СБОРНИК СТАТЕЙ
поу реаакц
А. Г. КуРОША
АИ. МАРКуШЕВИЧА
ПК. РАШЕВСКОГО

МАТЕМАТИКА
в
СССР
ЗА ТРИАЦАТЬ ЛЕТ
1917^1947
О Г И 3
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО - ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1948

СОДЕРЖАНИЕ.
От редакции. 7
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.
С. А, Я новская. Основания математики и математическая логика. 11
Библиография . 46
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.
А. О. Г е л ь ф о н д. Теория чисел 53
Гиблиография 66
АЛГЕБРА.
Н.Г.Чеботарёв. Алгебра I (алгебра полиномов и полей) ... 85
А. Г. К у р о ш. Алгебра II (группы, кольца и структуры) 106
А. И. Мальцев. Топологическая алгебра и группы Ли 134
Библиография 159
топология.
А. А. Марков. Топология 183
Библиография 228
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ.
А. А. Ляпунов и П. С. Новиков. Дескриптивная теория множеств. 243
Н. К. Бари. А. А. Ляпунов, Д. Е. Меньшов и Г. П. Тол-
Толст о в. Метрическая теория функций действительного переменного. 256
С. М. Н и к о л ь с к и й. Приближение многочленами функций действи-
действительного переменного 288
А. Ф. Бермант и А.И.Маркушевич. Теория функций комп-
комплексного переменного 319
Библиография 415
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
.В. В. Н е м ы ц к и й и В.В.Степанов. Обыкновенные диффе-
дифференциальные уравнения 481
С. Л. С о б о л е в. Дифференциальные уравнения в частных произ-
производных 518
Библиография 545

СОДЕРЖАНИЕ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
В.В.Степанов и Л. Э. Эльсгольц. Вариационное исчисление. 585
B. И. Смирнов. Интегральные уравнения 593
М. Г. К р е и н и Л. А. Л ю с т е р и и к. Функциональный анализ . . 608
Библиография 673
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоров. Теория вероятностей. 701
Н. В. Смирнов. Математическая статистика 728
Библиография . 739
ЧИСЛЕННЫЕ Й ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ.
Л. В. Канторович и В. И. Крылов. Приближённые методы. 759
К. А. Семендяев. Вспомогательные средства вычислений .... 802
СВ. Бахвалов. Номография . ¦ 815
Библиография 819
ГЕОМЕТРИЯ-
C. П. Ф и и и к о в. Дифференциальная геометрия трёхмерного про-
пространства. 861
П. К. Р а ш е в с к и й. Тензорная дифференциальная геометрия . . 883
А. Д. Александров. Геометрия «в целом» 919
С, С. Б ю ш гене и А. А. Г л а г о л е в. Синтетическая геометрия 939
Библиография. 954
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ.
А. П. Ю ш к е в и ч. История математики 993
Библиография 1011
РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ И ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ.
А. Я. Л у с и с. Работы латвийских математиков за тридцать лет . . 1023
Библиография 1028
А. К. X у м а л. Работы эстонских математиков за тридцать лет ... 1031
Именной указатель 1035

ОТ РЕДАКЦИИ.
Настоящий сборник, подготовленный по инициативе Московского
,'Латематического Общества, имеет целью проследить развитие математи-
математической науки в нашей стране за славное тридцатилетие 1917—1947 гг.
Материалы сборника убедительно свидетельствуют об энергичной и пло-
плодотворной творческой работе советских математиков, об их глубоких
и оригинальных вкладах во все отделы математики, о высоком уровне
советской математической науки и о её ведущей роли во многих основных
разделах математики.
Советская математика восприняла научное наследство выдающихся
русских математиков прошлого—Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева
и многих других. Развивая идеи этих учёных и сохраняя их лучшие тра-
традиции, советские математики включили вместе с тем в круг своих интере-
юв ряд новых ветвей математики, охватив по существу всю современную
математическую науку.
Для математической деятельности в нашей стране, за годы Советской
власти, характерны не только широта и глубина охвата исследуемых
проблем. Она развивалась и количественно, в смысле всё возрастающего
числа творчески работающих математиков, и территориально в смысле
возникновения новых математических центров—в Грузии, Узбекистане,
Армении и других союзных республиках.
Годы Великой Отечественной войны явились проверкой зрелости
и жизнеспособности нашей науки, и советская математика эту проверку
выдержала. Математики нашей страны оказались готовыми к высоким
требованиям прикладного характера, предъявленным к ним в суровые
годы войны, и не прерывали, вместе с тем, своих теоретических исследова-
исследований. Многие из молодых математиков с оружием в руках защищали родину,
некоторых из них мы навсегда потеряли и храним о них светлую память.
Настоящий сборник можно рассматривать как продолжение сбор-
сборника «Математика в СССР за пятнадцать лет», выпущенного Государ-
Государственным издательством технико-теоретической литературы в 1932 году
под редакцией П. С. Александрова, М. Я: Выгодского и В. И. Гливенко.
Поэтому авторы статей имели право опускать подробности по отношению
к исследованиям, относящимся к первому пятнадцатилетию, и иногда это
право использовали.
Ни отдельные статьи, ни весь сборник в целом не претендуют на
исчерпывающую полноту. Впрочем, степень охвата материала в различ-
различных статьях не одинакова, отчасти потому, что авторы одних статей зна-
значительно превысили отведённый им объём («Функциональный анализ»

8 ОТ РЕДАКЦИИ
«Теория функций комплексного переменного», «Топология»), тогда как
авторы некоторых других не использовали его до конца («Теория чисел»,
«Номография»). Вне поля зрения статей остались, как правило, прило-
приложения математики к вопросам естествознания и техники и, в частности,
многочисленные работы прикладного характера, выполненные советскими
математиками в годы войны. Естественно, что они должны рассматри-
рассматриваться в обзорах соответствующих отраслей естествознания и техники.
В сборник включены некоторые материалы о научной работе по ма-
математике в тех советских республиках, которые сравнительно недавно всту-
вступили в Советский Союз. К сожалению, редакция располагала лишь мате-
материалами о деятельности латвийских и эстонских математиков.
Пробелы в отдельных обзорах, неизбежные даже при том большом
объёме, который имеет этот сборник, редакция старалась восполнить
в библиографических указателях. Эти указатели, приложенные к каждому
разделу сборника, составлены В. М. Курочкиным и пополнены В. И. Битю-
цковым по материалам авторов статей. Редакция хорошо понимает, что
библиографические указатели не являются исчерпывающими. Можно
пожелать, чтобы одно из ведущих математических научных учреждений
нашей страны включило в число своих задач составление полной библио-
библиографии работ советских математиков и её систематическое пополнение.
Редакция надеется, что сборник в целом будет служить не только
собранием материалов по истории обширной ветви отечественной науки,
но и справочным пособием в творческой математической работе.
Редакция считает необходимым отметить энергию и инициативу
Вадима Ивановича Битюцкова, выполнившего большую работу в ка-
качестве ведущего редактора сборника.
Москва, октябрь 1947 г.

ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА.
С. А. ЯНОВСКАЯ.
§ 1. Философские вопросы математики A2). § 2. О проблематике математи-
математической логики A8). § 3. Математическая логика и теория доказательства
в работах советских учёных B6). I
ачиная с античной древности, проблемы обоснова-
обоснования математики неизменно привлекали внимание филосо-
философов. Борьба партий в философии: материализма и идеализ-
идеализма, шла, в частности, и вокруг вопросов о сущности мате-
математики, её основных понятий и методов. Сознательно
или стихийно участниками этой борьбы были и специа-
специалисты-математики. Руководитель школы или направле-
направления не мог уклониться от неё, даже если хотел этого.
Так, Кронекер однажды признался Нетто, что он потратил гораздо
больше времени на философские размышления, чем на математику.
(Заметим, что естествоиспытатель может освободить свою науку из-
под эгиды, стоящей над ней и диктующей ей свои «законы» философии,
только заняв позиции последовательного диалектического материализма.)
Великие русские математики не только не стояли в стороне от борьбы
материализма с идеализмом, но участвовали в ней на стороне передовых
борцов за материализм. Известно, какую роль в создании неевклидовой
геометрии играло стремление Н. И. Лобачевского опровергнуть идеалисти-
идеалистические концепции Канта по вопросу о пространстве и аксиомах геометрии.
Не нуждаются в комментарии известные слова П. Л. Чебы-
шева, произнесённые им в речи «О черчении географических карт»:
«Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты,
и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются
под влиянием её; она открывает им новые предметы для исследования
или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высо-
высокую ступень развития, до которой доведены науки математические трудами
геометров трёх последних столетий, практика обнаруживает ясно непол-
неполноту их во .многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно
новые для науки, и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно но-
новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой
методы или от новых развитии её, то она ещё более приобретает открытием
новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя,
в практике».

12 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
В условиях царской России смелые материалистические идеи не
могли, однако, получить должного распространения. Больше того, в конце
XIX в. средств старого домарксова материализма стало недостаточно
для целей успешной борьбы с идеализмом в естествознании и математике
В конце XIX — начале XX в. бурный рост естествознания и матема-
математики, сопровождавшийся крутой ломкой самых основных понятий науки
и укоренившихся в ней давно традиций, привёл в условиях империали-
империалистического общества к проникновению идеализма в некоторые круги
естествоиспытателей и математиков и породил, таким образом, кризис есте-
естествознания. Особенно остро проявившийся в физике, этот кризис рас-
распространился затем и на основы математики. «Материализму,—говорил
Энгельс,—приходится принимать новый вид с каждым новым великим
открытием, составляющим эпоху в естествознании». Чтобы справиться
с кризисом естествознания и математики, необходимо было прежде всего
разобраться в его идеологической сущности и развить дальше философию
диалектического материализма в соответствии с этим основным требова-
требованием марксизма, сформулированным Энгельсом. Эта задача была гениаль
но решена В. И. Лениным в книге «Материализм и эмпириокритицизм».
Великая Октябрьская социалистическая революция открыла перед
наукой нашей Родины невиданные горизонты. Вооружённые идеологией
марксизма-ленинизма, сознательно включившиеся в практику социали-
социалистического строительства, советские учёные—математики в том числе—
показали, насколько правильно было предсказание В. И. Ленина, что
«материалистический основной дух физики, как и всего современного
естествознания, победит все и всяческие кризисы, но только с непременной
заменой материализма метафизического материализмом диалектическим».
Никакой кризис основ не стоит больше и на путях развития математики
в СССР.
§ 1. ФИЛОСОФСКИЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ,
I. Вполне естественно, что в СССР работа по философским вопросам
математики началась с освоения трудов классиков марксизма-ленинизма
и критики идеалистической буржуазной философии математики. Тут в пер-
первую очередь был подвергнут исследованию вопрос о предмете матема-
математики и месте её в системе наук, а также органически связанный с ним
вопрос о формальной и диалектической логике в математике.
Известно множество различных формулировок определения пред-
предмета математики. Некоторые из них отрицают вообще наличие у этой
науки особого предмета. Многие—из принадлежащих современным бур-
буржуазным философам и математикам—носят неприкрытый идеалистический
характер и в той или иной мере совпадают с небезызвестным определением
математики как науки, которая не знает ни о чём она говорит, ни верно
ли то, что она говорит. В своём «Обзоре исследований по основаниям
математики», останавливаясь на вопросе о том, как мыслят себе «пред-
«представители ведущих современных направлений применение математики
к познанию действительности», А. Рейтинг недаром пишет: «В одном отно-
отношении они согласны между гобой,—и это сейчас можно считать почти
единодушным мнением всех математиков,—что положения чистой матема-
математики не говорят ничего о действительности». Рейтинг ошибается,' однако,
называя это «почти единодушным мнением всех математиков». Материа-
Материалистически мыслящие математики—в первую очередь представители
многочисленной школы советских математиков—не разделяют этого

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 13
мнения. Они согласны с определением Энгельса, по которому матема-
математика есть наука о простран.твенных формах и количественных отношениях
материального мира. Пресловутые «трудности», связанные с этим опре-
определением и основанные на том, что в математике имеются дисциплины,
где нет речи ни о числах, ни о фигурах, существуют лишь при метафизи-
метафизическом подходе. Правда, первая попытка С. А. Яновской [I] мате-
материалистически истолковать гегелевское определение категории «коли-
«количества» (как безразличной к специфическим качественным особенностям
вещи определённости её) так, Чтобы под количественными отношениями
материальной действительности понимать такие соотношения её, кото-
которые могут иметь место между вещами самой различной природы: электро-
электронами и атомами столь же хорошо, как и палочками на бумаге или целыми
скоплениями звёзд, рассматриваемыми—каждое—как отдельный пред-
предмет, не давала ещё удовлетворительного решения вопроса.Она, правда,
объясняла, с одной стороны, возможность существенно различных интер-
интерпретаций одной и той же математической дисциплины и применимость её
поэтому в самых различных областях науки; с другой,—недостаточ-
другой,—недостаточность средств математики при изучении наиболее существенных сторон
явлений природы или общественной жизни. Но она не замечала того
обстоятельства, что и формально аксиоматическое,—допускающее мно-
множество качественно различных интерпретаций,—построение матема-
математической дисциплины невозможно без использования содержательно
построенной арифметики, в которой числа и отношения между ними имеют
столь же однозначный и определённый смысл, как, например, понятие
стоимости в политической экономии. Таким образом собственным пред-
предметом математики как исторически, так и логически являются прежде
всего именно пространственные формы и количественные отношения
в их простейшем виде, т. е. как фигуры и числа. Все остальные простран-
пространственные формы и количественные отношения, изучаемые в математике,
вырастают из этих в процессе их диалектического развития. Эта точка
зрения в наиболее отчётливой форме была выражена в статье А. Н. К о л-
могорова [5J, написанной для Большой Советской энциклопедии. ¦
Приводя полностью определение Энгельса, А. Н. Колмогоров
заключает его словами: «Действительный объём этого общего опреде-
определения проще всего понять, рассмотрев основные понятия и разделы мате-
математики в порядке их возникновения. Мы увидим, что само это определение
таит в себе возможности развития, приобретая новый, более широкий
смысл с ростом науки». При этом А. Н. Колмогоров различает
следующие этапы развития предмета математики: 1) математика как
наука о числах, величинах и геометрических фигурах; 2) математика
как наука об изменении величин и о геометрических преобразованиях;
3) математика как наука о количественных и пространственных формах
действительного мира во всей их общности.
2. Кризис основ математики, связанный с попытками идеалисти-
идеалистической философии «освободить» математику «от тирании внешнего мира»
(А. Пуанкаре) и построить её либо на Материале «чистого наглядного
созерцания» по Канту (интуиционизм), либо как простую совокупность
формул, пишущихся по определённым правилам (формализм), развер-
развернулся с полной остротой лишь после первой мировой войны. Не удивитель-
удивительно поэтому, что философским вопросам математики в «Материализме и эм-
эмпириокритицизме» В. И. Л е н и н а непосредственно посвящены лишь от-
отдельные замечания. Тем интереснее для советских учёных была попытка

14 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
применить ленинскую характеристику причин и сущности кризиса физики
к кризису основ математики. Кризису основ математики и критике ведущих
к нему идеалистических направлений современной буржуазной филосо-
философии математики был посвящен ряд работ, в том числе В. И. Гливенко
[5], Л. П. Гокиели[2,7,8,9,10], В. Н. Молодшег о [5], С. А. Янов-
Яновской [3,13,14]. Коллектив профессоров и научных сотрудников Института
математики при Московском государственном университете подготовил
к двадцатипятилетию ленинского «Материализма и эмпириокритицизма»
сборник статей по философии математики,*). Авторы ставили перед собой
задачу «дать характеристику современной математики, вскрыть причины
и сущность кризиса её основ, осветить борьбу партий в современной фило-
философии математики». Как и следовало ожидать, гениальная ленинская ха-
характеристика сущности и основных черт кризиса физики оказалась пол-
полностью приложимой и к кризису основ математики. В. И. Гливенко
подчеркнул при этом, что «чрезвычайно углубившийся после мировой войны
кризис капиталистического общества в целом привёл к тому, что сомнения
в объективной ценности науки стали перерастать в убеждение в её нецен-
неценности. Идеализм стал агрессивным, стал стремиться подчинить себе науку
со всей её проблематикой и методами».
3. Отношение нашей Родины, нашей партии к наследству Маркса
и Энгельса видно уже из того обстоятельства, что и «Диалектика природы»
Энгельса и «Математические рукописи» Маркса были изданы впервые
в нашей стране **). Математическим рукописям Маркса, работа по рас-
расшифровке и переводу которых была выполнена (в 1932 г.) коллек-
коллективом математиков***), посвящен ряд статей, и выступлений (В.И. Г л и-
в е н к о [3], Л. П. Гокиели [13], Э. К о л ь м а н а, С.А. Янов-
Яновской [6, 7, 8] и др.).
Статья С. А. Яновской [7] содержала краткое их описание,
попытку выяснения последовательных этапов развития идей Маркса по во-
вопросам логического обоснования дифференциального исчисления и истори-
исторического очерка его развития****), а также ряд выдержек из более ран-
ранних черновиков работ Маркса, служивших подготовительным материалом
к окончательно им оформленной и посланной на просмотр Энгельсу работе.
Статья В. И. Гливенко [3] была посвящена специально марксо-
вой концепции дифференциала как оперативного символа.
Выход в свет математических рукописей Маркса особенно ярко про-
продемонстрировал, что и в применении к математике действительное пони-
понимание и дальнейшее развитие идей марксизма возможно только с позиций,
развиваемых В. И. Лениным и И. В. Сталиным. Рукописи Маркса
содержат поражающую своей оригинальностью попытку применить диа-
диалектический метод к решению задачи обоснования дифференциального ис-
исчисления. Насколько отличалась, однако, и в этой области материалисти-
*) См. П. С. Александров [1], В. И. Г л и в е и к о [о], А. Н. Колмо-
Колмогоров [4], А. Г. Курош [1], В. Н. Молодший [2], А. М. Фишер [2]
(Ленинградский университет), С. А. Яновская [13, 14, J5].
**) Первое издание «Диалектики природы» содержало и немецкий текст и рус-
русский перевод. «Математические рукописи» были изданы впервые именно на русском
языке.
***) В составе Р. С. Богдан ь, А. Н. Нахимовской, Д. А. Райко-
Райкова и С. А. Яновской.
***•) От «мистического дифференциального исчисления» Лейбница и Ньютона
через «рациональное дифференциальное исчисление» Эйлера и Даламбера к «алге-
«алгебраическому дифференциальному исчислению» Лагранжа.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 15
ческая диалектика Маркса от идеалистической диалектики Гегеля! В то
время как с точки зрения Гегеля диалектический метод вообще неприменим
в пределах самой математики: понятия количества,числй, операции, бесконеч-
бесконечно большого, бесконечно малого, производной, дифференциала и т. д. могут
быть диалектически развитый обоснованы лишь в системе его идеалисти-
идеалистической философии,—Маркс показал, что трудности, обусловленные
переходом от элементарной математики к высшей и приведшие к мистике,
связанной с б ескотчно малыми в дифференциальном исчислении Лейбница
и Ньютона, объясняются именно диалектическим характером этого перехо-
перехода. Задача, которую ставит перед собой Маркс, состоит в преодолении этих
трудностей с помощью методов материалистической диалектики, применяе-
применяемых Марксом в математике принципиально так же, как это делается им в
«Капитале». Попытка осветить в применении к математике коренное отли-
отличие материалистической диалектики Маркса от идеалистической диалек-
диалектики Гегеля содержится в статье Э. Кольмана и С. А. Яновской[1].
В выступлении на философской дискуссии по книге Г. Ф. Александро-
Александрова «История западно-европейской философии» А. А. Жданов подчерк-
подчеркнул неправильный, немарксистский характер такого изображения истории
философии (и других наук), которое отвлекается от борьбы партий, свя-
связанной в классовом обществе с каждым новым великим открытием, иду-
идущим против укоренившихся в науке устарелых традиций. Наоборот,
современные реакционные буржуазные философы и историки науки
стараются всячески сгладить острые углы в истории естествознания
и математики и представить её как плавный эволюционный прогресс,
где на смену одного великого открытия или теории приходят другие.
Так, англо-американский математик и философ Уайтхед утверждает,
например, что переход от средневековой схоластики к науке нового вре-
времени совершился исключительно «мирно», так как Галилей «умер в своей
постели», а смерть Джордано Бруно имела даже «прогрессивный» «сим-
«символический» смысл, поскольку хоронила-де не смелые новые идеи, а
«лишь» (!) «мистические спекуляции». Тем интереснее для нас, что
в своих математических рукописях Маркс особенно подчёркивает значе-
значение борьбы, ведшейся вокруг идей анализа бесконечно малых в эпоху его
возникновения, и указывает, что она была необходима для того, чтобы
проложить путь новому. «Итак,—пишет Маркс,—сами (его творцы. С. #.)
верили в мистический характер новооткрытого исчисления, которое
давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо пора-
поразительные) результаты математически положительно неправильным путём.
Таким образом сами себя мистифицировали и тем более ценили новое
открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков
и вызвали, таким образом, враждебный крик, отдавшийся даже в мире
несведущих в математике людей и бывший необходимым для того, чтобы
проложить путь новому»*).
Критикам основных идей анализа бесконечно малых и роли вызван-
вызванной ими борьбы в истории обоснования математического анализа была
посвящена глава 4 в статье А.П.Юшкевича [2] и статья С. А. Янов-
Яновской [16].
4. Участие в практике социалистического строительства, Великая
Отечественная война советского народа, Сталинские пятилетки всё тес-
*) Сборник «Марксизм и естествознание» (Математические рукописи Маркса),
стр. 51.

16 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
нее и теснее сплачивали советских учёных—математиков в том числе —
вокруг партии Ленина—Сталина. Довольно узкий первоначально круг лк>-
дей,интересовавшихся проблемами обоснования математики в свете филосо-
философии диалектического материализма,значительно, расширился. Расширилась
и тематика разрабатываемых. вопросов. Отметим в этой связи статью
А. Н. К о л м о г о р о в а [3] о теории и практике в математике. В связи
со 150-летием со дня рождения Н. И. Лобачевского в статьях, докладах
и книгах, посвященных Н. И. Лобачевскому, был затронут ряд принци-
принципиальных идеологических проблем мфематики, связанных: с критикой
концепции Канта по вопросам о пространстве и аксиомах геометрии
(В. Ф. Каган [1], Э. Кольман [4]), с сущностью современного
аксиоматического метода (П. С. Александров [2] и А. Н. Колмо-
Колмогоров [7]), с вопросом о роли чувственной наглядности в абстрактных
построениях неевклидовых геометрий (А. Н.Колмогоров. Доклад
на заседании Московского математического общества 3 ноября 1943 г.).
В июне 1944 г. Механико-математическим факультетом Московского
государственного университета была организована большая теоретиче-
теоретическая конференция, посвященная «Проблеме познаваемости мира и мате-
математике». Конференция заслушала и обсудила доклады А* И. Марку-
ш ев и ч а («Математика и материальная действительность»), В. В. Г о-
л у б е в а («Философские идеи Н. Е. Жуковского»), А. Н. Колмого-
Колмогорова («Пространство в математике и физике»), С. А. Яновской
(«Доказуемость и истинность в математике»).
Историко-философские и общеметодологические вопросы матема-
математики затрагивались также в ряде статей, книг и докладов, посвящен-
посвященных истории математики. Так, М. Я. В ы г о д с к и'й [1] подверг кри-
критике распространённые у буржуазных историков математики предста-
представления о выдающейся роли Платона как математика. С. Я. Лурье [3]
подробно исследовал ряд фрагментов Демокрита, освещающих его атоми-
атомистическую концепцию математики. Другие работы С. Я. Л у р ь е [4, 5]
были посвящены проблеме «неделимых» и связанным с нею вопросам
истории возникновения и обоснования математического анализа. С анало-
аналогичным кругом идей мы встречаемся в работах М. Я. Выгодского
[3, 4]. Идеи обоснования математического анализа в XVIII веке освещены
в статье А. П. Юшкевича [2]. Ряд вопросов принципиального харак-
характера, относящихся к истории обоснования анализа, был поставлен в связи
с трёхсотлетием со дня рождения Ньютона в статьях Н. Н. Л у з и н а [1 ],
С. Я. Л у р ь е [5], А. Н. Колмогорова [8]. Идеологические
проблемы математики, были затронуты также: 1) в ряде докладов на орга-
организованной Московским университетом (июнь 1944) конференции, посвя-
посвященной роли русской науки в развитии мировой науки и культуры;
2) в связи с 50-летием со дня смерти великого русского математика
П. Л. Чебышева; 3) в докладах и выступлениях к 30-летию Великой
Октябрьской социалистической революции в Московском университете,
Московском математическом обществе, Математическом институте Ака-
Академии наук и др.
В то время как реакционные буржуазные философы математики,
в том числе и претендующие на «беспартийность» в споре между мате-
материализмом и идеализмом, стоят в действительности на позициях всё
более и более агрессивного идеализма, советские учёные, наоборот, исхо-
исходят из установок диалектического материализма. Чтобы в этом убедиться,
достаточно сопоставить два высказывания: 1) последователя Маха, «логи-

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 17
ческого позитивиста» Карнапа и 2) советского математика А. Н. К о л-
могорова. Для Карнапа не существует вопроса об оправданности
научной теории. Наука есть лишь «язык», и каждый волен выбирать
себе или выдумывать «язык», который ему нравится. В сущности,
«языком» является для Карнапа аксиоматически построенная научная
дисциплина, но только (!) при построении этой дисциплины он предла-
предлагает перевернуть обычное соотношение между реальным содержанием
науки и его формальным отображением в виде системы аксиом и правил
вывода. Исходным пунктом должно быть, по Карнапу, не реальное
содержание, а произвольный выбор каких угодно аксиом и правил
вывода следствий из них. «Вопроса об «оправданности»,—говорит Кар-
нап,—при этом не существует; существует только вопрос о синтакси-
синтаксических следствиях, к которым ведёт тот или иной выбор».
Наоборот, для А. Н. Колмогорова формальный аналитиче-
аналитический аппарат хорош только тогда, когда он соответствует реальному
содержанию. Больше того, даже при наличии уже построенной «аксио-
«аксиоматики» содержательные соображения не только не теряют смысла,
но продолжают играть ведущую роль в дальнейшем развитии науки.
Так, говоря о теории вероятностей, наиболее удачная аксиоматизация
которой принадлежит именно ему, А. Н. Колмогоров [9] пишет:
«Культивируя полную математическую формальную строгость,... мы
направляем все свои, даже и самые общие и абстрактные, исследования
в сторону, определяемую желанием понять законы реальных случайных
явлений, возникновения строгой причинной зависимости на почве нало-
наложения большого числа независимых или слабо связанных случайных
факторов и, обратно, возникновения тех или иных распределений вероят-
вероятностей в результате наложения на строгую причинную зависимость
малых случайных возмущений и т. д. Подобно тому как механики особо
ценят исследователей, владеющих вместе с аналитическим математиче-
математическим аппаратом механическим «здравым смыслом» и механической интуи-
интуицией, так и мы делаем определённое различие между чистыми аналити-
аналитиками, занимающимися отдельными задачами, выдвинутыми теорией
вероятностей, и собственно специалистами по теории вероятностей, для
которых часто решение проблемы заранее видно из наглядных «вероят-
«вероятностных» соображений ещё до того, как найден соответствующий анали-
аналитический аппарат».
5. Настоящая статья посвящена успехам и достижениям советских
учёных в области проблем математической логики и обоснования мате-
математики. Тем не менее было бы неправильно, если бы мы не подчеркнули
тут же хотя бы основных недостатков нашей работы. Работа в области
философии математики до сих пор недостаточно организована и протекает
от случая к случаю. Но особенно существенно, что в этой области очень
слабо развиты ещё методы критики и самокритики, «являющейся подлин-
подлинной движущей силой нашего развития, могучим инструментом в руках пар-
партии» (А. А. Жданов, «Вопросы философии», 1 A947), 270). Приобретаю-
пда всё большее и большее идейное и политическое значение критика
реакционных идеалистических направлений современной буржуазной
философии математики не стоит ещё на должной высоте. Из относящихся
к последним годам могу упомянуть только посвященные критике
логистики и формализма работы Л. П. Г о к и е л и [2, 3—б, 7—10, 12J
и несколько докладов (в том числе «Марксистско-ленинская идей-
идейность и математика» A946 г.) и «О партийности в науке» A947 г.))
2 Математика в СССР за 30 лет

18 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
С. А. Яновской, прочитанные в Московском государственном уни-
университете. Широкое критическое обсуждение наших докладов и работ,
во многом, без сомнения, спорных и не стоящих ещё на уровне требований
марксизма-ленинизма, а также постановка новых боевых проблем, име-
имеющих актуальное научное и политическое значение, являются неотлож-
неотложной задачей советских математиков и философов, в осуществлении которой
они могут опереться на итоги философской дискуссии, проведённой по ини-
инициативе ЦК партии.
§ 2. О ПРОБЛЕМАТИКЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
1. Детальному освещению работ советских учёных по вопросам мате-
математической логики и теории доказательства мы предпошлём этот пара-
параграф, как введение, задачей которого является обрисовать, хотя оы
в самых общих чертах, идеологический смысл и значение разрабатывае-
разрабатываемых советскими учёными проблем.
Нередко приходится слышать, что в истории математики нужно раз-
различать периоды творческой активности и логического обоснования. Логика
при этом противополагается активному творчеству и рассматривается
лишь как средство приведения в порядок уже накопленного материала.
В действительности это совсем не так. Наиболее напряжённые периоды
научной активности связаны обычно с переворотом и в логических мето-
методах, с новой постановкой и подходом к проблемам логики. Так было
в эпоху создания Виеттой и Декартом первых буквенных исчислений,
связанное с которыми введение переменных в. математику было пово-
поворотным пунктом в её истории. Так было в эпоху крутой ломки основных
понятий и методов математики, обусловленной созданием неевклидовых
геометрий и теоретико-множественных методов современной математики.
Уже в буквенных исчислениях Виетты и Декарта мы имеем дело
с двумя видами формул, одни из которых обозначают предмет, а дру-
другие—предложения, свойства или отношения. Так, у Дека рта'выраже-
рта'выражение — у + — обозначало отрезок, так как областью значений пере-
переменных были отрезки, а операции, обозначенные знаками+,— и т. п.,
порождали из одних отрезков другие. Наоборот, тождества или урав-
уравнения представляли предложения или отношения между переменными,
•т. е. выражения, при подстановке в которых постоянных (индивиду-
(индивидуальных) предметов на место переменных мы получаем предложение1
(истину или ложь). В то время как в устной речи предложения не склады
ваются, не умножаются на число, с предложениями и отношени/ямй
записываемыми на языке буквенного исчисления, можно было опери
ровать по определённым правилам алгебры, образуя, например, и
одних уравнений другие. Добавление буквенного исчисления к ресурса
разговорной речи давало, кроме того, возможность сохранить в выражени1
результата последовательного применения ряда операций путь, к этом*
результату ведущий.
В логике Аристотеля тоже существуют, однако, определённые пр
вила образования и преобразования предложений: виды суждений и ум
заключений. Естественно поэтому, что превращение риторическв
алгебры в буквенное исчисление сопровождалось попыткой сформулир
вать в виде буквенного исчисления и логику Аристотеля. Неудивитель

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
также, что автором этой попытки оказался Лейбниц. Ведь именно Лейб-
Лейбницу принадлежало наиболее удачное оформление анализа бесконечно
малых в виде буквенного—дифференциального и интегрального—исчис-
интегрального—исчисления. Сам Лейбниц связывал с идеями заложенного им логического
исчисления неосуществимую мечту о времени, когда вместо того, чтобы
спорить, люди возьмут карандаши и будут вычислять. Какой-нибудь
конкретной потребности в логическом исчислении как таковом в эпоху
Лейбница ещё не было. Независимо от Лейбница идеи алгебры логики,
или исчисления классов, равносильного логике Аристотеля, были развиты
наряду со многими другими исчислениями, созданными в XIX столетии,
А. де Морганом, Булем, Джевонсом, Пирсом, Шредером. Венцом этого
периода в истории математической логики были работы русского логика,
астронома и математика, собрата Н. И. Лобачевского по Казанскому уни-
университету Платона Сергеевича Порецкого. Переходя в своей известной
«Алгебре логики» к изложению метода П. С. Порецкого, Л. Кутюра
•писал: «Буль и Шредер преувеличивали аналогию алгебры логики с обык-
обыкновенной алгеброй. В логике различие терминов известных и неизвестных
является искусственным и почти бесполезным: все термины в сущности
известны, и речь идёт только о том, чтобы из данных между ними
отношений вывести новые отношения (т. е. отношения неизвестные
или неявно известные)». Такова цель метода П. С. Порецкого.
П. С. ПорецкиЙ и сам сознавал значение созданного им метода. В пре-
предисловии к своей первой большой работе по математической логике A884)
«О способах решения логических равенств и об обратном способе матема-
математической логики» он писал: «Обращаясь к нашему сочинению, предлагае-
предлагаемому ныне на суд читателя, мы должны сказать, что: 1) оно заключает
в себе первый опыт (не только в нашей, но и в иностранной литературе)
построения полной и вполне законченной теории качественных умозаклю-
умозаключений *) и 2) оно представляет собой (за исключением немногих страниц,
посвященных изложению приёмов других авторов) вполне самостоятель-
самостоятельную работу, имеющую тем большее значение, что самые общие формулы
и приёмы этой теории получены впервые только нами. Целаяже часть этой
теории (переход от умозаключений к посылкам) вполне и безраздельно
принадлежит нам, как по приёмам, так и по самой идее о возможности
решения этой задачи»**).
2. Но действительное значение для математики проблемы логики
приобрели лишь с конца прошлого века. Для математики к этому вре-
времени стали характерными две основные для неё теперь особенности.
Одной из них является широкое распространение на все вообще разделы
математики аксиоматического метода, развитию которого положило начало
великое открытие Лобачевского. Другая была связана с идущими от Боль-
цанб— чешского математика и философа первой половины XIX в., но
фундаментально разработанными впервые Георгом Кантором методами
современной теоретико-множественной математики. Само по себе это
не содержало ещё ничего опасного. А. Н. Колмогоров [5] совершенно
правильно отметил, что, несмотря на его абстрактный характер, «новей-
«новейшее развитие математики делает её ближе к действительности, позволяет
*) Под «качеством» П. С. Порецкий понимал то, что в современной математиче-
математической логике обычно именуется «одноместным предикатом».
•*) Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук Обще-
Общества естествоиспытателей при Императорском Казанском университете, том 2 A884)
стр. 161—330, с добавленными стр. 1—IV, I—XXIV вслед за стр. 162.
2»

20 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
«й охватить большее разнообразие реальных явлений и изучать их с мень-
меньшей степенью схематизации, чем этомогла делать классическая матема-
математика». А. Н. К о л м о г о р о в [4] показал, в частности, на конкретном
примере развития теории «цепей Маркова», построенной учеником
П. Л. Чебышева известным русским математиком А. А. Марковым, как
идущее по пути абстракции обобщение этой теории оказалось весьма
существенным для решения важных задач практики социалистического
строительства. «Теперь теория цепей Маркова,—писал А. Н. К о л м о -
г о р о в,—воспринимается всеми просто как общая теория эволюции
физической системы в условиях случайности её изменения, конечности
числа возможных состояний и отсутствия последействия. Отправляясь
от этой теории и ряда примеров, в неё не вмещавшихся, я поставил перед
собой задачу найти все возможные формы уравнений случайных процес-
процессов без последействия. Несмотря на абстрактность этой задачи, уже
в 1931 г. с результате подобных исследований я мог, помимо мемуара,
посвященного общей теории, опубликовать работу, решающую некото-
некоторые проблемы, важные при проектировании телеграфных и телефонных
сетей. Дальнейшие применения не замедлили появиться».
Но растущая абстрактность математики, взятая как таковая, не
содержала в себе границы, отделяющей содержательные обобщения
и абстракции от лишённых смысла. Именно с этой стороной дела и ока-
оказались связанными трудности, с которыми встретилась математика
в связи с развитием и распространением в ней аксиоматического метода
и теоретико-множественных концепций. Эти трудности сосредоточены,
в основном, вокруг двух проблем: 1) вопроса о применимости законов
•формальной логики, экстраполированных от изучения конечных обла-
областей предметов, к бесконечным областям, особенно закона исключён-
исключённого третьего, и 2) вопроса о парадоксах теории множеств.
3. Трудности, освещаемые обычно в связи с законом исключённого
третьего и парадоксами теории множеств, достаточно широко известны,
чтобы на них можно было не останавливаться ещё раз. О методах решения
их советскими учёными будет итти речь ниже. Мы ограничимся здесь
замечаниями общего характера, которые могут понадобиться читателю
в дальнейшем, и примером трудностей не обычного рода, принадлежащим
П. С. Новикову.
Несмотря на то, что уже «Начала» Евклида испокон веков трактуются
как образец—пусть несвободный ещё от некоторых дефектов—примене-
дефектов—применения аксиоматического метода, последний является, по существу, харак-
характерным именно для современной математики. В современной математике
аксиоматический метод приобрёл ту форму, с которой оказались органиче-
¦ски связанными проблемы непротиворечивости, полноты и независимости
^аксиом данной системы), развитие которых привело в дальнейшем к необ-
необходимости расширить самое понятие математической теории, включив
в него элементы логики. На этом обстоятельстве нам и представляется необ-
необходимым немного остановиться.
Вряд ли требуется особо доказывать, что вопрос о непротиворечи-
непротиворечивости системы аксиом относится не только к области задач логического
обоснования математики. Геометрия Лобачевского свидетельствует о том,
как велико может быть значение этой проблемы для всего развития
самой математики! Однако если ещё в конце прошлого века подавляющее
большинство математиков не сомневалось в том, что: A) внутрилогиче-
непротиворечивость и B) выполнимость, или: A) полнота в смысле

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 21
изоморфизма любых двух интерпретаций и B) доказуемость всех истин-
истинных предложений каждой из них, суть пары совпадающих друг с другом
понятий, то в наши дни это уже не так. История развития этих понятий
поучительна при этом с точки зрения диалектического материализма.
Так, хотя модель, на которой интерпретируется система аксиомг
. и выбирается чаще всего из области арифметики*), в основе отождествле-
отождествления непротиворечивости с выполнимостью лежали, в сущности, две основ-
основные идеи: во-первых, выполнимость рассматривалась как гарантирующая1
возможность такого истолкования аксиоматически построенной теории,
в котором её предложения превращаются в содержательные истины^
во-вторых, вплоть до конца XIX в. это отождествление покоилось в конеч-
конечном счёте на убеждении в онтологической правильности законов формаль-
формальной логики, т. е. в реальной неосуществимости противоречия. На таком,
метафизическом убеждении нельзя было строить науку в XX в. В условиях
империалистического общества последняя приобрела двойственный
характер: с одной стороны, в естествознание и математику стихийно
стали всё больше и больше проникать элементы материалистической диа-
диалектики; с другой стороны, недостаточность домарксова метафизического
материализма была использована идеализмом в целях всё .более и более
агрессивной борьбы со всяким материализмом вообще. Так, если перво-
первоначально непротиворечивость просто отождествлялась с выполнимостью,
которая играла при этом роль первичной категории, то уже А. Пуанкаре
перевернул это соотношение между содержательной истинностью и фор-
формальной непротиворечивостью, сделав первичной именно последнюю.
«Существовать в математике»,—заявил Пуанкаре,—означает только «не
содержать в себе противоречия».
Когда интуиционисты (Брауэр и Вейль) обнаружили в математике
трудности, связанные с доказательствами существования, не опираю-
опирающимися на построение, формалисты (Гильберт и его школа) сделали
попытку найти выход из них, опираясь на это положение Пуанкаре.
Правда, Гильберт не мог полностью избежать ссылок на содержатель-
содержательную истинность. Он только перенёс содержание из математики в мета-
метаматематику, где попытался ограничить его рамками финитного. Идея
Гильберта на первый взгляд могла показаться даже заманчивой. Суть
её сводилась к следующему: трудности, о которых идёт речь, обусловлены
тем, что законы формальной логики, экстраполированные от изу-
изучения конечных областей объектов, незаконно переносятся на
бесконечные. Но, по существу, всё, что мы знаем о бесконечном, формули-
формулируется в виде конечных определений, аксиом и теорем, доказательства
которых носят тоже вполне конечный характер. Если сделать все эти
формулировки достаточно полными, чтобы доказательства не содержали
больше никаких скрытых допущений или пропусков, то, поскольку они
могут служить полным отображением изучаемых в математике свойств
бесконечного, изучение последних в свою очередь можно будет заменить
изучением формул, входящих в состав отображающих эти свойства тео-
теорий. Но каждое определение, предложение или доказательство записы-
записывается с помощью конечного числа знаков, на которые к тому же можно
смотреть как на материально существующие вещи, не изменяющиеся,
пока мы о них рассуждаем, так что наши высказывания о них
подчиняются законам формальной логики. Поэтому проблема бескоиеч-
*) То-естъ в пределах самбй математики.

22 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ности будет решена на таком пути, если только нам удастся полностью
перечислить правила обращения со знаками нашей теории, позволяющие
механически выводить из одних доказанных формул другие, и для
каждой так формализованной математической дисциплины выяснить,
является ли она действительно хорошей формальной теорией: полной
в смысле доказуемости в ней всех содержательно истинных предложений
рассматриваемой дисциплины и непротиворечивой в смысле существования
недоказуемых в ней предложений*).
Каково же было удивление математиков, когда средствами матема-
математической логики (К. Гедель, 1933 г.) было показано, что:
1) уже для арифметики натуральных чисел не существует полной
формальной теории, в которой были бы доказуемы все истинные и только
истинные (содержательно) предложения арифметики;
2) в общем случае (и притом как раз для «формализмов», достаточно
богатых средствами логического вывода) доказательство непротиворечи-
непротиворечивости формальной теории не может быть выполнено средствами этой же
теории **).
На путях формализма не существует, таким образом, выхода из труд-
трудностей, которые заставили интуиционистов провозгласить кризис основ
математики и объявить эту науку покоящейся на безнадежно шатком
фундаменте.
Мы увидим в дальнейшем, на каких путях предлагают выход из
этого положения советские учёные, не разделяющие идеалистических
концепций, распространённых среди зарубежных математиков.
4. Из этого не следует, будто советские математики отрицают вообще
наличие трудностей, связанных с задачей обоснования математики. Они
подмечают подчас такие трудности, которые прошли мимо внимания
интуиционистов и логистов, хотя относятся к широко известнмм пара-
парадоксам логики и теории множеств. Один из таких примеров принадлежит
П. С. Н о в и к о в у. П. С. Новиков, однако, не сделал из него
никаких пессимистических выводов, а, наоборот, сумел использовать, как
мы увидим ниже (см. § 3), для решения проблем, связанных с парадоксами.
Известный парадокс «лжеца» формулируется иногда неправильно
следующим образом: «Критянин говорит: «Все критяне всегда лгут». Что
он сказал: правду или ложь?» Правды он не мог сказать: из предположе-
предположения, что он сказал правду, получилось бы заключение, что он солгал.
Но предположение, что он солгал, ни к какому противоречию не ведёт.
Из него получается только заключение, что не все критяне всегда лгут.
Иными словами, чтобы доказать, что в каком-нибудь собрании,—пусть
даже самых отъявленных реакционеров,—имеются люди, говорящие
иногда правду, достаточно одному из присутствующих произнести фразу:
«Все присутствующие здесь всегда лгут». Само собою разумеется, однако,
что такого рода «доказательство существования» вряд ли убедит кого-
нибудь.
Больше того, рассуждая так,—замечает П. С. Новиков, —
можно «доказать», по существу, любое предложение R, ложность кото-
*) Все рассматриваемые обычно в математической логике «формализмы» отли-
отличаются тем, что выводимость в них какой-нибудь пары предложений, находящихся
друг к другу в отношении утверждения и отрицания, равнозначна с доказуемо-
доказуемостью есншго предложения как истинного, так и ложного содержательно.
**) Финитные средства .метламатематики Гильберта формализуются полностью
в пределах его математики.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 23
рого не была доказана заранее. Например, что «пока я пишу это, на дворе
члановится темно » или что «пока я пишу это, на дворе, наоборот, све-
светает». Чтобы сделать это, достаточно рассмотреть определение:
«Свойство х в свою очередь обладает некоторым свойством я в том
и только в том случае, если оно не принадлежит самому себе и R ложно»,
которое может быть записано в виде формулы
< * ) 1г(х)~х(х)&/?
(«~»знак эквивалентности, черта сверху—знак отрицания, «&» обозна-
обозначает связку «и»).
Допустим теперь, что 7? ложно. Тогда отрицание R, т. е. R, истинно
и правая часть эквивалентности (*) в свою очередь эквивалентна х(х).
Итак, если R ложно, то
Подставив в обе части этой эквивалентности к на место х, мы получим
те (
т. е. противоречие. Допущение, что R ложно, приводит, таким образом,
к противоречию. «Следовательно», R истинно. (Заметим, что предполо-
предположение истинности R противоречия не даёт.)
Между тем многие, и притом даже важнейшие предложения современ-
современного математического анализа доказываются именно таким образом:
из определения некоторого термина (в нашем примере п(х)) в них
выводится истинность предложения (в нашем примере R), говорящегЪ
совсем не об этом термине. В чём же дело? Почему такие доказательства
большинству математиков не представляются сомнительными? —На
этот вопрос проливают свет работы Д. А. Б о ч в а р а и П. С. Н о в и-
к о в а, посвященные проблеме парадоксов математической логики и
теории множеств.
5. Заметим, что предложение A1): «Произнеся фразу (Ф):—Все
критяне всегда лгут,—критянин Эпименид сказал правду», нетрудно
модифицировать так, чтобы получить действительный парадокс.
Рассмотрим систему аксиом ?, состоящую из двух аксиом: 1) В про-
промежуток времени <tt, /,> X произнёс фразу (Ф): «Всё, что я говорю
в промежуток времени </1( f,>, ложь». 2) В промежуток времени
<*!, f2> X ничего больше не сказал. Эту систему аксиом гораздо легче
осуществить, чем многие другие, непротиворечивость которых доказы-
доказывается с помощью выполняющей их модели. Достаточно зафиксировать
некоторый промежуток времени и найти человека, готового произнести
чЬразу (Ф) и в остальное время помолчать в течение этого промежутка.
Тем не менее система S противоречива. По крайней мере, если мы не
позаботимся о том, чтобы выбрать подходящий к случаю запас средств
логического вывода следствий из аксиом. Между тем ясно, что на самом
деле к аксиомам рассматриваемой системы нельзя с полной свободой
применять средства обычной формальной логики. Ведь пока я про-
произношу фразу (Ф): «Все, что я говорю...», меняется область предметов
{фраз), о которых идёт речь, так как к ним присоединяется моя новая
фраза. А формальная логика требует, чтобы предметы, о которых идёт
речь, не менялись, пока мы о них рассуждаем. Запретив, однако, рассма-

24 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
тривать фразу (Ф) как равноправную с теми, о которых идёт в ней
речь, мы уже противоречия не получим. Чтобы обеспечить непротиво-
непротиворечивость системы аксиом, существования модели оказалось недо-
недостаточно. Пришлось позаботиться ещё о выборе подходящих средств
логики.
На практике мы всегда имеем дело с изменяющимися предметами.
Из этого не следует, однако, будто мы не можем рассуждать о них по зако-
законам обычной формальной логики. Опираясь на применение одного из
основных принципов материалистической диалектики, утверждающего,
что истина всегда конкретна, что всё зависит от условий, места и времени,
мы добиваемся такого уточнения постановки вопроса, при котором законы
формальной логики становятся применимыми. Применимость законов
формальной логики, по существу, может быть обоснована именно
с помощью принципов материалистической диалектики.
Ибо пока вопрос поставлен чересчур абстрактно, в слишком общей
форме, на него чаще всего ещё нельзя дать однозначного ответа.
«Я вспоминаю,—писал И. В. Стал и н,—русских метафизиков 50-х го-
годов прошлого столетия, которые назойливо спрашивали тогдашних диа-
диалектиков, полезен или вреден дождь для урожая, и требовали от них
«решительного» ответа. Диалектикам нетрудно было доказать, что
такая постановка вопроса совершенно не научна, что в разное время
различно следует отвечать на такие вопросы, что во время засухи
дождь—полезен, а в дождливое время—бесполезен и даже вреден,
что, следовательно, требование «решительного» ответа на такой во-
вопрос является явной глупостью» (И. В. Сталин, Сочинения, том 1,
стр. 50—51). Но—этому нас тоже учит приведённый простой и яркий
пример—на конкретно, правильно поставленный вопрос ответ уже бывает
только один: вполне определённый и недвусмысленный.
Сами же по себе, автоматически, законы формальной логики при-
применимы отнюдь не ко всякому высказыванию. Недаром говорят иногда,
что труднейшей частью в решении задачи является правильная поста-
постановка её. Современное развитие математики показало, что и в применении
к аксиоматически построенным математическим теориям необходимо спро-
спросить себя, по каким именно правилам логики с ними можно свободно
оперировать, или в двойственной постановке вопроса: достаточно ли
хорошо сформулированы их аксиомы и определения, чтобы о них можно
было рассуждать по законам классической формальной логики.
Из этого следует, однако, что и современное развитие аксиома-
аксиоматического метода, приведшее к необходимости явной формулировки
не только системы неопределяемых понятий и недоказываемых пред-
предложений (аксиом) данной математической дисциплины, но и приме-
применяемых в ней правил определения понятий и доказательства предло-
предложений, на деле оказывается подтверждающим точку зрения диалекти-
диалектического материализма.
Наоборот, попытки идеализма использовать прогресс науки в своих
целях неизменно терпят крушение и в области математической логики.
Об этом свидетельствуют уже приведённые нами примеры. Конечно,
оба обстоятельства: и то, что выполнимая система аксиом, тем не менее,
может быть противоречива, если мы не примем особых предосторож-
предосторожностей, уточняющих формулировку аксиом и применяемых к ним средств
логического вывода; и то, что, наоборот, противоречивая (просто) система
ак.сиом, тем не менее, может быть невыполнима, могут быть установлены

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 25-
вне всякой связи с «парадоксальными следствиями» П. С. Новикова.
Так, А. Тарский построил систему аксиом, состоящую из предложений:
1 обладает свойством S,
2 обладает свойством S,
п обладает свойством S,
Существует х, не обладающее свойством S,
которая формально непротиворечива, но невыполнима (что побудило
Тарского ввести более сильное понятие ш-непротиворечивости, исключаю-
исключающее подобные случаи). Примеры П. С. Новикова являются, тем
не менее, особенно поучительными потому, что они не просто заменяют
понятие непротиворечивости каким-нибудь более сильным, значение
которого мы отнюдь не собираемся заранее умалять, но которое можно
использовать с целью не опровергнуть тезис Пуанкаре, а лишь «испра-
«исправить» его. Наоборот, примеры П. С. Новикова ярко показывают,
что «существовать» в математике совсем не то же самое, что «не содер-
содержать в себе противоречия».
6. Но логические проблемы, связанные с вопросами о парадоксах
и доказательствами непротиворечивости и полноты, имеют смысл не
только в плане устранения трудностей обоснования математики. Заме-
Заметим, что приведённое выше описание построения научной теории в виде
логического «формализма», содержащего не только систему аксиом,
но и правила образования понятий и вывода следствий, нуждается
в некотором уточнении. Правильнее было бы сказать так: если в старом
понимании формально-дедуктивной теории формулировался только пер-
первый -шаг индукции: задавались исходные понятия и предложения, та
теперь формулируется и второй: задаётся способ, как, имея уже некото-
некоторый запас введённых понятий и доказанных предложений, получить
с их помощью новые. Этот индуктивный приём построения современной
формально-дедуктивной теории позволяет обозреть всю совокупность при-
принадлежащих ей понятий и предложений и, таким образом, выяснить
границы её возможностей и характер дальнейшего развития, необходи-
необходимого для преодоления этой ограниченности. Мы видим уже из этого, что
создание общей теории дедуктивных «формализмов» диктуется и непо-
непосредственными потребностями математики.
Больше того, как мы увидим ниже, доказательство непротиворечи-
непротиворечивости логического «формализма» (или «исчисления») может приводить
и к собственно математическим результатам. Но особенно существенно,
что в наши дни уже не может быть сомнений в том, что именно решение
ряда наиболее трудных проблем математики требует специального иссле-
исследования аппарата математического доказательства и алгоритмических
методов математики.
Если мы будем стоять на точке зрения наивной канторовской
теории множеств, которая позволяет нам рассматривать—принципи-
рассматривать—принципиально—бесконечные множества так; как если бы они были конечными и
лежали перед нами подобно готовым спискам избирателей на участке,
то в полноте—в обычном смысле этого слова—теории множеств никак
нельзя будет сомневаться. В частности, гипотеза континуума Кантора
уже не сможет быть независимой в том смысле слова, в каком, напри-
например, независим от остальных аксиом геометрии постулат о парал-

26 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
лельных. Иными словами, принципиально мы должны были бы рас-
располагать в этом случае такой же возможностью проверки её пра-
правильности, какой располагаем, например, когда нам нужно убедиться,
что нас не пропустили в списке. Но такая «принципиальная» возмож-
возможность мало чего стоит, когда речь идёт о решении проблемы континуума.
Если мы сформулируем, однако,—как это и делается теперь математиками
с целью избежать парадоксов, не прибегая к теории типов Рассела,—тео-
Рассела,—теорию множеств в виде некоторой аксиоматически построенной формальной
системы, допускающей, в числе других, содержательную теоретико-мно-
теоретико-множественную интерпретацию и содержащей, помимо перечисления неопре-
неопределяемых терминов и аксиом, достаточно точное описание применяе-
применяемых в ней правил логического вывода, то вопрос о независимости интере-
интересующего нас предложения в такой системе приобретает специальный
' смысл. Теперь речь идёт о том, чтобы доказать его невыводимость во
правилам этой системы. (Заметим, что наличие точного определения выво-
выводимости, допускающего непосредственную проверку правильности вся-
всякого уже проделанного доказательства, само по себе ещё не означает, что
мы располагаем одновременно и точным—в этом же смысле «проверяе-
«проверяемости»—определением невыводимости.) Решения труднейших задач тео-
теории множеств, таким образом, можно ожидать именно с помощью средств
математической логики и теории доказательства, предметом изучения
которой являются уже не собственные предметы математики, а приёмы
и правила, употребляемые в математике при обращении с hh.vh.
Аналогично, попытки сформулировать точное определение «прове-
«проверяемости», или, что то же самое, эффективно вычислимой функции и свя-
связанное с ними выяснение сущности алгоритмических приёмбв математики
и границ возможностей создания алгорифмов оказывается исключи-
исключительно важным для математики на современном этапе её развития. О,т
определённого и точного ответа на вопрос о том, что значит «эффективно
решить задачу», зависит—теперь уже нельзя сомневаться в этом—п уточ-
уточнение формулировки и непосредственное решение ряда труднейших задач
математики, упорно не поддававшихся усилиям учёных. Именно в этой
связи математическая логика и привлекает сейчас внимание всё более
их более широких кругов советских математиков.
Приложения математической логики не ограничиваются её при-
применениями к решению проблем математики и её обоснования. Она
применяется и при решении задач чисто технического характера. Ряд
результатов в области приложений математической логики к построению
электрических релейно-контактных схем был получен впервые советскими
учёными.
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
В РАБОТАХ СОВЕТСКИХ УЧЁНЫХ.
Обзор работ советских учёных по основаниям математики, математи-
математической логике и её приложениям мы даём здесь, вообще говоря, в хроно-
хронологическом порядке. В соответствии со сказанным основное внимание
будет уделяться при этом работам, посвященным преодолению трудностей,
связанных с законом исключённого третьего, парадоксам логики и тео-
«рии множеств, доказательствам непротиворечивости, полноты и незави-
независимости, а также работам, содержащим применения математической
логики к решению конкретных проблем математики и техники.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 27
1. Как уже было упомянуто, первые работыяо математической логике,
выполненные русскими учёными,относятся ещё к 80-м годам прошлого века.
Они принадлежат казанскому учёному Платону Сергеевичу Порецкому
и были опубликованы впервые в протоколах заседаний секции физико-мате-
физико-математических наук Общества естествоиспытателей при Казанском универси-
университете. Вопросы математической логики нашли отражение и развитие в ряде
«татей и книг на русском языке В. В. Бобынина A886, 1894), М. С. Вол-
Волкова («Логическое исчисление», 1888), С. А. Богомолова («Вопросы обо-
обоснования геометрии», ч. I. «Интуиция, математическая логика, идея
порядка в геометрии», 1913), Ё. Буницкого («Некоторые приложения
математической логики к арифметике* и «Число элементов в логическом
многочлене», 1896—1898). Однако подлинное развитие и в этой области
началось только после Великой Октябрьской социалистической революции.
2. В качестве одной из первых работ A917 г.) тут следует упомянуть
посвященное логическому закону исключённого третьего введение в работе
талантливого одесского математика С. О. Шатуновского [1].
В этом введении С. О. Шатуновский отмечает, что «применение
логического закона исключённого -третьего не только к элементам беско-
бесконечного многообразия, но и к элементам конечного класса требует чрез-
чрезвычайной осторожности и иногда может быть оправдано только после
длинного ряда исследований». Дело в том, что возможность выбора одного
из двух предложений «А есть В» и «А не есть В», где А обозначает неко-
некоторый предмет, а В—класс предметов, «зависит не только от определения
•класса В, но и от определения предмета А. Как бы ни определить класс В
(если только он, в частности, не будет совокупностью всех вообще пред-
предметов), всегда можно определить предмет А так, чтобы из этого определе-
определения ничего не вытекало относительно принадлежности или непринадлеж-
непринадлежности А классу В. Если и в этом случае всё же говорят, что предмет А
либо принадлежит, либо не принадлежит классу В, то это может иметь
только тот смысл, что определение предмета А может быть дополнено
новым определением (формально или реально) таким образом,чтобы воз-
возможно было сделать дизъюнкцию между принадлежностью и непринад-
непринадлежностью классу В нового предмета А', определение которого склады-
складывается из определения предмета А и упомянутого дополнения, причём
новый предмет А' всё ещё обозначается термином А» (С. О. Ша ту н о в-
с к и й [1], стр. II). Так, про предмет, обозначеный словами: «целое число,
оканчивающееся шестёркой», нельзя сказать ни что он принадлежит
к классу «точных квадратов», ни что он не принадлежит к этому классу.
Этот предмет не является индивидуумом по отношению к предикату «быть
точным квадратом?. Наоборот, для предмета, обозначенного словами:
«целое число, оканчивающееся двойкой», вопрос о принадлежности или
непринадлежности его к классу «точных квадратов» решается однозначно:
«число, оканчивающееся двойкой)», не есть «точный квадрата. Точно
так же, если дополнить определение предмета, обозначенного словами:
«целое число, оканчивающееся шестёркой», добавив к нему: «с предшест-
предшествующей чётной цифрой», то для полученного таким образом предмета А'
из"двух предложений: «А' есть В» и «А' не есть В», одно (и притом именно
второе) будет верно. Можно было бы сказать, что закон исключённого
третьего, в рассматриваемой С. О. Шатун овским форме применим
только в том случае, когда предмет А можно рассматривать как инди-
индивидуум, а не как множество предметов (или как переменный предмет) по
.отношению к классу В. Но как определить термин «индивидуум»? Что'даёт

28 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
нам право рассматривать некоторый предмет как постоянный по отношению
к свойству В ?—С. О. Шатуновский предлагает использовать
закон исключённого третьего как определение индивидуума, или логи-
логической единицы, по отношению к предикату В. Именно, предмет А
является индивидуумом, или логической единицей, относительно преди-
предиката В, если из двух предложений: «Л есть В» и «Л не есть В», по крайней
мере одно верно. Но это значит, что применимость закона исключённого*
третьего нуждается всякий раз в особой проверке.
3. Закону исключённого третьего была посвящена и опубликованная
в 1925 г. работа А. Н. Колмогорова [1].
Молодой советский учёный (А. Н. Колмогоров родился в 1903 г.)
уже в этой статье сумел занять самостоятельную позицию в споре, основ-
основными участниками которого были такие авторитетные математики, как
Гильберт и Брауэр. Основной же результат, полученный им в 1925 г.,
совпадает, по существу, с известным результатом К. Геделя, относящимся
к 1931—1932 гг.
Прежде всего, А. Н. Колмогоров возражает против форма-
формализма Гильберта, согласно которому математика есть только совокупность
формул, которые пишутся по определённым правилам и не должны иметь
реального содержания. Как математика, так и логика являются, с его-
точки зрения, содержательными науками. Иначе они не могут претендовать
на значимость в применении к действительности.
С содержательным подходом к математике связаны, однако, трудно-
трудности, обусловленные тем, что законы формальной логики, в частности закон
исключённого третьего, применимы не ко всякому содержанию. Интуи-
ционисты, Брауэр и Вейль, подметили это для так называемых транс-
трансфинитных суждений математики, под которыми они понимали высказыва-
высказывания, содержащие термины «все» и «существует», примененённые к бес-
бесконечным областям предметов. Однако вывод, который они отсюда сде-
сделали:—о безнадёжной шаткости фундамента математики и кризисе ее'
основ,—был органически связан с их идеалистической философской
установкой. Дело в том, что для них «математические предметы непо-
непосредственно постигаются мыслящим духом; следовательно, математиче-
математическое познание не зависит от опыта» (Гейтинг). «Содержание» математиче-
математической дисциплины с такой точки зрения, конечно, не может зависеть от того^
для какой именно области предметов рассматриваются её предложения.
Отнюдь не так обстоит дело для А. Н. Колмогорова. Предло-
Предложения математической дисциплины должны иметь содержательный
смысл. Но смысл этот зависит от области вещей, к которым она приме-
- няется. Если существует хотя бы одна область, для которой её предложе-
предложения становятся содержательно истинными, то в научной закономерности
дисциплины не проиходится сомневаться. Предложения «интуиционист-
«интуиционистской» математики не вызывают сомнений не потому, что они «непосред-
«непосредственно заложены в нашем духе -, а потому, что они эффективно, т. е. прак-
практически проверяемы. Поэтому, если существует такая интерпретация
«классической»*) математики, в которой её предложения превраща-
превращаются в предложения «интуиционистской» математики, то* тем самым-
законность «классической» математики полностью обоснована, и никакой
кризис основ ей не угрожает.
*) В противоположность «интуиционистской», которую мы в дальнейшем рас-
рассматриваем независимо Ът философских установок Брауэра.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 29
Если и не этими самыми словами выраженная, то, по существу,
именно эта установка характерна уже для рассматриваемой работы
А. Н. Колмогорова. Он действительно доказывает в ней суще-
существование такой интерпретации «классической) математики, для которой
«все известные нам» предложения её превращаются в предложения «интуи-
.ционистской» математики, причём рассматривает это как подтверждение
тезиса о наличии реального смысла и у тех трансфинитных предложе-
предложений «классической» математики, которые лишены его с точки зрения
Брауэра.
Заметим, что, по А. Н. Колмогорову, отображение всей
«известной нам» классической математики происходит даже не па всю
интуиционистскую, а только в некоторую её4 часть. В классической логике
предложений (в отличие от интуиционистской, где такое сведение невоз-
невозможно) операции, образующие из данных предложений новые, сво-
сводятся к связке «если ... то» (—.>) и отрицанию (-). Для этих операций
А. Н. Колмогоров даёт полную систему аксиом, которую впервые фор-
формулирует таким образом, что единственной не «интуиционистской»
аксиомой оказывается формула А-^- А («двойное отрицание А влечёт А»),
Вторая аксиома отрицания, предложенная А. Н. Колмогоровым,
и соответствующая методу доказательства посредством приведения
к абсурду, также подчёркивалась впоследствии*) как наиболее удачное
выражение содержательного смысла отрицания в применении к выска-
высказываниям как целым.
Сформулируем теперь каждое предложение классической логики
¦и математики, употребляя в качестве логических связок только термины
«если... то» и отрицание, —от чего, классически, смысл предложения
не изменится,—-изаменим затем каждую часть полученного предложения,
в свою очередь являющуюся предложением, её двойным отрицанием.
Если мы будем_обозначать двойное отрицание Р через пР, то, например,
предложение А'—* А преобразуется в
—^ пА). A)
Как показывает А. Н. Колмогоров, такое преобразование не нару-
нарушает логической связи доказательств, выполняемых по правилам подста-
подстановки и отбрасывания доказанной посылки S в доказанном предложении
вида S-^Т.Так как все аксисмы классической логики и все «известные
нам» аксиомы математики превращаются в этой интерпретации в содержа-
содержательно истинные предложения «интуиционистской» логики и математики,
то и все доказуемые (по вышеупомянутым правилам) предложения клас-
классической математики превращаются в доказуемые же предложения
«интуиционистской* математики, содержательная истинность которых
не вызывает сомнений, так как в их доказательстве закон двойного отри-
отрицания заменяется «интуиционистски» правильной формулой A). Известный
результат К. Геделя, гласящий, что «интуиционистская математика
лишь по видимости уже классической»**), так как каждое предложение
*) См., например, работы Генцена.
**) Под классической математикой здесь, собственно, понимается арифметика
натуральных чисел.

