kR, вообще ие представляет интереса, так как
заведомо orei ^ dot ^ 4л^2, а значение kR S> 1.
13.73. Из выражений для парциальных сечений (полного и
упругого рассеяния)
|^ 2B/ + l)(l
758
^- 11 - Si I2 = я B/ + 1)-р- A - 2 Re
следует, что при заданном значении a\lJt величина а^' мини-
минимальна при Im S/ = 0. Соответственно
U
*el = Y, ^ > *«• = W 2 B/ + 1} 0 ~ «Л''
/ / = 0
где а; = Re 5;. Для отыскания минимального значения <rei как
функции переменных а, при заданной величине atot = ^ а['0\
воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа
и введем А (а,) = aei — Xatot. Из условий экстремума (теперь
все переменные а; можно варьировать независимо) для А(щ)
находим a( = const = а. (не зависят от /). Заменяя суммиро-
суммирование по I интегрированием и исключая а, из выражений для
0ei и atot, получаем неравенство
CT?ot. A)
Как отмечалось в 13.53, в теории сильных взаимодействий эле-
элементарных частиц установлено ограничение на возможный рост
радиуса R взаимодействия с увеличением энергии:
R < #01п (?/?•„) при ?->оо, B)
так что неравенство A) принимает вид
aeX(E)>Ca\ot{E)l\n2(-^). C)
13.74. Обозначив 5; = | 5; | е ', имеем для парциальных
амплитуд в (XIII. 9) выражения
Im ф, = j? A - | 5; | cos 26/), Re Ф/ = ^ | 5, | sin 26,.
При заданном значении Im ф( величина |Re<p;| максимальна при
|5,| = 1 (в этом случае неупругое рассеяние отсутствует и
atot = ciei), так что, записав Im ф( = A — a,)/2k, получаем
| Re / (?, 0) |< J] B/ + 1) | Re Ф/1 < -^ J] B/
I 1=0
Поступая как и в предыдущей задаче, приходим к следующему-
ограничению на вещественную часть амплитуды упругого рассея-
рассеяния вперед при заданных полном сечении рассеяния и радиусе
взаимодействия:
759'
Отсюда, учитывая, что tftot ^ 4nR2, и ограничение на рост ра-
радиуса взаимодействия с увеличением энергии, см. предыдущую
задачу, получаем
\t(E,
(здесь для мнимой части амплитуды рассеяния использована
оптическая теорема).
Как отмечалось, ограничение A) предполагает отсутствие
неупругих процессов. Аналогичным образом (с помощью метода
неопределенных множителей Лагранжа) можно получить менее
жесткое ограничение на амплитуду рассеяния при заданных зна-
значениях как полного tftot, так и неупругого tfinei сечений столкно-
столкновения.
13.75. Так как для полиномов Лежандра Pi A) = / (/ + 1) /2
то с помощью разложения амплитуды рассеяния по парциаль-
парциальным волнам (XIII. 9) при высоких энергиях получаем
d
d cos 6
Im f(E, 6)
A)
Имея в виду, что Im cpi ^ l/k, замечаем, что при заданном пол-
полном сечении рассеяния, а следовательно, и мнимой части ампли-
амплитуды рассеяния Im f(E, 0) (ввиду оптической теоремы), вели-
величина суммы A) принимает минимальное значение, если
Г' /<Ll> B)
0, l> Lu
При этом значение L\ определяется величиной полного сечения
взаимодействия
; г-о
о
Заменяя суммирование по / интегрированием, получаем Ll =
= k2a ot/in и приходим к следующему ограничению:
Подчеркнем, что соотношения B) соответствуют «насыщению»
полного сечения рассеяния за счет низших парциальных волн.
При этом atot = ofei (нет неупругих процессов) и более того,
для / =g: L\ все фазы б; = я/2, так что ограничение C) должно
выполняться с большим запасом.
760
Аналогичным образом замечаем, что максимальное значение
сумма в выражении A) принимает в случае, когда полное се-
сечение рассеяния насыщается за счет высших парциальных волн и
О, / < L2,
Теперь приходим к следующему ограничению (уже сверху):
d
/(?,,¦)
16я
Для амплитуды дифракционного рассеяния на непрозрачной
сфере радиуса R (см. 13.57 и 13.90)
* • kR r , m
/дифр = Ь—т- 1\ \ЦК)
отмеченные в условии задачи ограничения, являющиеся непо-
непосредственным следствием соотношений C) и D), принимают вид
следующего неравенства (после сокращения на R2/4): 1/4 <
< 1/2 < 1.
В заключение подчеркнем, что, как отмечалось выше, огра-
ограничения C) и D) предполагают отсутствие неупругих процес-
процессов. С помощью метода Лагранжа, как и в 13.73, можно полу-
получить менее жесткие ограничения при заданных независимым
образом значениях как полного, так и неупругого сечений столк-
столкновения.
13.76. В условиях применимости эйконального приближения
существенны лишь малые углы рассеяния. В этой области углов
правая часть соотношения (XIII. 26) с учетом эйконального вы-
выражения (XIII. 18) для амплитуды рассеяния может быть преоб-
преобразована к виду
i| ^ [5* (р) - 1] [S (р) - 1] ехр (- (qxp) d2P A)
(для выполнения интегрирования по углам, приводящего к фор-
формуле A), следует воспользоваться соотношениями
хотя <7Х, q^<Hkt ио ввиду быстрого убывания подынтегральной
функции no qx можно интегрировать в бесконечных пределах)
Теперь, используя для 5(р) выражение (XIII. 19), замечаем
соотношение
[S* (Р) - 1] IS (р) - 1] = [1 - 5 (р)] - [S* (р) - 1],
76»
так что A) прииимает внд /(к, ко)—/*(ко, к), что и доказывает
унитарность амплитуды рассеяния в эйкональном приближении.
Отсюда, в частности, согласно оптической теореме следует вы-
выражение для сечения рассеяния быстрых частиц, обсуждавшееся
ранее в 13.51.
13.77. Взаимодействие налетающего электрона с атомом
имеет вид (га — радиус-векторы атомных электронов)
U (r,
Амплитуда упругого рассеяния электрона на атоме в борновском
приближении в пренебрежении обменными эффектами, играю-
играющими роль, аналогичную поправкам более высокого приближе-
приближения43), описывается подобным (XIII. 6) выражением:
\ < (la)
(г, {гд}) е^ ЧГ0 (\а) dV dxl A)
(интегрирование по |а включает и суммирование по спиновым
переменным атомных электронов). Выполняя в нем интегриро-
интегрирование по \а и учитывая, что
определяет среднее значение электростатического потенциала, со-
создаваемого атомом, замечаем, что выражение A) принимает вид
формулы (XIII. 6) для амплитуды рассеяния в борновском при-
приближении для локального потенциала U(r)=—ефат(г). Прило-
Приложения ее рассмотрены в задачах 13.4—13.6.
13.78. Гамильтониан системы (с бесконечно тяжелым ядром-
протоном) описывается выражением
п 1 /"-2 ~2\ е* е2 е2
()
При этом проекции спинов sz для каждого электрона сохра-
сохраняются и электроны с s2 = +1/2 и sz = —1/2 можно рассмат-
рассматривать как различимые частицы (антисимметризация волновой
функции не отражается на результатах). Соответственно, обо-
обозначив через ei электрон с s2 = +1/2, а ег — электрон с sz =
-= —1/2, замечаем, что рассматриваемый процесс
A)
где символ (еар) соответствует атому водорода с электроном еа,
43) Сравнить с 13.78.
762
является процессом с перераспределением частиц, в котором
начальный и конечный каналы реакции — различные.
Амплитуды таких процессов выражаются через матричные
элементы соответствующего Т-оператора, который может быть
записан в двух различных видах (см., например, главу 18
в [25]):
f^v« + v*T=JT^Va' Bа)
m
где а, р нумеруют каналы реакции, Va> p описывают взаимо-
взаимодействие разлетающихся комплексов — потенциалы взаимодей-
взаимодействия — в каждом из них (а — начальный, Р — конечный ка-
каналы; отметим, что хотя fi ф Т2, тем не менее амплитуды реак-
реакции <P|?i, г|а> совпадают).
В дальнейшем мы будем использовать для плоских волн
Тр = е'рг'й относительного движения в каждом из двухчастич-
двухчастичных каналов44) нормировку на единичную плотность вероятно-
вероятности. При этом дифференциальное сечение процесса связано с эле-
элементом 7"-матрицы <p|f|a> соотношением
А« Pl 1Ф1 ' Л '
где pi, 2 и [Xi, 2 — импульсы относительного движения и приве-
приведенные массы для сталкивающихся (разлетающихся) частиц в
каналах a, f$; dQ— элемент телесного угла рассеяния в с. ц. и.
Обычно используемая амплитуда упругого рассеяния (\xt = Цг»
р1 = р2) связана с Г-матрицей соотношением
Такое же соотношение справедливо и в случае неупругих столк-
столкновений, если |Xi ~ |X2, Pi * Рг-
Воспользовавшись выражением Bа), рассчитаем амплитуду
процесса A) в первом борновском приближении, т. е. огра-
ограничиваясь слагаемым Va в Т[. В данном случае Va =
= — е2/п + е2/ I fi—г21 и амплитуда рассматриваемого процесса
44) Именно они (а не расходящиеся нли сходящиеся волны!)
в произведении с волновыми функциями связанных состояний,
соответствующих составным частицам в каналах, сравнить с вы-
выражением C), фигурируют в матричных элементах ф \ Т \ а),
определяющих амплитуды реакций.
763
с «переворотом» спинов электронов принимает вид
|r,-r2|
Xe'Piri/*'F0(A2)dF1dF2, C)
где pi, 2 — импульсы падающего н рассеянного электронов,
ЧРо(г)—в. ф. основного состояния атома водорода. Воспользо-
Воспользовавшись импульсным представлением (ниже используем атомные
единицы е = h = т = 1)
-i= \eiKTU(y.) d\
выражение C) можно преобразовать к виду
- BяJ { J Фо (Pi + х) Фо (Р2 + к) #12 (*) rf3« +
+ Фо (Рг) J Фо (Рг + ») &еР (*) d3* }¦ D)
Так как pi, 2 > 1 (как необходимое условие применимости
борновского приближения), а Фо(р) при р-*-°° убывает быстрее,
чем О(р), то замечаем, что доминирующую роль в интегралах D)
играют области интегрирования, в которых аргумент одной из
волновых функций фо(х) порядка 1. При этом в обоих интегра-
интегралах х« | pi, а 1 =р и можно вынести из-под интегралов О(р),
после чего они легко вычисляются (сравнить с 4.17):
(Pi + х) Фо (Р2 + х) rf3* =
Фо (*0 Фо (ч + *') ?*' = \ ф2 К)
-^г|?()|2^
{интеграл сводится к формфактору основного состояния атома
водорода) и
J Фо (р, + х) d3x = BяK/2 % @) = л/8" я.
В результате получаем амплитуду рассматриваемого процесса
32 f 1 11
fH.H(P2, Pi) = — "^2-{ D + ^J - 2A +Р2J У q = p2~pl
E)
764
Отсюда видно, что доминирующую роль в рассеянии иг-
играет область значений 9^1, т. е. углов рассеяния 9^1/р. Прн
этом второе слагаемое в выражении E) пренебрежимо мало,
так что дифференциальное, da/dQ = \f\2, и полное сечения рас-
рассеяния оказываются равными
da 4 1 1бя
8^
Ж = р4 A + р282/4L ' 8^7; G = ^ = 3 (kaRf F)
¦(заменив dQ на 2я9 dQ, можно интегрировать по 9 в пределах
от 0 до оо ввиду быстрой сходимости интеграла).
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) Сечение рассеяния электрона на атоме водорода с «пере-
«переворотом» спинов, представляющего фактически неупругий про-
процесс, при больших энергиях много меньше сечения упругого рас-
рассеяния сГупр = 7л/3р2, см. 13.4.
2) Появление дополнительной малости ~1/(рДвJ в ампли-
амплитуде (и ~1/(равL в сечении) рассматриваемого процесса по
сравнению со случаем упругого рассеяния (без переворота спина)
имеет простое объяснение. Действительно, чтобы «поменяться»
местами, электроны должны рассеяться друг на друге под углом
«180° в с. ц. и. Зависимость амплитуды резерфордовского рас-
рассеяния от переданного импульса, f ~ U (q) ~ ^/(ЯавJ' как Раз
и приводит к такой малости; при этом q & р (в случае упру-
упругого рассеяния уже qae, ~ 1, значение qm{a ~ 1/аа при этом
¦определяется экранировкой кулоновского потенциала в атоме на
расстояниях <~ав).
3) Существенным является то обстоятельство, что в рас-
рассматриваемом процессе большое изменение импульса имеют
именно две частицы (два электрона) и оно может быть обеспе-
обеспечено уже при их однократном взаимодействии. В других реак-
реакциях с перераспределением частиц вида а + (be) -*¦ b + (ас)
в случае теа ф гпъ уже рв Ф ръ и большое изменение импульса
частиц а и b требует также большой передачи импульса и час-
частице с. Это приводит к появлению дополнительной малости ам-
амплитуды процесса45) ~U(q)lq2. Такая ситуация возникает и
в рассматриваемом процессе A) при не слишком малых углах
рассеяния, когда q 5> 1, как это видно из формулы E). Такая
дополнительная малость связана с тем, что амплитуда процесса
включает в. ф. атома водорода (составной системы в общем слу-
случае) <р(р), имеющую при больших импульсах (р ~ q > 1) асимп-
асимптотику вида ф(р) ~ С(р)/р2 ~ 1/р4 (для s-состояний, сравнить
с 4.17 и 4.18). Отмеченная малость имеет такой же порядок ве-
величины, как н в членах второго приближения по взаимодействию
Сравнить с 13.79.
76
в Г-операторе. В этом случае (когда велико изменение импульса
всех частиц) расчеты амплитуды и сечения процесса на основе
первого приближения теории возмущений даже прн больших
энергиях иосят лишь качественный характер. Последовательный
расчет асимптотики амплитуды требует учета в Г-операторе чле-
членов более высокого порядка по взаимодействию (для процессов
с большим изменением импульса всех частиц в трехчастичной си-
системе, как, например, в условиях задачи 13.79, следует учиты-
учитывать члены второго порядка по взаимодействию Va a\-
13.79. Приближение Оппенгеймера — Бринкмана — Крамерса
для процесса перезарядки е+ + (е._р) -»- (е+е_) + р основано на
использовании для Г-оператора выражения 46)
а + _ г,
а е+е | г, — r2 |
где Г], 2 — радиусы-векторы позитрона (электрона). Обозначим
через Pj импульс налетающего позитрона (в системе покоя атома
водорода, тр = <х>), а рг — импульс образующегося позитрония
(его масса /п(е+е~)=2). Из закона сохранения энергии сле-
следует, что рг = У% Р\ (? — pi/2 = p2i4, энергией связи в атоме
водорода и в позитронии можно пренебречь, так как ри 2 > 1).
Волновые функции начального (канал а) и конечного (ка-
(канал Р) состояний имеют вид
Здесь ф„/т(г)—в. ф. атома водорода (с массой т= И), коэф-
коэффициент 1/V8 и множитель 1/2 в аргументе в. ф. соответствует
тому, что радиус Бора для позитрония в 2 раза больше, чем
у атома водорода.
Амплитуда процесса в ОБК-приближении описывается выра-
выражением (сделана подстановка р = (Г!—-г2)/2)
7"обк 0« "> nlm) = (Р I I/e+e_ | а) =
= - л/2" \ Ф15 (г) е1 (Р>-Р')г dK \ j^nlm (P) е~1 (t"-2p-)pd3p. A)
46) Те же результаты следуют и из выбора Т да V^ ж ^е-р ;
см. предыдущую задачу, где сделан ряд общих замечаний о про-
процессах с перераспределением частиц. Отметим, что для процес-
процессов перезарядки результаты как точного вычисления амплитуды
в первом порядке теории возмущений согласно Т = Va> p, так
и в ОБК-прнближеиии носят лишь качественный характер (по-
(последовательный расчет асимптотики амплитуды требует учета
членов второго приближения).
766
Первый интеграл здесь равен BяK/2<р15(<7) с q = р2 — pi, а вто-
второй, с учетом у. Ш., есть
BяK/2 (i- q\ - ?„) <('nlm (q,), где qt = 2p, - p2.
Так как q, q\ ~> \, то воспользовавшись для волновых функ-
функций ф(р) в кулоновском потенциале U = ¦—\/г (при этом
=—1/2л2р2) их асимптотикой при р->-оо согласно 4.18:
<Pis (?) = ^т-, Фпгт (Р) = Л — -Ц^ц (-20' &,, @) Ym (n)
Яр V я pt +
B)
(здесь учтено соотношение для координатных кулоновских вол-
волновых функций
(г) = Уш (n) rlRnl (r),
B1+ 1)! nz +
см. [1, § 36]), получаем
'~ lRni@)nYim (no)
ГОБк'
Здесь no = -j——— ' , а также учтено, что q\ = 2<72 = 2 C —
I P2 •'Pi I
— 2 У2~ cos 9) рр где 9 — угол между векторами р2 и Pj.
Как видно, в ОБК-приближении угловое распределение об-
образующегося позитрония47), = —=—|7"|2, не зависит от
йп л/2 я2
величины импульса налетающего позитрона, резко анизотропно
{значения 3 — 2 У2 cos 8 для углов 8 = 0 и я различаются в
«35 раз), а поляризационное состояние образующегося позитро-
позитрония характеризуется тем, что проекция его орбитального мо-
момента на направление вектора п0 (лежащего в плоскости реак-
реакции) имеет определенное, равное нулю, тп = 0, значение, так
как Y 1т (9 = 0)= УB/ + 1)/4я бт0. Для полного сечения пере-
перезарядки, просуммированного по значениям проекции орбиталь-
орбитального момента т образующегося позитрония, получаем
47) См. 13.78 о нормировке амплитуд; в данной задаче
l, Цг=2, р2«У2 Р\.
767
где V = PiOb/Л — относительная скорость сталкивающихся пози-
позитрона и атома водорода в атомных единицах. Отсюда, в частно-
частности, сечение перезарядки н ns-состояния позитрония можно за-
записать в виде
па\ ( 2,89 \12
Обратим внимание на резкую энергетическую зависимость
сечения перезарядки, а <*> l/pi2+21 (сравнить с результатом пре-
предыдущей задачи и со случаем упругого рассеяния, см. 13.4). Она
объясняется тем, что все частицы, участвующие в процессе,
имеют большое изменение импульса. В связи с этим отметим,
что подобную энергетическую зависимость имеют и сечения пе-
перезарядки при столкновении быстрых тяжелых т > те частиц
с атомом водорода. При т ^> те сечение перезарядки не зависит
от массы налетающей частицы (например, протона, мюона
и т. д.). В частности, в этом случае сечение перезарядки в
ns-состсяние
„ 2I8Z5 я4 B,47 V2
^^2
(Z— заряд частицы). Из сравнения E) и F) видно, что сечение
перезарядки при столкновении позитрона с атомом водорода
в «7 раз больше, чем при столкновении протона (при одинако-
одинаковых скоростях).
13.80. Обозначим через Ra<b> радиусы-векторы центров масс
частиц А(В), гпа(В) и plf 2 — их массы н импульсы относитель-
относительного движения до A) и после B) столкновения. Волновые
функции начального и конечного состояний системы имеют вид48)
А( (,ха/ *Ш \ГВ/' * — *\А КВ'
( i \ г ,. г ,, A)
?f = exp f -г P2R J TAf {xa| ?Bf {rB}, ^q = р2 — рг
Амплитуда рассматриваемого процесса в борновском при-
приближении описывается выражением (сравнить с 13.77 и 13.78):
а, ь а
где ц = тАтв/(тА + Шв) — приведенная масса частиц А и В.
Интегрирование в матричном элементе B) проводится как по
48) Волновые функции Ч^в) составных частиц описывают
состояния входящих в них частиц относительно центра масс
соответствующей системы (в случае атомов — совпадающего
с положением ядер).
768
независимым «внутренним» координатам ха, гь (в случае ато-
атома— это координаты всех электронов), так и по радиусу-век-
радиусу-вектору R относительного движения частиц. Записав в ием ха =
= RA -f xa и rb = R3 + rb, воспользовавшись известным разло-
разложением в интеграл Фурье кулоновского потенциала
и учтя вид волновых функций A), получаем
Здесь
(q) = < *А Ш> f I ?
C)
D)
— электрические формфакторы для соответствующих переходов
в составных частицах А(В). Такой амплитуде C) можно сопо-
сопоставить график •— диаграмму Фейнмана,
приведенный на рис. 52. Он наглядно пере-
передает важное свойство амплитуды — ее фак-
торизованный вид по отношению к уча- V/,
ствующим в процессе частицам А и В. На
этом рисунке волнистой линии между вер-
вершинами сопоставляется множитель, равный
4я/<72, а самим вершинам — формфакторы
eFyJ^ (ч1 q) (заметим, что изменения им-
импульсов частиц А и В в процессе столкно-
столкновения отличаются знаком).
Отметим ряд свойств формфакторов.
1) Для точечных (бесструктурных) час-
частиц F(q) = 2 = const, где Ze— заряд час-
частицы.
2) При <7-»-0, разлагая ехр(—iqr) в выражении D) для
F(q) в ряд, замечаем, что отличен от нуля и равен при этом
.Р„„@) = Z лишь упругий (без изменения состояния составной
частицы) формфактор, причем для системы с отличным от нуля
зарядом Ze. Во всех остальных случаях f>f(O) = 0 (для заря-
заряженной частицы — как следствие ортогональности волновых
функций). Характер «зануления» формфактора прн q-*-Q зави-
зависит от квантовых чисел — момента и четности — начального н
конечного состояний. Наиболее медленно, eF ц я> — i{f\d\i)q oo q
убывает формфактор для дипольных (или El —) переходов. Для
переходов с одинаковыми значениями момента и четности (на-
(например, для S-состояний) уже Fif oo q2. По мере увеличения
Рис. 52
25 В. М. Галицкий и др.
769
разности значений моментов начального и конечного состояний
обращение формфактора в нуль при q->-0 происходит все бо-
более резко.
3) При q-*oo формфактор любой составной системы обра-
обращается в нуль49). Закон убывания формфактора при этом уже
существенно зависит от числа частиц в системе и от характера
убывания фурье-компонеиты потенциала взаимодействия. Из фи-
физических соображений представляется очевидным, что чем быст-
быстрее убывает О(q) и чем больше частиц в составной системе, тем
быстрее убывает и формфактор, сравнить с 13.84.
Для рассматриваемых переходов атома водорода формфак-
формфактор ы
¦Fis-»n/mD) =
легко вычислить, учтя вид волновых функций — см. (IV. 4), если
воспользоваться сферическими координатами с полярной осью,
направленной вдоль вектора q:
» ат УЧ> D -(- <72J '
E)
В случае 2р-состояний удобно записать угловую часть волновой
функции в виде -уЗ/4я (е (т) п), где | е (т) |2 = 1 (сравнить
¦с 3.41 и 3.42), после чего получаем
(формфактор отличен от нуля лишь для состояний с проекцией
орбитального момента электрона на направлении вектора q
равной нулю).
Переходя к вычислению сечений столкновения, заметим, что
Я2 = р\ + р\ - 2PiP2 cos 9, р2 = д/р? - 2ц (е, - е2)
где ви 2 > 0 — энергии связи рассматриваемых систем до и после
столкновения. Соответственно, йп можно заменить на я dq2/pl
49) Для атомов в приближении бесконечной массы ядра при
q-yoo упругий формфактор Fynp = Z (он определяется вкладом
неподвижного ядра).
770
и интегрировать по q2 в пределах от 0 до оо (ввиду быстрой
сходимости на верхнем
предел интегрирования
сходимости на верхнем пределе, <7тах да ^Р?)- Заменять нижний
на 0 нельзя, ввиду возникающей расходимости, лишь для таких
неупругих столкновений, в которых одна из сталкивающихся
частиц имеет отличный от нуля заряд и ее состояние в процессе
столкновения не изменяется, так что для нее F@) = Z ф О,
а для другой частицы рассматриваемый переход является ди-
польным, так что eFit ~ —/d,fq при q —*¦ 0.
Элементарное интегрирование приводит к следующим ре-
результатам:
2) a(ls->2s) =
где у = pi/ц ¦— относительная скорость сталкивающихся частиц,
Ze — заряд частицы, сталкивающейся с атомом водорода.
Для столкновений с переходом ls—>~2pm для атома водорода
полное сечение, просуммированное по проекциям момента т
^при этом J^ |e(m)q|2 = q2\ > удобно вычислять, записав его
\ т )
в виде (х = q2, a = 9/4)
2\ >
)
- СУмма (8) и (9) Дает
25
25*
— полное сечеиие возбуждения состояний атома водорода
с главным квантовым числом я = 2 заряженной частицей.
13.81. Как и в предыдущей задаче, сечеиие столкновения
может быть связано с электрическим формфактором молекулы
X VtVa\n. °); A)
для начального состояния квантовые числа A=v = K = M = 0,
а п характеризует электронное состояние молекулы. Волновые
функции состояний молекулы с Л = 0, входящие в матричный
элемент A), имеют вид
YU__o(Se, К)П°Л(«-^о)^(п). B)
Здесь ga—электронные переменные (координатные и спиновые);
R = Rn = Rj — R2 — радиус-вектор относительного положения
ядер, их массы — Ми 2, а радиусы-векторы в с. ц. и. молекулы:
Rj = M2R/(Mi + М2) и R2 = —MlR/(Ml + M2). Суммирование
в A) ведется как по электронам молекулы (га — их радиусы-
векторы относительно центра масс молекулы), так и по ядрам,
вклад которых есть Zie~'qRl + Z2e~'q^"'.
Переходя к оценке сечений столкновения заряженной час-
частицы с молекулой
где Ze — заряд частицы, \х — приведенная масса ее и молекулы,
заметим, что особенно наглядно они могут быть получены, если
пренебречь изменением состояний валентных электронов атомов
при образовании молекулы. В этом приближении волновая функ-
функция электронного терма молекулы
^пл=о "* Yj (га — R)) ^2 (гь ~ кг)'
где ТьгСга, ь) —в. ф. атомов, входящих в молекулу, и для форм-
фактора ее получаем
'* («7) + eiRWFg (q) | 0>, D)
где F\,i{q)—формфакторы атомов, входящих в молекулу
(включающие и вклады соответствующих ядер). Заметим, что
при <7 = 0 формфактор молекулы, как и любой незаряженной
системы, равен нулю (см. обсуждение свойств формфакторов
в предыдущей задаче).
Если ввиду малости амплитуды колебаний ядер заменить
Ri,2 их значениями в положении равновесия, то из-за ортого-
ортогональности колебательных в. ф. отличными от нуля окажутся
772
формфакторы лишь для переходов с и = 0 (т. е. без изменения
колебательного состояния молекулы). Для таких переходов диф-
дифференциальное сечение C), просуммированное по значениям
квантовых чисел К, М конечных состояний молекулы, в прибли-
приближении D) с учетом условия полноты системы шаровых функций,
согласно которому
КМ КМ
принимает вид
сравнить с 13.7.
Сечения столкновений без возбуждения колебаний молекулы
имеют те же закономерности, как н в случае столкновений за-
заряженной частицы с атомами (сравнить с предыдущей задачей).
В частности, для столкновений с возбуждением вращательного
уровня молекулы с моментом К ?= 1 сечение процесса
где V — относительная скорость сталкивающихся частиц и
Акм ~ 1 для наиболее существенных переходов.
