F •-

LINEAR OPERATORS
Part I:
GENERAL THEORY
Nelson DUNFORD and Jacob T. SCHWARTZ
Yale University
With the assistance
o* William G. BADE and Robert G. BARTLE
Yale University
19 5 8
INTERSCIENCE PUBLISHERS,
NEW YORK, LONDON

Н. Данфорд и Дж. Шварц
при участии
У. Бейда и Р. Бартла
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Общая теория
Перевод с английского
Л. И. Головиной и Б. С. Митягина
Под редакцией
А. Г. Костюченко
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУ
Москва 1962

АННОТАЦИЯ
Первый том фундаментальной монографии по теории линей-
линейных операторов (второй том — «Спектральная теория» — вышел
в США в 1961 г.). Авторы дают как исчерпывающий обзор общей
теории линейных операторов (т. I), так "и многочисленные ее при-
применения к различным вопросам анализа (т. II). Первый том
содержит подготовительный материал: теоретико-множественные,
топологические и алгебраические понятия, основные принципы
линейного анализа, теорию интегрирования и функций множеств.
Далее идут примеры специальных пространств, обзор слабых
топологий, теорла _ операторов и обитая, спектральная теория.
Последняя глава первого тома посвящена некоторым приложе-
приложениям (полугруппы и эргодическая теория). Том снабжен огром-
огромной библиографией, доведенной до последних лет.
Книга написана четким языком и снабжена многочисленными
упражнениями; она может поэтому служить учебником по теории
линейных операторов. Книга доступна студентам старших курсов
математических факультетов университетов и пединститутов;
студенты и аспиранты, специализирующиеся по теоретической
физике найдут в книге много полезного материала, поскольку
теория линейных операторов является основным аппаратом сов-
современной физики (квантовая механика и квантовая теория поля).
Для специалистов книга послужит исчерпывающим справочником.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Функционалы|Ь1Й анализ за последние два.десятилетия настолько
?ащ)р^сл..иастол1ькс) широко и глубоко проник..дрчтпя в^всеЪНласти
математики, что "сейчас даже "трудно" определщь^ат^ пде^щет
этои^сдиплйны. Однако в функциональном анализе ёсть'нёсколько
больших «традиционных^дапр-авлеиий, которые и поныне в значи-
тЭИБ1Ш!ГПс!1^еТГй" ""о п редел я ют его лицо. К их числу принадлежит
и теория линейных опедатордв, которую иногда назывшох-ста-
новым хре!5том. фуЖционЬльного анализа.
~^Tfe сом-
сомй й фф
кнулся с квантовой механикой, дифференциальными уравнениями,
тёо^йе^Г^^оя7носх^и, целым рядом прикладных дисциплин. В по-
последнее ЧзрешГ в этой теории стали намечаться и новые горизонты.
Теории операторов и посвящена настоящая книга двух амери-
американских математиков Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца (уместно заме-
заметить, что первый из них — Н. Данфорд является ветераном функ-
функционального анализа). Авторы назвали свою книгу «Теорией опе-
операторов», но в ней последовательно излагается такое большое число
^азлТгч1шЗГ*фактов из функционального анализа, что по этой книге
можПГсГ'начать изучать собственно функциональный анализ. Этому
весьма способствует и то, что книга открывается главой, в которой
приводятся все' необходимые в дальнейшем сведения из теории мно-
множеств, то^ол^гид^^д^алг^ры. В последующих главах авторы изла-
излагают основные п^шшипьГлйнейного^ анализа, общую теорию меры
И^д1Щ?иродахшя. Весьм^^детально^разобраны специальные прос-
тр а яства Си L^ , используемые в теории полугруцп линейных опе-
операторов и эргодической теории.
"Интересной является глава V, посвященная слабой топологии
^выпуклым множествам. Здесь собран обширный материал, часть
кот6р6Тб"ранеё можно было найти только в журнальной литературе.
Приятно, что знаменитую теорему Крейна — Мильмана о крайних
точках, играющую важную роль в динамических системах, теории
представлений и других областях математики, наконец-то можно
будет увидеть в широко доступной книге.
На русском языке имеется книга Э. Хилле1), посвященная теории
полугрупп. Однако книга Э. Хилле слишком обширна и для пер-
*) Второе издание книги «Функциональный анализ и полугруппы» написано
Э. Хилле совместно с Р. Филлипсом. Его перевод находится в печати.—
Прим. ред.

Предисловие редактора перевода
вого чтения трудна. Можно поэтому сказать, что до сих пор мы не
имели удобного для широкого круга читателей изложения теории
полугрупп. Этот пробел ликвидирует первая половина VIII гла-
главы, которая содержит весьма четкое и ясное введение в эту теорию.
Хотя изложение и краткое, читатель хорошо чувствует красоту
и силу применяемых методов. Вторая часть VIII главы содержит
начала эргодической теории. Те или иные аспекты этой теории
в последнее время не раз уже излагались в нашей литературе,
однако читатель найдет в книге много новых сведений. Эргодичес-
Эргодической теорией заканчивается первый том. Второй том авторы предпо-
предполагают в основном посвятить так называемым спектральным
операторам и их приложениям к теории несамосопряженных
дифференциальных операторов. По-видимому, это будет самая
интересная часть книги.
Хотелось бы отметить большое число превосходных задач и упраж-
упражнений, которыми снабжены все главы книги. В конце каждой гла-
главы имеются литературные указания и исторические справки, ино-
иногда обширные, иногда весьма беглые. К ним читатель должен отнес-
отнестись критически, так как они не всегда точно отражают историю
вопроса. В некоторых местах сделаны соответствующие редактор-
редакторские примечания, но рекомендуется по таким вопросам обращаться
дополнительно к соответствующим обзорам в сборниках «Мате-
«Математика в СССР за 30 лет» и «Математика в СССР за 40 лет». Терми-
Терминология авторов приближена, как только возможно, к терминоло-
терминологии, принятой в советской литературе. Перевод глав I—VI при-
принадлежит Л. И. Головиной, глав VII и VIII—Б. С. Митягину.
А. Г. Костюченко

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
^^ ^астях <<Г^дащг, лш^ейных.рлерщпоров>>^ мы, попытались
дать полней обабр общей теории линейных операторов, вместе с лри-
лШёниями это^тедрда ^.различным, областям классического ана-
анализа." "При этом нам хотелось подчеркнуть значение связи между
абстрактной теорией и ее приложениями, этим устанавливается
общий тон и определяется общая структура книги. Так, здесь весьма
подробно исследуется (гл. XIII) спектральная теория обыкновен-
обыкновенных самосопряженных дифференциальных операторов, в то время
как теория локально-выпуклых пространств рассматривается (гл.У)
довольно коротко и притом лишь в ее связи с теорией 5-про-
странств. Приложения общей теории даются в двух планах:
и в тексте, и в виде соответствующим образом подобранных серий
упражнений. Так, глава VIII посвящена^рХРДической теорди
и теории полухрупп, глава XI — различным вопросам, включая
теорию интегральных уравнений, гармонический анализ, теоремы
о I^mIJ^^ интегральные опера-
операторы "и почти "периодические функции, а главы XIII, XIV, XIX
и XX— различным аспектам спектральной теории дифференциаль-
дифференциальных операторов. С другой стороны отдельные куски теории сумми-
суммирования рядов и интегралов даются в виде серий упражнений в гла-
главах II и IV, теория ортогональных разложений — в виде упражне-
упражнений в главе IV, теория неравенств — в главе VI, теория тауберовых
теорем типа Харди — Литлвуда — в главе XI и т. д. Упражнения
(которых в книге имеется около тысячи) подбирались весьма тща-
тщательно. Они представляют собой не обычные шаблонные трениро-
тренировочные задачи, но предназначаются для того, чтобы развить изло-
изложенную в тексте теорию и привлечь внимание читателя к ее инте-
интересным и подчас удивительным приложениям. Читателю рекомен-
рекомендуется прочитывать упражнения даже и в том случае, если он не
собирается заниматься подробным их решением.
Деление настоящей работы на две части основывается на сле-
следующем принципе: в первой части помещен весь материал, связан-
связанный с топологической теорией пространств и операторов, и весь
материал, имеющий отношение к спектральной теорий произволь-

Предисловие авторов
Hbix операторов, ^овторой — весь материал, относящийся к теории
впшщО иногда мы находили
целесообразным нарушатьТТТУг принцип.
Эта книга предназначена как для студентов, так и для зре-
зрелых математиков. Большая часть текста выросла непосредственно
из лекций, читанных авторами в течение многих лет; обе его части
можно использовать при чтении соответствующих лекционных кур-
курсов. Так,__?лавы[ I, II и избранные вопросы из глав III и IV состав-
составляют исчерпывающий одногодичный курс по теории функций веще-
вещественного переменндш^ Материал, содержащийся в главах VI,
VH, IX и X, с выдержками из глав V, VIII и XI многократно исполь-
использовался нами в_качестве основы для одногодичного цикла лекций
?опгео?ш^операторов. Одногодичный курс по_спектральной теории
самосопряже^нньГх^ дифференциальных операторов с соответствую-
соответствующими^ трШиШыми задачами можно основывать на главах IX, X,
XII и Xlil. Многие другие вопросы, такие, как гармоническиЙ~11н1Г-
лиз, эргодическая теория, теория полугрупп и общая теория вполне
приводимых («спектральных») операторов в ^-пространстве рас-
рассматриваются в главах XV—XX, которые могут быть использо-
использованы для изучения в семинаре.
Для чтения настоящего трактата требуется сравнительно
немного предварительных сведений, почти все в нем доступно каж-
каждому, кто изучал элементарные алгебраические и топологические
свойства вещественных и комплексных числовых систем и те
основные результаты теории функций комплексного переменного,
которые сосредотачиваются вокруг интегральной теоремы Коши.
Лишь в небольшом числе отдельных мест требуется знание и не-
несколько менее элементарных результатов алгебры и анализа (напри-
(например, теории определителей, подготовительной теоремы Вейерштрас-
са). Большая часть необходимых для понимания книги понятий
и результатов из общей топологии и абстрактной алгебры излагае-
излагается в тексте, хотя характер изложения таков, что он требует от чи-
читателя значительной общей математической культуры. Желательно,
чтобы читатель был знаком с этими двумя предметами хотя бы в
объеме одного семестра изучения абстрактной алгебры и теории
функций комплексного переменного.
Для того чтобы облегчить использование большого количества
фактов, собранных в настоящем трактате, мы дополнили его спра-
справочным материалом. Так, таблица в начале книги графически
показывает взаимную зависимость параграфов различных глав.
Таблицы свойств нескольких специальных ^-пространств и опера-
операторов, отображающих эти пространства друг в друга, приводятся
в главах IV и VI. Многие главы оканчиваются параграфом, оза-
озаглавленным «Примечания и дополнения», имеющим двойную цель.
С одной стороны, они содержат ссылки на оригинальные и после-
последующие работы, в которых были получены основные результаты

Предисловие авторов
данной главы. Кроме того, они содержат ссылки на большое
количество результатов, относящихся к данному вопросу, но
не включенных в основной текст. Эти параграфы дополняют,
с одной стороны, библиографию, с другой — упражнения,
и снабжают математика дополнительной информацией для исследо-
исследовательской работы. Для облегчения изучения книги приводимые
в тексте результаты, особенно важные для дальнейшего, отмечают-
отмечаются черной стрелкой на полях; такие теоремы и леммы, а некоторые
из них могли бы показаться несколько неясными, необходимо было
разъяснить особенно тщательно. Мы пытались придерживаться
стандартной терминологии, за исключением такого небольшого
числа мест, где стандартные термины кажутся нам особенно не-
неудачными. Во всяком случае, предметный указатель и указатель
обозначений должны помочь разобраться в этом. Теоремы, леммы
и определения, составляющие текст, нумеруются серийно, по еди-
единой системе, последовательно внутри каждого параграфа. Так,
лемма XI. 5.4 есть четвертый пункт в пятом параграфе одиннадца-
одиннадцатой главы. На протяжении XI главы эта лемма называется лем-
леммой 5.4, а в пятом параграфе одиннадцатой главы просто леммой 4.
Общий характер настоящей работы можно проиллюстрировать
путем краткого сравнения ее с рядом хорошо известных книг, имею-
имеющих дело с некоторыми из рассматриваемых в ней предметов. Изве-
Известный трактат Банаха^шмули^рвал написание и послужил прото-
тйжшТлав IV, V и VI.(Кш^^ операторов
в гилъбертовом^]рдст^[1стве содержит^ по-сулдест^
рйа#гя$ло>^ изложение, основан-
ное-йа--идеях^различных советских математиков, самые замечатель-
замечательные из которых принадлежат Гельфанду, совершейно. дхл&чно от
изложения Стоуна. <1?нига Рисса и Секефальви-Надя близка по духу
к нашей работе и должьГ^ра^Ш'атрйваться как превосходное вве-
введение к много более обширной теории, изложенной нами в гла-
главах III—XII. Недавно вышедшая,^йЩ;Иаишурка по теорш,?ШМ?&*
ных дифференциальных операторов о^енкЯЗлиШГа к главе XI И,
а также затрагивает некоторые вопросы, изложенные в главе XIX.
В результате ретроспективного обзора изложенного в нижесле-
нижеследующих двадцати главах материала, авторам^дажетя,,.ч19 общая
операторов
4Х1Х XII
Щщ^е время уже п$ци^у\^сшш,жк1осш?льт окончательный
видл Теория полугрупп"." общ^^ и особенно
теория сингулярных ca№coiij?B]^^ опера-
ошПГдостигли уже значительной степеш?^^ёлоСтй,
1У1? развиваться. Новая теория спектральных опера-
опера!' ~'XV:XVIII находится по сра
ууЩ1У1? р р р р
торов, изложенная!*' ™aBax~'XV:—-XVIII, находится, по сравнению
с соответствующей теорией для самосопряженных операторов,
в своей начальной и неполной стадии развития. Главы XIX и XX

10 Пгедисловие авторов
дают основание утверждать, что не самосопряженные и не нормаль-
нормальные спектральные операторы являются достаточно обычным явле-
явлением среди интересных объектов математики для того, чтобы оправ-
оправдать их серьезное изучение. Авторы надеются, что настоящий
трактат будет указывать размещение слабых и сильных мест в зда-
нииТеории, воздвигнутой к настоящему моменту, и тем самым облег-
облегчать как изучение уже существующей теории, так и будущие иссле-
исследования.
Нам посчастливилось иметь помощь двоих наших коллег. Без
терпеливой внеурочной работы профессоров Роберта Бартла и Уиль-
Уильяма Г. Бейда, которые проверили и подготовили к печати почти все
главы, добавив при этом несколько новых параграфов, вряд ли эта
книга могла бы быть закончена в таком ее объеме. В частности, боль-
большая часть параграфов «Примечания и дополнения» принадлежит
профессору Бартлу.
Мы получали ценные советы и критику и от многих других кол-
коллег в Иельском и втНьр-Й^кско^^^иверситетах. Весьма сильно
воспоЖзовались мы* особенной"связи с нашей трактовкой эргоди-
чэской теории, возможностью частых контактов с профессором
Какутани. За многие ценные советы по теории полугрупп мы нахо-
находимся в долгу перед профессорами Эйнаром Хилле и Ральфом Фил-
липсом, сделавшими доступными для нас отдельные части свсей
находящейся в печати книги на эту тему. Бесчисленные контакты
в официальных и неофициальных семинарах с профессорами Бер-
ковицем, Фридрихсом, Фридманом, Хелсоном, Лаксом, Ниренбер-
гом, Риккартом и Уэрмером и с д-ром Джан Карло Рота имели для
нас огромное значение, и мы хотим поблагодарить всех этих коллег
за оказанную ими нам помощь, выразившуюся и в разрешении
ссылаться на их рукописи, и в исправлении нашей собственной
рукописи, и в критике ее. Последние два параграфа главы XIII,
в частности, принадлежат д-ру Рота. Д-р Рота и Давид Макгарвей
редактировали многие части текста и вместе с д-рами Джоном
Берри и Робертом Кристианом проверяли правильность большей
части задач в тексте Мы также хотим поблагодарить д-ра Альфреда
Уилкокса за его помощь в главе IX, д-ра Марию Лесник за редак-
редактирование главы V и Джона Томпсона за проверку проводимых
в главе XIII вычислений с гипергеометрическими и присоединен-
присоединенными гипергеометрическими функциями.
В течение почти восьми лет, пока писалась эта книга нашей рабо-
работе помогала поддержка Службы Морских исследований; особенно
мы благодарны администраторам ее Математического отдела за их
понимание и одобрение.
Азгуст, 1957
НЕЛЬСОН ДАНФОРД
ДЖЕКОБ ШВАРЦ

ГЛАВА I
Предварительные сведения
Для изучения линейных операторов требуется знакомство
с некоторыми основными понятиями из области теории множеств,
топологии и алгебры. В гл. I рассматриваются все понятия и резуль-
результаты этих теорий, необходимые для дальнейшего. Это изложение —
полное, но краткое; оно содержит результаты и доказательства
и некоторый сопровождающий их иллюстративный или поясни-
пояснительный материал. Для среднего читателя оно будет служить крат-
кратким обзором затронутых вопросов и в то же время удобной для
справок сводкой результатов. Читатель, знакомый с теорией мно-
множеств, метрическими и хаусдорфовыми пространствами, может на-
начать читать книгу сразу с гл. II, используя гл. I только для справок1).
А. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Обозначения и основные понятия
В этом первом разделе мы будем заниматься не столько перечи-
перечислением неопределяемых понятий теории множеств, связывающих
их аксиом и логических постулатов, устанавливающих правила
действия с этими аксиомами, сколько чисто интуитивным подходом
к предмету. Теоремы и их доказательства будут сформулированы
точно, хотя и неформально.
Строчные и прописные латинские и греческие буквы обычно
будут использоваться для обозначения множеству совокупностей,
семейств или классов, а также для обозначения функций или отобра-
отображений. Символ ? указывает на принадлежность к множеству, таким
образом, х6 А означает, что х является элементом множества А.
Если Р (х) есть некоторое предложение относительно ху то симво-
символом {х\Р(х)} обозначается множество всех тех х, для которых спра-
справедливо предложение Р (х). Символ {х, г/, ..., г} означает множество,
состоящее из элементов х, у, ..., г. Иногда, если исключена возмож-
М Доказательства всех утверждений этой главы читатель может найти
также в книгах П. Александрова [1*], Г. Биркгофа [3], Ф. Р. Гантмахера A*1,
А. Г. Куроша [1*,—3*], Л. С. Понтрягина [1], Хаусдорфа [2]. —Прим. ред.

12 Гл. I. А. Предварительные сведения из теории множеств
ность путаницы, мы пишем х вместо {х}. В этих обозначениях
М = {у\У = х}- Пустое множество — это множество, не содержащее
ни одного элемента; оно обозначается символом 0. Если каждый
элемент множества А является в то же время элементом множе-
множества В, то говорят, что множество А содержится в В или является
подмножеством В, а что также В содержит А; символически: А^_В
или В Z) А. Два множества тождественны в том и только в том слу-
случае, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. А = В тогда
и только тогда, когда Л с: В и В с А. Множество А называется соб-
собственным подмножеством множества В, если Л ci В и Л Ф В. Запись
A d В или В ZJ А означает, что А есть собственное подмножество В.
Дополнение множества А в множестве В состоит из элементов мно-
множества В, не принадлежащих Л, т. е. представляет собой множество
{х\х?В, х$ А}. Такое множество иногда обозначают через В —А.
В тех случаях, когда ясно, о каком именно множестве В идет речь,
можно говорить просто о дополнении множества Л, используя для
него обозначение А'\ таким образом, А' — \х\х$рА}. Если А есть
множество, элементами которого являются множеспл а, то
совокупность всех таких х, что х?а для некоторого а?А,
называется объединением или суммой множеств а, принадлежа-
принадлежащих Л. Эта сумма обозначается через (JЛ или (J а. Пересечение,
или произведение, множеств а, принадлежащих Л, есть совокуп-
совокупность всех таких элементов х из [JA, каждый из которых принадле-
принадлежит всем а? Л. Если Л = {а, Ь, ..., с}, то сумму \JA мы иногда будем
обозначать через a[jb[j ... (Jc, a пересечение ПИ — через
аГ\ЬГ\ ••• Пс или просто ab ... с. Операции взятия суммы и пере-
пересечения коммутативны (т. е. aU& = 6(Ja, ab = ba) к ассоциативны
[г. е. a\J(b\Jc) = (a[jb)[jc1 a (be) = (ab)c]. Кроме того, пересече-
пересечение дистрибутивно по отношению к сложению, и наоборот. Точнее,
имеют место следующие дистрибутивные законы:
x(Ja= [)(ха), *и(Па)= Г) (*!»•
Кроме того, справедливы тождества, известные под названием
правил двойственности и связывающие между собой операции взя-
взятия дополнения, суммы и пересечения. Эти правила выражаются
формулами
(Ua)'= Г) <*'. (Па)'= 11*'.
а?А а?А а?А а?А
в которых имеется в виду, что все дополнения берутся в некотором
множестве 6, содержащем каждый элемент а множества Л.
Два множества не пересекаются, если их пересечение есть пустое
множество. Множество а пересекается с множеством 6, если ab Ф 0.
Термины функция, отображение, преобразование к соответствие
будут использоваться как синонимы. Запись f\A—>B означает, что

1. Обозначения и основные понятия
/ есть функция с областью определения Л, область значений которой
содержится в В, т. е. что для каждого а? А функция / определяет
элемент f (а)?В. Если /: А —> В и g: В —-> С, то отображение gf: Л —> С
определяется равенством (gf) (а) = g (/(а)) для каждого а?Л. Если
f :А~->В и Сс[ Л, то символом / (С) обозначается множество всех эле-
элементов вида / (с), где eg С. Если /: А ~> В ийсВдо/ (D) опреде-
определяется как {x\x?A,f(x)?D}. Множество f(C) называется образом С,
а множество f'1 (D) — прообразом D. Если f : А —> Л, то множество
С с: Л называется инвариантным относительно /, если /(С) с: С.
Говорят, что функция f отображает Л на В, если f(A) — B, и б В,
если /(Л) с: В. Функция / называется продолжением функции g,
a g — сужением f, если область определения функции f содержит
область определения g и /(*)=g(*) для всех х, принадлежащих
области определения g. Сужение функции / на подмножество А ее
области определения иногда обозначают через f\A. Если / : А —> В
и для каждого b?f(A) существует в точности одно а б Л, для кото-
которого f (а) = 6, то отображение / называется обратимым или взаимно
однозначным. Соответствующая обратная функция, определяемая
равенством a=^f'x(b), будет иметь f (А) областью определения, а А
областью значений. Таким образом, областью определения и обла-
областью значений функции f'1 являются соответственно область значе-
значений и область определения функции /. Характеристической функ-
функцией %е множества Е называется вещественная функция, опреде-
определяемая равенствами %е (s) = 1, s ? Е, и Хе (s) = 0, s \ E.
В некоторых случаях, когда важно отметить область значений
преобразования f : А—± В за счет самой функции и ее области опре-
определения, мы будем писать Ьа вместо f(a). Если В есть некоторая
совокупность множеств, то сумма \Jf(A) иногда будет обозначаться
через U Ьа , а пересечение [\f(A) — через f] ba.
а?А а?А
В множестве А (или на множестве А) может быть определено
некоторое отношение, представляющее собой совокупность г упо-
упорядоченных пар U, у] элементов из А. Обычно мы пишем хгу, если
[*» У] б т. Символами отношений будут также = , <;, d, cz, счэ и se.
Мы предполагаем знакомство читателя с вещественными и ком-
комплексными числами. Под расширенной областью вещественных
чисел мы понимаем множество всех вещественных чисел с присоеди-
присоединенными к нему символами + оо и — со, под расширенной областью
комплексных чисел — множество всех комплексных чисел с присоеди-
присоединенным к нему одним символом оо. Если А — некоторое множество
вещественных чисел, то верхней гранью А называется наименьшее
вещественное число b такое, что а^Ь для всех а из Л; если такого
числа не существует, то в качестве верхней грани А принимается
-f оо. В обоих случаях верхняя грань множества А обозначается
через sup Л. Аналогичное определение дается и для нижней грани
множества Л, обозначаемой inf Л. Если 0 — пустое,подмножество

14 Гл. I. А. Предварительные сведения из теории множеств
множества вещественных чисел, то условно принимают, что
sup 0 = — оо и inf 0 = + со. Если А — бесконечное множество
вещественных чисел, то через НтЛ обозначается нижняя грань всех
таких чисел Ъ, что лишь конечное число чисел из А превосходит ft;
определение ПтЛ аналогично. В частности, если А есть последова-
последовательность {ап}, то ПтЛ и ПтЛ обычно обозначаются соответ-
соответственно через
и liman.
Если а и ft —элементы расширенной области вещественных чисел,
то через {a, ft) обозначается открытый интервал, определяемый как
{л:|а<л:< ft}, через [a, ft] — замкнутый интервал,!. е. {л:|а^л;<С&},
полуоткрытые интервалы (a, ft] и [a, ft) определяются соответственно
как {х\а < х^.Ь} и {х\а<;*<ft}. Наконец, если г—комплексное
число, z^x+iy, где л: и г/ —вещественные числа, то х и у назы-
называются действительной или вещественной и мнимой частями z и
обозначаются соответственно через Re (г) и Im (г).
2. Частично упорядоченные множества
1. Определение. Частично упорядоченным множеством (Е, <С)
называется непустое множество ?, между некоторыми элементами
которого определено отношение <. такое, что
a) Если а <; ft и ft <C с, то a ><; с,
b) a<a.
Отношение <С называется отношением порядка в множестве Е.
Вместо х^у иногда пишут у>х.
2. Определение. Линейно упорядоченным1) подмножеством F
частично упорядоченного множества (?, О называется такое его
подмножество, что для каждой пары х, у элементов из F либо
либо */<;*.
3. Определение. Пусть F — подмножество частично упорядочен-
упорядоченного множества (Е, <;); элемент л: из ? называется мажорантой
множества F, если f<x для всех f? F. Мажоранта х множе-
множества F называется его верхней гранью, если x-^g для любой
мажоранты g множества F. Термины миноранта и нижняя грань
множества определяются аналогично. Как и в случае вещественных
чисел, верхнюю грань множества F мы обозначаем через sup F,
а его нижнюю грань — через inf F.
г) «Totally ordered». Иногда употребляется термин «совершенно упорядо-
упорядоченное множество» (см., например, перевод книги Бурбаки [5]). — Прим. ред.

«2. Частично упорядоченные множества 15
4. Определение. Элемент х из Е называется максимальным,
если из х-^у вытекает, что у^Сх.
Эти понятия можно проиллюстрировать на примере семейства
А всех подмножеств некоторого множества X. Отношение включе-
включения с: между содержащимися в X множествами превращает (Л, сг)
в частично упорядоченное множество. Мажорантой подсемейства
ВсЛ служит любое множество, содержащее (JB, а []В есть един-
единственная верхняя грань В. Аналогично П^ является единственной
нижней гранью подсемейства В. Единственным максимальным эле-
элементом множества А служит само X. В дальнейшем, имея дело
с совокупностью подмножеств данного множества, мы будем пред-
предполагать, что эти подмножества упорядочены по включению, если
специально не определена какая-нибудь другая упорядоченность.
Центральным пунктом настоящего параграфа является доказа-
доказательство следующей теоремы:
5. Теорема. Пусть дано отображение f:E—>E такое, что
f (*)>*, причем (Е, <;) — непустое частично упорядоченное множе-
множество, обладающее следующими свойствами:
(а) Если а<6 и 6<а, то а^Ь.
(Р) Каждое линейно упорядоченное подмножество из Е имеет
верхнюю грань. Тогда в Е существует такой элемент w, что
f (w) = w.
Доказательство. Пусть а — некоторый элемент множества Е,
остающийся фиксированным на протяжении всего доказательства.
Назовем допустимым подмножество В из Е, обладающее следую-
следующими тремя свойствами:
I. а?В.
II. f(B)(?B.
III. Верхняя грань каждого линейно упорядоченного подмно-
подмножества из В принадлежит В.
Множества, обладающие этими свойствами, существуют, напри-
например само Е. Пересечение допустимых множеств также допустимо.
Следовательно, пересечение А всех допустимых множеств будет
минимальным допустимым множеством. Множество {х\х?Е, *>а}
является допустимым подмножеством Е, поэтому
IV. а<лг, х?А.
Рассмотрим теперь множество
Р = {х| хб А; из у?А и у < х вытекает, что /(у) <!х}>
где у < х означает, что у ^х и у Ф х. Мы покажем, что
V. Изх?Риг?А вытекает, что либо z <x, либо z>f (х).
Выберем в Р элемент х и обозначим через В множество всех
таких г из Л, для которых либо г< х, либо z>f(x). Из условия IV
вытекает, что В обладает свойством I. Свойство II также имеет место

16 Гл. I. А. Предварительные сведения из теории множеств
в В. Действительно, если г> / (*), то / (z) > г>/ (х)\ если г = х, то
f(z) = f {х)\ и, наконец, если г < *, то / (г) < лг, так как л; ? Р. Множе-
Множество В обладает и свойством III; в самом деле, если и — верхняя
грань линейно упорядоченного подмножества F из В, то либо
у^х для каждого y?F и тогда и < х, либо y>f(x) для некото-
некоторого y?F к тогда u>f(x). Таким образом, В является допусти-
допустимым подмножеством множества А и, следовательно, В —А, откуда
и вытекает свойство V.
Покажем теперь, что множество Р допустимо. Свойство I для Р
хотя и бессодержательно, но справедливо. Чтобы доказать, что
Р обладает свойством II, рассмотрим элемент х?Р н покажем, что
если z ? А и z < / (х), то f (z) < f (х). Из свойства V вытекает, что либо
z>f(x)y либо г<л:, так что если г < f(x), то г<х. Но тогда, так
как хбР, из z<x вытекает, что f (z) <Jt •</(*), а из г = х — что
f B) = /(#).*Для того чтобы показать, что Р обладает свойством III,
рассмотрим верхнюю грань v линейно упорядоченного множества
Fez Р. Чтобы показать, что v g P, рассмотрим элемент z? Л и z < у.
Из свойства V вытекает, что каждое л;^/7 удовлетворяет одному
из двух неравенств: 2<> или х</(л:)<г. Второе неравенство
не может быть справедливым для каждого х из /\ так как тогда
с<г. Следовательно, для некоторого х из Т7 2<*. Но если z<x,
to f(z)^x*Cv по определению множества Р. Если же г = л:, то,
^/поскольку гфи, во множестве Z7 найдется такой элемент у, что
г< у, в этом случае f(z)<Cy^v. Мы нашли, что в обоих случаях
f(z) < у, чем и доказано, что у б Р, т. е. что Р обладает свойством III.
Таким образом, Р есть допустимое подмножество множества Л,
и, значит, Р = А. Ввиду условия V ясно, что для любых двух эле-
элементов х, г из А либо 2<*, либо z>f(x)>x, т. е. что А —
линейно упорядоченное множество. Если w — верхняя грань мно-
множества Л, то в силу того, что f (w) g Л, имеет место неравенство
w < f (w) < w, и, следовательно, f(w) = w, ч. т. д.
6. Теорема (Хаусдорф). Каждое частично упорядоченное мно-
множество содержит максимальное линейно упорядоченное подмноже-
подмножество.
Точнее, теорема утверждает следующее: Пусть семейство Ш
линейно упорядоченных подмножеств частично упорядоченного
множества (?\ -<) рассматривается как частично упорядоченное
множество (ЬУ CZ) с отношением включения между элементами мно-
множеству % (являющимися подмножествами Е). Тогда Щ имеет мак-
максимальный элемент.
Доказательство. Если % не имеет максимального элемента, то
для каждого А б % существует соответствующее ему / (А) б %ч в кото-
котором А будет собственным подмножеством. Однако существование
такого отображения f: Ш—>Ш противоречит теореме 5, ч. т. д.

2. Частично упорядоченные множества 17
7. Теорема {лемма Цорна). Если каждое линейно упорядоченное
подмножество частично упорядоченного множества (Я, <;) имеет
мажоранту, то в Е существует максимальный элемент.
Доказательство. Пусть х является мажорантой существующего
согласно теореме 6 максимального линейно упорядоченного под-
подмножества Ео частично упорядоченного множества (?, *<). Допустим,
что х<у. Тогда если у$Е0, то^множество E0\J{y} будет линейно
упорядоченным множеством, содержащим Ео в качестве собствен-
собственного подмножества. Следовательно, у?Е0, так что y^xt ч. т. д.
8. Определение. Частичное упорядоченное множество {Е, *<)
называется вполне упорядоченным, если
I. Из а<6 и ft<c вытекает, что а=Ь.
II. Каждое непустое подмножество из Е содержит некоторую
свою миноранту.
Хорошо известным примером вполне упорядоченного множества
является множество натуральных чисел в их естественном располо-
расположении.
9. Теорема {теорема Цермело о полной упорядоченности). Каж-
Каждое множество может быть вполне упорядочено.
Теорема утверждает, что для каждого множества Е существует
отношение порядка <!, при котором частично упорядоченное мно-
множество {Е, <;) является вполне упорядоченным.
Доказательство. Рассмотрим семейство % всех вполне упорядо-
упорядоченных множеств (?0, <0) таких, что Еос:Е. Определим в % отно-
отношение порядка -<, полагая {EOt <;0) -< {Ev <^х) в том и только в том
случае, если
I. EoZEv
II. из х, у?Е0 и х<Соу вытекает х^у,
III. из х?Е0, у$Е0, у?Ег вытекает х^гу.
При этом упорядочении каждое линейно упорядоченное под-
подсемейство (f0 из <& имеет мажоранту. Действительно, мы покажем,
что эта мажоранта может быть определена как (U^o> <'), гдех^'г/,
если х и у одновременно принадлежат к некоторому подмножеству
Е0?ё0 к х^С0 у в упорядоченности <0 этого Ео. Ясно, что если
(U^o> <') принадлежит g, то она будет мажорантой для g0. По-
Покажем теперь, что она является вполне упорядоченным множеством
и, следовательно, принадлежит к §. Действительно, то, что х^с'х
дляхб U So, ясно. Если л: <'г/и #<'z, тол:, y€Eo€<gOi yiz^El^%Qy
хКоУ и y<ctz. Так как §0—линейно упорядоченное множество,
то можно считать, что (?0, <0)<(Е19 <]), откуда ясно, что л:<1 г
2 Заказ JMt 1324

У? Гл. I. А. Предварительные сведения из теории множеств
и, следовательно, что *<'г. Если *<'# и у<'х, то х, у?Еои
х, #??х, причем х*соуиу<Сх л:. Отсюда, считая, что (?0, <0)-<(?i»
< х), получаем, что #=#.
Пусть теперь множество У7 с; |J g0, причем ? непусто. Тогда для
некоторого ?0 ? <80 Ff)Eo=?0. Частично упорядоченное множество
(?0> <0) является вполне упорядоченным. Пусть xo^F^\Eo будет
минорантой множества ^П^о в упорядоченности <.о. Тогда если
у? Fyy^F[]E0, to*0, J/6?lf где(?0, <0)<(Е1У <х), так что лго<,(/.
Следовательно, л:0 будет минорантой множества ? в упорядочен-
упорядоченности <\ Мы доказали существование мажоранты для Шо.
По теореме 7, в ? существует максимальное вполне упорядо-
упорядоченное подмножество ?0. Но тогда ?0=?, так как если в ? найдется
элемент х, не принадлежащий ?0, то упорядоченность <.о множе-
множества ?0 можно распространить на множество ?0 U [х)у полагая,
по определению, что г/<0* Для всех у?Е0) ч. т. д.
3. Упражнения
1. Если (?, <) — частично упорядоченное множество, обла-
обладающее тем свойством, что каждое его линейно упорядоченное под-
подмножество имеет миноранту, то в ? существует минимальный эле-
элемент.
2. Если семейство % подмножеств некоторого множества обла-
обладает тем свойством, что А ? Щ в том и только в том случае, если каж-
каждое конечное подмножество А принадлежит %, то в <$ существует
максимальный элемент.
3. Доказать теорему 6, используя утверждение упражнения 2.
4. Доказать эквивалентность утверждений теоремы 6, теоремы 7,
теоремы 9 и упражнения 2.
5. Доказать, что если А и В — два множества, то существует
либо взаимно однозначное отображение А в В, либо взаимно одно-
однозначное отображение В в А. Эта теорема известна под названием
теоремы сравнения мощностей.
6. Показать, что существует взаимно однозначное соответствие
между любым бесконечным множеством А и множеством всех пар
(а, п), где а?А, а п — целое число.
7. Пусть R — множество всех вещественных чисел. Подмноже-
Подмножество 5 ст R называется его базисом Гамеля, если каждое веществен-
п
ное число г однозначно представимо в виде r=^disli где sL ? S
1
и а- — рациональные числа, а) Доказать существование базиса
Гамеля. Ь) Показать, что существует разрывная вещественная
функция вещественного переменного, удовлетворяющая уравнению
f(x+y)=f(x)+f(y).
8. Будем говорить, что семейство сМ подмножеств множества X
обладает свойством (а), если

3. Упражнения 19
(а) X нельзя представить в виде суммы конечного числа подмно-
подмножеств из оМ.
Показать, что если м обладает свойством (а), то существует
максимальное семейство Ж подмножеств из X, обладающее свой-
свойством (ос) и содержащее м. Показать также, что каждое такое макси-
максимальное JT обладает следующим свойством:
(р) Если Л J с: X, i=l, 2,..., пи AL f) ... П Ап^Ж,ю некоторое
A^jr
9. Определение. Частично упорядоченное множество (?, <)
называется полным, если
I. Из а^й и 6<а вытекает, что а=Ь.
II. Каждое непустое подмножество Е обладает нижней и верх-
верхней гранями.
10. (Тарский) Если (Е, <) — полное частично упорядоченное
множество, /: Е —> Ей из х < у вытекает, что f(x) </({/), то преобразо-
преобразование f обладает неподвижным элементом х0 (/ (хо)=хо), причем мно-
множество всех неподвижных элементов содержит свои верхнюю и ниж-
нижнюю грани.
П. Определение. Пусть для каждого х из множества X опре-
определено некоторое подмножество Ах множества А. По определению,
прямое произведение [] Ах, или [\ АХУ есть совокупность всех функ-
ций /, отображающих X в Л, для которых
f(x)GAx, x?X.
Если X состоит из конечного числа элементов, Х={х1,х2, ... ,хл},
то вместо 11 Ах иногда пишут AXlxAX2x...xAXn.
х?Х
12. Если Х= [1, 2,... , п], то П Ах можно рассматривать как
xlX
совокупность строк [а19 а2, ...,с:п] из п элементов, где а{?А{. Если
X есть множество всех натуральных чисел, то [] Ах можно рассма-
рассматривать как множество последовательностей [av а2, ...1, где аг?Аг.
13. Пусть Qy, Nx и Мх—подмножества множества Ахдля х?Х.
Положим -M=[lMy, N=\lNx и Q=['QX. Предположим, что
N Ф 0 ф Qy M=^N\ }Q и N[~)Q=0 Тогда существует однозначно
определенный элемент хо?Х такси, что
a) MXQ - Nxo U QXo, NXo П QXQ - 0,
b) Mx = Nx=- Qx, если х Ф *0, jcgX.
14. Определение. Если У^~Х, то отображение, которое пере-
переводит каждую функцию f из J] Ах в ее сужение /|У, называется
at Я
2*

?0 Гл. I'. В. Предварительные сведения из топологии
проектированием \\ Ах в fj Ах. Это отображение обозначается
X Y
через рлу. Если Y={x}> то pry обозначается через ргх.
15. Пусть X # 0.
(а) [J Мх пусто в том и только в том случае, если пусто некото-
рое Мх.
(Ь) Если MxczNx для х?Х, то П
(c) Если \\ МхФ0, то справедливо утверждение, обратное
хех
утверждению (Ь), причем равенство в заключении утверждения
(Ь) влечет за собой равенство в условии.
(d) Множество F в том и только в том случае представляется
в виде [}ВХ, где BxczAx> если F=\\ prx(F).
?Х ?Х
В. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
4. Определения и основные свойства
1. Определение. Семейство т подмножеств множества X обра-
образует его топологию, если оно содержит пустое множество 0, само X,
каждую сумму любого числа и каждое пересечение конечного
числа своих подмножеств. Пара (X, т) называется топологическим
пространством; иногда же, если известно, какое именно т имеется
в виду, топологическим пространством называется само X. Если
т и тх—две топологии в X, причем тзт1? то говорят, что т сильнее,
чем xv а хх — слабее, чем т. Множества из т называются открытыми
множествами пространства (X, т). Окрестностью точки р называется
каждое открытое множество, содержащее р, окрестностью множе-
множества А —любое открытое множество, содержащее А. Если А —
подмножество х, то точка р называется предельной точкой или точ-
точкой накопления множества А, если каждая окрестность точки р содер-
содержит по крайней мере одну точку цфр и q?A. Внутренность мно-
множества, принадлежащего Ху есть сумма всех открытых подмножеств
этого множества; точки, принадлежащие внутренности множества,
называются его внутренними точками.
2. Лемма. Для того чтобы множество в топологическом простран-
пространстве было открытым, необходимо и достаточно, чтобы оно содер-
содержало некоторую окрестность каждой своей точки.
Эта и несколько следующих лемм непосредственно вытекают
из определения, поэтому доказательства этих лемм мы опускаем.
3. Определение. Множество называется замкнутыму если его
дополнение открыто.

4. Определения и основные свойства 21
4. Лемма. Пересечение любого множества замкнутых множеств
замкнуто, сумма любого конечного числа замкнутых множеств зам-
замкнута, множества 0 и X замкнуты.
5. Лемма. Пусть ,f—семейство подмножеств множества X,
обладающее свойствами, перечисленными в лемме 4, и т — семейство
дополнений этих подмножеств в X. Тогда (X, т) есть топологическое
пространство, причем ,Р — совокупность замкнутых множеств этой
топологии.
6. Определение. Семейство р подмножеств из X называется ба-
базисом топологии т, если рст и если каждое множество из т есть
сумма множеств, принадлежащих р. Семейство р называется систе-
системой образующих топологии т, если т есть слабейшая из топологий,
содержащих р. Если Р есть совокупность окрестностей множества
А <~_ X, причем каждая окрестность множества А содержит некоторое
множество из Р, то р называется фундаментальной системой окрест-
окрестностей множества А.
Например, обычная топология прямой линии есть топология
на (—оо, +оо), имеющая в качестве базиса все открытые интервалы
{а, Ь), где а и b— произвольные вещественные числа. Другой базис
можно получить, беря в качестве а и b рациональные числа.Система
образующих этой топологии определяется всеми бесконечными интер-
интервалами (— оо, а), (Ьу +оо),гдеаи6 — либо вещественные, либо раци-
рациональные числа. Топология расширенной области вещественных
чисел имеет в качестве базиса множества [—оо,а), (а, Ь), F, + оо],
где а и b — вещественные числа. С комплексными числами и рас-
расширенной областью комплексных чисел дело обстоит аналогично.
7. Лемма. Пусть Р — семейство подмножеств множества X
их — множество сумм элементов из Р; для того чтобы х было топо-
топологией, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие
условия:
I. Для каждой пары множеств U, FGP и X?U[\V существует
такое №gp, что х? Гс V[\V.
II. X=UP-
8. Лемма. Семейство множеств р в том и только в том случае
является системой образующих топологии х, если per, w каждое
открытое множество есть сумма множеств, каждое из которых
является пересечением конечного числа элементов из р.
9. Определение. Замыкание А множества А есть пересечение
всех замкнутых множеств, содержащих А. Множество точек из А,
не являющихся внутренними для А, образует границу множества А.

22 Гл. I. В. Предварительные сведения из топологии
10. Лемма. Операция замыкания обладает следующими свойст-
свойствами:
(a) A\JB = A{JB, (b) A^A,
(с) A = Af (d) 0» = 0,
(е) р g Л в том и только в том случае, если каждая
окрестность N (р) точки р пересекается с А.
Доказательство. Утверждение (Ь) очевидно. Так как А замкнуто
(лемма 4), то А=А. Множество А{]В содержит А и замкнуто.
Следовательно, А[]В ~^А и аналогично А{]В -^В. Таким образом,
Обратно, А\]В замкнуто (лемма 4), так что
что и доказывает (а). Утверждение (d) означает
просто, что 0 замкнуто. Утверждение (е) непосредственно выте-
вытекает из определений 3 и 9, ч. т. д.
И. Лемма. Пусть & —семейство всех подмножеств множества
X и А—>А— отображение & —> <#-, обладающее четырьмя свой-
свойствами (a) —(d) леммы 10. Тогда семейство jp' — {A\A=A}
обладает свойствами, перечисленными в лемме 5, так что допол-
дополнения элементов множества Р образуют топологию. Множество А
является замыканием множества А в этой топологии.
Доказательство. Из свойств 10 (b), (d) вытекает, что 0, Xg ^,
а из 10(а) — что А[]В? фу если Л, 5 б $?. Следовательно, сумма
конечного числа множеств из $? принадлежит $?. Из 10(а) выте-
вытекает, что если A dВ, то А <~ В, и, следовательно, если Аа? д?, то
Таким образом,
т. е. семейство jf обладает всеми свойствами, перечисленными
в лемме 5. Из этой леммы следует, что дополнения элементов семей-
семейства д? образуют некоторую топологию. Остается только показать,
что в этой топологии замыкание множества А есть А. Действительно,
если В есть замкнутое множество, содержащее А, то В = В ~jA,
откуда ввиду равенства А = А и A -JA следует, что А является
наименьшим замкнутым множеством, содержащим А, ч. т. д.

4. Определения и основные свойства 23
12. Определение. Если Ус:Х и т —некоторая топология в X,
то топология
называется топологией подпространства Y, индуцируемой топо-
топологией т пространства X или относительной топологией в Y. Под-
Подмножество из Y называется относительно открытым, если оно
открыто в топологии Ту, относительно замкнутым, если его допол-
дополнение в Y относительно открыто. Остальные термины, такие, как
относительное замыкание множества, определяются аналогично.
Топологическое пространство X называется связным, [если оно не
является суммой двух непустых непересекающихся замкнутых
множеств.
13. Лемма. Если Yс^Х и (X, т) —топологическое пространство,
то относительное замыкание подмножества А из Y есть пересечение
замыкания множества А в X с Y.
Подмножество топологического пространства всегда будет рас-
рассматриваться как топологическое пространство с индуцируемой
в нем топологией, за исключением тех случаев, когда в нем явно
определена какая-нибудь другая топология.
14. Теорема (Линделёф). Пусть (X, т) — топологическое про-
пространство, причем х имеет счетный базис р. Тогда каждое семейство
о ?2 х содержит такое счетное подсемейство сг0, что \Jo= (Jao-
Доказательство. Пусть Bv Б2,... последовател? ность элементов
базиса р. Рассмотрим семейство ро элементов из Р, каждый из кото-
которых содержится в каком-нибудь из подмножеств а. Если В1г?$0>
обозначим через Сп какое-нибудь множество из а, содержащее Вп,
и пусть <т0 будет семейство всех таких Сп. Тогда очевидно, что
Так как Р является базисом, то для любой точки p^A^fcr
существует такое ?П6Р, что р&Впс:А и, следовательно,
UP^lK ч.т.д.
15. Определение. Если (X, т) и (Y, гг) — топологические про-
пространства, то отображение f:X—>Y называется непрерывным,
если / 1(Л)^тдля каждого Л из тг. Это значит, что отображение
одного топологического пространства на другое непрерывно, если
прообразы открытых множеств открыты. Функция / называется
непрерывной в точке х, если для каждой окрестности U точки f (х)
найдется такая окрестность V точки х, что / (V) <~_ U. Если / — непре-
непрерывное взаимно однозначное отображение X на Y и если обратное
отображение /-1 также непрерывно, то отображение / называется

?4 Гл. I. В. Предварительные сведения из топологии
гомеоморфизмом или топологическим изоморфизмом. При этом
пространства X и Y называются гомеоморфными.
16. Лемма. Пусть X uY — топологические пространства, и пусть
f:X—>Y. Тогда непрерывность функции f эквивалентна каждому
из следующих условий:
(a) Функция f непрерывна в каждой точке х пространства X.
(b) Прообразы замкнутых множеств замкнуты.
(c) Если Лсу, то f-1 (А) ^ГЧА).
(d) Если A(ZX, то f(A)^_f(A).
(e) Для каждого А из некоторой системы образующих топологии
пространства Y множество f'1 (А) открыто.
Доказательство. Если f непрерывно и [/ — окрестность точки
/(*), то V = f~1(U) —окрестность точки л:, причем f(V)<ZU. Следо-
Следовательно, f непрерывна в каждой точке х. Обратно, в силу леммы 2
из (а) вытекает непрерывность /. Так как прообраз дополнения слу-
служит дополнением к прообразу, то непрерывность / эквивалентна
и условию (Ь).
Из (Ь) вытекает (с), так как если f~x(A) замкнуто, то/" 1(А) с: f'1 (A).
Но из (с) вытекает (Ь), так как если Л замкнуто, то ГЧ^-З/"VO
и, следовательно, Гг(А) замкнуто.
Условия (с) и (d) эквивалентны; действительно, если / (А) с
то fif^jB^gjB и, следовательно^-НВ')^/^)» С другой
стороны, _если f-1(A)^f-1(A)9 то ГМ/ (В)) 2Г1 (f (B))^B, откуда
J/()
Ясно, что из непрерывности f вытекает (е). Наконец, так как
прообраз пересечения (или суммы) есть пересечение (сумма) про-
прообразов, то из (е) вытекает непрерывность /, ч. т. д.
17. Лемма. Если X, У, Z — топологические пространства и если
функции f:X—>Y и g:Y—>Z непрерывны, то и их суперпози-
суперпозиция fg также непрерывна.
Скалярами мы будем называть вещественные и комплексные
числа, скалярной функцией — функцию, принимающую веществен-
вещественные или комплексные значения. Топология в множестве скаляров
всегда будет задаваться базисом, элементами которого являются
окрестности вида {Р 11 р — а | < г}.
18. Лемма. Пусть /, g — непрерывные скалярные функции,
заданные на топологическом пространстве X, и а —скаляр. Тогда
функции
\f(x)\, af(x), f(x)+g(x)

5. Нормальные и бикомпактные пространства 25
непрерывны. Если /, g — вещественные функции, то функции
max (/(*), g(x)), min (/(*), g(x))
также непрерывны.
5. Нормальные и бикомпактные пространства
Существует ли на заданном топологическом пространстве ве-
вещественная непрерывная функция, не являющаяся константой?
Если х и у — две различные точки топологического пространства
X, то существует ли на X вещественная непрерывная функция f,
для которой / (х) Ф f (у)? Если второй вопрос имеет утвердитель-
утвердительный ответ для любой пары несовпадающих точек, то говорят, что
имеется достаточное количество вещественных непрерывных функций
для того, чтобы различать между собой точки этого пространства.
Из предыдущего не ясно, будут ли в данном топологическом про-
пространстве выполняться только что сформулированные условия.
Скоро, однако, будет доказано, что определяемые в настоящем
параграфе нормальные и бикомпактные хаусдорфовы пространства
имеют достаточное количество непрерывных вещественных функций
для того, чтобы различать между собой их точки.
1. Определение. Топологическое пространство X называется
хаусдорфовым, если оно обладает формулируемыми ниже свой-
свойствами (а) и (Ь), регулярным, если в нем выполняются условия
(а) и (с), и нормальным, если выполняются условия (а) и (d):
(a) Множество, состоящее из единственной точки, замкнуто
(b) У любых двух несовпадающих точек х и у существуют непе-
непересекающиеся окрестности.
(c) Для каждого замкнутого множества А и произвольной точки
х$А существуют непересекающиеся окрестности.
(d) У любых двух непересекающихся замкнутых множеств Л
и В существуют непересекающиеся окрестности.
2. Теорема. (Урысон). Если Аи В — непересекающиеся замкнутые
множества нормального топологического пространства X, то суще-
существует определенная на X непрерывная вещественная функция /, та-
такая, что 0</(х)<1, /(Л) = 0, f(B)=l.
Доказательство. Обозначим через А/2 и 5i/2 непересекающиеся
открытые множества, содержащие соответственно Аи В. Мы имеем
А и А!/2— непересекающиеся замкнутые множества, В[/2 и В —
тоже. Используя снова предположение о нормальности про-

?6 Гл. 1. В. Предварительные сведения из топологии
странства, мы найдем открытые множества /li/4 и /Ц/4, такие, что
А ?_ AxU g JV4 с: Ау2 с: Л!/2 с Лз/4 е Лз/4,
причем Лз/4П5 = 0. По индукции для каждого двоично рациональ-
рационального числа г, 0 <г < 1, можно определить множество АТ так, что
(I) из r<s вытекает, что Ar^As
и
(II) AczAr, ВПАг=0.
Положим /(лг)=О, если х принадлежит всем множествам АГ9
в остальных случаях пусть
f(x) = sup{r\x$Ar}.
Чтобы доказать непрерывность f(x), предположим, чтос = /(х)
положительно. Тогда для сколь угодно малого е > 0 и г| < е точка
х принадлежит открытому множеству Лс+8ПЛс_т}. Если у тоже при-
принадлежит этому открытому множеству, то | f(x) — f(y) | < 2е. В
случае f (х) =0 доказательство непрерывности / аналогично, ч. т. д.
3. Теорема1) (теорема о продолжении по непрерывности). Если
f — ограниченная вещественная непрерывная функция, определенная
на замкнутом множестве А нормального пространства X, то суще-
существует такая вещественная непрерывная функция F, определенная
навеем X, что F(x)=f(x), если х?А и sup\F(x)\ = sup | / (л:) |.
Доказательство. Так как для случая, когда / тождественно
равна нулю на множестве Л, теорема очевидна, то мы будем
предполагать, что это не имеет места. Положим fo(x) = f(x),
|, A0=\x\x?A,
tI и
Тогда Ао и Во — замкнутые множества, пересечение
которых пусто. Используя предыдущую теорему, мы найдем
функцию F0(x), определенную на всем X и такую, что jF0(i40) =
= -§, F0(B0) = ^9 -§</7oW<^°. Положим Ш=Ш-
— F0(x), если х?А. Тогда ^ — непрерывная функция и \ix =
Применяя к ft и \i± рассуждение, которое мы провели для
/0~и \10, и продолжая его по индукции, мы получим последователь-
последовательность jF.,i"=1, 2, ..., вещественных непрерывных функций, опре-
х) Эта теорема принадлежит Урысону. —Прим. ред.

5. Нормальные и бикомпактные пространства
27
деленных на X и таких, что
Из этих неравенств вытекает, что ряд 2 Fn(x) сходится и
г^О
деляет на пространстве X функцию F, совпадающую с / на мно-
множестве А. Чтобы убедиться в непрерывности F, возьмем е>0
/ 2 \ni
у р
и зафиксируем такое /г, что 2\i0 ( -^ )
t=0
< у • Тогда
i=0
i=0
+ 21
г=0
W-
К т+ S
2=0
Ввиду леммы 4.16(а) непрерывность функции F будет доказана,
если мы установим ее непрерывность в каждой точке х. В силу
лемм 4.16 и 4.18 существует такая окрестность V точки х, что
2=0
и, следовательно, | F (х) — Т7 (у) \ < е, если у 6 V, ч. т. д.
4. Следствие. Вещественная непрерывная функция, определенная
на замкнутом подмножестве нормального пространства, имеет
вещественное непрерывное продолжение на все пространство.
Доказательство. Единственный случай, когда только что дока-
доказанная теорема непосредственно не применима, это тот, когда функ-
функция f не ограничена. Пусть f — вещественная непрерывная функция,
определенная на замкнутом множестве А нормального простран-
пространства X, тогда ограниченная функция arctg/(x) имеет непрерывное
продолжение а(х) на все пространство X. Замкнутые множества А
и В = ix \\а {х) | = ~| не пересекаются, следовательно, существует

28 Гл. I. В. Предварительные сведения из топологии
непрерывная функция Р, такая, что 0<Р(л:)<1, обращающаяся
в нуль на В и равная единице на А, Тогда функция tgf3(x)a(x)
будет непрерывным продолжением /, ч. т. д.
5. ОпррдЕление. Покрытие множества А в топологическом про-
пространстве X есть семейство открытых множеств, сумма которых
содержит А. Пространство X называется бикомпактным, если из
каждого его покрытия можно извлечь конечное1). Топологическое
пространство X называется локально-бикомпактным, если каждая
его точка имеет окрестность, замыкание которой бикомпактно.
Семейство множеств называется центрированным, если каждое
конечное его подсемейство имеет непустое пересечение. Подмноже-
Подмножество пространства X называется относительно бикомпактным,
если его замыкание бикомпактно в индуцируемой на нем топологии.
Необходимо отметить, что подмножество Ас^Х тогда и только тогда
бикомпактно в индуцированной топологии, если из каждого по-
покрытия А открытыми множествами из X можно извлечь конечное.
Хорошо известным примером локально бикомпактного простран-
пространства может служить замкнутое множество вещественных или ком-
комплексных чисел. Такое пространство будет бикомпактным в том
и только в том случае, если оно ограничено. Это утверждение состав-
составляет содержание теоремы Гейне —Бореля.
6. Лемма. Для того чтобы топологическое пространство было
бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы каждое центри-
центрированное семейство его замкнутых подмножеств имело непустое
пересечение.
Эта лемма непосредственно вытекает из правил двойственности,
доказательство же следующей леммы легко вытекает из наших
определений.
7. Лемма, (а). Замкнутое подмножество бикомпактного про-
пространства бикомпактно.
(b) Образ бикомпактного пространства при непрерывном отобра-
отображении бикомпактен.
(c) Бикомпактное подмножество хаусдорфова пространства зам-
замкнуто.
8. Лемма. Непрерывное взаимно однозначное отображение биком-
бикомпактного пространства в хаусдорфово пространство является
гомеоморфизмом.
*) Здесь и ниже (см. определение 6.10) автор употребляет термины
компактный (compact) и секвенциально компактный (sequentially compact).
В переводе приняты более употребительные в советской литературе термины
бикомпактный и компактный.—Прим. ред.

6. Метрические пространства 29
Доказательство. Пусть X — бикомпактное пространство, У —
хаусдорфово пространство и / — взаимно однозначное, непрерыв-
непрерывное отображение пространства X в Y. В силу предыдущей леммы
замкнутое множество А пространства X бикомпактно, образ его
f(A) при непрерывном отображении f бикомпактен, а так как Y есть
хаусдорфово пространство, то f(A) замкнуто. В силу леммы 4.16(Ь)
отображение f'1 непрерывно, ч. т. д.
9. Теорема. Бикомпактное хаусдорфово пространство нормально.
Доказательство. Пусть А —замкнутое подмножество бикомпакт-
бикомпактного хаусдорфова пространства X и р$А. Тогда если q?A,
то существуют такие окрестности Uq точки q и V^ точки р, что
Uqf]Vq = 0. Так как А бикомпактно, то оно покрывается конечным
числом окрестностей UQ , ..., UQn9 причем
Мы нашли, что каждое замкнутое множество А и произвольная
точка р(?Л имеют непересекающиеся окрестности. Пусть теперь Л
и Б —замкнутые непересекающиеся множества. Тогда если р?Л,
то существуют такие окрестности U р точки р и Vp множества В,
что UpC]Vp— 0. Из покрытия множества А окрестностями Uр
можно выделить конечное покрытие GPi, ..., Up . При этом
множества UPi[jUP2\J ... {]UPm и V^YlК2П • • • ПVvm будут
непересекающимися окрестностями множеств А и В соответственно,
ч. т. д.
10. Лемма. Вещественная непрерывная функция, заданная"! на
бикомпактном пространстве, достигает своих верхней и нижней
граней.
Доказательство. Пусть f —вещественная непрерывная функция,
заданная на бикомпактном пространстве X. В силу леммы 7(Ь)
множество /(X) бикомпактно и, следовательно, по лемме 7(с) замк-
замкнуто. Таким образом, f (X) есть ограниченное замкнутое множество
вещественных чисел, которое содержит, следовательно, свои верх-
верхнюю и нижнюю грани, ч. т. д.
6. Метрические пространства
1. Определение. Пусть X — некоторое множество и (> — веще-
вещественная функция, определенная на ХхХ и обладающая сле-
следующими свойствами:
I. q{x, y)>0;
11. q(x, у) —0 в том и только в том случае, если х=у;

30 Гл. I. В. Предварительные сведения из топологии
III. Q(x, t/)=Q(y, х) И
IV. q{x, y)<Q(x, z) + q(z, у).
Функция q называется метрикой или метрической функцией про-
пространства X. Множества
> y)<e}
называются сферами в пространстве X, точка х называется центрому
а г— радиусом сферы S (х, е). Метрическая топология в Х~это
самая слабая из топологий, содержащих эти сферы. Множество X
с определенной на нем метрической топологией называется метри-
метрическим пространством. Пусть X — топологическое пространство;
если существует метрика, определяющая в X исходную топологию,
то говорят, что пространство X метризуемо.
Если А и В — подмножества метрического пространства, то,
по определению, д(Л, В) = inf q(cl, b). Если А — подмножество
метрического пространства, то г-окрестностью А называется мно-
множество S(A, e) = {x\q(A, х) < е}. Диаметром б (Л) множества А
называется sup g(a, b).
а, Ъ?А
2. Лемма. В пространстве X с метрикой q сферы образуют
базис соответствующей метрической топологии.
Доказательство. Пусть u?S(x, e)f]S(t/, e')\ Выберем такое
б >0, что q(u, х) + б <е и Q(y, и) + б <е'. Тогда если v?S(u, б), то
Q (X, У) < Q (X, W) + Q (U, V) <Q(X, U
, v)<Q(y, u) + q(u, v)<Q(y, и)+д<е\
откуда следует, что S (и, S)c~S(a:, s)[]S(y9 e'). Наше утверждение
вытекает теперь из леммы 4.7, ч. т. д.
3. Теорема. Метрическое пространство нормально.
Доказательство. Если хфу, то сферы s(x, yQ(x, у))
и S С у, -х- Q (х, у)) являются непересекающимися окрестностями
соответственно точек х и у, т. е. метрическое пространство является
хаусдорфовым. Если А и В — непересекающиеся замкнутые мно-
множества, то множества А1 = {x\q(x, A) <q(x, В)} и Бг= {a:|q(*, В) <
<q(x, А)} являются непересекающимися окрестностями соответ-
соответственно множеств А и В, ч. т. д.
4. Лемма. Каждое подмножество метрического пространства
с индуцируемой на нем топологией также является метрическим
пространством.

б. Метрические пространства 31
Доказательство. Сужение метрической функции на подмножество
определяет на нем некоторую метрику, топология которой совпа-
совпадает с топологией, индуцируемой на этом подмножестве, ч. т. д.
5. Определение. Последовательность ап точек топологического
пространства называется сходящейся к точке а этого пространства,
если каждая окрестность точки а содержит все точки ап, за исклю-
исключением конечного их числа. Если последовательность ап сходится
к а, пишут ап—^а или lim ап = а. Последовательность {ап} назы-
п->оо
вается сходящейся, если ап—>а для некоторого а. Последователь-
Последовательность {а ь} точек метрического пространства называется фундамен-
фундаментальной, если limo(am, ад)=0. Если каждая фундаментальная
т, п
последовательность сходится, то метрическое пространство назы-
называется полным.
Три следующих леммы непосредственно вытекают из опре-
определений.
6. Лемма. В метрическом пространстве сходящаяся последова-
последовательность является фундаментальной. Для сходимости фундамен-
фундаментальной последовательности необходимо и достаточно, чтобы она
имела сходящуюся подпоследовательность. В метрическом простран-
пространстве точка а в том и только в том случае принадлежит замыканию
множества А, если существует последовательность {ап} точек
множества А, сходящаяся к h.
7. Лемма. Замкнутое подпространство полного метрического
пространства полно. Полное подпространство метрического прост-
пространства замкнуто.
8. Лемма. Для того чтобы отображение f:X—>Y одного метри-
метрического пространства в другое было непрерывным в точке х, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {ха}9
сходящейся к х, подпоследовательность {f(xn)} сходилась к f(x).
9. Теорема (теорема Бэра о категориях). Если полное метрическое
пространство является суммой счетного числа своих замкнутых под-
подмножеств, то по меньшей мере одно из этих подмножеств содержит
непустое открытое множество.
Доказательство. Рассмотрим полное метрическое пространство X
с метрикой q(x, у). Пусть {Ап} — последовательность замкнутых
множеств, сумма которых совпадает с X. Проведем доказательство
от противного, т. е. допустим, что ни одно из А а не содержит непу-
непустого открытого множества. Таким образом, А1фХ и А[ открыто

32 Гл. L В. Предварительные сведения из топологии
и содержит некоторую сферу Sx = S (pv гг), где 0 < гг < -^. По пред-
предположению, множество А 2 не содержит открытого множества
5 (pv ех/2). Следовательно, непустое открытое множество
A'A~)S(pv ех/2) содержит некоторую сферу S2 = S (p2, е2), где
О < ^2 < -от • По индукции можно определить последовательность
{Sn} = {S(pn, ej} сфер, обладающих следующими свойствами:
Так как при п <т
Q (РП> Рт) < Q {Pn> Pn+l) + Q (Рп+1» Рм+2) + • • • + Q (Pm-1» An) <
^ 2n+1 " * " 2771 2n'
то центры рт этих сфер образуют фундаментальную последователь-
последовательность и, следовательно, сходятся к некоторой точке р. Так как
&f
Q(Pn* P) = Q(Pn> Pm)+Q(Pm> P)<^ + Q(Pm> P) -> &f
то ясно, что p?Sn для каждого п. Следовательно, точка р не при-
принадлежит ни одному из множеств Ап, а потому не принадлежит и их
сумме. Но это противоречит предположению, что X— \JAn, ч. т. д.
10. Определение. Подмножество 'А топологического простран-
пространства X называется компактным в Ху если каждая последователь-
последовательность точек из А имеет подпоследовательность, сходящуюся к неко-
некоторой точке из X1).
11. Определение. Множество Лг5 называется плотным в 5,
если Л-ЗВ. Множество, плотное в топологическом пространстве X,
называется всюду плотным. Множество называется нигде не плот-
плотным, если его замыкание не содержит никакого открытого множе-
множества. Пространство сепарабельно, если оно содержит счетное всюду
плотное множество.
Теорема. Топологическое пространство, имеющее счетный базис,
сепарабельно. Обратно, сепарабельное метрическое пространство
имеет счетный базис. Следовательно, подпространство сепарабель-
ного метрического пространства сепарабельно.
Доказательство. Пусть Ал, А2, ... —базис топологического про-
пространства X и рп?Аъ. Если V - открытое множество, то найдется
элемент базиса Ап, содержащийся в V, и, следовательно, точка
х) Ср. сноску на стр. 28. — Прим. ред.

6. Метрические пространства 33
рпб V. Таким образом, р = {/?!, р2, ...} есть счетное всюду плотное
в X множество. Обратно, пусть р19 р2, ... — счетное всюду плотное
подмножество метрического пространства. Покажем, что- счетное
множество сфер S (рп, г) с рациональными г составляет его базис.
Если точка р принадлежит открытому множеству V, то при доста-
достаточно малом е S(p, e)CV\ В сфере S (р, е/4) содержится некото-
рое рп, и для этого рп
где г—рациональное число, содержащееся между е/4 и е/2. Отсюда
легко вытекает и окончательный результат, ч. т. д.
13. Теорема. Для бикомпактности подмножества метрического
пространства необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнута
и компактно в X.
Доказательство. Пусть А — бикомпактное подмножество метри-
метрического пространства X. По лемме 5.7(с) А замкнуто. Если А
не компактно в Ху то некоторая его последовательность {а.г}
не содержит сходящейся подпоследовательности. Следовательно,
для каждой точки множества А найдется окрестность, содержащая
самое большее конечное число элементов а ь. Так как из этого
покрытия множества А можно выделить конечное, то последова-
последовательность {ап} может состоять лишь из конечного числа различных
точек множества А и поэтому непременно содержит сходящуюся
подпоследовательность. Это противоречие и доказывает, что мно-
множество А компактно в X.
Обратно, предположим, что А компактно в X и замкнуто. Сначала
мы установим, что А сепарабельно. Пусть р0 — произвольная точка
множества А и do = supQ(po, p). Число d0 конечно, ибо если
Q(Po> Яп)~~> °°> то существует подпоследовательность {qni}9 сходя-
сходящаяся к некоторому q, для которого q(/?0> ^) = 1 im q (p0, qn.) = co,
что невозможно.
Пусть теперь, по индукции, выбрано ри1 так, что
min Q(pn, pui)>~t где
dt = sup min Q(pn, p).
p?A O^n^i
Ясно, что d0 > dj > ... Если dn > e > 0 для всех /г, то никакая
подпоследовательность последовательности р0, plt ... не будет
фундаментальной и по лемме 6 никакая ее подпоследовательность
не будет сходящейся. Так как это противоречит нашему пред-
предположению, то отсюда следует, что db—>0. Но тогда для каждого р
из Л и каждого г > 0 найдется такое рп, что q (pnt p) < е. Мы
получили счетное всюду плотное множество {р0, plf ...}.
3 Заказ 1324

?4 Гл. I. В. Предварительные сведения из топологии
Теперь, как следует из теорем 12 и 4.14, для того чтобы дока-
доказать бикомпактность А, достаточно убедиться в том, что из каждого
счетного покрытия А открытыми множествами gl9 g2t ... можно
п п
извлечь конечное. Если \J gt?= А, то рассмотрим точку хп$ {] gif
хп?А. Последовательность {хп} содержит сходящуюся подпосле-
п
довательность хп. —> х. Ввиду того, что дополнения к \J gt замк-
г=1
п оо
нуты, *(? U gi9 и, значит, х§ \J gif но это противоречит тому,
оо
что IJ gi = Л, ч. т. д.
14. Определение. Подмножество К метрического пространства
называется вполне ограниченным, если для каждого е > 0 оно допу-
допускает покрытие конечным числом сфер S(ki9 e), t=l, ..., п
с центрами, принадлежащими /С.
15. Теорема. Если К — подмножество метрического простран-
пространства X, то следующие три утверждения эквивалентны.
(a) К компактно в X,
(b) К бикомпактно,
(c) К вполне ограничено и К полно.
Кроме того, бикомпактное метрическое пространство полно
и сепарабельно.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы (Ь) будет вытекать
из (а), если мы покажем, что К компактно в X. Рассмотрим после-
последовательность {рп} точек из К и возьмем такие точки kn б /С, что
Q(Pn> ^J<~~> я=1, 2,..., тогда некоторая подпоследовательность
последовательности {kn} будет сходящейся, и легко видеть, что после-
последовательность {ра} будет сходиться к той же точке. Мы доказали,
что из (а) вытекает (Ь).
Предположим теперь, что справедливо (Ь), и пусть е>0. Тогда
сферы S(k, e), k?K покрывают /С, так как К плотно в /С. Следо-
Следовательно, К> а значит, и К покрываются уже конечным числом этих
сфер S (kl9 e),..., S(knt e), т. е. К вполне ограничено. Пусть {рп} —
фундаментальная последовательность точек из К\ так как К ком-
компактно в X (теорема 13), то некоторая подпоследовательность
последовательности {рп} сходится к некоторой точке р0 б К- Легко
видеть, что и вся последовательность {рп} сходится к р0, так что
К полно.

6 Метрические пространства 35
Предположим теперь, что справедливо (с), и рассмотрим после-
последовательность {kn} точек из К. Ввиду полной ограниченности К
для каждого я=1, 2,..., существует покрытие К конечным чис-
числом сфер с центрами в К и радиусами 1/п. Таким образом, некоторая
подпоследовательность {k\ ,п} последовательности {kfL} целиком
содержится в сфере радиуса 1; некоторая подпоследовательность
{k2 ,n} последовательности {kUn} целиком содержится в сфере радиуса
V2 и т. д. Продолжим это рассуждение и положим kn = kn,n- После-
Последовательность {kn} фундаментальна по построению; так как К полно,
то она сходится и, следовательно, К компактно в X. Таким обра-
образом, эквивалентность утверждений (а), (Ь) и (с) доказана.
Чтобы доказать последнее утверждение, заметим, что если про-
пространство X бикомпактно, то из эквивалентности (Ь) и (с) вытекает,
что оно полно. Сепарабельность пространства X была уже установ-
установлена при доказательстве теоремы 13, ч. т. д.
При доказательстве пункта (с) последней теоремы мы применили
метод, называемый канторовским диагональным процессом.
16. Определение. Отображение f:X—>Y одного метрического
пространства в другое называется равномерно непрерывным на X,
если для каждого е>0 найдется такое 6>0, что из неравенства
q(x, х')<6 вытекает неравенство Q (/(#), /(х/))<е.
Следующая элементарная теорема будет часто использоваться.
17. Теорема. (Принцип продолжения по непрерывности). Пусть
X и Y — метрические пространства, причем Y полно. Если ото-
отображение f:A —> Y равномерно непрерывно на некотором всюду плот-
плотном в X подмножестве А, то оно имеет единственное непрерывное
продолжение g:X—^Y. Это продолжение равномерно непрерывно
на X.
Доказательство. Если х?Х, то существует последовательность
точек аабЛ, сходящаяся к X. Так как последовательность {ап}
фундаментальна, а отображение / равномерно непрерывно, то
последовательность {f(an)} также будет фундаментальной. В силу
полноты У существует такая точка^(х) 6 У, что f(an)—±g(x). Для того
чтобы доказать, что g(x) зависит только от л: и не зависит от выбора
последовательности ап—±ху рассмотрим другую последовательность
{Ьп} из А, тоже сходящуются к х. Тогда Q(an, bn) —^ 0 и, ввиду разно-
разномерной непрерывности f,Q(f(an),f(bn))~>0, следовательно, f(bn)--±
"-*?(*)• Теперь легко видеть, что из неравенства q(x,x')<6 выте-
вытекает, что Q(g(x)ig(x'))<^ e, что и означает равномерную непрерыв-
непрерывность g. Наконец, единственность g очевидна.
Непрерывная функция, вообще говоря, не является равномерно
непрерывной, однако на бикомпактном метрическом пространстЕе
эти два понятия совпадают.

?6 Гл. 1. В. Предварительные сведения из топологии
18. Теорема. Непрерывное отображение f бикомпактного метри-
метрического пространства X в метрическое пространство Y равномер-
равномерно непрерывно.
Доказательство. Если отображение / не является равномерно
непрерывным, то найдется такое е > 0 и такие две последовательно-
последовательности {ха}и {zn}, что Q (xn9 zj< - , ноо(Д^л),/Bа))>едлял=1,2,....
Так как X компактно (теорема 13), то существуют подпоследова-
подпоследовательности {xiik} и {znk}> которые сходятся и притом, очевидно,
к одной и той же точке. Ввиду непрерывности/, для достаточно боль-
большого k Q{f(xnk)y /(*пь))<е, что противоречит предположению. Таким
образом, отображение, не являющееся равномерно непрерывным,
не может быть непрерывным на X, ч. т. д.
Следующая теорема содержит условия, при которых топологи-
топологическое пространство может быть метризуемо.
19. Теорема (метризационная теорема Урысона). Регулярное
топологическое пространство сосчетным базисом метризуемо. В част-
частности, бикомпактное хаусдорфово пространство метризуемо в том
и только в том случае, если оно имеет счетный базис.
Доказательство. Как было показано в теореме 15, бикомпактное
метрическое пространство сепарабельно и в силу теоремы 12 имеет
счетный базис. С другой стороны, бикомпактное хаусдорфово про-
пространство нормально E.9) и, следовательно, регулярно E.1), так
что второе утверждение следует из первого.
Пусть X — регулярное пространство со счетным базисом {Un}.
Мы покажем сперва, что X нормально. Рассмотрим непересекаю-
непересекающиеся замкнутые подмножества А и В из X. Так как X регулярно,
то для каждой точки х из А существует множество U^{Ua} такое,
что х?У с^ис^В'. Пусть { Vn} — подпоследовательность последова-
последовательности {Un}> состоящая из всех таких Un, что ип^В'9 тогда А с_
оо
Z U Vn- Аналогично, пусть {Wn}состоит из таких Vа, что Unc:A\
n=l t
оо
тогда ВС U Wn. Положим теперь У\= Vv Z1=W1—Yl и по ин-
п—\ п
дукции определим Yn=Vn— \JZj и Zn=Wn— (J Y;. При этом
Y = U Yn и Z= \J Zn — открытые множества. Эти множества
n=i n=l
не пересекаются, так как YnZn = 0 для всех п, т>\\ действи-
действительно, если п </п, то Zm<Z Wm— Yn<Z_ W^ — Yn и, следовательно,
ynZm = 0. Если п>т, то YnczVn-Zmg:Vn-Zrn и, значит,

m»
6. Метрические пространства 37
YnZm= 0. Чтобы убедиться в том, что А с: У, рассмотрим какую-
нибудь точку х, принадлежащую Л, и выберем такое т, что х? У,
Тогда так как~2пс: №Н^Л' при л>1 и так как л;бЛУт, то х? У,
откуда и вытекает, что А ст У\ Аналогично B^Z; этим доказано
что пространство X нормально.
Рассмотрим снова базис открытых множеств Ult U2 ,... простран-
пространства X. Если p&Umy то найдется такое ?/п, что p^Vn^_Un^Um.
Существуют, следовательно, пары множеств (t/^, f/m), принадлежа-
принадлежащих базису и обладающих тем свойством, что Un^_Vm\ но так как
базис содержит только счетное число множеств, то мы будем иметь
всего счетное множество таких пар. Расположим их в последова-
последовательность (t/ni, l/mi), ..., (f/nft, Umk)9 ... По теореме 5.2, для каждого
Л=1, 2,... существует непрерывная функция /к такая, что fk(Unk)~
= 0, fki^rn^^, 0</fe(x)<l. Определим теперь на ХхХ функ-
функцию Q, полагая
Q(x, y)= | 2-fc|/k(jc)-/fc((/)|, х,
Ясно, что q удовлетворяет условиям I, III и IV определения 6.1.
Допустим, что для некоторой пары точек хфуу д(лс, у)=0\ тогда
fk(x)=fk(y) при k=ly 2,.... С другой стороны, найдется такое множе-
множество 11т(Х)ИЗ базиса, что x?Um{X), y$Um(X). Ввиду регулярности
пространства X существует другое множество Un(X), принадлежа-
принадлежащее базису и такое, что xeUn{x)CiUn{x)c:Um(x), и, значит, (f/n(Jf),
Um(x)) есть одна из пар выписанной выше последовательности. Но
тогда для некоторого k fk(x)=?fh(y)\ это противоречие доказывает,
что q действительно является метрической функцией на X.
Пусть х — фиксированная точка и г>0. Легко видеть, что
q (х,...) — непрерывная вещественная функция на X. Следовательно,
существует такое множество ?/тиз базиса, что x?Um, и если y?Um,
то q(x, у) < е. Отсюда следует, что тождественное отображение про-
пространства X с заданной на нем топологией на пространство X с мет-
метрической топологией, определяемой функцией q, непрерывно. С дру-
другой стороны, если x?Um, то существует такое Un, что x^Unr_Un[_
с: Um. Следовательно, пара (Un, Um) встречается в нашей последова-
последовательности, скажем, на k-мместе. Тогда если q(x, у) < 2~\ то | fk (y)\<
<1 и, значит, y?Um. Таким образом, S(x, 2'b)ct7m, откуда видно, что
тождественное отображение пространства X с метрической топо-
топологией на пространство X с исходной топологией тоже непрерывно.
Таким образом, это тождественное отображение является гомео-
гомеоморфизмом, т. е. наше пространство метризуемо, ч. т. д.

?# Гл. I. В.Предварительные сведения из топологии
7. Сходимость и равномерная сходимость
обобщенных последовательностей
Понятие сходимости, введенное в определении 6.5, для наших
целей является недостаточно общим. Мы хотим указать различные
возможные способы его обобщения.
ЕслиХ и Y — топологические пространства и g'.X—>У, то выра-
выражение lim g(w)=у означает, что для каждой окрестности Ny точки у
w->x
существует такая окрестность Nx точки х, что g(Nx)c^Ny. Рассмот-
Рассмотрим следующее, связанное с предыдущим, но более общее понятие:
пусть А — некоторое множество и X и Y — топологические про-
транства. Пусть f :А—>Х к g:A~>Y. Тогда запись lim g(a)=y
f{a)*+x
означает, что для каждой окрестности Ny точки у существует окрест-
окрестность Nx точки х такая, что g(Г1 С^*)) ?#у. Например, в каждом
метрическом пространстве справедливо утверждение lim х = х0.
Q(X,XO)->O
Разумеется, если А=Х и f есть тождественное отображение, то
lim g(a)=y в том и только в том случае, если lim g(a)=y.
f (а) -» х а -> х
Следующее определение содержит третий важный и интересный
способ обобщения понятия сходимости.
1. Определение. Частично упорядоченное множество (D, <)
называется направленным, если каждое конечное подмножество
из D имеет мажоранту. Отображение f:D—±X направленного мно-
множества D в множество X называется обобщенной последовательно-
последовательностью элементов множества X или просто обобщенной последователь-
последовательностью в X. Обобщенная последовательность f:D—>X в топологи-
топологическом пространстве X называется сходящейся к точке р из Х>
если для каждой окрестности Af точки р найдется такое do?Dy
что из d>d0 вытекает, что f(d)?N. В этом случае говорят также,
что предел f существует и равен р, и пишут lim/ (d) =p или, если
нужно отметить D, lim/(d)=p.
D
Каждому понятию сходимости отвечает связанное с ним понятие
равномерной сходимости. Пусть, например, D является направлен-
направленным множеством, А — произвольное множество и X — метричес-
метрическое пространство. Предположим, что функция / = /(d, а) отображает
DxA в X. Тогда утверждение, что lim/(d, a)=g(a) равномерно отно-
D
сительно Л, или равномерно для а? А, означает, что для каждого
е > 0 существует такое d0 ?D, что q (f (d, a), g (a)) < e при d > d0 и
произвольном а из А.
Если f и g — две обобщенные последовательности вещественных
или комплексных чисел, определенные на одном и том же направ-
направленном множестве D, то, по определению,

7. Сходимость обобщенных последовательностей 39
в том случае, если существует такое А > О, что \f(d) | < A\g(d) |, ка-
каково бы ни было d>dA. Аналогично запись
означает, что для каждого е > 0 существует такое de?D, что \f(d) | <
< 8I g(d)\ для любого d>d&.
В последующих главах обобщенную последовательность f:D—>X
мы обычно будем обозначать через {ха}, выделяя тем самым область
значений функции f.
Обобщенные последовательности в общем топологическом про-
пространстве играют ту же роль, что и обычные последовательности
в метрическом пространстве. Это можно видеть на примере следую-
следующих лемм.
2. Лемма. Пусть А — подмножество топологического простран-
пространства. Для того чтобы точка р принадлежала замыканию множества
А у необходимо и достаточно, чтобы некоторая обобщенная последо-
последовательность точек из А сходилась к р.
Доказательство. Если р = lim / (d), где f(d) 6 А, то каждая окрест-
окрестность точки р содержит точку множества А, следовательно, р?А.
Обратно, пусть каждая окрестность точки р содержит некоторую
точку из Л. Превратим семейство {./V} окрестностей точки р в напра-
направленное множество, полагая, по определению, что NX^N2 эквива-
эквивалентно включению A^czA^. Обозначим через f функцию на {N}.
значение f(N) которой есть некоторая точка из NA. Тогда
\f{N) ч. т.д.
3. Лемма. Для того чтобы топологическое пространство было
хаусдорфовым, необходимо и достаточно, чтобы каждая обобщенная
последовательность его элементов имела не более одного предела.
4. Лемма. Если X и Y — топологические пространства
a f: X —> 7, то для непрерывности отображения f необходимо
и достаточно, чтобы для каждой обобщенной последовательности
элементов пространства X из равенства lim/i(d)=jt вытекало
равенство \\mf(h(d)) = f(x).
Доказательства этих лемм предоставляются читателю.
Большинство понятий, связанных с основным понятием сходи-
сходимости, может быть перенесено с последовательностей на обобщен-
обобщенные последовательности. Пусть f : D —> X — обобщенная последова-
последовательность элементов метрического пространства X. Мы назовем
/ обобщенной фундаментальной последовательностью в X, если для
каждого е > 0 существует такое d0 ? D, что q (/ (/?), f (q)) < е,
-если p>d(), q>dQ.

40 Гл. I. В. Предварительные сведения из топологии
5. Лемма. Если f — обобщенная фундаментальная последова-
последовательность в полном метрическом пространстве X, то существует
такое р?Х, что lim f(d)=p.
Доказательство. Пусть dncmD таково, что при cv c2>dn
Q(f(c1),f(c2)) < Vn. Обозначим через Ь ь мажоранту конечного множе-
множества {dx, d2, ... , dn). Ясно, что последовательность f(bn) фундамен-
фундаментальна. Следовательно, существует такое р?Х, что limfFJ=p.
п->оо
Пусть задано е > 0; выберем такое п0У что 2л < е и q (/ (Ьщ), р) < е/2.
Тогда если d>bnQ, то ясно, что Q(f(d),p)<e, ч. т. д.
Читатель, просмотревший предыдущий параграф о метричес-
метрических пространствах, может найти и другие результаты, переносимые
с обычных на обобщенные последовательности.
Следующий важный результат о перестановке предельных пере-
переходов принадлежит Муру1).
6. Лемма. Пусть D1 и D2 — два направленных множества,
причем DxxD2 направлено отношением (dl9 d2)<(dj, d'2)y no опре-
определению, означающим, чтоdl <, d[ иd2 <d'2. Пусть f:D1xD2~>X —
обобщенная последовательность в полном метрическом пространстве
X. Предположим, что
(a) для каждого d2 ?D2 существует предел g (d2) = lim / (dv d2) и
(b) предел h(d^) = limf (dv d2) существует равномерно относи-
D*
тельно Dr
Тогда три предела
limg(d2), l:m/z(d1), lim f(dlt d2)
D2 Di DiXD2
существуют и равны между собой.
Доказательство. Пусть задано е > 0. Тогда существует такое
62 ?ZJ, чт0 из d2 > 62 вытекает неравенство q (f (dl9 d2), h (dj) < e/8
для всех dl^Dv Отсюда следует, что
Q(f(dl9 d2), f{dx,b2))<\,
если dl?D1 и d2>62. Таким образом, если fijgD, таково, что из
d1>61 вытекает неравенство Q(f(dv 62)> ^(^г)) < е/8, то
Q(f(dlt 62), /;(б„ 62))<|,
1) Эту лемму и много "других результатов, связанных с пределами по
начрярп^нном\' ^ножретву, по существу, впервые получил С. О. Шатунов-
ский [1*].—Лрмле. ред.

7. Сходимость обобщенных последовательностей 41
так что Q(f(dv d>), f(bv 62) < е/2. Поэтому если d19 d[>d1
и d2, d'2>&2, то Q(f(dv d2), f (dj, d^O. Но это значит, что / —
обобщенная фундаментальная последовательность. По лемме 5,
lim f(dv d2) = p существует. Мы имеем
DiXD2
Q(P, /K.rfi)) = Q( Hm /(dlf d2),
Следовательно, q (p, g (d'2)) = Q(p, lim/ (d j, d'2)) < e, d, > 62, так что
lim
D2
Таким же точно образом доказывается, что lim Л (dj) = /?, ч. т. д.
7. Следствие. Пусть D — направленное множество, X и Y —
топологические пространства, причем Y — полное метрическое
пространство. Пусть f : D X X —> Y, ma/c <шо f (d, X) есть обобщен-
обобщенная последовательность функций на X со значениями в Y. Предпо-
Предположим что:
(a) для каждого do?D функция f(d0, x) непрерывна и
(b) предел g(x) = lim/(d, jc) существует равномерно относи-
D
тельноХ. Тогда функция g{x) непрерывна.
Эго утверждение легко выводится из лемм 4 и 6.
Часто бывает полезно иметь определение би компактности в тер-
терминах обобщенных последовательностей. Мы сделаем это, введя
понятие обобщенной предельной точки.
8. Определение. Пусть / :D —>X — обобщенная последователь-
последовательность в топологическом пространстве X. Точка р называется ее
обобщенной предельной точкой (cluster point), если для каждой
окрестности U точки р и d0 ? D существует d> d0 такое, что f (d) ? U.
9. Лемма. Для того чтобы пространство X было бикомпактным,
необходимо и достаточно, чтобы каждая обобщенная последова-
последовательность из X имела обобщенную предельную точку.
Доказательство. Пусть f:D—±X — обобщенная последователь-
последовательность точек бикомпактного пространства X; положим для каждого
dD
Семейство \Ad), а следовательно, и {А ,} центрированы. По лемме 5.6,
существует точка р, принадлежащая всем этим замыканиям.
Так как каждая окрестность точки р пересекается с каждым Ad9
то точка р служит для f обобщенной предельной точкой.

42 Гл. /. В. П ред варите льные сведения из топологии
Обратно, пусть для каждой обобщенной последовательности из
X имеется обобщенная предельная точка. Рассмотрим центрирован-
центрированное семейство ^х замкнутых множеств, и пусть д? означает совокуп-
совокупность всевозможных конечных пересечений множеств, принадлежа-
принадлежащих $рх. Семейство ^ также центрировано; кроме того, оно является
• направленным по включению. Выбирая по точке в каждом из
множеств, принадлежащих j^, мы получим обобщенную последова-
последовательность, которая, по условию, имеет обобщенную предельную
точку, содержащуюся, очевидно, в каждом из множеств, принадле-
принадлежащих ,$F. Следовательно, множества из ерх имеют общую точку,
т. е. рассматриваемое пространство бикомпактно, ч. т. д.
Существует еще одно понятие, которое часто оказывается полез-
полезным при исследовании сходимости.
10. Определение. Семейство % подмножеств некоторого множе-
множества называется фильтром, если оно обладает следующими свой-
свойствами:
I. Пустое множество 0 не принадлежит Щ.
II. Если А ЗВ и Bgg, то А?Щ.
III. Если Л, 5gg, то А[)В?%.
Если % и %' — фильтры подмножеств одного и того же множества
и gZ)g', то мы говорим, что g мажорирует %'. Ультрафильтром,
называется фильтр, не мажорируемый никаким другим фильтром,
кроме самого себя. Фильтр % подмножеств топологического про-
пространства X сходится к точке р?Х, если каждая окрестность
точки р принадлежит %.
Читатель заметит, что совокупность всех подмножеств тополо-
топологического пространства X, содержащих некоторую окрестность
какой-нибудь его точки р, образует фильтр Ж(р). Следовательно,
фильтр % в том и только в том случае сходится к точке р, если %
мажорирует каждое Ж(р), т. е. если Ш^Ж(р). В приложениях
теории фильтров весьма важной является следующая лемма Картана.
Лемма. Каждый фильтр подмножеств множества X мажори-
мажорируется некоторым ультрафильтром подмножеств из X.
Доказательство. Пусть §0 — фильтр в множестве Х\ обозначим
через $ совокупность всех фильтров % в X, мажорирующих §0.
Будем считать, что множество ^5 частично упорядочено отноше-
отношением с. Если (& = [Щ — линейно упорядоченное подмножество из %у
то Ш'= {Е \Е б % б®} будет, как легко видеть, фильтром из %
и gcrg' для всех gg@. По лемме Цорна B.7), в множестве $ суще-
существует максимальный элемент, который и будет, очевидно, ультра-
ультрафильтром в X, мажорирующим g0, ч. т. д.
Ясно, что если % — ультрафильтр вХи если Е^Х, то только
одно из множеств Е, Е' принадлежит <g.

8. Топологическое произведение пространств 43
12. Лемма. Для того чтобы топологическое пространство X
было бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы каждый уль-
ультрафильтр подмножеств, принадлежащих X, сходился к некоторой
точке из X.
Доказательство. Пусть % — ультрафильтр в бикомпактном про-
пространстве X. Если % не сходится к точке р ? X, то некоторая окрест-
окрестность Np точки р не принадлежит Ш и, значит, в % содержится ее до-
дополнение N'p. Если % не сходится ни к одной точке пространства
X, то X покрывается окрестностями Np, p(-X, и, следовательно,
покрывается конечным числом Nl9 ..., Nn этих окрестностей. Но
тогда 0=N[P\ ... PiN'n = (N1{J ... [JNny = ^'» будучи пересечением
конечного числа множеств из Щ, также принадлежит %, что противо-
противоречит определению фильтра.
Предположим, что каждый ультрафильтр подмножеств из X
сходится. Пусть F —центрированное семейство замкнутых под-
подмножеств из X. Обозначим через Ш-у класс всех множеств, содержа-
содержащих всевозможные конечные пересечения Fx[\ ... f)Fn множеств
Ft€ f. Ясно, что %х является фильтром. Пусть^ — ультрафильтр,
мажорирующий %х, и р— точка, к которой сходится %. Тогда каж-
каждая окрестность точки р имеет непустое пересечение с каждым мно-
множеством из §. Следовательно, р принадлежит замыканию каждого
множества из Щ. В частности, p?F, если F ? ?. Следовательно,
Р б П f 1 так что П jp Ф 0. Доказываемый результат вытекает теперь
из леммы 5.6, ч. т. д.
8. Топологическое произведение пространств
Пусть дано прямое произведение (см. определение 3.11) X = J] Ха
а
топологических пространств Ха. Естественно попытаться ввести
в нем топологию. Так, например, если как Xv так и Х2 предста-
представляют собой пространства вещественных чисел, то их прямое произ-
произведение ХгХХ2 может быть топологизировано, если взять в каче-
качестве базиса множества вида UX V, где U и V — открытые множества.
В этой топологии ХгХХ2 представляет собой двумерное евклидово
пространство. Абстрагируя самое существенное свойство этого при-
примера, мы в общем случае введем для прямого произведения X топо-
топологию т таким образом, чтобы каждое проектирование рга :Х—>Ха
было непрерывным. Легко видеть, что для непрерывности отобра-
отображения рга необходимо и достаточно, чтобы каждое из множеств вида
U = ( П Ха Л х Uoq, где Uа с Ха открытое множество, принадлежа-
ло т. Этого свойства, однако, не достаточно для того, чтобы пол-
полностью охарактеризовать т. Среди различных топологий, в которых
отображения рга непрерывны, имеются по крайней мере три топо-

Л Гл. I. В. Предварительные сведения из топологии
логии, получающиеся, если принять в качестве базиса множества
U = \]Ua, где
а
(a) все Uа открыты,
(b) все Uа. открыты, Ua = Ха для всех, кроме, быть может, счет-
счетного множества значений а,
(c) все Uа открыты, Uа = Ха для всех, кроме, быть может, конеч-
конечного числа значений а.
Имея в виду дальнейшие приложения, мы выберем для изучения
топологию (с) —слабейшую из топологий пространства X, гаранти-
гарантирующих непрерывность отображений рга. Формальное определе-
определение ее таково:
1. Определение. Рассмотрим семейство (Ха, та) топологических
пространств. Тихоновским произведением топологий ха называется
топология т пространства Х = [|Ха, получаемая, если в качестве
а
базиса взять совокупность всех множеств U = \] Ua, где каждое
а
Uа открыто и где Uа = Ха, за исключением конечного числа индек-
индексов а. Тихоновское произведение топологических пространств
есть их прямое произведение, топологизированное указанным
образом.
Ясно, что для сходимости обобщенной последовательности /
в произведении X пространств Ха необходимо и достаточно, чтобы
для каждого а обобщенная последовательность praf сходилась
в пространстве Ха.
2. Лемма. Тихоновское произведение хаусдорфовых пространств
/ешь хаусдорфово пространство.
3. Лемма. Ясли Ъ<~_а, то проектирование ргь {ср. с 3.14) про-
пространства \\ Ха на [1 Ха непрерывно и отображает открытые
множества в открытые.
4. Лемма. Тихоновское произведение счетного числа метрических
пространств X ,v n— 1, 2, ..., является метрическим пространством.
Если Qa — метрика пространства Хп, то метрика произведения
X = {\Хп может быть определена формулой
п
n(Y ,д - V ] On (Prnx> Р'пУ)
Q{*> У)- Zj 2" l + Qn(prnx,prny) '
n=i
Пели каждое из пространств Хп полно, то их произведение, так
метризованное, тоже полно.

9. Упражнения 45
Доказательства этих лемм получаются непосредственно и эле-
элементарно; мы предоставляем их читателю.
5. Теорема (Тихонов). Произведение бикомпактных пространств
бикомпактно.
Доказательство. Доказательство этой теоремы основано на лем-
лемме 7.12. Пусть Ха бикомпактно; обозначим через % какой-нибудь
ультрафильтр подмножеств пространства X =J]Xa. Тогда совокуп-
a
ность %а всех множеств вида рга (Я), где Е ? %, будет ультрафильтром
в Ха. Это ясно, так как собственная мажоранта %'а фильтра <$а,
определяет собственную мажоранту
для Ш. По лемме 7.12, каждое Ша сходится к некоторой точке
х(а)?Ха- Из определения произведения топологий легко вытекает,
что Ш сходится к точке x = fjx(a) пространства X, ч. т. д.
a
9. Упражнения
1. Каждый непустой открытый интервал вещественных чисел
гомеоморфен множеству всех вещественных чисел, но не гомеомор-
гомеоморфен никакому полуоткрытому или замкнутому интервалу. Замкну-
Замкнутый интервал не гомеоморфен множеству комплексных чисел, по
модулю равных единице.
2. Пусть R — пространство всех вещественных чисел; положим
Rx = R для каждого х ? R. Показать, что Q = J] Rx содержит счет-
x?R
ное подмножество, замыкание которого совпадает с Q, но не имеет
счетного базиса.
3. Не каждое нормальное пространство метризуемо.
4. Пусть Gl и G2 — открытые подмножества нормального про-
пространства и F — замкнутое множество, причем Fc^G1[jG2. Показать,
что F есть сумма замкнутых множеств F1c^G1 и F2(~_G2.
5. Пусть 5 — некоторое абстрактное множество. Показать, что
совокупность B(S) всех ограниченных вещественных или комплекс-
комплексных функций на S с метрикой q (/, g) = sup \f(s) —g{s) I является
s?S
полным метрическим пространством. Если 5 —топологическое про-
пространство, то совокупность С E) всех ограниченных непрерывных
вещественных или комплексных функций на 5 есть замкнутое под-
подмножество в В E).
6. Установить существование такой непрерывной вещественной
функции вещественного переменного, что
П^ /<'+*)-/(/) =оо для всех/.

46_ Гл. I. С. Предварительные сведения из алгебры
Указание. Пусть 5 — вещественная прямая и С E) — простран-
пространство ограниченных вещественных непрерывных функций, метризуе-
мое, как в упражнении 5. Обозначим через Ст, т=1,2, ..., множе-
множество всех функций f из С E), для которых
<т
h
для некоторого t и всех h > 0. Используя теорему Бэра о катего-
категориях, показать, что сумма этих множеств Ст не совпадает с С (S).
С. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
Используемые в этой книге алгебраические результаты будут
вводиться и доказываться там, где они понадобятся. В этом разделе
будет дан краткий обзор основных понятий и введены необходимые
определения.
10. Группы
Группой называется множество G вместе с отображением
\х: GxG—>G, удовлетворяющим перечисленным ниже условиям
I—III. Бинарная операция (я часто записывается в виде \i(a, b)—ab
и в этом обозначении называется умножением. Элемент ab называет-
называется произведением элементов а и Ь. Произведение ab должно удо-
удовлетворять следующим условиям:
I. (ab)c = a(bc); a, 6, c?G.
II. В группе (/существуеттакой элементе, называемый единицей
группы, что для любого a?G ае = еа = а.
III. Для каждого a?G существует такой элемент а, называе-
называемый обратным к а, что аа = аха = е.
Подгруппа группы G есть подмножество элементов группы G,
само являющееся группой относительно заданной в G бинарной
операции. Собственная подгруппа есть подгруппа, отличная от
{е} и от G. Коммутативная, или абелева, группа — это группа,
в которой выполняется коммутативный закон: ab = ba. В коммута-
коммутативном случае бинарная операция (я часто записывается в виде
[х (а, Ь) = а+b и в этом обозначении называется сложением. Элемент
а+b называется суммой элементов а и Ь, а сама группа называется
в этом случае аддитивной. Единица аддитивной группы называется
ее нулевым элементом и обозначается 0 вместо е. Кроме того, в адди-
аддитивной группе пишут —а вместо а и а— Ь вместо а+(— Ь). Адди-
Аддитивная запись будет использоваться только в случае коммутатив-
коммутативной группы.
Если А и В — подмножества группы G с умножением в качестве
групповой операции и если g и h — элементы из G, то через А'1
обозначается множество всех элементов вида а, где а?А; через

11. Линейные пространства 47
AB— множество элементов вида ab, где а б Л, b?B; через gA -
множество элементов вида ga, где а? А, и через gAh — множества
элементов вида gah, где а?А. Для аддитивной группы соответству-
соответствующими обозначениями будут—Л, А + В, g + A.
Следующие, часто используемые утверждения непосредственно
вытекают из наших определений: в группе G есть только одна еди-
единица; только один элемент а'1, обратный к а; для каждой пары
элементов а и Ь группы G существуют однозначно определенные эле-
элементы х и y?G, для которых ax=b, уа=Ь; единица группы G при-
принадлежит каждой ее подгруппе; (ab)'1 = Ъ~1ах.
Отображение h:A—^B группы А в группу В называется гомомор-
гомоморфизмом, если h(ab) = h(a) h(b). Взаимно однозначный гомоморфизм
называется изоморфизмом. Если h : А —^ В — изоморфизм и если
h(A)=B, то группы А и В называются изоморфными; в этом случае
говорят также, что группа А изоморфна группе В. Изоморфизм
группы G на себя называется ее автоморфизмом. Если a?G, то
преобразование ha:G-~>G, определяемое равенством ha(x) = a~1xai
является автоморфизмом группы G, этот автоморфизм называется
внутренним; элемент а'гха называется сопряженным кх. Все авто-
автоморфизмы группы G, не являющиеся внутренними, называются
внешними. Группа автоморфизмов группы G — это множество всех
ее автоморфизмов вместе с соответствующей бинарной операцией:
произведение двух автоморфизмов определяется равенством (hk) (x) =
= h(k(x)). Внутренние автоморфизмы группы образуют, очевидно,
подгруппу в группе всех ее автоморфизмов.
Подгруппа А группы G называется ее инвариантной подгруппой
или нормальным делителем, если х~1Ах=А для любого х? G. Если
А — подгруппа группы G, то множества вида Ах называются пра-
правыми классами смежности группы G по подгруппе А, а множества
вида хА—левыми классами смежности по подгруппе А. Таким
образом, если А — нормальный делитель, то правый класс смеж-
смежности Ах совпадает с левым классом смежности хА. Классы смежно-
смежности по нормальному делителю А образуют, очевидно, группу отно-
относительно умножения (Ах) (Ау)=А (ху). Эта группа классов смежно-
смежности по А называется фактор-группой группы G по нормальному
делителю А; она обозначается через GIA. Если группа G абелева,
то все ее подгруппы являются нормальными делителями.
11. Линейные пространства
Кольцо есть аддитивная группа R вместе с отображением
r:RxR—>R, обладающим перечисленными ниже свойствами I—II).
Бинарная операция г записывается в виде r(a, b) = ab и называется
умножением. Операция умножения должна удовлетворять следую-
следующим условиям:

48 Гл. I. С. Предварительные сведения из алгебры
I. (ab)c=a(bc).
II. a (b+c)=ab+ac.
III. (b+c)a=ba+ca.
Элемент a-\-b кольца называется суммой элементов а и Ъ, а эле-
элемент ab — их произведением. Кольцо коммутативно, если в нем
тождественно ab=ba. Поле есть коммутативное кольцо, ненулевые
элементы которого образуют группу по умножению. Единица этой
группы в случае поля вместо е будет обозначаться символом 1.
Линейное векторное пространство, линейное пространство или
векторное пространство над полем Ф есть аддитивная группа Ж
вместе с операцией т :Ф X Ж —»Ж, записываемой в виде т(а, х) — ах
и удовлетворяющей следующим четырем условиям:
I. а(х -+- у) = ах + at/, а?Ф, х, z/бЖ;
П. (а+$)х=ах + $ху а, 0?Ф, х?Ж;
III. а(Р*) = (аР)*, а, РбФ, *бЖ;
IV. \-х = х, х? Ж.
Элементы векторного пространства называются векторами, эле-
элементы поля коэффициентов Ф — скалярами. Операции х—: алс и дс—->
—> а + х, где а ?Ф и а б Ж соответственно называются умножением на
скаляр а и переносом на а. Суммаах+Р#+ ... -\-уг, где а, р, ..., у — ска-
скаляры, называется линейной комбинацией векторов х, у, ..., г. Линей-
Линейное подпространство, подпространство, или линейное многообразие
векторного пространства, есть подмножество, содержащее все
линейные комбинации входящих в него векторов. Подпространство,
натянутое на данное множество Е, или порождаемое множеством
?, или линейная оболочка множества Е — это совокупность всех
линейных комбинаций элементов, принадлежащих Е. Это множе-
множество есть наименьшее линейное подпространство, содержащее Е.
Множество А точек линейного пространства над полем Ф назы-
называется линейно независимым, если из того, что линейная комби-
комбинация ax-{-$y-\-...-\-yz несовпадающих элементов х, у, ..., г из Л
обращается в нуль, вытекает, что <х=р=...=у=О. Из теоремы
2.7 легко следует, что в каждом линейном векторном пространстве
дс существует максимальное линейно независимое подмножество
В. Подмножество В линейного пространства Ж называется его
базисом Гамеля (или алгебраическим базисом), если каждый вектор
к из Ж имеет единственное представление x=alb1-{-...Jralbn, где
at ?Ф и ЬЬСВ. Ясно, что множество В в том и только в том случае
является базисом Гамеля, если оно представляет собой максималь-
максимальное линейно независимое множество. Мощность множества элемен-
элементов, составляющих базис Гамеля, не зависит от специального выбора
базиса и называется размерностью соответствующего линейного
пространства. Эта независимость особенно легко доказывается
в случае существования конечного базиса Гамеля, при этом про-
пространство называется конечномерным. В конечномерном простран-
пространстве базис Гамеля обычно называется просто базисом.

11. Линейные пространства 49
у. Т называется,.линейным оператором или линейным
преобразованием, если ее областью определения и областью значе-
нийтгтгяютезг линейные 'пространства над одним и тем же полем
Ф и если Т (х+у) =Т (х)+Т(у), Т (ах)=аТ (х) для каждого a g Ф
и любой пары х, у векторов из области определения оператора^.
Таким образом, линейное преобразование линейного пространства
X есть гомоморфизм его аддитивной группы X, коммутирующий
с операциями умножения на скаляры. Если Т: X—>2) и (У : 2) —>3~~
линейные преобразования, причем Ж, 3), ;] —линейные простран-
пространства над одним и тем же полем Ф, то произведение UT, определяемое
равенством (UT)x=U {Tx), является линейным преобразованием,
отображающим X в $. Если линейный оператор Т отображает
X в X, то он называется линейным оператором в пространстве
X. Для такого оператора преобразование ТТ обозначается через
Т2 и, по индукции, Тп~1Т — через Тп. Символом / обозначается
единичный оператор, 1х = х, символом 0 —нулевой оператор,
0х=0. Если Р (X)=aoJ\-a]%-\-.. . +anVl — многочлен, то через
Р (Т) обозначается оператор ao/+a17"+ .. . + ajt7"n. Если Т
и {/ — линейные операторы, отображающие X в линейное про-
пространство 2), то их сумма 7Ч-(/, определяемая равенством
(T-\-U) x=Tx-\rllx, также будет линейным оператором, отображаю-
отображающим X в У). Если Г —линейный оператор и а —скаляр, то оператор
а7\ определяемый равенством (аТ)х=а(Тх), тоже линеен. Если X
и ?) —линейные пространства над одним и тем же полем Ф, то
совокупность всех линейных операторов, отображающих I в |),
является линейным пространством над Ф с операциями T-\-U и аТ.
Если 3?=^), то это множество будет кольцом с операциями T+U
и TU. Линейный оператор Е в пространстве X называется операто-
оператором проектирования, или проекционным оператором, или просто
проектором, если Е2~Е. Проекционный оператор иногда называют
идемпотентным. Если X —векторное пространство, Аг__Ж\\а —
скаляр, то символом аА обозначается множество всех элементов
вида ах, х^А. Если А, ?^Х и х^Х, то, так как X —аддитив-
—аддитивная группа, обозначения А-\-В, А —В и х-\-А имеют тот же смысл,
что и прежде. Векторное пространство X называется прямой суммой
векторных пространств 93^, ?=1,2, ... , п, или Х-^ЭД^©.. .@sJ3in?
если пространства fflt являются подпространствами X и каждое
х б X единственным образом представляется в виде х=т1-\-. . . +mn,
^;69J?i> i=l, 2. ...,/г. Отображение ?. :Ж—»*^, определяемое
равенством Elx=mi, есть проектирование X на TOL.
Если Х1? . .., Хп — векторные пространства над полем Ф, то мно-
множество Х=Х1хХ2Х .. . ХХ„ становится векторным пространством,
если операции в нем определить равенствами:
Заказ 1324

50 Гл. /« С. Предварительные сведения из алгебры
Пространство Ж является прямой суммой подпространств 3J?d, ^
есть совокупность таких векторов [хг, ..., хп] из Ж, у которых х^=0
при / ф i. Так как между пространствами 5TOt и Ж1 существует
взаимно однозначное линейное соответствие, то пространство Ж
часто называют прямой суммой пространств Ж v . . ., Жп.
Если 9JJ — подпространство векторного пространства Ж над
полем Ф, то фактор-пространством Ж/Ж называется совокупно-
ность классов смежности Ж по 9К, т. е. совокупность множеств вида
х+Ш, х?Х. Алгебраические операции в Ж/$Щ определяются сле-
следующими равенствами:
Относительно этих операций фактор-пространство Ж/5Ш есть линей-
линейное векторное пространство. Отображение х —>х+$Л пространства
Ж на Ж/yjl называется естественным гомоморфизмом Ж на $/Щ~
Оно является линейным преобразованием.
За исключением тех случаев, когда специально оговорено про-
противное, полем коэффициентов линейного пространства Ж будет
либо поле вещественных чисел, в этом случае Ж называется вещест-
вещественным линейным пространством, либо поле комплексных чисел,
и тогда Ж называется комплексным линейным пространством,
Линейным функционалом называется линейное преобразование,
область значений которого совпадает с полем коэффициентов.
12. Алгебры
Пусть R — кольцо; подмножество R1^R называется его подколь-
цом, если элементы из Rx образуют кольцо относительно операций,
определенных в R. Подкольцо / из R называется правым идеалом
кольца /?, если оно дополнительно обладает следующими свойствами:
(a) /*с/, хб#,
(b) (О)Ф1Ф R.
Определение левого идеала аналогично. Подкольцо /<~7?, являющееся
одновременно и правым и левым идеалами, называется двусторон-
двусторонним идеалом. Подкольца @) и R обычно называются тривиальными,
или несобственными, идеалами, все остальные идеалы называются
собственными. Из условия (а) вытекает, очевидно, что если R —
кольцо с единицей е, то е не принадлежит никакому (собственному)
идеалу. Если R — поле, то R не содержит никаких собственных
идеалов; в самом деле, если / — идеал и а б /, а т= 0, то / содержит
также а(а~1х)=х для каждого x?R. Обратно, коммутативное коль-
кольцо R с единицей, не содержащее собственных идеалов, является
полем. Чтобы это доказать, рассмотрим элемент a?R, афО. Мно-
Множество Ia={ax\x? R} является подкольцом, удовлетворяющим

12. Алгебры 51
условию (а) и не совпадающим с нулевым подкольцом @); следова-
следовательно, Ia^R, т. е. существует такой элемент x?R, что е=ах=ха.
Таким образом, каждый ненулевой элемент из R имеет обратный,
и, значит, R является полем.
Правый (левый или двусторонний) идеал кольца R называется
максимальным правым (левым или двусторонним) идеалом, если он
не содержится в другом идеале того же самого типа. Если R —
кольцо с единицей е, то каждый его правый идеал /0 содержится
в максимальном правом идеале. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рассмотрим семейство % всех правых идеалов кольца R, содержащих /0 и
не содержащих е. Будем считать, что множество % упорядочено отно-
отношением включения с:. Если ^ — некоторое линейно упорядочен-
упорядоченное подсемейство из Ш, то, как легко видеть, (J .^ есть правый идеал
кольца R, не содержащий е. В силу леммы Цорна B.7) в % сущест-
существует максимальный элемент, который и будет, очевидно, его мак-
максимальным правым идеалом, содержащим /0.
Если / — двусторонний идеал кольца R, то, по определению,
х+1={х-\-у | у б /}. Если определить операции:
то множества *+/, x?R, образуют кольцо, называемое фактор-
кольцом кольца R по идеалу / и обозначаемое через R/I. В качестве
легкого упражнения, читателю предлагается доказать, что для
того, чтобы выписанные выше равенства однозначно определяли
операции в R/I, необходимо и достаточно, чтобы / было двусторон-
двусторонним идеалом. Отображение h кольца /?х в другое кольцо R2 назы-
называется гомоморфизмом, если
h(xy) = h(x)h(y).
Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Ядро гомоморфизма — это совокупность элементов, отображающих-
отображающихся в нуль. Отображение х—>х+/ есть гомоморфизм R на R/I, назы-
называемое естественным гомоморфизмом. Читатель заметит, что ядром
этого естественного гомоморфизма является /. Отметим, что если
J — правый идеал, а / — двусторонний идеал, причем /су, то
образ J при естественном гомоморфизме h кольца R на R/I являет-
является (быть может, тривиальным) правым идеалом фактор-кольца RI1 >
обозначаемым через J/I. Обратно, если А есть правый идеал
в /?//, то J=h~l(A) будет, как легко видеть, правым идеалом в R,
причем I^_J и А = Л1. Далее, J/I в том и только в том случае будет
собственным идеалом, если IdJdR. Отсюда следует, что если
R — коммутативное кольцо с единицей и / — идеал в R, то

52 Гл. I. С. Предварительные сведения из алгебры
R/I будет полем в том и Только в том случае, если / есть максимальный
идеал. В самом деле, если / — максимальный идеал, то R/I — ком-
коммутативное кольцо с единицей, не имеющее собственных идеалов,
а в этом случае, как мы видели, R/I является полем. Обратно, если
R/I — поле, то оно не имеет идеалов и, следовательно, R не имеет
идеалов, содержащих / строго внутри себя.
Если R — кольцо с единицей е, то элемент х из R называется
(правым, левым) регулярным элементом, если в R для него имеется
(правый, левый) обратный элемент у, т. е. такой, что (ху=еу ух=е)
ху=ух=е. Если х — регулярный элемент, то его единственный
обратный элемент обозначается через х'1. Элемент, не являющийся
(правым, левым) регулярным, называется (правым, левым) сингу-
сингулярным.
Пусть Ф — поле, множество X называется алгеброй над Ф,
если X является одновременно и кольцом и векторным простран-
пространством над Ф, причем
а (ху) = (ах) у = х (ау), х, у g X, а ? Ф.
Правый (левый, двусторонний) идеал алгебры — это правый (левый,
двусторонний) идеал соответствующего кольца, замкнутый относи-
относительно умножения на скаляры. Если / — двусторонний идеал алгеб-
алгебры X, то фактор-кольцо XII является алгеброй (называемой фак-
фактор -алгеброй) относительно операций, определенных выше для
случаев кольца и линейного пространства. Отображение алгебры
X в другую алгебру над тем же полем называется гомоморфизмом,
если оно является одновременно и линейным преобразованием
и кольцевым гомоморфизмом. Взаимно однозначный гомоморфизм
называется изоморфизмом. Если Ф — поле комплексных чисел
и если в алгебре X задано однозначное отображение jc—>х* такое,
что
= х* + у*, (Хх)* = %х*, (х*)* = х
то X называется алгеброй с инволюцией, а элемент х* — сопряжен-
сопряженным к х.
Элемент х кольца называется идемпотентным, если х2 = ху
и нильпотентным, если хп=0 для некоторого целого положитель-
положительного п. Булевским кольцом называется кольцо, каждый элемент
которого идемпотентен. В каждом булевском кольце тождественно
лг+х^О, т. е. х=—х. Чтобы убедиться в этом, заметим, что Bх)=
BхJ=4х2=4ху так что 2х=х+х=0. Булевское кольцо коммутати-
коммутативно: в самом деле, х+ у = (х+ уJ = х +ху + ух + уу откуда ху=
= —ух, и, следовательно, ху=ух.
Наименьшее булевское кольцо с единицей состоит из классов
вычетов кольца целых чисел по модулю два, т. е. из двух чисел О
и 1. Это булевское кольцо, которое мы обозначим через Ф2, факти-
фактически является полем. Обратно, каждое булевское кольцо с едини-

12. Алгебры 53
цей, являющееся полем, изоморфно Ф2. Действительно, пусть 1
будет единицей кольца их — его регулярный элемент. Тогда
1 = хх'1 = х2х~г = х (хх'1) = х • 1 = х.
Каждое булевское кольцо может рассматриваться как коммутатив-
коммутативная алгебра над полем Ф2; заметим, что при этом множество в том
и только в том случае будет идеалом кольца, если оно является иде-
идеалом соответствующей алгебры. Если / — идеал булевского кольца
R, то R/I — булевское кольцо. Из предыдущих рассмотрений ясно,
что если М — максимальный идеал булевского кольца R с-едини-
с-единицей, то R/M изоморфно полю Ф2.
Важным примером булевского кольца с единицей может служить
кольцо подмножеств данного множества. Точнее, пусть дано множе-
множество 5; умножение и сложение произвольных подмножеств Е и F
множества S определим равенствами
Читатель может проверить, что совокупность всех подмножеств мно-
множества 5 образует булевское кольцо, в котором 5 служит единич-
единичным элементом, а пустое множество — нулем. (Определенное выше
множество E+F называется симметрической разностью множеств
Е и F\ в дальнейшем мы будем обозначать ее символом EAF.) Впо-
Впоследствии будут даны и другие примеры булевских колец; необхо-
необходимо отметить, однако, что каждое булевское кольцо с единицей
может быть представлено как булевское кольцо подмножеств неко-
некоторого множества. Этот важный результат принадлежит Стоуну.
Топологическое пространство называется вполне разрывным,
если базис его топологии состоит из множеств, одновременно зам-
замкнутых и открытых.
1. Теорема (Стоун). Каждое булевское кольцо с единицей изоморфна
булевскому кольцу всех одновременно открытых и замкнутых под-
подмножеств некоторого вполне разрывного бикомпактного хаусдорфова
пространства.
Доказательство. Если булевское кольцо В содержит только
один элемент, так что е=0, то теорема тривиальна. Мы предполо-
предположим поэтому, что е Ф 0. Обозначим через Н множество всех нену-
ненулевых гомоморфизмов В в булевское кольцо Ф2. Для каждого х ? В
положим Н (x) = {h\h?H, h(x) = 1}. В этом доказательстве мы
будем пользоваться обозначением х' = е + х, если х?В\ тогда
Н(х')=Н(х)\ где второй штрих означает дополнение множества
Н(х) в Н. Из равенств

*54^ Гл. I. С. Предварительные сведения из алгебры
вытекает, что отображение х—>Н(х) есть гомоморфизм булев-
булевского кольца В в совокупность подмножеств множества Н.
Докажем теперь следующее вспомогательное утверждение. Пусть
подмножество Вгс^В удовлетворяет условиям:
(a) если х, у б ^i, то ху ? В±;
(b) если л: 6 В1У то х Ф 0.
Тогда существует такой гомоморфизм h1\ В —>Ф2, что hx (x) = 1
при х?Вг. Для доказательства обозначим через ^совокупность
всех элементов вида ах\ где а 6 Б, x?Bv Чтобы убедиться в том,
-что /j —идеал, заметим, что
(ах' + Ьу')(ху)' = (ах* +Ьу')(е+ху) = (а
+ (ах' + 6{/') ху = (ах' + by')+(a + ax + b+by) ху =
= (ах' + %') + axt/ + axy + bxy + tor/ = а*7 + й#',
так что сумма двух элементов из 1г принадлежит Iv Так как ясно,
что /х инвариантно при умножении на элементы из В, то /х является
идеалом. Этот идеал — собственный, потому что если ах'=е, то
е ==
откуда следует, что jc = 0 вопреки условию (Ь). Так как В —кольцо
с единицей, то /х содержится в некотором максимальном идеале
Mv Обозначим через hx естественный гомоморфизм h1:B—^
—>В/М1 = Ф2. Теперь если x?Bv то х' == е + х? Il^LM1 и, следо-
следовательно,
откуда h (х) -=• h (ё) = 1. Это и доказывает наше вспомогательное
утверждение.
Мы видели, что отображение х —> Н (х) является гомоморфиз-
гомоморфизмом. Для того чтобы убедиться в том, что оно есть изоморфизм,
предположим, что х0 Ф уОу и докажем, что существует такое ho?H,
что h0 (х0) Ф h0 (уо). Если х0 Ф у0, то либо х0 Ф хоуо, либо у0 Ф хоуо'>
предположим, что справедливо первое. Пусть го = хо + хоуо = хоу'о,
так что гоФ0. Если B1={zo}, то, как мы видели в предыдущем
абзаце, существует такое /го?Я, что ho(zo) = l. Далее, zoyo = 0,
так что ho(yo) = ho(zo) ho(y0) -= ho(zcyo) = A0@) = 0, и 1 = Ao (г0) =
= Ao(xo+^o^/o)==/io(a:o). Этим доказано, что В изоморфно булев-
булевскому кольцу подмножеств множества Н.
Остается доказать, что Н может быть топологизировано таким
образом, что оно становится вполне разрывным бикомпактным
хаусдорфовым пространством, в котором множества Н(х)> х?В,
это те и только те подмножества из Я, которые являются одновре-
одновременно открытыми и замкнутыми. Как мы видели выше, Н (х)[)Н (у) =
= Н(ху) и Н=-Н(ё), так что по лемме 4.7 совокупность
{Н (х) | х б В) представляет собой базис некоторой топологии. Так

12. Алгебры 55-
как Н (х)' = Н(е+х), то каждое множество базиса одновременно
открыто и замкнуто, т. е. Я вполне разрывно. Чтобы доказать
бикомпактность Я в этой топологии, воспользуемся леммой 5.6.
Так как каждое замкнутое подмножество из Я является пересе-
пересечением множеств из {Я (х) \х? В}, то достаточно показать, что*
если Ах есть подмножество В такое, что для каждого конечного мно-
множества {xv . . ., хп} с A v Г) Я (хг) Ф 0, то П Н М Ф 0 • ПУСТЬ
1 ?А
Bx — множество всех конечных произведений элементов из Аг,
тогда Вх удовлетворяет, очевидно, введенным выше условиям (а)
и (Ь). Следовательно, существует такое hY 6 Я, что hx (х) = 1, х ?А19
и, значит, hx принадлежит каждому Н(х), х?Ах, т. е. простран-
пространство Я бикомпактно.
Наконец, пусть G — произвольное подмножество в Я, которое
в Я одновременно открыто и замкнуто; так как G открыто, то G =
= U Я(ха), а так как G бикомпактно, то из этого покрытия G
а
можно выделить конечное: G = Я (хг)[] . .. [jH(xn) = Я((х[ .. . х'п)г),
таким образом, каждое множество из Я, одновременно открытое
и замкнутое, имеет вид Я(х)для некоторого х^В.Это дополняет
доказательство теоремы, ч. т. д.
Имеет смысл привести и другую формулировку этой теоремы —
через отношение порядка и структурные свойства. Частично упоря-
упорядоченное множество L называется структурой, если для каждой
пары элементов из L имеется как верхняя грань B.3), так и нижняя
грань, обозначаемые соответственно через х V У и х /\ у. Структура
L имеет единицу, если существует такой элемент 1, что х<1, x?L,
и нуль, если имеется такой элемент 0, что 0<х, x?L. Структура L
называется дистрибутивной, если
xA(yVz) = (xAy)V(xAz), x,y,z?L,
и структурой с дополнениями, если для каждого x?L существует
такой элемент х ? L, что
Структура L называется полной, если в ней каждое подмножество,
ограниченное сверху, имеет верхнюю грань или, чтсг эквивалентно*
этому, каждое подмножество, ограниченное снизу, имеет нижнюк>
грань. Структура называется ^-полной, если это условие выпол-
выполняется для всех счетных подмножеств из L. Дистрибутивная
структура с дополнениями называется булевской алгеброй.
Пусть В — булевская алгебра, определим в ней умножение
и сложение, полагая
ху = х ЛУ, х+у = (х Л у') V (х' Л у).

56 Гл. I. С. Предварительные сведения из алгебры
Можно доказать, что относительно этих операций В есть булевское
кольцо, в котором 1 является единицей. С другой стороны, пусть
В будет булевское кольцо с единицей, обозначаемой 1, положим
д:<у, если х = ху и х' = 1+х, при этом В становится булевской
алгеброй и
х V у = х+у+ху, х Л у = ху.
Таким образом, понятия булевской алгебры и булевского кольца
с единицей эквивалентны.
Если В и С — булевские алгебры и h : В —> С, то h называется
гомоморфизмом, если
h(x Л y)^h(x) /\h(y), h(xV y) = h(x)V h(y), h(x') -= h (x)'.
Если отображение h взаимно однозначно, то оно называется изо-
изоморфизмом. Если h — изоморфизм и h(B) - С, то говорят, что В
изоморфна С или что В и С изоморфны. Из предыдущего ясно, что
если h — гомоморфизм булевской алгебры В и если В рассматри-
рассматривается как булевское кольцо с единицей, то h будет гомоморфизмом
и в смысле, определенном для колец. Обратное утверждение также
справедливо.
Примером булевской алгебры может служить кольцо Ф2= {О, 1};
другим примером является структура всех подмножеств данного
множества, где < есть теоретико-множественное включение, а Л
и V означают соответственно пересечение и объединение.
В этих терминах можно дать следующую формулировку теоремы
Стоуна: Каждая булевская алгебра изоморфна булевской алгебре всех
одновременно открытых и замкнутых подмножеств некоторого
вполне разрывного бикомпактного хаусдорфова пространства.
13. Определители
Пусть 3? — конечномерное пространство с базисбм хъ . . ., хп.
Рассмотрим линейное преобразование Т пространства ЭЕ в себя.
Коэффициенты (аЬ]) в формуле '
п
TXi = Г аих;, /= 1, .. ., /г,
вполне определяют линейный оператор Г и в совокупности обра-
образуют матрицу преобразования Т относительно базиса х1У ..., хп
или, если определенный базис подразумевается, просто матрицу
преобразования Т. Пусть ik — целое число, 1 < ik < /г, k ~ 1, 2, . .., /г;
положим hi _. i равным нулю, если ij — ik для некоторой пары
индексов / ф ky равным +1, если перестановка iv .. ., in переходит
в 1, .. ., п при помощи четного числа инверсий соседних индексов,
и равным — 1, если для этого требуется нечетное число таких инвер-

13. Определители 57
сий. Число, выражаемое суммой
п п
называется определителем матрицы (aik). Можно показать, что
если Т — линейный оператор, то определители матриц преобразо-
преобразования Т относительно любых двух базисов равны между собой,
так что мы можем и будем называть их общее значение определите-
определителем преобразования Т и обозначать через det (T). Определитель
обладает важным мультипликативным свойством: det (Т1-Т2) =
= det(T1) det (Г2). Линейное преобразование Т пространства 3?,
для которого существует взаимнооднозначное обратное преобразо-
преобразование, называется невырожденным. Одна из важных теорем теории
определителей гласит:
Для того чтобы линейное преобразование конечномерного
пространства было невырожденным, необходимо и достаточно,
чтобы его определитель был отличен от нуля.
Пусть (а1}) — квадратная матрица n-го порядка; алгебраиче-
алгебраическим дополнением элемента ai} называется произведение ( — 1)г+'
на определитель (я—1)-го порядка, получающийся из матрицы
(а^) вычеркиванием i-й строки и /-го столбца. Иными словами,
алгебраическое дополнение элемента аи получается, если заме-
заменить atj единицей, а все остальные элементы /-й строки и /-го
столбца нулями и вычислить полученный определитель. Если
обозначить алгебраическое дополнение элемента аи через Агр то
нетрудно убедиться, что имеет место следующее равенство:
[*] det(ao.)=2 Mij'-J aiAr
i=l ;=1
Первая сумма есть разложение определителя det (ahj) по элементам
/-го столбца, а вторая — по элементам i-й строки. Аналогично
если / Ф k, то
п п
0=2^ = 2^,
Правило Крамера состоит в том, что если Т — невырожденный
линейный оператор с матрицей (а..), то матрица (Ьи) преобразова-
преобразования Т'1 относительно того же самого базиса получается по формуле
Во втором томе нам понадобится теорема Лапласа о разложении
для определителя. Пусть (аь) — квадратная матрица я-го порядка;
р — целое число, 1 <р </г; il1 . .., ip и /\, . . ., /р —два множества
индексов, причем 1 < i1 < i2 < .. . < ip <, п и 1 < j\ < /2 < ...
• • • < ip < п. Обозначим через В (t\, . . ., in; /x, .. ., / J минор р-го
порядка, получающийся, если из (aLl) выбрать только элементы

38 Гл. I. С. Предварительные сведения из алгебры
iv ..., ?р-й строк и /ь . .., /р-го столбцов. Алгебраическим допол-
нением этого минора называется произведение (—I)*1 '" 1р 3± '" Jp
на определитель матрицы (я —р)-го порядка, получающейся вычер-
вычеркиванием из (аИ) il9 . ..,1р-й строк и (\ъ . ..,/р)-го столбцов.
Обозначим через C(ilr...,ip; jv ..., /р) это алгебраиче-
алгебраическое дополнение, тогда разложением определителя det(ai;.) по
iv . .., ip-n строкам называется следующая формула:
det(ai;.)= S . B(il9 ...9ip; Jl9 ...9j'p)x
iv ••.. jp
xC(/lf ..., iv\ jl9 ...,/p),
где суммирование распространяется на все сочетания р индексов
1 < /i < ... < /р < /2. Определитель det (ai;) точно также можно
разложить и по /1э ..., /р-му столбцам, суммируя по всем
сочетаниям из р индексов 1 < ix < ... < ip<n. При р=\ разло-
разложение Лапласа превращается в приведенное выше разложение [*]
по строке или столбцу.
14. Упражнения
1. Показать, что существует соответствие между ненулевыми
линейными функционалами /, определенными на векторном прост-
пространстве 3?, и подпространствами gjt такими, что фактор-пространств а
3?/$Ш одномерны. Это соответствие определяется следующим обра-
образом: $Ш = {x\f(x) = 0}. Как можно определить / через $Ш? Какой
класс функционалов / соответствует одному и тому же 9Л?
2. Провести подробно доказательство теоремы о существовании
базиса Гамеля в любом векторном пространстве. Доказать, что любые
два базиса имеют одинаковую мощность (случаи конечной и беско-
бесконечной размерностей рассмотреть отдельно. Для пространства бес-
бесконечной размерности воспользоваться теоремой Бернштейна о том,
что если А и В — произвольные множества, причем мощность мно-
множества А больше или равна мощности множества 5, а мощность В
больше или равна мощности Л, то эти два множества равномощны).
3. Пусть Ж — векторное пространство надполем Ф и Ф' —
подполе Ф; показать, что 3? можно рассматривать как векторное
пространство над полем Ф\ Каково соотношение между соответст-
соответствующими значениями размерности пространства 3??
4. Для того чтобы линейное пространство Ж было прямой сум-
суммой подпространств Я)?!, 1 = 1, •••»п» необходимо и достаточно,
чтобы в пространстве ЭЕ существовали такие проекционные опе-
операторы Ei9 что EiEj = О, 1Ф]\ 1 = Ег + Е2+...+Епи Е{Х = Ш1-
5. Обозначим через Т линейный оператор в комплексном линей-
линейном векторном пространстве, и пусть Р, Q, R — многочлены с ком-
комплексными коэффициентами, причем для всех комплексных чисел к

15. Библиографическая справка 59
имеет место равенство Р (X) Q(X)=R (А). Показать, что Р (Т) Q (Т) =
=R(T).
6. Семейство % проекционных операторов в линейном простран-
пространстве можно частично упорядочить, полагая А <В, еслиАВ=^ВА=А.
Показать, что (g, <) есть частично упорядоченное множество.
Для коммутирующих проекционных операторов А я В положим
А Л В=АВ и Л V В=А+В—АВ. Показать, что А Л В есть проек-
проекционный оператор, являющийся нижней гранью А и В, и что его
область значений является пересечением областей значений опе-
операторов А и В. Показать, что А V В есть проекционный оператор,
являющийся верхней гранью для А и В, причем его область
значений является линейным многообразием, натянутым на области
значений операторов А и В.
7. Пусть булевское кольцо Ф2={0, 1} топологизировано тем
условием, что все его подмножества являются открытыми. Для каж-
каждого х из булевского кольца В с единицей положим Ф2(х) =Ф2
и Р= \\ Ф2(х). Обозначим через Н семейство всех ненулевых
х t В
гомоморфизмов В в Ф2 и рассмотрим Н как подпространство Р.
Показать, что Р — вполне разрывное бикомпактное хаусдорфова
пространство и что Н— замкнутое подмножество Р.
15. Библиографическая справка
Так как рассмотрение многих вопросов, которых мы коснулись
в этой главе, было неполным, то мы укажем здесь некоторую лите-
литературу, в которой читатель при желании сможет найти необходимую
справку.
Теория множеств и логика, Александров [1*], Гёдель [1],
Камке [1], Розенблюм [1], Россер [1], Уайлдер Р. [1], Хаусдорф
[1, 2].
Топология, Александров [1*], Александров и Хопф [1, гл. I],
Бурбаки [5], Келли [5], Лефшец [1, гл. I], Понтрягин [1, гл. 2]\
Хаусдорф [1, 2].
Вещественное переменное, Грейвс Л. [2], Каратеодори [ljv
Натансон [1*], Хан [4], Хаусдорф [1,2].
Комплексное переменное, Альфорс [1], Бибербах [1], Кнопп [1],
Маркушевич [4*], Титчмарш [1].
Алгебра, Биркгоф и Мак-Лейн [1 ], Ван-дер-Варден [1 ], Джекоб-
сон [1], Курош [1*—3*], Халмош [7].
Теория структур и булевских алгебр. Биркгоф Г. [3], Стоун [1,9].
Определители. Биркгоф и Мак-Лейн [1, гл. IX], Веблен [1,
гл. I], Ф. Р. Гантмахер [1*], Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [1].
Дрезден [1, гл. I], Ковалевский [1].
Изложение теории множеств в параграфах 1, 2 находится на инту-
интуитивном уровне; читатель, интересующийся аксиоматическим под-

60 Гл. I. С. Предварительные сведения из алгебры
ходом, может обратиться к Гёделю [1]. Мы не упомянули явно
«аксиому выбора» Цермело (см. Цермело [1, 2]), как мы не упомянули
и многих других аксиом логики и теории множеств. Читатель заме-
заметит, однако, что мы использовали эту аксиому в доказательстве
хаусдорфова принципа максимальности (теорема 2.6), который
в дальнейшем чаще всего используется через лемму Цорна (теорема
2.7). Доказательство теоремы 2.5 восходит к Цермело [2] (второе
доказательство теоремы о полной упорядоченности). Эта работа
интересна также из-за той полемики, которая развернулась вокруг
ее аксиомы. Впервые принцип максимума, эквивалентный принципу
полной упорядоченности (как в теореме 2.6), встречается у Хаусдорфа
[1, стр. 140]. Цорн [1] дает теорему, по существу эквивалентную
теореме 2.7. Аналогичная теорема имеется у Р. Мура [1, стр. 84].
Доказательства эквивалентности теоремы о полной упорядоченности
и других теорем см. у Тейхмюллера [1] и Россера [1]. Келли [3]
доказал, что теорема о полной упорядоченности эквивалентна теореме
Тихонова о произведении пространств (теорема 8,5).
В заключение заметим, что несмотря на то, что Гёдель [2] дока-
доказал, что, если система логики адэкватна современной математике,
мы не можем быть уверены в отсутствие в ней противоречия, он
доказал также (Гёдель [1 ]), что если остальные аксиомы теории мно-
множеств совместны, то они остаются совместными и при добавлении
к ним аксиомы выбора1).
г) Отметим еще, что понятие предела по направленному множеству (пре-
(предел по спектру), которое легло в основу построения § 7, принадлежит
¦С. О. Шатуновскому [1*] и Э. Муру [2]. Ими же доказаны и многие свой-
свойства, связанные с этим понятием. —Прим. ред.

ГЛАВА II
Три основных принципа линейного
анализа
В теории линейных пространств, соответствующим образом топо-
логизированных, мы встречаемся с тремя весьма плодотворными
принципами, касающимися непрерывных линейных преобразований.
Эти принципы и их следствия неоднократно будут применяться
в последующих главах нашей книги. Они являются фундаментом
многих современных результатов в таких областях линейного ана-
анализа, как теория суммирования, проблема моментов, эргодическая
теория^ вопросы существования инвариантных мер и тёорияНинте-
грирования. Шрвыи7изГэтйх' принципов известен,,jcajK поиниип
равШШерТЮй ограниченности.'Он устанавливает, в частности, что
предел последовательности непрерывных линейных операторов
непрерывен. Второй называется принципом открытости отобра-
отображения', он утверждает, что непрерывное линейное отображение между
пространствами некоторых типов отображает открытые множества
на открытые. Третий — теорема Хана—Банаха* устанавливает
возможность продолжения линейного функционала. Из теоремы
Хана—Банаха вытекает несколько теорем существования, часто
используемых в последующих главах книги.
1. Принцип равномерной ограниченности
В дальнейшем все линейные векторные пространства будут
рассматриваться либо над полем вещественных чисел, либо над полем
комплексных чисел. Вещественное векторное пространство—это
пространство над полем Ф вещественных чисел; комплексное вектор-
векторное пространство—это пространство над полем Ф комплексных
чисел. Если предложение о векторном пространстве формулируется
без упоминания его поля коэффициентов, то это будет означать,
что оно справедливо и для вещественного, и для комплексного
случаев.
1. Определение. Группа G называется топологической группой,
если:
(I) G есть хаусдорфово пространство;

6? Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
(II) Отображение (ху у) —>ху~х произведения GxG в G непре-
непрерывно.
Линейное пространство ЭЕ называется линейным топологичес-
топологическим пространствому если по сложению оно является коммутатив-
коммутативной топологической группой, причем отображение (а, х) —>ах про-
произведения ФхЭЕ в ЭЕ непрерывно.
2. Лемма, (а) В топологической группе G каждая алгебраическая
комбинация любого числа переменных xv .. ., х,, рассматриваемая
как отображение Gx . . . XG в G, непрерывна.
(b) Л линейном топологическом пространстве ЭЕ всевозможные-
линейные комбинации любого числа скаляров av . . .у ат и векторов
х1У . . . , х^ являются непрерывными отображениями Фх. .. хФх
хХх . . .'хЭЕ в ЗЕ.
(c) Л линейном топологическом пространстве ЗЕ (группе G)
отображение (я) х—^ах(х—^х~1, х—>ах или х—>ха)у где а —
любой отличный от нуля скаляр, является гомеоморфным отобра-
отображением пространства ЗЕ (группы G) на себя.
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) легко доказать по индук-
индукции, используя основные определения. Утверждение (с) проста
выражает тот факт, что для отображения х—>ах(х-^х, х—>ах;
или х—>ха) существует обратное отображение х—>— х (х—»лГЧ
х—>а~хх или jc—>ха), ч. т. д.
3. Лемма. Замыкание линейного многообразия в линейном топо-
топологическом пространстве является линейным многообразием.
Доказательство. Обозначим через 3 замыкание линейного мно-
многообразия 3) в линейном топологическом пространстве ЗЕ; аи Р —
фиксированные скаляры. Рассмотрим отображение
произведения ЗЕ X ЗЕ в ЗЕ. Так как 3) — линейное многообразие, то
По лемме 2 ?¦ непрерывно, и, значит, ^(З) замкнуто. Следова-
Следовательно,
т. е. 3 есть линейное многообразие, ч. т. д.
4. Определение. Подпространство, порожденное множеством В
точек линейного пространства ЭЕ, будет обозначаться через sp(fi).

/. Принцип равномерной ограниченности 63
Если ЭЕ — линейное топологическое пространство, то замыкание
множества sp (В), обозначаемое через sp (Л), называется замкнутым
линейным многообразием, порождаемым множеством В, или натя-
натянутым на множество В, или замкнутой линейной оболочкой мно-
множества В. В силу леммы 3 sp (В) является линейным пространством.
Если sp (В) = ЭЕ, то множество В называется фундаментальным.
5. Лемма. Замкнутое линейное многообразие, порождаемое
счетным подмножеством точек линейного топологического простран-
пространства, сепарабельно.
Доказательство. Пусть Фо—счетное всюду плотное подмножество
скалярного поля Ф и В — счетное множество точек линейного топо-
топологического пространства. Тогда счетное множество векторов вида
ах +... + $у, гдеа, ..., р ?Ф0> ах, ...,#? Л, всюду плотно в sp (В),
ч. т. д.
6. Лемма. Гомоморфное отображение одной топологической группы
в другую, непрерывное в одной точке, непрерывно всюду.
Доказательство. Пусть гомоморфное отображение f :G—>H
непрерывно в точке х, и y?G. Если У —окрестность точки f(y),
то, по лемме 2 (с), Vf (у~гх) будет окрестностью точки f(x). Если
(/ — такая окрестность точки х, что f (U) с Vfiy^x), то Ux~xy будет
такой окрестностью точки у, что f{Ux~xy)=f(U)f(x~1y)^L
9! Vf (У1*) fix'1 у) = V. Следовательно, / непрерывна в каждой
точке, ч. т. д.
7. Определение. Множество В точек линейного топологического
пространства Ж называется ограниченным, если для любой окрест-
окрестности V нуля в пространстве 96 найдется такое вещественное поло-
положительное число е, что aBc^V при [а|<е.
8. Лемма. Бикомпактное подмножество линейного топологи-
топологического пространства ограничено.
Доказательство. Рассмотрим бикомпактное подмножество В
линейного топологического пространства ЭЕ, и пусть V — произ-
произвольная окрестность нуля в этом пространстве. Так как ах непре-
непрерывно по обоим переменным, то существует такое б > 0 и такая окре-
окрестность U нуля пространства 36, что р(/СУпри |Р|<6. В силу
оо
того что х/п—>0> ЖсЦ]пиу и так как В бикомпактно, то
1

Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
для некоторого /п. Положим е = б/m. Если |а|<е, то
п=1
т
\ап\ < 6 при п = 1, ...,/п и аВC[_\ouiUCZ V, ч. т. д.
п=1
9. Следствие. Сходящаяся последовательность точек линейного
топологического пространства ограничена.
Доказательство. Сходящаяся последовательность вместе с ее
предельной точкой бикомпактна, ч. т. д.
10. Определение. F-пространством (или пространством типа F)
называется линейное метрическое пространство ЭЕ, обладающее
следующими свойствами:
(I) Метрика q пространства 1 инвариантна, т. е.
Q(*> y) = Q{x-y, 0).
(II) Отображение (а, х)—> ах произведения ФхЖвЖ непрерывно
по а для каждого х и непрерывно по х для каждого а.
(III) Метрическое пространство Ж полно.
Символом |*| обозначается число §{х> 0), называемое нормой
элемента х. Ввиду свойства инвариантности, постулируемого в пунк-
пункте (I), легко видеть, что свойства: q (х, у) < q (x, z) + q (z, у), q (x, у) = 0
в том и только в том случае, если х = у, и q (лс, у) = q (у, х), соответ-
соответственно эквивалентны следующим свойствам нормы: |х + #|<
<|*!+|#И*|=0 в том и только в том случае, еслилг = 0, и
| — х | = | х |. Таким образом, /^-пространство можно также определить
как линейное пространство, на котором задана неотрицательная
функция |*|, обладающая тремя последними свойствами, и где для
метрической функции Q, определяемой равенством q(x, у) = \х — у\,
дополнительно выполняются условия (II) и (III).
В этом определении не предполагается, что операция умножения
на скаляр: (а, х)—>ах непрерывна на произведении ФхЖ. Следова-
Следовательно, сразу не ясно, является ли ^-пространство линейным топо-
топологическим пространством. Этот факт устанавливается теоремой 12.
Для ^-пространства нам тоже понадобится понятие ограниченного
множества. Оно определяется здесь точно так же, как и для случая
линейного топологического пространства (см. определение 7).
Следующая теорема, принцип равностепенной непрерывности,—
центральное место настоящего параграфа. Из-за той формы, которую
она принимает в случае Л-пространств (см. § 3), она известна в лите-
литературе как принцип равномерной ограниченности.
—* П. Теорема. Пусть для каждого элемента а множества А
Та является непрерывным линейным отображением F-пространства

1. Принцип равномерной ограниченности 65
Ж в F-пространство 3). Если для каждого х?Ж множество {Тах | а ? А }
ограничено, mo lim Тах = О равномерно относительно а?А.
Значение теоремы И состоит в том, что она дает возможность
переходить от двух утверждений, в каждом из которых один из
параметров а или х фиксирован, к одному такому, в котором оба
они переменны. В качестве применения этой теоремы рассмотрим
следующий пример. Обозначим через А множество скаляров, по
модулю меньших единицы. Соответствующим отображением Та
пусть будет х —>ах. В соответствии с определением 10A1), каждое
из этих отображений линейно и непрерывно. Кроме того, для каж-
каждого фиксированного х0 множество всех ахК) ограничено. Действи-
Действительно, если Р — достаточно малый по модулю скаляр и если |а | < 1,
то Ра тоже будет сколь угодно малым по модулю числом, и ограничен-
ограниченность ах0 вытекает из условия (II) определения 10. Согласно-тео-
Согласно-теореме 11, существует такое б (е) > 0, зависящее от е, что | ах | < е, если
|а|<1 и \х\ < б (е). Легко видеть, что отсюда вытекает непрерывность
отображения (а, х)—>ах. Мы получили следующий результат:
12. Теорема. Каждое F-пространство является линейным топо-
топологическим пространством.
Вернемся теперь к доказательству теоремы 11. Заметим, что она
является простым следствием следующей леммы, в которой речь
идет о функциях, не обязательно линейных, и которая может рас-
рассматриваться как усиление теоремы И. Теорема И достаточна для
целей настоящей главы, но в дальнейшем нам придется прибегать
и к этой, более общей лемме.
13. Лемма. Пусть для каждого элемента а множества А определено
непрерывное отображение Va F-пространства Ж в F-пространство
?). Предположим, что Va удовлетворяет следующим условиям:
(I) \Va{x + y)\<\Va(x)\ + \Va(y)\, *, У?Ж'
(II) |aVa(*)| = |Va(a*)|, абФ, а>0, х?1.
Тогда, если для каждого х?Ж множество {Vax\a?A} ограничено,
то lim Va(x) =0 равномерно относительно а?А.
л» 0
Доказательство. Для заданного е>0 и для каждого натурального
k рассмотрим множество
Так как отображение Va непрерывно, то каждое Xk замкнуто.
Кроме того, из нашего предположения об ограниченности вытекает,
оо
что |JXft = 3c. Следовательно, по теореме Бэра о категориях [1.6.9].
5 Заказ 1 324

66
Гл. //. Три основных принципа линейного анализа
некоторое Xk0 содержит сферу S(*o, ^). Это означает, что если \х\ <б,
то
1
Va(x0 + x)
Ввиду условий (I) и (II)
1
1
Таким образом, для любого а{
<е, если \х\ <
Так как, согласно 10A1), отображение х—>x/k0 является гомеомор-
фным отображением пространства ЭЕ на себя, то наше утверждение
доказано.
Теперь мы в состоянии доказать несколько основных результа-
результатов относительно .F-пространств.
14. Теорема. Для того чтобы линейное отображение одного
F-пространства в другое было непрерывным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы образ каждого ограниченного множества был ограничен.
Доказательство. Пусть Ж, ?) — ^-пространства, Т : Ж —> ?) —
линейное непрерывное отображение и множество В <~_ Ж ограничено.
Для каждой окрестности V нуля в пространстве 3) существует такая
окрестность U нуля в пространстве ЗЕ, что T(U)c^V. Если а —
достаточно малый скаляр, то aB^U и, следовательно, аТ(В) =
(V
Обратно, пусть Т отображает каждое ограниченное множество
в ограниченное. Ввиду леммы 6, для того чтобы доказать непрерыв-
непрерывность 7\ достаточно доказать его непрерывность при х=0. Предпо-
Предположим, что lim xh = 0, тогда 1 im | ^rt | = 0 и существует такая после-
довательнссть целых чисел kiy что lim ^ = оо и lim AJxJ^O.
Далее, \кгх%\ =\ хг-\-...-\-хг\<Цхг\, поэтому и lim 4^ = 0.
i->oo
Сходящаяся последовательность {k^} ограничена (9 и 12), а значит,
по предположению, последовательность {Tik^,}} = {кьТхь} тоже
ограничена. Следовательно,
— •71(*Л) = °» ч- т- А-
Первое из нижеследующих следствий вытекает из первой части
доказательства теоремы 14, второе — из второй его части.

/. Принцип равномерней ограниченности 67
15. Следствие. При каждом непрерывном линейном отображении
одного линейного топологического пространства в другое образы огра-
ограниченных множеств ограничены.
16. Следствие. Каждое линейное отображение одного F-прост-
F-пространства в другое, переводящее любую сходящуюся к нулю последова-
последовательность в ограниченное множество, непрерывно.
Две следующие теоремы о сходимости имеют важные применения
и в дальнейшем часто будут использоваться.
17. Теорема. Пусть {Тп} — последовательность непрерывных
линейных отображений F-пространства Ж в F-пространство 9),
причем Тх — lim Тпх существует для каждого х ? ЗЕ. Тогда lim Тпх = О
п-*оо эс->0
равномерно относительно п — 1,2,.. и Т есть непрерывное линейное
отображение Ж в 2).
Доказательство. Линейность Т непосредственно вытекает из
линейности операторов Тп. Для каждого х последовательность
{Тпх} сходится и, следовательно, ограничена (9 и 12). По теореме 11,
для каждого е > 0 существует такое б > 0, что
| х\ < б и /2=1, 2 Следовательно, | 7\*;|<е при \х
рывность Т вытекает из леммы 6, ч. т. д.
ТпХ| < 8 При
< б, и непре-
18. Теорема. Пусть Та:%—>2) — обобщенная последователь-
последовательность непрерывных линейных отображений F-пространства Ж в
F-пространство 9). Если\\тТах существует для каждого х из
а
некоторого фундаментального множества и если для каждого х?И
множество [Тах] ограничено, то предел Тх=\\тТах существует
а
для каждого х?дс и является непрерывным линейным отображением.
Доказательство. Так как отображение Талинейно и Тах сходится
для каждого х из некоторого фундаментального множества, то
Тах сходится также и для всех х из некоторого всюду плотного мно-
множества D. По теореме 11, для каждого е > 0 существует такое б > О,
что для всех а и | z \ < б выполняется неравенство | Taz \ < е. Далее,
для произвольного х? И существует таксе y?Dt что \х — у) < б,
и такое а (е), что | Тау — Т$у \ < е при а, р > а (е). Следовательно,
если а, р>а(е), то
Так как пространство 9)полно, то, по лемме 1.7.5, lim Taxсуществует
а
для каждого х б Ж. Ясно, что отображение Т линейно. Из теоремы 11
5*

68 Гл. //. Три основных принципа линейного анализа
и леммы 1.7.6 вытекает, что
lim Тх = lim lim Tax = lim lim Tax = 0.
х-+0 х-+0 а ос х-+0
По лемме 6, отображение Т непрерывно, ч. т. д.
2. Принцип открытости отображения
Этот принцип состоит в следующем:
1. Теорема. При непрерывном линейном отображении одного
F-пространства на любое другое образ каждого открытого множес-
множества является открытым множеством.
Доказательство. Рассмотрим ^-пространства 1и Ци линейное
непрерывное отображение Г: Ж—> 3), при котором Т? = У). Мы
докажем, прежде всего, что замыкание 1G образа произволь-
произвольной окрестности G нуля пространства 3) содержит некоторую
окрестность нуля пространства 3). Так как а—b является непрерыв-
непрерывной функцией а и Ь, то существует такая окрестность М нуля,
что AJ-MC G. Для каждого* ? ЭЕ, х/п—> 0, и, следовательно,х 6 пМ
при достаточно больших п. Таким образом,
и, по теореме Бэра о категориях A.6.9), одно из множеств пТМ
содержит непустое открытое множество. Так как отображение у —>пу
является гомеоморфным отображением пространства "?) на себя,
той ТМ содержит некоторое непустое открытое множество V. Таким
образом,
TG^TM- ТМ -JTM- Ш з V- V.
Множество а — V открыто, так как отображение вида у—>а—у являет-
является гомеоморфизмом. Множество V—V=[_j (a— V), будучи суммой
a?V
открытых множеств, само открыто; оно содержит 0 и, следовательно,
является окрестностью нуля. Таким образом, замыкание образа
окрестности нуля содержит некоторую окрестность нуля.
Для каждого е > 0 обозначим через Хе и Уе сферы в простран-
пространствах I и f), соответственно, с центрами в нулевых точках и ради-
радиусами е. Возьмем произвольное е0 > 0, и пусть ei > 0, причем
ОО
^ 8: < е0. Тогда, как мы видели в предыдущем абзаце, существует
t=i
такая последовательность {%, t=0, 1,...}, что г]->0, у\г—>0, и
(а) ГХе.ГЗ^у, < = 0, 1,.. .

2. Принцип открытости отображения 69
Пусть yf Упо- Мы покажем, что существует такое х?Х2е0,
Тх=у. Из (а) при 1 = 0 вытекает, что существует такое хо?Хео,
что \у—Тхо\<г\1. Так как у — Txq^Y^, to из условия (а) при
I = 1 вытекает существование такого хг ? A'8l, что | у — Тхо — Тх1 |<т]2.
Продолжая это рассуждение, можно определить такую последо-
последовательность {хп}, что xih 6 Хе и
(Ь) |у1
г=0
Положим гте = л:0 + . . . + хт, тогда при /п > п | zm — z/t | | п1
• • • + xm I < 8n+i + • • • + 8т- Следовательно, {гд} есть фундаменталь-
фундаментальная последовательность и ряд xo~rX1Jr .. . сходится к некоторой
точке л:, для которой
| х | = lim|zn|< \\т(го + г{+ . . . + еЛ) < 2г0.
п->со ?г-^со
Так как Т непрерывно, то из (Ь) вытекает, что у=Тх. Этим доказано,
что произвольная сфера Х2г0 с центром в начале координат простран-
пространства ЗЁ отображается на множество ТХ2ео, содержащее некоторую
сферу Уг]0 с центром в начале координат пространства ?). Следова-
Следовательно, при отображении Т образ окрестности нуля пространст-
пространства Ж содержит некоторую окрестность нуля пространства 3).
Пусть теперь G^ ¦? — непустое открытое множество, x?G и N —
такая окрестность нуля в пространстве Ж, что x-\-NczG. Обозначим
через М такую окрестность нуля в пространстве 3), что TN ~jM,
тогда
откуда следует, что TG содержит некоторую окрестность каждой из
своих точек, ч. т. д.
2. Теорема. Если Т — непрерывное линейное взаимно однозначное
отображение одного F-пространства на другое, то обратное ото-
отображение тоже линейно и непрерывно.
Доказательство. Рассмотрим ^-пространства I и f) и непрерыв-
непрерывное линейное взаимно однозначное отображение Т такое, что ТЖ=У).
Так как отображение (Т'1)'1 = Т переводит открытые множества
в открытые (теорема 1), то оператор Т'1 непрерывен A.4.15). Пусть
Ун Уз 6$, xv x2i 3?, Txx = yv Tx2=y2 и а?Ф. Тогда
Т (Xj + х2) - Тхх + Тх2 = ух + у2, Тах1 = аТх1 =
так что
Т'1 (у, + у2) = хг+ х2 = Т'1уг 4- Гhj2 '
и 71 (аг/,) = ахг —aT~lyv Из этих равенств видно, что преобразова-
преобразование Т'1 линейно, ч. т. д.

70 Гл. //. Три основных поинципа линейного анализа
3. Определение. Обозначим через Т линейное преобразование,
определенное на линейном многообразии © (Г) ^-пространства Ж,
область значений которого лежит в /^пространстве 5). Графиком
преобразования Т называется множество всех точек топологиче-
топологического произведения X X 9), имеющих вид [х> Тх], где х 6 2) (Г). Опе-
Оператор Т называется замкнутым, если его график замкнут в топо-
топологическом произведении Ж х 9). Это определение эквивалентно сле-
следующему: оператор Т замкнут, если из хп ? 2) (Г), хп —> х, Тхп—>у
вытекает, что х?®(Г) и Тх = у.
—» 4. Теорема (о замкнутом графике). Замкнутое линейное пре-
преобразование одного F-пространства на другое непрерывно.
Доказательство. Заметим прежде всего, что топологическое про-
произведение Sx?) двух F-пространств является /^-пространством,
в котором расстояние между двумя точками [ху у] и [х\ у'], по опре-
определению, равно \х — х'\-\-\y— у'\. График $ преобразования Т
является замкнутым линейным многообразием в этом топологиче-
топологическом произведении, а значит, это — полное метрическое пространст-
пространство A.6.7). Следовательно, $ есть /^-пространство. Отображение
рг% : [х, Тх]—^х, графика © на Ж взаимно однозначно линейно и
непрерывно A.8.3). Следовательно, по теореме 2, обратное отобра-
отображение рг% также непрерывно, а это значит, что непрерывно и отобра-
отображение Т = ргщ\рг~? A.4.17), ч. т. д.
5. Теорема. Если линейное пространство является F-простран-
ством относительно каждой из двух метрик и если одна из соответ-
соответствующих топологий содержит другую, то эти топологии тождест-
тождественны.
Доказательство. Пусть xv т2 — метрические топологии линей-
линейного пространства Ж, относительно которых пространства дсг —
= (Ж, т,) и Э?2 = (Ж, т2) являются /^-пространствами. Если т^сгт^
то взаимно однозначное линейное отображение х—>х пространст-
пространства Ж2 на Ж1 непрерывно. По теореме 2, оно является гомеоморфизмом,
и, следовательно, тх = т2, ч. т. д.
6. Определение. Семейство F функций, отображающих одно
векторное пространство Ж в другое векторное пространство *?), назы-
называется тотальным, если единственным вектором пространства ЭЕ?
для которого / (х) = 0 при всех / б F, является вектор х — 0.
7.Теорема. Пусть Ж, ?) и Щ — F-пространства и F-тоталь-
ное семейство непрерывных линейных отображений пространства Ж в
3). Тогда линейное отображение Т пространства Щ в Ж такое, что
\Т непрерывно для каждого f 6 Fy само непрерывно

3. Теорема Хана—Банаха 71
Доказательство. Мы покажем, что Т замкнуто, и применим тео-
теорему 4. Пусть lim wn = w и \im Twn = x. Тогда l\mf(TwJ=f(x)
п-+х> п-+jo n-юо
для каждого / ? F, так как каждое f?F непрерывно. С другой стороны,
limf(TwJ = f(Tw), так как каждая из функций /Г непрерывна.
п->оо
Следовательно,
f(Tw) = f(x) при /6Л
и так как семейство F тотально, то Tw = x. Отсюда следует, что
Т замкнуто, и из теоремы 4 вытекает желаемый результат, ч. т. д.
3. Теорема Хана —Банаха
В начале IV гл. приводится несколько важных примеров F-npo-
странств. Этот перечень содержит пространство непрерывных
функций, функций с ограниченной вариацией, почти периодических
функций, интегрируемых функций и т. д. Большинство из этих про-
пространств обладает следующим свойством, которое может и не иметь
места в произвольном ^-пространстве, а именно в них для каждого
скаляра а и каждого вектора х имеет место тождество | ах \ = \ а |1 х |.
Основной целью настоящего параграфа является изучение тех след-
следствий, которые можно получить из этого тождества.
1. Определение. Линейное пространство X называется линей-
линейным нормированным пространством или просто нормированным
пространством} если каждому х^И соответствует вещественное чис-
число \х\, называемое нормой х и обладающее следующими свойствами:
(I) 10 | = 0;
(II)
(III)
Нулевой элемент называется началом координат пространства 36;
замкнутой единичной сферой называется множество {x|jc|<;1}.
Из свойств (I) — (III) вытекает, что функция q, определяемая
равенством q(x, y) = \x — y\, является инвариантной метрикой про-
пространства Ж. Метрическая топология линейного нормированного
пространства иногда называется его сильной топологией.
2. Определение. Полное линейное нормированное пространство,
или пространство типа В, или В-пространство, или банахово прост-
пространство, есть линейное нормированное пространство, полное в силь-
сильной топологии.
Следующее определение, очевидно, эквивалентно определению 2:
В-пространство есть F-пространство, в котором выполняется
тождество I ах I = Iа I \х I.

72 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
. 3. Лемма. Множество В в линейном нормированном пространстве
ограничено в том и только в том случае, если sup | х | < оо.
х?В
Доказательство. Произвольная окрестность нуля V содержит
некоторую т)-окрестность нуля 5п = {л- \\х\ <т|}- Если a^sup\x\
х? В
конечно и е = г]'2а, то аВ ^ V при |а |< е, откуда вытекает, что В
ограничено (ср. 1.7). Обратно, если В ограничено, то существует
такое е > 0, что аВ содержится в единичной сфере Sl = {х \ \ х\ < 1}
для всех | а | <; 8. Таким образом, если х ? 5, то 8 | х | = | гх | < 1 и,
следовательно, \х\ < 1/е, ч. т. д.
->4. Лемма. Если Т — линейное отображение одного линейного
нормированного пространства на другое, то следующие четыре усло-
условия:
(I) Г непрерывно',
(II) Т непрерывно в некоторой точке;
(III) sup | Тх\ конечно;
(IV) для некоторого скаляра М и при всех х \Тх\^.М\х\
эквивалентны.
Доказательство. Эквивалентность условий (I) и (II) была дока-
доказана в лемме 1.6 Если Т непрерывно в нуле, то существует такое
8 > 0, что | Тх | < 1 при | х | < 8. Для произвольного х Ф 0 вектор
гх , -
у =2i—| имеет норму \у\ < 8, следовательно,
Этим доказано, что из (I) вытекает (IV). Из условия (IV) следует,
очевидно, непрерывность Т в нуле; следовательно из (IV) вытекает
(II). Мы показали, что условия (I), (II) и (IV) эквивалентны. Если
М = sup | Тх | конечно, то для произвольного х Ф 0.
111
\Тх\ = \
Т
V 1*1 J
<М\х\.
Это означает, что из (III) вытекает (IV). Ясно, что из (IV) вытекает
(Ш), ч. т. д.
5. Определение. Нормой \ Т \ линейного отображения Т одного
линейного нормированного пространства в другое называется
sup \Тх\. Отображение Т называется ограниченным, если | Т | < со.
\х\<:\
Согласно лемме 4, линейное отображение одного линейного нор-
нормированного пространства в другое непрерывно в том и только в том
случае, когда оно ограничено. Этим обстоятельством нам часто при-
придется пользоваться, причем термины «ограниченный» и «непрерыв-
«непрерывный» в применении к линейным операторам будут использоваться

3. Теопема Хана—Банаха 73
как эквивалентные и без ссылок на лемму 4. Другим часто исполь-
используемым следствием определения 5 является неравенство | А В |<;| А \ В |,
которому удовлетворяют нормы двух линейных преобразований
нормированных пространств, если, конечно, область определения
преобразования А содержит область значений преобразования В.
_»6. Теорема. Пусть Ж и ?) — В-пространства, а {Тп} — пос-
последовательность ограниченных линейных отображений I б^. Для
того чтобы при любом х? Ж существовал предел Тх=\\т Тпх, необ-
П-уоо
ходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
(I) Предел Тх существует для каждого х из некоторого фундамен-
фундаментального множества.
(II) Для каждого x?di supn | Тпх | < оо. Если предел Тх существу-
существует для всех х?Ж, то оператор Т ограничен и
|r|<Hm|rj<sup|rn|<co.
Доказательство. Если Тх существует для каждого х, то условие
(II) вытекает из леммы 3, так как сходящаяся последовательность
ограничена A.9). Обратно, если выполняются условия (I) и
(II), то ввиду леммы 3 выполняются условия теоремы 1.18. Согласно
этой теореме, Тх существует для каждого х, и Т непрерывно. По
лемме 4, Т ограничено. Далее, если Тх существует, то
] Гх) = lim| Тпх | < limj Tn\\x\
и, следовательно,
|Л<Пт|Г.
п \
Наконец, чтобы доказать, что sup \Тп\ < оо, если Т всюду определено,
п
воспользуемся теоремой 1.11. Согласно этой теореме, существует
такое б > 0, что для всех /г=1, 2,... , | ТЛх\ < 1, если \х\ < б. Сле-
Следовательно, | Тп\ < 1/6 при /1=1,2,... , ч. т. д.
7. Определение. Пусть Ж и 2) — линейные топологические
пространства. Линейное пространство всех линейных непрерывных
отображений Ж в ?) будем обозначать символом В (X, Щ. Через
ВA) будем обозначать В (Ж, Эс), а через X* — В (Ж, Ф). Линейное
пространство Ж* называется сопряженным к Ж. Таким образом,
элементами пространства Ж* являются непрерывные линейные функ-
функционалы, определенные на Ж.
8. Лемма. Если Ж и 3) — линейные нормированные пространства,
причем 2) полно, то линейное пространство В (Ж, ^)) с нормой,
вводимой определением 5, является В-пространством.

74 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
Доказательство. Ясно, что | Т\ = 0 в том и только в том случае,
если Т = 0, и что |аГ| = |а||Г|. Из неравенства
\(T + U)x\<C\Tx\ + \Ux\*?(\T\+ \U\)\x\
вытекает, что
Чтобы доказать полноту В (Ж, ?)), предположим, что \Тп—Тт\< с
при я, /72>/г(е). Тогда Тх = \\п\Тпх существует для каждого х и
Так как левая часть этого неравенства не зависит от т, то, полагая
т—>оо, получаем, что IT—T^J^e при я>я(е). Отсюда следует,
что |7| < оо и что \Т— Тп\—>0, ч. т. д.
Так как поле Ф является fi-пространством, то отсюда вытекает
такое следствие.
9. Следствие. Пространство, сопряженное к линейному норми-
нормированному пространству, является В-пространством.
Этим следствием подсказывается следующий вопрос: а имеются
ли вообще в пространстве Э?*, сопряженном к 5-пространству
Ж, какие-нибудь функционалы, отличные от нуля? На этот
вопрос будет получен утвердительный ответ; более того, в Э?*
имеется даже достаточное количество функционалов для того, чтобы
различать между собой точки пространства Ж. В случае произволь-
произвольных /'-пространств это не всегда так; однако существуют классы
линейных топологических пространств, не являющихся ^-простран-
^-пространствами, но все же обладающих этим свойством. Такие пространства
рассматриваются в гл. V. Следующая теорема является весьма
важной при исследовании вопроса о существовании непрерывных
линейных функционалов.
10. Теорема (Хт-^^Банах). Пусть вещественная функция р,
заданнаяТшвещственномлинейном пространстве Ж, удовлетворяет
условиям',
; а>0, х, t/бЖ;
и пусть f — вещественный линейный функционал, определенный
на подпространстве 3)С1Ж и такой, что
f(x)<p(x),
ственный ли
кой, что
= f(x), *€?); F(x)<p(x),
Тогда существует вещественный линейный функционал F, опреде-
определенный на всем Ж и такой, что

3. Теорема Хана — Банаха 75
Доказательство. Рассмотрим семейство всех вещественных линей-
линейных продолжений g функционала /, для которых при всех х из облас-
области определения g выполняется неравенство g(x)<cp{x). Отношение
ft>g, по определению означающее, что h есть продолжениеg, пре-
превращает это семейство в частично упорядоченное множество. По
лемме Цорна A.2.7), существует максимальное линейное продол-
продолжение g функционала /, удовлетворяющее неравенству g(x)<p(x)
при всех х из области определенияg. Остается показать, что область
определения ?H функционала g совпадает с 36.
Для доказательства от противного предположим, что в 36 суще-
существует вектор r/j, не принадлежащий ^H. Каждый вектор из много-
многообразия 3)^ натянутого на 3H и у19 имеет единственное представле-
представление вида у Н-ш/j, у ? 5H- Для каждой константы с функция gv опре-
определяемая на fj1 равенством gx (i/+ai/1)=g(y) +ac, является собствен-
собственным продолжением g. Желаемое противоречие будет получено и
доказательство завершено, если мы покажем, что с можно выбрать
таким образом, что g^(x) 4,р(х) для всех xk^i- Пусть х, у — про-
произвольные точки из Do; тогда из неравенства
вытекает, что
Так как левая часть этого неравенства не зависит от у, а правая
не зависит от х, то существует такая константа с, для которой
(I) c<p(j/+i/1)-ga/), уб?}0;
(II) -р{-ух -y)-g(y)<c, yt%.
Для элемента х = y-\-ayl^<^)l неравенство
= р(х)
при а=0 справедливо по предположению, при a > 0 получается
заменой в неравенстве (I) у на у/а, а при a < 0 —заменой у нау/а
в неравенстве (II), ч. т. д.
П. Теорема. Пусть У) — подпространство линейного норми-
нормированного пространства Ж. Тогда каждому у* ? ?)* соответствует
такое х* 6 X*, что \ х* \ = | у* | и х*у = у*у, у 6 3).
Доказательство. Если X —вещественное пространство, то дока-
доказываемое утверждение непосредственно вытекает из теоремы 10,
если положить р(х) = \у*\\х\ uf = y* (ср. с леммой 4 и определе-
определением 5). Рассмотрим теперь нормированное пространство Ж над
полем комплексных чисел. Для каждого у?У) обозначим через
/i iy) и /г {У) вещественные числа, определяемые равенством

76 Гл. П. Таи основных принципа линейного анализа
Тогда для вещественных чисел а и р и х, у ? 9)
\!Лу)\<\у*у\<\у*\\у\-
Рассматривая Ж как вещественное линейное пространство и приме-
применяя теорему 10, мы получим вещественную линейную функцию
Fv определенную на 36 и такую, что
i^il<l</*l; FAy) = h(y)> у?Ъ-
Функцию х* на комплексном линейном пространстве 36 определим
равенством
х*х = Fx (х) — iFx (ix).
Сначала докажем линейность я*. Ясно, что х* аддитивно и что
х* (ах) = ах*х для вещественного а. Далее, имеем х* (ix) = Fx (ix) —
- iFl ( — x) = ix*x, т. е. функционал x* линеен. Теперь мы покажем,
что х* служит продолжением у*. Если у б 2), то
fi (iy) + if2 (iy) = У* (iy) - iy*y = ^7i (У) ~ h (у),
откуда вытекает, что /2 (у) = —fi(iy) и, следовательно,
Таким образом, х* является продолжением у*. Наконец, пусть
x*x = r?i0, где г > 0 и G вещественно; тогда
-1'^ | = | у* | |х |,
откуда вытекает, что U*|<|z/*|. С другой стороны, так как х*
является продолжением #*, то |x*|>|i/*|. Следовательно, |х*| —
= \у*\, ч. т. д.
12. Лемма. Пусть У) —подпространство линейного нормиро-
нормированного пространства 36 и х^Ж, причем
inf |r/ —x| = d>0.
Тогда существует такая точка х* 6 3?*, что
Доказательство. Так как x(f?), то каждая точка z из линейного
многообразия 3, натянутого на 3) и х, однозначно представляется
в виде z = у + ах, а б Ф, у ? 3). Для такого г положим г* г = а. Ясно,
что функция г* линейна на $. Для а Ф О
I z I = I г/ + а^ I = I а i- + * >|a|d

3. Теорема Хана — Банаха
и, следовательно, | z*z | < -j | z|, | z* |< -^ . Пусть
и \х"-~Уп\~->Л. Тогда
и l/d<|z*|. Таким образом, |z*| = l/d. Остается, применив тео-
теорему И, получить искомое продолжение jc* функционала z*, ч. т. д.
->13. Следствие. Пусть х— вектор, не принадлежащий замкну-
замкнутому подпространству 5) линейного нормированного пространства Ж.
Тогда существует такой функционал я* ? Ж*, </то
х*х = 1, х*г/ - 0, у б 3).
14. Следствие. Для каждой точки хфО линейного нормирован-
нормированного пространства Ж существует такое я* ? Ж*, что | jc* | = 1
Доказательство. Применим лемму 12 при ?) = 0. Тогда функ-
функционал #*, существование которого мы хотим установить, может
быть определен как произведение функционала х*, существование
которого устанавливается леммой 12, на \х\, ч. т. д.
Следствие 14 показывает, что в пространстве Ж*, сопряженном
к нормированному пространству Ж, существует достаточное коли-
количество функционалов для того, чтобы различать между собой точки
пространства Ж. Из следствия 14 непосредственно вытекает следую-
следующий результат:
15. Следствие. Для каждой точки х линейного нормированного
пространства Ж
|х|= sup |я*х|,
где S*—замкнутая единичная сфера в пространстве Ж*, сопря-
сопряженном к Ж.
Если х*х = х*у для всех л:* ? Ж*, то х = у.
16. Лемма. Если пространство Ж*, сопряженное к линейному
нормированному пространству Ж, сепарабельно, то сепарабельно
также и Ж.
Доказательство. Пусть {хп} — счетное множество, всюду плот-
плотное в пространстве Ж*, и точка хп 6 Ж такова, что | хп |< 1 и | ХпХп | >
>у|^|. Множество L конечных линейных комбинаций элемен-
элементов хп с рациональными коэффициентами счетно. Если оно не плотно

78 Гл. //. Три основных принципа линейного анализа
в Ж, то по лемме 12 существует х* Ф О такое, что x^L — О. Пусть
Хпг—>х*. Из неравенства
вытекает, что лг?. —> 0, х* = 0. Это противоречие и доказывает лемму.
Существует важная интерпретация следствия 15. Для каждого
х из линейного нормированного пространства Ж скаляр х*х линейно
и непрерывно зависит от х* и определяет, следовательно, непрерыв-
непрерывный линейный функционал на Ж*, т. е. каждое х?? определяет
единственную точку х в (Ж*)*, такую, что хх* =х*л:, х? Ж. По опре-
определению, | х | = sup | х** | и, ввиду следствия 15, | х \ = | х |. Этим под-
сказывается следующее определение:
17. Определение. Изоморфизм двух линейных нормированных
пространств Ж и 3) есть взаимно однозначное непрерывное линей-
линейное отображение Т : Ж —^ 3), при котором ГЖ = ?). Если такой изо-
изоморфизм существует, то пространства ЭЕ и Ц называются азо-
морфными. Изометрический изоморфизм двух линейных нормиро-
нормированных пространств Ж и ?) —это такой изоморфизм Т между Ж
и ?), при котором |Тд:| = |л:|. Если такое Т существует, то про-
пространства Ж и 3) называются изометрически изоморфными.
18. Определение. Пусть Ж —линейное нормированное простран-
пространство и Ж**— пространство, сопряженное к В-пространству Ж*.
Отображение к:х—>х пространства Ж в Ж**, определяемое равен-
равенством хх* =х*х для х* б Ж*, называется естественным вложением Ж
в Ж**. Область значений отображения к будет обозначаться через Ж.
Таким образом, ввиду замечаний, предшествующих определению
17, из следствия 15 вытекает следующая теорема:
19. Теорема. Естественное вложение линейного нормированного
пространства Ж в Ж** является изометрическим изоморфизмом
между Ж и Ж.
Ввиду свойства естественного вложения, устанавливаемого тео-
теоремой 19, отображение к иногда называется естественным изомет-
изометрическим изоморфизмом Ж в Ж**.
20. Теорема. Пусть ха, а ? А —подмножество элементов линей-
линейного нормированного пространства Ж. Если
sup|x*xa| < оо, %*6Ж*,
то и
SUp | ЛГа J < ОО,

3. Теорема Хана — Банаха 79
Доказательство. Функции ха, а?А удовлетворяют условиям
теоремы 1.11, применяемой к сопряженному пространству Ж*.
По теореме 1.11, существует такое б >0, что \хах* |< 1, если |х* |<б.
Следовательно, |ха| ^~г> а?А и, по теореме 19, |ха| <С-т-, а? Л,
ч. т. д.
21. Следствие. Если Ж и 2) — В -пространства и Та, а?Л,—
ограниченные линейные отображения Ж в У), то следующие три усло-
условия:
(I) sup| Гсс| < ex.;
(II) sup | Тах\ < оо для всех х?Ж;
(III) sup\y*Tax\<co для всех х?Ж, #*€$*
эквивалентны.
Доказательство. По теореме 20, из (III) вытекает (II). Предполо-
Предположим теперь, что справедливо (II). По лемме 3, для каждого х мно-
множество {Тах\а?А} ограничено, и, по теореме 1.11, существует
такое б > 0, что \ТаХ\<1 при |х|<6. Следовательно, I^K
<-у, абЛ, ч. т. д.
22. Определение. Б-пространство Ж называется рефлексивным,
если естественное вложение к (см. определение 18) отображает Ж
на все Ж**.
23. Теорема. Замкнутое линейное многообразие рефлексивного
В-пространства рефлексивно.
Доказательство. Пусть 2) —замкнутое линейное многообразие
в рефлексивном пространстве ЗЕ. Рассмотрим отображение
I: х* —¦* #*, определяемое равенством I (х*) у = х*#, у б ?). Ясно,
что | ? (л:*) | <; | х* | и что ? : ЗЕ* —> S)*. Преобразование г): у** —> х**
определим равенством г) (у**) х* = у** (?(х*)), х* б Ж*. Ясно, что
|ri(f/**)x*|<|(/**||g(x*)|<|y**||x*| и что г]: 2)**->?**. Пусть
х : х —>л: — естественный изометрический изоморфизм 3? в 9?**. Так
как ЗЕ рефлексивно, то каждое х** = л: для некоторого х G 3?. Мы пока-
покажем, что к~гц ($**)?!?). Если х^х^г] (у**) $<?), то ввиду след-
следствия 13 существует такое х*(-Э?*, что х*х Ф 0, х*3) = 0.:Так как
**$ = 0, то \ (х*) = 0. Таким образом,
0 = у**1 (х*) = л (У**) ^* = хх* = ^*^.
Это противоречие и доказывает, что уС\ (у**)^?). Пусть теперь
#о* 6 ?/* и<* = т| (г/**). Рассмотрим у* 6 ?)*, и пусть х* б ЭЕ* — любое

8? Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
продолжение у*. Тогда у* = ? (х*) и
так как xo = x-1г] (г/**) ? 9). Отсюда вытекает, что 3) рефлексивно,
ч. т. д.
24. Следствие. В-пространство рефлексивно в том и только в том
случае, если сопряженное к нему пространство рефлексивно.
Доказательство. Пусть Ж рефлексивно и к — естественный изо-
изометрический изоморфизм Ж на Ж**. Для произвольной точки
х*** 6 (Ж*)** =(?**)* функционал х*:=х***к принадлежит Ж* и
х**%* = хх* = х*х = х***хл; = х***х = X******, х** б 3?**,
откуда следует, что Ж* рефлексивно. Обратно, пусть Ж* рефлек-
рефлексивно. Тогда Ж** рефлексивно и, следовательно, по теореме 23,
замкнутое линейное многообразие Ж в Ж** рефлексивно. Отсюда
вытекает, что и Ж, изометрически эквивалентное Ж, рефлексивно,
ч. т. д.
25. Определение. Пусть Ж—линейное топологическое прост-
пространство. Обобщенная последовательность {ха} точек из Ж назы-
называется слабо сходящейся, если существует такое х б Ж, что х*х =
= Нтх*хадля каждого х*6Ж*. Точка х называется слабым пре-
а
делом этой обобщенной последовательности; обобщенная последо-
последовательность {ха} называется слабо сходящейся к х. Множество
Лс^Ж называется слабо компактным, если каждая последователь-
последовательность {хп} точек из А содержит подпоследовательность, слабо
сходящуюся к некоторой точке из Ж. Каждая последовательность
{xj такая, что {х*хп} для каждого х* б Ж* является фундаменталь-
фундаментальной последовательностью скаляров, называется слабо фундаменталь-
фундаментальной последовательностью. Пространство Ж называется слабо пол-
полным, если в нем каждая слабо фундаментальная последовательность
имеет слабый предел.
В гл. V в некоторые линейные пространства вводится тополо-
топология таким образом, что они становятся хаусдорфовыми пространст-
пространствами, в которых понятие сходимости обобщенных последователь-
последовательностей совпадает с понятием слабой сходимости в только что опре-
определенном смысле.
26. Лемма. В линейном нормированном пространстве слабо
сходящаяся обобщенная последовательность имеет единственный
предел.

3. Теорема Хана — Банаха 81
Доказательство. Если х и у — два слабых предела обобщенной
последовательности, то для каждого х* ? Ж* имеет место равенство
х*х = х*у их=^упо следствию 15, ч. т. д.
27. Лемма. Слабо сходящаяся последовательность {ха} точек
линейного нормированного пространства ограничена. Ее предел х
принадлежит замкнутому линейному многообразию, порождаемому
множеством {хп}у и \ х |< lim | хп |.
п-юо
Доказательство. Если в теореме 6 заменить Ж, 3), Тп на ЭЕ*,
Ф, хп, то мы получим, что |x|<lim|xj. Теорема 19 дает неравен-
ство |xj<lim \хп\, а теорема 20 — неравенство sup|xj.< oo.
^^ ' п
Наконец, из следствия 13 вытекает, что х принадлежит замкну-
замкнутому линейному многообразию, порождаемому множеством {ха}}
ч. т. д.
28. Теорема. Для того чтобы множество в рефлексивном про-
пространстве было слабо компактным, необходимо и достаточно,
чтобы оно было ограниченным.
Доказательство. Пусть {уп} —ограниченная последователь-
последовательность точек рефлексивного пространства ЭЕ,'| у ь | <;/(, п— 1, 2, ... .
Обозначим через ?) замкнутое линейное многообразие, порождаемое
множеством {уп}. Тогда 3) сепарабельно и, по теореме 23, реф-
рефлексивно. Следовательно, ?)**=D сепарабельно, и, го лемме 16,
3)* также сепарабельно. Пусть {уп} — счетное множество, плотное
в 2)*. Поскольку последовательность {у*ур} ограничена, она содержит
сходящуюся подпоследовательность {y*yPi J. Так как последова-
последовательность {ytyVl J также ограничена, то она содержит сходя-
сходящуюся подпоследовательность {#*#p2>i}. Продолжая это рассужде-
рассуждение по индукции, получим такую подпоследовательность {рп> г}
последовательности {pn_i, J, для которой последовательность
{УпР.ь, J сходится. Таким'образом, последовательность {xj, где
хг = Ур. -у обладает тем свойством, что предел limу?хг = lim^J
^' i—too х—>со
существует для каждого п^ 1, 2, ... . Так как множество {yt}
всюду плотно в 2)* и \хг | •< К, то, по теореме 6, существует такое
г/** ^ <3)**, что
lim y^xi = у**^/*, у* 6 ?)*.
г
Ввиду рефлексивности 2) существует такая точка у 6?), что
г/*х^ —> г/*# для каждого у* 6 $)*. Далее, каждое х* G Ж* определяет
6 Заказ 1324

82 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
такое у* 6 9)*, что х*у-у*у при //??). Но хп??), и поэтому
л:*.^ —¦» л:*// для всех л:* ? 3?*. Таким образом, последовательность {л:п}
слабо сходится к г/. Следовательно, ограниченные множества слабо
компактны. Обратное утверждение вытекает из предшествующей
леммы, ч. т. д.
29. Следствие. Рефлексивное пространство слабо полно.
Доказательство. Последовательность {хп} точек рефлексивного
пространства Ж, для которой \\тх*хп существует при любом х* 6 Ж*,
п-+<х>
по теореме 20, ограничена. По теореме 28, она имеет подпоследова-
подпоследовательность {хп.}, слабо сходящуюся к некоторой точке хбЭЕ. Таким
образом,
\\тх*хп= lim x*xn. —x*x, x*G Ж*,
n i г
откуда и следует, что Ж слабо полно, ч. т. д.
Дальнейшие сведения о рефлексивных пространствах и слабой
сходимости читатель может получить в гл. V. В заключение этого
параграфа мы докажем лемму о слабой компактности, имеющую важ-
важные применения в эргодической теории.
30. Лемма. Пусть Ж и % —В-пространства, а {Тп} —ограни-
—ограниченная последовательность в пространстве В(Ж, ?)). Тогда сово-
совокупность $Щ всех тех х 6 Ж, для которых множество
{Тпх | п = 1, 2, ...} слабо компактно, является замкнутым линейным
подпространством в Ж.
Доказательство. Легко проверить, что $Щ является линейным
пространством. Докажем, что gj} замкнуто. Пусть |7П|<;/С,
/г=1, 2, ... . Рассмотрим *чб9Л, хп—>х. Произвольная после-
последовательность {nj натуральных чисел содержит подпоследователь-
подпоследовательность {nlt J, для которой Тп . хх слабо сходится к некоторой точке,
которую мы обозначим через yv Аналогично найдется точка у2
и такая подпоследовательность {п2>{} последовательности {щг}у
что последовательность Тп . х2 слабо сходится к у2. Продолжая
это рассуждение по индукции, мы получим точку ут и последова-
последовательность {nmi J, для которой последовательность Тп .хп слабо
сходится к ут. Последовательность {mj, где т-х = пи t, является
такой подпоследовательностью последовательности {nt}, для кото-
которой Tm.xk слабо сходится к у1{ при А = 1, 2, ...; неравенство
\Уг — У]\<К\хг — xj I /,/=1,2,...
вытекает из леммы 27. Так как последовательность {х^ фундамен-
фундаментальная, то и {У)} — тоже. Пусть у=^\\туп. Если х* ? Ж* и

4. Упражнения 83
р= 1, 2, . . ., ТО
|х*Тт.х-х*у |<| **7V х-х*Тт.хр \ +
X X L *
+1 х*Тт.хр -х*ур | +1 х*ур - х*у |
и, следовательно,
ITS | х*Гт.л:-х*г/1< К\ х* | |х- хр \ + \ х* 11 г/- ур |.
г->оо г
Устремив р к оо, получаем, что Тт.х слабо сходится к у. Таким обра-
образом, каждая последовательность {пъ} натуральных чисел содержит
такую подпоследовательность {/nj, для которой Тт.х слабо сходится
к у. Отсюда вытекает, что Тп х слабо сходится к уу ч. т. д.
4. Упражнения
1. Множество С точек линейного пространства называется
выпуклым, если, каковы бы ни были х, у?С и 0<а<1, точка
ах-\- A —а)у?С. Показать, что в fi-пространстве сферы выпуклы.
Показать, что замкнутая сфера {х || х — у \ < е} является замыканием
открытой сферы {х\\х — у\<г}. Показать, что в fi-пространстве
пересечение любой убывающей последовательности замкнутых сфер
непусто.
2. Найти убывающую последовательность непустых, ограничен-
ограниченных, замкнутых, выпуклых подмножеств некоторого В-простран-
ства, имеющих пустое пересечение.
3. Пусть 2) и 3~замкнУтые линейные многообразия в В-про-
странстве Ж. Предположим, что каждое х?Ж имеет единственное
представление вида x-y-\-z где //6?), 2?3- Показать, что суще-
существует такая константа /С, что |*/|</(|л:| и |z|<;/(|*| для всех
4. Пусть Ж, $ и 3 — ^-пространства, a z — (x, у) — функция,
определенная на 36 х ?), со значениями в 3» линейная под:для каж-
каждого у и линейная по у для каждого х. Такая функция называется
билинейной. Предположим, далее, что для каждого 2* б 3* функция
2* (х, у) непрерывна по у при каждом х и непрерывна по х при каж-
каждом у. Доказать, что существует такая константа /(, что
|(*. у)\<К\х\\у\.
5. Пусть ?) и 3 — В-пространства, и пусть дано отображение
/:?)—> 3 такое, что 2* / (у) g 3)* для каждого 2* ? 3*- Показать,
что f?B(% 3).
6. Пусть ЭЕ — комплексное В-пространство, G —открытое под-
подмножество комплексной плоскости. Предположим, что отображение
f : G —> ЭЕ таково, что для каждого х* 6 36* функция x*f(s) анали-
6*

84 Гл. //. Три основных принципа линейного анализа
тична в G. Показать, что
существует для каждого ?gG.
7. Определение. Последовательность {хп} точек /^простран-
/^пространства Ж называется его базисом, если каждому х ? Ж отвечает един-
единственная последовательность {aj скаляров, такая, что
71
lim \х — 2 ал1 = 0.
п-+ээ г=\
8. Пусть {хп} — базис /^-пространства Ж, а 9) —векторное про-
пространство всех таких последовательностей //={aj, для которых
оо
ряд 2 alxi сходится. Показать, что если в 9) определить метрику
п
M = sup|2 аЛ|,
п г=1
то 2) становится /^-пространством, которое будет даже fi-простран-
ством, если таковым является Ж.
9. Если {хп} — базис /^-пространства Ж и для элемента х = 2 аЛ
г=1
положим х* (х) = аь i = 1, 2, ... , то линейный функционал х* будет
непрерывен. (Указание: использовать естественное соответствие
между пространствами Ж и 3), определяемое в упражнении 8.)
10. Показать, что ни один из элементов базиса /^-пространства
не принадлежит замыканию линейной оболочки остальных элемен-
элементов этого базиса.
П. Определение. Пара последовательностей {xj, хг?Ж, и {х?},
**€Ж*, называется биортогональной системой банахова прост-
пространства Ж, если л;*(л^) = 6[;-.
12. Пусть {хг}, {х*} — биортогональная система В-пространства Ж.
п
(а) Если sup | ^ х* (xt) x* \ < оо для каждого х* ? Ж*, то для
п г=1
каждого элемента х из замкнутой линейной оболочки последова-
последовательности {хг} имеет место равенство
п
(b) Если sup | 2 *? W -^i) I < °° Для каждого х б Ж, то для каж-
n i=l
дого х* из замкнутой линейной оболочки последовательности {#?}

4. Упражнения 85
имеет место равенство
2
г—1
13. Пусть Ж— 5-пространство (или/^-пространство), а ^ — зам-
замкнутое линейное многообразие в Ж. Тогда фактор-пространство Ж/3
(см. 1.11) с метрикой
является /^-пространством (соответственно /^-пространством). (Ука-
(Указание: для фундаментальной последовательности, заданной в Ж/3>
определить подпоследовательность, для которой \хи — xk+l + 3| <
< 2~\ k= 1, 2, ... , и показать, что в Ж можно найти фундамен-
фундаментальную последовательность, отображающуюся на {*/< + 3}-)
14. (а) Естественный гомоморфизм /: 36—^ Ж/3, определяемый
равенством /(*)=*+3. непрерывен, отображает открытые мно-
множества на открытые и имеет норму | /1 < 1.
(b) Если в фактор-пространстве Ж/3 задана топология, более
сильная, чем топология, определенная введенной выше метрикой,
то функция / уже не будет непрерывной.
(c) Если Ж является В-пространством, то f отображает откры-
открытую единичную сферу пространства Ж на открытую единичную-
сферу фактор-пространства Ж/3-
15. Пусть Ж и ?) — В-пространства, а Т — непрерывное линейное
отображение Ж на все 3). Показать, что если уп —> у0, то сущест-
существует такое число /V > 0 и такая последовательность {хп} CZ Ж, что-
\хп\<М\Уп1 Тхп = Уп' П = 0Л ,... , И Хп —» Х0.
16. Пусть Ж —линейное нормированное пространство, не пред-
предполагаемое полным, и 3—-замкнутое подпространство Ж. Пока-
Показать, что если 3 и 3?/3 полны, то и Ж также полно.
17. Определение. Если Ж —линейное нормированное простран-
пространство и Z с: Ж, то множество Z1 = {х* | х* б Ж, х* (Z) — 0} называется
аннуляпгором, или ортогональным дополнением Z.
18. (а) Если Ж —линейное нормированное пространство, а 3-
линейное многообразие в Ж, то отображение х* + 3~L—> 2*» где 2*
определяется равенством 2*г = л:*2, 2^3» является изометрическим,
изоморфизмом Ж*/З~1в3*.
(b) Если 3 — замкнутое подпространство 5-пространства Ж, та
отображение х* —> **, где х* определяется равенством
= х*(х), является изометрическим изоморфизмом 3~^на все )
(c) Показать, что если Ж —рефлексивное /^-пространство и Q —
замкнутое подпространство Ж, тоЗ^^З- Справедливо ли это,,
если пространство Ж не является рефлексивным?

86 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
19. Пусть Ж —рефлексивное fi-пространство, а 3 —его замкну-
замкнутое подпространство; пользуясь результатом упражнения 18, пока-
показать, что 3 и Ж/3 рефлексивны.
20. Если Ж —/^-пространство и ЗС.ЭЕ, причем как 3» так и ЭЕ/3
рефлексивны, то и Ж рефлексивно. (Указание: показать, что для
произвольно заданного х** ? Ж** существует такое у0 б Ж, что
*%* (У*) = У* (Уо) при всех //*6 3±-)
21. Обозначим через m пространство всех ограниченных после-
последовательностей 5=[5j, s2 ,...]. Показать, что если определить норму
элемента s равенством
|s|= sup |st|,
l^i<oo
то т становится /^-пространством.
22. (Банаховы пределы). Рассмотрим наименьшее замкнутое
подпространство т0 пространства т (см. упр. 21), содержащее все
последовательности вида t=[sv s2 — sly s3 — s2, ...], где s =
= [Sj, s2, ...] 6 m. Показать, что последовательность ^ = [1, 1, ...]
не содержится в т0 и что существует такой непрерывный функционал
л:*, определенный на т, что \х* \ = I, х* (е) = I и х* (х) = 0,еслил:?т0.
Полагая, LIM s^ = x* (s), показать, что:
(a) LIMns7=LIMSn+1;
(b) LM(asn + Ю = a LIM sn + р LIM tn;
n->oo r«->oo n->-oo
(c) LIMsrt>0, если [sn] — неотрицательная последовательность;
7?->ЭО
(d) lim sA< LIMsn<lim5n, если [sj — вещественная последо-
П-+ОО П~+ОО П->ОО
вательность;
(e) если sn — сходящаяся последовательность, то
= limsn.
n->oo
23. Показать, что для каждой ограниченной комплексной функ-
функции / вещественной переменной s можно определить «обобщенный
предел» LIM таким образом, что:
S->3O
(a) LIM / (s) = LIM f (s + t) для каждого t\
(b) LIM {af (s) + fg(s)} = a LIM f (s) + p LIM^(s);
(c) LIM/(s)>0, если / — неотрицательная функция;
s->oo
(d) lim/ E) <LIM/(s) <lim/(s), если/ — вещественная функция;
s->oo s->x> s->oo
<e) LIM/(s) = lim/(s), если предел в правой части существует.

4. Упражнения 87
24. Показать, что если 3) — линейное многообразие, всюду
плотное в В-пространстве Ж, то существует естественный изометри-
изометрический изоморфизм между Ж* и |)*.
25. Пусть % — сепарабельное линейное многообразие в Ж*.
Показать, что существует такое сепарабельное подпространство
$с~ ЭЕ, что ^5 изометрически изоморфно некоторому подпростран-
подпространству 3*-
26. Пусть Ж —линейное топологическое пространство; для
того чтобы линейный функционал, определенный на Ж, был непре-
непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен в некото-
некоторой окрестности начала.
27. Определение. В-пространство Ж называется равномерно
выпуклым, если из | хп \ ==¦ \ уп | = 1, | хп + уп) —> 2 вытекает, . что
\*п-Уп\ -»°-
28. Если пространство Ж равномерно выпукло, последователь-
последовательность {хп} слабо сходится кхои \хп\ —> |хо|, то хп —± х0 в метри-
метрической топологии.
29. Пусть /С —замкнутое выпуклое множество в равномерно
выпуклом В-пространстве. Тогда функция / (х) = | х \ в точности один
раз достигает своего минимума на К-
30. Бесконечномерное /^-пространство никогда не имеет счет-
счетного базиса Гамеля.
Нижеследующие упражнения образуют связное целое, относя-
относящееся к теории суммирования расходящихся рядов.
31. Обозначим через с пространство всех сходящихся последова-
последовательностей s = [s1,s2, ...] скаляров. Показать, что если норму^эле-
мента s определить равенством
\s\= sup |sj,
l^i<oo
то с становится ^-пространством.
32. Обозначим через 1Х пространство-всех таких последователь-
со
ностей 5 = [so,s1,s2, ...], что J1 I sh I < оо. Показать, что если норму
элемента s определить равенством
то 1Х становится В-пространством.
33. Для каждого s = [s0, sv s2i ...]g /хи t = [tl9 t2y ...] 6с положим.
оо
(gs)(t) = so\\m tn+^\ s,Jn.
n-*oo n=l
Показать, что g есть изометрический изоморфизм /х на все с*.

88 Гл. II. Той основных принципа линейного анализа
34. Обозначим через Т ограниченное линейное отображение с
в себя. Показать, что существует такая двойная последовательность
{ai;}, t=l, 2,... , / = 0,1,2... , что
(a) ^ = aiOlims; + 2 atjs^ где T[slt s2, ...] = [tlt t29...];
со
(b) sup 2 |fli; j = M < oo;
l^i<ooj = 0
(c) Пта?. существует для /=1,2,...;
i-*oo
оо
(d) Hm^l пц существует;
(e) \T\ = M.
Обратно, если {ai?}—двойная последовательность, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям (b), (с) и (d), то равенство (а) определяет ограничен-
ограниченное линейное отображение Т пространства с в себя, норма кото-
которого |Т| = М.
35. Определение. Предположим, что матрица (а1}) определяет
линейное преобразование Т пространства с в себя посредством
формулы
со оо
T[slt s2, ...] = K, h,...]=[2 alA, S a2jSj,...].
Если Т сохраняет пределы последовательностей (т. е. если lim tt—
i->oo
= limsi для каждого [sjgc), то говорят, что матрица (ai0)
i->oo
определяет регулярный метод суммирования.
36. (Сильвермен — Теплиц.) Показать, что для того, чтобы
матрица (аи) определяла регулярный метод суммирования, необ-
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
оо
(a) sup 2 \аа\ = М < со,
l<Ci<oo;=l
(b) lima^- = 0 при 1 </ < оо,
i->oo
(c) lim У au = l.
i-^co j== 1
37. Рассмотрим последовательность [pk] положительных чисел,
i
м пусть Рг = ^ Pk- Показать, что формулой
Л = 2 al}s}
7=1

4. Упражнения 89'
в том и только в том случае определяется регулярный метод сум-
оо
мирования, если ряд V рк расходится. [Если все р;- = 1, то это
называется (С, \)-суммированием по Чезаро; см. ниже, упражне-
упражнение 39.]
38. (Суммирование по Нёрлунду.) Пусть [рк] — последователь-
г
ность положительных чисел и Р{ = У р.. Показать, что формулой
г
^i = Pi12 Pi-j+isj B том и только в том случае определяется
регулярный метод суммирования, если
lim Pk1ph = 0.
39. ((С, а)-суммирование по Чезаро). Показать, что формулой?
k=0
определяется регулярный метод суммирования для каждого ком-
комплексного числа а, у которого Re(ct)>0. Здесь С§=1 и С^ =
= Р(Р г ) •-• Ф \~m~ ПрИ т-> Q
till
оо
40. Пусть У pnz!i— разложение в степенной ряд некоторой
?i=0
целой функции. Предположим, что рп > 0 для каждого я. Пока-
Показать, что
оо
V pnsnxn
limsn = lim ^
при условии, что предел в левой части равенства существует.
оо
41. Пусть ^ Рп?11 — разложение в степенной ряд некоторой-
функции, аналитической в круге | z \ < г. Предположим, что рп>0
оо
для каждого п и что lim У рпхп=со, где 0<х<г. Показать^
х-+1 ?г —0
что если lim sn существует, то
г?-»-оо
У PnW*
0
где предел берется по вещественным значениям х.

90 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
42. (Суммирование по Абелю.) Показать, что если limsrt = 5
оо
-существует, то A — z) 2 «Vn стремится к s при стремлении z
71=0
к единице вдоль любого пути, лежащего внутри круга C{z \ \ z | = 1}
и не касающегося С.
оо со
43. (Абель). Если ряд 2 ап сходится к а, ряд 2 Ьп сходится
п=0 п=0
СО 71
к &,<ряд 2 сп сходится к с и если сЛ = 2 ап-^р то c = ab.
/Указание: воспользоваться результатом упражнения 42.)
оо оо
44. Отображение 2 ап —> 2 кпаа, определяемое последова-
71 = 0 71=0
тельностью {кп}, в том и только в том случае переводит сходя-
оо
щиеся ряды в сходящиеся, если 2 | Л,л — ^л+i |< °°•
71=0
45. Матрица {\пп}9 ту п = 0, 1, 2,..., определяет преобразование
СО СО ОО
2 ап—> 2 B ^а)» которое в том и только в том случае
п=0 ?г=0 тп=0
переводит сходящиеся ряды в сходящиеся, если
A) 2 ^тп СХОДИТСЯ ПрИ Любом П\
т
B) 2 I ^тп~~^т, n+ll СХОДИТСЯ При Любом Ш\
п
М
C) sup 21 2 (Кп - К n+i) I < °°.
М п тп=0
Это преобразование тогда и только тогда сохраняет суммы рядов
ОО ОО ОО
[т- е- 2 ( 2 Ктаа) = 2 а.]> если, кроме условий B) и C), для
т^О п=0 п—0
каждого п имеет место равенство
т
46. Матрица (\пп), гп, лг = 0, 1, 2,..., определяет преобразование
со со
2 йа —> 2 hmiaa — *т> которое сходящиеся ряды в том и только
71=0 71=0
в том случае переводит в сходящиеся же последовательности, если
A) Пт\,ш существует для каждого п;
т
оо
B) sup 2 l^»»-^,n+1|<oo.
т 7i=0

4. Упражнения 91
Далее, lim/m= J an в том и только в том случае, если для
каждого /2, кроме условия B), имеет место равенство
(Г) iinamn=i.
тп '
т
47. Показать, что
оо
tn . rn (т— 1)
если только ряд, стоящий в левой части равенства, сходится.
48. Показать, что
sin nh \h
n=l
для любого k > 1 и любого сходящегося ряда в левой части.
49. (Шур—Мертенс.) Пусть а={аа) и b = {bn} — две последо-
вательности комплексных чисел и ст= ^ ат_пЬп. Если ряд
2lflal сходится, то для любого сходящегося ряда ^ 6/t ряд У сп
тоже сходится. Обратно, если V сп сходится для любого сходяще-
сходящегося ряда ^ Ьа, то и ряд у \ап\ сходится. (Сравнить этот резуль-
результат с упражнением 43).
50. (а) Если Y.an сходится, а {PJ — невозрастающая после-
последовательность положительных чисел, то и ряд V ап$а сходится.
(Ь) Если {Pmn} —такая последовательность, что
A) O<j5m4<pm,n_i;
B) $т,ъ<,М для некоторого фиксированного М < оо;
C) HmPmn=l для каждого п,
ТО
Нт 2
т->оо п^О
для любого сходящегося ряда в правой части.
оо
51. (Харди —Литтлвуд). Предположим, что ряд a(z)= У anzn
сходится при z=l. Показать, что ряд
h=0
при 0<*<l сходится. (Указание: воспользоваться результа-
результатом упражнения 50.)

92 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
52. Пусть цп и ^ — элементы пространства 1г (см. упражне-
упражнение 32), определяемые формулами
Показать, что последовательность {un — vn} ограничена, но не схо-
сходится к нулю.
53. Рассмотрим последовательность {ап} комплексных чисел,
для которой последовательность {пап} ограничена, и пусть
оо
a (z)— ^ апгП- Доказать следующие утверждения:
п=0
(a) Функция а(х) в том и только в том случае равномерно огра-
п
яичена при 0<л;< 1, если последовательность { ^ а,,} частных
оо
сумм ряда У ак ограничена.
fe=0
(b) Функция a(z) в том и только в том случае равномерно огра-
ограничена в круге |z|<l, если последовательность частных сумм
оо
ряда ^ а^а равномерно ограничена при |z|=l.
54. Рассмотрим такую последовательность {а/{}, что {kah} cxo-
оо
дится к нулю, и пусть a(z)= ^ akzh\ показать, что
kO
lim
п-ио л=о
оо
Надо показать, следовательно, что ряд ^ ак сходится в том и только
в том случае, если а(х) имеет предел при х—>1. (Этот известный
результат, принадлежащий Тауберу, является прототипом всех
теорем «тауберовского типа». Этими теоремами устанавливаются
условия, при которых «сильное» суммирование (в этом случае по
Абелю) превращается в обычное суммирование. (Сравнить этот
результат с упражнением 42).
5. Примечания и дополнения
Замечания общего характера и библиографические справки.
Дифференцирование и интегрирование могут рассматриваться как
операции, определенные на некотором классе функций, однако до

5 Примечания и дополнения 93
конца прошлого столетия эта точка зрения служила немногим
более, чем для удобства обозначений. Лишь к началу нашего века
в работах Вольтерра и Фредгольма в области интегральных урав-
уравнений было обнаружено все преимущество этой «операторной» тех-
техники. Когда Гильбертом, Шмидтом, Ф. Риссом и другими учеными
была развита теория интегральных уравнений и смежные с ней
вопросы и выяснилась аналогия всего этого с соответствующими
алгебраическими вопросами, стало ясно, что функцию надо рас-
рассматривать как вектор или как точку в «пространстве» функций.
Это было отчетливо понято, например, Шмидтом [1], который ввел
геометрический язык и терминологию гильбертова пространства,
в основном используемые и в настоящее время. Приблизительно
в то же самое время Фреше [1], Хаусдорфом [1] и Ф. Риссом [1J
были заложены основы современной теоретико-множественной топо-
топологии, и совершенно естественно, что эти топологические понятия
нашли себе применения как в алгебре, так и в анализе. Так, Кюршак
[1 ] ввел топологию в теорию полей, определив в них понятие нормы,
а конкретное гильбертово пространство и пространства Lp вскоре
привели к общим понятиям нормированного и линейного тополо-
топологического пространств.
Зная, до какой степени С. Ли и его последователи довели иссле-
исследование «непрерывных групп», порой удивляешься тому, как мед-
медленно выкристаллизовывалась идея общей топологической группы.
Только в 1926 г. О. Шрейер [1] определил абстрактную топологиче-
топологическую группу и установил некоторые ее свойства (см. также Лейя
[1]). Систематическое изучение топологизаций абстрактных групп,
колец и полей было проведено Данцигом [1]. Понятие норми-
нормированной алгебры первоначально было использовано Майкалом
и Мартином [1], Нагумо [1] и Гельфандом [I]1). Понятие F-npo-
странства берет свое начало в работах Фреше [2, 3].
Библиографические справки. Тем, кто собирается заняться под-
подробным изучением общих топологических групп, можно рекомендо-
рекомендовать трактаты Люмиса [1], Понтрягина [1] и А. Вейля [1]. Книги
Шевалле [1—3*] относятся к более специальному случаю — теории
групл Ли.
Мы особенно рекомендуем статью Хеллингера и Теплица
в «Энциклопедии математической науки» [3, в частности § 24] как
замечательно написанный и достаточно полный библиографический
обзор по теории интегральных уравнений, являющейся отправной
точкой для общей теории линейных пространств. Много более, чем
чисто исторический интерес, представляют собой также фундамен-
фундаментальные работы Гильберта [1] по интегральным уравнениям и книга
Ф. Рисса [6] об уравнениях с бесконечным числом неизвестных.
1) Теория нормированных колец (алгебр) была построена И. М. Гельфан-
Гельфандом. Она изложена в гл. IX. —Прим. ред.

94 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
Более ранняя статья Пинкерле [1] в «Энциклопедии», труды
Э. Мура [1,2] и работа Вольтерра [1] также имеют отношение
к большинству из рассматриваемых вопросов. Наконец, в книге
Дейвиса [1] упоминаются различные операторные методы, такие,
как операторное исчисление Хейвисайда, дифференцирование
и интегрирование дробного порядка и т. д.
Наиболее близкими к данной книге являются классический трак-
трактат Банаха [1] и недавно вышедшие книги Ф. Рисса и Секефальви-
Надя [1] и Заанена [5]. Более специальные вопросы, относящиеся
к гильбертовому пространству, рассматриваются в трудах Стоуна
[3], Секефальви-Надя [3], Халмоша [6] и Кука [1]. Книга Хил-
ле [1 ] также имеет прямое отношение к рассматриваемым вопросам.
Труды Накано [1, 2] и Бурбаки [2] с более общим кругозором отно-
относятся в основном к теории локально выпуклых линейных тополо-
топологических пространств. Все эти книги полезны для справок.
Ограниченные множества. Определение 1.7, по-существу, дано
Дж. Нейманом [I]1). Можно дать эквивалентное определение:
множество В ограничено, если для каждой последовательности
{Хп}—В и каждой последовательности скаляров {ап}, гдеап—>0,
также и апх,ъ—^0. Это последнее условие использовалось Мазуром
и Орличем [1]. В случае 5-пространств из леммы C.3) вытекает,
что для того, чтобы множество было ограниченным, необходимо
и достаточно, чтобы оно содержалось в некоторой сфере. В ^-про-
^-пространстве, однако, все сферы могут быть неограниченными.
Принцип равномерной ограниченности. (Нижеследующие пояс-
пояснения относятся к теоремам 1.11, 1.13, 1.17, 1.18 и их приложениям
к теоремам 3.6, 3.20 и 3.21. См. также Гал [3].) В анализе есть
много результатов, имеющих отношение к этим теоремам, хотя
из-за их часто специального характера они не всегда воспринимаются
как таковые и не всегда оказываются сравнимыми по силе. Неко-
Некоторые результаты такого рода были получены Лебегом [1] при
изучении сингулярных интегралов, другие—Ханом [1, стр. 678],
Штейнгаузом [Пи Саксом и Тамаркиным [1]. Некоторые след-
следствия теоремы 1.11, тесно связанные с вопросами отыскания общего
вида линейных функционалов и операторов, были получены для
пространства /2 Хеллингером и Теплицем [1,2], для 1р при р > 1—
Ландау [1], для с — Теплицем [2], для С [0, 1] — Хелли [1]
и для Lv при р> 1 — Ф. Риссом [2, стр. 457].
Теоремы 1.11, 1.17 и 1.18 для линейных функционалов вобщем
^-пространстве были доказаны Ханом [2], применившим эти резуль-
результаты ко многим специальным пространствам. Первые действительно
общие доказательства теорем 1.11 и 1.13 для случая 5-пространств
были получены Гильдебрандтом [2]. Банах и Штейнгауз [1,стр. 53]
*) Это определение независимо предложено также и А. Н. Колмогоро-
Колмогоровым [1]. —Прим. ред.

5. Примечания и дополнения 95
заметили, что в случае 5-пространства теорема 1.11 остается спра-
справедливой и втом случае, когда {Тах\а?А} ограничено для всех
х из некоторого множества второй категории. Банах и Штейнгауз
[1, стр. 54] доказали следующую теорему, часто называемую теоре-
теоремой о сгущении особенностей.
Теорема. Если {Upq} — двойная последовательность ограничен-
ограниченных линейных операторов, отображающих В-пространство ЭЕ
в В-пространство 3), и такая, что
lim|f/pJ = oo, p= 1,2, .. .,
то в % существует такое множество S второй категории, что для
каждого х 6 S
= оо, р= 1, 2,
Банах [3] доказал теоремы 1.17 и 1.18 для 5-пространств и полу-
получил в [7] для полных метрических групп результаты, связанные
с этими теоремами и только что упомянутой теоремой о сгущении
особенностей (см. также Банах [1, гл. 1]). Мазуром и Орличем [1]
теоремы 1.11 и 1.13 были обобщены на /'-пространства.
Петтисом [5, стр. 300] было дано весьма широкое обобщение
теоремы 1.13 на линейные топологические пространства. Им была
доказана также справедливость некоторого обобщения теоремы 1.17
для последовательности непрерывных гомоморфизмов между двумя
топологическими группами.
Теоремы 3.20 и 3.21 были обобщены Сарджентом [1,2] так,
что они могут быть применены к пространству функций, интегри-
интегрируемых по Данжуа на [0, 1], являющемуся множеством первой
категории.
«Теорема о равномерной ограниченности» для множества
вещественных функций, заданных на метрическом пространстве,
была доказана Голдстайном [2]. Алексевич [1] занимался система-
систематическим изучением условий, при которых справедливы теоремы,
аналогичные теоремам 1.17 и 1.18, и теорема о сгущении особен-
особенностей для классов непрерывных отображений между метрическими
пространствами. Его условия таковы, что из них могут быть полу-
получены как эти теоремы, так и некоторые обобщения теорем Сакса
[2, 3] о последовательностях мер. Алексевич [1, II] рассматривал
также эти результаты в пространствах, в которых установлены
некоторые абстрактные понятия предела. Мазур и Орлич [2] (см.
также Алексевич [1, I]) обобщили эти три теоремы на полиномы
операторов в/^-пространствах. Алексевич [1, III] также рассматри-
рассматривал полиномы операторов в линейном пространстве, в котором
установлены различные понятия предела. Орлич [7] доказал неко-

96 Гл. 7/. Три основных принципа линейного анализа
торую теорему типа теоремы о сгущении особенностей, где двойная
последовательность операторов зависит от некоторого параметра
из полного метрического пространства, и обобщающую следующую
теорему:
Теорема. Пусть Un — непрерывная функция, отображающая
ЭЕх[О, 1] в D, и такая, что для каждого t ? [0, 1] оператор
Un (..., /) ? В (ЭЕ, 9)). Если для каждого / б [0, 1 ] существует такоеxti
что lim | Un(xt, t)\ = oo, то найдется такоех, что lim | Un (х, /) | = со
П->оо П->оо
для всех t из некоторого несчетного совершенного множества, при-
принадлежащего [О, 1].
Гал [1, 2] обобщил теорему о равномерной ограниченности
и теорему о сгущении особенностей на некоторый класс нелиней-
нелинейных однородных отображений между Б-пространствами при неко-
некоторых предположениях, компенсирующих отсутствие линейности.
Пусть {Та | а ? А } — обобщенная последовательность огра-
ограниченных линейных операторов, отображающих одно Б-простран-
ство Ж в другое Б-пространство $. Дэй [9] рассматривал вопрос
о том, при каких условиях из неравенства lim | Тах\ < со, х? ЭЕ,
Сб?А
вытекает, что Пт|Га|<оо. Среди других результатов он дока-
aiA
зал, что это в том и только в том случае справедливо для любого
направленного множества Л, если пространство Ж конечномерно.
Несколько теорем типа теоремы о равномерной ограниченности
и некоторые их приложения получены Данфордом [1, гл. I]. Уста-
Установлено (Данфорд [1, стр. 308]), что, используя теорему о замкну-
замкнутом графике (II, 2.4) вместе с теоремой Хана—Банаха, можно полу-
получить очень простое доказательство теоремы о равномерной огра-
ограниченности для 5-пространств.
Бурбаки [3] доказали, что теорема 1.17 остается справедливой
и для некоторого класса локально выпуклых линейных топологи-
топологических пространств. (См. также Дьёдонне и Шварц [1, стр. 73].)
Непрерывность линейных операторов. (Эти замечания относятся
к теоремам 1.14—1.16 и 3.4.) Хотя частный случай теоремы 1.14
использовался раньше, для общего ^-пространства она впервые
была доказана Банахом [3, стр. 151]. Мазур и Орлич [1, стр. 153]
обобщили эту теорему и теорему 1.16 на F-пространства.
Вехаузен [1, стр. 161] заметил, что теорема 1.16 остается спра-
справедливой и в том случае, когда областью значений служит произ-
произвольное линейное топологическое пространство. Он получил также
необходимые и достаточные условия непрерывности линейных опе-
операторов для того случая, когда областью определения является
локально выпуклое пространство. Как можно предположить по ана-

5. Примечания и дополнения 97
логии с вещественным случаем, из аддитивности функции вместе
с ее «измеримостью» должна вытекать ее непрерывность. То, что
это действительно имеет место в метрических группах, было пока-
показано Банахом [7] (см. также Банах [1, гл. I]) и Куратовским [1].
Условия такого типа Мазуром и Орличем [2 ] были обобщены на поли-
полиномы операторов.
Иногда полезно считать «непрерывным» такое линейное отображе-
отображение Т между линейными пространствами X и ?), которое отображает
последовательность из X, сходящуюся в некотором смысле, в схо-
сходящуюся же последовательность из 3). Это определение годится,
например, в том случае, когда Ж и 9) — конкретные линейные
пространства, в которых определены одно или несколько естествен-
естественных понятий предела, или если вЗ? и | задано некоторое отноше-
отношение порядка. Читатель найдет такие случаи в упоминаемых нами
работах о частично упорядоченных множествах. Он может также
сравнить работы Алексевича [1; И, III], Фихтенгольца [1, 2]
и Орлича [5, 6].
Принцип открытости отображения. Этот результат и теорема
о замкнутом графике тесно связаны с понятием категории. Теорема
2.2 для случая 5-пространств впервые была доказана Банахом
[4, стр. 238], доказательство которого отлично от приводимого
нами. Шаудер [7], тоже для случая ^-пространств, дал доказатель-
доказательство, приближающееся к тому, которое дано в тексте. Им доказана
также и теорема 2.1. Справедливость теорем параграфа 2 для
/^-пространств была установлена в работе Банаха по существу теми
же методами.
Интересным и важным фактом является то обстоятельство, что
теоремы 2.1—2.5 остаются справедливыми для гомоморфных отобра-
отображений сепарабельных полных метрических групп с лево-инвариант-
лево-инвариантными метриками. Этот результат был получен Банахом [7]. Предпо-
Предположение сепарабельности в случае групп существенно, как пока-
показывает пример тождественного отображения аддитивной группы
вещественных чисел с дискретной топологией на эту же группу
с ее обычной топологией.
Петтис [5] нашел несколько необходимых и достаточных усло-
условий, при которых гомоморфизм h между двумя топологическимк
группами X и Y является непрерывным или внутренним, т. е.
таким, при котором открытые множества переходят в мнсжестваг
содержащие внутреннюю точку. Мы упомянем следующий результат^
Теорема. Если топологическая группа X полна относительно
некоторой праео-инвариантной (возможно, и недефинитной) метри-
метрики , то гомоморфизм h : X —> Y в том и только в том случае является
внутренним отображением в Y и имеет замкнутое ядро h'1 @),
если его график замкнут и если он отображает каждое непустое
открытое множество на множество, замыкание которого содержит,
некоторое открытое множество.
7 Заказ 1324

98 Гл. If. Той основных поиниипа линейного анализа
Петтис [51 доказал теоремы, обобщающие некоторые из резуль-
результатов Банаха [7], Фрейденталя [2] и Лоренца [3]; в применении
к линейным пространствам они содержат большую часть резуль-
результатов этого параграфа.
Полем скаляров может быть произвольное поле с недискретным
абсолютным значением (подробнее см. Бурбаки [2, стр. 34]). Даль-
Дальнейшие обобщения были сделаны Дьёдонне и Шварцем [1, стр. 72]
и другими (см. Дьёдонне [13, стр. 504]) для случая, когда область
определения — пространство Ж — представляет собой объедине-
объединение возрастающей последовательности вложенных друг в друга
/^-пространств Э^с: ЭЕ29-•••! причем топология в Ж определяется
естественным образом, а область значений — пространство 2) —
в некотором смысле полно и обладает некоторыми свойствами, фор-
формулируемыми в терминах окрестностей. См. также Кёте [7, 10]
и Птак [1].
Аналогичные теоремы можно доказать и для более общих топо-
топологических пространств, не обязательно имеющих групповую струк-
структуру. Так, например, Данфорд [5] обобщил понятие категории
для того, чтобы получить условия, достаточные для того, чтобы
взаимно однозначное и непрерывное отображение переводило непус-
непустое открытое множество в множество, содержащее внутреннюю
точку. Мак-Шейн [4] установил условия, при которых множество
второй категории в топологическом пространстве содержит некото-
некоторую внутреннюю точку. Его результаты были усилены Петтисом
Для систематического изучения внутренних (или открытых)
отображений топологических пространств читатель отсылается
к работам Дж. Уайберна [1, 2].
Шаудер [4, 5] (см. также Лере [1,3] для других справок) дока-
доказал аналогичную теореме 2.1, теорему об инвариантности области
для некоторого класса нелинейных отображений Б-пространства,
тесно связанную также с некоторыми теоремами о неподвижной
точке (см. гл. V, параграф 10).
Теорема. Пусть f — непрерывное отображение, определенное
на замыкании некоторого ограниченного открытого подмножества
В-пространства Ж со значениями в бикомпактном подмножестве
пространства Ж. Тогда если отображение x—>x+f(x) взаимно
однозначно, то образ открытого множества является открытым
множеством.
За доказательством читатель отсылается к Нагумо [2]. Л. Грейвс
15] показал, что непрерывное нелинейное отображение F : X —> 2)
между В-пространствами, при котором F (хо)=уо, отображает неко-
некоторую окрестность точки х0 на множество, содержащее некоторую
окрестность точки у0, если только вблизи от точки х0 F можно
аппроксимировать непрерывным линейным, оператором, отобра-

5. Примечания и дополнения 99
жающим Ж на 2). Эта аппроксимация понимается в смысле обоб-
обобщенного дифференцирования. Последний результат обобщает тео-
теоремы Гильдебрандта и Грейвса [1], где аппроксимирующие линей-
линейные операторы предполагаются обратимыми. В этом случае, однако»
могут быть получены значительно более тонкие результаты.
Следующая георема, будучи частным случаем теоремы Бартла
и Грейвса [1], обобщает теорему 2.1.
Теорема. Пусть К(t) при /б [0, 1] является непрерывным
линейным отображением В-пространства 36 на В-пространство 3),
и пусть отображение t-^K(t) отрезка [О, I] в пространство
В(Ж, ?)) непрерывно в равномерной1) топологии операторов. Тогда
существует такая константа N > 0, что для каждого непрерывного
отображения г|? отрезка [0, 1 ] в St) существует такое непрерывное
отображение ф : [0, 1] —> Ж, что
*€[0, 1].
Важным частным случаем теоремы 2.4 является тот случай,
когда Т — симметричное линейное преобразование гильбертова
пространства на себя, т. е. такое, что (Тх, у) = (х, Ту) при всех х> г/.
Легко видеть, что преобразование Т замкнуто и, следовательно,
непрерывно. В терминах билинейных форм от бесконечного числа
переменных это было доказано Хеллингером и Теплицем
[1, стр. 321—327], а в абстрактной постановке вопроса —Дж. Ней-
Нейманом [7, стр. 1071. См. также книгу Стоуна [3, стр. 59].
Исторические сведения. Аксиомы, тесно связанные с аксиомами
линейного нормированного пространства, были введены в 1916 г.
Беннетом [1] при обобщении им метода Ньютона для вычисления
корней. Ф. Рисе [4] обобщил многое из построенной Фредгольмом
теории интегральных уравнений, используя аксиомы полного
линейного нормированного пространства, а Ламсон [1] доказал
для таких пространств теорему о неявной функции. В 1922 г.
Банах [3], Хан [2] и Винер [1] опубликовали работы, использую-
использующие те же или аналогичные системы аксиом. Хотя Банах и не поло-
положил начало изучению таких пространств, его вклад был настолько
значительным, что многие авторы называют полное линейное нор-
нормированное пространство банаховым пространством. В нашей
книге мы повсюду придерживаемся терминологии, очень близкой
к терминологии самого Банаха, и называем эти пространства
В-пространствами.
Теорема Хана — Банаха. Обе теоремы 3.10 и 3.11 называются
теоремами Хана — Банаха, но читатель должен был заметить, что
первая из них применима к любому линейному пространству (топо-
логизированному или нет), а вторая представляет собой ее прило-
См. ниже, гл. VI, определение \Л—Прим. ред.

100 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
жение к нормированным пространствам и приводит к существова-
существованию непрерывных линейных функционалов. В гл. V мы увидим, что
теорема 3.10 приводит к существованию большого числа непре-
непрерывных линейных функционалов в каждом пространстве, в котором
топология может быть определена семейством выпуклых окрестно-
окрестностей начала. Это изобилие непрерывных линейных функционалов
будет весьма важным в дальнейшем. С другой стороны, теорема
3.10 имеет приложения и к обобщению понятий меры, интеграла
и т. д.— см. ссылки, приводимые ниже.
Хотя некоторые исследования Хелли [1, 2] и Ф. Рисса [2, 61,
относящиеся к вопросу о решении бесконечной системы линейных
уравнений, очень тесно связаны с этой теоремой, но обобщение,
даваемое теоремой 3.11, впервые было получено Ханом [3, стр. 217]
для вещественных 5-пространств. Банах [4, стр. 212,226] (см. также
Банах [1, стр. 24, 461)]) доказал обе теоремы 3.11 и 3.10 и систе-
систематически применял их к вещественным 5-пространствам. Искус-
Искусственный прием для случая комплексного пространства был пред-
предложен Боненблустом и Собчиком [1] и независимо от них Сухомли-
Сухомлиновым [1], который рассматривал также и тот случай, когда скаля-
скалярами служат кватернионы.
Нижеследующая теорема принадлежит Хану [3, стр. 216]
и является одним из полезных следствий теоремы Хана — Банаха.
Этот результат содержит соответствующие теоремы, доказанные
Ф. Риссом [2, стр. 470], [6, стр. 61] для L и L, и теорему Хелли
[1, стр. 271] для С [0, 1].
Теорема. Пусть {сп} — счетное множество скаляров, а {хп} —
счетное множество элементов В-пространства Ж. Тогда для суще-
существования такого #* ? Ж*, что х* (хп)=сп для всех п и при том
\х* | <М, необходимо и достаточно, чтобы для каждого конечного
набора скаляров {aj выполнялось неравенство
Аналогичная теорема, относящаяся к вопросу о решении х ? X
бесконечной системы уравнений
*п(х) = сп, л=1, 2,
справедлива при условии, что пространство Ж рефлексивно, но не
справедлива в общем случае. Следующая теорема, принадлежа-
принадлежащая Хелли [2, стр. 73], справедлива и для общего случая. Элемен-
Элементарное ее доказательство приведено в статье^Какутани [2].
Теорема. Пусть Ж — линейное нормированное пространство,
{q,..., сп) — произвольные скаляры, {**,...,*?} — конечное множе-
множество элементов пространства ЭЕ*, и пусть М > 0. Тогда для того,
г) Здесь и ниже указаны страницы украинского издания.—Прим. ред.

5. Примечания и дополнения 101
чтобы при любом е > 0 существовало такое х ? Ж, что
х*(х) = сг, /=1, ..., я, и |х|<М + е,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого конечного множества
скаляров {aj выполнялось неравенство
Приведем еще относящуюся сюда теорему Ямабэ [1].
Теорема. Пусть К — выпуклое множество, всюду плотное
в линейном нормированном пространстве Ж, jc 6 36, е > О
и х*,...,х*— произвольные элементы из Ж*. Тогда существует
такое у ? /С, что
\у — х\<в, xt(y)=xt(x), /=1, ..., п.
Теоремы такого типа часто оказываются полезными в теории
моментов или в теории аппроксимации.
Теорема Хана — Банаха может быть еще уточнена для полу-
получения доказательства существования некоторых инвариантных
линейных функционалов. Так, например, один частный случай
теоремы Эгнью и Морса [1] читается так:
Теорема. Дополнительно к условиям теоремы 3.10 предположим,
что G является абелевой (или разрешимой) группой линейных преоб-
преобразований пространства Ж, отображающих 2) в себя и таких, что
Тогда на пространстве Ж существует вещественный линейный
функционал F, являющийся продолжением f и такой, что
F(x)<p(x)\ F(g(x)) = F{x), ggG, хбЭе.
Дальнейшие обобщения такого рода, а также применения этих
результатов к обобщению понятия меры и т. д. читатель может
найти в работах Эгнью [1], Эгнью и Морса [1] и Кли [5].
Пусть, как и в теореме 3.10, р является положительной функцией;
тогда представляет интерес выяснить, существует ли такой опре-
определенный на Ж вещественный линейный функционал f, что
f(x)'<p\x), ХФ0.1
Необходимое для этого условие состоит в том, что р(х)~\-р(—х) фО
при хфО. Ароншайн [51 показал, что если пространство Ж сепара-
бельно относительно нормы, определяемой равенством

102 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
то это условие и достаточно. Бонсол [1] показал, что условие сепа-
сепарабельности не может быть опущено.
Инглтон [1 ] нашел условия, при которых теорема Хана —Банаха
справедлива и для случая неархимедова поля скаляров (см. также
работы Флейшера [1] и Оно [1]).
Теорема Хана — Банаха может быть использована для полу-
получения простого доказательства существования функции Грина для
уравнения Лапласа и других задач с краевыми условиями. За под-
подробностями мы отсылаем читателя к работам Гарабедяна [1],
Гарабедяна и Шифмана [1], П. Лакса [1] и Миранды [2].
Рефлексивность. То обстоятельство, что естественное изоморф-
изоморфное вложение В-пространства X в его второе сопряженное простран-
пространство является изометрией, было установлено Ханом [3, стр. 219],
впервые сформулировавшим понятие сопряженного пространства.
Он называл регулярностью то, что, следуя Лорху [2], мы назвали
рефлексивностью. Примеры рефлексивных В-пространств имеются
в гл. IV, а необходимое и достаточное условие рефлексивности содер-
содержится в теореме V.4.7. Из теоремы V.6.1 вытекает, что необходимым
и достаточным условием рефлексивности пространства является
слабая компактность его сфер. Этот установленный Эберлей-
ном [1] факт является сильнейшим из известных критериев.
Теоремы 3.23 и 3.24 получены Петтисом [1]. Теорема 3.28 была
доказана Шмидтом [1] для L2 и Ф. Риссом [2, стр. 467] для Lp\ в слу-
случае этих пространств ее иногда называют «теоремой выбора». Для
абстрактного гильбертова пространства теорема 3.28 была доказана
Дж. Нейманом [2, стр. 381], для общих рефлексивных 5-пространств
она была установлена Петтисом [1].
Необходимо подчеркнуть, что рефлексивность предполагает изо-
изометрический изоморфизм пространств X и Ж** при естественном
отображении х, определенном в 3.18. Джеймсом [4, 5] была дока-
доказана следующая поразительная теорема:
Теорема. Существует сепарабельное В-пространство, изоморфное
и изометричное со своим вторым сопряженным пространством и не
являющееся, однако, рефлексивным.
Фактор-пространства. Пусть Ж — ^-пространство, а $Щ — замкну-
замкнутое подпространство в Ж. Рассмотрим фактор-пространство Ж
определенное в § 1.11. Как указано в упражнении II.4.13,
является .Р-пространством относительно метрики
Это полезное свойство, установленное Банахом [6, стр. 47 — 49j
и Хаусдорфом [3], будет играть важную роль при изучении
В-алгебр.
Пополнение пространств. В определении F- и Б-пространств
входит требование полноты этих пространств в их метрической

5. Примечания и дополнения 103
топологии. Иногда приходится рассматривать и такие метрические
линейные пространства, которые не являются полными. В таких
случаях часто бывает полезной следующая теорема:
Теорема. Пусть Ж является линейным пространством, удовле-
удовлетворяющим условиям lull определения 1.10. Тогда Ж изоморфно
и изометрично всюду плотному линейному подпространству некото-
некоторого F-пространства Ж. Пространство Ж определено однозначно
с точностью до изометрического изоморфизма. Если Ж — линейное
нормированное пространство, то Ж является В-пространством.
Доказательство этой теоремы следует методу Кантора пополне-
пополнения множества рациональных чисел до множества вещественных
чисел. Пусть ?) будет линейным пространством всех фундаменталь-
фундаментальных последовательностей из Ж, причем сложение векторов и скаляр-
скалярное умножение в ?) определяется покоординатно; если у = {хп} ? ?),
положим \у\ = sup|jcn|. Тогда $ является F- (или В-)пространством.
п
Обозначим через 3 замкнутое подпространство 3), состоящее из всех
фундаментальных последовательностей пространства Ж, сходящихся
к нулю, и положим Ж = 3)/3. Читатель может доказать, что
пространство И обладает нужными свойствами.
Прямые суммы и произведения. Пусть Ж и $ — два линейных
топологических пространства над одним и тем же полем скаляров.
Обозначим через Ж © 2) прямую сумму линейных пространств Ж
и|)в смысле § 1.11 с топологией, являющейся произведением топо-
топологий пространств ЗЕиЦв смысле § 1.8. Тогда Ж©?) будет, как
легко видеть, линейным топологическим пространством. Если Ж
и ^) являются В- (или /^пространствами, то и Ж©$ будет В-
(или /^пространством относительно каждой из норм:
|[х, j/]| = max(|*|, \y\),
причем эти нормы эквивалентны в произведении топологий. Это
пространство Ж©$ называется прямой суммой пространств Ж
и ^) (хотя некоторые авторы называют его прямым произведением).
Обобщение этого понятия на любое конечное число слагаемых
не представляет затруднений. По лемме 1.8.4, прямая сумма счетного
числа В- (или /^пространств может быть превращена в /^про-
/^пространство, но, вообще говоря, не в В-пространство. Наконец,
можно определить прямую сумму любого множества линейных
топологических пространств, однако она, как правило, не будет
метрическим пространством, даже если все слагаемые являются
таковыми. Нетрудно убедиться в том, что в случае Б-пространств
при соответственно выбранных нормах имеет место равенство
?*©?)* = (Ж ©У,)*.

104 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
Нам будет удобнее пару [х, y]?X@ty обозначать через х
При этом имеют место следующие линейные соотношения:
Поставим теперь вопрос о возможности построить из I и |) такое
линейное пространство, для которого выполнялись бы следующие
билинейные соотношения:
х (8) (У± + Уъ) = х <g) уг + X (g) y2,
(x1 + x2)®y = xl(g)y + x2® у,
а$ (х ® у) = ах ® (Jy.
Этого можно достигнуть, взяв в качестве Ж®?) множество всех
конечных формальных сумм ^xi®yi при соответствующих иденти-
идентификациях. Такое пространство называется прямым произведением
(хотя для него используются также термины тензорное, скрещенное
или кронекерово произведение). Если I и 3) являются В-простран-
ствами, то желательно топологию пространства ЗЕ®?) определить
таким образом, чтобы оно стало В-пространством и чтобы имело
место равенство
Однако в этом, как и в смежных вопросах, мы наталкиваемся
на неожиданные трудности. Эти вопросы рассматривались различ-
различными авторами; читатель может найти теорию и дальнейшие
библиографические указания у Шаттена [1] для случая В-про-
странств и у Гротендика [3] для общих линейных топологических
пространств.
Инвариантные метрики на группах. Метрика q (мультиплика-
(мультипликативной) группы G называется лево-инвариантной, если q (gx, gy) =
— Q(x> у) для всех g?G. Она называется инвариантной, если
Q(gx, gy) = Q(x9 y) = Q(xg, yg) для всех g?G. Мы говорим, что
топологическая группа G метризуема, если на ней существует такая
метрика, топология которой эквивалентна исходной топологии.
Г. Биркгоф [5] и Какутани [12] доказали, что топологическая
группа G в том и только в том случае допускает лево-инвариантную
метрику, если семейство окрестностей единицы этой группы можно
определить посредством счетного множества (т. е. если группа G
удовлетворяет первой аксиоме счетности).
Кли [6] показал, что если G —абелева топологическая группа,
допускающая эквивалентную метрику, относительно которой она
полна, то G допускает и инвариантную метрику, причем она полна
в каждой инвариантной метрике. Таким образом, каждое полное
линейное метрическое пространство заданием эквивалентной мет-

5. Примечания и дополнения 105
рики может быть превращено в ^-пространство. Далее, линейное
нормированное пространство является В-пространством, если оно
полно в некоторой эквивалентной метрике. См. также работы Дан-
Данцига [1, 2].
Нормы в линейных пространствах. Мы видеЛи, что в линейном
нормированном пространстве существует много непрерывных
линейных функционалов. Ласаль [1J (см, также теорему V.2.8) пока-
показал, что ненулевой непрерывный линейный функционал существует
в том и только в том случае, если пространство содержит открытую
выпуклую окрестность нуля, не совпадающую со всем простран-
пространством. Колмогоровым [1] было доказано, что линейное топологиче-
топологическое пространство в том и только в том случае гомеоморфно
линейному нормированному пространству, если существует ограни-
ограниченная выпуклая окрестность нуля.
Вехаузен [1] показал, что если линейное топологическое про-
пространство имеет ограниченную окрестность нуля (не обязательно
выпуклую), то оно имеет эквивалентную инвариантную метрику,
но что ^-пространство может и не иметь ограниченной сферы.
Эйдельгайт и Мазур [1] доказали, что каждое ^-пространство
может быть снабжено инвариантной метрикой, эквивалентной исход-
исходной метрике и такой, что если х Ф О, то функция \ах\ является
монотонно возрастающей функцией вещественного переменного а.
Изометрия и линейная размерность. Мазур и Улам [1] (см.
также книгу Банаха [1, стр. 142J и статью Ароншайна [1]) полу-
получили следующий интересный результат:
Теорема. Каждое изометрическое отображение F одного линей-
линейного нормированного пространства в другое, т. е. такое, что
|F(jc) | = |*| и F@)=0, является линейным отображением.
Доказательство этой теоремы для случая конечномерного
/^-пространства было дано Хажинским [1].
В теореме V.8.8 будет установлен вид наиболее общего изометри-
изометрического изоморфизма между двумя пространствами непрерывных
функций. Банах [1,стр. 147—153] исследовал такие отображения
в других специальных В-пространствах.
К. Борсук (см. Банах [1, стр. 155— 157]) доказал существование
некоторого алгебраического изоморфизма, являющегося также гомео-
гомеоморфизмом между каждым из пространств Lp, /p, р>1, с, с0,
С [0, 1] и прямой суммой каждого из этих пространств с самим собой.
Мазур [4] показал, что пространства Lv и LPo гомеоморфны при
l
iP2
Банах [1, гл. 12] сформулировал такое определение: линейная
размерность пространства Ж не больше, чем линейная размерность
пространства 3), символически dim, Ж <dimt 2), если существует
взаимно однозначное непрерывное линейное отображение простран-
пространства ЭЕ на некоторое замкнутое линейное многообразие в ^). Было

106 Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
получено несколько результатов относительно сравнения про-
пространств Lp в смысле линейной размерности. Банах и Мазур [1]
показали, что два сепарабельных В-пространства могут иметь
одинаковые линейные размерности, не будучи топологически
изоморфными х).
Дифференциальное исчисление в В-пространствах. В гл. III
будет показано, что для функций, определенных на пространстве,
с мерой, область значений которых лежит в некотором 5-простран-
стве, может быть построена удовлетворительная теория интегриро-
интегрирования и что, кроме того, возможно построить теорию аналитиче-
аналитических функций комплексного переменного со значениями в некотором
комплексном Л-пространстве. Здесь уместно отметить, что по край-
крайней мере основания теории дифференцирования существуют даже
для функций, у которых как область определения, так и область зна-
значений являются S-пространствами. В случае комплексного Б-про-
странства эта теория является сравнительно полной и напоминает
теорию аналитических функций. Читатель, интересующийся этими
вопросами, может обратиться к Хилле [1, гл. IV]; вещественный
случай является до некоторой степени более трудным. В обоих слу-
случаях центральным понятием является понятие дифференциала
Фреше (или полного дифференциала).
Определение. Пусть Ж и ?) — fi-пространства, D — открытое
подмножество в Т? и F:D—^3). Говорят, что функция F в точке
afzD имеет дифференциал Фреше, если существует такой линейный
оператор dF (а, *)^ВAУ ?)), что
lim \h\-1\F(a + h)
Л. Грейвс [3] доказал справедливость некоторого обобщения
формулы Тейлора с остаточным членом. Кернер [1,2] обобщил тео-
теорему Стокса и построил некоторый аналог дифференциальной гео-
геометрии; подробнее об этом см. работу Майкала [1]. Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения рассматривались Майкалом и Элкониным [1]. Тео-
Теорема о неявной функции была доказана Гильдебрандтом и Грейв-
сом [1]; другие результаты в этом круге вопросов были получены
в работах Майкала и Клиффорда [1], Кронина [1, 2] и Бартла [1].
Дополнительные ссылки читатель может найти у Хилле [1],
а также в статьях Л. Грейвса [1], Хайерса [3], Майкала [1], Ро-
Роте [4] и Тейлора [10].
оо
Сходимость. Ряд 2*i называется безусловно сходящимся, если
при любой перестановке его членов он сходится к одному и тому
*) См. также недавнюю работу А. Н. Колмогорова [3*],— Прим. ред.

5. Примечания и дополнения 107
же элементу. Ясно, что достаточным условием безусловной сходи-
сходимости ряда является его абсолютная сходимость, т. е. сходимость
оо
ряда 2l*il- Дворецкий и Роджерс [1] показали, что абсолютная
сходимость в том и только в том случае эквивалентна безусловной
сходимости, если В-пространство конечномерно. Теорема Орлича —
Банаха гласит: для безусловной сходимости ряда необходимо и доста-
достаточно, чтобы каждая подпоследовательность последовательности
его частных сумм слабо сходилась к некоторому элементу этого про-
пространства (см. Банах [1, стр. 209], Данфорд [1, стр. 322]). В том
случае, когда пространство является слабо полным, для безуслов-
оо
ной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 \Х*ХЛ
сходился для любого х* G Ж*.
По поводу сходимости см. работы Дворецкого и Роджерса [1],
Гильдебрандта [1], Карлина [1], Мак-Фейла [1], Манроу [1],
Никодима [1], Орлича [1, 2], Гельфанда [2].
Относительно специальных типов сходимости в абстрактных
линейных пространствах см. работы Гагаева [1], Меддауса [1],
Нахбина [1], Титова [1, 2], Вулиха [3].
Ортогональность. Существует по крайней мере четыре опреде-
определения ортогональности элементов вещественного линейного норми-
нормированного пространства. Наиболее плодотворным является, воз-
возможно, определение, предложенное Биркгофом и значительно раз-
развитое Джеймсом [2]: элемент х в том и только в том случае считается
ортогональным элементу у, если \х\ < \x-\- ky\ для любого веществен-
вещественного k. Это понятие связано с понятиями строгой выпуклости,
слабой бикомпактности, диффереацируемости нормы и различными
свойствами линейных функционалов. В терминах этого понятия
Джеймсом [2, 3] были даны некоторые необходимые и достаточные
условия, при которых может быть определено некоторое внутрен-
внутреннее произведение.
Относительно ортогональности см. работы Г. Биркгофа [1],
Форте [1, 2], Джеймса [1—3], Робертса [1].
Базис. Последовательность {хь} элементов В-пространства X
называется его базой (или базисом), если для каждого х? Ж сущест-
существует такое однозначно определенное множество (аг) скаляров, что
п
lim \x— 2 aixi 1 = 0.
71 -> ОО »=1
Это понятие было введено Шаудером [1], оно удобно при обобще-
обобщении результатов, относящихся к конечномерным пространствам,
на бесконечномерные пространства, обладающие базисом. Различ-
Различными авторами использовались также некоторые базисы иного типа.

108 г Гл. II. Три основных принципа линейного анализа
Можно заметить, что это понятие тесно связано с проблемой (биор-
тогонального) разложения произвольного элемента.
Ясно, что В-пространство, обладающее базисом в только что
определенном смысле, должно быть сепарабельным. Обратный
вопрос, будет ли каждое сепарабельное Б-пространство обладать
базисом, до сих пор не решен. В пространствах с0 или /р, 1 <р < оо,
векторы {*•}, где л^=[6а, 6^2, ...], образуют базис. В пространст-
пространстве с базис образуют эти векторы вместе с вектором хо= [1,1, 1, ...].
Шаудер [1] построил некоторый базис в пространстве С [0, 1]
и доказал (Шаудер [3]), что ортогональная система Хаара служит
базисом в пространстве Lpy 1 < р < сю. В пространстве L2@, 1) можно
так нормализовать тригонометрические многочлены, или много-
многочлены Лежандра, что они будут образовывать базис; в L2@, oo)
иногда используются функции Лагерра, а в L2(—оо, оо)— функ-
функции Эрмита.
Дополнительные сведения о базисах и биортогональных систе-
системах можно найти в работах следующих авторов: Альтман [1, 2],
Бабенко [1], Бари [1], Банах [1, гл. 7], Боас Р. [2], Боненблуст [3],
Винокуров [1], Виланский [1], Гельбаум [1, 2], Гельфанд [6],
Гринблюм [1—4], Гуревич Л. [1], Дьёдонне [16], Диксмье [7],
Джеймс [4], Качмаж и Штейнгауз [1], Карлин [1, 2], Костюченко
и Скороход [1], Козлов [1, 2], Крейн, Мильман и Рутман [1],
Лорх [1], Маркушевич [1—3], Никольский В. [1], Орлич [8],
Фринк [1], Цзен [1], Шефке [1, 2], Шаудер [1, 3].
Дополнительная литература1).
Гротендик [6*], Дэй [12*], Колмогоров и Фомин [1*], Най-
марк [13*], Птак [4*, 5*], Растон [7*], Робертсон А. и Роберт-
сон У. [1*], Шилов [6*].
*) Добавлена редакцией.

ГЛАВА III
Интегрирование и функции множества
1. Конечно аддитивные функции множества
В противоположность терминам «вещественная функция», «ком-
«комплексная функция» и т. д., где прилагательные «вещественная»
и «комплексная» относятся к области значений функции, понятие
функции множества обычно используется в математике для обозна-
обозначения функции, областью определения которой служит некоторое
семейство множеств. Излагаемая в этой главе теория интеграла
основана на использовании некоторой функции множества \i. Ино-
Иногда встречаются случаи, в которых функция \i принимает и не ска-
скалярные значения, но обычно в тех местах нашей книги, где исполь-
используется интегрирование, \i предполагается скалярной, а /— вектор-
векторной (или скалярной) функциями. Таким образом, даже если процесс
интегрирования определен по отношению к скалярной функции
множества (я, получающийся при этом интеграл v может быть вектор-
векторной функцией. Целесообразно поэтому некоторые основные элемен-
элементарные понятия сформулировать таким оэразом, чтобы, пользуясь,
ими, можно было изучать не только скалярные, но и векторные
функции множества. Исследование некоторых более глубоких
свойств векторных функций приводится в § 10 гл. IV. Желательно,
кроме того, рассматривать функции множества \i со значениями из
расширенной области вещественных чисел (не являющейся вектор-
векторным пространством), но так как сумма оо+(—оо) не определена,
а нам придется складывать различные значения функции (я, то мы
условимся присоединять к области значений вещественной функ-
функции самое большее одно из несобственных значений: +оо или —оо.
1. Определение. Функцией множества называется функция,
определенная на некотором семействе множеств и принимающая
значения либо из некоторого В-пространства, которое может быть
множеством вещественных или комплексных чисел, либо из рас-
расширенной области вещественных чисел; в последнем случае ее об-

НО Гл. III. Интегрирование и функции множества
ласть значений содержит самое большее одно из несобственных зна-
значений: + оо и —оо. Положительная функция множества — это
функция множества, принимающая значения из (расширенной) обла-
области вещественных чисел и не имеющая отрицательных значений.
2. Определение. Функция множества \if определенная на неко-
некотором семействе т множеств, называется аддитивной или конечно
аддитивной у если [г@)=О и
для каждой конечной системы {Аг, ..., Ап) попарно непересекаю-
непересекающихся множеств из т, сумма которых принадлежит т.
В качестве примера конечно аддитивной функции множества
рассмотрим совокупность т полуинтервалов /=[а, b), 0<a< b <1,
и функцию \i(I) = b — а.
Обычно мы будем предполагать, что область определения аддитив-
аддитивной функции множества замкнута относительно конечного числа
операций сложения, пересечения и перехода к дополнению. Если
А и В — подмножества множества 5, то множество A f]Bf удобно
обозначать через А—В. Однако в случае, когда 5 — группа, мы
будем избегать этого обозначения, чтобы не путать его с обозначе-
обозначением групповой операции. Через ЛАВ мы будем обозначать симме-
симметрическую разность (Л — B)\J(B- A).
3. Определение. Пусть S — некоторое множество. Алгеброй
подмножеств1) (или булевской алгеброй подмножеств) множества S
называется непустое семейство подмножеств из 5, содержащее
пустое множество, дополнение (относительно S) каждого из своих
элементов и сумму любого конечного числа своих элементов.
Ясно, что алгебра множеств содержит как разность, так и сим-
симметрическую разность любых двух своих элементов. Из правил
двойственности вытекает, что
Таким образом, алгебра множеств содержит и пересечение любого
конечного числа своих элементов.
В рассмотренном выше примере S=[0, 1); обозначим через 2
совокупность всех конечных сумм интервалов I=[at ft), принадле-
п
жащих т. Тогда 2 будет алгеброй. Если Л б 2, то Л = (J /{, где It —
х) В оригинале автор употребляет термин поле [field] подмножеств, однако
в современной советской литературе термин алгебра более употребителен.
Умножением в алгебре множеств является пересечение, суммой — симметриче-
симметрическая разность. — Прим. рее).

/. Конечно аддитивные функции множества 111
попарно непересекающиеся интервалы. Положим
легко видеть, что \i (А) зависит только от множества А и не зависит
от способа его разложения на интервалы, а также, что \i является
конечно аддитивной функцией множества, определенной на алгеб-
алгебре 2.
В качестве следующего шага нашего исследования мы покажем,
как по произвольно заданной функции множества |я можно опреде-
определить некоторую неотрицательную функцию множества v(\i), назы-
называемую полной вариацией (г. Из определения функции множества
v(\i) вытекает, что она равна \i, если сама \i неотрицательна и адди-
аддитивна, аддитивна, если аддитивна |я, и ограничена, если ограничена
\i. Полная вариация v(\x) важна тем, что она мажорирует \i в том
смысле, что v(\l, Е)>\ |я(?)| для ??2. Читатель может проверить
свое понимание определения 4, доказав, что v (\i) является наимень-
наименьшей из неотрицательных аддитивных функций множества Я, удов-
удовлетворяющих неравенству А,(?)> |(я(?)| для всех ?6 2.
4. Определение. Пусть \х будет функцией множества, опреде-
определенной на алгебре 2 подмножеств множества S. Тогда для каждого
? 2 полная вариация \i на ?, обозначаемая через v (\i, ?), по опре-
определению, равна
где верхняя грань берется по всем конечным системам {Ег} попарна
непересекающихся множеств из 2 таких, что Ег^Е. Функция
множества \i называется функцией ограниченной вариации, если
f(jLi, S)<oo, и ограниченной вариации на множестве ?6 2, если
v(p, ?)<оо.
5. Лемма. Если вещественная или комплексная аддитивная функ-
функция множества, определенная на алгебре 2 подмножеств множества
5, ограничена, то она является функцией ограниченной вариации,
причем v ([л, S) < 4 sup | jli (?) |.
Доказательство. Рассмотрим определенную на 2 аддитивную
функцию множества (я, и пусть | (я (?)| <Л4 для каждого ?6 2. Если
\х — вещественная функция, то для каждой конечной системы
{Ev . .., Еп} попарно непересекающихся множеств из 2
2
i—1

112
Гл. III. Интегрирование и функции множества
где
и U+ B и U") относятся к тем t, для которых (i(?'i)>0
<0). Таким образом,
v(\i,S) = sup {|1(Л)-|х(В)}<2М.
А, Б ?2
Если |ы — комплексная функция, то ее вещественная и мнимая
части являются вещественными аддитивными функциями множества
на 2, абсолютные значения которых не превосходят М. Поэтому
в этом случае v(\i, S)<4M, ч. т. д.
Если имеется в виду вполне определенное \i, то мы будем писать
v(E)y вместо v(\i, E). Если ^ — неотрицательная аддитивная функ-
функция, то v(\xt E)=\i(E). Часто бывает полезно представлять себе
v (E) как предел некоторой обобщенной последовательности. Для это-
этого совокупность всех конечных систем {?J попарно непересекаю-
непересекающихся множеств из 2, где Ег<~_Е, упорядочим, считая, что {Еь}с:
с; {Fj}, если каждое Ei является суммой некоторых из множеств /у
Тогда 2|И(Я*)|<2№)| и v(E)= lim 2 11* (^*) U
{Ei}
6. Лемма. Полная вариация аддитивной функции множества,
определенной на алгебре 2 подмножеств множества S, также адди-
аддитивна на 2.
Доказательство. Рассмотрим такую конечную систему {At}
непересекающихся множеств из 2, что Аьс^Е [J F, где Е, F?2
и EF=0. Положим Ег=ЕАг, F—FA-^ тогда
i, F)
и, следовательно,
(I)
v(ix, F).
Отсюда ясно, что если v(\i, E]JF)=co, то v(\i, E\JF) = v(ii, E)+
-\-v(\i, F). Если же v(\i, E[_\F) - оэ, то существуют такие конечные
системы {Ej}, {F^ непересекающихся множеств из 2, что EjCiE,
F^F и
Ввиду произвольности е>0 у((л, E)+v(\i, /7)< v(\i, E{JF), откуда
ввиду неравенства (I) вытекает аддитивность относительно Е 6 Б
функции t/(jx, ?), ч. т. д.
В нижеследующих определении и теореме мы покажем, как
с помощью полной вариации ограниченной аддитивной веществен-
вещественной функции множества |ы можно разложить ее на «положительную»
и «отрицательную» части. Это разложение аналогично представле-

1. Конечно аддитивные функции множества 113
нию функции/(•) в виде разности двух неотрицательных функций:
если /+(-)Ц (!/(•)!+/(•)) иГ(-)Ц(|/(-)|-/(-)),то/+иГ-неот-
рицательны и f=f+ — f~.
7. Определение. Пусть \х—ограниченная аддитивная вещест-
вещественная функция множества, определенная на алгебре 2 подмно-
подмножеств множества S. Верхней, или положительной, вариацией \i* к
нижней, или отрицательной, вариацией \х~ функции \х называются
функции множества, определяемые на 2 равенствами
fi+ (?) = 1 {v0*. Е) + |i (?)}, ц-(?) = \ {v (щ ?) - ц (?)}.
8. Теорема (о разложении в смысле Жордана). Если \х — ограни-
ограниченная аддитивная вещественная функция множества, определенная
на некоторой алгебре 2, то для каждого ? 2
,!¦(?)= sup |i(F), ц-(?)=- inf
Функции множества |i+ a |i" аддитивны, неотрицательны и для
каждого Е ? 2
Доказательство. Если Fg_E, E, F6S, то
Таким образом,
(I) sup ,i(F)<,i+
С другой стороны, возьмем е "> 0, и пусть Ег, ... , ?п —попарно непе-
непересекающиеся множества из 2, такие, что \JE~E и 2||i(?'i)|>
> v (\x, E) — е. Тогда в обозначениях леммы 5
sup ix(F).
Так как е >0 произвольно, то |i+(?)< sup \i(F), откуда ввиду
неравенства (I) получаем, что jn+(?) = sup \i{F). Так как \\Г =
= {] — М-}"**, то \i~(E)=— inf \i(F). Остальные утверждения теоремы
легко вытекают из определений, ч. т. д.
^ Заказ 1324

114 Гл. III. Интегрирование и функции множества
При изучении аддитивной функции множества \i могут встре-
встретиться некоторые непустые множества, которыми во многих вопро-
вопросах, постольку поскольку это касается \i, можно пренебречь. Это
так называемые нуль-множества, вводимые ниже, в определе-
определении 11. Их, быть может, лучше ввести, рассмотрев сперва некоторое
(не обязательно аддитивное) продолжение fx* положительной функ-
функции множества ц, определяемое следующим образом:
9. Определение. Пусть \л, — положительная аддитивная функ-
функция множества со значениями из расширенной области веществен-
вещественных чисел, определенная на алгебре 2 подмножеств множества S-
Для произвольного подмножества E?S число \i*(E), по определе-
определению, полагается равным
= inf
10. Лемма. Пусть \х — положительная аддитивная функция
множества, определенная на алгебре 2 подмножеств множества S
и принимающая значения из расширенной области вещественных
чисел. Тогда
(а)
(b) |
(c) |x
Доказательство. Если ??2, F?2 и Fg?, то \x(F)=\i(E) +
+li(F-E)) так что \i(F)>\i(E). Следовательно, fi* (E) > |ы (?).
С другой стороны, так как Е з ?, то \i (Е) > \i* (E), откуда вытекает
(а). Чтобы доказать (Ь), возьмем е > 0, и пусть Av Вгб2, причем
АА B1ZJB и
Тогда A^B^
< ,i (А,) + р (В,) < ^* (Л) + ^* (В) + е.
Так как г > 0 произвольно, то отсюда вытекает (Ь). Утверждение
(с) непосредственно следует из определения |ы*, ч. т. д.
Определения 4 и 9 дают возможность ввести одно из наиболее
часто встречающихся понятий теории меры, а именно понятие нуль-
нульмножества. Оно содержится в следующем определении:
11. Определение. Пусть \х — аддитивная функция множества,
определенная на некоторой алгебре подмножеств множества S.
Подмножество jV множества S называется нуль-множеством отно-

Интегрирование //5
сительно функции jn1), если и* (\i, N)=0, где v* — вводимое в опре-
определении 9 продолжение полной вариации v функции \х. Из леммы
10 непосредственно вытекает, что каждое подмножество нуль-мно-
нуль-множества и каждая конечная сумма нуль-множеств есть нуль-множе-
нуль-множество. Говорят, что некоторое утверждение относительно точек H3S
выполняется почти всюду относительно \х, или, если определенное
|х подразумевается, просто почти всюду, или для почти всех s?S,
если оно справедливо для всех s9 за исключением лишь точек,
принадлежащих некоторому нуль-множеству. Таким образом, если
lim/n(s):=/(s), s?S — N, где N— нуль-множество, то мы говорим,
п
что последовательность {/п} сходится к / почти всюду на S. Кроме
выражения «почти всюду относительно jn», существуют другие выра-
выражения, связанные с понятием нуль-множества и используемые для
функций /, определенных на 5 и таких, для которых особый инте-
интерес представляет их область значений. Именно, если существует
нуль-множество N такое, что сужение функции / на множество
S—N ограничено, то / называется существенно ограниченной отно-
относительно |i или, просто, существенно ограниченной. Величина
inf sup \f(s)\,
N s?S-N
где N пробегает совокупность нуль-множеств из 5, называется су-
существенной верхней гранью для |/(-)| относительно \х и обозначается
vrai sup \f(s) |. Если для некоторого нуль-множества N область зна-
чений сужения / на множество 5—N сепарабельна, то функция /
называется почти сепарабельнозначной. Понятие бикомпактной
с точностью до нуль-множества функции определяется аналогично.
В приводимом выше примере, где 2 порождается интервалами
1= [а, 6), 0<а < Ь < 1, и |ы A) = Ь—а, мы видим, что каждое конеч-
конечное множество точек, а также каждая сходящаяся последователь-
последовательность точек, принадлежащих [0, 1], являются нуль-множествами.
2. Интегрирование
В этом параграфе и в следующем, посвященном лебеговым про-
пространствам, мы введем определение и изучим основные свойства
интеграла \ f (s) \i(ds). В этих параграфах f будет векторной функ-
функцией, определенной на некотором множестве S, a \i — конечно адди-
2) ц-nullset; следует заметить, что множество, на котором \х равно
нулю, не обязательно является нуль-множеством, так как jx не обязана быть
неотрицательной. С другой стороны, \i только конечно аддитивна, следова-
следовательно, она не обязательно есть мера. В тех случаях, когда jx z- 0 и счетно-
аддитивна, в переводе наряду с термином «нуль-множество» будет употреб-
употребляться также термин «множество нулевой меры».
8*

116 Гл. 111. Интегрирование и функции множества
тивной функцией множества, определенной на некоторой алгебре под-
подмножеств множества S; ограниченность \х при этом не будет предпо-
предполагаться. Таким образом, основу теории составляют: фиксирован-
фиксированное множество S, некоторая алгебра 2 его подмножеств и опреде-
определенная на 2 конечно аддитивная функция |ы, принимающая значе-
значения либо комплексные, либо из расширенной области веществен-
вещественных чисел. Интегрируемые функции будут принимать значения из
некоторого вещественного или комплексного В-пространства Ж.
Прежде всего мы введем топологию в множество всех функций,
определенных на S и принимающих значения из 5-пространства ЗВ.
Эта топология будет определена посредством некоторой метриче-
метрической функции, выбираемой таким образом, что две функции f и g
окажутся близкими друг к другу в этой метрике, если f(s) близка
к g(s) всюду, за исключением точек s, образующих такое множе-
множество Е ? 2, для которого v(\i, E) мала.
1. Определение. Для каждого ?с^5, каждого а> О и каждой
функции f, отображающей S в 3?, подмножество ?(|/|>а) мно-
множества Е определим равенством
а норму \f\ функции f положим равной
|/| = infarctg(a+D*(n,S
a>0
Необходимо отметить, что мы имеем в виду главное значение арк-
арктангенса, т. е. значение его, заключенное между 0 и я/2. Арктан-
Арктангенс в определении 1 берется для того, чтобы |/| была <оо, даже
если и* (S)=co. Конечно, можно заменить арктангенс любой непре-
непрерывной возрастающей функцией ф такой, что ф@)=0, <р(х1+х2) <
(^ (х2) при xlf Jt2> 0 и ф (co) = lim ф (х) существует, напри-
х оо
мер, ф (х)=хA+х)~1. Если же и* (S) < оо, можно просто положить
|/| = inf [a+и* (ji.St |/| ><*))].
Читатель не должен путать норму / с нормой \f(s)\ значения f (s)
функции /. Если нам приходится рассматривать функцию g (s) =
= |f (s)|, то мы можем в случае необходимости обозначать ее сим-
символом |f (•) |, но не символом \f |. Если читатель будет иметь в виду
все эти условные обозначения, он сможет избежать слишком боль-
большой путаницы.
Заметим также, что относительно только что введенной нормы
множество всех функций, отображающих S в 3?, не будет, вообще
говоря, линейным топологическим пространством, так как r\f не
обязательно стремится к нулю вместе с г\ (см. упражнение 9.7).