30 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
классической математики в определённой интерпретации превращается
в предложение интуиционистской, таким образом, действительно пред-
восхищён А. Н. Колмогоровым.
В работе сформулирован и вывод о том, что вопрос о непротиворечи-
непротиворечивости классической математики сводится к вопросу о непротиворечи-
непротиворечивости интуиционистской, т. е. что и в смысле непротиворечивости клас-
классическая математика обоснована не хуже интуиционистской. Действи-
Действительно, автор пишет: «Применение принципа t. n. d. никогда не приведёт
к противоречию. В самом деле, если бы при его помощи была получена
ложная формула, то соответствующая формула псевдоматематики (т. е.
описанной выше интуиционистской интерпретации формул классиче-
классической математики—С. #.) была бы доказана без его помощи и всё же при-
приводила бы к противоречию».'
Мы видим, насколько далёк был уже в ту пору молодой советский
учёный от безнадёжного пессимизма «интуиционистов», считавших
заранее обречёнными на неудачу все попытки отыскать выход из провоз-
провозглашённого ими кризиса основ математики.
4. В 1927 г. бельгийские математики Барзени Эррера опубликовали
заметку, перепечатанную в следующем году Борелем в приложении к
его известным «Лекциям по теории функции», в которой они трактовали
интуиционистскую логику предложений как трёхзначную логику, до-
допускающую наряду с истинностью и ложностью некоторое «третье» со-
состояние. Против этого утверждения выступили А. Я. X и н ч и н [3] и
В. И. Гливенко fl]*). Как нам'представляется, суть их возра-
возражений при содержательном истолковании сводится к следующему.
Если разобраться, с точки зрения материалистической диалектики,
в приводимых Брауэром примерах неприменимости закона исключён-
исключённого третьего, то можно будет сказать так: если математическое предло-
предложение П считать истинным только после того, как оно уже доказано,
и ложным только после того, как оно приведено к абсурду (т. е. доказано,
что предположение истинности П ведёт к противоречию), то, конечно,
для П возможно и некоторое «третье» состояние, состоящее в том, что
в какой-то момент времени предложение П и не доказано и не опровергнуто.
Но это «третье» состояние не равноправно с двумя другими. Сегодня
предложение П может быть и не доказано и не опровергнуто, а завтра
вопрос уже, быть может, будет решён. Вообще сегодняшнее «третье»
состояние равносильно одному из завтрашних трёх: 1) «доказано»,
2) «опровергнуто», 3) «не доказано, но и не опровергнуто», из которых
последнее, в свою очередь, равносильно следующим трём, и т. д. Всё
находится в движении, и мы не имеем трёх спокойных, исключающих
друг друга состояний, как это требуется в трёхзначной логике. Ведь
речь идёт о предложении П вообще, а не о состоянии наших знаний
о нём сегодня. ,
Чтобы придать вопросу точный смысл, В. И. Гливенко [1J
сформулировал систему аксиом «интуиционистской» логики предложе-
предложений и доказал, что не существует трёхзначной логики, эквивалентной
этой системе аксиом.Результат В. И. Гливенко был в 1932 г. обобщён
*) Почти одновременно с ними против заметки Барзена и Эррера выступил
и американский логик Чарч. Аргументация последнего (см. Bull. Amer. Math. Soc.,.
34 A928), 75—78) звучит, однако, неубедительно, так как Чарч, повидимому, пере-
переносит на многозначные логики верные только для двузначной логики эквивалентности:
Р~(Р истинно), 7>~(Р ложно).

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 31
Геделем, показавшим для сформулированной в 1930 г. Рейтингом системы
аксиом интуиционистской логики, что не существует таблично построен-
построенной л-значной логики предложений, в которой были бы доказуемы все те
и только те выражения, которые доказуемы в системе аксиом Рейтинга.
5. В уже освещенной нами работе А. Н. Колмогорова [1]
всякое предложение П классической математики отображалось в предло-
предложение П^ «псевдоматематики», к которому заведомо был применим закон
исключённого третьего. Отображение это осуществлялось с помощью
замены всех частей предложения П, в свою очередь являющихся предло-
предложениями (в том числе и самого П), их двойными отрицаниями. Для логики
предложений В. И. Г л и в е н к о [2] получил в 1929 г. более сильный
результат. Именно, оказалось, что: 1) если в классической логике предло-
предложений доказуема формула й, то в «интуиционистской» доказуемо двой-
двойное отрицание Я; 2) если отрицание Ч[ доказуемо классически, то "оно же
доказуемо и «интуиционистски».
6. Мы уже отметили, что трудности, связанные с вопросом о приме-
применимости закона исключённого третьего, отнюдь не носят того абсолют-
абсолютного характера, который им придаётся интуиционистами. Именно «инту-
«интуиционистская логика», сформулированная в виде конечного списка аксиом
и правил вывода (или соответствующей ему системы одних только пра-
правил вывода), может быть адэкватно применима поэтому к определённой
области предметов совершенно независимо от гносеологических посылок
интуиционизма. Выяснению реального смысла системы аксиом «интуи-
«интуиционистской логики предложений» Рейтинга была посвящена опублико-
опубликованная в 1932 г. работа А. Н. Колмогорова [3].
Наряду с логикой, систематизирующей методы доказательства пред-
предложений, возможна,—говорит. А. Н. Колмогоров, —и логика,
изучающая методы (конструктивного) решения задач, например, геомет-
геометрических задач на построение. Принципу силлогизма здесь будет соот-
соответствовать такой принцип: если мы умеем свести решение задачи b к реше-
решению задачи а, а решение задачи с к решению задачи Ь, то мы умеем свести
решение задачи с к решению задачи а. Вводя подходящую символику
и правила оперирования с ней, А. Н. К о л м о го ров строит соот-
соответствующее этой логике исчисление проблем. По форме это исчисление
оказывается совпадающим с исчислением Рейтинга, что устанавливается
следующим образом.
Символ А истолковывается как требование: «решить проблему Л».
Формула А означает: «Предполагая проблему А решённой в положитель-
положительном смысле, получить противоречие». Формула Л&В означает: «Решить
обе проблемы Л и В». Формула А\/В — «Решить по крайней мере одну
из проблем А или В». Формула Д—> В— «Свести решение проблемы В
к решению проблемы А». Наконец, формула (х)А(х)—«Дать общий
метод решения А(х) для каждого х». Все формулы, доказуемые в ло-
логике предложений Рейтинга, оказываются истинными и в смысле исчи-
исчисления проблем. С другой стороны, ясно, что при такой интерпретации
закон исключённого третьего теряет силу.
7. Существенную роль в дальнейшем развитии математической логики
сыграла работа М. И. Шейнфинкеля [1]. Этот блестящий ученик
С. О. Шатуновского, к сожалению, рано выбыл из строя. (Забо-
(Заболев душевно, М. И. Шейнфинкель умер в Москве в 1942 г.). Работа,.
о которой идёт речь, была выполнена им в 1920 г., но опубликована только
в 1924 г. в литературном оформлении Бемана. Непосредственной целью

32 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
М. И. Шейнфинкеля было стремление свести к минимуму число
различных знаков, с помощью которых записываются формулы логиче-
логического исчисления. Известно, что отрицание и операции, выражаемые
логическими связками «и», «или», «если... то», «равнозначно», могут быть
сведены к одной единственной операции, выражаемой штрихом Шеффера
А\В и представляющей собой утверждение о несовместимости предложе-
предложений Аи В. Обобщённый штрих Шеффера / (х) |* g (х), представляющий утвер-
утверждение о-несовместности предиката / (х) с предикатом g (x), даёт возмож-
возможность вьфазить и операции с кванторами общности и существования
(терминами «все» и «существует»), связывающими как предметные, так
и формуль'ные переменные (переменные для предикатов и высказываний).
Но это сведение всех операций к одной единственной не устраняет ещё
потребности в специальных знаках для переменных различных видов:
предметных переменных; переменных, обозначающих предикаты,' зави-
зависящие от одного аргумента («свойства»); обозначающих предикаты от
двух, трёх и т. д. аргументов («отношения»); наконец, просто перемен-
переменных, обозначающих высказывания. М. И. ШеЙнфинкель указал
способ, позволяющий заменить любое предложение, записываемое с по-
помощью конечного числа знаков, заимствуемых из этого их бесчислен-
бесчисленного множества (включающего и штрих Шеффера), выражением, пред-
представляющим собой определённую 'комбинацию из трёх постоянных
знаков С, S, U, обозначающих некоторые индивидуальные функции.
Существенно, что он достиг этого с помощью создания общего исчисления
¦функций, основанного на чётком различении функции как особого пред-
предмета от значения функции. (Эту идею М. И. Шейнфинкеля
популяризировал в дальнейшем Чарч. с помощью таких простых при-
примеров: в выражении A) «(x*+xf > 1000»* речь идёт о неопределённом зна-
значении функции (ха+хJ. Символ х играет тут роль свободной переменной.
Пока на место х не подставлено какое-нибудь индивидуальное число или
х не связано квантором общности или существования, выражение A)
не представляет собой предложения. Оно не истинно и не ложно. Иначе
обстоит дело в выражении B) «(х2+хJ —-алгебраическая функция» или
в выражении C) «(ха+хJ—трансцендентная функция». Первое из этих
двух выражений истинно, второе ложно. Тут речь идёт не о значении
функции (х2+хJ, а о самой функции как об особом предмете.) В то время
как при обычном определении сначала задаются области значений аргумен-
аргументов и значений функции, между которыми в дальнейшем устанавливается
соответствие, почему закон этого соответствия, или функция не может
существовать заранее как элемент одной из областей, между" предметами
которых устанавливается соответствие,—для М. И. Шейнфинкеля
функция не создается её определением, а только вводится с его помощью
в рассмотрение. Как аргументом, так и значением функции может быть
сама рассматриваемая функция, если это совместно с её смыслом. Так,
функция тождества, обозначаемая М. И. Шейнфинкелем через /
и относящая к любому предмету х этот же предмет х, так что/ х = х, имеет
смысл и в применении к ней самой. Именно, // есть /. Используя то об-
обстоятельство, что предметом, являющимся значением функции, в свою оче-
очередь может быть некоторая функция, М. И. ШеЙнфинкель сводит
далее функцию от любого числа аргументов к функции от одного аргу-
аргумента и вводит несколько индивидуальных функций, позволяющих ему
преобразовывать выражения, обозначающие значения функций, и заме-
заменять одни комбинации операций им равносильными другими.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 33
Так, если мы будем обозначать значение функции а, применённой
к аргументу b (которым в свою очередь может быть некоторая функция),
через ab и договоримся понимать выражения вида abc в смысле (ab) с,
то определение вводимой М. И. Шейнфинкелем индивидуальной
функции С («относящей константу») можно будет сформулировать сле-
следующим образом:
Cab =a.
Иными словами, С есть функция, значениями которой служат функции
Са, относящие, при данном а, одно и то же (постоянное) значение а
к любому предмету b.
Аналогично функция S определяется через
Sabc =(ac)(bc).
(Формально её роль сводится к тому, что она позволяет, за счёт присо-
присоединения спереди буквы S, «слить» в одну две одинаковые буквы, здесь
обозначенные через с).
Теперь нетрудно показать, что функция тождества / сводится к функ-
функциям S и С. Иными словами, что применение функции / может быть заме-
заменено некоторой последовательностью применений функций С и S.
Действительно,
1х=лс.
Но с помощью функции С можно записать х в виде Сху, где у совершенно
произвольное. В частности» следовательно,
х=Сх(Сх),
или, что то же самое, «
х=(Сх)(Сх)к
Применив теперь функцию S, мы получим
(Сх)(Сх) =SCCx,
почему окончательно
Ix=SCCx,
т. е.
/ ^SCC.
Идеи М. И. Шейифинкеля были широко подхвачены амери-
американскими математиками, в первую очередь Карри, построившим на их
основании свою «комбинаторную логику» A930), и Чарчем, исчисление
^-конверсии которого представляет собой некоторую «формализацию»
идей М. И. Шейнфинкеля. (Следует отметить, что хотя Чарч
и ссылается несколько раз на М. И. Шейнфинкеля, всё же пол-
полное представление о зависимости его от идей последнего получается лишь
в результате непосредственного ознакомления с работой М. И. Ш е Й н-
ф и н к е л я.) Доделываются и отдельные детали в концепции
М. И. Шейнфинкеля. Так, в заметке «A reinterpretation of Schon-
•finkel's logical operators» Куайн предложил сделать шейнфинкелев-
ское определение функции более близким к обычному пониманию функ-
функции от п аргументов, допустив в качестве значений функции от одного
аргумента функции от л—1 аргумента.
Следующая работа- М. И. Шейнфинкеля, выполненная
им совместно с Бернайсом, широко используется теперь в учебниках
3 А1а<ечитика п С.СС1Р за 30 лет.

34 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
и руководствах по математической логике (см., например, Гильберт
и Аккерман, «Основы теоретической логики»). В ней идёт речь о частных
случаях формул так называемого узкого исчисления предикатов, для кото-
которых удаётся решить проблему разрешимости, т. е. дать эффективный
приём, позволяющий установить, является ли формула истинной при
любых значениях входящих в неё переменных (и для любой области инди-
индивидуумов). Именно, о формулах, которые (в нормальной форме) имеют
приставку, состоящую из одних только знаков общности, или из одних
только знаков существования, или у которых все знаки общности пред-
предшествуют знакам существования. Во всех этих случаях вопрос о всегда-
истинности формулы узкого исчисления предикатов сводится к вопросу
о всегда-истинности её в области, содержащей определённое конечное
число индивидуумов, а в такой области он решается полностью сред-
средствами исчисления предложений.
Отметим также, что, по свидетельству БернаЙса (D. Hillbert u.
P. Bernays, Orundl. der Math., т. I, стр. 70), M. И. ШеЙнфинкель
первый дал ответ на вопрос, близкий к одному из поставленных мимохо-
мимоходом в работе А. Н. Колмогорова [I]. Он предложил систему аксиом,
определяющих связку «если... то» (и не содержащих никаких других
логических связок), достаточную для вывода из неё с помощью правила
подстановки и правила зачёркивания доказанной посылки всех всегда-
истинных выражений, образованных посредством одной только связки
«если... то».
8. В 1927 г. один из старейших уже в ту пору профессоров Москов-
Московского государственного университета И. И. Жегалкин A869—1947)
опубликовал свою первую работу по математической логике [1J. Бле-
Блестящий педагог и передовой учёный (И. И. Ж е г а л к и н у принад-
принадлежит одна из первых работ по теории множеств, написанных на
русском языке. Вышедшая в 1908 г. книга его о трансфинитных числах
до сих пор с интересом читается студентами и начинающими математи-
математиками), И. И. Жегалкин ив преклонном возрасте умел не только
с пониманием следить, но и творчески участвовать в развитии одной из
самых новых математических дисциплин. Уже упомянутая первая работа
его содержала новые и интересныё*результаты и методы. И. И. Жегал-
Жегалкин впервые построил логику предложений как арифметическое кольцо,
выбрав в качестве основных операций строго разделительное «или» и «и»
и введя в исчисление символы 0 и 1 для обозначения постоянных (соот-
(соответственно ложного и истинного) предложений. Заметим, что почти
через 20 лет после И. И. Жегалкина, в 1946 г., .Лалан*) сделал
в Докладах Парижской Академии наук заявку на работу, одним из основ-
основных результатов которой является построение исчисления предложений
в виде кольца двумя путями:
I) принимая за сложение отрицание эквивалентности (т. е. строга
разделительное «или»), за умножение—конъюнкцию («и»);
II) принимая за сложенцг Эквивалентность, за умножение-^дизъюнк-
умножение-^дизъюнкцию (неразделительное «или»).
Хотя И. И. Жегалкин непосредственно использовал именно
первый путь, на самом деле оба содержатся уже в его работе. Действи-
Действительно, в отличие от обычных способов построения исчисления пред-
предложений, когда за основные выбираются сначала некоторые логические
*) V. Lalan. С. R. Acad. Sci., 223 A946), 1086—1087.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 35
операции («связки»), после чего из их определения (табличного) выво-
выводятся законы, которым подчиняются эти операции,—И. И. Ж е г а л -
к и н исходит из арифметики вычетов по модулю 2 и, истолковав в ней
1 и 0 соответственно как истину и ложь, получает исчисление пред-
предложений, выбрав за основные логические операции те, которые соот-
соответствуют в этом истолковании арифметическим операциям сложения
и умножения. Ясно, что при двойственной интерпретации символов
О и 1 @—истина, 1—ложь) получается второй путь Лалана.
Так как полученное исчисление оказывается, таким образом, изо-
изоморфным арифметике вычетов по модулю 2, то, чтобы завершить построе-
построение исчисления предложений, остаётся только убедиться в том, что
введённых операций достаточно для выражения всех различных функций
истинности, и дать регулярный приём (алгоритм) решения проблемы
разрешимости (т. е. установления для каждой формулы, записываемой
в терминах исчисления предложений, представляет ли она собой всегда
истинное, соответственно выполнимое, выражение). Обе эти задачи
И. И. Жегалкин решает с помощью приведения формулы Ф, содержа-
содержащей элементарные предложения а,, а2,..., а„, к нормальной форме, кото-
которой служит многочлен, линейный относительно каждого a, (i=1, 2,..., л)
и содержащий только различные (по виду) слагаемые *), который, как
нетрудно показать**), однозначно представляет формулу Ф. Самое при-
приведение к нормальной форме'очень просто осуществляется с помощью
«принципа выноса предложения», позволяющего выразить формулу Ф,
содержащую переменное предложение а, в виде
(«либо а истинно, и тогда Ф (а) естьФ (I), либо же а ложно, т. е. а-И
истинно, и тогда Ф (а) есть Ф@)»), где Ф A) и Ф(О)—предложения, не
содержащие уже переменной а .
«Принцип выноса предложения» «оказывает И. И. Жегалкину
[2, 3] особую услугу при расширении исчисления предложений в исчисле-
исчисление предикатов, где с его помощью автор исключительно просто решает
задачу разрешимости для одноместного исчисления предикатов.как узкого,
так и расширенного. Вместе с решением основной задачи И. И. Жегал-
Жегалкин получает при этом результат, гласящий, что всякое выраже-
выражение, составленное из одноместных предикатов и не имеющее свобод-
свободных предметных или предикатных переменных, эквивалентно или О,
Или 1, или одному из выражений типа et + sj+... -\-ек или типа
! + e,-f е;+ ... -f ek) где еп есть предложение: «основная область предме-
предметов имеет точно п объектов». Нет сомнения, что метод И. И. Жегалкина
заслуживает предпочтения перед другими по простоте идеи и исполь-
используемого аппарата и может быть особенно рекомендован для помещения
даже в элементарных учебниках.
Последние две (из опубликованных) работы И. И. Жегалкина
[4, 5] содержат решение проблемы разрешимости для случая формул узкого
исчисления предикатов, имеющих вид
t) (х,)... (xs)W(F, /„ /2,..., /г; х„ х2,..., xs),
. *) Слагаемые, отличающиеся лишь порядком сомножителей, не'считаются при
этом различными.
**) Подсчитав, например, число таких (различных) многочленов.
• 3*

36 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
где F, fltft,..., /г—двуместные переменные предикаты. И. И. Ж е г а л-
к и н показывает, что вопрос о выполнимости такого выражения в
какой-нибудь конечной области предметов сводится к задаче исчисления
предложений и, таким образом, решается окончательно. Ограничение
случаем конечных областей позволяет И. И. Жегалкину определить
двуместные предикаты матрицами, в изучении которых и состоит основная
методическая идея этих работ И. И. Жегалкина, поражающих чита-
читателя исключительной простотой и геометрической наглядностью опери-
оперирования с матрицами. И. И. Же г а л к и н не удовлетворяется теоре-
теоретическим решением вопроса. Он ищет такое решение, которое было бы
практически осуществимо. И ему действительно удаётся снизить число
необходимых проб с 2 + 24+ ... + 2'sfl>2 (у Аккермана) до s+\.
Незадолго перед смертью*) И. И. Жегалкин начал писать
учебник общей логики для средней школы, из задуманных пятнадцати
глав которого успел, однако, подготовить к печати только десять.
9. О реальном смысле доказательств непротиворечивости у нас уже
шла речь выше (см. § 2). Мы выяснили там, что, как учит нас марксизм-
ленинизм, проблема точности формулировок и формально логиче-
логической непротиворечивости играет весьма существенную роль в науке.
Но точность формулировки не достигается автоматически. И в математике
не для всякого поставленного в ней*вопроса можно быть заранее уверен-
уверенным, что он допускает один и только один из двух ответов: да или нет.
А между тем соответствующая такой уверенности посылка подчас играет
существенную роль в доказательстве.
Конкретные трудности, связанные с применением законов фор-
формальной логики в'математике, не могли пройти мимо внимания мате-
математиков. Таковы, например, трудности, связанные с законом исклю-
исключённого третьего в применении к утверждениям существования, относя-
относящимся к бесконечным областям объектов. Применимость этого закона
может быть, правда, обоснована с помощью вцециального доказатель-
доказательства непротиворечивости, но с последним, в свою вчередь, связаны труд-
трудности. Как показал К. Гедель, доказательство непротиворечивости фор-
формализма не может быть выполнено средствами самого этого формализма
и в общем случае предполагает непротиворечивость другого, не менее
сильного, формализма. Не следует ли отсюда, что непротиворечивость
вообще не может быть доказана? В проведённом им доказательстве
непротиворечивости арифметики П. С. Новиков нашёл выход из
этой трудности. Если речь идёт, например, об обосновании применимости
закона исключённого третьего в арифметике, то ясно, что нельзя при-
применять этот закон к арифметическим предложениям при доказательстве
его применимости к таковым. В этом и будет состоять, однако, единствен-
единственное ограничение, налагаемое на средства доказательства непротиворечи-
непротиворечивости в таком случае. По сравнению с самой арифметикой запас этих
средств можно усилить, например, за счёт допущения трансфинитной
индукции. По этому пути, независимо от Генцена, также использовавшего
его, и пошёл П. С. Нов и к о в. Но в доказательстве последнего суще-
существенно при этом то обстоятельство, что оно служит не только целям обос-
обоснования, но содержит и конкретный математический результат, допуска-
допускающий возможность разнообразных приложений. П. С. Новиков строит
пропозициональное исчисление со счётными логическими суммами и про-
*) И. И. Жегалкин умер 28 марта 1947 г.

¦ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 37
йзведениями (дизъюнкциями и конъюнкциями), на образование которых
налагается ограничение, состоящее в требовании конструктивного
(«интуиционистского») характера их задания. Содержательной базой,
необходимой для построения и исследования этого исчисления, служит
«интуиционистская» математика, с помощью которой П. С. Новиков
и даёт доказательство непротиворечивости своего неинтуиционистского
исчисления. Вышеупомянутый конкретный математический результат,
полученный им при этом, состоит в следующем: Пусть F (л) есть предло-
предложение, зависящее от натурального числа л, проверяемое для любого h
конечным числом операций. Тогда, если дано доказательство существо-
существования натурального числа N, для которого предложение F (N) верно,
из этого доказательства можно извлечь эффективное указание числа N.
Иными словами, П. С. Новиков предложил приём, позволяющий
извлечь из некоторых «чистых» доказательств существования эффектив-
эффективный способ вычисления числа, существование которого утверждается.
Д. А. Бочвар, на работах которого по вопросам математической
логики мы сейчас остановимся более подробно, дал неинтуиционист-
неинтуиционистское доказательство полноты исчисления П. С. Новикова, понимае-
понимаемой в широком смысле. Для этого вводится неинтуиционистски опреде-
определяемое понятие содержательно верной формулы и устанавливается,
что всякая содержательно верная формула, записываемая в терминах
формализма П. С. Новик ов а, 'доказуема в этом формализме.
10. Ряд трудностей, непреодолимых с субъективистских, идеалисти-
идеалистических позиций, связан с широко известными парадоксами математиче-
математической логики. Подход с точки зрения диалектического материализма дает
возможность полностью справиться с ними. В трудах советского учёного
Д. А. Бочвара, сочетающего продуктивною творческую работу
в области математической логики с большой работой по химии, мы нахо-
находим интересное решение проблемы пародоксов математической логики.
Эта проблема изучалась Д. А. Б о чв а р о м с двух точек зрения.
Первая точка зрения может быть сформулирована так: логика не
содержит ни экзистенциальных суждений об индивидуальных' объектах
(в частности, о постоянных предикатах), ни утверждений о нетривиальных
связях экзистенциального характера между объектами.
С этой точки зрения, расширенное исчисление предикатов без теории
типов, взятое в целом, не есть логика, хотя включает в себя определён-
определённый логический формализм. Последний может быть выделен из состава
расширенного исчисления предикатов без теории типов путём исключения
всех—явных и неявных—аксиом, утверждающих существование инди-
индивидуальных объектов или нетривиальных зависимостей экзистенциаль-
экзистенциального характера между объектами. Полученный таким образом логиче-
логический формализм—исчисление Ко—непротиворечив. С другой стороны,
для каждого парадокса можно эффективным образом указать теорему
из Ко, отрицающую существование (или сосуществование) предикатов,
предполагаемых в построении данного парадокса. Таким образом, пара-
парадоксы расширенного исчисления предикатов без теории типов следует
рассматривать как результат присоединения к чисто логическим аксио-
аксиомам Ко некоторых противоречащих этим аксиомам экзистенциальных
утверждений, содержащихся в известных определениях или группах
определений. Формализм Ко представляет собой именно ту систему,
которую естественно назвать формализмом классической логики. Мате-
Математика же с этой точки зрения, конечно, не сводится к логике.

38 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Второй точкой зрения, с которой парадоксы получили освещение
в работах Д. А. Б о ч в а р а, явилась точка зрения трёхзначной логики—
системы ?,— где наряду с истинными и ложными высказываниями,
составляющими вместе класс предложений, рассматриваются также
высказывания, не являющиеся предложениями (не имеющие смысла).
Для каждого парадокса можно указать теорему из системы ?, утвер-
утверждающую, что некоторая формула, существенная для построения данного
парадокса, не есть предложение (не имеет смысла).
11. Дальнейшему развитию проблемы парадоксов была посвящена
работа П. С. Н о в и к о в а [3]. Логическое исчисление Ко Д- А. Б о ч-
в а ра, или, как его называет П. С. Новиков, абсолютная логиче-
логическая система расширенного исчисления предикатов (в котором преди-
предикат, т. е. свойство предметов или отношение между предметами, сам
тоже может быть одним из предметов) не содержит никаких индивидуаль-
индивидуальных предикатов. В том числе не содержит и таких индивидуальных пре-
предикатов, которые определяются в терминах самого логического исчис-
исчисления. Иными словами, определение которых имеет вид
(рг) f/vfo xn)~g(Xl7..., х„), Ш
где g(xlt..., х„)~формула, кроме хх,..., х„, не содержащая никаких
свободных переменных и записываемая с помощью одних только знаков
логики. [Таким индивидуальным предикатом является, например, свой-
свойство «непредикативности» предиката, определяемое формулой
(Ял) Нпрд (х) ~~ х~(х),
D/
т. е. «предикат х непредикативен, если он не может быть приписан самому
себе».] Как показал Д. А. Б о ч в а р, определение индивидуального
предиката вида (рг) лишь в том случае может быть присоединено к исчис-
исчислению Ко у если в последнем недоказуемо утверждение о несуществовании
предиката, равнозначного формуле g (х,,..., хп). Иными словами, если
присоединение к Ко допущения .о существовании предиката, опре-
определяемого формулой (рг), не ведёт к п-ротиворечию. Всякое присоединение
к исчислению Ко индивидуальных предикатов этого рода могло бы
вести, однако, к тяжёлым осложнениям, если бы для каждого из них
нужно было давать особое доказательство непротиворечивости. Естест-
Естественно поэтому поставить вопрос как о характеристике широкого класса
предикатов, присоединение которых не ведёт к противоречию, так и,
наоборот, об общем обозрении всех способов образования парадоксов.
Обоим этим вопросам и посвящена работа П. С. Новикова.
В частности, оказалось, что система, образованная присоединением
к Ко аксиом вида
(р) (Ер) (х,)... (х„) (р(хг хп) ~ G (х„..., х„)I
[соответствующих определению (рг)], непротиворечива, если каждое
переменное в формуле (р) фигурирует-либо только на внутренних местах
(т. е. как предметный знак под знаком элементарного предиката), либо
только на внешних местах (т. е. как знак формульной переменной).
(В формуле (Ял) это требование не удовлетворено, так как х занимает
в ней и внешнее и внутреннее место). Логическую систему, образован-
образованную присоединением к Ко аксиом, удовлетворяющих этому требованию,
П. С. Новиков называет системой (Т).

S ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 39
Дальнейший результат, относящийся к вопросу о присоединимости
к Ко индивидуальных предикатов вида (рг), был получен П. С. Нови-
Новиковым с помощью введённого им и освещенного нами в § 2 поня-
понятия ((парадоксального доказательства», представляющего большой мето-
методологический интерес и независимо от этого результата.
Если разрешить присоединение к Ко любых индивидуальных пре-
предикатов, то можно будет, как это и было проделано нами выше, доказать
всякое предложение /?, ложность которого недоказуема в системе Ка,
присоединив к/Со индивидуальный предикат/?д, определяемый формулой
(Pr) Pr()
Df
Суть дела в том, что предикат не создаётся его определением. По-
Последнее выясняет его связи с другими предикатами, должно отображать
процесс его возникновения и развития, но не порождает его тем, что
формулируется нами. При понимании же формулы (pR) как аксиомы суще-
существования истинность предложения R является условием непротиворе-
непротиворечивости этой аксиомы, а не следствием из аксиомы. Если предложение./?
может быть доказано без присоединения определения (рд), то последнее
имеет смысл. Именно эти соображения и лежат в основе теоремы Нови-
Новикова, суть которой сводится к следующему.
Пусть имеем группу определений вида pr (x)~g (x), в которых огра-
ограничение, наложенное на переменные, входящие в формулы g (x), и состоя-
состоящее в том, чтобы эти переменные занимали либо только внешние, либо
только внутренние места, относится только к связанным переменным.
Каждому определению этого вида ставится в соответствие некоторая
формула Н(рг), однозначно определяемая формулой g(x) и являю-
являющаяся «парадоксальным следствием» соответствующего определения
0>rx)~g(x). Если все'.:Эти «парадоксальные следствия» Н выводимы
в некоторой системе (Т), то присоединение рассматриваемой группы
определений к любой системе (Г) не ведёт к противоречию.
С помощью этой теоремы П . С. Новиков показывает, например,
что обычные определения (в терминах логики) понятий тождества,
рефлексивности, транзитивности, а также целых чисел 0, 1, 2, 3;...
не ведут к противоречию.
Что касается второй проблемы, рассматриваемой П. С. Нови-
Новиковым и относящейся к характеристике предикатов, присоединение
которых, наоборот, ведёт к противоречию, мы ограничимся здесь ука-
указанием, что П. С. Новиков дал полное описание всех противоречивых
предикатов с одним переменным, выйдя для этого за рамки расширен-
расширенного исчисления. Именно, он ввёл в рассмотрение формулы с бесконеч-
бесконечным числом логических действий (которые можно, впрочем, изложить
в виде обычного финитного формализма) и показал, что предикаты, ука-
указанные в статье Д. А. Б о ч в а р а [5], являются их частным случаем.
12. Среди возражений, которые выдвигал против математической
логики А. Пуанкаре, едва ли не самым сильным представлялся аргу-
аргумент о её бесплодности. Больше того, сам Пуанкаре видел в ней «толь-
«только одни путы для творчества». Наоборот, советских математиков в
математической логике привлекала прежде всего возможность при-
приложений. Помимо уже освещенной нами работы П. С. Новикова,
в этой связи представляют интерес работы А. И. Мальцева и
А. А. Маркова.

40 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Свою первую, написанную ещё в студенческие годы, работу по мате-
математической логике А. И. Мальцев [1 ] посвятил доказательству
двух теорем, обобщавших результаты Геделя и Сколема. Вторая его
привлекала именно потому, что непосредственно допускала алгебраиче-
алгебраическое истолкование: он из неё сделал заключение, что всякое бесконечное
алгебраичеекое тело имеет расширения. Алгебраическим приложениям
первой А. И. Мальцев посвятил особую работу [2]. Теорема, о кото-
которой идёт речь, гласит, что если выполнима всякая конечная часть неко-
некоторой бесконечной системы предложений, допускающих выражение сред-
средствами «узкого исчисления предикатов», то выполнимой является и вся
система. Ряд теорем алгебры и, особенно, теории групп, имеющих вид:
если некоторое свойство А имеет место для всех частей какой-либо обла-
области (группы, кольца и т. п.), порождённых конечным множеством эле-
элементов этой области, то свойство А имеет место и для всей области,—могут
быть получены из этого предложения как непосредственные следствия.
Для доказательства их достаточно убедиться в том, что утверждение
о справедливости свойства А для какой-нибудь области может быть запи-
записано в виде системы предложений, содержащих — кроме знаков для инди-
индивидуальных предикатов и индивидуальных предметов и знака равенства —
логические связки «и», «или», ,«если... то», отрицание и кванторы
общности и существования, применяемые, только к предметным перемен-
переменным; и что яри замене индивидуальных предикатов переменными оно
может быть истолковано как утверждение о выполнимости полученной
системы. Такой общий подход к локальным теоремам не только позволил
А. И. Мальцеву получить сразу ряд теорем, доказанных ранее
весьма частными приёмами (в том числе; например, теорему Шура о том,
что всякая периодическая группа матриц над полем характеристики
нуль содержит абелев нормальный делитель конечного индекса), но
и непосредственно усмотреть, что некоторые из них имеют место и в более
широких условиях. Так, в доказательстве по методу А. И. Мальцева
теоремы Черникова: если всякая подгруппа локально-конечной группы
g имеет силовскоё множество, то силовскую систему имеет и сама группа
g,—локальная конечность нигде не используется. Это дало А. И.Маль-
И.Мальцеву возможность сформулировать более общее -предложение: если
всякая подгруппа с конечным числом образующих какой-нибудь группы
g имеет силовскую систему, то силовскую систему имеет и группа g. Для
доказанного первоначально Бэром только для счётных групп предложе-
предложения о расширении структурного изоморфизма Л. Е. Садовским
было указано впоследствии доказательство, годное и для несчётных групп.
По методу А. И. Мальцева предложение Бэра доказывается сразу,
буквально в несколько строк, в самых общих предположениях.
С помощью разработанных далее Карри и Чарчем идей комбина-
комбинаторного исчисления М. И. ШеЙнфинкеля и современного уточ-
уточнённого Чарчем, Тюрингом, Клином и Постом понятия алгорифма
А. А. М а р к о в [1,2] получил ряд интересных результатов, доказы-
доказывающих невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциатив-
ассоциативных систем.
13. Математическая логика возникла первоначально в результате
логического анализа используемых в математике средств доказательства.
Тем интереснее для нас, что построенный ею аппарат в руках инженеров
и физиков-конструкторов оказался орудием синтеза конструируемых
ими механизмов. Он был использован в области электро- и радио-

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 41
техники, точной механики и счётно-решающих устройств телемеханики
и автоматики. Применениям аппарата математической логики в теории
релейно-контактных схем .был посвящен ряд работ, принадлежащих
В. И. Шестакову иМ. А. Гаврилову.
Предположение о возможности построения алгебры релейно-контакт-
релейно-контактных схем на базе алгебры логики впервые было высказано в 1910 г. физи-
физиком Эренфестом в рецензии на русский перевод книги Кутюра «Алгебра
логики». Это предположение было подтверждено в конце 1934—начале
1935г. В. И. Шестаковым, который нашёл, что если условиться запи-
записывать контакты, замыкающие цепь при наличии сигналов аи Ь, теми же
буквами, а контакты, размыкающие цепь при наличии этих сигналов,—
символами а' и &', и если условиться далее параллельное и последова-
последовательное соединение контактов обозначать посредством знаков сложения и
умножения соответственно, то введённые таким образом операции а',а+Ь
и ab производятся соответственно по правилам логического отрицания,
логического сложения («или») и логического умножения («и»). Всегда-
замкнутая цепь соответствует при этом логической единице («истина»),
а всегда-разомкнутая цепь—.логическому нулю («ложь»). Установленное
таким образом соответствие между операциями над контактами и логи-
логическими операциями с предложениями позволило В. И. Шестакову
тогда же сформулировать общий метод составления схем (однотактных),.
срабатывающих от заданных сочетаний сигналов.
Эти результаты были изложены в работе «Алгебра релейных схем»,
написанной В. И. Шестаковым в январе 1935 г.*). Работа не
была опубликована, но легла в основу кандидатской диссертации
В. И. Ш е с т а к о в а: «Некоторые математические методы конструирова-
конструирования и упрощения двухполюсных электрических схем класса А», выполнен-
выполненной под руководством В. И. Г л и в е н к о. (Наиболее существенная часть
диссертации была опубликована в 1941 r.,*CMf В. И. Шестаков [1]).
Непосредственное применение уже готового аппарата исчисления
высказываний к релейно-контактным схемам возможно лишь для выде-
выделенного В. И. Шестаковым случая схем класса А, не содержащих
«мостиковых» соединений. Для решения задачи символического пред-
представления структуры схем, содержащих, помимо последовательных
и параллельных, также «мостиковые» соединения, оказалось необхо-
необходимым соответствующим образом видоизменить и усилить этот аппарат.
В работах М. А. Га ври лова [1, 2,3, 4, 5] строится исчисление,,
достаточное для символического представления структуры многополюс-
многополюсных схем с мостиковыми соединениями внутри них и для синтеза схем.
с разновременно срабатывающими реле, т. е. схем, содержащих проме-
промежуточные реле, которые срабатывают в заданной последовательности
с различными временами запаздывания.
Из последних работ, посвященных применению аппарата матема-
математической логики в теории электрических схем, упомянем работу
В. И. Ш е с т а к о в а [3], в которой показано, что всякая характери-
*) Дата существенна, так как в 1938 г. в иностранных журналах был опубликован
ряд статей, посвященных символическим методам представления структуры релейно-
контактных схем и применению алгебры логики в качестве математического аппарата
анализа и синтеза таких схем (см. статьи Nakasima в Nippon Electr. Comm.
Engineering, №№ 9, 10, 13, 14 и статью S. Shannon, A Symbolic Analysis
of Relay and Switching Circuits, Trans, of Amer. Institute of Electr. Engineers, A938),
713—722).

42 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
стическая функция любой операции п-значного исчисления предложений
ложет быть представлена с помощью алгебраических выражений, кото-
которые можно рассматривать как изоморфные образы некоторых релейно-
контактных схем, построенных из проводников с конечными прово-
димостями и контактов п-позйционных реле или переключателей.
Работа В. И. Ш е с т а к о в а, таким образом, свидетельствует о том,
что и многозначные «логики» могут иметь реальный, и притом даже
непосредственно важный для техники смысл.
14. При кафедре истории и философии математики Московского уни-
университета существует семинар по математической логике и философским
вопросам, математики. Большинство работ, упоминавшихся здесь нами,
было обсуждено сначала на заседаниях этого семинара. Из уже закон-
законченных отметим ещё несколько работ, доложенных на заседаниях семи-
семинара в 1947 г.
В докладе «Об арифметических формулах, выводимых без примене-
применения принципа полной математической индукции» (март—апрель 1947 г.)
П. С. Новиков предложил финитный критерий, позволяющий устано-
установить для каждой формулы из арифметики натуральных чисел, имею-
имеющей вид
{где % (xlt..., xk) не содержит никаких предметных переменных, кроме
х1 хк), выводима она или нет в системе, содержащей:
1) Аксиомы и правила вывода «узкого исчисления предикатов»,
дополненные расширением правила подстановки на случай «термов»—
выражений, обозначающих предмет, отличный от истины и. от лжи.
2) Следующие арифметические аксиомы:
X, Яа) X — у
Р.) X<y->(y<z->x<z),
¦* (* < У < У < *),
е,) X <i t < X',
где «О» —индивидуальный знак предмета, х' ~индивидуальный терм
(значение индивидуальной функции: «непосредственно следующий»),«=»,
«<» —знаки индивидуальных отношений.
3) Правила определения предметов (термов), совпадающие с допу-
допущением всех примитивно-рекурсивных [и только примитивно-рекурсив-
примитивно-рекурсивных] функций.
П. С. Новиков задаёт способ, относящий к каждому терму
(спускаясь по определению его через другие термы) принадлежащую ему
цепочку термов. При этом оказывается, что каждому терму, выразимому
в терминах рассматриваемого формализма, однозначно соответствует
его представитель, т. е. терм, цепочка которого состоит уже только из
него самого. Если, заменив теперь в исследуемой формуле (F,) все
, термы их представителями, все сохранившиеся после этого знаки индиви-
индивидуальных функций, кроме штриха, знаками переменных функций, мы полу-
получим всегда-истинную формулу (F,), то, как показывает П. С. Нови-
Новиков, формула (F,) выводима в рассматриваемом им формализме. Иными
.словами, выводима без применения принципа полной ¦ математической

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 43
индукции. В противном случае нет. Так как представителем для терма
х+у служит он сам, т. е. х+у, то, например, формула
(х) (У) (х+у^у+х)
или дедуктивно равная ей
a + b = b + а
не выводима без применения принципа полной математической индукции.
Действительно, если, следуя правилу П. С. Новикова, заменить
в ней символ постоянной функции х + у знаком для произвольной теоре-
теоретико-числовой функции <р (х , у), то полученная таким образом формула
(*) 00 (? (х, у) = <р(у, х)) -
не будет всегда-истинной.
Заметим, что вопрос о всегда-истинности формулы (F,), построенной
по правилу П. С. Новикова из формулы (Z7,), сводится к вопросу
о всегда-истинности некоторой формулы исчисления высказываний, т. е.
решается эффективно, и что результат П. С. Н о в и к о в а не может быть
усилен, т. е. не распространяется на формулы, содержащие кванторы
существования. .
Вопросу о выводимости или невыводимости некоторых утверждений
существования в системе аксиом Пеано с аксиомо.й полной идукции или
без неё был посвящен доклад В. Н. М о л о д ш е г о, прочитанный им в
феврале 1947 г. «Выводимость» здесь понималась в смысле истинности
в любой системе, для которой выполняется система аксиом Пеано, вклю-
включая принцип полной математической индукции (соответственно без него).
15. В формулировках понятия вычислимой функции, играющего
основную роль в современной математической логике, существенно раз-
различие между так называемыми примитивными рекурсивными и обще-
общерекурсивными функциями. В то время как способы .образования первых
легко обозримы и не ведут к трудностям, с последними всё обстоит уже не
столь просто. Трудности не устраняются даже тем обстоятельством, что
единственным принципом, добавляемым к способам образования прими-
примитивных рекурсивных функций для получения общерекурсивных, является
отыскание наименьшего натурального числа у, для данной группы из п на-
натуральных чисел х1(..., х„, обращающего в нуль выражение F {хх,...,хп,у),
где/г(х,,..., х„, у) — примитивная рекурсивная функция. Ибо решение
вопроса о том, для всякой ли группы из п натуральных чисел
х, хп существует такое наименьшее число у, не может быть выполнено
эффективно. Известный результат Клина (Kleene), гласящий, что всякая
общерекурсивная функция #(*,,..., хп) можег быть представлена в виде
где G—примитивная рекурсивная функция от одного аргумента, /*" —
примитивная рекурсивная функция от п+1-го аргумента, ру—~ оператор,
означающий «наименьшее у такое, что...», сохраняет тем не менее
интерес. Клин сам получил этот результат для одной вполне определён-
определённой функции G. Вопрос о том, при каких ещё функциях G он сохраняет
силу, оставался открытым. В 1946 г. норвежский математик и логик Сколем
высказал предположение, что в формуле (Я) функцию G вообще мож-
можно устранить, которое в том же 1946 г. было опровергнуто Постом

44 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
с помощью примера. В докладе «О представлении общих рекурсивных
функций через примитивные», прочитанном 4 мая 1947 г., А. А. М а р-
к о в [3] дал исчерпывающее решение вопроса о характере функции G.
Именно, оказалось, что за G можно выбрать любую примитивно-рекур-
примитивно-рекурсивную функцию «большого размаха», т. е. функцию как аргументами,,
так и значениями которой являются натуральные числа, множество зна-
значений которой совпадает со всем натуральным рядом и которая при-
принимает каждое своё значение бесконечное множество раз. Такими функ-
функциями являются, например, разность между числом х и наибольшим
треугольным" числом, не превосходящим х, или разность между числом
х и не превосходящим его наибольшим квадратным числом. Наоборот,
если Go не есть функция «большого размаха»', то всегда можно построить
такую общерекурсивную функцию Ф, которую нельзя будет выразить
формулой (Н) при G=G0. Любопытно, что для построения функции Ф
можно использовать пример общерекурсивной функции, не являющейся
примитивной рекурсивной, приведённый самим Сколемом.
16. Отметим в заключение результат, также доложенный в семинаре
в 1947 г. и принадлежащий ученику П. С. Новикова аспиранту
А. А. 3 ы к о в у. Известно, что система аксиом узкого исчисления
предикатов не полна в строгом смысле, т. е. существуют общелогические
(не содержащие индивидуальных знаков) формулы, не вытекающие из
аксиом и в то же время не противоречащие им. А. А. 3 ы к р*в установил,
что к подобного рода формулам относятся те и только те, которые обла-
обладают свойством: после приведения к предварённой конъюктивной нор-
нормальной форме
ox1oxt...oxn%(x1 хг, ..., хп) ¦ •¦ A)
(ох может быть как квантором общности (х), так и квантором суще-
существования {Ех)) выражение % (х,,..., хп) содержит в каждом слагаемом
хотя бы один знак предиката одновременно с его отрицанием; при этом
на одинаковых местах под знаками обоих предикатов могут стоять разно
обозначаемые предметные переменные. Эти формулы можно назвать
«присоединимыми», ибо любые из них, будучи добавлены к узкому исчис-
исчислению предикатов в качестве новых аксиом, не делают его противоречи-
противоречивым, и класс формул, не противоречащих расширенной аксиоматике,
совпадает с классом формул, не противоречащих нерасширенной. В част-
частности, присоединимой будет для любого натурального п формула §ni
\Рг (Хг)У_Р, (X.) V ... V Рг (*„) V Р, (Хл+1) V]
(Хг) (X.) • • • (Хп+1) <jР* (X.) V ••• V Р,(Х„) V Р2 (Хп+1) V V f
Pn(U j
по смыслу равносильная утверждению, что в предметной области содер-
содержится не более п предметов, а также формула §щ_г
(x)F(x, x)&(y) (z) @ [F(y, z)&F(z,t)-+F(y,t)]-+Eu(v)F(u,v),
постулирующая, что число предметов в области конечно. Разумеется,
всякая доказуемая формула присоединима.
Из вышеупомянутого свойства присоединимых формул (не проти-
противоречить друг другу) сразу получается решение вопроса о том, какие иа

№;; ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 45
этих формул, будучи добавлены к аксиомам узкого исчисления преди-
предикатов, делают систему полной в строгом смысле. Именно, в полной системе
должны быть доказуемы все присоединимые формулы, значит, в частно-
частности, должна быть доказуема и формула фг:
(х) (у) [Р (х) V Р(у)].
постулирующая, что предметная область содержит не более одного пред-
предмета. Но легко показать, что присоединение, формулы §х (или любых
других, из которых она вытекает) делает узкое исчисление предикатов
изоморфным исчислению высказываний и, следовательно, полным в стро-
строгом смысле. Отсюда следует, что расширенная аксиоматика узкого
исчисления предикатов полна тогда и только тогда, когда всё исчисле-
исчисление изоморфно исчислению высказываний. .
Далее доказывается теорема: если^формула A) не является всегда-
истинной в области, содержащей п предметов, то «на не может быть
всегда-истинной в области более чем с п предметами. Отсюда вытекает,
что любая присоединимая формула либо доказуема, либо по смыслу
.равносильна одной из формул §„ &2,..., фю-г- Это даёт возможность
для любой присоединимой формулы A) эффективно решить вопрос,
делает ли она систему аксиом узкого исчисления полной в строгом смысле:
для этого необходимо и достаточно, чтобы формула A) переходила в не
всегда-истинную формулу высказываний при интерпретации её в обла-
области ровно из двух предметов.
Совсем просто доказываемый результат А. А. Зыкова заслужи-
заслуживает включения во всякий систематический курс математической логики.
17. Как уже было отмечено, в математической логике советского
учёного интересует прежде всего возможность приложений к решению
трудных проблем математики и техники. На его пути не стоят идеологи-
идеологические трудности, обусловленные субъективистскими, идеалистическими
установками буржуазных учёных. Поэтому, хотя число работ советских
учёных по вопросам математической логики и основаниям математики
пока невелико, мы имеем все основания ожидать, что именно в СССР раз-
развитие этой науки пойдёт по должному пути и неизменно будет давать
плодотворные результаты, достойные науки и учёных нашей Родины.
Нельзя всё же и здесь пройти мимо того обстоятельства, что
•у нас пока слишком мало работ, направленных против идеалисти-
идеалистических извращений в этой области и стоящих на уровне требований
марксизма-ленинизма—в том числе и в отношении полного владения
материалом дела. Патриотический долг советского учёного*— гражданина
первой в мире страны социализма обязывает его не забывать, что идеали-
идеалистическая философия предстаёт теперь «в своём новом, отвратительно
грязном естестве, отражающем всю глубину, низость и мерзость падения
буржуазии», и что «современная буржуазная наука снабжает поповщину,
фидеизм новой аргументацией, которую необходимо беспощадно разо-
разоблачать». (А. А. Жданов. Выступление на дискуссии по книге
Г. Ф. Александрова).

БИБЛИОГРАФИЯ.
Азле'цкий С. П.
[1] О бесконечном в толковании Кантора. Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 1 A927),
34—37. t.
Александров!!. С.
[ 1] О новых течениях математической мысли, возникших в связи с теорией множеств^.
Сб. статей по фил. магем. М., Учпедгиз A936), 14—20.
{2] Что такое неезклидоза геометрия? В кн. «Николай Иванозич Лобачевский».
М.-Л.. ГТТИ A9Г). 31-86.
[3] Русская математик* XIX и XX вв. и её влияние на мировую науку. М., Учён.
зап. ун-та, 91 A947), 3—34.
Бернштейн.С. Н.
{1] Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей. Хрк., Зап. матем.
т-ва B), 15 A917), 209—274.
Б о ч в а р Д. А.
[1] Об одном трёхзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов клас-
классического расширенного функционального исчисления. Матем. сб., 4D6), A938).
287—308.
[2] Obereinen Aussagenkalkiil mitabzahlbaren logischen Summenund Produkten. Матем.
сб., 7 D9), A940), 65—100.
[3] К вопросу о непротиворечивости одного трёхзначного исчисления. Матем. сб.,
12 E4), A943), 353—369.
[4] К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. Матем. сб.,
15 E7), A944), 369—384.
[5] Некоторые логические теоремы о нормальных множествах и предикатах. Матем.
сб., 16 E8), A945), 345—352.
Выгодский М. Я.
П] Платон как математик. М., Вестн. Комм, акад., 16 A926), 193—216.
[2] Понятие числа в его развитии. Естеств. и марксизм, 2 A929), 3—30.
[3] Проблемы истории математики с точки зрения методологии марксизма. Естеств»
и марксизм, 2—3 A930), 32—48.
[4] Иоганн Кеплер и его научная деятельность. В кн. Иоганн Кеплер, «Стереометрия
винных бочек». М-, ГТТИ A935), 7—94.
Гаврилов А. М.
[11 Релейно-контактные схемы с вентильными элементами. ИАН, ОТН A945), 153—164..
[2] Методы синтеза релейно-контактных схем. Ж. Электричество, 2 A947).
[л] Анализ релейно-контактных схем. Ж. Электричестзо, 4 A947).
[4] Об одном обшем методе преэбратозания релелно-контактных схем. Ж. Автомати-
Автоматика и телемеханика, 2 (!947), 89—107.
[5] Структурная классификация релейно-контактных схем. Ж- Автоматика и телеме-
телемеханика, 4 A947), 297—307.
ГливенкоВ. И.
[1] Sur la logiquedeM. Brouwer. Bull. Acad. S:i. de Belgique E), 14 A928),225—228.
[2] Sur quelques points de la logique de M. Brouwer. Bull. Acad. SJ. de Belgique
E), 15 A929), 183—188.
[3] Понятие дифференциала у Маркса и Адамара. Ж. Под знаменем марксизма,
5A934), 79—85.

БИБЛИОГРАФИЯ' 47
Кризис основ математики на современном этапе его развития. (В свете ленинского
учения о кризисе науки в капиталистическом обществе.) М., Фронт науки и тех-
техники, 5—6 A934), 53—59.
[5] Кризис основ математики на современном этапе его развития. Сб. статей по
фил. матем. М., Учпедгиз A936), 69—83.
Гокиели Л. П.
,[1J О понятии функции. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 2 A937), 1—36.
[2] О математике «возможности» и математике «действительности». Тбилиси,
Труды матем. ин-та Гр. фиЛ. АН, 6 A939), 15—96.
[3] О так называемых «содержательных аксиомах» математической логики, I.
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 421—425-
[4] О так называемых «содержательных аксиомах» математической логики, П.
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 665—672.
[5] О так называемых «содержательных аксиомах» математической логики, III.
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 731—738.
{6] О так называемых «содержательных аксиомах» математической' логики, IV.
Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 51—58. ,
[7] О понятии существования в математике, I. Тбилиси, Сообщ. 'АН ГрССР, 2 A941),
881—888.
[81 О понятии существования в математике, П. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3 A942),
111—118.
[9] О понятии существования в математике. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,
11 A942), 23—51.
[10] О понятии существования в математике, III. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН
ГрССР, 13 A944), 153—201.
[111 О понятии актуально бесконечно малого. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944),
16—20.
112] К проблеме аксиоматизации логики. Тбилиси. Изд. АН ГрССР A947), 86 стр.
13] Математические рукописи Маркса. Тбилиси. Изд. Гр. фил. ИМЭЛ A947I —1 П.
Градштейн И. С.
[1] Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. М.—Л., ОНТИ A936),.
1—76.
ГрузинцевГ. А.
[1] Понятие отношения и аксиоматическое определение числа. Днепропетровск.Зап.
ин-та нар. проев., 1 A927), 25—43.
ЖегалкинИ. И.
[1] О технике вычислений предложений в символической логике. Матем. сб.,
34 A927), 9—28.
.[2] Арифметизация символической логики. Матем. сб., 35 A928), 311—378.
[3] Арифмешзация символической логики (Продолжение). Матем. сб., 36 A929),.
205—338.
[4] К проблеме разрешимости. Матем. сб., 6 D8), A939), 185—198.
[5] Проблема разрешимости на конечных классах, м., Учён. зап. ун-та, 100 A946),
155—211.
Каган В. Ф.
[1] Лобачевский. М.—Л., Изд. АН A944), 1—344 стр.
Киреевский н. Н.
[1] Sur le probleme de la resolubilite («Entscheidungsproblem»). ИАН, сер.
физ.-матем. A934), 1493—1500.
[2] Uberdie Allgemeingflltigkeitgewisser Zahlausdrikke. Матем. сб., 42 A935),669—678.
Колмогорова. Н.
1] О принципе tertium non datur. Матем. сб., 32 A925), 646—667.
2] Современные споры о природе математики. Ж., Научное слово, 6 A929), 41—54.
3 Zur Deutungder intuitionistischen Logik. Math. Z., 35 A932), 58—65.
4 Теория и практика в математике. Фронт науки и техники, 5 A936), 39—12.
5 Современная математика. Сб. статей по фил. матем. М., Учпедгиз A936), 7—13.
6 Математика. БСЭ, т. 38 A938), 359—4W.
7 Лобачезский и математическое мышление девятнадцатого века. В кн. «Николай-
Иванович Лобачевский». Ли—Л., ГТТИ A943), 87—100.

48 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
[8] Ньютон и современное математическое мышление. В кн. «Московский универси-
университет—памяти Исаака Ньютона». М., Изд. ун-та A946), 47—52.
[Q] Роль русской науки в развитии теории вероятностей. М., Учён. зап. ун-та,
91 A947), 47—52.
КольманЭ. г
[1] Политика, экономика и математика. За марксистско-ленинское естествознание,
1 A931), 27—40.
[2] О злободневном значении теории вероятностей. Ж. Под знаменем марксизма,
2 A934), 71—76.
[3] Предмет и метод современной математики. М., Соцэкгиз A936), 1—316.
{4] Великий мыслитель Н. И. Лобачевский. М., Госполитиздат A944), 1—100.
Кольм-ан Э. и Яновская С. А.
{1] Гегель и математика. Ж. Под знаменем марксизма, 11—12 A931), 107—120.
См. также Сборник статей к 100-летию со дня смерти Гегеля «Гегель и диалек-
диалектический материализм». М-., Партиздат A932), 259—275.
Костанди Г. В.
|1] О трактовке радикала. Одесса, Труды инДустр. ин-та, 2 G), A940), 151—162.
К р е е р Л. И.
Л] О доказательствах. Владикавказ, Изв. Горек, пед. ин-та, 6 A929), 103—113.
12] Дробное число (Критика идеалистических толкований вопросов методологии, исто-
истории и методики дробей). Владикавказ, Изв. 2-го С.-Кавк. пед. ин-та,9 A932),247—272.
К у р о ш А. Г.
fll Современные алгебраические воззрения. Сб. статей по фил: матем. М., Учпедгиз
A936), 21—29. t'
Крылов Н. М.
f 1} О роли минимального принципа в современной математике. Симферополь, Зап.
матем. каб. Крымск. ун-та, 2 A921), 7—19
Лузин Н. Н.
Tl] Ньютонова теория пределов (опыт философского исследования). Сб.«И. Ньютон»,
М.—Л., Изд. АН A943), 53—74.
Л у р ь е С. Я.
{1] Protagoras und Demokrit als Mathematiker. ДАН (В), A928), 74—79
\2] Эйлер и его «исчисление нулей». В кн. «Леонард Эйлер». Труды ин-та истории
науки и техники B), 1 A935), 51—79.
[3] Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.—Л., Изд. АН A935), 1—197.
{41 Математический эпос Кавальери. В кн. Бонавентура Кавальери «Геометрия»,
т. 1. М.—Л., ГТТИA940).
15] Предшественники Ньютона в философии бесконечно малых. Сб. «И. Ньютон».
М.—Л., Изд. АН A943).
Л ю с т е р н и к Л. А.
[\] К вопросу обоснования анализа В геометрии положения без теории множеств. М.,
Вести. Комм, акад., 13 A925), 214—222.
Мальцев А. И.
[1] Untersuchungen aus dem Oebiete der mathematischen] Logik. Матем. сб., 1 D3),
A936), 323—336.
}2] Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп. Иваново,
Учбн. зап. пед. ин-та, физ.-матем. фак., 1 : 1 A941), 3—9.
Марков А. А.
{1] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. ДАН,
'55 A947), 587—590.
[21 Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем, П. ДАН.
58 A947). 353—356.
13]|0 представлении рекурсивных формул. ДАН, 58 A947), 1891—1892.
Молодший В. Н.
[1] К критике методологических основ Больцано и Кантора об актуально бесконечном.
М., Сб. На борьбу за материалистич. пиачектику в математике A931).
B] Энгельс о происхождении и факторах развития математики. Естест. и марксизм
A933), 181—203.

БИБЛИОГРАФИЯ 49
[31 О происхождении и значении аксиом геометрии. Ж. Под знаменем марксизма,
3 A935), 101—119.
14] К вопросу о происхождении и значении аксиом геометрии. Сб. статей по фил.
матем. М., Учпедгиз, A936), 30—54.
[5] Эффективизм в математике. М., Соцэкгиз A938), 1—88.
[6] Гипотеза континуум и арифметика алефов. М.,Учён. зап. ун-та, 15 A939), 170—178.
[7] Замечание к статье Л. П. Гокиели «О понятии функции». Тбилиси, Труды матем.
ин-та Гр. фил. АН, 6 A939), 1—14.
Мордуха й-Б олтовскойД. Д.
[ПО числовой характеристике утверждаемого тождества. Ростов н/Д, Изв. Донск.
ун-та, 7 A925), 40—43.
[2] Ньютон A727—1927). Л., Изд. АН, Очерки по истории знаний, 1 A927), 1—73.
[3] Лобачевский и основные логические проблемы в математике. Ростов н/Д, Изв.
С.-Кавк. ун-та, 12:1 A927), 78—96. •
[4] Исследования о происхождении некоторых основных идей современной матема-
математики. Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2 A5), A928), -35—36.
[5] Два основных источника методов решения уравнений (XVII.век), Ростов н/Д,
Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5), A928), 36—46.
[6] Генезис современного-числа (XVII век). Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5),
A928), 47—65. • . '
[7] Первые шаги буквенной алгебры. Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5), A928),
66—83.
[8] Аксиоматика XVII века. (Первая половина XVII века.) Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк.
ун-та, 2A5), A928), 83—102.
J9] Генезис и история теории пределов (XVII век). Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та,
2A5), A928), 103—114.
[10] Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой
лоловины XIX в. Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5), A928), 118—129.
[И] Эволюция понятия функции в прошлом и настоящем. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, I A937), 51—52.
Новиков П. С.
!П О некоторых теоремах существования. ДАН, 23 A939), 438—440.
2] On the consistency of certain logical calculus. Матем. сб., 12 E4), A943), 231—261.
[3] О логических парадоксах. ДАН, 56 A947), 451—453.
Орлов И. Е.
[1] Исчисление совместности предложений. Матем. сб., 35 A928), 263—286,
Парфентьев Н. Н.
[1] Научное значение работ С. В. Ковалевской в области чистой математики. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва B), 23 A923), 1—11.
СлугиновС. П.
[1] Фюзионизм в математике. Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 1 A92?), 26—29.
С i e к л о в В. А.
[1] Математика и её значение для человечества. Берлин, Гос. изд. A923), 1—137.
Ф и in ер А. М.
|1] Философия математики Гопсета. Ж. Под знаменем марксизма, 5A934), 69—78.
[2] Философия математики Р. Гонсета. М., Учпедгиз, Сб. статей по фил. матем. A036),
97—107.
X и н ч и и А. Я.
[11 Das Statigkeitsaxiom des Linearcontinuums als Inductionsprincip betrachtet. Fund.
Math., 4 A923), 164—166.
[2] Идеи интуиционизма и борьба за предмет в современной математике. М., Вести.
Комм, акад., 16 A926), 184—192.
[3] Objection a une note de MM. Brouwer et Errera. Bull. Acad. Sci. de Belgique E),
14 A928), 223—224.
[4] Теория вероятностей в доревлюционной России и Советском Союзе. Фронт науки
и техники, 7 A934), 36—46.
Холщевников А.
[1] О математических рукописях Маркса. Фронт науки и техники, 2 A933), 100—106.
4 Математика в СССР за 30 лет.

