П. В. ЕЛЮТИН, В. Д. КРИВЧЕНКОВ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
С ЗАДАЧАМИ
Под редакцией
академика Н. Н. БОГОЛЮБОВА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для. студентов физических специальностей
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................... а
Глава 1. Введение...................................... 5
Глава 2. Основные положения........................... 25
Глава 3. Одномерное движение.......................... 39
Глава 4. Момент....................................... 66
Глава 5. Центральное поле............................. 84
Глава 6. Теория возмущений и	вариационный метод . . .	109
Глава 7. Квазиклассическое приближение............... 132
Глава 8. Электрическое поле.......................... 151
Глава 9. Рассеяние .................................. 166
Глава 10.	Релятивистские поправки................... 198
Глава 11.	Переходы.................................. 213
Глава 12.	Магнитное поле............................  236
Глава 13.	Тождественные частицы...................... 249
Глава 14.	Атом....................................... 265
Глава 15.	Двухатомная молекула ...................... 291
Глава 16.	Взаимодействие с электромагнитным полем . .	299
Некоторые обозначения................................ 327
Примечания..........................................  328
Предметный указатель ................................ 332
530.1
Е 50
УДК 530.145
Квантовая механика (с задачами),
П. В. Елютин, В. Д. К р и в ч е н к о в,
z учебное пособие, Издательство «Наука»,
Главная редакция физико-математической
литературы, 1976 г.
В основу настоящего издания положен
курс лекций, читавшийся в течение ряда лет
одним из авторов на физическом факультете
МГУ. В нем изложены физические основы
и математический аппарат нерелятивнстской
квантовой механики.
Большое внимание в книге уделяется ме-
тодам вычислений, в особенности прибли-
женным. Кроме большого числа примеров
в тексте, в книгу включено свыше 200 за-
дач, предназначенных для самостоятельного
решения.
Книга представляет собой учебное посо-
бие по квантовой механике для студентов
физических факультетов университетов.
Е
20402—057
053(02)-76
90-76
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1976
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга является учебным пособием для
студентов физических факультетов высших учебных заведе-
ний. В ней излагаются основы физических представлений
и математического аппарата нерелятивистской кванто-
вой механики. Особенностью этой книги и ее безусловным
достоинством является краткость, достигнутая авторами
не за счет упрощений, а благодаря лаконичности изложе-
ния, которая позволила осветить весь круг вопросов
университетской программы в сравнительно небольшом
объеме. Такой характер изложения, естественно, требует
от читателя определенных усилий и сосредоточенности.
Книга является не самоучителем, не энциклопедией,
а учебником, рассчитанным' на то, что приступивший
к его изучению уже знаком с рядом физических курсов,
в частности с курсом атомной физики, содержащим боль-
шой фактический материал. По той же причине авторы
не затрагивают вопросов, относящихся собственно
к специальным курсам.
Достоинством книги является логичный и последова-
тельный характер изложения на основе сформулирован-
ных в явном виде положений и правил. Физически стро-
гое изложение использует во всех случаях только мате-
матический аппарат, известный студентам. Большое вни-
мание в книге уделяется методам вычислений, в частности
приближенным методам (теории возмущений, вариацион-
ному методу, методу ВДВ), не только схемам их исполь-
зования, но и обсуждению условий применимости.
1*
3
Важным преимуществом данной книги является на-
личие в ней, кроме большого числа примеров в тексте,
свыше двухсот задач, которые представляют значительный
методический интерес при условии самостоятельного ре-
шения их читателями. Степень трудности задач соответ-
ствует возможностям студентов.
Оригинальный и умелый методический подход авторов
к широкому кругу вопросов делает эту книгу, безуслов-
но, весьма полезной для изучения основ квантовой ме-
ханики.
4 июля 1975 г.	Н. Н. Боголюбов
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
0. Одной из первых задач квантовой теории было
объяснение того экспериментального факта, что наблю-
даемые разности энергий атомов принимают дискретное
множество значений.
Математический аппарат, пригодный для получения
дискретных величин как функций параметров (таких, как
заряд н масса элементарных частиц), можно строить раз-
личным образом.
1.	Л1ожно потребовать, чтобы наблюдаемы были только
такие значения энергий, при которых некоторый функцио-
нал от параметров и наблюдаемых принимает значения
из данного дискретного набора.
2.	Можно потребовать, чтобы наблюдаемые определя-
лись корнями некоторого уравнения, коэффициенты кото-
рого зависят от параметров.
3.	Можно потребовать, чтобы наблюдаемые были соб-
ственными значениями некоторого дифференциального
оператора, коэффициенты которого зависят от параметров.
Фактически в квантовой теории были использованы все
три подхода. Первый лег в основу старой квантовой теории
Бора (1913 г.). Второй был использован Гайзенбергом
(1925 г.) при построении матричной механики. Третий был
применен Шредингером (1926 г.) для создания волновой
механики.
Методы Гайзенберга и Шредингера лежат в основе сов-
ременной квантовой механики, аппарат которой основан
на использовании линейных операторов в гильбертовом
пространстве *.
1. Определение 1. Пусть э-/ и$ — линейные мно-
жества. Оператор L, преобразующий элементы множества
е/ в элементы множества называется линейным, если
для любых элементов f и g из е.^ и комплексных чисел а
5
и р справедливо равенство
L(af+№==aLf+$Lg.
Множество называется областью определения оператора.
В дальнейшем мы чаще всего будем рассматривать раз-
личные множества функций действительной переменной.
Поэтому элементы множеств и а® будем называть
функциями.
Определение 2. Произведение операторов LM
обозначает оператор, действие которого на функцию ф
заключается в последовательном действии оператора М
на ф, а затем оператора L на ф = Л1ф. В общем случае
в произведении операторов существен их порядок:
Ыф#=м£ф,
т. е. умножение операторов некоммутативно.
Определение 3. Оператор
[Л, В] = АВ — ВА
называется коммутатором операторов А и В. Если про-
изведение операторов не зависит от их порядка ([Л, В] =
= 0), то операторы называются коммутирующими.
Определение 4. Оператор I называется единичным,
если для любой функции ф
/ф = ф.
Определение 5. Оператор ЛГ1 называется обрат-
ным оператору М, если
(МЛ4-1) ф = (Af~W) ф = ф.
Если М = LN, то М-1 = N^L-1.
2.	Рассмотрим класс Сю всех непрерывных бесконечно
дифференцируемых функций действительного переменного
хе (—оо, + оо).
Линейные операторы можно задавать, непосредственно
указывая правило соответствия, например:
<7ф(х)=хф(л), ^ф(х) = -^£, Рф(х) = ф(—х). (1.1)
6
Линейность этих операторов очевидна. Многие операторы
можно представить в интегральной форме:
4-со
7ф = L(x, ?)ф©<
—со
Функция L (х, |) называется ядром интегрального опера-
тора. Ядро оператора N произведения интегральных опе-
раторов М  L, если оно существует, есть
4-00
N(x, g)= М(х, y)L(y, ®dy.
— со
В дальнейшем мы будем опускать обозначения преде-
лов интегрирования, если интегрирование по х ведется
по всей оси.
3.	Пусть ф (х) непрерывная функция. Ядро единичного
оператора, записанного в интегральной форме, называется
6-функцией Дирака *:
7ф (х) = $6 (х-£)Ф(Е) 4 = ф (х).
С помощью 6-функции можно представить в интегральной
форме многие линейные операторы. Например, ядро Q (х, |)
оператора у, определенного формулой (1.1), можно пред-
ставить как £б(х —£).
4.	Если независимая переменная принимает счетное
множество значений, то в качестве аргумента функции
можно рассматривать номера этих значений. Обозначим
Ф(*п)=Ф(п1 = Ф„.
Аналогом интегральной формы операторов для таких
функций будет матричная форма:
У Lmnty„ = tpm,
где матрица Lmn играет роль ядра. Набор чисел ф„
рассматривается как матрица с одним столбцом. Числа фп
можно рассматривать как компоненты вектора в п-мерном
комплексном евклидовом пространстве Е„. Набор ф„ мы
будем называть вектором. Компоненты матрицы единич-
ного оператора 7 определяются символом Кронекера 8ik.
Матрица оператора М произведения операторов — матриц L
7
и N — есть	(
Мln ~ S L[kN кп.
k
5., Определение 6. Скалярным произведением 4
функций f(x) и g(x) называется число
(Л g)^r(x)g(x)dx	(1.2)
(звездочка означает комплексное сопряжение). Очевидно,
скалярное произведение конечно не для любых функций
из Соо. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением
класса L2(—со, + со) функций, интегрируемых с квад-
ратом на действительной прямой*. Величина
11Л1=Ж7)	(1-3)
называется нормой функции. Если (f, g) — 0, то говорят,
что функции fug ортогональны. Определенное таким i
образом скалярное произведение обладает свойствами
(f+r, g) = (f, g)+(T, g),
(f, g+g')=(f, g)+(f, g’),
(f, ag) = a(f, g),
(«А g) = a* (A g),
где a —любое комплексное число.
Множество функций L2, на котором определены ска-
лярное произведение (1.2) и норма (1.3), является гиль- 1
бертовым пространством.
6. Скалярное произведение для векторов ф„ простран-
ства Е„ определим соотношением
(Ф. <Р) = ]£ф*<Рп = <ф|<Р>.
п
Можно рассматривать это выражение как матричное про-
изведение вектор-строки (ф | с компонентами ф„ на вектор-
столбец | <р) с компонентами (рп. При этом входящие
в скалярные произведения векторы принадлежат разным
пространствам: Е„ (строки) и Е„ (столбцы). Очевидно, что
соответствие между векторами этих пространств взаимно
однозначно.
Такие же обозначения можно ввести и в простран-
стве L2. Функцию ф (х) можно рассматривать как вектор
8
| тр), которому соответствует вектор сопряженного про-
странства (ф | = ф* (х).
Произведение (f\g) есть, по определению, число. Про-
изведение понимается как оператор, который век-
тору | ф) ставит в соответствие вектор
1/><£|Ф> = «Ж>Ш>-
Из соотношений (1.4) следует линейность такого опера-
тора. Число	называется матричным элементом
оператора L.
7. Определение 7. Если для любых функций ф
и <р выполняется соотношение
<ф | L | ф' = «ср | L+ 11|? )*,
то оператор L+ называется сопряженным оператору L.
Отметим следующие свойства сопряженных операторов:
<Ф | L | <р> = «ср | L+ | ф»* =
= «Ф] (£+)+|<р»**=<ф!ь++|<р>,
(L+)+ = t	(1.5)
<ф | aL | <р> = (а <(р | L+1 ф))* = а* <<р | L+ | ф>,
(<zL)+ = a*L+.
Для операторов-матриц в пространстве Ert имеем
| L | Ср/ = tytnLmntyn*
т, п
«<р|Е+|Ф»* = 2 <РтЕ™фп-
т, п
Меняя местами индексы суммирования, находим соотно-
шение между матрицами сопряженных операторов:
ФтЕтя<Ря— У, фт (Епт)* (рп>
tn, п	т,п	(1 -О)
J * — Z +
^тп — J-mm •
Аналогичное соотношение выполняется и для ядер сопря-
женных интегральных операторов в L2 (— со, ф- со):
L+(x, ?) = £*(£, *)•
9
Рассмотрим оператор, сопряженный произведению
операторов М = LN:
<f\M\g) = «g\M+\f»*,
<f | LN\g) = «Ng | L+1 f>) * = «g | M+7?1 /» *,
Л1'=M+L+.
8. Определение 8. Если оператор L совпадает
co своим сопряженным' оператором L+, то он называется
эрмитовым.
Так, эрмитовыми являются операторы Р и q в классе L2:
</1 91 g) = $ f *XS dx = (5 g*xf dx) * = (<g I q I /» *.
Здесь предполагается, что как f (х), g(x), так и xf, xg
принадлежат L2:
<f IPI£> = WS(— x)dx = \f* (— x)g(x)dx = ((gjP\f»*.
(Значение интеграла не зависит от обозначения перемен-
ной интегрирования.) Для любого оператора L оператор
Ls = L + L+=Lt
будет эрмитовым в силу (1.5). Любой оператор L можно
представить в виде
L=m+in,
где операторы
л 1+£+ л L-L+	„
дН N = ~2T~	<17)
эрмитовы. Мы будем называть М и IN, определенные так,
эрмитовой и антиэрмитовой частями оператора L. Опера-
тор-матрцца в пространстве Еп будет эрмитовым, если
f — f*
Отсюда, в частности, следует, что диагональные элементы
эрмитовой матрицы вещественны. Для интегральных опе-
раторов условием эрмитовости будет равенство
L*(x, g) = L(g, х).
Произведение эрмитовых операторов будет эрмитовым
оператором только тогда, когда операторы коммутируют:
N+ = (ML)+ = L+M+= LM.
10
9.	Определение 9. Если для оператора L и функ-
ции ф (ИфЦ 0) выполняется соотношение
£ф = Аф,	(1.8)
где А — комплексное число, то ф называется собственной
функцией, a А — -собственным значением оператора L. Если
множество собственных значений не более чем счетно, то
собственную функцию ф„, соответствующую собственному
значению А,„ будем обозначать как \п). В дальнейшем
будем использовать сокращения и писать СФ вместо
«собственная функция» и СЗ вместо «собственное значение».
Собственные значения эрмитовых операторов действи-
тельны:
Аф„= А„ф„,
| LI п) == А„ {п I п) = ((и I L+1 п))* = А„ <п I п),
А„ = А£.
Собственные функции эрмитова оператора, относящиеся
к различным собственным значениям, ортогональны:
Ьфп = А„ф„, Ефщ = Атфт,
<т|£|/1/ = Ап<т|п>,	(1.9)
</n|L+|/i) = ((nlL|/n))* = Am(/n|n).	(1-Ю)
Левые части выражений (1.9) и (1.10) равны. Приравни-
вая правые части, получаем
(А„ —Am)<rn|/i> = 0.	(1.11)
Так как по условию Ат А„, то </п|п) = 0, что и требо-
валось доказать.
Для оператора Р, например, собственными функциями
в пространстве L2 являются четные (А=1) и нечетные
(А =—1) функции. Выполнение равенства (1.11) 'для СЗ
оператора очевидно.
10.	Определение 10. Если собственному значе-
нию Afc оператора L соответствует больше одной собствен-
ной функции, то собственное значение Ай называется
вырожденным, а число g различных линейно независимых
собственных функций ф^ называется кратностью вырож-
дения.
11
Собственные функции ф,„ соответствующие вырожден-
ному значению Xfc, могут быть взаимно не ортогональны.
Линейные комбинации
g
<Рп= У
1=1
также будут собственными функциями L, относящимися
к значению Х„. Если кратность вырождения конечна (или
счетна), то система функций <рп может быть сделана орто-
гональной. Положим
Ф2 = Ф1 + «22Ф2,
где а22 определится из условия ортогональности
<<Рг | <р2) = 0 = <ф11 ф1) + а22 <Ф11 ф2>,
откуда
предполагается, что норма ЦфЛ конечна, a (^>i|^2)#0.
Аналогично, полагая
Фз = Ф1 + «32^2 + аззфз.
получим систему из двух линейных уравнений для коэф-
фициентов «за, сс33. Такая процедура, называемая орто-
гонализацией по Шмидту, может быть продолжена для
всех значений п до n = g. Ортогональную систему функ-
ций (pi для вырожденного собственного значения мы
будем называть правильной.
11.	Опр еделение 11. Оператор U называетсяуни-
тарным, если он сопряжен своему обратному оператору:
Собственные значения унитарных операторов по
модулю равны единице:
С'1Ф> = Х|Ф>,
<Ф](7+0!ф> = х<ф|1/+|ф> = и*<ф|ф>,
и* = |Х|2 = 1.
12
Произведение унитарных операторов W — UV также
будет унитарным оператором:
W+=V+U+,
№+r = v+u+i/v = v+v=7.
Определение 12. Пусть (/ — унитарный оператор.
Преобразование, при котором функции ф сопоставляется
функция <р = (7+ф, а оператору L — оператор I = U+LU,
называется унитарным преобразованием {О}.
Унитарное преобразование обладает следующими свой-
ствами:
а)	сохраняет коммутационные соотношения:
12,, A11 = 2V,
V*LMU - U+MW = U+NU = n,
u+[l,m]u = (u+lu) (u*mu ) -
- (U+MU) (Il+Lu) — Im — ml,
[/, m] — n;
б)	сохраняет эрмитовость операторов; пусть U — L.
Тогда
((?L(/)+ = (7+L+(7++ = U+L+U = l+,
1*^Г,
в)	сохраняет собственные значения:
£ф = Хф,
й+£ф= ш-'-ф,
(й+£(7) ((7+ф) = л ((7+ф),
/<р = Z<p;
г)	сохраняет скалярное произведение и матричные
элементы:
<Фх | L I ф2> = <ф, UU4JJU+ I ф2> =
= <ф! U+W | ф2> = <ф! | (| <р2).
12.	Оператор L называется ограниченным, если суще-
ствует такое число С, что для функции	такой,
13
что
||L/HC.
Значения параметра X, для которых оператор (L —X/)-1
существует, определен всюду в L2 и ограничен, назы-
ваются регулярными точками оператора L. Все осталь-
ные точки комплексной плоскости образуют спектр опе-
ратора L.
Собственные значения оператора L принадлежат его
спектру. В этом случае оператор L — 'KI, область опреде-
ления которого та же, что и у оператора L, не осу-
ществляет взаимно однозначного соответствия между erf
и Если ф — собственная функция L, то из равенства
(L-xi)f=g
следует также равенство
(ь-х/)(/+Ф)=5.
и неоднозначность соответствия очевидна. Таким образом,
если X есть собственное значение оператора L, то опера-
тор L — ’KI не имеет обратного. Множество собственных
значений называется дискретным спектром L. Кроме СЗ,
в спектр входят также значения X, при которых оператор
(L — X/ существует, но определен не всюду в L2 или
не ограничен. Такие точки образуют непрерывный
спектр L.
Если оператор L эрмитов, то невещественные точки
комплексной плоскости X являются его регулярными точ-
ками. Оператор (L —X/)-1 существует, так как
ь = £ + Й	(п rf- 0)
не может быть собственным значением L. Пусть
(L-V)/ = g.
Тогда
||g||2 = ||(L-V)/||2 + n2||/||2.
Последнее неравенство означает ограниченность оператора
(L-V)-E
14
В дальнейшем изложении, следуя установившейся
в квантовой механике терминологии, мы все значения X,
принадлежащие спектру, будем называть собственными
значениями. Нетривиальные решения уравнения
£ф = Хф,
где значение X принадлежит спектру, мы будем называть
собственными функциями оператора L и в том случае,
когда ф не будет принадлежать пространству 1Л
13.	Операторы, используемые в квантовой механике,
обладают полными системами собственных функций. Для
эрмитовых операторов с дискретным спектром на классе
L2 это означает, что любая функция f (х) е L2 может быть
представлена в виде разложения по собственным функ-
циям ф„ оператора L:
СО
л = 1
(1.12)
где коэффициенты в разложении определяются формулой
ол =V (*)Ф* (x)dx.	(1.13)
Так как собственные функции ф(х) определены формулой
(1.8) с точностью до постоянного комплексного множи-
теля, для однозначности разложения потребуем нормиро-
ванности собственных функций на единицу:
h„n=i.	(1.14)
Если среди собственных значений оператора X есть вы-
рожденные, то мы будем предполагать, что в систему ф„
включены правильные собственные функции
(Фт> Фп) —	= ^тп
для любых т и п. Такую систему будем называть орто-
нормированной. Из равенства

Ф* (№(*) ш
15
следует, что выражение
п
можно рассматривать как ядро единичного оператора (6-
функцню Дирака). Если эрмитов интегральный оператор
обладает полной системой функций дискретного спектра ф„,
то в силу соотношений (1.12), (1.13) его ядро может быть
представлено в виде
l(X, g)= 2 wmw-
i= 1
14.	Пусть L — оператор на L2 с полной системой соб-
ственных функций ф„. Последовательность чисел
°п = \f(x)^(x)dx
однозначно определяет, вследствие (1.12), функцию f (х).
Поэтому можно считать сам набор ап видом исходной
функции f (х) в представлении L. Пусть М — некоторый
оператор на L2. Тогда
Mf =	(х),
п
Мф„(х) = 2Йф(п, х) = £ЛМ(т, х),
Мтп = $ (х)Мф„ (х) dx.
Эта матрица определяет вид оператора М в дискретном
L-п редставлении:
7И/ (х) = Gn Alfnntyfn (х) =	(х) j М. tnnP'ni
пт	т	п
Mf (х) = 2атфт(х),
I
@т — У) Мтпап.
т
Можно сказать, что переход от функции f (х) (функции в
х-представлении) к набору чисел ап (функции в £-предста-
влении)есть результат действия унитарного оператора (7+,
16
определенного условиями
ап = 6'Д (х) = $	(х) f (*)
f (х) = Uan = % апуп (х).
п
Легко проверить унитарность оператора Д+:
§ ф (п, х) яр* (т, х) dx — UU+ = 1 — t>nm-
Матрица оператора L в своем собственном представлении
диагональна:
Lmn ~ Ф*1 (x)Ltyn (х) dx = ^т^>тп-
Для определения матричных элементов необходимо найти
собственные функции и собственные значения оператора L.
Если они известны, то оператор L приведен к диагональ-
ному виду.
15.	Пусть gn (х) — полная ортонормированная система
собственных функций оператора К? Функции g„(x) могут
быть разложены по СФ оператора L:
gn (х) = 'У ; Anmtym (х).
га
Из условия ортонормированности системы следует:
\g*(x)gm(x)dx==8nm,
= 2 A*knAim $ ф/г (x) ф; (x) dx =
i, k
— У1 AknAjfjfiik = , АьпАьт — f>nm-
i, k	k
Это условие означает, что матрица Апт унитарна:
ЛЛ+ = /.
Таким образом, переход от дискретного £-представления
к дискретному К-представлению есть унитарное преобра-
зование, задаваемое оператором-матрицей А. Поскольку'
унитарное преобразование не меняет собственных значе-
17
ний, то в принципе дискретный спектр любого оператора
L можно найти следующим способом. Взяв произвольную
полную систему функций (например, функции Эрмита),
вычислить матричные элементы
Lmn = Фт (л-)	(х) dx = (m| L | n>
и подобрать унитарную матрицу Ak[ такую, чтобы уни-
тарное преобразование
А А А А
Л+£Л=/.
приводило к диагональной матрице. Тогда элементы 1тт —
= и будут собственными значениями оператора L.
Однако всякая полная в L2 система функций (х)
содержит бесконечное число функций. Это означает, что
все преобразования придется проводить с матрицами бес-
конечного порядка. Этот способ не всегда является луч-
шим. Кроме того, в изложенном виде метод неприменим
для отыскания непрерывного спектра: очевидно, число
собственных состояний любой матрицы Lmn счетно.
16.	Эрмитовы операторы с непрерывным спектром не имеют
в классе L2 полной ортонормированной системы собственных
функций. Однако собственные функции (X, х) опера-
. тора L с непрерывным спектром могут быть выбраны так,
что будут выполняться соотношения, аналогичные (1.12) и
(1.13). А именно, для любой функции [ (х) из L2 будет
определена функция
fl(A) = jf(x)i|;*(A, x)dx,	(1-15)
принадлежащая L2 и такая, что
^(х) = $а(Л)ф(Л, x)dK.	(1.16)
Интегрирование по X всюду ведется по всему непрерыв-
ному спектру. Функцию а (А), как и в п. 1.14, будем на-
зывать функцией f(x) в L-представлении. Как и в слу-
чае дискретного спектра, функции ф(Х, х) определены
соотношением (1.8) лишь с точностью до постоянного
комплексного множителя. Модуль этого множителя опре-
деляется условиями (1.15), (1.16). Так как
/(Х) = 5Ф(А,	(Л, £)<£ =
= $f(g)d^r (А, ^)ф(Х.х)^,
18
то функции, удовлетворяющие условиям (1.15), (1.16),
называют нормированными на 6-функцию:
$ф*(Л, £)ф(А, x)dA = 6(x-g).	(1.17)
Аналогично, при подстановке (1.16) в (1.15) получим
а (А) — а (р) ф (р, х) ф (X, х) dp dx =
= \а (р) dp ф (р, х) ф* (А, х) dx,
то есть
$ф* (А, ?)ф(р, g)dg = 6(p-A).
Функции f (х) и а (А) дают два равноценных способа опи-
сания. Переход от f (х) к о (А) можно представить как
результат действия унитарного оператора U+, ядро кото-
рого в интегральной форме имеет вид
U+ (А, х) = ф*(А, х).
Ядро сопряженного оператора 0 имеет вид
U (А, х) = ф(А, л-).
Легко проверить, что такой оператор 0 унитарен. При
унитарном преобразовании оператор М преобразуется в
U+MU', такой вид преобразования можно получить и не-
посредственно:
Л4/ (х) = § а W А1ф (х, X) dA,
Л1ф (х, А) = § М (А, X') ф (х, X') dA'.
Здесь ядро М. (А, А') определяется соотношениями
М (А, А') = § ф* (х, Л) Л1ф (х, A') dx,
f (х) = a (A) dA М (А, А') ф (х, A') dA' =
= § а' (К) ф (х, A) dA,
=	X')a(K)dK'.
Итак,
М (А, А') = $ U+ (А, х) MU (А', х) dx.
Зная вид оператора, действующего на функции от х, мы
нашли вид оператора, действующего на функции от А.
19
Если эрмитов оператор обладает как непрерывным, так	1
и дискретным спектром, то разложение (1.15) принимает	f
вид	I
f (x)=sm»w+5°(z')i1’(^	О-18)	1
п
где коэффициенты разложения определяются формулами
(1.12), (1.15). Функции дискретного и непрерывного спект-
ров взаимно ортогональны:
5 'Ф* (х) Ф (^> х) dx = 0.
В дальнейшем для упрощения записи мы будем обозна-	1
чать правую часть (1.18) одним только знаком суммы,	J
подразумевая включение интеграла по непрерывному
спектру.
17.	Для эрмитовых операторов с дискретным спектром
имеют место следующие утверждения.
а)	Если операторы L и М имеют общую систему СФ, :
то они коммутируют. Для любой собственной функции
ЕЛ1фп — L (ЦпФп) “	= Л1Ефп.
Раскладывая произвольную функцию f(x) из L2 по си-
стеме (х), получим	|
LMf (х) = LM У о„ф„ (х) = У о„Х„ц„ф„ (х) — MLf (х).	I
л	п
б)	Если операторы L и М коммутируют, то они имеют 1
общую систему собственных функций — матрицы 1_тп, Мтп ’
одновременно приводятся к диагональному виду. Пусть '
для определения матричных элементов используется си-
стема СФ оператора L. Тогда	!
Lmn =
'(.LM \пп —
k	k
Ln}j) “ 0.
Если C3 L не вырождены, то Mmn — матрица М
диагональна. Если СЗ L вырождены с кратностью g, то
могут быть отличны от нуля g (g — 1) недиагональных
20
элементов Мтп. Линейные комбинации q>z.„ функций
соответствующих вырожденному значению могут быть
выбраны так, что Л1„,„ = 0 при т^п в системе функций
(ф„, Q’frg). Так как также суть СФ L, то L if /Сбу-
дут одновременно приведены к диагональному виду.
18.	Если для эрмитова оператора N существуют эрми-
товы операторы L и М такие, что
[7Й, 2V] = 0, [L, Л/] = 0, [7W, £]#0,
то собственные значения N вырождены. Из утверждений
п. 1.17 следует, что существуют общие системы собствен-
ных функций операторов MhN—ф(х; р, г) и операторов
L и N — ф(х; Z, р). Пусть спектр N дискретный:
f W == У, ОгФ (*. v) = У (X, 7, v).
V	V
Вычислим матричный элемент if | ML. | /Л
$ ^avi|;*(x, р,	6у-ф(х', Z, v')j<Tv =
= § У, р/М'* (х, р, v) V ?Ч’А,'Ф(х, к, v')dx.
V'	V'
Если все СЗ N различны, то в силу (1.11) получаем
if i ML \f; = PvOv^v
V
Такой же результат получается и при вычислении матрич-
ного элемента if-LM\f.-. Следовательно, предположение
о том, что все СЗ N различны, неверно: среди СЗ N есть
вырожденные. Аналогично проводится доказательство и
для непрерывного спектра.
19.	Оп реде лен ие 13. Следом матрицы Lmn назы-
вается сумма диагональных элементов
Sp j Lnn.
fl
След произведения двух матриц не зависит от порядка
сомножителей:
Sp (пй) = , У, ankbkn ~ У, У = Sp (ba),
п k	k п
21
След произведения нескольких матриц не меняется при
циклической перестановке сомножителей:
Sp(abc) = Sp (bed) = Sp (cab).
След матрицы не меняется при унитарном преобразова-
нии:
Sp А = Sp (UU'A) = Sp (U+AU) Spfl.
Унитарным преобразованием эрмитова матрица L может
быть приведена к диагональному виду. При этом ее след
SpL = ^X„
п
равен сумме собственных значений.
Определение 14. Следом интегрального оператора,
заданного ядром L (х, g), называется величина
Sp L = \ L (х, х) dx.
Свойства Sp£, аналогичные свойствам Sp£„!n, легко
доказать.
ЗАДАЧИ
1.	Доказать тождество Якоби
[[Л И '] + [[</, г], р] + [[т, р], 7] = °.
2.	Доказать соотношение
eLae“L = a + 11j [£, a]+	[£, [£,
Указание. Рассмотреть оператор а (ц), зависящий от пара-
метра тр
а (т]) = еТ|^ае—
и найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет а (ц).
3.	Доказать соотношение: если [й, а] = 1Х, то
ехр [т] (а -{-£>)] = exp (i]b) • exp (ца)  exp (— I ту-Х
Указание, ехр [ц (a-pfc)] — ехр (т]£) L (тр. Найти уравнение
для L (т]).
4.	Пусть X — малый параметр. Написать разложение оператора
(А —ХВД1 по степеням X.
5.	Пусть [с, а] = Ха, a I (р) = а 1 <р). Найти с.
6.	Найти [£, с], если [с, а]=Ха, [а, £] = с.
22
Указание. Использовать результат задачи 1.1.
Операторы, определенные соотношениями
[а, и1] =/,
сс+ + с+с = /, сс = 0,
играют исключительно важную роль в квантовой механике. Введен-
ные для них обозначения мы будем использовать постоянно.
7.	Пусть
-г а' сг+'а'а	a+a-f-aa+ . о ЧЛ — аа
Л =-----4^, Л=----------------,A3=t------3----.
Найти коммутаторы [Л,-, Лд].
8.	Пусть функция f (х) разложима в ряд Тейлора. Доказать, что
[a,
da-
Указание. Доказать для f (х) — хп по индукции.
9.	Доказать, что формула задачи 1.8 правильна и для функций,
разложимых в ряд Лорана.
10.	Пусть
с+с+	с+ — с	с+с —сс+
2	’	2	’	3 —	2	'
Найти коммутаторы [С,-, С/,|.
11.	Найти СФ и СЗ эрмитова оператора в Е<>:
г- • ч.
С а |
12.	Найти в Е.2 матрицы с, i~.
13.	Найти СЗ оператора п = с'с.
14.	Доказать, что условие
Ь+7 + Ь Ь+ = — 1,
противоречиво.
15.	Доказать, что СЗ оператора (Z+)'1 (/.)" неотрицательны.
16.	Найти СЗ оператора п--а1а-
Указание. Выразить (а+)п(а)п через п и использовать ре-
зультат задачи 1.15.
17.	Показать, что в Е3 матриц а, а- нет. Объяснить, сравнив
с результатом задачи 1.16.
18.	Найти СЗ оператора К = а+ а -|-о О.-|-ак*.
19.	Найти СЗ оператора Ь — алЬ -\-Ь+а, если [fe, Ь+] = /, [a, b] =
= 0, [а*-, р]=о.
20.	Найти СЗ оператора М — i(ab+ — ba^). Коммутаторы та-
кие же, как в задаче 1.19.
23
21.	Доказать, что для функций комплексного переменного вели-
чина
(А g) = ~ § е~ ।г i2;* (г) g (г) dz
обладает свойствами скалярного произведения. (Интеграл берется по всей
комплексной плоскости.)
22.	Показать, что если скалярное произведение определено, как
в задаче 1.21, то
A d
а=~г,	а+=г.
dz’
Такое представление а и а+ называется представлением Фока —
Баргмана.
23.	Найти унитарное преобразование, при котором
а-»а+Л, а+->а++Л*.
24.	Найти общий вид нетривиальных (отличных от /) унитарных
эрмитовых матриц о (а) в Е2.
25.	Найти унитарные эрмитовы матрицы ог (i = l, 2, 3) в Е2
такие, что
[а/, 0,] = 2eyfc0fc,
в представлении, в котором о3 диагональна.
Ответ:
Эти матрицы применяются в квантовой механике. Они называются
матрицами Паули. Введенные для них обозначения мы будем исполь-
зовать постоянно.
26.	Найти унитарные матрицы А‘к такие, что
(Л'*)+ ot (A'*) = oft.
27.	Вычислить Ek (Л)=ехр [Xofc].
28.	Операторы D такие, что £>2 = О, называются проекционными.
Найти проекционные матрицы в пространстве Е2-
29.	Доказать, что если L имеет дискретный спектр и все не
вырождены, то не существует оператора М такого, что
[£, /Й] = г7.
30.	Доказать, что если А и В имеют обратные матрицы и
АВ + ВА=0,
то А 1Л В имеют четное число строк и столбцов и
Sp A=Sp В = 0.
Глава 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При изложении квантовой механики мы будем исхо-
дить из следующих основных положений.
А1. Каждой физической величине сопоставляется ли-
нейный эрмитов оператор L.
А2. Каждому состоянию физической системы сопо-
ставляется нормированная волновая функция ф.
АЗ. Физическая величина L может принимать только
собственные значения оператора L.
А4. Математическое ожидание L значений величины L
в состоянии ф определяется диагональным матричным
элементом:
L = <ф | L | ф).
Аб. Матричные элементы операторов декартовых коор-
динат Xi и декартовых компонент обобщенного импульса pk,
вычисленные между волновыми функциями системы / и g,
удовлетворяют уравнениям Гамильтона классической ме-
ханики
где И — оператор, соответствующий классической функции
Гамильтона.
А6. Операторы pt и xk удовлетворяют коммутацион-
ным соотношениям
[Ph xk] = — iti8ik,
[Л,	=	[Д-, xfc] = 0,
где Н~ постоянная Планка:
fi — 1,0546 • 1027 эрг  сек.
25
1. Сопоставление оператора физической величине L,
имеющий классический аналог, т. е. являющейся функ-
цией классических переменных L (х,, р*), производится
заменой классических переменных на операторы лу, рк.
Функции предполагаются разложимыми в степенные ряды.
Если функция L (Xi рк) не содержит в своем разложении
членов вида (xk, рк), то оператор L(x,-, рк) будет эрми-
товым. Например, кинетической энергии Т = j
сопоставляется эрмитов оператор:
3
Pi
2m
Если в разложении L (xh pk) содержатся члены вида xkpk,
то замена x,->xj, pi~> р, приведет к неэрмитову опера-
тору Л, так как произведение эрмитовых А и В есть
эрмитов оператор, только если А и В коммутируют.
В этом случае величине L сопоставляют эрмитову часть
оператора Л. Так, для величины W (х,, pi) = '^iplxl соот-
i
ветствующий оператор будет иметь вид
з
(2.1)
• 1=1
Подчеркнем: из правил сопоставления следует, что время
в квантовой механике есть не оператор (наблюдаемая),
а параметр.
2. Если волновая функция ф„ есть собственная функ-
ция оператора L, то математическое ожидание величины L
в этом состоянии равно собственному значению
L = {п | L | п) = Л„ (п | п) = Лп.
Аналогично доказывается, что для любого k
т. е. величина L в состоянии с достоверностью при-
нимает значение кп. Если <р не есть СФ L, то, расклады-
26
вая по полной системе СФ L, получаем
Дфя = Мп. =
п
п
<ср | L | ср> = 2 а?папкп <т | n> == 21М2
т, п	т
если спектр L дискретен. Итак,
I=S|nw|2Xm.
tn
В соответствии с А4 это означает, что квадраты модулей
коэффициентов ап в разложении волновой функции ср
по ф„ определяют вероятность наблюдения значения Л„.
Если спектр L непрерывен, то
ср (т) = $ а (к) ф (т, X) d'K,
L^^dx^a* (X)ф* (т, X) d'K $ juz (ji)ф (т, ц) dp. =
= J J а* (X) а (р) р dK dp § ф* (г, К) ф (т, р) dx,
Z = | а (К) |2 К dK.
Функция | а (К) |2 есть, согласно А4, плотность вероятности
наблюдения значений X в непрерывном спектре. Диаго-
нальный матричный элемент (ср | L | ср) мы будем называть
также средним значением величины L в состоянии ср.
3. Дифференцирование по оператору в Аб понимается
как предельный переход:
dF(L) = ljm |г(£ + е/)-Д(£)~|
'dL e->ol е J
Для операторов, определенных в п. 2.1, операции диффе-
ренцирования и интегрирования по операторам и pk
имеют смысл. К любой классической величине L(xz, pk)
можно, не изменив ее значения, добавить выражение вида
PiXk — xbpi.	(2.2)
При сопоставлении величине L оператора такие выраже-
ния могут стать и отличными от нуля. Дифференцируя
27
(2.2) no xk, получаем
4-	(рЛ - ад) = pj - 7pi = 0.	(2.3)
dXk
Поскольку все производные оператора (2.2) по xt и pk
обращаются в нуль, то он должен быть константой:
РЛ-ад-= const.
Величина этой константы и определяется в А6.
4.	Найдем явный вид операторов рь р2, р3, если аргу-
ментами волновых функций являются декартовы коорди-
наты хр
PiX'i — X'iPi = PiXiXi — XiPiXi + XiPiXi — XiXiPi —
= (PiXi -XiPi) Xi + Xi (piXi -XiPi) = — th- 2x.
Легко показать по индукции, что
PiXi — XiPi — — iflnx^1.
Поэтому для всех функций, разложимых в степенной ряд,
Р.Ф W - Ф (*) Pt = —	(2-4)
Подействуем оператором р, на q>(xlt х2, х3) = 1:
Pi4> = fi(xi, х2, х3).
Используя (2.4), получаем
Р1Ф = -^^+/1ф
и аналогичные соотношения для осей х2 и хз- Используя
коммутационные соотношения
1рь Рл] = О,
получаем
д/г _ dfj	__ д/3 _ д/г	__ dfi _ д/3	__ q
дх^	дх2 дх2	дх3 дх3	дх±
Эти соотношения выполняются, если
г _ df п ____dF г _ дР
'1 dxt ’ '2 дх2 '3 дх3 ’
где F (Xi, х2, х3) —гладкая функция своих аргументов.
Итак,
•г, д . <?Р
Pi — —	 F	5—>
dxi 1 dxi ’
28
Произвольную функцию F можно исключить с помощью
унитарного преобразования
U+ = etiF,
д . OF \	0
Pi = en	—tn-a—- ч— }е Тг =—in^—.
\ dxt 1 dx-L j	dxi
Итак, найден явный вид операторов pt для функций,
аргументами которых являются декартовы координаты хр
Pi==-ihi'- <2’5)
Компоненты оператора импульса образуют вектор
р = — iTzV.
5.	Произвольную волновую функцию ф (х) из L2, зави-
сящую от координаты, можно представить в виде
ф(х)=ф(х-£)ф(Э^
и рассматривать это выражение как разложение ф (х) по СФ
оператора координаты
хб(х-§) = |6(х-|).
Следовательно, согласно п. 2.2, величина | ф (х) |2 есть
плотность вероятности координаты в состоянии ф (х). Отсю-
да ясен и смысл нормирования волновой функции:
||ф||2 = $|ф (х) I2 cZx= 1.
Система, описываемая такой функцией ф(х), с достовер-
ностью находится в какой-то области пространства.
Оператор импульса р в х-представлении имеет вид
.. д
гл	дх
Собственные функции импульса определяются из уравнения
-№^ = р,ф,	-	(2.6)
ф (х,) = Ае^ Р‘\
Найдем нормировочный коэффициент А. Известные выра-
жения для прямого и обратного преобразования Фурье
29
имеют вид
f (k) = § g (x) e~ikx dx, g(x) = ^^f(k) eikx dk.
Сравнивая эти выражения с (1.15), (1.16), получаем
А =-7!=.
I 2лй
Из (1.15) следует, что собственные функции оператора
импульса образуют полную (для функций из L2) систему
Ф (х) = J а (р) е л dp,
a(p) = vi=* f Ф(*)е-1Г^-
У 2лй J
Эти формулы устанавливают связь между х- и р-пред-
ставлениямн.
6. Рассмотрим р-представление. Явный вид операторов
Pt и xk может быть, разумеется, найден из коммутацион-
ных соотношений, как и в п. 2.4. Но мы воспользуемся
общими соотношениями, полученными в п. 1.16. Ядро опера-
тора х в р-представлении
1 р _*рх ‘З-
х(р, &)~-U+xU \е 11 хе й dx =
м 1 '	ZTUl J
1 Р __*рА' /	э £₽*\
—	\ е h \ — ^ iae h } dx.
2лй J \ dp )
Рассмотрим действие х на функцию а (р) из L2:
С	i С С -7 О
\х(р, ₽) а (₽)</₽ =-7-^ n J «(₽)^d₽ =
.	ipx ifix	д , .
= Z. C {e-~h da eTT dx da ih
2л J } dp аЛ P dp ‘
Оператор импульса в р-представлении задается ядром:
1 с _ гРЛ i л \ *£?
Р(Р. =	= V П \~indx)eh dx=z
= 2НЛ $ е П Л Л'= ₽б (Р - ₽)’
р«(р) = ра(р).
30
В заключение отметим, что операторы х и р эрмитовы на
функциях [ (х) из L2, но не эрмитовы на своих собственных
функциях. В самом деле, пусть ра (р) = р^а. (р) и х = х+,
р =р+. Тогда
(а|рх|а) — (а\хрIа) — — ifl {а | а),
р0 {(а|х |я) —	|я)} = — itl (а | а).	(2.7)
Левая часть этого выражения равна нулю, правая беско-
нечна. Этот результат является следствием одних только
коммутационных соотношений.
7.	Уравнение движения для матричных элементов Аб
допускает различные интерпретации. В выражении
мы можем считать зависимость от времени отнесенной
полностью к волновым функциям или полностью к опера-
торам.
а)	Рассмотрим описание с помощью операторов, зави-
сящих от времени.
Из Аб следует:
- дН - дН
Pf=------Х = -х~.
dxt	dpi
Используя формулы (2.4)
получаем уравнение движения для компоненты оператора
импульса
=	(2.8)
и аналогичное уравнение для оператора координаты
Д =	Н].	(2.9)
Такой способ описания называется представлением Гай-
зенберга, а уравнения (2.8, 2.9) — уравнениями Гайзенберга.
б)	Рассмотрим описание движения с помощью зависящих
от времени волновых функций. Используя формулу (2.8)*,
представим уравнение для матричных элементов в виде
QI Pi 1&/ = — Q । Ipu н] !g>-
31
Считая операторы р{ и Н не зависящими от времени и
учитывая их эрмитовость, получим
(S’ М +	P^)+JfQ’ ^Pig),
(S-	+ (^> If)= “ ”И^’ ^g) + y(HA P/g).
(S + 4^> Prg) + (p/f. |+
Последнее соотношение будет выполняться при произволь-
ных в начальный момент времени волновых функциях
f (х) и g(x), если они удовлетворяют уравнению
гЙ^ = Дф.	(2.10) >
Это уравнение называется уравнением Шредингера, а способ
описания системы с помощью операторов, не зависящих
от времени, — представлением Шредингера. В дальнейшем
мы будем использовать также сокращения ВФ вместо
«волновая функция» и УШ вместо «уравнение Шредингера».
В обоих представлениях времени эволюция системы
характеризуется гамильтонианом Н—оператором, получен-
ным из функции Гамильтона классической механики
согласно правилам, изложенным в п. 2.1.
Так, гамильтониан частицы во внешнем поле с потен-
циалом U (х1г х2, х3) есть
Н = ^+^С*1> Х2’ Хз)-
В координатном представлении Н имеет вид
Л й2
W = -^A + t/(x1, х2, х3),	(2.11)
где А —оператор Лапласа.
8.	Уравнения Аб справедливы как в представлении
Гайзепберга, так и в представлении Шредингера. Поэтому
математические ожидания значений, наблюдаемых в этих
представлениях, совпадают. Должно существовать унитар^
ное преобразование, переводящее одно представление
в другое. Такое преобразование осуществляется оператором
, (2-12) '
32
Обозначим волновую функцию и оператор в представлении
Гайзенберга f, L, а в представлении Шредингера — ф, Л:
ф = 5Д,	(2.13)
A = S+LS.	(2.14)
Так как f по определению от времени не зависит, диффе-
ренцируя (2.13), получим
=	= — lHS+f = — 4-Яф,
Ot dt ' fi 1 h т
что совпадает с уравнением Шредингера. Дифференцируя
по времени равенство
L = SAS+,
получим
U	<21S>
что совпадает с уравнениями Гайзенберга. Уравнение (2.15)
можно записать в виде
A]S\
Величина L называется интегралом движения, если
^<ф|г|ф> = °-
Интеграл движения удовлетворяет двум эквивалентным
условиям:
[я, Ц = [н, л]=о.
9.	Состояния, описываемые собственными функциями
гамильтониана Н, называются стационарными состоя-
ниями, а множество собственных значений Н —энергети-
ческим спектром. Для стационарных состояний уравнение
Шредингера имеет вид
ih^=.En^n=fi^n.	(2.16)
Интегрирование по времени непосредственно дает вре-
менную зависимость волновых функций стационарнььх
2 П. В. Елютин, В. Д. Крпвчепкоз	33
состояний
х) = е ft£"%„(x),.
где <р„(х)-функция одних только координат. Распреде-
ление вероятности зависит от квадрата модуля волновой
функции:
р (х) = | ф„ (/, х) |2 = |	(х) |2,	(2.17)
и остается во времени постоянным. В стационарных состоя-
ниях среднее значение коммутатора [И, Л], где Л —любой
оператор, обращается в нуль:
<п|яЛ-Ля|п) = Е„<п|Л|п)-£„<п|Л;п) = О.
Пусть Н — гамильтониан частицы в поле U (г), а Л —опе-
ратор W, определенный формулой (2.1). Тогда
(ф | [Л, Н] | ф) = 0 = — ifl (2(ф 111 ф) — (фI г 	| ф>).
Первый член в скобке есть удвоенное значение средней
кинетической энергии Т. Если U (r)—Uorn, то второй
член в скобке есть просто nU. Таким образом,
7=^77.	(2.18)
Соотношение (2.18) называется теоремой вириала. Приведем
еще одно соотношение для стационарных состояний частицы
с гамильтонианом Я (2.11). Из (2.9) следует, что
Вычисляя матричные элементы обеих сторон этого равен-
ства с помощью ВФ стационарных состояний, получим
^<п|р|Л> = (Ел-Е„)<п|г|Л>.	(2.19)
10.	Энергетический спектр может быть как дискретным,
так и непрерывным. ВФ дискретного спектра в координат-
ном представлении могут быть нормированы условием
$|ф„(х))Мх=1.	(2.20)
Это означает, что плотность вероятности убывает при
больших х достаточно быстро, чтобы интеграл в (2.20)
сходился. Вероятность нахождения частицы вне некоторого
34
конечного объема может быть сделана сколь угодно малой.
Частицы совершают финитное движение. Поэтому состояния
дискретного энергетического спектра называются связан-
ными.
Для ВФ непрерывного спектра (х) дать непосредст-
венную вероятностную интерпретацию нельзя, так как
интеграл от плотности вероятности по всему пространству
расходится. Физический смысл имеют только состояния,
соответствующие квадратично интегрируемым ВФ <р. Если
такая ВФ представима в виде линейной комбинации ВФ
непрерывного спектра
<р = $а(Х)ф>. (х) dx,
то мы будем говорить, что она соответствует инфинитному
движению. В ряде случаев функция а (}.) заметно отлична
от нуля только в окрестности точки X = 2.0; свойства таких
ВФ во многом близки к свойствам функций Ф; (х).
Рассмотрим изменение со временем вероятности нахож-
дения в объеме й частицы с гамильтонианом И (2.11):
Г-J |*(«. ОГА	+
О	Wt	) \ (Л	(JL J
я
Используя уравнение Шредингера, получим
= Т (ф#+Ф* ~ dx. (2.21)
я
В правой части (2.21) отличны от нуля только члены
с производными. Учитывая соотношение
f	- g д/ = div (f gradg - ggrad f),
получим уравнение
= - J div	(фГф* — ф*Гф) r/x.
я
Преобразуя объемный интеграл в поверхностный по теореме
Гаусса, получаем
17 = ~	c!S- <2-22)
Х(Я)
Величина
2*
35
называется плотностью потока вероятности. Уравнение
(2.22) имеет смысл уравнения непрерывности. В диффе-
ренциальной форме оно .имеет вид
g + divj=O.
Уравнение непрерывности означает, что вероятность нахож-
дения частицы в объеме Q может измениться только за
счет перехода частицы через границу объема: УШ с гамиль-
тонианом (2.11) не описывает источников (и стоков) частиц.
Если ВФ имеет вид ф (х) = AR (х), где R (х) — действитель-
ная функция, а А — комплексная константа, то ](ф) = 0.
Для собственных функций импульса
ф(х) =—Цт5еЛ ₽Х
' ’	(2пП)3/2
плотность потока вероятности
j = т (2₽лй>
пропорциональна импульсу и не зависит от координаты.
11.	Если гамильтониан Н инвариантен по отношению
к переносу на любой вектор а:
Я(г + а) = ЕГ(г),	(2.23)
то должен существовать унитарный оператор Т(а) такой,
что
7+ (а) Н (г) Т (а) = И (г + а).
Поскольку последовательные переносы коммутируют:
' T(a)f(b) = T(b)T(a) = T(a+b),
то оператор Т должен иметь вид
Т = е‘Ка,
где К —некоторый эрмитов оператор. Рассмотрим беско-
нечно малый перенос
Т (ба) hT (ба)	(7 + /К ба) И (7 - IК ба),
Н (г) + i [К, 77] ба = 77 (г) + (?77) ба.
Из сравнения с (2.4) находим явный вид оператора IG
К-Л'р-
36
Из условия (2.23) следует, что [р, Д]=0,т.е. импульс есть
интеграл движения. Состояние системы описывается СФ
импульса
_ з i
ф (р, г) = (2лЙ) еЛ ₽г.
При унитарном преобразовании t
i
enPaip(r) = i|)(r + a).
t
*	— z-pa
Оператор пространственного переноса 7+ — e n анало-
i. - 'f- Hl
гичен оператору «временного переноса» S+ = e n , вве-
денному в п. 2.8.
(2.25)
12. Гамильтониан может быть инвариантен по отношению
к дискретному набору переносов. Например, в кристал-
лической решетке
Я(г + а) = Я(г),	(2.24)
если а = У} агпг, где пг — целые числа, az — базисные векторы
i
решетки. Для функций стационарных состояний
Я(г)ф (г) = £ф(г),
И (г + а) ф (г + а) = £ф (г -ф а) = Н (г) ф (г + а).
Поэтому ф (г) и ф(гф-а) суть СФ Н(г), соответствующие
одному и тому же значению энергии. Можно представить
связь между этими решениями в виде
ф(г + а) = с (а)ф(г),
где с (а) —матрица с числом строк и столбцов, равным g —
кратности вырождения уровня £. Матрицы с (а) и с (Ь),
очевидно, коммутируют и могут быть одновременно при-
ведены к диагональному виду. Для них имеет место урав-
нение
сгг(а)сгг(Ь) = сг,(а + Ь) (i = 1,2,..., g).
Это уравнение имеет решение вида
Сд(«) = Ла.
Таким образом, решения уравнения (2.25) имеют вид
Ф* (г) = «а (г) eikr,	(2.26)
37
где к — произвольный вещественный вектор, а функция
uk (г) — периодическая с периодом решетки а
uk (г + а) = нА (г).
В случае, рассмотренном в п. 2.11, функция ик должна
быть константой — единственной функцией, периодической
с любым а. Утверждение о возможности представить СФ
гамильтониана, удовлетворяющего соотношению (2.24),
в виде (2.26) называется теоремой Блоха.
По аналогии с оператором переноса, рассмотренным
в п. 2.11, вектор К = /гк называется квазиимпульсом.
Заметим, что вектор к определен неоднозначно. К.нему
можно добавить любой вектор g такой, что
ga = 2лп,
где п — целое число. Множество таких векторов можно
представить в виде
. з
g= b'm‘>
i= I
где mi — целые числа, а векторы
[а/Х а,.]
суть базисные векторы обратной решетки.
ЗАДАЧИ
1.	Доказать тождества
[рХ [хХ р]] = 1Йр + хр2 — рхр,
[х X- р]2 = х2р2 — (хр—(Л)2.
2.	Показать, что если L=f (х) g (р), то
5р^=~2^/Г f (x)g(p)dxdp.
3.	Найти вид гейзенберговского оператора х, в координатном
представлении для свободной частицы (t/(r)=O) и для гармониче-
ского осциллятора (U (х)=Ах2).
4.	Найти унитарный оператор, осуществляющий преобразование
Галилея
Pi~* Р1-)~1п&Р	+
5.	Пусть гамильтониан Н и его СЗ Еп зависят от параметра X.
Доказать равенство
Й£„(Х)_/	дН(к) \
д% ~ \ дЬ	П/ 
Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.
Глава 3
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
0. В квантовой механике движение частицы во внеш-
нем поле с потенциалом U (г) описывается уравнением
Шредингера — линейным уравнением в частных производ-
ных для функции четырех переменных Чг (х, у, z, it).
В отличие от классической механики, число степеней
свободы не может быть уменьшено наложением связей.
Однако если потенциал U (г) имеет вид
t/(r) = t/1(x1) + t/2(x2) + t/3(x3),
то уравнение допускает разделение переменных в декар-
товых координатах. Рассмотрим его решение для стацио-
нарного состояние
Ч^Хь х2, х3, /)=ф1(х1)ф2(х2)ф3(х3)е h .	(3.1)
Подстановка (3.1) в УШ (2.16) дает
р__ ^141 . ^з4а । ^з4з
41 + 4з - 4з ’
где
н,-^+им-
Определение спектра Н сведется к отысканию решений
и СЗ уравнений
Н^ — Е^.	(3.2)
Тогда
з
i= I
В дальнейшем мы будем называть (3.2) одномерным урав-
нением Шредингера, а параметр разделения Ег—энергией»
опуская индексы у Е;, Hit фг.
39
1. Гамильтониан свободной частицы в ^-представлении .
имеет вид
_ Pi _ d3
2m 2m dxi
Одномерное УШ для свободной частицы имеет вид
=	(3.3)
2т дх- т	'	'
Так как собственные значения квадрата эрмитова опера-
тора неотрицательны, то непрерывный энергетический
спектр занимает полуось 0 <£< оо. Решения уравнения
(3.3) имеют вид
$ (х) = А ехр ]Ё2тЕ + В ехр ( — ~ ]'2гпЕ х^. (3.4) 
Стационарные состояния свободной частицы двукратно
вырождены; при заданном Е существуют два линейно
независимых решения:
Ф+(£’ = ехр (i t (Р. х)
и
%) = pWeXp	Р. х),
соответствующие: ty+(E, х) — положительной и ф_ (£, х) —
— отрицательной плотностям потока вероятностей. Это
связано с тем, что оператор Н для свободной частицы
коммутирует как с оператором импульса р, так и с опе-
ратором инверсии Р, в то время как р и Р не комму-
тируют.
Поскольку оператор импульса р и гамильтониан сво-
бодной частицы Н коммутируют и имеют общую систему
СФ, то эти СФ могут быть нормированы различным обра-
зом. В условии
ср* (%, х) ср (р., х) dx = б (К — р)
мы можем под Л понимать как импульс р, так и энер-
гию £. В первом случае коэффициенты А и В должны
удовлетворять условию
И12+1В12=^г-'
40
Во втором случае (нормировка на 6-функцию от энергии)
коэффициенты должны удовлетворять условию
|Л|2 + |В12
1 т
2пЛ J/ 2тЕ
2. Потенциал U (х) мы будем называть потенциальной
стенкой, если пределы
lim (7(х) = (Л, lim U(x) = U+
Х-*— СО
конечны и не равны. Будем полагать, что £7_ = О (выбор
начала отсчета энергии), t7+>0.
Рассмотрим движение в поле потенциальной стенки.
Простейшими для вычислений являются случаи, когда
потенциал U (х) является кусоч-
но-постоянным. Решение урав-	U
нений с разрывными коэффи-	___________
цпентами требует дополнптель-
ных предположений. Мы будем
считать, что ф (х) и ф' (х) всю-
ду непрерывны и ф(х) удовлет-
воряет условиям нормировки	J------------—
(1.14) для дискретного и (1.17)	х
для непрерывного спектров. За-	Рис. 1.
метим, что решения уравнений с
кусочно-постоянными потенциалами обладают некоторыми
специфическими особенностями по сравнению с гладкими
потенциалами U (х) и полученные результаты нужно пере-
носить на случай гладких потенциалов с осторожностью.
Физически это связано с тем, что в разрывных U (х) бес-
конечные силы действуют на частицу в бесконечно малой
области.
3. Рассмотрим движение частицы в поле прямоуголь-
ной стенки (рис. П:
£7 (х) = 0 (х<0), U(x} = U0 (х>0).
Спектр непрерывный: 0<£<оо. При х<0 ВФ имеет
вид
фу — aeikx + be~il!X.
Введенное обозначение для волнового числа k
к = -^У2тЁ
41
мы будем использовать постоянно. При х>0 ВФ имеет
вид
^R = ce^x + de~^x,
?= 2m (E-U).
1) Пусть E<JJ, q мнимое. Выбирая 1гп9>0, получим
^>R = cer^x, y=Im<7.
Мы положили d = 0, чтобы ВФ была нормируема. Требуя
непрерывности ф, ф' в точке х = 0, получим систему
уравнений
а + Ь = с,
ik (a — b) = — ус.
Введем обозначения:
л=-, В = -с.
а ’	а
Тогда
В = Т?~
k-\-iy ’	k-f-r1
Окончательно коэффициенты а, Ь, с находим из условия
нормировки
□Ь. —	1	[pikx |	p—ikx\
Vi-l/2SftV	k + iy	)•
фЛ? = —-У-—— er^
I' 2лй k + iy
Функция имеет вид ВФ свободного движения (3.4).
Можно интерпретировать ф+ как ВФ частицы (испущен-
ной источником, находящимся в точке х =— оо), движу-
щейся вправо, а ф_ —как ВФ частицы, движущейся влево.
Поскольку при х>0 /(х) = 0, то ф_ естественно рассмат-
ривать как ВФ частицы, отраженной от потенциальной
стенки.
Если ВФ частицы с энергией Е в поле U (х) имеет
при х-э—оо асимптотический вид
ф (х) aeikx + be~ikx,
то величина
R(E)
IN2
| a |2
lim
—co
I i (Ф_) I
I i <t+) I
называется коэффициентом отражения.
42
Для определения Д (£) нормировка ВФ не нужна:
достаточно найти асимптотический вид волновой функции.
Очевидно, в поле потенциальной стенки при
= Заметим, что между падающей и отраженной
волнами существует фазовый сдвиг.
2) Пусть E^>U, q действительное,
фЛ = aeikx + be-ikx (х < 0),
ф/? = ce‘ix + de" 1*х (х > 0).
Из решений фй (х) и ф^ (х) можно составить линейную
комбинацию <Ря(х), которая будет содержать только ВФ
частицы, движущейся вправо. Например, положив
Ч>Я (X) = Фд. (х) - ~ Ф$ (X),
мы будем интерпретировать ее как ВФ частицы, прошед-
шей над стенкой:
Фя (х) = Ве^х.
Положим
фт (х) = eikx-j-Ae~ikx.
Из условия непрерывности при х = 0 следуют уравнения
для А и В: -
1+Д = В,
k(l—A) = qB.
Отсюда
В = -Йг~-
k+q' k+q
Коэффициент отражения определится выражением
*(£)=|ттЯ-	(3-5)
Так как q<Zk, то коэффициент отражения R 1 и дости-
гает максимального значения при q = 0 (E = U). Зависи-
мость R от отношения Е/Uo показана на рис. 2. Поток
при х>0 отличен от нуля:
(й+9)2-
Если ВФ частицы с энергией Е в поле U (х) имеет
при х-> —оо и при х-->4-оо асимптотики
фд(£, х) = е'*х4-Де~'*х	(х-> —оо),
фя (Е, х) = Bei9X (х -> + оо),
43
то величина
/'«if (Ml	„inis
{ ’ lim |/(i|>Z)| k
называется коэффициентом прохождения: Уравнение Шре-
дингера не описывает источников и стоков частиц при
конечных х. Поэтому
/?+£>=!.
Заметим, что' для прямоугольной стенки выражения для
7?(£), D(E) не. содержат постоянной Планка fl.
4. Найдем ВФ частицы в поле гладкой потенциальной
стенки (рис. 3)
U (х) — U (1 -f-e-^'0)-1.
Спектр непрерывный: 0 < Е < оо. Потребуем, чтобы асимп-
тотика решения при х->фсо содержала только ВФ ча-
стицы, движущейся вправо:
Ле^х	q= j V2т (Е - U).	(3.6)
При х-> —оо асимптотика ВФ есть сумма решений, соот-
ветствующих падающей слева и отраженной от стенки
частице:
^L^B1eikx + B2e-i,lx.	(3.7)
Найдем решение уравнения Шредингера
„ 2т / „ и \
Ч> =7г(£-Т^)’1’
в в иде
ip (х) = и (х) eiqx,	11 m и (х) О,
х-*-\-са
44
или, полагая
у = — е~х'а, яр (х) = y~^aw (у).
Уравнение для w (у) *
у (1 — у) w" + (1 — 2iqa) (1 — у) w' — о2 (А2 — q2) w — О
— гипергеометрического типа, одно из его решений
w — F (s1 — s2, —Si —s2, —2s2 + 1, у),
где F — гнпергеометрическая функция, a sx — ika, s2 — iqa.
При у 0 w -> 1, при у -> — со w (у) есть
w^Ci (—y)^~St +<?2(— y)s, + s‘,
где коэффициенты. Ci, с2 определяются формулами
______Г (- S1) Г (- s3+1) 	=	Г(81)Г(- $2 + 1)
Г(—S,— &.)!'(—Sj — «2*1-0 ’	“	Г («1—So) Г («1—«2 Т" О
Таким образом, при х-> —оо асимптотика ВФ
(х) :=« (— l)“Ss [c1eiA-* + с2е /Av]
действительно имеет вид (3.7). Коэффициент отражения
R (Е) =1 Г =	(3.8)
' '	| с\ | sil- ла (k Т q)	'	'
меньше коэффициента отражения от прямоугольной стенки
той же высоты. Так как k-\-q>k — q, достаточно пока-
зать, что функция
f(z/) = z/-1shr/
не убывает при z/>0; условие положительности произ-
водной f (у) приводит к неравенству
У> th//,
справедливому при //>0.
В пределе Аа->0 стенка переходит в прямоугольную;
раскрывая неопределенность в (3.8), получим
*а-»0	к I Ч
в согласии с результатом п. 3.3.
5. Поле с потенциалом U (х) мы будем называть потен-
циальным барьером, если
lim А7(х)= lim А/(х) = О,
х--* — сю	х^--|-оэ
и (х) > 0.
45
Максимальное' значение U (х) будем называть высотой
барьера. Рассмотрим движение в поле прямоугольного
барьера (рис. 4):
U (х) = 0	(х<0, х>а),
U (х) = Uо	(0 < х < а).
Как и в п. 3.3, рассмотрим решение в различных обла-
стях свободного движения:
х<0: tyL = eikx A~Ae~ikx,
О < х < а: ф/И = ВУ9Х ф- В2е~ i9X,
х>а: tyR = Ce'kx.
Решения выбраны так, что падающая частица движется
слева:
k =-- 1 У~2тЁ, q = * * У 2m (Е-(70).
Коэффициент прохождения через барьер
D = | С |2.
Из
условий непрерывности ф и ф' в точке х = 0 следует
система уравнений для A, Bi
и В2:
ZZ
Рис. 4.
I -у- /1 — JD1 -у
k(l-A) = q(B1-B2).
Из условий непрерывности в
точке х — а аналогично полу-
чаем для Bi, В2 и С:
ВУ9а + В2е~ ,9а — Се,ка,
q (Bie‘^“ — В2е~‘9а) — kCeika.
Решая эти уравнения относительно С, находим коэффи-
циент прохождения
п(р\=___________4fcv______— f 1 д_Г У2-*?2) sin<?g 12ух
* ' (Л2-92)28Ш29а + 4/г292 V“rL ^kq JJ ’
(3-9)
Выражение в квадратных скобках неотрицательно и обра-
щается в нуль при выполнении условия
sin qa = 0, qa = nn,	(Е — Uo) = п~.
46
Таким образом, при энергиях
Ел = (/0-)-/г
2
коэффициент прохождения обращается в единицу: барьер
прозрачен. Обращение коэффициента отражения в нуль
при бесконечном дискретном наборе значений Еп есть
специфическое свойство прямоугольного барьера. Если
£<б/0, то q — чисто мнимое и коэффициент прохождения
lai r(fe2+T2)shoy I2»-1	т _ ,,
п — J1 а_ I1-------L II у = Im q > 0,
монотонно убывает с ростом ширины барьера, не обра-
щаясь в нуль при конечных а, т. е. частица проходит
за барьер и при энергии меньшей, чем его высота. Зави-
симость D от отношения E/U0 — tz показана на рис. 5.
2ky
Рис. 5.
в поле гладкого
6. Рассмотрим'' движение
потенциального барьера (рис.
|-2
(3.10)
частицы
6):
U (x) = U0 ch-® (х/а).
Для определения коэффициента прохождения D (е) надо
найти решение УШ для стационарных состояний
асимптотиками которого являются ВФ свободного движе-
ния Aeil!X при х->оо и В1С,7гЛ'-ф £2е^А при х-> —оо.
Подстановками
х о ]/ — 2тЕ ..
t/ = thР = -—г--------a — ikct,
а а ’ г Й	’
।StnUtfi- \
s =
47
уравнение (3.10) превращается в
^[<1-Л^| + Н»+1)-т5?]’1>=0- <з>1)
Асимптотики интересующего нас решения:
*/-> + !: ф(г/)^а(1-^)₽/2,
^->-1: ф^)~М1+'/)р/2 + М’+'/)-р/2-
Подстановкой
Ф(*/) = (1-^2)р/2и>(^)
уравнение (3.11) сводится к гипергеометрическому виду:
-p(P + l)z/ay'-(p-s) (₽+s+ 1)м) = 0.
Решение этого уравнения, конечное при j/=l, есть
и>(у) = р(— p-s, — p + s+1, — Р4-1; -^-J.
Волновая функция
Ф («/) =
==(1 — у)2 2 F(—ika — s, —i&a + s-p 1, —ifoz-j-l; Х-6У-
имеет требуемые асимптотики. При х-> —оо (!/->-1)
Г(—s)r(l-bs) ~г
4- eil!X r(-tte)r(l-fto)
~	Г(— ika-s)V(— ita + s+1)’
Коэффициенты при экспонентах в формуле (3.12) опреде-
ляют значения коэффициента прохождения:
D(£) =	1 _	COSSET 1-4Г2	—1	(g2=	>4),	
		 sh2 nka	—I			(3.13)
О(£) =	1 _	ch2-J|/l+4^-2		(?2<	-4).	
		1	sh2 nka				
Здесь 12 = '2ти а2- Коэффициент прохождения D есть мо-
нотонно возрастающая функция e = £/t70 (рис. 7). При
£-> оо коэффициент отражения убывает экспоненциально:
£(£)—е~2яЧ
48
7. Выше мы рассматривали решения ВФ в полях с по-
тенциалами, принимавшими минимальное значение U — 0
на ±оо. Задача отыскания спектра Н не вызывала за-
труднений: при любом Е > О УШ вмело решение вида
(3.4). При £>47+ мы искали решения с граничными
условиями вида
Bei4x, ф (х —— оо) eikx 4- Ае ikx. (3.14)
Состояния частицы с определенной энергией в таком слу-
чае являются двукратно вырожденными. Это вырождение
связано не с наличием некоммутнрующих интегралов дви-
жения, а с вырождением граничных условий (3.14).
Основные выводы, следующие из рассмотрения ВФ
непрерывного спектра, таковы. В поле потенциального
барьера коэффициент прохож-
дения отличен от нуля, и при
Е < шах U (х) существует от- / -	------—
личный от нуля поток вероят-	f
ности и в области за барьером.	/
Это явление мы будем назы-	/
вать подбарьерным  прохожде-	I
наем или туннелированием че-	/
рез барьер.	.	।__________г
' В поле потенциального ба- О	/	е
рьера пли стенки коэффициент
отражения отличен от нуля и	Рис- 7‘
при Е > max U (х). Существует
отличный от нуля поток вероятности в направлении, про-
тивоположном направлению движения прошедшей части-
цы. Это явление мы будем называть надбарьерным от-
ражением. 8
8. Мы видели, что если пределы С , U+ конечны, то
оператор Гамильтона обладает непрерывным спектром при
£>0. Таким образом, дискретный спектр может сущест-
вовать, либо если
либо если
min U (х) < min (IL, U+),
(3.15)
lim U(x) = oo.
(3.16)
Физически наиболее интересен первый случай: все осу-
ществимые внешние поля обращаются в нуль на бесконеч-
49
ности. Мы будем рассматривать также потенциалы, удов-
летворяющие второму условию. Следует помнить, что
применение таких потенциалов есть идеализация, допусти-
мая лишь в ограниченной области пространства и при не
слишком больших х и Е. Поля с потенциалами, удовлет-
воряющими (3.15) или (3.16), мы будем называть потен-
циальными ямами.
Отыскание дискретного спектра сводится к решению
УШ с граничным условием
§ 1гр (х) |2 dx < оо.	(3.17)
Отсюда следует, что при х -> оо гр (х) -> О, гр' (х) -> 0.
а)	Если потенциал U (х) ограничен снизу: U (х) > С70,
то дискретный спектр ограничен снизу: Е > Uo. Допустим
противное: гр (х) есть решение УШ, принадлежащее L2 при
Е < Uо, тогда из УШ
следует, что знак гр" всюду совпадает со знаком гр. Пусть
гр (—оо) = 4-0. Тогда гр" и гр' будут всюду положительны:
гр(х) будет монотонно возрастающей функцией, что несов-
местимо с (3.17). Мы будем нумеровать состояния дискрет-
ного спектра в порядке возрастания энергии, присвоив
основному состоянию — состоянию с наименьшей энер-
гией — обозначение Ео. Позже (в главе 5) мы увидим, что
требование ограниченности U (х) снизу есть достаточное,
но не необходимое условие ограниченности снизу дискрет-
ного спектра.
б)	Состояния дискретного спектра в одномерном слу-
чае не вырождены. Допустим противное: гр (х) и ф (х) суть
линейно независимые решения, соответствующие одному
значению Еп. Вычитая
4’{-£^"4-[£n-t7w]4=0
из
+ [£'г “ U Ч’} = °’
получим
ф<р" - фгр" = 0 = (грф' - фгр').
Интегрируя от — оо до х, получим
. , ,г п ,	/ф' гр'\
грф -фгр =О-=грф .
50
Итак,
(Inip)’’ — (In <p)' =0, ф = const-ip,
что противоречит предположению о линейной независи-
мости.
в)	Для состояний дискретного спектра справедлива
осцилляционная теорема: ВФ ф„ (х), соответствующая зна-
чению Еп, имеет при конечных значениях х точно п нулей.
9. Рассмотрим движение частицы в поле прямоуголь-
ной ямы:
Д(х) = Д0
U (х) = 0
(х<0, х>а),
(0<х<(г).
При E>U0 движение частицы инфинитно. Коэффициент
прохождения получим из (3.9), поменяв местами k и q:
D(£)={l+[
(k2— q2) sin ka I2!'1
2^ J J
(3.18)
При E < Uo ВФ экспоненциально убывает при x < 0
п х>о: частица совершает финитное движение, находится
в связанном состоянии. Энергетический спектр — дискрет-
ный — определим из условий непрерывности для ВФ (вместо
требования непрерывности ф п ф' в точках 0 и а удобнее
воспользоваться требованием непрерывности фиф'- ф1):
х<0: ф/. = Ле¥л‘,
х>сг. фЛ = Сс Yv.
При х е (0, а) можно выбрать ВФ действительной:
ф.и = В51п(Лх-]-6).
Из условий непрерывности ф'-ф 1 следуют уравнения
£ctg6 = ]/^-£2 = y,
£ctg6 = — у.
Эквивалентные уравнения:
/7/	.	, s. kH.
sin6 = .-==, sin(^4-6)=--==
| 2/Zit/o	| 2/71170
51
Исключая из этих уравнений 6, получаем
Вводя переменные
о _ ka_ р _ й
Р~ 2 ’ а '
получим уравнения
cos р = ± 2gp (га нечетное, tg (i > 0),	(3.20)
sinp = zt2gp (га четное, tgp<0).	(3.21)
Корни этих уравнений определяют энергетический
спектр частицы в прямоугольной яме:
2₽=Л2
та*
(3.22)
Число корней уравнений конечно. Для неглубокой ямы
(t/o->0, £->оо) уравнение (3.21) не имеет корней, а (3.20)
всегда имеет корень. В прямоугольной яме всегда есть по
крайней мере один дискретный уровень. С ростом глубины
ямы (П -> оо, £	0) число уровней растет, становясь в пре-
деле бесконечным. Переходя к
* а	пределу в (3.19), получим энер-
———	готический спектр частицы в та-
кой яме — прямоугольном ящике:
пл=ка, Еп = п*^. (3.23)
--------
10. Рассмотрим другой пре-
Рис 8.	дельный случай: узкую и глубо-
кую прямоугольную яму. Удоб-
нее изменить начало отсчета энергии, положив (рис. 8)
Полагая
П(х) = 0
U(x) = -U0
(х<0, х>а),
(0<х<н).
(3.24)
k = ^V2m(U0-\E\),
непосредственно из (3.19) получаем уравнение
У2т (Uo — [ Е |) = пл — 2 arcsin 1 —	. (3.25)
52
Пусть яма углубляется и сужается так, что ее площадь
остается постоянной:
U0-*oo, «->0, Utfl — q.	(3.26)
Уравнение (3.25) можно переписать в виде
’/2^TJa/1“W'=B"^2arcsin/‘=I?- (3'27)
При переходе к пределу левая часть (3.27) стремится
к нулю. Следовательно, может существовать только одно
связанное состояние с п=1. Так как
arcsin j/l - Ж = arccos j/~ -J -	,
то из (3.27) следует:
q	£ = - ^.	(3.28)
Таким образом, в пределе (3.26) в прямоугольной потен-
циальной яме есть одно связанное состояние, энергия
которого определяется параметром q = (70п. Выражение
(3.28) имеет и более широкую область применимости. Оно
относится ко всем потенциалам
i7(x) = -i70/^],	(3.29)
которые при переходе (3.26) имеют своим слабым преде-
лом 6-функцию Дирака
lim U (х) = — q8 (х).
Рассмотрим УШ с 6-потенциалом
(х)Ф = Еф.
Нормированная ВФ при х#=0 есть
т|5 = ]/хе-х1х1,	(3.30)
где	______
х = (£<°)-
В точке х = 0 вторая производная ВФ имеет интегрируе-
мую сингулярность. Следовательно, ф' испытывает конеч-
ный скачок, а ф(х) непрерывна. Интегрируя УШ в окрест-
53
ности точки 0, получаем
-Й|-о) = ^(о)-
2m \dx l-j-o
Подставляя (3.30) в это уравнение, находим
х	р____
h-’ с	’
При конечных значениях параметров Uo, а выражение
(3.27) имеет смысл главного члена разложения правой
части равенства
£ = П0<р(^)
по степеням малого безразмерного параметра
=	/з.зп
Это обозначение для безразмерного параметра, характери-
зующего потенциал U (х), однозначно представимый в виде
.	(3.29), мы будем использовать по-
\	11	/ стоянно.
\	/	11. Рассмотрим движение частицы
\	/в поле с потенциалом (рис. 9)
г	t7 W =—*a-
<27
Как и в классической механике, мы
РиС- 9’ будем называть такую систему гармо-
ническим осциллятором. Движение
частицй при любой энергии будет финитным: ни при ка-
ких Е на всей оси не выполняется условие Е>Е0. Су-
ществует только дискретный спектр. Гамильтониан имеет
вид
Л___ р2 тсо2х2
П ~ 2т +-—2	’
Уравнение Шредингера для стационарных состояний:
, „ . 2т / . ,	та-х- \ , Л
----2~)^ = °,
или, в безразмерных переменных
- Г ты
г = )/ т
Z Йш'
^ + (Х-22)ф = 0.
(3.32)
54
Асимптотику ВФ при z->oo найдем, опустив в (3.32) ве-
личину А —малую по сравнению с z3. Асимптотическим
решением уравнения
ф" — г2ф = О,
убывающим при z->±oo, будет (с точностью до главных
членов) функция е-22-2. Ищем решение (3.32) в виде
Ф(г) = е-г2~(р (г).
Подстановкой в (3.32) получаем
ср"—• 2zq>' + рф=. О,	(3.33)
где р = Х — 1. Решая это уравнение подстановкой степен-
ных рядов, получаем
Ф = аР1 + рГ2,
4- (0~|,) <4-Н)(8-Р) ze ,	(3.34)
F2 = Z+—Z8 + (2-hH6-h). z6 _|_
+ (2~t0 (6г..Ю(10-н), Z7 _p...	(3.35)
Нас интересуют решения уравнения (3.33), которые при
z->co растут не быстрее конечной степени z; из (3.34) и
(3.35) видно, что ф (z) удовлетворяет этому условию только
при р = 2/г (6 = 0, 1, 2, ...). При других значениях р оба
ряда содержат бесконечно много членов, знакопостоянных
с некоторого члена. При р = 2& одно из разложений Flt
F2 превращается в полином (Тд —при р = 4/г, Л, —при
р — 47г 4-2) — нетривиальное решение, возрастающее доста-
точно медленно. Отсюда определим энергетический спектр:
р — 2k, X = 1 4*26,
^ = ^(14-2/г).	(3.36)
ВФ стационарных состояний имеют вид
Ф* (х) = Ake-z^2Hk (z),
где Ак — нормировочные коэффициенты, Я* (г) — полиномы
Эрмита, которые определяются (с точностью до множителя)
55
первыми членами разложений /д для четных k и F2 для'
нечетных k:
Яо=1, Нг = 2г, H.--=4z2-2.
Полином Эрмита Hk имеет k действительных корней; это —
частный случай осцилляцнонной теоремы, упомянутой •
в п. 3.8.
12.	Выразим гамильтониан гармонического осциллятора
л___ Р2 . тш2х2
П ~2т'	2
через безразмерные операторы
А ’ I	А л 1
“ п	у timid
[A Q] = 4(P. x] = -i:
# = ^(p2+q2).
Введем новые операторы
К d+] = 1 [Q, -iР] + 1 [iA Q] = 1.
Операторы, определенные таким коммутационным соотно-
шением, уже рассматривались в задачах к главе 1:
=a {q2+а - iia св = 4 (р2+q2) - 4 •
Гамильтониан, выраженный через новые операторы, имеет
вид
Н = Йо (a+d + 1 /2) •
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
удобно записать в безразмерных величинах:
56
Рассмотрим действие оператора л+:
а 'Й$с =-= е/РфЕ,
с+ (а+а 4-1/2) фЕ = а+ (аа+ — 1/2) фе = (Я — 1) Я*ф8,
(Й — 1) й+фЕ = ец+фЕ,
Я(а+фЕ) = (е4-1)(а+фЕ).
Итак, если фЕ — собственная функция гамильтониана, со-
ответствующая собственному значению е, то фЕ+1 = а+фЕ
есть собственная функция, соответствующая СЗ в4-1:
очФе = ?Фе+1-
Найдем нормирующий множитель q, считая фЕ нормиро-
ванной:
(о+фЕ, а+фЕ) = (фЕ, аа+фЕ) = |?|2,
а+цфЕ = (е — 1/2) фЕ, оа+фЕ = (е 4-1/2) фЕ,
|9|2 = (е4-1/2)(ф£, фЕ), 9 =	4-1/2,
а+фЕ = Уе4-1/2фЕ+1.	(3.37)
Аналогично	______
афЕ = ]/е— 1/2 фе-j.	(3.38)
Найдем наинизший энергетический уровень. По опреде-
лению
афо = 0, ц+йфо = 0,	(3.39)
Яфо = еофо = (а+о 4-1/2) ф0;	(3.40)
Из формул (3.39) и (3.40) следует, что минимальная энер-
гия осциллятора е0=1/2. Поскольку ранее было пока-
зано, что разность между соседними СЗ гамильтониана
равна единице, то для энергетического спектра осцилля-
тора в обычных единицах получаем
Еп — [п 4-	Й<о.
С помощью операторов о+ и а можно определить и вид
волновой функции:
«фо = О = -^(С4-/Р)фо,
=	Фо = Ла-<?-"2.
(Л/
57
Нормировочный множитель А определяется из условия
(Q) dQ = А2 \е-^гdQ = А2/л = 1,
А = л-1'4.
Так как оператор а+ уже нормирован соотношением (3.37),
то и ВФ получим сразу в нормированном виде:
<2+Фл = 1Лп+1фя+1,
• Ду(а+)"-фо = -фл.
\ т
= (2« • п! /л)-1/2 (Q - А)"
4)„ = (2«-п! Ул) 12 Hn(Q)e-Q^,
где Нп (Q) — полиномы Эрмита, определенные в п. 3.11.
Матричные элементы операторов Р и Q также могут
быть вычислены с помощью операторов а. и а+:
аЧрп = У п + l^+i,
R», Ы = Уп +1 б„+1, т,
_L<n + l|Q_£-pln\ = -|/^4TT,	(3.41)
-L<n+l|Q+/P|n) = 0.	.	(3.42)
Из этой пары уравнений (3.41), (3.42) получим
<п4И|<2|п>==|Л±1, <n+ljP|n) = £|/2±l, (3.43)
и аналогично для (и | Q | п ф- 1), {п | Р | п ф-1); при этом
легко проверить, что матрицы Q и Р эрмитовы.
13.	Использованный в п. 3.12 метод факторизации*
можно применять для отыскания спектра любого эрмитова
оператора, собственные значения которого ограничены
снизу. Изложим метод в общем виде.
Представим оператор А, спектр которого требуется
найти, в виде
Л1 = п^1+А1,
где число Ах следует выбрать наибольшим (в противном
случае ВФ, полученные методом факторизации, будут
58
ненормируемы). Положим
А 2 ==	А-1
и представим А2 в виде
А 2 :	4“ Т.2	(7,, ^> ^1)»
Х2 также выбирается максимальным. В общем случае
Ац = Ол+1®л+14“ ^л+1= «лй» "4* 7*,г	(7-ЛТ1	^л)*	(3>44)
Пусть ф —нормированная СФ Ах:
Х'ф = Х-ф, ||ф||=1.
Положим
1
<Рл = П («/>4’»
i—n
(<Р1. <Р1) = (М. 014?) = (ф, af<514>) = 7. - 7-1.
Так как скалярный квадрат любой функции неотри-
цателен, то TiSsTiv По индукции
(фл. <Рл) = П (Tt-MSsO. (3.45)
i = 1
Поэтому либо 7i равно одному из
7ч, либо 7i>7i„. Если с ростом п
в формуле (3.45) кп неограниченно
возрастает, то спектр А полностью
дискретен. Если- же при любом п
кп < А, то спектр А непрерывен
при 7i>A и дискретен при 7. < А.
Так как по способу получения ~s= Zzl, то СЗ операто-
ра А получаются в порядке возрастания.
и0
Рис. 10.
14.	В качестве примера применения метода найдем
энергетический спектр частицы в поле (рис. 10)
U(x) =— Но ch-2 (х/а).
Гамильтониан частицы в таком поле имеет вид
Я = Ах =	= atdi 4- 7ix. (3.46)
1 2т ch2 (X; a) iiii	\	/
59
Выбирая оператор di в виде
найдем р из условия максимальности
'	Л+Л   Р2  IR2 	\	1 R2
Ui Ul  — I Pl----г 	Pl.
2m \	|' 2zzz a) ch2 (x/a)
Сравнивая c (3.46), найдем уравнение для p:
— Pi = ^i, Pi — Pi + — 0-
У 2m a
Выбирая наименьший корень уравнения, имеем
Аналогично, полаГая
находим, используя (3.44),
— у'2т Р"+1) ^'п ~ ^п+1^ = 0’
(Рп—Рп + 1) + (^-п — ^Я+1) — О’
Из этих уравнений следует соотношение
pn+i = Pi +-
а У 2т
Так как Х„ = —р^, находим энергетический спектр
Еп = - Ute (п + • ’ ~ |	,
где п ограничено условием (так как должно быть Хп+1>
>М
П<~4 + |К1+4Г2-	(ЗЛ7)
Заметим, что если в (3.47) возможно равенство, т. е.
параметры потенциала таковы, что один из уровней диск-
ретного спектра имеет (формально) нулевую глубину, то
из формул (3.13) следует, что при таких значениях £
надбарьерное отражение в поле с потенциалом
U (х) = — Uo ch 2 (х/а)
60
отсутствует при любых значениях энергии падающей
частицы. Формула (3.13) применима и для Uo<zO.
15. Рассмотрим движение частицы в поле с периоди-
ческим потенциалом
4-00
U(x) = q 2 6(х + па).
п — — СО
Поскольку потенциал не обращается в нуль на бесконеч-
ности, решения УШ с таким потенциалом могут сущест-
вовать и- не при всех значениях Е>0. В интервале
0<х<аУШ описывает свободное движение, и ВФ,
согласно (3.4), имеет вид
ф (х) — Ае‘кх + Ве~‘кх.	(3.48)
На основании теоремы Блоха имеем
ф (х + а) = eiKa (Aeikx + Be~lkx).	(3.49)
Сшивая решения (3.48) и (3.49) с учетом требований
непрерывности функции и заданного скачка производной,
получим систему двух линейных уравнений для А и В.
Для того чтобы эти уравнения имели нетривиальные
решения, необходимо выполнение условия
sm ka ,	,
cos ха = у —т----1- cos ka,
‘ ka 1
(3.50)
где введено обозначение y = mqa/h2.
Функция F (ka) в правой части уравнения (3.50) изо-
бражена на рис. 11. Очевидно, равенство возможно только
при значениях ka таких, что | F (ka) |=с 1. Такие области
отмечены толстыми линиями на оси ka. Непрерывный
спектр разбивается на ряд ограниченных областей — энер-
61
гетических зон. К точкам ka = пп справа примыкают запре-
щенные зоны —области, в которых \F	С ростом
энергии запрещенные зоны сужаются: левая часть (3.50)
принимает значение (— 1)", когда
cos(ka — <р) = (—1)" cos ср, tg <р = ,
т. е. при ka = nn и при ka=-~ пл-|~2<р. Отсюда следует,
что ширина запрещенных зон A=2arctg^. При боль-
ших п
.	A=?V_.
пп
16. Собственные функции операторов р и х не при-
надлежат классу L2. Поэтому они не описывают физиче-
ски реализуемые состояния частицы; эти СФ следует рас-
сматривать как базисные функции, образующие полную
систему в смысле соотношений (1.15), (1.16). Поскольку
в физически реализуемых состояниях значения р и х опи-
сываются некоторыми распределениями вероятностей, на-
ряду со средними значениями р, х представляют интерес
и вторые центральные моменты — дисперсии этих распре-
делений. Дисперсию величины А
АД2 == <ф I (Л - Л)21 ф>	(3.51)
можно рассматривать как меру неопределенности ее зна-
чений. Дисперсии значений величин, которым соответствуют
некоммутирующие операторы, связаны с коммутатором
этих операторов:
[х, y]=iA.	(3.52)
Рассмотрим среднее значение оператора L+L, где
L==x + tyi/-(x-Hw).
операторы х и у эрмитовы, а у — действительный пара-
метр. Собственные значения оператора L+L неотрицательны
(см. задачу 1.15), поэтому неотрицательно и среднее зна-
чение:
<ф | [(х - х) - iy (у - у)] [(х - х) + iy (у - у)] ] ф) Ss 0,
<Ф | "(Ах)2 + у2 (Ау2) iy [х, г/J | ф> 0.
62
Используя равенство (3.52), отсюда находим
Ах2 у2 Др2 — -уЛ 5s 0.
Поскольку это неравенство выполняется при любом зна-
чении -у, то дискриминант трехчлена неположителен, т. е.
Л2-4 Ах2Л(/2<0.
Итак, имеет место неравенство
Ах2 A//25s- Л2/4.
(3.53)
Это выражение называется соотношением неопределенно-
стей Гайзенберга. Отметим, что для его вывода необхо-
дима эрмитовость операторов х, у. Поэтому соотношение
(3.53) неприменимо для состояний, которые описываются
собственными функциями операторов х или у.
Коммутатор операторов координаты и компоненты им-
пульса в декартовых координатах пропорционален еди-
ничному оператору:
[р.э xt] = — ifl.
Поэтому в любых состояниях, описываемых ВФ из L2,
будет выполняться соотношение неопределенностей
Ар2 Ах2 2s Й2/4.
(3.54)
В классической механике значения р и х определены
одновременно. В этом смысле состояния, наиболее близкие
к классическим, будут описываться ВФ с минимальным
произведением неопределенностей. Им соответствует знак
равенства в формуле (3.54). В силу неотрицательности
СЗ оператора L+L такие состояния должны описываться
СФ оператора L с собственным значением, равным нулю.
Отсюда получаем уравнение
х+уЙ^ф = Лф, Z = x + typ.
(3.55)
Нормированное решение уравнения (3.55) имеет вид
Ф(*) = лт==?ехр
V 2л Д№
(3.56)
63
Оператор в левой части (3.55) лишь размерным мно-
жителем отличается от оператора уничтожения а для гармо-
нического осциллятора, введенного в п. 3.6. Таким обра-
зом, состояния с ВФ (3.56) могут быть определены урав-
нением
dip = Zip,
где Z —произвольный комплексный множитель. Состояния,
описываемые ВФ, удовлетворяющими этому уравнению,
называются когерентными состояниями* гармонического
осциллятора.
ЗАДАЧИ
1.	Найти общие СФ гамильтониана свободного движения Но и
оператора инверсии А.
2.	При отражении от прямоугольной стенки ВФ при х < 0 можно
представить в виде
е< kx । g-< < kx+в > _
'Найти зависимость б от Е.
3.	Доказать, что коэффициент прохождения D (£) не зависит от
направления падения.
4.	Найти D (£) в поле U (х) = дб(х).
5.	Найти D (Е) в поле
, £ (х) = —Z70ch2 р [th (х/а + Р) —th ЭД2,
где Со>0, р>0.
6.	Найти D (£) в поле
U (*) = —	(х/«)2.
Результат этой задачи дает хорошее приближение для D (£) при
значениях энергии £, близких к максимальному значению потен-
циальной энергии U (х), в произвольных гладких Потенциалах
(ср. (3.13)).
7.	Доказать, что в поле с четным потенциалом U (х) ВФ дискрет-
ного спектра либо четны, либо нечетны.
8.	Найти условие, при котором энергии связанных состояний
в поле с потенциалом yU (х) будут возрастающими функциями у.
9.	Вычислить отличные от нуля матричные элементы операторов
Q3, Q4 между ВФ стационарных состояний гармонического осцилля-
тора. Воспользоваться соотношением
Q = _^(d+ + d).
Задачи 3.10—3.12 могут быть решены как методом факторизации,
так и приведением УШ к гипергеометрическому виду.
10.	Найти дискретный спектр частицы в потенциале Морза
С (х) =£0(^-2^).
64
11.	Найти спектр частицы в поле
U С') = 1/0 tg2 л *	(| х | < g ) •
12.	Найти спектр частицы в поле
=	|)2	(х>0).
13.	Доказать, что в поле с потенциалом
,.z. „ о2(3№-о2)
Ь (X) t'o ^2 + 02)2
при Uftna- > Й2 связанных состояний нет.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 3.8 и осцил-
лянионной теоремой.
В предыдущих задачах и в тексте мы рассматривали решение
УШ исключительно в координатном представлении. Это объясняется
структурой гамильтониана И: кинетическая энергия квадратична по
импульсам, и при любом U (х) мы получаем дифференциальное
уравнение 2-го порядка. Напротив, потенциальная энергия U (х)
содержит, в общем случае, произвольно высокие степени х, что при
f* ... д\	л
переходе в импульсное представление ( x—ih-^j приводит к диф-
ференциальным уравнениям высокого (или неограниченного) порядка.
В общем случае УШ в импульсном представлении может быть запи-
сано как интегральное уравнение. Решение этого уравнения в явном
виде тоже возможно лишь в небольшом числе случаев.
14.	Найти нормированные ВФ стационарных состояний в импульс-
ном представлении для частицы в однородном поле
U (x)—Fx.
15.	Найти нормированные ВФ стационарных состояний гармони-
ческого осциллятора в импульсном представлении.
16.	Найти спектр частицы в поле
U (х)=со (х<0), U (х)—— “ (х>0),
решая задачу в импульсном представлении.
17.	Найти спектр частицы в поле — ?6(х), решая задачу в им-
пульсном представлении.
18.	Найти произведение дисперсий Дх2 Др2 для n-го состояния
гармонического осциллятора.
19.	Найти все СЗ и СФ оператора Фурье /
»	“рсо
?7(х)=—elxx'f(x')dx’.
—со
3 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков
Глава 4
МОМЕНТ
0. Для построения явного вида оператора момента!
импульса мы могли бы воспользоваться правилами сопо-1
ставления, изложенными в п. 2.1. Однако в квантовой'
механике момент импульса не есть, вообще говоря, опе-'1
ратор, выражающийся только через х; и р* и действую-
щий только на функции координат. Поэтому мы вначале'
установим коммутационные соотношения между компонен-
тами оператора момента. Для этого мы используем связь,
между операторами проекций момента и унитарными опе-
раторами, осуществляющими преобразование поворота
системы координат. Эти коммутационные соотношения
справедливы как для оператора орбитального момента,
выражающегося через х(- и pk, так и для спинового мо-
мента, не имеющего классического аналога. Затем на
основе коммутационных соотношений мы найдем спектр
оператора момента и его явный вид в различных пред-
ставлениях.
1.	Пусть в каждой точке «неподвижного» пространства
определена некоторая функция ф(х, у, г). Рассмотрим две
декартовых системы координат S, S'. Система S' полу-
чена из S путем поворота вокруг оси г на угол ф. Срав-
ним значение рассматриваемой функции в двух точках
«неподвижного» пространства, координаты которых в си-
стемах S и S' имеют одно и то же значение (х, у, г).
Под «неподвижным» пространством мы понимаем некото-
рую систему координат, отличную от S и S'. Обозначим
через ф'.(х, у, z) и ф(х, у, z) значения функции в систе-
мах S' и S. Очевидно, что
ф' (х, у, z) = ф (х cos ф — I/ sin ср, х sin ф 4-у cos ф, z). (4.1)
Так как выбор системы координат не меняет норми-
ровки ВФ, то преобразование функций осуществляется
унитарным оператором. Для того чтобы установить вид
66
оператора £/+ (tp), который функции ф(х, у, z) ставит
в соответствие функцию ф' (х, у, г), рассмотрим беско-
нечно малый поворот на угол dtp. Сохраняя в (4.1) толь-
ко линейные по dtp члены, имеем
ф'(х, у, г)^ф(х —z; dtp, х dtp-ф у, z) = (l-|-i7zdtpH(x, у, г).
Здесь введено обозначение
lz = h~l(xpy-ypx),
которое соответствует оператору z-проекции момента
импульса, построенному по правилам п. 2.1 и деленному
на Й. Легко убедиться, вчто при повороте на конечный
угол tp получим
Ф' (х, у, z) =еп^ф (х, у, 2).	(4.2)
Таким образом,
(7+ (tp) = e‘*zQ>.
2.	Рассмотрим некоторый векторный оператор А, дей-
ствующий на функции координат ф(х, у, г). Потребуем,
чтобы компоненты Ах, Ау, Аг имели один и тот же вид
в системах 2' и S. Разумеется, средние значения опера-
тора А, вычисленные в системах S', S, должны совпа-
дать, если рассматривать их из «неподвижного» прост-
ранства:
ф'* (х, у, г) (AJ' -ф Ау]' 4- Агк') ф' (х, у, z) dr =
= ф* (х, у, z) (Axi + Ayj -ф Лгк) ф (х, у, z) dr. (4.3)
Рассмотрим следствие этого равенства. Поскольку орты
систем S, S' связаны соотношениями
Г = i cos tp + j sin tp,
j' = — i sin tp +j costp,	(4.4)
k' = k,
а функции ф' (x, y, z) и ф (x, у, z) связаны унитарным
преобразованием (4.2), то, подставляя (4.2) и (4.4) в (4.3),
получим
е^^’Ахе~'1^ч> = Ах cos tp — А у sin tp,
= Ахsin tp-ф Ау cos tp, (4.5)
3*
67
Рассматривая бесконечно малый поворот и раскладывая ;
левые части равенств (4.5), находим коммутационные
соотношения
[L Ay] = -iAx,	(4.6)
IL Л]=о.
Аналогичным путем можно получить л коммутационные
соотношения между компонентами Ах, Ау, 'Аг и операто-
рами 1Х, 1у.
3.	Итак, мы получили коммутационные соотношения
(4.6), основываясь на следующих требованиях:
а) ВФ при переходе от 2 к 2' преобразуется согласно
(4-2);	А ,
б) компоненты векторного оператора Ах, А„, Az
один и тот же вид в различных системах 2, 2';
имеют