2. Интегоипование ЦТ
2. Лемма. Пусть f и g — функции, отображающие S в Ж.
Тогда \f+g\<\f\+\g\.
Доказательство. Пусть а, Р > 0. Тогда S (\f+g\ > сс+Р)?
gS(|/|>a)L)S(j?|>P) и
g{
< inf arctg {a+v* (ц, S (| /1 > a))+ p + v* (ji, S (| g \ > p))} <
a, p -0
< inf arctg {a+v* (ц, S (| /1 > a))}+
O
|/| + |g|, ч. т. д.
Если бы равенство | /1=0 влекло за собой f - 0, то предыдущая:
лемма показывала бы, что функция q (/, g) = \f—g\ является мет-
метрикой в пространстве всех функций, отображающих S в Э?
(см. 1.6.1). Но, к сожалению, это бывает редко, и поэтому нам при-
придется пойти несколько окольным путем.
3. Определение, функция /, отображающая S в ЭВ, эквивалентна
нулю относительно \х или, если определенное jn подразумевается,
просто эквивалентна нулю, если для каждого а > 0 множество
S(|f|>oc) является нуль-множеством.
Важно отметить, что функция, эквивалентная нулю относительно
некоторой конечно аддитивной функции множества, не обязательно
почти всюду обращается в нуль. Рассмотрим, например, такую
функцию: пусть S= [0, 1), 2 — алгебра конечных сумм интервалов
I=[at 6), 0<а < Ь < 1, и|ш (/) = 6—а, как в § 1. Обозначим через R
совокупность рациональных точек множества S. Для несократимой
дроби r=p/q? R положим f (piq)=\lqy а при sg 5—R пусть f(s) = 0.
Так как для каждого а > 0 множество S (| /1 > а) конечно, то/ экви-
эквивалентна нулю. Однако }х*G?) = 1.
4. Лемма. Функция f, отображающая S в 3?, в том и только
в том случае эквивалентна нулю, если |/|=0.
Доказательство.. Если |f|=0, то для каждого е>0 суще-
существует такое а > 0, что ос+и* (jn, S (| f | > а)) < е. Следовательно,.
а<8, так что S( \ /I > a) DS( | /' > е) и v* (|i, S(l/|>e))<e.
Таккак5( /|>б)С^( /I > е) прив > е, то и* (|i,S(|/| > 6))<e,
если б > е, откуда вытекает, что v* (\i, S(\f\ > б)) - 0 для каж-
каждого б > 0. Обратно, ясно, что если у* (jn, S (| /| > а))=0 для
любого а>0, то |/,=0, ч. т. д.
5. Следствие. Функции, эквивалентные нулю, образуют линей-
линейное подпространство в пространстве всех функций, отображаю-

118 Гл. III. Интегрирование и функции множества
щих S в Ж. Если f эквивалентна нулю и почти всюду на
$ IS(s) I < I /(s) I» то и g эквивалентна нулю.
Из лемм 2 и 4 вытекает, что отношение между двумя функциями
/ и g", отображающими 5 в Ж, состоящее в том, что разность f—g экви-
эквивалентна нулю, является рефлексивным, симметричным и транзитив-
транзитивным. Следовательно, линейное множество всех функций, отображаю-
отображающих S в Ж, можно разбить на взаимно непересекающиеся классы
эквивалентных между собой функций. Для произвольной функции/,
отображающей S в Ж, обозначим через If] класс функций, эквива-
эквивалентных / (т. е. совокупность всех таких функций g, что f—g экви-
эквивалентно нулю); через F (S, 2, jn, Ж) обозначим совокупность всех
таких классов [/]. Если положить, по определению,
то ввиду лемм 2 и 4 F (S, 2, \ху ЭЕ) становится линейным векторным
пространством и в то же время метрическим пространством с метри-
метрикой q ([/], [g])=|[fl — [g]|. Так как|#| = |/|, если [g]=[fl, то ясно,
что норма | [/J | определена однозначно. Точно так же, как и в общем
случае фактор-пространства (см. § 1.11), корректно и определение
сложения и умножения на скаляр классов эквивалентности.
Принято говорить об элементах из F (S, S, jn, Ж) как о функциях,
а не как о классах эквивалентных функций. Обычно мы тоже будем
придерживаться этой терминологии. Таким образом, мы будем
писать / вместо \f] и представлять себе F(S, S, jn, Ж) как множе-
множество всех функций, отображающих 5 в Ж. Никакого недоразумения не
возникнет, если мы будем помнить, что две функции, отличающиеся
только на нулевую функцию, следует считать совпадающими. Таким
образом, функция if) может рассматриваться как функция, опреде-
определенная на пространстве F(S, 2, jn, 3E), лишь в том случае, если
'Ф (/)=<Ф(&)» когда разность f — g эквивалентна нулю. Точно так же,
если функция /, отображающая S в 2Б, рассматривается как точка
пространства F(S, S, |i, Ж), то под этим необходимо подразу-
подразумевается класс всех функций g, отображающих 5 в Ж и эквива-
эквивалентных /. Если векторное пространство Ж зафиксировано в данном
рассуждении, то иногда вместо F(S, S, |х, Ж) мы будем писать
F(S, S, jn). Аналогично, если ясно, о каких 2 и jn идет речь, то
вместо F(S, 2, jn) можно писать просто F(S).
6. Определение. Сходимость в метрическом пространстве F (S)
называется сходимостью по мере \х или просто сходимостью по мере.
Последовательность {fn} функций, отображающих S в 3S, в том
и только в том случае сходится по мере \i к функций f, отобра-

2. Интегрирование
жающей 5 в Ж, если
7. Лемма. Последовательность {/п} функций, отображающих-
$ в Э?, в том и только в том случае сходится по мере к функции /.
отображающей S в Ж, если для каждого е > О
Доказательство. Доказательство этой леммы вытекает из сле-
следующих элементарных неравенств:
(а)Если|/п-/|>6>0 H0<e<l
(Ь)Если t;* (iitS(-1/п- /| > в)) > в > О,
TOl/n —/l> min[arctg6, arctge], ч. т. д.
8. Лемма. Пусть fug-*- функции, отображающие S в Ж.
(a) Отображение /, g—>f+g является непрерывным отображе-
отображением F (S) в F(S).
(b) При фиксированном скаляре а отображение /—>af является
непрерывным отображением F (S) в себя,
(c) Если fn сходится к f по мере, то u\fn (•) | сходится к \f(-)\no-
мере.
Доказательство. Если fn—>f и gn-^gt то, по лемме 2,
\fn+8n-(f+8)\<\fn-f\ + \gn-B\->0* так что f+8 является
непрерывной функцией от f и g. Далее, так как при ос=0 утвер-
утверждение (Ь) тривиально, мы можем считать, что а Ф 0; в этом-
случае
откуда следует, что если /п—>/, то а/п—>а/. Последнее утвер-
утверждение вытекает из неравенства
ll/n(s)IH/(s)||<|/n(s)-/(s)|, ч. т. д.
При построении теории интеграла важную роль будут играть
различные линейные подпространства пространства F(S). Сначала
мы определим интеграл для функций весьма простого вида, описан-
описанных ниже. В дальнейшем область определения интеграла посред-
посредством использования его свойств непрерывности будет распростра-
распространена на много более широкий класс функций.

120 Гл. III. Интегпиппвпиие и финкиии множества
9. Определение. Рассмотрим функцию /, отображающую 5 в ЭЕ,
принимающую лишь конечное число значений xv ..., хп и такую,
что
Каждая функция g, отображающая S в Ж и эквивалентная такой
функции /, называется \x-npocmou функцией.
Поскольку мы условились говорить «функция» вместо «класс
эквивалентных функций», мы часто будем обращаться с [х-простой
функцией так, как если бы она просто была функцией, принимаю-
принимающей только конечное число значений и притом принимающей их на
множествах из 2. Если читатель вспомнит, что мы обычно не раз-
различаем между собой две эквивалентные функции, это не доставит
ему затруднений.
Отметим, что в силу следствия 5 jn-простые функции образуют
в Р^линейное многообразие.
10. Определение. Функциями, вполне ^-измеримыми на S или,
если jli подразумевается, просто вполне измеримыми на S, называют-
называются функции, принадлежащие замыканию ТМ (S) множества |ы-про-
стых функций в пространстве F(S). Если для каждого Е из 2,
для которого v(\i, Е) < оо, произведение %я/ функции / на характе-
характеристическую функцию %е множества Е вполне измеримо, то функ-
функция / называется [х-измеримой, или, если \х подразумевается, просто
измеримой. Множество А измеримо, если функция %л измерима.
Для множества измеримых функций используются обозначения
М (S, 2, [х, Ж), М (S, 2, \х), M (S), а для множества вполне изме-
измеримых функций одновременно с ТМ (S) также ТМ (S, 2, jn, Ж)
и TM(S, 2, fx).
11. Лемма. Вполне измеримые функции, так же как и измеримые
>функцииу образуют в F (S) замкнутое линейное многообразие.
Доказательство. Множество jx-простых функций образует в F (S)
линейное многообразие и, следовательно, по лемме 8, таковым
является и его замыкание ТМ (S). Далее, поскольку из сходимости
по мере последовательности {/п} вытекает сходимость {}п%е} для
любого множества Е из 2, то М (S) тоже является замкнутым линей-
линейным многообразием в F(S), ч. т. д.
12. Лемма# Пусть f и Р — вполне ^-измеримые (\х-измеримые)
функции, определенные на S, причем Р —скалярная функция, и пусть
g — непрерывная функция, определенная на поле скаляров. Тогда
функции Р/, | /(•) | и g(P (•)) вполне ^-измеримы (\х-измеримы). Если
одна из функций Р или f эквивалентна нулю относительно \х, в то
время как другая вполне ^-измерима, то и $f эквивалентно нулю.

2. Интегрирование 121
Кроме того, отображение Р—>g"(P(-)) является непрерывным ото-
отображением ТМ (S) в себя.
Доказательство. Ввиду тождеств
%е (*) Р (*) / (s) = (Хе (s) р (s)) (хЕ («) / E)), Хя (s) | / (s) | =
утверждения леммы относительно jii-измеримых функций будут
вытекать из соответствующих утверждений относительно вполне
^-измеримых функций.
» Теперь мы покажем, что если р и f — вполне ^-измеримые функ-
функции, то вполне fi-измеримо и их произведение. Пусть {fn} и {рп}—
последовательности принимающих лишь конечное число значений
(i-простых функций, сходящиеся по мере к / и р соответственно,
и пусть е — произвольное положительное число. Для достаточно
большого п функция р равномерно аппроксимируется с точностью
до е на множестве, дополнение которого имеет меру меньше 8, огра-
ограниченными функциями рп из рассматриваемой последовательности,
и аналогичное замечание можно сделать и относительно /. Таким
образом, найдется такая константа М и такое множество Ао, что
|P(s)|<M, |/0) |<ЛГ, s?A0) причем v* (jn, А'0)<е. Далее, суще-
существует такое натуральное число А^е, что при n^Ne
при всех s из некоторого множества Лп, для которого у* (|х, А^) < 8.
Таким образом,
если s?Aor\An, где и* (fi, (А0[~]АпУ) <2г. Отсюда вытекает, что-
последовательность {finfn} fi-простых функций сходится по мере
|ы к р/. То обстоятельство, что функция |/(-) | вполне ^-измерима,
вытекает из леммы 8.
Пусть теперь g является непрерывной функцией, определен-
определенной на поле скаляров, ар — вполне fi-измеримая функция. Пред-
Предположим, что {рп} — последовательность принимающих конечное
число значений fi-простых функций, сходящаяся к р по мере |ы.
Для заданного 8 > 0 по-прежнему найдется такая константа М
и такое множество Ао, что v*(\i9 А'о) < 8 и |P(s)|<7W, если
s?A0. Пусть б — такое положительное число, что при |а —у| < б
и |а|, |у|<М выполняется неравенство Ig(oc) — g(y) \ < е. Суще-
Существует такая последовательность множеств {Ап} и такое нату-

122 Гл. III. Интегрирование и функции множества
ральное число jV8, что при n>Ne
|Pn(S)-p(s)|<6, 5бЛп,
и v* (fx, Ап) < е. Таким образом, при п> Ne
и и*([х,(ЛлПЛ)/)<2е. Следовательно, g(Pn(-))->g(P (•)) по
мере (j, и, значит, функция ^(Р (•)) вполне измерима. Аналогичное
рассуждение можно провести и для доказательства последнего
утверждения леммы.
Пусть, наконец, функция/ вполне измерима, а Р —скалярная
эквивалентная нулю функция. Для заданного е > 0 мы можем, согла-
согласно нашему предыдущему замечанию, найти такую константу М
Л
у руу
и такое множество Ло, что
Пусть б > 0, положим Во = {s
f(s)\<M, 5б^0, t;*(|i, А'0)<е.
Р () / () I б} М АВ
()\ 0 | 0)
Р E) / E) I > б}- Множество А0В0
является нуль-множеством, так как оно содержится в множестве
таких 5, для которых | Р (s) | > ЫМ и v* (А'0В0) < е. Следовательно,
v* (Во) < е и р/ эквивалентно нулю. Случай, когда Р—вполне
|1-измеримая, а / эквивалентна нулю, может быть рассмотрен
в точности таким же способом, ч. т. д.
Из леммы 11 видно, что вполне измеримые функции образуют
линейное пространство. Из леммы 12 получаем, кроме того, что
классы эквивалентных между собой скалярных вполне измеримых
функций образуют алгебру.
13. Определение, (i-простая функция h называется ^-интегри-
^-интегрируемой, если она эквивалентна функции вида
где ?i = /:~1(jti), t=l, ..., nt —попарно непересекающиеся мно-
множества из 2, сумма которых равна 5, и где хг = 0, если v (ji, E{) = co.
Выражения «[х-интегрируемая (л-простая функция» и «[х-интегри-
руемая простая функция» будут использоваться как эквивалентные.
Если ?g2, то интеграл по Е от [х-интегрируемой простой функ-
функции h определяется равенством
п
\ h(s)|i(ds) =[f(s)ii(ds) = 2 *#(EEt).
E E i=i
В этом равенстве слагаемое хг\х(ЕЕг) вида 0-оо, по определению,
считается равным нулю.
Чтобы убедиться в том, что такой интеграл определен однознач-
однозначно, рассмотрим другую функцию

2. Интегрирование 123
где Aj — g1(yj)t /=1, ..., т, —попарно непересекающиеся мно-
множества из 2, сумма которых равна 5, причем #, = 0, если
v ([х, Aj) = оо, и предположим, что g также отличается от h на
эквивалентную нулю функцию. Тогда функция
эквивалентна нулю и, значит, xi — у;- = 0, если v (\i, ЕХА^) Ф 0. Сле-
Следовательно,
откуда и следует, что наше определение интеграла \ h (s) \i (ds)
E
действительно не зависит от выбора функции f, эквивалентной Л.
Вместо V h(s)\i(ds) мы будем иногда писать \ hd\i. Проведенное
Е Е
нами рассуждение показывает также, что если h и k fx-интегри-
руемые простые функции, причем |А — ^| = 0, то \ hd\i,= \ kd\i
(см. лемму 4). Таким образом, интеграл можно считать определен-
определенным на некотором подмножестве метрического пространства F(S).
14. Лемма. \х-интегрируемые простые функции образуют линей-
линейное многообразие в F(S), а интеграл \fd\i является линейным
Е
отображением этого многообразия в ЗЕ. Если обе функции f и \к
неотрицательны, то таким же будет и \fd\i.
Ё
Доказательство. Предположим, что f и g — (х-интегрируемые
простые функции такого вида, как и выше. Тогда значения
zx ,..., zp функции f + g находятся среди элементов
1 < i < л, 1 < / < т и
V
k=i
где Bk есть сумма всех таких множеств ЕгАр для которых
хг-\-у} = гк. Если гкф0 и если х{-+ у} = гкУ то хг и у} не могут
равняться нулю одновременно, и, следовательно, v (\i, Bk) < оо.
Таким образом, f + g является [х-интегрируемой простой функ-
функцией. Если Рк есть множество всех пар (*, /), таких, что хг-+у~гк>

124 Гл. III. Интегрирование и функции множества
то EtAj пусто, если (/, /') не принадлежит ни одному из множеств
Pfe, Л=1, ..., р и, следовательно,
V V
n
г = 1
i П
2
E
m
y=t
rn
7 = 1
k=\ (i,j)?Pk
п т
г=1 у=1
т
Остальные утверждения леммы доказываются непосредственно,
ч. т. д.
15. Лемма. Если f — \i-интегрируемая простая функция, то
[ f(s)vL(ds)\<[ \f(s)\v(ui,ds).
Е Е
Функция множества Х(Е)= \ f (s) \i (ds) является аддитивной функ-
Е
цией множества на 2, полная вариация которой равна
Кроме того,
Urn [f(s)\i(ds) = O.
Доказательство. Так как | к (Е) \ < v (к, Е) при ? 2, то
из второго утверждения вытекает первое. Чтобы доказать это
второе утверждение, предположим, что функция f принимает раз-
различные значения хЛ, ..., хп, и пусть Ei = f~l(xi ). Так как функция
множества хь]х{ЕЕ^) аддитивна относительно ? 2, то аддитивен
п
также и интеграл Ц?) = ^ xt\i (ЕЕг). Пусть, далее, ?2 и Ajy
j— I, ..., m, —попарно непересекающиеся множества из 2 такие,
что А = [jAj^ZE. Тогда так как полная вариация v(\i, E) адди-
аддитивна относительно ? (см. 1.6), то
т т п т п
? I А, (Л3-) I = .У IЛ *# (Л,.Е,) | < .| JJ | *t| о (fi, ^,?,) =
п
.= 2 I* I v(ц, Л?{)< 2 kIf (I*.

2. Интегрирование 125
откуда вытекает, что v(k, Е) < \ \f(s)\v{\x, ds). Пусть, далее,
?™6Б, т—\, ..., т},— такие подмножества из Ejt что
т=1
п
где 8 — наперед заданное положительное число иМ= 2 1^ I- Тогда
1
V V I 51 (FFm\ I — V ly I У \u (FFm\\>»
Zj Zj I ** V^-W /I — Zj \ xj \ Zj \\* {ЕЕ] ) I ^>
n
/, I -*j I ^ vfA» ECj) e — \ | / {b) | и ^pi, аь) — e,
; = i E
откуда вытекает, что v(k, ?")> \ \f(s)\v(\i, ds); этим завершается
вывод формулы для v(X, E). Последнее утверждение леммы выте-
вытекает из неравенства
\
sup \хг | а([х, ?), ч. т. д.
Следующая лемма дает нам ключ к доказательству «теоремы един-
единственности», необходимой для обобщения понятия интеграла на
класс функций, более широкий, чем класс простых интегрируемых
функций.
16. Лемма. Если {Д} и {fn}—dee последовательности ^-инте-
^-интегрируемых простых функций, сходящиеся на S по мере |х к одному
и тому же пределу и если
т, п %
то пределы lim \ fn(s) jx (ds), /= 1, 2, существуют равномерно
п J
относительно Е из S и равны между собой.
Доказательство. На основании леммы 15

126 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Таким образом, рассматриваемые пределы существуют равномерна
относительно ? 2, и остается только доказать, что они равны
между собой. Для краткости воспользуемся следующими обозна-
обозначениями:
Из неравенства
вытекает, что lim \ | рп (s) — рт (s) \ v (ds) = 0, и, следовательно,
из проведенного выше рассуждения следует, что предел
Р (Е) = \\тРп(Е) существует равномерно относительно ?2
п
Мы покажем, что Р(?)=0 для каждого ??2 и, следовательно,
согласно лемме 15, что
(I)
f ?62.
Так как lim Рп(Е)=0 для каждого л=1, 2, ... (лемма 15),
v(E)-+0
то в силу леммы 1.7.6 lim P(E) = 0. Таким образом, для каждого
t>(E)->0
е > 0 существует такое S > 0 и такое натуральное число п0, что
(И) Р(Е) <е, если v(E)<6, и
(III) \Р(Е)-Рп(Е)\<е при п>пОу ?62.
Так как рГо(8)=О, если s принадлежит дополнению Л' некото-
некоторого множества А б 2, для которого v (А) < оо, то PVb (A') = 0^
и из (III) вытекает
(IV) Я(Л')<е.
Далее, ввиду леммы 8, рп—>0 по мере на множестве S и, следова-
следовательно, существует такое натуральное число ях> п0 и такое мно-
множество В б 2, что v (В') < б и
(V) Pn^sX^ySGB.
Из (III) и (V) вытекает
(VI) Р{АВ) <
Так как у(ЛВ') < f (Я')< б, то из (II), (IV) и (VI) следует, что
P(S) = P (АВ) + Р (ЛВ;) + Р {А ')< 4е,
и ввиду произвольности е > 0 и неравенства 0 < Р (?) < Р (S)
отсюда вытекает, что Р (Е) = 0 для каждого ?6 2, т. е. что утвер-
утверждение (I) справедливо. Этим и завершается доказательство
леммы, ч. т. д.

2. Интегрирование 127
17. Определение. Функция f, отображающая S в ЭЕ, называется
^-интегрируемой на 5, если существует последовательность {fn}
^-интегрируемых простых функций, сходящаяся на 5 к функции f
по мере ц и удовлетворяющая, кроме того, условию
l\m\\fm(s)-fn(s)\v(Vi,ds) = O.
Про такую последовательность ц-интегрируемых простых функций
мы будем говорить, что она определяет f. Для каждого Е g 2 инте-
интеграл по Е, ШA, от fx-интегрируемой функции / определяется
Е
с помощью соответствующей последовательности {/п} fx-интегрируе-
мых простых функций следующим образом:
^ f(s) р (ds) = \im [fn(s)ii(ds)t ?62.
Е П Е
В силу предыдущей леммы этот предел существует и не зависит от
специального выбора последовательности {/п} [х-интегрируемых
простых функций. Множество всех fx-интегрируемых функций /,
отображающих S в ЭЕ, будет обозначаться одним из символов:
L(S, 2, pi, ЭЕ), L(S, 2, ,i), L(S, \i), L(S).
Остальные теоремы этого параграфа касаются некоторых основ-
основных свойств интеграла.
18. Лемма. Для того чтобы функция /, определенная на мно-
множестве 5, была ^-интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы
сна была v (^-интегрируемой. Если f ^.-интегрируема, то такой
же будет и |/(-) I- Если {fn} — последовательность ^-интегрируемых
простых функций, определяющая f в соответствии с п. 17, то после-
последовательность {|/п(-)|} определяет \f(-)\ и, кроме того,
lim \\fn(s)-f(s)\v(\itds) = O.
n-+oo ^
Доказательство. Если {/«(•)} определяет /', то ясно, что
{|/п@|} определяет |/(.)| и {\fn(.)-f(.)\} определяет нуль. Так
как сходимость по мере \i является в то же время сходимостью по
мере v(\i), то справедливость леммы непосредственно вытекает
из леммы 8 и определения 17, ч. т. д.
—» 19. Теорема. Пусть \х —конечно аддитивная функция, опреде-
определенная на алгебре 2 подмножеств множества S. Тогда
(а) Множество L (S) ^-интегрируемых функций, определенных
на S, является линейным пространством', для каждого ?2 интеграл
\fd\i линеен на L(S).

28 Гл. III. Интегрирование и функции множества
(Ь) Если %А —характеристическая функция множества А ?2
и функция f ^.-интегрируема, то и /%а тоже \х-интегрируема и
i=\ f(s)yL(ds), ?<=2.
E LA
(с) Если T—ограниченный линейный оператор, отображающий ЗБ
в другое В-пространство, и функция! ^-интегрируема, то uTf{-)
^.-интегрируема, причем
Доказательство. Чтобы доказать утверждение (а), рассмотрим
последовательности {/„} и {gtl} (х-интегрируемых простых функций,
определяющие в соответствии с п. 17 элементы f и g?L (S). В силу
леммы 8, afn + $gn —> а/ + $g по мере на множестве S, и если
\v(ix, ds)<\a\\\fn(s)-fm(s)\v(uL,ds)
s
откуда следует, что L (S) является линейным пространством. По
лемме 14,
а С /d[i+P \gd\i = Um (a \ fnd\i+$ С gnd\x>) = l\m \ hnd\i =
Il h H M L
чем и доказана линейность интеграла на L (S).
Утверждение (Ь) вытекает из определений.
Утверждение (с) для [х-интегрируемых простых функций оче-
очевидно; чтобы доказать его в общем случае, рассмотрим определя-
определяющую g последовательность (х-простых функций fn, принимающих
конечное число значений. Тогда функции Tfn (•) будут jx-интегри-
руемыми простыми функциями. Так как, кроме того, для каж-
каждого е > О
то
Tfn(-)—>Tf(>) по мере \i. Из неравенства
\\Tf^s)-Tfm(s)\v(li,ds)<\T\^\Us)

2. Интегрирование 129
вытекает, что последовательность {Tfn} определяет Tf. Из этих
замечаний и вытекает справедливость утверждения (с), ч. т. д.
Следующая теорема обобщает результаты леммы 15 на произ-
произвольные интегрируемые функции.
-» 20. Теорема. Пусть g — ^-интегрируемая функция и для ??2,
G(E) = ^g(s)\i(ds). Тогда
Е
(a) G (Е) аддитивна на 2 и имеет полную вариацию
\g(s)\v(\i,ds), ?G2;
в частности, если g и \i неотрицательны, то интеграл G (Е) неотри-
неотрицателен]
(b) lim v(G, ?) = 0;
v(n,E)~Q
(c) для каждого е > 0 существуют взаимно дополнительные мно-
множества А и А' из 2, такие, что u(|i, A) < oo, v(G, A') < е;
(d) \ \g(s)\v(\xt ds)=0 в том и только в том случае, если g
h
эквивалентна нулю относительно \i.
Доказательство. Пусть {gn} — последовательность ц-интегри-
руемых простых функций, определяющая g в соответствии с п. 17.
Так как, по лемме 15, функции множества Gn(E)= \ gn(s)\i(ds)
Е
аддитивны, то и G (Е) аддитивна. Пусть множество ??2 является
суммой непересекающихся подмножеств Е1У ..., Ek ? 2. По теореме 18»
для заданного е > 0 найдется такое Ne, что при я > Ne
I U *
<5 l2(s)-gn(s)Nn. ds)<e
независимо от выбора подмножеств Ev ... , Ek. Зафиксируем вре-
временно n> Af,, и выберем такие Аг, ..., Ат, что
v(G,E)-2.\)g(s)\i{ds)
и такие fij, ..., Вр, что
i=i в.
9 Заказ 1324

130^ Гл. III. Интегрирование и функции множества
Рассмотрим семейство Е19 ..., Eh всевозможных пересечений
множеств А{ и Bfy тогда
<e.
Отсюда | v {G, E) — v\Gn, E) | < Зе. Следовательно,
Umv{Gn,E) = v(G, E),
Так как, по лемме 15^и теореме 18,
v (Gn, Е) = ^ | ёп E) | v (|х, ds) -> ^ | g (s)]\ v (pi, ds),
то
Этим доказано утверждение (а).
Чтобы доказать (Ь), возьмем произвольное е и выберем принима-
принимающую конечное число значений (л-простую функцию ge, такую, что
\v(ii, ds)<e.
Тогда 'найдется такое множество А ? 2, для которого v (fx, A) < со,
и такая константа М, что |gE (s) | < М при всех s?S и ge(s) =0 при
s$;4. Таким образом, если v(\i, E)<e/M, ?62, то
v(G,E)=\\g(s)\v(vL, ds)<[\g(s)-ge(s)\v(uL,ds) +
Е Е
i} AE)<2e,
АЕ
чем и доказано (Ь). Так как
V (G, А')< ^ | g E) - gre (S) | V ((X, ds) < 8,
A'
то мы доказали и утверждение (с).
Наконец, чтобы доказать (d), предположим, что \ \g(s)\ v(\i,ds) = 0
s
и что {g"n} есть последовательность функций (каждая из которых

2. Интегрирование 131
на множествах из 2 принимает лишь конечное число значений),
определяющая g в соответствии с п. 17. Тогда
lim \ \gn(s)\v(n,ds) = O.
n->oo ^
Для б > 0 определим
?nF) = {s||gn(s)|> 6}, /rnF) = {s||g(s) — gn(s)\> б}.
Тогда ?nF)gl и
\дп(8)\и(р,ё8)>ЬиA1,ЕпF)).
S En F)
Следовательно, lim v(fx, ?nF)) = 0. Так как gn—>g по мере
n->oo
то Нто*(ц, /гпF)) = 0. Но
\g(s)\<\g(s)-gn(s)\-\ \gn(s)\<26, fstE
Так как lim v* (\i, EnF)l]Fn(b)) = 0 и б произвольно, то g
эквивалентно нулю, ч. т. д.
21. Лемма. Пусть f — \х-измеримая функция, ag — ^-интегри-
^-интегрируемая функция\ предположим, что почти всюду \f(s) \ < \g(s) |.
Тогда f вполне ^-измерима.
Доказательство. Так как g (х-интегрируема, то для каждого
натурального т существует [х-интегрируемая простая функция gm,
принимающая на множествах из 2 конечное число значений и
такая, что \g(s) — gm(s) \ < 1/m. за исключением точек из мно-
множества Ет, для которого v ((I, Ет) < 1/т. Так как gm обращается
в нуль вне некоторого множества Рт ? 2, для которого v (\i, FJ) <oo,
то
если s$Am = Eml}Fm, v(\i, Am) < оо. Следовательно, если мы
положим fm(s) = f(s) при s?Am и fmE)=0 при s$-Am , то после-
последовательность {/т} будет сходиться по мере к f. Ввиду леммы 11,/
вполне [х-измерима, ч. т. д.
22. Теорема. Пусть \i конечно аддитивна на алгебре 2 под-
подмножеств множества S. Тогда
(a) \х-измеримая функция f интегрируема в том и только в том
случае, если интегрируема |/(•)!•
(b) Если g — \i-интегрируемая функция, отображающая S
в В-пространство 3), и f — ^-измеримая функция, отображающая S
9*

132 Гл. III. Интегрирование и функции множества
в В-пространство ЗЕ, причем почти всюду на S \f{s)\ < \g(s) |, то
f \л-интегрируема.
Доказательство. Прямое утверждение (а) вытекает из теоремы
18. Так как обратное, очевидно, вытекает из (Ь), то достаточно
доказать (Ь).
По лемме 21, из предположения, содержащегося в (Ь), вытекает,
что / вполне |я-измерима. Пусть {gn} — последовательность }х-про-
стых функций, сходящихся к / по мере |я. Прежде всего мы покажем,
что можно определить такую последовательность {/п} |я-простых
функций, которая сходилась бы к / по мере \л и для которой
! fn (s) | < 2 | / (s) | при всех s ?S. Существуют такие хмножества
i4ng2,n=l, 2, ..., для которых v (\iy An)~->0, и такая последова-
последовательность констант гп—>0, что
\gn(s)-f(s)\<en, 5$ЛП.
Теперь мы определим функции fny полагая
(s), если s$An, и |^пE)|> 2еп,
( 0 в противном случае.
Если s$An и \gn(s)\ > 2еп, то | fn(s) — f(s) \ < еп, а если s$An и
\gn(s)\<2ea, то
Таким образом,
l/«(s)-/(s)l<3en, s$An.
Следовательно, fn сходится к / по мере \х. Далее, если s?An или
если |gnE)|<2en, то /n(s) = 0 и, следовательно, \fn (s) \ <2|/(s) |,
если же s$An и \gn(s) \ > 2гп> то
Таким образом, для всех s из S имеет место неравенство | fn (s) \ <
<2j/(s)|.
Мы покажем сейчас что /п ji-интегрируема. Пусть л:—ненуле-
л:—ненулевое значение функции fn и Е — множество всех таких s и S, для
которых fn(s)=x. Тогда в силу ji-интегрируемости функции g
\x\v(\it E)= \\fn(s)\v(\Ltds)<2 \ \g(s)\v(ii9ds)<aD9
Е Е
откуда вытекает, что v (\х, Е) < оо. Отсюда ясно, что /п — |я-интегри-
руемая простая функция. Так как | fn(s) \ < 2 | g (s) |, то
]\fn(s)-fm(s)\v(\itds)<4\i\g(s)\v(\i,ds), ?62.

2. Интегрирование 133
Пусть дано е > 0. По теореме 20 (с), существует такое множество
F 6 2, что v(\iy F) < оо и
\ I /n (S) — /m (S) |"У (И, ds) < 8, tt, Ш > 1 .
S-F
По теореме 20 (Ь), существует такое 6 > 0, что если Е? 2
и у (|ы, ?) < б, то
^ i /n (s) — /m(s) 11;((я, Js) < e,- n,m>\.
E
Так как fn—>f по мере |я, то существует такое натуральное число N
и такое множество ?п, т б 2, что у (ц,, ?n, m) <б и что | /n (s) — fm (s) \ <
< v(EF) ПРИ 5$?П)т и nym>N. Следовательно, если
то
т n, r?i
Таким образом, последовательность {/п} определяет / в смысле
п. 17, и, значит, / интегрируема, ч. т. д.
Для некоторых целей полезно следующим образом обобщить
определения измеримости и интегрируемости.
Предположим сперва, что / — функция, принимающая значе-
значения из расширенной области вещественных чисел. Положим S+ =
^f'1 (+ оо) и S" = /(— оо). Тогда f называется ji-измеримой, если
(a) существуют нуль-множества N+ и N~ относительно |я такие,
что 5+АЛ7+ и S~AN~ принадлежат 2, и
(b) функция g, определяемая равенством g(s)=f(s)y если
s$S+|JS", и g(s) = 0y если sf S+\JS~y является |л-измеримой.
Предположим, далее, что мы рассматриваем функцию f (вектор-
[1ую или принимающую значения из расширенной области вещест-
вещественных чисел), определенную только на дополнении некоторого
нуль-множества Л/cS. Мы будем говорить, что функция / |я-изме-
рима, если функция gy определяемая условиями g(s)=f(s)y если
s$Ny и g(s) = 0, если s?Ny ji-измерима. Рассуждение, аналогичное
тому, которое предшествует определению 6, показывает, что при
рассмотрении этого несколько более широкого класса функций мы
не изменяем F(Sy 2, |я, Ж), а также не нарушаем справедливости
ни одной из теорем или лемм этого параграфа.
Предположим, наконец, что / — неотрицательная |л-измеримая
функция, принимающая значения из расширенной области вещест-
вещественных чисел. Если / не является |л-интегрируемой, то мы пишем
\ f (s) v (\xy ds) = -f оо. Из теоремы 22 (Ь) вытекает, что если

134 Гл. 111. Интегрирование и функции множества
0<M5)<Ms) Для почти всех s и если fx и /2 — ц-измеримы, мы
все же имеем неравенство
$ Ms) i; Ox, ds)< $ h(s)v([iids)9
s s
даже если один или оба из этих интегралов бесконечны.
3. Лебеговы пространства
Основой для построений этого параграфа является конечно
аддитивная функция множества \х, принимающая значения либо
из области комплексных чисел, либо из расширенной области ве-
вещественных чисел и определенная на некоторой алгебре 2 подмно-
подмножеств множества S. Функции, интегрируемые относительно |и,
будут принимать значения из вещественного или комплексного
fi-пространства ЭЕ. Мы определим и изучим свойства различных ли-
линейных пространств |я-измеримых функций.
1. Определение. Пусть 1<р<оо. Через LP(S, 2, |я, I)
(или, если Э? подразумевается, просто через L%(S> 2, \х)) мы будем
обозначать множество всех [х-измеримых функций /, отображаю-
отображающих S в I, и таких, что функция |/(-)|р ^-интегрируема. Нор-
Нормой |/| элемента /gLp(S, 2, |я) назовем величину
В тех случаях, когда нужна большая ясность, норму элемента из
Lp (S, 2, |я) мы будем обозначать через | / \v.
-» 2. Лемма (Гёльдер). Пусть f — скалярная, a g — векторная
функции, причем f?L°q (S, 2, \х), g?L°q(Sy 2, |я), где р > 1, q > 1
и —|— = 1. Тогда функция fg ^-интегрируема и
\\f(s)g(s)[i(<ts)\<\f\p\g\r
Доказательство. Производная функции <р @ = 1 , поло-
положительна при /> 1 и отрицательна при 0 < /< 1. Следовательно,
ее минимальное значение при />0 — это фA) = 1. Положив
t=zaqb р, мы получим неравенство ab< — + —, справедливое
при а, Ь > 0; следовательно, неравенство |а6|<——1~"^~ выпол-

3. Лебеговы пространства 135
няется для всех скаляров а, Ь. Полагая а = f^p, b = f^, мы полу-
I / 1р I ё 1<?
чим неравенство
\<\f(s)\nf\i~p\g\+
Из леммы 2.12, теорем 2.19 (а), 2.20 (а) и теоремы 2.22 (Ь) вытекает,
что fg интегрируема и что
ч. т. д.
_»3. Лемма. Пусть 1<р<оо, fl9 f2?Lp(S, 2, |я) м а — ска-
скаляр. Тогда
(г) функция aft принадлежит L°p(Sy S, |i) а |а/1|р = |а||/1|р;
(b) сумма функций fx и f2 принадлежит LP(S, 2, [х), причем
|fi + /2|p<l/,'P + lf2|P;
(c) ! fx — /2 |р = 0 в тож а только в том случае, если f1 — f2 экви-
эквивалентна нулю.
Неравенство (Ь) известно под названием неравенства Минков-
ского.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. " Утверждение (Ь)
очевидно при р = 1; чтобы доказать его при р > 1, будем рассуждать
следующим образом. Функция A-\-х)р/A+хр) стремится к единице,
если х—>0 или х—>оо, следовательно, она ограничена некоторой
константой с во всей области 0 <^# < оо. Полагая х — alh, получим,
что (a-\-b)v^.c(ap+bv) при всех 0<а, b < оо. Так как отсюда
вытекает, что
то, по теореме 2.22 (Ь),
Далее, по лемме 2,
5
S
5
s
5 I h (s) I (I /i (s) | + | /2 (s) I)" о (fx, ds) <
s

136 Гл. III. Интегрирование и функции, множества
причем —1— = 1. Так как q (р — I) = р, то
Таким образом,
I /i + h Ip = l| /i + /, \P}p-pl9 < I /i Ip + I /. Ip.
чем и доказано утверждение (b).
Утверждение (с) вытекает из теоремы 2.20 (d), ч. т. д.
Ввиду леммы 3(с) естественно разбить LP(Sy 2, |я ',96) на классы
функций, эквивалентных в следующем смысле: / эквивалентна g
в том и только в том случае, если /—g эквивалентна нулю. Обозна-
Обозначим класс функций, эквивалентных функции f?Lop(S> 2, \ху Ж),
через [/]; из следствия 2.5 и леммы 3(с) вытекает, что классы экви-
эквивалентных между собой функций образуют линейное пространство,
в котором | [/] | = | / \р является нормой. Мы отсылаем читателя к ана-
аналогичному рассуждению, приведенному после следствия 2.5 и отно-
относящемуся к пространству F(S, 2, |я, 96).
• 4. Определение. Символом Lp (S, 2, |я, Э?) будем обозначать
множество классов [/] эквивалентных между собой функций
/eL°(S, 2, iiy Ж).
Ввиду сделанного выше замечания справедлива следующая тео-
теорема:
5. Теорема. Пространство Lp(S, 2, ц, Ж) является линейным
нормированным пространством.
Как и в случае пространства F(S, 2, \i, 36), с элементами из
LV(S, 2, |я, Ж) обычно обращаются так, как если бы они были про-
просто функциями, а не классами эквивалентных между собой функ-
функций. Таким образом, там, где это не может вызвать недоразумений,
мы будем говорить просто о «функции из Lp». В дальнейшем элемен-
элементы из Ln мы обычно будем обозначать просто /, а не [/]. Заметим,
что неравенство Минковского и (в случае скалярных функций)
неравенство Гёльдера можно рассматривать и в применении к про-
пространству Lp. В случае неравенства Минковского это замечание
очевидно. Чтобы убедиться в его справедливости и в случае нера-
неравенства Гёльдера, заметим, что из неравенства Гёльдера вытекает,
чт<> lfeli<l/!P|g|/. если/gLJ, g?L°q, 1 + 1=1 и по крайней
мере одна из функций f или g является скалярной. Таким образом,
если одна из функций / или g эквивалентна нулю, то такой же
будет и fg. Следовательно, если fl9 /2gLp, g19 g2?L°p и f1 — f2
и gi—g2 эквивалентны нулю2 то и flg1 — f2g<>> эквивалентна нулю.
Читателю легче будет понять значение несколько сложных усло-
условий A1) и (III)следующей теоремы, если он прочтет формулировку

3. Лебеговы пространства 137
и доказательство теоремы 7 после формулировки теоремы б, но
прежде ее доказательства.
6. Теорема.' Пусть 1 <р < со, {fn}— последовательность функ-
функций из Lp(S, 2, \х, Ж) и f — функция, отображающая S в 9?. Тогда,
для того чтобы f принадлежала Lp, a \fn — f\p сходилось к нулю,
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие три
условия:
(I) fn сходится к f по мере;
(II) lim \ | fn (s) \*>v (|х, ds) = О равномерно относительно п\
(EH J
(III) для каждого г > 0 существует такое множество Ее? 2, что
v(\i, Ег) < со, и
\ \fn(s)\pv(\L, ds)<e, n= 1,2, ... .
S-Ee
Доказательство. Предполагая, что условия (I), И) и (III) выполне-
выполнены, положим gn = | /п (•) |р, g = | f (•) |р. Мы покажем сперва, что {gn}
есть фундаментальная последовательность в LX(S). В силу условия
(III) для заданного е>0 существует такое множество Ее, что
v (\i,Ee) < оо и
$ |fir»(s)-gm(s)|y(|A,rfs), /i, m>l.
Таким образом, для того чтобы убедиться в том, что последователь-
последовательность {gn} является фундаментальной в Ll(S), достаточно дока-
доказать, что она является таковой в Ьг(Е^. Следовательно, мы можем
и будем предполагать, что v (|я, S)<oo. Ввиду условия (II) существует
такое б > 0, что
если только v(\i, ds) < 6. Согласно лемме 2.12, gn—>g по мере, т. е.
существуют такие множества Епт'? 2, что и(|х, Епт) < б при всех
достаточно больших значениях пяти \gn(s) —gm(s) | < е для каж-
каждого s?S — Enm. Следовательно, для достаточно больших значений
пит
S~Enm
т- е- {gn} есть фундаментальная последовательность в Li(S). Для
того чтобы убедиться в интегрируемости g, рассмотрим такие инте-

138 Гл. III. Интегрирование и функции множества
грируемые простые функции Лп, м>1, что
и \hn—-gn\F < 1/я, где норма берется в пространстве F(S, 2, \х).
Так как последовательность {gn} фундаментальна в Lx (S) и gn —>g
по мере, то и последовательность {AJ будет фундаментальной в Lx (S)
и тоже сходящейся к g по мере. По определению 2.17, g интегри-
интегрируема, а значит f принадлежит Lp.
Для удобства условимся писать /оо=/. Ввиду теоремы 2.20 усло-
условия (II) и (III) выполняются равномерно при 1<я<оо. Для каж-
каждого е > 0 существует такое множество Fni что | fn (s) — Д» (s) | < •
при s$Fn, причем v(\i, Fn) —>0 при п—>оэ. Следовательно,
S-(E6UFn)
Пусть теперь у > 0. Если мы выберем б так, что 26*/р < у» а затем
выберем е так, что e[y(|i, ?6)]1/р < Y и { \I /л(s) 1P v (\*>> ds)} /Р<У>
F
1<я<оо, как только у([х, Z7) < е, то получим, что |/n""/|p<^Y
при я > /г0, откуда следует, что | fn — / |р —> 0. Доказательство доста-
достаточности окончено.
Докажем теперь необходимость условия (I). Если f?Lv
и I /Л — / 1-э—> 0, то для каждого е>0 найдется такое натуральное
число л0, что при м>п0, ^ gn(s)v(\xy ds)<&, где gn(-) =
s
I fn(•) — /(*) Г- Далее, каждое gn является пределом по мере \\
последовательности {/i^} вещественных простых функций, каждая
из которых на множествах из 2 принимает лишь конечное число
значений, так что
/» г*
lim ^ hn (s) v (|я, ds) =\gn (s)v (l^> ds)

3. Лебеговы пространства J39
(см. лемму 2.18). Так как мы можем заменить й?(-) на |йп(-I» то
можно предположить, что /i?(s)>0. Следовательно,
\ h\ (s)v( jll, ds) < 2e при всех достаточно больших k> и, не ограничи-
ограничивая общности, мы можем предположить, что j hn(s)v 0х» ds) < 2е
s
при всех k. Так как функции hn простые, то множество
для каждого Y > 0 принадлежит 2. Кроме того,
Следовательно, v(ii, En) < — . Поскольку последовательность
сходится по мере \х, к gn, то для каждого достаточно большого k
можно найти такое множество FnG 2, что v(\i, /rn)< —и
i_
I К (s)—gn (s) | < у, если s $ F*. Таким образом, | fn (s) — f (s) | < By)P,
^n U ?n* Для заданных б1э б2 > 0 выберем столь малое у, чтобы
— 38
)р <б1э и столь малое е, что у <б2. Тогда при п> п0 |/n(s) —
— ^(s)| < бх, для всех точек 5, кроме принадлежащих такому мно-
множеству Gn, что и([х, Gn)<62. Таким образом, fn—±f по мере,
и условие (I) доказано.
Теперь мы докажем необходимость условия (II). По теореме 2.20,
для каждого е>0 найдется такое 6^0, что из v(\i, Е)<6г вытекает не-
неравенство И | f (s)\p v (|х, ds)} р< е. Пусть п0 таково, что при п > п0,
Е
|^п_^| <е и пусть б2<б1—такое положительное число, что
из v (\i, E) < б2 вытекает неравенство
1
< е при 1 <; п <; п0.
j
~Е
Тогда
\ \ I fn (s) \Р v IM1» ds) \v < 2e при 1 < n << oo,
E
и условие (II) доказано.
Чтобы завершить доказательство теоремы, остается доказать
справедливость утверждения (III), что можно сделать точно таким
же способом, ч.т.д.

140 Г л 1/1 Интегрирование и функции множества
7. Теорема. Пусть 1 <р < со, g? Lp (S, 2, [i) и {fa} —обобщен-
—обобщенная последовательность элементов из LP(S} 2, \х) такая, что для
Каждого а почти всюду \ fa (s) | < | g (s) |. Тогда 5ля сходимости fa к j
по мере |л, необходимо и достаточно, чтобы f принадлежало Lp и нормы
fnL — f\v стремились к нулю.
Доказательство. Рассмотрим прежде всего случай, когда обоб-
обобщенная последовательность является обычной последовательностью
{/п}. Так как | fn (s)\ < \g(s) \ почти всюду, то условия (II) и (III)
теоремы 6 выполняются автоматически. Следовательно, утвержде-
утверждения, что fn—>f по мере и fn—>/ в Lp, по теореме 6, эквивалентны.
Теперь мы покажем, что справедливость теоремы для обобщен-
обобщенной последовательности вытекает из доказанной ее справедливости
для обычной последовательности. Вспомним, что топологии прост-
пространств F(S, 2, |я, Э?) и Lp(S, 2, |я, X) являются метрическими.
Пусть fa—>f по мере, но, тем не менее, fa не сходится к f в Lp.
Тогда найдется такое е>0 и для каждого а такое ра>а, что
| /ра — / |р > е- Обобщенная последовательность {/Y}, у = ра, оче-
очевидно, сходится к / по мере. Далее, из каждой сферы радиуса \/п
с центром f в F выберем по элементу /у . Так как /Y —»/ по мере,
то fYn—>f и в Lpy вопреки вышеприведенному неравенству. Дока-
Доказательство обратного утверждения очевидно, ч.т.д.
8. Следствие. Пусть 1 <р < со. Множество \х-простых ^-инте-
^-интегрируемых функций всюду плотно в Lp(Sy 2, \i, Ж).
Доказательство. Пусть f б L = Lp (S, 2, \х, 1) и е > 0. По теореме
2.20, можно найти такое Е? 2, что v(\i, E) < оо и что
S-E
Таким образом, если %? —характеристическая функция множе-
множества ?, то %Ef является элементом Lpu \f— %Ef\p < е. Согласно опре-
определению 2.10, %Ef является пределом по мере \х последовательно-
последовательности {fn} ji-простых функций. Используя рассуждение, проведенное
в доказательстве теоремы 2.22, мы можем и будем предполагать,
что | fa (s) | < 2 | xE (s) 11 / (s) |, s ? S. Поскольку fn(s) обращается в нуль,
если s$Ey то функция fn является |я-интегрируемой и [г-простой.
По теореме 7, \fn—%Ef\p < e при достаточно больших п: Следова-
Следовательно, |f — fn\p < 2e при достаточно больших пу и доказательство
закончено, ч.т.д.

4. Счетно аддитивные функции множества 141
4. Счетно аддитивные функции множества
Основным понятием, рассматриваемым в настоящем параграфе,
является счетно аддитивная функция множества, определенная
на а-алгебре подмножеств некоторого множества. Для этого слу-
случая результаты предшествующих параграфов могут быть сущест-
существенно усилены.
L Определение. Пусть |я —аддитивная функция множества,
определенная на алгебре 2 подмножеств множества S, векторная,
комплексная или со значениями из расширенной области вещест-
вещественных чисел. Тогда |li называется счетно аддитивной, если
для любых попарно непересекающихся множеств Е19 ?2,... из 2,
сумма которых также принадлежит 2.
2. Определение, в-алгеброй называется алгебра 2 подмножеств
оо
множества S, обладающая тем свойством, что (J Ег 6 2 для любых
?п? 2,я = 1, 2, ... . Иными словами, а-алгеброй называется алгебра,
замкнутая относительно операции образования счетных сумм.
3. Определение. Мерой называется счетно-аддитивная функция
множества, комплексная или со значениями из расширенной обла-
области вещественных чисел1), определенная на некоторой а-алгебре.
Тройка (S, 2, |я), состоящая из множества S, некоторой сг-алгебры
2 его подмножеств и меры \х, определенной на 2, называется про-
пространством с мерой. Иногда и само S называется пространством
с мерой. Множества, принадлежащие 2, называются измеримыми.
(S, 2, \х) называется пространством с конечной мерой, если \х не
принимает значений + оо или —оо, и пространством с положитель-
положительной мерой, если \х не принимает отрицательных значений.
В этом параграфе предполагается, что (S, 2, |я) является про-
пространством с мерой.
Пусть {Еп} — последовательность множеств. Нижним пределом,
и верхним пределом этой последовательности соответственно назы-
называются множества
оо оо оо ее
lim{?n}=U П Ет и lim ?.,= [") U ?«•
~ 71=1 771—П 71 П= 1 ГП --- П
J) Часто называют мерой только положительную меру в смысле, опреде-
определенном в тексте, говоря о неположительной мере как об обобщенной мере. —
Прим. ред

142 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Если lim?'n = limi^, то последовательность {Еп} называется схо-
~п п
дящейся и общее значение ее нижнего и верхнего пределов обозна-
обозначается через lim?n. Неубывающей называется такая последова-
п
тельность {Еп}, для которойEnczEn+1, n=l, 2,... . Ясно, что такая
оо
последовательность имеет пределом U^n- Невозрастающей Kashi-
Kashi1
U
ra 1
вается последовательность {Еп}, для которой En^En+v n = 1,2,....
оо
Пределом такой последовательности будет [) Еп. Монотонной назы-
п=1
вается последовательность либо невозрастающая, либо неубываю-
неубывающая. Заметим, что пересечение, сумма, а также нижний и верхний
пределы любой последовательности измеримых множеств тоже
измеримы.
4. Лемма. Множество значений меры, принимающей значения
из расширенной области вещественных чисел, но не обращающейся
в +оо, имеет конечную верхнюю грань.
Доказательство. Предположим, что функция \х не ограничена
сверху. Множество ?\62 назовем неограниченным, если sup \x (ЕЕ^
?Е2
?Е2
= +оо, и ограниченным — в противном случае. Тогда либо
(a) каждое неограниченное множество содержит неограниченное
подмножество сколь угодно большой меры, либо
(b) существует такое неограниченное множество F g S и такое
натуральное число iV, что F не содержит неограниченного подмно-
подмножества, мера которого превосходит N.
Ясно, что в случае (а), применив индукцию, мы можем найти
убывающую последовательность неограниченных множеств, для
которых (х (Еп) > п. Тогда
Поскольку (х (Еп)Ф + оо, то ряд в левой части имеет конечную
сумму и
П,) = 1ип|х (?"„)= +со,
i=i n->oo
что противоречит предположению.
В случае (Ь) обозначим через Fx измеримое подмножество F,
мера которого \i (Fr) > N. Множество F1 уже не будет неограничен-
неограниченным, а так как само F не ограничено, то неограниченным будет
и F—Fr Обозначим через Ах измеримое подмножество множества
F — Fv мера которого (x(^i)> !• Тогда так как F не содержит не-

4. Счетно аддитивные функции множества 143
ограниченных подмножеств меры, большей чем N, то /7а = /1и1
ограниченное множество, а, значит, F—F2 — неограниченнее
множество. Пользуясь индукцией, построим такую последователь-
последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств А19 А2, .. . >
оо
что |а(Ла) > 1 при всех k. Но тогда |х( (J Аь)= + °о, что противоречит
предположению, ч. т. д.
5. Следствие. Множество значений векторной счетно аддитив-
аддитивной функции множества, определенной на некоторой о-алгебре мно-
множеству ограничено.
Доказательство. Пусть (X будет мерой, определенной на о-алге-
о-алгебре 2 и принимающей значения из S-пространства Ж. По лемме 4,
Rex*\iB) и 1тя*[хB) ограничены для каждого **?Х*, так
что ввиду теоремы II.3.20 \i B) ограничена, ч. т. д.
6. Следствие. Если (S, 2, \i) — пространство с конечной мерой,
то \л ограничена.
7. Лемма. Если (S, S, \х) — пространство с конечной мерой,
то полная вариация v (\i) счетно аддитивна и ограничена.
Если \i — вещественная функция, то ее верхняя и нижняя вариа-
вариации \х+ и \х~ тоже счетно аддитивны и ограничены.
Доказательство. Ограниченность вытекает из следствия 6 и лем-
леммы 1.5; доказательства требует лишь счетная аддитивность. Так
(а ОО+ц) и (jT = y(i>(|-i) —(х), то достаточно доказать счет-
счетную аддитивность v (\i). Пусть Еп— непересекающиеся множества из 2
оо
и U Еп = Е. Тогда так как v (\i) неотрицательна и аддитивна, то
о 0*. ?)>o((i, ЦЕп)= 2оО*,?»),
n=i n=i
Пусть, с другой стороны, {Ft} — конечная последовательность
попарно непересекающихся измеримых множеств, содержащихся вЕ.
Тогда
1) ^n)l S I S
n=i i=l n=l
со
ад К 2» (и,?
l

144 Гл. 1П Интегрирование и функции множества
так что
v(ii, ?)<2 v([i, ?J, ч. т. Д.
п=1
8. Лемма. Если (S, 2, \х) — пространство с конечной положи-
положительной мерой и {Еп}— последовательность измеримых множеств,
то
[х (Игл Еп) < Игл |i (?J < lim lx (?n) < lx (lim ?J.
n n n л
Доказательство. Прежде всего заметим, что если {Еп} — неубы-
неубывающая последовательность с пределом ?, то
Е = Еги(Е2-Е1)и ... и (!(?) = lim|i(?n).
Перейдя к дополнениям, получаем, что это соотношение остается
справедливым также и для невозрастающих последовательностей.
Таким образом, если li неотрицательна и {Еп} — произвольная
последовательность из 2, то
(i(U П ?то) = Нт|1(П ?т)<Н
1
М-(П U ?J = Hmn(U ?J>lim(i(?n), ч. т. д.
n=l m=n n т=п п
9. Следствие. Если (S, S, (х) — пространство с конечной мерой
и {Еп} — сходящаяся последовательность измеримых множеств, то
H(?) (li?J
Доказательство. Для положительной \х это вытекает из лем-
леммы 8. В общем случае можно получить доказательство, разложив jla
на вещественную и мнимую части и представив затем каждую из
них с помощью теоремы A.8) о разложении в смысле Жордана в ви-
виде разности двух положительных мер. После этого ввиду леммы 7
все сводится к положительному случаю, ч. т. д.
10. Теорема (о разложении в смысле Хана). Для каждой меры [х,
принимающей значения из расширенной области вещественных
чисел, найдется такое измеримое множество ?0, что \х неотрица-
неотрицательна на измеримых подмножествах из Ео и неположительна на
измеримых подмножествах из Е'о .
Доказательство. Либо jx, либо —\х не принимают значения
-гею. Можно, следовательно, предположить, что \i(E)<co для вся-
всякого Е из а-алгебры 2, на которой определена \х.

4. Счетно .аддитивные функции множества 145
Пусть Р состоит из всех таких множеств ??2, для которых
\х (АЕ) >0 при всех Л ? 2 и Еп?Р — такая последовательность
множеств, что
p
Е?Р
оо
Так как \х счетно аддитивна, то множество Ео= (J Еп принадлежит Р и
1
Теперь мы методом от противного докажем, что [x(?^)-^0 для
каждого Л 62. Предположим, что Ло?2, АО?_Е'О и \i (AQ)>0.
Семейство множеств
превратим в частично упорядоченное, считая, что ?1<?2, если
либо E{Z}E2 и \i(E1)<\i(E2)i либо Ег = Е2. Применим лемму Цорна
A.2.7), чтобы доказать, что Q содержит максимальный элемент.
Пусть Qo — линейно упорядоченное подмножество Q. Если найдет-
найдется такое S0?Q0, что \i (S0) = sup(x(?<), то ясно, что Во и будет мажо-
рантой для Qo. С другой стороны, если для всех Е б Qo
то существует такая последовательность множеств {Bn}CZQ0, что
\i(Bn)<\i(Bn+1)—>&. Так как Qo линейно упорядочено, то BnZjBn+1,
/i=l,2,. . . .Таккакц(Вп)<ц(Вл+1)<оо,товсе[х(Вп),/г>2, конечны.
оо оо
Если Cn = Bn-Bn,v то Bn = B0U U С„, где Во= П В„, так что
fe 1
оо
Таким образом, lim [а(Вп) = ji(B0), и множество So= П ^п содержится
П->оо П=1
в Q, причем 6=|i(B0). Пусть ?g Qo; тогда |i(?l)<6=|i(jB0) и найдется
такое /г, что \i (Е) < [i (Вп). Но Qo линейно упорядочено, поэтому
EZ3BnZDB0. Таким образом, Во является мажорантой для Qo. Так как
каждое линейно упорядоченное подмножество из Q имеет мажо-
мажоранту, то в Q существует максимальный элемент М. Он принадле-
принадлежит Р, потому что в противном случае существовало бы такое мно-
множество Л?2, Л^М, что [х(Л)<0,"М —Л"сЛ0, \i{M — Л) =
= М<(М) —|я(/1) > |i(M)>|x(i40) и, следовательно, М — Л>М.
Так как Мсг^о и УИ^Р, то
|i (Af U Е0) = |х (М) + fi (?0) > su
Ее
10 Заказ 1324

146 Г л. 111. Интегрирование и функции множества
это противоречие и доказывает, что [х(ЯоЛ)<О для каждого
Л ?2, ч. т. д.
Теорема о разложении в смысле Хана приводит нас к обобще-
обобщению понятия положительной и отрицательной вариаций для мер,
принимающих значения из расширенной области вещественных
чисел.
11. Следствие. Пусть (S, 2, \i) — пространство с мерой, причем
\х принимает значения из расширенной области вещественных чисел.
Тогда существуют такие однозначно определенные неотрицатель-
неотрицательные меры \i+ и \х~, одна из которых конечна, и такие, что
Доказательство. Если Ео — множество, существование которого
доказывалось в предыдущей теореме, то функции [х+ и \х~, опреде-
определяемые следующим образом:
), р-{А)=-ц(Е'вА), А 6 2,
обладают, очевидно, требуемыми свойствами, ч. т. д.
Ясно, что если [х — ограниченная функция, то функции множе-
множества \х+ и \i~ совпадают с соответствующими компонентами разло-
разложения в смысле Жор дана. Мы будем продолжать называть их, даже
если \х принимает и бесконечное значение, как в следствии 11,
положительной и отрицательней вариациями \i.
12. Определение. Пусть К, \i — конечно аддитивные функции
множества, определенные на алгебре 2. Тогда X называется абсолют-
абсолютно непрерывной относительно \х, если
lim A,(E) = O.
Функция X называется сингулярной относительно [х, если Сущест-
Существует такое множество Ео б 2, что
Ясно, что функция множества, одновременно сингулярная и абсо-
абсолютно непрерывная, тождественно равна нулю.
Если К, \х — скалярные аддитивные функции множества, опре-
определенные на алгебре 2, причем К абсолютно непрерывна отно-
относительно [х, то из неравенства (II 1.1.5)
вытекает, что полная вариация X также абсолютно непрерывна.
Таким об!разом, положительная и отрицательная вариации вещест-
вещественной абсолютно непрерывной относительно \х функции множества

4. Счетно аддитивные функции множества 147
тоже абсолютно непрерывны. Ясно также, что абсолютно непрерыв-
непрерывные относительно \х функции множества, как и сингулярные функ-
функции множества, образуют линейное векторное пространство при
естественном определении сложения и умножения на скаляр.
13. Лемма. Пусть X и \i —счетно аддитивные функции множе-
множества, комплексные или со значениями из расширенной области
вещественных чисел, и определенные на о-алгебре 2, причем X
предполагается конечной. Тогда, для того чтобы X была абсолютно
непрерывной относительно \х, необходимо и достаточно, чтобы из
равенства v (\i, Е)=0 вытекало равенство X (ЕH
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна. Чтобы
доказать его достаточность, заметим сперва, что функция множест-
множества X в том и только в том случае удовлетворяет этому условию, если
положительная и отрицательная вариации ее вещественной и мни-
мнимой частей также ему удовлетворяют. Можно, следовательно, пред-
предполагать, что X неотрицательна. Если X не абсолютно непрерывна
относительно \i, то существует такое е>0 и такие множества ?п?2,
/1=1,2,..., что X (Еп) > е, в то время как v(\i, Еп) < ^ . Положим
?0 = lim?n. Тогда для каждого /г= 1, 2, . ..
п
оо
u([if E0)<v(\i, U ?т)< 2 i >
откуда следует, что v(\i, ?0)=0и, значит, Х(ЕО)=О. С другой сто-
стороны, по лемме 8,
X (Ео) >ПтХ (Еп) > е,
это противоречие и доказывает лемму, ч.т.д.
Из доказанной леммы вытекает, что если каждый член обобщен-
обобщенной последовательности {Яа} конечных счетно аддитивных мер абсо-
абсолютно непрерывен относительно \х и если lim Xa(E) = X(E), ?6 2,
а
где X тоже конечная счетно аддитивная мера, то и Я абсолютно
непрерывна.
Из определения 12 непосредственно вытекает, что если X, Хп,
п=\, 2, ... , — конечные счетно аддитивные меры и Хп(Е)—>Х(Е),
?6 2, причем Хп, /г=1, 2, ... сингулярны относительно [х, то и X
тоже сингулярна.
14. Теорема (о разложении в смысле Лебега). Пусть (S, 2, \х) —
пространство с мерой. Тогда каждая определенная на 2 конечная
10*

148 Гл. III. Интегрирование и функции множества
счетно аддитивная мера Я однозначно представима в виде суммы
Я=а+|3, где а — абсолютно непрерывна, а Cсингулярна относитель-
относительно \х.
Доказательство. Единственность а и р очевидна. Ввиду того
что к вещественной и мнимой частям комплексной функции Я можно
применить разложение в смысле Жордана, мы можем и будем пред-
предполагать, что Я неотрицательна. Совокупность N всех множеств
??2, для которых v(\i, E)=0 частично упорядочим, считая, что
А^В, если Ас_В и Я(Л)<^Я(Б). Если No — линейно упорядоченное
подмножество из N и 6=sup Я(?), то либо в самом множестве No
существует мажоранта Ео для No, либо в No найдется такая после-
последовательность {Еп}, для которой Я(?п)<Я(?п+1)—>6. В последнем
случае EndEn+v и E=\JEn, как легко видеть, будет мажорантой
для Nu. Из леммы Цорна вытекает, что N содержит максимальный
элемент Ео. Функция р, определенная на 2 равенством $(E)=X(EE0)f
сингулярна относительно [х. Чтобы показать, что функция а,
определенная на 2 равенством а (Е) = Я (Е) — Р (Е) = Я (??о)>
абсолютно непрерывна относительно [х, предположим, что E?N
и а(Е)=Х(ЕЕ'о)>0. Тогда EQc^Eo\JEE'o?Nf что противоречит мак-
максимальности Еп и доказывает, что а абсолютно непрерывна относи-
относительно у, ч. т. д.
5. Продолжения функций множества
Заданную счетно аддитивную функцию множества, определен-
определенную на некоторой алгебре, можно продолжить до счетно аддитив-
аддитивной функции множества, определенной на некоторой о-алгебре?
содержащей данную алгебру. Эта теорема Хана о продолжении,
а также аналогичные ей другие теоремы о продолжении, важные для
дальнейших приложений, и будут доказываться в настоящем пара-
параграфе. В заключение будет показано, как эти теоремы о продолже-
продолжении можно использовать для построения классических мер Бореля,
Лебега и Стильтьеса.
1. Определение. Пусть Я —функция множества, векторная или
принимающая значения из расширенной области вещественных
чисел, определенная на некоторой алгебре 2 подмножеств множе-
множества S и такая, что Я @)=О. МножествоЕ называется Я-множеством,
если Е б 2 и если
2. Лемма. Пусть Я — произвольная функция множества, вектор-
векторная или со значениями из расширенной области вещественных чисел,

5. Продолжения функций множества 149
определенная на алгебре 2 подмножеств множества S и такая,
что Я@) = 0. Тогда семейство Х-множеств является подалгеброй
в 2, причем такой, на которой X аддитивна. Если, кроме того,
Е есть сумма конечного числа непересекающихся Х-множеств {?rt}, то
для всех М ? 2
Доказательство. Ясно, что пустое множество, все пространство
и дополнение любого Я-множества тоже являются Я-множествами.
Покажем теперь, что пересечение двух Я-множеств А, В тоже
будет Я-множеством. Пусть М?2. Так как А является Я-множе~
ством, то
(I) Я (MB) = k(MBA) + К (МВА')%
а так как В тоже есть Я-множество, то
(II) X (М) = X (MB) + X (MB'),
X (М (АВУ) = Х(М (AB)fB) + X(M (AB)f В'\
(III) X (М (АВУ) = X (MBА') + X (MB').
Из (I) и (II) вытекает, что
X (М) = X (MB A) + X(MBA') + X (MB'),
а из (III) —что
= Х(МВА)+Х(М(АВ)').
Следовательно, и АВ является Я-множеством. Поскольку \JAn =
¦=(ГИп)', мы доказали, что Я-множества образуют алгебру. Пусть
теперь Ег и Е2 — непересекающиеся Я-множества. Заменяя в опре-
определении 1 М на М(?\и?), находим, что
Х(М(Е, U Е2)) = Я (МЕг) + X (МЕ2).
Последнее утверждение леммы следует отсюда по индукции, ч. т. д.
3. Определение. Внешней мерой на множестве 5 называется не-
неотрицательная функция множества Я, принимающая значения
из расширенной области вещественных чисел, определенная на
ог-алгебре 2 подмножеств множества S и удовлетворяющая следую-
следующим условиям:
(I)
(II) К(А)^Х(В), если А г В, A,
(Ш) MU ?)< Г
Г
п=1

150 Гл. III. Интегрирование и функции множества
4. Теорема (Каратеодори). Если X есть внешняя мера, то семей-
семейство Х-множеств является о-алгеброй, на которой X счетно адди-
аддитивна.
Доказательство. Так как Я-множества образуют алгебру (лем-
(лемма 2), то, для того чтобы убедиться в том, что она будет о-алгеб-
о-алгеброй, достаточно показать, что сумма Е каждой последователь-
последовательности {Еп} попарно непересекающихся Х-множеств сама является
А-множеством. Из леммы 2 вытекает, что если М ? 2, то
Х(М) = Х{М{] En) + X(M(\J ?J') =
n=i n=i
= 2 l(MEn) + l(M(\J ?„)')> S
n=l n=l n=l
Следовательно,
CO
X(ME')>X(M)> 2
n=l
откуда вытекает, что Е является ^-множеством; заменяя М на ME,
лолучаем равенство
Х(МЕ)= S Ь(МЕп), ч. т. д.
п=1
5. Лемма. Пусть \х — неотрицательная счетно аддитивная
функция множества, определенная на алгебре 2 подмножеств множе-
множества S и принимающая значения из расширенной области веществен-
вещественных чисел. Для каждого Ac^S положим
оо
\х(А)= inf 2 p(En),
n=l
где нижняя грань берется по всем таким последовательностям {Еп}
множеств из 2, сумма которых содержит А. Тогда [i будет внешней
мерой, а каждое множество из 2 — [х-множеством. Кроме того,
если Е б 2, то A (Е) = \i (E).
Доказательство. Свойства (I) и (II) определения 3 очевидны.
Пусть Е является суммой произвольной последовательности {Еа}
множеств из S. Возьмем е > 0 и для каждого п= 1, 2, ... выберем
последовательность {Етп}, обладающую следующими свойствами:
во о° .

5. Продолжения функций множества
Тогда U Emt п 3 Е и, следовательно,
m, n=i
?(?)< 2 и(ят,п)< 2
п, т=1 п=1
Ввиду произвольности е > 0 этим доказано, что fx обладает и свой-
свойством (III) определения 3. Таким образом, fx является внешней
мерой, определенной на о-алгебре всех подмножеств множества S.
Пусть теперь ??2. Так как Е<^_Е, то \i (Е) > jx (Е). Если
?n?2, /i = l, 2, ..., и ?с: (J ?п, то множества Аг=*Е19 Лп =
n=i
= ?"n((J Е )\ /г > 1, являются попарно непересекающимися мно-
жествами, принадлежащими 2, причем []Ап-= []Еп. Таким образом,
П=1
S 1(Л)< S 1ИЛ)< S
п=1 п=1 п=1
откуда вытекает, что [х (?)<; м- (Е). Мы получили, что если
то (!(?) = ?(?).
Наконец, чтобы показать, что каждое множество Е из 2 является
[х-множеством, рассмотрим произвольное подмножество М из S.
Так как [г — внешняя мера, то \х (ME) + (* {ME') > (х (М). Для того
чтобы доказать, что Е есть (х-множество, достаточно убедиться
в том, что
Для наперед заданного е>0 найдутся такие множества
п=1, 2, ..., что УИе и?Л и
1
n=i
Далее, так как MEa\JEEn и М?'с (J?"^, то
5
n=l
оо
= 2 {ii(EnE) + n(E1lE')}>p(ME) + tL(ME'), ч. т. д.
П=1
6. Лемма. Существуют однозначно определенная минимальная
алгебра и однозначно определенная минимальная с-алгебра, содер-
содержащие заданное семейство множеств.

J52 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Доказательство. Существует, по меньшей мере, одна алгебра,
^содержащая заданное семейство т, а именно алгебра всех подмно-
подмножеств множества S. Пересечение всех алгебр, содержащих т,
является, как легко видеть, алгеброй и будет, следовательно,
наименьшей из алгебр, содержащих т. Точно таким же способом
можно убедиться в существовании наименьшей а-алгебры, содер-
содержащего т, ч. т. д.
Минимальная алгебра, содержащая заданное семейство мно-
множеств, иногда называется алгеброй, определяемой или порождаемой
этим семейством множеств. Точно так же минимальная а-алгебра,
-содержащая заданное семейство множеств, называется о-алгеброй,
определяемой или порождаемой этим семейством.
7. Определение. Пусть 2 —некоторая алгебра подмножеств
множества S, a (i—определенная на 2 функция, принимающая
значения из расширенной области вещественных чисел. Тогда ц
называется а-конечной на 2, если 5 есть сумма последовательности
{Еп} таких множеств из 2, что v(\i, Еп) < оо, п = 1, 2, ... . Про-
Пространство (S, 2, |i) называется пространством с а-конечной мерой,
-если |х сг-конечна на 2.
8. Теорема (теорема Хана о продолжении меры). Каждая опре-
определенная на алгебре 2 счетно аддитивная неотрицательная функция
множества |х, принимающая значения из расширенной области
вещественных чисел, имеет счетно аддитивное неотрицательное
продолжение на о-алгебру, порожденную алгеброй 2. Если \х
^-конечна на 2, то это продолжение единственно.
Доказательство. В силу теоремы 4 и леммы 5 внешняя мера \х
является неотрицательным, счетно аддитивным продолжением ц
на сг-алгебру 20, порожденную алгеброй 2. Пусть \il— другое
такое же продолжение. Если \х сг-конечна на 2, то, для того чтобы
доказать единственность этого продолжения, достаточно показать,
что |i (?) = \ix (Е) для каждого множества Е из 20, содержащегося
в таком множестве F из 2, для которого |i(F) < оо. Пусть ?Д62
\лг (Е) <Sfi1(?ll) = Ifi(?n),TOfi1(?)<
Аналогично \хг (F — Е) <> (F — Е). Так как
то ввиду предшествующих неравенств \ix (Е) = |я (Е)у ч. т. д.
9. Следствие. Каждая ограниченная комплексная счетно адди-
аддитивная функция множества, определенная на алгебре 2, имеет
единственное счетно аддитивное продолжение на а-алгебру, порож-
порожденную алгеброй 2. , .

5. Продолжения функций множества
Доказательство. Если |я — определенная на алгебре 2 огра-
ограниченная счетно аддитивная функция множества, то ввиду теоремы
1.8 о разложении в смысле Жордана и леммы 4.7 ее вещественная
и мнимая части могут быть представлены в виде разностей двух
определенных на S неотрицательных счетно аддитивных функций
множества. Доказываемый результат вытекает теперь из теоремы 8,
ч. т. д.
Приводимые ниже теоремы о продолжении мер используют
интересные соотношения между топологией пространства и некото-
некоторыми мерами, которые можно на нем определить.
10. Определение. Наименьшая а-алгебра S3, содержащая все
замкнутые подмножества данного топологического пространства 5,
называется борелевской алгеброй пространства S, а множества.
йз S3 —его борелевскими множествами.
11. Определение. Аддитивная функция множества \х, опреде-
определенная на некоторой алгебре 2 подмножеств топологического
пространства S, называется регулярной, если для каждого ?gS.
и е>0 существуют такое множество FgS, замыкание которого
содержится в ?, и такое множество G?2, внутренность кото-
которого содержит Е, что для каждого множества С 6 2, содержащегося
в G-F, |[г(С)|<8.
Для аддитивной функции множества (х, значения которой либо
комплексны, либо принадлежат расширенной области веществен-
вещественных чисел, лемма 1.5 утверждает, что
y(ji, G—/r)<4sup|
Таким образом, для таких функций требование sup | |i(C) | < е
в определении регулярности можно заменить эквивалентным ему
условием: v(\i, G— F) < е.
12. Лемма. Полная вариация регулярной аддитивной функции
множества, определенной на некоторой алгебре, значения которой
либо комплексны, либо принадлежат расширенной области
вещественных чисел, регулярна. Положительная и отрицательная
вариации ограниченной регулярной вещественной аддитивной
функции множества также регулярны.
Доказательство. Если |i —регулярная аддитивная функция
множества, определенная на некоторой алгебре 2 подмножеств мно-
множества S, комплексная или со значениями из расширенной области
вещественных" чисел, то регулярность v(\x) непосредственно выте-
вытекает из определения 11. Пусть значения \х принадлежат расширен-
расширенной области вещественных чисел, и пусть Е ? 2, е > 0, a F и G —
такие множества из 2, что замыкание F :

154 Гл. III. Интегрирование и функции множества
содержится в Е, Е содержится во внутренности G, причем
и(|л, G — F) < е. Тогда так как
v(\i, G-F) = ii+(G
то и \i+(G — F) и \i~(G — F) оба меньше е, а, следовательно, |х*
и |Л~ регулярны, ч. т. д.
13. Теорема (А. Д. Александров), Ограниченная регулярная
комплексная аддитивная функция множества |л, определенная
на некоторой алгебре 2 подмножеств бикомпактного топологиче-
топологического пространства S, счетно аддитивна.
Доказательство. Пусть е > 0. Рассмотрим последовательность
{Еп} попарно непересекающихся множеств из 2, сумма которых
?"?2. Тогда найдется такое множество ^6 2, что Fc^E
и v(|х, E — F) < е. Кроме того, найдется такое множество Gn?I>,
что ?п содержится во внутренности G°n множества Gn, причем
8 -^
v(\i, Gn — En) < ^. Так как {] Gn^F, то существует такое нату-
^ п=1
m
.сальное число т, что (J Gn^*F. Следовательно,
1
оо
Отсюда следует,
*(* E),
П=1
ОО
оо
ЧТО J! V
п=1
п
г=1
>lF
A*.
п
i=l
m
n=l
,?)-
28.
Так
п =
как
1, 2, .
то v(\x9 Е)> 2 ^(М', fi) и, следовательно, o(|i) счетно"аддитивна.
Ввиду ограниченности \х и v(\iyE) < оо, по лемме 1.5. Следова-
со
тельно, 2 v (l1» ?"i) < оо и
оо ~
у (|х, (J Ег) = 2 у (И'» А) "^ 0 при я —> со.
i=n i=n
Таким образом,
2 |(i) lf(Ui)
г=1 i=n
оо
и, значит, |i(?)= 51 JA(?n)» ч- т- д-
п=1

5. Продолжения функций множества 155
14. Теорема. Пусть \х — ограниченная регулярная комплексная
аддитивная функция множества, определенная на некоторой алгебре
2 подмножеств бикомпактного топологического пространства S.
Тогда \х имеет единственное регулярное счетно аддитивное продол-
продолжение на о-алгебру, порожденную алгеброй 2.
Доказательство. Так как |л регулярна в том и только в том слу-
случае, если регулярны положительная и отрицательная вариации ее
действительной и мнимой частей, то мы можем и будем предпола-
предполагать, что \х неотрицательна. По теореме 13, |i счетно аддитивна
на 2. Поэтому внешняя мера |i, определенная в лемме 5, является,
согласно теореме 4 и лемме 5, счетно аддитивным продолжением ц
на а-алгебру 2Х, порожденную алгеброй 2. Таким образом, если
оо
Е ? 2, и е > 0, то найдутся такие множества Еп 6 2, что (J Еп з Е и
п=1
Согласно определению 11, существуют такое открытое множество
и такое множество Лп?2, что Enc^Gn<~_An и
Если G—[]Gn и A— (Ji4n, то множество G открыто, А б 2t и
оо оо
, А- ЦЕп^ U(A,-?J,
1г
71=1 71=1
Рассуждая так же относительно ?', мы построим множество В g 2^
замыкание которого содержится в ?, и такое, что [i(E — B) < e.
Этим доказана регулярность |i на 2, ч. т. д.
Пользуясь теоремой 14, можно построить много интересных
примеров регулярных счетно аддитивных мер. Одним из наиболее
известных примеров такого рода является мера Бореля —Лебега,
или мера Бореля. Чтобы построить меру Бореля —Лебега на биком-
бикомпактном интервале S = [а, Ь] вещественных чисел, рассмотрим интер-
интервалы / одного из двух видов: [a, d] или (с, d], где а < с < d< 6.
Для таких интервалов положим \i ([a, d]) = d — а, |i ((с ,d]) = d — c.
Пусть 2 состоит из всех конечных сумм таких интервалов. Ясно,
что 2 является алгеброй и что если множество Е б 2 имеет вид

156 Гл. 111. Интегрирование и функции множества
где /;, /= 1, ... , п — попарно непересекающиеся интервалы опре-
определенного выше вида, то \х (/х) + ••• + MAJ не зависит от выбора
семейства непересекающихся интервалов /г, ... , 1п, сумма которых
равна Е. Таким образом, |я(?) можно определить равенством
Легко проверить, что условия теоремы 14 здесь выполняются,
так что, по этой теореме, существует единственное регулярное
счетно аддитивное продолжение меры (i на а-алгебру борелевских
подмножеств множества S. Это продолжение известно под назва-
названием меры Бореля на [а, 6].
Предложенную конструкцию можно обобщить на пространства
большего числа измерений. Ее можно, кроме того, использовать,
иначе определяя меру на основном поле 2.'Мы проиллюстрируем
последнее замечание, описав здесь построение меры Радона на интер-
интервале.
15. Определение. Интервалом называется совокупность точек
из расширенного множества вещественных чисел одного из следую-
следующих видов:
[a, 6] = {s|a<s<6}, [а, 6) = {s|a<s < 6],
. (a, b] = {s\a<s<b] (a, b) = {s\a < s < b).
Число а называется левым концом, а Ь —правым концом каждого
из этих интервалов. Интервал называется конечным, если оба его
конца конечны, и бесконечным. — в противном случае. Если f —
комплексная функция, определенная на интервале /, .то полной
вариацией f на / называется
где верхняя грань берется по всем конечным множествам точек
at> bb?l, таким, что ax< 61 <a2 <v b2 < ... «^ afl^bu. Если
v(f, I) < со, то f называется функцией ограниченной вариации на /.
16. Лемма. Пусть / — функция ограниченной вариации на интер-
интервале I и с — произвольная точка из I, не совпадающая с его прасым
концом. Тогда
lim v(f, (с, с + е]-) = 0.
е->0 +
Доказательство. Если b — правый конец интервала /, то функ-
функция v(f, (с, с + г]) на интервале 0 < е < Ь— с является неубы-
неубывающей функцией е. Мы можем поэтому провести доказательство

5. Продолжения функций множества 15/
от противного, предположив, что для некоторого положительного 6
v(f, {с, с+е])> б, 0 <е<Ь-с.
Таким образом, если 0<е1<6 — с, то на интервале (с, с + гх]
найдутся пх точек aiy bi таких, что с < аг,1 < ЬПх < ... < а2 < Ьг <
<с + е, и что
1 1/(,)/(,)|
г=1
Положим е.2 = аг,1 — с. Так как у(/, (с, с + е2]) > 6, то на интервале
(с, с + е2] = (с, a?7j найдутся такие точки а;, 6;., / = пх + 1, . . ., п2
что с <an2<bno^ ... <> Дгуи < fer^+i <с+ е2 = аП1 и что
S
г=гA+1
Это рассуждение можно продолжить, полагая е3 = ап —с
и выбирая соответствующим образом точки в интервале (с, с + е3].
По индукции, ясно, что для каждого натурального k=l 2,...
найдутся такие точки аг, bt> что с <ank<cbnk< &
<с-\-г1 и
\f(bi)-f(ai)\>6, k=U 2,
Однако это противоречит тому, что / является функцией ограничен-
ограниченной вариации на /, ч. т. д.
Пусть теперь / будет функцией ограниченной вариации на откры-
открытом интервале / = (а, 6), который может быть как конечным, так
и бесконечным. Будем предполагать, что
(I) /(s) = lim/(s+|e|), 56/,
е-*0
т. е. что / непрерывна справа в каждой точке открытого интервала
/. Замкнутый интервал / = [а, Ь] является бикомпактным подмно-
подмножеством расширенной области вещественных чисел. Мы расширим
область определения функции / до /, полагая / (а) = / (Ь) = 0. Точно
так же, как в приведенном выше построении меры Бореля, пред-
предположим, что S есть алгебра всех конечных сумм
(II) Е = 1Х[}12\1 ... иЛг интервалов /., /=1, 2, ... ,/г, где
каждое /;. имеет один из двух видов [a, d] или (с, d], причем
а<с <d<6. Если интервалы /;., /= 1, ... , пу в (II) не пересе-
пересекаются, то, по определению, для ?? 2
(III) j

158 Гл. III. Интегрирование и функции множества
где |i([a,d]) = /(d)-/(fl)H|i((c, d]) = f(d)-f(c) при а <с < d< b.
Легко видеть, что \х (Е) не зависит от выбора конечного множества
интервалов {/;}, используемых для представления ?, и что \х
аддитивна на 2. Ввиду того, что / — функция ограниченной вариа-
вариации на /, (I ограничена. Кроме того, если Е состоит из единствен-
единственного интервала, то из равенства (I) легко следует, что v(\i, E) =
= v (/, Е). Из этого равенства и предшествующей леммы следующим
образом можно получить регулярность \х на 2: пусть Е опреде-
определяется равенством (II), где /; = (а;, 6J, а<ах < &х <а2 < 62< .. .
... <ап<6п<6, и пусть
п
М (а, + е, &•], О < е < inf (Ь7 —а7).
.
Тогда, по лемме 16, и((х, ? — ?(е)) = 2 у(/» (ау» а;- + с])—»0,
;=1
откуда и следует регулярность |i на 2. (Если al = a, то в выписан-
выписанном выше выражении (ах, 6Х] и (аг; ах+ е] соответственно заменяются
на [а, 6] и [а, а + е].)
Из теоремы 14 вытекает, что \х имеет регулярное счетно аддитив-
аддитивное продолжение на а-алгебру всех борелевских множеств из [а, 6].
Сужение этого продолжения на а-алгебру борелевских под-
подмножеств интервала (а, Ь) называется мерой Радона или мерой
Бореля— Стилыпьеса на (а, 6), определяемой функцией /.
Следующая теорема о продолжении носит элементарный харак-
характер и не зависит от предшествующих теорем подобного рода. Ею
устанавливается общий вид соотношения между только что опре-
определенными мерами Бореля —Стильтьеса и мерами Лебега — Стиль-
тьеса, которые будут определены ниже.
17. Теорема. Пусть \х—счетно аддитивная функция мно-
множества, определенная на о-алгебре 2, векторная или со значениями
из расширенной области вещественных чисел. Обозначим через
2* совокупность всех множеств вида E\JN, где ?2, а N
является подмножеством такого множества М ? 2, для которого
v(\i, M) = 0. Тогда 2* будет а-алгеброй, причем если область опре-
определения (I расширить до 2*, полагая \х (E\JN) = \х (?), то продол-
продолженная функция будет счетно аддитивной на 2*.
Доказательство. Прежде всего мы покажем, что семейство 2*
является а-алгеброй. На протяжении этого доказательства бук-
буквой Е, с индексом или без него, будет обозначаться множество
из 2, буквой М, с индексом или без него, будет обозначаться мно-
множество из 2, для которого v(\x, M) =0, и буквой JV, с индексом или
без него, —подмножество множества М. Для того чтобы убедиться,

5. Продолжения функций множества /59
что дополнение множества ?(JN B ^* также принадлежит 2*,
рассмотрим Му содержащее N, так что
(E]JNY = E'N9 з?'ЛГ, E'N' - Е'№ = ?'(#'- М')с: М.
Таким образом, если N1=E'N' — ЕгМ', то NX^M и (?(JN)' =
^(E'M')\]NX. Следовательно, 2* содержит дополнение каждого
из своих элементов. Далее, пусть {En[jNn} cz 2* и Л^псУИп.
Тогда так как
оо оо оо оо
U (En{JNn)- U En^ U Л/Пе у Мп = М,
П=1 П=1 71=1 П=\
то ясно, что
(I) U {En\JNn)= О (?„
п= 1 п= 1
где
yV= ! I (En{JNn)- I I En.
Таким образом, 2* является сг-алгеброй. Далее, пусть j1Ji
= E2[JN2 и Nxc:Mv N2t~_Mi\ положим M—M1\jM2y так что
ЕгиМ=Е2иМ и, значит, \х(Ег) = \i(El{JM) = \x(E2). Отсюда
следует, что (i однозначно определена на 2*, а из равенства (I) —
что |i счетно аддитивна на 2*, ч. т. д.
18. Определение. Пусть (i —функция, определенная на а-алгебре
2, векторная или со значениями из расширенной области вещест-
вещественных чисел, и 2* определено как в предыдущей теореме. Тогда
функция |i, продолженная на 2*, известна под названием лебегов-
ского продолжения функции |ы.
а-алгебра 2* известна как лебеговское расширение (относительно
\х) а-алгебры 2, а пространство с мерой (S, 2*, |i) —как лебе-
лебеговское расширение пространства с мерой (S, 2, (li).
Такие понятия, как |1-простая функция, вполне |1-измеримая
функция, |1-измеримая функция, |1-интегрируемая функция и т. д.,
не меняют своего значения, когда функция \х рассматривается как
определенная на 2*. Это происходит потому, что перечисленные
понятия относятся не етолько к самим функциям, сколько к клас-
классам эквивалентных между собой функций. Таким образом, обозна-
обозначение через \х как меры на 2, так и ее продолжения на 2* не может
вызвать никакой путаницы.
Меру Лебега на интервале [а, Ь] вещественных чисел можно
определить как лебеговское продолжение меры Бореля на [а, 6].
Множества, измеримые по Лебегу на [а, 6], это множества из лебе-
говского расширения (относительно меры Бореля) а-алгебры борелев-
ских множеств из [а, 61. Аналогично мера Лебега— Стилыпьеса,
определяемая посредством функции f ограниченной вариации

160 Гл. III. Интегрирование и функции множества
на конечном или бесконечном интервале, является лебеговским про-
продолжением меры Бореля — Стильтьеса, определенной посредством /.
Если |i есть мера Бореля —* Стильтьеса или Лебега — Стиль-
Стильтьеса, определенная посредством функции / ограниченной вариации
на интервале 1 = (а, 6), а функция g jii-интегрируема, то интеграл
ь
\ g (s) \i (ds) часто записывается в виде \ g (s) df (s). В случае, когда
f(s) = s, т. е. если \х есть мера Бореля или мера Лебега, этот инте-
ь
грал иногда записывается как \g(s)ds.
а
Приведенная нами конструкция может быть обобщена для моно-
монотонных функций (определенных на открытом интервале) и не явля-
являющихся функциями ограниченной вариации. Предположим, что f —
монотонно возрастающая функция, принимающая конечные вещест-
вещественные значения, непрерывная справа на интервале (— оо, + оо).
В предыдущей нашей конструкции каждому ограниченному боре-
левскому множеству В мы уже приписали некоторую неотрица-
неотрицательную меру |i. Положим In= {s\ — п < s < +/г}, и пусть для
каждого борелевского множества \х(В)= lim (i (InB) (так как
71->ОО
{\i(InB)} —возрастающая последовательность, то этот предел
существует и является положительным числом из расширенной
области вещественных чисел). Чтобы убедиться, что (i счетно адди-
аддитивна, заметим, что если В представлено в виде суммы последова-
последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств В^ то
так что
в то же время
3= 1 ;= l
так что
2
, = 1
В этом случае также принято обозначение
+ ОО
\= J g(s)df(s).
R —*оо
причем говорят, что \i есть мера, определяемая функцией f.

6. Интегрирование по счетно аддитивной мере 161
Читатель без труда может убедиться в том, что та же самая кон-
конструкция пригодна и для произвольного открытого интервала /
при условии, что / принимает лишь конечные вещественные значе-
значения, монотонно возрастает и непрерывна справа в каждой точке
интервала /.
6. Интегрирование по счетно аддитивной мере
Основным понятием этого параграфа является пространство
с мерой (S, 2, (ы), т. е. счетно аддитивная функция множества (ы,
определенная на некоторой сг-алгебре 2 подмножеств множества 5,
значения которой либо комплексны, либо принадлежат расширен-
расширенной области вещественных чисел. Пространство с мерой (S, 2*,|i)
является лебеговским расширением (S, 2, |i). Функции /, интегри-
интегрируемые относительно |i, будут принимать значения либо из расши-
расширенной области вещественных чисел, либо из некоторого В-про-
странства Ж. В этом параграфе мы покажем, что если (S, 2, \i) —
пространство с мерой, то различные линейные векторные простран-
пространства измеримых и интегрируемых функций, с которыми нам при-
придется встречаться, являются полными метрическими пространст-
пространствами. Кроме того, здесь будут даны критерии ^-измеримости и рас-
рассмотрена сходимость почти всюду.
1. Определение. Последовательность функций {/п}, отобра-
отображающих S в ЭЕ, сходится почти равномерно относительно |i, если
для каждого е>0 существует такое множество ? 2, что
v(\i, Е) < е, причем последовательность {/п} на S — Е сходится
равномерно. Последовательность {/п} сходится почти равномерно
к функции /, если для каждого е > 0 существует такое множество
??2, для которого v(\i, E) < е, причем последовательность
{/п} на множестве S — E равномерно сходится к /.
Ясно, что из почти равномерной сходимости /п к / вытекает
сходимость fn к f по мере (х. Следующая лемма является до некото-
некоторой степени обратной к этому утверждению.
2. Лемма. Пусть (S, 2, \х)—пространство с мерой, a {fn} —
последовательность функций, определенных на 5; предположим, что
lim (/п — fm) — 0 в смысле сходимости по мере \х. Тогда существует
т, п-»оо
такая подпоследовательность {fn.} последовательности {/п} и такая
функция /, что {fn.} почти равномерно сходится к /.
Доказательство. Так как lim (fn — /т)=0в смысле сходимо-
т, п->оо
сти по мере |л, то можно найти такую подпоследовательность {/п.}
и такие множества ?;g 2, что v(\i, Ег) < -^ и |/„. (s) — /n. (s)\ <
1 1 Заказ 1324

162 Гл. III. Интегрирование и функции множества
<-ог, eains^Et. Положим Fk = jj ?\, тогда u(fx, Fk) < -7^- ,
и при s(? Ffe
oo
где /> />&. Таким образом, если s§ f] Fh, то {/n. (s)} есть фун-
даментальная последовательность, на каждом из множеств S — Fk
равномерно сходящаяся к функции /. Отсюда следует, что /п.—>/
почти равномерно, ч. т. д.
3. Следствие. Пусть (S, 2, \х) — пространство с мерой. Рас-
Рассмотрим последовательность {fn} функций, определенных на 5,
и предположим, что fn сходится к f no мере \х. Тогда некоторая под-
подпоследовательность этой последовательности сходится к f почти
равномерно относительно (л.
4. Следствие. Если (S, 2, (л) — пространство с мерой, то прост-
пространство F (S, 2, \х, ЭЕ) полно.
Доказательство. Рассмотрим фундаментальную последователь-
последовательность {fn} в пространстве F (S, 2, (л, 36). В силу леммы 2 некоторая
подпоследовательность {fn.} этой последовательности сходится по ме-
мере к некоторой функции f. Пусть г > 0 задано. Тогда найдется такое ДО,
что \L — fm\< 8/2> если пут>Ыуи такое пь > ДО, что | fn. — f \ < е/2.
Следовательно, \fn — f\<\fn — fn.\ + \fn.—f\<& при п>ДО, так
что fn —> f по мере, ч. т. д.
5. Следствие. ?сла (S, 2, \х) — пространство с мерой, то про-
пространства ТМ (S, 2, [х, ЭЕ) а М (S, 2, [г, 3?) вполне измеримых и
измеримых функций полны.
Доказательство. Согласно лемме 2.11, ТМ и М являются замк-
замкнутыми подпространствами F. В силу леммы 1.6.7 эти пространства
полны, ч. т. д.
-» 6. Теорема. Если (S, 2, \i) — пространство с мерой и р> 1, /по
пространство Lp(S, 2, fx, 3E) полно и, следовательно, является
В -пространством.
Доказательство. Заметим прежде всего, что последовательность
{fn} точек метрического пространства в том и только в том случае

6. Интегрирование по счетно аддитивной мере 163
является фундаментальной, если для каждой подпоследователь-
подпоследовательности {nj
Таким образом, если lim |/n~/m|p = 0, то, по теореме 3.6,
тп, л-*оо
lim (fm— /n) = 0 в смысле сходимости по мере. Ввиду след-
т, п->оо
ствия 4 существует такая функция f, что fn—±f no мере. Пусть
8 > 0 и N настолько велико, что \fn—fm\p < е при п, т> N, а б
настолько мало, что
к
если v ((хг ?) < б и 1 < я< N. Тогда
в
если t;(fi, ?) < б и 1 <я <оо, т. е.
равномерно относительно я. Точно так же можно показать, что для
каждого 8 > 0 существует такое множество ? 6 2, что v (\iy E) < оо и
Поэтому, согласно теореме 3.6, fZLpn lim | /n — /1 = 0, ч. т. д.
п~>со
7. Лемма. Для того чтобы множество было нуль-множеством,
необходимо и достаточно, чтобы оно являлось подмножеством неко-
некоторого измеримого множества Fy такого, что v{\xy F)=0.
Доказательство. Если Е — нуль-множество, то у* (\х, ?) = 0 и
существует измеримое множество Еп, содержащее ?, для которого
v(\iyEr) < 1/rt. Но тогда множество F=[)En измеримо, содержит Е
и t>j>,' E)=\ ч. т. д.
8. Лемма. Если (S, S, (л) — пространство с мерой, то функция f,
отображающая S в X, в том и только в том случае эквивалентна
нулю у если она равна нулю почти всюду. Если f \1-интегрируемау то
для того, чтобы \ / (s) \i (ds) = 0 для каждого ?6 2, необходимо и
Е
достаточно, чтобы f почти всюду обращалась в нуль.
11*

164 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Доказательство. Ясно, что функция, почти всюду обращающаяся
в нуль, эквивалентна нулю. Обратно, если f эквивалентна нулю,
то для каждого я=1, 2, ... множество ?„ = I s \\ f (s) \ > — | является
оо
нуль-множеством и в силу предыдущей леммы множество [} Еп =
п=1
{|f()O} содержится в некотором множестве меры нуль.
Последнее утверждение леммы вытекает из пунктов (а) и (d) теоре-
теоремы 2.20, ч. т. д.
Два следующих результата представляют собой полезный кри-
критерий измеримости.
9. Лемма. Пусть (S, 2*, \х)—лебеговское расширение простран-
пространства с конечной мерой (S, 2, \х). Тогда для того, чтобы определенная на
S функция /, векторная или со значениями из расширенной области
вещественных чисел, была \i~измеримой, необходимо и достаточно,
чтобы были выполнены следующие условия:
(I)функция f почти сепарабельнозначна и
(II) /^(G) принадлежит 2* для каждого открытого множества G,
или, что эквивалентно этому,
(H'J/^B) принадлежит 2* для каждого борелевского множества В.
Доказательство. Предположим сначала, что f fx-измерима, и
пусть {fn} — последовательность простых функций, сходящихся
к f по мере. По лемме 2, мы можем предполагать, что {fn} сходится
к f почти равномерно. Пусть ?^?2 таково, что и(|я, Ev) < 1/п
оо
и fn (s) —>f(s) равномерно на S — En, и пусть [} Еп — Е, Тогда
71=1
Е является нуль-множеством и fn (s)-^f(s) при s$E. Множество
fn(S — E) конечно, и, следовательно, замыкание суммы [jfn(S — E)
является сепарабельным множеством, содержащим/(S — f), откуда
в силу 1.6.12 вытекает сепарабельность f(S — E).
Предположим теперь, что G — открытое множество и Gn — сово-
совокупность таких л:, что S (х, 1 /л) с~ G. Пусть s (J Е. Тогда f (s)?G в том
и только в том случае, если для всех достаточно больших k fk (s)
принадлежит некоторому Gn, т. е.
оо оо
Г(О)-Е= U П friGJ-E.
т, п=1 k=m
Так как /^ — простая функция, то можно считать, что множества
fhl (Gn) принадлежат 2. Таким образом, f'1 (G) — Е и, следовательно,
f'1 (G) принадлежат 2*.
сю оо
Так как f ( (J ?„) = [j f'1 (?J, то семейство множеств S, для
П=\ 77=1
которых 1~г(В) g 2*, образует а-алгебру. Отсюда эквивалентность
условий (II) и AГ) очевидна.

6. Интегрирование по счетно аддитивной мере 165
Обратно, предположим, что выполнены условия (I) и AГ).
Пусть Е — множество меры нуль и {хп} — счетное всюду плотное
подмножество в f (S—Е). Пусть дано е> 0; обозначим через Ап мно-
множество таких s, не принадлежащих Е, для которых | f (s) — хп | < е,
в то время как |/E) — х{ | >е, 1 </<п. Тогда Ап? 2* и E\J (J An=S.
оо
Следовательно, мы можем найти столь большое N, что f (fx, [j Аь) < е.
n=N
Положим /8 (s) =хп, если s?Ann п < N, и fe(s)=O в противном случае.
Тогда feбудет [х-простой функцией. Ясно, что при 8— >0 fe-+f по
мере [х. Следовательно, функция / fx-измерима, ч. т. д.
10. Теорема. Пусть (S, 2*, |я) лебеговское расширение простран-
пространства с мерой (S, 2, |я). Тогда для того, чтобы определенная на S функ-
функция f> векторная или со значениями из расширенной области вещест-
вещественных чисел, была ^-измеримой, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого измеримого множества F, для которого v(\i> F) <оо,
были вьтолнены следующие условия'.
(I) функция f почти сепарабельнозначна на F\
(II) F f) f'1 (G) принадлежит 2* для каждого открытого множес-
множества G или, что эквивалентно этому,
AГ) F [] }~г(В) принадлежит 2* для каждого борелевского мно-
множества В.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из леммы 9 и определения 2.10, ч. т. д.
В качестве следствия теоремы 10 отметим тот полезный факт,
что функция f, принимающая значения из расширенной области
вещественных чисел, измерима, если для каждого множества F? 2,
для которого v(\i, F) < оо, и любого вещественного числа с множество
F П {s|/(s) > с) принадлежит 2*. Эквивалентное этому условие полу-
получится, если множество {s|f(s) > с) заменить на {s|/(s) >c}, {s|/(s) <c}
или {s | f(s) <с}. Каждое из этих семейств множеств порождает боре-
левские множества^Если {fn} — последовательность измеримых
функций, принимающих значения из расширенной области вещест-
вещественных чисел, и g^f^
{s\g(s)>c}= U {s|/n(s)>c}.
Таким образом, функция sup fn измерима. Аналогично inf fn измерима
и, следовательно, limfn, lim/n и limfn измеримы.
п-+оо п_>00 П~>оо
Следующая теорема применима специально к векторным функ-
диям и представляет собой способ сведения изучения измеримости

166 Гл. III. Интегрирование и функции множества
таких функций к скалярному случаю. Эту теорему иногда удобно
применять вместо теоремы 10.
11. Теорема. Если (S, 2, \i) — пространство с мерой, то для
того, чтобы функция /, отображающая S в В-пространстве 3t\
была ^-измеримой, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены
следующие условия'.
(I) для каждого измеримого множества F, для которого v (|я, F) < оо,
функция f почти сепарабельнозначна на F и
(II) для каждого линейного функционала х* из Ж* определенная
на S скалярная функция x*f ^.-измерима.
Доказательство. Необходимость условия (I) вытекает из теоремы
10. Пусть / измерима и х*?Ж*; положим r(-)=x*f (•). Если Н —
открытое множество скаляров, то множество G=x* г (Н) открыто
вЭЕ и г1 (Н) = f~x(G) 6 2*, чемдоказана необходимость условия (II).
Для доказательства достаточности можно без ограничения общности
предположить, что (S, 2, fx) — пространство с конечной мерой.
Пусть {ха} — счетное всюду плотное подмножество Bf(S — ?), где
Е — нуль-множество. Рассмотрим последовательность {х%} линей-
линейных функционалов, удовлетворяющих условиям \х*
= \хп\ (см. II. 3. 14). Так как | / (s) | = sup | x*f (s)
= 1 и Хп (хп) =
, s?S-E, то
функция | f (•) | измерима. Точно так же измерима и функция gn( •) =
= \f(') — xn\- Пусть G — открытое множество в ЭЕ, а еп — радиус
наибольшей открытой сферы S (хп1 е)^С Если Gn = S(xn,En)t то
ГЧ^п) =?п1(Ю» О) €2*, что вытекает из теоремы 10, примененной
к?п. Из того, что С= \JGn, следует, что Г1@)= U
m=i n=l
откуда ввиду теоремы 10 вытекает, что / измерима, ч. т. д.
12. Теорема (Егоров). Если (S, 2, \х) — пространство с конеч-
конечной мерой, то, для того чтобы последовательность {/п} измеримых
функций, отображающих S в 3?, почти равномерно сходилась к неко-
некоторой функции f, необходимо и достаточно, чтобы последователь-
последовательность fn (s) сходилась к f (s) почти всюду.
Доказательство. Предположим, что fn—>f почти равномерно.
Пусть Еп 6 2 таково, что v (\x, En) < 1 In и fn (s)—>f(s) равномерно для
оо
s$En. Тогда Е = f| Еп является нуль-множеством и fn(s)—>f(s)>
71= i
если s$E.
Обратно, предположим, что Е — нуль-множество и что fn(s) —> / E)
при s§E. Положим

6". Интегрирование по счетно аддитивной мере 167
Тогда Ek+lf т з Ektmt а так как fr (s) —> f (s) для каждого s ? S — E, то
oo
\JEkm = S — E при всех т. Следовательно, для любых е>0
и т можно найти такое натуральное &т, что v (\it S — Ek ,m)<
oo
< e/2m. Если положить Ае = f] ?& то a(fx, S — Ле)<
<e и \fk(s)-f(s)\< l/m при k>kmn s?Aet т. е. fk(s)->f (s)
равномерно на Л8, ч. т. д.
Необходимо отметить, что в прямой части доказательства не
используется конечность (S, 2, fx), и, следовательно, мы доказали,
что если (S, 2, |i) — пространство с мерой, то из почти равномерной
сходимости вытекает сходимость почти всюду.
13. Следствие (а). Если (S, 2, \х) — пространство с мерой, то
сходящаяся по мере последовательность измеримых функций содер-
содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.
(Ь). Если (S, 2 ,fx) — пространство с конечной мерой, то почти
всюду сходящаяся последовательность измеримых функций сходится
по мерей
14. Следствие. Если (S, 2, \х) — пространство с мерой и
{fn} — последовательность определенных на S измеримых век-
векторных функций, сходящаяся почти всюду к определенной на S функ-
функции /, то и функция f тоже измерима.
Доказательство. Это утверждение вытекает из теоремы 12 и опре-
определения 2.10, ч. т. д.
15. Теорема (теорема Витали о сходимости). Пусть 1 <р <оо,
(S, 2, fx) — пространство с мерой и {[^ — последовательность
функций из Lp(S, 2, fx), сходящаяся почти всюду к функции f.
Тогда для того, чтобы f принадлежала Lp(S, 2, [х, 96) и норма раз-
разности \fn—f\p стремилась к нулю, необходимо и достаточно, чтобы
были выполнены следующие условия:
(I) lim \ \fn(s)\vv(\x, ds) = 0^равтмерно относительно п\
(II) для каждого е > 0 существует такое множество Ее? 2, что
v(\i, Ee)<co и
/n(s)|pt;(fx, ds)<e, ?7=1,2,....
Доказательство. Необходимость условий (I) и (II) непосредственно
вытекает из теоремы 3.6. Обратно, предположим, что условия (I)
и (II) выполнены. Если Е — множество, для которого v(\x, Е) < оо.

168 Гл. III. Интегрирование и функции множества
ТО
^1/EI^01, ds)<oo и lim \\fn(s)-f(s)\pv(iit ds) = 09
что легко вытекает из следствия 13 (Ь) и теоремы 3.6. Следова-
Следовательно,
ТТРН |/n-/m|p< ITS Я \fn(s)-fm(s)\pv([i,ds)
т, п-+со т, n->oo t J J
1.
< TT7R \\\\fn(s)-f(s)\pv(ii,ds)}P
т, ri~>-oo L i. J ->
1 i
1
frn(s)-f(s)\pv(lit ds)}P]
так что lirn | fn — fm I == 0. Ввиду полноты Lp (S, 2, [x, X), суще-
m, n->oo
ствует такое g?L что lim |fn — g\p = 0. Тогда, по теореме 3.6
п-юо
и следствию 13(а), некоторая подпоследовательность последова-
последовательности {/п} сходится к g почти всюду. Следовательно, g = f
почти всюду, /6Lp и |fn — f\p—>0, ч г. д.
-> 16. Следствие (теорема Лебега). Пусть 1<р<оо, (S, 2, \х) —
пространство с мерой и {fn} — последовательность функций из
Lp (S, 2, [х, 96), сходящаяся почти всюду к функции f. Предположим,
что в Lp(S, 2 , [х, Ж) найдется такая функция g, что \fn(s)\<^.
<\g(s)\ почти всюду. Тогда /6Lp(S, 2, \х, Ж) и |fH — f\p стре-
стремится к нулю.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из теоремы 15, ибо последовательность {fn} удовлетворяет условиям
(I) и (II) этой теоремы, ч. т. д.
17. Следствие. Пусть (S, 2, |я)— пространство с положительной
мерой у {fn} — монотонно возрастающая последовательность неотри-
неотрицательных вещественных измеримых, но не обязательно интегри-
интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду к некоторой функции /.
Тогда
п s s
Доказательство. Так как 0</n(s) </ (s), то в случае
/ E) [х (ds) < оо наше утверждение непосредственно вытекает из

6. Интегрирование по счетно аддитивной мере 169
следствия 16. Таким образом, мы должны только показать, что
если \ fn (s) fx (ds) <УИ <оо, то и \ / (s) jx (ds) <oo. Но если после-
is s
довательность интегралов от {fn} имеет конечную верхнюю грань,
то для каждого е > О можно найти такое N, что
\ к (s) fx {ds) < [ fN (s) |x (ds) + & при п > N.
%) j
s s
Следовательно,
lim [ fn{s)\i(ds)<^ Mm ^/Ar(s)fx(rfs)+8 = 8
равномерно относительно n>N. Отсюда, разумеется, вытекает, что
lim \ fn(s) [i (ds) = 0 равномерно при п> 1.
(EH J
Точно таким же образом можно установить существование такого
множества Е конечной меры, что
fn(s)ii(ds)<e,
S-E
Таким образом, по теореме 15, /6 Lv ч. т. д.
Следствия 16 и 17 имеют исторический интерес и вместе стеоре-
мой 6 представляют собой важные результаты классической теории
сходимости интегралов Лебега.
18. Следствие. Если (S, 2, \х) — пространство с положительной
мерой, a f — неотрицательная измеримая функция, то функция G,
определяемая равенством
^I ?62,
является счетно аддитивной функцией множества со значениями
из расширенной области вещественных чисел.
Доказательство. Пусть Е 6 2 — сумма возрастающей последо-
последовательности измеримых множеств ЕпУ и пусть fn=*%E f. Тогда ввиду
следствия 17
G (Е) = \ f (s) ix (ds) = lim \ fn (s) fx (ds) = lim G (?„),
E П Е
Ч. Т. Д.

170 Гл. III. Интегрирование и функции множества
19. Теорема (лемма Фату). Пусть (S, 2, \х)— пространство
с положительной мерой, а {/п} — последовательность неотрицатель-
неотрицательных, измеримых, но не обязательно интегрируемых функций. Тогда
[\unfn (s)[i(ds) < liin J /n(s)\x (ds).
g П-+ОО g
Доказательство. Пусть gn(s) = inf fh(s). To гда^п является ВОЗраСТа-
ющей последовательностью функций, предел которой равен lim/n(s).
Поэтому ввиду следствия 17
\\mfn(s)ix(ds) = \im\ gnr(s)ii(ds).
Так KaK^nE)</n(s), то
lim ^gn(s)fi(ds)<lim \ /n(s)|i(ds), ч. т. д.
Теперь мы покажем, что произвольный замкнутый оператор в
некотором смысле коммутирует с оператором интегрирования. Это
дополняет аналогичный результат, установленный теоремой 2.19
для ограниченных операторов. Jj
20. Теорем/Г. Пусть 36 и У) — В-пространства, а Т — замкну-
замкнутый линейный оператор с областью определения 2)г$м областью
значений, принадлежащей У). Пусть, далее, (S, 2, \i) — пространство
с мерой, a f является ^-интегрируемой функцией со значениями в ®.
Если Tf также ^.-интегрируема, mo\f (s) \i (ds) принадлежит ® и
8
S 8
Доказательство. Рассмотрим топологическое произведение 3 =
= 36 х ?) с нормой |U, y]\ = \х\ + \у |. По предположению, график ®
оператора Т является замкнутым линейным многообразием в 3
(см. II.2.3). Прежде всего с помощью теоремы 11 мы покажем, что
функция g, отображающая S в ® и определяемая равенством
|х-измерима. Пусть F — измеримое множество, для которого
v (|я, F) < оо. Так как (^-измеримы и /, и Tf, то существует такое
нуль-множество ?, что f(F — E)n Tf(F-E) сепарабельны. Так как
g{F-E)^f(F-E)xTf(F-E)9

6. Интегрирование по счетно аддитивной мере 171
то g почти сепарабельнозначна относительно \х на F. Чтобы доказать,
что g fx-измерима, достаточно ввиду теоремы 11 показать, что g*g
(л-измерима для каждого g* из Ф*. Пусть г* ? ^* является продол-
продолжением (см. теорему II.3.11) функции g* наХ х 3), и пусть х* ?#*,
*/* 6 ?)* определяются равенствами
Х*Х = 2* [X, 0], */**/ = 2* [0, у].
Тогда
?*? (s) = z* [/ (s), Г/ (s)] = х*/ (s) + у*77 E),
откуда видно, 4Tog"*g" fx-измерима, а следовательно, и g" fx-измерима.
Так как
то из теоремы 2.22 вытекает, что g fx-интегрируема. Так как g(s)
для каждого s из S принадлежит ©, то интеграл
также принадлежит ©. Следовательно, \ f (s) \i (ds) принадлежит ф и
Т (f/E)fx(d5)=^r/E)fx(d5), Ч. Т. Д.
S S
Теория сходимости, изложенная в этом параграфе, может быть
использована для доказательства полезного соотношения между
интегралами Стильтьеса по отношению к двум различным функциям
ограниченной вариации, представляющего собой известную формулу
интегрирования по частям. Прежде чем сформулировать ее, мы
предварительно докажем следующую лемму.
21. Лемма. Пусть f—функция ограниченной вариации в интер-
интервале (а, Ь). Тогда f(a + ) и f(b-) существуют.
Доказательство. Так как ясно, что, для того чтобы функция /
имела ограниченную вариацию в интервале (а, 6), необходимо и дос-
достаточно, чтобы ее вещественная и мнимая части имели ограниченную
вариацию на (а, &), то мы можем и будем предполагать функцию /
вещественной. Если
где 6>Q, то существует такая убывающая последовательность
ai> bi(an > bn > an+i> я=1, 2, ...), сходящаяся к a, что

172 Гл. 1П. Интегрирование и функции множества
/ (an) — f(bn) > 6lf а это противоречит, очевидно, тому факту, что
f есть функция ограниченной вариации на (а, Ь). Таким образом,
Е-+0 е-»>0 е->0
Точно так же можно убедиться и в существовании /F — ), ч. т. д.
22. Теорема. Пусть а{х) a (S (х) — две функции ограниченной
вариации на интервале (а, Ь). Предположим, что одна из них непре-
непрерывна на (а, Ь), а другая непрерывна справа. Тогда
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать это утверждение
для каждого конечного подинтервала, принадлежащего (а, Ь).
Для простоты (и без ограничения общности) мы можем предположить,
что (а, Ь) = @, 1). Положим
0 <л: <— или —^- <л: < 1
если 0 < х < — или ?~- < л: < 1.
Тогда ясно, что ап (л:) —> а (х), Рп (х) —>• Р (*) и
|ап(дс)|< sup |а(х)|,
0<*<1
|Р„(дс)|< sup |P(jc)|.
0<х<1
Ввиду следствия 16 оба интеграла определены и
ъ ъ

7. Теорема Витали — Хана — Сакса и пространства мер 173
= аA~)РA-)-а@ + )Р@+), ч. т. д.
7. Теорема Витали—Хана—Сакса и пространства мер
В этом параграфе в а-алгебре 2 пространства с мерой (S, 2, \i)
будет введена некоторая метрика таким образом, что соответствую-
соответствующее метрическое пространство 2 (\i) будет полным. Аддитивными
функциями, определенными на Ей непрерывными на 2 (|л), будут
абсолютно непрерывные относительно \i аддитивные функции на 2
и только они. Основной результат, относящийся к последователь-
последовательности {vn} таких функций, это теорема Витали—Хана—Сакса.
Она утверждаем что если {vn(E)} сходится для каждого ?6 2, то
непрерывность vn на метрическом пространстве 2 (\i) равномерна
относительно /г=1,2,..! . Читатель уже хорошо знаком с замечатель-
замечательным аналогом теоремы Витали—Хана—Сакса, теоремой (ИЛ.17),
утверждающей, что непрерывность элементов поточечно сходящейся
последовательности {Гп}, заданных на Г-пространстве непрерывных
линейных операторов, равномерна относительно «=1,2,... . Поучи-
Поучительно сравнить приводимое здесь (и принадлежащее Саксу) доказа-
доказательство теоремы Витали—Хана—Сакса с доказательством принци-
принципа равномерной ограниченности для F-пространств (см. II. 1.13);
такое сравнение обнаруживает полезную аналогию между а-алгеб-
рами и линейными метрическими пространствами. Более глубокие
связи между функциями множества и некоторыми В-пространствами
подробно рассматриваются в следующей главе, где, в частности,
показано, что пространства, сопряженные к некоторым из хорошо
знакомых нам ^-пространств, можно определить в терминах функ-
функций множества. В настоящем параграфе --будет показано, что
пространства ограниченных аддитивных функций множества, а также
регулярных счетно аддитивных функций множества являются
В-пространствами.
Метрическое пространство 2 (|л)
Пусть (S, 2, |ы) — пространство с мерой, и пусть для каждой
пары А, Е множеств из 2 определено отношение эквивалентности
А ~? условием и([х, ААЕ) = 0, где ААЕ есть симметрическая раз-
разность (А[]Е)—АЕ множеств А и Е. Отношение ~действительно
является отношением эквивалентности; это легко вытекает из ком-
коммутативности и ассоциативности операции взятия симметричной
разности и равенства ААА=0. Множество 2([х) всех классов
эквивалентности E(\i) ~ {А\А ~ Е} является метрическим простран-

174 Гл. III. Интегрирование и функции множества
ством с расстоянием
(I) е(?», /7(|x)) = arctgy(fi, EAF).
Для простоты и удобства мы будем говорить о множествах ?g 2 как
об элементах из 2([х), точно так же, как мы говорим об элементах
пространства M(S, 2, jx) измеримых функций как о функциях, опре-
определенных на S, а не как о классах таких функций. Таким образом,
вместо (I) мы иногда будем писать
(II) q(E, F) = arctgi>(|i, EAF).
Необходимо отметить, однако, что определенная на 2 функция
X может рассматриваться как функция, определенная на 2(ji),
лишь в том случае, если k(E)=K(F) при v(\i, EAF)=0. Заметим, что
А ~В в том и только в том случае, если характеристические функции
%а и Хв эквивалентны как элементы M(S, 2, р.), т. е. в том и только
втом случае, если Ха и %в отличаются на функцию, эквивалентную
нулю. Таким образом, отображение Е—>%е можно рассматривать
как гомеоморфное отображение 2 (|х) на некоторое подмножество
M(S, 2, fx). Ясно, что при этом гомеоморфизме фундаментальные
последовательности переходят в фундаментальные же последователь-
последовательности. Таким образом, если q (En, Ет)—>0, то ввиду следствия 6.5
в M(St 2, jx) найдется такая функция х, что %еп—>Х- По следствию
6.13, некоторая подпоследовательность последовательности {%е }
сходится к х почти всюду, и, значит, для почти всех s?S %{s) равно
либо 0, либо 1. Таким образом, %=%е для некоторого ?g2. Так как
%еп—*Хе в М E, 2, fx), то из равенства (II) следует, что Еп->Е в
2(|и). Поэтому 2 (fi) есть полное метрическое пространство.
Если X — аддитивная векторная или скалярная абсолютно непре-
непрерывная относительно \i функция на 2, то к определена и непрерывна
и на метрическом пространстве 2 (fx). Чтобы убедиться в этом, заме-
заметим прежде всего, что из тождеств
v(\i, EAF) = v(\i, E-EF) + v(\it F-EF),
вытекает, что <k(E) = 'k(F), как только v(\i, EAF)=0, и, следовательно,
определенная на 2 абсолютно непрерывная аддитивная функция X
определена и на метрическом пространстве 2 (\х). Те же самые тож-
тождества показывают, что ^непрерывна на 2 (|х). Действительно,если
Еп-+Е в 2^), то t;(|i, E-EEJ-+0 и vfr, Em-EEJ-±O.
Но тогда X(Е — ЕЕт) —^0 и Х(Епг — ЕЕ1П)—>0 и, следовательно,
Х(Е1П)—>Х(Е). Таким образом, абсолютно непрерывная относи-
относительно [г аддитивная функция X непрерывна на метрическом
пространстве 2 (fx). Обратно, аддитивная функция на 2, опреде-
определенная и непрерывная на 2([х), абсолютно непрерывна. Это утвер-
утверждение непосредственно вытекает из определений.

7. Теорема Витали — Хана — Сакса и пространства мер 175
Необходимо также отметить, что бинарные операции A[jB, АВ,
ААВ являются непрерывными отображениями 2(fi)x2(fi) в 2 (\i)
и что операция перехода к дополнению Л—>Л' является непрерывным
отображением 2([а) в 2(fi). Эти элементарные, но важные факты
легко доказать, применяя неравенство
F)
к тождествам
(AU В) А (АгиВг) = (Л ДЛ2) А (ЯД5,) АЛ (ВАВХ) АВХ (ЛДЛ х),
(АВ) А (А.В,) = A (BABJ AB± (ААА,),
(ААВ) A (A,ABX) = (AAA,) A (BABJ.
Если v (|х, S) < оо и если последовательность {Еп} множеств из 2
сходится к ? в том смысле, что
(III) E = \imEn=~lhnEn,
Г" п
то д(Еп7 ?*)—>0, т. е. Еп—±Е в метрическом пространстве 2(|i).
В самом деле, из условия (III) вытекает, что %En(s) —>%e(s) Д^я
каждого 5gS, и, следовательно, ввиду теоремы Лебега F.16) и
равенства (II)
q (ЕпУ Е) = arctg ^ | хе, E) - lE (s) | о (ji, ds) -> 0.
s
Из всех этих соотношений, связывающих обычныеоперации над точеч-
точечными множествами с метрикой в 2 (^), непосредственно видно, что
если v(\i, S) < со, то замыкание в 2 (\i) подалгебры 2Х алгебры 2
само является а-алгеброй.
Все эти замечания можно резюмировать в виде следующей леммы.
1. Лемма. Если (S, 2, \i) — пространство с мерой, то а-алгебра 2
(или, точнее, фактор-множество ^lljjf\ где j\f* — идеал всех нуль-
нульмножеств из 2) является полным метрическим пространством
относительно метрики
q(A, B) = arctgu(|x, ЛАВ).
Аддитивная векторная или скалярная функция, определенная на 2,
в том и только в том случае определена и непрерывна наЪ(\л),
если она абсолютно непрерывна относительно (х. Операции A{JB,
АВ, ААВ, А' непрерывны относительно А и В. Если v(\i, S)<co,
то замыкание в 2 (fx) подалгебры алгебры 2 является о-алгеброй.
Следующая теорема представляет собой один из важнейших ре-
результатов в теории функций множества. Доказательство, приводимое

176 Гл. III. Интегрирование и функции множества
здесь, принадлежит Саксу и состоит в применении теоремы Бэра
о категориях к пространству 2 (\i) почти точно так же, как она при-
применялась к f-пространству в доказательстве принципа равномерной
ограниченности (см. II.1.13).
-> 2. Теорема (Витали—Хана—Сакса). Пусть E, 2, ^ — прост-
пространство с мерой, а {Хп} — последовательность определенных на 2
абсолютно непрерывных относительно \i векторных или скалярных
аддитивных функций множества. Если предел \\тКп(Е) существует
п
для каждого Е ? 2, то
lim Хп(Е) = 0
равномерно относительно п = 1, 2 ... .
Доказательство. По лемме 1, К1Ь непрерывна на 2 ((х), и, сле-
следовательно, для каждого е > 0 множества
в}, п, т=1, 2, ...,
г?, т^р
замкнуты в полном метрическом пространстве 2 (\i). Так как предел
оо
lim kn (Е) существует для каждого ? g 2, то 2 (|х)= (JS . По теореме
п р=1
Бэра о категориях A.6.9), одно из множеств 2р имеет внутреннюю
точку. Это значит, что существуют такое натуральное число q9
положительное число г и такое множество А ? 2, что
для каждого множества Е, принадлежащего сфере
Пусть 0 < 6 < г выбрано так, что
8, /1=1, 2, ...,
для каждого В ? 2, для которого v(\i, B)<6. Пусть теперь v(\i, )
так что оба множества А[_\В, А—В принадлежат К- Из тождества
вытекает, что | Ап (В) \ < Зе при всех п= 1, 2, ..., ч. т. д.
3. Следствие. В предположениях теоремы 2 и при дополнитель-
дополнительном условии v (fi, 5)< со функция X (Е) = limЯп (?) счетно адди-
тивна на 2.

Теорема Витали — Хана — Сакса и пространства мер 177
Доказательство. Аддитивность Я вытекает из аддитивности ХПУ
и поэтому для доказательства ее счетной аддитивности достаточно
показать, что А,(?т)—>0 для каждой убывающей последователь-
последовательности {?"m}cz2 с пустым пересечением. Так как v (\iy Em) =
оо
= 2 v(Vlj Eh — Ek+\)> то Аля такой последовательности
v(\i, Ет) —>0 и, таким образом, по теореме 2, для каждого е>0
найдется такое натуральное число те, что
| Кп(Ет) | < 8, т>те, п = 1, 2, ....
Следовательно,
\1{Е.п)\ <е, m>me, ч. т. д.
Последний результат усиливается в следующем следствии, фор-
формулируемом здесь только для скалярных функций. На самом, деле
следствие 4 имеет место и для векторных функций; доказательство
этого утверждения откладывается до § IV. 10, в котором проводится
более глубокое исследование свойств векторных функций множества.
4. Следствие (Никодим). Пусть {\in} — последовательность счетно
аддитивных скалярных функций, определенных на о-алгебре S.
Если \i(E) = l\m\in(E) существует для каждого Е?2, то \i счетно
п
аддитивна на 2, и счетная аддитивность \in равномерна относи-
относительно п=1, 2, ... .
Доказательство. Последнее утверждение означает, что если
{?„,} есть убывающая последовательность множеств из 2, имеющая
пустое пересечение, то lim[xn (Em) =0 равномерно относительно
т
п= 1,2, ... . Для того чтобы доказать это, мы заметим прежде
всего, что в силу конечности функции \in на 2 конечна и ее полная
вариация v(\in, S) (лемма 4.7). Пусть, v далее,
оо
^п^)~ v{lin>S) ' A~2j 2"-
Тогда X счетно аддитивна на 2 и К (Ет) —> 0. Так как каждое \in
абсолютно непрерывно относительно к, то справедливость нашего
утверждения вытекает из теоремы 2 и следствия 3, ч. т. д.
Пространства Ьа (S, 2, ЗЕ), rba E, 2, ЗЕ), са (S, 2, ЗЕ), rca(S, 2, ЗЕ).
Теперь мы покажем, что некоторые хорошо известные простран-
пространства функций множества являются В-пространствами.
Пусть 2 — некоторая алгебра подмножеств множества S, а Э? —
^-пространство. Через ba(S, 2, ЭЕ) будем обозначать совокупность
всех ограниченных конечно аддитивных функций множества с об-
12 Заказ 1324

178 Гл. III. Интегрирование и функции множества
ластью определения 2 и областью значений, содержащейся в Ж.
Ясно, что сумма двух функций из ba(S, 2, Ж) также принадлежит
ba(S, 2, ЗЬ) и что если [х принадлежит ba( = ba(S, 2, Ж)) и а —ска-
—скаляр, то и ocjlx содержится в Ьа. Следовательно, Ьа есть линейное век-
векторное пространство. Если норму элемента (х определить равенством
\li\= sup||i(?)|,
EG2
то Ьа становится линейным нормированным пространством. Для
того чтобы убедиться в его полноте, предположим, что {\in} есть фун-
фундаментальная последовательность в Ьа. Ясно, что для каждого Е ? 2
последовательность {\in(E)} фундаментальна в Ж, так что равенством
(л (Е) = 1 im (ji^ (E) определяется некоторый элемент \х ? Ьа. Для
П-voo
данного е>0 выберем пе так, что ||хл — |хт|<е при т, п> пе.
Тогда \i(E) — |xn(?) = lim(|xm(?) — \in(E)), откуда следует, что
xm(
771-*ОО
| \i — \in | < е при п > яе. Таким образом, \in —» jx, откуда и вытекает
полнота пространства . ЬаE, 2, Ж). Мы доказали, что Ьа E, 2, X)
является В-пространством.
Если X есть множество вещественных или комплексных чисел,
то, согласно лемме 1.5,
y(^, S)<4sup|[x(?)|.
Е?2
Отсюда следует, что v(\i, S) является нормой в пространстве
Ьа E, 2, Ж), эквивалентной норме sup||i(?)|.
Ясно, что совокупность са E, 2, X) всех счетно аддитивных функ-
функций множества, принадлежащих ba(S, 2, Ж), является линейным
многообразием в Ьа E, 2, Ж). Для того чтобы убедиться в его замк-
замкнутости, предположим, что \i?ba и {jj^} — последовательность эле-
элементов из ca(S, 2, Ж), сходящаяся к [х. Пусть {?,п} — последова-
последовательность попарно непересекающихся множеств из 2, сумма которых
Е также принадлежит 2. Тогда при п—>со
оо
;)->H( U ?;) = |1(?)- 2 ^
равномерно относительно т= 1,2, ... .С другой стороны, при т—>оо
И'п (?)— 2 М-п (?";¦) —^0 Для каждого /г=1, 2, ... . Но тогда в силу
леммы 1.7.6

7. Теорема Витали — Хана — Сакса и пространства меп 179
что и означает счетную аддитивность [г на 2. Таким образом,
ca(S, 2, ЭЕ) есть замкнутое линейное многообразие в ba(S, 2, ЭЕ), оно
является, следовательно, В-пространством.
Если S — топологическое пространство, то через rba(S, 2, ЗЕ)
будет обозначаться совокупность всех регулярных функций мно-
множества, принадлежащих ha E, 2, Ж). Легко видеть, что г6аE,2, Ж)
является линейным подпространством в ba(S, 2, ЗЕ). Пред-
лоложим, что ti?ba(Sf 2, 36), и пусть {[x,J — последовательность
элементов пространства rba(S, 2, ЗЕ), сходящаяся к \i. Пусть даны
?>0 и ?62, выберем столь большое я, что |ц — |xrt|< e. Пусть/7, G?2
таковы, что Fc?, а? содержится во внутренности множества G и
|[1П(Л)| <е для каждогоЛ 62 такого, что Ac^G — F. Тогда для такого
А мы имеем, что ||я(Л)|<2е, откуда следует, что \i?rba(S, 2, Ж).
Таким образом, rba(S, 2, ЗЕ) есть замкнутое линейное многообразие
в ba(S, 2, ЗЕ). Оно является, следовательно, В-пространством.
Совокупность rca(S, 2, ЗЕ) всех регулярных счетно аддитивных
мер из ba (S, 2, ЗЕ) является пересечением са E, 2, ЭЕ) и rba (S, 2, ЗЕ).
Следовательно, rca(S, 2, Ж) также есть замкнутое линейное под-
подпространство в ba(St 2, ЭЕ), а значит, и оно является В-пространством.
Условимся, что если ЗЕ —пространство скаляров (вещественных
или комплексных), то буква ЭЕ будет, как правило, опускаться в обоз-
обозначениях типа ca(S, 2, ЭЕ). Таким образом, ca(S, 2) есть простран-
пространство всех определенных на 2 вещественных или комплексных счетно
аддитивных функций множества.
Как мы только что видели, пространства ba(S, 2) и ca(S, 2)
являются В-пространствами. В некоторых случаях бывает полезно
знать, что они, кроме того, представляют собой полные структуры.
В заключение этого параграфа мы сделаем некоторые замечания
относительно свойств отношения порядка в этих пространствах
и докажем еще одну теорему о разложении.
Пусть 2 — некоторая алгебра подмножеств множества S;
если \i есть аддитивная функция множества, такая, что fi(?)>0,
??2, то мы говорим, что \х положительна и пишем \i>0. Если
fXj — |i2 > 0, мы пишем [ix > |i2 или \х2 < Щ. Легко видеть, что это отно-
отношение превращает в частично упорядоченное A.2.1) множество всех
определенных на 2 вещественных или комплексных аддитивных
функций множества. Термины «мажоранта» и «верхняя грань»
и т. д. здесь имеют тот же смысл, что и в определении 1.2.3.
5. Теорема. Каждое обладающее мажорантой (минорантой)
подмножество частично упорядоченного множества определенных
на некоторой алгебре аддитивных скалярных функций множества
имеет верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно,
очевидно, показать, что произвольное множество {|яа} положительных
12*

180 Гл. III. Интегрирование и функции множества
элементов имеет нижнюю грань \х. Положим, по определению,
где нижняя грань берется по всем конечным подмножествам {aj ин-
индексов и всем конечным семействам попарно непересекающихся
множеств {EJ из 2, сумма которых равна Е. Прежде всего мы пока-
покажем, что [г аддитивна на 2. Предположим, что Е и F — непересе-
непересекающиеся множества из 2 и е > 0 произвольно. Пусть множе-
множество E\JF разбито на попарно непересекающиеся подмножества
Av . . ., Ат, принадлежащие 2 и такие, что
при надлежащем выборе индексов <х19 . ..,ат. Если Ег=АгЕ и /\
=AiF, to
откуда ввиду произвольности е > 0 вытекает, что
Пусть, далее, {5J, {Сг} — конечные разбиения множеств Е и F
на попарно непересекающиеся подмножества, принадлежащие 2
и такие, что
2fia. (Bt) <р(Е) 4 е, 2иэ. (Су) < |х (F) + е.
Тогда
fx (? U П
и, следовательно,
чем и доказана аддитивность \х. Для того чтобы убедиться в том, что
[х — нижняя грань множества {|ха}, предположим, что v есть аддитив-
аддитивная функция множества такая, что v < |ia для каждого а. Тогда для
любого конечного разбиения Ev ...,Еп множества Е и любого выбора
a1,...,arl индексов мы имеем у(Ег) <[ia.(?'i) и, следовательно,
откуда и вытекает, что v (Е) < \i (?), ч. т. д.
Отметим еще, что предыдущая теорема не предполагает ограни-
ограниченности функций множества.
6. Следствие. Структуры ba(S, 2) и ca(S, 2) полны.
Доказательство. Достаточно показать, что если jxa>0, то ниж-
нижняя грань [г подмножества {\ia} ограничена или счетно аддитивна

7. Теорема Витали — Хана — Сакса и пространства мер 181
соответственно. Если каждое \iaпринадлежит ba(S, 2), то из неравен-
неравенства 0<jm(?) <jma(?'), ?(Е2, вытекает, что |igba(S,2). Если |яаб
(S, 2) и если {?п}?2, ?п+1сг?Л, П?п=0> то lim|xa(?n)=O.
п
Так как 0 <fi (Еп) % |яа(?п), то lim \х (Еп)=0 и, следовательно,
^(, 2), ч. т. д.
Теперь мы покажем, что если K^ba(S, 2), то К можно единствен-
единственным способом представить в"виде суммы счетно аддитивной функции
множества и функции, конечно аддитивной в некотором максималь-
максимальном смысле.
7. Определение. Если А, принадлежит ba(S, 2), причем А,>0,
то мы говорим, что А, является вполне конечно аддитивной, если из
0<|i<A, и |x6ca(S, 2) вытекает, что |л=0.
8. Теорема. Если А, принадлежит ba(S, 2) и А,>0, то А, можно
единственным способом представить в виде A, = A,1+^2» А,. >0, где Кг
счетно аддитивная, а А,2 вполне конечно аддитивная функции мно-
множества, принадлежащие ba(S, 2).
Доказательство. Обозначим через С множество всех \i из са (S, 2),
таких, чтоО<[1 < А,.Пусть \in, п=\, 2, . . ., выбраны из Стакимобра-
п
зом, что lim fin (S)= sup \i (S) <oo. Так как |it< ^ \i., t=l, ..., ny
то ввиду следствия 6 множество {\iv . .., \in} имеет верхнюю грань
\in?ca(S, 2). Ясно, что ji^ [i2< . . . ^ \in < . . . . Пусть 2t обозна-
обозначает a-алгебру, порождаемую алгеброй 2; обозначим однозначно
определенные продолжения E.8) мер {\in} на 2Х теми же самыми
символами. Так как .продолжение на 2Х заданной на 2 неотрица-
неотрицательной функции множества неотрицательно, то {\in(E)} для каждо-
каждого Е ? Sj_ есть ограниченное неубывающее множество вещественных
чисел. Положим \ (Е) = \\т \in (Е), ??2Г Ввиду следствия 4 ^х счет-
п
но аддитивна на 2Г и, следовательно, ее сужение на 2 принадлежит
шE,2). Положим lk2(E) = X(E) — Хг(Е), ?62; ясно, что!2>0- Если
К2 не является вполне конечно аддитивной, то существует такое
отличное от нуля А/ бшE, 2), что А/ <А,—А,х; но тогда Я1<зA+Я/,<5.Я
и sup jlx (S)=K1 (S) < ^E)+^' E). Мы пришли к противоречию. Для
ес
доказательства единственности разложения предположим, 1
+A,2=v1+v2, где A,lf vxgca E, 2), а А,2, v2 — вполне конечно аддитив-
аддитивные неотрицательные функции множества. Тогда Х1 — v1=v2 — %2
и, следовательно, sup (A,x—vlf O)=sup (v2 — A,2, 0). Ввиду следствия 6
SUP (^i—v1,0)gcaE, 2) и, ясно, что 0<sup {\ — vv 0) <v2, так
что sup^—v^ 0)=0, т. е. \ (Е) < vx (E), ?6 2. Аналогична

182 Гл. IFI. Интегрирование и функции множества
—А,РО)=О и, следовательно, vx (Е) <А,Х(Я), ??2. Таким обра-
образом, ^=vif ч. т. д.
Этот результат можно распространить и на комплексные функ-
функции множества, разлагая их на вещественную и мнимую, положи-
положительную и отрицательную части с помощью теоремы о разложении
в смысле Жордана A.8). Мы предоставляем сделать это читателю.
8. Взаимосвязь функций множества
В этом параграфе через 2 обозначается некоторая алгебра под-
подмножеств некоторого множества S и через |х — конечно аддитивная
функция множества, определенная для ??2. Алгебра 2Х является
подалгеброй алгебры 2, a \iL есть сужение |х с 2 на 2Г Существует
несколько элементарных, но полезных соотношений между fx-
и [х^измеримостями, |х- и |11-интегрируемостями и т. д., эти соотноше-
соотношения и рассматриваются в настоящем параграфе.
Прежде всего, если |х неотрицательна, то ясно, что a* (jx, E) <
< v*(\ilfE) для Ec^S. Таким образом, из сходимости по мере ^выте-
^вытекает сходимость по мере |х; функция, эквивалентная нулю, и нуль-
нульмножество относительно |xL будут также функцией, эквивалентной
нулю, и нуль-множеством и относительно |х. Так как [^-простая
функция является, очевидно, и [i-простой, то отсюда непосредст-
непосредственно вытекает, то [^-измеримая функция будет и [i-измеримой.
Если f есть ^-интегрируемая простая функция, то ясно, что /
будет также и [х-интегрируемой простой функцией и что \ f(s) |x1(d5)=
Е
= \ / E) |x (ds) для каждого Е б 2Х. Пусть / — ^-интегрируемая функ-
Е
ция, а {/п} — последовательность |хгинтегрируемых простых функ-
функций, сходящихся к / по мере |хх и таких, что
lim \\fn(s)-fm(s)\li1(ds) = O.
т, п -> оо )
S
Тогда fn—>/ и по мере |х и
т, п -voo ^
о
Следовательно, для каждого Е ? 2г
\ f (s) |i! (ds) = lim \ fn (s) ix, (ds) = \f{s)vi (ds).
Эти замечания мы сформулируем в виде следующей леммы.
1. Лемма. Рассмотрим некоторое множество S, некоторую
алгебру 2 его подмножеств и определенную на 2 неотрицательную

8. Взаимосвязь функций множества 18S
конечно аддитивную функцию множества \i. Пусть З^ — подалгебра
алгебры 2, a fjtx — сужение \i с 2 на 2Г Тогда
(a) из сходимости по мере \\.х вытекает сходимость по мере \х\
(b) функция, эквивалентная нулю относительно {л2, эквивалентна
нулю и относительна [л;
(c) ну ль-множество относительно \ix является нуль-множеством
относительно \xf
(d) \лх-измеримая функция является и ^измеримой;
(e) ^-^-интегрируемая функция f является и ^-интегрируемойг
причем
Пусть ЭЕ— произвольное 5-пространство. Из пунктов (d) и.(е)
вытекает, что функция f?Lp(S, 2Х, \iv ЭЕ) принадлежит также
и Lp (S, 2, |а, ЗЕ) и что ее норма в обоих пространствах одна и та же.
Таким образом, Lp (S, 2X, \iv ЭЕ) допускает естественное изЬметриче-
ское вложение в Lp(S, 2, |i, 3E) и может поэтому рассматриваться
как подпространство пространства Lp(S, 2, [i, ЗЕ).
2. Лемма. В предположениях леммы 1 вполне \1х-измеримая функ-
функция из Lp(S, 2, [х, ЗЕ) принадлежит Lp(S, 2X, \iv ЗЕ).
Доказательство. Рассмотрим последовательность {fn} |11-простых
функций, сходящуюся по мере |ix к функции/gLp(|i) = Lp(S, 2, \l, ЗЕ).
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 2.22, мы
можем и будем предполагать, что | fn(s) | < 2 | / E)| для всех s g S. По^
теореме Лебега F.16) fn—>f в Lp(\i) и, следовательно, {/п} есть фунда-
фундаментальная последовательность в Lp(\x), а {|/п (•) |р}—фундамен-
|р}—фундаментальная последовательность в L^(\i). Так как |/п(-) |р есть iij-простая
функция, то ее [1,-интеграл совпадает с ее (i-интегралом и, таким
образом, {\fa(')\P} есть фундаментальная последовательность в
^i(M-i)- Так как \fn (•) |р сходится к |/(-) |р по мере \iv то из опреде-
определения 2.17 вытекает, что функция |/(.) |р [х^интегрируема и, следова-
следовательно, /6^p(M-i). ч- т- Д-
Кроме сужения \х на некоторую подалгебру алгебры 2, в тео-
теории интегрирования часто встречается и сужение другого
типа. В нижеследующем его определении функция \i не предпо-
предполагается неотрицательной.
Предположим, что Е есть некоторое множество из 2. Если мы
определим 2(E) = {F$2 | Fc:E}y то ясно, что 2(?) будет алгеброй
подмножеств множества Е, что 2(?) будет семейством всех
множеств АЕ, А б 2, и что если 2 является cr-алгеброй, то-
и 2(?) будет cr-алгеброй. 2(?) называется сужением 2 на Е. Если
2Х является алгеброй, ??2^ и 2 — а-алгебра, порожденная 2lv

/?4 Гл. III. Интегрирование и функции множества
то легко показать, что 2 (Е) будет а-алгеброй, порождаемой 2Х (Е).
Действительно, 2 (Е) есть а-алгебра, содержащая 2Х (?), и обратно,
если 22 есть а-алгебра подмножеств множества Е, содержащая 2Х (?),
то ясно, что совокупность сумм множества из 22 с множеством из
2(S — Е) является а-алгеброй, содержащей 21э так что 22з2(?).
Сужение К функции ц на 2 (Е) иногда называется сужением \i
на Е. Ясно, что (?, 2 (?), К) будет пространством с мерой, если тако-
таковым является (S, 2, |х). Читатель без труда сможет доказать, что
если FczE, то v(k, F)=v(\i, F). Совокупность определенных на Е
функций, векторных или со значениями из расширенной области
вещественных чисел, находится, очевидно, во взаимно однозначном
соответствии с множеством функций, определенных на S и обра-
обращающихся в нуль вне Е\ мы должны только естественным обра-
образом продолжить область определения функции /, определенной
только на Е, на все S, полагая /(s)=0, если s$E. Тогда
последовательность функций, определенных на Е, в том и только
в том случае будет сходиться по мере А,, если последовательность
их продолжений сходится по мере jli. В этом случае исходная
последовательность функций, определенных на Е, называется
сходящейся на Е по мере \i. Аналогично если области определения
двух функций / и g обе содержат множество Е, то утверждение,
что f(s)=g(s) почти всюду относительно \i на Е означает, что
существует такое множество Лс?, что f* (fx, Л)=0 и что
f(s)=g(s) для каждого s?E — А. Функция, определенная на ?,
является Х-простой или Х-измеримой в том и только в том случае,
если ее естественное продолжение на S является соответственно
|ы-простой или [х-измеримой функцией. Понятия ^-интегрируемости
и ^-интегрируемости связаны между собой точно таким же обра-
образом. Следовательно, пространство Lp (?, 2 (?), Я, Ж) изометрически
эквивалентно множеству всех функций из Lp(S 2 |i, 36), обращаю-
обращающихся в нуль вне ?, так что первое пространство может рассматри-
рассматриваться как подпространство второго.
3. Лемма. Пусть (S, 2, |i) — пространство с положительной
мерой, а \х1 — сужение \х на подалгебру 2Х алгебры 2. Если 2 является
о-алгеброй, порождаемой 2Х, и если |ix о-конечна на 2Х, то мно-
множество ^^интегрируемых простых функций всюду плотно в
Lp E, 2, [х, 36) при 1 <р < оо.
Доказательство. Так как множество jx-интегрируемых простых
функций всюду плотно в Lp(S, 2, jx, 36) (ввиду следствия 3.8), то
достаточно доказать, что характеристическая функция %дмножества
Е из 2, для которого jli (Е) < оо, является пределом в Lp (S, 2, |х)
последовательности %Еп> где Еп?Ъг Пусть Ат—возрастающая
последовательность таких множеств из 2Х, для которых i^ (Am) <оо

8. Взаимосвязь функций множества 185
и U Am = S- Так как [i(E)<co, то \хВАт-%Е\р =
тп=1
= {[х (Е—Лт)}1/7>—>0и, следовательно, достаточно доказать, что %ЕА
является пределом в Lp(S, 2, \х) последовательности %Еп, где
Еп? 2Х при т=1, 2, ... . Так как 2 (Л^) порождается 2ДЛ™),
то все наши рассуждения можно ограничить множеством Ат. Таким
образом, мы можем и будем предполагать, не ограничивая этим
общности наших выводов, что \i(S) < оо. По лемме 7.1, замыкание
Sj в метрическом пространстве 2 (|ы) является cr-алгеброй, содер-
содержащей 21? и, следовательно, каждое множество Е из 2 является
пределом последовательности {Еп} множеств из 2Г Так как
|iE) < оо, то функция, тождественно равная единице, принадле-
принадлежит Lp(S9 2(я), и мажорирует х# («). По теореме 3.7, хЕ -г».хь
в Lp(S, 2, pi), ч. т. д.
4. Лемма. Алгебра, порожденная счетным семейством множеств,
сама счетна.
Доказательство. Пусть <ё={Еп, л=1, 2, ...} —счетная система
подмножеств множества S. Обозначим через (ё1 совокупность всех
конечных сумм множеств из <8, через 38х совокупность всех допол-
дополнений А' в S множеств А из ??х, через ^?2 совокупность конечных
сумм множеств из ^Р1э через j^2 совокупность всех дополнений Л'
множеств А из ^2 и т. д. Ясно, что если А и Л G ^п, то
Таким образом, семейство 2 = (J ??п является алгеброй и, оче-
п=1
видно, минимальной из алгебр, содержащих <в. Элементарная
индукция показывает, что Cn, n = 1, 2, . .., счетно и, следовательно,
2 есть счетная алгебра, ч. т. д.
5. Лемма. Пусть (S, 2, \i) — пространство с положительной
мерой, a G — сепарабельное подмножество в Lp(S, 2, [л, Ж), гдг
1<;р<оо. Тогда существуют множество S^ 2, о-алгебра 2Р
содержащаяся в 2 Eг), и замкнутое сепарабельное подпростран-
подпространство Иг пространства И такие, что сужение \ix функции \х на 2Х,
обладает следующими свойствами:
(I) пространство с мерой (Slt 21э и-i») о-конечяо\
(II) В-пространство L (Sl9 2Х, [х2, 3?г ) сепарабсльно;
(III) GcMSi'2i' l*i.si)-
Доказательство. Пусть последовательность {/п} всюду плотна
в G и f^m), /72, п=1, 2, ..., — [х-интегрируемые простые функ-

186 Г л, III, Интегрирование и функции множества
ции, для которых lim \f(™) — fn|p = 0. Обозначим через Хо счетное
множество ненулевых значений функций /<™> и через Ж1 замкнутое
линейное многообразие в ЭЕ, порожденное Хо. По лемме II. 1.5, 36Х
<:епарабельно. Обозначим через % счетную совокупность множеств
Е ? 2, имеющих вид Е = {51 s 6 S, /(j*) (s) = хЛ, где m, n — произволь-
произвольные натуральные числа, а хо?Хо. Пусть S1=[J(e, 20 —алгебра
подмножеств множества Sv порожденная %, и Sx —а-алгебра под-
подмножеств множества Sl9 порожденная 20. Так как для каждого Е
из % \i {E) < оо и все функции f(™) обращаются в нуль на дополнении
к Sv то справедливость утверждений (I) и (III) получается непо-
непосредственно. Если |i0 является сужением [i на 20, то, по лемме 3,
множество (^-интегрируемых |10-простых функций всюду плотно
в Lp(Sv 2lf \iv Xj). Так как 20 счетно (по лемме 4), а Щ1 сепа-
рабельно, то это множество функций является сепарабельным
и, значит, его замыкание, т. е. Lp(Sv 2lf \iv 36Х), тоже сепара-
бельно, ч. т. д.
9. Упражнения
Во всех приводимых ниже упражнениях, кроме тех случаев,
когда явно оговорено противное, S есть некоторое множество, 2 —
некоторая алгебра его подмножеств и fx—определенная на 2 конечно
аддитивная (комплексная или со значениями из расширенной области
вещественных чисел) функция множества. Буквой / обозначается
функция, отображающая S в ^-пространство Ж.
1. Показать, что, для того чтобы функция f принадлежала
ТМ (S, 2, |i), необходимо и достаточно, чтобы для каждого е>0
«существовало такое множество Ее ? 2 и конечное число таких попарно
непересекающихся множеств Av .. ., Ап? 2, что Ах (J .. . (J Лп =
= ^ti(|i,?e)<BH sup |/(s)-/(f)|<ef /=1, ..., п.
A
j
2. Пусть Л ciS — нуль-множество относительно \х. Показать,
что в 2 не обязательно имеется такое содержащее А множество ?,
что v(\i, Е)=0.
3. Обозначим через S интервал (— оо, + оо], через 2—алгебру
конечных сумм полуоткрытых слева интервалов и через (я—сужение
меры Лебега на 2. Показать, что, для того чтобы вещественная функ-
функция / была [i-измеримой, необходимо и достаточно, чтобы она была
непрерывна в каждой точке, не принадлежащей некоторому множе-
множеству Е, мера Лебега которого равна нулю, а для того, чтобы она
была [i-интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы она была
|а-измеримой и интегрируемой по Лебегу.
4. Показать, что, даже если \х ограничена, равномерно ограничен-
ограниченная последовательность {fn} определенных на S [i-измеримых веще-
вещественных функций может сходиться к нулю всюду, не будучи сходя-
сходящейся к нулю по мере ц.

9. Упражнения 187
5. Показать, что из условий (I), (II), (III) теоремы 3.6 вытекает,,
что / принадлежит Lp (S, 2, \i) и что \fn — f\p сходится к нулю, даже
если {/„} есть обобщенная последовательность.
6. Пусть |х ограничена. Предположим, что алгебра 2 сепара-
бельна относительно метрики q(E, F) = v{\i, EAF). Показать, что
если Л-пространство 36 сепарабельно, то и Lp (S, 2, jli, Э6) сепарабельно.
7. Показать, что если fx не ограничена или ограничена, но не
является счетно аддитивной, то F (S) не обязательно будет линейным
топологическим пространством.
8. Показать, что S может быть суммой возрастающей последо-
последовательности нуль-множеств, даже если jli^O.
9. Показать, что если определенная на S функция f принимает
значения из бикомпактного подмножества 36, и если для каждого
открытого подмножества Gc~36, f'1 (G) ?2, то / вполне (i-измерима.
10. Построить пример неполного пространства L1(Sy 2,' jli).
Показать, что если ТМ (S, 2, \i) полно, то и 1ХE, 2, [х) полно.
11. Показать, что если для некоторого р, 1 <р < оо, функция
f?Lp(S, 2, |х), то f?TM(S, 2, ц).
12. Пусть 2 порождает сг-алгебру 2Х, a [х положительна и счетно
аддитивна на 2. Показать, что если мера в пространстве (S, 2, \i)
не сг-конечна, то [х может иметь два различных счетно аддитивных
продолжения на 21#
13. Показать, что отображение ТМ (S, 2, \i)xTM(Sy 2, \i)
в TM(S, 2, fx), при котором [/, g]—>/i, где h(s)=f(s)g(s), непре-
непрерывно. Показать, что это неверно, если ТМ заменить на М.
14. Пусть 2Х—подалгебра алгебры 2, a jli1— сужение [i на
2Г Показать, что для каждого Е из 2Х v (\ixE) < v (|x, ?), но что не-
неравенства у* (|хх, Е) < у* (|х, ?) и у* (|х, ?) < у* (|хх, ?) не обязаны
выполняться для каждого Ec^S.
15. Показать, что лемма 8.2 не остается справедливой, если вместо
«вполне jn-измеримая» писать просто «fx-измеримая».
16. Показать, что если положить АВ=А(~)В, А-\-В = ААВ,
то 2 будет алгеброй, в которой А2=А и в которой нуль-мно-
нуль-множества относительно jli образуют идеал.
17. Предположим, что S является нормальным топологическим
пространством, а |х — регулярная функция, определенная на поле
2 борелевских множеств из S. Показать, что если Ж сепарабельно,
то множество непрерывных функций из ТМ (S, 2, jli, 36) всюду
плотно в ТМ E, 2, [х, 36). Показать, что если 1 </?<со, то мно-
множество непрерывных функций пространства LpE, 2, jli, 36 всюду
плотно в нем.
18. Пусть [х — конечная регулярная мера на борелевских под-
подмножествах бикомпактного пространства S. Показать, что, для того
чтобы функция f была [х-измеримой, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого е существовало такое открытое множество Ее, чта
у* ((х, Ее) < е и что f непрерывна на 5—Ее.

188 Гл. III. Интегрирование и функции множества
19. Построить пример, в котором 5 является метрическим про-
пространством, a jx — регулярна, но не счетно аддитивна.
20. Построить пример, в котором S является бикомпактным
топологическим пространством, а |х — регулярна, но не ограничена
и не счетно аддитивна.
21. Пусть S и 5Х — бикомпактные топологические пространства.
Рассмотрим непрерывное отображение ф : S —> Sv Пусть jn — регу-
регулярная ограниченная аддитивная функция множества, опреде-
определенная на некоторой алгебре 2 множеств из S. Функцию множества
v определим равенством
для каждого El^Sl такого, что cp'^f^gS. Показать, что v
-является регулярной аддитивной функцией множества, опреде-
определенной на алгебре {Е1 | Ф~1(?1) ? 2}.
22. Пусть S является топологическим пространством, а |х — огра-
ограниченная счетно аддитивная мера. Назовем множество Е ? 2 регу-
регулярным, если для каждого е>0 найдутся такие множества F
и ^6 2, что F^E.l^S—E, v(\iy S—Fx— F2) < e. Показать, что
регулярные множества образуют а-алгебру. Вывести отсюда, что
если S — метрическое пространство и [х — ограниченная мера,
определенная на cr-алгебре борелевских подмножеств S, то fx регу-
регулярна.
23. Предположим, что 5 — метрическое пространство, 2 —
а-алгебра, мера [i счетно аддитивна и ограничена, и пусть каждая
непрерывная функция [i-измерима. Показать, что 2* содержит все
борелевские множества.
24. Пусть S — бикомпактное топологическое пространство, обла-
обладающее тем свойством, что для каждого покрытия S конечным чис-
числом открытых множеств Glt ...,Gn существует такое покрытие
Ev . .., Ет пространства S множествами из 2, что каждое Е^
содержится в некотором Gi. Показать, что если функция / непре-
непрерывна, то она [х-измерима.
25. Пусть (S, 2, |х) — пространство с конечной мерой, 23 —
подалгебра а-алгебры 2, порождающая 2, и |ы1— сужение |х на 2Х.
Показать, что если Е ? 21? то v (|х1? E) = v (|x, E).
26. Пусть выполнены предположения упражнения 25, пусть v —
-определенная на 2 комплексная счетно аддитивная функция мно-
множества и пусть vt — cyжeниev на 2Х. Показать, что, для того чтобы
v была абсолютно непрерывной относительно [х, необходимо и доста-
достаточно, чтобы vl была абсолютно непрерывной относительно \iv
27. В предположениях упражнения 26, TM(S, 2, \il9 Ж) всюду
плотно в TM(S, 2, pi, Э?).
28. Если (S, 2, |х) — пространство с мерой, то TM(S, 2, [х, ЭЕ)
является F-пространством, а М (S, 2, (х, Ж) хотя и будет полным
:метрическим пространством, но не обязательно ^-пространством.

9. Упражнения 189
29. При 0 < р < 1 обозначим через Lp (S, 2, \i) множество всех
функций, для которых
Показать, что
l/i+/,l<IM + l/.|.
несмотря на то, что для положительных /2 и /2
1/1 + /2 >l/l| +1/21 •
30. Пусть (S, 2, |i) — пространство с мерой и 0 < р < 1. Пока-
Показать, что пространство Lp(S, S, jli) упражнения 29 является ^-про-
^-пространством.
31. Пусть 1<р<оо и ^ и /2 — положительные функции из L .
Показать, что | f, + /2 \р >\f1\» + \ f2 \p.
32. Построить пример счетно аддитивной, ограниченной вектор-
векторной функции [х, определенной на а-алгебре 2 подмножеств множе-
множества S, для которого v ([х, S) = -f-oo.
33. Показать, что если (S, 2, jli) — пространство с конечной
положительной мерой, то определенная на S равномерно ограничен-
ограниченная обобщенная последовательность неотрицательных ^-простых
функций {/а} может сходиться к нулю для каждого s? S, но не схо-
сходиться к нулю по мере [х.
34. Пусть (S, 2, |х) — пространство с cr-конечной положитель-
положительной мерой,. а 2Х — подалгебра а-алгебры 2, порождающая 2.
Показать, что если Е б 2, то
2
где нижняя грань берется по совокупности всех последователь-
оо
ностей {ЕЛ множеств из 2Х, таких, что (J Ei=J E.
35. Пусть (S, 2, |х) — пространство с положительной мерой.
Если f^Ll(S, 2, |i), {fn} — последовательность вещественных функ-
функций из Ьг E, 2, \к) и | fn (s) | < f (s) при s б 5, то
To же самое справедливо и в том случае, когда fn(s) >0при п=1, 2,...
и 5 б S, однако если последовательность вещественных функций {/п}

190 Гл. III. Интегрирование и функции множества
подчинена только тому условию, что fn^L1{S1 2, \х), п=1> ...,
то эти неравенства уже не обязательно будут все выполняться.
36. Пусть S — вещественная ось, 2 — алгебра измеримых по
Лебегу подмножеств S и |i — мера Лебега. Показать, что если Е? 2,
ао 6 —вещественные числа, то аЕ+Ь^ 2 и jli (aE+b) = \a \ \i (?).
Показать, что если / ^-интегрируема, то функция g, определяемая
равенством g(s)=f(as+b), ^-интегрируема и
f(as+b)ds= J f(s)ds.
—оо
37. Пусть S — вещественная ось, 2 — алгебра борелевских.
подмножеств 5 и \х — произвольная мера Бореля — Стильтьеса
на 2. Показать, что если вещественная функция / ограниченной,
вариации либо непрерывна слева, либо непрерывна справа, то она
ц-измерима.
38. Пусть 5 — замкнутый единичный интервал, 2 — поле боре-
борелевских множеств из S и ji-мера Лебега. Найти сингулярную отно-
относительно [1 неотрицательную меру, определенную для Е б 2 и такую,,
чтобы каждая точка р 6 5 имела меру нуль. (Указание: использовать-
канторово совершенное множество.)
39. Пусть (S, 2, \х) определено как в упражнении 38. Найти
определенную на S непрерывную монотонно возрастающую веще-
вещественную функцию f, такую, которая не может быть представлена
в виде
f(s)=\g(t)dt, где gtL^S, 2, fx).
6
40. Сохраняя предположения упражнения 36, возьмем 0 < а < 1,
и пусть функция G определена на SxS, непрерывна при всех E, ty
таких, что s Ф t, и
Показать, что если h — определенная на S ограниченная ji-измери-
мая функция, то функция G(s, -)h{-) \л-интегрируема для каждо-
каждого S и интеграл
G(s,t)h(t)dt
является непрерывной функцией s.
41. Построить лебеговское расширение меры Бореля, непосред-
непосредственно используя теорему 5.4.
42. Пусть 1 </? < оо и (S, 2, |i) — пространство с мерой. Пред-
Предположим, что /?Lp(S, 2, fi), g?Lq(St 2, fx), ± + 1 = 1 и h(s) =

10. Теорема Радона — Никодима 191
= f(s)g (s). Показать, что если \[h(s)\i (ds) = | /1 \g | то g (s) =
' s
= sgn(f(s)) I f(s) I23 почти всюду, причем функция sgn (reiQ) комп-
комплексного переменного z = reiBy по определению, равна eie, если
г Ф О, и нулю, если г — 0. (Указание: рассмотреть случаи равен-
равенства на различных этапах доказательства 3.2.)
43. Пусть 1<Ср<ооиE,2, \х) — пространство с мерой. Пред-
положим^ что f,g?Lp(S, 2, \i), и пусть |/ +g\p = |/|p + \g\p. Пока-
Показать, что если g Ф 0, то / = ag для некоторого скаляра а.
44. Пусть E, 2, \i) — пространство с мерой. Предположим, что
{fn} ~— последовательность [х-измеримых функций, отображающих
S в Ж, и пусть / — функция, определенная на S и со значениями в Ж,
Пусть, далее, для каждого х* ?36* x*fn(s) —>x*f(s) при любом
s?S. Показать, что f [i-измерима.
45. Пусть (S, 2, |i)—пространство с мерой. Показать, что
условия (I) и (II) теоремы 6.15 можно заменить одним условием
lim \\fn(s)\pv(ii,ds) = O
Г71-+ОО _v
m->oo
равномерно относительно п, здесь {Ет} есть произвольная убываю-
убывающая последовательность множеств с пустым пересечением.
46. Показать, что лемма 8.3 не остается справедливой, если
опустить предположение о cr-конечности |ix на 2Г
47. Пусть М — метрическое пространство, А^М и а, е > 0.
Положим Л8(Л, a) = inf ^ (^(Л{))а, где {Аг} есть произвольная
г=1
последовательность множеств, покрывающих Л и имеющих диаметр
б(Л^ меньше е. Показать, что Ле(Л, а) есть внешняя мера, возра-
возрастающая вместе с е, и что Л (Л, а) = lim Л8(Л, а) тоже является
внешней мерой. Можно показать, что каждое борелевское мно-
множество будет Л (Л, а)-измеримым; мера Бореля, получаемая из
Л (Л, а), известна как а-мера Хаусдорфа.
48. Пусть {Лп} и {Вп}— две последовательности подмножеств
множества S, и пусть Л п-^ Л, Вп—>В в том смысле, как это опреде-
определено в п. 4.3. Показать, что АпВп—>АВ, An\JBn—>A\JB,
10. Теорема Радона —Никодима
Мы уже видели, что интеграл w(s)[i(<is) от [i-интегрируемой
функции является абсолютно непрерывной функцией множества.
До некоторой степени обратной к этому утверждению является
важная теорема Радона —Никодима, утверждающая, что если

192 Гл. III. Интегрирование и функции множества
(S, 2, |л) есть пространство с мерой, то каждая конечная скаляр-
скалярная аддитивная абсолютно непрерывная относительно \i функция
множества X имеет вид Х(Е) = \ f (s) \i (ds), где / — некоторая
Е
jx-интегрируемая функция. Эта теорема (теорема 2) сначала будет
доказана в предположении, что [Л неотрицательна, а комплексный
случай (теорема 7) будет рассмотрен после того, как будут уста-
установлены некоторые общие результаты о замене меры.
1. Лемма. Пусть (S, 2, ^—пространство с конечной положи-
положительной мерой и X — определенная на 2 конечная положительная
абсолютно непрерывная относительно \х мера. Тогда существует
и притом только одна такая функция f из Lx(Sy 2, \i)> что
Ё
Кроме того, v (X, S) = | / |г
Доказательство. Обозначим через Р множество неотрицатель-
неотрицательных интегрируемых функций Я, для которых
Множество Р можно частично упорядочить, полагая h^g, если
h (s) ^Cg(s) почти всюду. Пользуясь леммой Цорна, мы покажем, что
Р содержит максимальный элемент. В самом деле, пусть Q —линей-
—линейно упорядоченное подмножество множества Р и а = sup \ h (s) u (ds).
Тогда 0^a^X(S). Рассмотрим такую последовательность hn эле-
элементов из Q, что
hn (s) ц (ds) < \ ft»tl (s) Ц (ds) -> a.
s s
Так как Q линейно упорядочено, то hn(s) ^Jin+l(s) почти всюду,
и, значит, без ограничения общности мы можем предположить,
что hn(s) <;ft/1+1E) всюду. Ввиду следствия 6.17 функция h(s) =
= !im fta (s) интегрируема, \ h(s)\x (ds) = a и АЛ < ft, /г = 1, 2, . .. .
Для того чтобы убедиться, что ft служит мажорантой для Q, возьмем
произвольный элемент g из Q. Тогда либо g^.hn для некоторого л
и, значит g <; ft, либо g> hn при всех п, и тогда g > ft и
0>
S

10- Теорема Радона — Никодима 193
откуда вытекает, что g(s) = h(s) почти всюду. Таким образом,
h является мажорантой для Q, и, по лемме Цорна, в Р существует
максимальный элемент /.
Положим
Е
Тогда Хг будет абсолютно непрерывной относительно fx конечной
неотрицательной мерой на 2. Чтобы завершить доказательство,
мы покажем, что К1(Е)=0 для любого ??2. Если это не так,
то hx(S) >0 и найдется такое положительное число k, что
(I) ^(SJ-feMSKO.
По теореме 4.10 о разложении в смысле Хана в 2 найдется такое
множество Л, что
>01 E€2,
а тогда, тем более,
(II) \x(EA)-kX1
Следовательно,
(III)
Если |i(i4)=0f то X,(i4) = 0 и \i(S) = li(AfIK1(S) = X1(Af)t но
тогда из неравенств (I) и (II) мы имеем
0 < pi (^) - kk± (A') = |i (S) - *XX E) < 0.
Это противоречие доказывает, что |i (Л) > 0.
Рассмотрим функцию g> определяемую следующим образом:
0, 5$Л.
Тогда неравенство (III) можно переписать так:
), ?62,
откуда вытекает, что
Но, так как f + g>f, это противоречит максимальности f в Р. Сле-
Следовательно, Xt (Е) =0 для каждого Е из 2.
13 Заказ Xt 1324

194 Гл. Ill Интегрирование и функции множества
Равенство v(Xy S) = 1/^ — это просто теорема 2.20 (а). С другой
стороны, если / и g — две такие ji-интегрируемые функции, что
то по лемме 6.8 / и g эквивалентны. Этим устанавливается един-
единственность / и завершается доказательство леммы.
—> 2. Теорема (Радон — Никодим). Пусть (S, 2, ^ — пространство
с о-конечной положительной мерой и X — определенная на 2 конеч-
конечная абсолютно непрерывная относительно \i мера. Тогда существует
и притом только одна такая функция f^L1(Sf 2, fi), что
?62.
Ё
Кроме того, v(X, S) = \f \v
Доказательство. Если существование / уже установлено, то
равенство v(kt S) = |/|1 вытекает из теоремы 2.20. Следовательно,
равенства X (?) = 0 и | / |г = 0 эквивалентны и имеют место тогда и
только тогда, когда /равна нулю почти всюду. Отсюда непосред-
непосредственно вытекает единственность /. Таким образом, все, что мы
должны доказать, это существование /.
Так как X можно разложить на вещественную и мнимую части,
то мы можем предположить, что X вещественна. Вещественную же
функцию множества можно представить, в силу 4.11, в виде раз-
разности ее положительной и отрицательной вариаций, и, следова-
следовательно, мы можем также предположить, что / положительна. Пусть,
далее, {Еп} — последовательность измеримых множеств, таких, что
со
v(\i, Еп) < оо, Enc~iEn+1 и (J En = S. По лемме 1, для каждого
71=1
/1=1, 2,... существует неотрицательная интегрируемая функ-
функция fn, обращающаяся в нуль на Е'п, для которой
[ /пООиЧ^НМЯ). ?g?n.
Е
Ввиду единственности fn почти всюду в Еп fn(s) =/n+1(s) , и без
ограничения общности можно предполагать, что fn(s) = fn+1(s)
всюду в Еп. Тогда fn 6 Lx (S, 2, jx), fn (s) </n+1 E) и [ fn (s) fx (ds) =
s
= A,(?n)<A,(S). Положим f (s) = \\m fn(s). Тогда ввиду 6.17
n-voo
X (?) = 1 im X (f n?) = lim ^ fn (s) |x (ds) = ^ f (s) ц (ds)
n-vco n->°° Ь Ь
для каждого ? 6 2, ч. т. д.

10. Теорема Радона — Никсдима 195
Нижеследующие результаты представляют собой полезные допол-
дополнения к теореме Радона — Никодима и могут быть использованы
для усиления этой теоремы. Основные среди них—теорема 4
и следствие 6, являющиеся важными предложениями о «замене
меры».
3. Лемма. Пусть (S, 2, \х) — пространство с мерой, а / — опреде-
определенная на S \1-измеримая функция. Предположим, что либо
(a) (S, 2, ^—пространство с положительной мерой и f неотри-
неотрицательна, либо
(b) / — комплексная интегрируемая функция. Положим
и пусть g —функция, отображающая S в В-пространство* И,
Тогда, для того чтобы g была Х-измеримой, необходимо и доста-
достаточно, чтобы произведение fg было ^-измеримым.
Доказательство. Пусть g А,-измерима. Для того чтобы доказать,
что fg [х-измерима, мы должны доказать, что произведение Xf/S", где
%F есть характеристическая функция произвольного множества F
из 2, для которого v(\i, f) < оо, вполне ji-измеримо. Заметим,
прежде всего, что можно предполагать, что v(ky F) < ос. Действи-
Действительно, если f интегрируема, то v(K, F) < оо для всех ^6 2;
если же f предполагается только положительной и измеримой,
оо
положим Fn = {s | s ? F, f (s) <^ n). Тогда F = (J Fn и для каждого п
v(Ky Fn) < со. Так как
l\mxF (s)f(s)g(s), 5€S,
n
и предел сходящейся в каждой точке последовательности измеримых
функций является измеримой же функцией, то достаточно доказать
измеримость функции tFnfg- Таким образом, мы можем и будем
предполагать, что и((л, F) < оо и v(kt F) < оо.
Так как g Х-измерима, то существует последовательность
{ёп} простых функций, сходящаяся к g(s) в каждой точке s?F,
за исключением точек некоторого множества Е с: F, для которого
v{ky E) = 0 [по следствию 6.13 (а)]. Но
так что /(s) = 0 для всех s?E> за исключением точек некоторого
множества Л, для которого v(\i, A) =0. Таким образом,
gn{s)f(s)-»g(s)f(s), stF-A,
и из следствия 6.14 вытекает ^-измеримость функции %Ffg-
13*

196 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Обратно, пусть fg ^-измерима, и пусть (S, 2*, \i) и (S, 2*, X)
являются лебеговскими расширениями пространств (S, 2, \х)
и (S, 2, X) соответственно. Тогда 2* 3 2*. Прежде всего мы заметим,
что, для того чтобы функция была измеримой по отношению к задан-
заданной мере, необходимо и достаточно» чтобы она была измеримой по
отношению к лебеговскому продолжению этой меры. Пусть, далее,
/V = {s|s6S, /(s)=0}; тогда Х(Е)=0 для каждого множества
Е ? 2*, содержащегося в N. Следовательно, функция gxN Х-измери-
ма, и остается только доказать, что ?%лг/ тоже Я-измерима. Поэтому
мы можем и будем предполагать, что / (s) не обращается в нуль на
множестве S. Так как
то, по теореме 6.10, функция 1/f (х-измерима, а тогда по лемме 2.12,
g тоже ^-измерима. По теореме 6.10 функция g почти сепарабельно-
значна относительно \i и, значит, почти сепарабельнозначна относи-
относительно X. В силу той же теоремы 6.10 g'1 (G) g 2 для любого
открытого множества G из Ж. Так как 2* з 2*, из теоремы 6.10 выте-
вытекает, что функция g Х-измерима. В нашем рассуждении мы неявно
использовали то обстоятельство, что каждое множество /^2, для
которого
\f{s)\v{\L,ds)< со,
F
может быть представлено в виде счетной суммы множеств
для которых v(\iy Fn) < оо, ч. т. д.
4. Теорема. Пусть (S, 2, ^ — пространство с положительной
мерой, f — определенная на S неотрицательная ^-измеримая
функция и
Е
Пусть g — определенная на S неотрицательная Х-измеримая
функция, тогда fg ^-измерима и
\g{s)X(ds)=\f(s)g(s)li(ds), ??2.
к к
Доказательство, fx-измеримость fg вытекает из леммы 3. Обо-
Обозначим через Я совокупность всех неотрицательных Х-измеримых

10. Теорема Радона — Никодима 197
функций ft, для которых имеет место равенство
\h(s)X(ds) = \)f(s)h(s)[x(dsI EgS;
Е Е
ясно, что Я содержит все неотрицательные Х-простые функции. Ввиду
следствия 6.17 Н замкнуто относительно операции взятия предела
возрастающей последовательности. Таким образом, для того чтобы
доказать теорему, достаточно доказать, что неотрицательная ^-изме-
^-измеримая фукция g является для почти всех s пределом возрастающей
последовательности {g.L} простых функций.
Для того чтобы определить такую последовательность, разло-
разложим множество ?n = {s|g"(s) < я} на п2 попарно непересекающихся
частей:
Положим
j/n, sg?(y\ n),
ак что gn(s), возрастая, стремится к g(s) для каждого s?S. По
теореме 6.10, каждое gn является простой функцией относительно
лебеговского. продолжения X, и, таким образом, доказательство
завершено.
5. Следствие. Пусть (S, S, \i) — пространство с положительной
мерой, f — определенная на S неотрицательная измеримая функция и
), ?62.
Тогда функция g, отображающая S в В-пространство Ж в том
и только в том случае Х-интегрируема, если fg \1-интегрируема;
при этом
\g(s)k(ds)\=\f(s)g(s)ii(ds),
Е Е
Доказательство. Предположим, что функция g ^-интегрируема.
По лемме 3, fg измерима, ^-интегрируемость fg вытекает из теоре-
теоремы 2.22, если заметить, что (ввиду теоремы 4) |/(•)?(•) | ^-инте-
^-интегрируема. Пользуясь теоремой 4, можно точно так же доказать
и ^-интегрируемость g в предположении [х-интегрируемости fg.
Так как каждая вещественная измеримая функция представ-
представляется в виде разности двух неотрицательных измеримых функ-

198 Гл. III. Интегрирование и функции множества
ций, то из теоремы 4 вытекает, что
s) 8 (s) I* (ds), ? € 2,
где g—вещественная измеримая функция. Так как вещественная
и мнимая части комплексной измеримой функции сами измеримы, то
равенство [*] справедливо и для комплексных функций g. Если зна-
значения g принадлежат 5-пространству ЭЕ, рассмотрим определенный
на Ж линейный функционал х*. Ввиду теоремы 2.19 (с) и равен-
равенства [*]
х* \ S (s) Я (ds) = ^ x*g (s) I (ds) = J х*/ (s) gr (s) pi (ds) =
таким образом, ввиду следствия 11.3.15 равенство [*] доказано
в полной общности.
6. Следствие. Пусть (S, 2, \i) — пространство с мерой,
[ — комплексная \i-интегрируемая функция и
Тогда функция g, отображающая S в В-пространство Ж, будет
К-интегрируемой в том и только в том случае, если произведение fg
^-интегрируемо, при этом
= \f(s)g(s)li(ds),
Е
Доказательство. Пусть g А,-интегрируема, тогда, по лемме 3,
fg измерима. Для того чтобы доказать, что fg fi-интегрируема,
достаточно ввиду теорем 2.22 и 2.18 показать, что функция
!/(')<§¦(•) I ^(^-интегрируема. Но так как |g(-) | v (^-интегрируема
и v (А,, Е) = \ | / E) | v (|х, ds), то это вытекает из теоремы 4.
Е
Обратно, предположим, что fg ji-интегрируема. Тогда, по лемме Зт
g измерима и , следовательно, убудет ^-интегрируемой в том и только
в том случае, если |g"(-)| является v(|л)-интегрируемой. Однако
v ([^-интегрируемость | g (•) | вытекает из теоремы 4 точно так же, как
в предшествующем рассуждении. Таким образом, нам остается
доказать лишь формулу [*]. Как и при доказательстве следствия 5,
ее достаточно доказать для случая положительной вещественной

10. Теорема Радона — Никодима 1%
функции^. Ясно, что для ^-интегрируемых простых функций формула
[*] справедлива. Как и в доказательстве теоремы 4, найдется возраста-
возрастающая последовательность {grl} неотрицательных простых функций,
сходящаяся к g в каждой точке. Так как gn(s)^g(s), то
\gn (s)f(s) I < \g(s) f(s) I Для каждого 5g S. Из теоремы Лебега F.16)
вытекает, что
В
Так как равенство [*] справедливо при g = gn, то оно справедливо
и для g, ч. т. д.
Нижеследующий результат дополняет теорему 2, распростра-
распространяя ее на комплексные меры |jt.
—>7. Теорема. Пусть (S, 2, |ы) — пространство с конечной мерой,
а X — абсолютно непрерывная относительно \х комплексная мера,
определенная на 2. Тогда существует и притом только одна такая
\i-интегрируемая функция f, что
k(E)=\f(s)ti(ds),
Доказательство. Пользуясь теоремой Радона—Никодима (тео-
(теорема 2), найдем такие и(|д,)-интегрируемые функции g и Я, что
^h(s)v(Vifds), ?612.
Так как
v(\it ?)=^ \h(s)\v(vi,ds),
то
5 {l-|A(s)|}t;(|ilds) = Ol ?62,
Е
откуда видно, что | h(s) \ = 1 всюду, за исключением точек некоторого
множества, на котором v(\i) обращается в нуль. Следовательно,
функция f = g/h ^-интегрируема и, по следствию 6,
= {g(s)v(vi,ds) = k(E), ч. т. д.
Е

200 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Замечание, Однозначно определенная ^-интегрируемая функция /,
фигурирующая в теоремах 2 и 7, называется производной Радона —
Никодима функции X по \i и часто обозначается через dk/d\i. Таким
образом, dX/dii определена почти всюду относительно \i формулой
В заключение этого параграфа мы докажем лемму, обобщающую
многие теоремы о «замене переменной».
8. Лемма. Пусть Sx uS2 — dea множества, а ф — отображение
Sl в S2. Если 22 является алгеброй (соответственно о-алгеброй)
множеств из S2, то 2г = {ф (Е) | Е ? 22} будет алгеброй (соответ-
(соответственно о-алгеброй) множеств из Sv Если \i2 — определенная на 22
аддитивная функция множества, то функция \хг, определяемая
равенством \хг (ф (?)) = |л2 (?), будет аддитивной функцией множе-
множества, заданной на 2Г Кроме того,
(a) если ji2 счетно аддитивна, то и \1г счетно аддитивна]
(b) если \i2 ограничена, то и \х± ограничена;
(c) v(\ilt y~1(E)) = v(li2, E), ?С22;
(d) если функция f, определенная на S2, \12-измерима} то /(ф(-))
\1х-измерима\
(e) если \i2 неотрицательна и счетно аддитивна, а определенная
на S2 функция f ^-измерима и неотрицательна, то
(f) если определенная на S2 функция f \i2-интегрируема, то
/(ф(-)) ^-интегрируема и
f (s2) ^2(ds2) = ^ /(ф(sj)^
Доказательство. Так как ф (ф (?)) = Е, то ясно, что определение
\хх как функции на 2Х корректно. Так как
и
%= 1
то ясно» что 2j является алгеброй, причем \хг аддитивна на 2г.
Эти равенства показывают, кроме того, что 2, будет а-алгеброй,
ести таковой является 22, и что jx1 счетно аддитивна, если счетно
аддитивна |ы2. Утверждение (Ь) очевидно. Так как v(\iv ф^))

//. Произведение пространств с мерой 201
неотрицательная функция множества, определенная для ??22 и
v(\iv ф (?))> | |ii(Ф (Е)) \ = \\i2(Е) |,
то из определения v (\i2) «легко вытекает, что v (\iXi qT1 (?)) > v (\i2y E).
Обратно, так как ф (Ег (J ?) = Ф (Ei) U Ф (?2) и ф (ЕгЕ2) = ф (?х) ф (?2),
если ?1э ?2 принадлежат 2г, то ?>(щ> ф (?)) является неотрицатель-
неотрицательной аддитивной функцией множества, определенной для ?€2Г
Так как
то из определения v (jxj легко вытекает, что v (\i2, ф (?)) > v (\iv E).
Так как уже было доказано, что v(\i2i tp(E))-^v(\il9 ?), то
y(ji2, ф (Е)) = v(\iv ?), если ?G2j, и, следовательно, ^(jx2» ?) =
= v(\x1J ф^), если ? 22. Этим доказано (с).
Из равенства (с) получаем, что если {/„} есть последовательность
определенных на S функций, сходящихся к функции / по мере [х2,
то {fn (ф (•))} сходится к/ {ф (•)) по мере [ij. Так как^(ф (•)) является
|игпростой функцией, если g ^-простая, то отсюда непосредственно
вытекает утверждение (d).
Ясно, что ?(ф(-)) будет ^-интегрируемой простой функцией,
если g есть ^2~интегРиРУемая простая функция. Из определения ^
следует, что для такой функции g мы имеем равенство
\ S Ы ^2 (ds2) = \ g (Ф (sx)) jxx (dsj, E 6 S2.
Поэтому утверждение (f) вытекает из определения интегрируемости
точно так же, как (d) — из определения измеримости. Наконец, (е)
следует из теоремы 6.17, если применить равенство (f) к каждому
члену некоторой возрастающей последовательности ц2-интегри-
руемых простых функций, сходящейся к функции / в каждой точке,
ч. т. д.
11. Произведение пространств с мерой
В этом параграфе нашей главной целью будет построение из
заданного семейства (St, St, Нч)> * = 1» .. ., /г, пространств с мерой
некоторой меры, определенной на прямом произведении SrX ...xSn,
и исследование связей между интегрированием в произведении
и интегрированием в пространствах-множителях. Наиболее извест-
известным примером является, разумеется, евклидова плоскость —произ-
—произведение вещественной прямой на себя. Для прямоугольника Е со
сторонами, параллельными осям координат, двумерная мера Е
определяется как произведение длин (одномерных мер) двух его
смежных сторон. Эта мера продолжается затем на а-алгебру, порож-
порождаемую в плоскости такими прямоугольниками.

202 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Во второй половине параграфа теория произведения пространств
с мерой и интегрирования в нем обобщаются на такие произведения
пространств с мерами, в которых число сомножителей бесконечно.
Введем обозначение, удобное для формулирования теорем насто-
настоящего параграфа. Пусть 2; (i = 1, .. ., п) — некоторая алгебра под-
подмножеств множества St. Через % мы будем обозначать совокуп-
совокупность всех множеств прямого произведения S = SXX ... xSn,
имеющих вид Е = Ег X ... X Еп, где Ei ? 2{.
1. Лемма. Пусть \ix (/=1, ... у п) — конечно аддитивная ком-
комплексная функция множества, определенная на алгебре 1>г подмно-
подмножеств множества St. Тогда существует и притом только одна
аддитивная функция множества \xf определенная на алгебре 2,
порожденной в S = 5Х х ... X Sn множеством Ш и такая, что
Замечание. Читатель может подумать, что эту лемму лучше всего
доказывать непосредственным построением функции \l. Такое дока-
доказательство дать можно, но оно будет удивительно громоздким.
Поэтому мы дадим доказательство, основанное на теории интегри-
интегрирования.
Доказательство. Обозначим через Шо семейство определенных
на 5 ограниченных комплексных функций /, обладающих следую-
следующим свойством: для каждого фиксированного [s2, . . ., sn] функция
f (slf ...,sn) ^-интегрируема по sx; для каждых фиксированных
[s3, . . ., sn] и Е1 из 2Х функция
щ-интегрируема по s2; для каждых фиксированных [s4, ...,sn],
Ег б 2Х и ?2 б 22 функция
f{sv •••.OM<*s
(д,3-интегрируема по s3 и т. д. Обозначим через ЭДХ совокупность всех
таких gsUo> что произведение fg принадлежит ЭД0 для каждого
/б?10. Тогда 21г будет линейным семейством функций, содержащим
произведение любых двух своих элементов. Через Ф обозначим
совокупность множеств Fc^S, характеристические функции %F
которых принадлежат ?(х. Ясно, что Ф замкнуто относительно обра-
образования пересечения и взятия дополнения и что Ф содержит S.
Таким образом, Ф есть алгебра множеств. Кроме того, каждое
множество из % принадлежит Ф, и, значит, Ф^2. Если функцию

". Произведение пространств с мерой 203
множества \i определить для F?Q) формулой
[ [ [[
Sn Si
то сужение ji на 2 будет аддитивной функцией множества, обладаю-
обладающей нужными свойствами.
Чтобы доказать единственность [а, предположим, что К есть
определенная на 2 аддитивная функция множества, совпадающая
с ji на каждом из множеств, принадлежащих %. Обозначим через 2$0
совокупность Я-интегрируемых функций / из 9@, для которых при
любых Ei ? 2t I = 1, . . ., п и Е = Ег х . .. х Еп имеет место равен-
равенство
[f(s)k(ds)=\
Ё Ёп
Через 33г обозначим множество всех g(:33o> для которых
при всех /6 23О. Тогда 33Х будет линейным множеством, замкнутым
относительно умножения и содержащим характеристическую функ-
функцию каждого множества из Ш. Так же как выше, отсюда вытекает,
что
Sn Si
для всех ^?2, ч. т. д.
Замечание. Алгебра 2 состоит из всех конечных сумм попарно
непересекающихся множеств из %. Действительно, если 20 есть
совокупность всех конечных сумм попарно непересекающихся
множеств, то 20, очевидно, замкнуто относительно образования
конечных пересечений. Для того чтобы доказать, что 20 является
алгеброй, достаточно показать, что оно замкнуто относительно пере-
перехода к дополнению. Если п = 3, то это вытекает из тождества
(Ех ХЕ2Х EJ = (Е[ XS2X S3)(J(?i X Е'2 X S3)(J(?i X?2X ?;);
в общем случае доказательство аналогично.
2. Теорема. Пусть (Si9 2t, \it)9 i=l, ..., n,—пространства
с конечной мерой. Тогда существует и притом только одна счетно
аддитивная мера \i, определенная на о-алгебре, порожденной в S =
= Sx X ... X Sn множеством % и такая, что
для каждого множества Е1 х ... X Еп из Ш.

204 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Доказательство. Пусть <й1 определено, как в лемме 1. Из счет-
счетной аддитивности мер \iL и теоремы 6.16 вытекает, что если {fh}
есть равномерно ограниченная последовательность из 5^, сходящая-
сходящаяся в каждой точке к функции /, то f ? <И1 и
lim \ Г"- Г \ f*(si> •••>s*)
Таким образом, алгебра Ф леммы 1 является сг-алгеброй, а мера
\i леммы 1 счетно аддитивна на Ф. Следовательно, сужение \х на
сг-алгебру 2, порожденную множеством §, будет мерой, обладающей
нужными свойствами.
Для того чтобы доказать единственность \i, заметим, что точно
таким же образом можно получить, что множество 33Г леммы 1 содер-
содержит предел каждой сходящейся равномерно ограниченной после-
последовательности своих элементов и, следовательно, содержит харак-
характеристическую функцию каждого множества F ? 2. Таким образом,
рассуждение, проведенное при доказательстве единственности
в лемме 1, без изменений проходит и в этом случае, ч. т. д.
3. Определение. Пространство с мерой (S, 2, ji), построенное
в теореме 2, называется произведением пространств с мерами
(Sn, 2n, |хя). Мы пишем
2 = 21Х ... xSn> |i=jx1x ... хця,
(S, 2, fx) = (Sv 2X, |xx) X . .. X (Sn, 2n, (ij
При доказательстве теоремы 2 было показано, что характеристи-
характеристическая функция каждого множества Е 6 2 = 2ГХ ... х2п содержится
в 21Г Таким образом, мы доказали следующее следствие, которое
в то же время является первой среди доказываемых в этом параграфе
теорем о связи между «кратными» и «повторными» интегралами.
4. Следствие. Пусть (S, 2, ^ — произведение пространств
с конечными положительными мерами (Sl9 21Э [aJ и (S2, 22, ji2).
Для каждого Е из 2 и s2?S2 множество Е (s2) = {•% I [s19 s2] 6 Е}
ах-измеримо. Функция jj,x (? (s2)) ^-интегрируема и

//. Произведение пространств с мерой 205
5. Следствие. Произведение пространств с конечными положи-
положительными мерами есть пространство с конечной положительной
мерой.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из формулы для ц<(?), приведенной в следствии 4, ч. т. д.
Нетрудно обобщить определение произведения пространств на
тот случай, когда меры в пространствах (Siy 2?, |и?), /= 1, ..., /г,
положительны, но не конечны, а только а-конечны.
6. Следствие. Если меры в пространствах (Sti 21э \1г)> i = 1, ..., я,
положительны и о-конечны, то существует и притом только одна
мера [х, определенная на о-алгебре, порожденной множеством %,
п п
и такая, что \i(E)— \\ \xt (Ег) для Е= [] Ег, Ei^^Li.
п
Замечание. Предполагается, что [] \it {Еь)= + оо, если для
некоторого / \ii(Ei)= +oo, и ни одно из \it (Et) не равно нулю;
если же какой-то множитель в произведении обращается в нуль,
мы считаем произведение равным нулю.
Доказательство. Пусть Sh для каждого А=1, ..., п является
объединением возрастающей последовательности {?l;)}, /=1, ...,
п
^-измеримых множеств конечной (я^-меры. Если Е(з)=\]Е\Р,
то {?(;)} будет возрастающей последовательностью множеств из S,
сумма которых совпадает с S. Для каждого k обозначим через
2[;) алгебру ^-измеримых подмножеств Е*} и через |Д;) сужение
\ik на Ek*. Мы уже умеем строить пространства с конечной мерой
{Еи\ 2°\ ji(y))= \\ {Е%\ 2(^, |х1У)).
Из доказанной в теореме 2 единственности вытекает, что
цО') (F) = (i°'+1> (F), если Fc^E{*\ Обозначим через 20 совокупность
всех подмножеств Е из S, таких, что
для каждого /. Так как каждое 20) является а-алгеброй, то и Го
есть с-алгебра. Обозначим через 2 а-алгебру, порожденную мно-
множеством Щ. Тогда 2з20) для каждого / и, значит, 2 _J0. Кроме
того, ясно, что_2<~20 и, следовательно, 2 = 20.

206 Гл. 111. Интегрирование и функции множества
Пусть fgS, положим \х (F) = lim р,<» (F[)EU)). Так как эта
;->-оо
последовательность возрастающая, то она имеет предел, котЬрый
может быть равен и +оо. Для того чтобы убедиться, что \х счетно
аддитивна на 2, предположим, что FgS есть сумма последователь-
последовательности {Fn} попарно непересекающихся множеств из 2. Тогда для
любых / и k
П=1
? vW{F
71=1
k
Таким образом, ji (F)> 2 И'(^п) и> следовательно, p() 2
n=l n=i
С другой стороны, для каждого /
n=l n=i
CO
так что 2 И- (^J > И- (И• Ясно, что для этой меры
1
и из доказанной в теореме 2 единственности для каждого из про-
пространств (Еи\ 2(;), |ut0)) вытекает, что \л есть единственная счетно
аддитивная мера на 2, обладающая этим свойством, ч. т. д.
Как и в случае пространств с конечной мерой, пространство
с мерой (S, 2, ji), построенное в следствии 6 из пространств
с а-конечными мерами (S-, 2?, |^), мы будем называть их произве-
п
дением и обозначать (S, 2, [х)= ]] (S{, 2i? fi^.
i=l
Наиболее известный пример к теореме 2 и следствию 6 получится,
если взять в качестве (St, 2i? |Д-^), / = 1, . .., п, меру Бореля —Лебега
п
на вещественной прямой. Тогда S= [I St будет n-мерным евклидс-
i=i
вым пространством и jll=(х1 х . . . х \in известно под названием
п-мерной меры Бореля — Лебега. Лебеговское продолжение меры \х
называется п-мерной мерой Лебега. Характеристическое свойство
этой меры состоит в том, что мера произвольного «прямоугольника»
равна произведению (bl—aj . . . (bn—an).

11. Произведение пространств с мерой 207
Нижеследующее утверждение является а-конечным аналогом
следствия 4.
\
7. Следствие. Пусть (S, 2, \х) является произведением двух
пространств с положительными о-конечными мерами (S19 2Х, \1г)
и (S2, 22, ji2). Для каждого Е из 2 и s2?S2 множество E(s2)=
fail К» s2\?E} \ix-измеримо. Функция \x2(E(s2)) \12-измерима и
Доказательство. Воспользуемся обозначениями, введенными при
доказательстве следствия 6. Как видно из этого доказательства,
ЕЕ0) содержится в 20) для каждого /, так что если EE{3)(s2) =
= {st | [sl9 s2] б ЕЕО)}У то функция \ix (EE0) (s2)) (я2-измерима на ?B;).
Так как jUjl (?'?>0) E2))=0, если 52^?2}, то jlxx (EEC) (s2)) является
^-измеримой функцией s2. Так как {??<0) (s2)} есть возрастающая
последовательность множеств с суммой ?(s2), то jlxx (? (s2)) =
= lim \хг (??<(;) (s2)) для каждого s2 G 52. Таким образом, ввиду след-
ствия 6.14 И'1(?'E2)) является |12-измеримой функцией s2. В силу
следствия 4
Так как р (?) = lim ц (
) Eа) }12 (ds2) = ^ Kt, (?Я0) (s2))
то формула [*] непосредственно вытекает из следствия 6.17, ч. т. д.
При доказательстве основной теоремы 9 нам придется исполь-
использовать следующее предложение, легко вытекающее из следствия 7.
8. Следствие. Пусть (S, 2, \х) является произведением двух
пространств с положительными о-конечными мерами (Зэ, 2Х, |дх)
и E2, 22, ji2). Пусть мера ji множества N ? 2 равна нулю. Тогда для
почти всех относительно [хг точек s1^S1 мера \х2 множества N^J^
= E21 1а> 52] б ^} равна нулю.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из формулы [*] следствия 7 и леммы 6.8, ч. т. д.
Теперь мы сделаем несколько замечаний, которые будут очень
упрощать нам дальнейшее изложение. Пусть (Slt 21? [хх), (S2, 22> \х2)

208 Гл. III. Интегоирование и функции множества
_ - j
з
и E3, 23, |Li3) — пространства с мерами и (S, 2, \i)= J| (St, 2/, \it).
Таким образом, S есть совокупность точек вида [sly s2» s3], ^i^^i*
и, строго говоря, S не нужно путать с пространством 50=(S, х 52) х S3t
элементы которого имеют вид [[sv s2]s3). Целесообразно, однако,
рассматривать эти пространства как идентичные, поскольку между
их точками существует, очевидно, естественное взаимно однозначное
соответствие. Кроме того, как легко может проверить читатель,
это соответствие индуцирует сохраняющее меру взаимно однозначное
соответствие между а-алгебрами 2 и 20. Таким образом, простран-
пространства с мерами (S, 2, ji) и (So, 20, ц0) можно считать идентичными.
Это означает, что операция образования произведения пространств
с мерами ассоциативна. Легко видеть, что она и коммутативна.
Ясно, что эти замечания распространяются и на произведение любо-
любого конечного числа пространств с мерами. Таким образом, если
(Slt 21э щ), /=1, . .., я, — пространства с мерами, которые либо
все конечны, либо все положительны и сг-конечны, а а — произ-
произвольное подмножество из {1, ..., п}, то пространства с мерой
п
JJ (Si> Si> ft) и Eа, 2а> |i«) X (Stt', 2«', |Xa0, Где
(Sa, 2a, |ia) = П (S*, 2t, ^)
i
(Sa,,2c,Ha')= П (St, Sif (JLt).
можно считать идентичными.
Следующая теорема выясняет соотношение между интегрирова-
интегрированием в произведении пространств с мерами и интегрированием
в компонентах этого произведения. Ввиду ассоциативности умно-
умножения мер при этом без потери общности можно ограничиться рас-
рассмотрением произведения (R, 2д, q) двух пространств с мерой
E, 2S, ii) и (Г, 2Т, А).
-» 9. Теорема (Фубини). Пусть E, 2S, \i) и (Г, 2Т, Я) — два про-
странствасположительнымио-конечнымимерами. Пусть (/?, 2д, с)=
= (S, 2S, |i) X (Г, 2Г, А) и /б М#, s«» Q. Ж)- Гог5а алл not^mw
относительно \х точек s из S f(s, •NL1(T, 2т, Я, ЭЕ). Кроме
того,
Т Д
Доказательство. Обозначим через ЭД0 подпространство Q-npo-
стых функций g^LiiR, 2д, Q, X). По следствию 7, для каждого

\ //. Произведение пространств с мерой 209
#ёЭД0 теорема справедлива. По лемме 2.18 можно найти последова-
последовательность {gn} элементов из S2lo, сходящуюся к / в топологии
^i(?, 2д, Q, I). При этом
\gn{s,t)-gm(s, t)\X(dt)\
[\gn(r)-gm(r)\Q(dr) = 0.
m, n-*oo
Следовательно, если функцию Gn из пространства
мы определим равенством Gn (s)=gn (s, •), то
m, n-»-oo ^
= lim \ \\\gn(s,t)-gm(s,t)\l(dt)}
По теореме 6.6 найдется такое Gg Lx, что Gn—>G по норме простран-
пространства ?р По теореме 3.6 (I) и следствию 6.13 (а) (и переходя без огра-
ограничения общности к подпоследовательности) мы можем найти такое
множество N?2s нулевой меры р,, что Gn(s)—>G(s) для s$N.
Переход к подпоследовательности позволяет нам в то же время
сделать вывод, чтоgL (r)—>f(r) для всех г, не принадлежащих к неко-
некоторому множеству М нулевой меры q. Ввиду следствия 8 это озна-
означает, что существует такое множество Nx нулевой меры р, что если
s$Nv то gn{s, t)—±f(s, t) для почти всех относительно X точек t.
По теореме 3.6 (I) и следствию 6.13 (а) для заданного so$Nможно
найти такую возрастающую последовательность натуральных чисел
niy что Gn. (s0) (t) —> G (s0) (/) для почти всех относительно X точек tt
т. е. такую, что
для почти всех относительно Ь точек t. Следовательно, если
So$N\JNlt то f(s0, t) = G(so)(t), так что / (s0,.) € Lx(Tt Sr, Я, ЗЕ).
Ясно, что равенством Е/А= \ h(t)X(dt) определяется непрерыв-
т
ное линейное отображение U пространства L±(T, 2т, ^, Ж) в Ж.
В терминах этого отображения U мы имеем
5
т
14 Заказ № 1324

210 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Следовательно, по теореме 2.19 (с), \/(•, t)k(dt) = UG принадле-
т
жит Lj (S, 2, [г, Ж) и
\ \{f(s,t)l(dt)\ii(ds)^<\UG(s)ii(ds) =
В Т S
В Т
= U \G{s)n(ds)= Urn U \ Gn(s)ii(ds) = lim ^ UGn(s)]i{ds) =
n-°° n-*=o
n-*=o s
n->oo ^
Как мы уже отметили, для Q-простых функций gn
\{\Sn E, t) I (dt) } fi (ds) = ^ gn (Г) Q (dr),
S T R
и так как gn—>f по норме пространства L1(Ry 2я", Q, X), то предел
правой части равен \ f(r)Q(dr), и теорема доказана.
Теорема 9 легко может быть обобщена на произведение двух
произвольных пространств с конечной мерой. Для этого нам будут
полезны следующие три леммы.
10. Лемма. »Пусть (R, Ид, q) является произведением двух
пространств с о-конечными положительными мерами (S, 2s, ц)
и (Т, 2т, Я), и пусть f — ^-измеримая на S функция со значениями
в В-пространстве Ж. Тогда функция g, отображающая Re Ж и опре-
определяемая формулой g E, t) = / (s), Q-измерима.
Доказательство. Пусть / — произвольная ji-измеримая функция,
а Еп — возрастающая последовательность множеств из 2S, для
которых U En=S и fi(Z;n)<oo. Положим fn(s)=f(s)> если 5^?п» и
/n (s)=0 в противном случае, и пустьgn (s, 0=/n E)- Тогдаgn(r) —>g(r)
для каждого г, и поэтому ввиду следствия 6.14 достаточно показать,
что каждая из функций gn Q-измерима. Таким образом, не ограни-
ограничивая этим общности, мы можем доказать лемму лишь для случая
вполне ji-измеримых функций /п.
Итак, предположим, что / — произвольная вполне \i измери-
измеримая функция. Пользуясь следствием 6.13(а), предположим, что
{/п}—последовательность fx-простых функций, почти всюду отно-
относительно [1 сходящаяся к/. Если^E, t)=fn(s), TOgn(r)—>g(r) почти
всюду относительно q. Таким образом, по следствию 6.14, g Q-изме-
Q-измерима, ч. т. д.

//. Произведение пространств с мерой 211
11 Лемма. Пусть (R, 2д, q) является произведением двух про-
пространств с конечной мерой (S, 2s, ji) и (Г, 2т, ^). Гогда t; (q) =
Доказательство. По теореме Радона — Никодима A0.2), суще-
существует ji-интегрируемая функция g, для которой
r(s)v(ii, ds), A 6 2s-
По теореме 2.20, v(\i, A)= \ \g(s)\ v(\i, ds) и, следовательно,
|g(s)|=l Для почти всех относительно \х точек 5. Без ограничения
общности мы можем и будем предполагать, что |g(s)| = l для
всех s. Точно так же найдется такая Я-интегрируемая функция- ft,
что | h (t) | =1 для всех / и
К{В) = ^ h{t)v{K dt), S62T.
в
Если r=[s, t], положим f (r)=g(s) h(t), тогда |/(г)|=1 для всех г
из R. Положим v=v(\i)x v(X), тогда для А 6 2S, В б 2Т и Е=А ХВ
мы имеем, по теореме 9,
- { ^ g(s)v(\L, ds)] { ^ A(/)t;(^ dt)} =
А В
Ввиду доказанной в теореме 2 единственности /, q (Е)= \ f (r) v(dr).
Е
Так как | / (г") | = 1 для всех г, то, по теореме 2.20,
v(q, E)=\\f(r)\v(dr) = v(E), ч. т. д.
Е
12. Лемма. Пусть (R, 2д, q) является произведением двух про-
пространств с конечными мерами (S, 2s, ц) и (Г, 2т, X), и пусть
мера q множества Ec^R равна нулю. Тогда для почти всех относи-
относительно К точек t мера \х множества E(t) = {s\[s, t]?E] равна нулю.
Доказательство. Ввиду леммы 11 можно предположить, что меры
в рассматриваемых пространствах положительны, однако для этого
случая утверждение леммы было уже установлено в следствии 8,
ч. т. д.
13. Теорема. Пусть (S, 2S, [i) и (Г, 2Т, К) — пространства с конеч-
конечной мерой, а (/?, 2д, q) — их произведение. Пусть, далее, Ж будет

212 Гл. III. Интегрирование и функции множества
В-пространством, a F—^-интегрируемой функцией, отображающей
R в Ж. Тогда для почти всех относительно \л точек s из S функция
F (s, •) ^-интегрируема на Т, а функция \ F(-, t)X(dt) \х-интегри-
т
руема на S. Кроме того,
=[F (r)Q(dr).
R
Доказательство. По лемме 2.18, функция F и(д)-интегрируема,
и, значит, по теореме 9, функция F(s, •) и(Х)-интегрируема для
почти всех относительно и(|л) точек s из S. Отсюда и из леммы 2.18
вытекает, что F(s, •) ^-интегрируема для почти всех относительно
\i точек s из S. Пусть, далее, функции f,gwh определены, как
в доказательстве леммы 11. Тогда, по следствию 10.6,
$ = J F(s, t)h{t)v(K dt).
T T
Пользуясь этим равенством, теоремой 9, леммой 10, леммой 2.18
и теоремой 2.22(а), можно видеть, что функция \ F(-, t)k(dt)
т
(^-интегрируема на 5. Ввиду следствия 10.6, теоремы 9 и леммы 11
мы имеем
s, t)l(dt)} ii(ds)= J { \ F(s,t)g{s)h(t)v(K,dt)}
S T
=.\F(r)f(r)v{Q,dr).
R
Из доказательства леммы 11 видно, что
Q(E)=[f(r)v{Q,dr),
Е
поэтому ввиду следствия 10.6
R R
Таким образом,
^ {[iF{s,t)K(dt)}ii(ds)=\F(r)Q(dr), ч. т. д.
S T R
Следующий результат служит полезным дополнением к теореме
Фубини (теорема 9).

П. Произведение пространств с мерой 213
-> 14. Теорема (Тонелли). Пусть (/?, 2Л> q)=(S, 2s, [а)ХG\ 2т, ty-
произведение двух пространств с положительными а-конечными
нерами, a f—положительная ^-измеримая функция. Тогда для почти
всех относительно \л точек s из S функция /(s, •) Х-измерима. Кроме
того, функция \/(-, t)X(dt) (принимающая значения из рас-
т
ширенной области вещественных чисел) ^-измерима и
[•) \\\ f(s, t)l(dt)} n(ds)= 5 f{r)Q(dr)
ВТ R
независимо от того, конечные или бесконечные значения имеют эти
интегралы.
Доказательство. Пусть {Еп}—возрастающая последовательность
множеств из 2д, такая, что R= [j Еп и q (?n)<oo. Положим /л(г)=
= /(г), если/(r)<>i и rg?n, и /и (г)=0 в противном случае. По теореме
6.10, функция /п Q-измерима, а по теореме 2.22(Ь), она Q-интегриру-
ема. Если \ /(r)Q(dr)<oo, то наше утверждение просто совпадает
с теоремой 9. Таким образом, мы должны только показать, что из.
того, что \ f (r) q (dr) = co, вытекает, что и повторный интеграл в.
к
левой части равенства [*] бесконечен. Но это очевидно, так как, по
теореме 9 и следствию 6.17,
^ f{s,t)k(dt)\
ВТ В Т
= [fn(r)Q(dr)->[ f(r)Q(dr), ч. т. д.
R R
15. Следствие. В предположениях теоремы 14 ^-измеримая век-
векторная функция g, для которой
В Т
Q-интегрируема на R и
g(r)Q{dr)=
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из теорем Тонелли и Фубини и того факта, что Q-измеримая функция
g является Q-интегрируемой, если функция \g(-)\ Q-интегрируема
B.22), ч. т. д.

214 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Из теоремы Тонелли вытекает важное следствие, что в случае
неотрицательной функции, измеримой на произведении двух прост-
пространств с положительными а-конечными мерами, безразлично, инте-
интегрировать ли сначала по первому переменному, а потом по второму
или наоборот. В самом деле, согласно теореме Тонелли, оба эти инте-
интеграла равны интегралу от / по произведению пространств с мерой
(а мы уже видели, что такое произведение коммутативно). Обобщая
это утверждение и пользуясь коммутативностью и ассоциативностью
произведения пространств с мерой, можно сказать, что интеграл от
неотрицательной функции, измеримой на произведении конечного
числа пространств с положительными а-конечными мерами, можно
вычислить путем «повторного» интегрирования по различным прост-
пространствам-множителям в каком угодно порядке. Если либо функция /,
либо мера в одном из пространств-сомножителей не является положи-
положительной, то мы не можем уже утверждать этого, предполагая только,
что/ измерима на произведении пространств. Однако, согласно теоре-
теоремам 9 и 14, предположив, что / интегрируема на произведении прост-
пространств, мы снова сможем вычислять этот интеграл путем «повтор-
«повторного» интегрирования по различным пространствам-множителям
в любом порядке. Таким образом, из теорем Фубини и Тонелли вы-
вытекают, весьма общие результаты об «изменении порядка интегри-
интегрирования».
Отсюда следует, что если /естьфункция, определенная нап-мерном
евклидовом пространстве Е и интегрируемая по гг-мерной
мере Лебега Я, то «кратный» интеграл \ /(s)X(ds) равен «повторному»
к
-f-oo -j-oo
интегралу ^ {•••{§ /(si- ••• , sn) ds^...} dsn.
—oo —со
При этом порядок интегрирования в повторном интеграле несущест-
несуществен. Поэтому как кратный, так и повторный интегралы Лебега
обычно записываются с помощью такого несколько неполного обоз-
обозначения
-f-oo -foo
... dsn.
Соответственно этому, если R является «прямоугольником»
R = {[sv ..., sn] | a± < s1 < bl9 ..., anl^sn < bn}y
то интеграл \ f(s)'k(ds) часто записывается в виде
E
К h
... ^ f(sv ...tsn)ds1 ...dsn.

11. Произведение пространств с мерой 215
Необходимо отметить еще, что точно так же, как и в одномерном
случае, специфическое обозначение n-мерной меры Лебега часто
опускается в обозначении я-мерного интеграла Лебега. Таким обра-
образом, часто там, где это не может вызвать недоразумения,
\f(s)X(ds) обозначается через \/(s)ds, а \ /(s)К(ds) — через
Е Е R
к
Рассмотрим теперь, какая связь существует между теорией про-
произведения мер и теорией интегрирования векторных функций.
В приложении теории интегралов от векторных функций к конкрет-
конкретным вопросам, таким, как отыскание общего вида операторов, отоб-
отображающих одно лебегово пространство в другое (см. гл. VI, § 8),
приходиться сталкиваться со следующей ситуацией. Предположим,
что (S, 2, \i) — пространство с мерой, af — (i-измеримая функция,
значения которой принадлежат Lp(T, 2Т, X), 1 <р < со. Для каж-
каждого s?S обозначим через F(s) класс эквивалентных между собой
функций, любые два элемента которого совпадают почти всюду
относительно X. Если для каждого s выбрать конкретную функцию
f(s, •) ? F (s), то полученная функция /E, /), определенная на про-
пространстве
(R, 2Д, Q) = (S, 2S, (i)xG\ 2T, X),
будет называться представителем функции F. Важно знать, имеет
ли F Q-измеримых представителей и, в том случае, когда F (i-интегри-
руема, справедливо ли равенство \.F(s)|j, (ds) = \/(s, -)\i(ds).
s s
На эти вопросы отвечает доказываемая ниже теорема 17.
16. Лемма Пусть E, 2S, ц) и (Г, 2т, А,) — два пространства
с мерами X и \х, которые либо обе конечны, либо обе положительны
и а-конечны\ (R, 2д, q) — их произведение, а 96 — В -пространство.
(a) Если F есть функция, отображающая S в L5 (Г, 2 т, А,, 96)
и \х-интегрируемая на 5, то найдется такая q-интегрируемая функ-
функция f, отображающая R в 96, что f (s, -)=^ (s) для почти всех отно-
относительно \i точек s из S. Кроме того, \ f ( s, t) \i (ds) существует для
s
почти всех относительно X точек t из Т, и, как функция t, он равен
элементу ^ F(s)\i(ds) пространства LX(T, 2Т, X, X).
s
(b) Пусть 1<р<со, a f — q-измеримая функция, отображаю-
отображающая (R, 2R, q) в 1 и такая, что F(s)=f(s,-), принадлежит
Lp (Т, 2т, К X) для почти всех относительно [i точек s? S. Тогда
функция F, отображающая (S, 2S, \х) в Lp (Т, 2Т, X, 1), ^-измерима.

216 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Доказательство. Для краткости обозначим пространство
LxE, 2S, \xiLl(Ti 1T, А,, Ж)) через Lv По лемме 2.18, существует такая
последовательность {Fn} [г-простых функций из Llt что Fn—>F по
дорме пространства Lx. Каждая из функций Fn постоянна на каж-
ном из попарно непересекающихся множеств ?\1} ,..., Е^п} из 2,
образующих вместе конечное разбиение множества 5. Обозначим
через g\p значение функции Fn на множестве Еп3\ и пусть функции
fn, n=l, 2,... , определены на множестве R равенствами
Из леммы 10 следует, что fn Q-измерима. Кроме того, ясно, что
fn(s> •)==^n(s) Для S6 5* Далее, по теореме 14,
\\fn(r)\v{Q, dr)=\{\\fn{s, t)\v{l, dt)\v(ii, ds) =
= \\fn(s)\v(\i, ds)< oo,
s
и в силу 2.18 fn Q-интегрируема на R. Так как fn{s, -)=Fn(
?S, то, по теореме 9 и лемме 11, мы имеем
m, n->oo ?
Ft
= lim \f\\fn(s, t)-fm(s, t)\v(K, d
m, n->oo g ^^
= lim \\Fn(s)-Fm(s)\v'K[i, ds)= lim
Таким образом, ввиду теоремы 6.6 существует такая Q-интегри-
руемая функция /, отображающая R в Ж, что
lim \\fn(r)-f(r)\v(Q9dr) = 0.
Пользуясь теоремой 9, леммой 11 и леммой 2.18, убеждаемся, что
функция G(s)=f(s)-) принадлежит L1 и что

//. Произведение пространств с мерой 217
Так как Fn—^F в Ъ1% то \F—G\=0, следовательно, в силу F.8) F(s) =
=.G(s)=f(sy •) для почти всех относительно ц точек s из S. Тем
самым первое утверждение пункта (а) доказано.
Так как функция / Q-интегрируема на R, то, согласно теоремам
9 и 13, для почти всех / из Т функция /(•, t) ji-интегрируема на S,
а функция \ f(s, t)\i(ds) Х-интегрируема на Т, что доказывает вто-
s
рое утверждение пункта (а).
Чтобы доказать последнее утверждение в (а), мы определим для
каждого Е из 2Т ограниченный линейный оператор UE, отображаю-
отображающий Ьг(Т, 2т, К 36) в 96, равенством
UEg=]g(t)b(dt), gGL^T, 2т, К Ж).
Е
Из теорем 9, 13 и 2.19 (с) вытекает, что
UE\f(st -)vL(ds)=[f[f(s, t)ii(ds)\l(dt) =
= \ f(r)Q(dr)=[{\f{st t)X(dt)}ii{ds).=
(s) (x (ds) = иЕ\р(8Iх (ds).
= \
Последнее утверждение пункта (а) вытекает тем самым из леммы 6.8.
Утверждение (Ь) достаточно доказать при дополнительном пред-
предположении, что и (|я, 5) и v(k, T) конечны. Так как функция /
Q-измерима, то существует последовательность {/п} Q-измеримых про-
простых функций, сходящаяся к / по мере Q. В силу леммы 8.3 и заме-
замечания перед теоремой 2 можно предположить, что каждое fn являет-
является конечной линейной комбинацией характеристических функций
множеств вида АхВ, гдеЛб2$, В?2Т. Кроме того, можно
считать, что | fn (s, /) | < | / (s, t) \ почти всюду относительно Q, и ввиду
6.13(а) можно предполагать, что {fn} сходится к / почти всюду отно-
относительно Q. Положим Fn(s)=f (s,•), s?S, так что каждое /убудет
простой функцией, отображающей (S, 2S> \i) в L^(T> 2т, К Щ-
По следствию 8 или лемме 12 мы заключаем, что последовательность
{fn.(s> 0} Для почти всех относительно \i точек s?S сходится
к f(s, t) почти всюду относительно X на Т. Из теоремы Лебега F.16)
вытекает, что последовательность {Fn(s)\ для почти всех s?S
сходится к F(s) по норме пространства Lp(T, 2т, К Ж); (i-измери-
мость F вытекает теперь из следствия 6.14, ч.т.д.
В следующей теореме через ^(Т, 2Т, X, 1) обозначено простран-
пространство всех 1-измеримых, существенно ограниченных функций, отобра-

218 Гл. III. Интегрирование и функции множества
жающих Т в Ж. Нормой такой функции является ее существенная
верхняя грань (см. определение 1.11).
17. Теорема. Пусть (S, 2S, \л) и (Т, 2т, X) — два пространства
с мерами X и \i, которые либо обе конечны, либо обе положительны
и о-конечны, и пусть (R, 2д, q) — их произведение. Предположим,
что 1<р<оо, и пусть ^-интегрируемая функция F отобража-
отображает S в Lp(T, 2Т, X, Ж), г де X есть вещественное или комплексное
В-пространство. Тогда существует такая q-измеримая функция /,
отображающая R в X и однозначно определенная всюду, кроме то-
точек некоторого нуль-множества относительно q, что f(s,-) = F(s)
для почти всех относительно ц точек s?S. Кроме того, функция
/(• ,f) \1-интегрируема на'S для почти всех относительно X точек t
и интеграл \ f (s, t)\i(ds), как функция от t, равен элементу
s
\ F(s)\i(ds) пространства Lp (Т, 2Т , X, 96).
s
Доказательство. Пусть Т разбито на последовательность {Еп}
попарно непересекающихся множеств конечной меры-Х. Для 1 <
<р < оо положим Lp=Lp(T, 2Т, X, Ж) и определим отображения Un,
л=1, 2, ... пространства Lp в Lx равенствами (Ung) (t)=g(t) Хеп@,
где %еп — характеристическая функция множества Еп. В силу не-
авенства Гёльдера C.2)
где l/p+l/q=l и, значит, Un есть непрерывное линейное отображе-
отображение ЬрвЬ1. По теореме 2.19(с), функция /гп(-) = ^п^г(*) является
\х- интегрируемой функцией, отображающей 5 в Lv Применив лемму
16 (а) к Fn, мы получим Q-интегрируемую функцию fn, отображаю-
отображающую R в & и такую, что fn(s, -)=Fn(s) для каждого s из 5—Nn, где
jVn — некоторое нуль-множество относительно \i. Кроме того, для
почти всех относительно X точек t функция fn(-, t) (я-интегрируема
на S и \ fn (s, t) \i (ds) как функция t определяет тот же элемент
s
из Lx, что и \ Fn (s) [i( ds). Функцию/ ,отображающую R в Ж, опреде-
s
.лим теперь равенством f(s, t) — fn(s, t), если t?En. По теореме
6.10, / есть Q-измеримая функция, отображающая R в X. Так как
^() @ ^( б^п» то ясно, что для каждого s, не при-
оо
надлежащего нуль-множеству (J Nn, равенство f (s, t) = F (s) (t)
имеет место для почти всех относительно X точек /из Г. Таким
образом, f(s,-)=F(s) для почти всех относительно \i точек s?S.
Так как функция /п( •, t) [х-интегрируема на 5 для почти всех относи-

11. Произведение пространств с мерой 219
тельно К точек /, то это же самое справедливо и для /(•, t). Интеграл
\ fn(s, t) [i (ds) как функция t определяет в Lx тот же элемент, что и
s
^ Fn (s) ix (ds) = ^ UnF (s) yi (ds) = Un \ F (s) \i (ds).
s s s
Так как
) = -[[> {F(
s
TO
[ fn (s, /) |x (ds) = { ^ (s
S
и, таким образом,
S
для почти всех относительно X точек / из Г.
Для того чтобы завершить доказательство теоремы, остается
только показать, что функция / однозначно определена с точностью
до некоторого нуль-множества относительно q. Для того чтобы до-
доказать эту единственность, достаточно, очевидно, показать, что
Q-измеримая функция /г, отображающая R в 96, для которой ft(s, •)
эквивалентно нулю относительно А, для почти всех относитель-
относительно \i точек s, должна быть эквивалентной нулю относительно Q.
Если h есть такая функция, то, по теореме Тонелли A4),
\ \h(r)\v(Q,dr)= \f\\h(s, t)\v(K dt)\v(\iy ds) = 0,
R S T J
так что ввиду леммы 6.8 h(r)=0 для почти всех относительно q
точек г б R, ч. т. д.
Произведения с бесконечным числом множителей. Теперь мы об-
обобщим теорию меры в произведении пространств на произведение
бесконечного множества (Sa, 2a, fia), ccgЛ, пространств с мерами.
Мы построим пространство с мерой E, S, ji), называемое произве-
произведением пространств с мерами (Sa, Sa, |ia), обозначаемое через
и обладающее следующими свойствами: 5 есть прямое произведе-
произведение [| Sa] 2 является a-алгеброй, порождаемой всеми подмноже-
ствами 5, имеющими вид Е= [] Еа> где'?"а6 2а и ?а=5а, за исклю-
е-л

220 Гл. III. Интегрирование и функции множества
чением конечного числа a, a \i есть мера на 2, такая, что
где множество Е имеет только что указанный вид.
Для того чтобы избежать трудностей, которые могут возникнуть
из-за наличия бесконечных произведений, таких, как [] \ia(Ea),
at A
полезно сделать предположение, что для всех а, кроме конечного
их числа, \ха неотрицательна и ^a(Sa)=l. При этом произведение
[] \ia(Ea) для введенных выше множеств типа [] Еа будет иметь
?А ?А
смысл, так как Ea=Sa и, следовательно, ^«(ScO^l для всех а,
кроме конечного числа. Мы ограничимся даже случаем, когда
для всех а \ха неотрицательна и \ia(S )=1. При этом из-за от-
отказа от возможности включения конечного числа множителей,
для которых \ха не обязательно положительна, а |iaEa) необя-
необязательно равно единице, не произойдет никакой потери общно-
общности. В самом деле, мы можем применить теорию, изложенную в
первой части этого параграфа, к конечному числу «иррегулярных»
множителей и теорию, излагаемую ниже,— для бесконечного числа
регулярных множителей, а затем, используя только теорию, изло-
изложенную в первой части этого параграфа, образовать произведение
двух полученных пространств.
В оставшейся части этого параграфа через А будет обозначаться
произвольное множество индексов а, через 5 — произведение [] Sa-
а* л
Если BczAt то через SB будет обозначаться произведение JJ Sa,
с^ в
так что S=Sa- Через я будет обозначаться произвольное конечное
подмножество множества Л, а через я' —дополнение А—я мно-
множества я в Л. Обозначение %п будет использоваться для совокуп-
совокупности множеств из Sni имеющих вид J Т Еа, где Еа б 2а, а 2Я —
af л
для алгебры множеств, порожденной в SK совокупностью %п. Заме-
Заметим, что если множество я состоит из единственного элемента
-а, то алгебра 2Я совпадает с a-алгеброй 2а. Элементарным мно-
множеством из 5 называется множество, имеющее вид П Еау где ?"aG 2a,
и С А
причем для всех а, кроме конечного числа, ?а=5а. Можно сказать
еще, что элементарное множество в 5 —это множество, имеющее
вид Sn'XEn для некоторого я и некоторого Ея из Шп- Совокуп-
Совокупность всех элементарных множеств из 5 будет обозначаться через %%
а алгебра множеств, порожденная в S совокупностью Щ, — через 21#
Буквой 2 будет обозначаться a-алгебра множеств из S, порожден-
порожденная алгеброй 2,. Совокупность всех множеств из 5, имеющих вид
5? гДе ?яб2я, будет обозначаться через 2Л.

//. Произведение пространств с мерой 221
18. Лемма Для каждого я 2я является алгеброй подмножеств
из S и 2хи2л
Доказательство. Из тождеств
(SK> х ?*)U№i- x Fn) = s^ x (?я и ^)
и
(Sn> X ?„)' - S* X ?я
вытекает, что 2я является алгеброй. Из определения алгебры 2j
ясно, что 2, содержит все алгебры 2Л. С другой стороны, так как
2*i<~ I"*, если ях^я2, то сумма (J^* является алгеброй. Следова-
я
тельно, Si^fj^11, ч. т. д.
я
19. Лемма. Пусть (Sa, 2a, |ia) ^ля каждого a б Л является про-
пространством с положительной мерой и \ха (Sa)= 1. Гог<3а существует
и притом только одна аддитивная функция множества ц, опреде-
определенная на И1 и такая, что
at A
каждого элементарного множества \\ Еа из S.
A
Доказательство. Сначала мы докажем единственность ja. Пусть
X — другая аддитивная функция множества, определенная на 22
и имеющая те же самые значения на элементарных множествах.
Для каждого я обозначим через [1Я и Яя функции множества, опре-
определенные на 2Я формулами
Тогда
и, значит, по лемме 1, Ц?) = [х(?) для каждого ? из 2Я. Это означа-
означает, что Х(?)=|х(?) для каждого Е из 2Л. Таким образом, по
лемме 18, Х(Е) = \х(Е) для каждого Е из 21э т. е. \i единственна.
Это доказательство единственности подсказывает, как можно дока-
доказать и существование \i. Для каждого конечного множества я из
А существует, по лемме 1, единственная аддитивная функция мно-
множества ^ определенная на 2Я и такая, что

222 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Функцию \in определим на 2я равенством
Заметим, что если л^сгл;, то
ах П
[] V(a)} II Щ («) | ( [I « X
а?я—Я
откуда видно, что \1Я1(Е) = \1Я(Е) для каждого множества Е, имею-
имеющего вид ExSn" гАе ?^Яг Из приведенного выше доказатель-
доказательства единственности вытекает, что \iKi (Е) = (Iя (?") для каждого Е
из 2я. Таким образом, если я2 и л2 —произвольные конечные
множества из А и Е 6 2Я1 П 2Я2, то
откуда ввиду леммы 18 получаем, что функция
(!«(?), ?6 2я,
однозначно определена на алгебре 2Г Для того чтобы убедиться,
что \i аддитивна на 21? предположим, что Е1 и Е2 — непересекаю-
непересекающиеся множества из 2Х. По лемме 18, в А найдутся такие конечные
множества jt17 я2, что ?1б2Я1, ?26 2Яз. Таким образом, если
л; = я1 [J я2, то Ev E2 6 2я и, значит, в 2Я найдутся такие непере-
непересекающиеся множества А19 А2, что
Е1 = А1х Sn>, Е2 = А2 х S^
и
,1 (?х U ?2) = |i ((^i U ^2) X S«0 = ^я (Л, U Л2) =
= ^ (/IJ + ^ (i42) - fx (?x) + jx (?2),
чем и доказана аддитивность ji на 2г, ч. т. д.
20. Теорема. Пусть (Sa, Sa, fxa) Eля каждого а из А является
пространством с положительной конечной мерой и ^a(Sa) = l.
Тогда существует и притом только одна счетно аддитивная функ-
функция множества \х, определенная на а-алгебре, порожденной в S
элементарными множествами, и обладающая тем свойством, что
для каждого элементарного множества JJ Еа из S.
ас А

11. Произведение пространств с мерой 223
Доказательство. Обозначим через \х определенную на Хг функ-
функцию множества, существование которой доказано в лемме 19. Если
нам удастся показать, что \i счетно аддитивна на 23, то следствие
5.9 будет гарантировать нам существование единственного продол-
продолжения \i на 2, обладающего требуемыми свойствами. Рассмотрим
последовательность {Ег} попарно непересекающихся множеств
оо
из 21э сумма которых также принадлежит 2Г Пусть Fn = (J ?.;
i=n-fl
CO
тогда f| Fn пусто, и надо показать, что lim \i (Fn) = 0. По лемме 18,
П=1 П-+ОО
существует последовательность {яп} конечных подмножеств мно-
множества Л, для которых Fn?l>nnt n>\. Так как Еяс:2я, если
лег я, то можно предположить, что япсяв+1, Таким образом,
в А имеется такая последовательность {aj, что лп = {а1, :..
. .., akn). Для каждого п обозначим через \inn функцию множества,
определенную на 2Я7г формулой
[*яп (Еп) = ^ (?п X S,tn), En 6 2Яп-
Так как /7ng2JTrl, то в 2Яп найдется такое множество ?п, что
Fn = Enx S^. Но тогда, по теореме Фубини,
A) П
Так как {Fn} — убывающая последовательность, то такой же
будет и (и-С^п)}. Мы применим способ доказательства oi против-
противного, предположив, 4Toji(Fn) > 6>0 для всех п=1, 2, .... По теореме
Фубини, повторный интеграл
Sa2
определен для почти всех относительно \iai точек sai из Sai. Так как
fx (Fn) = ^ /n(sai)jiai(dsai) не сходится к нулю и так как 0<
Set!
</n(sai)<l> то, по теореме Лебега F.16), в Sttl существует такая
точка Saj, в которой fn{sa) определено для всех п и для которой
последовательность {^(s^)} не сходится к нулю. Таким образом,
последовательность
W ' • '
%Е

224 Гл. III. Интегрирование и функции множества
определена, но не сходится к нулю. Если теперь к последователь-
последовательности B) применить те же соображения, которые мы применили
только что к последовательности A), то мы докажем существование
в множестве 5^ такой точки Sa2, для которой интеграл
определен при всех я, но не стремится к нулю, если п стремится
к бесконечности. Продолжая это рассуждение по индукции, мы
найдем такую последовательность {sa.}, sa. ? Sa., i= 1, 2, .. .,
что для каждого п и каждого т < kn интеграл
C)
существует и не стремится к нулю при п~> оо. Если применить это
утверждение при m=kj+l, то, как видно из C), для некоторого
п > / число
отлично от нуля при некотором выборе sak ,p ..., sak . Таким
образом, для некоторого tj^S^ точка s^ X . .. X Sak X tj при-
принадлежит Fn. Так как F^c^Fj, то мы имеем
D) s° х X 5° XtfF-
Так как Т7^ б 2я*, то оно имеет вид F ¦ = ?;. х 5Я. и поэтому включе-
оо
ние D) справедливо для всех t} из Sn'.. Положим теперь Яоо= (J яп,
и пусть Sa при a (Jj Яоо выбрано из Sa произвольно. Тогда
Г\ s° СЕ /- 1 2
но это противоречит тому, что пересечение всех множеств Fjt j =
= 1, 2, .. ., пусто, ч. т. д.
21. Определение. Пространство с мерой, построенное в теоре-
теореме 20, называется произведением пространств с мерами (Sa, 2a, M-a)
и обозначается
(S, 2, II) = ]7(Sa, 2a, Ha).
A

11. Произведение пространств с мерой 225
Точно так же, как и в случае конечных произведений, операция
образования произведения бесконечного множества пространств
с мерами ассоциативна. Точная формулировка этого свойства содер-
содержится в следующей лемме.
22. Лемма. Пусть (Sa, 2a, \ia) для каждого а из множества А
является пространством с положительной мерой, для которого
M-a (So) = 1 • Пусть А разбито на попарно непересекающиеся подмно-
подмножества Лр, где Р принадлежит некоторому множеству В. Тогда
П (Sa, Sa, Ца) = П П (Sa, 2<*, Ца).
а?А РЕВ ?Л
Доказательство. Предположив, что множества В и Л не пересе-
пересекаются, мы можем определить пространства с мерой
(S3,SP> |ХЭ)= П (Sa, Sa, Цо).
А
(Slf Slt Ы
2,
В этих обозначениях мы должны показать, что (S, 2, \х) =
= (SX, Sj, (ij). Ясно, что S = SX. Если Ро 6 В, то совокупность 2**а
всех множеств вида Е$о х [j Sp, где ?^6 5^, будет, как легко
ЭЭ2
видеть, a-алгеброй, порожденной множествами вида [] Еа, где
а?А
?ag2a и Ea = Sa, за исключением конечного числа элементов
из Лр0. Следовательно, 2Эос: 2 для каждого ро б В. Так как 2Х естьг
очевидно, a-алгебра, порожденная всеми семействами 2Ро, где
Р0€В,то 2Х^ 2. С другой стороны, если а0 — произвольный эле-
элемент из Л, то а0 принадлежит некоторому множеству ЛРо. Тогда
каждое множество вида Еа х \] Sa, где ?ao g 2ао, принадлежит 0
0 ^
и, следовательно, принадлежит 2Г Так как совокупность всех этих
множеств порождает а-алгебру 2, то Sc ^и, следовательно,
Пусть, далее, я будет конечным подмножеством А, а т — конечное
подмножество В, такое, что (J ЛрЗя. Тогда
зет
МПЯаХ П 5а) = |Х1(П( П ?*Х П Sa) X [] Sp) =
= ПЦг( П ?*Х П Sa)=f] П l*«(^«)=I
0?т а?А^л а?Ар-л Р?та?ЛрЛ а
15 Заказ 1324

226 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Таким образом, из доказанной в теореме 20 единственности [х выте-
вытекает, что \i = \iv ч. т. д.
23. Лемма. Пусть (S1, 21? \хЛ) и E2, 22, щ>) — два пространства
с положительной мерой, причем |ij E1)^fx2E2)= I, a (S, 2, \i) —
их произведение. Пусть для каждого f из L1(S, 2, |i, Ж), где Ж есть
некоторое В-пространство, Tf означает функцию, определенную
на S формулой
(Tf)(sv sj=
Тогда если f ? Lp(S, 2, \i, Ж), где 1<р<оо, то функция Tf
также принадлежит Lp(S, 2, [х, X) и
Доказательство. Из неравенства Гёльдера C.2) вытекает, что
Lp (S, 2, jx, 9?) содержится в Lj(S, 2, |i, Э?), и, следовательно, ввиду
теоремы Фубини (9) и леммы 10 функция Tf определена почти всюду
относительно \i и ji-измерима. Применяя теорему 14 и еще раз исполь-
используя неравенство Гёльдера, мы будем иметь
Si S2
S2 Si S2
s2
24. Теорема (теорема Фубини — Йессенао сходимости по норме).
Пусть (S, 2,|i) является произведением пространств (Sa, 2a, \ia),
а?А, с положительной мерой, таких, что fxa(Sa)=l. Пусть
конечные множества я из А упорядочены по включению. Тогда для
произвольной функции f из Lp(S, 2, \i, 36), где 1<р<оо,
функции /я/, отображающие S в В-пространство Ж и определяе-
определяемые равенством
X 5я0 = ^ / (Sjt X
сходятся в смысле § 1.7 яо яоржв пространства Lp(S, 2, jx, 36)
л: постоянной, значение которой в каждой точке множества S равно
интегралу

11. Произведение пространств с мерой 227
а функции /я, определенные на S формулой
/я (S* X 5я') = J f EЛ X ЯЯ') |1Я' (ds^),
сходятся по норме пространства Lp(S, Ъ, \i, Ж) к функции /.
Доказательство. Согласно лемме 23 и теореме II. 1.18, достаточно
ограничиться рассмотрением функций/, принадлежащих некоторому
фундаментальному множеству пространства Lp(S, 2, jx, 36). Так
как 2 является а-алгеброй, порожденной множествами Е^Х [j
а^а0
где ?ао g 2^, то, по лемме 8.3, в Lp(S, 2, \i, Ж) всюду плотно
Lp(S, 2г, |i, Ж), где 2Х—алгебра, порожденная этими множест-
множествами. Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением
характеристической функции некоторого множества из 2Х. По
лемме 18, 21=(J2:n:, так что каждое множество Е из 2Х имеет
вид E=FxSn^ для некоторого конечного множества я0 и неко-
некоторого F из 2Ло. Пусть f=x? и п 5 яо- Тогда, так как f(s) =
не зависит от Sjf, мы имеем
X S^) ^л (ds«) = J / E
/я E)= ^ XE(s*XSrtO^'(ds*'H/(s). ч' т- А
25. Следствие. В предположениях теоремы 24 для каждой функ-
функции f из некоторого всюду плотного подмножества L1(Sf 2, \х)
существует такое конечное множество Jt0 g A,
/л' = ^ / (S) И- (^S)' /я = Л Я =? JT0S
S
Теперь мы докажем теорему, аналогичную предыдущей, заменив
используемую в этой теореме сходимость по норме сходимостью почти
всюду. Для этого нам понадобится следующая лемма.
26. Лемма. Пусть E, 2, \i) является произведением пространств
с положительными мерами En, 2n, \in), я= 1, 2, .. ., таких, что
Рп EJ = 1 • Положим яп = {1, ..., я}, и пусть для f^Lx E, 2, \i, Ж)
и s?S функция gn (s) будет равна либо
15*

228 Гл. III. Интегрирование и функции множества
либо
$ f(snnxsaii)\inn{dsnn) .
Для 6 > 0 положим
A6 = {s\ sup gn{s)>6).
l^n<oo
Тогда
Доказательство. Так как все меры положительны, то норма инте-
интеграла не превосходит интеграла от нормы. Поэтому если / заме-
заменить на | / (•) |, то множество Л б не уменьшится, и мы можем и будем
предполагать, что функция / вещественная и положительная.
Пусть Во — пустое множество, а
Bk = {s\ sup gn(s)>S}, Ck = Bh-[)Bni /i=l,2f....
l^Ti^fe 71=1
Тогда последовательность {Ck} будет состоять из попарно непере-
непересекающихся множеств с суммой Л$. Предположим теперь для
определенности, что gn(s) имеет первое из двух возможных значений,
упомянутых в формулировке леммы. Тогда функция gn (s) не зависит
от Sjt' и это же, следовательно, верно и для характеристической
функции множества Сп. Таким образом, по теореме Фубини,
W(s)n(ds)= \{\хСя Dх
:c.(s% x s>)gk{sn. x s>) vn. (ds*.),
S4
и так как; это выражение не зависит от sn*, то
г* с *
f (S} LI (ds\ ==: \ "I \ Y (Srr X S ' ^ ?T f Sit У S '
Суммируя по k, получим

)/. Произведение пространств с мерой 229
Аналогичное доказательство можно провести и при другом выборе
gn(s), ч. т. д.
27. Теорема (теорема Фубини — Йессена о поточечной сходимости).
Пусть E, 2, (i) является произведением пространств с положи-
тельной мерой (Sn, 2a, \i ), п= 1, 2, .. ., m^/cwx, что \in(Sn)= 1.
Пусть лп= {I, .., я}; для f^L1(S, 2, jx, Ж) и sgS положим
Ы'п (*) = /я; EЛп X sK) - ^ / EЯп х sn;%) \inn
Гог<5а
Нт/Яn(s) = f(s)
П
почти всех s из S.
Доказательство. Для заданного 8 > 0 'мы можем ввиду след-
следствия 25 написать f~g + h, где | А | < е и где #я = g для всех доста-
достаточно больших п. Если r(s) определено равенством
r(s) = lim sup \fnn(s)-fnm(s)l
q-+co m,n^ q
TO
r(s) = lim sup | Ая (s) —Ад (s) I < 2 sup |*АЛ (s)|.
Таким образом, по лемме 26,
fx({s|r(s)>26})<|A|/6<e/6.
Ввиду произвольности 8>0 мы имеем fx({s|r(s) > 26}) = 0, а ввиду
произвольности 6 > 0 отсюда вытекает, что г (s) = 0 почти всюду
на 5. Это означает, что предел /* (s) = Пт/Я (s) существует почти
п п
всюду на 5. По теореме Фату F.19) и теореме Фубини —Йессена
о сходимости по норме B4) получаем
n
S " S
и, следовательно, F.8) /*(s) = /(s) почти всюду. Другое утвержде-
утверждение теоремы может быть доказано аналогично, ч. т. д.

230 Гл. III. Интегрирование и функции множества
12. Дифференцирование
В этом параграфе мы докажем несколько основных теорем
из лебеговской теории дифференцирования функций множества
в евклидовых пространствах и несколько классических теорем
типа
f(s) = Mm \ Kn(s, t)f(t)dt,
—оо
где {Кп} есть соответствующая последовательность ядер, а сходи-
сходимость понимается как сходимость почти всюду. Первая из этих тео-
теорем, теорема Витали о покрытии, является основным инструментом
для построения теории дифференцирования.
1. Лемма. Пусть S — бикомпактное метрическое пространство
и А — произвольное подмножество S. Предположим, что семей-
семейство $р замкнутых подмножеств S обладает тем свойством, что
для каждой точки s? S в f найдется содержащее s множество F
произвольно малого положительного диаметра 6(F). Тогда в $jp
имеется такое конечное или счетное семейство {Fn} непересекаю-
непересекающихся множеству что A(~_[}Fn, если это семейство конечно, и
и U S(Fh,36(Fh))
для каждого п, если оно счетно.
Доказательство. Прежде всего мы определим семейство {Fn}.
Пусть F± выбрано произвольно. Предположим, что множества
Fx, ... , Fk уже выбраны. Если Ac^Fj (J ... (J Fk, то лемма доказана.
В противном случае, пусть e^sup б (F), где F пробегает все множе-
множества F из j^\ удовлетворяющие условию
S(F,
k
Так как 5 — метрическое пространство и (J Fi замкнуто, то ясно,
что это семейство непусто и что гк > 0. Обозначим через Fk+1 про-
произвольное множество из f> Для которого S(Fk+1, б (/fe+1)) F~0,
i=l,...,k, и &(Fk+1) > -^. Таким образом, семейство {Fn} мы
определили по индукции.
Предположим, что включение [*] не выполняется для некоторого
натурального п > 1. Пусть
оо
РбЛ-I^U ... U Л, U U S(Fk,36(Fh))\;
fe=n+l

12. Дифференцирование 231
рассмотрим такое содержащее р фиксированное множество F g j^\
для которого
6(F)>0 и S(F, 6(F))Fi = 0, /=1, ..., п.
Если нам удастся показать, что S(F, 6(F))Fh=/= 0 для некоторого
k > /г, то это приведет нас к желаемому противоречию. Действитель-
Действительно, пусть k0 будет наименьшим из тех k > я, для которых
fe=?0. Тогда 8(F)<efto_b так что б (F,o) > — ^ .
Так как k0 > п по предположению, то р (? S (Fk0, 38 (Fk0)). Если
<7€S(F, 6(f))F,0,TO
е(р, 9)<26(F)<36(F,0)-
Отсюда вытекает, что р б 5 (q, 36 (Т7^)) с S (Fft|), 36 (Z7^)), и мы при-
пришли к противоречию.
Таким образом, для того чтобы доказать, что включение [* ] спра-
справедливо для каждого п > 1, остается доказать, что при сделанных
выше предположениях S (F, 6 (F)) Fk Ф 0 для некоторого k > п.
Если это не так, то рассматриваемое пересечение пусто для каж-
каждого k и по построению последовательности {Fn} 6 (F) < гк для каж-
каждого k. Отсюда вытекает, что 6 (Fk) > 26 (F)/3 > 0 для всех k > 1.
Рассмотрим произвольную последовательность {pk} точек из S
таких, что pk 6 Fk. При i < / S^-, b(Fj))Fi= 0. Так как
то Q(Pi» Pj) > 26 (F)/3. Поэтому ясно, что последовательность
{pk} не содержит сходящейся подпоследовательности. Это противо-
противоречит бикомпактности S. Следовательно, для некоторого k > п
S (F, 6 (F))Fk=?0, и включение [* ] справедливо для каждого п > 1.
Наконец, так как
fill ••• U^U U S(fk, Зв(^))с^и U S(Fk, 36(Fft))
ft=n-fl fe=2
для каждого я, то включение [*] справедливо для всех я, ч. т. д.
2. Определение. Пусть \х — конечная положительная мера,
определенная на а-алгебре борелевских множеств бикомпактного
метрического пространства 5. Говорят, что множество А с~ S
покрыто в смысле Витали семейством JT замкнутых множеств, если
каждое F g q? имеет положительную меру \х и существует такое
положительное число а, что каждая точка множества А содержится
в множествах F g jp произвольно малого положительного диа-
метра, для которых -—v <a.
^1 \Г)

232 Гл. III. Интегрирование и функции множества
3. Теорема (теорема Витали о покрытии). Пусть \i — конеч-
конечная положительная мера, определенная на борелевских множествах
бикомпактного метрического пространства S. Если семейство р
замкнутых множеств покрывает множество А с~ S в смысле Витали,
то найдется такая последовательность непересекающихся мно-
оо
жесте {Fn} с: jr9 что А — (J Fn имеет меру нуль.
п=1
Доказательство. По лемме 1, существует такая последователь-
последовательность {Fn} непересекающихся множеств из у, что для каждого п
- (J Fkc: U S(Fhi 36 (Fk)). Далее,
ki k+l
S{Fk,M(Fh))< |
fe+
oo
при n —> оо, так как 2 Iх {Fk) < [x (S) < оо. Поэтому для каждого е.
найдется такое /г8, что
Л- U ^g^- U Fka U S(fk, 36(ffe))
fel ftl ft+l
и (x( U 5(/7fe, 36(/7ft)))<e. Следовательно, A— ]J Fn имеет
k=7lg + l П=1
меру нуль, ч. т. д.
4. Определение. Пусть X — векторная функция множества,,
определенная на всех замкнутых кубах, содержащихся в некотором
открытом множестве G вещественного n-мерного евклидова про-
пространства ?п, и пусть \i — лебеговская мера в Еп. Функция X на-
называется дифференцируемой в точке р множества G, если существу-
существует предел
где С есть замкнутый куб, содержащий точку р. Функция -г- назы-
называется производной функции X.
Ниже, в теореме 6, показано, что терминология и обозначение,,
введенные в последнем определении, совпадают с теми, что были
введены в замечании, следующем за теоремой 10.7.
5. Лемма. ПустьX— конечная положительная мера, определен-
определенная на борелевских подмножестеах замыкания ограниченного откры-

12. Дифференцирование 233
того множества G вещественного евклидова п-мерного простран-
пространства Еп, « 0<г<оо.
(а). Если для каждого р из множества А ?2 G
та №<-
где С — замкнутый куб, содержащий р, то каждая окрестность
множества А содержит такое открытое множество Q, что А — Q
есть нуль-множество и X (Q) < r\i (Q).
(b) Если для каждого р из множества Л с: G
то каждая окрестность множества А содержит такое борелевское
множество В, что А — В есть нуль-множество и X (В) > r\i (В).
Доказательство. Чтобы доказать утверждение (а), рассмотрим
произвольное открытое множество U, такое, что Ac^U <~_G,
и пусть f — семейство всех замкнутых кубов С, содержащихся
в U и удовлетворяющих условию X (С) <ф(С). Так как для каж-
каждого куба С |^(S(C, 36(C)))<Fl/n+l)njx(C), то семейство Г
покрывает А в смысле Витали. Поэтому ввиду теоремы 3 существует
такая последовательность замкнутых кубов {Ch} с: ^, что
оо
А— U Ck является нуль-множеством. Для каждого k обозначим через
Dk внутренность Ck. Так как поверхность куба имеет нулевую мерyv
оо
то А — U Dk есть нуль-множество и X(Dk) < r\i (Dh). Если
оо
Q= (J Dki то Q открыто, Q^U, A — Q есть нуль-множество и
чем и доказано утверждение (а).
Для того чтобы доказать (Ь), предположим, что U есть про-
произвольное открытое множество, такое, что по-прежнему Л с: (/с: G.
Семейство #\ замкнутых кубов C^U, таких, что Х(С) > r\i(C),
покрывает А в смысле Витали. Пусть {Cfe}C if х — последова-
оо
тельность попарно непересекающихся кубов, для которых Л— (J Ch
оо
является нуль-множеством; положим В = (J Ck. Так как
оо оо
X (В) = _| X (С,) > г % р (С,) = Ф (В),

234 Гл. III. Интегрирование и функции множества
то множество В удовлетворяет требованиям, сформулированным
в (Ь), ч. т. д.
6. Теорема. Пусть X—конечная мера, определенная на боре-
левских подмножествах некоторого открытого множества G веще-
вещественного евклидова п-мерного пространства Еп, и пусть \i — лебе-
говская мера в Еп. Тогда для почти всех относительно \i точек р
из G существует
[*] — Ы= lim
I J л,, \г) 111И
a
где С—произвольный замкнутый куб из G, содержащий точку р.
Кроме того,
(I) — [i-интегрируема;
(II) X (В) = \ — (р) \i (dp) для каждого борелевского подмножества
в Щ
В изй в том и только в том случае, если функция X абсолютно непре-
непрерывна относительно \i.
А1
(III) -г- (р) = 0 почти всюду относительно \i в том и только
в том случае, если функция X относительно |х сингулярна.
Доказательство. Так как G есть сумма счетного числа открытых
кубов, замыкание которых содержится в G, то ясно, что мы можем
ограничиться рассмотрением подмножеств внутренности Ко некото-
некоторого фиксированного куба К- Если разложить X на ее вещественную
и мнимую части, а затем, пользуясь теоремой Хана о разложении
D.10), разложить каждую из этих частей в сумму положительной
и отрицательной мер, то ясно также, что достаточно рассмотреть
только случай положительной X. Мы будем, следовательно, впредь
предполагать, что X положительна.
Прежде всего мы докажем существование предела. Пусть А —
множество точек р из Ко, для которых
где С — замкнутый куб, содержащий точку р. Положим
hm 7[7A>-f->-7r> llm [ЛИГ
n=\
для каждого целого неотрицательного т и натурального п. Допу-
Допустим, что множество А имеет ненулевую меру. Поскольку
оо
Az= U Атт меРа некоторого из множеств Аи тоже не равна
т, п=1

12. Дифференцирование 235
нулю. Если Р= inf \i (В), где В—борелевское множество, то Р >0.
Пусть теперь задано е > 0; используя регулярность |л, можно найти
такое открытое множество ?/, что Ai}c^U с^ Ко и \i(U) < Р+е.
По лемме 5(а), существует такое открытое множество Qcz (У, что
/4i;. — Q есть нуль-множество и
Применяя лемму 5 (Ь) к множеству Л^-Q, мы видим, что существует
такое борелевское множество Bc^_Q, что мера \i множества AtiQ—В
равна нулю, и
Так как A{j с; В (J (^ — Q) U HtjQ — fi), то ц (В) > р. Таким
образом,
что неверно при достаточно малом е. Таким образом, мы показали,
что мера \х множества А равна нулю, откуда вытекает, что предел
[*] существует в К почти всюду относительно \i.
Теперь мы покажем, что функция -г- ji-измерима. Пусть
С°(р, а) и С(р, а) — соответственно открытый и замкнутый кубы
с центром ври стороной длины а. Тогда для каждого а > 0
W есть непрерывная функция р и, значит, функция
Х(С(р,а)) Ит
fi-измерима. Следовательно, и
|л-измерима.
Теперь удобно доказать обратное утверждение (III): если X
относительно \i сингулярна, то -j-(p)=® почти всюду относи-
относительно [х. В самом деле, если X сингулярна, то найдется такое боре-
борелевское множество N нулевой меры \х, что X(G—N)=0. Предпо-
ложим, что мера \i множества D= <р -т- (р) > 0 \ не равна нулю.

236 Гл. III. Интегрирование и финкции множества
Тогда ввиду измеримости функции — существует такое е > О
и такое борелевское подмножество Е множества D — N, что \i (Е) > О
и — (р) > е для р?Е. Так как \i регулярна, то можно предпо-
предположить, что множество Е замкнуто. По лемме 5 (Ь), мера X каждой
окрестности множества Е больше e\i (Е). Так как множество Е совпа-
совпадает с пересечением некоторой последовательности его окрестно-
окрестностей, то X(D) >г\х (D) > 0 вопреки тому факту, что Е содержится
в множестве D — N нулевой меры X. Мы показали, таким образом,
\то \if \р -т- (р) > 0 \ j =0. Так как X неотрицательна, то -р > О
и, следовательно, -т- (/?)=?= О почти всюду относительно \х.
Теперь мы докажем утверждения (I) и (II). Пользуясь результа-
результатом последнего абзаца и разложением X, по теореме 4.14, в сумму
абсолютно непрерывной и сингулярной относительно \х мер, мы
можем, очевидно, не ограничивая этим общности, предположить,
что X абсолютно непрерывна. Тогда, по теореме Радона — Никодима
A0.2), существует такая ^-интегрируемая функция /, что Х(В) =
= \ f (p)\i(dp) для почти всех относительно \i точек р. Если
в
V- ( \Р /.(Р) > -з— (р) г у =^= 0, то найдутся такие положительные
числа сне, что мера \х множества
[p\f{p)> с
= [p
с> ^
не равна нулю, а ввиду регулярности \i найдется такое замкнутое мно-
множество ОгЛ, для которого \i (D) Ф 0. Но тогда X (/))= ^ / (р) \i (dp) >
D
> (с+е) \i (D). Однако, по лемме 5(а), в каждой окрестности множест-
ства D найдется такое множество Q, что X(D)<cX(Q) <c\i(Q). Так
как множество D является пересечением некоторой последователь-
последовательности своих окрестностей, то X(D) <ф (D), т. е.ф (D) > (cJre)\i(D)>
и мы пришли к противоречию. Таким образом, пользуясь
леммой5(а), мы показали, что \i( lp /(p)>-^-(p) I j=0. Аналогично,
пользуясь леммой 5(Ь), можно получить, что и
Остается доказать прямое утверждение (III), т. е. что если
^ (р)=0 почти всюду относительно [г, то X сингулярна. Мы можем
представить X в виде суммы сингулярной относительно \i положи-

12. Дифференцирование 237
тельной меры Хх и абсолютно непрерывной меры Ха. Из определе-
ния производной ясно, что -i~ =~т^'+~д почти всюду относи-
относительно \i. По уже доказанной части утверждения (III), -^ = 0
почти всюду. Таким образом, и -^ = 0 почти всюду. Применяя
утверждение (II) к абсолютно непрерывной относительно \i мере Х2,
мы видим, что
В
для каждого борелевского множества В, ч. т. д.
7. Следствие. Если f есть интегрируемая по Лебегу функция,
определенная на некотором открытом множестве G вещественного
п-мерного евклидова пространства, то
h+h tn+h
1й $
*1 tn
почти всюду в G.
Заметим, что в теореме 6 можно использовать не только семей-
семейства кубов. Для той же цели пригодны и многие другие семейства
замкнутых множеств (например, сфер), покрывающие G в смысле
Витали.
В нижеследующей теореме наши результаты обобщаются на век-
векторные функции.
8. Теорема. Пусть f — векторная функция, определенная на неко-
некотором открытом множестве G вещественного п-мерного евклидова
пространства и интегрируемая по Лебегу, положим а (Е) =
= \ f (p) \л (dp). Тогда
для почти всех р из G, где С—замкнутый куб, содержащий точку р.
В частности,
^(р)= lim zicA
для почтя всех р из G.
Доказательство. По лемме 8.5, существует такое нуль-множе-
нуль-множество No и такое сепарабельное подпространство 3 пространства Ж,

238 Г л, 111, Интегрирование и функции множества
что f (G—jV0)c;3- Пусть {zn} — счетное всюду плотное под-
подмножество 3- По теореме 6, для каждого п=1, 2, ...
д(С)-*0 М- КЧ J
где точка р принадлежит дополнению некоторого нуль-множества Nn.
оо
Множество N= \J Nt имеет меру нуль. Пусть pgG—TV
г=0
и е > 0. Выберем zk так, чтобы \f (p) — zk\ < е. Тогда
Ш
Ввиду произвольности е
Ш \ f №J*(dg) I <гцс) 5 I/(Я)-/(Р)In(d<7)-*0,
с с
если jx(C)—>0 и р— произвольная точка из G— Nt ч. т. д.
9. Определение. Пусть f—векторная функция, определенная
на некотором открытом подмножестве n-мерного евклидова простран-
пространства и интегрируемая по Лебегу. Множество всех точек р, для
которых
называется лебеговским множеством функции /.
Ясно, что лебеговское множество функции / содержит все ее точки
непрерывности.
Предположим, что f есть интегрируемая по Лебегу векторная
функция одного вещественного переменного t, — оо<^< + оо.
Положим
\t\>n\
В силу теоремы 8 (при несколько иных обозначениях)
оо оо
lim С Qn(t-s)f(s)ds = lim \ f(t-s)Qn(s)ds =
n->oo *) n->oo J

12. Дифференцирование 239
для каждого t из лебеговского множества функции /. Ясно, что
выписанные выше интегралы дают среднее значение функции /
в окрестности [ t , t-\— 1 точки t. Эта интерпретация теоремы 8
как теоремы о «среднем значении» допускает значительное обобще-
оо
ние. Рассмотрим функции Q*n(t) = -^{пе-пЧ2). Тогда [ Ql{f)dt=lt
п=1, 2, .... Функции Q* имеют хорошо известный график гауссовой
функции плотности вероятности. При возрастании п «горб» в точке
t = 0 становится выше и уже, так что для каждого е>0
lim \ Q*{t)dt=l. Таким образом, в смысле локального поведения
n->oo J
— 8
функции Q* сильно напоминают функции Qn. Естественно поэтому
поставить вопрос, будет л^ это «взвешенное среднее», образованное
из «функций плотности вероятности» Q*, вести себя так же, как обыч-
обычное среднее, образованное с помощью функций Qn, т. е. будет ли
справедливо аналогичное равенство
сю
у
1 —сю
для точек из лебеговского множества функции /. То, что это действи-
действительно так, вытекает из сформулированной ниже теоремы 10. Дру-
Другими следствиями теоремы 10 являются следующие предельные соот-
соотношения:
+СЮ
Г i2(/ — s)
СХЭ
limn [
каждое из которых справедливо для точек из лебеговского множества
функции f.
Вместо того чтобы непосредственно доказывать теорему 10, мы
рассмотрим ниже, в теореме 11, много более общий вопрос о том,
в каких случаях
lim \ Kn(s, t)f(s)ds =
для лебеговского множества функции /; при этом ядра Kn(s, t)
не обязательно положительны или даже вещественны. Теорема 10

240 Гл. III. Интегрирование и функции множества
следует из теоремы 11, если положить
Kn(s, /) = Qn(/-s).
10. Теорема. Пусть {Qfl} — последовательность неотрицатель-
неотрицательных вещественных функций вещественного переменного t, удовлет-
удовлетворяющих следующим условиям:
(a) функции Qn(t) непрерывны справа, возрастают при
а убывают при ^>0;
(b) lim Qn(t)=O;
(c) lim Qn (t) = 0, если t Ф 0;
п-юо
1
(d) lim \Qn(t)dt=\.
Тогда если f(t) есть интегрируемая по Лебегу функция со значе-
значениями в В-пространстве Ж, то функции Q^ (t — s)f (s) интегрируемы
по s при всех п и t и
+
lim \ Qn(t-s)f{s)ds =
п~+со *J
оо
для каждого t из лебеговского множества функции f.
11. Теорема. Пусть {Кп} и {Rn}— две последовательности опре-
определенных на плоскости скалярных функций, причем Rn вещественны
и | Кп (s, /) | < Rn (s, t). Предположим, что для каждого фиксирован-
фиксированного s выполнены условия:
(a) Rn (s, t) есть убывающая функция t при t> s и возрастающая
функция t при t < s, кроме того, она непрерывна справа;
(b) lim Rn(s, 0=0;
| t |-»-oo
(c) существует такая константа М (s), что
^ Rn(s, t)dt<M(s), /i=lf 2, ...,
s-i
s-fl
(d) lim [ /Cn(s, t)dt=l;
n->oo J
s—1
s1
(e) lim Rn{s, t) =0 для каждой пары (s, f) при s=? t. Тогда если
n-»-oo
функция f, определенная при — оо < s < оо и принимающая зна-
значения из В-пространства И, интегрируема по Лебегу, то
lim \ Kn(s, t)f(t)dt = f(s)
—оо
для каждого s из лебеговского множества функции f.