50 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Цейтлин 3. А.
[1] К постановке проблемы обоснования евклидовой геометрии. Ж. Под знаменем
марксизма, 12 A926), 94—116.
Шатуновск и й С. О.
[1] Алгебра как учение о сравнениях по функциональным модулям. Одесса A917).
ШестаковВ. И.
[1] Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников
(алгебра А-схем). Ж. Техн. физ., 11:6 A941).
[2] Об одном- символическом исчислении, применимом к теории релейных электри-
электрических схем. М., Учён. зап. ун-та, 73 A944), 45—48.
[3] Представление характеристических функций предложений посредством выражений,
реализуемых релейно-контактными схемами. ИАН, сер. матем., 10A946), 529—565.
Шмидт О. Ю.
[ 1] Роль математики в строительстве социализма. Естеств. и марксизм, 2—3 A930), 1—9.
Шейнфинкель М. И.
[1] Ober die Bausteine der mathematischen Logik. Math. Ann., 92 A924), po5— 316.
Шейнфинкель М- И. и Еернайс П. 4
[1] Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Math. Ann.,99 A929),342—372»
Юшкевич А. П.
[1] Философия математики Лазаря Карно. М., Естеств. и марксизм, 3A929), 83—99.
[2] Идеи обоснования математического анализа в XVIII веке. В кн. Лазчрь Карно «Раз-
«Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых». М.—Л., ГТТИ A935), 11—76.
[3] Декарт и математика. В кн. Ренэ Декарт «Геометрия». М.—Л., ГТТИ A938).
Яновская С. А.
[I] Категория количества у Гегеля и сущность математики. Ж. Под знаменем мар-
марксизма A928).
[2] Закон единства противоположностей в математике. Естеств. и марксизм A929).
[3] Идеализм в современной; философии математики. Естеств. и марксизм, 2—3 A930),
10—31.
[4] Очередные задачи математиков-марксистов. Ж.'Под знаменем марксизма, 5 A930),
88—94.
[5] Математика в БСЭ. М., Вестн. Комм. акад. 2—3 A931), 146—154.
[6] Математические рукописи Маркса.Книга и пролетарская революция,2 A933),32—41
17] О математических рукописях,' Маркса. Ж. Под знаменем марксизма, 1 A933),
74—115. См. также Сб. Марксизм и естеств. A933), 138—180.
[8] Выступление на сессии Коммунистической Академии. «Материалы научной сессии.
К пятидесятилетию со дня смерти Маркса». М.—Л. A934), 369—379.
[9] Проблема учебника математики для втузов ещё не решена. Книга и пролетарская
революция A934).
[10] Идеализм и математика. М., Фронт науки и техники, 5—6 A934), 43—51.
[II] Современные течения в буржуазной философии математики. М., Фронт науки
и техники, 3 A935), 37—43.
[12] О так называемых определениях через абстракцию. Ж. Под знаменем марксизма,
4 A935), 154—170.
[13] Идеализм и математика. М., Учпедгиз, Сб. статей по фил. матем. A936), 55—68.
[14] Современные течения в буржуазной философии математики. Сб. статей по фил.
матем. М., Учпедгиз, A936), 84—96.
[15] О так называемых «определениях через абстракцию». Сб. статей по фил. матем.
М., Учпедгиз, A936), 108—136.
[16] Мишель Ролль как критик анализа бесконечно малых.Труды института истории
естествознания, 1A947), 327—346. '

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.
А. О. ГЕЛЬФОНД.
дним из основоположников теории чисел был Л. Эйлер,
проживший ббльшую часть своей жизни в России. В даль-
дальнейшем русским математикам принадлежала также весьма
существенная роль в развитии теории чисел. Например,
П. Л. Чебышев первый установил ряд свойств функции,
выражающей число простых чисел, меньших данной вели-
величины. В частности, он нашёл первые оценки величины
этой функции. Новые методы и направления в теории
чисел были найдены Е. И. Золотарёвым, Г.Ф. Вороным и А. А. Марковым.
Мой краткий очерк посвящен достижениям советских математиков
в теории чисел за последние тридцать лет после Октябрьской социали-
социалистической революции, вызвавшей расцвет науки в России. Я делаю также
попытку охарактеризовать хотя бы до известной степени, при условии
краткости статьи, роль методов и результатов, развитых и полученных
советскими математиками, в развитии теории чисел вообще. Я привожу
поэтому в своей статье и некоторые достаточно важные результаты
иностранных учёных, полученные благодаря новым методам или фактам,
найденным советскими математиками.
§ 1. В теории чисел наиболее крупные и блестящие результаты,
полученные за последние тридцать лет, принадлежат, несомненно,
И. М. Виноградову. Очень многие проблемы аналитической
и аддитивной теории чисел допускают сведение на оценку так называе-
называемых тригонометрических сумм, т. е. сумм вида
V gZntfix) A)
где / (х)—некоторая функция х пробегает ту или иную числовую последо-
последовательность. Впервые, в 1924 г. И. М. В и н о г р а д о в [7] показал,
что решение хорошо известной проблемы Варинга о представлении вcяJ
кого целого числа в виде суммы ограниченного числа данных степеней
чисел натурального ряда может быть получено с помощью оценки три-
тригонометрической суммы. В зависимости от точности оценки тригоно-
тригонометрических сумм стоит наименьшее возможное число слагаемых, необхо-
необходимое ля представления любого достаточно большого числа в виде

54 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
тригонометрических оумм, И. М. Виноградов [37, 40, 50, 60]
в 1934 г. нашёл весьма общий метод для оценки сумм вида A), который
позволил ему прежде всего весьма существенно снизить границу для числа
слагаемых, необходимых для представления достаточно большого числа
N в виде суммы п-х степеней целых чисел до величины
лC1пл+11)
вместо ранее известной величины порядка п2". 'Этот же глубокий метод
позволил И;. М. Виноградову [69] доказать, что всякое нечётное
целое число представляется в виде суммы трёх простых чисел, и решить
тем самым знаменитую проблему Гольдбаха.
Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно
большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх
простых нечётных слагаемых. Все попытки доказать это предположение
до работ И. М. Виноградова были безуспешны. Любопытно отме-
отметить, что Харди и Литльвуду, которые пользовались методом особых
рядов, послужившим им для доказательства теоремы Гильберта-Варинга,
удалось построить доказательство для предположения Гольдбаха, но
это доказательство опирается на правильность так называемой обоб-
обобщённой гипотезы Римана в теории L-рядов, которая и до сегодняшнего
дня ещё не доказана.
Оценки сумм вида A), полученные И. М. Виноградовым
при различных типах функции f(x), сразу вызвали прогресс в са*мых
различных областях как теории чисел, так и математического анализа.
Так, например, Н. Г. Ч у д а к о в, с помощью метода И. М. Вино-
Виноградова, значительно улучшил остаточный член в формуле для числа
простых чисел и получил существенно новые результаты относительно
длины интервалов, в которых обязательно содержатся простые числа—как
в натуральном ряду, так и в арифметической прогрессии. Ю. В. Л и н н и к
показал, что метод И. М. Виноградова приложим к решению очень
трудных задач теории вероятностей. В последние годы появился ряд
работ как в нашей, так и в иностранной печати, использующих результаты
и метод И. М. Виноградова при оценках числа точек решётки
в различных областях для нужд современной теоретической физики.
Из результатов И. М. Виноградова можно привести очень
общую оценку тригонометрической суммы вида A), где /(х)—-многочлен
/ (х) =-¦ апхп + ап_гхп-г + ... + asxs + ..
Именно, предполагая, что: as иррационально, s>l, число п и все коэф-
коэффициенты аг, а2,..., ап фиксированы, действительный произвольны, и при-
приближённо представляя as в виде
что возможно для бесчисленного множества q, И. М. Виноградов
доказывает неравенство
т+р
? ю л2
Это неравенство принципиально лучше всех ранее известных.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 55
... Для суммы дробных долей функции И. М. Виноградов дока-
доказывает оценку
т+Р
где X—постоянная относительно Аи Р и /" (х) подчиняется неравенству
(в рассматриваемом интервале),
где С—постоянная. Эта оценка имеет существенное прикладное значение
для вопросов физики, связанных с рассмотрением точек некоторой
решётки в данной области.
Наконец, следует отметить весьма многочисленные и тонкие работы,
относящиеся к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирова-
суммирование идёт по простым числам, и работы относительно вычетов и невычетов.
И. М. Виноградовым [4, 5] в 198 г. было получено не-
неравенство
12
О :< о =а
где С — ) —символ Якоби. Это неравенство устанавливает достаточную глад-
гладкость распределения вычетов и невычетов. Оно послужило началом серии
работ, посвященных распределению вычетов и невычетов. Исследования
И. М. Виноградова продолжались и использовались также в рабо-
работах многих иностранных учёных, среди которых можно назвать Ландау,
Ван дер Корпута. Гейльброна, Девенпорта, Ло-Кен Хуа, Диксона.
С помощью метода И. М. Виноградова Гейльброн и Девенпорт
доказали, что всякое, достаточно большое целое число представляется
в виде суммы не более чем 16 биквадратов, а Диксон нашёл точную гра-
границу для g (л), т. е. наименьшего числа слагаемых, достаточного для пред-
представления любого целого числа в виде суммы л-х степеней целых чисел.
Комбинируя метод И. М. Виноградова с современными мето-
методами в теории L-рядов, ученик И. М. Виноградова Н. Г. Чуда-
Чудаков [2, 15] получил следующие важные результаты: между числами
NuN + N*1 , s > 0, начиная с некоторого N, всегда находится простое
число; почти все чётные числа (в смысле плотности) представляются в виде
.суммы двух простых чисел и, наконец, он улучшил остаточный член
в законе распределения простых чисел. Далее Н. Г. Чудаков распро-
распространил свой результат относительно интервала, в котором встречается
простое число, на случай последовательности простых чисел, принадлежа-
принадлежащих к данной арифметической прогрессии, и значительно понизил то значе-
з
ние N = N (D), начиная с которого в интервале JV и N + N'1 , е > О Дей-
Действительно будет встречаться простое число, принадлежащее к прогрессии
•с разностью D .
Другой ученик И. М. В и н о г р а д о в а Б. И. С е г а л [6, 9, 16,
17, 18, 19, 20] дал весьма любопытное обобщение теоремы Варинга на

56 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
случай нецелых показателей. Он доказал, что существует такое г, зави-
зависящее только от С, что всякое целое N представляется в форм?
k=l
где С—произвольное действительное число, числа х( суть целые числа, a a
стремится к нулю вместе с ростом N. Далее он обобщил это предложение
на случай представления целых чисел вида n+mi с помощью комплекс-
комплексных степеней целых чисел и нашёл границу сверху для числа слагаемых г.
Б. И. С е г а л у принадлежат также результаты относительно при-
приближённого представления произвольного числа N с помощью произ-
произведения степеней данных простых чисел. Пусть N —целое число. Тогда
где р1г ра>..., Pi — заданные простые числа, о,, <х2, ..., аг пробегает или
последовательность целых чисел, или последовательность простых чисел,
а Устремится определённым образом к единице вместе с.ростом N. Кроме
оценки стремления d к единице, Б. И. С е г а л даёт также и асимптоти-
асимптотические числа представлений N в вышеприведённом виде для различных
предположений относительно о,, <х2,.. . ,<х„. Эти последние результаты
были использованы другими авторами. ¦ ¦• -
Кроме этого, Б. И. Сегалом получен ряд ценных результатов
относительно дробных долей функций.
Ученик И.М.Виноградова К. К. Марджанишвили
[1, 2, 3, 5] доказал, что длякаждого заданного целого п существует такое
s, зависящее только от п, что система уравнений
iV1- = xj+x'2'+ ..-+xj; v-1, 2, ...,л,
всегда разрешима в целых неотрицательных числах xlt х2, ...,xs при
почти произвольных целых числах N,, iV2 Nn, величины которых свя-
связаны между собой только некоторыми неравенствами. К. К. Марджани-
Марджанишвили даёт также весьма точную оценку числа решений своей системы
с помощью последнего метода И. М. В и н о г р а д о в а. Он обобщил
эту теорему также и на случай xlt хг, ..., xs простых.
Совершенно отличный от метода И. М. Виноградова, не осно-
основанный на исследовании тригонометрических сумм, метод в аддитивной
теории чисел, открытый в 1930 г., принадлежит Л. Г. Шнирель-
м а н у [1,3]. Замечательная и весьма плодотворная идея Л. Г. Ш н и -
рельмана заключается в том, что в аддитивных проблемах весьма
существенную, а иногда и решающую роль играет плотность последо-
последовательности целых чисел, с помощью которых мы хотим представлять
любое данное целое число. Обозначим через N(x) число элементов после-
последовательности целых чисел п1г п2,..., ns, ..., не превосходящих х.
Пусть
inf^Ua, «>0;
х
другими словами, пусть нижняя грань —^ будет положительна. Назо-
Назовём это число а плотностью последовательности п1г п2, ..., ns, ...

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 57
Л. Г. Шнирельман показал, что если мы имеем две последователь-
последовательности целых чисел с плотностями а и р, то последовательность целых
чисел, состоящая из парных сумм чисел обеих последовательностей и их
самих, имеет плотность, не меньшую, чем a + fJ —оф. Отсюда уже сразу
следует, что всякое натуральное число есть сумма ограниченного (не
зависящего от разлагаемого числа) числа членов последовательности
конечной плотности. Доказав, с помощью некоторых результатов
В. Бруна, что последовательность парцых сумм простых чисел имеет,.
в несколько обобщённом смысле, конечную плотность, Л. Г. Ш н и-
р е л ь м а н впервые в 1930 г. решил знаменитую проблему Гольдбаха
в ослабленной постановке. Он показал, что всякое целое число есть сумма
ограниченного числа простых чисел. Единица при этом считается простым
числом. Тем же путём Л. Г. Шнирельман доказал, например, что
всякое целое число есть сумма ограниченного числа'слагаемых вида Щ, где
v>\ есть целое число, а последовательность пу;'пг,..., ns, ... имеет
конечную плотность.
Аналогичное обобщение представимости целых чисел простыми слагае-
слагаемыми он даёт и для простых чисел относительной конечной плотности. Уче-
Ученик Л. Г. Шнирельмана Н. П. Романов [1, 2, 3] доказал две
весьма тонкие теоремы о плотностях определённых последовательностей.
Он показал, что последовательности, состоящие из сумм простого числа
и п-й степени целого числа или из сумм простого числа и члена цело-
целочисленной геометрической прогрессии, имеют конечную плотность.
В последние годы Н. П. Романов успешно разрабатывал общую
теорию операторной С-функции, идея которой принадлежит Л. Г. Шни-
Шнирельман у, и, кроме этого, построил весьма общий аппарат для полу-
получения различных арифметических тождеств.
Д. А. Р а й к о в [5] доказал, что если мы имеем две последователь-
последовательности множеств на прямой, состоящих из отрезков, и определим для
этих последовательностей понятие плотности, аналогично тому, как
это сделано для числовых последовательностей, то при условии, что каж-
каждая последовательность начинается от нуля, плотность суммы этих после-
последовательностей не меньше суммы их плотностей, если, конечно, эта
последняя не превышает единицу. Теорема, доказанная Д. А. Райко-
Райковым, была сформулирована Л. Г. Шнир ел ьманом. Д. А. Рай-
Райкову принадлежат и другие результаты в направлении исследования
свойств плотностей.
Исследования Л. Г. Шнирельмана о плотности суммарных
последовательностей продолжались многими математиками. В частности,
А. Я. X и н ч и н [28, 29, 31] доказал, что плотность суммы двух после-
последовательностей больше или равна сумме плотностей этих последовательно-
последовательностей (конечно, если эта сумма не превышает единицы), если их плотности
равны. Значительно позже эта теорема была доказана, уже без предпо-
предположения равенства плотностей, американским математиком Манном,
а после него Артином и Шерком. Многие любопытные результаты
в теории плотностей последовательностей были получены после работ
Л. Г. Шнирельмана Л. И. Шатров с ким [1, 2, 3, 4, 5J,
Эрдешем, Безиковичем, Ландау и другими авторами.
§ 2. В классическом направлении аналитической и аддитивной теории
чисел, опирающемся только на аналитические свойства C(s) и L-рядов,
в частности, на законы распределения нулей этих функций, важные
результаты принадлежат Ю. В. Л и н н и к у. Давно уже известно, что-

58 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
многие тонкие и глубокие аналитические и аддитивные факты могут быть
доказаны, если действительно выполняется расширенная гипотеза Римана,
т. е. если все нули Z(s) и всех L(s,х)-рядов действительно лежат на
прямой RS= 2~. К числу таких фактов относились, например, проблема
Гольдбаха для нечётных чисел и проблема о наименьшем простом числе
в арифметической прогрессии с разностью D. При условии выполнения
расширенной гипотезы Римана можно было бы доказать, в частности,
что во всякой арифметической прогрессии Dx-\-1 (D, / )= 1 найдётся про-
простое число p<D2+s, где s > 0 и как угодно малб при достаточно
большом D.
Ю. В. Л и н н и к [24, 25], опираясь только на некоторые тонкие,
им доказанные результаты, относящиеся к плотности и расположению
нулей основной массы L-рядов по модулям, граница которых извест-
известным образом зависит от D, доказывает, что во всякой прогрессии с разно-
разностью D содержится простое число р< D°, где с—абсолютная постоян-
.ная. Эта теорема является качественно почти полным решением
классической проблемы о наименьшем простом числе, в прогрессии.
Ю. В. Л и н н и к [29] дал также чисто аналитическое доказатель-
доказательство замечательной теоремы И. М. Виноградова о представлении
нечётного числа суммой трёх простых. Уже приведённые результаты пока-
показывают силу разработанного Ю. В. Линником аналитического
.метода.
В теории тройничных квадратичных форм Ю. В. Ли н н и к у [1,2,
3, 4, 5, б, 7, 9, 13] также принадлежит очень важный результат.
Он показал, что во многих случаях совокупности чисел, представляемых
родом положительных тройничных форм и отдельным классом рода,
начиная с некоторого места, совпадают. Следует отметить, что установ-
установленный Ю. В. Л и н и и к о м факт для тройничных форм более трудно
достижим, чем для форм с большим числом переменных, и для получения
его Ю. В. Л и н н и к у пришлось преодолеть, в частности, значительные
трудности, связанные с арифметикой кватернионов. Он доказал также,
что всякое достаточно большое целое число есть сумма 7 кубов (вместо 8,
что было доказано Ландау). :
Ю. В. Линник дал также ряд новых оценок тригонометрических
сумм методом И. М. Виноградова и углубил метод эратосфенова
решета.
Работавший под руководством Ю. В. Л и н н и к а А. Реньи, исполь-
используя, в частности, исследования Ю. В. Л и н и и к а в области эрато-
эратосфенова решета и распределения нулей L-рядов Дирихле, доказал ряд
теорем относительно представлений чисел суммами простых и полупро-
полупростых *), например, он установил весьма тонкий факт, что всякое чётное
число есть сумма простого и полупростого числа.
В. А. Тартаковский [1 —11] весьма существенно дополнил
исследования Смита и Минковского о родах квадратичных форм.
С помощью аналитического метода, аналогичного методу Харди и Литль-
вуда в проблеме Варинга, он показал, что для квадратичных форм
с четырьмя и более переменными совокупность целых чисел, представляе-
*) Бесконечная последовательность чисел {рпу называется последовательностью
.полупростых чисел, если число простых множителей ограничено числом, не зави-
зависящим от п.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 59
лых родом форм и отдельным классом этого рода, начиная с некоторого
деста одна и та же. В дальнейшем им был установлен аналогичный факт
для форм более высоких порядков, причём для выполнения этого свой-
свойства число переменных формы должно быть больше некоторой границы,
зависящей от порядка формы. Далее, В. А. Тартаковский дока-
доказал, что уравнение
x™-kyin = \,
где к и л>2—целые положительные числа, может иметь, кроме три-
риального, не более одного решения в целых положительных числах
X и у.
Метод эратосфенова решета, развитый В. Вруном, позволяет решать
некоторые классы задач, связанных с простыми числами, в ослабленной
постановке, именно не для простых, а для полупростых чисел. Этот метод
также получил дальнейшее развитие в работах советских математиков.
О некоторых из этих работ я уже говорил. В. А. Тартаковский
дал новый, более совершенный, вариант этого метода, названный им
методом избирательного приближённого решета Эратосфена. Пользуясь
этим методом, он доказал, что во всякой арифметической прогрессии Dx+l
ф,1)=\ при любом достаточно большом z существует не менее, чем
a=const.,
<? (D) in 2
простых или состоящих из двух простых множителей чисел, не превосхо-
превосходящих z, причём в последнем случае каждый из этих простых множите-
множитесь 1+»
мй находится между z2 и z2 , где 5=0,01. Он указал также на воз-
возможность получения этим методом, например, теоремы о том, что раз-
разность между двумя числами, состоящими не более чем из четырёх простых
сомножителей, бесчисленное множество раз может равняться двум.
А. А. Бухштаб [2—б] также нашёл значительное усиление
метода эратосфенова решета. Для функции В, (к, х, ха), выражающей
число чисел в прогрессии кп-\-1, не превосходящих х и состоящих из про-
простых множителей, меньших или равных ха, и функции тс, (к, х, х*), выра-
выражающей число чисел в прогрессии кп-\-1, не превосходящих х и не деля-
делящихся на простые числа, не превосходящие Xя, им даны оценки при пере-
переденном а. Он доказал справедливость оценок
(А:, 0-1,
где функции to (а) и ty(a) удовлетворяют некоторым интегро-разностным
уравнениями, в свою очередь, могут быть хорошо оценены. Эти резуль-
результаты А. А. Бухштаба нашли своё применение в работах других
авторов. Ценность усиления метода В. Бруна, данного А.А. Бухшта-
б о м, заключается во введении точных интегро-разностных уравнений
в задачах с переменной а.

60 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
А. А. Бухштаб доказал также ожидавшиеся, но ранее не полу-
полученные теоремы, именно, что все числа, начиная с некоторого, разлагаются
на сумму двух слагаемых, каждое из которых состоит не более, чем из
четырёх множителей и что среди чисел, состоящих не более, чем из
четырех простых множителей, существует бесконечное число с разно-
разностью, равной двум.
Замечательное обобщение известной теоремы Дирихле о бесконечно-
бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии принадлежит Н. Г. Ч е б о-
т а р ё в у [1, 3, 4]. Он доказал существование бесконечного числа про-
простых идеалов алгебраического поля, принадлежащих к данной подста-
подстановке. Трудность доказательства этой теоремы подчёркивается тем, что
она не поддавалась усилиям* таких математиков, как Дедекинд и Фро-
бениус. Метод, найденный Н. Г. Чеботарёвым для доказатель-
доказательства своей теоремы, был использован в дальнейшем Артином для дока-
доказательства весьма важного общего закона взаимности.
Пусть ?I=aiIoCi+a2Ioc24-. • .-\-anixn, / = 1, 2, ... , п, будет совокупность
действительных линейных форм с детерминантом, равным единице,
а Ьх, bt,..., Ь„—любые заданные действительные числа. Минковским
была высказана гипотеза, что всегда существует совокупность целых
чисел ас,, xlf..., х„, для которой выполняется неравенство
Н. Г. Чеботарёву принадлежит, по существу единственный, до
настоящего времени, общий, верный при любом п результат в направле-
направлении гипотезы Минковского. Он доказал, что всегда можно найти совокуп-
совокупность целых чисел xlt х2,..., х„, для которой выполняется неравенство
22
Неравенство Н. Г. Чеботарёва в дальнейшем было лишь весьма
немного усилено.
А. 3. В а л ь ф и ш [1—15] за годы своего пребывания в Советском
Союзе успешно продолжал свои прежние, хорошо известные исследо-
исследования по проблеме делителей и счёту целых точек в многомерном эллип-
эллипсоиде. Он улучшил свои прежние оценки в различных задачах этого
типа и получил ряд новых результатов в различных проблемах анали-
аналитической и аддитивной теории чисел.
§ 3. В области теории приближений важные и многочисленные резуль-
результаты принадлежат А. Я. Хин чин у [12]. Приведём некоторые из
них. Пусть а1, й2, ..., <х„ будет система действительных чисел, линейно
независимых в поле рациональных чисел, а числа х1( х2, . . . , х„, у
и Р\> Ра, ¦ ¦ •, Рп> Ч—произвольные целые рациональные числа. Пусть о>
будет верхней гранью тех значений ш > О, при которых неравенства
I I* Y -I- <* V X \„ Y 1( \^- 4-n-w \ Y ^- i I 19 п
I Л1А1 < 1*2Л4 Т • • • Т *ЛАП / l5^ 1 I ] Л1 ^ 4> • ±, Л, . . ¦ , II
имеют бесконечное множество решений в целых числах х1( х2,..., хл, и у.
Пусть также ш2 будет верхней гранью тех чисел ш > 0, при которых
система неравенств
: / n , 0<q<t, 1 = 1,2, .... п.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 61
'имеет бесконечное множество решений в целых числах plt рг, ..., р„ и q.
Числа (Dj и ш2 являются основными характеристиками линейной
п
формы S xiai~y " совокупности линейных форм qat— pt i = 1, 2,..., п,
1 = 1
(Ютветсте°.нно показывающими, насколько быстро может стремиться
к нулю с ростом абсолютных величин xt линейная форма от п перемен-
переменных и с ростом q максимум системы линейных форм qa1 — px. Тогда числа
«j н», связаны неравенствами:
Эта теорема носит название принципа переноса Хинчина. Достижимость
этих граней доказана Ярником.
Ещё один весьма интересный результат, принадлежащий А. Я. X и н-
чину [21], заключается в следующем. Пусть п—целое, а ф —про-
—произвольное вещественное число. Тогда необходимым и достаточным усло-
условием существования действительного с > 0, при котором выполняются
неравенства:
|х| <сп, \ах — у — §|<— :
для произвольных п и р и некоторых зависящих от п, а. и р целых чисел
*и и у , является ограниченность неполных частных при разложении а
в непрерывную дробь. В ряде работ этого цикла А. Я. X и н ч и н даёт
решение многих линейных как однородных, так и неоднородных задач
линейных диофантовых приближений.
Другой цикл работ А. Я. X и н ч и н а [5, 24] относится к так
называемой метрической теории диофантовых приближений.
Приведём в качестве примера следующий весьма общий и очень
существенный результат А. Я. Хинчина в этой теории. Пусть
а—иррационально и действительно, <? (t) — положительная функция дей-
действительного переменного t, такая, что Р«р (t) монотонно убывает с ро-
ростом t. Тогда, почти для всех а (за исключением множества меры нуль),
неравенство
я<и
будет выполняться для бесчисленного множества целых положительных
чисел р и q, если интеграл
00
\ t<?(t)dt
расходится. Если же интеграл сходится, то это неравенство почти для
всех чисел а может иметь лишь конечное число решений в целых числах
хиу. Аналогичная теорема для одновременного приближения нескольких
иррациональностей также была доказана А. Я. Хинчиным.
Пусть ах, Og, ..., ап — неполные частные разложения иррациональ-
иррационального числа а, а < 1 в непрерывную дробь, a q13 qit ... , qn — знаменатели
подходящих дробей в этом разложении. А. Я. Хинчину [25] при-
принадлежат также два красивых метрических результата относительно

62 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
этих величин, связанных с данным числом а. Почти для всех а существует
предел
у
п—ао
Нт у ауаг. . .яп = С,
где С —абсолютная постоянная и почти для всех а существует предел
lim j/A<7~ = D,
л~ со
где D также абсолютная постоянная.
Существенная метрическая теорема была доказана р. О. Кузьми-
Кузьминым [3]. Пусть для иррационального числа а последовательность непол-
неполных частных будет опять аи а2 ап, antl, ... Обозначим через гп
ар рациональность, для которой последовательность неполных частных
будет ап, ап^х,ап^г,... Если тп (х)естъ мера множества точек Л отрезка
@,1), для которых
гп—ап<х,
то, как утверждал Гаусс в письме к Лапласу,
limmn(x)='n('+3C). 0<х<1.
П->оо 1П ^
Р. О. К у з ь м и н не только доказал это утверждение Гаусса, доказа»
тельство которого до нас не дошло, но и оценил порядок стремления т„ (х)
к своему пределу. Этот вопрос также интересовал Гаусса. Р. О. Кузь-
Кузьмин доказал, что имеет место неравенство
где А и к—абсолютные постоянные.
P.O. Кузьмину [3—12] принадлежат также различные резуль-
результаты в области классической теории С-функции и L-рядов и теории транс-
трансцендентных чисел. В частности, Р. О. К у з ь м и н показал, что резуль-
результат А. О. Гельфонда относительно трансцендентности чисел счу-п,
где а—алгебраическое число, не равное нулю и единице, а л —целое
рациональное, может быть обобщён без существенного изменения ме-
метода, на случай чисел вида аУ^*.
В 1929 г. А. О. Г е л ь ф о н д [1] указал довольно общий подход
к исследованию арифметической природы значений аналитических функ-
функций при алгебраических значениях аргумента, если эти функции обла-
обладают тем свойством, что их значения алгебраические, при аргументе,
принадлежащем к тому или иному алгебраическому полю.
Рассматривая разложение функции аг, причём а — алгебраическое
число, отличное от нуля и единицы, в интерполяционный ряд Нью-
Ньютона с точками интерполяции х0, х^ хп, где последовательность
х„, хг, . .., хп есть последовательность целых точек квадратического поля
A, i \ D), D>0, другими словами, в ряд

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 63
можно показать, что, с одной стороны, числа Лп в силу аналитических
причин должны быстро убывать, а с другой стороны, они не могут быть
очень малы, не обращаясь в нуль, если предположить, что a' Vn__ ЧИсло
алгебраическое. На этом противоречии А. О. Гельфонд построил
доказательство теоремы о том, что ос' У~~\ где а — алгебраическое число,
не равное нулю и единице, a D — целое, положительное, будет транс-
трансцендентным числом. Зигель, Боле и другие авторы продолжили это
исследование. Зигель применил этот метод к доказательству теоремы
о том, что по крайней мере один из периодов эллиптической функ-
функции р(С) при алгебраических инвариантах будет трансцендентным^
числом.
Углубив свой метод введением в него новых идей, А. О. Г е л fa-
фон д [4, 5, 6, 7, 9, 10] дал в 1934 г. доказательство трансцендентности
чисел вида а3, где а—алгебраическое, отличное от нуля и единицы, а
р—алгебраическое иррациональное число, и полностью решил тем самым
проблему арифметической природы чисел этого вида.
Проблема арифметической природы чисел вида *?. где а и 3 алгебраи-
алгебраические, в частной формулировке была высказана Эйлером и уже в совре-
современной форме вошла в число известных проблем Гильберта.
Этот метод был использован также Малером, Риччи и другими авто-
авторами для доказательства трансцендентности других классов чисел.
Продолжая свои исследования, А. О. Гельфонд доказал, в част-
частности, неравенство
|&;-0| >.-"», л-cons,.
и доказал конечность числа решений, при переменных пит, сравнения'
a71 —pm = 0, modj9s • s = lnT"m, y = const.,
где а и [J алгебраические, —-^- иррационально, G—алгебраическое число
фиксированной степени q и высоты Н, п и т — целые рациональные,
а р — любой простой идеал поля, не входящий в а и р. Кроме того, в срав-
сравнении а" ф рт ни для каких целых тип.
Из этих общих предложений следует, например, теорема: Уравнение
имеет лишь конечное число решений в целых числах х, у, z, если a, p и у—
алгебраические числа и хотя бы одно из них не есть алгебраическая единица.
А. О. Гельфонду принадлежат также некоторые результаты
из области целочисленных функций и диофантовых приближений.
А. В. Л о т о ц к и й [2], пользуясь первым методом А. О. Г е л ь-
фонда, доказал иррациональность некоторых бесконечных произ-
произведений, связанных с эллиптическими функциями.
Д. Д. Мордуха й-Б о л т о в с к о м у [5, 6, 7] принадлежит
ряд работ по трансцендентности чисел и функций. Он дал классифика-
классификацию трансцендентных чисел и построил ряд признаков типа признака
Лиувилля принадлежности трансцендентных чисел к тому или иному

64 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
классу. Д. Д. Мордуха й-Б олтовской дал также доказатель-
доказательство весьма трудной теоремы о гипертрансцендентности ? (s)
другими словами, того факта, что С (*) не удовлетворяет никакому алге-
алгебраическому дифференциальному уравнению с полиномиальными коэф-
коэффициентами. Проблема аналитической природы С (s) ставилась Гиль-
бертсм.
§ 4. В области теории диофантовых уравнений существенные
и весьма законченные результаты принадлежат Б. Н. Делоне.
В 1922 г. Б. Н. Д е л о н е [1,2, 4, 17] дал полное решение куби-
кубического уравнения Пелля и нашёл границу числа решений уравнения
вида
ах3 + Ьхгу + сху* + Dyz = 1,
коэффициенты которого—целые числа, а определитель формы отрица-
отрицателен (другими словами, форма имеет лишь один действительный корень).
Следует отметить, что в этих работах Б. Н. Д е л о н е удалось впервые
дать законченное исследование решений широкого класса диофантовых
уравнений степени выше второй. Б. Н. Д е л о н е доказал, что кубиче-
кубическое уравнение Пелля
ах3 + у3 = 1,
где а—целое число, Может иметь, кроме тривиального решения @,2),
не более одного решения в целых числах х и у. Он показал также, что для
каждого заданного значения а можно выяснить, существует ли нетривиаль-
нетривиальное решение, и найти его. Б. Н. Делоне доказал также, что общее
уравнение
ах3 + Ьхгу + сху2 + D8 = 1
имеет не более пяти решений в целых числах х и у. Более того, он пока-
показал, что с помощью весьма своеобразного алгоритма, названного автором
«алгоритмом повышения», можно практически решить почти всякое урав-
уравнение этого типа. Он показал также, что существуют уравнения, имеющие
ровно пять решений.
Ученик Б. Н. Д е л о н е Д. К. Ф а д д е е в [2, 3] расширил границы
приложимости метода, употреблённого Б. Н. Делоне для решения
кубического уравнения Пелля, и дал приложение этого метода к решению
аналогичного уравнения четвёртой степени.
Эти работы Б. Н. Делоне продолжались В. А. Т а р т а к о в-
с к и м, Нагелем, Зигелем и другими математиками.
Не только теоретический, но и большой практический интерес имеют
исследования Б. Н. Д е л о н е по приложению теории тройничных
квадратичных форм к кристаллографии. Он дал в этом направлении
алгоритм для решения задачи о правильной установке кристалла.
Ему [13] принадлежит также ряд результатов по геометрии чисел. В част-
частности, он решил задачу об определении двумерной решётки по расстоя-
расстояниям между её точками и дал новый метод в геометрии чисел, названный
им «методом пустого шара».

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 65
Ещё Лангранж дал теорию приведения двойничных форм. Зебер
построил аналогичную теорию для тройничных форм. Продолжая эти
исследования, Минковский доказал существование некоторой специаль-
специальной области приведения в пространстве коэффициентов для положительно
определённых форм от п переменных. Важный результат в этом направ-
направлении принадлежит Б. А. В е н к о в у [15]. Исходя из идей Г. Ф. Воро-
Вороного, Б. А. В е н к о в показал, что область Минковского есть только
частное решение задачи и установил наличие континуума различных
способов приведения.
Б. А. В е н к о в [4, 5, 9], с помощью применения арифметики ква-
кватернионов, дал также вывод известных формул Дирихле для числа клас-
классов двойничных квадратичных форм, исключая только случай Д = 8л + 7.
Ценность этой работы Б. А. Венкова определяется тем, что вывод
этих формул, данный самим Дирихле, был основан на применении ана-
аналитических методов, и возможность обойтись без них была достаточно
неожиданной.
Б. А. Венков [13] дал также исследование по определению
основных областей автоморфизмов неопределённых тройничных квадра-
квадратичных форм. В этом же направлении иной метод для определения
основных областей был предложен И. С. С о м и н с к и м [2].
Д. С. Горшков распространил метод совершенных форм Воро-
Вороного на случай двойничных неопределённых квадратичных форм и при-
применил его к известной задаче Маркова.
Заканчивая свой очерк достижений теории чисел в Советском
Союзе, я хочу только отметить, что из-за размера статьи я привёл далеко
не все результаты, представляющие интерес и принадлежащие советским
математикам. Но уже приведённых результатов, с моей точки зрения,
достаточно для суждения о весьма крупной, а в некоторых направлениях
и руководящей роли советских учёных в развитии теории чисел за по-
последние тридцать лет.
Математика о СССР за 30 -чет

БИБЛИОГРАФИЯ.
Агрономов Н. А.
Sobre una functi6n numerica. Rev. mat. hisp.-amer., 1 A926), 267—269.
Notas complementarias sobre la functi6n S(N). Rev. mat. hisp.-amer., 2 A927), 75—-80
Sobre algamos problemas de analisis diofantico. Rev. mat. hisp.-amer., 2 П927)
266—276. • \ /•
[4] Sur quelques formules concernant la 1отти1е^Г"Л (п— k)n—n\. Boll. un. Mat.
Ital., 6 A927), 187—190.
Анфертьева Е. A.
[1] О неопределённом уравнении х*—dy*=l. Л., Труды индустр. ин-та, раздел
физ.-матем., 3:1 A939), 41—42.
[2] О формулах суммирования и аналитических тождествах, связанных с одним клас
сом арифметических функций. ДАН, 30 A941), 389—391.
[3] О формулах суммирования и аналитических тождествах, связанных с одним клас
сом арифметических функций, I. Л., Труды политехи, ин-та, 3 A941), 3—20.
Аравийская Е. Н.
{1] О линейных соотношениях между показателями степеней в сравнении g'+g"*=
= I(modp). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 1A926), 107—114.
Арнольд И. В.
[1] Теория чисел. М., Учпедгиз A939), 1—288.
Артюхов М. М.
[1] Новая оценка g(n) в проблеме Варинга. ДАН, 4 A935), 231—234.
[2] Об одном свойстве алгорифма Якоби. ИАН, сер. матем. A938), 495—612.
Белоновскяй П. Д.
[1] О некоторых геометрических приложениях теории целых комплексных чисел.
Вятка, Труды пед. ин-та, 2 A927), 39—56.
БиллевичК. К.
[1] Об одном применении числовых решёток к обобщению алгорифма непрерывных
дробей. Орджоникидзе, Учён. зап. Сев.-Осет. пед. ин-та, 3 A942), 139—167.
Биллевич К. К., Делоне Б. Н. и Соминский И. С.
[11 Таблица чисто вещественных областей 4-го порядка. ИАН, сер. физ.-матем. A935),
1267—1310.
Бородин Б. В.
[1] Числовая функция Пу?(<*)—произведение числовых делителей целого числа N.
Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 1 A927), 30—32.
[2] О делимости "числа аЬ(а>0—Ь10) на 66. Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 2 A928),
17—20.
[3] Некоторые замечательные числа. Пермь, Учён. зап. пед. ин-та, 3 A938),
47—57.

БИБЛИОГРАФИЯ 67
Булат П. М.
[1] Об асимптотических оценках средних значений основной функции аддитивной
теории чисел. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 3: 1 A946), 104—110.
Бухштаб А. А.
[1] Об одной метрической задаче аддитивной теории чисел. Матем. сб., 40 A933)
190—195.
[2] Асимптотическая оценка одной общей теоретико-числовой функции. Матем. сб.,
2D4), A937), 1239—1246.
[3] Новые улучшения в методе эратосфенова решета. Матем. сб., 4 D6), A938),.
375—387.
[4] О разложении чётных чисел на сумму двух слагаемых с ограниченным числом
простых множителей. ДАН, 29 A940), 544—548.
[5] Об одном аддитивном представлении целых чисел. Матем. сб., 10 E2), A942).
87—91.
F] Об одном соотношении для функции п (х), выражающей число простых чисел, не
превосходящих х. Матем. сб., 12 E4), A943), 152—160.
Вальфиш А. 3.
ЙТеИегргоЫете, IV. Annali di Pisa, 5A936), 289—298.
Аддитивная теория чисел, III. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 3 A938),
ОУ ' 1 1 ?tt
[3] Zur additiven Zahlentheorie, IV. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
3A938), 121—192.
[4] Ueber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden, VII. Тбилиси, Труды матем.
ин-та Гр. фил. АН, 5 A938), 1—68.
[5] Zur additiven Zahlentheorie, V. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 5 A938),
69—114.
[6] Ueber einige Ramanujanische Satze. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
5 A938), 145—152.
[7] Ueber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden, VIII. Тбилиси, Труды ма-
матем. ин-та Гр. фил. АН, 5 A938), 181—196.
[8] Zur additiven Zahlentheorie, VI. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
5A938), 197—254.
[9] Zur additiven Zahlentheorie, VIII. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
8 A940), 69—108.
[10] Zur additiven Zahlentheorie, VII. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 7—14.
[И] Zur additiven Zahlentheorie, VII. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941),
221—226.
[12] Zur additiven Zahlentheorie, IX. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,9 A941),
§О——Уо.
[13] On lattice points in high-dimensional ellipsoids, IX. Тбилиси, Труды матем. ин-та
АН ГрССР, 10 A941), 14—160.
[14] On the class-number of binary quadratic forms. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН
ГрССР, 11 A942), 57—72.
[15] On the additive theory of numbers, X. Тбилиси, Труды матем. ии-та АН ГрССР,
11 A942), 173—186.
Вельмин В. П.
[1] Об изображении чисел квадратичными формами с двумя переменными. Ростов
н/Д, Изв. Донск. ун-та, 5 A925), 42—44.
[2] О некоторых свойствах непрерывных дробей. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем.
н физ. ун-та, 1 A937), 30—40.
[3] О числе классов действительной квадратичной области. Ростов н/Д, Учён, зап
НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 43—46.
[4] О числе идеальных классов мнимой квадратичной области. Ростов н/Д, Учён.
зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 76—77.
[5] О мнимых квадратичных областях, имеющих заданное число идеальных классов.
Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 4—7.
[6] Некоторые свойства чисел, изображаемых системой линейных функций.Ростов
н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 52—56.
[7] О числе классов разложимых квадратичных форм. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 2 A938), 57—59.
5*

68 теория чисел
Венков Б. А.
A] Об арифметике кватернионов. ИАН F), 16 A922—1924), 205—220.
[2] Об арифметике кватернионов. ИАН F), 16 A922—1924), 221—246.
[3] On some new class-number relations. Торонто, Труды международн. матем. съезда
A924), 315—318.
{4] О числе классов бинарных квадратичных форм отрицательных определителей.
ИАН, сер. физ.-матем. A928), 375—392.
[5] О числе классов бинарных квадратичных форм отрицательных определителей,
II. ИАН, сер. физ.-матем. A928), 455—480.
Об арифметике кватернионов. ИАН сер. физ.-матем. A929), 489—504.
Об арифметике кватернионов. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 535—562.
Об арифметике кватернионов. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 607—622.
Ober die Klassenzahl positiver binarer quadratischer Formen. Math. Z., 33A931),
350—374.
f 10] Современное состояние арифметики гиперкомплексных чисел. Хрк., Труды Все-
Всесоюзного матем. съезда A936), 219—223.
[11] О построении кубических областей данного дискриминанта. Л., Труды ин-та
инж. ж.-д. трансп., 9 A934), 107 стр.
?12] Элементарная теория чисел. М.—Л., ОНТИ A937), 1—219.
Г131 Об арифметической группе автоморфизмов неопределённой квадратичной формы.
ИАН, сер. матем. A937), 139—170.
Г141 О группе автоморфизмов неопределённой квадратичной формы. ДАН, 14A937),
97—98.
[151 О приведении положительных квадратичных форм. ИАН, сер. матем., 4A940),
37—52.
[16] Об экстремальной проблеме Маркова для неопределённых тройничных квадратич-
квадратичных форм. ИАН, сер. матем., 9 A945), 429—494.
]17] Об экстремальной проблеме Маркова для неопределённых тройничных квадратич-
квадратичных форм. Л., Научн. бюлл. ун-та. 7 A946), 7—9.
Виноградов И. М.
[1] Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функ-
функций. ИАН F), И A917), 1347—1378.
[2] О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного опреде-
определителя. Хрк., Зап. матем. т-ва B), 16A918), 10—38.
ГЗ] Об одном асимптотическом равенстве теории квадратичных форм. Пермь, Ж. физ.
матем. о-ва, 1 A918), 18—28.
[4] Sur la distribution des residus et des nonresidus des puissances. Пермь, Ж. физ.-
матем. о-ва, 1 A918), 94—98.
[5] О распределении квадратичных вычетов и невычетов. Пермь, Ж. физ.-матем.
о-ва, 2 A919). 1—16.
[61 Об асимптотических равенствах в теории чисел. ИАН F), 15 A921), 158—160.
[7] Sur un theoreme generale de Waring. Матем. сб., 31 A924), 490—507.
[81 Элементарное доказательство одной общей теоремы аналитической теории чисел.
ИАН F), 19 A925), 785—796.
[9] Элементарное доказательств одного общего предложения из аналитической теории
чисел. Л., Изв. политехи, ин-та, 29 A925), 2—12.
О распределении индексов. ДАН (А), A926), 73—76.
О границе наименьшего невычета л-й степени. ИАН F), 20 A926), 47—58.
О дробных частях целого многочлена. ИАН, F), 20 A926), 585—600.
К вопросу о распределении дробных долей значений функции одного переменного.
10
11
12
13
Л., Ж. физ."-матем. о-ва, Г A920), 56—65.
[14] On a general theorem concerning the distribution of residues and nonresidues of
powers. Bull. Amer. Math. Soc, 22 A926), 596.
[15] Аналитическое доказательство теоремы о распределении дробных частей целого
многочлена. ИАН "F), 21 A927), 567—578.
{16] Demonstration elementaire d'un theoreme de Gauss. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
1A927), 187—193.
[17] О распределении дробных долей значений функции двух переменных. Л., Изв.
политехи, ин-та, 30 A927), 31—52.
[18] On a general theorem concerning the distribution et the residues and non-residues
of powers. Trans. Amer. Math. Soc, 29 <1927), 209—217.
[19] On the bound of the least non-residues of n-th powers. Trans. Amer. Math. Soc,
29A927), 218—226.

БИБЛИОГРАФИЯ 69-
}20l О теореме Варинга. ИАН, сер. физ.-матем. A928), 393—400.
[21] О представлении числа целым многочленом от нескольких переменных. ИАН,
сер. физ.-матем. A928), 401—414.
[221 Об одном классе совокупных диофаитовых уравнений. ИАН, сер. физ.-матем.
A929), 355—376.
0 наименьшем первообразном корне. ДАН A930), 7—11.
числе целых точек внутри круга. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 313—336.
Проблемы аналитической теории чисел. (Тезисы доклада.) Л., В кн. «Доклады
Юбилейной сессии АН». Изд. АН A932), 13.
[26] Об одной тригонометрической сумме и еб приложениях в теории чисел. ДАН,
1 A933), 195—204.
B7] О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях. ДАН, 1 A933)
' 249—255.
[28] О проблемах аналитической теории чисел. Труды Юбилейной сессии АН A933),
27—37.
[29] Применение конечных тригонометрических сумм к вопросу о распределении дроб-
дробных долей целого многочлена. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 4 A933),
5—8.
[30] Некоторые теоремы о распределении индексов и первообразных корней. Труды
физ.-матем. пн-та им. Стеклова, 5 A934), 87—93.
[31] О верхней границе g (л) в проблеме Варинга. ИАН, сер. физ.-матем. A934),
1455—1470.
[32] Новые приложения тригонометрических сумм. ДАН, 1 A934), 10—14.
|33] Новые асимптотические выражения. ДАН, 1 A934), 49—51.
[34] Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля. ДАН, 1 A934),
225—230.
[35] Новые теоремы о распределении квадратичных вычетов. ДАН, 1 A936), 289—2S0.
[36] Новые теоремы о распределении первообразных корней. ДАН, 1 A934),
366—370.
37] Новое решение проблемы Варинга. ДАН, 2 A934), 337—341.
38 О некоторых новых проблемах теории чисел. ДАН, 3 A934), 1—6.
39 Некоторые теоремы аналитической теории чисел. ДАН, 4 A934), 185—187.
40 Новая оценка g (л) в проблеме Варинга. ДАН, 4 A934), 249—253.
41] Sur quelques nouveaux resultats en theorie analytique des nombres. С R- Acad. Sci.,
199 A934), 171—175.
[42] О приближениях посредством рациональных дробей, имеющих знаменателей
точную степень. ДАН, 2 A935), 1—5.
[43] Новый вариант вывода теоремы Варинга. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова,
9 A935), 5—10.
Число целых точек в шаре. Труды физ.-матем. ин-та иу. Стеклова, 9 A935), 17—38.
О некоторых рациональных приближениях. ДАН, 3 A935), 3—6.
О дробных частях многочленов и других функций. ДАН, 3 A935), 99—100.
Новые оценки сумм Вейля. ДАН, 3 A935), 195—198.
On approximation to zero with help of numbers of certain general form. Матем. сб.,
42 A935) 14956
44
45
46
47
48
42 A935), 149—156.
[49] On Weyl's sums. Матем. сб., 42 A935), 521—530.
[501 An asymptotic formula for the number of representations in Waring's problem.
Матем. сб., 42 A935), 531—534.
[51] On Waring's problem. Ann. of Math., 36 A935), 395—405.
[52] Une nouvelle variante de la demonstration du theoreme de Waring. С R. Acad.
Sci., 200 A935), 182—185.
[53
[54
[55
Sur les sommes de M. H. Weyl. С R. Acad. Sci., 201 A935), 514—516.
Новое улучшение оценок тригонометрических сумм. ДАН, 1 A936), 195—196.
Новые результаты в вопросе о распределении дробных частей многочлена. ДАН>
2 A936), 355—358.
[56] О дробных частя* многочленов и других функций. ДАН, 3 A936), 99—100.
571 On the number of fractional parts of a polynom lying in a given interval. Матем.
Сб., 1 D3), A936), 3—8.
[58] A new method of resolving of certain general questions of the theory of numbers.
Матем. сб., 1 D3), A936), 9—20.
[59] Approximation by mean of fractional parts of a polynomial. Матем. сб., 1 D3), A936),
21—28.
[60] On asymptotic formula in Waring's problem. Матем. сб., 1 D3), A930), 169—174.
[61] A new method of estimation of trigonometrical sums. Матем. сб., 1 D3), A936),
175—188,

70 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
F2] Supplement to the paper «On the number of fractional parts of a polynom lying
in a given interval»:. Матем. сб., 1 D3), A936), 405—408.
[63] Approximations with help of certain functions. Ann. of Math., 37A936), 101—Ю6.
[64] On fractional parts of certain functions. Ann. of Math., 37 A936), 448—455.
[65] Sur les nouveaux resultats de la theorie analitique des nombres. С R. Acad. Sci.,
202 A936), 179—180.
[66] Sur quelques inegalites nouvelles de la theorie des nombres. С R. Acad. Sci.,
202 A936), 1361—1362.
[67] Новый метод в аналитической теории чисел. Труды физ.-матем. ин-та им. Стекло-
ва, 10 A937), 1—122.
[68] Распределение дробных частей значений многочлена при условии, что аргумент
пробегает простые числа арифметической прогрессии. ИАН, сер. матем. A937),
505—514.
[69] Представление нечётного числа суммой трёх простых чисел. ДАН, 15 A937),
291—294.
[70] Некоторые новые проблемы теории простых чисел. ДАН, 16 A937), 139—142.
[71] Новые оценки тригонометрических сумм, содержащих простые числа. ДАН,
17 A937), 165—166.
[721 Some theorems concerning the theory of primes. Матем. сб., 2D4), A937), 179—196.
[73] Новая оценка одной суммы, содержащей простые числа. Матем. сб., 2 D4) A937),
783—792.
[74] Новая оценка одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа.
ИАН, сер. матем. A938), 3—14.
[75] Улучшение оценки одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа.
ИАН, сер. матем. A936), 15—24.
[76] Оценка некоторых сумм, содержащих простые числа. ИАН, сер. матем. A938),
399—416.
[77] Оценки тригонометрических сумм. ИАН, сер. магем. A938), 505—524.
[78] Некоторые новые оценки, относящиеся к аналитической теории чисел. ДАН,
19 A938), 339—340.
[79] Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида р-\-к по простому моду-
модулю. Матем. сб., 3D5), A938), 311—320.
[80] Некоторые общие леммы и их применение к оценке тригонометрических сумм.
Матем. сб., 3D5), A938), 435—472.
[81] Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел. Тбилиси, Труды
матем. ин-та Гр. фил. АН, 3 A938), 1—68.
|82] Две теоремы из аналитической теории чисел. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр.
фил. АН, 5 A938), 153—180.
[83] Элементарные оценки одной тригонометрической суммы с простыми числами. ИАН,
сер. матем. A939), 111—122.
[84] Оценки некоторых простейших тригонометрических сумм с простыми числами.
ИАН, сер. матем. A939), 371—398.
[85] Новое усовершенствование метода оценки тригонометрических сумм с простыми
числами. ДАН, 22 A939), 59—60. .
[86] Простейшие тригонометрические суммы с простыми числами. ДАН, 23 A939),
615—617.
(87] Распределение по данному модулю простых чисел, принадлежащих арифмети-
арифметической последовательности. ИАН, сер. матем., 4 A940), 27—36.
[88] Некоторые общие свойства распределения простых чисел. Матем. сб., 7D9)
A940), 365—372.
[89] Две теоремы, относящиеся к теории распределения простых чисел. ДАН, 30 A941),
285—286.
[90] Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел. ДАН,
30 A941), 675—676.
91] "-
92
93
94
95
96
97
когда аргумент пробегает простые числа. ДАН, 51 A946), 489—490.
[99] Некоторый .общий закон теории простых чисел. ДАН, 55 A947), 475—476.
Улучшение оценок тригонометрических сумм. ИАН, сер. матем., 6 A942), 33—40.
Об оценках тригонометрических сумм. ДАН, 34 A942), #199—200.
Уточнение некоторых теорем теории простых чисел. ДАН, 37 A942), 135—137.
Уточнение метода оценки сумм с простыми числами. ИАН, сер. матем., 7 A943),
17—34.
Основы теории чисел. Изд. 4. М.—Л., ГТТИ A944), 1—142.
Общие теоремы об оценках тригонометрических сумм. ДАН, 43 A944), 51—52.
Аналитическая теория чисел. ИАН, сер. матем., 9 A945), 159—168.
Некоторый общий закон распределения дробных частей значений многочлена,

БИБЛИОГРАФИЯ 71
[100] Аддитивные проблемы теории чисел. В кн. «Юбилейный сборник, посвященный
тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции», т. 1,
М.—Л., Изд. АН A947), 65—79.
" Гельбке М. А.
[1] Об асимптотических выражениях суммы дробных частей функции двух перемен-
переменных. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 281—298.
[2] Об асимптотическом выражении суммы дробных частей функции двух переменных.
ИАН, сер. физ.-матем. A930), 409—423.
{3] Относительно g(k) в проблеме Варинга. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 631—640.
Гельфонд А. О.
[1] Sur les nombres transcend ants. C. R. Acad. Sci., 189 A929), 1224—1228.
[2] О необходимом и достаточном признаке трансцендентности числа. М., Учён.
зап. ун-та, 1 A933), 6—8.
[3] О функциях целочисленных в точках геометрической прогрессии. Матем. сб.,
40 A933), 42—47.
4] О седьмой проблеме Гильберта. ДАН, 2 A934), 1—6.
5] Sur le septieme probleme de Hilbert. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 623—630.
6] О приближениях трансцендентных чисел алгебраическими. ДАН, 2 A935), 177—182.
7] Трансцендентные числа. Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. I A936),
141—163.
Об одном обобщении неравенства Минковского. ДАН, 17 A937), 443—446.
О приближении алгебраическими числами отношения логарифмов двух алгебраи-
алгебраических чисел. ИАН, сер. матем. A939), 509—518.
[10] Sur la divisibilite de la difference des puissances de deux nombres entiers par une
puissance d'un ideal premier. Матем. сб., 7 D9), A940), 7—26.
[11] О совместных приближениях алгебраических чисел рациональными дробями.
ИАН, сер. матем., 5A941), 99—104.
[12] О дробных долях линейных комбинаций полиномов и показательных функций.
Матем. сб., 9E1), A941), 721—726.
Г р а в е Д. А. .
[1] Sur un theoreme d'Euler. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1: 1 A922), 1—3.
[2] Об основных положениях теории идеальных чисел. Матем. сб., 32A925), 135—151.
[3] О разложении простых чисел на идеальные множители. Матем. сб., 32 A925),
542-561.
[4] Зв'язок Teopii елШтичних функцШ з Teopiero щеал1в. Киев, Ж. матем. цикла
АН УССР, 1:2 A933), 3—14.
[5] Про узагальнення алгоритма Вороного. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР,
1: 2 A933), 17—24.
6] Об одном обобщении теоремы Акселя Туз. ДАН, 1 A933), 263—264.
7] Про npoCTi числа. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938), 3—16.
8] Про задачу Гольдбаха. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938), 76—80.
Градштейн И. С.
[1] О нечётных совершенных числах. Матем. сб., 32 A925), 476—510.
Г р е б е н ю к Д. Г.
[1] Формула, представляющая число простых чисел в ряду чисел 1, 2, 3 Ташкент
Изв. Узб. фил. АН, 10 A940), 33—34.
Григорьев Е. И.
{1] О плотности и распределении простых чисел. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B)
24 A924), 14—26. ''
[2] Из области неопределённого анализа 4-й степени. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва
B), 24:1 A924), 76—80.
[3] Четыре биквадрата (задача Эйлера). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B)
24:2 A924), 61—78. '
[4] Resolutio formulae Diophanteae. Казань, Учён. зап. ун-та, 85 A925), 209 217.
Г р о ш ев А. В.
.11 К метрической теории цепных дробей. Матем. сб., 42 A935), 509 518.
[2] К метрической теории линейных форм. ИАН, сер. матем. A937), 427—444.
"" Теорема о системе линейных форм. ДАН. 19 A938), 151—152.

72 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Делоне Б. Н.
11] Sur le nombre des representations d'un nombre par une forme cubique binaire
a discriminant negatif. С R. Acad. Sci., 171 A920), 336—338.
[2] Resolution de l'equation indeterminee рхгу -f qz* — nzy* -j- уз _ j, c. R, Acad.
Sci., 172 A921), 434—436.
[3] О числе представлений числа двойничной кубической формы отрицательного
определителя. Л., ИАН F), 16 A922), 253—272.
[4] Решение неопределённого уравнения 2»2+«/а=1. ИАН F), 16 A922), 273—280.
[5] Sur la representation des nombres par les formes binaires. C. R. Acad. Sci.,
178 A942), 1458—1460.
F) Решение задачи эквивалентности и табуляризация кубических двойничных форм
отрицательного определителя. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A926), 40—55.
[7] О неопределённых уравнениях. М., Труды Всеросс. матем. съезда A927), 148—161.
[8] Ueber den Algorithms der Erhohung. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 257—267.
[9] Ueber die Darstellung der Zalilen durch die binaren kubischen Formen von negativer
Diskriminante. Math. Z., 31 A930), 1—26.
[10] Bemerkung fiber die Abhandlung von Herrn Trygve Nagell: «Darstellung ganzer
Zahlen durch binSre kubische Formen mit negativen Diskriminanten»- Math. Z.,
31 A930), 27—28.
[11] О плотнейших параллелелипедальных расположениях шариков в пространствах
трёх и четырёх измерений. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 4 A933), 63—69.
f 12] Доказательство теоремы Ферма для п=3 при помощи кубической области. ДАН,
2 A934), 7—10.
[13] Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi. ИАН, сер. физ.-матем. A934),
793—800.
[14] Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи матем. наук, 3 A937),
16—62.
[15] Геометрия положительных квадратичных форм, II. Успехи матем. наук, 4 A938).
102—164.
[16] Локальный метод в геометрии чисел. ИАН, сер. матем., 9 A945), 241—256.
[17] Алгорифм разделённых параллелограммов. ИАН, 11 A947), 505—538.
[18] Петербургская школа теории чисел. М.—Л., Изд. АН A947), 1—419.
Д и м м а н А.
[1] Ueber einige asymptotische Formeln. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 313—322.
[2] Ueber die Verteilung der Werte der Klassenzahl quadratischen Formen. Труды
физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934), 59—72.
Егоров Д. Ф.
[1] Элементы теории чисел. М., Гос. изд. A923), 1—202.
Житомирский О. К.
[ 1] Verscharfung eines Satzes von Voronoi. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:2 A928), 131—151.
[2] О классификации кубических форм. ДАН, 1 A935), 4—11.
[3] Sur la classification des formes cubiques. ИАН, сер. физ.-матем. A935), 1311—1351.
Жоги н И. И.
1] К теории диофантовых приближений. М., Учён. зап. ун-та, 73 A944), 37—40.
] Об одном вопросе в теории диофантовых приближений. М., Учён. зап. ун-та,
73 A944), 41—44.
Журавский А. М.
[1] Закон взаимности кубических вычетов. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 204—232.
ЗапольскаяЛ. Н.
[1] О свойствах некоторых числовых лучей. Ярославль, Труды пед. ин-та, 2:4A929),
19—34.
Иванов И. И.
[1] Об одном числовом тождестве. Пгр., Изв. политехи, ин-та, 28 A919), 181—183.
12] К теории квадратичных и неквадратичных вычетов по данному простому модулю.
Пгр., Изв. политехи, ин-та, 28 A919), 185—189.
[3] О двух сравнениях. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A926), 37—39.
[4] О сумме, зависящей от простого числа формы 4т+1. ДАН (А), A927), 43—48.
[1]
[2]

БИБЛИОГРАФИЯ
[5] О некоторых суммах, зависящих от простых чисел. Л., Труды индустр. ин-та,
раздел физ.-матем., 3:1 A939), 43—49.
Ковнер С. С.
[1] Ueber einen Satz von Tchebyscheff-Minkowski. Матем. сб., 32 A925), 528—541.
К op ч и н с к и й Н. В.
[1] Об одном способе для решения сравнения. Днепропетровск, Научи, зап. ун-та,
25 A941), 9—10.
[2] Первообразные квадратичные вычеты. Днепропетровск, Научи, зап. унта,
- 25 A941), 11—16.
Констанди Г. В.
[1] О трансцендентных числах Лиувилля. Одесса, Учён. зап. высш. гак., 1 A921),.
49-59.
[2] Разложение иррациональных чисел в непрерывные дроби высших порядков
Одесса, Ж. НИ кафедр, 1:1 A923), 31—42.
Котляков Н. С.
[1] Sur quelques applications du calculdes residus a la theorie des nombres. Симферо-
Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 101—128.
[2] Ueber eine Summenformel. Math. Ann., 90 A923), 26—29.
[3] Ueber eine Zahlentheoretische Anwendung der Laguerreschen Polynome. Л., Ж.
физ.-матем. о-ва, 1 A927), 275—280.
[4] Sum-formulae containing numerical functions. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2: 1 A928),
53—74.
[5] Сумматорные формулы, содержащие числовые функции. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2 : 1 A928), 75—76.
[6] Ueber die Summenformeln in quadratischen Zahlkorperr. Матем. сб., 35 A928),
221—236.
[7] Sur une integrate definie et son application a la theorie des formules sommatoires
Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:2 A928), 123—130.
[8] Note on a sum-formula and its application. ДАН (А), A929), 209—214.
19] Ueber eine Verallgemeinerung der Ramanujan'schen Identitaten. ИАН, сер.
физ.-матем. A931), 1089—1102.
[Ю] О некоторых тождествах в аналитической теории чисел. ДАН, 2 A934), 342—345.
[11] О некоторых тождествах в квадратичнных числовых областях. ДАН, 2 A934),
524—531.
[12] О некоторых сумматорных формулах, имеющих приложение в теории чисел, 1.
ДАН, 3 A934), 401—404.
[13] О некоторых сумматорных формулах, имеющих приложение в теории чисел, II.
ДАН, 3 A934), 553—556.
[14] On an extension of some formulae of Ramanujan. Proc. London Math. Soc, 41 A936),
26—32.
[15] О некоторых формулах, относящихся к функциям ?(s) и ?2(*)- ДАН, 25 A939),
567—570.
[16] Применение преобразования Mellip'a к выводу некоторых сумматорных формул.
ИАН, сер. матем., о A941), 43—56.
Кравчук М. Ф.
[1] Новий довщ одшеТ теореми Мйжовського. Киев, Научн. зап., 2 A924), 66—70.
[2] Розподш первкних чисел по тдставлениях груп алгебр]'чного р1впяння. Киев,
Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 2 : 2 A927), 25—32.
Кречмар В. А.
[1] О некоторых сравнениях. ИАН, сер. физ.-матем. A928), 415—424.
[2] Ueber einen neuen Beweis eines Satzes von Oauss-Jacobi. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2:2 A928), 98—103.
[3] Доказательство некоторых сравнений, принадлежащих Ramanujan'у- Труды
научно.-исслед. аэроин-та, 1 A931), 121—125.
[4] О свойствах делимости одной аддитивной функции. ИАН, сер физ.-матем. A933),
763—800.
[5] О верхнем пределе числа представлений целого числа некоторыми бинарными
формами четвёртой степени. ИАН, сер. матем. A939), 289—302.

74 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Круковский Б. В.
[1] Про числа псшбн1 до Бернул1ввих и Эйлерових. Псевдоконтаигенщальш числа.
Киев, Ж. ин-таматем. АН УССР, 1 A934), 43—62.
Кузнецов Г. П.
[I] Новая форма решения уравнения Пелля. Новочеркасск, Изв. Донск. политехи,
ин-та, 10 A926), 55—69.
Кузьмин Р. О.
[1] Успехи аналитической теории чисел. М., Труды Всерос. матем. съезда A927),
137—147.
[2] Об одном арифметическом свойстве алгебраических функций. Л., Изв. политехи.
ин-та. 30 A927), 107—112.
13] Об одной задаче Гаусса. ДАН (А), A928), 375—380.
[4] К теории совокупных диофантовых приближений. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2:2 A928), 1—12.
[5] Об одном новом классе трансцендентных чисел. ИАН, сер. физ.-матем. A930),
585—597.
[6] О диофантовых приближениях к алгебраическим рациональностям. ДАН (А),
A930), 185—188.
О некоторых диофантовых приближениях. ДАН, 1 A933), 9—17.
О корнях функций Римана ?(s). ДАН, 2 A934), 398—400.
К теории рятов Дирихле L(s). ДАН, 3 A934), 560—564.
[
110
[П
О корнях рядов Дирихле. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 1471—1492.
О распределении значений некоторых арифметических функций. ДАН, 15 A937)
117—120.
[12] О трансцендентных числах Гольдбаха. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.
матем., 5:1 A938), 28—32.
Кулаков А. А.
[1] О числах вида ат ± Ьт- ДАН, 40 A943), 51—54.
Л и н н и к Ю. В.
fl] On certain results relating to positive ternary quadratic forms. Матем.
сб., 5 D7), A938), 453—472.
[2] Одна общая теорема о представлении чисел отдельными тернарными квадратич-
квадратичными формами. ИАН, сер. матем. A939), 87—110.
[3] Несколько новых теорем о представлении больших чисел отдельными положитель-
положительными тернарными квадратичными формами. ДАН, 24 A939), 211—213
[4] О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными
формами. ДАН, 25 A939), 578—580.
[5] О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными
формами. ИАН, сер. матем., 4 A940), 363—402.
[6] Большое решето. ДАН, 30 A941), 290—292.
[7] Новая оценка сумм \Уеу1'я по методу И. М. Виноградова. ДАН, 32 A941),
531—533.
[8
[9
110
[И
О суммах Weyl'H. ДАН, 34 A942), 201—203.
О разложении больших чисел на 7 кубов. ДАН, 36 A942), 179—180.
Замечание о наименьшем квадратичном невычете. ДАН, 36 A942), 131—132.
Пример одной последовательности, не образующей бинарного базиса. ДАН,
36 A942), 179—182.
[12] Об одной условной теореме I. E. Littlewood. ДАН, 37A942), 142—144.
[13] Новые оценки сумм Вейля по методу И. М. Виноградова. ИАН, сер. матем.,
6 A942), 41—70.
[14] On Erd6s's theorem on the addition of rumerical sequences. Матем. сб., 10 E2),
A942), 67—78.
[15] Свойства аналогии L-рядов Dirichlet и теоремы Siegel'fl о к (У —D). ДАН,
38 A943), 115—117.
[16] Нули/--рядов, степенные невычеты и число классов идеалов к (у—D). ДАН,
39 A943), 127—128.
[17] Связь расширенной Riemann'oBofi гипотезы с методом И. М. Виноградова в теории
простых чисел. ДАН, 41 A943), 152—154.
[18] On Weyl's sums. Матем. сб., 12 E4), A943), 28—39.

БИБЛИОГРАФИЯ 75
A91 On the representation of large numbers as sums of seven cubes. Матем. сб., 12E4),
A943), 220—224.
*[20] Элементарное решение проблемы Waring'a по методу Шнирельмана. Матем. сб.,
12 E4), A943), 225—230.
[21] О распределении характеров. ДАН, 42 A944), 337—339.
B2] О возможности обойти расширенную гипотезу Римана при изучении простых
чисел в прогрессиях. ДАН, 44 A944), 147—150.
[23] On Dirichlet's L-series and prime-number sums. Матем. сб., 15 E7), A944), 3—12.
124] On the least prime in an arithmetic progression, I. The basic theorem. Матем. сб.,
15 E7), A944), 139—178.
¦{25] On the least prime in an arithmetic progression, II. The Deuring-Heilbronn's pheno-
phenomenon. Матем. сб., 15 E9), A944), 347—368.
{26] Об одной теореме теории простых чисел. ДАН, 47 A945), 7—10.
[27] О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутив-
дистрибутивной теории простых чисел. ДАН, 49 A945), 3 —7.
[28] On the characters of primes, 1. Матем. сб., 16 E8), A945), 110—120.
{291 Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова. Матем. сб., 19 ;61),
A946), 3 — 8.
C0] О густоте нулей L-рядов. ИАН, сер. матем., 10 A946), 35 — 46.
[31] Ицея плотностей нулей L в теории простых чисел. Л., Вестн. ун-та, 2 A946),
40—42.
{32] О выражении L-рядов через ^-функции. ДАН, 57 A947), 435—437.
Линник Ю. В. и Реньи А. А.
[1] О некоторых гипотезах теории характеров Дирихле. ИАН, 11 A947;," 539—546.
Лотоцкий А. В.
[1] Об одном способе представления действительных чисел в виде бесконечных произ-
произведений. Иваново, Учён. зап. пед. ин-та, физ.-матем. ф-т, 1:1 A941), 27—35.
[2] Sur l'irrationalite d'un produit infini. Матем. сб., 12 E4), A943), 262 — 272.
Малеев В. А.
[1] О группах решений сравнения хзп-\-узп-\-гъ"—3x"y"zns0 по модулю, предста-
представляющему степень простого дели 1еля выражений: ж2—vz; у2—xz, z*—ху. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва C), 1 A926), 95—106.
B] О свойствах системы чисел, удовлетворяющих сравнению x3"-\-y3n-\-zs"—3x"y"z"=
е=0 (mod q*-m). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 2 A927), 21—35.
J3] О последней теореме Fermat'a. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 2 A937),36—40.
[4] О композициях решений сравнения x*"+yzn+z3n—3x"y"znn=0 (mod^""). Томск,
Изв. ун-та, 79.2 A928), 103—113.
Марджанишвили К. К.
AГО6 одновременном представлении двух чисел суммами полных т- и л-степеней.
ДАН. 2 A936), 257—258.
[2] Об одновременном представлении л чисел суммами полных первых, вторых, ...,
л-х степеней. ИАН, сер. матем. A937), 609—631.
Оценка одной арифметической суммы. ДАН, 22 A939), 391—393.
Об одной системе диофантовых уравнений. ДАН, 22 A9^9), 471—474.
Об одной задаче аддитивной теории чисел. ИАН, сер. матем., 4 A940), 193—214.
К доказательству теоремы Гольдбаха-Виноградова. ДАН, 30 A941), 681—684.
Марджанишвили К. К. иСегал Б. И.
[1] Об одной оценке сумм Вейля. ДАН, 26 A940), 739—742.
Марков А. А.
jl] Опыт применения функции Е (entiere) к исследованию некоторых классов веще-
вещественных чисел. Воронеж, Труды ун-та, 3 A926), 222—239.
Маркушевич А. И.
ПГК вычислению символа Якоби. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 17 A928), 17—19.
[2] Об алгорифме Эйзенштейна. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 18 A929), 45—52.
Марчевский М Н.
{1] Прибор для ускоренного вычисления степенных вычетов по данному нечётному
первоначальному модулю. Хрк., Зап. матем. т-ва D). I A927), 25—31.