Для столкновений с возбуждением вращательного уровня
с К = 1, связанного с основным уровнем дипольным перехо-
переходом50), при q-*-0 имеем (сравнить с предыдущей задачей):
4nZ2e2d?.
l ¦<*><!' F)
Здесь е(М)—вектор поляризации, определяющий вращательное
состояние молекулы с К = 1 и связанный с шаровой функцией
соотношением Уш = V3/4it е (М) п, при этом |е|2 = 1. Фор-
Формула F) следует из выражений A) и C), если учесть, что:
1) при q-*-0 сумма в A) принимает вид —/qd, где d — оператор
дипольного момента молекулы, 2) усреднение d по электронному
состоянию молекулы с Л = 0 дает d(R)n и 3) при последующем
усреднении по колебательному состоянию с v = 0 можно заме-
заменить d(R) иа d(R0) = d0 ввиду малости амплитуды колебаний
ядер (сравнить с 11.25). Суммирование в выражении F) по М
so) Для этого перехода приближение D) при q-+0 не
оправдано: дипольиый момент молекулы определяется как раз
валентными электронами.
773
дает 2j I e W) Я I8 = <?2; последующее интегрирование по q*
с учетом расходимости интеграла на иижием пределе (при
92-»-0) и значения
позволяет получить сеченне перехода в состояния молекулы
с /С == 1 с логарифмической точностью 5I)
Рассмотрим закономерности для процессов столкновения, со-
сопровождающихся возбуждением колебательных уровней моле-
молекулы. Как отмечалось выше, замена R на равновесное значе-
значение Ro ввиду малости амплитуды колебаний ядер правомерна
лишь для переходов без возбуждения колебаний: для состояний.
с о#0 в этом приближении формфактор обращается в нуль
из-за ортогональности в. ф. Соответственно для переходов с
v Ф 0 в рассматриваемых выражениях необходимо выполнить
разложение по малому параметру AR/Ro, где AR = R — ^0 —
порядка амплитуды колебаний ядер. Для линейного члена разло-
разложения, отвечающего за переходы с Av = 1, в выражении A)
при v = 1, по сравнению со случаем v = 0, появляется малый
множитель, по порядку величины равный (см. (П.З) и 11.25)
где Ц — приведенная масса ядер молекулы. Это приводит к су-
существенно меньшим, в -~(ц//иеI/2 раз, значениям сеченнй пере-
переходов с v = 1. По мере увеличения значения v необходимо брать
все более высокие степени разложения по AR/Ro, что приводит
к более резкому, в (ц/те)°/2 раз, подавлению сечений для со-
соответствующих переходов молекулы.
13.82. Для столкновений заряженной частицы с атомом, со-
сопровождающихся дипольным переходом атома, доминирующую»
роль играет область малых значений q2. При этом сечение столк-
столкновения с переходом из s- в р-состояние атома с логарифмиче-
5I) При этом, как обычно, для верхнего предела интегриро-
интегрирования выбрано значение <?max ~ ав2- Заметам, что хотя аргу-
аргумент логарифма в выражении G) существенно больше, чем в,
случае дипольного перехода в атоме из-за малости энергии вра-
вращения, тем не менее точность формулы G) от этого не возрас-
возрастает. Дело в том, что обычно дипольный момент молекулы da
заметно меньше характерной величины еав-
774
ской точностью описывается выражением (сравнить с 13.80)
1
тде Ze — заряд налетающей частицы, V — относительная скорость
¦сталкивающихся частиц. Для перехода 2s-»-2p в атоме водорода
матричный элемент52) <1,0|dz|0> = Зеав был вычислен в 11.33
в связи с эффектом Штарка для состояний с п = 2.
В пренебрежении релятивистскими поправками состояния 2s
и 2р атома водорода вырождены по энергии, при этом q2m-m = 0 и
•сечение A) расходится. Расщепления А уровней 2si/2, 2pi/2
и 2рз/2, определяющие значения q2min = (Д/ЙКJ, обсуждались
в 11.62. Поскольку теперь переходы в состояния атома 2р1/2
аи 2р3/2 следует рассматривать раздельно, необходимо учесть, что
для них в формулу A) нужно ввести дополнительные множи-
множители равные 1/3 и 2/3 соответственно для р\ц- и рз/2-состояний.
Эти множители — квадраты соответствующих коэффициентов
Клебша — Гордана (см., например, 5.18)—отражают вклад р-со-
стояния с U = 0 в состояния53) ри2 и рз/2. С учетом отмечен-
отмеченных обстоятельств получаем
B)
здесь До = Е Bs1/2) - Е Bр1/2) и4, = ? Bр3/2) - Е Bs1/2); число-
числовое значеиие А^А2/3 « 8 • 10~7 (в атомных единицах).
/¦у \2
Как видно из выражения B), сечение процесса а » (~тр)
где ст0 = яг2 = 40nag характеризует поперечный размер атома
водорода в состояниях 54) с п = 2. Это означает, что в задаче
существенны большие прицельные параметры (>ав). Эффектив-
Эффективное взаимодействие на таких расстояниях Zedr/r3~ Zed/r2.
Условие применимости к такому потенциалу теории возмущений,
см. (XIII. 7), начинает выполняться на расстояниях г 3> Zed/hV.
52) Подчеркнем, что выражение A) описывает сечение, про-
просуммированное по проекциям момента р-состояния. Хотя в A)
фигурирует состояние с U = 0, следует, однако, иметь в виду,
что выбор осн квантования z — вдоль вектора q — зависит от
угла рассеяния.
53) При учете релятивистских поправок h уже не является
интегралом движения.
54) Для ns-состояний атома водорода г2 = — я2 Eя2 + 1)
11, § 36].
775
Даже дли значений V « 1 эти расстояния не превосходят отме-
отмеченные выше, что указывает иа применимость формулы B) и
для таких скоростей столкновения.
Заметим в заключение, что большая величина сечения пере-
перехода B) означает, что время жизни метастабильного 2s-coctoh-
ния в газе может существенно уменьшиться за счет столкновений
(для изолированного атома водорода tBs)= 1/8 с, при пере-
переходе в 2р-состояние атом «высвечивает» за время ~ 10~9 с).
13.83. Дифференциальное сечеиие расщепления дейтрона
с переходом протон-нейтронной системы в состояние непрерыв-
непрерывного спектра с импульсом относительного движения р = Й1с
в с. ц. и. пары в случае точечного ядра описывается выражением
Здесь hq = Pf — P,-, P,- = ff2aV — импульс дейтрона, Р,—сум-
Р,—суммарный импульс нуклонов после столкновения, dQf — элемент
телесного угла, заключающий направление вектора Pf, m в
Шй = 2т — массы нуклона и дейтрона. Матричный элемент
<Р. ~ I exp (-ujrp) | 0>
можно рассматривать как неупругий формфактор для переходов-
в состояния непрерывного спектра, сравнить с 13.80. Волновая
функция начального состояния в нем является в. ф. дейтрона
в приближении потенциала нулевого радиуса действия (см. 4.10
и 12.1)
—¦
?
(во — энергия связи дейтрона), причем гр = г/2. В качестве вол-
волновых функций конечных состояний следует выбрать66) в. ф„
Ч?к (г),имеющие асимптотику «плоская + сходящаяся» волны, см.
по этому поводу [1, § 136]; они нормированы на б(к — к').
Доминирующий вклад в сечение расщепления вносит область
малых значений q2, при этом существенны переходы в состояния-
двухнуклонной системы, связанные с дейтроном дипольным пере-
переходом, так как для них do <*>*-dq2lq2 (сравнить с 13.80). Для
таких q имеем
(р, - | ехр (- lVp) | 0) » <р, - | (- iqrp) | 0), B>
причем в последием выражеиии уже можно заменить в. ф. ЧГ^ иа
плоскую волну Чгк = Bя)~3/2е(кг. Это связано с тем, что в по-
55) Другой удобный выбор волновых функций конечных со-
состояний см. в 11.63.
776
тенциале нулевого радиуса в. ф. V к и Ч?^ отличаются лишь
д-волнамн, не дающими вклада в матричный элемент диполь-
ного момента B) (до разложения экспоненты заменять Yjj" иа
1Irk нельзя из-за неортогоиальиости в. ф. V^ и Yo). Вычисление
матричного элемента дипольного момента дает
% qk .„.
^ __ _
2л dk k2 + х2 я (/г2 + х2J
(здесь угловая зависимость со (qk) от вектора к отражает то
обстоятельство, что для дипольного перехода момент нуклонной
пары в конечнем состоянии / = 1).
Подставив C) в выражение A), выполним интегрирование
по направлениям вектора к, воспользовавшись соотношениями
\ (qkJ dQ
J
d3k = k2 dk dQ, \ (qkJ dQ
J d
После этого dQf в A) можно заменить на я/г2 dq2/P^. Далее,
значение Pf, следующее из закона сохранения энергии
где е = h2k2/m — энергия относительного движения нуклонной
пары после столкновения, определяет
/*Угаш = (Pf~ pif ~г(е + еоJ.
Интегрируя теперь по а2 в пределах от /?mtn до56) а^^ « х2,
находим
(еое3I/2
1п
(е + е0J
Как видно, характерные значения 8 ~ во. Интегрирование выра-
выражения D) по е дает полное сечение электрорасщепления дей-
дейтрона. При этом с логарифмической точностью можно прене-
пренебречь зависимостью от 8 под логарифмом и получить (сделав
56) Заметим, что для больших значений q уже необходимо
учитывать конечность размера ядра, формфактор которого бы-
быстро падает при q > l/R. Так как в окончательный ответ Ящах
входит под логарифмом, его детальное значение не столь суще-
существенно.
777
подстановку x = Ve, см. Д1.5)
, Е
1
E)
где Е = гщ V/2 — энергия дейтрона.
Согласно E) значение сечения для Е = 200 МэВ, е0 =
= 2,2 МэВ составляет арасщ = 1,1 • 10-28Z2 см2. Эта величина
для всех ядер, кроме самых тяжелых, много меньше их геомет-
геометрического размера, что указывает на доминирующую роль ядер-
ядерного взаимодействия в процессе расщепления дейтрона при
столкновении его с ядром.
Отметим наглядную квазиклассическую оценку сечения рас-
расщепления быстрого дейтрона с освобождением одного из нукло-
нуклонов — протона нли нейтрона — при столкновении с ядром ра-
радиуса R, считая последнее непрозрачным для падающих на Hero-
нуклонов:
F)
(площадь кольца радиуса R и шириной порядка размера дей-
дейтрона).
В заключение подчеркнем, что освободившийся при расщеп-
расщеплении дейтрона нуклон уносит энергию Е^ » Е/2 и движется
в направлении падающего пучка с углом разлета Д8 ~ (го/ЕI!*
(поперечная составляющая импульса нуклона pj_ ~ -у meg,
определяется энергией связи дейтрона).
13.84. Электрический формфактор для перехода между со-
состояниями Ч^ и W2 двухчастичной составной системы описы-
описывается выражением (см., например, 13.80)
he-'''' + е2е-^\ /»,/,/„>, A)
где еь 2 и «1,2 — заряды и массы частиц, Г], 2 — их радиусы-
векторы в с. ц. и., при этом
гп\ + т2 mi + m2
г> r = ri— г2
(Aq — импульс, передаваемый системе).
Выражение A) включает два интеграла
' D1, 2) = J <2l2l2z (D «Р (- *q,, 2г) ^^ (г) dh, B)
здесь qi, 2 = ±^2, \<\1 (Щ\ + т2)- Асимптотика этих иитегралоа
при <?—>-оо определяется сингулярными слагаемыми радиальных,
волновых функций в ^1,2, см. 4.18. Запишем
778
где Врет (г) и Всияг(г)—регулярная и сингулярная части ради-
радиальной функции. Напомним, что регулярная часть разлагается
в ряд по четным—(г2M — степеням переменной г, при этом
Лрег(О) ф 0, а для сингулярной части ?онг@) = 0. Для получе-
получения асимптотики интеграла B) в нем одну из радиальных функ-
функций надо взять при г = 0, а у другой — сохранить сингулярную
часть, так что
{ $2 @) J в-'чг«, синг (г) d3r + Я, @) J e-'<>r/?2 синг (г) d3r | C)
X
(сингулярная часть от обеих радиальных функций имеет более
высокий порядок малости при г -+¦ 0 и не влияет на асимптоти-
асимптотически старший член разложения /(q) при g-voo). Входящие
¦сюда интегралы связаны с асимптотиками волновых функций
в импульсном представлении. Согласно 4.18 имеем
В [ e-ivRcmr (r) d3r ж - 3? @) 5 ^ в-'чг1/ (г) d3r, D)
где дифференциальный оператор D=e{ п (^, /г\ d/dqi ... д/ддп,
а ц — приведенная масса частиц.
Формулы C), D) определяют асимптотику интеграла B),
а с иим и асимптотику формфактора A) при q-*-<x>. В частно-
частности, для перехода между состояниями системы с орбитальными
моментами U = 0 и 12 = I находим
-8 B0' ^-{г «I @) ^2 @) Y)m (-3-) X
E)
где символ [<7i -*¦ q2] означает выражение вида, выписанного
в первой квадратной скобке, в котором qx заменено на q2, a
Заметим, что закономерности убывания формфактора при
^-»-оо подобны отмеченным в 4.18 в связи с асимптотиками
.волновых функций в импульсном представлении. В частности,
779
для потенциалов со степенной асимптотикой О « —<*/<7'1 с 'я > 1
формфактор
'Fl->2oo<r<2+n+'1+b) при <7->оо. F>
Для иллюстрации полученного результата рассмотрим при-
приложение формулы E) к атому водорода. В приближении беско-
бесконечно тяжелого ядра формулу E) надо несколько видоизменить,
имея в виду, что при этом q2 = 0. Поэтому слагаемое е2е~'ЧГг
в выражении A), соответствующее вкладу протона, теперь сво-
сводится к его заряду е и для неупругих переходов не дает вклада
в формфактор из-за ортогональности волновых функций. Имея
в виду, что для кулоновского потенциала О = —е2/2л2д2, и ис-
используя для него значения радиальных функций в нуле (оии
приведены в 13.79), находим для переходов ls->-ns н ls^r-np
16 . -
((?аL ' ls-*npm
что естественно совпадает с асимптотиками точных выражений"
для формфакторов, рассчитанных в 13.80.
13.85. Как и в предыдущих задачах, сечения процессов мо-
могут быть связаны с электрическим формфактором ядра
Fi-+f (ч) = (/ I 2 е Чр1?) для соответствующих переходов
р
(суммирование проводится по всем протонам ядра, гр — их ра-
радиусы-векторы относительно центра масс ядра).
Специфика нерелятивистских столкновений легкой частицы
с ядром определяется тем, что для них qrp^pRlh<.\ (R —
радиус ядра, р = tnV—импульс налетающей частицы), так что
в выражении для формфактора можно выполнить разложение-
экспоненты и ограничиться первым неисчезающим членом разло-
разложения. При этом дифференциальные сечения рассматриваемых
процессов daEJdq2 oo q~2 и doEQjdq2 = const, а полные сечения
(сеченне просуммировано по проекциям момента р-состояния;
хотя в нем фигурирует состояние с Jz = 0, следует, однако, иметь-
в виду, что выбор оси квантования z вдоль вектора q зависит
от угла рассеяния, сравнить с 13.80) и
780
(параметр Qo определяет также вероятность внутренней конвер-
конверсии при соответствующем переходе ядра, см. 11.68 и 11.69).
В приведенных выражениях р' — импульс частицы после столк-
столкновения.
13.86. Ввиду малости радиуса ядерных сил время взаимодей-
взаимодействия протона и нейтрона много меньше характерного атомного
времени. Поэтому по отношению к электрону результат взаимо-
взаимодействия нейтрона с протоном можно рассматривать как внезап-
внезапное изменение на V = hq/mp скорости ядра-протона. Отсюда
следует искомое соотношение между амплитудами рассматривае-
рассматриваемых процессов:
U(E,q)»fnp(E,q)a(q), A)
где
а (<7) == J | ?„ (г) |2 ехр (- -i. meVr) d*r
— амплитуда вероятности атому остаться в основном состоянии
(сравнить с 11.58; заметим, что a(q) совпадает с атомным форм-
фактором, см. 13.80).
Так как а@) = 1, то, воспользовавшись оптической теоремой
и соотношением A), заключаем, что полные сечения рассеяния
нейтрона на протоне и на атоме водорода одинаковы57). Как
видно из формул A) и B), дифференциальные сечения,
da/dQ = |/|2, начинают различаться лишь при <?ав ^ mp/me»
что соответствует энергиям нейтрона, много большим атомной
(так как hq ^ 2р).
13.87. Энергия взаимодействия заряженной частицы с атомом
на больших расстояниях, г 3> ав, имеет вид (поляризационный
потенциал, см. 11.49)
где Ze — заряд частицы, ($ — поляризуемость атома.
57) При этом существенно, что тн « тР. Совершенно иная
ситуация имеет место при рассеянии нейтрона на протоне, свя-
связанном в молекуле. В случае тяжелой молекулы, М ~S> Щ, сече-
сечение рассеяния при малых энергиях на связанном протоне в
4 раза превышает сечение рассеяния свободным нуклоном, см.
[1, § 151], а также [15].
781
Расчет сечения рассеяния по квазиклассической формуле
(см. 13.51)
а = 4я Ui-cos -I |j U (Vp2 + z2) dz | p dp B)
для степенного потенциала был выполнен в 13.52; применительно
к поляризационному потенциалу A) он дает
C)
Сделаем несколько замечаний в связи с полученным резуль-
результатом. Как следует из C), существенные в процессе рассеяния
расстояния имеют величину ро ~ Vo ~ v~''3 (в атомных еди-
единицах), положено Z ~ 1 и р ~ а| (такая же оценка следует из
условия, что для р ~ ро аргумент косинуса — квазиклассическая
фаза — порядка 1; заметим, что для r^as формула A) непри-
неприменима, однако в условиях задачи такие расстояния не играют
существенной роли). Эти расстояния должны быть большими,
Ро ^ 1> чтобы можно было воспользоваться выражением A);
отсюда ц1/3 <С 1 (при этом также выполнено условие Po/V^>>
<^(О^Т , обеспечивающее адиабатичность воздействия частицы
на электроны атома; при нарушении его становятся существен-
существенными процессы динамического возбуждения атома и понятие по-
потенциала взаимодействия теряет строгий смысл). С другой сто-
стороны, должно быть выполнено условие квазиклассичности: I ~
~ Mpov » 1, отсюда v2'3 > \/М (M — масса рассеиваемой час-
частицы). Таким образом, полученный результат C) справедлив
при выполнении условий
те у/2 ^ ^ ,..
-гг- I Оат <»С Рат, D)
так что рассеиваемая частица должна быть тяжелой, М ^> пгь
(для электронов формула C) неприменима).
13.88. Специфика расчета сечения рассматриваемого процесса
резонансной перезарядки при относительной скорости сталки-
сталкивающихся частиц, удовлетворяющей условиям l/л/М <. v <C 1 (в
атомных единицах, М — масса атома или иона), определяется
следующими обстоятельствами. 1) Сечение перезарядки велико,
<хперез S> яа|, т. е. существенны большие прицельные парамет-
параметры. 2) Относительное движение атомов квазиклассично, причем
можно ограничиться приближением прямолинейных траекторий,
так как Mv2 3> 1. 3) Состояния «внутренних» электронов атома
782
и иона в процессе столкновения не изменяются, а совершающий
переход «внешний» электрон можно рассматривать как находя-
находящийся в поле двух потенциалов нулевого радиуса действия.
4) Ввиду адиабатичности столкновения (для электронной подси-
подсистемы) существенны переходы лишь между близкими по энер-
энергии состояниями атомных систем, представляющими четное (g-)
и нечетное (и-) состояния квазимолекулярного иона. Напом-
Напомним, что при R -»- оо эти состояния вырождены по энергии.
С уменьшением расстояния, при Rc = 1/<х, нечетный терм выхо-
выходит в непрерывный спектр (становится возможной ионизация),
см. 11.28. Однако в процессе перезарядки существенны расстоя-
расстояния, много большие Rc.
В отмеченных условиях волновая функция внешнего элек-
электрона при больших расстояниях R(t) = р + v^ между атомами
имеет вид
г, R,
—*—\ expf-/ ^Eg
+ ехр(-( jj EudtjVu У A)
\ -оо ' '
где Egt и (R) и
— энергия и в. ф. четного (нечетного) молекулярного терма на
таких расстояниях, a tyo(r)—волновая функция связанного со-
состояния в изолированном потенциале нулевого радиуса, см. 4.10.
Коэффициенты в суперпозиции A) выбраны таким образом, что
прн ?-5 оо в. ф. имеет вид Ч* « C(^)i|H(r — R/2), т. е. описы-
описывает электрон, локализованный вблизи одного атома, что соот-
соответствует нону до столкновения. Соответственно при t ->- +°о
коэффициент при волновой функции i|>o(r + R/2) (квадрат его
модуля) определяет вероятность перезарядки для заданного при-
прицельного расстояния:
= Sin*
Wnepea (Р) = Sin* J (Eu {R) - Eg (/?)) -^ B)
*¦* — оо -*
= р2 _|_22, z = vt)\ при этом сечение перезарядки
оо
(V) = \ 2яр1Гперез (Р) dp C)
0
783
(сравнить формулы B), C) с выражением для сечения упругого
рассеяния на потенциале U (г) в квазикласснческом приближе-
приближении, рассмотренным в 13.51).
Согласно 11.28 на больших расстояниях Еи — Eg <v 2ae~aRJR,
где 8св = а2/2 — энергия связи электрона в ионе. Записав
находим значение интеграла в выражении B) в случае ар > 1;
он равен
Ввиду его резкой зависимости от р, аргумент синуса в B)
быстро уменьшается с ростом р. Поэтому доминирующий вклад
в интеграл C) дает область прицельных расстояний р ^ р0,
здесь 7(ро) = 1, в которой быстро осциллирующий множитель
sin2/(p) можно заменить его средним значением, равным 1/2,
что дает
перез '
In2 —л/ .
2а2 L v V In V2na2/t>2 J
1 2 я , ,[ а / 2я | ,л.
— яро« In2 —л/ . D)
2 ™ 22 L V I V22/2 J
Заметим, что значение р0 из уравнения 7(р0) = 1, которое удобно
записать в виде 1п/(р0) =0, можно получить последователь-
последовательными итерациями. Первая итерация дает apo = In (V2n а/о).
Наконец подчеркнем, что большая величина сечения переза-
перезарядки D) определяется тем, что для слабосвязанного электрона
a < 1.
13.89. Характерная особенность рассматриваемого процесса,
приводящая к большой величине сечения передачи возбуждения
(как н сечения упругого рассеяния), связана с вырождением по
энергии при больших расстояниях между атомами состояний,
отвечающих возбуждению одного из одинаковых (!) атомоа.
В такой ситуации, как и в рассмотренном в предыдущей задаче
процессе перезарядки, при медленных столкновениях переходы
между близкими по энергии состояниями происходят при доста-
достаточно больших значениях прицельного параметра. Взаимодей-
Взаимодействие атомов, носящее дшюль-днпольный характер, обсуждалось
в 11.55. По сравнению с предыдущей задачей теперь возникает
усложнение, связанное с увеличением числа состояний: имеется
по трн как g-, так и «-терма. Соответствующие независимые
состояния отвечают различным поляризационным состояниям воз-
возбужденного атома (с моментом / = 1).
Одно нз таких состояний, отвечающее проекции момента
1г = о возбужденного атома с моментом 1=1, эволюционирует
784
независимо от двух других. При этом, как и в предыдущей за-
задаче, поступательное движение атомов рассматривается квази-
классически в приближении прямолинейных траекторий и ось г
выбрана перпендикулярно плоскости движения. Для этого co-
corf2
стояния Ugt и = ± -доГ. см- П.55' и расчет сечения передачи
возбуждения может быть выполнен непосредственно по форму-
формулам B) и C) из 13.88. Вычислив интеграл
Зо J
йг 2d2
(Р2
как и в предыдущей задаче, находим сечение передачи возбуж-
возбуждения с U = 0:
2d2\ , 2nd2 f . , dx n2d2
)*рJ sm^Tr = ^r. A)
Как и следовало ожидать, оно существенно превышает атомные
размеры (напомним, что v < 1).
Для двух других поляризационных состояний возбужденного
атома (с /г=±1, или с 1Х, у = 0; см. 3.21, а также 3.41) вы-
вычисление сечення передачи возбуждения требует числовых рас-
расчетов. Это связано с тем, что между такими состояниями воз-
возникают переходы, т. е. в процессе передачи возбуждения может
измениться поляризационное состояние атома. Дело в том, что
выполненная в 11.55 диагонализапия «мгновенного» гамильто-
гамильтониана основана на выборе оси квантования вдоль направления,
проходящего через центры атомов. Но из-за их движения соот-
соответствующая «вращающаяся» система является неинерциальной.
При переходе в такую систему в гамильтониане возникает до-
дополнительное слагаемое, имеющее вид
vK0P = - а Г= - ±-lJz = - -р. и
— кориолисово взаимодействие58), сравнить с 6.29. Этот опера-
оператор не коммутирует с операторами симметрии «мгновенного» га-
гамильтониана и приводит к переходам между собственными со-
состояниями последнего, исключая отмеченный выше случай L=0.
Что же касается оценки сечений передачи возбуждения для
63) Здесь L —оператор момента относительного движения
атомов, / = ц/?2 — момент инерции относительно центра масс.
В квазиклассическом приближении оператор L можно заменить
единственной отличной от нуля компонентой момента Lz = цри.
785
обсуждаемых поляризационных состояний атома, то она, оче-
очевидно, как ив A), имеет вид а ~ nd2/v.
13.90. В соответствии с постановкой задачи в выражении
(ХШ. 9) для амплитуды упругого рассеяния фазы рассеяния
следует считать равными: б/ = (оо, прн этом е 1 = 0, для
/ < /о = W и 8| = 0 для / > k. Такие значения б/ соответствуют
следующей физической картине (движение частиц квазиклассич-
но, так как kR ;S> 1): прн прицельных параметрах частиц р =
= l/k < R они «поглощаются» сферой, а при р > R движутся
свободно. При этом упругое рассеяние является проявлением
волновых свойств частиц и по своей физической природе анало-
аналогично дифракции Фраунгофера на непрозрачном экране (в дан-
данном случае — поглощающем экране); оно описывается амплиту-
амплитудой рассеяния, сравнить с 13.57,
/о
B/ +l) pi(cosе) дапгJi {Ш)> е«L A)
1=0
Воспользовавшись оптической теоремой, находим полное сечение
столкновения
1/(е 0) 2я/г* B)
Сечение неупругого рассеяния (сечение поглощения частиц)
равно
оо /о
B/ + l)«"^> C)
1= 1-0
а сеченне упругого рассеяния
этот результат получается и непосредственным вычислением по
формуле
как н в 13.57.
13.91. Характерные особенности рассматриваемых процессов
определяются малостью радиуса Яан аннигиляционного взаимо-
взаимодействия, так что в нерелятивистском случае kRa» <K 1. По-
Поэтому анннгиляционные процессы наиболее существенны для
s-состояннй. Влияние короткодействующего взаимодействия на
s-состояния описывается лишь одним параметром а@ — длиной
рассеяния (для момента 1 = 0) на изолированном центре,
786
см. 13.36 и 13.37. При наличии неупругих процессов (аннигиля-
(аннигиляции) длина рассеяния имеет отличную от нуля мнимую часть.
Соответственно и сдвиг уровня, см. 13.36, приобретает мнимую
часть, определяющую ширину уровня,
Г„, = - 2 Im AEns = - -^~ | TJ2 @) |2 Im a<s>. A)
Здесь учтено, что для позитрония приведенная масса т = те/2
^ns @) — волновая функция в нуле для незозмущенного со-
состояния.