12. Дифференцирование 241
Доказательство. Так как \Kn(s, t)\^Rn{s, /)</?„ (s> s), то,
по теореме 2.22, функция Kn(s, t) f (t) интегрируема по Лебегу при
любых п и s. Зафиксируем некоторую точку s0 из лебеговского
множества функции f, и пусть g(t) = f(t) — x7 @/Eo)> гДе / =
= [s0 —l,so +1]. Ввиду условия (d), теорема 11 эквивалентна
равенству
lim [ Kn(s0, t)g(t)dt = O.
n->-oo *)
— оо
Достаточно, очевидно, доказать, что
оо
lim [ Rn(s0, t)\g(t)\dt = O.
n->oo •)
—оо
Мы докажем, что
оо
[*] Um\Rn(s0, t)\g(t)\dt = O.
so
Равенство
so
lim \ Rn(s0, t)\g{t)\dt = O
может быть доказано в точности таким же образом. Идея доказа-
доказательства состоит в интегрировании по частям, т. е. в выражении
предела [*] через некоторый интеграл Лебега — Стильтьеса (соот-
(соответствующие определения и обозначения см. в § 5).
t
Полагая G(tf)= \ \g(r)\dr, мы будем иметь, согласно теоремам
10.4 и 6.22,
W W
I**] \Rn{s0,t)\g{t)\dt=G{w)Rn{s0,w-)-\jG{t)dRn{s0, t).
s0 s0
Ввиду условия (b) Rn (s0, w —) —> 0, при ^^оовто время как
so
Следовательно, переходя в равенстве [**] к пределу при w—>oo,
мы получим, что
W оо
lim [ G(/)dRn (so, 0 = - [Rn(So, ^ I g@1 ^-
SO ?)
16 Заказ 1324

242 Гл. 111. Интегрирование и функции множества
Так как функция G неотрицательна и Rn(s0, •) убывает, так что
— Rn(so, *) определяет некоторую неотрицательную меру, то, при-
применяя лемму Фату F.19) к пределу в левой части равенства, мы
оо
найдем, что [ G(t) dRn (s0, /) существует и
so
оо оо
$ G(t)dRn(s0, *)=-$#»(So. t)\g{t)\dt.
so s0
Таким образом, для того чтобы доказать [*], осталось только про-
проверить, что
[***]
lim [G(t)dRn(s0, 0 = 0.
so
Так как точка s0 принадлежит лебеговскому множеству функции /, то
so+h so+h
0 = lim/Г1 ^ \ f(t)-f(so)\dt = lim h-i \ \g(t)\dt =
"*" s0 "*" s0
= lim/r1G(s0 + /z).
Таким образом, для заданного е > 0 можно найти такое б > 0, что
G(so + h) < eft, если 0<ft<6. Тогда, интегрируя по частям (тео-
(теорема 6.22), мы получим
sQ-\-h so+6
^ G(t)dRn(s0, 0<e j (t-So)dRn(so, t) =
so s0
SO
Используя условия (с) и (е), получим, что
lim V G(t)dRn(s0,
n->oo J
С другой стороны, так как lim G(t) < оо, функция G(/) ограничена
/-ОО
некоторой константой L. Таким образом, в силу условия (е)
оо
G(t)dRn(s0, t)<L ^ di?n(s0, t) = LRn(s0, so + 6)->O

13. Упражнения 243
при п—>со. Следовательно,
со
Ш [G{t)dRn(s0, t)<sM{s0).
SO
Ввиду произвольности е, формула [***] доказана.
Часто используется следующий частный случай двух преды-
предыдущих теорем.
12. Следствие. Пусть Q — неотрицательная функция вещест-
вещественного переменного /, — оо < / < оо, обладающая следующими свой-
ствами:
(a) Q возрастает при /<0, убывает при />0 и непрерывна
справа;
(b) lim
М|->со
(с) lim \ Q(s)ds=\.
Если f — функция, определенная при — оо < t < оо и принимаю-
принимающая значения из В-пространства ЗЕ, — интегрируема по Лебегу, то
функция
Q(n(t-s))f(s)
интегрируема при любых п и t и
оо
lim ^ Q(n(t-s))f(s)ds = f(t)
—оо
для каждого t из лебеговского множества функции f.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из теоремы 10, если положить Qn(t) = nQ(nt), ч. т. д.
13. Упражнения
1. Пусть (S, 2, {х) — пространство с конечной мерой; аир —
определенные на 2 ограниченные счетно аддитивные функции.
Предположим, что а абсолютно непрерывна относительно \х, а р
абсолютно непрерывна относительно а. Показать, что р абсолютно
непрерывна относительно и, и что ~- (s) = -,— (sL^- (s) почти
r r r d\x, v ' da ч ' d\i ч '
всюду.
2. Показать, что теорема 10.2 теряет силу без предположения
о сг-конечности (S, 2, \i).
16*

244 Гл. 111. Интегрирование и функции множества
3. Построить ограниченную измеримую по Лебегу функцию /,
t
для которой \ / (s) ds не дифференцируем на заданном множестве
меры нуль.
4. Функция /, производная которой ограничена на конечном
интервале (а, Ь), является функцией ограниченной вариации, и
о о
\g(s)df(s)=^g(s)f'(s)ds,
причем интеграл в лев'ой части равенства существует, и формула
справедлива всякий раз, когда функция gf интегрируема по Лебегу.
5. Пусть h — непрерывная справа функция ограниченной вариа-
вариации на интервале (а, Ь). Пусть g — определенная на (а, Ь) функция»
ь
для которой интеграл Лебега—Стильтьеса /= \g(s)dh(s) суще-
а
ствует. Наконец, пусть/непрерывная возрастающая функция, опре-
определенная на открытом интервале (с, d), и / (с) = а и / (d) = b. Пока-
Показать, что интеграл Лебега — Стильтьеса
d
\g(f(s))dh(f(s))
с
существует и равен /.
6. Показать, что определенная на интервале монотонно возра-
возрастающая функция / дифференцируема почти всюду по мере Лебега
и что /' может быть почти всюду равна нулю, хотя функция / и не
является константой.
7. Пусть E, 2, \х) — произведение регулярных пространств
с мерами Eа, 2а, |аа), а?Л, и пусть на S задана топология,
являющаяся произведением топологий в 5а; показать, что E, 2, \i)
также регулярно.
8. Пусть для каждого натурального п EП, 2П, [хп) — такое
пространство с мерой, у которого Sn есть множество, состоящее
из двух точек 0 и 1, каждая из которых имеет меру у , а 2Д — сово-
совокупность всех подмножеств множества Sn. Положим E, 2, \i) =
= Y\(Sni 2n, [xn) и обозначим через / интервал [0, 1). Определим
п
отображение /—>S следующим образом: пусть
оо
s = 2 §г, е„ = 0, или 1,
П=1

13. Упражнения 245
— двоичное разложение числа s? [0, 1), однозначно определенное
требованием, чтобы еп = 0 для бесчисленного множества значений п;
положим 9(s)=[e1, е2, е3, ...]. Показать, что а-алгебра
{ф(?)|??2} является а-алгеброй борелевских подмножеств/
и что если положить
то X будет мерой Бореля — Лебега.
9. Пусть f— интегрируемая по Лебегу функция, определенная
О+1)/2п
на единичном интервале [0, 1). Положим fn (s) = 2п \ f(s)ds,
n
если -^г<5<-^1 и 0</<2п—1. Показать, что fn(s)->f(s)
почти всюду (Лебег).
10. Пусть / — интегрируемая по Лебегу функция, определенная
2n-i
на единичном интервале [0, 1). Положим fn{s) = 2~n 2 /(^+s )
/=о
(где s-\-t при 5+/>1 понимается как 5+/—1). Показать, что
i
fn (s)"^* \ f(s)ds для почти всех s (Лебег),
о
11. Пусть E, 2, (х) — пространство с сг-конечной положитель-
положительной мерой, a (R, SP, К) — пространство с мерой Бореля — Лебега
на вещественной прямой R. Положим (Slf 2Х, |j,1) = E, 2, [i)X
X(R, Ж, X). Если / —определенная на 5 вещественная функция,
то ее график P(f) = {[s, f(s)] [ s$S} является подмножеством мно-
множества Sl. Показать, что, для того чтобы функция / была |а-измери-
мой, необходимо и достаточно, чтобы мера \хх ее графика равнялась
нулю.
12. Пусть в предположениях упражнения 11, функция f будет
(i-измеримой и неотрицательной. Показать, что
s
13. Пусть {(Sa, 2a, Ца)} — семейство пространств с конеч-
конечными положительными мерами, для каждого из которых |j,a (Sa) = 1.
Положим (S, 2, |j,)=f](sa, 2a, |xa); пусть, далее, ?a6 2a
a
и Е = ]]Еа. Показать, что ?"?2 в том и только в том случае,
a
если Ea = Sa для всех, кроме счетного множества индексов а,
и что в этом случае \х(Е) может быть представлено как абсолютно-
сходящееся бесконечное произведение f]tia(Z:a).

246 Гл. Ill Интегрирование и функции множества
14. Функции комплексного переменного
В некоторых последующих главах, и особенно в главе VII, нам
понадобятся обобщения некоторых хорошо известных результатов
теории аналитических функций комплексного переменного на слу-
случай функций, принимающих векторные значения. При этом будет
предполагаться, что читатель хорошо знаком с элементарной тео-
теорией комплексных аналитических функций одного комплексного
переменного; пользуясь этой теорией, мы и получим сейчас те ее
обобщения, которые нам понадобятся в дальнейшем.
На протяжении этого параграфа через Ж будет обозначаться
комплексное В-пространство.
Определение. Пусть G — открытое множество в пространстве
п комплексных переменных zv .., zn. (Такое множество часто назы-
называют областью.) Определенная на G функция / со значениями в Ж,
называется аналитической на G, если она непрерывна и ее первые
df
частные производные -~- , j = s, .., я, существуют в каждой точке
области G.
Ясно, что если f есть векторная аналитическая функция комплек-
комплексных переменных zv .., zni то x*f для каждого х* ?36* будет ком-
комплексной аналитической функцией от гг, .., zn.
Для построения теории векторных аналитических функций, так
же как для построения теории комплексных аналитических функций,
можно весьма эффективно использовать криволинейные интегралы,
определяемые следующим образом:
Пусть /={/|а<^<6} — интервал вещественной оси и a — оп-
определенная на / комплексная непрерывная функция ограниченной
вариации, тогда а называется параметризацией непрерывной спрям-
спрямляемой кривой С = а(/) в комплексной плоскости. Если а(^) Ф а(/2),
кроме тех случаев, когда tx = ?2 или когда tx и t2 совпадают
с а и 6, то С называется жордановой кривой. Жорданова кривая
С, для которой а(а)=а(Ь), называется замкнутой жордановой
кривой, а жорданова кривая, для которой a (a) Фа(Ь), называется
простой дугой.
Если f есть векторная функция комплексного переменного такая,
что f(a(t)) определена при всех а< ?< Ъ и что интеграл Радона —
ъ
Оильтьеса \ f(a(t))da(t) определен, то мы пишем

14. Функции комплексного переменного 247
и называем \ / (a) da криволинейным интегралом функции / по (или
вдоль) кривой С. Легко видеть, что если сделать непрерывную
и монотонную замену параметра t=t(s) так, чтобы при возрастании
s от ах до bx t возрастало от а до Ь> то мы будем иметь (полагая.
a1(s)=a(t(s))9 что
6l Ь
а\ а
(см. лемму 10.8). В частности, если С есть пробегаемая в определен-
определенном направлении замкнутая жорданова кривая, то \ f (a) da не зави-
с
сит от выбора параметризации на кривой С и, таким образом, как
это и указывает его обозначение, зависит только от множества
точек кривой С.
Основной теоремой в теории комплексных криволинейных инте-
интегралов является интегральная теорема Коти. Мы можем сформули-
сформулировать ее следующим образом. Пусть U — ограниченное открытое
множество в комплексной плоскости, а В — его граница. Предполо-
Предположим, что В состоит из конечного числа попарно непересекающихся
замкнутых спрямляемых жордановых кривых, точнее, мы предпо-
предположим, что В можно представить в виде суммы B=^B1\JB^[j...[j Bk
попарно непересекающихся замкнутых множеств Bjy каждое из кото-
которых есть замкнутая спрямляемая жорданова кривая:
Мы предположим, кроме того, что различные кривые Bj ориентиро-
ориентированы положительно в смысле теории функций комплексного перемен-
переменного, т. е. что если точки области U, близкие к В}, лежат внутри
Bjy то мы будем считать, что Bj пробегается в направлении против
часовой стрелки при изменении / от а} до Ь)У если же точки области
U, близкие к Bj, лежат вне В-, то мы будем считать, что Bj пробе-
пробегается в направлении по часовой стрелке в то время как / изменяется
от а;- до bj. Пусть f — функция, аналитическая в некоторой окрест-
окрестности множества U\JB. По определению, полагаем, что \ f (a) da =
k
= 2 \f(&)da. Тогда интегральная теорема Коши утверждаетf,
что с
^ f{a)da = 0.
в

248 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Справедливость этой теоремы для векторных функций вытекает из
ее справедливости для комплексных функций: по теореме 2.19 (с),
в в
и, таким образом, ввиду следствия Н.3.15 \ /(a)da=0.
Точно так же, как в хорошо известном классическом случае ком-
комплексных функций, интегральная теорема Коши может быть пере-
переформулирована в несколько более общей форме. Для этого рассмо-
рассмотрим компактное множество Л в комплексной плоскости, и пусть
V — некоторая его окрестность. Тогда V содержит некоторую окре-
окрестность U множества Л, ограниченную множеством В, состоящим
из конечного числа замкнутых жордановых кривых. Для того чтобы
убедиться в этом, мы можем разбить комплексную плоскость на до-
достаточно мелкие квадратные ячейки и обозначить через U сумму
всех открытых квадратов полученной сетки, замыкание которых
пересекается с Л, вместе со всеми открытыми сегментами этой сетки,
разделяющими два таких квадрата, и всеми вершинами сетки, при-
принадлежащими четырем таким квадратам. Пусть функция / анали-
тична в V — Л. Тогда вторая форма интегральной теоремы Коши
гласит:
Если жордановы кривые, составляющие В, ориентированы поло-
положительно в смысле теории функций комплексного переменного, то
интеграл \ / (a) da зависит только от функции f и множества А
в
и не зависит от выбора окрестности U множества А.
Иными словами, интегралы \ и \ равны при условии, что кри-
В Вг
вые В и Вх ограничивают области U и Ul9 содержащие одно и то же
множество особых точек функции f. При этом мы называем особой
точкой каждую точку, в которой функция / или не определена или
не аналитична. Это утверждение может быть доказано с помощью
линейных функционалов в точности таким же образом, как оно
доказывается в первой формулировке.
Точно так же, с помощью функционалов доказывается и инте-
интегральная формула Коши:
в
где z есть точка открытого ограниченного множества (У, граница В
которого состоит из конечного числа замкнутых спрямляемых жор-
жордановых кривых, ориентированных положительно в смысле тео-
теории функций комплексного переменного, а f есть векторная функция,

14. Функции комплексного переменного 249
аналитическая в некоторой окрестности множества U {] В. Инте-
Интегральная формула Коши может быть также доказана и непосред-
непосредственно с помощью интегральной теоремы Коши точно так же, как
это делается в случае комплексных аналитических функций.
Пусть Uv . . ., Un — конечное семейство ограниченных открытых
множеств, причем граница В^ множества Uj такая, как описано вы-
выше, а / — векторная функция комплексных переменных гх, ..., zn,
аналитическая в некоторой окрестности множества (t/1L!B1)X ... X
X(Un U Вп). Тогда, применяя интегральную формулу Коши после-
последовательно к каждому из переменных zlf ..., zn, мы без труда полу-
получим интегральную формулу Коши для нескольких переменных:
В\ Вп
справедливую для любой точки [zs% .. ., zn] из Г/ХХ . .. XUn.
Из этой формулы, как и в классическом случае одного перемен-
переменного, легко вытекает, что функция f имеет в (УХХ ...xUn непрерыв-
непрерывные частные производные любого порядка. Точно так же, как ив клас-
классическом случае одного переменного, пользуясь этой интегральной
формулой Коши для нескольких переменных, мы можем доказать
и следующую теорему Вейерштрасса о сходимости:
Пусть fn — равномерно ограниченная последовательность век-
векторных функций, каждая из которых определена и аналитична
на некотором открытом множестве U в пространстве комплексных
переменных zlf.... zn. Пусть V есть некоторое ограниченное откры-
открытое подмножество U, замыкание которого содержится в V. Если
функции frl в каждой точке множества U сходятся к некоторой опре-
определенной на U функции /, то эта функция f аналитична на 0у а част-
частные производные функции fn произвольно большого порядка сходятся
к соответствующим частным производным функциям f равномерно
на V.
Из этой теоремы можно легко получить такое полезное следствие:
если функция / аналитична на прямом произведении Utx .. . xUn
некоторого семейства открытых множеств комплексной плоскости,
и С— непрерывная спрямляемая кривая, целиком лежащая в Un,
то функция g1, определяемая формулой
аналитична в t/jX...XUn-\-
Если функция / аналитична в некоторой окрестности замыкания
ограниченного открытого множества U, граница которого В состоит
из конечного числа замкнутых попарно непересекающихся спрям-
спрямляемых жордановых кривых, ориентированных, как обычно, в по-
положительном смысле, то из интегральной формулы Коши путем

250 Гл. III. Интегрирование и функции множества
р-кратного дифференцирования можно получить, что
В
.Для такой функции f имеет место разложение Тейлора
причем этот ряд сходится абсолютно и равномерно относительно z
на любом замкнутом множестве вида {г| | г—zo\ <r}, содержа-
содержащемся в U. Это разложение может быть получено из формулы для
/ф) (г) точно таким же методом, который применяется в случае
комплексных функций.
Обратно, каждый степенной ряд
f() 24(o)
р=0
определяет некоторую аналитическую функцию на открытом мно-
множестве | z — z01 < г, где г определяется по формуле
r = (TTm \a \Ч*>)-1
р -> сю
Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на каждом множестве
I z — zo I <а> гДе а < г- Кроме того, этот ряд однозначно опреде-
определяется функцией /, так как
», = ^. Р-0.1.2
Все эти утверждения (так же как и нижеследующие замечания отно-
относительно рядов Лорана) могут быть доказаны обычными методами
теории функций комплексного переменного.
Функция /, аналитическая в кольце а < | z — zo\ < Р, имеет
единственное разложение Лорана
f() M)
р=—оо
сходящееся абсолютно и равномерно в каждом кольце а+е<
< | z — z01 < р — е, где е > 0. Коэффициенты ар определяются
по формулам
йр = Й$(^Ма' Р = 0, ±1, ±2
С
где С—произвольная замкнутая спрямляемая кривая Жордана,
лежащая в кольце а < | z — z01 < р, разделяющая окружности

14. Функции комплексного переменного 251
| z— zo\=a и | г— 20|=Р и пробегаемая против часовой стрелки.
со
Обратно, произвольный ряд 2 ap(z — zo)P сходится в кольце
р= — оо
a<|z-zo| <Р, где
а= Пт lapl1^, Р = lim \ap \1^ё
р ->. _оо р -> оо
Его сумма / аналитична в этом кольце, и сам этот ряд служит разло-
разложением Лорана для его суммы. Это кольцо является наибольшим
из колец с центром г0, в которых функция с заданным разложением
Лорана может быть аналитической.
Если функция / аналитична в (вырожденном) кольце О < | z —
—zo\ <г, но не аналитична в круге \z—го\ < г, то z0 называется
ее изолированной особой точкой. Разложение Лорана функции
+ 0О
f(z)= S %(?—zo)v> сходящееся в кольце 0<|z—zo|<r, назы-
р=—оо
вается разложением Лорана функции / с центром в точке z0. Если
бесчисленное множество коэффициентов ар при р < О отлично от
нуля, то точка z0 называется существенно особой точкой функции f.
Если конечное, но не равное нулю число коэффициентов ар при
р < 0 отлично от нуля, то точка z0 называется полюсом функции /
Наибольшее число я, для которого а_|П| Ф 0, называется порядком
полюса z0. Если все ар при р < 0 равны нулю, то положив f (z0)—
=aOt мы получим функцию /, аналитическую в круге \z — zo\ < r,
так что особенность ее при z=z0 оказывается устранимой. Если
ар=0 при р<0, то точка z0 называется нулем функции /, таким,
образом, z0 является нулем функции /, если f(zo)=O. Если при этом
ар=0 при р < я, но апФ 0, то число п называется порядком нуля z0.
Множество U точек топологического пространства называется
связным, если оно не является суммой двух непустых непересекаю-
непересекающихся множеств, открытых в относительной топологии множества
U. Другой полезный критерий связности, пригодный для простран-
пространства Z п комплексных переменных, состоит в том, что для связности
области U из Z необходимо и достаточно, чтобы каждая пара ее
точек лежала на некоторой простой дуге, принадлежащей множест-
множеству U.
Пусть f — функция, аналитическая в некоторой области U про-
пространства п комплексных переменных, a g— аналитическая функ-
функция, определенная в некоторой области V того же пространства.
Тогда функция g называется аналитическим продолжением функ-
функции /, если область U является собственным подмножеством V,
g{zx, ...Jzj=f(z1,..., zn) для каждой точки zly..., zn из U и каждая
точка из V может быть соединена с некоторой точкой из U непрерыв-
непрерывной кривой, лежащей в V. Если функция / не допускает никаких
аналитических продолжений, то U называется естественной областью
существования функции f.

252 Гл. If I. Интегрирование и функции мноо/свства
Хорошо известный принцип максимума модуля остается справед-
справедливым и для векторных функций. В частности, в дальнейшем будут
использоваться следующие две его формулировки.
Принцип максимума модуля. Пусть f — аналитическая функ-
функция, определенная в некоторой связной области D комплексной пло-
плоскости и принимающая значения из комплексного В-пространства ЭЕ.
Тогда если функция \f(z)\ не является константой, то она не
может достигать максимума ни в одной точке области D.
Докажем эту теорему от противного; предположим, что для
некоторой точки z0 области D | f (z0) |> | /(г) | для каждого г из D.
Если Сг есть круг достаточно малого радиуса г с центром z0, то
2Я
Сг
Следовательно,
2я
так что
2я
\{\f(Zo)\-\f(re<* + zo)\}db<O.
О
С другой стороны, так как
то \f(Zo)\=\f(reiB + Zo)\ Для почти всех 0. Ввиду непрерывности
функции / это справедливо для всех 0, откуда следует, что \f(z) \=
— \f(zo)\ Для всех г, достаточно близких к z0. Из доказанного
пока вытекает, что множество
открыто. Но так как это множество, очевидно и замкнуто, а область
'D связна, то |/(z) | = |/(z0) I для всех точек z из области D.
Принцип максимума модуля для полосы. Пусть f(x+iy)=f(z) —
аналитическая функция со значениями в комплексном В-простран-
стве 3?, определенная и равномерно ограниченная на полосе х0 < х < хЛ,
— oo<y<-f-oo. Предположим, что
Тогда \f(x+iy)\^M при *i
Для доказательства можно без ограничения общности предпо-
предположить, что х0 > 1. Тогда для каждого е > 0 функция z~ef (z) будет
в этой полосе аналитической и равномерно ограниченной, стремя-

14. Функции комплексного переменного ???
щейся к нулю при у~> ± оо и ограниченной константой М на границе
полосы. Поэтому функция \z-ef(z)\ где-то в полосе достигает своего
максимального значения. По принципу максимума модуля этот
максимум должен лежать на одной из границ полосы, и, следова-
следовательно, |2r8/(z)|<M во всей полосе. При е, стремящемся к нулю,
получаем, что|/(г)|<М всюду на полосе.
Если /—аналитическая функция, определенная на связном
открытом множестве U комплексной плоскости и не равная нулю
тождественно, то U не содержит точек, предельных для нулей
функции /. Это утверждение можно следующим образом вывести
из соответствующего предложения, относящегося к комплексным
функциям: если гх есть предельная точка для нулей функции /,
то для каждого я* ? ЗЕ* гг будет предельной точкой и для нулей
функции x*f. Следовательно jc*/=O для каждого я* и, по следствию
Н.3.15, /=0.
Функция /, аналитическая на всей комплексной плоскости,
называется целой. Теорема Лиувилля утверждает, что ограничен-
ограниченная целая функция является константой. Для доказательства рас-
рассмотрим ограниченную целую функцию / и определим функцию g,
полагая g(z)=f(z)—/@). Функция g будет ограниченной и целой,
причем g@)=0. Для каждого л:* ? Ж* функция x*g является ограни-
ограниченной и целой и JC*g(O)=O. Следовательно, по теореме Лиувилля
для случая комплексных функций, x*g=0 и, по следствию Н.3.15,
g=0. Таким образом, /(z)=/@), т. е. функция / является константой.
Наконец, нам понадобится следующая теорема, известная под
названием подготовительной теоремы Вейерштрасса, которую мы
для удобства читателя приведем здесь в той форме, в которой мы ее
будем использовать *).
Теорема. Пусть /(г, до)— комплексная аналитическая функция
двух комплексных переменных г, до, причем z принадлежит некото-
некоторому открытому множеству U, aw — некоторой окрестности
I до|< 5Х начала. Предположим, что функция f (г, 0) не равна тожде-
тождественно нулю и в некоторой точке z0 области U имеет нуль поряд-
порядка т. Тогда найдутся окрестность V точки г0, положительное число
5<S1, натуральное число ?</тг и натуральное п, такие, что для
каждого \ до | < 5, до Ф 0, функция f (г, до) имеет в точности k различ-
различных нулей zx (до),..., zk (до), принадлежащих V и определяемых рядами
по дробным степеням до
J v ' p=o JP
т. е. степенными рядами относительно w' =
1) См. например, Маркушевич [4*, стр. 352]. — Прим. ред.

254 Гл. III. Интегрирование и финкиии множества
15. Примечания и дополнения
Существует несколько изложений лебеговской теории интегри-
интегрирования скалярных функций относительно скалярной меры. Труды
Лебега [2] и Каратеодори [1, 2] являются классическими; более
современный подход можно найти в книгах по теории функций веще-
вещественного переменного, в частности в монографиях Бурбаки [4],
Хана и Розенталя [1], Халмоша [5], Мак-Шейна [2,3], Манроу [2],
Сакса [1], Колмогорова и Фомина [1*] и Шилова [6*]. Так как
в книгах Хана и Розенталя [1 ] и Сакса [1 ] содержатся превосходные
исторические комментарии, а также и библиографические указа-
указания, то мы ограничимся здесь лишь кратким рассмотрением осо-
особенностей изложения, принятого в нашей книге и отличающегося
от стандартного.
Интегрирование векторных функций. В этой главе мы рассма-
рассматривали интегрирование векторных функций по отношению к ска-
скалярной мере. Возможность такого обобщения интеграла была заме-
замечена Л. Грейвсом [3], рассматривавшим интеграл Римана. Теория
лебеговского типа была построена Бохнером [2]. Метод фундамен-
фундаментальных последовательностей, используемый нами, применялся
Данфордом [4] для построения интеграла, эквивалентного интегралу
Бохнера.
Несколько более общие интегралы для функций со значения-
значениями из Б-пространства были построены Г. Биркгофом [4], Гель-
фандом [2], Петтисом [4] и Прайсом [1]. Интегралы от функций со
значениями в локально выпуклом топологическом пространстве
были построены Филлипсом [7] и Риккартом [1]. Все эти интегра-
интегралы счетно аддитивны. В § IV. 10 мы изложим лебеговского типа
теорию интегрирования скалярных функций относительно счетно
аддитивной векторной меры. Примеры, когда и функция, и мера при-
принимают векторные значения, были рассмотрены Бохнером и Тейло-
Тейлором [1; стр. 915—917] и Гавуриным [4], изучавшими интеграл
типа интеграла Римана, а также Дэйем [9], Прайсом [1], Риккар-
Риккартом ШиБартлом [3], изучавшими интегралы Лебега. Превосход-
Превосходное описание этих интегралов и соотношений между ними читатель
может найти у Гильдебрандта [4]. В качестве добавления к указан-
указанной там литературе, можно привести еще работы Кристиана [1]
и Мак-Шейна [3], относящиеся к интегралам, определяемым через
отношение порядка; работы Г. Биркгофа [6], Мазани [1],Маслова [1],
и Стюарта [1], в которых рассматривается мультипликативное
(в отличие от аддитивного) интегрирование; и работу Монны [6],
изучавшего интеграл функций с областью значений в некотором
неархимедовом поле.
Разложение счетно аддитивной векторной меры, аналогичное
разложению Лебега, было получено Риккартом [3] и Накамурой
и Суноути [1].

15. Примечания и дополнения 255
Конечно аддитивные функции множества. Возможность инте-
интегрирования ограниченных функций по конечно аддитивной
мере была указана Гильдебрандтом [3] и Фихтенгольцем и Канто-
Канторовичем [1 ]. Такой же интеграл использовался и другими авторами,
обычно для ограниченных функций. Недавно Лидером [1] была
построена теория Lp-пространств для конечно аддитивных мер.
А. Д. Александров [1] дал подробное изложение теории ограничен-
ограниченных регулярных конечно аддитивных мер на «нормальном» тополо-
топологическом пространстве. Ему, в частности, принадлежит теорема
5.13 (А. Д. Александров [1; стр. 5901). А. Д. Александров же [1; II,
стр. 618] дал условия, при которых ограниченная регулярная
конечно аддитивная мера может быть разложена в сумму счетно
аддитивной и конечно аддитивной мер. Его разложение отличается
от разложения, приводимого нами в теореме 7.8 и принадлежащего
Иосиде и Хьюитту [1, стр. 52].
Теорема Витали —Хана — Сакса. Фреше [8] ввел метрику
в пространство измеримых функций, определенных на отрезке
[0, 1] так, что сходимость относительно этой метрики эквивалентна
сходимости по мере. Если применить это к характеристическим
функциям, то получится рассмотренное нами в § 7 пространство
2(|л). Такое метрическое пространство специально изучалось
Ароншайном, а также Никодимом [7, 8]; это — важное и плодо-
плодотворное понятие.
Витали [2, стр. 147] показал, что если {/п} есть последователь-
последовательность интегрируемых по Лебегу функций, определенных на отрезке
[0, 1 ] и сходящихся почти всюду к функции /, то
1 i
\f(s)ds и lim \fn(s)ds
существуют и равны друг другу в том и только в том случае, если
неопределенные интегралы от fn равностепенно непрерывны отно-
относительно меры Лебега (это, по существу, является частным слу-
случаем теоремы 6.15). Хан [2] доказал, что если {/п} есть последова-
последовательность интегрируемых по Лебегу функций, определенных на
отрезке [0, 1 ], и если lim ^ fn (s) ds существует для каждого измери-
Е
мого множества ?, то эти неопределенные интегралы равностепенно
непрерывны относительно п и сходятся к некоторой функции мно-
множества, непрерывной относительно меры Лебега. Другое доказа-
доказательство этой теоремы было предложено Банахом [6, стр. 152].
Важная теорема 7.2 является обобщением этой теоремы и доказана
Саксом [3] для случая скалярных мер, хотя его доказательство
является совершенно общим. Фактически Саксом доказано, что
эта теорема справедлива и при несколько более слабых предполо-
предположениях.

256 Гл. III. Интегрирование и функции множества
Филлипс [7, стр. 125] и Риккарт [1, стр. 502] заметили, что,
по существу, то же самое доказательство проходит и в том случае,
когда значения неопределенных интегралов или мер принадлежат
некоторому локально выпуклому линейному топологическому
пространству. Другие обобщения были получены Алексевичем
[1; I, стр. 15—20]. См. также работу Г. Су ноути [1 ]. По поводу других
относящихся сюда результатов см. работы Сакса [2], Сакса и Тамар-
кина [1] и Хана и Розенталя [1, стр. 56—60].
Следствие 7.3 для случая скалярных мер было получено Нико-
димом [6], доказавшим его до опубликования теоремы 7.2.
Теорема Радона — Никодима. В 1904 г. Лебег [2, стр. 157]
получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы функ-
функция, определенная на отрезке 10, 1], выражалась некоторым неопре-
неопределенным интегралом. В следующем году Витали [1] охарактери-
охарактеризовал такие функции, как хорошо знакомые нам теперь абсолютно
непрерывные функции.
Эти результаты были обобщены Радоном [2, стр. 1349] для
определенной в евклидовом пространстве меры Бореля \х. Общая
теорема была доказана Никодимом [7; 8, стр. 168]. Существуют
и другие доказательства, например Иосида [2J; по поводу дополни-
дополнительных библиографических указаний см. также монографию Хана
и Розенталя [1, стр. 171]. ' :
Обобщение теоремы Радона — Никодима на конечно аддитивные
меры Оыло получено в работах Бохнера [3] и Бохнера и Филлипса
[1]. Соответствующая теорема будет рассмотрена в п. IV.9.14.
Обобщения теоремы Радона — Никодима на случай векторных
мер рассматриваются в § IV.8, дополнительные замечания к этому
можно найти в § IV. 12.
Произведение пространств с мерой. Исследование мер в про-
произведениях конечного числа пространств можно найти у Хана и Ро-
Розенталя [1, § 8] и Сакса [1, гл. 3], где приводится много ссылок на
литературу. Халмош [5, гл. 7] рассматривал также и бесконечные
произведения пространств с мерой. Во всех этих работах изучаются
скалярные функции.
Йессен [2] впервые обобщил теорему Фубини на случай беско-
бесконечного числа сомножителей. Тот же самый вопрос, но без исполь-
использования топологии рассматривался Дж. Нейманом [4]. Теоремы
11.24 и 11.27 впервые были предложены Йессеном [1], а в форму-
формулировке, принятой нами,— Данфордом и Тамаркиным [1]. Другие
результаты, относящиеся к бесконечным произведениям мер, можно
найти в работах Дьёдонне [12], Какутани [14] и Спарре Андерсена
и Йессена [1, 2].
Дифференцирование. Для получения библиографических ука-
указаний по теории дифференцирования скалярных функций мы отсы-
отсылаем читателя к монографиям Хана и Розенталя [1, гл. V] и Сакса
[1, гл. IV].

J5. Примечания и дополнения 257
Дифференцирование в В-пространствах. В этой главе теория
интегрирования векторных функций была рассмотрена довольно
подробно. Имеется также довольно обширная литература по теории
дифференцирования функций, определенных на линейном интервале
со значениями в некотором ^-пространстве. Не рассматривая этих
резульгатов, мы отошлем читателя к следующим работам:
Алаоглу [1], Алексевич [3], Алексевич и Орлич [3], Г. Бирк-
гоф [4], Бохнер [5], Бохнер и Тейлор [1], Данфорд и Морс [1],
Гельфанд [2], Л. Грейвс [3], Идзуми [4], Кларксон [1], Манрйу
[3, 4], Петтис [1, 4, 7], Филлипс [7], Себаштьян-и-Сильва ПК
17 Заказ 1324

ГЛАВА IV
Специальные пространства
1. Введение
Для конкретных приложений к анализу необходимо изложенную
нами общую теорию дополнить подробным исследованием свойств
отдельных пространств. Каково, например, общее аналитическое
выражение для функционала в пространстве, сопряженном к лебе-
лебегову пространству L1=Ll E, 2, |li)? При каких условиях после-
последовательность в Lx будет слабо сходящейся? Какие множества в Lx
являются бикомпактными или слабо бикомпактными? Ответы
на эти и аналогичные им вопросы для пространств, часто встреча-
встречающихся в математическом анализе, увеличат ценность общей теории.
Эта глава посвящена систематическому изучению таких конкрет-
конкретных вопросов.
В § 2 будет приведен перечень некоторых специальных прост-
пространств, как правило, являющихся ^пространствами. Для каждого
"из-эттйх пространствТмЪгтатъггзёмся решить восемь перечисленных
ниже проблем. Результаты этих исследований будут сведены в таб-
таблицу в § 15.
Проблема 1. Каково аналитическое представление простран-
пространства Э?*, сопряжен юго к заданному пространству Ж?
Проблема 2. При каких условиях последовательность {хп} из
Ж обладает тем свойством, что limx*^ существует для любого
** из X*?
Проблема 3. В каком случае последовательность слабо сходится
к определенному пределу?
Проблема 4. Является ли пространство Ж слабо полным?
Проблема 5. Является ли Ж рефлексивным?
Проблема 6. Какие подмножества Ж слабо компактны?
Проблема 7. Какие подмножества из Ж бикомпактны в его
метрической топологии?
Проблема 8. Если {хп} — последовательность из Ж, причем
пространство Ж сопряжено к Э, то при каких условиях последо-
последовательность {хп} является ^-сходящейся в том смысле, что \\тхпу
п
существует при всех #??)?

2. Перечень специальных пространств
При исследовании всех этих вопросов мы получим ряд интерес-
интересных специальных свойств отдельных пространств и выясним неко-
некоторые соотношения между ними. Это также будет отражено в таб-
таблице в § 15.
2. Перечень специальных пространств
Ниже мы приводим перечень различных специальных В- и /'-про-
/'-пространств. За исключением гильбертова пространства, каждое
из них состоит из вещественных или комплексных функций /, g,
заданных на некоторой определенной области 5. Сложение и умно-
умножение определяются естественным образом, т. е. равенствами
(f + 8)(s) = f(s)+g{s\ (af)(s) = af(s).
Таким образом, нулевой вектор —- это функция, тождественно рав-
равная нулю. В приводимом ниже списке пространств мы обычно не
уточняем, будет ли рассматриваемое пространство состоять из всех
вещественных функций, обладающих указанными там свойствами,
или изо всех комплексных функций с такими свойствами. Кроме
специально указанных случаев, допускаются обе возможности.
Первая приводит к вещественному 5-или -Г-пространству, вторая—
к комплексному В- или F-пространству. Так, например, если S
есть некоторое топологическое пространство, то через С E) может
быть обозначено либо вещественное 5-пространство всех определен-
определенных на 5 вещественных ограниченных непрерывных функций, либо
комплексное 5-пространство всех определенных на S комплексных
ограниченных непрерывных функций. Делать определенный выбор
между вещественными и комплексными числами мы будем лишь
в том случае, если исследование вещественного и комплексного
Б-пространств в рассматриваемом случае действительно требует
применения различных методов.
Доказательство того, что данное пространство удовлетворяет
соответствующим аксиомам, будет обычно помещаться в том пара-
параграфе, где рассматривается это пространство. Проведение наиболее
элементарных из таких доказательств иногда предоставляется
читателю в качестве упражнения.
1. Пространство^ Еп есть линейное пространство упорядочен-
упорядоченных последовательностей х— \ах, ...,ап] из п чисел а1? ..., ап. Норма
определяется равенством | л: |=(| osj |2+... + |osn |2I/2. Если полем ска-
скаляров служит поле вещественных чисел, то Еп называется Пгме^ьш^А
евклйдовЪш[ji?QQmiiqHcmeoM\ если это поле есть поле комплексных
чисел, то Ёп называется П:М?РШ?1М. унитарным пространством
или п-мерным гильбертовым пространством.
2. Пространстео /р определено для натурального п и веществен-
вещественного р, 1 <р < оо. Его точками являются упорядоченные последова-
17*

260 Гл. IV, Специальные пространства
тельности х=[ах, ..., ап] из п чисел av ..., ап, а норма равна
м=B kipI/p-
3. Пространство /^ есть линейное пространство всех упоря-
упорядоченных последовательностей х=^[а1У ..., ап] из п чисел ах, ..., а„
с нормой
|х|= sup \atl
4. Пространство lp определяется при 1 <р < оо как линейное
пространство всех числовых последовательностей х={ап}, для кото-
которых норма
M (SKI}
n=i
конечна.
5. Пространство /«, есть линейное пространство всех ограни-
ограниченных числовых последовательностей х—{ап}. Норма определяется
равенством
N = sup|an|.
п
6. Пространство с есть линейное пространство всех сходящихся
числовых последовательностей х={ап}. Нормой является
п
7. Пространство cQ есть линейное пространство всех последо-
последовательностей х— {схп}, сходящихся к нулю. Норма определяется
равенством
|x| = sup|aj.
п
8. Пространство bv есть линейное пространство всех числовых
последовательностей *={an}, для которых норма
I | | х | + Г I n+i n I
П=1
конечна.
9. Пространство bv0 есть линейное пространство всех числовых
последовательностей х={ап}, для которых lima^O и для которых
п
норма
конечна.

2. Перечень специальных пространств 261
10. Пространство bs есть линейное пространство всех числовых
последовательностей х={а11}, для которых норма
п
| х | = sup | 2 «i I
п i=\
конечна.
11. Пространство cs есть линейное пространство всех после-
оо
довательностей х={ап}, для которых ряд 2 аа сходится. Норма
п=1
определяется равенством
12. Пусть S — произвольное множество, а 2 — некоторая алгеб-
алгебра подмножеств множества 5. Пространство В (S, 2) состоит из
всех равномерных пределов конечных линейных комбинаций харак-
характеристических функций множеств из 2. Норма в В (S, 2) опреде-
определяется формулой
|/|=sup|/(s)|.
S? S
Определенная на S скалярная функция / является 2-измеримой,
если f~l (A) ? 2 для каждого борелевского множества А из области
значений функции /. Ясно, что каждая ограниченная 2-измеримая
функция принадлежит 5(S, 2), причем множество таких функций
всюду плотно в 5E, 2). Ясно также, что если мы определим на 2
функцию множества \х, полагая |i(?)=oc, если ЕФ0, и |li@)=O,
то ограниченная функция будет 2-измеримой тогда и только тогда,
когда она вполне ji-измерима.
13. Пространство B(S) определено для произвольного множества
S и состоит из всех определенных на S ограниченных скалярных
функций. Нормой служит
lfl=sup|f(s)|.
14. Пространство C(S) определено для топологического про-
пространства 5 и состоит из всех определенных на 5 ограниченных
непрерывных скалярных функций. Нормой является
l/l=sup|/(s)|.
15. Пространство ba(S, 2) определено для некоторой алгебры
2 подмножеств множества 5 и состоит из всех ограниченных адди-
аддитивных скалярных функций, определенных на 2. Норма \\i\ есть
полная вариация \i на S, т. е. |n| = t;(|j,, S).

262 Гл. IV. Специальные пространства
16. Пространство ca(S, 2) определено для некоторой а-алгебры
2 подмножеств множества S и состоит из всех скалярных функций,
определенных и счетно аддитивных на 2. Нормой |[х| является
полная вариация v(\x, S).
17. Пространство rca(S) определено для топологического про-
пространства 5 и состоит из всех регулярных счетно аддитивных ска-
скалярных функций множества, определенных на а-алгебре ЗВ всех
борелевских множеств из 5. Нормой |[х| служит полная вариация
0A1, S).
18. Пространство Lp (S, 2, [х) определено для произвольного
вещественного числа р, 1 <р < оо, и любого пространства с поло-
положительной мерой (S, 2, [х). Оно состоит из та^их определенных
на S [х-измеримых скалярных функций /, для которых норма
конечна.
Замечание. В определении пространства Lp (S, 2, [^приведен-
[^приведенном в гл. III, не предполагалось, что [х>0. Однако в любом случае
пространство Lp(S, 2, [х) совпадает с Lp(S, 2, и(|я)), а вариация
v(\x) неотрицательна. Как было указано в замечаниях после след-
следствия II 1.2.5 и теоремы II 1.3.5, элементами пространства Lp(S, 2, \х)
являются фактически не функции, а классы эквивалентных между
собой функций, причем две функции эквивалентны, если они равны
почти всюду. (III. 6.8.). Такие же замечания относятся и к вводимым
ниже пространствам Loo(S, 2, \х) и TM(S, 2, (х).
ХЪ^Лространство L^(Sf 2, [х) определяется для пространства
с ^положительной мерой (S, 2, [I) и состоит из всех существенно
ограниченных относительно |х скалярных функций (см. определение
II 1.1.П.). Нормой служит
| /| = vrai sup | /(s) |.
Замечание. В определении нижеследующих четырех пространств
термин интервал используется для обозначения множества веще-
вещественных чисел одного из следующих видов: [а, 6], [а, 6), (а, Ь]
или (а, 6), где а — либо вещественное число, либо —сю, а Ъ —
либо вещественное число, либо +оо. Во всех четырех случаях а
называется левым концом соответствующего интервала.
20. Пространство BV(I) определено для некоторого интервала
/ и состоит из всех определенных на / скалярных функций ограни-
ограниченной вариации (см. III.5.15). Если а — левый конец интервала
/, то

2. Перечень специальных пространств 263
где v(f, I) есть, как обычно, полная вариация функции / на / (в
III.6.21) было показано, что предел f (а+) существует для всех
BV(I)).
21. Пространство NBV(I) определено для интервала / и со-
состоит из таких принадлежащих BV(I) функций /, которые удовлет-
удовлетворяют следующим условиям: 1) / непрерывна справа в каждой
внутренней точке интервала / и 2) f(a+)=O, где а есть левый конец
интервала /. Норма определяется равенством
22. Функция f?BV(I) называется абсолютно непрерывной, если
для каждого 8 > 0 существует такое б > 0, что
2 \f(bi) -/(at) |< e,
г=1
где (аь, Ьг), 1=1, 2, ...— произвольные попарно непересекающиеся
п
подинтервалы /, для которых J I ^% ~ а\ I < ^- Пространстве ЛСA)
определено для интервала / и состоит из всех определенных на 1
абсолютно непрерывных функций. Если а есть левый конец интер-
интервала /, то норма определяется равенством
23. Пространство СТ (/) определяется для замкнутого интервала
/ и натурального п как множество определенных на / скалярных
функций, имеющих п ограниченных непрерывных производных.
Норма определяется равенством
|/|= f, sup |/@ (S)|.
i=o s e /
24. Пространство A(D) определено для открытого множества
D комплексных чисел как совокупность таких комплексных функ-
функций, которые ограничены и непрерывны на замыкании D и аналитич-
ны на D. Норма определяется равенством
Пространство A(D) есть комплексное линейное пространство, не
имеющее, очевидно, вещественного аналога.
25. Функция / вещественного переменного t называется почти
периодической, если для каждого е > 0 существует такое L > 0, что
каждый интервал вещественной оси длиной не меньше L содержит
такую точку х> что |/(/) — f(t+x) \ < е при — oo<^<-foo.
Пространство АР есть линейное пространство всех непрерыв-

264 Гл. IV. Специальное пространства
ных почти периодических функций вещественного переменного.
Нормой служит
1/1= sup 1/@1.
В § 7 будет показано, что каждая почти периодическая функция
ограничена.
26. JEJiubS^moeg^^^ есть линейное векторное про-
пространство Jg над полем Ф комплексных чисел вместе с комплексной
функцией (•, •), определенной на ^Xig и обладающей следующими
свойствами:
(I) (х, х) = 0 в том и только в том случае, если х = 0;
(II) (х, х)>0, х?&
(III) (x + y, z) = (xy г) + (у, г), х, у, г?§\
(IV) (ах, у) = афс, у), а?Ф, х, y?fy
(V) (х, у) = (у, х);
(VI) Если хп? $д, п= 1, 2, .. ., и если lim (xn — хт, хп — хт) =
?г, ?п->оо
= 0, то существует такое х??, что Нт(х/г—х, хп — х) = 0.
п
Функция (•, •) называется скалярным или внутренним произ-
произведением в jg, причем (х, г/) называется скалярным или внутренним
произведением элементов х и у. Норма в пространстве Jg опреде-
определяется равенством |х| —(х, хI/а.
Замечание. Гильбертово пространство было определено некото-
некоторой системой абстрактных аксиом. Интересно отметить, что некото-
некоторые из определенных выше конкретных пространств удовлетворяют
этим аксиомам и являются, следовательно, частными случаями
абстрактного гильбертова пространства. Так, например, /г-мерное
унитарное пространство Еп будет гильбертовым пространством,
если скалярное произведение двух элементов х=[ах, ..., ап\
i/= [Pi, ..., PJ из ??t определить формулой
71
(х, y) = ^a$L.
Точно так же комплексное 12 становится гильбертовым простран-
пространством, если скалярное произведение (х, у) векторов х={сса}, у=
= {P,j определить формулой
Аналогично комплексное пространство L2(S, S, (х) со скалярным
произведением
s
является гильбертозым пространством.

3. Конечномерные пространства 265
Последние из перечисляемых нами^ пространств будут F-, но
не В^просгпрйШЖвами.
'^П'.ГГрдШргтство TM(S, 2, |л) определено для пространства
с положительной мерой (S, 2, |х) и состоит из всех определенных на
5 вполне измеримых функций /(см. Ш.2.10). Метрической функцией
в TM(S, 2, |х) служит q(/, g) = |/—g\, где
<x>0
S(\f\>a) = {s, s?S, |/(s)|>a}.
28. Пространство s состоит из всех числовых последова-
последовательностей x={aj. Метрической функцией в s является
q(x, y) = \x—y\, где
оо
71=1
3. Конечномерные пространства
Как мы сейчас увидим, пространство Еп является прототипом
всех я-мерных линейных нормированных пространств, и прежде
всего, необходимо отметить, что Еп является /^-пространством.
В силу неравенства Минковского (II 1.3.3) Еп является линейным
нормированным пространством. Если у= [а1У ..., a J ? Еп, то | at | <
< \у\, и, значит, полнота Еп вытекает из полноты поля скаляров Ф.
Таким образом, Еп есть Л-пространство. Ограниченное замкнутое
множество в Еп бикомпактно; действительно, если последователь-
последовательность ут = [а™, ..., а^1] ограничена, то последовательность {af, m=
= 1, 2, ...} ограничена в Ф и, следовательно, найдется такая
подпоследовательность {т;} последовательности {т}, для которой
пределы lim a™j=alf i=\, ... , я, существуют. Но тогда после-
/—>оо
довательность {у™1} сходится к вектору [ах, ..., aj, принадле-
принадлежащему Е11.
1. Лемма. Конечномерное линейное нормированное пространство
полно и, следовательно, является В-пространством.
Доказательство. Пусть {Ь1У ..., Ьп} — базис конечномерного
линейного нормированного пространства Ж. Для каждой точки
п
у=[а1У ..., ап] из Е11 пусть Ту=х, где х= V а. 6.. Тогда Г будет
взаимно однозначным непрерывным отображением Еп на ЭЕ. Для
того чтобы убедиться в полноте ЭЕ, мы прежде всего покажем, что,
и обратное преобразование Т'1 непрерывно. Допустим, что это не так,

266 Гл. IV. Специальные пространства
тогда найдется такая последовательность {х1} в ЗЕ и такое е > О,
что хп-±0 и \Т~1хп\>г, /i=l, 2, ... . Если у11 = (T"V )/| Г V1,
то ly111 = 1 и yv = T2n, где 2*1 —»0. Так как последовательность
{//п} принадлежит бикомпактному множеству {у\у?Е'\ \у\=\)
пространства Еи, то найдется подпоследовательность последова-
последовательности {у71}, сходящаяся к некоторой точке у°= [а° ..., а°п], для
которой \у°\ = \. Ввиду непрерывности 7\ 0=Ту°=а01Ь1+...-+а°пЬп,
а так как векторы fex, ..., fen линейно независимы, то aj=...
... = a^ = 0. Однако это противоречит тому, что | у0 | = 1, и, таким
образом, доказывает непрерывность преобразования Г. Следова-
Следовательно, по лемме II.3.4, существует такая константа М, что | Т~хх\ <
<УИ |х|, откуда следует, что фундаментальная последовательность
{хп} пространства Ж переходит в фундаментальную же последова-
последовательность у11 = r~V пространства Е' . Если y = limу", то хь = Ту11
сходится к Ту?Ху т. е. пространство Ж полно, ч. т. д.
2. Следствие. Конечномерное линейное многообразие, принадле-
принадлежащее В-пространству, замкнуто.
Доказательство. Это утверждение вытекает из предыдущей
леммы и леммы 1.6.7.
3. Следствие. Каждое п-мерное В-пространство эквивалентно Еп.
4. Следствие. Каждый линейный оператор, определенный на
конечномерном линейном нормированном пространстве, непрерывен.
Доказательство. Пусть {61? ... , Ьа) — базис конечномерного
линейного нормированного пространства Ж, так что каждое х
из Ж однозначно представляется в видех=а1Ь1+...+ап6п. Как было
показано при доказательстве леммы 1, ai? /=1, ..., п, непрерывно
зависят от х. Таким образом, если U — определенный на Ж линей-
линейный оператор, то Ux=a1Ub1-\-...JranUbn также будет непрерывной
функцией х, ч. т. д.
5. Теорема. Для того чтобы линейное нормированное простран-
пространство было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы его
замкнутая единичная сфера была бикомпактной.
Доказательство. Предположим, что сфера S = {л: |! х\ < 1} в ли-
линейном нормированном пространстве Ж бикомпактна. Мы покажем,
что существует такое конечное множество {х*, ..., х*} элементов
из Ж*, что если х* (д:)=0,1 < i < я, то х=0. Предположим противное.
Тогда для каждого конечного множества А ^Ж* множество
S(A) = {x\\x\=l, x*(x) = 0, если х*?А}

3. Конечномерные пространства 267
является непустым замкнутым подмножеством S. Из наших пред-
предположений следует, что каждое конечное число множеств S (А)
имеет непустое пересечение. Таким образом, ввиду леммы 1.5.6
найдется х, принадлежащее всем S(A). Для этого вектора х |х|=1
и х*(х)=0 при всех х* из ЭЕ*. Но это противоречит следствию II.3.15
и, значит, доказывает наше утверждение. Пусть х*, 1=1, ..., п,
обладают тем свойством, что равенства х*х=0 при i=l, ..., п вле-
влекут за собой х=0. Тогда отображение х—> [х*х, ..., х*х] простран-
пространства Ж в Еа линейно, взаимно однозначно и имеет конечномерную
область значений. Следовательно, пространство Ж имеет конечную
размерность.
Обратное утверждение вытекает из следствия 3, ч. т. д.
6. Лемма. Линейное нормированное пространство имеет конеч-
конечную размерность п в том и только в том случае, если его сопряжен-
сопряженное пространство тоже имеет размерность п.
Доказательство. Пусть {blf ... , bn) — базис линейного норми-
нормированного пространства Ж, Тогда функционалы b% i=\, ... , п,
определяемые уравнением
*=§ bt(x)bi9 хбЖ,
i=i
ввиду следствия 4 принадлежат 3?*. Кроме того, для каждого
jc* 6 Ж* мы имеем
х*х = 2 Ь\ (х) х (г) §
г=1 г=1
так что множество, порожденное элементами b*(i=l, 2, ...,/г),
есть все пространство 3?*. Далее, векторы &*, i=l, ... , az, линейно
п п
независимы, так как если JI Р46* = О, тоР;-= (S Pibi)&;" = 0,
г=1 г=1
/=1, ...,/г. Таким образом, Ж* имеет размерность я. Обратно,
пусть X* конечномерно. Тогда и Ж** имеет конечную размерность,
а так как 3? эквивалентно некоторому подпространству X**
(II.3.19), то и Ж конечномерно. Как видно из первой части доказа-
доказательства, Ж и Ж* имеют одинаковые размерности, ч. т. д.
В предыдущей лемме предполагается, что пространства явля-
являются линейными нормированными пространствами, так как известны
примеры (см., например, начало § IV.И) бесконечномерных
/^пространств, для которых сопряженные пространства нульмерны.
Следующее следствие было установлено в первой части дока-
доказательства леммы 6.

268 Гл. ГУ. Специальные ппостппнства
7. Следствие. Если {bv ... , bn} —базис линейного нормирован-
нормированного пространства Ж, то функционалы &*, i=l, ..., п, определяе-
определяемые уравнениями
образуют базис пространства Ж*.
8. Следствие. Конечномерное линейное нормированное простран-
пространство рефлексивно.
Доказательство. В обозначениях следствия 7
х*х = 2 W (*) ** F4), ** = I *?** Fi),
i=i t=i
и, следовательно, если х** б Ж**, то x**tf* =x*x, где д: =
-E jc**FfNt, ч. т. д.
i=i
Из следствия 7 вытекает, что в конечномерных пространствах
сильная и слабая сходимости совпадают, а из следствия 3,— что
для бикомпактности множества необходимо и достаточно, чтобы
оно было ограничено и замкнуто. Таким образом, проблемы 2—8,
перечисленные в § 1, без труда решены нами для конечномерных
пространств.
Согласно следствию 3 и лемме 6, каждое конечномерное линейное
нормированное пространство эквивалентно своему сопряженному,
но этим замечанием не вполне решается проблема представления
пространства, сопряженного к данному пространству. Нам необ-
необходимо еще получить выражение для нормы функционала через
определяющие его скаляры. Таким образом, для полного решения
проблем, перечисленных в § 1, осталось описать пространства, сопря-
сопряженные к ?п, /? и /?>. Так как Еп= /™, то нижеследующая теорема дает
полный ответ на поставленный вопрос.
9. Теорема. Если 1<р<оо и p~1+q~1=l1 то отображение
jc* <—-> [а19 ..., ап], определяемое уравнением
является изометрическим изоморфизмом A$)* на /?.
Доказательство. Ясно, что это отображение является изомор-
изоморфизмом. Для того чтобы убедиться в том, что оно, кроме того, яв-
является изометрическим отображением, предположим сперва, что

4. Гильбертово пространство
269
1 <р<оо. Тогда ввиду неравенства Минковского (III.3.3)
1 4
I
откуда вытекает, что |х* | < { 2 \ai \q\Q • Пусть, далее ^ = \аг \q/aiy
{ 2
если at # О, и Р{ = 0 в противном случае. Тогда
ii il il
откуда ввиду
i
неравенства
вытекает,
I
что
„
( S I ai IQ) < I ^* I- Таким образом, х* = { 2 I ai |Q} »откуда видно,
i=i i=l
что рассматриваемое отображение является изометрическим. Это же
рассуждение при вполне понятных изменениях в обозначениях,
можно использовать и для доказательства изометричности отобра-
отображения при р=1 или оо, ч. т. д.
4. Гильбертово пространство
Среди бесконечномерных В-пространств гильбертово простран-
пространство ближе всех стоит, особенно по своим элементарно геометри-
геометрическим свойствам, к евклидовым и конечномерным унитарным про-
пространствам. Из определения B.26) непосредственно не видно, что
гильбертово пространство является ^-пространством, но это уста-
устанавливается нижеследующей теоремой. При исследовании гильбер-
гильбертова пространства условия (I) — (VI) определения 2.26 будут исполь-
использоваться без ссылок на них и через § всегда будет обозначаться
гильбертово пространство.
1. Теорема. Гильбертово пространство
В-пространство, в котором
есть комплексное
Доказательство. Прежде всего будет доказано это последнее
неравенство, известное под названием неравенства Шварца. Из
постулатов для $q вытекает, что если либо х, либо у равны нулю, то
неравенство Шварца справедливо. Предположим поэтому, что
х фО ф у. Для произвольного комплексного числа а
а(х, у) =
/, x)).

270 Гл. IV. Специальные пространства
где Re(X) есть вещественная часть X. Если a=reiB и 0 выбрано соот-
соответствующим образом, то из последнего неравенства вытекает, что
, у)\
для каждого положительного г. Отсюда, полагая г— \x\l\у\, и полу-
получим неравенство Шварца.
Чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно пока-
показать, что \х+у | < |*|+| у |. Заметим прежде всего, что
x) = 2Re{x,y)<2\x\\y\
и, следовательно,
<\х\2+\у\2+2\х\\у\ = (\х\ + \у\)\ ч. т. д.
Замечание. Необходимо отметить, что в этом доказательстве
неравенства Шварца и неравенства треугольника |х+у\<\х|+|у\
не предполагается, что !q полно или что (х, х)=0 только при х^О.
2. Лемма. Пусть х — некоторый элемент из fe, а К — такое
подмножество @, что -к (К + К) d К. Предположим, что {kt} —
такая последовательность из /С, для которой
lim \x — kb | = infix— k\.
i h?K
Тогда последовательность {kt} сходится.
Доказательство. Тождество
называемое тождеством параллелограмма непосредственно выте-
каетиз аксиом. Если 6=inf \x—А|,то из этого тождества следует, что
ki + kj 2
X ^- <
< 2 | x - kt |2 + 2 | x - kj;\2 - 46 ^> 0, ч. т. д.
3. Определение. Два вектора х, у из § называются ортого-
ортогональными, если (х, у)=0. Два многообразия 9Л, 91 из $ называ-
называются ортогональными, если EШ, 91) -=0. Запись х Ly означает, что
векторы х и у взаимно ортогональны, а запись $Ш_1_ЪЛ — что орто-
ортогональны многообразия Ш и 91. Ортогональным дополнением мно-
множества Л (~ ?) называется множество {х | (х, А) = 0}. Оно иногда обоз-
обозначается через SqQA или, если ? подразумевается, через AL.

4. Гильбертово пространство 271
-» 4. Лемма. Ортогональное дополнение 91 замкнутого линейного
многообразия $Щ в § есть замкнутое линейное многообразие, допол-
дополнительное к Ш в том смысле, что Sq = 9Л©91.
Доказательство. Из линейности и непрерывности скалярного
произведения (теорема 1) вытекает, что ортогональное дополнение
произвольного множества $Щ есть замкнутое линейное многообра-
многообразие. Если 5Ш — замкнутое линейное многообразие и х — произволь-
произвольная точка из ig, то, по лемме 2, существует такое т ? Ж, что \х—т\ =*
= 6=inf \x — ml\. Теперь мы покажем, что элемент п~х — т
принадлежит 91. Для произвольного комплексного числа а и про-
произвольного тх б Ш вектор т -j- о.тх ? Ш и, следовательно,
\х--(т + amj | > б. Таким образом,
О < | х - (т + amj |2 - ] п |2 = | п - атг |2 - | п |2 =
= — a (m^ п) — а (п, тх) + \ а |2 [ тх |2.
Положим а=Цп, тг), где А, — произвольное вещественное число.
Тогда
0<-2?l|(az, m3)|2 + ?.2|(Az, тх)\*\т1\\
что возможно лишь при (п, mJ^O. Таким образом, /2^91. Чтобы
завершить доказательство, заметим, что еслих?9ЛГ)^> то|х|2 =
- (х, х) = 0. Следовательно, Ш П 91 = 0 и ? = Ж © 91, ч. т. д.
-» 5. Теорема. Для каждого у* из ?>* существует и притом только
один такой у?$, что
у*х = (х, у), х??.
Отображение о: у*—> у является взаимно однозначным изометри-
изометрическим отображением Q* на все ig, лра ^тож а (у* + 2*) = а (у*) +
+ a(z*), a(ay*) = aa(y*).
Доказательство. Если г/*=0, положим г/=0. Если г/* ^= 0, то
множество 5Ш = {х | г/*л:=О} является в Jg собственным замкнутым
линейным многообразием, и его ортогональное дополнение 91 содер-
содержит, по лемме 4, некоторый вектор ух Ф 0. Пусть у=ау1У где"сс =
= т" • Для произвольного вектора х из ig вектор л: —-г-|—г-г/2
принадлежит 5Ш, так что (х, у) = ^ ^^^ ^ =у*х, т. е. мы дока-
доказали существование вектора у. Для того чтобы убедиться в един-
единственности такого у, предположим, что у' есть такой элемент из Jg,
чтог/*х= (jc, г/')для всех хб$. Тогда (х, у—у') = 0для каждого x? ig
и, в частности, (у—у\ У—#')=0> откуда у=у'. Таким образом,
отображение а вполне определено. Так. как \(х, у)\<\х\ \у\,

272 Гл. IV. Специальные пространства
то \У* \<\°(У*)\ , а так как (у, у) = \у\2у то |у* \>\о(у*)\. Следова-
Следовательно, о является изометрией. Остальные доказываемые свой-
свойства а непосредственно вытекают из постулированных нами
свойств скалярного произведения, ч. т. д.
6. Следствие. Пространство §* также является гильбертовым
пространством и пространство Sq рефлексивно.
Доказательство. Если скалярное произведение в @* определить
равенством
(x*>y*)i = (°(y*), <*(х*)),
то ясно, что ^* будет гильбертовым пространством. Согласно тео-
теореме, если у** б Jg**, то в Jg* найдется такой элемент у*, что
у**х* = (**, у*)г = (а (у*), а (х*)) = х*у, х* б ?*,
где у=о(у*), ч. т. д.
7. Следствие. Гильбертово пространство слабо полно; для того
чтобы подмножество его было слабо компактным, необходимо и до-
достаточно, чтобы оно было ограниченным.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает из
следствия 6, II.3.28 и II.3.29, ч. т. д.
8. Множество Л б Q называется ортонормированным, если норма
каждого вектора из А равна единице и если каждые два несовпадаю-
несовпадающих вектора из А взаимно ортогональны. Ортонормированное мно-
множество называется полным, если не существует ненулевого вектора,
ортогонального ко всем векторам этого множества, т. е. множество
А полно, если {О}=^0 А. Напомним, что проектором (проекцион-
(проекционным оператором, оператором проектирования) называется линейный
оператор Е, для которого Е2=Е. Проектор Е в пространстве Jg назы-
называется ортогональным, если многообразия ESq и (/—Е) $? взаимно
ортогональны.
Как было показано в лемме 4,
где ЗЛ — произвольное замкнутое линейное многообразие в ф.
Пусть x=y+zy где у б $Щ и z б $ © 5Ш; рассмотрим преобразование Е
пространства $, при котором Ех=у. Ясно, что оператор Е является
проектором, так как Е2=Е, и притом ортогональным. Заметим, что
ортогональный проектор Е однозначно определяется условием
Efe = gjj. В самом деле, если D тоже является ортогональным проек-
проектором, для которого D$Q = Wf то ED=D, а так как (/ —D)@
?-Ф0ЭЛ, то ?(/—D) = 0. Таким образом,

4. Гильбертово пространство 273
Этот однозначно определенный ортогональный проектор Е, для
которого E$q = Ш, называется оператором ортогонального проекти-
проектирования на Ш, или иногда просто проектированием на Ш.
9. Лемма. Если {уь} — ортонормированная последовательность,
а {ai} — последовательность скаляров, то ряд 2а^ сходится
в том и только в том случае, если 2|а? |2 < оо; при этом
В случае сходимости этого ряда его сумма не зависит от порядка
его членов.
Доказательство. Если т > п, то
т mm mm m
I 2 щуг |2 = ( 2 щуи 2 *,У,) =22 «Я [У» У,) = 2 I а, Г,
г=п i=n j=n i=n j=n i=n
и, значит, если один ряд сходится, то сходится и другой. Если
в последних равенствах, положив п=\, устремить т к бесконеч-
бесконечности, то мы получим второе утверждение леммы. Наконец, пусть
оо
г== 2 агпУгп~~~Ря&> полученный из *=2агУг некоторой переста-
перестать 1
новкой его членов. Тогда
1у у |2 / у у\ (у у\ ( У y\ —1— ( У у\
X Z\ —[X, X)—\Х, Z)—\Z, Xj-f-yZy Z),
и непосредственный подсчет, аналогичный проделанному выше,
показывает, что каждое из этих скалярных произведений равно
2|о^|2. Таким образом z = x, ч. т. д.
—> 10. Теорема. Пусть А — ортонормированное множество в Jq,
ах — произвольный вектор из ф. Тогда (х, у) = 0 для всех, за исклю-
исключением, быть может, счетного множества у из А. Ряд
Ех= 2 (*, У) У> *б?,
У?А
сходится, и его сумма не зависит от порядка, в котором располо-
расположены его ненулевые члены. Оператор Е является оператором орто-
ортогонального проектирования на замкнутое линейное многообразие,
порождаемое множеством А.
Доказательство. Пусть ух, ..., уп— несовпадающие элементы
п ' п
из Л и у= 2 (х> УдУц так что (по лемме 9) \у\2= 2 \(х, У\) |2 и
{=1 i=i
0<|х-{/|2 = |х|2-(х, у)-(у, х) + \у\\
18 Заказ 1324

274 Гл. IV. Специальные пространства
(x> У)=Т(х, Уг)(х, yi) = \y\2,
n
(y, *)=?(*' yi)(x7Ji) = \y\2-
Таким образом, |*/|2<|x|2> т. е.
Отсюда вытекает, что лишь для конечного числа векторов ух, ...
• ••1 Уп€ А \(х*У) | может превышать наперед заданное положительное
число и, следовательно, самое большее счетное множество скаляр-
скалярных произведений (я, у), где у? А отлично от нуля. Так как
то ввиду предшествующей леммы ряд, определяющий Ех, сходится,
причем его сумма не зависит от порядка его членов.
Теперь ясно, что Е есть линейный оператор, причем Ех = х>
если х б А. Поэтому Ех = х> если х принадлежит замкнутому линей-
линейному многообразию sKly натянутому на А. Кроме того, Ех = 0,
если х ортогонален к А. Следовательно, Е есть оператор ортогональ-
ортогонального проектирования на S2lx, ч. т. д.
11. Определение. Множество А называется ортоноржирован-
ортоноржированным базисом линейного многообразия 91 из 3§, если А есть содержа-
содержащееся в У1 ортонормированное множество и если
*= У (*, У)У, *69t.
12. Теорема. Каждое замкнутое линейное многообразие в §
имеет ортонормированный базис.
Доказательство. Если ортонормированные множества, при-
принадлежащие замкнутому линейному многообразию w упорядочить
по включению, то, как видно из леммы Цорна A.2.7), существует
максимальное ортонормальное множество Л, определяющее замк-
замкнутое линейное многообразие 'й^ТО. Ввиду максимальности А
5Щ 0 Шг = 0. Но, по лемме 4, Ш = ^ © (sJJ? 0 Л2) и, следовательно,
9JJ = S2lx. Наше утверждение вытекает теперь из теоремы 10, ч. т. д.
13. Теорема. Для ортонормированного множества ACZ$Q сле-
следующие утверждения эквивалентны:
(I) множество А полно;

ва
4 Гильбертово пространство 275
(II) множество А служит ортонормированным базисом для &
(III) |*|2 = У \(х, у)\\ xt§.
Доказательство. Эквивалентность условий (I) и (II), очевидно,
следует из теоремы 10. То, что из каждого из них вытекает условие
(III), следует из теоремы 10 и леммы 9. Предположим теперь, что
выполнено условие (III), и пусть х— произвольный вектор из ig.
По лемме 4, x = u + v, где u?sp(A) и v€feQsp(A). Таким обра-
образом, |*|2 = \и2\ + \v |2. Но, по теореме 10 и лемме 9, | а|2= J \{и, у)\2.
У?А
Следовательно, |x|2 = |a|2 и v = 0. Это означает, что $р(А) = $&,
откуда и вытекает условие (I), ч. т. д.
Следующий результат дает нам возможность ввести понятие
размерности гильбертова пространства.
14. Теорема. Все ортонормированные базисы данного гильберто-
гильбертопространства Sq имеют одну и ту же мощность.
Доказательство. Если Sq конечномерно, этот результат хорошо
известен из алгебры. Предположим, что § бесконечномерно, и пусть
{аа}и{ур} —два ортонормальных базиса для Jg. Мы будем говорить,
что векторы иа и иа> базиса {иа} эквивалентны, если существует
конечная цепочка векторов
[*] «а, %, «ах, •-., «afe, %+1, «а',
в которой скалярное произведение любых двух соседних векторов
отлично от нуля и члены которой берутся попеременно то из {aa},
то из {ур}. Эквивалентность двух векторов v$ и v$> из {v$} опреде-
определяется аналогично. Из теоремы 10 непосредственно вытекает, что
каждый класс эквивалентных между собой векторов будет либо
конечным, либо счетным. Класс U эквивалентных между собой
Еекторов иа назовем соответствующим классу V эквивалентных
между собой векторов v$, если существует пара векторов, один из U,
друюй из V, с ненулевым скалярным произведением. Предполо-
Предположим, что U и V — соответственные классы эквивалентных между
собой векторов и что ua(-U- Рассмотрим произвольный элемент v$
из базиса {^р}, такой, для которого (иа, v$) ф 0. Покажем, что ир? V.
Так как U и V — соответственные классы, то существуют такие
элементы ua>(-U и vp?Vt для которых (иа^ v^) ф0. Но так как
и>а' б Uj то существует такая конечная цепочка вида [*], в которой
скалярное произведение соседних векторов отлично от нуля. Таким
образом, из строения цепочки v$, иа, - . . , иа>> v^ видно, что v$ эквива-
эквивалентно гр' и что, следовательно, v$ g V. Так как {v$} есть базис, то
вектор иа имеет разложение видааа= У («а, мр)^р,так что аапринад-
18*

276 Гл. IV. Специальные пространства
лежит замкнутому линейному многообразию, порожденному такими
векторами i^, для которых (иа, v$) ф 0. Но так как такие векторы v$
принадлежат 1/, то ua?sp[V] и, следовательно, splU] cr sp[V].
АналогичноБр [V]cisp [U]. Отсюда ясно, что соответственные классы
эквивалентных между собой векторов U и V порождают одно и то же
замкнутое линейное многообразие ЗЛ. Таким образом, если один из
классов U или V конечен, то Ж конечномерно и, значит, другой
класс тоже конечен и состоит из такого же числа элементов. Если
U и V бесконечны, то оба они счетны. Таким образом, {иа} и {v$}
распадаются на суммы попарно непересекающихся соответственных
пар U, V классов эквивалентности, причем каждое U имеет точно
такую же мощность, что и соответствующее ему V. Поэтому {иа}
и {v$} имеют одну и ту же мощность, ч. т. д.
15. Определение. Мощность произвольного ортонормального
базиса гильбертова пространства § называется его размерностью.
16. Теорема. Два гильбертова пространства изометрически
изоморфны в том и только в том случае, если они имеют одну и ту же
размерность.
Доказательство. Пусть U — изометрический изоморфизм между
€i и $2- Тогда если х и у — взаимно ортогональные элементы
из ?lf то
Wy).
Отсюда видно, что для произвольного X
x, Wy);
подставляя в это равенство X =(?/#, Uy), мы получаем* что
(Ux, Uy) = 0. Таким образом, U отображает ортонормированный
базис пространства $дг на ортонормированный базис простран-
пространства ?2, и, значит, ?)х и ?J имеют одну и ту же размерность.
Обратно, предположим, что пространства $х и $?2 имеют одну
и ту же размерность, и пусть {аа, а б А} и {vai а б А} — ортонормиро-
ванные базисы соответственно, для ^г и ig2. Для каждой определен-
определенной на А скалярной функции С, такой, что С(а) = 0 для всех, за
исключением счетного множества индексЬв а, и что 2 | С(а) I2 < °°>
положим

4. Гильбертово пространство 277
По теореме 13, U является изометрическим изоморфизмом между
?х и 4>, ч- т. д.
Прямые суммы гильбертовых пространств
Напомним (см. 1.11), что прямая сумма
векторных пространств Ж2, . . . , Жп есть множество ЖххЖ2Х ... хЖп>
для элементов которого сложение и умножение на скаляр опреде-
определяются по формулам
а[хг, . .., xn] = [a^lf ..., ахп].
Пространство Ж{ алгебраически эквивалентно подпространству ЭД}4
пространства Ж, состоящему из всех таких векторов [х1$ . . . , хп] ? Ж,
у которых а:; = 0 при /=? f. Иногда бывает удобно само пространство-
1?г рассматривать как подпространство Ж, при этом имеется в виду,
что оно эквивалентно пространству ЗЛг- Отображение
[хи ..., xJ->[0, ..., xif ..., 0]
пространства Ж на др^ является проектированием и иногда назы-
называется проектированием Ж на 93^. Равносильно этому, отображе-
отображение [хг, . . . , л:п]—>^ называется проектированием Ж аш Ж^. Если
каждое из пространств Жх, . . . , Жп является линейным топологи-
топологическим пространством, то их прямая сумма Ж, соответствующим
образом топологизированная (см. 1.8), также будет линейным топо-
топологическим пространством, в котором подпространство 30^ не только
алгебраически, но и топологически эквивалентно Жь. Если топология
в каждом из слагаемых Ж^ i=l, ..., п, определяется нормой \-\if
т. е. если каждое из пространств Ж| является линейным нормиро-
нормированным пространством, то и пространство Ж будет линейным норми-
нормированным пространством. Норму в пространстве Ж можно ввести
различными способами; в частности, каждая из нижеследующих,
норм будет определять в Ж произведение топологий:
(!) |[*i, •••> хп] 1 = 1*! \г + \х212+... +|а'п|п;
(II) | [*lf ..., хп]\= sup \хг\г\
(III) | [xu...,xn]\ = {\x1\*+...+\xn\tf.
В дальнейшем, если прямая сумма линейных нормированных про-
пространств будет выступать в качестве нормированного пространства,
всегда будет указываться, какая именно норма имеется в виду.
В том случае, однако, если каждое из пространств Жг, ...,36^

278 Гл. IV. Специальные пространства
является гильбертовым пространством, всегда будет предполагаться,
хотя иногда и без напоминания об этом, что Ж есть однозначно
определенное гильбертово пространство со скалярным произведением
(IV) ([х19 ..., хп], [уг, . .., 0п]) = Д (*i. У-Х
где (•, -)ь есть скалярное произведение в дсь. Таким образом, норма
в прямой сумме гильбертовых пространств всегда будет опреде-
определяться равенством (III). Окончательно все это можно сформулиро-
сформулировать в виде следующего определения.
17. Определение. Пусть для каждого /—1, . . . , п Sq-l является
гильбертовым пространством со скалярным произведением (•, -)?.
Прямой суммой гильбертовых пространств §lf . . ., $п называется
линейное пространство $ = ??i ® ... © $n> B котором скалярное
произведение определяется равенством (IV).
Рассмотрим прямую сумму Sq = ig,® ... © SQn гильбертовых про-
пространств §lf ..., fen. Тогда при i Ф j многообразия ^ й ^ взаимно
ортогональны в ^ и проектирование fe на $i совпадает с ортого-
ортогональным проектированием JQ на SQt. Таким образом, подпростран-
подпространство §2 © ... © 4п> например, служит в $ ортогональным дополне-
дополнением к Jg1#
Следующее определение обобщает определение 17, включая
случай и бесконечного множества прямых слагаемых.
18. Определение. Пусть для каждого v из некоторого множества
индексов A 3gv является некоторым гильбертовым пространством.
Прямой суммой 2 $?v гильбертовых пространств §v называется, по
определению, совокупность всех определенных на А функций {xv}>
таких, что xv6$v Для каждого v и что У |*v|2 < °°.
vf A
Ясно, что 2§v становится векторным пространством, если сло-
сложение и умножение на число определить формулами
a {xv} = {axv}, {xv} + {yv} = {xv + j/v).
Кроме того, можно определить в 2igv и скалярное произведение,
полагая
этот ряд абсолютно сходится, так как
||||
V V V V
Можно легко проверить, что свойства (I) — (V) определения 2.26
при этом выполнены.

5. Пппгтпд»сгпяа B'SZ) и В (S) 279
19. Лемма. Если {?v}, v ? А,—семейство гильбертовых про-
пространств, то и их прямая сумма Hfev тоже является гильбертовым
пространством.
Доказательство. Как отмечено выше, нам осталось доказать лишь
полноту 2jgv. Если {х™}у п— 1, 2, . . . , —фундаментальная после-
последовательность в 2§v» то ясно, что для каждого фиксированного v
{^v} будет фундаментальной последовательностью в <gv, сходящейся
к некоторому элементу х%. Для произвольного конечного подмно-
подмножества nczA и произвольного натурального п
SI Yn Yo 12 _ 1jm V I Yn rm\2 <Г lim
I Лу — av | — 11in ^_j | Л\? — X\ | •=% i пи
\?Л m
Отсюда вытекает, что
1 jm V I rn v° |2 ^ 1 jm I f
11ГП ^/_ I Л v — Xv I ^> 111 Г1 I [
П->ОО V ?B, 71->OO
т. е. что {x°v} принадлежит 2?v и что последовательность {х™}
сходится к {a:v}, ч. т. д.
В заключение этого параграфа мы перечислим в нижеследующей
лемме несколько полезных свойств ортогонального дополнения.
-» 20. Лемма. Пусть В— некоторое подмножество §, а $Щ — замк-
замкнутое линейное многообразие в §. Тогда
(I) ^же(Юж);
(П) Ю1 = ееF0аи);
(III) sp(fl) = €0(^0 5).
Доказательство. Равенство (I) — это просто лемма 4. Равен-
Равенство (II) можно доказать, заменяя Ш в равенстве (I) на ?H9#. При
этом мы получим, что ?>0(?>09Л) является не только замкнутым
подпространством Ю>, но и дополнительным многообразием для
Й05Ш- Таким образом, 2К = 6©(€©9Я). Для того чтобы дока-
доказать равенство (III), заметим, что для произвольного множества
B(~_fy условие, что (В, х) = 0 для некоторого элемента х из Jg»
эквивалентно условию, что (sp (В), х) = 0. Таким образом, $qQB =
= ф 0sp (В), и равенство (III) получается из (II) заменой ЗЛ
на sp(B), ч. т. д.
5. Пространства B(S, 2) и В (S)
В этом параграфе устанавливается, что В (S) и В E, 2) явля-
являются В-пространствами, определяются сопряженные к ним про-
пространства и даются условия бикомпактности. Слабая бикомпакт-
ность и слабая сходимость в В (S) будут рассмотрены в конце § 6.

280 Гл. IV. Специальные пространства
Ясно, что В (S) есть линейное нормированное пространство.
Для того чтобы убедиться в том, что оно полно и, следовательно,
является /^-пространством, предположим, что {/п} — фундаменталь-
фундаментальная последовательность в В (S). Тогда для каждого е > 0 найдется
такое га(е), что при м, т>т(г) |/п — Дп|<е. Положим
f(s) = limnfn(s) для каждого s?S. Тогда для каждого s? S най-
найдется такое р>/л(е), что \f (s) — fp (s) |< 8, при этом
Этим доказано, что fn сходится к / в В (S), т. е. что В (S) является
В-пространством. Для того чтобы убедиться в том, что В (S, 2) тоже
является В-пространством, достаточно заметить, что оно было опре-
определено как замыкание в В (S) множества всех конечных линейных
комбинаций характеристических функций множеств из 2. Таким
образом, В E, 2) является замкнутым линейным многообразием
в В (S) и, следовательно, В-пространством. Так как произведение
двух характеристических функций множеств из 2 также является
характеристической функцией некоторого множества из 2, то из
определения В (S, 2) ясно, что оно содержит произведение любых
двух своих элементов. Таким образом, B(Sy 2) является замкну-
замкнутой подалгеброй в В E) —этот факт в дальнейшем нам окажется
полезным.
1. Теорема. Между пространствами В* E, 2) и ba(S, 2)
существует изометрический изоморфизм, определяемый тождеством
Таким образом, для каждого х* из В* E, 2) существует единствен-
единственное \i?ba(S, 2), для которого имеет место равенство [*], и для
каждого \i из ba(S, 2) существует единственное х*, для которого
-выполняется равенство [*], причем это соответствие между х*
и [I линейно и изометрично.
Доказательство. Из определения ^-интегрируемой функции
ясно, что для каждого |ы g ba E, 2) мы имеем В E, 2) <r_ Lx (S, 2, \х)
и что если f?B(Sf 2), то
K/(s)|i(<fc) < sup I/(s) I о (ц, S).
Таким образом, для каждого \х из ba(S, 2) равенство [*] опреде-
определяет некоторую точку х* из В* (S, 2), для которой | л:* | < | |ы |. Для
того чтобы доказать, что |x* | > | \i |, возьмем е > 0, и пусть Elt . . ., Еп
образуют такое разбиение S на попарно непересекающиеся мно-

5. Пространства В (S,S) и B(S) 28J
жества из 2, что »2j I ^(^i) I > 1 Н ~~~ 8* Тогда если мы выберем
8; ? @, 2я] так, что ехЬщ (Е}) = | |ы (?;) | для /= 1, ..., л, и положим
= eiei для s6?jf то |/|<1, /6B(S, 2) и
Ввиду произвольности е, | л;* | > | \i |. Мы доказали, что | дг* | = | [а |.
Для того чтобы показать, что каждое x*??*(S, 2) определяется
некоторой \i?ba(S, 2), предположим, что %Е есть характеристи-
характеристическая функция некоторого множества ? 2, и определим ji(?) =
= ^* (х^)« При этом ясно, что [х аддитивна, что | р, (?))<. |д:*| и что
равенство [*] справедливо для каждой функции /, являющейся
линейной комбинацией характеристических функций множеств
из 2. Множество таких функций всюду плотно в В (S, 2), и, следо-
следовательно, ввиду непрерывности обеих частей равенства [*] отно-
относительно / это равенство справедливо для всех f из В E, 2). Так
как линейность соответствия между х* и \i очевидна, наша теорема
доказана.
2. Определение. Если 2 есть семейство всех подмножеств мно-
множества 5, то для краткости мы будем писать ba(S) вместо ba(S, 2).
Так как В (S) = В (S, 2), если 2 есть совокупность всех подмно-
подмножеств множества S, то мы получаем следствие.
3. Следствие. Между пространствами В* E) и ba (S) существует
изометрический изоморфизм, определяемый тождеством
Теперь мы хотим привести критерии бикомпактности подмно-
подмножества из B(S> 2). Так как множество в полном метрическом про-
пространстве бикомпактно в том и только в том случае, если оно замк-
замкнуто и относительно бикомпактно A.6.15), то достаточно, и для наших
целей удобно, искать условия относительной бикомпактности. Сле-
Следующая элементарная лемма будет полезна не только здесь, но
и в дальнейшем, при исследовании бикомпактности в других В-про-
странствах.
4. Лемма. Пусть {Ua} — равномерно ограниченная обобщенная
последовательность линейных операторов в В-пространстве ЭЕ.
Если lim Uax = х для каждого х из ЭЕ, то этот предел существует
а
равномерно на любом бикомпактном множестве. Обратно, если

282 Гл. IV. Специал-иыр
lim Uax = х равномерно относительнох из ограниченного множества
а
К и если, кроме того, множество Uа ({х\ \х\ < 1}) для каждого а отно-
относительно бикомпактно, то К относительно бикомпактно.
Доказательство. Пусть /С бикомпактно и е>0. Существует конеч-
конечное множество {kx, ..., kn} элементов из К таких, что
inf \k — &i|<e для каждого k из К A.6.15). Пусть аг таково,
что \Uaki—ki\<e для а>я8 и 1<*</г. Тогда если
для всех а, то
Uak-k\< inf [\иа(к-кг)\ + \ Uaki-ki\
для всех k?K и всех а>а8. Таким образом, Uak—> k равномерно
относительно k из /С.
Обратно, пусть е > 0 и а таково, что
\Uak-k\<ey k?K.
Так как множество UaK относительно бикомпактно, то найдутся
такие элементы k^K, для которых
inf |{/afc-fci|<e, k?K.
Таким образом, inf \k— k-t\ < 2e для каждого k из /С, ч. т. д.
5. Следствие. ?сла {х{} — базис пространства 3?, то ряд
СП
х= S аЛ сходится равномерно относительно х из ограниченного
множества К в том и только в том случае, если К относительно
бикомпактно.
6. Теорема. Ограниченное множество К из В (S, 2) в том и только
в том случае является относительно бикомпактным, если для каж-
каждого е > 0 найдется конечное число попарно непересекающихся мно-
множеств {?-,, ..., Е ,} из 2, сумма которых равна S, и такие точки st
из Еь, i~\, .. ., п, что
\f(Si)-f(s)\<e, /б/С, /=1, ..., п.
Доказательство. Пусть А — множество, каждый элемент а =
= {E*i, ...,?\;5г ,..., sfl} которого состоит из конечного числа
попарно непересекающихся множеств {?\, ..., Еъ} из 2, сумма
которых равна S, и точек slf ..., sb, где s.^E,, i=l, ..., п. Мно-
Множество Л упорядочим, полагая а^а\ если каждое множество из
а является суммой множеств из а!. Если / 6 В (S, 2) и a = {Z^, ...,

6. Пространство C(S) 283
., En\ sl9 ..., sj?^, положим UJ = fa, где
и %E—характеристическая функция множества Е. Ясно, что*
|t/J = l nUa>Ua = Ua, если а'>а.
Далее ясно, что если /0 есть конечная линейная комбинация ха-
характеристических функций множеств из 2, то в множестве А най-
найдется такой элемент а0, что /0 постоянна на каждом множестве из а0.
Таким образом, UJ0 = f0, если а>а0. Следовательно, для такого f0
\im U JQ = fQ. Так как множество таких функций всюду плотно
а
в B(S, 2), то, по теореме II. 1.18, \imUJ = f для каждой /из
а
В (S, 2). Наше утверждение вытекает теперь из леммы 4 и теоремы
3.5, ч. т. д.
6. Пространство C(S)
В этом параграфе мы сначала предположим только, что S есть
нормальное топологическое пространство. Пространство C(S) состоит
из всех определенных на S ограниченных непрерывных веществен-
вещественных или комплексных функций. Норма в C(S) определяется форму-
формулой
|/l = sup|/(s)|.
stS
Из леммы 1.4.18 и следствия 1.7.7 вытекает, что C(S) является
S-пространством. Мы начнем наше исследование с описания сопря-
сопряженного пространства C*(S).
1. Определение. Если S — топологическое пространство, то
rba (S) есть линейное пространство регулярных ограниченных адди-
аддитивных функций множества, определенных на алгебре, порожден-
порожденной замкнутыми множествами. Нормой ||ы| функции fx является ее
полная вариация. Пространство rba (S) будет частично упорядочен-
упорядоченным, если неравенство |ь1>^, по определению, означает, что
|ь1 (Е) > К(Е) для каждого Е из алгебры, порожденной замкнутыми
множествами. Аналогично пространство C(S) является частично
упорядоченным, если неравенство f>g означает, что / (s) >g(s) для
всех 5 из S. Наконец, пространство С* (S) частично упорядочено,,
если неравенство х*>г/* означает, что x*f >y*f для каждого
/>0 из C(S).
Прежде чем заняться выяснением структуры сопряженного про-
пространства С* (S), мы заметим, что каждая функция f(~C(S) интегри-
интегрируема по отношению к каждой \х из rba(S). Для того чтобы

284 Гл. IV. Специальные пространства
убедиться в этом, покроем множество / (S) открытыми множествами
G1? ...,Gn, диаметр каждого из которых меньше наперед заданного
положительного числа е. Положим
и, если Aj не пусто, выберем какую-нибудь точку а] ? Ау Если Aj
пусто, положим ос;-= 0. Так как G^ открыто, то и fг (G}) тоже
открыто и, значит, множество Bj=l~1(Aj) принадлежит области
определения функции [х. При этом функция
/е.2дв
является (i-простой функцией, для которой sup | /е (s) — / (s)\ < e.
s
Следовательно, функция/является пределом равномерно сходящейся
последовательности [г-простых функций, а так как u(|i, S) < оо,
то / [г-интегрируема. Так как интеграл \ / (s) [i (ds) удовлетворяет
s
неравенству
то ясно, что он является непрерывным линейным функционалом
на С (S). Следующая теорема является обратной к этому утверждению.
2. Теорема. Если пространство S нормально, то между С* (S)
и rba (S) существует изометрический изоморфизм, при котором
соответственные элементы х* и \х удовлетворяют равенству
S
причем этот изоморфизм сохраняет отношение порядка.
Доказательство. Как только что было показано, каждое
\i?rba(S) определяет по формуле [*] некоторый функционал
х* б С* (S), для которого | х* | < | \х |. Для того чтобы показать, что
|а:*| = |[х|, выберем е > 0, и пусть ?р ..., Еп — попарно непересе-
непересекающиеся множества из области определения функции (х, такие,
п
что 2 M-i (?i)|>|(x| — e = y(|x, S) — е. Пусть С4 — замкнутое под-
подмножество Е{ такое, что v(\i, E{ — Ct)<—, a {Gx, ... , Gn} —
семейство попарно непересекающихся открытых множеств, содер-

6. Пространство С (S) 285
жащих попарно непересекающиеся замкнутые множества С1э ... , Сл.
Ясно, что ввиду регулярности \i можно предположить, что
v (\i, Gt — С{) <— . По теореме 1.5.2, существует такое множество
{fiy ••• > fn} непрерывных функций, что 0 </t(s)<l и что ft (s) = 0,
если s $ GLi и f{ (s) = 1, если s б Ct . Пусть alf..., ап — комплексные
числа, по модулю равные единице и такие, что ai(x(?i) = |ji(?t)|;
n
положим тогда f0 = 21 ai/i- При этом выполняется неравенство
** (/о) — | (х || < 2е, и, следовательно, sup | х* (/)| = | |х |-
Теперь мы докажем сохранение порядка. Ясно, что если \х —
неотрицательная функция множества, а /— неотрицательная непре-
непрерывная функция, то \ f (s) \i(ds)>0. Обратно, предположим, что
S
\ f(s) \i(ds)>0 для любой неотрицательной функции f?C(S).
s
Если существует такое ^-измеримое множество Е, что \i (E) <
< — е < 0, то мы можем найти такое замкнутое подмножество Fc^E,
что и(|х, E — F)<-k-, и такое открытое множество G3?, что
v (\x, G — F) < -^ • Если выбрать в соответствии с теоремой 1.5.2 функ-
функцию g€C(S)y удовлетворяющую условиям 0 <g (s) < 1, g (s) = О,
если s $ G, и g (s) = 1, если s 6 F, то \ g (s) (x (ds) — [i (?) меньше
s
чем -j-, так что неравенство \ g(s) \i(ds) >0 невозможно.
s
Таким образом, нам остается только доказать, что каждый не*
прерывный функционал х* на С (S) может быть представлен в виде
[*], где [i^rba(S). По теореме П.3.11, х* можно продолжить до
определенного на В (S) непрерывного функционала г/*, а, по следст-
следствию 5.3, для функции f?B (S) существует такой элемент X 6 ba(S),
что y*f= \ f (s) X(ds). Согласно теореме II 1.1.8 о разложении
в смысле Жордана, К можно представить в виде ^ = Х1 — А,2 +
+ i (k3 — К)> гДе ^i>0, t = l, 2, 3, 4, следовательно, достаточно
рассмотреть случай, когда X неотрицательно, и найти такое
\i 6 r&a (S), что ^ f (s) \x (ds) =^f(s)X (ds) для каждого f?C(S).
8 S
Условимся буквой F обозначать произвольное замкнутое под-
подмножество, буквой G — произвольное открытое подмножество
и буквой Е — произвольное подмножество множества S. Функции

286 Гл. IV. Специальные пространства
множества \х± и \х2 определим равенствами
Mf)= inf MG), M?)=
Ясно, что эти функции множества неотрицательны v не убывают.
Пусть G1 открыто и Fx замкнуто. Тогда если Gp F^ — G^ то
G1(JG3f1H^(GlUG)<^(G.) + X(G),TaK что M^iKMGJ+MG).
Так как G есть произвольное открытое множество, содержащее
/Ч-G,, го
Если Т7 — замкнутое множество, то из этого неравенства, считая
Gx произвольным открытым множеством, содержащим FFX, мы нахо-
находим, что
Если Е есть произвольное подмножество S и Fx пробегает все замк-
замкнутые подмножества ?, то из предыдущего неравенства вытекает, что
(I) \i2(E)<i
Теперь мы покажем, что для произвольного множества Е из S и про-
произвольного замкнутого множества F из S имеет место неравенство
(II) li2(E)>li2(EF) + li2(E-F).
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим непересекающиеся
замкнутые множества F± и F2. Так как S нормально, то существуют
непересекающиеся окрестности Gt и G2 соответственно множеств
F и F2. Если G —произвольная окрестность суммы FX[]F2, то
)X (GG) X (GG)так что
Пусть теперь Е и F — произвольные множества из S, причем F —
замкнуто, и пусть Fx пробегает все замкнутые подмножества пере-
пересечения EF, a F2 — все замкнутые подмножества из E — F. Тогда
из последнего неравенства вытекает неравенство (II). Следствием
неравенств (I) и (II) является
(III) V2(E) = \i2(EF) + lx2(EF'), ?65, F замкнуто.
Функция |ь12 определена на алгебре всех подмножеств множества S
и из равенства (III) следует, что каждое замкнутое множество F
является ^-множеством в смысле определения III.5.1. Если |ы есть
сужение \i2 на алгебру, порождаемую замкнутыми множествами, то,
по лемме II 1.5.2, \i аддитивна на этой алгебре. Из определения \хх
и [i2 ясно, что [i1 (F) = \х2 (F) = [i (F)y если F замкнуто, и, следова-
следовательно, \i(E)= sup \x(F). Это означает, что \х регулярна, и так
FCZE

6. Пространство С (S) 287
как |bi(S)<oo, то \i?rba(S). Остается лишь показать, что
(IV) ^/(s)X(ds)=jjf(s)^(ds)f f?C(S).
Ясно, что равенство (IV) достаточно доказать для вещественной /,
а так как вещественная функция из С (S) представляется в виде раз-
разности двух неотрицательных функций из С (S), то достаточно дока-
доказать его для неотрицательной/. Наконец,так как каждая / из С(S)
ограничена, то мы можем и будем предполагать при доказательстве
равенства (IV), что0</(s)< 1.
Итак, предположим, что функция f непрерывна на S и удовле-
удовлетворяет неравенству 0 < f (s) < 1. Если дано е > 0, то пусть
?\, ... ,ЕП — такое разбиение S на попарно непересекающиеся мно-
множества из области определения \i, что
2i ^ f(s)\i(ds),
где а. = inf f(s). Ввиду регулярности \х существуют такие замк-
нутые множества Ргст_Ег, что
i=l S
Из нормальности S и непрерывности / вытекает, что существуют
такие попарно непересекающиеся открытые множества Gx, ...,Gn, что
Gt з/7., /== 1, ... , /z, и что
bt= inf
и, следовательно,
i= I
Ясно, что |х1(/7) = \i2(F) = (Li (F) для замкнутого множества F и что
если открытое множество G содержит F, то ^(/7)<^(G). Таким
образом, ввиду регулярности ц,, для открытого множества G
|ui(G)<X(G). Отсюда следует, что

288 Гл. IV. Специальные пространства
т. е. что
(V) ^f(s)l(ds)>\f(s)ii(ds).
S 8
Так как |x(S) = ^(S), то из неравенства (V) вытекает, что
[(l-f(s))k(ds)<\(l-f(s))YL(ds).
8 8
Но так как 0< 1 — f(s) < 1, то в неравенстве (V) функцию / можно
заменить на 1 — f, а отсюда и из последнего неравенства вытекает,
что \ A — f)dX= \ A — f)d\i\ это и доказывает равенство (IV).
—> 3. Теорема (теорема Риссаоб общем виде линейного функционала).
Если S — бикомпактное хаусдорфово пространство, то между про-
пространствами С* (S) и гса (S) существует изометрический изомор-
изоморфизм, при котором соответственные элементы х* и \i связаны
соотношением
Этот изоморфизм сохраняет отношение порядка.
Доказательство. Из предыдущего доказательства ясно, что каж-
каждое \i?rca(S) определяет некоторое л:* б С* (S) по формуле I*],
причем |х*| = )|ы|, и что это соответствие между х* и \х линейно
и сохраняет порядок. Таким образом, для доказательства нашей
теоремы мы должны только показать, что каждое X б rba (S) опре-
определяет такое \x?rca(S), что если f?C(S), то ^f(s)'k(ds) =
8
= \ f (s) Iх (ds). Однако это вытекает из теоремы II 1.5.14 и леммы
IIIS8.1(e), ч. т. д.
4. Следствие. Если /п, / 6 С (S), п = 1, 2, ..., где S — бикомпакт-
бикомпактное хаусдорфово пространство, то, для того чтобы последователь-
последовательность {fn} слабо сходилась к f, необходимо и достаточно, чтобы она
была ограничена и чтобы f (s) = Y\mfn(s) для каждого s?S.
п
Доказательство. Если fn слабо сходится к f, то в силу II.3.20
sup|/n| < °°- Далее, для фиксированного s из S число g(s) непре-
п
рывно и линейно зависит от g. Таким образом, fn (s) —> f (s) для каж-

6. Пространство С (S) 289
до го s из S. Обратное утверждение вытекает из предшествующей
теоремы и теоремы Лебега (III.6.16), ч. т. д.
5. Теорема. Пусть S—произвольное топологическое пространст-
пространство, а К — ограниченное подмножество в С(S). Тогда К относи-
относительно бикомпактно в том и только в том случае, если для каждого
е > О существует конечное число множеств {Ev ...,En}, сумма кото-
которых равна S, и такие точки st^Ei9 i = I, ..., п, что
sup sup | / (sj - / (s)\ < e, / = 1, . .. , n.
Доказательство. Если 2 есть алгебра всех подмножеств из S, то
C(S), по следствию 1.7.7, является замкнутым линейным многооб-
многообразием в В (S, 2), и наша теорема вытекает из теоремы 5.6, ч. т. д.
6. Определение. Подмножество K^C(S) называется равносте-
равностепенно непрерывным, если для каждого е>0 и каждого s?S
найдется такая окрестность N = N(s) точки s, что
sup sup|/(s)~/(OI<e.
Эквивалентное условие состоит в следующем: если {sa} — сходя-
сходящаяся обобщенная последовательность, причем sa —> s, то
f(sa) -~->f(s) равномерно относительно f?K.
7. Теорема (Арцела —Асколи). Если S бикомпактно, то для
относительной бикомпактности множества из С (S) необходимо
и достаточно, чтобы оно было ограничено и равностепенно непре-
непрерывно.
Доказательство. Пусть К — равностепенно непрерывное огра-
ограниченное множество из С (S) и е > 0. Из числа окрестностей»
существующих в силу определения 6, выберем конечное числа
окрестностей Nlt ..., Nm, покрывающих S. Тогда
sup sup|/(si)-/:(s)| <e,
и, значит, по теореме 5, К относительно бикомпактно.
Обратно, пусть К относительно бикомпактно и, значит, вполне
ограничено A.6.15) и ограничено (II.1.8). Если дано е > 0, то в мно-
множестве К найдутся такие фу нкции/j, ... , /п, что каждая функция /6 К
отстоит меньше, чем на ~ от одной из функций fv ..., /п. Для
точки s?S выберем такую ее окрестность N = N(s), что
19 Зака » Л? 1324

290 Гл. IV. Специальные пространства
Тогда для произвольного /6/С, произвольного /б N и /
и, следовательно, К равностепенно непрерывно, ч. т. д.
-» 8. Следствие. Пусть S — бикомпактное метрическое простран-
пространство, а К — ограниченное множество в С (S). Тогда для относитель-
относительной бикомпактности К необходимо и достаточно, чтобы для каж-
каждого е > О существовало такое б > 0, что
<e, Q(s, t)<6.
p|/()
f?K
Доказательство. Если это условие выполнено, то К является
равностепенно непрерывным множеством в С (S) и, по теореме 7,
К бикомпактно.
Обратно, пусть К относительно бикомпактно; предположим, что
условие не выполнено. Тогда существуют такое е > 0 и такие
последовательности {sn}, {Q cS, {/n} с К, что | fn (sn) - fn (tn) | > e,
Q (sn» ^n)~-^0- Так как S и К — бикомпактные метрические про-
пространства, то можно считать, что последовательности {sn} и {tn}
сходящиеся. Если fn—>f в С(S) и sn—>s, то tn—>s и, по
лемме 1.7.6, 0 = | / (s) — / (s) | > е > 0; мы пришли к противоречию,
доказывающему наше следствие.
9. Следствие. Пусть S— бикомпактное подмножество топо-
топологической группы G, а К — ограниченное множество в C(S). Тогда
множество К относительно бикомпактно в том и только в том
случае, если для каждого г > 0 найдется такая окрестность U
единицы группы G, что \f (t) — f (s)\ < e для каждого f?K и каждой
пары s, t точек из S, таких, что t принадлежит Us.
Доказательство. Если это условие выполнено, то семейство К.
является, очевидно, равностепенно непрерывным, и следовательно,
по теореме 7, относительно бикомпактным. Обратно, если мно-
множество К относительно бикомпактно, то, по теореме 7, оно равно-
равностепенно непрерывно и для каждого е > 0 и каждого s? S найдется
такая окрестность Vs единицы группы G, что
(I) |/@-/(*I<|. /6/С,
где / — произвольная точка множества S, принадлежащая Vss.
Ввиду непрерывности групповой операции найдется такая окрест-
окрестность U& единицы группы G, что U^~lUsdVs. Так как множество S
бикомпактно, то оно покрывается конечным числом множеств
U4sv ... , USnsn. Пусть U= П U,. и s, fgS, причем t?Us. Тогда
\1 1

6. Пространство С (S) 291
для некоторых / и и^1/8. и некоторого u?ll, t=us, t = ujsj и
s = ur1ujsj 6 U-4J8jss с U-sKJSjSj d Vs.Sj.
Но тогда из неравенства (I) вытекает, что
Так как
и так как tZUs.SjdVs.Sj, то
К е> ес™ /6*. ч- т. Д.
10. Определение. Обобщенная последовательность {/а} функ-
функций, определенных на множестве S, называется квазиравномерно
сходящейся на S, если существует такая определенная на S функ-
функция /0, что fa(s)—>f0(s) для каждого s?S и что для каждого
е > 0 и произвольного а0 существует конечное число индексов
av ..., осп>ао таких, что для каждого s?S
min | fa (s) - /0 (s) | <e.
1^г^гг г
11. Теорема (Арцела). Если S — бикомпактное хаусдорфово про-
пространство, a {fa} — обобщенная последовательность в C(S)y
сходящаяся в каждой точке множества S к некоторой функции /0,
то для непрерывности /0 необходимо и достаточно, чтобы сходимость
{fa} была квазиравномерной на S.
Доказательство. Если /rogC(S), то для заданных а0, е>0
и произвольного t?S существует такое а(/)>сс0> что
I fait) @ - /о @ I < 8- Положим N(t) = {s\\ fa{t) (s) - /0 (s) |< e}; ввиду
непрерывности /0, Л^ (/) есть открытое множество, содержащее t. Вви-
Ввиду бикомпактности 5, для его покрытия достаточно конечного числа
множеств N(t),4TO и означает квазиравномерную сходимость {/а}.
Обратно, предположим, что {fa} квазиравномерно сходится
к /0. Мы хотим показать, что непрерывность /0 в точке s0 вытекает
из непрерывности fa. Действительно, для заданных sQ?S и е>0
найдется такое а0, что при а>а0 выполняется неравенство
\fa(so) — fo(so) | < е. Выберем alf ... , an>a0 так, как требуется
в определении квазиравномерной сходимости, и пусть
Ni(So) = {s\\fai(s)-fa.(so)\ <е}, /=1, ..., п.
Ввиду непрерывности fa, множества Л^ (s0) открыты; следовательно.
N (so) = П ^г Eо) тоже открыто и содержит точку s0. Далее, для
i = l
19*

292 Гл. IV. Специальные пространства
соответствующим образом выбранного i и произвольного s?N(s0)
мы имеем
I /о (S) - /о (So) I < | /о (S) - /a. (S) | + | /а. (s) - /ее. (s0) | +
+ 1/а.Eо)-/оEо)|<Зе.
Это и означает непрерывность функции /0 в точке s0, ч. т. д.
12. Следствие. Для того чтобы последовательность из С (S) была
слабо сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограни-
ограниченной и квазиравномерно сходящейся на S.
13. Определение. Семейство F = {/}сг С (S) называется квази-
равностепенно непрерывным на S, если из sa—>s0 вытекает, что
сходимость / (sa) —> / (s0) является квазиравномерной на /\ Это
значит, что для заданного е > 0 и произвольного а0 найдется такое
конечное число индексов at >ot0, i — 1, ... , п, что для каждого f?F
| / («а.) - / (s0) I <e.
Напомним, что если F есть семейство функций, отображающих
множество S в скалярное поле Ф, то F можно рассматривать как
подмножество произведения пространств \\ Ф, получающееся при
взаимно однозначном отображении /—> [J f (s). Относительная топо-
логия на /\ индуцированная произведением топологий, определяется
окрестностями N (f0; А, е) = {f \ f б F, \ f (s) — f0 (s) \ < г, s б А}, где А
есть некоторое конечное подмножество S. Ясно, что сходимость
обобщенной последовательности {/а} в этой топологии эквивалентна
сходимости обобщенной последовательности скаляров {/a(s)} для
каждого s? S. Эта относительная топология на F является наиболее
слабой из топологий на F, в которых каждое s?S порождает
непрерывную функцию s на F, определяемую равенством
Stf) = /(s), f€F.
Слабая топология пространства С (S) порождается окрестностями
N(f0', В, z) = {f\feC(S), \x*(f-fo)\<e, x*eBj, где В есть
некоторое конечное множество из C*(S). Так как каждая точка из 5
определяет некоторый непрерывный линейный функционал на C(S),
то ясно, что топология пространства С(S), индуцированная произ-
произведением топологий, слабее его слабой топологии.
Следующая теорема указывает на тесную связь между слабой
компактностью множества непрерывных функций, определенных
на некотором бикомпактном хаусдорфовом пространстве, бикомпакт-
ностью в топологии, индуцированной произведением топологий, би-
компактностью в слабой топологии и квазиравностепенной непре-
непрерывностью.

6. Пространство С (S) 293
14. Теорема. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово простран-
пространство и FcC(S). Тогда нижеследующие условия эквивалентны:
1. Замыкание множества F в слабой топологии пространства
С (S) слабо бикомпактно.
2. Множество F ограничено и его замыкание в топологии, инду-
индуцированной произведением топологий, является бикомпактным
в этой топологии множеством непрерывных функций.
3. Множество F ограничено и квазиравностепенно непрерывно
на S.
4. Множество F ограничено, и если Fo есть счетное подмножество
в F, a {s0, sv s2, ..^ — последовательность в S, для которой
f (sn)—>f(s0), f^FOi mosn—>s0 квазиравномерно на Fo.
5. Множество F слабо компактно.
Доказательство. Если выполнено условие 1, то так как топо-
топология, индуцированная произведением топологий в пространстве
С E), слабее его слабой топологии, слабое замыкание мно-
множества F в пространстве С E) бикомпактно (и равно замыканию F)
и в этой относительной топологии. Так как непрерывная скалярная
функция на бикомпактном множестве ограничена A.5.10), то
множество x*F ограничено для каждого х* из Ж* и, таким обра-
образом, в силу (II.3.20) множество F ограничено в определяемой
нормой топологии пространства dc~C(S). Поэтому из условия 1
вытекает 2.
Для того чтобы убедиться в том, что из условия 2 вытекает 3,
рассмотрим замыкание F множества F в топологии, индуцирован-
индуцированной произведением топологий. Так как каждая функция f?F
непрерывна, то если {sa} есть обобщенная последовательность,
сходящаяся к точке s0GS, to f (sa) —> / (s0). С другой стороны,
каждой s б S соответствует непрерывная функция 5, определенная
на бикомпактном хаусдорфовом пространстве F. Таким образом,
sa (f) —» So (f) Для каждого f?F, а так как s0 непрерывна, то, по
теореме 11, эта сходимость должна быть квазиравномерной на F.
Но отсюда следует, что F квазиравностепенно непрерывно в смысле
определения 13.
Предположим, что справедливо условие 3 и что s0, sly s2, ...—
последовательность из S такая, что / (sn) —> / (s0) для f из некоторого
счетного подмножества /^ множества F. Обозначим через g0 сово-
совокупность всех подмножеств множества 5, содержащих некоторое
из множеств Еп = {sn, sn+1, .. .}, л= 1, 2 Ясно, что g0 будет
фильтром на S (см. определение 1.7.10); пусть g = {/Ca}, а^Л,
— ультрафильтр, мажорирующий g0. Тогда каждое множество
Ка?% содержит некоторую точку snj для которой/г >1, так как
в противном случае 0 = ?1П^а6^, что невозможно. Пусть для
каждого Ка из Ш, ta = sn, где п таково, что sn g Е1[]Ка- Упорядочим

294 Гл. IV. Специальные пространства
множество А у положив, по определению, что a<(J, если
Ka^K&l ясно, что А будет при этом направленным множеством.
Из леммы 1.7.12 следует, что ультрафильтр % сходится к однозначно
определенной точке to?S, и следовательно, что обобщенная после-
последовательность {ta} сходится к t0. Таким образом, из предположе-
предположения, сделанного в условии 3, вытекает, что сходимость {/ (ta)}
к /(/0) квазиравномерна относительно f?F и a fortiori относительно
f?F0. Кроме того, легко видеть, что f(so) = f(to) для f?F0, так
как ?П6? для каждого п.
Пусть теперь е > 0 и п0 заданы, и пусть а0 — индекс, соответ-
соответствующий EnQ. Тогда, так как сходимость {/(^а)} является квази-
квазиравномерной, найдутся такие а19 ..., ar>a0, что
min
Но ta. = Sn., / = 1, ..., г, где каждое nj>n0. Мы показали, следо-
следовательно, что существуют такие п19 . .., пг>п0, что
min |/(sn.WE0)|<e, /e^o,
откуда и следует квазиравномерная сходимость sn(f) к so(f). Таким
образом, из условия 3 вытекает 4.
Теперь мы покажем, что из условия 4 вытекает 5. Рассмотрим
счетное множество Fo = {fv /2, .. .} функций из F. Положим
Тогда q определит на множестве S метрику, которая может иден-
идентифицировать некоторые точки из S. Это метрическое простран-
пространство мы обозначим через SQ. Ясно, что естественное отображение
S на SQ непрерывно (но, возможно, не взаимно однозначно) и, зна-
значит, SQ является бикомпактным метрическим пространством.1 По
теореме 1.6.15, S6 сепарабельно. Пусть T={t19t2, ...} —счетное
подмножество, всюду плотное в SQ. Пользуясь диагональным про-
процессом, можно выбрать подпоследовательность {gn} последователь-
последовательности {/п}, сходящуюся на Г к некоторому определенному на Т
пределу f0.
Теперь мы покажем, что /0 имеет непрерывное продолже-
продолжение 7о на все SQ и что {gn} сходится к /0 в каждой точке простран-
пространства SQ. Если {tr}^T и tr—>s0 в 5Q, то ввиду условия 4 сходимость
каждой подпоследовательности последовательности {/г} квазиравно-
квазиравномерна на /v Теперь мы покажем, что если для некоторой подпосле-
подпоследовательности {ht} последовательности {gn} hi (s0) —> L, то f0 (tr) —>L.
Действительно, если А4E0)—>L, то для заданного е>0 найдется
такое iQy что | ht (s0) — L \ < е для i > /0. Пусть {t'r} — некоторая под-

6. Пространство С (S) 295
последовательность последовательности {7Г}; для произвольно
заданного г0 найдется конечное множество индексов г19 . .. , гт>г0
такое, что если f?F0, то \f (t'r.) — f (so)\ < е для некоторого /,
1 ^j^m. Так как {/ij — подпоследовательность последователь-
последовательности (gn}y то она сходится на Т. Существует, таким образом, такое
/0, что если i>j0, то
|fti(^.)-/o(^.)l<e, /=1, ..-,/я.
Зафиксируем теперь некоторое i>i0, /0, тогда для некоторого /
мы будем иметь
+ \hi(s0)-L\<3B.
Отсюда следует, что каждая подпоследовательность {t'r} последо-
последовательности {/г} содержит такую подпоследовательность {t'r}, что
fo(t'r)—>L и, следовательно, что /0(/г)—¦>/,. Если теперь некоторая
другая подпоследовательность последовательности {gn} сходится
в точке s0 к некоторому пределу L', то только что проведенное рас-
рассуждение показывает, что fo(tr)—>V. Следовательно, L'=L.
Таким образом, мы заключаем, что последовательность gn(s0)
сходится к некоторому пределу L и что если tT—>sobSq, to fQ(tr)—>L.
Отсюда вытекает, что/0 имеет единственное непрерывное продолже-
продолжение Jo на SQ и что {gn} сходится на SQ к 7о- Так как отображение S
в SQ непрерывно и так как слабая сходимость ограниченной после-
последовательности в С (S) вытекает из ее поточечной сходимости, то F
слабо компактно.
То обстоятельство, что из условия 5 вытекает 1, было установлено
Эберлейном и доказывается в гл. V (см. V.6.1).
Замечание. Необходимо отметить, что мы можем потребовать,
чтобы точки slt s2, ... в условии 4 принадлежали некоторому наперед
заданному всюду плотному подмножеству множества S. Это будет
использовано при доказательстве теоремы 29.
Продолжая исследование пространства С (S), мы рассмотрим
некоторые важные специальные свойства этого пространства как
алгебры. Одним из этих свойств является хорошо известная теорема
Вейерштрасса об аппроксимации, утверждающая, что скалярная
функция, непрерывная на замкнутом интервале вещественных
чисел, есть предел равномерно сходящейся на этом интервале после-
последовательности полиномов. Эта важная теорема имеет несколько
далеко идущих обобщений; наиболее замечательным среди них
является теорема Стоуна, которая будет нами рассмотрена. Заметим
прежде всего, что С (S) является алгеброй; действительно, если /
и g принадлежат С (S), то и произведение их fg, определяемое равен-
равенством (fg)(s)=f(s)g(s), также принадлежит C(S) (см. 1.4.18). Алгебра
C(S) обладает единицей в, такой, что ef = f для всех f из C(S). Эта

296 Гл. IV. Специальные пространства
единица определяется равенством e(s)=l, s?S. Замкнутой под-
подалгеброй С (S) называется замкнутое линейное многообразие в С E),
содержащее произведение любых двух своих элементов.
15. Определение. Множество А из В (S) достаточно для разли-
различения точек пространства 5, если для каждой пары 5, t несовпадаю-
несовпадающих точек из 5 в Л найдется функция /, для которой f (s) =?f(t).
Обобщение теоремы Вейерштрасса, доказанное Стоуном, можно
в этих терминах сформулировать следующим образом:
16. Теорема. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово простран-
пространство, а С (S) — алгебра всех определенных на S вещественных непре-
непрерывных функций. Пусть 91 — замкнутая подалгебра в С E), содер-
содержащая единицу е. Тогда 91 = С E) в том и только в том случае, если
множество 91 достаточно для различения точек пространства S.
Доказательство. Пусть 91 = С E), a s и / — несовпадающие точки
из S. Так как бикомпактное хаусдорфово пространство нормально
A.5.9), то, по лемме Урысона A.5.2), существует такая функция
/6 91, что f(s) = 1 и /(/) = 0. Для того чтобы доказать обратное, мы
определим функции fVg, fAg и ф (f) следующим образом:
По классической теореме Вейерштрасса, существует такая последо-
последовательность Рп полиномов, что
Таким образом,
если только — п <g (s) < п. Это означает, что ф (g) ? 91, если
?j6s2l. Так как
2 2 '
то 9( замкнуто относительно структурных операций V и Л. Заме-
Заменим далее, что для произвольной F?C(S) и произвольной пары
точек s, t?S найдется такая /Si t ? 9(, что f8i t(s) = F (s) и f8> t (t) =
= F(t). Для того чтобы убедиться в этом, предположим, что g^W

6. Пространство С (S) 297
и g(s)=?g(t). Тогда можно найти такие вещественные числа а
и р, что
Далее, если t? 5, то для каждого s?S найдется такая окрестность Us,
что /Sj t(u) > F (и) — е для и ? Us. Предположим, что f/8i, . .., Us
покрывают 5, и определим
Таким образом, ft (и) > F(u)—e для и б S. Так как fs.ft(t) = F(
то ft(t)=F(f) и, следовательно, существует такая окрестность
точки /, что
Пусть У^, .. ., Vt покрывают S; определим функцию
Так как /r (a) > F (а) — е, а б S, то и
С другой стороны, для произвольного и б 5, скажем agVV
мы имеем
и, следовательно,
\f(u)-F(u)\<e, u?S.
Так как [?Ж и е>0 произвольно, теорема полностью доказана.
—> 17. Теорема. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово простран-
пространство, а С E) — алгебра всех определенных на S комплексных непре-
непрерывных функций. Пусть Щ— замкнутая подалгебра С E), содержа-
содержащая единицу е и содержащая вместе с функцией f также и комплексно
сопряженную с ней функцию /, определяемую равенством J (s) — f (s).
Тогда Ш = С E) в том и только в том случае, если множество 31
достаточно для различения точек пространства S.
Доказательство. Необходимость этого условия доказывается так
же, как в теореме 16. Для того чтобы доказать обратное, предполо-
предположим, что 21Г состоит из всех вещественных функций, принадлежа-
принадлежащих ЭД. Тогда ЭДГ будет содержащей единицу замкнутой подалгеб-
подалгеброй вещественной алгебры Cr (S) всех вещественных непрерывных

298 Гл. IV. Специальные пространства
функций, определенных на S. Если /6 91 и / = /1 + 1/2» гДе fi и /г
вещественны, то }1 = -Ц^- и /2 = -t? принадлежат 91 и, следова-
следовательно, 9tr. Поэтому если f(s)=?f(f), то либо /2 (s) =И=/i@. ли^о
/2 (s) ^ /2@> т- е- если алгебра 91 достаточна для различения точек
пространства S, то и 91Г обладает этим свойством. Из предыдущей
теоремы вытекает, что Cr (S) = 9lr CZ 91. Так как каждая функция
/ G С (S) является линейной комбинацией / = f1 + if2 вещественных
функций fv /2 из Cr(s), то 2l = C(S),.4. т. д.
Пользуясь теоремой 17, можно установить тесную связь между
пространством В (S) и пространством непрерывных функций, опре-
определенных на некотором бикомпактном хаусдорфовом пространстве.
Пространство В (S) является алгеброй относительно естественным
образом определенного умножения (fg) (s) = / (s) g(s). Кроме того,
В (S) обладает единицей е, определяемой равенством e(s) = 1, s? S.
Как и в случае алгебр непрерывных функций, замкнутая под-
подалгебра в В (S) определяется как замкнутое линейное многообразие
в B(S), содержащее произведение любых двух своих элементов.
18. Теорема. Пусть 91 -- замкнутая подалгебра комплексной
алгебры B(S), содержащая единицу е и содержащая комплексно сопря-
сопряженную функцию для каждого из своих элементов. Тогда существует
такое бикомпактное хаусдорфово пространство Sly что 91 изоме-
изометрически и алгебраически изоморфно С (SJ. При этом изоморфизме
U вещественные функции отображаются в вещественные, положи-
положительные—в положительные и комплексно сопряженные — в ком-
комплексно сопряженные, т. е. Uf = Uf для каждого f из%. Кроме
того, если (J — произвольная непрерывная комплексная функция ком-
комплексного переменного и если f принадлежит 91, то и Р (/) принад-
принадлежит 91 и U$(f $(U(f
Доказательство. Пусть 5Х состоит из таких ненулевых непрерыв-
непрерывных линейных функционалов, принадлежащих замкнутой единич-
единичной сфере пространства 91*, для которых х* (fg) = (x*f) (x*g) и х* (/) =
= л;*(/). Каждое s?S определяет некоторое х* б St равенством
xtf = f(s). Очевидно, что
(I) suP|4/|H/l.
s
Если x*€S19 то найдется такое /6 91, что x*f Ф 0, а так как
x*f = x*(fe) = (x*f)(x*e), то x*e=l и \х*\>1. Если |/|<1, то
| **/ |п = | х* (/") |< | г* | и, следовательно, 1 < | ** |< 1. Из этого
обстоятельства и из равенства (I) вытекает, что

6. Пространство С (S) 299
Так как
то топология в произведении пространств []/;, где /691, индуцирует
в Sx некоторую относительную топологию. Так как ]]lf есть биком-
бикомпактное хаусдорфово пространство A.8.2, 1.8.5), то и Sx также
является бикомпактным хаусдорфовым пространством, если только
оно замкнуто A.5.7). Пусть Яб5х; тогда в силу A.7.2) некоторая
обобщенная последовательность {xa}^LS1 сходится к к. Это озна-
означает, что Xaf—>kf, если /691. Отсюда вытекает, что
к (fg) = lim Xa (fg) = Hm (x?/) (xag) = (kf) (kg).
a a
Точно так же можно показать, что к линейно и что | kf | < | /1. Таким
образом, k?Sly и Sx бикомпактно. Отображение U:f—>f1 мно-
множества 91 в СEа) определим, полагая f±x* = х*/. Тогда U линейно,
и из равенства (II) вытекает, что оно изометрично. Ясно, что ?/91
достаточна для различения точек пространства Slt и так как х*е = 1,
если x*?Sl9 то ?/91 содержит единицу алгебры СEа). Так как
\Uf\ = \f\, то алгебра ?791 замкнута в С^). Следовательно, по
теореме 17, U($t = C(S1).
Ясно, что U отображает произведение в произведение, комплексно
сопряженные функции в комплексно сопряженные и, следовательно,
вещественные функции в вещественные. Таким образом, если а
есть полином от двух переменных, то
По теореме Вейерштрасса, существует такая последовательность
{an} полиномов, для которых ап (к, к) сходится в (J (к) равномерно
относительно к из области значений f. Таким образом,
р(/(*)) = lim an(/(s). Щ)
П
равномерно относительно s из S. Следовательно, Р (/) принадлежит 91
и U (Р (/)) = Р (У (/))• Рассмотрев функцию Р (к) = | к |, мы установим,
что U отображает положительные функции в положительные, ч. т. д.
19. Следствие. Предположим в дополнение к условиям тео-
теоремы 18, что запас функций из 91 достаточен для различения точек
пространства S. Тогда существует такое бикомпактное хаусдор-
хаусдорфово пространство Sx и такое взаимно однозначное вложение про-
пространства S в качестве всюду плотного подмножества в Sly что
каждая функция f из 21 имеет единственное непрерывное про-
продолжение \хна Sv причем соответствие f+—>f1 является изометри-
изометрическим изоморфизмом между % и СEХ).

300 Гл. IV. Специальные пространства
Доказательство. Мы воспользуемся обозначениями, введенными
при доказательстве теоремы 18. Ясно, что отображение s —>x*
является взаимно однозначным вложением 5 в Sx, поэтому, для того
чтобы доказать наше следствие, достаточно показать, что S всюду
плотно в S±. Но если это не так, то, по теореме 1.5.2, существует
такое /б СEХ), что / Ф О и f(s) =0 при s?S. Если gG2I таково, что
Ug = f, то g(s)=xtf = O при sgS, т. е. g = 0, что противоречит
тому, что О Ф f = Ug, ч. т. д.
20. Теорема. Пусть замкнутая подалгебра ЭД вещественной
алгебры В (S) содержит единицу. Тогда существует такое биком-
бикомпактное хаусдорфово пространство Sly что вещественная алгебра 91
изометрически изоморфна СE)
Доказательство. Доказательство получается по схеме доказатель-
доказательства теоремы 18 с тем лишь исключением, что вместо теоремы 17 здесь
используется теорема 16, ч. т. д.
21. Определение. Топологическое пространство S вполне регу-
регулярно, если для произвольно заданной точки s0 из S и произвольного
замкнутого множества F, не содержащего s0, существует такая опре-
определенная на 5 и непрерывная на нем функция /, что 0<f(s)<l,
f(so) = 0 и f(s) = l для s?F.
В этом классе пространств содержатся, например, все нормаль-
нормальные и все бикомпактные хаусдорфовы пространства (см. 1.5.2
и 1.5.9).
22. Теорема. Вполне регулярное пространство S гомеоморфно
некоторому всюду плотному подмножеству бикомпактного хаус-
дорфова пространства St так, что каждая определенная на S огра-
ограниченная непрерывная комплексная функция имеет единственное
непрерывное продолжение на St.
Доказательство. Так как алгебра ${=C{S) удовлетворяет усло-
условиям-следствия 19, то наша теорема будет вытекать из этого след-
следствия, если мы покажем, что соответствующее взаимно однозначное
вложение пространства S в Sx является гомеоморфизмом. В тер-
терминах, введенных при доказательстве теоремы 18, это означает, что
достаточно показать, что взаимно однозначное соответствие s+-+xt
между S и некоторым подмножеством 50 пространства Sx является
топологическим отображением. Здесь мы обозначили через 50 сово-
совокупность всех точек х* из Sv имеющих вид х* = х? для некоторого
s из S. Пусть е > 0, s0 б S и /lf ..., /ngCE). Тогда множество
E11/гE)— /гEоI < е> *'=1 ,.» , п} открыто и содержит s0. В 50 ему
соответствует множество

6. Пространство С (S) 301
по определению, являющееся общего вида окрестностью в 50. Таким
образом, для того чтобы завершить доказательство, достаточно
показать, что окрестности в пространстве S, имеющие вид {s |1 fh(s)—
— ^(so)|<e, i=\ ,...,#}, образуют базис топологии про:транства S.
Это можно сделать, используя полную регулярность пространства
S, следующим образом. Пусть s0 принадлежит открытому множеству
G в пространстве S. Тогда в C(S) существует такая функция f, что
0</(s)<l, f(so)=O h/(s)=1, если s принадлежит дополнению мно-
множества G. Множество
является окрестностью точки s0, содержащейся в G. Это завершает
доказательство теоремы, ч. т. д.
Для того чтобы понять, насколько замечательна предыдущая
теорема, предположим, что S есть полуоткрытый интервал 0 < s<, 1
вещественных чисел. Ясно, что пространство S является всюду
плотным подмножеством замкнутого интервала 0<s<l, но опре-
определенная на S функция sin (—) не имеет непрерывного продолжения
на этот интервал. Даже в этом простом случае бикомпактное про-
пространство S1 предыдущей теоремы не имеет достаточно простого
представления.
23. Определение. Определенный на алгебре 91 линейный функцио-
функционал х* мы будем называть мультипликативным1), если х* (/g)=
= (x*f)(x*g) при любых / и g из 91.
24. Лемма. Пусть S& — содержащая единицу е замкнутая под-
подалгебра алгебры В (S). Тогда всякий ненулевой мультипликативный
линейный функционал, определенный на 91, непрерывен и имеет нор-
норму, равную единице.
Доказательство. Предположим, что х* есть определенный на 91
мультипликативный линейный функционал и что f—такой эле-
элемент из 91, для которого х*{фО. Тогда x*f=x*(ef)=(x*e)(x*f), так
что х*е=1 и, значит, |л-*|>1. Пусть, далее, g—произвольный
элемент из 91, для которого |g"|<l, и Я —скаляр, для которого
оо i
| X | > 1. Тогда ряд 2 Дп сходится к некоторому элементу h из ЧЛ, и
71=0 К
Такие функционалы часто называются «характерами». — Прим. ред.

302 Гл. IV. Специальные пространства
Таким образом,
откуда следует, что x*g Ф к. Так как Я — произвольный скаляр с \к | >
> 1, то|л:*?|<1. Так как g произвольный элемент из ЗД, для
которого |g|<l, то |лг*|<1. Следовательно, |**|=1, ч. т. д.
25. Лемма. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство,
ах* — определенный на C(S) ненулевой мультипликативный линей-
линейный функционал. В комплексном случае предположим, кроме того,
что x*f=x*f. Тогда найдется такая точка s?S, что x*f=f(s),
fC(S)
Доказательство. Ввиду предшествующей леммы, л:* является точ-
точкой пространства Sv определенного в доказательстве теоремы 18.
По теореме 22, S гомеоморфно некоторому всюду плотному в SL
подмножеству So. Ввиду бикомпактности S, So тоже бикомпактно
и, следовательно, замкнуто A.5.7). Это значит, что S0=S1nx* ?SQ.
В соответствии с определением So, введенном при доказательстве
теоремы 22, это означает, что x*f=f{s) для некоторого s из 5 и произ-
произвольного f из C(S), ч. т. д.
26. Теорема. Пусть Н—некоторый алгебраический гомоморфизм
C(S) в С(Т), где S и Т — бикомпактные хаусдорфовы пространства.
Если C(S) и С{Т) являются алгебрами над полем комплексных чисел,
то, кроме того, предположим, что Hf=Hf. Тогда Н непрерывно и
имеет вид
где h есть некоторое непрерывное отображение Т в S, В том случае,
когда Н является изоморфизмом C(S) на С(Г), h будет гомеоморфиз-
гомеоморфизмом Т на S.
Доказательство. Для каждого t?T определим мультиплика-
мультипликативный линейный функционал х* на С(Т) равенством
xtf = f(t), /6 С (Г).
Пусть для каждого t?T y*(t)—заданный на C{S) функционал,
определяемый равенством
/6C(S).
Так как и х* и Н мультипликативны, то ясно, что и y*(f) мульти-
мультипликативен. Ввиду предшествующей леммы, найдется такая точка
s=h(t)?S, что y*{t)f=f(s). Следовательно,
(I) (Hf)V) = f(h{t)), /6 Г, /6 С E),

6. Пространство С (S) 303
откуда следует, что \Hf\ <|/|, т. е. что Н непрерывно. Для того
чтобы убедиться в непрерывности h, предположим, что N есть неко-
некоторая окрестность точки so=h(to). По теоремам 1.5.2 и 1.5.9, суще-
существует определенная на S непрерывная функция /, для которой
/(so)=l и f(s)=O для каждой точки s, принадлежащей дополнению
множества N. Так как функция f(h(t))=(Hf)(t) непрерывна относи-
относительно /, то множество
U = {t\f(h(t))*O)
является некоторой окрестностью точки t0. Если / принадлежит U,
то f(h(f)) Ф 0. Отсюда следует, что h (/) принадлежит N. Таким обра-
образом, h(U)c^N и h непрерывно. Если Н есть изоморфизм, при кото-
котором H(C(S))=C(T)f то, как уже доказано, существует такая непре-
непрерывная функция hv отображающая S в Т, что
(II) (H^f)(s) = f(h1(s)\ sgS, /6 С (Г).
Отсюда вместе с равенством (I) вытекает, что
(III) f(s) = f(h(h1(s))), s?S, /6 С E).
Так как в C(S) имеется достаточно много функций для различения
точек пространства S, то отсюда вытекает, что s = h(h1(s)). Ана-
Аналогично t=h1(h(t)) для каждого t?T. Ввиду непрерывности hnhx
доказательство завершено.
27. Следствие. Если S и Т — бикомпактные хаусдорфовы про-
пространства, для которых вещественные алгебры C(S) и С(Т) алгебраи-
алгебраически эквивалентны, то пространства S и Т гомеоморфны.
Следствие 27 означает, что бикомпактное хаусдорфово про-
пространство Sv ассоциируемое с данным, вполне регулярным про-
пространством S, описанным в теореме 22 способом, единственно. Оно
называется максимальным бикомпактным расширением простран-
пространства S в смысле Стоуна—Чеха.
В заключение этого параграфа мы покажем, как теорема 14
может быть использована для получения условий слабой компакт-
компактности в B(S). Однако прежде всего необходимо сделать некоторые
вводные замечания.
Пусть ё={Еа} — ультрафильтр подмножеств множества 5,
и пусть sa для каждого а будет некоторой точкой из Еа. Если мно-
множество {а} упорядочить, положив а<р, если Еа^Е$, то ясно,
что {sa} будет обобщенной последовательностью точек простран-
пространства S. Мы будем говорить, что обобщенная последовательность
{sa} порождается ультрафильтром %={Еа}. Кроме того, для
каждого f?B(S) обобщенная последовательность {f(sa)} скаляров
имеет предел, который мы обозначим через /(§). Хотя ясно, что
каждый ультрафильтр порождает много обобщенных последователь-
последовательностей, но легко видеть, что если {s'a} есть любая другая обобщен-

304 Гл. IV. Специальные пространства
ная последовательность, порожденная ультрафильтром Щ, то
{/(} также сходится к /(?), так что это обозначение оправдано.
28. Определение. Множество Fc^B(S) называется квазиравно-
степенно непрерывным на S, если для каждой обобщенной последо-
последовательности {sa} в S, порождаемой ультрафильтром Щ, f{sa} схо-
сходится к f (Щ) квазиравномерно на F. Заметим, что в этом определе-
определении мы не делаем никаких предположений относительно природы
множества S. Можно доказать, что если 5 есть бикомпактное хаус-
хаусдорфово пространство, то это определение эквивалентно тому, что
FczC(S) и квазиравностепенно непрерывно на 5 в смысле опреде-
определения 13.
29. Теорема. Пусть S — произвольное множество и F(ZB(S).
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1. Множество F ограничено и квазиравностепенно непрерывно
на S.
2. Множество F ограничено, и если Foecmb некоторое счетное
подмножество F, a {sv s2,...} — последовательность точек из S, для
которой {f(sn)} сходится при каждом f?F0, то эта сходимость
квазиравномерна на Fo.
3. Множество F слабо компактно.
Доказательство. То, что из условия 1 вытекает 2, можно доказать
аналогично тому, как в теореме 14 доказывалось, что из условия 3
этой теоремы вытекает 4.
По следствию 19, множество S можно вложить в качестве всюду
плотного подмножества в некоторое бикомпактное хаусдорфово про-
пространство Sx таким образом, что каждое f?B(S) имеет единствен-
единственное продолжение^ из CiSt) итак, что соответствие f< >f1 является
изометрическим изоморфизмом между B(S) и С^). То, что из усло-
условия 2 вытекает 3, можно доказать, используя замечание, сделанное
нами после теоремы 14, о том, что в теореме 14D) достаточно выби-
выбирать последовательность точек из некоторого множества S, всюду
плотного в Sr Зная связь между пространствами B(S) и C(Sj), мы
получаем, что импликация 3—^1 вытекает из импликации 5—>3
теоремы 14, ч. т. д.
30. Лемма. Пусть А —некоторое всюду плотное подмножество
бикомпактного хаусдорфова пространства S; предположим, что
последовательность {fn} непрерывных функций сходится в каждой
точке множества А к некоторому непрерывному пределу f0. Тогда,
для того чтобы последовательность {fn} сходилась Kfoe каждой точке
пространства S, необходимо и достаточно, чтобы и последователь-
последовательность {fn}, и каждая ее подпоследовательность сходилась к /0 квази-
квазиравномерно на А.

7. Пространство АР 305
Доказательство. Из теоремы. И вытекает, что это условие необ-
необходимо. Для того чтобы доказать его достаточность, предположим,
что /n(s0) не сходится к /0(s0). Тогда найдется такое е0 и такая под-
подпоследовательность {gk}, что | gk (s0) — /0 (s0) | > е0, k= 1, 2,... . Пусть
kv...,kr, — индексы, соответствующие е0 и k=l, существование
которых гарантируется квазиравномерной сходимостью последова-
последовательности \gk}. Тогда множества
при /=1,...,г являются открытыми множествами, содержащими s0.
Так как множество А всюду плотно в S, то найдется такая точка
5-6 Л n^ifl ••• П^г. Л*™ которой \gki(s)-fo(s)\>eo, i=
= 1,...,г, что противоречит квазиравномерной сходимости последо-
последовательности {gk}, ч. т. д.
31. Теорема. Пусть S — произвольное множество. Для того
чтобы последовательность {fn} из B(S) слабо сходилась к /0, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и вместе с каждой
своей подпоследовательностью сходилась к f0 квазиравномерно на S.
Доказательство. Последовательность {/п} из B(S) слабо сходится
к f0 в том и только в том случае, если соответствующая последова-
последовательность непрерывных функций {fn} из C(SJ слабо сходится к /0.
(См. следствие 19, показывающее, что S можно идентифицировать
с некоторым всюду плотным подмножеством бикомпактного хаус-
дорфова пространства Sv) Осуществляя эту идентификацию, мы
можем написать, что fn(s)=fn(s), s?S, и справедливость нашей
теоремы вытекает из леммы 30 и следствия 4, ч. т. д.
7. Пространство АР
Построенная Бором изящная теория почти периодических функ-
функций относится к таким комплексным функциям вещественного пере-
переменного, которые могут быть равномерно аппроксимированы на всей
числовой прямой тригонометрическими полиномами вида
т
s (х) - 2 апеапХ,
где av ..., ап — произвольные комплексные, Ях, ..., ^ — произволь-
произвольные вещественные числа. Иными словами, эта теория дает внут-
внутреннюю характеристику, без обращения к тригонометрическим поли-
полиномам, комплексных функций f(x), — оо<л:< + оо, обладающих
тем свойством, что для каждого е > 0 найдется тригонометрический
полином s указанного выше вида, такой, что
\f(x)-s(x)\<e, -оо<*<-| оо.
20 Заказ № 13 24

306 Гл. IV. Специальные пространства
Основной результат теории Бора состоит в том, что класс таких ком-
комплексных функций вещественного переменного в точности совпадает
с классом АР почти периодических функций. В этом параграфе будет
определен класс АР, будет показано, что АР является Л-простран-
ством, и дан принадлежащий Бохнеру критерий почти периодич-
периодичности. Другие важные результаты этой теории (в частности, резуль-
результат, состоящий в том, что каждая функция из АР является пределом
равномерно сходящейся последовательности тригонометрических
полиномов) будут даны впоследствии, когда уже будут установлены
основные положения спектральной теории.
1. Определение. Для комплексной функции /, определенной
на вещественной числовой прямой R, и положительного числа е
множество Г(е, f)^R определяется равенством
Т(в, /) = {*I|/(*+/)-/МКе> *е#}-
Каждое число t?T(e, f) называется е-периодом функции f. Если
это не может привести к недоразумению, вместо Г(е, /) используется
обозначение Т(е). Ясно, что если е < б, то Г(8)сГF), и что если
/?Г(е), то и — t?T {г). Функция / называется почти периоди-
периодической, если она непрерывна и если для каждого е > 0 найдется
такое L=L(e) > 0, что каждый интервал из R длины L содержит
по крайней мере одну точку из Т(е).
Ясно, что периодическая функция будет и почти периодической.
Кроме того, из определения непосредственно вытекает, что если
f?AP, а —произвольное комплексное, a X — произвольное веще-
вещественное число, то функции
также принадлежат АР. Так как
то ясно, что если f?AP, то и \f(-)\?AP. Полезно заметить
также, что если только почти периодическая функция не является
на самом деле периодической, допустимые числа L (е) неограничен-
неограниченно возрастают при г—>0. В самом деле, если А(е)</С, в>0,
то существует такая последовательность {/п}, что 0</п</( и
а, следовательно, каждая предельная точка последовательности
{tn} служит периодом для f.
Для любого k^R сдвиг fi функции / определяется равенством
h() f( X)

7. Пространство АР 307
2. Теорема (Бохнер). Для того чтобы функция из С (R) была
почти периодической, необходимо и достаточно, чтобы множество
ее сдвигов было относительно бикомпактно.
Для доказательства нам потребуются следующие две леммы.
3. Лемма. Почти периодическая функция ограничена.
Доказательство леммы 3. Так как почти периодическая функ-
функция / непрерывна, то функция |/(s)| на интервале 0<a:<LA)
достигает своего максимума К- Пусть х — произвольное веще-
вещественное число; выберем t?T{\, f) в интервале —jc< ^< — x+L(l).
Тогда 0</ + x<L(l) и
, ч. т. д.
4. Лемма. Почти периодическая функция равномерно непрерывна.
Доказательство леммы 4. Так как почти периодическая функ-
функция / непрерывна, то для каждого е > 0 найдется такое 6,
О < 6 < 1, что \f (s) — f(t)\ < -5- для каждой пары точек s, t, для
которой — 1 < s, ^< L ( у ) + 1 и | s — /1 < 6. Предположим
теперь, что х и у — произвольные вещественные числа, для кото-
у j, удовлетворяющее нера-
неравенству — л:<а< — x + L( -|- ). Тогда 0 <х + a<;L ( ~ )
и — l<# + ^<?f-o-)+l. Следовательно,
-f(y)\<E, Ч. Т. Д.
Доказательство теоремы 2. На основании леммы 4 для каждого
г > 0 найдется такое б > 0, что | /я (х) — fx (у)\<г при всех X
и при \х — у\ < б. На основании следствия 6.8 произвольная после-
последовательность {fk} содержит подпоследовательность {flti}, равно-
равномерно сходящуюся на интервале |л:К 1. Точно так же и последо-
последовательность {flti} содержит подпоследовательность {/2> J, равно-
равномерно сходящуюся на интервале |х|<2. Так, одна'за другой
выбираются подпоследовательности, для которых предел \\mfnfi(x)
г
существует равномерно на интервале |л:|</г. Тогда последова-
последовательность {gn — fn,n, л=1, 2,...} будет подпоследовательностью
последовательности {fx.}, равномерно сходящейся на каждом
конечном интервале. Пусть, далее, е>0; выберем п (г) так, что
20*

308 Гл. IV. Специальные пространства
для всех /г, т и л; таких, что 0<jc<L(-|-J И л, т>п{г). Для
каждого вещественного числа х выберем г/?Г( у, / ) из отрезка
— x + L( -^-J и заметим, что так как gn = f^ для неко-
е Л пч / е
торого цл, то число у принадлежит также и Т( -тг,?п ) ¦= Т( -^ , /
для каждого /г— 1, 2, ... . Таким образом, если /г, т>/г(е), то
Мы показали, что произвольная последовательность {/я.} сдвигов
функции f содержит подпоследовательность, равномерно сходя-
сходящуюся на всей числовой прямой R. Следовательно, если /—почти
периодическая функция, то множество {/^, k?R} относительно
бикомпактно в C(R).
Обратно, пусть / — определенная на всей числовой прямой R
ограниченная непрерывная комплексная функция, множество сдви-
сдвигов которой относительно бикомпактно в C(R). Множество
{/я» h?R} вполне ограничено A.6.15), следовательно, для каждого
е > 0 существуют такие числа A,lf .. ., Xm, что каждый сдвиг д
удовлетворяет одному из неравенств | fx — /я,. | < е, / = 1, .. ., гп.
Это значит, что для всех X?R и x?R
для некоторого целого числа /<т. Таким образом, для каждого
Я б R и каждого х 6 R
для некоторого i <m. Если k— max |^|, то отсюда следует, что
каждый интервал длины 2k содержит некоторую точку из Г(е, /).
Следовательно, функция / почти периодична, ч. т. д.
5. Теорема. Пространство АР всех комплексных почти периоди-
периодических функций вещественного переменного является комплексным
В-пространством относительно нормы
1/1= sup |/(х)|.
— со<х<С-\-со
Доказательство. Как уже было отмечено, произведение а/ скаля-
скаляра а и почти периодической функции / снова является почти
периодической функцией. Если обе функции / и g почти периоди-
периодические, то, по теореме 2, для каждой последовательности
(f+gh- = /я. +g} найдется такая подпоследовательность \in = Xini что

8. Пространства Lp (S, 2, |ы)
обе последовательности {/^ } и {g^ } равномерно сходятся. Но
тогда последовательность {(f-\-g)iin} = {/дп + &ип} тоже равномерно
сходится и, по теореме 2, функция f + g является почти периоди-
периодической. Пусть, наконец, {/п} —равномерно сходящаяся последо-
последовательность почти периодических функций и / — предел этой после-
последовательности в C(R). Зафиксируем п0 такое, при котором функ-
функция g = /п0 удовлетворяет неравенству | g — /1 < у . Пользуясь
теоремами 2 и 1.6.15, выберем такие Kv .. ., кт, что для каждого л
\gi— S\. I ^ Т для некотоРого *<#*• Тогда для любого Я
I /я - /^ | < | /я - g J + | gx - ?я. | + I gh - fx. |< e,
при некотором i<m. Следовательно, множество {/я, k?R} вполне
ограничено в С (R) и, значит, A.6.15) относительно бикомпактно
в C(R). Из теоремы 2 вытекает тогда, что / почти периодична,
ч. т. д.
6. Теорема. Пространство АР всех комплексных почти периоди-
периодических функций вещественного переменного содержит вместе с двумя
функциями fug также функции fg и /, определяемые равенствами
(fg) (t)=f(t)g(t), f(t) = f(t). Пространство АР изометрически
и алгебраически (т. е. с сохранением умножения и комплексной
сопряженности) изоморфно алгебре С (S) всех комплексных непре-
непрерывных функций, определенных на некотором бикомпактном хаус-
до рфовом пространстве S.
Доказательство. Как уже было отмечено, если функция / при-
принадлежит АР, то и Jему принадлежит. Точно так же, как в пред-
предшествующей теореме было доказано, что сумма / + g" двух почти
периодических функций является почти периодической, можно
доказать, что и произведение их fg тоже почти периодично.
Поэтому наша теорема является следствием теоремы 6.18, ч. т. д.
8. Пространства LP(S, S, jm)
Пространства Lp (S, S, ц), 1 <p < oo уже изучались в главе III.
В частности, в теореме II 1.6.6 было показано, что они являются
В-пространствами. В этом параграфе мы продолжим изучение этих
пространств, имея в виду решение проблем, перечисленных в § 1.
Кроме того, мы будем изучать и пространство LJO(S, 2, \iJ опреде-
определенное в п. 2.19. Согласно следствию II 1.6.14, оно явл^7ся^-ТфЬ-
странством. Так как Lp(S, 2, \i) = Lp(S, 2, v(\i)), то мы можем,
и в этом параграфе будем, предполагать, что (S, S, |х) является про-
пространством с положительной мерой.

•310 Гл. IV. Специальные пространства
Читатель должен иметь в виду, что пространство 1р является
пространством Lp (S, 2, ц), в котором S есть множество всех целых
чисел, 2 —совокупность всех подмножеств множества S и \i(E) —
число (конечное или бесконечное) элементов множества Е. Таким
образом, результаты настоящего параграфа будут относиться
и к пространству 1р как частному случаю Lp(S, 2, |i).
-» 1. Теорема. Если 1 < р < оо и —}— = 1, то пространства
Lp(S, 2, \i) и Lq(S, 2, \i) изометрически изоморфны; при этом
изоморфизме соответственные векторы х* и g связаны соотношением
, fZLp(S, 2,|i).
Доказательство. Пусть 1 < р < оо; положим Lp = Lp(S, 2, fi),
и пусть |/jp будет нормой f как элемента пространства Lp. Пусть
x*?Lp, и предположим на время, что |ыE)<оо. Если %Е есть
характеристическая функция множества ?^2 и если {ЕЛ — по-
последовательность попарно непересекающихся измеримых подмно-
оо
жеств множества 5, такая, что (J ?;- = Ео, то, по теореме II 1.6.16,
сю
рад .Sxe. = Xe0 сходится по норме пространства Lp. Следова-
оо
тельно, х*%Е = 2 "v*Xe ? так чт0 х*)Се есть счетно аддитивная
функция множества. Так как |%Е|р~ч0, если \i(E)—>0, то х*%к
абсолютно непрерывна относительно \i, и, по теореме Радона —
Никодима (III.10.2), существует такое g€Lx, что х*%Е =
= \ g(s)xE(s) (x(d5). Таким образом, для простых функций /
(I) X*f=\g(s)f(s)lL(ds).
Если {/п} есть последовательность ^-интегрируемых простых функ-
функций из Lp, сходящаяся почти всюду относительно \х к некоторой
функции / из Lp (как показано в пунктах III.3.8, III.3.6 и III.6.13,
такая последовательность всегда существует), то gtn^~^Sf почти
всюду. Так как последовательность х* (fn%E) сходится, то, по тео-
теореме Витали — Хана —Сакса (II 1.7.2),
lim \g(s)fn(s)li(ds)=O

^^_ 8. Пространства Lp (S, 2, |ы) 311
равномерно относительно п. Так как мы предположили пока, что
jo,(S)<oo, то, по теореме III.6.15, fg принадлежит Lx и равен-
равенство (I) имеет место для каждого / из Lp. Теперь мы покажем,
что g принадлежит LQ. Для комплексного числа z положим
а(г) = е-*в, если z = reiQ, и а@) = 0. Тогда, по лемме II 1.6.9,
a(g(')) ^-измерима, так что, по лемме III.2.12, функция gx (•) =
= 1^@ \i/Va(g(')) ^-измерима и, следовательно, принадлежит Lp.
Таким образом,
i
\g(s)\\i(ds)Y =
1+i
Отсюда мы видим, что \g(')\ p€^i> так что функция g2(-) =
= |#(')р ^ a(g(')) принадлежит L и, кроме того,
p
Таким образом,
S
Продолжая это рассуждение по индукции, мы определим
+f+
iu 4 1 ' - ' ' — —
при этом
С 1 ' i-u. 4-—
(II) \ | g (s) | ' р ' " r>n & (ds) <\x
S
л=1, 2, ... .
со
Так как р>1, то 2"^г=9 и> по лемме ФатУ (HI.6.19),.
\g\qK\x*\. С другой стороны, в силу неравенства Гёльдера
(II 1.3.2) |**|<|gr|g. Следовательно, \x*\ = \g\q.
Отображение х*—.>g является взаимно однозначным изометри-
изометрическим отображением Lp в Lq. Из неравенства Гёльдера ясно, что
для каждого g? Lq найдется х*? L^ удовлетворяющее равенству (I),
так что отображение x**—>g является взаимно однозначным изо-

-312 Гл. IV. Специальные пространства
метрическим отображением L? на все Lr Так как линейность этого
отображения очевидна, то для случая jli (S) < оо теорема доказана.
Пусть теперь (S, 2, \х) — произвольное пространство с поло-
положительной мерой и 2L состоит из таких множеств ??2, для
которых [i (Е) < оо. Если Е ? 21? то обозначим через Lp (E) замкнутое
линейное многообразие в Lp, состоящее из таких функций, которые
обращаются в нуль на дополнении к множеству Е. Пусть х% будет
сужением х* на Lp (?), так что если Е ? 2Х, то по только что дока-
доказанному существует такое gE?Lq(E), что
x*Ef=[gE(s)f(s)ii(ds), f(-Lp(E),
Из единственности функции g*F вытекает, что если A, 5g2x,
то gA(s) =gB(s) =gAB(s) для почти всех s из АВ. Таким образом,
\ §е \q ~ \ I ?e (s) \Q Iх (^S) есть неотрицательная, аддитивная функ-
Е
ция множества, определенная для E?I,V Существует, следова-
следовательно, такая неубывающая последовательность {?n}Cl21, для
которой
Так как g"?nE) =g# (s) почти всюду на ?п, то предел g"(s) =
= lirng"lj, (s) существует почти всюду и равен нулю на дополнении
п
оо
множества F= \J En. Согласно следствию III.6.17,
n=i
18 \, = lim i 8е„ l« = sup I xi I < I x* |.
n ??2
Если Е^21 и EF=0, то ЕЕп=0 для всех /г, и
= 1«е12 + 1^„1;- Так как l^nl2-^suPlfei;. то |гв| = 0/ как
?i
только EF=0. Следовательно, если f?L (E) для некоторого
?6Zlt то
^ 5 (S) •*{ds) =
E-F EF
Е- F JSF
EF

8. Пространства Lp (S,I>,\i) 31$
Так как gEF (s) = gE (s) почти всюду в EEnF = EEni то gEF (s) = g (s)
почти всюду в EF. Следовательно, если f?Lp(E) для E^I,^ та
x'f=]g (*) f («) Р (ds) = \g(s)f (s) ц (ds).
EF S
Так как, по следствию III.3.8, множество (J L (E) всюду плотно
E?2i
в Lp и так как и правая и левая части последнего равенства непре-
непрерывны относительно /, то
s
Как уже было показано |g|Q<|#*|. С другой стороны, из нера-
неравенства Гёльдера вытекает, что | х* \ < | g \q. Таким образом
#*—>g есть изометрическое отображение пространства Lp в Lq.
Остальная часть доказательства проводится так же, как выше для
случая n(S)<oo, ч. т. д.
2. Следствие. Если 1 <р < оо, то пространство Lp(S, 2, (г)
рефлексивно.
Доказательство. Пусть х**^^)*. По теореме 1, L? изометри-
изометрически изоморфно Lq, так что в L* найдется такой функционал у*у
для которого
***(**) = </*(?),
где g и х*, как в теореме 1, связаны соотношением
x*f=[f(s)g(s)lx(ds), ftLp,
S
Снова применяя теорему 1, на этот раз к L* и Lp, мы найдем, что
существует такое h g Lp, что
s
Следовательно, jc** (x*) = y* (g) =\^g(s)h (s) \x (ds) = x*[(h), т. е.
s
для каждого jc** б LI* существует такое h g Lpy что jc** (x*) = jc* (A).
Это и означает, что пространство Lp рефлексивно, ч. т. д.
3. Следствие. Если 1 < р < оо, то пространство Lp(S, 2, \х)
слабо полно.
Доказательство. Это утверждение вытекает из следствия 2
и следствия II.3.29, ч. т. д.

314 Гл. IV. Специальные пространства
4. Следствие. Пусть 1 <р<оо; для того чтобы множество
в Lp(Sy 2, \i) было слабо компактным, необходимо и достаточно,
чтобы оно было ограниченным.
Доказательство. Это вытекает из следствия 2 и теоремы II.3.28,
ч. т. д.
Теперь мы рассмотрим вопрос о представлении сопряженного
пространства L% при р = 1. Предполагая, что (S, 2, \х) является
пространством с а-конечной мерой, здесь можно получить резуль-
результат, аналогичный теореме 1.
—» 5. Теорема. Если (S, 2, jlx) — пространство с положительной
а-конечной мерой, то между пространствами L*(S, 2, jlx)
и Loo(S, 2, |li) существует изометрический изоморфизм, при кото-
котором соответственные векторы х* и g связаны соотношением
x*f=[g{s)f(s)\i{ds), / 6 MS, 2,
s
Доказательство. Предположим сперва, 4tojli(S)<oo. В этом
случае можно воспользоваться рассуждением, проводимым при дока-
доказательстве теоремы 1 до того места, где было получено неравенство
(II). При р= 1 это неравенство превращается в
1,2,
Обозначив через Ет множество точек, в которых \g(s)\ > m, мы полу-
получим отсюда, чтоmn\i (Ет) < |х* |n\x (S), т. е. что[\х (Ет)/\х(S)]n < \x* \/т.
Устремляя п к оо, мы находим, что jli (Ет)=0, если т > | х* |. Таким
образом, |g|oo<|**|. Кроме того, ясно, что |**|<|g|oo, так что
1^*| = 1«Г|оо.
Предположим теперь, что мера jli в (S, 2, ц) а-конечна, и пусть
Еп — возрастающая последовательность измеримых множеств конеч-
конечной меры, сумма которых совпадает с S. Применяя доказанное
к пространствам Ll(En)=Ll(EnJ 2(?n), (i), мы получим последова-
последовательность {g4} функций из Loo таких, что \gn |со < | х* |, |gn (s)\=gn+1 (s)
для почти всех s из Е„ и
x*f=\ gn(s)f(s)\i(ds)
En
для каждой функции / из Lv обращающейся в нуль вне множества Еп.
Положим g(s) = timgn (s), тогда функция g будет определена почти

8. Пространства Lp(S,?,fA) 315
всюду, причем |g|co<|**| и
х* (XeJ)=\ g(s)%En(s)f(s)ii(ds), f?Lv л=1, 2, ...,
где %еп есть характеристическая функция множества Еп. Так как,,
по следствию II 1.6.16, |/— Хе /d—>0 при п—> оо, то ясно, что
s
Из этого равенства видно, что | х* | < \g |co, а так как уже было пока-
показано, что |g"|oo<|** |, то между пространствами L* и Loo существует
изометрическое соответствие. Так как линейность этого соответ-
соответствия очевидна, то наша теорема полностью доказана.
Замечание. При изучении локально бикомпактных групп пред-
представляет некоторый интерес то обстоятельство, что предшествующая
теорема остается справедливой и в том случае, если S есть сумма
(быть может, несчетного) множества попарно непересекающихся
подмножеств {Sa} из 2, каждое из которых а-конечно, причем если
Е ? 2 и если \х (?) < оо, то Е имеет непустое пересечение самое боль-
большее со счетным числом множеств из Sa. Из предшествующего рас-
рассуждения видно, что функцию g^LozlS, 2, jli) можно определить
на каждом из попарно непересекающихся множеств Sa. Так как
единственность функции g была установлена для любого про-
пространства с a-конечной мерой, то единственность ее на S вытекает
из того, что каждое множество конечной меры содержится самое
большее в счетной сумме множеств Sa a-конечной меры.
6. Теорема. Пространство Lx E, 2, \i) слабо полно.
Доказательство. Пусть {/п} слабо фундаментальная последова-
последовательность в Lv По лемме III. 8.5, существует такое a-конечное мно-
множество ?6 2, что все функции fn принадлежат замкнутому
подпространству Ll(E)=L1(Ey 2(?),(i) пространства LX(S, 2, jli),
состоящему из всех функций, обращающихся в нуль вне ?. Если
мы сможем найти такое f?L1(E)J к которому последователь-
последовательность {/п} слабо сходится, то тем самым мы покажем, что Lx
слабо полно. Так как последовательность {/п} является слабо
фундаментальной в L1(E) по теореме II.3.11, то все рассуждение
можно проводить в пространстве Lx (?). Таким образом, не ограничи-
ограничивая этим общности, мы можем предполагать, что мера в простран-
пространстве (S, 2, \х) a-конечна.
По теореме II. 3.20, последовательность {/п} ограничена в Lr
Так как характеристическая функция произвольного множества
? б 2 принадлежит Leo(S, I, |д), то число X(?) = lim \ fn(s)\x(ds}
п ->со •'
n-wo E

316 Гл. IV. Специальные пространств с
существует для каждого ? из 2. По теореме III.7.2, функция Я
абсолютно непрерывна относительно \х. Таким образом, по теореме
Радона — Никодима (III.10.2), в L1(Sf 2, \х) существует такая
функция /, что
lim \fn(s)\x(ds)^[f(s)ii(ds)i ??2.
hi a,
Следовательно,
(I) lim \fn(s)h(s)ii(ds)= \ f(s)h(s)ix(ds)
для каждой (i-простой функции h. Так как, по теореме II.3.20,
последовательность {/п} ограничена в Lv то из теоремы II. 1.18 бу-
будет следовать, что равенство (I) справедливо для каждого /i?Loc,
если только мы покажем, что множество (^-простых функций всюду
плотно в Loo.
Итак, пусть б > 0 и h — произвольный элемент из Loo. He ограни-
ограничивая этим общности, мы можем предположить, что h ограничено.
Пусть Alt ..., Ап — конечное семейство попарно непересекающихся
борелевских множеств поля скаляров, диаметр каждого из кото-
которых меньше чем е и таких, что h(S) CZ{J Аг. Пусть аг?Аг,
jBi=/~1 (Л?) и ЛеE)=а{, если s^B^ Тогда, по теоремам III.6.10
и III.5.17, he будет (^-простой функцией, для которой | /г—Ле|ос < е.
Таким образом, равенство (I) справедливо для каждого h^LODt
и наша теорема вытекает из теоремы 5, ч. т. д.
7. Теорема. Последовательность {fn} из L^S, 2, \i) в том и
только в том случае является слабо фундаментальной, если она огра-
ограничена и предел limn \ fn(s) \i (ds) существует для каждого Е из 2.
Последовательность {/п} в том и только в том случае слабо сходится
к некоторому элементу f из Ll(Sy 2, ц), если она ограничена и
\f(s)\i(ds)^\\m\fn(s)ix(ds)t ?6 2.
h, h,
Доказательство. В двух последних абзацах доказательства тео-
ремы^б было показано, что ограниченная последовательность из
Lx (S, 2, \х) слабо сходится к некоторому элементу / из LX(S, 2, |ы),
если только \ fn(s) \x(ds)~->\ f (s) \i(ds) для каждого Е из 2. Для
• ' «3
Е Е
того чтобы доказать необходимость наших условий, предположим,
что {fn} есть слабо фундаментальная последовательность в
Lx (S, 2, \х). В силу теоремы 6 последовательность {fn} слабо сходится
к некоторой функции f из Lx (S, 2, \х). Так как для каждого ? из 2

8. Пространства LV(S, ?,fi) 317
интеграл \ fn (s) \x (ds) линейно и непрерывно зависит от f, то
Е
\ fn (s) Iх (ds) —>\f(s)\i (ds). Ограниченность последовательности
к е
{fn} вытекает из принципа равномерной ограниченности (II.3.27),
ч. т. д.
8. Лемма. Пусть 2 — некоторая о-алгебра множеств, порож-
порождаемая подалгеброй 22 и {\in}—последовательность счетно адди-
аддитивных функций множества, определенных на 2 и со значе-
значениями в В-пространстве Ж. Предположим, что счетная аддитив-
аддитивность \хп равномерна относительно п и что lim \хп (E) существует
П-УОО
для E€2V Тогда \\т\хп(Е) существует для ??2.
п->оо
Доказательство. Обозначим через 22 совокупность всех мно-
множеств ? из И, для которых lim \xn(EF) существует для каждого
П->ос
F^Zly и через 23 — совокупность всех множеств Е из 22, для
которых EF б 22 для каждого F ? 22. Ясно, что если Fl и F2 принад-
принадлежат 23, то и F^ggSy. Ясно также, что есл! F1?Z3, то и
5—Fx 6 23, и что если FvF2^Si причем F/^0, то F^F^s-
Отсюда вытекает, что 23 является алгеброй. Если {Fk} есть после-
последовательность попарно непересекающихся элементов из 23, сумма
которых есть Z7, и если ?\?23 и ?"б22, то, по предположению,
т
lim 2 (хп(^??1) = |дп(/г??1)
равномерно относительно п. Так как lim juin (FjfiE^ существует для
"П-ХЭО
каждого k, то, по лемме 1.7.6, и \\m\in(FEE^ существует. Таким
71->0О
образом, 23 является а-алгеброй. Так как ясно, что Sg^Sj, то
23^2, откуда и вытекает желаемый результат, ч. т. д.
9. Теорема. Подмножество К из L1(S, 2, \х) в том и только
в том случае является слабо компактным, если оно ограничено и счет-
счетная аддитивность интегралов \ f(s)\i(ds) равномерна относительно f
из К. Е
Доказательство. Утверждение, что счетная аддитивность интегра-
интегралов \ f(s)\i (ds) равномерна относительно / из /С, означает, что для
Е
каждой убывающей последовательности {Еп} из 2, имеющей пустое

318 Гл. IV. Специальные пространства
пересечение, предел
lim \ / (s) \i(ds) — О
П Е
п
равномерен относительно / из /С. Предположим теперь, что К слабо
компактно. По лемме II.3.27, К ограничено. Если счетная аддитив-
аддитивность интегралов \ f(s)\i(ds) неравномерна относительно f из Кг
Е
то найдется такое число г > 0, такая убывающая последовательность
Е 2 с пустым пересечением и такие функции fn из /С, что
fn (s) № (ds) > е для /2=1,2,.... Так как К слабо компактно,
то можно предположить, что последовательность {/п} слабо схо-
сходится. Тогда предел lim \ fn (s) \x (ds) существует для каждого Е ? 1>г
n->oo J
что противоречит следствию II 1.7.4.
Обратно, предположим, что К ограничено и что интегралы
\ / (s) \i (ds) счетно аддитивны равномерно относительно /из К. Пусть
Е
fn б /С; предположим, что \fn |< С для /г=1, 2, .... По лемме III. 8.5,
существует такое а-конечное множество Sx из 2 и такая ст-подал-
гебра 2Х в 2 (S^, порождаемая счетной алгеброй 20— {Еп}> что
все эти функции обращаются в нуль вне S1 и {frl}CL1(S1, 21? [г).
Выберем теперь с помощью канторовского диагонального процесса
такую подпоследовательность {gn} последовательности {Дг}, что пре-
предел
\ gn(s)ii(ds)
существует для каждого ? из 20. По лемме 8, предел 'к(Е) существу-
существует и для каждого ? из 2Х. Таким образом, по теоремам 6 и 7, после-
последовательность {gn} слабо сходится в L1(S1, 21? |ы). Но так как
LX(SV 2X, |i) есть линейное подпространство в L1(S, 2, (i), то
последовательность {gn} слабо сходится и в L1(S, 2, \х), ч. т. д.
10. Следствие. Если {/} есть слабо компактное множество функ-
функций U3LX(S, 2, и), то и множество функций {| f (•) |} слабо компактно.
Доказательство. Прежде всего ясно, что множество {|/(•)!}
ограничено. По теореме 9, достаточно доказать, что если Еп есть
убывающая последовательность множеств с пустым пересечением,
то lim \ | / (s) j|ut (rfs) = 0 равномерно относительно / из множества
п-»оо «3

8. Пространства LP(.S,
К— {/}. Но если это не так, то одно из утверждений:
lim \ | Re/ E) \\i(ds) = 0 равномерно относительно /? К
?1->ОО «3
или
lim \ | Im/ E) |[x(ds) = 0 равномерно относительно /6 К
не справедливо. Без ограничения общности можно предположить,
что не справедливо первое. Пусть ??2, /6/С; определим мно-
множества E+ = {s?E\Ref(s)>0] и Е~ = {s? ? | Re/(s)< 0}, тогда
55 ^(rfs)-^ Re/(s) ji(ds).
Так как найдется такое е > 0, что для каждого п существует такое
г»
fn€Ky что \ |Re/n(s) | [A(ds) >е, то мы можем найти такое под-
множество Ап множества Еп, что
/„ (s) Ц (ds)
Ап
Так как множество К слабо компактно, то некоторая подпоследо-
подпоследовательность последовательности {/п} слабо сходится, и без ограни-
ограничения общности можно предположить, что сама последователь-
последовательность {/п} слабо сходится. По теореме 7, последовательность
\ \ fn (s) Iх (ds) \ сходится для каждого Е б 2. Положим
Е
п=1
Так как ca(S, 2) является ^-пространством (см. § III.7),
то К принадлежит ca(S,2). Так как ясно, что каждая функция
множества \ fn (s) \i (ds) абсолютно непрерывна относительно X, то,
Е
по теореме III. 7.2, lim \ fn(s) \i(ds) = O равномерно относительно п.
Так как ?п есть убывающая последовательность с пустым пересе-
пересечением, то Я(?п)->0, а так как Лпсг ?п, то Я(Лп)->0. Следова-
Следовательно, lim \ fn(s) \x(ds) —0 равномерно относительно /г, что
противоречит неравенству
L(s)\x(ds)
г
> , Ч. Т. Д.

Гл. IV. Специальные пространства
11. Следствие. Если множество К из Lx (S, 2, \i) слабо компакт-
компактно, то
Hm \f(s)\i{ds) = Q
равномерно относительно f из К- Если \х (S) < оо, то, обратно, это
условие является и достаточным для того, чтобы ограниченное
множество К было слабо компактным.
Доказательство. Пусть К — слабо компактное множество из
L1(Sy 2, \х). Если абсолютная непрерывность относительно \i интег-
интегралов \ / (s) \х (ds) не является равномерной относительно / из КУ
Е
то найдется такое е > 0, такая последовательность {Еп}
из 2 и такая последовательность {/„} из /С, что ц (?„)-> 0 и
\ fn (s) Iх (ds) > е. Мы можем и будем предполагать, что ПОСЛеДОВателfa-
ПОСЛеДОВателfain
ность {/п} слабо сходится и, значит, что последовательность
] \ fn (s) М- (ds) > сходится для каждого Е из 2. Однако это про-
Е
тиворечит теореме III.7.2. Обратно, если ц (S) < оо и если абсо-
абсолютная непрерывность относительно jli интегралов \f(s)\x(ds)
Е
равномерна относительно / из некоторого ограниченного множе-
множества /С, то счетная аддитивность этих интегралов равномерна отно-
относительно / из К и, по теореме 9, К слабо компактно, ч. т. д.
12. Теорема. Пусть последовательность fn слабо сходится к функ-
функции f из LX(S, 2, \х). Тогда, для того чтобы fn сильно сходилась к /,
необходимо и достаточно, чтобы fn сходилась к f по мере на каждом
измеримом множестве конечной меры.
Доказательсто. Если |/,г —/|—>0> то, по теореме III.3.6,
fn сходится к / по мере. Чтобы доказать обратное, заметим прежде
всего, что так как fn слабо сходится к /, то последовательность
{fn~f} слабо компактна и, значит, последствию 10, последова-
последовательность {|/п(-) — f (•) |} тоже слабо компактна. Но тогда,
по следствию 11, абсолютная непрерывность интегралов
\ | fn (s) — f (s) | [i (ds) равномерна относительно п. Так как на каждом
Е
измеримом множестве конечной меры fn — / по мере сходится к нулю,
то в силу теоремы III.3.6 [ \fn(s) — f (s) \ \i (ds) —> 0 для каждого мно-
Е

8. Пространства LP(S, S,jli) 321
жества Е конечной меры jli. Так как, далее, функции /, /п, п= 1,2, ...
. . ., |ы-интегрируемы, то все они обращаются в нуль вне некото-
некоторого а-конечного множества Е. Пусть {Ет} — возрастающая
последовательность множеств, сумма которых совпадает с Е и для
которых \i (Ет) < оо. Так как последовательность {| fn (•) — /(•) |}
слабо компактна, то для каждого е > О существует такое т
(теорема 9), что
S-Em
Так как \ | fn (s) — f(s) \ n(ds)—>0 при n—>oo, то найдется такое п(е),
ЧТО
]fn(s)-f(s)\iL(ds)<e, п>п(г),
и, следовательно, \fn — f\—> 0, ч. т. д.
13. Следствие. Если каждая точка имеет ненулевую меру, то
слабая и сильная сходимости последовательности из L1(S, 2, |i)
совпадают
Доказательство. Пусть последовательность fn слабо сходится
к / из L± (S, 2, ц). Так как функции fn, f интегрируемы, то / b(s) =
= /(s)=0 для каждой точки s, для которой |ы({5}) = оо. Если
О < |LX ({S}) <ОО, ТО
и, следовательно, fn(s)—>f(s) для каждой точки 5, для которой
О < \i({s}) < оо. Таким образом (III.6.13(b)), fn сходится по мере
к f на каждом множестве конечной меры. Наше утверждение
вытекает теперь из теоремы 12, ч.т. д.
14. Следствие. Слабая и сильная сходимости последовательно-
последовательности из 1Х совпадают.
15. Определение. Пусть (S, 2, \i) — пространство с положитель-
положительной мерой. Обозначим через 2* его лебеговское расширение, и пусть
2Х означает совокупность всех таких множеств ?cS, для которых
Л??2* для каждого множества А 6 2 с мерой \i(A) < оо. Ясно,
что 22 является ст-алгеброй, содержащей 2. Функция |i1, опреде-
21 Заказ № 1324

322 Гл. IV. Специальные пространства
ляемая на 2Х равенствами
), ?6 2*,
является счетно аддитивным продолжением [i с 2* на 2Х.
Пространство ba(S, 2, |i) состоит из таких определенных на 2
ограниченных аддитивных функций, которые обращаются в нуль
на множествах нулевой меры \х. Нормой элемента из ba(S, 2, \i)
служит его полная вариация.
Необходимо отметить, что если мера \i в пространстве (S, 2, \х)
а-конечна, то (S, 2*, \i)=(S, 21э (хх). Если S есть множество целых
чисел, 2 —совокупность всех подмножеств множества Sh (i(?)-
мощность множества Е ? 2, то Ь^ (S, 2, р) есть просто 1^. Поэтому
теоремы, относящиеся к L^y применимы также и к 1^.
16. Теорема. Между пространствами LJ> (S, 2, у) и ba(S, 2X, \хг)
существует изометрический изоморфизм, определяемый равен-
равенством
Доказательство. Пусть /g /^(S, 2, р). Тогда найдется такое
нуль-множество Nt что множество f (S — N) ограничено. Множество
f(S — N) содержится, следовательно, в сумме попарно непересека-
непересекающихся борелевских множеств Av . .., Ап из поля скаляров, диа-
диаметр каждого из которых меньше наперед заданного положительного
числа е. По теореме II 1.6.10, множество Ei — f~l(A^) принадлежит
2Г Если аг?Аг и /8 = 2aiX?-., то |/(s) — fe (s) \ < е для s?S — N.
Так как для K^baiS^ 21э fij) каждое нуль-множество относитель-
относительно меры \il является нуль-множеством и относительно X, то функция
f А,-измерима. Так как функция / существенно ограничена относи-
относительно X, то она Я-интегрируема. По теореме III.2.20 (а)
\ f(s)X\ds) <\f\ \k\. Таким образом, равенством [*]определяется
s
такой элемент л:* б L^ (S, 2, fi), для которого | л:* | < | К |.
Пусть ?t, /= 1, 2, . . . , л,— попарно непересекающиеся множе-
п
ства из 2lf такие, что 2 I ^ (^i) I > I ^ I — е> а ai> • • •»ап—скаляры,
г=1
тг
для которых | at | = 1, агХ (Ег) = | X (fi) |; положим / = 2 aiX?.» ГДе
ХБ—характеристическая функция множества Е. Тогда / б Loo (S,2,(i),
i f\=\ и \х* \>x*f> \k\-e. Следовательно, \х* | = \h\.
Ясно, что отображение X—>x* пространства ba (S, 2X, (я^ в
L^(S, 2, (я), определяемое равенством [*], взаимно однозначно.

8. Пространства LP(S, 2,|n) 323
Для того чтобы убедиться в том, что произвольное л;* из L%> (S, 2, |i)
соответствует некоторому X из 6а (S, 2lf \ix), положим А,(?) =
= **ХЕ для ?? 2Р и пусть/gL^S, 2, |л). Тогда |/8 — /| < е, и ясно,
что x*fs= [ М5)М<Ф- ПРИ е-*° получаем, что ^ f (s)X(ds)=x*f,
8 S
Ч. Т. Д.
Теперь мы займемся изучением бикомпактности в Lp-npoerpaH-
ствах. Здесь могут быть даны различного типа критерии биком-
бикомпактности. Прежде всего мы установим основанный на лемме IV.5.4
совершенно общий критерий, который, однако, иногда трудно
применим в специальных случаях.
17. Определение. Пусть (S, 2, \i) — пространство с положитель-
положительной мерой и П —множество всех конечных последовательностей
я = {Е19 . . ., Еп} попарно непересекающихся множеств из S конеч-
конечной положительной меры. Множество П упорядочим, полагая, что
неравенство я<ях означает, что каждое множество из я, за исклю-
исключением некоторого множества меры нуль, является суммой множеств
из яг Для каждого я = {?1, .. ., Еп) ?П и каждой определенной
на S функции /, интегрируемой на каждом множестве конечной
меры, определим функцию fn следующим образом:
п
О, если s^ U Eit
Е
U
и положим Unf = /я.
18. Теорема. Пусть 1<р<оо и Un —отображение, введенное
в предшествующем определении. Тогда для того, чтобы ограниченное
множество К из Lp(S, 2, |i) было относительно бикомпактным,
необходимо и достаточно, чтобы lim Unf = f равномерно на К- Если
л
jli (S) < оо, то этот критерий справедлив также и в L^iS, 2, jx).
Доказательство. Пусть 1 <р < оо, %Е — характеристическая
функция множества Е nf^Lp(S, 2, fx). Тогда для я = {Ev . . ., Еп}
мы имеем
i=\

324 Гл. IV. Специальные пространства
Следовательно, на основании неравенства Гёльдера (II 1.3.2)
i=i Ei
Так как отображение Un имеет конечномерную область значений,
то оно отображает ограниченные множества в относительно биком-
п
пактные. Если л = {Ev ...,?„} и f=Y а{ %Е., то при пх>л,
UnJ = f- Таким образом, для простых функций Unf—>f. Так как
|(/я|<1, то, по следствию II 1.3.8, Unf—>/для всех/из!р (S, 2, ц).
Следовательно, если 1<р<оо, наша теорема вытекает из лем-
леммы IV.5.4. В случае когда |i(S)<oo, аналогичное рассуждение
проходит и для Loo(S, 2, ц,), ч. т. д.
Если S есть я-мерное евклидово пространство, 2 — алгебра боре-
левских множеств из S и jx — лебеговская мера, то можно дать
более удобные условия. Для этого нам понадобится следующая
лемма.
19. Лемма. Если \х — регулярная конечно аддитивная функция
множества, определенная на некоторой алгебре 2 подмножеств нор-
нормального пространства S, то для 1 <р < оо множество ограничен-
ограниченных непрерывных функций из Lp (S, 2, \х) всюду плотно в LV(S, 2, fx).
Доказательство. Так как множество ji-интегрируемых простых
функций всюду плотно в Lp(S, 2, \i) (III.3.8), то достаточно дока-
доказать, что характеристическую функцию множества Е 6 2, для
которого и([х, ?) < оо, можно аппроксимировать ограниченными
непрерывными функциями из Lp(S, 2, [i). Пусть /71 и F2 — такие
множества из 2, что F1c^E, F2?E' и
v(\i, E — F^) < e, v ((я, Е' — F2) < e.
По теореме Урысоиа A.5.2), существует определенная на S непре-
непрерывная функция f, такая, что 0</(s)<l, /(s) = l, если s?Fv
и f(s)—Oy если s?F2. Таким образом,
v(\i, ds)<2e, ч. т. д.
20. Теорема. Пусть S —числовая прямая, Ж — алгебра борелев-
ских подмножеств Su\i — лебеговская мера множеств из &. Предполо-
Предположим, что 1 <р < оо. Тогда множество К из Lp(S, &,\i) относи-
относительно бикомпактно в том и только в том случае ,если оно ограничено и

8. Пространства Lp (S, 2, ц) 325
+00
(a) lim \ I / {x + y) — / (y) \p dy = 0 равномерно относительно
л:->-0 ^
—00
00 —A
(b) lim Г [ + { \f(y)\pdy 1 = 0равномерно относительно f 6 /(.
A<H>O° A -co
Доказательство. Предположим, что К относительно бикомпактно.
Тогда К ограничено. Пусть дано е > 0. По теореме 1.6.15 и следствию
II 1.3.8 можно найти конечное множество fi-интегрируемых простых
функций gv .. ., gN такое, что для каждого f?K найдется /
такое, что \f — gj\ < e. Можно также предположить, что каждое g;
является линейной комбинацией характеристических функций
интервалов. Из этого предположения вытекает, что все функции
gv • • •» Sn обращаются в нуль вне некоторого достаточно большого
интервала [ — Ло, +Л0], так что
со —А со —А
А — оо А —оо
при А > Ло, чем и доказано утверждение (Ь).
Для того чтобы доказать (а), заметим прежде всего, что если
есть характеристическая функция конечного интервала, то
lim \ \%
—оо
-foo
Таким образом, lim \ |g• (л: + у) — g";. (у) |р dy = 0 для каждой функ-
оо
ции gji и, следовательно,
4-оо -foo
-{-o
l7m" С
oc->O ^
—oo
-foo
равномерно относительно f?K. Этим доказано утверждение (а).
Для того чтобы доказать обратное, будем рассуждать следую-
следующим образом. Мера \х является единственной мерой Бореля, опре-
определяемой тем условием, что для каждого интервала [а, Ь] \х ([а, Ь]) =
= Ь — а. Следовательно, для каждого борелевского множества Е
( E) = \i(E). По лемме III.10.8, оператор ТХ9 определяемый

326 Гл. IV. Специальные пространства
равенством (TJ) (у) =f (у-\- х), устанавливает некоторое отображение
пространства Lp в Lp, причем 17"^/1 = |/|. Так как равенство
lim| Txf— T f\ = 0 очевидно, если / является характеристической
функцией некоторого ограниченного интервала, то, по следствию
III.3.8, lim |7^/ — Tyf\ = O для всех f?Lp. Таким образом, для
х-±у
каждого фиксированного f Txf является непрерывной функцией
вещественного переменного х. Из предположения (а) вытекает,
что lim Txf = f равномерно относительно / из /С Положим
л:-* 0
тогда, по теореме II 1.2.20 (а),
|/J-/|< sup
так что при а—>оо /а/—>/равномерно относительно f?K.
Так как Txf непрерывно относительно х, то функции hnt опре-
определяемые равенством hn (х) = Т;а/, если — < х < " ^а , / = 0,
п
± 1, ±2, . .., сходятся к Txf равномерно на каждом конечном
интервале изменения х. Следовательно,
-fa n—i
/ J - lim I \ hn (х) dx = lim -i- ^ Тиг f,
—a j=-n n
где пределы берутся в метрике пространства Lp. По теореме III.3.6
и следствию III.6.13, переходя к подпоследовательности {щ} после-
последовательности 1,2, ..., будем иметь
nt-i
для почти всех х. Если функция / непрерывна, то предел в правой
части, очевидно, равен
-fa x-\-a
1 j f(y + x)dy = ± \ f(y)dy.
— а
Таким образом, если мы определим элемент ф*,Л6^р» полагая
х+а ' _i
для я6^р, то, по теореме 1, !ф*ж| = Ba) p
и (Iaf)(x) = q>Zt xf для — oo<a< + oo, непрерывной функции /,
принадлежащей к Lp и почти всех относительно \х точек х. В силу

8. Пространства LV(S, 2,jli) 327
леммы 19 существует последовательность {fn} непрерывных функций,
сходящаяся в Lp к заданной функции f. Тогда Iafn^->Iaf
и 4>%,xfn—>4)*.xf- Если мы выберем подпоследовательность в соот-
соответствии с III.6.13, то мы будем также иметь, что (I(Jn) (х) ~^(IJ) (х)
для почти всех х. Отсюда вытекает, что (Ia f) (x) = Ф*, xf Для почти
всех х. Так как функция в левой части этого равенства определена
лишь с точностью до множества меры нуль, то мы можем считать,
что это равенство справедливо для всех а и л;, т. е. что
(Lf) (*) = ф*,х/, - оо < а, х < + оо, /6 Lp.
Так как TxTJ = Tx+yf = TyTJ, то из теоремы III.2.19 (с) выте-
вытекает, что
для f?Lp. Если задано 6Х > 0, мы можем найти столь малое 6^,
что | Ту — /1 < бх при | у | < б2 и / б К. Тогда для каждого фикси-
фиксированного а > О
- (^а Л (*) I = ! Ua (Ту f
Следовательно, для каждого а множество функций Iа /, / ? i^, равно-
равностепенно непрерывно.
Пусть дано е > 0. Выберем а настолько малым, что | IJ — f \ < е
для /бК. Выберем затем А столь большим, что
-А +оо
^ + ^ |/(*)|М*<в, для /€/С.
А
Используя затем теоремы 6.17 и 1.6.15, найдем конечное множество
непрерывных функций gv ...,gN> определенных на интервале
[ —Л,+Л]итаких, что |^(л:)-/а/(х)| < еЛ р для -Л<л:<Л.
Теперь если мы положим, что v- (x) =g. (х) для х?[ — А, +А]
и Vj (х)=0 вне этого интервала, то ясно, что v}?L и что
\f—v}\< Зе. Таким образом, относительная бикомпактность К вы-
вытекает из теоремы 1.6.15, ч. т. д.
Теорема 20 легко может быть обобщена на я-мерное евклидово
пространство. Мы сформулируем это обобщение, предоставляя чи-
читателю соответствующую модификацию деталей доказательства тео-
теоремы 20.
21. Теорема. Пусть S — п-мерное евклидово пространство, 38 —
алгебра борелевских подмножеств S и \i — лебеговская мера множеств

328 Гл. IV. Специальные пространства
из $?. Тогда подмножество К пространства Lp (S, J?, \i) относительно
бикомпактно в том и только в том случае, если оно ограничено и ни-
нижеследующие пределы существуют равномерно относительно f из К'.
-j-oo -j-oo
(a) lim
°0
-/ (Уи • - -, 1/п) Г = 0 и
(Ь) lim \ \f(y)\*dy = 0,
где С а есть куб — A <xlt ..., *П<Л.
Последним обобщением в этом круге идей является обобщение
на произвольные группы с инвариантной мерой; этот вопрос будет
рассмотрен в гл. XI.
Теперь мы рассмотрим еще некоторые свойства пространства Lp,
вытекающие из его естественной упорядоченности; они окажутся
полезными в дальнейшем. Мы говорим, что функция f?Lp(S, 2, \i)
положительна, и пишем />0, если f(s)>0 для почти всех s?S.
Если /j и /2 —две вещественные или комплексные функции в
Lp(S, 2, (л), такие, что/х — /2>0, то мы пишем fx>f2 или /2</i-
Ясно, что это отношение превращает Lp в частично упорядоченное
A.2.1) пространство. Докажем полноту Lp относительно этой
упорядоченности A.12).
22. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — пространство с положительной
мерой. Тогда вещественное частично упорядоченное пространство
Lp(S> 2, \х), 1 <р < оо, является полной структурой.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что если {/а}
есть множество функций из Lx, таких, что 0 </а <g0 для некоторого
So € Ll9 то sup {fa} существует в Lv Далее, так как функция g0 инте-
грируема, то она обращается в нуль почти всюду вне некоторого
множества cr-конечной меры. Мы можем, следовательно, предполо-
предположить, что (S, 2, \х) является пространством с а-конечной положи-
положительной мерой. Далее, отображение fa—>Xa, определяемое равен-
равенством Ха(Е)= ^ fa(s) ii (ds), ??2, является взаимно однозначным
Е
и сохраняющим порядок отображением пространства L1 (S, 2, \х)
в пространство ca(S, 2) с его естественной упорядоченностью
(III.7). Таким образом, если g0 отображается в ko^ca(S1 2), то
O<>ia<^o- Пользуясь следствием II 1.7.6, положим, что v = sup {Xa},
т. е. что v есть верхняя грань множества {Яа}. Тогда v?ca(S, 2)
и 0<Xa<v<?i0. Так как функция КО абсолютно непрерывна отно-
относительно (л, то такова же и v, и из теоремы Радона — Никоди-

8. Пространства Ip (S, 2, ц) 329
ма (III.10.7) вытекает, что существует такое Ag L19 что v (E) =
= \ h(s)\i(ds). То обстоятельство, что A = sup {/а}, вытекает из
равенства v = sup{A,a} и того, что рассматриваемое отображение Lx
а
в ш сохраняет порядок, ч. т. д.
23. Теорема. Если (S, 2, fi) — пространство с а-конечной поло-
положительной мерой, то вещественное частично упорядоченное про-
пространство Loo E, 2, \i) является полной структурой.
Доказательство. Пусть Sn?2, причем (x(SJ<oo, Snr^Srl+1 и S =
= U5n- Пусть, далее, /а, g0?^co и fa<go- Так как
Loo(Sn, 2, H-)^I^i(^n» 2, и-)»то из предшествующей теоремы вытекает
существование hn^Ll(Sn, 2, |я), являющегося верхней гранью мно-
множества {fa}, рассматриваемого в Ll9 (Srt, 2, (л). В частности, для каж-
каждого а /аE) < hn (s) <,g0 (s) для почти всех s?Sn, и, следовательно,
hn^Loo(Sn1 2, (я). Мы можем считать, что hn обращается в нуль вне Sn,
и тогда ftn6Loc(S, 2, |я). Для почти всех s?S {hn(s)} будет
возрастающей последовательностью вещественных чисел; положим
h(s) = \imhn(s). Функцияhизмерима, атак как h(s) <go(s) для почти
п
всех 5, то она существенно ограничена. Согласно определению функ-
функции ft, она является мажорантой для множества {/а}. Если h
не является верхней гранью для {/а}, то найдется такое измеримое
множество конечной положительной меры E<~_Sno и такая измери-
измеримая функция А', что для каждого a fa(s) <A' (s)<h(s)=hno(s) для
почти всех 5 из Е. Но это противоречит определению АПо, ч. т. д.
Некоторые относящиеся к материалу этого параграфа дополни-
дополнительные результаты будут даны в § 11. Заметим, что, по доказанному
в теореме 16, L** является некоторым пространством функций мно-
множества, а, значит, по следствию II 1.7.6, обладает тем свойством,
что те его подмножества, для которых существуют мажоранты,
имеют и верхние грани. Пространство Lx можно вложить естествен-
естественным отображением и в пространство L**. Для дальнейших прило-
приложений важно знать, что верхняя грань подмножества в Ьг в то же
самое время служит для него верхней гранью и в пространстве L**.
24. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — пространство с о-конечной поло-
положительной мерой. Если х есть естественный изометрический
изоморфизм пространства L1=Ll(S, 2, \i) в L** и если множе-
множество {fa} имеет мажоранту в частично упорядоченном простран-
пространстве L1? mO x(sUp{/a}) = SUp{x/a}.
а а
Доказательство. Так как мера \х в (S, 2, \х) а-конечна, то
L**(S, 2, \i) = ba(S9 2*, \х) есть пространство всех ограниченных

330 Гл. IV. Специальные пространства
аддитивных функций, определенных на лебеговском расширении 2*
алгебры 2 и обращающихся в нуль на множествах из 2*, мера \х
которых равна нулю. Если /6^i, то, как легко видеть, xf есть
функция множества, определяемая соотношением (%f)(E)==
= \ /(S)M'(^S)> ??2*. В частности, х/ счетно аддитивна и абсолютно
Е
непрерывна. Предположим, что 0 ^/0 = sup(/a}. Так как и сохраняет
a
отношение порядка, то ясно, что 0<X^supa{x/a} <x/o, где верхняя
грань берется в частично упорядоченном пространстве ba(S, 2*, fx).
Отсюда вытекает, что X счетно аддитивна и абсолютно непрерывна от-
относительно (л; следовательно, по теореме Радона—Никодима, сущест-
существует такая функцияg^Ll(S, 2*, |i), чток(Е) = \ g(s) |i(ds), ?62*.
к
Так как xg = ?i<x/0, Tog</0. С другой стороны, так как xfa<:xgr
то fa<g Для каждого а. Таким образом, /o = suP/a<g\ так что
/o = g, ч. т. д.
Теперь мы покажем, что пространство линейных отображений
одного Lp-пространства в другое тоже является частично упоря-
упорядоченным пространством. Мы говорим, что линейное отображение
Т : Lp—> LQ положительно, и пишем Г> 0, если из того, что /6 Lp и
f>0, вытекает, что Tf>0. Аналогично Тг>Т2, или Г2<711, озна-
означает, что Тг — Т2>0. Легко видеть, что если Т>0, то Т отображает
вещественные функции в вещественные.
25. Лемма. Пусть (S, 2, \i) — пространство с положительной
п
мерой и 1 <р< оо. Предположим, что /!+/2= 2 ?k> г^е fj> Sh~~
h—i
положительные элементы из Lp(Sy 2, \i). Тогда в Lp(S, 2, \i) суще-
существуют такие положительные элементы hjky /= 1, 2, k= I,..., п: что
Доказательство. Предположим, что п=2. Так как 0<f1, g'1<
<fi+ft. то inf {/ж, gj] и sup {/i, gj существуют в Lp(S, 2, jx).
Положим A11=inf{/:1,g1},A12=/1-A11, А21=^1-А11и A28=(/:1+f2)-
— sup {/x, ^J. Наше утверждение вытекает теперь из определения
h-k и того обстоятельства, что
inf [fv Si) + SUP tfi' eTiJ = /i + ft.
Соответствующее утверждение для произвольного п получается
по индукции из доказанного результата при м=2, если записать
п —1
fl + fi= Ugh+ign + en+l), Ч. Т. Д.

8. Пространства Lp(S, 2,jn) 331
26. Теорема. Пусть (S, 2, ц)—пространство с положительной
мерой, и пусть 1 <р<^оо и 1 < q<oo. Тогда частично упорядоченное
пространство линейных отображений вещественного пространства
Lp(S, 2, \х) в вещественное пространство Lq(S, 2, \i) является пол-
полной структурой. Если мера \х в (S, 2, \х) о-конечна, то наше утвер-
утверждение справедливо также и при g = оо.
Доказательство. Достаточно показать, что множество {Та}
положительных линейных отображений имеет нижнюю грань Го,
также являющуюся линейным отображением. Сначала мы опре-
определим То для положительных элементов / из Lp(S, 2, \i). Для этого
п
предположим, что / = 2 Si есть разложение f в конечную сумму
положительных функций gt из Lp (S, 2, (л). Положим
7V=inf (S ra.giK
i=l г
где нижняя грань берется по всем таким конечным разложениям
/ = 2 ft ФункЦии / и произвольным выборам Та., i= 1, . . ., п. Ясно,
что 0<Т10/<Т'а/: для любого а. Далее, если S есть произвольная
миноранта для {Та}у то
1=1 1=1 l
для любого разложения /, и, следовательно, Sf < Tof. Теперь мы по-
покажем, что То аддитивно на положительных элементах. Пусть
/,6Lp(S, 2, (я), /.>0, /=1, 2, и пусть /1==2 А4. /«=2 ?«-]
г=1 г=1
ложения /х и f2 на положительные элементы. Тогда
будет разложением функции /х+/2, и, следовательно,
Для того чтобы доказать обратное неравенство, предположим, что
п
fi+f2=: 2 gk есть разложение функции /х+/2 в такую сумму, где
gk > 0. В силу предшествующей леммы существует такое множество
^м» /=1, 2, Л=1, ..., л, положительных элементов из L E, 2, ji),
п
что /. = 2 hjh и gk = hlk-{-h2k. Следовательно,
/г=1
ft

332 Гл. IV. Специальные пространства
и так как T0(fx+f2) является нижней гранью сумм такого вида, то
мы получаем, что
Следовательно, отображение То аддитивно на положительных функ-
функциях, а его однородность по отношению к положительным скаля-
скалярам очевидна.
Если fvf2,gvg2 положительны и ^-/2=ft-&, то f1+g2=g1+f21
Toh+Tog^Togi+Tob и T0f1-T0f2 = T0g1-T0g2. Таким образом,
То можно определить для вещественных функций Д полагая Tof=
= T0fl — TQf2, где функции fv f2 положительны и f = f1—f2. Эта про-
продолженная функция То является линейным отображением, и из
определения ее ясно, что она служит нижней гранью для отобра-
отображений Га, ч. т. д.
9. Пространства функций множества
В этом параграфе мы рассмотрим специальные свойства про-
пространства ba(S, 2), состоящего из ограниченных аддитивных ска-
скалярных функций, определенных на некоторой алгебре множеств,
и пространство шE, 2), состоящее из счетно аддитивных мер,
определенных на некоторой а-алгебре. Первые теоремы устанавли-
устанавливают условия слабой компактности множеств из ca(S, 2).
1. Теорема. Для того чтобы множество Kdca(S, 2) было слабо
компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничен-
ограниченным и чтобы счетная аддитивность [х ш 2 была равномерной отно-
относительно fxGK-
Доказательство. Если множество К слабо компактно, то, по
лемме II.3.27, оно ограничено. Если счетная аддитивность \i не
является равномерной относительно [i?K, то существует такая
убывающая последовательность множеств ?П6 2 с пустым пересе-
пересечением, такая последовательность {\лп}^К и такое число е>0, что
||яп(?п)|>е, л=1, 2, ....
Все функции [хп абсолютно непрерывны относительно следующим
образом определяемой меры:
71=1
и, значит, все они принадлежат подпространству ca(S, 2, X), сос-
состоящему из всех абсолютно непрерывных относительно Я функций

9. Пространства функций множества 333
из ca(S, 2,). В силу теоремы Радона—Никодима (III.10.2)
формула
Е
устанавливает изометрический изоморфизм между ca(Sf 2, X) и
L1(S, 2, А,). Поэтому соответствующее множеству К множество
Kf a Lx (S, 2, X) слабо компактно. По теореме 8.9, счетная аддитив-
аддитивность \i (Е) = \ f(s)k(ds) равномерна относительно /G К' и, следо-
Е
вательно, равномерна относительно [i?K-
Обратно, предположим, что множество /Cd<:a(S,2) удовлетво-
удовлетворяет двум нашим условиям, и пусть |хп?/С, я=1, 2, .... Исполь-
Используя определенную выше меру X, мы получим такие функции
fn6Li(S, 2, Я), что
$() Ы = |/п|, /1=1,2,....
Е
По теореме 8.9, последовательность {/п} содержит подпоследова-
подпоследовательность, слабо сходящуюся в L1(SJ 2, К). Так как пространства
ca(S, 2, X) и Lx (S, 2, X) эквивалентны, то последовательность
{\in} содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся в
ca(S, 2, i), а следовательно, и в ca(S, 2), ч. т. д.
Другой полезный критерий слабой компактности в ca(S, 2)
содержится в следующей теореме.
2. Теорема. Подмножество Kaca(S, 2) в том и только в том
случае слабо компактно, если оно ограничено и если для некоторого
положительного X из са (S, 2) предел lim [x (Е) = 0 равномерно отно-
Х(Е)->0
сительно \i из К-
Доказательство. Достаточность этих условий, так же как и необ-
необходимость ограниченности, вытекает из теоремы 1. Итак, пусть
К слабо компактно и M=sup|u|, fx?/(.
Прежде всего мы покажем, что для каждого е>0 найдется такое
конечное множество (ях, ..., \in элементов из К и такое 8>0, что
| [i(E) |<е для каждого \х из /С, если только v (\it, ?)<6, i= I, .. ., п.
Действительно, если это неверно, то найдется такое е>0 и для
каждого \xL ? К такое множество Ех ?2 и такое \i2 g/C, что
v(\iv ^Х-у , ltM?i)l>?.
Точно так же найдется такое множество ?2(Е2 и такой элемент
ix3 6 К, что

334 Гл. IV. Специальные пространства
Так можно определить последовательности {[хп}^/С, {Еп}<^ 2,
для которых
v(piy Еп) <2тг, /= 1, . . ., /г,
Так как К слабо компактно, то последовательность {\in} содержит
слабо сходящуюся подпоследовательность. Для упрощения обозна-
обозначений предположим, что последовательность {\in} сама слабо схо-
оо
дится. Положим Хо= 2 2~у^([х;), тогда каждое \in абсолютно непре-
рывно относительно Хо. Так как последовательность {\in} слабо схо-
сходится, то l\m \in(E) существует для каждого ?62. По теореме Вита-
Витали— Хана — Сакса (III.7.2), lim \in(E)=0 равномерно относи-
М#)->0
тельно п. Далее,
п оо
К (Е )< V -L.-L . V 1 м < 1+м
и, следовательно, lim \im(En) =0 равномерно относительно
п
/п=1,2, ... . Но это противоречит тому, что [^^.j^JI > е> 0, и дока-
доказывает наше утверждение. Пусть теперь бп>0 и \i[n\ . . ., й1)
71
1
такие элементы из /С, что | \i (E) |< — для каждого [л из К и каж-
каждого множества ?(Е2, для которого у (f4n\ Е)<дп1 /=1, ... mn.
Если X определяется формулой
n=l i=l
то, по лемме II 1.4.13, каждое \i из К абсолютно непрерывно относи-
относительно А, т. е. Kdca(S, 2Д). По теореме Радона — Никодима
#т'\10.2), формулой
устанавливается эквивалентность пространства ca(S, 2, X) и
L1(Si 2, X), и, таким образом, наша теорема вытекает из следст-
следствия 8.11, ч. т. д.
3. Следствие. В предположениях теоремы 2 К можно выбрать
так у что
A,(?)<sup|jjt(?)|, ?6 2.
ел-

ff. Пространства функций множества 335
Доказательство. В виду леммы II 1.1.5 и формулы, определяю-
щей X, мера -г- обладает нужными свойствами, ч. т. д.
4. Теорема. Пространство ca(S, 2) слабо полно.
Доказательство. Если {fxn} — слабо фундаментальная последо-
последовательность в ca(S, 2), то предел lim \in(E) существует для каждого
Е из 2 и, по лемме II.3.27, последовательность {\in} ограничена.
В силу следствия III.7.4 счетная аддитивность {\in(E)} равномерна
относительно п=\, 2, ..., и, следовательно, по теореме 1, слабо
фундаментальная последовательность {\in} слабо сходится, ч. т. д.
5. Теорема. Последовательность {fxj u3ca(S, 2) слабо сходится
(к \i) в том и только в том случае, если она ограничена и предел 1 im \in (E)
п
существует (и равен \i (Е)) для каждого Е изЪ.
Доказательство. Пусть А, определено как в доказательстве тео-
теоремы 1. Тогда ca(S, 2, К) эквивалентно Lx (S, 2, К), и последова-
последовательность
/-»
, п=\, 2, ...,
слабо сходится в са (S, 2, X) (а значит, и в са (S, 2)) в том и только
в том случае, если последовательность {/п} слабо сходится в L^S, 2 Д).
Справедливость нашей теоремы вытекает теперь из теоремы 8.7,
ч. т. д.
6. Определение. Пусть (S, 2, \i) — пространство с мерой. Мно-
Множество Е ? 2 называется атомом, если \i (E) Ф О и если из того, что
Fg2, Fc^E, вытекает, что либо \i(F)=\i(E), либо \i(F)=0.
Ясно, что если Ег и Е2 — атомы, то либо fx (?l1?2)=0, либо
[х (Е1АЕ2)=0. Пространство с конечной положительной мерой может
иметь не более чем счетное множество несовпадающих атомов.
7. Лемма. (Сакс). Пусть (S, 2, \i) — пространство с конечной
положительной мерой. Если г > 0, то S является суммой конечного
числа попарно непересекающихся множеств Ех, ..., ?п? 2 таких,
что каждое Ei либо является атомом, либо имеет меру
Доказательство. Пусть е — произвольное положительное число.
Так как [х E) < со, то имеется самое большее конечное число несов-
несовпадающих атомов {Ех, ..., ?р}, мера которых превосходит г. Тогда
V
множество A = S— [] Et не содержит атомов, мера которых больше е.
г—1

336 Гл. IV. Специальные пространства
Теперь мы покажем, что каждое измеримое подмножество В мно-
множества Л содержит такое множество F,что 0<[х (F) < е. Допустим, что
это не так, т. е. что некоторое множество В не содержит множества
из 2 положительной меры, не превосходящей е. Тогда так как мно-
множество В не может быть атомом, то оно содержит такое множество Gx
из 2, что 0 < [х (Gx) < fx (В). Множество В — Gx тоже не содержит мно-
множества из 2 положительной меры, не превосходящей е. Существует,
следовательно, такое множество G9? 2,4toG2ciB—Gx и 0<|x,(G2) <
<(я(В—Gx). Продолжая это рассуждение по индукции, мы полу-
получим последовательность {Gn} попарно непересекающихся множеств
положительной меры. Так как 2ji(Gi)<oo, то для достаточно
большого п необходимо будет fx (Gn) < e. Это противоречие доказы-
доказывает существование такого множества Fc^B, что 0<fx(/r)<e.
Для каждого множества Е ? 2 обозначим р (?)=sup \х (Я), где Н
пробегает все измеримые подмножества из ?, для которых \i (H) < е.
Тогда, как показывает предшествующее рассуждение, 0 < P(G) < в
для каждого измеримого подмножества G множества Л, для кото-
которого |x(G) > 0. Определим по индукции такую последовательность
{Fn} попарно непересекающихся измеримых подмножеств множе-
множества А, что
^H./iiXe, /1=1,2, ....
оо
Положим F0=A — U /^, так что
№)<Р(Л_и Fi)<2n(Fn+1), л=1, 2, ....
г=1
Однако 2fx(/ri) < (х (Л)<оо и, следовательно, lim fx (/чО^О. Послед-
Последнее неравенство показывает, что (Н^о^О. Следовательно, fx^o^O.
Пусть г — такое целое число, что 2 I1 (^г) < 8> и пусть ?р+1 =
г=г+1
оо
= Flf ..., ?p+r = ^r и ?p+r+1 = tJJ ^iU^o- Множества ?lf ...
..., ?п, где n=p + r+ 1, удовлетворяют требованиям леммы, ч. т. д.
Следующая теорема представляет собой замечательное усиление
принципа равномерной ограниченности для пространства шE, 2).
8. Теорема. (Никодим). Если Mc^ca(S, 2) и если для каждого Е
из 2 найдется такое N (Е) < оо, что
\li{E)\<N(E)y fxgM,
то существует такое число N < оо, что

9. Пространства функций множества 337
Доказательство. Если это не верно, то для каждого натурального
я существует такая мера \лг?М и такое множество G? ? 2, что
' \xn{GJ\> п. Пусть X?ca(S, 2) определяется формулой
рассмотрим полное метрическое пространство 2 (А,), определенное
в § II 1.7. Положим
, «=1,2, ...},
оо
так чтоЯт есть замкнутое множество в 2 (Я) и 2(Я)= (J Ят. По
т=1
теореме Бэра о категориях A.6.9), существует такое множество
BQ ? 2 (А) и такое число е > О, что если X (?ДВ0) < 8> то I Щ (?) | < Щ
для некоторого натурального пг0 и всех натуральных чисел п= 1,2,
Пусть множество Л будет атомом относительно X. Если /^Л,
/^6 2 и для некоторого п 0 < у (|ы,, /•)< у (fxr, Л), то 0 < X(F)<A,(i4).
Следовательно, для каждого я либо у (fx^, Л)=0, либо Л является
атомом относительно v{\iv). В последнем случае если Fc~_A, F?l>
и И'п (П ^ 0, то у (fx^, Л—/г)=0, откуда следует, что [х, (/^) = fx, (Л),
т. е. что Л является атомом относительно fx,. Пусть, далее, е>0
и f1!, ..., ?m — определенное леммой 7 разложение S относительно
меры X. Пусть ?? 2 и /^^^П^ь Для ^=Ь ••-, т. Если ?1э ..., Ер —
атомы из множества {?х,..., ?т}, для которых X (Ег) > е, то, согласно
сделанным выше замечаниям,
Далее, если k=p + 1, ..., m, то X (FJ < е. Запишем
Так как Bob(Bo\J Fk) = Fh-B0 и В0Д (Во — FJ = В П Л\, то
X (?0Д (Во— ffe)) и X (?0Д (fioU ffc)) не превосходят X (Fh) < X (?fe) < 8.
Следовательно,
| A = p+ 1, ..., т.
Таким образом,
k=i
для любого Е ? 2 и всех я=1, 2, Правая часть этого неравенства
не зависит от я, что противоречит предположению о существовании
при любом натуральном я такого множества Gnf 2, для которого
ГМО,)|>л, ч. т. д.
Обратимся теперь к исследованию пространства ba(S, 2).
22 Заказ № 1324

338 Гл. IV. Специальные пространства
9. Теорема. Пространство Ьа E,2) слабо полно. Если S является
топологическим пространством, то rba(S) тоже слабо полно.
Доказательство. Рассмотрим замкнутое подпространство В (S, 2)
пространства В (S).Согласно теоремам 6.18 и 6.20, существует биком-
бикомпактное хаусдорфово пространство Sx такое, что В (S, 2) эквива-
эквивалентное (S^.FIo теореме5.1 существует изометрический изоморфизм
jc* ^—»- fx между В* (S, 2) и ba(S, 2), определяемый равенством
х*%Е = fx (E),E ? 2.Следовательно, так как В (S, 2) эквивалентно
СEХ), то ba(S,2) эквивалентно гшEх) (теорема 6.3). Но гшEх),
будучи замкнутым подпространством пространства счетно аддитив-
аддитивных мер на борелевских множествах из 51? по теореме 4, слабо полно.
Следовательно, to E, 2) тоже слабо полно.
Так как rba(S) есть замкнутое подпространство в ba(S, 2),
где алгебра 2 порождается замкнутыми подмножествами тополо-
топологического пространства S, то rba (S) слабо полно, ч. т. д.
Важным моментом в доказательстве теоремы 9 является уста-
установление изометрического изоморфизма между пространствами
В (S, 2) и С (Sx), где 5Х есть соответствующее бикомпактное хаусдор-
хаусдорфово пространство. Теперь мы рассмотрим свойства пространства Slf
вытекающие из существования этого изоморфизма, и рассмотрим
подробнее изоморфное отображение пространства ba(S, 2) на rm(S1).
Полученные при этом результаты будут использованы для дальней-
дальнейшего изучения свойств пространства ba(S, 2). Пусть Н— изоморф-
изоморфное отображение пространства В (S, 2) на С^), и пусть ?g2.
Заметим, что если х^есть характеристическая функция множества Еу
то Н(%Е) непрерывна на Sx и (Я (х?)J=Я (х!) = Я (хЕ). Следо-
Следовательно, Я (х?) (s^ равно либо нулю, либо единице для каждого
5Х ? Sx, т. е. Я (xje) является характеристической функцией некото-
некоторого множества E1^S1. Ввиду непрерывности Н (%Е) множество Е2
должно быть одновременно открытым и замкнутым. Можно поста-
поставить вопрос, справедливо ли обратное: если множество Ег одновре-
одновременно открыто и замкнуто в Sl9 то будет ли Я (хЕ ) характеристиче-
характеристической функцией хЕ некоторого множества ?^2? Иными словами,
будет ли из существования изоморфизма Я между пространствами
B(S,2) и СEХ) вытекать существование некоторого изоморфного
отображения т алгебры 2 на алгебру 2Х всех одновременно откры-
открытых и замкнутых множеств из S{?
То, что это действительно так, будет доказано ниже, в лемме 10.
Кроме того, будет показано, что пространство Sx вполне разрывно
т. е. что множества, одновременно открытые и замкнутые, образуют
базис его топологии.

9. Пространства функций множества 339
10. Лемма. Пусть Sx — бикомпактное хаусдорфово пространство
такое, что В E, 2) изометрически изоморфно С (S^. Тогда простран-
пространство 5Х определено однозначно с точностью до гомеоморфизма
и вполне разрывно. Соответствием %Е—>ХЕ устанавливается некото-
некоторый изоморфизм х между алгеброй 2 и алгеброй 2 г всех одновременно
открытых и замкнутых подмножеств из Slf т. е. при этом т (Е (J F)=
=r(E)\Jx(F),T(EF)=T(E)r(F) и х (?')= [х(Е)У для всех Е, F ?2.
Доказательство. Пусть по-прежнему Н обозначает изоморфное
отображение пространства В E, 2) на C(SJ, определяемое теоре-
теоремами 6.18 и 6.20. Мы уже видели, что множество т (Е) для Е ? 2 одно-
одновременно открыто *и замкнуто. Обратно, пусть Ег — произвольное
множество одновременно открытое и замкнутое в 5Х. Мы хотим
показать, что множество Е=х'1 (EJ принадлежит 2. Так как функция
ХЕ 2-измерима, то существует такое конечное разложение 5'на
попарно непересекающиеся множества Л1? ..., Ап из 2 и такие
скаляры а1У ..., а^, что
~~ 2 аМл. < Т ' Заметим пРежАе всего,
что Ес^ U Av так как если 5 принадлежит Е — \J Aiy то
il il
хотим показать, что если ЕАгФ0у
то АгС1 Еу откуда будет следовать, что множество Е является сум-
суммой всех содержащихся в нем множеств Л у и, значит, что Е? 2.
п
В самом деле, если 5 6 ЁА{ для некоторого г, то %E(s)—2 aiXA.(s) =
1 3
= j 1—at I < -г • Следовательно, | at | > -j-. Однако если t? Ai
и ХЕ@=0, то | Xe@ - 2 ailAi @
= lai! < T - что невозможно.
Отсюда следует, что ^{СГЯ и, следовательно, что Е б Б. Тот факт,
что т является изоморфизмом между 2 и 2 х, вытекает из равенств
" AIЯ(), H(xEXF)=H(%E)H(xF) nH(xE + xF)
Теперь мы покажем, что пространство 5Х вполне разрывно. Если
Gx— непустое открытое множество в 51? то пусть t0 g Gx, а f х— непре-
непрерывная функция,такая, что fx (to)=l и/1(/)::=0 для t?G[ (см. 1.5.2).
Как и прежде, мы можем выбрать такую простую функцию
22:;

340 Гл. IV. Специальные пространства
? = 2«лл.из sE) 2)-где Л1 л«€ 2'4TOlsf-//(/i)i<4-
n
Если g1=H(g)=^l аах{А.у пусть ?/1= {st 11& (sx) | > 1} . Тогда
множество Ux одновременно открыто и замкнуто и to?U1^G1.
Единственность пространства ^вытекает из теоремы 6.26, ч.т.д.
11. Лемма. В обозначениях леммы 10> предположим, что про-
пространство B(S, 2) изометрически изоморфно СEХ).
(а) Между пространствами ba(S, 2) и ba(S11l,l) существует
изометрический изоморфизм Г, определяемый равенством (T\i) (E^^
= \i(x-1(El))t где fxgteE, 2) и Ех$ 2Х.
b) Каждое [х1б&аE1, 22) единственным образом продолжается
до регулярной счетно аддитивной меры \i2?ca(Sly 22), г$? 22 есть
о-алгебрау порожденная 2Х. Каждое [х2 i/з ^^(S1!, 22) регулярно.
Соответствие U: \ii~>\i2 является изометрическим изоморфизмом
между ba(Slt 2X) i/ шEх, 22).
c) ?сл^ ?\? 2j, mo у(jlxx, f^^y(fZ(M'i)» ^i) ^я всех\1г из
b(S S
Доказательство. Вспомним, что т есть изоморфизм между 2
И2!*, тогда ясно, что отображение Г будет изометрическим изомор-
изоморфизмом между Ьа E,2) и ba(Sv 22), так как
sup^ | (Tfx) (т^)| = sup^g | ^(Zf,) j =
где {?*!, ..., Er] есть произвольное разбиение S. Этим доказано
утверждение (а).
Так как ясно, что каждое \ix ? ba(Sly 2X) регулярно, то, по тео-
теореме III.5.13, каждое [x1f ba(Sly 2X) счетно аддитивно. Следова-
Следовательно, по теореме III.5.14, каждое [Xjg&afSj, 2X) единственным
образом продолжается до некоторого регулярного \i2?ca(Sv 22).
С другой стороны, и сужение каждого [i2fca (S1? 22) на 23 регулярно.
Таким образом, каждое [i2^ca(Sly 22) регулярно и отображение ?/
является алгебраическим изоморфизмом между ba(Su 2X)
E1, 22). Мы покажем, что U является изометрией. Потеоремеб.З,
sup
1/1-1
/ (Sl) (UpJ (dSl) , / 6 С (SO
Так как, по лемме 10, алгебра 2Х является базисом топологии про-
пространства Sv то ввиду теоремы Стоуна—Вейерштрассаб.16 (или 6.17)
п
множество функций вида 2! аЛЕ.> где av •••» an —скаляры и Я^ ...

9. Пространства функций множества 341
..., Ev — попарно непересекающиеся множества из 2Х, всюду плотно
в С (S^. Кроме того,
\ {ЪалЕ. (*)} (и\1г) (dsj = { {2aiX?< (Sl)} ^ (dSl).
Si Si
Таким образом, если H является изометрическим изоморфизмом
между пространствами В E, 2) и С (SJjo вследствие (а) и теоремыб. 1
= sup
/|1
= sup
|Hl(/)|
Для того чтобы доказать утверждение (с), предположим, что
[Xj ? to (Sjl, 2Х) и ? G 2j. Пусть А,1 определяется равенством Я2 (/) =
= [хх (?/-), f 6 2Х. Тогда если G 6 22, то U (kj (G)=(t/fx1) (G?). Поль-
Пользуясь предложением (b), получаем
| = |X1| = t;(li1, ?), ч. т. д.
12. Теорема. Для того чтобы подмножество К из ba(S, 2)
было слабо компактным, необходимо и достаточно, чтобы в простран-
пространстве ba(S, 2) существовало такое неотрицательное jx, что
Нт
равномерно относительно \?К-
Доказательство. Предположим, что K^ba(S, 2) слабо ком-
компактно, и пусть V^UT— изометрический изоморфизм между про-
пространствами Ьа E, 2) и са (Slt 22). Тогда множество V/C<~ ca(S1? 22)
слабо компактно. По теореме 2, существует такое неотрицательное
\i2?ca («Si, 22), что lim Я2(?)=0 равномерно относительно Я2У/С
(?H
2
Ясно, что (x=V~1(|i2) является неотрицательным элементом про-
пространства ba (S, 2) и что lim X(?)=0 равномерно относительно
(ЕИ0
Для того чтобы доказать обратное, предположим, что существует
такое неотрицательное fx? ba (S, 2), что lim А,(?)=0 равномерно
(EH
|()
относительно X из К. Тогда [х1=Т([х)будет такой неотрицательной
мерой в ba(Si9 2Х), что lim А^ (?)=(), ? 6 21? равномерноотноси-
тельно Х2 g Кг~Т (К). Положим, fA2= t/j-tj и К2=^К1' Мы покажем,
что lim Х2(?)=0, ?б22, равномерно относительно Я2?К2, откуда
|12(Е)->0
будет следовать, что К2 слабо компактно в ca(Slt 22) а, значит,
/С слабо компактно в ЬаE, 2).
оо
Если i4cSlf положим |Xi(^)= i°f 2 ^(^i)» гДе нижняя грань
г=1
берется по всем таким последовательностям {?J множеств из 2Х>

?42 Гл. IV. Специальные пространства
с»
для которых (J Ег^А. В силу содержащегося в теореме II 1.5.8
утверждения о единственности продолжения и по теореме II 1.5.4
и лемме III.5.5 \i1(A)=\i2(AI если Л?22. Пусть задано в>0,
и пусть 6>0 таково, что из ^ (?)<6и?? 2Х вытекает, что\Х1(Е) |<е
для всех Хг из Кг, так что v(kv E) < 4е (см. III.1.5). Тогда если
А 6 2 2 и |i2 (Л) < у , то существует такая последовательность {Et}
со °°
множеств из Slf что (J ^зЛи 2 M-i(^i) < ^- Так как ^положи-
г=1 г=1
тельно, то мы можем и будем предполагать, что множества (Et)
п
попарно не пересекаются. Так как тогда для каждого п \1г ( U Е{) < б,
П 2=1
то v(Xv U Ег) < 4е для каждого л и произвольного kt^Kv Сле-
довательно, по лемме 11 (с), v (A,2, (J ?4)< 4едля любого п и А,2 gK^2.
оо
Устремляя п к оо, мы находим, что v(k2, [}Ег)*^4г, если
Следовательно, из того, что (х2(Л)<-2-, вытекает, что
а< 4в для Х26/B, т. е. мы доказали, что Игл Яа(?)=0,
??Е2, равномерно относительно Я26д2, ч. т. д.
Справедливость следующего предложения вытекает из доказа-
доказательства теоремы 12.
13. Следствие. Пусть Sx — некоторое множество, Zj^ —неко-
—некоторая алгебра подмножеств множества St и \iv lk1?ba(S1, 2X).
Предположим, что 22 есть о-алгебра, порожденная алгеброй 2Г
I/ wno ^1Х а Хх имеют счетно аддитивные продолжения \х2 и Х2 на 22.
Тогда, для того чтобы ^ было абсолютно непрерывно относительно
|х1, необходимо и достаточно, чтобы к2 было абсолютно непрерывно
относительно \х2.
Доказательство. Ясно, что если Х2 абсолютно непрерывно отно-
относительно \12У то Х1 будет абсолютно непрерывным относительно
\xv Для того чтобы доказать обратное, вспомним (см. замечание,
следующее за определением III.4.12), что нам достаточно показать,
что если vftj абсолютно непрерывно относительно v(\lJ, to v(X2)
абсолютно непрерывно относительно u(|i2). Однако из последнего
абзаца доказательства теоремы 12 видно, что если задано ей 6 >0
таково, что из неравенства v(\i1, E) < 6 вытекает неравенство
v(Kv Е) < 8 для ?? 21? то из неравенства v (\i2, A) < у вытекает
неравенство v(k2, Л)<4едля Л?22, ч. т. д.

9. Пространства функций множества $43
Теперь мы докажем полученное Бохнером обобщение теоремы
Радона — Никодима.
14. Теорема. Пусть \i — некоторый неотрицательный элемент
пространства ba(S, 2); предположим, что X?ba(S, 2) абсолютно
непрерывна относительно \х. Тогда для каждого г > 0 найдется такая
^-интегрируемая простая функция /8, что функция Fy определяемая
г*
равенством F(E)=\ fe(s) \i(ds), ?g2, удовлетворяет неравенству
\X—F\ = v{l—Fy S)<e.
Доказательство. Пусть U и Т определены, как в лемме 11, так
что V=UT является изометрическим изоморфизмом пространстза
ba(S, 2) на ca(Slt 22). Так как А,, по условию, абсолютно непре-
непрерывна относительно ja,to, по лемме 11 (а), ТА, будет абсолютно непре-
непрерывной относительно T\i, а тогда, по следствию 13, функция
X2=Vk абсолютно непрерывна относительно функции \x2=:V\i. По
теореме Радона — Никодима (III.10.7), существует такая ^-интег-
^-интегрируемая функция gy что
Если P'1=t/"Ifx2, то, по лемме III.8.3 и лемме 11 (с), существует
такая ц,гинтегрируемая простая функция /ie, что 1^ —/71|<е, где
E
Пусть Е1У...У En — некоторое разбиение Sx
причем Ei^H1 и а4=ЛеE4), где s{ 6 Et. Положим G^t^.) ? 2,
и пусть fe(s)=aiy если sgG^ Ясно, что /8 есть ^-интегрируемая
простая функция и что если
F(G)=^fe(s)ii(ds)y Gg2,
G
то F1=T(F). Так как преобразования Т и U изометрические, то
\k—F\<E, Ч. Т. Д.
В заключение этого параграфа мы дадим одно решение проблемы
1.8 для случая, когда 36=C*(S) и f)=C(S). Нижеследующая теорема
формулируется в несколько более общей форме для того, чтобы она
была применима к функциям множества не только из C*(S) =
= rba(S)y но и из ba(Sy 2).
15. Теорема (А. Д. Александров). Пусть \iy \хПУ п=1у 2,...,-
ограншенная последовательность в ba(Sy 2), где 2 означает алге-
алгебру, содержащую открытые множества топологического про-

344
Гл. IV. Специальные пространства
странства S. Для того чтобы
(I) ]f(s)iia(ds)-^]f(s)ii(ds)y f?C (S),
s s
достаточно, чтобы
(II) MG)-^(G)
для каждого такого открытого множества G, для которого |i(G) —
= \i(G). Если пространство S нормально, функция \х регулярна и ja,
(in, n= 1, 2,..., неотрицательны, то это условие будет также и необ-
необходимым.
Доказательство. Соотношение (I) достаточно" доказать для
вещественной функции /. Итак, предположим, что—M<f(S)<M,
5gS, и выберем такие ао,...,ат, что
— М = ао<а1<а2< ...<ат = М,
ai-ai-i<&» ''=1. - ..,/и,
и
|г({5|/E) = а4}) = 0, f=l,...,т.
Последнему условию можно удовлетворить, так как множества
вида Fa—{s\f(s)=a} попарно не пересекаются и, значит, имеется
самое большее счетное число таких значений а, для которых yi(Fa)=?
ФО. Если Gi={5|/(s)<ai}> то Gte {s\f(s) <aj. По условию (II),
|*п@|) ¦—> |1@4) и, следовательно,
(III) jAn(Gi-G1.1)^^(Gi-Gi_1).
Пусть Хг-"хаРактеРистическая функция множества Gi — G^j и /,.=
m
= .2 ai5Ci- Тогда \f — f&\ <e, и из (III) вытекает, что
.2
lim \f?(s)iin(ds)=\fE(s)ii(ds).
П-*Х 8 S
Следовательно, если | ц„ | < /С и | р | < К, то
8 S S
^ fs(s)(\in-\i) (ds) <2eK+ \U(s) (iin-ii)(ds
lim
П-+ОЭ
<2гК.
Этим доказано утверждение (I).

10. Вектор позначные меры 845
Теперь мы докажем обратное утверждение в предположении, что
пространство S нормально, \i регулярна и что все функции мно-
множества \i, \ini n=l, 2,..., неотрицательны. Пусть G — фиксирован-
фиксированное открытое множество в S такое, что \i(G) = \i(G). Зададим е>0
и выберем такое замкнутое множество F и такое открытое множе-
множество Я, что
Пусть / и h — такие непрерывные функции, что
0</(s),/i(s)<l, s€S;
1, s?F\ I 0,
0,S«C; *»-| U sic.
Тогда
Р(П<\ f(s)I*(ds)<fi(G) = |i(G)< ^ Л(s)[i(dsXn(H).
S S
Таким образом,
s
Следовательно, мы имеем
^ / (s) цп (ds) < iin (G)< \h (s) pn (ds),
s s
5 f (s) ц (ds) < fi (G)< J A (s)|i(rfs)<^f(s)fi(ds) +e.
s s s
Но тогда из предположения (I) вытекает, что
чем и доказано утверждение (II), ч. т. д.
10. Векторнозначные меры
Доказанные в последнем параграфе теоремы о пространствах
функций множества дают нам возможность построить более удовлет-
удовлетворительную теорию векторнозначных счетно аддитивных функций
множества (короче, векторнозначных мер), чем это мы были в сос-
состоянии сделать в гл. III. В частности, теперь мы сможем добавить
к изложенной в гл. III теории интегрирования удовлетворительную
теорию интегрирования скалярных функций по векторнозначной
мере.

346 Гл. IV. Специальные пространства
В этом параграфе через S будет обозначаться некоторое фикси-
фиксированное множество, через 2 — некоторая а-алгебра его подмно-
подмножеств и через (х — определенная на 2 аддитивная функция множе-
множества со значениями в некотором В-пространстве Э?. Мы предполо-
со
жим, крометого, что а слабо счетно аддитивна, т.е.что ^.х*(\хЕг)=
со
= х*\1( (J Ег) для каждого х* из Ж* и каждой последовательности
1
( J
г=1
попарно непересекающихся множеств ?п из 2.
1. Теорема (Петтис). Слабо счетно аддитивная векторнознач-
ная функция множества [х, определенная на а-алгебре 2, счетно ад-
аддитивна. Кроме того, если X — конечная положительная мера на
2 и если \х обращается в нуль на множествах нулевой меры Я, то \х
абсолютно непрерывна относительно К.
Доказательство. Пусть {Еп} — последовательность множеств из
2, обозначим через 20 алгебру, порожденную последовательно-
последовательностью {?п}, а через 2t — а-алгебру, порожденную алгеброй 20.
По лемме III.8.4, 20 счетно, и, следовательно, 3E1=sp {\i(E)\ ?6 20}
является сепарабельным подпространством в Ж. Мы утверж-
утверждаем, что если F^lil1 то \i(F)^Xl. Действительно, если для
некоторого F^Z1 это не так, то, последствию II.3.13, сущест-
существует такое х* ? ЗЕ*, что x*\i(F) ФО и x*\i(E)=0, ?g 20, что проти-
противоречит содержащемуся в следствии II 1.5.9 утверждению о един-
единственности продолжения.
Если \i не счетно аддитивна, то для некоторого е>0 существует
такая убывающая последовательность {Е^} из 2 с пустым пересе-
пересечением, что |fx(?n)|>e, л=1, 2,... . По следствию II.3.14, имеется
такая последовательность "я*РЖ*, что |а:*|=1 и x*\i(En) =
— |fi(?n)|>8, n=l, 2,... . Пусть 2L и HLl определены, как в предшест-
предшествующем абзаце, и {xk} —счетное множество, всюду плотное в ЭЕХ.
Пользуясь канторовским диагональным процессом, мы можем выде-
выделить такую подпоследовательность {ут=х* } последовательности
{Хп}, что lim ymXh существует для всех k. Так как |/у^|=1, т =
т->оо
= 1,2,..., то, по теореме II.3.6, lim y^x существует для каждого х?Ж1
т->оо
и, в частности, lim ут\*>(Е) существует для каждого ??2Г
т->оо
По следствию II 1.7.4, множество {tjmV>} скалярных мер равномерно
счетно аддитивно на 21? вопреки предположению о том, что
Ут\*>(Еп )>е при /и=1, 2,... . Этим доказано наше первое утвер-
утверждение.
Если \х не абсолютно непрерывна относительно X, то для неко-
некоторого 8 > 0 найдется такая последовательность {Еп} множеств из 2,

10. Вектор позначные меры 347
что к (Еп) < ~ и | \х (Еп) | > е при /2=1,2,... . Рассуждая так же,
как прежде, получим такую последовательность {*/ш}с:Ж*, что
lim #™|i (Е) существует для Е ? 2Х и #mfx( ?"nm) > е, /и = 1, 2, ... Так
как j/mli(?)=0, еслиЦ?) = 0, то по лемме III.4.13, каждая мера
у^|х абсолютно непрерывна относительно X и, по теореме Витали —
Хана — Сакса (III.7.2), ее абсолютная непрерывность является
равномерной относительно /п=1, 2, ... . Однако это противоре-
противоречит тому предположению, что к(Еп )<— и ут)х(Еп )>*
при т— 1, 2, ... . Следовательно, \х абсолютно непрерывна относи-
относительно к, и наша теорема полностью доказана.
2. Следствие. Векторнозначная мера ограничена, и множество
{x*fx |** б Ж*, |** | < 1} скалярных мер является слабо компактным
подмножеством в ca(S> 2).
Доказательство. Так как \x*\i(E)\<v(x*\i, S) для каждого х*
и Е? 2, то, по теореме II.3.20, существует такая константа М,
что | |г (?) | < /И, ? 6 2. Так как
*р11 = v(**[г, S)<4sup |л;*[л(?)|<4А1, |**|<1,
то это множество мер ограничено в са (S, 2). Пусть {Еп} — убываю-
убывающая последовательность множеств из 2 с пустым пересечением.
Так как \х счетно аддитивна, то lim \i (En) = 0. Следовательно,
n->oo
lim x*ji (En) = 0 равномерно относительно | я* | < 1. Справедливость
n->oo
нашего утверждения вытекает теперь из теоремы 9.1, ч. т. д.
В отличие от случая комплексных мер, полная вариация векторно-
значной меры (см. определение III. 1.4) не обязательно конечна.
Следующим нашим шагом будет построение конечной положитель-
положительной функции множества, которая будет играть роль полной вариа-
вариации для векторного случая.
3. Определение. Полувариация векторнозначной меры \i опре-
определяется равенством
где верхняя грань берется по всем конечным наборам скаляров*
для которых |а{|<1, и всевозможным разбиениям множества Е
в конечную сумму попарно непересекающихся множеств из 2.
В следующей лемме перечисляются некоторые элементарные
свойства полувариации.

348 Гл. IV. Специальные пространства
4. Лемма. Пусть ц — вектор позначная мера. Тогда
(a) ||ц||(?)>|ц(?)|>0, ?62,
(b) ||^||(?)<4sup||i(/r)|<oo, ?62;
(c) ||ц||(?)<||ц||(Е), если F^E;
(d) если {ЕJ — некоторая последовательность множеств изЪ,
Замечание. Даже если множества Е{ в (d) попарно не пересекают-
пересекаются, это неравенство может быть строгим, т. е. || \х || не обязательно
аддитивна. Легко видеть, что || \х\\ аддитивна в том и только в том
случае, если || \х \\ — v (pi), так что, если v (\x, S) = оо, || \х\\ ине может
быть аддитивной.
Доказательство. Утверждения (а) и (с) очевидны. Для того
чтобы доказать (Ь), заметим, что ввиду следствия II.3.15 и след-
следствия 2 мы имеем
H (?) = sup| 2^(^I= SUP
< sup sup 2 I ai I v(x*\i, ?"i)< SUP ^(^'*M
|.\-*|^1 г=1 |х*|<1
< 4 sup sup | x*\i (F) | = 4 sup | |i (Z7) | < oo.
Утверждение (d) мы докажем в предположении, что множе-
множества Ег попарно не пересекаются. Заметим, что если Fv ..., Fh есть
со
разбиение Е — {]Ei на попарно непересекающиеся подмножества,
г=1
то EtFv ..., EhFk для каждого i будет разбиением множества Ег на
попарно непересекающиеся подмножества. Таким образом, если
|а;. |< 1 для /= 1, ... , k, то
k k оо оо
| 51 aiFi (F;.) | = | S S Sfi (?,^) I < 2 || И II (?«),
так что
IIJ* II (SX.l II И II (ft), ч. т.д.
i=-l
Нижеследующая лемма является основной в теории интегрирова-
интегрирования скалярных функций по отношению к \х.
5. Лемма. Существует такая определенная на 2 конечная поло-
положительная мера К, что
(a) Ц?)<||м||(?), ?6 2;
(b) lim ||||) 0
М?Ь0

10. Векторнозначные меры 349
Доказательство. По следствию 2, теореме 9.2 и следствию 9.3,
можно найти такую положительную меру X, что
Ц?)< sup \x*\i(E)\ = \\i(E)\ и что lim
|*ji Я(?H
равномерно относительно |лг*|<1. Таким образом, по лемме 4(а),
^(?))J и, по лемме 4(b), lim ||ja||(?) = lim |fi(?)| = Of
Л(ЕH Л(ЕH
ч. т. д.
Лемма 5 дает нам возможность доказать обещанный в гл. III,
§ 7, результат, обобщающий теорему Никодима на случай вектор но-
значных мер.
6. Теорема. Пусть {\in} — последовательность определенных на
о-алгебреХ векторнозначныхмер. Если\х(Е) = lim \in(E) существует
для каждого Е ? 2, то \i является векторной мерой на 2, и счетная
аддитивность \in равномерна относительно п—\, 2, ... .
Доказательство. Пусть Хп для каждого п означает положитель-
положительную конечную меру, соответствующую \хп по лемме 5. Меру X опре-
определим формулой
_ V — ^(
(S)
Тогда каждое \хп абсолютно непрерывно относительно X. По след-
следствию II 1.7.3, \i счетно аддитивна. Если {Ет} есть убывающая после-
последовательность множеств из 2 с пустым пересечением, то
lim X(Em) =0. По теореме Витали —Хана —Сакса (III.7.2),
m-voo
lim fxn(?'m) = O равномерно относительно п— 1, 2, ... , ч. т. д.
т->оо
В оставшейся части параграфа X будет конечной положительной
мерой, связанной с \i по лемме 5.
Теперь мы приступим к изложению теории интегрирования ска-
скалярных функций относительно векторной меры \х. Нуль-мно-
Нуль-множеством относительно меры \х называется любое подмножество
множества Е б 2, для которого || \i \\ (E) = 0; в силу леммы 5
мера X каждого такого множества также равна нулю. Термин
«почти всюду относительно \ху> означает «на дополнении к некоторому
нуль-множеству относительно р> и, следовательно, является сино-
синонимом к «почти всюду относительно А,». Символом 2* обозначается
лебеговское расширение 2. Таким образом, (III.5.17) 2* является
а-алгеброй, состоящей из сумм E[jN, где Е ? 2, а N есть нуль-мно-
нуль-множество относительно \i. Определенная на S скалярная функция /
является \х-измеримойу если для каждого борелевского множества
В скаляров Z (В) б 2*; по лемме II 1.6.9, это будет в том и только

350 Гл. IV. Специальные пространства
в том случае, если функция / ^-измерима. Определенная на S
скалярная функция / называется ^-простой, если она является ли-
линейной комбинацией конечного числа характеристических функ-
функций множеств из 2*; ясно, что это будет в том и только в том слу-
случае, если функция / является Х-простой. По следствиям II 1.6. IS
и II 1.6.14, функция f в том и только в том случае будет ji-изме-
римой, если почти всюду относительно \i она является пределом
некоторой последовательности jx-простых функций. В силу след-
следствия II 1.6.14 предел почти всюду относительно \х сходящейся
последовательности jx-измеримых функций является ^-измеримой
функцией.
п
Если f есть \х-простая функция, f = 2 ад^., гДе ?i> •••> Еп —
множества из 2, то интеграл от / по множеству Е ? 2 определяется
равенством
Точно так же, как и для случая комплексной функции \i, получаем,
что интеграл от / не зависит от частного представления ее в виде
линейной комбинации характеристических функций (см. абзац,
следующий за определением II 1.2.13).
Ясно, что интегрирование простых функций по множеству Е
является линейной операцией. Далее, интеграл от простой функ-
функции является счетно аддитивной функцией множества со значе-
значениями в ЭЕ. Если f — простая функция и для каждого sg2
,/(s)|<M, то
г=1
следовательно,
Если / — произвольная измеримая функция, то, по определению,
существенная верхняя грань (vrai sup | / (s) |) функции f на Е относи-
тельно ja, есть нижняя грань всех таких чисел л, для которых
{s б Е 11 f(s) | > А], есть нуль-множество относительно \х. Если
vrai sup \f(s) | < oo, то функция / называется существенно ограни-
[I s?E
ценной относительно \х на множестве ??2.

10. Векторнозначные меры 351
Ясно, что vrai sup | f (s) \ = vrai sup | / (s) | и что функция / в том и
[I s?E К s?E
только в том случае существенно ограничена относительно \i,
если она существенно ограничена относительно X. Неравенство [*]
для [х-простой функции / можно переписать в несколько более
общей форме:
\f(s)ii(ds)
7. Определение. Измеримая скалярная функция / называется
интегрируемой, если существует такая последовательность {fn}
простых функций, что
(I) последовательность {fn(s)} сходится k/(s) почти всюду отно-
относительно |i.
(II) последовательность \\ fn (s) fx (ds) > для каждого Е ? S схо-
сходится по норме пространства ЭЕ.
Предел этой последовательности интегралов и называется, по
определению, интегралом от функции f относительно меры \х, взя-
взятым по множеству Е ? 2; обозначается он
\f(s)ii(ds).
Е
8. Теорема, (а) Если Е ? 2 и f — скалярная \х-интегрируемая
функция, то интеграл от функции f относительно \х по множе-
множеству Е есть однозначно определенный элемент пространства ЗЕ.
(Ь) если fug — скалярные \1-интегрируемые функции, а и Р —
скаляры Е ? 2, то
s)} ji (ds) = a\f(s)ii (ds) + p \g (s) ji (ds);
й ?: я
(с) если скалярная функция f ^-измерима и \х-существенно огра-
ограничена на Е, то она ^-интегрируема и
| 5 f(^) I* (^) | < {vrai suj)|f(s)|}{||pi || "(?)};
E
I (d) если скалярная функция f \х-интегрируема, то \ f (s) \i (ds)
E
является счетно аддитивной функцией, отображающей 2 б I.
(е) если скалярная функция f ^-интегрируема, то
lim W(s)u(ds) = O;

352 Гл. IV. Специальные пространства
(/) если U есть ограниченный линейный оператор, отображаю-
отображающий Ж в банахово пространство SJ), то U\x является векторной мерой
на 2 со значениями в $, причем для каждой скалярной ^-интегрируе-
^-интегрируемой функции f и любого Е 6 2 мы имеем
Доказательство. Для того чтобы доказать утверждение (а),
рассмотрим две последовательности {fn} и {gn} простых функций,
определяемых в п. 7. Мы должны показать, что соответствующие
им две последовательности интегралов имеют один и тот же пре-
предел. Положим, по определению, hn(s) = O, если в точке s либо
{L (s)}> либ° {gn (s)} не сходится к / (s), и hn (s)=fn(s) —gn (s) в против-
противном случае. Ясно, что последовательность {hn} всюду сходится
к нулю и что последовательность < \ hn (s) \i (ds) l сходится по норме
пространства Ж для ??2. Мы должны показать, что эта последо-
последовательность интегралов сходится к нулевому элементу простран-
пространства ЭЕ.
Пусть к означает положительную меру, связанную с \х так, как
указано в лемме 5. Так как каждое hn является простой функцией,
то ясно, что
[*] ^im^hn(s)lx(ds) = 01 n=l,2,...;
кроме того, последовательность интегралов | \ hn (s) \x (ds) \ cxo-
Е
дится для каждого ?2, так что по теореме Витали — Хана — Сакса
(III.7.2) предел [*] существует равномерно относительно п.
Следовательно, для каждого г > 0 существует такое б = б (г) > О,
что если А б 2 и Я (Л) < б, то
]hn(s)ix(ds)\<et n=l,2, ... .
А
По теореме Егорова (III.6.12), существует такое множество А б 2,
что Х(А) < б и что последовательность {hn (s)} сходится к нулю рав-
равномерно относительно s?S — A. Если для заданного е>0 б = б(е)
выбрано так, как указано выше, то существует такое N = N(e),
что если n>N, то | hn (s) |< e для s?S—A. Следовательно, если
V, то
|jjftn(s)|i(ds)|<| 5 Ms)|i(ds)|+ ^ hn(s)^(ds)
Е Е-А Ef)A
<е||ц||E) + 8

10. Вектор позначные меры 35$
равномерно относительно ??2. Таким образом, интеграл опре-
определен однозначно.
Утверждение (Ь) вытекает из его справедливости для простых
функций и аддитивности операции перехода к пределу.
Для того чтобы доказать утверждение (с), предположим, что
^-измеримая функция f на-множестве ? существенно ограничена
относительно\iчислом В, и пустье > 0. Предположим, что Fv ..., Fn
образуют покрытие множества /(?) попарно непересекающимися
борелевскими множествами скаляров диаметра < е, и пусть ?; —
= f(/7i). Пусть oL^Fj и /e(s)=a;, если s$Er Тогда /е (изме-
(измененная в случае необходимости на некотором нуль-множестве)
является [х-простой функцией и vrai sup | /e (s) — / (s) | < е. Пусть
IX s?E
еп —> 0. Тогда Игл , . yrai. sup | fenf (s) — ftm (s) |=0. Так как мы уже
т, п~+ оо ii s ? Е .-
установили справедливость утверждения (с) для каждой [х-простой
функции, то мы можем сразу же заключить отсюда, что
lim \Un(s) ii (ds)-\fem(s)lx(ds) =0,
hi &
так что последовательность | \ fBm (s) \i (ds)\ сходится для каждого
E
E ? S, и мы имеем
/ (s) fx (ds) = lim С /8n
Так как vrai sup |/8n (s) | <S+en, то справедливость утверждения
(с) в общем виде вытекает теперь из справедливости его для [х-про-
стых функций.
Мы уже видели, что утверждения (d) и (е) справедливы для про-
простых функций. Пусть f— произвольная (i-интегрируемая функция
и {/п} — последовательность простых функций, определенная в п. 7.
Из теоремы Витали — Хана — Сакса (II 1.7.2) вытекает тогда спра-
справедливость- утверждения (d) и то обстоятельство, что
lim C/(s)|i(ds) = O,
k(E)~*O Д
откуда ввиду леммы 4(а) непосредственно вытекает и справедливость
утверждения (е).
Первое утверждение в п. (f) очевидно, а второе вытекает путем
несложного перехода к пределу из его справедливости для [х-простых
функций, ч. т. д.
9. Теорема. Пусть {fn} — последовательность ^-интегрируемых
функций, сходящаяся почти всюду относительно \х к функции f.
23 Заказ № 1324

¦354
Гл. IV. Специальные пространства
Тогда функция f будет ^-интегрируемой, если
lim
II ji IKE)-* О
fn(s)ix(ds) =
равномерно относительно п=1, 2, ... .В этом случае
\f(s)li(ds)= lim \fn{s)p{ds).
Доказательство. Пусть k — положительное целое число и 6к > О
таково, что если Е ? 2 и || \i || (E) < 6А, то
A)
л=1,2, ... .
Ясно, что мы можем предположить, что Sfe<2 k. Пусть r\k > 0
таково, что если А б S и i(A) < т]/г, то || [х || (Л) < 6k. Последова-
Последовательность {/п} сходится почти всюду относительно X, и, используя
теорему Егорова (III.6.12), можно найти такое множество А ?2,
что Х(А) < ч\к и что сходимость последовательности {fn} равномерна
на множестве S — А. Существует, таким образом, такое Nk, что если
Е б S и n, /n > jVk, то
B)
)-fm (s)} tx (ds)
- /m (s)} ix (ds)
E-A
fn(s)\i(ds)
Но так как k есть произвольное натуральное число, то отсюда видно,
что последовательность |\ fn(s)\i(ds)\ сходится по норме прост-
Е
ранства Ж для любого ??2.
Теперь мы докажем, что функция / [г-интегрируема. Пусть 6k
и r\k определены так же, как в предшествующем абзаце. Так как
каждая функция fk является ^-интегрируемой, то, по теореме Его-
Егорова (II 1.6.12) и согласно второму абзацу доказательства теоремы
1IL2.22, существует такая простая функция gk и такое множе-
множество Л,, ?2, что X(Ak) < r\k и что
C) IMs)-ft(s)|<2-\ seS-Л,;
D) lgrfc(s)|<2|
Пусть Bk= [j Aiy так что
и последовательность {Bk}t

10. Вектор позначные меры
355
убывая, схрдится к множеству В= f) Bk. Так как
i=ft i=fc i=ft
то || \i || (B)=0. Далее,
\f(s)-gh(s)\<\f(s)-fh(s)\ + \fll(s)-gh(s)\.
Если s?5 —В, то s?S — Bk для &, превосходящего некоторое
натуральное число K(s), и, следовательно, неравенство C) будет
справедливо при k>K(s). Так как, по предположению, последо-
последовательность {fk} почти всюду относительно \х сходится к функции /,
то и последовательность {gk} почти всюду сходится к функции /.
Остается показать, что для Е ? 2 последовательность интегралов
gn(s)
сходится. Но
Е
Е-Аи
В силу неравенства C) интеграл по множеству Е — Ak не превос-
превосходит 2~*|ljA|f(S). Так как || \х || (Е [~] Ak) < 6fe, то из неравен-
неравенства A) следует, что второй член в правой части не превосхо-
превосходит 2~k. Для оценки последнего члена предположим, что х* б 36*,
|x*f<l, Fc^E, F 62 и ||ix|| (Е) < 6fe. Тогда, согласно нера-
неравенству A),
так чтог по теореме III.2.20 и замечанию, следующему за определе-
определением НЫЛ 2,
если [[ [х || (?) < бл. В силу неравенств D) и E)
= sup
gh(s)x*\i(ds)
< strp
sup \ \fh(s)\v(x*p,ds)<?8.2-h.
23*

356 Гл. IV. Специальные пространства
Комбинируя все это, мы получаем, что
F) \\ {fk(s)-gk(s)}v(ds) <2-k{||n|l(S) + 9}f
откуда, так как последовательность |\ fk(s)ii(ds)\ сходится, вы-
вытекает, что и последовательность | \ gk (s) \i (ds) j сходится, т. е.
в
что функция f [х-интегрируема.
Для того чтобы доказать последнее утверждение теоремы, заме-
заметим, что так как последовательность М fk(s)\i(ds)\ сходится, то,
fk(s)\i(ds)\
по теореме Витали—Хана —Сакса (III.7.2), для каждого х*?Ж*
lim \ fh(s)x*\i(ds)=0 равномерно относительно k. Таким
v(x*n, E)-+ О -'
образом, по теореме II 1.2.20 и замечанию, следующему за опре-
определением II1.4.12.
lim [ \fh(s)\v(x*\i, ds) = 0
равномерно относительно k. По теореме 111.6.15,
lim x*\fk(s)v(ds)=x*[f(s)n(ds)
для каждого х* 6 Ж*. Таким образом,
х* ( \ f(s)ii(ds)- lim \ fn (s) (x (ds))=0,
iii hi
если jc?3?*, так что, по следствию 11.3.15,
lim \ fn (s) \x (ds)= \f(s)\i (ds), ч. т. д.
Hi Hi
Теперь мы покажем, что для векторнозначных мер справедлива
теорема, аналогичная теореме Лебега (III.8.16).
10. Теорема. Если {fn} — последовательность \х-интегрируемых
' функций, почти всюду относительно \х сходящаяся к функции f и если
g — такая ^.-интегрируемая функция, что \ fn (s) \ < g (s) почти
всюду относительно \х при п= 1, 2,..., то функция f ^-интегрируема и
(s)v(ds)= lim [fn(s)»(ds), ?C2.

//. Пространство ТМ (S, S, |ы) ?57
Доказательство. Ввиду предшествующей теоремы достаточно
показать, что
lirrt \fn(s)ii(ds) = O
\\ц\\{Е)~+0 ?
равномерно относительно п = 1, 2, ... . Для заданного е> 0 мы можем,
согласно теореме 8(е), выбрать такое б > 0, что если Е ?2
и Ц,х||(?)<6, то
I
g(s)\x(ds) <e.
Следовательно, если Fc_E, F?Ъ и || \i \\ (E) < б, то
I \ g(s)x*\i(ds)
<e, I a:*
По теореме 111.2.20 и замечанию, следующему за определением
II 1.4.12, отсюда вытекает, что
Следовательно, если || |i || (Е) < б и п= 1, 2, ..., то
sup \\fn(s)\v(x*iiyds)<
< sup \ g(s)v(x*\i, ds)<c4E,
1**1^1 ^
откуда и вытекает справедливость нашего утверждения, ч. т. д.
11. Пространство ТМ E, 2, jn)
В этом параграфе мы будем рассматривать множество S, некото-
некоторую а-алгебру 2 его подмножеств и определенную на S скалярную
счетно аддитивную функцию множества \х. Через ТМ (S, 2, \i)
будет обозначаться совокупность всех определенных на S скаляр-
скалярных вполне ji-измеримых функций (см. определение II 1.2.10). Точ-
Точнее говоря, так же, как и в гл. III, элементами пространства
ТМ (S, 2, ц) будут классы эквивалентных между собой функций, при-
причем две вполне измеримые функции считаются эквивалентными в том
случае, если их разность равна нулю почти всюду. Некоторые свой-
свойства пространства ТМ (S, 2, \i) уже были установлены в гл. III.
В частности, мы установили, что ТМ (S, 2, jui) есть линейное вектор-
векторное пространство, являющееся метрическим пространством, если

358 Гл. IV. Специальные пространства
расстояние q(/, g) = \f — g|, а норма |/| элемента / определяется
равенством
|/|= inf arctg(a + »*0i, S(|/|>a))),
a>0
где 5(|/| > oc) = {s\ s ? S, \f (s) | > a}. Это метрическое простран-
пространство является полным (II 1.6.5), причем сходимость последователь-
последовательности {/п} с: ТМ (S, 2, |i) эквивалентна сходимости по мере функ-
функций /п на множестве S.
Легко видеть, что ТМ (S, 2, [х) является /^-пространством. Для
того чтобы убедиться в этом, мы заметим, что ввиду леммы II 1.2.8 (Ь)
достаточно доказать, что lima/=0 для каждого /?77W(S, 2, |i).
a-> 0
Пусть f?TM(S, 2, \х) и е > 0. Предположим, что ge есть [х-про-
стая функция, такая, что | f (s) — ,g"e (s) | < e, если s принадлежит
дополнению некоторого множества ???2, для которого \i(Ee) < e.
Если M=vrai sup \gE(s)\ и | а \ < тЛ- , то | a/ (s) | < е для s$Ee.
Таким образом, по лемме III.2.7, lim a/=0.
а-> 0
Заметим, что не для каждой измеримой функции lim а/=0всмыс-
а-> 0
ле сходимости по мере \х. Пусть, например, S=(—со, со) и |i—мера
Лебега; определим функцию /, полагая / (s)=s. Тогда -^ не стремится
к нулю по мере, так как \х(еП~ >ajj = сопри Есех п= 1,2,...
и всех а > 0. Следовательно, пространство М (S, 2, jn) всех изме-
измеримых функций не обязательно будет .Р-пространством.
Может оказаться, что на .Р-пространстве TM(S, 2, \х) не суще-
существует непрерывных линейных функционалов. Для того чтобы убе-
убедиться в этом, рассмотрим меру Лебега \i на множестве 5= [0, 1].
Если 0 Ф х* ? 77И* (S, 2, |ы), т. е. если х* есть определенный
на ТМ (S, 2, \i) непрерывный линейный функционал, не равный
тождественно нулю, то, так как совокупность линейных комбинаций
характеристических функций интервалов всюду плотна в простран-
пространстве ТМ (S, 2, |i), в [0, 1] найдется такой подинтервал Ап длины,
меньшей чем — и такой, что х* не равен нулю на характеристической
функции Хп интервала Ап. Пусть х*Хп = 6п ф 0, и пусть /п = Хп/бп,
тогда /п —> 0 и x*fn= 1, п= 1, 2, ... , что невозможно. Таким образом,
пространство, сопряженное к пространству вполне измеримых функ-
функций, может состоять только из нулевого вектора. Но это не всегда
так; например, если мера множества {s0}, состоящего из единствен-
единственной точки 50, отлична от нуля, то /(s0) линейно и непрерывно зависит
от / и f(so)=g(so) для каждой пары / и g эквивалентных между собой
функций.