76 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Матвеев А.
|1) О функции, принимающей при целых т и к значение ?—-. Свердловск, Труды
Уральск, индустр. ин-та, 1 A936), 183—189.
Минин А, П.
[1] К вопросу о получении числовых тождеств с помощью числовых рядов. Матем.
сб., 32 A925), 220—232.
Мордухай-Болтовской Д. Д.
Ill Sur certaines categories de nombres transcendents. С R. Acad. Sci., 177 A923).
475—478.
[2] Sur la transcendance de ce et de certains autres nombres. C. R. Acad. Sci.,.
179 A924), 1020—1023.
[3] Sur rimplissibilite d'une relation algebrique entre я et e. C. R. Acad. Sci.,
179 A924), 1239—1242.
[41 О некоторых свойствах трансцендентных чисел первого класса. Матем. сб.,
34 A927), 55—100.
ф] О трансцендентных числах с последовательными приближениями, определяемыми
алгебраическими уравнениями. Матем. сб., 41 A934), 221—232.
[6] Заметка о гипертрансцендеитных числах. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. к
физ. ун-та, 4 A940), 117—118.
[7] Об условиях определяемости числа трансцендентными уравнениями некоторого
общего типа. ДАН, 52 A946), 487—490.
Мурзаев Е. А.
[1] О некоторых свойствах непрерывных дробей второго порядка по ближайшим це-
целым. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 3 A939), 58—85.
[2] Новое доказательство сходимости алгоритма Якоби. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 3 A939), 86—92.
Нарышкин Е. А.
11] О числах, аналогичных числам Бернулли в одноклассных квадратичных областях
отрицательного дискриминанта. ИАН F), 19 A925), 145—314.
П а п к о в П. С.
[1] Алгоритм Евклида о произвольной квадратичной области. Ростов н/Д, Учён.
зап. ун-та, 1 A934), 15—60.
[2] Об одном приложении алгоритма Евклида в произвольной квадратичной области.
Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 1 A934), 61—78.
C] О мнимых квадратичных областях с заданной группой идеальных классов. Ростов
н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 8—14.
[4] О мнимых квадратичных областях, допускающих только двойничные классы.
Тбилиси, Сообш. АН ГрССР, 5 A944), 88—592.
Парфентьев Н. Н.
[1] Sur quelques proprietes nouvelles de la fonction qui definit le nombre des nombres
premiers dans un interval donne etsur quelques relations entre les nombres premiers.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 23A923), 12—14.
Подсыпании В. Д.
[1] Об одном неопределённом уравнении. ИАН, сер. матем.. 5 A941), 305—324.
[2] Об уравнении ах*+Ьхгу*— су%=-Л. Матем. сб., 18 F0), A946), 105—114.
Попов А. И.
[1] О некоторых формулах суммирования. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 801—802.
[2] О некоторых результатах В. Бруна. ДАН, 2 A935), 194—196.
[31 Несколько рядов, содержащих простые .числа и корни ?(s). ДАН, 41 A943),
376—377.
[1] О базисах начального ряда. Матем. сб., 2 D4), A937), 595—598.
[2] О мультипликативных базисах натурального ряда. Матем. сб., 3D5), A938),
569—576.
[3] О распределении чисел, простые делители которых принадлежат заданной ариф-
арифметической прогрессии. Матем. сб., 4 D6), A938), 563—570.

БИБЛИОГРАФИЯ 77
[4] О
[5] Д
сложении множеств в смысле Шнирельмана. Матем. сб., 5D7), A939), 425—440.
Доказательство теоремы Л. Г. Шнирельмана о плотности арифметической суммы
множеств. Успехи матем. наук, 7 A940), 97—101.
Р о з е и с о н Н. А.
A) Некоторые неравенства из теории квадратичных форм. Л., Труды индустр. ин-та,
раздел физ.-матем., 4:2 A937), 85—93.
[2] О современных инвариантах системы квадратичных форм. Л., Труды индустр.
ин-та, раздел физ.-матем., 5:1 A938), 57—65.
Романов Н. П.
О двух теоремах аддитивной теории чисел. Матем. сб., 40 A933), 514—520.
Об одной теореме аддитивной теории чисел. М., Учён. зап. ун-та, 2:2 A934), 49—54.
Ueber einige Satze der additiven Zahlentheorie. Math. Ann., 109 A934), 668—678.
К проблеме Гольдбаха. Томск,Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1:1 A935), 34—38.
Определение среднего квадратичного основной функции аддитивной теории чисел.
Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:1 A938), 13—37.
[6] О некоторых теоремах аддитивной теории чисел. Успехи матем. наук, 7 A940),
47—56.
[7] Об одной специальной ортогональной системе. ДАН, 40 A943), 294—295.
[8] Об одной специальной ортонормированнои системе и её связи с теорией простых
чисел. Матем. сб., 16 E8), A945), 353—364.
[9] Пространство Гильберта и теория чисел. ИАН, сер. матем., 10 A946), 3—34.
J10J Об определении средне-арифметических высшего порядка от основной функции
аддитивной теории чисел. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 3:1 A946),
128-144.
]11] Применение функционального анализа к вопросам распределения простых чисел.
Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, З.М A946), 145—173.
С а м б и к и н Н. П.
11] О разложении чисел л и г в непрерывные дроби при помощи гипергеометрического
ряда. Воронеж, Труды ун-та, 3 A926), 240—246.
С а м к о Г. П.
0 некоторых свойствах разложения действительной квадратичной иррациональ-
иррациональности в правильную непрерывную дробь. Ростов п/Д, Учён. зап. НИИ матем.
и физ. ун-та, 4 A940), 81—95.
С era л Б. И.
II] Обобщение теоремы Brim'а. ДАН (А), A930), 501—507.
{2J Об одной аддитивной проблеме. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 657—668.
[3] Распределение значений одной функции. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова,
4 A933), 37—48.,
[4] Об одной общей теореме аддитивной теории чисел. Труды физ.-матем. ин-та
им. Стеклова, 4 (-1933), 49—62.
[5] Применение теоремы о сумме дробных долей функции к решению одной аддитив-
* noil задачи. ДАН, 1 A933), 5—8.
[6] Об одной теореме, аналогичной теореме Варинга. ДАН, 1 A933), 47—49.
17] Общая теорема, выражающая некоторые свойства арифметических функций. ДАН,
1 A933), 95—99.
[8] Приближение к числам с помощью произведения степеней двух простых чисел.
ДАН (А), 4 A933), 39—44.
[9] Теорема Варинга для степеней с дробными и иррациональными показателями.
Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова. 5 A934). 79—86.
ПО] Проблема Варинга в теории чисел. Ж. Природа, 2 A934) 1—14.
[11] On some problems of the additive theory of numbers. Ann. of Math., 36 A935),
507—520.
[12] Непрерывные дроби. Матем. просвещ., 7 A936), 46—67.
[13] Зависимость между решением проблемы Варинга и оценкой тригонометрических
сумм. ДАН, 4 A936), 243—246.
[14] Решение проблемы Гольдбаха. Ж. Высш. школа, 7 A937), 24—29.
115] Теория чисел. «Матем. и естестп. в СССР», Изд. АН A938), 11—19.
A6] Новый тип диофантовых приближений. ДАН, 19 A938), 667—670.
[17] Приближение комплексных чисел суммой степеней целых чисел с данным ком-
комплексным показателем. Матем. сб., 5 D7), A939), 147—184.

78 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[18] Представление комплексных чисел суммами степеней многочлена. ИАН. сер.
матем. A939), 303—318.
[19] О целых числах с каноническим разложением определённого вида. ИАН, сер.
матем. A939), 51S—538.
[201 О некоторых последовательностях целых чисел. ИАН сер. матем., 4 A940),
319—334.
[21] Суммы характеров и их применение. ИАН, сер. матем., 5 A941), 401—410.
[22] Тригонометрические суммы и некоторые их применения в теории чисел. Успех»
матем. наук, 1:3—4 A3—14), A946). 147—193.
С к о п и н И. А.
[1] О распределении индексов по простому модулю. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,.
2:1 A928), 82—93.
[2] О распределении дробных частей системы целых многочленов. ИАН, сер. матем.
A934), 547—560.
СкрылевВ. А.
[1] Конечные непрерывные дроби, образованные квадратичными иррациональ-
ностями. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 145—166.
Слугинов С. П.
[1] Теоремы Фермата и Вильсона. Пермь, Ж. физ.-матем. о-ва, 5:1 A930), 5 —19.
[2] Теорема Шонемана. Пермь, Учён. зап. ун-та, 1:1 A935), 27.
[3] Неопределённое уравнение первой степени с двумя неизвестными. Пермь, Учён.'
зап. ун-та, 1:1 A935), 28—31.
СоколинА. С,
[1] Об одной задаче Радо. ДАН, 26 A940), 868—869.
Соминский И. С.
[1] О приведении двойничных квадратичных форм по способу Зеллинга. Л., Учён,
зап. пед. ин-та, 28 A939), 147—170.
[2] Построение фундаментальной и основной областей арифметической группы авто-
автоморфизмов тройничной квадратичной неопределённой формы. Л., Учён. зап. ун-та,
сер. матем., 10 A940), 148—153.
Степанов В. В.
[1] Арифметическое доказательство одной теоремы Б. И. Сегала. ДАН, 16 A937),
75—76.
Сулаквелидзе К.
[1] Теория чисел. Тбилиси, Изд. ун-та A934), 1—133.
Сушкевич А. К.
II] Теория чисел. Хрк.—Киев, Изд. ДНТВУ A936), 1—249.
Тарасов С. А.
[1] Об алгорифме для обращения кубической иррациональности в непрерывную
дробь. Л., Труды ин-та точн. мех. и оптики, 1:1 A939), 155—160.
Тартаковский В. А.
[1] Ueber die L6sung der unbestimmten Gleichung xan — py*n = 1. Киев, Зап.
физ.-матем. отд. АН УССР, 1:2 A924), 39—43.
[2] Aufl6sung der Gleichung x4—py* = l. ИАН F), 20 A926), 301—324.
[3] Expression pour le nombre de representations d'un nombre par une forme quadrati-
que positive a plus de trois varaibles. С R. Acad. Sci., 186 A928), 1337—1340.
[4] La determination de totalite des nombres rep res en tables par une forme quadratique
positive a plus de quatre variables. С R. Acad. Sci., 186 A928), 1401—1403.
[5] La determination de totalit6 des nombres representables par une forme quadratique
positive quaternaires. С R. Acad. Sci., 186 A928), 1684—1687.
[6] Die Gesamtheit der Zahlen, die durch eine positive Quadratischeform F(x1(rx,,..:
..., xn) darstellbar sind. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 111—122.
[7] Die Gesamtheit der Zahlen, die durch eine positive Quadratischeform F(x1( x2>...
..., xn) darstellbar sind. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 165—196.

БИБЛИОГРАФИЯ
[8] Sur la representation d'un systeme de nombres par un systeme de formes quadratiques
additives positives. С R. Acad. Sci-, 192 A931), 907—910.
[9] La totalite des nombres representables par une forme indefinie generate quadratique
ou cubique. С R. Acad. Sci., 192 A931), 1072—1075.
[10] Die assymptotische Oesetze des «allgemeinen» Diophantischen Analise mit vieler»
Unbekannten. ИАН, сер. физ.-матем. A935), 483.
ill] О некоторых суммах типа Viggo Brun'a. ДАН, 23 A939), 122—126.
12] Метод избирательного приближённого решета. ДАН, 23 A939), 127—130.
13] Ограничение кубических чисел с заданными нормой и дискриминантом. Трудьь
матем. ин-та им. Стеклова, 11 A940).
[141 О числе решений, не находимых методом Axel Thue Труды матем. ин-та им. Стекло-
Стеклова, 11 A940).
[15] Пример регулярной, но неравномерной распределейности дробных частей функции-;
в интервале. Баку, Труды Азерб. ун-та, 5 A945), 84—88.
Трайнин Я. А.'
[1] О совершенных числах. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 108—118
Фаддеев Д. К. _
[1] Об уравнении x*+ys=Az*. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934), 25—40.
[2] Об уравнении х*—Ау*=±\. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934),
[3] Об уравнении ах*—Ьу*=а; а=\, 2, 4, 8. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939),.
141—146.
Файнерман И. Д.
[1] Распределение простых чисел в свете положений последовательного процесса..
Киев, Сообщ. о иауч.-иссл. работе политехи, ин-та, 5 A946), 10—12.
Филиппов А.
II] К алгебре сравнений. Одесса, Учён. зап. высш. шк., 1 A921), 1—32.
[2] Заметка о простых числах Эйлера. Одесса, Учён. зап. высш. шк., 1 A921), 37—3d.
Хаглеев П. Ш.
[1] Об одной ортонормированной последовательности. ИАН, сер. матем., 10 A946),
271—276.
Хазанов М. В.
[1] К вопросу о великой теореме Ферма. Смоленск, Научн. изв. пед. ин-та, матем.
наука, 1 A932), 25—28.
Хайдуков П. И.
[1] Об одном типе числовых функций и их свойствах. Улан-Уде, Труды Бур.-Моиг..
пед. ин-та, 1 A940), 108—116.
Харадзе А. К.
[1] Sur les suites des nombres rationels analogues aux nombres de Bernoulli et d'Euler.
Тбилиси, Бюлл. ун-та, 7 A927), 248—253.
X и н ч и н А. Я.
[1] Об одном свойстве непрерывных дробей и его арифметических приложениях.
Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та, 5 A922), 27—41.
[2] К вопросу о представлении числа в виде суммы двух простых чисел. Иваново-
Вознесенск, Изв. политехи, ин-та, 5 A922), 42—48.
[3] Ueber dyadische Bruche. Math. Z., 18 A923), 109—116.
[4] Ein Satz fiber KettenbrOche mit arithmetischen Anwendungen. Math. Z., 18 A923),.
289—306.
[5] Einige Satze tiber Kettenbriiche mit Anwendung auf die Theorie der Diophantischen
Approximationen. Math. Ann., 92 A924), 115—125.
[6] Об одном вопросе теории диофантовых приближений. Иваново-Вознесенск, Изв.
политехи, ин-та, 82 A925), 32—37.
[7] Ober die angeniherte Aufl6sung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen. Матем^
сб., 32 A925), 203—219.
[8] Zur Theorie der diophantischen Approximationen. Матем. сб., 32A925), 277—278..

80 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[9] Bemerkung zur metrischen Theorie der Kettenbrfiche. Матем. сб., 32 A925),
326—329.
110] Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Hcrrn Perron. Math. Z., 22 A925), 274—284.
fill Bemerkung zu meiner Abhandlung «Ein Safz iiber Kettenbriiche mit arithmetischen
Anwendungen», Math. Z., 22A925), 316.
[ 12] Obcr eine Klasse linearer diophantischen Approximationeri, Rend. circ. mat. Palermo,
50 A926), 170—195.
[13] Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Math. Z., 24 A926),
706—714.
[14] Диофантовы приближения. М., Труды Всеросс. матем. съезда A927) 131—137.
[15] Ober Diophantische Approximationen hoheren Grades. Матем. сб. 34 A927)
109—112.
{16] Теория чисел. Очерк развития за время 1917—1927 гг. Матем. сб., 35A928), доп.
вып., 1—4.
[17] Ober die angenaherte Aufl6sung Gleichungen in ganzen Zahlen. Матем. сб., 35
A928), 31—33.
118] Великая теорема Ферма. М.—Л., ГТТИ A932), 1—52.
119] Zur addiiiven Zahlentheorie. Матем. сб., 39:3 A932), 27—34.
[20] Ober ein metrisches Problem der additiven Zahlentheorie. Матем. сб., 40 A933),
180-189.
[21] Цепные дроби. М.—Л., ОНТИ A935), 1-104.
[22] Metrische Kettenbruchprobleme. Сотр. Math., I A935), 361—382.
[23] Neuer Beweis und Verallgemeinerung eines Hurwitzschen Satzes. Math. Ann.,
Ill A935), 631—637.
[24] Метрические задачи теории иррациональных чисел. Успехи матем. наук, 1 A936),
7—32.
[25] Zur metrischen Kettenbruchtheorie. Сотр. Math., 3 A936), 276—285.
[26] Ober singuiare Zahlensysteme. Сотр. Math., 4 A937), 424—431.
[27] Ein Satz iiber binare diophantische Approximationen. Math. Ann., 113A937).
398—415.
[281 О сложении последовательностей натуральных чисел. Матем. сб., 6 D8), A939),
161—166.
[29] О сложении последовательностей натуральных чисел. Успехи матем. наук,
7 A940), 57—61.
|30] О задаче Чебышева. ИАН, сер. матем., 10 A946), 281—294.
.C11 Три жемчужины теории чисел. М.—Л., ГТТИ A947), 1—72.
[32] Об одном предельном случае анроксимационной теоремы Кронекера. ДАН,
56 A947), 563-565.
[33] Об одной общей теореме линейных диофантовых приближений ДАН, 56 A947),
679—681.
[34] Две теоремы, связанные с задачей Чебышева. ИАН, 11 A947), 105—110.
Чеботарёв Н. Г.
[1] Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к заданному
классу подстановок. ИАН F), 17 A923), 205—230.
[2] Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к заданному
классу подстановок. ИАН F), 17 A923), 231—250.
[3] Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gege-
gegebenen Substitutionsklasse gehoren. Math. Ann., 95 A925), 191—228.
[4] Studien iiber Primzahlendichtigkeit, 1. Ober Grenzen, zwischen denen gewisse
Primzahlen liegen, die zu einer gegebenen Abteilung von Substitutionen gehoren.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 2 A927), 14—20.
[5] Ober Grenzen, zwischen denen gewisse Primzahlen liegen, die zu einer gegebenen
. Klasse von Substitutionen gehoren. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 3 A928).
1—17.
[6] Об одной теореме Минковского. Казань, Учён. зап. ун-та, 94:7 A934).
Чистяков И. И.
[1] Обобщение формулы Эйлера в теории чисел. М., Труды нефт. ин-та, 2 A940),
9—16.
Чудаков Н. Г.
[1] Заметка о росте функций. Саратов, Учён. зап. ун-та, 12:2 A934). 31.
[2] Заметка о распределении простых чисел. Саратов.Учён. зап. ун-та, 13:1A935) 79.
[3] О нулях функций ? (s). ДАН, 1 A936), 197—200.

БИБЛИОГРАФИЯ 81
[4] On zeros of Dirichlet's L-functions. Матем. сб., 1 D3), A936), 591—602.
[51 On the difference between two neighbouring prime numbers. Матем. сб., 1 D3),
A936), 799—814.
[61 Sur les zeros de la fonction С (s). С R. Acad. Sci., 202 A936), 191—193.
[7] О проблеме Гольбаха. ДАН, 17 A937). 331—334.
[8] О некоторых новых результатах в теории распределения простых чисел. Успехи
матем. наук, 3 A937), 239—246.
[9] О суммах \УеуГя. Матем. сб., 2D4), A937), 17—35.
[10] О функциях С (s) и и (х). ДАН, 21 A938), 525—426.
[11] О плотности совокупности чётных чисел, непредстави
у непредставимых как сумма двух нечёт-
нечётных простых. ИАН. сер. матем. A938), 25—40.
A2] О проблеме Гольбаха. Успехи матем. наук, 4 A938), 14—33.
J13] О теореме Зигеля. ИАН, сер. матем., 6 A942), 135—142.
[14] О некоторых суммах, встречающихся в аналитической теории чисел. ДАН,
42 A944), 340—343.
15] О нулях L-функций Дирихле. ДАН, 49 A945), 89—91.
16] О нулях функции L (s, X)- Матем. сб., 19 F1), A946), 47—56.
17] Введение в теорию L-функций Дирихле. М—Л., ГТТИ A947), 1-202.
18] О некоторых тригонометрических суммах, содержащих простые числа. ДАН,
58 A947), 1251—1294.
Шатровский Л. И.
[1] О минимальных базисах натурального ряда чисел. ИАН, сер. матем., 4 A940),
335—340.
[2] К вопросу о последовательностях, являющихся базисом натурального ряда чисел.
М., Учён. зап. пед. ин-та им. Либкнехта, 7 A940), 41—52.
[3] К вопросу о двух теоремах Эрдеша для множеств целых точек л-мерного про-
пространства. ИАН, сер. матем., 5 A941), 411—422.
[4] Новые обобщения теоремы Davenport'a Pillai о сложении классов вычетов. ДАН,
45 A944), 335—337.
[5] К теореме Эрдеша-Райкова. ИАН, сер. матем., 9 A945), 301—310.
Шнейдер В. Я.
[1] О целых положительных решениях одного неопределённого уравнения. Сверд-
Свердловск, Изв. Уральск, политехи, ин-та, 7 A929—1930), 1—6.
Шнирельман Л. Г.
[1] Об аддитивных свойствах чисел. Ростов н/Д, Изв. Донск. политехи, ин-та,
14:2—3 A930), 3—28
Ober additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann., 107 A933), 649—690.
Об аддитивных свойствах чисел. Успехи матем. наук, 6 A939), 9—25.
On addition of sequences and sets. Матем. сб., 5 D7), A939), 211—215.
Простые числа. М.—Л., ГИТТЛ A940), 1—59.
Об аддитивных свойствах чисел. Успехи матем. наук, 7 A940), 7—46.
О сложении последовательностей. Успехи матем. наук, 7 A940), 62—63.
С Математика в СССР за 30 лет

АЛГЕБРА

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ).
Ш.
.Г.ЧЕБОТАРЁВ.
§ 1. Теория Галуа (86). § 2. Алгебраические числа (92). § 3. Расположение
корней уравнений на плоскости (98).
ятнадцать лет тому назад я составил подобную
же обзорную статью *), которая тогда охватывала всю
алгебру в целом. В настоящее время развитие алгебры
в СССР настолько продвинулось, что возникла необходи-
необходимость распределить материал алгебры по двум отдель-
отдельным статьям. Статья «Алгебра II» посвящена главным
образом теории групп и теории колец, получившим боль-
большое развитие благодаря школе Э. Нётер, а у. нас осо-
особенно развившейся в направлении теории дискретных бесконечных групп
(О. Ю. Шмидт и А. Г. К у р о ш). Настоящая же статья содержит
изложение результатов, относящихся к отделам алгебры, возникшим
ранее: теории Галуа, теории алгебраических чисел, а также теории распо-
расположения корней уравнений на плоскости комплексной переменной. Два,
последних из этих отделов, собственно говоря, относятся к алгебре лишь
частично; теория алгебраических чисел, с одной стороны, тесно связана
с теорией Галуа и потому может считаться отделом алгебры, с другой
же стороны, она содержит обобщения законов элементарной теории чи-,
сел иа иррациональные числа, в силу чего её естественно относить к тео-
теории чисел. Точно так же теория расположения корней, сто лет тому назад
составлявшая ядро алгебры, в настоящее время отходит к теории анали-
аналитических функций, поскольку и её результаты, и методы мало-помалу
распространяются на трансцендентные функции. Здесь сказывается, наряду
с общим процессом перегруппировки математических наук, неизбежным
при её росте и изменениях в понимании её задач, также особая роль, ко-
которую играет алгебра в ряду других дисциплин. Если мы проследим ход
развития математики, то увидим, что алгебра была колыбелью новых идей
и понятий, возникавших в математике. В дальнейшем эти идеи обобща-
обобщались и проникали в другие дисциплины, и лицо алгебры менялось от эпохи
к эпохе довольно быстро. Поэтому весьма трудно подыскать для алгебры
удовлетворительное определение. В связи с этим понятно, что более со-
*) Н. Г. Чеботарёв, Алгебра. Сборник «Наука в СССР за пятнадцать лет.
Математика». М.—Л., ГТТИ A932), 5—36. В дальнейшем для сокращения будет
обозначаться через AI.

86 АЛГЕБРА
временные отделы алгебры, рассматриваемые в статье «Алгебра II», явля-
являются более «алгебраическими». Однако и здесь мы наблюдаем перенос
таких понятий, как «идеал» и «структура», на другие отделы математики.
В направлений «Алгебра 1» руководящую роль в Союзе сохраняет
школа Д. А. Г р а в е. Темп развития этого направления не так быстр,
как направления, отнесённого к «Алгебра II». Однако, как мы увидим
ниже, в этом направлении у нас решено несколько основных проблем,
стоявших на очереди в современной математике, и иногда эти решения
давали толчки к дальнейшему развитию той или иной теории.
Настоящий обзор охватит развитие направления «Алгебра I» в СССР
за тридцать лет существования Советского государства. Однако резуль-
результаты, подробно рассмотренные в AI, будут только упомянуты.
Наш обзор не охватывает отдела линейной алгебры, поскольку в по-
последнее время этот отдел сделался почти всецело геометрической дисци-
дисциплиной (линейные вектор-функции). С другой же стороны, теория матриц
сделалась неотъемлемой принадлежностью некоторых более специальных
дисциплин (линейные дифференциальные уравнения, теория вероятно-
вероятностей, теория групп и т. д.), при обзоре которых она и должна быть рас-
рассмотрена.
§ 1. ТЕОРИЯ ГАЛУА.
1. Прежде всего рассмотрим работы по обоснованию теории Галуа.
В AI была детально описана диссертация С. О. Шатун о в с к ого [I],
в которой теория Галуа выводилась при помощи так называемых функ-
функциональных модулей. Здесь мы рассмотрим серию работ Б. Н. Д е л о-
не и Д. К. Фаддеев а, посвященных приложениям геометрических
методов к решению наиболее трудных задач теории Галуа.
Б. Н. Д е л о н е уже давно пользовался многомерными решётками
для исследований по теории алгебраических чисел. Именно, он сопоста-
сопоставлял с каждым алгебраическим числом а степени п точку л-мерного про-
пространства, считая её v-ой координатой v-oe сопряжённое с а число, если
оно вещественно, и считая её двумя координатами вещественную и мни-
мнимую части комплексно сопряжённой пары сопряжённых с а чисел. Перво-
Первоначально Б. Н. Делоне рассматривал точки, соответствующие целым
алгебраическим числам. Они образуют решётку, поскольку сумма и раз-
разность целых алгебраических чисел тоже являются таковыми. Кроме того,
он ввёл понятие произведения точек, разумея под этим точку, координаты
которой суть произведения координат точек множителей. Это дало воз-
возможность ему и его ученикам изучать единицы и идеалы алгебраических
полей (см. ниже). В дальнейшем Б. Н. Д е л о н е перешёл к рассмотре-
рассмотрению алгебраических чисел вообще. Исходя из надлежащим образом опре-
определённой решётки, он создал оригинальную геометрическую теорию,
представляющую собой обобщение теории Галуа на прямые суммы алгеб-
алгебраических полей в смысле теории алгебр. Все доказательства обычных
предложений теории Галуа построены геометрически. Подполям данного
поля соответствуют «биссектрисные» подпространства, «заполненные»
данной алгеброй, автоморфизмам группы Галуа —.«осесовмещения» нор-
нормальной, т. е. соответствующей нормальному полю алгебры, и т. д.
Описанная геометрия теории Галуа имеет многочисленные приложе-
приложения, многие из которых изложены в совместной статье Б. Н. Делоне
и Д. К. Ф а дд е е в а [2]. Самое простое из этих приложений —есте-

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 87
лэженное доказательство существования алгебраических полей п-й степени
с заданной.сигнатурой, т. е. числом комплексных пар среди сопряжён-
сопряжённых корней. Конечно, доказательство этого факта при помощи ранее изве-
известных методов не представило бы принципиальной трудности. Однако оно
не было проведено ни в одном из существующих больших курсов теории
алгебраических чисел.
В этой же статье (а также в более ранних статьях) выведена весьма
важная асимптотическая формула. Представим себе в л-мерном простран-
пространстве нанесёнными все точки, соответствующие целым алгебраическим
числам степени п и сигнатуры о. Число этих точек внутри гиперсферы
с центром в начале координат и радиусом г выражается асимптотической
формулой
n(n-M)
где vn>«—константа, весьма просто получаемая для каждых п,а (это объём,
вычисленный у Минковского), а 0 (...)—-известный символ Ландау.
Значительно большие трудности представляет вывод подобных асим-
асимптотических формул, если мы в пространстве нанесём точки, соответствую-
соответствующие целым числам, группа которых является делителем некоторой задан-
заданной группы. Идея получения таких асимптотических формул не нова: ещё
в 1916 г. мы с Б. Н. Делоне обсуждали возможность решения при их
помощи обратной задачи Галуа: найти алгебраические поля с заданной
группой Галуа. Первоначальный план состоял в подсчёте точек, которым
бы соответствовали уравнения с коэффициентами, не превышающими
заданного предела. Такой подсчёт весьма груб; он был впоследствии, неза-
независимо от нас, проведён Ван-дер-Варденом и показал, что даже в про-
простейших случаях он не приводит к нужному результату: в некоторых
случаях для группы и её подгруппы получаются одни и те же асимптоти-
асимптотические выражения. Значительный прогресс в этом направлении даёт идея
Б. Н. Д е л о н е: исследовать асимптотические формулы, аналогичные
предыдущей, но для данных групп Галуа. Для четырёх возможных групп
третьей степени это произвёл сам Б. Н. Д е л о н е, а для десяти групп
четвёртой степени —Д. К. Фаддеев (б]. Для этих групп он получил
следующие асимптотические формулы:
симметрическая группа: с^' + О (г9);
груцпа восьмого порядка: c2re log г+ 0 (г6);
группа четвёртого порядка: cj' +0(г*);
циклическая группа четвёртого порядка:
c5r*iogr+0(r*);
Vierergruppe: сяг* log3 r + 0 (г4 log2 r);
группа третьего порядка: с7т4 log г+0(г*);
группа второго порядка (содержащая транспо-
транспозицию):-с8г5+0 (г4);
группа второго порядка (содержащая двойную
транспозицию): ctr* log r + 0(r4);
единичная группа: clor4 + O(rs).
Однако для знакопеременной группы ему не удалось получить асим-
асимптотической формулы.
Вторая часть разбираемой статьи Б. Н. Д е л о н е и Д . К. Ф ад-
деева посвящена обратной задаче Галуа.Ставится следующая зада-
задача: заданы поле к с группой Галуа F и группа © с нормальным делите-

88 АЛГЕБРА
лем 9Z и фактор-группой ®/98, изоморфной с F. Требуется расширить
поле к до поля К, группа которого была бы изоморфна с ©. Эта задача
носит название задачи погр/жения *). В рассматриваемой статье доказы-
доказывается, что задача имеет положительное решение при любом поле к, если
только 9Z абелева группа, а расширение полупрямое, т. е. © содержит
изоморфную с F подгруппу F' такого рода,что F • 91 = ©. Случай, когда
•К—циклическая группа простого порядка, разобран Б. Н. Делоне,
общий случай —Д. К. Ф а д д е е в ы м. Этот результат даёт возмож-
возможность решить обратную задачу Галуа для гораздо более обширного
класса разрешимых групп, чем это было сделано ранее Шольцем.
Далее, статья содержит общие условия погружаемости при заданных
к и ©.принадлежащие Д. К. Фа д д е е в у. Они названы только необхо-
необходимыми; но они делаются также достаточными, если принять гипотезу
о существовании решений для обратной задачи Галуа (или доказать её
справедливость другим путём).
Условия погружаемости выражены тремя различными способами,
из которых первые два имеют место при любых к и @, а третий в том слу-
случае, если Ш—абелева группа. Для формулировки этих условий надо
ввести в рассмотрение так называемое скрещенное произведение ©хЛ,
т. е. сопоставить с элементами о группы @ элементы и, алгебры JJ x»u»
(ив1 • u,s = ип • и,2, хи„ = и„ • х"),
где х«—элемент х поля к, подвергнутый действию автоморфизма о. Полу-
Получается полупростая алгебра.
Чтобы к погружалось в поле с группой ©, необходимо одно из двух:
1) Скрещенное произведение ©xfc должно допускать представление
матрицами порядка g (g—no рядок группы ©) с коэффициентами из
области рациональности R, причём матрицы, соответствующие коль-
кольцу Ш • к, должны образовать представление этого кольца, эквивалентное
регулярному.
2) В групповом кольце 9? • к должно существовать g элементов U
(где о с ®), удовлетворяющих условиям Щ • /„„ = /Я102; /т = у, если чс91-
Если при атом 0J есть абелева группа, то эти условия могут быть
заменены следующим: :
3) Алгебра ©xft должна быть полным кольцом матриц над своим
центром.
В заключение доказано, что если fft есть циклическая группа порядка
р*, то условие 3) является также достаточным.
2. В AI (стр. 10—12) была описана статья Н. Г. Чеботарёва,
приводящая обратную задачу Галуа к проблеме Люрота для функций
многих переменных или к некоторой диофантовой проблеме, т.е. к нахо-
нахождению целочисленных точек на гиперповерхности, заведомо содержащей
рациональные точки. Н. А. Л е д н ё в [2], исходя из построения римановой
поверхности с наперёд заданными критическими точками, привёл обрат-
обратную задачу Галуа к нахождению на гиперповерхности рациональных то-
точек или, в более общем случае, точек, координаты которых принадлежат
заданному полю к, играющему роль области рациональности для подле-
подлежащего построению уравнения.
3. Н. В. Во л ни на [1] решила вопрос о разложении полино-
полиномов внутри заданного иррационального поля на неприводимые множи-
*) Задача ставилась и раньше; например, в статье Н. Т< Чеботарёва [ 17};

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 89
Конечно, этот вопрос и ранее мог быть решён методами теории
fanya. Но ценность метода Н. В. Волниной заключается в том,
wo ои не пользуется теорией Галуа, а основан на теореме Ландсберга *)
в разложении двух полиномов на неприводимые множители пропорцио-
лвлькых степеней при присоединении к области рациональности корня
другого из разлагаемых полиномов. Теорема Ландсбер была доказана
Бауэром **) без помощи теории Галуа. Н. В. Волнина выяснила, что
идея метода Бауера содержит удобный алгоритм для решения постав-
поставленной задачи. Её результат имеет важное методическое значение, особен-
особенно в применении к методу Мертенса-Шатуновского обоснования теории
Галуа, в котором, как известно, с самого начала надо построить систему
«сноввых модулей, неприводимых в некоторых иррациональных полях.
4. Отметим также исследования Н. Г. Чеботарёва [21, 22]
и А. В. Дороднова [1]по квадрируемым луночкам. Вопрос о них
был поднят ещё в античные времена. Клаузен ***) высказал предположе-
предположение, что квадрируемых луночек (т. е. могущих быть построенными цир-
циркулем и линейкой и площадь которых тоже может быть найдена при
помощи циркуля и линейки) существует всего конечное число типов.
Если выразить отношение угловых мер кругов, ограничивающих луночку,
несократимой дробью ™ , то, по Клаузену, таковыми являются следую-
следующие типы:
т—2\ т=3\ т=3\ /п=5\ т=5\
п=1{, п=\], л =2/, л=1/, п=3/.
Вводя соизмеримость этого отношения как дополнительную гипотезу,
Ландау ****) доказал, что если т есть простое число, то оно должно
бить гауссовым. Чакалов *****) показал, что при /л=17 луночка fie
цежет быть квадрируемой, а также доказал несколько общих предло-
предложений. Задача была им приведена к вопросу, при каких целых и взаимно
простых значениях т, п уравнение
Р)'=» A)
имеет рациональные множители, группа Галуа которых имеет вид 2е?
И. Г. Чеботарёв [22] применил к решению этой задачи разло-
разложение корней уравнения A) в р-адические ряды, учитывая, что если т,п
дают квадрируемую луночку, то показатели при степенях р в этия разло-
^Жениях, будучи дробными числами, могут иметь в свои* знаменателях
только степени двойки. Это дало ему возможность показать, что при
^дополнительном предположении о нечётности тип гипотеза Клау-
'звт справедлива, если не считать случая т =9, л=1, при котором один
кз множителей уравнения A) имеет группу Галуа требуемого типа, но
|фвводит к мнимой луночке.
А. В. Дородное в цитированной работе продолжал исследова-
иия Н. Г. Чеботарёва, разобрав случай, когда одно из чисел т, п
чвгное. Его исследования в существенных чертах были произведены тем
*) Journ. reine u. angew. Math., 132.
**) Journ. reine. u. angew. Math., 163.
***) Journ. reine u. angew. Math., 21 A840).
***•) Sitzber. Berl. Math. Ges., 2 A903).
****•) Math, г., 30 A929).

90 АЛГЕБРА
же методом. Однако ему не удалось решить до конца эту задачу, в его
случае несравненно более трудную, чем в случае Н. Г. Чебота-
Чеботарёва; группа случаев, оставшаяся неисследованной, — весьма частная:
т есть степень двойки, а п—.гауссово простое число. В самое последнее
время А. В. Дороднову удалось до конца решить и эту задачу.
А. В. Дородное занимался также более общей задачей: найти
тип, при которых уравнение A) имеет множитель, порядок группы Галуа
которого есть произведение степени двойки на степень тройки (эта задача
соответствует построению луночки при помощи прибора, вычерчивающего
конические сечения). И здесь А. В. Дородное довёл до конца иссле-
исследование подавляющего большинства случаев. Для некоторых из них он
доказал, что благоприятных значений тип может быть только конечное
число, но не указал, каковы эти значения.
5- В AI уже указывалось, что предложенная Клейном проблема ре-
резольвент была приведена Н. Г. Чеботарёвым [14] к задаче одева-
одевания конечной группы группой Ли, представляемой в пространстве возмож-
возможно меньшего числа измерений. При этом для проблемы Клейна в при-
применении к уравнениям общего типа с переменными коэффициентами пред-
представлялось вероятным весьма неутешительное решение задачи, согласий
которому наименьшее число параметров, входящих в резольвенту, только
на три единицы меньше, чем степень уравнения. Впоследствии Н. Г. Че-
ботарёв [19] изложил свои исследования в более совершенном виде.
В этой статье высказанное только что предположение опиралось на вы-
высказанную в диссертации Э. Картана A894) гипотезу, согласно которой
все подгруппы максимального порядка у простой группы Ли регулярны,
т. е. допускают некоторое весьма простое построение при помощи векто-
векторов, определяющих группу Ли. В 1938 г. эта гипотеза была доказана
Н. Г. Чеботарёвым [33] и тем самым показаны невозможность зна-
значительно снизить число параметров в резольвенте типа Клейна, а также
глубокое различие между проблемами резольвент в смысле Клейна и в
смысле Гильберта.
6. В 1943 г. Н. Г.Ч еботарёв [45] предложил новую формули-
формулировку проблемы резольвент. Она состоит в следующем. Пусть даны два
уравнения одной и той же степени л:
коэффициенты каждого из которых пусть зависят от некоторого числа
параметров. Будем называть одно из них резольвентой другого в том
случае, если параметры обоих можно поставить в такую функциональную
зависимость, что при всевозможных изменениях их значений корни
обоих уравнений будут изменяться в согласии между собой. Последнее,
означает, что каждый корень одного уравнения можно поставить в соот-
соответствие определённому корню другого уравнения (например, обозначив;
соответственные корни одними и теми же индексами). Если параметры^
опишут в комплексном пространстве замкнутые пути, то при этом корни
обоих уравнений претерпят одну и ту же подстановку. Проблема резолы
вент состоит в нахождении по данному первому уравнению второго (ре*
зольвенты), у которого число входящих в коэффициенты параметров:
было бы возможно меньшим.
Оказалось, что в такой формулировке проблема резольвент содержит
проблему резольвент Гильберта "как частный случай. Кроме того, оказа-
оказалось, что два уравнения, являющиеся резольвентами одно по отношению

АЛГЕБРА I (АЛГЕЕРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 91
*| Другому, имеют одинаковую структуру своих «критических многообра-
многообразий». Под этим надо разуметь следующее. Пусть уравнение/(х)=0 содер-
bfOjlT т параметров. Считая их значения комплексными числами, мы будем
¦Сопоставлятьс ними точки 2т-мерного пространства. Каждой такой точке
«будет соответствовать п корней уравнения f(x)=O. Будем называть кри-
таческим многообразием совокупность таких точек пространства, которым
соответствует хотя бы один кратный корень нашего уравнения. Уравне-
Уравнения критического многообразия получатся, если приравнять нулю веще-
вещественную и мнимую части выражения дискриминанта нашего уравнения;
критическое многообразие B/п—2)-мерно.
Критическое многообразие в свою очередь содержит «высшие» крити-
критические многообразия, в точках которых кратны большее число корней.
Эти содержат ещё более высокие критические многообразия и т. д. Полу-
Получаются цепочки из содержащих друг друга критических многообразий,
причём размерность каждого из последующих на две единицы ниже размер-
лости предыдущего.
При некоторых дополнительных предположениях число звеньев в
цепочках критических многообразий остаётся тем же самым для резоль-
резольвенты. Отсюда нетрудно сделать вывод: если уравнению /(х)=0 соответ-
соответствует хотя бы одна цепочка критических многообразий, состоящая
т s звеньев, то резольвента этого уравнения не может содержать
менее s параметров. К сожалению, до сих пор не удалось эту теорему
обратить. Возможно, что, кроме числа звеньев в цепочках критических
Лногооэразий, придётся принять во внимание и другие инварианты.
Своеобразна техника получения критических многообразий. Для
этого, обозначая корни уравнения/(х)= 0 через хг, х„, .;.,хп, надо соста-
составить форму
-f • • • + xantn),
где f,. U, ..., tn—'Новые переменные, а подстановки
/1, 2, ...,п \
\а,, а2, ..., anj
пробегают группу Галуа уравнения. Чтобы узнать, лежит ли данная точка
на критическом многообразии, определяемом соотношениями
Xj = Хг — • • • — Xjtj, X/,j4-l = . . . = Ха-2, . . •,
яужнв положить в выражении формы
...+tkt = 0, ...
Получаемая форма Ф$ тогда должна обратиться в нуль.
Этот результат, применённый к уравнению п-й степени ^переменными
Коэффициентами (включив в область рациональности \f D, где D—ди-
D—дискриминант уравнения, можно привести его группу Галуа к знакоперемен-
знакопеременной), даёт для наименьшего числа параметров в резольвенте значение
s =
Это значение для малых значений п совпадает с полученными Гильбертом
значениями s за исключением значений для л=5 и п=8.

92 АЛГЕБРА
7. По теории Галуа Н. Г. Чеботарёвым было написано две книги:
«Основы теории Галуа» [21, 27] и «Теория Галуа» [23]. Из них первая
в своей первой части является учебным курсом, в котором в основу поло-
положена теория Мертенса-Шатуновского- Вторая часть посвящена алгебраи-
алгебраическим числам. Вторая из этих книг является обзорной монографией
с большим литературным указателем.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА.
Теория алгебраических чисел лежит на границе алгебры и теории
чисел: с одной стороны, она смикается с теорией Галуа; с другой же сто-
стороны, она представляет собой естественное обобщение элементарной тео-
теории чисел и пользуется некоторыми результатами и методами аналити-
аналитической теории чисел. Поскольку большая часть полученных в СССР ре-
результатов по теории алгебраических чисел связана с теорией Галуа, я
решил включить теорию алгебраических чисел в настоящую статью.
1. Н. Г. Ч е б о т а р ё в [1, 7] доказал сделанное в 1896 г. Фробе-
ниусом *) предположение о существовании простых чисел, принадлежащих
к заданному классу подстановок в заданном алгебраическом поле (см.
AI). Это предположение, а также употреблённый при его доказательстве
метод присоединения к заданному полю побочных полей деления круга дал
возможность Артину **) доказать так называемый общий закон взаимности
для относительно абелевых полей. Этот закон взаимности состоит в том,
что относительная группа Галуа относительно абелева поля изоморфна
с группой идеальных классов основного поля, относительно которой наше
абелево поле есть поле классов. При этом каждую подстановку относитель-
относительной группы можно сопоставить с определённым идеальным классом в том
смысле, что простой идеал основного поля принадлежит к подстановке
тогда и только тогда, если он лежит в соответствующем ей классе. Это
сопоставление носит характер изоморфизма: произведению соответствует
произведение.
2. Закон Артина дал толчок к дальнейшему развитию теории полей
классов. Гассе, а затем Шевалле, перестроили теорию полей классов.
Последний поставил себе задачу построить теорию полей классов, не поль-
пользуясь трансцендентными средствами (теорией С-функций), при помощи ко-
которых доказывалось существование простых идеалов, удовлетворяющих
тем или иным условиям. Пользование трансцендентными средствами ли-
лишает решение эффективности. Для достижения этой цели Шевалле широ-
широко пользуется локальной теорией полей классов. В частности, он предла-
предлагает новое понятие «иделя», который представляет собой совокупность,
определённых р-адических разложений по всем простым р независимо от
того, соответствует этой совокупности элемент поля или нет.
А. М. М е р к у л о в [1] изложил теорию иделей, в общем следуя
Шевалле, но значительно упростив изложение. Именно, он предложил
элементарный метод построения фундаментального базиса р-адической
расширения относительно поля, что дало ему возможность не пользо-
пользоваться общей теорией локальных полей. Кроме того, он доказал основные
теоремы о группах иделей, не пользуясь понятием производной поля.
*) Sitzber. Preuss. Akad.. 5 A895), 689—705.
**) Hamb. Abh., 5 A927), 359—3&3.

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 93
связано с теорией характеров бесконечных абелевых групп
в. Дйдает наложение весьма сложным,
х-. 8. Поскольку теория полей классов дала возможность глубоко изу-
щпь относительно абелевы расширения алгебраических полей, предста-
МЯедо весьма заманчивым распространить эту теорию на относительно
неабелевы расширения. На этом пути основным затруднением является
то, что трудно обобщить понятие идеального класса таким образом, чтобы
Хрущ/ал этих классов не была коммутативной. В настоящее время было
сделано несколько попыток обобщить в этом направлении так называемую
SWOAwyio теорию полей классов. Локальная теория полей классов была
«строена Шевалле. Она состоит в изучении относительно абелевых рас-
шретя р-адических алгебраических полей. Непосредственная связь
% понятием идеального класса здесь теряется, но тем не менее локальная
теория строится но законам, аналогичным законам конечной теории,
вр имеющим гораздо более простые формулировки. Шевалле даже поль-
пользуется результатами локальной теории для построения конечной теории
волей классов.
И. Р. Ш а ф а р е в и ч [3] даёт наиболее общее описание ^-расшире-
^-расширений р-адического поля к при помощи его числовой группы и группы Галуа.
Он представляет последнюю как фактор-группу свободной группы из па-^1
образующих, где л,—степень поля к- Отсюда, как следствие, получается:
чтобы р-группа могла быть относительной группой Галуа р-расшире-
р-расширения заданного р-адичеасого поля, необходимо и достаточно, чтобы она
могла быть представлена не более чем через п0 + 1 образующих элементов.
Этот результат получается при помощи теории свободных бесконечных
групп. Далее автор подсчитывает число различных:* ^-расширений поля к
с заданной группой Галуа. Этот подсчёт основан на подсчёте систем ин-
транзитивности голоморфа этой группы. Наконец, автор доказывает для
рассматриваемого типа расширений Теорему о погружении: если даны
tyyaw ® а поле к, группа Галуа которого гомоморфна группе @, то поле к
может быть расширено до поля К с группой Галуа, изоморфной с ©.
Доказательство основано на очень интересной теореме теории групп:
два изоморфных нормальных делателя свободной р-группы переводятся
друг в друга автоморфизмом тогда и только тогдц, если их фактор-груп-
ш изоморфны.
В своих результатах И. Р. Шафаревич вводит существенное огра-
ограничение: поле к не должно содержать р-ых корней ив единицы. По этому же
вопросу имеются более ранние исследования Красиера*).
4. Н. Г. Чеботарёв посвятил две работы [5,12] изучению абсо-
абсолютной группы Галуа поля классов в узком смысле этого слова, т. е.
абедера поля, неразветвлённого над полем к. В основу исследования по-
положена открытая им ранее «арифметическая теорема монодромии»:
квмпотт всех групп инерции нормального поля есть вся группа Галуа
того поля.
Эта теорема должна накладывать известные ограничения на абсолют-
абсолютную группу Галуа поля классов. В самом деле, если К есть абсолютно
нормальное, относительно абелево и неразветвлённое поле над к, то груп-
группы инерции полей км К изоморфны, а вместе с тем их композиты воспроиз-
«одят группу Галуа полей к и К. Из этого, например, сразу вытекает, что
группа Галуа поля К не может быть циклической.
*) С. R. ACad. Sci., 206 A938), 1534—1536; 1696—1699; 1940—1942.

94 АЛГЕБРА
Автор рассматривает нормальное поле к, а также наименьшее абсо-
абсолютно нормальное полеКр, содержащее относительно циклическое нераэ»
ветвлённое над к поле степени р, где р—простое число. Пусть ©' будет
абсолютная группа Галуа поля Кр, пусть поле к принадлежит к её нор-
нормальному делителю S&, который является абелевой р-группой, и пусть
где @ — группа Галуа поля к. Далее, пусть 9? есть наибольшая подгруппа
группы @', элементы которой перестановочны с элементами группы ф,-
и пусть К„—принадлежащее к 9? поле. Наконец, пусть ? есть какая-нибудь
группа инерции поля Кр относительно поля Кп,? есть её норма, т. е. наи-
наименьший содержащий %' нормальный делитель группы 9? и Щ композит
всех групп %. Тогда имеет место один из следующих четырёх случаев:
1) -Й = g. Будем тогда говорить, что Кр есть собственное поле классов.
2) 92>?, но $ взаимно проста с ЭД}. Тогда Кр есть несобственное
поле классов.
3) 9?>? и одна из групп ?' не взаимно проста с ?. Тогда Кр есть цент
ральное поле классов.
4) 9?>?, все группы %' взаимно просты с $, но их композит Щ не вза-
взаимно прост с $. Тогда Кп есть родовое поле классов.
Каждому из этих случаев соответствует определённое ограничение,
налагаемое на число р. Именно, в случае 1) группа ® есть делитель голо-
морфа группы ^. Если последняя есть абелева группа v-членного типа
(р,р,...,р), то порядок g группы (SJ есть делитель числа
В частности, если v=l, то
р—:l(mod g).
Это, однако, возможно только для полей деления круга. Вообще имеет
место
v<g,
за исключением случая двойного конуса восьмого порядка.
В случае 2) вопрос приводится к рассмотрению поля классов той же
относительной степени, но над истинным подполем (тоже нормальным)
поля к. Мы придём таким образом или к случаю 1), или к случаю 2).
Продолжая процесс, мы в конце концов придём к случаю 1).
В случае 3) возможно лишь конечное число типов групп ^, определяе-
определяемых структурой группы @. Это вытекает из следующей теоремы теории
групп: пусть группа Щ есть композит элементов Q,, Q3, .... Qm, причё»
в эту систему пусть наряду с каждым Q, входят все сопряжённые с ни*
элементы. Далее, пусть задана группа %', обладающая следующими свой-
свойствами:
1) ($>' имеет такой нормальный делитель ^, что фактор-группа @'Д
изоморфна с @,
2) ф содержится в центре группы E5',
3) ©' есть композит некоторых элементов Q'lt Q'2, ..., Qm, переходи
щих в Qlt Qz,.... Qm, при отображении ©'—»C$, причём порядок каждог1
Q't равен порядку Qt. Тогда @' изоморфна с некоторой фактор-группой опре-
определённой конечной группы, вполне определяемой заданием структур*
группы Щ.

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 95
В случае 4) все поля Кр определяются заданием числа множителей,
ко которые разлагается дискриминант поля к.
t-у. Вработе об относительно абелевых полях Н. Г. Ч ебота рёв [17] ис-
%№дует особый тип групп (названный им шольцееыми группами), для
которых задача погружения (названная им задачей А) всегда имеет
ращение.
¦ 5. Все идеалы поля Л, рассматриваемые как идеалы его поля классов
$,. являются главными идеалами. Этот факт, получивший название «теоре-
«теоремы о главных идеалах», был впервые доказан Фуртвенглером в 1929 г.
Е$го доказательство основано на рассмотрении относительной группы
цоля Ki/K, где Ki—поле классов поля К и вытекает из некоторых нетри-
нетривиальных свойств двустепенных групп, к которым принадлежит группа
поля KJK. Обобщая этот результат, Н. Г. Чеботарёв [18] рассмо-
рассмотрел вопрос о группе идеальных классов поля к, рассматриваемых как
классы частичного поля классов. Ему удалось привести этот вопрос тоже
к теории двустепенных групп и дать алгоритм его решения. Повидимому,
этот вопрос не допускает решения, которое могло бы быть просто сформу-
сформулировано.
6. В теории единиц алгебраических полей, а также её приложений
к диофантову анализу, фундаментальные результаты были получены
U. Н. Д е л о н е. Эти результаты были разбросаны по многочисленным
журнальным статьям, а впоследствии собраны в монографии Б. Н. Д е л о-
н е и Д. К. Ф а д д е е в а [1]. Хотя она посвящена кубическим полям
и полям четвёртой степени, но разработанные в ней методы имеют гораздо
более широкое поле приложении, что уже начинает проявляться в работах
учеников Б. Н. Делоне, в которых были использованы изложенные
в этой книге методы. Поэтому мы считаем целесообразным подробно
остановиться на содержании монографии.
В первой главе этой монографии излагается теория решёток,
повторяющихся умножением. Эту теорию мы уже описывали в § 1.
Вторая глава посвящена элементарным вычислениям, связанным
с Кубическими полями: задаче Чирнгаузена, прямой и обратной, нахо-
нахождению фундаментального базиса, разложению простых чисел^на простые
идеалы и определению группы классов кубического поля. В конце главы
приложены таблицы уравнений с их базисами, дискриминантами и числами
классов.
В третьей главе теория решёток применяется к табуляризации
и классификации полей третьей и четвёртой степеней. Приводят-
Приводятся таблицы полей и колец, расположенных в порядке возраста-
возрастания дискриминанта. Дана геометрическая теория двойничных кубических
форм. Выводится интересная теорема В. А. Тартаковского:
существует лишь конечное число кубических единиц с ограниченным дискри-
дискриминантом. Наконец, проводится классификация полей четвёртой степени
в зависимости от групп Галуа и дискриминантов.
В четвёртой главе изложен алгоритм Вороного для нахождения основ-
основных единиц кубических колец. Как и у Вороного, отдельно разобраны слу-
случаи колец, порождаемых уравнениями с вещественными корнями (слу-
(случай О>0)и уравнениями с парой комплексных корней (D < 0), поскольку
для них существенно различны и алгоритмы, и результаты (в первом слу-
случае две основные единицы, во втором случае-^одна). В отличие от Воро-
Вороного, оба алгоритма изложены геометрически, при помощи теории решёток,
в которых разыскиваются так называемые относительные минимумы.

96 АЛГЕБРА
Приложена таблица единиц полей с ?)<0, составленная Б. Н. Делоне
и К. Я. Латышевой, а также таблица А-А. Маркова (старшего)
единиц чисто кубических полей.
Пятая глава посвящена теореме Туэ о конечности числа решений не-
неопределённого уравнения
/(*, У) = т, A)
где левая часть—форма выше второй степени. Основное изложение ведётся
для произвольной степени, но леммы о существовании так называемого
заградительного ряда доказываются только для кубических форм. При-
Приводимое изложение является переработкой В. А. Т а р т а к о в с к о го,
которому также принадлежит улучшение оценки верхней границы для
решений. Приведена также в улучшенном виде теорема Зигеля о числе
решений.
В шестой главе излагаются известные исследования Б. Н. Д е л о н е
по неопределённым уравнениям, посвященные алгоритму решения не-
неопределённого уравнения A), где левая часть—кубическая форма отри-
отрицательного дискриминанта, а также дополнения к ним, данные В. А. Т а р-
таковским, Д. К. Фаддеевым и Нагеллем. Б. Н.Делоне
привёл задачу к нахождению двучленных единиц в кубических кольцах,
а йта задача решается всегда, кроме некоторых исключительных случаев.
В. А. ТартаковекиЙ[1] приложил аналогичный приём к решению
уравнения
Это уравнение решено в монографии методом Д. К. Фаддеева [2], име-
имеющем преимущество втом, что ои не допускает исключений, в то время
как способ В. А. Т артековского не даёт ответа в случае Д=15.
Далее дана известная теорема Б. Н. Д е л .о н е о том, что уравнение A)
имеет не более няти решений. Приведены таблицы решений. Изложена
(по Вейлю) теория Морделла о рациональных точках на кривых третьего
порядка.
7. Как мы уже уцадонали, Б. И. Делоне расшифровал геоме-
геометрический смысл алгоритма .предложенного в 1896 г. Вороным для нахо-
нахождения основных единиц в кубических полях. Алгоритм Вороного долгое
время не поддавался распространению на поля высших степеней, посколь-
поскольку он включает в себя соображения, связанные с приведением бинар-
бинарных квадратичных форм. С другой стороны, были предложены другие ал-
алгоритмы (например, Минковского и Шарва), которые в принципе можно
было бы распространить на любые степени, но которые настолько сложны
на практике, что при их помощи не вычислялись единицы даже для куби-
кубических полей, кроме простых разрозненных примеров. В работе
К. К. Биллевича [1] даётся алгоритм, оперирующий теми же сред-
средствами, что и алгоритм Вороного (решётки, относительные минимум»),
но приложимый к полям любых степеней. Заметим, что алгоритм
Биллевича впервые позволил составлять таблицы единиц для полей,
содержащих более одной основной единицы. К. К. Биллевич соста-
составил две таблицы: для чисто вещественных полей третьей степени (до
D = 1296) и для чиетовещественных полей четвёртой степени (до D = 7168).
8. Работа Н. А. Леднёва [1] посвящена обобщениям Двух изве-
известных теорем Куммера-Гильберта о структуре единиц относительно цикли->
ческих полей. Первая из них, о существовании особой системы относитель-
относительных единиц, обобщена в двух направлениях: вместо расширения простой

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 97
степени рассматривается циклическое расширение простой степени; кро-
кроне того, вместо группы единиц типа В1-' рассматривается несколько
более общая группа единиц.
Вторая теорема Куммера-Гильберта утверждает, что основная систе-
система единиц максимального вещественного подполя поля R (С), где
t, — e l , I—нечётное простое число, является также основной системой
единиц поля /?(С). Она тоже обобщена в двух направлениях: во-первых,
вместо поля рациональных чисел R берётся произвольное вполне веще-
вещественное поле, дискриминант которого не делится на /, во-вторых, вместо
1-Х корней из единицы рассматриваются Jft-e. Из этих результатов вытекает
теорема Эрбрана для случая циклического расширения основного поля.
9. В. А. К у р б а т о в посвятил свою работу [1] полиномам, дающим
подстановки для бесконечного множества простых модулей. Говорят, что
целочисленный полином/(х) даёт подстановку по модулю р, если числа
/(v) (v=0,1, .... р— 1) несравнимы друг с другом по модулю р. Диксон
нашёл, кроме полиномов
ах+Ь, х" (п, р-1)=1,
ещё полиномы
дающие подстановки для бесчисленного множества простых модулей.
Здесь Т„ (х)=cos (narccosx)—полином Чебышева. И. Шур показал, что
в случае простого п, кроме указанных полиномов и их комбинаций, не
существует полиномов степени п, дающих подстановки для бесчислен-
бесчисленного множества простых модулей. Такого рода степени он назвал дик-
соновыми числами. Вегнер показал, что произведения двух простых чи-
чисел, а также степени простых чисел являются диксоновыми числами.
В. А. К у р б а т о в [1] получил более общий-критерий для того, чтобы
число п было диксоновым, причём п в этом случае может быть про-
произведением многих простых чисел.
10. В заметке Д. С. Г о р ш к о в а [1] даётся необходимое и достаточ-
достаточное условие для того, чтобы элементы кубического поля могли быть пред-
.ставлены симметрическими матрицами с рациональными коэффициентами.
'Для квадратичных полей для этого необходимо и достаточно, чтобы их
дискриминанты выражались в виде сумм двух квадратов. Критерий
Д. С. Горшкова состоит в существовании целых элементов поля,
связанных равенством
— * Т--4——-и-
11. В 1925 г. Н. Г. Чеботарёв в бытность в Геттингене по пред-
предложению Островского доказал, что ни один из миноров определителя
Вандермонда, составленного из р-х корней из единицы, где р-^простое
число, не равен нулю. Это доказательство помещено в статье Остров-
Островского*). Оно состоит в следующем. Пусть
*) Jahresber. DMV, 35 A926), 269—280.
^ Математика в СССР за 30 лет

98 АЛГЕБРА
2ni
= г р , а1, <х2, ..., а,к и р1( р,,..., pft —две системы чисел, взятых
из ряда О, 1, ..., р —¦ 1. Полагая в = 1 + я и разлагая Д по степеням я,
получим член, делящийся на наименьшую степень я такого вида:
а~~ 1! 2! ...(Л —1I я
Поскольку я1*-1 точно делится на первую степень р, а наш коэффициент
не делится на р, А не может быть равно нулю.
Впоследствии это доказательство было упрощено А. М. Данилев-
Данилевским [2].
§ 3. РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
НА ПЛОСКОСТИ.
1. Этот отдел алгебры имеет в качестве основной задачи нахождение
неравенств, которым должны подчиняться коэффициенты уравнения для
того, чтобы его корни лежали в той или в другой части плоскости ком-
комплексной переменной. Эта задача, первоначально формулированная как
чисто алгебраическая, впоследствии утратила свой алгебраический харак-
характер, по существу слившись с отделом теории аналитических функций,
носящим название проблемы коэффициентов. В своей чисто алгебраи-
алгебраической части эта задача в принципе была решена после создания Кронеке-
ром его теории характеристик, по которой Н. Г. Четаевым была
недавно написана небольшая монография [1]. Однако отдельные случаи
этой задачи (проблемы Рауза-Гурвица и Шура-Кона) до сих пор рассма-
рассматриваются в литературе главным образом с целью улучшить форуму, в ко-
которой даётся решение. Это особенно относится к проблеме Рауза-Гурвица,
в силу её значения в решении некоторых вопросов техники.
В настоящем параграфе мы не будем ограничивать себя рамками чисто
алгебраической задачи, поскольку её наиболее интересная и принципиаль-
принципиальная часть касается трансцендентных функций.
2. Связующим звеном между алгебраической и трансцендентной
частями этой задачи является проблема продолжаемых полиномов,которая
в общем виде формулируется так:
Каким неравенствам должны быть подчинены коэффициенты
полинома
... +anz"
для того, чтобы существовал полином
корни которого лежали бы на заданном множестве ЭД? точек плоскости
комплексной пер еменной?
Эта задача имеет чисто алгебраический характер, если мы дополни-;
тельно ограничим степень т. Если же не связывать т никакими огран
ничениями, то, как мы убедимся, задача выходит из рамок алгебры. Так пй
и будем поступать. Тогда при некотором обобщении формулировки (имен-]
но, мы должны потребовать, вместо ограничения на корни, чтобы сам п<к

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 99
лином F (z) обладал заданными свойствами) задача продолжаемых поли-
полиномов есть не что иное, как проблема коэффициентов в уточнённой фор-
формулировке. Возьмём для определённости, как пример, задачу Каратеодо-
ри: условия для коэффициентов разложения функции, принимающей внут-
внутри единичного круга значения, вещественные части которых положитель-
положительны. Первое условие связывает первые два коэффициента, второе условие—
три, и т. д. Что значит, что первые л+1 коэффициентов функции удовле-
удовлетворяют условиям Каратеодори? То, что отрезок разложения функции,
полином л-й степени, может быть продолжен так, чтобы получаемая при
этом функция имела положительную вещественную часть внутри единич-
единичного круга. При этом не имеет существенного значения, продолжаем ли
полином до функции, или до полинома неограниченно высокой степени.
Заметим, что ту или другую проблему коэффициентов можно считать
вполне решённой только тогда, если решена соответствующая ей про-
проблема продолжаемых полиномов.
В частности, задача продолжаемых полиномов включает в себя
общую проблему коэффициентов однолистной функции. В самом деле, что-
чтобы функция
была однолистна внутриуединичного круга, необходимо и достаточно,
чтобы функция
sin28 , i sin36 ,.4.
не имела внутри единичного круга нулей, каково бы ни было значение
нараметра 6. Таким образом проблема приводится к продолжению поли-
полинома
нома
до полинома такого же вида, имеющего все корни вне единичного круга.
Здесь фигурирует только параметр 6.
: Н. Г. Чеботарёв во вводных статьях [25, 34] ставит задачу в об-
обдан виде, а также даёт некоторые указания для решения её отдельных
'Видов: беря в качестве множества ЭД? вещественную ось R (^-продолжа-
(^-продолжаемые полиномы) или единичную окружность К (К-продолжаемые по-
,ДИномы).
!у 3. Н. Н. М е им а н [3, 4] решил задачу R-продолжаемых полиномов.
;9га задача может быть приведена к следующей.
- Заданы вещественные числа su s2, ..., sn. Требуется найти т веще-
вещественных чисел а1г а,, ..., а.т (число т произвольно), удовлетворяющих
системе уравнений
Если считать slt s2, ..., sn декартовыми координатами п-мерного
пространства, каждой точке которого соответствует полином л-й степени,
то точки, соответствующие ^-продолжаемым полиномам, порождают тело,
образованное параллельным переносом кривой
о е, t с i3 с tn
¦ ij t, Oj », ...,Jn — I .
7*

100 АЛГЕБРА
Основная трудность задачи состоит в определении границ этого тела.
При л = 2ип =3 вопрос решается легко: при я=2 тело характеризуется
неравенством
sa>0,
а при п = 3 — неравенством
si > si.
Однако, как показал Н. Н. М е й м а н, при «>4 граница тела состоит
из бесчисленного множества алгебраических гиперповерхностей. Для
каждой точки тела существует параметрическое представление, которое
Н. Н.Мейман назвал каноническим. Оно имеет вид
s*«-fcd? + 0,u*+...+?na* (?=1,2, ...,«),
причём ut > u, >.. • > u,,. > 0 > u^-fi > .. ¦ un и коэффициенты ^г, стоящие
на начётных местах от ц=0, равны единице, а остальные ^ равны произ-
произвольным целым неотрицательным числам. При этом Н. Н. М е й м а н
доказал, что координаты всякой точки тела допускают одно единственное
каноническое представление. Указан также алгоритм, позволяющий при
помощи конечного числа действий решить, соответствует ли заданная
точка R-продолжаемому полиному или нет.
4. С проблемой R-продолжаемых полиномов тесно связана проблема
/^-интегрируемых полиномов.
Задан полином
п
с вещественными корнями (необходимое условие для возможности реше-
решения задачи). В каких случаях можно, проинтегрировав его т раз
(т произвольно), подобрать константы интегрирования так, чтобы полу-
получился полином с вещественными корнями?
Если задача решается положительно, то заданный полином назы-
называется /?-интегрируемым. Н. Г. Чеботарёв [26,41] показал: для
того чтобы заданный полином был R-интегрируемым, необходимо и доста-
достаточно, чтобы полином
..+nl anxn
выл R-продолжаем.
5. По методу решения к проблеме R-продолжаемых полиномов близка
проблема Н-продолжаемых полиномов, т. е. полиномов, которые после
продолжения могут быть сделаны Н-полиномами или, что то же, полино-
полиномами, имеющими все корни левее мнимой оси. В печатающейся сейчас
работе Н. Г. Чеботарёв предложил построение, могущее привести
к решению проблемы и опирающееся на решение проблемы /?-продолжае-
мых полиномов. Однако алгоритма решения проблемы дано не было.
Вообще существуют основания полагать, что проблема Я-продолжаемых
полиномов имеет более простое решение, чем проблема /^-продолжаемых
полиномов.
Для низших степеней известно следующее.
Вещественные квадратные и кубические полиномы Я-продолжаемы
только тогда, если они сами являются Я-полиномами.
Для полиномов четвёртой степени это уже не имеет места.
6. В этом цикле проблем особое место занимает проблема К-продол-
жаемых полиномов, где под К мы понимаем множество точек, порождаю-

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ)
101
щих замкнутую кривую, охватывающую начало координат.. Эта пробле-
проблема при самых широких предположениях имеет положительное решение.
Впервые это было доказано Л. И. Г а в р и л о в ы м [1] для случая, ког-
когда/С— окружность с центром в начале координат. Впоследствии Л. И. Г а в-
рилов [2] дал более простое доказательство этого факта со способом
эффективного построения продолжения. В одной из своих дальнейших
статей [3] он показал, что всякий полином останется К-продолжаемым,
если под К разуметь единичную окружность, из которой выбрано произ-
произвольное множество точек меры нуль. В другой статье [4] он показал, что
в качестве К можно взять произвольную дугу на единичной окружности,
к которой добавлено множество точек, всюду плотное на оставшейся дуге
окружности. В совместной статье Л. И. Гаврилова и Н. Г. Чебо-
Чеботарёва [1] доказан этот факт для произвольной окружности, внутри
которой расположено начало координат. Наконец, Н. Г. Чебота-
Чеботарёв [36] доказал его для произвольной замкнутой спрямляемой кривой,
внутри которой находится начало координат. Для простоты вывода кри-
кривая предположена звездообразной относительно начала координат.
7. Н. Г. Чеботарёв [2] распространил понятие результанта
на целые трансцендентные функции. Для этого он воспользовался теоре-
теоремой Адамара о том, что полюсы функции aobo + a1b1z+ ... являются попар-
попарными произведениями полюсов функций а0 -f a^z + • -. и ba+blz+...
Эта теорема позволила ему построить результант функций /(z) и g (—) ,
где /(z) и g(z)—целые функции. Такой способ построения результанта
встречается в несколько ином виде ещё у Лагранжа (см. Н. Г. Ч е б о-
f a p ё в [24], стр. 29^31).
Впоследствии Н. Г. Чеботарёв [11] применил этот способ к вы-
выводу условий однолистности аналитической функции внутри единичного
круга.
8. Критерий вещественности корней полинома
состоит в положительности вариант
Sp-i
B2p-i
(p=l,2, .... n),
?де sk — суммы степеней корней, находимые при помощи рекуррентных
формул Ньютона. Этот критерий распространялся многими авторами на
Целые трансцендентные функции. В частности, критерий Н. Г. Чебо-
Чеботарёва [10], состоящий в положительности вариант
при всяком р и при достаточно большом (растущем вместе с р) чётном т
является необходимым и достаточным условием вещественности нулей
для любой целой функции с вещественными коэффициентами.