в) векторы среднего значения векторного оператора А
в системах 2 и 2' совпадают для наблюдателя в «непод-
вижном» пространстве.
Можно перейти к другому представлению, в котором
координатная ВФ при переходе от 2 к 2' не меняется,
а сами векторные операторы преобразуются как векторы.
Переход к такому представлению в случае поворота на
угол <р вокруг оси г осуществляется оператором U (ф):
(х, у, г)=<р (х, у, г).


При этом
e-lVAe,7> = A',
или, используя формулы (4.5),
Ах — Ах cos ф + А у sin <р = е~1‘^А
Ау— — Ах sin ф + Ау cos ф = ‘Lt>y4ye+ILpt
A’z —Аг = ё~а^ Azeil^.
Разумеется, переход к новому представлению осущест-
вляется унитарным оператором, поэтому коммутационные
•соотношения (4.6) не изменяются. Такое представление
удобно для нахождения интегралов движения. Заметим,
68
что оператор Л2 есть инвариант по. отношению к пово-
ротам:
е-‘?^А^ = А'2 = А2.
Следовательно,
[/;, Л2] = 0. •	(4.7)
Если оператор Гамильтона имеет вид
Й=£+Щг),
2т 1	' ’
то при вращении вокруг произвольной оси, проходящей
через начало координат, он сохраняет свой вид. Следо-
вательно,
Д] = 0,
и операторы lt являются интегралами движения.
Отметим, что представление, рассмотренное в п. 4.2,
аналогично представлению Шредингера —используются
инвариантные операторы и преобразующиеся функции,-
а представление, рассмотренное в п. 4.3, аналогично
представлению Гайзенберга —используются инвариантные
функции и преобразующиеся операторы.
4.	Пусть Ai суть компоненты векторного оператора,
действующего на функций координат. Операторы lh
удовлетворяющие коммутационным соотношениям
U/, Лу] = iSijkAki	(4-8)
[//, l] = ie,ijkik,	(4.9)
называются компонентами оператора орбитального момен-
та. Далее, из (4.7) следует:
/2] = 0.	(4.10)
Разумеется, (4.10) можно получить и как непосредствен-
ное следствие из (4.9). Имея в виду дальнейшее обобще-
ние, рассмотрим спектр векторного оператора момента J ,
компоненты которого- удовлетворяют соотношениям
Jk 1 =
Оператор квадрата момента J2 коммутирует с каждой
из его компонент. Следовательно, существует общая
69
система СФ
= Р-Фуц-
Операторы Jt и Jk (i k) не коммутируют и общей си-
стемы СФ не имеют. Найдем спектры операторов J2 и Jz.
Введем операторы
•Л- == Jx 4" iJ yi
J - — J х iJ у’
Рассмотрим коммутатор [Jz, J±]:
4	= (н± О (/+%<)•
Следовательно, J±ipVM суть также СФ Jz с собственным
значением р±1, т. е.
J+Фу, Ц-1 ~
— РвФу. Ц-1 •
Так как
= («^+Фу’,U-1’ Фув) = (Фу. В-1’ *(-Фуц) = Ри»
то подбором фазового множителя вида е‘а (а —действи-
тельное) для функций фу|1 можно сделать действитель-
ным и равным рц. Тогда
«(+Фу, ц-i ~ ®цФув» *^-Фуц == ®вФу> ц-i-	(4-11)
Так как
у = (фУ1„ [л + J2y + л] фуц) = и2 + а + b,
G = (фуц, Jj-фуц) =	Jлфуц}	О,
^ = (фн(» ^/Фтц1 ~
(норма любой функции неотрицательна), то
Т^ц2/
При фиксированном у значения ц ограничены сверху
и снизу. Пусть Л и X есть соответственно наибольшее
70
и наименьшее значения ц при заданном у:
*/—'ФуХ	0.
Используя операторные равенства
7_/+ = 72-Л-Л,	(4-12)
Л/- = ^2-^ + Л>	(4.13)
действуя (4.12) на ipvA и (4.13) на ipvx. получаем
у —Л2 —Л = 0, т-Х2 + Х = 0,
(Л-А+1)(Л4-А) = 0.
Так как по условию Л 2s л, то
Л = — Л = J.
Отсюда получаем
y = J(J4-l).
При заданном у проекция момента ц принимает 2J Ц-1
отличающихся на единицу значений: от J до — J.
Поэтому разность
Л-7. = 2/
должна быть целым числом.
Таким образом, собственные значения проекции
момента Jz (мы будем обозначать их буквой М) суть
целые,
M=k	(& = 0, ± 1, ±2, ...),
или полуцелые,
М = Л+1/2 (Л = 0, ±1, ±2, ...),
числа. Заметим, что состояние с заданным у = J(J-)-1)
вырождено с кратностью 2J +1 по значениям проекции
момента М. Это есть частный случай установленного
в п. 1.18 правила: операторы J,- и Jk коммутируют с J2,
но не коммутируют между собой. Под «состоянием
с моментом J» мы будем понимать состояние с у = J (J + 1),
в котором максимальное значение проекции момента
есть J. Такие состояния будем обозначать tpj м или
|ЛИ>.
5.	Найдем матричные элементы операторов Jx, Jy
в представлении, в котором J2 и диагональны. Из
71
(4.11) и (4.12) имеем
J.и i — cl i|v, .и = амФл M-l>
' J (J + 1) - (М - I)2 - (М - 1) = а2ль
«^ = F(J + M) (J-Л1 + !)•	(4.14)
Подставляя (4.14) в (4.11), получаем
ЛФл Л1-1=Тф+М) (J-M4-1)	,и.
Следовательно, матричный элемент оператора J + есть
< JN | Л ] J, М - 1> = }ф+М)(/-М + 1) 6Л; л1.
Аналогично
(JN | Л | J, М") = F^ + AW-M + l) бЛ\,и-1-'
Используя определения операторов ./+, J, находим
<Л М I Л \J, М - 1> = У T^ + Af) (J —Л4 + 1),
(J, M\jy\j, м - 0 = - 4]/(^+м) (J - Л1 +1).
6. Из коммутационных соотношений (4.8) следует,
в частности,
Таким образом, существуют общие СФ операторов lz —
проекции момента на ось г и рг — проекции импульса на
ось г. Гамильтониан свободного движения
может быть представлен как квадрат векторного опера-
тора. Поэтому существуют общие СФ операторов Но, Р
и 1г. Свободная частица может находиться в состоянии
с определенными значениями Е, I, т. Через т мы здесь
и всюду в дальнейшем будем обозначать проекцию орби-
тального момента на' ось г.
Рассмотрим оператор орбитального момента одной
частицы в сферических координатах г, 6, q>:
г —г cost), y = r sin 6 sin ср, x = rsinecos<p. (4.15)
Пусть Ф (г, 6, ф) — ВФ частицы в системе 2; Ф' (г, 6, tp) —
ВФ частицы в системе 2'. При повороте системы коорди-
нат на бесконечно малый угол вокруг оси z
Ф'(г, 6, ф) = ф(/-, 6, фф-6а) = Фф-6а|Ф,
Ф' (г, 6, ф) = (1 ф-г7-6а) Ф (г, 6, ф).
Из сравнения правых частей этих равенств следует:
= /7 ,Ф,	= —	(4.16)
При повороте системы координат на бесконечно малый
угол вокруг ОСИ X
Ф'(г, 6, ф) = ф + 6а^Ф^+ ЭФ дчЛ	(4 17)
v ’	17	1	\<Э6 да 1 5(р да/	v1-11/
Ф'(г, 0, ф) = (1+ iZ.v6a) Ф (г, 6, ср). (4.18)
Так как при таком повороте
г'==гф-уба, у' = у —гба, х'=х,
то из формул (4.15) получаем
г cos (0 л/б) — г cos 0 ф-г sin 0 sin фба,	(4.19)
r sin tp sin (0 ф- d0) = r sin 6 sin ф — r cos 0 6a.	(4.20)
Первое из этих соотношении дает
— sin В dB = sin В sin ф 6а,
| = -sinV.	‘ (4-21)
Из соотношения (4.20) получаем
cos 0 sin ф <.'0 -ф- sin 0 cos ф dtp = — cos 0 6a,
cos ф sin 0	= — cos 0 — cos 0 sin ф
Подставляя сюда (4.21), имеем
^£ = —^0со8ф.	(4.22)
Подставляя (4.21) и (4.22) в (4.17) и сравнивая правые
части (4.17) и (4.18), находим
L = i (sin ф Д ф- ctg 0 cos ф Д).
73
Рассматривая поворот вокруг оси у, получаем
/у==1.(—cos<p~+ctg6sin<p^).
Отсюда находим и явный вид операторов l±, I2:
й = ехр [± 1ф (± i+.' ctg в i)].
> Ц.+й +?.—[да +гпа (sin • »)]• (423>
Последний оператор с точностью до множителя есть угло-
вая часть оператора Лапласа.
7.	Рассмотрим СФ оператора проекции орбитального
момента. Из (4.16) получаем
/гФ = тФ = —ip,
Оф
откуда
Ф = -4==е'т1₽,
у 2л
(4.24)
где значения т, в силу коммутационных соотношений,
могут быть как целыми, так и полуцелыми. Потребуем
эрмитовости оператора lz’.
\f*izgdq = [\ g*iefdq j +f*g(2n)-f*g(0).
о	\ о /
Таким образом, оператор 1г будет эрмитов на классе
функций, удовлетворяющих условию
f*g(2n)=rg(0).	(4.25)
СФ 4 принадлежат классу L2 (0,2л) и удовлетворяют
условию эрмитовости (4.25). Этому условию удовлетворяют
также любые дифференцируемые ВФ, разложимые по
(<р):
£((р) = 2^,А<₽, fc = 0, ±1, ±2, ...;
k
G(^ = ^b^, /г = ±4, ±|, ....
k
только с целыми или только с полуцелыми значениями т,
но не комбинации функций F и G. Выбор возможных зна-
чений т делается на основе сравнения с .экспериментом.
74
Величина проекции орбитального момента может прини-
мать только целочисленное значение (в единицах й).
Рассмотрим общие СФ операторов /г и /2. Из (4.14)
следует:
С'Ф/т == V(! + т) (I - т + 1) m_lt
l-tyii — V 2/ф;, Zi-
По индукции легко показать, что
1к'
Полагая l — k — m, получаем
*»=/	«-ад
По определению
МУ/ = 0.
Используя (4.23), подстановкой
fc=^^©zz(6)
получаем уравнение
!§-'=/cige.e„.
Отсюда
&и = A sinz 0.
Определяя постоянную А из условий нормировки, получаем
®н = (- i)‘ У sin' 6.	(4.27)
Формулы (4.24), (4.26) и (4.27) полностью определяют
вид собственных функций оператора /2 — сферических
функций
У1т = р*-	(-1)"‘ i‘	Р? (cos 0),	(4.28)
1 2л	г 2 (/+«)!
где PT (cos 0) — присоединенные полиномы Лежандра:
Р? (cos 0) = sin« 0 (d-c^l)m+1 (cos2 6 - 1)'.
75
Мы будем использовать также обозначение П™ (cos 6)
ддя нормированных присоединенных полиномов Лежандра:
П" (cos в) = /PT (cos в).
8.	Оператор инверсии Р, введенный в п. 1.2 для одно-
мерного случая, меняет знак всех координат:
Р<р(х, У,. г) = <р(— х, —у, —г).
При инверсии правая и левая системы координат пере-
ходят друг в друга. Определенный таким образом опера-s
тор Р эрмитов и унитарен. В силу равенства
Р2 = /
СЗ оператора инверсии равны ± 1. СФ оператора Р на-
зываются четными при Р — \ ц нечетными при Р — — 1.
В нерелятивистской квантовой механике гамильтониан
замкнутой системы при дискретном унитарном преобразо-
вании инверсии остается инвариантным:
РНР = Р ЛНР = Н.
Поэтому гамильтониан коммутирует с оператором инвер-
сии. Следовательно, четность состояния является интегра-
лом движения.
Оператор инверсии Р коммутирует и с каждой ком-
понентой оператора орбитального момента
-	[А а=о.
Следовательно,
[р. Ц=о.
Пусть чр — общая СФ операторов Р, I2 и Тогда из по-
следнего равенства вытекает, что четности состояний,
отличающихся только значением проекции орбитального
момента, совпадают.
Определим четность состояния одной, частицы с мо-
ментом /:
Ар(г, б, <р) = гр(г-, л —б, Jt-|-q>).
Зависимость ВФ от углов определяется СФ момента (4.28):
ip = PT (cos б) eimst,
Pip = PT (— cos б) eim!teim4> = PT (cos 6) (—I)’" eim<l>.
76
Таким образом, четность состояния частицы
Р = (— l)z	(4.29)
совпадает с четностью значения ее орбитального момента.
9.	Некоторые частицы, кроме орбитального момента,
обладают собственным моментом — спином s, не связанным
с движением в пространстве. Коммутационные соотноше-
ния, выведенные из рассмотрения бесконечно малых пово-
ротов системы координат, справедливы и для векторного
оператора спина
[sz, s7] = iezas*-	(4.30)
Сохраняются для спина и все формулы, полученные
в пп. 4.4, 4.5: для их вывода использовались только ком-
мутационные соотношения.
Спектр проекций спина есть последовательность целых
или полуцелых чисел, отличающихся на единицу. Собст-
венные значения квадрата спина суть
s2^s = s(s + l)^.
При заданном s компонента ,sz может принимать 2s 4-1
значений от —s до 4-s.
ВФ частицы со. спином зависит не только от непре-
рывных переменных г (или р), но и от дискретной спи-
новой переменной' о, указывающей значение проекции
спина на выбранную ось г. ВФ частицы со спином Т (г, о)
можно разложить по СФ с заданной величиной проекции
спина:
’Р (г, п)=	Ыг)х(°)-
О = —S
Спиновые ВФ х (ф) ортогональны при о,- ok. Функции
фо (г) X (°) называют компонентами ВФ частицы со спином,
функцию (0 называют орбитальной ВФ или просто
орбиталью. ВФ частицы нормирована условием
2 Ьа (г) ||=1.
a=—s
10.	Коммутационные соотношения (4.30) позволяют
определить явный вид операторов спина— матриц, дей-
ствующих в пространстве СФ оператора проекции спина.
77
Многие элементарные частицы (в том числе электроны и . '
нуклоны) обладают спином 1/2. Проекция s может при-
нимать лишь значения 4-1/2 и —1/2 (в единицах й).
Матрицы операторов sv, s,,, sz в пространстве собственных '
функций s2, sz имеют вид
i-ll? 4 %-4|? 4|. M|i Л <«»
^=4|i 4	(4-32)
Матрицы о(- — 2st называют матрицами Паули. Их свойства
рассматривались в задачах к главе 1. В частности,
а? = 7,	= — GkGi.	(4.33)
Пусть сферически-симметричные ВФ частицы =	•
= ф(г, 4-1/2) и ф2 = ф(г, —1/2) различаются лишь зна-
чениями проекций спина. Значения вероятностей проек-
ций спина определяются квадратами норм этих функций
IIФ1 21|2- Очевидно,
hdia+h2|i2=i.
Так как собственными функциями sz являются двухком-
понентные величины
= Х2 = |?|.	j
то ВФ частицы со спином 1/2 можно представить в виде
^=Ф1Х1+Ф2Х2 = |^|-	1
В дальнейшем мы не будем рассматривать зависимость V
от координат и заменим и ф2 числами.
Рассмотрим преобразование компонент ВФ частицы
при переходе к повернутой системе координат. Пусть
есть ВФ системы в некоторой декартовой системе 2.
Найдем вероятности значений проекции спина на некото-
рое направление в пространстве, которое примем за ось г'
в системе 2'.	i
Мы имеем два различных подхода к решению этой
задачи. Во-первых, можно предположить, что компоненты
спиновой функции V не меняются при переходе от 2
к 2', а оператор s меняется как вектор. В этом случае
для того, чтобы определить вероятности значений проек- ‘
78
ции спина на ось z’ в системе S', надо найти нормиро-
ванные СФ оператора s’z и разложить Чг по этим СФ.
Квадраты модулей коэффициентов в разложении и дадут
искомые вероятности. Найдем унитарный оператор (7+(<р)
для поворота на угол относительно оси г. В принятом
представлении имеем
si — sx cos <р + Sy sin <p = e~i^sxei^,
s'y = — sx sin + sy cos <p = e-u-vsye^v, (4.34)
sz = sz = e~ l^sz
Рассматривая бесконечно малый поворот и учитывая ком-
мутационные соотношения (4.30), найдем, что L =sz.
Можно перейти к другому представлению. Пртребуем,
чтобы при переходе от 2 к 2' вид операторов s{ оста-
вался неизменным, а компоненты спиновой функции изме-
нялись. Переход к этому представлению есть унитарное
преобразование
V+s'l/ = s,	(4.35)
1«Н‘|*|-	<4-36>
Из (4.34) и (4.35) имеем
V^e-^se^V^s,
V+ = eisX
Используя последнее равенство и формулу (4.36), получаем
I I __ Jsz9 I 1
1Фз1 I’M’
Оператор поворота Р1(ф) можно найти и в явном виде,
используя явный вид оператора sz и свойство матриц
Паули (4.33):
(ЛР/2
О
к+(ф) =
о
£—‘ф/2
11.	Произвольная 'система координат S' может быть
получена из S последовательными поворотами на угол <р
вокруг оси z, на угол 6 вокруг нового положения оси х
и на угол ф вокруг нового положения оси г (рис. 12).
79
Параметры ф, 0, ф *) называются углами Эйлера. По-
s, в выбранном представлении
одинаков во всех системах коор-
динат, матрицу преобразования
можно найти простым последо-
вательным перемножением мат-
риц:
скольку вид операторов
Рис. 12.
Результирующая матрица
У+(<р,.0,ф) = П(ф) Vi (0) Vi (q>).
Явный вид матрицы VJ(0) лег-
ко найти:
v+/n\ —| cos (6/2) i sin (6/2) I
| Z sin (6/2) cos (6/2) J’
имеет вид
V+ (Ф, 6. <p) =
.. <р+Ф
6	2
cos -g • e z
. . 6
i sin • e
.. 6
i sin - - • e
6
cos —• e
(4.37)
Таким образом, при произвольном повороте системы коор-
динат
ф! = фхсо8 9-е 2 4-гф2 sin• е 2 ,
0	0 ;Ф + Ф
Фа = zip! sin у • е 2 4-ifecoSy-e 2 .
Повороту системы координат в трехмерном простран-
стве соответствует линейное преобразование в простран-
стве Е2 двухкомпонентных спиновых функций. Оно не сво-
дится к «повороту осей» в пространстве Е3, так как при
таком преобразовании должно оставаться инвариантным
произведение векторов —спиновых функций:
<<₽' I Ф'> = <<Р I Ф> = Ч’Т'4’1 + <РаФа-
Из (4.37) следует, что это равенство не выполняется.
Однако при преобразовании (4.37) остается инвариантной
*) Обозначение ip для угла не смешивать с обозначением волно-
вой функции.
80
величина
{<₽. Ф} = Ф1Ч>2-фгЧ>1.	(4.38)
Линейные преобразования, оставляющие инвариантной
такую билинейную форму, называются бинарными. Двух-
компонентная величина, для которой поворот системы
координат есть бинарное преобразование, называется спи-
нором первого ранга или просто спинором.
12.	Рассмотрим спиновую ВФ системы двух частиц
со спином 1/2. Общие СФ операторов £s2 и ,8г (индекс
1 = 1, 2 нумерует частицы) имеют вид
<|+>=|Ц. -i->=IU-
Введенные обозначения для СФ оператора проекции sz
частицы со спином 1/2 мы будем использовать в дальней-
шем. Для описания системы двух частиц удобно исполь-
зовать СФ оператора полного спина S, определенного
соотношением
S —jS-paS.
Найдем нормированные общие СФ операторов S2 и S..
Мы будем обозначать их как | S, о). Очевидно, такие
функции будут линейными комбинациями произведений СФ
операторов ;.s2 и zs.:
Функции (4.39) ортонормпрованы. В состоянии Ц-+)
5-=1. Это состояние описывается СФ оператора
X2 = 1s2 4- 21s3s + 2s2.
Докажем это:
S21 + +) = -|-1 + +) + 2 (js.v • 2s.v 4- iSy  2Sy 4- xs. • 2sJ | 4- 4-).
Во втором слагаемом в правой части, отличный от нуля
вклад дает лишь оператор • »s~, что легко проверить
непосредственным вычислением. Итак,
52|4-+>=-2|4-+> = 1(1+ !)! + +>.
81
Состояние | + +) есть состояние с полным спином S —1
и проекцией о=1. (Выше она обозначалась как 11,1).)
Введем оператор
S_ = jS_-|- 2s- •
Поскольку [5_, 52] = 0, состояния |1, 1) также будут
описываться СФ оператора S2:
5_|1, l) = S_|4-+) = ]/2|4—> + Г2|-+>;
в этом состоянии S.s = 0; из условия нормировки
I1-
Далее,
5_|1, 0) = |---) + |---) = а|1, -О-
Нормируя, получаем
|1, -1) = |-, -).
Существует еще одна линейно независимая от 11, 1),
11, 0) и 11, —1) комбинация функций (4.39). Ее можно
найти из условий ортонормированности:
»-|+~>^~+>.	(4-40)
Легко убедиться в выполнении равенств
5гф4 = 0, 52ф4 = 0.
Следовательно, функция ф4 = 10, 0) описывает состояние
системы с полным спином, равным нулю. Состояние си-
стемы двух частиц со спином 1/2 и с полным спином
5 = 0 называется синглетным, а трехкратно вырожденное
по значению проекции 5г состояние с 5 = 1 называется
триплетным. Из (4.38) следует, что ВФ состояния с 5 = 0
остается инвариантной при поворотах осей, т. е. является
скаляром.
13.	Полный момент частицы j складывается из ее
орбитального и спинового моментов:
j=l + s.
Поскольку операторы 1ns действуют в разных про-
странствах, они коммутируют. Поэтому выполняются
82
соотношения
l/i. hl = it-ijkik, [м /2] = 0, [/,, s2] = 0.	(4.41)
Из (4.41) следует, что существуют общие СФ операторов
/2, /г, I2. Найдем спектр проекций полного момента для
частицы со спином s= 1/2. Рассмотрим состояние с макси-
мальной проекцией полного момента
Ф = Ф«|£| = |/. I, +>,	(4.42)
/г’Ф = (Z 4" 1/2) ф, / = I -|- 1/2.
Введем оператор
./_=?_ + l==L + |J °|.	(4.43)
Учитывая (4.14), получаем
=	/-1, +> + |Z, I, ->.
Значения проекции полного момента в этом состоянии
/г-(/-1)+1/2 = 7-1/2.
Итак, оператор /_ уменьшает на единицу значения про-
екции полного момента. В общем случае
j- = 11+ kik_-xs.-.
Эта формула получается из разложения бинома, если
учесть (см. (4.43)), что si и все высшие степени s_ тож-
дественно равны нулю:
М|7, I, +) = ik\i, I, +)+kik~1\i, i,
Подставляя выражение для (/_)*, найденное в п. 4.7,
находим
I,	+>=1/i-k, +>+
Вводя т — l — k, получаем окончательно
Ь-i/, I.	и. +>+
+	1)1 (< -rn) Iи +1,	(4.44)
83
Собственные значения проекции полного момента есть j
последовательность чисел, отличающихся на единицу, от
/ = /4-1/2 до / = /—1/2. Все построенные таким образом -
состояния принадлежат тому же СЗ /2, что и | /, /, +), •
поскольку [/_, /2| = 0:	'	-1
/2|/, /, +> = (/2 + 2/s + s3)|/, /, +>=	]
= [/(/4-1) + 2/--‘- + |]|/, I, +>, (4.45)
7(74- !) = (/+ 1/2) (/3-3/2).	j
В правой части (4.45) отличный от нуля вклад дает только
член 2/-S-. Таким образом, полученные ВФ соответствуют
значениям / =/4-1/2, mj = m-\-\/2. Нормированные ВФ
имеют вид	;
ф|/ч-|>	=
=	+>+/^и- /п+1’ ->• <4-46)
Полное число линейно, независимых состояний N — (2l-\- J
4-1) (2s4-1) = 4/4-2. Построенная система ВФ включает
(2/4-1) —2/4-3 состояний. ВФ остальных 2/— 1 состоя-
ний можно получить из условия ортонормированности
| /	2 > т + f~
+>-]А|Е|/, П. + 1,	.
14.	Если две подсистемы взаимодействуют таким обра-
зом, что момент j,- каждой из' них сохраняется, то СФ
оператора полного момента
• J — ji4- L
можно найти, как и в предыдущем пункте. Для фикси- 4
рованных значений /\ и /2 имеется (2/44-1) (2/24-1) орто- 1
нормированных СФ проекции полного момента J-. Функ- !
цию, соответствующую максимальному значению проекции я
полного момента,	J
/Wj —/14~/2	Я
можно построить единственным образом. Следовательно, Я
•/ = 714-/2 есть максимальное значение полного момента ч
84	I
системы. Применяя к функции
1/1 + ii< /1 + /г> hi it) = 1/1» /1+1/21/2)
повторно оператор
•/- = /1- + /2-»
получаем все 2(/д + /\) + 1 ортогональных функции, при-
надлежащих СЗ J — ji + ji с различными М:
— (/1 + /2) /W /1 + /г-
Так, функция, соответствующая значению Л4 = /1+ /•> — !,
есть
I /1 + /г» /1 + /2 — 1> /1, /г) —
/1-1’7г’ /2>+Уст;|/1’ /ъ/а’/а-1>-
Из условия ортонормпрованности легко получить функ-
цию, соответствующую J — ф + /2 — 1, М = /1 + /2 — 1 
! /1 + /2-1. /1 + /2 - 1 . /1- /2> =	_
= V /]+''	M-Vh+i;"'’h- h~l>-
Применяя к полученной функции несколько раз опера-
тор J., получим 2(/i + /2 —1)—1 функций, принадлежа-
щих J = /i + /-2 —1. Повторяя эту процедуру, можно по-
строить все интересующие нас функции.
Легко проверить, что J может принимать значение
I /1 — /21 J /1 + /г-
В самом деле,
max J
(2J + 1) = (2/1+1)(2/2+1).
min J
Таким образом,
\J, Л4, ii, j2)= У,	mlt j2, m2').
m, 4 m2 = M
Коэффициенты (hiiiijitni i JM), определяющие вклад раз-
личных функций |/1/»1/2//г2) в СФ операторов J2, с СЗ
J (J + l), М, называются коэффициентами векторного сло-
жения или коэффициентами Клебша —Гордина.
85
ЗАДАЧИ
1.	Найти СЗ оператора J2 в состоянии с maxAl=J, учитывая
соотношение
Sp J£= Sp J2 = Sp J2.
2.	Пусть А —векторный оператор, удовлетворяющий соотношению
1Л> Л*]= ieni/Ai.
Доказать тождества
[j4 a]=i([axJ]-[Jxa]),
[j2, [J2, A]] = 2(J2A+ AJ2) —4J(JA).
3.	Доказать, что матричные элементы вектора А между функциями
с одним и тем же значением J пропорциональны соответствующим
матричным элементам оператора J:
(n'JM’ | А | nJAf> = K (nn'J) {JM' | J | JM).
4.	Доказать равенство
{n'JM' | AJ | nJAl> = 7< (nn'J) J (J +1) 6MM,.
5.	Найти коммутационные соотношения [/г, А,-*], где А,-* —ком-
поненты антисимметричного тензора.
6.	Найти коммутационные соотношения [jz, В^], где Bik — ком-
поненты симметричного тензора.
7.	Найти спектр оператора JjJ2.
8.	Найти 'ВФ свободного движения —общие СФ операторов И,
Рг> К-
9.	Найти явный вид матриц и унитарных операторов Of ((f)
для J — 1.
10.	Доказать, что для оператора скалярной величины L отличны
от нуля только матричные элементы между функциями одинаковой
четности.
И. Наиболее общий вид спиновой функции частицы со спином
1/2 в s^-предстанлении есть
ф —eia cos р | +) +e“‘V sin р | —
Найти сферические координаты <р, 6 такого направления в простран-
стве, проекция спина на которое с достоверностью есть -ф 1/2. Такое
направление называют направлением поляризации частицы со спи-
ном 1/2.
12.	Для операторов slt s2 спина двух частиц со спином 1/2 найти
спектр и матричные элементы оператора SjS2.
86
13.	Доказать, что функция [ Д, /1т /2, /2) есть СФ операторов J2
и соответствующая значению J=j1+/2.
14.	Найти нормированные общие СФ операторов J3, J. системы
двух частиц: ji=\, j2=j.
15.	Найти нормированные СФ операторов полного спина S3 и S-
системы трех частиц со спином 1/2. Отметим отличие от случая, рас-
смотренного в п. 4.12; величина полного спина не определяет одно-
значно спиновых ВФ.
16.	Доказать равенство
itxe f t „
e л Lze = Lz cos 6 + sin 6.
17.	Показать, что операторы /+, j_ можно представить в виде
/_ = }/ 2/—«+я а, 'j+—a+V2j—a+a,
где а1, а —операторы Бозе. Найти вид /. в этом представлении
(«2/).
Глава 5
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ
0. Если взаимодействие двух частиц можно описать
потенциалом £7 (J гх — г2|), зависящим только от расстоя-
ния между частицами, то задача о движении таких частиц
в квантовой механике, как и в классической, сводится
к задаче о движении частицы в центрально-симметрич-
ном поле.
Лагранжиан системы двух частиц в классической ме-
ханике имеет вид
Введем вектор взаимного расстояния
г = Г1 — г2
и вектор центра инерции
р  >»!ri+от.2г3
Тогда
где
М = тг + та, т = т1'Пв—.
J	т1-Гт2
Вводя импульсы с помощью соотношений
p = ^ = MR, р = Ж=тг,
Ж	Or
получим классическую функцию Гамильтона
2М 1 2m 1	' '
Оператор Гамильтона для квантовомеханической задачи
получим, заменив Р и р операторами с коммутационными
88
соотношениями
[Л. Rk]^= — i'^ik, IP,, rk\--—ihbik,
Волновую функцию системы можно представить в виде
Ф(Г1, г2) = ф(Ц)ф(г),	(5.1)
где ф (R) описывает движение центра инерции (свободное
движение частицы массы М), а ф (г) — движение частицы
массы т в поле U (г). В дальнейшем мы ограничимся
рассмотрением ВФ движения в центральном поле.
1.	Уравнение Шредингера для стационарных состоя-
ний в центрально-симметричном поле
Лф + -^[£-Щг))ф = 0
в сферических координатах имеет вид
r2 dr \ dr ] г2 L sin 6 дв \	‘ sin2 в Лр3 J
+ -^.[Е-С/(г)]ф = О. (5.2)
Используя выражение (4.23) для оператора /2, получим
ti- I 1 д ( „ аш \ . /2 . I . ,, . , . „,
тг— з- -д- ( г- — + —ф + U (г) ф = £ф.
2т L г2 or \ or j 1 г2 1 ] 1	' ' 1	'
Операторы I2 и 1г коммутируют с гамильтонианом Н (г),
поэтому существуют общие СФ операторов Н, Г2 и 1-. Мы
будем рассматривать именно такие решения УШ. Это
требование определяет зависимость ф от углов:
ф(г, 0, ф) = R (г) Ylm (0, <р),
где Yim (6, tp) определяется (4.28). Так как
?yZm = Z(Z+l)yZm,
то для радиальной части ВФ R (г) получаем уравнение
= <53)
Это уравнение не содержит значения 1г — т: при задан-
ном I уровень энергии Е соответствует 2/-J-1 состояниям,
различающимся значениями 1г. Это вырождение является
89
следствием правила: энергетические уровни вырождены 
при наличии у системы двух сохраняющихся некоммути- (
рующих операторов. Для движения в центральном поле '
такими операторами являются любые два из трех сохра- .
няющихся операторов компонент момента lx, ly, lz.
Для состояний с различными значениями орбиталь-
ного момента приняты обозначения:
/ = 0 1 2 3 4	(5.4) .
s р d f g
Число / — максимальное значение проекции момента —
называют азимутальный, а т — проекцию момента — маг-
нитным квантовыми числами.
2.	Приведем эквивалентные формы дифференциального (
оператора в уравнении (5.3):
1 d / 2 dR\ d2R , 2 dR 1 d2
T2 d7 47) = -375- + -747 = 7d7 №
Последнее выражение позволяет придать уравнению (5.3) .
вид одномерного УШ (3.2); полагая
Х(г) = /7?(г),
получим
(5.5)
Однако, в отличие от случая движения на неограничен-
ной прямой, для уравнения (5.5) необходимо задать гра-
ничное условие при г = 0. Рассмотрим вид ВФ при г->0
для слабо сингулярных потенциалов:
lim U (г)г2 = 0.
г-»0
Тогда в (5.5) при малых г наиболее существенны первые
два члена. Подставляя х (г) f=&rv, получаем
v (у — 1) = I (l-[-1).
Это уравнение имеет корни
Vi = Z+l, v2 = — I.	(5.6)
Требование нормированности ВФ несовместимо со значе-
нием v = -«- Z при Z #= 0, так как будут расходиться»
90
нормировочные интегралы
11 X’ (И I dr
о
для дискретного спектра и не будет выполняться условие
(1.17) для непрерывного спектра. При 1 = 0 граничные
условия определяются из требования конечности среднего
значения кинетической энергии, которое выполняется лишь
при v= 1. Итак, ВФ частицы в слабо сингулярном потен-
циале всюду конечна и при любых I
Х(0) = 0.
(5.7)
3.	Решение задачи о движении частицы в централь-
ном поле U (г) сводится к отысканию решений одномер-
ного УШ с эффективным потенциалом
и граничным условием (5.7). Второй член в (5.5) назы-
вают центробежным потенциалом. В этой главе мы будем
рассматривать только состояния дискретного спектра.
В главе 3 мы видели, что для УШ на неограниченной
прямой с потенциалом U (х), удовлетворяющим условиям
M<t/(x)<0, t7+ = LL = O,	(5.8)
всегда существует по крайней мере одно связанное состоя-
ние. Для уравнения (5.5) даже в случае 1 = 0 это не так.
Пусть
М < U (г) < О, U+ =lim U (г) = 0.	(5.9)
/•“>00
Рассмотрим одномерное УШ с потенциалом U (| х |) = U (г).
В поле с четным потенциалом ВФ либо четны, либо
нечетны: ВФ основного состояния ф0(х) не обращается
в нуль в силу осцилляционной теоремы, и поэтому функ-
ция ф0 (г) не удовлетворяет условию (5.7). Функция пер-
вого возбужденного состояния фх (х) нечетна, так как
имеет один только нуль; соответствующее решение фх (г)
удовлетворяет условию (5.7). Таким образом, дискретный
спектр для радиального УШ (5.5) содержит хотя бы одно
значение, если дискретный спектр одномерного УШ с по-
тенциалом U (| х |) = U (г) содержит не менее двух значе-
ний. Последнее условие выполняется не всегда.
91
слабо сингулярен при
Рис. 13.
4.	Если монотонный потенциал притяжения U (г) < 0
г = 0 (lim U (г) г2 — 0) и убывает
г-* 0
при г->оо быстрее, чем г-2,
то существует некоторое пре-
дельное значение момента Л та-
кое, что при I > Л связанные
состояния отсутствуют /кривая
d на рис. 13). Необходимым ус-,
ловнем существования дискрет-
ного спектра является сущест-
вование области Г1<г<г2> в
которой Vz(r)<0 (рис. 13, s и
р). Будем рассматривать I как
непрерывный параметр. С ро-
стом I корни гь г2 уравнения
Vt (г) — 0 сближаются, переходя
при I = AN в двукратный корень
г0. Пусть U (r)=Uof(r/a). Тогда в точке r0 VA(ro) = O,
Ел(го) = О, т. е.
Л (Л+1)
(5.10)
и»
а
Разделив (5.10) на
щее r0 = ax0i
°' \ а /	’
f (LX — _ 2Л <Л+ Ч
' \ а ) ~ 2тг%
(5.11), получим уравнение, определяю-
(5.П)
Нх0) = --^Г(х0),
от вида функции f (х). Подставляя этс
получаем
<	= Г2 W (Хо)}.	(5.12)
Максимальное значение Л, совместимое с (5.12), обозна-
чим Адг. Величина в фигурных скобках есть безразмерная
константа порядка единицы. Таким образом, при 52)>1
Л^Г1-
зависящее только
значение в (5.10),
5.	Рассмотрим энергетический спектр и ВФ связанны?
состояний для системы двух зарядов. Связанные состоя
ния существуют только в случае притяжения. Такая
система описывает свойства атома водорода и водоро
доподобных ионов (Не+, Li++ и т. д.). Уравнение дл>
92
радиальной ВФ:
+	+	+ - Ar = 0, (5.13)
dr2 ' г аг г2	п2 \	' г J	'	’
где константа а, характеризующая потенциал, есть Ze2.
Здесь е — заряд электрона, a Z — целое число, равное
заряду ядра в единицах е. Константы е2, т и Й позво-
ляют построить величины с размерностью длины
. ' а0 = 0,529 • 10~8 см,
и те2	’
называемую боровскмм радиусом, и времени
/0 = -Д- = 0,242-10- 16 сек.
u met >
Эти величины определяют типичные пространственно-вре-
менные масштабы для атомных систем, поэтому их удобно
использовать в качестве основы системы единиц (так
называемые атомные единицы). 
Уравнение (5.13) имеет в атомных-единицах (при Z= 1)
вид
+	+	+ -)Я = °- (5-14)
dr3 1 г аг г3	\	' J	'	’
При £<0 движение финитно и энергетический спектр
дискретен. Нас интересуют решения (5.14), квадратично
интегрируемые с весом г2. Введем обозначения:
1	2г
П = -7==-, Р =
К—2£	п
Уравнение принимает вид
dp2 р dp L Р 4 р2 J	'	’
Найдем асимптотики радиальной функции /?(/-). При
р->оо, опуская в (5.15) члены ~р-1, р 2, получаем
d3R R
dp2 4
Поэтому при больших р 7?/~^е±Р 2; требованию нормиро-
ванное™ удовлетворяет только R^e-v2. Асимптотики
при г->0 были определены в п. 5.2.
Подстановкой
£ (р) = р1е~ р/2ю (р)	(5.16)
93
уравнение (5.15) сводится к виду*
р^-+(2(+2-р)^-+(„-(-1> = 0.
Решение этого уравнения, конечное при р = 0, легко
найти, подставив w (р) в виде степенного ряда
..._ 1 , (0-у) _ । (0-v)(i-v) 'р2 .
“'(р)—1+ (0+Х) р+ (0 + Х) (1+Х) 2! +
(0—у) (1—у) (2—у) рЗ	,г 171
’Г (0+Х)(1+Х)(2+Х) 3! ‘г’" ’ V ’
где
Z = 2Z 2, — v = — п -J-1 ~Ь 1 •
При р->сю функция w (р) должна расти не быстрее конеч-
ной степени р, для этого v должно быть целым. Тогда
щ(р) будет полиномом степени у. Итак,
— и-М+1 = — k, n = t+l+k	(6 = 0, 1, 2,...) (5.18)
при заданном значении I. Отсюда, используя определе-
ние п, находим энергетический спектр
£.=—if-	(б-к)
Число п называется главным квантовым числом. В обыч-
ных единицах это выражение имеет вид
(5.20)
Эта формула была получена Бором (1913 г.) на основе
старой квантовой теории, Паули (1926 г.) из матричной
механики и Шредингером (1926 г.) с помощью решения
дифференциального уравнения.
Задача о спектре атома водорода представляет уни-
кальный пример проблемы, допускающей точное решение,
прекрасно согласующееся с экспериментом.
6.	В классической механике при движении в кулонов-
ском поле притяжения сохраняется вектор Рунге —Ленца
A“T- + -il'p|.	(6.21)
Докажем это:
/?А _ 1 .1 ’ < ; г(гг) —г(гг)
dt та lpJ"r rs
94
Из уравнений движения находим
(5.22)
Используя тождество
[г [гг]] = г (гг) — г (гг),
получаем
= _ [1г] . [г[тг, г]] _ „
dt тг3- тг3-
В квантовой механике вектору А сопоставляется опе-
ратор
А = у + 4ШР]-[РШ.	(5.23)
Мы положили Z — 1 и использовали атомные единицы.
Оператор А коммутирует с гамильтонианом
Компоненты А{ связаны коммутационными соотношениями
[Л/, Aj] — — ieijklk-2H	(5.24)
с компонентами оператора орбитального момента. Компо-
ненты оператора Рунге —Ленца не коммутируют с компо-
нентами If, в силу общих соотношений (4.8)
Uii Aj] — ieijkAk.	(5.25)
Наличие не коммутирующих между собой и сохраняю-
щихся (т. е. коммутирующих с Н) операторов А,-, /2 ведет,
согласно общим результатам п. 1.18, к вырождению соб-
ственных значений гамильтониана Н частицы в кулонов-
ском поле. Непосредственно из формулы (5.18) видно,
что состояние с главным квантовым числом п вырождено
по значениям I с кратностью g = n. Такое вырождение,
связанное с наличием дополнительного интеграла движе-
ния (5.23), специфично для кулоновского поля и назы-
вается случайным.
Как и во всяком центральном поле, состояния с задан-
ными значениями п и I вырождены по величине проекции
момента с кратностью 2/+1. Таким образом, полная
кратность вырождения состояния с главным квантовым
95
числом п есть
G =	(2/ + 1) = «2.
1 = 0
7. Состояния атома водорода с квантовыми числами
п, I, т мы будем обозначать векторами
| п I т),
указывая-