11. Пространство ТМC\2,|и) 359
Таким образом из проблем, перечисленных в § 1, все, кроме одной,
теряют смысл для некоторых пространств измеримых функ-
функций. Единственная из этих проблем, имеющая смысл во всех слу-
случаях 9 _ это седьмая, т. е. вопрос об определении подмножеств прост-
пространства ТМ (S, 2, \х), бикомпактных в его метрической топологии.
Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.
1. Теорема. Пусть \х—счетно аддитивная функция множества,
комплексная или со значениями из расширенной области веществен-
вещественных чисел, определенная на а-алгебре 2 подмножеств множества S.
Тогда, для того чтобы подмножество А из ТМ (S, 2, \i) было относи-
относительно бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы для каж-
каждого г > 0 нашлись такие множества Ег, ..., Еп из 2, такая кон-
константа К и для каждого f?A такое множество Ef из 2, что .
C) \f{s)\<K, f?A, s$Ef)
D) ^ ^sup^ |/(s)-/(/)|<e, l<i<n.
Доказательство. Так как \i счетно аддитивна на а-алгебре 2, то
пространство ТМ {S, 2, \х) всех определенных на S вполне изме-
измеримых функций является полным метрическим пространством
(II 1.6.5) и, следовательно, A.6.15), множество A cz ТМ относительно
бикомпактно в том и только в том случае, если А вполне ограничено.
(Стоит отметить, что это есть единственное место в доказательстве,
где используется счетная аддитивность (г, т. е. условия теоремы
необходимы и достаточны для полной ограниченности А даже
и в том случае, если 2 есть просто алгебра, а \х —определенная
на 2 и только аддитивная, и не обязательно ограниченная функ-
функция множества).
Предположим прежде всего, что множество А вполне ограничено,
так что для заданного е > 0 в А найдутся такие функции /lf..., fq, что
JnfJ^-fKl, f$A.
Согласно определению полной измеримости (II 1.2.10), существуют
такие простые функции gl9 ..., gq, что
тогда
inf

360 Гл. IV. Специальные пространства
Найдутся, следовательно, множества ?\, ..., Еп, удовлетворяющие
условию A) и такие константы а^\ /=1, .. ., п\ i=\, ..., q, что
где %Е. есть характеристическая функция множества Ej9
Для каждого f из А найдется такое i, для которого |^ —/| <
< -|- , и, следовательно, такое а > 0, что
где множество S (| gt — f | > а) определяется так:
S(lft-/|>a) = {5|s6Sf |ft(s)-/(s)|
Так как а<-|- , то
Если Ef=S ( \gt — f\ > 4- ) и /C=e+vraisup|gi (s) |, то неравен-
V ^ / i, s
ства B) и C) получаются непосредственно. Так как gl(s)=gi(t)y
если обе точки s и t принадлежат одному и тому же множеству Ejt
и так как |^ (s) — /(s) !<-§-, если s$Efy то неравенство D) так-
также очевидно.
Теперь предположим обратное, т. е. что множество А удовле-
удовлетворяет условиям A) — D). Пусть е > 0, a=2~1tge,
°ч — ai-i<a, /= 1, . .., р,
и рассмотрим множество всех простых функций, имеющих постоян-
постоянные значения на каждом из множеств Е19 ..., Ег и значения которых
принадлежат множеству (a-, t=0,i, ...,р). Существует лишь конеч-
конечное число таких функций gt, ...,gn и ввиду условий B) —D) для
каждого f?A найдется такое i<m и такое множество ?^?2, что
u*Qx, ?;)<a, \gi(s)-f(s)\<*> s$Er
Таким образом,
S(\gt-f\>a)<rEf,
и, следовательно,

11. Пространство ТМ (S, Z, \i)
откуда следует, что \gt — f\ < е. Это означает, что каждое /? А
находится на расстоянии, не превосходящем е, от одной из функций
gv •••> ?m> т- е- что множество А вполне ограничено, ч. т. д.
Из общей теории непрерывных линейных отображений одного
^-пространства в другое известно, что если для последовательности
{Tv} таких отображений: (I) множество {Тпх} ограничено для каж-
каждого х и (II) последовательность {Г, х] сходится для каждого х
из некоторого всюду плотного множества, то последовательность
{Т,х} сходится для каждого х из области определения отображений
Tv (см. теорему II. 1.18). Если при этом областью значений отобра-
отображений является пространство 2)=77W (S, 2, |ы), где (S, 2, \i) есть
пространство с положительной а-конечной мерой, то имеется анало-
аналогичная теорема, в которой понятия ограниченности и сходимости
понимаются в смысле выполнимости их почти всюду на множестве S.
Если Т есть отображение /^-пространства Ж в ТМ (S, 2, (х), то мы
-будем обозначать через Т (х, s) значение функции Тх (т. е. значение
какой-нибудь из функций определяемого функцией Тх класса экви-
эквивалентности) в точке 5.
2. Теорема (Банах). Пусть {ТТ} — последовательность непре-
непрерывных линейных отображений F-пространства Ж в пространство
ТМ (S, S, \х) всех вещественных или комплексных вполне измеримых
функций, где E, 2, (jl) — пространство с положительной о-конеч-
ной мерой. Предположим, что sup | Tn(x, s) \ < оо для каждого х из Ж
п
и для почти всех s из S. Предположим также, что для каждого х из
некоторого множества, всюду плотного в X, предел limT^C*;, s) суще-
п
ствует для почти всех s из S. Тогда для каждого х из Ж предел
lim Tn (x, s) существует почти всюду на S.
п
Иногда нам будет нужно некоторое обобщение этого результата,
содержащееся в следующей теореме. Теорема 2 будет частным
случаем этой теоремы, если в качестве Ak взять множество всех
целых чисел n>k.
3. Теорема. Пусть (S, 2, |i)—пространство с о-конечной положи-
тельной мерой. Пусть Лг з Л2з ... —счетные множества и, пусть Т а
для каждого а б Ах является непрерывным линейным отображением
F-пространства Ж в пространство ТМ (S, 2, \х) вещественных или
комплексных вполне измеримых функций. Предположим, что
(I) для каждого х?Ж
sup \Та(х, s)\<co
а 6 Ai
почти всюду на S и
(II) для каждого х из некоторого множества, всюду плотного в Ж,
lim sup \Ta{x, s)-Tt(x, s)| = 0
ЪА
а

362 Гл. IV. Специальные пространства
почти всюду на S. Тогда равенство в п. (II) имеет место для каждого
х из Ж.
Доказательство. Заметим прежде всего, что эту теорему достаточно
доказать для случая пространства с конечной мерой. В самом деле,
оо
пусть S = U Sn, где {5п}есть некоторая последовательность попарно
непересекающихся измеримых множеств конечной меры \i. Тогда,
если меру \хг положить, по определению, равной
то \хг будет конечной мерой, причем \11(Е) = 0 тогда и только тогда,
если |л(?) = 0. Мы можем, следовательно, предполагать, что [х
есть конечная мера, так что ТМ (S, 2, \i)=M(S, 2, \i).
Пусть av a2, ...-—все элементы из Av и пусть отображения
W, Vt Vnt n=\, 2, ... пространства Ж в ТМ E, S, \i) определяются
равенствами
Vn (X, S) = SUp | Там (*, S) |, V (Х, S) = SUp | Та (х, s) |,
W(x,s) = \im sup \Ta(x,s)-Tb(x,s)\.
p->oo a,btAp
Ясно, что Vn есть непрерывное отображение пространства Ж
в ТМ E, 2, (л), удовлетворяющее условиям | Vn (х+у) | < | Vn (x) \ +
+ l^n(i/)l и 1^п(а> л:) | = | сс1/л (jt) | для каждой пары xt у элементов
из Ж и каждого скаляра а. Условие (I) обеспечивает, что V отобра-
отображает ЗЕ в TM(S, 2, \i), и из определений этих отображений
и только что доказанного вытекает, что \aVn(x) \<\a.V(x)\. Для каж-
каждого х aV(x)—>0 при а—>0 и, следовательно, множество
{Vn(x)\n=l, 2, ... } ограничено (II. 1.7) в пространстве TM(S, 2, \х).
По лемме II.1.13, Игл Vn(x) = 0 равномерно относительно /г> 1. По
следствию III.6.13 (b), Vn(x)—>V(x), и, следовательно, V непре-
непрерывно при х=0. Так как | W (x, s) \<^2V(x,s),to\W(x)\<2\ V{x) \ и,
следовательно, W непрерывно при х=0. Теперь легко можно
показать, что
[W(x,s)-W(y,s)\<\W(x-y,s)\
для почти всех s и, следовательно,
\W(x)-W(y)\<\W(x-y)\, х, г/6 36.
Отсюда следует непрерывность отображения W в каждой точке
пространства Ж. По условию (II), W обращается в нуль на некото-
некотором множестве, всюду плотном в ЗЕ; следовательно, W тождественно
равно нулю, ч. т. д.

11. Пространство TM(S, Z,mO 363^
Теперь мы рассмотрим некоторые свойства упорядоченности
пространства М (S, 2, |i). Если f?M(S, 2, \х) и если f(s)>0
для почти всех относительно |i точек 5 из 5, мы говорим, что f поло-
положительна, и пишем f>0. Если fx и /2 — вещественные или ком-
комплексные функции из М (S, 2, (л) и если /\ — f2>0t то мы пишем
/i>/2 или f2<>fv При этом пространство M(S, 2, ц,) становится
частично упорядоченным множеством в смысле определения 1.2.1.
Заметим, что пространство ТМ (S, 2, |i) тоже будет частично упоря-
упорядоченным при том же самом определении порядка.
4. Лемма. Если 2 — некоторая алгебра подмножеств множества
S и \i — конечно аддитивная функция множества, то вещественные
пространства М E, 2, fi) и ТМ E, 2, \i) являются структурами.
Если E, 2, \х) — пространство с положительной мерой, то веще-
вещественное пространство М E, 2, |л) является G-полной структурой.
Доказательство. Определения структуры и а-полноты были даны
в конце § 1.12, на стр. 55. Для того чтобы доказать первое утверж-
утверждение, достаточно заметить, что
} = j
Тот факт, что эти функции принадлежат М E, 2, \х) или
ТМ (S, 2, fx), вытекает из лемм II 1.2.11 и II 1.2.12. Ясно также, что
значение функции sup {/, g} в точке s?S почти всюду равно числу
sup {f(s),g(s)}. Второе утверждение леммы было доказано после
теоремы II 1.6.10, ч. т. д.
Для того чтобы установить и другой тип полноты пространства
М E, 2, fi), нам будет удобно доказать некоторую общую лемму
о а-полных структурах.
5. Лемма. Пусть L— о-полная структура, в которой каждое
множество элементов, вполне упорядоченное относительно частичной
упорядоченности L, самое большее счетно. Тогда структура L
является полной, причем каждое подмножество А из L имеет верхнюю
грань, являющуюся верхней гранью некоторого счетного подмноже-
подмножества множества А.
Доказательство. Пусть А — подмножество L, имеющее мажо-
мажоранту, и пусть А1 — совокупность верхних граней всех счетных
подмножеств множества А. Рассмотрим семейство W подмножеств
множества Аг, вполне упорядоченных относительно порядка, уста-
установленного в L. Мы можем упорядочить и W, полагая, по опреле-
лению, что неравенство а<6 между элементами а и Ь из W озна-

364 Гл. IV. Специальные пространства
чает, что а С & и что каждый элемент х, принадлежащий &, но не при-
принадлежащий а, служит мажорантой для а. Прежде всего мы пока-
покажем, что W удовлетворяет условиям леммы Цорна. Для этого мы
предположим, что Wo есть некоторое линейно упорядоченное под-
подмножество A.22) множества W и что с с: (J Wo. Тогда для некоторого
a?W0 пересечение с[}а не пусто. Пусть х—наименьший эле-
элемент из с{~]а и у— любой другой элемент из с. Если y?b?W0,
то либо &<а, либо а<&. Если &<а, то у?Ь влечет у?а
и, следовательно, у?с[~}а и у>х. Если а<& и у?а, то
у?с[]а и у>х. Наконец, если а<& и у$а, то ?/>*, по опре-
определению упорядоченности в W. Таким образом, х есть наименьший
элемент в с. Отсюда следует, что множество (J Wo вполне упорядо-
упорядочено и, значит, оно служит для Wo мажорантой в W. По лемме
Цорна, W содержит максимальный элемент Ьо. По условию, Ьо
не более чем счетно, и, следовательно, yo=supbo существуети принад-
принадлежит Av Теперь мы докажем, что уКУо для любого y?Av
Действительно, если для некоторого уг?Аг это неверно, то
sup{#o> Уг}>Уо\ но z/2=sup {у0, у1}?А1 и bo<bo[j{y2} и> следо-
следовательно, элемент Ьо не максимальный. Таким образом, у<^/0>
у?Аг, и так какуо6 Av то уо= sup A1 = sup А. Точно так же можно
показать существование и нижней грани множества, имеющего мино-
миноранту. Этим доказано, что структура L является полной; последнее
утверждение леммы вытекает из того замечания, что у0 служит
верхней гранью некоторой последовательности из А± и, следова-
следовательно, некоторой последовательности из Л, ч. т. д.
6. Теорема. Пусть E, 2, \х) — пространство с положительной
а-конечной мерой. Тогда частично упорядоченное пространство
определенных на S вещественных измеримых функций, где неравен-
неравенство f>g означает, что f(s)>g(s) для почти всех s из S, является
полной структурой. Кроме того, верхняя грань каждого ограничен-
ограниченного множества В этой структуры является верхней гранью для
некоторого соответственным образом выбранного счетного подмно-
подмножества В.
Доказательство. Пусть В — некоторое ограниченное множество
структуры М (S, 2, |а) определенных на S вещественных измеримых
функций. Мы можем и будем предполагать, что все функции из В
положительны и ограничены сверху некоторой измеримой функ-
функцией g. Прежде всего мы покажем, что структура L, состоящая
из всех f?M(S, 2, \х), для которых 0</<g, обладает тем свой-
свойством, что каждое ее вполне упорядоченное подмножество счетно.
Для этого рассмотрим вещественную прямую (R, 20, Я) с опреде-
определенной на ней мерой Лебега; если мы положим (Г, 21? б) — E, 2, р)Х
X (R> 20, К), то мера в пространстве (Т, 2,, 6) будет сг-конеч-
ной (II 1.11.6). Каждому f?L мы поставим в соответствие измеримое

12. Функции ограниченной вариации 365
множество A(f) = {[s, г] G Sx/? |0<r</(s)}. Заметим, что "если
flf f^L и если h<f2t то A(ft)c:A(fJ и 0 < б (A (f2) - А (/,)) =
М5) — /i(s)}(i(d5)<oo. Отсюда следует, что f1 и /2 равны
s
между собой почти всюду в том и только в том случае, если равны
6(^(/i)) и б(Л(/2)). Далее, пространство с а-конечной мерой
G\ 2Х, 6) может содержать самое большее счетное множество попарно
непересекающихся измеримых множеств ненулевой 6-меры, и, сле-
следовательно, каждое вполне упорядоченное подмножество L может
содержать только счетное число не эквивалентных между собой
функций. Справедливость нашей теоремы вытекает теперь из лемм 4
и 5, ч. т. д.
Естественное упорядочение, только что использованное для
функций из M(St 2, (i), уже рассматривалось для функций из про-
пространства Lp(S, 2, |i), 1 <р< оо. В теоремах 8.22 и 8.23 мы дока-
доказали, что если подмножество одного из этих пространств ограничено
сверху некоторой функцией, то оно имеет в этом пространстве верх-
верхнюю грань. Каждое из этих пространств является, конечно, под-
подпространством М E, 2, |л), и полезно знать, что эту верхнюю грань
можно брать как в пространстве Lp(S, 2, (i), так и в М E, 2, (i).
Мы сформулируем этот результат следующим образом.
7. Следствие. Пусть E, 2, \х)— пространство с положительной
о-конечной мерой. Тогда вещественные пространства Lp(S, 2, jx),
1 <р < ооу и М E, 2, (х) являются полными структурами и верх-
верхняя грань в LV(S, 2, \i) некоторого ограниченного множества этой
структуры совпадает с его верхней гранью в структуре М E, 2, \х).
Кроме тогоу каждое множество В, ограниченное в структуре
LpE, 2, (i), содержит некоторое счетное подмножество, имеющее
ту же верхнюю грань, что и В.
Доказательство. Это утверждение вытекает из того, что
L (S9 2,(i)cME, 2,(i) и что Ai-sup {/a}<Vsup {fa}; так
a a
как Lp-supa{/a} принадлежит пространству Lp(S, 2, (i), то,
по теореме II 1.2.22 (b), M-sup {fa} тоже принадлежит L (S, 2, \\)
a
и, следовательно, обе верхние грани совпадают. Последнее утвер-
утверждение вытекает из предшествующей теоремы, ч. т. д.
12. Функции ограниченной вариации
Пусть / — некоторый интервал с концами а и" Ъ. Обозначим
через 2 алгебру множеств из /, состоящую из всевозможных сумм
интервалов (с, d], полуоткрытых слева, за исключением того случая,
когда с совпадает с левым концом а интервала / и af/; в этом

366 Гл. IV. Специальные пространства
случае берется замкнутый интервал [a, d]. Для заданной f?BV(I)
определим (.i;? ba(I, 2) так, что \xf ([a, d])=f (d) — f(a) и \if((c, d\) =
f(d) — f(c), если с фа. Тогда ясно, что v(\xf, I) = у (/, /). Таким
образом, &аE, 2) изометрически изоморфно с замкнутым подпро-
подпространством BV0(I), состоящим из всех /?ВУ(/), для которых
f(a+)=0. Если N есть одномерное подпространство функций-кон-
функций-констант, то ясно, что BV{I)=BV0(I)@N. Таким образом, BV(/)
изометрически изоморфно прямой сумме Ьа (/, 2) и некоторого одно-
одномерного пространства. Отсюда очевидна следующая теорема (см. 9.9).
1. Теорема. Пространство BV (/) является слабо полным В-про-
странством.
Ясно, что определенный выше изоморфизм можно использовать,
чтобы получить для пространства BV (/) ответы и на многие другие
вопросы, поставленные в § 1. Детальное проведение этих рассужде-
рассуждений мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Как было показано в § II 1.5 (см. рассуждение, следующее за
леммой III.5.16), если f?NBV(I), то \if регулярна; обратное тоже
очевидно. Таким образом, соответствием /«--*|л, определяется не-
некоторый изометрический изоморфизм между пространствами
NBV(I) и rba(I, 2). Пользуясь теоремой 9.9, получаем следующий
результат.
2. Теорема. Пространство NBV (/) является слабо полным
В -пространством.
Здесь снова рассматриваемое пространство изометрически изо-
изоморфно ранее изученному пространству; и снова этот изометриче-
изометрический изоморфизм можно использовать для получения ответов
на вопросы, поставленные в § 1. Детали этих рассуждений мы
оставляем читателю в качестве упражнения.
Пусть, наконец, f?AC(I), и пусть f (а+)=0, так что
f ? NBV (I). Обозначим через 2Х а-алгебру, порожденную
алгеброй 2, т. е. алгебру всех борелевских подмножеств /. Через К
обозначим меру Бореля —Лебега, а через Х1 — ее сужение на алгеб-
алгебру 2. Ясно, что \if абсолютно непрерывна относительно Xt. Обратно,
если f^NBV(I) и \xf абсолютно непрерывна относительно Xv то
ясно, что f?AC{I).
Если (i; есть однозначно определенное счетно аддитивное про-
продолжение \xf на 2t (существующее, согласно рассуждению, следую-
следующему за леммой III.5.16), то, по лемме 9.13, jj^ абсолютно непре-
непрерывна относительно X в том и только в том случае, если \if абсолютно
непрерывна относительно Хг. Согласно теореме Радона — Никодима
(III.10.7), |i/ представима интегралом вида

13. Упражнения 367
Следовательно, произвольную функцию f?AC(I) можно пред-
представить в виде
\
о
где^ есть некоторый элемент из Ьг (S, 2, X). Обратно, ясно, что каж-
каждая функция / такого вида принадлежит АСA). Легко видеть, что
ъ
l/l=l/(« + )| + [\g(y)\dy.
а
Этим доказан следующий результат.
3. Теорема. Пространство АС (I) изометрически изоморфно
прямой сумме пространства Lx(/, 2, X) и некоторого одномерного
пространства. Следовательно, АС (/) слабо полно.
Решения поставленных в § 1 вопросов относительно пространства
АС (/) можно легко получить, используя упомянутый в теореме 3
изометрический изоморфизм. Проведение деталей доказательства
предоставляется читателю в качестве упражнения.
13. Упражнения
А. Упражнения, дополняющие таблицу в § 15.
1. Показать, что все топологии конечномерного линейного топо-
топологического пространства 3? эквивалентны. Вывести отсюда, что
подмножество пространства ЗЕ относительно бикомпактно в том
и только в том случае, если оно ограничено. Показать, что если
{хг, . . ., хп}— базис /г-мерного линейного топологического простран.-
п
ства Ж и {ут}> где t/m=S ^шХг — последовательность элементов
п
из Ж, то ут сходится к элементу ?/=2 a(i)*i B том и только в том
случае, если а^—>а(г). Если Ж является В-пространством, то, для
того чтобы последовательность {у(П} была слабо фундаментальной,
необходимо и достаточно, чтобы lima$ существовал для каждого
тп~>оо
/, 1 <i<n.
2. Показать, что пространство L1 (S, 2, \х), не являющееся конеч-
конечномерным, не может быть рефлексивным.
3. Показать, что подмножество К пространства /р, р> 1, отно-
относительно бикомпактно в том и только в том случае, если оно ограни-
оо
чено и lim 2 \ai\v = Q равномерно относительно [а19 а2, . . .]?К.

368 Гл. IV. Специальные пространства
Показать, что в пространстве 1г сильная относительная бикомпакт-
ность совпадает со слабой компактностью.
4. Если 1<р<оо, то последовательность *Ш)={??",
1=1, 2, ...} является слабо фундаментальной в /р в том и только
в том случае, если она ограничена и все пределы \-ь= lim?Jn\
п
/=1, 2, ..., существуют, при этом такая последовательность
слабо сходится к элементу x={li}. Показать, что при р=1 то же
условие дает с0-сходимость в 11=с*.
5. Показать, что пространство В E, 2) не может быть слабо
полным, если 2 бесконечно, и что пространство B(S) не может
быть слабо полным, если множество S бесконечно. Показать, что
пространство ba(S, 2) может быть рефлексивным лцщь в том слу-
случае, если оно конечномерно.
6. Пусть /, fn6 LooE, 2, ц); тогда lim С fn(s)g(s) \x (ds) =
n g
= \ / (s) g (s) \x (ds) для каждого g из L1 E, 2, (i) в том и только в том
S
случае, если последовательность {/п} ограничена в Loo(S, 2, \х) и
lim
для каждого е из некоторой алгебры, порождающей а-алгебру 2.
7. Пользуясь теоремой 6.3, найти общий вид линейных функ-
функционалов из с* и с* (см. упражнение II.4.33).
8. Показать, что пространства с0 и с не являются ни слабо пол-
полными, ни рефлексивными.
9. Множество К из с или из с0 относительно бикомпактно в том
и только в том случае, если оно ограничено и предел Нт?л суще-
п
ствует равномерно относительно х = {?п} из К- Множество К из с
или из с0 слабо компактно в том и только в том случае, если оно
ограничено и lim ?n существует квазиравномерно относительно
х={Ъп} из /С.
10. Пусть хп = {Q™} и х = {?.} — векторы из с или из с0. Тогда хп
слабо сходится к л: в том и только в том случае, если последова-
последовательность {хп} ограничена и
limlim?(.n> = limE ,
п % г % i х
Hmgr^g., /=1, 2, ....
Последовательность {хп} в том и только в том случае является слабо
фундаментальной, если lim?!n) и lim lim ^n) существуют.
71 <П "I

13. Упражнения 369
11. Показать, что пространство bv0 изометрически изоморфно
пространству /х и что пространство bv есть прямая сумма простран-
пространства bv0 и некоторого одномерного подпространства. Пользуясь
этим изоморфизмом, перенести на эти пространства все результаты,
полученные для /х. Какой вид принимают эти результаты в данном
случае?
12. Показать, что пространство bv естественно интерпретиро-
интерпретировать как cs* и что bv0 имеет аналогичную интерпретацию как про-
пространство, сопряженное к лодпространству пространства cs, состоя-
состоящему из рядов, суммы которых равны нулю. Пользуясь этим, пере-
перенести утверждения упражнения 4 на bv и bv0.
13. Показать, что пространство bs изометрически изоморфно
пространству 1^. Показать, как этот изоморфизм может быть
использован для решения всех перечисленных в таблице проблем,
относящихся к bs. Какой вид принимают эти результаты в данном
случае?
14. Пространство cs изометрически изоморфно пространству с.
Пользуясь этим, решить для этого пространства все проблемы,
указанные в таблице.
15. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство. Пока-
Показать, что С (S) слабо полно в том и только в том случае, если оно
конечномерно, что будет тогда и только тогда, если множество 5
конечно. Пользуясь этим результатом и следствием 6.19, показать,
что то же самое утверждение справедливо и для любого нормаль-
нормального пространства.
16. Пусть 5— вполне регулярное топологическое пространство.
Показать, что для того чтобы С (S) было сепарабельно, необходимо
и достаточно, чтобы S было бикомпактным метрическим простран-
пространством.
17. Показать, что последовательность {кп} элементов из Ьа E, 2)
слабо сходится к некоторому элементу Х? Ьа E, 2) в том и только
в том случае, если существует такое неотрицательное (i? ba(S, 2),.
что lim |Яп(?)| = 0 равномерно относительно п и
М- (Е)~>0
1%{Е) Х(Е) для ??2.
18. Пусть \xn?ba(S, 2). Тогда для существования такого
\i?ba(St 2), что
lim \ f (s) iin (ds) =[f(s)ix (ds), f 6 В (S, 2),
71
необходимо и достаточно, чтобы последовательность {| \in |} была
ограничена и предел lim \ia(E) существовал для каждого мно-
г»
жества Е ? 2.
24 Заказ № 1324

370 Гл. IV. Специальные пространства
19. Пусть (х —неотрицательный элемент пространства ba(S, 2),
и пусть ba(S, 2, \х) — подпространство пространства ba(S, 2),
состоящее из всех к, абсолютно непрерывных относительно \х. Для
каждого а = (elt ...,еп) из определенного в теореме 5.6 частично упо-
упорядоченного множества А обозначим через Uа оператор, действую-
действующий в ba(S, 2, \х) и определяемый равенством
п
(^)(e)-=2^j}l»M. «€2.
Показать, что, для того чтобы множество К ZZba{S, 2) было отно-
относительно бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы были
выполнены следующие условия:
(I) К ограничено;
(II) существует такое неотрицательное |л? ba(S, 2), по отноше-
отношению к которому каждое % из К абсолютно непрерывно;
(III) limf/aA, = A, равномерно относительно Х?К.
а
20. Пусть 2= {Еп}— счетная алгебра подмножеств множества S,
а 2j — a-алгебра, порожденная алгеброй 2. Пусть \х — определенная
на 2Х неотрицательная конечная счетно аддитивная мера. В мно-
множестве А^ (л-измеримых функций /, таких, 4TOvraisup |/(s)|<l,
мы введем метрику »* s^s
Показать, что А^ есть бикомпактное метрическое пространство.
Показать, что ограниченное множество К из са E, 2Х) в том и только
в том случае относительно бикомпактно, если в ca(S, 23) суще-
существует такое неотрицательное (i, что непрерывность интеграла
\f(s)l(ds)
на множестве /б А^ равномерна относительно
21. Показать, что пространство ca(S, 2) рефлексивно только
в том случае, когда оно конечномерно.
22. Пусть 5—нормальное топологическое пространство, а
гшE)—пространство регулярных счетно аддитивных функций мно-
множества, определенных на борелевских множествах из 5. Дока-
Доказать, что:
(I) Пространство rca(S) слабо полно.
(II) Последовательность {\хп} из rca(S) является слабо фунда-
фундаментальной в том и только в том случае, если она ограничена и пре-
предел lim \хп (ё) — \х (ё) существует для каждого борелевского множе-
п
ства е; в этом случае (х 6 гш и \in слабо сходится к \х.

13. Упражнения 371
(III) Подмножество K^rca(S) слабо компактно в том и только
в том случае, если оно ограничено и если для некоторого положи-
положительного % из гса (S) предел lim \х (е) = О равномерно относительно \х
Я,(е)~>0
из/С.
(IV) Множество K^rca(S) слабо компактно в том и только
в том случае, если оно ограничено и счетная аддитивность \х (е), где е
принадлежит алгебре борелевских множеств, равномерна относи-
относительно \л?К.
(V) Пространство гса (S) рефлексивно только в том случае, если
оно конечномерно.
23. Пусть 1 < р < со, fn, f?Lp [0, 1] (здесь имеется в виду мера
Лебега). Тогда fn слабо сходится к / в том и только в том случае,
если
1
(I) sup\ \fn(t)\*dt< со;
п о
X X
(Н) \fn(t)dt-+\f(t)dt,
О О
Последовательность {/п} будет слабо фундаментальной в том
х
и только в том случае, если выполняется условие (I) и lim \ fn (t) dt
п о
существует для каждого 0<х< 1.
24. Пусть /, fn6 Lp E, 2, (i), где 1 < р < со, и пусть 20 —сово-
—совокупность множеств конечной меры, характеристические функции
которых образуют в Lp(S, 2, \х) фундаментальное множество.
Тогда последовательность {fn} в том и только в том случае слабо
сходится к /, если она ограничена и
\im\fn(s)ii(ds)=^f(s)ix(ds), ?С20.
П Е Е
Последовательность {fn} будет слабо фундаментальной в том и только
в том случае, если она ограничена и lim \ fn (s) (x (ds) существует
п ^
для каждого ??20.
25. Пусть /n, f^L1(S, 2, \\). Тогда последовательность fn
слабо сходится к / в том и только в том случае, если lim \ fn (s) \x (ds) =
= [f(s)\i(ds) для каждого ?6 2. Кроме того, последователь-
24*

372 Гл. IV. Специальные пространства
ность {/п} будет слабо фундаментальной в том и только в том случае,
если lim \ fn(s)ii(ds) существует для всех Е?2>.
п е
26. Показать, что ограниченное подмножество K(^_L00(S, 2, fi)
бикомпактно в том и только в том случае, если для каждого е > О
существует такое разбиение я множества S на конечное число изме-
измеримых подмножеств, что
vrai sup | / (s) — / (/) | < е
s?A
t?A
для каждого А б я.
i i
27. Пусть g, gneLoo(Oy 1). Тогда {gn(t)f(t)dt->\g(t)f(t)dt
о о
для каждого f^L^O, 1) в том и только в том случае, если
(I) supvraisup|gn@|<co;
п
X
(II) \gn{t)dt->\g(t)dt.
0 0
28. Показать, что пространства BV(I)f NBV(I) и АС{1) нереф-
нерефлексивны.
29. Если Loo(I) есть пространство определенных на / суще-
существенно ограниченных измеримых по Лебегу функций и если про-
пространство Ф+Loo (/) нормировано условием
\a + g\ = \а \ +1 g\ == | а\ + vrai sup \g(s)\,
то равенством
устанавливается некоторый изометрический изоморфизм между
АС*A) и 0 + Loo(/).
30. Ограниченное подмножество К пространства NBV(I) (или
BV (/)) слабо компактно в том и только в том случае, если суще-
существует такое g?NBV (или BV), что для каждого е>0 найдется
п
такое б > 0, что из неравенства 2 \g (st) — S (h) I < ^ вытекает
n
неравенство 2 I f(si) — fih) I <e Для каждого / из /С.
г=1
Для того чтобы последовательность {fn} из 5V(/) или NBV(I)
слабо сходилась к некоторому элементу /, необходимо и достаточно,
чтобы множество {/п} было слабо компактным и чтобы fn (s) —» / (s)
для каждого 5 из /.

13. Упражнения 373'
31. Ограниченное подмножество К пространства АС (I) в том
и только в том случае слабо компактно, если для каждого е > О4
п
найдется такое б > 0, что из неравенства 2 st — tt | < б вытекает
неравенство 2 \f(si) — f(h)\<e Для каждого / из К-
Для того чтобы последовательность {/п} из АСA) слабо сходи-
сходилась к некоторому элементу /, необходимо и достаточно, чтобы мно-
множество {/п} было слабо компактным и чтобы fn (s) —>/(s) для всех s.
32. Пусть K^AC(I), и, если / не совпадаете (— оо, оо), пусть
АС(I) вложено в АС(— оо, оо) так, что каждое f^AC(I) постоянно
вне /. Тогда для того, чтобы множество К было относительно биком-
бикомпактным в АСA), необходимо и достаточно, чтобы были выполнены,
следующие условия:
(I) множество К ограничено;
(II) l\mv(f, /;у/;) = 0 равномерно относительно / из /С, где
п-*оо
1п = \п, оо) и /;-(— оо, п].
(Ill) 11 m | / — /е | = 0 равномерно относительно / из /С, где /8 (s) =
= f(s+e).
33. Обозначим через 2 алгебру множеств на замкнутом интер-
интервале /, порожденную семейством подинтервалов с рациональными
концами; элементы алгебры 2 расположим в последовательность {Еп}.
Пусть [я —мера Лебега. В множестве А измеримых по Лебегу функ-
функций /, для которых vrai sup|/(s)L< 1, введем метрику:
ее/
Показать, что А есть бикомпактное метрическое пространство.
Показать, что для относительной бикомпактности ограниченного
множества К из АС (I) необходимо и достаточно, чтобы непрерыв-
непрерывность интеграла \f(s)dg(s) для f?A была равномерной относи-
i
тельно /6 К.
34. Пусть К будет ограниченным подмножеством пространства
NBV (/) при тех же предположениях и в тех же обозначениях, что
и в предыдущем упражнении. В обозначениях упражнения 20 и § 12
показать, что множество К относительно бикомпактно в том и только
втом случае, если существует такая функция g? NBV (/), что непре-
непрерывность интеграла ^ h (s) \if (ds) для hZA^ равномерна относи-
У
тельно /бК-

$74 Гл. IV. Специальные пространства
35 (а). Пусть/ — замкнутый интервал. Показать, что формулой
устанавливается некоторый изометрический изоморфизм между
пространствами С(/)* и NBV(/). Показать, что если {gn} есть неко-
некоторая последовательность функций из NBV (/), то lim \ / (s) dgn (s) =
J
-= \ f(s)dgo(s) для всех f?C(I) в том и только в том случае, если
i
(I) v(gn> I) равномерно ограничено;
(II) gi(s)—>go(s) в каждой точке s непрерывности функции g0.
(b). Пользуясь установленным в первом абзаце параграфа 12
соотношением между пространствами BV (/) и ЬаA, 2), показать,
что пространство BV(/) можно считать сопряженным к прямой
сумме 36 пространства 5E, 2) и некоторого одномерного простран-
пространства, и вывести необходимые и достаточные условия Эб-сходимости
лоследовательности элементов из BV(I).
36. Показать, что пространство Ср [а, Ь] разложимо в прямую
сумму некоторого конечномерного пространства и пространства
изоморфного С [а, Ь]. Показать, что:
(a) Каждый элемент л:* пространства, сопряженного к Ср, одно-
однозначно представим в виде
р-1 b
**(/) = 2 aip(a)\
где ц,— регулярная борелевская мера.
(b) Последовательность fn в том и только в том случае является
^слабо фундаментальной последовательностью (слабо сходящейся
к /), если она ограничена и /^;)(s) сходится (к /(;)E)) Аля каждого
s?[a, b] и каждого / = 0, 1, ..., р.
(c) Пространство Ср не является ни слабо полным, ни рефлек-
рефлексивным.
(d) Подмножество А гт Ср в том и только в том случае относи-
относительно бикомпактно, если оно ограничено и если для каждого е > О
найдется такое б > 0, что из неравенства | s— /1 < 6 вытекает нера-
.венство |/^(s) — f{p)(t)\ <е для 5, *6[а, Ь].
(e) Подмножество AczCp в том и только в том случае слабо
компактно, если оно ограничено и множество {/(р)}, /6 Л, квазирав-
ностепенно непрерывно.
37. Пусть D — ограниченная область. Показать, что последо-
последовательность функций из A (D) является слабо фундаментальной
'(слабо сходящейся к /? A (D)) в том и только в том случае, если она
равномерно ограничена и сходится (к /) в каждой точке границы

13. Упражнения 375
области D. Показать, что подмножество из A (D) в том и только
в том случае относительно бикомпактно, если оно ограничено и при-
принадлежащие ему функции равностепенно непрерывны. Показать,
что подмножество из A (D) в том и только в том случае слабо компакт-
компактно, если оно ограничено и квазиравностепенно непрерывно на гра-
границе области D. Показать, что пространство A (D) никогда не явля-
является ни слабо полным, ни рефлексивным. Показать, что A (D) яв-
является замкнутым подпространством пространства C(D).
38. Показать, что пространство АР не является ни слабо пол-
полным, ни рефлексивным.
39. Показать, что для того чтобы ограниченное подмножество
К пространства АР было относительно бикомпактным, необходимо-
и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
(I) для каждого е > 0 существует такое /8, что множество
Ms = {t\\f(s+t)-f(s)\<e, если -оэ <s< + cx> и /б/С}
имеет непустое пересечение с каждым интервалом длины /е;
(II) для каждого е>0 найдется такое б > 0, что
1/(*)-/@|<е. если |s-/|<a и /gtf.
40. Пусть S— бикомпактное хаусдорфово пространство. Пока-
Показать, что последовательность {fn}$C(S) в том и только в том слу-
случае является слабо фундаментальной, если |/п[ равномерно огра-
ограничены и lim/n(s) существует для каждого s?S.
П-юо
41. Показать, что последовательность {/п} элементов простран-
пространства АР в том и только в том случае является слабо фундаменталь-
фундаментальной, если | fn | равномерно ограничены и каждая последовательность
{sm} вещественных чисел содержит такую подпоследовательность
{sm.}, для которой lira lim fn (sm.) существует. Показать, что после-
1 n->co i->co х
довательность {/п} элементов пространства АР в том и только в том
случае слабо сходится к f?AP, если каждая последовательность
{sm} вещественных чисел содержит такую подпоследовательность
{sm.}> для которой lim Hmfn (sm.) = lim/(sm.).
1 n->oo i-»oo l ' i-юо l
42. Пусть S— нормальное топологическое пространство. Пока-
Показать, что последовательность {fn}?C(S) в том и только в том слу-
случае является слабо фундаментальной, если |/п| равномерно ограни-
ограничены и каждая последовательность {sm} точек из S содержит под-
подпоследовательность {sm.}, для которой lim lim fn (sm.) существует.
43. Показать, что последовательность {/п} элементов простран-
пространства B(Sy Z) в том и только в том случае является слабо фунда-
фундаментальной, если \fn\ равномерно ограничены и каждая последо-
последовательность {sm} точек из S содержит подпоследовательность
{sm.}, для которой lim lim/n(sw.) существует.

376 Гл. IV. Специальные пространства
44. Показать, что последовательность {хп} элементов гильбертова
пространства в том и только в том случае является слабо фунда-
фундаментальной (со слабым пределом х), если | х,г | равномерно ограничены
и lim (хпУ уа) существует (lim (xn, уа) = (х, уа)) для каждого элемента
П-юо п->оо
уа из ортонормального базиса.
45. Пусть {уа]— некоторый ортонормированный базис гильбер-
гильбертова пространства ig. Показать, что ограниченное подмножество А
из ig относительно бикомпактно в том и только в том случае, если
для каждого е > 0 существует конечное множество уа , .. ., уа эле-
элементов ортонррмированного базиса {уа} таких, что У] \ (х,уа) |2<е
1п
для всех х из А.
46. Показать, что каждый непрерывны^ линейный функционал,
определенный на пространстве s, имеет вид
где x={lt}^s и [alf ...,an] есть конечное множество комплекс-
комплексных чисел.
47. Показать, что совокупность {л:а} = {^а)} элементов простран-
пространства s в том и только в том случае относительно бикомпактна, если
?ia) для каждого фиксированного i равномерно ограничены относи-
относительно а.
48. Показать, что пространство BV (/) разложимо в прямую
сумму своего подпространства NBV(I) и подпространства, состоя-
состоящего из всех таких функций из В У, которые обращаются в нуль
всюду, кроме некоторого счетного множества точек. Доказать, что
это последнее пространство изометрически изоморфно пространству
Lv Пользуясь этим фактом и результатом упражнения 34, охарак-
охарактеризовать относительно бикомпактные подмножества простран-
пространства BV(I).
В. Различные упражнения
49. (а) Показать, что если в пространстве L1(Sf 2, \i) сильная
и слабая сходимости последовательностей совпадают, то каждое
множество положительной меры из S является атомом.
(Ь) Показать, что пространство Lx E, 2, (я) в том и только в том
случае эквивалентно lv если в 2 существует такое счетное множе-
множество {Еп} атомов конечной меры, что каждое измеримое подмно-
оо
жество из S— U Еп является либо атомом бесконечной меры, либо
п=1
нуль-множеством.

13. Упражнения 377
50. Показать, что пространство, эквивалентное С E), может
быть эквивалентно некоторому замкнутому подпространству про-
пространства ba(S, 2) только в том случае, если оно конечномерно.
51. Показать, что пространство Lp(Sy 2, \х)у 1 <р < со, может
быть эквивалентно пространству С E) или пространству Lx (S19 2Х, Hj)
лишь в том случае, если оно конечномерно.
52. Показать, что если Ж1 есть конечномерное подпространство
fl-пространства Э?, то ЗЕХ замкнуто и существует второе замкнутое
подпространство 3?2с3? такое, что Ж = %1@%2.
53. Пусть E, 2, \х) — пространство с (необязательно положи-
положительной) мерой. Пусть v(E) = v(\i, ?), если Е? 2. Показать, что
пространства Lp(S, 2, \х) и L'V(S, 2, v)9 1<р<оо, при естествен-
естественном отображении одного на другое изометрически изоморфны.
Переформулируйте все теоремы параграфа 8 для этого несколько
более общего случая.
54. Показать, что, для того чтобы ограниченное подмножество
К пространства Ll(St 2, (я) было слабо компактным, необходимо
и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
(I) lim \ f(s) [i(ds) = 0 равномерно относительно /?К\
ц (Я)-0 jO
(II) существует такая последовательность множеств {Ап}>
Лпе2, \i(An) < оо, что
lim \ /(s)jx(ds) = O равномерно относительно /б/С.
ь~Ап
55. Пусть Ж — некоторое fi-пространство, a (S, 2, (i)— прост-
пространство с мерой. Предположим, что /: 5—»Э? и что функция x*f (-)
(i-интегрируема для каждого х* из Э?*. Показать, что существует
такое л:**?Ж**, что
л:** (а:*) = \x*f(t)\i (dt), л:* 6 Ж*.
s
56. (Гельфанд). Пусть Ж — некоторое fi-пространство, a (S, 2, (i) —
пространство с мерой. Пусть /*:5—>Ж*, и предположим, что
функция /*(•)* ^-интегрируема для каждого * из Ж. Показать, что
существует такое х* 6 ЗЕ*, что
д;**; = \ /* E) А'|1 (rfs)f X б Э?.
S
57. Пусть X —некоторое В-пространство и К — определенная
на Ж х [0, 1] вещественная функция, линейная по х для каждого
фиксированного /?[0, 1] и принадлежащая L [0, 1] для каждого
фиксированного л: б Ж (имеется в виду мера Лебега). Предположим,

378 Гл. IV. Специальные пространства
ЧТО
s
lim [ Kx(t)dt = O, 0<s<h
Доказать, что
lim [ \Kx(t)\qdt = 0,ewn \<q < oo,
хн.0 J
lim vrai sup \Kx(t) | = 0, если q=co.
X-+Q O^tl
и что
58. Пусть Ж —некоторое 5-пространство и К — определенная
на ЗЕХ [0, 1] комплексная функция, линейная по х для каждого
фиксированного /? [0, 1] и принадлежащая пространству NBV[0, 1]
для каждого фиксированного х. Предположим, что \\тКх it) =0
зс-^О
для 0<^<1. Доказать, что lim v(Kx, [0, 1]) = 0.
О
59. Пусть 1<р<оо и {ап}— последовательность комплексных
чисел такая, что ряд 2ап?д сходится для каждого {1п} из 1р. Тогда
{ап} принадлежит ZpS где -i+-L=l.
60. Если {ап} есть последовательность комплексных чисел такая,
что ряд 2аЛ?Л сходится для каждого х= {1п} из с, показать, что
2|ап|<со.
61. Пусть 1<р<оо, 1<^<оо. Пусть {ai;} —бесконечная
оо
матрица такая, что все ряды т)? = 2 агД/ сходятся для каждого
5 = [Sn ?г> • • • ] из 'Р и что Л = [Ли Лг» • • • 1 принадлежит /Q. Показать,
что если 9 < оо, то существует такое число КУ что
ОО — оо —
(S Ы*Г<КB1У*Г для каждого 1 = [\,\ из Lp,
i=l ; = 1
а если q= со, то существует такое число /С, что
оо —
sup h-1</(B \lj\PT для каждого ? = [?;] из L
62. Пусть 1<р<оо и 1<^<оо. Пусть E, 2, |х) и (Sb 2Ь fxx)
пространства с мерой и К — определенная на S x St комплексная
[г х (х^измеримая функция такая, что для каждого /? Lp (Sx, 2
интеграл

13. Упражнения 379
существует почти всюду относительно (х2 и принадлежит Lq. Пока-
Показать, что существует такая константа М < сю, что |g"|g<M |/| .
63. Пусть / и g— определенные на замкнутом интервале [а, Ь\
ъ
комплексные функции. Мы говорим, что интеграл \ / (s) dg (s) суще-
а
ствует в смысле Римана—Стильтьеса, если для каждого е>0
на интервале [а, Ь] найдутся такие точки sl7 ..., sn, что если tv . ..
. .., tn и и19 ..., uL — две возрастающие последовательности точек
из [а, й], причем каждая из этих последовательностей содержит
все точки s±, .. ., 5П, то
I "s / (h) (g (h.i) - § (h)) - S f («i) te («i*i) - г («i)) I < e.
i l il
Показать, что если g есть определенная на [а, й] функция, инте-
ъ
грал от которой \ f(s)dg(s)y в смысле Римана —Стильтьеса, су-
а
ществует для каждой функции f из С [а, Ь]у то g принадлежит
BV[a> й], и обратно.
64. Показать, что каждая непрерывная комплексная функция
/ (s) вещественного переменного s, удовлетворяющая условию / (s) =
= f(s + 2ri), может быть аппроксимирована конечными линейными
комбинациями функций вида einsy — oo<s< + oo.
65. Показать, что каждая непрерывная функция, определенная
на прямом произведении S хТ двух бикомпактных хаусдорфовых
пространств 5 и Г, может быть равномерно аппроксимирована
конечными линейными комбинациями функций вида f(s)g(t).
66. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство,
х, xn?C(S) и
(a)
(b) |xn(s)|<Af <oo, 56 5, п=1, 2, ... 8
Тогда для каждого е > 0 найдется такое натуральное число п и такие
комплексные числа ait i = 1, ..., я, что
67. Показать, что гильбертово пространство изометрически
эквивалентно пространству L2 E, 2, fi), где 2 состоит из всех под-
подмножеств множества S и \i есть счетно аддитивная функция, при-
принимающая на каждом множестве, состоящем из одной точки, зна-
значение единица.

380 Гл. IV. Специальные пространства
68. Пусть (S, 2, (х) — пространства с конечной мерой и /С —
ограниченное подмножество из Loo (S, 2, jx). Показать, что /С,
рассматриваемое как подмножество L1(S, 2, jx), слабо компактно.
69. Показать, что множество характеристических функций мно-
множеств из 2 является фундаментальным в Loo(S, 2, jx).
70. Совокупность всех векторов х = {г]д} вещественного простран-
пространства /2, у которых |Лп|<7Г> называется гильбертовым параллелепи-
параллелепипедом. Показать, что это множество бикомпактно в /2.
71. Пусть E, 2, jx) — пространство с мерой. Пусть / — опреде-
определенная на S комплексная функция такая, что fg?Lt(Sy 2, jx) для
каждого g?Lp(S, 2, jx), 1 <р<оо. Показать, что / принадлежит
Lq(S9 2, (i), где —(-- — = 1. Показать, что если мера в S а-конечна,
то это же верно и при р = 1.
72. Оператор А в гильбертовом пространстве !q называется
эрмитовым, если (Лл:, у) = (х, Лу) для любых лс, у из §.
(a) Показать, что если оператор А эрмитов, то равенство А =0
эквивалентно тому, что (Ах, х)=0 для всех х из !§.
(b) Показать, что если оператор Ап при п>0 эрмитов, то
lim (Апх,у) = (Аох, у) для всех ху у из $ в том и только в том
п-юо
•случае, если lim (Апх, х) = (Аох, х) для всех х из <§.
п->»оо
73. Определенная на интервале / вещественная функция в том
и только в том случае принадлежит к BV (I), если она представ-
представляется в виде разности двух определенных на / ограниченных моно-
монотонно возрастающих функций.
74. Пусть E, 2, (^-—пространство с конечной положительной
мерой. Показать, что в /^-пространстве TM(S> 2, jx) можно ввести
эквивалентную норму формулой
- 1+1/<*).
s
75. Пусть" S — топологическое пространство, 2 —некоторая
<а-алгебра его подмножеств и X — В-пространство. Пусть \i —
определенная на 2 функция множества со значениями в Ж. Пред-
Предположим, что для каждого х* из X* функция множества л:*|х регу-
регулярна и счетно аддитивна. Тогда существует такая неотрицательная
регулярная счетно аддитивная функция множества v?ca(S, 2),
что lim (х (Е) =0.
v(E)^0
76. Упорядочим пространство 5(S, 2), полагая, что f>g,
если f(s)>g(s) для всех 5 из 5, и пространство ba(Sy 2), полагая,
>что \х>Х< если \х(Е)>Х(Е) для ? из 2. Показать, что |х>А.

13. Упражнения 381
в том и только в том случае, если
^ f(s)\i(ds)> ^ f(s)X(ds) для всех />0,
S S
и что f>g в том и только в том случае, если
•^ f(s)ix(ds)> ^ g{s)\x(ds) для всех (я>0.
s s
77. Упорядочим пространство LOO(S, 2, |i), полагая />g, если
/(s) >g(s) для почти всех s из 5, и пространство 6а E, 2Х, щ ) (обо-
(обозначения см. в п. 8.15), полагая [л >Х, если (i (?)>Х(?) для ? из Slt
Показать, что A>Х в том и только в том случае, если
^ f(s)[i(ds)> [ f(s)X(ds) для всех />0,
S S
и что f >§" в том и только в том случае, если
[ f(s)ii(ds)> [g(s)[i(ds) для всех
С. Упражнения на интегральные методы суммирования.
Нижеследующие упражнения являются «непрерывными» ана-
аналогами упражнений II.4.31—II.4.54. Для того чтобы выполнить
эти упражнения, читатель может вспомнить решения соответствую-
соответствующих упражнений, приведенных в II.4. Необходимо отметить, что,
кроме тех случаев, когда говорится противное, результаты упраж-
упражнений 78—99 остаются справедливыми, если определяемые ниже
пространства Мо, Мх и М2 интерпретировать как пространства
функций, значения которых принадлежат некоторому 5-простран-
ству Ж.
78. Пусть R— множество положительных вещественных чисел,
38 —алгебра борелевских подмножеств R и X— мера Лебега для
множеств из 38. Пусть Мо обозначает семейство определенных на
R ограниченных Х-измеримых функций / таких, что Нт/(л:) суще-
ствует. Показать, что если мы положим
|/|= sup |/(*)|,
0
то Мо будет Б-пространством.
79. Пусть К (х, у) —определенная на Rx R Хх ^-измеримая
функция. Предположим, что для каждого фиксированного х функ-
функция К (х, у) Х-интегрируема. Показать, что, для того чтобы интеграл

382 Гл. IV. Специальные пространства
К (х, у) f (у) dy принадлежал Мо для каждой функции /из Мо>.
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие усло-
условия:
оо
(а) \|/С(*, y)\dy ограничен относительно х\
о
А
(b) lim \ К (х, y)dy существует для всех О <А <оо;
(c) для каждого е > 0 и А > 0 существует такое б > 0 и такое
N > 0, что
\ К{х, y)dy < е, если ?с:@, А], Х(Е)<6, х> Л/.
Е
со
(d) lim \ /С (л:, у) dy существует.
Показать, что \ К (х, у) f (у) dy имеет при х = со тот же самый предел,
о
что и f (#), в том и только в том случае, если
А
(b') lim \ К (х, y)dy = O для всех 0 < А < со и
(d') lim
зс->-оо
80. Пусть k — неотрицательная функция вещественного пере-
переменного, интегрируемая по Лебегу на каждом конечном интервале.
X
Положим К (х)=[ k (у) dy. Показать, что
-\
для каждого f из Мо в том и только в том случае, если lim К (х) = оо.
81. Пусть k — возрастающая неотрицательная функция веще-
вещественного переменного, интегрируемая на каждом конечном интер-
X
вале. Положим К (х) = \ k (у) dy. Показать, что если \\т k(x)/K (х) = 0*
J X-9-OO

13. Упражнения
ТО
для всех f из Мо.
82. Пусть [х — неотрицательная мера, определенная для всех
борелевских подмножеств положительной вещественной полуоси.
Предположим, что \ е 8о \x(dt) = оо, но что \ е st [x(dt) = N(s)<co
при s > s0. Положим N (fy s)=\ е stf(t) \х (dt), если s>s0 и f€]M0.
о
Показать, что Mm N (s)N (ff 5) = lim/(x), если /бМ0.
83. Показать, что если f принадлежит Мо, то
(a) (Чезаро)
X
Пт 4" \ f (у)dy = lim f(x);
(b) если а > 0, то
(с) (Абель) \imx[e-xyf(y)dy = U
<d) (Гаусс) lim ~ [e-^yJf (у) dy = Mm f(x);
(е) lim A
84. Пусть (/?, S, К) определено как в упражнении 78. Обозна-
Обозначим через М1 пространство всех определенных на R ограниченных
^-измеримых функций /, для которых lim f(x) существует. Положив
0
|/|= sup
о^х<;оо
показать, что М1 есть В-пространство.
85. Пусть К(х> у) — определенная на RxR ХхЯ-измеримая
функция. Предположим, что К (х, у) для каждого фиксированного х
Я-интегрируема. Показать, что для того, чтобы интеграл

384 Гл. IV. Специальные пространства
\ /С (л:, y)f{y)dy принадлежал М1 для любой функции / из Мх,
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие
условия:
со
(a) \ | К (х, у) | dy ограничен по х;
о
со
(b) lim \ К(х, y)dy существует для всех
(с) для каждых е > 0 и А > 0 существует такое б > 0 и такое
N > 0, что К К (х, у) dy < е, если ?с [А, со ] Д (?) < б и х < Л/;
(d) для каждого е >0 существует такое М > 0 и такое N > О,
со
что \ | К (х, y)\dy < е при х < N;
оо
(e) lim \ /С (л:, у) dy существует.
Показать, что f (x) имеет при х = 0 тот же самый предел, что и
со
\ К (х, у) f (у) dy в том и только в том случае, если выполнены еле-
о
дующие условия:
о»
AУ) lim ^ K(x, y)dy = Of если 0 < А < со;
со
(е') Пт^/С(х,г/)^=1.
*->о 0
86. Показать, что если f?Mv то
(a) lim 1
х
(b) 1\т ± \ (х-yp-if {у) dy = \\m f(x);
со
(c) limx \e-xvf{y)dy = \\mf(x);

13. Упражнения 385
jc-voo лх J \ У У ос->0
(d) lim— \ e-Wf(y)dy = limf(x);
;c-*oo у Л ^ x-+Q
(e) lir
87. Показать, что если f? L«>0R, Ж, к), to'z2 { e'2X \f(y)dydx^
о о
oo x
= 2 \ e~zyf(y)dy и, следовательно, что если lim— \ / (у) dy суще-
0 0
oo
ствует, то и lim z \ e~zyf(y)dy существует и имеет то же самое
значение. Показать, что если /б Loo(R, &, Я), а>0 и
X ОО
lim -^ ^ (х — у)а~{ f(y) dy существует, то и lim z \ e'2Vf(y) dy суще-
х-+ссх ь х->о 3
ствует и имеет то же самое значение.
88. Показать, что если / принадлежит Loo(^, Я?* Я) и если
оо
lim xf (x) = 0, то lim \ e~xyf (у) dy = А в том и только в том случае,
:v->oo х-+0 «J
О
л:
если lim— \ (х — y)f(y)dy — A. (Указание: сравнить с упражне-
О
нием II.4.54.)
89. Пусть М2 обозначает множество всех таких Я-измеримых
функций /, что
(a) функция / Х-интегрируема на каждом конечном интервале
[О, А];
А
(b) lim \ f(x)dx существует.
А-+оо «J
А оо
Положим | /1 = sup \ / (х) dx + V /^_ ,
^ °° 0 п=1
п
где 1п = \ | / (х) | rfx. Показать, что М2 является сепарабельным
о
^-пространством. Если М2 интерпретировать как некоторое прост-
пространство функций со значениями в В-пространстве 3?, то для того,
чтобы М2 было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы
пространство Ж было сепарабельным.
25 Заказ № 1324

S86 Гл. IV. Специальные пространства
90. Показать, что если E есть определенная на R функция огра-
ограниченной вариации и если / принадлежит УИ2, то и /E принад-
принадлежит М2.
91. Показать, что если C(х, у) есть определенная на RxR
функция, для которой:
(a) вариация v($(x, •)>((), оо)) равномерно ограничена;
(b) | Р (х, 0 + ) | равномерно ограничена;
А
(c) lim \P(x, y)dy = A для каждого 0<Л < оо, то
lim \
А А
lim lim С р>, y)f[(y)dy= lim ^ /(г/)ф, где /б/И2.
92. Показать, что если / принадлежит М2, то
А Л
(a) lim lim \ e^f (у) dy = lim \ f (у) dy;
эс->0 A->oo J Л->оо ^
А Л
(b) lim lim [ e-^2f{y)dy = Y\m \ f(y)dy)
(с) lim*-<^ (x-y)*f(y)dy=lim \ f(y)dy,
(d) lim lim [ (*HM.Yf(y)dy = lim \ f{y)dy.
б - A-*°°
93. Пусть {а} — некоторое множество индексов и
(a) ра@) равномерно ограничено относительно а\
(b) u((Ja, [0, оо)) равномерно ограничена относительно а.
Тогда если /?М2> то
А
lim
А-усо
и
существует равномерно относительно а.
94. Пусть f (х) — Я-измеримая функция, Х-интегрируемая на
каждом конечном интервале [О, А]. Предположим, что для неко-
* А
торого комплексного числа lim \ e~zxf (x) dx существует. Тогда
А
lim ^ e~z'xf(x)dx

13. Упражнения ^____ 387
существует в полуплоскости М (г') > М (г) и является на ней аналити-
аналитической функцией. (Указание: воспользоваться результатом упраж-
упражнения 93.)
95. Если Кп— последовательность положительных вещественных
чисел, монотонно возрастающая до бесконечности, и если ряд
со
(обобщенный ряд Дирихле) 2 ап^п2 сходится для некоторого комп-
71=0
лексного числа г0, то этот ряд сходится во всей полуплоскости
Re (z) > Re (z0) и представляет собой здесь аналитическую функ-
функцию. (Указание: см. упражнения 93 и 94).
96. Если функция f интегрируема на каждом конечном интер-
интерх
вале, если — \ \f(t)\dt^B и если lim \ f(t)dt = А, то
Х I *-° о
97. Пусть К является преобразованием Лапласа функции g
оо
такой, что ^^ принадлежит Lx и \^^ds=l. Если функция /
о
интегрируема на любом конечном интервале, если
lim* J e-tzf(z)dz = .
'~*° о
и если
то
оо
lim* [ K{tz)f{z)dz = A.
98. Если функция f интегрируема на любом конечном интер-
оо оо
вале, если Umt[e~tzf(z)dz = A и t\ e~tz I /(z)|dz<5, то при а > О
""* 6
99. Пусть 1 <p < со; для каждой функции / из Lp(R ,ffi, Я>
положим fy(x) = f(x + y). Тогда fy будет непрерывной функцией у
со значениями в Lp(R9 $8> Я).
25*

888
Гл. IV. Специальные пространства
100. Пусть Ks для каждого s?R является элементом простран-
пространства L^R, <$> X). Предположим, что
(a) ^ \К8(х)\е1х<М<оэ\ stR;
6
со
(b) lim [ Ks{x)dx = 0, 0<A<co,
(c) для каждого е > 0 существуют такое N > 0 и такое К> 0, что
Ks(x)\dx<&, s>N\
к
(d) для каждого е > 0 и А > 0 существуют такое б > 0 и такое
N > 0, что
если ?с: [Л, оо), Х(Е) < б и s>N.
Показать, что если f принадлежит Lp (R, <$, X), 1 <р < со, то
функция /8, определяемая равенством
определена почти всюду относительно X для s?R; принадлежит
Lp{R, 38, X) и предельное соотношение
выполняется по норме пространства Lp.
101. Предположим, что функция / измерима по Лебегу на всей
числовой прямой и что
\ \f(x)\pdx < оо, где 1<р<оо. Показать, что
(b) lim U{4- \ {B + x-y)*-*f(y)dy\-f(x)
— со
-fco оо
(c) lim

14. Ортогональные ряды и аналитические функции 389
(d) lim \\{-4= \ e~^
— со - --
+ 00 +c
(e) lim \ j— \
— CO
+00
14. Упражнения на ортогональные ряды
и аналитические функции
Нижеследующие упражнения содержат приложение методов
теории линейных пространств к теории ортогональных рядов.
Важнейшим специальным случаем этой теории является теория
рядов Фурье, в которой рассматривается разложение произвольной
+ оо t • •
функции на интервале [0, 2я] в ряд вида 2 a>rfixvx- Ввиду важности
— оо
этого частного случая (и скорее ради удобства, чем по необходимости)
мы всегда будем брать в качестве основного интервала интервал
[О, 2я]. Далее, через С(/г) мы условимся обозначать CW [0, 2я];
через АС и В У —пространства АС [0, 2я] и BV [0, 2я]; через Lp,
1<р <оо, — пространство функций /, определенных и измеримых
по Лебегу на интервале [0, 2я] и таких, для которых |/|р =
2К i
^ 1 \ i f(x) IP dx У <оо, и т. д. Мы будем также для удобства поль-
6
зоваться обозначениями С(ос) вместо f| C(n) и CBV вместо Cf]BV.
п=1
В случае рядов Фурье будет предполагаться, что рассматривае-
рассматриваемые функции периодичны, т. е. что/@) = f Bя), если /принадлежит С,
()
) р)бС(Г1), и р@) =
= /(^)Bя) для всех А>0, если /бС(оо). Разумеется, в случае прост-
пространства Lp ограничение типа /@)=/Bя) бессмысленно.
1. Определение. Замкнутой ортонррмированной системой назы-
называется такая двусторонняя последовательность функций срп, п = О,
± 1, ±2, ..., из С(оо), что
(I) совокупность линейных комбинаций функций ф„ всюду
плотна в каждом из пространств C{k\ 0<&<oo;
(II) 5
6
2я
\ \<Pn(x)\2dx= 1, -оо < л < оо.
0

390 Гл. IV. Специальные пространства
2л
n-м коэффициентом fn функции / б ^i называется \ / (х) фь (х) dx, п-й
частной суммой SJ ортогонального разложения функции f назы-
вается сумма 2 /;Ф; (*)•
2. Пусть {ф^} —замкнутая ортонормированная система. Поло-
Положим Еп (х, у) ==^]^i (х) Ц)г (у). Показать, что SJ выражается фор-
— п
мулой
2л
и преобразование Sn является проектированием в каждом из про-
пространств Lp,BV, CBV, AC, C{k\ где 1<р< со, А = 0, 1,2, ...,оо.
Показать, что область значений преобразования Sn принад-
принадлежит С(ос).
3. Показать, что Sn сильно сходятся к / в каждом из простран-
пространств C(fe), /%<oo, AC, Lp, 1<р<оо, в том и только том случае,
если | Sn | < К у где |5nJ — операторная норма преобразования Sn
в соответствующем пространстве. Показать, что в пространстве Ь<г
Sn сильно сходятся к / для каждой замкнутой ортонормированной
системы.
4. Показать, что для заданной замкнутой ортонормированной
системы преобразования Sv сильно сходятся к / в пространстве
L1 в том и только том случае, если Sn сильно сходятся к / в про-
пространстве С.
5. Показать, что Sn сильно сходятся к / в пространстве Lp
в том и только в том случае, если Sn сильно сходятся к /ив про-
пространстве L( Y)
6. Показать, что (Snf)(x) сходятся к((х) равномерно на интер-
интервале [0, 2я] для всех / б C(h) в том и только в том случае, если опера-
операторная норма Sn как оператора, отображающего C{k) в С, равномерно
ограничена при п—>оо.
7. Показать, что (SJ)(x) сходятся к f (х) равномерно на [0, 2я]
для каждого f из АС в том и только в том случае, если
У
\]Бп(х,г)
dz
<М
для всех у и х.

14. Ортогональные ряды и аналитические функции ??У
8. Показать, что Sn сильно сходятся к / в пространстве С в том
и только в том случае, если
2л
\\Еп(х, y)\dy<cM, 0<х<2я,- п > 0.
о
2л
9. Показать, что \ фп (х) f (х) dx —> 0 при п —> оо для всех /
из Lx в том и только в том случае, если функции фп равномерно
ограничены.
2Я
10. Показать, что \ фп (х) f (x) dx —> 0 для всех / из Lpi 1 <
о
< р < оо, в том и только в том случае, если
2Я
О
1
11. Показать, что функции {Bя) 2егпх}_оо образуют замкнутую
ортонормированную систему.
12. Показать, что для функций фп (х) =
sin-
Если /б L+, то
о
называется п-м коэффициентом Фурье функции /, а формальный ряд
| ОО
Bя)~ *2/»е<п*
—со
называется рядом Фурье функции /.
13. Показать, что если {сп} является последовательностью, для
оо
которой 2 1сп12 < °°> т0 в пространстве L2 найдется такая функ-
—со
ция /, м-й коэффициент Фурье которой совпадает с сп. Показать
обратное: если f?L2 и fn есть ее n-й коэффициент Фурье, то

392 Гл. IV. Специальные пространства
14. Доказать, что п-й коэффициент Фурье функции из Ьг при
п — > оо стремится к нулю.
15. Показать, что ряд Фурье непрерывной функции не обяза-
обязательно сходится равномерно на [0, 2л]. Показать, что существует
непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в нуле.
16. Показать, что в пространстве Lx имеются функции, ряды
Фурье которых расходятся в Lv
17. Показать, что если / ? АС и, в частности, если f?C(k\ &> 1,
то ряд Фурье функции / на интервале [0, 2я] сходится равномерно.
18. Показать, что в пространстве АС найдется такая функция /,
оо
что ряд 2 fnelnx не является равномерно сходящимся.
19. Оператор Е определим равенством
Е ( 2 atleinx) = 2 aneinx.
n=-N ii=0
В дальнейшем будет показано, что при р > 1 оператор Е можно про-
продолжить до ограниченного оператора, отображающего пространство
Lp в себя. Вывести отсюда, что в Ьр при 1 < р < оо операторы Sn
сильно сходятся к /.
20. Показать, что в пространстве С имеются функции / с такими
оо
рядами Фурье 2 fneinx> что никакая функция g из С не имеет
п=—оо
со
ряда Фурье вида J fneinx.
Сходимость частных сумм Snf относительно заданной замкнутой
ортонормированной системы называется локализуемой, если для каж-
каждой функции / из Lx, обращающейся в нуль в окрестности точки р,
последовательность (Snf) (x) сходится к нулю равномерно относи-
относительно х из некоторой окрестности точки р.
У
21. Показать, что если
\ Еп(х, z)dz <М, то сходимость SJдля
о
о
заданной замкнутой ортонормированной системы локализуема тогда
и только тогда, когда max | Еп(ху у) \ <М8 < оо для всех е>0.
\х-у\>е
22. Предположим, что (Snf) (x)—±f(x) равномерно для каждого
/ из АС. Показать, что существует такая конечная константа К>
что для f?CBV
\(Snf)(x)\<K(v(f,[0,2n])+ sup
02
23. Предположим, что:
(I) (SJ)(x)—>f(x) равномерно относительно х для

14. Ортогональные ряды и аналитические функции 393
(II) Сходимость SJ локализуема. Показать, что для каждого
/ из CBV (SJ)(x)—±f(x) равномерно относительно х.
24. Предположим, что выполнены условия (I) и (II) предыдуще-
предыдущего упражнения. Показать, что если /6BV, то (Snf) (х) —> / (х)
в каждой точке х непрерывности функции/.
25. Предположим, что в точке разрыва 1-го рода функции /
{Snf) W —^ у (/ (^ +) + / (^ —))• Показать, что в предположениях (I)
и (II) упражнения 23 (SJ) (х)—> у (/(* + ) +/ (х —)) для каждой
функции f?BV и каждой точки х.
26. Показать, что сходимость ряда Фурье локализуема.
27. Показать, что для ряда Фурье
(a) (SJ) (х) —>/(х) равномерно относительно ху если f?CBV\
(b) {Snf)(x)—>f(x), если функция / принадлежит BV и непре-
непрерывна в точке х\
(c) (SJ) (х)-~.> у (/(* + ) + / (х —)) для всех х, если f принад-
принадлежит BV.
28. (Дини). Пусть фп —замкнутая ортонормированная система,
такая, что (SJ) (x)—>f (х) равномерно для всех f из АС. Пусть
0<х0<2л. Показать, что из условия {y — xo)'1{f(y) — f(xo))^Ll
в том и только в том случае вытекает, что (SJ) (xo)—^f (х0), если
существует такая конечная константа М, что | Еп (х0, у) (х0 — у) \ < М
для 0<#<2л.
29. Показать, что ряд Фурье функции из Lx сходится к значению
этой функции в каждой точке, где эта функция дифференцируема.
30. Показать, что если /gCA), то ряд Фурье функции / сходится
абсолютно. Показать, что если f?AC, то это уже не всегда верно.
31. Показать, что последовательность {fn9 — оо < п < оо}, для
которой lim fn = 0, не всегда является последовательностью коэф-
| п |->-оо
фициентов Фурье некоторой функции из Ьг.
32. Пусть ^^последовательность заданных на интервале
10, 2л] функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье, и пусть
g?Lx. Предположим, что
(I) lim F{n) (x) = g (x) для всех х\
п->оо
оо оо
(II) F^n)(x)= S fin)eivx и S \Fin)\<K, n=l, 2
V= —оо V== —оо
Показать, что тогда ряд Фурье функции g (x) сходится абсолютно
и что функция g непрерывна. (A. Beurl ing, Sur les integrates de
Fourier absolument convergentes, 9-th Scandinavian Mathematics
Congress, 1938.)
33. Пусть (а, ^ — произвольный подинтервал интервала [0,2л].
Показать, что не каждая определенная на (a, P) непрерывная

394 Гл. IV. Специальные пространства
функция f может быть представлена на (а, Р) в виде абсолютно схо-
со оо
дящегося ряда Фурье: f (х) = 2 cneinx, a<jt<p, 2 Kl < °°.
п~^ — оо п==—со
В нижеследующих упражнениях мы предполагаем, что нам
задан некоторый процесс суммирования, отображающий сходящиеся
ряды в сходящиеся последовательности (см. упражнение II.4.46).
Это значит, что мы имеем множество вещественных чисел {^}
l<m<oo, —оо <п< + оо, такое, что если ряд У] Сп сходится
п=—оо
оо
к некоторому пределу С, то каждый из рядов У] \ПпСп>
п=—оо
оо
/?2=1, ..., сходится и lim 2 ^тпСт = С. Дополнительно мы
т->оо п=—оо
сделаем следующие предположения:
оо
(I) S |^|<оо, «=1,2
п=—оо
(II) Замкнутая ортонормированная система фп равномерно огра-
ограничена.
оо
В этом случае 2 ^mnfn^n(x) сходится равномерно относительно*
П——СО
при всех т > 1 для каждой функции f из Lx ( напомним, что, по опре-
2я
делению, fn= \ f (х) фп (х) dx j . Сумму этого ряда мы будем обоз-
обозначать через Tmfy т. е. мы положим
оо
(TJ)(х) = 2 KJnVn (x), m>\.
34. Показать, что существует непрерывная функция Кт {х, у)
двух вещественных переменных, такая, что
2я
(TJ)(x)= [ f(y)Kn(x> y)dy, m>l, f?Llm
35. Показать, что в каждом из пространств C{h\ AC или Lp Tmf
в том и только в том случае сильно сходится к / при т—» оо, если
Тт отображает данное пространство в себя и | Тт \ < /С, где
\Тт\ — норма оператора Тт в данном пространстве.
36. Показать, что сходимость Tmf в пространстве С или в про-
пространстве Lx эквивалентна тому, что
2я
\ l#m(*> y)\dy<M,

14. Ортогональные ряды и аналитические функции 395
37. Показать, что если ф0 (х) == Bя)~1/з и если Кт(х, у)>0 для
всех т, то Гт сходится и в С и в Lv
38. Задана ограниченная последовательность чисел {#„},
— оо<п<оо. В предположениях упражнения 37, показать, что
в пространстве С в том и только в том случае найдется такая
функция f, для которой ап — \ / (х) фп (х) dx, если функции
оо
2 ^M >!> равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны.
39. Пусть {ап}, — оо <п < оо,—ограниченная последователь-
последовательность чисел. Показать, что, в предположениях упражнения 37, в про-
пространстве С* в том и только в том случае существует такая комп-
2я
лексная регулярная мера \i, что ап = \ фп (у) \i (dy), если
о
2Я оо
\ 2 ЧпАФпМ dx < К для всех т>1. Показать, что в про-
0 п= —оо
странстве Lx в том и только в том случае существует такая функ-
2п
ция /, что ап= \ Цп (у) f (у) dy, если, кроме уже сформулирован-
сформулированdx = 0 равномерно
ных предположений, lim
относительно п; здесь Е — борелевское множество, а к(Е) — его
мера Лебега.
40. Пусть {ап}, — оо <п < + оо, —некоторая ограниченная после-
последовательность чисел и 1 <р < оо. Предположим, что наш процесс
суммирования таков, что Tmf сходится к / из Lp для каждого f?Lp.
Показать, что в пространстве Lp в том и только в том случае суще-
2rt
ствует такая функция /, что ап= \ f (x) фп (х) dx, если найдется
о
такое М < оо, что
2я ос
\ 2 ^^гп^пФп (х) dx -^ My т > 1.
0 п=—со
41. Пусть {ап}, — оо <п < + оо,— некоторая ограниченная по-
последовательность чисел и 1<р<оо. Показать, что в пространстве Lp

396 Гл. IV. Специальные пространства
2я
г*
в том и только в том случае существует такое/, чтоап= \ f(x)e~lnxdx,
если найдется такое М < оо, что
2я т
[\ 2 aneinx\Pdx<M для т = 1, 2, .. . .
О п=—т
42. Пусть {а^}, — со <п< -{- оэ, —некоторая ограниченная
последовательность чисел. Предположим, что 1<р<оо, и пусть
—1—= 1. Показать, что в пространстве Lp в том и только в том
2я
случае существует такое /, что ап— \ f(х)е~гпхdx, если
о
ряд
апЬп сходится для каждой последовательности {Ьп} вида
n=—оо
2я
Ьп= ]g(x)e^xdxy где geLq.
о
43. Пусть {ап}, — оо <п < + оо —некоторая ограниченная после-
последовательность чисел. Показать, что, в предположениях упраж-
упражнения 40, в пространстве L в том и только в том случае существует
2Я оо
такое f, что ап= \ f (х) фп (x)dxy если lim ^ ^тпап^п
3
2я
г*
для каждой последовательности {Ьп} вида Ьп = \ фп (x)g(x) dx,
_ i i
где g б LQ и — + — = 1.
44. (Суммируемость по Чезаро.) Пусть
- —-^Г» п = 0±1, ±2,..., ±(т-1),
О, \п\>т.
Найти соответствующие ядра Кт(х,у). Показать, что если f?Lx, то
m-l
У=о
где символы Sj и Гт имеют их прежний смысл,
45. Показать, что если (фл) = {Bя) 2e^^j и множество {^mn}
определено, как в упражнении 44, то

14. Ортогональные ряды и аналитические функции 397
(a) Кт(х>У)>Ъ
(b) Tnf—*f в пространствах С и Lv
46. Пусть {фп} —произвольная равномерно ограниченная замк-
замкнутая ортонормированная система. Если f?Lv то положим/п =
2л
' ' ^ Фп
Найти ядро Рг (л:, у) такое, что
2я
47. (Суммируемость по Пуассону.) Пусть {фп}={Bл)~1/2?гпх}.
Показать, что ядром упражнения 46 в этом случае будет
р , , J 1 —г2
^М** ^Л i + r* — 2rcos(A:— r/) *
Показать, что Trf—>f в пространствах С и Lv
48. Для f^Li и — оо < / < + оо определим Utf формулой
(Utf)(x) = f(x+f), 0<л:<2я (при х < 0 мы определим f (х) по
периодичности, т. е. тем условием, что f (x) = f (x + 2n), — оо < х <
< + оо). Показать, что если f?Lp, или АС, или С(г° (и подчинена
в каждом случае сформулированным перед определением 1 требова-
требованиям периодичности), то Utf есть векторная функция t (значения
которой в зависимости от случая принадлежат заданному простран-
пространству L или АС у или С(п)), непрерывная относительно t, и что
\u,f\ = \f\-
49. Показать, что в случае, когда фп (х) = Bя) 'Vnx, опера-
тор Гт определяется интегралом
2я
TJ=[(Utf)Km(t)dt,
о
где Km(t), в обозначениях упражнения 34, есть /Ст@, /). (Здесь
функция f принадлежит Lp, ЛС или С(гг).)
50. Показать, что в случае, когда уп(х) = Bn)~1/2einx, TyJ—^f
по норме пространства Lp (или Л С, или С{п)) для /6 ?р (или А С,
или С(г°), если Tmf—>f по норме пространства С для каждого /из С.
(Указание: воспользоваться результатами упражнений 35 и 49.)
51. Показать, чтоесли Тт есть оператор, определенный в упраж-
упражнении 45, то (Tmf) (х) —> / (х) в каждой точке лебеговского множества

398 Гл. IV. Специальные пространства
функции f ? Lv Показать, что это же верно и для оператора Гг, опре-
определенного в упражнении 47. (Указание: воспользЬваться теоре-
теоремой III.12.11.)
52. (Харди.) Пусть функция f (z) аналитична при | z\ < 1. Пока-
Показать, что при р>1
2п
5
6
есть возрастающая фуйкция г, 0<г<1. (Указание: применить
принцип максимума модуля к векторной функции F, определяемой
равенством (F (г)) (б) = / (zei8).)
53. Пусть класс Нр состоит из всех функций / (г), аналитиче-
аналитических при |z|<l и таких, что
N(f, р) = sup Nr(f, p)<oo,
г<1
где Nr (/, р) определено как в упражнении 52. Предположим, что
оо
р> 1. Показать, что если / (г) = 2 /пгП6^»> то в ^» существует
^ п=0
7
такая функция 7»
0, п < О,
\ /F) *-*-"» de = {
о *2л/п, п>0.
54. Предположим, что F?L для некоторого /? > 1 и что
2я оо
F F) ein0 de = 0 для всех п < 0. Пусть / (z) = 2 f nzn> гАе
71=0
2л
rj = _ \ f (g) ^-гпв rfQ при n > 0. Показать, что
5
5
2к
2я
(Ь)
\(t, b)dt,
i
Показать, что отображение /—>f, определенное в упражнении 53,
является линейным взаимно однозначным отображением Нр на
замкнутое подпространство пространства Lp, состоящее из таких F,
у которых все коэффициенты Фурье с отрицательными номерами
равны нулю.

14. Ортогональные ряды и аналитические функции 399
55. Пользуясь обозначениями упражнений 53 и 54, показать
что если f 6 Я и если (Urf) F) = / (re1*), то | Urf —J L —> 0 при
г->1(р>1).
56. Пользуясь обозначениями упражнений 53 и 54, показать,
что если f$Hp, р>1, то при |г|<1,
57. Показать, что если класс Нр нормировать условием
2я 1
|/| = supj \ \ f (reiB) \pdoV, то он становится рефлексивным бана-
ховским пространством.
58. Пользуясь результатом упражнения 19, показать, что если
оо
F?Lp, G?Lq, 1 + 1=1, то ряд 2 Frfin сходится и
п=—оо
2я оо
О п=—оо
2я 2я
где Fn = BЯ) \ F [t) e'lnt dt, Gn = BП) \ G (t) e'%nt dt.
о 6
59. Пусть {ап}^оо—некоторая ограниченная последовательность
чисел. Показать, что если
оо
«(/-J)- 2 an/'ln'e^6>0, r> i, О<0<2л,
п=—оо
то в пространстве С* существует такая положительная мера \ху
2я
что \ e~intd\i(t) = аПУ —оо<п< + оо. (Указание: см. упражне-
6
ние 39.)
60. Если Pr(ty 0) определено, как в упражнении 47, а и (г, 0)
и \х — как в упражнении 59, то
2я
и (г, 0) = 2я ^ Рг (/, 0) da (t), r < 1, 0 < 0 < 2я.
6
61. (Герглотц). Предположим, что функция f(z) аналитична при
z < 1 и Re/ (z) > 0. Показать, что существуют такая положитель-

400 Гл. IV. Специальные пространства
ная мера \i ? С* и такая вещественная константа vQ, что
2я
^ ivo, \г\<\.
(Указание: воспользоваться результатом предыдущего упраж-
упражнения; в круге | z\ < 1 аналитическая функция своей вещественной
частью определена с точностью до мнимой константы.)
62. Пусть {/п} — равномерно ограниченная последовательность
монотонно возрастающих функций. Предположим, что / — моно-
монотонно возрастающая функция и что
2я 2л
lim J e'inx fh (х) dx=^ e~inxf (x) dx
при всех п. Показать, что fk (x) сходится к / (х) в каждой точке непре:
рывности функции / на интервале @, 2л).
63. Пусть {фп} — замкнутая ортонормированная система; для
2я
г»
/б Lx положим ап (/) = \ срЛ (х) f (x) dx. Множество Е натуральных
чисел называется (р, д)-лакупарным, если из того, что p
и fn = 0 при п$Е, вытекает, что {/п}-ооб^. Пусть 1<р<оо
и 1 <<7 < оо. Пусть числа р' и q' выбраны так, что —1—г= 1,
—|—г= 1. Показать, что для того, чтобы множество Е было (р, q)-
лакунарным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого {о^}!^
из lq* в пространстве Lv> нашлось такое /, что ал = Дг для п?Е.
Пусть {фд} — равномерно ограниченная замкнутая ортонор-
ортонормированная система и {Х1Ъ}9 — сю< п < + со, —некоторая числовая
последовательность. Пусть 91 обозначает любое из рассматривае-
рассматриваемых нами пространств функций, определенных на интервале [0, 2я].
Мы говорим, что {Хп} есть фактор-последовательность типа (чЛ, Щу
или, короче, что {A,.J есть ($, S2l), если для каждого f gUt найдется
такое /*6^> что /* = ^Jn. Если гш=С* есть пространство регуляр-
регулярных мер, мы говорим, что {кп} есть (гсау гса), если для каждого
в пространстве гса найдется такое |i*, что
2я . 2я
6
64. Показать, что если каждое %а вещественно, то последова-
последовательность {кп} есть (Lly Lx) в том и только в том случае, если она
есть (Loo, Loo), (С, С) или (гса, гса). (Указание: С СИ Loo, пространство
гса является сопряженным к С, L1cZrca, пространство L^ является
сопряженным к Lx.)

14. Ортогональные ряды и аналитические функции 401
65. Пусть {Хп} — заданная последовательность. Показать, что
если интеграл
2л п-1
S s
6 /=-G1-1)
ограничен для всех п и х, то {Кп} является фактор-последователь-
фактор-последовательностью типа (С, С). Показать, что если мы имеем суммируемость по
Чезаро в пространстве С (т. е. если операторы Гт, определенные
в упражнении 44, сильно сходятся к /), то это условие также и необ-
необходимо.
66. Показать, что фактор-последовательность {ка} есть (С, С)
по отношению к системе Bя) \хпх в том и только в том случае, если
2я
г»
существует такая регулярная мера ц, что Хп = \ е~гах\х (dx).
Кратные ряды Фурье
Обозначим через А топологическое произведение п раз взятых
интервалов [0, 2л]. Через Lp будем обозначать L (А, &Д), где &—
алгебра борелевских подмножеств множества Л, а через X — лебе-
говскуюмеру на JP. В нижеследуюдем упражнении будет использо-
использоваться понятие замкнутой ортонормированной системы, несколько
более общее, чем введенное в определении 1. Оно содержится в сле-
следующем определении.
67. Определение. Замкнутой ортонормированной системой
функций на множестве А называется такое множество {фа}
функций из С (Л), что
(I) совокупность линейных комбинаций функций фа всюду
плотна в пространстве С (А);
(II) ^ фа (xlf . . ., хп) щ (*!, . .., хп) dx1 . . . dxn = 0, а Ф Р;
А
(III) ^ | фа(дс1э . .., хп) \2dx, .. . dxn= 1 при всех а.
А
68. Пусть {фт} — определенная на отрезке [0, 2л] замкнутая
ортонормированная система (в смысле определения 1). Показать,
что совокупность всевозможных произведений вида
Фтх (*i) Фт2 М ••• Утп(Хп)
является замкнутой ортонормированной системой функций на А
(в смысле определения 67).
26 Заказ № 1324

402 Гл. IV. Специальные пространства
Кратным рядом Фурье называется ряд, общим членом которого
является произведение константы на функцию вида е*(^1*1+---+тп*п)#
В нижеследующих упражнениях на кратные ряды Фурье будет
предполагаться, что С(А) есть пространство всех определенных на А
скалярных непрерывных функций /, являющихся кратно перио-
периодическими в том смысле, что
/(О, х2> ...,*„) = /Bя, х2, ...,хп); ...
69. Показать, что совокупность линейных комбинаций функций
ei{m1xi+...+mnpcn)9 где — оо<т^<оо, /=1, ..., /г, всюду плотна и в про-
пространстве С(А) и в пространстве ?р(Л) для каждого р, 1<р<оо.
70. Пусть К — определенная на Л X Л непрерывная функция вида
К (*1> • • • , *п\ У1> • • • , Уп) = ^1 (-^l. J/l) • • • Кп (Хп> Уп)>
где Kv ..., /Сп —непрерывные функции, определенные на [0, 2зт]Х
X [0, 2л;]. Выразить норму оператора К в С(Л), определяемого
равенством
^. ••.,{/*;*!...•, xn)f(xl9 ...fxn)dx1... dxn
A
через нормы операторов К\, ..., /Сп в С[0, 2я], определяемых ана-
аналогичным образом через ядра Kit ..., /Сп. Как связаны между собой
соответствующие нормы операторов К и Кх, ..., /Сп, рассматривае-
рассматриваемых как операторы, действующие в Lp(A) и Lp@,2jt)?
71. Для каждого / из L1(A) положим
А
Если fgLp(^), где 1<р<оо, то при R1—>оо, ..., Rn—> оо
mn=-R
n=-Rn
по норме пространства Lp(^). При р=\ это утверждение неверно.
72. В обозначениях, введенных в упражнении 71, при ^—> 1, ...
..., гп —> 1 мы имеем
/= lim Bл)"п 2 • • • S /"ч - m«ri'ni1 • • • '•kmnl^(mi3C1" - +тпХп),
mi=—co m^=—с»
где для каждого / из С(А) предел берется по норме пространства С(А),

14\ Ортогональные ряды и аналитические функции 403
а для каждого / из L (А) при 1<р<оо — по норме пространства
LP(A).
73. В обозначениях, введенных в упражнении 71, при N1—>ooy ...
..., Nn —-> оо мы имеем
iT s ••• s
где для каждого f из С (Л) предел берется по норме пространства
С (Л), а для каждого / из Lp(A) при 1 <р<оо — по норме простран-
пространства Ьр(А).
Экстремальные методы для полиномов и классов Яр.
74. Пусть X — конечномерное подпространство Б-пространства 2)
и / — определенный на Ж линейный функционал с нормой |/|.
Тогда существуют такая точка л:06$ и такой определенный на 3)
линейный функционал /*, что
а) /*(*) = /(*)> *е ^;
b) /*(xo) = |ri = |f|;
c) |хо|=1.
75. Обозначим через Рп пространство всех полиномов степени
не выше п. Будем рассматривать Рп как подпространство простран-
пространства С[—1, 1]. Пусть /— некоторый линейный функционал, опре-
определенный на Рп. Тогда найдется такое хо?Рп и такая мера \х из
real— 1, 1 ], что
a) /W= ^ x(t)\i(dt),
b) max | д:0 (t) | = 1;
(с) если С есть совокупность тех значений / из интервала
-1<*<1, где \xo(t)\=l, то и((х, С')=0.
Следовательно, если х0 (t) не является константой по абсолют-
абсолютной величине, равной единице, то множество С состоит самое боль-
большее из п+1 точек — 1 < tx < t2 < ... < tK < 1 и существуют такие кон-
k
станты cv ..., ck, 2 ! ct I — I /1» c помощью которых мы можем на-
26*
!

404 Гл. IV. Специальные пространства
писать следующую «интерполяционную формулу»:
/(*)=
76. Пусть хп — вещественный полином степени пу не равный
тождественно константе и такой, что
max
причем |тп(/)| достигает своего максимального значения 1 в п-\-\
различных точках. Тогда хп удовлетворяет дифференциальному
уравнению
и, следовательно, с точностью до знака совпадает с п-ы многочленом
Чебышева на интервале [—1, +1], т. е.
хп (t) = cos (n arc cos t).
77. Пусть Рп и f определены, как в упражнении 75, а хп— как
в упражнении 76. Предположим, что max \f{x)\ не достигается, когда
х?Рп, \х\<\
х есть функция-константа x(t)^l. Если исключить тот случай,
когда существуют k точек ^<...<//м k<cn, таких, что значения
f(x)9 x?Pn, определяются значениями x(^), ..., x(tk), то
max |/(*)| = |/(тп)|.
78, Если ап(х) есть старший коэффициент полинома от х степени
пу то
\ап(х)\<2п'1 max \x(t)\,
причем равенство достигается лишь для полиномов, кратных много-
многочлену Чебышева тп.
79. Для каждого х из Рп справедливо неравенство
п2 max \x(t)\.
80. Если п нечетно, то для каждого х из Рп имеет место неравен-
неравенство
|х'@)|<п max \x(t)\.
\t<\
Если п четно, то для каждого х из Рп справедливо неравенство
|*'@)|<(п—1) max \x(t)\.
(Указание: фигурирующую в упражнении 75 функцию х0 в дан-
данном случае можно выбрать нечетной.)

14. Ортогональные ряды и аналитические функции 405
81. (С. Н. Бернштейн.) Для каждого полинома степени п спра-
справедливо неравенство
nmax\x(z) |.
(Указание: фигурирующая в упражнении 75 функция х0 в дан-
данном случае постоянна по модулю.)
82. (Г. Шапиро.) Обозначим через Пп пространство полиномов
степени п от переменного z с нормой
\х\ = тах|х(г) |.
Пусть f — определенный на Пп линейный функционал; определим
линейное отображение F, полагая
где xz>(z)=x(t>z). Тогда F отображает пространство Ппв себя и норма
его равна \f\. Более общо, если 1<р<оо и х?Пп, то
2я I 2я I
51f W (eie) IP dbY <';' {i 51}P
6 0
(Указание: найти меру такую, как в упражнении 75.)
83. Если 1<р<оо и хбПп, то
84. Пусть (S, S, [а) — пространство с положительной мерой
и Lp=Lp(S, 2, (х), гдер> 1. Пусть f и g —два элемента из Lp, та-
такие, что |/+^|>|/| для каждого скаляра К. Тогда
S
где sgnz определяется равенством
0, 2 = 0.
85. (Произведение Бляшке.) Пусть р>1 и / — функция из Яр,.
не равная нулю тождественно. Тогда в Ноо найдется такая функция
g, что |g(ei6)|=l для почти всех 9 и имеющая внутри единичного
круга те же самые нули, что и функция /. (Указание: Предположим,
что /(го)=?0. Из всех функций /г, для которых f(zo)=h{zo) и для кото-
которых А(г) = 0, если /(z) = 0, выберем функцию с наименьшей нормой.)

406 Гл. IV. Специальные пространства
86. Пусть р, / определены, как в упражнении 85. Тогда /
для почти всех б.
87. Пусть р>1 и / — функция из Нр. Тогда в #оо существует
такая функция g, что g(eie) = l для почти всех 8,
-^я f -ш
S 6
и такая, что — не имеет нулей.
(Указание: обобщить рассуждение, проводимое в упражнении
85, применив его к нулям, лежащим на границе единичного круга.)
88. Показать, что утверждение упражнения 87, справедливо
даже и в том случае, если р=1.
89. Каждая функция /6#! может быть представлена в виде
произведения gh, где g и h принадлежат Я2. (Указание: восполь-
воспользоваться результатом упражнения 88.)
90. Показать, что утверждения упражнений 55, 54 и 56 оста-
остаются справедливыми и при р—\. (Указание: воспользоваться резуль-
результатом упражнения 89.)
91. (Ф. Рисе — М. Рисе.) Борелевская мера [л на интервале
[0, 2я], такая, что
2л
1 = 0,/i>0,
абсолютно непрерывна.
(Указание: воспользоваться результатом упражнения 90 и мето-
методом упражнения 60.)
15. Сводка результатов
В этом параграфе мы подведем итог тому, что нам известно отно-
относительно восьми вопросов, поставленных в § 1, в применении к каж-
каждому из 28 пространств, перечисленных в § 2. Эти сведения пред-
представлены в табл. IV А (стр. 408—413), где на пересечении строки
и столбца, в заголовках которых стоят соответственно формули-
формулировка вопроса и название пространства, дается ссылка на соответ-
соответствующие теоремы или упражнения из этой главы, из предыдущих
глав или, в небольшом числе случаев, из последующих глав.
В ответ на вопрос о слабой полноте и рефлексивности в таблице
даются определенные утверждения «да» или «нет», однако это отно-
относится к «общему случаю» пространства рассматриваемого типа.
Так, например, написанное в таблице «нет» в ответ на вопрос «явля-
«является ли пространство В (S) слабо полным?» означает тот установлен-
установленный в упражнении 13.5 факт, что пространство В (S) слабо полно
в том и только в том случае, если множество S конечно.

16. Примечания а добавления 407
Ссылки вроде (F3) в круглых скобках отсылают читателя к снос-
сноскам, помещенным непосредственно под таблицей.
16. Примечания и добавления
Конечномерные и гильбертовы пространства. Идея конечномер-
конечномерного пространства является, конечно, алгебраизацией обычных гео-
геометрических понятий. Аксиомы конечномерного евклидова про-
пространства были явно сформулированы, например, в книге Г. Вейля
[3; стр. 15—25]. Изучение норм, отличных от евклидовой, впервые
проводилось Минковским. Пространства /2 и L2 подробно изучались
Гильбертом и др., абстрактная аксиоматика гильбертова простран-
пространства для сепарабельного случая принадлежит Дж. Нейману [8,
стр. 15—17; 7], а в общем случае — Лёвигу [1] и Реллиху [3].
Тихоновым [1, стр. 769] было доказано, что каждое конечномер-
конечномерное линейное топологическое пространство эквивалентно некоторому
евклидову пространству. Отсюда, в частности, вытекает его полнота.
Теорема 3.5, характеризующая локально бикомпактные В-простран-
ства, принадлежит Ф. Риссу [4].
«Неравенство Шварца» [теорема 4.1] было известно еще очень
давно. При п=Ъ это есть следствие хорошо известного тождества
Лагранжа [1, стр. 662—663], доказанного им в 1773 г. Для случая
конечной суммы оно было доказано Коши [2, стр. 373] в 1821 г.
Для интегралов его доказали Буняковский [1, стр. 4] в 1859 г.
и Г. А. Шварц [1, стр. 251] в 1885 г. Конечно, оно является
частным случаем неравенства Гёльдера (II 1.3.2), доказанного
для сумм Гёльдером [2, стр. 44], а для интегралов — Ф. Риссом
[2, стр.456].
Лемма 4.2 принадлежит Ф. Риссу 18, стр. 36], она использова-
использовалась также Секефальви-Надем [5]. С помощью аналогичного рассуж-
рассуждения можно доказать этот результат и для любого равномерно
выпуклого ^-пространства. Этим обобщается и абстрагируется со-
соответствующий результат Э. Фишера [2], доказанный им для зам-
замкнутых линейных многообразий в L2[0, 1].
Теорема о том, что линейное многообразие, не являющееся всюду
плотным во всем пространстве, имеет ненулевое ортогональное
дополнение (см. лемму 4.4), была доказана Ф. Риссом [8] без пред-
предположения о сепарабельности. Доказательство Рисса аналогично
рассуждениям Б. Леви [1, §7], использованным им при исследовании
проблемы Дирихле.
То обстоятельство, что каждый заданный на L2 [0, 1 ] непрерыв-
непрерывный линейный функционал определяется некоторым элементом из
L2, было установлено независимо друг от друга Фреше [4; 5, стр. 439]
и Ф. Риссом [9]. Приводимое нами доказательство теоремы 4.5
принадлежит Ф. Риссу [81. Следствие 4.7 для Lp [0, 1 ] было доказано
Ф. Риссом [2, стр. 466]. (Текст продолжается на стр. 414.)

408
Гл. IV. Специальные пространства
Таблица IV А
Пространство ЗЕ
Сопряженное пространство
зе *
Слабая полнота . . . .
Рефлексивность
Сильно бикомпактные мно-
множества . .
Слабо (би)компактные мно-
множества
Слабо фундаментальные по-
последовательности ....
Слабая сходимость к х
^-сходимость в Зс = ?)* . .
Различные другие свойства
1. Еп
3.9
Да
II.3.29
Да
3.8
13.1
И.3.28
13.1,
(F3)
13.1
13.1
3.3, 3.4,
3.6, 3.7,
13.1,
13.50,
13.51
3.9
Да
II.3.29
Да "
3.8
13.1
П.3.28
13.1,
(F3)
13.1
13.1
3.3, 3.4,
3.6, 3.7,
3.9,
13.1
3.9
Да
П.3.29
Да
3.8
13.1
II.3.28
13.1,
(F3)
13.1
13.1
3.3, 3.4,
3.6, 3.7,
3.9,
13.1
4А. 1р%
1 < р < оо
8.1
Да
II.3.29
Да
8.2
13.3
II.3.28
13.4,
13.24,
(F3)
13.4,
13.24
13.4
13.59,
13.61,
13.70,
(F6)
4В. 1Х
8.5
Да
8.6
Нет
13.2
13.3
13.3
8.14,
13.25,
(F3)
8.14,
13.25
13.4
8.14,
13.49,
13.59,
13.60,
13.61,
(F5)
Примечания к таблице IVА
(F1) По-видимому, не известно никакого вполне удовлетворительного
описания пространств, сопряженных к Ъа (S, 2), са (S, 2) или rca (S, 2), а
также пространств, сопряженных к NBV(I) и BV (/), изометрически изоморф-
изоморфных пространствам с мерой. В литературе, однако, рассматривались различ-
различного типа представления этих пространств. Ссылки на эти работы можно най-
найти в параграфе 16.

15. Сводка результатов
409
Продолжение табл. IV Л
Пространство
5- 'со
8.16
Нет
13.5
Нет
П.3.29
5.6
6.29
13.43
6.31
13.6
6.18,
(F4),
13.59
6. с
13.7
Нет
13ft
Нет
13.8
13.9
13.9
13.10
13.10
Не имеет
смысла
(F4),
13.60
7. с0
13.7
Нет
13.8
Нет
13.8
13.9
13.9
13.10
13.10
Не имеет
смысла
(F4)
8. bv
13.11
Да
13.11
Нет
13.11
13.11
13.11
13.11
13.11
13.11
13.11,
13.12,
(F5)
9. bv0
Сопряженное пространство
зе*
Слабая полнота
Рефлексивность
Сильно бикомпактные мно-
множества
Слабо (би)компактные мно-
множества
Слабо фундаментальные по-
последовательности . . . .
Слабая сходимость к х
$-сходимость в $ = D* . .
Различные другие свойства
13.11
Да
13.11
Нет
13.11
13.lt
13-11
13.11
13.11
13.11
13.11,
13.12,
(F5)
(F2) Описание пространства L* (S, 2, \i) с помощью некоторого простран-
пространства с мерой, справедливое и для не а-конечного случая, было дано в работе
Дж. Шварца [1].
(F3) Заметим, что в слабо полном пространстве слабо фундаментальная по-
последовательность слабо сходится к некоторому определенному элементу.

410
Гл. IV Специальные пространства
Продолжение табл. IV А
Пространство Ж
Сопряженное пространство
Слабая полнота . .
Рефлексивность
Сильно бикомпактные мно-
множества
Слабо (би)компактные мно-
множества
Слабо фундаментальные по-
последовательности ....
Слабая сходимость к х . .
^-сходимость в Ж = 9) * . .
Различные другие свойства
10. bs
13.13
Нет
13^13
Нет
13.13
13.13
13.13
13.13
13.13
13.13
13.13,
(F4)
ll.cs
13.14
Нет
13.14
Нет
13.14
13.14
13.14
13.14
13.14
13.14
13.14,
(F4)
12. D(S, 2)
5.1
Нет
13.5
Нет
II.3.29
5.6
6.29
13.43
6.31
Не имеет
смысла
6.18,
6.19,
(F4),
13.76
13. В (S)
5.3
Нет
13.5
Нет
II.3.29
5.6
6.29
13.43
6.31
Не имеет
смысла
6.18,
6.19,
(F4)
14. С (S)
6.2,
6.3
Нет
13.15
Нет
13.15
6.5, 6.7,
6.8, 6.9
6.14
13.40
6.4, 6.12,
6.31
Не имеет
смысла
6.16,
6.17,
6.26,
V.8.8,
(F4),
13.50,
13.51,
13.63,
13.64,
13.65,
13.66
(F4) В пространстве 36, изометрически изоморфном пространству непрерыв-
непрерывных функций, можно ввести интересное отношение порядка, при котором 36
становится векторной структурой типа Л4-пространства х). Можно также ввести
умножение функций, при котором Ж становится В *-алгеброй. Ссылки на ли-
литературу в этих двух направлениях приводятся в параграфе 16.
г) Определение ^-пространства см. ниже (стр. 429).—Прим. ред.

15. Сводка результатов
411
Пространство 36
Сопряженное про-
пространство 36 * ...
Слабая полнота . . .
Рефлексивность . . .
Сильно бикомпактные
множества ....
Слабо (би)компактные
множества ....
Слабо фундаменталь-
фундаментальные последователь-
последовательности . .
Слабая сходимость
к л:
^-сходимость в 36 = $*
Различные другие
свойства
ba (S, 2)
(F1)
Да
9.9
Нет
13.5
13.19
9.12
13.17,
(F3)
13.17
13.18
9.11 (Ь),
III. 7.5,
III. 7.6,
13.50,
13.76,
13.77,
(F5)
16.
са (S, 2)
(F1)
Да
9.4
Нет
13.21
13.19,
13.20
9.1,
9.2
9.5,
(F3)
9.5
Не имеет
смысла
III. 7.5,
III. 7.6,
9.8,
(F5)
1
17.
гса E, 2)
(F1)
Да
13.22
Нет
13.22
13.19,
13.20
13.22
13.22,
(F3)
13.22
9.15
(F5)
продолжение
18А.
1 < р <оо
8.1
Да
II.3.29
Да
8.2
8.18,
8.20
И.3.28
13.23,
13.24,
(F3)
13.23,
13.24
13.24
13.51, 8.22,
13.53, 8.26,
13.62, 11.7,
13.71, (F6)
табл. IV'А
18В.
U(S, 2, д)
8.5, (F2)
Да
8.6
Нет
13.2
8.18,
8.20,
13.68
8.9,
8.11,
13.54
13.25,
(F3)
13.25
Не имеет
смысла
13.49, 8.10,
13.51, 8.13,
13.53, 8.14,
13.54, 8.22,
13.62, 8.24,
13.68, 8.26,
13.71, 11.7,
(F5)
(F5) Все пространства мер, /^-пространства и пространства им изо-
изометрически изоморфные посредством введения соответствующего отношения
порядка могут быть превращены в векторные структуры типа L-пространства 1).
Сравнить это с относящимися сюда замечаниями, приводимыми в параграфе 16.
(F6) Пространства /2 и L2(S, 2, fi), будучи гильбертовыми пространствами,
обладают многими специальными свойствами.
Определение L-пространства см. ниже (стр. 428).—Прим. ред.

412
Гл. IV. Специальные пространства
Продолжение табл. IVЛ
Пространство X
Сопряженное пространство
?*
*Слабая полнота . . ...
Рефлексивность
•Сильно бикомпактные мно-
множества
Слабо (би)компактные мно-
множества
Слабо фундаментальные по-
последовательности ....
Слабая сходимость к х
^-сходимость в ? = 2)* . .
Различные другие свойства
19.
8.16
Нет
V.11.2
Нет
V.11.2
6.26
(F8)
ч /
V. 11.2
V.11.2
13.27
11.7,
V.8.11,
13.53,
8.23,
13.69,
8.26,
13.77,
13.71,
(F4)
20.
BV (/)
(F1)
Да
/-4 е*
12.1
Нет
13.28
13.48
13.30
13.30,
(F3)
13.30
13.35 (В)
13.48,
13.63,
13.73,
(F5)
21.
NBV (/)
(F1)
\* /
Ла
12.2
Нет
13.28
13.34
13.30
13.30,
(F3)
13.30
13.35(А)
13.35,
(F5)
22.
АСA)
13.29
Да
/-4 е*
12.3
Нет
13.28
13.32,
13.33
13.31
13.31,
(F3)
13.31
Не имеет
смысла
12.3,
(F5)
23.
СпО)
13.36
Нет
13.36
Нет
13.36
13.36
13.36
13.36
13.36
Не имеет
смысла
13.36
(F7) Отметим, однако, результат, содержащийся в упражнении 13.46.
(F8) Используя устанавливаемый теоремой V.8.11 изоморфизм между
^оо (S, 2, fx) и некоторым пространством непрерывных функций, можно полу-
получить некоторое условие слабой бикомпактности из теоремы 6.14. (Сравнить это
с упражнением V.11.2, где дается соответствующий результат для слабой схо-
сходимости.) К сожалению, это условие можно получить лишь в чрезвычайно
громоздком виде.

15. Сводка результатов
413
Продолжение табл. IV А
Пространство ЗЁ
Сопряженное пространство
Слабая полнота
Рефлексивность
Сильно бикомпактные мно-
множества
Слабо (би)компактные множе-
множества
Слабо фундаментальные по-
последовательности ....
Слабая сходимость к х
^-сходимость в ?— $* . .
Различные другие свойства
24. A (D)
Нет
13.37
Нет
13.37
13.37
13.37
13.37
13.37
Не имеет
смысла
25. АР
CF9)
Нет
13.38
Нет
13.38
13.39
6.29
13.41
13.41
Не имеет
смысла
7 6
XI.2,
(F4)
26. Гиль-
Гильбертово
простран-
пространство
4.5
Да
4.7
Да
4.6
13.45
4.7
13.44
13.44
13.44
4.1, 4.4,
4.5, 4.9,
4.10,
4.12,
4.15,
4.16,
13.67,
13.70,
13.72
27.
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
11.1
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
11.2,
11.4,
11.6,
11.7,
13.74
28. s
Не имеет
смысла,
(F7)
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
13.47
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
Не имеет
смысла
(F9) Пользуясь теоремой 7.6, можно, конечно, представить АР * как
rca(S), где S есть фигурирующее в этой теореме бикомпактное пространство,
иногда называемое боровским бикомпактным расширением вещественной пря-
прямой. По-видимому, не известно никакого более конкретного представления
пространства АР *. Опубликованный Хьюитом [6] результат в этом направлении
кажется не вполне доказанным.

414 Гл. IV. Специальные пространства
Круг идей, изложенных в п. 4.9—4.13, выражает в абстрактной
форме результаты, известные под названием теоремы Рисса — Фи-
Фишера, доказанной независимо друг от друга* Э. Фишером [1] и
Ф. Риссом [5], хотя под этим названием известна также и теорема
о полноте пространства L2. Равенство, фигурирующее в теореме
4.13,— это классическое «равенство Парсеваля», а связанное с ним
неравенство, появляющееся в доказательстве теоремы 4.10, назы-
называется «неравенством Бесселя».
Теорема о том, что все ортонормированные базисы гильбертова
пространства имеют одну и ту же мощность, была доказана Лёви-
гом [1, стр. 31] и Реллихом [3, стр. 355]. Теорема 4.16 принадлежит
Лёвигу [1, стр. 27].
Пространства B(S, 2) и B(S). Результаты, содержащиеся
в п. 5.1 и 5.3, были независимо доказаны Гильдебрандтом [31
и Фихтенгольцем и Канторовичем [1]. (См. также работу Иосиды
и Хьюита [1].) Лемма 5.4 и следствие 5.5 принадлежат Филлипсу
[3, стр. 526]. Теорема 5.6 была доказана Фересом [1; 2, стр. 184].
Пространство C(S). Так как результаты § 6 распадаются на
несколько групп, то мы соответственно разделим наши коммента-
комментарии на несколько частей.
Теорема Рисса об общем виде линейного функционала F.1—6.3).
Под этим названием известны теоремы 2 и 3, так как это основное
интегральное представление непрерывного линейного функционала
на С [0, 1] впервые было обнаружено Ф. Риссом [7].
Некоторые представления линейных функционалов на С[0, 1]
были получены и раньше, однако все они страдали различными
дефектами, такими, как отсутствие единственности. Так, например,
Адамаром [1] было доказано, что каждое x*?C* [0, 1] имеет вид
m->oo
1
\km(s)f(s)ds,
где &m?C[0, I ]. Фреше [5; I] дал другое доказательство этого факта
и заметил [5; II], что функции km можно считать обращающимися
в нуль в точках 0 и 1 или многочленами (но не то и другое сразу).
В частности, существует такая двойная последовательность кон-
кон& 0<n<m, l<m<oo, что
n=\
Фреше дал также приложения этих результатов.
Рисе сформулировал свою теорему в 1909 г. (Ф. Рисе [7]). С тех
пор он дал несколько различных ее доказательств (Ф. Рисе [3, 10,
11]). Новое доказательство и тоже для С[0, 1] было предложено
Хелли [1]. Радон [2, стр. 1333] обобщил эту теорему на компактное

16. Примечания и добавления 415
множество в ?п, причем выразил линейный функционал через инте-
интеграл по некоторой регулярной мере, а не с помощью интеграла
Стильтьеса. См. также работу К. Фишера [2]. В работах Гильде-
брандта [8] и Гильдебрандта и Шёнберга [1], показано, что теорема
об общем виде линейного функционала эквивалентна теореме Хаус-
дорфа о моментах. Дальнейшее обобщение этой теоремы было
сделано в 1937 г., когда Банах (в приложении II к монографии
Сакса [1]) доказал ее для С (S) в предположении, что S есть биком-
бикомпактное метрическое пространство. При тех же предположениях эта
теорема была доказана и Саксом [4]. В 1941 г. Какутани [9, стр. 1009]
обобщил эту теорему на бикомпактные хаусдорфовы пространства,
видоизменив рассуждения, проводимые в некоторых неопублико-
неопубликованных заметках Дж. Неймана.
Несколько раньше, в 1938 г., первая попытка обобщить этот
результат на небикомпактные пространства была сделана в работе
Маркова [2], который рассматривал ограниченные непрерывные
функции на некотором пространстве, удовлетворяющем аксиоме
отделимости нормального пространства, но без предположения
о замкнутости точек. Он показал, что положительные функционалы
соответствуют положительным регулярным конечно аддитивным
мерам, и рассматривал некоторые инвариантные функционалы, т. е.
такие, что х*(fg)=x*(f) для всех /gC (S). Аналогичным вопросом за-
занимался и А. Д. Александров [1], исследовавший «пространства»,
удовлетворяющие аксиоме отделимости нормального пространства,
однако такие, в которых несчетные суммы открытых множеств не
обязательно открыты. Для таких пространств он [1; II, стр. 577]
доказал теорему 2 и установил связь аддитивных свойств со свой-
свойствами бикомпактности пространства [1; II, стр. 587] и свойствами
сходимости функционалов [1; II, стр. 593].
Имеется также несколько новых работ, относящихся к этому
вопросу. Так, например, Халмош [5, гл. 10], Хьюит [3] и Эдварде [Г]
рассматривали функционалы на пространстве непрерывных функ-
функций, заданных на локально бикомпактном хаусдорфовом простран-
пространстве и обращающихся в нуль вне бикомпактных множеств. Арене [3]
рассматривал некоторые подалгебры, образованные непрерывными
функциями, заданными на топологическом пространстве и такими,
что множество {s\ \f(s) | >с>0} бикомпактно для каждого с > 0. В
каждом из этих случаев представление осуществляется с помощью
регулярной счетно аддитивной меры, заданной на некоторой алгебре
подмножеств. Гликсберг [1] показал, что если пространство S
вполне регулярно, то для того, чтобы каждый неотрицательный
функционал на С (S) мог быть представлен с помощью некоторой
счетно аддитивной меры, необходимо и достаточно, чтобы было
выполнено одно из следующих условий: A) из того, что/n?C(S),
п=0у 1, 2, ..., и fn(s)|/0(s), sgS, вытекает, чтоfn—*f0 равномерно на S;
( 2) каждая непрерывная вещественная функция на S ограничена;

416 Гл. IV. Специальные пространства
C) каждая непрерывная вещественная функция на S достигает свое-
своего максимума; D) каждое ограниченное равностепенно непрерывное
семейство из С (S) относительно бикомпактно.
Вплоть до настоящего времени изучаются и линейные функцио-
функционалы на пространствах ограниченных непрерывных функций. Хьюит
[1] показал, что если S вполне регулярно, то положительный ли-
линейный функционал на пространстве всех определенных на S непре-
непрерывных функций может быть представлен посредством счетно адди-
аддитивной меры ji, определенной на некоторой ст-алгебре, и что каждая
функция ограничена всюду, за исключением некоторого нуль-мно-
нуль-множества относительно \х. Это обобщает результат, сформулированный
для С(—оо, +оо) Вехаузеном [1, стр. 164]. В своей работе Хьюит
рассматривает также линейные функционалы, непрерывные в не-
некоторых топологиях (например, в бикомпактно открытой топологии
и в произведении топологий).
Исследование доказательства теоремы 2 показывает, что проб-
проблема отыскания общего вида линейного функционала может рас-
рассматриваться как проблема продолжения линейной функции, задан-
заданной первоначально на С (S), на более широкий класс функций, задан-
заданных на S, такой, как класс ограниченных борелевских функций.
Как только это продолжение найдено, мера легко получается,
и функционал представляется в виде некоторого интеграла. Это
вполне аналогично идее, использованной Даниелем [1] в теории
интегрирования, различные модификации которой дали Бурбаки [4],
Люмис[1] и Стоун [6]. Хьюит [2] и Люмис [2] рассматривали линей-
линейные функционалы с этой же точки зрения. Идеи Даниеля зна-
значительно обобщены на сохраняющие порядок отображения между
упорядоченными пространствами Мак-Шейном [3] и на положитель-
положительные отображения пространства C(S) в упорядоченные простран-
пространства Кристианом [1].
Сильная и слабая бикомпактности в С (S) F.5—6.14). Асколи
[2, стр. 545] ввел понятие равностепенной непрерывности в данной
точке множества непрерывных функций (вещественного перемен-
переменного); почти в то же самое время это понятие использовал также
Арцела [5 ]. Определение 6.6 просто применяет его определение в каж-
каждой точке области. Это основное понятие легко можно обобщить на
функции, значения которых принадлежат некоторому метричес-
метрическому пространству и даже на еще более широкие классы функций,
(см. Бурбаки [5, гл. 10]).
Важная теорема 4.7 известна под названием теоремы Арцела —
Асколи, хотя многими авторами используется лишь одно из этих
имен. В случае пространства С [0, 1] Асколи [2, стр. 545—549]
применил конструкцию, которая по существу эквивалентна доста-
достаточному условию бикомпактности. Арцела [2] доказал необходи-
необходимость этого условия. Обе работы используют геометрическую терми-
терминологию, и извлечь из них эти результаты нелегко. Однако Арцела

16. Примечания и добавления 4TL
[3, стр. 56—60] дал очень ясное изложение этой и смежных с нею
теорем. Обобщение на случай, когда областью определения служит
некоторое пространство, в котором определено понятие предела
(скажем, метрическое пространство), было дано Фреше [1 ]. Нетрудно
получить обобщение и на тот случай, когда областью значений слу-
служит вместо поля вещественных или комплексных ^исел некоторое
метрическое пространство, хотя в этом случае приходится также
предполагать, что множество {/ (s) |/ ?/(} для каждого sgS относи-
относительно бикомпактно.
В том случае, когда S не предполагается бикомпактным, или
если область значений функций не предполагается метрическим
пространством, аналогичный критерий бикомпактности был уста-
установлен Аренсом [5], Гейлом [1] и Майерсом [1] (см. также Бурбаки
[5, гл. 10] и Келли [5]). В этих случаях обычно используется «би-
«бикомпактно открытая» топология пространства функций. Различные
критерии бикомпактности для С [0, 1] были даны Идзуми [2].
Здесь, пожалуй, уместно изложить некоторые исторические све-
сведения по поводу понятия равномерной сходимости — основного вида
сходимости в этом пространстве. Важность этого типа сходимости
теперь вполне оценена, однако это не всегда было так. Даже такой
крупнейший математик, как Коши, ошибался на этот счет, утвер-
утверждая в 1821 г., что сумма сходящегося ряда непрерывных функций
сама является непрерывной функцией (см. Коши [1, стр. 120]).
Ошибочность этого утверждения была указана в 1826 г. Абелем
[1, стр. 316]. На этом дело остановилось на несколько лет. В 1847 г.
Стоке [1, стр. 562], в 1848 г. Зейдель [1] и в 1853 г. Коши [1, стр.
30—36] независимо друг от друга показали, что равномерная схо-
сходимость является достаточным условием для непрерывности пре-
предельной функции. (Интересно, что Вейерштрасс [1, стр. 67, 70]
пользовался этим понятием сходимости в некоторых своих неопуб-
неопубликованных рукописях, написанных в 1841 г. и даже использо-
использовал термин «gleichmassig».) К чести Зейделя — он заметил,
что не в состоянии доказать также и необходимость этого усло-
условия. Стоке запутался в этом вопросе, а Коши сохранял молчание.
Необходимые и достаточные условия не были получены еще в тече-
течение нескольких 'лет.
Понятие квазиравномерной сходимости последовательности функ-
функций ввел в 1884 г. Арцела [1 ], доказавший теорему 6.11 для класси-
классического случая последовательности в С [0, 1]. Однако в 1878 г.
Дини [1, стр. 107—109] дал необходимое и достаточное условие
непрерывности предельной функции в точке и сформулировал
[1, стр. 110—112] свою классическую теорему о монотонно сходя-
сходящейся последовательности непрерывных функций.
Понятие квазиравностепенной непрерывности (связанное с ква-
квазиравномерной сходимостью точно также, как обычная равностепен-
равностепенная непрерывность связана с равномерной сходимостью) было
27 Заказ № 1324

418 Гл. IV. Специальные пространства
введено Сирвинтом [2, 3] для С [О, 1 ] и Бартлом [2] для С (S). В слу-
случае С [0, 1 ] эквивалентность условий A), B) и C) теоремы 6.14 была
доказана Сирвинтом [2, 3; стр. 76, 82] и Бурженом [1, стр. 601].
Для общего случая Гротендик [2, стр. 180—182] доказал эквива-
эквивалентность условий A), B) и E). Эквивалентность условий A), C)
и D) для общего случая была доказана Бартлом [2], которому и при-
принадлежит приводимое нами доказательство. Гротендик [2] рас-
рассматривал соотношение между бикомпактностью, счетной бикомпакт-
бикомпактностью и компактностью для случая, когда область значений непре-
непрерывных функций содержится в некотором более общем топологи-
топологическом пространстве. Некоторые из результатов Бартла [2] спра-
справедливы также и в этом более общем случае.
Теорема Стоуна — Вейерштрасса и смежные с ней теоремы
F.15—6.27). Классическая теорема об аппроксимации непрерывных
функций полиномами принадлежит Вейерштрассу [2, стр. 5].
Было предложено много доказательств этой теоремы; см., например,
работы Л. Грейвса [1, 4], Гобсона [1; II, стр. 228—234] и Уиддера
[1, стр. 152—153]. (Из доказательства, приводимого в работе
Л. Грейвса [4], видно, что если f?Cn[O, 1], то полиномы можно^ы-
брать таким образом, чтобы все их производные до порядка п вклю-
включительно равномерно сходились к соответствующим производным
функции f.)
Из многочисленных обобщений теоремы Вейерштрасса для [0, 1]
мы упомянем замечательную теорему Мюнца [1], утверждающую,
что множество {l,xQl, ..., хапу ...} в том и только в том случае явля-
является фундаментальным в С [0, 1], если ряд Sa^1 расходится. Эта
теорема была уточнена и упрощена в работах Саса [1] и Кларксона
и Эрдёша [1].
Стоуновское обобщение теоремы Вейерштрасса для вещественных
функций содержится в его работе [1, стр. 465—469], где в основ-
основном пространство непрерывных функций рассматривается как неко-
некоторая алгебра. Комплексный случай был рассмотрен Гельфандом
и Шиловым [1]. Какутани [9] изучал аналогичный вопрос, основы-
основываясь на структурных свойствах пространства. Стоун в работе [4]
рассматривал оба эти аспекта, найдя полный и элементарный под-
подход к этому красивому и важному обобщению. В этой последней
работе Стоун рассматривает несколько близких между собой аспектов
этой проблемы, а также многие приложения этого результата. Дока-
Доказательство другого типа, основанное на теории полугрупп, было по-
получено Данфордом и Сигалом [1].
Для случая вещественных скаляров теорема Стоуна утверждает,
что совокупность алгебраических комбинаций семейства DaC(S)
в том и только в том случае всюду плотна в С E), если функции из D
разделяют точки пространства S. Хьюит [4] показал, что если про-
пространство S предполагается только вполне регулярным, а не биком-
бикомпактным, то это утверждение теряет силу. Хьюит доказал, кроме

16. Примечания и добавления 419
того, что более сильного свойства отделимости (для замкнутых мно-
множеств вместо точек) достаточно для справедливости теоремы
и в этом случае.
Арене [4] дал некоторое обобщение теоремы Стоуна — Вейершт-
расса для случая, когда областью значений служит некоторая
абелева группа с определенными структурными и топологическими
свойствами. Капланский [1, стр. 228—233] доказал соответствую-
соответствующую теорему для случая, когда S есть бикомпактное хаусдорфово
пространство, а функции в точке s gS принимают значения из неко-
некоторой С*-алгебры А8, зависящей от s. Это есть некоторое «неком-
«некоммутативное» обобщение теоремы Стоуна — Вейерштрасса. Доказа-
Доказательство Капланского даже для обычного случая отлично от при-
приводимого нами. Капланский [2] дал также теорему типа теоремы
Стоуна, где скаляры принадлежат некоторому евклидову кольцу
с делением.
Все упомянутые выше абстрактные теоремы устанавливают
условия, достаточные для того, чтобы некоторый класс функций
порождал все пространство. Уэрмер [6, 9] дал условия, достаточные
для того, чтобы две функции порождали C(S), где S есть единичный
круг. Если f взаимно однозначна или f(K)=i2, то даются необходи-
необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять функ-
функция g для того, чтобы f и g порождали СE). Этот вопрос тесно свя-
связан с классификацией замкнутых подалгебр В, максимальных в том
смысле, что если В' есть замкнутая подалгебра в C(S) и если Б с: В',
то В' совпадает либо с В, либо со всем C(S). Дополнительные
результаты относительно максимальных подалгебр и смежных с этим
вопросов имеются в работах Уэрмера [10, 11], Хельсона и Квигли
[1, 2] и Рудина [1].
Теперь мы остановимся вкратце на теоремах 6.18—6.27. По
существу, они получены Стоуном [1 ], по крайней мере для веществен-
вещественного случая, хотя его терминология и доказательства часто отлича-
отличаются от предлагаемых нами. Необходимо упомянуть, что теорема
6.22 была независимо и лишь несколько позднее доказана и Чехом
[1] (см. также элементарное изложение вработе-Стоуна [5]). Лемма
6.25 была доказана Стоуном [1,стр. 465]; обобщения этого резуль-
результата имеются также у Хьюита [5] и Капланского.
Существует несколько теорем, тесно связанных с теоремами
6.26 и 6.27,— см., например, теорему V.8.8, в которой доказано, что
если C(S) изометрически изоморфно С(Т), где S и Т — бикомпакт-
бикомпактные хаусдорфовы пространства, то 5 и Г гомеоморфны. Эта теорема
была доказана для вещественных скаляров и бикомпактных метри-
метрических пространств Банахом [1, стр. 145], а, для бикомпактных
хаусдорфовых пространств — Стоуном [1г стр. 469]. (Близкие к это-
этому результаты имеются также у Эйленберга [1 ], Аренса и Келли [1 ],,
Хьюита [5].) Все это можно резюмировать в виде утверждения, что
«банахово пространство C(S) определяет S». Шилов [1]. показал, что
27*

420 Гл. IV. Специальные пространства
C(S) как топологическое кольцо определяет S при условии, что S
есть бикомпактное метрическое пространство. Гельфанд и Колмо-
Колмогоров [1] доказали более сильную теорему о том, что если S —
бикомпактное хаусдорфово пространство, то кольцо C(S) определя-
определяет S. Эта теорема включает следствие6.27. Стоун [7; II ] показал, что
C(S) как структурно упорядоченная группа определяет S. Наконец,
Капланский 13; I] доказал, что и просто как структура C(S) опре-
определяет S. Хьюит [5], Нагата [1] и Сирота [1] получили некоторые
результаты для случая, когда пространство S не предполагается
бикомпактным. Кейдисон [2] получил результаты такого же рода
для некоммутативных С*-алгебр.
Из предыдущего абзаца видно, что каждое разумное топологи-
топологическое или алгебраическое свойство пространства C(S) определяет S,
если только S бикомпактно. То, что это перестает быть верным, если
C(S) рассматривать только как линейное топологическое простран-
пространство, видно из того, что пространство С[0, 1 ] можно линейно и гомео-
морфно отобразить на пространство С([0, 1 ] LJ2) (см. Банах
[I, стр. 156-157).
Слабая бикомпактность в B(S). Определение 6.28 эквивалентно
определению Бартла [2], которому принадлежит и теорема 6.29.
Лемма 6.30, по существу, принадлежит Буржену [1, стр. 600],
приводимое нами ее доказательство и ее применение к 6.31 при-
принадлежит Бартлу [2]. Теорема 6.31 впервые была доказана Сирвин-
том [3, стр. 80], доказательство которого было основано на некото-
некоторых близких к этому теоремах Банаха [1, стр. 185—191]. Эта тео-
теорема еще раньше без доказательства была сформулирована Фихтен-
гольцем и Канторовичем [2].
Пространство АР. Теория почти периодических функций была
создана Г. Бором [1], но в этой области работало и много других
математиков. Хотя теория почти периодических функций представ-
представляет собой естественное и красивое обобщение теории периодиче-
периодических функций, Бор пришел к ней в результате изучения рядов Дирих-
Дирихле. Весьма интересный обзор некоторых различных доказательств
основных теорем этой теории читатель может найти в работе Бора [4 ].
Книга Бора [2] дает очень хороший обзор элементарной теории,
а в книге Безиковйча [1] рассматриваются некоторые обобщения
и аналитические почти периодические функции. (См. также работу
Маака [1].)
Теорема 7.2 была использована Бохнером [4] в качестве опре-
определения почти периодических функций. Это привело Дж. Неймана
и Бохнера (Дж. Нейман [9], Бохнер и Дж. Нейман [1 ]) к обобщению
этой теории на произвольную абстрактную группу; если G есть
некоторая абстрактная группа, функция f?B(G) называется почти
периодической справа, если множество {fa|agG}, где fa(x)=f(xa),
относительно бикомпактно в B(G). Подробнее об этом направлении
в теории почти периодических функций см. в работе Бора [3].

16. Примечания и добавления 421
Если сильную топологию в B(G) заменить слабой топологией, то
мы получим слабо почти периодическую функцию в смысле Эберлей-
на [3]. Некоторые аспекты этих обобщений будут рассматриваться
в последующих главах. Другие ссылки читатель может найти
у Люмиса [1] и А. Вейля [I]1).
Пространство S теоремы 7.6 называется воровским бикомпакт-
бикомпактным расширением вещественной прямой: А. Вейль [1, 2] показал,
что вполне аналогичный результат можно получить также
и для любой локально бикомпактной абелевой группы и указал
приложения этого факта. Андзаи и Какутани [1] показали, между
прочим, что боровское бикомпактное расширение локально биком-
бикомпактной абелевой группы G можно получить с помощью группы
характеров G группы G, устанавливая в & дискретную топологию
и беря затем' группу характеров этой дискретной группы. Хьюит
16] пользовался боровским бикомпактным расширением для изу-
изучения пространства (АР)*. (См. также работы Артеменко [2] и
Крейна [5] о некоторых положительных линейных функционалах.)
Пространство Lp. Для случая L2 [0, 1] теорема 8.1 была сфор-
сформулирована независимо и одновременно в 1907 г. Фреше [4] и Ф. Рис-
сом [9]. Подробное доказательство принадлежит Фреше [5; III,
стр. 441 ]. Эта же теорема для Lp [0, 1 ], 1 < р <оо, была доказана
Ф. Риссом [2, стр. 475]. Для случая пространства с конечной мерой
эта теорема была установлена Никодимом [9, стр. 132] и, позднее,
Данфордом [1, стр. 338], по существу, тем же методом, которым
пользуемся и мы. Доказательство, основанное на свойстве равно-
равномерной выпуклости, было дано Мак-Шейном [1] для совершенно
произвольного пространства с мерой. Совсем иное доказательство
было предложено Дж. Шварцем [1]. Обобщения этой теоремы
на пространства Орлича были получены Зааненом [1; 5, стр. 138].
Для случая Lp [0,1], 1 < р < со, следствия 8.3 и 8.4 были
доказаны Ф. Риссом [2, стр. 467].
Штейнгауз [2] доказал теорему 8.5 для отрезка [0, 1] и полу-
получил следствие 8.6. Данфорд [1, стр. 338] обобщил теорему 8.5
на пространство с конечной мерой. Пример Ботса (изложенный
в работе Дж. Шварца [1]) показывает, что без предположения
о-конечности эта теорема неверна. Однако если S локально биком-
бикомпактно и ji — регулярная мера, то L* — Loo (см. Дьёдонне [7,
стр. 83]). Дж. Шварц [1] дал некоторое представление простран-
пространства L* для случая произвольной меры. Прежде чем появилась
работа Штейнгауза, Фреше [5, III] дал некоторое представление
линейных функционалов F на пространстве Ьг [0, 1 ] непрерывных
в том смысле, что если fn(s) —> f(s) почти всюду, то F(fn)—>F(f).
Некоторое обобщение теоремы Штейнгауза было получено Сан Хуя-
ном [1].
1) См. также книгу Б. М. Левитана [8*]. — Прим. ред.

422 Гл. IV. Специальные пространства
Теорема 8.9 для случая конечной меры была доказана Данфор-
дом [9, стр. 643], а для а-конечного случая — Данфордом и Петти-
сом [1, стр. 376]. Для случая, когда S локально бикомпактно
и \х — регулярная положительная мера на борелевских множест-
множествах 2, Дьёдонне [7, стр. 93] показал, что для того, чтобы множество
К CZ Li (S, 2, [i) было слабо бикомпактным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: A) К ограни-
ограничено; B) для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что если \л(Е) < б,
то \ \f(s) | \i(ds) < е для всех / ? К\ C) для каждого 8 > 0 суще-
существует такое бикомпактное множество С с S, что \ |/(s) | (Li(ds) < е
S-C
при /€ К.
Дьёдонне [7] обобщил эти результаты на некоторый класс функ-
функций, не образующих ^-пространства, но тесно связанный с Lx.
Подробности об этом читатель может найти в его работе.
Следствие 8.13 представляет собой классический результат
Я.Шура [1]. Существует аналогичная теорема для Lp, 1 <р < оэ,
принадлежащая Радону [2, стр. 1363] и Ф. Риссу J13J:
Теорема. Если 1 <р < оо, то последовательность {/п} в том
и только в том случае сильно сходится к f в Lp(S, 2, jj,), если она
слабо сходится и \ fn \ —> | /1.
Эта теорема остается справедливой и для любого равномерно
выпуклого 5-пространства.
Теорема 8.15 была независимо доказана Гильдебрандтом [3,
стр. 875] и Фихтенгольцем и Канторовичем [1, стр. 76]. Еще раньше
Штейнгауз [2] показал, что произвольный непрерывный линейный
функционал, заданный на пространстве существенно ограничен-
ограниченных измеримых функций с Z^-нормой, определяется некоторым
элементом из L^.
Фреше [9, стр. 308] дал необходимые и достаточные условия
бикомпактности множества из /2. Аналогичные результаты были
получены и для L2[0, 1] (см. Фреше [7, стр. 118]), но они исполь-
используют наперед указанное ортонормированное множество. Другие
результаты для L2[0, 1] были получены Фересом [2]. Теорема 8.17,
по существу, принадлежит Колмогорову [2] для случая, когда
1 < р < оо и 5 — ограниченное множество в конечномерном евкли-
евклидовом пространстве. На неограниченные множества она была пере-
перенесена Тамаркиным [1]. Тулайков [1] показал, что теорема Тамар-
кина справедлива так же и при р=1. М. Рисе [2] дал другое дока-
доказательство этого условия. Такахаси [1] показал, что этот резуль-
результат справедлив и для обобщенных Lp пространств Орлича. Теоре-
Теорема 8.17 в том виде, как она дана у нас, и ее справедливость при р=со
была установлена Филлипсом [3, стр. 527]. Иной критерий для
Lp, р > 1, был дан Фреше [7]. Николеску [1] также рассматривал

16. Примечания и добавления 423
результат Колмогорова. Идзуми [2] использовал условия типа
введенных Колмогоровым, чтобы получить критерий бикомпакт-
ности для С[0, 1] и TM(S, 2, XI).
Теоремы 8.18 и 8.20 принадлежат М. Риссу [2]. Некоторое
обобщение их на случай 0 < р < 1 было дано Цудзи [2]. Лемма
8.25 и теорема 8.26 принадлежат Ф. Риссу [23], который рассма-
рассматривал их в несколько более общей ситуации.
Так как каждый элемент из L^ представляет собой некоторый
класс эквивалентных функций, то естественно поставить вопрос,
можно ли из этих классов выбрать ограниченных представителей
таким образом, чтобы сохранялись суммы и скалярные произведе-
произведения. Дж. Нейману [211 принадлежит замечательная теорема о том,
что такой выбор в L^ @, 1) можно сделать так, чтобы сохранялись
полиномиальные тождества
Теорема. Пусть (S, 2, [^—пространство с положительной конеч-
конечной мерой такоеf что L1(Sy 2, \i) сепарабельно. Тогда существует
такое линейное отображение Т пространства LooE, 2, \i) в B(S),
что | Т | < 1 и что Tf и f принадлежит одному и тому же классу
эквивалентности при всех f 6 Loo (S, 2, jli).
Для S=[0, 1] это есть частный случай одной теоремы Дж. Ней-
Неймана. Краткое доказательство этой теоремы, использующее одну
из теорем Халмоша иДж. Неймана [1], принадлежит Дьёдонне [9],
показавшему, что этот результат тесно связан с некоторыми теоре-
теоремами, рассматриваемыми нами в § VI. 8.
Пространства функций множества. То обстоятельство, что
равномерная счетная аддитивность множества из са E, 2) экви-
эквивалентна равностепенной непрерывности относительно некоторой
фиксированной положительной меры, было доказано Дубров-
Дубровским [2]. В работе [1] Дубровский доказал также, что для случая
бикомпактного куба в Еп из каждого из этих предположений вместе
с ограниченностью вытекает, что каждая последовательность
содержит подпоследовательность, сходящуюся для каждого боре-
левского множества. Близкие к этому результаты см. также в рабо-
работах Кафиеро [3—5] и Дубровского [3—6]. Доказательства тео-
теорем 9.1—9.3, отличные от приводимых нами, имеются в работе
Бартла, Данфорда и Шварца [1].
Гротендиком [4, стр. 146] были доказаны аналогичные крите-
критерии слабой бикомпактности для регулярных мер. Приводим его
результат.
Теорема. Пусть М — локально бикомпактное пространство
и К а. гса(М). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
A) К слабо компактно]
*) Весьма общий критерий компактности дан также Шиловым [7*]. — Прим.
ред.

424 Гл. IV. Специальные пространства
B) если {/п} — равномерно ограниченная последовательность
определенных на М непрерывных функций, в каждой точке сходя-
сходящаяся к нулю, то
м
равномерно относительно jj, ? К\
C) для каждой последовательности {Gn} попарно непересекаю-
непересекающихся открытых множеств lim \x(Gn)=O равномерно относительно
D) (а) для каждого бикомпактного множества С^_М и е > О
существует такая открытая окрестность U множества С, что
v (jLi; U — С) < е для каждого \х ? К\ (Ь) для заданного е > О о/ц<?-
ствует такое бикомпактное множество С 'с М, что v (\x, M — С) < в
для каждого [i?K.
Ввиду теоремы Радона — Никодима теорема 9.5 может рас-
рассматриваться как обобщение одной теоремы Лебега [1, стр. 57].
Теорема 9.4 есть частный случай этого результата и некоторой тео-
теоремы Никодима [6], а именно теоремы III.7.3.
Теорема 9.8, усиливающая теорему о равномерной ограничен-
ограниченности для некоторого частного случая, принадлежит Никодиму 15].
Приводимое нами доказательство, так же, как и лемма 9.7, имеется
в работе Сакса [3], где доказан несколько более сильный ее вариант.
(По поводу других результатов относительно «атомной структуры»
пространства с мерой см. работы Хана и Розенталя [1, стр. 45—531
и Халмоша [5, стр. 162—180].)
Теорема 9.14 принадлежит Бохнеру [3]. В работе Бохнера
и Филлипса [1] также имеется доказательство этой теоремы.
Теорема 9.15 была доказана А. Д. Александровым [1, III,
стр. 182], которому принадлежит несколько аналогичных резуль-
результатов (см. А. Д. Александров [1, III]). Нижеследующие замечания
относятся к этой теореме.
Некоторые замечания о Ж-сходимости в ЭЕ*. Одна из проблем,
перечисленных в § 1 этой главы, это определение конкретных усло-
условий Ж-сходимости в Ж*, т. е. определение в терминах пространств
Ж и Ж*, условий, при которых х*х~->х*х для любого х?Э?.
Теорема 9.15 служит примером такой теоремы. Аналогичные
вопросы рассматривались в классической работе Лебега [1].
Он получил некоторые необходимые и достаточные условия, при
которых
пе функции / и {фп} берутся из некоторых наперед указанных клас-
классов: Lv L2, Loo, С, BV и т. д. Одни из этих результатов имеют

16. Примечания и добавления 425
в виду слабую сходимость, другие — Ж-сходимость в X*,
третьи — ни то, ни другое. Кемп [1] обобщил некоторые резуль-
результаты Лебега на случай нескольких переменных. Подробное изложе-
изложение таких условий было дано Ханом [2], рассматривавшим много
разных пространств.
Соответствующие проблемы для мер возникают сами собой —
определить условия на {jj,n}, при которых
I*] \f(s)\in(ds)->0, /6F,
где F есть определенное множество функций. Интеграл здесь может
пониматься в смысле Стильтьеса. В этой связи мы сформулируем
классическую теорему, принадлежащую Хелли [1, стр. 268]
и Брею [1, стр. 180].
Теорема. Если {ап} есть последовательность функций равномер-
равномерно ограниченной вариации и если существует такая функция
a?BV[0, 1], что ап(х)—>а(х), гдехпринадлежит некоторому всюду
плотному подмножеству отрезка [0, 1], содержащему 0 и 1, то
1 1
$ f(s)an(ds)-+ ^ f(s)a(ds), f?C[O, 1].
6 о
Условие этой теоремы достаточно, но не необходимо; необходимое
и достаточное условие было дано Гильдебрандтом [9 ]. Другие резуль-
результаты читатель может найти у Гливенко [1, гл. 7] или у Л. Грейвса
[2, стр. 281—292]. Г. М.Шварц [ 1 ] также получил некоторые резуль-
результаты в этом направлении, причем функцию f он не предполагал
непрерывной.
Дьёдонне [11] рассматривал сходимость интегралов [*], где 5
есть бикомпактное хаусдорфово пространство, \хп — регулярные
меры и F — один из следующих классов: 1) непрерывные функции,
B) функции, интегрируемые по Риману, C) полунепрерывные функ-
функции, D) ограниченные измеримые по Борелю функции. Его, быть
может, самый замечательный результат состоит в следующем:
Теорема. Если S — бикомпактное метрическое пространство,
\хп ? rca (S) и если \лп (G) —> \i (G) для каждого открытого множества
Gc:Sf то \xn(E)—>\i(E) для каждого борелевского множества Е.
Векторнозначные меры. Важная теорема ЮЛ принадлежит
Петтису [4, стр. 283], доказавшему ее для неопределенного интег-
интеграла с помощью одной теоремы Орлича и Банаха; однако доказа-
доказательство Петтиса годится и для общего случая. В следующем году
Петтис [6] сформулировал и общий результат. Кунисава [1] пер-
первый опубликовал доказательство этой общей теоремы (см. также
работу Накамуры и Суноути [1]).

426 Гл. IV. Специальные пространства
Полувариация, как она определена в п. 10.3, в скалярных
случаях превращается в обычную полную вариацию. В абстрактном
случае она использовалась Гавуриным [4], построившим теорию
интеграла риманова типа, в которой функция и мера принимают
значения из двух векторных пространств, на произведении которых
определена некоторая векторнозначная билинейная функция.
Изложенная нами теория интеграла типа интеграла Лебега для
скалярных функций по отношению к векторнозначной мере дана
в работе Бартла, Данфорда и Шварца [1]. Аналогичным образом
Бартл [3] построил теорию интеграла лебеговского типа для слу-
случая, когда и функция и мера векторнозначны.
Пространство ТМ E, 2, \х). Хотя понятие сходимости по мере
было введено в 1909 г. Ф. Риссом [12], только Фреше [8, стр. 199]
ввел в пространство измеримых функций некоторую метрику таким
образом, что метрическая сходимость была эквивалентна сходимости
по мере. Фреше [6] дал необходимые и достаточные условия длятого,
чтобы множество измеримых функций, определенных на отрезке
[0, 1], было бикомпактным в этой метрике. (Еще раньше Ферес
[1] нашел условия, при которых последовательность измеримых
функций содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность.)
Рассуждения Фреше были упрощены Хенсоном [1]. Несколько иные
условия были даны Идзуми [2], а также Медведевым [1 ]. Теорема 11.1,
обобщающая результаты Фреше, принадлежит В. Шмульяну [14].
Другое обобщение ее имеется в работе Кафиеро [2].
Теорема 11.2 является обобщением одной из теорем Банаха
[8, стр. 37]. В той форме, как она приведена у нас, она является
обобщением некоторой теоремы Данфорда и Миллера [1, стр. 542].
Доказательство, приводимое нами, по существу принадлежит Мазу-
ру и Орличу [1, стр. 157]. Алексевич [1; IV] рассматривал полино-
полиномиальные операторы, в случае когда область определения не пред-
предполагается 5-пространством, но удовлетворяет некоторым предель-
предельным условиям. Смежные с этим теоремы и их приложения см.
у Сакса [2, 5].
Мы видели, что TM(S, 2, \i) не является ^-пространством
и, следовательно, существование на нем ненулевых непрерывных
линейных функций сомнительно. Никодим [9, стр. 141] показал,
что если (хE) < оо, то для существования на ТМ E, 2, (х) ненуле-
ненулевого непрерывного линейного функционала необходимо и доста-
достаточно существование атома относительно \i.
Функции ограниченной вариации. Понятие функции ограничен-
ограниченной вариации было введено в 1881 г. Жорданом [1], а понятие
абсолютно непрерывной функции — в 1905г. Витали [1]. Несмотря
на то, что эти классы функций играют весьма важную роль во мно-
многих вопросах анализа, их изучение было в значительной степени
поглощено изучением более общего современного понятия меры;
это было сделано в основном Радоном [2].

16. Примечания и добавления 427
Общий вид линейных функционалов на BV был найден Гиль-
дебрандтом [7], Артеменко [1] и Гросбергом [1 ]. В несколько боль-
большей общности этот вопрос рассматривался Шрейдером [1], однако
ни один из этих результатов не является вполне естественным.
В работах Адамса [1] и Адамса и Морса [1, 2] рассматривалось
пространство BV и некоторые его подпространства с другой метри-
метрикой, относительно которой оно не является 5-пространством.
В этих работах даются естественные представления для функциона-
функционалов самого общего вида непрерывных и равномерно непрерывных
относительно этой метрики.
Существует несколько определений ограниченной вариации
и абсолютной непрерывности для функций двух переменных. Раз-
Различные соотношения между этими определениями и свойствами свя-
связанных с ними понятий были подробно рассмотрены Адамсом и Клар-
ксоном [1—4].
Характеристика гильбертова пространства. Йордан и Дж. Ней-
Нейман [1] доказали, что в линейном нормированном пространстве X
двух или большего числа измерений, в котором для любых двух
элементов х, у ?36 справедливо «тождество параллелограмма»:
можно определить внутреннее произведение так, что | а: |2 = (а:, х).
Таким образом, выполнимость тождества параллелограмма харак-
характеризует пространства с внутренним произведением (см. также
работу Рубина и Стоуна [1]). Аналогичный результат был получен
из других тождеств или неравенств для нормы Г. Биркго-
фом [1], Дэйем [7], Джеймсом [2], Лорхом [3, 4], Фиккеном [1]
и Шёнбергом [1].
Характеризующие гильбертово пространство условия, основан-
основанные на некоторых свойствах линейных функционалов, гиперпло-
гиперплоскостей и типах ортогональности, рассматривались Г. Биркгофом
[1] и Джеймсом [1—3].
Какутани и Макки [1 ] показали, что в вещественном 5-простран-
стве Ж можно ввести эквивалентную норму, при которой оно ста-
становится вещественным гильбертовым пространством, при условии,
что существует такое отображение Т —¦» Г* кольца В (Ж) ограничен-
ограниченных линейных операторов в X, что G\Г2)* = 71П, (Т2 + Тг)* =
П + П, Г** = 7\ и из того, что ТФО, вытекает, что Т*ТфО.
Они показали также, что это верно и в том случае, если существует
такое отображение gj>_>$Ш' структуры X замкнутых линейных
многообразий пространства Ж, что ЯК" = 9К, Ж'Г№ = °> и из того,
что ВД1 d $Ц?2, вытекает, что ЭД?( Ц> зк^ В этом случае простран-
пространство Щ' можно идентифицировать с ортогональным дополнением
пространства ЗК.
Какутани [6] доказал, что если Ж есть линейное нормированное
пространство трех или большего числа измерений, то норму в нем

428 Гл. IV. Специальные пространства
в том и только в том случае можно задать с помощью некоторого
внутреннего произведения, если каждое его двумерное подпро-
подпространство является областью значений некоторого проектирования
с нормой 1 (см. также работы Боненблуста [2], Собчика [1],
Филлипса [2]).
Близкие к этому вопросы рассмотрены у Блюменталя [1].
Библиография. Ароншайн [1, Г. Биркгоф [1], Блюменталь [1],
Боненблуст [2], Джеймс [1—3], Дэй [7], Йордан и Дж. Нейман
[1], Какутани [6], Какутани и Макки ]1], Лорх [3, 4], Нагумо
[3], Охира [1,2], Рубин и Стоун [1], Собчик [1], Фиккен [1], Фил-
липс [2], Шёнберг [1], Эллис [1].
Упорядоченные пространства. Имеется обширная литература,
посвященная векторным пространствам, в которых задано некото-
некоторое отношение порядка. Так, например, полу упорядоченное вектор-
векторное пространство — это векторное пространство S3, в котором
для некоторых пар элементов определено отношение х>у, под-
подчиненное следующим условиям:
(I) если х>0 и — *>0, то # = 0;
(II) если лс>у и y>z, то л;>г;
(III) если х>0 и к — вещественно и неотрицательно то Хх>0;
(IV) если х>у, то x+z>y-\- г.
Если для каждой пары элементов из 85 существует верхняя грань
х\/у и нижняя грань х/\у, то говорят, что S3 есть векторная
структура.
Часто встречаются и другие соотношения между отношением
порядка и алгебраической структурой (как в случае упорядоченных
алгебр) или между отношением порядка и топологической или мет-
метрической структурами. Здесь имеется много разных возможностей.
Мы ограничимся формулированием теорем о представлении абстрак-
абстрактных L- и М-пространств.
Вещественное ^-пространство называется абстрактным L-npo-
странством, если оно является векторной структурой, в которой
A) из того, что х>0 и */>0, вытекает, что |#4-у | = |#| + |*/|.
Такие 5-пространства были аксиоматически введены Г. Бирк-
гофом [2] при абстрагировании от конкретного 5-пространства,
состоящего из интегрируемых по Лебегу функций на некотором
пространстве с мерой. (См. также работы Фрейденталя [1], Каку-
Какутани [3, 7-9] и Смайли [1].)
Какутани [8] показал, что в каждом абстрактном L-простран-
стве может быть введена некоторая эквивалентная норма, удовлет-
удовлетворяющая условию A), а также следующему условию:
(т) из того, что х/\у = 0, вытекает, что \х + у\ = \х — у\.
Говорят, что абстрактное L-пространство обладает единицей, если
в нем существует такой элемент е, что из условия х> 0 вытекает,

16. Примечания и добавления ?29
чтоед*>0. Обобщая один из результатов Фрейденталя, Каку-
тани [8] доказал следующую теорему:
Теорема. Для произвольно заданного абстрактного L-простран-
ства, удовлетворяющего условию (т) и обладающего единицей,
существует такое вполне разрывное бикомпактное топологическое
пространтво S и такая счетно аддитивная мера \i9 определенная
на борелевской алгебре 2 пространства S, что это абстрактное
L-пространство изометрично и структурно изоморфно веществен-
вещественному В-пространству Lx (S, 2, \х).
В работах Какутани [3, 9] (и Боненблуста и Какутани [1])
вещественное 5-пространство называется абстрактным М-про-
М-пространством, если оно является векторной структурой, в которой
(V) из того, что хп>уп, хп->х0, уп—>у0, вытекает, что хо>уо\
(/л*)если *ЛУ = 0,то \х + у\ = \х-у\и\х\/у\ = тах(\х\, \у\).
Мы говорим, что абстрактное Ж-пространство обладает единицей,
если в нем существует такой элемент е, что е>0, |е|= 1, и из
того, что |*| <1, вытекает, что *<е. Какутани [9] и независимо
М. Г. и С. Г. Крейны [1, 2] показали:
Теорема. Для каждого абстрактного М-пространства с едини-
единицей существует такое бикомпактное хаусдорфово пространство S,
что это абстрактное пространство изометрично и структурно
изоморфно вещественному В-пространству C(S).
В случае когда наше абстрактное пространство не предпола-
предполагается обладающим единицей, может быть получена аналогичная
теорема о представлении, в котором могут быть линейные
соотношения между значениями функций в парах точек.
Какутани принадлежит также следующий результат:
Теорема. Пространство, сопряженное к абстрактному М-про-
странству, является абстрактным L-пространством. Простран-
Пространство, сопряженное к абстрактному L-пространству, является
абстрактным М-пространством с единицей.
Теоремы о представлении ненормированных пространств, ана-
аналогичные приведенным выше, были получены Каллером [I]1).
Приводим неполный перечень работ, в основном имеющих дело
с различными аспектами теории упорядоченных пространств.
Книги: Г. Биркгоф [3], Накано [2], Канторович, Вулих и Пин-
скер [1]. Статьи: Берри [1], Г. Биркгоф [2], Боненблуст [1],
Боненблуст и Какутани [1], Бохнер [1], Бохнер и Фань Ку [1],
Бохнер и Филлипс [1], Васильков [1—4], Вулих [1—11], Гросберг
и Крейн [1], Дьёдонне [4—6], Иосида [1, 2], Какутани [3, 7—9],
*) Отметим, что полная теория полуупорядоченных пространств была
построена Л. В. Канторовичем [1]. — Прим. ред.

430 Гл. IV. Специальные пространства
Канторович [1—3], Канторович, Вулих и Пинскер [2], Кейдисон [1 ],
М. Г. Крейн [2—4],М. Г. КрейниС.Г. Крейн [1, 2], М.Г. Крейн и
Рутман [1 ], Минусинский [1],Секефальви-Надь [1],Накамура [1,2],
Накано [2—6, 14—16], Нахбин [2], Огасавара [1—5], Огасавара
и Маеда [1, 2],Орихара [И], Пинскер [1—7],Пирс [1 ], Ф. Рисе[23],
Смайли [1], Тагамлицкий [1], Фань Ку [1, 2], Фрейденталь [1],
Широхов [1], Шмульян [11], Юдин [1].
Характеристика пространств Lx и Lp. Выше мы рассматри-
рассматривали пространство L1 как некоторое конкретное представление
абстрактного L-пространства. Боненблуст [1] дал весьма интерес-
интересную характеристику L^-пространств при 1<р<оо. Рассмотрим
вкратце его результат. Если 33 есть полуупорядоченное вещест-
вещественное 5-пространство, то абсолютная величина элемента хбЗЗ
определяется равенством \\х\\=х\/( — х). Два элемента х и у
из 93 называются ортогональными, если || *||л|| У 1| = 0- Единица
здесь понимается в том же смысле, как и для L-пространства. Для
удобства условимся говорить, что пространство 33 обладает свой-
свойством (Р), если выполнено следующее условие:
(Р) если х — х1 + х21 где хх и х2 ортогональны, и у :=у1-\-У^ гДе
уг и у2 ортогональны, и если
то \х\ = \у\.
Теперь мы можем сформулировать теорему Боненблуста.
Теорема. Каждое сепарабельное полуупорядоченное вещественное
В-пространство с единицей, являющееся а-полной структурой,
имеющее по меньшей мере три измерения и обладающее свойством (Р),
эквивалентно одному из пространств /?, С, /р, Lp, Lp 0 /?, Lp 0 /р,
1 <Р < °°» или с0, причем соответствующий изоморфизм сохраняет
норму и порядок.
Для того чтобы различать между собой все эти возможности,
можно дать дополнительные условия. Другая характеристика
пространства Lv близкая к работе Кларксона [2], была дана Фул-
лертоном [5]. Еще одна характеристика L^-пространств имеется
в работах Накано [14—16].
Характеристика пространства С. Имеется много характери-
характеристик пространства вещественных непрерывных функций. Выше мы
уже упоминали теорему Какутани [9] и М. Г. и С. Г. Крейнов [2],
представляющую М-пространство в виде C(S) для некоторого биком-
бикомпактного хаусдорфова пространства 5. Аналогичные результаты,
использующие понятие нормы и структурные свойства, были полу-
получены Стоуном [7; II] и Иосидой[1]. В работеСтоуна [7; I] также дана
некоторая характеристика пространства С в терминах алгебры,
нормы и порядковых свойств. Другие результаты, основанные
только на алгебраических свойствах и свойствах нормы, были раз-

16. Примечания и добавления ??7
работаны Гельфандом [1] для комплексного случая, а затем изуча-
изучались Гельфандом и Наймарком [1], Аренсом [6, 7], Аренсом и Кап-
ланским [1] и Сигалом [1]. Мы коснемся этих вопросов в одной
из последующих глав о 5-алгебрах. Большинство характеристик,
основанных на алгебраических свойствах, использует комплексные
скаляры. Структурные и порядковые свойства, вообще говоря, при-
приводят к вещественным СE)-пространствам. Аренсом [4], однако,
получены условия, при которых вещественная 5-алгебра является
пространством непрерывных функций, заданных на бикомпактном
хаусдорфовом пространстве и принимающих значения из тела ква-
кватернионов.
Характеристика, основанная на свойствах упорядоченности
и линейных свойствах, была дана Фань Ку [2] и Кейдисоном [1].
Работа Кейдисона является настолько общей, что она включает
в себя большую часть предшествующих теорий. В работе Нахбина
12] используются понятие порядка, нормы и линейные свойства.
Результаты, характеризующие С (S) среди вещественных В-про-
странств ЭЕ, были получены Аренсом и Келли [1], Кларксоном [2],
Джерисоном [1] и Майерсом [2—4]. Эти результаты касаются неко-
некоторых специальных свойств единичной сферы пространства Ж или
36*. Так, например, Кларксон [2, стр. 847] нашел, что веществен-
вещественное ^-пространство в том и только в том случае является простран-
пространством С (S) для некоторого 5, если: A) существует такая точка и,
что | v 1 = 1 и каждый элемент единичной сферы {лг||*|=1}
можно соединить либо с и, либо с — v некоторым прямолинейным
отрезком, целиком лежащим на этой сфере, и B) полу конус
прямых, соединяющих точку v с каждой точкой, лежащей внутри
или на поверхности единичной сферы, обладает тем свойством, что
пересечение двух его сдвигов само является его сдвигом. (См. также
работы Фуллертона [1, 5].)
Арене и Келли [1] показали, что пространство Ж в том и только
в том случае изометрически эквивалентно С E), если A) крайние
точки единичной сферы V пространства X* содержатся в двух опор-
опорных гиперплоскостях и B) каждое множество принадлежащих U
крайних точек, замыкание которого не содержит двух диаметрально
противоположных точек, целиком лежит в некоторой опорной к U
гиперплоскости. Они дали также и другое условие, которое было
обобщено Джерисоном.
Некоторые другие интересные условия были получены Майер-
Майерсом, за подробностями читатель отсылается к его обзорной статье
[4J.
Абдельгай [1,2] пользовался кольцевыми и структурными свой-
свойствами для характеристики пространства с0 и пространства непре-
непрерывных функций, обращающихся в нуль в некоторой точке. Джери-
сон [1] рассматривал структурные свойства исключительно мето-
методами теории ^-пространств.

432 Гл. IV. Специальные пространства
Специальные С (S)-пространства. Если S обладает какими-то
специальными свойствами, то последние часто отражаются и на С (S).
Так, например, в работе М. Г. и С. Г. Крейнов [1] показано, что
если S вполне регулярно, то для того чтобы С (S) было сепарабель-
ным, необходимо и достаточно, чтобы S было бикомпактным метри-
метрическим пространством (см. также работу Майерса 13]). Эйленбер-
гом [1] было доказано, что пространство C(S) в том и только в том
случае разложимо в прямую сумму, если S несвязно.
Вполне регулярное пространство называется вполне разрывным,
если замыкание каждого его открытого множества само открыто.
Бикомпактные вполне разрывные пространства часто называются
пространствами Стоуна, так как Стоун [1] доказал, что каждая
полная булева алгебра изоморфна (как булева алгебра) с булевой
алгеброй всех открытых и замкнутых множеств такого простран-
пространства. Такая разрывность отражается в том факте, что вещественное
пространство С (S) при естественном определении порядка является
полной структурой. (Дополнительные результаты такого рода
см. в работе Стоуна [8].) В гл. V мы увидим, что вещественное про-
пространство L^ изометрически изоморфно вещественному простран-
пространству C(S)y где S есть некоторое пространство Стоуна.
Пусть S — пространство Стоуна, а Ж = С (S) — пространство
вещественных непрерывных функций. Гротендик [4, стр. 168] пока-
показал, что каждая Ж-сходящаяся последовательность в X* является
36**-сходящейся последовательностью и что если 9) —сепа-
рабельное В-пространство, то каждый оператор из В (Ж, 2))
является слабо бикомпактным. Гуднер [1, стр. 103] доказал, что
единичная сфера в Ж является замкнутой выпуклой оболочкой
своих крайних точек. Келли [2] дополнил один из результатов
Нахбина [3] и Гуднера [1 ], доказав, что если Ж = С (S) есть замкну-
замкнутое линейное многообразие В-пространства 3» то существует про-
проекционный оператор с нормой, равной единице, отображающий 3
на Ж. Свойство это является характеристическим в том смысле,
что каждое обладающее им В-пространство изометрически эквива-
эквивалентно C(S), где SecTb некоторое пространство Стоуна. Нахбин [3]
доказал также, что если 2) есть вещественное В-пространство, еди-
единичная сфера которого содержит крайнюю точку и такое, в котором
каждое множество сфер (любые две из которых пересекаются),
также имеет непустое пересечение, то 3) изометрически эквива-
эквивалентно C(S)y где S есть некоторое пространство Стоуна.
Даже и более специальные свойства пространства 5 (гиперстоу-
новские пространства) оказываются полезными при изучении алгебр
операторов. По этому вопросу отсылаем читателя к работе
Диксмье [3].
Другие специальные пространства. Кроме пространств, пере-
перечисленных в § 2, имеется много других пространств, изучавшихся
различными авторами. Одни из них являются В-пространствами,

16. Примечания и добавления 433
другие — только линейными топологическими пространствами. Мы
упомянем здесь лишь некоторые из рассматривавшихся пространств.
Дэй [1] рассматривал пространство Lp, 0<р<1, представ-
представляющее собой линейное пространство функций, в котором опреде-
определена некоторая «норма», не удовлетворяющая неравенству тре-
треугольника, но подчиняющаяся некоторым другим неравенствам,
частично компенсирующим его отсутствие. Дэй показал, в частности,
что единственным непрерывным линейным функционалом на этом
пространстве является нулевой функционал. С другой стороны,
пространство Lp [0, 2я] содержит подпространство Нр всех функций,
регулярных в единичном круге и таких, что
2* 1
Уолтере [1] показал, что даже в том случае, когда пространство
Lp, 0<р<1, не имеет нетривиальных непрерывных линейных
функционалов, пространство #р, 0<р<1, имеет достаточно
много функционалов для того, чтобы различать между собой функ-
функции из этого пространства.. (См. также работы Ливингстона [1]
и Уолтерса [2].)
Арене [2] ввел пространство L^ [О, 1], состоящее из всех функ-
функций /, у которых все нормы 1/^, |/|2, ... конечны. Он показал, что
включение L^czL^CZ Lp строгое и что, хотя пространство L^
является локально выпуклой линейной топологической алгеброй,
его топология не может быть задана при помощи некоторой нормы.
В частности, если U есть содержащее 0 выпуклое открытое мно-
множество, для которого UU d U, то U = Lw . Другие замечания отно-
относительно пространств Lp, 0 <р < 1, и La можно найти в работе
Ласаля [3].
5-пространство Яр, р>1, с определенной выше нормой (или
с нормой его как подпространства Lp) изучалось многими авторами.
(См., в частности, работы Тейлора [4—7].) Исследованием целых
функций занимался Ийер [1]. Была построена подробная теория
аналитических функций с точки зрения теории линейных про-
пространств, начинающаяся с работ Фантапье и Вольтерра. В этой
связи мы упомянем только работы Гротендика [5], Себаштьян-и-
Сильвы [2, 3] и Сильва Диаса [1 ], где можно найти и дополнитель-
дополнительные библиографические указания. Пространства, состоящие из
функций почти периодических в различных смыслах, рассматрива-
рассматривались Бором и Фёльнером [1]. (См. также работу Хартмана и Уинт-
нера [1].)
Кёте и Теплиц [1] ввели класс топологических векторных про-
пространств, называемых «совершенными пространствами» и состоя-
состоящих из последовательностей {хп} вещественных или комплексных
28 Заказ № 1324

434 Гл. IV. Специальные пространства
чисел, удовлетворяет некоторой совокупности условий вида
21 Л, |< оо.
Эти пространства, среди которых содержатся и некоторые из клас-
классических пространств, составленных из последовательностей, допу-
допускают теорию двойственности (Кёте [1—9], Теплиц [1]) и находят
себе применение при решении систем уравнений с бесконечным мно-
множеством неизвестных. Обобщения и другие результаты, относящиеся
к этому типу пространств [в частности, введенное Кёте [5] «ступен-
«ступенчатое пространство» (Stufenraume)], имеются в работах Дьёдонне
[7], Дьёдонне и Гомеса [1] и Дьёдонне и Шварца [1]. В работе
Дьёдонне и Шварца [1] (см. также работу Дьёдонне [13]) изучается
класс пространств, каждое из которых представляет собой объеди-
объединение некоторой совокупности локально выпуклых F-пространств,
в эти пространства вводится соответствующая топология и доказы-
доказывается, что многие из основных результатов относительно В-про-
странств остаются справедливыми и в этом более общем случае.
(Так, например, пространство С непрерывных функций на (— оо,оо)
можно рассматривать как объединение пространств С[ — я, /г],
п — 1, 2, ...; топология в С определяется равномерной сходимостью
на бикомпактных множествах.) Пространства такого типа незави-
независимо рассматривались так жеМазуром и Орличем [3], построивши-
построившими подробную их теорию.
Векторные пространства, в которых скаляры берутся из неко-
некоторых неархимедовых полей, рассматривались в работах И. Коэна [1 ]
и Монны [1—9]. См. также работы Флейшера [1], Инглтона [11
и Оно [11.
В работах Бирнбаума и Орлича [1], Орлича [3, 4] и Зигмунда
[1, гл. 4] рассматривалось некоторое обобщение /^-пространств
следующего типа. Пусть М — непрерывная выпуклая функция,
определенная на [0, ос), обращающаяся в нуль только при и—О
и для которой и^М (и) стремится к 0 и оо вместе с и. Пространство
LM (О, 1) определяется как множество определенных на интервале
(О, 1) измеримых функций /, для которых
1
^M(\f(x)\)dx<co.
Эти пространства образуют класс В-пространств, содержащий
и пространства Lp, 1<р<оо, и обладающих многими анало-
аналогичными свойствами. Так, например, существует функция N> обла-
обладающая теми же самыми свойствами, что и М, и играющая роль
сопряженной с М функции. В частности, если существует такое
&>0, что МBи) </Ш(а), то пространство (LM)* эквивалентно
LN. (См. работу Заанена [1], где дается некоторое определение,
включающее также и пространства Lx и La>.) Условия относитель-

16. Примечания и добавления ??5
ной бикомпактности в Ьм в точности такие же, как и в Lp (Така-
хаси [1]). Другие условия для того, чтобы интегральный оператор
в Ьм был бикомпактным, вполне аналогичны соответствующим
условиям в Lp (Заанен [2]). Эти пространства подробно рассмотрены
в книге Заанена [5]. См. также работы Красносельского и Рутиц-
кого [1—3].
Другие обобщения лебеговых пространств можно найти в рабо-
работах Эллиса и Гальперина [1], Гальперина [1, 3, 4], и Лоренца
[1, 2]. Пространства функций, интегрируемых по Данжуа, изуча-
изучались Сарджентом [1, 2].
Говорят, что функция, определенная на некотором подмножестве
Е евклидова пространства, удовлетворяет в Е условию Гёльдера
для показателя ее, или является непрерывной по Гёльдеру, если
m=sup l/w-/yi
Ясно, что совокупность всех таких функций с указанной нормой
является Б-пространством. Это В-пространство функций играет
весьма важную роль в связи с изучением некоторых сингулярных
интегральных операторов, в частности таких, которые появляются
в теории дифференциальных операторов с частными производными.
Более подробные указания по этим вопросам приводятся в послед-
последнем параграфе гл. XI части II. Об основных неравенствах, связы-
связывающих функции, непрерывные по Гёльдеру, и сингулярные инте-
интегральные операторы, см. работу Фридрихса [11]. Примеры при-
приложения неравенства такого типа к вопросам, не относящимся
к теории дифференциальных операторов с частными производными,
см. в работе Фридрихса [1]. Относительно свойств В-пространства
всех функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем
<%, по-видимому, известно очень немного, и дополнительная инфор-
информация по этому вопросу была бы полезной.
Интересная разновидность локально выпуклых линейных топо-
топологических пространств (общее определение таких пространств
дается в следующей главе), введенная Л. Шварцем, по-видимому,
призвана играть заметную роль во многих областях анализа. Пусть
/ — открытый интервал вещественной оси и Q° (/) — линейное
пространство всех определенных на / комплексных функций, каж-
каждая из которых бесконечно дифференцируема и обращается в нуль
вне некоторого бикомпактного подмножества /. Пусть г—произ-
г—произвольное натуральное число и <р0, ...,срг — произвольное множество
из г+1 определенных на / всюду положительных функций. Тогда,
если мы положим
;Фо,... ,ф,) = иес
28*

436 Гл. IV. Специальные пространства
для каждого g?Q°(/), то совокупность окрестностей
N(g'> Фо> • • • у Фг) определит в С?° (/) некоторую топологию, относительно
которой это линейное пространство будет (локально выпуклым)
линейным топологическим пространством. Пространство D (/) всех
определенных на этом линейном топологическом пространстве
непрерывных линейных функционалов называется определенным
на I пространством обобщенных функций. Отображение f—>Ff1 где
F,(g)=]f(t)g(t)dt,
вкладывает С?°(/) (и даже Lx (/)) в D(I). Этой дает нам возмож-
возможность рассматривать элементы из D (/) как обобщенные функ-
функции. Очень многие из обобщенных функций, рассматривавшихся
время от времени в эвристическом анализе (такие, как известная
б-функция Дирака и ее производные), могут быть идентифициро-
идентифицированы со вполне определенными элементами из D (/). Если в D (/)
определить соответствующую слабую топологию, то становится
возможным такую аналитическую операцию, как дифференциро-
дифференцирование, определить как некоторое непрерывное отображение в D (/)
и в этом смысле определить соответствующую обобщенную про-
производную для каждой функции, скажем, из LX(I). В своей фунда-
фундаментальной книге [5] Л. Шварц подробно рассматривает все эти
вопросы, а также строит для обобщенных функций теорию разло-
разложений Фурье, интегральных преобразований, сверток и т. д. Кроме
того, он дает ряд приложений этой теории к различным вопросам
анализа. Дьёдонне и Шварц в работе [1] дают общую теорию ряда
линейных топологических пространств, среди которых содержатся
и Q° (/) и D (II). Мы изложим некоторые сведения из теории обоб-
обобщенных функций в гл. XIV части II в связи с изучением дифферен-
дифференциальных операторов с частными производными.
Интеграл Гаусса — Винера в гильбертовом пространстве.
Рассмотрим/г-мерное (вещественное) евклидово пространство Е}\
Пусть \in — борелевская мера в ?п, определяемая равенством
где интеграл есть /г-мерный интеграл Лебега и \х\—длина вектора
х в Еп. Так как
+Q0
*) Много других пространств бесконечно дифференцируемых функций
приведено в книге И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [2*, вып. 2].-— Прим.
ред.

16. Примечания и добавления 487
то \in (Еп)= 1. Кроме того, мера \iv, как легко видеть, обладает сле-
следующим важным свойством унитарной инвариантности:
где U есть произвольное, сохраняющее норму линейное отображе-
отображение Еп на себя. Пространство Еп+т можно, очевидно, рассматри-
рассматривать как прямую сумму Еп@Ет в смысле §IV.4. Тогда
(I* © У\J=\х\2+\У\2 и, следовательно, в~(|'хфу1J =<r|3C|V-|v|1 для
всех х из Еп и у из Ет. Отсюда легко вытекает, что если Л и В —
борелевские множества соответственно в Ел и Ет и если А® В
есть множество {*©*/ |*g Л,у€ В}, то^^Л ©В) = |i* (A)Vtn№)-
В частности,
A) ^+жИ©^) = ^И).
Из унитарной инвариантности \iv вытекает, что \in можно рас-
рассматривать как некоторую меру, присущую каждому /г-мерному
вещественному гильбертову пространству ф безотносительно
к какой-либо индивидуальной системе координат в этом простран-
пространстве. Эта мера будет называться гауссовой мерой в Sq9 Пусть, в част-
частности, ig0 является таким пространстгом, a Qx — подпространство-
в Sq0. Рассмотрим ортогональное проектирование Е пространства
$q0 на Sq^ Предположим, что ц^ и \х& означают гауссовы меры
соответственно в $0 и ig1# Пусть А является борелевским подмно-
подмножеством §0 таким, что х б А в том и только в том случае, если
Ех б А. Тогда из равенства A) легко вытекает, что
B) ^
Равенство B) дает возможность следующим образом определить
гауссову меру в вещественном гильбертовом пространстве ф. Назо-
Назовем борелевское подмножество А из ig цилиндрическим множеством,
если существует ортогональное проектирование ? пространства §
на некоторое его конечномерное подпространство ^ такое, что
х g Л тогда и только тогда, когда ?# б Л. В этом случае положим
C) ii (А) ^^(А^).
Тогда из равенства B) вытекает, что левая часть равенства C)
не зависит от Sqv т. е. что определение C) однозначно и, следова-
следовательно, законно.
Из соответствующих свойств конечномерных гауссовых мер
легко вытекает, что
(I) \i — неотрицательная, конечно аддитивная функция мно-
множества, определенная на алгебре 2 цилиндрических множеств из $q.
(II) Пусть U — сохраняющее норму линейное отображение про-
пространства Sq в себя. Тогда для каждого Л € S UA тоже принадле-
принадлежит 2 и \х (А)=\х (UA). Это есть свойство унитарной инвариантности,
в гильбертовом пространстве.
(Ш) |i($)=i.

438 Гл. IV. Специальные пространства
Пользуясь условием (I) и общей теорией, изложенной в пара-
параграфах III. 1, II 1.2 и II 1.3, мы можем теперь для функций из $
построить (конечно аддитивную) теорию интегрирования. Оказы-
Оказывается, однако, что эта теория интегрирования недостаточно широка
для обычных приложений интеграла Гаусса. Поэтому стоит до неко-
некоторой степени расширить эту теорию следующим образом.
(a) Сначала построим теорию интегрирования параграфов II 1.1,
III.2, III.3, которая, между прочим, дает и определения (ш-измери-
мости и (^-интегрируемости функций.
(b) Обозначим через % множество всех проектирований Е про-
пространства & на его конечномерные подпространства, и пусть %х
является совокупностью всех ограниченных линейных отображений
в $, имеющих конечномерные области значений. Положим
=inf sup \\f(Fx)\VL(dx),
е> О, \Е — FE\
если это—конечная величина и |f| = oo в противном случае.
Тогда |/| определит норму на некотором линейном подпространстве
Ф множества определенных на $ функций. Легко видеть, что Ф
содержит пространство Фо всех jui-интегрируемых функций и что
линейный функционал S
S:f~>[f(x)]i{dx), /<ЕФ0,
равномерно непрерывен на Фо относительно топологии, индуцируе-
индуцируемой нормой |/|. Следовательно, по теореме 1.6.17, S можно одно-
однозначно продолжить до непрерывного линейного функционала, опре-
определенного на всем ФО=ФХ. Мы говорим, что функция / из Фх
^-интегрируема в расширенном смысле и для S(f), /бФ^ пишем
\f(x)\i (dx). Эта теория «в расширенном смысле» обладает многими
свойствами обычной конечно аддитивной теории интегрирования.
Кроме того, она унитарно инвариантна, т. е. если U есть некоторое
сохраняющее норму линейное отображение пространства ф в себя
и если /(-)бФр то /(!/(•)) 6 а>1 и
Предположим, что пространство ^ сепарабельно и что мы реали-
реализовали его как /2, т. е. отобразили его на /2 (скажем, пользуясь
теоремой 4.16) взаимно однозначно, линейно и с сохранением нормы.
Так как мера м- инвариантно связана с ig, то мы получим в /2 неко-

16. Примечания и добавления 439
торую гауссову меру |я, и, из определений, легко видеть, что эта
мера удовлетворяет условию
Следовательно, она очень тесно связана с бесконечным произведе-
произведением мер jioo^HiX^X..., определенном на бесконечном произве-
произведении s счетного числа раз повторенной вещественной оси, причем
\хг так же, как и выше, есть одномерная гауссова мера на вещест-
вещественной прямой. Пространство s является, конечно, пространством
всех вещественных последовательностей jc= [jc1], оно отлично от /2,
являющегося подпространством 5, определяемым тем условием, что
оо
24 < со. Мера |Яоо счетно аддитивна; подмножество /2 простран-
г=1
ства s имеет juioo-меру нуль; мера \х не является счетно аддитивной.
В самом деле, используя соотношение между ^ и |i, легко видеть,
что /2 является суммой счетного числа нуль-множеств относительно \х.
Эти соотношения можно выразить следующей эвристической фор-
формулой: переходя от всего бесконечного произведения — простран-
пространства s к его подмножеству /2, мы теряем счетную аддитивность, при-
приобретая взамен важное свойство унитарной инвариантности.
Общие библиографические указания по изложенным вопросам
можно найти в работе Фридрихса [12].
Существует еще другой, предложенный Винером метод построе-
построения счетно аддитивной теории ценой отказа от унитарной инвари-
инвариантности. Его можно изложить следующим образом. Представим §
в виде вещественного пространства L2 (—оо, +со). Тогда отобра-
отображение f—>Tf, определяемое равенством
t, /6L2(-co, +00),
отображает L2 в некоторое (довольно «тощее») подмножество про-
пространства С всех непрерывных функций, определенных на вещест-
вещественной оси. Это дает нам возможность определить алгебру 2 под-
подмножеств пространства С и аддитивную функцию множества jx и S
следующим образом:
= \ %t-ia(x)\L(dx), А? 2,

440 Гл. IV. Специальные пространства
где %Е означает, как обычно, характеристическую функцию мно-
множества Ео. Эта мера \i на пространстве С, по существу, совпадает
с мерой Винера.
Заметим, что каждое множество вида {/ g C\ f (tQ) ? ?0}, где
— оо</0<оо и ?0 — борелевское подмножество поля скаляров,
принадлежит 2. Пусть 20 является подалгеброй в 2, порожден-
порожденной семейством множеств такого вида. Тогда можно показать, что
мера \i счетно аддитивна на 20. Следовательно, по теореме II 1.5.8,
\х можно продолжить до счетно аддитивной меры \iw, определенной
на а-алгебре 2^ подмножеств пространства С, порожденной под-
подалгеброй 20. Пространство с мерой (С, 2^,^) есть пространство
с мерой Винера.
Теория этого пространства с мерой была очень тщательно раз-
разработана. Основные из ранних работ — это работы Винера
[6,7] иПэли, Винера, и Зигмунда [1 ]. Для дальнейшего развития тео-
теории больше всего сделано Камероном, Мартином и их учениками.
В работах Камерона и Мартина [3, 5, 7] и Камерона и Фейгана [1]
изучается результат действия различных отображений в С на" меру
jji^ и устанавливается обобщение понятия якобиана при замене
переменных в конечномерных кратных интегралах. Камерон
и Мартин [6] вычислили различные интегралы Винера, пользуясь
общим методом, содержащим «замену переменных» в пространстве С,
и некоторыми дифференциальными уравнениями Штурма — Лиу-
вилля. В работах Камерона и Мартина [2], Камерона и Хатфилда
[1, 2] вводится полное ортонормированное множество «функциона-
«функционалов Фурье — Эрмита» в L2(C, 2Ш, \iw) и изучается теория раз-
разложения по этим функционалам произвольных элементов из
L1(C, 2W, \iw). В работах Камерона [4] и Камерона и Мартина [9]
рассматривается теория, близкая к теории интеграла Фурье.
В работах Камерона и Мартина [1, 4], Камерона и Шапиро [1],
Камерона, Линдгрена и Мартина [1] показано, как решения неко-
некоторых нелинейных интегральных уравнений можно «явно» выра-
выразить через интегралы Винера. Камерон [2] и Оухар [1] изучали
для интегралов Винера формулы, близкие к формуле
для функций вещественного переменного. Камерон [1 ] дал «правило
Симпсона» для вычисления интегралов Винера.
См., кроме того, работы Винера [8], Камерона [5], Камерона и
Мартина [8] , Камерона и Грейвса [1], М. Каца [2], Маруямы [1],
Пэли и Винера [1, гл. IX].

16. Примечания и добавления 44Т
Наибо/ее интересное развитие теории начинается с диссертации
физика Фейнмана [1] и продолжается в исследованиях М. Каца
[1, 3], Розенблата [1], Тингли [1], Форте [4], Камерона [3], Мон-
тролля [1], Стейнберга [1]. Формулой
выражается, как известно, решение дифференциального уравнения
«теплопроводности» с начальными условиями:
Из определения меры Винера легко видеть, что это решение можна
записать в виде
Существует соответствующая формула, выражающая через интеграл
Винера решение F дифференциального уравнения 2-го порядка
параболического типа с начальными условиями:
[*•] -^F{x,t) = \-^F{x,t)-YV (х, t) F (x, t),
t>0, F(x,O) = f(x),
где V есть заданная функция. Соответствующая формула имеет вид
[***] F(x, t)=
G
Упоминавшиеся выше авторы рассматривали различные аспекты
соотношения между задачей Коши [**] теории дифференциальных
уравнений в частных производных и формулой [***]. Камерон [3],
в частности, получил весьма подробные результаты при очень сла-
слабых аналитических предположениях. Необходимо также отметить,
что связь между формулами [** ] и [*** ] имеет отношение и к извест-
известному из теории вероятностей более общему соотношению между
«переходными вероятностями» марковского процесса и представле-
представлением его «выборочных функций». Использование формулы [***]
в теории вероятностей можно найти в работах М. Каца [1 ] и Эрдёша
и Каца [1]. Гельфанд и Яглом [1] дали превосходный обзор теории
интеграла Винера с особым ударением на формуле [***].

442 Гл. IV. Специальные пространства
Различные другие подходы к проблеме интегрирования в гиль-
гильбертовом пространстве можно найти в работах Лёвнера [1], Лорха
[12—14], Фридрихса[12, стр. 121—132], П. Леви[1, стр. 209—355]1).
*) Ю. Л. Далецкий[1*] построил теорию интегрирования в функциональ-
функциональном пространстве, связанную с общими параболическими уравнениями.
Р. А. Минлос [1*] выяснил важную связь ядерных пространств с теорией
интегрирования в функциональных пространствах, а также применил конти-
континуальное интегрирование к обобщенным случайным процессам.—Прим. ред.

ГЛАВА V
Выпуклые множества и слабые топологии
В гл. II мы видели, что непрерывные линейные функционалы
являются важным средством изучения В-пространств; в настоящей
главе мы продолжим эти исследования для более общих пространств.
Мы начнем с изучения понятия выпуклости в общем линейном про-
пространстве и с доказательства основной леммы, эквивалентной
теореме Хана — Банаха и связывающей линейные функционалы
с выпуклыми множествами. Эти результаты рассматриваются в § 2
при дополнительном предположении, что наше пространство
является линейным топологическим пространством. В § 3 показано,
как некоторые классы линейных функционалов определяют топо-
топологии линейного пространства. В частности, в ^-пространствах
можно ввести некоторую топологию, называемую слабой тополо-
топологией, таким образом, что слабая сходимость элементов в смысле
определения II.3.25 будет эквивалентна сходимости в этой слабой
топологии.
В §§ 4—6 продолжается исследование различных топологий
В-пространства, определяемых линейными функционалами. В част-
частности, изучаются свойства бикомпактности в связи с метрическими
топологиями, рефлексивностью, ограниченностью и неограничен-
неограниченностью множеств и свойствами последовательностей. Многие из этих
результатов справедливы и для локально выпуклых линейных топо-
топологических пространств.
В §§ 8—10 рассматриваются вопросы о крайних точках, каса-
касательных плоскостях и теоремы о неподвижной точке. Идеи этих
параграфов, хотя и чрезвычайно интересные сами по себе, в после-
последующих главах будут использоваться гораздо реже. Дополнитель-
Дополнительные результаты и примеры можно найти в упражнениях парагра-
параграфов 7 и 11.
1. Выпуклые множества в линейных пространствах
В этом параграфе через Ж, D ит. д. будут обозначаться линей-
линейные векторные пространства, а через р, q, x, //, ...—точки этих
пространств. Буквами а, р, ... будут обозначаться вещественные или
комплексные числа, буквами а, Ь, ...— вещественные числа.

444 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
1. Определение. Множество /С^# называется выпуклым, если
для любых х, у б К и любого а б [0, 11 точка ах+A — а) у ? К.
Нижеследующая лемма непосредственно вытекает из опреде-
определения 1.
2. Лемма. Пересечение произвольного семейства выпуклых под-
подмножеств линейного пространства 1 само выпукло.
В качестве примеров выпуклых подмножеств пространства Ж
можно назвать каждое подпространство Ж и каждое подмножество,
состоящее из единственной точки.
3. Лемма. Если xlt ...,хп — точки выпуклого множества К,
а ах, ...,ап — неотрицательные скаляры, такие, что а1+...+ап=1,
то a1xl+.+K
Доказательство. При п=2 наше утверждение верно по опреде-
определению. Предположим, что лемма верна при п=т.
Пусть Ь=а2+...+ат+1 и
у — !Ь. х Л- _1_ п™+1 у
У fj Х2 1 • * • I ? лт*Ъ
¦я
силу индуктивного предположения у? К. Так как a1+b=l9 то
2
т. д.
4. Лемма. Пусть ЗВ—линейное пространство. Если множества К\,
К2 ? Ж выпуклы, то и $К± и Кг± К2 тоже выпуклы.
Доказательство. Если х, у? QK^, то для некоторых х\ уг^К^
х — ^х\ у=$у''. Тогда если 0<а<1, то ввиду выпуклости Кг
ах+(\ — а) у=$ {ах'+A — а)у'} б р/Сх. Вторая часть леммы
может быть доказана точно таким же образом.
В доказательстве нижеследующей леммы используется та же
самая идея.
5. Лемма. ЕсльГТ — линейное отображение пространства Т&
в^, а К — выпуклое множество из ЗВ, то множество ТК выпукло.
6. Определение. Пусть М — подмножество линейного простран-
пространства ЗВ; точка р называется С-внутренней1) точкой М, если для
2) В оригинале автор употребляет термины «internal» и «bounding» для
внутренних и граничных точек множеств в смысле определения 6, сохраняя
термины «interior» и «boundary» для аналогичных топологических понятий.—
Лрим. ред.

1. Выпуклые множества в линейных пространствах 445
каждого х б ЭЕ найдется такое е > 0, что при | б | < е точка
р+дх?М. Точка рб ЗЕ называется С-граничнойточкой множествам,
если она не является С-внутренней точкой ни для множества М,
ни для его дополнения.
7. Определение. Пусть К — выпуклое множество линейного
пространства ЗЕ, и пусть нулевая точка 0 пространства ЭЕ является
С-внутренней точкой К- Для каждого х ? ЭЕ положим / (х)=
= {а|а>0, ахх б К} и f (^:)=inf а. Функция I (х) называется
а?1(х)
опорной функцией (функцией Минковского) множества К.
Так, например, если К есть единичная сфера В-пространства ЭЕ,
то !(*) = |*|-
8. Лемма. Пусть К — выпуклое множество пространства ЗВ,
имеющее нулевую точку своей С-внутренней точкой, и пусть I (х) —
его опорная функция. Тогда
(a) 1(*)>0;
(b) f(x)< + oo;
(c) если а>0, то l(ax)=al(x);
(d) если х б К, то f (х) < 1;
(e) Цх+у)<1(х)+Цу);
(f) совокупность С-внутренних точек множества К характери-
характеризуется тем у что ! (х) < 1, а совокупность его С-граничных точек —
условием f (jc) = 1.
Доказательство. Утверждения (а), (с) и (d) очевидны. Утвержде-
Утверждение (Ь) следует из того, что нулевая точка является С-внутренней
точкой множества К- Для того чтобы доказать утверждение (е),
заметим, что если с > !(*)+!(*/), то с=а+Ьу где а>1(х),
b>l(y). Из выпуклости множества К вытекает, что точка
х+у = х+у = а (а-^+Ь (Ь'*у)
с a-\-b a-\-b
принадлежит /С, так как а~гх и Ь~гу б К- Следовательно,! (х+у) < с.
Если х — С-внутренняя точка множества /С, то точка х+вх=
= (l+e)jt для некоторого достаточно малого е> 0 принадлежит /С,
так что I(jt)<(l-fe). Обратно, если 1(*)<1, положим е=
= 1 — 1(х). Для того чтобы завершить доказательство пункта (f),
предположим, что пространство ЗВ вещественно, предоставляя
детали доказательства для комплексного случая читателю. Предпо-
Предположим, что | б | (! (у)+1 (—у)) < е. Тогда
независимо от того, положительно б или отрицательно, так что
1 (х+6у)=х+ду?К. Следовательно, х—С-внутренняя точка мно-
множества /С. Точно так же можно убедиться в том, что неравенство

446 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
I (х) > 1 характеризует С-внутренние точки дополнения множества
/О Таким образом, равенство f(x)=l характеризует С-граничные
точки множества /С, ч. т. д.
9. Определение. Если Ж — векторное пространство, а М и N —
его подмножества, то определенный на Ж функционал f разделяет
множества М и N, если существует такая вещественная константа с,
что Ref(M)>c, R/(yV)
10. Лемма. Для того чтобы линейный функционал f разделял
подмножества М и N пространства Ж, необходимо и достаточно,
чтобы он разделял его подмножества М — N и {0}.
Доказательство леммы элементарно и предоставляется читателю.
При работе с подпространствами часто бывает удобна следую-
следующая лемма.
И. Лемма. Пусть f — линейный функционал, определенный
на векторном пространстве Ж, а 9) — подпространство в Ж.
Если f (У)) не совпадает со всем полем скаляров, то /(^^О.
Доказательство. Предположим, что существует такое у ? 2),
что }(у)фО. Тогда f(ay/f (у)) =а, так что каждый скаляр принад-
принадлежит /($), ч. т. д.
12. Теорема. (Основная теорема о разделимости подмножеств.)
Пусть М и N — непересекающиеся выпуклые подмножества линей-
линейного пространства Ж, причем М имеет С-внутреннюю точку. Тогда
существует ненулевой линейный функционал /, разделяющий М
и N.
Доказательство. Предположим, что Ж—вещественное векторное
пространство. Если т является С-внутренней точкой множества Му
то нулевая точка 0 пространства Ж будет С-внутренней точкой
множества М — т. Нетрудно видеть, что функционал разделяет
множества М я N в том и только в том случае, если он разделяет
множества М — т и N — т. Следовательно, нашу теорему доста-
достаточно доказать при дополнительном предположении, что 0 есть
С-внутренняя точка множества М.
Пусть р — произвольная точка множества N, так что —р есть
С-внутренняя точка множества М — N, а 0 — С-внутренняя точка
множества К=М — N+p. Так как множества М и iV не пересе-
пересекаются, то множество М — N не содержит нулевой точки; и сле-
следовательно, К не содержит точки р. Обозначим через f опорную
функцию множества К, когда I (р) > 1. Если мы положим /0 (ар)=
=al(p), то /0 будет линейным функционалом, определенным
на одномерном подпространстве пространства Ж, состоящем

2. Линейные топологические пространства 447
из вещественных кратных р. Кроме того, при всех вещественных а
fo(ap)<l(ap), так как fo(ap) = l(ap) при а>0, а при а < О
1о{ар)=а$ъ(р) <Q <1(ар). По теореме Хана — Банаха [II.3.10],
/0 можно продолжить до такого линейного функционала /, что
/(*)<!(*), Для всех х 6 ЭЕ. Отсюда вытекает, что /(/С)<1,
в то время как f (р) > 1. Таким образом, / разделяет множества /^
и {р}; по лемме 10, / разделяет также множества М— N к {0},
и, снова по лемме 10, /разделяет множества М и N. Таким образом,
для вещественного пространства наша теорема доказана.
Если пространство ЭЕ комплексное, мы можем все же рассма-
рассматривать его как векторное пространство над подполем веществен-
вещественных скаляров. В силу приведенного выше доказательства можно
определить на ЭЕ такую вещественную функцию /, что f (х+у) =
=f (x)+f (у), / (ocx)=ocf (х) при вещественном а и что / (М) и / (N) при-
принадлежат неперекрывающимся интервалам. Тогда функция F (х) =
=f(x) — if(ix) будет ненулевым линейным функционалом, опреде-
определенном на комплексном пространстве ЭЕ и разделяющим множества
М и N, ч. т. д.
2. Линейные топологические пространства
В этом параграфе результаты § 1 применяются к линейным
топологическим пространствам. Предложения 1 — 6 этого параграфа
элементарны. Предложения 7—12 представляют собой приложения
основной теоремы 1.12.
1. Теорема, (а) В линейном топологическом пространстве замы-
замыкание и внутренность выпуклого множества выпуклы.
(b) Внутренняя точка множества в линейном топологическом
пространстве является С-внутренней точкой этого множества.
(c) Если выпуклое множество К линейного топологического про-
пространства имеет по крайней мере одну внутреннюю точку, то для
того, чтобы точка р была С-внутренней точкой К> необходимо
и достаточно, чтобы она была внутренней', для того чтобы она
была С-граничной точкой, необходимо и достаточно, чтобы она была
граничной. Кроме того, внутренность множества К всюду плот-
плотна в К.
Доказательство. Пусть ЭЕ — линейное топологическое простран-
пространство, К — подмножество Ж и / — замкнутый единичный интервал.
Тогда для того, чтобы множество К было выпуклым, необходимо
и достаточно, чтобы при отображении
г|к[*, г/, а]—>ах + (\ — а)у
топологического произведения ЭЕхЭЕх/ в ЭЕ множество К X К X /

448 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
переходило в К- Но так как отображение г|? непрерывно и К X К X /=
, то
К X /Гх /) =
если только ЛГ выпукло. Итак, если /^ выпукло, то и К выпукло.
Теперь мы покажем, что если р есть внутренняя точка множе-
множества К и q—точка К, то ap+(l— a) q при 0<а<1 есть внутренняя
точка К- В самом деле, найдется такая окрестность (У нуля, что
p+UciKy и некоторая точка qxZK в окрестности а(а— \)'1U+q
точки q. Далее, так как множество К выпукло, то открытое мно-
множество U1=a(p+U)+(l —a)q1 содержится в К. Так как A — а)х
xiq—qjeaU, то ap+(l -a) q = ap+(l—a) ^+ (I— a) (q—qx)? f/,
и, следовательно, ар-\-(\ — a) q— внутренняя точка К.
Вторая часть утверждения (а) и последняя часть (с) непосред-
непосредственно вытекают из только что доказанного. Утверждение (Ь)
непосредственно вытекает из определения линейного топологиче-
топологического пространства. Из (Ь) ясно, что С-граничная точка множества
К является его граничной точкой; остается показать, что если вы-
выпуклое множество К имеет по крайней мере одну внутреннюю точку
р, то его С-внутренняя точка qx будет внутренней, а граничная
точка q2 — С-граничной.
Если точка qx С-внутренняя, то вектор г<= — гр+A-\-г) q1 для
некоторого достаточно малого положительного е принадлежит /С.
Из доказанного выше ясно, что для достаточно малого положитель-
положительного е точка qi = -rr—гтт~ является внутренней точкой К-
1 —J— 8 1 —р 8
Пусть точка q2 — граничная, тогда она не является С- внутренней
точкой/С. Но мы уже видели, чтоприО<а<1 точка ар+A— a)q2? К,
следовательно, q2 не является С-внутренней точкой дополнения
множества К- Таким образом, q2 есть С-граничная точка множе-
множества /С, ч. т. д.
2. Определение. Если А есть подмножество линейного простран-
пространства Ж, то множество со (Л), называемое выпуклой оболочкой мно-
множества Л, по определению, является пересечением всех содержащих
А выпуклых множеств; если Ж есть линейное топологическое про-
пространство, то множество со (Л), называемое замкнутой выпуклой
оболочкой множества Л, определяется как пересечение всех содер-
содержащих Л замкнутых выпуклых множеств.
Легко видеть, что со (Л) есть совокупность всевозможных линей-
п
ных комбинаций 2 atxi элементов хг?А, в которых 0<^<1
и 2 а{=1. Такие линейные комбинации иногда называются вы-
i 1

2. Линейные топологические пространства 449
пуклыми комбинациями', таким образом, со(Л) есть совокупность
всевозможных выпуклых комбинаций точек множества А.
Операции взятия со(Л) и со(Л) отображают множества в мно-
множества. Некоторые элементарные свойства этих операций приво-
приводятся ниже, в лемме 4. Для доказательства леммы 4 нам понадобится
следующая лемма о топологических группах.
3. Лемма. Если А и К— замкнутые подмножества аддитивной
топологической группы G, причем множество К бикомпактно, то
множество А-\~К замкнуто.
Доказательство. Пусть р?А+К. Для каждой окрестности U
точки р положим Ku={k\k?K, k^U — A). Так как р? А+Кг
то никакое Ки не пусто. Ясно, что если U±c^U29 то KuiS^Ku2*
Следовательно, семейство замкнутых множеств Ки центрировано.
Ввиду леммы 1.5.6 существует точка ko?K, принадлежащая
всем множествам Ки- Таким образом, если N есть произвольная
окрестность нуля, то
Это означает, что (N — N+ko)[](p —А) Ф 0. Если М — произ-
произвольная окрестность нуля, то найдется такая окрестность N
нуля, что N — Nci_M. Таким образом, каждая окрестность точки k0
пересекается с множестзом р— А. Ввиду замкнутости А, множе-
множество р — А тоже замкнуто. Следовательно, точка k0 ? р — А,
и, значит, р?А + koc^A + К, ч. т. д.
Поскольку коммутативность группы G в доказательстве не суще-
существенна, лемма справедлива и для неабелевых топологических
групп.
4. Лемма. Для произвольных подмножеств А и В линейного про-
пространства Ж:
(I) со(а А)=оссо(А); со(А +В) = со(Л) + со(В).
Если Ж есть линейное топологическое пространство, то
(II) соD)=соЩ_
(III) со(аЛ) = асо(Л);
(IV) если со(А) бикомпактно, то со(А + В)=со(А) + со(В).
Доказательство. Первая часть утверждения (I) элементарна и
вытекает из леммы 1.4. Из нее же получаем, что со(А+В) с:
п
со(Л) + соE). Далее, если у?В и х= 2 а^бсо(Л), то
п
х + У= S ai (xi + y), так что со(Л) + //=со(Л +у) и, следовательно,
29 Заказ № 132 4

450 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
() ^_со(А+В). Отсюда со(Л)+со(В) q_ со(со(Л) + В).Следова-
В).Следовательно, со(Л) + со(В)с~со(со(Л) + В)^со(со(Л -\-В)) = со(А t В).
Этим доказано утверждение (I). Для того чтобы доказать утвер-
утверждение (II), заметим, что множество со(Л) замкнуто и содержит
со(Л). Следовательно со(Л)^со(Л). По теореме 1, замыкание
выпуклого множества выпукло; следовательно, множество со(Л)
выпукло и содержит А. Таким образом, со(Л)-Зсо(Л), что завер-
завершает доказательство утверждения (II). Утверждение (III) выте-
вытекает из (I) и (II). Докажем теперь утверждение (IV). Из доказан-
доказанного утверждения (I) и леммы 3 вытекает, что со(Л)+со(Б) — выпук-
выпуклое замкнутое множество, так что со(Л + В) с со(Л) + со(Б). Далее,
так как сумма х-\-у является непрерывной функцией от х и у, то
Xl-\-Y1i^LXl-\-Yl для произвольных подмножеств Xly Y1 про-
пространства Ж. Таким образом, из (I) и (II) вытекает
со {А + В) = со (А) + со (В) з со (А) + со {В).
Это завершает доказательство утверждения (IV), ч. т. д.
5. Лемма. Пусть А и В — множества линейного топологического
пространства. Если замкнутые выпуклые оболочки множеств А
и В бикомпактны, то со(А \JB)=co(co(A)\Jco(B)).
Доказательство. Включение со(со(Л)и со(Б))с: со(Л \JB) дока-
доказывается непосредственно. Пусть К1=со(А)у К2=^о(В). Отобра-
Отображение
ф:(А p,q)->ap + (\-a)q
является непрерывным отображением бикомпактного пространства
/С = [0, 1] х Кх X К2 в со(/С1[ J /С2); поэтому множество яр (К) биком-
бикомпактно и, следовательно, замкнуто. Но A [j B<^K1\JK2^^) (К).
Если множество i|)(/(), кроме того, и выпукло, то co(A[jB)c^
С'ф(/()сгсо(/С1и^2)- Но его выпуклость можно доказать сле-
следующей элементарной выкладкой.
Если 0<а15 а2, 6<1, то
(l—b) {а2р2 -Ь A - а2) q2) =
ч. т. д.

2. Линейные топологические пространства 451
6. Теорема. (Мазур). Пусть 1 — В-пространство и Лс$
бикомпактно. Тогда и со(Л) бикомпактно.
Доказательство. Множество со(Л) как замкнутое подмножество
полного пространства полно. Следовательно, по теореме 1.6.15,
достаточно показать, что множество со(Л) вполне ограничено.
Пусть е> 0. Так как А вполне ограничено, найдется такое конеч-
конечное подмножество {zlf . .., zn) С Л, что A ^S({zu ... ,zn}, е/4). Поло-
Положим /C=co({z1, . .., zn}). Мы имеем со(А) СГ5(со(Л), е/4). Но если
m m
//?со(Л), то r/= 2 atyiy где ^бЛ, а4>0 и 2^=1. Пусть i>
является функцией, отображающей А в {1, .. ., п) такой, что если
х ^ Л, то | х — zv{x) | < е/4. Тогда
т
1=1 ' i=l
и, следовательно, со (A)CZS(K, е/2). Далее,
Отображение
n
\p : (av .. ., an, zlf .. ., 2J—> 2 a^
является непрерывным отображением бикомпактного множества
.[0, 1] X ... X [0, 1J X {zx} x ... X {zj на К. Поэтому К бикомпактно
и, следовательно, вполне ограничено. Это значит, что существует
такое конечное подмножество {kx, ..., km) множества К, что
KdS({kl9 ..:,^п},8/2).Нотогдас^(Л)СГ5({^, ...,/fem}, е),ч.т.д.
7. Лемма. Если определенный на линейном топологическом прост-
пространстве линейный функционал разделяет два множества, одно
из которых содержит внутреннюю точку, то этот функционал
непрерывен.
Доказательство. Пусть Ж — линейное топологическое простран-
пространство и А19 Л2г;Ж. Рассмотрим линейный функционал А, разде-
разделяющий множества AY и Л2, и пусть р — внутренняя точка Аг. Если
/ и g — вещественная и мнимая части А, то g(x)=—f (ix) и, следо-
следовательно, для того чтобы доказать непрерывность А, достаточно
доказать непрерывность f. Пусть /V — некоторая окрестность нуля
такая, что p + NczA^ Тогда /(Л^)с f (A2) — f(p) и множество f (N)
29*

452 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
содержится в некотором собственном подинтервале [—а, оо)
или (—оо,а] вещественной оси, причем а > 0. Пусть M = N [)( — N);
тогда М=—М и М есть некоторая окрестность нуля такая, что
/ (М) содержится в интервале [—а, а]. Но тогда / (гаГ1М) содержится
в интервале [—е, е]. Так как еа М есть некоторая окрестность
нуля, то/непрерывна в нуле. По лемме II. 1.6, / непрерывна, ч.т.д.
Из леммы 7 и теоремы 1.12 вытекает следующий результат:
8. Теорема. Любые два не пересекающихся выпуклых множе-
множества линейного топологического пространства, одно из которых
содержит внутреннюю точку, могут быть разделены некоторым
ненулевым непрерывным линейным функционалом.
9. Определение. Линейное топологическое пространство назы-
называется локально выпуклым, если его топология обладает базисом,
состоящим из выпуклых множеств.
10. Теорема. Если Кг и К2 — непересекающиеся замкнутые
выпуклые подмножества локально выпуклого линейного топологи-
топологического пространства Ж и если Кх бикомпактно, то найдутся
такие константы с и е, е > 0, и такой определенный на Ж непре-
непрерывный линейный функционал /, что
Доказательство. По лемме 3, множество Кг — К2 замкнуто; по
лемме 1.4, оно выпукло. Так как множество Кг —К2 не содержит
нуля, то найдется выпуклая окрестность U нуля, не пересекаю-
пересекающаяся с Кг—К2- По теореме 8 существует ненулевой непрерыв-
непрерывный линейный функционал /, разделяющий множества (/ и /Сх — К2>
т. е. найдется такая вещественная константа d, что Re / (Ki — К2) ^> d
Re/((/)<d. Далее, так как функционал / ненулевой, то найдется
такое х б Ж, что f (х) = 1. Отсюда следует, что / (а х) = а. С другой
стороны, для достаточно малого a ax?U. Таким образом, суще-
существует такое е>0, что множество f (U) содержит каждый скаляр,
модуль которого меньше, чем е. Следовательно, Re/(/C1)—Re/(/C2)=::
= Ref(K1 — K2)>d^>e, так что каждое число из множества
Re / (Кх) по крайней мере на е больше каждого числа из множества
Re / (/С2)• Утверждение теоремы получается теперь, если по-
положить c=inf Re/(/d), ч. т. д.
—>11. Следствие. Если Кг и К2 — непересекающиеся замкнутые
выпуклые подмножества локально выпуклого линейного топологиче-
топологического пространства Ж и если Кг бикомпактно, то существует опре-
определенный на X ненулевой непрерывный линейный функционал,
разделяющий множества Кх и /С2,

3. Слабые топологии. Определения и основные свойства 453
12. Следствие. Если К — замкнутое выпуклое подмножество
локально выпуклого линейного топологического пространства и р § /С,
то существует ненулевой непрерывный линейный функционал, раз-
разделяющий Кир.
13. Следствие. Если р и q — несовпадающие точки локально
выпуклого линейного топологического пространства ЗЕ, то сущест-
существует такой определенный на И непрерывный линейный функционал
/, что }(р)ф1(д).
В качестве последнего следствия мы сформулируем некоторый
результат, который будет иметь важные приложения в последую-
последующих параграфах.
14. Следствие. Пусть линейное пространство ЗЕ имеет две
локально выпуклые топологии хх и т2. Если пространства (ЭЕ, тх)
и (ЗЕ, т2) имеют одни и те же непрерывные линейные функционалы,
то выпуклое множество замкнуто в (ЗЕ, т2) в том и только в том
случае, если оно замкнуто в (ЗЕ, т2).
Доказательство. Пусть /С — выпуклое множество, замкнутое
в (Ж, т,), и пусть р<Ц/С. По теореме 10 существует такой непре-
непрерывный линейный функционал /, определенный на (ЗЕ, хг), и такие
вещественные числа с и е > 0, что
Так как функционал / непрерывен также и на пространстве (ЗЕ, т2),
то окрестность {x\\f(x) — f(p)\<e} точки р в (ЗЕ, т2) не пере-
пересекается с К- Следовательно, множество К замкнуто в (ЗЕ, т2), ч. т. д.
3. Слабые топологии.
Определения и основные свойства
1. Определение. Если ЗЕ есть линейное векторное пространство,
то через ЗЕ+ обозначается пространство всех определенных на ЗЕ
линейных функционалов.
Линейное подпространство Г^ЗЕ+ называется тотальным
(см. определение II.2.6), если из того, что f(x) = O для всех /? Г,
вытекает, что х = 0. Пространство Г часто называют тотальным
пространством определенных на Ж функционалов.
2. Определение. Пусть Ж— линейное векторное пространство
и Г —тотальное подпространство в ЗЕ+. Тогда Г-топологией прост-
пространства 36 называется его топология, базис которой составляют
все множества вида
где р?ЭЕ, А — конечное подмножество Г и е>0.

454 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Термины Г-открытые и Г-замкнутые подмножества .?, Г-непре-
рывные отображения и т. д. относятся к Г-топологии пространства Ж.
Следующая лемма является следствием определения 2.
3. Лемма. Если Г — тотальное линейное пространство опреде-
определенных на Ж линейных функционалов, то относительно Г-топо-
Г-топологии Ж является локально выпуклым линейным топологическим
пространством.
Заметим, что Ж и само по себе уже могло быть линейным топо-
топологическим пространством, в котором определены понятия откры-
. тых и замкнутых подмножеств, непрерывных отображений и т. д.
Эти понятия необходимо отличать от соответствующих понятий
в Г-топологии. Так, если Ж является Б-пространством, то оно
обладает естественной метрической топологией, определяемой его
нормой. Эта топология часто называется сильной или метрической.
Если говорят просто о замкнутом подмножестве в Ж или о непре-
непрерывном отображении Ж, не уточняя, в какой топологии, то при этом
имеют в виду сильную топологию.
Г-топология линейного пространства Ж связана с определен-
определенной в п. 1.8.1 топологией произведения пространств. Пусть Ж
является линейным пространством над полем Ф, а Г —тотальное
подпространство в Ж+. Положим Ф^Ф, если /?Г, и пусть W =
= []Ф/. Обозначим через Т отображение пространства ЗЕ вТ,
/ег
определяемое равенством
T{x) = UfM.
/ег
Так как Г тотально, то Г есть взаимно однозначное вложение Ж
в ? и, следовательно, Ж можно рассматривать как некоторое под-
подмножество W. Из определений 2 и 1.8.1 ясно, что Г-топология про-
пространства Ж тождественна с относительной топологией простран-
пространства Ж как подмножества топологического произведения W. Это
замечание позволит нам в следующем параграфе доказать несколько
интересных теорем о Г-топологии линейного пространства Ж.
Имеются два особенно важных примера локально выпуклых
топологий, определяемых тотальными множествами линейных функ-
функционалов. Если Ж есть В-пространство, или, более общо, любое
локально выпуклое линейное топологическое пространство и
Г = Ж* — множество всех определенных на Ж непрерывных линейных
функционалов (существующих ввиду следствия 2.13), то Г-тополо-
Г-топология называется Ж*-топологией или слабой топологией пространства
Ж. Обобщенная последовательность {ха} в том и только в том слу-
случае будет сходиться к л: в Ж*-топологии, если слабый предел
Птал:а = л; в смысле определения II.3.25. С другой стороны, если Ж
есть подпространство в У) + , то каждый элемент у?У) определяет

3. Слабые топологии. Определения и основные свойства 455
на Ж линейный функционал fy такой, что
fy(x) = x(y), x?X,
и подпространство Г = {fy \ у g Щ с: Ж+, очевидно, тотально.
Г-топология пространства Ж часто называется его ^-топологией.
Ясно, что обобщенная последовательность {ха} сходится к х
в этой топологии в том и только в том случае, если для каждого
у ? f) lim xa (у) = х (у). Наиболее важный случай топологии послед-
последнего типа для пространства функционалов получается, если У) есть
линейное топологическое пространство и Ж = 9)*. В этом случае
получается ^-топология пространства 3)*.
Читатель заметит, что в некоторых случаях для одного и того же
пространства Ж определены несколько различных топологий. Так,
например, если Ж есть Б-пространство, то в Ж есть и метрическая
и Ж*-топологии. Если У) есть Б-пространство, то его сопряженное
пространство Ж = $)* имеет и метрическую, и Ц- и 9)**- (или Ж*-)
топологии. Кроме того, в гл. II (см. II.3.25) уже были определены
отдельно различные топологические понятия, такие, как слабая ком-
компактность.
В ближайших параграфах будут рассматриваться соотношения
между различными уже определенными топологиями.
4. Лемма. Топология локально выпуклого пространства ЭЕ силы
нее, чем его Ж*-топология.
5. Следствие. Метрическая топология В-пространства Ж силы
нее, чем его слабая топология.
6. Лемма. Пусть Ж —линейное пространство, а Гг и Г2 —
два тотальных подпространства ЗЕ+. Если 1\ с~- Г2, то Гх-топология
3? слабее, чем его Г2-топология.
7. Следствие. Если дс есть В-пространство, то ^-топология
пространства ЭЕ* слабее, чем его ЭЕ**-топология.
Доказательства предложений 4—7 элементарны и предостав-
предоставляются читателю.
8. Лемма. Пусть Ж — линейное пространство, a Y — тотальное
подпространство в ЗЕ+. Тогда Y-топология пространства Ж есть
слабейшая из топологий, в которых каждый функционал из Г непре-
непрерывен.
Доказательство элементарно и предоставляется читателю. Для
леммы 8 справедливо следующее важное обратное предложение.

456 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
9. Теорема . Пусть ЗЕ — линейное пространство, а Г — тотальное
подпространство в ЭЕ+. Тогда совокупность определенных на Ж ли-
линейных функционалов, непрерывных в его Т-топологии, совпадает с Г.
Доказательство теоремы 9 будет основано на следующей лемме.
10. Лемма. Если g, flf ..., fn —линейные функционалы, опреде-
определенные на линейном пространстве ЭЕ, и если из того, что Д (х) = 0
при i= 1, . .., /2, вытекает, что g(x) = 0, то g является линей-
линейной комбинацией ft.
Доказательство. Рассмотрим линейное отображение 7" : ЭЕ —> ?п,
определяемое равенством
Т{х) = [Ш, ...9fn(x)].
На линейном подпространстве Т (ЭЕ) пространства Еп определим
отображение ty формулой
Отображение я); однозначно определено, так как из того, что Т (х) =
= Т(у), вытекает, что Т(х — у) = 0, так что g(x) = g(y). Ясно, что
if> есть линейный функционал, определенный на подпространстве
Т(?) пространства Еп. По теореме Н.3.11, его можно продолжить
до линейного функционала г|)г, определенного на всем Еп. Согласно
следствию IV.3.7, ^ имеет вид
Следовательно,
ч. т. д.
Доказательство теоремы 9.
Каждый функционал из Г Г-непрерывен по лемме 8.
Обратно, пусть g Ф О — определенный на ЗЕ Г-непрерывный
линейный функционал. Существует Г-окрестность N @; flt ...
•. •» fn> е)> отображаемая функционалом g в единичную сферу про-
пространства Ф. Если /?ЭЕ+, то положим SQf = {x\f(x) = 0}, и пусть
Ч6 П ?/.• Тогдаxo?N @; fl9 . .., fn, г) и, следовательно, |g(х0) |< 1.
п
Будучи линейным пространством, f] Sq^ содержит тх0 для каж-
каждого целого т. Следовательно, m\g(xo)\ = \g(mxo)\ < I, откуда
следует, что g (х0) = 0. Итак, если ft (х0) = 0 при i = 1, ..., /2,

3. Слабые топологии. Определения и основные свойства 457
TOg(x0) = 0. По лемме 10, отсюда следует, что g есть линейная комби-
комбинация функционалов fiu Следовательно, ??Г, ч. т. д.
11. Следствие. Пусть f —линейный функционал, определенный
на линейном пространстве ЗЕ, а Г — тотальное подпространство
в ЭГ. Тогда нижеследующие утверждения эквивалентны:
(I) / принадлежит Г;
(II) f V-непрерывен)
(III) множество igf = {x\f (х) = 0) Т-замкнуто.
Доказательство. По теореме 9, (I) эквивалентно (II). Ясно что
из (II) вытекает (III); теперь мы покажем, что из (III) вытекает (I).
Предположим, что f Ф0. По теореме 2.10, существует такой нену-
ненулевой линейный Г-непрерывный функционал g и такая веществен-
вещественная константа с, что Reg(®/)<c. По лемме 1.11 g($j) = 0, т. е.
из того, что f (х) = 0, вытекает, что^ (х) = 0. По лемме 10, это значит,
что g = af для некоторого ненулевого скаляра а. По теореме 9, g
принадлежит Г, следовательно, и / принадлежит Г, ч. т. д.
12. Следствие. Пусть Ж--линейное векторное пространство*
а Г — тотальное подпространство в ЭЕ+. Для того чтобы линейное
подпространство 2) пространства X было Г-замкнутым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для каждого jc, не принадлежащего 2),
в Г нашлось такое /, что /Ш) = 0, f(x) = \.
Доказательство. Пусть 2) не является Г-замкнутым; предполо-
предположим, что х?^)' П ?)> гДе замыкание берется в Г-топологии. Если
/ б Г и / ($) = 0, то по непрерывности / C)) = 0 и, значит,
f (х) = 0. Обратно, если?) Г-замкнуто и х^?),то, по следствию 2.12,
существует такое Г-непрерывное /0 и такая константа с, что
Re/o($)<X !о(х)фО. По лемме 1.11 /0($) = 0; по теореме 9,
/о?Г. Положим f = fo/fo(x)r и наше следствие доказано,
13. Теорема. Для того чтобы выпуклое подмножество локально
выпуклого линейного топологического пространства было Ж*-замк-
Ж*-замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым.
Доказательство. Это утверждение вытекает из теоремы 9 и
следствия 2.14, ч. т. д.
14. Следствие. Если X есть В-пространство, а {хп} — после-
последовательность элементов из ЗЕ, слабо сходящаяся к х, то некоторая
последовательность выпуклых комбинаций элементов хп сходится
к х в метрической топологии.

458 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Доказательство. Пусть А=со{хп]. По только что доказанной
теореме, множество А замкнуто в слабой топологии, следовательно,
х?А. Наше следствие теперь легко вытекает из леммы 2.4 (II)
и леммы 1.6.6, ч. т. д.
15. Теорема. Пусть Т — линейное отображение В-простран-
ства ЭЕ в В-пространство У). Тогда для того, чтобы Т было непре-
непрерывным относительно метрических топологий в ЭЕ и 3), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывным относительно
слабых топологий.
Доказательство. Предположим, что Т непрерывно относительно
метрических топологий. Пусть N @; у*, ...,#*> е) — окрестность
нуля в f). Для каждого у* определим х* равенством
Тогда \х* | <\у* | | Т\ и, следовательно, л;*?ЭЕ*. Если х?Л/@;
**,..., х*, е,) то \х* (х) | < е. Поэтому \у* (Тх)\<е, так что
Тх? Л/@; у*, .. ., уп, е). Мы нашли, что Т слабо непрерывно в нуле,
а значит и в каждой точке.
Обратно, предположим, что Т слабо непрерывно и #*€?)*•
Тогда у*Т есть определенный на ЗЕ и ЭЕ*-непрерывный линейный
функционал. Следовательно, по теореме 9, у*Г€3?* для #*€$*,
так что для всех у* ?2)* функционал у*Г непрерывен в метриче-
метрической топологии. А тогда, по теореме 11.2.7, Т непрерывно в метри-
метрической топологии, ч. т. д.
4. Слабые топологии.
Бикомпактность и рефлексивность
Два следующих параграфа посвящены изучению ЗЕ-топологии
пространства ЭЕ*, сопряженного к некоторому Б-пространству.
Следующая основная лемма является простым следствием теоремы
Тихонова A.8.5).
1. Лемма. Пусть ЗЕ — линейное пространство, а с —определен-
—определенная на ЗЕ вещественная функция. Тогда множество
K={f\f?X+,\f(x)\<c(x)}
бикомпактно в дс-топологии пространства ЗЕ+.
Доказательство. Для каждого х?дс обозначим через I (х) сово-
совокупность таких скаляров а, что |а|<с(лг), и пусть /= ]] I (х).
Определим отображение т : К—>1, полагая т(/)= ff /(*)• Пусть

4. Слабые топологии. Бикомпактность и рефлексивность 459
пространство Ж+ снабжено Ж-топологией, К — относительной
топологией как подмножество в Ж+ и / — произведением топо-
топологий. Тогда из определений и рассуждения, следующего за лем-
леммой 3.3, ясно, что т есть гомеоморфизм. По теореме 1.8.5, /биком-
/бикомпактно. Таким образом, ввиду леммы 1.5.7(а) остается доказать,
что %К есть замкнутое подмножество в /.
Нетрудно проверить, что т/С есть совокупность всех таких
g?/, которые принадлежат всем множествам А (х, у) = {g\prx+yg =
= prxg + pryg] и всем множествам В (а, х) = {g \ aprxg = praxg}.
Так как каждое проектирование является непрерывным отображе-
отображением, то каждое из множеств А (х, у) и В (а, х) замкнуто. Следова-
Следовательно, и т/С= П А (х, у) f] П В (a>x) тоже замкнуто, ч. т. д.
Ф %
2. Теорема. (Алаоглу). Замкнутая единичная сфера простран-
пространства Ж*, сопряженного к В-пространству Ж, бикомпактна в Ж-то-
Ж-топологии пространства Ж*.
Доказательство. По определению II.3.5, единичная сфера прост-
пространства Ж*—это множество {/!/?ЭЕ+, |/(*)|<1*|}> и н^ша тео-
теорема вытекает, следовательно, из леммы 1, ч. т. д.
3. Следствие. Если Ж есть В-пространство, то для того, чтобы
подмножество пространства Ж* было бикомпактным в Х-топо-
логии, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым в
^-топологии и ограниченным в метрической топологии.
4. Следствие. Каждое В-пространство Ж изометрически изо-
изоморфно некоторому замкнутому подпространству пространства
С (А) непрерывных функций, определенных на некотором бикомпакт-
бикомпактном хаусдорфовом пространстве Л.
Доказательство. Обозначим через Л замкнутую единичную
сферу пространства Ж*. Тогда, по теореме 2, Л есть бикомпактное
хаусдорфово пространство относительно Ж-топологии. Рассмотрим
естественное вложение х пространство Ж в Ж**. По лемме 3.8,
для каждого х ? Ж сужение отображения кх — х на Л является на Л
непрерывной функцией. Кроме того, по следствию II.3.15,
Таким образом, х определяет некоторый изометрический изомор-
изоморфизм между пространством Ж и некоторым подпространством Жх
-пространства С (Л). Ввиду полноты пространства Ж, Жх является

460 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
полным и, следовательно, замкнутым подмножеством пространства
С (Л), ч. т. д.
Так как естественное вложение х : ЭЕ —>ЭЕ** изометрично, то
оно отображает метрически замкнутые подмножества пространства
ЭЕ на метрически замкнутые же подмножества пространства ЭЕ**.
Однако если метрическую топологию пространства ЭЕ** заменить
на его ЭЕ*-топологию, то положение совершенно изменится, как
показывает следующая теорема.
5. Теорема. (Голдстайн). Пусть к — естественное вложение
В-пространства ЭЕ в его второе сопряженное пространство ЭЕ**,
и пусть S wS** - замкнутые единичные сферы соответственно
в пространствах ЗЕ и ЭЕ**. Тогда множество xS всюду плот-
плотно в S** в $,*-топологии.
Доказательство. Обозначим через St ЗЕ*-замыкание множества
x(S). Так как S**, по теореме 2, 36*-замкнуто, то S^S**.
По теореме 2.1, *SX выпукло. Покажем, что St = S**. Если найдется
элемент л:** ? S**, не входящий в Sv то, по теореме 2.10, найдется
такой ЗЕ*-непрерывный линейный функционал /, определенный на
ЗЕ**, и такие константы с и е > 0, что Re/^Xc, Re/(x**)>c + e.
По теореме 3.9, существует такой элемент л;*?ЭЕ*, что /(***) =
= *****, если х**бЗЕ**. Так как x^cS^ то Rex*(x)<c
для x?S. Но если xgS, то при |а|=1 и ах ? S, а следовательно,
|**(*)|<с Для JirgS. Таким образом, |x*|<c и |***(x*)|<
<c|x**| <с, что противоречит неравенству Rex** (**)>?+ е.
Следовательно, каждый элемент л;** ? S** принадлежит Sx, ч. т. д.
6. Следствие. Если к есть естественное вложение В-простран-
ства ЗЕ в 36**, то множество хЭЕ всюду плотно в ЗЕ** в ЭЕ*-топологии.
Доказательство. ЗЕ*-замыкание множества х (ЗЕ) является под-
подпространством в ЭЕ**, содержащим, по теореме 5, единичную сферу
пространства ЭЕ**. Отсюда сразу же следует, что оно содержит
каждую точку пространства 36**, ч. т. д.
Из теорем 2 и 5 получается следующий важный результат относи-
относительно рефлексивных пространств.
7. Теорема. Для того чтобы В-пространство было рефлексив-
рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы его замкнутая единичная
сфера была бикомпактной в слабой топологии.
Доказательство. Пусть ЗЕ — рефлексивное В-пространство
и х — естественное вложение ЗЕ в ЗЕ**. Тогда отображения х
и х изометричны, причем х отображает замкнутую единичную
сферу S пространства ЭЕ на замкнутую единичную сферу S** про-

5. Слабые топологии. Метризуемость. Неограниченные множества 461
странства ЗЕ**. Из определений обеих топологий ясно, что отобра-
отображение х является гомеоморфизмом между сферой S с ее ЭЕ*-топо-
логией и сферой S** с ее Ж*-топологией. По теореме 2, S слабо
бикомпактно.
Обратно, пусть замкнутая единичная сфера S пространства ЗВ
слабо бикомпактна. Так как отображение х является гомеомор*
физмом между S и х (S) в ЗЕ*-топологии, определенной на обоих
множествах S и x(S), то х (S) бикомпактно. По лемме 1.5.7, мно-
множество х (S) замкнуто в его ЗЕ*-топологии. По теореме 5, множество
x(S) всюду плотно в S**. Отсюда следует, что x(S) = 5** и, зна-
значит, х(ЗЕ) = Ж**, т. е. пространство 36 рефлексивно, ч. т. д.
8. Следствие. Ограниченное слабо замкнутое множество рефлек-
рефлексивного В-пространства слабо бикомпактно. Обратно, это свой-
свойство характеризует рефлексивные пространства.
5. Слабые топологии
Метризуемость. Неограниченные множества
В этом параграфе продолжается исследование ЭЕ-топологии
пространства 36*, сопряженного к Б-пространству 36.
1. Теорема. Если ЗЕ есть В-пространство, то Ж-топология
замкнутой единичной сферы S* пространства 36* в том и только
в том случае определяется некоторой метрикой, если пространство
Ж сепарабельно.
Доказательство. Предположим, что 36 сепарабельно, и пусть
{хп} — счетное всюду плотное его подмножество. Положим, по
определению,
71=1
Нетрудно убедиться в том, что определяемая этой метрикой топо-
топология сферы S* слабее, чем ее ЭЕ-топология. По теореме 4.2 и лем-
лемме 1.5.8, отсюда следует, что метрическая топология множества S*,
определяемая функцией Q, совпадает с его ЗЕ-топологией.
Обратно, если ЭЕ-топология сферы S* определяется некоторой
метрикой, то существует такая счетная последовательность {(/?}
оо
ЭЕ-окрестностей нуля пространства 36*, что Г) ?/?= {0}. Мы можем
71=1
предполагать, что
^n — \л I Л t О , \X (X) j <C en» Xt^nh

462 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
где Ап есть некоторое конечное подмножество пространства Ж
оо
и гп > 0. Положим А= (J Лп; если х*(А) = 0, то **??/? для
каждого п и, следовательно, х*=0. Пусть 3?1 = sp(^). По лемме
II.1.5, Xj сепарабельно, и ввиду следствия II.3.13 3?1 = Ж, ч. т. д.
2. Теорема. Если Ж есть В-пространство, то Ж*-топология
замкнутой единичной сферы пространства Ж в том и только в том
случае определяется некоторой метрикой, если пространство Ж*
сепарабельно.
Доказательство. Пусть пространство Ж* сепарабельно их —
естественное вложение Ж в Ж**. По теореме 1, Ж*-топология
замкнутой единичной сферы S** пространства Ж** определяется
некоторой метрикой. Если S — замкнутая единичная сфера про-
пространства Ж, то отображение x:S —>S** является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом между S и xS в их Ж*-топологиях. По лемме 1.6.4, Х*-топо-
логия множества S определяется той же метрикой.
Обратно, пусть Ж*-топология сферы S определяется некоторой
метрикой. Тогда найдется такая последовательность {Un}
Ж*-окрезтностей нуля пространства Ж, что каждая Ж*-окрестность
нуля содержит некоторую из окрестностей Un. Мы можем предпо-
предполагать, что
Uп ~ {х I #G *->> I х* (х) I < еп, х 6 Ап\,
где An есть конечное подмножество пространства Ж* и еп > 0.
оо
Положим А*= \J А% и ЭБ* = sp (Л*). По лемме II. 1.5, Ж*
71=1
сепарабельно, и остается показать, что Ж*=Х*.
Если Ж* Ф Ж*, мы можем выбрать у* ? ЭЕ*, у* (JX*. Положим
d = inf | у* — х* .
Тогда d> 0 и, по лемме II.3.12, найдется такое x**GX**, норма
которого | х** | = 1/d и для которого х** (Ж|) = 0, х** (у*) = 1. Мно-
Множество V={x\x$S, \y* (x)\< d/2} является некоторой
Ж*-окрестностью нуля, и, следовательно, для некоторого п V^Un.
Так как dx** g S**, то, по теореме 4.5, существует такое хг б S, что
I ) — Х \ХХ) <^ Ьп, X (;ЛП,
Таким образом,

5. Слабые топологии. Метризуемость. Неограниченные множества 463
Но это означает, что хх ? Un и хх (? V; мы пришли к противоречию,
доказывающему, что ЭЕ* = Ж*, ч. т. д.
Остальные теоремы этого параграфа относятся к выпуклым мно-
множествам, которые не предполагаются ограниченными. Можно отме-
отметить, что все предложения, аналогичные содержащимся в пунктах
3—6 и относящиеся к ЭЕ*-топологии пространства ЭЕ, являются три-
тривиальными следствиями теоремы 3.13.
3. Определение. Пусть ЭЁ является ^-пространством. Ограни-
Ограниченная Х-топология, или ВХ-топология, пространства 36* —это
сильнейшая из топологий, совпадающих с Ж-топологией на каж-
каждом множестве aS* = {х* | х* 6 ЭЕ*, |л:*|<а}. Таким образом,
множество ?/^ЭЕ* будет ВХ-открытым в том и только в том слу-
случае, если для каждого а>0 пересечение U[]aS* является,отно-
является,относительно ЭЕ-открытым подмножеством множества aS*, и множество
Кс:Э?* будет ВХ-замкнутым в том и только в том случае, если
для каждого а>0 пересечение Kf)aS* является ЭЕ-замкнутым.
4. Лемма. Пусть ЭЕ является В-пространством. Фундаменталь-
Фундаментальная система окрестностей нуля ограниченной ^-топологии про-
пространства ЭЕ* состоит из множеств {х* | | л:* (х) | < 1, х?А}у
где А = {хь} — произвольная сходящаяся к нулю последовательность
элементов пространства ЗВ.
Доказательство. Пусть 5* — замкнутая единичная сфера про-
пространства ЭЕ*. Если А — сходящаяся к нулю последовательность
элементов, то, как легко видеть, {х* 11л:* (х) \ < 1, x?A}[)aS* =
= {л:* 11 х* (х) | < 1, х? Лх}Пл5*, где А1 есть конечное множество
элементов х?А, норма которых \х\>1/а. Таким образом,
{а:* 11 х* (х) | < 1, х? Л}П#^* есть относительно ЗЕ - открытое
подмножество множества aS*.
Для того чтобы доказать обратное утверждение леммы, удобно
ввести обозначение А0 = [х* \ \ х* (х) \ <^ 1, х? А}, где А — подмно-
подмножество из ЗЕ. Пусть U— некоторая ВХ-окрестность нуля. Тогда,
по определению ВХ-топологии, найдется такое конечное множество
i4xcr3E, что Aif)S*c:U. Предположим, что для некоторого
натурального п мы уже определили конечное множество Лпс:Ж
такое, что An(~)nS* c~_U. Мы покажем теперь, что существует
такое конечное множество элементов Вп ?2 ЗЕ, что | Вч \ < 1/п
и что (AnUBn)°r\(n+-l)S*ciU.
Если это не так, то ясно, что семейство множеств вида
(An\JB)°[](n-r l)S*P|t/r, где В конечно и |5|< 1/п центрировано.
Так как множество W ВХ-замкнуто, то все эти множества 3?-
замкнуты, а так как множество (п +1M*, по теореме 4.2, 3?-би-
компактно, то из леммы 1.5.6 следует, что существует такое
*(l)S*rWH? что |**(*)|< 1 Для каждого х6 ЗЕ, для

464 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
которого |лг|<1/а1. Таким образом, |л;*|<я, так что x*?nS*f)
ГИ?Л^' вопреки тому, что nS*[]A^U.
Положив, по определению, Лп+1 = An\JBnt мы индуктивно
построим последовательность конечных множеств .Л^сЭЕ таких,
что An[}nS* c^U и что при каждом расположении элементов
оо
множества А = (J Ап в последовательность это будет сходящаяся
к нулю подпоследовательность элементов пространства ЭЕ. Следо-
Следовательно, {л:* | х* б ЭЕ*, | х* (х) | < 1, х б Л } есть содержащееся
в U множество указанного в формулировке леммы вида, ч. т. д.
Для читателя не составит труда применить лемму 4 для доказа-
доказательства такого следствия.
5. Следствие. Пусть ЭЕ является В-пространством. Тогда ЭЕ*
с его ограниченной ^-топологией есть локально выпуклое линейное
топологическое пространство.
Следующая теорема устанавливает основное свойство БХ-топо-
логии.
6. Теорема. Для того чтобы определенный на ЭЕ* функционал 6
был непрерывен в Ъ-топологии, необходимо и достаточно, чтобы
он был непрерывен в ограниченной Ш-топологии.
Доказательство. По определению, ЛХ-топология сильнее, чем
ЭЕ-топология, так что ЭЕ-непрерывный функционал будет и
ВХ-непрерывным. Обратно, предположим, что определенный на ЗЕ*
линейный функционал 6 непрерывен в ВХ-топологии. Тогда най-
найдется такая последовательность {*.}, что 1«т^ = 0и что | 6 (х*) |< 1,
г-voo
если | х* (х{) | < 1, i = 1, 2, ... . Пусть Т : х* —> [** (хг)] — отображе-
отображение пространства ЗЕ* в ^-пространство с0. Так как из того, что
х* (хг)=0 при i = 1, 2, ..., вытекает, что 6 (х*) = 0, то функционал
/t'Gx*) = 6 (x*) на ГЗЕ* однозначно определен. Этот функционал,
очевидно, непрерывен и, по теореме П.3.11, может быть продолжен на
6-пространство c=C(S), где S = |о, ^-, п> l\ . Но тогда, по тео-
теореме IV.6.3, существует такая последовательность [а0, о^, ...], что
оо оо
2 | аг | < оо и что h (I) = У а^., если ? = [%l9 |2f . .. ] g c0 (см.
1=0 г=1
упр. IV.13.7). Таким образом,
оо оо
г=1
оо
то есть6 имеет вид 0(х*) = л;* (х), где х= 2 аЛбЭЕ. Следова-
г=1
тельно, функционал 0, по теореме 3.9, ЗЕ-непрерывен, ч. т. д.

5. Слабые 'топологии. Метризуемость. Неограниченные множества 465
7. Теорема. (Крейн — Шмульян). Для того чтобы выпуклое мно-
множество пространства ЭЕ* было Х-замкнутым, необходимо и доста-
достаточно, чтобы его пересечение с каждым положительным кратным,
замкнутой единичной сферы пространства ЗЕ*, было IE-замкнутым.
Доказательство. Это утверждение вытекает из предыдущей тео-
теоремы и следствия 2.14, ч. т. д.
8. Следствие. Если ЗЕ есть В-пространство, то для того, чтобы
линейное подпространство 2) с: Ж* было %-замкнутым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы существовало ^-замкнутое ограничен-
ограниченное подмножество К пространства ЗЕ*, содержащее некоторое непу-
непустое метрически открытое подмножество подпространства 3).
Доказательство. Если ^) ЭЕ-замкнуто, то, так как замкнутая
единичная сфера S* пространства ЭЕ* тоже IE-замкнута, мы можем
положить /С = 3)П^*-
Обратно, предположим, что К есть ограниченное ЗЕ-замкнутое
подмножество 3) и /С^9)П^*(р*> б). Если а > 0, то отображе-
отображение х* —> а (х* — р*)/6 является некоторым ЗЕ-гомеоморфизмом про-
пространства ЗЕ* на себя. Следовательно, множество а(К— р*)/б
ЗЕ-замкнуто. Так как $f]S5*L.K-р*, то ty[)aS*Z.<*(K — p*)/6
и, следовательно, множество ^)П^S* = aS* Па (/С — P*)/fi ЗЕ-замк-
ЗЕ-замкнуто. Наше утверждение вытекает теперь из теоремы 7, ч. т. д.
9. Следствие. Пусть ЗЕ является В-пространством, а К —
выпуклое ^-замкнутое подмножество пространства ЗЕ*. Предпо-
Предположим, что ?) есть линейное пространство, натянутое на мно-
множество К- Тогда для того, чтобы ?) было замкнутым в метриче-
метрической топологии пространства ЗЕ*, необходимо и достаточно, чтобы
оно было IE-замкнутым.
Доказательство. Если 3) ЗЕ-замкнуто, то, согласно следст-
следствиям 3.5 и 3.7, оно замкнуто и в метрической топологии.
Обратно, пусть ?) замкнуто в метрической топологии. Мы
будем предполагать пространство ЗЕ вещественным, предоставляя
читателю проведение деталей доказательства в комплексном слу-
случае. Пусть S* — замкнутая единичная сфера пространства ЗЕ*
и /Сп == /С П n*S*. Положим
-Ю и #n = co(/tnLj-Kn).
Тогда, согласно леммам 2.5 и 4.3, множество Кп будет ЗЕ-замкну-
тым; поэтому, согласно следствиям 3.5 и 3.7, Кп замкнуто и в мет-
метрической топологии. Далее, каждое у б?) можно представить
30 Заказ № 1324

466 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
р т
в виде у= 2 aixi~' 2 aixi> гАе xt б ^ и все ai положительны.
1 ifl
m
Отсюда следует, что у?аК> где а =2 а,; так как 0 6 /С и при
0<a<b аК^ЬК, то каждый элемент г/?$)для всех Достаточно
больших натуральных п принадлежит пК- Поскольку /( = \)Кп>
n=i
то отсюда следует, что ?) = [j ft/Cn. Так как?) есть замкнутое под-
пространство в 3?*, то, по лемме 1.6.7, оно полно. Следовательно,
по теореме Бэра о категориях A.6.9), некоторое множество Кя
содержит непустое метрически открытое подмножество подпро-
подпространства ?). Наше утверждение вытекает теперь из следствия 8,
ч. т. д.
6. Слабые топологии.
Слабая бикомпактность
Мы уже ввели и использовали понятия слабой компактности
(II.3.25) и бикомпактности в 3?*-(или слабой) топологии. Сущест-
Существует еще по крайней мере один тип слабой бикомпактности, исполь-
используемый в некоторых случаях. Замечательным и важным является
то обстоятельство, что эти три понятия эквивалентны.
1. Теорема (Эберлейн — Шмульян). Пусть А ¦— некоторое под-
множество В-пространства 36. Тогда три следующих утвержде-
утверждения эквивалентны:
(I) А слабо компактно, т. е. каждая последовательность эле-
элементов из А имеет подпоследовательность, слабо сходящуюся к неко-
некоторому элементу пространства Ж;
(II) каждое счетное подмножество множества А имеет в 36 слабо
предельную точку, т. е. такую точку, каждая слабая окрестность
которой содержит элемент этого бесконечного подмножества;
(III) замыкание множества А в Ж*-топологии ЭЕ*-бикомпактно.
Доказательство. Заметим прежде всего, что из каждого из этих
трех условий вытекает, что множество А ограничено в метрической
топологии; действительно, так как х* (А) для каждого л:* ? ЗЕ*
есть ограниченное множество скаляров, мы можем применить
теорему II.3.20. Нетрудно видеть, что из условия (III) вытекает
(II). Остальные импликации здесь явно нетривиальны; мы допол-
дополним доказательство теоремы, показав сперва, что из (II) вытекает
(I), а затем — что из (I) вытекает (III).
Доказательство того, что из условия (II) вытекает (I). Пусть
{хп}—произвольная последовательность элементов из Л, и пусть

6. Слабые топологии. Слабая бикомпактность 457
3E0 = sP{*n}"> по лемме II. 1.5, Жо сепарабельно. По теореме 5.1,
следствию 4.2 и теореме 1.6.15, единичная сфера в Э?* сепарабельна
в ее ЭЕ0-топологии. Так как пространство 36* является объедине-
объединением последовательности кратных его единичной сферы, то и Ж*
сепарабельно в Э?0-топологии. Обозначим через Яо счетное всюду
плотное подмножество пространства Ж*. Ясно, что множество Яо
является тотальным на Э?о и что каждый элемент из Яо можно про-
продолжить до линейного функционала, определенного на всем ЭЕ.
Взяв по одному такому продолжению для каждого элемента из Яо,
мы получим счетное подмножество Я пространствах*.
Так как множество А ограничено, с помощью диагонального
процесса из последовательности [хп\ можно извлечь такую подпо-
подпоследовательность {ут}, для которой \\тх*ут существует при любом
771->ОО
#*?#. Ввиду условия (II) найдется такая точка у0 ? ЭЕ, каждая
слабая окрестность которой содержит по меньшей мере одно у1П.
Так как {ут}с?0 и пространство ЗЕ0 ЭЕ*-замкнуто, то у0 ? Э?о.
Ясно, что
и остается показать, что это верно для каждого х*?ЭЕ*. Если это
не так, то найдутся такие х* 6 ЭЕ*, е > 0 и подпоследовательности
{ytnk}, что
nk}
\хт0(утк-у0)\>е9 Л = 1, 2, ...,
Применяя условие (II) к последовательности {ут }, мы получим
такую точку ^6 3Е, каждая слабая окрестность которой содержит
по меньшей мере одно ут . Точно так же, как выше, мы покажем,
что у'о б ЗЕ0 и что
(**) х*у'0 = 1\тх*у х'*6#.
/г->оо п
Следовательно, х*у{)~х*Уъ для всех г* ? Я, а так как множество
И тотально на Жо, то уо = у'о. Но это обстоятельство и ра-
равенство (**) противоречат неравенству (*). Мы доказали, что про-
произвольная последовательность {хл} элементов из А содержит слабо
сходящуюся подпоследовательность {yiH}y т. е. что множество А
слабо компактно.
Доказательство того, что из условия (I) вытекает (III). Пусть
А обозначает замыкание множества А в ЭЕ*-топологии про-
пространства ЭЕ; мы должны показать, что из условия (I) вытекает
36*-бикомпактность множества А. Так как естественное вложение
х: ЭЕ—>36** является гомеоморфизмом между ЗЕ и х (ЭЕ) в их
ЭЕ*-топологиях, то множество х (А) = х (А) [) х (ЭЕ) и, кроме того,
множество А в том и только в том случае ЭЕ*-бикомпактно, если
30*

468 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
х (Л) ЗЕ*-бикомпактно. Так как Л ограничено по следствию 4.3,
то множество х(Л) в том и только в том случае ЭЕ*-бикомпактно,
если к (А) является ЭЕ*-замкнутым подмножеством пространства
ЭЕ**. Так как х (А) сгх (А), где черта означает замыкание в ЭЕ*-тополо-
ЭЕ*-топологии, то достаточно показать, что х (А) с х (А); но это, в виду равенства
х (Л) = х(Л) П х(ЭЕ), будет верно, если мы докажем, что"х7Л)^х(ЗЕ).
Пусть х** g ЭЕ** — некоторый элемент из ЭЕ*-замыкания множества
х (Л); мы покажем, что х**?х C6). Это значит, что мы должны дока-
доказать существование такого лг?ЭЕ, что х**х*=х*х, х*6ЭЕ*. Сначала,
однако, мы докажем более слабое утверждение: если {х*, ..., х*}
есть произвольное конечное подмножество пространства ЭЕ*, то
найдется такое z? Л, что x**x*=x*z, i=\, ..., п. Для того чтобы убе-
убедиться в этом, предположим, что т — произвольное натуральное
число; так как х** принадлежит ЭЕ*-замыканию множества х (Л),
то найдется такой элемент zm?A, что
\xt{zJ-x**W)\<±, i=l,...,n.
Так как множество Л слабо компактно, то некоторая подпоследо-
подпоследовательность последовательности {zm} будет слабо сходиться к неко-
некоторому элементу г, принадлежащему, конечно, Л, так как слабые
пределы последовательностей элементов из Л содержатся в Л и,
следовательно, х* (г) = х** (х*), i = 1, ..., /г.
Остается доказать, что х**?хC?). Ввиду следствия 3.11, это
верно в том и только в том случае, если подпространство О =
= {х* б ЭЕ* I***** = 0} d ЭЕ* является ЭЕ-замкнутым. Если S* — замк-
замкнутая единичная сфера пространства ЭЕ*, то, по следствию 5.8, О,
будет ЭЕ-замкнуто, если пересечение Qf]S* Ж-замкнуто. Мы долж-
должны, следовательно, показать, что если у* принадлежит ЭЕ-замыка-
нию множества QfjS*, то г/*60»П ^*- Для ТОГО чтобы сделать это,
мы возьмем произвольное е>0 и построим три последовательности
{zn}^L A> {xn}^LA и {#*}?^Г)?* следующим образом: согласно за-
замечанию, сделанному в предыдущем абзаце, существует такое^^Л,
что у* (гг) = д:** (у*). Так как гх принадлежит ЭЕ*-замыканию мно-
множества Л, то найдется такое jqgЛ, что \уЦхх) — y*Q{Zi)\<izlA. Так как
у* принадлежит ЭЕ-замыканиюмножества Of)S*, то найдется такое
Й6ОГ|5*, что |^W-j;WI<^
По индукции, если уже определены элементы с индексами, мень-
меньшими, чем /г, мы выберем zn ? Л, хп?Л и #* б &П S* таким образом, что
(a) J/m(zJ=*«@Si) = O, m = 0, .... /i-l;
(b) l^mW-^WK-f, m = 0, ..., n-1;
(c) I?SW-J?W|<t. i=l «•

6. Слабые топологии. Слабая бикомпактность 469
Так мы построим три последовательности. По построению их мы
имеем
(d) |#m|<l, /я=1,2, ... ;
(e) Ут(гп) = 0, т=1,2, ... , л-1.
Полагая в соотношениях (а) и (Ь) т==0 и комбинируя их с (с),
мы получим
(f) \***Ю-У1{*1)\<-т> /=1,...,/г.
Так как {хп}^_А и А слабо компактно, существует подпоследова-
подпоследовательность последовательности {хп}, слабо сходящаяся к некоторому
элементу х?А. Для того чтобы не менять обозначений, мы предпо-
предположим (не ограничивая этим общности), что вся последователь-
последовательность {хп} слабо сходится в х. Но из (Ь) и (е) вытекает, что
|0m(*n)K-f-> /Я = 1, ... , /1—1,
и, следовательно,
(g) f
По следствию 3.14, существует такая выпуклая комбинация
N N
элементовхг w = 2 аЛ> гДе аг > 0> 2 а* = 1' чт0 .1 ^ — ^ I < 8^4.
г=1 г=1
В неравенстве (f) положим п = N, так что
N
(h) | х** (у*а) -y*N(w)\<^ial\x** UT0) - уЦ (х,) |< -f.
г=1
Очевидно,
к**ЮК 1^**(^)-^И| + \y*N(w)-y*N(x)\ + \yt(x)\.
Но первое слагаемое в силу неравенства (h) не превосходит е/2,
второе в силу неравенства (d) и того, что | w—х | < е/4, меньше чем
е/4, последнее слагаемое ввиду неравенства (g) не превосходит е/4.
Так как е произвольно, отсюда следует, что
х**>(у*0) = 0.
Следовательно, y*6Q; а так как S* Ж-замкнуто, то y*gQn^*-
Отсюда следует, что О 3?-замкнуто, так что х** gxC?) и, теорема
доказана.
2. Теорема (Шмульян). Для того чтобы выпуклое подмножество К
В-пространства 3? было слабо бикомпактным, необходимо и до-
достаточно, чтобы каждая убывающая последовательность непустых
замкнутых выпуклых подмножеств из К имела непустое пересечение.

470 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Доказательство. Необходимость этого условия непосредственно
вытекает из леммы 1.5.6. Для того чтобы доказать его достаточность,
заметим, что из этого условия вытекает ограниченность множества
К- Действительно, в противном случае существует такое ,г*?ЭЕ*,
что х*(К) является неограниченным выпуклым множеством скаля-
скаляров и, следовательно, существует такое х* ? 2Е*, что множество х*(К)
содержит сегмент [Л/, оо). Если Кп = {*? К \х*х> N + п}у то после-
последовательность множеств {Кп} не удовлетворяет условию теоремы.
Далее, из этого условия вытекает, что К замкнуто. Действительно,
пусть хп-±х0У хп?К, и пусть Кп^-КП со{хп,хп+1, ...}. Ясно, что
оо
{хо} ~ П с0 {хп> Xn+i' •••)» так что из условия вытекает, что х0 ? К-
71=1
Для того чтобы доказать, что К слабо бикомпактно, возьмем про-
произвольную последовательность {хп} и так же, как в первой части
доказательства предыдущей теоремы, построим такую подпоследо-
подпоследовательность {ут} последовательности {хп}, что lim x*ym существует
т->оо
для каждого х* из множества Я, определенного в доказательстве
теоремы 1. Положим Кт=со {ут, ут+1, ...}, и пусть у0—произвольная
оо
точка из П Кт. Для каждого х* б Э?* мы имеем
оо
х*Уое п х*(кт).
т= 1
Отсюда без труда получаем, что
x*yo = \imx*ym, х*бЯ.
m-voo
Для того чтобы доказать, что это верно для всех x*G 2E*, мы поступим,
как в первой части доказательства теоремы 1, заменяя условие (II)
этой теоремы нашим новым условием. Так мы найдем, что К слабо
компактно, но поскольку К есть замкнутое выпуклое множество,
то в силу 3.13 оно ЭЕ*-замкнуто и на основании предыдущей теоремы
36*-бикомпактно, ч. т. д.
3. Теорема. Слабая топология слабо бикомпактного подмноже-
подмножества А сепарабельного В-пространства порождается некоторой
метрикой.
Доказательство- Предположим, что $ = sp {*lf лг2, ...}. Так же
как в доказательстве теоремы 1, построим множество ЯсЗЕ*.
Пусть Н={хп}. Метрика
о (х и) - V 1 1**^-^1

6'. Слабые топологии. Слабая бикомпактное пь 471
определяет некоторую топологию множества Л, более слабую, чем
его Э?*-топология. По лемме 1.5.8, эти две топологии множества А
тождественны, ч. т. д.
Необходимо отметить, что аналог теоремы 3 для 36-топологии
пространства ЭЕ* тривиальным образом вытекает из следствия 4.3
и теоремы 5.1. Теорема, аналогичная теореме 1 для ЭЕ-топологии
пространства ЭЕ*, неверна. В то время как из следствия 4.3 непо-
непосредственно вытекает, что ЭЕ-компактно$ подмножество простран-
пространства ЭЕ* имеет ЗЕ-бикомпактное ЗЕ-замыкание, подмножество про-
пространства ЭЕ* может быть ЭЕ-бикомпактным, не будучи ЭЕ-компакт-
ным. Способ построения соответствующего примера дается в упраж-
упражнении 7.32.
В качестве приложения теоремы 1 мы докажем следующее пред-
предложение.
4. Теорема. (Крейн—Шмульян). Замкнутая выпуклая оболочка
слабо бикомпактного подмножества В-пространства сама слабо-
бикомпактна.
Доказательство- Пусть А — слабо бикомпактное подмножество
В-пространства ЭЕ. Так как, по теореме 3.13, множество со (Л)
ЭЕ*-замкнуто, то на основании теоремы 1 достаточно показать, что
множество со (Л) слабо компактно. Пусть {рп} — некоторая после-
последовательность точек из множества со (Л); тогда каждое рп есть
выпуклая комбинация конечного множества Вп точек из А. Поло-
оо
жим Во= U Bri,HnycTb3?0=sp(?0); по лемме II. 1.5, ЭЕ0сепарабельно.
Положим Ло—Л3?о; по теореме 3.13 и лемме 1.5.7 (а), множество Ао
слабо бикомпактно. Так как{р;1}с:со(Л0), наша теорема будет дока-
доказана, если мы покажем, что множество со (Ао) слабо бикомпактно.
По теореме 1, А0 слабо компактно; по теореме П.3.20, существует
такая константа К, что | А01 < К- Далее, множество А0 в его относи-
относительной Э?*-топологии является бикомпактным хаусдорфовым про-
пространством. Обозначим через С(А0) пространство определенных наЛ0
непрерывных функций, а через С*(Л 0) — пространство, сопряженное
к С(Л0); по теореме IV.6.3 С*(Л0) изометрически изоморфно про-
пространству всех определенных на Ао регулярных мер. Через S*
обозначим замкнутую единичную сферу пространства С*(Л0).
Определим линейное отображение -ф: С*(А0)—> ЭЕ равенством
где/"?С*(Л0) и |i/* есть соответствующая/* регулярная мера. Так как
множествоЛ0сепарабельноитаккак|а| < /С, еслиа?Л0, то этот инте-
интеграл имеет смысл (см. III.6.9). Обозначим через г**, где х*?ЭЕ*>

472 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
сужение линейного функционала л;* на Ао. Тогда, по лемме 3.8,
гх*?С(А0). Кроме того, из определения^, ясно, что x*tyf*=f*rx*>
если/*?С*(Л0) и х*?ЭЕ*. Следовательно, если Уесть произвольное
конечное подмножество пространства ЭЕ*, то г|э отображает
С(Л0)-окрестностьЛ/(/*,г/, е)элемента/* в ЭЕ*-окрестность ;V(\|)/*, /, е)
элемента г|э/* (см. определение 3.1). Таким образом, отображение
ty:C*(A0)—>X непрерывно, если С*(Л0) рассматривать в его
С(Л0)-топологии, а Ж — в ЭЕ*-топологии. По лемме 1.5, множество
г|)E*) выпукло, а по теореме 4.2 и лемме I.5.7(b) это множество
ЭЕ*-бикомпактно. Если мы положим ft (g)=g (а)дляа?Лои??С(Ло),
то легко видеть, что яр (ft)=a и, следовательно, ^(S*Ki40. Так как
множество г|) (S*), по лемме 1.5.7 (с) и лемме 3.4, замкнуто в метри-
метрической топологии, то со(Л0) cz-ф E*). По теореме 3.13 и лемме 1.5.7(а)
множество со(Л0) слабо бикомпактно, ч. т. д.
Необходимо отметить, что аналог теоремы 4 для ЭЕ-бикомпакт-
ных подмножеств пространства ЭЕ* тривиальным образом вытекает
из следствия 4.3.
7. Упражнения
1. Пусть ЗЕ — линейное векторное пространство. Показать, что
Ж+ является тотальным пространством линейных функционалов на ЗЕ.
2. Если ЗЕ есть бесконечномерное 5-пространство, то ЗЕ+ Ф ЗЕ*.
3. Пусть ЗЕ — линейное топологическое пространство. Тогда,
для того чтобы на ЭЕ существовал ненулевой непрерывный линей-
линейный функционал, необходимо и достаточно, чтобы нулевая точка
была внутренней точкой некоторого выпуклого собственного под-
подмножества пространства ЗЕ.
4. Если выпуклое множество линейного топологического про-
пространства имеет внутреннюю точку, то оно имеет ту же самую внут-
внутренность, что и его замыкание.
5. Пусть Г — тотальное множество определенных на простран-
пространстве ЗЕ линейных функционалов. Показать, что если ЗЕ содержит
непустое Г-открытое ограниченное (определение II. 1.7) множество,
то ЗЕ конечномерно.
6. Пусть ЗЕ является Л-пространством, a 3EX — его подпростран-
подпространство. Показать, что ЭЕ* -топология подпространства ЗЕХ совпадает
с его относительной ЗЕ*-топологией.
7. Пусть ЗЕ — линейное пространство, а Г — тотальное под-
подпространство в ЭЕ+. Показать, что для tofo, чтобы множество А с ЗЕ
было Г-ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы f(A) для
каждого /б Г было ограниченным множеством скаляров.
8. Пусть ЗЕ является В-пространством. Показать, что подмно-
подмножество пространства ЗЕ в том и только в том случае ЗЕ*-ограничено,
если оно метрически ограничено, и что подмножество пространства

7. Упражнения 473
ЭЕ* тогда и только тогда ЭЕ-ограничено, если оно метрически огра-
ограничено.
9. Показать, что для того, чтобы слабая и метрическая тополо-
топологии единичной сферы нормированного пространства совпадали,
необходимо и достаточно, чтобы пространство было конечномер-
конечномерным.
10. Пусть Ж — линейное пространство, а Тг и Г2 — два тоталь-
тотальных подпространства в Ж+. Показать, что если 1\ и Г2 определяют на
ЭЕ одну и ту же топологию, то T^IY
11. Доказать теорему II.3.28 и следствия 11.3.29 и II.3.24,
используя теоремы 4.8 и 6.1.
12. Показать, что В-пространство сепарабельно в том и только
в том случае, если оно изометрически изоморфно замкнутому под-
подпространству пространства С (S), где S есть бикомпактное метри-
метрическое пространство.
13. Показать, что существует непрерывное отображение канто-
рова совершенного множества на произвольное бикомпактное метри-
метрическое пространство S. (Указание: построить покрытие простран-
2п
ства S= U С? последовательностью замкнутых множеств С? таких,
г=1
что С?=С7$~1 (J C\t-\ и что диаметр множества С7}—>0 при
п—>оо.)
14. Показать, что В-пространство сепарабельно в том и только
в том случае, если оно изометрически изоморфно замкнутому под-
подпространству пространства С(Р), где Р есть канторово совершенное
множество.
15. Если ЗЕ — сепарабельное линейное топологическое про-
пространство и Л— Ж-бикомпактное подмножество в Ж*, то 3?-тополо-
гия множества А порождается некоторой метрикой.
16. Если ЗЕ есть сепарабельное В-пространство, то выпуклое
подмножество А пространства Ж* в том и только в том случае
ЭЕ-замкнуто, если из условий х*^А к\\тхп(х)=х* (х), л;?Э?, выте-
П-*оо
кает, что х* G А.
17. Если S — нормальное пространство и С (S) сепарабельно, то
S — бикомпактное метрическое пространство, и обратно.
18. Нормальное пространство S гомеоморфно некоторому под*
множеству единичной сферы сопряженного к С (S) пространства
с С E)-топологией.
19. Каждое нормальное пространство S гомеоморфно некоторому
всюду плотному подмножеству Sx бикомпактного хаусдорфова
пространства С1? такому, что каждая ограниченная непрерывная
функция, определенная на Sl9 имеет единственное непрерывное
продолжение на Cv
20. Если ЗЕ есть В-пространство, то для того, чтобы выпуклое
множество /С^ЭЕ было слабо замкнутым, необходимо и достаточно,

474 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
чтобы его пересечение с каждым ограниченным слабо замкнутым
множеством было слабо замкнутым.
21. Если S есть бикомпактное хаусдорфово пространство, а
{fn} — последовательность определенных на S непрерывных функ-
функций, таких, что sup| fn | < оо и fn (s) — > / (s) для каждого s 6 S, причем
функция / непрерывна, то некоторая последовательность выпуклых
комбинаций функций fn равномерно сходится к /.
22. Пусть ЭЕ является В-пространством и /Icj. Если каждое
сепарабельное подпространство пространства ЭЕ пересекает А по
слабо бикомпактному множеству, то слабое замыкание множества А
слабо бикомпактно.
23. Показать, что каждая окрестность N нуля линейного топо-
топологического пространства содержит такую окрестность М, что
ocMgAf при |а|<1.
24. Показать, что если линейное пространство Ж конечномерно,
К^ ЭЕ выпукло и р$К, то некоторый определенный на 3? функцио-
функционал разделяет /Сир.
25. Построить выпуклое множество К и точку р$К в некотором
линейном пространстве такие, которые не разделяются никаким
ненулевым функционалом (Указание: пусть ЭЕ — пространство со
счетным базисом Гамеля [хп}\ рассмотреть множество К векторов
п
вида ? а^, гДе ап>0-)
г=1
26. Построить выпуклое множество К, имеющее С-внутреннюю
точку (определение 1.6) и точку р^/С, принадлежащие некоторому
В-пространству и не разделяемые никаким ненулевым непрерывным
функционалом.
27. Каждое бесконечномерное В-пространство является суммой
двух непересекающихся всюду плотных выпуклых подмножеств.
28. Построить два замкнутых подмножества А1 и Л2 некоторой
топологической группы такие, что множество А1-^ГА2 не замкнуто.
29. Построить два замкнутых выпуклых множества Alt A2
-линейного топологического пространства такие, что со(А11]А2)ф
Фсо(А1[]А2)у и два множества Вх, В2 такие, что со(В1+В2)^=со(В1) +
2
30. Линейное гомеоморфное отображение локально выпуклого
пространства на некоторое нормированное пространство существует
в том и только в том случае, если некоторое открытое множество
этого локально выпуклого пространства ограничено.
31. Пусть К—выпуклое подмножество линейного топологи-
топологического пространства и нулевая точка является С-внутренней его
точкой; показать, что для того, чтобы опорная функция множества К
была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы нулевая точка
была также внутренней точкой множества /Сив топологическом
смысле.