С другой стороны, изменение фазового сдвига s-волны для
кулоновского потенциала, U = —е2/г, под влиянием короткодей-
короткодействующего взаимодействия согласно 13.37 равно
при этом
где aB = h2/mee2 (в формулах C) учтено, что радиус Бора для
позитрония в два раза больше атомного). По фазовому сдвигу
амплитуды упругого рассеяния (его мнимой части) находим се-
сечение аннигиляции
*.я = 1Г О - I So Р) --?- A - ехР (-4 Im Дб05')) *
«¦J-ImA6<s>=-^-Q|0Im4s>. D)
Согласно формулам A) и D) приходим к искомому соот-
соотношению
здесь v = hk/m = 2hk/me — относительная скорость электрон-
позитронной пары. В случае hv/e2 3> 1, когда кулоновский по-
потенциал можно рассматривать как возмущение, соотношение E)
несколько упрощается, так как при этом Qk0 г» 1.
В заключение подчеркнем, что как сечение аннигиляции, так
и ширина уровней позитрония (а соответственно и их время
жизни т = Й/Г) существенно зависят от значения суммарного
спина электрон-позитронной пары, см. 11.61, так что орто- и
парасостояния позитрония следует рассматривать раздельно. За-
Заметим также, что полученные результаты непосредственно пере-
переносятся на адрониые атомы. Однако условие их применимости
787
предполагает, что в сильном короткодействующем потенциале нет
s-уровня с малой энергией связи, см. 11.4, а также 11.74.
13.92. Согласно принципу детального равновесия для двух
взаимно обратных реакций А =* В справедливо соотношение
дА-»в
Здесь а — полные сечения соответствующих реакций А->В и
В -»- А, усредненные по спинам частиц в начальном и просумми-
просуммированные по спинам частиц в конечном состояниях; §д, в—спи-
в—спиновые статистические веса, рл, в — импульсы относительного дви-
движения в двухчастичных системах А и В, взятые при одной и
той же энергии в с. ц. и. (аналогичные соотношения имеют место
не только для полных, но и для дифференциальных сеченнй ре-
реакций, см. [1, § 144]).
В рассматриваемом случае реакций п + р ч=ь d + Y имеем
= сгзахв (сеченне радиационного захвата нейтрона) и
= сГф.р (сечение фоторасщепления дейтрона). Так как
спиновый (поляризационный) статистический вес для частицы
со спином s равен gs = Bs + 1) (исключая фотон, для которого
gy = 2 ввиду поперечности его поляризации), то
Импульсы Ра, в, входящие в соотношение A), равны импульсам
частиц в системах А, В в с. ц. и. Для рассматриваемых реакций
d д = р == рп и рв = р = pd. Считая все частицы иереляти-
внстскимн (исключая, конечно, фотон; для него имеем ?у <g Me*,
где М—масса нуклона), согласно закону сохранения энергии
получаем
Ек = 7Т А = ?в = Еу + Ed ~ Ч а й@ - ео- C)
Здесь во — энергия связи дейтрона, со — частота фотона; значе-
значением Ел пренебрежено по сравнению с Еу (для нерелятивист-
нерелятивистского дейтрона Ed ^ Еу при одинаковом импульсе с фотоном).
Учитывая, что pY = ha/с, согласно соотношениям A)—C)
находим
о-ф.р 2 Me* ftco-eo
D)
Отсюда следует, что в нерелятивистском случае, Йсо < Мс2, во-
вообще говоря, <Тф_р » сзахв. Исключением является узкая область
788
значений ha вблизи порога реакции Y + d -»- п -f p (при этом
Йсо ж в0), в которой, наоборот, о-ф_р •< азахв.
В заключение подчеркнем, что соотношение D), как и A)
не связано с каким-либо предположением о механизме реакций
а основано только на симметрии уравнений квантовой механики
относительно отражения времени.
13.93. Задача решается аналогично предыдущей (более того,
рассмотренные в этих двух задачах процессы родственны и по
своей физической природе, см. также 14.18 и 14.19). Усреднен-
Усредненные по спинам сечения взаимно обратных реакций фотоэффекта,
Y + H-*-e + p, и радиационной рекомбинации, е + р->Н + у>
связаны соотношением
<*рек (8е)
Pi
hay
-\Eo
ha
mec2
Для получения A) следует учесть, что с. ц. и. для рассматривае-
рассматриваемых реакций совпадает с системами покоя атома водорода и
протона, спиновый статистический вес для атома водорода в
основном состоянии59) равен 4, как и для системы е + Р- Энер-
Энергии фотона и электрона связаны законом сохранения энергии
где Eo — энергия основного состояния атома водорода.
Г л а в а 14
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
14.1. Волновые функции начального и конечного состояний
атома водорода имеют внд, см. (IV. 4),
= Л f~ (e (m) п)
v 4я
ЧГ = у = 1_ ехр (- —\
ехр С- 1
= е, - е,
Здесь г(т)—единичный вектор, |е|2 = 1, описывающий поля-
поляризационное состояние атома водорода с орбитальным момен-
59) При этом пренебрежено сверхтонкой структурой основ-
основного состояния атома водорода, см. 11.2. Заметим также, что
для процессов с участием атома водорода в состояниях с орби-
орбитальным моментом / «спиновый» статистический вес для Н ра-
равен уже 4B/+ 1).
78»
том 1=1. При этом матричный элемент днпольного момента
перехода
сравнить с 3.41 и 3.42. Согласно (XIV. 10) вероятность рассмат-
рассматриваемого перехода 2р ->• Is атома водорода с излучением фо-
фотона
v3
Время жнзни т = I/a; и ширина уровня Г = Й/т = Йда для
2р-состояния атома водорода составляют:
09с-1, т«1,60-10~9с, Г«0,4Ы0эВ.
Время жнзни 2р-уровня ц-мезоатома (т^ яг 207те) состав-
составляет « 10~п с. Это значение много меньше времени жизни сво-
свободного мюона и позволяет понять то обстоятельство, что мюон,
будучи захваченным на атомную орбиту, успевает до своего
распада путем ряда каскадных переходов перейти на основной
уровень (это замечание справедливо и для пионных атомов,
)
14.2. Волновые функции сферического осциллятора обсужда-
обсуждались в 4.4 и 4.5. Для начального и конечного состояний в рас-
рассматриваемом случае они имеют вид (сравнить с предыдущей
задачей)
Так как первый возбужденный уровень осциллятора имеет ор-
орбитальный момент 1=1, то излучение фотона носит днпольный
характер. Матричный элемент дипольного момента перехода
(d = ег)
— е I 2 [ (г те'1"' йъг — ] еаг B)
fi V n3as ) л/2
и вероятность излучения фотона (в единицу времени) оказы-
оказывается равной
_ 2 е2аг<аъ = 2 ( е* Л ( h® Л а /3\
3 he3 3 v he ) \ me*) '
как видно, w < со.
790
14.3. Волновые функции начального (/ = 1) и конечного
(/ = 0) состояний ротатора имеют вид (сравнить с двумя пре-
предыдущими задачами и с 3.2):
= Y
'оо
Матричный элемент дипольного момента перехода (d = don)
ift = J VfaVt dQ = Щ^ J n (en) dQ = -±=r doz,
а вероятность излучения фотона согласно (XIV. 10)
4^@» ft2
f=— A)
(заметим, что взаимодействие ротатора с полем излучения опи-
описывается выражением (XIV. 12)).
14.4. Свойства вращательных состоянии двухатомной моле-
молекулы с Л = 0 аналогичны свойствам сферического ротатора
с моментом инерции I = \xR2, где ц — приведенная масса ядер
молекулы, a R — равновесное расстояние между ними. Отмечен-
Отмеченная ранее в 11.40 аналогия свойств молекулы н ротатора, имею-
имеющих собственный дипольный момент, в электрическом поле не-
непосредственно переносится и на процессы излучения фотона при
чисто вращательных переходах молекулы. При этом вероятность
рассматриваемого процесса описывается формулой A) предыду-
предыдущей задачи.
Оценка вероятности излучения существенно отличается от
типичного значения w1T ~ 109 с-1 для дипольного излучения
атомов (сравнить с 14.1) ввиду малости, —те/\х, энергии вра-
вращения молекулы по сравнению с электронной энергией, см. 11.25,
а соответственно и частоты излучаемого фотона. Так как
w со со3, то для вероятности излучения при вращательных пере-
переходах молекулы получаем оценку хюшол ~ 10~2 с-1 (для конкрет-
конкретности положено ц = Зтр).
В заключение заметим, что излучение с более высоких вра-
вращательных уровней в дипольном приближении происходит лишь
при переходах на ближайший уровень, т. е. вращательный мо-
момент молекулы изменяется на 1: К; = Кг— 1. При этом частота
излучаемого фотона со = НКг/1, а вероятность излучения, про-
просуммированная по независимым конечным состояниям ротатора
(с различными значениями проекции момента), описывается вы-
выражением
К
791
14.5. а) Оператор дипольного момента d = ^ вага зависит
а
только от пространственных координат и поэтому коммутирует
с любым спиновым оператором. В частности, d S2 — S*d = 0, где
5 — суммарный спнн системы. Матричный элемент этого соотно-
соотношения, отвечающий переходу между состояниями Wi, f с опре-
определенными значениями S,-, f, дает
Отсюда для Si ф Sf следует df,- = 0, так что дипольное излуче-
излучение для таких переходов отсутствует.
б) Все состояния тонкой структуры одного и того же атом-
атомного терма имеют одинаковую четность (так как в них элек-
электроны занимают одни и те же одночастичные орбитальные со-
состояния). Учитывая антикоммутативность операторов отражения
/ и дипольного момента, /d + d/ = O, н вычисляя матричный
элемент этого равенства между состояниями 4?i, f с определен-
определенными четностями, получаем (/,¦ +/f)dfi = 0. Отсюда следует за-
запрет на дипольное излучение при переходах между состояниями
с одинаковой четностью рассматриваемой системы частиц.
14.6. Волновые функции начального и конечного состояний
атома водорода имеют вид, см. (IV. 4),
1 1 -г** -
V. = R2l (r) ~r (on) х, = , г те В (ой) xf ¦
1 V4n ' д/Эбяа! Г
Здесь спинор %i характеризует спиновое состояние электрона
в начальном г^/г-состоянии атома, а спинор (сгп)ЗС/ определяет
спин-угловую часть волновой функции 2р1/2-состояния, см. 5.21;
спиноры %t,f нормированы условием <.%{%} = 1.
Матричный элемент дипольного момента перехода 2si/2 -*¦
атома водорода
B)
как и вероятность излучения фотона согласно (XIV. 10), зависит
от выбора значений проекций момента в начальном и конечном
состояниях атома. Суммирование вероятности перехода по двум
независимым значениям проекции момента \г = ±1/2 атома
792
в конечном состоянии, выполняемое с помощью соотношения
S I ОС, («) I 5 I Х,> Р = S <*, | « | JC, (т)><Х/ (т) |о | Х/) =
т-± 1/2 т
дает полную вероятность рассматриваемого перехода
C)
(она уже, естественно, не зависит от начального спинового со-
состояния электрона ввиду изотропии пространства); ее числовое
значение составляет (fico = AEls ** 4,4-10~6 эВ):
w «0,81 -1(Г9 с, т = I/a; л» 39 лет D)
A год составляет 3,15-107 с). Столь малая вероятность диполь-
ного перехода и соответственно большое время жизни, сравнить
с 14.1 и 14.4, определяются исключительно малым значением час-
частоты излучаемого фотона. В связи с данной задачей см.
также 14.8.
14.7. Взаимодействие частицы с электромагнитным полем
описывается выражением
& = -?(#0 + #га(,(г)), A)
сравнить с (XIV. 2), где
^)'/2 / [k (ekA«/kr - «LAV""")]-
k, a
Пренебрегая влиянием орбитального движения частицы на излу-
излучение1), будем рассматривать только спиновую степень свободы,
положив г = 0. При этом слагаемое Но = — Mfo = — цЖ05г в
выражении A) для U (ось г направлена вдоль внешнего маг-
магнитного поля) имеет смысл невозмущенного гамильтониана спи-
спиновой подсистемы. Его собственные функции и собственные зна-
значения описываются выражениями
Считая, для определенности, что ц > 0, замечаем, что
> Ef\ и под действием возмущения V — — \ИЖтай @) воз-
l) При этом, в частности, пренебрегается доплеровским уши-
рением спектральной линии.
79»
можен переход из состояния ?2 в Wu сопровождающийся излу-
излучением фотона с энергией Лео = ?20' — ?'1°' = 2ц3?о (при этом
состояние W\ стабильно относительно излучения; в случае ц < О
роли состояний ?1; 2 взаимно заменяются).
Преобразования, аналогичные (XIV. 3) — (XIV. 7), приводят
к следующему выражению для дифференциальной вероятности
рассматриваемого перехода
dww =^T\Vfi Р d9f = -^- | [ke*o] V\aV2 f dQn. B)
Обозначив здесь
что является матричным элементом оператора магнитного мо-
момента перехода, и введя вектор а;г = [кц^], перепишем выра-
выражение B) в виде
сравнить с (XIV. 7). Суммирование по поляризациям фотона, вы-
выполняемое как и в (XIV. 8), (XIV. 9), дает (при этом учтено,
что ка,2 = 0):
dwn = ^ dWno = -J±-{k>\ д12 р ~ (кд12) (кц12)'} dQn< D)
и после интегрирования по направлениям вылета фотона полу-
получаем
4при этом использовано значение интеграла
(ак) (Ьк) dQ = a,6fe J kfadQ = а^^кЧ^ = ~-k* (аЬ)).
Заметим, что выражения C)—E) являются фактически об-
общими формулами теории магнитно-дипольного излучения.
Учтя явный вид функций Ti, 2 и матриц Паули, находим
матричные элементы
я приходим к окончательному выражению для полной вероят-
вероятности излучения фотона, сопровождающего «переворот» спина
794
в магнитном поле
64 ц53»2
F)
14.8. Взаимодействие Pint электрона с полем излучения опи-
описывается выражением (XIV. 2), в котором следует положить
Ца = —eh/2mc (—е—заряд электрона). Матричный элемеит та-
такого возмущения для однофотонного перехода дается формулой
(XIV. 4), в которой под волновыми функциями начального и ко-
конечного состояний Wi, f = WnS (r) X>, f следует понимать в. ф. со-
соответствующих ns-состояний атома водорода с учетом спинового
состояния электрона. При этом первое слагаемое в матричном
элементе (f \ Vini | /), включающее оператор р, обращается в
нуль. Действительно, ввиду сферической симметрии в. ф. Wns
замечаем, что матричный элемент
<Т1в|в-|кгр|ЧГй)оок, а кеко = 0.
Таким образом, для рассматриваемого перехода атома во-
водорода
. (D
Ввиду того, что Ыв -С 1, в матричном элементе можно выпол-
выполнить разложение экспоненты (впрочем, соответствующий инте-
интеграл можно вычислить точно, см. значение формфактора
¦^is-»2s (i) в 13-80). Первые два члена разложения, е-'кглг
я» 1—гкг, дают нуль (первый — из-за ортогональности в. ф.,
второй — ввиду нечетности подынтегральной функции), так что
(Is | e~lkr | 2s> « - 1 J ^s (r) (krJT2s(r) A.
Интеграл здесь равен 29 л/Т /fe2a|/36 (в сферических координа-
Г 4я
тах интегрирование по углам дает \ (krJ dQ = -=- к2гг, после-
последующее интегрирование по г, с учетом явного вида в. ф. ^Pi^s,
выполняется элементарно); дифференциальная вероятность излу-
излучения фотона
dw
"°
¦I «с
сравнить с переходом от (XIV. 5) к (XIV. 7), а также с форму-
формулой C) из предыдущей задачи. В выражении B)
Лео = hkc = E2s — Els = 3e»/8aB
795
и введено обозначение (Tij = (xi | «г |/г)- Суммирование в фор-
формуле B) по поляризациям фотона и последующее интегрирова-
интегрирование по направлениям его вылета, выполняемые как и в предыду-
предыдущей задаче, дают вероятность перехода
со' 1
Wl2 =
Она зависит от спиновых состояний электрона. Чтобы найти пол-
полную вероятность излучения при переходе 2s1/2 ->- lsy2 атома во-
водорода, выражение C) следует просуммировать по двум незави-
независимым спиновым состояниям ls-электрона; поступая как в 14.6,
получаем
« Bsi/2-*1»1/2) = -21ТзГ (it) -^г-^О.бг-Ю-^-1, D)
что соответствует времени жизни 2^/2-состояния по отношению
к рассматриваемому переходу т = \/w « 18 дней.
Сравнение результатов данной задачи и задачи 14.6 с ве-
вероятностью двухфотонного перехода W2y «* 8 с" показывает,
что однофотонное излучение из 2^/2-состояния имеет суще-
существенно меньшую (на много порядков) вероятность, чем двух-
фотонный переход, т. е. оно сильно подавлено. В условиях 14.6
такое подавление имеет очевидную причину — малость частоты
излучаемого фотона, в то время как вероятность излучения
WEl со СО3.
Подавление однофотонного перехода 2si/2-^ lSi/2, носящего
магнитный дипольный характер, объясняется тем обстоятель-
обстоятельством, что в пренебрежении запаздыванием, e~lkr я* 1, он яв-
является запрещенным из-за ортогональности координатных частей
волновых функций, как отмечалось выше. В связи с этим сле-
следует отметить, что малость матричного элемента (имеющая по-
порядок величины k2d^ ~ а2 = A/137J и соответственно а4 ~ 10~9
в выражении для вероятности излучения), возникающая при раз-
разложении экспоненты, имеет такой же порядок величины, как
и релятивистские поправки к волновым функциям. Учет послед-
последних приводит к увеличению значения вероятности D) в 9 раз,
см. [29, § 52] (так что рассмотрение, проведенное в данной за-
задаче, носит лишь качественный характер).
14.9. В основном состоянии атома водорода с ядром-прото-
ядром-протоном триплетный уровень, S = 1, сверхтонкой структуры выше
синглетного, S = 0, на A?hfs = 1420 МГц» 5,9-Ю эВ, см.
11.2. Волновые функции этих состояний имеют вид (для опре-
796
деленности ограничимся рассмотрением триплетного состояния
с S* = 0)
Здесь xss — спиновые функции электрон-протонной системы.
Матричный элемент взаимодействия (XIV. 2) для однофо-
тонного перехода между состояниями A) атома имеет вид
k] Цс10>.
сравнить с выводом формулы A) из предыдущей задачи (при
этом пренебрежено взаимодействием магнитного момента про-
протона с полем излучения, так как оно примерно в mp/me ~
«2-103 раз слабее, чем для электрона). Заменив экспоненту
единицей и элементарно вычислив компоненты вектора
<*i2 = (%oo|?el%io>=(O,O, 1),
получаем
B)
Теперь обычным образом (сравнить, например, с решениями
двух предыдущих задач) находим полную вероятность рассмат-
рассматриваемого перехода, носящего магнитный дипольный характер:
о 13 "-о-(-эг-) * " ^3-10"'5с~', C)
что соответствует времени жизни триплетного уровня т= 1/о>«
s» 107 лет (столь большое значение его связано с малой вели-
величиной частоты излучаемого фотона, т со н>~3).
14.10. Вероятности однофотонных электромагнитиых перехо-
переходов (в единицу времени) различной мультипольности для не
слишком сильно возбужденных состояний атома по порядку ве-
величины равны:
d?2co3 С со Ч3
'J A
для дипольного электрического, или El -перехода;
W
ЦГоСО / СО Y
...— ' . ~ а5( 1 со B)
Ml fa* V СОат / aT
797
для дипольного магнитного, или Ml -перехода;
„со5 ' - ^5
для квадрупольного электрического, или ?2-перехода.
В приведенных оценках положено dl2 ~ еав, ц,2 ~ ehjmc,
Ql2~ eaB—характерные значения матричных элементов диполь-
дипольного, магнитного, квадрупольного моментов, а = e2/ftc= 1/137—
постоянная тонкой структуры, шат = me4/fi3 = 4,13-1016 c-1.
Для переходов между различными термами ш ~ Шаг. При этом
вероятности JW1 и ?2 переходов по порядку величины одинако-
одинаковы (если они не запрещены правилами отбора) и в а~2 ~
~ 104 раз меньше вероятностей ?1 переходов.
Специфика излучения при переходах между компонентами
тонкой структуры одного и того же электронного терма опреде-
определяется следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, соот-
соответствующие состояния атома имеют одинаковую четность и
?1-переходы между ними запрещены, см. 14.5. Во-вторых, для
таких переходов энергия излучаемых фотонов порядка интер-
интервала тонкой структуры терма, т. е. их частоты малы, ш ~
~ а2шат. Сравнение B) н C) показывает, что при этом вероят-
вероятность ?2-перехода в а~2 ~ 104 раз меньше вероятности Afl-пе-
Afl-перехода. Таким образом, квадрупольное излучение сильно подав-
подавлено н доминирующими являются магнитные дипольные пере-
переходы. Так как для таких переходов правило отбора по моменту
требует, чтобы |Д/| =0 или 1, а энергия уровней тонкой струк-
структуры по мере увеличения / изменяется монотонно, то Ml-пере-
Ml-переходы осуществляются между соседними компонентами тонкой
структуры терма. Оценка вероятности излучения согласно фор-
формуле B) с ш ~ a2tt)aT дает
в
14.11. Для доказательства «правил сумм» следует восполь-
воспользоваться условием полноты системы с. ф. гамильтониана,
?|m)(m|=l, равенствами сотя = — штя и хтп = (хпт)*, а
т
также соотношениями
-j- (Ш | [Я, X] | я)= -J- (т | рх | п),
= - -к <m l \Й' h] I ">
798
Учитывая сделанные замечания, выполним следующие пре-
преобразования.
а) ? |<т|*|л>|2 = %(п\х\т)(т\х\п)=*(п\х*\пу.
т
б)
- (п | х | т> (т | рх | „)} = -± {п | \рх, Л] | я> = -|-;
в)
т
Swl<m|*|/i>r=--TTT > (" Ч- гп){т\р\п)-
т
~{п\рх\ т)(т | ^-1 я)} = -|_ (д | hXt J^Ll | п) =
с/л у zjj. l с/л j
Установленные соотношения справедливы и для других, у-
и z-компонент. Соответственно если в левых частях соотношений
заменить матричные элементы |<т|я|я>|2 на |<«|г|п>|2, то
правые части окажутся равными:
а) (п\г*\ п); в) 4р <я | р* | п); г) -А. (я |А?/ | п).
Заметим, что для частицы в кулоновском потенциале, U —
= —а/г, имеем AU = 4зтаб(г), так что в случае г) сумма ока-
оказывается равной
С К* I г | »> J»
и обращается в нуль для состояний \п) с отличным от нуля
орбитальным моментом.
14.12. Рассчитаем вероятность перехода в единицу времени
системы «частица + фотон» из начального состояния, описывае-
описываемого волновой функцией
•>7Гехр
(тр'г); р.
,'0- •••>7Г
799
в состояние с волновой функцией
под действием возмущения (сравнить с (XIV. 2))
Она определяется общей формулой теории возмущений второго
порядка, см. [1, § 43],
dwc
2я
V*
Ei~E,
dp{. D)
Специфика взаимодействия (З) как оператора возмущения
в том, что оно включает в себя члены различного порядка ма-
малости — линейные н квадратичные — по параметру разложения
теории возмущений, определяемому зарядом е частицы (факти-
(фактически в процессах взаимодействия с полем излучения парамет-
параметром разложения является а = e2/hc). Соответственно учет эф-
эффектов, связанных со слагаемым &э е2А2 в первом порядке тео-
теории возмущений, должен производиться одновременно с учетом
второго приближения по взанмодействию, определяемому пер-
первым членом в выражении C). Вклад в матричный элемент Vfi
дает лишь второе, со e2Ara(j, слагаемое в возмущении C). В мат-
матричных же элементах V ^ и Vv/ суммы по промежуточным со-
состояниям должен учитываться вклад лишь первого в C), линей-
линейного по «е» слагаемого. Так как в условиях данной задачи
PW{ = pjYj = 0, то сумма в выражении D) равна нулю и соот-
соответственно
сравнить с выводом (XIV. 4); использованы обозначения ei
вместо ек а и т. дЛ.
Появление в выражении E) множителя 6к^ к +р ,к отра-
отражает сохранение импульса в процессе рассеяния фотона и озна-
означает, что конечное состояние системы полностью определяется
заданием квантовых чисрл k2, cr2 фотона. При этом энергией
800
отдачи частицы можно пренебречь, так как
1 2 1 2.2 t. tlk ?""
rj '-z z 2m rz m - l<* me '. 2
и, воспользовавшись выражением (XIV. 6) для плотности конеч-
конечных состояний dpf с а = сог » «>ь согласно D), E) получить
V , . - "---1В- F)
(о связи дифференциального сечения с вероятностью см.
(XIV. 14)).
Сделаем замечание о поляризационных явлениях при рас-
рассеянии фотона. Для векторной частицы (имеющей спин sv = 1)
с отличной от нуля массой зависимость амплитуды упругого рас-
сеяния от векторов поляризации вида / = Ле2е! означает, что
поляризационное состояние частицы при рассеянии остается не-
неизменным. В случае рассеяния фотона ситуация иная из-за по-
перечности его поляризации. Это приводит, в частности, к воз-
возникновению поляризации даже при рассеянии неполяризованных
фотонов. Так, при рассеянии под углом 8 = я/2 фотон оказы-
оказывается полностью линейно поляризованным в направлении, пер-
перпендикулярном плоскости рассеяния.
Вычислим дифференциальное сечение рассеяния для неполя-
I / * \ 12 * *
ризованных фотонов. Записав Пе2е]^| = e2le\ie2ke\k< с по"
мощью соотношения (XIV. 8) в формуле F) можно выполнить
усреднение по поляризациям падающих и суммирование по по-
поляризациям рассеянных фотонов и получить дифференциальное
сечение рассеяния неполяризованпых фотонов свободным заря-
зарядом (8 — угол рассеяния, kik2 = k2 cos 8):
do = Vs 4 (! +cos2 e) dSi> ro=e7«c2. G)
Здесь r0 — классический радиус заряженной частицы [27]. Ин-
Интегрирование по углам дает полное сечение рассеяния
а = -^л02 (8)
(оно не зависит от поляризации падающего пучка фотонов).
Выражения G) и (8) не содержат постоянной Планка и со-
совпадают с соответствующими результатами — формулой Томсо-
на — классической электродинамики (квантовые эффекты прояв-
проявляются в релятивистской области, когда Йсо J3 me2).
14.13. Переход из начального состояния системы «ротатор +
+ фотон», описываемого волновой функцией
26 В. М. Галицкий и др. 801
в конечное
под влиянием взаимодействия ротатора2) с полем излучения,
V = — don&rad @), см. (XIV. 12), происходит во втором порядке
теории возмущений. Вероятность его (в единицу времени) опре-
определяется согласно общей формуле, приведенной в предыдущей
задаче. В рассматриваемом случае в ней Vf( = 0, а отличный
от нуля вклад в сумму вносят лишь следующие промежуточные
состояния:
в которых ротатор находится на первом возбужденном уровне
с /= 1 (для других состояний ротатора матричный элемент
дипольного момента в операторе возмущения равен нулю). Учи-
Учитывая, что coi = @2 = ш — частоты падающего и рассеянного
фотонов одинаковы, и выражение (XIV. 6) для плотности конеч-
конечных состояний dpt, находим
c3V
m
12
dw
2- A)
Сумму по т здесь легко вычислить, если заметить, что сумми-
суммирование по т при / = 1 можно распространить на все возмож-
возможные значения /, т, так как <У00|п| Yim} Ф 0 лишь для 1=1.
Воспользовавшись после этого условием полноты системы ша-
шаровых функций, J] I Ytm)(Ytm \~ 1' н Учтя значение интеграла
1т
получаем дифференциальное сечение упругого рассеяния фотона
сферическим ротатором, находящимся в основном состоянии,
=тdw=-h ao I ^) I2 «о* -
2) Рассматриваем только внутреннюю степень свободы ро-
ротатора и, пренебрегая эффектами отдачи, считаем его, как целое,
локализованным в точке г = 0.