102 АЛГЕБРА
Ранее был известен критерий Громмера *) тех же вариант, но при
фиксированном чётном т. Его выполнение необходимо и достаточно для
того, чтобы заданная целая функция имела только вещественные корни и,
кроме того, была функцией определённого конечного порядка. Упроще-
Упрощению вывода этого критерия были посвящены статьи Н. Г. Чебо-
Чеботарёва [10], М. Ф. Кравчука [12], М. Г. К р е й н а **)
и Н. Н. МеЙмана [1,2].
9. В цитированной статье Громмер также перенёс на целые трансцен-
трансцендентные функции критерий Рауза-Гурвица, необходимый и достаточный
для того, чтобы все корни полинома имели отрицательные вещественные
части. Его обобщение справедливо только для функций порядка нуль.
Фудживара***) предложил критерий для функций порядков нуль и
единица. Однако М. Г. К р е й н показал, что выводы Громмера и Фуд-
жизара содержат ошибочные рассуждения. В частности, Громмер не
учёл возможности, что данная функция и сопряжённая с ней могут иметь
общие нули.
В той же статье М. Г. К р е й н получил критерий представимости
вещественной целой функции
в форме*;
где е (z) — произвольная вещественная целая функция, a g(z) — веще-
вещественная целая функция, все нули которой лежат левее мнимой оси и удо-
удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям. Критерий состоит
в положительности последовательных главных миноров матрицы
с, с0 О О О О
с, с2 с, с0 О О
Се С4 С3 С3 Сх Со
Если притом заранее известно, что/(х) и /(—z) не имеют общих нулей,
то приведённый критерий необходим и достаточен для того, чтобы все
нули f(z) лежали левее мнимой оси.
Н. Г. Чеботарёв [10] предложил другой критерий, справедли-
справедливый для любой вещественной целой функции, не имеющей равных по
модулю, но не сопряжённых корней. Более того, он даёт возможность опре-
определять число корней из т наименьших по модулю, которые лежат правее
и левее мнимой оси.
10. Все упомянутые критерии состоят из бесконечного числа нера-
неравенств и потому неприменимы к задаваемым конкретным функциям.
Вместе с тем ясно, что этим недостатком обладают не только уже извест-
известные критерии, но по необходимости должен обладать всякий мыслимый
критерий, справедливый для всех целых функций или хотя бы для всех
целых функций определённого конечного порядка. В самом деле, такого
рода целые функции зависят от бесконечного числа параметров (например,
*) Journ. reine u. angew. Math., 144 A914).
**) См. книгу Н. И. А х и е з е р а и М. Г. К р е й н а «О некоторых вопросах
теории моментов», Хрк. A938), 208—252.
***) T6hoku Math. Journ., 25 A925), 27—35.

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) ЮЗ
коэффициентов их разложения в ряд) и вместе с тем могут иметь бесчи-
бесчисленное множество нулей, так что расположение последних левее мнимой
феи не может быть обусловлено конечным числом неравенств.
Вместе с тем вопросы техники (устойчивость механизмов регулиро-
регулирования в гидравлике и электродинамике, содержащих связи запаздываю-
запаздывающего действия) потребовали эффективного решения проблемы Рауза-Гур-
вица для квазиполиномов, т. е. целых функций типа
> /(х,«х),
где /(и, v) — полином от двух переменных. Поскольку квазиполиномы
содержат конечное число параметров, можно было ожидать, что проблема
имеет эффективное решение, т. е. состоящее из конечного числа равенств
цли неравенств. В результате коллективных усилий Б. Я. Левина,
Н. Н. Меймана, Л. С. Понтрягина, В. Н. Цапырина
и Н. Г. Чеботарёва таковое действительно было найдено.
¦ 11.:Н. Г. Чеботарёв [42, 43] модифицировал проблему Рауза-
Гурвица. Именно, он положил
&eg(z), h(z)— вещественные функции, и определил класс функций /(z),
для которых нули функций
йри всяком достаточно малом s лежат выше вещественной оси. Этот класс
.^Же класса целых функций с нулями левее мнимой оси. Он характери-
.зуется так называемыми условиями Эрмита- Билера; все кул»функций g (z)
;tt h(z) должны быть вещественны, перемежаться, и по крайней мере для
'Одного нуля а функции g (z) должно иметь место
А (») ^П
g'(") ^
Ц, И, Левин [1] и Н. Н. Мейман [5,6], пользуясь большим аппа-
ргом теории аналитических функций, изучили природу мероморфных
|^-', которым соответствуют целые функции / (z) из только что
ценного в рассмотрение узкого класса, который Н. Н. Мейман
классом ЯВ-функций. В частности, доказано, что частное |^
ЯВ-функций разлагается в каноническое произведение такого типа:
Р1й flv и ftv вещественны и av < ^v < «v+i < *v+i-
12. Л. С. П о н т р я г и н [19] доказал, что для квазиполиномов
г 1 некоторых дополнительных условиях имеет место критерий Эрмита-
клера. Б. Я. Л е в и н и Н. Н." Мейман распространили этот
ультат на более общий класс функций
/v (z) — полиномы, a «>v — произвольные вещественные числа.

104 АЛГЕБРА
В той же статье Л. С. Понтрягин предложил способ конста-
констатирования вещественности нулей тригонометрического квазиполинома
/(z, cos z, sin z), где f{z, и, v) — полином степени г относительно z и сте-
степени s относительно и и v вместе. Для этого он доказал, что этот квази-
квазиполином имеет 4ks + г нулей, вещественные части которых лежат в грани-
границах между — 2itfc+s и 2кк+е, гдецелоечисло к достаточно велико. Таким
образом, чтобы все нули квазиполинома / (z, cos z, sin z) были вещественны,
необходимо и достаточно, чтобы -при достаточно большом к он имел
^-интервале (— 2-кк + е, 2кк-\-&) 4ks+r вещественных нулей.
13. Для определения числа вещественных нулей тригонометриче-
тригонометрического квазиполинома, лежащих внутри данного интервала (а, Ь),
Н. Г. Чеботарёв [40] предложил приём, представляющий собой
обобщение метода Штурма. Он составляет штурмов ряд для квазиполи-
квазиполинома и его производной, считая их полиномами от свободно входящего z,
a cos z и sinz включая в коэффициенты. Последний член такого ряда
является не константой, а чисто тригонометрическим полиномом, нули
которого определить нетрудно. Этот ряд даёт возможность подсчитать
нули способом, подобным способу Штурма, но с учётом нулей последнего
члена, а также значений z, в которых обращаются в нуль соседние члены
штурмова ряда. Беря а = — 2пк + е, Ь = 2кк + е, где к достаточно
велико, мы получим для искомого числа нулей линейное относительно к
выражение: pk+q. Все корни квазиполинома вещественны в том
и только в том случае, если p—4s, q — r.
Чтобы решить проблему Рауза-Гурвица для квазиполинома /(z),
надо положить
где g(z), h (z)—тригонометрические квазиполиномы. Далее, надо соста-
составить описанным образом ряд Штурма, полагая V— — g(z), Vl=h(z).
Чтобы выполнялись условия Эрмита-Билера, т. е. чтобы все нули функ-
функций g (z) и h (z) были вещественны и перемежались, необходимо и доста-
достаточно, чтобы величина, вычисленная для этого ряда Штурма по тем же
правилам, по которым мы вычисляли число вещественных нулей функ-
функции g(z) в интервале ( —2яА: + 8> 2тс# + е) при помощи ряда Штурма,
начинающегося с V — g(z), V\ = g'(z), была тоже равна 4sk + r.
14. Поскольку эффективное решение проблемы Рауза-Гурвица необ-
необходимо для технических потребностей, представлялось целесообразным
выразить это решение, хотя бы для небольших значений г и s в виде
явных неравенств. Эта задача была выполнена А. Н. Хованским[1]
для г— 1, s= 1, Н. Г. Чеботарёвым и В. Н. Цапыриным
для r = 2, s=l. H. Г. Чеботарёв решил проблему для квазиполи-
квазиполиномов вида
(а„ + a,z + fl,2!) ch z + (b0 + bYz + baz2) sh'z A)
с положительными коэффициентами а„ bt. Его решение может быть дано
в следующем виде. Рассмотрим вспомогательное уравнение
где
А = аоа\аг> B = a1b1(a0b2 + atb0)~(a0bi — a2b0J, C = bob\b2.
Условие вещественности его корней может быть представлено так:

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 105
Если эти корни комплексны, то все нули полинома имеют отрицательные
вещественные части. Если же — вещественны, то, обозначая через ^ и т2
те из корней, которые лежат между 0 и у, мы получим следующее
дополнительное условие:
^П = Г -.t I (aoft2-ai,fto)tg';,1
где символ [х] обозначает наибольшее целое число, не превышающее х.
В. Н. Цапырин [1] решил проблему Рауза-Гурвица для полино-
полиномов A) с коэффициентами всевозможных знаков.
Н. Н. Мейман и Н. Г. Чеботарёв приготовили к печати
большую монографию по проблеме Рауза-Гурвица, в которой собраны все
описанные результаты. В виде дополнения к ней приложена статья
Г. С. Бархина и А. Н. Хованского, в которой проблема решена
для квазиполиномов с г = 3, s = 1.
15. В AI были описаны статьи М. Г. К р е й н а [1], Д. А. Г р а в е [3]
И С. А. Гершгорина [1], посвященные расположению корней на
плоскости комплексной переменной. Много интересных статей по этой
мме не описано в настоящем обзоре, поскольку автор не располагает нуж-
йой литературой.
16. В заключение упомянем о двух интересных работах А. А. М а р-
Кова [3,4]. В первой из них автор обобщает знаменитый результат
Артина и Шрейера о представимости рациональных функций от многих
беременных, принимающих при вещественных значениях аргументов
|«йько неотрицательные значения, в виде сумм квадратов рациональных
функций. Это обобщение состоит в следующем: если рациональная функ-
Щ* f(xi> Х2> • •>> хп) принимает неотрицательные значения при веще-
Штнт значениях х1У xt, ..., хп, для которых имеет место
/v(xi, х , х„)>0 (v= 1, 2, ..., т),
Ш /м тоже рациональные функции, то она допускает представление
Ш Чу — рйциональные функции, а е^ — полиномы с неотрицательными
Щзффициентами. Автор доказывает это предложение, опираясь на методы
^результаты Артина и Шрейера.
~ ¦ #о второй работе даётся алгоритм для нахождения числа веществен-
fttt корней уравнения /(?) = 0, удовлетворяющих неравенствам /v (?)> О,
Ще f, Д,—полиномы с рациональными коэффициентами.

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ).
А. Г. КУРОШ.
§ 1. Общий обзор A06). § 2. Прямые произведения групп A09). § 3. Свобод-
Свободные группы и свободные произведения группA11). § 4. Абелевы группы A13).
§ 5. Периодические группы. Бесконечные разрешимые и специальные
группы A15). § 6. Конечные группы A19). § 7. Другие вопросы теории
групп A22). § 8. Общая теория алгебраических систем с одной операцией
A24). § 9. Теория колец и алгебр A27). § 10. Теория структур A31).
§ 1. ОБЩИЙ ОБЗОР.
лгебра разделена в настоящем Сборнике на две статьи, из.
которых первая посвящена теории Галуа, теории алгебра-,
ических чисел, а также теории расположения корней урав-
уравнений на плоскости комплексного переменного, а втек
рая —теории групп, теории колец и смежным вопросам..
Не следует считать это разделение покоящимся на серь-
серьёзных научных основах — оно даже не вполне соответствует
тому делению алгебры на «классическую» и «современную», к которому
привыкли многие математики. Впрочем, само противопоставление ал-,
гебры современной (или новой) алгебре классической (или старой)-
основано на недоразумении. В действительности, подобно тому как
развитие теории алгебраических уравнений с необходимостью привело
к возникновению теории алгебраических числовых полей и теории
конечных групп, дальнейшее развитие алгебры и всей математики в це-.
лом сделало вполне закономерным переход к общей теории полей и к тео-.
рии бесконечных групп, а также .возникновение и бурное развитие,
теории колец. Столь же закономерно появление теории структур, офор-
оформившейся в самостоятельную ветвь алгебры лишь в самые "последние.
годы, но до этого долго вызревавшей в недрах других областей мате-:!
матики, притом не только алгебраических. Несомненно, что все' эти1
отделы алгебры будут приобретать постепенно для широких кругов мате-
математиков характер «классических» ветвей науки —и по отношению к тео-
теории групп и теории колец начала этого уже можно заметить,—в то время
как естественное развитие алгебры и, главное, потребности и опыт смеж-
смежных отделов науки приведут к появлению новых объектов алгебраиче-
алгебраического изучения, а позже, нужно думать, и к новому полному пересмотру
предмета и задач алгебры.
Выделение в Сборнике в особую статью исследований советских
учёных по группам, кольцам и структурам вполне оправдывается,

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 107
однако, местом, которое заняли эти исследования в советской матема-
математике за последние десять-пятнадцать лет. В этих областях алгебры
сейчас работают многие советские математики, составляющие при всём
разнообразии тем и направлений, по существу, единый научный кол-
коллектив. За эти годы ими достигнут ряд серьёзных успехов, а в неко-
некоторых направлениях, в которых работа ведётся у нас систематически,
исследования советских учёных уже оказывают заметное, а иногда
9 решающее влияние на работы зарубежных алгебраистов. Во всяком
случае, сейчас при оценке успехов всей советской математики, успехов
весьма значительных, лучшие достижения советских алгебраистов в тео-
теории групп и теории колец не могут не приниматься во внимание. Наконец,
происходит постоянный приток новых молодых сил к исследованиям
в этих областях, причём столь интенсивный, что лишь весьма немногие
ветви советской математики могут сравниваться с алгеброй в этом
отношении.
- Начало теоретико-групповых исследований в нашей стране связано
сименем О. Ю. Шм и д та. Первые работы О. Ю. Шмидта по теории групп
относятся к 1912—-1913 гг., а в 1916 г. вышла его книга «Абстрактная
Теория групп» (переиздана в 1933 г.-)*), оказавшая позже очень большое
влияние на формирование советской теоретико-групповой школы. Эта
рига, посвященная в основном теории конечных групп и содержавшая
^овейшие (для своего времени) достижения этой науки, впервые в мировой
литературе излагала основы теории групп без предположения о конечности
Групп, т. е. была более прогрессивной, чем выходившие значительно позже
Книги западноевропейских и американских алгебраистов. Исследования
§. Ю. Шмидта по теории групп продолжались, и в дальнейшем, однако,
до самого конца двадцатых годов эта ветвь алгебры не привлекала у нас
Новых исследователей, а из работ в смежных областях можно указать лишь
на исследования А. К. С у ш к е в и ч а по обобщениям понятия группы,
систематизированные в его монографии «Теория обобщённых групп»
•(JE937 г.)**).
4, Весной 1930 г. О. Ю. Шмидт организовал при Московском универ-
университете семинар, объединивший нескольких молодых алгебраистов, пре-
преимущественно из числа его учеников, уже начавших к этому времени иссле-
ания в области конечных групп. Этим было положено начало система-
Лиеской и, можно сказать, массовой работе советских математиков над
" аросами теории групп. Семинар пополнялся затем новыми участниками,
|лавным образом учениками его основных членов, и вскоре превратился
|ааучный центр, с которым в большей или меньшей степени были связаны
ice дальнейшие исследования советских алгебраистов по теории групп,
встепенно развивавшиеся и вне Москвы —в Ленинграде, Свердловске и,
|нее систематично, в некоторых других городах; так, отметим образо-
дешийся к концу тридцатых годов в Ленинграде коллектив молодых тео-
ко-групповиков, учеников В. А. Тартаковского.
Результатом этой деятельности явилось большое число работ по раз-
§рным вопросам теории конечных групп. С другой стороны, развернулись
фирокие исследования по общей теории (бесконечных) групп, затронув-
затронувшие почти все части этой теории и оказавшие заметное влияние на её сегод-
|яшнее состояние. Эти исследования получили отражение в посвящён-
*) См. О. Ю. Шмидт [5].
**) См. А. К. С у ш к е в и ч [20].

108 АЛГЕБРА
ной общей теории групп книге А. Г. К у р о ш а «Теория групп» A944 г.,.
закончена в 1940 г.)*).
Великая Отечественная война отразилась на интенсивности исследо-
исследований по теории групп —многие молодые алгебраисты с оружием в руках
защищали родину, некоторые были заняты работами по оборонной науч-
научной тематике. В результате войны мы навсегда потеряли нескольких
талантливых молодых учёных, уже сделавших свой первый вклад в науку,
иногда весьма значительный, но далеко не успевших развернуть и тем
более исчерпать свои возможности и силы. Тем не менее работа над теоре-
теоретико-групповыми проблемами продолжалась даже в самые трудные годы,
в условиях эвакуации, к ним привлекались новые начинающие учёные,
и теория групп продолжает оставаться и сейчас в центре интересов
советских алгебраистов.
В отличие от теории групп, в теории колец и алгебр наша наука ещё
не имеет сколько-нибудь сложившихся традиций, не имеет своих опреде-
определившихся направлений. Если не считать очень значительных работ
Ф. Э. М о л и н а (Юрьев, затем Томск) по теории гиперкомплекснызг
систем (т. е. алгебр конечного ранга), относящихся к концу прошлого века
и не оказавших никакого влияния на дальнейшее развитие алгебры в нашей
стране, то все исследования по теории колец приходятся у нас на послед-
последние десять-двенадцать лет. Оставаясь пока, как правило, территориально
связанными с Москвой, эти исследования постепенно расширяют свою-
тематику и уже привели к некоторым значительным результатам. За са-
самые последние годы вопросы теории колец привлекли некоторых новых
молодых учёных и это позволяет надеяться на дальнейшее развитие
исследований в этой области, тем более, что многие советские алгеб-
алгебраисты понимают необходимость ликвидации той диспропорции, ко-
которая существует у нас между исследованиями по теории групп и тео-
теории колец.
Работы советских алгебраистов по теории структур остаются пока
ещё более разрозненными и случайными и относятся преимущественно*
к проблемам, выросшим из теории групп или теории колец. В какой-то-
мере в этом отражается современное общее состояние теории структур,
характер которой ещё далеко не определился, но, несомненно, исследова-
исследования советских учёных в этой области могли бы и должны бы быть более
систематичными, тем более, что наши первые работы в теории структур'
относятся к самому началу её развития в качестве оформившейся само*
стоятельной ветви науки.
В самые последние годы произошло приближение интересов советских
алгебраистов к вопросам топологической алгебры, в особенности теорий
топологических групп, с большим успехом развивавшейся до зтого в рабо-
работах советских топологов. Руководящим Принципом явилось здесь* сообрги
жение, по которому общая теория групп может рассматриваться как часть
теории топологических групп, а именно как теория дискретных групп,!
и что многие крупнейшие результаты общей теории групп могут оказаться
частными проявлениями более общих закономерностей, относящихся к те*
или иным достаточно широким классам топологических групп. В этогё
направлении уже получены некоторые результаты; они относятся, однако,
к другой статье Сборника и поэтому в дальнейшем будут лишь кратка
упоминаться.
*) См. А. Г. К у р ош [18].

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 1Q9
Укажем, наконец, на наметившийся в советской алгебре за последнее
время интерес к таким особым ветвям алгебраической науки, как теория
частично упорядоченных групп, теория проективных геометрий, логиче-
логически являющейся частью теории структур, и теория дифференциальных
колец и полей, т. е. образований, которые должны восприниматься как
естественные носители теории алгебраических и, в частности, линейных
.дифференциальных уравнений. Во всех этих направлениях пока сделаны,
однако, лишь самые первые шаги.
Обзор различных направлений и ветвей алгебры, которому посвя-
щены дальнейшие параграфы статьи, явится, конечно, обзором отдельных
работ или циклов работ. Не все работы будут упомянуты, но обзор будет
достаточно полным для того, чтобы подтвердить высказанное выше утвер-
утверждение о широте и разнообразии исследований советских алгебраистов.
Иногда будут упоминаться и работы, ещё не опубликованные, но лишь
В том случае, если они уже находятся в печати и если автор обзора имел
в своё время возможность ознакомиться с ними в рукописи.
§ 2. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП.
Мы начинаем с вопроса о прямых произведениях групп, так как
цкенно к этому вопросу относились первые работы О. Ю. Шмидта *),
ц. он продолжает интересовать советских алгебраистов до настоящего
времени. Роль понятия прямого произведения в теории групп, состоящая
f том, что изучение некоторых классов групп сводится иногда путём
прямого разложения на изучение более простых и обозримых классов
групп, сделала основным вопрос об изоморфизме двух раз-
разложений группы в прямое произведение неразложимых множителей
или, более общо, вопрос о су ществ овании изоморфных про-
продолжений для двух любых прямых разложений группы. В 1911 г.
Ремак **) доказал теорему о центральном изоморфизме любых прямых
разложений конечной группы с неразложимыми прямыми множителями.
В указанных выше работах О. Ю. Шмидт дал два новых доказательства
уроремы Ремака, вошедших затем в учебную литературу ***).
* Позже, обобщая эту теорему Ремака, а также одну теорему Круля,
росящуюся к операторным абелевым группам, О. Ю. Шмидт [3]
!р(?рвые ввёл в рассмотрение некоммутативные операторные группы
ц доказал следующую теорему: если группа G с произвольной областью
тераторов обладает главным рядом, то два любых её прямых разложения
^неразложимыми множителями центрально изоморфны и любой прямой
множитель одного из разложений может быть замещён некоторым мпо-
Шшпелем из другого разложения.
<.:. Эта теорема, вошедшая в литературу пбд именем теоремы Ремака-
Шмидта (или теоремы Круля-Шмидта), нашла существенные применения
В теории колец****), передоказывалась *****) и обобщалась. Так,
Ррэ ******) перенёс её на случай дедекиндовых структур, сохраняя по су-
существу доказательство О. Ю. Шмидта. Обобщения теоремы Ремака-
*) Киев, Отчёт физ.-матем. о-ва A912) и Bull. Soc.Math.de France, 41 A913).
**) Journ. reine u. angew. Math., 139 A911).
***) См., например, Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung A937).
****) См., например, Jacobson, Theory of rings A943).
*****) Cm. Fitting, Math. Zeitschr., 39 A934).
******) Ann. of Math., 37 A936).

110 АЛГЕБРА
Шмидта в самой теории групп начались работой А. Г. К у р о ша [1],
в которой соответствующая теорема была доказана для групп без опера-
операторов, удовлетворяющих условию обрыва убывающих нормальных цепей.
Продолжая эти исследования, Коржинек *) доказал существование
центрально изоморфных продолжений для прямых разложений всякой
группы, в центре которой выполняется условие минимальности, т. е.
обрываются убывающие цепи подгрупп. Сам Коржинек рассматривал
в этой теореме лишь прямые разложения с конечным числом множите-
множителей; её распространение на случай разложений с любым бесконечным
числом множителей (при тех же предположениях о самой группе, как
и у Коржинека) дал О. Н. Головин [1].
Эта цепь исследований заканчивается пока работой А. Г. К у р о ша
[22], содержащей дальнейшие обобщения теорем Ремака-Шмидта и Кор-
Коржинека. Пусть группа G обладает таким свойством: если К и Z будут
соответственно ее коммутант и центр, то всякий гомоморфный образ
группы GfK в группе Z должен быть периодической группой, примарние
компоненты которой удовлетворяют условию минимальности. Тогда два
любых прямых разложения группы О с конечным числом множителей
обладают центрально изоморфными продолжениями. Если же потребо-
потребовать, чтобы указанные гомоморфные образы группы G/K в группе Z сама
удовлетворяли условию минимальности, то центрально изоморфные про-
продолжения будут существовать и для прямых разложений с бесконечным
числом прямых множителей. Эти результаты, как и теорема Коржинека,
относятся к группам без операторов. Для случая операторных групп
в этой же работе А. Г. Куроша доказана следующая теорема, более-
общая, чем теорема Ремака-Шмидта: пусть G —такая группа с
произвольной системой операторов, что если К и Ъ соответст-
соответственно ее коммутант и допустимый центр, то всякий операторно-
гомоморфный образ группы G/K в группе Z обладает главным ря-
рядом. Тогда два любых прямых разложения группы G (причём число пря*
мых множителей может быть и бесконечным) обладают центрально изо-
изоморфными продолжениями.
Та роль, которую в указанных результатах играл центр группы,
позволяла предполагать, что для справедливости в данной группе утвер-
утверждения о существовании центрально изоморфных продолжений для
любой пары прямых разложений достаточно справедливости аналогичного
утверждения для центра этой группы. А. Г. К у р о ш [22] построил
однако, противоречащий пример, являющийся, вместе с тем, первым пр»
мером группы без операторов, обладающей неизоморфными прямыми раз
ложениями с неразложимыми множителями.
Новое направление вопросу об изоморфизмах прямых разложен^
указал О. Н. Головин [1], рассматривая условия, прц которых w
любая, а лишь данная пара прямых разложений группы обладае
центрально изоморфными продолжениями. Так, это заведомо будет имен
место, если в каждом из двух данных прямых разложений центр груши
целиком лежит внутри одного из прямых множителей. Дальнейшее раз
витие эти вопросы получили в теории дедекиндовых структур (см. § 10)
Наряду с вопросом об изоморфизмах прямых разложений предста
вляет интерес и более специальный вопрос об условиях для существовани:
общего продолжения для любых двух прямых разложений данно!
*) Cas. mat. fys., 06 A937), 67 A938).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) Ц1
группы и, в частности, об условиях, при которых группа обладает лишь
^действенным прямым разложением с неразложимыми множителями, если
та такие разложения вообще допускает. Некоторые результаты, отно-
.сящиеся к этому вопросу, получены в работе А. Г. К у р о ш а [б]
Щ- в появившейся одновременно работе Фиттинга *). Так, прямое разло-
разложение О = ПЛ« тогда и только тогда обладает общим продолжением
в
f любым другим прямым разложением группы G, если все прямые множи-
множители Ащ допустимы относительно всех нормальных автоморфизмов этой
группы (т. е. автоморфизмов, перестановочных со всеми внутренними
Автоморфизмами). Отсюда легко вытекает, что любые два прямых разло-
'Жения группы без центра {равно как и группы, совпадающей со своим
коммутантом) обладают общим продолжением. Эти вопросы также в даль-
дальнейшем развивались в области дедекиндовых структур (см. § 10).
'_ Наконец, М. И. Граев [1] показал, что многие из указанных выше
результатов, включая теорему Коржинека и условия для существова-
существования общих продолжений, могут быть перенесены на случай полного
прямого произведения, т. е. такого прямого произведения бесконечного
висла групп, элементами которого служат любые, даже бесконечные, про-
произведения элементов, взятых по одному в заданных группах. При изуче-
изучении этих произведений возникают своеобразные трудности, связанные
с тем, что могут существовать нетождественные автоморфизмы полного
Прямого произведения (а также его изоморфные отображения на истинную
подгруппу), являющиеся тождественными на каждом прямом множителе.
.Заметим, что М. И. Граев изучает в действительности более общую
конструкцию, объединяющую обычное и полное прямые произведения,
а именно, прямое произведение групп с отмеченными подгруппами.
§ 3. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
И СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП.
Роль свободных произведений групп аналогична роли прямых произ-
произведений, хотя, в отличие от последних, понятие свободного произведения,
'существенно связанное с бесконечными группами, могло появиться лишь
5 огда, когда развитие общей теории групп достигло достаточно высокого
овня. Частный случай этого понятия, а именно, понятие свободной груп-
и связанная с ним теория групп, заданных определяющими соотно-
яями, разрабатывались уже довольно давно, общее же понятие
ябодного произведения произвольных групп было 'введено в 1926 г.
Лртином, а его изучение началось в работах А. Г. К у р о ш а [2] и осо-
особенно [3].
?¦ В этой последней работе были доказаны теорема о подгруппах свобод-
свободно произведения, обобщающая теорему Нильсена-Шрейера о подгруп-
рах свободной группы, и теорема об изоморфизмах свободных произведе-
произведений, а именно: если группа Q разложена в свободное произведение некото-
фогомножества групп А«, то всякая подгруппа Н этой группы будет свобод-
свободным произведением подгрупп, сопряжённых с некоторыми подгруппами-
некоторых из Аа и, быть может, ещё некоторой свободной подгруппы.
Есла zpynnaG двумя способами разложена в свободное произведение неразло-
ьжимых групп, то эти разложения будут изоморфными, т. е. их множители
*) Math. Zeitschr., 41 A936).

112 АЛГЕБРА
можно так взаимно однозначно сопоставить, что соответствующие
будут изоморфными, а те из них, которые не являются бесконечными
циклическими, даже сопряжёнными в группе G. В связи с этой второй тео-
теоремой заметим, что существуют группы, разложимые в свободное произ-
произведение, но не обладающие свободными разложениями с неразложимыми
множителями. Пример такой группы построил А. Г. К у р о ш [9].
Новое доказательство теоремы о подгруппах свободного произведе-
произведения, использующее комбинаторно-топологические методы, дали Бэр
и Леви*). Они показали также, что теорема об изоморфизмах может быть
обобщена, без существенного изменения доказательства, до теоремы о
существовании изоморфных продолжений для любых двух свободных
разложений произвольной группы. Ещё одно доказательство теоремы
о подгруппах свободного произведения опубликовал недавно Такахаси**).
В дальнейших работах советских алгебраистов теория свободных
произведений групп была развита в различных направлениях. Так, во-
вопросу об автоморфизмах свободного произведения посвящены работы
О. Н. Головина и Л. Е. С а д о в с к о г о [1] и Д. И. Фукс-
Рабиновича [2], [7]. В последней из этих работ дано полное описа-
описание группы автоморфизмов свободного произведения конечного числа
любых неразложимых групп, обобщающее описание группы автоморфиз-
автоморфизмов свободной группы конечного ранга, найденное Нильсеном ***).
Весьма значительную теорему, по существу дающую ответ почти на
все вопросы о свободных разложениях группы с конечным числом обра-
образующих, доказал И. А. Г р у ш к о [2]. Именно, если свободная группе
S с конечным числом образующих гомоморфно отображена на свободно(
произведение групп Alt Аг,..., Ап, то в S можно выбрать такую систем}
свободных образующих, что каждый из них отображается при этом
гомоморфизме внутрь одного из свободных множителей Д. Отсюдг
следует, в частности, что всякая группа с конечным числом образующую
может быть разложена в свободное произведение конечного числа неразло
жимых групп и что минимальное число образующих этой группы равн
сумме соответствующих чисел для всех множителей любого из её свобод
пых разложений. Любопытно, что независимо, но значительно позже
эти же результаты получили Леви****) и Нейман*****).
А. Г. К у р о ш [13] ввёл в рассмотрение локально свободные групт
т. е. группы, всякое конечное подмножество которых порождает свободну]
подгруппу. Если всякая такая подгруппа имеет не более п свободны
образующих, то минимальное число п с этим свойством называете
рангом локально свободной группы. Ранг свободного произведения коне
ного числа локально свободных групп конечного ранга равен сумме ранг*
сомножителей. Локально свободная группа конечного ранга не может был
изоморфной со-своей истинной фактор-группой (обобщение теоремы Магщ
са ******). Существуют неразложимые в свободное произведение локалы
свободные группы любого конечного ранга и любой бесконечной moi
ности. Между локально свободными группами и абелевыми группами 6i
кручения существует тесная связь (см. А. Г. Кур о ш [18], § 4$
*) Сотр. Math., 3 A936).
**) Proc. Akad., Tokyo, 20 A944).
***) Math. Ann., 91 A924).
****) fourn. Ind. Math. Soc; 5 A942), случай двух неразложимых множитеж
*****) J. London Math. Soc, 18A943), общий случай.
******) Math. Ann., Ill A935).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) ЦЗ
Дк И. Ф у к с-Р а б и н о в и ч [6] доказал непростоту локально свобод-
свободных групп, что, впрочем, А.И.Мальцев [6] вывел из некоторых более
общих результатов.
; В работах Л. Е. Садовского [1,2] изучается вопрос о струк-
структурных изоморфизмах свободных групп и свободных произведений. За-
Заметим, что вопрос о том. при каких условиях всякая группа, структура
Подгрупп которой изоморфна структуре подгрупп данной группы, будет
'сама изоморфна этой группе, принадлежит к числу тех вопросов о связях
цежду структурами и другими алгебраическими образованиями, значение
;которых продолжает повышаться. Л. Е. Садовский, решая про-
проблему, поставленную Бэром, доказал, что всякая свободная и, вообще, вся-
всякая локально свободная группа определяется своей структурой подгрупп,
¦причём, если ранг этой группы больше единицы, то всякий её структурный
^изоморфизм является следствием точно одного группового изоморфизма.
|| работе, которая сейчас печатается, Л. Е. Садовский показал, что
вто же утверждение справедливо для всякой группы, разложимой в сво-
свободное произведение.
J*. Всамое последнее время в работах А. А. Маркова, продолженных
М. И. Граевы м, вопрос о свободных группах перешёл в область
Апологических групп.
§ 4. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ.
Интерес к теории абелевых групп возник у нас в связи с исследования-
pi Л. С. П о н т р я г и н а [4] по топологическим абелевым группам,
Исследованиями, которые привели к некоторым новым результатам и
дискретных групп, в частности, к одному критерию для разложи-
[ абелевой группы в прямую сумму бесконечных циклических групп,
зрые результаты об абелевых группах содержала, впрочем, ещё
А. Г. К у ро ша [1], в частности теорему, что всякая абелева
уппа с условием минимальности разложима в прямую сумму конечного
конечных циклических групп и групп типа р°° (т. е. групп, изо-
|рфных фактор-группе аддитивной группы Rp р-ичных дробей по под-
рппе целых чисел; р—простое число); этот результат использовался
. в работах советских алгебраистов по разрешимым и специальным
(см. § 5). .
Работа А. Г. К у р о ш а [8] посвящена абелевым группам конечного
без кручения и содержит полную классификацию р-примитивных
этого типа, т. е. групп, являющихся подгруппами прямой суммы
ргечного числа групп типа Rp (см. выше): указанные группы задаются
щами с р-адическими элементами, причём установлены те элементар-
sпреобразования матриц, эквивалентность относительно которых рав-
яльна изоморфизму соответствующих групп. Отсюда выводится, в
ности, существование неразложимых в прямую сумму р-примитивных
Цлевых групп без кручения любого конечного ранга (для ранга 2 соот-
вующий пример указал ещё Л. С. П о н т р я г и н). Упрощения
орых доказательств этой работы указал Калужнин *).
А. И. М а л ь ц е в [2] обобщил указанные выше результаты и дал
йассификацию всех абелевых групп конечного ранга без кручения, а
| только р-примитивных. Эти группы задаются системами р-адических
•) Hamb. Abh., 12 A938).
Математика в СССР за 30 лет

114 АЛГЕБРА
матриц, по одной для каждого простого р, причём установлены условия,
при которых две такие системы определяют изоморфные группы. Эти
же результаты, но иными методами, независимо получил Дэрри*).
Опираясь на результаты А. Г. К у р о ш а [8], 3. М. К и ш к и н а [I]
изучает кольца эндоморфизмов р-примитивных абелевых групп конечного
ранга без кручения. По р-адической матрице, задающей данную группу,
строится кольцо эндоморфизмов этой группы как некоторое кольцо матриц,
элементы которых—р-ичные дроби. Устанавливаются условия, при кото-
которых кольцо эндоморфизмов тривиально, а также некоторые условия для
его коммутативности и некоторые дополнительные свойства колец эндо-
эндоморфизмов групп ранга 2.
Ещё Прюфер **) указал условия для разложимости счётной периоди-
периодической абелевой группы в прямую сумму циклических групп и групп тала
jf°. Некоторые из указанных выше работ содержат, с другой стороны, усло-
условия для разложимости абелевой группы конечного ранга без кручения
в прямую сумму групп ранга 1. Исследования Е. С. Л я п и н а, завершён-
завершённые и систематизированные в его работе [7], посвящены общему вопросу
о разложимости произвольной абелевой группы в прямую сумму рацио-
нальныхгрупп, т. е. циклических групп, групп типа р^и групп без кру
чения ранга 1. Показано, что для того, чтобы группа G обладала такал
разложением, необходимо и достаточно существование разложений такоа
рода для её максимальной периодической подгруппы Т и для фактор-групт
GJT, являющейся группой без кручения, и, кроме того, существование t
всяком смежном классе а + Т такого элемента, который делился бы
группе Q на всякое натуральное число, на которое делится хотя бы одй
элемент из этого класса, т. е. такого, что характеристика (числ
Штейница) этого элемента была бы равна характеристике класи
Е. С. Л я п и н установил также два критерия, связанных с некоторым
свойствами характеристик элементов группы, для разложимости счй
ной абелевой группы без кручения в прямую сумму рациональны
групп.
Группы, разложимые в прямую сумму рациональных групп, являюи
не единственными разложимыми в прямую сумму периодической групй
и группы без кручения. Общие условия для существования такого paaii
жения указал Бэр ***). С. В. Фомин [1] дал непосредственное прос*
доказательство теоремы о существовании такого разложения для абелей
группы, в которой порядки элементов максимальной периодической пй
группы ограничены в совокупности.
Изучение периодических абелевых групп сводится, как извесп
на случай примарных групп, т. е. групп, имеющих порядками элемент
степени фиксированного простого числа р. Теория счётных примарй
групп по существу исчерпана теоремами Прюфера и Ульма***
поэтому основной интерес представляют несчётные примерные групй
А. Г. К у р о ш [12] построил пример несчётной примерной группы!
элементов бесконечной высоты, не разложимой в прямую сумму цикли
ских групп, более простой, чем пример Ульма *****). Этот пример, а тан
некоторые новые результаты, опубликованные в книге А. Г. К у р о ша[1
*) Proc. London Math. Soc, 43A937).
•*) Math. Zeitschr., 17 A923).
***) Ann. of Math. 37 A936).
****) Math. Ann., 107 A933).
*****) Math. Zeitschr., 40 A935).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) П5
были исходными для широких и содержательных исследований Л. Я. К у-
ликова[1,2],в некоторых частях выходящих за пределы теории при-
примарных групп.
Отметим некоторые из теорем Л. Я. Куликова. Две' основные
теоремы Прюфера обобщаются следующей теоремой: примарная абелева
группа G тогда а только тогда разчожима в прямую сумму циклических
групп, если она является объединением возрастающей последовательности
подгрупп, у каждой из которых высоты элементов в G ограничены в совокуп-
совокупности. Всякая аСелеви группа содержится в некоторой полной абелевой
группе. Для всякой бесконечной мощности т существует примарная группа
этой мощности, не содержащая элементов бесконечной высоты и не допу-
допускающая таких прямых разложений, что всякое прямое слагаемое имеет
мощность, не превосходящую некоторого т', меньшего т. Этот результат
обобщает отмечавшееся выше существование таких несчётных примарных
групп без элементов бесконечной высоты, которые неразложимы в пря-
прямую сумму циклических групп. Некоторые результаты Л. Я. Кули-
Куликова служат обобщением для указанных выше критерия Л. С. П о н-
трягина и результата С. В. Ф о м и н а. Наконец, ряд результатов
посвящен несчётным примерным группам без элементов бесконечной
высоты и связан с базисными подгруппами этих групп, принадлежащими
к числу тех подгрупп, разложимых в прямую сумму циклических групп,
фактор-группы по которым являются полными группами; эти последние
результаты существенно связаны с одной естественной топологизацией
примарной группы, не содержащей элементов бесконечной высоты.
К рассмотренным в этом параграфе исследованиям по абелевым
группам непосредственно примыкают работы Н. Я. Виленкина
по теории топологических периодических абелевых групп, а также работа
М. И. Граева о структурных изоморфизмах топологических абелевых
групп.
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ. ¦
Систематическое изучение периодических групп, как естественного,
хотя и весьма широкого, обобщения конечных групп, и, в частности,
изучение бесконечных р-групп, а также, с другой стороны, систематиче-
систематическое изучение различных типов бесконечных разрешимых и специаль-
специальных (нильпотентных) групп--всё это началось в работах советских алге-
алгебраистов. Их исследования, а также работы некоторых иностранных
учёных (Бэр, Гирш, Дженингс) привели к тому, что сейчас указанные
вопросы оформились в самостоятельную главу теории групп, содержа-
содержащую большой материал, хотя и находящуюся ещё на первых этапах своего
развития. j
Начало исследованиям в этой области положили вопросы о силовских
подгруппах бесконечных групп и о центрах бесконечных л-групп. В работе
А. П. Д и цм а н а, А. Г. К у р о ш а и А. И. Уз ко в а [1] были опреде-
определены силовские р-подгруппы группы G как максимальные подгруппы этой
группы, порядки всех элементов которых являются степенями простого
числа р, и была доказана сопряжённость всех этих подгрупп (при данном/?),
если хотя бы одна из них обладает конечным числом 'сопряжённых;
было доказано также, что в этом случае число силовских р-подгрупп сра-
сравнимо с единицей по модулю/?. Для этой теоремы, обобщающей вторую
8*

lб АЛГЕБРА
теорему Силова из теории конечных групп и доказанной обычным методом
Фробениуса, позже Бэр *) дал новое доказательство. А. Г. К у р о ш обоб-
обобщил затем эту теорему на случай топологических групп, а недавно
А. П. Д и ц м а н указал ещё одно её обобщение, относящееся к общей
теории групп и состоящее в том, что в группе выбирается некоторая систе-
система нормальных делителей Нй и роль силовских р-подгрупп играют макси-
максимальные подгруппы со следующим свойством: для всякого их элемента а
и всякого а можно указать такое к~к(а, а), что apkczHa.
В отличие от конечных р-грутт, всегда обладающих нетривиальным
центром, существуют бесконечные р-группы без центра; первый пример
такой группы указал А. Г. К у р о ш [12]. А. П. Д и ц м а н [ 1 ] доказал,
что для существования нетривиального центра в р-группе достаточно,
чтобы она обладала хотя бы одним конечным классом сопряжённых элемен-
элементов, отличным от единичного, а также доказал следующую вспомогатель-
вспомогательную теорему, нашедшую затем применение в различных исследованиях:
если в группе дано конечное инвариантное множество, состоящее из эле-
элементов конечного порядка, то подгруппа, порождённая этим множеством,
будет конечной. Эти результаты А. П. Дицмана получили некоторое
развитие в работах В. К. Туркина и П. Е. Дюбюка [2],
А. В. Т о в б и н а [1] и П. Е. Д ю б ю к а [14].
Изучение периодических групп сразу же встретилось с непреодоли-
непреодолимой пока трудностью, выражаемой следующей проблемой Бернсайда: будет
ли всякая периодическая группа локально конечной, т. е. будет ли конечной
всякая подгруппа этой группы, порождаемая конечным числом элементов?
Это заставило в дальнейшем или доказывать локальную конечность рас-
рассматриваемых периодических групп, или же её заранее предполагать.
Что же касается самой проблемы Бернсайда, то она пока получила решение
лишь в отдельных частных случаях; так, из указанной выше теоремы
А. П. Дицмана вытекает локальная конечность периодической груп-
лы, всякий элемент которой обладает конечным числом сопряжённых.
И. Н. С а н о в [1] доказал конечность периодической группы с конечным
числом образующих, если порядки всех элементов этой группы не больше
числа 4; этим были объединены и обобщены все результаты, относящиеся
к проблеме Бернсайда для случая групп с ограниченными в совокупности
порядками элементов (Бернсайд **), Леви и Ван-дер-Варден ***), Ней-
Нейман ****). Недавно И. Н. Санов показал, что при решении этой «огра-
«ограниченной» проблемы Бернсайда достаточно рассматривать лишь группы с
двумя образующими.
Изучение некоторых классов бесконечных групп, обобщающих конеч-
конечные специальные и конечные разрешимые группы, было начато С. Н. Ч е р-
н и к о в ы м [3, 4] и независимо, но несколько позже, Бэром **** *). За эти-
этими исследованиями последовала длинная серия работ советских алгебраи-
алгебраистов, которая привела к накоплению большого фактического материала и к
формированию нового направления в теории групп, посвященного изуче-
изучению групп, в том или ином смысле близких к абелевым, при ограничениях,
в том или ином смысле близких к конечности группы. Обзору и системати-
систематизации этих исследований посвящена статья А. Г. К у р о ш а и
*) Duke Math. J., б A940).
. **) Quart. Journ., 33 A902).
***) Hamb. Abh., 9 A932).
****) Journ. Lond. Math. Soc, 12 A937).
*****) Trans. Amer. Math. Soc, 47 A940).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) Ц7
С. Н. Черникова [1]. Ниже мы даём краткий обзор отдельных работ
советских алгебраистов в этой области, далеко не исчерпывающий их
содержания.
В работе С. Н. Ч е р н и к о в а [3] назывались специальными и изу-
изучались группы с условием минимальности для подгрупп, удовлетворяю-
удовлетворяющие нормализаторному условию (т. е. всякая истинная подгруппа отлична
от своего нормализатора). Была доказана разложимость этих групп в пря-
прямое произведение р-групп, их счётность и локальная конечность, а также
показано, что в их определении можно заменить нормализаторное условие
существованием возрастающего (трансфинитного) центрального ряда.
Таким образом, для этих специальных групп сохранялись почти все
свойства конечных специальных групп. В дальнейшем С. Н. Черни-
ко в [5, 9] продолжил изучение этих групп и, в частности, доказал, что
специальная р-группа является расширением полной абелевой р-группы
с условием минимальности при помощи конечной р-группы.
Работа С. Н. Черникова [4] посвящена локально разрешимым
группам, т. е. таким локально конечным группам, всякая конечная под-
подгруппа которых разрешима. Доказана локальная разрешимость всякой
периодической разрешимой (т. е. обладающей конечным разрешимым
рядом) группы. С другой стороны, всякая локально разрешимая группа
с условием минимальности для подгрупп разрешима и счётна. В этой же
работе введены локально специальные группы, т. е. такие локально конеч-
конечные группы, всякая конечная подгруппа которых специальна. Доказано,
что к числу этих групп принадлежат все периодические группы с нормали-
заторным условием, а также все периодические группы с возрастающим
центральным рядом. В работе С. Н. Черникова [7] показано, что
группа тогда и только тогда локально разрешима, если она локально
конечна и обладает разрешимой системой, т. е. упорядоченной полной
(в смысле дедекиндовых сечений) системой нормальных делителей с абе-
левыми факторами, а также, что группа G тогда и только тогда локально
специальна, если она локально конечна и обладает центральной системой,
т. е. такой упорядоченной полной системой нормальных делителей, что
всякий её фактор Ai+ilAa лежит в центре группы G/Aa.
И. Д. А д о [3, 6] связал со всякой локально конечной р-группой
нильпотентную алгебру над простым полем характеристики р, что по-
. зволило ему установить некоторые свойства этих групп, в частности дока-
доказать, что для локально конечной р-группы из условия минимальности для
нормальных делителей следует условие минимальности для подгрупп,
а 1акже построить пример р-группы, совпадающей со своим коммутантом.
В работах О. Ю. Ш м и д т а [ 11, 14] теория бесконечных специальных
и разрешимых групп вышла за пределы теории периодических групп.
В первой из этих работ О. Ю. Шмидт называет специальной всякую
группу, удовлетворяющую нормализаторному условию, и изучает свой-
свойства этих групп, обобщая ряд результатов С. Н. Черникова и одно-
одновременно упрощая их доказательства. Работа содержит также новый про-
простой пример р-группы без центра. Во второй работе называется раз-
разрешимой всякая группа, все фактор-группы любой подгруппы которой
обладают разрешимыми системами (см. выше). Для этих групп доказана
«локальная теорема»: если всякая подгруппа с конечным числом обра-
образующих разрешима в указанном смысле, то и сама группа будет раз-
разрешимой. С другой стороны, всякая группа, обладающая разрешимой
системой, вполне упорядоченной по возрастанию, будет разрешимой.

118 АЛГЕБРА
О. Ю. Шмидт указывает также в этой работе новый пример р-группы,
совпадающей со своим коммутантом, и пример р-группы, не имеющей
абелевых нормальных делителей, отличных от единицы.
Вопрос о справедливости локальной. теоремы для данного тео-
теоретико-группового свойства, т. е. вопрос, будет ли из наличия этого
свойства во всех подгруппах с конечным числом образующих вытекать
его наличие в самой группе, возникает во многих разделах теории
групп. Особенно большое значение он приобрёл в теории бесконечных
разрешимых и специальных групп. В работе А. И. Мальцева [6]
указан весьма сильный общий метод для доказательства локальных
теорем, опирающийся на одну теорему, относящуюся к математической
логике. Сам А. И. Мальцев получил этим методом ряд результатов,
в частности, доказал локальную теорему для свойства группы обла-
обладать разрешимой системой.
Отметим другие работы советских алгебраистов, относящиеся
к периодическим, разрешимым или специальным группам. Назовём
силовской системой периодической группы такую упорядоченную полную
систему её нормальных делителей, что I) никакие два фактора этой
системы не содержат элементов одного и того же порядка, 2) система
не может быть уплотнена с сохранением свойства 1). С. Н. Черников
{б] изучает периодические группы, обладающие такой силовской систе-
системой, все факторы которой являются р-группами. Обобщая один из
результатов С. Н. Черникова, А. Г. Курош [19] доказал изомор-
изоморфизм (т. е. совпадение факторов) любых двух силовских систем про-
произвольной периодической группы.
Работа П. А. Гольберга [2] продолжает отмеченные выше
исследования о силовских подгруппах бесконечных групп, в частности
работу Бэра*), в которой было начато перенесение на бесконечные
группы теорем Холла **) о силовских Я-подгруппах и силовских
базах конечных разрешимых групп. П. А. Гольберг показал, что
все теоремы Холла остаются справедливыми для локально разрешимых
групп, если только локальную конечность этих групп заменить более
«ильным требованием локальной нормальности: всякое конечное
множество элементов группы содержится в конечном нормальном де-
делителе.
Обобщая понятие полной абелевой группы, С Н. Черников [11]
вводит понятие полной группы: это группа, порождаемая при любом нату-
натуральном п, п-ми степенями всех своих элементов. Периодичность этих
групп не требуется, но в указанной работе, а также в её продолжении,
сейчас печатающемся, С. Н. Черников предполагает существование
в группе возрастающего центрального ряда, т. е. изучает полные ZA-груп-
пы. Эти исследования принадлежат, следовательно, к теории бесконечных
нильпотентных групп. С. Н. Черников даёт описание строения
лолных Z^l-групп, обобщающее известную теорему о разложимости
полной абелевой группы в прямую сумму аддитивных групп рациональ-
рациональных чисел и групп типа р°°. Из других результатов отметим следующие:
в определении полной ZA-груапы можно полноту группы заменить отсут-
отсутствием истинных подгрупп конечного индекса; всякая периодическая
полная ZA-группа является абелевой; полные Z4-rpyimbi можно опреде-
*) Duke Math. Journ.» б A940).
**) Journ. London'Math. So:.,„3/1928); 12A937).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) . Ц9
лить также как группы, обладающие таким возрастающим (трансфинитным)
рядом нормальных делителей, все факторы которого или изоморфны адди-
аддитивной группе рациональных чисел, или же являются группами типа р°°.
Отметим, наконец, печатающуюся работу С. Н. Ч е р н и к о в а,
посвященную детальному изучению слойно-конечных групп, т. е. таких
периодических групп, которые для каждого п содержат лишь конечное
число элементов порядка га.
§ 6. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ.
Исследования советских алгебраистов в теории конечных групп были
весьма разносторонними и коснулись почти всех частей этой ветви теории
групп, хотя значительная разработанность последней и затруднила разы-
разыскание новых путей для её развития.
Мы начнём с характерного для теории конечных групп вопроса о
числе подгрупп или элементов сданными свойствами. А. А. Кулаков [2]
доказал следующую теорему, ещё ранее высказанную, но не вполне
доказанную Миллером*): число подгрупп порядка ps в нециклической
р-группе нечётного порядка рт, 1 <s<//z—Л сравнимо с 1 +р по модулю р*.
Новое доказательство этой теоремы дал О. Ю. Ш м и д т [4], а затем она
под именем теоремы Кулакова неоднократно передоказывалась, обобща-
обобщалась и дополнялась (Холл, Тазава, Истерфилд**) и вошла в учебную лите-
литературу***). В недавней работе П. Е. Д ю б ю к а получены аналогичные,
но идущие несколько дальше, результаты о числе подгрупп конечной абе-
левой р-группы.
Ряд работ советских алгебраистов посвящен обобщениям известной
теоремы Фробениуса: если га—делитель порядка группы, то число элемен-
элементов группы, порядок которых есть делитель га, делится на п. В. К. Ту р-
к и н [3] объединил эту теорему с одной теоремой Вейснера****), доказав
следующую теорему: если пит—, делители порядка группы, причём п
кратно т, то число элементов группы, порядок которых есть делитель п
а делится на т, делится на наибольший делитель числа п, взаимно про-
простой с т. Этот результат обобщался в дальнейшем в серии работ
:П. Е. Дюбюка [1, 2, 7, 9]. Отметим теорему, содержащуюся в послед-
последней из этих работ и по существу обобщающую все предшествующие
'результаты: если т-^ порядок элемента в классе сопряжённых элементов
Ш группы G, а п-^делитель порядка группы, кратный числу т, то число
'элементов группы G, п-я степень которых принадлежит произвольному
'классу сопряжённых элементов "Я, а какая-нибудь степень входит в класс
^К, кратно наибольшему делителю числа га, взаимно простому с т. (См.
.Также В. И. Г р о ш е в [1].) В этом же направлении идут работы
С. Н. Ч е р н и к о в а [1, 2], относящиеся уже к бесконечным группам.
В печатающейся сейчас работе, относящейся к теории р-адических
'долей, И. Р. Шафаревич вводит понятие свободной конечной р-группы,
гимеющей фактор-группами все конечные />-гоуппы с данным числом обра-
образующих, и устанавливает некоторые свойства этих групп; так, всякий
автоморфизм любой фактор-группы этой группы индуцируется некоторым
*) Proc. Nat. Ac. USA A923).
**) Hall., Proc. Lond. Math. Soc, 36 A933), 4o A935); Tazawa, Sci. Rep. Tohoku
Univ., 23 A934), 24A935); Easterfield, Proc. Cambr. Phil. Soc, 34 A938).
**•) Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie A937).
****) Bull. Amer. Math. Soc, 31 A925).

120 АЛГЕБРА
автоморфизмом самой группы. Устанавливается также число нормальных
делителей свободной р-группы с заданной фактор-группой.
Началом исследований советских алгебраистов в теории конечных
специальных (нильпотентных) групп и подгрупп явилась работа
О. Ю. Шмидта [1], посвященная изучению тех неспециальных групп,
все истинные подгруппы которых специальны. Оказалось, в частности,
что эти группы всегда разрешимы и порядок их делится лишь на два раз-
различных простых числа, причём силовская подгруппа по одному из них
инвариантна, а по другому циклична. Опираясь на эти результаты
О. Ю. Шмидта, С. А. Чунихин [1, 3] установил некоторые новые
свойства конечных специальных групп, А. А. К у л а к о в и С. А. Чуни-
Чунихин [1] нашли условия, при которых группа порядка ркп, к>2, обладает
истинной подгруппой, порядок которой делится на р, но которая не
является р-группой, а Д. П. Колянковский [1] доказал разреши-
разрешимость всякой конечной группы, все неспециальные подгруппы которой
сопряжены между собой.
Дальнейшее развитие эти вопросы получили в работах С. А. Ч у н и-
х и н а [10], И. К. Ч у н и х и н о й и С. А. Ч у н и х и н а [2]. В первой
из них изучены те неспециальные группы с порядками, делящимися на
простое число р, все истинные подгруппы которых с порядками, также
делящимися на р, специальны, а также найдено новое необходимое и
достаточное условие для специальности конечной группы. Во второй работе
вводятся и изучаются р-разложамые группы, т. е. такие группы с поряд-
порядками, делящимися на р, силовские ^-подгруппы которых служат для них
прямыми множителями. Показано, в частности, что для р-разложимости
группы необходимо и достаточно существование ряда нормальных дели-
делителей, в некотором смысле аналогичного верхнему центральному ряду.
Показано также, что если порядок группы G делится на к+l различных
простых чисел ри рг,..., рк, qx, q*,..., qt, причём G ^-неразложима,
i = l,2,..., к,и q/ —разложима, /=1, 2,..., I, то, кроме особо указанных
исключений, группа G для каждого pt содержит / р,-неразложимых
истинных подгрупп, причём все эти kl подгрупп попарно неизоморфны.
(См. также Д. П. Колянковский [2]. Развитие этих идей—в
работе С. А. Чунихина [19].)
Большой интерес у советских специалистов по теории конечных
групп вызывала следующая проблема Бернсайда: может ли быть простой
конечная группа нечётного составного порядка? Исследования в этом
направлении начались у нас с работ В. К. Т у р к и н а [1, 2, 5], показав-
показавшего, что всякая группа, порядок которой нечётен и состоит из семи про-
простых множителей, будет непростой и поэтому разр ешимой (случаи пяти
и шести простых множителей рассмотрены Фробениусом и Бернсайдом).
В дальнейшем А. П. Д и ц м а н, П. Е. Д ю б ю к, А. А. К у л а к о в,
В. К. Т у р к и н и С. А. Чунихин опубликовали большое число
работ, связанных с проблемой Бернсайда и содержащих много различных
критериев непростоты, т. е. условий, достаточных для того, чтобы конеч-
конечная группа была непростой; к этим исследованиям присоединились затем
и некоторые иностранные учёные*). Одни из этих критериев непростоты
связаны со свойствами классов сопряжённых элементов группы, в других
используется теория характеров групп, в некоторых играют роль введён-
*) См. Weisner (Duke Math. Journ., 2 A936)); Zappa (Rend. Semin. Roma,
2 A938), 3 A939)). V

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 121
ные В. К. Т у р к и н ы м [13] квазинормализаторы элементов конечной
группы. Наконец, ряд критериев получен методом мономиальных пред-
представлений групп, идущим от Бернсайда и развитым В. К. Т у р к и н ы м [6]-
разработка этого метода продолжена затем Грюном*) и Орэ **). Следует
отметить, впрочем, что все эти критерии непростоты группы не дали за-
заметного приближения к полному решению проблемы Бернсайда; с дру-
другой стороны, ещё далеко не установлены до конца связи между этими кри-
критериями, а также истинный запас групп, к которому каждый из них
применим.
Отметим некоторые другие работы, относящиеся к конечным группам.
О. Ю. Ш м и д т [2] дал полное описание всех конечных групп, имеющих
только один класс неинвариантных подгрупп; оказалось, что существует-
всего две бесконечные серии таких групп. Продолжая эти исследования,
О. Ю. Ш м и д т [8] описал позже все группы с двумя классами неинва-
неинвариантных подгрупп; существует пять бесконечных серий таких групп и,
кроме того, ещё три изолированные группы.
Е. С. Л я п и н [1] оценивает сверху порядок группы автоморфизмов
конечной группы, доказывая, что он будет делителем произведения поряд-
порядка группы внутренних автоморфизмов и порядков групп автоморфизмов
силовских р-подгрупп этой группы, и устанавливая одну оценку сверху
для порядка группы автоморфизмов разрешимой группы и, в частности,
р-группы. Отметим, что в этом же направлении идёт работа Биркгофа
и Холла***), появившаяся одновременно с работой Е. С. Ляпина.
В другой работе Е. С. Л я п и н [3] изучает классы элементов конечной
группы G, сопряжённых относительно некоторой (не обязательно полнойI
группы автоморфизмов 36 этой группы, и устанавливает, в частности,
связи между порядками этих классов и порядком группы Ж. Отметим
также понятие Ж-коммутанта, введённое в этой работе: это характери-
характеристическая подгруппа, стоящая в таком же отношении к группе ¦?, в каком
обычный коммутант стоит к группе внутренних автоморфизмов.
Другие оценки порядка группы автоморфизмов даёт П. Е. Д ю б ю к [15]
для конечных р-групп при некоторых специальных предположениях
о минимальных базах этих групп. При этих же предположениях указы-
указываются оценки для порядка автоморфизма, обобщающие одну формулу
Фробениуса, относящуюся к автоморфизмам абелевых р-групп.
; С. А. Ч у н и х и н [13] доказал следующую теорему: если для каждо-
каждого делителя к порядка п группы G, взаимно простого с числом ~ , суще-
существует в О подгруппа порядка к, то группа Q разрешима. Это свойство
-конечных разрешимых групп, как независимо показал Холл ****), яв-
является для них характерным.
Работы А. В. Т о в б и н а [2, 3] посвящены изучению строения под-
подгрупп симметрической группы п-й степени, содержащих некоторую сим-
симметрическую или знакопеременную подгруппу к-й степени, к<п. Так,
если подгруппа Н содержит симметрическую подгруппу k-й степени,
но не содержит симметрической подгруппы (к+1)-й степени, причём
jfc>-y, то Н сама содержится в произведении симметрических подгрупп
*) Journ. reine u. angew. Math., 174 A935).
**) Trans. Amer. Math. Soc, 51 A942).
***) Trans. Amer. Math. Soc, 39 A936).
"**) Journ. Lond. Math. Soc, 12 A937).