7. Упражнения 475
32. Показать, что бикомпактное пространство может содержать
последовательность, не имеющую сходящейся подпоследователь-
подпоследовательности.
33. Показать, что если подмножество пространства ЭЕ*, сопря-
сопряженного к ^-пространству ЭЕ, является ЭЕ-компактным, то его
ЭЕ -замыкание ЭЕ-бикомпактно, но что обратное не всегда верно.
34. Если Ж есть линейное пространство, а Г — тотальное под-
подпространство в ЭЕГ, то для того, чтобы Г -топология пространства ЭЕ
порождалась некоторой метрикой, необходимо и достаточно, чтобы
Г имело счетный базис Гамеля.
35. Если слабая топология единичной сферы В-пространства
порождается некоторой метрической топологией, то ЭЕ* содержит
счетное тотальное множество.
36. Если пространство Ж рефлексивно и 96* содержит счетное
тотальное множество, то ЭЕ* сепарабельно.
37. Пусть S=-{x \\ х\ < 1} — единичная сфера /"-пространства
Lp@, 1), где 0<р<1. Норма в этом пространстве определяется равен-
равенством \х\ = \ \x(t)\vdt. Показать, что со(?) совпадает со всем простран-
о
ством Lp (О, 1). Показать, что на Lp (О, 1) не существует ненулевого
непрерывного линейного функционала.
38. (Дж. Нейман.) Пусть А —подмножество пространства /2, со-
состоящее из векторов {хтп | 1 ^ т</г< оо}, где пг-я координата элемен-
элемента хтп равна единице, /г-я координата его равна т, а все остальные —
нулю. Показать, что нулевая точка принадлежит слабому замы-
замыканию множества Л, но что А не содержит последовательности,
элементов, слабо сходящейся к нулю.
39. Показать, что если точка р из /2 принадлежит слабому замы-
замыканию ограниченного множества А г;/2, то р служит слабым преде-
пределом некоторой последовательности элементов множества А.
40. Пусть 3 является всюду плотным линейным многообра-
многообразием Б-пространства ЭЕ. Показать, что 3* и ЭЕ* изометрически изо-
изоморфны, но что в тех случаях, когда ЭЕ Ф 3, этот изометрический
изоморфизм между ними не является гомеоморфизмом, если 3*
рассматривать в З'топологии> а 3?*— в ЭЕ-топологии.
41. Пусть ЭЕ — локально выпуклое линейное топологическое
пространство, а (У — линейное подпространство в ЭЕ*. Тогда для
того, чтобы ($ было Э?-всюду плотным в ЭЕ*, необходимо и доста-
достаточно, чтобы 03 было тотальным множеством функционалов на ЭЕ.
42. Пусть ЭЕ — локально выпуклое линейное топологическое
пространство, а Жг — его подпространство. Пусть х*. 6 X*. Тогда
существует такой элемент х* 6$*, что x*(xl)=x*(x1) для j^gS^.
43. Пусть {хп} — ограниченная последовательность точек реф-
рефлексивного В-пространства X и /Сд=со{х^, xn+v ...}. Тогда, для
того чтобы хп слабо стремилось к ха, необходимо и достаточно, чтобы

476 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
оо
{^о}^ П Кп- Показать, что без предположения о рефлексивности
71=1
эта теорема не верна.
44. Пусть Ж — комплексное локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство. Показать, что слабая топология простран-
пространства Ж будет одна и та же, независимо от того, будем ли мы рас-
рассматривать его как комплексное пространство или как векторное
пространство над полем вещественных чисел.
8. Крайние точки
1. Определение. Пусть К есть подмножество вещественного
или комплексного линейного векторного пространства Ж. Непустое
подмножество Лсг/( называется крайним подмножеством /С, если
выпуклая комбинация akx + A—a) k2, 0<a< 1, двух точек множества
К принадлежит А лишь в том случае, если обе точки kx и k2 содер-
содержатся в Л. Крайнее подмножество множества /С, состоящее из одной
точки, называется крайней точкой множества К-
Так, например, в трехмерном евклидовом пространстве поверх-
поверхность замкнутой сферы является ее крайним подмножеством, а каж-
каждая точка поверхности является крайней точкой. Вершины, ребра
и грани куба образуют его крайнее подмножество, но только восемь
вершин будут крайними точками куба, остальные точки на ребрах
и гранях не будут ни крайними, ни внутренними точками. Выпук-
Выпуклое множество может и совсем не иметь крайних точек, как в случае
открытой сферы.
2.Лемма. Непустое бикомпактное множество локально выпук-
выпуклого линейного топологического пространства имеет крайние точки.
Доказательство. Пусть К — бикомпактное подмножество локаль-
локально, выпуклого линейного топологического пространствах. Обозна-
Обозначим через & непустое семейство замкнутых крайних подмножеств
множества К- Упорядочим & по включению. Нетрудно видеть, что
если &х есть линейно упорядоченное подсемейство из &> то непустое
множество П<#1 будет замкнутым крайним подмножеством /С,
являющимся минорантой для &г. По лемме Цорна, «#- содержит мини-
минимальный элемент Ао. Предположим, что в Ао найдутся две несовпа-
несовпадающие точки р и q. Тогда, по следствию 2.13, существует такой
функционал х*?Ж*, что Rer*\(p)=^Rex* (q). Отсюда следует, что
множество Ах = {х\х ? Ло, Re** (х) = inf Re** (у)} явля-
ется собственным подмножеством Ло. С другой стороны, если kx
и k2—такие точки из /С,что akA + (I—a) k2?А г для некоторого 0 < а < 1,
то, ввиду того, что Л 0—крайнее множество, klt &2€Л0.По определе-
определению А1У точки kx и ^2 принадлежат Аг. Следовательно, Аг является

8. Крайние точки 477
собственным замкнутым крайним подмножеством множества Ло. Из
этого противоречия следует, что множество Ао содержит только одну
точку, которая, следовательно, и будет крайней точкой множе-
множества /С, ч. т. д.
3. Лемма. Если К есть подмножество линейного пространства,
Ах — крайнее подмножество К и А2—крайнее подмножество Alt
то Л2 есть крайнее подмножество множества К.
Доказательство леммы элементарно и предоставляется читателю.
4. Теорема (Крейн — Мильман). Если К есть бикомпактное
подмножество локально выпуклого линейного топологического про-
пространства Ж и Е — совокупность его крайних точек, то со(Е)^>К.
Следовательно, со(Е)=со(К) и, если К выпукло, то со(Е)^=К.
Доказательство. Пусть &?/(и k$co(E). Тогда, по теореме 2.10,
мы можем найти такое х* 6Ж * и такие вещественные константы с
и е>0, что Re х*(&)<с, Re лг*(со(?))>с+8. Рассмотрим мно-
множество К1={х\х? К, Rex*(x) = infRex* (у)}. Тогда /(убудет зам-
кнутым крайним подмножеством в К и К1Е=0. По лемме 3, Кг не
имеет крайних точек, что противоречит лемме 2. Этим доказано пер-
первое утверждение теоремы 4; второе же тривиальным образом выте-
вытекает из первого.
5. Лемма. Пусть Q — бикомпактное множество локально вы-
выпуклого линейного топологического пространства Ж, замкнутая
выпуклая оболочка которого бикомпактна. Тогда крайними точками
множества co(Q) могут быть лишь точки, принадлежащие Q.
Доказательство. Пусть р будет не принадлежащей Q крайней
точкой множества co(Q). Так как Q замкнуто, мы можем найти такую
окрестность Uoнулевой точки пространства Ж, что (p + Uo)[)Q=0,
и такую выпуклую окрестность U той же точки, что U—Uc^U0.
Но тогда (р + U)[](Q-\-U)=0t так что p$Q-\-U. Семейство мно-
множеств {g-{-U}9 q ? Q, является открытым покрытием Q; пусть
{qt + U}y t=lt ..., /г,— некоторое его конечное подпокрытие. Положим
. Множество Кг—замкнуто и, следо-
следовательно, является бикомпактным подмножеством в co(Q). Поэтому
из леммы 2.5, с помощью несложной индукции, получаем
Отсюда без труда получаем, что р имеет вид р= 2 &гК>а% > 0> S ai= 1»
i=l i=l
*i€ К{, атак какр —крайняя точка, то кг=р, если аг>0. Следова-

478 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
тельно,р€ U #i? U (Qi + U)L.Q + U- Это противоречие и доказывает
лемму, ч. т. д.
6. Лемма. Пусть Ж — замкнутое линейное многообразие в В-про-
странстве С (Q) всех вещественных (или комплексных) непрерывных
функций, определенных на бикомпактном хаусдорфовом простран-
пространстве Q. Для каждого q?Q определим элемент х* из Ж* равенством
xtf = f(q), /еж.
Тогда каждая крайняя точка замкнутой единичной сферы S* про-
пространства Ж* имеет вид ах%} где |а|=1 и q?Q. Если 3E = C(Q),.
то справедливо и обратное, т. е. каждый элемент вида ах*, где-
j ос | = 1 и q?Q, является крайней точкой множества S*.
Доказательство. Обозначим через А множество всех точек про-
пространства Ж*> имеющих вид ах*, где |а|=1 и q?Q, так что ^ciS*.
Пространство Ж* мы будем рассматривать в его Ж-топологии; так
как 5* выпукло и Ж-замкнуто, по теореме V.2.4, то Ж-замыкание
со(Л)=со(Л) (~ S*. Если #* (jjco (Л), то, по следствию 2.12 и теореме
3.9, существуют такое х?Ж и такие вещественные константы с
и 6 > 0, что
Rex* (x)>c\ Reax(<7)<c —e, q?Q, |a| = l.
Следовательно, \х\ <с—8, так что \х* |>1. Таким образом, co(A)^)S*y
и, значит, co(/l) = S*. Из леммы 5 и теоремы 4.2 следует, что
каждая крайняя точка множества 5* принадлежит А.
Обратно, пусть Ж=--С (Q) и точка q?Q такова, что х$=ау* -f-
+ A—a) z*, гдеО < а < 1 и у*, z*gS*. Мы покажем, чтоy* = z*=x*.
Пусть xo?C(Q), |хо|<1 и *0(р)=0, еслир принадлежит некоторой
окрестности N точки q. По теореме 1.5.3, найдется такое y?C(Q)y
что | у | < 1, у (q)=\ и у (р)=0, если p$N. Тогдаау*(у) + (\—а) z*(y) =
=*%(у)= 1н\у*(у)\<и\г*(у)\<\. Следовательно, у* (у) = г* (у)= 1.
Точнотакимжеобразом можно показать, чтоу*(х0+у) = г*(х0+у)=1.
Следовательно, у* (хо)=г* (д:0)=0. Пусть, далее, xxkC(Q), |^i|<l
и ^(^=0. Тогда для каждого натурального п найдется такая
окрестность Nnточки q, что \хг (р) |<1//г, еслирбЛ/п. Пусть Мп —
такая окрестность точки q, что Mn^_Nn\ по теореме 1.5.3, существует
ga g С (Q) такая, что | gn \ < 1//г, grn (р) = 0, если р $ /Vr>, и gn{p)=x1{p)f
если рбМп- Тогда хх—gn—>хх, | хх—gn | < 1 и хх—gn обращается в нуль
на множестве Мп. Отсюда вытекает, что у* (x1)=z* (д:1)=0. Если
.х б С (Q) таково, что х (^)=0, то | х/п | < 1 для некоторого достаточно
большого натурального /г, так что y*(x) = z*(x)=0. Теперь с помощью
леммы 3.10 можно показать, что существуют такие скаляры аир,
что r/*=ajc*,2* = P^.TaKKaKy*,2*6S*, то |а| < 1, | р | < 1. Так как
1—a)P]xJ, тоа=р=1. Отсюда следует, чтох\есть крайняя

8. Крайние точки 479
точка множества 5*; аналогичным образом можно убедиться в том,
что точка ах*, где |а =--1, также является крайней, ч. т. д.
7. Лемма. Если Q есть бикомпактное хаусдорфово пространство,
а С (Q) — В-пространство всех определенных на Q вещественных или
комплексных непрерывных функций, то отображение К: q—>x*q про-
пространства Q в некоторое подмножество Q множества крайних
точек сферы S* является гомеоморфизмом, если пространство С* (Q)
рассматривать в его С (Q)-топологии.
Доказательство. Ясно, что отображение X: q—^ х% взаимно одно-
однозначно. По лемме 6, оно переводит Q в некоторое подмножество край-
крайних точек множества S*. Для того чтобы убедиться в непрерыв-
непрерывности X, предположим, что N(x*\ х0, е)={х* || (х*—х*)хо<е} — неко-
некоторая окрестность точки х*, принадлежащая фундаментальной сис-
системе. Так как хо? С (Q), то множество N (q) = {p\\xo(p) — xo(q) | < е}
открытовBиясно, что X(N (q)) сЛ; (я*; х0, е). Следовательно, мно-
множество Q=lk(Q) бикомпактно и отображение К является гомеомор-
гомеоморфизмом, ч. т. д.
8. Теорема (Банаха — Стоуна). Пусть Q и R — бикомпактные
хаусдорфовы пространства и Т — изометрический изоморфизм
между С (Q) и С (R). Тогда существует такой гомеоморфизм т между
R и Q и такая функция а из C(R), равная по модулю единице, что
[*] (Tx)(r) = a(r)x(x(r)),
Доказательство. Легко видеть, что линейное отображение
Т*: C*(R)~>C*(Q), определяемое равенством (Г*у*)х-у*(Гх),
е/*?С*(?!), x?C(Q), является изометрическим отображением. Кроме
того, 7* отображает С* (R) на все С* (Q); в самом деле, для произ-
произвольного функционала х* б С* (Q) существует прообраз у*=х*Т~г.
Таким образом, если Sq и S%—единичные сферы в пространствах
C*(Q) и С*(#),то T*(Sr)=S$. Так как преобразование Г* линейно и
изометрично, то ясно, что оно переводит совокупность крайних точек
ER множества S% в совокупность крайних точек Eq множества Sq
взаимно однозначно.
Далее, нетрудно показать, что преобразование 71* непрерывно
относительно С (/?)-топологии на С* (R) и С ((З)-топологии на С* (Q).
Так как, по лемме 7, R бикомпактно в С G?)-топологии, то 7* в этих
топологиях является гомеоморфизмом между R и некоторым под-
подмножеством множества Eq (I.5.8). По лемме 6, для каждого r?R
Т*у*=а (г) *?@, где | а (г) \ = 1 и т (г) g Q. Из того, что 7* отображает
ER на Eq, и леммы 6 вытекает, что преобразование t: у? —>Хт(г) ото-
отображает R на Q, а так как Г* взаимно однозначно, то и t тоже.
Следовательно, t есть гомеоморфизм между R и Q. Но так как, по

480 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
лемме 7, К : Q—> Q и \i: R—>R тоже гомеоморфизмы, то и t='k~1t\i
является гомеоморфным отображением R на Q. Следовательно, для
каждого х?С (Q) и гg R мы имеем
(Тх) (г) = у? (Гх) = (ГV) (*) = а @ *?<D (*) = а (г) х(т(г)),
и равенство [*] доказано. Остается показать, что а непрерывно.
Подставив в последнюю формулу функцию *og С (Q), тождественно
равную единице, мы найдем, что а=Тхо? C(R), ч. т. д.
Мы сейчас доказали несколько интересных результатов отно-
относительно пространства C(S), рассматривая крайние точки единич-
единичной сферы пространства С* (S); теперь мы увидим, что исследование
крайних точек пространства L?>(S,2, \i) приводит к интересным
результатам относительно Loo E, S, И-).
Э.Лемма. Пусть (S, S, \i) — пространство с положительной мерой.
Функционал х* из Lto (S, 2, (х) является крайней точкой замкнутой
единичной сферы S* пространства Цо E, 2, (х) только в том случае,
если он имеет вид x*=ay*t где |а| = 1 и где у* отлично от нуля
и мультипликативно:
(Здесь, по определению, (fg)(s)=f(s)g(s) для почти всех s из S.)
Доказательство. Прежде всего мы покажем, что норма крайней
точки х* сферы S* равна единице. Ясно, что х* Ф 0, так что
у* = #*/| х* | принадлежит 5* и
** = | х* | у* + A — | х* |) 0.
Таким образом, по определению 1, 1 — |х*|=0.
По теореме IV.8.16, существует такое i^ba(S, 21Э [xx), что
1^ = 1 и
\(ds), /gLooE, 2, (х).
s
Теперь мы покажем, что X обращается в нуль по крайней мере на
одном из каждой пары непересекающихся множеств из 2Г Для этого
предположим, что найдутся два непересекающихся множества Е1У
Е2 g 2, такие, что Х(Ег) Ф 0 и ЦЕ2) ФО. Если К1(Е)=ЦЕЕ1) и к2(Е) =
=X(E(S—^^для^б^^тоясно^то^Д^й^, I>lt [i^, что v(klyE) =
= v (X, ЕЕг) и что v (k2,E) = v(k, E(S—Е^^ляЕ^ 2V Следовательно,
1 = | А, 1 = 1^ | + | ^21. Так как Кг Ф 0Д2 Ф 0, мы можем положить vx=
-VI ^il и v2=K2/\k2\. Тогда vx ,^2б5* и К=\Хг |^ + AЧ К \)v2.
Следовательно, ^=^2=^ и 0Ф K(E1) = v2(E1)=0i т. е. мы пришли
к противоречию.
Так как К обращается в нуль на одном из каждой пары взаимно
дополнительных множеств, то

8. Крайние точки 481
откуда видно, что функция m='k/X(S) принимает только значения
О и 1. Но тогда
A) т(АВ) = т(А)т(В), Л, 5g2i;
действительно, если одно из множеств А или В является нулевым
относительно т, то таким же будет и АВ> если же т(А)=1=т(В)9
то, так как множества А—А В и В—АВ не пересекаются, одно из
них является нулевым и т(АВ)=1.
Если функционал */* определен равенством
y*f=\f(s)m(ds)
для/g Loo, то | у* | = |/я |=1 и у*=ах*, где|а| = 1/| ХE) |=1. Из равен-
равенства A) вытекает, что у* {fg)=y* (fly* (g)> если и f и g являются
характеристическими функциями множеств из 2Х. Ясно, что для
каждого g? Loo многообразие
является в Loo замкнутым линейным многообразием, и из предыду-
предыдущего замечания следует, что если g есть характеристическая функ-
функция, то gjj^Loo. (В доказательстве теоремы IV.8.16 было показано,
что характеристические функции образуют в Loo фундаментальное
множество.) Следовательно, если / есть произвольная функция из L^,
то многообразие ^Jlf содержит все характеристические функции
и, значит, gft^Loo. Таким образом, у* (fg)=y* (f)y* (g) для всех /
и g из Loo, ч. т. д.
10. Следствие. Пусть (S, 2, \х) — пространство с положительной
мерой. Обозначим через М совокупность всех ненулевых элементов
х* из замкнутой единичной сферы пространства LJ, (S, 2, \i) таких,
что х* (К)=х* (/) х* (g), если только h(s)=f (s) g (s) почти всюду. Тогда
sup \x*(f)\ = \f\, /eLooE, 2, ц).
х*?М
Доказательство. Ясно, что sup | x* (f) I < | /I для fg L^ (S, 2, \i).
Предположим, что для некоторого г > 0 и некоторого /0 ? L^ E, 2, \i)
sup | x* (/0) | < I f01 — 8- Тогда, согласно лемме 9, множество
*?М
содержит все крайние точки замкнутой единичной сферы простран-
пространства L^ E, 2,|я).С другой стороны, ясно, чтоЛ выпукло hLooE, 2,fi)-
замкнуто. По теореме 4.2 и теореме 4, А содержит всю единич-
единичную сферу пространства L^ и, значит,
SUp
1*1
31 Заказ № 1324

482 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Но, по следствию II.3.15 из теоремы Хана—Банаха, это невозможно,
ч. т. д.
11. Теорема. Пусть E, 2, \i) — пространство с положительной
мерой. Тогда пространство L^ (S, 2, \i) изометрически изоморфно
СEг), где Sx—некоторое бикомпактное хаусдорфово пространство.
При этом изоморфизме А вещественные функции (т. е. функции, ве-
вещественные почти всюду относительно \х) переходят в вещественные,
положительные функции — в положительные и комплексно сопря-
сопряженные — в комплексно сопряженные. Кроме того, А является алге-
алгебраическим изоморфизмом в том смысле, что если h(s)=f (s)g(s)
почти всюду, то Ah=Af-Ag. Если р есть произвольная непрерыв-
непрерывная функция комплексного переменного и /? L^ (S, 2, |х), то А ф (/))=
Р(Л(/))
Доказательство. В силу следствия 10 можно дать доказатель-
доказательство этой теоремы слово в слово такое же, как доказательство тео-
теоремы IV.6.18, ч. т. д.
9. Касательные функционалы
Этот параграф мы начнем с изучения функционалов, касатель-
касательных к некоторому выпуклому множеству К. Поскольку многие из
наших результатов зависят от предположения, что множество К
содержит С-внутреннюю точку, стоит заметить, что точка р в том
и только в том случае служит С-внутренней точкой множества /С,
если нуль является С-внутренней точкой множества К—р. Мы будем
поэтому рассматривать только подмножества, содержащие нуль
в качестве своей С-внутренней точки. Читатель без труда сможет
перенести наши определения и результаты на несколько более общий
случай множеств, не обязательно содержащих нулевую точку.
1. Лемма. Пусть К — выпуклое множество линейного простран-
пространства Ж, причем нуль является С-внутренней точкой этого множе-
множества; обозначим через I опорную функцию множества К- Тогда
для всех х, у из Ус отношение (I (x -f ay)—! (х))/а является возрастаю-
возрастающей функцией положительного вещественного переменного а. Предел
х{х, y)=\im±(t(
а->0-\- и
существует при всех х, у из Ж.
Доказательство. Пусть аг>а2>0; тогда, по лемме 1.8 (е),
! (агх + ага2у) < ! {а2х + ага2у) +1 {{at - а2) х).
Таким образом, по лемме 1.8 (с),

9. Касательные функционалы 483
так что
-±-{Цх + а2у)-1(х)}<±-
Следовательно, функция
убывает при убывании а. Так как l(x + ay) + I( — ay) > 1(х), то
{1(х + ау) — I(х)}/а> — !( — у), так что {f (х + ау)—I(х)}/а ограни-
ограничено снизу. Это и доказывает лемму, ч. т. д.
2. Определение. Пусть К—выпуклое множество линейного
пространства ЭЕ, содержащее нуль в качестве своей С-внутренней
точки. Если f — опорная функция множества К, то вещественная
функция т, определяемая для всех х, у?% равенством
называется касательной функцией множества /С.
3. Лемма. Пусть К—выпуклое множество в линейном^ про-
пространстве, причем нуль является С-внутренней точкой этого
множества, и пусть I будет опорной функцией, ах — касатель-
касательной функцией множества К. Тогда
(a) х(х,у)<Цу);
(b) х(*, уг + у2)<х(х, уг) + х(х, у2);
(c) х (ху ау) = ах (х, у) при а > 0;
(d) -x(x, -у)<х{х, у);
(e) х(х, ax) = al(x), если а — вещественное число?
Доказательство. По лемме 1.8 (с) и 1.8 (е)
)-1(х)}<
откуда вытекает утверждение (а). Утверждение (Ь) вытекает из
неравенства
Утверждение (с) тривиально. Утверждение (d) вытекает из нера-
неравенства
31
, у)>1(х9 0) =
Утверждение (е) тривиально, ч. т. д.

484 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
4. Определение. Если Л является подмножеством линейного
пространства Ж, а х — его С-граничная точка, то функционал
/6Ж+ называется касательным к А в точке х, если существует
такая вещественная константа с, что
Re/(Л)< с, Re/U) = c.
Заметим, что если функционал / является касательным к А
в точке х, то таким же будет и каждое вещественное кратное /.
Обратно, если каждый касательный к Л в точке х функционал
является кратным /, мы говорим, что множество А имеет единствен-
единственною касательную в точке х.
Заметим, что если Ж является линейным топологическим про-
пространством, а множество Л имеет внутреннюю точку, то, по лемме 2.7,
каждый касательный к Л функционал непрерывен,
Нижеследующая теорема дает некоторый критерий существова-
существования линейных функционалов, касательных к выпуклому множеству,
в терминах его касательной функции.
5. Теорема. Пусть Ж — линейное пространство, а К — содер-
содержащееся в Ж выпуклое множество, причем нуль является его
С-внутренней точкой. Пусть т—касательная функция множества К.
Тогда если х есть С-граничная точка множества /С, то функционал f
из Ж+ такой, что f (х) = 1, в том и только том случае будет касатель-
касательным к А в точке ;, если
— г(х, —y)<cRef{y)<r{x, у) при всех у 6 Ж.
Обратно, если х есть С-граничная точка множества К и у — произ-
произвольная точка из Ж, для которой
-г{х, — у)<с<т{х, у),
то существует функционал /, касательный к К в точке х, для кото-
которого f(x) = l и Ref(y)=c.
Доказательство. Если функционал / является касательным
к К в точке х и/ (л:) = 1, то, по лемме 1.8 (f),H3 неравенства f (у) < 1
вытекает, что Re / (у) < 1. Отсюда с помощью леммы 1.8(с) легко нахо-
находим, что l(y)>Ref(y). Следовательно, так как/(лс) = !(л:)=1, то
так что Re/ (j/Xt(jc, j/). Заменяя у на—у, мы получим—Re/(j/)<
< т (jc, —у)у так что — т (*, — #).< Re / Q/X т (х, у). С другой стороны,
если / удовлетворяет этому неравенству, то, по лемме 3(а), функцио-
функционал / является касательным к К в точке х.

9. Касательные функционалы 485
Для того чтобы доказать обратное, будем рассматривать Ж как
линейное пространство над полем вещественных чисел. Заметим,
что при этом функционалы ! и т не изменятся. Пусть t/ g 3?
и —т (х9 —у) < с < т (х, у). Каждый элемент z из ©=sp{.*:, у] имеет вид
z=ax-\- by\ определим функционал/0 на © равенством f0 (г)=а+ foe.
Если y=dx> то, по лемме 3 (е), c=d, так что из равенства z=0 выте-
вытекает, что /0 (г)=0. Если у не кратно jc, то представление г=ах+Ьу
единственно. Таким образом, /0 есть вполне определенный линей-
линейный функционал на ©.
Мы хотим доказать, что/0 (г) < I (г) для z?@. Так как это три-
тривиально в случае, когда у есть скалярное кратное л;, то мы можем
предположить, что каждое г?@ имеет единственное представление
вида z = ax+by.
Случай 1. а > 0. Так как /0 (у) = с, то достаточно показать, что
или, полагая ~ — а^ что
так как /0 (л:) = I (х) = 1. Если ах = 0, то это очевидно. Если аг > 0,
то I (л: + агу) — I (х) > агх (х,у ) 2> аАс, по лемме 1. Если аг < 0, поло-
положим а2= —а1иу1 = —у. Тогда!(х + а^^ — I(х) >а2х(х, —у) > —а2с.
по лемме 1, так что и в этом случае l(xJraly) — I (л:) >а1с.
Случай 2. а<0. Мы хотим показать, что
f (ax + by) - at (x) > be,
т. е. что
Если 6>0, то
! {ах + by) + f (~ ах) > f Fy) = й (у) > for (jc, у) >
по леммам 1.8 (е) и 3(а). Если Ь < 0, то
Следовательно, /0 (г)<1 (г) для z 6®. По теореме Хана—Банаха
(II.3.10), /0 можно продолжить до линейного функционала f, опре-
определенного на всем 3? и такого, что f (х) < 1(х) для jcG Ж. Из леммы 1.8 (d)
вытекает, что / (К) < 1, так что / является касательным к К функцио-
функционалом в точке Ху и f(y) = c. В случае, когда ЭЕ является линейным
пространством над полем комплексных чисел, функционал
f(x)—if(ix) будет искомым касательным функционалом, ч. т. д.

486 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
6. Следствие. Если нуль является С-внутренней точкой выпук-
выпуклого множества К линейного пространства, то К обладает ненулевым
касательным функционалом в каждой из своих С-граншных точек.
В точке х в том и только в том случае имеется единственный каса-
касательный функционал, если х (х, у)= — т (х, —у) для всех у 6 Ж.
В случае линейного топологического пространства справедливо
и обратное предложение.
7. Теорема. Пусть Ж — линейное топологическое пространство
и А — замкнутое подмножество в ЭЕ, обладающее внутренними
точками. Предположим, что А обладает ненулевым касательным
функционалом в каждой точке некоторого множества, всюду плот-
плотного на его границе. Тогда множество А выпукло.
Доказательство. Обозначая внутренность множества А через Аъ
мы покажем прежде всего, что ни в одной точке множества аАх-\-
+ A— а) А, гдеО<а<1, не существует ненулевой касательной
к Л. В самом деле, пусть p?Alf q?A, и пусть х — ар + A — a) q,
где 0 < а < 1. Если f есть функционал, касательный к А в точке ху
то найдется такое вещественное число с, что Re / (х) = с, Re f (A) < с.
Так как / (х) = af (р) + A — a) f (q), то отсюда следует, что Re / (р) =
= Re/ (q) = с. Пусть N и М—такие окрестности нуля, что р + N с А
и М (J (-М) с N. Тогда Re / (N + р) < с и, следовательно, Re / (Л/) < 0.
Таким образом, 0< Re/(Al)<0, т. e. Re/(M) = 0, откуда вытекает,
что / = 0.
Пусть Вх — такое всюду плотное подмножество границы В
множества А, в каждой точке которого существует ненулевой функ-
функционал, касательный к А. Мы видели, что если 0 < а < 1, то (аА1 +
+ A — a) A)f]Bi = 0. Так как множество аА1-\-(\— а) А открыто,
то {аА1-\-(\— а)А)[]В= 0,если 0< а< 1. Пусть рбЛ1э и q?A\
так как р есть внутренняя точка множества А, то точка A — а) р -f- aq
при всех достаточно малых положительных а принадлежит А. Если d
есть верхняя грань множества
то точка A — d) p-\-dq?B, и из предыдущего следует,
Следовательно, A — а) р + aq? А для 0 < а< 1, т. е. A — а) Аг ^
для 0<а<1. Так как множество A—а)А1-\-аА открыто, если
0 < а < 1, то при тех же а множество A — а) А1 + аА1^ А19 и сле-
следовательно, Ах выпукло.
Так как множество А замкнуто, то А^А^ С другой стороны,
если р б Лхи если q? А, то ^ = lim{(lr-a) q + ap}n, следовательно,
о
^V Выпуклость множества А = Аг вытекает теперь из выпук-
выпуклости множества АЛ и теоремы 2.1 (а), ч. т. д.

9, Касательные функционалы 487
Хотя из элементарных примеров ясно, что выпуклое множество
не обязательно имеет единственный касательный функционал в каж-
каждой своей С-граничной точке, тем не менее удается получить
следующий довольно сильный результат в этом направлении.
8. Теорема . Если выпуклое подмножество сепарабельного В-прс-
странства ЭЕ имеет внутреннюю точку, то оно обладает единствен-
единственной касательной в каждой точке некоторого подмножества, всюду
плотного на его границе.
Доказательство. Пусть К — выпуклое множество. Покажем, что
для х, принадлежащих некоторому всюду плотному подмножеству Z
пространства ЭЕ, и всех г/?ЭЕ выполняется равенство — г(х, у) —
= т(х, —у)- Не ограничивая общности, можно считать, что мно-
множество К содержит некоторую сферу 5 ( О, -^-J с центром в нуле.
Отсюда вытекает, очевидно, что опорная функция I множества К
удовлетворяет неравенству l(x) <N\x\. По лемме 1.8(е),
Точно так же
Следовательно,
Таким образом, если мы предположим, что {уп} есть счетное всюду
плотное подмножество пространства Ж, и положим
оо
то включение х? [) Zn эквивалентно тому, что т (х, у) = — т (х9 — у)
для всех г/ g ЗБ. Остается, следовательно, доказать, что множество
оо
Z= [} Zn всюду плотно в ЗЕ.
Множество Zn определено условием
а так как эти пределы существуют, то Zn есть совокупность таких х,
для которых
Jim 1 {! (х + ш/п) - 2! (х) + ! (х - ауя)} = 0.

488 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Так как функция
g(a,x, у) = ± {Цх + ay) - 21 (x) + t (x-ay)}
является (по лемме 1) суммой двух монотонно возрастающих функ-
функций от я, то она обладает тем же свойством при всех х> у?Х. Следо-
Следовательно, полагая
оо со оо
м л будем иметь Zn = П И Zn г у. Если мы положим Zn $ = (J Zn \ ,-,
oo
т) множество Zn%i будет открыто в 3? и Zrt= f] Zn)i,
oo oo oo
Мы хотим доказать, что множество Z= [) Zn= [) f) Zn,i
n=l n=i_J = \
всюду плотно в Ж. Предположим, что это не так и что р <f Z. Тогда
некоторая сфера S (р, е) не пересекается с Z. Если S = г>(р, е/2),
оо оо
то SZ = 0. Следовательно, (J \JSZni = S. По теореме 1.6.9,
некоторое множество Zn, г содержит открытое подмножество, а зна-
значит, некоторое множество Zn, i не является всюду плотным в Ж; так
как Zn>i^Zn, то и некоторое множество Zn не является всюду
плотным. Мы покажем, однако, что это невозможно.
Предположим, что хх G Ж, хх $ Zn, тогда т(л:, уп) ф — т (л:, — г/п)
для дг, принадлежащего некоторой относительной окрестности
точки xv Отсюда вытекает, чтофункция f (хг + ауп) не имеет производ-
производной ни в одной точке а некоторой окрестности нуля. Но неравен-
неравенство [*] показывает, что ер (а) = I (хг + ауп) является непрерывной
функцией ограниченной вариации. Таким образом, ввиду замеча-
замечания, предшествующего теореме II 1.5.17, существует такая мера
Бореля — Стильтьеса |я, что \i (с, d)=cp(c)—cp(d). Но тогда из след-
следствия II 1.11.6 вытекает, что функция ! {хх + ауп) имеет производную
почти всюду. Это противоречие и доказывает, что множество ZIL
всюду плотно в Ж. Следовательно, множество Z всюду плотно в Ж.
Так как т (ах, ау) = ах (х, у), если а > 0, то ах 6 Z, если л: 6 Z и а > 0.
Следовательно, при непрерывном отображении х—> гт-у множества
{х^ЭЁ, д: ^= 0} на границу В множества К множество Z переходит
в некоторое свое подмножество, которое, так как Z всюду плотно
в Ж, будет, очевидно, всюду плотным в 5. Отсюда следует, что
множество Z[\B всюду плотно в В. Наша теорема непосредственно
вытекает теперь из следствия 6, ч. т. д.

9. Касательные функционалы 489
Существуют интересные связи между касательными к некоторому
множеству линейного пространства Ж и некоторыми специальными
выпуклыми подмножествами пространства Ж, называемыми конусам д.
9. Определение. Пусть Ж есть векторное пространство] выпук-
выпуклое множество /С ^1ЗЕ называется конусом с вершиной р, если из того,
что p+xGK, вытекает, что при г>0ир + гл:6/С. Конус К с вер-
вершиной р, порождаемый множеством А> есть пересечение всех кону-
конусов с вершиной р, содержащих множество А. Легко видеть, что если
множество А выпукло, то
10. Теорема . Если К есть замкнутый конус с вершиной р в веще-
вещественном локально выпуклом линейном топологическом простран-
пространстве Ж и К Ф Ж, то существует ненулевой непрерывный линейный
функционал, касательный к К в точке р. Если А есть некоторое под-
подмножество Ж и точка р принадлежит А> то ненулевой непрерывный
линейный функционал, касательный к А в точке р, существует в том
и только в том случае, если порождаемый множеством А конус В
с вершиной р не является всюду плотным в Ж.
Доказательство. Если q$K> то, по следствию 2.12, можно найти
такой функционал f и такую вещественную константу с, что
Rf(K)Rf()TIRf()TKRf()
ffqyfp)
то Re/(z--p)>e > 0 и Ref(r(z — p) + р) >ге + а, что при достато-
достаточно большом г противоречит тому, что Ref(K)<c. Следовательно,
Re/(/C)< Ref (p), чем доказана первая часть теоремы.
Ясно, что В я В являются конусами. Если В ф Ж, то каждый
ненулевой непрерывный линейный функционал, касательный к В
в точке р, будет касательным и к Л в точке р.
Обратно, если f есть ненулевой непрерывный линейный функцио-
функционал, касательный к А вточкер, то Re/(p) =c, Ref (A)<с. Отсюда
вытекает, что Re/ (a (q — р) + р) < с, если а > 0, так что Re/ (В) < с,
итак как В = Ж, то, по лемме 1.11,/(Ж) = 0, что невозможно ввиду
того, что f Ф 0, ч. т. д.
11. Теорема. Пусть Ж — линейное нормированное пространство,
а К — его выпуклое подмножество. Если найдутся такие точки р,
q, что р 6 К, q$K и
то существует ненулевой непрерывный линейный функционал, каса-
касательный к К в точке р.

490 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Доказательство. Пусть d = | q—р | и S — 5 (qy d). Тогда S — откры-
открытое множество и Sf]k=0. По теореме 2.8, существует ненулевой
непрерывный линейный функционал /такой, что Re/(/<)<Re/(S).
Так как точка р принадлежит замыканиям как К, так и 5, то ясно,
что функционал / является касательным к К в точке р, ч. т. д.
12. Следствие. Пусть Ж — линейное нормированное простран-
пространство, а К —его выпуклое подмножество. Предположим, что для
каждого q, не принадлежащего К, в К найдется такая точка р,
что \р — q\ = inf \z— q\. Тогда К имеет ненулевой непрерывный
z?K
линейный касательный функционал в каждой точке некоторого мно-
множества всюду плотного на его границе.
Доказательство. Пусть точка z ? К принадлежит границе мно-
множества К, и пусть qn$K, qn—^z. Тогда если точка рп?К такова,
что I pn — qn I = inf [ z —• qn I, то, по теореме 11, существует ненуле-
вой функционал, касательный к К в точке рп. Но ясно, что рп—> г»
ч. т. д.
10. Теоремы о неподвижной точке
1. Определение. Будем говорить, что топологическое простран-
пространство R обладает fp-свойством, если для каждого непрерывного
отображения Т : R~> R существует такая точка р б R> что р = Т (р).
Известная теорема Броуэра о неподвижной точке утверждает,
что замкнутая единичная сфера пространства Еп обладает Fp-свой-
ством.
Этот параграф посвящен доказательству одного замечательного
обобщения (теорема 5) теоремы Броуэра. При доказательстве тео-
теоремы 5 мы будем пользоваться теоремой Броуэра; однако, ввиду того
что теорема Броуэра хорошо известна, мы не даем в этом параграфе
подробного ее доказательства, отсылая читателя к замечаниям
в конце главы, где дается и доказательство ее и некоторые дополни-
дополнительные сведения.
Гильбертовым параллелепипедом (кирпичом) С называется под-
подмножество В-пространства /2, состоящее из всех последовательностей
[?J> где | ?J< — > л= 1» 2, ... . Ясно, что С является бикомпакт-
бикомпактным подмножеством /2 (см., например, следствие IV.5.5).
2. Лемма . Гильбертов параллелепипед обладает Fp-свойством.
Доказательство. Пусть Т :С —» С — непрерывное отображение
и отображение Рп:С—>С определяется условием

10. Теорема о неподвижной точке 491
Множество Сп = Рп (С) гомеоморфно замкнутой единичной сфере
пространства Еп. Так как отображение РпТ :Сп—±Сп непрерывно,
то, по теореме Броуэра, оно имеет неподвижную точку уп ? Cn d С,
так что
\Уп-Т(Уп)\<
Ввиду бикомпактности С последовательность {уп} имеет сходящуюся
подпоследовательность. Предел этой подпоследовательности и будет,
очевидно, неподвижной точкой преобразования Т, ч. т. д.
3. Лемма. Каждое выпуклое замкнутое подмножество К гиль-
гильбертова параллелепипеда С обладает Fp-свойством.
Доказательство. Покажем, что для каждой точки р ? С найдется
единственная ближайшая точка N (р) 6 К- Действительно, по лемме
IV.4.2, если {&J есть такая последовательность из /С, что lim | р—ki \ =
= inf \p — k\, то она сходится, скажем, к точке q?K. Если {k[} —
другая последовательность с тем же свойством, сходящаяся к точке
q ?К, то, по лемме IV.4.2, последовательность {kl9 k[, k2, k'2,...}
тоже сходящаяся. Следовательно, q=q' и qecTb искомая ближайшая
к р точка N(p).
Далее, N (р) — непрерывно зависит от р. В самом деле, если
рп—>р и N (pn)-\>N (p), то ввиду бикомпактности К последова-
последовательность {N (рп)} содержит подпоследовательность {N(pnJ},
сходящуюся к некоторому элементу q из К, отличному от N(p).
Тогда
так что \р — ^|<|р — N (р) |; но в силу первой части доказатель-
доказательства отсюда вытекает, что N (р) = q. Заметим, что N (С) с К, причем
если р 6 К, то N (р) = р. Далее, если отображение Т : К~±К непре-
непрерывно, то и отображение TN : С—>К непрерывной, по предыдущей
лемме, обладает неподвижной точкой. Эта неподвижная точка при-
принадлежит К и является, следовательно, неподвижной точкой и ото-
отображения Г, ч. т. д.
4. Лемма. Пусть К — бикомпактное выпуклое подмножество
локально выпуклого линейного топологического пространства ЭЕ.
Пусть Т : К ~±К — непрерывное отображение. Если К содержит
по крайней мере две точки, то найдется такое собственное замкнутое
выпуклое подмножество K1dK, что Tl(/C1)c: Kt.

492 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Доказательство. Мы можем предполагать, что К рассматривается1
в ЭЕ*-топологии, так как тождественное отображение пространства
ЭЕ с его исходной топологией на ЭЕ с ЭЕ*-топологией непрерывно.
А так как непрерывное и взаимно однозначное отображение мно-
множества К является гомеоморфизмом (см. лемму 1.5.8), то переход
к Э?*-топологии не изменяет условий леммы.
Мы будем говорить, что множество непрерывных линейных функ-
функционалов F = {f} определяется другим множеством G={g}, если для
каждого/^/7и е>0найдется окрестностьД/@;у,б) = {л:||^(л:)|<б,^бу]^
где у есть некоторое конечное подмножество множества G, обладаю-
обладающая тем свойством, что если р, q?K и p—q? N@; у, б), то \f(Tp)—
—f(Tq) | < е. Ясно, что если множество F определяется множеством G,
то из того, что g(p):=g(qI g?G, вытекает, что f(Tp)=f(Tq), f?F.
Каждый непрерывный линейный функционал / определяется
некоторым счетным множеством функционалов G={gm}. Действи-
Действительно, по следствию IV.6.9, скалярная функция f(Tp) равномерно
непрерывна на бикомпактном множестве К. Следовательно, для
каждого натурального п существует такая окрестность Л/@; уп, 6п)
нуля пространства ЭЕ, определяемая конечным множеством у}1
непрерывных линейных функционалов и числом бп>0, что если
р, q?K и p-<7<E/V(O; yn, 6J, то \f(Tp) -/ (Tq) |< 1 . Поло-
оо
жим G= U уп; тогда f определяется множеством G. Отсюда сле-
п=1
дует, что если F есть счетное подмножество пространства ЭЕ*,
то найдется такое счетное подмножество GF пространства ЭЕ*, что
каждое/g/7 определяется множеством GF.
Можно даже утверждать, что каждый непрерывный линейный
функционал f может быть включен в некоторое счетное, определяю-
определяющее себя множество G функционалов. В самом деле, пусть функцио-
функционал / определяется счетным множеством Gx; пусть, далее, каждый
функционал из Gl определяется счетным множеством G2, каждый
функционал из G2— счетным множеством G3 и т. д. Положим тогда
Д
Предположим теперь, что К содержит две различные точки
р и q, и пусть /? ЭЕ* таково, что /(р) Ф f (q). Пусть G={gl}—счетное
определяющее себя множество непрерывных линейных функциона-
функционалов, среди которых содержится f. Ввиду бикомпактности /С, gt (К)
для каждого i будет ограниченным множеством скаляров, а так как
мы можем помножить gt на соответственным образом выбранную
константу, то можно предполагать, что \gt (K)\ < — • При этом
отображение Я:/С—>/2, определяемое условием Я (k)= lgi(k)], будет
непрерывным отображением множества К на некоторое бикомпакт-
лое выпуклое подмножество Ко гильбертова куба, содержащее

JO. Теорема о неподвижной точке 493
по меньшей мере две точки. Рассмотрим отображение Т^=НТН'г:
: Ко—>/С0; так как множество G само себя определяет, то То взаимно
однозначно. Для того чтобы убедиться в непрерывности Го, пред-
положим, что Ьо? К о и 0 <е< 1. Выберем такое N, что 2 ~ч-< г-
i=N+l l
Тогда, так как множество G само себя определяет, найдется такое
б >0 и такое /я, что если \gj(p)—gj{q)\ < б, /=1 ,..., т, то
[*] \8i(Tp)-gi(Tq)\<]/rjf9 /= 1 Л^.
Таким образом, если | b— bQ | < б и если р и q — произвольные точки
из /С такие, что 6=[^(р)] и 6О==^(G)Ь то справедливо неравен-
неравенство [*] и
Следовательно, Го есть непрерывное отображение /Со в Ко. По лемме 3,
То имеет неподвижную точку kQ. Таким образом, ТН'1 (ko)cz
сЯ-1Г0(*0) = Я-1(*0). Полагая К1 = Н~1(к0), заметим, что Кг
есть собственное замкнутое подмножество множества К и что
Г(/С1)с/С1. Выпуклость Кх вытекает из линейности Н. Таким обра-
образом, наша лемма доказана.
5. Теорема (Шаудер— Тихонов). Бикомпактное выпуклое под-
подмножество локально выпуклого линейного топологического про-
пространства обладает Fp-свойством.
Доказательство. По лемме Цорна, существует минимальное
выпуклое подмножество Кх множества К, обладающее тем свойством,
что ТКх^Кх- В силу предыдущей леммы это минимальное подмно-
подмножество состоит из единственной точки, ч. т. д.
Теорема 5 интересна тем, что она применима и к нелинейным
отображениям. Рассматривая же только линейные отображения,
можно доказать несколько более сильный результат и притом более
элементарными средствами.
6. Теорема (Марков —Какугпани). Пусть К — бикомпактное
выпуклое подмножество линейного топологического пространства Ж.
Обозначим через $ семейство коммутирующих между собой непрерыв-
непрерывных линейных преобразований, отображающих К в себя. Тогда в К
ншдется такая точка р, что Тр=р для всех Т из ^.

494 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Доказательство. Пусть п — натуральное число и Т ? $. Положи^
Tn=n~l(I + T + ... + Г71). Обозначим через orf семейство всех мно-
множеств Тп(К) при п>\ и Г?3- Тогда каждое множество из о/С
выпукло, по лемме 1.5, и бикомпактно, по лемме I.5.7(b); так как К
выпукло, то ТП(К)СЦК- Ввиду того, что при Г, Sg^j преобразовани/я
Тп и Sm коммутируют между собой, TnSm(K)^Tn(K)f)Sm(K)- Следо-
Следовательно, каждое конечное подсемейство из &ь имеет непустое пере-
пересечение. По лемме 1.5.6, существует точка p?f|^\
Если Г?$ и ТрФр, то найдется такая окрестность ?/ нуля
пространства ЭЕ, что Тр — p$U. Если я —произвольное натураль-
натуральное число, то, так как р?Г;1(/С), найдется такая точка q?K> что
р=пГ1A + Т + ... + T'-^q.Следовательно, Тр-р = n-^—^q^U.
Так как Tvq?K, отсюда вытекает, что множество п~1(К — К) ни для
какого натурального п не является подмножеством U. Но К — К =
= ф(/С X /С), где ф(лг, у)=х — у, и, следовательно, множество К — К
бикомпактно. Однако это противоречит лемме II. 1.8, ч. т. д.
Рассматривая вышеприведенное доказательство, замечаем, что,
кроме непрерывности, нами было использовано только то свойство
преобразования Г, что
при х, у?Ж и 0<а< 1. Отображения, обладающие этим свойством,
часто называют аффинными преобразованиями.
7, Определение. Семейство © линейных преобразований линей-
линейного топологического пространства ЭЕ называется равностепенно
непрерывным на подмножестве К пространства ЭЕ, если для каждой
окрестности V нуля пространства ЗЕ найдется такая окрестность U
нуля, что если kv k^K и k^ — k^U, то &{k1 — ?2)c: J/, т. е.
T{k-k2)^V при Г б®.
8. Теорема (Какутани). Пусть К — бикомпактное выпуклое
подмножество локально выпуклого линейного топологического про-
пространства ЭЕ, а @— группа линейных преобразований, равносте-
равностепенно непрерывная на К и такая, что ® (К) с^К- Тогда существует
такая точка р?К, что & (р) = р.
Доказательство. По лемме Цорна, К содержит минимальное
непустое бикомпактное выпуклое подмножество /Сх такое, что
$^i^^i- Если Кг содержит только одну точку, то наша теорема
доказана. В противном случае бикомпактное (по лемме II. 1.2)
множество Kx — Ki содержит точку, отличную от нулевой,и, следо-
следовательно, найдется такая окрестность V нуля, что V не содержит
множества Кх —/Ci- Далее, найдется выпуклая окрестность Vx нуля
такая, что ocV^ci V при |а|<1. В силу равностепенной непрерыв-
непрерывности & на множестве /Сх, найдется такая окрестность нуля Ult

//. Упражнения 495
что если kly k2 g /Сх и kx — k2 g [/х> то @ (&х — &2) ст У1# Положим ?/2=
= со(@?/1); так как © — группа, то &U2 = U2 и, по лемме 1.4.16 (d),
© (U2) =Т?2. Пусть б = inf {а | a >0,dU2^K1 - /CJ и U= Ш2. Нетрудно
видеть, что для каждого eg @; 1) множество K\ — Ki не содер-
житсявA — е) U', ho/Ci — ^i^I(l + 8)^- Семейство открытых множеств
{2"Ч/+ A}, Ag/Ci, покрывает /Сг Пусть {2-4/ + ^, ..., 21/ + Ля}-
некоторое конечное подпокрытие, и пусть р = fel "^" ' *' ^ п .
Если ^ — произвольная точка из /Сх, то ^ — A g 2[/ при некотором i,
заключенном между 1 и п. Так как ki — ?g (I + вN^ при l<t</i
и е > 0, то р g nT^'W +(n-l)(l+e)U) + k; полагая е = 4 * ,
мы найдем, что p?(l—^)U + k для каждого k?Kv Предполо-
Предположим, что К2=К1П f| (( 1 — -— ) U+k) ф 0. Так как множество
Г 1 — -^-J /У не содержит Кх — /Ci, то К2 Ф Kv Ясно, что замкнутое
множество К2 выпукло. Далее, так как T(aU)czaU при Т g ©, то
мы имеем, что T(aU-\-k)czaU + Tk при Tg®, k?Kv Поскольку
©-группа и ТК1^К1 при Tg®, то ТК1 = К1 при Tg®. Отсюда
вытекает, что ®/С2с:/С2, но это противоречит минимальности /С1?
ч. т. д.
11. Упражнения
1. Пусть С —замкнутое выпуклое сепарабельное множество
в В — пространстве, а р — его крайняя точка. Пусть |i —положи-
—положительная мера, определенная на борелевских подмножествах мно-
множества С и такая, что |i(C) = 1. Показать, что если /?= \ х\л{йх),
с
ТО [I (р) = 1.
2. Пусть E, S, (^ — пространство с положительной мерой.
Показать, что пространство /^(S, 2, \х) может быть слабо полным
или рефлексивным только в том случае, если оно конечномерно.
Пусть {fn} — некоторая последовательность точек из Loo(S, 2, |х)
и /g Loo E, 2, jx). Обозначим через М множество всех Я из Ьа E, 21э |xx)
(обозначение см. в теореме IV.8.16), принимающих только значения
0 и 1. Показать, что последовательность {fn} в том и только в том
случае будет слабо фундаментальной, если она равномерно огра-
ограничена и lim \ fn(s)X(ds) существует для всех X из М. Показать,
п->оо И
что fn в том и только в том случае слабо сходится к /, если {/п} рав-
равномерно ограничена и Ъ'т \ fn (s)X(ds) = \ f(s)'k(ds) для каждого X
n~voo J J
S Ь
из М.

496 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
3. Показать, что замкнутая единичная сфера пространства d>
не содержит крайних точек.
4. Пусть (S, 2, [^ — пространство с cr-конечной положителы-
ной мерой. Показать, что пространство Lx (S, 2, \i) в том и только
том случае изометрически дооморфно пространству ЭЕ*, сопряжен-
сопряженному к некоторому В-прсстранству Ж, если 5 можно представит^
оо
в виде счетной суммы S = (J S. измеримых подмножеств St таких,
что /д, (Si) < оо и что для каждого измеримого подмножества А мно-
множества S. либо fx (Л) = |л (St), либо [а(Л)=0.
5. Если замкнутая единичная сфера бесконечномерного В-про-
странства 3? содержит лишь конечное число крайних точек, то про-
пространство ЭЕ не является изометрически изоморфным пространству,
сопряженному к некоторому В-пространству.
6. Пусть S — топологическое пространство, a C(S) — В-про-
странство определенных на S, вещественных ограниченных непре-
непрерывных функций. Сколько крайних точек имеется на замкнутой
единичной сфере пространства C(S)?.
7. Показать, что для того, чтобы каждая граничная точка
замкнутой единичной сферы S /^-пространства ЭЕ была крайней
точкой, необходимо и достаточно, чтобы из равенства | х -f- у \ = | х | +
-\-\y\ вытекала линейная зависимостьх и у. Пространство, обладаю-
обладающее таким свойством, называется строго выпуклым. Показать, что для
того, чтобы пространство ЭЕ было строго выпуклым, необходимо
и достаточно, чтобы для каждого х* б ЭЕ* sup Rex** достигался
самое большее для одного х из S.
8. Пусть ? = с и S[) = c хс, причем норма в 2) определяется равен-
равенством | [yv у2] | = max (\yl \,\у21). Показать, что пространства 3?*
и 9)* изометрически изоморфны, хотя ЭЕ и У) не являются таковыми.
9. (Кли.) Пусть К является совокупностью последовательностей
*=[?il€fp> 1<р<оо, у которых g. > 0, i=\ ,2, .... Тогда К есть
замкнутое выпуклое множество, каждая точка которого является
граничной. Однако для того, чтобы множество К имело в точке [|.]
непрерывный касательный функционал, необходимо и достаточно,
чтобы для некоторого т>0 ^ = 0.
10. Определить касательную функцию замкнутой единичной
сферы гильбертова пространства.
' 11. Пусть (S, 2, |я)— пространство с положительной мерой
и р>1. Определить касательную функцию замкнутой единичной
сферы пространства LV(S, 2, fx). Показать, что замкнутая единич-
единичная сфера пространства Lp (S, 2, \i) в каждой своей граничной
точке обладает единственным касательным функционалом. Будет ли
это верно и при р=1?
12. Пусть Ж является /^-пространством, а К — слабо бикомпакт-
бикомпактное выпуклое подмножество пространства ЭЕ. Показать, что мно-

П. Упражнения 497
жество К обладает непрерывным касательным функционалом в каж-
каждой точке некоторого множества, всюду плотного на его гра-
границе.
13. Пусть ЭЕ является В-пространством, а /С*— ограниченное
Ж-замкнутое выпуклое подмножество пространства ЭЕ*. Показать,
что /С* обладает непрерывным касательным функционалом в каж-
каждой точке некоторого множества, .всюду плотного на его границе.
14. Определение. Точка р подмножества Л метрического про-
пространства называется диаметральной, если sup q (р, х) = sup q (х, у).
х?А х, у?А
Подмножество метрического пространства М называется допусти-
допустимым, если оно является пересечением замкнутых сфер {х \ q (х, у0) <
<со)» Уо€ М, 0 < со< оо. Метрическое пространство называется про-
пространством нормальной структуры, если каждое его допустимое
подмножество, содержащее более одной точки, содержит недиаме-
недиаметральную точку.
15. Бикомпактное выпуклое подмножество В-пространства
является пространством нормальной структуры.
16. Пусть М — бикомпактное метрическое пространство и Л —
замкнутое подмножество М. Пусть преобразование Т : М —>М
таково, что q (Тх, Ту) > q (x, у) для х, у?М. Тогда если ТА зЛ
или если ТАс^А, то ТА=А.
17. Показать, что если метрическое пространство М нормальной
структуры содержит по меньшей мере две точки, то для каждого
отображения Т пространствам на себя, при котором q (Тх, Гу)<
<q(x, у);ху у?М, существует такое собственное подмножество А,
что 771 с Л. Показать, что если, кроме того, М бикомпактно, то
оно содержит такую точку р, что Тр=р.
18. Пусть М — бикомпактное метрическое пространство нор-
нормальной структуры. Показать, что для каждого отображения
Т\М—>М, при котором q(Tx, Ty)>Q(x, у); х, у?М, найдется
такая точка pf/W, что Тр=р.
19. Пусть М —полное метрическое пространство, преобразо-
преобразование Т:М—^М таково, что q(Tx, Ty)^aq(x, у) для х, #?М, и
О < а < 1. Показать, что найдется в точности одна такая точка р 6 М,
что Тр=р.
20. Пусть Т — нелинейное отображение рефлексивного В-лро-
странства Ж в себя, непрерывное в ЭЕ*-топологии пространства ЗЕ-
Предположим, что lim L^J=O. Показать, что (I + T) ЗЕ = ЭЕ.
|эс|~к» I Х I
21. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство, a |jl —¦
определенная на S конечная регулярная мера. Пусть Ф — поле
вещественных или комплексных чисел и К — элемент из С (S x S X Ф).
32 Заказ № 1324

498 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Показать, что нелинейное интегральное уравнение
f(s) = g(s)- J/C(s, t,g{t))\x(dt)
для каждого f ?C (S) имеет решение g ? С (S).
22. Определение. Пусть G — топологическая группа. Тогда
определенная на G регулярная мера \х называется левоинвариант-
ной, если \х (sE)=\i (Е) для всех s$G, E ? 2. Такую меру часто назы-
называют мерой Хаара
23. (Хаар.) Пусть G — бикомпактная топологическая группа,
а 2 — совокупность борелевских подмножеств G. Показать, что
на 2 существует регулярная левоинвариантная мера, не равная
тождественно нулю, и что любые две левоинвариантные меры на 2
отличаются лишь скалярным множителем. Показать, что левоинва-
левоинвариантная мера удовлетворяет также соотношениям \х (Es)=\i (E)
и р(Е-1) = р(Е).
12. Примечания и дополнения
Выпуклые множества и линейные топологические пространства.
Доказательство теоремы 1.12, по существу, принадлежит Мазуру
[1, стр. 73], доказавшему, что содержащее внутреннюю точку
выпуклое множество в вещественном линейном нормированном про-
пространстве может быть отделено (в смысле определения 1.9) от любой
невнутренней по отношению к нему точки. Это обобщает анало-
аналогичный результат, полученный Асколи [1, стр. 206] для сепарабель-
ных пространств. Эйдельгайт [1] обобщил этот результат на случай
двух выпуклых множеств, обладающих внутренними точками, но
не имеющих общей внутренней точки. Более простые доказатель-
доказательства теоремы Эйдельгайта были предложены Какутани [1] и Бот-
сом [ 1 ].
Теорема 1.12 в ее полной общности впервые была сформулиро-
сформулирована Дьёдонне [1], доказательство которого несколько отличается
от нашего. Дьёдонне заметил, что, хотя предположение о существо-
существовании С-внутренней точки может быть заменено более слабым пред-
предположением о том, что М содержит точку, С-внутреннюю относи-
относительно наименьшего содержащего М векторного подпространства,
тем не менее от него не удается отказаться полностью. Другой под-
подход к этому вопросу имеется в монографии Стоуна [2], краткий обзор
его можно найти в работе Кли [3, стр. 445].
Тьюки [1, стр. 96] доказал, что разделение открытого выпук-
выпуклого множества и произвольного выпуклого множества возможно
при условии, что они не пересекаются (ср. с теоремой 2.8). Он дока-
доказал также, что выпуклое множество К, бикомпактное в Э?* -топо-
-топологии линейного нормированного пространства ЭЕ, можно отделить

12. Примечания и дополнения 499
от произвольного не пересекающегося с ним выпуклого замкнутого
множества (ср. с теоремой 2.10). Тьюки заметил, что отсюда выте-
вытекает, что в рефлексивном ^-пространстве два непересекающихся
замкнутых выпуклых множества, одно из которых ограничено, могут
быть разделены гиперплоскостью.
Тьюки показал, что эти результаты не могут быть слишком сильно
обобщены, построив следующие примеры:
(I) Двух непересекающихся ограниченных выпуклых множеств,
одно из которых замкнуто и которые не могут быть разде-
разделены.
(II) Двух непересекающихся замкнутых выпуклых множеств
в гильбертовом пространстве, которые не могут быть разделены.
Аналогично этому Дьёдонне [2] нашел пример:
(III) Двух непересекающихся замкнутых ограниченных выпук-
выпуклых множеств в 11У которые не могут быть разделены.
Последний результат следующим образом был обобщен Кли
14, стр. 881]:
(IV) Каждое нерефлексивное сепарабельное ^-пространство
содержит два непересекающихся ограниченных замкнутых выпук-
выпуклых множества, которые не могут быть разделены.
В связи с этими примерами замечательна следующая теорема
Тьюки [1, стр. 99]: Если А и В — замкнутые выпуклые множества
в линейном нормированном пространстве и если А ограничено, то
множество Л — В = {а— Ь\а?А, b?B} содержит каждую сферу,
в которой оно всюду плотно.
Тьюки показал, что каждое бесконечномерное линейное норми-
нормированное пространство ЭЕ является суммой двух взаимно дополни-
дополнительных всюду плотных выпуклых множеств. То, что число два
здесь может быть заменено любым кардинальным числом, не прево-
превосходящим мощности пространства Ж, было показано в работе Кли
[2]. Кли [3, стр. 454], кроме того, обобщил результат Тьюки на
пространства несколько более общего типа.
Леммы 2.4 и 2.5 для важного частного случая подмножеств
сопряженного пространства Ж*, рассматриваемого в его Ж-топо-
логии, были доказаны Крейном и Шмульяном [1].
Теорема 2.6 принадлежит Мазуру [2].
Слабые топологии. Понятие слабой сходимости последователь-
последовательности в L2 [0, 1] введено Гильбертом, а в Lp [0, 1] — Ф. Риссом,
однако использование слабых окрестностей при определении настоя-
настоящей топологии было введено Дж. Нейманом [2, стр. 380], показав-
показавшим (см. упражнение 7.38), что при использовании этой топологии
не достаточно только секвенциальных понятий. Буржен [1, стр.608]
усилил это, найдя такое бикомпактное в ЭЕ-топологии простран-
пространства, сопряженного к В-пространству ЭЕ, множество, в котором
последовательности сходятся только при условии, что, начиная с
некоторого места, они постоянны. Вехаузен [1] показал, что слабая
32*

500 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
топология в том и только в том случае эквивалентна топологии no-
норме, если пространство конечномерно.
Можно упомянуть еще, что некоторые авторы называют
ЭЕ-топологию пространства ЭЕ* слабой* (или w*) топологией простран-
пространства ЭЕ*, однако мы не будем пользоваться этой терминологией.
Теорема 3.9 принадлежит Филлипсу [7, стр. 116]. Дьёдонне
[3, стр. 109] доказал теорему 3.9, пользуясь доказываемой по индук-
индукции леммой 3.10. Частный случай теоремы 3.9 в предположении, что
Ж = 2)* и Г = 2), был доказан для сепарабельного случая Бана-
Банахом [1, стр. 113], а в полной общности — Алаоглу [1, стр. 256].
Майкл [1] обобщил лемму 3.10 на случай линейных операторов.
Эквивалентность слабого и сильного замыканий для подпрост-
подпространств линейного нормированного пространства (частный случай
теоремы 3.13) доказана Банахом [1, стр. 49, 116]. Мазур [1,стр. 80]
показал, что сильно замкнутое выпуклое множество в линейном
нормированном пространстве содержит все слабые пределы после-
последовательностей элементов этого множества. Незначительное изме-
изменение этого доказательства приводит к теореме 3.13. Банах и Сакс
[1] доказали, что каждая слабо сходящаяся последовательность
{хп} из Lp @, 1) или 1р при р > 1 содержит подпоследовательность
{#г)> (С» 1)-суммируемую по норме, т. е. такую, что последова-
тельность {гГ1 2 Hi) сильно сходится. То, что этот более сильный
г=0
вариант следствия 3.14 не справедлив в С[0, 1], было показано про-
противоречащим примером Я- Шрейера [1 ]. Изучая общего вида выпук-
выпуклые комбинации, Зальцвассер [1] и независимо от него Джиллеспи
и Гурвиц [1, стр. 538] доказали справедливость следствия 3.14 для
пространства С[0, 1]. Какутани [22] дал доказательство теоремы
Банаха — Сакса, справедливое для любого равномерно выпуклого
пространства.
То обстоятельство, что из обычной (метрической) непрерывности
линейного преобразования одного ^-пространства в другое выте-
вытекает его слабая непрерывность, было отмечено Банахом [1,стр. 124].
Обратное утверждение теоремы 3.15 было доказано Данфордом [1,
стр. 317]. Некоторые результаты в этом направлении были получены
также Дьёдонне [3, стр. 122, 131—137].
Кроме рассмотренных нами топологических понятий замыка-
замыкания, для подпространств или выпуклых подмножеств линейного
топологического пространства рассматривались и различные спе-
специальные определения замыкания. Банах в своей монографии ввел
понятия регулярного и трансфинитного замыканий для линейных
многообразий в пространстве, сопряженном к произвольному В-про-
странству, и показал эквивалентность этих понят! й (см. Банах
[1, стр. 105]). Банах [1,стр. 108] доказал, кроме того, что в случае
сепарабельнсго пространства эти понятия совпадают с понятием

12. Примечания и дополнения 501
замыкания в ЭЕ-топологии пространства ЭЕ*. Алаоглу [1, стр. 256]
и независимо Какутани [2, стр. 170] установили эквивалентность
этих типов замыкания без каких-либо предположений о сепарабель-
сепарабельности. Крейн и Шмульян [1] ввели определение регулярно выпук-
выпуклого множества в ЭЕ*. Нетрудно показать, что регулярно выпуклые
множества в ЭЕ*—это просто выпуклые множества, замкнутые
в ЭЕ-топологии пространства ЭЕ*.
Слабые топологии и рефлексивность. Ослабленный вариант важ-
важной теоремы 4.2 (с заменой бикомпактности на компактность) был
доказан Банахом [1, стр. 107] для сепарабельных пространств;
Алаоглу [1, стр. 255] доказал ее в том виде, как она формулируется
у нас. (Еще раньше эта теорема в ее полной общности была сформу-
сформулирована без доказательства в работах Алаоглу [2], Бурбаки [1]
и Какутани 13, стр. 63].) Теорема 4.5 принадлежит Голдстайну
[1, стр. 128], хотя он выразил этот результат в других терминах
и дал совершенно другое доказательство. Другие доказательства,
более близкие к нашему, были предложены Какутани [2, стр. 171],
Дэйем [2, стр. 764] и Дьёдонне [3, стр. 137].
Теорема 4.7 была доказана Банахом [1, стр. 160] для сепара-
сепарабельных пространств; им же было получено несколько ее обобщений
на произвольные пространства. В том виде, в каком мы сформули-
сформулировали теорему 4.7, она была приведена Бурбаки [1, стр. 1703],
где доказательство ее не было, однако, достаточно подробным.
Идея нашего доказательства подсказывается работами Какутани [3,
стр. 64; 2, стр. 171]. Эта теорема независимо была также доказана
В. Л. Шмульяном [2, стр.471 ]. Более сильный результат, состоящий
втом, что для В-пространства рефлексивность эквивалентна слабой
компактности единичной сферы, принадлежит Зберлейну [1].
Пусть ЭЕ — линейное пространство, а Г — тотальное подпрост-
подпространство в ЭЕ*. Понятие Г-бикомпактности связано с различными
другими введенными для выпуклых множеств понятиями бикомпакт-
бикомпактности. Приводимая ниже теорема, использующая теорию кардиналь-
кардинальных и порядковых чисел, является типичным из результатов,
полученных в этом круге вопросов. Результаты такого рода, свя-
связывающие бикомпактность и выпуклость с трансфинитными про-
процессами различных типов, исследовались в монографии Банаха;
в последнее время большой сдвиг в этом направлении был сделан
работами таких советских математиков, как В. Л. Шмульян [1,5,
8, 10], В. Р. Гантмахер и В. Л. Шмульян [1] и Мильман [1].
См. также работу Филлипса [1].
Теорема (В. Л. Шмульян). Пусть ЭЕ — линейное пространство,
а К — его выпуклое подмножество. Обозначим через Г тотальное
подпространство пространства ЭЕ*. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
A) К — бикомпактно в Y-топологии.

502 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
B) Если Х|(? < Э, Э — предельное порядковое число) есть транс-
финитная последовательность в К, то найдется такое xQ ? /С, что
для каждого / ? Г
lim Re / (х^) < / (х0) < lim Re /(x|).
C) Для каждого / ? Г sup Re / (л;) < оо; кроме того, каждый линей-
ек
p
хек
хек
ный функционал Ф на Г, удовлетворяющий неравенству
inf Re / (x) < Re Ф (/) < sup Re / (jc),
x?K x?K
удовлетворяет также условию
для некоторого xQ ? К-
D) Если К% (? < Э, где Э — предельное порядковое число) есть
монотонно убывающая трансфинитная последовательность Т-замк-
нутых выпуклых множеств, каждое из которых пересекается
с К, то
Доказательство. Ясно, что из A) вытекает D). Из утверждения
D) вытекает B); в самом деле, если мы положим
где замыкание берется в Г-топологии, то множества К% удовлет-
удовлетворяют условию утверждения D); и если х0 ? /СГКГЖ^)» то ясно,
что х0 удовлетворяет неравенству утверждения B).
Далее, из B) вытекает C). Действительно, предположим, что
справедливо утверждение B), и пусть Ф удовлетворяет неравенству
утверждения C). Предположим, что утверждение C) неверно,
и пусть х— наименьшее кардинальное число, для которого суще-
существует подмножество Г' множества Г мощности n и такое, что
равенство
не имеет места ни для одного х^К- Пусть Э обозначает наименьшее
порядковое число мощности n, и пусть Г' вполне упорядочено
как fi, \ < 0. Если n бесконечно, то 6 есть предельное порядковое
число. В этом случае можно найти такую трансфинитную последо-
последовательность {х|} элементов из /С, что
Тогда, по условию B), мы можем найти такое х$К, что

12. Примечания и дополнения 503
Так как, ввиду равенства (*)
lim Re/(*?) = Re Ф(/) для /6 Г',
то Re Ф (/) = Re / (х) для / ? Г', откуда легко вытекает, чтоФ (/)=/ (X)
при /6Г\ Если n есть конечное кардинальное число я, то Г'=
= {fi> •••» /п}' и мы можем рассуждать следующим образом. Ясно,
что множество K' = {[fi (х), ..., fn (х)]},х ? /С, есть выпуклое подмно-
подмножество я-мерного евклидова пространства. Легко видеть, что ввиду
условия B) множество К' замкнуто. Если мы положим pi = Ф (Д)
и р=\ръ ..., рп], то точка р$К'. Таким образом, по теореме 2.10,
можно найти такие скаляры alf ..., ап и такие вещественные числа
С И 8 > 0, ЧТО
Re (Д aiPi) >с+г>с>Кеф^ aj, (x))9 x б К.
п
Таким образом, 2 "г/г^/^Г1 и
что противоречит посылке утверждения C).
Наконец, из утверждения C) вытекает A); в самом деле, пред-
предположим, что утверждение C) справедливо. Пусть каждому х б К
соответствует функционал Ф на Г, определяемый равенством
Ф (/) = /(*).
Из утверждения C) вытекает, что множество К отображается на
множество
{Ф|Ф6Г+, *г^е/(К)^еФ(/)<51^е/(#)}.
Легко" видеть, что если рассматривать ЗЕ и Г+ в Г-топологиях, то
это отображение будет гомеоморфизмом. Бикомпактность мно-
множества К' теперь без труда вытекает из леммы 4.1, ч. т. д.
Слабые топологии и бикомпактность. Прямые утверждения
теорем 5.1 и 5.2 принадлежат Банаху [1, стр. 157—158].
Частный случай теоремы 5.7, относящийся к подпространствам
пространства, сопряженного к некоторому 5-пространству, был
сформулирован в статье Бурбаки [1] и доказан в работе Дьёдонне
[3, стр. 129]. Общий случай теоремы 5.7 принадлежит М. Г. Крейну
и В. Л. Шмульяну [1].
Определение ВХ-топологии и доказательство леммы 5.4 принад-
принадлежат Дьёдонне [8]. Обобщение теоремы 5.7 на более общие про-
пространства можно найти у Кёте [10].
Важная теорема 6.1 доказывалась постепенно. В. Л. Шмульян
[8] доказал, что из (II) вытекает (I). а также, что слабо секвен-

504 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
циальное замыкание слабо компактного множества само слабо
компактно (последнее см. в работе М. Г. Крейна и В. Л. Шмульяна
[1]). Эберлейн [1] показал, что для того, чтобы множество было
слабо бикомпактным, необходимой достаточно, чтобы оно было сла-
слабо замкнутым и слабо компактным. Предлагаемое нами доказатель-
доказательство, являющееся простой модификацией доказательств В. Л. Шмуль-
Шмульяна и Эберлейна, принадлежит Брейсу [1, 2]. Обобщения этих
результатов на более общие пространства были сделаны Гротен-
диком [1, 2], Дьёдонне и Л. Шварцем [1, стр. 89], Коллинзом [1] и
Птаком [1—3].
Теорема 6.2 принадлежит В. Л. Шмульяну 15]. Другое ее дока-
доказательство было предложено Кли [4], а обобщение на более общие
пространства сделано Дьёдонне [15].
В случае сепарабельного fi-пространства теорема 6.4 была
доказана М. Г. Крейном [1], а в общем случае — М. Г. Крейном
и В. Л. Шмульяном [1, стр. 581]; см. также работу Филлипса [1].
Крайние точки. Теорема 8.4, по существу, принадлежит Крейну
и Мильману [1]. Усовершенствованный вариант теоремы 8.4 был
впоследствии доказан Мильманом и Рутманом [1]. Мы привели
доказательство теоремы 8.4, принадлежащее Келли [1]. См. также
работы Хотта [1 ] и Иосида и Фукамия [1 ].
Лемма 8.6 принадлежит Аренсу и Келли [1], использовавшим
ее при доказательстве теоремы 8.8. Мильман [2—4] дал близкие
к этому результаты относительно крайних точек. Сама теорема 8.8
в некотором частном случае была доказана Банахом [1, стр. 145],
а в общем случае — Стоуном [1, стр.469].
Касательные функционалы. Леммы 9.1 и 9.3 и теорема 9.5 при-
принадлежат Асколи [1, стр. 53—56, 205] для случая сепарабельного
нормированного пространства и Мазуру [1, стр. 75—78] для слу-
случая прозвольного нормированного пространства. Теорема 9.8
также принадлежит Мазуру [1]. Московиц и Дайне [1, стр. 526]
доказали теорему 9.7 для гильбертова пространства, однако их
доказательство без изменений проходит и в общем случае.
Другие доказательства того, что выпуклое множество, облада-
обладающее внутренней точкой, в каждой своей граничной точке имеет
опорную плоскость, содержатся в работах Московица и Дайнса
[2] и Кли [1, 3, стр. 457], где доказаны предложения 9.10—9.12.
В работах Московица и Дайнса [1, стр. 531] и Кли [1, стр. 771]
приводятся примеры, показывающие, что для того, чтобы опор-
опорная плоскость существовала в каждой граничной точке, нельзя
отбросить условие, что существует внутренняя точка.
Несколько других результатов относительно выпуклых мно-
множеств в весьма общих пространствах содержатся в работе Кли [3].
Теоремы о неподвижной точке. Доказательство теоремы Брауэра
о неподвижной точке с минимальным использованием теории гомо-
гомологии имеется в работе Л. Грейвса [2, стр. 149]. П. С.Александров

12. Примечания и дополнения 505
и Хопф [1, стр. 377] дали другое доказательство этой теоремы наряду
с различными другими теоремами о неподвижной точке, которые
можно получить гомологическими методами. См. также работы
Гуревича и Волмэна [1, стр. 40] или Лефшеца [1, стр. 318 и след.],
[2, стр. 117].
Прежде чем доказывать теорему Броуэра о неподвижной точке,
заметим, что случай комплексных скаляров является следствием
случая вещественных скаляров. Это вытекает из того обстоятель-
обстоятельства, что комплексное пространство Еп изометрично обычному про-
пространству Е2)\ причем единичные сферы этих пространств естествен-
естественным образом соответствуют друг другу. Мы ограничимся поэтому
случаем вещественного евклидова пространства. Нам понадобится
следующая лемма.
Лемма. Пусть / — бесконечно дифференцируемая функция /г+1
переменных (х0, ..., хп) со значениями в Еп. Обозначим через Dx опре-
определитель, столбцы которого состоят из п частных производных
К' -'/^i- k^-'K- Тогда
г=0 г
Доказательство. Для каждой пары /, / не равных между собой
целых чисел между Оил обозначим через Сц определитель, первый
столбец которого есть /х.х. , а остальные столбцы которого суть
векторы fXo, ..., fXn, расположенные в порядке возрастания индексов,
и где fx. и fx. опущены при перечислении. Ясно, что Ci?- = Сн, и, по
правилам дифференцирования определителей и перестановки столб-
столбцов в них, мы имеем
Следовательно,
D4= 2 (-
;=0
где а(/, /) = 1, если / < i, а(/, /)=0, если /=/', и а(/, /)=—1, если
/ > /. Таким образом,
i=0 l i, j=Q

506 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Переставляя в этом выражении индексы суммирования /, / и поль-
пользуясь тем, что ст(;, /)=—а(/, i), мы видим, что
S (-1I+'С„а(*,/)= 2 (-1)"С;Ча(/,/) =
i,i=0 г,У=О
= (-1) S (-1)'+'С„.<г(/, /).
г, ;=0
Таким образом, каждое из трех равных между собой выражений
в последней формуле должно быть равно нулю, и формула [*]
доказана.
Теорема (Броуэр). Если ф есть непрерывное отображение замк-
замкнутой единичной сферы S={x ? Еп | \х | < 1} п-мерного евклидова
пространства в себя, то найдется такая точка у ?S, что ц(у)=у-
Доказательство. Как мы видели, достаточно рассмотреть слу-
случай вещественного евклидова пространства. Далее, из теоремы Вей-
ерштрасса об аппроксимации непрерывных функций п переменных
вытекает, что каждое непрерывное отображение ф сферы S в себя
является пределом некоторой равномерно сходящейся последова-
последовательности {ф/г} бесконечно дифференцируемых отображений сферы
S в себя. Предположим, что теорема была бы доказана для беско-
бесконечно дифференцируемых отображений. Тогда для каждого нату-
натурального k найдется такая точка yk ? S, чтоф^ (yk)=yk- Ввиду биком-
пактности S некоторая подпоследовательность {yk.} последователь-
последовательности {yk} сходится к некоторой точке у из S. Так как lim ср*. (*) =
i-юо г
= Ц)(х) равномерно относительно S, то Ф (у) = lim ср^. ({/&.) =
г->оо г г
— \\myk. =у. Следовательно, достаточно рассмотреть случай, когда
г-юо г
отображение ф бесконечно дифференцируемо.
Предположим, что ф — бесконечно дифференцируемое отобра-
отображение сферы S в себя и что ф (л:) Ф х для всех х g S. Пусть а=а (х) —
больший корень квадратного уравнения \xJra (x—ф (л:))|2=1, так что
По формуле для решения квадратного уравнения
[**] |х-ф(*)|2а = (х, Ф(х)-х) +
Так как | х—ф (х)\Ф 0 при х ? S, то дискриминант (х} х— ф (л:)J +
+ A — | х |2) | х—ф (х) |2 при | х | Ф 1 положителен. Если же | х |= 1, то
(х, х— ф (л:)) Ф 0, так как в противном случае (х, ц)(х)) = 1, а скалярное

12. Примечания и дополнения 507
произведение двух векторов, по длине не превосходящих 1, может
быть равно 1 только в том случае, когда они равны между собой.
Таким образом, этот дискриминант не может быть равен нулю для
х б 5. Так как функция /V2 является бесконечно дифференцируемой
функцией t при t > 0 и так как | х—ср (х)\фО при х ? S, то из формулы
[**] вытекает, что функция а (х) является при x?S бесконечно диф-
дифференцируемой. Кроме того, из формулы [**] вытекает, что а(х)=0
при |л:| = 1. Далее, для каждого вещественного числа t положим
/ (t;x)=x+ta(x) (х—cp(x)). Тогда/будет бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой функцией п + 1 переменных t, xl9 ..., хп со значениями в Еп.
Так как а(х)=0 при |*| = 1,то ft{t\ х)=0 при \х\ = 1. Кроме того,
/ @; х)=х, и из определения а вытекает, что | / A; л:) |= 1 для всех х ? S.
Обозначим через Do (t\x) определитель, столбцами которого слу-
служат векторы fXl (/; х), ..., fXn (/; л:), и рассмотрим интеграл
dx^
s
Ясно, что / @) есть объем сферы 5 и, значит, / @) Ф 0. Так как / A; л:)
удовлетворяет нетривиальному функциональному уравнению
|/A; х)\= 1, то якобиан ?>0A; x) тождественно равен нулю и, следо-
следовательно, / A)=0. Ожидаемое нами противоречие будет получено,
если мы сможем показать, что / (t) является константой, т. е. что
/' @=0. Для того чтобы это доказать, применим дифференцирование
под знаком интеграла и воспользуемся формулой [*] для того,
чтобы представить I'(t) в виде суммы интегралов вида
где Dt (t; x) есть определитель, столбцами которого служат векторы
U (/; х), fXi (/; х), ..., fXui (t; x), /Ц+1 (/; х), ..., /,n (t; x).
Обозначим через St единичную сферу в пространстве переменных
*!,..., хЬ1, xi+1 ,..., хп. Пусть
a xl--
через р\ обозначим точку, /-я координата которой равна xjf если
\Ф1, и х\ — если / = t, а через р\ —точку, /-я координата кото-
которой равна xjf если j Ф I, и х\ — если /=/. Тогда интеграл [***!
будет равен
± )'• - ]°г(*> РУdxx ... dx{^dxi+1 ... dxn^
\Сэ Pl)dxt ... dximmldxi+1 ... dxn.
s.

508 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
Но \р\ | = | pi | = 1, и так как ft (t\ *)=0, если | х\ = 1, то из определе-
определения Dt вытекает, что эти интегралы равны нулю. Это завершает
доказательство.
Дж. Биркгоф и Келлог [1 ] первыми обобщили эту теорему на бес-
бесконечномерные векторные пространства, доказав, что бикомпактные
выпуклые множества в С1 [0,1] и в L2 [0,1] обладают /^-свойством,
и применив эти результаты к дифференциальным и интегральным
уравнениям. Шаудер обобщил эту теорему сперва на бикомпактные
выпуклые множества в В-пространстве с базисом [1], а затем и на
произвольные В-пространства [2]. Тихонову [1] осталось сделать
обобщение на локально выпуклые линейные топологические про-
пространства, в которых теорема такого типа применяется к слабым
топологиям точно так же, как в случае В-пространства,— к силь-
сильной топологии.
Из других обобщений теоремы о неподвижной точке упомянем
следующее, принадлежащее Роте [1]. Непрерывное отображение
единичного шара S В-пространства ЭЕ в относительно бикомпакт-
бикомпактное подмножество ЭЕ, при котором граница {*||*| = 1} переходит
в S, имеет по крайней мере одну неподвижную точку1).
Большинство из упомянутых выше работ имеют приложения
к дифференциальным уравнениям. Исследование вопроса о непод-
неподвижной точке и другие абстрактные подходы к теоремам существо-
существования для дифференциальных уравнений можно найти в обзорных
статьях Л. Грейвса [1] и Лере [1]. Работы Миранды [1]и В. В.
Немыцкого [1] также будут полезны; особенно рекомендуется пер-
первая, содержащая обширную библиографию. Можно упомянуть,
что, хотя метод неподвижной точки и другие топологические мето-
методы, вообще говоря, приводят только к теореме существования,
Ароншайн [2] и Роте [2], между прочим, указали, каким образом
можно получить также и теоремы единственности.
Пользуясь следствием 4.7, можно показать, что каждое слабо
непрерывное (т. е. непрерывное в слабой топологии) отображение
единичной сферы рефлексивного В-пространства в себя всегда имеет
неподвижную точку. Какутани [5] построил пример, показываю-
показывающий, что для сильно непрерывных отображений это не справедливо
даже для гомеоморфного отображения сферы гильбертова простран-
пространства на себя. Дугунджи [1] показал, что для того, чтобы единичная
сфера В-пространства с сильной топологией обладала /^-свойст-
/^-свойством, необходимо и достаточно, чтобы это пространство было конеч-
конечномерным.
Изучались еще «природа» и «устойчивость» неподвижных точек
функций в соответствующей окрестности заданной функции, непод-
*) Большое число различных теорем о неподвижной точке принадлежит
советским математикам. См., например, книгу М. А. Красносельского «Топо-
«Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений».- Прим.
ред.

12. Примечания и дополнения 509
вижные точки которой известны. Вопросы такого рода рассматри-
рассматривались в работах Вехаузена [2], Киноситы [1], Форта [1].
Марков [1] доказал теорему 10.6, используя теорему Тихоно-
Тихонова. Приводимое нами доказательство, по существу, принадлежит
Какутани [4], давшему и несколько приложений этого результата;
ему принадлежит и теорема 10.8. (См. также работу Пека [1].)
Материал, содержащийся в пунктах 11.14—11.18, взят из ра-
работы Бродского и Мильмана [1].
Конечномерные пространства. В этой главе мы ограничились
рассмотрением выпуклых множеств в бесконечномерных простран-
пространствах. Существует большая теория специальных свойств выпуклых
множеств в конечномерных пространствах. По этому вопросу чита-
читатель отсылается к работе Минковского [1] и трактату Боннезена
и Фенхеля [1]. Этот трактат содержит большое количество резуль-
результатов и их приложений, а также обширную библиографию.
Локально выпуклые пространства. Мы рассмотрели лишь немно-
немногое из весьма обширной теории локально выпуклых линейных топо-
топологических пространств. На самом деле теория таких пространств
развита значительно сильнее, чем это сделано у нас. Кроме того,
большое количество результатов было получено и для линейных
топологических пространств, не предполагаемых локально выпук-
выпуклыми. Читателю, интересующемуся этим вопросом, необходимо по-
познакомиться с трактатами Бурбаки [2] и Накано [1] и с обзорной
статьей Хайерса [3]. (См. также Себаштьян-и-Сильва [4*]. Ред.)
Равномерная выпуклость и дифференцируемость норм. Теория
касательной плоскости, изложенная нами в § 9, была значительно
продвинута в различных направлениях. Одно из наиболее инте-
интересных направлений касается дифференцируемости опорной функ-
функции f (л:) выпуклого тела в несколько более сильном смысле, чем
в определении 9.2.
Определение. Пусть f является опорной функцией выпуклого
тела, содержащего нуль в качестве своей внутренней точки, а т —
его касательная функция. Если
lim —{Цх + у) — 1(х) — т{х, у)} = 0,
\у\->о \У\
то функция I называется сильно дифференцируемой в точке х.
Банах [1, стр. 144] показал, что для того, чтобы норма в про-
пространстве С[0, 1] была сильно дифференцируемой в точке л:0?С[0, 1],
необходимо и достаточно, чтобы функция х0 достигала своего мак-
максимума в точности в одной точке. Мазур [1, стр. 78 — 79] дока-
доказал, что тоже самое условие справедливо и в B(S) и что норма в Lp,
р> 1, сильно дифференцируема в каждой точке, за исключением
нуля, и дал условия сильной дифференцируемости нормы в про-
пространстве Lv Он показал, кроме того, что в ^-пространстве опреде-

510 Гл. V. Выпуклые множества и слабые топологии
ленных на отрезке [0, 1 ] измеримых функций норма не дифферен-
дифференцируема ни в одной точке.
Мазур [3] доказал, что в рефлексивном пространстве, в котором
норма сильно дифференцируема в каждой ненулевой точке, огра-
ограниченное замкнутое выпуклое множество является пересечением
всех содержащих его замкнутых сфер.
В. Л. Шмульян [4, 6, 7, 9] получил несколько результатов отно-
относительно дифференцируемости и различных других свойств. В пер-
первых двух работах даются необходимые и достаточные условия для
слабого типа .дифференцируемости норм в пространствах ЭЕ и ЗЕ*,
а также получены результаты относительно дифференцируемости,
касательных плоскостей к единичной сфере, рефлексивности и раз-
различных других геометрических свойств.
В. Л. Шмульян [7] получил два интересных необходимых идо-
статочных условия сильной дифференцируемости нормы.
Теорема. Для того чтобы норма в точке х В-пространства ЭЕ
была сильно дифференцируемой, необходимо и достаточно, чтобы
каждая последовательность элементов *n?3E*, удовлетворяющая
условиям |Хп|< 1 и Хп(х)—>\х\, была сходящейся.
Теорема. Для того чтобы норма в точке х* пространства ЭЕ*,
сопряженного к В-пространству ЗЕ, была сильно дифференцируе-
дифференцируемой, необходимо и достаточно, чтобы каждая последовательность
элементов хп ? ЗЕ, удовлетворяющая условиям \ хп | < 1 и л;* (хп) —>
—>|**|, была сходящейся.
В работе В. Л. Шмульяна [7] получены результаты о связи
сильной дифференцируемости нормы с понятиями рефлексивности,
слабой полноты и равномерной выпуклости (см. ниже). В работе
[9] Шмульян продолжил эти исследования, получив условия силь-
сильной дифференцируемости в /<», с, с0, C(S) и Ьг и доказав несколько
теорем о дифференцируемости норм в банаховых алгебрах.
Джеймс [2] применил понятие дифференцируемости для полу-
получения нескольких результатов относительно некоторого типа «орто-
«ортогональности» в линейных нормированных пространствах.
Оба приведенных выше результата В. Л. Шмульяна делают
более интересным следующее определение, принадлежащее Кларк-
сону [1].
Определение. В-пространство ЗЕ называется равномерно выпук-
выпуклым, если в нем из того, что хп ? ЗЕ, уп ? ЗЕ, | хп | < 1, | уп | < 1 и | хп +
+ уп\—>2, вытекает, что \хп — уп |-»0.
Кларксон [1] показал, что пространства Lp, p> 1, являются
равномерно выпуклыми (см. также работу Р. Боаса [1 ]).Мильманом
[1 ] и Петтисом [2] (см. также работу Какутани [2]) было показано,
что каждое равномерно выпуклое В-пространство рефлексивно,

Библиография 511
но что существуют рефлексивные пространства, не эквивалентные
никакому равномерно выпуклому пространству (Дэй [3]).
В работе [5] Дэй показал, что из равномерной выпуклости в
окрестности некоторой точки вытекает равномерная выпуклость
всего пространства, а в работах [4, 6] он нашел некоторые условия
смешанного типа, также обеспечивающие равномерную выпуклость
пространства. Двойственное понятие «равномерной гладкости»
(flattening) в работе Дэя [6] связывается с понятием равномерной
выпуклости.
Другие результаты относительно равномерной выпуклости мож-
можно найти в уже упомянутых работах Шмульяна, а также в работах
Джеймса [2], Крачковского и Виноградова [1], Растона [1] и Фор-
Форте И—3]. с .
Библиография
Выпуклые множества. Асколи [1], Боте [1—2], Бродский иМиль-
ман [1], Гальперин [2], Дьёдонне [1, 2], Иосида и Фукамия [1],
Кли [1—4], М. Крейн [1],М.КрейниВ.Шмульян [1], Мазур[1—3],
Московиц и Дайне [1,2], Стоун [2], Тагамлицкий [2], Тьюки [1],
В.Л.Шмульян [8, 10], Шёнберг [2], Эберлейн [2], Эйдельгайт [1].
Слабые топологии и рефлексивность. Алаоглу [1], Арене [1],
Бурбаки [1], Буржен [1], В. Р. Гантмахер и В. Л. Шмульян [1, 2],
Голдстайн [1], Дэй [2, 3], Джеймс [4], Дьёдонне [3], Дьёдонне
и Шварц [1], Какутани [2, 3], Кли [7], М. Крейн и В. Шмульян [1],
Макки [1, 2], Мильман [1], Дж. Нейман [2], Петтис [1, 2], Растон
[4], Тейлор [2,3],Филлипс [1], В. Л. Шмульян [1—10, 12 13], Эбер-
Эберлейн [1].
Крайние точки. Арене и Келли [1],Джерисон [2], Иосида и
Фукамия [1], Келли [1],М. Крейн и Мильман [1], Мильман [2—4,7],
Мильман и Рутман [1], Томита [1], Хотта [1].
Теоремы о неподвижной точке.Дж. Биркгоф и Келлог [1 ], Броуэр
[1], Вехаузен [2], Инаба [1], Какутани[4, 5], Киносита [1],М. Крейн
и В. Шмульян [1], Лере [1], Марков [1], Миранда [1], Немыцкий
[1], О'Нилл [1],Пек [1],Роте [1,2], Тихонов [1], Форт [1], Фуку-
хара [1], Шаудер [1, 2], Юд [3].
Линейные топологические пространства. Арене [1], Буржен
[2], Вехаузен [1], Гротендик [1, 2], Доногю и Смит [1], Дьёдонне
[3], Дьёдонне и Шварц [1], Кли [3, 4], Колмогоров [1], Макки
[1, 2], Дж. Нейман [1], Тихонов [1], Хайерс [1—4].
Равномерная выпуклость. Р. Боас [1],Дэй [3—6], Джеймс [2],
Какутани [22], Кларксон [1], Крачковский и Виноградов [1],
Ловалья [1], Мильман [1], Петтис [2], Растон [1], Форте [1—3],
В. Л. Шмульян [4, 6, 7, 9].
Дифференцируемость нормы. Банах [1], Джеймс [2], Мазур
[1], В. Л. Шмульян [4, 6,7, 9]1).
х) Более полный обзор советских работ можно найти в сборниках «Мате-
«Математика в СССР за 30 лет» и «Математика в СССР за 40 лет».—Прим. ред.

ГЛАВА VI
Операторы и их сопряженные
В этой главе продолжается начатое в гл. II изучение линейных
отображений одного В-пространства в другое. В пространстве
В (ЭЕ, Щ ограниченных линейных отображений В-пространства ЭЕ
в ^-пространство 3) вводятся различные топологии. Вводятся поня-
тия сопряженных ^операторов, операторов проектирования, слабо
вполне непрерывных и вполне непрерывных операторов и изучаются
их основные свойства. Даются аналитические выражения для раз-
различных общих классов операторов в пространствах непрерывных
йТштегрйруемых функций. Другие аналогичньштеоремы содержатся
в упражнениях. Кроме того, рассматривается принадлежащая
М. Риссу важная теорема о выпуклости. В этой главе символами
Ж, 2), 3> если специально не оговорено противное, будут обозна-
обозначаться В-пространства.
Напомним, что если Т принадлежит В (Ж), то мы часто будем
называть Т оператором в ЭЕ.
1. Пространство В (Ж, 3))
В-пространство ЭЕ имеет, по крайней мере, две важные тополо-
топологии: сильную, или метрическую, топологию и слабую, или
ЭЕ*-топологию. Если пространство ЭЕ сопряжено к 3), то в нем имеется,
кроме того, и 3)-топология.
Линейное пространство В(ЭЕ, 2)) непрерывных линейных отобра-
отображений Т : ЭЕ—>3) имеет соответственно более богатый набор тополо-
топологий. Чаще всего в пространстве В (Ж, ?)) используются три тополо-
топологии: равномерная, сильная и слабая операторные топологии, опре-
определяемые следующим образом.
1. Определение. Равномерная операторная топология в В (ЭЕ, ?)) —
это метрическая топология пространства В(ЭЕ, ?)), индуцируемая
нормой
| Т I =* sup \Tx
\\ 1
2. Определение. Сильная операторная топология в В(ЭЕ, $) —
это топология, определяемая следующим базисным множеством

;. Пространство В(? fj) 513
окрестностей:
N(T; Д e) = {R\ReB(X, 2)), \{T-R)x\<b,
где а — произвольное конечное подмножество ЭЕ и е > 0 —произ-
—произвольно. Таким образом, в этой сильной топологии обобщенная
последовательность {Та} в том и только в том случае сходится к Т,
если {Тах} Для каждого х из ЭЕ сходится к Тх.
3. Определение. Слабая операторная топология в В (ЗЕ, ?)) —
это топология, определяемая следующим базисным множеством окре-
окрестностей:
А/(Г; А, Б, e) = {R\R?B(X, Ш \у*(Т-R)x\<e, y*?B, х?А],
где А и В — произвольные конечные подмножества элементов соот-
соответственно из ЗЕ и *2)* и е >0 произвольно. Таким образом, в этой
слабой топологии обобщенная последовательность {Та} в том и
только в том случае сходится к 7\ если {у*Тах} сходится к у*Тх
для всех х из ЗЕ и у* из $*.
Однако в пространстве В(ЗЕ, ?)) возможны и другие интересные
топологии. Их можно ввести таким образом, что сходимость обоб-
обобщенной последовательности {Та} к пределу Т будет пониматься
в одном из следующих смыслов:
(I) для каждого х из ЗЕ обобщенная последовательность {Тах}
сходится к Тх равномерно относительно х из любого бикомпактного
подмножества ЗЕ;
(II) для каждого у* из ?)* обобщенная последовательность
{у*Тах} сходится к у*Тх равномерно относительно л:из любого би-
бикомпактного (или ограниченного) подмножества ЗЕ;
(III) обобщенная последовательность {Та} сходится к Т так,
как определено в пунктах (I) или (II), но с заменой понятия «биком-
«бикомпактный» на «слабо бикомпактный»;
(IV) если пространство $ сопряжено к 3, то в 3"топологии
пространства У) \\таТах=Тх для каждого л;?ЭЕ; можно считать
также, что это предельное соотношение должно выполняться равно-
равномерно относительно бикомпактных, слабо компактных или ограни-
ограниченных подмножеств ЗЕ.
В заключение мы упомянем топологию, базисными окрестностями
которой служат множества
N{T\ xv х2, ..., е) = {/?|/?бБ(ЭЕ, $), § | (R- Т)х{ | < е},
где е >0 произвольно и хх, х2,. .. —произвольная последователь-
оо
ность элементов из ЗЕ, для которой J | х- < оо
33 Заказ X? 132 4

514 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
В каждой из этих топологий В (ЭЕ, 2)) есть локально выпуклое
линейное топологическое пространство. В нашей книге рассмат-
рассматриваются равномерная, сильная и слабая операторные топологии
пространства fiCE, 9!}). Ясно, что равномерная операторная топо-
топология сильнее, чем сильная операторная топология, а последняя
сильнее слабой операторной топологии.
В равномерной операторной топологии пространство В (ЭЕ, 3))
является б-пространством, в качестве такового оно обладает
и слабой топологией, которую не следует путать со слабой опе-
операторной топологией в 5(ЭЕ, Щ.
4. Теорема. Для того чтобы линейный функционал, определен-
определенный на fiCE, 9!}), был непрерывным в слабой операторной топо-
топологии, необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывным в силь-
сильной операторной топологии. 17
Доказательство. Так как сильная операторная топология силь-
сильнее слабой операторной топологии, то функционал, непрерывный
в слабой топологии, будет непрерывным и в сильной. Обратно,
пусть F будет функционалом на S3 = В (ЭЕ, ?)), непрерывным в силь-
сильной топологии. Тогда найдется такое конечное подмножество
{xv ..., хт} пространства ЭЕ и такое е > 0, что из того, что
|7Х|<е (Г б S3, /= 1, ..., /г), вытекает, что |f(T)|< 1.
Рассмотрим В-пространство tyn = ?)©... ® ?) всех упорядочен-
упорядоченных строк t) = [ух, ..., у J из элементов уг ? 9!}, i = 1, ..., п\ норму
в Ъп определим равенством | [ух, ..., уп] \ = max \уг\. Рассмотрим
отображение Н : S3—> У)г, определяемое равенством HT = [Txv ...
..., Тхп), и положим f(t)) = F (Г), если t) 6 Н (S3) и t) = НТ. Так как
из неравенства |#G)|<6е, вытекает, что \F(T)\<6, то f есть
вполне определенный функционал, непрерывный на Я (S3). По
теореме П.3.11, / имеет непрерывное линейное продолжение fl9
определенное на всем 3)д. Легко видеть, что каждый такой функ-
функционал должен иметь вид
п
h \Уъ ¦ ¦ ¦. Уп] = S У* (j/i).
г=1
где у* € 2)*, / = 1, . .., п. Следовательно, F {Т) = /\ (ЯГ) имеет вид
п
^ (Г) = S У*Тхг, а тогда ясно, что функционал F непрерывен
г=1
и в слабой операторной топологии, ч. т. д.
5. Следствие. Выпуклое множество в пространстве ?($,?))
имеет то же самое замыкание в слабой операторной топологии, что
и в сильной операторной топологии.

2. Сопряженные операторы 515
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает из
теоремы 4 и следствия V.2.14, ч. т. д.
2. Сопряженные операторы
1. Определение. Оператором 7*, сопряженным^к линейному
оператору 7 из В (ЭЕ, 9!}), называется отображение пространства
$)* в ЭЕ*, определяемое равенством 7*у*=у*7.
2. Лемма. Отображение 7 —> Г* является изометрическим изо-
изоморфизмом пространства В (ЭЕ, ?)) eSB)*, $*).
Доказательство. Линейный функционал #* ^непрерывен A.4.17),
и, следовательно, 7*z/* ? Ж*. Отображение 7 —> 7*,§; очевидно,
линейно. По следствию II.3.15, | Та:| = sup \y*Tx\, и, следовг-
тельно,
| 71* | = sup | 7*у* I = sup sup | у*Тх I =
= sup sup I y*Tx I = sup I Tx | = | T |,
откуда вытекает, что отображение 7—>Г* является изометрическим
изоморфизмом, ч. т. д.
3. Лемма. Оператор 7*, сопряженный к оператору Т из В (ЭЕ, 9) г
является непрерывным отображением пространства 9)* в X*,.
5mw пространства рассматриваются соответственно в их
и Ж-топологиях.
Доказательство тривиально и предоставляется читателю.
4. Лемма. Если 7g В (Ж, $), a t/g В (?), 3), mcT(UT)* =
Оператор, сопряженный к единичному оператору из^В (ЭЕ), является
единичным в В (Ж*).
Доказательство. Если 2* б 3*» ** 6 Ж*, то
(L/T)* z* = z*[77 = (G*2*) 7 = 7* (G*2*) = G*G*) г*,
/*л;*== #*/==;?*,
ч. т. д.
Таким образом, отображение 7—> 7* кольца В (Ж) в кольад
В (Ж*) является «антиизоморфизмом».
5. Определение. Пусть Ж и $ — образы |и ?) при естествен-
естественном их вложении в ЭЕ** и 9)** соответственно. Для любого 7 6 В (Ж, ?))
определим 7?В(Ж, $)), полагая Тх = у, где у = Тх. Функция G,
33*

516 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
областью значений которой является некоторое содержащее ЭЕ под-
подмножество пространства Ж**, называется продолжением Т, если
Их = Тх для х 6 Ж. Таким образом, при определении понятия про-
продолжения оператора Т мы идентифицируем I и ? Аналогично
если Ж = Ж**, то равенство U = T понимается в том смысле, что
Ux= fx для л? 6 Ж.
6. Лемма. Если Т 6 В (ЭЕ, 9)), то повторно сопряженный оператор
Т** . ?** ^->5)** является продолжением Т. Если $ рефлексивно,
то Т** = Т.
Доказательство. Пусть л: б Ж, */*??)*. Тогда
(Г***) у* = х7**/* = (Т*у*) л: = */*7л; = (Тх) у*,
ч. т. д.
7. Лемма. Линейный оператор Т из В (Ж, 3)) в тож и только в том
случае имеет ограниченный обратный оператор Т1, определенный
на всем 9!}, вела его сопряженный оператор Г* имеет ограниченный
обратный оператор (Г*), определенный на всем Ж*. Если эти
обратные операторы существуют, то (Г)* = G*)~1.
Доказательство. Если оператор Т1 существует и принадлежит
В(% Ж), то, по лемме 4, (ТТ-1)*-^-1)* 7* есть единичный опе-
оператор в $*, а (Г-1Т)* = Г*(Г)* — единичный оператор в Ж*.
Таким образом, оператор (Г*) существует, принадлежит В (Ж*, ?)*)
и равен (Г)*. Обратно, если (Г*) существует и принадлежит
В (Ж*, ?))*, то в силу только что доказанного G1**) существует
и принадлежит В($**, Ж**). Таким образом, отображение Г**
является гомеоморфизмом; по лемме 6, оно служит продолжением Т.
Следовательно, Т взаимно однозначно и множество ГЖ замкнуто.
Остается только показать, что ГЖ = ?). Если у б 3) и у $ ГЖ, то най-
найдется (П.3.13) такое у* g^)*, что у* ^0,у*Г-Гу=0. Но это про-
противоречит тому, что Г* взаимно однозначно, и доказывает лемму.
Попутно мы доказали также следующую лемму.
8. Лемма. Если Г6В(ЭЕ: 3)), то замыкание в ?) множества ТЭЕ
состоит из всех таких векторов у, что у*у=0 для каждого у*, удов-
удовлетворяющего уравнению Г*у*=0.
Для операторов в гильбертовом пространстве принято несколь-
несколько другое понятие сопряженного оператора. Рассмотрим гильбер-
гильбертово пространство §, и пусть Т?В($). Тогда оператор 7\, сопря-
сопряженный к 7\ принадлежит В (Sq*). Однако, поскольку пространства
$ и ig* тесно связаны между собой, как показывает теорема IV.4.5,
обычно в качестве оператора, сопряженного к Т для T^B(Sq),

3. Проекторы 517
рассматривается оператор 72=а71а, где а : ?* —> ? есть отображе-
отображение, определяемое теоремой IV.4.5. Это имеет то преимущество, что
оператор Г2 принадлежит ?(?), а не ?(?*). Мы будем называть
оператор Т2 гильбертовым сопряженным к Т. Дадим ему формаль-
формальное определение.
9. Определение. Пусть Jq — гильбертово пространство и Т 6 В ($).
Существует однозначно определенный оператор Г* ??(?), назы-
называемый гильбертовым сопряженным к 7\ удовлетворяющий условию
Если прямо не оговорено противное, термин сопряженный и обозна-
обозначение 7*, если они применяются к оператору в гильбертовом про-
пространстве, будут иметь только что указанный смысл. Оператор Т
в гильбертовом пространстве называется самосопряженным,
если Т* = Т.
Предшествующие леммы для сопряженных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве принимают следующий вид:
-* 10. Лемма. Если Т и U — ограниченные линейные операторы
в гильбертовом пространстве, то
(a) {Т +?/)* = 7* + ^*;
(b) (Т(/)*
(c) (аТ)* =
(d) /* = /;
(e) г** = Т;
(f) |Г*| = |П
(g) если один из операторов Т'1 или (Г*) существует и принад-
принадлежит В($), то и другой тоже существует и (Г~1)* = (Г*)~1.
Все эти утверждения вытекают из лемм 2, 4, 6 и 7, ч. т. д.
3. Проекторы
Проектором в произвольном линейном пространстве Ж выше
(§ 1.11) был назван такой линейный оператор Е, для которого
Е2 = Е. Если ЭЕ есть линейное топологическое пространство, то мы
будем требовать, начиная с этого места, чтобы Е был непрерывен.
1. Определение. Проектором (проекционным оператором, опера-
оператором проектирования) в пространстве ЭЕ называется такой оператор
?€Б(ЭЕ), что Е2 = Е.
—» Если Е — проекционный оператор в ЭЕ, то каждый элемент х
может быть единственным образом представлен в виде суммы
х = х1+х2ч где Ех1 = х1, Ех2 = 0. В самом деле, х=Ех + (I — Е) х
есть требуемое разложение. Обратно, если в ЗЕ даны два замкнутых

518 Гл. VI. Операторы и их сопряженные ^^
линейных подпространства Жг и Ж2 такие, что каждое х единствен-
единственным образом представляется в виде х=хг + х2, где хх 6 ЭЕ2 и х2 6 Ж2,
то функция ?, определяемая равенством Е (х) =хъ является замк-
замкнутым и, следовательно, по теореме 11.2.4, ограниченным линей-
линейным преобразованием Ж в ЭЕ, причем Е2=Е. Таким образом, суще-
существует взаимно однозначное соответствие между проекторами
в 36 и разложениями пространства Ж в прямую сумму двух замк-
замкнутых подпространств Жг и Ж2. Подпространства, соответствующие ?,
т.е. ЕЖ и A-Е) Ж характеризуются соответственно равен-
равенствами Ех=х и Ех=0.
В нижеследующих леммах перечисляются некоторые элементар-
элементарные свойетва проекторов. Другие свойства будут даны в упражне-
упражнениях.
2. Лемма. Пусть Ег и Е2 — коммутирующие между собой проек-
проекторы в В-пространстве ЭЕ. Если sffii = Ei'? и 3d. = (/ — Et) Ж,
i=l, 2, то
(a) Е1Е2 = Е2 в том и только в том случае, если ЭДЬ^Жи илиу
что эквивалентно, в том и только в том случае, если Я^с:^;
(b) оператор Е = E1Jr Е2 — ЕгЕ2 является проектором, причем
fS^spi^uaJM и (/-?Ke = $R,№;
(c) оператор Е=ЕгЕ2 является проектором, причем ?'3? = 9Л1 ПЭДЬ
и A-Е)Ж = $р{%и%Ь
(d) оператор Е=Ех—Е2 в том и только в том случае является
проектором, если ?1?2=?2. В этом случае Е?Е, = <jQl1f\^l2u (/ — ?)ЭЕ =
1©5Ш2
Доказательства непосредственно вытекают из определений и
предоставляются читателю (сравните с упражнением 1.14.6).
3. Лемма. Если Е — проектор в пространстве Ж, то Е* — про-
проектор в ЭЕ* и
= {** | *** = 0, х € (/ - ?) $};
Доказательство. Ясно, что ?'*2=?>*, так что ?* есть проектор.
Если хб 3? и ?"*у*=у*, то у*х=Е*у*х=у*Ех и у* (х— ?л:)=0.
Обратно, предположим, что у* (л:—?л:)=0 для каждого х из ЗЕ.
Тогда у*х=у*Ех, у*=у*Е и у* = Е*у*. Второе утверждение выте-
вытекает из первого при подстановке / — Е* вместо ?*, ч. т. д.
Существует интересный способ упорядочения проекторов.
4. Определение. Два проектора упорядочены естественным
образом и притом ЕХ^Е2, если Е1Е2=Е2Е1=Е1.
Это условие означает, что ?1ЗЕ^1?>2Ж, (I — Е^Ж^У — Е2)Ж.
Читатель без труда докажет следующую лемму.

4. Слабо вполне непрерывные операторы 519
5. Лемма. Естественное упорядочение проекторов, <, обладает
следующими свойствами:
(I) Е1<Е1\
(И) если Ег<Е2 и Е2*сЕ3, то ?х<?3;
(III) если Ег<Е2и ?2 < ?lf mo ?\ = ?2.
Таким образом, семейство всех проекторов в В (Ж) образует
частично упорядоченное множество. Любые два коммутирующие
между собой проектора Ех и Е2 имеют верхнюю грань
и нижнюю грань
Ег ЛЕ2 = ЕгЕ2.
Эти две операции будут особенно важны во втором томе, где мы
введем и будем изучать понятие булевской алгебры проекторов
в В-пространстве.
В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний
относительно проекторов в гильбертовом пространстве. Пусть Е —
проектор в гильбертовом пространстве Jg, a ?* — сопряженный
с ним оператор. Тогда из равенства
(Ех, A-Е)у) = (Ех, у)-(Е*Ех, у)
вытекает, что взаимно дополнительные многообразия Е$ и (I — E)!q
в том и только в том случае ортогональны, если Е=Е*Е, или, что
эквивалентно, если Е=Е*. Поэтому самосопряженные проекторы
иногда называют операторами ортогонального или перпендикуляр-
перпендикулярного проектирования или просто ортогональными проекторами.
Так как замкнутые взаимно дополнительные многообразия 3?и|)
однозначно определяют такое проектирование Е, что Efe = Ж
и (/ — ?")§=?), то из приведенного выше равенства вытекает,
что существует взаимно однозначное соответствие между самосопря-
самосопряженными проекторами и взаимно дополнительными ортогональными
многообразиями.
Следует вспомнить, что (IV.4.4) каждое замкнутое линейное мно-
многообразие в § однозначно определяет свое ортогональное дополне-
дополнение: следовательно, каждое замкнутое линейное многообразие Ж
в ig однозначно определяет такой самосопряженный проектор Е
в ig, для которого E!q = Ж.
4. Слабо вполне непрерывные операторы
1. Определение. Пусть Г б В (ЭЕ, $) и S — замкнутая единичная
сфера в Ж. Оператор Т называется слабо вполне непрерывным, если
слабое замыкание множества TS бикомпактно в слабой топологии
пространства 3). Таким образом, по теореме V.6.1, оператор в том
и только в том случае будет слабо вполне непрерывным, если отобра-
отображает ограниченные множества в слабо компактные.

520 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
2. Теорема. Для того чтобы линейный оператор Т?5(ЭЕ, ?J)
был слабо вполне непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы
7**ЗЕ** содержалось в образе х?) при естественном вложении про-
пространства ty в ?)**.
Доказательство. Через 5 и S** будут соответственно обозначаться
замкнутые единичные сферы в пространствах ЭЕ и ЭЕ**. Заметим,
что оператор Г** непрерывен в ЭЕ*- и ф*-топологиях соответственно
пространств ЭЕ** и $** (см. 2.3). Следовательно, поскольку опе-
оператор Г** является продолжением Т (см. 2.6),
(I) Г** (SO г Т** (х5) = x~G\S) с xG\S),
где S2 есть ЭЕ*-замыкание множества xS и где черта означает замы-
замыкание в 3)*-топологии. Если Т — слабо вполне непрерывный опе-
оператор, то множество TS бикомпактно в 3)*-топологии простран-
пространства 3) и, следовательно, k(TS) бикомпактно, а значит, и зам-
замкнуто в 2)*-топологии пространства 9)**. Таким образом, если
Т — слабо вполне непрерывный оператор, то соотношение (I) дает
Согласно теореме V.4.5, Sx = S** и, следовательно, 7**S** cz x G\S),
откуда следует, что
(II) Т**ЭЕ**с>?).
Обратно, пусть оператор Т?В (ЭЕ, ?)) удовлетворяет соотноше-
соотношению (II). 'Так как, по лемме 2.3, оператор Г** непрерывен в ЭЕ*-
и $*-топологиях соответственно пространств ЭЕ** и 9!}** и множе-
множество 5** ЭЕ*-бикомпактно в ЭЕ** (теорема V.4.2), то множество
r**S**C)tD является 2)*-бикомпактным A.5.7). Таким образом,
?)*-гомеоморфный образ k(TS) множества TS является подмно-
подмножеством ?)*-бикомпактного подмножества хЗ). Следовательно,
2)*-замыкание множества n(TS) является 3)*-бикомпактным под-
подмножеством х?), а ^)*-замыкание множества TS является ?)*-биком-
пактным подмножеством 3)> ч- т- Д-
3. Следствие. Если либо Ж, либо 3) рефлексивно, то каждый
оператор из В (ЭЕ, ?)) является слабо вполне непрерывным.
Доказательство. Пусть Т?В(?, [?)). Если пространство ?)
рефлексивно, то
а если пространство'ЭЕ рефлексивно, то
Г**ЭЕ** = 7**хЖ = хТЭЕ с х?).
Таким образом, в обоих случаях из теоремы 2 вытекает, что Т слабо
вполне непрерывен, ч. т. д.

4. Слабо вполне непрерывные операторы 521
4. Следствие. Множество слабо вполне непрерывных операторов
замкнуто в равномерной операторной топологии пространства
W
Доказательство. Если Тп—>Т в В (Ж, $), то, по лемме 2.2,
| Т**«— Т** |—>0. Если Тп — слабо вполне непрерывный оператор,
то для каждого *** из Ж** Г***** €и?) (теорема 2), а так как мно-
множество х?) замкнуто в метрической топологии пространства 2)**,
то 7**л:** € х2}. Следовательно, Т**ЭЕ** cix^), и наше утверждение
вытекает из теоремы 2, ч. т. д.
5. Теорема. Линейные комбинации слабо вполне непрерывных
операторов слабо вполне непрерывны. Произведение слабо вполне непре-
непрерывного линейного оператора и ограниченного линейного оператора
слабо вполне непрерывно.
Доказательство. Пусть 7, V б В (Ж, 2)), W б В (% 8), V ? В C, Ж),
а, р ?Ф, и пусть операторы Т и U слабо вполне непрерывны. Тогда
из теоремы 2, леммы 2.2 и леммы 2.3 вытекают следующие вклю-
включения:
{аТ + pi/)** Ж** = (аТ** + р?/**) Ж** с х?),
GV)** В** — j1**V**^** с~ т1**^** ^ х?!)
(ГТ)** Ж** = Г**Г**Ж** Е ^**х?) = IF2) g xg.
Теорема 5 вытекает из этих включений и теоремы 2, ч. т. д.
6. Следствие. В равномерной операторной топологии простран-
пространства В (Ж) слабо вполне непрерывные операторы образуют замкну-
замкнутый двусторонний идеал.
Мы уже видели (лемма 2.3), что оператор Г*, сопряженный
к произвольному оператору Т из В (Ж, ?)), непрерывен относи-
относительно Ж- и 3)-топологий соответственно в пространствах Ж* и 2)*.
Нижеследующий результат показывает, что если оператор Т слабо
вполне непрерывен, то сопряженный к нему оператор 7* обладает
более сильным свойством непрерывности.
7. Лемма. Для того чтобы оператор из В (Ж, ?)) был слабо
вполне непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы сопряженный
к нему оператор был непрерывен относительно Ж**- и ^-тополо-
^-топологий соответственно в пространствах Ж* и 2)*.
Доказательство. Предположим, что оператор Т слабо вполне
непрерывен. По теореме 2, для каждого х** из Ж** найдется такое
у из ?), что
х** (Т*у*) = (Т**х**) у* = у*у, у* б ?)*.

522 Г л VI Операторы и их сопряженные
Таким образом, если Уа—>У* в ^-топологии пространства 2)*, то
Т1*^—> 7*г/* в ЗЕ**-топологии пространства ЗЕ*. Следовательно,
оператор 7* обладает необходимым свойством непрерывности A.7.4).
Обратно, пусть оператор 7* непрерывен относительно ЗЕ**- и 9)-
топологий в пространствах ЗЕ* и 9)* соответственно, и пусть х%* ? ЗЕ**.
Если УаУ-*У*у, у?Ъ, то хТТ*у? = Т**хТуа-> 7^**4V- Таким
образом, 7**л:** из 9)** есть непрерывный линейный функционал
на 9)* в его 9)-топологии. Из теоремы V.3.9 вытекает, что 7***0* G х?)
и, следовательно, 7**Э?** (Цх?). Наше утверждение вытекает
теперь из теоремы 2, ч. т. д.
8. Теорема (В. Р. Гантмахер). Оператор из В (ЭЕ, $) в теш
а только в том случае является слабо вполне непрерывным, если
сопряженный к нему оператор слабо вполне непрерывен.
Доказательство. Предположим, что Т — слабо вполне непреры-
непрерывен. Так как замкнутая единичная сфера S* пространства ?)*
^-бикомпактна (V.4.2), то, по лемме 7 и лемме 1.5.7, множество 7*5*
бикомпактно в ЭЕ**-топологии пространства Ж*. Следовательно,
оператор 7* слабо вполне непрерывен.
Обратно, если 7* — слабо вполне непрерывный оператор, то,
по лемме 7, оператор 7** непрерывен в ЭЕ*- и ?)***-топологиях
пространств ЭЕ** и 3)** соответственно. Если S и 5** — замкну-
замкнутые единичные сферы соответственно в Ж и Ж** и если х есть естест-
естественное вложение пространства ЗЕ в ЭЕ**, то, по теореме V.4.5, мно-
множество xS является ЭЕ*-всюду плотным в S** и, следовательно,
ввиду непрерывности 7**, 7**S** содержится в ?)***-замыкании
множества 7**xS==x7S. Согласно теореме V.3.13, ?)***-замыка-
ние выпуклого множества x7S совпадает с его сильным замыка-
замыканием. Таким образом, 7**S**c~x?), и наше утверждение вытекает
из теоремы 2, ч. т. д.
5. Вполне непрерывные операторы
1. Определение. Пусть 7?В(ЭЕ, ?)) и S — замкнутая единич-
единичная сфера в Ж. Оператор 7 называется вполне непрерывным, если
сильное замыкание множества TS бикомпактно в сильной тополо-
топологии пространства 9).
2. Теорема (Шаудер). Оператор из В (ЗЕ, ?)) является вполне
непрерывным в том и только в том случае, если сопряженный к нему
оператор вполне непрерывен.
Доказательство. Пусть S и 5* — замкнутые единичные сферы
в пространствах ЗЕ и 9)* соответственно. Предположим, что 7
вполне непрерывен, и пусть {уп} — произвольная последователь-

5. Вполне непреры^чче операторы 523
ностьвЗ*. Так как |у*у — y*z\< \у — г\, )п= 1, 2,с..., то, по тео-
теореме IV.6.7, некоторая подпоследовательность у% у равномерно
сходится для у из бикомпактного множества TS. Следовательно,
Уп.Тх = (Т*упг) х сходится равномерно для х из S. Отсюда выте-
вытекает, что Т*уп. сходится в сильной топологии пространства X*.
Следовательно, оператор Т* вполне непрерывен.
Обратно, предположим, что Г* вполне непрерывен. Тогда, по
только что доказанному, Т** вполне непрерывен; следовательно,
если S** есть замкнутая единичная сфера в Ж**, то множество
T**S** вполне ограничено A.6.15). Таким образом, так как x7\S[~
crT**S**, то множество kTS вполне ограничено; следовательно,
и TS вполне ограничено, а значит, множество TS бикомпактно
A.6.15), и оператор Т вполне непрерывен, ч. т. д.
3. Лемма. Множество вполне непрерывных операторов замкнуто
в равномерной операторной топологии пространства В (ЭЕ, 3)).
Доказательство. Пусть S — замкнутая единичная сфера в про
странстве ЭЕ, Тп — вполне непрерывный оператор и \Тп — Т\—>0.
Тогда для заданного е>0 найдется такое я, что | Гп — Т\ < е/3.
Так как Тп вполне непрерывен, то, по теореме 1.6.15, в S найдутся
такие точки хъ ..., хр, что
inf \тпх-Тпхг\<±9 x?S.
Отсюда следует, что
inf \Тх-Тхг\<гу x?S.
i '
Таким образом, множество TS вполне ограничено и TS биком-
бикомпактно A.6.15), ч. т. д.
4. Теорема. Линейные комбинации вполне непрерывных линейных
операторов являются вполне непрерывными операторами; каждое
произведение вполне непрерывного линейного оператора и ограничен-
ограниченного линейного оператора является вполне непрерывным линейным
оператором.
Доказательство. Справедливость теоремы 4 легко вытекает из
того факта, что множество в метрическом пространстве бикомпактно
в том и только в том случае, если оно компактно A.6.13), ч. т. д.
5. Следствие. В равномерной операторной топологии простран-
пространства В ($) вполне непрерывные операторы образуют замкнутый
двусторонний идеал.

524 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает из
леммы 3 и теоремы 4, ч. т. д.
Читатель заметит аналогию между леммой 4.7 и следующим
результатом.
6. Теорема. Для того чтобы оператор из В (ЭЕ, 3)) был вполне
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы сопряженный к нему
оператор переводил ограниченные обобщенные последовательности,
сходящиеся в ^-топологии пространства 2)*, в обобщенные после-
последовательности, сходящиеся в метрике пространства Ж*.
Доказательство. Пусть S и S* — единичные сферы пространств
I и 3)* соответственно и Т?В (X, ?)). Напомним, что обобщенная
последовательность в пространстве ЭЕ* в том и только в том случае
сходится в метрике пространства Ж*, если она сходится равномерно
относительно S. Из доказательства следствия V.4.4 видно, что мно
жество Т (S) изометрично некоторому ограниченному подмножеству
множества C(S*), где 5* рассматривается в 9)-топологии. Условие
нашей теоремы эквивалентно утверждению, что если обобщенная
последовательность {у а) ограничена и у а—>у* в 9)-топологии,
то уа(Тх)—>у%{Тх) равномерно относительно х из S. Ввиду опре-
определения IV.6.6 это условие эквивалентно утверждению, что Т (S)
есть равностепенно непрерывное подмножество C(S*). Из теоремы
IV.6.7 вытекает, что T(S) относительно бикомпактно в метрике про-
пространства 3) в том и только в том случае, если это условие выполнено,
ч, т. д,
6. Операторы с замкнутой областью значений
Как было отмечено в лемме 2.8, замыкание области значений
оператора Gf 5C?, D) состоит из таких векторов г/, для которых
из равенства г/*(УЭЕ = О вытекает, что у*// = 0. Или, иными словами,
[УЭЕ = {у| из ?7*г/* = 0 вытекает, что у*у = 0}.
Двойственное этому утверждение: если [/gBC?, 2)), то
U*ty* = {х* | из Их = 0 вытекает, что х*х = 0},
вообще говоря, не справедливо, что будет видно из соответствую-
соответствующего упражнения. Однако это двойственное утверждение все же
справедливо в тех случаях, когда область значений UX замкнута,
в этом случае область значений U*SD* тоже замкнута. Двойственно
этому, если U*ty* замкнуто, то и 1Л? тоже. Эти результаты содер-
содержатся в двух нижеследующих теоремах. Дополнительная информа-
информация по этому вопросу содержится в упражнениях § 9.
1. Лемма. Если область значений оператора U из В (Ж, 3)) замк-
замкнута, то существует такая константа К, что каждому у из UX

6. Операторы с замкнутой областью значений 525
соответствует такое х, что Ux = y и |*|
Доказательство. Из принципа открытости отображения (II.2.1)
вытекает, что единичная сфера S пространства ЭЕ отображается
на множество US, содержащее некоторую относительную сферу
{У IУ € ?/ЭЕ, IУI < б) ПРИ б > °- Таким образом, для О Ф y?Ul вектор
6*//2|г/| является образом при отображении U некоторого вектора
z с нормой |z|<l. Следовательно, если х= V*, то Ux = y
и |*|<у|г/|,ч.т. Д.
2. Теорема. Если область значений оператора U из В (ЭЕ, ?))
замкнута, то областью значений сопряженного с ним оператора
является совокупность таких х* из Ж*, что из равенства Ux==0,
вытекает равенство х*х = 0.
Доказательство. Пусть л:* удовлетворяет условию теоремы;
определим (возможно, разрывный) линейный функционал у% на
|H = [/?,_ полагая yl{Ux) — x*{x). Ввиду условия, наложенного на
х*, г/* определено однозначно. В силу предшествующей леммы
существует такая константа К, что для каждого у ? 9H найдется
такое х, что | х \ < /С | у \ и Ux=y. Следовательно, | у% (у) \ <. К \ х* 11 у |.
По теореме II.3.11, //о можно продолжить до непрерывного линей-
линейного функционала г/*, определенного на всем 3), и при этом U*y*=x*.
Из определения оператора ?/* ясно, что каждый элемент из его
области значений удовлетворяет условию теоремы, ч. т. д.
3. Лемма. Если оператор, сопряженный к оператору U из
В (Ж, ?)), является взаимно однозначным и имеет замкнутую область
значений, то ?/? = ?).
Доказательство. Пусть 0=?г/??) и
Тогда Г будет 3)-замкнутым в ?)*.
Предположим сначала, что множество G* Г замкнуто в
Х-топологии и отлично от t/*3)*. Ввиду следствия V.3.12 найдется
такое л:?Ж, что xL/*?)* ф 0, х?/*Г = 0. Это означает, что (Ух =? О
и y*Ux = 0 для каждого #* б Г. По лемме V.3.10, Ux = ay для не-
некоторого ненулевого скаляра а. Следовательно, y?U% и ?7Ж = ?)>
что нам и нужно доказать.
Остается показать, что ?/*Г замкнуто в 36-топологии, но не
равно ?/*?)*. Так как уф 0, то Г есть собственное подмножество
в 3)*. Следовательно, так как оператор [У* обратим, G*Г является
собственным подмножеством в ?7*2)*. Наконец, для того чтобы по-

526 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
казать, что множество U*T замкнуто в ЗЁ-топологии, достаточно
ввиду теоремы V.5.7 (или V.5.8) показать, что в этой топологии
замкнуто (G*Г)П^** ^* здесь есть замкнутая единичная сфера про-
пространства Ж*. По лемме 1, множество (G*)S* ограничено. Следо-
Следовательно, (U*I S* содержится в некотором кратном nS* замкну-
замкнутой единичной сферы S* пространства 9)*. По теореме V.4.2, множе-
множество nS* бикомпактно в 9)-топологии пространства 9)*. Так как,
по лемме 2.3, U* является непрерывным отображением простран-
пространства 9)* с его 9)-топологией в пространство ЭЕ* с его ЭЕ-топологией,
то образ при отображении U* бикомпактного множества 5*
замкнут. Следовательно, множество A/*Г)ГM* = S*[]U* (
Ж-замкнуто, ч. т. д.
4. Теорема. Если оператор, сопряженный к некоторому опера-
оператору U из В (Ж, 9)), имеет замкнутую область значений, то область
значений оператора U замкнута и состоит из таких векторов у
пространства 9), для которых из условия U*y* = 0 вытекает,
что у*у = 0.
Доказательство. Рассмотрим отображение Ux пространства Ж
в $ = [/($), определяемое равенством иг (х) = U (х). Тогда, так как
оператор Vx имеет всюду плотную область значений, оператор U\
взаимно однозначен. Если х* б X* принадлежит замыканию множе-
множества [/*3*. то jc* = limfy*z*, где z*G3*- Если Упасть продол-
тг->оо
жениег^ на все 9) (П.3.11), то ** = lim [/*#*, а так как область зна-
чений оператора U* замкнута, то х* = (У*у* для некоторого у* б 9)*.
Если -г* есть сужение у* на 3» то а:* = ^У*-г*. Следовательно,
область значений оператора U* тоже замкнута. Из предыдущей
леммы вытекает, что 01Ж = иж = 3- Следовательно, область значе-
значений оператора U замкнута, ч.т.д.
5. Теорема. Если оператор и^В(Ж, ?)) отображает ограни-
ограниченные замкнутые множества на замкнутые множества, то его
область значений замкнута.
Доказательство. Пусть y = \\mUxn принадлежит замыканию
п
множества i/Ж и пусть $Ш = {х | Ux = 0}. Обозначим через dn
расстояние между хп и Я#, и пусть ^пб9К таково, что
dn<\xn-wn\<2dn.
Если последовательность {xn—wn} соДержит ограниченную под-
подпоследовательность {хп. — wn.}, то, по предположению, замыкание
этой подпоследовательности отображается на замкнутое множе-

7. Общий вид линейных операторов в С (S) 527
ство, содержащее у = lim U (хп. — wn) и, значит, у ? 1)Ж. Таким обра-
образом, для того чтобы завершить доказательство, достаточно пока-
показать, что предположение \хп — wn\—^oo приводит к противоречию.
Пусть |*Л—г0п|—»со; так как U (xn—wn)—>y, то, очевидно,
^o и, следовательно, по предположению, 3JJ
содержит точку w, принадлежащую замыканию ограниченной
последовательности I Xn_Wn , \ . Если число п выбрано так, что
1
¦-W
ТО
что противоречит определению dn, ч. т. д.
6. Следствие. Если оператор U из В (Ж) отображает ограничен-
ограниченные замкнутые множества на замкнутые множества, то области
значений всех его итераций замкнуты.
7. Общий вид линейных операторов в С (S)
При применении теорем из параграфов 4 и 5 часто бывает полез-
полезным подробное знание специфического аналитического выражения
для самого общего вполне непрерывного или слабо вполне непрерыв-
непрерывного линейного отображения между заданной парой В-пространств.
В некоторых случаях легко получить совершенно полную информа-
информацию. В настоящем параграфе будет показано, что это так, напри-
например, для оператора, областью значений которого является прост-
пространство непрерывных функций. В некоторых других случаях, нао-
наоборот, известно очень немногое. Так, например, нетрудно видеть,
что общее непрерывное линейное отображение Т пространства
?р [0, 1], р > 1, в Lq [0, 1] имеет вид
вместе с тем не известно никакого удовлетворительного выражения
для нормы Т. Не известно также никаких условий на К (s, t)9
эквивалентных полной непрерывности Т. Конечно, условия на
К (s, t)t достаточные аля того, чтобы обеспечить полную непрерыв-
непрерывность 7\ дать можно; такие условия помещены в упражнениях.

528 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Настоящий параграф, касающийся бикомпактного хаусдорфова
пространства S, разделен на две части. Сначала мы рассматриваем
операторы с областью значений в C(S), а затем — операторы,
определенные на C(S).
1. Теорема. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово простран-
пространство, а Т — ограниченный линейный оператор, отображающий
В-пространство Ж в C(S). Тогда существует такое непрерывное в
Ж-топологии пространства Ж* отображение x:S —>Ж*, что
A)
B)
Обратно, если задано такое отображение т, то оператор Т, опреде-
определяемый равенством A), есть ограниченный линейный оператор,
отображающий Ж в C(S), и с нормой, определяемой равенством
B). Для того чтобы оператор Т был слабо вполне непрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы т было непрерывно в Ж** -тополо-
-топологии пространства Ж*. Для того чтобы оператор Т был вполне
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы х было непрерывно
в топологии, определяемой нормой пространства Ж*.
Доказательством Пусть Т — ограниченное линейное отображе-
отображение Ж в C(S). Сопряженный к Т оператор Г* отображает С* (S)
в Ж*. Кроме того, отображение я: S-->C*(S), определяемое усло-
условием
является гомеоморфным отображением S в некоторое бикомпактное
подмножество пространства С* (S) с его С E)-топологией (см. V.8.7).
По лемме 2.3, Т* непрерывно в С E)-топологии пространства
С* (S) и ЭЕ-топологии пространства Ж*, следовательно, отображение
х : S—> Ж*, определяемое равенством т = Г*я, непрерывно в Ж-топо-
Ж-топологии пространства Ж*. Легко видеть, что равенства A) и B)
справедливы. Обратно, если отображение t:S—>Ж* непрерывно
в Ж-топологии пространства Ж*, то ясно, что равенством A) опре-
определяется некоторое линейное отображение пространства Ж в С (S)
с нормой
sup | t(s)* | = sup sup \x(s)x\ = sup|t(s)|.
Это завершает доказательство первой части теоремы.
Если Т слабо вполне непрерывен, то, по лемме 4.7, 7* непреры-
непрерывен в С E)-топологии пространства С* (S) и Ж** -топологии прост-
пространства Ж*, чем гарантируется непрерывность т. Обратно, если
т непрерывно в Ж** -топологии и если s^—^Sq в S, то x(sa)—>x(s0)
в Ж**-топологии пространства ЭЕ*. Далее, x(sa) и х (s0) принадле-

7. Общий вид линейных операторов в С {S) 529
жат С(В2), где В2 есть единичный шар пространства Ж**, рассма-
рассматриваемого в его ?*-топологии. По теореме Арцела (IV.6.11), эта
сходимость квазиравномерна на В2, а следовательно, и на В — еди-
единичной сфере пространства Ж. Отсюда и из равенства A) мы заклю-
заключаем, что ограниченное множество Т(В) представляет собой квази-
равностепенно непрерывное множество функций в C(S). По теореме
IV.6.14, Т(В) относительно слабо бикомпактно, так что Т слабо
вполне непрерывен. Это дополняет доказательство утверждения
относительно слабой полной непрерывности операторов.
Наконец, если Т вполне непрерывен, то из теоремы 5.6 и огра-
ограниченности я; (S) в С* (S) вытекает непрерывность отображения т
в определяемой нормой топологии пространства Э?*. Обратно, пусть
т непрерывно в определяемой нормой топологии пространства ЭЕ*.
Тогда для заданного е > 0 и s0 ? S найдется такая окрестность N точки
50, что если sg N, то
sup \Tx{s)-Tx(so)\=:\t(s)-t{so)\< 6.
х?В
Следовательно, если s принадлежит Л/, то | Тх (s) — Тх (s0) | < г
при всех х из В. В силу определения IV.6.6, множество Т (В) является
равностепенно непрерывным подмножеством в C(S). Ввиду огра-
ограниченности множества Т (В), оно, по теореме IV.6.7, относительно
сильно бикомпактно. Следовательно, Т — вполне непрерывен и на-
наша теорема доказана.
Только что доказанная теорема дает довольно полную информа-
информацию относительно операторов с областью значений в С (S). Теперь
мы займемся общим видом операторов 7\ определенных на C(S).
Имея в виду теорему (IV.6.3) о представлении линейных функциона-
функционалов на C(S), мы можем надеяться, что представление операторов
будет осуществляться с помощью векторной меры, значения которой
принадлежат Ж. Так, оказывается, и будет в случае слабо вполне
непрерывных операторов; в общем же случае значения меры будут
принадлежать пространству ЭЕ**.
В дальнейшем через ^ будет обозначаться алгебра борелевских
множеств из S, т. е. а-алгебра, порождаемая замкнутыми множест-
множествами из S. Если |i есть функция, определенная на $ и со значени-
значениями в В-пространстве, то, согласно определению IV. 10.3, через
|| (я || (Е) обозначается полувариация функции \i на множестве Е б 98,
определяемая равенством
IWl(E)-sup|? а4ц (?») | ,
г=1
где верхняя грань берется по всем конечным совокупностям попарно
не пересекающихся борелевских множеств из Е и всем конечным
множествам скаляров а1У...,ап, для которых |а||<1.
34 Заказ № 1324

5Я0 Гл. VI Операторы и их сопряженные
Теперь мы перейдем к отысканию общего вида линеййого опера-
оператора.
2. Теорема. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство
а Т — оператор, отображающий С (S) в ЭЕ. Тогда существует и при-
притом только одна такая функция множества \х, определенная на боре-
левских множествах из S и со значениями в ?**, что
(a) \i (-)х* для каждого х* из Ж* принадлежит rca (S)\
(b) отображение х*-^\л(-)х* пространства 3?* в rca(S) непре-
непрерывно в Ж- и С (S)-топологиях этих пространств соответственно;
(c) **Г/=* J Ks)[i(ds)jc*, f?C{S), x*G?*;
(d) | Г| = ||,i||(S).
Обратно, если \i есть функция множества, определенная на боре-
левских множествах из S, со значениями в ЭЕ** и удовлетворяющая
условиям (а) и (Ь), то равенством (с) определяется линейное отобра-
отображение Т пространства С (S) в 3?, норма которого определяется равен-
равенством (d), а сопряженный оператор—равенством Т*х* = \i(-)x*.
Доказательство. Пусть Е$.$?\ обозначим через фЕ элемент
пространства С** (S), второго сопряженного к С (S), определяемый
равенством
Определим функцию множества \л : Ж —>Э?**, полагая
По теорем© Рисса об общем виде линейного функционала (IV.6.3),
Т*х* является мерой Хх* б rca(S). Из равенства
А,*. (?) = ф? (Я«.) = Фя (T*x*) = Т**Фя (х*) = |i (?) ^*
вытекает справедливость утверждений (а) и (с). Из этого же равен-
равенства вытекает, что Г*** = \х (• )х*, откуда следует справедливость
утверждения (Ь). Нетрудно проверить и справедливость равенства (d).
Обратно, если для отображения, переводящего х* в \х (• )х*, выпол-
выполнены условия (а) и (Ь), то для каждого фиксированного f?C(S)
отображение
непрерывно в Ж-топологии пространства ЗЕ* и, следовательно
(V.3.9), оно порождается некоторым элементом xf б 3?. Таким обра-

7. Общий вид линейных операторов в C(S) 531
зом, отображение Т : f—>xf, определяемое равенством (с), есть
линейное отображение пространства C(S) в Ж. Легко доказать, что
оно ограничено и обладает требуемыми свойствами, ч. т. д.
В случае слабо вполне непрерывного оператора значения мер
лежат в Ж, а не только в Ж**.
3. Теорема. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство,
а Т — слабо вполне непрерывный оператор, отображающий С (S)
в Ж. Тогда существует такая векторная мера \i, определенная
на борелевских множествах из S и со значениями в Ж, что
(a) x*\i принадлежит rca(S), х*?Ж*;
(b) 77= 5 f(s)\i(ds)9 feC(S);
8
(c) |7| = |||i||(S);
(d) T*x* = x*yl, **6Ж*.
Обратно, если \i есть векторная мера, определенная на борелев-
борелевских множествах из S, со значениями в В-пространстве Ж и удовлет-
удовлетворяющая условию (а), то оператор Т, определяемый равенством (Ь),
является слабо вполне непрерывным оператором, отображающим
С (S) в Ж; норма его определяется равенством (с), а сопряженный
к нему оператор — равенством (d).
Доказательство. Если Т —слабо вполне непрерывен, то, по тео-
теореме 4.2, оператор 7** отображает С** (S) в образ х (ЗЕ) при есте-
естественном вложении пространства ЭЕ в ЭВ**. Следовательно, в силу
конструкции, данной в теореме 2, функция ]ы определена на борелев-
борелевских множествах 2, и значения ее принадлежат хC?). Поэтому
мы можем и будем считать \х отображением в Ж. Так как x*\i
для каждого х* из ЗЕ* принадлежит rca (S), то, по теореме IV. 10.1, \л
есть сильно счетно аддитивная векторная мера. Следовательно,
по теореме IV. 10.8 (с), интеграл в равенстве (Ь) существует, и его
значение принадлежит Ж. Из равенства (с) в теореме 2 заключаем,
что
Tf=\f(s)\i(ds),
Справедливость равенств (с) и (d) вытекает из соответствующих
результатов в теореме 2.
Обратно, пусть \i будет Ж-значной мерой, определенной на боре-
борелевских множествах из S и такой, что х*\х для каждого х* из Ж*
принадлежитrca(S). Ясно, что оператор Т, определяемый равенством
(Ь), есть ограниченный линейный оператор, отображающий С (S) в Ж,
и что сопряженный к нему оператор Г* определяется равенством (d).
34*

532 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
По следствию IV. 10.2, Т* отображает единичную сферу простран-
пространства ЗЕ* в слабо компактное подмножество из rca(S), а, значит, Г*
слабо вполне непрерывен. По теореме 4.8, отсюда следует, что и Т
есть слабо вполне непрерывный оператор, ч. т. д.
4. Теорема. ЕслиТ—слабо вполне непрерывный оператор, ото-
отображающий С (S) в Ж, то Т отображает слабо фундаментальные
последовательности в сильно сходящиеся последовательности. Сле-
Следовательно , Т отображает относительно слабо бикомпактные
подмножества из С (S) в относительно сильно бикомпактные под-
подмножества Ж.
Доказательство. Если {/п} — слабо фундаментальная последо-
последовательность в C(S), то она (II.3.20) ограничена. Ясно, что предел
f0 (s)=lim fn (s) существует для каждого s ? 5. Хотя предельная функ-
функция^ может и не принадлежать С (S), она, во всяком случае, ограни-
ограничена и измерима. Пусть \х — векторная мера, соответствующая опе-
оператору Т в силу предыдущей теоремы. Тогда
lt /i*0f 1,2, ....
8
Таким образом, по теореме IV. 10.10, отсюда вытекает, что {Т{п}
есть сходящаяся последовательность, чем и доказано первое наше
утверждение; второе же непосредственно вытекает из первого,
ч. т. д.
5. Следствие. Произведение двух слабо вполне непрерывных опе-
операторов в C(S) вполне непрерывно; в частности, квадрат слабо
вполне непрерывного оператора в С (S) вполне непрерывен.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает
из теоремы 4, ч. т. д.
Как было доказано в следствии 4.3, произвольный ограниченный
оператор с областью значений в рефлексивном 5-пространстве
является слабо вполне непрерывным. Нижеследующая теорема
утверждает, что это же верно и для слабо полных пространств, если
только областью определения служит C(S).
6. Теорема. Произвольный ограниченный линейный оператор,
отображающий C(S) в слабо полное В-пространство 3?, слабо вполне
непрерывен.
Доказательство. Прежде всего мы докажем теорему в предполо-
предположении, что S есть бикомпактное метрическое пространствр. Пусть
в этом случае [л обозначает функцию множества, определяемую тео-

7. Общий вид линейных операторов в C(S) 533
ремой 2. Для того чтобы доказать нашу теорему, достаточно ввиду
теоремы 3 показать, что \i (Е) принадлежит х (ЭЕ) для каждого боре-
левского множества Е.
Обозначим через 3S борелевские множества из 5. Тогда В E, 3?)
(см. IV.2.12) будет пространством определенных на 5 ограничен-
ограниченных функций, измеримых по Борелю. Обозначим через 93О пересе-
пересечение всех линейных многообразий 33 с: В (S, 3$), обладающих
следующими двумя свойствами:
(I) С E)^23;
(II) если {ftl} есть равномерно ограниченная последовательность
из 95 и если f(s)= lim fn(s) для каждого 5 из 5, то /б S3.
П -> ОО
Ясно, что Я30 обладает этими двумя свойствами. Докажем теперь,
что 93О представляет собой алгебру при естественном определении
произведения (fg) (s)=f (s)g(s), s?S. Для того чтобы убедиться
в этом, предположим, что h есть некоторый фиксированный элемент
из C(S), и пусть 83 (Я)={/ е 93О | /Я е аЗо}. Ясно, что 23 (А)?1»»
и что S3 (Я) обладает свойствами (I) и (II), так что 93(/i)=230. Этим
доказано, что если h?C(S) и f g Э30, то fh?$B0. Далее, пусть/—
некоторый фиксированный элемент из 23О, и пусть S3 (f) =
= {g€ ЯЗо | fee 33О}. Мы только что доказали, что С (S) с: 23 (/), и ясно,
что условие (II) тоже выполнено. Как и прежде, это означает, что
230=l33(f), так что 53О является алгеброй.
Обозначая через %Е характеристическую функцию множества
?, предположим, что &0=\Е?& | %Е? 23О}. Так как 93О есть
алгебра, удовлетворяющая условию (II), то легко видеть, что $?ъ
является ст-алгеброй, содержащейся в <$. Мы покажем, что i?0=i?,
доказав, что ^0 содержит все замкнутые множества.
Пусть ^ — произвольное замкнутое множество в S. Так как S,
по предположению, есть бикомпактное метрическое пространство,
то в S найдется такая возрастающая последовательность открытых
ОО
множеств {Gn}, что f'= (J Gn и Gn f] F=0. По теореме Урысона
A.5.2), найдется такое CtC(S), что |fj=l, fn(f)=l и fnEj=0.
Ясно, что fn(s)—>%F(s) при sgS, и, следовательно, х^бЗЗо-
Теперь мы покажем, что \i (E) g ЗБ для Е?$. Рассмотрим сово-
совокупность 5ВХ всех таких f?B(S, i?), что
s
Множество S3X представляет собой линейное многообразие, содер-
содержащее СE). То, чтоЗ?! удовлетворяет условию (II), вытекает из.
соотношения
*= lim x* \ fn(s)\i(ds),

534 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
и слабой полноты пространства ЭЕ. Следовательно, $80^33i« Так как
для Е б ^?=^0, то, действительно, \л отображает J^bJ. Этим наша
теорема доказана при дополнительном предположении, что 5 есть
бикомпактное метрическое пространство.
Чтобы завершить доказательство, предположим, что S есть
бикомпактное хаусдорфово пространство. Пусть {fn} — произволь-
произвольная последовательность элементов единичной сферы пространства
С E). Обозначим через SQ множество классов эквивалентности в S,
определяемое отношением: s~ s' в том и только в том случае, если
fn(s)=fn(s'), n=l,2,.... Мы превратим So в метрическое прост-
пространство, задавая метрику
Q( 0S4fn()
n=l
Пусть jt : s—>s0 —каноническое отображение точки в ее класс
эквивалентности. Из непрерывности fn вытекает непрерывность я.
Следовательно, So есть бикомпактное метрическое пространство.
Рассмотрим пространство C(S0); заметим, что если фбСE0), то
функция /, определяемая равенством f(s)=ф (я (s)), принадлежит
С(S); определим теперь отображение TQ: C(S0)—>3?, полагая Гоф=
= Г/. Ясно, что То есть линейное преобразование и что | То\ < | Т\.
Заметим, кроме того, что каждое fn однозначно определяет функцио-
функционал фп^СE0) такой, что fv(s) = <pn(n(s)). Согласно первой части
доказательства, То слабо вполне непрерывен. Найдется, следова-
следовательно, такая подпоследовательность {фп^}, что {Т0<рПк} слабо схо-
сходится в Ж. Так как Т/П = 7офп, то подпоследовательность {7/nfe}
будет слабо сходящейся, так что Т—слабо вполне непрерывный
оператор, что нам и оставалось доказать.
Поскольку вполне непрерывный оператор является и слабо
вполне непрерывным, он может быть представлен векторной мерой
по теореме 3. Как и следует ожидать, эта мера особого рода.
7. Теорема. Оператор Т : С (S) —> Ж в том и только в том слу-
случае является вполне непрерывным, если векторная мера \х : В—>$,
соответствующая ему по теореме 3, принимает значения из некото-
некоторого бикомпактного подмножества ЭЕ.
Доказательство. Если Г—вполне непрерывен, то, по теоре-
теоремам 4.2 и 5.2, Т** является вполне непрерывным оператором, ото-
отображающим С** E) в ЭЕ, и из построения \л следует, что ее значения
принадлежат некоторому бикомпактному подмножеству ЭЕ.

7. Общий вид линейных операторов в C(S) 535
Для того чтобы доказать обратное, достаточно, очевидно, пока-
показать, что совокупность К всевозможных сумм вида
rj\v множества (?J попарно не пересекаются и |а{|< 1, есть вполне
ограниченное подмножество Ж. Пусть задано е > 0, и пусть М равно
полувариации (я на 5. Выберем такое множество комплексных чисел
{Pi, . •., Рр}, что | Pt | < 1 и что если | а | ^ 1, то найдется Pt = Р (а)
такое, что |Р (а) — а| < тщ . Обозначим через 98 алгебру борелев-
ских множеств из 5, и пусть {Fly ..., Fq}a& таково, что если
Е?3?у то найдется такое Fk—F(E)y что \\i(F(E) — \i(E)\ < -^~ .
Тогда, из определения полувариации,
п п
(?4) - 2 Р («,) И (?4) | = 11 («i - Р К)) I* уЕ.
i=* 1 г= 1
8
П р
Далее, 2 Р (ai) P1 (^г) может быть записана в виде суммы У
1 У 1
г= 1 У= 1
где {?J} — семейство попарно не пересекающихся множеств из
Таким образом,
Мы доказали, что каждый элемент из К может быть аппроксимиро-
аппроксимирован с точностью до произвольного положительного расстояния е
суммами вида 2 Р/^С^л )• Этим доказано, что /С вполне ограничено.
Следовательно, оператор 7\ определяемый равенством Т/ =
= \ /(s)fx№)» /6 СE), вполне непрерывен, ч. т. д.
s
Мы уже видели (IV.6.18, IV.7.6 и V.8.11), что пространства
B(S), B(S,2), АР и Loo E, 2, (я) изометрически изоморфны про-
пространству CEi), где 5Х есть некоторое бикомпактное хаусдорфово
пространство. Тоже самое справедливо (IV.6.22) и для пространства
ограниченных непрерывных функций, заданных на вполне регуляр-
регулярном пространстве, а также для пространств с и 1^. Следовательно,
каждый оператор, определенный на одном из этих пространств
и с областью значений в некотором слабо полном пространстве,

636 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
автоматически будет слабо вполне непрерывным. Далее, каждый
слабо вполне непрерывный оператор, определенный на одном из
этих пространств, отображает слабо фундаментальную последова-
последовательность в сильно сходящуюся, а квадрат такого оператора, задан-
заданного на одном из этих пространств, вполне непрерывен.
Дополнительная информация и специальные случаи содержатся
в упражнениях § 9.
8. Общий вид линейных операторов
в лебеговом пространстве
Содержание этого параграфа параллельно содержанию преды-
предыдущего. Прежде всего здесь приведены аналитические выражения
для произвольного линейного и для слабо вполне непрерывного опе-
операторов, отображающих произвольное В-пространство в Lx. Затем
рассматривается вопрос об общем виде оператора, областью значе-
значений которого служит Lx. Вполне непрерывные и слабо вполне непре-
непрерывные операторы задаются с помощью некоторого ядра, и тополо-
топологические свойства оператора формулируются эквивалентным обра-
образом в терминах этого ядра. Как и в пространстве С (S), слабо вполне
непрерывные операторы обладают свойством переводить слабо схо-
сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся (ср. теорему 7.4).
1. Теорема. Пусть (S, 2, ^—пространство с мерой, а Т—
непрерывное линейное отображение В-пространства Ж в Lx E, 2, \i).
Тогда существует такая однозначно определенная функция
х*(-'\ отображающая 2 в Ж*, что
(I) для каждого х из Ж функция множества х* (•) х абсолютно
непрерывна относительно |я и счетно аддитивна на 2 и
Норма преобразования Т удовлетворяет соотношениям
(III) sup|jK*(?)|<|r|<4sup \x*{E)\.
Обратно, если функция **(•)> отображающая 2 в Ж*, обладает
свойством (I), то равенством (II) определяется оператор Т, отобра-
отображающий Ж в LX(S, 2, |л), норма которого удовлетворяет нера-
неравенству (III).
Кроме того, для слабой полной непрерывности оператора Т необ-
необходимо и достаточно, чтобы функция множества х* (•) была счетно
аддитивной на 2 в сильной топологии пространства Ж*.
Доказательство. Если для каждого ? из 2 определить функцио-
функционал х* (Е) в Ж* равенством
**(?)*= J (Tx)(s)\i(ds),

8. Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 537
то справедливость утверждений (I) и (II) очевидна. Согласно теоре-
теоремам Ш.2.20(а) и II 1.1.5, для каждого Е из 2
| **(?)|= sup |**(?)*|< sup [ \(Tx)(s)\v (ус, ds) =
! х | ^ 1 j x I <: 1 J
= sup v(x*(-)x, S)<4 sup sup |x*(?)jc| = 4sup|*
I x I ^ 1 I X I ^ 1 ? 6 2 ? ? 2
Обратно, если функция л:* (•), отображающая 2 в Ж*, обладает свой-
свойством (I), то оператор Т, определяемый равенством (II) (см. заме-
замечание, следующее за теоремой II 1.10.7), будет, очевидно, линей-
линейным. Для того чтобы убедиться в его непрерывности, достаточно,
следовательно, показать, что он замкнут (II.2.4). Если хп—>х
и Тхп —> f, то для каждого ? из 2
\ f(s)[L(ds) = hm\(Txn)(s) [i(ds) =
Е П Е
- limх*(Е)хп = х* {Е)х=[ (Тх)(s)\a (ds),
S
откуда следует, что Tx=f, т. е. что Т замкнут и, следовательно, непре-
непрерывен. Для того чтобы доказать последнее утверждение теоремы,
рассмотрим подпространство ca(S, 2, (я) пространства m(S, 2),
состоящее из всех абсолютно непрерывных относительно (х функций
из ca(S, 2). Согласно комплексной форме теоремы Радона — Нико-
дима (III. 10.7) и теореме Ш.2.20(а), пространство ca(S, 2, \i) экви-
эквивалентно пространству Lx (S, 2, \к). В силу этой эквивалентности, Т
определяет оператор х—>л:* (•)х, отображающий Ж в ca(S, 2, \i).
Таким образом, оператор Т в том и только в том случае является
слабо вполне непрерывным, если совокупность всех функций
множества х*(-)х относительно слабо бикомпактна в са (S, 2, \х)
при | х j < 1. Согласно теореме IV.9.1 это будет в том и только в том
случае, если счетная аддитивность л:* (-)х равномерна относительно
|л:|< 1. Таким образом, для слабой бикомпактное™ Т необходимо
и достаточно, чтобы х* (•) было счетно аддитивно в сильной тополо-
топологии пространства X*, ч. т. д.
2. Теорема. Пусть (S, 2, \л) — пространство с о-конечной поло-
положительной мерой, а Т — непрерывное линейное отображение про-
пространства Ly E, 2, (я) в линейное топологическое пространство Ж.
Предположим, что Т отображает замкнутую единичную сферу
пространства Ьг (S, 2, [л) на некоторое множество, замыкание
которого К бикомпактно и имеет счетный базис. Тогда существует
функция х(-), отображающая S в К, такая, чтох*х(•) принадлежит

538 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Loo (Sy 2, (я) для каждого х* из Ж* и что
х*х (s) f (s) ц (ds) = х* 7/, / 6 Ьг (S, 2, ja).
Эта теорема сначала будет доказана в предположении, что
|i(S)<oo. Ее доказательство будет основано на трех нижеследую-
нижеследующих леммах, для формулировки которых придется ввести такое
обозначение: если л={Е19 ..., Еп} и я' = {/г1, ..., fm} —два раз-
разбиения множества 5 на попарно непересекающиеся множества из 2
положительной меры, то мы пишем я' > я в том и только в том слу-
случае, если для каждого Fj 6 л' найдется такое Ек ? я, что \л (Fi — Ek)=
= 0. Непосредственно доказывается, что при этом упорядочении
совокупность всевозможных разбиений множества 5 является
направленным множеством A.7.1). Для любого разбиения я =
= {?i, .. ., Еп} множества 5 и любой определенной на 5 ограни-
ограниченной измеримой функции h определим функцию йя, полагая
п
Определим также
3. Лемма. Пусть (S, 2, \i) — пространство с конечной положи-
положительной мерой и h — определенная на S ограниченная измеримая
функция. Тогда для любого е > 0 найдется такое разбиение я0 мно-
множества Sy что если я>я0, то
для всех 5, не принадлежащих некоторому зависящему от л нуль-
нульмножеству Е (я).
Доказательство. Пусть область значений функции h представлена
в виде суммы попарно не пересекающихся борелевских множеств
Ах,..., A k диаметра меньше е. По крайней мере одно из подмножеств
Gi=/i"'1 (v4t), i=l, ..., ky множества 5 имеет положительную меру;
мы предположим, что это Gx. Множества El9 ..., Еп разбиения я0
получаются следующим образом. Мы присоединим к G1 множества
G,-, имеющие меру нуль, получим Ег. Остальные множества G}. поло-
положительной меры обозначим Е2, ..., Еп. Существует, таким образом,
такое нуль-множество ?, что
|A(s)-A(Ol<e, 5, ^Я.-?о, /=1, .... г.

8. Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 539
Далее, если Jt>jto, jt=(/r1, .. ., Fm), то найдется такое зависящее
от Jt нуль-множество Fo, что каждое из множеств Ft — F0 содер-
содержится в одном из множеств Ej. Таким образом, при s$E0 IJ Fo
Fi
Ej П F{)
Ej
{h{t)-h{s)}vL{dt)
Ч. Т. Д.
4. Лемма. Если бикомпактное хаусдорфово пространство S имеет
счетный базис, то С (S) сепарабельно.
Доказательство. Согласно теоремам 1.6.19 и 1.6.12, 5 является
сепарабельным метрическим пространством. Пусть q(x, у) — мет-
метрика в 5; положим fn(x)=Q(x, xn), где {хп}—есть некоторое счет-
счетное всюду плотное подмножество S. По лемме 1.5.10, /^ — ограни-
ограниченная функция и, следовательно, принадлежит С(S). По теореме
IV.6.16 (или IV.6.17), замкнутая алгебра, порождаемая счетным
множеством {/п}, совпадает со всем С (S). Таким образом, простран-
пространство С (S) сепарабельно, ч. т. д.
Обозначим через U замкнутую единичную сферу пространства
L1(S, S, (я). Поскольку множество K=TU бикомпактно и имеет
счетный базис, то в силу последней леммы пространство С (К) сепа-
сепарабельно. Так как подпространство сепарабельного метрического
пространства сепарабельно A.6.12), то найдется такая последова-
последовательность {jc*}^3?*, что для каждого jc* из ЭЕ* и 8 > 0
(I) |**(*)-*?(*)|<е, fcg/C,
для некоторого натурального /.
Так как мы предположили, что (яE) <оо, то функция множества
х*Т%е Для каждого х* из ЭЕ* абсолютно непрерывна и, следова-
следовательно, по теореме III.10.2, в LX(S, 2, fi) найдется такая функция
а(-, х*), что
(II) x*TxE=\a(t,x*)ii(dt), ?6 2.
Е
Так как х*Т является непрерывным линейным функционалом на
Lx (S, 2, (я), то справедливо неравенство
из которого следует, что функция а(«, jc*) существенно ограничена.
Таким образом, функционалы \ a(t, x*) f (t) \i (dt) и x*Tf определе-

540 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
ны и непрерывны относительно / из Lx (S, 2, (я). Так как в силу ра-
равенства (II) они совпадают на характеристических функциях, то
они должны совпадать всюду на Lx (S, 2, ц.) т. е.
(Ill) x*77=$a(*f **)/@и(Л), /€MS, Z, ц).
5. Лемма. Существует такая последовательность {лп} разбие-
разбиений множества S на множества положительной меры и такое нуль-
нульмножество Ео, что
lim х\х (t) = a (t, xf), «=1,2,...,
п-н-оо Tl
равномерно относительно t из S — ?0.
Доказательство. Заметим прежде всего, что для каждого разбие-
разбиения rt={?lf..., EJ
п
j=i в,-
У=1
Разбиение л1Ъ будет выбираться по индукции. По лемме 3, суще-
существует такое разбиение дгх и такое множество EL, что ^(?^=0 и
Предположим теперь, что при i<& разбиение я. и множество ?t,
для которого {л (Я4) = 0, уже выбраны таким образом, что
Пользуясь леммой 3 по отношению к каждой из функций a(t, xf),
i=l,...,fe+l, с е, равным , получим такое разбиение
ЛЛ + 1>ЛЛ> ЧТО
для некоторого нуль-множества Ek+i. Наша лемма будет доказана,
оо
если положить EQ= (J Eh% ч. т. д.
Доказательство теоремы 2. Заметим, что для каждого /0 из 5 по-
последовательность {хк (tQ)} принадлежит /С. Так как К есть биком-

8. Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 541
пактное хаусдорфово пространство со счетным базисом, то оно
является метрическим пространством A.6.19) и, следовательно,
некоторая подпоследовательность этой последовательности сходится
к некоторому вектору х (tQ) из К A.6.13). Обозначим через x(t) для
каждого t из S произвольным образом определенный предел такой
подпоследовательности. Тогда для / = 1,2,...
Игл х*хл (t) = a (t, xt) = xfx (t), t б 5 — ?0,
n-*oo n
так что функции х*х(-) ограничены и измеримы и
Так как х (S) с /С, то из неравенства (I) мы видим, что для каждого
jc* из Ж* и каждого е > 0 найдется такое натуральное /, что
\x*x(t)-xfx(t)\<e, t?S.
Так как функция х*х(-) является пределом равномерно сходящейся
последовательности ограниченных измеримых функций, то она огра-
ограничена и измерима. Кроме того, если |f|< 1, то
что и доказывает нашу теорему в предположении, что fx(S)<oo.
оо
В случае, когда 5 = (J Sn, где \i(Sn) < оо и Sn CZ Sn+1, мы можем
п=1
применить уже доказанный результат к пространству L1(Sn, 2Л, (я),
где 2Л состоит из таких множеств из 2, которые являются подмно-
подмножествами Sn. Функция jc(-)i отображающая 5 в К, определяется
естественным образом как предел последовательности функций дсп(«),
полученных для En, 2n, fx), ч. т. д.
Ниже мы дадим некоторые приложения теоремы 2. Прежде всего,
пользуясь установленным в следствии V.4.3 критерием бикомпакт-
ности, мы получим общий вид отображения пространства LjE, 2, (я)
в пространство, сопряженное к некоторому сепарабельному про-
пространству.
6. Теорема. Пусть E, 2, (я) — пространство с о-конечной поло-
положительной мерой, а Т—непрерывное линейное отображение про-
пространства Lx(Sy 2, (я) в пространство Ж*, сопряженное к сепара-
сепарабельному В-пространству X. Тогда найдется единственная с точ-
точностью до функции, эквивалентной нулю, функция х*(*): S-+ Ж*,

542 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
такая, что х*(-)х существенно ограничено для каждого х из ЗЕ и
[*] (Tf)(x)-= lx^(s)xf(s)ii(ds), /6 MS, Zf|i)f x&X.
Кроме того, | 7" | = vrai sup I a;* (s) |. Обратно, если х* (•) — произвола
ная функция, отображающая S б X*, такая, что х*(-)х измеримо
для каждого х из Ж и что
vrai sup I ** (s) I = M < oo,
ees
mo равенством [*] определяется непрерывное линейное отображе-
отображение Т пространства L^S, 2, \л) в ЭЕ* с нормой, равной М.
Доказательство. Если Г есть ограниченный оператор, отобра-
отображающий LX(S, 2, |х) в ЭЕ*, a U — единичная сфера пространства
Lx E, 2, |х), то множество К = TU бикомпактно в ЭЕ-топологии (V.4.3)
и имеет в этой топологии счетный базис (V.5.1). По теореме 2, суще-
существует такое отображение s—±x*(s) множества 5 в /С С Ж*, что
выполняется равенство [* ], причем |**(s) |< | T |. С другой стороны,
из равенства [* ] вытекает, что | Т \ < vrai sup | a:* (s) |, так что \Т\ —
= vrai sup | a:* (s) |. Теперь мы докажем, что с точностью до функции,
эквивалентной нулю, функция jt* (s) определена однозначно. Если
х* (s) х б Loo (S, 2, [х) для каждого jcg$ и \ a:* (s) a:/ (s) |x (ds) = О
для любых а:б Ж и f g Lx E, 2, [х), то, ввиду доказанной в тео-
теореме IV.8.5 единственности, для каждого х?Ж найдется такое
измеримое множество Ех меры нуль, что a;*(s)a; = O для s б Sr
s $ Ех. Пусть Хг — счетное всюду плотное подмножество ЗЕ и
E=[JEX. Тогда ясно, что a;*(s)a: = O для л:G 3S, s?S, s$E.
х?Хг
Следовательно, a:* (s) = 0 для s $ Е.
Обратно, пусть а:*(•)— отображение 5 в Ж*, vrai sup| jc* (s)\ —
= М < оо и функция а:* (• )х измерима для каждого х б ЗЕ. Определим
отображение Т пространства Lx равенством [*]. Так как
| (Tf)x\^M\f\ \х\, то Г/е ЭЕ*. Следовательно, Т б fi(Lx (S, S, |i), $*).
Утверждение относительно нормы Т вытекает из первой части
теоремы, ч. т. д.
7. Следствие. Теорема 6 остается справедливой, если предполо-
предположение о том, что ЗЕ* является пространством, сопряженным к неко-
некоторому сепарабельному пространству, заменить предположением,
что ЭЕ* сопряжено к произвольному В-пространству, а оператор Т
имеет сепарабельную область значений.
Для доказательства этого следствия, помимо теоремы 6, понадо-
понадобится следующая лемма.

8. Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 543
8. Лемма. Пусть Ж* сопряжено к В-пространству Ж- Предпо-
Предположим, что $Щ^Ж*— сепарабельное линейное многообразие.
Тогда найдется такое замкнутое сепарабельное подпространство ?)
пространства Ж, что $Щ эквивалентно некоторому подпространству
пространства 3)*.
Доказательство. Пусть {х*} — счетное всюду плотное подмно-
подмножество 9Л, а {хтп}> т, п = 1, 2,..., принадлежит Ж и удовлетворяет
соотношениям | хтп | = 1 и
Подпространство $) = $р{хтп} сепарабельно. Отображение V: Ж*
—>3)*, определяемое равенством
удовлетворяет условию |У|<1. Однако поскольку
\VxZ\ >s\ip\xZ(Xnn)\ = |x*|, /1=1, 2,...,
w
то отображением 1/ определяется некоторое изометрическое отобра-
отображение множества $щ в ?)*, ч. т. д.
Доказательство следствия 7. Обозначим через $щ замыкание
области значений оператора Т. По лемме, Щ эквивалентно некото-
некоторому подпространству пространства 3)*, сопряженного к некото-
некоторому сепарабельному подпространству ?) пространства Ж. По тео-
теореме 6, найдется единственная с точностью до функции, эквивалент-
эквивалентной нулю, функция #*(•)> отображающая 5 в gjj, такая, что 17*1 =
= vrai sup |х* (s) | и что для каждого х из 3) функция х*(-)х
|х-измерима и
(I)
Для того чтобы завершить доказательство следствия, остается пока-
показать, что и для произвольного а: из Ж функция х*(-)х [х-измерима
и справедливо равенство (I). Итак, пусть х0 обозначает некоторый
фиксированный элемент из Ж, а ?H — замкнутое подпространство,
натянутое на х0 и S). Тогда, как и прежде, найдется такая сущест-
существенно ограниченная функция *5(-)» отображающая 5в $щ, что xt(-)x
ji-измерима для каждого х из ?H и для таких х
l
s
Таким образом, так как 9)^3)О» из равенства (I) вытекает что
\{xt(s)-x*{s)}xp{ds) = O, E б 2,

544 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
для х из 3). Таким образом, существует такое нуль-множество Ех,
что x*(s)x = x* (s)x для х кз У) и s$Ex. Так как 9) сепарабельно,
то найдется такое нуль-множество Е, что для всех х из 2)
{<(*)-**(*)}* = 0, s$E.
Так как единственным вектором из $щ, обращающимся в нуль на 2),
является нулевой вектор и так как xl(s)—x* (s) принадлежит gjJ,
то из предыдущего равенства вытекает, что x*(s) = x*(s) для почти
всех относительно^точекsиз 5. Равенство (II) выполняется для х0,
а значит, выполняется также и равенство (I), ч. т. д.
В следующей теореме показано, что если областью значений опе-
оператора, определенного на LX(S, 2, |i), служит другое Z^-простран-
ство, то можно представить оператор Т в виде интегрального опе-
оператора со скалярным ядром, вместо того, чтобы представлять его
посредством некоторого векторнозначного интеграла. В формули-
формулировке этой теоремы обозначение производной dX/d\i вводится в связи
с использованием теоремы Радона — Никодима (III.10.7). Напом-
Напомним, что для абсолютно непрерывной относительно [х комплексной
меры X существует однозначно определенная [х-интегрируемая функ-
функция dX/d\i такая, что
Е
9. Следствие. Пусть (S, 2, \х) — пространство с о-конечной
положительной мерой, а % — положительная регулярная мера,
определенная на борелевских множествах $? бикомпактного хаус-
дорфова пространства W. Обозначим через Т непрерывное линейное
отображение пространства L2E, 2, \i) в L^W, $\ X), Предположим,
что либо (a) W является метрическим пространством, либо (b) T
имеет сепарабельную область значений. Тогда существует такая
скалярная функция К, определенная на SB x S и обладающая следую-
следующими свойствами:
(I) Для каждого s ? S функция множества К(- ,5), определенная
на &, является регулярной мерой такой, что
vrai sup^(K(-, s), S) = М < оо.
S
(II) Для каждого Е из'3$ функция К{Е, •) измерима на S.
(III) Для каждого А из 2 такого, что \х(А) < оо, мера
\ К(Е, s) \x (ds),. определенная для Е из <8\ регулярна и абсолютно
А
непрерывна относительно X.
s
(V) \Т\=М.

8. Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 545
Обратно, если функция К, определенная на & х S, удовлетворяет
условиям (I), (II) и (III), то равенством (IV) определяется некоторое
непрерывное линейное отображение пространства LxE, 2, |х)
в LX(W, 38, А,), норма которого определяется равенством (V).
Доказательство. Пусть ЗЕ = С (W7), так что ЭЕ* будет простран-
пространством определенных на W регулярных мер (теорема IV.6.3). Про-
Пространство L^W, 3&, X) изометрически изоморфно множеству абсо-
абсолютно непрерывных относительно К регулярных мер (см. III.I0.7
и II 1.2.20 (а)). Таким образом, пространство/,! (W, 38, X) можно рас-
рассматривать как подпространство в Ж*. Если условие (а) выполнено,
то пространство ? = C(W), по лемме 4, сепарабельно, и мы можем,
пользуясь теоремой 6, получить функцию К- В случае условия (Ь)
применяем следствие 7, ч. т. д.
Вернемся теперь к случаю, когда область значений оператора'Г
лежит в произвольном Б-пространстве. Мы покажем, что если Т —
слабо вполне непрерывный оператор с сепарабельной областью зна-
значений, то его интегральное представление можно завершить опреде-
определением векторнозначного ядра, обладающего многими свойствами,
не разделяемыми ядрами, фигурирующими в теоремах 2, 6 и 7.
В этом случае ядром служит ограниченная |х-измеримая функция
х(-)и, значит, векторная функция х(•)/(*) [^-интегрируема для каж-
каждого f из Lx (S, 2, ji). Оператор Т в этом случае может быть пред-
представлен в виде
$, /€MS, 2, |i),
S
что легко доказывается без использования функционалов #* из Ж*-
Так как ограниченные множества в рефлексивном пространстве
слабо компактны, то можно заметить, что следующая теорема приме-
применима к каждому непрерывному линейному отображению простран-
пространства L^S, 2, [х) в сепарабельное рефлексивное пространство.
10. Теорема. Пусть (S, 2, [х) — пространство с о-конечной поло-
жительной мерой, а Т— слабо вполне непрерывный оператор, отоб-
отображающий LxE, 2, |х) в сепарабельное подмножество В-простран-
ства Ж. Тогда существует единственная с точностью до функции,
эквивалентной нулю, ограниченная измеримая функция х(-), отобра-
отображающая S в некоторое слабо бикомпактное подмножество Ж, та-
такая, что
[*] Tf=[x(s)f(s)lx(ds), /g/,(S,S,|i):
s
и
| Т\ = vrai sup | я (s) |.
35 Заказ № 1324

546 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Обратно, если х(-) — измеримая существенно ограниченная функ-
функция, определенная на S и такая, что почти все ее значения принад-
принадлежат некоторому слабо бикомпактному подмножеству Ж, то
равенством [* 1 определяется слабо вполне непрерывное отображение
пространства Lx E, 2, \х) в Ж, имеющее сепарабельную область
значений.
Доказательство. Обозначим через U замкнутую единичную сферу
пространства Lx (S, 2, |i). Если Г —слабо вполне непрерывный
оператор с сепарабельной областью значений, то существование
такой определенной на Sфункции х(-), что все ее значения x(s) при-
принадлежат сепарабельному слабо бикомпактному множеству T(U),
вытекает из теоремы V.6.3 и теоремы 2. По теореме III.6.И, x(s)
измерима, и, значит, равенство [*] имеет место. Так как x(s) ? TU,
то sup \x{s) |< | Т\. С другой стороны, из равенства [*] вытекает,
s
что | Т | < vrai sup | х (s) | и, следовательно, | 71 = vrai sup | х (s) |.
При доказательстве обратного утверждения нашей теоремы
можно, очевидно, без ограничения общности предположить, что
область значений функции х(-) лежит в слабо бикомпактном мно-
множестве /С. Положим
Согласно теореме V.6.4, К1 слабо бикомпактно. Легко видеть, что
Tf?K1 для любой конечнозначной функции / из Lx (S, 2, |х), для
которой |f|<l, следовательно, TU<r_K. Таким образом, Г слабо
вполне непрерывен. По теореме II 1.6.11, существует такое сепара-
бельное подпространство 3^ пространства X и такое нуль-множе-
нуль-множество F б 2, что х (s) G Xv если s?S— F. Так как Tf G Жх
для конечнозначных функций /, то область значений оператора Т
сепарабельна. Наконец, единственность х(-) непосредственно выте-
вытекает из леммы II 1.6.8, ч. т. д.
Так как каждый вполне непрерывный оператор слабо вполне
непрерывен и имеет сепарабельную область значений, то из тео-
теоремы 10 вытекает такое следствие:
11. Следствие. Для того, чтобы оператор Т, фигурирующий
в теореме 10, был вполне непрерывным, необходимо и достаточно,
чтобы существовало такое нуль-множество Е и такое бикомпактное
множество К в Э?, что x(s) принадлежит К для каждого s из допол-
дополнения множества Е.
Доказательство. Обозначим через U единичную сферу простран-
пространства L^S, 2, [х). Если Т вполне непрерывен, то K=TU является
бикомпактным подмножеством сепарабельного пространства Т(Ьг),
и из доказательства теоремы 10 вытекает, что х (s) б TU для sg S.

8. Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 547
Обратно, пусть К бикомпактно, а Е — подмножество множества
S, имеющее меру нуль и такое, что x(s)?K для s$E. Из доказа-
доказательства теоремы 10 вытекает, что
Следовательно, по теореме V.2.6, Т вполне непрерывен, ч. т. д.
Замечание. Из теоремы 10 с помощью теоремы II 1.11.17 легко
вытекает следующее утверждение.
Пусть (S, 2, \л) и (Sl9 21э |хх) — пространства с ст-конечной поло-
положительной мерой. Рассмотрим слабо вполне непрерывное отобра-
отображение Т пространства L^S, 2, |i) в некоторое сепарабельное под-
подпространство пространства Lx(Sl9 21э |хх). Тогда существует такая
определенная на 5 х S± единственная с точностью до функции, экви-
эквивалентной нулю, [х х ^-измеримая функция /С, что
vrai sup \ \ К (s, sx) \ рг (dsx) < оо
G7) (sx) = J /С E, Sl) f (s) р (ds), f 6 Lx (S, 2, \x).
s
Кроме того,
vrai sup [ | K\,s, sx) \ ^ (dsx) = \T\.
» i
В конце предыдущего параграфа на основании теоремы 7.4
было отмечено, что слабо вполне непрерывный оператор, опреде-
определенный на любом из пространств B(S)9B(S, 2), АР, СE) или
Lqo E, 2, (i), отображает каждую слабо фундаментальную последо-
последовательность в сильно сходящуюся. Следующая теорема показывает,
что лебеговы пространства Lx (S, 2, ц) также обладают этим свой-
свойством.
12. Теорема. Пусть E, 2, ^ — пространство" с положитель-
положительной мерой, а Т — слабо вполне непрерывное линейное отображение
пространства LX(S9 2, \х) в некоторое В-пространство. Тогда опе-
оператор Т отображает слабо фундаментальные последовательности
в сильно сходящиеся. Следовательно, Т отображает относительно
слабо бикомпактные множества в относительно сильно бикомпакт-
бикомпактные множества.
Доказательство. Пусть (fn}-~ слабо фундаментальная последо-
последовательность в Lx (S, 2, [х). По лемме II 1.8.5, существует такое мно-
множество Sr62 и такая а-алгебра 21cr2(S1), что сужение jli,
функции |1 на 2Х а-конечно, а пространство Lx (Sv 2X, fxx) является
35*

548 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
сепарабельным ^подпространством Ll (S, 2, [х), содержащим последо-
последовательность {fn}. Таким образом, по теореме 10, существует такая
^-измеримая существенно ограниченная относительно \il функция
*(•), отображающая Sx в сепарабельное замкнутое линейное много-
многообразие kv натянутое на множество TLl(Sv 21? (д^), и такая, что
Tfn=lx(s)fn(s)VL1(ds).
Si
Предположим, что множество {zk} всюду плотно в $1Э и пусть
B^Sfa, e), Bh = S(zh, *)-*() Bv k>\.
2=1
Тогда множества Ak = x~1{Bk) попарно не пересекаются, а функция
*в(-)> определяемая равенством xe(s) = zk для х из Ah, удовле-
удовлетворяет соотношению
(I) |*e(s)-*(s)|<e, s?Sv
Для каждого k = 1 /2, ... положим хк (s) = хг (s), если s принадлежит
^i U • • • U ^fe» и xk(s) =0 в противном случае. По теореме III.6.10,
множества Ак принадлежат лебеговскому расширению 2* сг-ал-
гебры 2Х. Мы можем и будем предполагать, что 2* = 21Э так что
функции хг и хк [х1-измеримы. Далее,
(II) |J
Si
xe(s)fn(s)ixl(ds)\<M 5 |/n(s)|Mds),
oo
где M = vrai sup j x (s) | и Ck= [J At. Так как пространство
LL (Sx, 2t, [xx) слабо полно (IV.8.6), то последовательность {fn} слабо
бикомпактна и, следовательно, последовательность {|Дг(-)|1 также
слабо бикомпактна (IV.8.9). Из теоремы IV.8.8 вытекает поэтому,
что
lim \ | fn (s) | \хг (ds) = О
равномерно относительно п = 1, 2, .... Из соотношения (II) выте-
вытекает, что
(III) Hm J xk (s) fn (s) ii, (ds) = J x8 (s) /n (s) |ix (ds)

8 Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 549
равномерно относительно п= 1,2, ... . Так как последовательность
{fn} слабо сходится, то предел lim \ fn (s) |лх {ds) существует для
Е
каждого Е из 2Х, а поэтому и для простых функций xh пределы
\\m\xh(s)fn(s)^(ds), 6=1,2,...
П w
существуют. Так как предел (III) существует равномерно относи-
относительно л = 1, 2, ..., то, по лемме 1.7.6, предел
lim \ xe{s)fn{s)\il{ds), e>0
существует. Так как последовательность {/п} ограничена A1.3:27),
то из неравенства (I) вытекает, что
lim J xe (s) fn ys) \xx {ds) = J л: (s) fn (s) [xx (ds)
равномерно относительно п = 1, 2, ... . Снова пользуясь леммой
1.7.6, получаем существование предела
lim \ x{s)fn{s)\xl{ds)=^ lim Tfn, ч. т. д.
П v n
13. Следствие. Пусть (S, 2, \л) — пространство с положитель-
положительной мерой. Тогда произведение двух слабо вполне непрерывных опера-
операторов в Lx E, 2, [х) вполне непрерывно. В частности, квадрат слабо
непрерывного оператора в L1 {S, 2, \х) является вполне непрерывным
оператором.
Необходимо отметить, что предположение о слабой полной
непрерывности в предыдущем доказательстве использовалось только
для того, чтобы показать, что оператор Т имеет вид \ x{s)f{s) \i (ds)*
S
где функция х{-) [х-измерима и ограничена. То обстоятельство, что
ядро х{-), определяющее слабо вполне непрерывный оператор, при-
принимает значения из некоторого слабо бикомпактного множества,
не использовалось. Таким образом, предыдущее доказательство
применимо также и для доказательства следующей теоремы.
14. Теорема. Пусть E, 2, [^ — пространство с положитель-
положительной мерой, а х — ^-измеримая ограниченная функция, отображаю-
отображающая S в В-пространство X. Тогда оператор
Tf=\x{s)f{s)ii{ds),

550 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
отображает слабо фундаментальные последовательности в сильно
сходящиеся.
В § IV. 16 уже упоминалось, что абстрактные L-пространства
эквивалентны конкретным L-пространствам, и, следовательно, тео-
теорема 12 и следствие 13 остаются справедливыми и для этих про-
пространств. Эта эквивалентность, необходимая для того, чтобы дока-
доказать наше утверждение для каждого из L-пространств списка, при-
приведенного в § IV.2, легко может быть установлена на основании иссле-
исследования, проведенного в гл. IV; частично это сделано в упражнениях
из § IV. 13. Таким образом, теорема 12 и следствие 13 остаются
справедливыми, если пространство Lx заменить одним из пространств
ll9 bv9 bv0J ba(S, 2), rba(S, 2), ca(S9 2), rca(S9 2), BV(I) или
AC(I). Эти пространства вместе с такими пространствами, которые
по модулю конечномерного пространства эквивалентны простран-
пространствам С (S) непрерывных функцийх) и для которых известно, что тео-
теорема 12 справедлива G.4), практически исчерпывают список пара-
параграфа IV.2. Действительно, единственным оставшимся Б-простран-
ством этого списка, кроме рефлексивных пространств ф, /р, Lv,
1 < р < оо, является пространство A (D) аналитических функций.
9. Упражнения
1." Пространство В (X, 9)) алгебраически изоморфно под-
подпространству произведения [[ 3)х, где 3)^ = 3), при отображении
х?Х
Т—> Ц Тх. Показать, что сильная операторная топология в В (Ж, ?))
тождественна с обычным произведением топологий, определяемым
сильной топологией каждого из 2)^, и что слабая операторная топо-
топология определяется тем, что каждый из множителей берется с его
$*-топологией.
2. Для того чтобы множество ЛсгБ(Х, 3)) было бикомпакт-
бикомпактным в слабой операторной топологии, необходимо и достаточно,
чтобы оно было замкнутым в этой топологии и чтобы слабое замыка-
замыкание множества Ах было слабо бикомпактным для каждого х 6 X.
Для того чтобы множество A CZ В (X, ?)) было бикомпактным
в сильной операторной топологии, необходимо и достаточно, чтобы
оно было замкнутым в этой топологии и чтобы множество Ах было
относительно бикомпактным для каждого х ? X.
3. Пусть A d В (X, 3)). Тогда если А бикомпактно в слабой
(сильной) операторной топологии, то таким же будет и замыкание
множества со (Л) в этой топологии.
г) То есть пространствами Ж такими, что %/Ш ~ С {S), где Ш—конечно-
Ш—конечномерное подпространство в Ш. — Прим. ред.

9. Упражнения 551
4. Если множество А с В (X, 2)) компактно в слабой (сильной)
операторной топологии, то его слабое (сильное) операторное замы-
замыкание бикомпактно в слабой (сильной) операторной топологии.
5. Пусть U — подмножество топологического пространства;
обозначим через U совокупность пределов всевозможных последо-
последовательностей точек из U. Если пространство X сепарабельно, то
для компактности множества А с: В (X, $) в сильной операторной
топологии необходимо и достаточно, чтобы А было бикомпактно
в сильной операторной топологии. Если и пространство 2) сепара-
сепарабельно, то для компактности множества А в слабой операторной
топологии необходимо и достаточно, чтобы А было бикомпактным
в слабой операторной топологии.
6. Если?) рефлексивно, то замкнутая единичная сфера простран-
пространства В (X, 3)) бикомпактна в слабой операторной топологии, и- об-
обратно.
7. Определим BWO-топологию пространства В (X, ?)) как силь-
сильнейшую топологию, совпадающую со слабой топологией на каждом
положительном кратном aS замкнутой' единичной сферы 5 про-
пространства В (X, ?)). Пользуясь методом доказательства леммы V.5.4,
показать, что если 9) рефлексивно, то фундаментальное мно-
множество окрестностей нуля в BWO-топологии состоит из окрестностей
{Т|Т€В(ЗБ, ?)), |у?7Х|<е, /=1,2, ...},
где yt?%)* и yt->0; х,€Х и хг->0.
8. Предположим, что У) рефлексивно. Показать, что определен-
определенный на В (X, S)) линейный функционал, непрерывный в BWO-топо-
оо
логии этого пространства, должен иметь вид Т —> ]>] <х-у*Тх., где
г=0 г
{а.} — абсолютно сходящийся ряд скаляров, {у*} — ограничен-
ограниченная последовательность в' 3)* и {х^— ограниченная последова-
последовательность в X. Обратно, показать, что определенный на В (X, 3))
функционал указанного вида непрерывен в BWO-топологии.
9. Определим BSO-топологию пространства В(Х, $) как силь-
сильнейшую топологию, совпадающую с сильной операторной тополо-
топологией на каждом положительном кратном aS единичной сферы 5
пространства В (X, ?)). Показать, что, для того чтобы выпуклое
подмножество пространства В (X, ?)) было BWO-замкнутым, необ-
необходимо и достаточно, чтобы оно было BSO-замкнутым, и, что для того
чтобы линейный функционал был BSO-непрерывным, необходимо
и достаточно, чтобы он был BWO.-непрерывным.
10. Показать, что, для того чтобы каждый определенный
на В(Х, $) и BWO-непрерывный линейный функционал был непре-
непрерывным в слабой операторной топологии, необходимо и достаточно,
чтобы либо X, либо S7) было конечномерным.

552 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
И. Пусть Л, В ?В(Ж). Тогда отображение (А,В) —> АВ будет
непрерывной функцией по каждому переменному в отдельности,
если пространство В (Ж) рассматривается в равномерной, сильной
или слабой топологиях. Это отображение непрерывно по обоим пере-
переменным в равномерной топологии, а также в сильной топологии при
условии, что Л пробегает некоторое ограниченное множество из В (Ж).
Пусть Ж = /2 и {Ап} определяется равенством An[xlt . . ., хп, . . . J =
= [л;/г+1,. . .]; показать, что обе последовательности {Ап} и [А*\
сходятся к нулю в слабой операторной топологии, но что последо-
последовательность {ЛПЛ*} не сходится к нулю в этой топологии, хотя
{Л^ЛП} сходится к нулю в сильной операторной топологии.
12. Если $ есть гильбертово пространство, то отображение
Т—>Т* пространства В ($д) в себя непрерывно и в равномерной
и в слабой операторной топологиях. Рассматривая последователь-
последовательность {Ап}, определенную в упражнении 11, показать, что это отоб-
отображение не является непрерывным в сильной операторной то-
топологии.
13. Если [/:?)*—> Ж* есть линейное отображение, непрерыв-
непрерывное в 2)-топологии пространства 9)* и Ж-топологии пространства
Ж*, то найдется такой ограниченный линейный оператор Г : Ж —>$,
что Г* - U.
14. Пусть Г —линейное, но необязательно непрерывное отобра-
отображение В-пространства Ж в 5-пространство ?). Пусть Г* определено
на множестве ф G1*) таких у* б ?)*> Для которых #*Гл: непрерывно
относительно х, равенством Т*#* = у*Т. Тогда следующие утвержде-
утверждения эквивалентны:
(I) Г* определено на всем $*;
(II) Г непрерывно в сильных топологиях пространств Ж и %
(III) Г непрерывно в Ж*- и ?)*-топологиях пространств 3?и|
15. Пусть Ж и ?) являются В-пространствами, а [/ — непре-
непрерывное линейное отображение Ж в |).
(I) Если оператор f/ имеет непрерывный обратный, то область
его значений замкнута.
(II) Область значений оператора U замкнута, если существует
такая константа /С, что для каждого у из этой области значений суще-
существует такое решение х уравнения у = Тх, для которого \х\<сК\у\-
(III) Отображение [/взаимно однозначно, если область значений
оператора U* всюду плотна в Ж*.
(IV) Отображение U* в том и только в том случае взаимно одно-
однозначно, если область значений оператора U всюду плотна в ?).
(V) Если оператор U отображает Ж на все 3), то оператор U*
имеет непрерывный обратный.
(VI) Если оператор U* отображает ?)* на все Ж*, то оператор [У
имеет непрерывный обратный.
16. Если 3) — замкнутое, а У1 — конечномерное подпростран-
подпространства некоторого В-пространства, то подпространство $®9fc замк-

9. Упражнения 553
нуто. Если же 9) © 91 — замкнутое подпространство, а 91 конечно-
конечномерно, то отсюда не следует замкнутость 9).
17. Пусть Ж является В-пространством и Ж = ?)©9}, где 9)
замкнуто, а 91 конечномерно. Предположим, что Т : Ж—> 3 есть
ограниченное линейное отображение Ж в другое В-пространство.
Тогда для замкнутости Т (Ж) необходима и достаточна замкнутость
г (9).
18. Для каждого ненулевого конечномерного собственного под-
подпространства В-пространства существует бесчисленное множество
проекторов, отображающих Ж на него.
19. Если Е — проектор с /г-мерной областью значений, то и ?*
является проектором с /г-мерной же областью значений.
20. Для того чтобы проектор имел конечномерную область зна-
значений, необходимо и достаточно, чтобы он был вполне непрерывным.
21. Линейное отображение ?, такое, что Е2 — ?, является проек-
проектором (т. е. ограничено) в том и только в том случае, если области
значений операторов Е и 1-Е замкнуты.
22. Пусть Е — проектор в 5-пространстве Ж и $Щ = ?(Ж)
и 91 = (/ — ?¦) (Ж). Положим ЗЛ1 = {х* | х*х = 0, х ? Ш} и аналогично
определим 91-4 Показать, что Ж* = ЗК1 © Я?1 и что ?*(Ж*) = 9l~L,
(/-?)* (ж*) = ал1.
23. Обозначения $Щ и 91 имеют тот же смысл, что и в предыдущем
упражнении.
(I) Если Е± и Е2 — проекторы, то ЕгЕ2 = Е2 в том и только
в том случае, если 5Ш2? SRi- Точно так же Е2Ег = Е2 в том и только
в том случае, если 911^912-
(II) Если Ег — ортогональные проекторы в гильбертовом про-
пространстве, то ЕгЕ2 — 0 в том и только в том случае, если ?2?'1 = 0.
(III) Если Е19 . . ., Еп — проекторы, то Е = Ег+ ... +Еп будет
проектором, если ЕгЕ^0 для i Ф /. В этом случае Ш = Ш1@- • •
®п 1ПП
(IV) Если операторы ?t из п. (III) являются ортогональными
проекторами в гильбертовом пространстве, то условие ?^=0,
/=?/, необходимо и достаточно для того, чтобы ? было проектором.
24. (I) Е = Е1 — Е2 является проектором в том и только в том
случае, если Е1Е2=Е2Е1 = Е2. При этом 3Ji = 3Jhn^2 и ЭЫЗ^©^.
(II) ЕХЕ2 является проектором в том и только в том случае, если
?lC»2)? 2©^П2
(III) Если Е = ElE2=E2Ev то ? является проектором,
= 3#1ГШ2> 9t = sp (9txU5^2) и, следовательно, замкнуты.
(IV) Е1Е2 = Е2Е1 в том и только в том случае, если $Щ2 =
= 5m2n3Jli©W2n^i и 9&2 = ЮаП2Й1®ЮаПЮ1-
(V) Если ЕгЕ2 = Е2Е1У то ?1 + ?2 — ?i?2 будет проектором
с областью значений sp(gjj1[js0j ) и нулевым многообразием
9t№

554 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
25. Слабо вполне непрерывный проектор в пространстве C(S)
или в пространстве В (S) имеет конечномерную область значений.
26. Показать, что линейный оператор Т в конечномерном про-
пространстве можно представить некоторой матрицей. Как связана
с этой матрицей матрица сопряженного оператора 71*?
27. В этом упражнении Ж — я-мерное евклидово пространство,
а ei> • • •> еа~~ег0 базисные векторы.
(I) Пусть Е — ортогональный проектор; показать, что его
матричное представление имеет вид (а^) = 2 PihPjk* гДе 8к =
Д= 1
п
= 2 pikeu> &= 1, . . ., г,—произвольный ортонормированный
базис подпространства 9J? = ?(X).
(II) Пусть подпространства 3JJ и 5R имеют соответственно базисы
{аи ...,аг} и {&!, ..., ba_r). Обозначим через Т преобразование,
определяемое равенствами
Тег = аг, /=1, ..., г;
Tei+r = bif i=l, . .., л—г.
г
Пусть T = (ti}) и Г = (siy); показать, что ? = B sife^^.
n
28. Определим след матрицы ^ = (ai;), полагая tr(A) = 2 aii-
2
Показать, что /г (Л + В) = /г (Л) + /г (В) и /г (АВ) = /г (ВЛ). Пусть
? —проектор в евклидовом пространстве; показать, что
(E) di
29. Пусть ?lf ..., Ev — проекторы в конечномерном простран-
пространстве. Пусть Е = Е1-\-... +Ер также является проектором; показать,
что многообразия {9JJJ линейно независимы, что 9J2 = 9J?i©...©9J?p
и что EhEj=0 для 1ф\. (Указание: воспользоваться упражне-
упражнением 23.)
30. Вполне непрерывный оператор Т?В(Ж, ?)) отображает
каждую слабо сходящуюся последовательность на сильно сходя-
сходящуюся последовательность из ?). Если Ж рефлексивно, то верно
и обратное.
31. Предположим, что Т?В(Ж)—вполне непрерывный оператор
и X ф 0. Тогда для того, чтобы уравнение (XI — Т)х = у для каждого
J/G?) имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение (А,/ — Т)х = 0 не имело решения, отличного от х = 0.
32. Если пространство ?) имеет базис, то каждый вполне непре-
непрерывный оператор из В (X, 2)) является пределом в равномерной
топологии последовательности операторов с конечномерными обла-
областями значений.

9. Упражнения 555
33. Если E, 2, |i) — пространство с положительной мерой, то
слабо вполне непрерывные проекторы в Lx (S, 2, (л) имеют конечно-
конечномерные области значений.
34. Непрерывное линейное отображение рефлексивного про-
пространства в 1Х вполне непрерывно.
35. Непрерывное линейное отображение пространства с в слабо
полное пространство вполне непрерывно.
36. Пусть ф —функция, отображающая множество S в себя,
а Г —ограниченный линейный оператор в B(S), определяемый
равенством Tf (s) = f(q>(s)); найти сопряженный оператор Т*.
37. Пусть ф — непрерывная функция, отображающая биком-
бикомпактное хаусдорфово пространство S в себя. Обозначим через Т
ограниченный линейный оператор в С E), определяемый равенством
Tf (s) —f (q>(s)). Найти сопряженный оператор Г*.
38. (Марков.) Пусть S — некоторое непустое множество, а ф —
функция, отображающая S в себя. Функция fx, определенная на
семействе подмножеств множества S, называется ф-инвариантной,
если \i (Е) = [I (ф (?)), EaS, где ф (Е) = [s | ф (s) ? Е]. Показать,
что существует неотрицательная ограниченная аддитивная функция
[х, определенная для всех подмножеств множества 5, не равная
тождественно нулю и ф-инвариантная.
39. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство, а ф —
непрерывная функция, отображающая S в себя. Показать, что
существует регулярная счетно аддитивная неотрицательная мера
[х, определенная для всех борелевских множеств из 5, не равная
тождественно нулю и ф-инвариантная.
40. Пусть S — некоторое непустое множество, a G — семейство
функций ф, отображающих 5 в себя. Предположим, что q>i(<pa(s)) =
= Ф2(ф1($)), s?S, фг, ф2?E. Показать, что существует неотрица-
неотрицательная аддитивная функция множества fx, определенная для всех
подмножеств множества S, не равная тождественно нулю и ф-инва-
ф-инвариантная для каждого ф g G.
41. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство, a G —
совокупность непрерывных отображений ф пространства S в себя,
таких, что Ф1Ф25 = ф2Ф15, sgS, ф!ф2бС. Показать, что существует
счетно аддитивная неотрицательная мера, определенная на боре-
борелевских множествах из S, не равная тождественно нулю и ф-инва-
риантуая для каждого ф б С
42. Показать, что в упражнении 38 функция множества \i един-
единственна с точностью до положительного постоянного множителя
п1
в том и только в том случае, если /Г1 2 /(фгE)) Для каждого
f?B(S) равномерно сходится к некоторой константе.
43. Показать, что в упражнении 39 мера \х единственна с точно-
точностью до положительного постоянного множителя в том и только

556 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
n-i
в том случае, если п'1 2 /(ф1 (s)) Для каждого /? С(S) равномерно
2 = 0
сходится к некоторой константе.
44. Пусть S — бикомпактное метрическое пространство и ср : S—>S
такое отображение, что р(ф(х)> ф(*/))<(?(*1 У)- Предположим, что
в S найдется такое s0, что множество {ф"E0) | /г>0} всюду плотно.
Показать, что существует единственная регулярная мера |л, опре-
определенная на борелевских подмножествах множества S и такая, что
\i (qr1 (?)) = [х (Е) для каждого борелевского подмножества из S и что
\х (S) = 1. (Указание: воспользоваться упражнением 43 и тем обстоя-
обстоятельством, что уравнению / (ср (s)) = f (s) удовлетворяют только функ-
функции-константы.)
45. Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство, /С —
определенная на 5x5 непрерывная функция и \x^rca(S). Опреде-
Определим оператор g = Tf равенством
Показать, что Т является вполне непрерывным оператором, отобра-
отображающим С (S) в себя, и что сопряженный к нему оператор представ-
представляется формулой
Е S
для каждого борелевского множества Е.
46. Пусть С=С [0, 1] и Т?В(С, С). Тогда существует такая
определенная на [0, 1] х [0, 1] скалярная функция /С, что
(I) для каждого s? [0, 1] функция К (s, •) является нормирован-
нормированной функцией ограниченной вариации на отрезке [0, 1];
1
(II) Г(/, s)=^f(t)K(s, dt), 0<s<l, fgC;
о
г
(III) К(s, 1) и \ КE, f)dt непрерывны относительно s для каж-
0
дого г? [0, 1];
(IV) sup var /СE, t)=M<oo;
s 0i
(V)M \T\.
Обратно, если функция К удовлетворяет условиям (I), (III)
и (IV), то равенством (II) определяется оператор Т ?В (С, С), норма
которого определяется равенством (V).
47. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теореме
предыдущего упражнения для представления линейных операторов

9. Упражнения 557
общего вида в пространствах В (Lр, С), B(B(S),C), В (с, С)
и В (С, с), где С = С[0, 1] и Lp = Lp[0, 1].
48. Найти общий вид вполне непрерывного оператора в про-
пространствах B(Lp,C), B(B(S), С), В (с, С), гдеС = С[0, 1] и Lp =
49. Показать, что оператор, сопряженный к оператору Т
в упражнении 46, определяется формулой
1
T*(g, t)= I K{s, ()dg(s), gtNBV[[0, I].
0
50. Пусть 1<р, q<oo и T g В (Lp [0, 1 ], LQ [0, 1 ]). Показать,
что существует такая определенная на [0, 1] х [0, 1] функция /(,
что
1 . -
T(f,s)=±\K(s,t)f(t)dt, /€Lp[0, 1].
о
51. Пусть E, 2, \i) — пространство с положительной мерой
и /С—измеримая функция, отображающая^5 в S-пространство
Ж. Пусть
1
где 1<р<оо и —|—-=1. Тогда оператор Г, отображающий
L^ (S, 2, \х) в $ и определяемый формулой
Tf=lK(s)f(s)ds,
s
является вполне непрерывным оператором с нормой, не превосхо-
превосходящей М.
52. Пусть 1<р<оо, —|—г= 1. Пусть E, 2, fx) — простран-
ство с положительной мерой и К — скалярная измеримая функ-
функция, определенная на S х 5 и удовлетворяющая условию
Пусть g = Tf определяется равенством

558 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Тогда Т является вполне непрерывным оператором в Lp(S, 2, |я)
с нормой, не превосходяще.и М.
53. Пусть 1<р<оо, —1__ = 1 и (S, 2, [^ — пространство
с положительной конечной мерой. Пусть К—определенная на
5x5 измеримая функция, для которой
SUp \\K(S,t)fdt<OD.
s в
Тогда оператор g = Tf, определяемый равенством
является вполне непрерывным оператором в LV(S, 2, \х).
54. Пусть E, 2, (х) — пространство с положительной мерой
Lvr=Lp(S, 2, |i), 1<р<оо, и /С — определенная на S X S измери-
измеримая функция, для которой
vrai sup [ | К E, /) | \i (dt) < M,
s
vrai sup \\KE, t)\i(ds)<M.
t g
Тогда оператор g=Tf, определяемый равенством
является непрерывным линейным отображением пространства Lp
в себя и 1 П^УИ
55. Пусть К —Измеримая по Лебегу скалярная функция периода
2я и
2я
О
Тогда для 1 < р < оо оператор g — Tf, определяемый равенством
2я
является вполне непрерывным линейным оператором в Lp@, 2я),
норма которого не превосходит I/CJ.
56. Пусть (S, 2, [я) — пространство с конечной мерой, причем
S — бикомпактное хаусдорфово пространство. Пусть 1 < р < оо;
показать, что каждый непрерывный линейный оператор, отобра-

9. Упражнения 559
жающий Lv(Sy 2, (х) в C(S), является вполне непрерывным опера-
оператором, если его рассматривать как отображение в Lp(S, 2, \i).
57. Пусть E, 2, \х) — пространство с положительной конечной
мерой, а функция К (s, f) ограничена и измерима на SxS. Пусть
оператор Т в B(L1(S, 2, [х)) определяется равенством
8
Показать, что оператор Г* в Loo E, 2, \х) определяется равенством
(s)К{s,
Показать, что оператор Г, рассматриваемый как оператор, дей-
действующий в Lqo(S, 2, fx), слабо вполне непрерывен, а его квадрат
вполне непрерывен.
58. Пусть E, 2, fx) — пространство с положительной конеч-
конечной мерой, а К — существенно ограниченная измеримая функция,
определенная на SxS* Пусть v —ограниченная аддитивная функ-
функций, определенная на 2 и обращающаяся в нуль на множествах
нулевой меры |jl Показать, что
=$ [\K(s,t)\i(ds)]v{dt)
счетно аддитивна для ??2. Пусть мера fx только ог-конечна; какие
условия на К эквивалентны счетной аддитивности X?
59. Пусть (S, 2, fx) и (S', 2', jj/) — пространства' с" положи-
положительной ст-конечной мерой. Пусть L = L E, 2, \i) и Lv — Lv (S\ 2', fx').
Если р > 1 и Т — сепарабельное ограниченное линейное ото-
отображение L в Lp, то существует определенная на S x S'
скалярная функция /С, измеримая по отношению к 2 X 2', и такая,
что
(I) Г(/, 5)= [ K(s, t)f(s)\i{ds), /gL;
s
l
(II) vraisupf^ I /C(s, /)|pfx'(d.s)N) =M < cx>;
(III) ||
Обратно, если К— измеримая функция, удовлетворяющая усло-
условию (II), то равенством (I) определяется оператор T?B(L, Lp),
норма которого определяется равенством (III).
60. Пусть L обозначает пространство функций, интегрируемых
по Лебегу на отрезке [0, 1]. Найти аналитическое выражение

560 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
линейного оператора общего вида в пространствах В (L, L), B(Ly 1Х),
В (/lf L) и В A1У 1х). В каждом из этих случаев выразить норму
оператора в терминах ядра.
10. Теорема Рисса о выпуклости
В этом параграфе мы докажем глубокую и важную теорему
М. Рисса о выпуклости методом, принадлежащим Торину. Это дока-
доказательство представляет собой превосходный пример приложения
теории функций комплексного переменного к, казалось бы, не свя-
связанной с ней проблеме из теории линейных пространств.
На протяжении этого параграфа через grg обозначается комп-
плексное В-пространство, а через Eh—^-мерное вещественное
евклидово пространство. Читатель должен заметить, что одна и та же
буква М повторно используется для различных функций, при-
причем каждый раз в формулировке данной теоремы или в ее доказа-
доказательстве точно определяется, какую функцию она обозначает.
1. Определение. Пусть С—выпуклое подмножество простран-
пространства Ek и М — определенная на С функция, значения которой
либо вещественные числа, либо +оо. Мы говорим, что функция М
выпукла, если для любых и, v?C и каждого 0<а< 1
2. Лемма. Пусть {Мп} — семейство выпуклых функций, опреде-
определенных на выпуклом множестве С^Ек. Тогда функция М, определяе-
определяемая равенством
выпукла.
Доказательство. Для каждого я
каковы бы ни были и, v?C и 0<а<1. Беря здесь верхнюю грань
по всем я, мы и получим требуемый результат, ч.т. д.
Следующий результат часто называют «теоремой о трех прямых».
3. Теорема. Пусть f — аналитическая функция комплексного
переменного z — x+iy со значениями в ggg. Предположим, что
функция f определена и ограничена в полосе хо<л:<л:1, — оо<у<-|-оо.
Пусть функция М определена на отрезке л:0<л:<х1 равенством
М(х)= sup \f(x+iy)\.
—оо<г/<оо
Тогда \щМ(х)—выпуклая функция вещественного переменного х.

10. Теорема Рисса*о выпуклости 561
Доказательство. Пусть х0 < а< с< хх и b=aa + (l—а) с для неко-
некоторого а, такого, что 0<а< 1. Для каждого вещественного числа
г функция erzf (г) аналитична и ограничена в полосе а< х< с. Сог-
Согласно принципу максимума модуля для полосы (см. III. 14),
erbMF)<max{emM(a), егсМ(с)}.
Выберем теперь г так, что егаМ (а)=егсМ (с)\ т. е.
_ logM(c) — \ogM(a)
~~ а —с
Подставляя это значение г в неравенство
гЬ + log M (b) < re + log M (с)
и пользуясь тем, что с—Ь = —а(а—с), мы находим после соответ-
соответствующих упрощений, что
log М F) < a log М {а) + A - а) log M {с).
Таким образом, \ogM(x), как и утверждалось, является выпуклой
функцией, ч. т. д.
Теперь мы обобщим этот результат на случай k переменных.
4. Следствие. Пусть f— ограниченная аналитическая функция
комплексных переменных г^..., zk, где z^—x^ iyjy определенная для
x=[xlf..t xn], принадлежащих выпуклому множеству Сс:Ек, и про-
произвольных y=[yi,..., уп]. Предположим, что значения функции f
принадлежат gg и что М определяется на С равенством
M{x) = sup{\f{x+iy)\\-oD<yj< сю, / = 1, ..., k).
Тогда logM (x) является выпуклой функцией векторного переменного
х в С.
Доказательство. Зафиксируем л:', х"?С, и пусть y=lyl, ...,#/J
произвольно. Пусть ik=a-\-i$ — комплексное переменное; опре-
определим g равенством
где
W; = си:; +A - a) Xy + t[Px; + (l-P)xJ+ «/,.], /=1, . . ., ft.
Применяя теперь теорему 3 к функции g на полосе 0<а<1,
— оо<|3<-}-оо, получим
log|g(a)|<log{sup|g(a +
Р
< a log М (хг) + A - a) log M {х").
36 Заказ Лг 1324

562 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Мы показали, что для произвольным образом выбранного
1 J
< a log M (x') + A - a) log M {х").
Беря верхнюю грань по всевозможным у, мы находим, что
это неравенство и доказывает наше утверждение.
5. Определение. Пусть 3 — комплексное векторное простран-
пространство; функция G : 3 —>28 называется аналитической, если G^k^ + ...
...H-A,pzp) является аналитической функцией комплексных пере-
переменных Х1у ..., Кр в смысле § II 1.14 для каждого конечного множе-
множества {zlt ..., zp}ciS- Пусть 3i> •••> Sh —комплексные векторные
пространства, а 3 — их прямая сумма (см. 1.11), тогда только что
предложенное определение дает понятие аналитичности и для функ-
функции G:3= 3i © ••• ©3fc-*28-
Для того чтобы облегчить формулировку следующего резуль-
результата, удобно ввести такое обозначение:
6. Определение. Пусть (Sj9 2;, |^-) для каждого /=1,..., k
является пространством с положительной мерой. Обозначим через
3;- пространство всех определенных на Зу комплексных |а;--интегри-
руемых простых функций. Если а — [аи ..., afe]6 Eh и a,- > 0 ,то, по
определению, A (a)—A (av ..., ak) является множеством всех
f=(fi> •••» /fcl. где fj?3j, и
Если для соответствующего значения / а; = 0, то условие [* I
заменяется требованием
|/;E)|<1 почти всюду относительно \ij.
7. Лемма. Пусть, в терминологии предыдущих определений,
G — определенная на 3 = 3i © ••• ©2k аналитическая функция
со значениями в gg и
М (а) = sup \G(f)\.
А{)
Тогда log M (а) является выпуклой функцией от а= [а1} ..., ah\
для а;>0, /= 1, ..., k.
Доказательство . Обозначим через А+ A) совокупность всех
/=l/i. ••-. /J из ЛA,...,1), таких, что каждое f;>0. Пусть
а= [alt ..., aj, где a;>0; тогда если f?A+ A) и 64@)
= Л @, ..., 0), то

10. Теорема Рисса о выпуклости 563
является элементом А(а). Нетрудно видеть, что произвольный эле-
элемент из А (а) можно получить таким образом. Далее, если
b=[blt ..., bk\?Eh произвольно, то
= sup |G(fg)| = sup sup |G(f+ib?)| = sup sup| G(f+i
A+(l), A@) bA+(l), A@) A+A),A(O) b
i. инадлежит А(а). Следовательно
М(а)= sup |G(fg)| = sup sup
A+(l), A@) bA+(l), A
Пусть K~uj + ibjt a,j; >0; тогда так как /;. и gj — простые функ-
ции, то /.; gj можно представить в виде суммы J\Pjl?jm* zjm€3}>
a pjm — есть положительное вещественное число. Так как мы
предположили, что G аналитическая функция, то и G (fKg) =G (fa+ibg)
является аналитической функцией комплексных переменных
Я= [Xlf ..., Xftl и ограничена на каждой полосе 0<Re(^)<^<oo.
Ввиду следствия 4, леммы 2 и монотонности логарифма убежда-
убеждаемся в том, что
log M (a)= sup log{sup|G(/a+ib?)|}
A+(i)A@) Ъ
есть выпуклая функция векторного переменного а = [а1, ..., ak]
для а;>0, ч. т. д.
8. Теорема. Пусть (S, S, |л) — пространство с положительной
мерой, a Lo — пространство всех \х-интегрируемых простых функ-
функций. Обозначим через Т линейное отображение Lo в комплексное
В-пространство Ж. Если Т можно продолжить до ограниченного линей-
линейного преобразования пространства Lp E, S, \i) в Ж, то \ Т \р — норма
такого продолжения; если же такого продолжения не существует,
положим | Т |р= + оо. Тогда log \T |i/a является выпуклой функцией а
при 0 < а < 1.
Доказательство. Так как множество Lo всюду плотно в
Lp (S, S, \i) при 1 < р < оо, то ясно, что для 0 < а < 1
Ясно также, что
|T|oo>sup{|T/|
Таким образом, если через М(а), 0<а< 1, обозначить правую часть
в равенстве [* ] и N определить равенствами N @) = | Т |о> и N (а)=0
для 0< а< 1,то | T|i/a = max{iW(a), N(a)}. Так как линейное ото-
36*

564 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
бражение, очевидно, аналитично, то наша теорема вытекает из лемм
7 и 2 и того обстоятельства, что логарифм максимума равен макси-
максимуму логарифмов, ч. т. д.
9. Лемма. Пусть (S, 2, \х) — пространство с положительной
мерой, a f — определенная на S \i-измеримая функция. Если
/б LV(S, 2, |а), то обозначим через \ f |p его норму как элемента этого
пространства; в противном случае положим |/|р= + оо. Тогда
log|/|i/a является выпуклой функцией а при 0<а<1.
Доказательство. Если | / \\;а = + оо для всех а, 0 < а < 1, наше
утверждениетривиально,такчтомыпредположим,что/е1Р()E, 2, \х)
для некоторого р0. По лемме II 1.8.5, можно предполагать,
что мера в пространстве 5 является сг-конечной. Пусть Lo — класс
fi-интегрируемих простых функций и g?L0; тогда из неравенства
Гёльдера (II 1.3.2) следует, что функция fg ji-интегрируема. Пусть
М
(a) = sup{| Jf(s)g(s)|i(ds)||^€^o.lglj_<l}-
с 1-а
Если / принадлежит Li/aE, 2, (х), то ввиду неравенства Гёльдера
М (а) < |/|i/a- Обратно, мы покажем, что если М(а) < оо, 0 < а < 1,
то/ принадлежит Lj/a(S, 2, jm) и \f\i/a<M(a). Этим наша лемма бу-
будет доказана, так как если ^V(l) = |/|1, N @) = |/|оо и N (а) =0 для
0<а<1, то |/|i/a=max {M(a), N(a)}, и наше утверждение будет
вытекать из лемм 7 и 2.
Предположим, что М(а)<оо для некоторого а?@, 1). Из того,
что множество Lo всюду плотно в Li/(i_a) (S, 2, \х)> вытекает, что
x*(g)=\ f(s)g(s)li(ds)
s
можно продолжить до непрерывного линейного функционала нормы
М(а) на все L1/(i_a). По теореме IV.8.1, существует такое
/6 L,,a(S, 2, |х), что l/|i/o=M(a) и
\ = \ ]{s)g(s)tL{ds),
s s
В частности, если \i(E) < оо, то

10. Теорема Рисса о выпуклости 565
По лемме II 1.6.8, отсюда следует, что f(s)—](s) почти всюду на каж-
каждом множестве из 2 конечной меры. Так как мы предположили,
что мера в пространстве S а-конечна, то f(s)=J(s) почти всюду.
Следовательно, f G L1/a(S, 2, |i) и |/|1/a = M(a), ч. т. д.
Следующая теорема аналогична теореме 8.
10. Теорема. Пусть (S, 2, [х) — пространство с положитель-
положительной мерой, Ж — комплексное В-пространство и М=М (S,2, |i) —
пространство всех определенных на S комплексных ^-измеримых
функций. Обозначим через Т линейное отображение пространства
I бМ. Если Т является ограниченным линейным отображением
ЭЕ в Ьр E, 2, (х), то обозначим через \Т\р норму этого оператора,
в противном случае положим \ Т \р= 4- со. Тогда log | T |i/a является
выпуклой функцией а при 0<а< 1.
Доказательство. Если л: б Ж, то из предшествующей леммы выте-
вытекает, что log | Тх\\/а является выпуклой функцией а при 0< а < L
По лемме 2,
l0g\Tx\i/a
также является выпуклой функцией а в указанных пределах, ч. т. д.
-» 11. Теорема (теорема Рисса о выпуклости). Пусть (SlyIil, [i^
и E2, 22, (х2) — пространства с положительной мерой. Обозначим
через Lo множество всех комплексных ^^интегрируемых простых
функций, через М — множество всех комплексных ^-интегрируемых
функций и через Т—линейное отображение Lo в М. Если для задан-
заданной пары чисел (р, q) T продолжается до ограниченного линейного
отображения пространства Lp (Sb 2Ъ (хх) в Lq (S2, 22, |я2), то обоз-
обозначим через | Т | PtQ норму этого продолжения; если же такого продол-
продолжения не существует, положим\Т\р^ Q= +oo. Тогда log | Т\{/а,\/ь
является выпуклой функцией от (а, Ь)в прямоугольнике 0<а, 6<1.
Доказательство. Если |71|p>q=t-°o Для (Р> Q) из области
^ 1; 8
_, ^ , _ ^ _, ^: со, то наше утверждение вытекает из теоремы'8, если
положить dc=LOD(S2, 22, [х2). Мы можем, следовательно, предпо-
предположить, что для некоторой пары (р0, q0) в указанных пределах \T\POi Qo
конечно. Следовательно, если /16L@1) = L0, то Tf1 принадлежит
некоторому пространству Lq (S2,22,[i2). Из неравенства Гёльдера
вытекает, что для произвольной функции /2, из пространства L<2>
всех (х2-интегрируемых простых функций интеграл
[*] {fi>f2)=\(Tf1)(s)f2(s)lx2(ds)

566 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
существует. Таким образом, в предположении, что некоторое
\T\potQ конечно, интеграл в равенстве [*] существует для любого
/х 6 Ц{) и произвольного f2 ? Ц2>.
Пусть а-|, 6 = |, | + f=l и M(atb) = sup\G(fl9f2)l
где верхняя грань берется по всем fx ? Но{\ | fx \ < 1, и всем f2
\h\q.<l. Ясно, что М'(а, b)<\T\PiQ.
Об 0 6
\q \\PiQ
Обратно, предположим, что 0<а, 6<1 и М(а, 6)<оо. Мы пока-
покажем, что | r|Pjg<Af(a, b). Чтобы убедиться в этом, заметим, что
для каждого f1^L[i) равенством [*] определяется некоторый
линейный функционал на всюду плотном подмножестве простран-
пространства LQ/ (S2, S2, \х2) с нормой, не превосходящей М(ау b) \fx |p. Сле-
Следовательно, его можно единственным образом продолжить на все
LS и, по теореме IV.8.1, существует такое gб Lq(S2, 22, |^2), что
|М( 6)|/| и что
\ (Th)(s)f2(s)ix2(ds)= J g(s)f2(s)ii2(ds), ^
s2 s2
Пользуясь леммами III.6.8 и III.8.5, мы заключаем, что Tf1(s)=:g(s)
почти всюду относительно \i2, следовательно, Tf1^LQ(S2iIi2t \i2) и
Так как это неравенство выполняется на всюду плотном подмноже-
подмножестве L<!) пространства Lp(S1,S1, (лх), то Т можно продолжить до
некоторого отображения этого пространства в Lq(S2, 22, |i2) с нор-
нормой, не превосходящей М (a, b). Следовательно, |T|PfQ<M(a, 6).
Вспомним теперь, что G есть комплексная билинейная функ-
функция, определенная на Ц^ х L^2); следовательно, она аналитична.
По лемме 7, \ogM(at b) является выпуклой функцией на прямо-
прямоугольнике. Кроме того, мы показали, что Af (a, Ь)< | T|i/a>i/b для всех
а, Ьи чтоеслиО<а, 6<1, тоМ(а, Ь) = | Т\{/а>1/ъ- Пусть ^'определено
на этом прямоугольнике равенством N (a, b) = \T | i/a, i/ь» ^сли либо
а, либо b равны 0 или 1, и N(a, b)=0 для всех остальных пар чисел.
По теоремам 8 и 10, log N(a, b) является выпуклой функцией. Так
как | Т1 |i/a,i/b = max {M(ay 6), N (а, 6)}, то справедливость нашей
теоремы вытекает из леммы 2, ч.т.д.
В заключение этого параграфа мы дадим очень простое прило-
приложение теоремы Рисса о выпуклости; оно будет использовано в даль-
дальнейшем.
12. Следствие. Пусть (S, 2, (х) — пространство с положитель-
положительной мерой и Т — линейное отображение, переводящее каждое комп-
комплексное пространство L (S, S, (х) при 1 < р < оо в себя. Если

//. Упражнения на неравенства 567
известно, что при р=1 и р=со Т непрерывно и имеет норму, не
превосходящую С, то отображение Т: Lp—>Lp при всех р, 1<р < оог
непрерывно и норма его не превосходит С.
Доказательство этого утверждения, легко вытекающего из тео
ремы 11, предоставляется читателю.
11. Упражнения на неравенства
Основанные на свойстве выпуклости .методы предыдущего пара-
параграфа вместе с несколькими элементарными схемами доказатель-
доказательства можно использовать для получения большого числа наиболее
известных и важных неравенств анализа. В настоящем параграфе
мы дадим группу связанных между собой упражнений на неравен-
неравенства с целью продемонстрировать это утверждение.
А. Неравенства, получаемые из теоремы о выпуклости и извест-
известных экстремальных случаев.
1. Пусть (S, 2, (х) — пространство с положительной мерой.
Пользуясь свойствами выпуклости, показать, что отображение
[/, g] —> ft, определяемое равенством h(s) = f (s) g (s), является непре-
непрерывным отображением Lp(S, 2, |я) X Lq{S, 2, \х) в Lr (S, 2, jm), где
—h — = — , и что | hr | < | / |p | g |Q; вывести отсюда неравенство
Гёльдера как частный случай, в котором —|—= 1 (р, qt r> 1).
2. Обобщить результат упражнения 1, показав, что если
n(s)...fn(s), hG^iS.Z,?.) и 2тг = 7-
1=1
то ft принадлежит Lr (S, 2, |х) и | ft |г < | /2 |Pi . . . | /п \Рп (р19 . .., рп>
г>\).
3. Пусть (Sly 2Ь jij) и E2, 22, |ы2) —два пространства
с положительной мерой. Пусть К— определенная на S1xS2
На X ^-измеримая функция; предположим, что \ | К (slt s2) \ |1Х (ds^ <
Si
<Л1х<оодля почти всех относительно \х2 точек s2 из S2 и
\ | К {slf s2) | (х2 (ds2) < М2 < оо для почти всех относительно ц}
s2
точек Si из 5Х. Показать, что если / принадлежит Lp(S2y 22, [\2)у
то интеграл
s2

•568 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
существует для почти всех относительно \х1 точек Sj и определяет
некоторую функцию из Lp (Sly 2Х, [ij, по норме не превосходящую
Л*!Л*!~5|/|Р (Кр<оо)
4. Пусть (Sj, Sl [i^ и (S2, 22, |л2) —два пространства с поло-
положительной мерой, а К—определенная на Бг X S2 \ilx ^-изме-
^-измеримая функция; предположим, что \ \K(sv s2)|P2|i2(ds2)<M2<oo
для почти всех относительно \хх точек sx и \ |/((sbs2)| 1\x1(ds1)<C
Si
<Мх<оо для почти всех относительно уточек s2. Показать, что
для каждого / из Lq (S2, 22, \x2) интеграл
K(sl9 s2)f{s2)\x2(ds2)
существует для почти всех относительно \ix точек sx и определяет
некоторую функцию из Lr(Sl9 2Х, (хх), по норме не превосходящую
_L_^2_ 1
|/|QM?1 VVlMl Здесь l<Pll p2<oo, ^ + ^-Ь у + у = 1,
9?2 РР1(РР2)
5. Пусть (Sx, Slf (а^ и (S2, S2, (x2) — два пространства с поло-
положительной мерой. Пусть К—определенная на SxxS2
jxx X (х2-измеримая функция; предположим, что
${$ ^1 ix, (dsj = M,
51 S2
5 {J |/С (Sp
52 Si
Показать, что для каждого /б Lq(S2, S2, |i2) интеграл
I K{slt s2)f{s2)\i2{ds2)
s2
существует для почти всех относительно \хг точек sx и определяет
некоторую функцию из Lt(Sly 2X, (хх), по норме не превосходящую
а 1—а
\f\qM.riPlMr2*v*. Здесь q заключено между q2 и r2p2(r2p2— 1),
О. =
/ =

//. Упражнения на неравенства ¦ 569
Аналогичные утверждения можно сделать и для полилинейных
форм вида
I •• Л ^Ei' •••> sn)fi(si) ¦•• /ntei)M<*Si) ••• Рп№п),
однако мы предоставляем это читателю.
В лемме VIII. 1.24 будет показано, что если функция /, определен-
определенная на вещественной прямой, измерима по Лебегу, то функция g
двух вещественных переменных, определяемая равенством
измерима относительно двумерной меры Лебега. В нижеследую-
нижеследующих упражнениях на интегралы типа «свертки» свободно можно
использовать этот факт. (В следующих четырех упражнениях че-
через Lp обозначается пространство функций, интегрируемых с р-й
степенью относительно меры Лебега на вещественной прямой.)
6. Пусть f^Li, g?Lp, р>1. Тогда интеграл
ВД= \ f(x-y)g(y)dy
существует для почти всех х и определяет некоторую функцию из
Lp. Кроме того, | А|р< \g\p\f\x.
7. Пусть /GLp и ggLr, где1—+ у> 1, р> 1 г> 1. Показать,
+ 00
что интеграл h (х) = \ f{x—y)g(у)dy существует для почти всех х
—со
и определяет некоторую функцию из Ls, где s — г'1 + р"— 1. Кроме
того, |Ae| <|/lp|g|r.
п
8. Пусть /{g Lp , pt > 1, i = 1, ..., n\ предположим, что Y — >
itiPi
>n—\. Показать, что интеграл
+ OO +OO
X fn (yn
существует для почти всех х и определяет некоторую функцию
п
h 6 Lr> у = ^ Рг71 - п + 1. Кроме того, | А |г < | A |Pl ... | fn \Pn.

570 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
9. (Хаусдорф — Юнг). Пусть k — натуральное число > 1 и пусть
р =—^г—. Пусть f?L Показать, что кратный интеграл
—ОО —ОО
существует для почти всех х и определяет некоторую функцию из
L2. Показать, что | h |2 < | / |J.
10. Показать, что если [ап] и {Ьп}—(двусторонние) последователь-
-foo -f~°°
ности комплексных чисел, тдкие, что 2 \ап\<^соИ S \bn\v
п=—оо п=—оо
+оо
сходится при р > 1, то сп = 2 ап~тгРт определено для каждого я и
4-oo
S 1
n=—oo
r I7
i
+OO
^ У i
^ Zj 1
n=—00
^n 1
4-00
f 2
n=—00
И. Пусть {ап} и {Ьп} — (двусторонние) последовательности ком-
-f-oo -j-°°
плексных чисел, такие, что 2 I ап [Р < °°» S | &л |г < оо.
п=—оо п=—оо
1<р<оо, 1<г<оо, где —|—>1. Показать, что сп =
= 2 ап-тРт определено для всех п и что
т——оо
-f-oo I -foo I 4-°о 1
где —
i-
1
4-00
r vi
n=—00
= T +
1 с
n
1.
i
if «
n=—00
i 4-00
\\p}*\ 2
n=—00
p
12. Пусть {aW}, — oo< n< + oo, /= 1, . .., k+ 1, —семейство
последовательностей (двусторонних) комплексных чисел, таких, что
+оо к
2 K1)|pi<oo,pt>l, /=1, ...,ft+l, и 2^->«-1, Пока-
п=—оо г=1
зать, что кратные ряды
^д — /_ • • • ^ п—??г т.—га т—т, т
m^—oo mfe=—oo x l H
абсолютно сходятся для каждого п и что
f 2 КГГ<П f S 1^ГМ^

//. Упражнения на неравенства 571
В. Обобщения неравенств Гёльдера и Минковского.
Часто известное неравенство, примененное к векторнозначным
функциям, принимает интересный, но менее известный вид. Так,
неравенство Минковского непосредственно приводит к формуле
J \f(s)\ii(ds)>\\ f(s)ix(ds)
для функций со значениями в Б-пространстве Lp. Это дает следую-
следующие неравенства:
13. Пусть (Slf 2lf н^) и E2, S2, \i2) — пространства с положи-
положительной мерой и К— jAi X |ы2-интегрируемая функция, определен-
определенная на 5Х х 52. Тогда для р > 1
Si S2
J [J |«"(slf si)\ixl(ds
CO
14. (Йессен.) В предположениях упражнения 13, для r>s> 0
(Указание: положить в упражнении 13 р~— . )
Точно так же и неравенство Гёльдера, примененное к векторно-
векторнозначным функциям, может привести к необычно выглядящим не-
неравенствам.
15. Пусть E, S, |л) — пространство с положительной мерой,
ЗЕ и 3) — Б-пространства, f — (х-измеримая функция со значениями
в Ж, g—(^-измеримая функция со значениями в В (Ж, ?)). Пока-
Показать, что если /6Lp(S, S, (х, Ж), g?Lq(S, S, |х, В (Ж,?)))
Р> 9> 1» — + — = 1, то функция Л, определяемая равенством
h(s) = g(s)f(s), принадлежит L, E, S, jx, 2)) и |А |х< | /|p|g|Q.
16. Пусть (Sj, 2Ь jlxx) и (S2, 22, |i2) — пространства с поло-
положительной мерой. Пусть Кг и К2 -г определенные на 5Х х S2
^! х |^2-измеримые функции. Предположим, что рь р2 > 1, — + — = 1,
Pi Яг

?72
Гл. VI. Операторы и их сопряженные
u_L=l. Показать, что если
P Й
So Si
и
TO
существует и по абсолютной величине не превосходит УИ^М*.
17. Пусть E, 2, (i) — пространство с мерой, /?> 1 и 1 = 1,
и пусть {Кп} и {Ln} — последовательности определенных на S
(х-измеримых функций. Показать, что
n = 0 S
1
причем ряд в левой части неравенства вполне определен и сходится
абсолютно, если только интегралы в правой части равенства конеч-
конечны.
18. Пусть fug — измеримые по Лебегу функции двух вещест-*
венных переменных, р> 1,—(- — =. 1. Показать, что
-f-oo -j-oo -J-oo
f(x> y-z)g{x>z)dz dx~jP dyjv
—oo —oo —oo
-{-oo -f-oo
5 5
<
j_ -f-oo
y 5
<
j f 4
\g(x,yydxdyy 5 [ J \f(x, y)\*dx]qdy,
—oo —oo
—oo —oo
причем левая часть определена, если правая часть конечна. (Ука-
(Указание: это векторная форма упражнения 6.)

//. Упражнения на неравенства 573
С. Неравенства типа неравенства Хард и — Гильберта.
Все неравенства этой группы представляют собой вариации на
удивительно простую тему, предложенную в упражнении 15 и при-
приводящую к удивительно разнообразным результатам. В качестве
вводного примера предлагается упражнение.
19. Пусть функция f определена на вещественной оси, измерима
по Лебегу и принадлежит Lp. Определим отображение Tt: Lp—>Lpy
полагая (Ttf) (x) = f(x— t). Показать, что Tt f является непрерывной
функцией t со значениями в Lp для каждого / из Lp и что | Tt /1 = | /1.
Показать, что если g?Lv то
-j-OO
S )= ] f(x-t)g(t)dt
для почти всех jc, и, таким образом, вывести результат упражнения
6 из упражнения 15 (или из соображений, упомянутых в начале
п.В).
В нижеследующих упражнениях нам еще придется иметь дело
с мерой Лебега, на сей раз на положительной вещественной полуоси.
Через р всегда будет обозначаться число, заключенное между
1 и оо.
20. (Харди — Литлвуд — Пойя.) Предположим, что функция
К измерима по Лебегу. Показать, что отображение Т, определяе-
определяемое равенством
G7)(*)=jj K(y)f(xy)dy= ±1 К (%Ушу, х>0,
о о
есть отображение пространства L@, оо) в себя, по норме не превос-
оо _ 1
ходящее \ \К(у)\у vdy. Показать, что если /C(jt)>0 для почти
о
всех х, то это выражение равно \Т\.
21. Показать, что отображение Т, определяемое равенством
(a) (Харди) j\
6
является отображением в Lp@, оо) с нормой —^т , р> 1;
(b) (Гильберт, Шур, Харди, М. Рисе)
есть отображение в Lp @, оо)с нормой л ( sin — V1, р > 1;

574 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
(с) (Харди, Литлвуд, Пойя)
есть отображение в Lp@, оо) с нормой р2(р— 1) 2, р > 1.
22. Показать, что отображение Т: {ап}-^{Ьп} последователь-
последовательностей, определяемое условием
п
(a) ft =iy. ah,
есть отображение в /р с нормой —^-г, р > 1;
оо
(Ь) &п= У
есть отображение в /р с нормой я (sin — J , р > 1;
оо
^ ' п ~~ ^ max(/, дг)
есть отображение в 1рс нормой р2(р— I), р > 1.
23. Предположим, что функция /С измерима по Лебегу, и пусть
оо 1
^ I К (у) | у"" р dy < оо. Пусть р > 1, -L-|- — = 1. Показать, что преоб-
о
разованием, сопряженным к преобразованию T:L^@, оо)—>
—>Lp@, оо) упражнения 20, будет отображение S:Lg@, со)-->
—>Lg@, оо), определяемое формулой
Если /С (а:) >0 для всех д;, то какова будет норма 5?
24. (а) (Харди.) Показать, что отображение S, определяемое
равенством
есть отображение ц ?р@, со) с нормой р.

11. Упражнения на неравенства 575^
(Ь) (Харди.) Показать, что отображение S: {ап}-*{Ьп\, опреде-
определяемое равенством
k
k=n
есть отображение в 1р с нормой р.
25. Пусть К — функция п вещественных переменных, опреде-
определенная для положительных значений всех этих переменных и изме-
измеримая по отношению к n-мерной мере Лебега. Пусть рг>и
п
j = l, ..., /г, q>\ и ^=2|Pi1- Предположим, что
*i' •• •' xn)\xi Vl ••• x~'^ndx1 . .. dxn =
Показать, что если fi принадлежит Lp. (О, оо), то интеграл
оо оо
/(*)=$...$ K(lT, ¦¦;Jr)fi{yi)--'fn(yn)dy1...dyn
О О
существует для почти всех л: > 0 и что
i
Показать, что если функция К неотрицательна, то константа с
в этом неравенстве— наилучшая из возможных.
26. Пусть ^ и @2 — гильбертовы пространства. Пусть 7\
отображает некоторое всюду плотное подмножество Dx простран-
пространства $х в ^2 и Г2 отображает всюду плотное подмножество D2
пространства ig2 в ф1# Предположим, что Гх и Г2 сопряжены в том
смысле, что (Тхх, у) = (х, Т2у) для х б Dx и г/ б D2. Показать, что если
одно из преобразований Г2, 7\Г2, ^Г! и Гх продолжаемо до всюду
определенного ограниченного оператора, то такими же будут и
остальныетри. Каковы будут нормы соответствующих продолжений?
27. (Харди.) Рассмотрим отображение Г, определяемое равен-
равенством
Показать, что Т есть ограниченный оператор в L2@, оо) нормы]7 я
м что преобразование ГГ* определяется формулой

576 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Показать, что если 1<р<2, 1—= 1, то | 77|g<n?| f |р для
/6^@,00).
28. Показать, что отображение Г, переводящее определенную
на интервале (О, 1) и интегрируемую по Лебегу функцию f в после-
последовательность {ап}, определяемую равенством
1
ап = ^ xnf(x)dx, /г>0,
о
есть ограниченное отображение пространства L2 в /2; оператор ТТ*
отображает последовательности {ап} в последовательности {Ьп}, где
оо
h - V
Показать, что норма Т равна >Ая. Показать, что норма отображе-
отображения S пространства L2@, 1) в себя, определяемого равенством
равна я.
29. Пусть функция К определена на положительной вещест-
вещественной полуоси и измерима по Лебегу. Показать, что отображение
Г, определяемое равенством
о
есть преобразование Lp@, оо) в себя, по норме не превосходящее
оо {
\ \К(х)\хр dx, и что это есть точное значение его нормы, если
о
К(х)>0 для всех х>0. Показать, что сопряженным отображе-
отображением будет
2
(Указание: положить у^у?.)
D. Общие свойства Ьр-норм.
В этой группе задач (S, 2, |i) является пространством с поло-
положительной мерой и Lp E, 2. \i) определено при 0 < р < оо как сово-

И. Упражнения на неравенства 577
купность всех [х-измеримых функций, удовлетворяющих условию
S
Loo E, 2, |i) имеет обычный смысл; мы увидим также, как опреде-
определить L0(Sy 2, \i).
Для 1 < р < оо пространство Lp является В-пространством, но
при 0<р< 1 оно будет только ^-пространством (см. упражне-
упражнение II 1.9.30, где, однако, символ |/|р при 0 < р < 1 имеет несколько
иное значение). Тем не менее имеется несколько интересных свойств
функции | / |р, справедливых в расширенной области 0 < р < оо.
30. Если оо>/?1>р>р2>0 и f принадлежит LV E, 2, \i)[)
fjLp2(S, 2, |i),to f принадлежит Lp(S, 2, (i) и log|/|p является
непрерывной выпуклой функцией от —. (Указание: доказать экви-
эквивалентное утверждение, что plog|/|p есть непрерывная выпуклая
функция р.)
31. Если (I (S) = 1 и если 0 < р1 < р2, то LPi E, 2, \i) содержится
в LP2E, 2, (i) и \f\p есть возрастающая функция р.
32. Предположим, что f принадлежит Lp E, 2, (i) для некоторого
р > 0. Показать, что если только f не обращается в нуль вне неко-
некоторого множества Е из 2 такого, что \i (?)< 1, то |/|р—» оо при
р—>0. Показать, что в противном случае |/р| есть убывающая
функция, стремящаяся к
33. Предположим, что |х (S)=l. Показать, что совокупность
Lo (S, 2, jn) всех функций f, таких, что
— оо -
является линейным пространством и что результат упражнения 31
справедлив в расширенной области 0<р<оо.
34. (Неравенство, связывающее среднее арифметическое и сред-
среднее геометрическое.) Пусть аи . . ., ап — комплексные числа; пока-
показать, что
\а1...ап\"<±.(\а1'\+
35. Пусть цE)=1. Положим
ехр { С log | / (s) 1
s
37 Заказ № 132 4

578 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
для f?L0 (S, 2, \i). Показать, что если fug— неотрицательные
функции из Lo (S, 2 (i), то | / + g |0 > | /10 + | g |0. (Указание: восполь-
воспользоваться результатом упражнения II 1.9.29.)
36. Пусть (S, 2, jx) и (Slf 2Х, jii) — пространства с положитель-
положительной мерой. Предположим, что ji(S) = l. Показать, что если К есть
\х х (ix-измеримая функция, определенная на 5 х Slf то
и-i (dsL) <
^ [ (^
S Si
(Указание: воспользоваться результатом упражнения 14.)
37 (а). Показать, что если функции / и К определены на поло-
положительной вещественной полуоси и измеримы по Лебегу, причем
оо
К неотрицательна и \ К (х) dx = 1, то
6
оо
<ехр|- ^ K{x)\ogxdxy ^ \f{y)\dy.
о 6
(Ь) (Кнопп.) Показать, что если функция f определена на поло-
жительной^вещественной полуоси и интегрируема по Лебегу, то
j { ^ } \f(y)\dy,
оо о
причем константа е— наилучшая из возможных.
оо 1 оо
(с) (Карлеман.) Показать, что 2\ \аг . . . ап |п< е 2 \ап\ Аля
каждой последовательности!^}, причем константа е — наилучшая
из возможных.
Е. Обобщения теоремы о выпуклости.
38. Пусть (S, 2, ^ — пространство с а-конечной мерой
и / — fx-измеримая функция, определенная на 5 и со значениями
в ^-пространстве ЗЕ; предположим, что f [i-интегрируема на каж-
каждом множестве ? из 2, таком, что \i(E)< оо. Показать, что если
1<р< оо, то для того, чтобы функция/принадлежала Lp(S, 2, (i, 3?),
необходимо и достаточно, чтобы
g(s)f(s)[i(ds)
<оо,

11. Упражнения на неравенства 579
где S — подпространство |1-простых функций в LQE, 2, |а, Ж*)
и J-4- —= 1. Показать, что в этом случае |/|р равно верхней грани
левой части неравенства [*].
39. Показать, что лемма 10.7, теорема 10.8, лемма 10.9, теорема
10.10 и теорема 10.11 справедливы даже и в том случае, если про-
пространство комплексных функций заменяется соответствующим про-
пространством векторнозначных функций (т. е. если1рE, 2, |i, Ж)
заменяет Lp E, 2, |i) и т. д.).
40. Пусть EЬ 2Х, щ) и E2, 22, |i2) — пространства с положи-
положительной мерой. Пусть z — х + iy — комплексный параметр, изменяю-
изменяющийся в полосе cx<a:<c2. Предположим, что Т(г) для каждого г
есть линейное отображение пространства LA) всех щ-интегрируе-
мых простых функций в пространство LB) всех ^-измеримых функ-
функций, интегрируемых на каждом множестве конечной меры, и что
для каждого ]х из LA) и Е из 22, такого, что (i2 (?) <оо, интеграл
\ G1 (z) fi) (s) 1^2 (^S) является аналитической функцией и равномерно
ограничен. Пусть \T(z)\PiQ для каждого z определено так же, как
в формулировке теоремы П. Показать, что max log | T(x + iy)\ i i
—ос<г/<-|-оо -^ >-?
является выпуклой функцией от lx, a, b] в области Cj<a:<c2,
0<а< 1, 0<6<1.
41. Пусть (Si, 2Х, |л1)иE2, 22, (i2) — пространства с положительной
мерой, г. К — определенная на Sx x 52 неотрицательная \ix x A2-изме-
римая функция. Предположим, что ^ \ K(sx, s2) \ix (ds^ \i2{ds2) <oo,
j2
если Ei принадлежит 2X, /= 1, 2 и jbii (Et) < oo, t = 1, 2. Показать,
что норма отображения Г пространства Lp E2, 22, |i2) в LQ EЬ 2Ь )
определяемого формулой
(в том смысле, что этот интеграл существует почти всюду относи-
относительно (ij для каждого/ gL E2, 22, \i2) и принадлежит LQ (Sl9 2X, ^
11
является выпуклой функцией от а, —, —. (Разумеется, в тех
случаях, когда равенством [*] не определяется ограниченное ото-
отображение Lp—> Lq1 мы полагаем эту норму равной + оо.)
42. Пусть функция /измерима по Лебегу на @, со),р > 1,0<А,< 1
и — + — = 1. Показать, что если / принадлежит LQ/((]^x) @, оо), то
оо
С f М
И4геграл \ —— dx существует для почти всех у и определяет
о
37*

580 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
некоторую функцию из Lp/k (О, оо). Найти верхнюю границу для
нормы этой функции.
F. Неравенства из теории ортогональных рядов.
В этой группе упражнений мы воспользуемся понятием и опре-
определениями из параграфа IV. 14, в частности определением 1.
43. Пусть {ф/г}, — оо < п < + оо, —равномерно ограниченная
замкнутая ортонормированная система, и пусть 1 <р< 2. Показать,
2я -f-°°
что если /?Lp и ап = \ f(x) уп{х) dxy то 2lanlg<°°» гДе
6 -оо
44. Пусть {ф„}, — оо </г< + оо, —равномерно ограниченная
замкнутая ортонормированная система. Предположим, что 1 < р < 2,
1 = 1 и 2 laniP<°°- Показать, что существует такое f
п=—оо
из L что ап= [ f(x)<pn(x)dx.
45. В предположениях упражнения 43 и дополнительном пред-
предположении, что {Рп} есть последовательность комплексных чисел,
+оо -foo
такая, что 2 | Р^ | < оо, показать, что 2 I Р/г ГРI аа 1Р < °°
оо —оо
всех / из Lp.
46. Пусть Тп —оператор, определенный в абзаце, предшествую-
предшествующем упражнению IV. 14.34. Показать, что если Tnf—>f по норме
пространства С для каждого f ? С, то Тп f —> f по норме пространства
Lp для каждого / из Lp.
47. Пусть {Хп} — вещественная фактор-последовательность типа
(С, С) в смысле определения, предшествующего упражне-
упражнению IV. 14.64. Показать, что {А,п} будет, кроме того, и типа
(LptLp) при 1</?<оо.
G. Различные другие неравенства, связанные с выпуклостью.
48. (Теорема Адамара о трех кругах.) Пусть аналитическая
функция f определена в кольце a<|z|<b и принимает значе-
значения из 5-пространства Ж. Показать, что если М (r) = max | Дг)|,
\г\=г
то logM (г) является выпуклой функцией от log г, а < г < Ь.
49. (Харди.) Пусть комплексная аналитическая функция f опре-
определена в кольце а < I г I < 6, и пусть 1 < р < оо. Показать, что если
2л 1
Мр (г) = | { | / (ге**) |р dd|p, то log Мр (г) является выпуклой функ-

12. Примечания и добавления 581
цией от log г при а < г < Ь. (Указание: применить рез у л ьтат упраж-
упражнения 48 к функции/7 (г), определяемой равенством (F(z))($)=f(zei'&).)
50. Пусть комплексная аналитическая функция определена
в кольце а < | г \ < Ь. Пусть 0 < а < 1 и
Ма{г)= max
^^ Z!-z2|a
Показать, что log/Wa(r) является выпуклой функцией от log r
при а < г < Ь.
12. Примечания и добавления
Топологии, сопряженные операторы и проекторы. Сильная и сла-
слабая операторные топологии для ограниченных операторов на гиль-
гильбертовом пространстве были введены и систематически изучались
Дж. Нейманом [2]. Понятия сильной и слабой сходимостей после-
последовательностей операторов использовались, однако, и раньше (см.
Гильберт [1]), Ф. Рисе [6, стр. 107, 111]. Последняя из топологий,
упоминавшихся в § 1, иногда называемая «сильнейшей» оператор-
операторной топологией, была введена Дж. Нейманом [5]. Вопрос об опре-
определении вида линейных функционалов, определенных на В (ig)
и непрерывных в этой и других топологиях, рассматривал Диксмье
[2], который доказал теорему 1.4 для этого случая; в общем виде
теорема 1.4 была доказана Бейдом [3]. Смежные результаты были
получены Майклом [1]. (См. также Тейлор и Халбери [1*]. Ред.)
Формальное определение сопряженного оператора берет свое
начало в теории матриц и теориях дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнений. Ф. Рисе [2, стр. 478; 6, стр. 85] пользовался этим
понятием в пространствах Lp, p > 1 и /2 и доказал для них лемму
2.2. Банах [4, стр. 235] ввел понятие сопряженного оператора для
общего ^-пространства и доказал для этого случая леммы 2.7 и 2.8.
Важная роль понятия проекционного оператора была отчетливо
понята Шмидтом [1], которому и принадлежит геометрическая
терминология в теории линейных пространств.
Вполне непрерывные и слабо вполне непрерывные операторы.
Понятие вполне непрерывного (или бикомпактного) оператора,
по существу, принадлежит Гильберту [1, IV], определившему его
для билинейных форм в /2. В терминах операторов Гильберт тре-
требует, чтобы этот оператор отображал слабо сходящиеся последо-
последовательности в сильно сходящиеся. В рефлективных пространствах
это эквивалентно определению 5.1, принадлежащему Ф. Риссу [4],
который подробно исследовал эти операторы.
Начало изучения слабо вполне непрерывных операторов было
положено в работах Какутани [13] и Иосиды [4] в связи с эргоди-
ческой теорией. В. Р. Гантмахер [1] доказала теорему 4.8, а также

582 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
теоремы 4.2 и 4.7 для сепарабельных пространств. Эти теоремы без
предположения о сепарабельности были доказаны Накамурой [3].
Теорема 5.2 принадлежит Шаудеру [6], а теорема 5.6 для обыч-
обычных последовательностей, справедливая для сепарабельных про-
пространств,— Гельфанду [2, стр. 269]. Какутани [11] дал симметрич-
симметричное доказательство теоремы 5.2; аналогичное рассуждение для слабо
вполне непрерывных операторов имеется в работе Бартла [2].
Операторы с замкнутой областью значений. Некоторые частные
случаи этих теорем были доказаны Хеллингером и Теплицем [1]
для /2 и Ф. Риссом [2, 6] для Lp и /р при р > 1. Относящиеся к этому
вопросу абстрактно формулируемые результаты были получены
Ханом [3]. В том виде, как это дано у нас, они, по существу, при-
принадлежат Банаху [4, стр.234—239; 1,стр. 145—152], хотя его дока-
доказательства были иными. Дополнительные результаты такого рода
читатель может найти у Хаусдорфа [3] и Дьёдонне [3].
Общий вид линейных операторов в С. Аналитическое выражение
для оператора общего вида с областью определения и областью
значений в С[0, 1] было дано Радоном [1]. В работах К. Фишера
[1] и Радона [1] рассматривался вполне непрерывный оператор,,
отображающий С[0, 1] в себя. Гельфанд [2] нашел общий вид.
вполне непрерывного или только ограниченного операторов, ото-
отображающих в С[0, 1] произвольное В-пространство. Сирвинт [2, 31
получил аналогичное представление для слабо вполне непрерыв-
непрерывных операторов, отображающих ЭЕ в С[0, 1]. Бартл [2] показал,,
что то же самое представление справедливо для каждого из этих
трех типов операторов, отображающих ЭЕ в S-пространство ограни-
ограниченных непрерывных функций, заданных на произвольном топологи-
топологическом пространстве.
В случае когда С[0, 1] служит областью определения, а ЭЕ—
областью значений, Гельфанд [2] представил посредством интеграла
Стильтьеса как вполне непрерывный оператор, так и оператор, обла-
областью значений которого служит некоторое слабо полное простран-
пространство ЗЕ. Слабо вполне непрерывные операторы, отображающие
С[0, 1] в ЗЕ, изучались Сирвинтом [3]. Весьма глубокое исследова-
исследование слабо вполне непрерывных операторов с областью определения
С(S) принадлежит Гротендику [4], доказавшему теоремы 7.4—7.6-
иными методами. Гротендик показал, что существует взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между слабо вполне непрерывными опе-
операторами, отображающими С (S) в ЗЕ, и некоторыми векторными
мерами, однако он не использовал этого соответствия для их пред-
представления. Такое интегральное представление применялось Барт-
лом, Данфордом и Шварцем [1] для доказательства этих теорем,
по существу, так, как это сделано у нас.
В §§ 7 и 8 было показано, что произвольный слабо вполне непре-
непрерывный оператор, отображающий S-пространство ЗЕ в S-простран-
ство ?), переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно»

12. Примечания и добавления 583
сходящиеся при условии, что ЭЕ является либо С-, либо Z^-npo-
странством, либо одним из многих пространств, изометрически
эквивалентных С- или Z^-пространству. Абстрактное изучение
этого свойства пространства ЗЕ независимо друг от друга предпри-
предпринималось Брейсом [1] и Гротендиком [4]. Брейс налагал на
В-пространство Ж следующее условие: если {хп} слабо сходится
к хоа {Хп} слабо сходится к х*, то {х*хп} сходится к х*охо. Брейс
[1, стр. 18] доказал, что если это условие выполнено в ЗЕ, то каж-
каждый слабо вполне непрерывный оператор 7:3?—>$ отображает
слабо сходящиеся последовательности из ЭЕ в сильно сходящиеся
последовательности из 3). Утверждение, обратное этому, было дока-
доказано Гротендиком [4, стр. 138]. В этих же двух работах можно
найти и другие относящиеся сюда результаты.
Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве. Пред-
Представление общего оператора в том виде, как это сделано в теореме
8.1, было дано Канторовичем и Вулихом [1, стр. 138]. Оценка
нормы оператора для случая, когда Ж=Ьру была найдена Фуллер-
тоном [3]. Относящиеся к этому вопросу теоремы были получены
также Бохнером и Тейлором [1, стр. 941—943].
Общий вид линейного оператора, отображающего Lx[0, 1] в не-
некоторое равномерно выпуклое пространство Ж или в пространство
с некоторого рода базисом, был найден Данфордом [8], изучавшим
также общий и вполне непрерывный операторы, отображающие
LJ0, 1 ] в Lp[0, 1 ]. Гельфандом [2] было дано представление вполне
непрерывного оператора, отображающего Lx [О, 1] в общее S-npo-
странство, а также общего оператора, отображающего 1^10,1]
в некоторое пространство, являющееся рефлексивным или сепа-
рабельным сопряженным пространством. Эти последние результаты
Данфордом и Петтисом [1 ] были обобщены на пространство с мерой.
Для случая, когда 5 есть конечный или бесконечный евклидов интер-
интервал, ими получено конкретное представление для слабо вполне
непрерывного и вполне непрерывного операторов, отображающих
LX(S) в произвольное пространство Ж. Филлипс [3], рассматривая
тот же случай для произвольного пространства с а-конечной мерой Ж,
получил представление общего оператора в виде некоторого
интеграла относительно векторной меры Липшица и нашел ядро
этих представлений для слабо вполне непрерывного и сильно
вполне непрерывного операторов. См. также работу Филлипса [1].
Сирвинт [1] построил пример (слабо вполне непрерывного) опера-
оператора в Lj [0, 1], не являющегося вполне непрерывным, но квадрат
которого вполне непрерывен. Почти точно такой же пример
дали Иосида, Мимура и Какутани [1]. В случае когда 5—евкли-
5—евклидово пространство, Данфордом и Петтисом [1] показано, что
квадрат любого слабо вполне непрерывного оператора в Lx (S)
является сильно вполне непрерывным оператором. Для простран-
пространства с мерой это было доказано Филлипсом [3].

584 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Тесно связана с проблемой представления операторов, задан-
заданных на L1(S), и векторная форма теоремы Радона—Никодима.
Данфорд и Петтис [1] показали, что если (S, 2, а) — пространство
с а - конечной положительной мерой, a \i — определенная на 2
мера со значениями в сепарабельном сопряженном пространстве Ж,
такая, что | jn (Е) |</<а(?), Е ? 2, то существует такая измеримая
функция х, отображающая S в Ж, что vrai sup |*(s)|</C и \i(E)=
= \ x(s)a(ds). Филлипсу [1] принадлежит аналогичная теорема для
случая, когда Ж есть произвольное /^-пространство, а множество
\а(Е)
, 0<а(Е)< оо|
слабо бикомпактно. Дьёдонне [9, 10, 14] дал другие обобщения тео-
теоремы Данфорда — Петтиса. Риккарту [2] принадлежит теорема
несколько более общая, чем теорема Радона — Никодима; в его
случае интегрируемая функция, вообще говоря, не является одно-
однозначной.
Теорема Рисса о выпуклости. Принадлежащий М. Риссу [1]
основной результат этого параграфа имеет несколько важных при-
приложений (см., например, монографии Харди, Литлвуда и Пойя
[1, гл. VIII] и Зигмунда [1, гл. IX]). Приводимое нами доказатель-
доказательство, по существу, принадлежит Торину [1], хотя его рассуждение
относилось в основном к пространствам lVt7l. Кальдерон и Зигмунд
[1, 2] обобщили эту теорему на случай полосы 0< а < 1, 0< Ь < оо,
включив посредством этого пространства Lp, 0<p< 1, и приспосо-
приспособив их к тому, чтобы сделать некоторые приложения к простран-
пространствам Нр. Эта теорема может быть обобщена также и на полилиней-
полилинейные функции. (См. также Торин [3*]. Ред.)
В дополнение к упомянутым выше работам читатель найдет
другие доказательства (иногда лишь для /Р}П) и приложения в рабо-
работах Пэли [1, 2] (дополненных работами Зигмунда [1]), Салема
11], Салема и Зигмунда [1], Тамаркина и Зигмунда [1] и Юнга [1].
Мы рассмотрели случай комплексных пространств. В вещест-
вещественном случае выпуклость имеет место только в треугольнике
0 < а, 6<1, а + & > 1. Исследование этого случая читатель может
найти в вышеупомянутых работах, например в работе Торина [1].
Как указывалось в § 11, многие из наиболее важных неравенств
анализа легко могут быть выведены из теоремы Рисса о выпуклости
и нескольких элементарных идей относительно векторных функ-
функций. Имеется класс и более глубоких неравенств, которые будут
рассматриваться в гл. XI, в завершающем эту главу параграфе
«Примечания и дополнения*.
Общий вид линейных операторов. В приложении абстрактной
теории линейных операторов к конкретным пространствам довольно

12. Примечания и добавления 585
важно знать выражение оператора в терминах его области опре-
определения и области значений. Для пространств С и Lx конкретные
представления были даны в параграфах 7,8. Для удобства читателя
мы приводим здесь таблицы ссылок на литературу, в которой явно
сформулированы такие теоремы о представлении. Всего дано четыре
таблицы: одна для общего оператора, по одной для вполне непрерыв-
непрерывного и для слабо вполне непрерывного операторов и одна для пред-
представления операторов с различными свойствами упорядоченности.
Эти результаты в некотором смысле можно рассматривать как
полные для заданного пространства, если известен вид оператора,
отображающего произвольное В-пространство в это пространство,
и вид оператора, отображающего это пространство в произвольное
В-пространство. На самом деле, однако, часто случается, что если
дело касается двух определенных пространств, то эти общие резуль-
результаты могут быть либо улучшены, либо сформулированы в виде,
более легко доказываемом.
Читатель, пользующийся этими таблицами, найдет в них и пов-
повторения и различные множества условий. Иногда, например, в пред-
предположениях сепарабельности, рефлексивности и т. д. могут быть
получены более подробные сведения; такие случаи отмечены.
Не делается никакой попытки различать между собой теоремы,
относящиеся к Lp [0, 1] и Lp (S), где мера в S, например, а-конечна
или произвольна, хотя и не все из этих результатов, установленных
для [0, 1], обобщены.
Далее, в большинстве из этих пространств имеются и другие
понятия сходимости, такие, как поточечная сходимость, сходимость
по мере и т. д.; таблица на стр. 593 относится к теоремам о представ-
представлении операторов, обладающих различными свойствами упоря-
упорядоченности.
Хотя эти таблицы заполнялись с некоторой осторожностью,
авторы вполне отдают себе отчет в их неполноте и некоторой неак-
неаккуратности и охотно примут поэтому и добавления и поправки.
Особенно важно иметь выражения нормы оператора в терминах
объектов, использованных в представлении. Читатель, пользующий-
пользующийся таблицами, заметит, что подобные выражения не всегда известны.
Дополнительные замечания к таблицам VI
1. Отыскание общего вида линейных операторов —это вопрос
о представлении линейных функций, определенных на некоторых
пространствах и со значениями в /^-пространстве. Гавурин дал
некоторое представление для общего ограниченного линейного
функционала, на пространстве непрерывных функций, определен-
определенных на отрезке [а, Ь] и со значениями в Ж. Бохнер и Тейлор рас-
рассматривали это пространство, а также аналогичные пространства,
соответствующие Lp, 1 < р < оо.