802
(о связи сечення рассеяния с вероятностью перехода см.
(XIV. 14)), где
16я d*
Заметим, что поляризационные явления при упругом рассея-
рассеянии фотона на ротаторе такие же, как н при рассеянии фотона
свободным зарядом: сравнить выражение B) с формулой F)
из предыдущей задачи н связанный с ней комментарий. Посту-
Поступая как и в предыдущей задаче (усредняя н суммируя по поля-
поляризациям фотонов), находим дифференциальное сечение рассея-
рассеяния неполярнзованного пучка фотонов
Интегрирование по углам дает полное сечение упругого рассея-
рассеяния фотонов невозбужденным ротатором
/ ч 2 со4
0(сй)=3-0° (со'-Л'//2J • E)
Отсюда
в предельных
(
стсо^
случаях имеем
- 2
3
2
00 От)
Сто
при
при
«со <
лоО
При частоте ш -*¦ H/I сечение рассеяния неограниченно воз-
возрастает, что отражает его резонансный характер (резонансная
флуоресценция), отвечающий возможности возбуждения ротатора
прн поглощении фотона (при таких частотах формулы B), D),
E) непосредственно не применимы; теперь при расчете сечения
необходимо учитывать естественную ширину возбужденного
уровня ротатора).
В связи с данной задачей см. также 14.14, где рассмотрено
неупругое рассеяние фотонов ротатором.
14.14. Решение может быть получено в результате простых
преобразований в формулах предыдущей задачи. Так как в слу-
случае \1 — 1'\ ф\ матричные элементы (Ylm \ n | У^т') = 0, то
замечаем, что во втором порядке теории возмущений, кроме
упругого рассеяния, происходит неупругое рассеяние фотонов,
сопровождающееся возбуждением состояний ротатора только с мо-
моментом 1 = 2. При этом для возможных конечных состояний
системы имеем в. ф.
26* 803
Поступая, как и в предыдущей задаче, получаем дифферен-
дифференциальное сечение неупругого рассеяния фотона ротатором
О)
Выполним суммирование по проекциям момента т ротатора.
Для этого запишем сначала
| Bт | ntnk | 0) enexk f = e'2ielke2/lm @ | п/П/я | 2m) Bm | n.nA | 0)
и воспользуемся соотношением
(О | nstit I /m) </m | ntnk | 0) — <0 | nsnt | 0) @ | я^пА | 0 ]
= <0 | /угЛпй 10) - @ | nsn^ 10) @ | пг/гй | 0) =
при выводе которого учтено, что слагаемые суммы по /, т от-
отличны от нуля лишь при значениях 1 = 0 н 2, использованы
условие полноты системы шаровых функций и значения инте-
интегралов
@ | пМП; | 0) = -1 F.Л< + 6iA, + 6. Д,).
В результате отмеченных преобразований получаем
B)
После усреднения и суммирования по поляризациям фотонов
(соответственно до и после рассеяния, сравнить с 14.12) диффе-
дифференциальное сечение неупругого рассеяния неполяризованных
фотонов принимает внд
^ »i); C)
804
полное сечение неупругого рассеяния
16я d^co,©^ /2
Онеупр (СО:) = -%- —j— (A+ /a,2)t(ft _/(Bl), • (*)
Вблизи порога возбуждения ротатора, т. е. при /icoi ->-3/i2//,
имеем
4я /dj / ЗЛ\3
СТнеупр « — -рр" ^«й! pj оо ш^ E)
а при больших частотах фотонов
16я rfj h
<*неупр да ~2т~ Т3^ ' М1«»2> — . F)
Последнее выражение, как н сеченне упругого рассеяния фо-
фотона Ступр, найденное в предыдущей задаче, не содержит посто-
постоянной Планка; при этом полное сечение рассеяния
_ 1бя 4 h
°*полн — О*упр Т О*неупр ** —g ,2с4 ' й>^>—-г- G)
совпадает с результатом классической электродинамики для се-
сечения рассеяния электромагнитной волны сферическим ротатором
{27, § 78].
14.15. Расчет сечения рассеяния может быть выполнен как
и в задаче 14.13. При этом удобно воспользоваться выражением
для взаимодействия частицы с полем излучения в виде (XIV. 12).
Учитывая вид волновых функций сферического осциллятора, см.
4.4 н 4.5, и то обстоятельство, что для (линейного) осциллятора
матричные элементы дипольного момента отличны от нуля лишь
для переходов между соседними уровнями, см. (II. 3), замечаем,
что все изменение в расчете сечения рассеяния фотона на осцил-
осцилляторе по сравнению с рассеянием на ротаторе из 14.13 сводится
к замене шаровых функций Уоо и Y[m на волновые функции ос-
осциллятора Vn lm:
•т ^ -г /2а у UT = ' гр~г /2а У
000 I е\1/4 00' 01т , №\1/4 1т*
а2 = А/тсо0, и энергии ротатора Et на EN = Лю0 (./V + 3/2). Соот-
Соответственно матричный элемент дипольного момента для рота-
ротатора do<y!m|n|yOo> следует заменить на
@1т|ег|000)=д/|еа(У1т|п|У00).
Как и в случае амплнтуды рассеяния фотона на ротаторе во
втором порядке теории возмущений, в сумму по промежуточным
805
состояниям вносит вклад лишь первый возбужденный уровень
осциллятора с моментом 1=1 и при суммировании по зна-
значениям его проекции по-прежнему применим прием, связанный
с переходом к суммированию по полной системе собственных
функций гамильтониана осциллятора. В результате для диффе-
дифференциального сечения упругого рассеяния фотона на осцилля-
осцилляторе получаем (вместо формулы B) из 14.13 в случае ротатора):
О)
Для рассеяния неполярнзованных фотонов после усреднения
(суммирования) по поляризациям фотонов, сравнить с 14.12,
имеем
где полное сечение рассеяния фотона осциллятором
. . 8я / е2 \2 со4 ...
а со) = (—г ) Т~2 ?л • 3>
3 \пгс2 ) (со2 — ш2,J
Полученные результаты не содержат постоянной Планка и со-
совпадают с классическими результатами для рассеяния элек-
электромагнитных волн осциллятором (сравнить с предыдущей за-
задачей; в связи с этим отметим, что прн рассеянии фотона на
осцилляторе во втором порядке теории возмущений неупругое
рассеяние отсутствует, т. е. возбуждение осциллятора не проис-
происходит, в отлнчие от рассеяния на ротаторе).
14.16. Рассматривая только спиновую степень свободы (т. е.
пренебрегая эффектами отдачи прн рассеянии), считаем, для
определенности, частицу локализованной в точке г = 0. Рассчи-
Рассчитаем вероятность перехода системы из начального состояния
в конечное (здесь Xi, 2 — соответствующие спиновые функцни)
под влиянием возмущения V = — M-#rad @). сравнить с 14.7.
Переход происходит во втором порядке теории возмущений
н его вероятность рассчитывается по формуле [1, § 43]
, х it Vl
dw = ¦
В данной задаче сумма по промежуточным состояниям |v> со-
содержит четыре слагаемых, соответствующих состояниям, описы-
806
ваемым волновыми функциями (с sz = ±1/2):
где, как обычно, XSz= + 1/2 = (Q )¦ XSz=-i/2 = AJ и учтено
равенство частот (энергий) фотонов: coi = со2 = со.
Сумма в выражении A) принимает вид
где введены обозначения а, B) = [е, B^к, BJ. Учтя здесь условие
полноты, У I v \ /v 1 = 1, системы спиновых функций v ,
^ I "sz/ \ sz\ sz
получаем
\<-фк=
(при этом использовано коммутационное соотношение для мат-
матриц Паули OiOk — OkOi = 2ietkiOi). Отсюда, имея в виду соотно-
соотношения (XIV. 6) и (XIV. 14), находим дифференциальное сечение
рассеяния фотона магнитным моментом
^ I *' f dQ2- B)
Выполним в этом выражении усреднение (суммирование) по
поляризациям фотонов. Для этого запишем
| гШа*21а1к @Г/J1 |2==(СТ/J1 (°th\ eikl*mnta2ialka2ma"ln-
Так как axk = Bkspelsk\p, то, воспользовавшись „соотношением
(XIV. 8), получаем
-TV
Аналогично имеем
Е a2ta2m :
807
Теперь можно выполнить интегрирование по углам рассеяния
фотона
\ Y,
а2<а2л» dQ2 = ZiP^mws ¦ -Щ- k\w = "У"
В результате описанных преобразований получаем сечение
рассеяния неполяризованных фотонов в виде
16я ц4 . г . .•
021 = —з~ ~ШГ @^21 (а*>21 eiklRintRkpsRnwsklpkl w'
нли, учитывая соотношение e,ik&int — §knt>it — 6«6/n,
* in t,2 i и и ~i
021 = -3- -ff^r (Of/J1 @(J1 VV
16Я
^21 P '
C)
Сечение зависит от спинового состояния частицы до и после
столкновения. Отметим следующие случаи.
1) Сечение рассеяния из чистого спинового состояния с век-
вектором поляризации Р, |Р| = 1, без изменения спинового со-
состояния
где а — угол между векторами Р н к. Как видно, это сечение
максимально в случае, когда спин ориентирован вдоль импульса
падающих фотонов (а = 0 или л).
2) То же, что и в предыдущем случае, но уже с «переворо-
«переворотом» спина, т. е. Р; = —Р:
3) Сечение рассеяния в случае, когда спиновое состояние
частицы после столкновения не детектируется,
, 64я ц,4со2 ...
a = aH + aH = -WWP"' F>
оно, в отличие от D), E), уже не зависит от исходного поляри-
поляризационного состояния частицы.
Для частицы с произвольным значением s спина имеем
ц, = (xs/s. Читателю предлагается показать, сделав необходимые
изменения в приведенном решении задачи, что полное сечение
рассеяния фотонов на неполяризованных частицах, просуммиро-
808
ванное по конечным спиновым состояниям фотона и частицы,
равно
16я цЛо2 s + 1 ,„,
a fe G>
что при s ;§> 1 совпадает с результатом классической электроди-
электродинамики для сечения рассеяния электромагнитной волны магнит-
магнитным моментом, усредненного по различным его ориентацням
в предположении их эквивалентности:
_
Здесь у. — гиромагнитное отношение — определяется соотноше-
соотношением (х = иМ, где М — механический момент частицы.
14.17. Вероятность перехода в системе «атом + фотон»
между состояниями
{Wo — волновая функция атома) под влиянием взаимодействия
электронов с полем излучения, имеющего в дипольном прибли-
приближении вид (XIV. 12) с d = — е 2 ra (сУммиРование проводится
по всем электронам атома), рассчитывается согласно известной
формуле второго приближения теории возмущений
dw ¦¦
2я
L Е;-Еч
A)
см, [1, § 43]; в данном случае Vji = 0. Вклад во входящую
сюда сумму дают промежуточные состояния двух типов, волно-
волновые функции и энергии которых
*v2 = *„| lklOl. !к2аг. °- • • •)• Ev2 = En
{Wn, En — в. ф. и энергии стационарных состояний атома). С уче-
учетом соотношений (XIV. 12) н (XIV. 13) эта сумма принимает
вид
2ясо
Z'
Содержащиеся здесь две суммы имеют следующую тензорную
структуру (ввиду сферической симметрии рассматриваемого
809
состояния атома То, имеющего равный нулю момент):
п.
Выполнив здесь свертку по индексам / и k, получаем
'' l(n|d|0)P
B)
п
и так как в условиях задачи ш -*¦ 0, находим
V ' V
Замечая, что В @) = —— /ф0 лишь множителем отличается ог
значения поляризуемости р0 рассматриваемого состояния атома,,
и используя соотношения (XIV. 6) и (XIV. 14), приходим к диф-
дифференциальному сечению рассеяния фотона с малой частотой
атомом
После усреднения и суммирования по поляризациям фотонов,
сравнить с 14.12, получаем дифференциальное сечение рассеяния
неполярнзованных фотонов и полное сечение рассеяния
da Рлсо4
^ 2e
Как иллюстрацию этого соотношения см. рассеяние фотона на
ротаторе и осцилляторе в 14.13 и 14.15; поляризуемости этих
систем были найдены в 8.10 и 8.2.
Заметим в заключение, что формулы D) в явном виде не
содержат постоянной Планка (в отличие от самих поляризуемо-
стей квантовых систем) и совпадают с аналогичными результа-
результатами классической электродинамики для рассеяния электромаг-
электромагнитной волны поляризующейся системой.
14.18. В системе «водородоподобный атом + фотон», нахо-
находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией
(a = H2/Zme2), в результате поглощения фотона электроном,
A
происходящего под действием возмущения V. = Arad (г) р»
тс
810
сравнить с (XIV. 2), может произойти ионизация атома. Так
как в рассматриваемом случае при этом энергия электрона равна
Ef fv ftco 2> / = m(Ze>J/2hi, т. е. вылетающий электрон является
быстрым, то в конечном состоянии можно пренебречь влиянием
поля ядра на электрон и выбрать соответствующие волновые
функции в виде
?« =
Вероятность перехода рассчитывается согласно формуле
</о) = —— | F,; |2dp,, матричный элемент возмущения в которой
описывается выражением (сравнить с (XIV. 4))
fi mV
Интеграл здесь легко вычислить, перенеся предварительно дей-
действие оператора р на экспоненту слева от него; после чего он
вычисляется в сферических координатах и оказывается равным
8nha3 ^ 8nh*
A + а2*2J * ~ р*а Р'
где у, = р/Й — к; в последнем равенстве учтено, что р S> hk,
как это следует из соотношений
-?— « ha = tick < тс2
1т
{возможность пренебрежения к соответствует замене в матрич-
матричном элементе eikT « 1 в дипольном приближении), н pa/h » 1
ввиду условия Им ^> /. Наконец, учитывая выражение для плот-
плотности конечных состояний
?р dp2 dQ mpV ._
и связь (XIV. 14) сечения с вероятностью процесса, находим
дифференциальное сечение фотоэффекта
da = 32
/5/2 p 2
me (haO'2
Jko
P
dQ. B)
Выполнив в нем усреднение по поляризациям фотона с по-
.мощью соотношения (XIV. 8), что дает | ek(Jp j8 = у р2 sin8 8
(Q — угол между векторами р и к), получаем дифференциальное
811
сечение фотоэффекта для неполяризованных фотонов
*-««•(?) (¦?•)'(¦&¦)"-•-¦ <з>
Заметим, что преимущественный вылет электронов перпендику-
перпендикулярно импульсу фотона отражает «преобладание» в нерелятивист-
нерелятивистском случае волновых свойств фотона: именно в этом направле-
направлении действует на электрон сила Лоренца со стороны электро-
электромагнитной волны. В релятивистском случае, для более жестких
фотонов, начинают проявляться их корпускулярные свойства, что
приводит к преимущественному вылету электронов в направле-
направлении импульса фотона, см. [29].
Интегрирование выражения C) по углам дает полное сече-
нне фотоэффекта
. , 256я _./ е2 \ / П.2 \2 , / N7/2
где /о = I/Z2 = 13,6 эВ — потенциал ионизации атома водо-
водорода. Заметим, что сечение D) для значений Z= 1 и Йш = 5кэВ
составляет ж 6• 106 см2.
Выражение D), умноженное на 2 (два /(-электрона), можно
использовать и для (приближенного) вычисления сечения фото-
фотоэффекта на атомах, отличных от водородоподобного. Вклад
в сечение других электронов атома, находящихся в возбужден-
возбужденных состояниях, меньше, чем /(-электронов: онн более слабо
связаны с ядром, а в пределе свободных электронов поглоще-
поглощения ими фотонов не происходит. Оценка сечения фотоэффекта
на таких электронах атома может быть выполнена аналогично
тому, как это сделано в следующей задаче 14.19 для процесса
радиационной рекомбинации электрона.
14.19. Решение данной задачи может быть получено в ре-
результате простых замен в решении предыдущей задачи
(заметим, что общее соотношение между сечениями взаимно об-
обратных процессов фотоэффекта н радиационной рекомбинации
электрона непосредственно следует из принципа детального рав-
равновесия, см. 13.93). Перестановка начального и конечного со-
состояний не изменяет значения \Vfi\2 в силу эрмитовости опера-
оператора V. Следует произвести следующие изменення:
1) в выражении для плотности конечных состояний, теперь
dpf описывается формулой (XIV. 6) с ha — ге + I * ее;
2) в соотношении (XIV. 14), связывающем вероятность и се-
сечение, в данной задаче da = Vdw/ve;
3) заменить усреднение по поляризациям фотоиа суммиро-
суммированием по ним, что дает дополнительный множитель 2 в сече-
сечении процесса.
812
В результате указанных замен приходим к следующим вы-
выражениям для дифференциального и полного сечений радиаци-
радиационной рекомбинации быстрого электрона на основной уровень
соответствующего водородоподобного атома (иона):
"p«, is-"" yncj \теЧ \ге,
л OQ-r ' .2 ч Q • *i2 ч О • Г ч К/О * '
'рек, Is - 3 \hc
Отметим, что рекомбинация быстрого электрона на возбуж-
возбужденные уровни атома имеет значительно меньшие сечения. Дей-
Действительно, из формулы A) предыдущей задачи следует, что
F,. оо ер Ф(. (р), где Ф<(р)—волновая функция рассматривае-
рассматриваемого состояния электрона в водородоподобном атоме в импульс-
импульсном представлении. Для ns-состояний асимптотика этой в. ф. при
больших импульсах имеет вид d>ns«C/Vn3p4, так что 3) арек, ns °°
ао 1/я3 (для состояний с орбитальным моментом I ф 0 в. ф.
Фп;(р), а соответственно и сечение рекомбинации убывает при
р-^со еще более быстро, чем в случае s-состояний, см. 4.18).
Поэтому учет рекомбинации на возбужденные уровни сводится
к умножению сечений A) на ^ п~г = ? C) = 1,202 (? (s) —
п
дзета-функцня Римана), т. е. увеличивает сечение рекомбинации
всего на 20 %.
14.20. Процесс фоторасщепления дейтрона по своей физиче-
физической природе аналогичен фотоэффекту и расчет сечения его дуб-
дублирует решение задачи 14.18. Укажем изменения, которые сле-
следует произвести в формулах этой задачи применительно
к данной.
Под волновой функцией 4% @ теперь следует понимать
в. ф. дейтрона, имеющую в приближении потенциала нулевого
радиуса действия сил вид
ад^од/^^, «0 = ^-. О)
Здесь Ео — энергия связи дейтрона (М — масса нуклона, jx =
= М/2 — приведенная масса pn-системы) и соответственно ?,¦ =
= ha> — 8о- Заметим, что в волновую функцию A) введен асимп-
асимптотический коэффициент Ск0, учитывающий поправку на конеч-
конечность радиуса взаимодействия; см. по этому поводу 12.1, а
также 11.36.
3) Такую же зависимость, ans <*> п~3, имеет сеченне фотоэф-
фотоэффекта из возбужденного res-состояния водородоподобного атома.
813
Во взаимодействии (протона) с полем излучения следует
произвести замены: е -) е, т -*• М, г -*• гр = г/2.
Вид волновых функций конечных состояний Ч?) не изменя-
изменяется, но теперь Е; = р2/М.
Соответственно изменяется н значение интеграла в матрич-
матричном элементе возмущения (см. формулу A) из 14.18); теперь
он равен
(слагаемое /кг/2 в показателе экспоненты опущено по указанной
в 14.18 причине).
Плотность конечных состояний в условиях данной задачи
dp =ui *„ _ „. _ л_ I ¦ - г Mpl^rfQ
р = V-^ (Й(В — 8о).
Учитывая сказанное, приходим к следующему выражению
для дифференциального сечения фоторасщепления дейтрона:
После усреднения по поляризациям фотонов (сравнить с 14.18)
получаем
^l0 *?\ sin29dQ. D)
he x° ЙМ5/2(о3
Интегрирование по углам дает полное сечение фоторасщепления
дейтрона
8я е _9 V8o (Й(в — во) ' /к\
а = —^—г— СиП ,.t , . (°;
о яс Ли /Илсо
Сделаем заключительное замечание в отношении области
применимости полученных результатов. Они основаны фактиче-
фактически на использовании приближения нулевого радиуса для по-
потенциала рп-взанмодействия. Такое рассмотрение предполагает,
что в задаче существенны расстояния, много большие радиуса
действия ядерных сил. Как видно из выражения B), оно оправ-
оправдано прн р ~ hx, т. е. таких частотах фотонов, что я© ~ 8о (и
неприменимо прн значениях импульсов «освобождающихся» нук-
нуклонов р J3 Л/г0, где Га — радиус ядерного взаимодействия; при
больших импульсах нз-за быстрых осцилляции экспоненты в ин-
интеграле B) существенны малые расстояния, на которых уже
важен вид точной волновой функции дейтрона).
814
14.21. В тормозном излучении быстрого электрона начальное
состояние системы — свободный электрон и вакуум фотонов —
описывается волновой функцией
Рассеяние электрона, сопровождающееся излучением одного фо-
фотона, происходит под влиянием возмущения
f> = -^ + ^Arad(r)p, A)
сравнить с (XIV. 2) (слагаемое оо A^ad опущено, так как оно
отвечает за переходы с четным изменением числа фотонов).
Для конечных состояний
Вероятность рассматриваемого перехода, происходящего во
втором порядке теории возмущений, рассчитывается по формуле
[1. § 43]
2я
dw = ——-
ft
Г
Е. — Е,
v
2
dpf. B)
Отметим, что матричный элемент возмущения Vf,- отличен от нуля
уже в первом порядке за счет второго слагаемого в возмущении
A). Однако он содержит множитель 6р_р+йк, выражающий
сохранение импульса при излучении фотона свободным электро-
электроном, что совместно с законом сохранения энергии приводит к не-
невозможности излучения фотона свободным электроном. Поэтому
взаимодействие с внешним полем, приводящее к передаче им-
импульса ядру, является существенным элементом рассматривае-
рассматриваемого процесса.
Промежуточные состояния |v> в сумме B), дающие отлич-
отличный от нуля вклад, описываются волновыми функциями двух
типов:
C)
да п _ .
2m
при этом суммирование по vj, 2 сводится к сумме по всем воз-
возможным значениям волнового вектора х электрона в промежу-
промежуточном состоянии.
815
Используя явный вид волновых функций н оператора
Arad(r), см. (XIV. 1), находим матричные элементы возмущения
входящие в выражение B),
v —-J—(\ „\ —
е
mV
-i (x+k)r~ ikir
e ре
2nh
fV2
= ^- ( Arad P ) fv2 = — Д/ ^-
Наличие в ннх множителей вида бк| и+к позволяет сразу вы-
выполнить суммирование по v в выражении B) (в сумме по со-
состояниям vl отлично от нуля лишь одно слагаемое с у. = к,—к,
а для состояний v2 — лишь с х = кг + к) и получить
у, VfvVvl 4nZe> eh [Ш
L Е{-Еч~ Р.щ* mV V wl/
где ^q = h (ki — k2 — к) ж Й (ki — k2) — импульс, переданный
ядру. При этом пренебрежем импульсом фотона hk по сравне-
сравнению с импульсами электронов hkXi 2 (это оправдано для нереля-
тнвистских электронов и соответствует, фактически, использова-
использованию дипольного приближения прн излучении фотона, сравнить
с 14.18), так что энергетические знаменатели оказываются рав-
равными —Ла> и Леи соответственно для состояний vl и v2.
Наконец, учитывая, что плотность конечных состояний для
рассматриваемого процесса равна
816
и связь (XIV. 14) сечения и вероятности процесса, находим диф-
дифференциальное сечение тормозного излучения
do = -?- zltll ki 4 I 4аЧ I2 dQv dSL da. E)
he n2h2c2ki(oq* l каЧ 17 2- v i
Эта формула дает наиболее полную информацию о процессе
тормозного излучения. Интересуясь лишь спектральным составом
тормозного излучения, проделаем следующие преобразования.
Прежде всего выполним в выражении E) суммирование по
двум независимым поляризациям фотона с помощью соотноше-
соотношения (XIV. 8), что дает
da = «L Hflk\ (l - ЩЛ dQy dQ2 rfco. F)
he n2h2c2k\&q2 V q2k2 ) y
Теперь выполним интегрирование по направлениям вылета излу-
излучаемых фотонов (оно проводится элементарно, если выбрать по-
полярную ось вдоль вектора q, при этом da go sin28Y dQy):
3 he nh2c2ki a>q2
Наконец, выполнив интегрирование по углам вылета рассе-
рассеянных электронов, которое проводится элементарно, если вы-
(922
при этом q = ki + k2 —
— 2k{k2 cos 62), находим дифференциальное сечение тормоз-
тормозного излучения как функцию частоты излучаемых фотонов (т. е.
спектральное распределение фотонов):
_ 8 е2 (Ze2y 1 (VI + л/Е — ЙшJ
ш 3 he тс2Е со Йш
здесь Е — начальная энергия электрона.
Так как da/dwcol/w при ш-*-0, то полное сечение тормоз-
тормозного излучения бесконечно (это — так называемая инфракрасная
катастрофа). Однако эта расходимость сечения несущественна
прн вычислении потери энергии электроном на излучение, харак-
характеризуемой «эффективным торможением», илн «эффективным
излучением» % = \ Аш daa; используя (8), нетрудно получить
Е
где ге = е2/шс2 — классический радиус электрона.
В заключение подчеркнем, что так как при решении задачи
действие поля ядра рассматривалось как возмущение, то приме-
применимость полученных результатов E) — (8) требует выполнения
817
условий Ze*/hvi, 2 < 1 (электрон должен быть быстрым как в на-
начальном, так и в конечном состояниях). Поэтому онн неприме-
неприменимы, если почти вся энергия налетающего электрона передается
излучаемому фотону. Однако формула (9) справедлива при вы-
выполнении лишь одного условия, Ze2/hvi < 1, так как вклад об-
области интегрирования, примыкающей к верхнему пределу, где
неприменимо выражение (8), не играет существенной роли в зна-
значении интеграла (9) в целом.
Наконец, укажем обобщение выражения (8) на случай тор-
тормозного излучения прн столкновении двух частиц с зарядами
и массами еь т, и е2, т2 в случае их чисто электростатического
взаимодействия. Как нетрудно сообразить, оно получается из
формулы (8) с помощью замен —Ze2->eie2, >—¦ —
и имеет вид
, 8 2 2 ( «1 е2 \2 ц 1 (VI — У? — haJ .
ш 3 "Ui т2 ) hc3E со Йсо
A0)
где ц — приведенная масса частиц (при этом ? = \iv2/2, v —
относительная скорость сталкивающихся частнц).
Глава 15
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
15.1. Общее решение уравнения Клейна — Гордона (XV. 1)
можно представить в виде суперпозипии
?(г, 0 = ^+(r, t)+4~ (г, t),
?± (г, t) = ( а± (k) ?^ (r, t) d3k A)
частных решений этого уравнения, образующих полную систему:
:^o±i<kr-<u(k)t) ,,,/»л =
в е
(обращаем внимание на нспользуемое обозначение в. ф. ^Fjf).
Функция Ч?? описывает частицу, имеющую импульс р = Йк
и энергию е = Йш^тс2. Функция W^ формально отвечает со-
состоянию частицы с энергией е' = —Йсо ^ —тс2 и импульсом
—Йк. Такое решение уравнения после выполнения операции за-
зарядового сопряжения сопоставляется уже состоянию античас-
античастицы, имеющей энергию е = йсо ^ тс2 и импульс Йк, см. 15.2.
В связи с этим подчеркнем, что общее решение A) уравнения
818
Клейна — Гордона имеет лишь формальный смысл, так как оно
не описывает никакого одночастичного состояния. Одночастнчные
состояния описываются лишь функциями W+(r, t) и у?~{т, t)
в отдельности.