122 АЛГЕБРА
к-й и (п—к)-й степени. К теории групп подстановок относится также
работа А. Я. Повзне ра [2]; в ней показано, что наименьшая степень
группы подстановок, изоморфной данной конечной абелевой группе, равна
сумме инвариантов последней.
Обобщение одной теоремы Ландау о числе конечных групп с данным
числом классов сопряжённых элементов указал В. К. Туркин [7].
В серии работ А. А. Кулакова (первая [10], шестая—[21]) изу-
изучаются некоторые свойства конечных групп, вытекающие из существова-
существования для этих групп представлений регулярными группами подстановок.
А. Н. Прокофьев [1] показал, впрочем, что многие из результатов
этих работ могут быть получены методами общей теории групп, без пере-
перехода к группам подстановок.
Отметим, наконец, данное Г. М. Хейсиным [1] описание всех
групп порядка p*q*.
§ 7. ДРУГИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРУПП.
В предшествующих параграфах рассмотрены работы советских алге-
алгебраистов, относящиеся к двум типам произведений групп и к некоторым
основным классам групп. В эти рамки не вошёл ряд теоретико-групповых
работ советских математиков и их обзору посвящается настоящий
параграф.
В работах А. Г. Кур о ша [5, 19] рассматривается возможность
обобщения теорем Шрейера и Жордана-Гёльдера о конечных нормальных
и, соответственно, композиционных рядах группы на случай бесконеч-
бесконечных нормальных рядов, вполне упорядоченных по возрастанию, и, вооб-
вообще, на случай полных нормальных систем. Используя метод уплотнения
двух нормальных систем, введённый независимо, но несколько раньше,
для случая конечных нормальных рядов Цасенхаузом*), доказывается,
в частности, существование изоморфных уплотнений для любых двух
нормальных рядов, вполне упорядоченных по возрастанию, и, следова-
следовательно, изоморфизм любых двух композиционных рядов, вполне упорядо-
упорядоченных по возрастанию, если группа такими рядами обладает.
Известно, что всякая конечная группа обладает изоморфным пред-
представлением матрицами над некоторым полем. Для бесконечной группы
изоморфное представление матрицами конечного порядка существует
далеко не всегда, и вопрос об условиях для существования такого предста-
представления интересовал многих советских алгебраистов. В работах
Д. И. Фукс-Рабинови ча[5], X. А. Д о н и я х и [1], В. Л. Н и с-
н е в и ч а [1 ] рассматривался вопрос о существовании изоморфных пред-
представлений для свободных групп и свободных произведений. Так, В. Л. Н и с-
н е в и ч доказал, что для изоморфной представимости свободного произ-
произведения групп Ga необходима и достаточна изоморфная представимость
¦всех групп G« матрацами одного и того же порядка над полями одной и той
же характеристики. В этой же работе В. Л. Нисневича, с одной
стороны, и в работе Д. И. Фукс-Рабиновича [3],с другой, пока-
показано, что для групп с конечным числом образующих возможность их изо-
изоморфного представления матрицами никак не связана с возможностью
их задания конечным числом определяющих соотношений.
*) Hamb. Abh., 10 A934).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 123
Во всей широте вопрос об изоморфных представлениях групп матри-
матрицами рассматривается в работе А. И. М а л ь ц е в а [5]. В работе, прежде
всего, полностью описаны абелевы группы, допускающие такое представ-
представление над некоторым полем, а также показано, что для изоморфной пред-
представимости периодической группы над полями характеристики нуль доста-
достаточно (необходимость была установлена ещё Шуром), чтобы эта группа
Обладала изоморфно представимым абелевым нормальным делителем конеч-
конечного индекса. Из этих результатов вытекает, в частности, что р-группа
тогда и только тогда изоморфно представима над полем характеристики
нуль, если она специальна в смысле Черникова (см. § 5). А. И. Мальцев
доказал также локальную теорему для изоморфной представимости груп-
группы: аз существования изоморфных представлений степени п для всех подгрупп
данной группы, обладающих конечным числом образующих, вытекает
существование представления такой же степени для самой группы. Ряд
результатов установлен для изоморфно представимых групп с конечным
числом образующих; доказано, в частности, что такая группа не может
¦быть изоморфной своей истинной фактор-группе.
, Исследования П. Г. Конторовича [3—7] относятся частью
к. конечным, частью к бесконечным группам и посвящены различным во-
вопросам, связанным с покрытиями групп системами истинных подгрупп
с теми или иными специальными свойствами, в особенности с расщеп-
летями групп, т. е. с покрытиями подгруппами, которые попарно имеют
йересечением единицу. Так, рассмотрены инвариантные покрытия, т. е.
покрытия нормальными делителями, причём показано, например, что
конечная группа тогда и только тогда специальна, если все её нециклические
тдгруппы обладают инвариантными покрытиями. Установлены некото-
некоторые условия для того, чтобы группа обладала расщеплением, т. е. была
шщепляемой, и некоторые свойства таких групп; так, если группа обла-
тет расщеплением, состоящим из конечного числа компонент, то она
Конечна. П. Г. Конторович особо изучает, далее, расщепления
|циклическими компонентами, а также расщепления с изолированными
яонентами, причём подгруппа Н группы G называется изолированной,
всякая циклическая подгруппа изд или лежит целиком в Н, или же
ересекается с Я по единице.
Обобщая результаты Фиттинга*) о конечных полупростых группах,
. е. группах, не содержащих нетривиальных абелевых нормальных дели-
рлей, П. А. Г ольберг [1] определяет бесконечные полупростые
руппы и показывает, что их описание полностью сводится к описанию
Простых неабелевых групп, и их групп автоморфизмов. Группа называется
Шм этом полупростой, если централизатор её максимального вполне
Приводимого нормального делителя равен единице; требование, входящее
^ определение, сильнее требования отсутствия нетривиальных абеле-
нормальных делителей, но совпадает с ним для групп, удовлетворяю-
их условию обрыва убывающих нормальных цепей.
Некоторые из работ советских математиков о группах, заданных
определяющими соотношениями, относятся к топологии, т. е. лежат вне
ааределов настоящего обзора; таковы, например, работы А. А. М а р к о-
|ао группах кос. Из алгебраических работ в этой области, не вошедших
|в § 3, отметим работу И. А. Груш ко [1], в которой теорема Магнуса**)
•) Jahresber. DMV, 48 A938).
••) Journ. reine u. angew. Math., 163 A930).

124 АЛГЕБРА
«о свободе», относящаяся к группам с одним определяющим соотношением,
а также данное Магнусом *) решение проблемы тождества для этих групп
обобщаются на один более общий класс групп.
Обзор теоретико-групповых исследований советских математиков
мы закончим вопросом о частично упорядоченных группах, т. е. группах,
элементы которых частично упорядочены, причём выполнено следующее
условие:если а< Ь, то при любых элементах с, d из группы будет cad < cbd-
Одной из первых работ в мировой литературе, посвященных таким группам,
была работа Л. В. Канторовича**), по существу относящаяся,
впрочем, к теории функциональных пространств. В дальнейшем теория раз-
развивалась преимущественно в сторону структурно упорядоченных групп,
причём основные результаты получены Биркгофом ***). Е. П. Шимби-
р ё в а [1] рассматривает общие частично упорядоченные группы, преиму-
преимущественно интересуясь однокомпонентными группами, т. е. такими груп-
группами, что для любых двух элементов существует элемент, больший чем
они оба—случай более общий, чем структурная упорядоченность. Найде-
Найдены условия для того, чтобы абстрактную группу можно было однокомпо-
нентно или линейно упорядочить,а также условия для того, чтобы частично
упорядоченная группа могла быть подгруппой полного прямого произве-
произведения линейно упорядоченных групп, чем обобщена тео.рема Клиффор-
Клиффорда****), относящаяся к абелевым группам. Изучая понятие прямого
произведения частично упорядоченных групп, введённое Биркгофом,
Е. П. Шимбирёва показала, что два любых прямых разложения
од покомпонентной группы обладают общим продолжением. Этот резуль-
результат обобщает теорему Биркгофа, относящуюся к структурно упорядочен-
упорядоченным группам.
§ 8. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ ОПЕРАЦИЕЙ.
Теория обобщённых групп или, как предпочитают говорить некоторые
специалисты в этой области, общая теория алгебраических систем с одной
операцией, находится пока в стадии первых поисков своего предмета
и своих задач. Различными авторами введены многочисленные типы
алгебраических систем, в том или ином направлении обобщающие понятие
группы; иногда эти обобщения подсказываются важными конкретными
примерами или потребностями тех или иных ветвей математики, иногда
же они возникают из простого желания ослабить или отбросить одну
из аксиом, входящих в определение группы, что, конечно, естественно,
но не слишком глубоко. Теория этих обобщений понятия группы, в свою
очередь, иногда ограничивается их простейшими свойствами, непосред-
непосредственно примыкающими к их определению, иногда же посвящена отдель-
отдельным более глубоким вопросам, обычно при этом подсказанным некото-
некоторыми нетривиальными результатами общей теории групп.
Эти общие замечания целиком относятся и к работам советских
алгебраистов в рассматриваемой области. Тем не менее, их исследования
уже привели к накоплению довольно большого материала и к некоторым
интересным результатам.
*) Math. Ann., 106 A932).
**) Матем. сб., 2 D4), A937).
***) Ann. of Math., 43 A942).
****) Ann. of Math., 41 A940).

АЛГЕБРА И (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 125
Ближайшим обобщением понятия группы является понятие полугруп-
полугруппы, т. е. множества с одной ассоциативной операцией, удовлетворяющей
следующему требованию однозначности обратной операции: из равенства
ас—Ьс, а также и из равенства ca=cb следует а—Ь. Легко видеть, что
всякая конечная полугруппа будет группой. И. В. А р н о л ь д [1] рас-
рассматривает коммутативные полугруппы и в некотором смысле обобщает
на них мультипликативную теорию идеалов в коммутативных кольцах.
Определяя понятие идеала коммутативной полугруппы и ограничиваясь
полугруппами, все идеалы которых обладают конечной базой, И. В. А р-
н о л ьд доказывает, что всякое минимальное расширение такой полугруппы
О до полугруппы, все элементы которой однозначно разлагаются в про-
произведение степеней простых элементов, совпадает (в смысле изоморфизма)
с расширением до полугруппы идеалов полугруппы G. Этот результат
получил дальнейшее развитие- в работе Клиффорда*).
В работе Л. М. Р ы б а к о в а [1] вводятся свободные коммутативные
полугруппы и рассматривается вопрос об условиях, при которых комму-
коммутативная полугруппа может быть вложена в свободную. Оказалось, что
достаточным (хотя и не необходимым) условием для этого будет конечность
числа образующих в полугруппе в соединении с требованием, что для лю-
любых двух элементов а, Ь этой полугруппы из ak=bk должно следовать а—Ь.
А. К. С у ш к е в и ч [11, 16] рассмотрел некоторые общие свойства
некоммутативных полугрупп. Наконец, работы А. И. М ал ьцева [1,3,4]
посвящены вопросу о возможности вложения полугруппы в группу.
Всякая коммутативная полугруппа вкладывается, очевидно, в группу,
однако в первой из указанных работ А. И.Мальцев построил пример
некоммутативной полугруппы, которая не допускает такого вложения.
В двух других работах А. И. Мальцев указал необходимое и доста-
достаточное условие для вложимости полугруппы в группу, выражаемое в виде
бесконечного множества требований вида: «из данной • совокупности
равенств вытекает данное равенство», причём показал, что никакое конеч-
конечное число требований такого вида не может служить в качестве искомого
.условия. А. И. Мальцев указал также некоторый способ обозреть
.все неизоморфныё группы, в которые данная полугруппа может быть
минимальным образом вложена.
\ Ряд работ А. К. С у ш к е в и ч а посвящен дальнейшим обобщениям
Понятия группы: сохраняя ассоциативность умножения, А. К. С у ш к е-
рич отбрасывает требование однозначности обратной операции или же
^сохраняет его лишь с одной стороны, иногда дополняя требованием выпол-
"шимости обратной операции с другой стороны. Обзор основных результа-
результатов этих работ читатель найдёт в статье Н. Г. Чеботарёва (см. сбор-
сборник «Математика в СССР за пятнадцать лет»). Мы отметим лишь, что, поми-
помимо общих свойств этих алгебраических систем, А. К. Сушкевич рас-
5й«атривает их изоморфные представления обобщёнными подстановками
и вырожденными матрицами, а также строит некоторые примеры таких
¦систем из бесконечных матриц; в работе М. Р. Войдиславско-
го [1] аналогичные примеры строятся при помощи однозначных функций
с суперпозицией функций в качестве умножения. Из работ А. К. С у ш-
кевича, относящихся к этой области, но не вошедших в обзор Н. Г. Ч е-
^отарёва, отметим работу [10], посвященную применению к сверх-
сверхгруппам Раутера результатов, относящихся к системам без однозначности
•) Ann. of Math., 39 A938).

126 АЛГЕБРА
обратной операции, и работу [28], в которой рассматриваются системы
с левым законом однозначности обратной операции и с двусторонней еди-
единицей, причём требуется разрешимЬсть хотя бы одного из двух уравнений
ах = b, by = a; элементы a, b эквивалентны, если разрешимы оба уравнения,
причём при некоторых дополнительных условиях множество классов экви-
эквивалентных элементов естественным образом упорядочивается.
Некоторые из этого цикла работ А. К. Су шкевича, а именно-
[4, 9, 17], были продолжены в дальнейшем Клиффордом*) и Столом**).
Алгебраические системы, рассмотренные выше, были ассоциативными.
Изучению систем с неассоциативной операцией посвящена работа А. К. С у-
шкевича [7]; её содержание также изложено в обзоре Н. Г. Ч е б о-
т а р ё в а, и мы отметим лишь, что в ней закон ассоциативности заменяется
следующим более слабым требованием: в уравнении (ха)&==хс элемент
с зависит только от а и Ь, но не от х. В настоящее время системы с неассо-
неассоциативной операцией—квазигруппы подверглись систематическому изу-
изучению и, в частности, результаты указанной работы А. К. Су шкевича
были продолжены и развиты в работах Хаусмана и Орэ***), Мардо-
ча****) и Гаррисона*****).
К этой работе А. К. Сушкевича примыкает также работа
М. Ф. Г а р д а ш н и к о в а [1], в которой рассматриваются конечные
системы с тем же ослабленным законом ассоциативности, как и выше,
но дополнительно отбрасывается требование выполнимости обратной
операции.
К числу интересных алгебраических образований принадлежат
мультигруппы, определение которых отличается от определения группы
по существу лишь тем, что отбрасывается требование однозначности умно-
умножения: произведением двух элементов будет не один элемент, а сразу неко-
некоторое множество элементов. Важным примером мультигруппы служит мно-
множество классов сопряжённых элементов некоторой группы с обычным
умножением классов в качестве операции, причём А. П. Д и ц м а н [10/
показал, что группа тогда и только тогда разрешима (обладает конечным
разрешимым рядом), если её мультигруппа классов сопряжённых элементов
будет ультрагруппой, т. е. обладает «композиционным» рядом, все факто-
факторы которого являются обычными группами. В работе А. И. Вихрова[1]
построена теория расширений для одного класса ультрагрупп, а
именно дано описание ультрагрупп, являющихся расширением данной
группы А при помощи данной группы В при условии, что произведение
любого элемента из А на любой элемент этой ультра группы (как справа,
так и слева) однозначно; эта теория обобщает принадлежащую Шрейеру
теорию расширений для групп.
Одно обобщение п-групп Дёрнте (т. е. систем, в которых произ-
произведение определено не для двух, а лишь для п элементов сразу), связан-
связанное с отказом от закона ассоциативности, рассматривает С. А. Чуни»
хин [17].
Наконец, в работах Е. С. Л я п и н а [8, 9] рассматриваются системы,
в которых операция определена для некоторых, не обязательно конечных,
упорядоченных слов. Для случая, когда эта операция однозначна, опре
*) Ann. of Math., 42 A941) и Amer. Journ. Math., 64 A942).
**) Duke Math. Journ., 11 A944). t
***) Amer. Journ. Math., 59 A937).
****) Amer Journ. Math., 61 A939), Trans. Amer. Math. Soc, 49 A941).
*****) Ann. of Math., 41 A940).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 127
деляются и описываются свободные системы этого вида, причём подсистема
свободной системы сама свободна. Свободные системы выделяются и среди
ассоциативных систем, но подсистема свободной системы может в этом
случае уже не быть свободной.
Исследования А. А. Маркова о выполнимости некоторых алгорит-
алгоритмов в ассоциативных системах с конечным числом образующих и конечным
числом определяющих соотношений, относящиеся к статье Сборника,
посвященной математической логике, по существу принадлежат к рассма-
рассматриваемому в настоящем параграфе разделу алгебры.
§ 9. ТЕОРИЯ КОЛЕЦ И АЛГЕБР.
Уже во введении было отмечено, что исследования советских алгебра-
алгебраистов в теории колец лишь'начинают развиваться. Они, тем не менее,
в большей или меньшей мере уже коснулись многих основных ветвей этой
науки. Мы начнём обзор этих исследований с теории коммутативных колец,
затем перейдём к некоммутативным, но ассоциативным кольцам, особо
выделяя случай ассоциативных алгебр (в общем случае бесконечного
ранга) и закончим неассоциативными кольцами и алгебрами. Заметим,
что в этот обзор не войдут работы о лиевых алгебрах, относящиеся к другой
статье Сборника, хотя они составляют, конечно, часть теории неассоциа-
неассоциативных алгебр.
К теории идеалов в коммутативных кольцах
без делителей нуля относится лишь работа А. И. У з к о в а [4],
в которой показано, что введённое Ван-дер-Варденом («Современная
алгебра», § 103) понятие эквивалентности идеалов является единственным,
при котором справедлива теорема об однозначности разложения всякого
класса эквивалентных идеалов в произведение степеней простых классов.
Переходя к общей теории некоммутативных ассо-
ассоциативных колец, отметим прежде всего работу А. И. Маль-
Мальцева [1], содержащую пример некоммутативного кольца без делителей
нуля, которое не может быть вложено в тело; этот пример, связанный
с отмеченным в предшествующем параграфе примером полугруппы,
которая не вкладывается в группу, явился отрицательным решением
проблемы, поставленной Ван-дер-Варденом. Дальнейшие примеры колец
без делителей нуля, не вкладываемых в тела, можно найти в работе
А. И. М а л ь ц е в а [4].
Работа А. И. У з к о в а [51 посвящена построению мультипликатив-
мультипликативной теории идеалов в некоммутативных кольцах: в кольце с единицей
: отмечается некоторое подкольцо центра, по отношению к этому подкольцу
определяются порядки и идеалы и указываются необходимые и достаточ-
достаточные условия для однозначной разложимости двусторонних и односторон-
односторонних идеалов в произведение степеней простых идеалов. Эта теория содер-
содержит в качестве частных случаев мультипликативную теорию идеалов в
коммутативных кольцах, принадлежащую Нётер, и теорию идеа-
идеалов в полупростых алгебрах конечного ранга, построенную Брандтом,
Артином и Дойрингом, причём А. И. У з к о в распространил по-
последнюю теорию на случай произвольных алгебр конечрюго ранга.
Одновременно с А. И. У з к о в ы м аналогичную теорию идеалов
для некоммутативных колец опубликовал Азано*). а результаты
*) Jap. Journ. Math., 15 A939).

АЛГЕВРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 129
роша [15] поставлена проблема, параллельная проблеме Бернсайда
о периодических группах: будет ли локально конечной всякая алгебраиче-
алгебраическая алгебра, т. е. алгебра, все элементы которой алгебраичны над основ-
основным полем? Этой проблеме были посвящены затем работы Джекобсона*),
Капланского**) и Левицкого***), результатом которых явилось положи-
положительное решение проблемы при условии, что степени всех элементов над
основным полем ограничены в совокупности.
Работа А. И. М а л ь ц е в а [12] параллельна его работе об изоморф-
изоморфном представлении групп матрицами над некоторым полем (см. § 7) и
посвящена изучению ассоциативных алгебр, допускающих изоморфное
представление матрицами над некоторым расширением основного поля.
Доказана локальная теорема, сводящая вопрос о существовании такого
представления на случай алгебр с конечным числом образующих, и ука-
указаны некоторые условия для существования изоморфного представления
в случае конечного числа образующих. Показано, далее, что изоморфно
представимая алгебра с конечным числом образующих не может быть
изоморфной никакой своей истинной фактор-алгебре. Доказана также
.локальная конечность всякой алгебраической алгебры, обладающей изо-
изоморфным представлением.
Важный класс алгебр, хорошо изученный в случае алгебр конечного
ранга и ещё очень плохо в общем случае, составляют простые алгебры.
В работе А. Г. К у р о ш а [16] изучаются некоторые свойства простых
алгебр бесконечного ранга с единицей, связанные с их разложениями
в прямое произведение. Так, показано, что прямое произведение любого
множества простых нормальных алгебр с единицей само просто и нормаль-
нормально. Получена также теорема, обобщающая теорему о том, что прямое про-
произведение двух инверсно изоморфных простых нормальных алгебр конеч-
конечного ранга является полным кольцом матриц над основным полем.
8 работе рассмотрены, далее, локально конечные простые нормальные
алгебры и, в частности, локально матричные алгебры, т. е. такие ал-
алгебры, в которых всякое конечное множество элементов содержится в
некоторой подалгебре, являющейся полным кольцом матриц над основ-
основным полем, причём при небольших ограничениях на основное поле дока-
доказано существование локально матричных алгебр любого несчётного
ранга, не являющихся прямым произведением полных матричных алгебр
конечного ранга.
Изучение локально конечных простых нормальных алгебр было про-
продолжено недавно В. М. К у р о ч к и н ы м. Он назвал, в частности, алгеб-
алгебру примарной (по простому числу р), если всякое конечное множество
её элементов лежит в простой нормальной подалгебре, ранг которой коне-
конечен и является степенью числа р, и доказал, что всякая примарная алгебра,
будет или полным кольцом матриц над некоторой алгеброй с делением,
или же локально матричной алгеброй. С другой стороны, для отмеченной
выше теоремы о простоте и нормальности прямого произведения про-
простых нормальных алгебр, независимо доказанной также Артином и
Уэплсом ****), А. И. Т и х о м и р о в [2] указал очень прозрачное дока-
доказательство, одновременно распространив её на случай неассоциатив-
неассоциативных алгебр.
*) Ann. of Math., 46 A945).
•*) Bull. Amer. Math.Soc, 52A946).
***•) Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946).
****) Amer. Journ. Math., 65 A943).
9 Математика в СССР за 30 лет.

128 АЛГЕБРА
А. И. Узкова для алгебр конечного ранга недавно вновь получил
Киокемейстер*).
Публикуемая сейчас работа В. А. Андрунакиевича (см.
также В. А. Андруна киевич [1]) связана с введёнными Джекоб-
соном**) радикальными кольцами (обобщение нильпотентных колец
¦и ниль-колец), а именно посвящена вопросу о подкольцах радикальных
колец. В основе работы лежит понятие «присоединённого» умножения,
которое выражается через сложение и умножение следующим образом:
a°b = a-\-b—ab;
радикальные кольца можно определить как кольца, составляющие группу
по присоединённому умножению, т.е. они играют такую же роль, как тела
в обычном умножении. В. А. Андрунакиевич вводит полу рада-
кальные кольца, аналогичные кольцам без делителей нуля в обычном умно-
умножении, и показывает, что в коммутативном случае они вкладываются
в радикальные кольца, а для некоммутативного случая строит противоре-
противоречащий пример, аналогичный примеру А. И. М а л ь ц е в а. В. А. А н д р у-
накиевич определяет также понятие присоединённого идеала (это
полный прообраз единицы при некотором гомоморфном отображении дан-
данного кольца на кольцо с единицей) и показывает, что для присоединённых
идеалов коммутативного полурадикального кольца справедлива теория,
вполне параллельная мультипликативной теории идеалов в коммута-
коммутативных кольцах без делителей нуля.
К общей теории ассоциативных колец относится также работа
А. И. Герчи кова[1], содержащая необходимые и достаточные усло-
условия для разложимости кольца в двустороннюю прямую сумму тел, и рабо-
работа В. И. Шнейдмюллера [2], посвященная кольцам с условием
минимальности для подколец. Недавно, используя одну теоремуДжекоб-
сона***), В. И. Шнейдмюллер показал, что всякое кольцо с условием
минимальности для подколец счётно и локально конечно (т. е. всякое конеч-
конечное множество его элементов порождает конечное подкольцо).
Переходим к вопросу об ассоциативных алгебрах конеч-
конечного или бесконечного ранга над некоторым
поле м.Один новый способ аксиоматического определения алгебр конеч-
конечного ранга с единицей указал Л. Я. Окуне в [1]. А. И. Ма л ьцев [10]
доказал, что любые два расщепления алгебры конечного ранга в полу-]
прямую сумму радикала и полупростой алгебры (они существуют ввиду!
теоремы Веддербарна) переводятся друг в друга внутренним автомор-i
•физмом, порождаемым элементом из радикала, причём в случае:
алгебр без единицы понятие внутреннего автоморфизма должным образом
определяется. А. И. Тихомиров [3] распространил этот результат
на случай расщепляемой алгебры бесконечного ранга в предположении,
что радикал этой алгебры нильпотептен, а фактор-алгебра по радикалу
имеет конечный ранг.
Среди алгебр бесконечного ранга естественно выделяется класс локаль-
локально конечных алгебр, т. е. таких алгебр, в которых всякое конечное множе
сгво элементов порождает подалгебру конечного ранга. Это понятие впол^
не аналогично понятию локально конечной группы, и в работе А. Г. К у*
*) Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946).
**) Amer. Journ. Math., 67 A945).
•**) Ann. of Math., 46 A945).

130 АЛГЕБРА
К области ассоциативных алгебр относятся также работы П. К. Р а -
ш е в с к о г о [2, 3]. В них рассматриваются алгебры над полем коплекс-
ных чисел с двумя образующими и одним определяющим соотношением
второй степени, вводится понятие приводимости одного элемента по мо-
модулю другого элемента, в коммутативном случае (т. е. в случае кольца
многочленов от двух неизвестных) превращающееся в делимость много-
многочлена на многочлен, и указываются алгоритмы для установления при-
приводимости элемента, линейного или квадратного относительно образую-
образующих, по модулю линейного элемента. Эти алгебры изоморфно представ-
представляются, далее, операторами в кольце многочленов от одного неиз-
неизвестного.
Из работ, относящихся к неассоциативным кольцам и алгебрам или,
во всяком случае, не нуждающихся в ассоциативности умножения, отме-
отметим прежде всего работу А. И. Тихомирова [1], выросшую из теории
простых ассоциативных алгебр конечного ранга. При помощи некоторого
поля и заданной в нём полугруппы изоморфных отображений А. И. Т и-
х о м и р о в строит кольца, частным случаем которых будут обычные
скрещенные произведения нормального поля и его группы Галуа, играю-
играющие столь большую роль в теории алгебр конечного ранга, и изучает эти
обобщённые скрещенные произведения, не требуя их ассоциативности.
Следствиями полученных результатов будут простота, нормальность
и другие известные свойства обычных скрещенных произведений.
А. И. У з к о в [6] рассматривает один класс неассоциативных алгебр
конечного ранга, называемых им симметрическими; к этому классу при-
принадлежат, в частности, все ассоциативные и все лиевы алгебры конеч-
конечного ранга. Для симметрических алгебр определяется понятие дискри-
дискриминанта и доказывается, что симметрическая алгебра с отличным от
нуля дискриминантом разлагается в двустороннюю прямую сумму
простых алгебр; этим объединяются известные теоремы об ассоциативных
и лиевых алгебрах.
Одно характерное свойство подалгебр алгебры Кэли (т. е. неассоциа-
неассоциативной алгебры с делением ранга 8 над полем действительных чисел)
указал Ю. В. Л и н н и к [1].
Для ассоциативных свободных колец или свободных алгебр, а также
для неассоциативных свободных колец не может быть доказана теорема,
аналогичная теореме Нильсена-Шрейера о подгруппах свободных групп.
Однако А. Г. К у р о ш в публикуемой сейчас работе показал, что всякая
подалгебра неассоциативной свободной алгебры сама будет свободной.
В этой же работе введено понятие неассоциативного свободного произведе-
произведения алгебр и для него построена теория, параллельная теории свободных
произведений групп (см. § 3). Всякая подалгебра свободного произведения
алгебр АЛ сама будет свободным произведением своих пересечений с каждым
А* и, быть может, ещё некоторой свободной алгебры. Любые два свободные
разложения произвольной алгебры обладают изоморфными продолжениями,
т. е. продолжениями, множители которых, не являющиеся свободным
алгебрами, совпадают.
Отметим, наконец, что в работах А. Г. К у р о ш а [17, 22] рассмо-
рассмотрен вопрос об изоморфизмах разложений колец в двустороннюю прямую
сумму, причём ассоциативность этих колец не предполагается. Оказалось,
что здесь справедливы теоремы, вполне аналогичные теоремам о прямых
разложениях групп (см. § 2); роль центра группы играет при этом идеалу
полных делителей нуля, а центральный изоморфизм заменяется 9^-изомор-

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 131
физмом, т. е. изоморфизмом, при котором разность соответственных элемен-
элементов принадлежит к 9?. Так, если 9? = 0, то два любые двусторонние пря-
прямые разложения данного кольца обладают общим продолжением; если всякая
аддитивная подгруппа идеала 9?, на которую гомоморфно отображается
фактор-кольцо данного кольца по его квадрату, удовлетворяет условию
Минимальности для подгрупп, то два любые двусторонние прямые разло-
разложения этого кольца обладают ^.-изоморфными продолжениями, и т. д,
§ 10. ТЕОРИЯ CTPyKTYPj
Как уже отмечалось во введении, исследования советских алгебра-
алгебраистов по структурам связаны пока преимущественно с теми или иными
результатами из теории групп или теории колец и заключаются иногда
в том, что соответствующий результат доказывается для более широкого
класса структур, чем структуры всех подгрупп (или всех нормальных
делителей) группы или всех идеалов кольца. Первой работой в этом напра-
направлении явилась у нас работа А. Г. К у р о ш а [4], в которой была доказа-
доказана следующая теорема, обобщающая одну теорему Нётер из теории колец:
если элемент дедекиндовой структуры двумя способами разложен в несокра-
несократимое произведение конечного числа неразложимых элементов, то оба
разложения содержат равное число множителей и каждый множитель
одного из разложений может быть замещён некоторым множителем
второго разложения. Эту теорему независимо получил также Орэ*),
а позже под именем теоремы Куроша-Орэ она неоднократно передоказы-
передоказывалась, обобщалась и применялась в других вопросах теории структур * *).
Ряд работ советских алгебраистов посвящен перенесению в теорию
структур теоремы Жордана-Гёльдера. В работе А. Г. Куроша [14],
как и в параллельной ей работе Орэ ***), в структурах выделялись элемен-
ты,свойства которых аналогичны свойствам нормальных делителей в струк-
структуре всех подгрупп группы. Этим путём были получены, однако, теоремы,
лишь аналогичные теореме Жордана-Гёльдера или теореме Шрейера о нор-
нормальных рядах, но их в себя не включавшие. А. И. У з к о в [3] подошёл
к этому вопросу с более общих позиций, предполагая, что в структуре
для некоторых пар элементов а, Ь, где а< Ь, определено, что а нормально-
в ft. А. И. У з к о в при некоторых общих ограничениях нашёл необходи-
необходимые и достаточные условия для того, чтобы для нормальных (в этом смыс-
смысле) рядов была справедлива теорема о нормальности и изоморфизме их
уплотнений, строящихся методом Цасенхауза. Этот результат уже содер-
содержит в себе соответствующие теоретико-групповые теоремы. Исследования
А. И. У з к о в а были продолжены затем Коржинеком *•**).
Исследования по прямым разложениям в структурах уже прошли
в рамках теории структур несколько ббльший "путь. Ещё Орэ *****) по-
показал, что на дедекиндовы структуры может быть распространена тео-
теорема Ремака-Шмидта, причём центральный изоморфизм множителей полу-
получался как следствие их прямого подобия, т. е. существования для них
Ann. of Math., 37 A936).
См., например, Birkhoff, Lattice theory A940); Dilworth, Bull. Amer.
Math. Soc, 52 A946).
**•) Trans. Amer. Math. Soc, 41 A937).
•*•*) Vestnik Ceske Spol. Nauk A941).
•*••*) Ann. of Math., 37 A936).

132 АЛГЕБРА
общего прямого дополнения; дальнейшие результаты в этом направлении
содержит работа Орэ *). Результаты об изоморфизмах прямых разложений
групп и колец из работ А. Г. Куроша [17, 22], отмеченные ⧧2и9,
были получены путём теоретико-структурной модификации метода Круля-
Коржинека. С этой целью для случая полных структур (т. е. структур
с бесконечными суммами и произведениями) было введено понятие вполне
дедекиндовой структуры, более специальное, чем понятие дедекиндовой
структуры, Причём структура нормальных делителей группы будет впол-
вполне дедекиндовой. В этих работах А. Г. К у р о ш а показано также, что
вопрос о существовайии общих продолжений для двух данных прямых
разложений целиком относится к теории структур, а именно введено поня-
понятие центра данной пары прямых разложений единицы во вполне деде-
дедекиндовой структуре и доказано, что равенство центра нулю необходимо
и достаточно для существования общего продолжения для данных разло-
разложений. С другой стороны, на вполне дедекиндовы структуры распростра-
распространена и одновременно несколько усилена теорема О. Н. Головина
(см. § 2). Введено также понятие последовательности центров данной пары
прямых разложений и для случая прямых разложений с двумя слагаемыми
каждое доказано, что если эта последовательность центров на конечном
месте достигает нуля, то данные прямые разложения обладают прямо
подобными продолжениями.
М. И. Г р а е в [3] обобщил указанные выше результаты, освободив
последний из них от предположения, что рассматриваются лишь разло-
разложения с двумя слагаемыми. М. И. Граев получил также ещё более
общий результат; он определил понятие возрастающей последовательности
коммутантов данной пары прямых разложений, причём предположение,
что последовательность центров на конечном месте достигает нуля, рав-
равносильно тому, что последовательность коммутантов на конечном месте
достигает единицы. Оказалось, что существование прямо подобных про-
продолжений вытекает уже из того, что сумма последовательности комму-
коммутантов равна единице.
Укажем ещё одну работу, выросшую из теории групп. М. И. Г р а е в [2]
изучает условия разложимости элементов дедекиндовой структуры
в прямую сумму циклов, т. е. таких элементов, что подструктура элемен-
элементов, им предшествующих, будет вполне упорядоченной по возрастанию.
Из полученных результатов вытекают, в частности, известные теоремы
Прюфера о разложениях периодических абелевых групп в прямую сумму
циклических групп и групп типа рт.
Как уже отмечалось в § 1, проективные геометрии и, в частности,
проективные плоскости принадлежат к числу структур, а именно,-какпо-
казали Биркгоф и Менгер, к числу дедекиндовых структур с дополнениями.
Из работ, посвященных проективным геометриям, мы включим в наш
обзор лишь работу Л. И. К о п е й к и н о й [1], весьма близкую к § 3
этого обзора. В ней, следуя Холлу **), изучаются свободные проективные
плоскости, причём доказывается, что всякая подплоскость свободной
плоскости сама свободна. С другой стороны, Л. И. Копейки-
н а определяет понятие свободно, о произведения проективных плоскостей
и доказывает, что ее якая подплоскость свободного произведения плоскостей
Ая будет свободным произведением своих пересечений со всеми Ал и некото-
*) Duke Math. Journ., 2 A936).
**) Trans. Amer. Math. Soc., 54A943).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 133
рой свободной плоскости, а также, что два любыг свободные разложения
произвольной плоскости оЬладают изоморфными продолжениями. Нако-
Наконец, для свободных разложений проективных плоскостей с конечным
числом образующих оказалась справедливой теорема, аналогичная тео-
теореме И. А. Г р у ш к о (см. § 3).
Некоторые аксиоматические рассмотрения, относящиеся к дистрибу-
дистрибутивным структурам, содержатся в работе А. К. Сушкевича [11].
Совсем иные истоки, вне алгебры, имеют работы В. И. Г л и в е н-
ко [1,2], в которых рассматриваются нормированные структуры, т. е.
структуры, для элементов которых введена неотрицательная норма со
свойствами: \)иза<Ь и аФЬ следует| а | < | b |, 2) | a + b | + \ab\ — \a \ + \b\.
Доказывается дедекиндовость нормированных структур и изучаются их
:вязи с частично упорядоченными метрическими пространствами. Другие
результаты о нормированных структурах можно найти в монографии
В. И. Г л и в е н к о [4], а дальнейшее развитие этих идей указано в книге
Зиркгофа*). К теории нормированных структур относится также работа
"\ М. Шапи ро [2].
Исследования П. С. Александрова о дискретных топологиче-
ких пространствах по существу принадлежат также к теории структур;
1ни относятся, однако, к другой статье Сборника.
*) Lattice theory A940).

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ.
А. И. МАЛЬЦЕВ.
§ 1. Топологические группы A35). §2. Топологические тела и коль-
кольца A45). § 3. Группы Ли A47). § 4. Алгебры Ли A52). § 5. Подалгебры
алгебр Ли A56).
опологическая алгебра изучает абстрактно алгебраические
образования (группы, кольца, тела) при дополнительных
предположениях, что элементы этих образований соста-
составляют топологическое пространство и что основные опера-
операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Если мы
сделаем более сильное предположение, что в топологическое
пространство алгебраического образования можно ввести
систему координат, в которой основные операции будут не
только непрерывны, но и дифференцируемы, то получим классические
области топологической алгебры, основным представителем, которых
является теория групп Ли. При таком общем определении топологи-
топологической алгебры в неё оказываются включёнными значительные от-
отделы геометрии и анализа (геометрия однородных пространств, тен-
тензорное исчисление и теория инвариантов, функциональный анализ
и др.)- Некоторые из них по многочисленности и важности работ
занимают самостоятельное и выдающееся место в математике. Работам,
относящимся к таким отделам, посвящены особые обзоры в настоящем
сборнике, и мы их касаться не будем.
Широкое развитие новой топологической алгебры началось лишь
около двадцати лет назад. Инициатором его у нас был А. Н. Колмого-
Колмогоров [1, 2]. Он один из первых заметил, что весьма общие тополого-алге-
браические аксиомы достаточны, чтобы характеризовать важнейшие объек-
объекты, изучавшиеся в классической геометрии (пространства постоянной
кривизны, проективные пространства). Под влиянием А. Н, К о л м о-
г о р о в а аналогичную тополого-алгебраическую характеристику тел
вещественных чисел, комплексных чисел и кватернионов получил
Л. С. Понтрягин [1]. Идеи А. Н. Колмогорова оказали
значительное влияние на последующее развитие топологической алгебры.
Вслед за упомянутой выше работой о топологических телах Л. С. П о н
т р я г и н напечатал ряд статей, содержащих крупнейшие результать
по теории топологических групп. Эти результаты нашли многочисленны!
и важные приложения и за пределами собственно топологической алгебры
Л. С. Понтрягину принадлежит также заслуга популяризаци
топологической алгебры среди широких кругов советских математике

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 135
(доклад на Всесоюзном математическом съезде, обзорные статьи в «Успе-
«Успехах математических наук» и т. д.)- Наконец, в 1938 г. вышла в свет моно-
монография Л. С. Понтрягина «Непрерывные группы»*), изданная также
на английском языке в США и сразу же приобретшая международную
известность. В этой монографии был подведён общий итог развитию новой
топологической алгебры. Написанная исключительно ясно, она до сих
пор является основным пособием при изучении этой дисциплины.
Одновременно с Л. С. Понтрягиным вопросами топологической
алгебры в Ленинграде стал заниматься А. А. М а р к о в, которому
принадлежит ряд крупных результатов в этой области. Кроме упомя-
упомянутых лиц, топологической алгеброй занимался у нас широкий круг ма-
математиков, получивших много разнообразных результатов. Более под-
подробное изложение самых существенных из них помещено ниже.
Основателем другого направления в топологической алгебре является
Н. Г. Ч е б о т а р ё в. Ему и его ученикам принадлежит ряд выдающихся
результатов в теории групп Ли. Значительным математическим событием
был выход в свет фундаментальной монографии Н. Г. Чеботарёва
«Теория групп Ли»**), освещающей весьма полно как классические, так
и современные вопросы этой теории.
§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ.
1. Основания. Топологической группой называют абстрактную группу
G, элементы которой образуют топологическое пространство с аксиомой
отделимости То, причём операции умножения и взятия обратного &G
непрерывны. А. Н. Колмогоровым [3] было отмечено, что из этих
аксиом автоматически следует хаусдорфовость и нормальность группового
пространства. В письме к А. Вейлю Л. С. Понтрягин показал,
что пространства топологических групп являются вполне регуляр-
регулярными***). Этот результат, перенесённый А. Вейлем напроизвольные одно-
однородные пространства, явился основным при построении теории так назы-
называемых пространств с равномерной структурой. Связанный с этим во-
вопрос— не будет лив сякое групповое пространство удовлетворять ещё более
сильному требованию нормальности — оставался некоторое время откры-
открытым, пока А. А. М а р к о в [5] не получил отрицательное решение его.
Именно, А.А.Марковым было показано, что всякое вполне регу-
регулярное топологическое пространство может быть вложено в подходя-
подходящую топологическую группу в качестве её замкнутого подмножества. Так
как замкнутые подмножества нормальных пространств нормальны, а
с другой стороны, не каждое вполне регулярное пространство нор-
нормально, то отсюда и следует существование ненормальных топологиче-
топологических групп.
Уже давно было отмечено, что в топологических группах существует
некоторый процесс, позволяющий пополнять эти группы новыми элемен-
элементами. А. Д. А л е к с а н д р о в [2] поставил и в основном решил вопрос
о существовании максимальных пополнений. А. Д. Алекса ндров
*)См. Л. С. Понтрягин [141.
**)См. Н. Г. Чеботарёв [46].
***) Определения хаусдорфовости, регулярности, полной регулярности и т. д.
см. в статье П. С. Александрова, О понятии пространства в топологии.
Успехи матем. наук, 2 : 1 A7), A947).

136 АЛГЕБРА
называет топологическую группу И абсолютно замкнутой, если Н не
содержится ни к какой большей топологической группе в качестве всюду
плотной подгруппы. Оказывается, для каждой топологической группы G
существует абсолютно замкнутая топологическая группа Н, содержащая
G в качестве своей всюду плотной подгруппы. Н называется абсолютным
замыканием О. Геометрический процесс для построения абсолютных замы-
замыканий указан Д. А. Райковым [5]. Из этого процесса вытекает, что
абсолютные замыкания определяются заданной группой однозначно,
а также получаются геометрические необходимые и достаточные условия
для абсолютной замкнутости.
В изложенных работах основное внимание обращено на изучение
специфически топологических свойств групповых пространств. В извест-
известном смысле двойственным является вопрос: какими специальными аб-
абстрактно-групповыми свойствами обладают топологические группы; на
которые наложены те или иные чисто топологические требования? Исход-
Исходным был бы случай, когда на топологию группы вообще не накладывается
никаких требований кроме её нетривиальности. Однако вопрос о том,
всякая ли бесконечная абстрактная группа допускает нетривиальную то-
пологизацию, до сих пор остаётся открытым. В работе А. А. М а р к о в а [7}
подробно изучаются различные топологизации, которым может подвер-
подвергнуться одна и та же абстрактная группа. В частности, в ней указываются
необходимые и достаточные условия того, чтобы некоторое множество
элементов счётной абстрактной группы G было безусловно замкнутым,
т. е. было замкнутым при любой возможной топологизацииО. Для форму-
формулирования этих условий нужно ввести несколько определений. Функ-
Функция Ф от/л элементовх,, хг,..., хт группы G со значениями в G называется
мультипликативной, если Ф может быть представлена в виде
Ф(х1}х„.;:,хт) = x*j х"»...х*пп (з/= ± 1, *>=!,..., т).
Пусть G—некоторая (абстрактная или топологическая) группа и А—
подмножество её элементов. А называетсяэлементарно алгебраическим, если
существует такая мультипликативная функция Ф (х1;..., xm+i) и такие эле-
элементы а,,..., ат bG, что Л будет совокупностью тех значений х в G, для ко-
которых Ф(а1,...,ат,х)= 1. Сумма конечного числа элементарно алгебра-
алгебраических множеств называется аддитивно алгебраическим. Наконец, пере-
пересечение любого числа аддитивно-алгебраических множеств называется
алгебраическим. Ясно, что элементарно алгебраические множества,
а следовательно, и алгебраические замкнуты при любой топологии G
и являются, таким образом, безусловно замкнутыми в G. А. А. М а р ко-
в ы м показано, что если G счётна, то имгет место и обратное утверждение:
всякое безусловно замкнутое подмножество из G является алгебраическим.
Справедливость этого утверждения для несчётных групп осталась под
сомнением.
С помощью понятия алгебраического множества аналогичным об-
образом был решён и вопрос о потенциально плотных подмножествах
счётных групп.
Решение изложенных тонких вопросов проводится А. А. Мар-
Марковым с помощью принадлежащего ему метода «мультинормк
Сущность его состоит в следующем. Вещественная функция N (g), опре-
определённая на абстрактной группе G, называется нормой, если iV(l)=0,

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 137
N(xyr1)<N(x)+N(y). Система норм N,-(g) называется мультинормой,
если
1) сумма любых двух её норм снова есть её норма,
2) все преобразованные нормы N^a^ga) содержатся в этой системе,
3) для каждого а изб в системе существует норма, значение которой
в точке а отлично от нуля.
Каждая мультинорма естественно порождает некоторую топологи-
топологизацию G, при которой все нормы мультинормы будут непрерывны. Ока-
Оказывается, что в действительности всякая топологизация G может быть
произведена этим способом. Поэтому изучение различных топологизаций
G можно заменить изучением мультинорм.
Выше был упомянут вопрос о возможных нетривиальных топологиза-
циях бесконечных групп. А. А. М а р к о в [5, 6] рассматривает условия,
при которых бесконечная группа может допускать связную топологизацию.
В первой работе показано, что существуют абстрактные группы произ-
произвольной мощности, не допускающие связной топологизаций. Во второй пока-
показано, что существуют связные топологические группы любой мощности, не-
неменьшей мощности континуума, все элементыкоторых имеют порядок 2*).
В теории групп Ли, наряду с обыкновенными топологическими группа-
группами, приходится рассматривать так называемые локальные группы или
групповые ядра. Типичным примером локальной группы может служить
произвольная окрестность единицы обыкновенной топологической группы.
, Аксиоматика локальных групп и определения относящихся к ним основ-
основных понятий были приведены в порядок Л. С. П о н т р я г и н ы м [14}
и П. Смитом **). В частности, ими был поставлен вопрос, всякая ли локальг
ная группа локально изоморфна некоторой обыкновенной топологической
группе. Для случая групп Ли этот вопрос ранее был решён Е. Картаном
в положительном смысле. Для локально евклидовых локальных групп
решение находится по словам Г. Вейля «за пределами нашего совре-
современного знания» ***). А. И. Мальцевым [7] показано, что суще-
существуют топологические локальные группы, не изоморфные локально ника-
никакой-обыкновенной топологической группе. В то же время интересно от-
отметить, что если локальная группа не содержит центральных элементов,
то она заведомо локально изоморфна некоторой обыкновенной тополо-
топологической группе ****).
2. Инвариантная мера. Во многих более глубоких вопросах теории
топологических групп фундаментальную роль играет инвариантная мера.
Существование инвариантной меры на локально компактных группах
со второй аксиомой счётности было впервые установлено Хааром. Эта
позволило распространить известные результаты Петера-Вейля на про-
произвольные компактные группы со второй аксиомой счётности и решить
знаменитую проблему Гильберта для компактных групп (Нейман) и про-
произвольных абелевых групп (Л. С. П о н т р я г и н). Упрощённое дока-
доказательство существования и единственности меры Хаара, а также суще-
существования полной системы представлений компактной группы со второй
*) В силу теоремы Л. С. Понтрягина о полной регулярности топологи-
топологических групп, мощность связных топологических групп не может быть меньше мощ-
мощности континуума.
**) Duke Math. Journ., 2 A936), 246—280.
***) Н. Weyl, The classical groups A939), 258.
****) Элемент а локальной группы G называется центральным если он пере-
перестановочен со всеми элементами достаточно малой окрестности единицы, G.

138 АЛГЕБРА
аксиомой счётное™ дал Л. С. П о н т р я г и н [13, 14]. Другое доказа-
доказательство единственности меры Хаара указано Д. А. Райковым [3].
Аксиоматическое исследование меры Хаара проведено в работе Д. А. Р а й-
к о в а [4]. Однако по своему направлению эта работа относится к функ-
функциональному анализу и выходит поэтому за пределы настоящего обзора.
Явные формулы для меры в линейных классических группах и в груп-
группах Ли, заданных в качестве групп преобразований, были указаны Н. Г.Ч е-
бота рёв ым [29, 30, 31]. Связанный с этим вопрос об интегральных
инвариантах рассматривался Г. И. Дринфельдом [3]. Нако-
Наконец, вопрос о существовании инвариантной меры в однородных простран-
пространствах с группой движений рассматривался Н. Г. Чеботарёвым [44]
и А. Вейлем*).
Интересное обобщение меры Хаара указал А. Д. Александров [1].
Пусть G—топологическая группа. Действительная функция р. (Е),
определённая на всех открытых множествах Е из G, называется левой
инвариантной мерой в G, если 0<p.(E)^i + oo, fi(E)>0 для непустого
Et р.(?)< + со хотя бы для одного Е1 ^(E^s^E,) для Е, ZD Es, p(gE)=p(E), -
g? G, наконец, ij.(?1+E2) = p.(E,)+p.(E1!), если в G существует такая окрест-
окрестность единицы^,что Е\и и EJJ не пересекаются. Если в Gсуществует
окрестность единицы U, обладающая тем свойством, что для каждой
окрестности единицы V в G найдётся конечное число элементов gu.. .,gk,
для которых U= \JgfV ,то G называется локально ограниченной. Если в этом
определении в качестве U можно взять всю группу G, то G будет называться
ограниченной. Оказывается, для существования в G левой инвариантной
меры необходимо и достаточно, чтобы G была локально ограниченной. Огра-
Ограниченность же группы G равносильна существованию на G меры, инва-
инвариантной слева и справа и такой, что tx(E)=p.(E"). Последнее, в свою оче-
очередь, необходимо и достаточно для того, чтобы G была изоморфна некото-
некоторой подгруппе прямого произведения групп унитарных матриц.
3. Теория представлений и теория характеров. Непрерывное гомоморф-
гомоморфное отображение одной топологической группы G внутрь другой G назы-
называется представлением G в G. Если в качестве G взять группу всех неосо-
неособенных матриц степени п с комплексными элементами, то представление
называется линейным степени п. Ограничивая класс матриц ортогональ-
ортогональными, унитарными или вещественными, мы получим соответственно уда-
тарные, ортогональные if вещественные представления G. В работах Петера
и Вейля задача построения нелинейных представлений компактных групп
Ли была связана с теорией интегральных уравнений на группах. Как
указывалось, после открытия меры Хаара теория Петера-Вейля была
перенесена Нейманом на компактные топологические группы, что позво-
позволило решить для них упомянутую проблему Гильберта (^ейман), а также
построить их общую теорию (Л. С.Понтрягин). В дальнейшем теория,
представлений оказалась связанной с исследованием различных классов
специальных функций на группах (почти периодических, положительно*
определённых и т. п.). Благодаря этим связям с теорией функций, а такж;-
благодаря тому, что много наиболее глубоких проблем теории топологи-
топологических групп оказалось возможным решить только с помощью теории пред-
представлений, последняя заняла в теории топологических групп одно из цен
тральных мест. В последнее время, наряду с линейными представлениями
особый интерес приобрели представления в группе унитарных преобразо-
*) A. Weil, L'integration dans les groupes topo!ogiques. Paris A940).

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 139
ваний гильбертова пространства (И. М. Гельфанд и др.)- Однако
это формулировкам окончательных результатов и по методам дока-
доказательств эти важные работы выходят за пределы настоящего реферата.
Следы матриц неприводимых представлений групп называются харак-
характерами. Если группа коммутативна, то все её неприводимые линейные
лредставления первой степени и, таким образом, изучение характеров
коммутативных групп равносильно изучению их представлений первой сте-
степени. Теория характеров коммутативных групп была создана Л. С. П о н-
трягиным [3, 4, 12] и с той поры подвергалась изучению в большом
количестве работ различных авторов (Д. А. Райков, Ван-Кампен,
Вейль и др.). Красота результатов и важность приложений делают эту
теорию одним из наиболее замечательных отделов всей топологической
алгебры. Несмотря на то что превосходное изложение этой теории содер-
содержится в монографиях самого Л. С. П о н т р я г и н а [14] и А. Вейля*),
мы здесь ещё раз сформулируем её основные результаты.
Обозначим через К группу всех комплексных чисел с единичным моду-
модулем по умножению. Так как дальше будет употребляться аддитивная
запись, то под К удобнее понимать аддитивную группу всех вещественных
чисел, рассматриваемых по модулю всех целых чисел. Пусть G—локально
компактная коммутативная группа со второй аксиомой счётности. Непре-
Непрерывное гомоморфное отображение G в К называется характером G. Таким
юбразом характерами G являются непрерывные функции <р (g), определён-
определённые на G со значениями в К,, удовлетворяющие дополнительному требо-
BaHHK><p(g,+gs)=?(g.) + <p(g«)- Если <? (g) и Ц(g)-^ характеры G, то— <p(g)
и <? (ё)-\г$ (g) будут также характерами G. Следовательно, характеры G
сами естественным образом составляют коммутативную группу у. Чтобы
внести в у топологию, берём произвольную окрестность нуля U группы К
и произвольное компактное множество F bG. Совокупность всех харак-
характеров <р (g), удовлетворяющих требованию <р (F) с U, называем по опреде-
определению окрестностью нуля в у. В силу этой топологии группа у оказы-
оказывается снова локально компактной и со второй аксиомой счётности. Если G
дискретна, то группа характеров у будет компактна, если G компактна,
то у дискретна. Пусть g 6 G, cp g у. Условимся <р (g) обозначать через (g,<p).
Скобка (g,<p) есть функция от двух аргументов g и <? со значениями в к.
При фиксированном <р это будет характер группыО, а при фиксированном g
и меняющемся <р мы получим характер группы у. Таким образом, эле-
элементы группы G можно рассматривать как характеры у. Центральный
результат теории характеров состоит в том, что различные элементы G
дают различные характеры группы у и что все характеры у ими исчер-
исчерпываются. Иными словами, если у есть группа характеров для G, то
. обратно, G есть группа характеров у. Операция взятия группы харак-
характеров устанавливает взаимно однозначное отображение класса локально
компактных коммутативных групп со второй аксиомой счётности на себя.
При этом отображении компактные группы переходят в дискретные, и та-
таким образом, например, задача классификации компактных групп оказы-
оказывается равносильной задаче классификации абстрактных счётных групп.
Условимся элементы g?G и х?у называть ортогональными, если
{g,x) = O. Если Н—множество элементов G, то через Н±- обозначим сово-
совокупность элементов у, ортогональных ко всем элементам Н, и аналогич-
аналогичные обозначения введём для множеств из у. Я-Lназывается аннулятором
*) A. Weil, L'integration^ dans les groupes topologiques. Paris A940).

140 АЛГЕБРА
множества Я в у. Ясно, что аннулятор произвольного множества есть
замкнутая подгруппа. Более того, если Я—замкнутая подгруппа в G,
то (//!)-!-=//. Это показывает, что если мы аинулятор подгруппы Я будем
называть соответственной подгруппой в группе характеров, то соответ-
соответствие будет взаимно однозначным. Очевидно, из Я,с:Я! следует H^-ZDH4-.
С точки зрения теории характеров связь между Я и Н1- даётся теоремой: Я~
есть группа характеров для GJH.
Указанные свойства группы характеров дают повод к постановке
различных вопросов аксиоматического характера. Решение одного из них,
полученное Л. С. Понтрягиным, мы здесь сформулируем. Пусть
G—счётная дискретная группа, у—компактная группа со второй аксиомой
счётности и пусть определена функция (g, x) со значениями в к, непрерывна
зависящими от х и удовлетворяющими условиям дистрибутивности.
Тогда, если yj- и GJ-—нули, то у—группахарактеровдляв. К сожалению,
для произвольных локально компактных групп это предложение стано-
становится неверным... По поводу дальнейших связей между свойствами группы
G и её группы характеров мы отсылай к книге Л. С. Понтрягина [14].
Теория характеров строилась первоначально Л. С. ГТонтряги-
н ы м преимущественно для компактных и дискретных групп. Этот слу-
случай представляет наибольший интерес с точки зрения приложений. В даль-
дальнейшем Ван-Кампен внёс в неё ряд важных усовершенствований, распро-
распространив основные теоремы Л. С. Понтрягина на локально биком-
бикомпактные группы. Существенно новых средств, помимо разработанных
Л. С. Понтрягиным, это не потребовало.
Доказательства Л. С. Понтрягина основаны на тонком ана-
анализе алгебраической структуры рассматриваемых групп. В работах
И. М. Гельфанда и Д. А. Райкова дано аналитическое построе-
построение теории характеров *). Д. А. Райковым [4] теория характеров
была построена для класса групп, выделяемого не топологическими
свойствами, а существованием в них меры Хаара. Однако существенного
расширения рассматриваемого класса групп это не даёт. Более широкие
классы групп, для которых справедливы основные понтрягинские
теоремы, указал Н. Я. Виленкин **). Эти классы описываются в сме-
смешанных тополого-алгебраических терминах. Определений мы здесь не
приводим по причине их сложности.
4. Компактные и локально компактные группы. В описании структуры
компактных и локально компактных групп существенную роль будут
играть группы Ли. Поэтому мы напомним их определение.
Топологическая группа G называется локально евклидовой или г-членной,
если в G существует" окрестность единицы U, допускающая взаимно
однозначное и взаимно непрерывное отображение на r-мерный куб Г ве-
вещественного евклидова пространства. Пусть в U выбраны настолько
близкие к единице элементы х, у, что их произведение z =xy всё ещё
содержится в U. Обозначим через х1(... ,xr, ylt---,yr, z,,..., zr соответст-
соответственные координаты точек куба Г, отвечающих элементам [x,y,z.
Тогда z, zr будут функциями от х,,..., хг, уи¦ ¦-, у/-
Zi=fi(xl,..., xr, y,,.;g, уr) (i=l,...,r).
*) См. И. М. Г е л ь ф а и д [1], И. М. Гельфанд и Д. А. Райков [1],
Д. А. Райков [2]. щ
**) Работа находится в печати.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕЕРА И ГРУППЫ ЛИ 141
•В общем случае функции /, будут только непрерывны. Если отображение
•U на Г можно выбрать так, чтобы /,- были аналитическими, то G называется
группой Ли. Вопрос, будет ли всякаяг-членная группа группой Ли, соста-
составляет знаменитую пятую проблему Гильберта. Как уже упоминалось, для
коммутативных групп эта проблема в положительном смысле была решена
Л. С. П о и т р я г и н ы м [3, 4].
Общая теория компактных групп создана Л. С. Понтрягиным
в работе [2], где, в частности, получается и решение проблемы Гильберта
для этих групп. Чтобы сформулировать её основные результаты, введём
несколько определений. Пусть дано открытое, непрерывное^ гомоморф-
гомоморфное отображение одной топологической группы G на другую С. Обозначим
через N ядро этого гомоморфизма. Говорят, что G аппроксимирует
группу С с точностью до N. Говорят также,что семейство групп {Gt }аппро-
ксимирует группу G с любой степенью точности, если для любой окрест-
окрестности единицы UhsG можно найти такое гомоморфное отображениеб на
подходящую группу Glt ядро которого лежит b(J . Л. С. Понтрягиным
показано, что всякая компактная группа со второй аксиомой счётности
t любой степенью точности аппроксимируема группами Ли. Это позволило
ему представить компактные группы в виде особого рода предела последо-
последовательности группы Ли, что сделало структуру этих групп весьма про-
прозрачной. В дальнейшем результаты Л. С Понтрягина Ван-Кампен
распространил на более широкий класс бикомпактных групп и дал деталь-
дое описание связных компактных групп.
Попытки построить аналогичную теорию локально компактных
•трупп в общем случае до сих пор не удались.
Для наиболее важного случая коммутативных групп такая теория
была создана Л. С. Понтрягиным [3,4,12]. В этих работах,
•наряду с результатами, вскрывающими структуру коммутативных групп,
¦содержится и изложенная выше знаменитая теория характеров ком-
коммутативных групп. Теперь мы изложим основные структурные теоремы
этих работ.
Если коммутативная группа G, удовлетворяющая второй аксиоме
счётности, компактна, то к ней приложимы результаты общей теории
компактных групп и, таким образом,в будет пределом последовательности
коммутативных компактных групп Ли. Если же G не компактна, но
локально компактна, то в G найдётся замкнутая подгруппа Н, распа-
распадающаяся в прямую сумму компактной и векторной групп, и такая,
что фактор-группа G/H будет дискретна. >
Обозначим через Go связную компоненту нуля G. Тогда, если Go
компактна,то уже сама группа G распадается в прямую сумму ком-
компактной и векторной групп.
Эти теоремы довольно полно вскрывают структуру локально
компактных групп. Для локально связных групп результат оказы-
оказывается совершенно окончательным: всякая локально компактная, ло-
локально связная и связная коммутативная группа со второй аксиомой
счётности есть прямая сумма векторной группы и конечного или
счетного числа групп К, изоморфных фактор-группе аддитивной
группы вещественных чисел по подгруппе целых чисел. Отсюда, в частности,
следует, что коммутативные r-членные группы являются группами Ли,
и, таким образом, пятая проблема Гильберта для коммутативных
групп оказывается решённой.

142 АЛГЕБРА
В последующих работах Ван-Кампена было показано, что резуль-
результаты Л. G. Понтрягина без существенных изменений распростра-
распространяются на произвольные локально бикомпактные коммутативные группы.
Эти же результаты позволили выяснить и структуру локально компактных
разрешимых групп *). Именно, в 1941 г. Шевалле опубликовал следующий
результат: всякая локально компактная, связная, локально связная
разрешимая группа конечной размерности есть группа Ли. Тем самым
им была решена утвердительно пятая проблема Гильберта для разрешимых
групп. А. И.. Мальцев [19] выяснил строение более широкого
класса разрешимых групп, удовлетворяющих только условию связности
и локальной компактности. Оказалось, что все эти группы аппроксимируемы
с любой степенью точности группами Ли по центральным компакт-
компактным подгруппам и локально изоморфны прямым произведениям групп Ли
на компактные абелевы группы.
Отметим, наконец, работу А. Я. Повзнера [1], показавшего,
что двучленные группы являются группами Ли.
5. Абстрактно групповое направление. Характерной особенностью*
работ, к рассмотрению которых мы переходим, является то, что их тема-
тематика и результаты параллельны известным разделам абстрактной теории
групп: свободные группы, теоремы Силова, периодические абелевы группы,
структурные изоморфизмы. Это не мешает тому, что факты, полученные
здесь, имеют иногда и специфически топологический интерес. Мы начнём
с важной теории свободных топологических групп, построенной
А. А. М а р к о в ы м [5, 8] и уже нашедшей ряд откликов (М. И. Граев,
Какутани**)).
Условимся говорить, что некоторое множество М элементов тополо-
топологической группы G порождает G топологически, если G не содержит соб-
собственных замкнутых подгрупп, содержащих М. Пусть X—произвольное
вполне регулярное топологическое пространство. Согласно А. А. М а р-
к о в у, топологическая группа F называется свободной топологической
группой пространства X, если она удовлетворяет следующим требова-
требованиям:
Ft) X есть подпространство F;
F8) X топологически порождает F;
Fa) каково бы ни было непрерывное отображение <р пространства X
в произвольную топологическую группу G, существует непрерывный
гомоморфизм группы F bG, совпадающий с <р на X.
Поскольку свободная группа пространства X характеризуется чисто
аксиоматически,то важным вопросом является доказательство её существо-
существования. Оказывается, для каждого вполне регулярного пространства X
свободная топологическая группа F существует и определяется одно-
однозначно с точностью до топологических изоморфизмов, переводящих точки X
в себя. Множество X является свободным базисом F в смысле абстракт-
абстрактной теории групп и замкнуто в F. Из последнего свойства непосред-
непосредственно вытекает положительное решение упоминавшегося выше вопроса
о существовании ненормальных групп. Назовём топологическую груп-
группу G свободной, если существует вполне регулярное пространство,
свободной топологической группой которого G является. Имеет место
*) Топологическая группа называется разрешимой, если она содержит конеч-
конечную систему убывающих нормальных делителей, оканчивающуюся единичной под-
подгруппой, все фактор-группы которой коммутативны.
**) Proc. Imp. Akad. Tokyo, 20 A944), 585—598.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 143
следующий аналог теоремы Дика: всякая топологическая группа топо-
топологически изоморфна фактор-группе некоторой свободной группы по
соответственному нормальному делителю.
Теория свободных топологических групп позволила А. А. М а р-
кову перенести в теорию топологических групп и понятие системы
определяющих соотношений, а также доказать связанные с этим про-
простейшие теоремы.
Изложенные результаты сохраняются, если во всех формулиров-
формулировках слова «топологическая группа» заменить словами «коммутатив-
«коммутативная топологическая группа». Такимпутём получается понятие свободной
коммутативной топологической группы и соответственные свойства
таких групп. Упомянем ещё следующие результаты: 1) абстрактно
групповой коммутант свободной топологической группы замкнут в этой
группе, и 2) если F— свободная топологическая группа пространства X,
А—свободная абелева группа того же пространства X, то фактор-
факторгруппа F по её коммутанту топологически изоморфна А.
Основным методом, применяемым А. А. Марковым в рассматри-
рассматриваемой работе, есть метод мультинорм, сущность которого была изложена
выше.
Работа А. А. Маркова послужила отправным пунктом для иссле-
исследований по теории свободных топологических групп Граева. М. И. Граев
прежде всего несколько модифицирует понятие свободной группы. Пусть
X—вполне регулярное пространство, е—какая-нибудь его точка. Топо-
Топологическая группа F(X) называется по Граеву свободной для X, если она
обладает свойствами FJ, F2) Маркова и свойством FJ); каково бы ни было
непрерывное отображение <р пространства X в произвольную топологи-
топологическую группу G, переводящее точку е в единицу G, существует непре-
непрерывный гомоморфизм группы F(X) в G, являющийся продолжением <р.
Доказательство основной теоремы о существовании группы F(X) осно-
основывается на понятии более сильной и более слабой топологизации, бла-
благодаря чему становится довольно прозрачным. Труппа F (X) с точностью
до изоморфизма единственна и не зависит от выбора точки е в X. Если
точка е, изолированная в X и Х'—Х\е, то свободная топологическая
группа пространства X' в смысле Маркова изоморфна группе F(X).
Группа F(X) связна, если и только если связно пространство X. Сле-
Следовательно, группа F(X) тогда и только тогда является свободной в смысле
Маркова, если она связна.
Аналогичные определения и свойства имеют место и для коммутатив-
коммутативных групп. '
Среди вопросов, оставшихся в работе А. А. Маркова открытыми,
имеется следующий: следует ли из изоморфизма свободных групп
пространств X, Y гомеоморфизм пространств ХиК? Это даёт повод ввести
понятие эквивалентности топологических пространств. Два топологи-
топологические вполне регулярные пространства называются эквивалентными,
если их свободные топологические группы топологически изоморфны.
М. И. Г р а е в показывает, что, вообще говоря, из эквивалентности про-
пространств ещё не следует их гомеоморфизм, и, таким образом, вопрос
А. А. Маркова решается отрицательно. В связи с этим возникает
новая задача —найти свойства, присущие одновременно всем эквива-
эквивалентным пространствам. Такими свойствами оказываются биком-
пактность и свойство быть компактом данной размерности. Условия экви-
эквивалентности счётных бикомпактных пространств рассмотрены более

144 АЛГЕБРА
детально. В заключение изучается вопрос о замкнутости и свободе
некоторых особых подгрупп свободных групп.
В работах Н. Я. В и л е н к и н а [1, 2, 31 строится содержательная
теория абелевых топологических групп, обобщающая теорию абстракт-
абстрактных периодических абелевых групп. Выше упоминалось, что теория
характеров Л. С. Понтрягина устанавливает взаимно однозначное
соответствие между абелевыми компактными группами со второй аксиомой
счётности и счётными дискретными коммутативными группами. Поэтому
каждое свойство дискретных групп должно иметь двойственным некоторое
свойство компактных групп. Важные примеры таких двойственных фор-
формулировок были указаны Л. С. П о н т р я г и н ы м. Например, отсут-
отсутствие элементов конечного порядка в дискретной группе равносильно
связности двойственной группы, периодичность дискретной группы равно-
равносильна нульмерности двойственной компактной группы и т. п. В частно-
частности, если дискретная группа есть /ыруппа, т. е. если каждый её элемент
имеет конечный порядок вида рп, где р — фиксированное простое число,
то двойственная группа обладает тем свойством, что для каждого её
элемента g последовательность g, pg, p2g,,... ,png сходится к нулю. Про-
Продолжая этот лист соответственных свойств, оказалось возможным перене-
перенести известную теорию Прюфера-Ульма абстрактных счётных периоди-
периодических коммутативных групп на компактные нульмерные группы со второй
аксиомой счётности (Крулль), после чего теория Прюфера-Ульма ока-
оказалась существующей в двух видах: с одной стороны, первоначальная тео-
теория для дискретных групп, с другой,—теория Крулля для нульмерных
компактных. Объединение этих теорий явилось естественно возникшей
задачей. Теория Прюфера-Ульма состоит из двух частей: теории Прю-
¦фера разложений группы в прямую сумму циклических групп и теории
Ульма построения групп по так называемым ульмовским факторам.
Н. Я. В и л е и к и н ы м [1, 2, 3] устанавливаются аналоги теорем
Прюфера для широких классов топологических групп, содержащих
внутри себя как дискретные группы, рассматривавшиеся Прюфером,
так и компактные группы, рассматривавшиеся Круллем (чем осуще-
осуществляется вышеуказанное объединение прюферовой части теории Прю-
фер-Ульма). Для этого сначала вводится особое понятие прямого про-
произведения с отмеченными подгруппами и затем даются условия для разло-
разложимости групп в произведения циклических jo-групп, групп типа /?«,, групп
целых р-адических, групп рациональных р-адических чисел, а также их
различных комбинаций. Независимо от Н. Я. Вил енкина частные резуль-
результаты этого вида были получены Браконье и Дьедонне *), также восполь-
воспользовавшимися прямым произведением с отмеченными подгруппами. Чтобы
расширить область применения своих теорем, Н. Я. Виленкин в по-
последующих работах**) определяет новые, весьма широкие классы топо-
топологических групп, названные им слабо сепарабельными и волокнистыми,
и изучает их различные свойства, в том числе находит условия для
разложимости их в прямые суммы упомянутых выше простейших групп.
В теории абстрактных групп важное место занимают теоремы Силова
и их различные обобщения. Далеко идущее перенесение теорем Силова
¦в теорию топологических групп принадлежит А. Г. Курошу [20].
Пусть р—простое число. Элемент g произвольной топологической
*) См. С. R. Akad. Sci. A944).
**) Находятся в печати.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 145
группы G называется р-элементом, если последовательность g, gp gp2,...
сходится к единице G. Подгруппа Я называется р-подгруппой, если все
элементы Я являются ^-элементами. Максимальные /7-подгруппы
группы G называются её силовскими подгруппами. Речь идёт о нахожде-
нахождении условий, при которых все силовские подгруппы, принадлежащие
одному и тому же числу р, будут сопряжены между собою.
Пусть Я—какая-нибудь подгруппа произвольной топологической
группы G, ®п— множество подгрупп, сопряжённых с Я. Введём в йнтопо-
йнтопологию, называя базисными открытыми множествами множества, полу-
получающиеся из Я путём трансформирования Я элементами какого-либо
открытого множества изО. Предположим, что Gобладает полной системой
окрестностей единицы, являющихся нормальными делителями G и пусть
в G дана такая замкнутая р-подгрупла Р, что класс $„ бикомпактен.
Тогда имеет место следующий основной результат А. Г. К у р о ш а: для
«сякой р-подгруппы Q группы G можно указать такую подгруппу Plt
сопряжённую с Р, что подгруппа {PlfQ}, порождённая элементами Р, и Q,
будет р-подгруппой. Если здесь Р силовская р-подгруппа, то Р1 совпа-
совпадает с Q и мы приходим к выводу, что если в группе G класс ШР для неко-
некоторой силовской р-подгруппы бикомпактен, то все силовские р-под-
р-подгруппы сопряжены. Для дискретных групп G эта теорема непосредственно
обращается в теорему А. П. Д и ц м а н а-А. Г. К у р о ш а-А. И. У з-
кова [1], а для компактных нульмерных групп со второй аксиомой
счётности в теорему Ван-Данцига *).
Перенесением теорем Бэра о структурных изоморфизмах абстракт-
абстрактных коммутативных групп на случай топологических групп занимался
М. И. Г р а е в [4]. Если между замкнутыми подгруппами групп GnG'
установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение
включения, то это соответствие называется структурным изоморфизмом,
а группы G и G' структурно изоморфными. Ясно, что всякий топологи-
топологически-групповой изоморфизм G и G' влечёт за собой соответственный
структурный. Возникает вопрос: можно ли утверждать и обратное?
Условия для возможности такого утверждения в случае абелевых
абстрактных групп были найдены Бэром. Существенная часть их
М. И. Г р а е в ы м перенесена в топологические группы. Пусть G и G' —
коммутативные локально компактные группы со второй аксиомой счёт-
яости. Каждый структурный изоморфизм между G и G' заведомо индуци-
индуцируется и только двумя групповыми, если выполнено одно из следующих
[условий: 1)G—нульмерна и ранга > 2, 2) G имеет ранг 0и размерность>2,
щ G содержит замкнутую векторную подгруппу размерности>2. Вводя
"f множество подгрупп топологию и называя структурный изоморфизм,
^Сохраняющий топологию, топологическим, М. И. Г р а е в находит ана-
•логичные условия и для топологических структурных изоморфизмов.
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕЛА И КОЛЬЦА.
6. Топологические тела. Переходя к обзору работ по топологическим
f*№M и кольцам, отметим, что мы не будем здесь касаться важных работ
Щ. М. Гельфанда и других по нормированным кольцам, а также
фной литературы по функциональному анализу. Что касается работ,
*) Сотр. Math., 3 A936), 408—426.
Ю Математика в СССР за 30 лет.