значения квантовых чисел всегда в таком порядке. Радиаль-
ные ВФ определяются формулами (5.16) и (5.17) и зави-
сят, в силу центральной симметрии, только от п и I:
Rm (Р) = А п1р'е- р/2 L2„z+/ (р),	(5.26)
где Ani — нормировочные множители, a £2+? (р) — поли-
номы Лагерра, которые с точностью до постоянного мно-
жителя определяются первыми членами разложения (5.17).
Приведем выражения для простейших случаев:
(Is): L}= 1, (2s): L|=l—J,
(2р): Ц = 1, (3s): Ц = 1 - ~г4-~г2.
Так как. угловые части ВФ, определяющиеся СФ опе-
раторов I2 и 1г, мы выбрали нормированными, то радиаль-
ные ВФ следует нормировать условием
ОО
\Rsnl(r)r2dr=l.
О
(5-27)
Нормированные радиальные функции имеют вид
___________2 1Л (и —/—1)1 п f 2г \1 . 21+ \ ( 2г \
niv)— П2 у [(п-ЬОЦ3 е \ п I Ьп+1 \ п )
Приведем явный1 вид полных ВФ состояний 1s,
с различными прое-кциями орбитального момента:
2s, 2р
|1, 0,	=
р л
12, 0, =	1--
1	-	2 Г 2л \	2 У
|2. 1.0)=i/A(l-4)e-«cos«,
|2, 1, ±1>-+<]/4н(‘ —sX"’sin(l•г1'*’-
«6
8.	При рассмотрении задачи двух тел в п. 5.0 мы
нашли, что система описывается ВФ вида
V(ri, г2) = ф(^^±^)ф(г1-г2).	(5.28)
Если между частицами существует взаимодействие, то
ф(г1 — г2) не есть ВФ свободного движения. В этом слу-
чае Т (п, г2) нельзя представить в риде произведения ВФ
частиц «Pi (fl) <р2 (г3): переменные, которые разделяются
в УШ, не есть координаты частиц. При наличии взаимо-
действия между частицами волновой функцией описы-
вается лишь система в целом, но не каждая из частиц.
В соответствии с основным положением А2 это означает,
что теряет смысл понятие состояния отдельной частицы.
Для каждой подсистемы можно ввести некоторый опе-
ратор, который позволяет вычислить все величины, отно-
сящиеся к этой подсистеме. Ограничимся случаем, когда
подсистема есть отдельная частица. Пусть Д есть опера-
тор, действующий на координаты частицы 1. Тогда его
среднее значение можно представить в виде
А = И Т* (п, q) (r1( q) dr, dq, (5.29)
где q обозначает все, кроме гх, аргументы Чр.
Интегральный оператор с ядром
р(1ь П) = $ V* (</, r;)T(<7, r)dq
называется матрицей плотности частицы 1. Из сравне-
ния с (5.29) получаем выражение для среднего значения
оператора Д:
А = Sp Ар.
Очевидно, матрица плотности есть эрмитов оператор
Р* (г, г') = р(г', г).
Диагональные элементы матрицы плотности
р(г, г) = $ |-фО/, г) |2бД?
определяют распределение вероятности координат частицы.
Из условия нормировки следует, что Spp=l.
9.	Матрица плотности зависит от состояния системы в
целом. Так, для системы двух тел в состоянии с импульсом
4 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков	97
центра масс Р
р (rj, гх) = J ехр [/	Ф*(г!- г2)4(гг - r2) dr2.
В состоянии с центром масс, локализованным в начале
координат,
р (г;, Г1)=ф* [г; (1 +-g-)] 4 [п (1 +-^)] •
В атоме водорода масса электрона тг много меньше массы
протона т2. Поэтому в состоянии с центром масс в начале
координат матрица плотности для электрона
р<г[, гО^-ф* (пШи)
мало отличается от матрицы плотности электрона в поле
неподвижного кулоновского центра. Поэтому ВФ ф (г) УШ
для атома водорода иногда называют волновой функцией
электрона, что следует понимать с учетом сделанных выше
оговорок.
Состояния частицы, которые описываются ВФ (т. е.
состояния в смысле основного положения А2), называются
чистыми состояниями в отличие от смешанных состояний,
для которых матрица плотности не распадается на про-
изведения множителей ф (г) Ф' (г')- В атоме водорода протон
и электрон находятся в смешанных состояниях.
Возможна и другая интерпретация: вместо смешанных
состояний протона и электрона мы можем рассматривать
систему двух невзаимодействующих квазичастиц: тяжелой,
с массой М, совершающей свободное движение, и легкой
с массой т^те, находящейся в кулоновском поле фик-
сированного центра. Введенные таким образом квазича-
стицы находятся в чистых состояниях.
10.	Рассмотрим движение частицы в поле трехмерного
осциллятора
Такой потенциал может быть использован для описания
некоторых свойств атомных ядер. В декартовых коорди-
натах решение УШ можно искать в виде
ф(г) = ф1(х)ф2(«/)фз(г).
Каждая из функций ф,- удовлетворяет одномерному УШ
для гармонического осциллятора с энергетическим спектром
Et = (Я/ + 1/2) Йа>.
98
Полная энергия равна сумме Е, согласно п. 3.0:
Е = («х 4- «2 4- «з 4- 3/2) Й®.
Итак, энергетический спектр трехмерного осциллятора
Ея = (о+ 3/2) Ъм.	(5.30)
Уровни энергии вырождены: кратность вырождения уровня
равна числу способов разбиения целого числа п на сумму
трех целых неотрицательных чисел:
£(«) = у(«4- 1) («4-2).
ВФ стационарных состояний в декартовых координатах
имеют вид
|«1, «2, п3') = Ае~^Нп,(У~кх)НПг(У^у)Нп,(У1г),
где
Z = ты/fl,
Нк — полином Эрмита. Так как четность k-ro полинома
Эрмита есть (—I)'1’, то четность воЬновой функции
Р\пъ П2, П3) — (—1)«1 + лз + п3== (—1)\
Состояние с определенными пх, п2, «3 не имеет, вообще
говоря, определенных значений I и т. Состояние с опре-
деленными I и т найдем, рассматривая движение частицы
в сферических координатах. Уравнение для радиальной
части ВФ имеет вид
d-R , 2 dR , | 2тЕ т2а>2г2	Н^4-1)1г> л /гоп
dr2 + г ~d7 +	К2	] Е = 0.	(5.31)
Положим k =	Подстановкой % = rR уравнение (5.31)
сводится к виду
X"4-[^-ZM —=
Учитывая асимптотики ВФ при г->0, г -> оо, представим
его решение в виде
х = г1 +1 е~ (г).
Уравнение для w (г) есть
w" + 2 (-Ш- - Xr) w' - [2А (/ 4- 4) ~ ^2] w = °-
4*
99
Вводя новую независимую переменную
р = Хг2,
перепишем (5.31) в форме
d2a» 1 17» 1 3\	1 dw . Г 1 /, . 3 \	1 k21 п
p_dp + Lv '2') d'dp 2 V 2/ ~ 2	“°-
Решение такого уравнения, растущее при р->со не быстрее
конечной степени р, отыскивалось в п. 5.6. Условие суще-
ствования такого решения
Т\/ + Т ~ ’2а) = Пг («г==0, 1,2, ...)
определяет энергетический спектр
Enr i=	(/ 2пг -{- 3/2).
Сравнивая с (5.30), видим, что
п = I + 2пг.
Уровень энергии с заданным п может иметь разные зна-
чения I, т. е., как и в кулоновском поле, имеется слу-
чайное вырождение уровней по значениям момента. В отли-
чие от кулоновского поля состояние с заданным п имеет
определенную четность Р (/?) = (—1)".
11.	Рассмотрим состояние дискретного спектра частицы
в поле сферической ямы — разрывного потенциала
U(r) = — U
U(r) = 0
(г<а),
(г>а).
Сферическая яма представляет интерес как пример коротко-
действующих потенциалов, убывающих при г -> оо быстрее
любой отрицательной степени г. Полагая
« . 2m(t/-|£|)
И ’
К2 2т|£|
мы получим внутри ямы уравнение, совпадающее с УШ
для свободного движения с энергией Е' — —| Ё
+ W =	<5-32)'
и вне ямы:
-2d(r2^)-^Д^Р"-х2Рс = 0.	(5.33)
г2, аг \ аг ) г2	'	'
100
Рассмотрим вначале решения, соответствующие нулевому
моменту; уравнения (5.32) и (5.33) принимают вид
~(^‘) + W = 0.	(5.34)
Конечное при г —0 решение этого уравнения:
'	(5.35)
Уравнение (5.33) при 1 = 0 принимает вид
-~(г/?0)-хаг/?° = 0.	(5.36)
Его решение, убывающее при г->оо, имеет вид
О	f >
А и В — нормировочные постоянные. Условие непрерыв-
ности логарифмической производной от rR при г = а дает
k ctg ka == — х = -= ’|/~	— k2.
Представим это уравнение в виде
— ctgz = /(gz)~2-l,	(5.37)
где z = ka, и рассмотрим его решение графически. На
рис. 14 правая часть (5.37) изображена при двух различ-
ных значениях £'2. Очевидно, уравнение не имеет реше-
ний при
s 4 *
101
Таким образом, минимальная глубина t/min сферической
ямы, при которой появляется связанное состояние, свя-
зана с ее шириной соотношением
..	_ л2й2
<Угп1п“ »•
С ростом |”2 график функции в правой
ходит все выше при малых г, и первые
приближаются к значениям
части (5.37) про- •'
корни уравнения

Число связанных состояний с моментом Z = 0
(|л)-1-1<ЛЦ0)<(|л)-Ч-1
растет пропорционально корню из значения глубины ямы.
Рассмотрим решение УШ при /#;0; уравнение для радиаль-
ной ВФ (свободного движения)
1А
г2 dr
(r2dW\ /(<+!)
V dr ) г2

подстановкой.
^ = r-l/2Z (г)
(5.38)
и введением переменной x — kr сводится к уравнению
— уравнению для функций Бесселя с полуцелым индек-
сом; итак,
+	(kr),
где А — нормировочная постоянная. Функции Бесселя
Л+1/2 могут быть в явном виде выражены через элемен-
тарные функции. Общее выражение для нормированных
радиальных ВФ:
п / \ 1 Г 2 ( г V I 1 d \l sin kr	/r
*>«= и «Ы +*) — •	<6-39)
Аналогично, вне ямы уравнение (5.33) подстановкой (5.38)
превращается в уравнение для функций Бесселя мнимого
аргумента (физические решения должны убывать при
102
г-><х>). Определение спектра из условия непрерывности
при г = а в этом случае чрезвычайно сложно; ограничимся
рассмотрением предельного случая очень глубокой ямы
(g2-Cl). В этом случае ВФ для низколежащих уровней
вне ямы мала и приближен-
но можно положить	£	__
ф (а)	0.	—
Тогда положение уровней	—
над дном ямы определяется ____________
уравнением	___
Ji+i/2 (ka) = 0.	—-
Порядок расположения уров- -----------
ней (от основного состояния): L---------------------
Is, ip, id, 2s, if,	s p d f g fi
2p, 1g, 2d, ih, 3s.	Рис- 15-
Схема расположения уровней (зависимость En-\-U0 от /)
приведена на рис. 15. Вырождение отсутствует: значение
энергии однозначно определяет величину орбитального
момента.
12. Функцией Грина для дифференциального уравнения
Ьх Ч> (х) = [~-2 + f (х)] <р (х) = 0
называется симметричная функция двух аргументов
С(х, х'), удовлетворяющая уравнению
DXG (х, х') = б (х - х').	(5.40)
В дальнейшем будем вместо слов «функция Грина» исполь-
зовать сокращение ФГ. Найдем ФГ для радиального
уравнения Шредингера
5- + [/гг-ц(г)]Х = 0,	(5.41)
где введено обозначение
, . 2т r,, ,	I (I +1)
Так как при г ф г’
DrG(r, r'f = Dr’G (r‘, r) = 0,
то ФГ следует искать в виде произведения решений f(r),
103
g(r') уравнения (5.41):
G(r, r') =
f{r)g(r’),
g(r)f(r'),
(5.42)
Тогда из условия (5.40) получаем
r+e	r-|-£
p Л	C/72
lim \ DrG(r, r')dr'= lim \ -^G(r, r') dr'= 1. (5.43)
e->0 J	e—*0 J ar~
r—e	r—e
Член c k2 — v(r) не дает вклада в интеграл, так как из
(5.42) следует, что ФГ всюду конечна. Из (5.43) следует,
что (5.42) есть ФГ, если
w fe, F) = g (г) -f (г)	= 1.	(5.44)
Условие (5.44) есть фактически условие линейной незави-
симости решений f(r), g(r); нормировка их выбирается
таким образом, чтобы вронскиан W {f, g} равнялся единице.
С помощью ФГ общее решение неоднородного УШ
Drty(r) = Q(r),
где Q(r) есть некоторая функция, можно записать в виде
ф(г) = <р(г) + $ С (г, r')Q(r') dr',
о
где ср (г) и G(r, г') —общее решение и ФГ уравнения
£)/ф = 0. Используя это соотношение, можно представить
в виде интегрального уравнения и однородное УШ (5.41):
ф(г) = х(г)-Г Q°(r, r')u(r')q>(r')dr',	(5.45)
о
где введено обозначение
u(r) = ^U(r),
a x(r), G°(r, г') —общее решение и ФГ радиального УШ
для свободного движения
^7 I ГА2	Л	/С ЛГ\
^г+р2--------L^-2-jX = 0.	(5.46)
Уравнение (5.45) будет использовано в главе 9 при рас-
смотрении состояний непрерывного спектра в централь-
ном поле.
104
13. Формулы (5.45) и (5.46) позволяют получить оценку
сверху для числа N (I) связанных состояний с заданным
значением I в поле с потенциалом И (г). Рассмотрим урав-
нение (5.46). При k = Q линейно независимые решения
суть, согласно (5.6),
/(,-) = A1, g(r) = r<	(5.47)
Вронскиан вычисляется элементарно:
W = (/ + 1) г’г 1 - (— Z) r'^r('+1> = 2/ + 1.
В соответствии с (5.42) ФГ есть
1 I V
СИ'->И=2Гн/'<М’
где г< и г> есть меньшее и большее из г и г' соответ-
ственно. Решения (5.47) не принадлежат L2(0, оо), поэтому
(5.45) принимает вид
<Рг (И = Я <4 {г, г') и (г') cpz (г') dr'.
о
Рассмотрим потенциал у и (г), где О sgу 1. Если и (г)
удовлетворяет условиям, полученным в задаче 3.8, — в част-
ности, если м (г) <С 0 всюду, —то число связанных состоя-
ний N (I, у) будет возрастающей функцией у:
N(l, 0) = 0, Л7(/, у) ==^(Z),
и энергия связанного состояния будет возрастающей функ-
цией у. Уравнение (5.45/ принимает вид
у 1<Pz(r)==f G/(r, r')\u(r')\<pl(r')dr'.	(5.48)
о
Число N (Г) равно полному числу состояний с нулевой
энергией, появляющихся при изменении у от 0 до 1, т. е.
равно числу СЗ у/1 уравнения (5.48) в этом интервале.
Ядру интегрального оператора в правой части (5.48) можно
придать симметричную форму, положив
Г/ (г, г') = 1/1 и (г) | • | и (г') I Gt (г, г'),
ф/(И = 1/ I«(г) | Ф/ (г).
Тогда (5.48) принимает вид
У?Ф/ (г) = $ Г/ (г, г') Фг (г') dr'. (5.49)
о
105
Оператор в правой части имеет симметричное действи-
тельное ядро, поэтому он эрмитов. Сумма СЗ эрмитова
оператора, согласно п. 1.19, равна следу ядра:
оо	оо
2 Yi‘ = Spr=	J г	\u(r)\dr.
i= 1	О
Так как в общем случае не все СЗ (5.49) лежат в интер-
вале О -С у/ 1, то
ОО
•V(/)<2Th Jrju(r)|dr.	(5-50)
б
Это соотношение называется неравенством Баргмана.
Оно позволяет сделать некоторые выводы о дискретном
спектре в поле с потенциалом и (г). Если при г->0 |ц(г)|
растет медленнее, чем г-?, то интеграл сходится на нижнем
пределе и число состояний с ВФ, локализованными вблизи
начала координат, конечно: у
системы нет бесконечно глу-
боких уровней. Если потен-
циал | и (г) | при г -> оо убы-
вает быстрее, чем г~2, то ин-
теграл сходится на верхнем
пределе: в системе нет сколь
угодно мелких уровней,соот-
ветствующих большим сред-
ним расстояниям частицы от
центра.
Из неравенства Баргмана
следует также оценка для
Л — максимального момента, при котором может суще-
ствовать связанное состояние. Если U(r) = — Uof(r/a),
то из (5.50) следует:
ОО
2AB+l^~^f(x)xdx.	(5.51)
о
Коэффициент при |*2 есть безразмерная константа порядка
единицы. Пренебрегая коэффициентами при Е’2 в правых
частях неравенств (5.12) и (5.51), можно сравнить сле-
дующие из них оценки Л. Зависимость и Лв от |~2
показана на рис. 16. Видно, что неравенство Баргмана
дает существенно лучшую оценку для Л при небольших
значениях £ 2 <5. При больших лучше оценка ЛЛ.
106
ЗАДАЧИ
1.	Доказать, что в стационарных состояниях частицы в кулонов-
ском поле имеют место соотношения
А 1=0=1 А, /2+п2Л2+1=п2,
где п — главное квантовое число.
2.	Энергетический спектр атома водорода ограничен снизу.
Поэтому для его отыскания можно использовать метод факторизации.
Найти спектр, используя операторы
&к = ~ ** [~д7 + 7 )+* (“* + V’) •
В приложениях часто необходимы средние значения величин rk в ста-
ционарных состояниях частицы в кулоновском поле | п, I).
3.	Вычислить г-1, используя теорему ви риала.
4.	Вычислить г-2, используя результат задачи 2.5.
5.	Доказать рекуррентную формулу Крамерса
- + (2fe + ’) + k ~ Z(Z + ’)] =°
для средних значений rk.
Указание. Умножить уравнение (5.15) на
и проинтегрировать по г.
6.	Используя результаты задач 5.4, 5.5, вычислить средние зна-
чения г1, г7®.
7.	Найти решение УШ для частицы в кулоновском поле при
£ = 0.
8.	Определить средний потенциал электрического поля, созда-
ваемый атомом водорода в основном состоянии.
9.	Найти дискретный спектр частицы в поле
и 0=72 -7	ф>°)-
10.	Найти решение УШ в поле с потенциалом
/ а \2
1/0 = -1/0(7) •
Показать, что при g-2—Z (Z-J- 1) <1/4 связанных состояний нет.
Отметим, что граничное условие (5.7) в этой задаче неприменимо
из-за сингулярности потенциала. Поэтому любое квадратично инте-
грируемое решение УШ будет описывать связанное состояние.
11.	Случайное вырождение по / уровней энергии трехмерного
осциллятора указывает на наличие сохраняющихся операторов, не
107
коммутирующих с Z2. Найти эти операторы и их коммутационные
соотношения с и Z2.
Потенциалами, рассмотренными в пп. 5.5, 5.11 и в задачах 5.9
и ,5.10, практически исчерпываются случаи, когда УШ допускает
точное решение при любых значениях Z. Для короткодействующих
потенциалов мы ограничимся рассмотрением s-состояний.
12.	Найти спектр s-состояний частицы в поле
U (г) = —и^~г/а.
13.	Найти спектр s-состояний частицы в поле
t7(r)=Z7o(er/a-0_1-
14.	Рассмотреть предельный переход Д0-»-оо, а-+0 для сфери-
ческой ямы в s-случае. Найти условие, при котором в пределе остается
одно связанное состояние заданной энергии.
Г5. Взаимодействие между нуклонами зависит от их спинового
состояния. В триплетном состоянии взаимодействие можно описывать
короткодействующим потенциалом притяжения с глубиной С/о=«2О—
— 30 Мэв и характерной длиной а^2- 10~ls см. Найти Л—макси-
мальное значение момента, при котором может существовать связан-
ное состояние двух нуклонов.
16. Используя результат задачи 5.8, оценить возможность устой-
чивого существования иона Нр.
Глава 6
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД
0. Точное решение УШ возможно лишь в небольшом
числе случаев. Во многих задачах, однако, гамильтониан
может быть представлен в виде
Н = /70 + е|/,	(6.1)
причем уравнение
^|-=ЯоЧ>	(6-2)
допускает точное решение, а оператор возмущения eV
в некотором смысле мал. Методы отыскания решений (при-
ближенных) УШ с гамильтонианом (6.1) составляют пред-
мет теории возмущений. В этой главе мы используем
теорию возмущений для нахождения дискретного спектра Н
и соответствующих собственных функций.
1.	Пусть известны решения стационарного УШ
А><₽т =	(6.3)
Допустим, что СФ и СЗ уравнения
= ДтФт	(6.4)
можно представить в виде разложения по степеням малого
параметра е:
ОО
(6-5)
я = 0
оо
£m=£e«££>.	(6.6)
п = 0
Такой метод, при котором СФ и СЗ представляются
в виде разложения по степеням малого параметра, назы-
вается теорией возмущений Рэлея — Шредингера. Нумера-
109
ция Ет выбрана такой, что при е->0 Ет-+ет. Подстав-
ляя (6.5), (6.6) в УШ
(Н о &V) Ф/n ~
получим
Но 2 е^"> + V е"+2 е" 2	°-
г=0
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е,
получаем
(Яо-Е£’Ж = О,	(6.7)
S—1
(Яо - ад е+и*-»=аде + е Е^-п.	(6.8)
Г=1
В дальнейшем параметр е будем включать в оператор V.
Рекуррентную формулу для Е(т получим, умножая (6.8)
на ф$‘* и интегрируя по всем значениям аргументов:
S — 1
£(s) = (т(о> । у । m(s-D> _ £М (т<°> j	(6.9)
r=l
Полагая s=l, получим, учитывая (6.7),
E^ = <m(0)| У|пг<0)>.	(6.10)
Поправка первого порядка есть среднее значение возму-
щения в состоянии <рт. Определение высших поправок
к энергии требует использования поправок к ВФ. Разло-
жим фот по невозмущенным СФ q>m (считая, что Но имеет
только дискретный спектр):
ф£ = £>Ж‘-	(6.11)
k
Подставляя (6.11) в (6.8) при s=l, умножая на ф„’* и
интегрируя, находим
а'тп (еп — ет) + (т | V | п) = <m | V | т> дтп, (6.12)
где введено обозначение
<т | V | п) = ДО’, V<pH = Vmi. (6.13)
Если СЗ не вырождены (е,п#=е„), то при т^п формула
(6.12) дает
=		(6.14)
110
При tn = n уравнение (6.12) удовлетворяется тождественно;
если положить <^„ = 0, то ВФ
№ = ф!?’ + У <	(6-15)
— еп ет
т
(где штрих у знака суммы означает, что слагаемое с tn = п
исключено из суммирования) будет нормирована с точ-
ностью до первого порядка по е.
2.	Полагая в (6.9) s = 2, для поправки к энергии вто-
- рого порядка получаем
Е™ = (nw | V | n<«> -EJJ’ (п(0) | п(1)>.
Используя разложение (6.11) и то обстоятельство, что
в силу эрмитовости {tn | V | п) — (п | V | т)*, получаем
p<s>__V | (пг | V | п) |2	(g. । g^
•J еп etn
tn
Это выражение можно преобразовать, учитывая соотно-
шение
^{т\ V\k) (k\V\n) = \(m\V2\ti)\,	(6.17)
k
к виду
= 1 Г<„ | 01 п> - «и | V | п»2 - У ]{т | V | п) |2'.
еп	еп ет
1	т
(6.18)
Формула (6.18) иногда более удобна для вычислений, чем
(6.16), например, если | Ет |	| Еп |, то вклад таких сла-
гаемых в сумму в (6.18) незначителен.
3.	Для поправок высших порядков, полагая
из (6.8) находим
£<>=2' •> <» I t I «•> - 2 «Мг
т	г=2
гд.е
Q-ml —
“3 - Г- 2 " 1'« + 2 »&- ,,Et'
1 т L k -	/-=1
in
При определении возмущенных ВФ для вычисления коэф-
р
фициентов мы будем требовать, чтобы функция У, ф<">
была нормирована с точностью до ер. Это приводит
к условию
п	п
У I = Е У + “К'*) = °-
k = 0	fe=0 s
Мнимые части всех с№т, влияющие на фазу ф,„, мы будем
полагать равными нулю. При п = 4-2
_«2>_____1 у' i ОI V I n) I2
2 Z (е„-ет)2 ’
п
Г— 2	1 V | s) + Е)»|
ez-Gn [V	J.
Подставляя в последнее выражение формулы (6.10) и
(6.14), находим
,2)_	1 у <т | V | k} (k | V 11) (tn \V \ m) (l\ V \ m)
aml 'el-emL	• <b-1 y)
k
Отсюда получаем окончательное выражение для ВФ вто-
рого порядка:
Vrn	(Ck-em)(ei—em) ik
k z
у' <m I V I ”0 ОI VI „ 1У I I У I s) I2 „
(₽s-em)2	2 2 (es-em)2 Фт’
s	s
4.	Индексы у En и ф„ в предыдущем изложении пред-
ставляют собой, в общем случае, не просто номера энер-
гетических уровней, а совокупность всех квантовых чисел,
определяющих положение системы. Если уровни дискрет-
ного спектра вырождены, т. е. если при т п
= ^п>
то полученные выше результаты неприменимы непосред-
ственно, так как в суммах (6.15), (6.16) могут появиться
бесконечные слагаемые. Напомним, что дискретный спектр
одномерного движения всегда не вырожден, а дискретный
спектр частицы в центральном поле в состоянии с момен-
112
том / всегда вырожден с кратностью (2/-|- 1) по величине
проекции момента.
Пусть уровень Ет вырожден с кратностью g. Пусть
(рт1 — произвольные ортонормированные ВФ этого уровня
(К/Cg). Используя формулы (6.7), (6.8), при любом i
имеем
H04mi =	(6.21)
(Яо - е,„) ф$ = - УфЖ + ЕЖ}. (6.22)
Умножая (6.22) на ф™/? скалярно, получим, учитывая вы-
текающее из эрмитовости гамильтониана Но равенство
(фтЬ (Ио — ет) <₽;,*;•) = ((Но — €т) фХ фт)) = О,
следующее соотношение:
(mk j V | mi') = Emi (mk | mi) = Em'&ki-	(6.23)
Таким образом, функция в правой части (6.22) должна
быть ортогональна ко всем фХ что выполняется не при
всяком выборе ВФ нулевого приближения. Рассмотрим
линейную комбинацию ВФ вырожденного уровня
g
/=1
Такая комбинация тоже будет СФ невозмущенного гамиль-
тониана, соответствующей значению Ет. Набор (Isg
=Ci?<g) будет ортонормированным, если матрица Ьц
унитарна.
Подставляя в правую часть (6.22) функции фХ- и тре-
буя ортогональности ко всем ф^ придем к системе ли-
нейных уравнений для коэффициентов Ьц-:
(6.24)
i
Система линейных уравнений (6.24) имеет нетривиальные
решения, только если детерминант из коэффициентов при
Ьц обращается в нуль:
Det (Vjk -E^Jk) = 0.	(6.25)
Это уравнение, называемое секулярным, имеет в общем
случае g различных действительных корней, которые и
представляют искомые поправки первого приближения
к энергии уровня Ет. Отсутствие комплексных корней
113
является следствием эрмитовости оператора возмущения eV.
Нумеруя корни секулярного уравнения как £)*’ и под-
ставляя их в (6.24), найдем коэффициенты bik, опреде-
ляющие правильные ВФ нулевого приближения. Если все
Е!" различны (возмущение полностью снимает вырожде-
ние), то вычисление высших поправок ведется, как в п. 6.1.
5.	Если не^озмущенный уровень принадлежит к группе
близких уровней (квазивырожденныи случай), то вычис-
ления по теории возмущений удобно вести так же, как и
при наличии вырождения. Этим подходом можно исклю-
чить появление больших поправок к СФ и СЗ. Пусть
близко расположены уровни с 1 п sg g. Представим опе-
ратор возмущения в виде
где операторы /1( /2 определены соотношениями
=	(i, j^g),
<т|Л|п> = 0	(т, n~>g),
<г|Д|п) = 0	(n>£, i^g),
(i\k\j) = {i\V\j)-(E1-EJ)8i/	(i, j^g),
(m\f2\n) = (tn\V|n> (m, n>g),
<j l/2|«> = <zl V|n> (n>g,	<=Cg).
Собственными функциями оператора И' = являются
те же <рт, что и у оператора Но. Но теперь группе пер-
вых g уровней соответствует одно значение £х. Используя
результаты п. 6.4, представим ВФ нулевого приближения
в виде
g
(6.26)
/=1
Тогда имеет место система уравнений
g
2 ba № | V | /> - (£x - £,) бу] = E^bik. (6.27)
/=i
Поправки £(1) и коэффициенты bik вычислим, приравняв
нулю определитель системы (6.27).
114
Рассмотрим случай двух близких уровней (g = 2). Се-
кулярное уравнение для
Vu I 0,
I	У22 + Д-£<1' I ’
Где Д = £2 — Ei есть расстояние между невозмущенными
уровнями, приводит к значениям поправок
£?;2А+К»±^ ± 1 V(A +V22— Vn)2 + 4| V12 |2. (6.28)
Рассмотрим вид этого выражения в различных предель-
ных случаях. Если | Д-рV22 — Vii I I V121. то
рч> у_______I Pis '2
1	11	(6.29)
E'“^V I Д I I Kia I"
~F22+zx+a+v22-vu-
В частном случае Vu = V22 = 0 из (6.29) следуют выра-
жения
______। I2 F - I । I2 ,
Таким образом, учет квази вырождения приводит в первом
порядке теории возмущений к формулам, которые вклю-
чают также и главный член второго порядка теории воз-
мущений без вырождения. Поправки к энергии зависят от
величины возмущения квадратич-
но. В другом предельном случае f
|А +V22— ГХ1|>| V12|
получаем	рг
pai Д + Ео2-|- Ул ,
----------2"-----—
-4-j I I/ I I (A+ У22 —Pii)2l
—I1 V12 1 +	8 I У12| J1
Если Vu = V22 = 0, то зависимость
поправок от величины возмущения
близка к линейной. Положение возмущенных уровней в за-
висимости от величины возмущения показано на рис. 17.
Заметим, что под действием возмущения расстояние
между близкими уровнями увеличивается. Это явление
называется отталкиванием уровней.
6. При вычислении поправок для СЗ Ет можно обойти
процедуру разложения ВФ по степеням малого параметра е
115
и ее последующей нормировки. В самом деле, система СФ
невозмущенного гамильтониана Яо —полная иортопорми-
рованная. Можно вычислить матричные элементы Н в этом
базисе (недиагональные элементы будут отличны от нуля
только для V) и диагонализовать полученную матрицу.
В принципе такой подход должен привести к точным зна-
чениям уровней гамильтониана И (см. п. 1.15).
Рассмотрим метод приближенной диагонализации, ко-
торый называется теорией возмущений Бриллюэна —Виг-
нера. Разложим решение УШ
(Ео+V)ipm = EmiJ)m	(6.30)
по СФ невозмущенного гамильтониана:
Я5™ ~ I ^тпЧп-
п
Подстановка этого разложения в (6.30) дает
стп (Еп - Е£) = Е cknVmk.	(6.31)
k
Полагая п = т, получим
Ет - Е-' = Утт +	У ck,n Vmk.	(6.32)
стт
k
Повторными подстановками (6.32) в правую часть (6.31)
получаем, выделяя каждый раз в сумме слагаемое с k = m,
п
^)=2^)+д(н)>	(6-33)
s = 0
где
Р<1> — v
*-т —• v mmt
'П £ £	(Em-E^(Em-E'Q...(Em-E'Q’
12	S
д(п) _ 1 V' V'__________^"1*1  ^knmcmkn_____
(Em-E'Q(Em-EQ...(Em-E'ku’)'
Очевидно, k-й член разложения имеет порядок е*. Разло-
жение (6.33) точное и становится приближенным, если
опустить член Фактически разложение (6.33) опре-
деляет Ет неявно, так как Ет входит в знаменатели всех
членов с 5^=2. Однако это разложение свободно от труд-
116
ностей, связанных с наличием вырождения. В самом деле,
процедура отыскания правильных ВФ нулевого прибли-
жения, рассмотренная в п. 6.4, состоит в диагонализации
субматрицы Нтп на подпространстве ВФ вырожденного
уровня. Если в разложении (6.33) подставлять в фор-
мулы для Ет вместо точных (искомых) значений Ет при-
ближенные значения £т-1), то разложение (6.33) перейдет
в разложение собственного значения Ет, следующее из
теории возмущений Рэлея — Шредингера.
7. Выше мы предполагали, что оператор возмущения V
в некотором смысле мал. Практически для вычислений
используются несколько первых поправок к СЗ. Поэтому
естественно под малостью оператора V. понимать малость
первых поправок по сравнению с величиной невозмущен-
ного СЗ. Малость первой поправки
|Вп’|<|е„|	(6.34)
не есть достаточное условие применимости теории возму-
щений. При наличии близких уровней во втором порядке
могут появиться члены, большие по сравнению с еп, даже
если (6.34) выполняется. Кроме того, в ряде случаев
Я’иО.
Например, это имеет место для системы с гамильтонианом
Ео=£ + П(х)
и возмущением eV (х), если U (х) — четная, а V (х) — нечет-
ная функции х. Малость второй поправки также не есть
достаточное условие применимости теории возмущений.
Поясним это на примере ангармонического осцилля-
тора — системы с гамильтонианом
£г р2 . х2 , о
Е — у + у + ех
(мы положили Й, т, ы=1). Пусть е мало; рассматривая
V = ех3 как возмущение и используя вычисленные в задаче
3.9 матричные элементы
(п — 31 eV | п) = еп(п~1^(п—2)_।	। п_3\t
<п — 11 V | п> = е = <« | V | п — 1),
117
находим
£kn^0,
£ks, = -e2-J(n2 + n+^).
(6.35)
Эта поправка мала при фиксированном п, если
I е21 <^4/15«;
Однако сходимость ряда теории возмущений в этом слу-
чае сомнительна. При х sign е > (31 е |)~г потенциал U (х) +
4- eV (х) убывает, стремясь к — оо. Формально движение
при любой энергии Е инфинитно. Однако потенциал
убывает так быстро, что квадратично интегрируемое реше-
ние существует при любой энергии Е. Дискретный
спектр в этом случае можно отобрать, используя требо-
вание ортогональности волновых
функций в области (—оо, X). Спектр
будет зависеть от граничного усло-
вия в точке X, которое, очевидно,
не учитывается в вычислениях по
теории возмущений.
Рассмотрим осциллятор с возму-
щением V = ех4. При е > 0 наличие
дискретного спектра очевидно. Одна-
ко и в этом случае ряд теории воз-
мущений будет, по-видимому, расхо-
дящимся. Если ряд сходится в точке
e = + e0, то Е (е) есть аналитическая функция комплекс-
ного переменного е в области |е|<Ео. Следовательно,
тогда ряд должен сходиться при отрицательных значе-
ниях— е0<е<0. Но при е< 0 ситуация аналогична
рассмотренной выше.
Задача об ангармоническом осцилляторе возникает
при замене глубокой потенциальной ямы U (х), в которой
связанные состояния заведомо существуют, степенным
разложением I/ (х) в окрестности точки х0, где U (х) имеет
минимум (рис. 18). В этом случае сходимость рядов
обеспечивается учетом высших степеней х и выражение
(6.35) действительно определяет поправку к энергии
дискретного уровня.
8. Собственные значения
найдены из вариационного
118
гамильтониана Н могут быть
принципа. Покажем, что СФ
гамильтониана реализует экстремум средней энергии
£' = <ф|Д|ф).
Найдем услойие экстремальности Е:
6$ф*Яф^ = 0	(6.36)
при дополнительном условии
^ф*ф dq= 1.
Комплексно-сопряженные ф и яр* нельзя варьировать
независимо. Разделим эти функции на амплитудную
и фазовую части:
ф = Ое'Ч’, ф* = 0е‘ф.
Тогда
6ф = ei(₽60+16ф 6 ег<₽,
6ф* = (Н<Рб6 —гбфбе-Ч	' '
Из (6.36) получаем, учитывая эрмитовость Н:
§ 6ф* (Яф) dq 4- J 6ф (//ф) * dq = 0.
Подставляя (6.37), используя условие нормировки и вводя
множитель Лагранжа А, получаем
66 (е~/<р ЯВе'4’ + е^НВе-^ - 2X0) dq +
4- i 6ф 6 (e'We I(₽ -	dq = 0.	(6.38)
Используя независимость вариаций амплитуды и фазы,
получим, приравняв нулю второй интеграл в (6.38):
e‘4>/76e-,<f) = e-'(f)W<₽.	(6.39)
Подставляя (6.39) в первый интеграл, получим
Яф = лф
— стационарное УШ, где множитель Лагранжа Х = £ есть
собственное значение Н. Доказательство завершено.
9.	Разложим произвольную квадратично интегриру-
емую функцию по СФ Н:
Ф =	(6-40)
k
119
Тогда среднее значение энергии, вычисленное с функцией ;
ф, равно
<ф|Я|ф) = ££й|ай|*.	• 'j
k	•
Пусть £0 —энергия основного состояния, тогда	,
£о=С£[ф]	(6.41) J
и
<Ф | Н | ф> Ео I ak |г,	(6.42) i
k	..i
где
£[ф] = «ф|ф»-1-<ф|Н|ф>.	(6.43) '
Таким образом, ВФ основного состояния реализует мини- !
мум средней энергии; остальные экстремумы соответствуют
возбужденным состояниям.
Выражение (6.42) дает оценку сверху для энергии 1
основного состояния. Для получения оценки снизу рас- 3
смотрим интеграл
/ = <ф|(Я-£)2|ф),	(6.44)	'
где ф — произвольная нормированная функция. Используя
разложение (6.40), получим
/ = £Ы2&-£)3 =	’’
/г
= (£0 - £)2 + | ak |2 [(£* - £)2 - (£0 - £)2].	1
fe	j
Если пробная функция выбрана так, что £ ближе к £0,	1
чем к энергии любого другого состояния, то	"S
/^(£0-£)2.
Поэтому, учитывая, что по определению
/ = £2-£2,
получаем неравенство
£0^£-/£2-£2.	(6.45)
10.	Практически неравенство (6.42) используется для /
определения энергии основного и первого возбужденных J
состояний. Выбирается пробная функция 0 (х, аг) где а, — j
набор параметров, вычисляется £ (а;) и отыскиваются 4
120
значения параметров, минимизирующие Е, что приводит
к уравнениям
Такой метод называется прямым вариационным методом
Ритца. В качестве простого примера рассмотрим вычис-
ление энергии основного состояния гармонического осцил-
лятора (Н, т, (0—1)
Я = |(рг + ха).
Среднее значение энергии
4-СО
j [х262 (х) — 6 (х) е" (х)] dx
—~+г-----------------•
j 62 (х) dx
—оо
Выбирая пробную функцию в виде
6(х, a) = ch”1(a, х),	(6.46)
получим
Это выражение достигает минимума при а2=»л/2; соот-
ветствующее значение £(а) = л/6 —0,523 мало отличается
от точного значения: Е~\,05-Ео. Другие примеры при-
ведены в задачах к этой главе.
При вычислении вариационным методом энергии воз-
бужденных состояний следует учесть требование ортого-
нальности
§6ft(x, a)0,„(x, a)dx = 0,	0s^k<Zm. (6.47)
Иногда выполнение этого требования облегчается свой-
ствами симметрии: например, основное состояние частицы
в поле U (x) = U(—х) описывается четной функцией,
поэтому при нечетной Oj (х, а) требование (6.47) выпол-
няется автоматически.
ВФ основного состояния при х->±оо убывает (по
модулю) не медленнее экспоненты; поэтому можно исполь-
зовать (при большом числе связанных состояний в поле)
в качестве ВФ первых возбужденных состояний систему
полиномов, ортогональных с весом 6^(х). Коэффициенты
полиномов будут однозначно определяться требованием
121
ортонормированности; поэтому точность результатов будет /Я
ухудшаться с ростом п.	я
Если £(оа) — значение энергии, вычисленное с помощью Я
пробной функции <р(х, а), а пробная функция Ф(х; а, Р) Я
такова, что при некоторых значениях р0	я
Ф(а, р0; х) = <р(а; х),	Л
то за счет расширения класса конкурирующих функций Я
всегда будет выполняться неравенство	Я
£(<*.₽)«=;£(«).	J
Отметим,	что	отличие нормированной пробной функции 
от точной (квадрат нормы их разности в L2) того же Я
порядка, что и относительная точность СЗ, полученного -
вариационным методом.	я
11.	Воспользовавшись прямым вариационным методом, Я
найдем условия существования связанного состояния при Я
одномерном движении в поле с четным потенциалом U (х). я
Ограничения для этого потенциала будут получены ниже. ,-*я
Используем пробную функцию	.
е(х, ₽) = 1-₽|х|	(р>о, |х|<р~ч,	1
6(х, Р) = 0	(|х|>₽-!).	' j
Тогда вариационный функционал (6.43) можно предста- л
вить в виде	’jj
3 Г ₽ 1	1
£(₽) = f Р 2Р + 2 $ t/(x)(l-px)2dx .	(6.48) i
L о	J	
Если при х->0 И (х) = о(х л), то при р~>оо первый	я
член в скобке неограниченно возрастает, а второй стре- j
мится к нулю. Поэтому при достаточно больших р
£ (Р) ай 6р2 > 0. Выражение (6.48) можно переписать -]
в виде
£ (р) = { р {2р + 2М0 - 4РМ1 + 2р2Л12 - f (₽)},
где интегралы
= f U(x)xkdx
°	.1
предполагаются сходящимися. Тогда	J
limf(P)=lim \ U (х) (1 — рх)2 dx = 0.	‘
0-0	Р-Ор-1	Я
122
Так как в точке р = 0 £(0) = О, Е'(Р) = ЗМ0, то при
Мо < 0 в некоторой окрестности точки 0 = 0 Е (Р) < 0.
Из непрерывности Е (Р) и ранее доказанной положитель-
ности Е (0) при больших р следует существование 0г
таких, что
£(Рг) = 0.	(6.49)
Пусть Pi — наименьший положительный корень (6.49);
между двумя нулями 0 = 0, 0 = 0! функция Е (Р) отри-
цательна, а ее производная имеет по меньшей мере один
нуль, соответствующий минимуму. Таким образом, верх-
няя граница энергии основного состояния отрицательна.
Следовательно, в поле с четным потенциалом U (х), удов-
летворяющим условиям
Л4о<0, |М1|<оо, | Л421 < оо,
всегда существует связанное состояние.
12.	Прямой вариационный метод связан с теорией
возмущений. Из (6.10) следует, что вычисление поправки
первого порядка к уровням дискретного спектра есть
вычисление Е с ВФ невозмущенного уравнения в качестве
пробной функции. Очевидно, это не наилучшая пробная
функция.
Вычисление поправок второго и более высоких поряд-
ков в общем случае сводится к суммированию бесконеч-
ных рядов (6.16). Приближенное вычисление может быть
проведено с помощью вариационного метода. Пусть
ДоФт = Дщфт*
Для определения СЗ гамильтониана Н — Но + V выберем
пробную функцию в виде
Ф = фи + Хт»
где выберем ортогональной к <рт; этому условию
можно удовлетворить, выбирая
k^m
Вычисляя среднюю энергию Е, получим
Ет-Е%=Е“'+2<ят\(6-50)
123
Опуская члены третьего и более высоких порядков
малости, получим
£т = £™ + ^’ + 2(фт|У|хт> + <Хт|Я-Е^|Хт>-	(6.51) J
Условие стационарности правой части (6.51), наклады- 1
ваемое вариационным принципом, приводит к уравнению
(Яо - ^’) X™ + V<Pm = Е'^т.	(6.52) *
Сравнивая с формулой (6.8)., находим, что Хт = Фт— 
поправка первого порядка к ВФ. В тех случаях, когда. ’
решение (6.52) или, что то же самое, вычисление суммы
(6.16) затруднительно, приближенное значение Ет может .
быть получено минимизацией функционала в правой ,i
части (6.50).	;
13.	Иногда для оценки СЗ системы с гамильтонианом
H = t пробную функцию удобно выбрать в виде ‘
линейных комбинаций СФ частей полного гамильтониана
(например, СФ операторов Яг = Т’4-(7/). Такой подход
называется методом линейных комбинаций. Положим
6ft = У, afti<pi0’ (х).
i = l
Тогда
УУ^«Л
Ek (fl-ki) ~ «-I v-i->
У У akiakl^il .
i I
где
Hu = \^H^dq,	(6.53)
Su = \q>inq>rdq.	(6.54)
Последний интеграл не обязательно равен 6;z. Пусть, на-
пример, Я = 14- (71 (*) + U2 (х). Тогда функции ф;0' (х) и
фа” (х), описывающие основные состояния систем с гамиль-
тонианами Ht — 714- (71 и Н2 = Т-}~ U.2, не имеют узлов и
S12 заведомо не обращаются в нуль. Вариационные пара-
метры находятся из условий стационарности Е:
^=0, l^i^n.
dai ’
124
Эти условия дают п однородных линейных уравнений
£ (Hu-ESu)ai = 0.	(6.55)
1=1
Условие их совместности — равенство нулю детерминанта
системы (6.55) —дает уравнение n-й степени, п действи-
тельных корней которого являются приближенными зна-
чениями энергии. Коэффициенты akl, oki, ..., акг опреде-
деляются подстановкой £л в (6.55) и дают —ВФ состоя-
ния, обладающего энергией Ек.
Отметим, что если в качестве ср'/” использованы про-
извольные ортонормированные ВФ, соответствующие вы-
рожденному с кратностью п состоянию с энергией Ео, то
Иц = Ео, Sik = 6/fe,
и условие совместности (6.55) приводит к секулярному
уравнению (6.25) теории возмущений с вырождением.
Рассмотрим случай п = 2. Тогда уравнения (6.55) имеют
вид
ai (Ни — ESn) -\-а.г (Нц — ESu) — О,
01 (Н12 — ESu) + Ог (Н22. — ES-u) = 0.
Детерминант этой системы есть
Det (£) = (Нп - £SU) (Н2.2 - £S23) - (Н12ES12)2-
Введем обозначения:
Дг =
Тогда
Ни
Su
Е2 = ^\ Е2>Еи
°22
= (Ек - Е) (Е2 - £) -
ОПО22	22
В силу неравенства Коши SnSi2 Sj.2, поэтому при доста-
точно больших £ Det (£)>(), а при £ = £i и £ = £2
Det (£) < 0. Следовательно, один из корней уравнения
Det(£) = O лежит при £<£ь т. е. ниже нижнего невоз-
мущенного уровня, а другой —при £>£2, т. е. выше
верхнего невозмущенного уровня. Таким образом, учет
возмущения методом линейных комбинаций приводит
к отталкиванию уровней.
14.	Используем изложенные приближенные методы для
решения задачи об одномерном движении частицы в поле
125
с периодическим потенциалом V (х). Рассмотрим случай 1
сильной связи, когда ВФ частицы локализована вблизи .•
минимумов потенциала V (х).
Найдем уровни энергии частицы в поле с потенциалом •
V (х) — У, U (х — па),
П
считая известными СФ и дискретные СЗ уравнения
Ноут = — ~^^ + и(х)(рт = Етц>т. .
Пусть Ео есть энергия одного из уровней гамильтониана
Но. Используем метод линейных комбинаций. Выберем
пробную функцию в виде
^>(х) = ^Апц)(х — па).	(6.56) }
п
Функции ф (х — па) удовлетворяют уравнениям
h2
—	ф" (х — па) 4- U (х — па) ф (х — па) — £оф (х — па).
Используя равенство (6.55), получаем систему уравнений
У^л (Нтп ESmn) = 0.	(6.57)
п
В силу периодичности потенциала интегралы перекрытия
Smn зависят только от разности т — п. Матричные эле-
менты Нтп удобно представить в виде
Н тп — EoSm—n -j- hm-n,
где введено обозначение
йт_п = § ф (х — та) У U (х — па) ф (х — па) dx.
I	п'фп
Таким образом, система (6.57) принимает вид
У, Дл {hm-n (Е £o)Sm_n] = 0.	(6.58)
Поскольку потенциал V (х) периодический, можно потре-_
бовать, чтобы пробная ВФ ф(х) удовлетворяла тео-
реме Блоха:
ф (х + та) — eikmaty (х).
Для этого должны выполняться равенства
An = Aeikna.	(6.59)
126
Тогда из формулы (6.58) следует:
Е = £о
H\Pfikap
р________.
(6.60)
здесь введен новый индекс суммирования р — п — т.
Если период потенциала а больше характерной длины
спада функции <р(х), то с ростом \р\ значения 1гр и Sp
быстро убывают. Это и соответствует предположению
о сильной связи. Учитывая, что S0=l, и пренебрегая Sp
при |p|Ssl и hp при |р|> 1, мы получим выражение
для энергетического спектра
Е (/г) — Ео ф- h0 4- 2hL cos ka.
Таким образом, в случае сильной связи энергетический
уровень одиночной ямы Ео превращается в зону ширины
4/гь расположенную в окрестности уровня одиночной ямы.
15. В этом пункте мы рассмотрим задачу об одномер-
ном движении частицы в поле с периодическим потенциа-
лом в случае слабой связи, когда в качестве ВФ нулевого
приближения можно использовать ВФ свободного дви-
жения.
Развитые в этой главе методы непригодны для опреде-
ления СФ и СЗ непрерывного спектра. Поэтому мы вос-
пользуемся распространенным приемом, позволяющим
заменить непрерывный спектр дискретным. Потребуем,
чтобы исходная ВФ свободного движения удовлетворяла
требованиям* периодичности
ф (х + Ус) = ф (х)
и была нормирована на единицу в интервале Q^x^Na.
Тогда
ф(*)=~е-*\	(6.61)
Возможные значения k определяются из условия перио-
дичности
= (п = 0, ±1, ±2, ...).	(6.62)
Таким образом, возможные значения k дискретны, диск-
ретным становится и невозмущенный энергетический
127
спектр
ро>_____"
2т ’
(6.63)
Теперь для определения энергетического спектра в поле
можно использовать теорию возмущений. Это и соответст-
вует предположению о слабой связи. Учитывая поправки
к энергии до второго порядка, получаем
Na
Еп=£" ’+s rlknxv (*) е‘к"х dx
о
у IMWI2
L* E0(k)~E0(q) ‘
(6.64)
Поправка первого порядка ко всем уровням одинакова.
В пределе при N ->со она
не зависит от 2V и есть про-
сто среднее значение по-
тенциала
Рис. 19.
-{-со
£« ,==£=у $
— со
Выражение (6.64) при-
менимо, если разности
энергий в знаменателе
третьего члена не малы по
сравнению с соответствую-
щими матричными элемен-
тами в числителе. В силу периодичности потенциала V (х)
входящие в выражение для поправки второго порядка мат-
ричные элементы
<9 М Ф = J ei(k-^x V (х) dx
отличны от нуля, только если
Невозмущенный энергетический спектр двукратно вырож-
ден по возможным значениям k. Поэтому выражение (6.64)
заведомо теряет применимость в окрестности точек k =
= лп/а. Возмущенное значение энергии в окрестности
этих точек можно определить с помощью теории возму-
щений для двукратно вырожденного уровня. Пренебрегая
128
всеми матричными элементами, кроме (k — 2лп/й| V |й),
при k, близком к пп/а, получаем
= Y [(£* + Eq) ± /(£ft - ЕдГ + 4П?].	(6.65)
. Дискретный спектр как функция п в невозмущенном и
возмущенном случаях изображен на рис. 19. При значе-
ниях kn = nn/a в дискретном спектре (квазинепрерывном
при больших N) возникает запрещенная зона ширины
' Д„ = 214 q Отметим, что с возрастанием п размеры за-
прещенных зон убывают.
ЗАДАЧИ .
1. Вычислить, ограничиваясь первым порядком теории возмуще-
ний, спектр «-состояний в экранированном кулоновском потенциале
' г
при X Оценить максимальное и, при котором применима теория
возмущений.
- 2. Найти поправку первого порядка к энергии основного состоя-
ния атома водорода с учетом конечности размеров ядра. Ядро пола-
гать однородно заряженным шаром радиуса Д. Оценить границы
применимости результата для мезоатомов, в которых один из элек-
тронов заменен ц-мезоном (mg«=207me, R	1,25- 10”is СЛ(> где
А —число нуклонов).
3.	Вычислить поправку первого порядка к уровням энергии гар-
монического осциллятора (Й, т, <о=1) при наличии возмущения
V = ex*.
4.	Показать, что для частицы в s-состояпиях в кулоновском поле
центробежный потенциал нельзя рассматривать как возмущение при
г-'1'	г1»'
Еп <^Еп •
Указание. В области выполнения неравенства сравнить ре-
зультаты с разложением точного решения.
5.	Вычислить поправки первого и второго порядков к уровням
энергии гармонического осциллятора (Й, т, (0=1) при наличии воз-
мущения У = ех2. Сравнить с разложением точного решения. Оценить
радиус сходимости ряда.
6.	Найти поправку второго порядка к энергии основного состоя-
ния атома водорода в однородном электрическом поле.
У казание. Решить уравнение для поправки первого порядка
к волновой функции ф11’.
б П. В. Елютин, В. Д. Кривченков
129
7.	Найти поправку первого порядка к СЗ эрмитовой матрицы
Но при наличии возмущения ер:
ч* :i- ’Л
Сравнить с разложением точного решения.
В условиях задач 6.8—6.12 использованы следующие обозиаче-'
ния: Ео, £1 —энергии основного и первого возбужденного состояний,
Е£, Е&—оценки сверху и снизу, в (х, а) —пробная функция.
8.	Используя 6 (х, а)=х ch-1 (ах), найти Е{ для гармонического
осциллятора, положив Я, т, о = 1. Проверить выполнение теоремы t
вириала.
в. Найти Е+ для гармонического осциллятора, используя
а)	61 (х, а)=е—
б)	б2 (х, а) = 1 — а | х | (| х | < а-1);
в)	0а(х, а) = (1 +ах2) е~х‘.	j
Указание. При вычислении Е с пробными функциями 6t (х) /
и 62 (х) учесть разрывность в' (х) при х = 0.	•'j
10. Вычислить Е£ для гармонического осциллятора, используя 
6 (х, а, р)=е—а|х| cos рх.
Указание. Уравнения для параметров а, р удобно решать-;,J
методом итераций, приняв в качестве нулевого приближения для а J
значение, полученное в задаче 6.9, а).
11.	Используя неравенство (6.45) и пробную функцию (6.46), ;
найти Е~ для гармонического осциллятора.	J
12.	Доказать неравенство
Указание. Рассмотреть интеграл
К == $ ф* ( Я - ^о) (# - £1)’Их.
13.	Используя вариационный метод, решить задачу 3.8.
14.	Доказать, что с ростом I энергия наинизшего связанного
состояния частицы в центральном поле с моментом / возрастает.
15.	Вычислить энергию основного состояния ангармонического ,
осциллятора (е 1)
W = y(p2+x2)+ex«,
используя пробную функцию 0(х, а)—е~ах‘, с точностью до в2. Л
Сравнить с результатом задачи 6.3.	J
130
16.	Доказать следующую формулу:
Ет—(^>т I V I фт) — Vтт <фт |фт)»
используя для определения теорию возмущений Бриллюэна —
Вигнера.
17.	Найти поправки первого и второго порядков к энергии
уровня в поле
U(x)=^q б(х)
при наличии возмущения
а2
Глава 7
КВАЗИ КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
0. Рассмотрим, метод отыскания приближенных СЗ и
"СФ для одномерного уравнения Шредингера, носящий
название квазиклассического приближения или метода
ВКБ —по именам Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна.
В этом приближении дискретный энергетический спектр
появляется как множество тех значений Еп, при которых
определенный функционал, зависящий от Е, принимает
значения из заданного набора (см. п.1.0).
1. Рассмотрим одномерное УШ для стационарных со-
стояний
а»
с потенциалом вида U (у) =	Вводя безразмерные
параметры
..о Йа , У . Е
Б	— ТТо’
мы перепишем (7.1) в виде
3 + f/'(xH==0’	(7-2)
где
Г(Х) = Г]-/:(х).
Подставив в (7.2) решение вида
Г х	-» ф (х) = ёхр у q (х) dx , а получим для 9(х) нелинейное уравнение Риккати	(7-3) (7-4)
132
Решение уравнения (7.4) мы будем искать в виде асим-
птотического ряда по степеням £, полагая £ малым:
д(х) = ^(-ИуЯп(х).	(7.5)
Подставляя (7.5) в (7.4), приходим к рекуррентным урав-
нениям
п
V—0
С точностью до членов второго порядка по £
?W = ?o-^i-g2?2.
(7-6)
Здесь
<7о (х) = ±	(*) = ±
У2т[Е—Ц(х)]
У 2mU(1
Последняя формула есть классическое выражение для
импульса частицы с энергией Е в поле U (х) (в единицах
2mU0). Мы сохраним за этой величиной название и
обозначение импульса
(?0 = р(х) = /г]-/:(х),	(7.7)
так как в этой главе оператор импульса р не использу-
ется. Следующие члены разложения (7.6) суть
(78)
,!М=-й±^.
Разложение (7.5) представляет собой, вообще говоря, рас-
ходящийся ряд. Первые члены его дают хорошее прибли-
жение для q (х), если
\q0(x)\>l\qi(*)\.	(7.9)
Условие (7.9) заведомо не выполняется вблизи точек xk
таких, что
q0(xk)=±p(xk) = 6.
В классическом случае при действительных xk частица
меняет направление движения на противоположное. Точ-
ки хк мы будем называть точками поворота. Функции,
133
полученные подстановкой (7.7) и (7.8) в (7.3):
k VpW
[X
p(x)dx
” xk
(7.10}'
мы будем называть ВКБ-решениями УШ; общее решение
в области, где выполняется условие (7.8), имеет вид
Ф (х) = а+фУ" + а_ф*	(7.11)
В дальнейшем безразмерную величину £ мы будем вклю-
чать в р(х). Индексы + и — будем называть знаками
ФН^)- •
2. Рассмотрим случай дискретного спектра УШ. Нам
требуется найти решения ip (х) во всей области их опре-
деления и соответствующие
собственные значения энер-
гии Еп. Поскольку решение'
(7.Ю) заведомо не сущест-
вует в точках поворота, то
задача отыскания решений
сводится к установлению фор-
мул связи — правил сопостав-
ления
ip(x<Xfe)->ip(x>xA).
Рассмотрим решение (7.11)
в плоскости комплексного х-
Рассмотрим движение в по-
ле с потенциалом U (х) с энер-
гией Е такой, что импульс действителен между двумя
точками хх и х-2 (рис. 20). Значения х на действительной
оси, при которых импульс р(х) действителен, называются
классически доступной областью. Точки хъ х2 суть точки
ветвления функции р(х); проводя между точками пово-
рота разрез, выберем знаки р на берегах разреза, как
показано на рис. 20. Вблизи точек поворота решёния
неаналитичны; при обходе вокруг точки хх- по контуру Сх
р(х)->е1Яр(х),
ФР (х) -> е 2 ip! (х),	(х) -> е	2 фр (х).
(7.12)
Неаналитичность ВКБ-решений в точках xk есть след-
ствие выбранного приближения. Из (7.11) и (7.12) видно,
134
что даже общее выражение (7.11) с постоянными коэф-
фициентами ak не является асимптотикой решения во всей
плоскости комплексного х.
Для того чтобы решение вида (7.11) было асимптоти-
чески правильным во всей плоскости х, коэффициенты а+,
п должны меняться скачком при переходе через линии
Стокса (такое поведение коэффициентов называется явле-
нием Стокса). Линией Стокса решения называется кон-
тур на комплексной плоскости, для точек которого
Re J р (х) dx = 0
xk
и знак мнимой части совпадает со знаком На линии
Стокса для ф± эта функция экспоненциально мала. Ска-
чок коэффициента при экспоненциально малой функции
не приведет к ухудшению точности асимптотики.
Мы потребуем, чтобы асимптотическое решение (7.11)
было однозначно во всей плоскости х. Будем искать фор-
мулы связи при переходе через линии Стокса в виде
а_->а_4-₽а+.
(7.13)
Коэффициенты а, р называются параметрами Стокса. На-
правление линий Стокса определится условиями:
arg
агё
X
— i\p (x) dx
xk
= 2л«,
+ i \ P (x) dx
xk
= 2лл.
(7.14)
(7-15)
Угол ф, определяющий направление линий Стокса, будем
отсчитывать от положительного направления оси х.
Найдем положение линий Стокса. Вблизи xk их можно
считать прямыми
_____	_ f9_
р(х)^=;Д]/х — ххфг е 2,
X	.	3 .Зф
р (х) dx № г 2 е 2.
xk
Используя условие (7.14), получим
3? _ Д — 9 ли' (о+1 — Д о+2 — --
2	2 — х.л.п, ф! — д , ф! — д •
135
Из условия (7.15) для линии [—] имеем
+ у = 2л/г; <р? = л.
Мы выбираем решения, для
1тг
+/	+7
Л / В \ С
/	\ -7
которых <р е [0, 2л]. Анало-
гично, вблизи точки х2,
выбирая в интервале ср <=
е [— л, л], найдем
+2 2л
=—д’,
+2	+2
. Рис. 21.
хг
НВ.27