Ограничиваясь в выражении A) суперпозициями Чг+ и *Р~
по отдельности, подставим их в выражение для Q, приведенное
в условии задачи. Элементарное интегрирование с использова-
использованием формулы
f e± .(k-k')r d3r
приводит к следующему соотношению:
(ft)|a*(k)Fd3*. C)
Как видно, Q± действительно имеют определенный, но раз-
разный для функций Ч'± знак. Однако подынтегральные выраже-
выражения р± (г, t) в координатном представлении для Q- таким свой-
свойством, вообще говоря, не обладают (т. е. не являются знако-
определенными), так что р+, как и р~, нельзя интерпретировать
как плотность вероятности.
В случае заряженных частиц величинам р± можно дать на-
наглядную интерпретацию, связав их с объемной плотностью за-
заряда. Для частицы, имеющей заряд е, выражение ер+ (г, t) при
нормировке Q+ = 1 можно рассматривать как плотность заряда
в соответствующем одночастичном состоянии. Величина ер- опи-
описывает плотность заряда в соответствующем состоянии античас-
античастицы, при этом нормировка Q~ = —1 автоматически обеспечи-
обеспечивает противоположные знаки зарядов частицы и соответствую-
соответствующей ей античастицы.
Для нейтральных частиц наглядная интерпретация локаль-
локальных величин p±(r, t), вообще говоря, невозможна. Однако это
обстоятельство не следует рассматривать как порок теории, так
как локальные пространственные характеристики в релятивист-
релятивистской области, как это отмечалось во вводных замечаниях к главе,
лишены глубокого физического смысла. По этой причине в реля-
релятивистских теориях физический смысл волновой функции час-
частицы как амплитуды вероятности сохраняется лишь в импульс-
импульсном (но не в координатном!) представлении, сравнить с 15.7.
15.2. Инвариантность уравнения Клейна — Гордона для сво-
свободной частицы
(- А2с2Д + т2с*) W (г, t) = - А2 -щг W (г, 0 A)
относительно "зарядового сопряжения С>означает, что если
является решением уравнения A), то функция УРС = СУР
819
также является решением этого уравнения, т. е. Y и Ч?с удов-
удовлетворяют одному и тому же уравнению.
Произведя в A) комплексное сопряжение, очевидным обра-
образом убеждаемся в рассматриваемой инвариантности уравнения.
Так как оператор С удовлетворяет соотношению С2 = 1, то
в соответствии с условием задачи общее решение уравнения
Клейна — Гордона, см. формулы A) и B) предыдущей задачи,
можно записать в виде
V = ?+ (г, t) + W- (г, t) = ?+ (г, t) + СЧ>+ (г, t). B)
Аналогично для решения зарядово-сопряженного уравнения
имеем
C)
Общие решения рассматриваемых уравнений включают
в себя как волновую функцию частицы *Р+, так и в. ф. Ч??
соответствующей ей античастицы н имеют лишь формальный
смысл (так как преобразование С является антилинейным, то
рассматривать соотношения B) и C) в духе обычного квантово-
механического принципа суперпозиции не имеет глубокого смы-
смысла). Физически реализуемые одночастичные состояния частицы
или античастицы описываются лишь суперпозициями частных
решений с частотами (энергиями) одного и того же знака.
Отметим, что физический смысл преобразования С как за-
зарядового сопряжения для бесспиновых частиц наглядно прояв-
проявляется при рассмотрении не свободных, а заряженных частиц,
находящихся во внешнем электромагнитном поле, которое по-
разному действует на частицы и античастицы, см. 15.3.
Так как Wc = ОТ = Чг*, то уравнение fFf = fVf на с. ф. и
с. з. оператора f при зарядовом сопряжении принимает вид
^* С/)с = f O^f)с' Отсюда следует, что если f* = f, то зарядово-
сопряженная с. ф. С^)с = *&] также является с. ф. оператора f,
отвечающей тому же самому с. з. f. Если же f* = — f, то (*Pf)c
тоже является с. ф., но отвечает уже с. з., равному — f. Соот-
Соответственно с. ф. операторов р = — /hV, fz= —/^—, ё = Л —
при зарядовом сопряжении «изменяют» с. з. на противополож-
противоположное по знаку, а с. ф. оператора!2 при этом «сохраняет» свое с. з.
15.3. а) Так как Чс = СЧ = Ч*, то замечаем, что уравне-
уравнение Клейна — Гордона для частицы с зарядом е во внешнем
820
электромагнитном поле
J *«}(JL)V A)
после выполнения в нем комплексного сопряжения принимает
вид
* } Чс = [ih -L + erf Wc, B)
с* (- ihV + -j-
что также представляет уравнение Клейна — Гордона, но уже
для частицы с зарядом —е и такой же массой т, как в исход-
исходном уравнении A), причем в том же электромагнитном поле.
б) Совершив в A) одновременно с преобразованием зарядо-
зарядового сопряжения волновой функции также преобразование по-
потенциалов А->АС = —А и ф->-фс = —ф, приходим к урав-
уравнению
J Чс = (ih -L - вфсу уе, C)
имеющему такой же вид, как и исходное уравнение A).
в) Чтобы дать интерпретацию установленным выше законо-
закономерностям, рассмотрим постоянное электромагнитное поле (по-
(потенциалы А, ф не зависят от времени). В этом случае уравне-
уравнение A) имеет «стационарные» решения вида *Р8 = е~ ' i|)8 (г).
Все такие решения можно разбить на две группы, Ч?? и ^?~,
в зависимости от того, в какие состояния свободной частицы,
с е ^ тс2 или с е ^ —тс2, они переходят при адиабатическом
выключении внешнего поля1). Решения *?+, переходящие при
выключении поля в состояния верхнего континуума, имеют
смысл волновой функции состояния частицы с энергией е в рас-
рассматриваемом электромагнитном поле. Решения W~ ассоцииру-
ассоциируются с состояниями античастицы. При этом, как и в случае от-
отсутствия внешнего поля, волновой функцией античастицы яв-
является
v+ = dv-^(v;)\ D)
а энергия античастицы в рассматриваемом состоянии равна —г.
') Заметим, что такая классификация решений имеет смысл
лишь в случае не очень сильных внешних полей, пока нижняя
граница энергетического спектра состояний Ч^ лежит выше
верхней границы спектра состояний *?". В сильных полях, когда
эти границы «сливаются», одночастичная задача теряет смысл:
становится возможным спонтанное рождение пар частица — анти-
античастица; см. по этому поводу задачи 15.12 и 15.13.
821
Таким образом, общее решение уравнения Клейна — Гордона
A) для частицы в электромагнитном поле представляется, как
и в случае свободной частицы, в виде (сравнить с 15.2)
ip = ip+ + V~ = Ч+ + СЧГ+.
При этом волновая функция \F+ античастицы имеет «правиль-
«правильную» временную зависимость и удовлетворяет уравнению Клей-
Клейна — Гордона B) для частицы с зарядом —е, противоположным
заряду той частицы, волновой функцией которой является Чг+.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что оба уравне-
уравнения, A) и B), несут в себе одинаковую физическую информа-
информацию, так как решения каждого из них включают описание со-
состояний как частицы, так н соответствующей ей античастицы
(это замечание справедливо н в случае внешних полей любой
природы). Однако описание состояний частицы и античастицы
в каждом нз уравнений является «несимметричным», так как
одни представлены непосредственно их волновыми функциями,
а для других переход к волновой функции требует выполнения
зарядового сопряжения соответствующего решения уравнения.
Данная выше интерпретация преобразования С как зарядо-
зарядового сопряжения, осуществляющего переход от «нефизическнх»
состояний частицы к «физическим» состояниям соответствующей
ей античастицы, основана на результате п. а) решения. В этом
смысле инвариантность уравнения Клейна — Гордона, установлен-
установленная в п. б), отражает зарядовую симметрию описываемых им
закономерностей: любому физическому состоянию частицы, опи-
описываемому волновой функцией Ч'+(г, t), соответствует точно та-
такое же состояние античастицы с в. ф. W^ (г, t) = *Р+ (г, t). При
этом существенно, что прн переходе к античастице у потенциа-
потенциалов внешнего электромагнитного поля следует изменить знак,
что согласуется с физическим смыслом зарядового сопряжения
(сравнить с результатом задачи 15.4).
15.4. Так как оператор зарядового сопряжения С для бес-
бесспиновых частиц дается формулой Тс = СШ = W* (см. 15.2 и
15.3) и U(r,t) является вещественной функцией (что является
аналогом вещественности потенциала и эрмитовости гамильто-
гамильтониана в нерелятнвистском случае), то,- совершая в уравнении
(~h2c2A + m2c* + 2mc3ULr = -h2-~W A)
комплексное сопряжение, получаем точно такое же уравнение
для зарядово-сопряженной функции:
(- Й2с2Д + m2c* + 2mc2U) Wc = - ft2 ~ ЧГС, B)
822
что и доказывает инвариантность уравнения Клейиа — Гордона
для частицы в скалярном поле относительно зарядового сопря-
сопряжения.
Сделаем несколько замечаний. Уравнения A) и B) имеют
одинаковый вид, но только первое из ннх (точнее, положительно-
частотная часть его решений) непосредственно описывает час-
тниу, а второе — соответствующую ей античастицу, см. более
подробное обсуждение этого вопроса в предыдущей задаче. По-
Поэтому если волновая функция Чг+(г, /), являющаяся решением
уравнения A), описывает некоторое физически реализуемое со-
состояние частицы в поле U, то точно такое же состояние с в. ф.
Ч?? =1Р+ возможно и для античастицы в том же поле. Это ука-
указывает на одинаковый характер воздействия скалярного поля
на частицу и соответствующую ей античастицу2) н является
отражением зарядовой симметрии уравнений A) и B) (сравнить
с заряженной частицей в электромагнитном поле, где для обес-
обеспечения зарядовой симметрии требуется изменить знаки потен-
потенциалов на противоположные, см. 15.3).
15.5. Внутренняя четность бесспиновой частицы определяется
характером преобразования ее волновой функции при отражении
координат РЧг(г, /) = +ЧГ(—г, t), и равна +1 и —1 соответ-
соответственно для скалярной и псевдоскалярной функций.
Как отмечалось в 15.2 и 15.3, волновые функции частицы
и соответствующей ей античастицы связаны с различными част-
частными решениями уравнения Клейна — Гордона для одной и той
же (скалярной или псевдоскалярной) функции W(r,t), которую
можно записать в виде
w = w++ у-=у++ су+, (О
при этом 4f+ = C1F~ = ОР~) *. Функции Ч?+ и V+ являются
волновыми функциями состояний частицы и античастипы соот-
соответственно.
Так как функции W+ и Ч?- имеют одинаковый характер по
отношению к инверсии координат (т. е. обе являются либо ска-
скалярными, либо псевдоскалярными функциями) и сн не изменяется
при комплексном сопряжении, то отсюда вытекает, что функции
*Р+ н Ч?? также имеют одинаковый характер относительно от-
отражения координат, что и доказывает одинаковое значение внут-
внутренних четностей бесспиновой частицы и соответствующей ей
античастицы.
2) Сравнить с одинаковым действием на частицу и античас-
античастицу гравитационного поля.
82а
Сделаем несколько заключительных замечаний. В нереляти-
нерелятивистском случае при взаимодействии частиц число их (каждого
вида) не изменяется, и поэтому внутренняя четность всех частиц
системы на разных стадиях процесса одна и та же и не яв-
является экспериментально наблюдаемой величиной. Соответствен-
Соответственно невозможно различить характер волновой функции относи-
относительно отражения координат и из соображений простоты пола-
полагают, что она является скалярной. В релятивистском случае внут-
внутренние четности бозонов могут быть, в принципе, определены из
закона сохранения четности ввиду возможности процессов рож-
рождения и поглощения бозонов поодиночке (сравнить, например,
с 10.5 и 10.6). Наконец, отметим, что для частиц произвольного
спина внутренние четности частицы и античастицы одинаковы
для бозонов и противоположны по знаку для фермионов.
15.6. В нерелятивистской квантовой механике условие орто-
ортогональности собственных функций эрмитова оператора f опреде-
определяется соотношением
Jj V*f, (r) Vf (r) dV = 6(f- Г) (или Ьп для д. с), A)
вид которого тесно связан с сохранением во времени нормировки
волновой функции состояния частицы \ |iy p dV — const = 1,
непосредственно следующим из уравнения Шрёдингера.
В случае уравнения Клейна — Гордона (XV. 1) во времени
сохраняется величина
V. B)
Именно это выражение должно использоваться для нормировки
в. ф. состояния и определять структуру интеграла, выражающего
условие ортогональности собственных функций (обобщение фор-
формулы A) на релятивистский случай).
Запишем в. ф. Чгр_ е, являющиеся решением уравнения
(XV. 1), в виде (сравнить с 15.1)
е (р) = д/р2с2 + т?с* ^ тс2.
При этом 'Pi' описывает состояние, частицы с импульсом р и
энергией е, а плоская волна Ч?~ отвечает формально импульсу
—р и энергии —е. Такое решение уравнения Клейна — Гордона
824
сопоставляется античастице уже с импульсом р н энергией е,
см. 15.2. Подставив в интеграл B) вместо функций Т и W*
соответственно в. ф.ЧГ^ и *Рр*, убеждаемся в том, что он равен
нулю в случае выбора в нем функций с разными знаками час-
частоты и пропорционален 6(р— р') для функций одного и того же
вида. Выбрав в выражении C) значения
отс2
BяА)» е (р) '
получаем условие ортонормированности рассматриваемой систе-
системы функций в виде
И. л /л >
iy±* _2_ гр-± _ / _?_ qr±*
а/ р V-.«w р , , D)
2/яс2
представляющем обобщение формулы A) на релятивистский
случай.
15.7. Записав положительно-частотное решение V+ (г, t)
уравнения Клейна — Гордона (XV. 1), описывающее физическое
состояние частицы, в виде суперпозиции плоских волн Ч?? (г, /)
(см. формулу C) предыдущей задачи с указанным в ней значе-
значением коэффициента С+(р)):
W+(r,t) =
-sv
тс'
Bnhf 8 (p)
а+(р)е" d3p, A)
получаем для сохраняющейся во времени величины Q+ выраже-
выражение (сравнить с 15.1)
B)
Отсюда, по аналогии с нерелятивистским случаем, функцию
а+(р) (точнее, а+ (р, t) = а+ (р) e~~tE*/ft) следует рассматривать
как волновую функпию состояния частицы в импульсном пред-
представлении в обычном квантовомеханическом смысле и использо-
использовать значение Q+ = 1 для ее нормировки.
825
Аналогично можно ввести волновую функцию античастицы
в импульсном представлении, используя разложение отрицатель-
отрицательно-частотного решения W~ (r, t) уравнения Клейна — Гордона по
плоским волнам Y"
ЧГ (г, t) =
= J а" (р) Т- dsp== J ^{2^/e(p)a- (p)
и связь волновой функции античастицы W+ = СЧ/~ = (У)
с решением W~, см. 15.2. При этом в. ф. античастицы в им-
импульсном представлении имеет вид а? (р, t) = а~* (р) е~ш^н
а условие ее нормировки \ а^ (р, /) I2 dp ^= 1 эквивалентно зна-
значению Q~ = — 1.
То обстоятельство, что волновая функция частицы в им-
импульсном представлении имеет обычный смысл амплитуды веро-
вероятности, позволяет, исходя непосредственно из импульсного
представления, получить обобщение соответствующих квантово-
механических формул и на координатное представление, см.
в связи с этим задачи 15.8—15.10.
Подчеркнем, что согласно формуле A) переход от импульс-
импульсного представления к координатному отличается от нереляти-
нерелятивистского случая появлением дополнительного множителя
•Vгтс2/в (р) в разложении в. ф. Т+ по плоским волнам. Фор-
Формально именно с этим обстоятельством и связана невозможность
введения положительно определенной величины р ^ 0, претен-
претендующей на роль плотности вероятностей для координат.
Несмотря на отмеченный ранее ограниченный смысл локали-
локализованных состояний частицы в релятивистском случае, методи-
методически поучительно обсудить вопрос о собственных функциях ко-
координаты на примере бесспиновой частицы. Исходным3) при
. д
этом является вид оператора координаты, г = in. ——, в импульс-
импульсном представлении. В этом представлении искомые с. ф.
3) Несколько иной подход к этому вопросу и обсуждение
роли таких локализованных состояний см. в книге: Е. Вигнер.
Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971.
«26
как и в иерелятивистском случае; здесь и ниже ft = с = 1.
В координатном представлении согласно формуле A) получаем
1 т д Г cos (mpf) .
• ¦ ' ¦-¦ —" \ rrr Up ^
2я2 f dr J (р2 + 1IД
J
Bя2K/4 Г (-j
где г= [г — го|. Для выполнения интегрирования по импульсам
в первом интеграле использованы сферические координаты с по-
полярной осью вдоль направления вектора (г — г0); для второго
(однократного) интеграла использовано его выражение через
функцию Макдональда, см. [33, с. 973].
Обсудим свойства собственных функций W^ (r). Прежде
всего, отметим предельные случаи (мы «восстановили» ft и с):
г — го Г тс
D)
1 С тс , Л . | „А
I i7M"exp -—lr-rol . lr-ro|>—.
I r — го | ' V ft / тс
Эти с. ф. не сводятся к б (г — г0), как в нерелятивистском случае,
а локализованы на расстояниях порядка комптоновской длины
волны частицы Л/тс. В нерелятивистском пределе, т. е. при
с—>-оо, область локализации функции 4?fo (r) стягивается в точку
и так как при этом \ Ч^ (г) dV = 1 (для вычисления интеграла
удобно подставить в него разложение C) в. ф. по плоским вол-
волнам и выполнить сначала интегрирование по переменной г, даю-
дающее б(р)), то в этом пределе с. ф. Ч^ (г) сводится к 6(г — Го),
как и следовало ожидать.
15.8. Для вывода искомого соотношения воспользуемся тем
обстоятельством, что для свободной частицы волновая функция
в импульсном представлении
а+(р, /) = а+(р)ехр (- ~ в (р) Л A)
имеет, как и в нерелятивистской квантовой механике, обычный
смысл амплитуды вероятностей импульсов, см. предыдущую
827
задачу. Поэтому при нормировке этой волновой функции
a+(p,t)fdsp=\ B)
среднее значение энергии частицы дается обычным выражением
в = J е (р) | а+ (р, 0 |2 d3p =
= jj а+' (р, 0 Vp2c2 + m2c4 а+ (р, /) dsp. C)
Теперь заметим, что в координатном представлении волновая
функпия Чг+(г,/) произвольного состояния свободной частицы
описывается суперпозицией положительно частотных решений
уравнения Клейна — Гордона (XV. 1), связанной с в. ф. в им-
импульсном представлении соотношением
T (r, t) = \ Л ——• a+ (p, t) e H , D)
J V e(p) BяйK'2
см. 15.1 и 15.7, из которого следует
Используя последнее соотношение, преобразуем выражение C)
следующим образом:
* (г, t) е"^"'V (г', /) d3p X
\
X exp [jp(r- г')] V+(г', 0 /р d3r' d3r F)
{обратить внимание иа порядок расположения сомножителей
в последнем интеграле, удобный для его дальнейших преобразо-
преобразований). После выполнения в F) интегрирования по импульсам
с помощью формулы
элементарно выполняется интегрирование и по г', так что для
среднего значения энергии частицы получаем следующее выра-
выражение:
ё = -Ц- [ W+ * (г, t) (- Й2с2Д + m2c4) W+ (г, 0 d3r. G)
«28
При этом условие нормировки B) волновой функции в коорди-
координатном представлении принимает вид (см. формулу B) преды-
предыдущей задачи)
Можно получить и несколько иное, эквивалентное G) выра-
выражение для среднего значения энергии частицы, если воспользо-
воспользоваться вытекающим из формул A) и E) соотношением
ft dt Ve
V^c2 J 5/ BяйK/2 '
С помощью выражения (9) формулу C) легко записать в коор-
координатном представлении следующим образом:
ft2
е = ¦
тс*
Согласно полученным выражениям G) и A0) среднюю энер-
энергию бесспиновой частицы можно записать также в виде
(И)
аналогичном (с точностью до нормировочного множителя) энер-
энергии классического скалярного (или псевдоскалярного) комплекс-
комплексного поля, удовлетворяющего волновому уравнению
Энергия такого поля Е = \ ToorfV выражается через компо-
компоненту Гоо (или Ти) тензора энергии-импульса, имеющую вид [27]
Гоо оо [-^- -|J- + (V4T*) (V4T)
см. также следующую задачу о связи среднего импульса час-
частицы с импульсом классического поля.
В заключение заметим, что проведенное рассмотрение непо-
непосредственно переносится на случай античастицы, если для
829
описания ее состояний используется зарядово-сопряженная вол-
волновая функция ЧГ^ (г, t), см. 15.2 и 15.3.
15.9. Как и при решении предыдущей задачи, исходим из
импульсного представления, в котором волновая функция час-
частицы, как и в нерелятивистской квантовой механике, имеет смысл
амплитуды вероятностей значений импульса. При этом среднее
значение импульса частицы определяется выражением
=^ р|а+(р, <) Р d3P = jj а+(Р, t)pa(p, t)d3p. A)
Используя соотношения (см. формулы E), (9) решения преды-
предыдущей задачи; там же обсуждается связь в. ф. в координатном
и импульсном представлениях и используемая нормировка в. ф.)
а+(р,/)=ЛчГ+(г, t)e
J
Тpr d3
e (p) J Bяй) '
у me e a+ (p, 0 =- • c * Vi, ч ш ,
ft J dt BяЙK/2
выражение A) можно записать в виде
Р"=Bя4"^ J ^+ * (Г> ° Рв " " '"' 4" ?+ (Г''« d3p Л' Л=
«
B)
Здесь элементарно выполняется интегрирование сначала по пе-
переменной р (дающее множитель б (г — г')), а затем и по г', что
позволяет получить искомое выражение для среднего импульса
частицы:
C)
Имея в виду отмеченные преобразования, легко сообразить, что
оно может быть записано в более симметричной форме:
-^ а?"/d г-
Это выражение для среднего импульса бесспиновой частицы
с точностью до нормировочного коэффициента имеет такой же
вид, как и формула для импульса классического скалярного
(или псевдоскалярного) комплексного поля. Компоненты им-
830
пульса поля определяются выражением Pi = \ Тю dzr, где Тц
{или Тц) — плотность импульса поля, являющаяся соответствую-
соответствующей компонентой тензора энергни-импульса [27]; при этом
+
где ( = 1,2,3 (сравнить с аналогичным замечанием в предыду-
предыдущей задаче относительио энергии).
15.10. Задача решается аналогично двум предыдущим. Ис-
Исходя из формулы для средних значений компонент орбитального
момента частицы в импульсном представлении
7= f a + *Ta+d3p = -i[ a+*(p, t) [pVp] a+ (p, t) d3p
и используя преобразования, аналогичные описанным в решениях
указанных задач, приходим к выражению
Т = -^-
пгс2
или в более симметричной форме:
А
I = —
В таком виде оно совпадает с формулой для момента L клас-
классического скалярного поля (сравнить с аналогичными замеча-
замечаниями в отношении энергии н импульса, сделанными в указан-
указанных выше задачах). При этом выражение для плотности к
момента поля имеет наглядный физический смысл, так как его
можно записать в виде
Ч0
где я (г, t) является плотностью импульса поля, см. предыдущую
задачу.
15.11. Энергетический спектр и соответствующие волновые
функции стационарных состояний определяются из решения (ста-
(стационарного) уравнения Клейна — Гордона для заряженной час-
частицы в магнитном поле, имеющего вид
|с2(р _-1 аJ + «V } ? = eaiF; (I)
здесь е — заряд частицы, Эё = rot А. Это уравнение отличается
от нерелятивистского уравнения Шрёдингера
W = EW B)
831
лишь заменой Е на (е2 — т2с*)/2тс2. Поэтому, воспользовавшись
известными результатами решения последнего уравнения для час-
частицы в однородном магнитном поле в 7.1, где оно было получено
при различных калибровках векторного потенциала, в реляти-
релятивистском случае находим
г1гП = т2с* + р2гс2+2тс2М ^
п = 0, 1, .... со = ±^-L^
тс
Отсюда следует
C)
(сравнить с в (/)) = ± -у/т2с* + р2с2 для свободной частицы).
Интерпретация двух значений ер „, отличающихся знаком
точно такая же, как и в случае свободной частицы (см. 15.2,
а также 15.3). Одно из них, ер п > тс2, описывает энергети-
энергетический спектр частицы, заряд которой равен е, как и в уравне-
уравнении A). Отрицательные значения е п < —тс2 ассоциируются
с состояниями античастицы, имеющей заряд —е; при этом энер-
энергия античастицы равна (—е) > тс2. Таким образом, энергетиче-
энергетические спектры частицы и античастицы в магнитном поле одина-
одинаковы (это обстоятельство очевидно заранее, так как энергетиче-
энергетический спектр не зависит от знака заряда частицы).
В заключение сделаем замечание о характере энергетиче-
энергетического спектра. Как и в нерелятивистском случае, он имеет не-
непрерывную зависимость от рг, связанную со свободным продоль-
продольным (вдоль магнитного поля) движением частицы, а также вклю-
включает дискретную зависимость от квантового числа п, связанную
с поперечным движением частицы (носящим финитный харак-
характер). При этом поперечное движение частицы отражается на ки-
кинематике свободного продольного движения (в отличие от нере-
нерелятивистского случая) и согласно формуле C) может быть на-
наглядно описано как «изменение»
: = m^J
\ + Bя
массы частииы.
15.12. Энергетический спектр частицы в скалярном поле опре-
определяется из решения уравнении
[— Йас'Д + 2mc%U (г)] ЧГ = (е2 — т2с*) W. A)
832
Оно имеет вид нерелятивистского уравнения Шрёдянгера для
частицы в потенциале U(r), в котором энергия Е заменена на
(е2 — т2с*)/2тс2. Ограничиваясь рассмотрением s-состояний час-
частицы (так что в. ф. является сферически симметричной) и сде-
сделав подстановку R(r) = г^У(г), приводим уравнение A) к виду
Для рассматриваемой потенциальной ямы его решение, удовлет-
удовлетворяющее граничному условию #@)=0, в случае (е2 — т2с4)<0
описывается выражениями
г > а,
где
x=-i-VmV-B2>0 C)
пс
(так как U = 0 при г > а, то в области значений е2 > т2сА
энергетический спектр непрерывный; рассеяние на скалярном по-
потенциале рассмотрено в 15.19). Условия непрерывности в. ф. и
ее производной в точке г = а приводят к трансцендентному
уравнению
2mU0a2
22
определяющему энергетический спектр связанных s-состояний.
Обсудим основные особенности энергетического спектра, ко-
которые легко понять, имея в виду отмеченную выше аналогию
рассматриваемой задачи с задачей об уровнях д. с. нерелятивист-
нерелятивистской частицы в сферической потенциальной яме.
1) В достаточно «мелкой» яме связанные состояния отсут-
отсутствуют; они, как и в нерелятивистском случае, появляются лишь
при выполнении условия Ua > пЩ2/8та2.
2) При дальнейшем углублении ямы (т. е. при увеличении
параметра U0a2) будут появляться новые дискретные уровни;
при этом для уже существующих уровней значение величины
(т2с4 — 8^) будет увеличиваться, что соответствует увеличе-
увеличению |?п| при углублении ямы в нерелятивистском случае, т. е.
е| уменьшается при углублении ямы.
3) Специфическая для релятивистского случая ситуация
при углублении потенциальной ямы возникает при достижении
27 В. М. Галицкий и др. 833
основным уровнем значения ео = О. При дальнейшем увеличе-
увеличении Uo значение е0 становится мнимым, что свидетельствует
о появлении неустойчивости в рассматриваемой задаче.