146 АЛГЕБРА
относящихся собственно к топологической алгебре, то их весьма немного.
Первой по времени является важная работа Л. С. Понтрягина [1]
о топологических телах. В этой работе доказана следующая основная
теорема: всякое связное локально-компактное топологическое тело со второй
аксиомой счётности изоморфно либо полю вещественных чисел, либо полю
комплексных чисел, либо телу кватернионов. Эта теорема была доказана,
как указывает Л. С. Понт р яги н, по предложению А. Н.Колмого-
Н.Колмогорова, применившего её к построению аксиоматики комплексной
проективной геометрии.
7. Условия нормируемости. Условия нормируемости линейных топо-
топологических пространств указаны А. Н. К о л м о г о р о в ы м [3]. Пусть
L линейное топологическое пространство, т. е. аддитивно записываемая
коммутативная топологическая группа с непрерывным умножением
на вещественные числа. Подмножество А из L называется ограниченным,
если из пч?А, av—^ 0 следует avav—>б, где б —нулевой элемент L, av —
вещественные числа. А—выпукло, если из х?А, у?Аг a-f [3=1,а|гО,
psO следует ах+$у?А. Пространство L нормируемо, если в L можно
ввести метрику p(x,6)=jx| со свойствами |ax|=| a| |x|, |х+У|^ |х|+|}'|.
Оказывается, для нормируемости L необходимо и достаточно, чтобы в L
существовала по меньшей мере одна выпуклая ограниченная окрест-
окрестность нуля.
Условия для нормируемости топологических (коммутативных) полей
нашёл И. Р. Ш а ф а р е в и ч [1]. Топологическое поле К называется
нормируемым, если на нём можно задать вещественную функцию <р (х)
со свойствами 1) <р(х)> 0 при хфО, <р @)=0; 2) <р (х+у)^ <р (х)+? (у);
3) <р (ху)=<р (х) у (у); 4) система множеств Е-Дср (х)<е} образует полную систе-
систему окрестностей нуля. Множество W из К называется ограниченным, если
для всякой окрестности нуля U существует такая окрестность нуля V,
что W-VdU. Пусть R—множество таких элементов х из/С, что хп—^0 для
и—><х>, а/?—множество элементов, обратные которых в R не входят. Для
нормируемости К необходимо и достаточно, чтобы R было открыто, aft
ограничено.
Эта теорема позволила И. Р.Шафаревичу на основе результа-
результатов Островского и Хассе-Шмидта получить непосредственно структуру
локально-бикомпактных полей: всякое связное локально бикомпактное
поле оказывается либо полем вещественных, либо полем комплексных чисел,
а несвязное—полем р-адических или z-адических чисел.
Используя метод И. Р. Ш а ф а р е в и ч а, Д. П. М и л ь м а н [1]
получил аналогичные теоремы для нормируемости топологических комму-
коммутативных колец К с единицей. При этом кольцо К Д. П. Мильман
называет нормируемым, если на нём можно задать вещественную функцию
<р(х), удовлетворяющую требованиям 1), 2), 4) Шафаревича и условию
3')<р(ху)^<р (х)<р (у). Сохраняя определение множества R из работы И. Р. Ша-
Шафаревича и называя множество W выпуклым, если для каждых
двух элементов х, у из W существует элемент г, для которого 2z=x+y
и все z с этим свойством входят в W, автор приходит к следующему
результату. Если множество R открыто, ограничено, выпукло и со-
содержит элемент, имеющий обратный, то кольцо нормируемо. Это даёт
возможность получить характеристику плотных подколец полных
линейных колец непрерывных функций, определённых на биком-
бикомпакте .

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 147
§ 3. ГРУППЫ ЛИ.
8. Группы Ли и их алгебры. Линейное пространство L над полем К
называется алгеброй Ли, если кроме операций сложения элементов L
и умножения их на числа из К в L задана ещё операция коммутирования
[а, Ь] со свойствами: [a, b]=—[b, а], [аа+рй,с]=а[а, c]+$[b,c], \abc J]=
=[[а,6]с]+[й[а, с]]. ПустьG— группа Ли, е—единица G и U —окрестность е,
в которой можно ввести координаты хх,...,хг, так чтобы е имела коорди-
координаты 0,...,0, а функции Л,..., /г, выражающие закон умножения (см. п. 4)
были дважды дифференцируемы. Касательные в точке е ко всем кривым,
выходящим в U из точки е, образуют г-мерное линейное пространство L.
Чтобы ввести в L операцию коммутирования, рассмотрим две кривые
*@> y(t),O^t^l,x(O)=y(O)=e. Векторы a, b с компонентами (Л
?} лежат в L и касаются указанных кривых в точке е. Из условий,
дифференцируемое™ следует, что предел
Пш [эгЧО УЧО x(t) y(t) ]tlf*=ct (/=1,.../).
существует и зависит только от а и Ь. Вектор с компонентами с,,...,с, назы-
называется коммутатором \а, Ь]. Эта операция коммутирования удовлетво-
удовлетворяет изложенным выше требованиям, и пространство L становится теперь
алгеброй Ли. Алгебра L и называется алгеброй Ли группы G. Если введён-
введённые в G координаты были вещественными, то алгебра L также вещественна,
а если координаты могли принимать комплексные значения, то алгебра L
будет над полем комплексных чисел. Совокупность касательных к кри-
кривым, выходящим из е и лежащим в какой-нибудь лиевской подгруппе Н
группы G, образует подалгебру М в алгебре L. Если Я^нормальный
делитель, то М—идеал в L.
Из построения алгебры Ли группы G видно, что для определения
этой алгебры нет нужды знать группу G в целом; достаточно знать лишь
ее сколь угодно малую окрестность единицы. Таким образом алгебры Ли
могут служить полной характеристикой не групп Ли, а только локаль-
локальных групп Ли. В частности, установленное выше соответствие между под-
подалгебрами и подгруппами для локальных групп становится взаимно одно-
однозначным. Это делает ясным, почему в классической теории групп Ли огра-
ограничивались изучением локальных групп. Однако с развитием общей
теории • топологических групп обнаружилась важность рассмотрения
и групп в целом. Работы Шрейера о локальном изоморфизме, Петера
и Вейля об интегральных уравнениях на группе, теория меры Хаара и ком-
компактных групп, теория характеров Л. С. Понтрягин а—имеют дело
именно с группами в целом. Наконец, Картаном*) была поставлена во всей
своей общности и задача об изучении групп Ли в целом. Среди первых
вопросов этого направления находился принципиальный вопрос о возмож-
возможности построения группы по алгебре Ли, т. е. вопрос о возможности вклю-
включения локальной группы Ли в группу Ли в целом. Этот вопрос был решён
Картаном в положительном смысле и послужил поводом к постановке
аналогичного вопроса для общих топологических групп, рассмотренного
выше (см. п. 1). Если рассматривать группы в целом, то одной и той же
*) La theorie desgroupes finis et continus et 1'analysis situs. Paris A930).
10*

148 АЛГЕБРА
алгеброй Ли могут обладать и неизоморфные группы. Согласно Шрейеру,
все они являются фактор-группами от однозначно определённой, одно-
связной группы с той же алгеброй, по дискретным нормальным делителям.
А. И. Мальцев [16,20] показал, что группу Ли в целом можно с точ-
точностью до конечнолистных накрытий охарактеризовать её алгеброй Ли
и некоторым специальным рациональным подмодулем.
Между подгруппами группы Ли, рассматриваемой в целом, и под-
подалгебрами её алгебры Ли нет того простого соответствия, которое имеется
между подалгебрами и подгруппами локальных групп. В работах Ней-
Неймана и Картана были указаны топологические признаки тех подгрупп,
которые отвечают подалгебрам алгебры Ли. На примере подгрупп век-
векторной группы размерности 2 Е. М. Л и в е н с о н [1] показал, что эти
условия нельзя заменить условием связности.
Среди подгрупп топологической группы особое значение имеют замкну-
замкнутые подгруппы. Поэтому возникла задача, каким подалгебрам отвечают
замкнутые подгруппы. Поскольку группа Ли О определяется её алгеброй
неоднозначно, то при точной постановке задачи кроме алгебры Ли следует
указывать ещё её рациональный подмодуль. В случае, когда G односвязна,
Л. С. П о н т р я г и н [14] показал, что всякому идеалу алгебры Ли в G
отвечает замкнутый нормальный делитель. А. И. Мальцевым [8]
было выяснено, что этот нормальный делитель также односвязен. Даль-
Дальнейшие результаты о замкнутых подгруппах были получены А.И.Маль-
А.И.Мальцевым [9, 16]. Среди них отметим следующие. Пусть А—произвольная
подалгебра алгебры Ли L, В—нормализатор А, т. е. наименьшая подал-
подалгебра, содержащая А в качестве идеала. Тогда во всякой группе Лив с алгеб-
алгеброй L подалгебре В отвечает замкнутая подгруппа. Далее, если Я—-под-
Я—-подгруппа группы Ли G, отвечающая подалгеб ре А и F—замыкание Н, то под-
подалгебра С, отвечающая подгруппе F, имеет вид C=A+D, где D—комму-
D—коммутативная подалгебра, все элементы которой перестановочны со всеми
элементами А. Наконец, было показано, что для замкнутости подгруппы,
отвечающей некоторой подалгебре, необходимо и достаточно, чтобы замы-
замыкания всех однопараметрических подгрупп, содержащихся в ней, снова
содержались в ней самой. Последний результат позволил сформулировать
общие условия для замкнутости подгруппы в виде некоторых требований,
накладываемых на пересечения подалгебры с рациональными подмоду-
подмодулями, характеризующими вместе с алгеброй Ли заданную подгруппу.
Среди всех подгрупп некоторой группы Ли Q особый геометрический
интерес представляют компактные подгруппы. Картан показал, что все
максимальные связные компактные подгруппы полупростых групп Ли
сопряжены. А. И. Мальцев [16] распространил эту теорему Картана
на произвольные группы Ли. Таким образом оказалось, что всякая связная
компактная подгруппа Н группы Ли G сопряжена с некоторой подгруп-
подгруппой её фиксированной максимальной компактной подгруппы F. Причём,
если компактные подгруппы Н и Нх сопряжены в G, то их представи-
представители в F будут сопряжены в F. Тем самым задача классификации
компактных подгрупп Ли свелась к классификации замкнутых подгрупп
компактных групп.
9. Линейные группы. В тесной связи с вопросом о подгруппах нахо-
находится вопрос об изоморфных линейных представлениях алгебр и групп Ли.
Пусть Л—-ассоциативная алгебра. Введём в А новую операцию коммути-
коммутирования, полагая [a, b]=ab~ba(a, b 6 А). Эта операция удовлетворяет
всем требованиям, налагаемым на операцию коммутирования в алгебрах

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 149
Ли, и тем самым из А возникает алгебра Ли А,. Если А—алгебра всех
квадратных матриц данной степени п, то Аг называется полной матричной
алгеброй Ли. Давно предполагалось, что каждая вещественная или ком-
комплексная алгебра Ли изоморфна подалгебре некоторой матричной алгебры
Ли. Полное доказательство этого глубокого утверждения удалось дать
И. Д. А д о [2] в 1935 г. Доказательство И. Д. А д о опирается на тонкие
структурные свойства комплексных алгебр Ли. Для алгебр над полями
простои характеристики аналогичные свойства не известны и поэтому
вопрос о возможности представления таких алгебр матрицами до сих пор
остаётся открытым *). Другие доказательства теоремы Адо были указаны
впоследствии Е. Картаном**) и А. И. Мальцевым [18].
Из теоремы Адо следует, что каждая локальная группа Ли допускает
изоморфное матричное представление. Для групп Ли в целом это неверно.
Достаточные условия для представимости групп Ли в целом в важных
частных случаях были указаны Картаном в упомянутой работе и Биркгоф-
фом***). Необходимые и достаточные условия нашёл А. И.Мальцев [13].
Именно, для линейной представимости группы Ли G в целом необхо-
. димо и достаточно, чтобы были линейно представимы ее' радикал и фактор-
факторгруппа группы G по радикалу. В свою очередь, для представимости ради-
радикала необходимо и достаточно, чтобы его коммутант был односвязен,
а представимость фактор-группы зависит от строения её центра.
10. Групповое пространство. Важной задачей теории групп Ли
в целом является изучение топологических свойств групповых пространств
и, в первую очередь, их чисел Бетти. Начало этому положил Картан в уже
упоминавшейся монографии. Прежде всего им было показано, что про-
пространство связной и односвязной группы Ли разлагается в топологическое
произведение евклидова пространства и пространства её максимальной
компактной подгруппы. Тем самым задача изучения пространств произ-
произвольных односвязных групп Ли свелась к изучению пространств ком-
компактных групп. Для компактных групп Картаном была построена особая
теория инвариантных дифференциальных форм, с помощью которой вы-
вычисление чисел Бетти удалось свести к элементарно алгебраической задаче
об определении числа линейно независимых форм в некоторых линейных
Системах. Эта последняя, в свою очередь, может быть сведена к вычи-
вычислению интегралов вида
1 /
где
Однако фактически найти числа Бетти этим способом не удалось, также
как не удалось до сих пор вычислить прямым образом и интеграл (W). Эту
трудную проблему Картана в 1935 г. решил Л. С. Понтрягин [5,6,16]
*) В 1937 г. Биркгофф и Витт показали, что всякая алгебра Ли представима
линейными преобразованиями бесконечно мерного пространства. Отсюда Биркгофф
получил теорему Адо для полей произвольной характеристики, по только для ииль-
потентных алгебр (Ann. of Math., 38 A937), 526—532).
**) Journ. Math. pur. appl., 17A938), 1—12.
***) Bull. Amer. Math. Soc, 4 A936), 882—888 и Ann. of Math., 38 A937),
526—532.

150 АЛГЕБРА
геометрическим методом. Результаты оказались следующие. Как известно,
всякая односвязная компактная группа Ли распадается в прямое произ-
произведение простых групп, а все простые компактные группы с точностью
до локального изоморфизма содержатся в таблице:
Л„—группы унитарных матриц степени п-f-l с определи-
определителем + 1;
Вп—группы вещественных ортогональных матриц опре-
определителя +1 от 2/2-f-l переменных;
С„—группы унитарных симплектических матриц степе-
степени 2 п;
Dn—группы вещественных ортогональных матриц опре-
определителя +1 степени 2л;
G2, Fit Et, ?„ Еа— пять особых групп.
Согласно Л. С. Понтрягину, числа Бетти групп Ап, Вп, С„, Д,
совпадают с числами Бетти таких топологических произведений:
n7 x... ,
где Sk обозначает сферу размерности к. Так как Л. С. Понтряги-
н ы м [16] было показано, что локально изоморфные компактные группы
имеют одни и те же числа Бетти, то тем самым задача вычисления чисел
Бетти была в основном решена. Что касается коэффициентов кручения, то
они у Ап и С„ отсутствуют, а Вп, Dn имеют коэффициенты кручения, равные
двум (Л. С. П о н т р я г и н [16]). Причиной этого по предположению
Л. С. Понтрягина является то обстоятельство, что Ап и С„ одно-
связны, а Вп и Д, нет. Однако предположение, что универсальные накры-
накрывающие для Вп, Dn коэффициентов кручения не имеют, остаётся пока
недоказанным. Отметим ещё, что числа Бетти для G2 также вычислены
(G2~ S'xS11), а для остальных особых групп неизвестны.
Совпадение чисел Бетти у компактных групп с числами Бетти тополо-
топологических произведений сфер заставило поставить вопрос: не гомеоморфны
ли группы этим произведениям? Используя гомотопические инварианты,
Л. С. П о и т р я г и н [18] показал, что на этот вопрос следует ответить
отрицательно. Так, А2 вообще не может быть представлена в виде тополо-
топологического произведения двух многообразий.
Уже упоминалось, что изучение пространства односвязной группы
Ли Картан свёл к изучению пространства её максимальной компактной
подгруппы. Д ля неодносвязных разрешимых групп это же было сделано
А. И. Мальцевым [11] и независимо Шевалле *) показавшими, что
пространство связной разрешимой группы Ли гомеоморфно топологиче-
топологическому произведению прямых и окружностей. А. И. Ма л ьцев ым [16]
была доказана и общая теорема: пространство всякой связной
группы Ли G гомеоморфно топологическому произведению некоторого
евклидова пространства на пространство максимальной связной компакт-
компактной подгруппы.
11. Однородные пространства. Пусть М—топологическое пространство,
С—некоторая группа гомеоморфных отображений М на себя. Условимся
*) Ann., of Math., 42 A941), 668—675.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 151
называть элементы G движениями пространства М. Важной геометриче-
геометрической задачей является нахождение минимальных топологических условий,
которым должны удовлетворять М и G, чтобы М стало гомеоморфно
какому-нибудь пространству постоянной кривизны, a G обратилась бы
в группу его изометрических отображений. А. Н. Колмогорову [I]
принадлежит современная постановка этой задачи и одно из возможных
е8 решений. Основная его идея состоит в том, что пространства постоянной
кривизны обладают наибольшей свободой движений; поэтому и решение
задачи должно быть связано с наличием большого количества движений.
Пусть М—метризуемое, локально-компактное, связное топологическое
пространство и G—транзитивная группа гомеоморфизмов М. Обозначим
4epe3Sp (Xj,..., х„) сферу с центрами хи .... х„, проходящую через точку у,
т. е. совокупность тех точек М, в которые можно перевести у преобра-
преобразованиями G, оставляющими на месте точки xlt ..., хп. Основной результат:
если каждые две сферыБц (х,, ..., х„), Sv(xu ..., хп) отделяют одна другую
от точки х„ в сфереSXn (xi> ••¦> xn-i)> т0 М можно так отобразить топо-
топологически на некоторое пространство постоянной кривизны, что G перей-
перейдёт в группу его изометрий.
В дальнейшем это направление исследований разрабатывалось рядом
иностранных учёных (Буземан, Биркгофф и др.).
Мы пока не обращали внимания на то, имеет или нет топологию
группа G. Если предположить, что группа G топологическая.то естественно
возникает весьма важное понятие группы, действующей на топологическом
пространстве. Именно, говорят, что топологическая группа G действует на
топологическом пространстве М, если определены произведения
mg (т € М, g 6 G) со значениями в М, зависящими непрерывно от т, g, и если
(mg)h=m(gh), me=m (g,h—элементы, е—единица G). G называют эффек-
эффективной на ЛГ.если для каждого §фе найдётся такой элемент т, что mg ф т.
Говорят, что G действует на М транзитивно, если для любых a, b из М
найдётся такой элемент g€G, что ag=b. Совокупность элементов G, остав-
оставляющих на месте какой-либо элемент т из М, называется стабильной
подгруппой Gm. Если G—локально-компактная группа, со второй аксиомой
счётности и действует транзитивно на некотором пространстве М, то легко
доказывается, что М гомеоморфио пространству вычетов М по любой
стабильной подгруппе Gm. Отсюда видно, что изучение пространств с дей-
действующими на них транзитивно топологическими группами приводится
кизучению пар, составленных из топологической группы и её замкнутой
подгруппы, т. е. к чисто тополого-алгебраической задаче. Для пространств
с действующими на них группами можно указать следующий аналог пятой
проблемы Гильберта: будет ли группой Ли всякая локально компактная
связная топологическая группа, транзитивно действующая на некотором
топологическом многообразии? В работе 1936 г., оставшейся неопубли-
неопубликованной, Л. С. Понтрягин показал, что для компактных групп
эта проблема решается положительно. Полное доказательство было опубли-
опубликовано впервые и независимо Монтгомери и Циппиным. А. И. М а л ь-
ц е в [19]показал, что эта проблема решается положительно и для разре-
разрешимых групп. Им же показано, что пространство вычетов связной, одно-
связной разрешимой группы Ли по её связной подгруппе гомеоморфно
евклидову пространству. В другой работе *) А. И. М а л ь ц е в рассма-
рассматривал пространства с нильпотентной группой Ли движений. Оказалось,
*) Находится в печати.

152 АЛГЕБРА
что такие пространства однозначно определяются своей группой Пуан-
Пуанкаре, причём всякая абстрактная нильпотентная группа без элементов
конечного порядка и с конечным числом образующих есть группа
Пуанкаре одного из этих пространств.
Уже указывалось (п. 2), что вопрос о существовании инвариантной
меры в пространствах с группой движений рассматривался Н. Г. Чебо-
Чеботарёвым [44]. Ряд теорем из теории динамических систем перенёс
на пространства с группой движений В. В. Н е м ы ц к и й *). Некоторые
условия для возможности погружения одного пространства с группой
движений в другое нашёл Б. А. Розенфельд **). Это позволило ему
единообразным методом получить много результатов классической гео-
геометрии. Наконец, В. В. В а гн е р ***) исследовал широкое понятие геомет-
геометрической величины. Последние две работы по своему характеру относятся
уже к области геометрии и выходят за пределы настоящего реферата.
§ 4. АЛГЕБРЫ ЛИ.
12. Общие замечания. Выше упоминалось, что изучение локальных
групп Ли эквивалентно изучению алгебр Ли, причём изучение комплекс-
комплексных локальных групп эквивалентно изучению алгебр Ли над полем
комплексных чисел, а вещественных локальных групп—изучению алгебр
Ли над полем вещественных чисел. С алгебраической точки зрения изу-
изучение алгебр над полем комплексных чисел проще и поэтому предше-
предшествует изучению алгебр над полем вещественных чисел.
Пусть L—алгебра Ли над каким-нибудь полем К и А, В некоторые
множества её элементов. Символом [А, В] обозначают минимальную
подалгебру из L, содержащую все коммутаторы вида [а, Ь], где а(-А,
b 6 В. Подалгебра [L, L] называется первым коммутантом L и обозна-
обозначается L', подалгебра [L',L']~emopbiM коммутантом и т. д. Если при
некотором к к-й коммутант L(k) окажется нулём, то L называется
разрешимой. Всякая алгебра L имеет единственный разрешимый идеал R
максимальной размерности. Этот идеал R называется радикалом L.
Если R равен нулю, то L полупростая алгебра. Кроме разрешимости
и полупростоты основную роль в теории алгебр Ли играют ещё понятия
простоты и нильпотентности. Определяются они следующим образом.
Алгебра L называется простой, если L не имеет собственных идеалов;
L называется нильпотентной, если при достаточном числе членов выраже-
выражение [... [L, L]L...]L обращается в нуль. Нильпотентные алгебры называют-
называются алгебрами ранга нуль. Пусть L—произвольная алгебра Ли, R её радикал.
Легко показывается, что алгебра вычетов L/R будет полупростой. Отсюда
видно, что задача об исследовании алгебр Ли распадается на изучение
полупростых алгебр, разрешимых алгебр и изучение нахождения спо-
способа составления алгебры L из радикала R и полупростой алгебры
вычетов LJR.
13. Полупростые алгебры. Предыдущие определения имеют смысл
при любом основном поле. Однако, в дальнейшем всюду, где ие оговорено
противное, будет подразумеваться, что основным полем является поле
всех комплексных чисел. Согласно классическим результатам Киллинга-
*
**
) ДАН, 53 A946), 495—498.
:) ИАН, сер. матем., 9 A945), 371—ЗН6.
ДАН, 46 A945), 383-386.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 153
Картана, каждая полупростая алгебра Ли есть прямая сумма простых
алгебр, а простые алгебры с точностью до изоморфизма исчерпываются
алгебрами Ли групп Ап, Вп, Сп, Dn, G2, Fit Ee, E,, Ee, приведённых
в п. 10. Доказательство последнего результата, весьма сложное и мало-
малообозримое у Картана, было сделано геометрически прозрачным в основных
работах Вейля и Ван-дер-Вардена. Е. Б. Дынкин [1] недавно ещё
более упростил рассуждения Ван-дер-Вардена.
Ф. Р. Гантмахер [1.2] подробно изучил автоморфизмы полу-
полупростых комплексных алгебр Ли. Автоморфизмы этих алгебр были ранее
рассмотрены Картаном и Вейлем. Однако Ф. Р. Гантмахер получил
более полные и точные результаты при одновременном упрощении доказа-
доказательств. Группа автоморфизмов комплексной полупростой алгебры Ли
L является топологической группой ЭД, которая распадается на конечное
число связных компонент $=$0+91,+.. .+$,,. Пусть здесь Ч&0 обозна-
обозначает связную компоненту единицы. Элементы %0 являются внутренними
автоморфизмами L и алгебра Ли группы $„ изоморфна L. Элементы %
являются линейными преобразованиями линейного пространства L. Авто-
Автоморфизм а, принадлежащий компоненте 3$г, называется регулярным,
если, число 1 является собственным значением а наименьшей, возможной
у элементов Щ, кратности. Оказывается, все элементарные делители
регулярных автоморфизмов простые. Регулярные элементы образуют в ?t,-
|1И'крытое связное множество комплексной размерности г, а остальные эле-
элементы распадаются в конечное число связных многообразий меньшей раз-
верности.
Пусть а—произвольный автоморфизм L. Обозначим через At совокуп-
совокупность элементов L, принадлежащих собственному значению I преобразова-
преобразования a. At—всегда некоторая подалгебра из L. Если а—регулярный эле-
элемент, то алгебра At коммутативна. Обратно, если А, коммутативна,
То а регулярен. Следующая теорема даёт каноническое представление авто-
'йорфизмов L: если элементарные делители автоморфизма а, отвечающие
Ыственному значению I, просты, то а=и~1 zu, где и—внутренний автомор-
л, а г—некоторый «главный» автоморфизм, характеризующийся осо-
ии свойствами по отношению к канонической базе алгебры L. В заклю-
ение главные автоморфизмы находятся заново для всех простых
чексных алгебр Ли.
Работа Ф. Р. Г а н т м а х е р а [3] посвящена нахождению веще-
венных простых алгебр Ли. Эту задачу впервые решил Картам,
нако его метод был чрезвычайно громоздок и основывался на большом
ячестве вычислений. В дальнейшем Картан с помощью созданной им
ории симметрических пространств доказал следующую теорему, позво-
вшую сделать нахождение вещественных простых алгебр более прозрач-
а. Пусть L—алгебра Ли одной- из компактных простых групп, нерс-
Йкленных в п. 10. Ищем все инволютивные автоморфизмы L, т. е. автомор-
рзмы б, для которых 62=1. Для каждого 0 в L можно найти базис
I,..., ет, ет+и ..., еТ, образованный собственными векторами 6, принадлежа-
принадлежавши собственным значениям ± I. Пусть
e^ — eh ej)=—ei, (j=),...,m; a = m-r-1, ..., г).
Составим формально алгебру L\ с базисом е,, ..., em, /e,,,+1,..., ier, /=г| —1.
Структурные константы этой алгебры будут вещественными, а потому
U можно рассматривать как вещественную алгебру Ли. Утверждается,

154 АЛГЕБРА
что, меняя L и 6, можно получить этим способом все вещественные простые
алгебры Ли. Ф. Р. Г а н тм а х е р [3] даёт сначала чисто алгебраическое
доказательство этого утверждения, а затем, используя каноническое
представление автоморфизмов, получает все вещественные простые'
алгебры Ли.
Б. А. Ф у к с ом [1, 2] рассматривались автоморфизмы произволь-
произвольных алгебр Ли. В первой из этих работ изучаются так называемые
дифференцирования алгебр Ли и, особенно, внешние дифференцирова-
дифференцирования. Во второй рассматриваются дифференциальные уравнения, опреде-
определяющие автоморфизмы группы преобразований, и даётся обобщение
одной теоремы Ли о них.
14. Радикал. В вопросе о построении алгебры Ли с заданным радика-
радикалом R и заданной алгеброй вычетов L/R основной является теорема Леви,
согласно которой в L существует полупростая подалгебра S, удовлетво-
удовлетворяющая равенству L = S-\-R. А. И. Мальцев [10] показал, что макси-
максимальные полупростые подалгебры сопряжены между собой и, таким обра-
образом, разложение Леви единственно с точностью до внутренних автоморфиз-
автоморфизмов. Этот результат позволил в основном решить и общую задачу о нахо-
нахождении алгебр Ли с заданным радикалом R. Пусть дана произвольная
разрешимая алгебра Ли R. В алгебре её дифференцирований выбираем
максимальную полупростую подалгебру Т и из каждого класса сопряжён-
сопряжённых полупростых подалгебр Т в свою очередь выбираем по представи-
представителю S. Полупрямые суммы вида S+R исчерпывают все неразложимые
в простую сумму алгебры с радикалом R. Тем самым задача о построении
алгебр Ли с данным радикалом приводятся к классификации полупростых
подалгебр в полупростых алгебрах Ли. Эта классификация рассмотрена
А. И. М а л ь ц е в ым [15] и будет описана ниже (п. 19). Здесь мы отметим
следующий частный результат. Используя теорему Монтгомери-Циппина*),
легко доказать, что каждая полупростая алгебра Ли обладает лишь:
конечным числом классов сопряжённых полупростых подалгебр. Принимая
во внимание сказанное выше, заключаем, что неразложимых в прямую
сумму алгебр Ли с данным радикалом существует лишь конечное число.
15. Разрешимые алгебры. Результаты предыдущего п. показывают,
что задача классификации общих алгебр Ли в существенных чертах сво-
сводится к изучению разрешимых алгебр. Строение разрешимых алгебр рас-
рассматривалось А. И. Мальцевым [18]. Основная его цель состоит
в том, чтобы изучение разрешимых алгебр свести к изучению нильпотент-
ных. Для этого сначала вводится особый класс расщепляемых алгебр и по-
показывается, что каждая расщепляемая алгебра представляется в виде
R=A-\-K, где К —максимальный нильпотентный идеал в R, а А—макси-
А—максимальная коммутативная подалгебра, все элементы которой имеют простые
элементарные делители. Представление R=A-{-K однозначно с точно-
точностью до внутренних автоморфизмов. К называется ядром алгебры R.
Теперь, чтобы получить все расщепляемые алгебры с заданным яд-
ядром К, достаточно для /? взять алгебру дифференцирований, выбрать в
ней максимальную коммутативную подалгебру А, образованную эле-
элементами с простыми элементарными делителями, и составить полупрямую
сумму А+К. Подалгебры вида AX4-K, Aid А с точностью до изомор-
изоморфизма исчерпывают все расщепляемые разрешимые алгебры с ядром К.
Если R—нерасщепляемая разрешимая алгебра, то существует един-
*) Bull. Amer. Math. Soc, 48 A942), 448—452.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 155
ственная минимальная расщепляемая алгебра R, содержащая R. Зная
R, можно, обратно, найти R, если дополнительно задать инварианты особой
нильпотентной группы, связанной с R.
16. Нильпотентные алгебры. Пусть L—алгебра Ли. Положим
[L, L]=Lit [L2L]=L3... Цепочка идеалов LidL2 ID L3 ID ••• носит название
нижнего центрального ряда алгебры L. Если на каком-либо месте
этого ряда стоит нуль, то L нильпотентна. Пусть Ln=0, Ln_x Ф 0. Тогда п
называют числом ступеней или классом нильпотентной алгебры. Число
ступеней, а также размерности алгебр L, L., L3,...—простейшие ариф-
арифметические инварианты нильпотентной алгебры. Обозначим через Zx центр
алгебры L, через Z2 совокупность тех элементов L, которые при гомоморфиз-
гомоморфизме L —> Z/Zj переходят в центр L/Z и т. д. Последовательность Z1czZia...
называется верхним центральным рядом L. Для нильпотентности L не-
необходимо и достаточно, чтобы при некотором п было Zn=L. Размерности
Z\, Z2,... дают другую систему арифметических инвариантов L. На при-
примерах легко видеть, что указанные инварианты нильпотентных алгебр не
определяют. Поэтому разыскание новых инвариантов нильпотентных
алгебр имеет значительный интерес. В частности, интересные инварианты
арифметической природы были указаны Г. Б. Гу рев и чем [1].
Другие инварианты получил А. И. Мальцев.
' Автоморфизмы нильпотентных алгебр изучал И. Д. А д о [2]. Его
результаты могут быть описаны следующим образом. Пусть L—свободная
алгебра Ли с fc-образующими, Ln—n-й член её нижнего центрального ряда.
Тогда LJLn можно назвать свободной гс-ступенной нильпотентной алгеб-
алгеброй Ли с А образующими. И. Д. А д о показано, что любые А образующих
алгебры LJLn можно перевести в любые другие к образующих некоторым
её автоморфизмом, и что любой автоморфизм алгебры L/Ln индуцируется
некоторым автоморфизмом L. Аналогичные теоремы установлены
И. Р. Шафаревичем [3] для свободных р-групп и А. И. М а л ь ц е-
в ы м для произвольных свободных нильпотентных алгебр.
А. Я. П о в з и е р [3] дал простое доказательство теоремы Картана
о том, что определяющие функции /,- (см. п. 4) нильпотентной группы Ли
В специальной системе координат являются полиномами, а также указал
Некоторые уточнения этой теоремы.
; 17. Смешанные вопросы. Алгебры Ли непосредственно связаны с ас-
ассоциативными алгебрами. Выше указывалось, что если А—ассоциативная
алгебра, то полагая [a, b]=ab—Ьа, мы получим алгебру Ли At. Пусть,
в частности, А—ассоциативная алгебра бесконечных степенных рядов
втнекоммутирующих переменных xt, x2, ..., хк. Обозначим через L мини-
минимальную подалгебру Ли из А{, содержащую элементы хи х,, ..., хс. Рас-
Рассмотрим какой-либо полином / (х1( х2, ..., хк) из А. Утверждение, что /
входит в L означает, что этот полином может быть представлен в виде
лиевского полинома orx,,x,_, ..,xk. E. Б. Дынкин [2] указал весьма про-
простой способ как, зная, что обыкновенный полином / (х,, ..., х,с) входит
в L, фактически найти его лиевское выражение. Это позволило ему ука-
указать явное выражение для формулы Хаусдорфа-Кэмпбелла, играющей
важную роль в теории групп Ли.
Поскольку значительное число теорем для алгебр Ли и ассоциативных
алгебр формулируется одинаково, то весьма важно было бы их объединить
в одну общую теорию. Такая попытка была сделана А. И. Узковым[6].
В этой работе для одного класса неассоциативных алгебр, заведомо

156 АЛГЕБРА
включающего в себя все ассоциативные алгебры и алгебры Ли, даётся
определение дискриминанта, которое позволяет сформулировать условия
для разложимости алгебры в прямую сумму своих идеалов.
Наконец, известно много теорем, формулирующихся одинаково как
для алгебр Ли, так и для обыкновенных абстрактных групп. П. К. Р а-
ш е в с к и м [1 ] указана система аксиом, в которой имеет место значи-
значительная часть упомянутых теорем и которой подчинены как алгебры Ли,
так и абстрактные группы.
§ 5. ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБР ЛИ.
В п. It было показано, что геометрическая задача об изучении одно-
однородных пространств с эффективно и транзитивно действующей группой
преобразований эквивалентна изучению пар, составленных из тополо-
топологической группы и некоторой её замкнутой подгруппы. При этом сопря-
сопряжённые подгруппы дают эквивалентные пространства. В классической
дифференциальной геометрии интересуются лишь локальными свой-
свойствами пространства. Поэтому вместо групп и их подгрупп в целом можно
ограничиться рассмотрением локальных групп и подгрупп и привести
задачу к изучению подалгебр алгебр Ли.
18. Разрешимые, нильпотентные и абелевы подалгебры. Среди разре-
разрешимых подалгебр алгебр Ли особый интерес представляют подалгебры
максимальной размерности. Сначала Н. Г. Чеботарёв [38] в регуляр-
регулярном случае, а затем В. В. М о р о з о в [7] в общем случае доказали, что
все максимальные разрешимые подалгебры произвольной алгебры Ли
сопряжены между собой. Другие классы разрешимых, а также ниль-
потентных подалгебр рассматривал А. И. М а л ь ц е в [18].
В теории полупростых алгебр L важную роль играют подалгебры,
образованные элементами L, принадлежащими нулевому собственному
значению какого-либо элемента h из L. Если элемент h регулярен, то эти
подалгебры называются картаповскими. Выше (п. 13) указывались-
необходимые и достаточные условия Ф. Р. Гантмахера, чтобы под-
подалгебра, принадлежащая элементу h, была коммутативна. Ф. Р. Гант-
м а х е р [2] и В. В.Морозов [5] также показали, что всякий элемент
полупростой алгебры, имеющий простые элементарные делители, входит
в некоторую картановскую подалгебру. Наконец, в той же работе
Ф. Р. Гантмахером было дано новое доказательство сопряжён-
сопряжённости картановских подалгебр полупростых алгебр. Сопряжённость кар-
тановских подалгебр в произвольных алгебрах Ли была доказана позже
Шевалле *).
Картановские подалгебры полупростых алгебр являются их макси-
максимальными коммутативными подалгебрами. Это не исключает того, что-
в полупростых алгебрах имеются коммутативные подалгебры более высо-
высоких размерностей. В простых алгебрах серии А„ коммутативные подал-
подалгебры наивысшей размерности были найдены Шуром **). Новый вывод
этого результата указал Джекобсон ***).
А. И. Мальцев [17] нашёл коммутативные подалгебры макси-
максимальной размерности всех полупростых алгебр Ли.
*) Amer Journ. Math., 63 A941), 785—795.
**) Journ reine u. angew. Math., 130 A905), 66—76.
***) Bui!. Amer. Math., Soc, 50 A944), 431—437.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ J57
19. Полупростые подалгебры. Выше указывалось, что задача построе-
построения всех алгебр Ли с данным радикалом приводится к классификации
яолупростых подалгебр в полупростых алгебрах Ли. К этому же при-
приводится и задача классификации однородных пространств с компактной
группой движений. Таким образом, изучение полупростых подалгебр
Представляет особый интерес. Легко показывается (А.И.Мальцев [1 б]),
что на самом деле последнее эквивалентно изучению простых подалгебр
в простых же алгебрах Ли.
Минимальными из простых алгебр являются трёхчленные алгебры.
Ф. Р. Г а н т м а х е р [4] дал полную классификацию трёхчленных про-
простых подалгебр в простых алгебрах четырёх основных серий Ап, Вп, Сп,
Dn. Свойства простых трёхчленных подалгебр рассматривались также
В. В. М о р о з о в ы м [5j| и А. И. М а л ь ц е в ы м [15]. Элемент а алгеб-
алгебры L назовём нильпотентным, если все его собственные значения равны
нулю. Тогда для каждого нильпотентного элемента а полупростой
алгебры L найдутся в L элементы Ь, Л, связанные с а соотношениями [ab]=h,
[ha]=a, [hb]=—b и составляющими, таким образом, базис трёхчленной
простой подалгебры (В. В. М о р о з о в). С другой стороны, если у двух
простых трёхчленных подалгебр с базисами a, b, h и alt bu hu связанны-
связанными аналогичными соотношениями, элементы h и пг совпадают, то такие
подалгебры сопряжены (А. И. Мальце в).
Задача о классификации произвольных простых подалгебр была прин-
принципиально решена А. И. М а л ь ц е в ы м [15] с помощью теории пред-
представлений Картана. Гомоморфное отображение группы Gu в О было
названо выше представлением G1 в G. Два представления G1 в G называются
Швшалентными, если одно из них переводится в другое внутренним авто-
автоморфизмом G. В нетривиальном представлении образ простой группы
<?i bG будет её подгруппой, изоморфной G±. Эквивалентные представления
дают сопряжённые подгруппы. Таким образом, зная все неэквивалентные
представления G± в G, мы тем самым знаем все классы сопряжённых под-
подгрупп группы G, изоморфных Gx.
Все неэквивалентные линейные представления простых групп были
«найдены впервые Картаном*). Тем самым были найдены все простые под-
руппы групп серии Ап. Чтобы найти простые подгруппы в сериях Вп,
Dn, достаточно было найти ортогональные и симплектические пред-
авления простых групп (А. И. Мальцев [15]). Вычисление простых
одгрупп в группах G-it Fit Ee E7, Еа, представляет особую задачу. Это
ясление было проделано в явном виде лишь для первых двух из них.
20. Максимальные подалгебры. "Пусть топологическая группа G дей-
рвует транзитивно и эффективно на некотором пространстве М. Если М
рожно разбить на такую совокупность подмножеств {MJ, что движения
|йз G не разрушают этих подмножеств, передвигая их как одно целое, то
01 называются системами импримитивности G, а сама группа G
Штримативной группой движений. Если G никаких систем импримитив-
импримитивности, кроме тривиальных, не содержит, то G называется примитивной.
Поскольку импримитивную группу движений можно рассматривать как
fpynny движений пространства, составленного из систем импримитивно-
импримитивности и имеющего при обычных условиях меньшую размерность, то отсюда
звиден особый интерес задачи определения всех примитивных групп пре-
преобразований.
*) Bull. Soc. Math. France, 41 A913), 53—96.

158 АЛГЕБРА
Если Н—стабильная подгруппа группы движений G, то для примитив-
примитивности G необходимо и достаточно, чтобы Н была максимальной подгруп-
подгруппой в О. Таким образом упомянутая задача сводится к нахождению
максимальных подгрупп топологической группы G, не содержащих нор-
нормальных делителей G. В случае групп Ли дело сводится к исследованию
максимальных подалгебр алгебр Ли, не содержащих внутри себя идеалов.
Эта задача была поставлена ещё С. Ли и разрешена им в предположении,
что размерность G отличается от размерности Н не более чем на 3.
Важным частным случаем задачи Ли являлась задача Картана о
нахождении подалгебр максимальной размерности в простых алгебрах Ли.
Эта задача была решена самим Картаном в предположении, что рассма-
рассматриваются только регулярные подалгебры. Н. Г. Чеботарёв [33]
показал, что наивысшая размерность нерегулярных подалгебр не может
быть выше наибольшей размерности регулярных. Тем самым впервые
задача Картана была решена в общем виде.
Решение первоначальной задачи Ли было существенно продвинуто
В. В. М о р о з о в ы м [ 1, 2, 3, 4, 8]. Среди различных его результатов отме-
отметим следующие. Прежде всего, не каждая группа Ли может быть прими-
примитивной группой движений. Если полупростая группа G движений прими-
примитивна и в то же время не проста, то G есть прямое произведение двух
изоморфных простых групп, а стабильная подгруппа является так называе-
называемой медианной подгруппой. Легко получить также примитивные непо-
лупростые группы. Именно, пусть А—п-мерное векторное пространство,
L—какая-нибудь неприводимая алгебра Ли, образованная линейными
преобразованиями А. Полупрямая сумма L+A будет алгеброй Ли иско-
искомой примитивной группы, причём соответственной максимальной подал*
геброй будет L. В результате неисследованными остались только прими-
примитивные простые группы. Так как простые группы нетривиальных нор-
нормальных делителей не содержат, то задача свелась к классификации
максимальных подгрупп простых групп Ли. В работе В. В. М о р о з о в a [8J
показано, что неполупростые максимальные подгруппы простых групп
обязательно регулярны, а регулярные максимальные подгруппы были им
же найдены ранее (В. В. Морозов [4]). Тем самым, работами
В. В. Морозова общая задача С. Ли была сведена к определению
максимальных полупростых подгрупп простых групп Ли,
А. И. Мальцевым [15] дано решение более общей задачи о клас-
классификации всех пролупростых подгрупп. Однако, какие из найденных
в ней подгрупп максимальны, а какие нет, в явном виде установлена
не было. Результаты, установленные В. В. Морозовым, позволили ему
чисто алгебраическим путём получить заново результаты Ли о примитивг
ных группах пространств размерности не выше 3, а также найти прими-
примитивные группы пространств размерности 4.
В заключение отметим ещё работу В. В. М орозова [6], в которой
показано, что совокупность элементов простой алгебры Ли, перестановоч-
перестановочных с заданной ее' полупростой подалгеброй, есть либо снова полупростая
подалгебра, либо прямая сумма полупростой и абелевой подалгебр.

БИБЛИОГРАФИЯ.
Агрономов Н. А.
[1] Note sur les determinants. Boll. un. Mat. Hal., 6 A927), 266—268.
[2] Об одном методе изложения теории детерминантов. Владивосток, Труды Дальне-
вост. ун-та A5), 2 A928), 1—21.
Ад о И. Д.
[1] О структуре конечных непрерывных групп. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C)
6 A934), 38—42.
[2] О представлении конечных непрерывных групп с помощью линейных подстано-
подстановок. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 7 A934—1935), 1—43.
О нильпотентных алгебрах и р-группах. ДАН, 40 A943), 339—342.
К теории характеров конечных групп. ДАН, 50 A945), 11—44.
О подгруппах счётной симметрической группы. ДАН, 50 A945), 15—18
Локально конечные р-группы с условием минимальности для нормальных дели-
делителей. ДАН, 54 A946), 475—478.
[7] Представление алгебр Ли матрицами. Успехи матем. наук, 2:6 B2), A947),
159—173.
¦[8] Доказательство счётности локально конечной р-группы с условием минималь-
минимальности для нормальных делителей. ДАН, 58 A947), 523—524.
Азлецкий С. П.
[1] К вопросу о геометрической интерпретации субституций. Свердловск—М.,
Изв. Уральск, лесотехн. ин-та, 3 A934), 81—85.
Александров А. Д.
[1] О группах с инвариантной мерой. ДАН, 34 A942), 7—11.
f{2] О расширении хаусдорфова пространства до Я-замкнутого. ДАН, 37 A942),
138—141.
Александров П. С.
, [1] Введение в теорию групп. М., Учпедгиз A938), 1—128.
] . Андрунакиевич В. А.
[1] Полурадикальиые и радикальные кольца. ДАН, 55 A947), 3—6.
Аравийская Е. Н.
[1] О применении символов Hurwitz'a к составлению уравнений периодов в теории
деления круга. Томск, Изв. ун-та, 79:2 A928), 77—81.
Арнольд И. В.
[1] Ideale in kommutativen Halbgruppen. Матем. сб., 36A929), 401—408.
Архангельский А. П. иМалеев В. А.
[1] Об определении наименьшего показателя W, при котором выражение хт—1 де-
делится нацело на многочлен^ (x)=xn+at хп~1,+а2хп~2+...+ап_1х+ап по простому
модулю р. Томск, Изв. индустр. ин-та, 55:1 A936), 43—48.

160 АЛГЕБРА
А р ш о и С. li.
|1] Обобщение прапила Саррюса. Матем. сб., 42 A935), 121—128.
[2] Доказательство существования я-значных бесконечных асимметричных последо-
последовательностей. Матем. сб., 2 D4), A937), 7G9—779.
А х и е з е р Н. И. и К р е и н М. Г.
II] ОЪег eine Transformation der reelen toeplitzschen Formen. Хрк., Зап. матем. т-ва
D), 11 A935).
Баженов Г. М.
|1] О преобразовании Чирнгаузена. Воронеж, Труды ун-та, 9:4 A937), 9—24.
Б а у т и и Н. Н. и И к о и и и к о в Е. А.
[1],',Об исследовании корней алгебраических уравнений геометрическим методом
Горький, Труды нн-та шок. водн. транш., 3 A936), 195—219.
Белов СЕ.
[1] Об определении верхней границы абсолютной величины детерминанта с веще-
вещественными элементами. Днепропетровск, Научи, зап. ун-та, 25 A941), 5—7.
Б е л ь к о в и ч И.
[.] Матрицы-кракопианы и их применение в астрономии. Астрон. ж., 8:2 A931)
150-161.
Б и л л е в и ч К. К.
[1] Об единицах алгебраических-полей п-го порядка. Диссертацчя A945).
Боголюбов Н. Н.
[1] Surle theoreme fondamental de l'algdbra. Boll. un. Mat. Hal. A932).
Б у р ь я н В.
[1] Построение некоторых неприводимых полиномов неэйзенштейновского типа.
Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 4 A940), 109—116.
В а л ь ф и ш А. 3.
[1] Ober primare Ideale. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 393—398.
В е л ь м и и В. П.
[1] О зависимости между корнями нормального уравнения третьей степени. Ростов
н/Д, Труды ин-та матем. и естеств. С.-Кавк. ун-та, 16 A930), 79—85.
[2] К теории решений алгебраических уравнений в радикалах. Ростов н/Д, Юбил. сб.
научн. работ машиностр. ин-та, 1 A940), 33—43.
Вержбицкий Е. Д.
[1] Некоторые вопросы теории рядов композиций нескольких матриц. Матем. сб.
5 D7), A939), 505—512.
В и л с и к и н Н. Я.
[1] К теории прямых разложений топологических групп. ДАН, 47 A945), 635—637.
[2] Прямые разложения топологических групп, I. Матем. сб., 19F1). A946), 85—154,^
[3] Прямые разложения топологических групп, II. Матем. сб., 19 F1), A946),|
ЗЦ—340.
[4] К теории общих топологических групп. ДАН, 58 A947), 1573—1576.
[5] Об одном классе полных ортонормальных систем. ИАН, 11 A047), 363—400.
Виноградов СП'.
[1] Основы теории детерминантов. Изд. 4. М.—Л., ОНТИ A935), 1—103.
Вихров А. И.
[1] Теория расширений для ультрагрупп. М., Учён. зап. ун-та, 100 A940), 3—19.
ВойдиславскийМ. Р.
II] Конкретный случай некоторых типов обобщённых групп. Хрк., Зап. матем. т-взз
D), 17 A940), 127—144. '

БИБЛИОГРАФИЯ 161
Волнина Н. В.
[1] О приводимости полиномов в иррациональных полях. ДАН, 58A947), 1873—1876.
Воробьёв Н. Н.
A] Нормальные подсистемы конечной симметрической ассоциативной системы. ДАН,
58 A947), 1887—1890.
Выгодский М. Я.
[1] Об одном применении диагонального процесса к комбинаторным задачам. Матем.
сб., 42 A935), 19—22.
ГавриловЛ. И.
[1] О продолжаемых полиномах, IV. О K-продолжаемых полиномах. Казань, Изв.
физ.-матем. о-ва C), 8 A936—1937), 125—129.
[2] Uber F-Polynome, V. Ober K-Fortsetzbarkeit der Polynotne. Казань, Изв. физ.-ма-
физ.-матем. о-ва C), 12 A940), 139—146.
[3] О К-продолжаемости полиномов. ДАН, 32 A941), 234—236.
D] О К-продолжаемости полиномов. ДАН, 37 A942), 279—288.
ГавриловЛ. И. иЧеботарёвН. Г.
{IJ О продолжаемых полиномах, VI. К-продолжаемые полиномы со сдвинутым цен-
центром. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C). 12 A940), 183—195.
Гантмахер Ф. Р.
A| Sur la representation canonique de substitutions isomorphiques d'un groupe semi-
simple complexe de Lie. С R. Acad. Sci., 207 A938), 208—210.
f2] Canonical representation of automorphisms of a complex semi-simple Lie group. Ma-
гем. сб., 5 D7), A939), 101—146.
ЙОп the classification of real simple Lie groups. Матем. сб., 5 D7) A939), 217—250.
О трёхчленных простых подгруппах полупростых групп Lie. М., Рефераты АН,
физ-.матем. отд. A940).
• Гантмахер Ф. Р. и Крейн М. Г.
И] Zur Strukturfrage von Orthogonalmatrizen. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР
A929).
[2] О нормальных операторах в эрмитовом пространстве. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 4 A930), 71—84.
{31 Sur les matrices oscillatoires. С. R. Acad. Sci., 201 A935), 577—579.
Ul Sur les matrices completement non negatives et oscillatoires. Сотр. Math., 4 A937),
445—476.
15] Осциляционные матрицы и малые колебания механических систем М.—Л., ГТТИ
A941), 1—220.
/ Гарда ш ников М. Ф.
1] Об одном типе конечных групп без ассоциативного закона. Хрк., Зап. матем.
1 т-ваD), 17A940), 29—34.
ГельфандИ. М.
К] Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topologischen Gruppen. Матем. сб., 9 E1),
'. A941), 49—50.
Тельфанд И. М. иНаймарк М. А.
\Ц Об унитарных представлениях комплексной унимодулярной группы. ДАН,
54 A946), 195—198.
[9] Унитарные представления группы линейных преобразований прямой. ДАН,
55 A947), 571—574.
fj3] Основная серия неприводимых представлений комплексной унимодулярной группы.
; ДАН, 56 A947), 3—5.
W1 Унитарные представления группы Лоренца. ИАН, И A947), 411—504.
Hi] Унитарные представления полупростых групп Ли, I. Матем. сб., 21 F3), A947),
405—434.
Гельфанд И. М- и Райков Д. А.
¦I К теории характеров коммутативных топологических групп. ДАН, 28 A940),
195—198.
Р Математика в СССР за 30 лет

162 АЛГЕБРА
[2] Неприводимые унитарные представления локально-бикомпактных групп. Матем.
сб., 13 E5), A943), 301—316.
[3] Неприводимые унитарные представления локально-бикомпактных групп. ДАН,
42 A944), 203—205.
Герчиков А. И.
[1] Кольца, разложимые в прямую сумму тел. Матем. сб., 7 D9), A940), 591—597.
Гер ш гори и С. А.
[1] Ober die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. ИАН, сер. физ.-матем. A931),
749—754.
Гливенко В. И.
[1] Geometrie des systemes de choses normees. Amer. J. Math., 5S A936), 799—828.
[21 Contribution ? l'etude des systemes de choses normees. Amer. J. Math., 59 A937),
941—956.
[31 Основы общей теории структур. М., Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем..
1 A937), 3—33.
[4] Theorie generate des structures. Paris A938).
Головин О. Н.
[1] Множители без центров в прямых разложениях групп. Матем. сб., 6 D8), A939),
423—426.
[2] Об ассоциативных операциях на множестве групп. ДАН, 58 A947), 1257—1260
Головин О. Н. и Садовский Л. Е.
[1] О группах автоморфизмов свободных произведений. Матем. сб., 4 D6), A938),
505—514.
Гольберг П. А.
[1] Бесконечные полупростые группы. Матем. сб., 17E9) A945), 131—142.
[2] Силовские П-подгруппы локально нормальных групп. Матем. сб., 19 F1), A946),
451—460.
Гончаров В. Л.
[1] Из области комбинаторики. ИАН, сер. матем., 8A944), 3—48.
Горшков Д. С.
[1] Кубические поля и симметрические матрицы. ДАН, 31 A941), 842—843.
Граве Д. А.
[1] Sur Ies racines cinquiemes de l'unite. К., Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1:1 A922),
4—6.
[2] О единицах конечного поля. Матем. сб., 32 A925), 502—568.
[31 Малые колебания и некоторые предложения алгебры. ИАН, сер. физ.-матем.
A929), 563—570.
[4] Algorithme du calcul des racines des equations algebrique. Киев, Изд. АН УССР
A936), 1—20.
[5] Принципи теорп Галуа. Киев. Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A937), 65—72.
[6] Про одну задачу Эйлера. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A937), 73—74.
[7] Про неможлив1сть алгебра1чного розв'язання загального р1вняння вище чет-
четвёртого степеня. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A938), 3—8.
18] Трактат по алгебраическому анализу. Т. 1, 2. Киев, Изд. АН УССР A938—1939),
196+411.
Граев М. И.
[ 1J К теории полных прямых произведений групп. Матем. сб., 17 E9), A945), 85—104.
[2] Прямые суммы циклов в дедекиндовых структурах. Матем. сб., 19 F1), A946),
439—450.
[3] Изоморфизмы прямых разложений в дедекиндовых структурах. ИАН, сер. матем.,
11 A947), 33—46.
[41 Структурные изоморфизмы топологических абелевых групп. Матем. сб., 201 F2)
A947), 125—142.

БИБЛИОГРАФИЯ 163
Гребенюк Д. Г.
[1] О целых алгебраических числах, зависящих от неприводимого уравнения 4-й сте-
степени. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 11 A925), 19—43.
[2] О целых алгебраических числах, зависящих от неприводимого уравнения 4-й сте-
степени. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 12 A926), 1—14.
[3] О фундаментальном базисе области алгебраических чисел, зависящих от корня
неприводимого уравнения п-ой степени. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 13 A926),
41—52.
Гринберг В. Б.
[1] Теория развёрток матриц. Баку, Труды Аз. ун-та, сер. матем. 1:1 A942),
32—55.
Г р о ш е в В. И.
[1] О числе элементов группы, степень которых принадлежит произвольному мно-
множеству элементов. ДАН, 24A939), 14—17.
Г р у ш к о И. А.
[11 Решение проблемы тождества в группах с некоторыми соотношениями специаль-
специального типа. Матем. сб., 3 D5), A938), 543—552.
[2] О базисах свободного произведения групп. Матем. сб., 8 E0), A940), 169—182.
Гуревич А.
[1] Unitary representation in Hilbert space of a compact topological group. Матем. сб.,
13 E5), A943), 79—86.
Гуревич Г. Б.
[1] О некоторых арифметических инвариантах произвольной матричной алгебры Ли,
ДАН, 45 A944), 51-53.
Даниель М. К.
[1] Один из реальных моментов связи теории множеств с комбинаторикой. Краснодар,
Изв. инж.-строит. ин-та, 2 A936), 139—140.
Данилевский А. М.
[1] О численном решении векового уравнения. Матем. сб.,' 2 D4), A937), 169—172.
[2] Про одну теорему Островського-Чеботарьова. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937),
81—84.
[3] Про одне узагальнення формул Cayley. Хрк.. Зап. матем. т-ва D), 14 A937),
85—96.
Делоне Б. Н.
[1] Zur Bestimmung algebraischen Zahlkorper durch Kongruenzen; eine Anwendung auf
die Abelschen Gleichungen. Journ. reine u. angew. Math., 152 A923), 120—123.
[2] К геометрии теории Галуа. Сб. памяти акад. Граве A940), 52—62.
Делоне Б. Н. и Фаддеев Д. К.
[1] Теория иррациональностей третьей степени. Труды матем. ин-та им. Стеклова,
11 A940), 1—340.
[2] Исследования по геометрии теории Галуа. Матем. сб., 15 E7), A944). 243—284.
Д и а н и н С. А.
[1] О разложении на множители определителя Шредингера. Л., Сб. электро-мех.
ин-та, 1 A934), 36—42.
Д и ц м а н А. П.
О р-группах. ДАН, 15 A937), 71—76.
Sur les groupes infinis. C. R. Acad. Sci., 205 A937), 952—954.
Некоторые критерии непростоты группы. Труды семин. но теории групп A938),
27—29.
[4] О центре р-групп. Труды семин. по теории групп A938), 30—34.
5] О центре р-групп. М., Учён. зап. пел. ин-та, сер. физ.-матем., 2 A938), 55—60.
[61 О сравнении систем элементов группы по двойному модулю. ДАН, 26 A940),
323-327.
11*

164 АЛГЕБРА
[7] О некоторых признаках непростоты групп. Матем. сб., 7 D9), A940), 533—538.
f8J Некоторые теоремы о бесконечных группах. Сб. памяти акад, Граве A940),
63—67.
[9] О признаках непростоты групп. ДАН, 44 A944), 97—99.
[10] О мультигруппах классов сопряжённых элементов группы. ДАН, 49 A945),
- 323—326.
Дицман А. П. и Кулаков А. А.
[1] Некоторые критерии непростоты конечных групп. ДАН, 3 A935), 11—12.
Дицман А. П. иЧунихин С. А.
[1] О классах и центре конечной группы. ДАН, 2 A936), 305—308.
Дицман А. П., К у р о ш А. Г. и У з к о в А. И.
[1] Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen. Матем. сб., 3 D5), A938),
179—185.
ДонияхиХ. А.
[1] Линейное представление свободного произведения циклических групп. Л., Учён,
за*, ун-та, сер. матем., 10 A940), 158—165.
Дородное А. В.
[1] О круговых луночках, квадрируемых при помощи циркуля и линейки. ДАН,
58 A947), 964-968.
Дринфельд Г. И.
{1] Про штегралым швар]анти груп Lie. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A938),
19—24.
[2] Про одну властивкпъ групи обернено! до дано! неперервно! групи перетвореиь.
Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A940), 67—71.
[3] Про оператори, як1 переставляють штегралыИ швар1анти неперервно! групи
перетворень. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4A940), 157—163.
Дубнов Я. С.
[1] О симметрично сдвоенных ортогональных матрицах. М., Изв. асе. ин-тов ун-та
A927), 33 —35.
B] О матрицах Дирака. М., Учён. зап. ун-та, 2:2 A934), 43—48.
Д ы н к и н Е. Б.
[1] Классификация простых групп Ли. Матем. сб., 18 F0), A946), 347—352.
[2] Вычисление коэффициентов в формуле CampbeH'a-Hausdorfi'a. ДАН, 57 A947),
-?. 323-326.
[3] Структура полупростых алгебр Ли. Успехи матем. наук, 2:4 B0), A947), 59—127.
Дюбюк П. Е.
La generalisation du theoreme de Tundn. Матем. сб., 1 D3), A936), 603—606.
Sur le theoreme de Frobenius. Матем. сб., 2D4). A937), 1247—1253.
3 О порядке элемента в простой группе. ИАН, сер. матем. A938), 543—550.
4] Теорема, содержащая в себе теоремы Фробениуса, Вейснера и Туркина о числе
элементов данного порядка в группе. ДАН, 20 A938), 521—524.
[5] О фундаментальной теореме Фробениуса. ДАН, 21 A938), 158—161.
[6] О фундаментальной теореме Фробениуса. Труды семин. по теорий групп A938),
35—38.
[7] Surle nombre des elements d'un groupe qui verifient certaines conditions. Матем.
сб., 4 D6), A938), 515—520.
О нормализаторе элемента в конечной группе. ИАН, сер. матем. A939), 123—140.
Обобщение теорем Фробениуса и Вейснера. Матем. сб., 5D7), A939), 189—196.
i
\
ПО
т:
[12
[13
О нормализаторе элемента в конечной группе. ДАН, 22 A939), 103—104.
Мономиальные представления и критерии непростоты групп. ДАН, 23 A939),3—6.
Об инвариантных подгруппах в конечной группе. ДАН, 24 A939), 104—1С6.
Об инвариантных подгруппах в конечной группе. Матем. сб., 7 D9), A940)
285—300.
[14] О подгруппах конечного индекса бесконечной группы. Матем. сб., 10E2), A942),
147—150.
[15] Об автоморфизмах р-групп. Матем. сб., 18 F0), A946), 281—298.