+1 2lt
«й* =-3-,
<₽2 =0.
Направления линий Сток-
са показаны на рис. 21.
Параметры Стокса а, р,
у для линий, выходящих
из точки Xi, найдем, совершив обход вокруг этой точки. 
Используя формулы (7.13) и правило перехода через раз-
рез (7.12), получаем
с+ф+ + а_ф_ = [а_ + Р (я+ + а_)] ё~ ‘ т ф+ +
+ {а+ +	+ у [а_ + Р (а+ + аа_)]} е~‘ ф_.
Приравнивая коэффициенты при ф+, ф_, находим
. Jt
а=Р=у=е2.
Подчеркнем, что эти значения параметров Стокса отно-
сятся к случаю простого нуля функции г(х).
Построим теперь общее решение. В области А физи-
ческое экспоненциально убывающее решение дается функ-
цией ф/. В области В решение определяется переходом
через линию [+ l]i и может быть выражено как через ф|',
так и через ф±:
фв = фГЧ-е 1 2 ф| = е'‘юф:;4-е 1 2^2е‘(а.
Здесь введено обозначение
х2
со = § р (х) dx.
Xt
В области С решение также должно убывать экспонен-
циально. Используя выражение фв через и совершая
136
переход через линию [+1]3, в области С находим
( .л , . .л . \
фс = е"‘°ф2 + \е 2	+ е 2	/ф+
Требуя обращения в нуль коэффициента при растущей
функции фа:
. л
e-l'r(eto + e-to) = O,
приходим к требованию
со = л(«+1/2).	(7.16)
Действительное решение, экспоненциально убывающее
в области А:
фд = ФГе 3 4 ==р=ехр[-
приводит в области В к решению вида ,
(п+' (7.18)
Отметим, что все предыдущие рассуждения относились
к случаю, когда импульс действителен только между двумя
точками поворота.
3. Полученное из формул связи соотношение (7.16)
в обычных единицах имеет вид
>1
р (л) dx = лй
Xt
Это есть правило квантования Бора — Зоммерфельда, из-
вестное из старой квантовой теории. Значения Еп, вы-
численные с помощью этой формулы, мы будем называть
В К. Б-спектром.
В тех случаях, когда дискретный спектр гамильто-
ниана удается определить точно, между точными СЗ Еп
и вычисленными методом ВКБ значениями Е'п можно уста-
новить соотношение
£; = £„ [1+0 ('-)].	(7.19)
Таким образом, значения ВКБ:спектра дают хорошее
приближение для высоких уровней.
137
Собственные значения уравнения (7.1) могут быть пред-
ставлены в виде
= +	+	(7.20)
Выражение для было найдено Масловым *. Если
в окрестности минимума потенциала U (х) величина f" (х) =
— 0, то при малых п
Е'п = О®, р„ = О(1).
Таким образом, формула Бора — Зоммерфельда дает хоро-
шее приближение и для низколежащих уровней, если
12<1.	(7.21)
Неравенство (7.21) является- условием квазиклассичности
потенциала U (х) в смысле близости точного и В КБ-спект-
ров при любых значениях п. Приближение ВКБ назы-
вается квазиклассическим потому, что при выполнении
условия (7.21) квантовый масштаб действия Й мал по
сравнению с величиной S = ]/2mt/oa2, характеризующей
потенциал. Заметим, что рассмотрение четной потенциаль-
ной ямы в пределе, противоположном ква^иклассическому
(£а^>1), приводит к задаче об-яме, рассмотренной в гла-
ве 3.
Рассмотрим потенциальную яму U (х) такую, что
t/(x)<0, 7/+ = t7_ = O. Тогда с ростом энергии точки по-
ворота будут удаляться на бесконечность. Номер наивыс-
шего связанного состояния N определится из условия
+ <»
yVsC лГ S VWn^-4-	(7.22)
— оо
Эта формула дает оценку для числа связанных состояний.
Отметим, что N Неравенство Баргмана (5.50) можно
при I = 0 рассматривать как оценку для числа связанных
состояний с четной ВФ в четном потенциале U (х). По-
скольку уровни различной четности чередуются, то
2V^2 + g-2f |/(x)|xdx.	(7.23)
о
Это неравенство дает оценку N ~£~2; для квазикласси-
ческого случая (|2<^1) оценка (7.22) значительно лучше.
Отметим, что интегралы в правых частях (7.22) и (7.23)
сходятся при одинаковых условиях: при х->оо |/(х)| =
= о(х~2), при х->0 / (х) = о(х-1).
138
Величина в левой части равенства
ф р dx = 2лй (п + у j	(7-24)
определяет объем фазового пространства, охваченный клас-
сической траекторией. Поэтому, основываясь на равенстве
(7.24), говорят, что одному связанному состоянию в фазо-
вом пространстве соответствует объем 2лЙ на одну сте-
пень свободы.
4. Рассмотренные выше ВКБ-решения для дискретного
спектра не были нормированы. Рассмотрим нормирован-
ные ВКБ-функции для состояний дискретного спектра
с большими п. Так как вне классически доступной об-
ласти ВФ экспоненциально убывает, то основной вклад
в нормировочный интеграл будет вносить область между
точками поворота. Можно потребовать, чтобы
Л2
Х1
где А —нормировочная постоянная, а определяется
формулой (7.17):
1 = Ап р-1 (х) • cos2 p(x)dx—^
xt	LX1
При больших n можно заменить быстро осциллирующий
квадрат косинуса его средним значением. Таким образом,
находим
Л2
dx
(7-25)
Вблизи точки поворота нормированная плотность вероят-
ности в квазиклассическом приближении имеет вид
Г х*
W (Х) —	Г	г	,
' '	* Ve~V{x} J VE-U(x)
L*1
Определим теперь классическую функцию распределения
вероятностей в одномерном случае W (х) следующим об-
разом: W (х) dx есть отношение времени, в течение ко-
торого частица находится в интервале dx, к периоду
139
движения. Тогда
- 1
' х2
W (х) =	*	_
1л£-4/(х)
dx
l^E-U(x)
Таким образом, вблизи точек поворота в классически до-
Рис. 22.
ступной области ВКБ-функ-
ция распределения w(х)стре-
мится к классической функ-
ции распределения W (х).
В рассматриваемом нами
случае больших п сущест-
вует связь между величиной
нормировочных постоянных
Ап и видом энергетического
спектра Е (п). Дифференци-
руя выражение (7.18) по п,
получаем
лЙ=Л ^dx= £ ^^dx.
J dn J dEn dn
(7.26)
Так как по определению
то
р2 = 2т [£„ — U (х)],
dEn _ р
dp т '
Таким образом, равенство (7.26) принимает вид
’а,=тТ?№-	<7-2Т1
. '	'	Х1
Интегралы в правых частях (7.25) и (7.27) совпадают.
Итак, находим соотношение
2 ^'2от dEn
" nh dn
(7.28)
5. Рассмотрим ВКБ-решения УШ для состояний непре-
рывного спектра. Пусть частица находится в поле потен-
циального барьера U (х) с энергией, меньшей максималь-
ного значения U (рис. 22). Такой случай соответствует
задаче о подбарьерном прохождении.
140
Пусть при х>х2 р(х) — \р(х)\. Тогда импульс р(х)
можно представить в виде
Р (X) = С (X) У(х - Xi) (х - х2).
Здесь С (х) — функция без нулей.
Найдем направления линий Стокса из точек хх и х2.
у точки поворота хх
_______________________________ _
р(х) f^CiVfx — х1)е'я(х2 — х)~СгУге '2	2 Л
з . /у , ЗчЛ
\p(x)dx^-r2 е '2	2 '.
Отсюда находим направления линий Стокса: 
фГ* = о, = у, ф;1 = у, <рг2 = 2л.
У точки поворота х2 импульс р (х) можно представить
в виде
_ [ ф
р (х) С2 Vx — х2 ~ С2 Vr е 2.
Направления линий Стокса в точке х2:
i ЗТ 4-2	__ I	— О
Ф2 = 3, фГ== —П, ф2‘= --3 , ф/ = л.
Направления линий Стокса показаны на рис. 22.
При решении одномерного УШ для состояний непре-
рывного спектра мы отыскивали решения, асимптотиками
которых при х->-±оо являлись ВФ свободного движе-
ния — одномерные волны eikx. ВКБ-решения аналогичны ВФ
свободного движения на сопряженных линиях Стокса —
линиях, на которых
Im \ р (х) dx = 0.	(7.29)
xk
В нашем случае сопряженные линии Стокса совпадают
с лучами вдоль действительной оси х>х2 и х<хх.
Направление потока вероятности на сопряженных ли-
ниях Стокса определяется правилом Хединга: Если ре-
шения ф£ убывают в верхней полуплоскости, то на
сопряженных линиях Стокса они описывают поток вправо.
Так, при х>х2 волне, распространяющейся вправо, соот-
ветствует ф2: в области С, ограниченной осью х и линией
141
Стокса [+1], решение фа убывает (по определению реше-
ние фа экспоненциально мало на линии [ф-1]).
Установим формулы связи между ВКБ-решениями
в областях Л и С:
ФС = Ф2,
Фв=ф|==Ф[ехр
Xi	1
i $ p(x)dx = ф?ех,
- Xi
фл = екф1'+е< 2 +К,Ф1-
Так как в области А р (х) = ef"l ₽ WI, то решения, пред-
ставляющие в этой области простые волны, даются фор-
мулами
— с—	_
Фп.=е 2 фГ, Ф1к = е 2 ФГ.
Используя эти выражения, находим формулу связи
ф+ф-е 2 ф|-<-е_кф|.
(7.30)
Физическая интерпретация формулы связи (7.30) очевид-
на. В области С существует только поток вправо (распро-
странение частицы, прошедшей за барьер). В области А
существуют потоки вправо и влево, соответствующие па-
дающей и отраженной частице. По определению, данному
в п. 3.3, находим ВКБ-выражение для коэффициента про-
хождения:
D (£) = ехр
У 2т (Е — U (х)) dx .
(7.31)
6. Рассмотрим ВКБ-решение в непрерывном спектре
при £>£0. В этом случае на действительной оси точки
поворота отсутствуют. Мы ограничимся рассмотрением про-
стейшего случая, когда уравнение
р(х) = 0
имеет два комплексно-сопряженных корня (рис. 23):
Х1 = аф-гР,	ха = а —1₽.
Точки %!, х2 мы будем называть комплексными точками
поворота. Проводя между точками поворота разрез и по-
лагая
г Л.
х = аф-1Х, dx = e 2 dt,
142
запишем выражение для импульса вблизи точек поворота:
Р (х) = А (х) ^(x-Xi) (х-х2),	(7.32)
где А (х) — действительная функция без нулей. Положим
р (?) = | р (г) | на правом берегу разреза; угол <р будем от-
считывать от положительного направления мнимой оси.
Тогда вблизи
х —Xi = e‘ 2 (£ — ₽).
Учитывая (7.32), можно
записать
Рис. 23.
Г , . ,	4- ‘"+3 ®-
\p(x)dx^r2e 2-
Отсюда — направление линий Стокса у точки хх будет:
<И —— у, Ч>1 *=л, ф,‘= —Л, <РГ =у.
У точки х2 аналогично находим
Ф?1 = у. фГ =2л, cpj1 =0, <р22 =^.
Сопряженные линии Стокса выходят из точки хх под уг-
лами
и лишь асимптотически приближаются к действительной
оси при х->±оо. Расположение линий Стокса [+]. Ы
и сопряженных линий Стокса {0} показано на рис. 23.
Рассмотрим формулы связи для ВКБ-решений на 01 и
на 02:
Фс = Фо, Фв = Фо.
Фл = Фо +е‘2 Ф?.	(7‘33)
По правилу Хединга на 02 функция фо' соответствует по-
току вправо, фо — потоку влево, на 01 направления обрат-
ные. Деформируем контур интегрирования для х, далеких
от а, придвинув контур к действительной оси и разрезу
143
(рис. 24). Тогда
Положим
х	а	х
i ^pdx^i^pdx + i \pdx.
Xt	Xi	a
(7.34)
fe = Im
- \ P(x) dx
Xi	-
Тогда на левом берегу разреза первый из интегралов в пра-
вой части (7.34) есть —k/2 и
/V | • V	*V	« и
2 1 2 ф£, i|vъ>е 2	2 фя. ф^е
где введено обозначение
k
2 Фя,
(7.35)
Фд, L
Ийехр
X
± i § р (х) dx
а
а индексы R, L соответствуют потокам вправо (R) и вле- --1
во (£). Направление определяется по правилу Хединга
для ВКБ-решенйй ф± Под-
ставляя (7.35) в формулы
перехода (7.33), получим
. л .
— I-— k
(Л) Фя +« 2 Фд*-
ч-ф^(С). (7.36)
Физическая интерпретация
этой формулы очевидна. В
области С существует толь-
ко поток вправо (распро- .
странение частицы, про-
шедшей за барьер). В области А существуют потоки
вправо и влево. ВКБ-выражение для коэффициента над-
барьерного отражения, согласно определению, данному ;
в п. 3.3, есть
R (Е) = е~2к = ехр
Xt
д- Im ]/2m [Е — U (х)] dx
X,
(7.37) <
7. Применимость квазиклассических выражений для >
коэффициентов прохождения и отражения можно оценить •?
144
с помощью уравнения непрерывности. Для подбарьерного
прохождения
/л = 0, /с = £>(£)
(мы предполагаем, что поток вправо в области А норми-
рован на единицу). Аналогично, для надбарьерного отра-
жения
Нт/л = 1 — £(£), Нт/с=1.
Таким образом, область, в которой потенциал U(х) за-
метным образом отличен от нуля, действует как источник
частиц. Это физически неудовлетворительно; поэтому вы-
ражениями (7.31) и (7.37) можно пользоваться только при
условиях
£>(£)<!, £(£)<!.
Эту трудность можно обойти, потребовав, чтобы коэффи-
циент при экспоненциально большой на линии Стокса
функции (ф+ на линии [—], ф- на линии [+]) менялся
так, чтобы выполнялось уравнение непрерывности. Пола-
гая (для подбарьерного прохождения)
_£А
аф14-е
и требуя сохранения тока в асимптотической области, по-
лучаем
0$! = )/ 1-|~е-2\
откуда
Р-2К	' 1
<7-38>
Аналогично, для надбарьерного прохождения
1	p-2fe
=	=	(7-39)
Такое приближение, лежащее за пределами метода ВКБ,
называется приближением Кембла. Коэффициенты D(E) и
К (£) в приближении Кембла дают результат, близкий
к точному, при любых £ для полей с потенциалами
Uof (х/а) при
£а<1.
Отметим, что при £ = £0 в этом приближении D = R — \/2.
145
Представим выражение для коэффициента надбарьер-
ного отражения (7.37) в виде
£(£) = ехр -yxlm J	,
где
» 2тЕ
х ~w
Для высоких энергий (и2^>1) интеграл в правой части
может быть представлен как разложение по степеням и-1:
£(£)=ехрГ—	+ \1.	(7.40)
L Ь \	л	/J
Очевидно, наиболее существенную роль играет первый
член (7.40):
/?('£) яаехр	— ехР (—
Показатель экспоненты не содержит характерной глубины
потенциала Uo. Таким образом, в приближении ВКБ коэф-
фициент отражения при заданной энергии останется ко-
нечным и при 1/0->0, что физически неудовлетворительно.
Поэтому для рассмотрения надбарьерного отражения ча-
стиц высоких энергий точность принятых асимптотических
решений оказывается недостаточной *.
8. Выше мы рассматривали ВКБ-решение для одно-
мерного УШ (7.1). Результаты могут быть использованы
и в тех случаях, когда УШ допускает разделение пере-
менных в криволинейных координатах. Особенно большой
интерес представляет случай центрального поля U (г) =
— Uof (r/а), так как к этому случаю приводит задача двух
тел. Уравнения для радиальной 7? (г) и угловой У (0) ча-
стей ВФ имеют вид
+ <М2>
здесь А— константа разделения. Эти уравнения относятся
к типу более общему, чем (7.1), а именно:
fWEPMff+Hx.Ot-O. (7.43)
146
Такое уравнение можно привести к виду (7.1) бесконеч-
ным числом способов, определенных с точностью до про-
извольной непрерывной, функции г/(х); замена
z/ = z/(x), ф —	-
сводит уравнение (7.43) к квазиклассическому виду
Wl2 tr W + s	V = °’
где
*(*) = ^In[p(*)y' (*)]•
Соответствующее квазиклассическое решение (в исходных
переменных) имеет вид
Ф± х) = [г (х) + s (х)]~ ‘/4 ехр
± i § V г (х) + s (х) dx .
xk
(7-44)
В качестве дополнительного условия потребуем, следуя
Пономареву, чтобы квазиклассическое решение (7.44)
в особых точках уравнения (7.43) имело степенную асимп-
тотику.
Ф±(х) = х',(с1 + с2х + ...)
с тем же показателем v, что и точное решение. В случае,
когда р(х) имеет простой нуль, этому условию отвечает
преобразование
У = J . <Р [У (х)] = Ф (х),	(7.45)
приводящее к равенству
s (х) = 0.
Для уравнения (7.41) эта процедура нуждается в изме-
нении, так как р(х) имеет нуль второго порядка. Начнем
с уравнения (7.42):
у (6) = In tg (6/2).
147
ВКБ-решение в классически доступной области есть
е
У(е) = -=1=со8 Sp(6)d6-£ ,
W j/sin6p(6)	4
где
₽(»)=•]/
Константу разделения определим из условия квантования
61 _______________________
С V— Д(1 —х2) —/п2 ,	[	.
J ------НН------
где x = cos6. Вычисляя интеграл, получаем
А = - (по+1 т 14-1/2)2 = - (/ + 1/2)2 = - X2,
что отличается от точного значения константы разделения
Ло = -/(/+1).
ВКБ-решение для угловой ВФ имеет вид
При Л2	т2 sin-26 это	выражение	переходит в	
лл /гл 1 /~2Х	1	mit	л \	т
Kto(6) = y — p=cos Х6——•	:1
“ л	|/ sin е \	2	4/	я
Подставляя полученное значение константы разделения А -3
в уравнение (7.41) и используя преобразование Понома- J
рева (7.45), которое в настоящем случае имеет вид Я
У(г) = г~1,	J
найдем квазиклассическое решение радиального уравнения.	J
Собственные значения энергии определятся из	условия	Ja
квантования для радиальной компоненты	«Я
148
Отметим, что для любых несингулярных потенциалов квази-
классическое радиальное УШ имеет по крайней мере одну
действительную точку поворота при любых энергиях, так
как даже в s-случае центробежный потенциал отличен
от нуля.
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что ВКБ-решение применимо тем ближе к действи-
тельной точке поворота, чем больше в ней V (х).
2.	Найти ВКБ-спектр гармонического осциллятора.
3.	Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале Морза
U (x) = U0(ex/a— I)2..
4.	Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
U (х)=—t/0ch-2(x/a).
5.	Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
U (х) = Uо tg" (лх/а),	| х | < а/2.
6.	Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
{;(х) = ^о(у-у)2, х > 0.
7.	Найти ВКБ-коэффициенты D (£), R (£) в поле с потенциалом
Использовать приближение Кембла. Сравнить с точным решением.
8.	Разложив потенциал
U (х) = U0 с1Г2 (х/о)
до членов ~х2, найти ВКБ-коэффициенты £>(£), R (Е) при Е ^Uo,
используя результат задачи 7.7. Сравнить с разложением точного
решения при |2 <; 1.
9.	Найти ВКБ-коэффициент R (£) для частицы в поле
Рассмотреть случаи Uo >0, Uo < 0.
По принципу построения формул связи ВКБ-приближение при-
годно для решения УШ только с аналитическими потенциалами.
Однако в ряде случаев для оценки коэффициента подбарьерного про-
хождения D (£) можно использовать и разрывный потенциал, так как
интеграл в показателе экспоненты (7.31) нечувствителен к наличию
разрывов. Для рассмотрения надбарьерного отражения использование
разрывных потенциалов недопустимо.
149
10.	Оценить ВКБ-коэффициент прохождения D (Е) в поле с потен-
циалом (рис. 25)
U(x)^-U0	(х<0),
U (х) <=«—Fx	(х > 0).
Такой потенциал представляет интерес для описания холодной эмис-
сии электронов из металла в электрическом поле напряженности F.
Величина Uo соответствует работе выхода.
Рис. 25.	Рис. 26.
11.	Показать, для радиального УШ в сферических координатах
использование точной константы разделения Д0 = ((/4-1) и преобра-
зования Лангера
i/(r) = lnr
приводит к тому же ВКБ-решению, что и преобразование Пономарева.
12.	Найти ВКБ-спектр частицы в кулоновском поле.
13.	Найти ВКБ-спектр сферического осциллятора
14.	Показать, что в квазиклассическом приближении условие
существования связанного состояния в поле
1/(г)=—-у/г®
совпадает с точным.
15.	Найти условие ВКБ-квантования для уровней энергии в потен-
циале, имеющем вид двойной ямы (рис. 26).
Глава 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
0. Многие физические свойства веществ определяются
в конечном счете кулоновским взаимодействием электро-
нов и ядер. Поэтому задачи о спектрах систем заряжен-
ных частиц представляют большой интерес. Простейшая
задача о спектре частицы в кулоновском поле была рас-
смотрена в главе 5. В этой главе .мы рассмотрим более
сложные случаи, используя приближенные методы.
1. Рассмотрим расщепление уровней атома водорода
в однородном электрическом поле (эффект Штарка). Пусть
напряженность поля F такова, что энергия расщепления
мала по сравнению с разностями уровней невозмущенного
спектра, но велика по сравнению с энергией спин-орби-
тального взаимодействия (см. главу 10). Потенциальная
энергия в атомной системе единиц имеет вид
U(r) = -±+Fz.	(8.1)
Так как функция U (г) инвариантна относительно враще-
ния вокруг оси г, то проекция 1г является интегралом
движения. Далее, при отражении в плоскости, проходя-
щей через ось г, проекция 1г изменяет знак, а функция
U (г) остается неизменной. Следовательно, стационарные
состояния, отличающиеся только знаком проекции момента,
имеют одну и ту же энергию.
Невозмущенные стационарные состояния атома водо-
рода вырождены с кратностью п2. Если в качестве базиса
при вычислениях по теории возмущений выбрать общие
СФ операторов Но, /2 и 1г, то при заданном значении т
для отыскания первой поправки к энергии надо решить
секулярное уравнение степени (п — |zn|).
Задачу можно упростить, если в качестве базиса взять
другие функции, симметрия которых соответствует симмет-
рии U (г). Характер потенциального поля таков, что
151
начало координат является выделенной точкой, а на-
правление электрического поля —выделенным направлени-
ем. Такой симметрией обладает параболическая система ко-
ординат, если фокус семейств параболоидов вращения
поместить в начало координат, а ось вращения направить
вдоль оси z. В этом случае
x = ylncosq), f/ = Kinsin<jp, z = -|-(g-T]). (8.2)
Такая система координат ортогональна. Квадрат длины
дуги определяется выражением
ds2 = ^±21	1+1 drf +
а элемент объема
dV =	d.% dr] dtp.
Уравнение' Шредингера имеет вид
_1Г_4______________________Lfn । 1 дгФ]
2	\5 ag / + g+T] \ ।	Эф2 J
+	=	(8-3)
Разделим переменные, полагая
pimty
Ф = Ы1(Ю«2(П)4=-	(8.4)
L	у 2зг
Тогда уравнения для функций и± и и2 примут вид
t^+4ui=o’(8-5)
11	4ф “ -2~T’ + t 11 +?V2) “2 ~°- M
Константы разделения и X2 удовлетворяют условию
%i + *2= 1.	(8.7)
Мы будем искать поправки к энергии в первом приближе-
нии, поэтому положим в уравнениях (8.5), (8.6) F —О и
1 найдем невозмущенные ВФ в параболических координатах.
Число поверхностей, на которых ВФ обращается
в нуль*, зависит от значения Е (Е =—1/2п2), а не от
вида системы координат. Если обозначить через ni и п2
число нулей функций и то
«1 +«г +1 тп Ц-1 = «.	(8.8)
152
Числа и и2 называются параболическими квантовыми
числами. Так как оператор
+ 4	<89>
эрмитов на полупрямой (0, оо), то решения уравнений
(8.5) и (8.6), соответствующие различным значениям щ
и п2, ортогональны. При
п{, Е, ni)Ui(& Hi, Е, —	(8.10)
Из ортогональности функций их, и2 и из условия
Я1 -|- = Л1 -}- ^2
следует, что недиагональные матричные элементы опера-
тора возмущения равны нулю:
{п\, п'2, m\Fz\n!, н2, т) =
= $ $ ип[ © «л, © © - П2) ип> (п) ип,01) F = 0. (8.11)
Следовательно, при нахождении поправки £(1) отпадает
необходимость решать секулярное уравнение: найденные
ВФ в параболических координатах являются правильными
в смысле п. 6.8.
Найдем поправки к значениям энергии уровней атома
водорода:
2	©мл,01)(б-Т'П)^Ф)
Подстановками
«1 © = Ri (pi) Vpi, «2 (’1) = Кг (рг) Ург> (8.13)
где
₽.=<, й=^,	(8.14)
уравнения (8.5), (8.6) можно привести к виду (5.15):
Полагая функции R{ нормированными условием
jflp^l,
мы представим выражение для поправки к уровням в виде
£(i) = Lп Р^-РуР?...,	/8.16)
2 РГ + Р?1
153
3. Рассмотрим задачу о
двух кулоновских центров
стоянии 7? друг от друга.
движении электрона в поле
1 и 2, находящихся на рас-
Такая модель используется,
например, для описания мо-
лекулярного иона водорода
Щ. Применительно к этому
случаю рассмотрим вычисле-
ние энергии основного со-
стояния электрона в поле
одинаковых кулоновских цен-
тров Zx = Z2 — 1.
Используем метод линей-
ных комбинаций, изложенный
Рис. 27.
в п. 6.13. Вблизи каждого из ядер поле близко к чисто
кулоновскому; положим
6 (г) = 01Фо (Г1) + а2<р0 (''г).
где ф0 (г) —нормированная ВФ основного состояния атома
водорода:
To(/') = _r4=f е"г/а°-
р JUZjJ
Гамильтониан системы имеет вид
где R — расстояние между ядрами, и г.г — расстояние
электрона от первого и второго ядер (рис. 27). Так как
то решение уравнения (6.55) имеет вид
= <827>
Подстановка полученных значений в (6.55) дает
«!== ±а2-
Поэтому экстремальная нормированная пробная функция
есть
6± (Г) = /271‘т S Т (ф1 - фг)-	<8’
V & I* —
156
Матричные элементы имеют вид
7/u=4-^-e2$-^4,«(ri)dr’
н12 = s12 (-J ~	~е3 S /? фо ,₽0 dr-
Для вычисления интегралов удобно использовать конфо-
кальные эллиптические координаты, определяемые соотно-
шением
ф=ф> <8-29>
где <р — азимутальный угол. Элемент объема в этих коор-
динатах есть
dV=-^(^-^)dld^.
Тогда
$12 = (1 + У + у У2} е~у.
Н = — г
в2
е = —•,
а0 ’
(8.30)
Д12 — — е
(4-y)Sxs + (l+»)e-#
где y — RnJ1. Зависимость Д+ и Д_ от расстояния между
ядрами показана на рис. 28. Ми-
нимальное значение Е соответст-
вует симметричной функции
е*=У2('1+5)1ф>(Л) + *(б>|-
При г/0 = 2 Д«= —0,554, До"==
= — 0,161 (в атомных единицах).
Значение До меньше, чем сумма
энергий основного состояния ато-
ма водорода Els и удаленного на
бесконечность протона: возникает
устойчивое состояние иона HJ. В
этом состоянии, описываемом чет-
ной относительно перестановки ядер функцией 6+, вероят-
ность нахождения электрона между ядрами больше, чем в
антисимметричном состоянии.
Точное значение Д«= — 0,6026 находится в приемле-
мом согласии с результатом наших вычислений. Следует.
157
учесть, что в нашем расчете предполагалась малость
величины
<8-31)
так как только при этом условии ВФ основного состоя-
ния атома водорода можно использовать как ВФ нуле-
вого приближения. В наиболее интересной области —
в окрестности минимума Е+ —значение у~1^0,5 с трудом
удовлетворяет требованию (8.31).
Энергия иона Н2 есть функция расстояния между
ядрами En(R). В нашем расчете ядра предполагались
фиксированными. В следующем приближении функции
Еп (R) — электронные термы — можно рассматривать как
эффективный потенциал взаимодействия между ядрами и
решать задачу о движении ядер в таком потенциале.
4. Выражение (8.27) представляет собой полученную
вариационным методом оценку сверху для электронных
термов. Эта оценка не дает правильной асимптотической
зависимости En(R) при R-+co. В самом деле, при боль-
ших R ВФ электрона можно считать локализованной
в окрестности одного из ядер (припишем ему заряд Zx)
и описывать ее квантовыми числами пъ п2, т (или nr, I, т),
а поле, создаваемое вторым ядром (с зарядом Z2), счи-
тать однородным:
F = Z2eR 2,	(8.32)
и рассматривать как возмущение. Тогда для возбужден-
ных состояний с отличным от . нуля дипольным моментом
будет отлична от нуля поправка к энергии первого порядка:
Elnl)(R) = d-Z2eR~\
и во всяком случае будет отлична от нуля поправка вто-
рого порядка:
E™(R) = ^-(Z2eR~*y.	(8.33)
Эти поправки с ростом R убывают степенным образом,
а не экспоненциальным, как S и Н12 в п. 8.3. Электрон-
ные термы, соответствующие ВФ, локализованным вблизи
ядра Zlf называются Д-термами задачи двух кулоновских
центров.
Отметим, что использование теории возмущений для
вычисления сдвига уровней атома водорода однородным
электрическим полем нуждается в той же оговорке, что
и вычисление по теории возмущений уровней энергии
ангармонического осциллятора. Потенциал возмущающего
поля неограниченно убывает при больших г, и система
обладает только непрерывным энергетическим спектром.
Однако вычисленные поправки имеют смысл как члены,
пропорциональные Z2R~2 и
соответственно в разло-	£
жении Zi-термов задачи двух /
кулоновских центров при -& /
/?->оо.	/	Г
5. Электростатическое а	ЛЬ
взаимодействие может играть	рис 29
существенную роль и при взаи-	11С
модействии между электро-
нейтральными атомами. Энергия электростатического взаи-
модействия между двумя атомами с зарядами ядер Zx и
Z2 имеет вид
Я Z 'rba Гер"1” Z Z Гар‘
а=1 Р = 1	а=1р=1
Электроны атомов а и b нумеруются индексами аир
соответственно. Обозначения переменных показаны на
рис. 29. При расстояниях R, больших по сравнению
с атомными:
^>|Г„|, |гр|,
имеет смысл разложить оператор V по степеням r/R. Учи-
тывая соотношения
1	1 (г П) З/Г П)2—г®
ГаЬ ~ R	Я2	2R3
1 _ 1 (ГРП) , 3(ГРП)2+ðР,
гро	Я	Я2	2R3	I"-"»
1 _ 1
'ар ~~ |Яп+гр —Га1 ~
_ 1 , (Гр-Га, п) ( 3(Гр —Га, П)2 —(га —Гр)2 _
я+	+	2/?3
для энергии взаимодействия нейтральных атомов получаем
Zi Z,
= —2 2 {3(r«n)(rf>n) — г«п4 + --- (8-34)
а=1р=1
159
В разложении V по степеням r/R первый член, пропор-
циональный R'3, соответствует диполь-дипольному взаимо-
действию, второй (~R 4) соответствует диполь-квадру-
польному взаимодействию и т. д.
Поправка к энергии первого порядка по диполь-ди-
польному взаимодействию может быть отлична от нуля,
если атомы (водорода) находятся в возбужденных состоя-
ниях с отличными от нуля значениями дипольного момента.
Поправка, пропорциональная R 3, может быть отлична
от нуля и при вычислении взаимодействия между произ-
вольными одинаковыми атомами, находящимися в различ-
ных состояниях и ф„, и в том случае, когда средние
значения дипольного момента в этих состояниях равны
нулю (т. е. в отсутствие случайного вырождения). В слу-
чае двух атомов состояния системы фт (1 )хр„ (2) и фп(1)ф,п(2)
обладают одинаковой энергией. Поэтому при вычислении
поправок к энергии системы под действием возмущения
(8.34) следует использовать теорию возмущений для вырож-
денных уровней. Входящие в секулярное уравнение мат-
ричные элементы У12 могут быть отличны от нуля; по-
правки к энергии будут равны
Е(1’)2 = ±n\V\n, tri).	(8.35)
Отметим, что при вычислении (8.35) атомы предпола-
гаются ориентированными. Для системы без выделенных
направлений среднее по ориентациям значение поправки
(8.35) есть нуль. Отличный от нуля вклад члены резо-
нансного дпполь-дипольного взаимодействия дают при
наличии выделенных направлений (например, полем в кри-
сталлической решетке).
6. Если в атоме распределение заряда обладает сфе-
рической симметрией, то все электрические мультиполь-
ные моменты обращаются в нуль. Поэтому в первом
порядке теории возмущений в нуль обращаются средине
значения всех членов в операторе V (R). Во втором при-
ближении энергия взаимодействия имеет вид
V<2) (R) = - У —!>"|Г|9.в> |8р .	(8.36)
Еат~\~Еbn Еао ^Ьо
tn, п
Если атомы находятся в основных состояниях, то
160
и взаимодействие (8.36) соответствует притяжению силами
I Ван-дер-Ваальса
V2(/?)~ R~6.	(8.37)
Рассмотрим более подробно взаимодействие двух ато-
мов водорода. Ограничимся диполь-дипольным взаимодей-
ствием
и = — (2zxza - xj.x2 - угу2).	(8.38)
В первом приближении теории возмущений ВФ системы
двух атомов имеет вид
2' <п| и 10) .
I где ВФ невозмущенного состояния ф0 в атомных едини-
’ цах имеет вид
ф0 == -1 е~ ^аа+.
Оценим константу, входящую в (8.37), вариационным
методом. Учитывая, что
<« | « 1 °> Я5» = — Фо <0 I И I 0> + У (П | U | 0> ф„ = мф0,
п	п
‘ в качестве пробной функции в вариационном методе
используем однопараметрическую функцию
= , Фо.О+Ч---------.	(8.39)
Для среднего значения энергии получим выражение
£ ____| . и (1 +А.»)2 । А,2 (У1Ы)2+ (УгО2 /g 4Q\
L	’Г (1+Хи)2	2	(l+\u)2	’	' ‘ '
Так как
*/ = £й = ^=0,
j	^ = ^ = 4==1,
I T0
*'	й = 0, w3 = 0, u2=67?~6,
b	_____ _______ 12	(8-41)
!	(W+(v2u)2 = i;.
f	6 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков	161
Используя соотношения (8.40) и (8.41) и пренебрегай'
членами, убывающими быстрее, чем R6, получим
 £ = -1+^(х+Х22).	(8.42)'
Из условия стационарности Е получаем X = —1. Поскольку'
для оценки Е(2) (R) мы пользовались вариационным мето-,
дом, то результат (8.42) представляет собой оценку сверху
(8.43)
Для получения оценки снизу в формуле (8.36) заме-
ним все Еат и ЕЬп на значение энергии первого возбуж-
денного состояния
р-р ________
— ^Ь2 —	2 • 22	8 ’
Тогда
(	W(/?)>-4s'|<mn|«|0 0>|2.
Так как
£'|<тя|н|0 0> |2 = <0 0|ы2|0 0> — [ <° 01 w | 0 0> |2,* '
то
02’(Д)>—з|е.
Таким образом, для потенциала сил Ван-дер-Ваальса,
действующих между двумя атомами водорода, получаем
оценку
(₽)<-^.	(8.44)
Более точные вычисления приводят к значению кон-
станты 6,5.
71 Поясним то обстоятельство, что нейтральные атомы
притягиваются в результате электростатического взаимо-
действия, хотя все электрические мультипольные моменты
равны нулю. Для ВФ в первом приближении мы получаем
выражение
Ф = Фо (г1а) Фо (r2b) 1 + рз (2^2 — Х^2 —(8.45)
Если пренебречь членами, пропорциональными R в, то
плотность вероятности для электронов будет иметь вид
W(rla, r2l>) =
= w (rla) w (г2Ь) [1 +	(2zxz2 - ххх2 - у^уг)\ 	(8-46)
162
Таким образом, и при учете диполь-диполыюго взаимо-
действия распределение зарядов в каждом атоме остается
сферическн-симметричным:
\W(rla, r.2b)dr2b = w(rla).
Однако ВФ (8.45) нельзя представить в виде
^ = ф(о0)ф(/-2б)-
Между положениями электронов в атомах с ВФ (8.45)
существует корреляция, причем более вероятны состояния
с меньшей энергией. Таким образом, существование сил
Ван-дер-Ваальса в первом приближении можно объяснить
не деформацией электронных оболочек, а корреляцией
между положениями электронов.
Докажем аддитивность сил Ван-дер-Ваальса на при-
мере системы, состоящей из трех атомов. Запишем энергию
взаимодействия в виде
V= V(l, 2) + V(2, 3)4-V(3, 1),
где через 1, 2 и 3 обозначена совокупность координат
первого, второго и третьего атомов. ВФ системы в нуле-
вом приближении представим в виде
ф = фаг(1)фЙЛ(2)фс/ (3),
где индексы i, k, I указывают квантовые состояния ато-
мов о, Ь, с. Функции фпг(1), принадлежащие различным
состояниям i, ортогональны.
Во втором порядке теории возмущений энергия взаимо-
действия имеет вид
£ = <0 0 01 Vj0 0 0)4-
у' 1</Н| У|000)|2
Eab + Eba + Ec<i-Eai-Ebi-Eci’
Индекс 0 соответствует основному состоянию. Первый
член в (8.47) описывает энергию классического взаимо-
действия мультиполей и в нашем случае равен нулю.
Во втором члене все слагаемые, в которых одновременно
i, k, 1^0, исчезают вследствие ортогональности исход-
ных ВФ:
<i k l\V(l, 2)10 0 0> = <t k\V(l, 2)10 0><Z10> = 0. (8.48)
Частные суммы, в которые входят слагаемые с'одним
отличным от нуля индексом, учитывают поляризационные
6*	~	163
взаимодействия в результирующем поле двух остальных
атомов. В случае, • когда распределение зарядов в атомах
обладает шаровой симметрией, эти суммы также исчезают.
Заметим, что эти суммы не могут быть получены путем
аддитивного учета энергии взаимодействия каждой пары
атомов.
Таким образом, в выражении (8.47) сохраняются только
члены, в которых два индекса k, I отличны от нуля. При
сделанных предположениях относительно распределения
заряда в атомах энергия взаимодействия может быть раз-
ложена на три частных суммы:
£ =
V'
Li
] <t- fe о I у I о о о> |g . yi' I <о fe z I I о о о> |з
— Eai — Ebk Li Eb»-]~ECV — Ebk— Eci
. V |<t0/| V |0 0 0>^
Eat ECl
(8.49)
Так как
<JkO\V1000> =	| V(1,2) 100>,
то выражение (8.49) состоит из трех слагаемых, каждое
из которых описывает взаимодействие пары атомов силами
Ван-дер-Ваальса. Легко видеть, что этот расчет может
быть распространен на произвольное число атомов.
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что в состоянии атома водорода с параболическими
квантовыми числами пх, п2 проекция вектора Рунге — Ленца на
ось г есть
,	и3—щ
Лг = —----1.
п
2.	Доказать, что в классическом случае при движении в поле
t/(r)=—— Fr
сохраняется величина
B = AF-f~[Fr]2,
где А —вектор Рунге —Ленца. Показать, что соответствующий кван-
товомеханический оператор коммутирует с гамильтонианом.
3.	Определить наибольшее значение квантового числа п, при
котором движение электрона в поле (8.1) остается квазифннитным
(имеет трн действительных точки поворота).
164
4.	Выразить квадрупольный момент заряженной частицы в цент-
ральном поле через средний квадрат ее расстояния от центра.
5.	Оценить величину квадрупольного расщепления уровней атома
водорода в поле удаленного ядра Z2 на расстоянии R.
6.	Рассмотреть методом линейных комбинаций возможность су-
ществования иона Het++.
7.	Оценить вариационным методом поляризуемость системы двух
частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом
{/(/•) = —(? 6. (г—а), .
в s-состоянии. Частицы считать заряженными, но кулоновским
взаимодействием пренебречь.
8.	В случае и2>Й2//па2 систему, описанную в предыдущей за-
даче, можно считать по свойствам близкой к жесткому ротатору
классической механики Напомним, что непосредственное наложение
связей в квантовой механике невозможно. Найти уровни энергии
такой системы.
9.	Найти поправку второго порядка к уровням энергии «жесткого
ротатора» с дипольным моментом d в однородном электрическом поле.
Глава 9
РАССЕЯНИЕ
0. В главе 5 мы рассматривали стационарные состоя-
ния дискретного спектра для задачи двух тел, взаимо-
действие которых можно описать потенциалом U (г). При
этом нас главным образом интересовали свойства спектра,
а не волновых функций. Если при г->оо потенциал
взаимодействия обращается в нуль, то при Е>0 энерге-
тический спектр будет непрерывным. При рассмотрении
состояний непрерывного спектра нашей основной задачей
будет отыскание волновых функций, удовлетворяющих
определенным граничным условиям.
Решение стационарного УШ
а Гп2	1
=	=	(9-1)
при г->оо имеет асимптотический вид ВФ свободного
движения. Мы будем искать решения УШ (9.1), которые
при г->оо имеют вид суперпозиции плоской волны и
расходящейся сферической волны:
ф (г) e£kr 4- eikr.	*(9.2)
Здесь мы ввели волновой вектор к, определяемый соотно-
шениями
Р = йк, Е = -2^-.	(9.3)
Выберем ось сферической системы координат в направле-
нии волнового вектора к падающей волны. Тогда такую ВФ
можно записать в виде
pikr
^k(r, 6, <p)^e‘te + f(k; е/<р) —.	(9.4)
Волновую функцию (9.2) можно интерпретировать, по ана-
логии с (3.25), как суперпозицию ВФ падающей частицы
с заданным импульсом р=йк, испущенной источником,
166
удаленным на бесконечность, и ВФ частицы, рассеянной
в центральном поле. Поскольку гамильтониан Н инва-
риантен при поворотах вокруг оси z (оси сферической
системы координат), то граничное условие также можно
выбрать инвариантным:
pikr
ФИ/-. 6.	+	(9.5)
Рис. 30.
Волновые функции, имеющие асимптотический вид (9.5),
мы будем называть волновыми функциями рассеяния,
а задачу их отыскания — прямой задачей рассеяния. Коэф-
фициент при расходящейся волне
в ВФ рассеяния (9.5) называется
амплитудой рассеяния.
1. Рассмотрим поток вероятно-
сти j (г), соответствующий волно-
вой функции (9.4). По определению
1=Й(Ф^*-ф*Гф). (9.6)
В пределе г ->оо, используя асимп-
тотическое выражение для волно-
вой функции и сохраняя лишь наиболее медленно убы-
вающие члены, получаем
— Z/z V-ф*	tikneikr 4- fikvf (6) е^~,
(9-7)
где
к
П —V
R
Подставляя (9.7) в (9.6), находим
у j - hn +1 у (ч + v) [f (») е~'№'~>п +Г* («) с*	+
+ *v®-	(9.8)
Преобразуем второй член в (9.8); рассмотрим интеграл
от него в интервале от 6 = 0 до 6 = л:
lim (6)e‘ftrcosedcos6 = / (a = cos6).
Г—>со
Рассмотрим-контур, изображенный на рис. 30. При г —со
интеграл по (а, Ь) мал; при вычислении интегралов по
(Ь, —1) и (+1, а) можно вынести значение f(a) в точках
167
а = —1 и а = + 1 из-под знака интеграла, так как экспо- j
нента меняется значительно быстрее. Таким образом, д
,	7(а) = _Н+1)2™^г + /(_1)^е<^
Формально можно получить	J
lim eikra = ~ [е ‘*'6 (а + 1) - eikrb (а- 1)]	(9.9) '
Г->ОО
(только при интегрировании от а = —1 до a=-J-l). Под-
ставляя (9.9) в (9.8), получим
f j =	+	(9.10)
Таким образом, при п =£ v полный ток ВФ рассеяния есть
сумма токов падающей (плоской) волны и рассеянной .
(сферической) волны. Интерференции между падающей и
рассеянной волнами нет. Полный поток, рассеянный в те-
лесный угол dfi (не включающий направление 6 = 0),
Jrd£i = jrr2 dtl =	|f (6) |2dQ.
Отношение полного потока - вероятности ВФ рассеяния
в элемент телесного угла dQ к плотности потока в падаю-
щей плоской волне называется дифференциальным сечением
рассеяния:
do = \f(B) |2 dQ.
Учитывая, что источники частиц при конечных г отсут-
ствуют, интегрируя (9.10) по поверхности большой сферы
и переходя по теореме Гаусса
§ j dS = § div j dV
s v
к интегралу по объему, получим
0=—у Imf(n, n) + |f(n', n)|2dQ.
Интеграл в правой части называется полным сечением
рассеяния:
о = 5 |f(6) |2dQ.
Таким образом, получаем
Imf(0) = ^o.	(9.11)
168
Соотношение (9.11) называется оптической теоремой. Его
физический смысл в том, что интерференция падающей
волны с волной, рассеянной на нулевой угол, приводит
к выбыванию частиц из падающей волны, что обеспечи-
вает сохранение вероятности.
2. Стационарное УШ (9.1) может быть представлено
в интегральной форме:
Ф (г) = X (г) — $ G° (г, r')tz(r')-q>(r')dr',	(9.12)
где х(г) и 6° (г, г') —общее решение и ФГ для УЩ сво-
бодного движения. Аналогичная форма радиального УШ
рассматривалась в п. 5.11. По определению
(Аг-(-&2)6(г, г') = 6 (г — г').	(9.13)
Как и в п. 5.11, будем искать ФГ в виде произведения
линейно независимых решений х(г)- В качестве таких
решений можно выбрать плоские волны
Подставляя в (9.13) выражение для ФГ в форме
G(r, г') = J A (q) е‘ч(г-г') dq,
получим
$ A (q) (k2 — q2) е»ч(г-г') dq = 6 (r — r').
Это равенство выполняется тождественно, если
А(Ч) = (2л)-3(Л2-<72)1.
Производя в выражении
1	Г piq(r — г')
С г )= (2л)5 J (/г'2-<?2)
интегрирование по угловым переменным, получим
4-со • 1	,,
° (' Г'1 - - датЬч J iq-	<9-15>
Формула (9.15) не определяет ФГ однозначно. Отличный
от нуля вклад дают только вычеты в полюсах подынтег-
рального выражения q = ± k. Направление обхода полюсов
169
выбирается с помощью граничных условий. Решение.(9.12)
будет содержать расходящуюся волну, если обходить
г	полюсы, как показано	на рис. 31.
4	Соответствующая ФГ	обознача-
------ется G+(r, г'):
/	'у	iA]r — г'|
/	\	G4r,г') =	(9.16)
/	+Л- )	v ' 4п]г —г'| '	'
Re Формально правило обхода можно
рис 31	задать, положив k = k-\-ie, и устре-
мив е к нулю после вычисления
интеграла.
Итак, интегральное уравнение для ВФ рассеяния
имеет вид
Ф (k, г) = ср (k, г) - J Ti^PT U г')dr'-
Используя асимптотический вид ФГ (9.16):
pikr ,	.	г
G+(r, г')^ —-—ег-w,
получим асимптотическое выражение для ф (k, г):
^(k, r)^(p(k,	г) dr, (9.17)
представляющее суперпозицию плоской и расходящейся
волн в соответствии с условием (9.5).
3.	При нахождении явного вида ФГ (9.15) мы исполь-
зовали в качестве базиса СФ импульса (9.14), что вовсе
не обязательно. ВФ рассеяния может быть представлена
согласно (9.12) в виде
Фо = <Р + Go (Е + ie) Еф,	(9.18)
где Go — ФГ однородного УШ — есть
Go(E + ie) = (E + iB-Eo)-1.
Формальное решение УШ (9.18) фактически определяется
интегральным уравнением. Выбрав в качестве базиса про-
извольную систему СФ гамильтониана Но {<р«}, можно
представить (9.18) в виде
.	. С Wr|<pre>
Фа-<Ра+}<РРЁп_£|;+1.е^,
где интегрирование проводится по всем возможным р.
Решение (9.18) можно выразить непосредственно через
функции базиса <ра. Введем ФГ неоднородного УШ (9.1):
0(E) = (Е-Я)-1.
Тогда
G(E) = G0(E)4-G0(E)£/G(E).	(9.19)
Решение (9.18) принимает вид
ф = <р 4- G (Е ф- ie) Uq>.
Уравнение (9.19) допускает формально решение методом
итераций
G = Gn + GnGGo + GoEGoGGo +...	(9.20)
4.	Если потенциал взаимодействия U (г) в некотором
смысле мал, то в разложении (9.20) можно ограничиться
нулевым приближением, .положив G = Go. Тогда из (9.19)
следует:
/ (°)	~ Ф* (*', г) U (г) ф (k, г) dr.
Выбирая в качестве ф (k, г) плоские волны, получим