Для понимания причины возникновения такой неустойчиво-
неустойчивости необходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Реше-
Решение задачи позволяет найти величину гп, так что при этом
ere=±A/g2. Получающиеся два значения энергии, различаю-
различающиеся знаком, следует интерпретировать так же, как и в случае
свободной частицы: одно из них, г„ > 0, дает уровни энергии
частицы, другое, е„ < 0, отвечает уже античастице, энергия ко-
которой равна (—е„) > 0. Действительно, при уменьшении глу-
глубины ямы все уровни гп > 0 идут вверх и переходят в верхний
континуум е > тс2, а уровни е„ < 0 «сливаются» с нижним кон-
континуумом е < —тс2. Соответственно, энергетический спектр час-
частицы и античастицы во внешнем скалярном поле одинаков, т. е.
поле оказывает на них одинаковое воздействие (в отличие, на-
например, от электростатического поля, сравнить с 15.3 и 15.4).
Таким образом при рассматриваемых критических значениях
параметров ямы (ее глубины и ширины) энергия основного со-
состояния как частицы, так и античастицы в яме принимает зна-
значение е0 = 0. При этом оказывается возможным спонтанное
рождение пар «частица + античастица» (или одиночных частиц,
если они истинно нейтральные). Именно это обстоятельство яв-
является физической причиной возникновения отмеченной выше не-
неустойчивости решения одночастичной задачи в сильном внешнем
поле4). В сильных полях возникает также перестройка вакуума,
см. по затронутым вопросам монографию А. Б. Мигдала [31].
Обсудим зависимость критического значения ?/0, кр глубины
ямы от ее ширины а. Положив в формулах C), D) е0 = 0,
приходим к уравнению
mca I 2U0 KD ") / 2U0 KD
-r- V —^ -1 r = - V —-^ ~u E)
h V me2 ) V me2
4) Заметим, что одночастичная задача теряет физический
смысл также и в случае не слишком сильных полей, если они
являются быстропеременными во времени, так что существенно
отличны от нуля фурье-компоненты «потенциала» ?/(ш), отве-
отвечающие частотам и J5 mc2/h. Формально неприменимость одно-
частичного подхода в этом случае связана с невозможностью
«разбиения» решений волнового уравнения на независимые по
ложительно- и отрицательно-частотные части (из-за переходов
между ними), являющегося существенным элементом в интер-
интерпретации решений волнового уравнения, сопоставляемых состоя-
состояниям одной частицы (или античастицы; физическая причина со-
состоит в возможности рождения новых частиц).
834
Из него в предельных случаях «широкой», а > h/mc, и «узкой»,
a <S h/mc, ям имеем:
a) Uo,KV^-^-+-^^r{^—2—)' a>~mT'
F)
(отметим, что независимо от ширины ямы ?/0, кр > тс'2/2; приве-
приведенные выражения определяют наименьший корень Uo, Kp урав-
уравнения E), другие корни уравнения отвечают обращению в нуль
гп с я ^ 1). Как видно, «широкая» скалярная яма «съедает»
энергию покоя при глубине Uo « mc2/2. По мере уменьшения
ширины глубина критической ямы возрастает. В отмеченном слу-
случае б) «узкой» ямы значение Uo, кр относительно мало отли-
отличается от глубины ямы, отвечающей возникновению связанного
состояния.
15.13. Уровни энергии и соответствующие им волновые
функции определяются из решения уравнения Клейна — Гордона
(стационарной формы уравнения (XV. 2) с А = 0 и <р = Ze/r):
A)
Учитывая сферическую симметрию задачи, решение уравнения
ищем в виде Ч^г) = Rt(r) Y,m(9, ф). При этом из A) следует
\ 2m r dr2 2mr2 тс2г 2тс2г2)
= ^JmTR- W
Это уравнение имеет форму радиального уравнения Шрёдингера
(IV. 2) для водородоподобного атома в иерелятивистской
теории:
f h2 I d2 h2[(l + 1/2J- 1/4] Ze2)n =E n
\ 2m r dr2 2mr2 r ) nrl nrl nrl
и получается из него с помощью следующих замен (а = е2/Нс):
V 2mc2 ' v '
Теперь, воспользовавшись известным выражением для энер-
энергетического спектра нерелятивистского водородоподобного атома
2h2(nr+l/2 + l + l/2J K>
27* 835
и произведя в нем замены C), находим
(е2 - т*с*) [пг + -|- + У(/ + 1/2J - Z2a2T = - Z2a2e2.
Отсюда следует выражение для искомого энергетического
спектра:
1/2
(формально здесь в правой части следовало бы ввести два зна-
знака, ±, однако выбор знака «—» отвечает «лишним» уровням,
не входящим в энергетический спектр; такие уровни ассоцииро-
ассоциировались бы со связанными состояниями античастицы, а их в усло-
условиях рассматриваемой задачи, т. е. для точечного ядра, нет,
сравнить с 15.16).
Сделаем несколько замечаний в связи с полученным резуль-
результатом E). Как видно, учет релятивистских эффектов снимает
«случайное» вырождение уровней в кулоновском поле в нереля-
нерелятивистской теории: теперь они зависят от орбитального момента
частицы. В случае Za, < 1 из формулы E) следует
2/+1 8/J
F)
Второе слагаемое здесь представляет релятивистскую поправку
к результату нерелятивистской теории, сравнить с 11.1.
При значениях Za > 1/2 формула E) приводит к комплекс-
комплексным значениям энергии (сначала для s-состояний, а затем и для
больших значений орбитального момента), что указывает на по-
появление неустойчивости в рассматриваемой задаче. Причину ее
легко понять, если заметить, что слагаемое —Z2e4/2mcV2 в урав-
уравнении B), сингулярное при г->-0, можно рассматривать как
часть потенциальной энергии, имеющую характер притяжения.
При значениях Za > 1/2 такое притяжение является настолько
сильным, что возникает «падение на центр», см. [1], а также
9.14. При учете конечности размеров ядра потенциал ограничен
и соответственно такой неустойчивости уже не возникает. Од-
Однако даже в случае ядра конечного радиуса R дальнейшее уве-
увеличение его заряда приводит при некотором значении ZKP
(зависящем от радиуса R) к появлению новой неустойчивости
спектра рассматриваемой системы. Физическая причина ее анало-
аналогична обсуждавшейся в предыдущей задаче: в достаточно силь-
сильном электростатическом поле (как и в скалярном поле) стано-
становится энергетически возможным спонтанное рождение пар «час-
836
тица + античастица», так что одночастичная задача теряет фи-
физический смысл. В таких сильных полях возникает также пере-
перестройка вакуума. В связи с этим отметим, что неустойчивость
вакуума относительно рождения электрои-позитронных пар в
поле ядра с обычной плотностью возникает при заряде ядра
ZKp « 170; см. по затронутым вопросам [31].
15.14. Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы
(XV. 1) можно записать в виде
«) (ih ¦— - Ус2р2 + m2c4) ?кг = 0. A)
-— + Vc2P2 +
Его решения Ч^р, описывающие физически реализуемые состоя-
состояния частицы, соответствуют положительным энергиям (часто-
(частотам), см. 15.1, и удовлетворяют уравнению
l-V^ + Л' f+=0, B)
КГ"
имеющему уже вид уравнения Шрёдингера, ifr-рГ? Т = HW, с га-
гамильтонианом
Я в Яге1 = Ус2? + т*с* C)
(для отрицательно-частотных решений уравнения имеем
ih — ?~ = — Я?~ ; после выполнения зарядового сопряжения,
W* =С?~, это уравнение принимает вид B), но уже для вол-
волновой функции Wf античастицы, см. 15.2).
Для перехода к нерелятивистскому случаю сделаем подста-
подстановку
Ч'+. = ехр(-^-тЛ)? D)
(выделение здесь экспоненциального сомножителя соответствует
записи энергии частицы в виде е = тс2 + Е, т. е. выделению
из нее энергии покоя тс2) и выполним разложение радикала
в B) по степеням р2/т2с2. В результате приходим к уравнению
ih -z- ? =
где второе и последующие слагаемые в скобках в правой части
уравнения представляют релятивистские понравки к гамильто-
гамильтониану Но = р2/2т свободной нерелятивистской частицы.
В заключение обратим внимание на следующее обстоятель-
обстоятельство. Из уравнения Клейна — Гордона следует сохранение во
837
времени величины Q+ = \ р+ dV, где р+ определяется выраже-
выражением (XV. 3) с ф = 0, см. также 15.1. В то же время согласно
уравнению Шрёдингера E) сохраняется значение q = f p d\r
где уже р = | Ч^ |2. Сравним Q+ и Q. Для Q+ с учетом уравне-
уравнения B) имеем
-dV. F)
Для справедливости соотношения Q+ = Q (=1 для нормиро-
нормированных волновых функций) при переходе от ^j-j- к шрёдинге-
ровской в. ф. Ч? в принципе следует выполнить, в дополнение
к C), неунитарное (!) преобразование
4r+r = S?, S=(l+p7mVr1/4, G)
обеспечивающее сохранение нормировки при различных способах
ее определения (при обычных унитарных преобразованиях оста-
остаются неизменными как значение, так и вид — \ | W |2 dV = const-
нормировочного интеграла). Однако в случае свободной частицы
оператор этого преобразования 5 коммутирует с гамильтониа-
гамильтонианом и поэтому уравнение B) имеет такой же вид, как и урав-
уравнение для шрёдингеровской в. ф. W = S ~ ^ys< сравнить со
случаем частицы во внешнем поле, рассмотренным в 15.15.
15.15. Стационарное уравнение Клейна — Гордона для заря-,
женной частицы во внешнем электромагнитном поле
(р - ±- А)' + т*с< } ^+г = (е -
в случае | ец> \ <SC me2 и | Е \ <С тс2, где е = тс1 + Е, удобно за-
записать в виде (далее индекс *+' у в. ф. Ч'^р, см. 15.1 и 15.3'
опускаем):
При этом правая часть уравнения много меньше каждого из сла-
слагаемых левой части, и, пренебрегая ею, получаем в «нулевом»
приближении уравнение Шрёдингера нерелятивистской теории
с гамильтонианом Но = я2/2т + еф, где я = р — еА/с.
Расчет релятивистских поправок к гамильтониану связан
с последовательным вычислением членов его разложения по сте-
степеням параметра, включающего множитель 1/с2, и основан на
возможности приближенного преобразования уравнения A) к
838
виду уравнения Шрёдингера (с точностью, соответствующей рас-
рассматриваемому приближению по 1/с2). Теперь ситуация отличает-
отличается от случая свободной частицы, для которой сразу можно напи-
написать замкнутое выражение для релятивистского гамильтониана,
см. формулу C) предыдущей задачи.
Начнем с вычисления первой, со 1 /с2, поправки. Имея
в виду, что в правой части уравнения A) уже фигурирует мно-
множитель 1/с2, замечаем, что в ней можно заменить (Е — ефJ Ч^р
его значением в «нулевом» приближении. Так как в этом при-
приближении
то в правой части уравнения A) можно выполнить следующие
преобразования:
ж (Е — еф) ^"кг ~ 1 tecP' Л'2И—о—" *^2 ^—еA<
В результате это уравнение с рассматриваемой точностью, ~ 1/с2,
принимает вид
[ я2]}*ст C)
Хотя внешне оно подобно уравнению Шрёдингера, но таковым
еще не является. Это связано с тем, что оператор в фигурных
скобках, претендующий на роль гамильтониана, не является эр-
эрмитовым. Для перехода от уравнения C) к искомому уравнению
Шрёдингера следует еще выполнить преобразование волновой
функции вида
2Г1/2 V = [1 + (Е - еФ)/тсг] ~1/2 ? =
= S? = [(е - еф)/тс2Г1/2 V = [1 + (Е - еФ)/тсг]
¦¦]"*¦
Такое неунитарное преобразование обеспечивает сохранение нор-
нормировки в. ф.
обсуждение этого вопроса см. в предыдущей задаче.
839
Подставив выражение D) с учетом в нем членов порядка5)
1/с2 в уравнение C) и заметив, что в рассматриваемом прибли-
приближении, как и выше, можно в слагаемых с 1/с2 воспользоваться
соотношением B), приходим к уравнению Шрёдингера с пер-
первой релятивистской поправкой
' = EV. E)
Как видно, эта поправка к гамильтониану, равная — я4/8т3с2,
такая же, как и в случае свободной частицы, и представляет
естественное квантовомеханическое обобщение соответствующей
релятивистской поправки в классической теории. Следует, од-
однако, подчеркнуть, что такая «естественность» пропадает уже
в членах ~ 1/с4.
Для вычисления поправок ~ 1/с4 (и более высокого по-
порядка) удобно, перенеся в A) слагаемое (Е — еф) \FKr направо,
сначала перейти согласно D) к уравнению для шрёдингеровской
волновой функции. С рассматриваемой точностью получаем урав-
уравнение
? - вф 3 (? - еФJ
)
1т \ 2тс2 ^ 8т3с4
Как и выше, в слагаемых, содержащих множителем 1/с4, для
выражения (Е — e<pLf можно воспользоваться «нулевым» при-
приближением и заменить его на (zt2/2m)~V. В слагаемых же с 1/с2
следует учесть и члены 1-го порядка, т. е. заменить
(Е - еф) ? иа (-^- ге2 - —i-r яЛ W.
После простых алгебраических преобразований уравнение F)
принимает вид уравнения Шрёдингера с гамильтонианом
(который мы снабдили штрихом по отмеченному ниже обстоя-
обстоятельству), где
Установленный вид оператора Я' в принципе решает постав-
поставленную задачу. Однако этот гамильтониан можно несколько
5) Заметим, что в «нулевом» приближении xVKr =
840
упростить, имея в виду возможность выполнения унитарного
преобразования, изменяющего выражение для гамильтониана, но
оставляющего неизменным физическое содержание теории. Для
этого заметим, что с рассматриваемой точностью, ~1/с4, во вто-
втором слагаемом в правой части соотношения G) можно заменить
я2/2т + еф на Я. При этом Я' с такой же точностью прини-
принимает вид
еХр (- Т»-1*\ «Pi) Н exp AJL? [я», «р]) . (9)
Так как оператор F = i [я2, еф] является эрмитовым, a U =
= exp (iF) — унитарным, то согласно (9) операторы Я и Я'
связаны унитарным преобразованием и с одинаковым правом
могут рассматриваться как гамильтониан частицы. Поскольку
выражение для R несколько проще чем Я', то более удобно ис-
использовать именно его. Как видно, релятивистские поправки
к гамильтониану, следующие из уравнения Клейна — Гордона,
уже в членах ~ 1/с4 отличаются от разложения оператора
Яге, = У л;2с2 + т2с* + еф.
15.16. Ограничимся для наглядности случаем, когда энергия
частицы близка к энергии покоя, и запишем е = тс2 + Е, где
|?| <С тс2. Стационарное уравнение Клейна — Гордона для час-
частицы в электростатическом поле
{- Й2с2Д + т2с*} W = (е — ефJ W
при этом можно записать в виде
аналогичном уравнению Шрёдингера с эффективной потенциаль-
потенциальной энергией
, Е (еФJ Е* (ефJ
Как видно, в случае |еф| > 2тс2 в соответствующей области
пространства С/Эф <с 0, так что взаимодействие частицы с полем
носит характер притяжения независимо от знака ее заряда.
В связи с этим заметим, что в релятивистском случае в одном
и том же сильном электростатическом поле могут существовать
связанные состояния как бесспиновой частицы, так и ее анти-
античастицы, см. [31].
841
15.17. Стационарное уравнение Клейна — Гордона, соответ-
соответствующее временному уравнению (XV. 2) с еф = Zee\/r и А = О,
может быть записано в виде
( h2 Zee.z (Zee,J 1 р02 А
{ 2т тс2г 2тс2г2 J Р° 2т Р°'
A)
где е = Д/Рос Н~ т с . тождественном нерелятивистскому урав-
уравнению Шрёдингера с эффективной потенциальной энергией (за-
(зависящей от полной энергии е частицы)
ZeeiE (ZeeiJ
тс'г 2тс2г2
Так как интерпретация волновой функции свободной час-
частицы в виде плоской волны в релятивистской и нерелятивистской
теориях одинакова, то общий подход к задаче рассеяния в не-
нерелятивистском случае, основанный на решении стационарного
волнового уравнения, имеющем требуемую асимптотику на боль-
больших расстояниях (плоская + расходящаяся волны, см. вводные
замечания к гл. 13):
?+(r) « e'P^ + i-e'*',
Н Г-+оо Г
а соответственно и многие результаты теории рассеяния нереля-
нерелятивистских частиц непосредственно переносятся (или легко об-
обобщаются) на релятивистский случай. В частности, амплитуда
рассеяния в борцовском приближении описывается прежним вы-
выражением (XIII. 6):
. ^q = p-po. C)
Более внимательным следует быть при выяснении условий при-
применимости борновского приближения. Отмеченная выше аналогия
уравнения A) и у. Ш. предполагает использование для описания
состояний свободной частицы (на больших расстояниях) ее им-
импульса (а не скорости или энергии). Поэтому известные усло-
условия (XIII. 7) применимости борновского приближения в рассмат-
рассматриваемом релятивистском случае принимают вид
D)
Для первого слагаемого в выражении B) первое из условий D)
требует выполнения неравенства
Zeeie hp Ze2 v , , 211 \
~~ <——, или -гг— <— < 1 (ve = pc2, |ei|~e)
mc2r mr he с
E)
«42
(как и в нерелятивистском случае; необходимым условием при-
применимости теории возмущений является ограничение Z < 137).
Возможность применения теории возмущений для второго сла-
слагаемого в эффективном потенциале B) ограничивается вторым
из условий D), требующим
(Zee,J П.2 ( Ze2 \2
-—гт-<—Т' или I-—)
mc2r2 mr2
( Ze2 \2
I-*—) <'¦ F)
\ he )
Как видно, это более слабое условие, чем предыдущее E).
Теперь заметим, что при вычислении амплитуды рассеяния
по формулам B) и C) вторым слагаемым в выражении B)
следует пренебречь. Это связано с тем, что оно второго порядка
малости по параметру Za, т. е. вносит такой же вклад, как и
первое слагаемое в B) во втором порядке теории возмущений
и поэтому находится за пределами точности рассматриваемого
приближения. Учитывая высказанные соображения и используя
значение интеграла
находим амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния бес-
бесспиновой частицы в электростатическом кулоновском поле:
f 2Zee,e da_ _ . , ,2 ( Zee, у 1
'B~ h2c2q2 ' dQ ~U{ ~\2vopo) sin4 F/2)' l;
сравнить с формулой Резерфорда нерелятивистской теории.
15.18. Амплитуда рассеяния заряженной бесспиновой час-
частицы в электростатическом поле с потенциалом ф(г) в борнов-
ском приближении описывается выражением
'9d,e-*qrA, A)
где эффективная потенциальная энергия
(общие соображения по поводу формул A), B) и условий при-
применимости борновского приближения в релятивистском случае
см. в предыдущей задаче).
В ультрарелятивистском случае, когда едарс^-оо, вторым
слагаемым в выражении B) можно пренебречь и амплитуда
рассеяния оказывается равной
f ~ _ ер \ (г, (г\ р~г'чг и3г = — ер m (п\
'в ~ 2nh2c )f{r}e dr~ 2nh2c ф [Q>-
843
Соответственно сечение рассеяния описывается выражением
о
Г напомним, что dQ = -^Ц- Л72 J.
При р -*¦ оо верхний предел интегрирования в C) можно
положить равным бесконечности, так что сечение рассеяния ст(е)
при е -*¦ оо является постоянной величиной (в нерелятивистском
случае оно убывает стоо?~'->0 при ?->-оо, см. 13.2). Это свя-
связано с тем, что согласно B) взаимодействие частицы с электро-
электростатическим полем возрастает при увеличении ее энергии.
Применимость борновского приближения в рассматриваемой
задаче определяется первым из выражений D) предыдущей за-
задачи и требует выполнения неравенства |ефо| <S hc/a, где ф0
и а — характерные значения потенциала и радиус его действия.
В «сильном» электростатическом поле, при нарушении этого усло-
условия, борновское приближение неприменимо. Однако вывод о по-
постоянстве сечения рассеяния при е -*¦ оо сохраняется и в этом
случае. При этом сечение рассеяния может быть рассчитано по
квазиклассической формуле
а = 4я \ < 1 - cos \~ \ ф (Vp2 + z2 ) dz \\ р dp, D)
е->оо J ( [ ПС _l J J
представляющей обобщение результата 13.51 на рассматривае-
рассматриваемый релятивистский случай (для такого обобщения в формуле
из 13.51 надо заменить U(r) на ?Л>ф и вместо hk подставить
р ~ е/с, см. предыдущую задачу).
В заключение отметим, что для справедливости полученных
результатов требуется, чтобы потенциал иа больших расстояниях
убывал быстрее, чем со 1/г2; в противном случае сечение рассея-
рассеяния обращается в бесконечность, как и в нерелятивистской тео-
теории, из-за расходимости интеграла в выражении C) на нижнем
пределе (за счет малых углов рассеяния).
15.19. Стационарное волновое уравнение для релятивистской
бесспиновой частицы во внешнем постоянном скалярном поле
можно записать в виде
тождественном по форме нерелятивистскому уравнению Шрёдин-
гера. Ввиду такой аналогин для амплитуды рассеяния можно ие-
844
посредственно воспользоваться известными результатами нереля-
нерелятивистской теории (сравнить с 15.17). В бориовском прибли-
приближении
Соответственно сечеиие рассеяния (сравнить с предыдущей за-
задачей)
в ультрарелятивистском пределе (р0 « е/с) определяется выра-
выражением
Условие применимости борновского приближения: Uo <S hpo/ma,
где Uo, a — характерная величина потенциала и радиус его дей-
действия.
15.20. Гамильтониан частицы Я = cap + mc2p, см. (XV. 4,
5). При вычислении коммутаторов удобно воспользоваться ре-
результатом 1.4 и учесть то обстоятельство, что два оператора,
один из которых (р, 1 и т. д.) действует на пространственные
переменные, а другой (a, S и т. д.) — на спиновые, коммутируют
друг с другом.
1) [р, Я] = 0;
2) [t{, Н] = \\и cap] = caj. [tt, pk\ = icbmv-kPi Ф 0;
3) U2, Я] = [t,tu H] = U [It, Я] + \lt, Н] U =
= 1сгшак (liPi + piU) Ф 0;
4) Так как
, 0
0 ) \ 2(8.j,a; 0 )
и [J,{, p] =0' то
845
a0Va0'\ Са2° Л С30
л 1 Ч
оператор s2 = -j-22 = — и, очевидно, коммутирует с Я.
Воспользовавшись значениями коммутаторов 1), 2), 4), на-
находим
6) fit, ff) = о-, ?) и5; я] = о;
8) [Sp, Я] = [2., Я] р. + 2. [р., Я] = 2/ешаЛр. = 0.
9) Так как ?р = — рД то [/", Я] = [7, cap] = — 2cap7;
10) [Р, тсЩ = 0, [Р, Н] = [р/, cap] = cp/ap - cappf= 0;
/ 0 1 \
11) [Ys, Я] = 2/пс2| I (и для частицы с массой /л = 0
этот коммутатор равен нулю).
В нерелятивистском случае первые девять операторов ком-
коммутируют с гамильтонианом свободной частицы Яо = р2/2/л.
В релятивистском случае ситуация несколько иная. Сохраняю-
Сохраняющаяся коммутативность оператора импульса р с гамильтониа-
гамильтонианом свободной частицы является отражением свойства однород-
однородности пространства, так же как коммутативность оператора
суммарного момента частицы j = 1 —{— s с И — следствие его изо-
изотропии. Однако в отдельности операторы 1 и s не коммутируют
с гамильтонианом. Это означает, что в релятивистском случае
имеется некоторая кинематическая корреляция между возмож-
возможным спиновым состоянием частицы и ее орбитальным движением
(сравнить с 15.23). Об этом свидетельствует также и некоммута-
некоммутативность оператора квадрата орбитального момента I2 с Я.
Тем не менее, согласно 1) и 8), спиральность по-прежнему яв-
является «хорошим» квантовым числом. Коммутативность опера-
оператора отражения Р = р/ с гамильтонианом свободной частицы
является отражением зеркальной симметрии свободного про-
пространства (неразличимости «правого» и «левого»). При этом
ввиду отмеченной выше корреляции спинового и орбитального
состояний частицы оператор отражения уже не сводится лишь
к инверсии координат 7, а «дополняется» преобразованием спи-
спинового состояния частицы.
15.21. Решения уравнения Дирака для свободной частицы,
соответствующие определенным значениям энергии е и импуль-
импульса р, имеют вид
Чре (г, t) = u (р, е) exp [-j (рг - ео], A)
846
где биспинор и(р, е) удовлетворяет стационарному уравнению
Дирака, см. (XV. 4),
(cap + тс2$) и (р, е) = ей (р, е) B)
или, для двухкомпонентных спиноров,
сстрх + тс2ф = еф, / ф \
м(р, в) =( ^ ). C)
ссгрф — mcix = е%. \ х J
Второе из уравнений C) дает
с - _ D)
и после подстановки этого выражения в первое из уравнений C)
получаем (с учетом соотношения (арJ = р2):
Отсюда следует, что е = ± Vp2c2 + m2ci . При этом спинор ф
остается неопределенным и может быть выбран произвольным
образом, причем двумя независимыми способами (для каждого
из двух различающихся знаком значений е).
Таким образом, при фиксированном импульсе р существует
четыре независимых решения уравнения Дирака вида A), для
которых биспиноры и(р, е) равны
ц(р, е = Е) =
ф1 ^ / Ф2
cap I, «(p, e=-?) = |
¦+тс2^'/ \-Е-
где Е = + Vp2c2 + т2с* > тс2.
Существование решений уравнения Дирака, отвечающих
формально отрицательной энергии частицы, ассоциируется с со-
состояниями античастицы, см. 15.27. Именно в связи с «теорией
дырок», сформулированной Дираком для наглядной интерпрета-
интерпретации состояний с отрицательной энергией, и возникла концепция
античастицы.
Для конкретизации вида спинора ф, а с ним и в. ф. A), E),
воспользуемся коммутативностью эрмитова оператора Л = 2р
с операторами р и Н и введем полную систему с. ф. ^„g^. При
этом из уравнения KW Л = AW еЛ, где
^вгА = « (Р. 8- Л) ехР D- (Рг - s
/ Фл \
I cap I,
V o Л. mr2 ФЛ /
и (р, е, Л) = I _
^ 8 + тс2 Фл ^
847
следует
()л = ЛфЛ, или
F)
Решения уравнения F) были получены ранее в нерелятивистской
теории спина, см. 5.3 и 5.20; напомним, что состояния частицы
с определенным значением % (с. з. % равны ±1/2) называют
спиральными.
В заключение отметим, что при зарядовом сопряжении спи-
ральность %, не изменяется, см. 15.27 (в отличие от значений р
и е, изменяющих знак; отмеченное обстоятельство наглядно про-
проявляется в теории дырок).
15.22. Подставив в известные выражения (XV. 7)
р = ?Т = ?р? A)
волновую функцию состояния дираковской частицы с определен-
определенным импульсом р и энергией е = VР2с2 + т2с* ^ тс2
Wpe = и (p, 8) exp \~ (pr - eo], B)
где биспинор и равен (см. предыдущую задачу)
N
2е
(значение N выбрано таким образом, что нормировка биспи-
нора и совпадает с нормировкой спинора <р, т. е. и*и = ф*ср; на-
напомним, что и* = N (ф*, х*) = N (ф*, ф* е ™Ртс2 ), (орJ = Р2),
получаем
р = W = и*и = ф*ф, D)
j = сФ*с№ = си*аи =
ctf (ар)
, со ^ap) ч
8 + тс2
848
Ф* [tf (ар) + (ар) а] <р. E)
Отсюда, воспользовавшись соотношением
ot (ар) + (ар) а( = (a(ak + aka() pk = 26<fePft = 2P|.