586 Гл. VI. Операторы и их сопряженные
2. Работа Гротендика не относится специально к изучению
общего вида операторов, однако им доказано несколько глубоких
теорем о слабо вполне непрерывных операторах, определенных
на С и на L^.
3. Идзуми и Суноути нашли вид операторов, отображающих
произвольное S-пространство в 5-пространство функций, удовле-
удовлетворяющих некоторым специальным условиям.
4. Меддаус дал условия, достаточные для того, чтобы вполне
непрерывный оператор служил пределом некоторой последователь-
последовательности операторов с конечномерными областями значений.
5. Для отображений между /^-пространствами трудно получить
явное выражение для нормы. Нижняя граница для нее была полу-
получена Фуллертоном [ [ ]
Билинейные функционалы. Легко видеть, что совокупность всех
скалярных билинейных функций, определенных на произведении
Ж X $ двух S-пространств, находится во взаимно однозначном
соответствии с совокупностью линейных отображений пространства
Ж в $* (или пространства ^) в Ж*). Так проблемы относительно
линейных операторов можно выразить в терминах билинейных функ-
функционалов, и обратно.
Конкретное представление для билинейных функционалов
на С х С было дано много лет назад Фреше [10]. Недавно Морс
и Трансю провели полное исследование билинейных функций,
заданных на функциональных пространствах весьма общего вида,
включающих с, С, /р, Lp, 1<р< со, и другие пространства. (Мы
упомянем лишь их работы [1—3]; дополнительные библиографи-
библиографические указания можно найти в работах Морса [I] и Морса
и Трансю [4].) В работе Морса и Трансю [2, I] показано, что при
некоторых условиях билинейные функционалы можно представить
некоторым каноническим образом посредством кратных интегралов
Лебега — Стильтьеса.
В их более поздних работах даются многочисленные приложения
к различным вопросам, в том числе и к вопросу о сходимости двой-
двойных рядов Фурье.
Идеалы кольца операторов. Пусть Ж — некоторое /^-пространство»
^с:?(Ж) — совокупность всевозможных операторов с конечномер-
конечномерной областью значений, S с В (Ж) — множество вполне непрерывных
операторов, 933— множество слабо вполне непрерывных операторов
и *р — совокупность операторов, отображающих слабо сходящиеся
последовательности в сильно сходящиеся. Нетрудно видеть, что
каждый из этих четырех классов операторов является двусторонним
идеалом; замкнутость © и 95В в равномерной топологии простран-
пространства В (Ж) была установлена в следствиях 5.4 и 4.6, и читатель
без труда может проверить, что и ^ тоже замкнуто. Всегда имеют
место включения

12. Примечания и добавления 587
Для конечномерного пространства все эти множества совпадают
с В (Ж). В рефлексивном пространстве S = *J5 и 2В = В (Ж). В гильбер-
гильбертовом пространстве или в S-пространстве с базисом идеал S служит
замыканием %. Калкин [2, стр. 841] показал, что в гильбертовом
пространстве идеал S является максимальным двусторонним идеа-
идеалом. В теоремах 7.4 и 8.12 мы видели, что в пространствах С и Ll
Гротендик [4, стр. 153] доказал, что в С идеалы 933 и $ совпадают.
Этого не будет, однако, в случае Lv действительно, так как Lx не
рефлексивно, в нем имеются ограниченные подмножества, не являю-
являющиеся слабо бикомпактными. То обстоятельство, что ЗВ(Ц^5, выте-
вытекает из этого замечания и теорем 8.10 и 8.14.
Другие идеалы, тесно связанные с вполне непрерывными опера-
операторами, были введены в работе Клейнекке [1] и вкратце рассматри-
рассматриваются в п. VII.11 (стр. 611).
Взаимно дополнительные многообразия и проекторы. Два много-
многообразия sgi и Ж в S-пространстве Ж называются взаимно дополни-
тельными, если $Ш П^ = 0 и 50}091 = ЭЕ. При этом одно из них назы-
называется дополнением к другому. Мы уже говорили о связи между
замкнутыми дополнениями и существованием ограниченных проек-
проекционных операторов. Для конечномерных подмногообразий всегда
существует бесчисленное множество проекторов и, следовательно,
замкнутых дополнений. В случае бесконечномерных подпространств
это не всегда верно, как показал Меррей [1] для некоторых под-
подпространств в /р, 1 < р Ф 2. Другие подпространства, не имеющие
дополнений, были построены Коматудзаки [1, 2], Филлипсом [3]
и Собчиком [1, 2]; см. также упражнения в § 9.
Если мы требуем только чтобы $Щ©91 было всюду плотно в Ж,
то У1 называется квазидополнением $Щ. В этом случае «проектирова-
«проектирование» на 5Щ уже не будет ограниченным оператором. То, что для
каждого замкнутого подпространства имеется (бесчисленное мно-
множество) квазидополнений, было показано Меррейем [2] для случая,
когда Ж есть сепарабельное рефлексивное пространство, и Макки
[3] — без предположения о рефлексивности.
Библиография. Боненблуст [3, 4], Гуднер [1], Данфорд [2],
Кобер [1], Коматудзаки [1,2], Лорх [2], Макки [3], Меррей [1,2],
Собчик [1—3], Филлипс [3].
Продолжение линейного преобразования. Тейлор [1] изучал
условия, при которых продолжение линейных функционалов
является однозначно определенной операцией. Какутани [6] пока-
показал, что, для того чтобы эта операция была линейной и изометричной
для каждого замкнутого линейного многообразия, необходимо
и достаточно, чтобы пространство было гильбертовым.
Ясно, что замкнутое подпространство Ж0СЖ обладает следую-
следующим свойством: для того чтобы каждый ограниченный оператор

588
Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Т : Хо —-»?)т имел продолжение (той же самой нормы) Т : $_>$т,
необходимо и достаточно, чтобы существовало проектирование
(нормы 1) пространства Ж на Жо- Подобным же образом Какутани
[6] доказал, что, для того чтобы Ж было гильбертовым простран-
пространством, необходимой достаточно, чтобы произвольный ограниченный
оператор, определенный на подпространстве пространства Ж, имел
продолжение на все Ж той же самой нормы.
Расширяя область значений, Филлипс [3] и Собчик [3] пока-
показали, что всегда можно найти продолжение без увеличения нормы.
Собчик [3] доказал, что если Жо замкнуто в Ж и Т есть взаимно
однозначный ограниченный линейный оператор, отображающий
(Текст продолжается на стр. 594)
Таблица VI
Общий вид линейных операторов
Пояснения
Строки обозначают фиксированную область определения, а столбцы—фик-
столбцы—фиксированную область значений. Перечисленные ниже работы обозначены в таб-
таблицах посредством буквенного кода, причем обычно указывается и номер стра-
страницы, на которой имеется соответствующая теорема, кроме тех случаев, когда
работа короткая. При этом используются следующие сокращения:
о—некоторые ограничения на базис,
с—сопряженное пространство,
р—положительный оператор,
г—рефлексивное пространство,
[А]
[Б]
[БДШ]
[БТ]
[В]
[By]
[Вул]
[Г]
[Га]
[Гр]
[Д]
[ДП]
[ИС]
[К]
[Ка]
[KB]
[КаВ]
[Ко]
[КоД]
[КР]
Алексевич [2]
Бартл [2]
| Бартл, Данфорд и Шварц [1]
Бохнер и Тейлор [1]
Вулих [12]
Вулих [13]
Вулих [14]
Гельфанд [2]
Гавурин [1]
Гротендик [4]
Данфорд [8]
Данфорд и Петтис [1]
Идзуми и Суноути [1]
Канторович [3]
Канторович [4]
Канторович и Вулих [1]
Канторович и Вулих [2]
Коэн Л. [1]
Коэн и Данфорд [1]
Кристиан [1]
s—сепарабельное пространство,
и—равномерно выпуклое простран-
пространство,
w—слабо полное пространство.
[Л] Лоренц [4]
[М] Меддаус [2]
[О] Орлич [5]
[П] Петтис [1]
[Ра] Радон [1]
[Р] Риккарт [2]
[С] Сирвинт [3]
[См] Смитис [2]
[Фл] Филлипс [3]
[Фп] Филлипс [1]
[Ф] Фихтенгольц [3]
[Фи] Фихтенгольц [2]
[ФК] Фихтенгольц и Канторович [1]
[Фш] Фишер К. [1]
[Фт] Фуллертон [2]
[Фу] Фуллертон [3]
[Фул] Фуллертон [4]
[XT] Хилле и Тамаркин [2]
[Э] Эзрохи [1]

Таблица VIA
Общее В-
пространство
С
LP
1<р<оо
/р. 1<Р<оо
'со
С
B(S)
B(S, 2)
Общий вид линейного с
Общее
В-прсстранство
[КоД,689]6 [Э]Ь
[БДШ]
[Г,280]а;
[Фл,531]
[Д,482,5]6 [Г,275]г
[Д,482]и [r,276]sc
[ДП,369]г [П,428]г
[ДП.345—346]sc
[Р,65]
[Д,476]
[Д,482]6
[Фл,528]
[Д,482]6
[К,238]
[Фл,528]
[А, Н6]
[Э] [Г.270]
[Фл,530]
[Э] [Фл,530]
[Фл,530]
[Э] [Г,273]
[Гр,168]*
[А, 146] [Га]
[К,238]
[А,146] [Га]
с
[Б] [ИС]
[5T,943]s
[Г,267]
[БДШ]
[Ф] [Ф]р
[Ра]
[В.279]
[Г,267]
[ФК,90]
[ФК,90]
[В,295]
[ФК,90]
[В,295]
шератора
[БТ,943]
[KB, 138]
[С,93]
[Д,483]
[ДП,358]
[KB, 146]
[В.286]
[Фул]
[Д,483]
[Фу]
[Фул]
[Д.483]
[В,300]
[В,300]
1 <р<оо
[БТ,941]
[KB, 138]
[Д,483,5] [Фул]
[ДП,347] [КаВ]
[ДР,367] [К,264]
[ДП,379] [Вул]
[Д,483]
[Фул]
[К,275]
[Вул]
[Д,483]

Таблица VIA
Общее В-
пространство
С
и
Lp, 1<р<оо
?
/р. 1<Р<оо
'со
/>
L
0
B(S)
Общий вид
I»
[БТ,942-943]
[Г,279]
[ДП,348-350]
[Г,279]
[В,288]
[В, 300]
[В,300]
линейного оператора (продолжение)
[Э] [KB, 128]
[КоД,698]6 [ИС]
[Фл,531] [Г,271]
[П,424]г
[Д,486]
[П,425]
[Г,270]
[Л,85]
[КоД,699] [П.425]
[КоД,699]
1 < р < оо
[Э]
[ИС]
[KB, 128]
[Фл,531]
[Д.486]
[Ву,42]
[КВ,131]
[КоД,697]
[К.272] [Вул]
'оо
[ИС]
[Ко,334]
с
О]
[ИС]
Общее В-простран-
ство
С
Li
Lv
lv, 1<р<оо
'со
С
B(S)
B(S, 2)
B(S)
[Б] [ИС]
[Фл,538]
Г>^О, 2а)
[В,278]
[В,294]
BV
[ДП,352—357]
[Г,278] [В,279]
[К,262]
[Ка,Ю6]
[В,296]
[В,296]
[Фт,270]
[Фт,272]г
[Фт,277]
[Фт,277]
[Фт,274]
[Фт,274]
[Фт,274]

Таблица VIB
Общий вид вполне непрерывного оператора
Общее В-
пространство
С
Lv
1<Р<оо
h
h
1 <р < со
'ос
С
Общее В-
пространство
[КоД,693]6
[ЩЬ
[БДШ]
[Г,282]
[Фл,537]
[ДП,369]г
[ДП,369]
[Г,277]
[Фл,529]
[Фл,534]
[Фл,536]
[ДП,383]
[Фл,529]
[Фл,536]
[Фл,529]
[Фл,537]
[Г,270]
[Фл,530]
[Фл,536]
[Фл,530]
[Фл,536]
[Фл,530]
[Фл,536]
с
[Б]
[Г,267]
[БДШ] [Фш]
[Ра]
[Г,268]
Li
[ДП,370]
[ДП,379]
[Г,278]
[Д,487]
[ДП,384]
[Д,487]
р»
1 < р< оо
[Д,490]
[ДП.369—370]
[ДП.379—380]
[Г.278]
[Д.487]
[ДП.384]
[ХТ.446] [См]
[Д.487]
[См]
[ДП.370]
[ДП.379]
[ДП.381]
[Д.492]
[ДП.384]

Таблица VIB
Общий вид вполне непрерывного оператора (продолжение)
Общее
5-про-
странство
С
h
1<р<оо
h
h
1<р<оо
'со
С
h
[Г,271]
[Фл,531]
[П,424]г
[КоД,700]
[П,425]
[Ко,327-329]
[Г,271]
[Л,85]
1 <р < оо
[Фл,531]
[КоД,700]
[См]
[Ко,327]
[КоД,697]
[Ко:327-328]
[КоД,694-
695]
[См]
loo
с
[КоД,692]
[КоД,697]
[Ко,329]
BV
[Г.284]
сп
[Фт,272]
[Фт,280]
[Фт,280]
[Фт.275]
[Фт,275]

Таблица VIC
Общий вид линейных операторов в упорядоченных пространствах
Упорядо-
Упорядоченное про-
пространство
С
и
1<р<со
Ах,
h
h
1 <р<со
B(S)
B(S, 2)
Общее В-
пространство
[А,147]
[А,147]
[К.254]
[А,147]
Упорядочен-
Упорядоченное прост-
пространство
[КР]р
[К,241]
[Ка,ЮЗ]
[К,255—256]
[КВ,140]
[К, 273]
[Ка,104]
[Ка,104]
[К,247]
[К,250]
[Ка,102]
[К,269]
[Ка,Ю2]
[К,237]
[К,237]
С
[KB, 154]
Li
[KB, 138—
139]
[KB, 154]
[K,259]
[KB, 154]
[B,286]
[KB, 153]
[K,252—
253]
[KB, 148]
1 < p < oo
[ИС]
[KB, 138—139]
[KB,151]s
[KB,154]
[K,259]
[K,264]
[K,275]
[KB, 153]
[K,252]
Упорядо-
Упорядоченное про-
пространство
С
Li
Lp
1<Р<оо
Loo
L
h
l<p<co
B(S)
B{S, 2)
[KB,157]
[KB, 158]
[KB,161]
[KB, 163]
[KB, 162]
[Фи,218]
[К,245]
[KB, 158]
[0,76]
[KB, 133]
[KB, 132]
'p.
1 < p < oo
[KB,128]
[KB, 130]
[KB, 133]
[K,258]
[Ka,105]
[K,272]
[KB, 132]
B(S)
[K,245]
BV
[K,262]
[B,279]
[Ka,106]
38 Заказ № 1324

594
Гл. VI. Операторы и их сопряженные
Таблица VID
Общий вид слабо вполне непрерывного оператора
Общее В-про-
странство
С
h
Общее
В- пространство
[БДШ]
[Гр,Ш7—168]*
[Гр,173]*
[C,93]s
[ДП, 368—369]
[ДП,375]5
[Фл,534]
[Фп,131]
[Гр,Н0]*
[Гр,155]*
[ДП,368]
с
[Б]
[С,87]
[БДШ]
[С,88]
[С.88]
[С,88]
[С,93]
[ДП,378]
[ДП,381]
Хо в ?), то найдется пространство 5В ZD 3? и продолжение Т : <? —> 2В,
тоже взаимно однозначное и имеющее ту же самую норму, что и Т.
Келли [2] рассматривал двойственную проблему: чем характе-
характеризуется вещественное Б-пространство Ж, обладающее тем свой-
свойством, что ограниченный линейный оператор, отображающий
замкнутое подпространство произвольного 5-пространства Цв I,
без увеличения нормы продолжается на все ?)? Он показал, что 3?
эквивалентно C(S), где S —вполне разрывное бикомпактное
хаусдорфово пространство. Это обобщает ранее полученный резуль-
результат Нахбина [3] и Гуднера [1].
Библиография. Акилов [1, 2], Гуднер [1], Какутани [6],
Келли [2], Нахбин [3], Собчик [3], Тейлор [1], Филлипс [3].

ГЛАВА VII
Общая спектральная теория
В первом параграфе этой главы мы увидим, что изудение шщго-
членов_от. оператора в конечномерном унитарном пространстве
приводит к довольно полному описанию аналитической структуры
оператора и в то же время дает ясную геометрическую картину
того, как оператор преобразует унитарное пространство, в котором
он действует. При попытке провести аналогичное изучение опера-
оператора Т в бесконечномерном комплексном fi-пространстве мы сразу же
сталкиваемся с необходимостью введения более широкой алгебры,
чем алгебра многочленов от Т. Теория конечномерного случая
подсказывает нам, что полезное определение функции f(T) от опера-
оператора Т дается формулой Коши
С
где /—аналитическая скалярная функция, а С — соответственно
выбранный контур. Придавая смысл этой формуле, мы, естественно,
приходим к изучению вопросов о существовании и свойствах функ-
функции (XI—Т)'1. Будет показано, что (к/—71) определена и анали-
тйчна всюду в Я-плоскости, кроме некоторого компактного мно-
множества, которое называется спектром оператора Т. Всеобщие
понятия и методы, вЁоДимые.в этой главе,, сосредоточены вокруг
понятия спектра оператора^_ Именно по этой причине термин
«спектральная теория» используется в названии главы.
Настоящая глава — коренной поворотный пункт в нашем иссле-
исследовании. До сих пор наши усилия были направлены на топологи-
топологическую стоЁОНх «Х?ЙРЛ1^03Э1ёВШшЬа. Теоретико-функциональный
и ^алгебраический аппарат, вводимый здесь, сделает возможным
дальнейший детальный анализ операторов.
1. Спектральная теория в конечномерном
пространстве
На протяжении всего этого параграфа <? будет обозначать
конечномерное комплексное S-пространство, а Г—линейный опера-
38*

596 Гл. VII. Общая спектральная теория
тор из В (Ж). Наша цель — изучить алгебраические и топологиче-
топологические свойства Т. Это достигается — здесь и в более общей теории
следующих параграфов — изучением некоторого класса функций опе-
оператора Т. Символ / обозначает единичный оператор в ЭЕ; Г°, по
определению, равно /.
п
1. Определение. Если Р (X) = 2 ai^1 —многочлен с комплек-
г=0
сными коэффициентами, то символом Р (Т) обозначается сумма
2 4 я++
Наша первая задача—- выяснить, когда два многочлена опреде-
определяют одну и ту же функцию Т.
2. Определение. Спектром о (Т) оператора Г в конечномерном
5-пространстве называется множество комплексных чисел X, таких,
что оператор XI—Т отображает В-пространство не взаимно одно-
однозначно. Индекс v(X) комплексного числа X есть наименьшее неотри-
неотрицательное целое число v, такое, что (XI—T)v х = 0 для любого век-
вектора х, для которого (XI — T)v+i х = 0.
Отсюда следует, что если Хо? а (Г), то существует х0ф0, такой,
что (Т—?^0/) х0 = 0. Число ^0 часто называют собственным значением
Т, а любой такой вектор х0 называют собственным вектором.
Для каждого неотрицательного целого числа п и комплексного
числа X определим линейное многообразие 91? = {х\ (Т—Х1)пх = 0}.
Тогда индекс v (X) есть наименьшее целое число v, такое, что
ЗЯ+^ЭД. Заметим, что Ш = ШШ Аляп>ч(Х). Так как Ж имеет
конечную размерность, то в последовательности !Кл?19?л^91яС\ . .
может быть только конечное число собственных включений, и,
следовательно, v (X) < dim Ж для всех X. Заметим, что Х? а (Т) тогда
и только тогда, когда v(A,)>0. Например, оператор Т в двумер-
ном пространстве, задаваемый матрицей I Q j , имеет спектр
а (Г) = {0} и индекс v @) == 2.
3. Теорема. Если Р и Q — многочлены, mo P(T) = Q(T) тогда
и только тогда, когда Р—Q имеет нуль порядка >v(A,) в каждой
точке X из о(Т).
Доказательство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай Q = 0.
Пусть Ж &-мерно и {хи ..., xk} — его базис. Тогда k-\-\ векторов
х1у Тхх, ..., Tkxx должны быть линейно зависимы, так что сущест-
существует ненулевой многочлен Sx, такой, что Sx G)^=0. Точно так же
существуют ненулевые многочлены S., i=-2, ..., k, такие, что

/. Спектральная теория в конечномерном пространстве 597
5. G)^ = 0. Если R = S1-S2...Sk1TO R(T)xt = O и, следовательно,
ff(T)x—0 для всех х?Ж. Таким образом, существует ненулевой
т
многочлен R, такой, что #G) = 0. Пусть # (К) = р [] (Л-^)а|-
разложение многочлена 7? на множители. Если lki$o(T), то соот-
соотношение (Т — Хг1)х = 0 влечет равенство л: = 0. Следовательно, для
произведения R± всех множителей (А, — Кг) i в R, таких, что Хь? о(Т),
все еще выполнено равенство Rx G) — 0. Аналогично равенство
R2(T) = 0 все еще выполнено для произведения R2 всех множителей
(А,—\) *, где pi = min(ai, v(^)). Так как любой многочлен Р,
имеющий нуль порядка >v (А) при всех А,? or G), делится на /?2, та
для любого такого многочлена выполнено равенство РG) = 0.
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что
р
Р G) = 0, где Р (X,) = р \ { (X — Л4)а*. Как и в первой части теоремы,
можно считать, что все ^{^аG). Покажем теперь, что a(T) =
= {^lf ..., Яр}. Действительно, если Я,о б aG), то Ту = А,0# для неко-
некоторого вектора у Ф 0. Тогда Р (Т) у = Р A0) у, и так как Р G) = 0,
то Р(А,0) = 0. Чтобы доказать, что cc1>v(X,1), допустим, напротив,
что ах < v^), так что существует такой вектор xt =? 0, что
(r-V)ai+1^i = 0 и у1 = (Т-к11)п1х1ф0^ Пусть Р(А,) =
a где C(^)^=0. Так как Ту1 = Х1у1, Р{Т)хх =
()#i (i)/i =? 0, что противоречит условию РG) = 0.
Аналогично a^v^), / = 2, ...,р, так что Р имеет корни порядка>
>v(k) при всех Х?о(Т), ч. т. д.
4. Следствие. Спектр оператора в конечномерном пространстве
есть непустое конечное множество точек.
Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 3. Мы
видели, что Т всегда удовлетворяет уравнению Р (Г) = 0, где Р (К)—
ненулевой многочлен, корни которого суть точки спектра опера-
оператора 7, ч. т. д.
Теорема 3 позволяет нам определить оператор f(T) для функций /
более общей природы, чем многочлены. Пусть 3F (Т) — класс всех
функций комплексного переменного А,, аналитических в некотором
открытом множестве, содержащем от G). Это открытое множество
не обязано быть связным и может меняться вместе с функцией из
,$р G). Пусть f ? ip G), и пусть Р —такой многочлен, что /<m>(X) =
^P(m)(X), m<v(X)-l; для всех Яба(Г). Положим /G) = Р G).
Из теоремы 3 следует, что такое определение оператора /G) одно-
однозначно. Следующая теорема немедленно вытекает из соответствую-
соответствующих результатов для многочленов.

¦598 Гл. VII. Общая спектральная теория
5. Теорема. Если /, g? f (T) и a, (J — комплексные числа, то
(a) af+$g принадлежит г (Т) и (af + $g)(T) = f(T) $(T)
(b)J-g принадлежит ,f(T) и (f-g)(T) = f(T)g(T);
т т
(c) если f(k)= 2 «ПГ, то f(T)= 2 «„Г1;
п=0 тг=О
(d) / (Г) = 0 тогда и только тогда, когда
Заметим, что из (Ь) вытекает соотношение f(T)g(T)=g(T)f(T)
для всех f, g? f (Г).
Пусть А,о — комплексное число, и пусть функция ?ао(^) тождест-
тождественно равна единице в некоторой окрестности точки Хо и тождест-
тождественно равна нулю в некоторой окрестности каждой точки из
а(Т)Г\{КУ • Положим Е (Хо) = е%0 (Т). Следующая теорема непо-
непосредственно вытекает из теоремы 5.
6. Теорема, (а) Е (к0) Ф 0 тогда и только тогда, когда Хо? а (Г);
(b) Е(Х0У = Е(Х0) и Е(Хо)Е(К1) = 0 для Х
(c) /= 2
Пусть {Xlt ..., Xk] — некоторая нумерация точек спектра от (Г),
и пусть 3?i = ?'(^iK?. Из утверждений (Ь) и (с) теоремы 6 вытекает,
что
Более того, так как ТЕ (Я.) = Е (кг)Т, то ТЖ^Ж^ i=l, ..., k.
Таким образом, разложению спектра от (Г) на k точек соответствует
разложение Ж в прямую сумму k подпространств, каждое из ко-
которых отображается в себя оператором Т. Поэтому изучение отобра-
отображения Т во всем Ж может быть сведено к изучению Т в каждом
из подпространств %г. Так как функция (Хг — К) { ex. (к) имеет нуль
порядка v (к) в каждой точке А, из от (Г), то оператор
(kJ — T) г ?(^)==0. Таким образом, в каждом пространстве ЭЕ|
оператор Т равен сумме оператора XJ, кратного единичному, и ниль-
потентного оператора T — kJ. Такое разложение пространства Ж
в прямую сумму может быть весьма полезным при изучении различ-
различных свойств оператора Т. Теорема 7 выясняет соотношение между
индексом v (к) точки из а(Т) и соответствующим проектором Е(к).
7. Теорема. Если keoiT), mo
Е{к)Х = Ж1{1)- {х| (T-XI}vMx = 0}.
Доказательство. В предыдущем абзаце было доказано, что
если кео(Т), то (kI-T)vME(k)=:0. Поэтому ?(^)Ж?1^(Л)

/. Спектральная теория в конечномерном пространстве 5РР
Так как 2 ? (Я) = /, то для доказательства обратного включения
Л?а(Т)
достаточно проверить, что У11а)[}%{11) = {0} для X Ф ji, Х,[х g а (Г).
Предположим, что существует хфО, x^l{K)[]^ili). Пусть а,
0<а< v (X),—наибольшее целое число, такое, что z = (Т—Х1)а хФ 0.
Тогда Tz = Xz и (Г - \il)vill) z = (X- fi)vui) 2 =#= 0. С другой стороны,
(Т - fi/)v0A) z = (Г - |i/)v(|1) (Г - Я/)а * = (Г - Х/)а (Т - fi/)^ jc = 0,
так как лг?9^(М/). Следовательно, л: должен быть нулем, ч. т. д.
Проекторы Е (X) определяют очень полезное разложение Э?
в прямую сумму и позволяют нам дать простое аналитическое
выражение для функций оператора Т.
8. Теорема. Если /6 f (Г), то
i=0
Доказательство. Эта формула непосредственно вытекает из те-
теоремы 5, так как / и функция g? f (T), определенная равенством
v(X)-l
= 2 2 -^^-
i=Q
удовлетворяют соотношениям f(w> (К) = gW (X), m < v (X) — 1, для
Х?о(Т), ч. т. д.
Теорема 8 дает удобный способ явного вычисления функций от Т
и имеет ряд интересных теоретических приложений.
9. Теорема. Пусть fn 6 ф (Т). Для того чтобы последовательность
{fn(T)} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы последователь-
последовательности {fW (k)}y 0 < т< v (X) — 1, сходились в точках Х?о (Т).
Если f€ f(T), mo fn(T)—>f(T) в том и только в том случае,
когда №){Х)-±^™){Х), 0<m< v (X) - 1, для Х?о(Т).
Доказательство. Достаточность первого условия непосредственно
вытекает из теоремы 8. Обратно, предположим, что {fn (T)} сходится,
и пусть Х?о(Т). Так как (T-XI)va)~{ Е (X) Ф 0, найдется лг, такой,
что (Т - XI)V(K)'{ Е(Х)хФ 0. Пусть у = Е(Х)х и yk = (Т - M)h#
для 0 < k < v (X) - 1. Положим v (X) — 1 - г. Тогда fn (Г) yr = fn (X)yr>
так что последовательность {/п (X)} сходится. Аналогично fn(T) yr,x =
= МЧУг-1 + /пМУг , так что и {/;(Я)} сходится. По индукции мы
устанавливаем, что Ц^ЦХ)} сходится при каждом m<v(X) — 1.
Второе утверждение доказывается таким же способом, ч. т. д.

€00 Гл. VII. Общая спектральная теория
10. Теорема. Пусть f из f (T) аналитична в области, содержащей
замыкание открытого множества U, содержащего а (Г); предпо-
предположим, что В—граница U —состоит из конечного числа замкну-
замкнутых спрямляемых жордановых кривых, положительно ориентирован-
ориентированных в обычном смысле теории функций комплексного переменного.
Тогда f (T) может быть выражена интегралом по контуру В следую-
следующим образом:
В
Доказательство. Пусть Х$ а (Г) = {К19 ... Дл}, и пусть г(?)
(К — I). Согласно теоремам 5 и 8,
; = i V=0 ^
Таким образом, если /6^G), то
k v(Xy)-l
В j=\ v=0
ч. т. д.
Проиллюстрируем несколькими примерами предыдущие тео-
теоремы.
71-1
(a) Положим fn(X)^=n~1 У] km и gn{ty = Kbln. Последователь-
?n=0
ность {fn(k)} сходится тогда и только тогда, когда |Х,|<1, в то
время как для />0 {f$ (h)} сходится тогда и только тогда, когда
|А,|< 1. Очевидно, что ограничения на Я, при которых gn (X) —> 0
и 8гР Ш —> 0 при / > 0, точно те же. Поэтому из теоремы 9
71-1
вытекает, что для сходимости последовательности {/Г1 2 Тш)
необходимо и достаточно, чтобы {Т'г/п} стремилась к нулю, и что
этот случай имеет место тогда и только тогда, когда |а(Г)|<1
и v(ko) = l, если XogaG) и |А,0| = 1.
(b) Пусть механическая тасовка колоды карт проводится так,
что существует определенная вероятность р^ того, что карта,
первоначально находившаяся на i-м месте, после тасовки окажется
на /-м месте. Предположим, что эта вероятность ptj не зависит
от предыдущих тасовок. Пусть р\"р — вероятность того, что карта,
первоначально находившаяся на i-м месте, окажется на /-м месте
после п тасовок, и пусть p(9) = 6i7-. Мы докажем существование
.предела
lim n1^ pWf f,/=i, 2, ..., 52.
71-ЮО V=0

2. Упражнения 601
Имеется 52 различных пути, по которым карта, первоначально
находившаяся на i-м месте, может перейти на /-е место за две
тасовки; она может попасть на первое место после первой тасовки
и потом с первого места на у-е, или она может попасть на второе
место и потом на /-е, и т. д. Таким образом,
52
Подобное индуктивное рассуждение показывает, что р(г?+1) =
52 %3
= 2 PupPkj Для ft = 0, 1, .... Матрица Р = (ptj) определяет в Еъ*
линейное преобразование, ее п-я степень Яп = (р(??)). Поскольку
0<р(тО<1, то Рп1п-->0. Предыдущий пример показывает, что
я'1 2 P-v) сходится.
(с) Для любого числа / функция еи — целая функция по X.
и потому принадлежит f (T). Более того,
A\n и == win (^ /» ft—V-> *» A
Следовательно, по теореме 9, (d/dt)etA = AetA для всех матриц А
в Ет. Так как е-/А?*А = /, то столбцы матрицы etA образуют систему т
линейно независимых решений уравнения dy/dt = Ay.
(d) Если оператор Т таков, что v(k) = 1 для Х? а G), то из тео-
теоремы 8 находим
f(T)= 2/(^)?(^)-
г=1
Мы покажем теперь, что v (X) = 1 для X g а (Г), если Г—эрмитова
матрица в конечномерном гильбертовом пространстве ?'\ то есть
если Т удовлетворяет тождеству (Тх, у) = (х, Ту) для всех х, у? Еъ.
Действительно, если матрица Т эрмитова и (Г — к1)х = 0 для
некоторого х Ф 0, то (Гх, ^) = Х(л;, л:). Так как (Тх, х) = (х, Тх) =
= (Гх, л:), то отсюда следует, что К вещественно; поэтому а (Т) — под-
подмножество вещественной оси. Пусть теперь XgaG), и пусть
(Т — XIJ у = 0. Так как X вещественно, то ((Т — Х1Jу,у) =
= {(T-XI)y, (T-XI)y) = \(T-XI)y\2 = 0, так что (Т
Следовательно, v (X) = 1 для всех Х?о(Т).
2. Упражнения
1. Пусть Г—матрица и А (X) — определитель матрицы XI —Т.
Показать, что Х?о(Т) тогда и только тогда, когда X есть корень,
алгебраического уравнения А (X) = 0. Многочлен А (X) называется
характеристическим многочленом матрицы Т.

602 Гл. VII. Общая спектральная теория
2. Пусть Г—линейный оператор в конечномерном пространстве;
показать, что два любых матричных представления Т имеют один
и тот же характеристический многочлен. Это позволит нам говорить
вполне определенно о характеристическом многочлене линейного
оператора.
3. Пусть Т—линейный оператор в конечномерном пространстве
и (х ? а (Г); обозначим через Т^ сужение Т на подпространство 91^(М/\
Пусть Ац (X) — характеристический многочлен оператора Гд. Пока-
Показать, что
(a) Д^) = (^-[х)пах\ где
(b) v([i)<n((i);
(c) Д(А) П
4. (Гамильтон — Кэли.) Показать, что любое линейное пре-
преобразование в конечномерном пространстве удовлетворяет своему
характеристическому уравнению, т. е. А(Т) = 0.
5. Пусть
/1 0 3\
Г= 2 12.
\0 0 2/
Найти матрицы А и 5, для которых выполнены соотношения:
оо
Л* = 7", Г = 2-^.
п=0
•Сколько таких матриц можно найти?
6. Пусть o(T) = {Kv ..., Xk}. Показать, что если у(Хг) = \,
i=l,...,A, и fg F(T), то
7. Пусть Щ,= {х\(Т — М)*х = О}. Показать, что Х = %©
<§)(T — Xiy??, тогда и только тогда, когда j>v(X).
п-1
8. Пусть Е = lim гГ1 2 ri; показать, что ?2 = ?, ?Т = ТЕ,
^ (ЭЕ) = {jc | jcG ЗЕ, Тх = х} и (/ — ?") (ЗЕ) = {a: J jc 6 ЭЕ, х=A-Т)у}.
9. Показать, что функция \ (X — X0)j (XI — Т)'1 \ ограничена
в окрестности Хо тогда и только тогда, когда j>v(k0).
10. Пусть ftF(T), g?F(f(T)) и F&)=g(f(D). Тогда
Ft F(T) и F(T)=g(f(T)).

2. Упражнения 603
11. Пусть f?F(T) и !(Х)=^апХп. Найти необходимые
71=0
ОО
и достаточные условия для того, чтобы f(T)= 2 апТп-
71=0
12. Если для некоторого действительного числа /*< 2 элементы
матрицы Хг (XI — Т)'1 ограничены при О Ф \ X | < е, то что можно
сказать о существовании предела MmX(XI — Т)'1?
А,->0
13. Спектры а(Т) и а (Г*) совпадают. Кроме того,/(Г*) = /(Г)*
для /е F(T).
14. Оператор Т в конечномерном гильбертовом пространстве
называется нормальным, если 7Т* = Т*7\ где Т* — гильбертов
сопряженный к Т оператор, определяемый тождеством (Тх,у) =
= (а:, Т*у). Показать, что если оператор Т нормален, то v(k) = 1
для Л, 6 а (Г).
15. Если Х$о(Т), то область определения оператора (XI —Т)'1
есть все ЗЕ.
16. Пусть X имеет размерность п. Пусть для Т выполнено соот-
соотношение Гп = 0; показать, что существуют базис {х1У ..., хп} в ЗЕ
и множество целых чисел /г0, . .., nk> 1 < п0 < п1 <^ ... < пк = п,
такие, что Тхг = xi+v если i не равно одному из чисел /г;-, и Тл^ = О
в противном случае.
17. (Жордан.) Пусть 3? имеет размерность п. Показать, что
существуют базис {хъ . .., хп) в 3?, множество целых чисел
/г0, .. ., пк, 0 = п0 < пг < . . . < пк = п, и перенумерация (с воз-
возможными повторениями) Xv ..., Xk спектра о(Т), такие, что
Тхг = XjXt + xi+1 для /гу_х < i < /гу, Г^п. = XjXn.,
18. Пусть В — булевская алгебра множеств комплексной пло-
плоскости, а Вх — булевская алгебра проекторов, порожденная проекто-
проекторами Е (Хх), .. ., ? (A,fe). Определим отображение Е :B—>BV
полагая ? (а) = 0, если о [] о (Т) пусто, а в противном случае
приравнивая Е (о) сумме всех Е (Хг), таких, что Х{ ? а. Показать, что
(I) E есть гомоморфизм и Е(о(Т)) = 1:
(II) Е(а)Т=ТЕ(о), о?В;
(III) спектр Г, рассматриваемого как оператор в ?(а)ЭЕ,.
содержится в а.
Кроме того, показать, что никакое другое отображение Е алгеб-
алгебры В в Вг не удовлетворяет условиям (I), (И) и (III).
19. Найти общее решение дифференциального уравнения у' = Ту,
где Т — матрица упражнения 5.
Следующие десять упражнений посвящены теории устойчивости
систем п линейных однородных дифференциальных уравнений
dy (t)ldt = А (/) у. Здесь A (t) = (a{j (t)) есть комплексная пх п
матрица, непрерывно зависящая от вещественного переменного
/?/: —оо<а<^<Р<4-оо, а решение является комплексным

¦604 Гл. VII. Общая спектральная теория
вектором (столбцом) y(t)?En, дифференцируемым и удовлетворя-
удовлетворяющим системе дифференциальных уравнений при всех /?/. Теория
дифференциальных уравнений обеспечивает нам для каждого /0 ? /
и каждого Уо^Е существование единственного решения y(t),
такого, что y(to)=-yo.
20. Показать, что решения системы дифференциальных урав-
уравнений dyldt ~ A (/) у образуют /г-мерное комплексное линейное век-
векторное пространство.
21. Рассмотреть матричное дифференциальное уравнение
4Y/dt = A(t)Y, решение которого есть комплексная п х п матри-
матрица У(/), дифференцируемая и удовлетворяющая дифференциаль-
дифференциальному уравнению при всех t? I. Показать, что для всех t0 ? / и всех
комплексных (постоянных) матриц Уо существует единственное
матричное решение Y(t), такое, что Y(to)=Y0. Показать, что
множество векторных решений yl{t), . . ., yn(t) уравнения dyldt —
= А (/) у образует базис в пространстве решений тогда и только
тогда, когда они являются столбцами матричного решения Y (/)
уравнения dYldt = A (/) У, соответствующего невырожденной
начальной матрице YQ.
22. Показать, что если \ A (s) ds и A (t) коммутируют при всех
/? /, то матричное решение уравнения dYldt — А (/) Y с начальным
условием У (^0) = Уо дается формулой У (/) = Гехр \ A (s) ds | Уо.
'о
Показать, что если матричная функция А (/) постоянна или диаго-
нальна (т. е. все элементы, лежащие вне главной диагонали, равны
нулю), то приведенная выше формула для У (t) верна.
23. Система дифференциальных уравнений dyldt = A(t)yy где
•а</<р = оо, называется устойчивой, если каждое ее решение
ограничено при t—>оо, т. е. lim |у (t) \ < оо. Показать, что если
t-+oo
матричная функция A(t) = A постоянна, то система устойчива
тогда и только тогда, когда ни одна точка о (А) не имеет поло-
положительной вещественной части и в то же время для всех чисто
мнимых X ? о (А) выполнено условие v (X) = 1. Показать, что
iim\y(t) | = 0 для всех решений в том и только в том случае, если
?->-оо
Rea(A)<0.
24. Пусть У (/) —матричное решение уравнения dYldt^A (t) У;
показать, что
(d/dt) [det У (/)] = [det У (t)] [tr A (t)]
при всех t? /, где tr Л (/) равен сумме элементов главной диагонали.
Показать, что матричное решение Y (f) невырождено нигде на /,
если оно невырождено в одной точке /.

3. Функции оператора 605
25. Пусть У @ — невырожденное матричное решение уравнения
dY/dt = A(t)Y. Показать, что множество всех невырожденных
матричных решений совпадает с совокупностью матриц вида Y(t)C,
где С —любая пхп постоянная невырожденная матрица.
26. Пусть матричная функция А (/) имеет период р > О, т. е.
A (t + p) = A (t) для всех t, — оо</<оо. Показать, что для
любого невырожденного матричного решения Y (t) уравнения
dYldt — A (/) Y существует такая невырожденная постоянная матри-
матрица С, что Y(t-\-p) = Y(t)C. Показать, что соответствие y(t) —^
—>y{t-\-p) определяет невырожденное линейное преобразование Т
пространства решений уравнения dy/dt = A(t)y на себя и что
матрица преобразования Т в базисе, образованном столбцами Y(t),
равна С.
27. Пусть А, У и С те же, что и в упражнении 26, и пусть
P(f)=Y(t)exp(-t/p\ogQf /С =/Г1 log С. Показать, что X (t) есть
невырожденное матричное решение уравнения dX/dt = KX тогда
и только тогда, когда Z(t) — P (t) X (t) есть невырожденное матрич-
матричное решение уравнения dZ/dt = A(t)Z. Показать, что веществен-
вещественные части точек а (К) не зависят от определения log С. Эти зна-
значения Re а (К) называются характеристическими показателями
матричной функции A(t). Показать, что система dy/dt = A(t)y
устойчива в том и только в том случае, когда характеристические
показатели A (t) неположительны и в то же время для всех чисто
мнимых A,g а (/С) выполнено условие v(X)=l. Для того чтобы
каждое решение y{t)—>0, необходимо и достаточно, чтобы все
характеристические показатели А (/) были отрицательны.
28. Предположим, что матричная функция A (t) непрерывна
и sup | atj (t) | < В для всех а < t < оо при некоторой постоян-
постоянной В. Показать, что limt~1log\yi(t)\ = Xi, | %г \ < Вп для каж-
t-+oo
дого векторного решения yt (t) уравнения dy/dt — A(t) у. Действи-
Действительные числа Xti полученные таким образом, называются обобщен-
обобщенными характеристическими показателями A (t) (характеристичными
числами Ляпунова). Показать, что существует самое большее п
различных обобщенных характеристических показателей и что
дифференциальная система устойчива, если все X отрицательны.
29. Пусть А (/) постоянная или периодическая матрица; пока-
показать, что действительные части о (А) или характеристические пока-
показатели A (t) соответственно совпадают с обобщенными характери-
характеристическими показателями A(t).
3. Функции оператора
Во всей оставшейся части этой главы ЗВ будет обозначать ком-
комплексное 5-пространство, а Г —ограниченный линейный оператор
в ЗВ. Мы исключаем тривиальный случай ЭЕ = {0}.

606
Гл. VII. Общая спектральная теория
Если пространство X бесконечномерно, то Т не обязан удовлет-
удовлетворять уравнению Р(Т) = 0, где Р — ненулевой многочлен. Тем не
менее построения теоремы 1.10 позволят нам обобщить многие резуль-
результаты § 1 на бесконечномерный случай. Мы начнем с изучения функ-
функции (XI-ту1.
1. Определение. Резольвентное множество q(T) оператора Т
есть множество комплексных чисел А, для которых (XI — Г) суще-
существует и является ограниченным оператором, определенным на
всем 3?. Спектром о(Т) оператора Г называется дополнение к мно-
множеству q(T). Функция R (X; Т) = (Х1 — Т)'1, определенная на мно-
множестве q(T), называется резольвентной функцией Т или просто
резольвентой Т.
-» 2. Лемма. Резольвентное множество q (T) открыто. Функция
R (X; Т) аналитична в q(T).
точка в
q(T}
!
Доказательство. Пусть А, —фиксированная
и [г —любое комплексное число, такое, что ||л|<|7?(А; Т1)!
Покажем, что X+\i?q(T). Эвристические соображения, основан-
основанные на аналогии с геометрической прогрессией, заставляют думать,
что если оператор (X + \i) / — T= \xl + (XI— Т) имеет обратный»
то он представим рядом
2
k=0
оо
= 2 (-
Так как | \iR (A; T) \ < 1, этот ряд сходится. Но, поскольку S(jut)
коммутирует с Г и
= (A/
= 2 {(-
0
- (- ulR (A;
отсюда следует, что X+\i?q(T) и что R(X+\i; Г) = 5([х) анали-
аналитична в точке (л^=0, ч. т. д.
3. Следствие. Если (ИХ) равно расстоянию от X до спектра
а (Г), то
ДО; Т)\> х
Таким образом, \ R (А; Т) | —> оо npw d (А) —> 0 м резольвентное
множество есть естественная область аналитичности R(X\ T).
Доказательство. Мы видели в доказательстве леммы 2, что если
|ц[<|Д(Х; Г)Г1, то A+piGQ (T). Следовательно, d(A) >\R (А; Т)\ К
откуда и следуют доказываемые утверждения, ч. т. д.

3. Функции оператора 607
—» 4. Лемма. Замкнутое множество о (Т) ограничено и непусто.
Кроме того, sup | а(Г)) - lim рл[Г7|< | Г |. При | Х\ > sup | о (Т) |
оо п->оо
? (Я; Т) = 2 Тп/Хп+1 сходится в равномерной операторной
0
Доказательство. Пусть f(A)= S Tn/Xn+1. Из параграфа III. 14
п=0
видно, что ряд f(?i) имеет область сходимости D =
= (Я| |Я| > lim p | Г"|}. Как и в доказательстве леммы 2, проверяем,
что f (Я) (XI -Т) = (XI -T)f(X) = I для Я g D, так что q (Г) jD, и,
следовательно, множество а (Г) ограничено. Так как в силу следствия
3 множество q (Г) является естественной областью аналитичности
R(X;T), то ряд Лорана для R (X; Т) имеет область сходимости
| X | > sup | а (Т) |. Таким образом, sup | а (Т) \ = lim \ \ Tb |. Теперь
будет показано, что sup J о (Т) |< lim {/ | Т'ь\. Заметим, что если
X — произвольная точка спектра а (Г), то Хп ? а (Тп)\ действительно,
разложение на множители
показывает, что если оператор (Хп1 — Тп) имеет ограниченный
обратный, то то же верно и для оператора (XI — Т). Таким
образом, [Я|/1< 17^1, и, следовательно,
Остается показать, что спектр о(Т) непуст. Если а(Т) = 0, то
R (X; Т) является целой функцией и, как видно из ее разложения
Лорана, аналитична на бесконечности; из теоремы Лиувилля (II 1.14)
следует, что функция R(X\ T) постоянна. Следовательно, коэффи-
коэффициент при X'1 в разложении Лорана R (X; Т) обращается в нуль,
так что / = 0, а это противоречит предположению Ж ф- {0}, ч. т. д.
5. Определение. Величина
называется спектральным радиусом оператора Г.
6. Лемма. Следующее тождество, известное под названием тож-
тождества Гильберта, справедливо для любой пары точек X, \i из мно-
множества о(Т):
Я (Я; T)-R(li;T) = ([i-X)R(X; Г)Я(|х; Г).

608 Гл. VII. Общая спектральная теория
Доказательство. Доказываемое тождество получается, если обе
стороны равенства
умножить на R(X; T) R (|л; Г), ч. т. д.
7. Лемма. Спектр сопряженного оператора Т* совпадает со
спектром оператора Т. Кроме того, R (А,; Т*) = R (X; Г)* для
чисел к из множества q(T) = q(T*).
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает из
VI.2.7, ч. т. д.
8. Определение. Через af (T) обозначим семейство всех функций /,
которые аналитичны в некоторой окрестности о(Т). [Эта окрест-
окрестность не обязана быть связной и может зависеть от /?,F (Г).]
9. Определение. Пусть fg f (T) и ?/-—открытое множество,
граница В которого состоит из конечного числа спрямляемых жор-
дановых кривых, положительно ориентированных в обычном смысле
теории функций комплексного переменного. Предположим, что
U^o(T) и множество U {J В содержится в области аналитичности
функции f. Тогда оператор f(T) определяется равенством
Из леммы 2 и интегральной теоремы Коши следует, что f (T)
зависит только от функции f, но не зависит от области U.
—> 10. Теорема. Если\у g? ф (Г), а а, Р— комплексные числа, то
(a) a/4-P^e Г (Л и *f(T)V(T) (f+$)(T)
(b) f-ge.F(T)
(с) если функция f представлена степенным рядом f (k)= 2 ah^\
ft=0
сходящимся в некоторой окрестности спектра а (Г), то f(T)—-
оо
Л-0 '
" (d) ft&(T*) и f(T*)=f(T)*.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Ясно, что f-g? F (Т);
пусть иг и U2 — две окрестности множества о(Т), границы Вх и В2
которых состоят из конечного числа спрямляемых жордановых
кривых, причем ?Д (J Blc:U2. Предположим также, что ?/2 [] В2

3. Функции оператора - 609
содержится в общей области аналитичности функций fug. Тогда,
по лемме 6 и интегральной формуле Кош-и,
В2
; T)d\idk =
; T)-R(n; П)
B2
^A
Это доказывает утверждение (Ь). Чтобы доказать предложение (с),
оо
заметим, что степенной ряд 2 а^Л* сходится равномерно в круге
С={А,| |А,|<гG)+е} при достаточно малом е. Поэтому
{
С k=Q
k=0 С
/=0
в силу леммы 4 и интегральной формулы Коши. Утверждение (d)
является очевидным следствием леммы 7, ч. т. д.
—> 11. Теорема. (Теорема об отображении спектра.) Если функция
f?P(T)f((T))(f(T))
Доказательство. Пусть kg a (Г); определим в области задания
функции / функцию g формулой
39 Заказ № 1324

610 ¦ Гл. VII. Общая спектральная теория
Согласно теореме 10, /(Я)/—f (Т) = (XI— T) g (Г). Поэтому если бы для
f(X)I—/(Т) существовал ограниченный обратный оператор Л, опре-
определенный на всем Ж, то оператор g(Т) А был бы ограниченным всюду
определенным обратным оператором для оператора XI — Т. Следо-
Следовательно,' f(X)?e(f(T)).
Обратно, предположим, что \i?e(f(T))9 но iM$f(o(T)}. Тогда функ-
функция А (?) = (/(?)— V)'1 принадлежит tp (Г). По теореме 10,
h(T)(f(T)— [х/) = /, что противоречит предположению |х$(/(
ч. т. д.
-» 12. Теорема. Пусть ftp(T),g?^\(f(T)) и F(Q=g(f(®\ Тогда
FZ^(T) и F(T)=g(f(T)).
Доказательство. УтверждениеFf f (Г) непосредственно вытекает
из теоремы 11. Пусть U — окрестность a (f(T)), граница В которой
состоит из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, причем
U U В содержится в области аналитичности функции g. Аналогично
пусть V — окрестность спектра а (Г), граница С которой состоит
из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, и V{]C
содержится в области аналитичности функции f. Предположим,
кроме того, что [(VIJQ^U.
Согласно теореме 10, оператор
удовлетворяет равенствам (XI — f (Т)) А (X) == А (X) (XI — / (Г)) = /.
Таким образом, А (X) = R (X; f (T)). Следовательно, по интегральной
формуле Коши
; f(T))dk =
) )
В С
ч. т. д.
Элементарные алгебраические правила операций, даваемые тео-
теоремами 10 и 12, будут использоваться в оставшейся части этой
главы без явных ссылок на эти теоремы.
13. Лемма. Пусть /пб F (Г), /г=1, . . ., причем все функции fn
аналитичны в фиксированной окрестности V спектра о(Т). Если
последовательность fn сходится равномерно к функции f на V, то
fn T) сходится к f (T) в равномерной топологии операторов.

3. Функции оператора 611
Доказательство. Пусть U—окрестность спектра о(Т), гра-
граница В которой состоит из конечного числа спрямляемых жордановых
кривых, и U IJ В с: V. Тогда fn—> f равномерно на В и, следователь-
следовательно, последовательность операторов
1 С
о—* \ In \ ) ^ I > 1 j ак
сходится в равномерной операторной топологии к оператору
2^5 f(X)R(X; T)dX, ч т ^
в
Следующая лемма может быть доказана таким же способом.
14. Лемма. Пусть V—окрестность спектра о(Т), a U — откры-
открытое множество в комплексной плоскости. Предположим, что / —
аналитическая функция двух комплексных переменных X, \ьв области
Ух V. Тогда!(Т, \i) есть В(Ж)-значная функция, аналитическая при
15. Определение. Точка Х0^а(Т) называется изолированной точ-
точкой спектра сг(Т), если существует окрестность U точки Хо, такая,
что а (Т) Р) t/={^0}* Изолированная точка Хо спектра о(Т) называется
полюсом оператора Т или полюсом спектра, если функция R(X\T)
имеет полюс в точке Хо. Под порядком v(A,0) полюса Хо понимается
порядок Хо как полюса R(X; T).
Следующая теорема, будучи аналогом теоремы 1.3, принимает
в общем случае несколько иную форму.
16. Теорема. Пусть f,g? f (Г). Равенство f (T)=g (T) имеет место
в том и только в том случае, когда f (X)=g (X) в открытом множестве,
содержащем весь спектр о(Т), кроме конечного числа полюсов
{Х1У . . ., Xk}, и при всех i, 1 < ii < k, функция f—g в точке Хг имеет
нуль порядка не ниже ч(Хг).
Доказательство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда
функция g=0. Пусть / равна тождественно нулю на открытом мно-
множестве V, содержащем весь спектр а(Т), кроме полюсов^, . . ., Xk.
Из определения 9 вытекает, что
У»1 с.
где Cj достаточно малая окружность с центром в точке Xj. Если
f(X) имеет в точке X=Xj нуль порядка не ниже v(^), то, так" как
R(X; T) имеет в точке Х=\. полюс порядка v(^), отсюда следует,
39*

612 Гл. VII. Общая спектральная теория
что / (k)R(l; Т) регулярна внутри Ск. Тогда, по интегральной фор-
формуле Коши, f(T) = O.
Обратно, пусть f(T) = O; тогда, по теореме 11, /(a (T)) = 0. Пусть/
аналитична в окрестности U спектра о(Т). Для каждого а?о(Т)
существует г (а) > 0, такое, что круг S (а, е (а)) с: U. Так как множество
о(Т) компактно, то оно может быть покрыто конечным числом кругов
5@^, г(а1)), . . ., S(an, г(ап)). Если некоторый круг S(a;-, e(a;)) содер-
содержит бесконечное число точек спектра о(Т), то из теории функций
комплексного переменного следует, что функция / на нем тожде-
тождественно равна нулю.
Таким образом, если U±—объединение тех кругов S(alt е(сб,)),
которые содержат бесконечное число точек спектра о (Т), то функ-
функция / тождественно равна нулю на Иг. Следовательно, Ux содержит
весь спектр о(Т), кроме конечного числа изолированны^ точек
{^ь • • ., К)-
Предположим, что функция f не равна тождественно нулю ни
в какой окрестности точки А,^ Тогда, так как f(o(T))=0, функция/
имеет в точке Хх нуль конечного порядка п. Следовательно, функ-
функция gly определяемая формулой gi(l) = (K—E)n^7(l)> аналитична
в окрестности точки Х±. Пусть е—функция, тождественно равная
единице в окрестности точки Хг и нулю в окрестности любой другой
точки из спектра о(Т), и пусть g=gie. Тогда выполнено соотношение
(kil—Т)п e(T)=f(T)g(T)=O. Разложение Лорана для резольвенты
R (|; Т) в окрестности 0 < | \—Хг | < е точки Хх дается формулой
оо
R(l; T)= S АЛЬ,-*),
где
a Cx—достаточно малая окружность с центром в точке к1. Таким
образом, А_т+1)=—(^1—Т)те{Т)=-0 при т>пу и, следовательно,
точка Хг—полюс порядка не выше п. Так же мы видим, что функция/
либо равна тождественно нулю в окрестности К^ i=:2y ..., г, либо
точка kt — полюс спектра о(Т) и функция / имеет в точке к{ нуль
порядка не ниже v(^), ч. т. д.
17. Определение. Подмножество спектра о(Т), одновременно
открытое и замкнутое в о(Т), называется спектральным множеством.
Очевидно, что спектральные множества образуют булевскую
алгебру подмножеств спектра о(Т). Если о— спектральное мно-
множество, то существуетфункция/6 f (Г), которая тождественно равна
единице на множестве о и нулю на остальной части спектра о(Т).
Положим Е(а\ T)=f(T). Если оператор Т подразумевается, то можно

3. Функции оператора 613
писать вместо Е(о\ Т) просто Е(о). Из теоремы 16 ясно, что опера-
оператор Е(о) зависит только от множества а, но не от конкретного
выбора функции /6 р (Т) для его определения. Если спектральное
множество о состоит из единственной точки Ху то иногда может упот-
употребляться вместо Е ({Я}; Т) обозначение Е (X; Т). Иногда будет удобно
использовать обозначение Е(о) лля любого множества а комплексных
чисел, для которого о[)о(Т) является спектральным множеством.
В этом случае, по определению,
E(a) = E(af]a(T)).
Таким образом, Е(о) = 0, если араG) пусто.
Сравнение теоремы 16 с теоремой 1.3 наводит на мысль, что суще-
существует связь между порядком полюса и его индексом в смысле опре-
определения 1.2. Следующая теорема устанавливает такую связь. Хотя
понятие индекса было введено для операторов в конечномерном
пространстве, его определение сохраняет смысл и в общем случае.
18. Теорема. Если X— полюс оператора Т порядка v, mo X
имеет индекс v. Кроме того, изолированная точка X спектра Т
является полюсом порядка v в том и только в том случае, когда
(XI-T)VE(X;T) = O, (М-Т?-{Е(к; Т)фО.
Доказательство. В ходе доказательства теоремы 16 было пока-
показано, что разложение Лорана R (?; Т) в окрестности 0 < 11 — Ц < е
изолированной точки К дается формулой
R(l; T)= 2 An(X-iy\
71=—ОО
где
; Т).
Таким образом, X является полюсом порядка v в том и только в том
случае, когда выполнены соотношения
{%I-T)VE(X\ Г) = 0, {11-ТУ~{Е{Х\ Т)ФО.
Чтобы доказать первое утверждение теоремы, положим, что X —
полюс порядка v. Тогда существует вектор х, такой, что
это показывает, что индекс X не меньше v. Предположим теперь, что
индекс X равен п. Тогда для некоторого вектора х выполнены соот-
соотношения (XI— Т)пх=Оу (К1—Т)п'гхф0. Так как
/=о

614 Гл. VII. Общая спектральная теория
то после умножения обеих сторон этого равенства на оператор
A1Т)(Ъ Х1 (к1 — Т) видно, что функция
п—1
регулярна на всей плоскости, кроме, быть может, точки ?=Х.
Таким образом, если К — любой спрямляемый контур, окружающий
спектр а G), и С—малая окружность с центром в точке X, то
к
Это приводит к соотношению (XI — T)vx=(XI — T)ve (Т) х=0 и дока-
доказывает, что индекс n<v, ч. т. д.
19. Теорема. Пусть f?jF(T)'u х— спектральное множество
f(T). Тогда а (ЛПГ1^) — спектральное множество оператора Т и
Е(х; f(T)) = E(ri(*Y> T).
Доказательство. Пусть ех(\х) = 1 для всех точек \х из некоторой
окрестности множества т и eT(fx)=O для всех точек [х из некоторой
окрестности остальной части спектра a(f(T)). Тогда ex(f(T)) =
= E(x;f(T)). Еслит'—дополнениетв спектре а (/(Т1)), то теорема 11
показывает, что спектр а(Т) есть объединение непересекающихся
множеств f (т) и/ (т'). Так как функция / непрерывна, то эти два
множества и открыты и замкнуты. Отсюда следует, что а= а(Т) f] f'1 (r)
есть спектральное множество оператора Т. Если eG(k)=ex(f(X))y
то Е (а; Т) = еа(Т) и теорема 12 показывает, что
Е (т; / (Т)) = Е (а; Т) = Е (Г (т); 7), ч. т. д.
Для любого множества а, для которого определен оператор
?(а), положим Жа=Е(в)Ж. Тогда ТЖо^Яо, и мы будем обозначать
сужение оператора Т на подпространство Жа символом Та
а-
20. Теорема. Пусть а—спектральное множество спектра а (Г).
Тогдав(Т<у) = в.Если f?F(T),mo f€.r(TG)uf(TG)=f(T)a.To4Kak
из а есть полюс оператора Т порядка v тогда и только тогда, когда
она есть полюс оператора Та порядка v.
Доказательство. Пусть X? а; предположим, что X^a(TG). Тогда
существует ограниченный линейный оператор А в пространстве Жа,
такой, что (XI—Т)Ах=А (XI—Т)х=х для х б Жо. Пусть функция g
равна нулю во всех точках \х из некоторой окрестности множества а
и равна (X—(л) во всех точках \i из некоторой окрестности оставших-

3. Функции оператора 615
ся точек спектра о(Т). Тогда g(T)(XI—T)=(kI—T)g(T)=I—E(o).
Если мы определим оператор А х: Ж —» Ж формулой Л1д:=Л?(ст)д;, то
Следовательно, X ? @ (Г), что противоречит предположению A, g a.
Тем самым а<г_о(Та).
Обратно, пусть Х$в. Рассмотрим функцию А, равную (К— [х)
в точках |i из некоторой окрестности множества а, не содержащей X,
и равную тождественно нулю в некоторой окрестности оставшейся
части а(Т). Тогда А (Г) (XI—T) = (XI—T)h(T)=E(o). Следовательно,
для сужения h(T)o оператора А (Г) на пространство Жа выполнено
соотношение А G)а (А,/а—Га)-(^/а—Га) А (Га) =/а, так что X$o(TG).
Это доказывает, что а(Га)с~а и что R (A,; Ta) = R(X;T)a.
Пусть fg г (Т), и пусть (/ — окрестность спектра а (Т), граница ?
которой состоит из конечного числа спрямляемых жордановых
кривых, причем U \J В входит в область аналитичности функции /.
Тогда
В
По теореме 18, А, является полюсом порядка v оператора Т в том
и только в том случае, когда
(XI - T)VE (X) = О, (XI - ТУ~{Е (X) Ф 0.
Так как X6 а, то Е (Х)Е (о) = Е (X) и, таким образом,
(XI-T)mE(X) = (XI(J-T(y)mE(X)f m=l, 2, ... .
Следовательно, точка Я есть полюс оператора Т порядка v тогда
и только тогд^, когда она есть полюс оператора То порядка v, ч. т. д.
21. Следствие. Отображение о —^ Е (а) есть изоморфизм булев-
булевской алгебры спектральных множеств на булевскую алгебру всех
проекторов вида Е(о), где о—спектральное множество.
Доказательство. Из теоремы 10 следует, что отображение
а^>Е (о) есть гомоморфизм. Чтобы проверить, что оно является изо-
изоморфизмом, достаточно показать, что Е (о)=0 только тогда, когда от
есть пустое множество 0. Но если ?((т)=0, то ИО=Щ и <тG\,)=0.
Из теоремы 20 следует, что в=о(То)=0, ч. т. д.

616 Гл. VIL Общая спектральная теория
22. Теорема. Пусть Ки .. ., Xk — полюса оператора Т, vx, ¦. ., vk—
их порядки, и пусть 0=^, . .., Xh}. Тогда для /g f(T)
f(T)E(o)=% 2 ~^(Т--КП
г— 1 тп=0
Доказательство/ Если
Togm)(ki)=f{m)(Xi), 1< i< ^nO<m<vi. Таким образом, равенство
f(T)E(o)=g(T)E(o) следует из теоремы 16, ч. т. д.
23. Следствие. Пусть функции /, /n, /z=l, 2, . . ., принадлежат
,f (T); предположим, чтоfn (T) сходится tcf(T)e слабой операторной
топологии. Тогда для любого полюса X оператора Т порядка v
f(m)(^) = lim /nm)(^)> 0<m < v.
n->oo
Доказательство. Если 7\—сужение оператора Т на Е(Х)дсУ
0<т < X, то, по теореме 20, X—полюс порядка v для оператора Т%..
Теорема 18 показывает, что 7\ имеет индекс v. Теперь можно
вывести доказываемое следствие из теоремы 22 теми же рассужде-
рассуждениями, которые были использованы, чтобы получить теорему 1.9
из теоремы 1.8, ч. т. д.
24. Теорема. Пусть X—полюс порядка v оператора Т и ох—
дополнение в а(Т) множества {X}. Тогда
Доказательство. По теореме 20, (Т — 'kI)vXa1=l^a1- По теореме 18,
(I) (Г-?1/)УЖя = 0,
и, таким образом,
(T-klfX = (Т- XI)V {&© ЭЦ} = ЭЦ.
В силу (I), имеем
(II) &ig{*|(r-X/)v* = 0}.
С другой стороны, если (Т— X,/)vx=0, то, в силу (I),
0 = (Г - X/)v {E (k)x + E (ax) х} = (Г - X/)v? (ax) jc.

4. Спектральная теория вполне непрерывных операторов 617
Так как, по теореме 20, оператор (Т—XI) взаимно однозначен на про-
пространстве На , то Eia^x^O и потому Е(Х)х = х. Это доказывает,
что {л: | (T — XI)vx = 0} с: Э?я; последнее соотношение вместе с соотно-
соотношением (II) завершает доказательство теоремы.
4. Спектральная теория вполне
непрерывных операторов
В некоторых упражнениях параграфа VI.9 было отмечено, что
многие из линейных операторов, важных в анализе, либо вполне
непрерывны, либо имеют вполне непрерывные квадраты. Структура
спектра такого оператора особенно проста. Спектральная теория
вполне непрерывных операторов в том виде, как она излагается
в этом параграфе, была заложена Ф. Риссом и представляет собою
обобщение некоторых результатов из работ Фредгольма по теории
линейных интегральных уравнений.
1. Лемма. Пусть Т— вполне непрерывный оператор и X —нену-
—ненулевое комплексное число. Если отображение XI — Т взаимно одно-
однозначно, то его область значений замкнута.
Доказательство. Пусть у = lim уп, где уп =¦ (XI — Т)хп. Если
П->оо
последовательность {хп} содержит ограниченную подпоследователь-
подпоследовательность, то, так как оператор Т отображает ограниченные множества
в относительно бикомпактные множества, {хп} содержит подпосле-
подпоследовательность {хп.}, такую, что последовательность {Тхп.} сходится.
Так как хп. = (уп.+ Txnj)/X, то последовательность {хп.} сходится
к некоторому элементу х ? Ж и у — (Х1 — Т)х.
Если {ха} не содержит ограниченной подпоследовательности,
то I хп \—>°° • Положим zn = xj\ хп |, так что (XI—Т) zn—> 0 и | гп \ = 1.
Так как оператор Т вполне непрерывен, то существует подпоследо-
подпоследовательность {zn.} последовательности {zn}, такая, что последователь-
последовательность {Тхп.} сходится. Но поскольку Zn.—h~1Tzn.—>0, то и после-
последовательность {zn.} сходится. Пусть г^Птац- Тогда |z| = l,
и (XI—T)z = 0; следовательно, в противоречии с предположением
отображение XI —Г не взаимно однозначно, ч. т. д.
2. Следствие. Пусть Т — вполне непрерывный оператор и
О ф Х? о (Т). Тогда существует либо ненулевой вектор хек, такой,
что Тх = Хх, либо ненулевой функционал х* в Ж*, такой, что
Доказательство. Если отображение XI — Т взаимно однозначно
и если (XI — Т) Ж плотно в ?, то, по лемме 1, (Х1—Т)% = % и опе-
оператор XI — Т имеет всюду определенный обратный. По теореме

618 Гл. VII. Общая спектральная теория
II.2.2, этот обратный оператор ограничен; следовательно, X?q(T),
что противоречит предположению Х?о(Т). Отсюда вытекает, что
(Х1 — Т)?Е не плотно в 3?. По следствию 11.3.13, в Ж* существует
функционал я* Ф О, такой, что я* (XI — Т) Ж = 0. Следовательно,
(Ьх*-Т*х*)Х = 0 и Хх* = Т*х*, ч. т. д.
Из теоремы 5 этого параграфа вытекает, что если 0фХ?в(Т),
то ни оператор (XI —Т), ни оператор (XI—Т1*) не взаимно однозначны.
3. Лемма. Пусть 91 и 35 — замкнутые подпространства в Ж;
предположим, что Ш — собственное подпространство 35. Тогда
для любого 8 > 0 существует вектор у ? 95, такой, что \у\ = 1и\ х—г/1 >
> 1—8 для всех векторов х из 9t.
Доказательство. Пусть fc?35, &(?Sl и 6= inf 16 —а|. Так как
21 замкнуто, то б > 0 и существует вектор а0 б 2(, такой, что \Ь — ао\<
< бA + е). Если Ь±=Ь — а0, то
A +е) inf |6i-a| = (l + e>fl>|61[.
а?%
Если y=bi/|&1|, то |#| = 1 и
— a =
4. Лемма. Пусть Т —вполне непрерывный оператор, {^п} —
последовательность попарно различных чисел и {хп} — последова-
последовательность ненулевых векторов, такие, что (Т—Хп1)хп = 0 при всех
п = 1, 2, ... . Тогда Хп стремится к нулю.
Доказательство. Если Хп не стремится к нулю, то существуют
в > 0 и подпоследовательность {Хп.}, такие, что \Хп. | > 8. Можно
считать, что А,п. = Хг. Пусть 3tn = sp {xlt ..., хп}. Согласно следствию
IV.3.2, 3tn — замкнутое подпространство Ж. Чтобы проверить, что
Э(п содержится в %п+1у но не совпадает с ним, покажем, что при любом
п векторы х1У ..., хп линейно независимы. Предположим, что
х\> • • •» xn-i линейно независимы, но хп = а1х1+ ... +^n-ixn-\-
Тогда
O = (T-XnI)xn = a1(X1-Xn)x1+...+an_l(Xn_1-Xn)xn_v
и так как Хг — Хпф0 при i Ф п, то а? = 0, /=1, ..,,п— 1,
идсп = О, что противоречит условию. Таким образом, включение
ЭДпСГЭДп+1 собственное, и, по лемме 3, в 2tnсуществует вектор уПУта-
уПУтакой, что |г/п| = 1 и |#п — х| > 1/2 для всех векторов х из ?(n_t. Вектор

4. Спектральная теория вполне непрерывных операторов 679
уп имеет вид а1х1+ . .. + апхп, так что (Т— knl) yn^(iin_1. Таким
образом, если п > т, вектор zntTn= (yn— X^Tyn) -f-l^Tym принад-
принадлежит 91Л_1 и, следовательно,
Поэтому никакая подпоследовательность последовательности
{Т (yJXtl)} не сходится. Так как j#nAn|<l/e, это противоречит
полной непрерывности оператора Т, ч. т. д.
—> 5. Теорема. Если Т — вполне непрерывный оператор, то его
спектр не более чем счетен и не имеет точек накопления в комплекс-
комплексной плоскости, кроме, быть может, Х=0. Каждое ненулевое число
из о(Т) является полюсом оператора Т и имеет конечный поло-
положительный индекс. Для такого числа X проектор Е(к) имеет нену-
ненулевую конечномерную область изменения, определяемую формулой
где v — порядок полюса.
Доказательство. Так как множество о(Т) компактно, то для
доказательства первой части теоремы достаточно убедиться в том,
что каждое ненулевое А,? а(Т) изолировано. Но если X Ф 0 не изоли-
изолировано, то можно найти последовательность различных точек
К € а (Т)»такую, что %п —> А,. Согласно лемме 4, только конечное число
отображений Хп1 — Т не взаимно однозначно. Тогда, по следствию 2,
только конечное число отображений А,п/* — Г* взаимно одно-
однозначно. Однако оператор Г* вполне непрерывен (в силу VI.5.2)
и лемма 4, примененная к Т*, приводит к противоречию. Это дока-
доказывает, что каждое ненулевое Х?в(Т) изолировано.
Пусть 7\ — сужение Т на Ж^ — Е (/(,) ЭЕ. Из теоремы 3.20 видно,
что 0 Ф X = аG\) и, следовательно, 7\ имеет ограниченный обратный.
Таким образом, если S —замкнутый единичный шар в Щк, то мно-
множество T^S ограничено, и так как 7\ вполне непрерывен, то шар
S = 7\71?1S—бикомпактен. В сил у теоремы IV.3.5, Е (к) Ж конечномер-
конечномерно. В силу теоремы 1.3, существует целое число v, такое, что
(Tx—XIK)v=0. По теореме 3.18, А, — полюс оператора 7\, и, по
теореме 3.20, оно является полюсом и оператора 7\ Теорема 3.18
показывает, что индекс точки X есть положительное конечное число.
Заключительное утверждение следует из теоремы 3.24, ч. т. д.
6. Teopfma. Все утверждения теоремы 5 остаются справедли-
справедливыми, если предположить только, что оператор Тп вполне непреры-
непрерывен при некотором положительном целом числе 'п.
Доказательство. Согласно теореме 3.11, {а(Т)}х = о(Тп), и, как
показывает теорема 5, множество а (Т71) либо конечно, либо образует

620 Гл. VII. Общая спектральная теория
счетную последовательность, сходящуюся к нулю. Пусть X ФО —
точка в о(Т) и Xv • • • Д/,—множество всех точек в а (Г), для которых
k? = kn. По теореме 3.19,
это показывает, что
Е(к;ТI^Е(Г; Г) Ж.
Согласно теореме 5, оператор Е (Хп\ Тг) имеет конечномерную область
значений, и приведенное выше соотношение показывает, что тем
же свойством обладает и оператор Е(Х\ T). Доказательство теоремы
6 теперь может быть завершено аналогично доказательству теоремы
5, ч. т. д.
Слабо вполне непрерывные операторы в пространствах C(S)y
АРУ B(S), L1(S)y rca(S), ca(S)> ba(S)y rba(S) и т. д., которые были
рассмотрены в параграфах 7 и 8 главы VI, дают примеры операторов,
к которым может быть применена теорема 6, хотя теорема 5 к ним
не всегда применима.
5. Упражнения
По многим причинам удобно ввести грубую классификацию
точек спектра о(Т).
1. Определение, (а) Множество точек Х?о(Т), таких, что отоб-
отображение XI — Т не взаимно однозначно, называется точечным спек-
спектром оператора Т и обозначается через ор(Т). Таким образом,
Х?ор(Т) тогда и только тогда, когда Тх — Хх для некоторого ненуле-
ненулевого х?Ж.
(b) Множество всех Х?о(Т), для которых отображение XI—Т
взаимно однозначно и многообразие (Х1 — Т)Ж плотно в Ж, но таких,
что (XI — Т) Ж Ф Ж, называется непрерывным спектром оператора Т
и обозначается через ос(Т).
(c) Множество всех Х?о{Т)у для которых отображение XI — Т
взаимно однозначно, но таких, что многообразие (XI — Т) Ж не плотно
в Ж, называется остаточным спектром Т и обозначается через
аг(Т).
2. Доказать, что ог(Т), ос(Т) и о (Т) не пересекаются и аG) =
= ог(Т)[)ос(Т)[]ор(Т).
3. Найти точечный, остаточный и непрерывный спектры опера-
оператора у = Тх в С [0, 1], определяемого равенством y(s) =
s
= \ х (t) dt. Изменится ли ответ, если Т рассматривать как опера-
b

5. Упражнения 621
тор Ъ L[0, 1], или в С0[0, 1] —пространстве всех непрерывных
функций на [0, 1], обращающихся в нуль в точке О?
4. Пусть у = Тх —оператор в С[0, 1], определяемый равенством
y(t) = tx(t). Найти <тР(Г), ар(Г), ас(Г). Найти f(T) для /g ГGУ
5. Пусть {aJ — ограниченная последовательность комплексных
чисел. Пусть Т — отображение в /2, определяемое равенством
ЛУ = [а^]. Найти ар(Т), ас(Т) и ог{Т).
6. Показать, что любое компактное множество на плоскости
может быть спектром некоторого оператора.
7. Пусть Т — отображение в /р, 1<р<со, определяемое равен-
равенством Tlllt U • • • 1 = [?2. ?з> • • • I. Найти ар (Г), аг (Г), ас (Г).
8. Пусть Е — проекционный оператор; выразить резольвенту
R(k; Е) явно через Ея X. Каков спектр о(Е)? Найти f(E) для
/ег(?)-
9. Показать, что для любого ограниченного линейного оператора
Т выполнены соотношения
10. Если существует число А, на окружности |А,| = |Г|, принад-
принадлежащее точечному спектру оператора 7, то X также принадлежит
к точечному спектру оператора Г*.
11. Показать, что если для операторов 7\ и Т2 из В (Ж) выполне-
выполнено соотношение ТгТ2= TaTv то гG\+ Т2)^г(Тг)-\-г(Т2) (см. 3.5),
но если ТгТ2 Ф T2TV то это неравенство необязательно имеет место,
даже если Ж двумерно.
12. Определение. Оператор Т называется квазинильпопгентным,
если lim р'ПН~ = °-
п->-оо
13. Показать, что оператор Г квазинильпотентен тогда и только
тогда, когда о (Т) = {0}.
14. Пусть в— {ка} — счетное компактное множество в комплекс-
комплексной плоскости, такое, что Хп—>0. Показать, что в некотором В-про-
странстве существует вполне непрерывный оператор Т со спектром
а G) = а.
15. Пусть E, 2, \i) — пространство с положительной а-конечной
мерой и функция h существенно ограничена на S. Пусть Т —
преобразование в Lp(S, S, \i), 1 <р< оо, определяемое равенством
Tx(f) — h(t)x(t). Показать, что спектр о(Т) есть множество всех
точек, для всех окрестностей М которых выполнено неравенство
IX(/Г1 (М)) > 0. Найти f(T) для /g f (Г).
16. Показать, что etr — дифференцируемая операторнозначная
функция действительной переменной / и что
— еП~ Те!Т
dt ~~ '

622 Гл. VII. Общая спектральная теория
Пусть у ? X. Решить дифференциальное уравнение
dy @.
dt
- = Ty(t), y(O)=y,
и показать, что решение единственно.
17. Оператор Т удовлетворяет уравнению Р(Т) = 0, где Р(А,) —
ненулевой многочлен, тогда и только тогда, когда о(Т) состоит
из конечного числа полюсов.
18. Пусть а —спектральное подмножество спектра сг(Г). Тогда
ар (Та) = а Г) ор (Г), ос (Та) = а П'°с (П °г (Та) = af]ar (T).
19. Пусть f^,^(T) и а —спектральное подмножество спектра
а (Г). Пусть а = а (Т) f) а' и функция / не равна тождественно нулю
на а. Если f(T)x = 0 для некоторого лгбЖ, то х принадлежит Жа.
20. Пусть X— полюс спектра а (Г). Показать, что разложение
имеет место в том и только в том случае, когда ()
21. Пусть /б f (Т) и (х — комплексное число; предположим, что
множество / х (|1)Г)су(Т) конечно. Показать, что ji является полю-
полюсом спектра a(f(T)) тогда и только тогда, когда каждая точка мно-
множества ГЧ^) П сг(Т) —полюс спектра о(Т).
22. Пусть f?JF(T); предположим, что/^) f) а (Г) — конечное
множество {Хх, ..., \} комплексных чисел. Показать, что следую-
следующие утверждения эквивалентны:
(a) /G13В замкнуто и Ж = /(Т) Ж© (*|*G Ж, /(Г)х = 0};
(b) каждая точка A.it i= 1 ,...,&, есть полюс спектра сг (Г) порядка
меньшего, чем порядок %i как нуля функции /;
(c) множество сг={Х1, .. ., A,J—спектральное множество, /(Т')Х =
= я (а (Г) п ^') зе и {jc | jc е зе, / (Г) jc = о} = я (а) зе.
23. Пусть Г —оператор в S-пространстве 36 и Г* —его сопряжен-
сопряженный. Пусть ах и сг2 — непересекающиеся спектральные множества
оператора Т. Показать, что **(*!) = () для л:* € 36S2 и ^(гЭЦ.
24. (Ф. Рисе и Секефальви-Надь.) Пусть |Т|<г' <г, функция
/ аналитична при I А,|<ги \f (A,)|</? на окружности | А,| = г; показать,
что
25. (Ф. Рисе и Секефальви-Надь.) Пусть а— спектральное мно-
множество оператора Г, лежащее внутри окружности \\—Х0\=г. Пусть
о(Т)Г)о' лежит вне этой окружности. Показать, что х??а в том
и только в том случае, когда
Шп |(^0/-Г)пх|1/п<г.

5. Упражнения 623
26. Пусть Ябас(Г).
(a) Показать, что существует последовательность {хп}, такая,
4To|Vn| = l и |(М_7)*п|-»0;
(b) пусть о — спектральное множество и Я?а; показать, что лля
последовательности в п. (а) выполнено соотношение
lim \хп — E (о)хп\ = 0.
п-юо
27, Пусть ? = С[0, 1] и Г —оператор в Ж, определяемый равен-
равенством
t
Тх (t)=-[x (s) ds.
Вычислить R {%\ Т) и показать, что дифференциальное уравнение
х™ (t) + aix<n-» (t) + . .. + апх (t) = у @,
х @) = л:' @) = . . . = х{п~г) @) = 0
имеет решение
1 Г >.п^ (X; Г) у ей
2л/ ]
с
где С — окружность с центром в начале координат, не содержа-
содержащая внутри себя корней знаменателя, или (полагая г=1А)
ez'(t~s)dz
где контур /( охватывает корни знаменателя.
28. Пусть спектр а (Г) лежит в полуплоскости
показать, что
tu-кю ^3lt t|
—\w
\ e*R{K\T)dX, I > 0.
29. Предполагая, что спектр о(Т) лежит в полуплоскости
Re (к) < 0, показать, что
где интеграл сходится при
30. Показать, что
sup
€(Т)

624 Гл. VII. Общая спектральная теория
31. Пусть Т — оператор в В-пространстве X; предположим,/™
спектр а (Т) не пересекается с лучом reif>, г > 0. Если | R (гег®, Т[) | =
=0 (г~3/2+е) для некоторого е > 0 при г —> 0, то существует последо-
последовательность функций {/ } с^(Ли оператор (/, такие, 4toL (T]—>U
и U2 = T.
32. Пусть/Л ? ^ (Г); предположим, что последовательностьдпера-
торов fn (Т) сходится в равномерной операторной топологии. Тогда
последовательность функций fn сходится равномерно на спектре
а(Т).
33. Пусть U—открытое множество в комплексной плоскости.
Предположим, что/ (X, •) 6 .F (Т) при всех X 6 U и что / (Л,, Т) — анали-
аналитическая функция со значениями в В (Ж). Тогда f(X> |x) — аналити-
аналитическая функция X при всех \i?o(T).
34. Если спектральное подмножество а спектра о (Т) таково, что
Жа конечномерно, то а состоит из конечного числа полюсов.
35. Если X 6 а (Т) изолирована и ЗБя конечномерно, то (XI — T)k X
есть множество таких х 6 Ж, что у* (х)=0 при всех у* б X*, удовлетво-
удовлетворяющих условию (X/*—7*)*у*=0, a (>J*—7*)^ X* есть множество
таких л;* ? X*, что х* (у)=0 при всех #? X, удовлетворяющих усло-
условию (XI—T)h у=0. Множества {х \ х б X, (XI—T)k х=0} и {х* | х* 6 X*,
(А,/*—T*)hx*=0} имеют одну и ту же размерность.
6. Теория возмущений
Пусть {1—> Г(|л) — операторнозначная функция комплексного
параметра ji, непрерывная (или аналитическая) в равномерной опе-
операторной топологии. Цель этого параграфа — исследовать, как
меняются спектр и резольвентный оператор при малом изменении
jx. Основной результат этого параграфа — теорема, по существу
принадлежащая Реллиху, описывающая, как меняются изолиро-
изолированные точки спектра Г@), если Т (\х) аналитически зависит от \i.
1. Лемма. Множество G элементов В (Ж), имеющих в Б (X)
обратные, открыто в равномерной топологии В (X) и содержит
вместе с оператором А сферу {В \ \ А — В \ < | А'11}. Если оператор
В лежит в этой сфере, то его сбрлтный представим рядом
оо
B~l = A-i 2 [(А -В) Л] .
Кроме того, отображение А—>А~1 множества Q на себя есть гомео-
гомеоморфизм в равномерной операторной топологии.
оо
Доказательство. Пусть | /—В| < 1, так что ряд S = 2 A~В)п
0

6. Теория возмущений 625
сходится. Так как
о
j (г-ву1- 2 (/-?)" = /,
п=0 п=1
то множество {В |1 / — В | < 1} CZ G. Пусть теперь A gG, и пусть
j А — В\ < | Л}. Тогда |/ —ВЛ! = | (Л— В) Л! < 1; следова-
следовательно, по только что доказанному, оператор ВА'1 имеет обрат-
обратный в В (Ж), представимый рядом
оо оо
\^ // R А~1\п ^ Г/ Л Ft\ ^1"*
Zj> \' '— Ог\ J — ?j [ у/Л. — D) г\ J .
Таким образом, В имеет обратный в В (Ж), представимый формулой,
указанной в лемме. Эта формула показывает, что
оо
откуда следует, что отображение В—^В1 множества G на себя явля-
является гомеоморфизмом, ч. т. д.
2. Следствие. Пусть 7\ 7\€В(Ж), A,GqG) и \Т — Т1\<
< | R (к; Т) I. Гогда X 6 Q G\), w
оо
п=0
3. Лемма. Пусть Т?В(Ж) и е > 0. Тогда существует б > 0,
та/сое, *дао вела 7\ 6 В (Ж) и | 7\ - Г | < д, то а G\) с: S (а (Г), е) а
|/?(X; TJ-Rih; T)\<e, X^S(a{T)y e).
Доказательство. Согласно лемме 1,
Нт |/?(Л; У) | = lir
Я-*со Я->-
так что | J?(A,; T)|<iVe для X из дополнения к S(o(T), г). Таким
образом, по следствию 2, из неравенства бг = Л^ё1 > | Т1 — Т\ выте-
вытекает, что а(Г1)С15((тG1, б). В силу того же следствия 2,
|/г(*;7\)-Я(*; Г) К iH^-
если | 7\ — Г | < 62 = е/(Л/1 -(- еЛ^е). Таким образом, утверждение
леммы будет доказано, если взять за б наименьшее из чисел дг и б2,
ч. т. д.
4. Лемма. Пусть Т (\i) — аналитическая операторнозначная
функция, определенная при \ \i\ < у, у > 0, и пусть U — открытое
40 Заказ № 1324

626 Гл. VII. Общая спектральная теория
множество, такое, что UcZq(T(O)). Тогда существует б ;i О,
такое, что если ||i|<6, то U(Zq(T(\i)) и R(X; T (ji)) — анали-
аналитическая функция |х при всех X?U.
Доказательство. По лемме 3, существует б1? такое, что Uci Q (Т (\х)),
если ||i|<6i- Пусть б<бх выбрано так, что | Т @) — 'Г (и) | <
< inf \R(k', 7@))Г1, если \\х\ < 6. Из следствия 2 вытекает, что
[•] R (Я,; Т (ii)) = R(X;T @)) I [(Г (ц) _ Т @)) R (k; T @))]".
п=0
Так как ряд сходится абсолютно и равномерно при | \i \ < й и функ-
функция Т (|х) аналитична, то из общей теории аналитических функций
(см § III.14) следует, что R (X; Г (ji;) — аналитическая функция jn
в круге | \i | < б при всех X g U, ч. т. д.
5. Лемма. Пусть Г6^(Ж), /6 <F (T) и г > 0. Тогда суще-
существует 8 > 0, такое, что если T1?B(H)u\T1 — T\<bymof?tF G\)
и |/(Л/G\I
Доказательство. Пусть (/ — окрестность спектра GG), в кото-
которой функция / аналитична. Пусть (/х — окрестность спектра о(Т),
граница В которой состоит из конечного числа спрямляемых жор-
дановых кривых, причем U1 (J В с U- Тогда, по лемме 3, существует
6Х > 0, такое, что а G^) CZ Uv если | Тг — Т | < б1. Следовательно,
/6 F (Тг), если только | 7"х — Г| < 8Г Согласно той же лемме 3,
оператор R (X, Тг) близок к оператору R (X; Т) равномерно по Х?В,
если | 7\ — Т\ мало.
Таким образом, при некотором положительном
T1)-[R(k;T)}dX\<s, ч. т. д.
6. Лемма.- Пусть f6 ^G@)), где Т (|i) — аналитическая опера-
торнозначная функция, определенная в круге \\*-\<у, у > 0. Тогда
существует положительное б < у, такое, что f?jf(T (jji)) и f (T (\i))—
аналитическая операторнозначная функция \х при |ц,|<6.
Доказательство. Пусть В выбрана так же, как в доказатель-
доказательстве леммы 5. Согласно лемме 4, можно найти такое б, что ряд [*],
используемый в ее доказательстве, сходится абсолютно и равно-
равномерно при Х?В. Таким образом,
n=0 В
и ряд справа сходится к аналитической функции \i, ч. т. д.

6. Теория возмущений 627
Леммы 4 и 6 могут быть заметно улучшены в том важном случае,
когда спектр а(Г@)) содержит такую изолированную точку к0,
что пространство Е (А,о; 7@)) Ж конечномерно. Чтобы изучить этот
случай, нам понадобится прежде всего следующая лемма:
7. Лемма. Пусть Е, Е1~два проектора в Ж, такие, что \Е — Ег\<
< min (| ? I, | Ех I). Если один из них имеет конечномерную область
значений, то же верно и для другого и
Доказательство. Рассмотрим отображение ЕЕХЕ, суженное
на ?Ж. Так как Е есть тождественный оператор в ЕЖ и так как
по предположению | ЕЕХЕ — Е | < 1, то из леммы 1 видно, что ЕЕХЕ.—
взаимно однозначное отображение Еде на себя, и тем самым ЕЕХЕЖ =
-= ЕЖ. Поэтому ЕЖ^ ЕЕХЖ ^ ЕЕЛЕЖ = ЕЖ и, следовательно,
ЕЖ = ЕЕХЖ. Это показывает, что А\тЕгЖ > dim ЕЖ. Аналогично
dim?'X>dim ?\Ж, и, таким образом, dimfX = dimf^dE, ч. т. д.
8. Лемма. Пусть Е (\х) — семейство проекторов, аналитически
зависящих от параметра \х в круге \ \х | < у, у > 0, и пусть
Е @) Ж имеет конечную размерность т. Тогда существует такое
Ь > 0, что если {xv ..., хт} — базис в ?@)э?, то при ||х|<6
множество {E(\i)xlt ..., Е(\х)хт} является базисом в Е(\х)Ж.
Доказательство. Легко видеть, что существует 6, 0<6<у,
такое, что
|?@)-EM|<min(|E@)r\ ^(^Г1), |ц|<б.
Из доказательства леммы 7 мы знаем, что размерность подпростран-
подпространства Е (|х) Е @) Ж равна т. Так как векторы {xv . . ., хт} порож-
порождают Е @) Ж, то множество {Е (jx) jclf . .., Е (|х) л:,} порождает /я-мер-
ное пространство f (\i) E @) Э?. Следовательно, эти векторы линейно
независимы и образуют базис в подпространстве Е (\i) Ж, кото-
которое, по лемме 7, /n-мерно, ч. т. д.
9. Теорема. Пусть у >0 и Т (\i) —операторнозначная функция,
определенная и аналитическая при ||л|<у. Пусть ^ — изолирован-
изолированная точка спектра а(Т@)), и пусть подпространство Е(Ко\ 7@)) Ж
имеет конечную размерность т. Пусть U — открытое множество,
такое, что Uf]a(T @)) = {k0}. Тогда существуют положительное
6<у, целое число k^m и целое число л, такие, что при \ \х |< б мно-
множество U Г\а(Т(\х)) состоит из конечного числа точек {^((х),...,^)}.
Каждая функция ^(fi) аналитически зависит от главного значения
дробной степени jx1/71 переменной \i и удовлетворяет условию А,.@) = А,о.
Кроме того, проекторы Е(Кг (|х); T(ii)) могут быть разложены в ряд
40*

628 Гл. VII. Общая спектральная теория
Лорана по дробным степеням
где A tj —операторы из 5(Ж).
Доказательство. Для простоты обозначений будем писать о(\х)
вместо U[}o(T([.i)). Из леммы 6 видно, что а(\х) при малых \х есть
спектральное множество оператора 7"(jjl). Пусть Е(\х) —проектор
?(а(|х); Г((х)). Из леммы 6 следует, что Е(\х) аналитически зависит
от |х. Если {х19 ..., хт} — базис в Е @) Ж, то, по лемме 8, существует
положительное число б1? такое, что при |ji|<6! множество
{Е(\1)х1у ..., E(ii)xm} является базисом в ?(|х)Ж.
Пусть функции t{j определяются уравнениями
= Ь. • ., пг.
Мы покажем сначала, что /^ — аналитические функции, если |х
достаточно мало. Пусть функционалы л:^€Ж* таковы, что х\(х^ =
= 6kj, k= I, ..., m. Первое из приведенных выше равенств равно-
равносильно m скалярным уравнениям
Так как^?"@)дс—^^=6ftJ-, то определитель А(|я) матрицы '^d)^)
равен единице при |л=0итем самым отделен от нуля при | |л|<62<61.
Следовательно, эти уравнения можно разрешить относительно t^
и получить в каждом случае частное от деления аналитической
функции на А(|х). Так как в круге | |х|<62 функция Д(A)#0, то
А^)» а тем самым и ttj аналитичны в этом круге.
Если мы обозначим через 7\(|л) сужение Т(\х) на m-мерное про-
пространство Е(\х) Ж при|(х|<62, то спектр Тг (\i) будет состоять из
корней уравнения
По теореме 3.20, a(|x)=aG'1(|i)). Функция d(k, \i) является много-
многочленом от X степени /п, коэффициенты которого — аналитические
функции |л; при [л=0 уравнение [*] имеет только m-кратный корень
к='к0. Согласно подготовительной теореме Вейерштрасса (III. 14),
существуют положительное б < 62, целое число k < m и целое число /г,
такие, что при | |л|<6, \хфО функция d{X, \i) имеет ровно k различ-
различных нулей Ajdx), ..., kk(\i), причем эти нули аналитически зависят

6. Теория возмущений 629
от \х и представляются рядом
по степеням главного значения \кх1п.
Пусть ^((x^f^di); ПМ-)) пРи 0<|(х|<6 и l<t<A.
Остается показать, что каждый проектор Е{ (\х) имеет в окрест-
окрестности точки \х = 0 разложение Лорана по степеням \ii/n. Пусть
q(k)= [I (A,-
г=2
У=0
Рассмотрим многочлен
По правилу Лейбница,
Вид многочлена ^ показывает, что при 0 < | |i | < б
Кроме того,
Таким образом,
2 (С})^-гЧ
i0
Так как ^ (А,) г (Л,) = 1, то
= О,
Следовательно, по теореме 1.8,
Так как коэффициенты многочлена 5 около точки \х=0 разла-
разлагаются в ряды Лорана по степеням jx1/", содержащие только конеч-
конечное число отрицательных степеней, то лорановское разложение
проектора Е1(\х) обладает тем же свойством. Проекторы Ег(\1)у
i = 2, ..., &, рассматриваются аналогично, ч. т. д.

-630
Гл. VII. Общая спектральная теория
Следующая теорема распространяет теорему Тейлора на функ-
функции от оператора.
10. Теорема. Пусть S и N — коммутирующие операторы.
Пусть f — функция, аналитическая в области D, содержащей
'спектр a (S) оператора S вместе с некоторой его ^-окрестностью.
Предположим, что спектр a (N) оператора N лежит внутри откры-
открытого круга радиуса е с центром в начале координат. Тогда функция
./ аналитична в некоторой окрестности спектра a(S + N), и
причем ряд справа сходится в равномерной операторной топологии.
Мы начнем доказательство теоремы 10 с доказательства сле-
следующей леммы.
11. Лемма. Пусть С—множество, наименьшее расстояние от
которого до спектра о(Т) оператора Т больше некоторого положи-
положительного е. Тогда существует постоянная К, такая, что
\R{X, Т)п\<Кг~п, п>0, Х?с.
Доказательство. Пусть открытое множество U содержит спектр
<у (Т) и имеет границу, которая состоит из конечного числа спрям-
спрямляемых жордановых кривых. Предположим также, что для всех
X 6 С и всех а б U (J В мы имеем | X — а \ > е. Тогда
ч. т. д.
Доказательство теоремы 10. Пусть 6= sup \X\, по предполо-
предположен (iV)
жению, б < е. Выберем Ф< 1 так, что ^б < Фе < s, и пусть В —
окружность { К11X | = Фе}. Тогда
Это неравенство вместе с леммой И показывает, что ряд
V= 2 R(K S)n+1Nn
n=0
сходится равномерно по X из любого множества С, минимум рас-
расстояния от которого до спектра o(S) больше, чем е. Так как опера-
операторы S и N коммутируют, то после непосредственного умножения
видно, что V(XI—S—N)=(XI—S—N)V=I. Таким образом если
расстояние от точки X до спектра a(S) больше, чем е, то X лежит

6. Теория возмущений 631
в резольвентном множестве оператора S + N и
оо
R(X; S + N)=^ R(X; S)n+*Nn.
n=0
Таким образом, функция / теоремы 10 аналитична в окрестности
o(S + N), как и утверждалось.
Пусть теперь С обозначает объединение конечного набора
С19 ..., Сп непересекающихся замкнутых спрямляемых жордановых
контуров, которые ограничивают область D, содержащую е-окре-
стность спектра а G), и лежат вместе с D целиком внутри области
аналитичности функции /. Предположим, кроме того, что контуры
Сг положительно ориентированы в обычном смысле теории функций
комплексного переменного. Тогда
J
п=0 С
С другой стороны, из тождества Гильберта
R{XX; S)-R(K\ S) = (X2-X1)R(X1- S)R(X2; S)
видно, что (dldk)R(X\ S)= —(R(X\ S)J и, по индукции, что
Следовательно, *
^ f (X) {R (%• s))-1 d\=Цр J / (i) ( ± у R {%- S) dk.
С С
Интегрируя п раз по частям, находим, что
с ' с '
поэтому
п=0 С п=0
и теорема 10 доказана.
12. Следствие. Если а(Л/)={0}, где Af — оператор, коммути-
коммутирующий с оператором S, [и f —функция, аналитическая в окрест-

S32 Гл. VII. Общая спектральная теория
ности спектра o(S), то f — аналитична в окрестности спектра
•о (S -\- N) и
лл_ V ri)(S)Nn
причем ряд справа сходится в равномерной операторной топологии.
Мы закончим этот параграф следующей леммой, которая пона-
понадобится в гл. VIII.
13. Лемма. Если Х-->Т (X) —аналитическая оператор позначная
функция, определенная в области D, то функция Х—> Т'г(Х) опре-
определена и аналитична на открытом подмножестве D. Если оператор
Т(X) вполне непрерывен при всех X?D и если D связно, то либо опе-
оператор I—Т (X) не имеет ограниченного обратного ни в одной точке
области D, либо этот обратный существует всюду в D, кроме,
быть может, счетного числа изолированных точек.
Доказательство. Если в точке X0?D оператор Т'1 (^0) существует,
то из леммы 6 следует, что и в некоторой окрестности точки Хо обрат-
обратный оператор Т'1 (X) существует и аналитичен по X. Чтобы доказать
вторую часть леммы, предположим, что существуют число X0?D
и последовательность {>.m} CD, такие, что 1 6 а (Г (^m)), m > 0;
km—>к0 и ХупФ^, т>0. Покажем, что \?о(Т(К)) при всех X^D.
Согласно теоремам 4.5 и 9, при к, достаточно близких к Хо, точки
спектра а(Т (К)), лежащие в некоторой окрестности точки а=1,
определяются рядами дробных степеней
Так как l?e(T(km)) при т>0, то один из этих рядов принимает
около точки Хо единичное значение бесконечное число раз и, следо-
следовательно, тождественно равен единице. Таким образом, при X,
достаточно близких к %0, l?o(T(X)). Пусть теперь А обозначает
множество точек Хо вО, таких, что существует последовательность
{^m}CZ?>, удовлетворяющая условиям 1?в(Т(кт)), /п>0, Хт—>Х0
и im ф Ао, т > 0. Выше показано, что множество А открыто; так как
оно также замкнуто в D, a D связно, то либо А = 0, либо A=D.
Это завершает доказательство леммы, ч. т. д.
7. Тауберовы теоремы
Пусть {/п} — последовательность функций в ^ (Г), Т б В (ЭЕ);
предположим, что последовательность {fn (Т))} сходится в ВC?).
Если /б г{Т), то ясно, что и последовательность {f (T)fn (T)} схо-
сходится. Нас интересует обратная задача: при каких условиях на /,

7. Тауберовы теоремы 633*
fn и Т сходимость {f (T)fn(T)} влечет за собой сходимость {fn(T)}?
Теоремы, дающие ответы на подобные вопросы, называются таубе-
ровыми. Прототипом этих теорем является эргодическая теорема,
п—1
которая получается, когда /(А)= 1 —А, и fnify^n'1 У. V. В этом
случае определяют условия, при которых сходимость п 1Тп влечет
сходимость средних арифметических /г~1(/+ . . . -^Т71'1).
Мы сначала рассмотрим сформулированную выше обратную
задачу для сходимости в равномерной операторной топологии,
а потом изучим этот же вопрос, когда В (Ж) имеет слабую или силь-
сильную операторные топологии.
Заметим, что если / (к) Ф О при X ? а G1), то оператор / (Т) имеет
ограниченный обратный, и, следовательно, последовательность
fn (Т) = [/ (Г)] f (T) fn (T) сходится. Однако не очевидно, что сходи-
сходимость последовательности {fn (Г)} может быть получена в том случае,
когда функция / обращается в нуль в некоторых точках спектра
а (Г). Следующая теорема рассматривает такую возможность.
1. Теорема. Пусть /, /п 6 f (Т) и последовательность {/ (Т) fn (T)}
сходится к нулю в равномерной операторной топологии. Предполо-
Предположим, что функция f обращается в нуль на множестве а (Т) только
в конечном числе полюсов R (к; Г), причем каждый корень Хо функции f
на о(Т) имеет конечный порядок ос(к0). Предположим, что последо-
последовательности {f^ (К)} сходятся при 0<т<а(Я0) и что
lim/n(?i0) ф 0. Тогда последовательность {fn(T)} сходится в равно-
П-*ОО
мерной операторной топологии.
Доказательство. Пусть Xlt . . ., kk — корни функции / на спектре
а (Г), и пусть аг и vif i= I, .. ., k, —порядки Хг как корня / и как
полюса R (к; Т) соответственно.
Мы сначала покажем, что vt< аг. Пусть gn = f-fn; тогда последо-
последовательность {gr (T)} сходится к нулю в равномерной операторной
топологии. Согласно следствию 3.23, {g^ (Хг)} сходится к нулю при
0< m < v{. Если аг < v4, то положим m = at. Поскольку %{ корень f
порядка aif то Р>(^) = 0, Л = 0, 1, . .., а4-1, /(^}(^)^0 и
Поэтому !п(кг)—>0, а это противоречит условию теоремы. Следова
тельно, V^OCj.
Пусть теперь вг — дополнение в а(Т) множества {kv . ..,
В силу теоремы 3.22 справедливо следующее равенство:
L (?) = L (Т) Е (аг) + ^ S I4rL {T ~

634 Гл. VII. Общая спектральная теория
Так как функция/ не обращается в нуль на av то существует такая
•функция Л6 ;f (Г), что fh равна тождественно единице на ах и нулю
на {Хи ...,Xh). Таким образом, f(T)h(T) — E(a1), так что после-
последовательность 1п(Т)Е(аг) сходится в равномерной операторной
топологии. Из равенства [*] следует, что последовательность {fn(T)}
будет сходиться в равномерной топологии, если при m<,viy
l<t<?, сходятся последовательности {^ГЧ^)}- Так как v4<ait
то теорема доказана.
2. Следствие. Пусть \ Тп | = о (п) и X = 1 — полюс R (X; Т) первого
п— i
порядка. Тогда {п'1 2 ^;1 сходится в равномерной, топологии
к Е(\).
Доказательство. Пусть fn (^-я A+Я+...+Хп) и f(X)=l-X.
Тогда f(X)fn(^) = ^1(l-^n) и f(T)fn(T) = n'1(I^Tn). Так как
| Тп | = о (п), то f (Г) /п (Г) —> 0. Из теоремы 1 непосредственно
1
следует, что последовательность {/г 2 Г;) сходится в равномер-
равномерно
п—1
но
ной операторной топологии.
Пусть g1 — дополнение в о (Т) множества {1}, и пусть функция
h €JF(T) равна A — X)'1 в окрестности at и тождественно равна
нулю в окрестности X = 1. Тогда /г (Г) f (Т) = ? (ai). Так как
/(Л/„(Л-*о, то
fn (Г) ? (Ol) = ? (ctj) fn (T) = h(T)f (T) fn (Г) -> 0.
Из равенства [*] теоремы 1 получаем
так что fn (Г)—>?"A) в равномерной топологии, ч. т. д.
Основным условием в теореме 1 является предположение о том,
что каждый нуль функции f есть полюс R (Х\ Т). Это предположение
не обязательно в аналогах теоремы 1 для слабой и сильной тополо-
топологии, которые мы далее изучаем.
3. Теорема. Пусть f, fn б $р (Т) и последовательность {f (T) fn (T)}
сходится к нулю в слабой операторной топологии. Предположим,
что множество {fn(T)x} слабо компактно при всех х из X и что
функция f обращается в нуль в конечном числе точек спектра о(Т).
Если каждый ее корень Хо имеет конечный порядок а(Х0), если
последовательности {f1™* (Хо)} сходятся при 0<m<a(?io) и если
\imfn(X0) Ф 0, то последовательность {fn(T)} сходится в слабой
п->оо
операторной топологии. Кроме того,

7. Тауберовы теоремы 635:
Доказательство. Пусть Жг = /(ЛЖ, ЗЕа= {jc| jcg 3E, f (Г) х = 0}
и Жз = {** |** 6 Ж*, f(T*)x* = 0}. Если подпространство Ж2 инва-
инвариантно относительно оператора {/?В(Ж), то через (/2 мы обозна-
обозначаем сужение U на Ж2. Покажем сначала, что для любого ненулевоп>
вектора х из Ж2 последовательность {fn(T)x} сходится к ненулевому
элементу 3?2. Так как f (Т) коммутирует с R (к; Т), A,?qG),
то R(k Г)Ж2СЖ2, и, следовательно, Д (Я; Г)а = Д(Я; Г2>
и аG)?1а(Л- Более того, определение 3.9 показывает, что
g(TJ = g(T2) для g-g р (Т). Так как f (Г2) = 0, то из теоремы 3.16
следует, что о(Т2) является подмножеством множества {kv . .., %k}
нулей f и что порядок v (Кг) точки Xi как полюса R (к; Т2\
не превосходит порядка а(кг) точки Х{ как нуля f. Пусть g —
такая функция из ^ (Г2), что g(m) (Я4) = lim /JJn) (кг) при 1 < i< к
и 0 < m < v (Я4). По теореме 3.22, последовательность {fn 2}
сходится к оператору g(T2) в сильной операторной топологии Х2.
Так как множество g(o(T2)) не содержит точки 0, то оператор
g(T2) имеет обратный в пространстве Ж2. Таким образом, для
каждого ненулевого вектора х из Ж2 последовательность {fn (T) х}
сходится к ненулевому элементу в Х2. Мы можем доказать таким же
способом, что для каждого ненулевого функционала х* из Ж*
последовательность {/n G1*)**} сходится к ненулевому элементу
в Ж*.
Докажем далее, что ЗБхПЖ2 = {0}. Так как множество {fn(T)x}
слабо компактно при всех х из Ж, то из II.3.27 и II.3.21 вытекает,
что последовательность {\fn (T) |} ограничена. Так как мы предполо-
предположили, что {fn(T)x} слабо сходится к нулю при x?f(T)l?,
то из теоремы II.3.б1) следует, что {fn(T)x} сходится слабо
к нулю при х? Жх. Но так как {fn(T)x} сходится сильно к ненуле-
ненулевому элементу при любом ненулевом х?Ж2, мы заключаем, что
^nsto}
Далее будет показано, что {fn (T)x} сходится в слабой топологии
при всех х 6 Ж. Если это не так, то, в силу слабой компактности мно-
множества {fn(T)x}, мы можем выделить две последовательности
{fn.(T)x} и {Ц(ВД, такие, что
lim fn. (T) x = yu lim fm (Г) х = у2, у± Ф у2,
г->об г i-^oo г
причем оба предела берутся в слабой топологии. Так как f (T) fn (T)
сходится к нулю в слабой операторной топологии, то
f(T)(y1 — y2) = 0. Таким образом, Ух — у2^Ж2 и уг — */2$Жг
Согласно II.3.13, существует *о(:Ж*, такой, что х$ (Жх) = 0
и хЪ(уг-у^Ф0. Так как f(T)Xg_Xlt то 4(/(ЛЖ) = 0, так что
х) Теорема II.3.6 относится непосредственно лишь к случаю сильной
сходимости. Нетрудно однако убедиться в том, что ее утверждение остается
справедливым и для слабой сходимости.—Прим. ред.

636 Гл. VII. Общая спектральная теория
f(T)*xt = f(T*)xo =0; поэтому *обЖз- Выше было отмечено, что
{fn(T*)x*} сходится сильно при всех **€ЗЕз. Таким образом,
\\mxt(fn(T)x)= \\m{fn{T*)xt)x существует для всех лг^Ж, и
1 I m v* / f / ТЛ v\ v* ( 11 \
— 11111 AQ w?n. V * ) ™) — "^О \У2/ '
что противоречит неравенству д:о (f/i — ^/2) ^ 0- Это Доказывает, что
последовательность {fn (T) х} сходится в слабой топологии при всех
Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, положим
Тох= lim fn(T)x,
п~>х>
где предел берется в слабой топологии. Тогда, по II.3.21 и II.3.27,
Гоб5(Х). Кроме того, T0x^g(T2) x для а: из $2. Так как g{T2)
имеет обратный на Ж2, то gG)X2 = X2 и Г0Ж^Х2. Аналогично
71*Ж*^Жз- Но Tof (Т) = / (Т) Tq = 0, поэтому Т'оЖ^.З^ и T0^i~ 0.
Таким образом, оператор ?\ определяемый формулой Ех =
— ё(Т2)~1 Тох, л; ? Ж, является проектором с областью значений Ж2.
Так как мы знаем, что ЗБх (П ЗБ2 === 0, то, чтобы доказать, что Х =
= 36i © Ж2, достаточно проверить, что равенство Ех = 0 влечет
включение л: 6 Ж^ Если ?л; = 0, то Г0л: = 0 и поэтому (ГоЭ?*) х = 0.
Но {х* |л:* (Xx) = 0} = Э?з^7"оЖ*; поэтому jc*jc = O для л:*6Жз-
Из II.3.13 и определения Ж* следует, что х^Ж^ поэтому
A-Е) Ж = Жь ч. т. д.
Соответствующий результат для сильной операторной тополо-
топологии следует из только что доказанного.
4. Теорема. Пусть /, fn ,(f F (Т) и последовательность {/ (Г) fn (Г)}
сходится к нулю в сильной операторной топологии. Предположим,
что множество {fn (Т) х) слабо компактно при всех л: € ЗЕ и что функ-
функция f обращается в нуль в конечном числе точек спектра а (Т). Если
каждый ее корень Яо имеет конечный порядок a,(k0), если последова-
последовательности {fffl) (kQ)} сходятся при 0 < т < а (к0) и если lim fn (^0) ф 0,
то последовательность {fn(T)} сходится в сильной операторной
топологии. Кроме того,
Доказательство. Все части теоремы 4, кроме сильной сходимости
последовательности {fn(T)}, вытекают непосредственно из тео-
теоремы 3. Доказательство теоремы 3 показывает, что последователь-
последовательность 9{fn (T)х] сходится при х?Ж2 и что последовательность
{|/п(Л1} ограничена. Так как мы предполагаем, что {fn(T)x}
сходится при x?f (Т)%, то из II.3.6. следует, что (fn (T) х}

8. Упражнения 637
сходится при х б $i = / G) Ж. Наш результат теперь вытекает
из разложения Э? = 3?x © 3?2» ч- т- Д-
Мы закончим этот параграф следствием теоремы 4, несколько
Ьтличным от эргодической теоремы, доказанной в следствии 2.
Дальнейшие применения можно найти в упражнениях параграфа 8.
В следующей главе теоремы 3 и 4 будут служить основой многочис-
многочисленных утверждений эргодической теории.
5. Следствие. Пусть Ж рефлексивно, %л —последовательность
в q(T), сходящаяся к нулю, и sup| A,n7? (A,n; 7) | < оо. Тогда
и последовательность {KnR (A,n; 7)} сходится в сильной операторной
топологии к проектору Е, такому, что {х \ Ех = 0} = 73b', а область
значений — {х \ Тх = 0}.
Доказательство. Пусть fn (k) = %п (Кп — КI и f(X) = X. Тогда
/ G) f,n G) = ^7/? (К; Т) - Хг2^ (Яп; 7) - %J\ поэтому / G)/я G) ->0
в равномерной операторной топологии. Так как ЭЕ рефлексивно,
то из II.3.28 следует, что для всех х из ЭЕ последовательность
{fnG)^} слабо компактна. Так как /п @)^=1 при всех я, то, согласно
теореме 4, lim?tnjR (Яп; 7) существует в сильной топологии и имеет
П->оо
разложение, указанное выше. Рассмотрение доказательства тео-
теоремы 3 показывает, что l\m ^R (кп\ Т) = Е, ч. т. д.
?1~>ОО
8. Упражнения
1. Если 7П, Г €В (Ж), 7п->7 и 0gQGn), /i=l, 2, ...,
0 g q G) тогда и только тогда, когда sup | Тпг \ < оо.
п
2. Пусть gn? p G), /г= 1, 2, ... . Предположим, что последова-
последовательность gn(T) сходится в равномерной операторной топологии
к вполне непрерывному оператору. Пусть Х? а G) и \\mgn (к) Ф 0.
Показать, что X есть полюс а G) и что ?(Я; 7) Ж имеет положи-
положительную конечную размерность. (Указание: см. упражне-
упражнение VII.5.35.)
3. Показать, что если gn? f G), /i=l, 2, ..., и последова-
последовательность {gnG)} сходится в равномерной операторной топологии
к проектору Е, то существует такое спектральное подмножество ах
спектра а(Т), что ? = ?(G!). (Указание: см. упражнение VII.5.32.)
4. Пусть ГеВ(Ж), 7П6?($), я=1, 2, ... . Предположим, что
7П—>7 в равномерной операторной топологии. Пусть X— изоли-
изолированная точка спектра а G), такая, что?(А; 7) Ж одномерно. Пусть
U — такая окрестность точки X, что U[\a(T) = {X}. Показать,

638 • Гл. VII. Общая спектральная теория
что при достаточно больших п множество U[] а (Тп) содержит только
одну точку кп, что кп —>к и что E(kn\ Tn)—>E(k't T) в равномерной
операторной топологии.
5. Пусть T(\i) — аналитическая функция со значениями в В (Ж),
определенная в круге | \i | < е. Предположим, что к—изолированная
точка спектра а G@)), такая, что Е {к\ 7@)) Ж одномерно. Пусть
G —такая окрестность точки к, что Uf)e(T@)) = {k}. Показать,
что существует такое положительное число б < е, что при | \i | < б
множество Uf]o(T(\x)) состоит из единственной точки к(\х) и что
при | \i | < б к (|1)»и Е (к (|i); T (|i)) суть аналитические функции \i.
6. Пусть | Т | < 1 и Т слабо вполне непрерывен. Тогда в сильной
операторной топологии существует предел limn (/+ ... Тп~г) Е
п>оо
Оператор Е проектирует Ж на подпространство {х\~х??у Тх = х}.
7. Пусть Х = 0 — полюс R (к) Т). Предположим, что существуют
такие действительные постоянные /Сие, что
\kR(k;T)\<K при 0<|Х|<е.
Тогда \\mkR (к\ Т) = ?({0}) в равномерной операторной топологии.
8. Пусть 5 —компактное метрическое пространство и отобра-
отображение a: S—>S таково, что q (л:, y) = Q(ax, ay) для ху y?S.
п—1
Показать, что последовательность {гг1 ^ f(alx)) сходится K/gC(S)
г=0
равномерно для x?S.
9. Пусть / — иррациональное действительное число и tn —
дробная часть nt. Пусть / —подинтервал [0, 1), и пусть Nh — число
точек {tlt ..., tk], которые лежат в /. Показать, что lim^^^
ft->oo
существует и равен длине /.
10. Пусть E, 2, [^ — пространство с положительной конечной
мерой. Пусть a: S—>S — такое отображение, что е? 2 тогда и только
тогда, когда а (е) 6 2, и пусть [i(e) = \i(a(e)). Если f?Lp(St 2, \i)
n—1
при р>1, то при /г=1, 2, ... положим fn(S) = n'1 2 f(ai(s))>
г=0
тогда /ngLpE, 2, |i) и lim fn существует.
n>oo
n->oo
И. Пусть #i — такое замкнутое подпространство В-про-
странства Ж, что TJi^^ для каждого оператора Гп из после-
последовательности {Гп, ai=1, 2, ...} коммутирующих операторов в
ВХ. Пусть (/„-сужение Тп на Si и Vn : ЭЕ/ЭЕ^ -> Х/Хх - отобра-
отображение, определяемое формулой
Пусть t/n слабо сходится к нулю и Vn слабо сходится к такому опе-
оператору V, что 0§e(V). Наконец, пусть {Тпх} слабо компактна
при всех х из Х- Показать, что (а) последовательность {Т^} сходится:

9. Операторное исчисление для неограниченных замкнутых операторов 639
в слабой операторной топологии, и (Ь) пространство Ж может быть
представлено в виде прямой суммы Ж = дсг © Ж2, гДе Тп Ж2 С ЭЕг ПРИ
всех я>1. (Указание: показать сначала, что последовательность
{Тп} имеет одну и только одну точку накопления в слабой опера-
операторной топологии. Сравните с доказательством теоремы 7.3.)
12. Допустим в дополнение к условиям упражнения 11, что
{Un} и {Vn} сходятся в сильной операторной топологии. Показать,
что {Тп} сходится в сильной операторной топологии.
13. Пусть хп 6 Ж, п= 1, 2, ... . Предположим, что | Тхп — Ххп |—>0.
Показать, что \f(T)xn — f (Х)хп\ ->0 при всех /б f (T).
9. Операторное исчисление для неограниченных замкнутых
операторов
Мы покажем теперь, что многие результаты операторного исчи-
исчисления для ограниченного оператора могут быть распространены на
случай замкнутого оператора Т с непустым резольвентным мно-
множеством.
Напомним, что линейное'преобразование Г, область определения
которого есть линейное многообразие 2) (Г), называется замкну-
замкнутым, если его график замкнут. В эквивалентной форме, если
л:пб®(Г), /г=1, 2, . ..;лгп->лг и Тхп->у, то лгб®(Г). и Тх = у.
Если оператор Т замкнут и всюду определен, то он принадле-
принадлежит В (Ж) (II.2.4); поэтому мы будем предполагать, что его область
определения 2G) есть собственное подмножество Ж. Этот важный
случай охватывает многие дифференциальные операторы в различ-
различных функциональных пространствах.
Как и в том случае, когда Tg В (Ж), мы определяем резольвент-
резольвентное множество q (Т) оператора Т как множество таких комплексных
чисел X, что (XI — Г) ? В (Ж), а спектр а(Т) оператора Г —как
дополнение qG). Как и раньше (сравните определение 5.1), спектр
разделяется на три непересекающиеся множества: точечный спектр,
непрерывный спектр и остаточный спектр. Из леммы 2, приведенной
ниже, видно что спектр — множество замкнутое. Но в отличие от
того случая, когда Г —ограниченный оператор, теперь спектр мо-
может быть ограниченным множеством, неограниченным множеством,
пустым множеством или даже всей плоскостью. Это иллюстрируется
упражнением 10.1. Мы исключаем последнюю возможность и пред-
предполагаем в течение этого параграфа, что множество q (Г) непусто.
Мы теперь покажем, как операторное исчисление для замкнутого
оператора Т может быть построено на основе анализа, уже прове-
проведенного для ограниченного оператора.
1. Определение. Через Ф(Т) мы обозначаем семейство всех функ-
функций f, которые аналитичны в некоторой окрестности спектра а (Т)
и в бесконечности.

640 Гл. VII. Общая спектральная теория
Как и в случае ограниченного оператора (определение 3.8),
эта окрестность не обязательно связна и может зависеть от функ-
функции f?jF(T).
Пусть а —фиксированная точка q(T'); рассмотрим оператор
А = (Т-а1)'* = -/?(а; Т).
Оператор А определяет взаимно однозначное отображение Ж на
Ф(Т) и
ТАх = а Ах -f х, л: б Ж,
Наша цель — построить операторное исчисление для оператора
Ту используя понятия, уже введенные в § 3 для ограниченного
оператора А.
Пусть К обозначает комплексную сферу с ее обычной топологи-
топологией; определим гомеоморфизм Ф:К—±К равенствами
}х = ф(Я)=:(Х-а)-1, Ф(оо) = 0, Ф(а) = оо.
2. Лемма. Если o,?q(T)9 mo (o(T) \J {oo}) = а (А) и соотно-
соотношение
определяет взаимно однозначное соответствие между функциями
f€ F (Т) и функциями фб f (A).
Доказательство. Пусть X?q(T). Тогда О Ф \i = (K — a)'1 и
(Г-а/)(Г-Я/)-1=[G1-Я/)+
Но с другой стороны,
Это показывает, что
Таким образом, (х€д(Л). Обратно, если цбо(^), (* ?= 0, то равен-
равенства
(ц/ - А)'' А = [Л (ц/ - Л)] =

9. Операторное исчисление для неограниченных замкнутых операторов 641
показывают, что А,?д(Г). Точка |я = 0лежит в спектре о (А), так
какшгА~1=Т — а/ неограничен. Последнее утверждение очевидно
ввиду определения Ф, ч. т. д.
3. Определение. Для fg f (Т), по определению, полагаем
f (Т) = ф (А), где функция ф б ^"(Л) дается формулой ф (ц)=/ (Ф"* (ц)).
4. Теорема, Если f€.f{T), ^o /G) we зависит от выбора
а ? Q G"). Пусть V —открытое множество, содержащее спектр о (Г),
граница Г которого состоит из конечного числа спрямляемых жорда-
новых кривых, и такое, что функция f аналитична на множестве V\J Г.
Пусть контур Г имеет положительную ориентацию относительно
(быть может, неограниченного) множества V. Тогда
Доказательство. Достаточно установить приведенную выше фор-
формулу для f (T), так как интеграл не зависит от а. Заметим сначала,
что ввиду аналитичности операторной функции R (k\ T) данную точку
oc?q(T) имножество Умы можем предполагать такими, чтоа(? V(jr,
так как в противном случае, используя интегральную теорему Коши,
мы можем, не меняя при этом значения интеграла, заменить V
таким множеством Vv что а$ ^(JIY Тогда и^Ф1 (V) — открытое
множество, содержащее спектр о (А), граница С = Ф(Г) которого
положительно ориентирована и состоит из конечного числа спрям-
спрямляемых жор дановых кривых. Крометого, ф (|i) = / (Ф (\х)) аналитична
на 17. Так как ф@) =f(oo) и Об о (А), то из равенства [*], определе-
определения 3.9 и того факта, что dk= -~d\il\i2, вытекает равенство
5 ^
г . с
= Ф(Л)-ср@)/ = /(Г)-/(оо)Л ч. т. д.
Теорема 4 вместе с теоремами 3.10 — 3.12 приводит к следующей
теореме.
5. Теорема. Если /, g? f(T), mo
(a) (f )() f(T)(T)
(b) (f
(c) a/()) f((DU{});
(d) если /б г(Т), ^6/г(/(Л) и F(Q=g(f(l))f mo Fqf(T)
F(T) (f(T))
( g(f())
При построении операторного исчисления важно включить
в него теорию многочленов от Т (которые будут определены только
на собственных подмножествах пространства Ж) и иметь правила»
устанавливающие связь многочленов от Г с операторами f(T).
Многочлен от Т определяется следующим естественным образом.
41 Заказ № 1324

642 Гл. VII. Общая спектральная теория
6. Определение. Для п = 0, 1, ... оператор Тп определяется по
индукции соотношениями 7° = /, Т1 = Т и
1), T^JCg ф G)},
= Т(Тп~1хI х6
В некоторых последующих доказательствах мы будем рассматри-
рассматривать пересечение
П ®(П.
для которого мы будем использовать удобное, хотя и не совсем стро-
п
гое обозначение ф (Т100). Если P(^) = S с^ А,* — многочлен степени
г=0
п
п, то Р (Т) будет обозначать оператор 2 а^* с областью опреде-
i=0
ления Ф (Та).
Мы теперь докажем важную теорему.
7. Теорема. Если Т — замкнутый линейный оператор с непус-
непустым резольвентным множеством и Р — многочлен, то Р (Т) —
замкнутый оператор.
Доказательство. Предположим, что степень Р положительна.
Пусть a g q (Г) и
Р(Х)= S ^(Ь-а)"-*.
ь=о
Тогда преобразованием Ф многочлен Р (X) переводится в функцию
Р~пр(р), где
Если хе®(Гп), то р(Л)хеФGп), так как при любых q оператор
Л9 отображает ф (Тп) на ®G^+9). Крэме того,
Пусть теперь xr g ф (Тп), хг —> х, Р (Т)хг —> у. Мы должны показать,
что х?Ъ(Т11) и что Р(Т)х = у. Оператор G —а/)п замкнут, как
обратный ограниченного оператора Ап. Таким образом, так как
р (А) хг->р (А)х, то р(А)х? ф {Тп). Чтобы доказать, что х? Ф (Гп),
напишем
х + ... +Мпх, &о Ф 0,
и заметим, что так как ЛЭЕ = ф G), то все слагаемые, кроме, быть мо-
может, Ьох, лежат в ®G), следовательно, и Ьох^^)(Т). Проведем

дч Операторное исчисление для неограниченных замкнутых операторов 643
индукцию. Предположим, что х?Ф(Гт), 1<т<п. Тогда
По тем же соображениям (Г — al)mx? 2) (Г), и, следовательно,
х?Ъ (Tm+1). Таким образом, по индукции, Arg3) (Т71). Это завершает
доказательство.
8. Теорема. Пусть Р —многочлен степени п, и пусть функция
f^.^FiT) имеет нуль порядка m, 0<т<оо в бесконечности.
(a) Если х?%{Тп), то f{T)x?% G^+n), где т + п= со, если
m^cx) a P(T)f(T)x = f(T)P(T)x.
(b) ?сла 0<n<m а ^(^) = Р (А,)/(А,), mo g"g ^ (Г) a g(T) =
= P(T)f(T).
Доказательство. Пусть q = m, если m конечно, ид равно любому
натуральному числу, если т~со. Пусть cc?q(T) и ф([х) — f(X)>
(X — а) \х = 1. Определим функцию р (\i) = \i'q ф (|ш) при |т Ф О
и Р @) = Пт |т"9ф(|и1), мы видим, что $?f(A) и чтоЛаР(Л) =
|ы->0
= ф(Л) = /(Г). Таким образом, / (Г) Жд ЛаХ = ® (TQ). Пусть
теперь х?® GП). Тогда л: = Лп«/ для некоторого у из X и f(T)x~
= ЛД+<?Р (Л)у?® (Гп+<?), что доказывает первую часть (а). Чтобы
доказать второе утверждение, напишем х = Апу и определим функ-
функцию р (|ш) формулой (*) предыдущей теоремы. Тогда
= f(T)p(A)(T-aI)»x =
Наконец, для доказательства (Ь) положим" Y (|ш) =g(A,). Тогда
функция у имеет при |ш = 0 устранимую особенность, и у (|ы) =
= \л'п р(\л) ф(|я). Но Апу(А) = р (Л)ф(Л), и, таким образом,
Ang(T) = p (A)f(T). Действуя с обеих сторон оператором (Т — al)a,
мы получим равенство P(T)f(T)=g(T), ч. т. д.
9. Теорема. Если /б Р (Т) и функция f не имеет нулей в сг(Г),
но имеет нуль конечного порядка п в бесконечности, то {[(Т)}'1
существует и имеет область определения %(Тп).
Доказательство. Положим g{X) = (к- а)п/(Я),а6 Q (Т). Тогда
функции g и \lg лежат в F (Т) и f (T) = Ang{T). Таким образом,
/G)Х-®(^) и [f(T)Y*=[g(T)Y*(T-<iI)\4.T.A.
В заключение мы распространим теорему об отображении спектра
на многочлены от оператора Т.
41*

644 Гл. VII. Общая спектральная теория
10. Теорема. Если Р — многочлен, то
Р(а(Т)) = а(Р(Т)).
Доказательство. Пусть Р имеет степень п\ предположим, что
Х$Р(о(Т)). Если g(Q = [X — Р (g)], то функция g лежит
в $р (Г), не имеет нулей в о(Т) и имеет нуль порядка п в бесконеч-
бесконечности. Тогда, по теоремам 8 и 9, оператор [g (Т) ] 2 = XI — Р (Т) с об-
областью определения ф (Т'1). Таким образом, X $ а (Р (Г)) и
а (Р G1)) с: Р (а (Г)). Чтобы доказать обратное включение, положим,
что Q — многочлен, определенный равенством Р (Х)~ Р (?) =
= (^ - ?) Q (?). Если Р (Я) $ а (Р (Г)), то оператор Р(Х)-Р (Т) =
= (А,/ — Т) Q(T) имеет ограниченный обратный R и, следовательно,
(XI — Г) = Q(T) R есть замкнутый всюду определенный оператор.
Таким образом, Х^сгG), ч. т. д.
Дальнейшие результаты, относящиеся к замкнутым операторам,
можно найти в упражнениях.
10. Упражнения
1. Пусть $ = С [0, 1], (Тх) (t) = xf (t). Показать, что Г- замкну*
гый оператор и определить его спектр, если
(a) S)(T) = {x|x/6C[0, 1], л:@) = 0} (нет спектра);
(b) %(Т) = {х х'?С[0, 1]} (нет резольвентного множества);
(c) %(Т) = {х х'бСЧО, 1], *@)=*A)}
(ар(Г) = {2ят, м = 0, ±1, ±2, ...}, аг(Г)=0, ав(Т)=0).
2. Пусть 7— оператор дифференцирования (Тх) (t) = xr (t)
в пространствах Lp( — я, я), 1<р<оо, на единичной окружности
с областью определения 2)(Г) = {х|х абсолютно непрерывна и
х' ? Lp ( — я, я)}. Показать, что Г— замкнутый неограниченный опе-
оператор со всюду плотной при р < оо областью определения, спектр
которого есть множество {-t ш}, п = 0, 1, 2, ..., и а(Т) = ар(Т).
3. Пусть 7 —оператор (Тх) (t)=x'(t) в пространствах
Lp(— оо, оо), 1 <р< оо, с областью определения® (Т) = {х^абсо-
{х^абсолютно непрерывна на каждом конечном интервале, х' ? Lp (—оо, оо)}.
Показать, что (а) Т — замкнутый неограниченный линейный оператор
со всюду плотной при р < оо областью определения, (Ь) спектр Т
есть мнимая ось и
оо
; T)(x, 0=5 e-
4. Известно (Бейд [1, стр. 278]), что функция/ аналитична на
мнимой оси и в бесконечности тогда и только тогда, когда она имеет

10. Упражнения 645
представление
где
a f! и ^2 —такие целые функции, что при некоторой постоянной
ОО, | Л (г) 1 = 0(^1*1), 1=1,2, и
Показать, что для оператора Т упражнения 3 и любой
имеет место равенство
f(T)(x,t)=
5. Пусть Л— ограниченный оператор и к0?ос(А) или ог(А).
Тогда (А — XqI)'1 — замкнутый оператор и а ((А — ^II) =
{Щ (К1Гг 1(А)}
6. Пусть Г —замкнутый оператор с непустым резольвентным
множеством. Показать, что если A,?qG), а —любое комплексное
число и ^€Ф(Г'4), то
1=0
7. Пусть оператор Т удовлетворяет условиям предыдущей зада-
задачи, и пусть функция f^,^(T) имеет нуль порядка п при К=оэ
и не имеет нулей на спектре о(Т). Показать, что область опреде-
определения оператора "[/G1)] совпадает с Ъ(Тп), а сам он предста-
представим в виде
где я б® (Г") и Г —подходящий контур.
8. Пусть оператор Т удовлетворяет условиям упражнения 6
и неограничен. Показать, что не существует многочлена степени
я, л>1, неравного тождественно нулю, такого, что Р(Т)х = 0
для всех х из %(Тп),

646 Гл. VI1. Общая спектральная теория
11. Примечания и дополнения
Ссылки общего характера. По поводу общих рассмотрений этой
главы и в связи с ней мы отсылаем читателя к обзорным статьям
Данфорда [6] и Тейлора [10]. Дополнительно многие результаты
можно найти в монографиях Хилле [1, гл. 5], Рисса и Секефальви-
Надя [1, гл. 11] и Стоуна [3, гл. 4]; последняя посвящена теории
операторов в гильбертовом пространстве.
Конечномерное пространство. Спектральная теория в конечно-
конечномерном пространстве есть часть теории матриц. По поводу многих
других вопросов этой теории, которые мы не рассматриваем, чита-
читателю следует обращаться к книгам Мак-Даффи [1] или Веддер-
берна [1 ] — последняя особенно рекомендуется в виду обилия в ней
литературных ссылок1). Книги Халмоша [7], Гамбургера и Грим-
шоу [1] и Швердтфегера [1] по духу близки к изложению этого
параграфа и могут оказаться полезными. Мы ограничимся в основ-
основном замечаниями к теоремам 1.8—1.10.
Число А,о называется A.2) собственным значением (eigenva-
(eigenvalue) линейного оператора 7\ если существует вектор х0 Ф 0, такой,
что Тхо = Хохо. Иногда разными авторами употребляются термины
«собственное значение» (proper value), «характеристическое значе-
значение» (characteristic value), «секулярное значение» (secular value)
и «латентное значение» (latent valueJ) или «латентный корень»
(latent root). Последний термин употреблялся Сильвестром [2],
так как такие числа «скрыты в операторе в таком же смысле, в ка-
каком пар может быть назван скрытым в воде, а дым — в листьях
табака». Мы не придерживаемся его терминологии. Термин «спектр»
принадлежит Гильберту.
Матричные многочлены использовались почти с самого начала
возникновения теории, а в 1867 г. Лагерр [1] рассматривал беско-
бесконечные степенные ряды матриц при построении показательной
функции матрицы. Сильвестр [1, 2] при помощи интерполяционной
формулы Лагранжа построил произвольные функции матрицы с раз-
различными собственными значениями. Его метод был обобщен Бух-
геймом Г1 ] на случай кратных собственных значений, хотя Бухгейм
не придал своему результату форму теоремы 1.8. В приведенной
нами формулировке это утверждение впервые встречается у Джорд-
Джорджи [1]. Даже еще раньше Сильвестра Фробениус [1, стр. 54; 2]
получил выражение для резольвенты (kl — T)'1 в окрестности полюса.
Частный случай теоремы 1.9 принадлежит Вейру [1]; в полной
общности она была доказана Хензелем [1].
Что касается теоремы 1.10, Фробениус [3, стр. И] установил, что
если функция /аналитическая, то оператор / G) может быть получен
*) См. также Ф. Р. Гантмахер [1*]. — Прим. ред.
2) Latent — в скрытом состоянии, связанный. — Прим. ред.

//. Примечания и дополнения 647
как сумма вычетов функции (KI — Т)/ (к) относительно всех соб-
собственных значений оператора Т. Он указал, что это замечание исполь-
использовалось в диссертации Штиккельбергера A881), но Фробениус не
развил точного исчисления. Первым, кто извлек явную пользу из
этого совета, был Пуанкаре [1], который воспользовался им, когда
все корни различны. В случае кратных корней формула, эквива-
эквивалентная теореме 1.10, была получена Фантапье [3] на основе некото-
некоторых требований, включающих соотношения теоремы 1.5, каких сле-
следовало бы ожидать при «разумном» операторном исчислении. По
предложению Э. Картана, который, несомненно, был знаком с рабо-
работой Пуанкаре, формула теоремы 1.10 была использована Джорд-
Джорджи [1] как определение оператора f(T).
Другие замечания в связи с этими вопросами смотрите в книге
Мак-Даффи [1, гл. 9, 10]. Интересный список различных функций
матриц приведен у Райнхарта [1]. [Большое число интересных
фактов, связанных с функциями от матриц, приведено в книге
Ф. Р. Гантмахера [И*1).]
Функции оператора. Результаты параграфов 3 и 4 можно рас-
рассматривать как объединение двух исторически сложившихся направ-
направлений. С одной стороны, эти результаты обобщают соответствующие
результаты теории матриц, а с другой — дают абстрактное выра-
выражение результатов теории интегральных уравнений. Поэтому едва
ли можно дать полный и точный набор ссылок по поводу многих
из этих понятий. Например, резольвентный оператор, его функцио*
нальное уравнение и представление применялись в обеих этих
теориях.
Важная роль принадлежит Гильберту [1] и Э. Муру [1, 2],
которые осознали и установили это единство. Однако, справедливости
ради, следует сказать, что лишь Ф.Рисс вскрыл и развил это един-
единство по всем линиям, представленным нами. Читатель его книги
(Ф. Рисе [3, особенно §§ 72—81]) найдет при ближайшем рассмо-
рассмотрении многие из его понятий и результатов удивительно «совре-
«современными». Хотя Рисе имел дело в основном с вполне непрерывными
операторами в /2, он установил, что резольвентное множество откры-
открыто, резольвентный оператор есть аналитическая функция, и ука-
указал, что, по крайней мере в случае полюса, интегральная теорема
Коши может быть использована для получения проекционных опе-
операторов, коммутирующих с данным.
В случае ограниченного или неограниченного нормального опе-
оператора в гильбертовом пространстве многие из результатов этого
параграфа становятся проще и могут быть доказаны более непосред-
непосредственно другими методами. При этих предположениях возможно
значительное расширение теории. За уточнениями этих замечаний
мы отсылаем читателя ко второму тому нашей книги или к книгам
*) Прим. ред.

648 Гл. VII. Общая спектральная теория
Стоуна [3], Халмоша [6] или Рисса и Секефальви-Надя [1]. Дальней-
Дальнейшие замечания будут относиться только к случаю В-пространства.
Выражение для резольвенты принадлежит К. Нейману, который
получил его в теории потенциала. В более общем контексте оно
встречается у Гильба [1].
Тот факт, что замкнутый линейный оператор в произвольном
комплексном В-пространстве имеет непустой спектр, был доказан
Тейлором [12]. Частный случай равенства max | а G) | = lim | Та |1/т>
П-юо
был доказан Берлингом, а общий — Гельфандом [1].
В 1923 г. Винер [2] заметил, что интегральная теорема Коши
и теорема Тейлора остаются справедливыми для аналитических
функций комплексной переменной со значениями в комплексном
В-пространстве. Может показаться удивительным, что этот факт
не получил сначала большого применения и лишь через 20 лет ряд
исследователей независимо друг от друга нашли его весьма полез-
полезным. В 1936 г. Нагумо [1 ] изучал с теоретико-функциональной точки
зрения В-алгебры и доказал наряду с другими результатами
несколько теорем Рисса о вполне непрерывных операторах. Позже
Тейлор [13] изучал некоторые абстрактные аналитические функ-
функции, а Хилле [2] пользовался близкими методами при изучении
полугрупп. В 1941 г. появилась знаменитая статья Гельфанда [1],
в которой, хотя она частично перекрывается с работой Нагумо,
развита теория идеалов В-алгебр. Кроме того, Гельфанд исполь-
использовал контурные интегралы для получения идемпотентных элемен-
элементов в В-алгебрах. Лорх [6] независимо пользовался тем же прие-
приемом и начал изучение «спектральных множеств».
Теорема 3.10 принадлежит Гельфанду [1]. Теоремы 3.11, 3.16
и 3.19 были получены Данфордом в статье [7], которая содержит
и некоторый дополнительный материал.
Спектральная теория вполне непрерывных операторов. Как мы
уже говорили, эта теория обобщает работу Фредгольма [1] об инте-
интегральных уравнениях. Метод самого Фредгольма состоял в раскры-
раскрытии определителей, что приводило, правда после сложных вычи-
вычислений, к явному представлению резольвенты в виде отношения
двух целых функций. (Более подробные ссылки смотрите в статье
Хеллингера и Теплица [3, §§ 9, 10] и гл. XI нашей книги.) Из дру-
других методов мы упомянем метод Шмидта [2], обусловленный воз-
возможностью (в гильбертовом пространстве) аппроксимации вполне
непрерывных операторов конечномерными.
Быть может, наиболее остроумный и элементарный подход при-
принадлежит Ф. Риссу [4]; этот подход возможен в любом вещественном
или комплексном пространстве. Некоторые результаты Рисса о со-
сопряженном операторе не имели полной общности, но потом были
доведены до конца Гильдебрандтом [6] и Шаудером [6]. Подробный
разбор этого метода смотрите у Рисса и Секефальви-Надя [1, гл. 4]

//. Примечания и дополнения 649
или Заанена [5, гл. 11]. Аналогичное изложение дается у Банаха
И, гл. 10].
Ход рассуждений, проведенных нами, близок к работе Нагу-
мо [1], и есть частный случай некоторых построений Данфорда
[7, стр. 208].
Результаты этого параграфа были обобщены на локально выпук-
выпуклые топологические линейные пространства над полем комплексных
чисел Л ере [2], который использовал глубокую теорему об области
инвариантности. Другие расширения теории на пространства
более общие, чем В-пространства, были даны Альтманом [3, 5],
Вильямсоном [3], Маринеску [1] и Хайерсом [2].
Следующая теорема, называемая альтернативой Фредгольма,
есть следствие теорем этого параграфа.
Теорема. Пусть Т — вполне непрерывный оператор в комплексном
В-пространстве Ж и К — фиксированное отличное от нуля комплексное
число. При этих условиях неоднородные уравнения
(N*) (М-
при любых у ? Ж или у* ? Ж* имеют единственные решения тогда
и только тогда, когда однородные уравнения
(Я) (М-Т)х = 0ч
(Я*) (М-Т*)х* = 0
имеют лишь нулевые решения. Кроме того, если одно из однородных
уравнений имеет ненулевое решение, то они оба имеют одно и то же
число линейно независимых решений. В этом случае уравнения (N)
и (Л/*) имеют решения тогда и только тогда, когда векторы у и у*
ортогональны ко всем решениям уравнений (Я*) и (Н) соответственно.
Кроме того, общее решение уравнения (N) может быть найдено
прибавлением частного решения уравнения (N) к общему решению
уравнения (Я).
Результаты Фредгольма о представлении резольвенты и фред-
гольмовские определители изучались Альтманом [5], Р. Л. Грейвсом
[1], Лежанским [1, 2], Майкалом и Мартином [1], Смитисом [1],
Сикорским [1, 2], Растоном [2, 3, 5, 6]. Смотрите также работы
Гротендика [3,7*] и Заанена [5, гл. 9]. [Сильные результаты были
получены в этом направлении недавно В. Б. Лидским [2*].— Ред.]
Для приложений важно уметь вычислять собственные значе-
значения операторов; это особенно верно для самосопряженных, вполне
непрерывных операторов в гильбертовом пространстве. По поводу
этих вопросов мы отсылаем читателя к работам Ароншайна [3, 4]
и Коллатца [1]. Столь же важно знать распределение собственных

650 Гл. VII. Общая спектральная теория
значений. Случай интегральных операторов читатель может найти
в работах Хилла и Тамаркина [1] и Чана [1]. Результаты для
абстрактных пространств смотрите в работах Фань Ку [3, 5],
Горна [1], Зильберштейна [1], Виссера и Заанена [1], Вайнбергера
[1, 2] и Г. Вейля [1].
Из теоремы 4.5 вытекает, что если Т — вполне непрерывный
оператор и его спектр а (Т) содержит по крайней мере одно ненуле-
ненулевое число, то оператор Т имеет инвариантное подпространство,
т. е. существует собственное замкнутое линейное многообразие
Жо С Ж, такое, что Т (Жо) с: Хо. Интересным и нетривиальным фактом
является то, что это верно и в общем случае; именно Ароншайном
и Смитом [1] была доказана следующая
Теорема. Любой вполне непрерывный оператор в В-пространстве
имеет собственное инвариантное подпространство.
Юд [2] исследовал некоторые свойства оператора, сохраняющиеся
при прибавлении вполне непрерывного оператора, и получил резуль-
результаты, приведенные в этом параграфе. Аткинсон [2], Гохберг [1 — 3]
и Талдыкин [1 ] также рассматривали аналогичные вопросы. Исполь-
Используя их методы, Клейнекке [1] доказал следующую теорему.
Теорема. Пусть Ж — В-пространство, а Ш с: В (Ж) — пересечение
всех максимальных односторонних идеалов в В (Ж), содержащих все
равномерные пределы конечномерных операторов. Тогда спектр
любого оператора из di есть счетное множество изолированных
собственных значений конечной кратности, не имеющее никаких
предельных точек, кроме, быть может, А, = 0. Кроме того, 9} содер-
содержится в любом другом идеале в В (Ж), операторы которого имеют
спектр с указанным выше свойством.
Мы видели, что в некоторых пространствах, например в.С или
Lv существуют операторы, не вполне непрерывные, но спектр
которых такой же, как и у вполне непрерывных операторов. Это
не так для нормальных операторов в гильбертовом пространстве
(смотрите Секефальви-Надь [3, стр. 55]). Аналогично Дж. Нейман
[6, стр. 16] показал, что если (необязательно ограниченный) само-
самосопряженный оператор Т в L2 (— оо, оо) имеет счетное множество
собственных значений конечной кратности с единственной возмож-
возможной предельной точкой А, = 0 спектра о(Т), то Т унитарно эквива-
эквивалентен интегральному оператору вполне определенного классиче-
классического типа (Карлемана). [Ю. М. Березанский [3] доказал, что вообще
всякий ограниченный оператор в L2 есть интегральный, ядро кото-
которого есть обобщенная функция1)]. Л. Грейвс [6] распространил неко-
некоторые результаты теории Рисса на отображения вида Е-\-Т, где Е
отображает /^-пространство Ж на В-пространство ?), а Т: X—» ?)
1) Прим. ред.

11. Примечания и дополнения 651
вполне непрерывно. Смотрите также работу Л. Шварца [4], где
некоторые из этих результатов доказаны для локально выпуклых
пространств.
Дополнительные сведения о вполне непрерывных операторах
читатель может найти у Аткинсона [2 — 4], Гамбургера [4], Гольд-
мана и Крачковского [1], Гохберга [1 — 4], Заанена [6, 9],
Келдыша [1], Крачковского [1, 2], Крачковского и Гольдмана [1— 3],
Крейна и Красносельского [1], Лившица [2, 3], С. Н. Николь-
Никольского [1], Одэна [1], Секефальви-Надя [12, 13], Харазова [1—3].
Теория возмущений. Вопросы теории возмущений возникали
в работах лорда Рэлея и Э. Шрёдингера, но лишь Реллих развил
теорию в том направлении, какое изложено нами. (Смотрите по этой
теории обзорную статью Реллиха [1].) Основной результат этого
параграфа есть обобщение теоремы Реллиха [2; I] на случай,
допускающий наличие жордановых клеток. Способ доказательства
по существу тот же, что и у Реллиха.
В серии из пяти статей Реллих [2] изучал структуру спектра
возмущенного оператора в основном в окрестности изолированного
собственного значения невозмущенного оператора. В первой заметке
Реллиха [2; I] рассматриваются ограниченные самосопряженные
операторы в гильбертовом пространстве, в третьей заметке предпо-
предположение ограниченности отброшено; в обоих случаях возмущение
зависит от параметра аналитически.
Секефальви-Надь [2, 4] дал иные доказательства некоторых из
этих результатов и распространил их на случай 5-пространств;
дальнейшие результаты в этом общем случае были получены
Като [1, 2] и Вульфом [1].
В своей второй статье Реллих [2; И] рассматривал непрерывное
возмущение неограниченных самосопряженных операторов; эти
исследования были завершены Гайнцем [1].
Большинство этих результатов относится к точечному спектру.
Непрерывный спектр исследовать намного труднее, но и этот слу-
случай рассматривался Фридрихсом [1, 2].
При возмущении могут происходить неожиданные явления.
Например, Вейль [2] показал, что если Т — самосопряженный
оператор (у которого точечный спектр может отсутствовать) в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве, то можно найти такой само-
самосопряженный вполне непрерывный оператор К, что оператор Т-\-К
имеет полную систему собственных векторов. Этот результат
был обобщен на неограниченный оператор Т Дж. Нейманом
[6, стр. И], который показал, что норма оператора К может быть
сколь угодно малой.
Теория возмущений находит особенно плодотворные примене-
применения в теории дифференциальных уравнений и часто изучается
в связи с ними. По этому поводу смотрите статьи Титчмарша [2]
и Мозера [1].

652 Гл. VII. Общая спектральная теория
Теорема 6.10 принадлежит Дж. Шварцу [3].
В дополнение к названным статьям мы отсылаем читателя к рабо-
работам Гавурина [1, 2], Гёльдера [1J, Джемисона [1, 2], Като [3, 4],
Клейнекке [2, 3], В. Крамера [1], Г. Крамера [1], Крейна [8],
Лифшица [1—4], Рабиновича [1], Розенблюма [2], Соломяка [1],
Шефке [3], Ю. Л. Шмульяна [3], Шредера [1], Филлипса [6].
Тауберовы теоремы и неограниченные операторы. Результаты
параграфа 7 получены Данфордом [7] и находят применения в эрго-
дической теории. Мы приведем ссылки на соответствующую литера-
литературу по эргодической теории в замечаниях к гл. VIII.
Результаты параграфа 9 принадлежат Тейлору [11], который опи-
описал приведенный нами метод построения теории неограниченных
операторов на базе теории ограниченного оператора, а также непо-
непосредственно развил теорию для неограниченного оператора. Некото-
Некоторые более подробные вычисления для более узкого класса неогра-
неограниченных операторов были даны Хилле [1; гл. 15, § 1]. Аналогич-
Аналогичная программа была осуществлена Бейдом [1].

ГЛАВА VIII
Приложения общей теории
1. Полугруппы операторов
Хорошо известно, что показательная функция f(t)=exp(ta)-~
наиболее общая непрерывная вещественная (или комплексная)
функция / неотрицательной вещественной переменной ty которая
удовлетворяет функциональным уравнениям /@)=1, f(t-\-u) =
=f(t)f(u). Соответствующая задача для операторов состоите нахо-
нахождении наиболее общей непрерывной операторнозначной функции,
определенной в области />0 и удовлетворяющей уравнениям
(I) T(t + u) = T(t)T(u), Г@) = /, t, u>0.
?д^^уШ5Ш удовлетворяющая этим урав-
нениям^азывается полугруппой операторов. В этом параграфе mlr
приводим""Ьсн6вные""фа1кть1 ^аналитической теории таких полугрупп
в той форме, как она была развита Э. Хилле, Р. С. Филлипсом
и К. Иосидой. По аналогии^ числовым .случаем мы можем ожидать,
чт<э_ по^группа^ является показательной
функ1Щ?&- Если мы предположим, что Т (f) непрерывна в равномер-
равномерной операторно]й_то1^ологии, то, как показано ниже в~тебремё 2,
существует ограниченный оператор Л, такой, что T(t)=etA. Если же
предположить только, что Т (t) непрерывна ^
р ) рр j^gpp
топологии, то задача становится намного труднее. Тем не менее мы
увттдим7"что Т (t) можно рассматривать в некотором смысле как etA,
где теперь А — неограниченный оператор, называемый инфините-
зимальным оператором полугруппы. Мы изучим также важную зада-
задачу определения тех неограниченных замкнутых операторов, кото-
которые являются инфинитезимальными операторами сильно непрерыв-
непрерывных полугрупп. Решение этой задачи, которое будет дано ниже,
позволит нам рассмотреть <<абстр,дкх^ю задачу Коши>>: найти^для
данного замкнутого HeorpaHpfWfffforo о^^тора^^ункцию, опре-
определенную при />0, со значениями, принадлежащими области опре-
определения Л, которая удовлетворяет уравнениям
(II) ЧГ = Ах> *(°) = *о.

654 Гл. VIII. Приложения общей теории
где х0 — заданный вектор. Теория будет проиллюстрирована реше-
решением абстрактной задачи Коши для специального случая интегро-
дифференциального оператора вида
со
(Ах) (s) = х" (s) + h(s)x{s)+^K (s, и) х (и) du.
о
Это равносильно решению обычной задачи Коши для интегро-
дифференциального уравнения вида
K(s, u)x(u, t)du,
О
x(s, 0) = xQ(s),
где А, К и х0— заданные функции. Общая теория может быть ана-
аналогично использована для решения многих других задач Коши
для уравнений с частными производными и интегро-дифференциаль-
ных уравнений.
Во всем этом параграфе Ж будет обозначать комплексное
В-пространство, а {Т(t)} —сильно непрерывную полугруппу опе-
операторов в Ж, т. е. семейство операторов, удовлетворяющее усло-
условиям следующего определения.
1 Определение. Семейство {T(t)}9 0<^<oo, ограниченных
линейных операторов в X будем называть сильно непрерывной
полугруппой, если
(I) T(s + t) = T{s)T(t), s, t>0;
(И) Г@) = /;
(III) при любомх? Ж функция Т (t) х непрерывна по /на [0, оо).
Если, кроме того, отображение t—> T (t) непрерывно в равномер-
равномерной операторной топологии, то семейство (Г(/), t>0} называется
полугруппой в В (Ж), непрерывной в равномерной топологии.
Из теории операторного исчисления, развитой в § VII.3, видно,
что для любого оператора А из В (Ж) семейство etA является полу-
полугруппой, непрерывной в равномерной топологии. Следующая тео-
теорема показывает, что каждая такая полугруппа может быть пред-
представлена подобным^образом.
2 Теорема. Пусть {Т(t)} —полугруппа, непрерывная в равно-
равномерной топологии. Тогда существует ограниченный оператор А,
такой, что Т (t)=etA при />0. Оператор А определяется формулой
А = lim (T (h) — //(/г. При Re (X) достаточно больших резольвента А
h->0

1. Полугруппы операторов 655
может быть выражена через элементы полугруппы по формуле
R(X; A)=
Доказательство. Так как Г@) = /, из VII.6.5 следует, что для
некоторого 8 > 0 функция U (t) = log (T (t)) определена и непрерывна
при 0<^<8. Если я^<е, то
Таким образом, (l/n)U(t) = U(tin) при всех t, 0<^<e, и, следо-
следовательно,
для всех рациональных чисел mln, 0<m/n< 1, и всех /в интервале
0</<е. В частности, (mlri)U (г) = U(&m/n), так что, в силу не-
непрерывности , Ш (е) = U (et) при 0 < t < 1 и U (/) = (t/e)U (e) при
0<^<8. Если положить А = A/е)?/(е), то
при 0</<е. Если />0 произвольно, то t/n<& при некотором
достаточно большом натуральном л, и потому eiA = (e^^A)n =
= {Т (t/n)}n = T (t). Таким образом, равенство [*] выполнено при
0< t < оо. Так как lim (ezh — l)/h—> z равномерно в любом ограни-
огранило
ченном множестве z-плоскости, формула для определения А
является непосредственным следствием леммы VII.3.13.
Аналогично доказывается, что dldtT(f) = AT (t) при всех />0,
и, следовательно, Т (t) непрерывна и имеет непрерывную произ-
оо
водную. Так как Т(/)= 2 (tA)n/n\, то
Таким образом, при условии Re (к) > | А \ интеграл \ е~иТ (t) dt
о
существует. Так как ограниченный линейный оператор коммути-
коммутирует с интегралом (III.2.19 (с)), то
s s
(II-А) ^ e-^T (t) dt = J (U-A)e-^eiAdt =
о о
\
О
/ p — k

656 Гл. VIII. Приложения общей теории
Так как Re(A,)>|i4|, то \e-^sesA | <^-л+1А1)8-^0 при s—> оо
и, таким образом, по теореме Лебега (III.6.16) имеем
(М —Л) \ e-KiT(t)dt = I.
о
Но оператор (kl — А)'1 существует при |А,|>|Л|, согласно лемме
VI 1.3.4; поэтому
оо
{KI - Л)'1 = jj е~мТ (t) dt, Re (К) > \ А |, ч. т. д.
о
Оставшаяся часть настоящего параграфа будет посвящена пре-
преимущественно изучению сильно непрерывных полугрупп. Теоремы
10 и 11 являются аналогом теоремы 2 в этом случае.
3. Лемма. Пусть {Т (t)} — семейство ограниченных операторов,
определенное на конечном замкнутом интервале [a, р], такое, что
Т(t)х непрерывна по t при всех х? X; тогда \Т(-)\ измерима и огра-
ограничена на [а, р]. Обратно, если {T(t)> 0< /} — полугруппа ограни-
ограниченных линейных операторов в Ж и если Т(-)х измерима на @, оо)
всех х?Ж, то Т(-)х непрерывна в каждой точке из @, оо).
Доказательство. Так как Т (-)х непрерывна при всех х из Ж, то
она ограничена на [a, [J]. Таким образом, ограниченность \Т(-) \
следует из принципа равномерной ограниченности II. 1.11. Чтобы
доказать, что |7\-)| измерима, положим б>0 и U = {t\\T(t) \ > б}.
Если t0 б (У, то мы можем найти такой вектор х, что | х | = 1
и | Т (t) х | > б при всех t из некоторого интервала, содержащего tQ.
Таким образом, U открыто в [а, р], и первое утверждение следует
из теоремы II 1.6.10.
Теперь мы докажем, что если (Т(/)}, 0</<оо,— полугруппа,
если Т(-)х измерима на @, оо) при всех х?X и если \Т(-)\ ограни-
ограничена в каждом интервале [б, 1/6], б > 0, то Т(-)х непрерывна в каж-
каждой точке tQ > 0 при любом х ? ЭЕ. Пусть 0<а<Р<^0иб>0 таково,
что 26 меньше чем 1, a, t0 — Р и (^0+ I). Так как T(to)x — T(t) x
X \Т (U — t)x\> / < /0, и так как правая часть не зависит от /, то она
интегрируема на [а, р]. Если |е|<б, то
По предположению, существует М >0, такое, что \T(f)\<M при
t?[a, PI; кроме того, |[Г(/0 + е— t) — T(t0 — t)]x\ — ограниченная

/. Полугруппы операторов (>57
измеримая функция при t? [a, {$]. Следовательно,
й
)x\<M \ \[T(to+E-t)-T(to-t)]x\dt =
+ e)-7(s)]jt|ds.
Применяя теорему IV.8.20 или проверяя непосредственно, убе-
убеждаемся, что при 8—> 0 последний интеграл стремится к нулю, и,
следовательно, Т(-)х непрерывна при t=t0.
Чтобы завершить доказательство второй части леммы, остается
показать, что из измеримости Т(-)х на @, оо) при всех х?Ж
вытекает ограниченность |7(-)|в каждом интервале [б, 1/6], 6>0.
Мы сначала покажем, что
(I) если х0 ? Ж, то существует сепарабельное замкнутое линей-
линейное многообразие Хо в X, содержащее х0У и множество меры нуль Ео
интервала @, оо), такое, что T(t)x?X0 для любого х?Ж0 и t$E0.
По лемме II 1.6.9, существует множество меры нуль ?0, такое,
что{7@*0| /^/70}сепарабельно. Поэтому X0=sp {х0, Т (t)x0, t$ Fo}—
сепарабельное замкнутое линейное подпространство X, и суще-
существует последовательность {tn}y tn $ Fo, n = 1, 2, ..., такая, что мно-
множество {х0, T(tn)x0, я=1, 2, ...} фундаментально (II. 1.4) в Жо-
Если t$F0 и /+^^o^=U,...,toT(/)^0 и T(t)[T(tn)x0] =
оо
= T(t + tn)x0 принадлежат к Жо- Пусть . Ео = Fo [j (J {F0-tn),
так что?0 имеет меру нуль. Из ограниченности оператора Т (t) сле-
следует, что Т(ОЖ0^Ж0 для ^^о> это Доказывает предложение (I).
Предположим, что существует интервал [б, 1/6], на котором
|()| не ограничена. Тогда существуют srig [6, 1/6] и лгч?Х, |хп|=1,
такие, что | T(sl)xn\ > /г, п= 1, 2, ... . Применяя свойство (I) при каж-
каждом /г, получим, что существует сепарабельное подпространство Жл,
содержащее^ и множество меры нуль ?п, такие, что 7@ Жп^_ Жп при
оо
t$En. Положим Xoo = sp {Xn, п= 1, 2, ...}и?'оо= (J ?п. Ясно,
что Жто сепарабельно, Е^ имеет меру нуль и Г@Жоо?1Жоо при
tfyEoz. Для каждого / положим
так как хп g Хоо, то | 7 (sr) |' > /z, л = 1, 2, ... . Пусть {гд} — счет-
счетное множество, плотное на единичной сфере Э?оэ; поскольку
I T(-)zn\ — измеримая вещественная функция, то из III.6.10 сле-
следует, что функция | 7(-)|' = sup | 7(-) za \ также измерима. Кроме
п
того, если t2^ECXiy то для любого х?Ж0 T(t2)х^Жоо
42 Заказ J\T« 1324

658 Гл. VIII. Приложения общей теории
<¦ I T (t2) |' | х |. Итак, мы видим, что
I 71 (/i + ^s)I'= sup {[Г(М [7(/,)*]!, хбЗеоо, |*|
<sup{|T(/1)y|, у 6 Ж», \y\<\T(tt)\'}<
<\T(t1)\'\T(t2)\',
если ^ ^ Еоо. Определим теперь на @, оо) функцию со равенством
со (t) = log | Т (t) |\ Из изложенного выше мы знаем, что со —изме-
—измеримая функция, которая нигде не принимает значения + °°, что
co^-j- /2)< со (^) + <°'(^2), если по крайней мере одна из точек
Z^foo, и что co(sj >log/2, где sn — точки из [б, 1/6]. Противоречи-
Противоречивость такого положения вытекает из следующего утверждения:
(II) если со — измеримая функция на @, оо) со значениями из
расширенной области вещественных чисел, оо(^)<оо при всех
t > О и со (tx + t2) < со (/х) -f- со (/2), когда одно из ti не лежит в мно-
множестве Е нулевой меры, то со ограничена сверху на любом замкну-
замкнутом интервале.
Чтобы убедиться в этом, возьмем а>0 и положим А = ы(а).
Тогда если/1 + /2 = аи t2$ Еу то А = (о(а)< (о(^) + со (/2). Таким
образом, если F = {/|0 < / < а, (о(^) > Л/2} и если a— F — множе-
множество всех точек вида a—19 t?Fy то E\JF\J(a— FK [0, а].
Следовательно, [г (Т7) + |ы (а — Т7) >а, где |ы обозначает меру Лебега.
Так как \x(F) = \х(а — F), то |ы(/7)>а/2. Это показывает, что если
sn — точка конечного интервала [a, [J], в которой (o(sj>2n, то
множество {/|0 < t < Р, со (t) >n} имеет меру не меньше а/2.
Поэтому если со не ограничена сверху на [a, [J], то со (tf) = оо на
множестве с мерой не меньше а/2, но это противоречит предполо-
предположению, что (о(/)<оо при /6@, оо), и тем самым завершает
доказательство леммы.
Наша дальнейшая задача — описать поведение |Г(^)| при t>
стремящемся к оо. Для этого нам потребуется следующая лемма
о полуаддитивных функциях, т. е. о функциях со, таких, что
д() (д
4. Лемма. Пусть со — полуаддитивная функция, определенная
на [0, оо) и ограниченная на каждом конечном подинтервале. Тогда
o)o = inf (u(t)/t конечно или равно — оо, и
о
*->оо
Доказательство. Для любого данного б > оо0 существует точ-
точка tQ9 такая, что

1. Полугруппы операторов 659
Любое t можно представить в виде t = n (t) to-\-r, где п (t) — целое
число и 0<г<^0. Тогда
со @ <о("@'о) . о) W ^n{t)(o(t0) , (о (г) ^ со(/0) , со (г)
Таким образом,
Так как соо< lim [(o(t)/t], то lim[co(^)//] существует и равен соо.
5. Следствие . Предел соо = 1 i m log | T (t) \11 существует. Для
/->оо
каждого б > (о0 существует постоянная УИб, такая, что \Т(t)\<
<Мбеы при />0.
Доказательство. Определим со (/) = log | Г @ | />0. Так как
<o(/1 + g = iog| T^ + gKiogdr^) 11г(д|) = ю (*!) + © (д.
то со полуаддитивна. Доказываемое утверждение теперь следует
из лемм 3 и 4, ч. т. д.
6. Определение. Для h > 0 определим линейный оператор Ah
равенством
Пусть 2) (А) — множество всех х из X, для которых существует
предел lin\Ahx\ определим на ® (А) оператор А равенством
h->oo
Ax=limAhx, х^^(А).
h-*Q
Оператор А с областью определения ®(Л) называется инфини-
тезимальным оператором полугруппы Т (•)х).
7. Лемма, (а) Множество % (А) — линейное многообразие, и А
линеен на Ъ{А)\
(Ь) если *6® (Л), то Т(*)*6® (Л), 0</< со, м d/dtT(t)x =
= AT(t)x = T{t)Ax\
t
{о) если х^ {А), то [Т(f) — T(s)]x= [ Т (и) AxdunpuO<s<
<t<CO)
х) Часто называют такой оператор порождающим или производящим
оператором полугруппы. — Прим, ред.
42*

660 Гл. VIII. Приложения общей теории
(d) если />0 и g — интегрируемая по Лебегу функция, непре-
непрерывная в точке ty то
t+h
lim-i j g(u)T(u)xdu = g(t)T(t)x.
Доказательство. Утверждение (а) ясно из определений. Для
доказательства (Ь) положим h > О, ^>0 и х?Ъ(А). Тогда
T(t)Ahx = AhT(t)xt так что lim AhT (t) x = \imT (t)Ahx и, следо-
следовательно, Т(^х^Ъ(А). По определению,
A(T{t)x) = \imAhT(t)x.
Таким образом, T(t)Ax = AT(t)x для х?%(А). Если />0
и h > 0, то
/i-*0
согласно п. (Ill) определения 1 и лемме 3. С другой стороны,
T(t+h)x-T(t)x =
так что равенство dldt T (t) x = T (t) Ах установлено для х б © (А).
Утверждение (с) получается после применения линейных функ-
функционалов к обеим частям (Ь) и интегрирования. По поводу (d)
смотрите III. 12.8, ч. т. д.
8. Лемма. Линейное многообразие % (А) плотно в Ж, и А —замк-
—замкнутый на 2) (А) оператор.
Доказательство. Пусть х — любой вектор из Ж- Тогда если
/, h > 0, то
t t
Ah J T(s)xds = j\ (T(h + s)x-T(s)x) ds =
о о
t+h t
= ~ j T{s)xds-\ J T(s)xds =
h 0
t-\-h h
h }
t

/. Полугруппы операторов 661
t
при А —»0 согласно лемме 7 (d). Таким образом, ^ Т(s)xds?<?) (A),
о
t
Однако x=l\ml/t [ T(s)xdsy так что Ф (Л) плотно в Ж. Чтобы
1-0 J
убедиться в замкнутости оператора Л, предположим, что хп? ф (Л),
/i= 1, 2, ..., Нт*л = *0 и НтЛхп = у0. Используя лемму 7 (с),
Т1—>0О 71—>0О
находим
= С T(s)yods,
n-.cc 0 J
1ак как lim T (s) Axn = T (s) y0 равномерно на [0, t]. Таким
n—юо
образом,
НтЛ,хо = Нту [ T{s)yQds = y0
0
no лемме 7 (d). Следовательно, х0 ? Ф (Л) и Ах0 = f/0, т. е. оператор А
замкнут, ч. т. д.
9. Следствие. Полугруппа имеет ограниченный инфинитези-
мальный оператор тогда и только тогда, когда она непрерывна
в равномерной топологии.
Доказательство. Если полугруппа Т(•) непрерывна в равномер-
равномерной топологии, то, по теореме 2, она имеет ограниченный инфи-
нитезимальный оператор. Обратно, предположим, что Г(-)имеет
ограниченный инфинитезимальный оператор Л. Из предыдущей
леммы вытекает, что Л всюду определен. Таким образом, лемма 3
и принцип равномерной ограниченности (II.3.21 (II)) показывают,
что
sup | Ah\ = K < оо.
По лемме 3 для каждого s > 0 мы имеем постоянную Мs такую, что
|3, 0<t, |*-s|<l.
Далее,
-s)-I], t>s,
-t)-I], s>t.

662 Гл. VIII. Приложения общей теории
Таким образом,
\T(t)-T(s)\,<;Ms-K'\t-s\, 0<г, |/-s|<l,
чем доказано, что полугруппа Г(-) непрерывна в равномерной
топологии, ч. т. д.
10. Теорема. Пусть Т (/),/> 0, — сильно непрерывная полугруп-
полугруппа операторов и Ah~(T(h) —I)/h. Тогда
равномерно по t из любого конечного интервала.
Доказательство. Заметим сначала, что
оо
е**ц = e-t/het/hT(h) = e-tjh V
Если б > со0, то, по следствию 5,
п=0
n=0
esA/l
Следовательно, существует постоянная Kt такая, что |esA/l|</(j,
0<5</, 0<й<1. Если л:б®(Л) и /</0» то (см- лемму 7)
гE
o\Ax-Ahx\-*0
при /г—>0. Так как, по лемме 8, © (Л) плотно в Ж, то доказываемое
утверждение следует из теоремы 11.3.6, ч. т. д.
Эта и следующая теоремы вместе дают аналог теоремы 2 для
сильно непрерывных полугрупп.
11. Теорема. Если соо = lim log | T @ |/^ и Re(X)>co0, то
Доказательство. Предположим, что соо < б < Re(X). Согласно
следствию 5, существует такая постоянная Мб, что | Г(^)|Л16'

1. Полугруппы операторов 663
со
/>0. Таким образом, если Re (к) > со0, то интеграл \ e~uT(t)xdt
о
существует и определяет ограниченный оператор. Пусть
R{%)x =
о
Тогда
оо оо
А,Д [К) х = i- J в-«Г (* + Л) х Л - -j- J е-«Г (t) xdt =
h
о о
г-1)
о
при h—>0 по лемме 7 (d). Таким образом,
Если мы сможем показать, что
(id
!--V J e-^T(t)xdt~i-lR{X)x-x.
то i? (k) = R (к; А). Таким образом, ввиду (I) остается доказать,,
что R(X)Ax = AR(X)x, х?Ъ(А). Однако если *е®(Л), то
T(t)x? ф (Л) при ^>0 и, по лемме 7, выполнено равенство
AT(t)x = T(t)Ax. Следовательно, теорема III.6.20 показывает,
что RCk)x^^)(A) и
оо оо
А 5 e-^T(t)xdt= J e-MT(t)Axdt, ч. т. д.
о о
Нашим следующим шагом будет отыскание достаточных условий
на неограниченный оператор Л, при которых он является инфини-
тезимальным оператором полугруппы.
12. Лемма. Пусть А—замкнутый оператор со всюду плотной
областью определения, спектр которого лежит в полуплоскости
Re(X)<co. Пусть S(t), ?>0 сильно непрерывна в точке t и удо-
удовлетворяет соотношениям
R X; А)х= ^ e~%t S{t)xdt, x?%.
о
Тогда
\R(X; A)v\<M{Re(X)-(oyn, /i=l, 2, ...

664 Гл. VIII. Приложения общей теории
Доказательство. Мы установим сначала формулу
оо
[*] R (X; А)п х = -j^p jj e-^t^S (t) x dt, Re (*)
о
Из тождества Гильберта (см. VII.3.6)
R(\; A)-R(n; А) = (ц- I)R(K; A)R(n; A).
Полагая К—> jx, получаем, что
^R(X; A)=-Rt(K;A)
и, по индукции, что
Предположим теперь, что co<6<Re(A,), Re((x). Если
то
о
Следовательно,
\f(K Ц> 0^5@х|<М|х|Г+1е-^-^.
Из следствия III.6.16 вытекает, что можно перейти к пределу при
к, стремящемся к |ы, т. е. можно продифференцировать выражение
e-4nS(t)xdt
о
под знаком интеграла; тогда мы получим
Ж
6 о
Таким образом, по индукции, мы находим

1. Полугруппы операторов 665
Комбинируя эту формулу с формулой, приведенной выше, мы полу-
получим равенство I*].
Наконец, если Re (к) > со, то из [*] и условий на S(t) видно,
что
со
м
ч. т. л
"""""(Re (k)-(D)ni
о
—> 13. Теорема. (Хилле—Иосида — Филлипс.) Для того чтобы
замкнутый линейный оператор со всюду плотной областью опре-
определения был инфинитезимальным оператором сильно непрерывной
полугруппы, необходимо и достаточно, чтобы существовали веще-
вещественные числа М и со такие, что для каждого вещественного ^>со,
/w б Q (Л ), U
Доказательство. Необходимость условия вытекает из след-
следствия 5, теоремы 11 и леммы 12. Для доказательства достаточности
положим Вь= — k [I — kR (к; А)], к > со. Мы построим полу-
полугруппу Т (t) как сильный предел при к—> оо полугруппы eiB<k
Так как
ТО
у
я=0
п=0
Если сох > со, то при к достаточно больших (окСк— о)'1 <
Таким образом,
при больших значениях к.
Покажем, что 1\тВ&с = Ах, л:?ф(Л). Если а:?Ф(Л), то
\kR(k; A)x-x\ =
при кг->оо. Так как \kR(k] А) \<сМк(к— со) < 2М при боль-
больших к, то, согласно теореме II.3.6, kR(k\ A)x—>x, х?Ж, при
к—>оо. Следовательно, Bix = kR(k; А) Ах—> Ах для х из Ф(-Д).
Теперь определим Sx(t) = etF*k. Для любых к и |ы мы имеем
оо
Вф^^В^Вх, формула Sx@== 2 tnBl/n\ показывает, что

666 Гл. VIII. Приложения общей теории
B^Sx (t) = 5я @ ?ц. Следовательно, если х ? Ф (Л), то [см. лем-
лемму 7 (Ь)]
t
Sx{t)x-S^{t)x= jj -|L[SM(*-*
о
t
= J S^(t-s)Sl(s)(Bl-B[i)xds.
0
Используя неравенство [*], получаем
I S* @ х - S» (t) x \ < M2tet(di | баХ _ в^х \
при больших значениях А, и |ы. Таким образом, 5я (/) сходится к пре-
пределу равномерно в каждом конечном интервале. Так как ф (Л)
плотно в Ж, то из неравенства [*] и теоремы И.3.6. вытекает,
что существует ограниченный оператор Т (t), такой, что Игл 5^, (t) x=
= T(t)x, л:б Ж. Более того, | Т(t) |< lim| 5Я (t) |<Л Непре-
рывность Т (f) х следует из равномерности сходимости. Так как
Sx (t) является полугруппой, то легко показать теперь, что
и Т (t) — полугруппа. Ввиду неравенства
\Sk(t)Brf-T(t)Ax\<?\Sk(t)(BKx-Ax)\ +
+1 (Sx(t)-Т(t)) Ах|< Меш1 \Вкх-Ах\ + 2Меш*\Ах\,
выполненного для хб Ф (Л), можно перейти к пределу при К—> оо
(см. следствие II 1.6.16) в обеих частях равенства Si(t)x — x =
= \ Sb(s) Bixds, чтобы получить соотношение
о
t
T(t)x-x= J ГE)Лд:бг5.
о
Таким образом, если В — инфинитезимальный оператор полугруп-
полугруппы Т'E), то
= hm-±-[ T{s)Axds =
Следовательно, ®E)зф(Л) и 5 есть расширение оператора Л.
Однако, при больших X, X?q (A)[)q(B) и равенства (XI—Л) ф (А)=

1. Полугруппы операторов 667
^3c = (lI-B)%(A)f (kl - В) ф (В) = Ж влекут совпадение Ф(В) =
= ф(Л). Таким образом, Б = Л, ч. т. д.
14. Следствие. Для того чтобы замкнутый линейный оператор
со всюду плотной областью определения порождал сильно непрерыв-
непрерывную полугруппу Т (t) ограниченных операторов, такую, что
\ Т (t) \ <С еР* при некотором вещественном числе со, необходимо и до-
достаточно, чтобы выполнялись неравенства
[*] \R{k; Л)|<(^-о))-\ *,>©.
оо
Доказательство. Формула R(k; A)x= \ e~uT(t)xdty A:g Ж,
о
показывает необходимость неравенства [*]. Ясно, что [*] влечет
неравенства | R (k\ А)ь |< (Я— со)5, к > со, и, таким образом, по
теореме 13 (с М == 1), А является инфинитезимальным оператором
полугруппы T{t). В доказательстве теоремы 13 было показано,
что I Т (t) \<^МеШ1 ПРИ всех Ш1 > ш- Таким образом |Т'(^)|<^С0,
/>0, ч. т. д.
Для очередного следствия будет необходима следующая лемма.
15. Лемма. Пусть /6/^@, оо) и
о
Re (X) достаточно больших. Тогда f(t) = O почти всюду.
Доказательство. Предположим, что равенство выполнено
при Re (к) > со. Пусть h{f) = er**f (t)t так что ^ g Lx @, оо)
оо
и \ f1(t)e-Kt dt = O при Re(A,)>0. Сделаем замену переменной
о
со 1
и = е-(. Тогда t= —logа, и \ e-ltf1(t)dt= \ uxg(u) du, где
bo
g(u) = и 1(— logu) 6LX [0, 1] по лемме III.10.8. Тогда
\ ung(u)du = 09 /г = 0, 1, 2, ... . Следовательно, по аппроксима-
о
ционной теореме Вейерштрасса и следствию III. 10.6,
0= J h(u)g(u)du= J h(u)G(du), AgC@, 1),

668 Гл. VIII. Приложения общей теории
где G (Е) = \g(u)du. Так как мера Лебега регулярна, то регу-
ё
лярна и G, и, по теореме Рисса (IV.6.3), \ g(u)du = 0 для лю-
любого измеримого множества Е. Таким образом, g(u) = 0 почти
всюду (II 1.6.8). Следовательно, flt а значит, и / почти всюду
равна нулю, ч. т. д.
16. Следствие. Для того чтобы замкнутый оператор А со всюду
плотной областью определения был инфинитезимальным операто-
оператором сильно непрерывной полугруппы, необходимо и достаточно,
чтобы существовало сильно непрерывное семейство S (/), ^>0, огра-
ограниченных линейных операторов, удовлетворяющее условиям S @) = /,
\S(t) \<^Меы при некоторых вещественных числах Миши такое,
что
оо
R(k\A)x=^er-MS(t)xdt, А, > со.
о
При выполнении этих условий S (t) является полугруппой с инфини-
инфинитезимальным оператором А.
Доказательство. По лемме 12, | R (k; A)v \<М (К— со)1, К > со.
Таким образом, по теореме 13, А — инфинитезимальный генератор
полугруппы T(t) и |Г@|<М^. По теореме 11, R(l;A)x =
= ^e-MT(t)xdt, хбЖ, ^>со. Теперь, если г* б Ж*, то
-b'jt* (Г (/) х - S (t) x)dt = O
о
при X > со. Полагая / (t) = er^-^x* (T (t)x — S (t) x), имеем
оо
[ e~Ktf (t) dt = 0 при Х>0. Из леммы 15 следует, что x*T(t)x=z
о
= x*S (t) x при почти всех t. В силу непрерывности это равенство
выполнено при всех ^>0, и, таким образом, (см. 11.3.15) T(t) —
= S@, t>0, ч. т. д.
Мы теперь рассмотрим вопрос о том, когда сильно непрерывная
полугруппа операторов, определенная на [0, оо), может быть рас-
расширена до группы Т(t) операторов, определенной на (— оо, оо).
Ясно, что такое расширение единственно, если существует, и семей-
семейство S(t) — T( — t)9 ^>0, есть сильно непрерывная полугруппа.

/. Полугруппы операторов вб9
Так как при 0 < t < 1
S(t)x—x_ —T( —
t ~ —t
то ясно, что инфинитезимальный оператор S(t) равен замкнутому
оператору — Л, 2) ( — Л) = 2) (Л). Мы будем называть оператор А
инфинитезимальным оператором группы и говорить, что Л порож-
порождает группу T(t), — со < t < оо. На вопрос о том, допускает ли
полугруппа T(t), t>0 расширение до группы, можно ответить
в терминах инфинитезимального оператора Л.
17. Следствие. Для того чтобы замкнутый линейный оператор А
со всюду плотной областью определения порождал сильно непре-
непрерывную группу ограниченных операторов на ( —оо, оо), необходимо
и достаточно, чтобы существовали вещественные числа М > О
и (о>0, такие, что
[*] |/?(Ь;Л)п|<Л*(|А.|-а>)Л Ь>а> и I < - со.
Если А порождает группу T(t), — оо < t <оо, то \ Т
Доказательство. Необходимость неравенства [*] следует из
замечания, сделанного выше, теоремы 13 и соотношений R(k\ —Л) =
= —Ri—X; А) и о(—А)=—о(А) (см. VI 1.9.10). С другой стороны,
если [*] выполнено, то и Л и —Л удовлетворяют условиям теоремы
13 и порождают полугруппы T+(t) и ^-@ соответственно. Легко
показать, что аппроксимирующие полугруппы St(t) и Sl(t) (постро-
(построенные при доказательстве теоремы 13) коммутируют, и, следова-
следовательно, T+(t) и T_(i) также коммутируют. Таким образом, W(t)~
= Т+ (t)T_ @— также полугруппа, определенная на [0, оо). Одна-
Однако если *€®(Л) = Ф( — А)* то
W(t)x—x _rp ,, Г T+(t)x-x -] , T_(t)x-x ^
яри /—^0. Таким образом, dW (t)x/dt=O, и, следовательно, W (t)x=
=х для х?Ъ(А). Так как с?) (Л) плотно в ЭЕ, отсюда вытекает, что
Т_ (t)=-T+( ty1. Следовательно, если мы определим T(f) = TJJ),
t>0, и T(t) = T_(t), t<0, то Т(t) — сильно непрерывная группа
линейных операторов с инфинитезимальным оператором Л. Нера-
Неравенство \T(t)\ <Af?c°l'l очевидно, ч. т. д.
Примеры. В случае когда Т является оператором в пространстве
ЗЕ функций, определенных при всех s из множества S, мы будем
в дальнейших примерах использовать обозначение (Тх) (s) или
Т(х, s) для значения Тх в точке s. Конечно, если элементами про-
пространства Э? являются классы эквивалентных функций, как,
например, в случае X = Lp, то эти символы обозначают одну из

670 Гл. VIII. Приложения общей теории
функций из класса эквивалентности Тх. Простейшие и наиболее
важные примеры полугрупп ограниченных операторов возникают
из операции сдвига T(t)(xf s) = x(t-[-s) в пространствах Lp@, со)
и С[0, со]. Мы обозначаем далее через С[0, со] пространство всех
непрерывных функций на компактной расширенной неотрицатель-
неотрицательной полуоси, т. е. пространство всех функций х неотрицательной
вещественной переменной, для которых существует предел л:(оо) =
= \imx(s). Аналогично С[—со, со] есть пространство всех непрерыв-
s~>oo
ных функций вещественной переменной, для которых существуют
оба предела х (со) и х( — со) = lim x (s). Инфинитезимальный оператор
в этих случаях есть оператор дифференцирования A^dldt. Мы про-
проверим это и найдем спектр о (А) в случае пространства С[0, со].
Из равномерной непрерывности функций в С[0, со] легко вытекает,,
что T(t) — сильно непрерывная полугруппа и, кроме того, | T(t) | =
= 1, t > 0. Пусть х G ф (А) и у = Ах, тогда
равномерно по Шстюда следует, что y=x'=dx/dt. С другой стороны,
пусть х—функция из С[0, со], такая, что х'?С[0> со]. Тогда
TT \ \x'(s)-x'(t)\ds-
интеграл в правой части этого неравенства стремится к нулю равно-
равномерно по f при ft—>0 ввиду равномерной непрерывности функции
х'. Таким образом,
Ъ(А) = {х\х'еС[0, со]}
и A = dldt. Из общей теории следует, что оператор А замкнут. При
X, принадлежащих резольвентному множеству оператора А, диф-
дифференциальное уравнение Ху—у'=х должно иметь единственное
решение в С[0, со] при всех х?С[0, со]. В этом случае y=R(X\ A)x.
Рассмотрение общего решения этого дифференциального уравнения
показывает, что спектром о(А) оператора А является полуплоскость
Re(X)<0, и
ОО
R (X; А) (х, t)=[ e~ux (t + s) ds, Re (Я) > 0.
о
Проведенные рассмотрения применимы с небольшими изменения-
изменениями и в случае пространства С[—со, со]. Здесь T(f) (x, s)=x(t+s)
определяет сильно непрерывную группу на (—со, оо). Снова А =
= dldt с областью определения Ъ (А) = {х \ х'?С[ — со, со ]}. В этом

1. Полугруппы операторов 671
случае спектр о(А) есть мнимая ось, и
оо
R {%; A) x(t)=\ е~^х (t + s) ds, Re (К) > 0;
о
о
Читатель не встретит затруднений, перенося проведенные выше рас-
рассмотрения на случай пространств Lp@, оо) и Lp(—оо, оо), 1 <р<оо.
Как и раньше, А = dldt и ф (А) состоит из абсолютно непрерывных
функций в Lp, у которых x'?Lp. Спектр и формула резольвенты оста-
остаются теми же, что и для пространств С. Мы вернемся к этим приме-
примерам, чтобы проиллюстрировать дальнейшую теорию.
Как можно судить по тому вниманию, какое мы уделили теореме
13, следствию 14 и следствию 16, важно выяснить, когда замкнутый
оператор А является инфинитезимальным оператором сильно непре-
непрерывной полугруппы. Теорема 13 дает необходимые и достаточные
условия, но эти условия зачастую трудно проверить в конкретных
аналитических случаях, представляющих интерес. Поэтому мы
посвятим оставшуюся часть этого параграфа рассмотрению про-
проблемы о порождении полугруппы с точки зрения теории возмущений.
Основная идея, которая руководит нами при этом, состоит в следую-
следующем: если оператор А порождает полугруппу и если оператор Р
не слишком неправилен относительно Л, то и оператор Л+Р поро-
порождает полугруппу. Точной, хотя и относящейся к довольно специаль-
специальному случаю формулировкой этого в известной мере неточного прин-
принципа является следующее утверждение (частный случай теоремы
19): если оператор А порождает полугруппу, а Р — ограниченный
оператор, то оператор А+Р порождает полугруппу.
Множество операторов, удовлетворяющих нашему принципу
возмущений, определяется точно следующим образом.
18. Определение. Пусть оператор А — инфинитезимальный опе-
оператор сильно непрерывной полугруппы T(f)\ обозначим через §Р(А)
класс замкнутых операторов Р, удовлетворяющих следующим усло-
условиям:
(I) Ф(Р)з®И);
(II) для каждого ^>0 существует постоянная /(, <со, такая
что|РГ(*)*|</С«|*| при *6$(Л);
(III) постоянные Kt в условии (II) можно выбрать так, что
\ Kt dt существует и конечен,
о
19. Теорема. Пусть T(t), t^O —сильно непрерывная полугруппа
ограниченных операторов в Ж с инфинитезимальным оператором А.

672 Гл. VIII. Приложения обшей теории
Если Р??Р (Л), то оператор А-\-Р, определенный на % (Л), замкнут
и является инфинитезимальным оператором полугруппы T(t\ А+Р).
Кроме того,
Tl=O
t
где S0(t) = T (t)ju Sn (*)*=$ T(t—s) PSn_i (s)x ds для
о
причем ряд абсолютно сходится, равномерно по t в любом конечном
интервале. Для любых п и х функция Sn(t)x непрерывна при />0.
Мы построим доказательство теоремы 19 в виде ряда лемм. Во
всей оставшейся части этого параграфа мы будем пользоваться обоз-
обозначениями определения 18 и теоремы 19.
20. Лемма. Если Р??Р(А), то
(а) Ф(Я):
(b) Отображение х —> PT(t)x, x б Ф (А), имеет единственное рас-
расширение до ограниченного оператора (которое мы будем обозначать
через PT(t)), определенного на всем Ж;
(c) функция РТ (f) х непрерывна по t при t>0 и любом а: б Ж.
Мели ©0 = lim log | Т @| It, mo Tim log | PT (t) \ ft < coo;
t~+co t-+oo
(d) если Re(A,)>co0, mo
oo
PR (I; A)x= J e-KPT(t)xdt, x?X.
о
Доказательство. Так как Ъ(А) плотно в Ж по лемме 8, то утвер-
утверждение (Ь) легко вытекает из условия (II) определения 18 с помощью
предложения 1.6.17.
Пусть л:06Ж, xo = limxn, где хп б 2) (А). Тогда T(f)xn-»T(f)x0
n->oo
и PT(t)xn—>{PT(t)}x0. Так как оператор Р замкнут, то
Ту)хо?®(Р) и P{T(t)xo} = {PT{t)}xo. Это доказывает (а). Что-
Чтобы доказать (с), положим 0<6<Л Равенство PT(f)x-=
= РТ (б) Т (t — 8)x показывает, что функция PT(t)x непрерывна.
Так как
log | рг (о |«log | рг (в) | + log | г(*-а) |,
ТО
Ш iogl7WI <Hm 'Og'7F)l +Hm
Таким образом, (с) доказано. Утверждение (d) следует из теоремы
Ш.6.20, ч. т. д.

/. Полугруппы операторов 673
21. Лемма. Пусть f— непрерывная функция, определенная при
1
t > 0, со значениями в X, причем \ |/(/)|df<oo. Если g(t) =
Pg(t)=\PT(t-s)f(s)ds,
О
и g и Pg — непрерывные функции t при t > О.
Доказательство. Интеграл, определяющий функцию g, сущест-
существует при всех />0, так как |Т(/)| ограничена в каждом конечном
интервале (лемма 3). При всех s</ вектор T(t—s)f(s)^^(P) по лемме
20. Таким образом, как только будет показано, что функция
s—>PT(t—s)f(s) интегрируема на интервале [0, /], из теоремы II 1.6.20
будет вытекать включение и формула для Pg(t). Из леммы 20(Ь)
и принципа равномерной ограниченности (II.3.21) следует, что
| РТ (•) | ограничена в любом интервале, не содержащем начала коор-
координат. Пусть Q<t1<t, так что функция s—>|PT(/—s) [ограничена,
а |/(-) I интегрируема на интервале 0<s< t1} в то время как |/(-)|
ограничена и s—> \ PT(t-s) |, по лемме 3 и определению 18A11),
интегрируема на интервале /t<s< /. Для проверки непрерывности
функции Pg при ^>0 положим 0<2б</0 и Мх = sup \PT(s) \ при
/0-26<5</0+6. Тогда | РТ(t - s) f (s) \ < Mt \ f (s) |, если |/-^0|< 6.
Поэтому, по следствию 111.6.16,
[*] lim [ PT(t-s)f(s)ds= [ PT(to-s)f(s)ds.
Далее,
t to
^PT(t-s)f (s) ds=^PT (s) f(t-s) X[0, t-6] (s) dsr
б 0
и если yW2=sup|f(s) | при б<5</0+б, то норма интеграла справа
ограничена числом M2\PT(s)\. Таким образом,
t to
lim [ PT(t-s)f{s)ds= [ PT{to-s)f{s)ds.
Соединяя этот результат с формулой [*], мы видим, что функция
Pg непрерывна в произвольной точке /0>0. Только что полученный
результат, примененный к случаю P—I, показывает, что функция
g непрерывна, ч. т. д.
43 Заказ JVs 1324

67А Гл. VIII. Приложения общей теории
22. Лемма Пусть f — непрерывная функция, определенная при
оо
t > 0, со значениями в Ж, причем \ e~®s | / (s) | ds < оо при некотором
о
оо
со. Яус/пь соо = lirn log \T(t)\/t и F(l)= [ e~^f (s) ds. Тогда при
Re (X) > max (со, соо)
oo
(I) R {%; A) F {%) = \ e~u [T(t-s)f (s) ds dt
0 0
и
oo t
(II) РЯ(А,; Л)/7(Л)= J e-^P J T{t-s)f(s)dsdt.
о о
Доказательство. Предположим, что Re (Я) > max (со, соо). Для
доказательства формулы (I) вспомним, что, согласно теореме 11,
ОО / ОО \
R (Я; A) F (X) = J er^T (t) J e-^/ (s) ds dt.
ук Г (^) / (s) непрерывна на произведении @, оо) х @, оо)
следовательно, измерима. По теореме Тонелли (III. 11.15), имеем
jR (X; A) F (X) = J e-^s J e~^T (f) / (s) Л ds.
о 'о
Далее, при каждом s делаем подстановку t—>(t—s) во втором инте-
интеграле и снова меняем порядок интегрирования. Таким образом,
оо оо
=^ J e-**T(t-s)f(s)dtds =
О s
оо t
= \ е-и \ T(t-s)f(s)dsdt.
о о
Утверждение (II) вытекает теперь из (I), леммы 22 и теоремы II 1.6.20,
ч. т. д.
Последние сведения, необходимые нам для доказательства тео^-
ремы 19, относятся к определенного типа интегралам, важным и
в других разделах математики* Мы приводим эти сведения в опре-
определении и леммах 23—25.

1. Полугруппы операторов 675
23. Определение. Пусть F и G — измеримые по Лебегу числовые
функции, определенные на (—оо, оо). Мы определяем функцию
F* С, полагая
= J F(t-s)G(s)ds
при всех значениях t, для которых интеграл существует. Функция
F*G называется сверткой функций F и G.
Заметим, что если F и G равны тождественно нулю при s<0,
то формула для F*G принимает вид
t
(F*G)(/)= \ F(t-s)G(s)ds.
о
В следующих двух леммах доказаны некоторые основные свой-
свойства свертки, которые будут использоваться в этом параграфе
и в дальнейшем.
[24. Лемма, (а) Если функции F и G принадлежат пространству
Ьх(—оо, оо) функций, интегрируемых по мере Лебега, то F*G опре-
определена при почти всех t, принадлежит Lx(—оо, оо) и \FxG\t < IFI^G^.
(b) Если FeL^—оэ, оо) и | G(t) | < М, то | (F*G) (/) | < М\ F |1#
(c) Пусть F и G определены при />0 и интегрируемы по Лебегу
t
на каждом конечном интервале. Тогда (F*G)(t)= \ F(t—s)G(s)ds
о
интегрируема по Лебегу на каждом конечном интервале.
Доказательство. Для доказательства утверждения (а) мы сна-
сначала покажем, что функция [s, t]—^G(t—5), определенная на пло-
плоскости (—оо, оо) х (—оо, оо), измерима относительно двумерной
меры Лебега.
Для любого подмножества Е вещественной оси положим, но
определению, р (Е) = {[s, t] \ s—t g Е}. Тогда р ( jj Е^ = Q Р №г)>
р(Е') = (р(Е))' и р@)=0. Так как р (Е) открыто, если открыто
?, то, очевидно, что р(Е) — борелевское множество, если Е — бо-
борелевское множество. Пусть теперь Е — борелевское множество
43*

676 Гл. VIП. Приложения общей теории
меры нуль. По теореме Фубини (II 1.11.9), имеем
-j-oo -\-co -|~°° -f-oo
\ \ %piE){s,t)dsdt= J J %B(s-t)dsdt =
—оо —оо —оо —оо
-|-оо -f-°° -f оо
I { \ %E(s-t)dsjdt= J O-dt = O.
—оо —оо
Таким образом, р(Е) имеет меру нуль, если Е имеет меру нуль.
Поэтому если множество Е лежит в лебеговском расширении ст-
стал гебры борелевских подмножеств прямой, то множество р(Е)
лежит в лебеговском расширении а-алгебры борелевских подмно-
подмножеств плоскости. Пусть U — открытое множество комплексных
чисел, E = {t\G(t)?U} и D = {Is, t}\G(t-s)? Щ. Тогда D = p(E),
и измеримость функции G(t—5) следует немедленно из II 1.6.10.
Пусть теперь F,G gL1# Тогда, по теореме Тонелли (III. 11.14),
+оо +ао +оо
J \{F*G){t)\dt= J | J F(t-s)G(s)ds\dt<
—00 —00 —00
+00 +00 +00 +00
< jj J \F(t-s)'G{s)\dsdt= J J \F{t-s)\\G(s)\dtds =
—00 —00 —00 —00
+00
—00
откуда следует (а). Доказательство (b) элементарно. Утверждение
(с) следует из (а), так как
где F1(/) = f@ и G1(/)=G(/) при 0</<р и ^ (/)=G1@=0 при
и ^<0, ч. т. д.
25. Лемма, (а) Если Fx и Gx— измеримые по Лебегу функции,
определенные на вещественной прямой, то F*G=G*F.
(b) Если Fy G и Н принадлежат Ьг{—оо, оо), то (F*G)*H=
= F*(G*H).
Доказательство. Утверждение (а) немедленно следует из равенств
+оо -foo
= 5 F(t-s)G(s)ds= J F(s)G(t-s)ds = {

1. Полугруппы операторов 677
Утверждение (Ь) следует из равенства
+ 00 +00
((F*G)*H){r)= [ { ^ F(s)G(t-s)ds\ H(r-t)dt =
t) V. %) J
—oo —oo
+ OO +OO
= J J G{t-s)F{s)H{r-t)dsdt =
—oo —oo
+oo +oo
— OO —OO
+ OO +OO
—оо —оо
G(t)H(r-s-t)dt}F(s)ds =
которое выполнено при почти всех г в силу предложения (а) тео-
теоремы Тонелли (III.11.14), так как
оо оо оо
J J \G(t-s)F(s)H(r-t)\drdtds = }H\1\G\1\F\1<co
—оо —оо —оо
и так как измеримость всех наших функций была доказана в первой
части доказательства леммы 24, ч. т. д.
Наконец, мы даем доказательство теоремы 19.
Доказательство теоремы 19. Пусть %(t) = \T(t)\n ip(t) = |РТ(t)|.
Тогда функции % и ty измеримы (см. лемму 3). Если со — любая
постоянная, большая, чем соо = lim log | T(t)\ /t,TO существует посто-
t-*co
янная Mo < оо, такая, что % (t) < М^ е®1 при t > 0. По лемме 3 и п.A11)
определения 18, \ ty(t)dt< oo при всех Р > 0. Положим ij)A) = aj)
о
и, по индукции, г^^г^71-1)*^. Из леммы 24(с) с помощью индукции
находим, что все функции г[)(гг) интегрируемы по Лебегу на каждом
конечном интервале положительной вещественной полуоси. Поло-
Положим х@)— Ъ x(n)=:X*'vl)(n)- И° лемме 24(с), функция %^ интегрируема
на каждом конечном интервале положительной вещественной полу-
полуоси.
Пусть S0(f) = T(t); определим по индукции
[*] Sn (t) x = [Т (t - 5) PSn^ (s) ds для х 6 Ж.
о

678 Гл. VIII. Приложения общей теории
Такое индуктивное построение законно, если мы докажем, что
(II) Sn(t)x непрерывна по t при t > 0, х?Ж\
(Hi) [s№(*)|<x(n)@;
(IV) PSn(t)x непрерывна по t при t > 0, х?Ж;
(V) |PSn@ |<i|}(n+l)(^).
При /2=0 все это либо очевидно, либо следует из лемм 20 и 21.
Предположим, известно, что (I)—(V) выполнены при п=т. Тогда
из (I), (IV) и (V) ясно, что интеграл в [*] существует при всех />0
и может быть использован для определения Sm+1. Утверждения (I),
(II) и (IV) для случая n=m+l тогда следуют из леммы 21. Далее,
t
= | S T(t-s)PSm(s)xds\<
О
О
t
По лемме 21,
t
что доказывает (III) и (V) для случая п = т+\. Следовательно,
(I) —(V) доказаны по индукции для всех п.
оо
Мы теперь получим оценку для ряда 2 %(п)@> который мажо-
0
2
п==0
оо
рирует ряд 2 |Sn(/)|.
п=0
По лемме 20(с), для каждого со> соо существует постоянная М^ <
< оо, такая, что i|) (t)=\ PT (t) \ < М^ е®1 при достаточно больших t.
С другой стороны, мы видели, что г|) интегрируема на каждом конеч-
конечном интервале положительной вещественной полуоси. Таким обра-
образом, если мы выберем сох достаточно большим, то
оо.

/. Полугруппы операторов 679
Следовательно, по следствию II 1.6.16,
оо оо
lim [ e~^{t)dt= lim \ e-(^-«i)«{e-<«>i4|)(/)}d/ = 0,
так что если со > с^ выбрано достаточно большим» то
Мы покажем теперь, по индукции, что
Это ясно для случая п—0. Предположим, что неравенство справед-
справедливо для данного п. Тогда, по лемме 25(Ь),
\ / > о.
Ясно, что lim S0(t)=I в сильной операторной топологии. Так как
t , t
то ясно, что %{n)(t)—>0 при t—>0 для /2> 1. Но поскольку |Sn(?)|<;
<Х(п)@» то и Sn(t)—>0 для /г> 1. Следовательно, если мы лоложйм
So@) = I, S,;@)=0 для /г>0, то функция Sn(t)x будет для всех х?Ж
непрерывна по / при t>0. Кроме того, очевидно, выполняется нера-
неравенство | Sn (t) | < М^уп Для t > 0 и п > 0.
оо
Отсюда следует, что ряд 2 Sn@ сходится абсолютно и равно-
п=0
мерно в каждом конечном интервале [0, р], и что
оэ
[**] S
n=0
оо
Пусть S(^)= 2 Sn(t)f t>0. Так как каждый член этого ряда сильно
0
п=0
0
непрерывен при t>0, то то же верно и для суммы S(t). Кроме того,
|S@|A)^^

680 Гл. VIII. Приложения общей теории
Остается показать, что S(t), ?>0, есть полугруппа ограниченных
операторов с инфинитезимальным оператором Л+Р, <&(А+Р)=
= 5) (Л). Для этого сначала заметим, что ввиду неравенства [**]
и II 1.6.16 мы имеем
оо оо
J e-**S(s)xds = 2 S e-bsSn{s)xdsy х?Ж; Re (X) > со.
О п=0 О
По лемме 22A),
J -^Sn (s) x ds = /? (А,; Л) ^ e-^PS^ (s) x ds.
о о
Теперь повторное применение леммы 22A1) дает
оо оо
\e~^Sn(s)xds = R(K; A)PR(K; A) [
Следовательно,
J -4S (s) x d5 =
О п=0
По лемме 20(d) и 18A),
о
Таким образом, ряд 2 [^Я (^» л)]п сходится абсолютно. Пусть
п=0
Ф(Л+Р)=Ф(Л). Вспоминая, что /?(Я; Л) Ж=Ф (Л), имеем
оо
[U-A-P)R(k; A) 2
п=о
| [( Л)]"х- ! [Я/?(Л;
?г=0 п=\
Кроме того, если х^^(А)у то
R (*; ^) ( S [^ (^; ^)Г) (М - л - Р) х^
п=0
71=0
R(X; A) § [Я/? (Л; А)]пРх = х.
п=0

1. Полугруппы операторов 681
Таким образом, оператор ^/—Л — Р с областью определения Ъ(А)
оо
имеет ограниченный обратный R (А,; А) 2 [PR (К A)]v. СлеДОВатеЛЬ-
но, А+Р замкнут и
Rfa А) 2 [PR (Ь; Л)]* = #(*,; Л + Р).
Заключение теоремы 19 теперь вытекает из следствия 16, ч. т. д.
Пример. В качестве примера приложения теоремы 19 мы рассмот-
рассмотрим пространство С[ — оо, оо] и группу сдвигов {T(t)}f определенную
равенством T(t) (x, s)=x(t+s)\ эта группа имеет инфинитезимальный
оператор A = d/ds (см. примеры после следствия 17). Рассмотрим
оператор A2=d2/ds2, область определения которого (см. VII.9.6)
состоит из всех функций xgC[ —оо, оо], таких, что х' и х" принад-
принадлежат С [ — оо, оо]. Замкнутость оператора А2 была доказана в тео-
теореме VII.9.7. Легко видеть, что многообразие 2) (А2) плотно. Так
как выше было отмечено, что спектр о (А) есть мнимая ось, то о (А2)
совпадает с отрицательной вещественной полуосью (см. VI 1.9.10).
Если Я>0, то ввиду теоремы VII.9.5
; A2)=-R(V"l', A)R{-Vl; A).
Следовательно, \R(k\ A2)\ <Аг\ Я>0, и из следствия 14 вытекает,
что оператор А2 порождает сильно непрерывную полугруппу
T(ty Л2), удовлетворяющую условию \T(t\ Л2) |< 1.
Мы найдем явное выражение для Т (t; А2). По теоремам VII.9.4
и VII.9.5,
где Сх и С2 — достаточно малые положительно ориентированные
окружности около точек [х=—)/Х и |я=У"Х соответственно. Сделав
подстановку
оо
R (|г, Л) (*, s) = J <г^'л; (t + s) dt, Re (ji) > 0,
о
0
в-^'д; (^ + s) Л, Re (\x) < 0,
—oo
и подсчитав вычеты, получаем формулу
J? -1* I /x
/? (Я; А2)\х, s)= \ j=- x(s4-/)d/, — оо<5< оо.

682
Гл. VIII. Приложения общей теории
Теперь сделаем подстановку
e-\t\V*>
Улг
-dr
и изменим порядок интегрирования, используя теорему Тонелли
(II 1.11.14); при этом получаем
R (К; А2)(х, s)=
Однако мы знаем из теоремы 11, что
Я (Я,, А*)(х, s)=
s)dr,
и, применяя лемму 15, находим
Т(г,
(х, s) = —1=
1 у ЯГ
0.
Пусть теперь h?C[ — оо, оо] и Р — (неограниченный) оператор,
определенный следующим образом:
(a) Область определения Р состоит из всех х?С[ — оо, оо.],таких,
что х имеет непрерывную производную в окрестности каждой точки
/0, где А(/0)=?0, и таких, что А(/)л:'(/)€С[ —оо, оо].
(b) Для *6Ф(Р), (Px)(t)=h(t)xf (/). Легко видеть, что оператор
Р замкнут.
Проверим теперь условия определения 18, чтобы показать при
помощи теоремы 19, что оператор А2+Р с областью определения
Ф (Л2) порождает некоторую полугруппу. Ясно, что ф (Л2) г^Ф (^)-
Если *6Ф(Л2) и />0, то
|^ , 5)
\
\ H-s)e-(l
Таким образом, условия (II) и (III) также выполнены. Ввиду леммы
7(Ь) для любого *О6Ф(Л2) функция
y(s, t) = T(t; A* + P){xo,s)

2. Функции инфинитезимального оператора 683
есть решение задачи Коши:
A) 4гу& V = &y(s> 0 + A(s)A^(s, t\
B) \\my(s, t) = xo(s) равномерно по 5.
Ясно, что тем же методом можно было бы установить существо-
существование решения задачи Коши для многих других уравнений, таких,
например, как упомянутое во введении к этой главе (при условии,
что ядро К определяет ограниченный линейный оператор), или для
такого:
(П 4гУ^ /)==-&УE' t) + hi(s)^ry(s, t) + h2(s)y{s,
B') limyE, t) = xo(s) равномерно по s
при любых Ах, /i2GC[ — оо, оо] и
2. Функции инфинитезимального оператора
В параграфеЭ гл. VII показано, какм жно построить операторное
исчисление для неограниченного замкнутого оператора А с непустым
резольвентным множеством. В частности, для каждой функции /,
аналитической на о(А) и в бесконечности, мы так определили огра-
ограниченный оператор f(A)y что отображение/—>/(Л) было гомоморфиз-
гомоморфизмом. В этом параграфе мы предполагаем, что А — инфинитезималь-
ный оператор сильно непрерывной группы операторов Г(/),
— оо< /<оо, и показываем в этом случае, как можно определить
ограниченный оператор f(A) для более широкого класса функций /.
Этот класс функций будет содержать функции, аналитические на
спектре а (Л), но необязательно аналитические в бесконечности.
Функции, рассматриваемые нами, представляют собой двусторон-
двусторонние преобразования Лапласа—Стильтьеса. Мы изучим также обра-
обращение этих операторов при помощи пределов многочленов от А.
Во всем этом параграфе мы считаем, что Г(/), — оо</<оо,—
сильно непрерывная группа ограниченных операторов в комплекс-
комплексном В-пространстве Ж, а А — ее инфинитезимальный оператор.
Мы напомним (см. 1.17), что существуют положительные постоян-
постоянные Мим, такие, что | Т (t) \ < Me <° I'« и спектр инфинитезимального
оператора Л лежит в вертикальной полосе — со < Re (А,) <со. Кроме
того,
— \ e~%tT{t)xdt,

684 Гл. VIII. Приложения общей теории
Мы начнем наш анализ с рассмотрения двустороннего преобра-
преобразования Лапласа — Стильтьеса.
1. Определение. Обозначим через if (А) семейство всех конечных
комплекснозначных мер C, определенных на борелевских множест-
множествах в ( — оо, оо) и таких, что
со
J g«H-e>nio(p; dt)< со,
где е — положительное число (которое может меняться вместе с ме-
мерой C). Функция
f(X)=
называется двусторонним преобразованием Лапласа — Стильтьеса
меры р. Обозначим через Т\А) семейство двусторонних преобразо-
преобразований Лапласа мер §?if(A). Если мера |5 из if (А) абсолютно непре-
непрерывна относительно меры Лебега — Стильтьеса и если F — функ-
функция из L1(—оо, оо), определяемая теоремой Радона — Никодима
(III.10.2), т. е. такая, что Р(?)=\ F(s)ds, то функция
Е
/(*,)= J e~^F{t)dt
называется двусторонним преобразованием Лапласа функции F.
Мы теперь докажем некоторые основные факты о преобразова-
преобразованиях Лапласа — Стильтьеса.
со
2. Лемма. Если f?T(A) и f(X)= С e~M$(dt), то функция f
— со
аналитична в полосе —(со+е) < Re(^)< (со+е). Меры, определенные
на всех борелевских множествах Е равенствами
$ л = 0, 1, 2, ...,
Е
принадлежат if (А), и
. со

2. Функции инфинитезимального оператора 685
Доказательство. Для всех п и 8Х<8 существует постоянная К
такая, что
||<| -oo<t< со.
Поэтому, так как Р?<^(Л),
—оо
и(р, dt)< оо
р
Поскольку |e-»i'-e-Jtl||ji-^|-1<|^|e('B+e)IM при |Re(a,)|O+e,
a |Re(X,)|<©+8, то, согласно III.6.16 и III. 10.6,
| Re (Я) | < и+ в.
Таким образом, функция / аналитична при |Re(X)|< со+е, и
, I Re (Я,) |< со+ е.
Ясно, что, повторяя по индукции только что приведенное рассу-
рассуждение, мы покажем, что
Ч. Т. Д.
f(">(k)= J e-«p(»)(d/), | Re (X) |< со + е,
3. Определение. Пусть a, $?cf(A); обозначим через аХр про-
произведение мер, определенное на (— оо, оо)х(—оо, оо) (см. пара-
параграф III. 11). В начале доказательства леммы 1.25 было показано,
что если Е — борелевское подмножество вещественной прямой, то мно-
множество Р(Е) = {(х, у) | х+у?Е} есть борелевское подмножество плос-
плоскости. Для всех борелевских подмножеств Е вещественной прямой
положим у(Е) = (аХ$) {Р (?)}. Мы называем меру у сверткой мер
а и р и пишем Y=a*p. Ясно, что мера у определена на борелевских
множествах и а*р=р*а. Пусть теперь Elt..., ^—непересекающиеся

686 Гл. VIII. Приложения общей теории
борелевские множества, так что
2 2 2*Р, ?t).
2(
г=1
Из этого неравенства и леммы III. 11.11 следует, что
v (Y, E)<v(a)xv (р) (Р (Е)) = v (a)w (p) (Е)
для всех борелевских множеств Е на вещественной прямой. Согласно
лемме III.10.8 (Ь) и теореме III.И.13,
[*] \ F(r)y(dr)= \ [ F(s + t)a(ds)$(dt),
—со —со —сю
если функция F у"интегРиРУема-
Наконец, мы заметим, что, по теореме Фубини,
со со со
Y(?)= I J XE{s+t)a(ds)P(dt)= J a(E-t)$(dt).
—СО —СО —СО
4. Лемма. Пусть а и Р — меры из of (А) с двусторонними
преобразованиями Лапласа—Стильтьеса fug. Тогда Y=a*p б of {А) и
Доказательство. Так как вариации мер у, аи Р связаны соотно-
соотношением v(y, ?)< v(a)*v(fl) (?"), то
—со —оо
со
И
по теореме Фубини, и, таким образом, у€<?Р(А). Если е достаточно
мало, то из формулы [*] видно, что при | Re (к) | < со+е мы имеем
\ e-My(dt)= J \
. т. д.

2. Функции инфинитезимального оператора 687
5. Определение. Пусть f?T(A) и
оо
= J e~Ma(dt), -(co + e)
где а? of {А). Если Л — инфинитезимальный оператор сильно непре-
непрерывной группы T(f)y то мы определяем оператор f {А} равенством
оо
x=\j T(-t)xa(dt), x?X.
Так как \T(t) |<M^°lfl, приведенная выше формула показы-
показывает, что
Таким образом, оператор f{A} ограничен. Мы заметим, что при
всех t0 функция fto (k) = ext<> б Т (А) как преобразование меры, кото-
которая принимает значение единица в точке t= — t0 и обращается в нуль
на всех борелевских множествах, не содержащих—t0. Более того,
//0{Л} = Г(/0).Если |Re(X)|> со, то функция fa, определяемая равен-
равенством fa(^)=(a—К)'1, принадлежит Т{А), так как
о
aS j о
- ^ er-**(f*dt. Re (a) > Re (Я).
\ —ОО
Кроме того,
О со
/а{Л}=- j eatT(-t)dt= ^e-atT{t)dt =
—оо О
= /?(a;i4), Re(a)>co,
и аналогично
fa{A} = R{a;A), Re(a)<-(o.
6.Теорема. Если fug принадлежат Т{А), mo a/, f+g и
также принадлежит 7* (А), и
(a) (а/) {Л}=а/{Л};
(b) (Ж?)И}=/{Л)+?{Л};
(c) ifg)(A}=f{A}g{A}.

688 Гл. VIII. Приложения общей теории L____
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) очевидны ввиду линейности
формулы, определяющей оператор f{A}. Для доказательства (с)
заметим, что для любого линейного функционала л:* ? Ж*
—оо
оо оо
x*f{A}g{A)x = x* $ T(-s)g{A}xa(ds) =
О
оо
T(-s) 5 T(-t)xp{dt)a(ds) =
—оо
x*T(-s-t)x$(dt)a(ds) =
= J x*T{-r)xy(dr),
—CO
со
где у = а*|3. По лемме4, (fg)(k)= ? e~uy(dt). Таким образом,
ч. т. д.
Для f^T* (А) и х ? Ф (А2) мы получим в двух следующих леммах
формулу для f {A}x. Эта формула позволит нам связать операторное
исчисление для оператора А с построенным в параграфе VI 1.9 и
будет использована при дальнейшем изучении обращения свертки
преобразований.
Условимся для любого вещественного числа с обозначать через
Гс бесконечный контур, состоящий из двух вертикальных прямых:
прямой X = c-}-iT, — оо <т< оо, направленной вверх, и прямой
А»= —c+ix, —оо<т<оо, направленной вниз.
7. Лемма. Пусть а—комплексное число и с—вещественное
число, выбранные так, что со < с < | Re (а) |. Тогда для
г*1
Гс
Доказательство. Сначала мы заметим, что так как R (к\
t, то \R(K; A)\<K ^et*-**{Wdt при Re(X)>co;
о о
поэтому функция | R (X; А) \ равномерно ограничена в каждой полу-
полуплоскости Re(^) > (о+8. Аналогично функция | R (к; А)\ равномерно
ограничена в каждой полуплоскости Re (к) < — со — г. Таким обра-
образом, подинтегральная функция в [*] порядка | ^|~2 при | Х\—> оо,
так что интеграл в [*] вполне определен. Пусть xk'&iA2), и пусть

2. Функции инфинитезимального оператора 689
B(t)x обозначает интеграл в равенстве [*]. Предположим сначала,
что ^>0. Тогда если Re(|i)>c, то
-?5 "'
1 С R(k\ A) (a! — ,
2т } (и,— X) (а—
Подинтегральная функция в последнем интеграле есть 0(|^|~3) при
1X1—>оо в полуплоскости Re(>0 > с, а также в полуплоскости Re(k) <
<—с. Таким образом, используя теорему Коши, мы можем заменить
контур Гс двумя маленькими отрицательно ориентированными
окружностями около Х = а и X=\i соответственно и, вычисляя
вычеты, получить
о
_ R(a; А)Ца! — АJх = —х __ (а/ —Л)х i? (jut; Л) (а/-ЛJ л
а—|и а —|и (а —М<J (а—М-J
Тогда последовательная подстановка в тождество
A)x+
' ex—jli ' a—\i
показывает, что
о о
Применяя с обеих сторон линейные функционалы, получим, по лемме
1.15, что B(t)x=T(t)x, х?Ъ>(А2), t>0.
Применяя такие же соображения к полугруппе Т(—/), которая
имеет инфинитезимальный оператор —А, мы видим, что
; -A)(a!-A)*xdi. f n
Заменяя —А, на X и вспоминая, что R (—К\ —А)=—R (k\ Л), убежда-
убеждаемся в том, что
Подставляя —а вместо а и —t вместо t, получаем
Т/Л у-,1 f eMR(X\ A) (a/ - ЛJ х dX
Таким образом, T(t)x—B(f)x при всех вещественных ^, ч. т. д.
44 Заказ № 1324

690 Гл. VIII. Приложения общей теории
8. Лемма. Если f?T(A) и | Re (a) | > с> со, то
= 1R'
Гс
где число с таково, что со<с<| Re а | и функция f аналитична на коп-
коптуре Гс.
оо
Доказательство. Так как f(k) = \ е—*ф (dt) для некоторой меры
—оо
р?сУ (Л), то, по лемме' 7,
J_ Г f(X)R(k; A){al — AJxdk =
- 1 Г К g"Xf/?(X;i4)(g/
—оо Гс
оо
Теорема Фубини применима здесь, так как \ e^+^Wv (p, df) < оо
—оо
при е > 0, и, как было показано в первом абзаце доказательства
леммы 7, функция |/?(А,;Л)| равномерно ограничена на контуре
Гс. Таким образом, существует постоянная К < °°> такая, что
:Ке^{\Ц+\у\ ч, т. д.
9. Лемма. Если С—замкнутый оператор с плотной областью
определения и непустым резольвентным множеством, то ф (Сп)
плотно в Ж при любом натуральном п.
Доказательство. Если а б q (С), то Ф (Сп) = ф ((а/ — С)п) =
=(/?(а; С))Ч3?. Таким образом, если **(Ф(СЛ))=О, то [(/?(a; C)I*]*jc* =
- [/? (а; С)*]ах*=0. Равенство /? (а; С) *у*=0 влечет у* (ф (С))=0э
а так как Ф (С) всюду плотно, то отсюда следует, что у*^. Поэтому
равенство (R (а; С)*)гх*=0 влечет л:*—0. Доказываемое утвержде-
утверждение вытекает теперь из теоремы Хана — Банаха, ч. т. д.
10. Теорема. Есл : f?T(A) и аналитична в бесконечности, то
f {А} равен оператору f (А) определения VII.9.3.
Доказательство. Пусть функция / принадлежит Т{А), так что /
аналитична в полосе | Re(^) |< со+е, и пусть / аналитична в бес-

2. Функции инфинитезимального оператора 691
конечности. Тогда особенности f образуют два ограниченных мно-
множества Нг и Я2 в правой и левой полуплоскостях соответственно.
Выберем а так, что Re (а; > со + е, и пусть Сх и С2 — две простые
замкнутые отрицательно ориентированные жордановые кривые,
такие, что Сх содержит Нх \] {а}, С2 содержит #2; a Cx и С2 не пере-
пересекаются с прямыми Re(k)=±((d+c), 0 < с< е.
Мы напомним, что оператор g(A) задается формулой (см. тео-
теорему VII.9.4)
g(A)^g{co)I + ±
Пусть g(K)=f (к) (а — К)'2. Тогда если хб® (Л2), то, используя
операторное исчисление параграфа VI 1.9 (см. теорему VI 1.9.5),
получаем равенство
2(a; A){al-AJx =
~2ni
Так как функция / ограничена в окрестности бесконечности, подин-
тегральная функция есть 0{\ к |) при |Х|—> оо, | Re(^) | > с. Таким
образом, мы можем заменить контур Сг+С2 в последнем интеграле
контуром Гс. Из леммы 8 следует, что f(A)x=f{A}x при х? Ф (Л2).
По лемме 9, ф (Л2) плотно в Ж, а так как операторы f(A) и / {Л}
ограничены, /(Л)=/{Л}, i. т. д.
Мы рассмотрим теперь задачу обращения оператора вида f{A}.
Задача эта усложняется тем фактом, что обратное преобразование,
если оно существует, обычно неограничено и не может быть прямо
построено при помощи операторного исчисления, имеющегося в нашем
распоряжении. Однако, если можно найти такую последователь-
последовательность многочленов от X, что limpn (X)f(k)=l на спектре а (Л), то
п-»-оо
можно было бы ожидать, что llmpn(A)f{A}x=x для всех х?Ж.
п->оо
Приведенная ниже теорема 13 дает достаточные условия для спра-
справедливости формулы обращения такого типа.
11. Лемма. Пусть р — многочлен от % степени /я, и пусть функ-
функции f и pf обе принадлежат Т{А). Тогда f {А} Ж [I® (Am)
и p(A)f {A}x=(pf){A}x для х из Ж.
Доказательство. Предположим сначала, что х?Ъ (Ат+2).
По теореме 6, теореме 10 и лемме 8,
Гс
44*

692Гл. У111. Приложения общей теории
Полагая р(А,)= У аг(а—КI и снова используя теорему 6, тео-
рему 10 и лемму 8, мы получаем
Гс ~i=0
m
У a R™'1 (a- A)\ — [ f (k) R &'> A) (aI- AJx
i=0 Гс
m
= {i?m (а; Л) ^ «i (a/ - ЛL| р (Л) / {A} x =
i=0
Следовательно, (р/){Л} х = р (A)f{A} x для a: g ® (Лт+2). Пусть
теперь * ?Ж, и пусть л:п g ф (Лт+2), л:п—>л: (см. лемму 9). Тогда
/{Л}х,->/М}хир(Л)/{Л}л:п = (р/){Л}^->(р/){Л}^ Так как
оператор р (Л) замкнут на 1) (Ат) (теорема VII.9.7), отсюда следует,
что f{A}x?®(Am) Kp(A)f{A}x = (pf){A}x. Так как ф (Лт) всюду
плотно (лемма 1.8 и лемма 9), это равенство выполнено для всех х
из Ж, ч.т. д.
12. Определение. Последовательность многочленов рп (X) назо-
назовем обращающей последовательностью для функции f ?T(A), если
(a) функции \p4f] принадлежат Т{А)\
(b) | Рп (^) / (^)| < М и lim pn (А,) /(Я)= 1 в полосе | Re (X]\ < со + е;
(с) \(p,J){A}\<M, n=l,2....
13. Теорема. ?сла {рп}—-обращающая последовательность для
функции f из У (А), то
lim pn(A)f{A}x = x, х?Ж.
г?->оо
Доказательство. Положим сначала, что х?%(А2). Согласно
леммам 8 и 11,
Гс
при со < с < | Re (a) | и достаточно малом (зависящим от п) с— со.
Мы предположили, что \рп(Х) f (k)\^M в полосе | Re (X) \ < со -fe,
где е не зависит от п. Из первого абзаца доказательства леммы 7
видно, что функция | R (Х\ А) \ равномерно ограничена в любой полу-
полуплоскости Re (X) > со +-е и любой полуплоскости Re (к) < — (со + е).

2. Функции инфинитезимального оператора 693
Поэтому интегральная теорема Коши показывает, что в формуле [* ]
за с мы можем взять любую вещественную постоянную между со
и | Re (ос) | при условии, что с< co-f-e. Таким образом, нет необхо-
необходимости считать с зависящим от п.
Применяя следствие II 1.6.16, видим, что
Г
R(k;
Гс
так как (лемма 8) интеграл справа равен g {A} х, где функция g тож-
тождественно равна единице. Так как преобразования (pnf) {А} предпо-
предполагаются равномерно ограниченными и ф (А2) плотно в Ж, то дока-
доказываемая теорема следует из теоремы II.1.18, ч.т.д.
Очередное следствие показывает, что когда Ж рефлексивно,
обращающая последовательность характеризует область изменения
оператора / {А} достаточно просто.
14. Следствие. Пусть Ж рефлексивно и {рп} — обращающая
последовательность для функции f?T{A). Вектор х лежит
в области значений оператора f {А} тогда и только тогда, когда
(Рп (^)) пРи всех п и последовательность {рп (А) х] ограничена.
Доказательство. Мы знаем из предыдущей теоремы, что если
f{A}ууто \\тра{А)х =#,так что последовательность {рп(А)х}
ограничена. Для доказательства обратного утверждения положим,
что {рп (А) х) ограничена. Так как ЗЕ рефлексивно, мы можем выбрать
подпоследовательность целых чисел {п{} и вектор у, такие, что
х*рп. (А)х—>х*у при всех л:* б Ж* (см. П.3.28). Мы покажем, что
{}y
Имеем
х*/{А} рщ (A)x = f {А}*х*рп. (А) х-» x*f {А} у.
Однако если л:е® (рп. (А)OтоТ(()х^(рщ(А)) при —
согласно лемме 1.7, и
n.(A)x= J T{-t)pni(A)xa{dt) =
— оо
оо
= рп.{А) \ T(-t)xa(dt) = pn.(A)f{A}x
— оо
по теореме III .6.20. Таким образом, рп. (A)f{A}x—>x потеореме 13„
так что x*f {А}у = х*х для х* б Ж* и * = /{ у, чА}. т. д.

694 Гл. VI П. Приложения общей теории
Примеры. Пусть Ж —одно из пространств С[ — оо, оо] или
Lp( — 00,00), 1<р< 00, рассмотренных в примерах § 1, и пусть
Т(/) —группа сдвигов T(t) (x, s) = x(t + s) с инфинитезимальным
оператором A =d/ds. Мы напомним, что спектр о (А) есть мнимая'
ось. Если /(Я)= ^ е~и $(dt)?T (Л), то преобразование f {А}
—оо
принимает обычный вид «свертки»
со
\f{A}x]{t)= J x(t-s)$(ds).
В частности, если р абсолютно непрерывна относительно меры Лебега,
так что р (?) = \ F (/) d/ при некоторой функции F из Lx (— 00, 00),
то функция f есть двустороннее преобразование Лапласа от F и
Преобразование Стильтьеса
со
—со
дает пример к теореме 13 об обращении. В этом случае
И 41
Так"как
мы выбираем
Функции pn(k)f(k) представимы в виде
cos nX = Д j 1 —

3. Упражнения 695
где, как можно показать, ядра Gn положительны. Таким образом
со
|(ДЛИ}|< $Gn(*) Л = (/>„/) @)=1, n=l,2
— оо
Следовательно,
по норме любого из пространств Lp( —оо,оо), 1<р<оо, или
С [—- оо, оо]. Функция у ? Lp(—оо,оо), 1 <р < оо, имеет пред-
представление
- оо
тогда и только тогда, когда последовательность {pn{dldt)y(t)} по
норме ограничена. Ссылки на аналитические детали и дальнейшие
приложения могут быть найдены в замечаниях в конце главы.
3. Упражнения
1. Пусть Т(?) —-полугруппа ограниченных операторов в Ж,
такая, что функция х*Т (t) (х) непрерывна на [0, оо) при всех х? X
и л;* ? Ж*. Доказать, что Т (t) сильно непрерывна на [0, оо).
В упражнениях 2—9 Т (/) — сильно непрерывная полугруппа
ограниченных операторов, определенная на интервале [0, оо). Опе-
Оператор А — инфинитезимальный оператор полугруппы T(t).
2. Предположим, что lim t"x[T{t)x — x] ==y слабо. Доказать, что
/->о
lim t'1 [T (t) x — x] = у сильно и, таким образом, х^^(А).
оо
3. Доказать, что f) ^(Ап) плотно в Ж. (Указание: пусть <Ж"-
обозначает класс функций К из С°° @, оо), каждая из которых обра-
обращается тождественно в нуль вне компактного подмножества @, оо).
Доказать, что если $ = jy|y= J К (f)T(t)xdt, К ?Ж,х?&У то®
о
оо
плотно в Ь|)с П ф (Лп).
п=1
4.(а) Доказать, что lim XR (к\ А) х=х при| Я, | —> оо, | arg X | < я/2;
Я

696 Гл. VIII. Приложения общей теории
(Ь) доказать, что если х?%(Ап), то
n-i
при |А,|—>оо, |arg^|<^/2.
5. Доказать, что если t > 0 и с > со, где со = lim log \T (t) | //, то
x = \\m^- \ \\—Ш
равномерно в каждом интервале [е, 1/е], е > 0. Показать, что при
t = 0 предел равен х/2.
6.(а) Показать, что
c-fioo
J J ^
с—ioo
для л:б®(^42) и Я,>с>(о, где со определяется как и в преды-
предыдущем упражнении;
(Ь) доказать, что если t > 0, то
A^)\kх, х^Ж.
7. Доказать, что если ?>0 и х?%(Ап), то
n-i <
fc=0 0
. Доказать, что если лг?©(Лп), то
п—1
k
9. Определим разности
(O S (
показать, что если />s, то
и предел существует равномерно по / в любом конечном интервале.

3. Упражнения 697
10. Пусть Е*1 — множество точек 5 = [sl9 . .., sn] евклидова az-мер-
az-мерного пространства с неотрицательными координатами st. Пусть
T(s)9 s ? ?"" — семейство ограниченных операторов, удовлетво-
удовлетворяющее условиям
= T(s)T(t),
Пусть hi = @, ..., 0, /г, 0, . .., 0) — вектор из ЕЧ с ft > 0 на i-м месте
и нулями на остальных. Пусть А (/г, Vj^h'1 [Т(кг) — I] и ©(Л^ —
область определения оператора, задаваемого формулой
Atx= lim Л (ft, /)x
п
там, где этот предел существует. Доказать, что П ® (Л{) плотно
в Ж и в1
r(s)jc=lim [I esiA(h>i)x, х?Ж.
11. (Вейерштрасс.) Пусть х—непрерывная комплекснозначная
функция, определенная на компактном подмножестве К эвклидова
n-мерного пространства. Тогда х является равномерным пределом
многочленов от п переменных. (Указание: пусть 3? — 5-простран-
ство всех функций, равномерно непрерывных на Еп с равномерной
нормой; предположим, что К^Е™. Определить полугруппу
Т (t) (x, s) —x(t-\-s) для / g Е™ и воспользоваться результатом упраж-
упражнения 9.)
12. Пусть Ж = ^р( —я, я), 1<р< оо. Показать, что семейство
операторов, определяемое равенством
является сильно'непрерывной полугруппой на [0, оо). В эквивалент-
эквивалентной форме
T(t)(x, s)=2^-|n" xne™,
если
оо Я
х\
—я

698 Гл. VIII. Приложения общей теории
13. Пусть X = Lp(—я, я), 1<р < оо. Показать, что семейство
операторов, определяемое равенством
—я
оо
где 03(s, t) = 1+2 2 e~n2t cosns, является сильно непрерывной
n=l
полугруппой на [0, оо). В эквивалентной форме T(t)(x,s) =
со оо
= 2 xne~n2t+ins, если х (s)— 2 *n?ins- Показать, что инфинитези-
—оо — оо
мальный оператор полугруппы Т(t) есть оператор Л, область опре-
определения 2)(Л) которого состоит из всех периодических функций/
периода 2я с абсолютно непрерывными первыми производными и вто-
вторыми производными /", лежащими в Lp, и который определяется
формулой Af = /" для / б ф (А).
14. Пусть Х = Lp(— оо, оо), 1 <р < оо. Показать, что семейство
операторов, определяемое равенством
5) —
является сильно непрерывной полугруппой на [0, оо).
15. Пусть 3? = Lp(— оо, оо), 1 <р < оо. Показать, что семейство
операторов, определяемое равенством
является сильно непрерывной полугруппой на [0, оо). Показать, что
инфинитезимальный оператор полугруппы T(t) есть оператор Л,
область определения ф (А) которого состоит из всех функций / g Lp
с абсолютно непрерывными первыми производными а со вторыми
производными f"9 лежащими в L , и который определяется форму-
формулой Af = f\ /6Ф(Л).
16. Пусть 3? = Lp@, со), 1<р<со. Пусть T(t)(x%s)=x(t + s),
х 6 Ж. Показать, что Г @ — сильно непрерывная полугруппа,
инфинитезимальным оператором который является оператор
Л^/^П(Л){^|Н(ХH}(Г@) {^||^|1}
если t > 0.
17. Пусть А и В —замкнутые линейные операторы в комплекс-
комплексном В-пространстве с непустыми резольвентными множествами.
(а) Если Хо ? q (А) и оператор R (Хо; А) вполне непрерывен (слабо
вполне непрерывен), то и R (к; А) вполне непрерывен (слабо вполне
непрерывен) при всех Я(Л)

4. Эргодическая теория 699
(b) Если ?)(?) ^*?>(А) и если при некотором A,0?q(/4) опера-
оператор R(kQ]A) вполне непрерывен (слабо вполне непрерывен), то
и R (|ы; В) вполне непрерывен (слабо вполне непрерывен) при всех
|i 6 Q (В).
18. Пусть А — инфинитезимальный оператор сильно непрерыв-
непрерывной полугруппы на [0, оо). Если В?В(Ж) и оператор R (Х\ А)
вполне непрерывен (слабо вполне непрерывен) при некотором
Х? q {А), то R (|х; А+В) вполне непрерывен (слабо вполне непреры-
непрерывен) при всех \i?q(A + B).
19. Показать, что уравнение в частных производных
dx(s,t) dx(s,t)
\ е'и*х (и, t) du,
dt ~~ as
б
lim x(s, t) = xo{s),
имеет решение для любой функции хо?С [0, оо], у которой
20. Показать, что уравнение в частных производных
оо
dx(s,t) d*x(s,t) . _а д
dt дх*
lim x(s, t) = xo(t)9
имеет решение для любой функции хо?С [ — оо, оо], у которой
x'Qy x"Q ? С[ — оо, оо].
21. Пусть ЭЕ = С[— оо, оо] и A—d/ds с областью Ф(Л) =
= {х\хг (Об С[ — оо,оо ]}. Показать, что замкнутый оператор Л3
не является инфинитезимальным оператором ни для какой сильно
непрерывной полугруппы ограниченных операторов.
4. Эргодическая теория
Основной математический вопрос в статистической механике
Гиббса — Больцмана относится к существованию определенного
типа средних по времени. Задача может быть сформулирована
в абстрактных терминах следующим образом: мгновенное положение
механической системы описывается путем выделения точки в «фазо-
«фазовом пространстве» S. Предполагается, что механическая система
управляется классическими уравнениями Гамильтона и подчи-
подчиняется, таким образом, принципу научного детерминизма, т. е,
известно, что начальное положение х по прошествии t секунд пере-
переходит в однозначно определенное новое положение у. Так как у
однозначно определяется по х и /, то равенством у = фДх) на S

700 Гл. VIII. Приложения общей теории
определяется функция ф, со значениями в 5. Предполагается, что
для всех точек х фазового пространства и всех значений времени s
и / поток ф, обладает свойством
Тождество (I) может быть доказано для некоторых механических
систем; в частности, его легко проверить, если функция Гамильтона
не зависит от времени. Далее, любая числовая величина, определяе-
определяемая мгновенным положением механической системы (например,
сила, с какой действует данная система, которая предполагается
большим собранием газовых молекул, содержащихся в сосуде),
задается вещественной функцией /, определенной на 5. Если началь-
начальное положение системы определяется точкой х в S, то значение
величины f в момент времени / будет равно f(q>t(x)). Величина
/(ф, (х)) обычно очень быстро колеблется с изменением /, как, напри-
например, в том случае, когда мы рассматриваем силу, с какой действуют
молекулы газа на стенку содержащего их сосуда, так как эта сила
зависит от числа молекул, отражающихся от стенки в произвольный
момент времени. Важна же и измерима в лаборатории не величина
fjlq>t(x))9 а ее среднее значение
(И), -rlf(<ti{*))dt,
вычисленное за некоторый интервал времени 0</<7\ Обычно
величина Г, которая определяется инерциальным характером «мак-
«макроскопических» инструментов, таких, как барометры, термометры
и т. д., весьма велика по сравнению с естественной скоростью изме-
изменения состояния рассматриваемой механической системы. Можно
ожидать, например, что молекулы газа, находящегося в сосуде,
за каждую секунду проходят тысячи футов и отражаются от стенки
миллионы раз. Таким образом, с физической точки зрения время
опыта Т достаточно велико, чтобы среднее значение на отрезке
[О, Т] давало хорошее приближение для предела
(III) lim ~
Т->оо Т о
который в физических теориях предполагается существующим.
Таким образом, перед математиком ставится задача определить,
существует или нет предел (III). Следующие четыре параграфа посвя-
посвящены изучению этой задачи и различных ее обобщений, которые
возникают в теории стохастических процессов.
Следует заметить, что эта задача представляет интерес преиму-
преимущественно для математика. Для химика или физика главный

4. Эргодическая теория 701
вопрос —и вопрос, который еще нуждается в удовлетворительном
исследовании,—состоит в определении того, когда предел в (III)
равен постоянному среднему по пространству
I f{s)\i{ds)
(IV) " -2-рщ ,
взятому относительно обычной меры Лебега \х в фазовом простран-
пространстве 5. Если механическая система обладает этим свойством, ее назы-
называют эргодической. Со времен Больцмана были сделаны различные
физические предположения, известные под названием эргодических
гипотез, достаточные для того, чтобы гарантировать эргодичность
системы. В дальнейшем мы увидим, что системы, которые метрически
транзитивны в смысле Дж. Биркгофа, эргодичны, но мы не будем
пытаться рассматривать трудную и важную задачу определения
того, какие механические системы метрически транзитивны.
Ключевым моментом в дальнейшей теории пределов является
теорема Лиувилля, которая утверждает, что в консервативной
механической системе мера \х обладает свойством инвариантности,
выражаемым равенством
(V) И'(фГ1(?')) = Р1(?)» ?6 2,
где 2 — а-алгебра всех измеримых множеств в 5. Если при всех t
линейное преобразование Ut определяется равенством
то равенства (I) и (V) показывают, что {Ut} есть полугруппа уни-
унитарных (сохраняющих норму) преобразований в LV(S, 2, \i). Пре-
Предел в (III) может быть выражен в терминах операторов Ut как
lim-f-^Д (UJ)dt\(x),
и мы покажем, следуя Дж. Нейману и Ф. Риссу, что этот предел
существует по норме Lp(S, 2, jx), а также, следуя Дж. Биркгофу,
что предел существует для почти всех точек фазового простран-
пространства S. Наше рассмотрение будет относиться к полугруппе операто-
операторов, имеющей значительно более общую форму, чем полугруппа,
определяемая равенством (VI).
Однако, чтобы объяснить основные понятия, удобнее обойти неко-
некоторые технические трудности, рассматривая сначала дискретный слу-
случай, а потом непрерывный. Например, вместо изучения непре-
непрерывного потока ф, мы рассмотрим дискретный поток фп, где ФГ1+т=
~ФпФтп' Так как ц)п = ф™, то это значит, что мы будем изучать сред-

702 Гл. VIII. Приложения общей теории
ние вида
N-1
п=0
где фх — отображение 5 в себя.
В теории вероятностей важный класс операторов, называемых
марковскими процессами, возникает следующим естественным обра-
образом. Пусть Р — неотрицательная функция, определенная на 5x2
и удовлетворяющая условиям
(а) при всех Е 6 2, Р(-, Е) — измеримая функция на S;
(Р) при всех s ? S, P(s, •) — вполне аддитивная мера на 2;
(Y) P(s,S)=l, sgS.
Мы можем рассматривать число P(sy E) как вероятность того, что
процесс переносит точку 5 в множество Е по прошествии одной еди-
единицы времени. С функцией Р мы можем связать оператор, опреде-
определяемый равенством
(Tf)(s)=lf(t)P(s,dt),
где / принадлежит соответствующему классу функций на 5. Семей-
Семейство таких операторов, конечно, включает и операторы вида /(•) —>
—>/(ф(-)). Рассмотрение, которое мы проводим в дальнейшем, вклю-
включает операторы, возникающие в марковских процессах, как част-
частный случай.
Несколько слов о построении следующих параграфов. В пара-
параграфе 5 для дискретного случая получен ряд результатов о сходи-
сходимости в среднем, а в параграфе 6 для дискретного случая установ-
установлена точечная сходимость. Эти результаты применяются в пара-
параграфе 7, чтобы получить соответствующие теоремы о сходимости
в среднем и о точечной сходимости для непрерывного случая. Пара-
Параграф 8 посвящен определенному классу операторов Т, для которых
последовательность средних {7V27n} сходится в равномерной
операторной топологии. Наконец, в параграфе 9 в форме упражнений
дано много приложений и иллюстраций общей теории.
5. Статистические эргодические теоремы
В этом и трех следующих параграфах мы рассмотрим поведение
средних от итераций линейного оператора и таким образом попы-
попытаемся пролить свет на задачи статистической механики и теории
вероятностей, которые были указаны в предыдущем параграфе.
Однако нет необходимости ограничивать наше внимание операто-
операторами, связанными с потоками, которые возникают в статистической

5. Статистические эргодические теоремы 703
механике, или марковскими операторами теории вероятностей.
В настоящем параграфе для оператора Т в произвольном комплекс-
комплексном В-пространстве Ж будут даны условия, необходимые и доста-
достаточные для сходимости в Ж средних
n—i
от итераций оператора Т. Эти общие условия будут затем приме-
применены к тем операторам в пространстве Лебега Lp (S, 2, \i)t которые
имеют вид, встречающийся в статистической механике. В настоя-
настоящем параграфе изучается только сильная сходимость средних А(п).
Вопросы, связанные с поведением последовательности A (n)f в почти
всех точках, для функций / ? Lp отложены до следующего пара-
параграфа.
Для простоты формулировок мы предполагаем в оставшейся
части этой главы, что речь идет о комплексных В-пространствах.
В параграфах 5—7 это ограничение на самом деле несущественно,
и читатель легко заметит, что небольшое изменение приведенных
доказательств (если действительно это необходимо) распространяет
результаты этих параграфов также и на вещественные В-простран-
ства. Только в параграфе 8 предположение о комплексности В-про-
странства будет играть сколько-нибудь важную роль.
В дальнейших параграфах пространство E, 2, fx) с мерой про-
произвольно, но в статистических эргодических теоремах, которые даны
ниже, в следствии 5, теореме 9 и следствии 10, пространство (S, 2,|i)
предполагается имеющим конечную меру. Это сделано только
для того, чтобы избежать технических усложнений; изменения,
необходимые для получения аналогичных результатов для общего
пространства с мерой, указаны в упражнениях.
Обозначение А (п) будет использоваться для средних
п-1
А(п) = ±- ^ Тт, п>\.
Иногда желательно подчеркнуть зависимость А(п) от Т\ в этих слу-
случаях мы будем употреблять обозначение А(Т, п) вместо А(п).
I. Теорема. Пусть средние А(п) итераций оператора Т в В-про-
странстве Ж ограничены. Тогда множество тех точек х в Цу для
которых последовательность {А(п) х} сходится, есть замкнутое
линейное многообразие, состоящее из всех векторов х, для которых
множество {А(п)х} слабо компактно и Тпх/п стремится к нулю.
Доказательство. Эта теорема по существу есть следствие тео-
теоремы VII.7.4. Мы применим VII.7.4, полагая f(A,)=l — X, fn(l) =

704 Гл. VIII. Приложения общей теории
п-1
= B ^1)//г» и заменяя Ж на множество Жо всех таких л: в Ж, для
г~ о
которых последовательность {Л(Аг)л:}={/:п(Т1)А:} слабо компактна
и Tllixln—>Q. Так как{Л(я)л:} ограничена, то лемма II.3.30 пока-
показывает, что множество тех х, для которых последовательность
{А(п) х} слабо компактна, есть замкнутое линейное многообразие.
Тождество
показывает, что последовательность {Тп1п} ограничена и, следова-
следовательно, по теореме II. 1.18, множество х, для которых Тпх/п~>0,
есть замкнутое линейное многообразие. Таким образом, Жо есть
замкнутое линейное многообразие, и так как непрерывный линей-
линейный оператор отображает слабо сходящиеся последовательности
в слабо сходящиеся, то ГЖ0^Ж0. Поэтому мы можем применить
теорему VI 1.7.4 к сужению оператора Т на В-пространство Жо-
Тождество f(T)fn(T)=(I — Тп)/п показывает, что предположение
/ (Т) fn (Т)х—>0 теоремы VI1.7.4 выполнено для х 6 Жо. Так как функ-
функция / имеет лишь простой корень А,= 1 и так как fn(l)=l, то
из VI 1.7.4 следует, что {А(п) х) сходится при всех х 6ЖО- Наобо-
Наоборот, если для некоторого л: из $ последовательность {А(п)х} схо-
сходится, то она слабо компактна и тождество (*) показывает, что
Тпх/п-±0, ч. т. д.
2. Следствие. Если сильный предел E=l\mA(n) существует, то
п
он равен оператору проектирования пространства Ж на многооб-
многообразие {х | Тх = х] неподвижных точек оператора Т. Областью зна-
значений дополнительного проектора является замыкание многообра-
многообразия (I — Т) Ж.
Доказательство. Так как (/—Т) А (п) = (/ —ТпIпу то тожде-
тождество (*) показывает, что ТЕ=Е и, тем самым, что А(п)Е=Е и Е2=Е.
Поэтому Е является оператором проектирования на неподвижные
точки оператора Т. Так как Е (I — Т) = 0, область значений Е'Ж
дополнительного к Е проектора Е' содержит (/ — Т) Ж. Пусть
теперь ** — линейный функционал и л;*(/ — Г) = 0. Тогда х* =
=х*Т=х*А(п)=х*Ё и потому х*Е' = 0. Из следствия II.3.13 выте-
вытекает, что ?"Ж содержится в замыкании (/ — Т) Ж, ч. т. д.
3. Следствие. Если последовательность. {А(п)} ограничена, то она
сходится в сильной операторной топологии тогда и только тогда,
когда Тпх1п стремится к нулю для х из фундаментального множества
и последовательность {А (п) х) слаЬо компактна для х из фун-
фундаментального множества.

5. Статистические эргодические теоремы 705
Доказательство. В начале доказательства теоремы 1 было пока-
показано, что множество тех х, для которых Тпх/п—±0, есть замкнутое
линейное многообразие, а также, что и множество тех х, для которых
последовательность {А(п) х} слабо компактна, есть замкнутое ли-
линейное многообразие. Таким образом, оба эти множества суть Ж,
и теорема 1 показывает, что {А(п)х} сходится при всех х из X, ч. т. д.
4. Следствие. Если Ж рефлексивно, то последовательность
{А(п)} сходится в сильной операторной топологии тогда и только
тогда, когда она ограничена и {Тпх/п} сходится к нулю для всех х
из фундаментального множества.
Доказательство. Это утверждение вытекает из следствия 3
и теоремы II.3.28, ч. т. д.
5. Следствие. Пусть (S, 2, \i) — пространство с конечной
мерой, и пусть Т — линейный оператор в Lx (S, 2, \х), который
отображает существенно ограниченные функции в существенно
ограниченные. Пусть средние А (п) равномерно ограничены как опе-
операторы в Loo (S, 2, \i), а также как операторы в L2(S, 2, \х). Эти
средние сильно сходятся в Lx (S, 2, \i) тогда и только тогда, когда
T'lfln стремится к нулю в Lx (S, 2, \х) для всех f из некоторого фунда-
фундаментального множества в Ьг(8, 2, |д).
Доказательство, Пусть f—характеристическая функция мно-
множества из 2; так как последовательность {A(n)f} ограничена
в Loo(S, 2, \i), она, по следствию IV.8.11, слабо компактна как
последовательность в Lx (S, 2, \i). Доказываемое утверждение
вытекает теперь из следствия 3, ч. т. д.
Предыдущие общие результаты будут теперь применены к опе-
оператору в Lp (S, 2, \х), имеющему специальный вид, а именно (Tf) (s)=
= /(фE))> гДе f€^p(S, 2, |i), а ф — отображение S в себя. В остав-
оставшейся части этого параграфа предполагается, что (S, 2, \х) — про-
пространство с конечной положительной мерой. Чтобы применять след-
следствия 4 и 5 к оператору Т, мы должны сначала выяснить условия
на ф, которые достаточны, чтобы гарантировать, что оператор Т
отображает Lp(S, 2, \i) в Lp(S,2, \i), и соответствующая последо-
последовательность {А (п)} ограничена. Так как точками в Lp(S, 2, [х)
являются не функции, а классы эквивалентных функций, то опера-
оператор Т нельзя считать определенным на Lp(S,2, fx), если f(s)=g(s)
почти всюду не влечет совпадения /(ф (s))=g(y (s)). Следующая
лемма даст условия на ф, которые исключают такую возможность,
а также позволяют нам делать вывод о (х-измеримости функции Tf
из ^-измеримости функции f. Эта лемма и некоторые из последующих
теорем будут применяться к функциям из класса немного более
общего, чем Lp (S, 2, \х). По этой причине удобно определить опе-
45 Заказ К<: 1324

706 Гл. VIII. Приложения общей теории
ратор Т как отображение в классе всех функций на области S, кото-
которое задается равенством
(I)
Таким образом, если / есть функция на S, то Tf есть функция на S;
и область изменения Tf содержится в области изменения /.
6. Лемма. Пусть ЖфО — полное В-пространство, E, 2, \х) —
пространство с конечной положительной мерой и ф — отобра-
отображение S в себя, которое удовлетворяет следующим условиям:
(II) qT^gS, \х (ф (а)) = 0, если a,eg2 и [i{a) = 0
•
Пусть для любой функции /, отображающей S в Ж, функция Tf
определена на S равенством A). Тогда Т отображает ^-измеримые
функции в ^-измеримые функции и эквивалентные относительно \i
функции в эквивалентные. Кроме того, Т есть непрерывное линей-
линейное отображение F-пространспва М (S)=M(S^ 2, fx, Ж) всех
Ж-значных ^-измеримых функций в себя.
Доказательство. Так как \i (s)< со. каждая fx-измеримая функция
вполне fx-измерима (определение III.2.10), и, таким образом, как
показано в начале параграфа IV.11, пространство M(S) есть
F-пространство. Условие (II) показывает, что Г отображает эквива-
эквивалентные относительно fx функции в эквивалентные, т. е. /(ф($))=
=g(q>(s)) почти всюду, если f (s)=g(s) почти всюду. Таким образом,
Т можно считать линейным отображением в /^пространстве M(S)
при условии, что функция Tf ^-измерима,если функция / ^-измерима.
Чтобы убедиться в том, что Т обладает этим свойством, вспомним
(II 1.5.18), что лебеговское расширение 2* а-алгебры 2 состоит
из всех множеств вида е* — е [j а, где е? 2, а а есть подмножество
множества &?2, \i(b) = 0. Таким образом, согласно (II),
где ф (е) 6 2, а ф (а) — подмножество множества ф" (b) g 2,
jx (ф (&)) = 0. Таким образом, ф^*)^ 2*, и поэтому
(III) ф
Пусть теперь / — ^-измеримая функция, и пусть G — открытое мно-
множество в Ж, Тогда, по лемме III.6.9, f~1(G) ? 2* и, следовательно,
по (III),
Аналогично так как f почти сепарабельнозначна, то условия (II)
показывают, что Tf также почти сепарабельнозначна. Таким обра-
образом, по лемме II 1.6.9, функция Tf |1-измерима при любой fx-измери-
мой функции f из S в Ж, и Т есть линейное отображение М (S)

5. Статистические эргодические теоремы 707
в себя. Остается показать, что Т—непрерывное отображение
в M(S). Для этого воспользуемся теоремой о замкнутом графике
(II.2.4). Если fn—>f и Tfn—>g в M(S)9 то, согласно следствию
111.6.13, существует подпоследовательность {/n.}, , fn. (s) —> / (s)
и fn. (ф (s)) —>&E) Для всех ^ в S, кроме s из множества е нулевой меры.
Таким образом, fn (<p (s)) —¦> / (ф (s)) для всех 5, кроме 5бф"х(^). Из
предположения (II) следует, что ^(ф1^))^ и тем самым g (s)=f(y(s))
почти всюду в S, а, таким образом, Tf=g\ это показывает, что Г
замкнут. Теорема о замкнутом графике приводит теперь к непре-
непрерывности Т, ч. т. д.
Следующая лемма дает дополнительное ограничение на ф, кото-
которое будет гарантировать, что Т отображает Lp(S, 2, fx, Ж) в себя.
7. Лемма. Пусть Ж ?= 0—комплексное В-пространство, (S,2, ft) —
пространство с конечной положительной мерой и ф — отобра-
отображение S в себя, для которого Ф'1^)^ 2. Тогда /г/ш 1<р< со
оператор Т, определяемый равенством A), отображает простран-
пространство Lp(Sy 2,(х, 3?) в себя в том и только в том случае, когда
(IV) ^lL
Кроме того, если это условие выполнено, то Т есть линейное непре-
непрерывное отображение в Lp(S, 2, \i9 X), норма которого равна М1/р.
Доказательство. Предположим сначала, что Т отображает
Lp = Lp(S, 2, \ху Ж) в себя. Будет показано, что Т замкнут, и, сле-
следовательно, (II.2.4) непрерывен. Так как Топределен на Lp, он ото-
отображает эквивалентные функции в эквивалентные. Пусть теперь
а ф 0 — фиксированный вектор в Ж, а е — множество нулевой
меры в 2. Тогда Т (а, Хе)"==аХч>-це):==0 в Lp. Таким образом, ф^) —
множество нулевой меры в 2, и условия (II) леммы 6 выполнены.
Так как сходимость в Lv влечет сходимость по мере (II 1.3.6), лемма 6
показывает, что Tf^ —> Tf по мере, если fn —> f в Lp. Таким образом,
если fn—>f в Lv и Tfn—^g в Lp, то Tf = g, и Т замкнут. По теореме
о замкнутом графике (II.2.4), Т непрерывен и, таким образом,
A1.3.4) ограничен. Если а Ф 0 — вектор в Ж и е —множество в 2, то
это показывает, что М < | Т |р < со. Таким образом-, если оператор
Т отображает Lp в 1р1 то он непрерывен и выполненТ) (IV).
Наоборот, пусть ф обладает сеойствсм (IV) и пусть f — ^-инте-
^-интегрируемая простая функция принимающая значения ах,. ,.,о^
на непересекающихся множествах ev...,en положительной меры.
45*

708 Гл. VIII. Приложения общей теории
Тогда Tf принимает значения av . . ., ач на множествах ф (ех), ...
Ф"ЧО и
и
1/р
Так как ji-интегрируемые простые функции плотны в Lp (III.3.8),
это показывает, что Т непрерывен на плотном множестве в L
и, таким образом, имеет единственное непрерывное расширение Г,
определенное на всем Lp с нормой \Т\^.М{^. Теперь если fn—>f
в Lp, то fn—>f по мере fx, и лемма 6 показывает, что и Tfn—>Tf
по мере. Так как Tfn —> Tf в Lp9 то (Г/) (s) = (Tf) (s) для почти всех 5
в 5, и, следовательно, Т=Т есть линейное отображение в Lp с нор-
нормой IT^M1^. С другой стороны, ясно из определения М, что
\Т\>М*'*>, ч. т. д.
8. Лемма. Пусть (S, S, |ш) — пространство с конечной положи-
положительной мерой иф — отображение S в себя, для которого ф B) с: 2.
Предположим, что существует постоянная М, для которой
(V) 4^И<Г'(е))<М|1(е). е€2' /2=1,2, ....
Тогда я/ш всел: 1 < р < оо оператор Т, определяемый равенством (I),
отображает Lp E, 2, ^) в себя, и средние А (п) равномерно ограни-
ограничены как операторы в Lp (S, 2, \\). Обратно, если оператор 7, опре-
определяемый равенством (I), отображает Lx (S, 2, \i) в себя и если сред-
средние А (п) равномерно ограничены как операторы в Ll(S, 2, \i), то
существует постоянная М, для которой выполнено (V).
Доказательство. Обозначения \Т\р, \А (/г) |р будут использоваться
для норм операторов Г, А (п) соответственно, когда они рассматри-
рассматриваются как операторы в Lp=^Lp(S, 2, \х). Точно так же для
fx-измеримой функции f обозначение |/|р используется для числа
О \f(s) |p Iх (dsI^, будет ли оно конечным или нет. Мы сначала дока-
жем достаточность условия (V). Используя это условие при п=2,
мы видим, что \х (ф (е)) < BМ — l)\i(e) для всех е 6 2, и. таким
образом, по лемме 7, | Т\р < оо при всех р, 1 <р < со. Это нера-
неравенство также показывает, что \х (ф (^))=0, если \х (е) = 0, и, таким
образом,
Пусть теперь /—^-интегрируемая простая функция, которая при-
принимает значения ах, ..., ak на непересекающихся множествах е19..., ek

5. Статистические эргодические теоремы 709
соответственно. Тогда
;=0 г=1 ;=0
так что, используя (V), имеем
п-1 k
/=0 г=1
и, таким образом,
(**) \А(п)\г<М.
Теорема Рисса о выпуклости (VI. 10.11) и неравенства (*) и (**)
дают теперь
log | Л^(л) |р< (^ 1 —^-) logI ^ (л) Ico + ^- log| Л (л) |1<:
так что
(VI) \А{п)\р<М*'*, л=1,2, ... .
f Наоборот, предположим, что Т отображает Lx в Lx и что
| А (п) \г<М при п> 1..Тогда для е? 2
п-1 п-1
= И(п)Хв|<А1|х(е), /1=1, 2,... ,
что завершает доказательство леммы.
Замечание. Следует отметить, что последнее неравенство и нера-
неравенство (**), взятые вместе, показывают, что
n-i
p 2
9. Теорема. (Статистическая эргодическая теорема.) Пусть
(S, 2, |i) — пространство с конечной положительной мерой, и пусть
Ф — отображение S в себя со свойствами: ф B)^2 и
п-1
г5^ М — постоянная, не зависящая от е и п. Тогда при всех р,
1<р<оо, преобразование Г, определяемое равенством (Tf)(s) =
— f (ф E))» ??тб непрерывное линейное отображение в L^ — L (S, 2, ^)
а средние А (п) сильно сходятся в Lp.