(9.21)
где q есть изменение импульса при рассеянии:
q = k —к', | <71 = 2£ sin
Разложение (9.20), использующее в качестве базиса систе-
му СФ импульса, называется борновским разложением,
а решение (9.19), использующее N членов разложения,—
N-м борновским приближением. Решение при N — 1 мы
будем называть просто борновским приближением. В слу-
чае центрального поля интегрирование по углам приводит
к выражению
СО
£ /о\ 2m С sin аг ,,, , ,
f (?) = —& \ r-~^U(r)dr.
о
(9.22)
Введем безразмерный параметр
x = ka,
171
где а — характерная длина потенциала. Для медленных
частиц (т<1) (9.22) принимает вид
со	'
f(9) = -g$rW)dr.	(9.23)
о
Таким образом, амплитуда рассеяния медленных частиц
не зависит ни от энергии, ни от направления. Для быстрых
частиц (т^>1) заметный вклад в интеграл дает только
область малых значений углов (9 <С т1) — окрестность
главного максимума функции
где /0 (х) —сферическая функция Бесселя. Быстрые частицы
рассеиваются преимущественно вперед.
Необходимым условием применимости борновского при- -
ближения является малость интегрального члена — поправ-
ки к ВФ
Ч>(1)(6. г) = — ~ J ^6/(r-r')<pA(r-r')dr' (9.24)	!
по сравнению с невозмущенной ВФ q>0 (k, г). Для медлен-
ных частиц можно оценить интеграл в (9.24), положив
eikr' «а; 1, тогда
Ч>(1) (k, r)~^a2U0q'kn'(r),
и условие применимости борновского приближения есть	-
Г2<1	(*<!)•	(9.25)
Для быстрых частиц вклад в интеграл (9.24) дает не	;
область Д6~ 1, как в случае рассеяния медленных частиц
(изотропного), а область Дб^т-1. Поэтому
<Р(1) (£, г)	a2U01 ф)?’,
и борцовское приближение применимо при условии
Г2<1/т	(Т>1).	(9.26)	'
Таким образом, ограничение на величину £2, характери-
зующую потенциал, гораздо слабее для быстрых частиц. ’
Достаточным условием применимости борновского прибли- !
жения является сходимость ряда (9.20).	?
172
Существенным недостатком борновского приближения
является действительность амплитуды f (0), несовместимая с
оптической теоремой (9.11). Иными словами, в борновском
приближении область, в которой потенциал U (г) заметным
образом отличен от нуля, действует как источник частиц.
5.	Рассмотрим приближенный метод для вычисления
амплитуды рассеяния частиц высокой энергии
E^U0.	(9.27)
При этом условии потенциал U (г) можно рассматривать
как возмущение. Представим ВФ в виде
ф (k, г) = е‘кгФ (г),	(9.28)
где Ф (г) — амплитуда, медленно меняющаяся вдоль оси г
(с/Ф/Фг<;£). Подставляя (9.28) в УШ и сохраняя только
главные члены, получим уравнение первого порядка
2^ = ^(г)ф.	(9-29>
Решение (9.29), имеющее асимптотикой при2-> —оо пло-
скую волну, есть
ф(&, г) =ехр i kz —
2
И ) ШО* 
(9.30)
Используя формулу (9.17), амплитуду рассеяния предста-
вим в виде
/(6)
= ~ S dr e‘kZ' ‘к'Г' U еХР
-Й j
-20
Так как рассеяние быстрых частиц происходит преиму-
щественно на малые углы, то вектор переданного импульса
можно считать перпендикулярным к импульсу падающей
частицы:
— ik'r ф- ikz = iq^p ф- i (kz cos 6 — kz)	(qp.
Здесь p означает вектор в плоскости ху. Итак,
~ Sdpeiqo !idz exp
—oo
2
Интегрирование no z приводит к выражению
f (6) = — g ( e' w (e2i6 ‘о» - 1) dp, (9.31)
173
где
6(Р) =
4-00
§ U(r)dz.
В центральном поле фаза 6 зависит лишь от величины,
но не 'от направления вектора' р. Введем в плоскости ху
полярные координаты р, <р. Тогда, учитывая соотношение
2л
e<-«=cos4>d(p==2nJo(x),
о
мы можем произвести в формуле (9.31) интегрирование
по <р. Окончательное выражение имеет вид
ОО
f (6) = — ik р/0 ^2/гр sin ® ) (e2,'6(fj) — 1)dp.	(9.32)
о
Выражение (9.32) называется приближением Мольера* для
г	амплитуды рассеяния. Условие
_ 1/7	применимости метода в безраз-
мерных переменных имеет вид
т>1, |-2<т~2.	(9.33)
\\.	Из сравнения с (9.26) видно,
что для описания рассеяния бы-
J~ стрых частиц приближение Мо-
льера имеет область применимо-
Рис’ 32'	сти большую, чем приближение
Борна. Области применимости
приближений Борна и Мольера ограничены на рис. 32 снизу
кривыми В и М соответственно. Борновскому приближе-
нию соответствует случай, когда показатель экспоненты
в (9.31) мал:
Заменяя экспоненту единицей, возвращаемся к (9.21).
6. В предыдущем изложении основную роль играли
базисные СФ импульса — плоские волны. Другой часто
используемый базис —общие СФ операторов р2, Р, 1г —
сферические волны. Радиальное УШ для свободной частицы
с моментом I имеет вид
i 4 (r2 X) -	=о-	(9-34)
174
В качестве независимой пары решений (9.34) можно выб-
рать сферические функции Бесселя jt (kr) и Неймана nt (kr)
h(z) =	(*). М*) = У2г Nl+ >
или же сферические функции Ханкеля 1-го и 2-го рода
hf (z) = jl(z)±inl(z).
При z>l, г>/ справедливы асимптотические формулы
. [	/л\	/	1п\
smlz—9	cos г--а-
№ = - г nf(z)~-—Ч (9.35)
Асимптотики ВФ непрерывного спектра частицы с момен-
том I в центральном поле U (г) также можно представить
в виде, аналогичном (9.35). Рассмотрим ВКБ-решения:
они заведомо дают хорошее приближение на больших
расстояниях от точки поворота. Напомним, что вещест-
венная точка поворота существует в любом потенциале U (г)
таком, что при г->0 — и (г) •< (2г)-2. ВКБ-решенне, со-
гласно (7.45), есть
Ф/ (r)^^sin
&-%-u(r)dr + ?-
-Го
(9.36)
Выберем некоторое гг так, что
^2>^+«(н)-
' 1
Тогда при r>ri подынтегральное выражение можно
представить в виде
и асимптотика функции (9.36) может быть представлена
в виде
Ф/ (г) ~ -г S i n (kr — у + 8^,	(9.37)
где фаза
8^-kr^ \	-u(r)dr + ^ - 
’ А)
-»$<•«•>*+£(;-£)• (9.38)
175
Выделение в аргументе (9.37) слагаемого —7л/2 связано
с тем, что при I 1 при вычислении первого интеграла
в (9.38) можно пренебречь и (г) по сравнению с №г~2,
тогда значение первообразной на нижнем пределе равно
лп/2 и от интеграла остается только некоторая ограни-
ченная функция rlt В частности, при w(r) = 0 6z = 0
в согласии с (9.35). Необходимым условием конечности
фазы 6Z является достаточно быстрое убывание потенциала:
и (г) = о (г1) при г->оо. Для кулоновского потенциала
U (г) = аг 1 второй интеграл в (9.38) расходится логариф-
мически:
6Z ~ а 1п г.	(9.39)
7. Граничное условие для ВФ рассеяния не обладает
центральной симметрией, так как содержит СФ импульса —
плоскую волну. Разложим плоскую волну в направлении
оси z по полной системе СФ момента:
= 2 1‘ (2/ + О Р‘ (cos е) А (М-	(9.40)
z=o
Заметим, что из-за аксиальной симметрии в разложение
(9.40) вошли только сферические гармоники с т = 0
P,(cos6) = ]A^y,o(e).
Общий вид аксиально-симметричного решения УШ при
больших г, с учетом (9.37), есть
Ф/ (И	A,Pl (cos 6) Tr sin \kr ~
1 = 0
z=o
Асимтотический вид (9.40), согласно (9.35), есть
2£'(2z+1)pHcos6)2^[e *(kr ‘^-е^г *)]. ’
Z—о
Потребуем, чтобы разность
pikr
ф — е,кг	-—
176
содержала только члены, соответствующие расходящейся
волне. Для этого должно быть
At = ile№‘.
Таким образом, асимптотическое выражение для ВФ рас-
сеяния можно представить в виде
Ф ~ 2^ 2 (2/ + 1} Р‘(COS 6) 1)Ze ~	(9‘4 °
1 = 0
где введено обозначение
St = e2i6‘.	(9.42)
Коэффициент при расходящейся волне в разности ф — eikz
есть введенная нами ранее амплитуда рассеяния
СО
=	2 (^+l)(Sz-l)^(cos6).	(9.43)
1 = 0
Это выражение называется формулой Факсена — Холып-
смарка.
Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид
<т (6) = 2< (6) |2 ~	(2Z1 + 1) (2^ + 1) X
/i. 4
X Рц (cos 0) Ph (cos 0) I Sz, - 111 Sz2 - 11. (9.44)
Интегрируя (9.44) по углу 0 с учетом равенства
§ Pk (cos 0) P, (cos 0) sin 0 (16 = fiw,
0
получим выражение для полного эффективного сечения
рассеяния:
2(2Z+I)sin26z-	(9-45)
1 = 0
Таким образом, полное сечение рассеяния (в отличие от
дифференциального (9.44)) есть сумма парциальных сечений
рассеяния в состояниях с заданными I:
o/ = -^(2Z+l)sin26/.	(9.46)
177
(9-47)
Парциальное сечение можно выразить через парциальные
амплитуды, определяемые соотношением
/ (0) ==7^(2/ +1)PZ (cos 0).
Из сравнения с (9.43) находим
Л = ^(7-1) = ^(Л-1),
а из (9.46) получим выражение для парциальных сечений
через парциальные амплитуды:
oz = 4n(2/+l)|M2.
1
8. Рассмотрим радиальное УШ в поле с короткодей-
ствующим потенциалом U (г)
- и (г) + Л2] Ф/ (И = 0. (9.48)
медленных частиц (т^1). Тогда
в области А (рис. 33) (при
г>/?), где
U + 1)	£2
Рассмотрим рассеяние
в уравнении (9.48) можно пре-
небречь и потенциалом U (г), и
членом k2. Решение в области
А, согласно (5.6), имеет вид
фл = c1rz + cor'(Z+1). (9.49)
В области В	1 (/+1))
становится	существенным
член с k2. УШ превращается в уравнение для свободной
частицы с энергией k2 и моментом I. Его решение, согласно
п. 9.6, можно представить в виде
Ч’гВ = ^1/г (krj + A.rh (kr).
Асимптотики сферических функций Бесселя при малых z
суть
. .. г1	, .	(2Z—1)!1
h (г)	-------, n-i (г)	— -—-—-
(2Z-J-1)!!	'	zl+1
Потребуем, чтобы в области А решение фв переходило
в . Тогда
Л1_С,Й±Ш!. л, = _с._5Д_.
kl	“(2Z —1)11
(9.50)
178
. ------- --------- -----------
Используя асимптотики функций Бесселя при больших г
; * (9.35), найдем
.	- й (2Z-J-1)’.! 1 . /, 1зг\ ,
 чьр сг -—------------sin [kr-----4- с,
kl+1 г	2 /
  'Это выражение можно представить ’в виде
kl 1
---------cos
(21- 1)!! г
Ri — sin (kr — ~ + 6Z j,	(9.51)
где
tg6z =
c2 k^l+1
Q (2Z— 1)!! (2Z+ 1)1! •
(9.52)
• Из выражения (9.52) видно, что при достаточно больших I
при данном k tg6z^6z стремится к нулю. Парциальные
амплитуды
Отсюда в предельном случае малых k
 	f^k21-
: ' Таким образом, при рассеянии медленных частиц (т<Д)
< все парциальные амплитуды с I #= 0 малы по сравнению
с амплитудой рассеяния s-волны (/ = 0). Поскольку
/— Po(cos6)=l, рассеяние медленных частиц изотропно.
В п. 9.4 мы пришли к такому выводу в рамках борнов-
ского приближения. Отметим, что выполнение условия
. малости фаз 6Z при I 0 облегчается из-за больших
числовых множителей в знаменателе (9.52). Даже при
т~ 1
60^96^22562.
9. Задача о рассеянии медленной, частицы на коротко-
действующем потенциале представляет интерес как модель
для описания рассеяния нуклонов. Характерный размер
межнуклонного потенциала «^2-10-13 см~, частицы будут
медленными при Е<5 Мэв. Для рассеяния медленных
частиц малых энергий свойства короткодействующих потен-
циалов можно/ полностью описать двумя параметрами:
длиной рассеяния а и эффективным радиусом г0.
Рассмотрим УШ при Z = 0:
6. \	$ + [^-«(<)]ф = 0.	(9.53)
179
Пусть фг(г) и <ра (г) — решения (9.53) при £ = ^ и £ = £;,
удовлетворяющие граничным условиям в нуле и имеющие
асимптотики
Ф1 Wsf sin + 61>>
(9.54)
Ч'з	sin ^2Г + 6‘2)-
Из (9.53) следует:'
R
(ф2	- 41 ^7-) = (&1 - kl) J ф!ф2 dr, (9.55)
о
где величина £ произвольна. Пусть Хь Хг — решения УШ
свободного движения, совпадающие с асимптотиками (9.54).
Тогда
R
(хг - Xi -^г) |* =	- k[) jj XiX-2 dr. (9.56)
о
Вычитая (9.56) из (9.55) и переходя к пределу при £->оо,
получаем
R
k2 ctg б2 - kv ctg = (kl — kl) (Х1Х2 - Ф1Ф2) dR. (9.57)
о
Предел амплитуды рассеяния при k-+O, взятый с обрат-
ным знаком, называется длиной рассеяния:
--^= lim [k ctg б (&)]•
й л-»о
Полагая в (9.57) k2 = k, ^->0, получаем
ftctg6 = —b-bf
где
'о = 2 (ХоХ - 4W) dr.	(9.58)
о
Поскольку асимптотики Ф и ф0, х и Хо совпадают, инте-
грал в (9.58) определяется главным образом областью,
в которой U (г) имеет заметную величину. При т < 1
в этой области ВФ не будет сильно зависеть от k2, и
МОЖНО ПОЛОЖИТЬ, С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЛенОВ ^k2, ф?^ф0,
180
gl'T^Xo- Тогда
'	kctgd = -~ + ^-k\
где величина
е.'	•	г0 = 2$ (x5-<P5)dr	(9.59)
г;; '	о
;<, называется эффективным, радиусом потенциала U (г). Пол-
ное сечение <т0, выраженное через длину рассеяния а и
t эффективный радиус г0, имеет вид
| \ а — 4ла2+ а (а — r0) k2 4- (-у /о^У 1 •
*4" В пределе при /г->0 получаем
о==4лй2.
> Знак длины рассеяния зависит от параметров потенциаль-
I; ной ямы.
. 10. Рассмотрим рассеяние на сферическом потенциале:
U(r) = U0 (г<а),
(9.60)
;	L/(r) = O (г>а).
. Знак и абсолютная величина Uo произвольны. Уравнение
Шредингера во внешней области:
*-	Г 1 d I о d \ Z (Z-f-1) . ,2“] . , . п
 	[-Т’оД' а?!—
| Во внутренней области:
'	Г 1 d ( п d \	Z(Z4-1) । ®1 / \ л
-V я- и и~) —+ q rPz (0=0»
L г2 dr \ dr J r2,	J '
где q2 = k2 — Uo. Рассмотрим вначале случай q2 > 0 (потен-
циал притяжения или слабого отталкивания). Тогда реше-
ние фг(г), конечное при г—>0, во внутренней области есть
<pz(r) = Cjz(?r).
Вне ямы
-ф7 (г) = Ап (kr) -J- Bnt (kr).
' Из граничного условия на бесконечности имеем
А = 4ш!е‘в1 cos 6Z,
*' .	В = — 4ni'el6t sin6z.
181
Потребуем равенства функций и логарифмических произ-
водных в точке а. Тогда из первого условия следует
С = cos6,	.
'	11 (6)
Из второго условия имеем
i'i (6) _ i'i (r)-tg 6,-и)(л)
9 ii(0) ~	//(T) + ig6/-n/(T) ’
где
8 —да, x — ka.
Ограничимся случаем медленных частиц (т<1). Тогда
основную роль играет рассеяние s-волны. Решение одно-
родного уравнения Шредингера:
... sin х . . cos х
/oW==—г-, «oW = ——•
Отсюда
Условие сшивания дает
<7ctg0 = £ctg (тф-бо),
откуда
60 = arctg(y tge)-T,
или
~ tg6 — tgr
tg6o=^~T----------•	(9.61)
1+ tgetgr
ч
а)	Рассмотрим случай ямы малой глубины: 11/01 «С ^2>
q^k. Тогда, учитывая асимптотики при. малых х
tgXх + -у-, zarctgx«=jx—д-,
для рассеяния медленных частиц получим, сохраняя в раз-
ложении члены до третьего порядка,
или
б,—
О
182
Длина рассеяния (парциальная амплитуда s-волны)
а з '
Для ямы малой глубины знак длины рассеяния совпадает
со знаком потенциала. Сечение
о = 4л«2 = л • ~ Е~4а2
9 ®
не зависит от энергии.
б)	Рассмотрим случай потенциала сильного притяжения
Тогда
и0 <0, | «о I > k2.
k ।
9 V '
и в знаменателе (9.61) можно пренебречь вторым членом
по сравнению с единицей. Положив tgx^T, получаем
Рассмотрим .зависимость tg 60 от 6 (рис. 34). При значениях
6к> определяемых условием
ег=(2п+1)|,	(9.62)
сечение достигает максимального значения
4л
О =	.
/г2
Значения k2, соответствующие максимальным сечениям:
^ = -к[(2л + 1)2^]-Ыо,
183
называются виртуальными уровнями энергии. Если k->Q,
то условие (9.62) выполняется при
Уиоа = (2п + 1)^.
Это выражение совпадает с условием возникновения свя-
занного s-состояния в сферической яме. Виртуальный
уровень имеет в этом случае нулевую энергию. Длина
рассеяния обращается в бесконечность.
При некоторых значениях 6#, таких, что
tg6^ = es,	(9.63)
фазовый сдвиг и сечение рассеяния обращаются в нуль.
Явление, состоящее в резком уменьшении сечения рас-
сеяния медленных частиц при некоторых k, называется
эффектом Рамзауэра. Эффект был обнаружен эксперимен-
тально при наблюдении рассеяния электронов на атомах
инертного газа. Хотя эффективный потенциал взаимодей-
ствия электрона с нейтральным атомом не является коротко-
действующим в смысле определения, данного в п. 9.5.
(ы(/?)^/?'4 при /?->-оо), но вывод п. 9.8 о доминирую-
щей роли s-рассеяния при малых k остается в силе, так
как требует лишь более быстрого убывания потенциала
и (г) по сравнению с г 3. Для волн с I ф 0 условием
применимости (9.52) является
Щг) = о[г-(2г+з)].
Только в этом случае законно пренебрежение в области А
членом U (г) Rt (г) ~ lApy1 по сравнению с членом I (I ф-1) х
X r’iRl ~ I (I ф-1) г~/3. Отметим, что эффект Рамзауэра
имеет место при значениях qR, близких к значениям qv
для виртуальных уровней. При заданном k с ростом глу-
бины ямы значения 6R и 6Г становятся близки
6vi=2^1,57, 6w^4,49, 6V2^^^4,71.
В области
6/? (ЛГ-1) <	< 01/дг
длина рассеяния положительна. Напомним, что все резуль-
таты относятся к случаю малых k. При этом значения q
могут быть, понятно, сколь угодно большими.
в)	Рассмотрим случай </2с0 (потенциал сильного оттал-
кивания). Тогда во внутренней области
184
к- Условие сшивания решений дает уравнение для опреде-
*- ления фазы
х cth ха = k ctg (т + б0),
б0 = arctg (—th ха^ — т.
.	\х ]
\7 Для рассеяния медленных частиц (т , А2 <; аи)
1^-	б0 — т.
Интегральное сечение рассеяния
I/ 	₽•«»
ft В пределе (&2/а0)->0 условие медленности частиц т<1
. ' становится несущественным. Для рассеяния на непроница-
. емой сфере (а0->со)
о0 = 4ла2,
что в четыре раза превышает классическое значение.
•	11. При рассмотрении в предыдущем пункте рассеяния
медленных частиц на сферическом потенциале мы видели,
; v что величина сечения тесно связана с положением дискрет-
" ных уровней. Единым образом состояния дискретного и
непрерывного спектров можно рассматривать, считая k
комплексной величиной. В этом пункте мы получим инте-
тральное уравнение для парциальных ВФ рассеяния, кото-
I рое послужит основой для дальнейшего рассмотрения.
Найденная в п. 9.2 ФГ для свободного движения может
у быть представлена в виде
Go (г, г', k2) = (2л) 3 \q2 dqG0 (q2, kF) \ dae’4 <r —r'>. (9.65)
В последнем интеграле используем формулу для разло-
жения плоской волны
где Л — /ф-1/2. Тогда получаем
(Go (г, г', k2) = (2л)-3 [ q2 dq Gu (q2, k2) X
J	q rr
da\^ (2l + 1) iljx(qr)P j (na)]x
х|2(2/1 + 1)(-0'.Л;(9г!)^(ап;)].
185
Интегрирование по угловым переменным можно провести,
используя теорему сложения для полиномов Лежандра:
ОО
Со (г - г', й2) = (2л)-3 —( q dqGp (q\ й2) X
2 1 " J
X 2 (2/ + 1) (2/i + 1) il (- i)4}. (qr) JKt (qr') x
i.	h
X1FFT W/Ob'n).
Таким образом, ФГ для свободной частицы может быть
представлена в виде суммы парциальных ФГ:
С?(г-г', ^2) = _—’ У (2/+1)С/-(г, г', ^)Л(пп'),
4л у гг
(9.66)
СО
Gi (г, r',k^-\qdq	W (И А
о
Здесь Hi'(z) есть первая функция Ханкеля.
Пусть ф+(к, г) есть решение уравнения Шредингера,
удовлетворяющее граничным условиям задачи рассеяния.
Разложим ф+ (k, г) по парциальным волнам:
Ф+ (к, г) = У+ 1) г'фГ (kr) Р, (пп').
Тогда парциальная ВФ ф/+ (kr) удовлетворяет интеграль-
ному уравнению
ф/+ (kr) = JK (kr) -}- $ r'Gt (г, г', k) и (г') ф,+ (kr') dr'.
о
Используя явный вид парциальной ФГ (9.66), получаем
интегральное уравнение
Ф? (kr) = A (kr) — ~ Hi (kr) r'J} (kr') и (г') ф/ (kr') dr' —
о
со
— ™- A (kr') г'Н)'’ (kr') и (г') ф/+ (kr') dr'. (9.67)
12. Рассмотрим асимптотику волновой функции ф/ (М-
При больших г
фу (kr)
J>.(kr)_
~ Н'^' (kr) r'JK (kr') и (г')	(kr') dr'.
О
186
Используя асимптотическое выражение для функции Хан-
келя

получаем
ф? (kr)^>
r (—. i)'+1eikr	г'Jx (kr') и (г') фГ (kr') dr’,
о
Асимптотическое при больших г выражение для ВФ рас-
сеяния через парциальные волны имеет вид
ф(к, r)№etkr

ОО
\ гJ}1 (kr) и (г) фГ (kr) dr
-О
Определяя парциальные амплитуды рассеяния соотноше-
нием
нпп')=|2{2/+1)^^)л<пп,)’
I
получаем выражение для парциальных амплитуд
СО
ft (k) = — -J rJ}. (kr) и (г) фГ (kr) dr. (9.68)
о
Рассмотрим асимптотическое поведение функций
при малых г:
^(kr)^JK(kr)
оо
1 ~ IT § гН'£ ’ (kr) и (г) ФГ (kr) dr
О
ФГ (kr)
(9.69)
Пусть tpi(kr) есть функция, удовлетворяющая интеграль-
ному уравнению
’	г
<Pi (kr) = Jz (kr) - (kr) J Н£' (kr') и (г') <pz (kr') г' dr' 4-
О
г
+ ™ H£ (kr)^ H'i(kr')u(r')q>,(kr')r'dr'. (9.70)
о
187
Функция <pz (kr) действительна и удовлетворяет тому же
дифференциальному уравнению
f”+~f'+^-^)f^u(r)f,
что и решение (kr). При малых г
^>i(kr)^JK(kr).
Таким образом, функция q>i(kr) представляет регулярное
в нуле действительное решение радиального уравнения
Шредингера. Функция ijy (kr) также регулярна1 в нуле,
поэтому эти два решения должны быть пропорциональны:
qt(kr) = ct<fi(kr).
решения есть
> <pz (kr) № JK (kr) - %H'£’ (kr) jj (kr') и (r') <pz (kr') r' dr' +
5	о
+^Hk (kr) |	(kr’) и (r’) <pz (kr’) r’ dr'. (9.74)
F '	°
fc Учитывая соотношение
|"	J}. (kr) = | [H£> (kr) + (ML
Г перепишем формулу (9.70) в виде
Подставляя это равенство в (9.69), находим
от	.1
Cl = 1 + у § (kr) и (г) ф/ (kr) dr .
о
Выражение для парциальной амплитуды рассеяния через
действительное регулярное решение УШ имеет вид
СО
) r.!-,_ (kr) и (г) <pz (kr) dr
• JT о
i =	~2 s ;
1 +fT § rH'f' (kr^u (r>> <₽z (kr>> dr
о
(9-71)
Элемент S-матрицы связан с амплитудой соотношениями
fz=l(Sz-l).	(9.72)
Таким образом,
1 — i Y гН'£< (kr) <pz (kr) и (г) dr
Si (k) =----------------------------.	(9.73)
1 +г'	гИ/'' (М Чч (kr) и (г) dr
б
13. Пусть k2 = — х2 есть значение энергии, соответ-
ствующее связанному состоянию. Тогда при k — ±i"/-
регулярное действительное решение УШ должно убывать
при г->оо. Согласно (9.70) асимптотический вид такого
188

При k — 4- ix (х > 0) функция Ни) экспоненциально убы-
вает, а /7(2) экспоненциально растет. Требуя обращения
в нуль коэффициента при экспоненциально растущей
функции, приходим к условию
Из сравнения (9.76) с (9.73) видно, что в точке fc=4-ix
функция St (k) имеет полюс. В
точке k = — ix функция St(k)	ImA
имеет нуль, что доказывается
аналогично.
Итак, связанному состоянию
с энергией —х2 соответствует
нуль матрицы рассеяния St(k)
на нижней мнимой полуоси и
полюс на верхней мнимой по-
луоси (рис. 35). Обратное спра-
ведливо не всегда.
о - нуль
• - полюс ''
Re к
14. Значения волнового чис-
ла k, соответствующие рассея-
нию, лежат па действительной оси. Поэтому наличие по-
люса Sz (k) будет заметно влиять на парциальную ампли-
189
туду, лишь если полюс близок к действительной оси.
Соответствующие связанным состояниям полюсы будут по-
этому проявляться главным образом в рассеянии медлен-
ных частиц (т<1), когда основную роль играет s-рассея-
ние. В окрестности полюса
х — ik
сечение рассеяния имеет вид
а0 = £|1-50(*)|»
4л
х2-Н2’
(9-77)
Вводя энергию связи е= — Й2х2(2/п)”1, получим формулу
Вигнера
2лй2 1
ао“ т £ + |е|’
(9.78)
Таким образом, если в потенциале и (г) существует связан-
ное состояние с энергией связи, малой по сравнению с ив,
то сечение рассеяния медленных частиц сильно зависит
от энергии. В борцовском приближении сечение рассеяния
медленных частиц равно
V.
Формула Вигнера дает при Л->0 значение

(9.79)
Из этого выражения видно, что при типичных для меж-
нуклонных взаимодействий значениях £2 ~ 1 вигнеровское
сечение значительно больше борновского.
Заметим, что в формуле (9.77) знак х не играет роли.
Поэтому к возрастанию сечения рассеяния медленных
частиц приведет как полюс S0(k) на положительной мни-
мой полуоси, соответствующий связанному состоянию, так
и полюс на отрицательной мнимой полуоси. Состояния,
которым соответствуют такие полюсы, называются вирту-
альными. Из (9.75) следует, что ВФ виртуального состоя-
ния экспоненциально растет при больших г.
Из (9.75) следует также, что полюсу виртуального
состояния на отрицательной мнимой полуоси соответствует
симметричный нуль на положительной мнимой полуоси.
В потенциале притяжения —yu(r)<zQ с уменьшением у
полюсы на мнимой оси, соответствующие связанным состоя-
ниям, приближаются к действительной оси, а полюсы
190
^виртуальных состояний удаляются от нее, как показано
₽< на рис. 36.
Формула (9.78) хорошо описывает зависимость сечения
от энергии при рассеянии нейтронов на протонах в три-
плетном состоянии (связанное состояние с энергией е =
4= — 2,23 Мэв) и в синглетном состоянии (виртуальное
^.- состояние с энергией 8 = 4-0,06 Мэв).
1шЛ
К. м


Рис. 36.
Re А
15
<4

...	может иметь особенности и вне
.4’ мнимой оси. Их расположение подчинено определенным
А требованиям симметрии. Пусть S{(k) имеет полюс в точке
k~q-\-iv.. Тогда из формулы
Следует равенство
Sdk) = STl(-k).	(9.80)
А/Таким образом (рис. 37), полюсу в точке 1 соответствует
;;<£яуль в точке 2, симметричной относительно начала коор-
£_'Динат. Далее, из соотношений
4(Z*) = [JX(Z)]%
tf'?!'(z*) = [tfx2 (z)]*, //k2’(^) = [W (г)]*
^/Следует равенство
Ц'	5Г(^) = 5Г(/г).	’ (9-81)
Л.Поэтому Sz (k) будет иметь полюс в точке 3, симметрич-
точке 1 относительно действительной оси, и нуль
точке 4.
В верхней полуплоскости Si(k) имеет полюсы только
на мнимой оси. В самом деле, полюсу в точкё k0 = q-\-iu
^/соответствовало бы регулярное в нуле решение с экспр-
лДИенциалыю убывающей асимптотикой. Поэтому (kor)
.	i9i

было бы квадратично интегрируемым решением УШ, соот-
ветствующим СЗ Е = (q2 — х2) + 2iqn, что несовместимо
с требованием эрмитовости гамильтониана. Состояния,
которым соответствуют пары полюсов в нижней полупло-
скости комплексного k, называются квазистационарными
состояниями. В окрестности такого полюса St (k) имеет вид
'' '	k — q — W.
Сечение рассеяния равно
° = pl S - 1-1[1 - J=Jcos 2Д +^-,sin2Д]; (9.82)
здесь введено обозначение g = k — q. При g = 0
cr^^ (l ф-cos 2Д),
и при небольших фазах Д это сечение близко к макси-
мально возможному. При x-Ct/ зависимость сечения от
волнового числа k имеет явно выраженный резонансный
характер. Формулу (9.82) при k^q, q^>x принято запи-
сывать в виде
G^k2 {(£ —£0)2-|-Гг/4 4 sin Д (£-£„) +1Т/2] +
4-4sin2A},	(9.83)
где величина E0 = ti2 (2т)~1 (q2 — х2) называется резонансной
энергией, а величина Г = /г2т~1<?х называется шириной
резонанса. Первый член в фигурной скобке (9.83) соответ-
ствует резонансному рассеянию на квазистационарном
уровне, третий член называется сечением потенциального
рассеяния, а второй описывает интерференцию между
потенциальным и резонансным рассеяниями. .
16. Все результаты, полученные с помощью рассмотре-
ния рассеяния парциальных волн, предполагают конеч-
ность фаз 6г и относятся к потенциалам и (г), убываю-
щим при /-->со не медленнее, чем г2. Кулоновский
потенциал, представляющий особый интерес, этому требо-
ванию це удовлетворяет. Однако для рассеяния частиц,
взаимодействующих только по закону Кулона, можно полу-
чить точное выражение для ВФ рассеяния.
Задача рассеяния обладает аксиальной симметрией.
Поэтому удобно использовать, как и в п. 8.1, параболи-
ческие координаты, допускающие разделение переменных
192
В УШ

Уравнения- имеют вид (в кулоновских единицах)
<9М>
+ <9-85)
где параметры разделения ръ р2 удовлетворяют условию
.Pi + Р2 = 1 • раничное условие
=	(2 = (£-n)^-co) - (9.86)
можно выполнить при всех g, положив
/=© = е'2
^подстановка в (9.84) дает Pi = ^- Тогда из (9.86) сле-
дует граничное условие для g(r\):
I Уравнение (9.85) переходит в
' .	d ( de\ , fk2 . , ik\ с,
(9.87)
‘Ищем решение в виде
_ik
g(n)=e 2	01)
(ср. (5.23)). Тогда (9.87) дает
t\w" + (1 — ikri) w' — w = 0.
Полагая x = iki\, получим
w = const F(—i/k, 1, x).
; ' При больших x справедливо асимптотическое представле-
' . -ние для вырожденной гипергеометрической функции
' F (а, у; х) =	х
X fi I (а —1)(а—у) I (а— 1)(а—2)(а—у)(и — у — 1) ,	] А
L1+ х	21 х2	+ •••] +
•' '	1 Г (у) у-аМая
'Г (а—у)* е Х
ч/П I а(Т — к— >) 1 Ма-НИу—а— 1)(у — а — 2)	1
X [! +----------+ —-----------------------+ •]•
1 ?	7 П, В, Елютин, В. Д. Кривченков	193
Сохраняя члены до tp1 включительно (члены высших !
порядков не дадут в пределе г-*оо вклада в ток /г),	!
получим
ехр 2k + ~k |п /	1 \
F (а> Т, 1’^|) = г (1 -[-t/fe) V + ife2rj) ~
ех₽^ -у1п*п+»Ь)
Г (1 — ik)k2r\
Перейдем к сферическим координатам	-
т) = г(1 — cos 6), £ = r(l+cos6).
%
Тогда ВФ задачи рассеяния примет вид
л I2k	i
e)=/1r(T+wx	i
x[1 + iW=^]exp['^+^ln^(1-'cose)] +	;
n'2fe exp ifer —-i- Infer (1— cos6)	!
+ Л r(l-i7fe) fe2r(l-cos6)	"•	(9-88)
Нормировочную постоянную А определим, потребовав,
чтобы коэффициент при падающей плоской волне был ра-
вен единице. Тогда
Л=ехр[(-(9.89)
Используя (9.88), (9.89) и определение амплитуды рассея-
ния, получим	?
r/m	1	/	21,	• 6\ r(l+«7fe) /n nn. '
'(t,"_2^4'xprTln!,"i)'rb»' <9ЭД
Выражение для дифференциального сечения рассеяния
в обычных переменных имеет вид
°(e) = ^J sin-4у.	(9.91)
I Выбранные в уравнениях (9.84), (9.85) знаки соответст-
вуют потенциалу отталкивания. В случае притяжения ве-
личина (9.90) заменяется комплексно-сопряженной, а вы-
ражение для сечения (9.91) остается неизменным. Наличие
члена г1 в амплитуде падающей волны и логарифм!!- =
194
 <ческих членов в фазах связано с медленным убыванием
I;'кулоновского поля. Однако эти члены в пределе г-*-оо
5> не дают вклада в радиальную компоненту потока веро-
?<гятности.
S' 17. Выражение (9.91) для дифференциального сечения
S рассеяния в кулоновском поле совпадает с формулой Ре-
зерфорда, полученной из классической механики. Это
уникальное совпадение в значительной степени ускорило
' возникновение квантовой механики. Ни в старой кванто-
2" вой теории Бора, ни в матричном расчете Паули, ни^ ра-
Д- боте Шредингера при вычислении спектра атома водорода
не подвергалось сомнению, что потенциал взаимодействия
электрона и протона является чисто кулоновским. Однако
 основным доводом в пользу кулоновского потенциала яв-
лилось прекрасное сргласие данных по рассеянию а-ча-
X стиц на ядрах с результатом классического расчета. Дру-
fc'-гие потенциалы, в которых классический и квантовый
подходы приводили бы к .одинаковым выражениям для
S; дифференциальных сечений, не известны.
Всюду в этой главе мы предполагали потенциал U (г)
Д -.. известным. На практике имеет место противоположная
.' ситуация. За исключением случаев рассеяния электронов
'  на заряженных частицах и на атомах, когда основную
роль играет электростатическое взаимодействие, потенциал
туу (г) не известен. Возникает задача об определении по-
тенциала по данным рассеяния— обратная задача теории
г ^рассеяния.
В общем случае для однозначного определения U (г)
^. необходимо знать функцию 6Z(£)—сдвиг фаз ,для всех
Дх-энергий для одного фиксированного значения I. Знание
(V этой функции достаточно для определения потенциала
? . отталкивания или потенциала притяжения, не имеющего
/при данном I связанных состояний. Для потенциалов со
./ связанными состояниями этого недостаточно: известны при-
меры потенциалов с одинаковыми функциями б0(£), но
/>с различными дискретными спектрами. Для восстановления
-'Таких потенциалов достаточно, кроме 6Z (£), знать энергии
’связи Еп1 состояний дискретного спектра и коэффициенты
Ол/, входящие в асимптотическое выражение для ВФ свя-
- занных состояний:
Чу	£„z(r)№n„z^1e-x«'r,
y-ni = 2mEnltri.
if. 7*	195
Коэффициенты <7,г/ связаны с вычетами в полюсах 5-мат-
рицы. Задача определения U (г) по этим данным сводится
к решению некоторого линейного интегрального урав-
нения.
ЗАДАЧИ
1.	Определить асимптотическую зависимость <7 (fe) при k -> со
в борновском приближении.
2.	Вычислить в борновском приближении о (6) и о в потенциале
Юкавы
U (r) = —Uc-r е~г/а.
3.	Вычислить в борновском приближении о (6) и о в потенциале
U (г) =П0е-г/о.
4.	Используя разложение (9.20), найти выражение для ампли-
туды рассеяния во втором борновском приближении.
5.	Определить о для рассеяния частиц высокой энергии сфериче-
ской потенциальной ямой, считая, что в приближении Мольера вы-
полняется оптическая теорема.
6.	Используя приближение Мольера, найти поправку к борцов-
скому приближению для частиц высокой энергии.
7.	Показать, исходя из формулы (9.31), что для рассеяния нукло-
нов высокой энергии на дейтроне амплитуда рассеяния имеет вид
f (Ч) = fn (Ч) § ’ qj +fp (Ч) $ (у Ч j +
+ S(q')fn( l Ч + Ч'ЪР(1-Ч — Ч'Ъч',
где fn и fp суть независимые от спинов амплитуды рассеяния на
нейтроне и протоне, а формфактор S (q) определяется формулой
S(q) = ptqr j<p(r) |2 dr,
где tp есть ВФ основного состояния.
8.	Вывести оптическую теорему из формулы Факсена — Хольтс-
марка.
9.	Найти выражение для фазовых сдвигов 6/ (k) в борновском
приближении.
10.	Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потенциале
U (г) =иоё~(г1а}\
11.	Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потен-
циале
196
12.	Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потен-
х циале
U(r) = ~Ar3.
13.	Найти эффективный радиус сферической ямы.
14.	Доказать, что при вещественных k фаза рассеяния б/ (k) есть
нечетная функция k.
15.	Показать, что в приближении Вигнера выполняется опти-
ческая теорема.
16.	Найти матричный элемент So (k) для рассеяния в потенциале
U(r) = -Uee-r'a.
Исследовать особые точки So (k).
17.	Найти в первом борновском приближении So (k) для рассея-
ния в потенциале Юкавы
Исследовать особые точки.
18.	Показать, что в кулоновском потенциале притяжения.связан-
ным состояниям соответствуют полюсы полной амплитуды р рассея-
ния на положительной мнимой полуоси. Отметим, что кулоновский
потенциал не удовлетворяет условиям конечности фазовых сдвигов,
а потому теория, изложенная в пп. 9.11—9.15, для него неприменима.
19.	Вычислить в борновском приближении о (6) в кулоновском
потенциале U= — аг1. Рассмотреть предельный переход а->со,
U^a = a в результате задачи 9.2.
20.	Объяснить, почему при >0 рассеяние в кулоновском поле
не становится изотропным.
Г лава 10
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ
0. Всюду в книге мы ограничиваемся описанием явле-
ний, происходящих в нерелятивистской области: при энер-
гиях частиц, малых по сравнению с их энергией покоя
тс1. Но даже в этом случае возникает необходимость
в рассмотрении релятивистских волновых уравнений. При-
чин для этого две.
Во-первых, релятивистские поправки к атомным уров-
ням энергии хотя и малы по сравнению с самими значе-
ниями уровней, но все же являются существенными.
Относительную величину поправок для спектра водородо-
подобных ионов можно оценить отношением Eni к энер-
гии покоя электрона
7„ / е2 * \2
£„ № Z \. Й с) •
Даже для атома водорода (Z=l) 6£(г) ~ 10~4Е„ и зна-
чительно превышает экспериментальные ошибки в опре-
делении разности энергий. Для ядер с большими заря-
дами поправка еще значительней.
Вогвторых, спиновый момент частиц, свойства которого
рассматривались в главе 4, в нерелятивпстском прибли-
жении входит в теорию лишь кинематически. В частности,
в главах 5 и 8 мы вообще не рассматривали зависимость
ВФ от спиновых переменных. Это оправдано лишь при
рассмотрении движения одной частицы в электрическом
поле. Зависимость энергетических уровней одной частицы
от спиновых переменных есть релятивистский эффект,
который может проявляться и в нерелятивистской области.
В этой главе мы рассмотрим следующие из реляти-
вистских волновых уравнений поправки к уравнению
Шредингера, оставляя в стороне вопросы последователь-
ной релятивистской теории.
1. В нсрелятивистской квантовой механике движение
системы описывается уравнением первого порядка по вре-
198
мени. То же должно иметь место и в релятивистской
теории: задание состояния системы в некоторый момент
времени должно определять ее дальнейшую эволюцию. '
Поэтому уравнение движения должно иметь вид
/Й-^- = Яф.
Релятивистское волновое уравнение должно быть одного
порядка по временной и пространственным производным.
Поэтому наиболее общий вид релятивистского гамильто-
’ пиана для свободной частицы есть
И — с (ар) ф-тс2р,	(Ю.1)
где р —обычный оператор импульса. Коэффициенты вве-
дены в это определение так, чтобы аир были безраз-
мерными. Из требования эрмитовости гамильтониана имеем
а = а+, р = р+.
Потребуем, чтобы для свободного движения частицы
с импульсом р выполнялось обычное соотношение реля-
тивистской механики
е2 = с2р2 ф- лг2с4,
где е означает релятивистскую энергию частицы, вклю-
чающую энергию покоя. Тогда должно выполняться
равенство
Н2 — ш2с4Р‘2 ф- тс3 (Ра ф- ар) р ф-
ф- 4 с (a‘ak + а*«/) PiPk =	+с2р2.
Таким образом, величины а и р должны удовлетворять
условиям	'
р2 = 1,	(10.2)
Раф-ар = 0,	(10.3)
а,а* ф- а*а/ = 26/*.	(10.4)
Очевидно, эти требования нельзя выполнить, если считать
а/ и р обычными числами, но можно выполнить, если
„ считать их матрицами.
2. Рассмотрим свойства матриц р и at (t = l, 2, 3).
Из условий (10.2) и (10.4) следует
а?д = а/, р'х = р.
199
Из (10.3) получаем
а/1 (За, = — [3, Sp (а/1 (За/) = Sp (3 = — Sp (3 =• 0.
Матрица [3 может быть приведена к диагональному виду.
Из условий
Sp(3 = 0, (З2 == 1
следует, что в диагональной форме на главной диагонали
матрицы (3 стоят в равных количествах числа 4-1 и —1.
Таким образом, а,- и (3 суть матрицы четного порядка.
Перенумеруем компоненты так, чтобы матрица (3 имела
вид
Р = |о-?|>	(10’5)
где / —единичная субматрица. Рассмотрим условие (10.3).
Представим матрицу а/ разбитой на субматрицы того же
(порядка, что и (3 в формуле (10.5). Тогда
а/₽4-₽а^2|Р0' Д| = 0.	(10.6)
Следовательно, P/ = s( = O. Из условия эрмитовости мат-
рицы at следует
 Ч“оН4°'4	<1о-7)
qi = rt, г i = qt..
Используя эти соотношения вместе с равенством (10.4),
придем к формуле
qiqt 4- qkqt = 26,*.	(10.8)
Пусть i^-k. Тогда, перенося второй член в каждой из
формул (10.8) в правую часть и перемножая все три
равенства, получим
?19-2?29з9з?1' = — qiqiqsqiqtqs-
По теореме о произведении определителей
Det («/itf^aW) = Det (q^q^q^) =
= Det (— q.zqtqsq^qiqi,) = (— \)N Det (<71<72<мМ?а),
где N есть размерность матриц дг. Таким образом, N
должно быть четным числом. При i — k из (10.8) следует,
что субматрица qt должна быть унитарна. Итак, условиям
200
(10.2), (Ю.З), (10.4) могут удовлетворить только матрицы
" размерности 4AG Пусть /<=1. Уравнение
= [с(ар) + тс2₽]ф	(10.9)
для четырехкомионентпой функции ф, где ocz и р суть
матрицы четвертого порядка, называется уравнением
Дирака.
Субматрицы второго порядка, удовлетворяющие соот-
ношениям (10.8), нам уже известны (см. главу 4): это
матрицы Паули
10 11	10	— i	I	II 01
°1 — |1 о|’	°2 |г	0	I’	°3~ |о	—1|-
Итак, в представлении, в котором р имеет вид (10.5),
«г = |° °ог|.	(10.10)
Такое представление мы будем называть стандартным.
3.	Умножим уравнение Дирака (10.9) на р/с. Тогда
его можно записать в виде
[1^Р де(
Pap — тс|
ф = 0.
(10.11)
Найдем унитарный оператор, осуществляющий преобра-
зование поворота системы координат. Выберем представ-
ление, в котором в новой системе координат волновая
функция ф имеет тот же вид как функция независимых
переменных, что и в старой (см. п. 4.10). Поскольку
при пространственном повороте р преобразуется, как век-
тор, то для того, чтобы уравнение (10.11) обладало пра-
вильными трансформационными свойствами, величина
также должна преобразовываться, как вектор. Оператор,
осуществляющий преобразование р, известен. При пово-
роте вокруг оси г он имеет вид
р' = Д+рД, Д=е"Х	(10.12)
Здесь 1г есть оператор орбитального момента. Он дейст-
вует на функции пространственных переменных. Матрицы
«I и р от пространственных переменных не зависят,
а потому преобразовываться оператором 0 не будут.
Из требования инвариантности уравнения (10.11) следуют
201
соотношения
е^тр^е-^ = p«i cos <р + ₽а2 sin <р,
еа'₽ра2е-1'£<₽ — — pcq sin <р Ц- P«a cos <p,
ei£ ч>ра3е-«£ч> = pa3.
Используя явный вид матриц
Н МД МД «I-
найдем явный вид оператора L-
ММ
Очевидно, операторы I, и 5, действуют в разных про-
странствах, а потому коммутируют. Поэтому унитарный
оператор, . осуществляющий преобразование поворота
системы координат вокруг произвольной оси <р, можно
представить в виде
у =e-<?+4f)\
Непосредственным вычислением можно убедиться, что
оператор 2 коммутирует с р. Поэтому
М(рд) V = ptf = p(V+77V).
Следовательно, в случае свободного движения дзеличина
I -]- 2/2 есть интеграл движения. Оператор
j = i + s=f + 4i	(Ю.13)
есть оператор полного момента частицы, a s — 2/2 есть
оператор спина. Рассмотрим проекцию спинового момента
на направление импульса свободной частицы
sp = 1 ср ° = I
Р	0 ср
Гамильтониан уравнения Дирака, выраженный через суб-
матрицы, имеет вид
0 ср „|/0|
Н — с ,	+/7/С-	.
ср 0 1	|0 М
202
ЕИёпользуя формулу
_ ’	(<тА) (оВ) = АВЦ-йг[АхВ], (10.14)
>й ^непосредственным вычислением легко убедиться, что опе-
" ж . ратор й коммутирует с гамильтонианом. Для свободной
S- частицы величина проекции спина на направление им-
АДпульса, называемая спиральностью, сохраняется. Из явного
Л^вида матрицы S ясно, что проекция спина может прини-
’г?Мать лишь значения ± 1/2 (в единицах П). Таким обра-
^'збм, уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2.
Ш’Замечательно,- что для установления этого не требуются
^.'никакие дополнительные предположения, кроме выдвину-
:~|^,тых в п. 10.1.	\
4.	Найдем стационарное решение уравнения Дирака
У/для свободной частицы в состоянии с заданными значе-
' ниями компонент импульса; Полагая
_• Д
ф (г, t) = ф (г) е 1 п ,
получим
еф(г) =/)ф (г).
^-Выразим четырехкомпонентную функцию ф через две двух-
Д? компонентные функции:	. .
= 1^1 7 = 1^1
I'M’ X 1’1’4 1
^Используя стандартное представление матриц а*, р, полу-
"Й'-Чим систему
Ж' ‘
е<р = сер/ ф- тс2<р,
Е7== со рф — тс\.
^.Волновые функции состояния с определенным
ь '> удовлетворяют уравнениям
'	(тс2 — е)ф4-сорх = 0,
' 	сорф — (шс2 + е)х = 0.
Условие совместности этой системы линейных
состоит в равенстве нулю ее определителя,
^операторное тождество (10.14), получаем
z/zV —е2Ц-с2р2 = 0,
v.	е = Z |/р2с2 4- mV, X = ± 1.
импульсом
’-а/
(10.15)
уравнений
Учитывая

Ф
203
Двум знакам в этом выражении соответствуют два типа
решений уравнения Дирака. Таким образом, задания
компонент оператора импульса в общем случае недоста-
точно для описания движения свободной релятивистской
частицы: нужно указать еще значение параметра Z. Реше-
ния с Л—+ 1 будем называть положительными.
Одна из двухкомпонентных функций может быть выра-
жена через другую:
х==_^_ф.	(Ю.16)
Л mc2 + e f	'
Таким образом, из четырех компонент функции ф, соот-
ветствующей заданному р, только две могут быть заданы
независимо, а остальные две определяются при выбран-
ном X из формулы (10.16). Пусть
где а есть спиновая функция, не зависящая от координат.
Тогда
.рд
•е п .
а
/лс2+е °₽а
ф («•)=
В нерелятивистской системе отсчета е = Л(/ис24-£'),
где Е<^тс2. Поэтому для положительных решений (при
е>0)
а для отрицательных (при е<0)
Таким образом, в нерелятивистском предельном случае
две из четырех компонент ф оказываются малыми по
сравнению с двумя другими.
5.	Уравнение Дирака часто бывает удобно представить
в другой форме. Положим xtl = (ct, г) (р = 0, 1, 2, 3).
Выберем метрический тензор в виде
Sfiv =	(	1 "Т 2бцо).
Введем оператор 4-импульса
204
Тогда уравнение (10.11) можно переписать в форме
(У'рм—/нс)ф = 0,	(10.17)
где матрицы у11 определяются равенствами
Т° —Р> yft = |3a*, k — 1,2,3.
Матрицы у1 удовлетворяют соотношению
у1у'-р- уу1 = 2gliv.	(10.18)
Индексы матриц у1 поднимаются и опускаются по пра-
вилу
Ти = б,1'Тц.
6.	Рассмотрим уравнение Дирака для движения заря-
женной частицы со спином 1/2 во внешнем электромаг-
нитном поле, которое описывается 4-потенциалом А(1 =
= (Ф, А). Классическая функция Лагранжа имеет вид
X = — тс2 1 — Л- + — Av — еФ.
Компоненты обобщенного импульса соответственно равны
Ро = р' + еФ, p = ^ = P/ + fA,
где суть компоненты 4-импульса свободной частицы.
Обобщив правило главы 2 на релятивистский случай, мы
заменим в уравнении Дирака оператор на выражение
для него, содержащее обобщенный импульс. Итак, урав-
нение Дирака для частицы во внешнем электромагнитном
поле имеет вид
[т"(рц—у	=	(10.19)
Рассмотрим уравнение Дирака в электромагнитном
поле в нерелятивистском предельном случае. Четырех-
компонентную функцию ф удобно выразить через двух-
компонентные и %. Уравнение (10.19) в стандартном
представлении приводит к системе уравнений
(е — еФ — тс2) <р = со (р — -у A j у,
(е — еФ -J- тс2) X = со	~ Aj <р.
Ограничимся случаем слабого поля
е — еФ — тс2	тс2.
205
Выбирая положительное решение и полагая Е = е — тс-,
получим
£<р = со/р —-А)х+еФ(р,
со 1р-А) .	-
—Е + 2/лс2—2mc°\P с
(10.20)
Исключая функцию х, находим
Используя тождество (10.14), приходим к равенству
£<Р = ГД- (р — — aY. ф- еФ —	о rot а] <р.
1	12т V с j 1 2тс J 1
Введем напряженность магнитного поля
H = rotA.
Тогда
£ч’=[й(р-7АУ+с®-йг(»н>]ч’- <1021»
Это уравнение для большой в нерелятпвистском пределе
двухкомпонентной функции (р называется уравнением
Паули. Соответствующее уравнение для <р (/) имеет вид
17 е Л2
57-ф-еФ —(оН) <р.	(10.22)
dt L 2т 1 2тс'	' ‘	'
Дополнительный член в гамильтониане (10.22) можно
интерпретировать как энергию взаимодействия собствен-
ного магнитного дипольного момента частицы
eh
fr = p0O-, Ро = 2^>
с магнитным полем. Величина р0 называется магнетоном
Бора,
р0 = 9,27 • 1021 эрг/гс.
Экспериментально наблюдаемый магнитный момент элек-
трона действительно очень близок к значению р0. Для
нуклонов имеют место значительные отклонения.
206
Kt  7. При выводе уравнения Паули мы пренебрегли чле-
х нами порядка (me2)-1 (Е — еФ). Поэтому полученное урав-
Мнение не содержит релятивистских поправок к гамиль-
®?тониану заряда во внешнем электростатическом поле.
Вд^Отыскание таких поправок представляет интерес для
задач атомной спектроскопии. Пусть А = 0, еФ = Е(г).
^^Тогда
Й?;-.	[Е — U (г)] ф = сорх,
[2mc2 + Е — U (г)] х = сорф.
^.«К^Учтем члены следующего порядка в разложении (10.20):
Г®
л I 2тс2 J 2тс^‘
Тогда для функции ф получаем
[Е-^(г)]ф-^Г1-^=^1<трф.	(10.23)
Учитывая коммутационное соотношение
Щл	[ор, /ор] = — ifi (О' grad /) (<тр)
ч* ;-и используя тождество (10.14), получаем равенство
op /ор = fp2 - ifl (V/ • р + io [V/ х р]).
учетом этого равенства уравнение (10.23) принимает
м^у.вид
О£ф=1-1 ~~^~]&ч>+и(р+
Ж	(10-24)
з*ж с
В первом члене в правой части с принятой точностью
- можно произвести замену
 л
Окончательный вид оператора Н:
’*r jg*. 
Н = //0 + I/1+V2 + V3,
^o=g + ^(r)
207
есть обычный нерелятивистский гамильтониан частицы
в заданном поле. Первый член
Vi = —	(10.25)
учитывает релятивистскую зависимость кинетической
энергии от импульса. Второй дополнительный член
^ = W[(VH)XP]	(10.26)
описывает энергию спин-орбитального взаимодействия.
Он может быть интерпретирован как энергия взаимодейст-
вия движущегося магнитного момента с электрическим
полем. В центральном поле
?(У = г
г dr ’
и оператор У2 может быть преобразован к виду
l'2 = mr>;p]-r = o—— -j-Is.	(10.27)
2	4m2c21 r J r dr	2mUr dr	'	'
Наконец, третий дополнительный член
* Й2
не может быть сохранен в таком виде из-за своей неэр-
митовости:
У3+ = — уз + -2—V2n.
А л 1 4т2с2
Заменяя его в соответствии с правилом п. 2.1 эрмитовой
частью, получим
Л	/т2
Это выражение называется энергией контактного взаимо-
действия и не имеет наглядной интерпретации или клас-
сического аналога.
8. Рассмотрим влияние релятивистских поправок на
положение энергетических уровней водородоподобных
ионов. Поскольку в стационарных состояниях р^Ла^^
~Стс, то релятивистские члены малы, и можно ограни-
читься их учетом в первом порядке теории возмущений.
208

Введем атомные единицы. Тогда операторы Уг примут
вид
л а2 А. л а2}А 1 dU
V2=21sz^,
v3=^wj.
Здесь введено обозначение а для безразмерной величины
е2 1
а== Ос ^'137,04’
которая называется постоянной тонкой структуры.
Вычисление поправок от операторов Vj и Vs облег-
чается тем, что они действуют только на радиальную
часть ВФ. В кулоновском поле ядра (7 = —Z/r
V3 = ^4n6(r),	=	(10-29)
Таким образом, контактная поправка отлична от нуля
только для s-состояний. Поправка от члена 1/х вычис-
- ляется с помощью представления оператора Vr в виде
л а2/р2,2	1 [г- j 2\а	/in qo\
V1 = — -2^2J = ~ 2 \E + Tj •	(10.30)
Таким образом,
.'	£1" = - 'У (Я + 2ZE.F1 + р^) _	(Д _
г .При вычислении использованы результаты задач 5.4 и 5.5.
В нерелятивистском приближении энергия электрона
,-в водородоподобном атоме не зависит от спина. Поэтому
' для вычисления спин-орбитальной поправки можно взять
в качестве невозмущенных ВФ общие СФ операторов /2,
Ли /2, рассмотренные в п. 4.13. Учитывая тождество
2sf =/2 —/2 —s2,
' \. мы можем переписать выражение для оператора возму-
 - Щения в виде
>	V2 = ^l(/2-/2-s2).
Таким образом, для поправки Е2' имеем выражение
£^==^F2[/(/ + l)-/(/+l)-|]	(/^0),
• 	£У’ = 0	(/==0).
209
Используя результат задачи 5.6'
I	—з	Z3
Г пз/(/+1/2)(г+1)>
получаем окончательное выражение для поправки Е%':
_a2ZH/y+l)-/(/+l)-3/41 ,, _Л .
4n3|_' Z (Z-+1/2) (Z-f-1) J1 /оЛ
Выражение в квадратных скобках можно выразить через I
для различных значений / = /±-2-(/+ 0):
;, 1 . /(/+!)-/(< + !)-3/4 =	1	.
/(/ + 1/2)(<+1)	(Z +1/2) (Л-1)’
1 . J(7+ !) — /(/+ 1) —3/4 = _	- 1
7	2-	Z(Z+1/2)(Z+1)	(Z+1/2)7-
Складывая поправки Е± и Е? при / = / + 1/2, имеем
F+ a=Z4 / 3	1	1	\ — a'2Z* (3	1 \
tl+2~ 2п3 \4п	/ + 2/(j+l/2)/	2п3 \4«	/+1/2?
Аналогично, при / = /—1/2
с- — a'2Z> Р	1	1	\ _ rj:"z' / 3	1 \
£1+з— 2л3 \4п	/ + 1	2(/+ 1) (/+1/2)/~ 2п3 \4п	/ + 1/2/
Таким образом, суммарную поправку при / + О можно
представить в виде
(Ю.31)
Формулы (10.29) показывают, что это выражение спра-
ведливо и при / = 0. Отметим, что выражение (10.31),
определяющее тонкую структуру атома водорода, впер-
вые было получено Зоммерфельдом на основе старой кван-
товой теории.
Релятивистские поправки приводят к частичному сня-
тию вырождения по /. Кроме главного квантового числа п,
энергия уровней зависит и от значения полного момента /.
Однако уровень с заданными п и / остается двукратно
вырожденным. Число / может принимать значения /± 1/2.
Этот результат не является следствием приближенного
характера вычислений и сохраняется для точного реше-
ния. Такре вырождение указывает на существование
дополнительного интеграла движения, не коммутирующего
с оператором полного момента.
210


Я£-: При учете спина электрона состояние частицы в цент-
Етральном поле задается тройкой чисел п, j, I. Значение j
Sr принято указывать в виде правого нижнего индекса при
нерелятивистском обозначении.
Rj'r Отметим, что вычисление поправок высших порядков
или рассмотрение точного решения в случае Za 1 не
представляют особого интереса по следующей причине.
£.7 В классической электродинамике система заряженных частиц
/У - может быть описана с помощью функции Лагранжа, зави-
ЯЕуоящей от координат и скоростей частиц, лишь с точно-
Й|4'стью до членов порядка (v/c)2. В следующем порядке (^ (v/c)'3)
^•необходимо учитывать излучение. Вычисление поправок
второго порядка по операторам К, приведет лишь к вели-
чинам порядка (t>/c)4.
В главе 5 рассмотрение задачи двух тел привело нас
йри вычислении спектра атома водорода к задаче о дви-
жении частицы с приведенной массой в поле кулоновского
центра. В этой главе мы использовали в. качестве исход-
й,ного пункта релятивистское уравнение для движения
заряда в кулоновском поле ядра. Такое приближение
А. для задачи двух тел оправдано лишь постольку, посколь-
ку можно пренебречь движением ядра. Уравнение для за-
дачи о движении двух заряженных частиц со спином 1/2
ЩМыло получено Брейгом. Как следует из изложенного,
это уравнение справедливо лишь с точностью до чле-
gg HOB (v/c)2.
ЗАДАЧИ
;	1. Найти унитарный оператор, осуществляющий преобразование
Лоренца.
2. Доказать, что из уравнения Дирака для частицы в эяектро-
3^»./магнитном поле следует уравнение
рк-
р \ ph
б-тде
омv =	(уй yv—yvy'A) = — ovh,
a есть тензор электромагнитного поля.
3- Найти собственные значения оператора скорости релятивист-
iiy ской частицы со спином 1/2. Этот оператор определяется соотношением
н].
211
4. Вычислить производную по времени от оператора
р— —А.
г с
Результат сравнить с классическим уравнением движения.
.5. Доказать соотношения
d Г , iH а 1 ₽Р
-д; г 4-75— ра= -
dt L	2тсr J	т
d Г. ih I	р а
dt [ ‘ 2mc- j те-
6. Доказать, что релятивистский аналог оператора Рунге—Ленца
В = ~( S Г + 1) у0?5 (Й — тс-у°),
где
у5 —--
коммутирует с гамильтонианом уравнения Дирака для частицы
в кулоновском поле.
Глава 11
ПЕРЕХОДЫ
•>.	0. В предыдущих главах мы рассматривали только
стационарные состояния систем. Они описывались СФ не
V зависящих от времени гамильтонианов. Средние значения
 наблюдаемых в таких состояниях не зависят от времени.
Вне нашего рассмотрения остались два круга задач.
Во-первых, система может описываться гамильтонианом Я,
не зависящим от времени, но состояние системы в неко-
торый момент t = 0 может не быть СФ Н. Возникает
'? -вопрос об изменении со 'временем средних значений
- •/- наблюдаемых.
Во-вторых, гамильтониан Н может зависеть от времени
явно. Если система взаимодействует с источником внеш-
него переменного поля, а влияние системы на источник
yiy-пренебрежимо мало, то гамильтониан можно представить
- в виде
,Z-	Я = Яо + Е(О.	(И.1)
Такая система по определению не имеет стационарных
состояний. Если при /->’±оо внешнее поле V (t) обра-
• Щается в нуль, то для описания системы удобно исполь-
.. _ зовать полную систему СФ Но. Тогда ВФ системы может
: ?- быть представлена в виде
(И.2)
I -	п
где введено обозначение
. которое мы будем постоянно использовать в дальнейшем.
Пусть начальное (/-»—оо) состояние системы описы-
вается одной из СФ Но:
$- = lim 1|?(0 = фл.
—со
213
В общем случае при /->-|-сэ ВФ системы
Ф+ = lim ф (/) = V аптц>т
/-+°°	т
не совпадает с ВФ начального состояния. Под действием
внешнего поля система совершает переходы в другие
стационарные состояния. Вероятность наблюдения системы
при /->-}- оо в состоянии срт — вероятность перехода из
состояния | п) в состояние \т) — определяется величиной
^пт ~ I @тп Щ
Индекс п относится к начальному, а т к конечному
состояниям.
1. Пусть при /<0 гамильтониан частицы
=	+	(х)
2т 1	' '
обладает дискретным спектром и частица находится в ста-
ционарном состоянии -ф/г (х) с энергией Еп. Пусть при
/ = 0 поле мгновенно изменяется:
Состояние (х) не есть, конечно, собственное состояние
ЛЛ. Вероятности переходов при внезапном возмущении
определяются значениями коэффициентов атп в разложе-
нии ф„(х) по собственным функциям Н+:
k
Приближение внезапных переходов оправдано, если интер-
вал А/, за который происходит изменение поля, мал по
сравнению с величинами
1 = й
Еп—Еь’
где Ек относится к конечным состояниям.
В качестве примера рассмотрим вероятность перехода
атома трития Н3 в основное и возбужденные состояния
иона Не3’ при р -распаде ядра. Время изменения потен-
циала ядра по порядку величины равно времени пролета
214
р-электрона через атом:
v
т£>где од —боровский радиус. Это время мало по сравнению
^.с характерным атомным временем Ta = ttanr1e 4. Вероят-
йЖ ность перехода в ls-состояние определяется скалярным
^^произведением ВФ начального и конечного состояний:
С «/Z.\3/2
• r2 dr,
dis, is
^1,1 = I 01,1 Г
0,70.
(11.3)
ЖгЗдесь Z± и Z2 суть начальный и конечный заряды ядра.
Заметим, что переходы в состояние с /: О невозможны
из-за ортогональности угловых частей ВФ. Аналогично
-^‘^вычисляется и щ15125 = 0,25. Таким образом, при |3~-рас-
-:7\,паде ядра атома трития образующийся ион Не3* будет
F,c. подавляющей вероятностью находиться в основном или
V в первом возбужденном состояниях.
2. Задача об эволюции состояния ф„(х), приготовлен-
ного в момент 1 = 0 мгновенным изменением поля (Л->(7+,
^/Представляет особый интерес, если гамильтониан 7/, обла-
!‘а&дает. непрерывным спектром. Физически реализуемые
‘ ./^Состояния частиц описываются ВФ, локализованными
некоторой области пространства (принадлежащими L2),
I •Ш’11 не МОГУТ совпадать с ВФ непрерывного спектра.
vMgj- Состояние, которое описывается функцией из L2, пред-
Жгавляющей суперпозицию ВФ непрерывного спектра,
.указывается волновым пакетом. Задачи об эволюции вол-
лЖиовых пакетов относятся к первому типу задач, упомя-
Жутыхвп. 11.0.
Рассмотрим волновой пакет свободного движения,
'^В^оторый при / = 0 имел вид
r;
ф(х, 0) = е 2о? •
><|'отовящее поле (х) есть потенциал гармонического
^/Осциллятора:
 -лЖ’'
, 585. чк