следующим из свойств матриц Паули, имеем
j = сЧ'аЧ? = е + тс2 рФ*ф = iJL Ф*ф = Уф*ф = pv, F)
где v — скорость классической релятивистской частицы, обла-
обладающей импульсом р.
В заключение обсудим вопрос об операторе скорости v дира-
ковской частицы. Формальное вычисление согласно (VI. 4) ком-
коммутатора [Я, г] дает
v = r = j[//, r] = ca. G)
В связи с этим равенством напомним, что введение оператора
f = ~z\H, f] как оператора производной по времени физиче-
физической величины f (для которой д f/dt = 0) в иерелятивистской
теории связано с использованием соотношения, см. [1, § 9],
и непосредственно следует из него в случае отсутствия каких-
либо существенных дополнительных ограничений на в. ф. Ч? со-
состояний системы. В случае релятивистской частицы, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению Дирака, как раз и возникают подобные огра-
ограничения. Они связаны с тем, что непосредственный физический
смысл волновой функции состояния частицы имеет лишь супер-
суперпозиция положительно-частотных решений уравнений Дирака
(сравнить с 15.1 для бесспиновой частицы). Такую суперпози-
суперпозицию 4?+ можно выделить из уже произвольного решения уравне-
уравнения Дирака с помощью проекционного оператора Р+ для реше-
решений с положительиой энергией:
пг+ _ р\_чг р, - cap + тсар + ё
8 = e (p) = У pV + m*c* , (9)
при этом P2+ = P+. Воспользовавшись свойствами матриц а и p":
( ° aiakal \
aiakal = ( a a a о ) = ~ '8'*'Y5 + bikal ~ &tlak + bklaV
28 В. М. Галицкий и др. 849
находим соотношение
Теперь, сделав в выражении (8) подстановки
и выполнив, воспользовавшись соотношением A0), следующее
преобразование:
Р+СаР+ ^
^ A1)
приходим к естественному соотношению v = сгр/ё между опе-
операторами скорости, импульса и энергии свободной релятивист-
релятивистской частицы (в частности, в импульсном представлении полу-
получаем v = с2р/е(р)).
15.23. Волновая функция рассматриваемого состояния имеет
ВИД
где биспинор ы(р) равен
(см. 15.21; использована нормировка и*и — ф*ф ^1).
Среднее значение вектора спииа вычисляется по формуле
и и
Д/2
||ф:
, р = @, 0, р).
л к. FТ ти-/- >
850
Отсюда, воспользовавшись свойствами (V. 3) матриц Паули, по-
получаем
s =— •(„ pi°2 X - mc2
2 1
тс * а * /пч
s« = —г— Ф сГцф, Sz = "тг Ф о*гФ- B)
* 2е * 2 т х
Заметим, что вектор So = -5- ф*Оф имеет смысл среднего век-
вектора спина в рассматриваемом состоянии, но уже в системе ко-
координат, в которой частица покоится, см. 15.25. Поэтому полу-
полученные результаты B) наглядно можно охарактеризовать как
своеобразное сокращение поперечных составляющих вектора s
при лореицевых преобразованиях. При этом для ультрареляти-
ультрарелятивистской частицы, е 3> тс2, вектор s оказывается направленным
вдоль импульса частипы (сравнить со случаем частицы с массой
покоя т = 0, рассмотренным в 15.24).
15.24. Для рассматриваемого унитарного преобразования
U = U+ = —т=- ( 1 находим:
V2 VI -\)
' = иъи+ = s,
Таким образом, оператор вектора спина в новом представлении
сохраняет свой прежний вид -=- S, а уравнение Дирака в новом
представлении
(са'р + mc2P') W = ih -^- У, W = &? =
V2 чф
записанное через двухкомпонентные спиноры | и т], принимает
вид
«А -^-1 = с(Гр| + mc^ti, г А -^- Ti = - С0рп + тс2%. A)
Обсудим более подробно случай частицы с массой покоя
т = 0 (нейтрино). Из уравнений A) видно, что в этом случае
новое представление особенно удобно, так как спиноры | и ц
28* 851
подчиняются независимым уравнениям. Более того, этн спиноры
преобразуются независимо друг от друга и при лоренцевых пре-
преобразованиях (сравнить с 15.25). Таким образом, при т = О
каждое из уравнений A) в отдельности является релятивистски
инвариантным уравнением — уравнением, Вейля. ¦ Однако такое
уравнение неиивариаитио относительно пространственной инвер-
инверсии, в отличие от уравнеиия Дирака. Это связано с тем, что при
инверсии спиноры | и т) «переставляются» местами, как это
следует из преобразования W = PW = 7"р'ЧГ' с учетом вида
матрицы Р'. Отмеченная неиивариантность уравнений A) прояв-
проявляется в том, что описываемые их решениями состояния час-
частицы с энергией е = рс > 0 отвечают определенным, но проти-
противоположным по знаку значениям спиральиости Я, равным +1/2
и —1/2 соответственно для спиноров | и т) (античастица имеет
противоположное значение спиральности, при этом каждое из
уравнений A) СР-инвариаитно).
В заключение заметим, что совокупность существующих экс-
экспериментальных данных свидетельствует о том, что нейтрино
проявляет себя как частица с отрицательной спиральностью.
15.25. В системе координат К, в которой частица покоится
и имеет энергию е = тс2, ее спиновое состояние описывается
биспинором и @) = I I, где ф0 — некоторый двухкомпонент-
ный спинор.
В системе К', движущейся относительно системы К со ско-
скоростью —v, частица имеет скорость v и импульс р =
= mv/Vl — (°/с)г > а ее спиновое состояние описывается биспи-
биспинором и(р), выражающимся через и@) по известной формуле
преобразования Лореица для биспииоров:
и (р) = и' = Su @), A)
S = exp(--i-an9)=ch|--sh|-an (th9 = -?-), B)
где n = —v/v — единичный вектор скорости системы К' относи-
относительно К.
Воспользовавшись соотношениями
рс
852
по формулам A) и B) получаем
в
О)
Это выражение для биспинора м(р) согласуется с видом общего
решения уравнения Дирака, найденного в 15.21. В этом смысле
существенным элементом полученного результата является уста-
установление того факта, что спинор <р в биспиноре и (р) = ( I
ч х /
во всех лоренцевых системах одинаков (с точностью до норми-
нормировки) и равен ф0.
Используя нормировку ФоФо==1> получаем среднее значение
вектора спина частицы в системе К', где она имеет импульс р,
в виде
— и*2и i 1
44^
Его связь со средним значением вектора спина в системе покоя
1 .
частицы, равным sQ = -г-<Po<NP<). легко установить, если напра-
направить ось z вдоль вектора р и воспользоваться свойствами (V. 3)
матриц Паули:
_ тс% - - — тс% - . - _ - /к\
SP. х — ?— s0. Ж' 5р, у ~~ е s0, у> sp, г ~ s0, z> I °>
сравнить с 15.23.
15.26. Имея в виду, что Wp)^ = ик (р) ехр \-г (рг — et) \,
Мр)
+ тс'
находим
что доказывает ортогональность рассматриваемых спиновых со-
состояний релятивистской частицы, отвечающих различным значе-
значениям X (при этом использована ортогональность Фя/Фя,= *?л
двухкомпонеитных спиноров как с. ф. эрмитова оператора 0п).
853
Ответы на вопросы, поставленные в условии данной задачи,
становятся очевидными, если учесть результат предыдущей за-
дачи. Согласно последней спинор q> в биспиноре и (р) = I I
описывающем одно и то же физическое состояние частицы с опре-
определенным импульсом, в различных инерциальных системах коор-
координат одинаков (с точностью до нормировочного множителя).
В системе покоя частицы биспинор имеет вид и @) = ( J и со-
соответственно и% @) = | J. Но в системе покоя частицы урав-
уравнение (on) фя, = Xq>\ эквивалентно
Bп) их @) = Хик @), A)
т. е. является уравнением на собственные функции оператора
En = 2s n — удвоенной проекции спина на ось, направленную
вдоль вектора п. Таким образом, наглядный смысл вектор п,
фигурирующий в определении биспинора и\ (р), имеет не непо-
непосредственно в исходной системе координат, в которой импульс
частицы равен р, а в системе, где она покоится, определяя на-
направление, на которое проекция спина частицы имеет определен-
определенное, равное Я/2 значение. Далее, вектор -г- ф*<Хф определяет
среднее значение вектора спина в системе покоя частицы (во из-
избежание недоразумений подчеркнем, что в задаче рассматрива-
рассматриваются состояния частицы с определенным значением импульса
и именно поэтому имеет смысл говорить о системе покоя час-
частицы).
В заключение заметим, что рассматриваемой задаче о клас-
классификации спиновых состояний частицы с определенным импуль-
импульсом по квантовому числу Я можно придать ковариантную форму.
Для этого введем оператор
/ ffV — Vo \
X = iYsv = tvs (yv + y«v4) = ( I B)
где v,- = (v, v«) — некоторый единичный 4-вектор, так что vf =
= v2 + v^ = 1, ортогональный 4-импульсу частицы pi = (р, ie/c),
т. е. ViPi = vp_— voe/c = 0, a v4 = iVo. При этом уравнение
Хик (р) = Я«я, (Р) C)
эквивалентно уравнению (an) q>fc = X<p\, где связь трехмерного
вектора п с 4-вектором v,- определяется тем условием, что в си-
системе покоя частицы v( имеет вид v* = (n, 0). Действительно,
854
учитывая выражения для биспинора и\ (р) и оператора X, иахо-
дим
Далее, выразив v, v0 через компоненты (п, 0) с помощью пре-
преобразования Лоренца для 4-вектора:
где знаки _L, || соответствуют перпендикулярным и параллель-
параллельным составляющим векторов по отношению к вектору р/|р|,
получаем
v
v_v,(e-mC»)p
%
тс%
При этом, как видно, верхний спинор в биспиноре D) совпадает
с (огп) ф^. Аналогично убеждаемся в справедливости соотно-
соотношения
( с (av) (ap) \ с (ар) , ~
I V0 , Г ¦ 1 Ч>1 = , -¦ (<*П) ф.
для нижнего спинора в D). Из приведенных равенств и следует
эквивалентность уравнения C) уравнению (an) ф^ = X<f^ Заме-
Заметим, наконец, что такая эквивалентность уравнений очевидна из
следующих соображений. Введенный оператор X является ска-
скалярным (точнее, псевдоскалярным) оператором по отношению
к преобразованию Лоренца. Соответственно из ковариантности
уравнения C) вытекает, что выполнение его в одной из систем
отсчета автоматически обеспечивает справедливость уравнения и
в любой лоренцевой системе; а в системе покоя частицы уравне-
уравнение C) имеет вид (an) ф^ = Лф^.
15.27. Решения уравнения Дирака, отвечающие определенным
значениям импульса и энергии частицы, имеют вид6), см. 15.21,
/ Фп \ ^
^ре113! cap Iе =
\ —+. *" ^Р /
/ cap ч i
= ( ет/лс2 *р |р * р i\\
V хр )
6) Обращаем внимание на соответствие таких обозначений
использованным ранее в случае бесспиновой частицы, см. 15.1.
855
где e=Vpc + т с* ^ тс . При этом решение Wj]"e имеет
физический смысл волновой функции состояния частицы с им-
импульсом р и энергией е.
Решение Ч?^, отвечающее формально отрицательной энер-
энергии и импульсу —р, не имеет непосредственного смысла в. ф. со-
состояния частицы. Такое решение сопоставляется античастице,
причем в. ф. античастицы TPcl"=C5f~ получается в результате
применения операции зарядового сопряжения С к функции W^.
Это преобразование при используемом выборе (XV. 5) матриц
Дирака записывается в явном виде следующим образом:
6 p), B)
или более подробно, с указанием биспинорных индексов:
(Y2Y4)ae (V-% P,e =
К 2Y4fV №-% - (Y2)atl (V% C)
(здесь использовано, что Р = \4. Р2 = 1. Рцв = Рвц)-
Воспользовавшись соотношениями
согласно (З) находим в. ф. состояния античастицы, соответствую-
соответствующего «нефизическому» решению *Р~е уравнения Дирака:
е + тс*
D)
В этом состоянии античастица имеет импульс р и энергию 8 =
= Vp2c2 + т2с4 > тс2. Обозначив фс> р ^ — to2V перепишем
выражение D) в виде
cap )«*
e-4-me* ф«- Р /
• me'
656
что по форме совпадает, естественно, с волновой функцией ана-
аналогичного состояния частицы с импульсом р и энергией е.
Волновая функция состояния античастицы с определенной
спиральностью W+ peJl удовлетворяет уравнению
I
(Лп) ЧГ 1=ЛЧГ j., п = р/| р I,
из которого следует
1
. _1 = Яфс _i. F)
Учитывая установленную выше связь спинора фс в в. ф. анти
частицы со спинором Хр в [решении V~e уравнения Дирака
(фс> = — i<r2Xp~*)> замечаем, что уравнение F) эквивалентно
уравнению
( во избежание недоразумения подчеркнем, что спинор Хр соот-
соответствует решению уравнения Дирака с импульсом —р; поэтому
оператором спиральности для него является —— (ffn)) • Это
означает, что при зарядовом сопряжении W^=CW~ квантовое
число спиральность сохраняет свое значение (в то время как
импульс н энергия изменяют знак; отмеченное свойство спираль-
спиральности наглядно проявляется в «теории дырок», в которой анти-
античастица интерпретируется как дырка среди заполненных состоя-
состояний частицы с отрицательной энергией).
/О 1
15.28. Коммутативность эрмитова оператора у5 = — (
~ ~ /0 <r\ ~
с гамильтонианом Н = сор = с I I p безмассовой дираков-
ской частицы очевидна: [ye. H] = 0.
Для выяснения физического смысла с. з. р. оператора ys
найдем общие с. ф. Ч'ргц коммутирующих друг с другом эрми-
эрмитовых операторов Н, р, у6. Эти функции имеют вид
— (VT-Z е==±рС A)
(сравнить с 15.21), причем из уравнения Ys^pen = ^рец слеДУет
857
Отсюда ц2 = 1, т. е. собственные значения равны ц = ±1
(что, впрочем, очевидно заранее, так как Y5=0# Имея в ВИДУ
соотношения B) и равенство (огрJ = р2 = е2/с2, замечаем, что
уравнения
^V W^^^ C)
где п = р/р, эквивалентны друг другу. Отсюда следует физиче-
физический смысл величины —И6/!8! как удвоенного значения 2Я спи-
ральности состояния. Таким образом, для решений уравнения
Дирака с положительной энергией е = рс > 0 имеем ц = —2Я,
а для решений с отрицательной энергией (сопоставляемых анти-
античастице) уже ц = 2Я; в связи с данной задачей см. также 15.27
и 15.29.
15.29. Так как Р2± = Р±, то эрмитовы операторы Р± =
== — (I ± Yb) являются проекционными, см. 1.31. Имея в виду
установленную в предыдущей задаче связь с. з. оператора Ys
со спиральностью Я, замечаем, что оператор Р+ проектирует на
состояния: со спиральностью Xi = —1/2, действуя на решения
уравнения Дирака с положительной энергией, и с Яг = +1/2 —
в случае отрицательной энергии (т. е. для состояний, сопостав-
сопоставляемых античастице, сравнить с 15.27). Оператор Р- проектирует
на состояния с противоположными значениями спиральности.
В заключение заметим, что противоположность по знаку зна-
значений спиральности частицы и античастицы, сопоставляемых с. з.
ц матрицы Y6, связана с тем, что уравнение Ys1? = у№ при за-
зарядовом сопряжении принимает вид y№c = —цЧ^, так как
CY6 = - Yb6-
15.30. Уравнения Дирака для двухкомпонентных спиноров
в случае безмассовой частицы, т = 0, имеют вид (сравнить
с 15.21, <r = 2s = sis)
М-JL = сарх s= i- spx, /A-^- = c<rp<p = -jsp<p. A)
Они содержат два спинора ф и %, описывающие спиновые свой-
свойства частицы с s = 1/2 по отношению к чисто пространствен-
пространственному вращению системы координат и независимым образом пре-
преобразующиеся при таком преобразовании (но не при преобразо-
преобразовании Лоренца).
Естественное обобщение уравнений A) на случай частицы
с произвольным спином s (и массой т = 0) состоит в отожде-
отождествлении в этих уравнениях ф и % с двумя спиновыми функция-
функциями, отвечающими спину s и имеющими по Bs -f- I) компонент
858
каждая; при этом под s следует понимать оператор спина ве-
величины s.
В случае спина s = 1 удобно воспользоваться векторным
представлением, в котором компоненты спиновой функции яв-
являются декартовыми компонентами вектора (см. задачи § 4 гла-
главы 3), а операторы компонент спина определяются соотношениями
Sidk = —itikiui. При этом
т. e. (sp)a = ftrota, и отождествив в уравнениях A) ф и %
соответственно с векторами 8 и 1Ж, приходим к уравнениям
l-l-^rot^, -!-?-* = rot*,
с dt с at
представляющим часть системы уравнений Максвелла. Два дру-
других уравнения, div 1 = 0 и div Ж = 0, выступают как дополни-
дополнительные условия, накладываемые на векторы & и X. В клас-
классической электродинамике они приводят к поперечиости
электромагнитных воли, а в квантовомеханическом аспекте
соответствуют исключению состояний фотона с равной нулю
спиральностью. Заметим, что подробное изложение квантовой
механики фотона содержится в книге [29].
15.31. Плотность тока и плотность заряда для дираковской
частицы описываются выражениями (XV. 7)
A)
(подчеркнем, что они справедливы как для свободной частицы,
так и для частицы во внешнем электромагнитном поле).
В нерелятивистском пределе (энергия частицы е « тс2)
в волновой функции (биспиноре) Ч? — I J нижний спинор %,
удовлетворяющий уравнению
lh -^г = со [р - ~ А^ ф - тс\ + еАоХ,
приближенно равен f так как при этом Ш -^- « тс2% J
Соответственно в. ф. частицы описывается выражением
859
а комплексно сопряженная в. ф.
Подставив выражения B) и C) в формулы A), находим
с точностью до членов порядка A/сJ
р = еЧГ? « еф*ф, D)
? +
Воспользовавшись соотношением одо* = Si* +
Паули, выражение E) можно упростить:
для матриц
~ f л*) ф ~
7 Л*) ф*)
2т
{2е
Ф*/>,Ф - (^Ф*) Ф — ^,Ф*Ф
и так как при этом
то получаем
Ф*а,ф = {rot (ф'аФ)}г
pt)ф} - те" Аф*ф+^"rot (ф<Оф)•
что совпадает с формулами (VII. 4—VII. 6) нерелятивнстской
теории для плотности тока частицы со спином s = 1/2, имеющей
заряд е и магнитный момент ц = eh/2mc.
15.32. Учитывая явный вид матриц Дирака (XV. 5) и тен-
тензора электромагнитного поля
О Эёг -Жу -i&x
a&z и ^afox —10 у
16 х 0 — Шг
V
9у
? х
i,
l, 2, 3,
860
рассматриваемый гамильтониан легко преобразовать к виду
Н = сор —
При этом волновое уравнение ih -g? V = HW приводит к сле-
следующим уравнениям для двухкомпонеитиых спиноров ф и %
в биспииорной волновой функции V = ( I:
ih -=г ф = сарх + тс2ф
д ~
«Л -=г 5С = С(ГРФ — т°2%
Для перехода к нерелятивистскому пределу, когда энергия
частицы е » /пс2, следует, как обычно, выделить из волновой
функции множитель е-(тс2'/й( Т- е- записать ее в виде V =
l з I и
учесть неравенство
Ф Г!") C)
в выражении
2*=e-tmc't'h [mc*W + /А-|-
(? — характерная величина энергии нерелятивистской частицы).
При этом второе из уравнений B) принимает вид
2/пс2х — WXX + ih-^r%= (cap — ixog) ф. D)
Из приведенных соотношений с учетом предполагаемого неравен-
неравенства |и5#| < /пс2 следует
(заметим, что |х| -С |ф|. как и в случае свободной нереляти-
нерелятивистской частицы).
Далее, подставляя E) в первое из уравнений B) (предва-
(предварительно выделив из спиноров ф и % множитель e-imcHlh), по-
получаем ч
ih Ж ф
Т"og) (°р ~ "Т
861
Записав здесь ар = otpt, оЕ = crft(S°ft и воспользовавшись соот-
соотношением GiGk = bik + izikiGi для матриц Паули, находим
(<fp) (ag) - (о&) (ар) = Ср&) - (#р) + i [р#] а - i [&р\ а,
причем
(р#) — (%р) = — Их div &,
[р&\ ~ [&р] = — ih rot & — 2 [#p] « —2 [gp\
(так как rot ^ = — 5^/c d/, то слагаемое с rot S можно опу-
опустить как более высокого порядка малости по 1/с; в стационар-
стационарном случае оно обращается в нуль тождественно). Учитывая
эти соотношения, равенство (арJ = р2 и пренебрегая слагаемым
со (<^/сJ, приводим уравнение F) к виду
G)
В пренебрежении «малым» спинором % в волновой функ-
функции W, это уравнение является уравнением Шрёдингера с га-
гамильтонианом
сравнить с гамильтонианом Паули (VII. 1). Отсутствие в Й сла-
слагаемого еАа означает, что описываемая им частица является ней-
нейтральной (Ло — скалярный потенциал внешнего электростатиче-
электростатического поля), а наличие слагаемого — х,оЖ указывает на то, что
частица имеет магнитный момент, равный ц = х.
Последний, третий член в выражении (8) описывает спин-
орбитальное взаимодействие. При этом слагаемое [^р]а
в этом взаимодействии является естественным квантовомехани-
ческим обобщением энергии взаимодействия движущегося клас-
классического магнитного диполя с электростатическим полем, обсуж-
обсуждавшимся в 13.60.
Гамильтониан A) и его нерелятивистский предел (8) ис-
используют для описания нейтро,на в электромагнитном поле. Вы-
Выражение — (x'PytYv^tv применяют также для описания взаимо-
взаимодействия с электромагнитным полем аномального магнитного
момента ц' заряженных частиц со спином s = 1/2. При этом
взаимодействие нормальной части магнитного момента, равной
еН/2тс, как и заряда е частицы с полем, описывается выра-
выражением —еаА + еА0. Соответственно релятивистское волновое
862
уравнение для такой частицы в электромагнитном поле имеет вид
(напомним, что для частицы со спином s = 1/2, имеющей за-
заряд е и магнитный момент ц, «разбиение» последнего на НОР"
мальную и аномальную части определяется соотношениями
eh eh \
У = Унорм + Уаном; Инорм g^ ' ^аном — V — ~fy^) •
15.33. Энергетический спектр и соответствующие биспинорные
волновые функции стационарных состояний частицы определяют-
определяются из решения уравнения Дирака в магнитном поле (е — заряд
частицы)
(са (р - у а) + mc2ij и = ем,
ш
г, t) = ue *
или для двухкомпонентных спиноров
(е - те1) ф = со (р - -f А) %, (е + тс2) % = са (р - у а) Ф.
4 A)
Исключая спинор % из этой системы, получаем
--^А)) ср. B)
Это уравнение, воспользовавшись соотношением
(см., например, 7.10), можно записать в виде
отличающемся лишь заменой Е на (е2-т?)/2тс= от уравне-
уравнения Паули для частицы со спином s = 1/2, имеющей заряд е
и магнитный момент ц = еП/2тс. Уравнение C) для случая од-
однородного магнитного поля Жо было решено в 7.9. При выборе
векторного потенциала А = @, Жах, 0) решение уравнения C)
863
имеет вид
= 0,
\е\Жа I he
^- а=Л/7
где постоянный спинор <рст является собственной функцией
оператора аг, отвечающей с. з. сгг = ±1 (подчеркнем, что ось г
направлена вдоль магнитного поля).
Второе из уравнений A) определяет спинор %пр р a , а тем
самым и в. ф. ?„р р a рассматриваемых состояний.
Заметим, что в нерелятивистской теории квантовое число
яг = Ог/2 определяет проекцию спина частицы на ось г. В ре-
релятивистском случае аг утрачивает этот смысл, так как спинор
%пр р a уже не является с. ф. оператора аг, а соответственно
и в. ф. Wnp p a не является собственной функцией оператора
s2 = -5- 2Z. Тем не менее, имеющее место в нерелятивистской
теории для дираковской частицы вырождение уровней попереч-
поперечного движения по значениям а2, см. 7.9, согласно D) сохра-
сохраняется и в релятивистском случае.
Выражение D) дает два значения энергии, различающиеся
знаком. Одно из них, е ^ тс2, непосредственно представляет
энергетический спектр частицы; другое, е =gc —тс2, соответствует
античастице, имеющей уже положительную энергию (сравнить
со случаем свободной частицы, рассмотренным в 15.27). При
этом энергетические спектры в магнитном поле частицы н анти-
античастицы одинаковы — очевидный физический результат (сравнить
со случаем бесспиновой частицы в магнитном поле, рассмотрен-
рассмотренным в 15.11).
15.34. Гамильтониан дираковской частицы во внешнем элек-
электростатическом поле
Й = cap + /яс2р + eiA0 (г) н= //0 + V, V = eiAa = Zeerfr.
Рассчитаем дифференциальное сечение рассеяния частицы со-
согласно формуле теории возмущений для переходов в непрерыв-
864
иом спектре между состояниями свободной частицы с определен-
определенными значениями импульса7), сравнить с [1, § 126].
При нормировке волновой функции начального состояния
частицы с определенным импульсом р] на единичную плотность
потока (см. 15.22):
A)
Vi . ,
(e, v — энергия и скорость частицы), а волновой функции конеч-
конечного состояния с импульсом Рг — на единичную плотность веро-
вероятности:
е + тс
B)
(спиноры ф(, f нормированы на единицу: |ф/, f[2= 1, энергия час-
частицы в начальном и конечном состояниях одинакова) — извест-
известная формула теории возмущений для дифференциальной вероят-
вероятности перехода в единицу времени определяет дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния
C)
Плотность конечных состояний равна
d3pf
(вв) =
— [ Л (с
62) BЯЙK c2 - BЯЙK c2 ' ( '
Матричный элемент возмущения имеет вид
2е V"
_тс>) Г ?*_ dW У г (ор.) (ар,) I
" J r f L (е + me2J J
Zeei (в +тс) Г ? dW У г (ор.) (ар,) I
7) Более последовательный способ расчета дифференциаль-
дифференциального сечения, основанный на вычислении амплитуды рассеяния
в борновском приближении, см. в 15.37.
865
где, как обычно, ftq = рг— pi. Воспользовавшись соотношениями
(9 — угол рассеяния)
(ар2) (ар,) = PitpikOiOk = Pnp\k (Ьш + iutkioi) =
= P1P2 + i [P2P1] <* = P2 cos 9 ~ ip2 sin 6 av;
nh2
f _ ,-qr d3r _ 4n_
_
~qr~ p2 sin2 (9/2) '
преобразуем выражение E) к более удобному виду:
у _ Х
if 2ep2V« (г + тс2) sin2 (9/2)
X Ф^ {(е + тс2J + р2с2 cos 9 — /р2с2 sin 9 orv} ф(. F)
Формулы C), D), F) определяют дифференциальное сече-
сечение рассеяния. Оно зависит от энергии частицы, угла рассеяния,
а также от спиновых состояний частицы до и после рассеяния,
описываемых спинорами ф,-, f. He интересуясь поляризационными
явлениями при рассеянии, выполним в дифференциальном сече-
сечении усреднение по спиновому состоянию частицы в падающем
пучке, предполагая его неполяризованным, и суммирование по
независимым спиновым состояниям рассеянной частицы (ниже
эта операция обозначена чертой над матричным элементом). Вос-
Воспользовавшись известным из нерелятивистской теории соотно-
соотношением
в рассматриваемом случае получаем
| ф^ {(е + тс2J + р2с2 cos 9 - ip2c2 sin9
и приходим к окончательному выражению для дифференциаль-
дифференциального сечения рассеяния неполяризованных частиц:
(сравнить с рассеянием бесспиновых частиц, рассмотренным
в 15.17). В нерелятивистском пределе v/c <S I, p » mv оно пере-
переходит в формулу Резерфорда.