710 Гл. VIII. Приложения общей теории
Доказательство. По лемме 8, последовательность А (п) ограни-
ограничена. Если |/(s)|</C Для sb S, то | Гп(/, s) |/n</C/n, так что
teopeMa вытекает из следствий 4 и 5, ч. т. д.
Следует отметить, что сохраняющее меру преобразование ф (т. е.
преобразование, для которого \i (ф (е)) = \х (е) для всех е в 2) удовле-
удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Было отмечено выше, что
именно такого типа преобразование возникает при изучении консер-
консервативных механических систем. Преобразование ф метрически тран-
зитивно, если из равенства \i (еДф^)) = 0 для некоторого е в 2
следует, что либо \х(е) = 0, либо [i(e') = 0.
10. Следствие Если в дополнение к условиям предыдущей теоремы
предположить, что ф сохраняет меру и метрически транзитивно,
то для всех feL1(St 2, fx) предел \\n\A (n)f почти всюду равен посто-
п
янному среднему по пространству \ f(s)\i(ds)/\i(S).
s
Доказательство. Пусть g=limA(ri)f, так что, по следствию 2,
П-+-ОО
Tg—g. Таким образом,-для всех борелевских множеств Е с точно-
точностью до множеств нулевой меры
так что \i ((g~l Е) Д (ф^~1?'))=0. Поэтому из определения метриче-
метрической транзитивности следует, что либо \i{g~l Е)=0, либо \i(g~1E) =
= \i(S). Поскольку g почти сепарабельнозначна (II 1.6.10), для про-
произвольного е > 0 существует последовательность {Еп} непересе-
непересекающихся борелевских множеств, каждое из которых диаметром
меньше е, и такая, что g(s) ? \JEn для почти всех s в 5. Таким обра-
образом, при некотором п мы имеем ^(g'1^)^^^); это означает, что
\g(s) — g(t) | < е при всех sn t из дополнения множества меры нуль.
Следовательно, при почти всех s g(s)=g постоянна. Так как ф
сохраняет меру, ^ f{s)\x(ds)= J {A (n)f(s)} \i(ds)= ^ g(s)\i(ds)=
S S 8
= g|i(S), что завершает доказательство следствия.
6. Индивидуальные эргодические теоремы
В-пространство Ж предыдущего параграфа будет теперь заменено
пространством Lp = Lp (S, 2, fx), где E,2, \i) — произвольное про-
пространство с положительной мерой. Если Т—оператор в Lv и f—век-
горы в Lp, то для указания значения в точке годной из функций из
класса эквивалентности Tf будут использоваться обозначения^/) (s)
и T(f,s). Как и раньше, символ А (п) будет обозначать средние

6. Индивидуальные эргодические теоремы 711
n-i
n-i ^ 7m, а иногда, когда желательно указать на зависимость А (п)
от Г, вместо А(п) будет использоваться обозначение А(Т> п). Как
обычно, символ |/|р будет использоваться для р-нормы:
I/р, 1<Р< оо,
Ip- *
vraisup| f{s)\t p = oo,
измеримой функции на S. Иногда удобно пользоваться понятием
р-нормы оператора Ту область определения которого плотна в Lv
Эта норма определяется равенством | Г|р= sup | Г/|р, где верхняя
грань берется по всем f из области определения Т с |/|р< 1. Если
|Г|р<оо и р < оо, то Т имеет единственное непрерывное расшире-
расширение в Lp и тот же символ Т будет использоваться для расширенного
оператора. Большинство результатов этого параграфа относится
к оператору Т, у которого | Т |х< 1 и | Т |оо< 1. Из теоремы Рисса
о выпуклости следует, что |7|р<1 при 1<р<оо, так что Тесть
непрерывное линейное отображение в каждом пространстве Lp,
1<р< °°- Следует заметить, что отображение /—>/ф (рассмотрен-
(рассмотренное в параграфе 5), которое порождается сохраняющим меру преоб-
преобразованием 5—> (p(s) в S, относится к этой категории. Другой пример
дает оператор марковского процесса; еще один — оператор вида
f—>а (-)/(ф(*))> где множитель а — измеримая функция и |а|оо< 1.
Нашей основной целью будет доказательство сходимости почти
всюду последовательности {A (n)f} и получение оценок для функции
sup | Л (n)f\.
п
1. Лемма. (Хопф.) Пусть Р — положительный оператор в L^
и |^|оо<1. Пусть {eh} — убывающая последовательность харак-
характеристических функций и ek равны нулю при k > п. Тогда сущест-
существует последовательность {gki 0< k) в L^, такая, что если i >0, то
(I)
(И)
(III) e
Доказательство. Пусть ^ = 0 при />/г, а при i < n определяем
g{ по обратной индукции равенством
A) & =
Равенство
B)

712 Гл. VIII. Приложения общей теории
очевидно, что и доказывает (III). Покажем теперь, что
C) gi + ^i+1
Это ясно для i>n, а для ?< п может быть доказано обратной индук-
индукцией следующим образом: так как A — el+1)g{ = О, то, по предпо-
предположению индукции.
что вместе с B) доказывает C). Из A) и C) видно, что
это доказывает (I). Для доказательства (II) мы докажем сначала
обратной индукцией, что
D) (gi + Pgu^ ¦ ¦ ¦)-(gu1 + PgM+ ¦ ¦ -)>0, 0</.
Предположим, что неравенство D) выполнено при i > /. Тогда,
по B) и C),
E) e>+1 (gj + Pgui +...- ghl - Pgi+2 -...) =
Аналогично, так как A — e'^gj = A — ey+1)g;41 =0, мы видим
из предположения индукции, что
F) A - е^) (g, + Pgul +...- gul - Pgj,t -...) =
= (i _ eM) P (g.;; + Pgi+2 a- ... -gy+2- Pgh3 -...)> 0.
Таким образом, неравенство D) вытекает из E) и F). Так каке1+2е1+1 =
= е1*2, то из соотношений A) и D) вытекает, что
ei+2 (gl+i - л) = ^i+2 p (ft+i + Pgi+2 +... - gi+2 - Pgus -..-)> o,
это доказывает (II).
2. Лемма. (Хопф.) Пусть Р — положительный оператор в Li
и | Р |А< 1. Тогда для любой вещественной функции f в L1 и любого
натурального п и Е = {s\ sup Л (Р, k) (f, s) > 0} интеграл
Доказательство. Пусть при i > n множество Е{ пусто, а при
1 < / < п положим
; A(j){f,s)<0\ /<?},

6'. Индивидуальные эргодические теоремы 713
где А(п) = А(Р,п). Пусть далее Е1 = Etl]Ei+1[J .. ., так что
gi __ ?? и пусть е? и ег — характеристические функции множеств
?. и ?* соответственно. Тогда
так что
i—1
Складывая эти неравенства, мы получаем
(I) 2 2 etP>/= 2 ej+iPjf>0, 0<m.
Предыдущая лемма теперь применима к сопряженному оператору Р*
в Loo, так что существуют функции gt б L^, 0< t, со свойствами (I),
(II) этой леммы, а также со свойством
(ИГ) el = e4g0 + P*g1 + P**gt+...).
Пусть g-_1 = 0, так что из (I) и (II) мы имеем
0< 2 em+Hgm-gm_1) 2 в'+1/*/= 2 2 e'+Hgn-g
= S S (gm-gm.i)e
Следовательно,
2 srt E)^(ds)= ^ 2 {P"fiigJ
J^° 8 i>°
Гак как P*;g-;>0 и f=fx отрицательна на S — Ec:S — E1} то
o< J 2(p*^-)E)/(s)^(d5)-
Так как е1 — характеристическая функция ?, из (ИГ) следует,
что ^ {P*}gj) E)= 1 для 5 в ?. Таким образом, \ /(s) jx (rfs)>0,
ч. т. д.
3. Лемма. Пусть А — ограниченное подмножество в L^uaAc^A
при\а\=\. Тогда sup |f (•) | = sup Re/.
Доказательство. Верхняя грань в рассматриваемых выражениях
понимается в смысле структуры Loo.nycTb^1=sup|/(-)|,g=supRe/:.
f?A /?A

714 Гл. VIII. Приложения общей теории
Тогда из неравенства \f (-)\>Ref вытекает, что gi>g2. Поэтому
для доказательства леммы достаточно показать, что g2>\f(-)\
для всех f в А. Если это неверно, то существуют / в Л, е > 0 и изме-
измеримое множество е положительной меры, такие, что | f (s) \ >g2 (s)+e
для s б е. Пусть N — такое натуральное число, что 4 | /)«, я < Ne.
Так как 0<arg/(,s) < 2я, существуют целое число t<N и изме-
измеримое подмножество ех множества е положительной меры, такие, что
2ni/N^.argf(s)<2n(i+l)/N для s в ех. Так как e~2jli/Nf?A, мы
можем предположить, что 0<arg/(,s) < 2л/N для 5 в ву Тогда
и, следовательно, Re/>g2+e/2 для s в е19 что противоречит опре-
определению g2 и доказывает лемму.
4. Лемма. Пусть E, 2, \х) — пространство с о-коненной мерой,
и пусть Т — ограниченный линейный оператор в Lly норма которого
в Loo также конечна. Тогда существует положительный линейный
оператор Р в Lly нормы которого в Lxu L^ не превосходят соответ-
соответствующих норм Г, и такой, что
|(Г7)(-I<Рп(|/(-)|), К л, /6Lle
Доказательство. Используя полноту структуры L^ (теорема
IV.8.23), мы определяем Pf для 0</:6Z,1flLoo как supReTg,
где g пробегает все элементы в ?«>, такие, что | g (•) | < /. Таким обра-
образом, по предыдущей лемме,
Р/= sup ReT^= sup \(Tg){-)\, 0</6Lco.
\g(-)\^f \g(-)\^f
Ясно, что Р/>0, если 0</6L1f]Loo. С другой стороны, если
Ui(-)l<fi^ifHoo и |?2(-)|</2^1П^оо, то ReTgl + ReTg2 =
= Re T (gl + g2) < P (fx+/2), откуда следует, что Pfx + Pf2 < P (fx+fj,
если 0</!, f2eL1[) Loo. Пусть теперь fv /2, h^L^L^ fx, f2>0
И1 ft(-) I < /i + f2» определяем h2 = h— hlf где^ (,s) = 0, если/г(ь) = 0, и
A(s) = [|
в противном случае. Тогда ясно, что |/i1(-)|<f1, |/i2(-) |</2, так
что Re Th = Re Г^ + Re Th2 < P/x + P/2; это доказывает, что
P(f f^Pf Ph и устанавливает равенство
Если /i, f2, g*!, g-2— неотрицательные элементы в^П^оо и fx — /2 =
= ffi-&> то /х + ft = /2 + ft, так что Pf, + Pg2 = Р/2 + Pft и ^/i—
— Pf2=Pgi — Pg2. Это показывает, что Р/ может быть определено

6. Индивидуальные эргодические теоремы
715
для произвольного вещественного элемента в L^L^ равенством
Pf=Pfi — Pf2> гДе А и А>—неотрицательные функции и f=fx—f2.
Ясно, что Paf = aPf для вещественных чисел а и вещественных
функций /в Llf]Loo. Для произвольной /в Ll[]Loo мы положим Р/=
= Р Re/ +- /Р Im/. Очевидно, что Р аддитивен и что Paf = aP/ для
вещественных а. Таким образом, для доказательства линейности Р
достаточно заметить, что iPf=Pify т. е. что Р Re (if) -+- fP Im (if) =
= /(PRe/ + /PIm/) для всех / в Z^D^co.
Чтобы убедиться в неравенстве | Р ^ < | Т \т9 заметим, что Р Re / =
= ReP/, и, таким образом, по лемме 3,
|(Р/)(.)|= sup RePa/= sup PRea/<
I a |=1 | a 1=1
для
|= SUp
I ( I l/
o; это доказывает, что
/fl
Для доказательства неравенства
Г d мы применим метод,
использованный выше, к сопряженному оператору 7*, который
определен в LX=LOO. Таким путем мы построим оператор Рх в L<x>
со свойствами
in if
Пусть 0</gLoo,
в L|*. Тогда
\(T*f(-)\<P1\f{')\ = i sup
, и пусть х —естественное вложение L,
J f (s) (Re 7g) (s) |i (ds) = Re J f (s) (T^) (s) (i (ds) <
s s
\{T*f)(s)\ \g{s)\vL(ds)< \
8
где v = P*x|g(-)|. Так как мера в E, 2,|i) a-конечна, элемент v
в L?> может быть представлен в виде ограниченной аддитивной
функции множеств (IV.8.16), значение которой на множестве е в S
равно v(xP), где %с —хаРактеРистическая функция е. В предыду-
предыдущем неравенстве заменим / характеристической функцией множе-
множества е в 2 и напишем v (ё) вместо v/. Таким образом, по предыдущему
неравенству, имеем
\(Tg)(s)\i(ds)\<v(e),

716 Гл. VIII. Приложения общей теории
Следовательно, функция множества Р (е) = \ (Tg) (s) \i (ds) имеет
полное изменение и(|3, ё) < v (е). Таким образом, по лемме III.2.15,
\ (Tg) (s) \x (ds) = v (p, e) < v (e), это показывает, что
e
[2] *\(Tg)(-)\<Pt*\g{-)\, gSLi.
Если/i—неотрицательная измеримая функция и ft</6L1f]Loo,
то h также принадлежит и L1 и L^. Таким образом, элемент, опре-
определяемый выражением вида sup I h (•) |, будет одним и тем же неза-
висимо от того, берется ли верхняя грань в полной структуре L2
или в полной структуре L^ при единственном условии, что суще-
существует элемент / в /^П^со, А^я которого |Л(-I</ ПРИ всех Л
в Л. Аналогично если 0</б^, vgL*^ и 0<v<x/, то функция
множеств v абсолютно непрерывна относительно jll и, следовательно,
принадлежит xL1# Таким образом (см. IV.8.24), для множества
А в Ll3 для которого существует неотрицательная / в Ьг, такая,
что| /г(-)|</при/гб Л, мы имеем х sup | A(-) | = supx | А(-)|- Наконец,
мы заметим, что ограниченное множество А в L^ и характеристи-
характеристическая функция %е множества eg 2 удовлетворяет соотношению
sup %eh = %e sup Л.
Используя замечания предыдущего абзаца и формулу [2], мы
видим, что для0<./6L1f]LooHeg2,|Li(e)<oo выполнены соотноше-
соотношения
= x sup
I Q(-) \
sup
()
Таким образом, для каждого множества е в 2, такого, что ц (е) < оо,
мы имеем [ xe(s) (P/) (s) (ы (ds)< |Я*х/|. Далее, из [1] видно, что
s
l^i*l = lpi|o°<|r|lf и поэтому 5
S
для всех неотрицательных функций f в Ll[]L00. Поскольку, как
показано раньше, | (Р/) (¦) |< Р |/(-) |, мы имеем \ | (Р/) (s)||x(ds) <
s
/li для всех f в ^fjLoo. Таким образом, |P|i<|7'|i, и Р

6. Индивидуальные эргодические теоремы 717
имеет единственное расширение до оператора (который мы тоже на-
называем Р), определенного на всем Lx.
По определению,
Так как Ljfj^co плотно в Lx и \Р\г по доказанному конечно, это
неравенство выполнено для всех f^Llt По индукции вытекает, что
Рп+1|/(-I>^1(^Л/)(-I>1(^1+1Л(-)|. ч. т. д.
5. Лемма. Пусть (S, 2, |х) — пространство с G-конечной мерой,
и пусть Т — линейный оператор в Lu | Г|оо< 1 и \ Т )х< 1. Если
1<р<оо и fgLp(S, 2, \i)t mo для почти всех s из S
sup |ЛG\ n)(fy 5)|<оо.
Доказательство. Мы можем предполагать, что />0. Пусть а' —
дополнение множества a={s\f(s)^> 1}. Так как /б Lp, то \х (а) < со,
и, таким образом, f есть сумма суммируемой функции f%a и огра-
ограниченной функции fxa'- Далее, так как | Г|оо< 1, то | А (л)^|оо<|^|ое
для ограниченной функции g в Lp. Таким образом, в доказатель-
доказательстве леммы можно считать, что fg Lx. Ввиду леммы 4 можно также
предполагать, что оператор Т положителен. Пусть
воо = {5 |SUP А (Г,
Так как мера ja or-конечна на S, достаточно доказать, что |(
для всех множеств е в 2, таких, что \х(ё) < со. Пусть g — характери-
характеристическая функция множества ее^, где [л (в) < со. Если а>0 и лемма 2
применяется к функции / — ag, то
s
где с = {s | sup A (Ty k) (f — ag, s) > 0}. В то же время из неравенства
\А (Tt ^)|оо<1 вытекает, что 0<Л(Т, ^)ag-<a, и, таким образом,
С2^п» гДе en={sl SUP ^ (^» ^) (/' s) >a}« Поэтому неравенство (*)
имеет следствием неравенство
lf(s)\i(ds)y /i=l, 2, ...,
s
и так как ^--^еоо, то а|л(^оо)< \ /E)|i(ds). Так как это неравен
s
ство выполнено при любом a > 0, то jx(eeoo) = 0, ч. т. д.
6. Теорема. (Индивидуальная эргодическая теорема.) Пусть
(S, 2, fi) — пространство с положительной мерой и Т — линей-

718 Гл. VIII. Приложения общей теории
ный оператор в Lx (S, 2, jll), такой, что \ Т |оо< 1 и | Т \х < 1. Тогда
для любого рл I <р< со, и любой функции f в Lp(S, 2, \i) предел
п— 1
тп=0
существует для почти всех s в S.
Доказательство. Так как функции Tnf, n=0, 1,...,все обращаются
в нуль на дополнении а-конечного множества, мы можем счи-
считать, что мера в (S, 2,[а) а-конечна. Так как |Т|оо<1 и|Г|1<1,
из теоремы Рисса о выпуклости следует, что | Т |р < 1. При 1 < р < оо
Lp рефлексивно (IV.8.2), и поэтому, согласно следствию 5.4, после-
последовательность А (Г, п) / сходится в Lp дл я любой f в Lp. Из следствия
5.2 тогда вытекает, что векторы вида /i=/+(/—T)g, где /, g?Lpt
Tf=f и g ограничена, плотны в Lv. Для таких векторов h мы имеем
A(T,n)h=f+(I—Tl)g/n, и, таким образом, для почти всех s в S
\А(Т, n)(ht s)-/(s)|
Это показывает, что А (Г, п) h сходится почти всюду для всех h из
плотного в Lp множества, и, по лемме 5, sup | А (Г, а) (Л, s) \ < оо почти
всюду для всех h в Lp. Таким образом, по теореме IV. 11.2, после-
последовательность А (Г, n)h сходится почти всюду для всех h в Lp. Так
как-LppLx плотно в Ll9 мы можем применить лемму 5 и теорему
IV. 11.2 снова, чтобы убедиться в том, что последовательность
А (Г, n)f сходится почти всюду для всех / в Ll9 ч.т.д.
Из предыдущей теоремы и следствия 5.4 видно, что для 1 < р < оо
и f?Lp последовательность {А {п) f} средних не только сходится
в Lp, но также сходится почти всюду на S. Далее будет показано,
что эта последовательность средних ограничена функцией из Lp.
Доказательство основано на, следующей лемме, утверждение кото-
которой содержит следующие обозначения:
А(п) = А(Т, л), /* (s) = sup | Л (л) (Л s)|,
7. Лемма. Пусть Т — оператор в Llf |Г|оо< 1, l^l^ 1, и пусть
1 <р<оо. Тогда для любой функции!в Lp и любого положительного
числа а
а(х(г*Bа))<
в (а)
Доказательство. Лемма "будет сначала доказана в предположе-
предположении, что jx(S)< оо. Если Р — положительный оператор, связанный
с Г, как в лемме 4,то е* (а)с (s|sup^ (P, n)(\f(-)\,s) >а}, откуда

6. Индивидуальные эргодические теоремы 719
следует, что без ограничения общности мы можем считать Т положи-
положительным оператором, а /— неотрицательной функцией в Lp. Пусть
g(s)=/(s),ecnn/(.s) >a, и g(s)=0 в противном случае. Тогда /
/ — 2a<? — a, и так как | Т|оо< 1, то
A(n)f-2a<A(n){f-2a)<A(n)(g-a).
Это показывает, что е*Bа)с~В(~С, где
В = {s|sup A (n)(f- 2а, s)>0}, C = {s| sup Л {n)(g-af
По лемме 2 \ | g — a | (s) \i (ds) > 0, и поэтому
ay,(e* Ba))< ajx(C)< Jg(s) ^(ds).
Если s-— такая точка, что g(s)=f=Q, то 0<g(s)—а=^ЛA)(^—a, s)
и, таким образом, s?C. Это означает, что функция g обращается
в нуль на дополнении С и, следовательно,
^= J f(s)\i(ds).
S e(a)
Это доказывает лемму при дополнительном предположении, что
\i(S)<Cco. Пусть теперь (S, 2, \х) — произвольное пространство
с положительной мерой. Так как все функции A (n)f обращаются
в нуль на дополнении некоторого a-конечного множества, мы можем
считать, что мера в S a-конечна. Пусть {Sn} — возрастающая
последовательность множеств, объединение которых есть S,
и ЦEП)< оо. Пусть Тп=ВпТВп, где Вп — операция умножения на
характеристическую функцию Sn. Пусть
e*(m, a) = {s| sup A(k)(f, s) > a},
e*(n, m, a) = {s| sup A(Tn, k)(ff s) > a}.
Тогда, по уже доказанному,
(rt, m, 2a))< j
Sne(a)
Так как Тп —> Г в сильной L -топологии, функция sup Л (Гп, ^) /
стремится к sup A (k) f по норме L при п—> оо. С другой стороны,
ik
так как />0итак как Тп возрастает вместе с я, последовательность
{ sup А {ТпУ k) (/, s)} возрастающая по п. Это показывает, что после-

720
Гл. VIII. Приложения общей теории
довательность {е* (п, т, а)} возрастает вместе спи имеет предел
е* (m,ct). Полагая п—>оо в неравенстве (*), получаем, таким обра-
образом, неравенство a\i(e*(m, 2а)) < \ f(s) \i (ds), из которого желае-
мое неравенство получается при т—>оо, ч. т. д.
8. Теорема. Пусть Т — оператор в Lly | 7||оо< 1 и | Г|, < 1. Для
каждой f в Lp положим
Тогда для 1 < p < oo
n—i
m=0
s s
в то время как при р= 1 и \i(S)< oo
^f*(s)\i(ds)<2 [|i(S)+J |/(s)|log+|f(s)|tx(ds)J .
s ' s
Пояснение. Символ log+a означает для a>0 наибольшее из чисел
log a и 0.
Г~Г Доказательство. Ввиду леммы 4 мы можем считать, что оператор Т
и функция / неотрицательны. Рассмотрим сначала случай 1 < р,
используя предыдущую лемму следующим образом:
/Ms)
5 f*(sn(ds) = p 5 ( jj a*'1 da) v(ds) =
s so
5 J
S 0
oo
p J ap|
о
= 2p
e(a/2)
f (S) Xe(a/2)
2/(8)

6. Индивидуальные эргодические теоремы 721
Случай р=1 рассматривается аналогично следующим образом:
/*(8)
= I \ Xe*(a)(s)ii(ds)da =
8 0
8 0
oo
oo
|i (e* (a)) da < 2 J a'» { J / (s) ц (ds)} da =
2 (/2)
J { J
2 e(a/2)
= 2
1 e(a)
= 2
J 5
1 S
max(l, /(s))
s
= 2 J/(s)log7(s)^(ds), ч. т. д.
s
9. Теорема. Пусть Г., /=1, ..., A,— линейные операторы
ej^i> | 7\|co< 1 u\ ri|1< 1, r=l, ..., A. Tогдадлявсех]вLv при р > 1
многократная последовательность
(О ("i-..^Г1 S ... S №...77V)(s)
m1=0 mfe=0
сходится (при nlt ..., nk—> со независимо) как почти всюду на S, так
а по норме Lp. Кроме того, эта многократная последовательность
мажорируется функцией из L .
Доказательство. Пусть V (п19 . . ., nk}=A (Tk, nk) ... А G\, л^.
что V (nlt ..., nk) (f, s) есть многократная последовательность A).Так
как |Г.|оо<1 и | Тг |х< 1, из теоремы Рисса о выпуклости (IV. 10.11)
вытекает, что |7^|р<;1, и, следовательно,
B)
46 Заказ № 1324

722 Гл. VIII. Приложения общей теории
(здесь и во всей оставшейся части доказательства норма без индекса
обозначает ?р-норму). По следствиям 5.2 и 5.4, существуют такие
проекционные операторы Eiy что
C) \imA(Ti9 n)f = Ej, f?Lp9 /=1, ..., k.
п
Из B) и C) немедленно вытекает, что
D)
В самом деле, предположим, что этот факт установлен для k— I
операторов Г2, ..., Тк и заметим, что
\A(Tk9 nh)...A(Tl9 n1)f-Eh...EJ\<
<\А(Тк9 пк)...А(Т%9 n2){A(Tl9 n1)-El}f\ +
+ \{A(Tk9 пк)...А(Т%9 n%)-Eh...E%)EJ\<
<\{A(Ti, ni)-?i}/| + |MG\, nh)...A(Tt9 nt)-Eh...E%)EJ\
стремится к нулю по предположению индукции. По следствию 5.2,
Ei проектирует Lp на многообразие У11 тех / в Lp, для которых
TJ=fy а дополнительный проектор ?"{=/—Ei проектирует Lp на
замыкание многообразия (/ — TtyLp. Таким образом, если через
gfti мы обозначим множество функций вида (/—Г4)/, где / ограни-
ограничена, то
E) Шг+% плотно в Lp, 1 < I< k,
— факт, который нам позже понадобится. Пусть теперь g =
= (I-Тг) f 6 a»lf | / (s) I < К. Тогда A (Tl9 n) (g9 s) = n* [f (s)-T? (/, s)]9
и, таким образом, | V(nx, ..., nk)(g> s)\^2K/n1 при^почти всех s.
Это показывает, что для почти всех s в S
F) \imV(nu .,., nh)(gy s) = 0, gea^i.
Для функции / в 9dx мы имеем 7\(/, s)=f(s) для почти всех s в S, и
таким образом, Л (Тг, n)(f, s)=f(s) для почти всех sи всех п=1, 2,....
Так как теорема верна при k= 1 (теорема 6), мы применим индук-
индукцию и предположим, что теорема доказана для случая (k— 1)-го
преобразования Г2, ..., Тк. Предположение индукции дает тогда
для / из Ш1 сходимость почти всюду многократной последователь-
последовательности
V{nl9 ..., nh)(f9 s) = A(Tk, nk)...A(T2> n2){f, s).
Этот факт вместе с E) и F) показывает, что последовательность
V(nv ..., пк) (/, 5) сходится почти всюду на S для любой f из множе-
множества, плотного в Lp. Далее будет показано, что для всех / из Lp
последовательность A) мажорируется функцией из Lp. Для дока-
доказательства этого мы сначала воспользуемся леммой 4, чтобы найти

6. Индивидуальные эргодические теоремы 723
положительные операторы Р{, i=l, ..., k% |Р{|оо<1> |Р^!<1,
такие, что
\А(Тгу л)(/, -)\<A(Pi9 л)A/(.)|), l<i<k9 К л.
Если gE) = |f(s)|, то отсюда следует, что |ЛG\, njtf, s)|<
< A (Р1? aix) (g", s) для почти всех s в S и, следовательно, что
\V{nv .... лк)(/, s)\<A(Ph, nk)...A(Pl9 nx)(g9 s).
Таким образом, при доказательстве того, что V(nv ..., nk)f
мажорируется функцией из L мы можем предполагать, что />0
и что 7\>0, i=l, ..., k. По теореме 8, существуют функции
fi /feBip, такие, что 5
ЛG\> nx)f<fv nl>\9
iT^ n2)fx<f%9 nl9 пг>\%
A(Tk, nh)...A(Tv n1)/</fc, лх, .... nfc>l;
это доказывает, что многократная последовательность V(nv .. ,,nh)f
мажорируется функцией из Lp. Мы можем применить теперь к дока-
доказательству сходимости почти всюду этой последовательности тео-
теорему IV.11.3. Пусть в этой теореме Лр—множество всех строк
а=[пг* • • •» я&] из k целых чисел с л?<р, i=l,..., А, и пусть при
а=[А2х, . .., nk]? Ax оператор Та теоремы IV. 11.3 равен оператору
V(nlt ..., A2fe). Все предположения теоремы IV. 11.3 выполнены, и поэ-
поэтому мы заключаем, что многократная последовательность
V (nv ..., nh) (Д s) сходится почти всюду на S для всех / из Lp, ч.т.д.
Предыдущая теорема неверна при р=1, но существует А-пара-
метрический аналог леммы 5. Он помещен в конце следующего пара-
параграфа.
Теоремы о сходимости этого параграфа предполагают, что нормы
оператора Тудовлетворяют неравенствам | Т|t< 1 и | 71|оо< 1. В неко-
некоторых случаях, однако, они могут применяться для доказательства
сходимости почти всюду средних А (п) (/, s), даже если | Т\г > 1
и | А (п) |1—>оо. Мы закончим этот параграф двумя такими теоремами,
доказательства которых используют следующие леммы.|
10. Лемма. Пусть (S, 2, \х) — пространство с конечной поло-
жительной мерой. Ограниченная последовательность {\in} в В-про-
странстве абсолютно непрерывных относительно \i вещественных
или комплексных аддитивных функций множеств на 2 слабо ком-
компактна при условии у что
lim lim | [in(e)| = 0.
ц(е)-*0 п-*оо
Доказательство, сг-алгебра 2 является полным метрическим
пространством 2 ((х) с фу нкцией расстояния q (а, Ь) = |х (аДЬ), и функ-
46*

724 Гл. VIII. Приложения общей теории
ции [in непрерывны на 2 (ji) (см. § II 1.7). Таким образом, при
е > 0 множества
0i), |MOI<e, n>k)
замкнуты в 2(ji) и, по предположению, их объединение содержит сфе
ру в 2 (\х). Таким образом, по теореме Бэра о категориях A.6.7,1.6.9)
существуют множество а ? 2, число г > 0 и целое число k, такие,
что e?Ck, если \i(aAe) < г. Возьмем множество b в 2, такое, чг<
\i(b) < г, и пусть b^a+b, Ь2=а— Ь. Тогда b = bl— Ь2, ^(аД^) < г
и \х(аАЬ2)<г. Таким образом, Ьи Ь2? Ски, следовательно, |jinF)[< 2f
для всех л>А. Существует такое положительное число г1<^.гу что
I Рп (Ь) | < е при 1 < м< k при условии, что \i(b) < rlf а это доказы-
доказывает, что функции цп, л=1, 2,..., равномерно абсолютно непрерывны
относительно \х. Заключение леммы следует теперь из теоремы
IV .9.1.
11. Лемма. Положительное линейное отображение Р в Lx непре-
непрерывно.
Доказательство. Если это не так, то существуют положительные
элементы fn в Lt, такие, что |/п | = 1 и | Pfn \>n2. Пусть/=2ДУп2» тог"
т т
да \Pf\>\Py2ifJn2\= Ъ\р!п\1п2>т ПРИ всех т> что приводит
к противоречию, ч. т. д.
Две заключительные теоремы возвращают нас к типу операто
ров, возникающих в классической статистической механике. Они
относятся к пространству (S, 2, \х) с конечной положительной ме
рой и отображению ф: S—>S. Мы напомним (лемма 5.6), что если
Ф"х2с_2 (т. е. ф"^6 2 для eg 2) и если \i((p~1e) = O при \х(е)=0.
то отображение Т: f—>/(ф) есть непрерывное линейное отображение
в пространстве M(S) всех ji-измеримых функций.
12. Теорема. Пусть (S, 2, \i) — пространство с конечной поло-
положительной мерой, и пусть ф — отображение S в себя со свойствами
A) Ф-12^2 и ^х(ф-1е) = О, если
n— 1
B) lim Шп — У,
(X(e)->O n->oo n
Тогда для любой ограниченной измеримой функции f на S предел
71-i
существует при почти всех s в S.

6. Индивидуальные эргодические теоремы 725
Доказательство. Мы применим лемму 10 к функциям множеств
71-1
По лемме II 1.4.13, эти функции множеств лежат в S-пространстве
шB, ц) абсолютно непрерывных относительно |i аддитивных функ-
функций множеств на 2. Так как |и<п|<|и<|, из леммы 10 и следствия
5.3 вытекает, что предел m=lim \in существует в шB, \х). По след-
следствию 5.2, т(ф^)=/п(^), так что отображение Г :/ {>)—>/(ф(-)) как
оператор в пространстве L2 (S, 2, m) имеет норму | Т" ^ = 1 (лемма 5.7).
Пусть теперь /—ограниченная ц-измеримая функция на S
Тогда / m-измерима, т-интегрируема и, по теореме 6, предел
п-1
существует для почти всех относительно т точек в S. (Следует заме-
заметить, что требование ограниченности / используется только для того,
чтобы обеспечить ее m-интегрируемость. Другими словами, доказа-
доказательство устанавливает существование предела g(s) для почти всех
относительно уточекs в S при условии, что/ m-интегрируема.) Пусть
eo={s \ (dm/d\i) (s) Ф 0}, так что мера \х подмножества е0 равна нулю
тогда и только тогда, когда равна нулю его мера т. Таким образом,
предел g(s) существует для почти всех относительно \х точек в е01
и доказательство существования будет завершено, если показать,
что для почти всех относительно \i точек s в е'о мы имеем фт$??а
при всех достаточно больших т. Чтобы убедиться в этом, примем
за Ъ подмножество е'о, которое остается в е'о при всех итерациях ф,
т. е. ч>тЬ<ге'о при т>0. Тогда бСф-% и |x(ft)< \in(e'0)->m(e'0)=0.
Таким образом, почти все относительно \i точки в е'о отображаются
некоторой итерацией ф в е0. Остается показать, что для почти всех
относительно \i точек s в е0 их образ ys также лежит в е0; отсюда
следовало бы, что почти все относительно \i точки в е'о в конце
концов становятся и остаются точками е0. Пусть а<~_е0 и щ?^ег0.
Тогда ас^ц)'1е/0 и, таким образом, т (а)^т (ф^) = т(е'о) = 0. Так
как ас:е0, то и ji(a) = O. Таким образом, g(s) существует для почти
всех относительно \х точек в S, ч. т. д.
Естественно спросить, когда предыдущая теорема справедлива
для всех ji-интегрируемых функций /. Ответ дается следующей
теоремой К. Рыль-Нарджевского [1; I].
13. Теорема. Пусть E, 2, \х) — пространство с конечной мерси
и ф — отображение S в себя, причем ф^2^2 и ^(ф'^^О для
всех нуль-множеств е. Для того чтобы для каждой функции

726 Гл. VJJ1. Приложения общей теории
f^Lx{S, 2, \х) при почти всех s?S существовал предел
п-1
A) g{s)-
и g(s) принадлежало L1(S, 2, |i), необходимо и достаточно, чтобы
при некоторой постоянной К
п-1
п-*оо п
т=0
Доказательство. Если предел g существует и если g?Llt то, по
лемме 11, отображение f—>g непрерывно и, таким образом,
существует постоянная /С, такая, что |g|i</C|/|i. Пусть / — ха-
характеристическая функция множества е в 2; тогда элементы после-
последовательности A) не превосходят единицы и последовательность
сходится по норме Lx. Таким образом,
п-1 п-1
S т=0 т=0
что доказывает B). Обратно, если B) выполнено, то функция мно-
множеств т из доказательства предыдущей теоремы удовлетворяет
неравенству т (е) < K\i (e) и, таким образом, |л-интегрируемая
функция / также m-интегрируема. При доказательстве предыдущей
теоремы было отмечено, что предел g(s) существует для почти
всех относительно (л точек s, и, следовательно, остается только
показать, что функция g интегрируема. Аналогично в предыдущем
доказательстве отмечалось, что т {у~1е) = т (е) для множеств е из 2,
м, таким образом, статистическая эргодическая теорема E.9)
показывает, что g? Ьг (S, 2, т). Так как gq> = g, Для множеств вида
е= {s\a <g"(s)< b} выполнено соотношение ф~1е = е. Таким обра-
образом, для таких множеств т(е) = \i(e); это доказывает, что
7. Эргодическая теория непрерывных потоков
В параграфе 4 было показано, как эргодическая гипотеза в клас-
классической статистической механике приводит к вопросам, связан-
связанным со средними однопараметрической полугруппы унитарных опе-
операторов частного вида. В этом параграфе мы изучим такого рода
вопросы и покажем, как они могут быть решены путем сведения
к изучению средних от итераций одного оператора. Нет необходи-
мостиограничивать рассмотрение только полугруппами, аналогич-

7. 'Эргодическая теория непрерывных потоков 727
ными возникающим в классической статистической механике, так
как результаты, излагаемые ниже, справедливы в случае, имеющем
такую же степень общности, какой обладает дискретная полу-
полугруппа {Гп, 0<л}, рассмотренная в предыдущем параграфе.
Основным понятием, проходящим через все наше рассмотрение,
является однопараметрическая полугруппа ограниченных линейных
операторов в вещественном или комплексном В-пространстве. Мы
напомним, что такая полугруппа есть множество {T(t), 0</}
ограниченных линейных операторов в В-пространстве Ж, для
которого
(I) г (ОН/, T{t+u) = T{t)T(u), o<*; и.
Чтобы имели смысл средние значения
(II) A(a) = ±^
о
которыми в основном мы будем заниматься еэтом параграфе, жела-
желательно дополнить алгебраическое условие (I) условием, относящимся
к аналитической зависимости полугруппы от параметра t. Мы
напомним, что полугруппа {Т (t)f 0< /} называется сильно непрерыв-
непрерывной, если она непрерывна по t в сильной операторной топологии,
т. е. если l\m\T(t)x — T(и)х\ = 0 для всех х в Ж и а>0. Говорят,
что полугруппа сильно измерима, если при всех х в Ж функция
Т(-)х измерима относительно меры Лебега на бесконечном интервале
0< t. Было отмечено в лемме 1.3, что сильно измеримая полугруппа
сильно непрерывна всюду, кроме, быть может, начала координат
t = 0. С этими понятиями связано понятие сильной интегрируемости.
Говорят, что полугруппа сильно интегрируема на каждом конечном
интервале, если при всех х в Ж функция Т(-)х интегрируема отно-
относительно меры Лебега на каждом конечном интервале 0</<а.
Если полугруппа сильно интегрируема на каждом конечном интер-
интервале, мы можем для всех а>0 определить ограниченный линейный
оператор Л (а), называемый средним полугруппы {T(t), 0< t} на
интервале 0<*<сс. Оператор Л (а) определяется при а=0 как
а
Л @) = /, а при а > 0 — равенством Л (а) х = а I T (t)xdt. Чтобы
о
убедиться, что А (а) — ограниченный оператор, мы заметим сначала,
что отображение х—>Т(-)х пространства Ж в пространство Ьг
Ж-значных измеримых по Лебегу функций на [0, а] замкнуто: дей-
действительно, если хп—>х и Т(-)хп—>f в Lx, то для некоторой под-
подпоследовательности {хп} Т(t)xVi—>f (/) для почти всех t в [0, а].
Так как T(t)xn—>T(t)x при всех t, то T(t)x = f(t) при почти
всех /; это доказывает, что отображение х—>Т(-)х замкнуто.

728 Гл. VIII. Приложения общей теории
и, таким образом (II.2.4), непрерывно. Отсюда немедленно следует,
что А(а) — непрерывный линейный оператор в пространстве Ж.
Именно в этом смысле и определен интеграл в равенстве (II).
Такое понятие среднего Л (а) достаточно для формулировки
некоторых результатов, относящихся к сильным пределам вида
\\п\А(а)х. В большей части параграфа, однако, В-пространство X
а-юо
есть пространство Lp = Lp E, 2, ji), где (S, 2, fx) —пространство
с положительной мерой, и мы будем иметь дело со сходимостью
почти всюду и с ограниченностью почти всюду средних А (а)/ для
функции / в Ьр. Так как точка /а = Л(а)/ в Lp есть класс эквива-
эквивалентных функций и две функции fa и ga представляют одну и ту же
точку, если/а (s) =ga (s) всюду, кроме множества Еа нулевой меры (i,
которое может меняться вместе с а, крайне необходимо опреде-
определить более точно, что должно пониматься под средними А (а)(/\ s)
функции f в точке s из S. Чтобы дать такое определение, мы предпо-
предположим, что полугруппа {T(t)t 0<^} сильно интегрируема на каж-
каждом конечном интервале и что она действует в Lp. Тогда, по лем-
лемме 1.3, для любого / в Lp множество всех векторов Т (t) f, t >0, есть
сепарабельное подмножество в Lp, и, следовательно, по лемме II 1.8.5,
эти векторы все обращаются в нуль на дополнении а-конечного под-
подмножества S. Таким образом, при определении среднего А (а) (/, s)
мы можем предполагать, что мера в пространстве (S, 2, \i) а-конеч-
на. Тогда, по теореме II 1.11.17, для каждого / в Lp существует
числовое представление Т (t) (/, s) векторов T(t)f, которое измеримо
по [ty s] (т. е. измеримо относительно произведения меры Лебега
и меры jli), и такое измеримое представление единственно всюду,
кроме множества точек [t, s], мера-произведение которых равна
нулю. Теорема II 1.11.17 показывает также, что существует множе-
множество меры нуль ?"(/), которое может зависеть от /, но которое не
зависит от t и таково, что Т (•)(/> s) интегрируема на каждом конеч-
конечном /-интервале при всех s$E (/). Кроме того, по теореме III.11.17,
при всех а > 0 интеграл
(III) A(a)(f,s) = ±lT(t){f,s)dt, 0<a,s$E(f),
О
есть числовое представление вектора A (a) f в Lp. Если бы мы начали
с другого [/, sl-измеримого представления К {t, s) векторов T(t)f,
то, так как для почти всех sy K(t, s) = Г (t) (/, s) при почти
всех t, видно, что при почти всех s имеет место равенство
а
а'1 \ К (t, s) dt = A (a) (/, s) для всех а. Таким образом, для почти
о
всех s в 5 среднее A (a) (f, s) однозначно определено равенством (III)
для всех положительных значений а и, кроме того, дает [а, sj-из-

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 729
меримое числовое представление вектора A(a)f, определенного
в равенстве (II).
Это однозначно определенное среднее Л(-х)(/, s) есть не только
измеримая функция переменных (a, s), но для всех s, не принадле-
принадлежащих нулевому множеству Е (/), оно непрерывно по а в интервале
О < а < оо. Эта непрерывность по а показывает, что для почти всех
s?S число /*(s), определяемое равенством
(IV) /*(s) = sup \A(a)(f,s)\,
0<а<оо
равно sup | А (а) (/, s) |, где i? — счетное множество положитель-
ных рациональных чисел. Ввиду теоремы IV. 11.6 отсюда следует,
что /* является также точной верхней гранью множества
{|Л(а)(/, -)|, 0<а}, если оно рассматривается как множество
элементов в структуре вещественных ji-измеримых функций. Таким
образом, если { | А (а) (/, •) |, 0 < а} —ограниченное множество
в этой структуре, то его верхняя грань
(V) /* = sup | Л (а) (/,•)!,
0<а
взятая в этой структуре, представляется числовой функцией (IV),
так что не может возникнуть недоразумений в связи с понятием точ-
точной верхней грани. Аналогичные замечания следует сделать
и в случае, рассматриваемом в теореме 10, где изучаются средние
от произведения k различных полугрупп.
Мы продолжаем, когда это удобно, использовать обозначение
\U\V, которое было введено в начале предыдущего параграфа, для
1р-нормы оператора U. Напомним, что | U\p = sup | Uf\p, где /
пробегает все элементы в области определения {/, такие, что |/|р< 1.
Мы начнем с рассмотрения сильной сходимости средних А(а) при
а—>оо; в этом случае нет необходимости накладывать ограниче-
ограничения на Б-пространство, в котором действует полугруппа.
1. Теорема. Пусть А (а), а >0, — среднее на интервале [0, al
однопараметршеской полугруппы {T(t)f 0</}, которая предпола-
предполагается сильно интегрируемой на каждом конечном интервале. Пред-
Предположим также, что
A) ^)
B) |Л(а)|</(, 0<a:
C) для всех х из фундаментального подмножества простран-
пространства Ж множество {А(а)х, 0 < а} слабо компактно.
Тогда средние А (а) сходятся при а—> оо в сильной операторной
топологии.

730 Гл. VI П. Приложения общей теории
Доказательство. Доказательство будет основано на следующем
тождестве, которое позволит свести эту теорему к уже рассмотрен-
рассмотренному дискретному случаю. Пусть л = [а], так что a = Ai-fr,
О < г < 1. Тогда при a > 1
п+г
± \ T{t)dt =
О п
п—1 m-f-1 • п+г
m=0 m n
n-1 1
m=0 0
так что
n-l
(VI)
т=0
При фиксированном х гА(г)х непрерывна по г и, таким образом,
множество всех векторов гА(г)х, таких, что 0<г<1, компактно.
Из предположения A) и леммы IV.5.4 следует, что
равномерно на 0<г< 1, и, таким образом, предположениеC) итож-
71-1
дество (VI) показывают, что последовательность [п'1 2 Т(т)х)
тп=0
слабо компактна для всех х из множества, фундаментального в замы-
замыкании области значений оператора А(\). Поскольку Г(т) = Г™ A),
теорему 4.1 можно применить к оператору Т A) в пространстве
ЛAK?, что дает сильную сходимость Л(а), ч. т. д.
2. Следствие. В предположениях теоремы предел Я*=НтЛ(а)
а
проектирует Ж на многообразие {x\T(f)x = x, 0 < /} неподвижных
точек полугруппы, а дополнительный проектор ?" = / — Е проекти-
проектирует X яа замкнутое линейное многообразие, определяемое областя-
областями значений всех операторов I — T(t), 0

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 731
Доказательство. Ясно, что Ех = х, если х — неподвижная точка.
Далее, тождество
а
О
и-\-а
j
показывает, что | (Г (г/) — /) А (а) | < 2иа'1у откуда следует, что
Т(и)Е = Е. Таким образом, все х из пространства значений Е
суть неподвижные точки полугруппы. Так как Е'(Т(и) — 1) =
= Г(а) —/, то область значений оператора Е' содержит объеди-
объединение областей значений всех операторов Т(и)— I. Если х* — функ-
функционал, обращающийся в нуль на областях значений всех опера-
операторов Г (и) — /, то х* = х*Т(и) = х*А (и) = х*Е, и, таким образом,
х* обращается в нуль на области значений Е'. Доказываемое
утверждение вытекает теперь из следствия II.3.13, ч. т.д.
3. Следствие. В рефлексивном пространстве средние Л (а)
сильно сходятся, если они ограничены и если Т(п)/п стремится
сильно к нулю»
Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 1 и тео-
теоремы II.3.28, ч. т. д.
4. Следствие. Пусть E, 2, ^ — пространство с конечной поло-
положительной мерой и {7"(/), 0 < t} — полугруппа операторов
в Lx (S, 2, ji), сильно интегрируемая на каждом конечном интер-
интервале. Предположим, что при некоторой постоянной К
| Л (а) !,</(, |T@U<tf, 0<а, t,
и что Т(п)/п сходится сильно к нулю в LX(S, 2, \i). Тогда
средние сходятся сильно в LX(S, 2, \i).
Доказательство. Если fgLo^S, 2, ji), то для всех а и почти
всех s \A(a)(f, s) | </С | / U, a отсюда следует (IV.8.9), что мно-
множество {А(а)/, 0<а} слабо компактно в L] (S, 2, \i). Доказы-
Доказываемое утверждение вытекает теперь из теоремы 1, ч. т. д.
Оставшаяся часть параграфа будет посвящена исключительно
тому случаю, когда полугруппа действует в пространстве
Lp = LpE, 2, \i). Основные предположения в следующих теоремах
состоят в том, что полугруппа {Г@, 0</} есть сильно измери-
измеримая полугруппа в Llt причем |7"(/)|1<1, |7"(/)|оо< 1. Из этих
предположений немедленно вытекают два вывода, которыми мы

732 Гл. VIII. Приложения общей теории
будем впредь пользоваться без более точных пояснений. Первый
из них: |Г(/)|Р<1 при всех р>\. Это следует из теоремы Рисса
о выпуклости (VI.10.11). Таким образом, при всех р>1 полу-
полугруппа {T(t), 0<^} есть полугруппа ограниченных линейных
операторов в Lp = Lp(Sy 2, \i). Второе следствие из сделанных
предположений, которое мы хотели бы отметить, состоит в том,
что как полугруппа операторов в Lp, 1<р<оо, {Т (t), 0</j
сильно интегрируема на каждом конечном интервале, и, таким
образом, средние Л (а) определены при 0<а<оо как линейные
операторы в Lp и имеют нормы |Л(а)|р<1. Чтобы убедиться
в этом, положим /gZ^fj^p, так что T(t)(f,s) [t, s] — измерима
и [Т@Лр<1ЛР- Из леммы III.И.16 вытекает, что 1р-значная
функция T(-)f измерима. Так как 1<р< со, то La [] Lp плотно
в Lp, и, таким образом, полугруппа сильно измерима, если она
рассматривается как действующая в Lp. Так как |Г(/)|р<1, она
также сильно интегрируема на каждом конечном интервале
и, следовательно, А (а) — ограниченный оператор в Lp и | А (а) |р < 1.
В дальнейшем обозначение Lp будет всегда использоваться для
пространства Lp(S, 2, \л).
5. Теорема. Если {Т (t), 0<f} — сильно измеримая полугруппа
в Lx, причем |7"(f)|i<l, |Г(/)|оо<1, то для всех f в Lp при
1<р< оо средние A(a)(f, s) сходятся почти всюду при а—>оо.
Доказательство. Пусть 1 < р < со, /? Lp, и пусть g(s) =
— \ \T(t){f, s)\dt. По теореме III.И. 17, число g(s) конечно для
о
всех s, не принадлежащих множеству Е (/) нулевой меры, и для
таких s мы имеем \rA(r)(f, 5)|<g(s) при всех г в интервале
0<г< 1. Кроме того, из неравенства
1
\g\l= [ds\\ \T(t)(f, s)\dt]P< J ds \ \T(t)(f,
SO SO
вытекает, что g?Lp. По лемме 6.4, существует положительный
оператор Р в Ь1Ч такой, что |Р!|<1, |Р|^<1 и |TU(/, -)|<
<Р'1( | /(•) |, •), п=1, 2, ... .По теореме Рисса о выпуклости,
П 71—1
|P|D<1, а так как Рп = ^Рт— ^ Рт, то из теоремы 5.5 видно,
о о

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 733
ЧТО
почти всюду на 5 и равномерно на интервале 0<г<1. Доказы-
Доказываемое утверждение теперь следует из тождества (VI) и теоремы
5.5, ч. т. д.
6. Лемма. Пусть (S, 2, \i) — пространство с положительной
мерой, и пусть при t > 0 в LY определен оператор Т (/), причем
|r(/)li< 1 и |Т@|оо< 1. Предположим, что либо \Т (/), 0</} mm>
сильно измеримая полугруппа в Lx, у2або операторы Т (/) положи-
гпельны, сильно непрерывны по t и удовлетворяют неравенству
T(t)T(v) > Т(^+и). Пусть 1 <р < оо, а ш/сть (9лл ec^x u аз множе
ства U определен такой элемент /ugLp, что структурная верхняя
грань f=sup\fa(-)\ также принадлежит Lp. Пусть для а>0
e(a) = {s\f(s)>a} и в* (о) = {s\ f*(s) > а},
Г = sup sup | Л (а) (/„,•)!
и?С7 0<а
а
•г/ Л (а) = а f T(t)dt. Тогда
о
J f(s)-\i(ds), а > 0.
е (а)
Доказательство. По теореме III.11.17, для каждого а? G най-
найдется множество Е(и) нулевой меры, для которого средние
Л(а)(/и, s) существуют при всех неотрицательных а, всех u^U
и всех s, не принадлежащих множеству Е(и). Согласно лемме 1.3,
оператор T(t) сильно непрерывен по t в каждой точке t > 0,
и отсюда, в силу неравенства | Г(/)|р< 1, вытекает, что для всех а
из множества R неотрицательных рациональных чисел
m=Q
Используя следствие II 1.6.13, теорему II 1.11.17 и канторовский
диагональный процесс, мы можем найти для всех u?U последо-
последовательность {nj, зависящую от а, такую, что
сст?.!-1
i(a)(/u, s) = lim—- У, !
i->oo ocni-
m=0

734 Гл. Vlff. Приложения общей теории
для всех a ?R и всех s, не принадлежащих множеству меры нуль
Ei(u)^E(u)- Для U?U и s^E1(u) положим
/*(«,,)= supj if
^ m=0
так что для u?U, а?/?, s^E^^iu) и е>0 найдется целое число
N (и, a, s, е), такое, что
/*(и, 5)>|Л(а)(/и, s)|-e, n>N(u, а, 5, е)
и, следовательно,
Далее, если s^f^w), то s^?(w), и так как для таких s функция
A (a) (fa, s) непрерывна по а на интервале 0 < a < оо, то
sup H(a)(/U, s)\ = sup\A(a)(fu> s)\
0<а<оо ?й
и, таким образом,
Пусть
sup |
0<a<oo
f*(u, s)= sup |Л(а)(/и, s)|f
0<a<oo
так что
и для всех и ? U
Ит /п(и, s)>f*(u, s)
n-*oo
для почти всех s?S. Пусть теперь Р(п) — положительный опе-
оператор, связанный с ТA/п\), как в лемме 6.4, так что
ft-i ft-i
тп=0 тп=0
Пусть
А-1
так что fn^>fn(u, •) для всех u?U9 и, следовательно,

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 735
Отсюда следует, что
(¦) lim/*>sup/*(a, ¦)*=/*.
Таким образом, если е* (a) = {s\f* (s) > а}, то е* (а) с:JJmе?(а).
п
Лемма 6.7 и лемма Фату (II 1.6.19) показывают, что
Итсф,(е?Bа))< J /(s)^(ds), ч. т. д.
Аналогично неравенство lim /* >/* вместе с леммой Фату и тео-
п-*оо
ремой 6.8 показывают, что
s
\ i;m/J(s)P|i
), l<p<oo,
s
Это доказывает следующую теорему.
7. Теорема. Пусть {T(t), О </} — сильно измеримая полугруппа
в Lx и |r@ii<l, |Г@|оо<1- Пусть для всех и из множества U
определен элемент fa б Lpi такой, что структурная верхняя грань f =
= sup | fu (•) | также принадлежит Lp. В случае р = 1 предполо-
и \
жим также, что [i (S) < оо и ] f(s) log+ / (s) \i (ds) < oo. Тогда
s
функция
f*= sup sup |i4(a)(/tt, 01
u?U 0<a<oo
принадлежит Lp и
Две последние теоремы настоящего параграфа обобщают тео-
теоремы 5 и 7 на случай ^-параметрических полугрупп. Мы определим

736 Гл. VIII. Приложения общей теории
сначала основные понятия, связанные с такими полугруппами и их
средними.
8. Определение. Сильно измеримой k-параметрической полугруп-
полугруппой операторов в вещественном или комплексном В-пространстве X
называется множество {T(tv . . ., th)y tly. .., tk > 0} ограниченных
линейных операторов в Ж со свойствами
(a) T{tly ...,th)T(uv ...,uk) = T{t1 + ul9 ...,^ + ttfc);
(b) T(tly . . ., tk)x измерима по Лебегу по [tv . . ., tk] при лю-
любом x? Ж.
9. Лемма. Если T(tx, . . . , t^ —сильно измеримая k-параметри-
ческая полугруппа в В-пространстве Ж, то для всех х?Ж функция
T(tv ..., tk) х непрерывна в области tv . . ., tk > 0.
Доказательство. Для случая k=\ это утверждение доказано
в лемме 1.3, и рассмотрение этого доказательства показывает, что
оно переносится также и на общий случай леммы 9, ч. т. д.
Если, кроме сильной измеримости, полугруппа сильно интегри-
интегрируема на каждом множестве, определенном неравенствами вида
0 < tt, . . . , tk < а, то средние
...dth
определяются для а>0 способом, аналогичным использованному
в однопараметрическом случае. В частности, А (а)—ограниченный
линейный оператор в Ж. Так же как в однопараметрическом слу-
случае, мы видим, что если Ж есть пространство Lp E, 2, fx) и если
Т (tlf. . ., th) (/, s) — числовое представление вектора T(tlt . . . , tk)f,
которое измеримо как функция tv . . . , tk и s, то
dth
A{a)(f, s) = -L\ ... \T{tv ...,tk){f,s)dt1 ...
есть числовое представление вектора A(a)f и почти для всех s?S
непрерывно по а. Это замечание показывает, что функция /*(s) =
= sup | А (а) (/, s) | равна функции sup | А (а) (/, s) |, где R — множе-
0«х <z?R
ство положительных рациональных чисел. Поэтому функция f*
|ы-измерима и на самом деле совпадает с верхней гранью множества
{| А (а)(/, •) |, 0 < а} в структуре ^-измеримых функций на 5.
В действительности же в следующей теореме, являющейся обоб-
обобщением теоремы 7, рассматривается несколько более общий случай,
чем ^-параметрическая полугруппа, так как здесь мы имеем дело

7. Эргсдическая теория непрерывных потоков 737
со средними вида
аГ1 • • • ап1 ] • • • ] Тк(*к) • • • T1(tl)dtl . . . dtli9
о о
rjxe Tl(t1)9 •••» 7\ (/,J —однопараметрическая полугруппы. Дело
в том, что эти однопараметрические полугруппы не обязательно
коммутируют, а если они коммутируют, то T(t19 . . ., ik) = Tk (tk). . .
T^t^ есть ^-параметрическая полугруппа.
10. Теорема. Пусть {7\@, 0< t}9 i=lf . . ., k —сильно измери-
измеримые полугруппы в Lv причем | 7\ G) |х< 1, |Ti@|oo<l- Тогда
для всех f в Lp, 1<р<оо, функции
ak ai
о о
стремятся к пределу почти всюду на S, когда al—>coi...yah-^co
независимо. Предел существует также в норме Lp, и функции A)
при ар ...,aft>0 в совокупности мажорируются функцией из Lp.
Доказательство. Если A t (а) есть среднее полугруппы {Tt (t), 0 < t)
на интервале @, а), то многократная последовательность A)
может быть записана как V (ai9 ...,aft) (/, s), где
Так как | Tj (t) |oo< 1 и | Тi (t) |t< 1, то из теоремы Рисса о выпук-
выпуклости (VI.10.11) следует, что |7\@|р<1 и, тем самым, что
C) U
(здесь и во всем доказательстве норма без индекса является
Lp-нормой).
Согласно теореме 1, пределы
D) ЕЛ
существуют в сильной ?р-топологии. Из C) и D) следует, что
E) Ek...E1f = limV(a1,...,ak)f, f?Lp9
в норме Lv. Чтобы убедиться в этом, мы воспользуемся соотноше-
соотношением D) индуктивно. Предположим, что E) доказано для произведе-
произведения k—l множителя Ak(ak),...fA2(a2). Тогда выражение
bM... A2(a2){A1(a1)-E1}f\ +
+ \{Ak(ak) ... A2(a2)-Ek ... E2}EJ\<
47 Заказ № 1324

738 Гл. VIII. Приложения общей теории
стремится к нулю в силу предположения индукции, чем и устанав-
устанавливается соотношение E). Далее будет показано, что функции A)
мажорируются функцией из Lp, которая не зависит от параметров
alt...,ar Предыдущая теорема показывает, что это так в случае
6=1. Предположим, что тот же факт установлен для случая k — 1
полугруппы Tv...yTk_1 так что функция
?= sup IA-iK-i) ••• ЛЫ(/> ')!
принадлежит Lp. В предыдущей теореме обозначим через M=(alf...f
•••»a/i-i) точку (k— 1)-мерного эвклидова пространства и поло-
положим f t = Ak_1(ah_1)...Al(a1)f. Тогда из этой теоремы следует, что
функция
sup sup \Ak(ak)(fu, .)[,
и 0<afe<oo
которая мажорирует все функции A), принадлежит Ьр.
Наконец, докажем, что функции A) сходятся почти всюду на S,
когда о^,...,^—>оо независимо. При k=l это следует из тео-
теоремы , и мы предположим, что то же установлено для случая
k— 1 полугруппы Т2,..., Тк. Согласно следствию 2, функции вида
где T1(t)f = fy 0<^, и ^ б Loof) ^Р —плотны в Lp. Таким обра-
образом, ввиду соотношения
и u-fa
Л(а)(/-Г1(«)) = ^[$7\@Л- j T(t)dt]
' 0 а
мьГимеем для такой функции h
V(av ...fak)h = Ah(ah) .., А
где |^i|oo<2^i|g-i|oo|cc1. Предположение индукции тогда пока-
показывает, что Vh—>Ek...E2f почти всюду на S. Для завершения дока-
доказательства мы можем воспользоваться теоремой IV. 11.3. Примем
за Ар множество всех элементов a=[av...,ak] с рациональными аг
и a?>p, i=l,...,&, и положим Та= V(а) = V{av...9ak). Заметим,
что так как при почти всех s функция V(av...,ah) (/, s) непрерывна
при 0 < av ...,ah, то
sup | V (а) (/, s) - V (b) (f, s) | = sup \V (a) (f, s)-V (b) (f, s) |,
a, b?Ap <x{, p^p
где вторая верхняя грань берется по о^,...,!^, пробегающим все

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 739
вещественные числа, большие или равные р. Таким образом, по тео-
теореме IV. 11.3,
lim sup \V(a){f, s)-V(b)(f, s)| = 0,
р-*оэ (X., fy^p
так что V(a)(f, s) сходится при почти всех s в 5 когда а1г..,
...,а^—>оо независимо, ч. т. д.
Если р = 1, то предыдущая теорема теряет силу, потому что
(даже если k=l) средние необязательно ограничены суммируемой
функцией. Однако средние ^-параметрической сильно измеримой
полугруппы {T(tlt...,tk), tx, ...Jk>0} в LLE, 2, ц), у которых
|Г(/Х, ..., ^)|1< 1, \T(tv...,tk) |oo< 1, примененные к функции
из Lx E, 2, (i), тем не менее сходятся почти всюду. Этот результат,
который будет доказан индукцией по &, основан на следующей клю-
ключевой лемме, обобщающей лемму 6 на случай ^-параметрической
полугруппы.
11. Лемма. Пусть (S, 2, \х) — пространство с положительной
мерой, {Т (tv ..., tfX tly ..., tk > 0} — сильно измеримая полугруппа
операторовв LX(S9 2, |г) и \ T(tly ..., th) |x< 1, | Г(/г,..., tk) |oo< 1.
Пусть 1 < р < со, f g Lp , м f* (s) = sup | A (a) (f, s) |, где
0<a<oo
lt ...,th)dtx ... dth.
Тогда существует абсолютная постоянная ck, которая не зависит
от полугруппы и не зависит от f, такая, что
\f(s)\\i(ds), P>0,
ф) {\Г} Q \
Мы докажем лемму 11 по индукции, отправляясь от частного
случая k—l, который был установлен в лемме 6. Доказательство
основано на трех вспомогательных леммах, и, быть может, будет
полезно привести схематический план основных логических построе-
построений, ведущих от леммы 6 к лемме 11. Чтобы сделать такую диаграмму,
мы будем пользоваться обозначением Ck для леммы 11 и Dk — для
ее дискретного аналога. (Утверждение Dh сформулировано точно
в лемме 16.) Тогда Сх есть лемма 6, а Dx — лемма 6.7. Обозначение
CPk будет использоваться для утверждения Ck при дополнитель-
дополнительном предположении, что операторы в полугруппе положительны,
а DPk будет обозначать дискретный аналог CPk. Утверждения,
обозначенные через CPk и DPk, сформулированы точно в леммах
13 и 14 соответственно. В этих обозначениях логическая структура
47*

740 Гл. VIII. Приложения общей теории
доказательства леммы 11 такова: C1=^CPitkkk
Первый этап в этой последовательности, т. е. сведение СРк к Сх,
осуществляется при помощи преобразования, которое сводит
2&-параметрическую полугруппу к ^-параметрической полугруппе.
Этот прием основан на том, что если семейство функций {сра, О < и]
образует полугруппу относительно свертки, т. е. Фи*Фи = фи+»,
и если cpu(x) = O при х<0, то преобразование
о о
. • . Ф*л (Vi) ф*л (*2к) ^ &. «... U dtx ... Л2Л
сводит г2?-параметрическую полугруппу Т(tl9 ..., /afe) к ^-пара-
метрической полугруппе »S (хи . . ., хк). Чтобы быть уверенным, что
полугруппа S(xly ...9xk) обладает нужными свойствами, следует
выбирать соответствующим образом функции фч. Следующая лемма
определяет эти функции и устанавливает свойства, которые мы далее
будем использовать.
12. Лемма. Пусть для и > 0, по определению, фи (х) = и~2ф (хи~2)у
где
2
О,
Тогда Фи*Ф„ = Фи+„ и
Доказательство. Мы имеем
Для доказательства равенства Фи*фо = фи+0 достаточно пока-
показать, что
оо
\ y(x)e-xtdx = e-V', t>0.

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 741
Действительно, если (*) известно, то
оо оо
\ <pu(x)e-xtdx= J ф(х)е-™2'dx = е~иУ"\ <> О,
— оо —оо
и, таким образом, по лемме 2.4,
(Ф„*Ф„) (*)<?-*'dx =
это, ввиду леммы 1.15, доказывает, что сри * ср^ = сри+0. Чтобы устано-
оо
вить равенство (*), положим А = \ e-^u-u^2du для а > 0. Сделав
о
подстановку u=l/v> мы находим, что
оо /а \2
0
Из этих формул для А видно, что
о
и, тем самым (если положить a/u — u=v), что
А = 4
Следовательно,
2/я J
'К о
это доказывает формулу (*) и завершает доказательство леммы.
Мы теперь сформулируем и докажем лемму, обозначенную выше
как CPk. По техническим причинам, понятным из дальнейшего, сле-
следующая лемма устанавливается для такого семейства операторов,
которое можно скорее назвать положительной субполугруппой, чем

742 Гл. VIII. Приложения общей теории
положительной полугруппой. Доказательство этой леммы — наибо-
наиболее сложный этап доказательства леммы 11 в той его форме, как
оно представлено на диаграмме C1=$CPk=$DPk=$Dk=$Ck.
Доказательство возможности сведения случая DPh к случаю CPh9
в чем и состоит смысл доказательства леммы 14, очень похоже
на доказательство следующей леммы, но значительно проще в дета-
деталях, так что читатель может при желании прочесть доказательство
леммы 14 раньше, чем доказательство леммы 13.
13. Лемма. Пусть (S, 2, ^ — пространство с положительной
мерой, и пусть при t1, ..., tk > О Р (t^ ..., tk) — положительные
операторы в Lx (Sly 2, \i)9 причем \P(tl9 . .., th) \г < 1,
\Р{^ ^)|1
ul4 ..., uk)>P(t1 + u1, ..., tk + uk).
Предположим, что оператор позначная функция Р сильно непре-
непрерывна в области tx, . .., tk > 0. Пусть 1<р<оо, f?Lp и /* =
= supi4(a)|/(-)|. где
0<а
а а
^5 $Х, ..., tk)dtx ... dth.
Тогда существует абсолютная постоянная ck, которая не зависит
от оператора Р(^ tk) и не зависит от f, такая, что
где e*(p) = {s|f*(S)>p} и e(p) =
Доказательство. Заметим, что если 1 <т< внесли Г (/х, ..., ^т) =
= Р(^, .... д, то
a a
/x, .... tjdt, ... dtm =
Это показывает, что если лемма верна для целого числа k, то она
также верна для всех целых чисел m< k. Таким образом, для дока-
доказательства леммы достаточно показать, что она верна, если Счетно.
Если k = 1, то лемма уже доказана (лемма 6). Мы будем, таким обра-
образом, предполагать, что лемма доказана для целого числа п, и пока-

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 743
жем, что она справедлива для целого числа k = 2n. Пусть фи,
ф —функции, определенные в лемме 12, и пусть
/ J. \ / J. \ / J \ /1 \
Согласно лемме 12,
оо оо
\ • • • \ фх (^i) фх (^2/ • • • Фх (^Ь 1/ фл: (^ь) dt\ • • 'dtu =
О О
и так как ф (/) > 0, то 5 (х19 ..., хп) — положительный оператор,
у которого \S(xu ..., Jfn)li< 1, | S(Xi, . .., xj|oo< 1. Поскольку,
кроме того, ф (х) = 0 при х < 0, из леммы 12 для 0</€ ^i (S, 2, [х)
вытекает равенство
оо оо
jj ^Ф»!^) ••• фх„ (*fc) ф»! («l) •••
о о
оо оо
— оо —оо
оо оо
—оо —со
CO ОО
—оо —со
»t)i3fe, ..., vh)fdv1
Таким образом, S {xly ..., xn) удовлетворяет предположениям
леммы 13, и поэтому, по предположению индукции, существует

744 Гл. VIII. Приложения общей теории
такая постоянная сп, что
И*|/**(*)>РК^р \ \f(s)\*№, р>о,
е(сп§)
где
а а
±\\(x1, ..., xn)\f(-)\dXl ... dxn.
Чтобы завершить доказательство леммы, достаточно установить
существование абсолютной постоянной dk, такой, что f**>dj*.
Для этого достаточно показать, что для всех а >ь0 существует
aj = ах (а) > 0, такое, что
A(S, a,)f = ±^ ...
1 о о
a a
о
для каждой неотрицательной функции f в Lx. Так как
оо оо
о о
fh) P(^ ...,th)fdh...
где
о
ai
то, очевидно, достаточно показать, что h(alt t, y)>6/a2 для" всех
t9 ^<a, ибо тогда неравенство [*] выполнено при dk = F/4jt)ft/2.
Убедимся, что можно взять аг = а1^, т. е. покажем, что

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 745
Подстановкой u = axvy t1=^a\s1, *2 = ajs2 приводим это неравенство
к виду
_ 2 / J_ i v
, 0
Пусть G(a)= \ y2e-r2ady; тогда нам нужно установить неравенство
о
(Sls2)-3/2G (J- + J-) > б, 0 < h < s2< 1.
1*4
Так как G положительна и непрерывна, достаточно доказать нера-
неравенство [**] для случая, когда s± или s2 близки к нулю. Мы имеем
1 1
v2e-v2adv= [ uxj*e-"a du = -5L_L f vxl*e-* do,
0 0 0
и поэтому при некотором положительном A G(a)^>ka~3/2 для всех
достаточно больших значений а. Таким образом,
± + _L
если хоть одно из чисел sx или s2 близко к нулю. Это устанавливает
неравенство [**] и завершает доказательство леммы.
14. Лемма. Пусть (S, S, [^ — пространство с положительной
мерой, и пусть для любого множества k неотрицательных целых
чисел il9 ..., ik в L1(Sf S, \х) определен положительный оператор
P(tlf ..., ih)y причем
Пусть для fGLp, no определению, /* = sup Л (n) |/(•)),
n
n n
A(n)=i S ••• 2 р('ь •••' м-
Тогда существует постоянная ck, не зависящая от операторов
P(tj, ..., ik) и от функции f, такая, что
, p>0.

746 Г л VIII. Приложения общей теории
Доказательство. Для хх, . . ., хк > 0 определим оператор
оо оо
г>{х1, . .., хк) — е 2л ' * " Zj 7j
Так как сумма коэффициентов этого ряда
то | S (л:!, ..., Jc/t)|1<l, \S(xl1 ..., а:л)|оо<1, и, таким образом, по
теореме Рисса о выпуклости, | S (хг, . . ., хк) \р < 1. Ясно также, что
S(xlf . .., хк) — положительный оператор в Lp. Кроме того,
iu ..., ik) p (/l> ...,;j
где сумма 2 берется по всем неотрицательным целым числам il9 .. .
ik> Ун •••» /к- Таким образом,
fc)'V ... V
mk\
и поэтому видно, что операторы S (хХ) .. ., хк) удовлетворяют тре-
требованиям предыдущей леммы. Следовательно, если
а а
S{xv ...,xh)\f(-)\dx1 ... dxh,
p
o<a a J J
где f б Lp, то
^ jj |/(s)||i(ds)f p>0.
Таким образом, наша лемма будет доказана, если мы установим суще-
существование абсолютной постоянной dk, для которой /**d/*

7. Эргсдическая теория непрерывных потоков 747
Это неравенство будет справедливо, если мы докажем, что для
О</6 ^7) и п > О существует а = а(п, /), такое, что
а а
1 г* г*
Г*] —г- \ • • • \ ^ ^х, . . ., хк) I ах1 .. . ахк >
1 J aft J «3
о о
п-1 п-1
> А у у р (/ / ) f
Так как
a a
1
«%
где cm(a) = a \ e~xxm dx/m\9 то для доказательства неравенства [*]
о
достаточно показать, что существуют число 6_> 0 и для каждого п
число а (п) > 0 такие, что ст (а (п)) > 6/л при т < л, так как тогда
неравенство [*] будет выполнено с постоянной dh = 6k. Это послед-
последнее утверждение будет проверено для а (п) = п, т. е. мы покажем, что
п
при некотором 6>0 имеет место неравенство \ e~xxmdx/m\ >б
о
для всех т < п. Таким образом, достаточно показать, что
т
\h^\fm{x)dx>0, где fm(x) = e-xxm/m\ Так как /„(*)> 0
m->oo q
и /mW<0 на интервале т — уЛт<х<т, то
m
J /m (x) dx > jj /m (x) dx > -i- /m fm(m) =
0 m- Л^т
1 е-ттт+{т-1/* е
2 mi
по формуле Стирлинга, ч. т. д.
При доказательстве возможности сведения случая Dk к случаю
DPh нам будет необходима следующая лемма.
15. Лемма. Для каждого ограниченного оператораТ в Lx, у копгс-
рого | Г|со < оо, примем за Р (Т) положительный оператор, связан-
ный с Г, как в лемме 6.4. Тогда Р G\) Р (Т2)> Р (Т1 Т2).

748 Гл. VIП. Приложения общей теории
Доказательство. Мы напомним, что для 0<f ^Z
P(T)f= sup \T(g, -)|.
Пусть \g(•)!</» так что» по лемме 6.4,
\TlT2(g^)\<P(T1)\T2(g^)\<P(T1)P(T2)\g(-)\<P(T1)P(T2)f.
Таким образом, Р (T1T2)f^P G^) Р (Т2) f для любой неотрицатель-
неотрицательной функции /в Z^n^co. Из соображений непрерывности ясно, что
это же неравенство выполнено для всех положительных функций /
в Lu ч. т. д.
16. Лемма. Пусть Т19 ..., 7\ — коммутирующие операторы в Lx
и \Тг\1у |7\|оо<1 для i = lf ..., k. Для /?Lp положим /* =
|4()/ )| ^
ix=0 ife=0
7"ог<3а существует постоянная ch, не зависящая от операторов
7\, . . ., 7\ ы функции f, такая, что
Доказательство. Используя обозначение Р(Т), введенное в лем-
лемме^, определим для любого множества il9 . ..,tft неотрицательных
чисел операторы Р (il9 ..., tft) = Р (Tli ... Г^). Согласно леммам 6.4
и 15, операторы Р (ilt ..., ih) удовлетворяют предположениям
леммы 14. Поэтому при некоторой постоянной ck
|^r J ), P>0.
e(cfeW
где
n-l n-1
/**=sup-i.
Но, по лемме 6.4,
n-l n-l
f**>Sup|-L 2 ... 2 '
n2:1 n i1=o ih=o
Поэтому (s|/;**(s) > P}3{s|/*(s) > P}, что ввиду неравенства [*]
до сазывает лемму.

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 749
Теперь уже все подготовлено для доказательства леммы 11. Эта
лемма будет сначала доказана при небольшом дополнительном пред-
предположении, что полугруппа Т (tlf. . ., tk) определена при всех ti >0.
Для простоты обозначений доказательство дано для случая k=2, но
будет ясно, что метод применим для произвольного положительного
целого числа k. По теореме II 1.11.17, найдется множество Е нулевой
меры |я, такое, что средние
о 6
существуют для всех 5, не принадлежащих Е. Таким образом^при
s (J Е функция А (а) (/, 5) непрерывна при а > 0. По лемме 9,
полугруппа {Т(tlt t2), tl9 t2^>0} сильно непрерывна в каждой
точке tx > 0, t2 > 0, и поскольку \T(tl9 t2)\p^l, то для всех а
из множества R неотрицательных рациональных чисел
an!—I an!—1
А (а) / = Нт ^ ^ 2 5i(")il52("L
где S1(n) = T(l/n\9 0), 52(п) = Г@, \1п\). Используя следствие
III.6.13, теорему III.11.17 и канторовский диагональный процесс,
мы можем найти такую последовательность {п^]у что
an!—I an.!—1
i2=o
для всех a в R и всех s, не принадлежащих множеству меры нуль
Е{^>Е. Для s^fj положим
k-i k-i
ml=0 m2=0
так что если а ? R, s § Ег и & > 0, то найдется целое число
/V(a, 5, в), такое, что
\fl(s)\>\A(a)(f9 s)| — в,
Следовательно,
Если теперь 5^?"х, то s$E и, следовательно, для s^Z^ среднее
А (а) (/, s) непрерывно по а на интервале 0 < а < со. Таким образом,
p
0<a

750 Гл. VIП. Приложения общей теории
Поэтому для р > 0 мы имеем Ит %п > %, где %п и % — характеристи-
характеристические функции множеств {s|/*(s)>P} и {s|f*(s)>P} соответст-
соответственно. Следовательно, по лемме Фату и лемме 16,
(s) > р» = ^ х(s)|lx(ds)< Hrn^ ^ %n(s)\i(ds) =
g П->СО g
=Jrm>{s|/*(s)>p}<linl ^L- $ \f(s)\n(ds) =
Это доказывает лемму 11 при дополнительном предположении, что
полугруппа определена при всех /,, ...,^>0. Предположим
теперь, что {S (tl9 ..., tk)% tl9 .... ft ^ 0} — полугруппа, которая
удовлетворяет условиям леммы 11, и для е > 0 положим Т (е2; ^, ...
..., tk) = I, если ^ = /2 = ... = tk = 0, а в противном случае поло-
положим Т (е; /и . .., /A) = S(/1 + ew1> ..., tk + euk)9 где i/t = tx + .. .
• • • + h-i + ^u + • • • + 'л- Тогда мы можем применить только что
доказанный результат к полугруппе {Г (в; tv ..., fft), ^, .. ., ^0}
Для функции / из Lp положим
f p
0 <а
где
а а
а о о
Таким образом, доказано, что
), е,р>0.
Из теоремы Лебега (II 1.6.16) и леммы 9 видно, что для всех функций
/из/.рприа > 0 имеет место равенство lirn Л(е, a)f=A (а) /по норме
Lp. Таким образом, по теореме III.3.6, А (е, a)f-^A (a)f по мере;
следовательно, применяя следствие II 1.6.13 и используя канторов-
ский диагональный процесс, мы можем найти такую последова-

7. Эргодическая теория непрерывных потоков 751
тельность ei —> 0, что А (е-, а) (/, 5) —-> А (а) (/, 5) для почти всех отно-
относительно \х точек s в S и для всех а в множестве # положительных
рациональных чисел. Отсюда следует, что Urn ft. (s) >| Л (а) (/, s) |
г—оо
для почти всех s в S и всех а в R. Так как для почти всех s в S функ-
функция Л (а)(/, 5) непрерывна при 0 < а, то
P(s) = sup|i4(a)(/,s)|<lim f*(s)
я т^ г
почти всюду на 5. Еслие* (Р) - {s\f* (s) > Р} ие*. (Р) - {s|/|. (s) > р},
то с точностью до множества меры нуль liine*. (Р) з^* (Р), и поэтому
г-*оо
из неравенства [*] и леммы Фату вытекает, что
е (cfeP)
Это завершает доказательство леммы 11 и подготавливает нас
к следующему основному результату о сходимости почти всюду сред-
средних ^-параметрической полугруппы в LX(S, 2, \х).
17. Теорема. Пусть E, 2, \х) — пространство с положитель-
положительной мерой, {Т (tlf ..., tk), tly ..., tk > 0} — сильно измеримая k-napa-
метрическая полугруппа операторов в L1(SyH,\i)u\T(tx,..., t^)\x < 1,
I T (tly . . ., tk) |oo<: 1. Тогда для любой функции f из Lx (S, 2, \x) предел
dth
Iim-M ... \T(tlt ...%th)(Us)dt1...
существует для почти всех s в S.
Доказательство. Пусть
М ... \T(t^ ...,tk)dtu ...,dtk.
0 0
При р > 1 множество Lp[]L1 плотно в Ьг и из теоремы 10 видно,
что для функций / из Lpfl/^предел lim А (а) (/, 5) существует для
а-» со
почти всех s ? S. Ввиду леммы 11 мы можем применить теорему
IV. 11.3, полагая Ар = множеству всех рациональных чисел а>/?,
чтобы доказать для любой функции / из Lx соотношение
lim sup | Л (a) (/, 5)-Л(Р)(/, s)| = 0
Р a, 0 е Лр
при почти всех s в S. Но так как при почти всех s функция
А (а) (/, 5) непрерывна по а, то это означает, что предел lim A (a) (j,s)
a-*oo
существует почти всюду на S, ч. т. д.

752 Гл. VIII. Приложения общей теории
8. Равномерная эргодическая теория
В этом параграфе мы получим условия на ограниченный линей-
линейный оператор Т в комплексном Б-пространстве, которые достаточны
71-1
для того, чтобы обеспечить сходимость средних п 2 Т} в равно-
равного
мерной топологии операторов. Для некоторых операторов в про-
пространствах C(S) и Lt (S, 2,(л) будет проведено специальное рас-
рассмотрение в том случае, когда возможно более полное описание
топологического пространства S. Результаты этого параграфа могут
быть успешно применены к некоторым задачам в теории марковских
процессов, хотя мы лишь бегло укажем эти применения.
1. Лемма. Пусть Т — оператор в В-пространстве Ж, предполо-
предположим, что последовательность {п^Т11} сходится к нулю в слабой опе-
операторной топологии, когда п стремится к бесконечности. Тогда
спектр оператора Т есть подмножество единичного круга {z \\ z | < 1}
и любой полюс К резольвенты оператора 71, такой, что | А, | = 1, является
простым.
Доказательство. Из условий леммы и теоремы о равномерной
ограниченности вытекает неравенство \Тп/п\^К, п=0, 1, 2, ...
при некоторой постоянной /С, и поэтому lim|7n|1/n< 1. Из леммы
ti->jo
VII.3.4 вытекает, что | о(Т) |< 1. Если X — полюс резольвенты опе-
оператора Т и | А,)=1, то 1 является полюсом резольвенты оператора
Т1=Т/Хи Т^/п—^О в слабой операторной топологии. Следовательно,
для доказательства второго утверждения, достаточно исследовать
тот случай, когда 1 есть полюс оператора Т. Предположим, что
порядок полюса 1 не меньше двух. Согласно теореме VII.3.18, най-
найдется такой вектор х0 б Е A; Т) Ж, что (/ - Т) х0 Ф 0, но (/ - ГJ хо=О.
Применяя теперь теорему VI 1.3.22 к функции f, определяемой
равенством f(k)=Xn/n, получаем
Полагая п—>оо, мы приходим к выводу, что 'х* (/— Т)х0 — 0 для
всех л:* б X*, но это приводит к противоречию. Следовательно, полюса
оператора 7\ которые лежат на единичной окружности, могут быть
только простыми, ч. т. д.
Мы сформулируем теперь такое условие, которое в случае
|а(Г)|< 1 приводит к тому, что спектральные точки X с модулем
|^| = 1 изолированы, а соответствующие проекторы имеют конечно-
конечномерные области значений.

8. Равномерная эргодическая теория 753
2. Лемма. Пусть Т—ограниченный линейный оператор, спектр
которого содержится в единичном круге, и пусть \ Тп — К \ < 1
для некоторого натурального числа п и некоторого вполне непрерыв-
непрерывного оператора К- Тогда любая спектральная точка Я оператора Т
в области |Я|П> \ Т'1-— К\ изолирована и соответствующий проек-
проектор Е (Я; Т) имеет конечномерную область значений.
Доказательство. Пусть п — число, фигурирующее в условии,
и со — примитивный п-й корень из единицы. Из теоремы VI 1.3.11
следует, что если Я? о(Т) и | Я| = 1, то
Е (Я; Т) + Е (Ясо; Т) +...+Е (Ясо"; Г) = ? (Яп; Тп).
По следствию VII.3.21, Я(Ясор; Т)Е(Ш; Г)=0, р Ф q, и поэтому
если Е(Хп\Т'ь) имеет конечномерную область значений, то и Е(Х;Т)
тоже. Согласно той же теореме VII.3.11, если А/1 — изолированная
точка спектра а(Т )= [а(Г)]п, то Я— изолированная точка спектра
а (Г). Следовательно, достаточно доказать лемму в случае п ~1>
что мы и сделаем.
Пусть V=T — /С. Сначала будет показано, что если | fx| > | V|
и если обратный оператор (I — R (|i; V) К)'1 существует, то оператор
R(\x; Т) существует и равен (/— /? (jut; V) /С)/? (jul; V"). Это следует
из тождества
и следующих подсчетов:
[(/ - R (,i; V) К) R (|х; V)] [\il - Т] = /;
= (И/— I/)(/—/?(|х; V)K)(I-R(\x; V)/С)/?(»х; V) = I.
Далее, согласно VI.5.4, оператор R ([х; У) /С вполне непрерывен при
всех \л в области |(я|>|У| и, очевидно, аналитически зависит
от |i. Так как | R (\х; V) \ —> 0 при | ji | —> оо, то при | jx | достаточно
больших |/?(щ ]/)/С
к выводу, что если | \х
< 1. Ввиду леммы VI 1.3.4 мы приходим
достаточно велико, то число 1 не принадле-
принадлежит спектру оператора R (|х; V) К- Из леммы VII.6.13 следует, что
(/ — R (jli; V) К)'1 существует и является аналитической функцией [х
в области |(х|;>|У|> кроме счетного множества изолированных
ее точек. Ввиду сделанных выше замечаний это показывает, что
оператор R (jx; T) существует при | |х| > | V], кроме счетного числа
изолированных точек.
Пусть Х?о(Т) и |Я|>|1/|; остается показать что оператор
Е (Я; Т) имеет конечномерную область значений. Для этого обозна-
обозначим через С окружность с центром в точке Я и радиусом настолько
48 Заказ № 1324

754 Гл. VIII. Приложения общей теории
малым, что С целиком лежит в области | \i\ > | V\ и не содер-
содержит внутри себя никаких точек, кроме X, в которых (I — R (,u; V) /С)
перестает существовать. При больших | \i\ разложение Лорана при-
приводит к тождеству
(I-R(ц; V)К)'1 = I + R(p;V)K{I-R(ц; V)КТ\
и аналитическим продолжением мы устанавливаем, что оно выпол-
выполнено также и на С. Следовательно,
; V).
Но, поскольку R ([х; V) аналитична на С, мы имеем
= -5ST $ ^ V)/C(/ —Л(|х; V) ЯГ1 Я 0*5
с
Так как оператор /С вполне непрерывен, подинтегральная функция
вполне непрерывна при всех \х на С. Вспоминая определение инте-
интеграла и лемму VI.5.3, мы приходим к выводу, что Е (X; Т) также
вполне непрерывен. Но Е (X; Т) есть тождественный оператор в под-
подпространстве Е (Х\ Т) Ж, откуда, согласно теореме IV.3.5, и следует,
что подпространство Е(Х\ Т)Ж конечномерно, ч. т. д.
3. Теорема. Пусть оператор Т таков, что последовательность
Тп/п сходится к нулю в слабой топологии, и пусть \Тп — К\ < 1
для некоторого натурального числа п и некоторого вполне непре-
непрерывного оператора К. Тогда в спектре оператора Т существует
не более конечного числа точек Хъ . .., Xqy равных по модулю еди-
единице. Каждая точка Xk есть простой полюс, и Е (Xk; Т)Ж конеч-
конечномерно.
Доказательство. Пусть Xk? а (Г) и [A,,J=1. По лемме г 2,
Е{Хк\ Т)Ж конечномерно, и поэтому оператор Г, суженный на это
подпространство, вполне непрерывен. Из теорем VI 1.4.5 и VI 1.3.20
следует, что Xk есть полюс резольвенты оператора Т. По лемме 1,
он должен быть простым полюсом, ч. т. д.
4. Следствие. Если оператор Т удовлетворяет условиям теоремы,
71-1
то последовательность п'1 У Г; сходится к проектору Е (I; T)
в равномерной топологии операторов.
71—1
Доказательство. Пусть А(п) = п'1 У Тту а —часть спектра
771 = 0
а G1), лежащая в открытом множестве | X \ < 1 и а' = а (Г) — а. Тогда,

8. Равномерная эргодическая теория 755
согласно лемме VI 1,3.13, А (п) Е(в)—^0. По теореме VI 1.3.20, точки
Klt . . ., X есть простые полюса сужения То> оператора Т на Е (а') Э?.
п—I
Так как пх 2 ^Г—>0 при всех А,4=? 1, то мы видим из теоремы
VH.3.22, что"Л (п)Е(в')->Е({1}). Так как А (п) = А (п) Е (о) +
+ А (п) Е (а'), следствие доказано.
Мы теперь обратимся к исследованию некоторых операторов 7\
определенных в С (S) в том случае, когда S— бикомпактное хаус-
дорфово пространство. Мы говорим, что оператор Т положителен,
если (T/)(s)>0, sG S для любой функции /, такой, что /(s)>0,
s ? S. Будет показано, что если Т положителен и удовлетворяет
условиям, сформулированным в теореме 3, то все точки спектра
а (Г), равные по модулю единице, суть корни из единицы.
ч
5. Лемма. Пусть Т — положительный линейный оператор
в С (S), такой, что последовательность ТпIn сходится к нулю в слабой
операторной топологии, и пусть \Тп — К\< 1 для некоторого
натурального числа п и некоторого вполне непрерывного оператора К.
Тогда существует целое.число N< такое, что если kly .. . \ iq — точки
оG), равные по модулю единице, то Я^=1, ft=l, ...,9.
Доказательство. Пусть точка X Ф 1 лежит в спектре а (Г), | XI = 1
и пусть функция 1ф0 лежит в области значений проектора ? (Я),
так что Tf = Xf. Пусть s0 — точка 5, в которой |/(-I достигает
своего максимума. Так как Е (X) С (S) есть линейное многообразие,
мы можем предположить, что f (s0) = 1. Пусть б — линейный функцио-
функционал на C(S), определяемый равенством bg = g(s0), gfC(S). Тогда
(Г*)П6 — неотрицательный линейный функционал HaC(S), и поэтому,
по теореме IV.6.3, существует неотрицательная мера лп в rca(S),
такая, что
(Tng)(s0)=\g(s)nn(ds), g?C(S).
s
Так как Xnf (s0) = (Tnf) (s0) = J / (s) nn (ds) и | / (s) | < / (s0) = 1, то
nn(S)>], n=l,2
Мы теперь покажем, что для всех п открытое множество Ап =
= {s?S\X~nf (s) Ф 1} имеет яп-меру нуль. Так как T'lf = Xnf, то
0 = / К) - Г" {Т»П (So) = \ {1 - X-nf (s)} яп (ds),
S
и, беря вещественные части,

756 Гл. VIII. Приложения общей теории
Так как | Re(Arnf (s)) |< \f(s) |< 1, подинтегральная функция нео-
неотрицательна. Поскольку и мера яп неотрицательна, из III.2.20 (d)
и 111.6.8 следует, что яп (Вп) = 0, где через Вп обозначено множество
{s6 S| Re (Я-п/(<>))# 1}. Так как \f(s) f < \f(s0) | = 1, легко видеть,
что Вп-зАп, и, следовательно, яп(Лп) = 0.
Теперь будет показано, что дополнения А 'п= S—Лп, п=1, 0, 2,..,
не могут быть попарно не пересекающимися. Применяя следствие 4,
мы определяем меру я равенством
оо
Так как л- (S)> 1, той n(S) > 1. Пусть А = [} Л,; так как Л с Л)г
то itj (Л) = 0 для /=0, 1, 2, ..., и, следовательно, п(А)=0. Пусть
оо
А' = Г) Лу, так что /lr=S —Л. Если множества Л^, й=0, 1, 2, ...,
попарно не пересекаются, то л;- (Л^)=0 при j ф k, к поэтому
п-1
У= Ит Т^
Следовательно, я(Л') = 2 я(Ла) = 0. Так как Л и Л' суть допол-
нительные множества, то 0 = я (Л)+я (Л ')=я (S) > 1. Это противоре-
противоречие доказывает, что множества {Ak} не могут быть попарно не пере-
пересекающимися.
Мы показали, что существуют такие различные целые числа т
и п, что множество А'тАп содержит точку sv Следовательно,
X~nf (sl)=l = 'k'mf(sl)y и поэтому кп~т=1. Но X было любой точкой
спектра о(Т) с модулем | Х\= 1, а так как имеется лишь конечное
число таких точек, существование целого числа jV, описанного
в утверждении, доказано.
Мы теперь соберем уже полученные результаты.
6. Теорема. Пусть Т — положительный линейный оператор
в C(S)y такой, что последовательность Тп/п сходится к нулю в сла-
слабой операторной топологии, и пусть \ТЛ — К\ < 1 для некоторого
натурального п и некоторого вполне непрерывного оператора К-
Тогда спектр о (Т) может быть представлен как объединение замкну-
замкнутого множества а, которое лежит внутри круга \ г \ < а < 1 и конеч-
конечного числа простых полюсов е2т0ьу где Qk рационально, &= 1, 2, ..., q.
Если положим Ek = E(e2mQb), ED=r. E (о) и D=^TED, то каждый
проектор Ек имеет конечномерную область значений. Итерации

8. Равномерная эргодическая теория 757
оператора Т определяются равенством
Тт — 2 е~тт kEh -f- Dm, m > 1.
Кроме того, существует положительное число М, такое, что
\Dm\<Mam, m>\.
Доказательство. Остается доказать только два последних утвер-
утверждения. Так как точки е2теь — простые полюса резольвенты опе-
оператора Г, выражение для Тт есть непосредственное следствие тео-
теоремы VII.3.22. Наконец, D = TG на подпространстве E(o)C(S)
и обращается в нуль на подпространстве (/ — Е (а)) С (S), так что
e(D)=o(TG)U{0}. По теореме VII.3.20, a(D)=a(J{0}, и поэтому
a(D) содержится в круге | z\ < а при некотором а < 1. По лемме
VI 1.3.4, отсюда следует неравенство lim [Dm|l/m < а, так что \Dm\ <
7П-+СО
<Mamm>l, при некотором положительном числе М, ч. т. д.
7. Теорема. Пусть оператор Т удовлетворяет условиям преды-
дущей теоремы, и пусть ЕР= ^]Ek. Тогда подпространство СР =
= ЕР [С (S)) конечномерно, и если CD = ED [С (S) ], то С (S)
есть прямая сумма Ср и С в- Оба подпространства СР и С в инва-
инвариантны относительно Т, и
(a) существует такое натуральное число N, что TNx = x для
(b) Тпх—>0 экспоненциально быстро, для x?CD. Кроме того,
подпространства Ср и Св однозначно определяются свойствами
(а) и (Ь) соответственно.
Доказательство. Из определения оператора ЕР вытекает, что-
ЕР — проектор, ЕрЕв — ЕвЕР = 0 и 1 = ЕР-\-Ег>. Кроме того,
оператор Т коммутирует с ЕР и ED, так что это разложение в пря-
прямую сумму есть разложение на подпространства, инвариантные
относительно Т. Утверждения (а) и (Ь) вытекают из формулы для Гт,
данной в теореме 6. Для доказательства последнего утверждения
теоремы положим x?C(S) и Тпх—>0. Тогда х = хР + хв, где хР =
= ЕРх?Ср и xD^EDx kCo- Отсюда следует, что Тпхр —> О
и TnxD —> 0; но так как последовательность {ТпхР} имеет беско-
бесконечно много членов, равных хР, тол:р = 0. Поэтому множество
Cd = {х € С (S) | Т1х —> 0}. Аналогично если х б С (S) таков, что
Т'гх = х при некотором /г>1, то х б СР и поэтому множество
СР= {х б C(S)\ Тпх = х при некотором р>1}, ч. т. д.

758 Гл. VIII. Приложения общей теории
Выводы теоремы 3 справедливы для любого S-пространства,
и в частности для пространства Lx (S, 2, \л). Однако совсем не оче-
очевидно, что более подробные результаты, полученные в теоремах 6
и 7 для пространства С (S), могут быть распространены на какие-
либо другие пространства. Мы теперь докажем, что для простран-
пространства Li (S, 2, \х) это возможно благодаря тому факту, что его сопря^
женное пространство может быть представлено как пространство
непрерывных функций. Пусть Т — оператор в пространстве
L1(S, 2, |i); мы говорим, что оператор Т положителен, если
G7)(s)>0 почти всюду на 5, как только f(s)>0 почти всюду.
8. Теорема. Пусть (S, 2, \х) — пространство с а-конечной
положительной мерой. Предположим, что Т — положительный
линейный оператор в LX(S, 2, \i), такой, что последовательность
Т'Чп сходится к нулю в слабой операторной топологии, и пусть
\Тп — К | < 1 для некоторого натурального числа п и некоторого
вполне непрерывного оператора К-Тогда выводы теоремы 6 и 7 спра-
справедливы, если C(S) заменено на L^S, 2, \х).
Доказательство. Рассмотрим сопряженный, оператор Г* в про-
пространстве Loo(S, 2, |i). Легко видеть, что так как оператор Т поло-
положителен, то Г* тоже положителен. Кроме того, если Т' = К+ V, где
К вполне непрерывен и | V\ < 1, то (T*)n = /(*-f 1/*, и К* вполне
непрерывен по теореме VI.5.2, в то время как \V*\ < 1 по лем-
лемме VI.2.2. Далее, по условию теоремы, Т'ь/п —> 0 в слабой опера-
операторной топологии. Рассуждения, аналогичные примененным в дока-
доказательстве следствия 4, показывают, что последовательность
{ТЧп} сходится к нулю в равномерной операторной топологии
B(LX). Тогда, по лемме VI.2.2, последовательность {Г*п1п) сходится
в равномерной операторной топологии В (L^) и, следовательно,
в слабой операторной топологии этого пространства. Таким обра-
образом, мы показали, что условия, которым удовлетворяет Т, выпол-
выполнены также и для Т*.
Далее, теорема V.8.11 утверждает, что существует компактное
хаусдорфово пространство Sx, такое, что LQO(S, 2, fx) изометри-
изометрически изоморфно пространству С (SJ и что изоморфизм сохраняет
понятие положительности. Поэтому из теоремы 5 видно, что все
точки спектра q (Г*), равные по модулю единице, есть корни из еди-
единицы, а по лемме VI 1.3.7 то же верно и для спектра а(Г). Остальные
выводы теорем 6 и 7 доказываются точно так же, как и раньше, так
как, чтобы их установить, не использовалось никаких специаль-
специальных свойств пространства C(S)> ч. т. д.
Мы закончим этот параграф, показав вкратце, как уже получен-
полученные результаты могут быть применены к теории марковских про-
процессов. Изложение здесь неполно; за подробностями читателя можно

8. Равномерная эргодическая теория 759
отослать к статье Иосиды и Какутани [2]. Их изложение не совпа-
совпадает в точности с нашим, но в существенном они не различаются.
Пусть (S, 2, \i) — пространство с конечной положительной
мерой; рассмотрим вещественнозначную функцию Я, определенную
на Sx S. Функция Р называется функцией вероятностей перехода;
мы считаем число Р (/, ё) вероятностью того, что по прошествии
единицы времени точка t б S будет находиться в множествен б 2.
Пусть через В (S, 2) обозначено пространство ограниченных 2-изме-
римых комплекснозначных функций на S с нормой |/| = sup \f(s) [,
f б В (S, 2). Через ca(Sy 2) обозначим пространство вполне адди-
аддитивных комплекснозначных мер, определенных на сг-алгебре 2.
Предположим, что
(а) />(., e)?B(S, 2), ^2; . .
(Р) P(t, -)eca(S, 2), t?S',
(у) P(t, e)>0y /gS; eg2;
(в) />(*, S)=l, ^65.
Из этих предположений легко выводится, что вероятность того, что
точка t б S будет находиться в множестве е б 2 по прошествии п
единиц времени, задается рекуррентными соотношениями
t9 e)= J P^it, ds),P{s, e) =
s
ds)P^-v(s, e) n = 29 3, ...,
где Ра) = Р. Проблема Маркова состоит в исследовании асимптоти-
асимптотического поведения последовательности {P{lb)(t, ё)} и значений
71-1
п1 2 Ри) {*, е) в том случае, когда Я(о) (t, e)=%e (t).
В этом случае мы, естественно, приходим к изучению двух ли-
линейных отображений
.). [хбшE, 2),
которые действуьот в пространствах В (S, 2) и шE, 2) соответст-
соответственно. Легко видеть, что оператор Т и его итерации положительны
и имеют нормы, равные единице. Кроме того, функция, равная тож-
тождественно единице, не изменяется оператором Г, так что 1 б в(Т).
При изучении таких процессов обычно накладывают дополнительные

160 Гл. VIII. Приложения общей теории
условия на функцию Р, которые гарантируют существование целого
числап и вполне непрерывного оператора К в В (S, 2), таких, что
\Т''-К\ < 1.
Заметим, что пространство B(S, 2) изометрически изоморфно,
в силу теоремы IV.6.18, пространству С (S^, где Sx — некоторое би-
бикомпактное хаусдорфово пространство. Так как изоморфизм сохра-
сохраняет нормы и положительность, то результаты теорем 6 и 7 справед-
справедливы для оператора Т в пространстве В E, 2). Функцию Р вероят-
вероятностей перехода можно разложить аналогично разложению про-
пространства В (S, 2), найденному в теоремах 6 и 7. Быть может, еще
более удивительно то, что может быть получено другое разложение
пространства. Именно, если g — размерность подпространства
Е A; Т) В (S, 2), то можно разложить S па g взаимно непересекаю-
непересекающихся борелевских множеств eif i= I, ..., gy которые называются
эргодическими ядрами и определяются с точностью до множеств
g
нулевой меры, и на дополнительную часть A=S— (J et, назы-
г=1
ваемую диссипапгивной частью S. Эти множества обладают тем свой-
свойством, что
p(n)(', A)<Man, 0<a< 1, n=l, 2, ... .
Эти соотношения можно пояснить, сказав, что если точка t?eiy
то она переносится процессом Т (с вероятностью единица) в то же
эргодическое ядро ег и что с возрастанием времени диссипативная
часть рассеивается. Кроме того, ядра ег не могут быть разложены
на меньшие множества, обладающие первым из отмеченных свойств.
Однако каждое ядро е{ можно еще расщепить на конечное число
непересекающихся борелевских множеств ?ц, •••, e-ife., где?4 —дели-
g
тель целого числа N теоремы 7 и 2 k^dlmEp [В (S, 2)].Множе-
ства eijf /= 1, ..., ki9 называются подэргодическими ядрами, принад-
принадлежащими ег; они определяются с точностью до множеств нуле-
h
вой меры и е{ = р eir Кроме того, полагая е*, ь.+1 = ?ii, имеем
P(t, eiii+1)=l, t?eij9
так что процесс (с вероятностью единица) переводит точки эргоди-
ческого ядра циклически по подэргодическим ядрам, которые ему
принадлежат.

9т Упражнения no эргодической теории
9. Упражнения по эргодической теории
1. Показать, что теорема 5.9 и следствие 5.5 остаются справед-
справедливыми, если р > 1, даже если E, 2, \х) — пространство с беско-
бесконечной мерой.
2. Показать, что если пространство с мерой (S, 2, \х) в теоре-
теореме 5.9 таково, что \i(S) = со, то необходимым и достаточным усло-
условием справедливости теоремы и в случае р=1 является существо-
существование для любого е > 0 и любого е ? 2, \х(е) <оо, такого мно-
жества а б 2, что jx(a) <оо и я 2 |^ (ф~; (?)—-а) < ?•
3. Пусть {Tt} — сильно измеримая, сохраняющая положитель-
положительность полугруппа операторов в Lx, такая,чтоIT1^) [х< 1, \Т(t) |oo< 1,
t > 0. Показать, что для любой функции / б Lp, р>1 суще-
существует измеримая функция /*, конечная почти всюду, такая, что
для любой положительной и убывающей функции р. Показать, что
если f б ?р, р > 1, то мы можем выбрать f* g Lp.
4. Пусть {Г(^, ..., f/j)} — сильно измеримая, сохраняющая поло-
положительность ^-параметрическая полугруппа операторов в Lx, такая,
что 17^, ..., ^)|!<1, \T{tly ..., *ft)|ao<l, tt >0. Показать, что
если выполнено одно из следующих условий:
(а) р>1 и P(/j, ..., th) = y(tl+... + tk), где у — положительная
и убывающая функция, или
где Уг(^)""положительная и убывающая функция ^. > 0,
1 = 1, ..., k, то для любой функции f?Lp существует измеримая
функция /*, конечная почти всюду и такая, что для почти всех 5
$ lt ...,tk)dh ... dth<
0 0
оо оо
u ...,dtk,
Показать, что если р > 1, то мы можем выбрать /* g Lp.
5. Пусть Р — положительная четная интегрируемая функция
вещественной переменной ху которая убывает при х > 0. Пусть

762 Гл. VIII. Приложения общей теории
Н-оо
Р (*) > | У (х) |> функция у измерима и \ у(х) dx=l. Тогда для функ-
ций /eL
+ 00
lim* \ y(t(x-y))f(y)dy =
оо
при почти всех х.
6. Пусть Р — положительная интегрируемая функция вещест-
вещественных переменных х1У ...,*ЛЭ которая имеет вид Pfo, ...,jcJ =
— Pi (ХЬ -¦-••• + *п), где Рх — убывающая функция. Пусть
Р (хх.. ., л:п) >|y(^i> •••, ^п) I» функция у измерима и
-{-оо -{-оо
5 • • • Ц YUb • • •• xn)d*i • • • dxn=l. Тогда для функций/eLp
—оо —оо
-{-оо -{-оо
lim*n? ... \y(t(x1-y1),...,t(xn-yn))f(y1, ...,yn)dyi...dyn =
ОО О
— ОО —ОО
при почти всех х.
7. (Харди — Литлвуд.) Пусть А — гармоническая функция,
определенная в круге х2-\-у2 < 1, и 1 < р <оо . Предположим, что
2л I
h{re™)\vdd^K, 0 < г< 1. Пусть А* (9) = max h(reiQ). Пока-
0<г<1
зать, что существует абсолютная постоянная С, такая, что
2л
\\ А* (9) |рdQ<СРК. Показать что, lim h(reiQ) существует почти
«-' г->1
О
всюду. (Указание: сравните с упражнением IV. 14.60.)
8. Пусть А — гармоническая функция, определенная в шаре
п
2 х\ < 1 эвклидового /г-мерного пространства. Пусть 1 < р < оо,
0</(<оо. Предположим, что при всех г, 0<г<1, интеграл
функции \h(rx)\p по поверхности единичной сферы не превосходит
К- Положим А* (х) = sup | А (гх) | для | х \ = 1; показать, что суще-
существует абсолютная постоянная Сп,р, такая, что интеграл А*р по по-
поверхности единичной сферы не превосходит СП|Р, /С- Показать, что
lim А (гх) существует для почти всех д; на поверхности единичной
сферы.
9. Пусть А — бесконечно дифференцируемая функция 2п веще-
вещественных переменных x1? . .., хп. у19 ..., уп, определенная в обла^

9. Упражнения по эргодической теории 763
стх\-\-у\ < 1, i = 1, . . ., п. Предположим, что при всех i = 1, .. ., п
d2hldx\ + d2h/dy2i = 0, а также, что р > 1, и при 0 < г< 1
2я 2я
о о
Показать, что
lim/fa cos 0л, . .., rnsi
существует при почти всех 01э .. ., 0W.
10. Пусть h— гармоническая функция, такая, как в упражне-
упражнении 7. Показать, что при почти всех * существует предел lim (гг),
если | arg A — zi е-1®) | < К < я/2. (Указание: использовать метод
упражнения 7 с измененным ядром.)
11. Пусть /— измеримая функция вещественной переменной х,
1 оо и f?Lp. Показать, что при почти всех х мы имеем
(a) limj/г/я \
/->оо '3
(b) lit
+00
[г/л) \
— CO
12. Пусть /—измеримая функция вещественных переменных
хг, . .., хп% 1 <р< оо и /gLp. Показать, что функция f(xu .. .,xn)
при почти всех х1у ...,хп равна
,4 1. ft \п/2 С
(a) hm - ) \ ...
—оо —оо
lim * t t fsin ¦ ^-^ ¦¦¦sint (xy—ur,)']2 „
—OO —CO

764 Гл. VIII. Приложения общей теории
13. Показать, что, применяя теоремы 7.5 и 7.7 непосредственно
к полугруппе {5J, определяемой равенством
(Stf)(xly ...,*я) =
можно получить неравенство, вполне достаточное для того, чтобы
прийти к результату (а) предыдущего упражнения. Доказать, что
отсюда следует теорема Лебега, которая утверждает, что для инте-
интегрируемой функции /
1 ' 71
n \ ... f /(ух, ...,yn)dy1 ... dyn =
m
лочти всюду. Показать также, что из этой теоремы Лебега вытекает
результат (Ь) предыдущего упражнения.
14. Пусть / — функция такая же, как в упражнении 12, и р > 1.
Показать, что в этом случае / (х1у ..., хп) при почти всех хг, . .., хп
равна
(а) Нт(Ц^I/2 J ... ^ ехр(-2 /,(*.-%)") X
—оо —оо г=1
i, ...,уп)йух ... dr/n;
Т(Йг
—оо г=1
X de/i ... dyn\
(с) lim(A1 . .. Ая) J ... ^ f{yi> -.-, yn)dy! ... dyn,
где пределы берутся при ^, ..., /л —> оо и Ах, .. ., Ап —> 0 + . [Часть
{с) есть результат Сакса, Зигмунда и Марцинкевича.]
15. Пусть (S, 2, \х) — пространство с конечной положительной
мерой и 7 —оператор в L1(S1 2, |л), |7|1<1, |Т|оо<1. Положим
/* = sup IА (п) (/,.)| для любой функции / ? Lx. Показать, что
l
(a) если f?Llt то f*?Lv(S, 2, \i) для любого р, 0 < p < 1;
(b) если ^ | / (S) | A -|- log+1 / (s) \)k \i (ds) < oo,
s

9. Упражнения по эргодической теории 765
то
Установить соответствующие результаты для сильно измеримой
я-параметрической полугруппы операторов.
16. Показать, что сходимость почти всюду в теореме 6.9 сохра-
сохраняется, если (S, 2, |я) — пространство с конечной мерой и
\ |/E)|A+ log+|/(s)|)^|i(ds) < оо. Установить соответствующее
S
обобщение теоремы 7.10.
17. Показать, что результат упражнения 9 остается верным
если интеграл
2я 2я •
конечен. Установить соответствующее обобщение результата упраж-
упражнения 14.
18. Предположим, что hi9 ..., ftn—>0, причем отношение | hjh^ \
остается ограниченным при 1 < t, /</г0 и по+1<^ /<я. Пока-
Показать, что тогда условие
-foo -j-°°
$ /(xlt ..., хЛ) | A -h log* | / (дсх, ...,
достаточно для того, чтобы обеспечить справедливость результатов
упражнения 14.
19. Пусть S — сепарабельное метрическое пространство. Пусть
JF — алгебра борелевских множеств 5, a \i — а-конечная мера,
определенная на J?, причем каждое открытое подмножество S имеет
положительную меру \i. Пусть {^{—последовательность ограни-
ограниченных операторов в L± (S, S&, \х) вида
(Tnf)C)=l Кп(з, t)f(t)vi(dt).
8
Предположим, что
(I) Kn(s, t)— ограниченная равномерно непрерывная функция s
и t при каждом п>1; \\mKn{sy t)=^Kn(sOi t) равномерно по t?S
s-*s0
при всех /г> 1.
(II) Если U — произвольная окрестность s, то /Cn (s, t) сходится
равномерно при п~> оо на S — U.
(III) lim(T'n/)(s) существует почти всюду относительно \i для
всех f6L7(S, J7, ja).

766 Гл. VIII. Приложения общей теории
Показать, что для всех v?ca(&) предел lim \ Kn(x,y)v(dy)
71->ОО У,
О
существует почти всюду относительно |я. (Указание: разложить v
на абсолютно непрерывную и сингулярную относительно \i части.
Используя метод, применяемый в теореме Банаха IV. 11.2, и
С E)-плотность L± (S, Sty \i) в са {$?), показать, что для е > 0 суще-
существует б > 0, такое, что
о
если v(v, S) < б.)
20. Показать, что если функция р в упражнении 5 непрерывна,
а функция у измерима по Борелю, то для любой регулярной и конеч-
конечной борелевской меры v предел
limf \ y(t(x-y))v(dy)
—оо
существует почти всюду (по Лебегу). Установить соответствующие
обобщения упражнений 6, 7, 8, 10, 11, 12 и 13.
21. Пусть (S, 2, |я) — пространство с мерой. Пусть А — замк-
замкнутый неограниченный оператор с плотной областью определения
в L^S, S, |я), такой, что R (К\ А) существует при к > 0,
и \R(K\ i4)|x< I, J/? (Я; Л)оо<: 1 при X > 0. Показать, что
lim(XR (Я; A)f) (s) существует почти всюду для f?Lp, 1<р<оо,
Показать, что если S — топологическое пространство и если для
всех X > 0 функция R (к; A)f непрерывна при непрерывной функ-
функции /, то при 1<р<оо и/gL предел lim (XR (k\ A) f) (s) сущест-
вует почти всюду.
22. Пусть Т — преобразование в Ll9 Т>0, | Г|х< 1 и А (п) =
= А(Т, п). Показать, что если функция / вещественна, f?Llr
sup Л (п)/>0 почти всюду и inf Л (п)/<0 почти всюду, то / = 0.
23. (Хопф.) Пусть Т — положительное линейное отображение
L^S, S, |л) в себя и l^^l. Пусть fgL1? g^^ и g(s)>0
почти всюду. Показать, что
J_
() ^
почти всюду. Вывести отсюда, что предел
существует почти всюду на множестве {s\ 2 (Tng) (s) < оо}.
n=0

9. Упражнения по эргодической теории
767
24. (Эргодическая теорема Халмоша.) Пусть (S, 2, \i) — про-
пространство с положительной мерой, ф: S— »S, и предположим, что
cp^egS, если е?2. Пусть со —неотрицательная измеримая функ-
функция, определенная на 5. Предположим, что отображение 7\ опре-
определяемое для каждой (ш-измеримой функции / равенством
(ТУ) (s) = со (s) f (ф (s)), отображает Lj (S, 2, |я) в себя и что | Т |х < 1.
Показать, что если / — вещественная функция в L1? то не сущест-
существует множества в положительной меры, такого, что
Шп (А (Г, п) (/, s) > 0, lim Л (Г, л)(f, s) < О,
'г-»'00 n-voo
для s б в. Вывести отсюда, что если / ? Ьъ g б L± и g" (s) > 0 почти всюду
относительно |я, то
A(T,n)(g,s)
существует почти всюду.
25. (Гуревич — Окстоби.) Пусть (S, S, |я) — пространство
с положительной а-конечной мерой, и пусть ф: S --> S имеет следую-
следующие свойства:
(a) ф^ебЕ, если е?2;
(b) из равенства |л(г) = 0 следует равенство |х(ф
vn(e)=
2
и \х(п) (е) =
= 0. Пусть
Показать,
что
существует почти всюду относительно \х. (Указание: воспользо-
воспользоваться результатом предыдущего упражнения.)
26. Пусть (S, 2, |я), ф, со и Г — такие же, как в упражнении 24.
Пусть g?Llyg(s) > 0 почти всюду, и пусть функция / неотрицательна
и |1-измерима. Показать, что
MT,n)(f,s)
A(T,n)(gts)
или сходится или расходится к + оо для почти всех относительно
|я точек s?S. Показать, в частности, что если со = 1 и \x(S) < оо,
то для любой неотрицательной |а-измеримой функции / предел
lim (А G, п) f) (s) существует или расходится к + оо почти всюду.
п-+оо
27. Пусть (S, 2, \х) — пространство с конечной положитель-
положительной мерой, 0<f GLX (S, 2, |я) и отображение ф удовлетворяет уело-

768 Гл. VIП. Приложения общей теории
виям леммы 5.8. Показать, что
существует почти всюду относительно \х.
28. Показать, что если {|яЛ} —такая ограниченная последова-
последовательность элементов ca(Sy 2), что
lim Пт |MOI = °
m-юс n->oo
для любой убывающей последовательности {ет} множеств в 2
с пустым пересечением [\еш^ 0, то {\in} слабо компактна.
29. Показать, что предложение, обратное теореме 6.12, также
верно.
30. Показать, что лемма 6.10 выполнена как для конечно адди-
аддитивных функций множеств, так и для вполне аддитивных функций
множеств.
31. (И. Н. Даукер.) Пусть ф — отображение множества S в себя
и 2 — такая а-алгебра подмножеств S, что ф~1г^2, если е? 2.
Неотрицательный элемент m?ca(Sy 2) называется потенциально
ф-инвариантным, если существует такой неотрицательный элемент
|я ? са (S, 2), что \х (qr1 ё) = \i (е) и из равенства \х (е) — 0 следует ра-
равенство т(е) = 0. Показать, что т потенциально инвариантна
тогда и только тогда, когда предел т(е) = \\тп~1 ^ т(ц>~ге) су-
п->-оо г=0
ществуетдля всех е? 2, и что т есть элемент из ca(S, 2), удовле-
удовлетворяющий условию т(ц~1ё) = /п (е). (Указание: рассмотреть прост-
пространство всех абсолютно непрерывных относительно |я элементов
пространства ca(St 2).)
32. (И. Н. Даукер.) Пусть S, 2, ф, т — такие же, как в преды-
предыдущем упражнении. Показать, что т потенциально инвариантна
п
тогда и только тогда, когда lim n1 2 / (ф^) существует почти всюду
П->ОО /= 1
относительно т для любой функции /gLooE, 2, т).
33. (Данфорд — Миллер.) Пусть S, 2, т, ф — такие же, как
п—1
в упражнении 31. Показать, что llmn'1^ f(qjs) сходится в смысле
П-+СО ;=0
LL (S, 2, т) для любой функции f g Lx (S, 2, tn) только при условии,
что существует постоянная К < оо, такая, что
п-1
34. (И. Н. Даукер.) Пусть S, 2, ф, т — такие же, как в упражне-
упражнении 31. Показать, что если при некотором р, 1<р< оо, предел

9. Упражнения по эргодической теории 769
n—i
!im n'1 2 /(<P;'S) существует в смысле Lp (S, 2, т) для любой функ-
n-*oo J=0
п—1
ции /??„, то Пт лг 2 / (фу s) существует почти всюду относи-
n-юо ;=0
тельно m для любой функции /? Lp.
35. (Данфорд — Миллер.) Пусть (S, 2, |ы) — пространства
с конечной мерой и при хх, . ..,хп>0 фХ1, ...,эс —отображение 5
в себя. Предположим, что Л обозначает меру Бореля — Лебега
подмножеств множества {xv ..., xn\xi>0}. Пусть ф^,...,* обла-
обладает следующими свойствами:
(а) множество {xv . .., xnf s | ф^, ..., ж (s) ? е] Л X (^-измеримо для
любого е? 2;
(Ь) интеграл Гп jj .. . ^ \i {s \ срх±у..., *п (s) ?e}dx1... dxn < K\i (e)
о о
для 0 < t < со и некоторой постоянной /С<оо. Показать,
что для любой функции f?Lp(S, 2, |я), 1<р<оо, предел
t t
\\тГп\ ... \f(<pXl,...tXns)dx1 ... dxn
существует как в смысле Lp, так и почти всюду относительно 4tu
(Указание: использовать метод «замены меры» четырех последних
упражнений.)
36. (Рыль-Нарджевский.) Пусть (S, 2, \х) — пространство
с положительной мерой и ф — отображение S—> S, такое, что ф^? 2„
если ^? 2, и fx (ф^) = 0, если ji(?) = 0. Показать, что последова-
п-1
тельность п'1 У /(ф15) сходится почти всюду относительно^кфунк-
^ i=o
ции / из Lx для любой функции /б L2 тогда и только тогда, когда
л-1
для любого множества е конечной меры |л. (Указание: рассмотреть
отображение /(s) —^ %А (s) f (qs) для любого множества А ?2 с конеч-
конечной мерой |х(Л)<оо.)
37. Пусть E, 2, |я) — пространство с положительной мерой
и Т — неотрицательное линейное отображение пространства
L1(S>2>[x) в себя. Предположим, что [7^1 и что существует
такая постоянная /С, что \А(ТУ л)|оо</0 Показать, что
lim (А (Г, n)f) (s) существует почти всюду относительно |i для
п->со
любой функции f?Lp, 1<р<оо.
49 Заказ № 1324

770 Гл. VIII. Приложения общей теории
38. Пусть S — компактное метрическое пространство, и пусть
(S, 2, \х) — пространство с регулярной конечной мерой. Пусть
<р — такое отображение 5 в себя, что множество {срг} отображений
равностепенно непрерывно. Показать, что ср метрически транзитив-
но тогда и только тогда, когда для некоторой точки х множество
{ф\к} плотно в S.
39. (Г.Вейль^Пусть^, .. . ,хп]~ точка /г-мерного евклидова про-
пространства, причем между ее координатами нет рациональных соот-
соотношений. Положим х$ = [пхт], где через [у] обозначено наиболь-
наибольшее целое число, меньшее вещественного числа у. Показать,
что если С — прямоугольное подмножество единичного куба
{[xv ..., а:п]|0<л:1< 1} и через v(m) обозначено число индексов
?</л, для которых [x[k\ ..., х<*Ц g С, то limm^vim) равен
тп->оо
объему С.
40. Пусть (S, 2, (я) — пространство с конечной положительной
мерой, и пусть (S, 2*, v) — пространство с мерой, равное произве-
произведению пространств (S, 2, jx), повторенных бесконечное число раз.
Показать, что отображение q:S—>S, определяемое равенством
Ф (sx X s2 X . ..) - s2 X . .., метрически транзитивно.
41. Показать, что для почти всех вещественных чисел х цифра 7
встречается с предельной частотой 0,1 в десятичном выражении л:,
т. е. что lim trxN (ri) = 0, 1, где N (п) число «семерок», встречаю-
щихся среди первых п десятичных знаков числа х.
42. Пусть ф — метрически транзитивное отображение простран-
пространства (S, 2, \л) с конечной положительной мерой в себя; предположим,
что ^(ф^) = \х(ё) для е? 2. Показать, что если функция / неотри-
неотрицательна, A-измерима, но не (^-интегрируема, то
п-1
lim— ^Дф7з)=оо почти всюду относительно (х.
)=0
43. Показать, что ф является метрически транзитивным отобра-
отображением пространства (S, 2, \х) с конечной положительной мерой
в себя тогда и только тогда, когда ни для одной непостоянной
jx-измеримой функции / не может выполняться равенство f(ys) —f(s)
почти всюду относительно \i, и что в этом случае любая |ш-измери-
мая функция g, удовлетворяющая условию g (q>s) = kg (s) почти
всюду при |Я|=1, равна почти всюду по модулю единице. Пока-
Показать, что если еще для одной функции h (cps) = Kh (s) почти всюду,
то h=^ag.
44. (Эргодическая теорема случайного выбора.) Пусть (S, 2, ц,) —
пространство с а-конечной мерой. Пусть Го, ..., Г9 —десять
операторов в Lv причем каждый удовлетворяет неравенствам
] Ti |i< I» I Тг |оо< 1. Для любой десятичной дроби а=0 аха2 .. .,

10. Примечания и указания 77J
такой, что 0 < а < 1, положим
n-i
А (П, а) = — V, Та Та • . • Та •
П *-J э j-i 1
;=0
Показать, что если функция /? Lp (S, 2, |я), 1<р<оо, то
lim Л (я, а) / существует почти всюду для почти всех (по Лебегу) а,
п->-оо
Показать, что если р > 1, то lim Л (я, a) f существует в смысле Lv
П->оо
и что это же верно, если \х (S) < оо, для р=1. (Указание: рас-
рассмотреть соответствующий оператор J вида
10. Примечания и указания
Полугруппы операторов. Теория полугрупп линейных операто-
операторов возникла сравнительно недавно; первые результаты в этом
направлении были получены в 1930 г. М. СтоуномПО], который изу-
изучал группу унитарных операторов в гильбертовом пространстве.
С тех пор теория получила существенное развитие, особенно благо-
даря усилиям Э. Хилле, монография [1] которого дает развернутое
изложение абстрактной теории и содержит много приложений к кон-
конкретным математическим задачам. Мы отсылаем читателя к этой
книге (и ее переизданиям) как по поводу дальнейших результатов,,
так и за справками. Кроме того, изложение результатов, получен-
полученных за последние годы, читатель может найти в обзорной статье
Р. Филлипса [9]. Мы лишь приводим здесь ссылки к той небольшой
доле теории, которая представлена в § 1, и не говорим о других,
результатах.
Представление равномерно непрерывной группы операторов
в виде показательной функции было получено независимо Натаном
[1, стр. 525], Нагумо [1, стр. 72] и Иосидой [7, стр. 24]; на самом
деле Нагумо и Иосида рассматривали случай группы в Б-алгебрё..
Из книги Хилле [1, стр. 200] видно, что если при t? @, оо) отобра-
отображение t—>T(f) измеримо в равномерной операторной топологииг
и если Т (t+s)=T(t)T(s), t, s>0, то оной непрерывно в этой тополо-
топологии при ^>0. Однако эти условия не обеспечивают существования
предела lim T (t) или дифференцируемости функции Т (t) при t > 0,
поэтому выводы теоремы 2 в этом случае неверны.
Дж. Нейманом [10] было показано, что если U(f), — оо < t< oo7.
есть однопараметрическая группа унитарных операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве § и при всех х, y€$Q функция (U(t)x, у)
измерима, то для любого х?$ функция U (() х непрерывна при
/?(—оо, оо). Этот результат был обобщен Данфордом [12], кото-
49*^

772 Гл. VIII. Приложения общей теории
рый показал, что если T(t), t > О, есть полугруппа ограниченных
операторов в ^-пространстве и при любых ** ? Ж*, х? Ж функция
х*Т(-)х измерима на @, оо), если \T(t)\<M для / из некоторого
интервала @, а) и подпространство {T(t)x\ t? @, оо)} при любом
jc€36 сепарабельно, то функция Т(•) сильно непрерывна справа. Из
рассуждений Данфорда вытекает (см. также Хилле [1, стр. 224]),
что если функция Т( • )х измерима на @, оо) и Т (•) ограничена на лю-
любом конечном интервале в @, оо), то функция Т(-)х непрерывна на
{О, оо). То, что предположение ограниченности несущественно,
•было показано Филлипсом [8] при помощи остроумного соображе-
соображения, приведенного в этой главе (см. 1.3). Однако одного условия
измеримости функции х*Т(-)х, **?#*, л:б 36, еще не достаточно,
чтобы сделать вывод о сильной непрерывности. Полугруппы
с таким свойством слабой измеримости были изучены Феллером [1].
Доказательство теоремы 10, приведенное нами, принадлежит
Данфорду и Сигалу [1]. Некоторые более общие результаты такого
рода были получены Хилле [1, стр. 228—231]. Впервые условия,
при которых замкнутый линейный оператор порождает сильно
непрерывную полугруппу, были даны независимо Хилле [1, стр. 238]
и Иосидой [8]. Полная характеристика инфинитезимального
оператора, которую дает теорема 13, была почти одновременно
получена Феллером [2], Миядера [1] и Филлипсом [6]. По поводу
других результатов в этом направлении смотрите книгу Хилле
[1] и работу Филлипса [10] х).
Результаты о возмущении операторов, порождающих полугруппу,
принадлежат Филлипсу [6]. Смотрите также статью Филлипса [10].
Функции инфинитезимального оператора. Хилле [1, гл. 15]
построил операторное исчисление инфинитезимального оператора
полугруппы для функций, которые суть преобразования Лапласа —
Стильтьеса и аналитичны на спектре оператора. Немного другое
построение было предложено Филлипсом [5]. Бейд [1] показал,
что для инфинитезимального оператора группы можно расширить
класс функций, включив в него многочлены и другие функции,
с аналогичными условиями на их рост. Изложение параграфа 2
очень близко следует работе Бейда. Теорема 13 обобщает некоторые
теоремы Полларда [1], Уиддера [2] и Уиддера и Хиршмана [1, 3]
об обращении свертки при помощи дифференциальных операторов
бесконечного порядка. Имеется обширная литература по этой
задаче, в частности о трудном вопросе точечной сходимости последо-
последовательности {рп(D)f(D)х(/)} к функции x(t)y где f(D) — преобразо-
преобразование типа свертки, а {рп (D)} — обращающая последовательность.
Ссылки на дальнейшие рассмотрения этой задачи могут быть най-
*) Второе издание книги Хилпе [1], выпущенное им совместно с Филлип-
Филлипсом и содержащее большую часть упоминаемых здесь и ниже результатов,
переведено и в ближайшее время выходит в Издательстве иностранной лите-
литературы.—Прим, ред.

10. Примечания и указания 773
дены в названных выше статьях и в книге Хиршмана и Уиддера
[1]. Смотрите также обзорные статьи Шёнберга [3] и Уиддера [3].
Теорема 13 в том виде, как она приведена нами, принадлежит Бейду
[1]. Следствие 14 — результат Уиддера и Хиршмана [2].
Эргодическая теория. Хотя развитие эргодической теории проис-
происходило в основном после 1931 г., имеется очень много литературы
по этому вопросу. К счастью, прекрасная монография Хопфа [1]
излагает раннее развитие теории, а обзорные статьи Халмоша [4],
Какутани [10] и Окстоби [1] довольно полно рассматривают не-
несколько разных аспектов теории и содержат много ссылок на пред-
предшествующую литературу. (См. также статью Ф. Рисе [18] и Халмош
[11*].) Поэтому нам нет необходимости приводить длинный список
или библиографию этой теории. Однако мы хотим сделать несколько
замечаний, не лишенных интереса, по поводу того материала,
который рассматривался в тексте главы.
Статистическая эргодическая теорема. Первое доказательство
статистической эргодической теоремы было дано Дж. Нейманом
[11], после того как Купменом [1 ] было замечено, что отображения,
сохраняющие меру, на пространстве 5 с мерой приводят к унитар-
унитарным операторам в L2(S). Доказательство Дж. Неймана было осно-
основано на спектральной теории унитарных операторов в гильбертовом
пространстве. Было дано много обобщений этой эргодической тео-
теоремы как для более общих ^-пространств, так и для более общих
операторов. Статьи Виссера [1], Ф. Рисса [15, 17], Иосиды [4],
Какутани [13], Лорха [8] и Иосиды и Какутани [2] основаны на
различных свойствах слабой компактности. Геометрическое дока-
доказательство для операторов в гильбертовом пространстве, основан-
основанное на том факте, что существует кратчайшее расстояние от точки
до выпуклого множества, было дано Винером [3]. Короткие геоме-
геометрические доказательства, верные для равномерно выпуклых про-
пространств, были даны Г. Биркгофом [7] и Ф. Риссом [16, 18]. Другое
доказательство, основанное на том интересном факте, что неподвиж-
неподвижная точка сжимающего оператора в гильбертовом пространстве
является также неподвижной точкой его сопряженного оператора,
было дано Риссом и Секефальви-Надем [2]. Г. Биркгофом [2],
Какутани [7, 8] и Ф. Риссом [17] были доказаны теоремы для абст-
абстрактных линейных структур.
Ряд обобщений статистической эргодической теоремы для групп
или полугрупп операторов более общих, чем дискретная полугруп-
полугруппа {Тп\п=0у 1, 2, ...}, был получен в статьях Алаоглу и Бирк-
гофа [1, 2], Г. Биркгофа [8], Дэя [8, 10], Данфорда [9, 11], Эбер-
лейна [3, 4] и Винера [3].
Эргодические теоремы типа статистической эргодической теоремы,
но в которых другие методы суммирования заменяют обычно исполь-
используемый (С, 1)-метод, были доказаны Л. Коэном [2], Хилле
[1, гл. 14] и Филлипсом [4].

774 Гл. VIII. Приложения общей теории
Точечная или индивидуальная эргодическая теорема. Эта теорема
была установлена Дж. Биркгофом [1], который рассматривал
гомеоморфизмы многообразий, сохраняющие меру. Случай простран-
пространства с конечной мерой рассматривался Хинчиным [1], а с бесконеч-
бесконечной мерой — Степановым [1]. Некоторые другие обобщения были
даны Винером[3], Винером и Уинтнером [1], У. Гуревичем [1], Ду-
Дубом [1], Даукером [2, 3], Данфордом и Миллером [1], Окстоби [2]г
Риссом [19], Рыль-Нарджевским [1], Халмошем [8], Хинчиным [2].
Другая форма теоремы о точечной сходимости (теорема 6.8)
принадлежит Винеру 13]. Различные доказательства теоремы Ви-
Винера были даны Иосидой и Какутани [1] и Фукамия [1]. Важным
шагом в доказательстве как индивидуальной эргодической теоремы,
так и винеровских эргодических теорем является максимальная
эргодическая теорема (лемма 6.7). Доказательство этого результата
было дано Иосидой и Какутани [1], хотя аналогичный результат
был установлен в статье Дж. Биркгофа. Основным в нашем изложе-
изложении было обобщение максимальной эргодической теоремы на марков-
марковские процессы (особенно лемма 6.2); эти результаты принадлежат
Э. Хопфу [2]. Максимальная эргодическая теорема рассматрива-
рассматривалась также Даукером [2], Каратеодори [2], Питтом [1 ], Риссом 118]
и Хопфом [3]. Хартман [1] доказал максимальную эргодическую
теорему для случая потока.
Индивидуальная эргодическая теорема для п-параметрической
группы преобразований, сохраняющих меру, дана Винером [3].
Некоммутативный случай рассмотрели Данфорд [3] и Зигмунд [2].
Обобщение для абстрактных групп дал КальдеронП ].
Теория марковских процессов есть обобщение теории точечных
преобразований. Эргодическая теория таких процессов изложена
в работах Дуба [2, 3], Какутани [16], Иосиды [9], Иосиды и Каку-
Какутани [2] и в совсем недавней статье Э. Хопфа [2]. Мы отсылаем
также читателя к недавно вышедшей монографии Дуба [4].
Равномерная эргодическая теорема. Этот результат принадле-
принадлежит Иосиде и Какутани; смотрите их статью [2], где эта теорема
применяется в теории марковских процессов для вывода ряда резуль-
результатов, ранее полученных Дёблэном, Дубом, Фреше и Крыловым
и Боголюбовым. За более подробными вероятностными рассмотре-
рассмотрениями марковских процессов мы отсылаем читателя к монографии
Дуба [4]. Такие процессы важны в теории тасовки карт.
[В последнее время теория динамических систем была сильно
продвинута вперед благодаря идеям А. Н. Колмогорова. Именно
им был предложен новый метрический инвариант-—энтропия. Смо-
Смотрите в связи с этим работы А. Н. Колмогорова [4*, 5*3, В. А. Рохлина
[4*_6*], Я. Синая [1*, 2*], Л.Абрамова [1*].
С другой стороны, идеи теории полугрупп оказались весьма
плодотворными при изучении марковских процессов. См. по этому
поводу статьи В. Феллера [4—7], Е. Б. Дынкина [1*].— Ред.]

Библиография
В этот список входит литература, цитированная в обоих томах настоящей
книги. [Звездочкой отмечены работы, добавленные редакторами русского
издания. Для монографий, переведенных на русский язык, указан также год
издания оригинала (на который ссылаются авторы).— Ред.]
Абдельгай (Abdelhay J.)
1. Caracterisation de Tespace de Banach de toutes les suites de nombres
reels tendant vers zero, С R. Acad. Sci. Paris, 229 A949).,
1111 — 1112.
2. On a theorem of representation, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949), 408—
417.
AJ6e л ь (Abel N. H.)
1. Untersuchungen uber die Reihe:
m . m(m — 1) 9 . m(m— \)(m — 2) _ .
1+Г*+ 1-2 ^ b23 L*3+-" u- s- w-
/. Reine Angew. Math., 1 A826), 311—339.
Абрамов Л.
1*. Об энтропии автоморфизма соленоидальной группы, Теория вероят-
вероятностей и ее применения, 4, вып. 3, 1958, 249—254.
Адамар (Hadamard J.)
1. Sur les operations fonctionelles, С. R. Acad. Scl. Paris, 136 A903)
351—354.
Адаме (Adams С R.)
1. The space of functions of bounded variation and certain general spaces,
Trans. Amer. Math. Soc, 40 A936), 421—438.
Адаме и Кларксон (Adams С. R., С 1 а г k s о n J. A.)
1. On definitions of bounded variation for functions of two variables,
Trans. Amer. Math. Soc, 35 A933), 824—854.
2. Properties of functions f(x, y) of bounded variation, Trans. Amer. Math.
Soc, 36 A934), 711—730. Исправлено там же, 46 A939), 468.
3. On convergence in variation, Bull. Amer. Math. Soc, 40 A934), 413—
417.
4. The type of certain Borel sets in several Banach spaces, Trans. Amer.
Math. Soc, 45 A939), 322—334.
Адаме и Морс (Adams С. R., Morse A. P.)
1. On the space (BV), Trans. Amer. Math. Soc, 42 A937), 194—205.
2. Continuous additive functional on the space (BV) and certain subspaces,
Trans. Amer. Math. Soc, 48 A940), 82—100.
А к и л о в Г. П.
1. О распространении линейных операций, ДАН СССР, 57 A947),
643—646.
2. Необходимые условия распространимости линейных операций, ДАН
СССР, 59 A948), 417—418.
Алаоглу (Alaoglu L.)
1. Weak topologies of normed linear spaces, Ann. of Math. B), 41 A940),
252—267.
2. Weak convergence of linear functional (abstract), Bull. Amer. Math.
Soc, 44 A938), 196.

776 Библиография
Алаоглу и Биркгоф (Alaoglu L., Birkhoff G.)
1. General ergodic theorem, Proc. Nat. Acad. USA, 25 A939), 628—630.
2. General ergodic theorems, Ann. of Math. B), 41 A940), 293—309.
Александров А. Д.
1. Additive set functions in abstract spaces, I—III.
I. Машем, сб., 8 E0), A940), 307—348.
II. Там же, 9 E1), A941), 563—628.
III. Там же, 13 E5), A943), 169—238.
Александров П. С.
1*. Введение в общую теорию множеств и функций, М., Гостехиздат,
1948.
Александров П. С. иХопф (Alexandroff P., Hopf H.)
1. Topologie, I. J. Springer, Berlin, 1935.
Алексевич (Alexiewicz A.)
1. On sequences of operations, I—IV.
I. Studia Math., 11 A950), 1—30.
II. Там же, 11 A950), 200—236.
III. Там же, 12 A951), 84—92.
IV. Там же, 12 A951), 93—101.
2. Linear operations among bounded measurable functions, I, II.
I. Ann/Soc. Polon. Math., 19 A946), 140—161.
II. Там же, 19 A946), 161—164.
3. On differentiation of vector-valued functions, Studia Math., 11 A950),
185—196.
4. Continuity of vector-valued functions of bounded variation, Studia
Math., 12 A951), 133—142.
5. On some theorems of S. Saks, Studia Math., 13 A953), 18—29.
6. A theorem on the structure of linear operations, Studia Math., 14 A953)»
1—12 A954).
Алексевич и Орлич (Alexiewicz A., Orlicz W.)
1. Remarks on R iemann-integration of vector-valued functions, Studia Math.,
12, A951), 125—132.
2. On analytic vector-valued functions of a real variable, Studia Math.,
12 A951), 108—111.
3. On the differentials in Banach spaces, Ann. Soc. Polon. Math., 25 A952),
A953), 95—99.
4. Analytic operations in real Banach spaces, Studia Math., 14 A953),
57—78.
Альбрехт (Albrycht J.)
1. On a theorem of Saks for abstract polinomials, Studia Math., 14 A953),
79—81.
Альтман M. III. ( A 1 t m a n M. S.)
1. О базисах в пространстве Гильберта, ДАН СССР, 69 A949), 483—485.
2. О биортогональных системах, ДАН СССР, 67 A949), 413—416.
3. On linear functional equations in locally convex spaces, Studia Math.,
13 A953), 194—207.
4. Mean ergodic theorem in locally convex topological spaces, Studia
Math., 13 A953), 190—193.
5. The Fredholm theory of linear equations in locally convex topological
spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III. 2 A954), 267—269.
Альфорс (Ahlfors L. V.)
1. Complex analysis, McGraw-Hill, New York A953).
Амброзе (Ambrose W.)
1. Structure theorems for a special class of Banach algebras, Trans. Amer.
Math. Soc, 57 A945), 364—386.
2. Measures on locally compact topological groups, Trans. Amer. Math. Soc.t
61 A947), 106—121.

Библиография 777
3. Direct sum theorem for Haar measures, Trans. Amer. Math. Soc.t 61
A947), 122—127.
4. Spectral resolution of groups of unitary operators, Duke Math. J.9 11
A944), 589—595.
А н д з а и и Какутани (Anzai H., Kakutani S.)
1. Bohr compactifications of a locally compact abelian group, I, II.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo., 19 A943), 476—480.
И. Там же, 19 A943), 533—539.
Арене (А г e n s R. F.)
1. Duality on linear spaces, Duke Math., J., 14 A947), 787—794.
2. The space L® and convex topological rings, Bull. Amer. Math. Soc,
52 A946), 931—935.
3. Representation of functionals by integrals, Duke Math. J., 17 A950),
499—506.
4. Approximation in, and representation of, certain Banach algebras,
Amer. J. Math., 71 A949), 763—790.
5. A topology for spaces of transformations, Ann. of Math. B), 47 A946),
480—495.
6. On a theorem of Gelfand and Neumark, Proc. Nat. Acad. USA, 32
A946), 237—239.
7. Representation of Banach *-algebras, Duke Math., J., 14 A947), 269—282.
8. Linear topological division algebras, Bull. Amer. Math. Soc, 53 A947),
623—630.
9. A generalization of normed rings, Pacific J. Math., 2A952), 455—471.
Арене и Капланский (Arens R. F., Kaplansky I.)
1. Topological representation of algebras, Trans. Amer. Math. Soc, 63
A948), 457—481.
Арене и Келли (Arens R. F., К е 1 1 e у J.L.)
1. Characterizations of the space of continuous functions over a compact
Hausdorff space, Trans. Amer. Math. Soct 62 A947), 499—508.
A p н у (А г n о u s E.)
1. Sur les groupes continus de transformations unitaires de Tespace de
HUbert, Comment. Math. Helv., 19 A946), 50—60.
Ароншайн (Aronszajn N.)
1. Caracterisation metrique de l'espace de Hilbert, des espaces vectoriels
et de certains groupes metriques, С R. Acad. Sci., Paris, 201 A935),
811—813, 873—875.
2. Le correspondant topologique de Tunicite dans la theorie des equations
differentielles, Ann. of Math. B), 43 A942), 730—738.
3. Approximation methods for eigenvalues of completely continuous sym-
symmetric operators. Proceedings of the Symposium on Spectral Theory and
Differential Problems A951), 179—202. Oklahoma Agricultural and
Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.
4. The Rayleigh—Ritz and A. Weinstein methods for approximation of
eigenvalues, I, II, Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34 A948), 474—480,
594—601.
5. Sur quelques problemes concernant les espaces de Minkowski et les espa-
espaces vectoriels generaux, Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis.
Mat. Nat. F), 26 A937), 374-376.
Ароншайн и Смит (Aronszajn N., Smith К. Т.)
1. Invariant subspaces of completely continuous operators, Ann. of Math.
B), 60 A954), 345—350. Есть русский перевод: Математика, 2: 1
A958), 97—102.
Артеменко А. П.
1. Общий в ид линейного функционала в пространстве функций ограни-
ограниченной вариации, Машем, сб., 6 D8), A939), 215—220.

778 Библиография
2. О позитивных линейных функционалах в пространстве почти перио-
периодических функций Н. Bohr'a, Хрк., Зап. матем. о-ва. DI6,A940),
111 — 114.
Арцела (Arzela С.)
1. Intorno alia continuity della somma di infinite funzioni continue,
Rend. delVAccad. R. delle Sci. delVlstituto di Bologna A883—1884),
79-84.
2. Funzioni di linee, Atti della R. Accad. del Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis.
Mat. Nat. D) 5j A889), 342—348.
3. Sulle funzioni di linee, Mem. Accad. Sci. 1st. Bologna. CL Sci.Fis. Mat.
E) 5 A895), 55-74.
4. Sulle serie di funzioni, I, II.
I. Memorie della R. Accad. delle Sci. delVIstituto di Bologna. Sci. Fis.
e Mat. E) 8 A899), 3—58.
II. Там же E) 8 A899), 91—134.
5. Un'osservazione intorno alle serie di funzioni, Bend. delVAccad. R.
delle Sci. delVInstituto di Bologna A882—1883), 142—159.
Асколи (Ascoli G.)
1. Sugli spazi lineari metrici e le loro varieta lineari, Ann. Mat. Рига AppL
D) 10 A932), 33—81, 203—232.
2. Le curve limiti di una varieta data di curve. Atti della R. Accad. deilLin-
cei. Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. C), 18 A883—1884), 521—586.
Аткинсон (Atkinson F. V.)
1. Symmetric linear operators on a Banach space, Monatsh. Math., 53
A949), 278—297.
2. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных
пространствах, Матем. сб., 28 G0), A951), 3—14.
3. A spectral problem for completely continuous operators, Ada Math. Acad.
Sci. Hungar., 3 A952), 53—60.
4. On relatively regular operators, Ada Sci. Math. Szeged, 15 A953),
38—56.
5. On the second-order linear oscillator, Univ. Nac. Tucumdn. Revista A.y
8 A951), 71—87.
Ахиезер H. И.
1. Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов, УМНУ 9 (стар.
сер.), A941), 126—156.
Ахиезер Н. И. и Глазман И. М.
1. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Гос-
техиздат, М.—Л., 1950.
Бабенко К. И.
1. О сопряженных функциях, ДАН СССР, 62 A948), 157—160.
Банах (Banach S.)
1. Theorie des operations lineaires, Monografje Matematyczne, Warsaw,
1932. (На украинском языке: «Курс функцюнального анализу»,
Ки1в, 1948.)
2. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen, Studia
Math., 3 A931), 174—179.
3. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux
equations integrates, Fund. Math., 3 A922), 133—181.
4. Sur les fonctionnelles lineaires, I, II.
I. Studia Math., 1 A929), 211—216.
II. Там же, 1 A929), 223—239.
5. Uber homogene Polynome in (L2), Studia Math., 7 A938), 36—44.
6. Teorja operacyj, Warsaw, 1931.
7. Uber metrische Gruppen, Studia Math., 3 A931), 101 — 113.
8. Sur la convergence presque partout de fonctionnelles lineaires, BulL
Sci. Math. B) 50 A926), 27—32, 36—43.

Библиография 779
Банах и Мазур (Banach S., Mazur S.)
1. Zur Theorie der linearen Dimension, Stuhia Math., 4 A933), 100—112.
Банахи Сакс (Banach S.,Saks S.)
1. Sur la convergence forte dans Ies champs Lp, Studia Math.y 2 A930),
51-57.
Банах и Штейнгауз (Banach S., Steinhaus H.)
1. Sur le principe de la condensation de singularites, Fund. Math., 9 A927),
50—61.
Баранкин (Barankin E. W.)
1. Bounds on characteristic values, Bull. Amer. Math., Soc, 54 A948), 728—
735.
2. Bounds for characteristic roots of a matrix, Bull. Amer. Math. Soc.t
51 A945), 767—770.
Баргман (Bargman V.)
1. Remarks on the determination of a central field of force from the elastic
scattering phase shifts, Phys. Rev., 75 A949), 301—303.
БаренблаттГ. И.
1. Об одном методе решения уравнения теплопроводности, ДАН СССР,
72 A950), 667—670.
Бари Н. К.
1. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве,
Учен. Зап. МГУ, 148; Математика, 4 A951), 69—107.
2. Об устойчивости свойства полноты системы функций, ДАН СССР, 37
A942), 99—103.
Ь а р р и (Barry J. Y.)
1. On the convergence of ordered sets of projections, Proc. Amer. Math. Soc,
5 A954), 313—314.
Б а р т л (В a r t 1 e R. G.)
1. Singular points of functional equations, Trans. Amer. Math. Soc, 75
A953), 366—384.
2. On compactness in functional analysis, Trans. Amer. Math. Soc, 79
A955), 35—57.
3. A general bilinear vector integral, Studia Math., 15 A956), 337—352.
4. Implicit functions and solutions of equations in groups, Math. Zeit., 62
A955), 335—346.
5. Newton's method in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soct 6 A955),
827—831.
Бартл и Грейвс (Bartle R. G., Graves L. M.)
1. Mappings between function spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 72 A952),
400—413.
Бартл, Данфорд и Шварц (Bartle R. G., Dunford N.,
Schwartz J.)
1. Weak compactness and vector measures, Canadian J. Math., 7 A955),
289—305.
Бассали (Bassali W. А.), см. Стивенсон
Б а т л e p (Butler J. B.)
1. Perturbation series for eigenvalues of regular non-symmetric operators,
Technical Report No. 8 to the Office of Ordinance Research, Univ. of
California, Berkeley A955).
Безикович (Besicovitch A. S.)
1. Almost periodic functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1932.
Б е й д (Bade W. G.)
1. An operational calculus for operators with spectrum in a strip, Pacific
J. Math., 3 A953), 257—290.
2. Unbounded spectral operators, Pacific J. Math., 4 П954), 373—392.
3. Weak and strong limits of spectral operators Pacific J. Math., 4
A954), 393—413.

780 Библиография
4. On Boolean algebras of projections and algebras of operators, Trans.
Amer. Math. Soc, 80 A955), 345—360.
Бейд и Шварц (Bade W. G., Schwartz J.)
1. On abstract eigenfunction expansions, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.*
42 A956), 519—525.
Б е й к e p (Baker H. F.)
I. On the integration of linear differential equations, Proc. London Math.
Soc. A) 35 A903), 333—378.
Белл (Bell R. P.)
d?
1. Eigenvalues and eigenfunctions for the operator i-^—I* I» Philos.
Mag., 35 A944), 385—588.
Беллман (Bellman R.)
1. A survey of the theory of the boundedness, stability and asymptotic
behavior of solutions of linear and non-linear differential and difference
equations, Office of Naval Res., Washington, D. C, 1949.
2. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, М., ИЛ
1954 A953).
Беннет (Bennet А. А.)
1. Newton's method in general analysis, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
2 A916), 592—598.
Березанский Ю. M.
1. Об однозначности определения уравнения Шредингера по его спект-
спектральной функции, ДАН СССР, 93 A953), 591—594.
2. О гиперкомплексных системах, построенных по уравнению Штурма—
Лиувилля на полуоси, ДАН СССР, 91 A953), 1245—1248.
3*. Разложение по собственным функциям самосопряженных операто-
операторов, Машем, сб., 43 (85), A957), 75—126.
Берковиц (Berkowitz J.)
1. On the discreteness of the spectra of Sturm-Liouville operators. Disser-
Dissertation, New York University, 1951.
Берлинг (Beurling A.)
1. Sur les integrates de Fourier absolument convergentes et leur applica
tion a une transformation fonctionnelle. Proc. IX Congres de Math.
Scandinaves, Helsingfors A938), 345—366.
2. Un theoreme sur les fonctions bornees et uniformement continues sur
Гахе reel, Ada Math., 77 A945), 127-136.
3. On the spectral synthesis of bounded functions, Ada Math., 81 A949),
225—238.
4. On two problems concerning linear transformations in Hilbert space»
Ada Math., 81 A949), 239—255.
Б е р н е т (Burnett D.)
1. The distribution of velocities in a slightly non-uniform gas, Proc.
London Math. Soc. B) 39 A935), 385—430.
Б ер р и Р. Я.
1. Исследование конуса положительных элементов в полуупорядоченном
пространстве, Машем, сб., 23 F5), A948), 419—440.
Б е р т о н (Burton L. Р.)
1. Oscillation theorems for the solutions of linear, non-homogeneous,,
second order differential systems, Pacific J. Math., 2 A952), 281—289.
Бете (В e t h e H. A.)
1. Theory of effective image in nuclear scattering, Phys. Rev., 76, A949),
38-50.
Бибербах (Bieberbach L.)
1. Lehrbuch der Funktionentheorie, vol. I, Fourth Ed., 1934; vol. II, Second
ed., 1931, Teubner, Leipzig.

Библиография 781
Виркгоф Г. (Birkhoff G.), см. также А л а о г л у
1. Orthogonality in linear metric spaces, Duke Math. /., 1 A935), 169—
172.
2. Dependent probabilities and the space (L), Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
24 A938), 154—159.
3. Теория структур, М., ИЛ, 1952 A940).
4. Integration of functions with values in a Banach space, Trans. Amer,
Math. Soc, 38 A935), 357—378.
5. A note on topological groups, Compositio Math., 3 A936), 427—430.
6. On product integration, /. Math, and Phys. Mass. Inst. Tech., 16 A937),
104 — 132.
7. The mean ergodic theorem, Duke Math. J., 5 A939), 19—20.
8. An ergodic theorem for general semi-groups, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 25 A939), 625-627.
Ьиркгоф Г. иМак-Лейн (Birkhoff G., MacLane S.)
1. A survey of modern algebra, Macmillan Co., New York, 1941.
l) и р к г о ф Дж. (Birkhoff G. D.)
1. Proof of the ergodic theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 17 (J931),
656—660.
2. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differen-
differential operations containing a parameter, Trans. Amer. Math. Soc, 9
A908), 219—231.
3. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc, 9 A908), 373—395.
4. Existence and oscillation theorems for a certain boundary value prob-
problem, Trans. Amer. Math. Soc, 10 A909), 259—270.
5. Quantum mechanics and asymptotic series, Bull. Amer. Math. Soc*
39 A933), 681—700.
6. Note on the expansion of the Green's function, Math. Ann., 72 A912),
292—294.
7. Note on the expansion problems of ordinary linear differential equations,
Rend. Circ Mat. Palermo, 36 A913), 115—126.
8*. Collected Mathematical Papers, Vols I—III, Princeton, 1950.
Виркгоф Дж. иКеллог (Birkhoff G. D., Kellogg O. D.)
1. Invariant points in function space, Trans. Amer. Math. Soc, 23 A922),
96—115.
Б и p к г о ф Дж. и Л а н г е р (Birkhoff G. D., L a n g e г R. Е.)
1. The boundary problems and developments associated with a system of
ordinary differential equations of the first order, Proc Amer. Acad.
Arts. Sci. B), 58 A923), 51 — 128.
Бирман М. Ш.
1. К теории самосопряженных расширений положительно определен-
определенных операторов, ДАН СССР, 91 A953), 189—191.
Бирнбаум и Орлич (Birnbaum Z. W.,Orlicz W.)
1. Ober die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten
Potenzen, Studia Math., 3 A931), 1—67.
Б л и с с (Bliss G. A.)
1. A boundary value problem for a system of ordinary linear differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc, 28 A926), 561—589.
Блок (Block H. D.)
1. Linear transformations on or onto a Banach space, Proc Amer. Math.
Soc, 3 A952), 126—128.
Блюменталь (Blumenthal L. M.)
1. Generalized Euclidean space in terms of a quasi-inner product. Amer. J.
Math., 72 A950), 686-698.

782 Библиография
Б о а с М., Б о а с Р«. и Л е в и н с о н (В о a s M. L., В о a s R. P., Jr,
Levi nson N.)
1. The growth of solutions of a differential equation, Duke Math. J., 9
A942), 847-853.
Б о а с Р. (В о a s R. P., Jr.), см. также Б о а с М.
1. Some uniformly convex spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 46 A940),
304—311.
2. Expansions of analytic functions, Trans. Amer. Math. Soc.t 48 A940),
467—487.
Боненблуст (Bohnenblust H. F.)
1. An axiomatic characterization of Lp-spaces, Duke Math. J., 6 A940),
627—640.
2. A characterization of complex Hilbert spaces, Portugaliae Math., 3
A942), 103—109.
3. Subspacesof /Pf7l spaces, Amer. J. Math., 63 A941), 64—72.
4. Convex regions and projections in Minkowski spaces, Ann. of, Math.
B), 39 A938), 301—308.
Боненблуст и Какутани (Bohnenblust H. F., Kaku-
t a n i S.)
1. Concrete representations of (M)-spaces, Ann. o[ Math. B) 42, A941),
1025—1028.
Боненблуст и Собчик (Bohnenblust H. F.,Sobczyk A.)
1. Extensions of functionals on complex linear spaces, Bull. Amer. Math.
Soc, 44 A938), 91—93.
Бонне зен и Фенхель (Bonnesen Т., Fenchel W.)
1. Theorie der konvexen Korper, Ergebnisse der Math, und ihrer Grenz-
gebiete, III. 1, J. Springer, Berlin, 1934.
Б о н с о л (В о n s a I I F. F.)
1. A note on subadditive functionals, J. London Math. Soc, 29
A954), 125—126.
Бор (BohrH.)
1. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, I—HI.
I. Ada Math., 45, A925), 29—127.
II. Там же, 46 A925), 101—214.
III. Там же, 47 A926), 237—281.
2. Почти-периодические функции, М.—Л., 1934.
3. On almost periodic functions and the theory of groups, Amer. Math.
Monthly, 56 A949), 595—609.
4. A survey of the different proofs of the main theorems in the theory of
almost periodic functions, Proc. International Cong. Math., Cambridge,
1 A950), 339—348.
Бор и Фёльнер (Bohr H.,F0lner E.)
1. On some types of functional spaces. A contribution to the theory of
almost periodic functions, Ada Math., 76 A944), 31 — 155.
Борг (В о г g G.)
1. liber die Stabilitat gewisser Klassen von linearen Differentialgleichun-
gen, Ark. Mat. Astr. Fys., 31A, No. 1 A944).
2. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe Bestim-
mung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte, Ada Math., 78
A946), 1—96.
3. Inverse problems in the theory of characteristic values of differential
systems, C. R. Dixieme Congres Math. Scandinaves, Copenhagen, 1946.
4. On the completeness of some sets of functions, Ada Math., 81 A949),
266—283.
5. On a Liapounoff criterion of stability, Amer. J. Math., 71 A949), 67—70.
6. Uber die Ableitung der S-Funktion, Math. Ann., 122 A950—1951),
326—331.

Библиография 783
7. On the point spectra of y"+(X—?(*)) y=0, Amer. J. Math., 73 A951),
122—126.
Борель (В о г е 1 Е.)
1. Sur l'equation adjointe et sur certains systemes d'equations differentiel-
les, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. C) 9 A892), 63—90.
Боте (Botts, Truman)
1. On convex sets in linear normed spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 48
A942), 150—152.
2. Convex sets, Amer. Math. Monthly, 49 A942), 527—531.
Бохер (Bocher M.)
1. On regular singular points of linear differential equations of the second
order whose coefficients are not necessarily analytic, Trans. Amer. Math.
Soc, 1 A900), 40—52.
2. Green's functions in spaces of one dimension, Bull. Amer. Math. Soc,
7 A901), 297—299.
3. Boundary problems and Green's functions for linear differential and
difference equations, Ann. of Math. B) 13 A911), 71—88.
4. Applications and generalisations of the concept of adjoint system, Trans.
Amer. Math. Soc, 14 A913), 403—420.
5. Legons sur les methodes de Sturm, Gauthier-Villars, Paris, 1917.
Бохнер (Bochner S.)
1. Completely monotone functions in partially ordered space, Duke Math. J.
9 A942), 519—526.
2. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vector-
raumes sind, Fund. Math., 20 A933), 262—276.
3. Additive set functions on groups, Ann. Math. B) 40 A939), 769—799.
4. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Ann.r
96 A927), 119—147.
5. Absolut-additive abstrakte Mengenfunktionen, Fund. Math., 21 A933),
211—213.
6. Vorlesungen uber Fouriersche Integrale, Akad. Verlag, Leipzig, 1932.
7. Spektraldarstellung linearer Scharen unitarer Operatoren, S.-B.
Preuss. Akad. Wiss. A933), 371—376.
8. Inversion formulae and unitary transformations, Ann. of Math. B) 35
A934), 111 — 115.
Бохнер и Дж. Нейман (Bochner S., von Neumann J.)
1. Almost periodic functions in groups, II, Trans. Amer. Math. Soc.r
37 A935), 21—50.
Бохнер и Тейлор (Bochner S., Taylor A. E.)
1. Linear functional on certain spaces of abstractly-valued functions,
Ann. of Math. B) 39 A938), 913—944.
Бохнер и Фань Ky (Bochner S., Fan K.)
1. Distributive order-preserving operations in partially ordered vector sets,
Ann. of Math. B) 48 A947), 168—179.
Бохнер и Филлипс (Bochner S., Phillips R.S.)
1. Additive set functions and vector lattices, Ann. of Math. B) 42 A941),
316—324.
2. Absolutely convergent Fourier expansions for non-commutative normed
rings, Ann. of Math. B) 43 A942), 409—418.
Б р а у д e p (Browder F. E.)
1. The Dirichlet problem for linear elliptic equations of arbitrary even
order with variable coefficients, Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38 A952),
230—235.
2. The Dirichlet and vibration problems for linear elliptic differential
equations of arbitrary order, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38 A952),
741__747.
3. Assumption of boundary values and the Green's function in the Dirichlet

784 Библиография
problem for the general linear elliptic equation, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 39 A953), 179—184.
4. Linear parabolic differential equations of arbitrary order; general boun-
boundary-value problems for elliptic equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.
39 A953), 185—190.
5. Strongly elliptic systems of differential equations. Contributions to the
theory of partial differential equations, 15—5J, Ann. of Math. Studies,
No. 33, Princeton, 1954.
6. On the eigenfunctions and eigenvalues of the general linear elliptic dif-
differential operator, Proc. Nat. Acad. Sci., 39 A953), 433—439.
7. The eigenfunction expansion theorem for the general self-adjoint sin-
singular elliptic partial differential operator. I. The analytical foundation,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 40 A954), 454—459.
8. Eigenfunction expansions for singular elliptic operators. II. The Hil-
bert space argument; parabolic equations on open manifolds, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 40 A954), 459—463.
9*. Functional analysis and partial differential equations I, Math. Ann., 138
A959), 55—79. Есть русский перевод: Математика, 4 : 3 A960) 79—106.
Браун (Brown A.)
1. On a class of operators, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 723—728.
2. The unitary equivalence of binormal operators, Amer. J. Math., 76,
414—434 A954).
Б р а у э р (В г a u e r A.)
1. Limits for the characteristic roots of a matrix, Duke Math. J., 13 A946),
387—394.
Брей (Bray H. E.)
1. Elementary properties of the Stieltjes integral, Ann. of Math. B) 20
A918—1919), 177—186.
Б р ей с (Brace J. W.)
1. Transformations on Banach spaces, Dissertation, Cornell University
A953).
2. Compactness in the weak topology, Math. Mag., 28 A955), 125—134.
Б р е м (Bram J.)
1. Subnormal operators, Duke Math. J.y 22 A955), 75—94.
Б р и л л ю э н (В г i J J о u i n L.)
1. La mecanique ondulatoire de Schrodinger, une methode generate de
resolution par approximations successives, C. R. Acad. Sci. Paris, 183,
A926), 24—26.
Бродский М. С. иМильман Д. П.
1. О центре выпуклого множества, ДАН СССР, 59 A948), 837—840.
Б р о у н (Browne E. Т.)
1. Limits to the characteristic roots of a matrix, Amer. Math. Monthly,
46 A939), 252—265.
Б р о уэ р (В г о u w e r L. E. J.)
1. Uber eineindeutige, stetige Transformationen von Flachen in sich,
Math. Ann., 69 A910), 176—180.
Буняковский В. Я.
1. Sur quelques inegalites concernant les integrates ordinaires et les inte-
gralesaux differences finies, Mem. Acad. St. Petersburg G) l,No. 9 A859).
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Sur les espaces de Banach, C.R. Acad. Sci., 206 A938), 1701—1704.
2. Элементы математики, т. 5. Топологические векторные пространства,
ИЛ, М., 1959 A953, 1955).
3. Sur certains espaces vectorials topologiques, Ann. Inst. Fourier Grenoble,
2 A950), 5—16.
4. Elements de mathematique, Livre VI, Integration. Hermann et Cie,
Act. Sci. et Ind., 1175, Paris, 1952.

Библиография
5. Elements de mathematique, Livre III, Topologie generale. Hermann et
Cie, Act. Sci. et Ind., 858, 916, 1029, 1045, 1084, Paris, 1940 — 1949.
(В русском переводе вышли главы I — III и IV—VIII:
Общая топология. Основные структуры, М., Физматгиз, 1958.
Общая топология. Числа и связанные с ними группы и пространства,
М., Физматгиз, 1959.)
Бурга (В urgat P.)
1. Resolutions de problemesaux limites au moyen de transformations fonc-
tionnelle. Dissertation, Universite de Neuchatel, Lausanne, 1950.
2. Resolution de problemes aux limites аи moyen de transformations fonc-
tionnelles, Z. Angew. Math. Physik., 4 A953), 146—152.
Буржен (Bourgin D. G.)
1. Some properties of Banach spaces, Amer. J. Math,. 64 A942), 597— 612.
2. Linear topological spaces, Amer. J. Math., 65 A943), 637—649.
Буркхардт (Burkhard H.)
1. Sur les fonctions de Green relatives a une domaine d'une dimension,
Bull. Soc. Math. France, 22 A894), 71—75.
Бухгейм (Buchheim A.)
1. An extension of a theorem of Professor Sylvester's relating to matrices,
Phil. Mag. E) 22 A886), 173—174.
Важевский (W a i e w s k у Т.)
1. Sur revaluation du domaine d'existence des fonctions implicites dans
le cas des espaces abstrait, Fund. Math., 37 A950), 5—24.
Вайнбергер (Weinberger H. F.)
1. An optimum problem in the Weinstein method for eigenvalues, Pacific
J. Math., 2 A952), 413—418.
2. Error estimation in the Weinstein method'for eigenvalues, Proc. Amer.
Math. Soc, 3 A952), 643—646.
3. An extension of the classical Sturm-Liouville theory, Duke Math. J.f
22 A955), 1—14.
Вайнштейн (Weinstein A.)
1. Quantitative methods in Sturm-Liouville theory. Proc. Symposium on
Spectral Theory and Differential Problems A9Sl). Oklahoma Agricul-
Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.
8ан дер Варден (van d e r W a e r d e n B. L.)
1. Современная алгебра, Гостехиздат, М.—Л., 1947 A930, 1931).
Ван Данциг (van Dantzig D.), см. Данциг
Ван Кампен (van Kampen E. R.), см. К а м п е н
Варшавский (Warscha wski S. Е.), см. Галбрайт
Васильков Д. А.
1. Частично упорядоченные линейные системы банахова пространства
и системы функций, ДАН СССР, 35 A942), 148—151.
2. Классификация упорядочений линейных систем, ДАН СССР, 39
A943), 175—178.
3. On the theory of partially ordered linear systems and linear spaces,
Ann. of Math., 44 A943), 580—609.
4. Упорядочения абстрактных множеств и линейных систем, Изв. АН
СССР, сер. матем., 7 A943), 203—236.
Веблен (Veblen О.)
1. Invariants of quadratic differential forms. Cambridge Univ. Press,
London, 1933.
Веддерберн (Wedderburn J. H. M.)
1. Lectures on matrices, Amer. Math. Soc. Colloquium Pub. 17, New York,
1934.
Вейер ш трасс (Weierstrass K.)
1. Mathematische Werke, Band 1. Mayer und Muller, Berlin, 1894.
2. Mathematische Werke, Band 3, Mayer und Muller, Berlin, 1903.
50 Заказ № 132 4

786 Библиография
В ей л ь A. (Weil A.)
1. Интегрирование в топологических группах и его применения, М.,
ИЛ, 1950 A940).
2. Sur les fonctions presque periodiques de von Neumann, С R. Acad. Sci.
Paris, 200 A935), 38—40.
3. Sur les groupes topologiques et les groupes mesures, C. R. Acad. Sci.
Paris, 202 A936), 1147—1149.
Вейль Г. (W e у 1 H.), см. также Петер
1. Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transfor-
transformation, Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 35 A949), 408—411.
2. liber beschrankte quadratische Formen, deren Differenz vollstetig ist,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 27 A909), 373—392.
3. Raum, Zeit, Materie. Vierte Aufl., J. Springer, Berlin,
1921.
4. Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem, Bull. Amer.
Math. Soc, 56 A950), 115—139.
5. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen, Math. Ann., 68
A910), 220—269.
6. Almost periodic invariant vector sets in a metric vector space, Amer.
J. Math., 71 A949), 178-205.
7. Uber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singularen Stel-
len und ihre Eigenfunktionen, Nachr. Acad. Wiss. Gottingen. Math.-
Phys. Kl. A909), 37—64.
8. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit singularen Stellen und
ihre Eigenfunktionen, Nachr. Acad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Kl.
A910), 442—467.
9. The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math., J.,
7 A940), 411—444.
В ей p (We у г Е.)
1. Note sur la theorie des quantitescomplexes formees avec n unites princi-
pales, Bull. Sci. Math. B) 11 A887), 205—215.
Веккен (W e с k e n F. J.)
1. Zur Theorie linearer Operatoren, Math. Ann., 110 A935), 722—725.
2. Unitarinvarianten selbstadjugierter Operatoren, Math. Ann., 116
A939), 422—455.
Вентцель (Wentzel G.)
1. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen fur die Zwecke der
Wellenmechanik, Zeit. fur Physik., 38 A926), 518—529.
Вестфаль (Westfall J.)
1. Zur theorie der Integralgleichungen. Dissertation. Gottingen, 1905.
Вехаузен (Wehausen J. V.)
1. Transformations in linear topological spaces, Duke Math. J.t 4 A938)T
157—169.
2. Transformations in metric spaces and ordinary differential equations,
Bull. Amer. Math. Soc, 51 A945), 113—119.
Вигман (Wiegmann N. A.)
1. A note on infinite normal matrices, Duke Math. J.y 16 A949), 535—538.
Видав (V i d a v I.)
1. Uber eine Vermutung von Kaplansky, Math. Z., 62 A955), 330.
Виландт (Wielandt H.)
1. Eigenwerttheorie.Naturforschung und Medizin in Deutschland 1939—1946,
Band 2, 85—98. Dieterich'sche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden, 1948.
2. Uber die unbeschrankheit der Operatoren der Quantenmechanik, Math.
Ann., 121 A949), 21.
Виланский (W i 1 a n s k у А.)
1. Tie ba is in Banach space, Duke Math. J., 18 A951), 795—798.

Библиография 787
2. An application of Banach linear functional to summability, Trans.
Amer. Math. Soc, 67 A949), 59—68.
Вильямсон (Williamson J. H.)
1. Spectral representation of linear transformation in со, Proc. Cambridge
Philos. Soc, 47 A951), 461—472.
2. Linear transformations in arbitrary linear spaces, J. Lond. Math. Soc.f
28 A953), 203—210.
3. Compact linear operators in linear topological spaces, J. Lond. Math.
Soc, 29 A954), 149—156. (Есть русский перевод: Математика,
4 : 5 A960), 85—91).
4. On topologising the field C (t), Proc Amer. Math. Soct 5 A954), 729—734.
Виндау (Windau W.)
1. Ober lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung mit singularitaten
und die dazugehorigen Darstellungen willkurlicher Funktionen, Math.
Ann., 83 A921), 256—279.
Винер (W i e n e r N.), см. также П э л и
1. Limit in terms of continuous transformation, Bull, de la Soc. Math,
de France, 50 A922), 119—134.
2. Note on a paper of M. Banach, Fund. Math., 4 A923), 136—143.
3. The ergodic theorem, Duke Math. J., 5 A939), 1—18.
4. The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge Univ.
Press, 1933.
5. Tauberian theorems, Ann. of Math. B) 33 A932), 1 — 100.
6. Generalized harmonic analysis, Ada Math., 55 A930), 117—285.
7. The average value of a functional, Proc. London Math. Soc. B) 22 A924)»
454_467.
8. Differential space, J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech., 2 A923), 131—174.
Винер и Уинтнер (Wiener N., W i n t n e r A.)
1. Harmonic analysis and ergodic theory, Amer. J. Math., 63 A941),
415—426.
Виноградов А. А., см. Крачковский С. Н.
Винокуров В. Г.
1. О биортогональных системах, проходящих через заданные подпро-
подпространства, ДАН СССР, 85 A952), 685—687.
Виртингер (Wirtinger W.)
1. Beitrage zu Riemann's Integrationsmethode fur hyperbolische Diffe-
Differentialgleichungen, und deren Anwendungen auf Schwingungsprobleme,
Math. Ann., 48 A897), 365—389.
Виссер (Visser C.)
1. On the iteration of linear operations in a Hilbert space, Neder. Akad.
Wetensch. Proc, 41 A938), 487—495.
2. Note on linear operators, Neder. Akad. Wetensch. Proc, 40 A937),
270—272.
Виссер и Заанен (Visser С, Zaanen А. С.)
1. On the eigenvalues of compact linear transformations, Nederl. Akad.
Wetensch. Proc Ser. A, 55 A952), 71—78.
Витали (V i t a 1 i G.)
1. Sulle funzioni integrali, Atti R. Accad. delle Sci. di Torino, 40 A905),
753—766.
2. Sull'integrazione per serie, Rend. del. Circolo Mat. di Palermo, 23 A907),
137—155.
В и т т и х (W i t t i с h H.)
1. tiber das Anwachsen der Losungen linearer Differentialgleichungen,
Math. Ann., 124 A952), 277—288.
В и ш и к М. И.
1. Линейные расширения операторов и краевые условия, ДАН СССР,
65 A949), 433—436.
50*

788 Библиография
2. О линейных краевых задачах для дифференциальных уравнений,
ДАН СССР, 65 A949), 785—788.
3. Об общем еиде разрешимых краевых задач для однородного и неодно-
неоднородного эллиптического уравнения, ДАН СССР, 82 A952), 181 — 184.
4. Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических
дифференциальных уравнений, Машем. сб., 25 F7), A949), 189—234.
5. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений,
Машем, сб., 29 G1), A951), 615—676.
Вот (V aught R. L.), см. Келли
Волмэн (Wallman H.), см. Гуревич У.
Вольтерра (Volterra V.)
I. Theory of functionals. Blackie and Sons, London and Glasgow, 1930.
Вулих Б. 3., см. также Канторович Л. В.
1. Определение произведения в линейном полуупорядоченном про-
пространстве, ДАН СССР, 26 A940), 847—851.
2. Свойства произведения и обратного элемента в линейных полуупоря-
доченных пространствах, ДАН СССР, 26 A940), 852—856.
3. О линейных пространствах с заданной сходимостью, Л., Учен. зап.
ун-та, 10 A940), 40—63.
4. Интеграл Стильтьеса для функций со значениями в полуупорядочен-
полуупорядоченных пространствах, Л.,Учен. зап. ун-та,сер. матем., 12 A941), 3—29.
5. О линейных функционалах и линейных полуупорядоченных про-
пространствах, ДАН СССР, 52 A46), 95—98.
6. О линейных мультипликативных операциях, ДАН СССР, 52 A946),
387—390.
7. О некоторых нелинейных операциях в линейных полуупорядочен-
полуупорядоченных пространствах, ДАН СССР, 52 A946), 479—482.
8. Конкретное представление линейных полуупорядоченных прост-
пространств, ДАН СССР, 58 A947), 733—736.
9. Произведение в линейных полуупорядоченных пространствах и его
применение к теории операций, ч. 1, Матем. сб., 22 F4), A948),
27—78.
10. Произведение в линейных полуупорядоченных пространствах и его
применение к теории операций, ч. 2, Матем. сб., 22 F4), A948),
267-317.
II. О конкретном представлении полуупорядоченных линеалов, ДАН
СССР, 78 A951), 189—192.
12. Sur les formes generates decertaines operations lineaires, Матем. сб.г
2 D4), A937), 275—305.
13. Sur les operations lineaires dans 1'espace des fonctions sommables,
Mathematica, Cluj., 13 A937), 40—54.
14. On a generalized notion of convergence in a Banach space, Ann. of.
Math. B) 38 A937), 156—174.
15. Некоторые вопросы теории линейных полуупорядоченных множеств»
Изв. АН СССР, сер. матем., 17 A953), 365—388.
В у л ьф (Wolf F.)
1. Analytic perturbation of operators in Banach spaces, Math. Ann., 124
A952), 317—333.
2. Simplicity of spectra in general operators (Abstract), Bull. Amer. Math.
Soc, 60 A954), 345.
Вульфсон (Wolfson K.)
1. On the spectrum of a boundary value problem with two singular end-
points, Amer. J. Math., 72 A950), 713—719.
2. On the separation of spectra, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 408—409.
Г а в у р и н М. К.
1. Об оценках собственных чисел и векторов возмущенного оператора»
ДАН СССР, 76 A951), 769—770.

Библиография 789
2. Об оценках для собственных чисел и векторов возмущенного опера-
оператора, ДАН СССР, 96 A954), 1093—1095.
3. О точности приближенных методов разыскания собственных чисел
интегральных операторов, ДАН СССР, 97 A954), 13—15.
4. t)ber die Stieltjessche Integration abstrakter Funktionen, Fund. Math.,
27 A936), 255—268.
Г а г а е в Б. М.
1. О сходимости в банаховских пространствах, УМН, 3, вып. 5 B7),
A948), 171 — 173.
Г а й н ц (Heinz Е).
1. Beitrage zur Storungstheorie der Spektralzerlegung, Math. Ann., 123
A951), 415—438.
2. Ein v. Neumannscher Satz fiber beschrankte Operatoren in Hilberischen
Raum, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. A952), 5—6.
3. Zur Theorie der Hermiteschen Operatoren des Hilbertschen Raumes,
Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. KL, 1951, No. 2, A951), 4.
4. On an inequality for linear operators in a Hilbert space. Report on
Operator Theory and Group Representations, Pub. No. 387, Nat.
Acad. Sci. U.S.A. A955), 27—29.
5. Zur Frage der Differenzierbarkeit derS-Funktion, Math. Ann., 122 A950),
332—333.
Г а л (Gal I. S.)
1. Sur la methode de resonance et sur un theoremeconcernant des espaces de
type (B), Ann. fnst. Fourier Grenoble, 3 A951), 23—30.
2. The principle of condensation of singularities, Duke Math. J., 20 A953),
27—35.
3. On sequences of operations in complete vector spaces, Amer. Math.
Monthly, 60 A953), 527—538.
Галбрайт и Варшавский (Galbraith A. S., War-
schawski S. E.)
1. The convergence of expansions resulting from a self-adjoint boundary
problem, Duke Math. J.f 6 A940), 318—340.
Гальперин (Halperin I.), см. также Э л л и с
1. Function spaces, Canadian J. Math., 5 A953), 273—288.
2. Convex sets in linear topological spaces, Trans. Roy. Soc. Canada, Sec.
Ill, 47 A953), 1—6.
3. Uniform convexity in function spaces, Duke Math. J.f 21 A954), 195—
204.
4. Reflexivity in thel* function spaces, Duke Math. J., 21 A954), 205—208.
5. Closures and adjoints of linear differential operators, Ann. of Math. B>
38 A937), 880—919.
Гамбургер (Hamburger H. L.)
1. Five notes on a generalization of quasi-nilpotent transformations in
Hilbert space, Proc. London Math. Soc. C), 1 A951), 494—512.
2. On a new characterization of self-adjoint differential operators in the
Hilbert space L2, Proc. Symposium on Spectral Theory and Differential
Problems, 229—247 A951). Oklahoma A. and M. College, Stillwater,
Oklahoma.
3. Remarks on self-adjoint differential operators, Proc. London Math. Soc.
C) 3 A953), 446—463.
4. t)ber die Zerlegung des Hilbertschen Raumes durch vollstetige lineare
Transformationen, Math. Nachr., 4 A951), 56—69.
5. Contributions to the theory of closed Hermitian transformations of
deficiency index (m, m), Ann. of Math. B) 45 A944), 59—99.
6. Contributions to the theory of closed Hermitian transformations of
deficiency index (m,m), Quart. J. Math. Oxford. Ser., 13 A942), 117—
128.

790 Библиография
7. Hermitian transformations of deficiency-index A, 1), Jacobi matrices and
undetermined moment problems, Amer. J. Math., 66 A944), 489—522.
8. On a class of Hermitian transformations containing self-adjoint dif-
differential operators, Ann. of Math. B) 47 A946), 667—687.
Гамбургер и Гримшоу (Hamburger H. L., Grimshaw
M. E.)
1. Linear transformations in /г-dimensional vector space, Cambridge Univ.
Press, 1951.
Гамель (Hamel G.)
1. Ober lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit periodischen
Koeffizienten, Math. Ann., 73 A913), 371—412.
Г а н т м a x e p B. P.
1. Uber schwache totalstetige Operatoren., Машем, сб., 7 D9), A940),
301—308.
Гантмахер В. Р. и Шмульян В. Л.
1. О линейных пространствах, единичная сфера которых слабо компакт-
компактна, ДАН СССР, 17 A937), 91—94.
2. О слабой компактности в пространстве Банаха, Машем, сб., 8 E0),
A940), 489—492.
Гантмахер Ф. Р.
1*. Теория матриц, М., Гостехиздат, 1953.
Гантмахер Ф. Р. и К р ей н М. Г.
1*. Осцилляционные матрицы и малые колебания механических систем,
М., Гостехиздат, 1950.
Гарабедян (Garabedian P. R.)
1. The classes Lv and conformal mapping, Trans. Amer. Math. Soc.y 69
A950), 392—415.
Гарабедян и Шифман (Garabedian P. R., S h i f f m a n M.)
1. On solution of partial differential equations by the Hahn-Banach Theo-
Theorem, Trans. Amer. Math. Soc.y 76, A954) 288—299.
Гартогс и Р о з е н т а л ь (Н a r t о g s F., Rosenthal A.)
1. Uber Folgen analytischer Funktionen, Math. Ann., 104 A931), 606—610.
Гаупт (Haupt O.)
1. Uber lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit
periodischen Koeffizienten, Math. Ann., 79 A918), 278—285.
Гёдель (Godel K.)
1. The consistency of the continuum hypothesis, Ann. of Math. Studies,
No. 3, Princeton Univ. Press, Princeton, 1940.
2. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und ver-
wandter Systeme, I, Monatsh. fur Math. u. Physik, 38 A931), 173—198.
Гей л (Gale D.)
1. Compact sets of functions and function rings, Proc. Amer. Math. Soc,
1 A950), 303—308.
Гельбаум (Gelbaum B. R.)
1. Expansions in Banach spaces, Duke Math. J.y 17 A950), 187—196.
2. A nonabsolute basis for Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951),
720—721.
Гёльдер (Holder E.)
1. Uber die Vielfachheiten gestorter Eigenwerte, Math. Ann., 113 A936),
620—628.
2. Uber einen Mittelwertsatz, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math. Phys.
Kl. A889), 38—47.
.Гельфанд И. М.
1. Normierte Ringe, Матем. сб., 9 E1), A941), 3—24.
2. Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren, Матем. сб., 4 D6),
A938), 235—286.

Б иблиография 791
3. Ideale und primare Ideale in normierten Ringen, Машем, сб., 9 E1),
A941), 41—48.
4. Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topologischen Gruppen,
Машем, сб., 9 E1), A941), 49—50.
5. Uber absolut Konvergente trigonometrische Reihen und Integrate.
Машем сб., 9 E1), A941), 51—66.
6. Замечание к работе Н. К. Бари «Биортогональные системы и базисы
в гильбертовом пространстве», М., Учен. зап. ун-та, 148; Математи-
Математика, 4 A951), 224—225.
Гельфанд И. М. и Колмогоров А. Н.
1. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах,
ДАН СССР, 22 A939), 11 — 15.
Гельфанд И. М. иКостюченко А. Г.
1. Разложение по собственным функциям дифференциальных и других
операторов, ДАН СССР, 103 A955), 349—352.
Гельфанд И. М. иЛевитан Б. М.
.1. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной
функции, Изв. АН СССР, сер. матем., 15 A951), 309—360.
2. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциаль-
дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 88 A953), 593—596.
Гельфанд И. М. и Наймарк М. А.
1. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert
space, Матем. сб., 12 E4), A943), 197—219.
2. Нормированные кольца с инволюцией и их представления, Изв. АН
СССР, сер. матем., 12 A948), 445—480.
Гельфанд И. М. и Райков Д. А.
1. К теории характеров коммутативных топологических групп, ДАН
СССР, 28 A940), 195—198.
2. Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных
групп, Матем. сб., 13 E5), A943), 301—316.
Гельфанд И. М. и Ш и л о в Г. Е.
1. Uber verschiedene Methoden der Einfuhrung der Topologie in die Menge
der maximalen Ideale eines normierten Ringes, Машем, сб., 9 E1),
A941), 25-40.
2*. Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над
ними.
Вып. 2. Пространства основных и обобщенных функций.
Вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений,
М., Физматгиз, 1958.
Гельфанд И. М. и Яглом А. М.
1. Интегрирование в функциональных пространствах и его применения
в квантовой физике, УМН, 11, вып. 1 F7), A956), 77-114.
Герглотц (Herglotz G.)
1. t)ber Potenzreihen mit positiven, reellemTeil im Einheitskreis, S.-B.
Sachs. Akad. Wiss., 63 A911), 501—511.
2. Uber die Integration linearer, partieller Differentialgleichungen mit
bonstanten Koeffizienten, I—IV.
I. S.-B. Sachs. Akad. Wiss., 78 A926), 93—125.
II. Там же, 78 A926), 287—318.
III. Там же, 80 A928), 69—114.
IV. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 6 A928), 189—197.
Гильб (H i 1 b E.)
1. Uher die Auflosung von Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten,
S.-B. Phys. Med. Soz. Erlangen A908), 84—89.
2. Uber Integraldarstellung willkurlicher Funktionen, Math. Ann., 66-
A909), 1—66.

792 Библиография
3. liber Reihenentwicklung nach den Eigenfunktionen linearer Differen-
tialgleichungen 2ter Ordnung, Math. Ann., 71 A911), 76—87.
4. Ober gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
dazugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen, Math. Ann.,
76 A915), 333—339.
Гильб иСас(НПЬ E., Szasz O.)
1. Allgemeine Reihenentwicklungen, Encycklopadie der Math. Wiss.,
II С 11, A922), 1229—1276.
Гильберт (Hilbert D.), см. также Курант
1. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen,
I. Nachr. Akid. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Kl. A904), 49—91.
II. Там же A905), 213—259. III. Там же A905), 307—338. IV. Там
же A906), 157—227. V. Там же A906), 439—480. VI. Там же A910),
355—417.
1\и л ьдебр андт (Hildebrandt Т. Н.)
1. On unconditional convergence in normed vector spaces, Bull. Amer. Math.
Soc, 46 A940), 959—962.
2. On uniform limitedness of sets of functional operations, Bull. Amer.
Math. Soc, 29 A923), 309—315.
3. On bounded functional operations, Trans. Amer. Math. Soc.f 36 A934),
868—875.
4. Integration in abstract spaces, Bull. Amer. Math. Soct 59 A953), 111 —
139.
5. Lebesgue integration in general analysis. (Abstract), Bull. Amer. Math.
Soc, 33 A927), 646.
6. Ober vollstetigelineareTransformationen, Ada Math., 51 A928), 311 —
318.
7. Linear operations on functions of bounded variation, Bull. Amer.
Math. Soc, 44 A938), 75.
8. On the moment problem for a finite interval, Bull. Amer. Math. Soc.f
38 A932), 269—270.
9. Convergence of sequences of linear operations, Bull. Amer. Math. Soc,
28 A922), 53—58.
Тильдебрандт и Грейвс (Hildebrandt Т. Н., Gra-
Graves L. M.)
1. Implicit functions and their differentials in general analysis, Trans.
Amer. Math. Soc, 29 A927), 127—153.
Гильдебрандт и Шёнберг (Hilbebrandt Т. H., S с h o-
е n b е г g I. J.)
1. On linear functional operations and the moment problem for a finite
interval in one or several dimensions, Ann. of Math. B) 34 A933),
317—328.
Г л а з м а н И. М., см. также Ахиезер Н. И.
1. К теории сингулярных дифференциальных операторов, УМН, 5,
вып. 6 D0), A950), 102—135.
2. Об индексе дефекта дифференциальных операторов, ДАН СССР, 64
A949), 151—154.
3. О спектре линейных дифференциальных операторов, ДАН СССР,
80 A951), 153—156.
4. О характере спектра одномерных сингулярных краевых задач,ДЛЯ
СССР, 87 A952), 5—8.
5*. О характере спектра многомерных сингулярных краевых задач,
ДАН СССР, 87 A952), 171 — 174.
Тл'ивенко В. И.
1. Интеграл Стильтьеса, М.—Л., 1936.
Гликсберг (Glicksberg I.)
1. The representation of functional by integrals, Duke Math. J., 19 A952),
253—261.

Библиография 793
Г обе он (Hobson Е. W.)
1. The theory of functions of a real variable. (Two volumes.) Second edi-
edition, Cambridge Univ. Press, 1921, 1926.
2. On a general convergence theorem, and the theory of the representation
of a function by a series of normal functions, Proc. Lond. Math. Soc. B)
6 A908), 349—395.
Годман (Godement R.), см. также К а р т а н
1. Theoremes tauberiens et theorie spectrale, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.
C) 64 A947), 119—138.
2. Les fonctions de type positif et la theorie des groupes, Trans, Amer.
Math. Sue, 63 A948), 1—84.
3. Sur la theorie des representations unitaires, Ann. of Math. B) 53 A951),
68—124.
4. Memoire sur la theorie des caracteres dans les groupes localement com-
compacts unimodulaires, J. Math. Pures AppL, 30 A951), 1 — 110.
5. Sur une generalisation d'un theoreme de Stone, С R. Acad. Sci. Paris,
218 A944), 901—903.
Голдстайн (Goldstine H. H.)
1. Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J., 4 A938), 125—131.
2. The theorem of Hildebrandt, Studia Math., 7 A938), 157—158.
Гольдман M. A-, см. Крачковский С. Н.
Гольдман М. А. и Крачковский С. Н.
1. О нуль-элементах линейного оператора в его области Фредгольма,
ДАН СССР, 86 A952), 15—17.
Гомес (Gomes А. Р.), см. Дьёдонне
Гординг (Girding L.)
1. Linear hyperbolic partial differential equations with constant coeffi-
coefficients, Ada Math., 85 A950), 2—62.
2. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations,
Math. Scand., 1 A953), 55—72.
3. Le probleme de Dirichlet pour les equations aux derivees partielles
elliptiques lineaires dans des domaines bornes, C. R. Acad. Sci. Paris,.
233 A951), 1554—1556.
4. Dirichlet's problem and the vibration problem for linear elliptic par-
partial differential equations with constant coefficients. Proc. Symposium
Spectral Theory and Differential Problems, 291—301. Oklahoma Ag-
Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma, 1951.
5. L'inegalite de Friedrichs et Lewy pour les equations hyperboliques
lineaires d'ordre superieur, C. R. Acad. Sci. Paris, 239 A954), 849—
850.
6. Applications of the theory of direct integrals of Hilbert spaces to some
integral and differential operators. Inst. Fluid Dynamics. Univ. of
Maryland, College Park., 1954.
7*. Задача Коши для гиперболических уравнений, М., ИЛ, 1961.
Горн (Horn A.)
1. On the singular values of a product of completely continuous operators,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 36 A950), 374—375.
Гохберг И. Ц.
1. О линейных уравнениях в пространстве Гильберта, ДАН СССР, 76
A951), 9-12.
2. О линейных уравнениях в нормированных пространствах, ДАН СССР,
76 A951), 477—480.
3. О линейных операторах, аналитически зависящих от параметра, ДАН
СССР, 78 A951), 629—632.
4. Об индексе неограниченного оператора, Машем, сб, 33 G5), A953),
193—198.

794 Библиография
Г р а^'ф ф А. А.
1. К теории линейных дифференциальных систем в области одного изме-
измерения, ч. I и II.
I. Машем, сб., 18 F0), A946), 305—328.
II. Там же, 21 F3), A947), 143—159.
Г р е й в с Л. (G г a v e s L. М.), см. также Барт л, Гильдебрандт
1. Topics in the functional calculus, Bull. Atner. Math. Soc., 41 A935),
641—662. Исправл. там же, 42 A936), 381—382.
2. The theory of functions of real variables, McGraw-Hill Co., New York,
1946.
3. Riemann integration and Taylor's theorem in general analysis, Trans.
Atner. Math. Soc, 29 A927), 163—177.
4. Some general approximation theorems, Ann. of, Math. B) 42 A941),
281—292.
5. Some mapping theorems, Duke Math. J., 17 A950), 111 — 114.
6. A generalization of the Riesz theory of completely continuous transfor-
transformations, Trans. Amer. Math. Soc, 79 A955), 141—149.
7. Remarks on singular points of functional equations, Trans. Amer.
Math. Soc, 79 A955), 150—157.
Г p e й в с P. E. (G r a v e s R. E.), см. Камерон
Гр е й вс Р. Л. (Gr a v es R. L.)
1. The Fredholm theory in Banach spaces. (Abstract). Dissertation, Harvard
University A951), Bull. Amer. Math. Soc, 58 A952), 479.
Греко (Greco D.)
1. Sulla convergenza degli sviluppi in serie di autosoluziani associati ad
un problema ai limite relativo ad un'equazione differenziale ordinaria dee
secondo ordine, Rend. Ace. Sci. Fis. Mat. Napoli D), 17 A950), 171—189.
Г р и м ш о у (Grimshaw M. E.), см. Гамбургер
Гринблюм М. М.
1. Некоторые теоремы о базисе в пространстве типа (В), ДАН СССР,
31 A941), 428—432.
2. Биортогональные системы в пространстве Банаха, ДАН СССР, 47
A945), 79—82.
3. К теории биортогональных систем, ДАН СССР, 55 A947), 291—295.
4. Об одном признаке базиса, ДАН СССР, 59 A948), 9—11.
5. Спектральная мера, ДАН СССР, 81 A951), 345—348.
6. Операторный интеграл в пространстве Банаха, ДАН СССР, 71 A950),
5-8.
Гросберг Ю. И.
1. Про лшшш функцюнали на npocTOpi функщй обмежено1 вариацп,
Киев, Учен. зап. пед. ин-та, 2 A939), 17—23.
Гросберг Ю. И. иКрейн М. Г.
1. О разложении линейного функционала на положительные составляю-
составляющие, ДАН СССР, 25 A939), 721—724.
Гротендик (Grothendieck A.)
1. Criteres generaux de compacite dans les espaces vectoriels, localement
convexes. Pathologie des espaces (LF), С R. Acad. Sci. Paris, 231 A950),
940—941.
2. Criteres de compacite dans les espaces fonctionels generaux, Amer. J.
Math., 74 A952), 168—186.
3. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Memoirs, Amer.
Math. Soc, No. 16, 1955.
4. Sur les applications lineaires faiblement compacted d'espaces du type
С (/С), Canadian J. Math., 5 A953), 129—173.
5. Sur certains espaces de fonctions holomorphes, I, II,
I. /. Reine Angew. Math., 192 A953), 35—64.
II. Там же, 192 A953), 77—95.

Библиография 795
6*. Sur les espaces (F) et (DF), Summa Bras. Math., 3 A954), 57—123.
(Есть русский перевод; Математика, 2: 3 A958), 81 —127.)
7*. La theorie de Fredholm, Bull. Soc Math. France, 84 A958), 319—384.
(Есть русский перевод: Математика, 2 : 5 A958), 51 —103.)
Гуднер (Goodner D. В.)
1. Projections in normed linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 69 A950),
89—108.
Гурвиц (Hurwitz W. А.), см. Джиллеспи
Гуревич Л. А.
1. О базисе безусловной сходимости, УМН, 8 : 5 E7), A953), 153—156.
Гуревич (Hurewicz W.)
1. Ergodic theorems without invariant measure, Ann. of Math. B) 45
A944), 192—206.
Гуревич и Вол мэн (Hurewicz W., W a 1 1 m a n H.)
1. Теория размерности, М., ИЛ, 1948 A941).
Далецкий Ю. Л.
1*. Фундаментальные решения операторного уравнения и континуальные
интегралы, Язе. вые. уч. зав., № 3A961), 27—48.
Дайне, см. Московии,
Да нем (Dunham J. L.)
I. The Wentzel—Brillouin—Kramers method of solving the wave equation,
Phys. Rev., 41 A932), 713—720.
2. Theenergy levelsofa rotating vibrator, Phys. Rev.,4\ A932), 721—731.
Даниель (D a n i e 1 1 P. J.)
1. A general form of integral, Ann. of Math. B) 19 A917—1918), 279—294.
Данфорд (Dunford N.), см. также Бартл и Л. К о э н
1. Uniformity in linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 44 A938),
305—356.
2. Direct decompositions of Banach spaces, BoL Soc. Mat. Mexicana,
3 A946), 1 — 12.
3. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations,
Ada Sci. Math. Szeged, 14 A951), 1—4.
4. Integration in general analysis, Trans. Amer. Math. Soc, 37 A935),
441—453.
5. On continuous mappings, Ann. of Math. B), 41 A940), 639—661.
6. Spectral theory, Bull. Amer. Math. Soc, 49, A943), 637—651.
7. Spectral theory I, Convergence to projections, Trans. Amer. Math.
Soc, 54 A943), 185—217.
8. Integration and linear operations, Trans. Amer. Math. Soc, 40 A936),
474—494.
9. A mean ergodic theorem, Duke Math. J., 5 A939), 635—646.
10. On a theorem of Plessner, Bull. Amer. Math. Soc, 41 A935), 356—358.
II. An ergodic theorem for п-parameter groups, Proc Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 25 A939), 195—196.
12. On one parameter groups of linear transformations, Ann. of Math.
B) 39 A938), 569-573.
13. Resolution of the identity for commutative B*- algebras of operators,
Ada Sci. Math. Szeged, 12 Pars В A950), 51—56.
14. Spectral theory in abstract spaces and Banach algebras, Proc. Sympo-
Symposium on Spectral Theory and Differential Problems A951), 1—65. Okla-
Oklahoma Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.
15. Spectral theory, Proc. Symposium on Spectral Theory etc. A951), 203—
208.
16. The reduction problem in spectral theory, Proc. International Con-
Congress Math., Cambridge, Mass., 1950, Vol. 2, 115 — 122.
17. Spectraltheory. II. Resolutions of the identity, Pacific J. Math., 2
A952), 559—614.

796 Библиография
18. Spectral operators, Pacific J. Math., 4 A954), 321—354.
19*. A survey of the theory of spectral operators, Bull. Amer. Math. Soc9
64, No. 5 A958), 217—274. (Есть русский перевод: Математика* 4 : 1
A960), 53—100.)
Данфорд и Миллер (Dunford N., Miller D. S.)
1. On the ergodic theorem, Trans. Amer. Math. Soc, 60 A946), 538— 549.
Данфорд и Морс (Dunford N., Morse A. P.)
1. Remarks on the preceding paper of James A. Clarkson, Trans. Amer.
Math. Soc, 40 A936), 415—420.
Данфорд и Петтис (Dunford N., P e t t i s B. J.)
1. Linear operations on summable functions, Trans. Amer. Math. Soc,
47 A940), 323—392.
Данфорд и Сигал (Dunford N., Segal I. E.)
1. Semi-groups of operators and the Weierstrass theorem, Bull. Amer.
Math. Soc, 52 A946), 911—914.
Данфорд и Стоун (Dunford N., Stone M. H.)
1. On the representation theorem for Boolean algebras, Revista Ci. Lima,
43 A941), 447—453.
Данфорд и Тамаркин (Dunford N., Tamarkin J. D.)
1. A principle of Jessen and general Fubini theorems, Duke Math., J., 8,
A941), 743—749.
Данфорд и Шварц (Dunford N., Schwartz J.)
1. Convergence almost everywhere of operator averages, Proc. Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 41 A955), 229—231.
2. Convergence almost everywhere of operator averages, J. Rational
Mech. and Anal., 5 A956), 129—178.
Данциг (van Dantzig D.)
1. Zur topologischen Algebra, I. Math. Ann., 107 A932), 587—626.
2. Einige Satze uber topologische Gruppen, Jber Deutsch. Math. Verein.,
41 A932), 42—44.
Лаукер (Dowker Y. N.)
1. Finite and a-finite invariant measures, Ann. ol Math. B) 54, A951),
595—608.
2. A new proof of the general ergodic theorem, Ada Sci. Math. Szeged
[2 Pars В A950), 162—166.
3. A note on the ergodic theorem, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949),
379—383.
Дворецкий и Роджерс (Dvoretzky A., Rogers С. А.)
1. Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 36 A950), 192—197.
Девинац, Нусбаум и Д ж. Нейман (Devinatz А., N u s-
s b a u m A. t,., von Neumann J.)
1. On the permutability of self-adjoint operators, Ann. ol Math. B) 62
A955), 199—203.
Дейвис Г. (D a v i s H. T.)
1. The theory of linear operators, Principia Press, Bloomington» Indiana,
1936.
Дейвис Р. (Davies R.)
1. Expansions in series of non-orthogonal eigenfunctions, Industr. Math.,
4 A953), 9—16.
Джеймс (James R. C.)
1. Orthogonality in normed linear spaces, Duke Math. J.t 12 A945),
291—302.
2. Orthogonality and linear functional in normed linear spaces, Trans.
Amer. Math. Soc, 61 A947), 265—292.
3. Inner products in normed linear spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 53
A947), 559—566.

Библиография 797
4. Bases and reflexivity of Banach spaces, Ann. of Math. B) 52 A950),
518—527.
5. A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space,
Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A., 37 A951), 174—177.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Lectures in abstract algebra. I. Basic Concepts. II. Linear algebras.
D. van Nostrand, New York, 1951, 1953.
Джексон (Jackson D.)
1. Algebraic properties of self-adjoint systems, Trans. Amer. Math. Soc,
17 A916), 418—424.
Джемисон (Jamison S. L.)
1. Perturbation of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc, 5 A954),
103—110.
2. On analytic normal operators, Proc. Amer. Math. Soc, 5 A954), 288—
290.
Д ж е р и с о н (J e r i s о n M.)
1. Characterizations of certain spaces of continuous functions, Trans.
Amer. Math. Soc, 70 A951), 103—113.
2. A property of extreme points of compact convex sets, Proc. Amer.
Math. Soc, 5 A954), 782—783.
Джиллеспи иГурвиц (Gillespie D. С, HurwitzW. A.)
1. On sequences of continuous functions having continuous limits, Trans.
Amer. Math. Soc, 32 A930), 527—543.
Джон (John F.)
1. The fundamental solution of linear elliptic differential equations with
analytic coefficients, Comm. Pure Appl. Math., 3 A950), 273—304.
2. General properties of solutions of linear elliptic partial differential equa-
equations. Proc. Symposium Spectral Theory and Differential Problems,
113—175. Oklahoma Agricultural and Mechanical College, Stillwater,
Oklahoma, 1951.
Джорджи (Giorgi G.)
1. Nuove osservazioni sulle funzioni delle matrici, Atti Accad. Naz. Lin-
cei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. F) 8 A928), 3—8.
Диксмье (Dixmier J.)
1. Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs applications,
Ada Sci. Math. Szeged 12 Pars A A950), 213—227.
2. Les fonctionnelles lineaires sur Tensemble des operateurs bornes d'un
espace de Hilbert, Ann. of Math. B) 51 A950), 387—408.
3. Sur certains espaces consideres par M. H. Stone, Summa Brasil. Math.,
2 A951), 151 — 182.
4. Sur un theoreme de Banach, Duke Math. J.t 15 A948), 1057—1071.
5. Les algebres d'operateurs dans l'espace hilbertien, Gauthiers-Villars,
Paris, 1957.
6. Sur une inegalite de E. Heinz, Math. Ann., 126 A953), 75—78.
7. Sur les bases orthonormales dans les espaces prehilbertiens, Acta Sci.
Math. Szeged, 15 A953), 29—30.
Диксон (D i x о n A. C.)
1. On a class of expansions in oscillating functions, Proc. London Math.
Soc B) 3 A905), 83—103.
Д и н и (D i n i U.)
1. Fonamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, Pisa A878).
Дирак (D i г а с Р. А. М.)
1. Основы квантовой механики, М., Гостехиздат, 1960A935)..
Д и т к и н В. А.
1. Исследование строения идеалов в некоторых нормированных кольцах,
М., Учен. зап. ун-та, 30 A939), 83—130.

798 Библиография
Дойль (Doyle Т. С.)
1. Invariant theory of general ordinary, linear, homogenous, second
order differential boundary problems, Duke Math. J.> 17 A950),
249—261.
Д о н о г ю и С м и т (D о п о g h u e W. F., S m i t h К. Т.)
1. On teh symmetry and bounded closure of locally convex spaces, Trans.
Amer. Math. Soc, 73 A952), 321—344.
Дородницын А. А.
1. Асимптотические законы распределения собственных значений для
некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго по-
порядка, УМН, 7, вып. 6 E2), A952), 3—96.
Дрезден (Dresden A.)
1. Solid analytical geometry and determinants, H. Holt Co., New York,.
1930.
Дуб (Doob J. L.), см. также К у п м е н
1. The law of large numbers for continuous stochastic processes, Duke
Math. J., 6 A940), 290—306.
2. Stochastic processes with an integral-valued parameter, Trans. Amer.
Math. Soc, 44 A938), 87—150.
3. Asymptotic properties of Markoff transition probabilities, Amer. Math.
Soc, 63 A948), 393—421.
4. Вероятностные процессы, М., ИЛ, 1956 A953).
Дубровский В. М.
1. О некоторых свойствах вполне аддитивных функций множества и их
применении к обобщению одной теоремы Н. Lebesgue'a, Матем. сб.г.
20 F2), A947), 317—330.
2. О базисе семейства вполне аддитивных функций множества и о свой-
свойствах равномерной аддитивности и равностепенной непрерывности,
ДАН СССР, 58 A947,) 737—740.
3. О свойствах абсолютной непрерывности и равностепенной непрерыв-
непрерывности, ДАН СССР, 63 A948), 483—486.
4. О равностепенно суммируемых функциях и о свойствах равномерной
аддитивности и равностепенной непрерывности семейства вполне
аддитивных функций множества, Изв. АН СССР, сер. матем., 13
A949), 341—356.
5. О свойстве равностепенной непрерывности семейства вполне аддитив-
аддитивных функций множества относительно собственного и несобственного»
базисов, ДАН СССР, 76 A951), 333—336.
6. Об одном свойстве формулы Никодима, ДАН СССР, 85 A952), 693—
696.
7. О некоторых условиях компактности, Изв. АН СССР, сер. матем.,
12 A948), 397—410.
Дугунджи (Dugundji J.)
1. An extension of Tietze's theorem, Pacific J. Math., 1 A951), 353—367.
Дьёдонне (Dieudonne J.)
1. Sur le theoreme de Hahn —Banach, Rev. Sci., 79 A941), 642—643.
2. Sur la separation des ensembles convexes dans un espace de Banach,
Rev. Sci., 81 A943), 277—278.
3. La dualite dans les espaces vectoriels topologiques, Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. C) 59 A942), 107—139.
4. Sur le theoreme de Lebesgue—Nikodym, Ann. of Math. B) 42 A941),
547—555.
5. Sur le theoreme de Lebesgue—Nikodym, II. Bull. Soc. Math. France,
72 A944), 193—239; исправ. там же, 74 A946), 66—68.
6. Complex structures on real Banach spaces, Proc. Amer. Math. Socr
3 A952), 162—164.

Библиография 799
7. Sur les espaces de Kothe, /. Analyse Math., I A951), 81 — 115.
8. Natural homomorphisms in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc.t
1 A950), 54—59.
9. Sur le theoreme de Lebesgue—Nikodym, IV, /. Indian Math. Soc
(N.S.), 15 A951), 77—86.
10. Sur le theoreme de Lebesgue—Nikodym, V, Canadian J. Math., 3
A951), 129—139.
11. Sur la convergence des suites de mesures de Radon, Anais Acad. Bra-
sil. CL, 23 A951), 21—38, 277—282.
12. Sur un theoreme de Jessen, Fund. Math., 37 A950), 242—248.
13. Recent developments in the theory of locally convex vector spaces,
Bull. Amer. Math. Soc, 59 A953), 495—512.
14. Sur le theoreme de Lebesgue—Nikodym. III. Ann. Inst. Fourier Gre-
Grenoble, 23 A947—1948), 25—53.
15. Sur un theoreme de Smulian, Arch. Math., 3 A952), 436—440.
16. On biorthogonal systems, Michigan Math. /., 2 A954), 7—20. [Есть
русский перевод: Математика, 3 : 4 A959), 133—145.]
17. Sur le produit de composition, Compositio Math., 12 A954), 17—34.
18. Bounded sets in (F)-spaces, Proc. Amer. Math. Soc, 6 A955), 729—731.
19. Sur la bicommutante d'une algebre d'operateurs, Portugaliae Math.,
14 A955), 35—38.
20. Sur la theorie spectrale, J. Math. Pures Appl. (9) 35 A956), 175—187.
21. Champs de vecteurs non localement triviaux, Archiv des Math., 7 A956),
6—10.
Дьедонне и Гомес (Dieudonne J., Gomes A. P.)
1. Sur certains espaces vectoriels topologiques, C.R. Acad. Sci. Paris>
230 A950), 1129—1130.
Дьедонне и Шварц (Dieudonne J., Schwartz L.)
1. La dualite dans les espaces (F) et (LF), Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 1
A950), 61—101. [Есть русский перевод: Математика, 2 : 2 A958),
77-117.]
Д ы н к и н Е. Б.
1*. Марковские процессы и связанные с ними задачи анализа, УМН, 15:2
A960), 3—24.
Дэ й (Day М. М.)
1. The space L'P with 0<р<1, Bull. Amer. Math. Socf 46 A940), 816—823.
2. A property of Banach spaces, Duke Math., J., 8 A941), 763—770.
3. Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces,
Bull. Amer. Math. Soc, 47 A941), 313—317.
4. Some more uniformly convex spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 47 A941),
504—517.
5. Uniform convexity, III, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A943), 745—750.
6. Uniform convexity in factor and conjugate spaces, Ann. of Math.,
45 A944), 375—385.
7. Some characterizations of inner-product spaces, Trans. Amer. Math.
Soc, 62, 320—337 A947).
8. Means for the bounded functions and ergodicity of the bounded repre-
representations of semi-groups, Trans. Amer. Math. Soc, 69 A950), 276—
291.
9. Operations in Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 51 A942),
583—608.
10. Ergodic theorems for abelian semi-groups, Trans. Amer. Math, Soc,
51 A942), 399—412.
11. Strict convexity and smoothness of normed spaces, Trans. Amer. Math.
Soc, 78 A955), 516—528.
12*. Линейные нормированные пространства, М., ИЛ., 1961.

S00 Библиография
Жордан (Jordan G.)
1. Sur la serie de Fourier, C.R. Acad. Sci. Paris, 92 A881), 228—230.
Ж ю л и a (Julia G.)
1. Sur les racines carrees hermitiennes d'un operateur hermitien positif
donne, C.R. Acad. Sci. Paris, 222 A946), 707—709.
2. Remarques sur les racines carrees hermitiennes d'un operateur hermitien
positif borne, C. R. Acad. Sci. Paris, 222 A946), 829—832.
3. Sur la representation spectrale des racines hermetiennes d'un operateur
hermitien positif donne, С R. Acad. Sci. Paris, 222 A946), 1019—1022.
4. Sur les racines carrees self-adjoint d'un operateur self-adjoint positif
non borne, С R. Acad. Sci. Paris, 222 A946), 1061 — 1063.
5. Sur les racines ^lemes hermetiennes d'un operateur hermitien donne,
C. R. Acad. Sci. Paris, 222 A946), 1465—1468.
6. Determination de toutes les racines carrees d'un operateur hermitien
borne quelconque, I, II.
I. С R. Acad. Sci. Paris, 227 A948), 792—794.
II. Там же, 227 A948), 931—933.
7. Introduction mathematique aux theories quantiques, Paris, 1938.
Заанен (Zaanen А. С), см. также В и с с е р
1. On a certain class of Banach spaces, Ann. of Math. B), 47 A946), 654—
666.
2. Integral transformations and their resolvents in Orlicz and Lebesgue
spaces, Compositio Math., 10 A952), 56—94.
3. Normalisable transformations in Hilbert space and systems of linear in-
integral equations, Ada Math., 83 A950), 197—248.
4. Note on a certain class of Banach spaces, Nederl. Akad. Vetensch. Proc7
52 A949), 488—499.
5. Linear analysis. P. Noordhoff, Groningen, and Interscience Pub., New
York, 1953.
6. Characterization of a certain class of linear transformations in an arbi-
arbitrary Banach space, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 54, A951),
87-93.
7. Ober vollstetige symmetrische und symmetrisierbare Operatoren,
Nieuw Arch. Wiskunde B) 22 A943), 57—80.
8. On the theory of linear integral equations, I. Nederl, Akad. Wetensch.
Proc, 49 A946), 194—204.
9. On linear functional equations, Nieuw Arch. Wiskudne B) 22 A948),
269—282.
Зальцвассер (Zalwasser Z.)
1. Sur une propriete du champ des fonctions continues, Studia Math.,,
2 A930), 63—67.
Зейдель (S e i d e 1 Ph. L.)
1. Note fiber eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuierliche Fun-
ctionen darstellen, Abhandlungen der Bayerischen. Akad. der Wiss.
Munchen, 5 A847—1848), 379—393.
3 e й ф е р т (Seifert G.)
1. A third order boundary value problem arising in aeroelastic wing theory.
Quart. Appl. Math., 9 A951), 210—218.
2. A third order irregular boundary value problem and the associated
series, Pacific J. Math., 2 A952), 395—406.
3 e й ц (S e i t z F.)
1. The modern theory of solids, New York, 1940.
Зигмунд (Zygm u n d А.), см. также Кальдерон, Пэли,
Салем и Тамаркин
1. Тригонометрические ряды, М. —Л., 1939.
2. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations,
Ada Sci. Math. Szeged, 14 A951), 103—110.

Библиография 801
3. On a theorem of Paley, Proc. Cambridge Phil. Soc, 34 A938), 125—133.
4. On the convergence and summability of power series on the circle of con-
convergence (I). Fund. Math., 30 A938), 171—196.
Зильберштейн (S i 1 b e г s t e i n J. P. O.)
1. On eigenvalues and singular values of compact linear operators in Hil-
bert space, Proc. Cambridge Philos. Soc, 49 A953), 201—212.
И вата (Iwata G.)
1. Non-hermitian operator and eigenfunction expansions, Progress Theoret.
Phys., 6 A951), 216—226.
И д з у м и (Izumi S.)
l.'On the bilinear functional, Tohoku Math. J., 42 A936), 195—209.
2. On the compactness of a class of functions, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
15 A939), 111 — 113.
3. Lebesgue integral in the abstract space, Jap. J. Math., 13 A936), 501 —
513.
4. Notes on Banach space, I. Differentiation of abstract functions, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 18 A942), 127—130.
Идзуми и Суноути (Izumi S.,Sunouchi G.)
1. Notes on Banach space (VI): Abstract integrals and linear operations,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19 A943), 169—173.
И й e p (Iyer V. G.)
1. On the space of integral functions, I—III.
I. /. Indian Math. Soc. B) 12 A948), 13—30.
II. Quart. J. Math. {Oxford) B) 1 A950), 86—96.
III. Proc. Amer. Math. Soc, 3 A952), 874—883.
Инаба (Inaba M.)
1. A theorem on fixed points and its application to the theory of differen-
differential equations, Kumamoto. J. Sci. Ser. A, 1, No. 1 A952), 13—16.
I'l н г л т о н (I n g 1 e t о n A. W.)
1. The Hahn—Banach theorem for non-Archimedean valued fields,
Proc. Cambridge Philos. Soc, 48 A952), 41—45.
Инфельд (I n f e 1 d L.)
1. On a new treatment of some eigenvalue problems, Phys. Rev. B) 59
A941), 737—747.
Инфельд и Хал (I n f e 1 d L, H u 1 1 Т.Е.)
1. The factorization method, Rev. Mod. Phys., 23 A951), 21—68.
И о песку и Маринеску (Ionescu Tulcea С. Т., М а г i-
nescu G.)
1. Theorie ergodique pour des classes d'operations non completement con-
continues, Ann. of Math. B), 52 A950), 140—147.
И о с и д a (Y о s i d а К.)
1. On vector lattices with a unit, Proc Imp. Acad. Tokyo, 17 A941), 121 —
124.
2. Vector lattices and additive set functions, Proc Imp. Acad. Tokyo,
17 A941), 228—232.
3. On the unitary equivalence in general Euclidean space, Proc Japan
Acad., 22 A946), 242—245. ¦ "
4. Mean ergodic theorem in Banach spaces, Proc Imp. Acad. Tokyo, 14
A938), 292—294.
5. Ergodic theorems of Birkhoff—Khintchine's type, Jap. J. Math.,
17 A940), 31—36.
6. An abstract treatment of the individual ergodic theorem, Proc Imp.
Acad. Tokyo, 16 A940), 280—284.
7. On the group embedded in the metrical complete ring, Jap. J. Math.y
13 A936), 7—26.
8. On the differentiability and the representation of one-parameter semi-
semigroups of linear operators, J. Math. Soc Japan, 1 A948), 1-5—21.
51 3;:каз № 1324

802 Библиография
9. The Markoff process with a stable distribution, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
16 A940), 43—48.
10. On Titchmarsh—Kodaira's formula concerning Weyl—Stone's eigen-
function expansion, bJagoya Math. J., 1 A950), 49—58. Исправ. там
же, 6 A953), 187—188.
11. On the theory of spectra, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 A940), 378—383.
12. Normed rings and spectral theorems, I—VI.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19 A943), 356—359.
II. Там же, 19 A943), 466—470.
III. Там же, 20 A944), 71—73.
IV. Там же, 20 A944), 183—185.
V. Там же, 20 A944), 269—273.
VI. Там же, 20, A944), 451—453.
Иосида и Какутани (Yosida К., К a k u t a n i S.)
1. Birkhoff's ergodic theorem and the maximal ergodic theorem, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 15 A939), 165—168.
2. Operator-theoretical treatment of Markoff process and mean ergodic
theorem, Ann. of Math. B) 42 A941), 188—228.
Иосида, Мимура и Какутани (Yosida K.,Mimura Y.,
К a k u t a n i S.)
1. Integral operator with bounded kernel, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 14
A938), 359—362.
Иосида и Накаяма (Yosida К., Nakayama Т.)
1. On the semi-ordered ring and its application to the spectral theorem,
I, II.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 A942), 555—560.
II. Там же, 19 A943), 144 — 147.
Иосида и Фукамия (Yosida К., F u k a m i у а М.)
1. On regularly convex sets, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 17 A941), 49—52.
Иосида и Хьюит (Yosida К., Hewitt E.)
1. Finitely additive measures, Trans. Amer. Math. Soc, 72 A952), 46—66.
Йессен (Jessen В.). См. также Спарре Андерсен
1. The theory of integration in a space of an infinite number of dimensions,
Ada Math., 63 A934), 249—323.
2. Bidrag til Integralteorien for Funktioner af unendlig mange Variable.
Copenhagen, 1930.
Йордан и Дж. Нейман (Jordan P., von Neumann J.)
1. On inner products in linear, metric spaces, Ann. of Math. B), 36 A935),
719—723.
Й о с т (J о s t R.), см. также Ньютон
1. Bemerkungen zur mathematischen Theorie der Zahler, Helvetica Phys.
Ada, 20 A947), 173—182.
Йост и К он (J os t R., К о h n W.)
I. Construction of a potential from a phase shift, Phys. Rev., 87 A952),
977—992.
Йост и Пейс (J о s t R., P a i s A.)
1. On the scattering of a particle by a static potential, Phys. Rev., 82
A951), 840—851.
Какутани (Kakutani S.), см. также Андзаи, Бонен-
блуст и Иосида
1. Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit iiber konvexe Mengen, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 13 A937), 93—94.
2. Weak topology and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad.
Tokyo, 15 A939), 169 — 173.
3. Weak topology, bicompact set and the principle of duality, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 16 A940), 63—67.

Библиография 803
4. Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 14 A938), 242—245.
5. Topological properties of the unit sphere of a Hilbert space, Proc
Imp. Acad. Tokyo, 19 A943), 269—271.
6. Some characterizations of Euclidean spaces, Jap. J. Math., 16 A939),.
93—97.
7. Mean ergodic theorems in abstract (L) spaces, Proc. Imp. Acad. TokyoY
15 A939), 121 — 123.
8. Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic
theorem, Ann. of Math. B), 42 A941), 523—537.
9. Concrete representation of abstract (M)-spaces. (A characterization
of the space of continuous functions), Ann. of Math. B) 42 A941),
994 — 1024.
10. Ergodic theory, Proc. International Congress Math. Cambridge, Mass,
2 A950), 128 — 142.
11. A proof of Schauder's theorem, J. Math. Soc. Japan, 3 A951), 228—231.
12. Uber die Metrisation der topologischen Gruppen, Proc. Imp. Acad.
Tokyo, 12 A936), 82—84.
13. Iteration of linear operations in complex Banach spaces, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 14 A938), 295—300.
14. Notes on infinite product measure spaces, I, II.
I. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19 A943), 148—151.
II. Там же, 19 A943), 184—188.
15. An example concerning uniform boundedness of spectral measures,
Pacific J. Math., 4 A954), 363—372.
16. Ergodic theorems and the Markoff process with a stable distribution,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 A940), 49—54.
17. On the uniqueness of Haar's measure, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 14
A938), 27—31.
18. A proof of the uniqueness of Haar's measure, Ann. of Math. B) 49
A948), 225—226.
19. On the uniform ergodic theorem concerning real linear operations,
Jap. J. Math., 17 A940), 5—12.
20. Some results in the operator-theoretical treatment of the Markoff
process, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 15 A939), 260—264.
21. Simultaneous extension of continuous functions considered as a posi-
positive linear operation, Jap. J. Math., 17 A940), 1—4.
22. Weak convergence in uniformly convex spaces, Tohoku Math. J., 45
A938), 188—193.
23. Rings of analytic functions. Lectures on functions of a complex vari-
variable, pp. 71, 83, Ann Arbor, 1955.
Какутани и Кодаира (Kakutani S., Kodaira K.)
1. Ober das Haarsche Mass in der lokal bikompakten Gruppe, Proc. Imp.
Acad. Tokyo, 20 A944), 444—450.
Какутани и Макки (Kakutani S., Mac key G. W.)
1. Two characterizations of real Hilbert space, Ann. of Math. B) 45 A944),
50—58.
К а л к и н (Calkin J. W.)
1. Abstract symmetric boundary conditions, Trans. Amer. Math. Soc.
45 A939), 369—442.
2. Two sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in
Hilbert space, Ann. of Math. B) 42 A941), 839—873.
3. Symmetric transformations in Hilbert space, Duke J. Math., 7 A940),
504—508.
К а л л e p (Kuller R. G.)
1. Locally convex topological vector lattices and their representations,
Dissertation, Univ. of Michigan, 1955.
51 *

804 Библиография
Кальдерой (Calderon A. P.)
1. A general ergodic theorem, Ann. of Math. B) 58 A953), 182—191.
Кальдерой и Зигмунд (Calderon A. P., Zygmund A.)
1. A note on the interpolation of linear operations, Studia Math., 12 A951),
194—204.
2. On the theorem of Hausdorff — Young and its applications. Contribu-
Contributions to Fourier Analysis, 166 — 188. Ann. of Math. Studies, No. 2o,
Princeton Univ. Press A950).
3. A note on the interpolation of sublinear operations, Amer. J. Math.,
78 A956), 282—288.
4. On the existence of certain singular integrals, Ada Math., 88 A952),
85 — 139.
5. On singular integrals, Amer. J. Math., 78 A956), 289—309.
6. Algebras of certain singular operators, Amer. J. Math., 78 A956),
310—320.
Камерон (Cameron R. H.)
1. A «Simpson's Rule» for the numerical evaluation of Wiener's integrals
in function space, Duke Math. J., 18 A951), 111 — 130.
2. The first variation of an indefinite Wiener integral, Proc. Amer. Math.
Soc, 2 A951), 914—924.
3. The generalized heat flow equation and a corresponding Poisson for-
formula, Ann. of Math. B) 59 A954), 434—462.
Есть русский перевод: Математика, 2:1 A958), 101 — 130.
4. Some examples of Fourier — Wiener transforms of analytic functio-
nals, Duke Math. J., 12 A945), 485—488.
5. The translation pathology of Wiener space, Duke Math. J., 21 A954),
623—627.
Камерон и Грейвс (Cameron R. H., Graves R. E.)
1. Additive functionals on a space of continuous functions. I, Trans.
Amer. Math. Soc, 70 A951), 160—176.
Камерон, Линдгрен и Мартин (Cameron R. H., Lind-
gren В. W., Martin W. T.)
1. Linearization of certain non-linear functional equations, Proc. Amer.
Math. Soc, 3 A952), 138—143.
Камерон и Мартин (Cameron R. H., Martin W. T.)
1. An expression for the solution of a class of non-linear integral equations,
Amer. J. Math., 66 A944), 281—298.
2. The orthogonal development of non-linear functionals in series of Fou-
Fourier — Hermite functionals, Ann. of Math. B) 48 A947), 385—392.
3. The transformation of Wiener integrals by non-linear transformations,
Trans. Amer. Math. Soc, 66 A949), 253—283.
4. Non-linear integral equations, Ann. of Math. B) 51 A950), 629—612.
5. Transformations of Wiener integrals under a general class of linear
transformations, Trans. Amer. Math. Soc, 58 A915), 184—219.
6. Evaluation of various Wiener integrals by use of Sturm — Liouville
differential equations, Bull. Amer. Math. Soc, 51 A945), 73—90.
7. Transformations of Wiener integrals under translations, Ann. of Math.
B) 45 A944), 386—396.
8. The Wiener measure of Hilbert neighborhoods in the space of real
continuous functions, J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech., 23 A944),
195—209.
9. Fourier-Wiener transforms of analytic functionals, Duke Math. J., 12
A945), 489—507.
Камерон и Фейган (Cameron R. H., Fagan R. E.)
1. Non-linear transformations of Volterra type in Wiener space, Trans.
Amer. Math. Soc, 75 A953), 552—575.

Библиография 805
Камерон и Хетфилд (Cameron R. H., Hatfiela С.)
1. Summability of certain orthogonal development of non-linear functio-
nals, Bull. Amcr. Math. Soc, 55 A949), 130—145.
2. Summability of certain series for unbounded non-linear functionals,
Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 375—387.
Камерон и Шапиро (Cameron R. H., Shapiro J. M.)
1. Non-linear integral equations, Ann. of Math. B) 62 A955), 472—497.
Камке (Kamke E.)
1. Mengenlehre. W. de Gruyter, Berlin and Leipzig, 1928.
2. Neue Herleitung der Oszillationsatze fur die linearen selbstadjugierten
Randwertaufgaben zweiter Ordnung, Math. Zeit., 44 A938), 635—638.
К а м п е н (van Kampen E. R.)
1. Locally bicompact groups and their character groups, Ann. of Math.
B), 36 A935), 448—463.
Канторович Л. В., см. также Фихтенгольц Г. М.
1. Lineare halbgeordnete Raurne, Машем, сб., 2 D4), A937), 121 — 168.
2. The method of successive approximations for functional equations,
Ada Math., 71 A939), 63—97.
3. Linear operations in semi-ordered spaces, I, Машем, сб., 7 D9), A940),
209—284.
4. Общие формы некоторых классов линейных операций, ДАН СССР,
3 A936), 101—106.
Канторович Л. В. и Вулих Б. 3.
1. Sur la rep'esentation des operations lineaires, Compositio Math., 5
A938), 119—165.
2. Sur un theoremedeM. N. Dunford, Compositio Math., 5A938), 430—432.
Канторович Л. В., Вулих Б. 3. и Пинскер А. Г.
1. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. Гос-
техиздат, М.—Л., 1950.
2. Полуупорядоченные группы и линейные полуупорядоченные про-
пространства, УМН, 6:3 D3), A951), 31—98.
К а п л а н с к и й (Kaplansky I.), см. также Арене
1. The structure of certain operator algebras, Trans. Amer. Math. Soc.r
70, A951,, 219—255.
2. The Weierstrass theorem in fields with valuations, Proc. Amer. Math.
Soc, 1 A950), 356—357.
3. Lattices of continuous functions, I, II.
I. Bull. Amer. Math. Soc, 53 A947), 617—623.
II. Amer. J. Math., 70 A918), 626—634.
4. Topological rings, Bull. Amer. Math. Soc, 54 A948), 809—823.
5. Primary ideals in group algebras, Proc Nat. Acad. Set. U. S. A., 15
A949), 133—136.
6. Products of normal operators, Duke Math. /., 20 A953), 257—26b
7. A theorem on rings of operators, Pacific J. Math., 1 A951), 227—232.
Карасева Т. М.
1. Об обратной задаче Штурма — Лиувилля для неэрмитова оператора,
Матем. сб., 32 G4), A953), 477—484.
Кар атеодор и (Caratheodory С.)
1. Vorlesungen uber reelIe Funktionen. 2-е изд. Teubner, Leipzig, 1927.
1-е изд. Teubner, Berlin und Leipzig, 1918.
2. Bemerkungen zur Riesz — Fischerschen Satz und zur Ergodentheorie,
Abb. Math. Sem. Hansischen Univ., 14 A941), 351—389.
Карлеман (Carleman T.)
1. Sur les equations integrates singulieres a novau reel et symetrique.
Almquist and Wiksells, Uppsala, 1923.
2. Zur Theorie der linearen Integralgleichungen, Math. Zeit., 9 A921)
196—217.

806 Библиография
3. Ober die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partiellen Differen-
tialgleichungen, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Nat.
/(/., 88 A936), 119—132.
К а р л и н (Karlin S.)
1. Unconditional convergence in Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc,
54 A948), 148—152.
2. Bases in Banach spaces, Duke Math. J., 15 A948), 971—985.
Картан (Cart an H.)
1. Sur la mesure de Haar, C. R. Acad. Sci. Paris, 211 A940), 759—762.
Картан и Годман (Cartan H., Godement R.)
1. Theorie de la dualite et analyse harmonique dans les groupes abeliens
iocalement compacts, Ann. Ecole Norm. Sup., 64 A947), 79—99.
К а т о (К a t о Т.)
1. On the convergence of the perturbation method, I, II.
I. Progress Theoret. Physics, 4 A949), 514—523.
II. Там же, 5 A950), 96—101, 207—212.
2. On the convergence of the perturbation method, J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo Sect. I, 6 A951), 145—226.
3. Perturbation theory of semi-bounded operators, Math. Ann., 125 A953),
435—447.
4. On the perturbation theory of closed linear operators. J. Math. Soc.
Japan, 4 A952), 323—337.
5. Notes on some inequalities for linear operators, Ma h. Ann., 125 ( 952),
208—212.
6. On some approximate methods concerning the operators T*T, Math.
Ann., 126 A953), 253—262.
7. On the semi-groups generated by Kolmogoroff's differential equations,
J. Math. Soc. Japan, 6 A954), 1—15.
8. On the upper and lower bounds of eigenvalues, J. Phys. Soc. Japan,
4 A949), 334—339.
9*. Integration of the equation of evolution in a Banach space, J. Math.
Soc. Japan, 5 A953), 208—234. Есть русский перевод: Математика,
2:4 A958), 117—135.
Кафиеро (Cafiero F.)
1. Criteri di compattezza per le successioni di funzioni generalmente
a variazione limitata, I, II.
I. Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Math. Nat. (8), A950),
305:311.
II. Там же (8) 8, A950), 450—457.
2. Sugli insiemi compatti di funzioni misurabili negli spazi astratti,
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 20 A951), 48—58.
3. Sulle famiglie di funzioni additive d'insieme, uniformemente continue,
Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 12 A952),
155—162.
4. Sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale di Stieltjes — Le-
besgue negli spazi astratti, con masse variabili con gli integrandi, I, II.
I. Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 14 A953),
488—494.
II. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 22 A953), 223—245.
5. Sulle famiglie compatte di funzioni additive di insieme astratto. Atti
del Quarto Congresso dell'Unione Mat. Italiana, Taormin, 1951, vol. II,
pp. 30—40. Casa Editrice Perrella, Rome, 1953.
К а ц И. С
1. О гильбертовых пространствах, порождаемых монотонными эрмито-
эрмитовыми матрицами-функциями, Харьк., Зап. мат. об-ва D), 22 A950),
95—113.

Б ибл иография 807
К а ц М. (Кае М.), см. также Э р д ё ш
1. On distributions of certain Wiener functionals, Trans. Amer. Math.
Soc, 65 A949), 1—13.
2. On the average of a certain Wiener functional and a related limit theo-
theorem in the calculus of probability, Trans. Amer. Math. Soc, 59 A946),
401—414.
3. On some connections between probability theory and differential and
integral equations, Proc. Second Berkeley Symposium Math. Statis-
Statistics and Prob., A951), 189—215. (Есть русский перевод: Математика,
1 : 2 A957), 95 — 124.)
Качмаж и Штейнгауз (KaczmarzS., Steinhaus H.)
1. Теория ортогональных рядов, М., Физматгиз, 1958 A935).
К в и г л и (Quigley F. D.), см. X е л ь с о н
i< ей (К а у I.)
1. The inverse scattering problem. Div. Electromag. Res., Inst. Math.
Sci., New York Univ., 1955.
К е й и М о з е с (К а у I., M о s e s H. E.)
1. The determination of the scattering potential from the spectral measure
function, I, // Nuovo Cimento A0) 2 A955), 917—961.
2. The determination of the scattering potential from the spectral mea-
measure function, I—III, Div. of Electromag. Res., Inst. Math., Sci.,
New York Univ., 1955.
Кейдисон (Kadison R. V.)
1. A representation theory for commutative topological algebra, Memoirs
Amer. Math. Soc, No. 7, 1951.
2. Isometries of operator algebras, Ann. of. Math. B) 54 A951), 325—338.
Келдыш М. B.
1. О собственных значениях и собственных функциях некоторых клас-
классов несамосопряженных уравнений, ДАН СССР, 77 A951), 11—14.
Келли (Kelley J. L.), см. также Арене и Фелл
1. Note on a theorem of Krein and Milman, J. Osaka Inst. Sci. Tech.
Part 1, 3 A951), 1—2.
2. Banach spaces with the extension property, Trans. Amer. Math. Soc,
72 A952), 323—326.
3. The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice, Fund.
Math., 37 A950), 75—76.
4. Convergence in topology, Duke Math., J., 17 A950), 277—283.
5. General topology, D. van Nostrand, New York, 1955.
6. Commutative operator algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 38
A952), 598—605.
Келли и Вот (Kelley J. L., V a u g h t R. L.)
1. The positive cone in Banach algebras, Trans. Amer. Math. Soc, 74
A953), 44—55.
Келлог (Kellogg O. D.), см. Б и р к г о ф Дж.
К ем б л (Kemble E. С.)
1. A contribution to the theory of the B. W. K., method, Phys. Rev.,
48 A935), 549—561.
2. Note on the Sturm — Liouville eigenvalue-eigenfunction problem with
singular endpoints, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 19 A933), 710—714.
3. The fundamental principles of quantum mechanics, New York, 1937.
К е м п (Camp В. Н.)
1. Singular multiple integrals, with applications to series, Trans. Amer.
Math. Soc, 14 A913), 42—64.
Кернер (Kerner M.)
1. Abstract differential geometry, Compositio Math., 4 A937), 308—341.
2. Die Differentiate in der allgemeinen Analysis, Ann. of Math. B) 34
A933), 564—572.

?08 Библиография
К ё те (Ко t h e G.)
1. Die Teilraume eines linearen Koordinatenraumes, Math. Ann ,
114 A937), 99—125.
2. Losbarkeitsbedingungen fur Gleichungen mit unendlich vielcn
Unbekannten, J. Reine Angew. Math., 178 A938), 193—213.
3. Erweiterung von Linearfunktionen in linearen Raumen, Math. Ann.,
116 A939), 719—732.
4. Die Quotientraume eines linearen vollkommenen Raumes, Math. Z.,
51 A947), 17—55.
5. Die Stufenraume, eine einfache Klasse linearer vollkommenen Raumc,
Math. Z., 51 A948), 317—345.
6. Eine axiomatische Kennzeichnung der linearen Raume von Typus (o.
Math. Ann., 120 A949), 634—649.
7. Uber die Vollstandigkeit einer Klasse lokalkonvexer Raume, Math. Z.,
52 A950), 627-630.
8. Uber zwei Satze von Banach, Math. Z., 53 A950), 203—209.
9. Neubegrundung der Theorie der vollkommenen Raume, Math. Nachr.,
4 A951), 70—80.
10. Funktionalanalysis, Integraltransformationen. Naturforschung und
Medizin in Deutschland, 1939—1946, Band 2, 85—98. Dieterich'sche
Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden, 1948.
Кете и Теплиц (Kothe G., Toeplitz O.)
i. Lineal с Raume mit unendlichvielen Koordinaten, J. Reine Angew
Math., 171 A934), 193—226.
Кил п.и (К i 1 p i Y.)
1. Uber lineare normale Transformationen im Hilbertschen Raum, Ann.
Acad. Sci., Fennicae, Ser. A 1, No. 154 A953), 38.
Киносита (Kinoshita S.)
1. On essential components of the set of fixed points, Osaka Math. J.,
4 A952), 19—22.
Кларксон (Clark son J. А.), см. также Адаме
1. Univormly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 40 A936), 396—414.
2. A characterization of C-spaces, Ann. of Math. B) 48 A947), 845—850.
Кларксон и Эрдёш (Clarkson J. A., Erdos P.)
1. Approximation by polynomials, Duke Math. J., 10 A943), 5—11.
Клейнекке (Kleinecke D. C.)
1.4 A generalization of complete continuity. Technical Report No. 3 to
the Office of Ordinance Research, University of California, Berkeley
A954).
2. Degenerate perturbations. Technical Report No. 1 to the Office of Ordi-
Ordinance Research, University of California, Berkeley A953).
3. Finite perturbations and the essential spectrum. Technical Report
No, 4 to the Office of Ordinance Research, University of California,
Berkeley A954).
К л и (К 1 e e V. L., Jr.)
1. The support property of a com ex set in a linear normed space, Duke
Math., J., 15 A948), 767—772.
2. Dense convex sets, Duke Math. J., 16 A949), 351—354.
3. Convex sets in linear spaces, Duke Math. J., 18 A951), 443—466.
4. Convex sets in linear spaces, II, Duke Math. J., 18 A951), 875—
883.
5. Invariant extensions of linear functionals, Pacific J., Math., 4 A954),
37—46.
6. Invariant metrics in groups (Solution of a problem of Banach), Proc.
Amer. Math. Soc, 3 A952), 484—487.
7. Some characterizations of reflexivity, Revista Ci., Lima, 52 A950),
15—23.

Библиография 809
8. Convex bodies and periodic homeomorphisms in Hilbert space, Trans.
Amer. Math. Sac., 74 A953), 10—43.
Клиффорд (Clifford A. H.), см. М а и к а л
К н е з е р (К n e s e r A.)
1. Untersuchungen iiber die reellen Nullstellen der Integrate linearer
Differentialgleichungen, Math. Ann., 42 A893), 409—435.
2. Untersuchungen uber die Darstellung willkurlicher Funktionen in der
mathematischen Physik, Math. Ann., 58 A904), 81 — 147.
3. Beitrage zur Theorie der Sturm — Liouvilleschen Darstellung will-
willkurlicher Funktionen, Math. Ann., 60 A905), 402—423.
4. Die Theorie der Integralgleichungen und die Darstellung willkurlicher
Funktionen in der mathematischen Physik, II, Nachr. Akad. Wiss.
Gottingen. Math.-Phys. Kl. A906), 213—252.
К и о п п (Knopp K.)
1. Theory of functions, I, II. Dover Publications, New York, 1945, 1947.
К об e p ( К о b e r H. A.)
1. A theorem on Banach spaces, Compositio Math., 7 A939), 135—140.
Ковалевский (Kowalewski G.)
1. Einfuhrung in die Determinantentheorie. Second ed., W. de Gruyter,
Berlin and Leipzig, 1925.
Кодаира (Kodaira К.), см. также Какутани
1. On ordinary differential equations of any even order and the correspon-
corresponding eigenfunction expansions, Amer. J. Math., 72 A950), 502—544.
2. On some fundamental theorems in the theory of operators in Hilbert
space, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 15 A939), 207—210.
3. tJber die Beziehung zwischen den Massen und den Topologien in einer
Gruppe, Proc. Phys.-Mat. Soc. Japan C) 23 A941), 67—119.
4. The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the second
order and Heisenberg's theory of S-matrices, Amer. J. Math., 71 A949),
921—945.
5. On singular solutions of second order differential operators, I. II.
I. Sugaku, 7 A948), 177—191.
II. Там же, 2 A948), 113—139. (Японск.).
Коддингтон (Coddington E. A.)
1. On the spectral representation of ordinary self-adjoint differential ope-
operators, Proc. Nat. Acad. Sci.y 38 A952), 732—737.
2. The spectral representation of ordinary self-adjoint differential ope-
operators, Ann. of Math. B) 60 A954), 192—211.
3. A characterization of ordinary self-adjoint differential systems (abstract),
Bull. Amer. Math. Soc, 58 A952), 42.
4. The spectral matrix and Green's function for singular selfadjoint boun-
boundary value problems, Canadian J. Math., 6 A954), 169—185.
Коддингтон и Лев и неон (Coddington E. Д., Levin-
son N.)
1. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, М., ИЛ, 1958
A955).
2. On the nature of the spectrum of singular second order linear differen-
differential operators, Canadian J. Math., 3, A951), 335—338.
3. Perturbations of linear systems with constant coefficients possessing
periodic solutions. Contribution to the theory of non-linear oscilla-
oscillations II, 19—35, Princeton, 1952.
Козлов В. Я.
1. О базисах в пространстве Lo @,1), Машем, сб., 26 F8) A950), 85—102.
2. О одном обобщении понятия базиса, ДАН СССР, 73 A950), 643—646.
Коллац (С о 1 1 a t z L.)
1. Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung. Akademischer
Verlag, Leipzig, 1915.

810 Библиография
Коллинз (Collins H. S.)
1. Completeness and compactness in linear topological spaces, Trans.
Amer. Math. Soc, 79 A955), 256—280.
Колмогоров А. Н., см. также Гельфанд
1. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes,
Studia Math., 5 A934), 29—33.
2. Ober Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mit-
tel, Nachr. Ges. Gottingen Math.-Phys. KL A931), 60—63.
3*. О линейной размерности топологических векторных пространств,
ДАН СССР, 120 A958), 239-241.
4*. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и
автоморфизмов пространств Лебега, ДАН СССР, 119 A958), 861 — 864.
5*. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте авто-
автоморфизмов, ДАН СССР, 124A959), 754—755.
Колмогоров А. Н. и Фомин СВ.
1*. Элементы функционального анализа, изд. МГУ, вып. 1, 1954;
вып. 2, 1960.
Коматудзаки (К о m a t u z a k i H.)
1. Sur les projections dans certains espaces du type (B), Proc. Imp. Acad,
Tokyo, 16 A940), 274—279.
2. Une remarque sur les projections dans certains espaces du type (B), Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 17 A941), 238—240.
К о н (К о h n W.), см. Й о с т
Кордес (Cordes H. O.)
1. Separation des Variablen in Hilbertschen Raumen, Math. Ann., 125
A953), 401—434.
2. Der Entwicklungssatz nach Produkten bei singularen Eigenwertproble-
men partieller Differentialgleichungen, die durch Separation zerfallen,
Nachr. Akad. Gottingen. Math.-Phys. Kl. A954), 51—69.
Костюченко А. Г.—см. Гельфанд.
Костю^енко А. Г. и Скороход А. В.
1. Об одной теореме Н. К. Бари, УМН, 8 : 5 E7), A953), 165—166.
Котл я р (С о t 1 а г М.)
1. On a theorem of Beurling and Kaplansky, Pacific J. Math., 4 A954),
459_465.
Котляр и Рикабарра (Cotlar M., Ricabarra R. A.)
1. On transformations of sets and Koopman's operators, Revista Union
Mat. Argentina, 14 A950), 232—254.
К о ш и (Cauchy A.)
1. Oeuvres, ser. I, t. 12, Gauthier-Villars, Paris, 1900.
2. Oeuvres, ser. II, t. 3, Gauthier-Villars, Paris, 1900.
К оэ н И. (С о h e n I. S.)
1. On non-Archimedean normed spaces, Nederl. Akad. Wetensch., Proc,
51 A948), 693—698.
К оэн Л. (С oh en L. W.)
1. Transformations on spaces of infinitely many dimensions, Ann. of
Math. B) 37 A936), 326—335.
2. On the mean ergodic theorem, Ann. of Math. B) 41 A940), 505—509.
Коэн Л. иДанфорд (Cohen L. W., D u n f о г d N.)
1. Transformations on sequence spaces, Duke Math. J'., 3 A937), 689—701.
Крамер В. (Kramer V. A.)
1. Investigations in asymptotic perturbation series. Dissertation, Univ.
of California at Berkeley, 1954.
2. Asymptotic inverse series. Proc, Amer. Math. Soc, 7 A956), 429—437.
Крамер Г. (Kramer H. R.)
1. Perturbation of differential operators, Dissertation, Univ. of Califor-
California at Berkeley, 1954.

Би б л и ог рафия 811
Крамере (Kramers H. А.)
1. Wellenmechanic und halbzahlige Quantisierung, Zeitschrift fur Phys.,
39 A926), 828—846.
2. Das Eigenwertproblem in eindimensional periodischen Kraftfelde,
Physica, 2 A935), 483—490.
Красносельский М. А., см. также К р е й н М. Г.
1. О некоторых типах расширений эрмитовых операторов, Укр. машем,
ж., 2 A950), 74—83.
2. О самосопряженных расширениях эрмитовых операторов. Укр. машем,
ж., 1 A949), 21—38.
3. О дефектных числах замкнутых операторов, ДАН СССР, 56 A947),
559—562.
4. О расширении эрмитовых операторов с неплотной областью опреде-
определения, ДАН СССР, 59 A948), 13—16.
Красносельский М. А. и Рут и. цкий Я. Б.
1. К теории пространства Орлича, ДАН СССР, 81 A951), 497—
500.
2. Линейные интегральные операторы в пространствах Орлича, ДАН
СССР, 85 A952), 33—36.
3. Дифференцируемость нелинейных интегральных операторов в про-
пространствах Орлича, ДАН СССР, 89 A953), 601—604.
Крачковский С. Н., см. также Гольдман М. А.
1. Каноническое представление нуль-элементов линейного оператора
в его области Фредгольма, ДАН СССР, 88 A953), 201—204.
2. О свойствах линейного оператора, связанных с его обобщенной обла-
областью Фредгольма, ДАН СССР, 91 A953), 1011 — 1013.
3. О расширенной области сингулярности оператора Т^=Е—ХА, ДАН
СССР, 96 A954), 1101 — 1104.
Крачковский С. Н. и Виноградов А. А.
1. Об одном критерии равномерной выпуклости пространства типа (В),
УМН, 7:3 D9), A952), 131 — 134.
Крачковский С. Н. и Гольдман М. А.
1. О главной части вполне непрерывного оператора, ДАН СССР, 70
A950), 945—948.
2. Нуль-элементы и нуль-функционалы вполне непрерывного опера-
оператора, Изв. АН Лашв. ССР, 6 A950), 87—100.
3. Некоторые свойства вполне непрерывного оператора в пространстве
Гильберта, Изв. АН Лашв. ССР, 10 A950), 93—106.
К р е й н М. Г., см. также Ф. Р. Гантмахер и Гросберг.
1. О некоторых вопросах геометрии выпуклых ансамблей, принадле-
принадлежащих линейному нормированному и полному пространству, ДАН
СССР, 14 A937), 5-8.
2. О линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторое
коническое множество, ДАН СССР, 23 A39), 749—752.
3. Основные свойства нормальных конических множеств в простран-
пространстве Банаха, ДАН СССР, 28 A940), 13—17.
4. О минимальном разложении линейного функционала на положи-
положительные составляющие, ДАН СССР, 28 A940), 18—22.
5. О положительных функционалах на почти-периодических функциях,
ДАН СССР, 30 A941), 9—12.
6. Об одном обобщении теоремы Планшереля на случай интегралов
Фурье на коммутативной топологической группе, ДАН СССР, 30
A941), 482—486.
7. Бесконечные ./-матрицы и матричная проблема моментов, ДАН
СССР, 69 A949), 125—128.
8. О формуле следов в теории возмущений, Машем, сб., 33 G5) A953),
597—626.

812 Библиография
9. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмито-
эрмитовых операторов и ее приложения, 1,11
I. Машем, сб., 20 F2), A947), 431—498.
II. Там же, 21 F3), A947), 365—404.
10. О несимметрических осцилляционных функциях Грина обыкновен-
обыкновенных дифференциальных операторов, ДАН СССР, 25 A939), 643 — 646.
11. Об одном общем методе разложения положительно определенных
ядер на элементарные произведения, ДАН СССР, 53 A946), 3—6.
12. Про epMHTOBi onepaTopi з напрямними функцюналами. Сб. трудов
ин-та матем. АН Укр. ССР, 10 A948), 83—106.
13. Об одномерной сингулярной краевой задаче четного порядка в интер-
интервале @, оо), ДАН'СССР, 74 A950), 9 — 12.
14. Решение обратной задачи Штурма — Лиувилля, ДАН СССР, 76
A951), 21-24.
15. О некоторых задачах на -максимум и минимум для характеристических
чисел и о ляпуновских зонах устойчивости, ПММ, 15 A951),
323—34S.
16. О ш определенном случае краевой задачи Штурма —Лиувилля
в интервале @, оо), Изв. АН СССР, 16 A952), 293—324.
17. О некоторых случаях эффективного определения плотности неодно-
неоднородной струны по ее спектральной функции, ДАН СССР, 93 A953)>
617—620.
18. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи,
ДАН СССР, 94 A954), 987—990.
19. Определение плотности неоднородной симметрической струны по
спектру ее частот, ДАН СССР, 76 A951), 345—348.
Крейн М. Г. и Красносельский М. А.
1. Устойчивость индекса неограниченного оператора, Матем. сб., 30
G2), A952), 219—224.
2. Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые
их применения к теории ортогональных полиномов и проблеме момен-
моментов, УМН, 2 : 3 A9), A947), 60—106.
Крейн М. Г., Красносельский М. А. и Мильман Д. П.
1. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве
и о некоторых геометрических вопросах, Сб. трудов Ин-та матем.
АН Укр. ССР, 11 A948), 97—112.
Крейн М. Г. и Крейн С. Г.
1. Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерыв-
непрерывных функций, определенных на хаусдорфовом бикомпактном про-
пространстве, ДАН СССР, 27 A940), 427—431.
2. Sur 1'espace des fonctions continues dcfinies sur un bicompact de Haiis-
dorff et ses sousespaces semiordonnes, Матем. сб., 13E5) A943), 1—38.
Крейн М. Г. и'Мильман Д. П.
1. On extreme points of regularly convex sets, Studia Math., 9 A940)v
133—138.
Крейн М. Г., Мильман Д. П. и Р у т м а н М. А.
1. Об одном свойстве базиса в пространстве Banach'a, Хрк., Зап. Матем
об-ва, D), 16 A940), 106—110.
Крейн М. Г. и Рутман М. А.
1. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в простран-
пространстве Банаха, УМН, 3, вып. 1, B3), A948), 3—95.
КрейнМ. Г. иШмульян В. Л. (Krein M., Smulian V.)
1. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space,
Ann. of Math., 41 A940), 556—583.
Крейн С. Г., см. Крейн М. Г.

Библиография 813
Кристиан (Christian R. R.)
1. On integration with respect to a finitely additive measure whose values
lie ni a Dedekind complete partially ordered vector space, Dissert..
Yale Univ. A954).
Кронин (Cronin J.)
1. Branch points of solutions of equations in Banach space, Trans. Amer
Math. Soc, 69 A950), 105—131.
2. Branch points cf solutions of equations in Banach space, II, Trans
Amer. Math. Soc, 76 A954), 207—222.
3. A definition of degree for certain mappings in Hilbert space, Amer.
J. Math., 73 A951), 763—772.
4. Analytic functional mappings, Ann. of Math. B) 58 A953), 175—181
Кук (С о о к е R. G.)
1. Linear operators, Macmillan, London, 1953.
Кунисава (Kunisava K.)
1. Some theorems on abstractly-valued functions in an abstract space
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16 A940), 68—72.
Купер (Cooper J. L. B.)
1. The spectral analysis of self-adjoint operators, Quart. J. Math. (Oxford),
16 A945), 31—48.
2. Symmetric operators in Hilbert space, Proc. London Math. Soc. B) 50,
11—55 A948).
3. One-parameter semi-groups of isometric operators in Hilbert space,
Ann. of Math. B) 48 A947), 827—842.
Купмен (Koopman B. O.)
1. Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space, Proc. Nat.
Acad. Set. U. S. A., 17 A931), 315—318.
Купмен и Дуб (Koopman В. О., Doob J. L.)
1. On analytic functions with positive imaginary parts, Bull. Amer. Math
Soc, 40 A934), 601—605.
Курант и Гильберт (Courant R., Hilbert D.)
1. Методы математической физики, М.—Л., Гостехиздат 1951 A924,1937).
Курант и Лаке (Courant R., Lax A.)
1. Remarks on Cauchy's problem for hyperbolic partial differential equa-
equations with contant coefficients in several independent variables, Comm.
Pure Appl. Math., 8 A955), 497—502.
Куратовский (Kuratowski C.)
1. Sur la propriete de Baire dans les groupes metriques, Studia Math.,
4 A933), 38—40.
К у р о ш А. Г.
1*. Курс высшей алгебры, Гостехиздат, 1952.
2*. Теория групп, Гостехиздат, 1953.
3*. Лекция по общей алгебре, М., 1962.
Кюршак (Kurschak J.)
1. tiber Limesbildung und allgemeine Korpertheorie, J. Reine Angew.
Math., 142 A912), 211—253.
Лаасонен (Laasonen P.)
1. liber die Naherungslosungen der Sturm — Liouvilleschen Eigenwer-
taufgabe. Proc. XII Scand. Math. Congress Lund, 1953 A954), 176—182
Лаврентьев М. A.
1. Sur les fonctions d'une variable complexe representables par des series
de polynomes, Act. Sci. Ind., 441, Paris, 1936.
Лагерр (Laguerre E. N.)
1. Sur le calcul des systemes lineaires, Oeuvres, t. I A898), 221—267.
Лагранж (Lagrange J. L.)
1. Oeuvres, t. 3, Gauthiers — Villars, Paris, 1869.
2. Oeuvres, t. 1, Gauthier — Villars, Paris, 1867.

814 Библиография
Лаке A. (L а х А.), см. Курант
Лаке П. (L а х P. D.)
1. On the existence of Green's function, Proc. Amer. Math. Soc, 3 A952),
526—531. Исправл. там же 3 A952), 993.
2. Symmetrizable linear transformations, Comm. Pure AppL Math., 7
A954), 633—647.
3. Reciprocal extremal problems in function theory, Comm. Pure AppL
Math., 8 A955), 437—453.
4*. On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the differentia-
differentiability of solutions of elliptic equations, Comm. Pure AppL Math.,
8 A955), 615—633. Русский перевод: Математика, 1 : 1 A957),
43—59.
5*. A Phragmen —Lindelof theorem in harmonic analysis and its applica-
application to some questions in the theory of elliptic equations, Comm. Pure
AppL Math., 10 A957), 361—389. Есть русский перевод: Математика,
3 : 4 A959), 107—132.
Лаке П. и Мильграм (Lax P. D., M i I g r a m A. N.)
1. Parabolic equations. Contributions to the theory of partial differential
equations, 167—190, Ann. of Math. Studies, No. 33, Princeton, 1954.
Ламсон (Lamson K. W.)
1. A general implicit function theorem with an application to problems
of relative minima, Amer. J. Math., 42 A920), 243—256.
Лангер (L anger R. E.), см. также Б и р к г о ф Дж.
1. On the connection formulas and the solutions of the wave equation,
Phys. Rev., 51 A937), 669—676.
2. On the wave equation with small quantum numbers, Phys. Rev., 75
A949), 1573—1578.
3. The expansion problem in the theory of ordinary differential systems
of the second order, Trans. Amer. Math. Soc, 31 A929), 868—906.
Ландау (Landau E.)
1. (Jber einen Konvergensatz, Nachr. Akad. Wlss. Gottingen. Math.—
Phys. KL Ha 1907 A907), 25—27.
2. (Jber einen Satz von Herrn Esclangon, Math. Ann. 102 A929), 177—178.
Л а с а л ь (L a s a 1 1 e J. P.)
1. Pseudo-normed linear spaces, Duke Math. J., 8 A941), 131—135.
2. Application of the pseudo-norm to the study of linear topological spaces,
Revista Ci., Lima, 47 A945), 545—563.
3. Singular measurable sets and linear functions, Math. Mag., 22 A948),
67—72.
Л а т ш о у (L a t s h a w V. V.)
1. The algebra of self-adjoint boundary-value problems, Bull. Amer. Math.
Soc, 39 A933), 969—978.
Лаурикайнен (Laurikainen K- V.)
1. Asymptotic eigensolutions of the radical deuteron equations, Ann. Acad.
Sci. Fennicae Ser. A, 1, No. 130 A952), 10 pp.
Лебег (Lebesgue H.)
1. Sur les integrates singuliers, Ann. de Toulouse CIA909), 25—
117.
2. Интегрирование и отыскание примитивных функций, М., 1934A904).
Л е в и Б. (L e v i В.)
1. Sur principio di Dirichlet, Rend, del Circolo Matem. di Palermo, 22
A906), 293—360.
Л е в и П. (L ё v у Р.)
1. Problemes concrets d'analyse fonctionnelle. Avec un completement
sur les fonctionnelles analytiques par F. Pellegrino, Gauthier — Vil-
lars, Paris, Second edition 484, 1951.
2. Lemons d'analyse fonctionnelle, Gauthier — Villars, Paris, 1922.

Библиография 815
Лёвиг (Lowig H.)
1. Komplexe euklidische Raume von bellebiger endlicher oder unendlicher
Dimensionszahl, Ada Sci. Math. Szeged., 7 A934), 1—33.
Левинсон (Levinson N.), см. также БоасМ. и Коддингтон
1. Gap and density theorems, Amer. Math. Soc. Colloquim Pub., vol. 26,
New York, 1940.
2. Criteria for the limit-point case for second order linear differential ope-
operators, Casopis Pest. Mat. Fys., 74 A949), 17—20.
3. On the uniqueness of potential in a Schrodinger equation for a given
asymptotic phase, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 25, 9 A949), 25.
4. The inverse Sturm — Liouville problem, Mat.- Tidsskr. B. A949),
25—30.
5. A simplified proof of the expansion theorem for singular second order
linear differential equations, Duke Math. J., 18 A951), 57—71.
6. Addendum to «A simplified proof of the expansion theorem for singular
second order differential equations», Duke Math. J., 18 A951), 719—722.
7. The L-closure of eigenfunctions associated with self-adjoint boundary
value problems, Duke Math. J., 19 A952), 23—26.
8. Certain relationships between phase shifts and scattering potential,
Phys. Rev., 89 A953), 755—757.
9. The expansion theorem for singular self-adjoint linear differential ope-
operators, Ann. of Math. B) 59 A954), 300—315.
Левитан Б. М., см. также Гельфанд И. М.
1. Применения операторов обобщенного сдвига к линейным дифферен-
дифференциальным уравнениям второго порядка, УМН, 4 : 1 29 A949), 3—112.
2. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений
второго порядка, М.— Л., Гостехиздат, 1950.
3. К теореме разложения по собственным функциям дифференциальных
уравнений второго порядка, ДАН СССР, 71 A950), 605—608.
4. Доказательство теоремы разложения по собственным функциям само-
самосопряженных дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 73 A950),
651—654.
5. Об одной теореме Г. Вейля, ДАН СССР, 82 A952), 673—676.
6. О полноте квадратов собственных функций, ДАН СССР, 83 A952),
349—352.
7. Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении
по собственным функциям самосопряженного дифференциального
уравнения второго порядка.
I. Изв. АН СССР, сер. матем., 17 A953), 331—364.
II. Там же, 19 A955), 33—58.
8*. Почти периодические функции, М., 1953.
Лёвнер (L owner К.)
1. Grundzuge einer Inhaltslehre im Hilbertschen Raume, Ann. of Math.
B) 40 A939), 816—833.
Лежанский (L e 2 a n s k i T.)
1. The Fredholm theory of linear equations in Banach spaces, Studia Math.,
13 A953), 244—276.
2. Sur les fonctionnelles multiplicatives, Stadia Math., 14 A953), 13—23.
Лейтон (Leighton W.)
1. Bounds for the solutions of a second order linear differential equation,
Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 35 A949), 190—193.
2. On self-adjoint differential equations of the second order, Proc. Nat.
Acad. Sci. U.S.A., 35 A949), 656—657.
3. On the detection of the oscillation of a second order linear differential
equation, Duke Math. J., 17 A950), 57—62.
4. On self-adjoint differential equations of second order, /. London. Math.
Soc., 27 A952), 33—47.

816 Библиография
Л е й я (L e j a F.)
1. Sur la notion du groupe abstrait topologique, Fund. Math., 9 A927)
37—44.
Лен ье ль (Lengyel В. А.)
1. On the spectral theorem of self-adjoint operators, Acta Sci. Math. Sze-
Szeged, 9 A939), 174 — 186.
2. Bounded self-adjoint operators and the problem of moments, Bull.
Amer. Math. Soc, 45 A939), 303—306.
Леньель и Стоун (Lengyel В. A., Stone M. H.)
1. Elementary proof of the spectral theorem, Ann. of Math. B), 37 A936),
853—864.
Л e p e (L e г а у J.)
1. La theorie des points fixes et ses applications en analyse. Proc. Interna-
International Congress Math., Cambridge, Mass. 2 A950), 202—208.
2. Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme completement
continu d'un espace vectoriel a voisinages convexes, Acta Sci. Math.
Szeged 12 Pars. В A950), 177—186. Есть русский перевод: Матема-
Математика, 4 : 5 A960), 73—83.
3. Topologie des espaces abstraits de M. Banach, С R. Acad. Sci. Paris,
200 A935), 1082—1084.
4. Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients, Inst. Ad\
Studies, Princeton, 1952.
Лефшец (Lefschetz S.)
1. Алгебраическая топология, М., ИЛ, 1949 A942).
2. Introduction to topology. Princeton University Press, Princeton, 1949.
Ливингстон (Livingston A. E.)
1. The space HP, 0<Xl, is not normable, Pacific J. Math., 3 A953),
613—616.
Лившиц М. С.
1. Изометрические операторы с равными дефектными числами, квази-
квазиунитарные операторы, Машем. в$., 26 F8) A950) 247—264.
2. О приведении линейных неэрмитовых операторов к треугольному ви-
виду, ДАН СССР, 84 A952), 873—876.
3. О резольвенте линейного несимметрического оператора, ДАН СССР,
84 A952), 1131 — 1134.
4. О спектральном разложении линейных несамосопряженных опера-
операторов, Матем. сб., 34 G6) A954), 144 — 199.
5. К теории самосопряженных систем дифференциальных уравнений,
ДАН СССР, 72 A950), 1013—1016.
Лившиц М. С. и Потапов В. П.
1. Теорема умножения характеристических матриц-функций, ДАН
СССР, 72 A950), 625—628.
Лидер (Leader S.)
1. The theory of L^-spaces for finitely additive set functions, Ann. Math.
B), 58 A953), 528—543.
Лидский В. Б.
1. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений y"+P(t)y=Xyy ДАН СССР, 95 A954), 217—220.
2*. Условие полноты системы корневых подпространств у несамосопря-
несамосопряженных операторов с дискретным спектром, Труды Мое. матем. о-ва,
т. 8 A958), 83—120.
Линдгрен (Lindgren В. W.), см. Камерон
Литлвуд (Littlewood J.), см. X а р д и
Литлвуд и Пэли (Littlewood J., Paley R. Е. А. С.)
1. Theorems on Fourier series and power series, I, II.
I. J. London Math. Soc, 6 A931), 230—233.
II. Proc. London Math. Soc. B), 42 A937), 52—89.