215
Поле t/+ равно нулю. Спектральная функция a(k) опре-
делится выражением
+ ф
а (/?) = — С ф(л-, 0)е-ikxdx = -^=e-k^2.
' ' 2л J	У 2л
— со
Зависящая от времени ВФ имеет вид
ф(х, l) = +\ a(k)e^kx al'> dk.
Вычисление интеграла дает
Распределение плотности вероятности
с течением времени сохраняет ту же форму, что и в на-
чальный момент. Однако ширина распределения возрастает
со временем: происходит расплывание волнового пакета.
Расплывание становится существенным при
п
Величину Т естественно назвать временем жизни волно-
вого пакета. Отметим, что аналогичный результат мы по-
лучим для любого волнового пакета, который при 1 = 0
описывается действительной ВФ.
Наличие расплывания связано
/	\	с законом дисперсии для сво-
/	\	бодных частиц E(k)^k2.
,	3. Особыми чертами обла-
г дает процесс расплывания вол-
Рис.	38.	нового пакета в центральном
поле, имеющем вид барьера
(рис. 38). Пусть приготовленное при f = 0 состояние опи-
сывается ВФ ф(г, 0) локализованной внутри барьера*.
Схема отыскания зависящей от времени ВФ остается той
же, что и в предыдущем пункте. Раскладывая начальную
ВФ по системе ВФ стационарных состояний Ф(Л, г), нор-
44-'' мированных на S-функцию от k, мы найдем спектральную
Ь-»’ плотность
sr'-''	Л (k) = J ф (г, 0) Ф (Л, г) dr.	(11-4)
Зависящая от времени ВФ будет определяться интегралом
ф(г, t) = \A (Л)Ф(Л, r)eiatdk. (11.5)
г V	о
Пусть f(k, г) есть решение радиального УШ с асимпто-
тикой e lkr. Тогда функция Ф(Л, г), имеющая асимптотику
‘	Ф(£, r)~'|Z|sin[Z;r + 60(A!)],
' где 60(Л)—фаза рассеяния, может быть представлена
j А в виде
ф<*- '>=/1	r>-rh/(t’ 4
(11.6)
где S0(k) есть элемент матрицы рассеяния. Подставляя
(1,1.6) в (Н.4), спектральную плотность представим в виде
: , :	А (Л) =1 а (t/г) ]Л$0 (А?) - а(— /А)-~=1,	(Ц.7)
. где
СО	__
a(ik)= $ф(г, O)]/jf(£, г) dr.
о
Подставляя (11.6) и (11.7) в выражение (11.5), получим
СО
* (г> 0 = К 4-1«W) Vso(k) —а(~ ik) JL__1 X
А 1 L	V s0 (fe)J
x V'l	r)--^==f(k, r)le~^dk =
- • -	' Jt 4 |_	у So (k) J
- ' - -	co
=	k,r)e-iatdk +
• .	CO	
k .	+ -^={[a(ik)-a(—ik)-^-\f(k,r)e-iaidk.
I 2л oJ [_	So (k) J
), Учитывая, что согласно (9.80)
Sa'(k) = S0(-k),
Г..	217
216
п заменяя во втором интеграле k па —k, получим
W. 0 =
-рОЭ
•= -	[«(ik) So (k) — а (—17?)] f (— k, r) e~ib11 dk.
I	—co
(11-8)
Формула (11.8) точная. Найдем асимптотический вид
ф (г, I) на больших расстояниях вне барьера. Тогда под
интегралом в (11.8) можно заменить функцию /(— k, г) ее
асимптотическим значением	»
4-СО
ф(г, t) -------=	[a(ik)S0(k) — а(—ik)]el(kr~at} dk. (11.9)
— ОО
Введем новую переменную
Тогда формула (11.9) примет вид
ф(г, t)^B\e^[a+(y)S(y)-a(y)]dy, (11.10)
с
где
___ Г2
jB = —a±(y) = a[±^(f/)].
Интегрирование в (11.10) ведется вдоль контура С —диа-
стояние
гонали третьего и первого квад-
рантов плоскости комплексного у.
Функции а+ (у) и а (//) не имеют
осрбенностей. Если S(y) не имеет
особенностей, то контур С может
быть смещен к действительной
оси, а интеграл (11.10) вычислен
методом перевала. В поле с по-
тенциалом вида, изображенного па
рис. 38, отсутствие связанных
состояний очевидно. Возможно
наличие особенностей S (k), связан-
ных с квазистациопарными состоя-
ниями. Пусть существует одно квазистацнонарное со-
*0 = <7 + ix.
218
Тогда элемент S-матрицы имеет вид
S (k) = М (k)
(/? —/r0)(fe + fe*) ’
S(r/) = M(f/)
где М (k) — функция без особенностей. В плоскости комп-
лексного переменного у
Рассмотрим полюсы S (у}. Они определяются равенствами
РГ- У +	О| (у - <? + i’t) = О,
Pi- У +	1 2 ( г 4" Q 4~1Х) — О-
Изменение их положения со временем показано на рис. 39.
Пусть <7>х. Тогда при z<r(q~ х) 1 полюс Pi лежит
ниже действительной оси. Контур интегрирования может
быть смещен на действительную ось. Вычисление инте-
грала (11.10) методом перевала дает
ф (г, /) = ф0 (г, |/зт [а+ (0) S (0) — а (0)].
При z>r(q — х) 1 нужно учитывать вклад от полюса Рг
в первом квадранте. Тогда
ф (г, t) А»ф0 (г, 0 — 2шВа (ik0) ё~у» Res S (Р^.
Второй (полюсный) член в этой формуле можно перепи-
сать в виде
_. (е -с ТА ‘
фр(г, t) ^ \P2na(ik0) М (kfl)'/.eir,r vyre '° 2 / \
Здесь использованы введенные в главе 9 обозначения ре-
 зонансной энергии и ширины уровня:
Ео = (ф2 — х2)	, T=2qx—.
и	7 2m	4 т
Таким образом, при наличии у системы квазистацио-
нарного состояния в расплывании волнового пакета можно
выделить две стадии. Первая — перезона не ное расплывание,
которое описывается членом ф0(г, I). Оно связано с нали-
чием в разложении начальной волновой функции компо-
219
нент с большими k и наиболее существенно при малых-
временах. Вторая — распад квазистационарного состояния,
который описывается членом (г, t). В общем случае
этот член не мал по сравнению с ф0 (г, t). Функцию фР (г, t)
можно интерпретировать как ВФ состояния с комплекс-
ной энергией
с с г
Е = Е0 —iy,
убывающую со временем по экспоненциальному закону.
Отметим, что ВФ квазистационарного состояния возрастает
при больших г. Поэтому приготовленный волновой пакет
не будет совпадать с ВФ квазистационарного состояния и
распад не будет в точности следовать экспоненциальному
закону.
4. Рассмотри
скрй оболочки
в качестве примера потенциал сфериче-
и (г) = (г — а).
Рассмотрим s-случай. Особенности S-матрицы будут опре-
деляться, согласно (9.76), уравнением
i < • ft С
1+l"2 3
Н'/А (kr) и (г) ф0 (kr) rdr = O. (11.11)
о
Для вычисления корней этого уравнения нам даже не надо
определять регулярное решение УШ при всех г. Оче-
видно, что при г^а оно совпадает с J\/2(kr). Используя
равенства
(z) = - i j/"^- ёг, Ji/2 (z) = У sin г,
перепишем уравнение (11.11) в виде
(11.12)
Здесь введены обозначения: x = ka, ti = qa. Полагая 2т =
— x-\-iy и приравнивая нулю действительную и мнимую
части (П.12), находим
«/4-6 — Gencos х — 0, х4-6е^ sirrr = 0.
Этой системе удобно	придать	вид	.
„	„	sin х	/
еу — — 6-----,	.	cos х —	(
X	\
220
ЖОчевидно, что второе из этих уравнений определяет дей-
ствительную кривую только при y<Q. Полюсы S (k) вне
^.-мнимой оси лежат в нижней полуплоскости комплексного k
в согласии с общим результатом. Графическое решение,
определяющее положение полюсов, показано на рис» 40.
У..
f
Отметим следующие свойства полученного решения.
Щ.По мере уменьшения прозрачности барьера (с ростом 6)
^действительные части полюсных значений qn стремятся
S.I ила1, а резонансные уровни энергии —к значениям
У'-уровней энергии в сферической яме большой глубины.
^Мнимые части ип полюсных значений сильно зависят от п.
О В пределе при 6->оо
Ж"’	О/ЛП\2 1
{^Выражение для ширины уровней квазистационарных со-
стояний можно представить в виде
(Й	r„=2xn9„|^D(E„)A^.	(Ц.13)
^З^-Где D(En) есть коэффициент прохождения через барьер
у/7б(л’) для частицы с энергией Еп (см. задачу 3.5).
Соотношение (11.13) сохраняется и в общем случае,
*•;*&Сли только область внутри барьера достаточно широка:
. самом деле, решение с асимптотикой е‘кг можно рас-
 усматривать как стационарную ВФ системы с источником
участии единичной мощности в начале координат. Пусть
•Ж	221
при / — О источник выключен. Запишем уравнение непре-
рывности
R
14 (г, О \2dr = j(R, t),	(11.14)
о
где R — точка, лежащая вне барьера. Учитывая, что при
наличии квазистационарного состояния изменение
происходит медленно, можно положить
 Р I г Л
/= ехр — I .
1	т 1 \ 2ft J
Плотность вероятности щ (г) = । ф (г) i2 внутри барьера су-
щественно больше, чем вне его. Поэтому, используя опре-
деление коэффициента прохождения D (Е), можно записать
R
dr^-^y
о
Учитывая уравнение непрерывности, получаем
а Р
D (Е) ti т’
откуда следует оценка (11.13). Используем формулу (11.13)
для оценки скорости радиоактивного а-распада ядер. По-
тенциал взаимодействия ос-частицы и ядра складывается
из сильного короткодействующего притяжения при г</0
и кулоновского отталкивания (Z — заряд ядра до распада)
' '	г	г
при г>г0. Для оценки коэффициента прохождения можно
воспользоваться методом ВКБ:
D (£) я^ехр
Вычисление интеграла приводит к результату
D(£)~exp[- * /^arccos - /^(1 -^|.
Для типичных значений энергии ос-частицы £~1/11эв,
а -- 4  10 17 ед. СГСЭ, г0 ~ 7  10 13 см
,г"	2 • 10 «,
а
222
и наибольшую роль играет первый член в квадратной
.-у скобке
J	D(£)^exp[-(Z-2))<§J.	(11.15)
Здесь
- - :	8л'2ггг*
! Л'/	е°— я2 •
,. Такой вид коэффициента прохождения объясняет сильную
'х . зависимость времени жизни a-активных ядер от энергии
, а-частиц (закон Гейгераг— Неттола).
' “5	5. Рассмотрим теперь переходы в системах, гамильто-
нианы которых зависят от времени явно. Практически
важен случай, когда зависящая от времени часть гамиль-
7 тониана мала. Это позволяет использовать теорию возму-
щений.
Пусть гамильтониан Но обладает только дискретным
7. спектром, а зависящая от времени часть V (t) мала по
. - сравнению с Но. Решение нестационарного УШ
iflddt =1йо+Р(/)]ф	(11.16)
л.представим в виде разложения по собственным функ-
[ гУ циям Но:
!	=	(11.17)
1	Ф = 2а*(0 ЫО-	(11.18)
k
:	Подставляя (11.18) в (11.16) и учитывая (11.17), получим
ih^^k^akV^.	(11.19)
.	k	k
 5- Умножая разложение (11.19) на	скалярно, получим
*
 ".7 Зависимость от времени матричного элемента Vnk (/) вклю-
чает в себя, кроме зависимости V (/), экспоненциальный
, -  Множитель
223
Пусть при t = 0 акп = Ъкп. Представляя akll(t) в виде раз-
ложения по степеням е, в первом порядке получаем
dol11
откуда
= - д $ Vkn(t)dt.
о
Вероятность перехода равна
(11.20)
Wnk ' tfi
Vkneia^dt .
(Н-21)
применимости (11.21) является
о-
Необходимым условием
сходимость интеграла: при /->оо гамильтониан должен
совпадать с невозмущенным Но. Если возмущение стре-
мится к конечному пределу
lim V(/)=V+^0,

то решение (11.20) следует преобразовать. Интегрируя
по частям, получаем
Укп (0С dVkn
кп	hakll "г J dt hb)kn ’
Первый член в этой формуле в пределе £->оо определяет
поправку первого порядка к ВФ состояния ф (см. фор-
мулу (6.14)). Вероятность перехода определяется квадра-
том второго члена:
.1 st
" Mnk
(11.22)
В предельном случае внезапного включения поля
^ = П„6(О,
где Vkn — \k\ Н + — Н_ 1н), и формула (11.22) принимает
вид
™ I ^кп
Wnk —
п шкп
(11.23)
224
Условие применимости формул (11.21), (11.22), (11.23)
состоит в малости соответствующих вероятностей перехода.
ПоэтоЛ' результат (11.23) нельзя использовать для реше-
ния задачи, рассмотренной в п. 11.1.
Рассмотрим противоположный предельный случай,
когда изменение V (t) за промежуток времени А/^со^А
мало. В этом случае под интегралом (11.22) будет стоять
произведение медленно меняющейся и быстро осцилли-
рующей функции и значение интеграла будет малым.
Рассмотрим возмущение
1 V (0 = (у +	arctg at j.
Тогда интеграл в (11.22) вычисляется элементарно:
4“СО
- \ -гИЛ*7гг dt = ^пе"ю*"/а ,
ЗТ •У 1 \СС
и вероятность перехода
кП ^1п
при cofc„;>a оказывается экспоненциально малой. При
.медленном (адиабатическом) изменении внешнего поля
система с подавляющей вероятностью будет оставаться
в основном состоянии.
6. Рассмотрим важный частный случай возмущения,
периодически зависящего от времени:
V(0 = Vocoscot-
Тогда согласно формуле (11.20)
где мы ввели обозначение
а = cote.
Полагая
S = со 4- a, Р = со — а,
для вероятности перехода получим выражение
__ I vnk |2/1— cos Rt	,	1 — cos St	.	1-J-cos 2а/— cos Rt — cos St	\
2Й3 R*	"I S*	г	£S	)'
(11.24)
8 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков	225
Вероятность перехода периодически меняется во времени.
Если частота внешнего поля близка к одной из собствен-
ных частот системы ос, то	и в формуле (11.24)
можно пренебречь вторым и третьим членами:
. I Vkn i2 1-cos/fr
^nk v/ 2й2		(11.2о)
В частном случае точного резонанса (7? = 0) вероятность
перехода
(11.26)
квадратично зависит от времени. Условием применимости
формул (11.25), (11.26) является малость соответствующих
вероятностей перехода.
Если частота внешнего поля близка к одной из соб-
ственных частот, ®о1 = ос, то наиболее вероятными будут
переходы между состояниями |0) и 11). Пренебрегая
переходами в другие состояния, можно ограничиться рас-
смотрением двухуровневой системы. Отметим, что из (11.25)
следует, что при рассмотрении двухуровневой системы
мы можем заменить оператор V неэрмитовым оператором
Пусть на двухуровневую систему действует внешнее поле
V(/) = I/o/(0e-lW.
Функцию f(t) мы будем называть 'огибающей импульса.
Ограничившись рассмотрением состояний 10) и 11), мы
можем представить ВФ системы в виде
ф (х, t) !=« а (0 <р0 (х) el(a^ -|- b (0 <р± (х) eia'f.
Уравнения для коэффициентов разложения a(t), b(t)
имеют вид
V01f(0e-'6zc.
Здесь введено обозначение 6 для расстройки частот
системы и поля:
6 = ®10 — со.
^Исключая а из второго уравнения системы (11.27), получаем
+ <1L28>
/ •
- /Решение уравнения (11.28), удовлетворяющее начальному
/.условию Ь{—оо) = 0 при 6 = 0, имеет вид
b (0 = sin
—СО
/Вероятность перехода при в состояние [1)
' /	-| С«>
w01 = sin2 fit) dt — sin2 Q
—co
•ft зависит от единственного параметра Q. При значениях
<D = 2Q = (2n+ 1) зт
//система с достоверностью переводится в другое состояние.
/Такой импульс внешнего поля называется л-импульсом.
При
i J;':	Ф = 2шх
У система с достоверностью остается в начальном состоянии.
Рассмотрим слуйай отличной от нуля расстройки при
*f(t) = const (прямоугольный импульс). Решение уравнения
‘	(11.28) имеет в этом случае вид
/	b(t) — сге{41( +	,
, /где
'	Ф1 = —	<h = 2 “!“^’
I Пусть при t = 0, система находится в состоянии |0) (Ь (0) = 0).
Соответствующее решение имеет вид
bit) —— t-^-expf—i — sin иЛ.
йй |_	2 J
• Зависящая от времени вероятность перехода есть
ц? (А — '	' sin2 Q/.
8*
227
226
При наличии расстройки двухуровневая система не может
быть с достоверностью переведена в состояние 11). Мак-
симальное значение вероятности
- Г. 1 /бЙ\2-|-1/2
при заданной расстройке тем ближе к единице, чем
больше | V011.
7. Выше мы рассматривали переходы между состоя-
ниями дискретного спектра под действием когерентного
внешнего поля
Рассмотрим в рамках теории возмущений переходы между
парой уровней под действием импульса резонансного
внешнего поля (а» = со1о), амплитуда которого f (/) обра-
щается в нуль при t>T, /<0, а в интервале 0</<Т
представляет случайный стационарный гауссов процесс
с равным нулю средним
<НФ = о
и заданной функцией корреляции
В(т) = (/(0/(/ + т)>.
Под усреднением здесь понимается усреднение по различ-
ным реализациям случайного процесса. Вероятность пере-
хода в теории возмущений определяется формулой (11.21):
—
I Voi I3
т
f (О dt
о
2
1/2
Й*
Так как f (t) — случайный процесс, то наибольший инте-
рес представляет среднее по реализациям значение вероят-
ности перехода ьум, Среднее же значение функции F1 2 (7)
выражается формулой *
4- оо
<72(7)> =
— со
(11.29)
где спектральная плотность случайного процесса g (ю)
есть фурье-образ функции корреляции
1 +Г
g(“)=2n 5 В^в 'Wdx-
— СО
228
В качестве примера рассмотрим экспоненциально корре-
лированный процесс
где 6 —характерное время корреляции. Тогда
g'(®)=/2	1 _|_(6(О)2 •
При подстановке последнего выражения в (11.29) интеграл
вычисляется элементарно:
<F2 (Т)> = Р 202	_ j + е- т.п ]	(! 1.30)
Зависимость функции (F2) от Т показана на рис. 41.
При Т <^6 (F2(7’))^/272 —вероятность перехода меняется
со временем квадратично,
поля. При второй и
третий члены в скобке в
формуле (11.30) несущест-
венны и
<F2 (7’)> = f2-27,e =
=/2 -2^(0) Т.
Последнее выражение при-
менимо не только для вы-
бранной функции корреля-
ции. В самом деле, в по-
как й в случае когерентного
дынтегральном выражении формулы (11.29) функция g (со)
заметно отлична от нуля при	и плавно меняется
в этой области. Первая же подынтегральная функция
отлична от нуля главным образом в области со<7-1.
Поэтому при Т;>6 можно приближенно положить
+ СО
<Р(П>~£(0) sin2 ^ = 2^(0).
— со
Таким образом, если длительность импульса внешнего
поля велика по сравнению со временем корреляции, то
вероятность перехода линейно растет со временем:
u'01 = VM-2-2ng(0)T. '	(11.31)
В общем случае не резонансного поля выражение для
средней вероятности перехода имеет такой же вид, с заме-
ной g(0) на g(co — <о10). Поэтому формулу (11.31) удобно
229
представить в виде
u>oi = Vaift-2 -2 л/ (соо1) Т,	(11.32)
где / (б)01) — спектральная плотность поля на частоте
перехода.
Формула (11.32) выведена из теории возмущений.
Поэтому она применима только при не слишком больших Т,
пока вероятность перехода ш01 остается много меньше
единицы.
8. Если при гармоническом воздействии на систему
значение энергии
Е+ = Еоф-й(о
попадает в область непрерывного спектра, то переход
в состояние Е+ будет резонансным. Однако выделение
двухуровневой системы в этом случае невозможно, так
как знаменатели в (11.24) будут малы для группы состоя-
ний с £ № Е+.
Для вычисления вероятности переходов в этом случае
удобно заменить непрерывный спектр конечных состояний
дискретным квазинепрерывным. Это можно сделать, нало-
жив на ВФ непрерывного спектра условие периодично-
сти на границах куба с ребром L, предполагая, что L
много больше размеров системы (ср. п. 6.13). Тогда можно
использовать выражение для вероятности переходов
W0v = ~^
4-ОЭ
Vovei(-a^‘dt
(11.33)
При вычислении матричных элементов VOv использованы
ВФ конечных состояний, нормированные па единицу
в объеме L3. Найдем суммарную вероятность перехода
в состояния непрерывного спектра. Она будет определять
скорость распада начального состояния:
+ со
5 v^o<dt
V —со
(11.34)
Число дискретных уровней Nv в интервале (Ev, Ev + ДЕу)
в пределе Е3->-оэ пропорционально ширине интервала
ДЕу. Определим функцию плотности состояний р (v) такую,
что
N (Ev, Ev + ДЕу) = р (v) ДЕ\..
230
Функция р (v) имеет размерность эрг-1 и пропорциональна
объему L3 куба периодичности. Тогда в пределе L->co
суммирование по v можно заменить интегрированием:
W = -^\dEvP(v)
4*оо	2
J VOve^dt
Пусть на систему в течение времени Т действует возму-
щение
V =	(11.35)
Тогда интеграл по t вычисляется элементарно:
„	4 sin2 т
v - , ( Р (v) |	|=	(1Ди_2ю)— «£,.
При больших Т функция
sin2 tdvo^~(O Т
F (у, T) = 4—t-------
V ’	(COvo — Ь>о)2
меняется значительно быстрее, чем р (v) и | t'Ov (2. Эти
функции можно вымести из-под интеграла, взяв их зна-
чение в точке максимума F(v, 7) —точке (o = a»vO. Тогда
,, р sin2
W = Р(ЦЬ>о+1- С п. 4	-----2_ d
Й2 J	(tOvo —со)2
Вычисление интеграла по co0v элементарно:
№ = р(Е+)|ц0+|2-^7\	(11.36)
Таким образом, вероятность перехода в состояния непре-
рывного спектра под действием возмущения (11.35) про-
порциональна длительности его действия. Иными словами,
вероятность перехода в непрерывный спектр в единицу
времени постоянна. Формула (11.36) называется золотым
правилом.
Отметим аналогию между формулами (11.32) и (11.36):
их можно записать в виде
где 6-функция указывает на необходимость интегрирова-
ния по dE (с весом р (Е)) в случае перехода в непрерыв-
231
ный спектр или по Ао (с весом / (со)) в случае перехода
под действием некогерентного поля.
9. Состояния непрерывного спектра обычно вырож-
дены. Если при t = 0 система находилась в состоянии
фо (Е) — собственном состоянии гамильтониана Но, то под
действием постоянного возмущения V система может
перейти в другое собственное состояние гамильтониана
Но~Ф\ (£), соответствующее той же энергии. Вероятность
такого перехода дается, согласно (11.36), формулой
rov = p(£)|Vov|2^-T.	(11.37)
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение.
Состоянию с данной энергией соответствуют две ВФ сво-
бодного движения:
ф+ = е'’*-г, i]x. = e~‘fcv.
Рассмотрим переходы между этими состояниями в слабом
постоянном поле V (х). Вводя «длину периодичности» L,
получаем
/ г-\ ml-
р (£) = —г-.
1 ' ' strip
Вероятность перехода за время Т
mL
Ш = —*—
лйр
2jt гр
и~1 •
Отношение вероятности перехода за единицу времени
к плотности потока в одном из состояний ф+, ф_ есть, по
определению, коэффициент отражения
£(£) =
т2
h^p2
со	2
U (х) e~2ikx dx
—со
(11.38)
Для потенциального барьера U(x) = qb(x) из
(11.38) следует:
формулы

что совпадает с результатом задачи 3.5 при /?(£)^1.
Отметим, что формула (11.38) дает одинаковые выра-
жения для потенциалов притяжения и отталкивания оди-
232
Ч?1-' Г. • .
• паковой формы. В главе 3 мы видели, что коэффициент
отражения резко меняется при изменении знака Е — U и
- становится малым лишь при E>U. Поэтому (11.36) отно-
' сится к надбарьерному отражению. Значение R (Е) по
_ - порядку величины есть £~2т~2. При т~1 условие приме-
нимости теории возмущений (£‘2<Д) противоположно
. условию применимости метода ВКБ (£2<Д).
10. В трехмерном случае вычисление вероятности пере-
ходов между состояниями с ВФ — плоскими волнами
'	।	 Рг
ф = ехрг^-,
различающимися лишь направлениями р, в поле U (г)
приводит, при использовании (11.37), к борновскому при-
' ближению для сечения рассеяния. В общем случае прямая
задача теории рассеяния также может быть сформулирована
как задача о переходах. Пусть функция ф(/) удовлетво-
ряет УШ
+	(11.39)
где Но не зависит от времени. Проведем унитарное пре-
. образование:
 W	л .Н<,<	_£Но£
q>(/, ,х) = е h ф(/, х), h(t)=e h Vе h '
'<. Тогда (11.39) примет вид
=	(П.40)
’ Представление (11.40) для уравнений движения называют
представлением Дирака или представлением взаимодейст-
вия. Введем унитарный оператор U (Zb t.>) такой, что
/	U(tlt /2)Ш) = <Р(*1).	(П-41)
' Из определения (11.41) следуют свойства оператора U:
Оператор U (tL, t2), описывающий эволюцию системы,
233
удовлетворяет уравнению движения	?
^1	«
или, в интегральной форме,
С (tlr t2) = 1 — у h (т) U (т, 4) dr.	-
^2	’
Пусть <р_ и <р+ — начальное и конечное состояния системы. ' t
Оператор U (tlf t2) при tY — оо будем обозначать t7+(/),
a IJ (t, t2) при 4-* + °° будем обозначать U-It)-.
Предел оператора (7+(0 при	мы будем называть |
оператором рассеяния S:	-
S = lim £7+(0-	I
t—;
Оператор 5 унитарен, так как по определению унитарен ’
(]. Физический смысл оператора 5 очевиден: если ф_ —	' .
начальное состояние системы, то 5ф_ = ф+ есть соответст-
вующее конечное состояние. Пусть при Z->dzoo внешнее
воздействие V (t) адиабатически выключается. Тогда на-
чальное состояние ф_ и конечное состояние ф+ = 5<р_
можно разложить по СФ гамильтониана Но. Пусть ф_ = ф„,
где й —набор значений интегралов движения гамильто-
ниана Но. Вероятность перехода в состояние ф6 есть
ШЬа = | <<Р& | $ | Г-
Из рассмотрения, проведенного в п. 11.8, следует, что
переходы возможны только при равенстве энергий началь-
ного и конечного состояний. Элементы S-матрицы суть
функции интегралов движения. Для случая рассеяния
в центральном поле S-матрпца содержит только диаго-
нальные элементы 5ZZi££ = Sz(^), свойства которых рас-
сматривались в главе 9.
'ЗАДАЧИ
1. Определить зависимость от времени дисперсии координаты
волновых пакетов, которые при t=0 описывались действительными
волновыми функциями.
2. Рассмотреть изменение со временем произведения дисперсий
Дх2 • Др2 для пакета, рассмотренного в п. 11.2.
234
₽- ;=	3. Пусть при t=0 свободная частица описывалась ВФ
р'?	ф (х, 0) = <р (х) ехр (± i j ,
Г- где <р (х) — действительная четная функция из L2. Исследовать изме-
 иение дисперсии координаты со временем.
'	'4. Рассмотреть расплывание волнового пакета
, оч 1	«2
h •	<p(%>
* '	«I V -Л/ Т И
• ' . Меняется ли его форма со временем?
i-S 5. На гармонический осциллятор мгновенно накладывается виеш-
 -. . иее однородное поле F. Найти вероятность перехода в n-е состояние,
; если при t < 0 осциллятор находился в основном состоянии.
►.....	6. Вычислить в приближении внезапных возмущений вероятность
i • . перехода р-мезона в мезоатоме с 2> 1 при распаде ядра из состоя-
ния 1s в состояние 2s.
!р;'	7. Вычислить вероятность того, что частица, находившаяся в 6-
j.-.'- яме, двигавшейся с постоянной скоростью v, останется в связанном
ч V состоянии при внезапной остановке 6-ямы; зависящий от времени
£. • потенциал
U (х, /) = — ?6 (х — vt)	(t < 0),
4	U (х, /) = д6(х)	(/>0).
8.	При каких временах Т применимо золотое правило для пере-
ходов в непрерывный спектр (11.36)?
‘	9. Вычислить по теории возмущений коэффициент отражения
«(£) в поле
'5- Сравнить с результатом расчета методом ВКБ.
-	10. На осциллятор, находившийся при /->— со в основном состоя-
или, действует однородное поле, меняющееся со временем по закону
Ж-  	Г (/) — Го с1Г1 (а/).
' Найти вероятности переходов а>ол, не ограничиваясь первым прибли-
Дч жением теории возмущений.
i'-'c	11. Показать, что вне зависимости от того, в каком состоянии
- находился гармонический осциллятор при t -> — со, его средняя энер-
гия под действием переменного однородного поля
Ж'.-	'	F(t) = Fof(t)	(1->±со, /(0>0)
всегда увеличивается.
Глава 12
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
0. В предыдущих главах мы рассматривали различные
случаи движения частицы во внешних полях, определяв-
шихся потенциалом U (г), в том числе в электростатических
полях. При этом оператор Гамильтона содержал только
операторы, действующие на пространственные переменные
и не затрагивающие спиновую часть ВФ. Учет релятиви-
стских поправок к УШ, следующих из уравнения Дирака
для электрона, уже в первом порядке по v/c приводит
к необходимости рассматривать взаимодействие собствен-
ного магнитного момента электрона с магнитным полем.
Оператор этого взаимодействия .
действует на спиновые ВФ. Таким образом, наложение
магнитного поля дает, в общем случае, способ воздейст-
вовать на спиновые состояния частиц.
1. Рассмотрим движение заряженной частицы без спина
в электромагнитном поле. Классическая функция Лагран-
жа в поле, заданном скалярным потенциалом ip и вектор-
ным потенциалом А, имеет вид
4	mv2 . е .
Х = c-Av-e<p.
В дальнейшем будем полагать <р = 0. Обобщенный импульс
определяется соотношением
дХ	, е .
р — _,=/nv-4—А.
1 dv	'с
В дальнейшем изложении отличие обобщенного импуль-
са р от кинематического mv будет играть существенную
роль. Классическая функция Гамильтона определяется
236
врсоотношением
Ж	7/ = pv — Х = ~ (р — — А?.
К;.	2т\“ с J
gpgt-Заменяя, в соответствии с основными положениями, обоб-
дЖ щенный импульс на оператор с коммутационными соотно-
шениями А6, получим выражение для оператора Гамиль-
-W тона
’SKt	а | /л р \2
W = s(p-7A)-	02.1)
j.	Пусть векторный потенциал А не зависит от времени
> .(электрическое поле отсутствует). Гамильтониан (12.1)
|’V.' имеет вид квадрата эрмитова оператора. Поэтому, в силу
Г'Ж--'.результата задачи 1.15, все его собственные значения
неотрицательны. В реальных случаях на больших расстоя-
V / * ниях от источников магнитное поле Н стремится к нулю.
I' Поэтому потенциал А мы также можем выбрать обращаю-
Г’Й|-щимся в нуль на бесконечности. Поскольку в этом случае
Нетто волновая функция для состояний с положительными
(afc значениями энергии не будет убывать. Итак, в реальном
магнитном поле оператор Я не имеет дискретного спектра
движение частицы инфинитно. Следовательно, если
’ Ж; область, в которой имеется магнитное поле, не ограничена
стенками, то вместо стационарных состояний мы должны
г Ж; говорить о квазистацнонарных состояниях. В практиче-
! 'Ж~ских. ситуациях, однако, времена жизни таких состояний
оказываются весьма большими (см. задачу 12.7).
2. Рассмотрим идеализированный случай движения
w.
ДЙ
Й
л. частицы в однородном постоянном магнитном поле.
• > В классической механике движение частицы в области,
^-где поле однородно, не чувствительно к свойствам поля
вне этой области. Очевидно, в квантовой механике это не
так: в любом реальном поле плотность вероятности |ф|2
(•не обращается в нуль тождественно ни в какой области
‘"пространства. Поэтому даже в идеализированной поста-
". новке задачи мы должны косвенно учесть правильные
\ граничные условия, выбрав систему координат в соответ-
«. ствии с симметрией реального магнитного поля.
.. Пусть магнитное поле имеет аксиальную симметрию и
; линейные размеры области, в которой поле однородно,
237
велики по сравнению с характерной длиной Л =
= (с^/ег^)1'2.
В этом случае воспользуемся цилиндрической системой
координат. Векторный потенциал выберем в виде
Aq> —	Р> Ар = А? = 0.
УШ в цилиндрических координатах имеет вид й2 /й2ф .	. 1 йф . 1 й2ф\
2т \дг2 ' йр2 р йр р2 йф2)
. eh йф е2зЗГ2 2 1 г < — 1 п— л—k -о—— РФ = £ф. 2mc йф 1 8тс" 1 т	'
Разделяя переменные, ищем решение в форме
Ф(р> Ч>,	(р) e‘Wm4).	(12.2)
Обозначим через у и р величины
1=^.	02.3)
Уравнение для радиальной части ВФ имеет, с учетом этих
обозначений, вид
7?"	1	4. (р _ ?2р2 _ 2у/тг _ т2р- 2)	= 0	(J2.4)
Введем новую независимую переменную £ = ?р2. .Тогда
уравнение (12.4) перепишется в виде
	(12-5)
где Х = £ 4у 2 Легко найти асимптотики функции /?(£): £->оо: /?^е~£/2, |_>0:	(12.6)
Выделяя асимптотики, ищем решение уравнения в виде ₽(g) = e-6/2^m|/2UJ(g). Функция w (g) находится из уравнения ^w" + (1 4-1 т 1 — 1) w' 4- (т. — —ю = 0,	(12.5) (12-7)
238
решение которого представляет вырожденную гипергео-
кЖ метрическую функцию
Н- w = F[- (Х -L?±tl), |m| + l, g],	(12.8)
.г-Для того чтобы ВФ /?(£) обращалась в нуль при £->оо,
. первый из аргументов гипергеометрической функции дол-
жен быть целым неположительным числом:
п = Х-1^±±.	(12.9)
? Учитывая уравнения (12.3), (12.6), (12.9), получим окон-
? нательное выражение для энергетического спектра:
Р	= —(n+Цг + т + ^ + т?- (12-10)
'	" тс \	1	2	2 1 2 / 1 2/и	'	'
f . Таким образом, при заданном k спектр заряженной ча-
j / стицы в однородном магнитном поле оказывается эквиди-
I . стантным с расстоянием между уровнями
bE=h<i>=he-^.
тс
Дискретные уровни, соответствующие движению в пло-
' скости, перпендикулярной полю, называются дровнями
; Ландау. Найденная выше ВФ, определяемая формулами
'.-Ж (12.2), (12.7) и (12.8), пригодна для описания стационар-
.С . ных состояний частицы, движение которой ограничено ци-
ь'* линдрической поверхностью радиуса 7?, большого по срав-
нению с характерной длиной Л. Если движение вдоль
Ж- оси z свободное, то k может принимать любые значения
 / и спектр непрерывен в области
, .	/ад
у
' << Спектр становится дискретным, если движение по оси г
\ финитно. В частности, при наличии стенок, перпендику-
<т\лярных оси z, возможные значения k определяются усло-
’ вием
г' J’	kz = п (п = 1,2,3,...).
<. .
-	3. Рассмотрим магнитное поле, однородное и направ-
ленное вдоль оси г, в прямоугольном потенциальном ящн-
; ке с размерами Lx, Lu, Lz. Найдем ВФ заряженной части-
цы и ее энергетический спектр в такой системе. Выберем
>	239
векторный потенциал в виде
ЛА- = 0, Ау=Жх, AZ = V. (12.11)
Гамильтониан Н примет вид
Д = 2^(М + Р« + Р0 + уЮ2х2-1-хсорй,
где использовано введенное ранее обозначение
Разделяя переменные, ищем ВФ в виде
Ф = Х(х)ехр[‘-(р^ + ргг)].
Для компоненты %(х) получаем уравнение
ft2 „л , т Л. , срУ \2.. /г-’ Р1	рг\
2т Х + 2 ® \Х+ e^J Х“ [Е 2т	2т) '/-'
Это уравнение совпадает с УШ для гармонического осцил-
лятора (3.32). Используя результат, полученный в п. 3.11,
находим выражение для спектра
/	1 \ п2 р2
Д = йсо1/г + -9- 4-^- + ^-
\ ' 2 2т ' 2т
и для волновой функции
Ф = ехр [-Д- (руу + ргг) -	(х + х0)2] х
хя41/Л^(х+хо)]’ (12л2)
где
сРу
Учет граничных условий на стенках ящика приводит
к тому, что ру и pz могут принимать только дискретное
множество значений
Pt^h-tii («,= !, 2,3, ...).
Влиянием стенок на компоненту волновой функции у^(х)
можно пренебречь, если одновременно выполняются условия
Д? А , Lx Хд.
240
К; Отметим, что вид спектра и ВФ не инвариантен относп-
^.'тельно перемены х++у, хотя в исходной постановке на-
g. правления х и у равноправны. Причина этого, очевидно,
связана с выбором векторного потенциала А в виде (12.11).
4. В классической механике проекция траекторий заряда
К^'. в магнитном. поле на плоскость, перпендикулярную полю,
S®1 есть окружность. В квантовой механике плотность вероят-
Ввкности в плоскости, перпендикулярной полю, может вообще
 4'. не обладать аксиальной симметрией (12.12). Причина этого
' ТЖ заключается в вырождении состояний заряженной частицы
fe* в магнитном поле с заданной энергией. В классической
ДЖ. механике этому вырождению соответствует неопределенное
положение оси симметрии траектории в плоскости ху.
Рассмотрим классически движение заряда в магнитном
х поле с векторным потенциалом-
'	Ах^-~^Гу, Ау = ~^‘х, Аг = 0.	(12.13)
р* - i ж у) + i [р«+w + i

^Классическая функция Гамильтона имеет вид
к	1 / е. \2 . 1 /	. е \2 . 1	,
2т Pi-
Отсюда следуют гамильтоновы уравнения движения:
Р 2с )’
^у), (12.14)
/Д =
х = — (рх —-с
т \ г
У ~ ~т [Ру 1
1
Z = — р-,
т Г
СО
Ру=--~2
/>г = 0.
Решение уравнений для х и у имеет вид
X = г cos (со/ — ср) + хб,
(12.15)
У —г sin (со/— ф) 4-г/о,
'«$^где х0 и с/0 — координаты центра окружности. Используя
L. ^.уравнения (12.14), можно выразить координаты центра х0,
Уо через канонически сопряженные величины (х, рх, у, ру).
;й₽Вычисляя, получим
У° 2 ' та ’
— Х — El
Х°^ 2 тл’

241
Перейдем к квантовой механике, сопоставляя классическим
величинам эрмитовы операторы:
~ __ х 1 Л
х° ~ Т “ та Ру'
(12.16)
” _ у ' 1 Л
У° — Т ~ та Рх-
Из формул (12.16) следует, что координаты центра окруж-
ности не коммутируют и не могут быть определены одно-
временно:
Используя решение (12.15) для классических уравнений
движения, можно найти вид операторов х, у в гейзен-
берговском представлении. Представим решение (12.15)
в впде
х (t) = A cos — & sin cut 4-х0,
(12.17)
у (t) == A sin со/ + В cos co/ + y0,
где А и В — операторы, не зависящие от времени. Положив
в уравнениях (12.17) / = 0 и потребовав, чтобы
х(0) = х, г/(О) = у,
определим выражение для операторов А, В. Окончательно
получим	;
х (/) =	cos со/ + (	sin со/ + ( * —	,
v '	\ та 1 2 /	' \та 2 /	1 \ 2 та'
(12.18)
y(t) — [— + sin со/ + ( К— 'j cos со/ Ц- Ц- и }.
J ’ \та '2/	' \2 та/ ' \та 1 2/
Таким образом, операторы в гайзенберговском представ-
лении зависят от времени периодически. Это означает,
что у любого волнового пакета, который при / = 0 может
быть описан функцией вида
Чг(х, у, z)-=cp(x, у)ф(г),
поперечная часть (х, у) примет первоначальную форму
242
гчерез время
5';	т —
Р=?	~ <о *
ч;-
совпадающее с периодом классического движения заряда
£’ в магнитном поле.
Ь-
й.-. 5. Рассмотрим движение заряженной частицы со спи-
нном 1/2 в магнитном поле. Уравнение Паули имеет вид
L	..ОТ 1 М е . \2 z'uXur
X	= ъ Р-------А) ¥—и0(оН)Т.
§!•	dt 2m \ * с / пп /
Очевидно, в постоянном и однородном поле - ВФ могут
Й быть представлены в виде произведения орбитальной и
У спиновой функций, причем собственными спиновыми функ-
< циями будут состояния с заданной проекцией спина на
^направление поля:
Х1 — 1 + )— Q
Х2 = |->= !
При учете спина энергетический спектр имеет вид
f /	1 \
Ер = Йсо (п -g-1 -j-
Pi
2m
гу Рассмотрим случай зависящего от времени поля. Неста-
ционарное уравнение Паули имеет вид
dt ф2

Ф2
У где Нс — гамильтониан заряженной частицы
 I (12.1). Представим волновую функцию в виде
•' ния двух зависящих от времени частей:
81(0	’
S2(0 ’
= ф(г. О
(12.19)
(12.20)
без спина
произведе-
(12.21)
Фг
где функция <р является решением уравнения
т^- = нсц>.
Йд.Подставляя (12.21) в уравнение (12.20), для
-функции получим уравнение движения
v-д Si (0	®1(0
§;	% о	s,w •
спиновой
(12.22)
ЙЛ МО ”
243
Если магнитное поле однородно, Н —	\ (/), то уравнение
(12.22) распадается на пару уравнений:.
111	" ~ Ь1°	S1’
• f	/ J\
1П-^=-[10-2Л (t)s2.
Эти уравнения могут быть проинтегрированы:
(t	\	/ t	'
Ж (t) dt j, s2 — c2 exp ( — ~	(t) dt
о	!	’' o*
где константы Ci и c2 определяются начальными условиями.
Рис. 42.
Отметим, что вероятности
проекций спина на направ-
ление магнитного поля со
временем не меняются.
6. Рассмотрим движе-
ние заряженной частицы
со спином в неоднородном
магнитном поле (опыт
Штерна — Герлаха). Форма
полюсных наконечников
электромагнита и распо-
ложение координатных осей изображены на рис. 42. Пло-
скость гОу является плоскостью симметрии магнитного
поля. При малых значениях г, х напряженность поля
можно представить в виде
&Cx=kx, ^y = Q, еГг = ^0-^г.	(12.23)
Для простоты рассмотрим движение в таком поле ней-
тральных частиц с магнитным моментом р и спином 1/2
(нейтрон, атом водорода). Пусть волновой пакет, описы-
вающий состояние частицы, характеризуется при t — Q
средними значениями
х = у = £ = 0,
х=2 = 0, y=v.
Если размеры волнового пакета малы по сравнению с обла-
стью, в которой применимы формулы (12.23), то уравнение
244
Паули можно записать в виде
д 41 _
|й # ф2
№ Л
— 2т Л
О 1
1 О
Уравнение для каждой из компонент имеет вид
ifttyi = — ~ Д41 + pkx ф2 + ji(s$r0 - kz) 4lt
(12.24)
1Йф2 = — ~ Аф2 + рЛх 4Х - р(^Г0 - kz) ф2.
Будем искать решение этой системы в виде
41 = W1 exp(-4^p>z), ф2==ц2ехР1-Цр/. (12.25)
Подставляя (12.25) в (12.24), получим
г ' ihiii = —	А«! + iikxu2 exp 1 — рЛг«1,
Ш	(12.26)
,	ihii.2 = —	Ди2 + рйл-«1 ехр (— 2<м^° + [ikzu2.
Экспоненциальные функции в правых частях уравнений
z осциллируют с периодом
; : 	r = 2jl-i^V
. Для значений поля 103 гс и магнитных моментов
порядка боровского магнетона
,	_ ей
;	11 2тс
L. время осцилляций Т 10 10 сек мало по сравнению с харак-
терным временем пролета частиц через систему
/ -	x — L/v.
Приняв длину полюсов магнита L=1 см, а скорость
частиц ц^Ю3 м/сек (порядка тепловых скоростей моле-
’л КУЛ). получим тг« 10 Б сек. Усреднив уравнения (12.26)
 по промежутку времени AZ при условии
£	Т<А/<т,
245
получим пару независимых уравнений для усредненных
функций «1( и-2'-
1П^Г = ~ Wi —
— ы-Aw-> + цАгпг.
Каждое из этих уравнений имеет вид нестационарного УШ
для частицы в однородном поле, направление которого
зависит от значения проекции спина. Поскольку средние
значения 2 для каждого из пакетов удовлетворяют клас-
сическим' уравнениям движения, то среднее значение ~
будет увеличиваться для частиц в состоянии j +) и умень-
шаться для частиц в состоянии | —). При достаточно
большом времени пролета смещение волновых пакетов
может значительно превышать их ширину. На выходе из
прибора падающий пучок частиц расщепится на два пучка,
в каждом из которых проекция спина на ось г будет
иметь определенное значение.
7. При рассмотрении уравнения Паули в п. 10.4 мы
нашли, что в нерелятивпстском приближении частице со
спином 1/2 можно приписать магнитный момент
р = pcs.
Выше мы рассматривали взаимодействие спинового магнит-
ного момента с внешним магнитным полем. Аналогичным
образом можно описывать и взаимодействие между магнит-
ными моментами частиц.
Если ядро атома обладает магнитным моментом, то
при учете взаимодействия электронов с магнитным полем
ядра атомные уровни энергии — вообще говоря, вырож-
денные—расщепляются. Такое расщепление называют
сверхтонкой структурой уровней. Рассмотрим сверхтонкое
расщепление в атоме водорода. Оператор взаимодействия
имеет вид
V = 2p0[(Ap)l + s^].	(12.27)
Будем рассматривать ядро как классический точечный
магнитный диполь с моментом р. Вектор-потенциал имеет
вид
А = —[pxgrad
246
г Вводя напряженность поля
— rot А
и используя равенства
' rot (Ах В) = A div В —В div А + (BV) A —(AV) В,
f div grad у — — 4л6 (г),
для оператора (12.27) получим
=	(12.28)
\ Для отыскания поправки к энергии в первом порядке
теории возмущений надо вычислить среднее значение опе-
r-f' ратора возмущения V по невозмущенным ВФ. Ограни-
чпмся рассмотрением s-случая. Тогда последний член
в (12.28) обращается в нуль. При вычислении интеграла
от второго и третьего членов следует проявить осторож-
Ь- ность, так как интеграл от каждого из этих членов по
^.отдельности расходится. Однако, учитывая, что
\	= - (BV) (sV) -*(12.29)
Й-.Х
а интеграл может зависеть лишь от относительной ориен-
тации векторов s, р., можно заменить (12.28) средним по
йГ направлениям значением
- .	(pV) (sV) ’ -> ’ (ps) V2 }r.	(12.30)
£ Итак
Bo ( sb) <Pn (0) = з Bo •
Магнитный момент ядра p связан с его спином i соотно-
шением
Р = Рл4’
Д Таким образом, усредненный по ВФ оператор возмущения
*•'	Ту 16 si
г— уРоВл'уу-
 .-.Собственные значения оператора is вычисляются так же,
как и для 1s:
i	is=f(/+l)-i(i + l)-s(s + l),
247
где через f обозначен полный момент атома. Так как
s= 1/2, то возможны только два значения f:
f = i±\/2.
Для атома водорода (i = 1/2) уровень Isj 2 расщепляется
на два подуровня, расстояние между которыми
кЕ = роНр 4 (2i + 1) 0,93  10-17 эрг (12.31)
О (7(,
мало по сравнению с расстоянием между компонентами
тонкой структуры (см. главу 10).
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что в классическом случае при движении заряда
в поле (12.13) проекция кинематического момента на направление
поля всегда положительна, в отличие от г-проекции обобщенного
момента
1г=хру— урл
2.	Найти коммутационные соотношения для компонент скорости с;
заряда в однородном магнитном поле.
3.	Определить спектр и ВФ заряда в постоянных однородных
и взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.
4.	Частица со спином 1/2 находится в переменном магнитном
поле qXW)- При / —0 спиновая функция частицы имела вид
%=«? «« cos б | + ) +е'а sin 6 — ).
Определить среднее значение проекций спина на оси х, у и зависи-
мость направления поляризации частицы от времени.
5.	Определить спиновую ВФ частицы со спином 1/2 в магнитном
поле
ХСх^ХХ sinBcosco/ ХХу = sin 6 sin со/
6.	Два протона зафиксированы на расстоянии а в магнитном поле
напряженности образующем угол 6 с линией, соединяющей про-
тоны. Определить уровни энергии, рассматривая диполь-дипольное
взаимодействие как возмущение.
7.	Магнитное поле создается кольцами Гельмгольца — двумя кру-
говыми витками проволоки, расположенными-в параллельных пло-
скостях так, что центры их находятся на общей оси. Ток J по ним
течет в одном направлении, радиусы колец и расстояния между их
центрами — а. Движение вдоль оси колец ограничено стенками на
расстоянии + b от плоскости симметрии (1>-'' а). Используя метод,
изложенный в п. 11.3, оценить время жизни квазпетацнопарного
состояния электрона, соответствующего низшему уровню Ландау.
Положить J = 1 а, расстояние о—10-он.
Глава 13
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
0. В классической механике описание движения кол-
лектива частиц в принципе сводится к определению закона
.. движения каждой отдельной частицы. При этом совпадение
,• физических параметров частиц не играет принципиальной
роли.
Качественно иная ситуация в квантовой механике.
Волновой функцией описывается поведение всего коллек-
- тива частиц. Отдельной частице при наличии взаимодей-
ствия нельзя сопоставить ВФ. Если ВФ коллектива
совпадающих по своим физическим свойствам частиц
отлична от нуля в некоторой области, то вопрос о том,
какая именно частица может быть обнаружена в этой
. области, не имеет смысла. В квантовой механике совпаде-
ние физических свойств частиц приводит к их полной
” 'неразличимости.
1. Все известные частицы таковы, что ВФ, описываю-
щая коллектив из N тождественных частиц,
/	?д),
где qt означает совокупность координат и проекции спина
частицы, при замене
... либо меняет знак (антисимметричная ВФ), либо остается
’ неизменной (симметричная ВФ). Симметрия ВФ не зависит
’ .ни от взаимодействия между частицами, ни от наличия
внешних полей и определяется следующим правилом.
Система тождественных частиц с целым спином — система
бозонов — описывается симметричной ВФ. Система тожде-
ственных частиц с полуцелыми спинами — система фермио-
г . нов — описывается антисимметричной ВФ. В нерелятиви-
: стекой квантовой механике это правило следует рассматри-
вать как одно из основных положений.
249
Рассмотрим систему из М невзаимодействующих тож-
дественных частиц. Гамильтониан такой системы имеет вид
W N
1-=I	1 = 1	i
Пусть tyi(q) есть полная ортонормированная система СФ
одночастичного гамильтониана ft.
Рассмотрим коллектив из N тождественных бозонов.
Обозначим через (/?,) произведение функций ф,-, зависящих
от координат и спиновых переменных каких-то определен-
ных п,- частиц. Порядок расположения сомножителей без-
различен. Произведем упорядоченное разбиение множества
из N частиц по бесконечному числу состояний, первое
из которых содержит /Zj частиц, второе п2 частиц и т. д.
Число упорядоченных разбиений равно
( N \ м
\»i п2...	«
П
z=i
Здесь ^rii — N. Мы считаем, что (п,)=1, если иг = 0.
Базисные ортонормированные функции для коллектива
из N бозонов имеют вид
Ф=У(„ п N т )"1/2 («г) («2)... («/)••	(13-1)
В этом выражении числа ni фиксированы, а суммирование
проводится по всем упорядоченным разбиениям, .функции
(13.1) являются симметричными функциями.
Для двух частиц
ф (91. 9е) = -рт [фт (91)	(9а) +	(91) %, (9-1)].
если т=^п. Если т = п, то
Ф(91, 92)=Фл(91)Фп(92).	(13-2)
Нормированная антисимметричная ВФ стационарного
состояния системы тождественных фермионов может быть
записана в виде детерминанта, составленного из одноча-
стичных ВФ:
Т = -1-Пе1|фа.(^)|.	(13.3)
250
Р Индекс i — номер строки (1 N) — фиксирует состояния,
[’5в которых находятся частицы,. причем индексы а распо-
ложены в порядке возрастания («, <; а2 <;...< аЛ7).
L-Индекс /г(1^^й-У) указывает номер столбца. Функции,
р находящиеся в k-м столбце, зависят от координат и спи-
новой переменной /г-й частицы. Перестановка двух наборов
г координат (замена qt <-> г/7) есть перестановка двух столбцов
г. детерминанта. Она приводит к изменению знака Y. Трсбо-
^-вание антисимметричности приводит к условию
(<7ь •••, Qi, qt, •••, <7л') = °.
?:’что соответствует равенству двух столбцов
Вместе с этим ВФ обращается в нуль и при
двух строк матрицы (ос/г = ат).
!; ' Таким образом, для того чтобы ВФ системы
Г действующих фермионов была отлична от нуля (т. е. чтобы
состояние было физически реализуемо), необходимо, чтобы
-.в каждом состоянии ф„ находилось не более одной частицы,
г'. Это требование называется принципом Паули. Оно спра-
ведливо и для состояний системы слабовзаимодействующих
^фермионов, которые можно приближенно описывать с
^'помощью детерминанта одночастичных ВФ. Для системы
(-двух фермионов
= vt [фИ1 Ш Ф„ (я?)'- Ф™ (qJ Ф« (qi)]-
матрицы,
равенстве
невзаимо-