В заключение укажем, что условием применимости получен-
полученного результата является выполнение неравенства \Zee\\ <?Lhv.
866
15.35. Выражение для дифференциального сечеиия рассеяния
иеполяризованных частиц
da =
можно получить непосредственно из формулы G) предыдущей
задачи, если в ней произвести очевидную замену
dV - eAa{q)
nh2
Воспользовавшись соотношением dQ = —— dq2, находим пол-
полное сечение рассеяния
4p2/ft2
о
В ультрарелятивистском пределе имеем р да г/с, v да с. Учи-
Учитывая, что в интеграле B) существенна область конечных зна-
значений q2^R~2, где R — радиус потенциала А0(г), замечаем,
что при е -*¦ оо сечение рассеяния стремится к постоянному зна-
значению
(совпадающему с сечением рассеяния заряженной бесспиновой
частицы, см. 15.18). Отметим, что сходимость интеграла в выра-
выражении C) на нижнем пределе (</2-»-0) предполагает следую-
следующее убывание потенциала на больших расстояниях: |Ло@| <
< В/г2 (как и в нерелятивистском случае, иначе полное сечение
рассеяния обращается в бесконечность).
15.36. Искомые функции Грина легко могут быть выражены
через соответствующие функции Грина свободной нерелятивист-
нерелятивистской частицы ^(г,г'), для которых
(- А - k2) 8* (г, г') = в (г - г'), в* (г, г') = ""ffil^r
Воспользовавшись соотношением
— А2с2Д — е2 + т2с* = (cap + mc2p — е) (cap + mc2p + е),
867
имеем (еа «= tf&c2 + т2с*)
г — Г' |
- (cap + тс>$ - е) (cap + тс'Ц + е) fa^jj/
= б(г-г')
Отсюда непосредственно следует вид функций Грина свободной
дираковской частицы
8? (Г '>
или, с явным указанием биспинорных индексов,
Аналогично, воспользовавшись соотношением
— А2с2Д — е2 + m2c4 = (Up + тс2) (— icp + тс2),
находим функции Грина
t± _ — icp + we2 exp (± ik [ г — rr [ ) _
'6 4яЛ2с2 | г - г' 1
_ — ЙсуУ + еу4 + тс2 exp (± ife [ г — г'
~ 4лЛ2с2 |г-г'|
удовлетворяющие уравнению
15.37. Записав с помощью Грнна G~? из 15.36 уравнение Ди-
Дирака в интегральной форме, получаем амплитуду рассеяния
в бориовском приближении в виде (сравнить с (XIII. 3—6), е —
заряд частицы, F = fui):
Тв = е(ар2 + те2? + е) (аЛ (q) - Ло (q))|Wc2.
Здесь биспинорная амплитуда F рассеянной волны связана
с асимптотикой решения при г -»- оо
Отметим соотношение (при нормировке мк2)Кк2) = 1)
da/dQ]= | «*(р2) ?ви, (р,)|2 = | 48ви{ |2,
где 8В = ee(aA (q) - Ао (
868
ДОПОЛНЕНИЕ
Д1. Интегралы и интегральные соотношения.
оо
w=i \eikXdk' б(r) = w\е'ктЛ- (Д1Л)
Аналогичное соотношение справедливо и для и-мерного про-
пространства.
Здесь а < хо < Ь; е>0 — бесконечно мало; + — интеграл в
смысле главного значения; о вычислении мнимой части инте-
интеграла см. 13.11.
— оо
eihx dk
k2 + %2
x и x — вещественные, причем х > 0; е > 0 бесконечно мало.
Интегралы вычисляются с помощью вычетов замыканием кон-
контура интегрирования в верхнюю (при х > 0) или нижнюю (при
х < 0) полуплоскость комплексной переменной к.
4. \ Le*T-y.rd3r= 4я Re>c>0. (Д1.4)
Интеграл (определяющий при >с = 0 фурье-компоненту кулонов-
ского потенциала) вычисляется в сферических координатах с вы-
выбором полярной оси вдоль вектора к.
869
. [ dx (-1)" да Г dx
J (x + о ) /il da J * т •*
— oo —00
яBя-1)!!
— 5—^, fl>0. (Д1.5)
6.
b
7,
a
. \ — V(* — a) (b — *) rf* = y (a + 6 - 2 Va* ), 0 < a < b.
(Д1.7)
8. J
о
Д2. Цилиндрические функции
Цилиндрическими функциями Zv (г) называют решения диф-
дифференциального уравнения
г" B) + - z'v B) + (i - -j-J-) zv B) = о. дал)
Функции Бесселя
¦^i f —П* / ? \ V + 2A
^w^Z^rd+l+d(t) (Д2-2)
A -0
являются частным видом цилиндрических функций.. Если ин-
индекс v не совпадает с целым числом, то функции Бесселя
I± v (z) представляют два линейно независимых решения урав-
уравнения (Д2.1), так что
2V (г) = C,/v (г) + C2/_v (г), v Ф 0, 1, 2, ...
Поведение функций Бесселя при z -*¦ 0 непосредственно сле-
следует из их определения (Д2.2), а асимптотика при г->-°о имеет
вид
Функции Неймана
Nv (z) ^ Fv (г) = -~^ [cos (nv) /v B) - /_v (г)]. (Д2.4)
Для целочисленных значений индекса v = п они, Nn (г) =*
= lim A'v (z) при v -»- и, являются вторым, линейно независимым
870
с /v (z) решением уравнения (Д2.1); при этом
No (г) « — 1п-^- и JVVB) « i^L ( _) для v > О,
2
(Д2.5)
здесь у = ес= 1,781... — постоянная Эйлера, С=0,5772... Асимп-
Асимптотика фуикций Неймана при г->- °о имеет вид:
С функциями Бесселя и Неймана тесно связаны функции
Ганкеля
H^(z) = Iv(z) + iNv(z), Н™ (г) = Jv (z) - iNv (г), (Д2.7)
а также модифицированные функции Бесселя /v (г) и 7fv (z)
(функции Макдональда), определяемые соотношениями
А 1 (z\v+2k
^v (г) = - ." ffM [/-v (г) - /v (г)], v ^ 0, ±1, ± 2, ...
Для целочисленных значений индекса Кп (г) = !im Kv (г) при
v -> /г = 0, ±1, ±2, ...; при этом
^0(г) « In —; /f„ B) « (П";1)! f-V, n = 1,2, .... (Д2.9)
сравнить с (Д2.5). Суперпозиция модифицированных функций
Бесселя
«v B)^ZV (гг) = C,/v (г) + C2Kv (г)
(представляющая цилиндрическую функцию мнимого аргумен-
аргумента) является общим интегралом уравнения
v = 0. (Д2.10)
В заключение отметим, что с цилиндрическими функциями
связаны решения дифференциальных уравнений
v + 2
±i(^) (Д2Л2)
V + 2
и" (г) + (у2е2г - v2) и (г) = 0, « = 2v(Yez), (Д2.13)
имеющие важные квантовомеханические приложения.
871
ДЗ. 1/N-разложенш в квантовой механике
Метод l/JV-разложения является расчетным методом, разви-
развитым в последнее время и используемым в различных разделах
теоретической физики. Идея метода состоит в «конструировании»
параметра N для рассматриваемой системы, при значениях Af»l
которого решение задачи упрощается и возможно получение его
в виде разложения по 1/N. При удачном выборе параметра N
область применимости такого разложения может «затягиваться»
вплоть до значений N ~ 1, характеризующих исходную систему
(сравнить с высокой точностью квазиклассического результата
для Еп и при и ~ 1, хотя формальное условие применимости его
и » 1). Выбор параметра N связывается с расширением числа
степеней свободы (числа состояний, размерности пространства
и т. п.) рассматриваемой системы. Ниже рассмотрено несколько
элементарных реализаций такого подхода ') при решении одно-
частичного уравнения Шрёдингера.
1. Рассмотрим состояния дискретного спектра частицы в од-
одномерном потенциале U(x) = —Uof(x/a), представляющем яму
с одним минимумом (в точке Хо = 0). По мере увеличения па-
параметра
число связанных состояний частицы возрастает. В случае N ~> 1
волновые функции нижних уровней локализованы вблизи точки
минимума потенциала, в которой U'(Q) — 0. При этом для по-
потенциала можно воспользоваться разложением по степеням х/а
(ниже Н = m = a = 1):
U(x) = U @) + j a>2*2 + а*3 + P*4 + •. •,
где
w2=[/"@), а=?/"'@)/6, р = ulv @)/24. (Д3.2)
Здесь третий и последующие члены разложения выступают как
возмущение; невозмущенная система — осциллятор с частотой ш.
Ряд теории возмущений по степеням ангармонических поправок
"- (ДЗ-3)
см. [1, § 38], применительно к рассматриваемой задаче пред-
представляет 1/Л/-разложение для энергетических уровней частицы
(при этом 1/@) - N2, и ~ N, (а2/а>4) ~ (Р/и2) ~ Л™ = 1
и т. д.). Этот результат асимптотически точен при N-^oo. Од-
Однако, как правило, для гладких потенциалов он имеет достаточно
высокую точность и при значениях N J3 1 (для увеличения точ-
точности следует учесть более «высокие» ангармонические поправки,
') О развитии метода l/W-разложения и его приложениях
см. обзоры: Mlodinow L. ?>., Papanicolaou N.//Ann. Phys. 1980.
V. 128. P. 314; 1981. V. 131. P. 1, статью Мур В. Д., Попов В. С,
Сергеев А. В.//ЖЭТФ. 1990. Т. 97. С. 32 и цитированную в них
литературу.
872
их вычисление выполняется элементарно). Проиллюстрируем это
обстоятельство на конкретных потенциалах.
а) Для потенциала
U (х) = - ?/och-2 (х/а) (Д3.4)
выражение (ДЗ.З) принимает вид (в выбранных единицах N =
Сравним его с точным спектром [1, § 23]
?
4")- (ДЗ-5)
(Д3.6)
и с квазиклассическим выражением
отличающимся от
(Д3.6) лишь заменой 1 + 8U0 на 8Uq. Для основного уровня
при различных значениях N имеем
- Ей (\/N)
-Ео
г.КВ
— Ео
1
0,543
0,500
0,418
1,5
1,439
1,410
1,314
2
2,836
2,814
2,711
3
7,129
7,114
7,004
4
13,422
13,411
13,297
Для первого возбужденного уровня
N = ^fп^
-EX(MN)
— Et
Г.КВ
1,5
0,318
0,231
0,193
2
1,007
0,942
0,882
п=1, получаем
3
3,886
3,842
3,761
4
8,765
8,732
8,640
Заметим, что этот уровень появляется при значении Uo = 1
(согласно (Д3.6) общее число дискретных уровней_в рассматри-
рассматриваемом потенциале прн W » 1 составляет Nypm^2N).
Обсудим на примере потенциала (Д3.4) вопрос о волновых
функциях частицы в приближении l/W-разложеиия. По форму-
формулам теории возмущений (VIII. 2) получаем
], (Д3.7)
где Wff (x) — собственные функции линейного осциллятора с час-
частотой (о = -\/2?/о • При этом возмущение осциллятора имеет вид
873
2
V = —rrUox*, так что отличные от нуля коэффициенты раз-
о
ложения с^1 — {k | V | 0) равны
4> = 1/4 V^. 44 = I/8 V3Z77.
Подчеркнем, что волновая функция2) (Д3.7) нормирована на
единицу с точностью до членов второго порядка по 1/N.
Точная волновая функция основного состояния имеет вид
см. [1, § 23]. Нормировочный коэффициент легко найти для зна-
значений Up = 1 (при этом s=l) и l/0 = 3(s = 2): ЛA)=»
/V () У/
Сравним значения волновых функций в нуле. При этом
Ф0@) = Л, а
?0 @) = ?@0) @) A - 3/8
и для отношения ./? = Чго(О)/Ч;о(О) получаем:
Я = 1,0048 при Uo = 1 и R = 1,0020 прн t/0 = 3.
Как видно, l/W-разложение обеспечивает высокую точность
как при расчете энергетических уронней, так и волновых функ-
функций в существенной области их локализации даже в случае
сравнительно небольших значений N, когда в потенциале суще-
существует всего несколько дискретных уровней. Следует ожидать,
что это обстоятельство будет проявляться и в общем случае
для достаточно «гладких» потенциалов. Рассмотрим еще не-
несколько примеров.
б) Для потенциала U(x) = Up(a/x — х/аJ в рассматривае-
рассматриваемом приближении получаем (W = /уТГ0, положено а = 1)
-8-+... (Д3.8)
Сравнение с точным выражением для спектра
?Л = У81лГ[« + у + -1(-\/8?/о + 1- V8t7o)] (Д3.9)
показывает и в этом случае высокую точность результата
l/W-разложения при значениях WJSI; так, при N = 1 для основ-
основного уровня Ео/Ео = 1,026.
в) Для потенциала (Uo > 0, а > 0, b > 0)
U (х) = Uо (е-2х1а - Ъе~х>а)
2) Приведенное выражение для волновой функции справед-
справедливо лишь в области существенной локализации частицы (и не-
неприменимо на больших расстояниях в классически запрещенной
области; в этой области для в. ф. можно воспользоваться квази-
квазиклассическим выражением).
874
рассматриваемое l/W-разложение дает (w = V^o"> a=l):
t/b2 +
+ --- <ДЗЛ0)
Приведенные три члена разложения совпадают с точным резуль-
результатом для спектра Еп = — -g- W2U0b2 ~ Bгс + I)]2, сравнить с
g
[1, § 23].
2. Рассмотрим теперь энергетический спектр связанных «-со-
«-состояний частицы в центральном потенциале U(f). Вычисление
его с помощью 1/ЛЛ-разложення можно выполнить, если исхо-
исходить из решения уравнения Шредингера для W-мерного про-
пространства.
В W-мерном пространстве для сферически симметричных
функций имеем3)
Поэтому уравнение Шредингера для s-состояний подстановкой
W = %(r)/rv с v = (N—1)/2 сводится к обычному одномер-
одномерному уравненню Шредингера (ниже ft = m = 1):
(Д3.11)
При больших значениях N благодаря квазицентробежному барье-
барьеру оэ N2/rz волновые функции и энергетический спектр состоя-
состояний вблизи минимума эффективного потенциала обладают свой-
свойствами, подобными отмеченным в пункте 1 для потенциала U =
= Uof(x/a) при ?/0->-оо н могут быть рассчитаны указанным
там способом.
Для решения уравнения (Д3.11) при N 3> 1 с помощью раз-
разложения по параметру \/N удобно сначала получить решение
в виде разложения по параметру \/N, где N2 = (N—1) (N— 3)
и уже в нем выполнить разложение по 1/ЛЛ Рассмотрим прило-
приложения изложенного метода к конкретным потенциалам.
а) Для потенциала U = Ft уравнение (Д3.11) принимает
внд
-|х"+ \ЪЦЪг2 + Fr]% = E%.
Выполнив разложение ?/Эф в окрестности точки r0 = (FP/4FI/3
минимума эффективного потенциала:
иаф = ~ Fg~1/3 + -i FgWx* - 2Fg2'3x3 + ~ Fgx4 +...,
з) Этот результат легко получить, если воспользоваться со-
соотношением A=divgrad и учесть, что grad / (г) = / 'т/г и
• = N.
875
где х = г — г0 и g = 4F/FP, получаем (поступая как и при вы-
выводе формулы (ДЗ.З))
4 ^~1
Яо Ш) = 4 ^~1/3 + 4 Л/37?^+ ±82/3+ ... (Д3.12)
Отсюда, имея в виду, что
- AN + 3) « 4fW~2 A + 4/W + 13/W»), (Д3.13)
приходим к выражению для энергии основного уровня в виде
l/W-разложения
±(ff) X
3 / FW \2'3
= -2. J il?l_J .{1- 0,17863^-' +0.02906Л/-2 +...}. (Д3.14)
2, \ 2 J
Положив N = 3, получаем ?0 = 1.8549Я/3, что лишь на 0,05 %
отличается от точного значения Ео = Pi (Я/2) = 1,8558Я«
(здесь —Pi=—2,3381 —первый нуль функции Энрн, Ai(—Pi)=0;
сравнить с 2.8). Отметим также, что применительно к одномер-
одномерному потенциалу U = F\x\ формула (Д3.14) при W = 1 дает
Ео = 0,8036Я'3, в то время как точное значение Ео = О,8О86Я/3.
Столь высокая точность формулы (Д3.14) определяется тем, что
в данном случае параметр разложения можно оценить как
»1/5ЛЛ
б) Для потенциала U = сег4, поступая аналогичным обра-
образом, находим
Е. A/ЛО = За'/з (ML)
V 16)
и переходя как в (Д3.13) к параметру разложения 1/W, полу-
получаем
д^) X
8(Уз/2-1) 50-24л/б"
* * • J ~
0.5993ЛГ-1 - 0,3255iV-2 + ... } (Д3.15)
(параметр разложения «1/2W). Отсюда, положив N = 3, имеем
?о = 2,379се1/3, что отличается от результата точного численного
решения уравнения Шредингера, Ео = 2,394а1/3, всего на 0,4 %.
в) Для кулоновского потенциала U = —а/г находим
876
Переходя, как и выше, к разложению по параметру 1/N, по-
получаем
Ео A/ЛО = - 2а*ЛГ-* { 1 + 2/N + 3/JV* +...}. (Д3.16
Здесь по сравнению с (Д3.14) и (Д3.15) сходимость разложения
«затягивается». Это разложение можно «улучшить», если вос-
воспользоваться параметром разложения l/(N—l). При этом ны-
ражение (Д3.16) принимает нид E0(l/(N— 1))= — 2a?/(N— IJ,
что совпадает с точным результатом. Указанное изменение па-
параметра разложения связано с тем, что оно при N = 1 обеспе-
обеспечивает «падение на центр» (дает ?0 = —°°), возникающее в ку-
лоновском потенциале в одномерном случае, см. 8.61.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.:
Наука, 1989.
2. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука,
1983.
3. Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973.
4. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая
механика.—М: Наука, 1979.
5. Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика. — М:
Наука, 1976.
6. Мессиа А. Квантовая механика. — М: Наука, 1978. Т. 1,
1979. Т. 2.
7. Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1957.
8. Коган В. И., Галицкий В. М. Сборник задач по квантовой
механике. — М.: Гостехиздат, 1956.
9. Гольдман И. Я., Кривченков В. Д. Сборник задач по кванто-
квантовой механике. — М: Гостехнздат, 1957.
10. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. — М.: Мнр, 1974,
Т.Т. 1, 2.
11. Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Сборник задач по фи-
физике с решениями. — М: Атомиздат, 1975.
12. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М: Наука,
1979.
13. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по
траекториям. — М: Мир, 1968.
14. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории.—
М.: Наука, 1975.
15. Базь А. И., Зельдович Я- Б., Переломов А. М. Рассеяние,
реакции н распады в нерелятнвистской квантовой механи-
механике. — М: Наука, 1971.
16. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним
и двумя электронами.—М.: Физматгиз, 1960.
17. Бете Г. Квантовая механика.—М.: Мир, 1965.
18. Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
19. Смирнов Б. М. Асимптотические методы в теории атомных
столкновений. — М.: Атомнздат, 1973.
20. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нуле-
нулевого радиуса в атомной физике. — Л.: ЛГУ, 1975.
21. Делоне Н. Б., Крайнов В. П. Атом в сильном световом
поле. — М.: Энергоатомиздат, 1984.
22. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. — М.: Мир,
1969.
878
23. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений.—М.: Мир,
1967.
24. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. — М.: Мир, 1969.
25. Тейлор Дж. Теория рассеяния. — М.: Мир, 1975.
26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Наука, 1988.
27. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука,
1988.
28. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика,
ч. 2. — М.: Наука, 1978.
29. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. Л. Кванто-
Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1989.
30. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.:
Наука, 1980.
31. Мигдал А. Б. Фермионы и бозоны в сильных полях. — М.:
Наука, 1978.
32. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. —
М.: Наука, 1977.
33. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. — М.: Физматгнз, 1962.
34. Справочник по специальным функциям.//Под редакцией
М. Абрамовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.
35. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции; формулы,
графики, таблицы. — М.: Наука, 1977.
V. M. Qalitsky, В. М. Karnakov, V. I. Kogan
PROBLEMS IN QUANTUM MECHANICS
Textbook, Second Edition
Moscow, Nauka, Main Editorial Board for Literature
on Physics and Mathematics, 1992.
Readership: Students, teachers, researchers in physics, physical
engineering and chemistry.
Summary: A modern textbook on quantum mechanics, containing
about 700 problems of various difficulty with solu-
solutions. Along with traditional topics the problems re-
represent calculational methods, approximations and mo-
models, such as Green functions, potentials of zero ra-
radius, perturbation theory with respect to the scatte-
scattering length etc., used in atomic and nuclear physics
for investigation of spectra (including quasi-statio-
quasi-stationary and quasi-energetical states), the behaviour of
systems in external fields and processes of particle
collisions. Also presented are problems reflecting the
recent development of quantum mechanics and its
applications: hadronic atoms, meso-molecular sy-
systems and muon catalysis, auto-ionizational states,
super-symmetry etc.
Contents: Operators in quantum mechanics. One-dimensional
problems. Angular momentum. Particle in central
field. Spin. Time dependence of state vector and ob-
servables. Particle in magnetic field. Perturbation
theory, variational method, sudden and adiabatic ap-
approximations. WKB-method. Systems of identical par-
particles. Atoms and molecules. Atomic nucleus. Collision
theory. Quantum theory of radiation. Relativistic
quantum mechanics.
The authors: Professor Victor Galitsky, Member — Correspondent
of the USSR Academy of Sciences, specialist in quan-
quantum statistical physics, high-energy particle and ra-
radiation theory, nuclear theory etc.
Boris Karnakov, Associate Professor of Moscow Phy-
Physical — Engineering Institute, specialist in atomic
and nuclear theory.
Vladimir Kogan, group head at the Kurchatov Insti-
Institute of Atomic Energy and Associate Professor of
Moscow Physical — Engineering Institute, specialist
in radiation theory and plasma physics.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Принятые сокращения 8
Наиболее часто используемые обозначения 8
Универсальные константы 9
Задачи Реше
ния
Глава 1. Операторы в квантовой механике 11 194
§ 1. Основные понятия теории линейных опе-
операторов 13 194
§ 2. Собственные функции, собственные зна-
значения, средние 15 197
§ 3. Проекционные операторы 18 206
§ 4. Элементы теории представлений. Уни-
Унитарные преобразования 19 207
Глава 2. Одномерное движение 21 212
§ 1. Стационарные состояния дискретного
спектра 23 212
§ 2. Уравнение Шрёдингера в импульсном
представленнн. Функция Грина урав-
уравнения Шрёдингера. Интегральная форма
уравнения Шрёдингера 27 220
§ 3. Состояния непрерывного спектра. Про-
Прохождение через потенциальные барьеры 30 228
§ 4. Системы с несколькими степенями сво-
свободы. Частица в периодическом потен-
потенциале 33 241
Глава 3. Момент импульса • 35 248
§ 1. Общие свойства момента 37 248
§ 2. Момент L = 1 40 253
§ 3. Сложение моментов 41 257
§ 4. Тензорный формализм в теории момента 44 264
Глава 4. Движение в центральном поле 46 268
§ 1. Состояния дискретного спектра в цен-
центральных полях 47 268
§ 2. Состояния с малой энергией связи. Ча-
Частица в совместном поле короткодейст-
короткодействующего и дальнодействующего потен^
циалов 52 285
§ 3. Системы с аксиальной симметрией ... 55 293
Задачи Реше-
Решения
Глава 5. Спин 56 299
§ 1. Спин s=l/2 58 299
§ 2. Спин-орбитальные состояния частицы
со спином s=l/2. Высшие спины ... 62 309
§ 3. Спиновая (поляризационная) матрица
плотности. Угловые распределения и кор-
корреляции в распадах 64 318
Глава 6. Изменение состояния во времени 66 324
§ 1. Представление Шрёдингера. Движение
волновых пакетов 68 324
§ 2. Изменение во времени физических ве-
величии. Интегралы движения 70 332
§ 3. Унитарные преобразования, зависящие
от времени. Гейзенберговское представ-
представление 72 337
§ 4. Временные функции Грина 74 349
§ 5. Квазнстационарные и квазиэиергетиче-
ские состояния 75 353
Глава 7. Движение в магнитном поле ... 77 363
§ 1. Стационарные состояния частицы в при-
присутствии магнитного поля 78 363
§ 2. Изменение состояний во времени ... 81 376
§ 3. Магнитное поле орбитальных токон и
спинового магнитного момента .... 82 380
Глава 8. Теория возмущений. Вариацион-
Вариационный метод. Внезапные и адиабатические
воздействия 83 383
§ 1. Стационарная теория возмущений (дис-
(дискретный спектр) 85 383
§ 2. Вариационный метод 88 397
§ 3. Стационарная теория возмущений (не-
(непрерывный спектр) 89 405
§ 4. Нестационарная теория возмущений. Пе-
Переходы в непрерывном спектре .... 91 414
§ 5. Внезапные воздействия 94 430
§ 6. Адиабатическое приближение 95 434
Глава 9. Квазиклассическое приближение 97 449
§ 1. Квантование энергетического спектра 100 449
§ 2. Квазиклассические волновые функции,
вероятности н средние 104 475
§ 3. Прохождение через потенциальные
барьеры 106 486
Глава 10. Тождественность частиц. Вторич-
Вторичное квантование 108 501
§ 1. Симметрия волновых функций НО 501
§ 2. Основы формализма вторичного кнанто-
вания (представление чисел заполнения) 111 508
§ 3. Системы из большого числа W>1 частиц 115 521
Задачи Реше-
Решения
Глава 11. Атомы и молекулы 117 532
§ 1. Стационарные состояния атомов с одним
и двумя электронами 118 532
§ 2. Многоэлектронные атомы. Статистиче-
Статистическая модель атома 121 554
§ 3. Основные представления теории молекул 124 569
§ 4. Атомы н молекулы во внешних полнх.
Взаимодействие атомных систем .... 126 580
§ 5. Нестационарные явления в атомных сн-
снстемах 131 606
Глава 12. Атомное ядро 137 638
§ 1. Основные представления о ядерных си-
силах. Дейтрон 140 638
§ 2. Модель оболочек 143 648
§ 3. Изотопическая инвариантность .... 146 660
Глава 13. Столкновения частиц 148 668
§ 1. Борновское приближение 155 668
§ 2. Фазовая теория рассеяния 159 686
§ 3. Низкоэнергетнческое рассеяние. Резо-
Резонансные явления прн рассеянии .... 160 696
§ 4. Рассеяние быстрых частиц. Приближе-
Приближение эйконала 166 731
§ 5. Рассеяние частиц со спином 167 744
§ 6. Аналитические свойства и унитарность
амплитуды рассеяния 170 754
§ 7. Рассеяние составных частиц. Неупругне
столкновения 172 762
Глава 14. Квантовая теория излучения. . 176 789
§ 1. Излучение фотонов 180 789
§ 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов
прн столкновениях 182 799
Глава 15. Релятивистские волновые урав-
уравнения 183 818
§ 1. Уравнение Клейна — Гордона 186 818
§ 2. Уравнение Дирака 190 845
Дополнение 869
Список литературы 878