Библиография 81/
Л и у в н л л ь (L i о u v i I I e J.)
1. Sur le developpement des fonctions en series dont les divers termes sont
assujeties a satisfaire a une meme equation differentielle du second ordre
contenant un parametre variable, I —III.
I. J. Math. Pares Appl. A), 1, A836), 253—265.
II. Там же A), 2 A837), 16—37.
III. Там же A), 2 A837), 418—436.
2. D'un theoreme du a M. Sturm et relatif a une cJasse de fonctions tran-
cendantes, J. Math. Pures Appl. A) 1 A836), 269—277.
Л и ф ш и ц И. М.
1. К теории регулярных возмущений, ДАН СССР, 48 A945), 83—86.
2. О вырожденных регулярных возмущениях, I, II.
I. Журн. экспер. и теоретич. физ.у 17 A947), 1017—1025.
II. Там же, 17 A947), 1076—1089.
3. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статисти-
статистикой, УМН, 7:1 E2) A952), 171—180.
4. О регулярных возмущениях оператора с квазинепрерывным спектром,
Хрк., Зап. Мат. об-ва D), 20 A950), 77—82.
Лихтенштейн (Lichtenstein L.)
1. Zur Analysis der unendlichvielen Variablen. I. Entwicklungssatze der
Theorie gewohnlicher linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 38 A914), 113—166.
Ловалья (Lovaglia A. R.)
1. Locally uniformly convex Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc,
78 A955), 225—238.
Лоренц (Lorentz G. G.)
1. On the theory of spaces A, Pacific J. Math., 1 A951), 411—429.
2. Some new functional spaces, Ann. of Math. B), 51 A950), 37—55.
3. Operations in linear metric spaces, Duke Math. J., 15 A948), 755—761.
4. Funktionale und Operationen in den Raumen der Zahlenfolgen, ДАМ
СССР, 1 A935), 81—85.
Л о p x (L о г с h E. R.) см. также Ф. Рис с.
1. Bicontinuous linear transformations in certain vector spaces. Bull.
Amer. Math. Soc, 45 A939), 564—569.
2. On a calculus of operators in reflexive vector spaces, Trans. Amer.
Math. Soc, 45 A939), 217—234.
3. The Cauchy — Schwarz inequality and self-adjoint spaces, Ann.
of Math. B), 46 A945), 468—473.
4. On certain implications which characterize Hilbert space, Ann. of
Math. B), 49 A948), 523—532.
5. Return to the self-adjoint transformation, Ada Sci. Math. Szeged,
12, Pars В A950), 137—144.
6. The spectrum of linear transformation, Trans. Amer. Math. Soc,
52 A942), 238—248.
7. The integral representation of weakly almost-periodic transformations
in reflexive vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 49 A941),
18—40.
8. Means of iterated transformations in reflexive vector spaces, Bull.
Amer. Math. Soc, 45 A939), 945—957.
9. The structure of normed abelian rings/ В all. Amer. Math. Soc, 50
A944), 447—463.
10. The theory of analytic functions in normed abelian vector rings, Trans.
Amer. Math. Soc, 54 A943), 414—425.
11. Functions of self-adjoint transformations in Hilbert space, Ada Sci.
Math. Szeged, 7 A934), 136—146.
12. Differentiate inequalities and the theory of convex bodies, Trans.
Amer. Math. Soc, 71 A951), 243—266.
52 Заказ № 1324

818 Библи ография
13. Su certe estensioni del concetto di volume, Rend. Ace Naz. Lincei
(8) 16 A954), 25—29.
14. On the volume of smooth convex bodies in Hilbert space, Math. Zeit.>
61 A955), 391—407.
Лукомский Т. И.
1. К теории матричных представлений неограниченных самосопряженных
операторов, ДАН СССР, 70 A950), 377—379.
Люмер (Lumer G.), см. X а л м о ш
Л юм и с (Loom is L. H.)
1. Введение в абстрактный гармонический анализ, М., ИЛ, 1956 A953).
2. Linear functional and content, Amer. J. Math., 76 A954), 168—182.
3. Abstract congruence and the uniqueness of Haar measurew, Ann. of,
Math. B), 46 A945), 348—355.
4. Haar measure in uniform structures, Duke Math. J., 16 A949), 193—208.
5. On the representation of a-complete Boolean algebras, Bull. Amer.
Math. Soc, 53 A947), 757—760.
Ma (Ma S. T.)
1. On a general condition of Heisenberg for the S-matrix, Phys. Rev., 71
A947), 195—200.
M а а к (M a a k W.)
1. Fastperiodische Funktionen. Springer, Berlin, 1950.
Маеда (Maeda F.), см. также Огасавара
1. Unitary equivalence of self-adjoint operators and constants of motion,
/. Sci. Hiroshima Univ. A, 6 A936), 283—290.
Мазани (Masani P. R.)
1. Multiplicative Riemann integration in normed rings, Trans. Amer.
Math. Soc, 61 A947), 147—192.
Мазур (Mazur S.), см. также Банах и Эйдельгайт
1. tJber konvexe Mengen in linearen normierte Raumen, Studia Math.,
4 A933), 70—84.
2. Uber die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kompakte Menge
enthalt, Studia Math., 2 A930), 7—9. '
3. Uber schwache Konvergenz in den Raumen (Lp), Studia Math., 4 A933),
128—133.
4. Une remarque sur ГпотёотогрЫе des champs fonctionnels, Studia
Math., 1 A929), 83—85.
5. Sur les anneaux lineaires, С R. Acad. Sci. Paris, 207 A938), 1025—1027.
Мазур и Орлич (Mazur S., Orlicz W.)
1. Uber Folgen linearer Operationen, Studia Math., 4 A933), 152—157.
2. Grundlegende Eigenschaften der polynomischen Operationen, I, II.
I. Studia Math., 5 A934), 50—68.
II. Там же, 5 A934), 179 — 189.
3. Sur les espaces metriques lineaires, I, II.
I. Studia Math., 10 A948), 184—208.
II. Там же, 13 A953), 137—179.
Мазур и Улам (Mazur S., U 1 а т S.)
1. Sur les transformations isometriques d'espace vectoriels normes, C. R.
Acad. Sci. Paris, 194 A932), 946—948.
M а й е р с (Myers S. B.)
1. Equicontinuous sets of mappings, Ann. of Math. B), 47 A946), 496—
502.
2. Banach spaces of continuous functions, Ann. of Math. B), 49 A948),
132 — 148.
3. Spaces of continuous functions, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949),
402—407.
4. Normed linear spaces of continuous functions, Bull. Amer. Math. Soc,
56 A950), 233—241.

Библиография 319
М а й к а л (М i с h a I A. D.)
1. General differential geometries and related topics, Bull. Amer. Math.
Soc, 45 A939), 529—563.
Майкал и Клиффорд (Michal A. D., Clifford A. H.)
1. Fonctions analytiques implicites dans les espaces vectoriels abstraits,
С R. Acad. Sci. Paris, 197 A933), 735—737.
Майкал и Мартин (Michal A. D., Martin R. S.)
1. Some expansions in vector space. /. Math. Pureset Appl. (9), 13 A934),
69—91.
Майкал и Э л конин (Michal A. D., Е 1 с о n i n V.)
1. Completely integrable differential equations in abstract spaces, Ada
Math., 68 A937), 71 — 107.
Майкл (Michael E.)
1. Transformations from a linear space with weak topology, Proc. Amer.
Math. Soc, 3 A952), 671—676.
2. Locally multiplicatively-convex topological algebras, Memoirs
Amer. Math. Soc. No. 11, 1952.
M а к а и (М a k a i E.)
1. Asymptotische Abschatzung der Eigenwerte gewisser Differential-
gleichungen zweiter Ordnung, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa B), 10
A941), 123—126.
M а к-Д а ф ф и (М а с D u f f e e C. C.)
1. The theory of matrices. Ergebnisse der Math, und ihrer Grenzgebiete,
vol. 2, Berlin, 1933.
Макинтайр и Рогозинский (Macintyre A. J., R о g o-
sj n s k i W. W.)
1. Extremum problems in the theory of analytic functions, Ada Math.,
82 A950), 275—325.
Макки (Mackey G. W.), см. также Какутани
1. On convex topological linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 60 A946),
519—537.
2. On infinite dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 57
A945), 155—207.
3. Note on a theorem of Murray, Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946), 322—325.
4. Commutative Banach algebras. Mimeographed lecture notes, Harvard
University, 1952.
5. Functions on locally compact groups, Bull. Amer. Math. Soc, 56 A950),
385—412.
M а к-Л ейн (MacLane S.), см. Биркгоф Г.
M а к-Ф е й л (М а с Р h a i I M. S.)
1. Absolute and unconditional convergence, Bull. Amer. Math. Soc,
53 A947), 121—123.
M а к-Ш ейн (McShane E. J.)
1. Linear functionals on certain Banach spaces, Proc Amer. Math. Soc,
1 A950), 402—408.
2. Integration. Princeton University Press, Princeton, 1944.
3. Order-preserving maps and integration processes, Ann. of Math. Stu-
Studies, No. 31, Princeton Univ. Press, 1953.
4. Images of sets satisfying the condition of Baire, Ann. of Math. B), 51
A950), 380—386.
Мак-Эвен (М с E w e n W. H.)
1. Spectral theory and its application to differential eigenvalue problems,
Amer. Math. Monthly, 60 A953), 223—233.
Мандельбройт (Mandelbrojt S.)
1. Un theoreme de fermeture, C. R. Acad. Sci. Paris, 231 A950), 16—18.
2. Theoremes generaux de fermeture, C. R. Acad. Sci. Paris, 232 A951),
284—286.
52*

820 Библиография
3. Theoremes d'approximation et problemes des moments, C. R. Acad.
Sci. Paris, 232 A951), 1054 — 1056.
4. General theorems of closure, Rice Inst. Pamphlet, Houston, 1951.
5. Quelques theoremes d'unicite, Proc. International Cong. Math., Cam-
Cambridge, Mass., 1 A950), 349—355.
6. Theoremes generaux de fermeture, J. Analyse Math., 1 A951), 180—208.
7. Quelques nouveaux theoremes de fermeture, Ann. Soc. Polon. Math.,
25 A952), 241—251 A953).
Мандел ьбройт и Эгмон (Mandelbrojt S., Agmon S.)
1. Une generalisation du theoreme tauberien de Wiener, C. R. Acad. Sci.
Paris, 228 A949), 1394 — 1396.
2. Une generalisation du theoreme tauberien de Wiener, Ada Sci. Math.
Szeged., 12, Pars В A950), 167—176.
M а н р о у (M u n г о e M. E.)
1. Absolute and unconditional convergence in Banach spaces, Duke Math.
J,. 13 A946), 351—365.
2. Introduction to measure and integration. Addison Wesley, Cambridge,
Mass., 1953.
3. A note on weak differentiability of Pettis integrals. Bull. Amer. Math.
Soc, 52 A946), 167 — 174.
4. A second note on weak differentiability of Pettis integrals. Bull. Amer.
Math. Soc, 52 A946), 668—670.
Маринеску (Marinescu G.), см. также И о н е с к у
1. Operations relativement competement continues. Acad. Republ. Pop.
Romdne. Stud. Cere. Mat., 2 A951), 107—194.
M a p к о в А. А.
1. Некоторые теоремы об абелевых множествах, ДАН СССР, 1 A936),
299—302.
2. On mean values and exterior densities, Матем. сб. А D6) A938), 165—191.
Маркушевич А. И.
1. О базисе (в широком смысле слова), ДАН СССР, 41 A943), 241—243.
2. О наилучшем приближении, ДАН СССР, 44 A944), 290—292.
3. Обобщение одной теоремы Д. Е. Меньшова, Матем. сб., 15 E7)
A944), 433—436.
4*. Теория аналитических функций, М., 1950.
Мартин P. (Martin R. S.), см. М а й к а л
Мартин У. (Martin W. Т.), см. Камерон
Маруяма (Maruyma G.)
1. Notes on Wiener integrals. Kodai Math. Sem. Rep. A950), 41—44.
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.)
1. Sur les multiplicateurs des series de Fourier, Studia Math., 8 A939),
78—91.
Марчевский, см. X a p т м а н С.
Марченко В. А.
1. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго
порядка, ДАН СССР, 72 A950), 457—460.
2. О формулах обращения, порождаемых линейным дифференциальным
уравнением второго порядка, ДАН СССР, 74 A950), 657—660.
М а с л о в А. С.
1. К вопросу о product-интеграле Birkhoff'a, Ученые Зап. ЛГУ, 83,
матем. сер. 12 A941), 42—56.
Маутнер (Mautner F. I.)
1 On eigenfunction expansions, Proc. Nat. Acad. U. S. A., 39 A953),
49—53. Русский перевод: УМН, 10: 4 A955), 127—132.
M а х а р а м (М a h a r a m Dorothy)
I. The representation of abstract measure functions, Trans. Amer. Math
Soc, 65 A949), 279—330.

Библ и ог рафия 821
2. The representation of abstract integrals, Trans. Amer. Math. Soc.t 75
A953), 154 — 184.
3. On kernel representation of linear operators, Trans. Amer. Math. Soc,
79 A955), 229—255.
Медведев Ю. Т.
1. Два признака компактности семейств функций, ДАН СССР, 90 A953),
337—340.
Меддаус (Maddaus I., Jr.)
1. On types of «weak» convergence in linear normed spaces, Ann. of Math.
B), 42 A941), 229—246.
2. On completely continuous linear transformations, Bull. Amer. Math.
Soc, 44 A938), 279—282.
M e p г е л я н С. Н.
1. О представлении функций рядами полиномов на замкнутых множест-
множествах, ДАН СССР, 78 A951), 405—408.
2. Равномерное приближение функций комплексного переменного,
УМН, 7:2 D8), A952), 31 — 122.
Меркил (Mirkil Н.) * . .
1. The work of Silov on commutative semi-simple Banach algebras. Techni-
Technical Report, Contract 218 @0). Office of Naval Research.
Меррей (Murray F. J.)
1. On complementary manifolds and projections in spaces Lv and lp, Trans.
Amer. Math. Soc, 41 A937), 138 — 152.
2. Quasi-complements and closed projections in reflexive Banach spaces,
Trans. Amer. Math. Soc, 58 A945), 77—95.
3. The analysis of linear transformations, Bull. Amer. Math. Soc., 48
A942), 76—93.
4. Linear transformations between Hilbert spaces and the application
of this theory to linear partial differential equations, Trans. Amer.
Math. Socy 37 A935), 301—338.
5. Linear transformations in Lp,/?>1, Trans. Amer. Math. Soc, 39 A936),
83—100.
6. Bilinear transformations in Hilbert space, Trans. Amer. Math. Soc,
45 A939), 474—507.
7. An introduction to linear transformations in Hilbert space. Ann. oi
Math. Studies, No. 4, Princeton, 1941.
Меррей и Дж. Нейман (Murray F. J., von Neumann J.)
1. On rings of operators, I, II, IV.
I. Ann. of Math. B), 37 A936), 116—229.
II. Trans. Amer. Math. Soc, 41 A937), 208—248.
IV. Ann. of Math. B), 44 A943), 716—808.
Минусинский (Mikusinski J. G.)
1. Sur certains espaces abstraits, Fund. Math., 36 A949), 125—130.
Миллер Д. (M i 1 1 e r D. S.), см. Данфорд
Миллер К. (M i 1 1 e г К. S.)
1. A Sturm — Liouville problem associated with iterative methods,
Ann. of Math. B), 53 A951), 520—530.
2. Construction of the Green's function of a linear differential system,
Math. Mag., 26 A952), 1—8.
3. Self-adjoint differential systems, Quart. J. Math., Oxford B), 3 A952).
175—178.
Миллер К. и Шиффер (Miller К. S., S с h i f f е г M. M.)
1. On the Green's function of ordinary differential systems, Proc. Amer.
Math. Soc, 3 A952), 433—441.
2. Monotonic properties of the Green's function, Proc Amer. Math. Soc.
3 A952), 948—956.

822 Библиография
Милн (Milne W. E.)
1. The behavior of a boundary value problem as the interval becomes
infinite, Trans. Amer. Math. Soc, 30 A928), 797—802.
2. On the degree of convergence of expansions in an infinite interval,
Trans. Amer. Math. Soc, 31 A929), 906—918.
3. The numerical determination of characteristic numbers, Phys. Rev.,
35 A930), 863—867.
Мильграм (Milgram A. N.) см. П. Лаке.
Мильман Д. П., см. также Бродский М. С. и К р е й н М. Г.
1. О некоторых признаках регулярности пространств типа (В), ДАН
СССР, 20 A938), 243—246.
2. Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множе-
множества, ДАН СССР, 57 A947), 119—122.
3. Достижимые точки функционального компакта, ДАН СССР, 59
A948), 1045—1048.
4. Изометрия и экстремальные точки, ДАН СССР, 59 A948), 1241 —
1244.
5. Многометрические пространства. Анализ инвариантных подмножеств
многонормированного бикомпакта относительно полугруппы нерас-
ширяющих операторов в нем, ДАН СССР, 67 A949), 27—30.
6. Экстремальные точки и центры выпуклых бикомпактов, УМН, 4 : 5
C3), A949), 179—181.
7. Граневая структура выпуклого бикомпакта и интегральные разложе-
разложения средних, ДАН СССР, 83 A952), 357—360.
8. Об одной классификации точек спектра линейного оператора, ДАН
СССР, 33 A941), 279—281.
Мильман Д. П. и Рутман М. А.
1. Об одном уточнении теоремы о полноте системы экстремальных точек
регулярно-выпуклого множества, ДАН СССР, 60 A948), 25—27.
Мимура (Mimura Y.), см. также И о с и д а
1. t)ber Funktionen von Funktionaloperatoren in einem Hilbertschen
Raum, Jap. J. Math., 13 A936), 119—128.
Минковский (Minkowski H.)
1. Gesammelte Abhandlungen, Vol. II. Teubner, Berlin, 1911.
M и н л о с Р. А.
1*. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры, Труды
Мое. мат. о-ва, т. 8 A958), 497—518.
Миранда (Miranda С.)
1. Problemi di esistenza in analisi funzionale. Litografia Tacchi, Pisa,
1949.
2. Sul principio di Dirichlet per le funzioni armoniche, Atti Accad. Naz.
Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), 3 A947), 55—59.
M и x л и н С. Г.
1. О сходимости рядов Фредгольма, ДАН СССР, 42 A944), 387—390.
Мишоу (Mishoe L. I.), см. также Фридман Б.
1. On the expansion of an arbitrary function in terms of the eigenfunctions
of a non-self-adjoint differential system. Dissert., New York University,
1953.
Мишоу и Форд (Mishoe L. I., F о r d G. С.)
1. Studies in the eigenfunction series associated with a non-self-adjoint
differential system, Tech. Report Nat. Sci. Foundation, 1955.
2. On the uniform convergence of a certain eigenfunction series, Pacific
J. Math., 6 A956), 271—278.
Миядера (Miyadera I.)
1. Generation of a strongly continuous semi-group of operators, Tohoku
Math. /., 4 B), A952), 109-114.

Библиография 823
М о з е р (М о s e г J.)
1. Storungstheorie des kontinuierlichen Spektrums fur gewohnliche Dif-
Different ialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Ann., 125 A953), 366—393.
Мозес (Moses H. E.), см. К е й
Молчанов A.M.
1. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка, М., Труды Мое мат. о-ва, 2 A953),
169—199.
М о н н а (М о n n a A. F.)
1. On a linear P-adic space, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen, Afd.
Natuurkunde, 52 A943), 74—82.
2. On weak and strong convergence in a P-adic Banach space, Nederl.
Akad. Wetensch. Verslagen, Afd. Natuurkunde, 52 A943), 207—211.
3. On non-Archimedean linear space, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen y
Afd. Natuurkunde, 52 A943), 308—321.
4. Linear functional equations in non-Archimedean Banach spaces, Nederl.
Akad. Wetensch. Verslagen. Afd. Natuurkunde, 52 A943), 654—661.
5. On ordered groups and linear spaces, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen.
Afd. Natuurkunde, 53 A944), 178—182.
6. On the integral of a function whose values are elements of a non-Archi-
non-Archimedean valued field, Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen, Afd. Natuur-
Natuurkunde, 53 A944), 385—399.
7. Sur les espaces lineaires normes. I—VI.
I. Nederl. Akad. Wetensch. Proc, 49 A946), 1045—1055.
II. Там же, 49 A946), 1056—1062.
III. Там же, 49 A946), 1134 — 1141.
IV. Там же, 49 A946), 1142—1152.
V. Там же, 51 A948), 197—210.
VI. Там же, 52 A949), 151 — 160.
8. Espaces lineaires a une infinite denombrable de coordonnee, Nederl
Akad. Wetensch. Proc, 53 A950), 1548—1559.
9. Sur une classe d'espaces lineaires normes, Nederl. Akad. Wetensch.
Proc, 55 A952), 513—525.
Монтролль (Montroll E. W.)
1. Markoff chains, Wiener integrals, and quantum theory Comm. Pure
Appl. Math., 5 A952), 415—453.
Mop (Mohr E.)
1. Die Konstruktion der Greenschen Funktion im erweiterten Sinner
J. Reine Angew. Math., 189 A951), 129—140.
Mope A. (M о r s e A. P.), см. также Адаме, Данфорд, Эгнью
1. A theory of covering and differentiation, Trans. Amer. Math. Socy 55
A944), 205—235.
Mope M. (Morse M.)
1. Bilinear functionals over CxC, Ada Sci. Math. Szeged, 12, Pars В
A950), 41—48
Морс и Трансю (Morse M., Transue W.)
1. Functionals of bounded Frechet variation, Canadian J. Math., 1, A949)
153—165.
2. Functionals F bilinear over the product AxB of two pseudo-normed
vector spaces, I, II.
I. Ann. of Math. B), 50 A949), 777—815.
II. Там же B), 51 A950), 576—614.
3. Integral representations of bilinear functionals, Proc Nat. Acad. Sci.
U. S. Л., 35 A949), 136—143.
4. The generalized Frechet variation and Riesz — Young — Hausdorff
type theorems, Rend. Circ. Mat. Palermo B), 2 A953), 5—35.

824 Библиогоафия
Московии и Дай нс (Moskovitz D., Dines L. L.)
1. Convexity in a linear space with an inner product, Duke Math. J.t 5
A939), 520—534.
2. On the supporting-plane property of a convex body, Bull. Amer. Math.
Soc, 46 A940), 482—489.
M у р Э. (Moore E. H.)
1. Introduction to a form of general analysis. The New Haven Math. Col
loquim of the Amer. Math. Soc, 1906.
2. General analysis, I, II. Mem. Amer. Philos. Soc, Philadelphia 1935,
1939.
M у р Р. (М о or e R. L.)
1. Foundations of point set theory. Amer. Math. Soc Colloquim Publica-
Publications, vol. 13, New York, 1932.
M ю н ц (Miintz Ch. H.)
1. Uber den Approximationssatz von Weierstrass. Math. Abhandlungen
H. A. Schwarz gewidmet. Berlin A914), 303—312.
H агата (Nagata J.)
1. On lattices of functions on topological spaces and of functions on uniform
spaces, Osaka Math. Л, 1 A949), 166—181.
Нагумо (Nagumo M.)
1. Einige analytische Untersuchungen in linearen metrischen Ringen,
Jap. J. Math., 13 A936), 61—80.
2. Degree of mapping in convex linear topological spaces, Amer. J. Math.,
73 A951), 497—511.
3. Characterisierung der allgemeinen euklidischen Raume durch eine
Postulate fur Schwerpunkte, Jap. J. Math., 12 A936), 123—128.
Наймарк М. А., см. также Гельфанд И. М.
1. Положительно определенные операторные функции на коммутативной
группе, Изв. АН СССР, сер. матем., 7 A943), 237—244.
2. Кольца операторов в гильбертовом пространстве, УМН, 4 : 4 C2),
A949), 83—147.
3. Об одном представлении аддитивных операторных функций множеств,
ДАН СССР, 41 A943), 373—375.
4. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов, ДАН
СССР, 82 A952), 517—520.
5. Линейные дифференциальные операторы, М., Гостехиздат, 1954.
6. О квадрате замкнутого симметрического оператора, ДАН СССР, 26
A940), 863—867.
7. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического
оператора, Изв. АН СССР, сер. матем., 4 A940), 53—104.
8. Спектральные функции симметрического оператора, Изв. АН СССР,
сер. матем., 4 A940), 277—318.
9. О спектре сингулярных несамосопряженных дифференциальных
операторов второго порядка, ДАН СССР, 85 A952), 41—44.
10. Исследование спектра и разложение по собственным функциям неса-
несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго
порядка, УМН, 8 : 4 E6), A953), 174 — 175.
11.0 разложении по собственным функциям несамосопряженных диф-
дифференциальных операторов второго порядка, ДАН СССР, 89 A953),
213—216.
12. Исследование спектра и разложение по собственным функциям неса-
несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка
на полуоси, М., Труды Мат. об-ва, 3 A954), 181—270.
13*. Нормированные кольца, М., Гостехиздат, 1956.
Накамура (Nakamura M.)
1. Notes on Banach space. X. Vitali-Hahn-Saks' theorem and /^-spaces,
Tohoku Math. J. B), 1 A949), 101—108.

Б иблиография S2&
2. Notes on Banach space, XI. Banach lattices with positive bases, Tohoku
Math. J. B), 2 A950), 135—141.
3. Complete continuities of linear operators, Proc. Japan Acad., 27 A951),
544—547.
Накамура и Суноути (Nakamura M., S u n о u с h i S.)
1. Note on Banach spaces (IV). On a decomposition of additive set functi-
functions, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 A942), 333—335.
Накамура и Умегаки (Nakamura M., Umegaki H.)
1. A remark on theorems of Stone and Bochner, Proc. Japan Acad., 27
A951), 506—507.
Накано (Nakano H.)
1. Topology and linear topological spaces, Maruzen Co., Tokyo, 195].
2. Modulared semi-ordered linear spaces, Maruzen Co., Tokyo, 1950.
3. Riesz-Fischerscher Satz im normierten teilweise geordneten Modul,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 A942), 350—353.
4. Uber Erweiterungen von allgemein teilweise geordneten Moduln, I.
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 A942), 626—630.
5. Uber Erweiterungen von allgemein teilweise geordneten Moduln; II.
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19, A943), 138—143.
6. Modulared linear spaces, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I, 6 A950),
85—131.
7. Zur Eigenwerttheorie normaler Operatoren, Proc. Phys.-Math. Soc.
Japan C) A939), 315—339.
8. Uber Abelsche Ringe von Projektionsoperatoren, Proc. Phys.-Math.
Soc. Japan C) 21 A939), 357—375.
9. Unitarinvariante hypermaximale normale Operatoren, Ann. of Math.
B) 42 A941), 657—664.
10. Unitarinvarianten in allgemeinen Euklidischen Raum, Math. Ann.,
118 A941), 112—133.
11. Funktionen mehrerer hypermaximaler normaler Operatoren, Proc.
Phys. Math. Soc. Japan C) 21 A939), 713—728.
12. Modern spectral theory. Maruzen Co., Tokyo, 1950.
13. Spectral theory in the Hilbert space, Japan Soc. for Promotion of Sci.,
Tokyo, 1953.
14. Uber normierte teilweise geordnete Moduln, Proc. Imp. Acad. Tokyo,
17 A941), 311—317.
15. Stetige lineare Funktionale auf dem teilweise geordnete Modul,
J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo, 4 A942), 201—382.
16. Uber ein lineare Funktional auf dem teilweise geordneten Modul,
Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 A942), 548—552.
17. Uber den Beweis des Stoneschen Satzes, Ann. of Math. B), 42 A941)
665—667.
18. Reduction of Bochner's theorem to Stone's theorem, Ann. of Math.
B) 49 A948), 279—280.
Накаяма (Nakayama Т.,)см. Иосида
Натан (Nathan D. S.)
1. One-parameter groups of transformations in abstract vector spaces,
Duke Math. /., 1 A935), 518—526.
Натансон И. П.
1*. Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1950.
Нахбин (Nachbin L.)
1. On the axiom of the nonconvergent sequences in some linear topological
space, Revista Union Mat. Argentina, 12 A947), 129—150.
2. A characterization of the normed vector ordered spaces of continuous
functions over a compact space, Amer. J. Math. 71 A949), 701—705.
3. A theorem of the Hahn-Banach type for linear transformations, Trans.
Amer. Math. Soc, 68 A950), 58—46.

826 Библиография
Нейгауз М. Г.
1. Об определении асимптотики функции q(x) по свойствам спектральной
функции оператора — у"-\-q{x)y, ДЛИ СССР, 102 A955), 25—28.
Нейман Дж. (von Neumann J.), см. также Бохнер, Деви-
нац, Йордан, Меррей и Халмош
1. On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 37 A935),
1—20.
2. Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der Normalen
Operatoren, Math. Ann., 102 A929—1930), 370—427.
3. Eine Spectraltheorie fur allgemeine Operatoren eines unitaren Raumes,
Math. Nachr., 4 A951), 258—281.
4. Functional operators, I. Annals of Math. Studies, no. 21 Princeton
University Press, Princeton, 1950.
5. On a certain topology for rings of operators, Ann. of, Math. B) 37
A936), 111 — 115.
6. Charakterisierung des Spectrums eines Integraloperators, Act. Sci.
et Ind., 229, Paris, 1935.
7. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren,
Math. Ann., 102 A929—1930), 49—131.
8. Mathematische Begrundung der Quantenmechanik, Nachr. GeselL
Wlss. Gottingen. Math.-Phys. Kl A927), 1—57.
9. Almost periodic functions in a group, I. Trans. Amer. Math. Soc,
36 A934), 445—492.
10. Ober einen Satz von Herrn M. H. Stone, Ann. of Math. B) 33 A932),
567—573.
11. Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. Nat. Acad. ScL U. S. A.,
18 A932), 70—82.
12. Zun> Haarschen Mass in topologischen Gruppen, Сотр. Math., 1
A934), 106—114.
13. On rings of operators, III. Ann. of Math. B) 41 A940), 94 — 161.
14. On some algebraical properties of operator rings, Ann. of Math. B)
44 A943), 709—715.
15. On rings of operators. Reduction theory, Ann. of Math. B) 50 A949),
401—485.
16. Ober adjungierte Funktionaloperatoren, Ann. of Math. B) 33 A932),
294—310.
17. The uniqueness of Haar's measure, Матем. сб., 1 D3) A936), 721—734.
18. Ober Funktionen von Funktionaloperatoren, Ann. of Math. B) 32
A931), 191—226.
19. Einige Satze fiber messbare abbildungen, Ann. of Math. B) 33 A932),
574—586.
20. Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. of Math.
B) 33 A932), 587—642, 789—791.
21. Algebraische Reprasentanten der Funktionen «bis auf eine Menge vom
Masse Null», J. Reine Angew. Mathem., 165 A931), 109—115.
22. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism,
I. Матем. сб., 1 D3), A936), 415—482.
23. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, J. Springer, Berlin,
1932.
24. Approximative properties of matrices of high finite order, Port. Math.,
3 A942), 1—62.
Нейман К. (Neumann С.)
1. Untersuchungen uber das logaritmische und Newtonsche Potential,
Teubner, Leipzig, 1877.
Неймарк Ф. A.
1. О расширении эрмитова оператора до перестановочного с данным эрми-
эрмитовым оператором, ДАН СССР, 66 A949), 9—12.

Библиография 827
Н е м ы ц к и й В. В.
1. Метод неподвижных точек в анализе, УМН, 1 A936), 141 —175.
2. Проблемы качественной теории дифференциальных уравнений, М.,
Вест. Ун-та, 8 A952), 19—39.
Никович И. А.
1. О рядах Фредгольма, ДАН СССР, 59 A948), 423—425.
Никодим (Nikodym О. М.)
1. Remarques sur les integrates de Stieltjes en connexion avec celles
de MM. Radon et Frechet, Ann. Soc. Polon. Math., 18 A945),
12—24.
2. Sur les fonctionelles lineaires, C. R. Acad. Sci. Paris, 229 A949),
16—18, 169—171, 288—289.
3. Remarques sur la pseudo-topologie et sur les fonctionnelles lineaires,
C. R. Acad. Sci. Paris., 229 A949), 863—865.
4. Un nouvel appareil rnathematique pour la theorie des quanta, Ann.
Inst. H. Poincare, 11 A949), 49—112.
5. Sur les families bornees de fonctions parfaitement additives d'ensemble
abstrait, Monatsh. far Math. u. Phys., 40 A933) 418—426.
6. Sur les suites convergentes de fonctions parfaitement additives d'en-
semble abstrait, Monatsh. fur Math. u. Phys., 40 A933), 427—432.
7. Sur les fonctions d'ensembles. Comptes Rendus du I Congres des Math,
des Pays Slaves. Warsaw A929), 304—313.
8. Sur une generalisation des integrates de M. J. Radon, Fund. Math.,
15 A930), 131—179.
9. Contribution a la theorie des fonctionelles lineaires en connexion avec
la theorie de la mesure des ensembles abstraits, Mathematica, Cluj,
5 A931), 130—141.
10. Sur les operateurs normaux maximaux dans l'espace hilbertien separable
et complet, I, II.
I. С R. Acad. Sci, Paris, 238 A954), 1373—1375.
II. Там же, 238 A954), 1467—1469.
Николеску (Nicolescu M.)
1. On the criterion of compactness of A. Kolmogorov, Acad. Republ.
Pop. Romane. Bui. Sti. Ser. Mat. Fiz. Chim., 2 A950), 407—415.
Никольский В. Н.
1. Наилучшее приближение и базис в пространстве Фреше, ДАН СССР,
59 A948), 639—642.
Никольский СМ.
1. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах,
Изв. АН СССР, сер. матем., 7 A943), 147—166.
Н и м а н (N у m a n В.)
1. On the one-dimensional translation group and semi-group in certain
function spaces. Dissertation. University of Uppsala A950). Math. Rev.,
12 A951), 108.
Ниренберг (Nirenberg L.)
1. Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Comm. Pure
Appl. Math., 8 A955), 648—674.
2*. On nonlinear elliptic partial differential equations and Holder conti-
nuty Comm, Pure Appl. Math., 6 A953), 103—157.
Есть русский перевод: Математика, 3 : 3 A959), 9—55.
Нусбаум (Nussbaum А. Е.), см. Д е в и н а ц
Ньютон и Йост (Newton R. G., Jost R.)
1. The construction of potentials from the S-matrix for systems of diffe-
differential equations, //. Nuovo Cimento A0), 1 A955), 590—622.
Огасавара (Ogasawara T.)
1. Compact metric Boolean algebras and vector lattices, J. Sci. Hirosima
Univ. Ser. Л, 11 A942), 125—128.

828 Библиография
2. On Frechet lattices, I. J. Sci. Hirosima Univ. Ser. A, 12, A943), 235 —
248 (Японск.; Math. Rev., 10 A949), 544).
3. Remarks on a vector lattice with a metric function, J. Sci. Hirosima
Univ. Ser. A, 13 A944), 317—325 (Японск.; Math. Rev., 10 A949).
544.)
4. Commutativity of Archimedean semi-ordered groups, J. Sci. Hirosima
Univ. Ser. A, 12 A943), 249—254. (Японск.; Math. Rev., 10 A949),
544.)
5. Theory of vector lattices, I, II.
I. J. Sci. Hirosima Univ. Ser. A, 12 A942), 17—35.
II. Там же 12 A943), 217—234 (Японск., Math. Rev., 10 A949),
545.)
6. Some general theorems and convergence theorems in vector lattices,
J. Sci. Hirosima Univ. Ser. A, 14 A949), 14—25.
7. On the integral representation of unbounded self-adjoint transfor-
transformations, J. Sci. Hirosima Univ. Ser. A, 6 A936) 279—281.
Огасавара и Маеда (Ogasawara Т., М a e d a F.)
1. Representation of vector lattices, J. Sci. Hirosima Univ. Ser. A, 12
A942), 17—35 (Японск.; Math. Rev., 10 A949) 544.)
2. Remarks on representation of vector lattices, J. Sci. Hirosima Univ.
Ser. A, 12 A934), 217—234 (Японск.; Math. Rev., 10 A949), 594.)
Oja э н (A u d i n M.)
1. Sur certaines singularites des transformations lineaires bornees, С R.
Acad. Sci., Paris, 238 A954), 2221—2222.
Ок'стоби ( Ox to by J. C.)
. Ergodic sets, Bull. Amer. Math. Soc, 58 A952), 116 — 136.
Есть русский перевод: УМ И, 8, вып. 5 A953).
2. On the ergodic theorem of Hurewicz, Ann. of Math. B) 49 A948), 872 —
884.
3. Invariant measures in groups which are not locally compact, Trans.
Amer. Math. Soc, 60 A946), 215—237.
4. The category and Borel class of certain subsets of Lp, Bull. Amer. Math.
Soc., 43 A937), 245—248.
Окстоби и У лам (О х t о b у J. С., Ulam S.)
1. On-the existence of a measure invariant under a transformation, Ann
of Math. B) 40 A939), 560—566.
O'H и л л (O'N e i 1 1 B.)
1. Essential sets and fixed points, Amer. J. Math., 75, A953), 497—509.
Oho (O n о 1.)
1. A generalisation of the Hahn-Banach theorem, Nagoya Math. J., 6
A953), 171 — 176.
Орихара (Orihara M.)
1. On the regular vector lattice, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 A942), 525—
529.
Орлич (Orlicz W.), см. также Алексевич, Бирнбаум
и М а з у р
1. Ober unbedingte Konvergenz in Funktionraumen, I, II.
I. Siudia Math., 4 A933), 33—37.
II. Там же, 4 A933), 41—47.
2. Ober konjugierte Exponentenfolgen, Studia Math., 3 A931), 200—211.
3. Ober eine gewisse Klasse von Raumen von Typus B, Bull. Int. Acad.
Polon. Sci. Ser. A A932), 207—220.
4. Ein Satz iiber die Erweiterung von linearen Operationen, Studia. Math.,
5 A934), 127—140.
5. Sur les operations lineaires dans l'espace des fonctions bornees, Studia
Math., 10 A948), 60—89.
6. Linear operations in Saks spaces (I), Studia Math., 11 A950), 237—272.

Библиография 829
7. Ober Folgen linearen Operationen, die von einem Parameter abhangen.
Studia Math., 5 A934), 160—170.
8. Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen, I—VI
I. Studia Math., 1 A929), 1—39.
II. Там же, 1 A929), 241—255.
III. Bull. Int. Acad. Polon. Sci. Scr. A, 8—9 A932), 229—238.
IV. Studia Math., 5 A934), 1 — 14.
V. Там же, 6 A936), 20—38.
VI. Там же, 8 A939), 141—147.
Орлов С. А.
1. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов, ДАН
СССР, 92 A953), 483—486.
Оухар (О w с h а г М.)
1. Wiener integrals of multiple variations, Proc. Amer. Math. Soc, 3 A952),
459—470.
О x и p a (O h i r a K.)
1. On a certain complete, separable and metric space, Mem. Fac. Sci
Kyusyu Univ. A, 6 A951), 9—15.
2. On some characterizations of abstract Euclidean spaces by properties
of orthogonality, Kumamoto J. Sci. Ser. A, 1, no. 1 A952) 23—26
Паркер (Parker W. V.)
1. Limits to the characteristic roots of a matrix, Duke Math. J'., 10 A943).
479—482.
Паули (P a u 1 i W.)
1. Мезонная теория ядерных сил, М., 1947 A946).
П е ано (Peano G.)
1. Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari, Atti R. Ace.
Sci. Torino, 22 A887), 293—302. Немецкий перевод: Math. Ann ,
32 A888), 450—456.
П"е й с (P a i s А.), см. Йост
Пек (Peck J. E. L.)
1. An ergodic theorem for a noncommutative semi-group of linear opera-
operators, Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951), 414—421.
Петер и Вей ль (Peter F., Weyl H.)
1. Die Vollstandigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen
kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann., 97 A927), 737—755.
Петтис (Pettis B. J.), см. также Д а н ф о р д
1. A note on regular Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 44 A938),
420—428.
2. A proof that every uniformly convex space is reflexive, Duke Math
J., 5 A939), 249—253.
3. Remarks on a theorem of E. J. Me. Shane, Proc. Amer. Math. Soc , 2
A951), 166 — 171.
4. On integration in vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 44 A938),
277—304.
5. On continuity and openness of homomorphisms in topological groups,
Ann. of Math. B) 52 A950), 293—308.
6. Absolutely continuous functions in vector spaces (abstract), Bull.
Amer. Math. Soc, 45 A939), 677.
7. Differentation in Banach spaces, Duke Math. J., 5 A939), 254—269.
8. Linear functional and completely additive set functions, Duke Math
J., 4 A938), 552—565.
Пиконе (Picone M.)
1. Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione
differenziale del seconde ordine, Ann. R. Scuola Norm. Sup. Pisa A) 11
A910), 1—141.

830 Библиография
Пинкерле (Pincherle S.)
1. Funktionaloperationen und -Gleichungen, Eпсуklopddie der Math. Wiss.
II, A, 11 A905), 761—817. Французский перевод: Equations et opera-
operations fonctionnelles", Enc. des sciences math., II, Vol. 5, fasc. 1, no. 26,
1—86.
П и н с к е р А. Г., см. также Канторович Л. В.
1. Об одном классе операций в К-пространствах, ДАН СССР, 36 A942)
243—246.
2. О нормированных /(-пространствах, ДАН СССР, 33 A941), 12—15.
3. Универсальные /(-пространства, ДАН СССР, 49 A945), 8—11.
4. Разложение К-пространств на элементарные пространства, ДАН
СССР, 49 A945), 168—171.
5. О сепарабельных /(-пространствах, ДАН СССР, 49 A945), 327—328.
6. Вполне линейные функционалы в /(-пространствах, ДАН СССР,
55 A947), 303—306.
7. О конкретных представлениях линейных полуупорядоченных про-
пространств, ДАН СССР, 55 A947), 383—386.
Пирс (Pierce R.)
1. Cones and the decomposition of functionals, Math. Mag. 24, A951)
117—122.
П итт (P i t t H. R.)
1. Some generalizations of the ergodic theorem., Proc. Cambridge Phil.
Soc, 38 A942), 325—343.
Планшерель (Plancherel M.)
1. Integraldarstellungen willkurlicher Funktionen, Math. Ann., 67 A909),
519—543.
Плеснер А. И.
1. О полуунитарных операторах, ДАН СССР, 25 A939), 708—710.
2. Спектральная теория линейных операторов, УМН, 9 A941), 3—125.
Плеснер А. И. иРохлин В. А.
1. Спектральная теория линейных операторов, УМН, 1 : 1 (И), A946)»
171 — 191.
Повзнер А. Я.
1. О некоторых приложениях одного класса гильбертовых пространств
функций, ДАН СССР, 74 A950), 13—16.
2. О спектре ограниченных функций, ДАН СССР, 57 A947), 755—758.
3. О спектре ограниченных функций и преобразовании Лапласа, ДАН
СССР, 57 A947), 871—874.
4. О одной общей формуле обращения типа Планшереля, ДАН СССР,
57, A947), 123—125.
5. Об уравнениях типа Штурма — Лиувилля и позитивных функциях,
ДАН СССР, 43 A944), 387—391.
6. О дифференциальных уравнениях типа Штурма — Лиувилля на
полуоси, Матем. сб., 23 F5) A948), 3—52.
7. О методе направляющих функционалов М. Г. Крейна, Хрк., Зап.
Матем. о-ва D) 20 A950), 43—52.
8. О дифференцировании спектральной функции уравнения Шредин-
гера, ДАН СССР, 79 A951), 193—196.
Пойа (Р 6 1 у a G.), см. также X а р д и
1. Remark on Weyl's note «Inequalities between the two kinds of eigen
values of a linear transformation». Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 36
A950), 49—51.
Поллард (Pollard H.)
1. Integral transforms, Duke Math. J., 13 A946), 307—330.
Понтрягин Л. С.
1. Топологические группы, изд. 2-е, М., Гостехиздат, 1954.
Потапов В. П., см. Лившиц М. С.

Библиография 831
П о т т е р (Potter R. L.)
1. On self-adjoint differential equations of the second order, Pacific J.
Math., 3 A953), 467—491.
Прайс (Price G. B.)
1. The theory of integration, Trans. Amer. Math. Soc, 47 A940), 1—50.
Прюфер (Prufer H.)
1. Neue Herleitung der Sturm-Liouvilleschen Reihenentwicklung stetiger
Funktionen, Math. Ann., 95 A926), 499—518.
П т а к (Р t a k V.)
1. О полных топологических линейных пространствах, Чехосл. Машем,
журн., 3 G8), A953), 301—364.
2. On a theorem of W. F. Eberlein, Studia Math., 14 A954), 276—
284.
3. Weak compactness in convex topological linear spaces, Gehoslovack.
Mat. Z. 4 G9) A954), 175—186.
4*. Completness and the open mapping theorem, Bull. Soc. Math. France,
86 A958), 41—74. Есть русский перевод: Математика, 4:6 A960),
39-67. . .
5*. On the closed graph theorem., Чехосл. Матем. ж., 9 (84), A959),
523—527. Есть русский перевод: Математика, 4:6 A960), 69—72.
Пуанкаре (Poincare H.)
• 1. Sur les groupes continus, Cambridge Phil. Trans., 18 A899), 220—255.
Перепечатано в Oeuvres, 3, 173—212.
2. Sur les equations de la physique mathematique, Rend. Circ. Mat. Paler-
Palermo, 8 A894), 57—156.
Пул ( Р о о 1 e E. G. С.)
I. Introduction to the theory of linear differential equations, Oxford
Univ. Press, 1936.
Путнам (Putnam С R.), см. также Хартман П.
1. On normal operators in Hilbert space, Amer. J. Math., 73 A951), 357—
362.
2. On commutators of bounded matrices, Amer. J. Math., 93 A951),
127—131.
3. On the spectra of commutators, Proc. Amer. Math. Soc, 5 A954),
929—931.
4. An application of spectral theory to a singular calculus of variations
problem, Amer. J. Math., 70 A948), 780—803.
5. The cluster spectra of bounded potential, Amer. J. Math., 71 A949),
612—620.
6. An oscillation criterion involving a minimum principle, Duke Math.
J., 16 A949), 633—636.
7. On the spectra of certain boundary value problems, Amer. J. Math., 71
A949), 109—111.
8. On isolated eigenfunctions associated with bounded potentials, Amer.
J. Math., 72 A950), 135—147.
9. The comparison of spectra belonging to potentials with a bounded
difference, Duke Math. J., 18 A951), 267—273.
10. On the least eigenvalue of Hill's equation, Quart. Appl. Math., 9
A951), 310—314.
II. The spectra of quantum-mechanical operators, Amer. J. Math., 74
A952) 377—388.
12. On the unboundness of the essential spectrum, Amer. J. Math., 74
A952), 578—585.
13. A sufficient condition for an infinite discrete spectrum, Quart. Appl.
Math., 11 A953), 484—486.
14. On the gap in the spectrum of the Hill equation, Quart. Appl. Math.,
11 A953), 496—498.

832 Библиография
15. Integrable potentials and half-line spectra, Proc. 'Amer. Math, Soc.y
6 A955), 243—246.
16. On the continuous spectra of singular boundary value problems, Сапа
dian J. Math., 6 A954), 420—426.
17. Note a limit-point criterion, J. London Math. Soc, 29 A954), 126—128.
18. Necessary and sufficient conditions for the existence of negative
spectra, Quart. Appl. Math., 13 A955), 335—337.
П э л и (Paley R. E. А. С), см. также Л и т л в у д
1. A proof of a theorem on bilinear forms, J. London Math. Soc, 6 A931),
226—230.
2. A note on bilinear forms, Bull. Amer. Math. Soc, 39 A933), 259—260.
3. Some theorems on orthogonal functions, Studia Math., 3 A931), 226—238.
Пэли и Винер (Paley R. E. А. С, Wiener N.)
1. Fourier transforms in the complex domain. Amer. Math. Soc. Collo-
Colloquium Pub., no. 19, New York, 1934.
Пэли, Винер и Зигмунд (Paley R. Е. А. С, Wiener N.t
Z у g m u n d A.)
1. Notes on random functions, Math. Zeit., 37 A933), 647—668.
Рабинович Ю. Л.
1. О непрерывной зависимости от параметра спектра симметрического
линейного интегрального оператора, М., Учен. зап. ун-та, 148;
Математика, 4 A951), 181 — 191.
Радон (Radon J.)
1. Uber lineare Funktionaltransformationen und Funktionalgleichungen,
S.-B. Akad. Wiss. Wien, 128 A919), 1083—1121. Русский перевод:
УАШ, 1, A936), 200—227.
2. Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen,
S.-B. Akad. Wiss. Wien, 122 A913), 1295—1438.
Райков Д. А., см. также Гельфанд И. М.
1. Гармонический анализ на коммутативных группах с мерой Хаара
и теория характеров, Труды Матем. ин-та АН СССР, 14 A945).
2. Новое доказательство единственности меры Хаара, ДАН СССР, 34
A942), 231—233.
3. Положительно определенные функции на коммутативных группах
с инвариантной мерой, ДАН СССР, 28 A940), 296—300.
Райнхарт (Rinehart R. F.)
1. The equivalence of definitions of a metric function, Amer. Math. Month-
Monthly, 62 A955), 395—414.
Райт (Wright F. B.)
1. Absolute valued algebras, Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A., 39 A953),
. 330—332.
Рам'асвами (Ramaswami V.)
1. Normed algebras, isomorphism and the associative postulate, J. Indian
Math. Soc (N.S.) 14 A950), 47—64.
Рапопорт И. М.
1. О сингулярной краевой задаче для обыкновенных линейных дифферен-
дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 79 A951), 21—24.
2. Об оценке собственных значений эрмитовых операторов, ДАН СССР,
103 A955), 199—202.
Р а с т о н (Ru st on A. F.)
1. A note on convexity in Banach spaces, Proc. Cambridge Philos. Soc,
45 A949), 157—159.
2. On the Fredholm theory of integral equations for operators belonging
to the trace class of a general Banach space, Proc London Math. Soc
B) 53 A951), 109 — 124.
3. Direct products of Banach spaces and linear functional equations,
Proc London Math. Soc. C) 1 A951), 327—384.

Библиография 838
4. A short proof of a theorem on reflexive spaces, Proc. Cambridge Philos.
Soc, 45 A949), 674.
5. Formulae of Fredholm type for compact linear operations on a general
Banach space, Proc. London Math. Soc. C) 3 A953), 368—377.
6. Operators with a Fredholm theory, J. London Math. Soc.y 29 A954),
318—326.
7*. Conjugate Banach spaces, Proc. Cambridge Philos. Soc, 53 A957),
576—580. Есть русский перевод: Математика, 3 : 6 A959), 91—96.
рейтер (R e i t e г Н. J.)
1. Investigations in harmonic analysis, Trans. Amer. Math. Soct 73
A952), 401—427.
2. On a certain class of ideals in the L1-algebra of a locally compact abelian
group, Trans. Amer. Math. Soc, 75 A953), 505—509.
рей Пастор (R ey Pastor J.)
1. Functional analysis and the general theory of functions, JReale Accade-
mia dy Italia, Fondezione Allesandro Volta. AH del Convegni., 9 A939),
339—372, Rome 1943.
P e л л и x (R e 1 1 i с h F.)
1. Storungstheorie der Spektralzerlegung, Proc. Internat. Congress ol
Math. Cambridge, Mass. 1 A950), 606—613.
2. Storungstheorie der Spektralzerlegung, I—V.
I. Math. Ann., 113 A936), 600-619.
II. Там же, 113 A936), 677—685.
III. Там же, 116 A939), 555—570.
IV. Там же, 117 A940—1941), 356—382.
V. Там же, 118 A941 — 1943), 462—484.
3. Spektraltheorie in nichtseparabeln Raumen, Math. Ann., 110 A935),
342—356.
4. Die zulassigen Randbedingungen bei den singularen Eigenwertproble-
men der mathematischen Physik, Math. Zeit, 49 A944), 702—
723.
5. Die Eindeutigkeitssatz fur die Losungen quantenmechanische Vertau-
schungsrelationen, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Kl.
A946), 107—115.
6. Halbbeschrankte gewohnliche Differentialoperatoren zweiter Ordnung,
Math. Ann., 122 A951), 243—368.
7. Spectral theory of a second order ordinary differential equation. InsK
Math. Sci., New York University, 1951.
Рид (Reid W. T.)
1. Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hi)-
bert space, Duke Math. J., 18 A951), 41—56.
2. Expansion problems associated with a system of linear integral equa-
equations, Trans. Amer. Math. Soc, 33 A931), 475—485.
3. A new class of self-adjoint boundary value problems, Trans. Amer
Math. Soc, 52 A942), 381—425.
Рикабарра (Ricabarra R. А.), см. К о т л я р.
Р и к к а р т (R i с k a r t С. Е.)
1. Integration in a convex linear topological space, Trans. Amer. Math.
Soc, 52 A942), 498—521.
2. An abstract Radon-Nikodym theorem, Trans. Amer. Math. Soc, 5f>
A944), 50—66.
3. Decomposition of additive set functions, Duke Math. J., 10 A943),
653—665.
4. The singular elements of a Banach algebra, Duke Math. J.> 14 A947),
1063—1077.
5. Isomorphic groups of linear transformations, Amer. J. Math., 72
A950), 451—464.
53 Заказ № 132 4

$34 Библиография
6. Banach algebras with an adjoint operation, Ann. of Math. B) 47
A946), 528—550.
7. The uniqueness of norm problem in Banach algebras, Ann. of, Math.
B) 51 A950), 615—628.
8. Representation of certain Banach algebras on Hilbert space, Duke
Math. J., 18 A951), 27-39.
9. On spectral permanence for certain Banach algebras, Proc. Amer.
Math. Soc, 4 A953), 191 — 196.
10. General theory of Banach algebras. The university series in highes
mathematics, Princeton, 1960.
Рис (R i s s J.)
1. Transformation de Fourier des distributions, C. R. Acad. Sci. Paris,
229 A949), 12—14.
Рисе M. (R i e s z M.)
1. Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionnelles lineaires,
Ada Math., 49 A926), 465—497.
2. Sur les ensembles compacts de fonctions sommables, Ada Sci. Math.
Szeged, 6 A933), 136—142.
3. Sur les1 fonctions conjugees, Math. Zeit., 27 A927), 218—244.
4. L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy, Ada
Math., 81 A949), 1—223.
Рисе Ф. (R i e s z F.)
1. Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre, Atti det IV Congresso
Intern, dei Matem., Bologna, 2 A908), 18—24.
2. Untersuchungen uber Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann.
69 A910), 449—497.
3. Sur certains systemes singuliers d'equations integrates, Ann. Ecole
Norm. Sup. C) 28 A911), 33—62.
4. Ober lineare Funktionalgleichungen, Ada Math., 41 A918), 71—98.
Есть русский перевод: УМН, 1 A936), 175—199.
5. Sur les systemes orthogonaux de fonctions, С R. Acad. Sci. Paris,
144 A907), 615—619.
6. Les systemes d'equations lineaires a une infinite d'inconnues. Paris,
1913.
7. Sur les operations fonctionnelles lineaires, С R. Acad. Sci. Paris,
149 A909), 974—977.
8. Sur Thebrie des Hilbertschen Raumes, Ada Sci. Math. Szeged, 7 A934),
34—38.
9. Sur une espece de geometrie analytiques des systemes de fonctions
sommables, С R. Acad. Sci. Paris, 144 A907), 1409—1411.
10. Demonstration nouvelle d'un theoreme concernant les operations
1 fonctionnelles lineaires, Ann. VEcole Norm. Sup. C) 31 A914), 9—14.
11. Sur la representation des operations fonctionnelles lineares par des integ-
ralesdeStieltjes, Proc. Roy. Physiog. Soc. Lund., 21, 16A952), 145—151.
12. Sur les suites de fonctions mesurables, С R. Acad. Sci. Paris, 148
A909), 1303—1305.
13. Sur la convergence en moyenne, I, II.
I. Ada Sci. Math. Szeged, 4 A928—1929), 58—64.
II. Там же A928—1929), 182—185.
14. Ober die linearen Transformationen des komplexen Hilbertschen
Raumes, Ada Sci. Math. Szeged, 5 A930—1932), 23—54.
15. Some mean ergodic theorems, J. London Math. Soc, 13 A938), 274—278.
16. Another proof of the mean ergodic theorem, Ada Sci. Math. Szeged,
10 A941—1943), 75—76.
17. Sur la theorie ergodique des espaces abstraits, Ada Sci. Math. Szeged,
' 10 A941 — 1943), 1—20.
Л8. Sur la theorie ergodique, Comment. Math. Helv., 17 A945), 221—239.

Библиография 835
19. On a recent generalization of G. D. Birkhoff's ergodic theorem, Ada
Sci. Math. Szeged, 11 A946—1948), 193—200.
20. Ober quadratische Formen von unendlich vielen Veranderlichen,
Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl A910), 190—195.
21. Sur les fonctions des transformations hermitiennes dans l'espace de
Hilbert, Ada Sci. Math. Szeged, 7 A935), 147—159.
22. Ober Satze von Stone und Bochner, Ada Sci. Math. Szeged, 6 A933),
184—198.
23. Sur quelques notions fondamentales dans la theorie generale des ope-
operations lineaires, Ann. of Math. B) 41 A940), 174—206. Русский
перевод: УМН, 1 : 2 B) A946), 147—178.
Рисе Ф. и Лорх (R i e s z F., Lorch E. R.)
1. The integral representation of unbounded self-adjoint transformations
in Hilbert space, Trans. Amer. Math. Soc, 39 A936), 331—340.
Рисе Ф. и Секефальв и-Н а д ь (R i e s z F., S z-N a g у В.)
1. Legons d'analyse fonctionnelle. Akademiai Kiado, Budapest, 1952. [Рус-
[Русский перевод: Лекции по функциональному анализу, М., ИЛ, 1954.]
2. Ober Kontraktionen des Hilbertschen Raumes, Ada Sci. Math. Sze-
Szeged, 10 A941—1943), 202—205.
Роберте (Roberts B. D.)
1. On the geometry of abstract vector spaces, Tdhoku Math. J.t 39 A934),
42—59.
Робертсон А. и Робертсон У. (Robertson A. and W.)
1*. On the closed graph theorem, Proc. Glas. Math. Ass., 3 A956), Part I,
9—12. Есть русский перевод: Математика, 4 : 6 A960), 73—77.
Робисон (Robison G. В.)
1. Invariant integrals over a class of Banach spaces, Paci[ic J. Math., A
A954), 123—150.
Рогозинский (Rogosinski W. W.), см. Макинтайр
Рогозинский и Шапиро (Rogosinski W. W., Sha-
Shapiro H. S.)
1. On certain extremum problems for analytic functions, Ada Math., 90
A953), 287—318.
Роджерс (Rogers С. А.), см. Дворецкий
Розенблат (Rosenblatt M.)
1. On a class of Markoff processes, Trans. Amer. Math. Soc.t 71 A951),
120—135.
Розенблюм (Rosenbloom P. C.)
1. Elements of mathematical logic. Dover Publications, New York, 1950.
2. Perturbations of linear operators in Banach spaces, Arch. Math., 6
A955), 89—101.
Розенталь (Rosenthal А.), см. Гартогс и Хан
Р о с с е р (R о s s e r J. В.)
1. Logic for mathematicians. McGraw-Hill Co., New York, 1953.
Рота (Rota G. C.)
1. Extension theory of ordinary linear differential operators. Disserta-
Dissertation, Yale University, 1956.
Роте (R о t h e E. H.)
1. Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in Bana-
schen Raumen, Compositio Math., 5 A937—1938), 177—196.
2. Topological proofs of uniqueness theorems in the theory of differential
and integral equations, Bull. Amer. Math. Soc, 45 A939), 606—613.
3. Critical points and gradient fields of scalars in Hilbert space, Ada
Math., 85 A951), 73—98.
4. Gradient mappings, Bull. Amer. Math. Soc, 59 A953), 5—19. • '
5. Completely continuous scalars and variational methods, Ann. оЦ Math.
B), 47 A946), 58a—592.
53*

836 Библиография
6. Gradient mappings and extrema in Banach spaces, Duke Math. J.t 15
A948), 421—431.
7. Mapping degree in Banach spaces and spectral theory, Math. Z., 63
A955), 195—218.
Рохлин В. А., см. также Плеснер А. И.
1. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп, Изв. АН СССР,
сер. матем., 13 A949), 329—340.
2. Избранные вопросы метрической теории динамических систем, УМН,
4 : 2 C0), A949), 57—128.
3. О разложении динамической системы на транзитивные компоненты,
Матем. сб., 25 F7), A949), 235—249.
4*. Об энтропии метрического автоморфизма, ДАН СССР, 124 A959),
980—983.
5*. Об основных понятиях теории меры, Матем. сб., 25 F7), A949),
107—150.
6*. Новый прогресс в теории преобразований с инвариантной мерой, УМН,
15:4 A960), 3—26.
Рубин и Стоун (Rubin H., Stone М. Н.)
1. Postulates for generalizations of Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc, 4
A953), 611—616.
P у д и н (R u d i n W.)
1. Analyticity and the maximum modulus principle, Duke Math. J., 20,
A953), 449—457.
Рутицкий Я. Б., см. Красносельский М. А.
Р у т м а н М. А. см. Крейн М. Г. и Мильман Д. П.
Рутовиц (Rutovitz D.)
1. On the Lp-convergence of eigenfunction expansions, Quart. J. Math.
Oxford B) 7, A956), 24—38.
Рыл ь-Н арджевский (R у 1 1-N ardzewski С), см. также
X а р т м а н.
I. On the ergodic theorems, I, II.
I. Generalized ergodic theorems, Stadia Math., 12 A951), 65—73.
II. Ergodic theory of continued fractions, там же, 12 A951), 74—79.
Сакс (Saks S.), см. также Банах
1. Теория интеграла, М., ИЛ, 1949 A937).
2. On some functionals, I, II.
I. Trans. Amer. Math. Soc, 35 A933), 549—556.
II. Там же, 41 A937), 160—170.
3. Addition to the note on some functionals, Trans. Amer. Math. Soc,
35 A933), 967—974.
4. Integration in abstract metric spaces, Duke Math. J., 4 A938), 408—411.
5. Sur les fonctionnelles de M. Banach et leurs applications aux developp-
ments de fonctions, Fund. Math., 10 A928), 189 — 196.
Сакс и Тамаркин (Saks S., Tamarkin J. D.)
1. On a theorem of Hahn-Steinhaus, Ann. of Math. B) 34 A933), 595—601.
С а л е м (Salem R.)
1. Sur une extension du theoreme de convexite de M. Marcel Riesz, Colloq.
Math., 1 A947), 6—8.
Салем и Зигмунд (Salem R., Z у g m u n d A.)
1. A convexity theorem, Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34 A948), 443—447.
Сан Хуан (San Juan R.)
1. Generalization of a theorem of Steinhaus on linear functionals, Las
Ciencias. Madrid, 17, no. 2, 205—208 A952). Math. Rev., 14 A953),
657.
С а р д ж е н т (Sargent W. L. C.)
1. On linear functionals in spaces of conditionally integrable functions,
Quart. J. Math., Oxford. Ser. B) 1 A950), 288—298.

Библиография 837
2. On some theorems of Hahn, Banach and Steinhaus, J. London Math.
Soc, 28 A953), 438—451.
Cac (Szasz О.), см. также Г и л ь б
1. Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate
von Potenzen, Math. Ann., 77 A915—1916), 482—496.
Себаштья н-и-С и льва (Sebastiao e Silva J.)
1. Integration and derivation in Banach spaces, Univ. Lisboa. Revtsta
Fac. Ci. A. Ci. Mat. B) 1 A950), 117—166. Исправ. A951) 401—402.
Math. Rev., 13 A952), 45.
2. Analytic functions and functional analysis, Portugaliae Math., 9 A950),
1 — 130. Math. Rev. 11 A950), 524.
3. Sui fondamenti della teoria dei funzionali analitici, Portugaliae Math.,
12 A953), 1—47.
4*. Su certe classi di spazi locamente convessi importanti per le applica-
zioni, Rendiconti di matematica e della sue applicazioni, Roma E),
14 A955), 388—410. Есть русский перевод: Математика, 1 : 1
A957), 60—77.
Секефальв и-Н а д ь (S z.-N a g у, В. v о п), см. также Рисе
1. Sur les lattis lineaires de dimension finie, Comm. Math. Helv., 17
A945), 209—213.
2. Perturbations des transformations lineaires fermees, Ada Sci. Math.
Szeged, 14 A951), 125—137.
3. Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Rau-
mes. Ergebnisse der Math., V. 5. J. Springer, Berlin, 1942.
4. Perturbations des transformations autoadjointes dans l'espace de
Hilbert, Comment. Math. Helv., 19 A946—1947), 347—366.
5. On the set of positive functions in L2, Ann. of Math. B), 39 A938),
1—13.
6. On semi-groups of self-adjoint transformations in Hilbert space, Proc,
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 24 A938), 559—560.
7. On uniformly bounded linear transformations in Hilbert space, Ada
Sci. Math. Szeged, 11 A947), 152—157.
8. Sur les contractions de 1 espace de Hilbert, Ada Sci. Math. Szeged*
15 A953), 87—92 [ч. II, там же, 18 A957), 1 — 14. Русский [перевод:
Математика, 3:6 A959), 73—77 и 79-89.]
9. A moment problem for self-adjoint operators, Ada Maih. Acad. Sci.
Hungar., 3 A952), 285—293.
10. Transformations de l'espace de Hilbert, founctions de type positif
sur un groupe, Ada Sci. Math. Szeged., 15 A954), 104 — 114.
11. Prolongements des transformations de l'espace de Hilbert qui sortent
de cet espace. Akad. Kiado, Budapest, 1955 (приложение к Рисе
и Секефальви-Надь [1]).
12. On a spectral problem of Atkinson, Ada Math. Acad. Sci. Hungar.,
3 A952), 61—66.
13. On the stability of the index of unbounded linear transformations,
Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 3 A952), 49—52.
14. Ober messbare Darstellungen Liescher Gruppen, Math. Ann., 112
A936), 286—296.
15. Expansion theorems of Paley — Wiener type, Duke Math. J.t 14
A947), 975-978.
Сигал (Segal I. E.), см. также Д а н ф о р д
1. Postulates for general quantum mechanics, Ann. of Math. B) 48 A947),
q30_948.
2. The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math.
Soc, 61 A947), 69—105.
3. The span of the translations of a function in a Lebesgue space, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 30 A944), 165—169.

838 Библиография
4. An extension of Plancherel's formula to separable unimodular groups,
Ann. of Math. B) 52 A950), 272—292.
5. Decompositions of operator algebras, I, II. Memoirs Amer. Math. Soc.
no. 9 A951).
6. Invariant measures on locally compact spaces, J. Indian Math. Soc.
(N. S.), 13 A949), 105—130.
Сикорский (Sikorski R.)
1. On multiplication of determinants in Banach spaces, Bull. Acad. Polon.
Sci. Cl. Ill, 1 A953), 219—221.
2. On Leianski's determinants of linear equations in Banach spaces,
Studia Math., 14 A953), 24—48.
Сильва Диас (da Silvas Dias C. L.).
1. Topological vector spaces and their application in analytic functional
spaces, Bol. Soc. Mat. Sao Paulo, 5 A950), A952). 1—58. Math.
Rev., 13 A952), 249.
Сильвермен (Silverman R. J.)
1. Invariant linear functions, Trans. Amer. Math. Soc, 81 A956), 411—424.
Сильвестер (Sylvester J. J.)
1. On the equation to the secular inequalities in the planetary theory,
Phil. Mag., 16 A883), 267—269.
2. Sur les puissances et les racines de substitutions lineaires, С R. Acad.
Sci. Paris, 94 A882), 55—59.
Синай Я. Г.
1*. О понятии энтропии динамической системы, ДАН СССР, 124
A959), 768—771.
2*. О потоках с конечной энтропией, ДАН СССР, 125 A959), 1200—
1202.
Сингер и Уэрмер (Singer I. M., Wermer J.)
1. Derivations on commutative normed algebras, Math. Ann., 129 A955),
260—264.
Сирвинт Ю. Ф.
1. Об интегральных преобразованиях пространства L, ДАН СССР, 18
A938), 255—257.
2. Слабая компактность в банаховых пространствах, ДАН СССР, 28
A940), 199—201.
3. Weak compactness in Banach spaces, Studia Math., 11 A950), 71—94.
Сирота (Shi rota T.)
I. A generalization of a theorem of I. Kaplansky, Osaka Math. J., 4 A952),
121—132.
Сире (Sears D. B.)
1. On the solutions of a linear second order differential equation which
are of integrable square, J. London Math. Soc, 24 A949), 207—215.
2. Note on the uniqueness of Green's functions associated with certain
differential equations, Canadian J. Math., 2 A950), 314—325.
3. On the spectrum of a certain differential equation, J. London Math.
Soc, 26 A951), 205—210.
4. An expansion in eigenfunctions, Proc London Math. Soc. B) 53 A951),
396—421.
5. Some properties of a differential equation, J. London Math. Soc, 27
A952), 180—188.
6. Integral transforms and eigenfunction theory, Quart. J. Math. Oxford
B) 5 A954), 47—58.
7. Some properties of a differential equation, /. London Math. Soc, 29
A954), 354—366.
Сире и Титчмарш (Sears D. В., Titchmarsh E. C.)
1. Some eigenfunction formulae, Quart. J. Math. Oxford B) 1 A950),
165—175. ' ......

Библиография 839
Скороход А. В., см. Костюченко
Слободянский М. Г.
1. Об оценке для собственных значений оператора, Прикл. машем.
и мех.у 19 A955), 295—314.
Смайли (Smiley M. F.)
1. A remark on S. Kakutani's characterization of (L)-spaces, Ann. of,
Math. B) 43 A942), 528—529.
Смит (Smith К. Т.), см. также Ароншайн и Доногю
1. Sur le theoreme spectral, С. R. Acad. Sci. Paris, 234 A952), 1024—
1025.
Смитис (Smithies F.)
1. The Fredholm theory of integral equations, Duke Math, J., 8 A941),
Ю7—130.
2. A note on completely continuous transformations, Ann. o| Math. B)
38 A937), 626—630.
Соболев С. Л.
1. Уравнения математической физики, Гостехиздат, М.— Л., 1954.
2. Об одной теореме функционального анализа, Машем, сб., 4 D6),
A938), 471—498.
3*. Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, Л., 1950.
Собчик (Sobczyk А.), см. также Боненблуст
1. Projections in Minkowski and Banach spaces, Duke Math. J., 8 A941),
78—106.
2. Projection of the space (ш) on its subspace (c0), Bull. Amer. Math. Soc.y
47 A941), 938—947.
3. On the extension of linear transformations, Trans. Amer. Math. Soc>
55 A944), 153—169.
Соломяк M. 3.
1. О собственных числах и собственных векторах возмущенного опера-
оператора, ДАН СССР, 90 A953), 29—32.
С о н и н Н. Я.
1. Recherches sur les fonctions cylindriques et le developpement des
fonctions continues en series, Math. Ann., 16 A880), 1—80.
Спарре Андерсен и Йессен (Sparre Andersen E.,
Jessen B.)
1. Some limit theorems on integrals in an abstract set, Danske Vid. Selsk.
Math.-Fys. Medd., 22, No. 14 A946).
2. On the introduction of measures in infinite product sets, Danske Vid.
Selsk. Math.-Fys. Medd., 25, No. 4 A948).
Спрагенс (Spragens W. H.)
1. On series of Walsh eigenfunctions, Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951),
202—204.
Сташевская В. В.
1. Об обратных задачах спектрального анализа для одного класса диф-
дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 93 A953), 409—411.
Стейнберг (Steinberg H.)
1. Diffusion processes with absorption. Thesis, Yale Univ., 1954.
Стеклов В. А.
1. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions definies par
des equations differentielles lineaires du deuxieme ordre, et leurs appli-
applications au probleme du developpement d'une fonction arbitraire en
series procedant suivant les elites fonctions, Харьков, Сообщения
Матем. об-ва B) 10 B—6) A907—1909), 97—199.
Степанов В. В.
1. Sur une extension dun theoreme ergodique, Compositio Math., 3 A936),
239—253.

840 Библиография
Стивенсон и Б а с с а л и (Stevenson A. F., Bassali
W. А.)
1. On the possible forms of differential equation which can be factorized
by theSchrodinger-Infeld method, Canad. J. Math,, 4 A952), 385—395.
Стильтьес (S t i 1 t j e s T. J.)
1. Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci. Toulouse A) 8»
J. A894), 1—22.
Стоке (Stokes G. G.)
1. On the critical values of the sums of periodic series, Trans. Cambridge
Phil. Soc, 8 A849), 533—583.
С т oy н (S t о n e M. H.), см. также Рубин, Леньель, Данфорд
1. Applications of the theory of Boolean rings to general topology, Trans.
Amer. Math. Soc, 41 A937), 375—481.
2. Convexity. Mimeographed lecture notes, The University of Chicago, 1946.
3. Linear transformations in Hilbert space and their applications to analy-
analysis. Amer. Math. Soc. Colloquium Pub., vol. 15, New York, 1932.
4. The generalized Weierstrass approximation theorem, Math. Mag.,
21 A947—1948), 167—184, 237—254.
5. On the compactification of topological spaces, Ann. de la Soc. Polon.
de Math., 21 A948), 153—160.
6. Notes on integration, I—IV.
I. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 34 A948), 336—342.
II. Там же, 34 A948), 447—455.
III. Там же, 34 A948), 483—490.
IV. Там же, 35 A949), 50—58.
7. A general theory of spectra, I, II.
I. Proc. Nat. Acad. USA, 26 A940), 280—283.
II. Там же, 27 A941), 83—87.
8. Boundedness properties in function-lattices, Canad. J. Math., 1 A949),
176—186.
9. The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer.
Math. Soc, 40 A936), 37—111.
10. Linear transformations in Hilbert space, I—III.
I. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 15 A929), 198—200.
II. Там же, 15 A929), 423—425.
III. Там же, 16 A930), 172—175.
11. On the theorem of Gelfand-Mazur, Ann. Soc Polon. Math., 25 A952),
238—240 A953).
12. On the foundations of harmonic analysis, Proc. Roy. Physiog. Soc
Lund, 21, no. 17 A952), 152—172.
13. On unbounded operators in Hilbert space, J. Indian Math. Soc (N.S.),
15 A951), 155—192, A952).
14. On a theorem of Polya, J. Indian Math. Soc (N.S.), 12 A948), 1—7.
15. The algebraization of harmonic analysis, Math. Student, 17 A949),
81—92.
16. On one-parameter unitary groups in Hilbert space, Ann. of, Math.
B) 33 A932), 643—648.
17. Certain integrals analogous to Fourier integrals, Math. Zeit., 28 A928),
654—676.
18. An unusual type of expansion problem, Trans. Amer. Math. Soc,
26 A924), 335—355.
19. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff, Trans. Amer.
Math. Soc, 28 A926), 695—761.
20. Irregular differential systems of order two and the related expansion
problem, Trans. Amer. Math. Soc, 29 A927), 23—53.
21. The expansion problems associated with regular differential systems
of the second order, Trans. Amer. Math. Soc, 29 A927), 826—844.

Библиография 841
Стюарт (Stewart F. M.)
1. Integration in noncommutative systems, Trans. Amer. Math. Soc> 68
A950), 76—104.
Суноути Г. (Sunouchi G.), см. также Идзуми
1. On the sequence of additive set functions, J. Math. Soc. Japan, 3 A951),
290—295.
Суноути X. (Sunouchi H.)
1. On integral representations of bilinear functionals, Proc. Japan Acad.,
27 A951), 159—161.
Суноути С. (Sunouchi S.), см. Накамура
Сухомлинов Г. А.
1. О продолжении линейных функционалов в комплексном и кватер-
нионном линейном пространстве, Машем. Сб., 3 D5), 353—358 A938).
Гагамлицкий (Tagamlitzki Y.)
1. Sur quelques applications de la theorie generale des espaces vectoriels
partiellement ordonnes, Annuaire (Godiunik) Fac. Sci. Phys. Math.,
Univ. Sofia, Livre, 1, Partie II, 45 A949), 263—286.
2. Zur Geometrie des Kegels in den Hilbertschen Raumen, Annuaire
(Godisnik) Fac. Sci. Phys. Math., Univ. Sofia, Livre, 1, Partie II, 47
A952), 85—107.
Гакахаси (Takahashi T.)
1. On the compactness of the function-set by the convergence in mean of
general type, Stadia Math., 5 A934), 141—150.
Галдыкин А. Т.
1. О линейных уравнениях в гильбертовом пространстве, Машем, сб.,
29 G1), A951), 529—550; Исправ. там же, 30 G5), A952), 463.
Гамаркин (Tamarkin J. D.), см. также Данфорд, Сакс,
Хилле, Шохат.
1. On the compactness of the space Lp, Bull. Amer. Math. Soc, 38 A932),
79—84.
2. Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires
ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier, Rend. Circ.
Mat. Palermo, 24 A912), 345—382.
3. Some general problems of the theory of ordinary linear differential
equations and expansions of an arbitrary function in a series of funda-
fundamental functions, Math. Zeit., 27 A927), 1—54.
Гамаркин и Зигмунд (Tamarkin J. D., Zygmund A.)
1. Proof of a theorem of Thorin, Bull. Amer. Math. Soc, 50 A944), 279—282.
f ейлор (Taylor A. E.), см. также Б о х н е р.
1. The extension of linear functionals, Duke Math. J., 5 A939), 538—547
2. The weak topologies of Banach spaces, Revista Ci., Lima, 42 A940),
355—366; 43 A941), 465—474; 44 A942), 45—63.
3. The weak topologies of Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
25 A939), 438—440.
4. On certain Banach spaces whose elements are analytic functions,
Adas Acad. Ci. Lima, 12 A949), 31—43.
5. Weak convergence in the space H*>, Duke Math. J., 17 A950), 409—418.
6. New proofs of some theorems of Hardy by Banach space methods,
Math. Mag., 23 A950), 115—124.
7. Banach spaces of functions analytic in the unit circle, I, II.
I. Studia Math., 11 A950), 145—170.
II. Там же, 12 A951), 25—50.
8. Conjugations of complex linear spaces, Univ. California Publ. Math.
(N. S.) 2 A944), 85—102.
9. Spectral theory of unbounded closed operators. Proc. Symposium on
Spectral Theory and Differential Problems A951), 267—275. Oklahoma
Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma.

842 Библиография
10. Analysis in complex Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A943),
652—669.
11. Spectral theory of closed distributive operators, Ada Math., 84 A951),
189—224.
12. The resolvent of a closed transformation, Bull. Amer. Math. Soc, 44
A938), 70-74.
13. Linear operations which depend analytically upon a parameter, Ann.
of Math. B) 39 A938), 574—593.
14. A note on unconditional convergence, Studia Math., 8 A939), 148—
153.
Тейлор и Халбери (Taylor A. E., Hal bury C. J. A.)
1*. General theorems about a bounded linear operator and its conjugate,
J. reine ang. Math., 198 A957), 93—111.
Есть русский перевод: Машем., 3 : 1 A959), 69—89.
Тейхмюллер (Teichmuller О.)
1. Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom? Deutsche Math., 4 A939),
567—577.
2. Operatoren im Wachsschen Raum, /. Reine Angew. Math., 174 A935),
73—124.
Темпль (Temple G.)
1. The computation of characteristic numbers and characteristic functions,
Proc. London Math. Soc. B) 29 A929), 257—280.
Теплиц (Toeplitz О.), см. также Хеллингер и Кете
1. Die linearen vollkommenen Raume der Funktiontheorie, Comment.
Math. Helv., 23 A949), 222—242.
2. Uber allgemeine lineare Mittelbildungen, Prace Math.-Fiz., 22 A911),
113—119.
T и н г л и (T i n g 1 e у A. J.)
1. A generalization of the Poisson formula for the solution of the heat
flow equation, Dissertation. Univ. of Minnesota, 1952.
Титов Н. С
1. Различные виды сходимости элементов и линейных операторов в ба-
наховских пространствах, ДАН СССР, 52 A946), 573—576.
2. К вопросу о различных видах сходимости элементов и линейных опе-
операторов в банаховских пространствах, УМН, 1, вып. 5—6, A946)»
15—16.
Титчмарш (Titchmarsh Е. С), см. также Сире.
1. Теория функций, М., Гостехиздат, 1951 A932).
2. Some theorems of perturbation theory, I—IV.
I. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 200 A949), 34—46.
II. Там же, 201 A950), 473—479.
III. Там же, 207 A951), 321—328.
IV. Там же, 210 A951), 30—47.
3. Введение в теорию интегралов Фурье, М.— Л., Гостехиздат, 1948
A937).
4. Weber's integral theorem, Proc. Lond. Math. Soc. B) 22, A923), 15—28.
5. On expansion in eigenvalues, I—VIII.
I. Proc. Lond. Math. Soc, 14 A939), 274—278.
II. Quart. J. Math. Oxford, 11 A940), 129—140.
III. Там же, И A940), 141 — 145.
IV. Там же, 12 A941), 33—50.
V. Там же, 12 A941), 89—107.
VI. Там же, 12 A941), 154—166.
VII. Там же, 16 A945), 103—114.
VIII. Там же, 16 A945), 115—128.
6. An eigenfunction problem occuring in quantum mechanics, Quart.
J. Math. Oxford, 13 A942), 1—10.

Библиография 843
7. On the eigenvalues of differential equations, J. London Math. Soc, 19
A944), 66—68.
8. On the discreteness of the spectrum associated with certain differential
equations, Ann. Math. Рига Appl. D) 28, A949), 141 — 147.
9. On the uniqueness of Green's function associated with a second order
differential operator, Canadian J. Math.y 1 A949), 191 — 198.
10. Eigenfunction problems with periodic potentials, Proc. Roy. Soc.
London, Ser. Ay 203 A950), 501—514.
11. On the discreteness of spectra of differential equations, Ada Sci.
Math. Szeged 12 Pars В A950), 16—18.
12. On the summability of eigenfunction expansions, Quart. J. Math.
Oxford B) 2 A951), 250—268.
13. Travaux recents sur la theorie des fonctions characteristiques, Bull.
Soc. Roy. Sci. Liege, 20 A951), 543—561.
14. On the convergence of eigenfunction expansions, Quart. J. Math.
Oxford B), 3 A952), 139—144.
15. Some properties of eigenfunction expansions, Quart. J. Math. Ox[ord
B) 5 A954), 59—70.
16. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциаль-
дифференциальными уравнениями 2-го порядка, ч. 1, М., ИЛ., 1960, ч. II, М., ИЛ,
1961 A948).
Тихонов А. Н,
1. Ein Fixpunktsatz, Math. Ann., Ill A935), 767—776.
Томас (Thomas J.)
1. Untersuchungen fiber das Eigenwertproblem
ь ь
Si 0 {x) Ю+Хд (х)у = °> \А (х) yWdx=\B (*) у (*) d*i= °>
а а
Math. Nachr., 6 A951), 229—261.
Томита (Tomita M.)
1. On the regularly convex hull of a set in a conjugate Banach space, Math.
J. Okayama Univ., 3 A954), 143—145.
Торин (Thorin G. O.)
1. Convexity theorems, Comm. Sent. Math. Univ. Lund., no. 9, 1948.
2. An extension of convexity theorem due to M. Riesz, Comm. Sent. Math.
Univ. Lund., no. 4, 1939.
3*. Convexity theorems, These University of Lund, 1948.
Есть русский перевод: Математика, 1 : 3 A957), 41—78.
Торнхейм (Tornheim L.)
1. Normed fields over the real and complex fields, Michigan Math. J.,
1 A952), 61—68.
Трансю (Transue W.), см. Морс М.
Тулайков (Tulajkov A.)
1. Zur Kompaktheit im Raum Lv fur p = 1, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen,
Math.-Phys. Kl. A933), 167—170.
Тьюки (Tukey J. W.)
1. Some notes on the separation of convex sets, Portuaaliae Math., 3 A942),
95—102.
У а й б е р н Дж. (W h у b u r n G. T.)
1. Analytic topology. Amer. Math. Soc. Colloq. Pub., vol. 28, New York, 1942.
2. Open mappings on locally compact spaces, Mem. Amer. Math. Soc,
no. 1, New York, 1950.
Уайберн У. (Whyburn W. M.)
1. Differential equations with general boundary conditions, Bull. Amer.
Math. Soc.y 48 A942), 692—704.

844 Библиография
У а й л де р С. (Wilder С. Е.)
1. Expansion problems of ordinary linear differential equations with
auxiliary conditions at more than two points, Trans. Amer. Math. Soc.
18 A917), 415—442.
2. Problems in the theory of ordinary linear differential equations with
auxiliary conditions at more than two points, Trans. Amer. Math.
Soc.y 19 A918), 157—186.
Уайлдер P. (Wilder R. L.)
1. Introduction to the foundations of mathematics. Wiley, New York, 1952.
Уиддер (Widder D. V.), см. также X и р ш м а н
1. The Laplace transform. Princeton Univ. Press, Princeton, 1941.
2. Inversion formulas for convolution transforms, Duke Math. J., 14
A947), 217—249.
3. The convolution transform, Bull. Amer. Math. Soc, 60 A954), 444 —
456.
Уиддер и Хиршман (Widder D. V., Hirschman I. I.)
1. The inversion of a general class ol convolution transforms, Trans.
Amer. Math. Soc, 66 A949), 135—201.
2. A representation theory for a general class of convolution transforms,
Trans. Amer. Math. Soc, 67 A949), 69—97.
3. Convolution transforms with complex kernels, Pacific J. Math., \
A951), 211—225.
Уилкинз (W i 1 k i n s J. E., Jr.)
I. Definitely self-conjugate adjoint integral equations, Duke Math. J
11 A944), 155—166.
Уинтнер (Wintner А.), см. также Винер и Хартман
1. Spectraltheorie der unendlichen Matrizen. Hirzel, Leipzig, 1929.
2. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen, Math. Z., 30 A929),
228—289.
3. The unboundedness of quantum-mechanical matrices, Physical Rev.»
71 A947), 738—739.
4. (L2)-connections between the kinetic and potential energies of linear
systems, Amer. J. Math., 69 A947), 5—13.
5. On the Laplace-Fourier transcendents occurring in mathematical phy-
physics, Amer. J. Math.y 69 A947), 87—98.
6. Asymptotic integrations of the adiabatie oscillator, Amer. J. Math.,.
69 A947), 251—272.
7. Stability and high frequency, J. Appl. Physics, 18 A947), 941 —
942.
8. Stability and spectrum in the wave mechanics of lattices, Phys. Rev..
72 A947), 81—82.
9. On the normalization of charateristic differentials in continuous speci
ra, Phys. Rev.y 72 A947), 516—517.
10. О the location of continuous spectra, Amer. J. Math., 70 A948).
22—30.
II. Asymptotic integrations of the adiabatie oscillator in its hyperbolic
range, Duke Math. J., 15 A948), 55—67.
12. On Dirac's theory of continuous spectra, Phys. Rev., 73.A948), 781— 785.
13. A new criterion for non-oscillatory differential equations, Quart. Appl.
Math., 6 A948), 183—185.
14. A criterion of oscillatory stability, Quart. Appl. Math., 7 A949).
115—117.
15. A priori Laplace transformation of linear differential equations, Amer.
J. Math., 71 A949), 587—594.
16. On almost free linear motions, Amer. J. Math., 71 A949), 595—602.
17. On the smallness of isolated eigenfunctions, Amer. J. Math., 71 A949).
603—611.

Библиография 845
18. A criterion for the non-existence of I2-solutions of a non-oscillatory
differential equation, J. London Math. Soc, 25 A950), 347—351.
19. On the non-existence of conjugate points, Amer. J. Math., 73 A951),
368—380.
20. On linear instability, Quart. Appl. Math., 13 A955), 192—195.
У ит н и (Whitney H.)
1. On ideals of differentiablefunctions, Amer. J. Math., 70 A948), 635—658.
У л а м (U 1 a m S.), см. Мазур и Окстоби.
Умегаки (Umegaki), см. Накамура
Уоллах (Wallach S.)
1. On the location of spectra of differential equations, Amer. J. Math. 70
A948), 833—841.
2. The spectra of periodic potentials, Amer. J. Math., 70 A948), 842—848.
Уолтере (Walters S. S.)
1. The space/yPwith0<p< 1, Proc. Amer. Math. Soc, 1 A950), 800—805
2. Remarks on the space //*\ Pacific. J. Math., 1 A951), 455—471.
У о л ш (W a 1 s h J. L.)
1. On the convergence of the Sturm-Liouville series, Ann. ojS Math. B)
24 A923), 109—120.
2. Uber die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen,
Math. Ann., 96 A926), 430—436.
3. Uber die Entwicklung einer Funktion einer komplexen Veranderlichen
nach Polynomen, Math. Ann., 96 A926), 437—450.
4. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплекс
ной области М., ИЛ, 1961 A935).
У орд (Ward L. Е.)
I. A third order irregular boundary value problem and the associated se-
series, Trans. Amer. Math. Soc, 34 A932), 417—434.
Уэрмер (Wermer J.) См. также Сингер
1. The existence of invariant subspaces,Duke Math. «/.,19 A952), 615—622.
2. Invariant subspaces of bounded operators. Proc. XII Scand. Math,.
Congress, Lund A953).
3. Commuting spectral measures on Hilbert space, Pacific J. Math., 4
A954), 355—361.
4. On invariant subspaces of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc,
3 A952), 270—277.
5. On restrictions of operators, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 860—865.
6. On algebras of continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953),
866—869.
7. On a class of normed rings, Arkiv. for Mat., 2 A953), 537—551.
8. Ideals in a class of commutative Banach algebras, Duke Math. ./.,
20 A953), 273—278.
9. Algebras with two generators, Amer. J. Math., 76 A954), 853—859.
10. Subalgebras of the algebra of all continuous complex-valued functions
on the circle, Amer. J. Math., 78 A956), 225—242.
II. Polynomial approximation on an arc in Cs, Ann. ofi Math. B) 62
A955), 269—270.
Фаге М. К.
1. О симметричности и симметризуемости функции влияния, Матем
сб., 32 G4), A953), 345—352.
2. Характеристическая функция одноточечной краевой задачи для обы-
обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго поряд-
порядка, ДАН СССР, 96, A954), 929—932.
Фантапье (Fantappie L.)
1. La teoria dei funzionali analitici, le sue applicazioni e i suoi possibili
indirizzi, Reale Accademia d'Halia, Fondazion Alessandro Volta, Atti
dei Convegni., 9 A939), 223—279, Rome, 1943.

$46 Библиография
2. L'analisi funzionale nel campo complesso e i nuovi metodi d'integra-
zione delle equazioni a derivate parziali, Rivista Mat. Univ. Parma,
1 A950), 117—120.
3. Le calcul des matrices, С R. Acad. Sci. Paris, 186 A928), 619—621.
Фань Ky (Fan K.)> см. также Б о х н е р
1. Le prolongement des fonctionnelles continues sur un espace semi-ordon-
ne, Rev. Sci., 52 A944), 131—139.
2. Partially ordered additive groups of continuous functions, Ann. of
Math. B) 51 A950), 409—427.
3. Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely
continuous operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 37 A951),
760—766.
4. Les fonctions definies-positives et les fonctions completement mono-
monotones. Gauthier-Villars, Paris, 1950.
5. On a theorem of Weyl concerning eigenvalues of linear transformations
I. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 35, 652—655 A949). II; там же, 36
A950), 31—35.
Ф а р н е л ь (F a r n e 1 1 A. B.)
1. Limits for the characteristic roots of a matrix, Bull. Amer. Math. Soc,
50 A944), 789—794.
Ф е й г а н, см. Камерон
Фейнман (Feynmann R. P.)
1. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev.
Mod. Phys.t 20, no. 2 A948), 367—387.
(Есть русский перевод в сборнике «Вопросы причинности в квантовой
механике». М., 1955.)
Фелл и Келли (Fell J. M. G., Kelly J. L.)
1. An algebra of unbounded operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38
A952), 592—598.
Ф е л л e p (Feller W.)
1. Semi-groups of transformations in general weak topologies, Ann. of
Math. B) 57 A953), 287—308.
2. On the generation of unbounded semi-groups of bounded linear operators,
Ann. of Math. B) 58 A953), 166—174.
3. On positivity preserving semi-groups of transformations on C[rlt r2],
Ann. Soc. Polon. Math., 25 A952), 85—94 A953).
4. Diffusion processes in one dimension, Trans. Amer. Math. Soc, 77
A954), 1—31. (Есть русский перевод: Математика, 2 : 2 A958),
119—146).
5. The parabolic differential equation and the associated semigroup of
transformations, Ann. of Math. B) 55 A952), 468—519.
(Есть русский перевод: Математика, 1 : 4 A957), 105—153.)
6. On second order differential operators, Ann. of Math. B) 61, A955),
90—105.
7. On differential operators and boundary conditions, Comm. Pure Appl.
Math., 8 A955), 203—216.
8*. On equation of the vibrating string, /. Math, and Mech., 8 № 3 A959),
339—348.
Фёльнер (F 0 I n e г Е.), см. Бор
Фенхель (Fenchel W.), см. Боннезен
Ферес (Veress P.)
1. Uber kompakte Funktionenmengen und Bairecshe Klassen, Fund. Math.,
7 A925), 244—249.
2. Uber Funktionenmengen, Ada Math. Sci. Szeged., 3 A927), 177—192.
Фиккен (Ficken F. A.)
1. Note on the existence of scalar products in normed linear spaces, Ann.
of Math. B) 45, 362—366 A944).

Библиография 847
Филлипс (Phillips R. S.), см. также Б о х н е р
1. On weakly compact subsets of a Banach space, Amer. J. Math., 65
A943), 108—136.
2. A characterization of Euclidean spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 46
A940), 930—933.
3. On linear transformations, Trans. Amer. Math. Soc, 48 A940), 516—541.
4. A note on ergodic theory, Proc. Amer. Math. Soc.y 2 A951), 662—669.
5. Spectral theory for semi-groups of linear operators, Trans. Amer. Math.
Soc, 71 A951), 393—415.
6. Perturbation theory for semi-groups of linear operators, Trans. Amer.
Math. Soc, 74 A953), 199—221.
7. Integration in a convex linear topological space, Trans. Amer. Math.
Soc, 47 A940), 114—145.
8. On one parameter semi-groups of linear transformations, Proc. Amer.
Math. Soc, 2 A951), 234—237.
9. Semi-groups of operators, Bull. Amer. Math. Soc, 61 A955), 16—33.
10. An inversion formula for Laplace transforms and semi-groups of linear
operators, Ann. Math. B), 59 A954), 325—356.
11. The adjoint semi-group, Pacific J. Math., 5 A955), 269—283.
12. A decomposition of additive set functions, Bull. Amer. Math. Soc,
46 A940), 274—277.
13. Linear ordinary differential operators of the second order, Div. Elec-
tromag. Res., Inst. Math. Sci., New York Univ., 1952.
Фихтенгольц Г. М.
1. Sur les fonctionnelles lineaires, continues au sens generalise, Матем-
сб., 4 D6), A938), 193—214.
2. Sur une classe d'operations fonctionnelles luneaires, Матем. сб., 4
D6) A938), 215—226.
3. Sur les operations lineaires dans Tespace des fonctions continues, Bull.
Acad. Sci Roy. Belg., E), 22 A936), 26—33.
Фихтенгольц Г. М. и Канторович Л. В.
1. Sur les operations lineaires dans l'espace des fonctions bornees, Studid
Math., 5 A934), 69—98.
2. Некоторые теоремы о линейных функционалах, ДАН СССР, 3, 307—
312 A934).
Ф и ш е л (F i s h e 1 В.)
1. The continuous spectra of certain differential equations, J. London
Math. Soc, 27 A952), 175—180.
Фишер К. (Fischer С. А.)
1. Necessary and sufficient conditions that a linear transformation be com-
completely continuous, Bull. Amer. Math. Soc, 27 A920), 10—17.
2. Linear functional of N-spreads, Ann. oj Math. B) 19 A917—1918),
37—43.
Фишер Э. (Fischer E.)
1. Sur la convergence en moyenne, С R. Acad. Sci. Paris, 144 A907),
1022—1024.
2. Applications d'un theoreme sur la convergence en moyenne, С R. Acad.
Sci. Paris, 144 A907), 1148—1151.
Флейшер (Fleischer I.)
1. Sur les espaces normes non-archimediens, Nederl. Akad. Wetensch. Proc.
Ser. A., 57 A954), 165—168.
Фомин С. В., см. Колмогоров А. Н.
Форд (Ford G. С), см. Мишоу
Форт (Fort M. К., Jr.) %
• 1. Essential and nonessential fixed points, Amer. J. Math., 72 A950),
315—322.

?48 Библиография
Форте (Fortet R.)
1. Remarques sur les espaces uniformement convexes, С R. Acad. Sci.,
Paris, 210 A940), 497—499.
2. Remarques sur les espaces uniformement convexes, Bull. Soc Math.
France, 69 A941), 23—46.
3. Les systemes d'equations lineaires dans les espaces uniformement con-
convexes, С R. Acad. Sci. Paris, 211 A940), 422—423.
4. Les fonctions aleatoires du type Markoff associees a certaines equations
lineaires aux derivees partielles du type parabolique, /. Math. Pures
AppL, 22 A954), 177—243.
Фредгольм (Fredholm I.)
1. Sur une classed'equations fonctionnelles, Acta Math., 27 A903), 365—390.
Фрейденталь (Freudenthal H.)
1. Teilweise geordnete Moduln, Nederl. Akad. Wetensch. Proc, 39 A936),
641—651.
2. Einige Satze uber topologische Gruppen, Ann. of Math. B) 37 A936),
46—56.
3. Uber die Friedrichssche Fortsetzung halbbeschrankter Hermitescher
Operatoren, Nederl. Akad. Wetensch. Proc, 39 A936), 832—833.
Фреше (Frechet M.)
1. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo,
22 A906), 1—74.
2. Les espaces abstraits topologiquement affines, Ada Math., 47 A926).
25—52.
3. Les espaces abstraits. Gauthier-Villars, Paris, 1928.
4. Sur les ensembles de fonctions et les operations lineaires, С R. Acad.
Sci. Paris, 144 A907), 1414—1416.
5. Sur les operations lineaires, I—III.
I. Trans. Amer. Math. Soc, 5 A904), 493—499.
II. Там же, 6 A905), 134—140.
III. Там же, 8 A907), 433—446.
6. Sur les ensemble compacts de fonctions mesurables, Fund. Math., 9
A927), 25—32.
7. Sur les ensembles compacts de fonctions de carres sommables, Ada
Sci. Math. Szeged, 8 A937), 116—126.
8. Sur divers modes de convergence d'une suite de fonctions d'une variab-
variable, Bull. Calcutta Math. Soc, 11 A919 — 1920), 187—206.
9. Essai de geometrie analytique a une infinite de coordonnees, Nouvelles
Ann. de Math. D) 8 A908), 97—116, 289—317.
10. Sur les fonctionnelles bilineaires, Trans. Amer. Math. Soc, 16 A915),
215—234.
Фридман Б. и Мишоу (Friedman В. and Mishoe L. I.)
1. Eigenfunction expansions associated with a non-self adjoint differential
equation, Pacific J. Math., 6 A956), 249—270.
Фридман M. (Friedman M. D.)
1. Determination of eigenvalues using a generalized Laplace transform,
/. AppL Phys., 21 A950), 1333—1337.
Фридрихе (Friedrichs K. O.)
1. Uber die Spektralzerlegung eines Integraloperators, Math. Ann., 115
A938), 249—272.
2. On the perturbation of continuous spectra, Comm. Pure Appl. Math.,
1 A948), 361—406.
3. Spectraltheorie halbbeschrankter Operatoren, I—III.
I. Math. Ann., 109 A934), 465—487.
II. Там же, 109 A934), 685—713.
III. Там же, 110 A935), 777—779.
4. BeitragezurTheorie der Spektralschar, Math. Ann., 110A935), 54—62.

Библиография 849
5. Ober die ausgezeichnete Randbedingung in der Spektraltheorie der
halbbeschranktengewohnlichen Differentialoperatoren zweiter Ordnung,
Math. Ann., 112 A935), 1—23.
6. On differential operators in Hilbert space, Amer. J. Math., 61 A939),
523—544.
7. Spektraltheorie linearer Differentialoperatoren, Jber. Deutsch. Math.
Verein., 45 A935), 181 — 193.
8. Die unitaren Invarianten selbstadjugierter Operatoren im Hilbert-
schen Raum, Jber. Deutsch. Math. Verein., 45 A935), 79—82.
9. The identity of weak and strong extensions of differential operators,
Trans. Amer. Math. Soc.y 55 A944), 132—151.
10. Criteria for discrete spectra, Comm. Pure Appl. Math., 3 A950), 439—
449.
11. Functional analysis and applications. Inst. Math. Sci., New York
Univ., New York, 1956.
12. Criteria for the discrete character of the spectra of ordinary differen-
differential operators. Courant Anniversary Volume, 145—160, Interscience
Pub., 1948.
13. Spectral representation of linear operators. Inst, Math. Sci., New
York Univ., 1953.
14. Symmetric hyperbolic linear differential equations, Comm. Pure
Appl. Math., 7 A954), 345—392.
15. Differentiability of solutions of linear elliptic differential operators,
Comm. Pure Appl. Math.y 6 A953), 299—326.
16. Mathematical aspects of the quantum theory of fields. Interscience
Pub., New York and London, 1953.
Фринк (Frink O., Jr.)
1. Series expansions in linear vector spaces, Amer. J. Math., 63 A941),
87—100.
Фробениус (Frobenius G.)
1. Ober lineare Substitutionen und bilineare Formen, J. Reine Angew.
Math., 84 A878), 1—63.
2. Ober die schiefe Invariante einer billinearen oder quadratischen For-
Formen, /. Reine Angew. Math., 86 A879), 44—71
3. Ober die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen. Sit-
zungsberichte der K. Preuss. Akad. der Wiss. zu Berlin A896), 7—16.
Фуглид (Fuglede B.)
1. A commutativity theorem for normal operators, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 36 A950), 35—40.
Фукамия (Fukamiya M.), см. также И о с и д а
1. On dominated ergodic theorem in Lv (p > 1), Tohoku Math. J., 46
A939), 150—153.
2. On ?*-algebras, Proc. Japan Acad., 27, 321—327 A951).
3. On a theorem of Gelfand and Neumark and the Z3*-algebra, Kumamoto,
J. Sci. Ser A., 1, no. 1, 17—22 A952).
Фукс (Fuchs L.)
1. Ober Relationen, welche fur die zwischen je zwei singularen Punkten
erstreckten Integrale der Losungen linearer Differentialgleichungen
stattfinden, У. Reine Angew. Math., 76, A873) 177—213.
Фукухара (Hukuhara M.)
1. Sur l'existence des points invariants d'une transformation dans l'espace
fonctionnel, Jap. J. Math., 20 A950), 1—4.
Фуллертон (Ful lerton R. E.)
1. On a semi-group of subsets of a linear space, Proc. Amer. Math. Soc, 1
A950), 440—442.
2. Linear operators with range in a space of differentiable functions, Duke
Math. J., 13 A946), 269—280.
54 Заказ М 1324

850 Библиография
3. The representations of linear operators from L*> to L, Proc. Amer. Math.
Soc, 5 A954), 689—696.
4. An inequality for linear operators between L*> spaces, Proc. Amer. Math.
Soc 6 A955), 186—190.
5. A characterisation of L spaces, Fund. Math., 38 A951), 127—136.
Xaap (Haar A.)
1. Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen, Ann. ol
Math. B) 34 A933), 147—169.
2. Ober die Multiplikationstabelle der orthogonalen Funktionensysteme,
Math. Zeit, 41 A930), 769—798.
3. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, I, II.
I. Math. Ann., 69 A910), 331—371.
II. Там же, 71 A911), 38—53.
Хажинский (Charzynski Z.)
1. Sur les transformations isometriques des espaces du type (F), Studia
Math.y 13 A953), 94—121.
X а й е р с (Н у e r s D. H.)
1. Pseudo-normed linear spaces and abelian groups, Duke Math. J., 5 A939),
628—634.
2. Locally bounded linear topological spaces, Revista Ci., Lima, 41 A939),
555—574.
3. Linear topological spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 51 A945), 1—21.
4. A note on linear topological spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 44 A938),
76—80.
X а л (H u 1 1 Т. Е.), см. Инфельд
Халбери(На1Ьегу С. J. А.), см. Тейлор
Халмош (Halmos P. R.)
1. Normal dilations and extensions of operators, Summa. Brazil. Math., 2
A950), 125—134.
2. A nonhomogeneous ergodic theorem, Trans. Amer. Math. Soc, 66 A949),
284—288.
3. Commutativity and spectral properties of normal operators, Ada Sci.
Math. Szeged 12 Pars B. A950), 153—156.
4. Measurable transformations, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949), 1015—
1034.
5. Теория меры, М., ИЛ, 1953 A950).
6. Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity.
Chelsea, New York, 1951.
7. Finite dimensional vector spaces, Ann. of Math. Stud.. No. 7, Princeton
Univ. Press, Princeton, 1942.
8. An ergodic theorem, Proc. Mat. Acad. Sci. U.S.A., 32 A946), 151 —
161.
9. Spectra and spectral manifolds, Ann. Soc Polon. Math., 25, A952),
43—49.
10. Commutators of operators, I, II.
I. Amer. J. Math., 74 A952), 237—240.
II. Там же, 76 A954), 191 — 198.
11*. Лекции по эргодической теории. М., ИЛ., 1960.
Халмош и Люмер (Halmos P. R., Lumer G.)
1. Square roots of operators, II, Proc Amer. Math. Soc, 5 A954), 589—
595.
Халмош, Люмер и Шефер (Halmos P. R., Lumer G.,
Schaffer J. J.)
1. Square roots of operators, Proc Amer. Math, Soc, 4 A953), 142—149.
Халмош и Дж. Нейман (Halmos P. R., von Neumann J.)
1. Operator methods in classical mechanics, II, Ann. оЦ Math. B) 43 A942),
332—350.

Библиография 851
Хан (Hahn H.)
1. Oberdie Darstellunggegebener Funktionen durchsingulare Integrale, II,
Denkschriften der K. Akad. Wien. Math.-Naturwiss. KL, 93 A916),
657—692.
2. tlber Folgen linearer Operationen, Monatsh. fur Math, und Physik, 32
A922) 3—88.
3. Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen, J. Reine Angew.
Math., 157 A927), 214—229.
4. Reele Funktionen. Akad. Verlag., Leipzig, 1932.
5. Uber die Integrale des Herrn Hellinger und die Orthogonal invarianten
der quadratischen Formen von unendlich vielen Veranderlichen, Mo-
Monatsh. fur Math, und Physik, 23 A912) 161—224.
Хан и Розенталь (Hahn H., Rosenthal A.)
1. Set functions. Univ. of New Mexico Press, Albuquerque, 1948.
Харазов Д. Ф.
1. Об одном классе линейных уравнений в гильбертовых пространствах,
Сообщ. АН Груз. ССР, 13, A952), 65—72.
2. Об одном классе линейных уравнений с симметризуемыми оператора-
операторами, ДАН СССР, 91 A953), 1023—1026.
3. К теории симметризуемых операторов, полиномиально зависящих
от параметра, ДАН СССР A953), 1285—1287.
Харди и Литлвуд (Hardy G. H., Littlewood J.)
1. Some properties of fractional integrals, I, II.
I. Math. Zeit, 27 A928), 565—606.
II. Там же, 34 A932), 403—439.
Харди, Литлвуд и Полна (Пой я)
I. Неравенства. М., ИЛ, 1948 A932).
Хартман П. (Hartman P.)
1. On the ergodic theorems, Amer. J. Math., 69 A947), 193—199.
2. On the essential spectra of symmetric operators in Hilbert space, Amer.
J. Math. 75 A953), 229—240.
3. The L2-soluti°ns °f linear differential equations of second order, Duke
Math. J., 14 A947), 323—326.
4. Unrestricted solution fields of almost separable differential equations,
Trans. Amer. Math. Soc, 63 A948), 560—580.
5. On differential equations with non-osciiatory eigenfunctions, Duke
Math. J., 15 A948), 697—709.
6. On the linear logarithmico-exponential differential equation of the
second order, Amer. J. Math, 70 A948), 764—779.
7. On the spectra of slightly disturbed linear oscillators, Amer. J. Math.,
71 A949), 71—79.
8. A characterization of the spectra of the one-dimensional wave equation,
Amer. J. Math., 71 A949), 915—920.
9. The number of L2-solutions of x"+q(t)x=Q, Amer. J. Math., 73 A951),
635-645.
10. On bounded Green's kernels for second order linear differential equations,
Amer. J. Math., 73 A951), 646—656.
II. On the eigenvalues of differential equations, Amer. J. Math., 73 A951),
657-662.
12. On linear second order differential equations with small coefficients,
Amer. J. Math., 73 A951), 955—962.
13. Some examples in the theory of singular boundary value problems,
Amer. J. Math., 74 A952), 107—126.
14. On non-oscillatory linear differential equations of second order, Amer.
J. Math., 74 A952), 389—400.
15. On the derivatives of solutions of linear second order differential equa-
equations, Amer. J. Math., 75 A953), 173—177.
54*

852 Библиография
16. On the essential spectra of ordinary differential equations, Amer. J.
Math., 76 A954), 831—838.
Хартман П. и Путнам (Hartman P., Putnam С.)
1. The least cluster point of the spectrum of boundary value problems,
Amer. J. Math., 70 A948), 847—855.
2. The gaps in the essential spectra of wave equations, Amer. J. Math.,
72 A950), 849—862.
Хартман П. и Уинтнер (Hartman P., Wintner A.)
1. The (L2)-space of relative measure, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
33, A947), 128—132.
2. An oscillation teorem for continuous spectra, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 33 A947), 376—379.
3. The asymptotic arcus variation of solutions of real linear differentia)
equations of second order, Amer. J. Math., 70 A948), 1 —10.
4. Criteria for the non-degeneracy of the wave equation, Amer. J. Math.,
70 A948)* 295—308.
5. On the orientation of unilateral spectra, Amer. J. Math., 70 A948),
309—316.
6. On non-conservative linear oscillators of low frequency, Amer. J. Math.*
70 A948), 529—539.
7. A criterion for the non-degeneracy of the wave equation, Amer. J. Math.,
71 A949), 206—213.
8. On the location of spectra of wave equations, Amer. J. Math., 71 A949),
214—217.
9. On the Laplace-Fourier transcendents, Amer. J. Math., 71 A949),
367—372.
10. Oscillatory and non-oscillatory linear differential equations, Amer. J.
Math., 71 A949), 627—648.
11. A separation theorem for continuous spectra, Amer. J. Math., 71 A949),
650—662.
12. On the derivatives of the solutions of the one-dimensional wave equa-
equation, Amer. J. Math, 72 A950), 148—155.
13. On the essential spectra of singular eigenvalue problems, Amer, J. Math.,
72 A950), 545—552.
14. On an oscillation criterion of Liapounoff, Amer. J. Math., 73, A951),
885—890.
15. On perturbations of the continuous spectrum of the harmonic oscilla-
oscillators, Amer. J. Math., 74, A952), 79—85.
16. An inequality for the amplitudes and arcus in vibration diagrams of
time-depended frequency, Quart. Appl. Math., 10 A952), 175—176.
17. On non-oscillatory linear differential equations, Amer. J. Math., 75
A953), 717—730.
18. On curves defined by binary non-conservativen differential systems,
Amer. J. Math., 76, 497—501 A954).
19. On the assignment of asymptotic values for the solution of linear diffe-
differential equations of second order, Amer. J. Math., 77 A955), 475—483.
20. On linear second order differential equations in the unit circle, Trans.
Amer. Math. Soc, 78 A955), 492—500.
21. On non-oscillatory linear differential equations with monotone coeffi-
coefficients, Amer. J. Math., 76 A954), 207—219.
Хартман С. (Hartman S.)
1. Quelques proprietees ergodiques des fractions continues, Studla Math.,
12 A951), 271—278.
Хартман С., Марчевский и Рыл ь-Н арджевский
(Hartman S., Marczewski E., R у 1 1-N ardzewski С.)
1. Theoremes ergodiques et leurs applications, Colloq. Math., 2 A951),
109—123.

Библиография 853
Хаусдорф (Hausdorff F.)
1. Grundzuge der Mengenlehre. Verlag von Veit, Leipzig, 1914.
2. Теория множеств, М., Гостехиздат, 1937 A935).
3. Zur Theorie der linearen metrischen Raume, J. Reine Angew. Math.,
167 A932), 294—311.
X e й в у д (Н е у w о о d P.)
1. On the asymptotic distribution of eigenvalues, Proc. London Math. Soc.
C) 4 A954), 456—470.
Хелли (Н e 1 1 у Е.)
1. Ober lineare Funktionaloperationen, S.B.K. Akad. Wiss. Wien Math.
Naturwiss. Kl. 121. Ha A912), 265—297.
2. Ober Systeme Iinearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten,
Monatsh. fur Math. u. Phys., 31 A921), 60—91.
Хеллингер (Hellinger E.)
I. Neue Begriindung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen
Veranderlichen, J. Reine Angew. Math., 136A909), 210—271.
Хеллингер и Теплиц (Hellinger E., Toeplitz O.)
1. Grundlagen fur eine Theorie der undendlichen Matrizen, Math. Ann,, 69
A910), 289—330.
2. Grundlagen fur eine Theorie der endlichen Matrizen, Nachr. Akad, Wiss.
Gottingen. Math.-Phys. KL 1906, 351—355 A906).
3. Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichen Unbekannten.
Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften II, C13, A928),
1335—1616 A928).
Хельсон (Helson H.)
1. Spectral synthesis of bounded functions, Ark. for Mat., 1 A951), 497—
502.
Хельсон и Квигли (Helson H., Q u i g 1 e у F. D.)
1. Maximal algebras of continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc, 8
A957), 111 — 114.
2. Existence of maximal ideals in algebras of continuous functions, Proc.
Amer. Math. Soc, 8 A957), 115—119.
Хензель (Hensel K.)
1. Ober Potenzreihen von Matrizen, J. Reine Angew. Math., 155 A926),
107—110.
Хенсон (Hanson E. H.)
1. A note on compactness, Bull. Amer. Math. Soc.t 39 A933), 397—400.
Хетфилд (Hatfield С), см. Камерон
X и л л е (Н i 1 1 е Е.) (X и л л)
1. Функциональный анализ и полугруппы, М., ИЛ., 1951 A948). [На-
[Находится в печати русский перевод 2-го издания (совместно с Фил-
липсом)].
2. Notes on linear transformations, II. Analyticity of semigroups, Ann. oi
Math. B) 40 A939), 1—47.
3. On the generation of semi-groups and the theory of conjugate functions,
Proc. Roy. Physiog. Soc. Lund, 21 A951), 1 — 13.
4. Non-oscillation theorems, Trans. Amer. Math. Soc, 64 A948), 234—252.
5. The abstract Cauchy problem and Cauchy's problem for parabolic diffe-
differential equations, J. d'Analyse Math., 3* A953), 81 — 196.
Хилле и Тамаркин (Hille E. and TamarkinJ. D.)
1. On the characteristic values of linear integral equations, Ada Math., 57
A931), 1—76.
2. On the theory of linear integral equations, II, Ann. of Math., B)
A934), 445—455.
Хильдинг (Hilding S.)
1. On completeness theorems of Paley-Wiener type, Ann. of Math. B) 49
A948), 953—954.

854 Библиография
2. On the closure of disturbed orthonormal sets in Hilbert space, Ark. Mat,
Astr. Fys. 32B, no. 7 A946), 3 p.
X и н ч и н А. Я.
1. Zu Birkhoffs Losung des Ergodenproblems, Math. Ann., 107 A932),
485-—488.
2. Fourierkoeffizienten langs einer Bahn in Phasenraum, Машем, сб., 41
A934), 14 — 16.
Хиршман и Уиддер (Hirschman I. I., Widder D. V.),
см. также Уиддер и Хиршман
1. Преобразования типа свертки, М., ИЛ, 1958 A955).
Холь м грен (Holmgren E.)
1. Ober Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen, Ofvers.
Kongl. Vetens.-Akad. Fork., 58 A901), 91 — 103.
X о п ф Г. (Н о p f H.), см. Александров П. С.
X опф Э. (Hopf E.)
1. Ergodentheorie. Ergebnisse der Math. V. 2, J. Springer, Berlin, 1937.
(Есть русский перевод: Эргодическая теория. УМИ, 4, вып. 1 A949).
2. The general temporally discrete Markov process, /. Rational Mech. and
Anal., 3 A954), 13—45.
3. Ober eine Ungleichung der Ergodentheorie, 5. B. Math.-Nat. Kl* Bayer.
Akad. Wiss. A944), 171 — 176.
X о тт а (Н о t t a J.)
1. A remark on regularly convex sets, Kodai Math. Sem. Rep. 1951 A951),
37—40.
Хьюит (Hewitt E.), см. также И о с и д а
1. Linear functionals on spaces of continuous functions, Fund. Math., 37
A950), 161—189.
2. Integral representation of certain linear functionals, Ark. for Mat., 2
A952), 269—282.
3. Integration on locally compact spaces, I. Univ. of Washington, Pub.
in Math., 3 A952), 71—75.
4. Certain generalizations of the Weierstrass approximation theorem,
Duke Math. J., 14 A947), 419 —427.
5. Rings of real-valued continuous functions, I. Trans. Amer. Math. Soc,
64 A948), 45—99.
6. Linear functionals on almost periodic functions, Trans. Amer. Math.
Soc, 74 A953), 303—322.
7. A problem concerning finitely additive measures, Mat. Tidsskr. B. 1951
A951), 81—94.
8*. A survey of abstract harmonic analysis. Some aspects of analysis and
probability, New York, 1958, стр. 107—168. Есть русский перевод:
Математика, 4 : 4 A960), 75—133.
Хюльтен (Hulthen L.)
1. On the Sturm-Liouville Problem connected with a continuous spectrum,
Ark. Mat/Astr. Fys. 35A, no. 25 A949), 25 p.
Цвален (Zwahlen R.)
1. Ein «neues» Eigenwertproblem, Actes Soc. Helw, Sci. Nat., 133 A954),
60—65.
Цермело (Zermelo E.)
1. Beweis, das jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann., 59
A904), 514—516.
2. Neuer Beweis fur die Moglichkeit einer Wohlordnung, Math. Ann., 65
A908), 107—128.
Циммерберг (Zimmerberg H. J.)
1. On normalizable transformations in Hilbert space, Ada Math., 86 A951),
85—88.
2. Definite integral systems, Duke Math. J., 15 A948), 371—388.

Б иблиография 855
Цорн (Zorn M.)
1. A remark on method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math. Soc, 41
A935), 667—670.
Цзен (Tseng Y. Y.)
1. On generalized biorthogonal expansions in metric and unitary spaces*
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 28 A942), 170—175.
2. Обобщенные обратные к неограниченным операторам между двумя
унитарными пространствами, ДАН СССР, 67 A949), 431—434.
3. Свойства и классификация обобщенных обратных к замкнутым опера-
операторам, ДАН СССР, 67 A949), 607—610.
Цз я н (Chiang Т. Р.)
1. A theorem on the normalcy of completely continuous operators, Ada
Sci. Math. Szeged., 14 A952), 188—196.
Ц у д з и (Т s u j i M.)
1. On the integral representation of unitary and self-adjoint operators in
Hilbert space, Jap. J. Math., 19 A948), 287—297.
2. On the compactness of space L? (p>0) and its application to integral-
equations, Kodai Math. Sem. Rep. A951), 33—36.
Чан (Chang S. H.)
1. On the distribution of the characteristic values and singular values
of linear integral equations, Trans. Amer. Math. Soc, 67 A949), 351 —
367.
2. Generalization of a theorem of Lalesco, /. London Math. Soc, 22 A947),
J85—189.
Чех (Cech E.)
1. On bicompact spaces, Ann. of Math. B) 38 A937), 823—844.
Шапиро Г. (Shapiro H. S.), см. также Рогозинский
1. Extremal problems for polynomials and power series. Dissertation, Mass.
Inst. Tech., 1952. t
2. Applications of normed linear spaces to function-theoretic extremal
problems. Lectures of functions of a complex variable 399—404, Univ.
of Michigan Press, Ann Arbor, 1955.
Шапиро Дж. (Shapiro J. M.), см. Камерон
Шаттен (Schatten R.)
1. A theory of cross-spaces, Ann. of Math. Studies.. No. 26, Princeton Uni-
University Press, Princeton, 1950. t j
ШатуновскийС. О.
1*. Введение в анализ, Одесса, 1932 г. г
Шаудер (Schauder J.) " ^>^\
1. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen, Math. Z>, 26»
A927), 47—65, 417—431.
2. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen, Studia Math., 2 A930), 171 —
180.
3. Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsytemes, Math. Z., 28 A929),
317—320.
4. Invarianz des Gebietes in Funktionalraumen, Studia Math., 1 A929),
123—139.
5. tlber den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Losbarkeit
partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen
Typus, Math. Ann., 106 A932), 661—721.
6. tlber lineare, vollstetige Funktionaloperationen, Studia Math., 2 A930),
183—196.
7. Ober die Umkehrung linearer, stetiger Funktionaloperationen, Studia
Math., 2 A930), 1—6.
Шах (Shah S. M.)
1. Note on eigenfunction expansions, /. London Math. Soc, 27 A952),
58-74.

856 Библиография
Шварц Г. A. (Schwarz H. А.)
1. Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Band I. J. Springer, Ber-
Berlin, 1890.
Шварц Г. M. (Schwartz H. M.)
1. Sequences of Stieltjes integrals, I—III.
I. Bull. Amer. Math. Soc, 47 A941), 947— 955.
II. Duke Math. J., 10 A943), 13—22.
III. Там же, 10 A943), 595—610.
Шварц Дж. (Schwartz J.), см. также Барт л, Бейд, Дан-
форд.
1. A note on the space L*, Proc Amer. Math. Soc 2 A951), 270—275.
2. Perturbations of spectral operators, and applications, I, Pacific J. Math.t
4 A954), 415—458.
3. Two perturbation formulae, Comm. Pure Appl. Math., 8 A955) 371 —
376.
Шварц Л. (Schwartz L.), см. также Дьёдонне
1. Analyse et synthese harmoniques dans les espaces de distributions,
Canadian J. Math., 3 A951), 503—512.
2. Sur une propriete de synthese spectrale dans les groupes non compacts,
C. R. Acad. Sci. Paris, 227, A948), 424—426.
3. Theorie generale des fonctions moyenneperiodiques, Ann. of Math. B)
48 A947), 857—929.
4. Homomorphismes et applications completement continues, C. R. Acad.
Sci. Paris, 236 A953), 2472—2473.
5. Theorie des distributions, I, II, Act. Sci. Ind. 1091, 1122, Hermann ef
Cie., Paris A951).
6*. Theorie des noyaux, Proc. Int. Cong. Math. 1952 v. I, 220—230. (Есть
русский перевод: Математика 3 : 3, 1959, 69—79.
Швер дтфегер (Schwerdtfeger H.)
1. Les fonctions de matrices, Act. Sci. et Ind. 649, Hermann et Cie., Paris,
1938.
Шевалле (Chevalley C.)
1. Theory of Lie groups. I, Princeton Univ. Press, Princeton, 1946.
2. Theorie des groupes de Lie. II. Hermann et Cie., Act. Sci. et Ind. П52,
Parrs, 1951.
_ 3. Теория групп Ли. М., ИЛ., т. 1. 1948, т. т. 2, 3—1958.
Шёнберг (Schoenberg I. J.), см. также Гильдебрандт
1. A remark on M. M. Day's characterization of innerproduct spaces and
a conjecture of L. M. Blumenthal, Proc. Amer. Math. Soc, 3, A952),
961—964.
2. On local convexity in Hilbert space, Bull. Amer. Math. Soc, 48 A942),
432—436.
3. On smoothing operations and their generating functions, Bull. Amer.
Math. Soc, 59 A953), 199—230.
Ш е р ф (S с h a e r f H. M.)
1. Sur l'unicite des mesures invariantes, C. R. Acad. Sci. Paris 229 A949),
1053—1055. Испр. 230 A950), 795.
2. Sur l'unicite de la mesure de Haar, С R. Acad. Sci. Paris, 229 A949),
1112—1113.
Ш е'ф ер (S chaffer J. J.), см. также X а л м о ш
1. On unitary dilations of contractions, Proc Amer. Math. Soc, 6 A955),
322.
2. On some problems concerning operators in Hilbert space, Anais Acad.
Brasil. Ci., 25 A953), 87—90.
Шеф ке (Schafke F. W.)
1. Ober einige unendliche lineare Gleichungssysteme, Math. Nachr., 3
A949), 40—58.

Библиография 857
2. Das Kriterium von Paley und Wiener in Banachschen Raum, Math.
Nachr., 3 A949), 59—61.
3. Ober Eigenwertprobleme mit zwei Parametern, Math. Nachr., 6 A951),
109—124.
Шилов Г. Е., см. также Гельфанд И. М.
1. Идеалы и подкольца кольца непрерывных функций, ДАН СССР, 22
A939), 7—10.
2. К теории идеалов в нормированных кольцах функций, ДАН СССР, 27
A940), 900—903.
3. О нормированных кольцах с одной образующей, Машем, сб., 21 F3),
25—37 A947).
4. О регулярных нормированных кольцах, Труды Машем, ин-ma АИ
СССР, 21 A947).
5. О расширении максимальных идеалов, ДАН СССР, 29, A940), 83—85.
6*. Математический анализ (специальный курс), М., Физматгиз, 19@.
7*. Критерий компактности в однородном пространстве функций, ДАН
СССР, 92 A953), 11—12.
Шин Ден Юн
1. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве,
ДАН СССР, 18 A938), 523—526.
2. О решениях линейного квазидифференциального уравнения я-го по-
порядка, Машем, сб., 7 D9) A940), 479—532.
3. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве»
Машем, сб., 13 E5) A943), 39—70.
Широхов М. Ф.
1. Функции от элементов полуупорядоченных пространств, ДАН СССР*
74 A950), 1057—1060.
Шифман (Shiffman М.), см. Гарабедян
Шиффер (Schiffer М. М.), см. Миллер К.
Шмейдлер (Schmeidler W.)
1. Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik, Akade-
mische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1950.
Шмидт (Schmidt E.)
1. Ober die Auflosung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbe-
kannten, Rend, del Circolo Matematico. di Palermo, 25 A908), 53—77.
2. Auflosung der ahgemeinen linearen Integralgleichung, Math. Ann., 64
A907), 161 — 174.
Шмульян В. Л., см. также Гантмахер В. Р. и Крейн М. Г.
1. О регулярно замкнутых и слабо компактных множествах в простран-
пространствах типа (В), ДАН СССР, 18 A938), 403—406.
2. Линейные топологические пространства и их связь с пространствами
типа (В), ДАН СССР, 18 A938), 475—477.
3. О различных топологиях в пространствах Банаха, ДАН СССР, 2S
A939), 331—334.
4. О некоторых геометрических свойствах сферы в пространстве типа
(В), ДАН СССР, 24 A939), 647—651.
5. О принципе вкладок в пространстве типа (В), Машем. Сб., 5 D7),
A939), 317—328.
6. О некоторых геометрических свойствах единичной сферы простран-
пространства типа (В), Машем, сб., 6 D8) A939), 77—94.
7. О дифференцируемости нормы в пространстве Банаха, ДАН СССР
27 A940), 643—648.
8. Ober lineare topologische Raume, Машем, сб., 7 D9) A940), 425—448.
9. Sur la structure de la sphere unitaire dans l'espace de Banach, Машем,
сб., 9 E1) A941), 545—572.
10. О линейных топологических пространствах, Машем, сб., 9 E1)
A941), 727—730.

858 Библиография
И. О некоторых геометрических свойствах сферы в линейных полуупо-
полуупорядоченных пространствах Банаха, ДАН СССР, 30 A941), 392—
396.
12. О некоторых вопросах функционального анализа, ДАН СССР, 38
A943), 170—173.
13. Sur les ensembles compacts et faiblement compacts dans l'espace du
type (B).
Машем, сб., 12 E4) A943), 91—98.
14. О компактных множествах в пространстве измеримых функций,
Машем, сб., 15 E7), A944), 343—346.
Шмульян Ю. Л.
1. Изометрические операторы с бесконечными индексами дефекта и их
ортогональные расширения, ДАН СССР, 87 A952), 11 — 14.
2. Операторы с вырожденной характеристической функцией, ДАН
СССР, 93 A953), 985—988.
3. Вполне непрерывные возмущения операторов, ДАН СССРУ 101 A955),
35—38.
Ш н о л ь Э. Э.
1. Поведение собственных функций и спектр операторов Штурма—Лиу-
вилля, УМН, 9 : 4 F2) A954), 113—132.
Шохат и Тамаркин (Shohat J.A. and Tamarkin J. D.)
, 1. The problem of moments. Math. Surveys, no. I, Amer. Math. Soc,
New York, 1943.
Шредер (Schroder J.)
1. Fehlerabschatzungen zur Storungsrechnung bei linearen Eigenwertpro-
blemen mit Operatoren eines Hilbertschen Raumes, Math. Nachr., 10
A953), 113—128.
Шрёдингер (Schrodinger E.)
1. Quantisierung als Eigenwertproblem, Annalen der Physik D) 80 A926)
437—490.
2. Verwasschene Eigenwertspectra, S.-B. Preussischen Akad. Wiss., 1929
A929), 668—682.
Шрейбер (Schreiber M.)
1. Generalized spectral resolution for operators in Hilbert space. Disserta-
Dissertation, University of Chicago, 1955.
ШрейдерЮ. A.
1. Строение максимальных идеалов в кольце мер со сверткой, Матем. сб.
27 F9) A950), 297—318.
Ш р е й е р О. (S с h г е i е г О.)
1. Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abhand. Math. Sem. Hamburgi-
schen Univ., 4 A926), 15—32.
Шрейер Я. (Sc h r e i er J.)
1. Ein Gegenbeispiel zur Theorie der schwashen Konvergenz, Studia Math.,
2 A930), 58—62.
UJY~e йнгауз (Steinhaus H.) См. также Банах и Качмаж
* 1. Sur les developments orthogonaux, Ball. Int. Acad. Polon. Sci. Ser. A,
11—39 A926).
2. Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z., 5 A919), 186—
221.
Штраус А. В.
1. К теории обобщенных резольвент симметрического оператора, ДАН
СССР, 78 A951), 217—220.
2. О характеристических свойствах обобщенных резольвент, ДАН
СССР, 82 A952), 209—212.
3. К теории эрмитовых операторов, ДАН СССР, 67 A949), 611—614.
4. Об обобщенных резольвентах симметрического оператора, ДАН
СССР, 71 A950), 241—244.

Библиография 859
5. Обобщенные резольвенты симметрических операторов, Изв. АН СССР,
сер. матем., 18 A954), 51—86.
Штр у т (S t r u t t М. J. О.)
1. Larhesche, Mathieusche und verwandte Funktionen in Physik. und
Technik. Ergebnisse der Math. I, 3, J. Springer, Berlin, 1932.
2. Reelle Eigenwerte verallgemeinerter Hillscher Eigenwertaufgaben 2.
Ordnung, Math. Zeit. 49 A943—1944), 593—643.
Штурм (Sturm C.)
1. Sur les equations differentielles du second ordre, /. Math. Pures Appl.
A) 1, A836), 106—136.
2. Sur une classe d'equations a differences partielles, /. Math. Pures Appl.
A) 1 A836), 373—444.
Шур A. (Schur A.)
1. Zur Entwickelung willkurlicher Funktionen nach Losungen von Syste-
men linearer Differentialgleichungen, Math. Ann., 82 A921), 213—239.
Шур И. (Schur I.)
1. Cber die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit
einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen, Math. Ann.,
66 A909), 488—510.
Шур Я. (Schur J.)
1. Cber lineare Transformationen in der Theorie der undenlichen Reihen,
J. Reine Angew. Math., 151 A920), 79—111.
Эберлейн (Eberlein W. F.)
1. Weak compactness in Banach spaces, I, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
33 A947), 51—53.
2. Closure, convexity, and linearity in Banach spaces, Ann. of Math. B),
47 A946), 688—703.
3. Abstract ergodic theorems and weak almost periodic functions, Trans.
Amer. Math. Soc, 67 A949), 217—240.
4. Abstract ergodic theorems, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34 A948),
43—47.
5. A note on the spectral theorem, Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946),
328—331.
Эгмон (Agmon S.), см. Мандельбройт
Э г н ь ю (A g n e w R. Р.)
1. Linear fuctionals satisfying prescribed conditions, Duke Math. J., 4
A938), 55—77.
Эгнью и Морс (Agnew R.P. and Morse A. P.)
1. Extensions of linear functional with applications to limits, integrals,
mesures, and densities, Ann. of Math. B) 39 A938), 20—30.
Эдварде (Edwards R.E.)
1. A theory of Radon measures on locally compact spaces, Ada Math., 89
A953), 133—164.
2. Multiplicative norms on Banach algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc,
47 A951), 473—474.
Э з р о x и И. А.
1. Общие формы линейных операций в пространствах со счетным базисом,
ДАН СССР, 59 A948), 1537—1540.
Эйдельгайт (Eidelheit M.)
1. Zur Theorie der Konvexen Mengen in linearen normierten Raumen, Stu-
dia Math., 6 A936), 104—111.
Эйдельгайт и Мазур (Eidelheit M. and M a z u r S.)
1. Eine Bemerkung fiber die Raume vom Typus (F), Studia Math., 7 A938),
159—161.
Эйленберг (Eilenberg S.)
1. Banach space methods in topology, Ann. of Math. B) 43, A942), 568—
579.

860 Библиография
Эккарт (Eckart С.)
1. The penetration of a potential barrier by electrons, Phys. Rev., 35 A930).
1303—1309.
Элконин (Eicon in V.)» см. М а й к а л.
Эллиот (Elliott J.)
1. The boundary value problems and semi-groups associated with certain
integro-differential operators, Trans. Amer. Math. Soc, 76 A954), 300—
331.
2. Eigenfunction expansions associated with singular differential operators,
Trans. Amer. Math. Soc, 78 A955), 406—425.
ЭллисГ. и Гальперин (Ellis H. W., H a 1 p e r i n I.)
1. Function spaces determined by a levelling length function, Canadian
J. Math., 5 A953), 576—592.
Э л л и с Д. (Ellis D.)
1. A modification of the parallelogram law characterization of Hilbert
spaces, Math. Zeit., 59 A953), 94—96.
Эрдёш (Erdos P.), см. Кларксон
Эрдёш и К а ц M. (Erdos Р., Кае М.)
1. On certain limit theorems of the theory of probability, Bull. Amer. Math.
Soc, 52 A946), 292—302.
Эсклангон (Esclangon E.)
1. Nouvelles recherches sur les fonctions quasi-periodiques, Ann. Obs.
Bordeaux, 16 A917), 51—226.
Э с с e p (E s s e r M.)
1. Analycity in Hilbert space and self-adjoint transformations, Amer. J.
Math., 69 A947), 825—835.
Юд (Y о о d В.)
1. Banach algebras of continuous functions, Amer. J. Math., 73 A951),
30—42.
2. Properties of linear transformations preserved under addition of a com-
completely continuous transformation, Duke Math. J'., 18 A951), 599—
612.
3. On fixed points for semi-groups of linear operators, Proc. Amer. Math.
Soc, 2 A951), 225—233.
4. Transformations between Banach spaces in the uniforn topology, Ann.
of Math. B) 50 A949), 486—503.
5. Additive groups and linear manifolds of transformations between Banach
spaces, Amer. J. Math., 71 A949), 663—677.
6. Difference algebras of linear transformations on a Banach space, Paci-
Pacific J. Math., 4 A954), 615—636.
Юдин А.И. •
1. Некоторые геометрические вопросы теории полуупорядоченных про-
пространств, Л., Учен. Зап. Ун-та, сер. матем., 10 A940), 64—83.
Юнг (Young L. С.)
1. On an inequality of Marcel Riesz, Ann. of Math. B) 40 A939), 567—574.
Я г л о м А. М., см. Г е л ь ф а н д И. М.
Ямабе (Yamabe)
1. On an extension of Helly's theorem, Osaka Math. J., 2 A950), 15—17.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
<a, 6], (a, b), [a, b), [a, b] 14 dimt3e 105
A (a) 562 detT 57
i4(aIf...,flfc) 562 En 259
A (a) 727 E(\f\>a) 116
Ah 659 E{K) 598
A(D) 263 ? (a) = E (a, T) 612
A(n) 703 /=(*), /(C) 13
A(T, n) 703 /-i(D) 13
AC (I) 263 /| Л 13
АР 263, 305 /{Л} 687
Л 21 /(Г) 597, 608, 641
ba(S, 2) 261, 338 /•? 675
6a E, 2, Ж) 177 F (S), /=" E, 2, ц),
6s 261 118
bv 260 .Г (Л 597, 608, 639
bv0 260 К 47
B(S) 261, 279 $ 264
fi(S, 2) 261, 279, 238 inM 13, 14
fiK(/) 262, 366 Imz 14
fiCe) 73 I 445
Я(Х, D) 73, 512 ip 260
с 260 /со 260
c0 260 /p 259
ca (S, 2) 262, 332 /S> 260
ca(S, 2, 3f) 177 lim я (a) 38
со (A) 448 ?-L-**
со (Л) 448 ]im J4
cs 261 И"} 14
C"(/) 263 I (S, 2, |i), 262, 309
С E) 261, 283 4E, 2, ft) 262
1^- 200, 232 Lf(S,"?,p) 134
Ъ(Т) 642 tp E, 2, ц, ЗЕ) 136
Ф(Г») 642 L°P(S, 2, ц, 36) 134

862
Указатель обозначений
LIM 86
M(S), A*(S,2, |i),
M(S, Б, ц, Ж) 120
JVBV(/) 263, 366
3R? 596
о 39
О 38
prY, ргх 20
#> (Л) 671
г (Т) 607
rba (S) 283
r6a(S, S, Ж) 177
rm E) 262
rca(S,2,X) 177
/?(Я;Т) 606
Rez 14
s 265
<^ (Л) 684
sp (В) 62
sp (В) 63
sup Л 13, 14
E, Б, ц) 141
T(/,s) 710
х*, 36* 73
д:**
146
а *
¦л
78
78
453
so
р 685
78
13
ц" 113,
114
1 347
150
v (Я) 596
q (х, у) 29 - 30
qG) 606, 639
а(Т) 596, 606, 639
ас(Т) 620
0р(Г) 620
0r (T) 620
T7WE) 120
ТМ (S, Б, ц, ЗЕ) 120
77W(S, S, ц) 120, 265, 357
Т (Л) 684
v (ц.) или у (fi, ?) 111
vraisup .115
2 0») 173
т 483
Ф 61
ю0 658
€ И
0 12
t, g i2
' 12
П. U 12
00 13
< 14
П 19, 44
© 49, 103, 277
д 53
V 55
Л 55
1 85, 270
® 104
0 270
+ 453
I-
64, 71, 72
134

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абдельгай (Abdelhay J.) 431, 775
Абель (Abel N. Н.) 90, 92, 383, 417,
775
Абрамов Л. 774, 775
Адамар (Hadamard J.) 414, 580, 775
Адаме (AdamsС. R.) 427, 775, 808,823
Акилов Г. П. 594, 775
Алаоглу (Alaoglu L.) 257, 459, 500,
501, 511, 773, 775, 776, 781
Александров А. Д. 154, 255, 343,
415, 424, 775
Александров П. С. 11, 59, 504, 776, 854
Алексевич (Alexiewicz A.) 95, 97,
256, 257, 426, 588, 776, 828
Альбрехт (Albrycht J.) 776
Альтман М. Ш. 108, 649, 776
Альфорс (Ahlfors L. V.) 59, 776
Амброзе (Ambrose W.) 776
Андзаи (Anzai H.) 421, 777, 802
Арене (Arens R. F.) 415, 417, 419,
431, 433, 504, 511, 777, 805, 807
Арну (Arnous E.) 777
Ароншайн (Aronszajn N.) 101, 105,
255, 428, 508, 649, 650, 777, 839
Артеменко А. П. 421, 427, 777
Арцела (ArzelaC.) 289, 291, 416, 417,
529, 778
Асколи (Ascoli G.) 289, 416, 498,
504, 511, 778
Аткинсон (Atkinson F. V.) 650, 651,
778
Ахиезер Н. И. 778, 792
Бабенко К. И. 108, 778
Банах (Banach S.) 9, 61, 71, 74,
94—102, 105—108, 255, 361, 415,
419, 420, 425, 426, 443, 447, 482,
485, 500, 501, 503, 504, 509, 511,
581, 582, 649, 690, 766, 778, 779,
818, 836, 858
Баранкин (Barankin E. We) 779
Баргман (Bargman V.) 779
Баренблатт Г. И. 779
Бари Н. К. 108, 779
Барри (Barry J. V.) 779
Бартл (Bartle R. G.) 99, 106, 254,
418, 420, 423, 426, 582, 588, 779,
794, 795, 856
Бассали (Bassali W. А.) 779, 840
Батлер (Butler J, В.) 779
Безикович (Besicovitch A. S.) 420,
779
Бейд (Bade W. G.) 581, 644, 652,
772, 773, 779, 780, 856
Бейкер (Baker H. F.) 780
Белл (Bell R. Р.) 780
Беллман (Bellman R.) 780
Беннет (Bennett А. А.) 99, 780
Березанский Ю. М. 650, 780
Берковиц (Berkowitz J.) 780
Берлинг (Beurling A.) 393, 648, 780
Бернет (Burnett D.) 780
Бернштейн С. Н. 405
Бернштейн Ф. (Bernstein F.) 58
Берри Р. Я. 429, 780
Бертон (Burton L. Р.) 780
Бессель (Bessel) 414
Бете (Bethe H. А.) 780
Бибербах (Bieberbach L.) 59, 780
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) И, 59,
104, 107, 254, 257, 427, 428, 429,
508, 773, 776, 781, 819
Биркгоф Дж. (Birkhoff G. D.) 511,
701, 774, 781, 807, 814
Бирман М. Ш. 781
Бирнбаум (Birnbaum Z. W.) 434.
> 781, 828
Блисс (Bliss G. А.) 781
Блок (Block H. D.) 781
Блюменталь (Blumenthal L. М.) 428,
781
Бляшке (Blaschke) 371
Боас М. (Boas M. L.) 782, 815

864
Именной указатель
Боас P. (Boas R. P., Jr.) 108, 510,
511, 782
Боголюбов Н. Н. 774
Больцман (Boltzmann L.) 699, 701
Боненблуст (Bohnenblust H. F.) 100,
108,428, 429, 430, 587, 782,802,
839
Боннезен (Bonnesen Т.) 509, 782, 846
Бонсол (Bonsall F. F.) 102, 782
Бор (Bohr H.) 305, 306, 420, 433,
782, 846
Борг (Borg G.) 782
Борель (Borel E.) 28, 148, 155, 158,
159, 160, 206, 245, 256, 325, 366,
425, 488, 533, 766, 783
Борсук (Borsuk К.) 105
Боте (Botts Т.) 421, 498, 511, 783
Бохер (Bocher M.) 783
Бохнер (Bochner S.) 254, 256, 257,
306, 307, 343, 420, 424, 429, 583,
585, 588, 783, 826, 841, 846, 847
Браудер (Browder F. Е.) 783
Браун (Brown A.) 784
Брауэр (Вгаиег А.) 784
Брей (Bray H. Е.) 425, 784
Брейс (Brace J. W.) 504, 583, 784
Брем (Bram J.) 784
Бриллюэн (Brillouin L.) 784
Бродский М. С. 509, 511, 784, 821
Броун (Browne E. Т.) 784
Броуэр (Brouwer L. E. J.) 490, 504,
505, 506, 511, 784
Буняковский В. Я. 407, 784
Бурбаки (Bourbaki N.) 59, 94, 96,
98, 254, 416, 417, 501, 503, 509,
511, 784
Бурга (Burgat P.) 785
Буржен (Bourgin D. G.) 418, 420
499, 511, 785
Буркхардт (Burkhardt H.) 785
Бухгейм (Buchheim A.) 646, 785
Бэр (Baire R.) 31, 46, 65, 68, 176,
337, 466, 724
Важевский (Wazewski Т.) 785
Вайнбергер (Weinberger H. F.) 650.
785
Вайнштейн (Weinstein A.) 785
Ван дер Варден (van der Waerden
В. L.) 59, 785
Варшавский (Warschawski S. E.)
785, 789
Васильков Д. А. 429, 785
Веблен (Veblen О.) 59, 785
Веддерберн (Wedderburn J. H. M.)
646, 785
Вейерштрасс (Weierstrass К.) 249,
253, 295, 296, 299, 340, 417, 418,
419, 628, 667, 697, 786
Вейль A. (Weil A.) 93, 421, 786
Вейль Г. (Weyl Н.) 407, 650, 65К
770, 786, 829
Вейр (Weyr E.) 646, 786
Веккен (Wecken F. J.) 786
Вентцель (Wentzel G.) 786
Вестфаль (Westfall J.) 786
Вехаузен (Wehausen J. V.) 96, 105,
416, 499, 509, 511, 786
Вигман (Wiegman N. A.) 786
Видав (Vidav I.) 786
Виландт (Wielandt H.) 786
Виланский (Wilansky A.) 108, 786
Вильямсон (Williamson J. H.) 649, 787
Виндау (Windau W.) 787
Винер (Wiener N.) 99, 436, 439, 440,
441, 648, 773, 774, 787, 832, 844
Виноградов A. A. 511, 787, 811
Винокуров В. Г. 108, 787
Виртингер (Wirtinger W.) 787
Виссер (Visser С.) 650, 773, 787, 800
Витали (Vitali G.) 167, 173, 176,
230—233, 237, 255, 256, 310, 334.
347, 349, 353, 356, 426, 787
Виттих (Wittich H.) 787
Вишик М. И. 787
Вот (Vaught R. L.) 788, 807
Волмэн (Wallman H.) 505, 788, 795
Вольтерра (Volterra V.) 93, 94, 433,
788
Вулих Б. 3. 107, 429, 430, 583, 588.
788, 805
Вульф (Wolf F.) 651, 788
Вульфсон (Wolfson К.) 788
Гавурин М. К. 254, 426, 585, 588
652, 788
Гагаев Б. М. 107, 789
Гайнц (Heinz E.) 651, 789
Гал (Gal I. S.) 94, 96, 789
Галбрайт (Galbraith A. S.) 785, 789
Гальперин (Halperin I.) 435, 511,
789, 860
Гамбургер (Hamburger H. L.) 646,
650, 789, 790, 794
Гамель (Hamel G.) 18, 48, 87, 475, 790
Гамильтон (Hamilton) 602, 699, 700
Гантмахер В. Р. 501, 511, 522, 581,
647. 790, 857
Гантмахер Ф. Р. 11, 59, 646,{647, 790,
811
Гарабедян (Garabedian P. R.) 102,
790, 857

Именной указатель
865
Гартогс (Hartogs F.) 790, 835
Гаупт (Haupt О.) 790
Гаусс (Gauss К.) 383, 436, 438
Гёдель (Godel К.) 59, 60, 790
Гейл (Gale D.) 417, 790
Гейне 28
Гельбаум (Gelbaum В. R.) 108, 790
Гёльдер (Holder E.) 134, 136, 226,
311, 313, 407, 435, 564, 571, 652, 790
Гельфанд И. М. 9, 93, 107, 108, 254,
257, 377, 418, 420, 431, 436, 441,
582, 583, 588, 648, 790, 791, 810,
815, 824, 832, 857, 860
Герглотц (Herglotz G.) 399, 791
Гиббс (Gibbs J. W.) 699
Гильб (Hilb E.) 648, 791, 792, 836
Гильберт (Hilbert D.) 93, 407, 499,
573, 581, 607, 631, 646, 647, 664, 792
Гильдебрандт (Hildebrandt Т. Н.)
94, 99, 106, 107, 254, 255, 414, 415,
422, 425, 427, 648, 792, 794, 856
Глазман И. М. 778, 792
Гливенко В. И. 425, 792
Гликсберг (Glicksberg I.) 415,
792
Гобсон (Hobson E. W.) 418, 793
Годман (Godement R.) 793, 806
Голдстайн (Goldstine H. Н.) 95,
460, 501, 511, 793
Гольдман М. А. 651, 793, 811
Гомес (Gomes А. Р.) 434, 793, 799
Гординг (Girding I.) 793
Горн (Нога А.) 650, 793
Гохберг И. Ц. 650, 651, 793
Графф А. А. 794
Грейвс Л. (Graves L. М.) 59, 98, 99,
106, 254, 257, 418, 425, 504, 508,
650, 779, 792, 794
Грейвс P. E. (Graves R. Е.) 440,
794, 804
Грейвс Р. Л. (Graves R. L.) 649, 794
Греко (Greco D.) 794
Гримшоу (Grimshaw M. Е.) 646, 790,
794
Грин (Green) 102
Гринблюм М. М. 108, 794
Гросберг Ю. И. 427, 429, 794, 811
Гротендик (Grothendieck A.) 104,
108, 418, 423, 432, 433, 504, 511,
582, 583, 586, 587, 588, 649, 794
Гуднер (Goodner D. В.) 432, 587,
594, 795
Гурвиц (Hurwitz W. А.) 500, 795,
797
Гуревич Л. А. 108, 767, 795
Гуревич У. (Hurewicz W.) 505, 774,
788, 795
Далецкий Ю. Л. 442, 795
Дайне (Dines L. L.) 504, 511, 795,824
Данем (Dunham J. L.) 795
Даниель (Danieli P. J.) 416, 795
Данфорд (Dunford N.) 96, 98, 107,
254, 256, 257, 418, 421, 422, 423,
426, 500, 582, 583, 584, 587, 588,
646, 648, 649, 652, 768, 769, 771 —
774, 779, 795, 796, 810, 821, 823,
829, 837, 840, 841, 856
Данциг (van Dantzig D.) 93, 105, 796
Данжуа (Danjoy) 95, 435
Даукер (Dowker J. N.) 768, 774, 796
Дворецкий (Dvoretzky A.) 107, 796,
835
Дёблэн (Doeblin W.) 774
Девинац (Devinatz A.) 796, 826, 827
Дейвис Г. (Davis H. T.) 94, 796 '
Дейвис Р. (Davies R.) 796
Джеймс (James R. C.) 102, 107, 108,
427, 428, 510, 511, 796
Джекобсон (Jacobson N.) 59, 797
Джексон (Jackson D.) 797
Джемисон (Jamison S. L.) 652, 797
Джерисон (Jerison M.) 431, 511, 797
Джиллеспи (Gillespie D. C.) 500, 795,
797
Джон (John F.) 797
Джорджи (Giorgi G.) 646, 647, 797
Диксмье (Dixmier J.) 108, 432, 581,
797
Диксон (Dixon A. C.) 797
Дини (Dini U.) 393, 417, 797
Дирак (Dirac P. A. M.) 436, 797
Дирихле (Dirichlet) 387, 407, 420
Диткин В. А. 797
Дойль (Doyle Т. С.) 798
Доногю (Donoghue W. F.) 511, 798,
839
Дородницын А. А. 798
Дрезден (Dresden A.) 59, 798
Дуб (Doob J. L.) 774, 798, 813
Дубровский В. М. 423, 798
Дугунджи (Dugundji J.) 508, 798
Дьёдонне (Dieudonne J.) 96, 98,
108, 256, 421—423, 425, 429, 434,
436, 498, 499, 500, 501, 503, 504,
511, 582, 584, 793, 798, 799, 856
Дынкин Е. Б. 774, 799
Дэй (Day M. M.) 99, 254, 427, 428,
433, 501, 511, 773, 799
Егоров Д. Ф. 166, 352, 354
Жордан (Jordan G.) 113, 144, 148,
182, 285, 426, 603, 800
55 Заказ Nt 132 4

866
Именной указатель
Жюлиа (Julia G.) 800
Заанен (Zaanen А. С.) 94, 421, 434,
435, 649, 650, 651, 787, 800
Зальцвассер (Zalcwasser Z.) 500, 800
Зейдель (Seidel Ph. L.) 417, 800
Зейферт (Seifert G.) 800
Зейц (Seitz F.) 800
Зигмунд (Zygmund A.) 434, 440, 584,
/64, 774, 800, 804, 832, 836, 841
Зильберштейн (Silberstein J. P. O.)
650, 801
Ивата (Iwata G.) 801
JtayMH(Izumi S.J57, 417,423, 426,
586, 588, 801, 841
Ийер (Iyer V. G.) 433, 801
Инаба (Inaba M.) 511, 801
HHiviTOH(Ingleton A. W.) 102,434, 801
Инфельд (Infeld L.) 801, 850
Ионеску (Ionescu Tulcea С. Т.) 801,
820
Иосида (Yosida K.) 255, 256, 414, 429,
430, 504, 511, 581, 583, 653, 665,
759, 771, 772, 773, 774, 801, 802,
822, 825, 849, 854
Йессен (Jessen B.) 226, 229, 256, 571,
802, 839
Йордан (Jordan P.) 427, 428, 802, 826
Йост (Jost R.) 802, 810, 827, 829
Какутани (Kakutani S.) 100, 104,
256, 415, 418, 421, 427—430, 493,
494, 498, 500, 501, 508—511, 581 —
583, 587, 588, 594, 759, 773, 774,
777, 782, 802, 803, 809, 819
Калкин (Calkin J. W.) 587, 803
Каллер (Kuller R. G.) 429, 803
Кальдерон (Calderon A. P.) 584, 774,
800, 804
Камерон (Cameron R. H.) 440, 441,
794, 804, 805, 816, 820, 846, 853,
855
Камке (Kamke E.) 59, 805
Кампен (van Karnpen E. R.) 805
Кантор (Cantor) 103
Канторович Л. В. 255, 414, 420, 422,
429, 430, 583, 588, 788, 805, 830, 846
Капланский (Kaplansky I.) 419, 420,
431, 777, 805
Карасева Т. М. 805
Каратеодори (Caratheodory С.) 59,
148, 254, 774, 805
Карлеман (Carleman Т.) 578, 650, 805
Кзрлин (Karl in S.) 107, 108, 806
Картан A. (Cartan H.) 42, 793, 805
Картан Э. (Cartan E.) 647
Като (Kato Т.) 651, 652, 806
Кафиеро (Cafiero F.) 423, 426, 806
Кац И. С. 806
Кац М. (Кае М.) 440, 441, 807, 860
Качмаж (Kaczrnars S.) 108, 807, 858
Квигли (Quigley F. D.) 419, 807, 853
Кей (Кау I.) 807, 823
Кейдисон (Kadison R. V.) 420, 430,
431, 807
Келдыш М. В. 651, 807
Келли (Kelley J. L.) 59, 60, 417,
419, 431, 432, 504, 511, 594. 777,
788, 807, 846
Келлог (Kellogg О. D.) 508, 511, 781
807
Кембл (Kemble E. С.) 807
Кемп (Camp В. Н.) 425, 807
Кернер (Kerner M.) 106, 807
Кете (Kothe G.) 98, 433, 434, 503
808, 842
Килпи (Kilpi Y.) 808
Киносита (Kinoshita S.) 509, 511, 808
Кларксон (Clarkson J. A.) 257, 418,
427, 430, 431, 510, 511, 775, 808,
860
Клейнекке (Kleinecke D. С.) 587, 650,
652, 808
Кли (Кlee V. L., Jr.) 101, 104, 496,
498, 499, 504, 511, 808
Клиффорд (Clifford A. H.) 106, 809,
819
Кнезер (Kneser A.) 809
Кнопп (Кпорр К.) 59, 578, 809
Кобер (Kober H. А.) 587, 809
Ковалевский (Kowalewski G.) 59, 809
Кодаира (Kodaira К.) 803, 809
Коддингтон (Coddington E. А.) 809,
815
Козлов В. Я. 108, 809
Коллац (Collatz L.) 649, 809
Коллинз (Collins H. S.) 504, 810
КслмогоровА. Н. 105, 106, 103,254.
420, 422, 423, 511, 774, 791, 810.
847
Коматудзаки 587, 810
Кон (Kohn W.) 802, 810
Кордес (Cordes H. О.) 810
Костюченко А. Г. 108, 791, 810, 839
Котляр (Cotlar M.) 810, 833
Коши (Cauchy A.) 247—249, 407,
417, 441, 595, 608—610, 612, 647,
648, 653, 683, 689, 693, 810
Коэн И. (Cohen I. S.) 434, 810
Коэн Л. (Cohen L. W.) 588, 773, 795,
810

Именной указатель
867
Крамер В. (Kramer V. A.) 652, 810
Крамер Г. (Kramer H. R.) 652, 810
Крамере (Kramers H. А.) 811
Красносельский М. А. 435, 508, 651,
811, 812, 836
Крачковский С. Н. 511, 651, 787,
793, 811
Крейн М. Г. 5, 59, 108, 421, 429,
430, 432, 465, 471, 477, 499, 501,
503, 504, 511, 651, 652, 790, 794,
811, 812, 822, 836, 857
Крейн С. Г. 429, 430, 432, 812
Кристиан (Christian R. R.) 254, 416,
588, 813
Кронин (Cronin J.) 106, 813
Крылов Н. С 774
Кук (Cooke R. G.) 94, 813
Кунисава (Kunisava К.) 425, 813
Купер (Cooper J. L. В.) 813
Купмен (Koopman В. О.) 773, 798,
813
Курант (Courant R.) 792, 813, 814
Куратовский (Kuratowski С.) 97, 813
Курош А. Г. 11, 59, 813
Кюршак (Kurschak J.) 93, 813
Кэли (Cay ley) 602
Лаасонен (Laasonen P.) 813
Лаврентьев М. А. 813
Лагерр (Laguerre E. N.) 108, 646, 813
Лагранж (Lagrange J. L.) 407, 646,
813
Лаке A. (Lax A.) 814
Лаке П. (Lax P. D.) 102, 814, 821
Ламсон (Lamson К. W.) 99, 814
Лангер (Langer R. Е.) 781, 814
Ландау (Landau E.) 94, 814
Лаплас (Laplace) 57, 102, 387, 683,
684, 686, 694, 772
Ласаль (Lasalle J. P) 105, 433, 814
Латшоу (Latschaw V. V.) 814
Лаурикайнен (Laurikamen К- V.) 814
Лебег (Lebesgue H.) 94, 147, 148.
155, 158—160, 168, 169, 183, 186,
190, 206, 223, 237, 238, 241, 244,
245, 254—256, 289, 356, 358, 364,
366, 371, 382, 388, 395, 424—426,
428, 436, 569, 572, 573, 576, 586,
652, 660, 668, 675, 676, 677, 694,
701, 703, 727, 750, 764, 766, 814
Леви Б. (Levi В.) 407, 814
Леви П. (Levy P.) 442, 814
Лёвиг (Lcwig H.) 407, 414, 815
Левинсон (Levinson N.) 781, 809, 815
Левитан Б. М. 421, 791, 815
Лёвнер (Lowner К.) 442, 815
Лежандр (Legendre) 108
Лежанский (Lezanski Т.) 649, 815
Лейтон (Leighton W.) 815
Лейя (Leja F.) 93, 816
Леньель (Lengyel В. А.) 816, 840
Лере (Leray J.) 98, 508, 511, 649, 816
Лефшец (Lefschetz S.) 59, 504, 816
Ли (Lie S.) 93
Ливингстон (Livingston A. E.) 433,
816
Лившиц М. С 651, 816, 830
Лидер (Leader S.) 255, 816
Лидский В. Б. 649, 816
Линдгрен (Lindgren В. W.) 440, 804,
816
Линделёф (Lindelof E.) 23
Литлвуд (Littlewood J.) 7, 91, 573,
574, 584, 762, 816, 832, 851
Лиувилль (Liouvi lie J.) 253, . 440,
607, 701, 817
Лифшиц И. М. 652, 817
Лихтенштейн (Lichtenstein L.) 817
Ловалья (Lovaglia A. R.) 511, 817
Лоран (Laurent) 250, 251, 607, 612,
613, 628, 629
Лоренц (Lorentz G. G.) 98, 435, 588,
817
Лорх (Lorch E. R.) 102, 108, 427,
428, 442, 587, 648, 773, 817, 835
Лукомский Т. И. 818
Люмер (Lumer G.) 818, 850
Люмис (Loomis L. H.) 93, 416, 421, 818
Ляпунов А. М. 605
Ma (Ma S. T.) 818
Маак (Maak W.) 420, 818
Маеда (Maeda F.) 430, 818, 828
Мазани (Masani P. R.) 254, 818
Мазур (Mazur S.) 94—97, 105, 106,
426, 434, 451, 498—500, 504, 509—
511, 779, 818, 828, 845, 859
Майерс (Myers S. B.) 417, 431, 432,
818
Майкал (Michal A. D.) 93, 106, 649,
809, 819, 820, 860
Майкл (Michael E.) 500, 581, 819
Макай (Makai E.) 819
Мак-Даффи (MacDuffee С. С.) 646,
647, 819
Макинтайр (Macintyre A. J.) 819, 835
Макки (Mackey G. W.) 427, 428, 511,
587, 803, 819
Мак-Лейн (MacLane S.) 59, 781, 819
Мак-Фейл (McPhailM. S.) 107, 819
Мак-Шейн (MacShane E. J.) 98, 254,
416, 421, 819
Мак-Эвен (McEwen W. H.) 819
55*

868
Именной указатель
Мандельбройт (Mandelbrojt S.) 819,
820, 859
Манроу (Munroe M. Е.) 107, 254, 257,
820
Маринеску (Marinescu G.) 649, 801,
820
Марков А. А. 415, 493, 509, 511, 820
Маркушевич А. И. 59, 108, 253, 820
Мартин P. (Martin R. S.) 93, 649,
819, 820
Мартин У. (Martin W. Т.) 440, 804,
820
Маруяма (Maruyama G.) 440, 820
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.) 764,
820
Марчевский (Marczewski E.) 820, 852
Марченко В. А. 820
Маслов А. С. 254, 820
Маутнер (Mautner F. I.) 820
Махарам (Maharam D.) 820
Медведев Ю. Т. 426, 821
Меддаус (Maddaus I., Jr.) 107, 586,
588, 821
Мергелян С. Н. 821
Меркил (Mirkil H.) 821
Меррей (Murray F. J.) 587, 821, 826
Мертенс (Mertens F.) 91
Микусинский (Mikusinski J. G.) 430,
821
Миллер Д. (Miller D. S.) 426, 768,
769, 774, 796, 821
Миллер К. (Miller К. S.) 821, 857
Милн (Milne W. E.) 822
Мильграм (Milgram A. N.) 814, 822
Мильман Д. П. 5, 108, 477, 501,
504, 509—511, 784, 812, 822,
836
Мимура (Mimura Y.) 583, 802, 822
Минксвский (Minkowski H.) 135,
136, 265, 407, 445, 509, 571, 822
Минлос Р. А. 442, «22
Миранда (Miranda С.) 102, 508, 511,
822
Михлин С. Г. 822
Мишоу (Mishoe L. I.) 822, 847, 848
Миядера (Miyadera I.) 772, 822
Мозер (Moser К.) 651, 823
Мозес (Moses H. Е.) 807, 823
Молчанов А. М. 823
Монна (Monna A. F.) 254, 434, 823
Монтролль (Montroll E. W.) 441, 823
Mop (Mohr E.) 823
Морс A. (Morse А. Р.) 101, 257, 427,
775, 796, 823, 859
Морс М. (Morse M.) 586, 823, 843
М<хковиц (Moskovitz D.) 504, 511,
795, 824
Мур Э. (Moore E. Н.) 40, 60, 94, 647,
824
Мур P. (Moore R. L.) 60, 823
Мюнц (Muntz Ch. H.) 418, 823
Нагата (Nagata J.) 420, 824
Нагумо (Nagumo M.) 93, 98, 428,
648, 649, 771, 824
Наймарк М. А. 9, 108, 431, 791, 827
Накамура (Nakamura M.) 254, 425,
430, 582, 824, 841, 845
Накано (Nakano H.) 94, 429, 430,
509, 824
Накаяма (Nakayama Т.) 802, 825
Натан (Nathan D. S.) 771, 825
Натансон И. П. 59, 825
Нахбин (Nachbin L.) 107, 430, 431,
432, 594, 825
Нейгауз М. Г. 826
Нейман Дж. (von Neumann J.) 94,
99, 102, 256, 407, 415, 420, 423, 427,
428, 475, 499, 511, 581, 650, 651,
701, 771, 773, 783, 796, 802, 821,
826, 850
Нейман К. (Neumann С.) 648, 826
Неймарк Ф. А. 826
Немыцкий В. В. 508, 511, 827
Нёрлунд (Norlund N. Е.) 89
Никович И. А. 827
Никодим (Nikodym О. М.) 107, 176,
191, 194, 195, 199, 200, 211, 236,
255, 256, 310, 316, 328, 330, 333,
334, 336, 343, 349, 366, 421, 424,
426, 537, 544, 584, 684, 827
Николеску (Nicolescu M.) 422, 827
Никольский В. Н. 108, 827
Никольский С. М. 651, 827
Ниман (Nyman В.) 827
Ниренберг (Nirenberg L.) 827
Нусбаум (Nussbaum A. E.) 796, 827
Ньютон (Newton R. G.) 99, 802, 827
Огасавара (Ogasawara Т.) 430, 818,
827, 828
Одэн (Audin M.) 651, 828
Окстоби (Oxtoby J. В.) 767, 773, 774,
828, 845
О'Нилл (O'Neill В.) 511, 828
Оно (Опо Т.) 102, 434, 828
Орихара (Orihara M.) 430, 828
Орлич (Orlicz W.) 94—97, 107, 108,
257, 421, 422, 425, 426, 434, 588,
776, 781, 818, 828
Орлов С. А. 829
Оухар (Owchar M.) 440, 829

Именной указатель
869
Охира (Ohira К.) 428, 829
Паркер (Parker W. V.) 829
Парееваль (Parseval) 414
Паули (Pauli W.) 829
Пеано (Peano G.) 829
Пейс (Pais A.) 802, 829
Пек (Peck J. E. L.) 509, 511, 829
Петер (Peter F.) 786, 829
Петтис (Pettis В. J.) 95, 97, 98, 102,
254, 257, 346, 422, 425, 510, 511,
583, 584, 588, 796, 829
Пиконе (Picone M.) 829
Пинкерле (Pincherle S.) 94, 830
Пинскер А. Г. 429, 430, 805, 830
Пирс (Pierce R.) 430, 830
Питт (Pitt H. R.) 774, 839
Планшерель (Plancherel M.) 830
Плеснер А. И. 830, 836
Повзнер А. Я. 830
Пойа (Polya G.) 573, 574, 584, 830, 851
Поллард (Pollard H.) 772, 830
Понтрягин Л. С. 11, 59, 93, 830
Потапов В. П. 816, 830
Поттер (Potter R. L.) 831
Прайс (Price G. В.) 254, 831
Прюфер (Prufer H.) 831
Птак (Ptak V.) 98, 108, 504, 831
Пуанкаре (Poincare H.) 647, 831
Пуассон (Poisson S. D.) 397
Пул (Poole E. G. С.) 831
Путнам (Putnam С. R.) 831, 852
Пэли (Paley R. Е. А. С.) 440, 584,
787, 800, 816, 832
Рабинович Ю. Л. 652, 832
Радсн (Radon J.) 158, 191, 194, 195,
199, 200, 211, 236, 256, 310, 316,
328, 330, 333, 334, 343, 366, 414,
422, 424, 426, 537, 544, 582, 584,
588, 684, 832
Райков Д. А. 791, 832
Райнхарт (Rinehart R. F.) 647, 832
Райт (Wright F. В.) 832
Рамасвами (Ramaswami V.) 832
Рапопорт И. М. 832
Растон (Ruston A. F.) 108, 511, 649,
832
Рейтер (Reiter H. J.) 833
Рей Пастор (Rey Pastor J.) 833
Реллих (Rellich F.) 407, 414, 624,-
651, 833
Рид (Reid W. Т.) 833
Рикабарра (Ricabarra R. A.) 810, 833
Риккарт (Rickart С. Е.) 254, 256, 584,
588, 833
Риман (Riemann) 254, 379, 425, 426
Рис (Riss J.) 834
Рисе M. (Riesz M.) 406, 422, 423, 512,
560, 565, 566, 573, 584, 709, 711,
718, 721, 746, 834
Рисе Ф. (Riesz F.) 9, 93, 94 99, 100,
102, 288, 406, 407, 414, 421—423,
426, 430, 499, 530, 581, 582, 617,
622, 646—648, 650, 668, 701, 773,
774, 817, 834, 835, 837
Роберте (Roberts B. D.) 107, 835
Робертсон A. (Robertson A.) 108,835
Робертсон У. (Robertson W.) 108, 835
Робисон (Robison G. B.) 835
Рогозинский (Rogosinski W. W.)
819, 835, 855
Роджерс (Rogers C. A.) 107, 796,
835
Розенблат (Rosenblatt M.) 441, 835
Розенблюм (Rosenbloom P. C.) 59,
652, 835
Розенталь (Rosenthal A.) 254, 256,
424, 790, 835, 851
Poccep (Rosser J. B.) 59, 60, 835
Рота (Rota G. C.) 106, 835
Роте (Rothe E. H.) 508, 511, 835
Рохлин В. А. 774, 830, 836
Рубин (Rubin H.) 427, 428, 836
Рудин (Rudin W.) 419, 836
Рутицкий Я. Б. 435, 811, 836
Рутман М. А. 108, 430, 504, 511, 812,
822, 836
Рутовиц (Rutovitz D.) 836
Рылъ-Нарджевский (Ryll-Nardzew-
ski С.) 725, 769, 774, 836, 852
Рэлей 651
Сакс (Saks S.) 94, 95, 173, 176, 254 —
256, 310, 334, 335, 347, 349, 353,
356, 415, 424, 426, 500, 764, 779,
836, 841
Салем (Salem R.) 584, 800, 836
Сан Хуан (San Juan R.) 421, 836
Сарджент (Sargent W. L. С.) 95, 435,
836
Cac (Szasz O.) 418, 792, 837
Себаштьян-и-Сильва (Sebastiao e
Silva J.) 257, 433, 837
Секефальви-Надь (Sz.-Nagy B.) 9,
94, 407, 430, 622, 646, 648, 650,
651, 773, 835, 837
Сигал (Segal I. E.) 418, 431, 772, 796,
837
Сикорский (Sikorski R.) 649, 838
Сильва Диас (da Silvas Dias C. L.)
433, 838

870
Именной указатель
Сильвермен (Silverman R. J.) 88, 838
Сильвестр (Sylvester J. J.) 646, 838
Синай Я. Г. 774, 838
Сингер (Singer I. M.) 838, 845
Сирвинт Ю. 418, 420, 582, 583, 588,
838,
Сирота (Shirota Т.) 420, 838
Сире (Sears D. В.) 838, 842
Скороход А. В. 108, 810, 839
Слободянский М. Г. 839
Смайли (Smiley M. F.) 428, 430, 839
Смит (Smith К. Т.) 511, 650, 777,
798, 839
Смитис (Smithies F.) 588, 649, 839
Соболев С. Л. 839
Собчик (Sobczyk A.) 100, 428, 587,
588, 594, 782, 839
Соломяк М. Э. 652, 839
Сонин Н. Я. 839
Спарре Андерсен (Sparre Andersen E.)
256, 802, 838
Спрагенс (Spragens W. Ы.) 839
Сташевская В. В. 839
Стейнберг (Szeinberg H.) 441, 839
Стеклов В. А. 839
Степанов В. В. 774, 839
Стивенсон (Stevenson A. F.) 779, 840
Стильтьес (Stiltjes T. J.) 148, 158 —
160, 170, 241, 244, 379, 4J5, 425,
488, 582, 586, 683, 684, 686, 694,
772, 840
Стирлинг (Stirling) 747
Стоке (Stokes G. G.) 106, 417, 840
Стоун (Stone M. Н.) 9, 53, 56, 59,
94,99, 295, 296, 340, 416, 418, 419,
420, 427, 428, 430, 432, 498, 504,
511, 646, 648, 771, 796, 816, 836,
840
Стюарт (Stewart F. М.) 254, 841
Суноути Г. (Sunouchi G.) 256, 586,
588, 841
Суноути X. (Sunouchi H.) 841
Суноути С. (Sunouchi S.) 254, 425,
825, 841
Сухомлинов Г. А. 100, 841
Тагамлицкий (Tagamlitzkt Y.) 430,
511, 841
Такахаси (Takahashi Т.) 422, 435,
841
Талдыкин А. Т. 650, 841
Тамаркин (Tamarkin J. D.) 94, 256,
422, 584, 588, 650, 796, 800, 836,
841, 853, 857
Тарский 19
Таубер (Tauber A.) 92
Тейлор A. (Taylor A. E.) 10S,254, 257,
433, 511, 583, 585, 587, 588, 594,
646, 648, 652, 783, 841, 842, 850
Тейлор Б. (Taylor В.) 250, 629, 648
Тейхмюллер (Teichmuller О.) 60, 842
Темпль (Temple G.) 842
Теплиц (Toeplitz О.) 88, 93, 94, 99,
433, 434, 582, 648, 808, 842, 853
Тингли (Tingley A. J.) 441, 842
Титов Н. С. 107, 842
Титчмарш (Titchmarsh E. С.) 59,
651, 838, 842
Тихонов А. Н. 45, 60, 407, 458, 493,
508, 509, 511, 843
Томас (Thomas J.) 843
Томита (Tomita M.) 511, 843
Тонелли (Tonelli L.) 213, 214, 674,
676, 677, 682
Торин (Thorin G. О.) 560, 584, 843
Торнхейм (Tornheim L.) 843
Трансю (Transue W.) 586, 823, 843
¦- * ¦' - - ¦-- 343
,843
Тулайков (Tulajkov A.) 422, <
Тьюки (Tukey J. W.) 498, 499, 511, J
Уайберн Дж. (Whyburn G. Т.) 98, 843
Уайберн У. (Whyburn W. M.) 843
Уайлдер С. (Wilder С. Е.) 844
Уайлдер P. (Wilder R. L.) 59, 844
Уиддер (Widder D. V.) 418, 772, 773,
844, 854
Уилкинз (Wilkins J. E., Jr.) 844
Уинтнер (Wintner A.) 433, 774, 787,
844, 852
Уитни (Whitney H.) 845
Улам (Ulam S.) 105, 818, 828, 845
Умегаки (Umegaki H.) 825, 845
Уоллах (Wallach S.) 845
Уолтере (Walters S. S.) 433, 845
Уолш (Walsh J. L.) 845
Уорд (Ward L. E.) 845
Урысон П. С. 25, 26, 36, 296, 324, 533
Уэрмер (Wermer J.) 419, 838, 845
Фаге М. К. 845
Фантапье (Fantappie L.) 433, 647, 845
Фань Ку (Fan К.) 429, 430, 431, 650,
783, 846
Фарнель (Farnell А. В.) 846
Фату (Fatou P.) 170, 229, 242, 311,
735, 750, 751
Фейган (Fagan R. Е.) 440, 804, 846
Фейнман (Feynman R. Р.) 441, 846
Фелл (Fell J. M. G.) 807, 846
Феллер (Feller W.) 772, 774, 816
Фёльнер (Folner E.) 433, 782, 846

Именной указатель
Фенхель (Fenchel W.) 509, 782, 846
Ферес (Veress P.) 414, 422, 426, 846
Фиккен (Ficken F. А.) 427, 428, 846
Филлипс (Phillips R. S.) 254, 256,
257, 414, 422, 424, 428, 429, 500,
501, 504, 511, 583, 584, 587, 588,
594, 652, 653, 665, 771—773, 783,
847
Фихтенгольц Г. М. 97, 255, 414, 420,
422, 588, 805, 847
Фншел (Fishel В.) 847
Фишер К. (Fisher С. А.) 415, 582,
588, 847
Фишер Э. (Fisher E.) 407, 414, 847
Флейшер (Fleischer I.) 102, 434, 847
Фомин С. В. 108, 254, 810, 847
Форд (Ford G. С.) 822, 847
Форт (Fort M. К., Jr.) 509, 511, 847
Форте (Fortet R.) 107, 441, 511, 848
Фредгольм (Fredholm I.) 93, 99,
617, 648, 649, 848
Фрейденталь (Freudenthal H.) 98,
428, 429, 430, 848
Фреше (Frechot M.) 93, 106, 255, 407,
414, 417, 421, 422, 426, 586, 774, 847
Фридман Б. (Friedman В.) 822, 848
Фридман М. (Friedman M. D.) 848
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 435, 439,
442, 651, 848
Фринк (Frink О., Jr.) 108, 849
Фробениус (Frobenius G.) 646, 647,
849
Фубини (Fubini G.) 208, 212, 213,
214, 226, 229, 256, 676, 686, 690
Фуглид (Fugiede В.) 849
Фукамия (Fukamiya M.) 504, 511,
774, 802, 849
Фукс (Fuchs L.) 849
Фукухара (Hukuhara M.) 511, 849
Фуллертон (Fullerton R. Е.) 430,
431, 583, 586, 588, 849
Фурье (Fourier) 389, 391, 392, 393,
394, 398, 401, 402, 440, 586
Хаар (Нааг А.) 108, 498, 850
Хажинский (Charzynski Z.) 105, 850
Хайерс-(Нуеге D. Н.) 106, 509, 511,
649, 850
Хал (Hull Т. Е.) 801, 850
Халбери (Halbury С. J. А.) 842, 850
Халмош (Halmos P. R.) 59, 94, 254,
256, 415, 423, 424, 646, 648, 767,
773, 774, 818, 826, 850, 856
Хан (Hahn H.) 59, 61, 71, 74, 94,
96, 99—102, 144, 148, 173, 176,
234, 254, 255, 256, 310, 334, 347,
349, 353, 356, 424, 425, 443, 447,
482, 485, 582, 690, 835, 851
Харазов Д. Ф. 651, 851
Харди (Hardy G.) 7, 91, 398 573,
574, 575, 580, 584, 762, 816, 830,
851
Хартман П. (Hartman P.) 433, 774
831, 844, 851, 852
Хартман С. (Hartman S.) 820, 836,
852
Хаусдорф (Hausdorff F.) 11, 16, 59,
60, 93, 102, 191, 570, 582, 853
Хейвуд (Heywood P.) 853
Хевисайд (Heavisid) 94
Хелли (Helly E.) 94, 100, 414, 425,
853
Хеллингер (Hellinger E.) 93, 94, 9.9,.
582, 648, 842, 853
Хельсон (Helson H.) 419, 807, 853
Хензель (Hensel К.) 646, 853
Хенсон (Hanson Е. Н ) 426, 853
Хетфилд (Hatfield С.) 440, 805, 853
Хилле (Hilie E.) 5, 94, 106, 588,
646, 648, 650, 652, 653, 665, 771,
772, 773, 841, 853
Хильдинг (Hilding S.) 853
Хинчин А. Я. 774, 854
Хиршман (Hirschman I. I.) 772, 773,
844, 854
Хольмгрен (Holmgren E.) 854
Хопф Г. (Hopf H.) 59, 505, 776, 854
Хопф Э. (Hopf E.) 711, 712, 766, 773,
774, 854
Хотта (Hotta J.) 504, 511, 854
Хыоит(Не\уШ Е.J55, 443, 414, 415,
416, 418, 419, 420, 802, 854
Хюльтен (Hulthen L.) 854
Цвален (Zwahlen R.) 851
Цермело (Zermelo E.) 17, 60, 854
Циммерберг (Zimmerberg H. J.) 854
Цорн (Zorn M.) 17, 42, 60, 148, 192,
193, 274, 364, 493, 494, 855
Цзен (Tseng Y. Y.) 108, 855
Цзян (Chiang Т. Р.) 855
Цудзи (Tsuji M.) 423, 855
Чан (Chang S. Н.) 650, 855
Чебышев П. Л. 404
Чезаро (Cesaro E.) 89, 383, 396, 401
Чех (Cech E.) 419, 855
Шапиро Г. (Shapiro H. S.) 405, 835,
855

872
Именной указатель
Шапиро Дж. (Shapiro J. М.) 440, 805,
855
Шаттен (Schatten R.) 104, 855
Шатуновский С. О. 40, 60, 855
Шаудер (Schauder J.) 97, 98, 107,
108, 493, 508, 511, 522, 582, 648,
855
Шах (Shah S. М.) 855
Шварц Г. A. (Schwarz H. А.) 269, 270,
407, 856
Шварц Г. М. (Schwarz H. М.) 425, 856
Шварц Дж. (Schwarz J.) 409, 421,
423, 426, 582, 588, 779, 780, 796, 856
Шварц Л. (Schwarz L.) 96, 98, 434 —
436, 504, 511, 650, 651, 799, 856
Швердтфегер (Schwerdtfeger H.) 646,
856
Шевалле (Chevalley С.) 93, 856
Шёнберг (Schoenberg I. J.) 415, 427,
428, 511, 773, 792, 856
Шерф (Schaerf H. M.) 856
Шефер (Schaffer J. J.) 850, 856
Шефке (Schafke F. W.) 108, 652, 856
Шилов Г. Е. 108, 254, 418, 419, 423,
436, 791, 857
Шин Ден Юн 857
Широхов М. Ф. 430, 857
Шифман (Shiffman M.) 102, 790, 857
Шиффер (Schiffer M. М.) 821, 857
Шмейдлер (Schmeidler W.) 857
Шмидт (Schmidt E.) 93, 102, 581,
648, 857
Шмульян В. Л. 426, 430, 465, 466,
469, 471, 499, 501, 503, 504, 510,
511, 790, 812, 857
Шмульян Ю. Л. 652, 857
Шноль Э. Э. 857
Шохат (Shohat J. A.) 841, 857
Шредер (Schroder J.) 652, 857
Шрёдингер (Schrodinger E.) 651, 857
Шрейбер (Schreiber M.) 857
Шрейдер Ю. А. 427, 858
Шрейер О. (Schreier О.) 93, 858
Шрейер Я. (Schreier J.) 500, 858
Штейнгауз (Steinhaus H.) 94, 95,
108, 421, 422, 779, 807, 858
Штиккельбергер (Stickelberger L.)
647
Штраус А. В. 858
Штрут (Strutt M. I. О.) 859
Штурм (Sturm С.) 440, 859
Шур A. (Schur A.) 859
Шур И. (Schur I.) 573, 859
Шур Я. (Schur J.) 91, 422, 859
Эберлейн (Eberlein W. F.) 102, 295,
421, 466, 501, 504, 511, 773, 859
Эгмон (Agmon S.) 820, 859
Эгнью (Agnew R. P.) 101, 823, 859
Эдварде (Edwards R. E.) 415, 859
Эзрохи И. А. 588, 859
Эйдельгайт (Eidelheit M.) 105, 498,
511, 818, 859
Эйленберг (EilenbergS.) 419, 432, 859
Эккарт (Eckart C.) 860
Элконин (Elconin V.) 106, 819, 860
Эллиот (Elliott J.) 860
Эллис Г. (Ellis H. W.) 435, 789, 860
Эллис Д. (Ellis D.) 428,860
Эрдёш (Erdos P.) 418, 441, 808, 860
Эрмит (Hermite) 108, 440
Эсклангон (Esclangon E.) 860
Эссер (EsserM.) 860
Юд (Yood B.) 511, 650, 860
Юдин А. И. 430, 860
Юнг (Young L. C.) 570, 584, 860
Яглом А. М. 441, 791, 860
Ямабе (Yamabe H.) 101, 860

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Цифры в скобках обозначают номера страниц; ссылки, начинающиеся
римской цифрой (например, III. 2. 1),— номера параграфов
и пунктов книги
Абелева группа D6)
Абсолютно непрерывная функция
IV.2.22B63),IV.12.3C67), IV.13.28
C72), IV.13.31, 32 C73), IV. 15 D12)
— — — множества III.4 12—13
A46-147), ШЛО A91-201)
_______ производная B00),
III.12.6 B34)
— — — — связь с абсолютно
непрерывными функциями IV. 12.3
C67)
— — — — — — интегрируемыми
функциями ШЛО. 1A92), ШЛО,2
A94), Ш.10.7 A99).
Абсолютная сходимость в Б-про-
странствах A07)
Абстрактная задача Коши F53)
Автоморфизм (внешний, внутренний,
группы) D7)
Аддитивная группа D6)
— функция множества III. 1 —13,
III.2.1 A10)
Аксиоматическая, характеристика
пространств, см. Характеристика
аксиоматическая
Алгебра E2)
— борелевская III.5.10 A53)
— булевская E5), III. 1.3 (ПО)
— подмножеств III. 1.3 A10)
— порождаемая семейством мно-
множеств III.5.6 A52)
— с инволюцией E1)
(см. также а-алгебра)
Алгебраический базис D8), см. также
Базис Гамеля
Алгебраическое дополнение E7); E8)
Альтернатива Фредгольма F49)
Аналитическая функция III. 14 B46)
векторная VI. 10.5 E62)
— — целая B53)
Аналитических функций простран-
пространство IV.2.24; B63), IV. 15 D13);
IV.13.37C74)
Аналитическое продолжение B51)
Аннулятор II.4.17 (85)
Антиизоморфизм E15)
Аппроксимации теория A01)
Атом в пространстве с мерой IV.9.6
C35)
Аффинное отображение D94)
Базис Гамеля (алгебраический)
1.3.7 A8); D8), 1.14 2 E8)
— линейного пространства D8) '
— метрической топологии 1.6.2 C0)
— ортонормированный I V.4.11—,
_ и B74-275)
— топологии 1.4.6 B1)
счетный 1.4.14 B3), 1.6.12
C2), 1.6.19 C6)
— Я-пространства A07), IV.5.5 B82)
— ^-пространства II.4.7 —10 (84)
Банахов предел II.4.22, II.4.23 (86)
Банахово (В-) пространство G1); (99)
Безусловная сходимость A06)
Бикомпактное пространство (множе-
(множество) 1.5.5—10 B81
, критерий 1.5.6B8), 1.7.9 D1),
1.7,12D3)
метрическое 1.6.13C3), 18—
19 C6)
Бикомпактное расширение боровское
D13), D21)
— — вполне регулярного простран-
пространства IV.6.22 C00)
Стоуна—Чеха C03)
Бикомпактность множеств в специ-
специальных пространствах IV. 15 D08—
413)
— относительная 1.5.5 B8)
— слабая V.6 D66—472) E03)
(в Ж-топологии) V.4.1—3 D58—
459)
— — и рефлексивность V.4.7—8
D60-461)
Билинейная функция II.4.4 (83)
Билинейный функционал E86)
Биортогональная система II.4.11
— 12 (84)
Борелевская алгебра топологического
пространства III.5 10 A53)
Борелевское множество III.5Л0 A53)
Булевская алгебра E5); A10)

874
Предметный указатель
Булевское кольцо E2)
с единицей 1.12.1E3)
Вариация абсолютно непрерывной
функции множества A46)
— верхняя (положительная) III. 1.
7—8 A13); A46)
— нижняя (отрицательная) III. 1.
7-8 П13); A46)
— ограниченная III.1.4 A11)
— регулярной функции множества
III.5.12 A53)
—, счетная аддитивность 111.4.7A43)
— полная III.1.4 A11)
— функции III.5.15 A56)
— функции множества III.1.4—7
A11 — 114)
Вектор D8)
Векторное пространство D8)
— — вещественное, комплексное F1)
Векторнозначная мера IV. 10 C45—
357); IV. 13.75 C80); D25)
Вероятности перехода G59)
Верхний предел последовательности
множеств III.4.3 A41)
— — — числовой A4)
Верхняя грань A3); A4)
— — существенная III. 1.11 A15)
Вещественная часть комплексного
числа A4)
Вещественное линейное пространство
E0)
Винеровская мера D39 —440)
Взаимно однозначное отображение
A3)
Внешняя мера III.5.3 A49)
Внутреннее произведение в гиль-
гильбертовом пространстве IV.2.26
B64)
Внутренность множества 1.4.1 B0)
Внутренняя точка 1.4.1 B0)
(см. также С-внутренняя точка)
Возмущений теория VII.6 F24 —
632)
— — для полугрупп операторов
VIII.1.18—25 F71-681)
Вполне измеримая функция III.2.10
A20), см. также Измеримая функция
— конечно аддитивная функция мно-
множества III.7.7—8 A81)
— непрерывные операторы VI.5
E22—524), VI.9.30—35 E54—555);
E81); E91)
в С VI.9.45 E56)
U VI.9.51—57 E57—
558)
Вполне непрерывные операторы, общин
вид для определенных на C(S)
VI.7.7 E34)
Lt VI.8.11
E46)
— — — — — — отображающих в
C(S) VI.7.1 E28)
— — — спектральная теория VII.4
F17—620); F48)
— ограниченное множество 1.6.14
C4)
— разрывное топологическое про-
пространство E3); D32)
— регулярное топологическое про-
пространство IV.6.21 C00)
_______ его бикомпактное рас-
расширение IV.6.22 C00)
— упорядоченное множество 1.2.
8-9 A7)
Всюду плотное множество 1.6.11 C2)
Второе сопряженное пространство
G8); A02)
Выпуклая комбинация V.2.2 D48—
449)
— оболочка V.2 2 D48)
замкнутая V.2.2 D48)
— окрестность A00), A05)
— функция VI. 10.1 E60)
Выпуклое множество 11.4.1 (83)
V. 1.1-2 D44-447); D98), E11)
— — в конечномерном простран-
пространстве E09)
Выпуклость
— равномерная II.4.27 (87); E10—
—511)
— строгая V.11.7 D96)
Гауссова мера D37)
Гильбертов параллелепипед («кир-
(«кирпич») IV. 13.70 C80), D90)
/усвойство V.10.2 D90)
— сопряженный оператор V.2.9—10
E17), VI.9.12 E52)
Гильбертово пространство IV.2.26
B64), IV.4 B69-279), IV.15 D13)
D07), VI.9.12 E52)
— — аксиоматическая характери-
характеристика D27)
— — размерность IV.4.15 B76)
Гомеоморфизм 1.4.15B4), 1.5.8 B8)
Гомеоморфные пространства B4)
Гомоморфизм алгебры E2)
— — булевской E6)
— группы D7)
— естественный E0), E1)
— кольца E1)

Предметный указатель
875
Граница множества 1.4.9 B1)
(см. также С-граничная точка)
Грань (верхняя, нижняя) A3), A4)
График II.2.3 G0)
— замкнутый II.2.4 G0)
Группа абелева (коммутативная) D6)
— автоморфизмов D7)
— аддитивная D6)
— метризуемая A04)
— операторов F68—669)
— топологическая II. 1.1 F1)
Двойственности правила A2)
Двустороннее преобразование Лапла-
Лапласа— Стильтьеса VIII.2.1 F84)
Действительная часть комплексного
числа A4)
Декартово произведение, см. Прямое
произведение
Диагональный процесс C5)
Диаметр множества 1.6.1 C0)
Диаметральная точка V. 11.14 D97)
Диссипативная часть G60)
Дистрибутивная структура E5)
Дифференциал полный или Фреше
A06)
Дифференциальное исчисление
в ^-пространствах A06)
Дифференциальные уравнения VII.2.
19—29 F03—605), VII.5.16 F21),
VII.5.27 F23)
-', устойчивость VII.2.23 F04),
VII.2.27, 28 F05)
Дифференцирование B56—257)
Дифференцируемость нормы E09)
— функции множества III. 12.4 B32),
III.12.6 B34)
Дополнение в структуре E5)
— к многообразию E87)
— множества A2)
— ортогональное 11.4.17(85); IV.4.3
B70) IV.4.4 B71)
Дополнительное многообразие E87)
Допустимое подмножество D97)
Дуга простая B46)
Евклидово пространство 1V.2. 1B59),
IV.3 B65—26Р), IV. 15 D08)
Единица группы D6)
— структуры E5)
Единичная сфера в нормированном
пространстве II.3.1 G1)
— — — — —, бикомпактность и ко-
конечномерность IV.3.5 B66)
Единичный оператор D9)
Единственность предела 1.7.3 C9)
Естественная область существования
аналитической функции B51)
Естественное вложение Ж в 36**
II.3.18 G8); A02)
— упорядочение проекторов E18)
Естественный гомоморфизм E0), E1)
— изометрический изоморфизм $ и
Ж 11.3.19G8)
Жорданова кривая B46)
— нормальная форма матрицы VII.
2.17 F03)
Задача Коши D41), F53)
Замена меры III.10.4 A96) III.10.6
A98) ' '
— переменной III. 10.8 B00)
Замкнутая выпуклая оболочка D48)
— жорданова кривая B47)
— ортонормированная система функ-
функций IV. 14.1 C89), IV. 14.67 D01),
E80)
— сфера II.3.1 G1), II.4.1 (83)
Замкнутое линейное многообразие.
порожденное множеством II. 1.4
F3)
— множество 1.4.3—5 B0—21)
Замкнутый график II.2.4 G0)
— интервал A4)
— оператор II.2.3 G0)
Замыкание множества 1.4.9—11 B1 —
22), 1.7.2 C9)
— относительное B3)
— регулярное E00)
— трансфинитное E00)
Идеал в кольце операторов E86);
F50)
Б-алгебре F48)
— двусторонний, левый, правый,
максимальный, несобственный, соб-
собственный, тривиальный E0); E2)
Идемпотентный оператор D9)
— элемент E2)
Изменение порядка интегрирования
B14)
— — предельных переходов 1.7.6
D0)
Измеримая функция III.2.10 A20)
— —, обобщение понятия измери-
измеримости A33); C49)
свойства III.2.11 —12 A20)
— — условия (полной) измеримо-
измеримости III.2.21 A31), III.6.9—И A64 —
—166); III.6.14 A67), III.9.9, 11,

876
Предметный указатель
18 A87); III.9.24 A88), III.9.37
A90); III.9.44 A91), III.13.11 B45)
Измеримое множество III.4.3 A41);
A59)
Измеримых функций пространство,
см. Пространство измеримых функ-
функций
Изолированная особая точка ана-
аналитической функции B51)
— точка спектра VII.3.15 F11)
Изометрический изоморфизм гиль-
гильбертовых пространств одинаковой
размерности IV.4.16 B76)
36 и i II.3.18—19 G8)
Изометрия A05)
Изоморфизм алгебры E2)
— — булевской E6)
— группы D7)
— изометрический II.3.17 G8)
— кольца E1)
— нормированных линейных прост-
пространств
II.3.17 G8)
— топологический B4)
Инвариантная мера VI.9.38—44
E55-556)
(см. также Эргодическая теория)
— — на топологической группе
V. 1.22-23 D98)
— метрика в линейном пространстве
II.1.10 F4)
— — на группе A04)
— подгруппа D7)
Инвариантное множество A3)
Инволюция в алгебре E2)
Индекс комплексного числа VII. 1.2
E96)
Индивидуальная (точечная) зрго-
дическая теорема /г-параметриче-
ский случай, дискретный VII 1.6.9
G21)
— — — — непрерывный в Lt
VIII.7.17 G51)
Lp VIII.7.
10 G37)
_____ однопараметрический
дискретный случай VIII.6.6 G17)
— — — — — непрерывный случай
VIII.7.5 G32)
Индуцированная топология 1.4.12 B3)
Интеграл (см. также Интегрирование)
— Гаусса — Винера D36—442)
— замена переменных 111.10.8B00),
III.13.4-5 B44)
— кратный B04); B14)
— криволинейный B47)
— Лебега A60); B14)
Интеграл, методы суммирования
IV. 13.78—101 C81—389)
— повторный B04); B14)
— Римана—Стильтьеса IV. 14.63C79)
Интегральная теорема Коши B47)
— формула Коши B47)
— — — для функций от оператора в.
пространстве конечномерном VII. I
10 F00)
— — — — — — — — — произ-
произвольном VII.3.9 F08)
— — ______ неограничен-
неограниченного замкнутого VII.9.4 F41)
Интегрирование векторных функций
B54)
— мультипликативное B55)
— по векторнозначной мере IV. 10.7
C51)
— — конечно аддитивной функции
множества III.2-3 A15-140),
особенно III.2. 17 A27)
— — счетно аддитивной мере III.6
A61-173)
частям III.6.22 A72)
Интегрируемая функция A20);
III.2.17 A27); A33) IV.10.7 C51)
Интервал бесконечный или конечный
III.5.15 A56)
— замкнутый или открытый A4)
Инфинитезимальный оператор груп-
группы F69)
— — полугруппы F53) VIII.1.6
F59); F83)
Канторовский диагональный про-
процесс C5)
Канторово совершенное множество.
III.9.38 A90), V.7.13 — 14 D73)
Касательная к множеству V.9.4 D84)
— функция V.9.2 D83)
Касательный фу нкц иона л V. 9.4— 5D84)
— — единственность V.9.6 D85)
Категория 1.6.9 C1)
Квазидополнение к многообразию
E87)
Квазинильпотентный оператор VII.5.
12 F21)
Квазиравномерная сходимость IV.6.
10—12 B91—292), IV.6.30—31
C04—305)
Кваз и равностепенная непрерывность
IV.6.13—14 B92—293) IV.6.28—29
C04)
Кватернионы A00)
Классы смежности левые, правые D7)
Кольцо 1.11 — 12 D7—48)

Предметный указатель
877
Кольцо булевское E2)
с единицей 1.12.1 E3)
— коммутативное D8)
Коммутативная группа D6)
Компактное пространство C2)
Компактный (терминология) B8)
Компактность 1.6.10 C2)
—, связь с бикомпактностыо в мет-
метрическом пространстве 1.6.13, 15
C3—34)
— слабая II.3.25 (80)
— — в рефлексивных пространствах
II.3.28 (81)
— —, связь со слабей бикомпактно-
бикомпактностыо V.6.1 D66).
Комплексное линейное пространство
E0)
Комплексные числа, расширенная
область A3)
Конечно аддитивная функция мно-
множества III.1—3; III.1.2 (ПО); B55)
Конечномерное пространство D8),
IV.3 B65-269), IV. 15 D08); D07);
E09); F46), VII. 1-2 E95-605)
Конус (порождаемый множеством)
D89)
Коэффициенты Фурье C91)
Крайние точки и подмножества V.8
D76-482), V.11.1-6 D95-496);
E04);E11)
— —, теорема Крейна—Мильмана
V.8.4 D77)
Кратные интегралы B04); B14)
Кривая жорданова, спрямляемая
B46)
Криволинейный интеграл B47)
Лакунарные ряды IV. 14.63 D00)
Лебеговы пространства, см.
Lp(SfS,fi), 1<р<оо
Лебеговская мера в /7-мерном про-
пространстве III.И.6 B06)
— —- на интервале III.5.18 A59)
Лебеговское множество функции
III.12.9 B38)
— продолжение функции множества
III.5. 17—18 A58-159)
— расширение (пространства с ме-
мерой, а-алгебры) III.5.18 A59)
Левоинвариантная мера V. 11.23 D98)
Левые классы смежности D7)
Лемма Сакса IV.9.7 C35)
— Фату III.6.19 A70), III.9.35 A89)
— Хопфа VIII.6.1—2 G11—712)
— Цорна 1.2.7 A7)
Линейная комбинация D8)
Линейная оболочка D8)
— — замкнутая F3)
— размерность A05)
Линейно независимое множество D8)
— упорядоченное множество 1.2.2
A4)
Линейное векторное пространство
(над полем Ф) D8)
— многообразие D8)
— —замкнутое II. 1.4 F3)
плотное V.7.40—41 D75)
— нормированное пространство G1)
— подпространство D8), F2—63)
— преобразование D9)
— невырожденное E7)
— пространство, вещественное или
комплексное E0); F1)
— топологическое пространство
II.1.1 F2); D47); D98); E11)
Линейный оператор D9)
— функционал E0)
— — мультипликативный IV. 6.23
C01)
Локально бикомпактное простран-
пространство V.5.5 B8)
— выпуклая топология V.2.9—14
D52-453); D54)
— — —, пространство ЗЕ с Г-топо-
логией V.3.3 D54)
— — — — ЗЕ** с БХ-топологией
V.5.5 D64)
— выпуклое линейное топологиче-
топологическое пространство V.2.9 D52)*
E09)
Локализуемость сходимости C92)
Мажоранта A4)
Максимальная эргодическая лемма,
дискретный случай VIII.6.7 G18)
— — — однопараметрический слу-
случай VIII.7.6 G33)
— , /с-параметрический случай
VIII.7.И G39)
Максимальный идеал (левый, пра-
правый, двусторонний) E1)
— элемент 1.2.4 A5)
Максимума модуля принцип B52)
Марковский процесс G02); G74)
Матрица, жорданова нормальная
форма VII.2.17 F03)
— оператора, преобразования E6)
VI.9. 26—28 E54)
— эрмитова F01)
Матрицы след VI.9.28 E54)
Мера (см. также Функция множества)
III.4.3 A41)

878
Предметный указатель
Мера Бореля A56)
— Бореля—Лебега A55)
п-мерная B06)
— Бореля—Стильтьеса A58)
— векторнозначная IV. 10 C45—357);
D25), IV.13.17 C80)
— Винера D39-440)
— внешняя III.5.3 A49)
— гауссова D37)
— инвариантная на группе V. 11.
22—23 D98)
— — относительно преобразования
VI .9.38-44 E55-556)
— конечная A41)
— Лебега III.5.18 A59), B06)
— Лебега—Стильтьеса A59)
— обобщенная A41)
— определяемая функцией A60)
— положительная A41)
— Радона A58)
— Хаара V. 11.22 D98)
— Хаусдорфа III,9.47 A91)
Меры разложение, см. Разложение
меры
— дифференцирование III. 12 B30—
243) особенно III.12.6 B34)
— продолжение II 1.5.8 A52)
лебеговское III.5.18 A59)
Методы суммирования расходящихся
рядов II.4.31-54 (87-92)
интегральные IV. 13.78—101
C81—389)
Метризуемость C0)
(см. также Слабая топология, по-
порождаемая некоторой метрикой)
— множества всех функций II 1.2.1
(не)
— регулярного пространства со счет-
счетным базисом 1.6.19 C6)
Метрика 1.6.1 C0)
— инвариантная (в линейном про-
пространстве) II. 1.10 F4)
— — на группе A04)
Метрическая топология C0); D54)
Метрическая транзитивность G01),
G10)
Метрическая функция C0)
Метрическое пространство 1.6 C0)
— —, нормальность 1.6.3 C0)
— полное 1.6.5,7,8 C1)
—, сепарабельность 1.6.11 C1)
иноранта A4)
ногообразие линейное D8)
— дополнительное E87)
— замкнутое II. 1.4 F3)
— натянутое на множество (по-
(порождаемое множеством) II. 1.4 F3)
Многообразие линейное ортогональ-
ортогональное к другому многообразию B70)
Многочлен Лежандра A08)
— от оператора в конечномерном
пространстве VII. 1.1 E96)
— в произвольном В-про-
странстве VII.3.10 F08), VII.5.17
F22)
— — —неограниченного замкнутого
VII.9.6 —10 F42—644)
— характеристический VII.2.1—4
F01—602), VII.5.17 F22), VII. 10.8
F45)
— Чебышева IV. 14.76—78 D04)
Множеств алгебра (поле) 111.1.3A10)
— измеримых пространство B(»а))
III.7.1 A73-175)
— объединение, пересечение, произ-
произведение, сумма A2)
— прямое произведение, см. Прямое
произведение
— сходимость III.4.3 A41 — 142),
III.9.48 A91)
Множества внутренность 1.4.1 B0)
— граница и замыкание B1)
— грань, верхняя и нижняя A3);
A4)
Множество бикомпактное (биком-
(бикомпактное относительно) 1.5.5. B8)
— борелевское III.5.10 A53)
— вполне ограниченное 1.6.14 C4)
— — упорядоченное 1.2.8, 9 A7)
— всюду плотное 1.6.11 C2)
— выпуклое II.4.1 (83), V. 1.1 D44),
D98), E00)
— замкнутое 1.4.1 B0)
— измеримое III.4.3 A41)
по Лебегу A59)
— компактное 1.6.10 C2)
— лебеговское (интегрируемой функ-
функции) III.12.9 B38)
— линейно независимое D8)
— — упорядоченное 1.2.2 A4)
— меры нуль A15)
— направленное 1.7.1 C8)
— нигде не плотное 1.6.11 C2)
— нулевой меры A15)
— ограниченное II. 1.7 F3); (94)
— ортонормированное IV.4.8 B72)
— открытое 1.4.1—2 B0)
— относительно замкнутое или от-
открытое 1.4.12 B3)
— плотное (в другом множестве)
1.6.11 C2)
— пустое A2)
— резольвентное VII.3.1 F06); F39)
— связное 1.4.12 B3); B51)

Предметный указатель
879
Множество спектральное VII.3.17
F12); F48)
— функций, достаточное для раз-
различения точек пространства IV.
6.15 B96)
тотальное II.2.6 G0); D53)
— частично упорядоченное 1.2.1 A4)
(см. также Нуль-множество и
^-множество)
Мощность 1.3.5 A8)
Мультипликативный интеграл B54)
— линейный функционал IV.6.23
C01)
Направленное множество 1.7.1 C8)
Начало координат (в линейном про-
пространстве) G1)
Независимость линейная D8)
Неограниченный оператор VII.9
F39-644); F52)
Неподвижная точка, см. Теорема
0 неподвижной точке
Непрерывная функция 1.4.15 B3)
— — в метрическом пространстве
1 6.7 C1)
— — на бикомпактном множестве
1.5.10 B9)
— — недифференцируемая 1.9.6 D5)
— —, продолжение 1.5.3—4 B6—
27), 1.6.17 C5)
свойства 1.4.16—18 B4)
Непрерывность в БА-топологии
V.5.6 D64)
— квазиравностепенная B92); C04)
— критерий 1.7.4 C9)
— линейных операторов в Б-про-
странствах II.3.4 G2), (96)
— — — — /^-пространстве II. 1.
14-16 F6-67)
— — функционалов и топология
V.3.8-9 D55-456), V.3.11 D57)
— предельной функции 1.7.7 D1),
IV.6.11 B91)
— равномерная, см. Равномерная не-
непрерывность
—равностепенная, см. Равностепен-
Равностепенная непрерывность
Непрерывный линейный функционал
II.3.7 G3)
— — —- отсутствие в Lp, 0<р<1
V.7.37 D75)
— — — существование V.7.3 D72)
(см. также Теорема Хана—Банаха)
Непрерывный спектр VI 1.5.1 F20)
Неравенство Бесселя D14)
— Гельдера III.3.2 A34)
Неравенство Гельдера, обобщения
VI.И.1-2 E67), VI. И. 13-18
E71—572)
— —,обращениев равенство III.9.42
A90)
— Минковского III.3.3 A35)
, обобщения VI. И.13—18 E71 —
572)
— —, обращение в равенство III.9.
43 A90)
— Харди—Гильберта VI. И. 19—29
E73-576)
— Шварца IV.4.1 B69); D07)
Несобственный идеал E0)
Нигде не плотное множество 1.6.11
C2)
Нижний предел последовательности
множеств A41)
— — — числовой A4)
Нижняя грань A3), A4)
Норма в гильбертовом пространстве
IV.2.26 B64)
— — сопряженном пространстве
И.3.5 G2)
^-пространстве II. 1.10 F4)
Lv III.3.1 A34), VI. 11.30—
37 E76—578)
—, дифференцируемость E09—510)
— оператора II.3.5 G2)
— существование в линейном топо-
топологическом пространстве A05)
— элемента II.3.1 G1)
Нормальная структура V. 11.14, 15,18
D97)
Нормальное пространство, метриче-
метрическое 1.6.3 C0)
— — топологическое 1.5.1 B5)
Нормальный делитель (в группе) D7)
— оператор VII.2.14 F03)
Нормированное пространство II.3.1
Нулевой оператор D9)
— элемент группы D6)
Нуль аналитической функции
B51)
Нуль-множество III. 1.11 A14)
— —, критерий (счетно аддитивный
случай) III.6.7 A63)
— — относительно векторнозначной
меры C49)
— —, свойства (общий случай) III.9.
2,8,16 A86-187)
Нуль структуры E5)
Область значения оператора VI.2.8
E16), VI.6, VL9.15—17 E52—553*

880
Предметный указатель
Область значения функции A3)
— на плоскости комплексного пере-
переменного B46)
—- определения функции A3)
Обобщенная последовательность 1.7.
1_7 C8-40)
— — фундаментальная C9)
Обобщенные функции D36)
Оболочка выпуклая V.2.2 D48)
— линейная (замкнутая) D8), F3)
Образ A3)
Обратимое отображение A3)
Обратная функция A3)
Обратный оператор E7), VI.2.7
E16)
— —, непрерывность операции А'1
VII.6.1 F24)
— элемент в группе D6)
Обращающая последовательность
многочленов VII 1.2.12 F92)
Общий вид линейного оператора
((слабо) вполне непрерывного)
E88-594)
— — — — в лебеговом простран-
пространстве VI.8 E36—550); E83)
— — — — — пространстве С VI.7
E27-536); E82)
Объединение множеств A2)
Ограниченная вариация III.1.4 A11)
-— — счетная аддитивность III.4.7
A43)
функции III.5. 15—16 A56)
(см. также Функция ограниченной
вариации)
Ограниченная Л^-топология V.5.3
D63)
непрерывность линейных функ-
функционалов V.6.6 D64)
— — фундаментальная система ок-
окрестностей V.5.4 D63)
Ограниченное множество
— — в В-пространстве, критерий
II.3.3 G2)
— в линейном топологическом про-
пространстве II. 1.7 F3); (94), V.7.7—8
D72)
Ограниченность непрерывной функ-
функции на бикомпактном множестве
1.5.10 B9)
— почти периодической функции
IV.7.3 C07)
— равномерная, см. Принцип рав-
равномерной ограниченности
— существенная (ц-существенная)
III.1.11 A15)
Ограниченный оператор II. 1.14 F6),
П.3.5 G2)
Ограниченных функций простран-
пространство см. Пространство ограничен-
ограниченных функций
Окрестность в метрическом простран-
пространстве 1.6.1 C0)
— — топологическом пространстве
1.4.1 B0)
— выпуклая A00)
ограниченная A05)
Окрестностей фундаментальная сис-
система 1.4.6 B1)
Оператор в конечномерном простран-
пространстве E6), VII. 1E95-601), VII.2.1 —
— 18 F01—603)
— вполне непрерывный, см. Вполне
непрерывные операторы
— единичный D9)
— замкнутый II.2.3 G0
— идемпотентный D9)
— инфинитезимальный, см. Инфи-
нитезимальный оператор
— квазинильпотентный VII.5.12
F21)
— линейный D9)
— неограниченный VII.9 F39—644)
F52)
— непрерывный в Б-пространстве
11.3.4 G2), (96)
— — — ^-пространстве II. 1.14 —16
F6), F7)
— нормальный VII.2.14 F03)
— нулевой D9)
— обратный, см. Обратный оператор
— ограниченный II.1.14 F6), II.3.5
G2)
— проектирования, см. Проектор
— с замкнутой областью значений
VI.6 (t>24—527), VI.9.15, 17E52 —
553); E82)
— слабо вполне непрерывный, см.
Слабо вполне непрерывные опе-
операторы
— сопряженный, см. Сопряженный
оператор
— эрмитов IV. 13.72 C80); F01)
Оператора возмущение, см. Возму-
Возмущений теория
— график II.2.3 G0)
— норма II.3.5 G2)
— область значений, см. Область
значений оператора
— общий вид, см. Общий вид ли-
линейного оператора
— продолжение E87)
с х 36 на ЭЕ** VI.2.5 E16)
— резольвента, см. Резольвента
— спектр, см. Спектр

Поедметный указатель
881
Оператора спектральный радиус, см.
Спектральный радиус
— функции, см. Операторное исчис-
исчисление
Операторов сходимость в Б-простран-
стве II.3.6 G3)
— — — /^пространстве II. 1.17—
18 F7)
Операторная топология VI. 1 E12—
515), VI.9.1-12 E50-552); E81)
— — непрерывность линейных
функционалов VI. 1.4 E14)
— — ограниченная сильная, см.
BSO-топология
— — — слабая, см. Б1ГО-топология
— — равномерная VI.1.1 E12)
сильная VI. 1.2 E12)
слабая VI.1.3 E13)
Операторное исчисление в конечно-
конечномерном пространстве VII. 1.5 E98)
— — — комплексном Б-простран-
стве VII.3 F05—617), особенно
VII.ЗЛО F08)
— — для инфинитезимального опе-
оператора полугруппы VIII.2 F83—
695), особенно VIII.2.6 F87); G72)
— — — неограниченного замкнуто-
замкнутого оператора VII.9 F39—644),
особенно VII.9.5 F41); F52)
Операторные полугруппы, см. Полу-
Полугруппы операторов
Опорная функция выпуклого мно-
множества V.1.7 D45) E09)
Определитель матрицы, определи-
определитель линейного преобразования
1.13 E7)
Ориентация замкнутой кривой
B47)
Ортогональная система Хаара A08)
Ортогональное дополнение в гильбер-
гильбертовом пространстве I V.4.3—4 B70—
271)
— — множества (аннулятор) в норми-
нормированном пространстве II.4.17 (85)
Ортогональность элементов в линей-
линейном пространстве A07)
— — и многообразий в гильберто-
гильбертовом пространстве IV.4.3 B70)
Ортогональный проектор в гильбер-
гильбертовом пространстве B72), E19)
Ортогональные ряды, теория и упра-
упражнения IV. 14.1—73 C89—403),
VI. 11.43-47 E80)
Ортонормированная система функций,
замкнутая IV. 14.1 C89), IV. 14.67
D01); E80)
Ортонормирсванное множество в гиль-
гильбертовом пространстве II.4.8—16
B72—276)
Ортонормированный базис в гиль-
гильбертовом пространстве 11.4.11 B74)
, критерий IV.4.13B74)
— — — — —, мощность IV.4.14
B75)
— — — — —, существование
IV.4.12 B74)
Особые точки аналитическойфункции
B51)
Остаточный спектр VI 1.5.1 F20)
Открытое множество 1.4.1—2 B0)
Открытый интервал A4)
Относительная топология 1.4.12 B3)
Относительно замкнутые и открытые
множества 1.4.12 B3)
— бикомпактное подмножество B8)
Относительное замыкание B3)
Отношение A3)
— порядка A4)
Отображение A1 — 12)
— аффинное D94)
— непрерывное (— — в точке) B3)
— обратимое A3)
— ограниченное II. 1.14 F6)
—, открытость, см. Принцип откры-
открытости отображения
Параллелепипед гильбертов, см.
Гильбертов параллелепипед
Параллелограмма тождество B70);
D27)
Перенос D8)
Пересечение множеств A2)
Плотное линейное многообразие
V.7.40—41 D75)
— множество 1.6.11 C2)
— — выпуклое V.7.27 D74)
Плотность множества простых функ-
функций в 1р, 1<р<оо 111.3.8A40)
— — непрерывных функций в ТМ
и Lp III.9.17 A87), IV.8.19 C24)
— — к Ж в ¦?** в Ж -топологии
V.4.5—6 D60)
Повторные интегралы B04); B14)
Погружение Ж в ?** II.3.18 G8)
Подготовительная теорема Вейер-
штрасса B53)
Подгруппа (собственная, инвариант-
инвариантная) D6—47)
Подкольцо E0)
Подпространство линейное D8)
— — порождаемое множеством (на-
(натянутое на множество) D8); F2)
— — — — замкнутое F3)
56 Заказ № 132 4

882
Предметный указатель
Подэргодические ядра G60)
Покрытие в смысле Витали III. 12.2
B31)
— топологического пространства
1.5.5 B8)
— — — выбор конечного подпокры-
подпокрытия 1.5.5 B8)
Поле D8)
— подмножеств, см. Алгебра
подмножеств
Полином, см. Многочлен
Полная вариация функции III.5.15
A56) (см. также Ограниченная
вариация)
— — — множества III.1.4 A11)
Полная (сг-полная) структура E5)
Полное метрическое пространство
1.6.5,7,9 C1), 1.6.15 C4); A03)
— нормированное пространство —
см. Банахово пространство
— ортонормированное множество
IV.4.8 B72)
— частично упорядоченное множе-
множество 1.3.9 A9)
Полнота слабая, см. Слабая полнота
Положительная ориентация B47)
Полуаддитивные функции F58)
Полувариация векторнозначной меры
IV. 10.3—4 C47—348)
Полугруппа операторов VIII. 1
F53—683) G27); G71)
— —, инфинитезимальный (порож-
(порождающий, производящий) ее опе-
оператор VIII. 1.6 F59)
— — непрерывная в равномерной
топологии VIII.1.1—2 F54)
сильно измеримая G27); G72)
— — — интегрируемая G27)
— — —непрерывная VIII.1.1 F54);
G27)
— — теория возмущений VIII. 1.19
F71)
— — /г-параметрическая VIII.7.8
G36)
Полюс аналитической функции B51)
— оператора (резольвенты) VII.3.15
F11), VII.3.18 F13), VII.3.20
F14)
Пополнение пространств A02)
Порождающий оператор, см. Инфи-
Инфинитезимальный оператор
Порядок полюса F11)
Последовательность множеств не-
неубывающая, невозрастающая, схо-
сходящаяся III.4.3 A42)
Последовательность обращающая
VIII.2.12 F92)
Последовательность обобщенная
1.7.1 C8)
— — фундаментальная 1.7.4 C9)
— определяющая 1,2.17 A27)
—, порожденная ультрафильтром
C03)
— слабо сходящаяся 11.3.25 (80)
— — фундаментальная II.3.25 (80)
— сходящаяся (к точке) 1.6.5 C1),
1.7.1 C8)
— фундаментальная 1.6.5 C1)
(см. также Пространство последова-
последовательностей)
Почти всюду относительно скаляр-
скалярной аддитивной функции множе-
множества III.1.11 A15)
— — — векторной функции мно-
множества IV. 10.6 C49)
— периодические функции IV.2.25
B63), IV.7 C05-309), IV. 15 D13)
D20—421)
— — —, представление в виде С-про-
странства IV.7.6 C09)
— равномерная сходимость
III.6.1-3 A61), 111.6.12A66)
— сепарабельнозначная функция
III.1.1 A15), III.6.9-11 A65-167)
Правила двойственности A2)
Правило Крамера E7)
Правые классы смежности D7)
Правый идеал E0)
Предел C8)
— банахов II.4.22-23 A86)
— верхний, нижний A4)
— единственность 1.7.3 C9)
— последовательности множеств
III.4.3 A41)
— равномерный относительно аара-
метра C8)
— слабый II.3.25—27 (80)
Предельная точка 1.4.1 B0)
— — обобщенная 1.7.8 D1)
Представитель абстрактной функции
B15)
Преобразование линейное A2) (см~
также Оператор)
— Лапласа—Стильтьеса двусторон-
двустороннее VIII.2.1 F84)
— метрически транзитивное G10)
— сохраняющее меру VI.9.38—44
E55-556), G10)
Принцип максимума модуля B52)
— открытости отображения 11.2
F8—71), особенно II.2.1 (97)
— равномерной ограниченности в
^-пространствах II.3.20—2\ { '8 —
—79), (94)

Предметный иказатель
883
Принцип равномерной ограниченности
в ^-пространствах II. 1.11 F4)
—равностепенной непрерывности
ИЛ.И F4)
Продолжение аналитическое B51)
— линейного преобразования E87)
с хХ на ?** VI.2.5 E16)
— функции A3)
— — по непрерывности 1.5.3—4
B6—27), 1.6.17 C5)
множества III.5 A48—161),
особенно III.5.8 A52)
— — — лебеговское III.5.17—18
A58—159)
— — —, неединственность III.9.12
A87)
Проектирование в прямом произве-
произведении 1.3.14 A9—20)
— — непрерывность 1.8.3 D3)
— на многообразие B73), VI.9.23—
24 E53), VI.9.27 E54)
Проектор (проекционный оператор,
оператор проектирования) D9);
B72); VI.3 E17—519); E87)
—, естественное упорядочение VI.3.
4—5 E18—519)
— ортогональный (перпендикуляр-
(перпендикулярный) IV.4.8 B72) E19)
(см. также упражнения VI.9.18—
25, 27-29 E53-554))
Произведение внутреннее (в гиль-
гильбертовом пространстве) IV.2.26
B64)
— множеств A9)
— операторов D9)
— пространств банаховых A03)
— — с мерой, см. Прямое произве-
произведение
— — топологических (тихоновское)
D4)
— прямое, см. Прямое произведение
— скалярное, см. Произведение
внутреннее
— тензорное (скрещенное, кронеке-
ровское) A03)
— элементов группы D6)
— — кольца D8)
Производная Радона— Никодима
B00)
— функции множества III. 12.4 B32),
III.12.6 B34), III.12. 7-8 B35)
III.13.1 B43), III.13.6 B44)
Производящий оператор, см. Ин-
финитезимальный оператор
Прообраз A3)
Простая дуга B46)
Пространство абсолютно непрерывных
функций IV.2.22 B63), IV. 12.3 C67),
IV. 13.28 C72), IV.13.31, 32 C73),
IV. 15 D12)
- аналитических функций IV.2.24
B63); IV. 15 D13)
- банахово G1); (99)
- — перечень специальных про-
пространств IV.2 B59—265)
- бикомпактное 1.5.5 B8)
- векторное (над полем Ф) D8)
- вполне разрывное E3); D32)
- — регулярное IV.6.21—22 C00)
- гильбертово, см. Гильбертово про-
пространство
- евклидово, см. Евклидово простран-
пространство
- дифференцируемых функций
IV.2. 23 B63), IV. 15 D12)
- измеримых функций III.2.10
A20), IV.2.12 B61), IV.2.27 B65),
IV. 11 C57-365), IV. 15 D10-413)
- — — критерий полноты III.6.5
A62)
- — — как топологическое линей-
линейное пространство III.9.7 A87),
III.9.28 A88)
- конечномерное, см. Конечномер-
Конечномерное пространство
- лебегово, см. Lp (S, 2, \i)
- линейное D8)
вещественное, комплексное E0)
- — нормированное II.3.1 G1)
- — топологическое II. 1.1 F2)
- локально бикомпактное 1.5.5 B8)
- — выпуклое топологическое V.2.9
D59); E09)
- метрическое 1.6.1 C0)
- непрерывных функций IV.2.14
B61), IV.6 B83-305), IV.15 D10);
D14-420); D32)
- — — аксиоматическая характе-
характеристика D30—431)
- нормальное 1.5.1 B5)
- нормальной структуры V. 11.14
D97)
- нормированное II.3.1 G1)
- ограниченных функций IV.2.13
B61) IV.5 B79-283), IV. 15 D10)
, представление в виде С-про-
странства IV.6.18—22 B98—300)
- полное 1.6.5 C1), C4), (ЮЗ)
- последовательностей IV.2.4—11
B60-261), IV.2.28 B65), IV.15
D08-411); D13)
- почти периодических функций
IV.2.25 B63), IV.7 C05—309),
IV. 15 D13); D20—421)
56*

884
Предметный указатель
Пространство равномерно выпуклое,
см. Равномерная выпуклость
— регулярное, см. Регулярное топо-
топологическое пространство
— рефлексивное, см. Рефлексивное
пространство
— связное 1.4.12 A3)
— сепарабельное, см. Сепарабельность
— с мерой (конечной, положитель-
положительной) III.4.3 A41)
— — — как метрическое простран-
пространство III.7.1 A73—175), III.9.6 A87)
(а-конечной) III.5.7 A52)
— — —, лебеговское расширение
III.5.18 A59)
— сопряженное II.3.7 G3)
— Стоуна D32)
— типа В, см. /^-пространство
— типа F, см. /^-пространство
— топологическое 1.4.1 B0)
— упорядоченное D28), E93)
— функций множеств A77), IV.2.15—
17, 22 B61—263), IV.6.1 B83),
IV.9 C32-345), IV. 15 D11); D23—
424)
— — — как сопряженное простран-
пространство IV.5.1, 3 B80—281), IV.6.2—3
B84—288), IV.8.16 C22)
— — ограниченной вариации
IV.2.20—21 B62—263), IV. 12 C65 —
367); IV. 15 D12); D26—427)
— хаусдорфово 1.5.1 B5)
— 2A1) III.7.1 A73—175)
Простые функции III.2.9 A20)
— —, плотность в Lrj (S, 2, fi, •?)
III 3.8 A40), III.8.3 A84), III.9.46
A91)
Процесс марковский G02), G74)
Прямая сумма подпространств в ли-
линейном пространстве D9)
— — пространств банаховых A03)
— гильбертовых IV.4.17 B78)
линейных D9); A03)
Прямое произведение множеств
1.3. 11-14 A9)
— — пространств с мерой III. 11
B01—229), B56)
—- — — — —, конечного числа
с конечной мерой III.11.3 B04)
— — — — — — — — а-конеч-
а-конечной мерой B05)
— — — — — бесконечного числа
III.11.21 B24)
— — — топологических I. 8 D3—45)
— — В-пространств A03)
Пустое множество A2)
Равенство Парсеваля D14)
Равномерная выпуклость II.4.27—29
(87); E10—511)
— гладкость E11)
— непрерывность 1.6.16 C5)
— — и продолжение непрерывной
функции 1.6.17 C5)
— — непрерывной на бикомпактном
метрическом пространстве функ-
функции 1.6.18 C6)
— операторная топология VI. 1.1
E12), VI.9.11 —12 E52)
— сходимость 1.7.1 C8); D17)
— — как условие возможности из-
изменения порядка предельных пере-
переходов 1.7.6 D0)
— эргодическая теорема VIII.8.
6—8 G56—758); G74)
Равномерной ограниченности прин-
принцип 11.1.11F4), II.3.20—21 (94—95)
— — — в /^-пространствах II.3.20—
21 G8—79)
— — — — ^-пространствах II. 1.11
F4)
— — — для мер (теорема Никодима)
IV.9.8 C36)
Равностепенная непрерывность
IV.6.6 B89)
— — и (относительная) бикомпакт-
ность IV.6.7—9 B89—290)
— — семейства линейных преобра-
преобразований V.20.7 D94)
— — — — — и его неподвижная
точка V.10.8 D94)
Равностепенной непрерывности прин-
принцип II.1.11 F4)
Радиус спектральный VII.3.5 F07)г
VII.3.4 F07), VII.5.11 F21)
— сферы C0)
Разделимость выпуклых множеств
V.1.9, 12 D46), V.2.7—13 D51 —
453), D98—499)
— — — в пространствах конечно-
конечномерных V.7.24 D74)
линейных V. 1.12 D46)
— — — — — — топологических
V.2.7—8 D52)
— — — контрпримеры V.7.25—28
D74); D99)
Различение точек IV.6.15 B96)
Разложение аналитической функции
в ряды Лорана и Тейлора B50)
Разложение конечно аддитивной
функции множества в смысле Жор-
дана III.1.7—8 A13)
— — — — — на счетно аддитив-
аддитивную и вполне конечно аддитивную
IV.7.8 A81)

Предметный указатель
885
Разложение меры в смысле Жордана
III.4.11 A46)
Лебега III.4.14 A47)
Сакса IV.9.7 C35)
Хана III.4.10 A44)
Размерность пространства Банаха,
линейная A05)
Гильберта IV.4.15 B76)
— — — и метрический изоморфизм
IV.4.16 B76)
— — линейного D8) (см. также
Базис ортонормированный и Ба-
Базис Гамеля)
Расходящиеся ряды (87—92)
Расширенная область чисел, вещест-
вещественных или комплексных A3)
— — — — — —, ее топология B1)
Регулярная функция множества
111.5.11 A53), III.9.19—22 A88),
III.13.7 B44), IV.13.75 C80)
— — —, продолжение 111.5.14A55)
— — —, регулярность вариации
111.5.12 A53)
— — —, счетная аддитивность
111.5.13 A54)
Регулярно выпуклое множество E01)
Регулярное замыкание E00)
— топологическое пространство 1.5.1
B5), 1.6.19 C6)
Регулярный метод суммирования
II.4.35 (88)
— элемент кольца (левый, правый)
E2)
Резольвента оператора, ограничен-
ограниченного VI 1.3.1 F06)
— — неограниченного замкнутого
F39)
—, тождество Гильберта VI 1.3.6 F07)
Резольвентное множество оператора
ограниченного VII.3.1 F06)
— — — неограниченного замкну-
замкнутого F39)
Рефлексивное пространство 11.3.22
G9), A02), V.7.11 D73); E01);E11)
критерий V.4.7 D60)
— —, подпространства II.3.23 G9)
— —, слабая компактность II.3.28
(81)
— —, слабая полнота II.3.29 (82)
— —, сопряженное пространство
II.3.24 (80)
Рефлексивность специальных про-
пространств IV. 15 D08—413)
Ряд лакунарный IV. 14.63 D00)
— Лорана B50)
— ортогональный IV. 14. 1 — 73C89—
403), VI. 11.43—47 E80)
Ряд расходящийся 11.4.31—54(87—92)
— Тейлора B50)
— Фурье IV.14.11—20 C91—392)
— — локализуемость сходимости
IV. 14.26 C93)
кратный IV. 14.67—73 D02)
, суммируемость IV. 14.41, 42,
45, 47-51 C95-397)
сходимость IV. 14.27—33 C93)
Свертка VIII. 1.23—25 F75—677)
— мер VIII.2.3 F85)
— некоторые неравенства VI. 11.6.
12 E69-570)
Связное множество 1.4.12 B3), B51)
Сдвиг функции C06)
Сепарабельность 1.6.11 C2)
— и бикомпактность 1.6.15 C4)
— — метризуемость V.5.1—2 D61)
погружение в С V.7.12,14 D73)
— — подмножества в ЗЕ* V.7.15—16
D75)
— пространства С IV. 13.16 C69),
V.7.17 D73)
Lp III.9.6 A87)
— сопряженного пространства
V.7.36 D75)
Сепарабельное линейное многообра-
многообразие II.1.5 F3)
в Lp III.8.5 A85)
Сепарабельнозначный III. 1.11 A15)
Сильная топология II.3.1 G1), D54)
— — операторная VI.1.2 E12),
VI.9.1—5, 11 — 12 E50—552);
Симметрическая разность множеств
E3); (ПО)
Сингулярная функция множества
III.4.12 A46), III.4.14 A47),
III.12.6 B34)
Сингулярный элемент кольца E2)
Сингулярные интегралы III. 12.10—
12 B40—243), VIII.9.5, 6, 11 — 14
G61—764)
Система образующих топологии B1)
Скалярное произведение IV.2.26 B64)
Скаляры B4); D8)
Слабая биксмпактность V.6 D66—472),
E03)
— — в 36-топологии V.4.1—3 D58)
— — и рефлексивность V.4.7—8
D60—461)
— компактность 11.3.25 (80)
— — в рефлексивных пространствах
П.3.28 (81)
— — — специальных простран-
пространствах IV. 15 D08—413)

886
Предметиый указатель
Слабая полнота (80)
— — рефлексивного пространства
II.3.29 (82)
— — специальных пространств
IV.15 D08—413)
— сходимость II.3.25—27 (80)
— — в специальных пространствах
IV. 15 D08—413)
— счетная аддитивность C46)
— — —, эквивалентность сильной
IV. 10.1 C46)
— топология D54); V.3—6; D99)
— — операторная VI.1.3 E13),
VI.9.1-12 E50-552)
— — порождаемая некоторой метри-
метрикой V.5.1 -2 D61 -462), V.6.3 D70),
V.7. 34-35 D75)
—- —, совпадение с метрической
V.7.9 D73)
Слабо вполне непрерывныеоператоры
VI.4 E19-522); E81); E82)
в С VI.7.1 E28), VI.7.3-
6 E31—532)
U VI.8.1 E36),
VI.8.10—14 E45—549)
L^ VI.9.57 E59)
— — — — общий вид E94)
— — — — спектральная теория в
некоторых пространствах VII.4.6
F19—620)
— компактное множество (80)
— сходящаяся последовательность
(80)
— фундаментальная последователь-
последовательность II.3.25 (80)
— — — в специальных простран-
пространствах IV. 15 D08—413)
Слабый предел II.3.25—27 (80)
След матрицы VI.9.28 E54)
Сложение в группе D6)
Смежности классы D7)
Собственное значение VII. 1.2 E96);
F46)
Собственный вектор E96)
— идеал E0)
Соответствие (см. также Функция)
A2)
Сопряженное пространство II.3.7 G3)
с БХ-топологией V.5.5 D64)
— — для специальных пространств
IV. 15 D08-413)
Сопряженные элементы в группе D7)
— — — алгебре с инволюцией E2)
Сопряженный оператор VI.2 E15—
517), VI.9.12 — 14 E52), E81)
— — в гильбертовом пространстве
VI.2.9—10 E17), VI.9.12 E22)
Сопряженный оператор для вполне
непрерывного оператора VI.5.2
E22), VI.5.6 E24)
— — — слабо вполне непрерывно-
непрерывного оператора VI.4.7—8 E21—522)
— —, резольвента VII.3.7 F08)
, спектр VII.3.7 F08), VII.5.9—
10 F21)
Спектр оператора в конечномерном
пространстве VII. 1.2 E96); F46)
— — изолированные точки, полюсы
VII.3.15 F11)
— — неограниченного замкнутого
F39)
— — непрерывный, остаточный, то-
точечный VII.5.1 F20)
— — произвольного в В-простран-
стве VI 1.3.1 F06)
— —, теорема об отображении
VII.3.11 F09)
Спектральная теория VII
— — в конечномерном пространстве
VII. 1 E95—601); F46)
— — вполне непрерывного опера
тора VII.4 F17—620); F48)
Спектральное множество VII.3.17
F12), VII.3.19-21 F14-615);
F48)
Спектральный радиус VII.3.4—5
F07), VII.5.11 F21)
Спрямляемая кривая B46)
Сравнение топологий B0)
Среднее операторной полугруппы на
интервале G27)
Статистическая эргодическая теорема
VIII.5 G02-710)
— — — дискретный случай в про-
произвольном В-пространстве VIII.5.
1-4 G02-705)
Lx VIII.5.5 G05)
Lp VIII.5.9 G09)
— — — непрерывный случай в про-
произвольном В-пространстве VIII.7.
1—3 G29—731)
L± VIII.7.4 G31)
Lp VIII.7.10
G37)
Строго выпуклое пространство V. 11.7
D96)
Структура (дистрибутивная, пол-
полная, с дополнениями, а-полная)
E5)
Сужение функции A3)
— а-алгебры на множество A33)
Сумма множеств A2)
— операторов D9i
— элементов группы D6)

Предметный указатель
887
Сумма множеств кольца D8)
Суммирование интегралов IV. 13.78—
101 C81—389)
— ортогональных рядов (рядов
Фурье) IV. 14.34—51 C94—397)
по Пуассону IV. 14.47 C97)
Чезаро IV. 14.44 C96)
— расходящихся рядов II.4.31— 54
(87-92)
по Абелю II.4.42 (90)
Нёрлунду 11.4.38 (89)
Чезаро (С, 1I1.4.37(89)
(С, а) II.4.39 (89)
— — — регулярные методы (88)
Существенная верхняя грань III. 1.11
A15), C50)
Существенно ограниченная функция
III.1.11 A15); C50^
— особая точка аналитической функ-
функции B51)
Сфера в метрическом пространстве
1.6.1 C0)
— единичная в В-пространстве
II.3.1 G1)
бикомпактная IV.3.5 B66)
— замкнутая II.4.1 (83)
Сходимость C8); A06)
— множеств IIL4.3 A41 — 142),
III.9.48 A91)
в ад III.7.1 A75)
— операторов, см. Операторов сходи-
сходимость
— последовательностей 1.6.5 C1)
обобщенных 1.7.1—7C8—41)
— рядов в /^-пространстве (абсо-
(абсолютная, безусловная) A06—107)
— фильтров 1.7.10 D2)
— функций в среднем (по норме
в lp(S, 2, \i)) III.3.6 A37), III.3.7
A40), III.6.15 A67), III.9.5 A87),
IV.8.12—14 C20—321)
— — квазиравномерная IV.6.10—
12 B91—292), IV.6.30—31 C04—
305)
множества III.7.2—4 A76—
177), IV.9.5 C35), IV.9.15 C43)
по мере III.2.6—8 A18 — 119),
III.6.2—3 A61 — 162), III.6.13
A67), III.9.4 A86), III.9.33 A89)
_ _ на множестве A84)
— — почти всюду III.1.11 A15),
III.6.12-17 A66-168)
— — — — на множестве A84)
— — почти равномерная III.6.1—3
A61 — 163), III.6.12 A66)
— — равномерная (по норме в С)
1.7.1 Ч38), 1.7.6—7 D0—41), D17)
Сходимость слабая II.3.25 (80)
— — в специальных пространствах
IV. 15 D08—413)
— — эквивалентность сильной в
/i IV.8.13—14 C21)
Счетная аддитивность интеграла
III.6.18 A69), IV.10.8 C51)
— — равномерная III.7.2 A76),
III.7.4 A77), IV.8.8—9 C17),
IV.9.1 C32)
— — регулярной функции множе-
множества III.5.13 A54)
— — слабая C46)
— — — эквивалентность сильной
IV. 10.1 C46)
Счетно аддитивная функция множе-
множества III.4 A41 — 148), IV.9 C3—
345) (см. также Мера)
Счетный базис, см. Базис топологии
счетный
Тауберовытеоремы (92); F32); F52)
Теорема Адамара о трех кругах
VI. 11.48 (*80)
— Алаоглу о бикомпактности сферы
в ?* V.4.2 D59)
— Александрова А. Д. о регулярной
функции множества III.5.13 A54)
— — — сходимости аддитивных
функций множества IV.9.15 C43)
— Арцела—Асколи о компактности
в С IV.6.7 B89); D16)
— Арцела о квазиравномерной схо-
сходимости и непрерывности предель-
предельной функции IV.6.11 B91)
— Банаха о сходимости измеримых
функций IV. 11.2-3 C61)
— Банаха— Стоуна об эквивалент-
эквивалентности пространств C(Q) и C(R)
V.8.8 D79); E04)
— Бернштейна о сравнении мощно-
мощностей 1.14.2 E8)
— Броуэра о неподвижной точке
D90)
— — — — — доказательство E06)
— Бэра о категориях 1.6.9 C1)
— Вейерштрасса о приближении
многочленами III.3.11 F97)
— — — сходимости аналитических
функций B49)
— — подготовительная B53)
— Витали о покрытии III. 12.2
B32)
— — — сходимости интегралов
III.3.6 A37), III.6.15 A67),
III.9.45 A91)

Предметный указатель
Теорема Витали о сходимости интег-
интегралов, векторная форма IV. 10 C53)
— Витали — Хана—Сакса III.7.2—4
A76 — 177); B55)
векторная IV. 10.6 C49)
— выбора в Lp A02)
— Гантмахер В. Р. о слабо вполне
непрерывных операторах E22)
— Голдстайна о плотности хЗЕ в ЗЕ*Х
V.4.5 D60)
— Гейне—Бореля B8)
— Егорова III.6.12 A66)
— Иосиды—Хьюита о разложении
конечно аддитивной функции мно-
множества IV.7.8 A81)
— Каратеодори о внешней мере
III.5.4 A50)
— Коши, интегральная B47) *
— Крейна—Мильмана о крайних
точках V.8.4 D77)
— Крейна—Шмульяна о замкнутой
выпуклой оболочке слабо биком-
бикомпактного множества V.6.4 D71)
— — — — ЗЕ-замкнутых выпуклых
множествах в ЗЕ* V.5.7 D65)
— Лапласа об определителях E7)
— Лебега о сходимости интегралов
III.3.7 A40), III.6.16 A68)
— — — — — векторная форма
IV. 10.10 C56)
—.Линделсфа 1.4.14 B3)
— Лиувилля о консервативных си-
системах G01)
— — — целых функциях B53)
— Мазура о бикомпактности замк-
замкнутой выпуклой оболочки V.2.6
D51)
— Маркова — Какутани о непод-
неподвижной точке коммутирующего
семейства операторов V. 10.6 D93)
— Никодима о равномерной огра-
ограниченности мер IV.9.8 C36)
— о замкнутом графике II.2.4 G0);
(97)
— — неподвижной точке 1.3.10 A9),
V. 10 D90—495), V.11.17—21 D97);
E04—509); E11)
— — неявной функции A06)
— — отображении спектра VII.3.11
F09)
— — перестановке предельных пере-
переходов 1.7.6 D0)
— — продолжении по непрерывно-
непрерывности 1.5.3—4 B6—27) 1.6.17 C5)
— — разделимости выпуклых под-
подмножеств, см. Разделимость вы-
выпуклых подмножеств
Теорема о разложении функции мно-
множества, см. Разложение
— — сгущении особенностей (95)
-— — сравнении мощностей 1.3.5 A8),
1.14.2 E8)
— — трех прямых VI. 10.3 E60)
— Радона — Никодима ШЛО A91 —
201); B56); E84)
— — — для положительной меры
III.10.2 A94)
— — — — функций из ba(S, 2)
IV.9.14 C43)
— — —, контрпример III. 13.2 B43)
общий случай 111.10.7A99)
— Рисса М. о выпуклости VI. 10.11
E65); E84)
, обобщения VI. 11.38—42
E78-579)
— — — —, приложения VI.11.1 —
12 E67—570)
— Рисса Ф. об общем виде линейно-
линейного функционала в С IV.6.3 B88);
D14)
— Рисса—Фишера D14)
— Стоуна о булевских кольцах
(алгебрах) I. 12.1 E3); E6)
— Стоуна — Вейерштрасса IV.6.16—
17 B96); D18)
— Стоуна — Чеха о бикомпактном
расширении V.6.22 C00); D19)
— Тарского о неподвижной точке мо-
монотонного отображения 1.3.10 A9)
— Тихонова о произведении биком-
бикомпактных топологических про-
пространств 1.8.5 D5)
— Тонелли III.11.14 B13)
— Урысоиа о метризуемости 1.6.19
C6)
— — — существовании непрерыв-
непрерывной функции 1.5.2 B5)
— Фубини для положительных мер
III.11.9 B08)
общий случай III.11.13 B11)
— Фубини—Йессена о поточечной
сходимости III. 11.27 B29)
— Хана о продолжении меры II 1.5.8
A52)
— Фубини—Йессена о сходимости
по норме III.11.24 B26)
— Хана —Банаха II.3.10 G4); (99)
— Хаусдорфа о максимальной линей-
линейно упорядоченной подсистеме
1.2.6 A6)
— Хилле—Филлипса—Иосиды о по-
полугруппах операторов VIII.1.13
F65)
— Цермело 1.2.9 A7)

Предметный указатель
Теорема Шаудера о вполне непре-
непрерывных операторах VI.5.2 E22)
— Шаудера—Тихонова о неподвиж-
неподвижной точке V.10.5 D93); E08)
— Шмульяна В. Л. о слабой биком-
пактности выпуклых множеств
V.6.2 D69); E01)
— Эберлейна—Шмульяна о слабой
бикомпактности V.6.1 D66)
— эргодическая, см. Индивидуаль-
Индивидуальная эргодическая теорема, Мак-
Максимальная эргодическая лемма,
Равномерная эргодическая теоре-
теорема, Статистическая эргодическая
теорема
Теория возмущений, см. Возмуще-
Возмущений теория
— множеств A1)
— суммирования расходящихся ря-
рядов (87)
—- эргодическая, см. Эргодическая
теория
Тихоновское произведение 1.8.1 D4)
Тождество Гильберта F07)
— параллелограмма B70); D27)
Топологий сравнение B0)
Топологический изоморфизм B4)
Топологическая группа II. 1.1 F1)
Топологическое произведение 1.8.1
D3)
— пространство 1.4—8; 1.4.1 B0)
— — бикомпактное II.5.5—10 B8—
29)
— — вполне разрывное E3), D32)
регулярное IV.6.21— 22 C00)
— — компактное 1.6.10 C2)
линейное II.1.1 F2)
— — — локально выпуклое A00),
V.2.9 D52); E09) (см. также Ло-
Локально выпуклая топология)
— — нормальное, регулярное, хаус-
дорфово 1.5.5 B5)
Топология 1.4—8 B0—45), 1.4.1
B0)
— индуцированная 1.4.12 B3)
— локально выпуклая, см. Локально
выпуклая топология
— метрическая 1.6.1 C0)
— — в ^-пространствах D54)
— ограниченная (ВХ-топология)
V.5.3 D63)
— операторная (равномерная, силь-
сильная, слабая) VI.1.1—3 E12—513),
E81)
— определяемая подпространством
функционалов (Г-топология)
V.3.2 D53) D99-500)
Топология относительная 1.4.12 B3)
— подпространства 1.4.12 B3)
— прямой линии B1)
— расширенной области веществен-
вещественных или комплексных чисел B1)
— сильная II.3.1 G1). D54)
— слабая D54)
(см. также BlFO-топология и
BSO-топология)
Тотальное семейство функций (функ-
(функционалов) II.2.6 G0) D53)
Точечный спектр VII.5 1 F20)
Точка предельная, накопления, внут-
внутренняя 1.4.1 B0)
— С-внутренняя, С-граничная V. 1.6
D44—445)
Трансфинитное замыкание E00)
Тривиальный идеал E0)
Ультрафильтр 1.7.10 D2)
— существование 1.7.11 D2)
— критерий бикомпактности 1.7.12
D3)
Умножение в группе D6)
— — кольце D7)
— на скаляр D8)
Упорядочение проекторов VI.3.4—5
E18-519)
Упорядоченные пространства D28);
E93)
Уравнения Гамильтона F99)
— дифференциальные, см. Дифферен-
Дифференциальные уравнения
Условие Гёльдера D35)
Фактор-алгебра E2)
— -группа D7)
— -кольцо E1)
— -последовательность IV. 14.63D00)
пространство E0), A02)
— — в F- и В-пространствах
II.4.13—20 (85—86)
Фильтр (сходящийся к точке, мажо-
мажорирующий другой фильтр) 1.7.10
D2)
Формула Коши, интегральная, см.
Интегральная формула Коши
Формула Тейлора A06)
Фундаментальная последователь-
последовательность 1.6.5 C1)
— — в специальных пространствах
IV. 15 D08—413)
— — обобщенная C9)
слабая II.3.25 (80)
— система окрестностей 1.4.6 B1)

890
Предметный указатель
Фундаментальное множество (в ли-
линейном топологическом простран-
пространстве) II. 1.4 F3)
Функции область значения, область
определения, продолжение, суже-
сужение A3)
Функции Лагерра и Эрмита A08)
— оператора E98); F05); F08);
F11); F47); F83)
— оператора, совпадение VII. 1.3
E96), VII.3.16 F11)
Функционал билинейный II.4.4 (83);
E86)
— касательный V.9.4—6 D84—485)
— линейный E0)
— — непрерывный 11.3.7 G3)
— — — в специальных простран-
пространствах IV. 15 D08—413)
— — — на пространстве операто-
операторов VI.1.4 E14)
— — — — — сопряженном к ?
V.5.6 D64)
, отсутствие C58), D26),
V.7.37 D75)
— — —, существование II.3.10—-11
G4—75), V.7.3 D72)
— разделяющий точки или множе-
множества V.1.9 D46)
— — — — —, непрерывность V.2.7
D51)
— _ — — —j существование V.1.12
D46), V.3.10—13 D52—453)
— разрывный, существование 1.3.7
A8)
Функция A1—12)
— абсолютно непрерывная, см. Аб-
Абсолютно непрерывная функция
— аналитическая, см. Аналитическая
функция
— билинейная II.4.4 (83)
— вероятностей перехода G59)
— взаимно однозначная A3)
— вполне ji-измеримая 111.2.10A20)
— выпуклая VI. 10.1 E60)
— Гамильтона G00)
— Грина A02)
— измеримая, см. Измеримая функ-
функция
— интегрируемая, см. Интегрируемая
функция
— касательная V.9.2 D83)
— комплексного переменного III. 14
— метрическая 1.6.1 C0)
— Минковского (опорная) V. 1.7
D45); E09)
— множества III.1.1 A09), IV.9
C32—345); D23)
функция множества аддитивная
III.1.2 A10)
— — абсолютно непрерывная
II 1.4.12 A46) (см. также Теорема
Радона — Никодима)
— —, взаимосвязь с другой функ-
функцией множества III.8 A82 — 186)
— — вполне конечно аддитивная
Ш.7.7—8 A81)
— —, дифференцирование III. 12
B30—243)
— — дифференцируемая III. 12.4
B32)
— — конечно аддитивная III. 1.2
(ПО); B55)
— — ограниченная III.1.5 (Ш)
ограниченной вариации III. 1.4
(П1)
— — положительная A10)
— —, положительная и отрицатель-
отрицательная части (вариации) III.1.7
A13), III.4.11 A46)
— —, продолжение II 1.5 A48—161),
особенно III.5.8 A52)
— — — лебеговское III.5.17—18
A58-159)
— — —, неединственность III.9.12
A87)
— —, пространство, см. Простран-
Пространство функций множества
— — регулярная, см. Регулярная
функция множества
— —, сходимость, см. Сходимость
функций множества
— — сингулярная III.4.12 A46),
III.4.14 A47); III.12.6 B34)
— — со значениями из расширен-
расширенной области вещественных чисел
III.1.1 A09)
— — счетно аддитивная, см. Мера,
Счетно аддитивная функция мно-
множества
(Т-конечная III.5.7 A52)
— непрерывная, см. Непрерывная
функция
— обобщенная D36)
— обратимая, обратная A3)
— ограниченной вариации III.5.15
A56), D26-427)
критерий IV. 13.73 C80)
— — —, односторонняя непрерыв-
непрерывность III.6.21 A71)
(см. также Пространство функций
ограниченной вариации)
— опорная V.1.7 D45); (о09)
— полуаддитивная F58)
— почти периодическая IV 2.25B63),

Предметный указатель
891
IV.7.1 C06) (см. также Почти
периодические функции)
— — сепарабельнозначная III.1.11
A15), III.6.9-11 A65-167)
— простая, см. Простые функции
— равномерно непрерывная 1.6.16
C5)
(см. также Равномерная непрерыв-
непрерывность)
— резольвентная VII.3.1 F06)
(см. также Резольвента)
— скалярная B4)
— существенно ограниченная A15)
— характеристическая A3)
— целая аналитическая B53)
— эквивалентная нулю III.2.3 A17),
III.6.8 A63)
— — — не равная нулю почти всю-
всюду III.2.3 A17)
— fi-интегрируемая III.2.13 A22),
III.2.17 A27)
— — (относительно векторной меры)
IV.10.7 C51)
— ц-простая III.2.9 A20)
— — (относительно векторной меры)
C51)
Фурье коэффициенты C91)
— ряд, см. Ряд Фурье
Характер C01)
Характеристика аксиоматическая
пространства гильбертова D27)
Lv (S, 2, \l) D30)
— — — непрерывных функций
D30—431)
Характеристическая функция A3)
Характеристический многочлен мат-
матрицы VII.2.1—4 F01—602),
VII.5.17 F22), VII.10.8 F45)
— показатель F05)
Хаусдорфово топологическое про-
пространство 1.5.1 B5), 1.7.3 C9)
Целая аналитическая функция B53)
Центр сферы C0)
Центрированное семейство множеств
1.5.5 B8)
— — —, связь с бикомпактностью
1.5.6 B8)
Частично упорядоченное множество
1.2 A4 — 18), 1.2.1 A4)
(см. также Вполне упорядоченное
множество, Линейно упорядочен-
ное множество, Направленное мно-
множество)
Эквивалентные функции A18)
Элемент A1)
— идемпотентный. нильпотентный
E2)
— максимальный 1.2.4 A5)
— регулярный, сингулярный E2)
Элементы сопряженные в алгебре
с инволюцией E2)
— — — группе D7)
Эргодическая гипотеза G01)
— теорема, см. Индивидуальная эр-
эргодическая теорема, Максималь-
Максимальная эргодическая лемма, Равномер-
Равномерная эргодическая теорема, Стати-
Статистическая эргодическая теорема
— теория VIII.4—9 F99—771),
G73—774)
— — непрерывных потоков VIII.7
G26—751)
равномерная VIII.8 G52—760)
— — упражнения VIII.9 G60—771)
Эргодические ядра G60)
Эрмитов оператор IV. 13.72 C80)
Эрмитова матрица F01)
Энтропия G74)
Ядро гомоморфизма E1)
— подэргодическое, эргодическое
G60)
В-пространство G1), (99)
BSO-топология VI.9.9 E51)
Я№0-топологияУ1.9.7—10 E51)
ВХ-топология V.5.3—6 D63)
С-внутренняя и С-граничная точки
V.1.6 D44), V.1.8 D45), V.2.1 D47)
/'-пространство II.1.10—18 F4—68),
II.2 F8-71)
—, примеры 1X^27—,28 B65)
(см. также Пространство измери-
измеримых функций)
Fp-свойство V.10.1 D90) (см.
также Теорема о неподвижной
точке)
LP{S, 2, ц), 0<р<1 III.9.29-31 A89)
— ,1<р<со III.3 A34—140), IV.8
C09—332), IV. 15 D11); B62),
III. 3.4—5A36) D21—423)
— аксиоматическая характеристика
D30)
— полнота 111.6.6A62), 111.9.10A87)

892
Предметный иказатель
Lp (S, 2, \i), сепарабельные много-
многообразия III.8.5 A85), III.9.6 A87)
—, сопряженное пространство
IV.8.1 C10), IV.8.5 C14)
—, структурные свойства III.8.22
C28), III.8.24 C29), III.8.26 C31)
—, сходимость III.3.6 A37), III.3.7
A40), III.6.15 A67)
L^(S, 2, \x) IV.2.19 B62), IV. 15 D12)
—, изоморфизм с Lt(S, 2, \x) IV.8.5
C14)
—, сопряженное пространство IV.8.16
C22)
— структурные свойства 111.8.23
C29), III.8.26 C31)
я-мерное пространство, гильбертово,
евклидово унитарное IV.2.1—2
B59), IV.3 B65—269) (см. также
Конечномерное пространство)
ЗЕ-топология в Ж* V.3.2 D53); D99)
3?*-топология в ЗЕ, см. Слабая топо-
топология
Г-топология V.3.2 D53); D99—500)
8-окрестность 1.6.1 C0)
е-период функции IV.7.1 C06)
Я-множество III.5.1 A48)
сг-алгебра III.4.2 A41)
— порождаемая семейством мно-
множеств III.5.6 A51 — 152)
cr-полная структура E5)

Оглавление
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие авторов 7
Глава I. Предварительные сведения 11
A. Пр.еддарительные_cBeg^g^j^wMAJ^^&W 11
ГГОооМачёния и основные понятия 11
2. Частично упорядоченные множества 14
3. Упражнения 18
B. Пррдкд]^^^ Д? ХйШЩИ 20
' 47Uuipёделен и я и основные свойства" 20
5. Нормальные и бикомпактные пространства 25
6. Метрические пространства 29
7. Сходимость и равномерная сходимость обобщенных после-
последовательностей 38
8. Топологическое произведение пространств 43
9. Упражнения 45
C. Пред^арит^ыше сведения из алгебры 46
11. Линейные пространства 47
12. Алгебры*"""* ." 50
13. Определители 56
14. Упражнения 58
15. Библиографическая справка 59
Глава II. Три основных принципа линейного анализа 61
1. Принцип равномерной ограниченности 61
2. Принцип открытости отображения 68
3. Теорема Хана — Банаха 71
4. Упражнения 83
5. Примечания и дополнения 92
Глава III. Интегрирование и функции множества 109
1. Конечно аддитивные функции множества 109
2. Интегрирование 115
3. Лебеговы пространства 134
4. Счетно аддитивные функции множества 141
5. Продолжения функций множества 148
6. Интегрирование по счетно аддитивной мере 161
7. Теорема Витали Хана Сакса и пространства мер . . 173
8. Взаимосвязь функций множества 182
9. Упражнения 186
10. Теорема Радона — Никодима 191
11. Произведение пространств с мерой 201
12. Дифференцирование 230

894 Оглавление
13. Упражнения 243
14. Функции комплексного переменного 246
15. Примечания и дополнения 254
Глава IV. Специа^ьные^тррстращ^ва 258
1. Введение 258
2. Перечень специальных пространств 259
3. Конечномерные пространства 265
4. Гильбертово пространство 269
5. Пространства B(S,2) и B(S) 279
6. Пространство C(S) 283
7. Пространство АР 305
8. Пространства LV(S, 2, \i) 309
9. Пространства функций множества 332
10. Векторнозначные меры 345
11. Пространство 77W(S,2,p,) 357
12. Функции ограниченной вариации 365
13. Упражнения 367
14. Упражнения на ортогональные ряды и аналитические
функции 389
15. Сводка результатов 406
16. Примечания и добавления 407, 408—413
Глава V. Выпуклые множества и слабые топологии 443
1. Выпуклые множества в линейных пространствах .... 443
2. Линейные топологические пространства 447
3. Слабые топологии. Определения и основные свойства . 453
4. Слабые топологии. Бикомпактность и рефлексивность 458
5. Слабые топологии. Метризуемость. Неограниченные
множества 461
6. Слабые топологии. Слабая бикомпактность 466
7. Упражнения 472
8. Крайние точки 476
9. Касательные функционалы 482
10. Теорема о неподвижной точке 490
11. Упражнения" " 495
12. Примечания и дополнения 498
Библиография 511
Глаза VI. Операторы^||^.1^ш|ШA;$|Д1ше 512
1. Пространство В (Ж,?)) 512
2. Сопряженные операторы 515
3. Проекторы 517
4. Слабо вполне непрерывные операторы 519
5. Вполне непрерывные операторы 522
6. Операторы с замкнутой областью значений 524
7. Общий вид линейных операторов в C(S) 527
8. Общий вид линейных операторов в лебеговом пространстве 536
9. Упражнения 550
10. Теорема Рисса о выпуклости 560
И. Упражнения на неравенства 567
12. Примечания и добавления 581
Глава VII. Общая спектральная теория 595
1. Спектральная" теория в конечномерном пространстве 595
2. Упражнения 601

Оглавление 895
3. Функции оператора 605
4. Спектральная теория вполне непрерывных операторов 617
5. Упражнения 620
6. Теории я. возмущений 624
7. Тауберовы теоремы 632
8. Упражнения 637
9. Операторное исчисление для неограниченных замкнутых
операторов" 639
10. Упражнения 644
11. Примечания и дополнения 646
Глава VIII. Приложения общей теории 653
1. Полугруппы операторов 653
2. Функции инфинитезимального оператора 683
3. Упражнения 695
4. Эргодическая теория 699
5. Статистические эргодические теоремы 702
6. Индивидуальные эргодические теоремы 710
7. Эргодическая теория непрерывных потоков 726
8 Равномерная эргодическая теория 752
9. Упражнения по эргодической теории 761
10. Примечания и указания 771
Библиография 775
Указатель обозначений 861
Именной указатель 863
Предметный указатель 873
Оглавление второй части:
ЧАСТЬ II. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Глава IX. Б-алгебры
Глава X. Ограниченные нормальные операторы в гильбертовом пространстве
Глава XI. Различные специальные классы операторов в Lp
Глава XII. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве
Глава XIII. Обыкновенные дифференциальные операторы
Глава XIV. Приложения к операторам с частными производными
Глава XV. Спектральные операторы
Глава XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
Глава XVII. Алгебры спектральных операторов
Глава XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Глава XIX. Возмущения спектральных операторов с дискретным спектром
Глава XX. Возмущения спектральных операторов с непрерывным спектром

Данфорд и Шварц
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Редактор В. М. Алексеев
Художник В. В. Ашмаров
Технический редактор В. Доценко
Корректор Е. Б. Марксон
Сдано в производство 16/VIII 1961 г.
Подписано к печати 17/VIII 1962 г.
Бумага бОхЭО1/:^^ бум. л.
56 печ. л.
Уч.-изд. л. 56,3 Изд. Кч 1/5337
Цена 4 р. 14 к. Зак. 1324
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Москоескэя типография^» 5
Мосгорсовнархоза
Москва, Трехпрудный пер., 9