(13-4)
£' 2. Гамильтониан системы электрически взаимодейст-
вующих частиц в нерелятивистском приближении не зависит
gpr спинов. Поэтому УШ удовлетворяет каждая из спиновых
компонент ВФ. Полная ВФ может быть записана в виде
= ф(Г1, r2, ...)x(Oi, о2, ...).
^Однако требования симметрии полной ВФ приводят к неко-
игорым ограничениям на координатную ВФ <р (гх, г2, ...),
^Поэтому из всех возможных решений УШ физически может
реализоваться лишь некоторая часть.
|; ^Рассмотрим следствие симметрии для проблемы двух
^тождественных частиц. ВФ может быть записана в виде
Фг = 6(Г1 + г2)Ф(г1-г2)х(о1, о2).
^Функция О^ф-Го), очевидно, всегда симметрична по отно-
Фмению к перестановке rx «->г2. Для Ф (п —г2) перестановка
«координат эквивалентна инверсии системы координат.
I -	251
Для частиц со спином 0 спиновый множитель равен
единице. Требование симметричности ВФ при перестановке
эквивалентно требованию четности Ф (гг — г2) при инверсии.
Если взаимодействие частиц описывается центральным
потенциалом £/(1^ — г3!), то переменные в УШ для функ-
ции Ф разделяются в сферической системе координат. Так
как четность состояния совпадает с четностью орбиталь-
ного момента, то система двух одинаковых частиц со спи-
ном нуль может находиться только в состояниях с четным
орбитальным моментом I.
Рассмотрим систему двух частиц со спином 1/2. Спино-
вые ВФ такой системы были рассмотрены в п. 4.11. Общая
СФ операторов S2 и S-, соответствующая синглетному .
состоянию (S = 0), есть
|0, о>=—ц + ->-|-+>}.
Очевидно, спиновая ВФ нечетна при перестановке частиц.
Поэтому в состоянии с S = О Ф (rj — г2) должна быть чет-
ной функцией: возможны только четные значения орби-
тального момента I. Спиновые ВФ триплетного состояния
|1. 1> = 1 + +>.
г
|1,-1>=|+,->,
очевидно, четны по отношению к перестановке координат.
Следовательно, в состоянии с S = 1 орбитальная ВФ
Ф(г£ — г2) должна быть нечетной функцией: возможны
только нечетные значения орбитального момента I.
В общем случае энергетический спектр задачи двух тел
зависит от I. Поэтому возможные значения энергии зависят
от полного спина системы. Про такую зависимость говорят,
что она вызвана обменным взаимодействием. Если оператор
взаимодействия Е(г}— r21) двух тождественных частиц
со спином 1/2 мал (например, по сравнению с энергией
внешнего поля U (г,)), то взаимодействие можно учесть
как возмущение. Невозмущенным орбиталям
Ф1.2 =	[fl (Г1) fs (Г>) ± fl (r2) f2 (Г1)]
соответствуют в первом порядке теории возмущений сред-
ние значения энергии -взаимодействия
£1,2 = Л±Л
252
где
f Л =	V(r1-r2)|<p1(r1)|2 |<р2 (г2)|2 (йд dr2,
>	J = И f * (г2> (гг) V (Г1 “ rs) f * (fi) f2 (гг) df!dr2.
• Величина J, определяющая разность энергий, называется
г обменным интегралом.
1	3. Прн рассмотрении задачи рассеяния двух тождест-
венных частиц орбитальная ВФ должна быть, в соответствии
^<о сказанным в п. 13.2, симметрична или антисимметрична
~-по отношению к перестановке координат частиц в зависи-
мости от их суммарного спина. Это относится к взаимо-
действиям, при которых суммарный спин является интегра-
{ лом движения.
', Вместо граничного условия (9.4) вы выберем асимпто-
тическое выражение ВФ рассеяния тождественных частиц
Ш в виде
j .	ф = ёк~ ± erikz +	[/ (6) ± f (л — 6)].
I/
 Верхний знак (плюс) соответствует четной орбитальной ВФ
“% (четный суммарный спин). Дифференциальное сечение
Д' рассеяния в этом случае
|	<Me) = |f(e)+H*-6)l2.	(13.6)
I). Аналогично, дифференциальное сечение рассеяния для
нечетного суммарного спина
<M6) = |f(8)-f(n-6)|2.	(13.7)
Формулы (13.6), (13.7) относятся к случаю столкновения
. частиц с заданным суммарным спином. Обычно опыты по
рассеянию проводятся с неполяризованными пучками частиц
Ь и мишенями и наблюдается среднее значение эффективного
’ сечения. Предполагая равновероятность осуществления
каждого спинового состояния, для двух фермионов со
'спином 1/2 получим
i-. 	1	, з
o*eff
. 4. В предыдущем изложении мы ограничивались случаем
. системы двух тождественных частиц. Для рассмотрения
систем с большим числом тождественных частиц удобно
использовать метод вторичного квантования.
253
1й£.
Рассмотрим систему тождественных фермионов. Пусть
ф„. (q) есть некоторая полная система ортонормированных
функции. Выбор этой системы определяется соображениями
удобства. Эти функции совсем не обязаны быть собствен-
ными функциями однойастичпого гамильтониана.
Для описания системы тождественных фермионов доста-
точно указать, какие одночастичные состояния заняты:
Ф = |...1а1... 1„2... lajv...>.	(138)
Напомним, что все состояния перенумерованы и номера
состояний в этой записи возрастают слева направо. Такая
функция соответствует функции (13.3) — детерминанту,
включающему строки с индексами az, соответствующими
единицам в функции (13.8). Функцию (13.8) мы будем
называть ВФ системы в представлении чисел заполнения.
Функцию Ф удобно представить в несколько ином виде.
Пусть |0) есть ВФ вакуумного состояния, для которой все
числа заполнения в (13.8) равны нулю. Введем операторы
Ci, ct, удовлетворяющие соотношениям
C/Q + cftc,-= О,
c?ct + cfcci = O,	О3-9)
С ,С k С jjCI =
действие которых на вакуумную ВФ в представлении
чисел заполнения определяется правилом
ог|б, oft, о>=|б, ift, б),	(1310)
q|o, 1л, б> = |б, о*, б).
Здесь и в дальнейшем мы обозначаем через А набор чисел
заполнения; б означает набор, состоящий из одних нулей.
Операторы ci и ск называются ферми-операторами рож-
дения п уничтожения соответственно. Смысл названий ясен
из формул (13.10). Свойства ферми-операторов при i = k
рассматривались в задачах к главе 1.
Из формул (13.10) следует, что функция Ф может быть
представлена в виде
Ф==с51С52...с^10\	(13.11)
Отметим существенность порядка операторов рождения в
этой записи: такая функция соответствует детерминанту
со строками (al, a2, ...). Очевидно, что ВФ (13.11) удов-
254
I летворяет правилу симметрии, меняя знак при переста-
новке ai<-*ak. Такой замене соответствует перестановка
строк детерминанта (13.3).
Выше мы подразумевали, что речь идет о системе
1 невзаимодействующих частиц. Однако функции Ф образуют
полную ортонормированную систему, по которой может
быть разложена произвольная ВФ системы взаимодейст-
* вующих частиц, удовлетворяющая правилу симметрии.
5. Пусть гамильтониан системы тождественных фермио-
Е. нов имеет вид
N
H=^hj+ У1ф, _	(13.12)
/=1 i<i
где hi есть одночастичный гамильтониан:
I-	^ = g + (/(xz),	'
I a Vij есть потенциал взаимодействия между частицами i и /:
L	Ky=V(|r(.-ry|).
.. Поскольку ВФ, представленные в виде (13.11), обладают
правильной симметрией, гамильтониан И также удобно
• представить через операторы, действующие в пространстве
чисел заполнения.
В дальнейшем для краткости будем обозначать через А
произведение операторов рождения, подобное записанному
в (13.11). Очевидно, что
сиЛ|О)-О,
если в А отсутствует cj;
-	с^„л|о>=Л!о>,
I
если в А есть оператор с£.
Детермпнантиую ВФ (13.3) можно преобразовать на
основании известной теоремы Лапласа. Пусть в детерми-
• нанте D порядка N произвольно выбраны k строк (или k
.столбцов). Тогда сумма произведений всех миноров fe-ro
? порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах),
г на их алгебраические дополнения равна детерминанту.
...	255-
S'
Итак, можно записать
Ф = та-2(~ 1)6+Л(а,(Ра(^)ЛГ’	(13.13)
а
где /г (а) —номер столбца, соответствующего состоянию а,
а минор М' получен из детерминанта путем вычеркивания
строки k и столбца п (а). В дальнейшем для краткости
набор координат qk будем обозначать просто индексом k.
Аналогично
(_ 1 )/+*+«(«)+п(₽)|(Ра(д)	(13.14)
'	фа(^ фр (Ж '	’
. а Р
Минор М" получен из детерминанта путем вычеркивания
строк i, k(i<k) и столбцов n(a), п (Р) (п (а) <; п (0)).
Легко убедиться, что
саЛ|0> = ЬЦ£^Ж',	(13.15)
л л л । .	(__Пп <а> +п <В>
с“с'“4|0>=	(|3161
Формулы (13.13) можно записать в смешанных представ-
лениях:
o = <13Л7>
а
Ф = V u7n п 22	1 )<+* [<р“ (1)	~	(/г)] х
а р
л(а)<п(р)
хааард:о>=—	(— 1)/+* <ра (Г) <рр (fe) сасрЛ|0\
4 (13.18)
При переходе к последней строке в (13.18) мы опустили
условие п(а)</г(Р) в суммировании, воспользовавшись
антикоммутативностью са, ср.
Используя смешанные представления, найдем вид опе-
ратора Н. Учитывая формулы
hkff a (k) = у, ф' h I а) Фр (k),
15	(13.19)
Vik Фа (0 фр {k) = У <у6 I VI сф> ФУ (0 фе (k),
v6
256
•получим
:	1 <N i «> 1 (“ 1 ГЧ (*) с аА I10) +
F к р« *
+ VNTN^i 2 <Y’ 6 1 V1 а’ Р> 2	(0 Фб (*) X
I :.	г ' ЧСар	i<k
:	-	хсас₽Л!0). (13.20)
[ Перейдем теперь от смешанного представления к представ-
ленню вторичного квантования. Преобразование одноча-
стичной части гамильтониана проводится с учетом формулы
'	7^2(-1)"Фр(/г)^Л 1°> = ^а^1°>’ (13.21)
i	v ft
^непосредственно следующей из (13.13) и (13.15). В левой
части (13.21) стоит разложение детерминанта по первому
; столбцу, содержащему функции <рр (k):
(13.22)
6 а
Рассмотрим теперь второй член в (Г3.20):
-7=L== У <уб | V | сф> У (- 1)"Ч (!) <рв (/г) сас^А 10> =
<<ft
f	= , -I - ; • - У /<уб | V | оф> x
1N (N — \) 2 4^ ) r 1 '
X y, (— l)i+fc<pv (i) q>6 (k)cacpA I 0) +
i< k
’	+<б?|1/|ра>	(-1)‘’+^(0Фт(^)^аЛ|оЯ	(13.23)
i < k	]
Учитывая равенство
(уб | V | оф) — (бу | V | fJa>,	(13.24)
преобразуем правую часть формулы (13.23) следующим
образом:
й‘”ф“тга5' 2 2 <тб।vi«₽> 2(-d-^x
r '	’ Тба₽	i < k
X (<pY (i) <pe (k) — <₽6 (i) <pY (k)) cpcaA 10).	(13.25)
9 IL В, Елютин, В. Д. Кривченков	257
Здесь мы учли антикоммутативность операторов са,ср. Из
формул (13.14) и (13.16) следует равенство
г. 1-—~ = у (— ly+^+s |	4)6 ® |	|о>=
И К (N -1)	v	I ф¥ (*) ФС (fe) I
= с^с$саА | 0).	(13.26)
Выражение, стоящее в левой части формулы (13.26),
представляет собой разложение детерминанта по первому
и второму столбцам. Итак, гамильтониан системы тождест-
венных фермионов в представлении вторичного квантова-
ния имеет вид
Н^ф\Ь\а)с^са +
ра
+ у 2	1 VI «₽> срса.
?в«р
(13.27)
6.	Рассмотрим теперь представление вторичного кванто-
вания для системы тождественных бозонов. Определим
операторы at, ак, действие которых на функции чисел
заполнения определяется правилами
ak\A,nk,B) = y nk | А, пк — 1, В),
dk \ А, пк, В/ = 1/Л/1/гЧ- 11 А, пк-j- 1, В/.
(13.28)
Из правил (13.28) следуют коммутационные соотношения
ака{ — а,ак =0,
dtdt — dtd£=O,	(13.29)
d/dk — atdi = 6,fc.
Операторы dk, at с коммутационными соотношениями (13.29)
называются бозе-операторами уничтожения и рождения
соответственно. Свойства таких операторов при i = k рас-
сматривались в задачах к главе 1.
Волновой функции (13.1) сопоставим функцию от чисел
заполнения и будем рассматривать числа заполнения как
независимые переменные
Ф = |«1> «2.	«/> • ••>•
(13.30)
258
В смешанном представлении Ф имеет вид
ф=	«2.	=
1 = 1
== 2 ’М<7а)^<Ш1. «2. ...» nh ...>.	(13.31)
Легко показать, что
У, Фг (<7а) У («1) («г) • • • («/ - 1)... =
а — 1
= п<2>1) («а)-••(«<).	(13.32)
где суммирование ведется по всем упорядоченным разби-
ениям. Из формулы (13.32) следует соотношение
N
2 7/^ (9а) I «ь «2....«/-!> =
а = 1г
= Vtii\ nlt п2, nit ...)=at\nlt п2,
(13.33)
Используя формулы (13.19) и (13.31), получим
N
яф = 2 2 № 1 '> 2 (<?ц) w 1 fti ’ ”2’ • • •>+
k i	а — 1
+ 12<toIV|^)x
Imlk
.	N	j
X 2 2^Z (9p)	(*?“) КN (N 1)	।П1’ nz'''	(13.34)
ft = 1 a = 1
При помощи соотношения (13.33) совершим переход от сме-
шанного представления к представлению, в котором пере-
менными являются только числа заполнения. В результате
этого перехода получим
Н | /гь п2,.. .> = У {k | h |t>	| nlt ti2, .. .> 4-
k i
+ g- 2 </. m I V j i, k)aid;ndidm | /г1( /г2, ...).
I tn i k
9*
259
Таким образом, гамильтониан И в представлении вторич-
ного квантования имеет вид
Н = <Р | h | а) 6$аа + <уб | V |сф> d+d6Mpda.
ар	увар
Это выражение формально совпадает с (13.27), отличаясь
заменой ферми-операторов на бозе-операторы.
Отыскание собственных значений гамильтониана сис-
темы взаимодействующих тождественных частиц представ-
ляет сложную задачу, решение которой требует либо
рассмотрения специальных простых моделей, либо исполь-
зования приближенных методов.
7.	Развитый выше формализм можно представить
в несколько ином виде. Используя явный вид функ-
ций ф; (q), введем операторы
w(Л
' а	(13.35)
Ф+(<7) = £Ж (q)bt.
i
Здесь bh bt суть операторы cq или ct. Оператор ф+(<7с)
увеличивает полное число частиц в системе на единицу,
рождая частицу в состоянии с q = q0. В самом деле, опе-
ратор W создает частицу в состоянии ф/(<у). Поэтому
ф+ (<?„) создает частицу с ВФ
1Ф+ (?о) I 0> == 2 Ф* (?«>) Ф/ (?) = 6 (q - ?0),
i
так как использованная система функций я]д(?) полна.
Правила перестановки операторов ф;, ф£ следуют непо-
средственно из определения (13.35) и перестановочных
соотношений для операторов
’Ф(£)’К(11)±’1’+(’1)Ф(а=б№-11)-	(13.36)
Верхний знак (плюс) —для фермионов, нижний —для бозо-
нов. Операторы ф позволяют представить гамильтониан
системы тождественных частиц с парным взаимодействием
в виде
77 = ^(Ю^(Ю4 +
• + 2§	’1П 01) ^ (£) ^ Л1- (!3-37)
260
Аналогия между формулами (13.35), представляющими
разложение операторов ф по операторам bt, и формулой
Ф (*) = .£ <₽'(*)
i
для разложения произвольной функции по полной орто-
нормированной системе функций и послужила одной из
причин, по которой описанный метод был назван методом
вторичного квантования.
8.	Рассмотрим кристаллическую решетку, узлы которой
определяются вектором
Чя = П1а1 + П*2а2 + R3a3-
Здесь а, суть базисные векторы решетки, а п = [пь п2, «з]
есть тройка целых чисел. Пусть в узлах решетки распо-
ложены атомы, каждый из которых имеет один валентный
электрон. Пусть координатные ВФ валентного электрона
для изолированного атома суть ф(г — q„). Эти функции
можно приближенно считать ортогональными:
<Ф (г - q„) | ф (г - qm)> = б„т.
Пренебрежем возможностью электрона переходить от
одного узла к другому. Рассмотрим, как зависит энер-
гия системы от спинового состояния всех валентных элект-
ронов.
Выберем функции ф(г — q„) в качестве базиса. Гамиль-
тониан системы валентных электронов в представлении
вторичного квантования имеет вид
Я =	|/i |а) cgca + y У <уб | V | ар > с|с£срса.
р а	у в а р
(13.38)
Здесь Л есть оператор энергии валентного электрона
в потенциальном поле всех атомов, а V есть энергия
электростатического взаимодействия валентных электронов.
Преобразуем гамильтониан (13.38) к такому виду, что-
бы объектом действия Н являлись функции от спиновых
переменных всех валентных электронов. Каждый из индек-
сов а, р, у, б есть совокупность чисел [«х, п2, «з, ст],
^указывающая номер узла и спиновое состояние электрона
в этом узле.
261
Рассмотрим первый член суммы. При а = [п, +1/2] и
Р —[п, —1/2] матричный элемент между этими - состоя-
ниями равен нулю. Поскольку каждый атом содержит
только один валентный электрон, то случай а = [п, о],
Р = [п' о'] не реализуется. Поэтому в первом члене можно
положить
cf> са — I •
Матричный элемент (уб | V | оф ) отличен от нуля тогда,
когда пары состояний (у, а) и (6, Р) обладают одинако-
выми значениями проекции спина. Так как каждый атом
имеет один валентный электрон, то во второй сумме
либо
у = а = [п, о], 6 = p = [n' o'],
либо
а = [п, о], p = [n' o'], 6 = [n, o'], у = [п' ст].
В первом случае спиновые состояния электронов в узлах п
и п' не изменяются. Во втором случае происходит «обмен
спинов» между атомами п и п’.
Введем новый оператор РПП', который производит обмен
спинов. Тогда в первом случае
СуСсСрСа =СуСаСбСр = I,
а во втором
CyCg СрСа = СуС рС6Са = Рпп’ .
Заметим, что если спины валентных электронов у ато-
мов пип' параллельны, то РпП’ — 1. Введем обменный
интеграл
(Чп Чп') = J (Чп- Ч«)=
= $ $ Ч* От - Чп) Ч* (г2 - Чп') V Ч («Г - Чп') ч (г2 - Чп) dr^r-2.
Зависимость J от (Чп —Ч«') следует из трансляционной
симметрии. Таким образом, оператор Н может быть пред-
ставлен в виде
Я = £-4 2 /(Ч«-Чп')£пп',
пфп'
ИЛИ
Я = £о-|	^(Чп-Чп')(£„«'-!)•	(13-39)
Пфп'
262
Если спины всех электронов в состоянии Ф парал-
лельны, то НФ — Е0Ф.
Рассмотрим состояние Чт, в котором суммарный спин
’ системы на единицу меньше максимального. Обозначим
через Ф/ состояние, отличающееся от Ф тем, что спин
у i-ro электрона перевернут. Решение уравнения Шре-
дингера ищем в виде
(13.40)
i
/ Подставляя функцию (13.40) в (13.39), получаем
:	пфп'	I
(13.41)
' Если /I и п' не равны i, то левая часть выражения (13.41)
... есть нуль. Рассматривая два случая: 1) п'— i, n=^=i и
. 2) п = i, ti =# i, мы получим
£	- 2 2 J (q„ - Ф) (АФ„ - АФ,) = (£х - Ео) 2 ЛФ;.
in	i
•t Так как функции Ф/ и Ф, при i =# j ортогональны, то,
составляя скалярное произведение, получим
2 j (Ф - qy) (А - А) = (Е - Ео) А}:	(13.42)
е	i
Для того чтобы функция Чт удовлетворяла теореме Блоха,
- должно быть (ср. п. 6.14)
~ Ai = Aeik4.	. (13.43)
Г Подставляя (13.43) в (13.42), получаем
I E1 = E0+J] J(q„)(l-e,kS, Ч„ = ф-Чу. (13.44)
|'	п^ЬО
£ Если J > 0, то энергия состояния с максимальным
 спином соответствует основному состоянию, а состояния
₽ с ВФ
L	Чг = Л2е1кчфг
В- •	1
Ей энергией (13.44) описывают возбужденные состояния
Е системы, которые называются спиновыми волнами.
263
•• ЗАДАЧИ
1.	Считая, что взаимодействие между нуклонами в триплетном
состоянии описывается потенциалом задачи 5.18, объяснить отсутст-
вие связанных состояний в системе двух нейтронов.
2.	Найти зависимость дифференциального сечения рассеяния
поляризованных тождественных частиц со спином 1/2 от угла р
между направлениями поляризации.
8.	Потенциал взаимодействия тождественных фермионов со спи-
ном 1/2 представляет сферический барьер (£а<^1). Найти о (6) для
медленных частиц в синглетном и триплетном состояниях.
4.	Показать, что величина обменного расщепления уровней
системы из двух слабовзаимодействующих тождественных фермионов
со спином 1/2 может быть представлена как СЗ обменного оператора
Дирака
JPi2 = ^-™(l + oio2).
5.	Найти СФ и СЗ оператора обменного взаимодействия системы
из трех электронов
V =*— (/12 £12 + ^28^28 + ^81£si) •
6.	Показать, что оператор полного числа частиц
i
коммутирует с гамильтонианом в представлении вторичного кванто-
вания. Здесь bi, bt — операторы Бозе или Ферми.
7.	Для системы из N тождественных частиц со спином 1/2
определить максимальное число различных уровней энергии с задан-
ным значением полного спина S.
8.	Показать, что оператор квадрата полного спинового момента
системы N электронов может быть представлен в виде
k<l
9.	Показать, что оператор
V=~E Jkihi
k<l
коммутирует с оператором квадрата полного спинового момента.
Глава 14
ATOM

0. Энергетический спектр и волновые функции атома
водорода подробно рассматривались в главе 5. В этой
главе мы рассмотрим методы отыскания энергетического
спектра и ВФ атомов, содержащих более- одного элек-
трона. При этом учет тождественности атомных электро-
нов и требование правильной симметрии ВФ будут
играть существенную роль. Точные решения уравнения
Шредингера для системы из трех и большего числа
частиц не известны. Поэтому для нахождения спектров
сложных атомов мы используем приближенные методы.
1. Простейшими после атома водорода и водородо-
подобных ионов системами являются двухэлектронный
атом гелия (Z = 2), и гелиеподобные ионы (Z>2).
Рассмотрим вычисление энергии основного состояния
атома гелия по теории возмущений. В нулевом прибли-
жении атом можно рассматривать как систему двух
невзаимодействующих электронов в поле ядра:
__Pi __у g2 । PS ___ 7
0 2т	' 2т г2
(14.1)
ВФ нулевого приближения есть просто произведение
одноэлектронных ВФ:
Ф(гь пО = ^Ш3ехрГ-|Ч/1 + г2)].	(14.2)
Энергия системы в нулевом приближении есть
Взаимодействие между электрбнами учтем как возмуще-
ние. Оператор возмущения имеет вид
265
В первом порядке теории возмущений поправка определя-
ется средним значением энергии возмущения
£(1) = Voo== Фо (ги г2) Фо (гъ r2) dry dr2. (14.4)
J	'12
Для вычисления интеграла воспользуемся известным
выражением
1 4л w-i 1	/ г Л1
7^~7~ 2 W Г Yl"‘ Y‘m С6*’	<14-5)
где индексы < и > относятся к меньшей и большей из
величин гь г2 соответственно. Поскольку ВФ нулевого
приближения сферически симметрична, отличный от нуля
вклад в интеграл (14.4) дадут только члены с / = т = 0.
Итак,
Л2/7\6Р — Г 1 Р -2Zri
=	\е 00 V \ е a<,'r2(lr2 +
Л \ао / J	Г1 .)
О	' О
со
+ §
rt
2Zr2
а° r2dr2
rl dr^
(14.6)
Интегралы вычисляются элементарно:
£(D = 5Ze2/8a0.
Окончательное выражение для энергии основного состо-
яния:
р2	[у «2
Е= +	(14.7)
О O.Q
Этот результат можно улучшить, заменив в (14.2) вели-
чину Z вариационным параметром £. Напомним, что
вычисления в первом порядке теории возмущений экви-
валентны вычислениям с помощью вариационного метода
при не наилучшем выборе пробной функции. Итак,
£©=--J(?2-2Z? + |c).
Минимальное значение Е (^), соответствующее значению
r = Z — —
ь Л 16’
(14.8)
есть
266
Ev =
е3
«о
72   5 7 I 25 \
Л	8	Г256У'-
1 Меньшую, чем Z, величину «эффективного заряда» £
. можно объяснить взаимной экранировкой электронов.
Экспериментально наблюдаемой величиной является
энергия ионизации /, необходимая для отрыва одного
электрона. Она равна разности Е»—Ео, где Ео — энергия
оставшегося иона —
/=C(Z’-4Z+S)-	<14-9»
. Для атома Не формула (14.9) дает значение / = 0,85 а. е.
 Экспериментальное значение / = 0,9035 а. е. Как видно
из сравнения формул (14.1) и (14.3), малым параметром
теории возмущений е в нашем случае является величина
Е" Z-1. Поскольку для гелия е = 0,5, то согласие нашего
расчета с экспериментом может расцениваться как
удовлетворительное. Для гелиеподобных ионов с большими
Z согласие с экспериментом улучшается. С другой стороны,
при Z=1 формула (14.9) дает отрицательное значение-
потенциала ионизации. Однако в действительности энер-
гия ионизации иона Н\ положительна: /0,7 эв. При-
чины неприменимости теории возмущений очевидны.
2. Выбранная нами ВФ основного состояния (14.2)
симметрична по отношению к перестановке пространствен-
ных переменных гь г2. В соответствии с общим
требованием антисимметричности полной ВФ эта коорди-
г натная ВФ соответствует состоянию системы с полным
► спином S = 0 (парасостояние). Система в ортосостоянии —
> состоянии с S = 1 — должна описываться антисимметрич-
_ ной координатной ВФ. Такая ВФ не может быть постро-
ена из двух одинаковых орбиталей. Поэтому в качестве
>. исходных функций используем
	Ч11 (г)= 1 Ш3/2е-^,
У Л )
\ (НЛ0)
!. Это —ВФ основного и первого возбужденного (2s) состо-
Гяний частицы в кулоновском поле. Из функций фь ф2
могут быть построены как антисимметричная орбиталь
I ортосостояния
ф3 = -Ду W1 («1) ^2 (га) - Ф1 (Гг) ф2 («1)1,
26.7
так и симметричная орбиталь парасостояния
Г!"<Г1)	+	(Г1)Ь
Вычисление поправки по теории возмущений дает
Esl‘ = A + J, E'a" = A — J. (14.11)
Существенно, что обменный интеграл
j = \ W1 (Г1) 4’2 (га) Фх (гг) Фг (Г1) drv dr.2
J J	'12
положителен. Таким образом, ортосостояние лежит ниже
парасостояния. Расщепление уровней незначительно.
Экспериментальные значения энергии возбужденных
состояний суть Es= — 2,146; Еа= —2,175 (в атомных
единицах).
3. Для вычисления низших энергетических уровней
атома гелия мы применили прямой вариационный метод.
При этом в качестве пробных одночастичных ВФ мы
использовали ВФ частицы в кулоновском поле, строя
из них функции правильной симметрии. Очевидно, если
использовать единственный вариационный параметр —
эффективный заряд £, то точность такого метода будет
ухудшаться с ростом числа электронов.
Расширим класс пробных функций, потребовав
выполнения правила симметрии. Простейшая пробная
функция для системы из N взаимодействующих ферми-
онов имеет вид
Ф^^ОефрДг,.,	(14Л2)
где индексы i и / принимают значения от 1 до N. Одно-'
частичные функции tp,- (9) предполагаются ортонормиро-
ванными:
(<7/)<Pfc (qj)dqj=bik.
Воспользовавшись совпадением пробной ВФ (14.12)
с ВФ коллектива невзаимодействующих фермионов, в этом
приближении мы можем' говорить о состоянии отдельного
электрона. Выражение «электрон в состоянии <р,-» приме-
нительно к системе взаимодействующих частиц означает,
что функция <pf входит в детерминант (14.12). Из вариаци-
268
' онного принципа следует уравнение
<6Ф ' И >> = 0.
( Гамильтониан атома Н в системе, связанной с ядром,
!• имеет вид
j	N	N
+	(14.13)
i-	l	i.k
Г Одночастичный гамильтониан	/г,- содержит кинетическую
г энергию и энергию взаимодействия с ядром t-ro электрона:
I
л	1 2т rt
Двухчастичный оператор описывает взаимодействие
«'электронов:
|	Vik = e2/fih-
4.	Пусть tpk есть одночастичная ВФ, ортогональная
У ко всем <р/ при 1 i N. Иными словами, <pfc есть ВФ
родночастичного состояния, не заполненного в конфигура-
ь ции Ф. Заменим в детерминанте (14.12) одну из функций
ГФ/ на + X(ffe, где X — малый параметр. Полученный
L таким образом детерминант будет нормирован на единицу
Г в первом порядке по X. Такую вариацию 6Ф удобно
I. записать в представлении вторичного квантования:
I	|бФ) = Хс£ с,|Ф>.
t Выражение для гамильтониана (14.13) в представлении
f вторичного квантования, согласно формуле (13.27), имеет
рвид
=	Vir,ii'cl cpcrci.
| * 11 iriv
| Потребуем выполнения условия стационарности в первом
и,порядке по Z:
2<ф|й77сГс*с } сг|Ф> +
| П
f +4 2	^cl а;сгЛ'|Ф> = 0. (14.14)
I'.	П'П'
269
Для преобразования равенства (14.14) используем ком-
мутационные соотношения для операторов с и следующие
из определения функции Ф равенства
3+|Ф> = 0 (isSTV), сй|Ф> = 0
Матричные элементы в первой сумме (14.14)' отличны
от нуля, только если i = l^N, a j = k>N, и из всей
суммы остается только hki. Проверяя различные комби-
нации индексов, которые обеспечивают отличие матричных
элементов во втором члене от нуля, приходим к уравнению
N
2	~ ik’ V ~ hJ’ = О'
/=1
Используя соотношение
Vа(3, уб — V pat бу,
имеем окончательно уравнение
N
hki+2 (Vft7>l7-VftA//) = 0.	(14.15)
/=i
Эти уравнения должны выполняться при всех k>N,
i^N.
5. Введем эффективный
ный оператор
kt L /=1
гамильтониан — одночастич-
ki.u-Vkf, д) ckch (14.16)
Условия стационарности среднего значения энергии,
вычисленного с детерминантной пробной функцией Ф,
которые определяются уравнениями (14.15), означают,
что матричные элементы И', вычисленные между ВФ
одночастичного состояния <рг, заполненного в Ф, и одно-
частичного состояния <pfc, не заполненного в Ф, равны
нулю.
С помощью некоторого унитарного преобразования
можно перейти к представлению, в котором оператор
И' является диагональным. В силу (14.15) в этом пред-
ставлении ВФ новых заполненных состояний выра-
жаются через линейные комбинации <рг (1	Л'),
а ВФ новых незаполненных состояний выражаются
270
г через линейные комбинации 4>k(k>N). Поскольку
• сумма по / в (14.16) есть след по подпространству
I заполненных состояний, то определение оператора Н'
[ инвариантно по отношению к такому преобразованию.
i Новое представление определяется соотношениями
.• N
Л« + s (V«.»-V»;./i) = «A|.	• (U.17)
[ Уравнения (14.17) называются уравнениями Хартри—Фока.
J Из формулы {14.17) следует, что
Ъ = <i I h\ i) + S «//1 V 10) - <//1 V | /7». (14.18)
! . 7
Среднее значение H для пробного основного состояния ф
равно
L 5 = 42^“ + ^-
L Это выражение можно, используя полученное выше
‘ выражение для eit представить в виде
• •	i	il
.Энергия, необходимая для удаления.из атома i-ro элек-
 трона, равна разности энергий атома и иона. Если счи-
\ тать, что одночастичные электронные ВФ для атома и
i иона совпадают (это приближение оправдано при Z^>1),
i то разность будет равна среднему значению тех членов
г в гамильтониане, которые зависят от координат данного
1 электрона. Из (14.18) следует, что эта энергия равна —е;.
1	6. Уравнения (14.17) для одночастичных ВФ фг(г, о)
'. электронов в атоме имеют вид
i ~	(Г’ ~	(г>°) +
+е222 S (Гг> ^2’(Гь -
i. - ~ е22 2 S (Гг’(Г1> °) (г> dra=
i°'
=	=	(г>	(14.19)
271
Каждое из уравнений (14.19) можно рассматривать как
уравнение Шредингера для частицы в некотором поле.
Выражение
• W)=e22$ l^(r2)|2±rfr2,
/
входящее в третий член в левой части (14.19), назы-
вается самосогласованным полем Хартри. Его можно
интерпретировать как действующее на t-й электрон
среднее кулоновское поле, создаваемое всеми электронами.
Слагаемое с i — j в четвертом члене компенсирует элек-
тростатическое воздействие электрона самого на себя,
включенное в самосогласованное поле Хартри. Вообще
четвертый член в левой части (14.19) нельзя интер-
претировать как локальный потенциал. Его можно пред-
ставить в виде интегрального оператора
VF (г) = — е2б (о,-, оу) $ W (гъ г2) ф, (r2) dr2
с симметричным ядром
W (г1( г2) = J
!
которое мы будем называть нелокальным потенциалом.
Для решения системы уравнений Хартри — Фока
обычно применяют итерационный метод. В нулевом при-
ближении самосогласованные потенциалы заменяют неко-
торым потенциалом, одинаковым для всех уравнений
(например, потенциалом Томаса —Ферми, см. п. 14.14),
и решают соответствующее уравнение Шредингера. Полу-
чившиеся ВФ первого приближения используют для
получения эффективных .потенциалов первого приближе-
ния, и т. д.
7.	В большом числе случаев хорошим приближением
для системы уравнений Хартри — Фока является прибли-
жение центрального самосогласованного поля. В этом
приближении каждую одночастичную функцию <р;, входя-
щую в детерминант (14.12), можно характеризовать опре-
деленными значениями квадрата и проекции орбитального
момента, т. е. выбрать орбитали в виде
<р,.).	(14.20)
Состояния с моментом I обозначаются буквами так же,
как и в задаче двух тел (см. главу 5). Одночастичные
272
| функции с заданными I нумеруются в порядке возраста-
I ния энергии главным квантовым числом п=пг-\-1-{-\,
[. где пг — радиальное квантовое число, равное числу узлов
£ соответствующей радиальной функции. Напомним, что
?. для атома водорода значение энергии зависело только от
главного квантового числа состояния. Для сложного ато-
: ма это, понятно, не имеет места. Главное квантовое число
। указывается цифрой перед буквенным обозначением мо-
* мента.
Совокупность состояний с заданными п и I мы будем
» называть оболочкой. Такая совокупность содержит 4/-ф2
состояния. Электроны, находящиеся в состояниях с оди-
s наковыми п и I, называются эквивалентными. Число экви-
J валентных электронов указывается в виде верхнего индек-
г са у обозначения оболочки. Так, основное состояние ато-
f ма гелия обозначается (1s)2; возбужденное состояние,
J рассмотренное в п. 14.2, есть (Is)1 (2s)1. Распределение
' электронов по оболочкам называется электронной конфи-
гурацией.-Оболочка, содержащая 4Z+2 электрона, назы-
вается заполненной.
8.	Электронные конфигурации атомов в основных
' состояниях в общих чертах определяются эмпирическим
правилом. Заполненными оказываются оболочки с мини-
мальными значениями п-\-1, а из оболочек с равными
п 4-1 — оболочки с минимальным значением п. Заполнение
оболочек с ростом Z идет вдоль диагоналей таблицы свер-
ху вниз.
Это правило лучше всего выполняется для лег-
I ких атомов. Вплоть до значения Z=40 (атом Zr) встре-
I? чаются только два отклонения от правила. А именно
' атом Cr (Z = 24) вместо конфигурации (...) (4s)2 (За!)4 име-
ет конфигурацию (...) (4s)1 (За!)5 и атом Cu(Z = 29) вместо
конфигурации (...) (4s)2 (За!)9 имеет[конфигурацию (4s)1 (3t/)10.
Отклонения чаще всего встречаются при заполнении обо-
Г лочек 4d, 4f.
Приведенное выше правило можно качественно пояс-
нить, рассматривая движение одного электрона в поле
ядра, экранированного другими электронами. В состоя-
ниях с моментом I асимптотика ВФ при малых г имеет
’ вид г1. Поэтому в состояниях с меньшими значениями I
вероятность малых расстояний от ядра, где экранирующее
действие остальных электронов сказывается слабо, отно-
сительно велика. Соответствующее значение Е сказывается
'	10 П. В, Елютин, В. Д. Кривченков	273
ниже, поэтому из оболочек с равными п в первую оче-
редь заполняются оболочки с меньшими I.
Радиальная функция Rn, имеет п — 1 узлов. Поэтому,
несмотря на относительно большую вероятность значе-
ний г, близких к нулю, среднее расстояние электрона
от ядра для состояний с большими п оказывается больше
из-за осциллирующего характера радиальной ВФ. Из-за
этого энергия связи электрона резко уменьшается при
переходе от np-оболочек к (п -ф 1) s-обо почкам. При даль-
нейшем увеличении заряда ядра Z и числа электронов
ионизационные потенциалы атомов, в общем, монотонно
возрастают вплоть до очередного перехода к s-оболочке.
Таким характером изменения структуры атомов можно
объяснить периодичность химических свойств, лежащую
в основе периодической системы элементов Менделеева.
Каждому периоду таблицы (кроме первого, состоящего
из единственной оболочки 1s) соответствует группа обо-
лочек, начинающаяся ns-оболочкой и заканчивающаяся
нр-оболочкой.
9.	Приближение центрального самосогласованного поля
упрощает задачу о вычислении одночастичных ВФ. Однако
самосогласованное поле, вычисленное с помощью ВФ
вида (14.20), является центральным только для атомов
274
со всеми заполненными оболочками*. Строго говоря, само
понятие об оболочках применимо лишь для атомов,
в которых самосогласованное поле центрально. Однако
отклонение поля от центрального, как правило, незначи-
тельно. Это позволяет использовать ВФ вида (14.20) для
Произвольных атомов.
Состояние атома с незаполненной оболочкой в при-
ближении центрального поля сильно вырождено. При
k электронах в оболочке (п /) кратность вырождения
(41+2)!
ё kl (41+2—k)l '
Поскольку влияние нецентральное™ самосогласованного
поля мало, то для определения спектра в этом случае
можно использовать теорию возмущений для вырожден-
ного уровня. Иначе говоря, для незаполненной оболочки
следует использовать пробные ВФ, представляющие со-
бой линейные комбинации детерминантных ВФ, в кото-
рые одночастичные орбитали cpf для электронов в не-
заполненных оболочках входят с разными значения-
ми Illi и s;.
Операторы полного орбитального момента L и полного
спинового момента S системы электронов коммутируют
с точным гамильтонианом и потому являются интегралами
движения. Поэтому состояние атома с заданной конфигу-
рацией можно классифицировать по значениям полного
момента L и полного спина S. Очевидно, что суммарные
момент и спин заполненных оболочек равны нулю и
вклад в L и S дают только электроны незаполненных
• оболочек.
При учете нецентралыюсти эффективного поля по тео-
' . рии возмущений вырождение частично снимается. Состоя-
ния незаполненной оболочки расщепляются на спектральные
термы. Разность энергий термов называется энергией оста-
точного взаимодействия. Для описания состояния атома
в этом приближении нужно задать, кроме электронной
конфигурации, также значения L и S. Для указания значе-
ний L приняты буквенные обозначения:
£ = 0 12345
SPDFGH
Величина 25 ф-1, называемая мультиплетностью терма,
10»	275
указывается в виде верхнего индекса слева от обозначе-
ния L. Полный момент J указывается в виде правого
нижнего индекса при обозначении терма.
Найдем возможные термы конфигурации (пр)2. Суще-
ствует шесть различных одноэлектронных состояний. Опу-
стив квантовые числа п и /=1, одинаковые для всех
одноэлектронных состояний, мы будем указывать вели-
чину проекции спина электрона знаками ф и —, а значе-
ния проекции момента будем обозначать цифрами 1, 0 и 1.
Последний знак означает т =—1. С учетом принципа
Паули возможны 15 различных размещений двух электро-
нов, а именно:
|1 + 0->, |1ф1->, |ТфО->, |1фТ->,
|1 + 0 + >, |1ф1ф>, |1+о + >,
|1—0ф>, |1-1+>, |1-о+>,
|1-0->,	|1—0—>,
104-0 — >.	(14.21)
Состояние 114-1 — > имеет проекцию полного момента
44 = 2 и мультиплетность 2S ф 1 = 1, поэтому оно принад-
, лежит терму *D. Этому же терму должны принадлежать
еще четыре состояния с наборами чисел 44, S: (1, 0),
(0, 0), (— 1, 0) и (—2, 0). Соответствующие этим состо-
яниям ВФ будут линейными комбинациями функций,
записанных в первой, третьей и пятой строках (14.21).
Далее, квантовые числа состояния 11ф0ф) соответствуют
терму аР. Ему принадлежат девять состояний с кван-
товыми числами М и S, принимающими любые значения
из набора (+.1, 0, —1). В (14.21) содержатся три со-
стояния с числами 44 = 0, S = 0. Термам Ч) и SP при-
надлежит по одной линейной комбинации таких состо-
яний. Оставшаяся линейно независимая комбинация может
принадлежать только терму XS. Итак, для конфигурации
(пр)2 возможны термы ]£), 3Р, 1S.
Для энергий термов выполняется эмпирическое правило
Хунда; наименьшей энергией обладает терм с наибольшим
возможным значением Sue наибольшим при данном S
значением L. В разобранном примере конфигурации (пр)2
наименьшей энергией обладает терм 3Р. Требование макси-
мальности S можно пояснить на примере системы двух
электронов. Спину S = 1 соответствует антисимметричная
орбиталь, обращающаяся в нуль при ri = r2- Поэтому
276
вероятность малых значений г12 меньше, чем для случая
S — О, меньше и соответствующая энергия электростати-
ческого отталкивания.
10.	Вычисление энергий термов представляет собой
чрезвычайно сложную задачу. Во-первых, нужно решить
систему уравнений Хартри —Фока с одночастичными орби-
талями срг вида (14.19), соответствующими центральному
полю. Такое решение, вообще говоря, возможно лишь
численными методами. Затем из детерминантных ВФ, в кото-
рые для электронов незаполненной оболочки должны быть
включены одночастичные ВФ с различными значениями
mt и sit должны быть образованы линейные комбинации,
которые являются общими СФ операторов L2, Ьг, S2, 5г,
поскольку L и S коммутируют с точным гамильтонианом.
Такая процедура есть, в сущности, построение правиль-
ных ВФ нулевого приближения в теории возмущений
для вырожденного случая, рассмотренное в п. 6.4. Нако-
нец, надо вычислить диагональные матричные элементы
точного гамильтониана Н для состояний, принадлежащих
различным термам. Разности энергий Ёт и определяют
расстояния между термами. Вычисление значений Ет
значительно упрощается тем обстоятельством, что матрич-
ные элементы кулоновского взаимодействия Vik отличны
от нуля, только если индексы i и k относятся к электро-
нам в незаполненных оболочках *.
Если считать известными решения уравнений Хартри —
Фока для радиальных функций, то можно получить неко-
торые соотношения для разностей энергий атомных термов.
Рассмотрим конфигурацию (пр)2, для которой возможны
термы TD, 3Р и XS. Поправки к значению энергии, вычис-
ленному в приближении центрального поля, будут опреде-
ляться величинами
^ap = QaP (sa> sp)/ар>	(14.22)
где а и P суть наборы чисел, определяющих вид орби-
тальной функции, а Q и J суть кулоновский и обменный
интегралы соответственно:
QaP = I Фа (Г1) :2 ~ | ФР (Г1) I2 </Г1 dr2,
112
/ар = фа (Г1) фр (П) -1 ф^ (Г2) фа (Г2) £/Г1 (1Г2.
J	'12
Состояние j 1-|-1—) есть правильная ВФ, принадлежащая
277
терму 1£>. Соответствующее значение энергии можно, исполь-
зуя (14.5), записать в виде
£ (>£)) = Qu = £ $ Ш (и) ''I V	г* X
х|Уи(б1, <р1)|2|Ун(е2,
X Yim (61, <Р1) Ylm (6а, <р.>) dt\ dr2 dQi dQ2.. (14.23)
В силу теорем сложения для шаровых функций в фор-
муле (14.23) будут отличны от нуля только угловые инте-
гралы вида
Yim Yi-m' Yj. m—m’ d£2	(14.24)
с индексами, удовлетворяющими соотношениям
|/-/'|^/=С/-М', / + /' + / = 2/г.	(14.25)
Поэтому в сумме (14.23) останутся только два слагаемых
с I = 0 и I = 2:
£(Ф) = «0(1, 1)Fo+«2(1, 1)^2-
Здесь Fo и Fa обозначают интегралы по радиальным пере-
менным. Для вычисления а0 и а2 используем явный вид
сферических функций:
Оо=4л|5|Уи(6, ср) р УооdQ]2.
Учитывая, что У00~ (4я)-*'2, а функция Уц нормирована,
получаем п0=1. Аналогично вычисляется и
dfi]2.
Подставляя явный вид сферических функций
|Гп|=/Длв,	^L(l-3cos20),
получаем а2 — 1/25. Итак,
Qn^F0 + ~F2^E^D).	(14.26)
Аналогичные вычисления для состояния j 1-(-0ф-) —пра-
вильного состояния терма 3Р — дают
£m = Qio-Ao==F0-|F2.	(14.27)
278
«2 = у[^|У11(6, <Р)П'2О
Правильной ВФ, соответствующей терму *5, в наборе
состояний (14.21) нет. Мы не будем находить правильные
ВФ, а воспользуемся тем, что различные линейные ком-
бинации функций j0-}-0 — | 1-j-l—), | 1 + 1—) принад-
лежат каждому из трех термов. При унитарном преобра-
зовании, переводящем - эти функции в правильные ВФ
термов, след оператора Н останется неизменным. Поэтому
можно записать
Е (iS) + Е (ЯР) + Е (*£)) = Qoo + Q, г + Qri.
Вычисляя значение
Qoo — Ро + 25
и используя выражения (14.26), (14.27), получим
E('S) = F0+~F2.	(14.28)
Из формул (14.26), (14.27) и (14.28) можно получить
соотношение для разностей энергий термов, которое не вклю-
чает значений радиальных интегралов Fo и F2:
E(lS)—EQD) 3
£pD)—£(3Р)	2‘
Экспериментальные значения энергий термов атомов
с конфигурациями (пр)2 дают следующие значения для
отношения х: (2р)2 —атом С —х=1,13, (Зр)а —атом Si —
— х=1,48, (4р)2 —атом Ge —х= 1,50.
11.	Все предыдущие вычисления основывались на
использовании гамильтониана (14.13) и полностью игно-
рировали релятивистские эффекты. В этом приближении
полный момент L и полный сцин S являлись интегралами
движения и использовались нами в качестве основы для
классификации атомных состояний. Среди релятивистских
поправок второго порядка по а наибольший интерес для
многоэлектронных атомов представляет член спин-орби-
тального взаимодействия
=	(14.29)
I	i
Если влияние спин-орбитального взаимодействия мало
по сравнению с влиянием нецентральности поля, то можно
сохранить описание состояния атома с помощью квантовых
279
чисел L и S, а оператор Vls рассматривать как малое
возмущение.
Вычислим среднее значение эиериш спин-орбитального
взаимодействия для заданного терма. Учитывая, что опе-
раторы /2 и Si действуют только на ВФ i-го электрона,
можно сразу записать
(14-30)
i
где W есть радиальный интеграл спин-орбитального
взаимодействия:
Здесь через U обозначен эффективный потенциал, кото-
рый считается центрально-симметричным. Из результата
задачи 4.8 следует, что при вычислении матричных элемен-
тов оператора V, диагональных по L и S, можно заменить
1{ на o,L и S; на b.S, причем константы а{ и bt зависят
только от L и S. Таким образом,
vzs|/jwsp>=
= W (2 W {nl)i a‘b^ <LM'S^ I LS I
Оператор LS диагон1лизуется одновременно с операто-
рами J2, Jit L2 и S2, так как
A A	A	A	A
2LS = J2 —£2 —S2.
Если не заполнена только одна «/-оболочка, то диагональ-
ные матричные элементы равны
=	(^+l)-i(L+l)-S(S+l)],
где
A =W(nl) ^aibi.
Таким образом, при учете спин-орбитального взаимодейст-
вия спектральный терм расщепляется на группу уровней.
Расстояние между соседними двумя уровнями зависит для
заданного терма только от J:
=	(14.32)
280
Соотношение (14.32) называется правилом интервалов
Ланде. Уровни, на которые расщепляется атомный терм
при учете спин-орбитального взаимодействия, называются
компонентами тонкой структуры атомных уровней.
Рассмотренное выше приближение, в котором в качестве
невозмущенных рассматривались состояния атома с задан-
ными L и S, пригодно, только если интервалы тонкой
структуры малы по сравнению с расстоянием между тер-
мами. Такой случай называют случаем Рассела —Саундерса
или LS-типом связи. Практически такое приближение
хорошо описывает спектры легких атомов.
По мере увеличения заряда ядра роль релятивистских
эффектов возрастает. Если спин-орбитальное взаимодейст-
вие значительно превышает энергию остаточного взаимо-
действия, то лучшие результаты получаются, если в ка-
честве ВФ отдельных электронов использовать общие СФ
операторов Ц, jzi, If, $?. При этом оболочка (пГ) распада-
ется на подоболочки (n, I, / — /+1/2) и (n, I, j = 1—1/2).
Учет нецентрального электростатического взаимодействия
приводит к расщеплению подоболочек на уровни с раз-
личными значениями полного момента J. В этом случае
=	(14.33)
i
Такую схему описания состояния атома называют jj-связью.
В чистом виде этот тип связи не проявляется даже для
самых тяжелых атомов: для них реализуются случаи,
промежуточные между LS- и //-типами.
12.	Рассмотрим влияние магнитного поля на поло-
жение атомных уровней энергии. Гамильтониан атома
во внешнем однородном магнитном поле имеет, при учете
релятивистских поправок, следующий вид:
+	<14.34)
ik	i
Обозначим через На гамильтониан атома в отсутствие поля.
Тогда (14.34) можно переписать в виде
«="»—»-2л'Р- + 2г2л‘—
i	i
281
Выбрав вектор-потенциал однородного магнитного поля
в форме
А = |[^г],
получим
Н -	- lb* 2fr-P-] +	2 [»r,F - да.
i	i
Векторное произведение во втором члене после симметри-
зации есть оператор орбитального момента электрона i,.
В случае LS-связи гамильтониан приобретает вид
Н = На - Ио (L + 2S )	4-2	<14-35)
i
Если поле достаточно слабо и величины сдвигов уровней
малы по сравнению с расстоянием между компонентами
тонкой структуры, то состояние атома можно описывать
набором квантовых чисел J, Mj, L и S, а второй и тре-
тий члены в правой части (14.35) рассматривать как возму-
щение. В первом порядке по полю третьим членом можно
пренебречь. Диагональные элементы оператора
Vm = -p0(L+2S)^
можно вычислить, представив его в виде
Vm=— p0^(j+S) = —	(14.36)
где скалярный оператор А можно определить, домножив
обе части равенства (14.36) на J:
Учитывая, что оператор JS диагоналей в 7Л4ЛЗ-представле-
нии, для диагональных матричных элементов, определяю-
щих сдвиг уровней, получим
'A£P’ = —(14.37)
где М есть значение проекции полного момента на направ-
ление магнитного поля, а безразмерная величина
g = Н----------27(7+1)-------- (
называется множителем Ланде. Расщепление атомных
термов в магнитном ноле, определяемое формулой (14.37),
282
носит название эффекта Зеемана. Эффект называется
нормальным для синглетных термов, когда g = 1.
Если расщепление уровней в магнитном поле велико
по сравнению с интервалами тонкой структуры, то зеема-
новский член в гамильтониане более существен, чем спин-
орбитальный и сдвиг уровней в магнитном поле следует
вычислять в представлении LMlSMs. Напомним, что
- представление JMLS было введено нами в п. 14.8 для
диагонализации оператора спин-орбитального взаимодейст-
вия. Поскольку в £Л4/£Л4$-представлении проекции орби-
тального Ml и спинового Ms моментов на направление
поля сохраняются, то диагональные матричные элементы
оператора Vm вычисляются элементарно:
АЕ(1) = —H0^(Ml + 2Ms).	(14.39)
Спектральный терм расщепляется на 2£ф-3 равноотстоя-
щих компоненты. Сдвиг атомных уровней в сильном магнит-
ном поле, определяемый формулой (14.39), носит название
эффекта Пашена — Бака. Для магнитных полей промежу-
точной величины секулярное уравнение для энергии надо
решать точно.
13.	Если электронная конфигурация атома не содержит
незаполненных оболочек, то атом не обладает ни спином,
ни орбитальным моментом (если, как и всюду выше,
отвлечься от спина ядра). В этом случае второй член
в формуле (14.35) не приводит к расщеплению термов ни
в одном порядке теории возмущений. Для таких конфигу-
раций эффект воздействия магнитного поля полностью
определяется третьим членом в (14.35):
£l,,=-KrZiW-
I
Волновая функция в состоянии с L = 0, S = 0 сферически-
симметричпа. Представив каждый член в сумме (14.40)
в виде
= sin2 6
и усредняя по направлениям гг, получим
£(1) = -рА-^2Уд.	(14.41)
12wic2	Ч	'	'
283
Таким образом, энергия атома с заполненными оболочками
в магнитном поле выше, чем в его отсутствие: такой
атом диамагнитен. Магнитный момент атома, приобретае-
мый им в поле есть
_ а£111
е2
(jinc~
(14.42)
Величину х следует рассматривать как магнитную воспри-
имчивость атома.
Отметим, что формула (14.41) для квадратичного эф-
фекта Зеемана получена в первом порядке теории возму-
щений, а квадратичный эффект Штарка появляется во вто-
ром порядке теории возмущений и приводит к понижению
уровней энергии (поляризуемость атома всегда положи-
тельна). Аналогично, к понижению энергии терма основного
состояния приведет и квадратичный по полю член
второго порядка по возмущению Vm в случае L О,
S^O. Поэтому атомы с незаполненными оболочками могут
быть и парамагнитны.
14.	Для определения самосогласованного поля в тяже-
лых атомах можно воспользоваться методом ВКБ. Потен-
циал эффективного поля U (г) можно связать с плотностью
электронов р (г) электростатическим уравнением Пуассона
(г) = — 4лр (г).	(14.43)
В этом пункте мы будем использовать атомные единицы.
Считая самосогласованное поле U (г) центральным, что
оправдано для тяжелых атомов, так как большая часть
электронов в них находится в заполненных оболочках,
мы сможем представить одноэлектронные ВФ в виде
Фл/т = ^Г/т(6,<р),
где функция ХпДг) удовлетворяет радиальному уравнению
х"+2[£_^(г)_Ц+1)]х=о.
Электронная плотность определится суммированием плот-
ностей электронов, определяемых одночастичными ВФ:
=	(14.44)
nlm
284
Здесь двойка перед суммой учитывает наличие двух воз-
можных значений проекции спина электрона. Для сумми-
рования по т в (14.44) используем известное тождество
V1 I у |2 2Z-|- 1
т=—1
В результате получаем
(14.45)
7~ni 2Z +1
гп- 4л •
(14.46)
nl
В квазиклассическом приближении в области между
действительными точками поворота радиальная ВФ имеет
вид
Тт (г) = -М- cos К pnl dr - Д-
1 Pni \р	4,

(14.47)
(14.48)
где Pni есть классическое выражение для импульса частицы:
Pnt = Enl — U (г)--
Нормировочная постоянная Ani связана с энергетическим
спектром приближенным равенством (см. п. 7.4)
А*аъ —	(14.49)
Подставляя соотношения (14.47)—(14.49) в формулу
(14.46) и заменяя квадрат косинуса его усредненным зна-
чением (что оправдано лишь при больших и), получаем
дЕп121 + \ 1
Pnl
(14.50)
находится
и l, заме-
Р(г) 2л2 Li дп г*
nl
Предполагая, что большая часть электронов
в состояниях с большими значениями чисел п
ним суммирование по п и I интегрированием:
Zi	П1
. .	1 С ,,2Z-|-1 ( , дЕ 1
Р (г) = 5-4- \ dl 5— \ dn Ч 
1	'	2л2 J г2 J дп pni
1о	По
Рассмотрим внутренний интеграл. Интегрирование по dn
переходит в интегрирование по dEi
nt	Et
V ф/ _L dn = (	-	dg = |л2 (£- V(r))
J	dn	Pnl	J 12(E-V(r))
По	Eq
Ei
Eq
285
Интегрирование по dE ведется от действительной точки
поворота Еи=^ V (г) до границы дискретного спектра Е1 = ().
Через Г (г) обозначен эффективный потенциал. Подстав-
ляя пределы интегрирования, приходим к соотношению
z,
Р = -i S V-2Vz(r) dl. (14.51)
Интегрирование по dl выполняется с учетом равенства
йГ/ = д Г//	। (/+ 1/2)21 - 2/+1
01 ol\	0,-2	|	2г- ’
Таким образом, интегрирование по dl переходит в интег-
рирование по d V:
h	v (G)
Р (г) = -~ \ ™ dl = ~ -1, \	dV. (14.52)
V Uo)
Интегрирование ведется в пределах от / — 0 (соответст-
вующее значение эффективного потенциала Т7(г) —
— (8г2)1) до максимального значения 1г, при котором эф-
фективный потенциал меняет знак (ср. п. 5.4):
V/, (г) = 0.
Выполняя интегрирование в (14.52), подставляя пределы
и пренебрегая центробежным потенциалом в случае / — О,
мы получим
Р(/-) = з^[~2П(г)]з/2.
Используя уравнение Пуассона, приходим к равенству
А<Р(И = ^Т(/')3/2.	(14.53)
Здесь введено обозначение <р (г) = — U (г). Уравнение (14.53)
называется уравнением Томаса —Ферми.
Граничные условия для функции определяются тре-
бованиями
lim <р (г) = О,
Первое из этих условий очевидно, а второе следует из того,
что на малых расстояниях от ядра экранировка стано-
286
вится несущественной и эффективный потенциал в основ-
ном определяется взаимодействием электронов с ядром.
Вводя новую функцию
Ф (г) = г<р (г) Z-1,
получим для нее уравнение
Тф =^^-ф3/2-	(14-55)
Вводя безразмерную переменную
/8 К2|-’/371п
х — Hr— Zl/3r,
\ ол /
преобразуем уравнение (14.55) к виду
— = —Ф3/2.	(14.56)
dx- )/ х	'	’
Уравнение (14.56) уже не содержит констант, относящихся
к данному атому, и	опре-	ф
деляет некоторую универ-	у .
сальную функцию	Ф(х),	'ч
удовлетворяющую	уело-
ВИЯМ	X.
Ф(0)=1, Ф(^) = 0.
(14.57)
15. Решение уравнения о
Томаса — Ферми с гранич-
ными условиями (14.57)	Рис. 43.
может быть найдено только
численными методами. Оно показано на рис. 43. Получим
приближенное решение этого уравнения, впервые найден-
ное Зоммерфельдом. Асимптотику Ф(х) при х->оо выбе-
рем в виде
Ф^Лх-".
Подстановка этого решения в формулу (14.56) дает
Afl (/l+ 1) Х“"“2 = /3/2х-3/г/2-1/2_
Приравнивая показатели степени и числовые коэффициенты,
получаем
п = 3, Л1/2 = /г (« + !) = 12.	(14.58)
Таким образом, уравнение (14.56) имеет точное решение
Ф0(х)=144х 3, которое не удовлетворяет, однако, гранич-
287
ному условию в нуле. Решение, удовлетворяющее такому
условию, будет в бесконечности иметь вид
Фг (х) = Ф0(х)+ф(х).
Считая функцию ф(х) малой по сравнению с Ф0(х) в об-
ласти больших х, можно подставить решение Ф! (х) в урав-
нение Томаса —Ферми и сохранить лишь линейные по ф
члены. Тогда получим уравнение
ф" = ^3ф,'/2ф = 1|ф.	(14.59)
V х 2	х2
Очевидно, уравнение (14.59) имеет решение, убывающее
степенным образом:
В —1+/73 о 77
=	v==—~2------~3’77’
с показателем степени v большим, чем п = 3. Это оправ-
дывает сохранение в (14.59) лишь линейных по ф членов.
Итак, при больших х
Ф! (х)	144х~3 + Bx-V.	(14.60)
Решение с асимптотикой (14.60) может быть выбрано
в виде
где а, р — константы. Потребуем выполнения граничных
условий. Тогда из требования конечности величины Ф (0)
следует:
3 — a (v — 3) = О,
а = -Д 3,90.
V—3
Константа р определится из условия ф(0)=1:
Р“=144.
Итак, окончательный вид приближенного решения есть
Такое выражение удовлетворительно согласуется с чис-
ленным решением, давая несколько меньшие значе-
ния Ф(х).
288
Отметим, что в описании атома с помощью уравнения
Томаса — Ферми детали спектров, связанные с оболочеч-
ной структурой, оказываются утраченными. Кроме того,
существенным недостатком решения Ф (х) является сте-
пенной характер убывания электронной плотности на боль-
ших расстояниях вместо экспоненциального. Поэтому ре-
шение Ф (х) приводит к завышенным значениям таких
величин, как rt или ft, в частности, его нельзя применять
для оценки магнитной восприимчивости %.
ЗАДАЧИ
1.	Определим функцию распределения расстояния между элект-
ронами в атоме гелия соотношением
в
\ 6 Ku) dr 12 =	J j фо (О, r2) dr2.
а	а<г;2<в
Найти 6 (ri2) для основного состояния с ВФ (14.2).
2.	Вычислить кулоновский и обменный интегралы для атома ге-
лия в состоянии с одноэлектронными ВФ (14.10). Найти Es и Et.
3.	Оценить потенциал ионизации отрицательного иона водорода,
используя пробную функцию
Ф(а, р)=е_“г*_₽гг + е_р'’*_ага.
4.	Показать, что термы конфигураций (nl)k и (n/)4Z+2~fe совпа-
дают.
5.	Найти возможные термы для конфигураций (ns, n's), (ns, n'p),
(ns, n'd), (np, n'p).
6.	Найти возможные термы для конфигураций с одной незапол-
ненной оболочкой (np)3, (nd)2, (nd)3, (nd)4, (nd)5, (n/)2.
7.	Используя правило Хунда, найти термы основных состояний
для электронных конфигураций, рассмотренных в задаче 14.6.
8.	Показать, что для конфигурации (nl)k при k sg 21 1 терм
с наибольшим значением L будет синглетом при четном k и дублетом
при нечетном k. Найти соответствующие значения L.
9.	Построить общие СФ операторов £2, Lz, S2, Sz для конфигу-
рации (пр)3.
10.	Конфигурация (nd)3 обладает двумя термами 2D. Найти ВФ
для каждого из этих термов.
11.	Найти для конфигурации (пр)3 отношение
£(2Р)-£(2£>)
£(2£>)-£(4S) •
289
12.	Найти для конфигурации (nd)2 отношение
£(з£)-£(3£)
£(’6') —Е(1£)) ’
13.	Найти пределы изменения множителя Ланде g при заданных
значениях L и S.
14.	Найти терм конфигурации (nd)5, для которого отсутствует
линейный эффект Зеемана.
15.	Вычислить диамагнитную восприимчивость гелия.
16.	Найти расщепление уровней энергии атома водорода во внеш-
нем однородном магнитном поле, если величина расщепления срав-
нима с интервалами тонкой структуры.
17.	Оценить в модели Томаса — Ферми число заполненных s-обо-
лочек для атома с зарядом ядра Z.
18.	Используя метод, рассмотренный в п. 5.4, найти значения Z,
при которых в атоме начинают заполняться оболочки I ф-1, I.
Глава 15
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА
1.	Если пренебречь различием между центром масс
молекулы и центрами масс ядер и считать, что центр масс
закреплен в начале координат, то уравнение Шредингера
для двухатомной молекулы будет иметь вид
I 2т у dxj dyj dz'j J
_ ft2 1 2£\ I 1 d/ .	___1 5е 1
2Л1р2[йр 1P йр/	sin 6 36 \Sln 66/ sin26 <?<p3J
4-V(xi( yh Zi, p, 0, ф)|гр(х£, t)t Zi, p, 6, <p) = Eip, (15.1)
Здесь х-„ у,, Zt суть координаты i-го электрона относи-
тельно неподвижной системы координат 2, углы 6 и ф
определяют положение в пространстве прямой, соединяю-
щей ядра, р —расстояние между ядрами, а М — приве-
денная масса двух ядер.
В системе координат 2 потенциальная энергия электро-
статического взаимодействия V зависит от 0 и ф. Перей-
дем в систему координат 2', вращающуюся вместе с яд-
рами. Координаты электронов в новой системе будем
обозначать прежними буквами х,-,	г,-. Ось Oz системы 2'
направим вдоль прямой, соединяющей ядра, а ось Ох рас-
положим в плоскости (Оху)^. Новая система 2' получена
из 2 путем последовательных поворотов на углы Эйлера
ф-|-л/2, 0, 0. Поэтому
ф' (*;, у-„ Zi) = Lty (xh yh zt),
O=eit^eLA't+ 2~).	(15.2)
Заметим, что операторы Lx, Ly, Lz имеют одну и ту
-же структуру относительно переменных xh у;, г; в систе-
мах 2 и 2'. Рассмотрим изменение гамильтониана при
унитарном преобразовании (15.2). Первый член —сумма
291
лапласианов в пространстве электронных координат —
остается неизменным. Для преобразования второго члена
заметим, что
^ + ^)<L е~ (Ф + Й ё~ =
Йф	Y
Так как
е1Ае£ге-'4е = Lz cos 6 + Ly sin 6,
то
0 0+ = Д- ' COS 6 + L« sin e) • <15-3)
Аналогично получаем
~iL- <154>
Таким образом, в системе S' гамильтониан двухатомной
молекулы имеет вид (в атомных единицах)
Н = ~ Т 2 Л/ — W2 Ьр (р2 йр) + ctg 6 (йо _ '£*) +
i
+(а - гЧ*+ай	sin 8'L- - ‘cos 0' 41+л< 155)
Потенциальная энергия в новой системе координат будет
иметь вид
у _ ZjZ2 у 1 у zx	у z2
rtk '- L Г Ik - L r2k
i>k Л=1	k=l
Здесь rZfc — расстояние между i-м и k-м электронами:
rik = V(Xi - xk)2 + (уi - у*)2 + (Zi - Zk)2,
/"i* — расстояние от k-го электрона до первого ядра:
rik = ]/x’k + yk + (гк + p,
^2k — расстояние от &-го электрона до второго ядра:
1Г ° I -Q I /
г2к=у Xk + y-k-\-	—+	•
Таким образом, потенциальная энергия V в системе 2'
не зависит от углов 6 и Вышеприведенные формулы
292
не учитывал» зависимости ВФ от спиновых переменных.
Если спиновые состояния электронов описывать в системе
Е', то в формуле (15.5) следует заменить Ц на (£/-}-S,).
2.	Величина ЛГ1, входящая в коэффициент при втором
члене в гамильтониане (15.5), есть отношение массы элек-
трона к приведенной массе ядер и представляет собой
малый безразмерный параметр. В первом приближении
мы можем пренебречь вторым членом и рассматривать
задачу с гамильтонианом
р)-	<15-б>
i
ВФ молекулы можно представить в виде
^ = фе(х/, yt, zf, сг£; р)<р„(р, 6, ср), (15.7)
где зависящие от параметра р электронные ВФ суть СФ
гамильтониана (15.6). Соответствующие им собственные
значения Еп (р) — энергии электронов как функции рас-
стояния р между неподвижными ядрами — называются элек-
тронными термами. Преобразование, сделанное в п. 15.1,
и малость параметра ЛЕ1 позволяют исключить зависи-
мость электронной ВФ фе от углов 6 и ср.
3.	Полный момент молекулы К в неподвижной системе
Е определяется выражением
к ЧррЪ+£[«•.•. РЖ,	(15.8)
i
где р — импульс относительного движения ядер, а индекс s
означает симметризацию в соответствии с правилом п. 2.1.
Компоненты момента в системе Е имеют вид
K+ = £++^(^ + «ctgO^),	(15.9)
^ = ^ + ^(-^ + 'ctg6^),	(15.Ю)
=	+	(15.11)
Перейдем в систему Е'; при таком переходе
К'=0к0+,
293
где унитарный оператор U определен формулой (15.2).
Рассмотрим преобразование компонент Ц. Положим <р' =
= <р + л/2:
elЧее1'М'£ ,е-^'е~==
= Lxcos<p—- (Ly cos 6 — L, sin б) sincp,	(15.12)
АеАф £€-^>'e-‘£ve =
b
= LA-sin <p4~ (by cos 0 —L^sinQ) cos <p.	(15.13)
Итак,
(JLIJV = tLxe’4’ — (Lu cos G — L. sin 6) ei(f.
Аналогично преобразуется и выражение для z-компоненты
электронного момента
ULJU* = L~ cos 6 — Ly sin 6.
Учитывая соотношения (15.3) и (15.4), для компонент
оператора полного момента находим в системе 12'
^+ = e/<pf24-ictg6^ +Д-L, (15.14)
\Л) 1 ь Ар;1 sin б	'	'
(15.10)
Оператор L. в этих формулах действует на переменные
в системе Выражение для квадрата полного момента
молекулы имеет вид
К2 = — 1-Д4(sin 0 £ 1 + -4г(4-	cosеН + Ц. (15.17)
Um 0 до \ до] 1 sin2 6 \дф z J ) '	'	’
4. Вернемся теперь к рассмотрению УШ с гамильто-
нианом (15.5). Пусть известны решения задачи с неподвиж-
ными ядрами, т. е. определены электронные термы Ее([_>)
и электронные ВФ фе (г,-; <£•; р). Умножим УШ
#ф£-ф„(р, 0, <р) = £фе • ф„ (р, 6, <р)
на ф* слева, проинтегрируем по координатам электронов
и просуммируем по спиновым переменным. Положим, что
в состоянии фг проекция полного (орбитального и спино-
вого) электронного момента на ось, соединяющую ядра,
294 '
равна Л. Тогда
<ФС IL* I = <фс | Ly | i]v> = 0.
ВФ ядер можно представить в виде
Ыр> е. ч’)=/(р)®(0> <р).
Разделяя переменные, придем к уравнениям
[В Д (р2	- Ее (р) - V (р) - £rot +£] f (р) = 0, (15.18)
вГ-Дт-^(sin6	+-Дд-(д-—/Л cos eV 10(6, ю) 4-
[_sm 6 дв \ дв) ' sm2 6 \d<p	/ J ' ’ 47 1
+ £rOf0(6, <р) = 0.	(15.19)
Здесь введены обозначения:
(15-2°)
и (р)=м ।	। ^>-	<15-21)
Из формулы (15.17) видно, что оператор в левой части
(15.19) есть
Л2 —К2.	(15.22)
Поскольку полный момент К является сохраняющейся
величиной, в стационарных состояниях оператор можно
заменить его собственным значением. Итак,
£гы = В(р) {/Ж+1)-Л2}.
Радиальное уравнение (15.18) принимает вид
- В (р) [ТО+1)-Л2] +£}/(р) = 0.	(15.23)
Удобно объединить члены, зависящие лишь от электрон-
ного состояния молекулы, обозначив
^(Р) = ^(Р) + ^(Р)-Л2В(Р).
Тогда уравнение (15.23) примет вид
[в (р2 А) - W (Р) - ВЛ' (К+ 1) + е] f (Р) = 0. (15.24)
Решение этого уравнения и определяет энергетический
спектр молекулы.
295
5. Определение электронных термов fe(p) и последую-
щее решение уравнения (15.23) представляет собой слож-
ную задачу. Свойства низколежащих возбужденных уров-
ней можно приближенно описать, воспользовавшись ма-
лостью параметра 7И-1. Для электронных термов
Е2 А. 1
поэтому число дискретных значений Еп велико. Для
описания низколежащих возбужденных уровней можно
заменить потенциал W (р) в окрестности минимума р0 потен-
циалом гармонического осциллятора
^(р)^й7(ро) + ~(р-ро)2.	(15.25)
Волновые функции f (р) будут локализованы вблизи р0.
Поэтому в первом приближении в (15.23) можно положить
В(р) = В(р0) = 2^ = В.	(15.26)
Величина В называется ротационной постоянной. Тогда
En^W(Po) + BK(K+i) + ^[v+~),
где число v, нумерующее СЗ энергии при постоянном К,
называется колебательным квантовым числом.
В первом приближении энергии, обусловленные элек-
тронным состоянием молекулы, ее вращательным состоя-
нием и ее колебательным состоянием, складываются неза-
висимо. Поскольку в атомных единицах
По)~1, со~£, В~£2,
то колебательные уровни представляют собой малые по-
правки к электронным термам, а вращательные уровни
представляют собой малые поправки к колебательным
уровням. В следующих приближениях разделение энергии
на колебательную и вращательную части уже невозможно.
6. Рассмотрим электронные термы молекулы водорода —
системы из двух протонов и двух электронов. Гамильто-
ниан системы при неподвижных ядрах запишем в виде
Я0 = _1д1_±А2 + ± + г1--± + г1- + ^-г1- (15.27)
£	£ ral rlb '12 r2a r2b *ab-
УШ с гамильтонианом (15.27) не допускает точного реше-
ния. Приближенные выражения для электронных термов
296
можно получать, рассматривая часть членов, описываю-
щих потенциальную энергию, как возмущение. Эти члены
можно выделить различными способами. Лучшие резуль-
таты получаются, если выбрать ВФ нулевого приближения
в виде линейных комбинаций ВФ атома водорода, пред-
ставив гамильтониан в виде
я0= (-|дх+-Ц +	+ у=Л?+ян v,
\	* г1а/ \	*	'2b/
¥ = — - + — + —
Г12 rlb r2a	г аЪ
Такое приближение называется методом Гайтлера —Лон-
дона. Заметим, что оператор V можно рассматривать как
возмущение только при гаЬ^-а0. Двум возможным спино-
вым состояниям электронов соответствуют ВФ
<PS = v [тр„ (rx) ф6 (г2) 4- (г2) (гх)] (S = 0), (15.28)
Ч* = V[фо01)-фе,(г2)-(rx)(r2)]	(S=l), (15.29)
где нормировочная постоянная
1
У= /-----
]/2(l + S2)
выражается через интеграл перекрытия ВФ
s = S Ф« (п) Фь 01) drx =	( ехр (- —^rbl) dr.
Учитывая, что функции ф(1у), входящие в (15.28), (15.29),
суть собственные функции одночастичных гамильтониа-
нов Щ:
H^a(r1) = E^a(r1),.	(15.30)
в первом порядке теории возмущений получим
F — 2F.. I	F, — Op I
где кулоновский интеграл Q и обменный интеграл J
определяются формулами
Q = $ Фа 01) ф! (г2) Уфа 01) ф6 (г2) drx dr2,
j = 5 Фа 01) фб (гг) Уфа (г2) фь 01) drx dr2.
Вычисление интегралов Q и J для молекулы водорода
возможно и в явном виде, но очень громоздко. Зависи-
мость энергии термов от относительного расстояния между
297
ядрами R,'a0 изображена на рис. 44. Существенно, что
обменный интеграл отрицателен и энергия меньше для
синглетного терма с ВФ (15.28). Электронный терм син-
глетного состояния имеет соответствующий устойчивому
состоянию глубокий минимум с параметрами = 0,80 А,
Amin ==3,2 эв. Экспериментальные значения этих величин
суть 7?п = 0,74 A, £min = 4,7 эв. Для триплетного состоя-
ния (15.29) устойчивое состоя-
ние отсутствует.
Таким образом, возможность
соединения атомов в молекулу
зависит от спинового состояния
электронов. Это обстоятельство
можно качественно пояснить,
рассматривая координатные ВФ
(15.28) и (15.29). Координатная
функция триплетного состояния
обращается в нуль в плоскости,
перпендикулярной линии, со-
единяющей ядра, и проходящей
посредине между ними. Координатная функция синглетного
состояния в этой плоскости максимальна. Поэтому велика
вероятность нахождения электронов между ядрами, что при-
водит к меньшему значению энергии синглетного состояния.
Отбирая в качестве возмущения оператор V, мы счи-
тали, что электроны описываются атомными ВФ, т. е.
локализованы вблизи своих ядер. Такой вид химической
связи, при котором электроны не смещаются заметным
образом от одного ядра к другому, носит название гомео-
полярной связи.
ЗАДАЧИ
1.	Используя результат п. 8.3, найти выражение для колеба-
тельной энергии иона Hj и оцепить максимально возможное значение
колебательного квантового числа.
2.	Энергия нулевых колебаний и энергия диссоциации моле-
кулы Н2 равны соответственно 0,26 эв и 4,46 эв. Найти энергию
диссоциации молекулы D2.
3.	Показать, что вычисление электронных термов молекулы водо-
рода с использованием ВФ, построенной из молекулярных орбиталей
Ф/ns = 1Фа Ki) +Фй (Г2)1 1Ф« («г) +Фй 01)],
приводит к большему значению £ (£), чем метод Гайтлера — Лондона.
Г лава 16
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
0. В главе 11 мы рассматривали изменение состояний
системы под действием зависящего от времени внешнего
поля. Под внешним полем практически всегда подразу-
мевается электромагнитное поле, создаваемое классическим
источником. Влияние изменений состояния системы на
состояния источника при этом не учитывается. Такой
подход, очевидно, неприменим для описания явлений,
в которых источником поля является квантовая система.
В таких задачах электромагнитное поле также должно
быть описано квантовым образом.
1.	В основе квантовомеханического описания лежит
использование классических уравнений движения для си-
стемы в гамильтоновой форме. Рассмотрим гамильтонов
формализм для электромагнитного поля. Уравнения Мак-
свелла для поля в вакууме имеют вид
rotE + -^ = 0, divE = 0,
1 с ot
1 ЭЕ	<161)
rotH--^ = 0, divH = 0.
c at
Введем векторный потенциал А, удовлетворяющий куло-
новской калибровке:
divA = 0.	(16.2)
Тогда из уравнений (16.1) следует волновое уравнение
для вектор-потенциала
AA4S=°-	<16-3)
Допустим, что все поле излучения находится в кубе
с ребром L и подчинено граничным условиям периодич-
ности на стенках куба. Тогда решение уравнения (16.3)
можно представить в виде
А = Х[йк(0АДг) + 4(/)АН/-)],	(16.4)
х
299
где коэффициенты а} зависят только от времени. Решение
уравнений для функций Afe(r), удовлетворяющих условиям
периодичности и поперечности, имеет следующий вид:
А?.(г) = Л^е,Аг.	(	(16.5)
Здесь вектор е;, подчиненный требованию
е?к;=0,	(16.6)
задает направление поляризации, а вектор к, определяю-
щий направление распространения, может принимать
лишь дискретный набор значений
ku=^,	(16.7)
где п}Л — целое число. Итак, для задания состояния Аг (г)
надо указать значения четырех параметров:	п2},
Пзи а. Параметр а указывает поляризацию и принимает
два значения. Решение (16.5) может быть умножено на
постоянный множитель, определенный из условия норми-
ровки. Потребуем выполнения равенства
^А,АГ^г = 4лс2бЛ/.	(16.8)
Соответствующие решения (16.5) примут вид
Ах = ех]/’^А	(16.9)
Зависимость от времени коэффициентов aK(t) определится
формулой
иЛ = с|кх|.	(16.10)
Полная энергия поля в объеме периодичности Ls есть
VE2+Ha)dr-	(16Л1)
Выражая поля Е и Н через векторный потенциал с по-
мощью соотношений
Е = —H = rotA	(16.12)
с dt у	х '
и используя решение волнового уравнения в виде (16.9),
получим
£ = £	(16.13)
х
300
Введем классические действительные переменные
Сл-=аА + < РА = —кох(аА-сф.	(16.14)
Тогда выражение для полной энергии поля (в кубе Ls)
может быть представлено в виде
£ =	+	=	(16.15)
к
Это выражение можно рассматривать как запись клас-
сической функции Гамильтона для свободного поля
в кубе Ls в канонических переменных РК, QK. Соответ-
ствующие уравнения Гамильтона имеют вид
=	(16-16)
-^ = « = -РА.	(16.17)
2.	Обобщая основные положения на описание неме-
ханических систем, для квантового описания свободного
электромагнитного поля мы заменим классические кано-
нические переменные РК, QK на операторы, удовлетворя-
ющие перестановочным соотношениям
[Р/л Qp] —
[Л.,	= ад=о.
(16.18)
Как классическая функция Гамильтона (16.5), так и опе-
ратор Гамильтона для свободного поля распадается на
сумму гамильтонианов невзаимодействующих осцилля-
торов:
н=2^=42	<16-19)
Л	X
Собственные значения энергии каждого осциллятора опре-
деляются, как известно, формулой
ЕА = Й©А(п?.+ 1/2).
(16.20)
Рассмотрим классическое выражение
поля
S = i$[ExH]dr.
для импульса
(16.21)
301
При подстановке в это соотношение выражений для полей
мы придем к формуле
S = У, Sz = У, 2(ozk?o?ax.	(16.22)
Выражение (16.22) отличается от формулы (16.13) для
энергии поля лишь наличием векторных (неоператорных)
множителей. Поэтому при переходе к квантовому описа-
нию оператор импульса электромагнитного поля комму-
тирует с гамильтонианом, а его собственные значения для
каждого из осцилляторов поля суть
Sx = M(hx+1/2).	(16.23)
Таким образом, энергия и импульс электромагнитной
волны коммутируют, что в квантовой механике частиц
соответствует случаю свободного движения. Далее, раз-
ности энергий и импульсов плоской волны с заданным
значением X и основного состояния поля кратны величи-
нам Лсох и соответственно. Поэтому плоскую попе-
речную электромагнитную волну можно рассматривать
как систему невзаимодействующих частиц — фотонов —
с энергией Йод. и импульсом
3.	Как и при рассмотрении гармонического осцилля-
тора в п. 3.12, введем безразмерные операторы
= У	(16.24)
+	(16.25)
Из коммутационных соотношений (16.18) следуют пере-
становочные соотношения для операторов
Л	(16.26)
1«х> а(1] = К» с?£| = 0.
Таким образом, операторы а+ и а можно рассматривать как
операторы рождения и уничтожения фотонов, действующие
в пространстве чисел заполнения с базисными функциями
(16.10). Из (16.26) видно, что фотоны являются бозонами.
Гамильтониан свободного электромагнитного поля,
выраженный через операторы at и а}, имеет вид
Н = У^ (АА + охА) =^й(0^(А + у)- (16.27)
х	л
302
Выражение для оператора вектор-потенциала А через
операторы рождения и уничтожения фотонов можно запи-
сать, сравнив формулы (16.15) и (16.24):
А —	(ф.А?. + о£А£) -
х
(16.28)
При переходе от классического выражения для функ-
ции Гамильтона к оператору Гамильтона (16.19) мы
можем, как и в механике частиц, считать зависимость
от времени включенной только в ВФ Az (представление
Шредингера) или только в операторы (представле-
ние Гайзенберга). Мы выберем первый вариант —пред-'
ставление Шредингера. Зависящие от времени ВФ имеют
вид
Ах = ]/^-2еае‘(кг-Во. 	(16.29)
4.	Рассмотрим уравнение Шредингера для нереляти-
вистской заряженной частицы без спина, взаимодействую-
щей с переменным электромагнитным полем, которое
будем описывать классическими (не операторными) потен-
циалами А и <р. УШ имеет вид
chi’
— tn -=~- =
dt
=	2^(рА + Ар)ф+^А^.	(16.30)
Второй член в правой части преобразуем с помощью
равенства
[р, А] = — iTzdivA.	(16.31)
Если векторный потенциал удовлетворяет условию куло-
новской калибровки (16.2), то УШ примет вид
-£ЦМ£+еф(И +	(16-32>
Оценим порядок величин в правой части для внешнего
поля, гармонически меняющегося во времени:
А (0 = -J-sin со/.	(16.33)
Тогда, если импульс частицы имеет типичную для атом-
ных систем величину р ~ то члены в правой части
303
(16.32) имеют порядок величины Ео, £ор и Е0р2 соответ-
ственно, где р— безразмерный параметр:
Р=-—(16.34)
Г сор /726(0	v '
В оптическом диапазоне (со^ 101Б сек1') параметр р срав-
ним с единицей в полях с напряженностью S 106 ед.
СГСЭяаЮ8 в/см, т. е. при интенсивности излучения I ~
~ 101Б вт • смг2. Чаще приходится иметь дело с полями,
в которых выполняется условие р<;1. Поэтому второй и
третий члены в правой части (16.32) можно рассматри-
вать как малые возмущения. Отметим, что даже при Р 1
членом, квадратичным по А, нельзя пренебрегать по
сравнению с линейным, так как они описывают различ-
ные явления.
5.	Рассмотрим взаимодействие квантовомеханической
системы с квантованным электромагнитным полем. Для
этого в УШ (16.32) заменим классическое выражение для
вектор-потенциала на оператор (16.28). В дальнейшем для
краткости квантовомеханическую систему будем называть
атомом. Гамильтониан системы «атом ф-поле» имеет вид
где
H^Ha + V + Hp,
к
(16.35)
(16.36)
к
(dkel “z) +
Отметим, что оператор взаимодействия зависит от вре-
мени явно. В (16.35) мы опустили оператор возмущения,
квадратичный по вектор-потенциалу.
В отсутствие взаимодействия стационарные состояния
системы описываются произведениями СФ гамильтониана
атома |v) (под v понимается набор квантовых чисел)
и СФ гамильтониана свободного поля в представлении
чисел заполнения Здесь п-, означает число фотонов
с заданными значениями волнового вектора к;, и поляри-
зации еа. Матричные элементы зависящего от времени
оператора V (/) в первом порядке теории возмущений
отличны от нуля только между функциями состояний,
304
в которых число фотонов с некоторым Л отличается на
единицу:
<v, п?,|У|ц, n?.+ l> = <v, n|Vx||A, n+l>,
где введен оператор
(16.37)
Такой переход соответствует поглощению фотона атомом.
Аналогично, переход, соответствующий испусканию фотона,
определяется вторым слагаемым в операторе V:
(у, nJVIp., щ,— l) = (v, п|Йл|ц, п — 1>,
где введен оператор
6.	Пусть в начальный момент времени поле находится
в вакуумном состоянии. Все числа заполнения равны нулю.
Тогда единственным возможным процессом будет испуска-
ние фотона. Поскольку при размерах куба L3, больших
по сравнению с длиной волны фотона Z, спектр свобод-
ного поля является квазинепрерывным, мы используем
полученное в п. 11.8 золотое правило
= ИШ 0>|р(Е/),	(16.38)
где индексы f и i относятся к конечному и начальному
состояниям атома соответственно. Определим плотность
числа состояний. Число состояний поля с фотоном, импульс
которого лежит в интервале значений (р, p-'rdp) и интер-
вале углов rfQ, есть
,д. L3p3 dp dfi _ L3e? dp dQ
~	(2лй)?	с2 (2лй) '
В последнем выражении через е обозначена энергия фотона
с импульсом р:
е = ср = 1га.
Учитывая это равенство, для функции плотности состоя-
ний получаем выражение
dNp L3a2 d£l
(®)	р (2т)3 ‘
11 П. В. Елютин, В. Д. Кривченков
(16.39)
305
Подставляя это выражение в формулу (16.38), получим
2л Ь3ы2 I /£ । _,к1.Л. .. е 1 Г 2лй I2
dPfi — ~W (2nc)3 р Iе P'^~m V 7лГеа| d®~
==»’1^1е_1кГР1^еа i2 dQ-
Наибольший вклад в матричный элемент
(f | e‘kr р Ю = $ Ф* (г) е-гк,рф/ (г) dr
дают области значений г, в которых атомные ВФ заметным
образом отличны от нуля: г ^>ао^0,5 - 10 s см. В оптиче-
ском диапазоне £~105 см-1, и в существенной области
интегрирования показатель экспоненты оказывается малым.
Ограничиваясь первым членом разложения
получаем
e-«kr=i_ikr--^- + ...,
(16.40)

Учитывая доказанное в п. 3.9 тождество
получаем для dP+ следующее выражение:
(16.41)
Здесь dy; означает матричный элемент дипольного момента:
d = er. Выбирая ось сферической системы координат в нап-
равлении импульса фотона к и учитывая, что вектор поля-
ризации ортогонален импульсу, представим (16.41) в виде
dPt‘= I d/i I2 sin2 0 d cos e d<P-
Полная вероятность испускания фотона в единицу вре-
мени определится интегрированием по углам 0 и <р:
2 / гп \2
pf‘ = -3a{-r) “ -	(16.42).
где а —постоянная тонкой структуры. Для атомов мат-
ричный элемент rfi по порядку величины равен ё2/Ит и
вероятность излучения Pfi имеет порядок
Рд^а3со.	(16.43)
306
Вероятности переходов при наличии фотонов в состоя-
нии с числами к отличаются от Рц только числовыми мно-
жителями. Учитывая соотношения
(и 4-11 а+ | п) = V п	1,
(и — 11 а | ii) = У п,
получаем
Р„{<Пх-1|П|пг>} = ПхР+,	(16.44)
^{<nz+l|Vt|nx>}=(n>.4-l)^.	(16.45)
Процесс испускания фотонов в отсутствие квантов
в начальном состоянии называется спонтанным излуче-
нием. Процесс испускания, связанный с наличием кван-
тов в начальном состоянии, с вероятностью в единицу
времени
Pse — Щ.Р*
называется вынужденным излучением. Формула (16.44)
относится, очевидно, к поглощению.
7.	Заметим, что в выражение для вероятности спонтан-
/ ного излучения Р+ не входит объем куба периодичности
Z3. Поэтому его можно отнести и к излучению атома
в свободном пространстве. То обстоятельство, что вероят-
ности процессов, происходящих в присутствии поля, (16.44),
(16.45) также не зависят от объема L3, позволяет уста-
новить связь между локальной плотностью энергии поля
Г = -1-(£34-Н2)
и числом фотонов в единице объема иЛ, которое входит
в наши вычисления, предполагая, что соотношения (16.20),
(16.23) выполняются и в этом случае.
Формула (16.45) указывает условие применимости клас-
сического рассмотрения электромагнитного поля, действую-
щего на атом; таким условием является неравенство n>.^> 1.
Отметим также, что использованная нами ВФ фотона
соответствует однородному распределению координаты в
объеме L3 (как и для нерелятивистской частицы с заданным
и»
307
импульсом). Однако функция, определенная таким
образом, не является калибровочно инвариантной. Заменив
еа на еа + к/(со), мы получим прежние выражения для
полей Е и Н, но другое выражение для плотности вероят-
ности координат фотона.
8.	Электромагнитное излучение, вероятность которого
определяется матричным элементом дипольного момента,
называется дипольным электрическим излучением или
Е1-излучением. Рассмотрим матричные элементы диполь-
ных переходов для частицы, связанной в центральном
поле. Состояние системы определяется квантовыми числами
п, I, т. Волновая функция допускает разделение пере-
менных
ф(6, ф, г)==/?„г(г) У/т(6, ф).
Угловая часть ВФ имеет вид
Ylm (6, ф) = ПГ (cos 0)	,	(16.46)
у
где П” (cos 6) — нормированные присоединенные функции
Лежандра:
nr (cos е>=/S+SgjE р? (cos 6).
Матричный элемент компоненты дипольного момента
может быть записан в виде
<vAp | | nlm) = RnlR*K diY^YlmP dr dQ. X 16.47)
Вместо декартовых компонент dx, dy, d; мы воспользуемся
разложением вектора d по сферическим гармоникам:
d0 = er cos 0 = у • 2~* VP10 = dz,
di = er sin 0с‘ч = угУи = dx + idy,
d^i = er sin — yrPi, -i = dx — idy,
.где
-ж f~ 8л
лг-
Рассмотрим вычисление интеграла (16.47):
<yfy\dK\nlm) = у-22<|к|-1) ^RvKRnlr2 dr J Y^YtmY1}ldQ.
308
Начнем с интеграла по угловым переменным:
ЛП) = $ ПГ (cos 6) ПГ (cos 6) П? (cos 6)  I™d cos О,
Лф) = (2л)-з.'2 (_1у1+т+х£(г-л+1)ецт+х-м)фdq)#
Последний интеграл вычисляется элементарно:
т(ч')
1 X
(_1уч-т+х	+ eOm+x-|t)(p
(2л)3“	«(/« + «—р)
Он обращается в нуль, если только не
условие
m + х — р = 0,
при котором
2л
О
выполняется
Для вычисления интеграла по 0 воспользуемся значения-
ми низших присоединенных функций П",;
п:(х)=]/4х, nr(x)=|/’|ri-x\
соотношением ортогональности
$ n;i(x)nhx)dx = 6u
— 1
и рекуррентными формулами
хП'" (х)=__________________ __________________
(/ + ш-| 1)(Z — /n-Н) пт । Л Г (Z-|-/n)(Z— tn) пт
= У	(2Z+1) (2Z + 3)	П'+1 + |/ (2Z + 1) (2Z- 1) 1 lz-1 ’
(16.48)
Ш"(х) =	_______________
> Г (I— ;л-|- l)(Z-|-m+2) rrm— 1 । л Г(Z + tn)(Z + m— l)„m—1
= ~|/	(2Z+l)(2Z + 3)	Z + 1	V (2Z+1)(2Z-1) 11Z“’ ’
(16.49)
/1-х2ПГ (x) =
, , /(Z + m+l)(Z + "' + 2)rr'«+> tA'-'") (Z-m+l)nm-i
-+У	(2Z+l)(2Z + 3) Uz+l V (2Z + 1)(2Z-1) г-ь
(16.50)
309
Рассмотрим /оЯ):
/<а> = $ ПГ (х) njj(x) ]Л| х	dx.
Учитывая формулу (16.48), получаем
7(й)	id~K+1' дЛ'зТз A(Z + m+l) (Z —m + 1) я
'° -"W" TLF	(2Z + l)(2Z + 3)
+/-Mo(И) »>-.>] 06.51)
Таким образом, отличны от нуля будут только мат-
ричные элементы переходов между состояниями с Z и
Z±l. Используя (16.49), (16.50), можно показать, что
то же требование распространяется и на переходысх = ±1.
Для них
,(й)_ /<г+1~Х| i/~3 Г-./~(Z + nt + 2) (/ + m+i)o	_
1	/2л V 4 [К	(2Z +1) (2Z + 3)	1Л~1
1 Л (Z-m)(Z-m-l) <-	1 /1 р г ок
“ |/	(2/ + l)72Z-l)	<16-52)
(Я) _	1 ДУ Г _ 1 f (Z-OT-H)(f+m+2) „
1	/2л Г 4 [ Г (2Z +1) (2Z-J-3)
। л Г (Z + »O(Z + m—1) х | /1Г гох
+ V (2Z+1) (2Z-1)	<16-53)
Таким образом, в дипольном приближении для частицы,
связанной в центральном поле, отличны от нуля только
матричные элементы переходов из состояния (п, I, т)
в состояние (у, X, ц), где
X = Z±1, p = m, m±l.
(16.54)
9. Формулы (16.54) задают правила отбора для вектор-
ного оператора d.
В случае многоэлектропного атома в дипольном при-
ближении возможны лишь такие изменения электронной
конфигурации, при которых изменяются квантовые числа
п, I одного только электрона, так как оператор суммар-
ного дипольного момента есть аддитивный оператор.
i
Из правил отбора следует, что при диполыюм излуче-
нии пли поглощении одного фотона момент атома изме-
няется на единицу. Поскольку система «атом + поле»
ЗЮ
замкнута, то из закона сохранения момента в этом слу-
чае следует необходимость приписать фотону момент им-
пульса, равный единице. Использованная нами при вычис-
лениях координатная приближенная ВФ фотона изотропна.
Поэтому разумно предположить, что этот момент связан
со спиновым состоянием, и приписать фотону спин, равный
единице. Частица с конечной массой покоя и спином еди-
ница при заданном значении импульса р находится в трех
различных спиновых состояниях с проекциями s на направ-
ление импульса, равными 1, 0 и —1. Для фотона воз-
можны лишь два направления поляризации: sp = ±l. Это
связано с равенством нулю массы покоя фотона, которое
связано с условием поперечности векторных ВФ фотона.
10. В качестве примера вычислим вероятность спонтан-
ного перехода между состояниями 2р -> 1s в атоме водо-
рода (спектральная линия Ly-a). Для переходов из р-
состояния в s-состояние вероятности переходов вне зави-
симости от величины Д/n равны
p+=4-Sr-v^2’	(16.55)
где через R обозначен радиальный интеграл
R = $ R^Rni^ dr.
Радиальные ВФ имеют (в атомных единицах) вид
R10(r) = 2e~r,
R21
'	2 рб
Радиальный интеграл вычисляется элементарно:
R =	е-зг/2^	= 215'2 • З-9/2.
Переходя к обычным единицам и подставляя это значение
в формулу (16.55), получим
Р+ 4 <ose2 2*§ Д4
Р ~ 9 Йс? 3» т2е1 '
Частота излучения определяется формулой
u = l[£(2p)-£(ls)]=4^-.
311
Отсюда находим окончательное значение:
n+ /2V7 е2 V —
" \ 3 ) \ tic) h* '
или P’ (Ly-a) = 0,62 • 10s сек1. Это значение примерно
в три раза больше, чем оценка (16.43).
11. Если матричный элемент dft обращается в нуль,
то говорят, что дипольный перевод между состояниями
\i) и \[) запрещен. В этом случае для вычисления веро-
ятностей перехода следует улучшить приближение (16.40),
положив
e-rkr 1 _
Матричный элемент перехода определится интегралом
/1 = 51|у* (г) (кг) (реа) ф,- (г) dr.
Поскольку ке = 0, удобно выбрать направления векторов
к и е за оси декартовых координат, например Ох и Оу
соответственно. Тогда интеграл примет вид
11 = </1 k (хр„) | 1> = </ | (л-ру + рху) + (хр;/ - p.vp) 1t>.
Второй член пропорционален z-компоненте орбитального
момента Аналогично, для других направлений к, е
матричные элементы равны
Излучение при переходах, вероятности которых определя-
ются этими матричными элементами, называется магнит-
ным дипольным или Ml-излучением. В нерелятивистском
приближении при движении в центральном поле орбиталь-
ный момент сохраняется и не имеет недиагональных мат-
ричных элементов, отличных от нуля. Поэтому магнит-
ные дипольные переходы в этом приближении запрещены.
Для многоэлектронных атомов в случае LS-связи
Ml-переходы должны удовлетворять правилам отбора
Дщ = 0, Д/, = 0	(16.56)
для всех одноэлектронных ВФ. Поэтому возможны пере-
ходы только между двумя состояниями, принадлежащими
одной конфигурации и обладающими одинаковыми значе-
ниями L и S. Разности энергий таких состояний малы
312
и соответствуют излучению частот микроволнового диа-
пазона.
Первый член может быть преобразован следующим
образом:
хру + УРх=^(^ayx-yx^z) = — ~ [ух, На] = Ь.
Вычисляя матричный элемент оператора b между состоя-
ниями \т) и \ti), получим
(m\b\ri) =
= - ^«.т\ух\1)(1\Н\п)-(т\Й\1) (1\ух\п)).
i
Учитывая, что у гамильтониана И в собственном представ-
лении отличны от нуля только диагональные элементы,
получим
4k <Л хРи + УРх 1О = 4 Т" । ХУ 1 •
Излучение, испускаемое системой при переходах, вероят-
ности которых определяются такими матричными элемен-
тами, называется электрическим квадрупольным или Е2-
излучением.
Правила отбора для квадрупольных переходов можно
получить из правил (16.54), представив матричный эле-
мент в виде
<т | ху | п) = У <ш | х 11) (I । у | и>.
z
Таким образом, для квадрупольного излучения отличны
от нуля вероятности переходов из состояния (и, I, т)
в состояние (у, X, р), где
Х —	К==1±2, |р —пг|^2.
Напомним, что все вычисления в пп. 16.8—16.11
относились к случаю, когда состояние системы можно
описывать УШ без учета релятивистских поправок. В част-
ности, во всех рассмотренных случаях выполнялось
условие
== Szl.
При учете взаимодействия спинового магнитного момента
с внешним полем отличные от нуля матричные элементы
Ml-переходов возможны и для состояний частицы в цен-
тральном поле.
313
12. Выше мы установили, что возбужденные состояния
атомов при учете взаимодействия с электромагнитным
полем не являются стационарными. Даже при отсутствии
фотонов в начальный момент амплитуда возбужденного
состояния атома со временем изменяется:
«10	Pfi ’
Поэтому начальное состояние системы «атом ф-поле» не
обладает определенной энергией. Рассмотрим однофотон-
ный переход между возбужденным состоянием атома |1)
с энергией Et (вычисленной без учета взаимодействия
с полем) и основным состоянием | 0) с энергией Ео. При
временах, больших по сравнению с Pfi, атом почти
наверное будет находиться в основном состоянии с опре-
деленной энергией Ео. Но поскольку в начальном состо-
янии система «атом ф- поле» не обладала определенной
энергией, то в конечное состояние поля (при /->ф-оо)
будет описываться некоторой функцией распределения
по энергии. Найдем вид этой функции.
Уравнения движения для амплитуд начального состоя-
ния а10 и конечных состояний а0Л (индекс X здесь озна-
чает квантовые числа фотонов) имеют вид
№^==2<lOlV|OX>e‘'(“o-“z)^OXi	(16.57)
х
Ш 2 <°х! V110>	(16.58)
х
Нас интересует решение этой системы с начальными усло-
виями
а10(0)=1, ао?.(О) = О.
Будем искать решение в виде
О10(/) = е-^/2.	(16.59)
Подстановка этого решения в уравнение (16.58) и инте-
грирование по времени с учетом начальных условий при-
водят к соотношению
„,.Л «>А| V-1 |1)?	 (16.60)
314
Подстановка этого решения в уравнение (16.57) приво-
дит к соотношению
V __ V I I/ '2 !-ехр [Z (со,, — со?.) Ч~T/2J <
2	1	й (со0 — со; —i'y/2)
Л
Поскольку спектр фотонов квазинепрерывен, суммирова-
ние по А можно заменить интегрированием по частотам.
Итак
- ih -X = t р (k) | V, |2	dQ
2 ,V v >' /b|	Й (coo —(o —ty/2)
o
Предполагая у малым по сравнению с со, мы можем пре-
небречь этой величиной в правой части. Разобьем функ-
цию времени под интегралом на действительную и мнимую
части:
р ,	„  1 — exp i (со0 — со) t   1 —cos (соо—со) t . sin (<оо—к>) t
' ’ '	со,,——со	(соо—со) 	(Оо—со
В пределе (со0 — со) t -> оо вклад в интеграл от действи-
тельной части даст только монотонная функция (соо —со)-1,
так как cos(co0 —со)? быстро осциллирует. При этом ин-
теграл от действительной части следует вычислять в смысле
главного значения, учитывая нечетность ReF(co). Таким
образом, у имеет отличную от нуля мнимую часть
СО
1шу = 4 р(со)| VIMQ .
• й ) ' '	1	й (<о0—со)
о
(16.61)
соответствующую поправке к средней частоте излучения.
Обычно эта поправка незначительна. Интеграл от мнимой
части F (со) определяется окрестностью точки со = соо:
СО
-Л р (со) | V |2 dtH
J v '	J COo“-<°
0
i f P (k0) I V I2 dQ sin	da.
J r ' 7	J co0 — co
о
Таким образом, действительная часть у определяется ра-
венством
Rey = ^ § р(*0)| V|2ZrMQ
315
и равна полной вероятности излучения в единицу времени.
Распределение фотонов в конечном состоянии по энергии
можно получить из (16.60), положив ^->оо:
I </) °	«.f-	<16-62>
Интегрируя по телесному углу и умножая на плотность
конечных состояний (в интервале энергий), получим с уче-
том (16.62)
<16'63>
Форма линии, описываемая выражением (16.63), называ-
ется естественной или лоренцевской.
Отметим, что ширина линии оказывается пропорцио-
нальной интенсивности спонтанного излучения: чем спект-
ральная линия интенсивней, тем опа шире. Такая же
связь между шириной и интенсивностью линий имелась
и в классической модели осциллятора с радиационным
затуханием. Однако при переходе между возбужденными
состояниями ширина линии определяется суммой констант
у для верхнего и нижнего уровней:
b = Y, + V/-
Поэтому спектральная линия, соответствующая переходу
в короткоживущее состояние, будет широкой, но, воз-
можно, слабой.
13. Выше мы рассматривали переходы под действием
электромагнитного поля, в которых как начальное, так
и конечное состояния атома принадлежали дискретному
спектру. Если энергия поглощаемого фотона йо> больше
потенциала ионизации /, то в результате поглощения
один из атомных электронов может перейти в состояние,
принадлежащее непрерывному спектру. Это явление назы-
вается фотоэффектом. Вероятность перехода в единицу
времени определится формулой
1>|р(£/).
Основное упрощающее предположение в теории фотоэф-
фекта состоит в замене ВФ конечного состояния, учиты-
вающей взаимодействие электрона с атомным остатком,
316
на ВФ свободного состояния — плоскую волну
Плотность числа конечных состояний для свободного
электрона имеет вид
=	(16.64)
г (2лй)3	'	'
Итак, вероятность испускания в единицу времени элек-
трона с импульсом, лежащим внутри телесного угла dQ,
имеет вид
'	1>Г-
V v<* f
Используя явный вид оператора взаимодействия
получим выражение для вероятности фотоэффекта в виде
= J	(16.65)
Очевидно, это выражение явно зависит от нормировочного
объема L3 для фотонов. Удобнее вычислять величину сече-
ния перехода, равную отношению вероятности перехода
к плотности потока фотонов L sc. Вычислим сечение фото-
эффекта для атома водорода в основном состоянии. ВФ
начального состояния имеет вид
Введем обозначение х для волнового вектора переданного
импульса:
х = k — q.
Проводя в формуле (16.65) интегрирование по частям и
учитывая поперечность поля, найдем
| e‘xr (eaV) dr | = | eaq 'xr dr |.	(16.66)
Интеграл вычисляется элементарно в сферических коор-
динатах:
—L- С ехр f — — ф-i хг cos • 2л sin в-г2 dr d6
J/ла-J Ч «о	J	(l-|-o-x2)2
(16.67)
317
Обозначим через 0 угол между направлениями импульсов
фотона к и электрона q, а через <р —угол между плоско-
стями kq и ек. Тогда
eq = q2 sin2 0 cos2 <p,
x2 = f/2(l-2|cos0 + ^).
Если энергия электрона в конечном состоянии много
больше энергии связи:
й2<?2 е4т
то волновой вектор электрона много больше обратного
боровского радиуса:
92«5>^=1-	(16.68)
Далее, учитывая, что волновой вектор фотона k = <dc~\
имеем
k   со	hq
q	cq	2inc '
В нерелятивистском приближении можно ограничиться
членами r^tiq/mc. Тогда, пренебрегая в знаменателе фор-
мулы (16.67) единицей в силу неравенства (16.68), полу-
чаем
do, = 32а —sin2°cos2<P	(16.69)
’ mcr'kqc	, hq ,.\4	'	'
1---- - cos 6
\ me ]
Угловая зависимость в числителе показывает, что наибо-
лее вероятно испускание электрона в направлении элек-
трического поля падающей волны. Отметим, что при выводе
формулы (16.69) мы не использовали разложение экспо-
ненты в операторе взаимодействия, а потому учли все
порядки мультипольности перехода. Проводя вычисление
в дипольном приближении, что эквивалентно замене
x = q, к —О,
мы получим вместо углового фактора в знаменателе (16.68)
единицу. В этом случае можно провести интегрирование
по углам и получить явный вид полного сечения:
' / V/2
Л7 ’
2«л	„
О = -V «Йо
о
(16.70)
где Е = Й<о —энергия фотона. Подчеркнем, что наше при-
318
ближение пригодно лишь при Е^>1. Вблизи красной гра-
ницы фотоэффекта нужно пользоваться точными ВФ элек-
трона в кулоновском поле. Соответствующие расчеты
показывают, что учет взаимодействия в конечном состоя-
нии приводит к появлению в формуле для сечения допол-
нительного множителя
F(g) = 2n
/ ехр (— 4g arctg g)
Е 1 — ехр (—2ng)
Множитель F (g) уменьшает сечение фотоэффекта вблизи
красной границы. При E = I F (g) — 2mr4 ~ 0,12 и мед-
ленно возрастает с увеличением энергии Е. Даже при
Е — 501 значение F (g) составляет всего 0,66.
Отметим, что сечение ионизации на красной границе
имеет конечную величину. Это связано со специфиче-
ским поведением кулоновских ВФ непрерывного спектра
на больших расстояниях. Для частиц, связанных корот-
кодействующими потенциалами, при E — I сечение фо-
тоэффекта обращается в нуль. На рис. 45 показана зави-
симость сечений от ЕЦ для атома ЬД и отрицательного
иона Hf. Отметим также степенной характер убывания
сечения при £->оо.
14. Выше мы рассматривали однофотонные процессы,
в которых начальное состояние системы принадлежало
дискретному спектру. Если начальное состояние электрона
принадлежит непрерывному спектру, а фотонов в началь-
ном состоянии нет, то возможны два типа однофотонных
процессов.
319
Конечное состояние электрона может принадлежать
дискретному спектру, а конечное состояние поля будет
содержать один фотон. Такой процесс — рекомбинация —
противоположен фотоэффекту. Его сечение определяется
матричным элементом (16.66). Конечное состояние элек-
трона может принадлежать непрерывному спектру, а ко-
нечное состояние поля будет содержать один фотон. Такой
процесс неупругого рассеяния называется тормозным
излучением.
Рассмотрим тормозное излучение электрона в кулонов-
ском поле ядра. Вместо использования точных ВФ непре-
рывного спектра мы, как и в п. 16.13, будем описывать
начальное и конечное состояния электрона ВФ свободного
движения с определенным импульсом
= с'Рг, ф, = -U eiv
1 k L:>
а влияние кулоновского поля ядра учтем как возмущение
VN
г
Матричный элемент оператора взаимодействия с полем
VF между функциями фг и ф; обращается в нуль: свобод-
ный электрон не излучает. Отличный от нуля вклад воз-
никает только во втором порядке теории возмущений от
члена первого порядка по Кдг и по V F:
(j | И | i) = "У (i^lg/> I I । </| I b/ I |1
\	Ei—Ea	Ei — Ef,	)
ab
(16.71)
Матричные элементы операторов VF н КЛ' вычисляются
элементарно:
<b! ^|р> = -^^,	(16.72)
<b, k|Vf[p, 0) = -^-|/'fgeAp6(p-b-k). (16.73)
Энергии начального и конечного состояний определяются
импульсами соответствующих свободных частиц:
Ei = ^, Ef~^+hck.
1 2т ’ J 2т 1
320
Учитывая закон сохранения импульса, имеющий место при
взаимодействии с квантованным полем, энергии промежу-
точных состояний можно выразить через импульсы р, q, к:
B«=2^(q + k)\
Г
^=2. (Р~к)2 +
2/пс
Т
Подставляя выражения (16.72), (16.73) в матричный эле-
мент (16.71), получим
</И0 =	___
__4л/е2 eft Г ‘inti 1 Г (с;р) (ещ) ]	7Д,
£3 т V £Зсо|р-ч-к1Ч£г—Ео -Г£г-Е()]-
Направления импульсов фотона к и электрона р в конеч-
ном состоянии независимы. Поэтому функция плотности
конечных состояний может быть представлена как произ-
ведение плотностей состояний для фотона и свободного
электрона:
р dE = L3 d£ie L3 dQp he dk.
г 8л3й3 e 8л3/г3с	'
Определим дифференциальное сечение тормозного излуче-
ния как отношение вероятности перехода к плотности
потока начальных электронов:	Используя золотое
правило, получим
do =
__	I 1 Г е?,р
л2 I Р | |р — q—к;4 LEz— Еа
Ei— Eb\ е Р
(16.75)
Найдем выражение для энергетического спектра испускае-
мых фотонов. Для этого надо формулу (16.75) просумми-
ровать по возможным направлениям поляризации е?. и
проинтегрировать по угловым переменным.
Введем систему координат с осью Ог вдоль р и плоско-
стью Охг, совпадающей с плоскостью рк (рис. 46). Тогда ком-
поненты векторов р, q, к будут определяться выражениями
Р = Р(О, 0, 1),
к = k (sin 0, 0, cos б),
q = (y(sin acos р, sinasinp, cosa).
321
Вектор поляризации еа ортогонален импульсу фотона к,
поэтому удобно положить
ех = (—cos 0, 0, sin 6), е2 = (0, 1,0).
В нерелятивистском приближении формулу (16.75) можно
zci	Я

I ж
х	Р z	I
у
Рис. 46.
упростить, воспользовавшись, как и в п. 16.13, малостью
импульса фотона. Тогда
<16re>
p—q—k |4^(p - q)« = (p2 + 92 - 2pq cos a)2.
Энергетические знаменатели в квадратной скобке формулы
(16.75) различаются только знаками и не содержат угло-
вых множителей. Поэтому мы можем ограничиться рас-
смотрением угловой зависимости числителей. Для раз-
личных значений поляризации имеем:
а— 1: (е^ — eiq) = —рcos64-9(sin0cos0 — cos0sinasin0),
a = 2: (e2p — e2q) =— q sin a sin 0.
Возводя эти функции в квадрат, складывая и интегрируя
по 0 и 0, получим
2п f df> ( d cos 6 (®лР — ezq)2 —	((f + P2 — %Pq cos a)-
x
Оставшееся интегрирование no a также выполняется эле-
ментарно:
r	+1
(h\ _ 72а3 _!д /7	С ______________
аа(П) -ла 3 р к у p2+92-2p9cosa •
— 1	<
322
Отсюда находим окончательный результат:
(16.77)
Введем безразмерную величину т], равную отношению
энергий фотона tick и начального электрона Ес
Тогда выражение (16.77) можно представить в виде
do(п) = -1® Z2a3—In(	.
3	р2	\ 1 — У 1 — 7] / Т]
Логарифмический множитель при не слишком малых г]
меняется медленно, и зависимость сечения от энергии
определяется главным образом множителем гр1. Спектраль-
ная интенсивность тормозного излучения определяется
выражением
dS (со) = — Z2a3 — 1п (1	Y da. (16.78)
Зависимость спектральной интенсивности от г] показана
на рис. 47. Отметим логарифмический рост S (со) при со->().
Такое поведение характерно для чисто кулоновского потен-
циала. Отметим, что при со->О матричные элементы воз-
мущений (16.72), (16.73) ста-
новятся большими, а энерге-
тические знаменатели в
(16.74), напротив, становятся
малы. Таким образом, в этом
случае нарушаются условия
применимости теории возму-
щений.
Рис. 47.
15. Выше мы рассматрива-
ли одноквантовые процессы,-
в которых начальное и конеч-
ное состояния поля отлича-
лись значениями только одного из чисел заполнения. Сече-
ния таких процессов определялись в первом порядке тео-
рии возмущений по полю матричным элементом возмущения,
линейного по оператору А. В нерелятивистском прибли-
жении возможны следующие двухквантовые процессы: двух-
фотонное поглощение (в начальном состоянии — два фотона,
323
в конечном—фотонов нет), двухфотонное излучение (в конеч-
ном состоянии—два фотона, в начальном — фотонов нет)
и рассеяние (в начальном и конечном состоянии — по одному
фотону с различными, вообще говоря, квантовыми числами).
Рассмотрим рассеяние фотонов свободными электронами.
В этом случае в первом порядке теории возмущений отлич-
ный от нуля вклад дает только второе слагаемое в опера-
торе возмущения в (16.32):
Здесь для А должно быть взято выражение (16.28). Выби-
рая ВФ электрона в начальном и конечном состояниях
в виде плоских волн, как и в п. 16.14, и обозначая через
Ь, е,- и k, ef импульсы и поляризации фотопа в начальном
и конечном состояниях, запишем матричный элемент пере-
хода:
а | V21i>=f 2я2- еге,е‘ (₽+ь - q - k) г dr
4/1	17 2mc2 J Iе |/ bk 1
Интеграл отличен от нуля только при условии
k+q-p+b
и вычисляется в этом случае элементарно:
е22лй efif
nicL3 У bk
Нашей конечной целью является вычисление сечения рас-
сеяния фотона. Дифференциальное сечение рассеяния опре-
деляется золотым правилом:
do(k, a) = ^^|<f|V2|0l2p(£/),	(16.79)
где плотность конечных состояний
/г? . L%2dQ dk
(16.80)
При заданных b и р величина и направление импульса
фотона в конечном состоянии связаны с углом рассеяния 6
между направлениями b и к. Примем для простоты, что
в начальном состоянии электрон покоится: р = 0. Тогда
из закона сохранения энергии следует равенство
Йс6 = ЙСЛ+-^ = Йск + 4(к-Ь)2],	(16.81)
j	Хи	|
324
где введена величина
Х = — — 3,86-10~п см — аа0,
тс
называемая комптоновской длиной волны электрона.
Дифференцируя формулу (16.81) по k, найдем величину
dEf
входящую в выражение для плотности конечных
состояний:
dk / dEf yi
=	= {Ml + M*-*cose)]}-i. (16.82)
Рассмотрим произведение векторов поляризации е,е/.
В качестве базисных направлений удобно выбрать вектор et
в плоскости bk, а вектор е2 — перпендикулярным этой пло-
скости. Тогда отличны от нуля будут только произведения
е‘Х = cos 6, е‘е£ = 1.
Если начальный фотон не поляризован, то формулу
(16.82) следует усреднить по поляризациям. Это приводит
в появлению в выражении для сечения множителя
(е'е7)2 = у (1 + cos2 6).
Итак, для усредненного по поляризациям дифференциаль-
ного сечения рассеяния получаем формулу
(^) lllC2 ) [ 1 x,(fe — ь cos 6)
1	1 —COS^ 6	i(~\ /ir qQ\
2~b	<16’83)
Учитывая малость величины kh в нерелятивистской обла-
сти, можно разложить Ь по этому параметру. Сохраняя
члены первого порядка по kb, получаем
do (k)	[1 - 2Лл (1 - cos 6)]	dfi.
Интегрирование по угловым переменным элементарно. Пол-
ное сечение рассеяния имеет вид
а = —гб (1-2А>Х) = ог(1-2Н).
Здесь оТ есть классическое томсоновское сечение рассея-
ния свободными электронами. Квантовая поправка умень-
шает сечение с ростом энергии фотона *.
325
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что в дипольном приближении в системе двух
тождехтвенных заряженных частиц излучения нет. Аналогичное утвер-
ждение имеет место и в классической электродинамике: для двух
частиц с одинаковыми е и т дипольное излучение невозможно.
2.	Доказать, что переход из s-состояния в s-состояние запрещен
во всех порядках мультипольности.
3.	Найти зависимость от N вероятности дипольного перехода
между состояниями частицы в кулоновском поле с главными кванто-
выми числами п и N при N ->оо.
4.	Определить зависимость сечения рекомбинации электрона в со-
стояние 1s атома водорода от начального импульса электрона.
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Постоянно используются сокращения: ВФ —волновая функция,
СЗ—собственное значение, СФ—собственная функция, УШ—уравне-
ние Шредингера, ФГ—функция Грина.
Операторы:
Операторы обозначаются знаком Л над буквой. Постоянно исполь-
зуются обозначения:
й+, а— операторы Бозе;
с+, с—операторы Ферми;
Н—гамильтониан;
j, J—полный момент частицы, системы;
I,	L — орбитальный момент частицы, системы;
р — импульс;
s,	5 — спиновый момент частицы, системы.
Параметры:
а — характерная длина потенциала;
k — волновое число;
Е—энергия;
Uo—характерная величина потенциала;
Z —заряд ядра в атомных единицах;
т-s -	№ x—ka (й — Ет~Еп
5 ~ 2mU0a2 ’ к ’ тп П . ’
Константы:
а0 — боровский радиус = й2/те2=5,292• Ю0 см;
с—скорость света = 2,99793 • 1О10 см/сек;
с —заряд электрона = 4,803 • 10_ю ед. СГСЭ;
те — масса электрона = 9,109 • 10~28 г;
тр — масса протона = 1,673  10-24 г;
й — постоянная Планка = 1,054 • 10-27 эрг-сек;
а—постоянная тонкой структуры=е2/йс, 1/а = 137,04.
ПРИМЕЧАНИЯ
К стр. 5. Приведенные в первой главе определения и форму-
лировки теорем достаточны для понимания дальнейшего изложения.
Более строгое и последовательное изложение можно найти в книгах:
Н. И. Ахиезер, И. М. Г л азман. Теория линейных опе-
раторов в гильбертовом пространстве. «Наука», 19G6.
Ф. Рисе, Б. Секефальв и- Надь. Лекции по функциональ-
ному анализу. ИЛ, 1954.
Изложение математического аппарата, тесно связанное с задачами
квантовой механики, можно найти в книге:
П. А. М. Д и р а к. Принципы квантовой механики. Физматгиз,
1960.
К стр. 7. Приведенное определение 6-функции достаточно для
целей дальнейшего изложения. Теорию см. в книге:
В. С. Владимиров. Уравнения математической физики.
«Наука», 1971.
К стр. 8. В дальнейшем мы будем считать, что рассматрива-
емые функции дифференцируемы необходимое число раз.
К стр. 31. Отметим, что равенство
является следствием одних только коммутационных соотношений
и потому выполняется в любом представлении.
К стр. 45. Гипергеометрическим называется уравнение
Z (1 - z)g- + [с-(а+6 +1) г] - abu =0,
где a, h и с—любые комплексные числа. Если с не равно пулю
или отрицательному целому числу, то одно из его решений, регу-
лярное в нуле, есть гипергеометрическая функция F (а, Ь, с, г)
328
(иногда обозначается как 2Л)> которая определяется рядом
г.= ] ,	, c(c+l)fr(fe + l)z2 ,
'cl!1 с (с+1)	2!
Второе независимое решение есть
«2 (г) = г* ~с F (а— с+1, h — с+1, 2—с, г).
Свойства гипергеометрической функции подробно описаны в
книге:
Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функ-
ции. Том I. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра.
«Наука», 1965.
К стр. 58. Другие примеры применения метода факторизации
можно найти в книге:
X. Г р и н. Матричная квантовая механика. «Мир», 1968.
К стр. 64. Теорию когерентных состояний можно найти, напри-
мер, в книге:
Дж. Клаудер, Э. Сударшан. Основы квантовой оптики.
«Мир», 1970.
К стр. 94. Вырожденное гипергеометрическое уравнение имеет
ВИД
d”y , ,	.dy	л
х ~ + (с—х)- — аи = 0.
dx2 1 '	' dx	у
Если с не есть целое число, то общее решение этого уравиеиия
имеет вид
</ = А1/7(о, с; х) +А2х1~+(а—с+1, 2—с, х).
Регулярное в нуле решение есть вырожденная гипергеометриче-
ская функция F (а, с, х) (иногда обозначается как или Ф).
Свойства этой функции подробно рассмотрены в главе 6 книги,
указанной в примечании к стр. 45.
К стр. 138. В. П. Маслов. Теория возмущений и асимпто-
тические методы. Изд-во МГУ, 1965.
К стр. 146. Задача о надбарьерном отражении частиц высокой
энергии решена в работе:
В. Л. Покровский, И. М. Халатников. ЖЭТФ, 40,
1713 (1961).
К стр. 152. Для подсчета числа узловых поверхностей угло-
вую часть ВФ У/т(6, <р) следует выбрать действительной, опустив
множитель il в формуле (4.28) и заменив СФ оператора проек-
329
ции момента eimtf для т=±\т\ их действительными линейными
комбинациями cosmq> и sin пир. Такая угловая функция VZ:/ni обра-
щается в нуль на | т | плоскостях, проходящих через ось сфериче-
ской системы координат, н на I — [ т | конических поверхностях.
Подробнее см. Дополнение 2 в книге:
А.	Н. Т и х о н о в, А, А. С а м а р с к и й. Уравнения матема-
тической физики. «Наука», 1966.
Итак, полное число узловых поверхностей для ВФ стационар-
ного состояния есть
N = nr-\-(l—\m l) + |/n| = nr+/=n—1.
В параболических координатах
W = h1 + n2 + lw’l-
Сравнение двух выражений для N и дает формулу (8.8).
К стр. 155. Подробное рассмотрение эффекта Штарка для атома
водорода можно найти в книге:
Г. Бете, Е. Сол питер. Квантовая механика атомов с одним
н двумя электронами. Физматгиз, 1960.
К стр. 167. Математический аппарат теории потенциального рас-
сеяния изложен в книге:
В.	де Альфаро, Т. Редже. Потенциальное рассеяние. «Мир»,
1966.
К стр. 174. Приближение Мольера называется также приближе-
нием Глаубера, дифракционным приближением и эйкональным при-
ближением. Применениям этого метода посвящен обзор:
Р. Глаубер. УФН, 103, 4, 641 (1971).
К стр. 216. В этом пункте мы следуем изложению метода
Г. Ф. Друкарева в книге:
А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов.
Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой меха-
нике. «Наука», 1971.
Глава 7 этой книги представляет подробный обзор теории квази-
стационарных состояний.
К стр. 223. Материал, дополняющий содержание этой и других
глав (в частности, 7 и 14), можно найти в книге:
А.	Б. Мигдал. Качественные методы в квантовой теории,
«Наука». 1975.
К стр. 228. С. М. Рыто в. Введение в статистическую радио-
физику. «Наука», 1966.
330
К стр. 262. Гамильтониан (13.39) носит название гамильтониана
Гайзенберга—Дирака — Ван-Флека и играет важную роль в теории
магнетизма. См., например,
Д. Маттис. Теория магнетизма. «Мир», 1967.
К стр. 275, 277. Доказательства этих утверждений можно найти
в книге:
Г. Бете. Квантовая механика. «Мир», 1965.
К стр. 305. Поскольку спектр фотонов в кубе дискретен и воз-
можные значения каждой из компонент волнового вектора есть
fe£ = 2nn£L-1, то плотность фотонных состояний в пространстве волно-
вых векторов есть (Б/2л)3.
К стр. 325. Рассеяние в релятивистском случае и большое
число других задач рассматривается в книге:
В.	Гайтлер. Квантовая теория излучения. ИЛ; 1956.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда рассеяния 167
Ангармонический осциллятор 117
Баргмана неравенство 106
Блоха теорема 38
Бозе операторы 23, 56
Бора магнетон 206
Борновское приближение 171
Боровский радиус 93
Бриллюэна — Вигнера теория
возмущений 116
Вакуумное состояние 254
Ван-дер-Ваальса силы 161
Вариационный принцип 118
Вероятность перехода 214
Вигнера формула 190
Виртуальные состояния 190
Внезапные переходы 214
Волновое число 41
Волновой вектор 116
— пакет 215
Время жизни 216
Вырождение случайное 95
Вырождения кратность 11
Гайзенберга представление 31
— уравнения 31
Гайтлера — Лондона метод 297
Гармонический осциллятор 54
Гейгера — Неттола закон 223
Гильбертово пространство 8
Дельта-функция 7
Дипольное электрическое излу-
чение 308
Дирака уравнение 20Г
Дифференциальное сечение рас-
сеяния 168
Длина рассеяния 180
Зеемана эффект 283
Золотое правило 231
Инверсия 76
Квадрупольное излучение 313
Квазистационарное состояние
192, 219
Квазиимпульс 38
Кембла приближение 145
Когерентные состояния 64
Коммутатор 6
Комптоновская длина волны
324
Коэффициент отражения 42, 144
— прохождения 44, 142
Крамерса формула 107
Лангера преобразование 150
Ландау уровни 239
Ланде множитель 282
Линейных комбинаций метод 124
Магнитное излучение 312
Максвелла уравнения 299
Матрица плотности 97
Матричный элемент 9
Мезоатом 129
Мольера приближение 174
Морза потенциал 64, 149
Мультиплетность терма 275
Обменный интеграл 252
Оптическая теорема 169
Орбитальный момент 69
Осцилляцнонная теорема 51
Отталкивание уровней 115
332
Парциальные сечения 177
Паули матрицы 24
—	принцип 251
—	уравнение 206
Пашена — Бака эффект 283
Периодический потенциал 61, 126
Периодическое возмущение 225
Плотность потока 36
Поляризуемость 155
Пономарева преобразование 147
Постоянная тонкой структуры 209
Правила отбора 310
Правило квантования Бора —
Зоммерфельда 137
Представление чисел заполнения
254
Работа выхода 150
Радиус эффективный 181
Рамзауэра эффект 184
Рассела — Саундерса случай 281
Резерфорда формула 195
Рунге — Ленца вектор 94
Рэлея — Шредингера теория воз-
мущений 109
Самосогласованное поле 272
Сверхтонкая структура 246
Секулярное уравнение 113
Сечение рассеяния 168
След матрицы 21
Собственные значения 11
— функции 11
Соотношение неопределенностей
63
Спектр оператора 14
Спектральные термы 275
Спин 77
Спии-орбитальное взаимодейст-
вие 208
Спиральность 203
Спонтанное излучение 307
Стационарные состояния 33
Стокса линии 135
— параметры 135
Теорема вириала 34
Томаса — Ферми уравнение 286
Тонкая структура 210
Тормозное излучение 320
Унитарное преобразование 13
Унитарный оператор 12
Факсена — Хольтсмарка форму-
ла 177
Факторизации метод 58
Ферми операторы 23
Форма линии 316
Фотоны 302
Фотоэффект 316
Функция Грина 103, 169
Хартри — Фока уравнения 271
Хединга правило 141
Хунда правило 276
Ширина резонанса 192
Шредингера уравнение 32
— представление 32
Штарка эффект 151
Штерна — Герлаха опыт 244
Эйлера углы 80
Электронная конфигурация 273
— оболочка 273
Энергетический спектр 33
Эрмитов оператор 10
Эффективный заряд 267
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................... а
Глава 1. Введение...................................... 5
Глава 2. Основные положения........................... 25
Глава 3. Одномерное движение.......................... 39
Глава 4. Момент....................................... 66
Глава 5. Центральное поле............................. 84
Глава 6. Теория возмущений и	вариационный метод . . .	109
Глава 7. Квазиклассическое приближение............... 132
Глава 8. Электрическое поле.......................... 151
Глава 9. Рассеяние .................................. 166
Глава 10.	Релятивистские поправки................... 198
Глава 11.	Переходы.................................. 213
Глава 12.	Магнитное поле............................  236
Глава 13.	Тождественные частицы...................... 249
Глава 14.	Атом....................................... 265
Глава 15.	Двухатомная молекула ...................... 291
Глава 16.	Взаимодействие с электромагнитным полем . .	299
Некоторые обозначения................................ 327
Примечания..........................................  328
Предметный указатель ................................ 332
Павел Вячеславович Елютин,
Владимир Дмитриевич Кривченкое
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
С ЗАДАЧАМИ
под редакцией Н. Н. Боголюбова
М„ 1976 г„ 336 стр. с илл.
Редактор Т. Г. Корышева
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, Л. С. Сомова
Сдано в набор 24/XII 1975 г. Подписано к печати
2/1V 1976 г. Бумага 84х108*/з2. № 3. Физ. печ. л.
10,5. Условн. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 15,68. Тираж
32 500 экз. Цена книги 71 коп. Заказ № 364.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
ское производственно-техническое объединение
«Печатный Двор» имени А. М. Горького Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете Со-
вета Министров СССР по делам издательств, по-
лиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград,
П-136, Гатчинская ул„ 26.