БИБЛИОГРАФИЯ 165
Егоров Н. П.
[1] О порядке групп движений пространств аффинной связности. ДАН, 57 A947),
867—870.
Запрягаев А. В.
[1] Элементарное доказательство основной теоремы алгебры. Владикавказ, Изв.
Горек, пед. ин-та, 6 A929), 188—189.
Зы л ев В. П.,
[1] Теория систем алгебраических линейных уравнений и их применение в есте-
естествознании и технике. М., В кн. Материалы 1-й научн.-техн. конфер. ка-
кафедр, ин-та инж. трансп. A936), 178—179.
Каган В. Ф.
[1] Основания теории определителей. Одесса, Гос. изд. Украины A922), 522-t-VIll.
[2] О некоторых системах чисел, к которым приводят Лоренцовы преобразования.
М., Изв. асе. ин-тов ун-та A927), 3—31.
Калашников В. А. иКурош А. Г.
[1] Свободные произведения групп с объединёнными подгруппами центров. ДАН,
1 A935), 285—286.
Кишкина 3. М.
[I] Эндоморфизмы р-примитивных абелевых групп без кручения. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 201—232.
Кожевников В. А.
[1] Лииейка, циркуль и уравнение пятой степени. М., Ж. Вестн. инж. A926),
212—214.
Колмогоров А. Н.
[11 Zur topologisch-gruppentheoretischen Begrflndung der Geometrie. Gdtt. Nachr.,
2 A930), 208—210.
[2] Zur Begrflndung der projektiven Geometrie. Ann. of Math., 33 A932), 275—276.
[31 Zur Normirbarkeit eines allgetneinen topologischen linearen Raumes. Studia Math.,
5 A935), 29—33.
Колянковский Д. П.
[1] Об одной теореме О. Ю. Шмидта. ДАН, 19 A938), 343—346.
[21 О иеспециальных подгруппах конечных групп. Матем. сб., 19 F1), A946),
429—438.
Комар евский В. М.
[11 К доказательству Cauchy основной теоремы высшей алгебры. Ташкент, Бюлл.
1 Ср.-Аз. ун-та, 6 A924), 153—154.
Конторович П. Г.
[1] Об оценке нижней границы числа точек Вейерштрасса для негиперэллиптического
поля алгебраических чисел. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 7A934—1935),
99—101.
[2] О некоторых свойствах полупрямых произведений. ДАН, 22 A939) 557—559.
3] О разложении группы в прямую сумму подгрупп, I. Матем. сб., 5 D7), A939),
[4] О разложении группы в прямую сумму подгрупп, II. Матем. сб., 7 D9), A940),
[5] Инвариантно покрываемые группы. Матем. сб., 8 E0), A940), 423—430.
}6] Группы с базисом растепления. Матем. сб., 12 E4), A943), 56—70.
[7] Группы с базисом расщепления, II. Матем. сб., 19 F1), A946), 287—308.
КопейкинаЛ. И.
[1] Свободные' разложения проективных плоскостей. ИАН, сер. матем., 9 A945),
495—526.

166 АЛГЕБРА
Кравчук М. Ф.
¦ [1] Про одиниць поля R(f?). Киев, Изв. политехи, с.-х. ин-та, 19 A924), 17—18.
2] До загально! теори бшшшних форм. Киев, Изв. политехи, с.-х. ин-та, 19 A924),
72—80.
[3] Дови теореми про суцшьтсть кореШв алгебра1чного р1внання. Киев, Научи.
зап., 2 A924), . 71—81.
[41 До теорп перемшних матриць. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1:2A924),
28—33.
f5] Про одне перетворення квадратичиих форм. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
УССР, 1:2 A924),. 87—90.
[6] Про квадратичш форми та лпшпм перетворения. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
'УССР, 1:3 A924), 1—89.
[7] Перемшт множили лш1йних перегворень. Киев, Зап. с.-гоеп. ин-та^ 1 A926),
25—58.
J8
tio;
[11
[12
Ober vertauschbare Matrizen. Rend. circ. mat. Palermo, 51 A927), 126—130.
Sopra un teorema generate di Kronecker. Boll. un. Math. Hal., 6 A927), 12—15.
Про одну Hermite'ony формулу. Киев, Зап. с.-госгт. ин-та, 2 A927), 80—82.
Sur un thdoreme de Laguerre. С. R. 'Acad. Sci., 188 A929), 299—302.
Алгебра1чн1 студи над аналпичними функшями. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
УССР, Г2 A929).
{131 Про одне пзагальнення Hadamard'ono'f нер1вности. Киев, Зап. прир.-техн. отд.
АН УССР, 1 A931), 90—95.
[14] Про одну неровность. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР, 1 A931),. 96—101.
Кравчук М. Ф. и Г о л ь д б а у м Я. С.
}1] Про групи ко.ммутативних матриць. Киев, Труды авиац. ин-та, 5 A936), 12—23.
12] Об эквивалентности особенных пучков матриц. Киев, Труды авиац. ин-та, 6 A936),
5—27.
К р е е р Л. И.
II] Трёхчленные уравнения. Владикавказ, Изв. Горек, пед. ин-та, 6 A929), 73—98.
}2] Алгебраические уравнения. Тригонометрический метод. Владикавказ, Изв. Горек,
пед. ин-та, 7:2 A930), 3—20.
К р е й н М. Г.
{1] Lesysteme derive et les contours derives. Одесса, Ж. НИ кафедр, 2:3 A926), 61—73.
[2] Додаток до npaui «До структури ортогонально! матрищ». Киев, Зап. прир.-техн.
отд. АН УССР, 1 A931), 103—108.
[3] К теории симметрических полиномов. Матем. сб., 40 A933), 271—283.
[4] О спектре якобиевой формы в связи с теорией крутильных колебаний валов.
Матем. сб., 40 A933), 455—466.
[5] Ober eine neue Klasse von Hermiteschen Formen. ИАН, сер. физ.-матем. A933),
1259—1275.
{6] Об узлах гармонических колебаний механических систем некоторого специаль-
специального типа. Матем. сб., 41 A934), 339—348.
J7] Об одном специальном классе детерминантов в связи с интегральными ядрами
Келлога. Матем. сб., 42 A936), 501—507.
[8] О положительных функционалах на почти периодических функциях. ДАН,
30 A941), 9—12.
Крейн М. Г. и Наймарк М. А.
ll] Ober eine Transformation der Bezoutiante, diezum Sturmschen Satze fuhrt. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 10 A933), 33—40.
J2] О применении безутиантов к вопросам отделения корней алгебраических уравне-
уравнений. Одесса, Труды ун-та, 1 A935), 51—69.
{3] Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраи-'
ческих уравнений. Хрк., ГНТИ A936), 1—41.
К р у т и к Б. А.
J1] О некоторых свойствах конечной группы. Матем. сб., 10 E2), A942), 239—248.
К р ы ж а н о в с к и й Д. А.
[1] Элементы теории неравенств. М.—Л., ОНТИ A936), 1—112.

БИБЛИОГРАФИЯ 167
Крылов Б. Л.
[1] Определение группы системы Галуа в случаях, когда дифференциальные подста-
подстановки имеют равные характеристические числа. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва
C), 11 A939), 181—197.
Крылов Н. М.
[1] Sur l'existence des racines d'une equation algebrique. Симферополь, Зап. .матем.
.-•• каб. Тавр, ун-та, 1A919), 33—35. ;
К у з и е ц о в Г. П.
[1] Исключение неприводимых множителей из целой рациональной функции. Ново-
Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ин-та, 9 A923—1925), 1—16.
[2] О числе целых решений уравнения Хх+х2+...+хп=т, удовлетворяющих системе
неравенств хх-<х2<...<<лп, причём т—число натуральное. Новочеркасск, Изв.
Донск. политехи.' ин-та, 10 A926—1927), 70—78.
ДЗ] Алгоритм числа общих корней нескольких алгебраических уравнений. Новочер-
Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ии-та, 11 A929), 214—226.
..[4] Об определённых решениях для неизвестных неопределённой системы ли-
линейных уравнений. Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ин-та, 11 A929>,
231-233.
[5] Об определённых решениях неопределенной системы уравнений; общий случай.
Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ии-та, И A929). 234—236.
Кулаков А. А.
' {1] Об одной теореме теории характеров групп. Матем. сб., 36 A929). 129—134.
[2] Ober die Anzahl der eigentlichen Untergruppen und der Eletnenten von gegebener
Ordnung in p-Gruppen- Math. Ann., 104 A930), 778—793.
[31 Sur les relations entre les parties reelles des caracteres de groupes. С R. Acad. Scl.,
195 A932), 594—596.
[4] Sur leproblemede Burnside. С R. Acad. Sci., 199A934), 116—119.
[5] Sur quelques theoremes qui se rattachenta un probleme de Burnside. С R. Acad.
Sci., 200 A935), 2141—2143.
16] О некоторых свойствах конечных групп. Матем. сб., 1 D3), A936), 253—256.
, [7] Ober Relationen zwischen den Realteilen der Gruppencharaktere. Матем. сб.,
1 D3), A936), 257—260.
[8] Verallgemeinerung eines Satzes4von Frobenius. Матем. сб., 1 D3), A936), 261—262.
[9] Einige Anwendungen der Theorie der Gruppencharaktere. Math. Ann., 113A937),
216—225.
{10] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, I. Матем. сб., 2 D4), A937),
357—360.
[11] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, II. Матем. сб., 2 D4), A937),
1003—1006.
[12] Исследования по теории р-групп, теории характеров и теории представлений
абстрактных групп подстановками. Труды семин. по теории групп A938),
39—49.
A3] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, III. Матем. сб., З D5), A938),
187—189.
[14] Einige Bemerkungen zur Arbeit «On a theorem of Frobenius» von P. Hall. Матем.
гб., З D5), A938), 403—406.
[15] Ober regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, IV. Матем. сб., 4 D6), A938),
371—373.
[16] О регулярном представлении абстрактной группы. Сб. памяти акад. Граве A940),
104—109.
[17] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, V. Матем. сб. 8 E0), A940),
. 69—72.
[18] Eipige Bemerkungen zur Arbeit. «Form of the number of the subgroups of a prime
power group» von G. A. Miller. Матем. сб., 8 E0), A940), 73—76.
[19
[20
f21
Об одном критерии непростоты конечной группы. ДАН, 40 A943), 3—4.
О группах нечёшого порядка. ДАН, 53 A946), 687—690.
О регулярном представлении р-групп. ДАН, 54 A946), 113—116.
Кулаков А. А. иЧунихин С. А.
[1] О подгруппах составного порядка конечной группы. Матем. сб., 39:3 A932),
67—70.

168 АЛГЕБРА
Куликов Л.-Я.
[1] К теории абелевых групп произвольной мощности. Матем. сб., 9 E1), A941),
165—182.
[2] К теории абелевых групп произвольной мощности. Матем. сб., 16 E8), A945),
129—162.
Курбатов В. А.
[1] О полиномах, которые дают подстановки для бесконечно многих простых чисел.
Свердловск, Учён. зап. пед. ин-та, 4, 79—121.
[2] Обобщение теоремы Schur'a относительно одного класса алгебраических функций.
Матем. сб., 21 F3), A947), 133—142.
Курош А. Г.
[11 Zur Zerlegung unendlicher Gruppen. Math. Ann., 106 A932), 107—113.
[2] Ober freie Produkte von Gruppen. Math. Ann., 108A933), 26—36.
131 Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen. Math. Ann.,
109, A934), 647—660.
[4] Durchschnittsdarstellungen mit irreduziblen Komponenten in Ringen und in sogenann-
ten Dualgruppen. Матем. сб., 42 A935), 613—616.
15] Eine Verallgemeinerung des Jordan-HOlderschen Satzes. Math. Ann., HI A935),
13—18.
[6] Ober absolute Eindeutigkeit derdirekten Produktzerlegungen einer Gruppe. Матем.
сб., 1 D3), A936), 345—350.
[7] Пути развития и некоторые очередные проблемы теории бесконечных групп. Усп.
матем. наук, 3 A937), 5—15.
[8] Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom end lichen Range. Ann. of. Math.,
38 A937); 175—203.
[9] Zum Zerlegungsproblem der Theorie der freien Produkte. Матем. сб., 2 D4), A937),
995—1001.
[10] О некоторых вопросах теории бесконечных групп. Труды семин. по теории групп
A938), 50—79.
[11] К теории частично упорядоченных систем конечных множеств. Матем. сб., 5D7),
A939), 343—346.
[12] Несколько замечаний к теории бесконечных групп. Матем. сб., 5D7), A939),
347—354.
A3] Локально свободные группы. ДАН, 24 A939), 99—101.
[14] Теорема Жордана-Гельдера в произвольных структурах. Сб. памяти акад. Граве
A940), 110—116.
[15] Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда о периодических груп-
группах. ИАН, сер. матем., 5 A941), 233—247.
Direct decompositions of simple rings. Матем. сб., 11 E3), A942), 245—264.
Изоморфизмы прямых разложений. ИАН, сер. матем., 7 A943), 185—202.
Теория групп. М.—Л., ГТТИ A944), 1—372.
Композиционные системы в бесконечных группах. Матем. сб., 16 E8), A945).
59—72.
[20] Силовские подгруппы нульмерных топологических групп. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 65—78.
Курс высшей алгебры. М.—Л., ГТТИ A946), 1—316.
Изоморфизмы прямых разложений, II. ИАН, сер. матем., 10 A946), 47—72.
Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр. М
[21
[22
T23
сб., 20 F2), A947), 239—262.
Курош А. Г. и Ч е р н и к о в С. Н.
'[ 1] Разрешимые и нильпотентные группы. Успехи матем. наук,'2:3 A9), A947), 18—59.
Ланцевицкий И. Л.
[1] Об одном персимметрическом детерминанте. Хрк., Сб. научн.-техн. статей эленпро*
техн. ин-та, 4 A937), 197—199. ;
Левин Б. Я.
[1] Критерий Эрмита для целых функций экспоненциального типа, I. ДАН, 41 A943jj
50—54. ;

БИБЛИОГРАФИЯ 169
[2] Критерий Эрмита для целых функций экспоненциального типа, II. ДАН, 41 A943)г
103—104.
Левитан Б. м.
[1] К теории унитарных представлений локально-компактных групп. Матем. сб.,.
19 F1), 1946), 407—426.
Л ед н ё в Н. А.
[11 О единицах относительно циклических алгебраических числовых полей. Матем.
сб., 6 D8), A939), 227—262.
[2] Об обратной задаче теории Галуа. Матем. сб., 9 E1>, A941), 137—164.
Ливенсон Е. М.
[1] Ah example of a no.—closed connected subgroup of the two-dimensional vector-
space. Ann. of Math., 38 A937), 920—922.
[21 On the realisation of Boolean algebras by algebra of sets. Матем. сб., 7D9), A940),.
300—312.
Л и и н и к Ю. В.
[1] Обобщение теоремы Frobenius'a и установление связи её с теоремой Hurwitz'a
0 композиции квадратичных форм. ИАН, сер. матем. A938), 41—52.
Л и п и н Н. В.
[I] О регулярных матрицах. Л., Труды ин-та инж. Ж.-д. траисп., 9 A934), 105.
Лопатинский Я. Б.
AJ Теорема о базисе. Баку, Труды сект, матем. АН АзССР, 2 A946), 32—34.
Лузин Н. Н.
[I] О методе акад. А. Н. Крылова составления векового уравнения. ИАН, сер. физ.-
матем. A931), 903—958.
[2] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе акад. А. Н.Крылова,
I. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 596—638.
13] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе акал А. Н.Крылова,
¦ И. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 735—762.
.14] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе акад. А. Н. Крылова,
" III. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 1065—1102.
ЛукомскаяМ. А.
•Jl] К вопросу о нахождении комплексных корней алгебраических уравнений. Минск,
' Учён. зап. Белорус, ун-та, сер. фнз.-матем., 1 A939), 45—55.
Л Я п и и Е. С.
11 Ober die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Oruppe. Матем. сб.,
1 D3), A936), 887—906.
2] О разложении абелевых групп без кручения, имеющих конечный ранг, в прямую-
сумму групп первого ранга. Матем. сб., 3 D5), A938), 167—177.
3] Классы квази-сопряжённых элементов конечных групп. Матем. сб., 3 D5), A938),
• 389—402.
[4] О разложении абелевых групп в прямые суммы групп первого ранга. ИАН,
: сер. матем. A939), 141—148.
!5) Некоторые свойства разложения абелевых групп без кручения в прямые суммы.
ДАН, 24 A939), 8—10.
J6] Разложение исчислимых абелевых групп без кручения в прямые суммы групп
первого ранга. ДАН, 24 A939), 11—13. •
Щ О разложении абелевых групп в прямые суммы рациональных групп. Матем. сб.,
8 E0), A940), 205—238.
t] Системы с одним бесконечным действием. ДАН, 50 A945). 45—52.
I] Свободные системы с бесконечным однозначным действием. ДАН. 51 A940),
491— 494.
к] Свободные системы с одним бесконечным действием. Л., Научн. бюлл. ун-та,
7 A946), 6—7.
И] Ядра гомоморфизмов ассоциативных систем. Матем. сб., 20 F2), A9i7),
497—514.
Максимов И.
Ц1] О смежных корнях. ДАН, 37 A942), 104—106.

170 АЛГЕБРА
Малеев В. А. и Чистяков Ю. В.
[1] О вычислении производных сумм одинаковых степеней корней по коэффициентам
уравнения. Томск, Изв. индустр. ин-та. 55:1 A936), 37—42.
Мальцев А. И.
On the immersion of an algebraic ring into a field. Math. Ann., 113A937),686—691.
Абелевы группы конечного ранга без кручения. Матем. сб., 4D6), A938), 45—68.
О включении ассоциативных систем в группы. Матем. сб., 6 D8), A939), 331—336.
О включении ассоциативных систем в группы, II. Матем. сб., 8 E0), A940),
251—264.
Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами. Матем. сб., 8 E0),
A940) 405422
[5] рф
A940), 405—422.
[6] Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп. Иваново,
Учён. зап. пед. ип-та, физ.-матем. фак-т, 1:1 A941), 3—9.
О локальных и полных топологических группах. ДАН, 32 A941), .606—608.
[] Об односвязности нормальных делителей групп Lie. ДАН, 34 A942), 12—15.
[9] Подгруппы групп Lie в целом. ДАН, 36 A942), 5—8.
1.10.1 О разложении алгебры в прямую сумму радикала и полупростой подалгебры.
ДАН, 36 A942), 46—50.
[7]
[8]
[9]
[П
112'
113
О структуре групп Lie в целом. ДАН, 37 A942), 3—6.
О представлениях бесконечных алгебр. Мате.м. сб., 13 E5), A943), 263—286.
О линейных связных локально-замкнутых группах. ДАН, 40 A943), 108—ПО.
Ор Л ДАН
Ортогональные и симплектические представления полупростых групп Ли. ДАН,
41 A943), 332—335.
[15] О полупростых подгруппах групп Ли. ИАН, сер. матем., 8 A944), 143—174.
[16] On the theory of the Lie groups in the large. Матем. сб., 16E8), A945), 163—190;
19 F1), A946) 523-524.
17] Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли. ИАН, сер. матем., 9 A945),
291—300.
[18 О разрешимых алгебрах Ли. ИАН, сер. матем., 9 A945), 329—356.
]19 Топологические разрешимые группы. Матем. сб., 19 F1), A946), 165—174.
,[20 Замечание к работе А. Н. Колмогорова, А. А. Петрова и Ю. М. Смирнова
«Одна ф)рмула Гаусса из теории наименьших квадратов*. ИАН, 11 A947),
567—568.
Марков А. А.
[1] Sur les espaces vectoriels considered comme groupes topologiques. С R. Acad. Sci..
197. A933), 610—612.
12] Ober endlich-dimensionale Vektorraume. Ann. of Math., 36 A935), 464—506.
C] On the representation of relatively definite functions. Матем. сб., 4 D6), A938),
157—164.
[4] On the determination of the number of roots of an algebraic equation situated in ш
given domain. Матем. сб., 7 D9), A940), 3—6.
[5] О свободных топологических группах. ДАН, 31 A941), 299—302.
[6] О существовании периодических связных топологических групп. ИАН, сер. ма»
тем., 8 A944), 225—232.
|7] О безусловно замкнутых множествах. ДАН, 44 A944), 196—197.
|8] О свободных топологических группах. ИАН, сер. матем., 9 A945), 3—64.
[9] О безусловно замкнутых множествах. Матем. сб., 18 F0), A946), 3—28.
Ч10] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. ДАН,
55 A947), 587—59J.
,[П] О некоторых неразрешимых проблемах, касающихся матриц. ДАН, 57 A917),
539—542.
[ 12] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. ДАН,
58 A947), 353—356. :
Маруашвили Т. И.
[1] О корнях детерминанта, определяющего критические силы. Тбилиси, Сообщ. АН
ГрССР, 7 A946), 103—111.
М ейм а н Н. Н.
[1] О корнях целых трансцендентных функций. Матем. сб., 40 A933), 521—528.
[2] Про полюси мероморфних функшй. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14A937), 97—104.
[3] Sur les polinomes R-prolongeables. Матем. сб., 3 D5), A938), 591—650.

БИБЛИОГРАФИЯ 171
[4] О продолжаемых полиномах, II. Об ^-продолжаемых полиномах. Сб. памяти
акад. Граве A940), 117—165.
г [5]. К проблеме Эрмита-Гурвица для целых трансцендентных функций. ДАН, 40 A943),
55—58.
[6] К вопросу о распределении нулей целой функции. ДАН, 40 A943), 200—203.
17] Оценка расстояния между срседиимй нулями для одного класса целых функций.
ДАН, 53A946), 11—14.
..•. ;Мелеитьев П. В.-
|1] Решение алгебраических уравнений высших степеней с вещественными и комплекс-
комплексными корнями. Ж. Р. физ.-хим. о-ва, часть физ., 62:2 A930), 173—195.
.-¦г, Меркулов А. М. '
II] Теория полей классов. Диссертация A947).
Мильман.Д. П.
-{Г] Нормируемость топологических колец. ДАН, 47 A945), 166—168.
М и р л а с Л.
•:A] Об одном методе нахождения корней простой формы характеристических уравне-
уравнений 3-й и 4-й степени и о некоторых его применениях к исследованию электрических
колебаний в сложных контурах. Ж. Вестн. электротехники, 9A931), 309—314.
. ..• М и х а.л ь с к и й Н.
A] Автоматическое построение квадрата для симметрической группы субституций.
Матем. сб., 36 A929), 81—90.
Млодзеевский Б. К.
• 11] Основы высшей алгебры. М., Гос. изд. A922), 1 — 112.
Мордухай-Болтовской Д. Д.
• 11] Sur quelques proprk-tes des transformations irrationnelles des courbes algebriques.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 7 A933), 25—38.
[2] Метаалгебра. Ростов н/Д., Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 21—25.
Морозов В. В.
}1] Определение систем импримитивности конечных непрерывных групп. Казань,
Учён. зап. ун-та, 90:6 A930), 969—976.
J2] О примитивных группах в четырёх переменных. Казань, Труды ин-таинж. коммун,
строит., 5 A938), 3—30.
J3] О примитивных группах. Матем. сб., 5 D7), A939), 355—390.
•14] О примитивных группах в трёх переменных. Сб. памяти акад. Граве A940),
193—212.
>E] О нильпотентном элементе в полупростой алгебре. ДАН, 36 A942), 91—94.
|б] О централизаторе полупростой подалгебры в полупростой алгебре Lie. ДАН,
36 A942), 275—277.
J7] On a theorem of E. Cartan. Матем. сб., 12 E4), A943), 335—339.
(81 О неполупростых максимальных подгруппах простых групп. Казань, Диссерта-
Диссертация A943).
{9] Алгебра. Успехи матем. наук, 2:6 B2), A047), 3—7.
М о ц о к Д. К.
Jl] The complete groups of the regular polytopes. Матем. сб., 40 A933), 86—114.
Назаров Н. Н.
¦ fl] Об одной теореме из теории определителей. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та,
19A934), 7—9.
Нисневич В. Л.
fl] О группах, изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем. Матем.
сб., 8 E0), A940), 395—404.
О г и е в е ц к и й И. Е.
-[1] Узагальнення кососиметричного дуалктичного закону на неконгруенгт перегво-
рення. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 81—94.

172 АЛГЕБРА
О к у н ев Л. Я.
[I] Кольцо, как алгебра относительно тела. Матем. сб., 40 A933), 410—424.
{2] О признаках, определяющих кольцо как гиперкомплексную систему. Труды
семин. по теории групп A938), 80—96.
|3] Основы современной алгебры. М., Учпедгиз A941), 1—202.
[4] Высшая алгебра. Изд. 3. М.—Л., ГТТИ A944), 1-292.
Папкович П. Ф.
11] Об одном методе разыскания корней характеристического определится.
Прикл. матем. и мех., 1 A933), 314—318.
Повзиер А. Я.
[II Аксиоматическое определение двучленных групп Ли. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 9A937), 123—131.
\2] Про знаходження групи шдставлень найменшого степеня, 1зоморфнси дащй абе-
левШ rpyni. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 151—158.
[3] О нильпотентных группах Lie. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 16 A940), 135—142.
Погребысский И. Б.
[ 1] Новий доказтеореми: корт алгебра!чного р1виання е сущльт функци но го коефЬ
uieHTiB. Киев., Ж. матем. цикла АН УССР, 1 A932), 87—88.
Польский В. А.
| II О некоторых свойствах корней кубического уравнения. Краснодар, Труды пед.
ин-та, 6:1 A937), 195—202.
ПонтрягинЛ. С.
[ I] Ober stetige algebraische Кбгрег. Ann. of Math., 33 A932), 163—174.
[2] Sur les groupes topologiques compacts et le cinquieme probleme de M. Hilbert
С R. Acad. Sci., 198 A934), 238—240.
[3] Sur les groupes abeliens continues. С R. Acad. Sci., 198 A934), 328—330.
[4] The theory of topological commutative groups. Ann. of Math., 35 A934), 361—388.
(Есть русский перевод. См. [12]).
[5] Числа Бетти компактных групп Ли. ДАН, I A935), 433—438.
16] Sur les nombres de Betti des groupes de Lie. С R. Acad. Sci., 200 A935), 1277—1280.
[71 Структура непрерывных групп. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда,
Т. I (I936). 237—257.
[8] Структура компактных топологических групп. Л., Труды второго Всесоюзн. ма-
матем. съезда, т. 2 A936), 135.
[9] Структура локально-компактных коммутативных групп. Л., Труды второго Beer
союзн. матем. съезда, т. 2. A936), 136.
[ Ю] Проблематика теории топологических групп. Успехи матем. наук, 2 A936),
118—120.
[11] Линейные представления топологических групп. Успехи матем. наук, 2 A936),
121—143.
[12] Теория коммутативных топологических групп. Успехи матем. наук, 2 A936),
177—195. (Перевод [4]).
[13] Linear representations of compact topological groups. Матем. сб., 1 D3), A936),
267—272.
14
15
16
17
[18]
Непрерывные группы. М.—Л., ГТТИ A938), 1—315.
Группы Ли. Усп. матем. наук, 4 A938), 165—200.
Homologies in compact Lies groups. Матем. сб., 6 D8), A939), 389—422.
Topological groups. Princeton, N. Y. A939) 1—299. (Перевод [14].)
Ober topologische Structur der Lieschen Gruppen. Comment. Math. Helv., 13 A941),
277—283.
[19] О нулях некоторых элементарных трансцендентных <1мнкций. ИАН, сер. матем.,
6 A942), 115—134.
П о п о в А. И.
II] Методы решения тригонометрических уравнений. Ростов н/Д, Изв. пед. ин-та,
10 A940), 88—100.
Прокофьев А. Н.
[I] Некоторые свойства разложений группы по её подгруппам. Матем. сб., 10 E2К
A942), 143—146.

БИБЛИОГРАФИЯ 173
Райков Д. А.
[1] Об одном свойстве полиномов деления круга. Матем. сб., 2 D4), A937), 379—382.
Г2] Обобщённый закон двойственности для коммутативных групп с инвариантной
мерой. ДАН, 30 A941), 583—585.
13] Новое доказательство единственности меры Хаара. ДАН, 34 A942), 231—233.
4] Гармонический анализ на коммутативных группах с мерой Хаара и теория харак-
характеров. Труды матем. ин-та Стеклова, 14 A945), 1-^86.
[5] О пополнении топологических групп. ИАН, сер. матем., 10 A946), 513—528.
Рашевский П. К.
П] Un schema unifiant la theorie des groupes abstraits avec la theorie des groupes infi-
nitesimaux de Lie. С R. Acad. bci., 202 A936), 1012-1013.
J2] Lesproblemes les plus simples de«l'algebra quasi-commutative» en connexion avec la
theorie des valeurs caracteristiques des operateurs differentiels. Матем. сб.. 9 E1),
A941), 5П—544.
[3] Les problemes les plus simples de «l'algebra quasi-commutative» en connexion avec
la theorie des valeurs caracteristiques des operateurs diff6rentiels. Troisieme et qua-
trieme partie. Матем. сб., 10 E2), A942), 95—142.
Романовский В. И.
[I] Un theoreme sur les zeros des matrices non-negatives. Bull. Soc. Math. France,
61 A933), 213—219.
B] Заметка о теореме Н. Н. Назарова. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 19 A934),
13—14.
Рыбаков Л. М.
[1] Об одном классе коммутативных полугрупп. Матем. сб., 5 D7), A939), 521—536.
Садовский Л. Е.
ЙО структурных изоморфизмах свободных групп. ДАН, 32 A941), 171—174.
Структурные изоморфизмы свободных групп и свободных произведений.
Матем. сб., 14 E6), A944), 155—173.
13] О структурных изоморфизмах свободных произведений групп. Матем. сб.,
21 F3;, A947), 63—82.
Самбикин Н. П.
A] Алгебраическое и тригонометрическое решение полного кубического уравнения.
Воронеж, Труды ун-та, I (I925), 240—264.
Санов И. Н.
{11 Решение проблемы Бернсайда для показателя 4. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем.,
10A940), 166—170.
J2] Свойство одного представления свободной группы. ДАН, 57 A947), 657—659.
13] О проблеме Еернсайда. ДАН, 57 A947), 759—761.
Слугинов СП.
[1] Основные свойства кватернионов. Пермь, Ж. физ.-матем. об-ва, 5:1 A930), 25—36.
12] Sulla questione della classificazione dei sistemi di numeri. Boll. un. Math. Ital.,
11 A932), 229—233.
C] О дискриминанте кубического уравнения. Владивосток, Учён. зап. Дальневост.
ун-та, сер. физ.-матем., 1 A937), 121—122.
Смогоржевский А. С.
II] Про yHiTapHi типи циркуляре. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР, 1 A932), 89—91.
Смогоржевский А. С. «Кравчук М. Ф.
11] Про ортогональш перетворення. Киев, Зап. ин-та нар. проев., 2A927), 151—156.
Соколов Н. П.
II] О приведении бинарных Трилинейных форм. Киев, Труды технол. ин-та
силикатов, 1 A939), 253—274.
С о п м а н М.
{1] Критерий неприводимости целых функций в любом алгебраическом поле. Хрк.,
Учён. зап. НИ кафедр, 1 A924), 81—82.

174 АЛГЕБРА
[2] Ein Kriterium fur Ireduzibilitat ganzer Funktionen in einem beliebigen algebrai-
schenK5rper. Math. Ann... 91 A924), 60—61.
Сперанский В. А.
[11 К вычислению одного определителя Шредингера. Л., Ж. Р. физ.-хим. о-ва., часть-
физ.. 61 A925), 407—415.
[2] К теории конечных групп линейных ортогональных преобразований. Л., Ж. физ;-
матем. о-ва, 2:1 A928), 77—81.
Султанов Р. М.
[1] Некоторые свойства матриц с элементами из некоммутативного кольца. Баку,
Труды сек. матем. АН АзССР, 2 A946), 11—17.
Супруненко Д. А.
[1] Примитивные разрешимые группы подстановок. Матем. сб., 20 F2), A947),
331—350.
Суслов А.
[1] Замечание к критерию неприводимости Н Ше. Казань, Учён. зап. ун-та,
98:7 A939), 61—64.
С у ш к е в и ч А. К.
[I] О теореме Weierstrass'a. Воронеж, Труды ун-та, I A925), 238—239.
[2] Ober die Darstelhmg der eindeutig nicht umkehrbaren Gruppen mittels der verall-
gemeinerten Substitutionen. Матем. сб., 33 A926), 371—374.
[3] Sur quelques cas des groupes finis sans la loi de l'inversion univoque. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), I A927), 17—24.
[4] Ober die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen UmkehrbarkeitMath.
Ann., 99 A928), 30—50.
[5] Ober die Streckenrechnung. Матем. сб., 35 (!928), 251—262.
[6] Untersuchungen uber verallgemeinerte Substitutionen. Atti del Congr. Intern. Mat.
Bologna, I A928), 147—157.
[7] On a generalisation of the associative law. Trans. Amer. Math. Soc, 31 A929),
204—214.
[8] Ober die Addition und Multiplication im Gebiete der reelen Zahlen. Хрк., Зап. ма-
матем. т-ва D), 4 A930), 145—162.
[9] Ober die Matrizendarstellung der verallgemeinerten Gruppen. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 6 A933), 27—38.
[10] Uber den Zusammenhang der Rauterschen Ubergruppen mit den gewohnlichen
Gruppen. Math. Z., 38 A934), 643—649.
[II] Ober Semigruopen. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 8 A934), 25—28.
[12] Ober ein Elementensystem mitzweiOperationen, fflrwelche zwei Distributivgeseta*
gelten. Хрк., Зап. матем. т-ваD), 8 A934), 29—32.
[ 13] Ober einen merkwiirdigen Typus der verallgemeinerten unendlichen Gruppen. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 9 A934), 39—46.
[14] Ober einen merkwiirdigen Integritatsbereich. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 10A934).,
75—76. :
[15] Про деяк! властивос™ одного типу узагальнених груп. Хрк., Учён. зап. ун-та,
2 A935), 23—25.
[16] Про поширення твгруп до Шло! группи. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 12 A936),
81—88.
[17] Ober eine Verallgemeinerung der Semigruppen. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
12 A936), 89—98.
[18] Sur quelques proprietes des semigroupes generalises. Хрк., Зап. матем. т-ва
D), 13 A936), 29—33.
[19] Об областях целости в числовом алгебраическом теле. Воронеж, Труды ун-та,
9:4 A937), 5—8. •
[20] Теория обобщённых групп. Хрк.—Киев, ГНТИ A937), 1-176.
[21] Елементи ново! алгебри. Хрк.—Киев. ГНТИ A937), 1—88.
[221 Про группи матриць рангу 1. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A937), 83—94.
[23] ПроспоабНьютона-Фурь'е обчиелення корешв р1внянь. Хрк., Учён. зап. ун-та;
8—9 A937), 61—65.
[24] Про деяк1 типи особливых матриць. Хрк., Учён. зап. ун-та, 10 A937), 5—16.
[25] Исследования о бе:конечпых подстановках. Сб. памяти акад. Граве A940),j
245—253.

БИБЛИОГРАФИЯ 175
[26] Обобщённые группы особенных матриц. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 16 '1940),
1 3-Ц.
[27] Узагальнеи1 групи деяких тишв иескшченних матриць. Хрк., Зап. мате.м. т-ва
D), 16 A940), 115—120.
[281 Об одном типе обобщённых полугрупп. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940),
19—28.
[29] Исследования о бесконечных подстановках. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 18 A940),
27—38.
[30] Числовые области целости без единицы. Хрк., Научи, зап. ин-та Сов. торговли
2A940), 131—139.
[31] Прямые произведения некоторых типов обобщённых групп. Хрк., Научн. зап..
ин-та Сов. торговли A941), И—14.
[32] Основы высшей алгебры. Изд. 4. М.—Л., ГТТИ A941), 1—460.
Тартаковский В. А.
[1] Auflosung der Gleichung х4—ру4=1. И АН F), 20 A926), 301—324.
[2] Представление результатов высших родов для двух полиномов в виде симметриче-
симметрических функций корней этих полиномов. Баку, Изв. Аз. фил. АН, 8 A943), 3—12.
[3] Буквенное исключение одной неизвестной из системы нескольких уравнений
с одним неизвестным. Баку, Труды сек. матем. АН АзССР A946), 41—71.
[4] Об одном отображении аффинной группы. Матем. сб., 19 F1), A946), 19.
[5] О процессе погашения. ДАН, 58 A947), 1605—1608.
[6] О проблеме тождества для некоторых типов групп. ДАН, 58 A947), 1909—1910.
Тихомиров А. И.
[1] Одно обобщение понятия скрещенного произведения. ИАН, сер. матем., 5 A941),.
297—304.
[2] Новое доказательство одной теоремы о простых кольцах. ИАН, сер. матем., 8 A944),
139—142.
[31 Обобщение теоремы Мальцева о расщепляемых алгебрах. ИАН, сер. матем..
11 A947), 47—58.
Тихоновичи. Е.
[I] О корнях дробных рациональных функций. Симферополь. Изв. Крымск. пед. ин-та,.
8 A939), 11—15.
Тов б и н А. В.
[1] О существовании центра у бесконечных и конечных групп. ДАН, 31 A941), 198.
[2] О структуре групп, содержащих альтернативные и симметрические подгруппы.
Матем. сб., 10 E2), A942), 3—6.
[3] Обобщение теоремы Бертрана из теории групп подстановок. Матем. сб., 10 E2),.
A942), 7—10.
Ту р к и и В. К.
Ill On the groups of order pbqr. Мате.м. сб., 36 A929), 383—384.
[2] Die Nichtexistenz einfacher Gruppen der Ordnungen p3q3r und plq*r. Math. Ann.,..
104 A930), 770—777.
[3] Generalisation dutheoremede Frobenius. С R. Acad. Sci., 193 A931), 1059—1061.
[4] Разрешимость групп нечётного порядка вида p"qr. Матем. сб., 40 A933),
229—235.
[5] Die Nichtexistenz einfacher Gruppen der Ordnungen p3q*rs, p*qrs und p3qrst¦ Math.
Ann., 107 A933), 767—773.
[6] Eineneue Anwendung der Darstellung einer end lichen Gruppe alsmonomialeMatri-
zengruppe. Math. Z., 38A934), 301—305.
[7] Обобщение теоремы Ландау о конечных группах. ДАН, 3 A935), 59—62.
[8] Ober monomialeDarstellungen endlicher Gruppen. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
2 A935), 101—104.
[9] Ein neues Kriterium der Einfachheit einer end lichen Gruppe. Math. Ann., Ill A935),
281—284.
10] Cber Herstellung und Anwendung der monomialen Darstellungen endlicher Grup-
Gruppen. Math. Ann., Ill A935), 743—747.
II] О простых группах чётного порядка. Матем. сб., 1 D3), A936), 341—344.
12] О квазинормализаторах элементов конечной группы. ДАН, 3A936), 359—360.
13] Ober Quasinormalisatoren der Elemente in endlichen Gruppen. Матем. сб., 2 D4),.
A937), 1011—1010.

176 АЛГЕБРА
[14] О сопряжённых элементах в конечных группах. Матем. сб., 3 D5), A938),
407—412.
[151 О характерах мономиальных групп. Матем. сб., 3 D5), A938), 417—424.
116] О нормальных делителях в группах нечётного порядка. ДАН, 21 A938), 155—157.
[17] Квазинормализаторы и мономиальньге представления. ИАН, сер. матем. A938),
475—482.
[18] Исследования по теории конечных групп. Труды семип. по теории групп A938),
97—105.
'{19] О сопряжённых элементах в конечных группах. Сб. памяти акад. Граве A940),
254—258.
B0] О характерах мономиальных групп. Сб. памяти акад. Граве A940), 259—264.
Туркин В. К. и Дюбюк П. Е.
1
2
3
4
15
Theoremes sur les groupes infinis. С. R. Acad. Sci., 205 A935), 435—437.
Теоремы о бесконечных группах. Матем. сб., 3 D5), A938), 425—429.
О строении простых групп. ДАН, 20 A938), 517—520.
Об одном признаке непростоты группы. ДАН, 21 A938), 162—163.
О строении простых групп. Матем. сб., 5 D7), A939), 329—342.
У з к о в А. И.
I] Об одном символическом исчислении. Матем. сб., 41 М934), 17—43.
2] Ober ein Theorem von Frobenius. Матем. сб., I D3), A936), 337—340.
3 О теореме Jordan'a-Holder'a. Матем. сб., 4 D6), A938), 31—43.
4 Zur ldealtheorie der kommutativen Ringe, 1. Матем. сб., 5 D7), A939), 513—520,-
5 Абстрактное обоснование брандтовой теории идеалоп. Матем. сб., 6 D8), A939),
263—282. V
\6] On a class of non-associative algebras. Матем. сб., 13 E5), A943), 71—78.
Фаге М. К.
\1] Обобщение неравенства Адамара об определителях. ДАН, 54 A946), 765—768.
Фаддеев Д. К.
[I] Табуляризация областей и колец Galois третьего порядка. Труды фнз.-матем. ин-та
им. Стеклова, 5 A934), 19—24.
|2] Об уравнении xl—Ayl=± 1. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5A934), 41—42.
|3] Построение алгебраических областей, группой Галуа которых является группа
кватернионов. Л., Учён. зап. ун-та, 3:17A937), 17—23.
[4] О преобразовании векового уравнения матрицы. Л., Труды ин-та инж. пром. строит*
4 A937), 78—86. ¦;
[5] Построение алгебраических полей простой степени, имеющих разрешимую группу
Галуа. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939), 127—140. ;;
[6] О плотностях целых точек чисто вещественных областей 4-го порядка с различны-
различными группами Галуа. ИАН, сер. матем., 4A940), 133.
[7] Построение полей алгебраических чисел, группой Галуа которых является группа^
кватернионпых единиц. ДАН, 47 A945), 404—407.
[8] О фактор-системах в абелевых группах с операторами. ДАН, 58 A947), 361—364;
[9] О структуре групп порядка p"q. ДАН, 58 A947), 533—534. ;
110] О характеристических уравнениях рациональных систематических матриц. ДАН,
58A947), 753—754.
Федосеев М. В.
{1] Об одном типе систем с двумя действиями. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 18 A940„
39—56.
Филиппов А.
{1] Об одном способе решения уравнений 3-й степени и алгорифме Граве. Одесса,.
Ж. НИ кафедр, 1:1 A923), 1—13.
Фомин С. В.
]1] Ober periodische Untergruppen der unendlichen Abelschen Gruppen. Матем. <Я?
2 D4), A937), 1007—1010.
Фукс Б. А.
Jl] О преобразованиях, оставляющих данную группу инвариантной, I. Томск, Изв.
НИИ матем. и мех. ун-та, 1:1 A935), 57—68.

БИБЛИОГРАФИЯ 177
[2] Обобщение одной теоремы S. Lie. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1:1 A935),
98—101.
Фук с-Р а б и и о в и ч Д. И.
[1] On the determinators of an operator of the free group. Матем. сб., 7 D9), A940),
197—208.
[2] О группах автоморфизмов свободных произведений, I. Матем. сб., 8 E0), A940),
265—276.
[3] Пример группы с конечным числом производящих и конечным числом соотноше-
соотношений, непредставимой изоморфно при помощи матриц конечного порядка. ДАН,
27 A940), 425—426.
[4] Пример дискретной группы с конечным числом производящих и соотношений, не
имеющей полной системы линейных представлений. ДАН, 29 A940), 549—550.
|5] Об одном представлении свободной группы. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем.,
10A940), 154—157.
О непростоте локально-свободной группы. Матем. сб., 7 D9), A940), 327—328.
группах автоморфизмов свободных произведений, П. Матем. сб., 9 E1), A941),
183—220.
10(
[6] О н
[7] О гр
183
X а р а д з е А. К.
[1] Note sur les racines rationnelles de Г equation du troisieme degre. Тбилиси, Бюлл.
ун-та, 2 A922—1923), 197—199.
[2] Об одном применении теоремы Grace'a. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940),
175—180.
X е it с и и Г. М.
[I] Классификация групп порядка ргдг. ИАН, сер. матем., 4A940), 535—551.
ХлодовскийИ. Н.
[1] К теории общего случая преобразования векового уравнения методом академика
А. Н. Крылова. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 1077—1102.
X о в а н с к ий А. Н.
[1] Задача Hurwitz'a для трансцендентных функций вида (bz+c) chz+^z-j-c,} shs.
Диссертация A945).
Ц а р ы п и н В. Н.
A) К проблеме Гурвица для трансцендентных уравнений. Диссертация A944).
Чайковский М.
[1] До теори дискр1М1нант1в, алгебра1чного р1внпння. Киев., Ж. матем. цикла АН
УССР, 1 A932), 71—78.
Чеботарёв^ Н. Г.
[1J Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к заданному
классу подстановок. ИАН F), 17 A923), 205—250.
[2] О методе исключения переменных из трансцендентных уравнений. Казань, Изв.
физ.-матем. о-ва B), 24 A924), 1—6.
[3] Доказательство теоремы Kroriecker'a-Weber'a относительно абелевых областей.
Матем. сб., 31 A924), 302—309.
.[4] Der Hitberteche Satz. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1:2 A924), 3—7.
[5] Eine Verallgemeinerung des Minkowski'schen Satzes mit Anwendung auf die Be-
trachtung der K6rperidealklassen. Одесса, Ж. НИ кафедр, 1:4A924), 17—20.
[6] Новое обоснование теории идеалов (по Золотарёву). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва
B), 25 A925), 1—14.
[7] Die Bestimmung der Dichtigkeit einerMenge von Primzahlen, welche zu einer gege-
benen Substitutionsklasse gehoren. Math. Ann., 95 A925), 191—228.
>[8] К задаче нахождения алгебраических уравнений с нанерёд заданной группой.:
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), I (I926), 26—32.
[9] Uber Flachen, welche Imprimitivitatssysteme in Bezug auf eine gegebene konti-
nuierlicheTransformationsgruppe enthalten. Матем. сб., 34 A927), 149—206.
[10] tJber die Realitat von Nullstellen ganzer transzendenten Funktionen- Math. Ann.,
, 99 A928), 660—686.
[11] Betnerkung zur Theorie der schlichten Funktionen. Jahresber. DMV, 38 A929),
244—247.
12 Математика в СССР sa 30 лет

178 АЛГЕБРА
[12] Zur Gruppentheorie ores Klassenkorpers. Journ. reine u. angew. Math., 161 A929),
179—193.
[13] Beweis der Existenz einer Basis bei Abelschen Gruppen von endlicher Ordnung.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 4:1 A929—1930), 47—48.
[14] Uber ein algebraisches Problem von Herrn Hilbert. Math. Ann-, 104A930), 459—471.
[15] Ober ein algebraisches Problem von Herrn Hilbert. Math. Ann., 105 A931),
240—255.
[16] Ober eine Verallgemeinerung eines Cliford'schen Satzes. Rend. circ. math.Palermo,
4 A931), 187—194.
[17] Untersuchungen fiber relativ Abelsche Zahlk6rper. Journ. reine u. angew. Math.,
167 A932), 98—121.
[18] Заметки по алгебре и теории чисел. Казань, Учён. зап. ун-та, математика,
7:2A934), 3—16.
[191 Ober das Klein-Hilbertsche Resolventenproblem. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C),
' 6 A934), 5—22.
[20] Основы теории Галуа, Ч. I. M.—Л., ГТТИ A934), 1—221.
[21] Ober quadrierbare Kreisbogenzweiecke, 1. Math. Z., 39 A935), 161—175.
[22] Проблемы современной теории Галуа. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда,
т. 1 A936), 164—205.
[23] Теория Галуа. М.—Л., ОНТИ A936), 1 — 154.
[24] О значении работ Лагранжа по алгебре и теории чисел. Успехи матем. паук, 2
A936), 17—31.
[25] Uber F-Polynome, 1. Allgemeines. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 8 A936—1937),
103—108.
[26] Ober F-Polynome, III. Ober M-integrierbare Polynome. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 8 A936—1937), 109—123.
[27] Основы теории Галуа* Ч. II. М.—Л., ОНТИ A937), 1—160.
[28] Ober verallgemeinerteSchiebflachen.Труды семин. по векторп. и тензорн. анализу,
4 A937), 348—353.
[29] Про визначення объёму в трупах Lie. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 3—20.
[30] Про визначення м1ри труп Lie. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 21—46.
[31] До стагп «Про визначення объёму в трупах Lie». Хрк., Зап. матем. т-ва D),
15:1 A938), 98.
[32] Несколько задач из различных отделов алгебры и теории чисел. Казань, Учён.
зап. ун-та, 98:7 A939), 71—74.
[33] Ober irregulare Darstellungen von halbeinfachen Lieschen Gruppen. Сотр. Math.,
6 A939), 103—117.
[34] О продолжаемых полиномах, I. Общая постановка проблемы. Сб. памяти акад.
Граве A940), 268—282.
135] Задача из теории алгебраических чисел. Сб. памяти акад. Граве A940), 283—290.
[36] О продолжаемости полиномов на замкнутые кривые. ДАН, 32 A941), 3—6.
[37] Дискретные бесконечные группы и их место в общей теории групп. Успехи матем.
наук, 8 A941), 336—364.
[38] A theorem of the theory of semi-simple Lie groups. Матем. сб., 11 E3), A942),
239—244.
39 Notice on the theory of algebras. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3 A942), 405—412.
40 Об одном видоизменении способов Штурма и Фурье. ДАН, 34A942), 3—6.
41] Об ^-интегрируемых полиномах. ДАН, 35 A942), 67—69.
42] О целых функциях с вещественными перемежающимися корнями. ДАН, 35A942),
219—222.
[43] Об одном видоизменении постановки задачи Гурвица. ДАН, 35 A942), 251—252.
[44] О представлениях групп Lie, не имеющих меры. ДАН, 40 A943), 11—14.
[45] Проблема резольвент и критические многообразия. ИАН, сер. матем., 7 A943),
123—146.
[46] Теория групп Ли. М.—Л., ГТТИ A944), 1—395.
[47] Об обосновании теории идеалов по Золотарёву. Успехи матем. наук, 2:6 (Щ,
A947), 52—67.
[48] Проблемы резольмент. В кн. «Юбилейный сборник, посвященный тридцатилетию
Великой Октябрьской социалистической революции». Т. 1. М.—Л., Изд.
АН A947), 80-95.
Черняков С. Н.
[I] Перенесение одной теоремы Frobenius'a на бесконечные rpvnnbi. Матем. сб.,3D5),
A938), 413—416.
[2] К теореме Frobenius'a. Матем. сб., 4 D6), A938), 531—540.

БИБЛИОГРАФИЯ 179
Бесконечные специальные группы. Матем. сб., 6 D8), A939), 199—214.
Бесконечные локально разрешимые группы. Матем. сб., 7 D9), A940), 35—64.
Ктеории бесконечных специальных групп. Матем. сб., 7 D9), A940), 539—548.
О группах с силовским множеством. Матем. сб., 8 E0), A940), 377—394.
Ктеории локально разрешимых групп. Матем. сб., 13E5), A943), 317—333.
Обобщение теоремы Кропекера-Капелли о системе линейных уравнений. Матем.
[101 К
[И] По
3'
4
5
6
7
8
еб., 15 E7), A944), 437—448!
[91 О бесконечных специальных группах с конечным центром. Матем. сб., 17E9),
A945), 105—130.
теории бесконечных р-групп. ДАН, 50 A945), 71—74.
Полные группы, обладающие возрастающим центральным рядом. Матем. сб.,
18 F0), A946), 397—422.
[12] К теории конечных р-расширепий абелевых р-групп. ДАН, 58 A947), 1287—128Сг
Ч етаев Н. Г.
[I] Характеристики Кронекера. Казань, Учён. зап. ун-та, 98:9 A938), 1—14.
Чунихин С. А.
[1] О специальных группах. Матем. сб., 36 A929), 135—137.
[2] Simplicite de groupefini et les ordres de ses classes d'elements coniugu6s. C. R. Acad;
Sci., 191 A930), 397—399.
[3] О специальных группах, II. Матем. сб., 40 A933), 39—41.
[4] Sur le probleme de deux classes d'un groupe fini. C. R. Acad. Sci., 198 A934),
'• 531—532.
Обобщение теорем Г. Фробениуса и В. К. Туркина. ДАН, 3 A935), 9—10.
О некоторых теоремах теории групп. ДАН, 3 A935), 199—200.
Ober einige Satze der Gruppentheorie. Math. Ann., 112 A935), 92—94.
Ober einfache Gruppen. Math. Ann., 112 A935), 95—97.
Ober eine obere GrenzefflrdieOrdnungender Elemente einer end lichen Gruppe ohne
Zentrum. Math. Ann., 112 A936), 583—585.
Ober Gruppen mit vorgegebenen Untergruppen. Матем. сб., 4D6), A938),521—530.
О группах с подгруппами данного вида. ДАН, 18 A938), 9—10.
О силовских подгруппах простой группы. ДАН, 20 A938), 97—100.
О разрешимых группах. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 220—223.
О существовании подгрупп у конечной группы. Труды семин. по теории групп
A938), 106—125.
О центре подгрупп Силовау простых групп. ДАН, 23 A939), 415-—417.
Einige Satze tiber einfache Gruppen. Матем. сб., 5 D7), A939), 537—544.
Ктеории неассоциативных л-групп с постулатом К. ДАН, 48A945), 7—10.
О композиционной структуре силовских подгрупп у простых групп. ДАН,
51 A946), 415—416.
[19] О р-свойствах групп. ДАН, 55 A947), 481—484.
[20J О подгруппах относительно разрешимых групп. ДАН, 58 A947), 1295—1296.
[21] О композиционной структуре и простоте групп. Томск, Труды эл.-мех. ин-та
инж. ж. д. трансп., 10 A947), 3—8.
Чунихина И. К. и Чунихин С. А.
[I] О р-разложимых группах. ДАН, 39 A943), 43—45.
[2] О р-разложимых группах. Матем. сб., 15E7), A944), 325—342,
. Ш а п и р о Г. М.
'[1] Высшая алгебра. Изд. 4. М., Учпедгиз A938), 1—388.
[2] Собственные значения в нормированных структурах. ДАН, 24 A939), 523—524.
Шатуиовский С. О.
[I] Алгебра как учение о сравнениях по функциональным модулям. Одесса A917),
Ш а ф а р е в и ч И. Р.
О нормируемости топологических полей. ДАН, 40 A943), 149—151.
О группах Галуа р-адических полей. ДАН, 53 A946), 15—16.
О р-расширениях. Матем. сб., 20 F2), A947), 351—362.
ШестаковВ. И.
J1] Об одном символическом исчислении, применимом к теории релейных электри-
электрических схем. М., Учён. зап. ун-та, 73 A944), 45—48.
12*

180 АЛГЕБРА
Ш и м б и р ё в а Е. П.
|1] К теории частично упорядоченных групп. Матем. сб., 20F2), A947), 145—178.
Шмидт О. Ю.
[I] Группы, псе подгруппы которых специальные. Матем. сб., 31 A924), 366—372.
[21 Группы, имеющие только один класс неипвариантных подгрупп. Матем. сб.,
33 A926), 161—172.
[3] Ober unendliche Oruppen mit ondlicher Kette. Math. Z.. 29 A928—1929), 34—41.
(Cm. [10]).
[4] Новое доказательство теоремы А. Кулакова в теории групп. Матем. сб.,
39: 1—2A932), 66—71.
Абстрактная теория групп. Изд. 2. М.—Л., ГТТИ A938), 1 — 180.
Высшая алгебра. Вып. I. M.—Л., ГТТИ A933), 1—40.
Высшая алгебра. Выи. II. М.—Л., ГТТИ A934), 1—40.
Группы с двумя классами неинвариантных подгрупп. Труды семип. по теории групп
A938), 7—26.
[9] Группы, все подгруппы которых специальные. Труды семин. по теории групп
A938), 125—132. (См. [I].)
110] О бесконечных группах с конечной цепью. Труды семин. теории групп A938),
133—140. (Перевод [3].)
Ill] О бесконечных специальных группах. Матем. сб., 8 E0), A940), 363—376.
[12] О группах Frobenius'a. ДАН, 26 A940), 3—5.
[ 13] Группы с двумя классами неинвариантных подгрупп. Сб. памяти акад. Граве.
A940), 291—309.
114] Бесконечные разрешимые группы. Матем. сб., 17E9), A945), 145—162.
Шнейдмюллер В. И.
[I] О кольцах с конечными цепями подколец. Матем. сб., 42A935), 597—600.
[2] О К(у1ьцах с конечными убывающими цепями подколец. ДАН, 28 A940), 579—581.
Шнирельман Л. Г.
[I] О функциях в нормированных алгебраически замкнутых телах. ИАН, сер. матем.
A938), 487—498.
Штаерман И. Я. и Ахиезер Н. И.
II] К теории квадратичных форм. Киев, Изв. политехи, с.-х. ин-та, 19A924), 116—123;
Шумягский Б.
{!] Исчисление шойрош. Матем. сб., 40 A933), 394—409.
Шу н М. С.
II] Об одном Ганкелевом определителе. Хрк., Научн. зап. авиац. ин-та, 3:3 A940),
35—36.
Щипанов П. К.
11] О сравнении систем элементов группы. ДАН, 25 A939), 99—103.
\2] О нормальных делителях группы. ИАН, сер. матем., 4 A940). 529—534.
Яковкин М. В.
{1] Об одном критерии неприводимости полиномов. ДАН, 28 A940), 771—773.
}2] Обобщения одного критерия неприводимости полиномов. ДАН, 58 A947),
1915—1918.

топология

топология
А. А. МАРКОВ.
дним из наиболее значительных явлений советского пе-
периода развития русской математики следует признать
возникновение русской топологической школы. Топология—
молодая отрасль математики: её научная разработка нача-
началась в конце прошлого века в работах Кантора и Пуан-
Пуанкаре. Возникновение и мощное развитие топологии и дру-
других новых математических дисциплин—.общей теории мно-
множеств, абстрактной алгебры, математической логики—
характерны для современного периода в математике, периода откры-
открытая новых ценностей и переоценки ценностей старых. В СССР эти но-
новые направления в математике получили блестящее развитие, и русская
топологическая школа, созданная в начале 20-х годов нашего века, зани-
занимает в настоящее время первое место в мире.
Создателем и главой русской топологической школы является
П. С. Александров. Вместе с П. С. У р ы с о н о м—без временно
погибшим гениальным учёным — П. С. Александров первым
в СССР стал работать в области общей теории топологических пространств.
Вскоре к ним присеодинились их ученики: А. Н. Тихонов, Н. Б. В е-
денисов, В. В. Немыцки й, Л. А. Тумаркин и другие.
В 1926 г. был основан московский топологический кружок. Так возникла
русская топологическая школа, которая тогда ещё называлась «москов-
«московской». Ленинград и другие наши математические центры, в которых
преобладали «классические» направления, не имели в тот период должной
научной ориентации для работы в этой области.
В дальнейшем тематика русской топологической школы значительно
расширилась. В эту тематику была включена «комбинаторная» топология
Была установлена связь этой последней с общей теорией топологических
пространств. В конце 20-х годов начал работать ученик П.С.Алексан-
П.С.Александрова Л. С. Понтрягин, обогативший топологию рядом открытий
первостепенной значимости. В работу русской топологической школы вклю-
включился и Ленинград.
В настоящее время русская топологическая школа, возглавляемая
П. С. Александровым, объединяет многих лиц, успешно работаю-
работающих над весьма разнооразными проблемами.
В этой статье мы постараемся дать краткий обзор главнейших до-
достижений этой школы.

184 топология
1. Топология может быть определена как теория так называемых
«топологических пространств». В настоящее время в математике принято
следующее определение понятия топологического пространства.
Под топологическим пространством понимается множество произ-
произвольных элементов, называемых точками, рассматриваемое совместно
с некоторыми своими подмножествами, называемыми открытыми множе-
множествами, причём выполнены следующие аксиомы:
Е1. Множество всех точек есть открытое множество.
Е2. Сумма любого множества открытых множеств есть открытое
множество.
ЕЗ. Пересечение любых двух открытых множеств есть открытое
множество.
Иначе говоря, чтобы получить из множества X пространство, надо
среди подмножеств X выделить некоторые таким образом, чтобы соблю-
соблюдались аксиомы El, E2 и ЕЗ, где под точками надо понимать элементы
множества X, а под открытыми множествами—выделенные множества.
Совокупность выделенных множеств и определит X, как пространство.
Согласно этому определению, пространства X и Y совпадают тогда
и только тогда, когда они имеют одни и те же точки и одни и те же
открытые множества.
Понятие пространства, эквивалентное только что определённому,
было введено польским математиком К. Куратовским в 1922 г. Оно
допускает различные обобщения. Следующее интересное обобщение бы-
было предложено А. Д. Александровым [2]. Вместо аксио-
аксиомы Е2 постулируется следующая более слабая аксиома:
Е2*. Сумма всякого не более чем счётного множества открытых мно-
множеств есть открытое множество.
Другие аксиомы остаются без изменения.
Пространства А. Д. А л е к с а н д р о в а [2, 3, 5] интересны в связи
с построенной им топологической теорией меры, а также в связи с неко-
некоторыми чисто топологическими вопросами, которые будут рассмотрены
ниже.
Заметим, что из Е2* и тем более из Е2 следует, что пустое множество
открыто, как сумма пустого множества открытых множеств. Из ЕЗ следует,
что пересечение любого не пустого конечного множества открытых мно-
множеств есть открытое множество.
2. Формулированное определение топологического пространства
даёт возможность определить понятия: «замкнутого множества», «замы-
«замыкания», «окрестности точки», «окрестности множества», «непрерывного
отображения», «топологического» отображения», «гомеоморфии», «тополо-
«топологического свойства», «топологического инварианта», «связного простран-
пространства», «связного множества», «компоненты пространства», «изолированной
точки», причём могут быть доказаны простейшие теоремы, касающиеся
этих понятий. Мы не приводим здесь этих определений и теорем,отсылая
читателя к русскому переводу книги Хаусдорфа*) и к статье П. С. А л е-
ксандрова [63].
3. Существенную роль играют в топологии некоторые операции,
позволяющие, исходя из данных пространств, строить новые. Одной из
таких конструктивных операций является построение «подпространств».
Это построение осуществляется так.
*) Ф. Хаусдорф, Теория множеств. М.—Л., ОНТИ A937), 1—302.

топология 185
Пусть V—подмножество пространства X. Определим множества, от-
открытые в Y, как пересечения Y с открытыми множествами пространства X.
Как легко видеть, это превратит Y в топологическое пространство. Это
пространство мы будем называть подпространством пространства X, опре-
определяемым множеством Y. Мы будем говорить, что 2 есть наследствен-
наследственный класс пространств, если 2 есть такой класс пространств, что всякое
подпространство всякого пространства, принадлежащего 2, также при-
принадлежит 2.
4. Другой конструктивной операцией, играющей весьма существенную
роль, является построение «произведения» системы пространств. Эта
операция, введённая А. Н. Тихонов ы'м [3], определяется следующим
образом.
Пусть каждому элементу с непустого множества S приведено в соот-
соответствие пространство Хг. Будем рассматривать совокупность X систем
<хе>Е?2, таких что хЕ есть точка пространства Хе при всяком с, принад-
принадлежащем Е. Определим множества, открытые в X, следующим образом. Фи-
Фиксируем элемент а множества Ей открытое множество А пространства Х5.
Совокупность тех принадлежащих множеству X систем <X{>sea. Для
которых ха$А, обозначим символом Z(a,A). Всякому <х ? S и всякому откры-
томумножеству А пространства ХЛ соответствует своё множество Z (&,А),
содержащееся в X. Будем говорить о подмножестве множества X, что
оно основное, если оно есть пересечение конечного числа множеств Z (а, А).
Открытыми подмножествами X будем считать суммы произвольных
семейств основных множеств. Нетрудно видеть, что так определённые
открытые подмножества X удовлетворяют аксиомам El, E2 и ЕЗ. Следова-
Следовательно, X становится топологическим пространством. Так определённое
топологическое пространство X называется произведением системы про-
пространств <Xs>ees.
Мы будем говорить, что й есть мультипликативный класс пространств,
если й есть такой класс пространств,что произведение любой системы
пространств, принадлежащих й, также принадлежит й.
Часто приходится иметь дело с тем случаем перемножения системы
пространств, когда все пространства-сомножители равны одному и тому
же пространству Y. В этом случае произведение называется t-u степенью
Y, где --—мощность системы одинаковых сомножителей. Эта терминоло-
терминология законна, так как произведение определяется здесь пространством Y
и кардинальным числом т однозначно с точностью до топологического
отображения. ">я степень пространства Y обозначается символом Y"-.
В частности, при Y=D, где D есть пространство, состоящее из двух
изолированных точек, мы для всякого кардинального числа т получаем
пространство D"-. Пространство D*° гомеоморфно канторову диаднче-
скому дисконтинууму. Компоненты всякого пространства D" состоят
из отдельных точек. Вместе с тем, при бесконечном -, пространстео D"-
плотно в себе, т. е. не имеет изолированных точек. При бесконечном т
пространство D"- называется обобщённым канторовым дисконтинуумом.
При К=/, где /—.единичный отрезок числовой прямой с обычными
открытыми множествами, мы получаем пространства I", рассмотренные
А. Н. Тихоновым [3]. Мы будем называть их тихоновскими кубами,
что естественно, так как /3 есть обычный куб. Тихоновские кубы суть
связные пространства. Это следует из связности пространства / в силу
общей легко доказуемой теоремы о мультипликативности класса связных
пространств.

186 топология
5. Мы говорим, что семейство S3 открытых множеств пространства
X есть база этого пространства, если всякое открытое множество про-
пространства X может быть получено путём суммирования некоторых элемен-
элементов семейства S3 (в любом числе). Всякое пространство имеет базу. Напри-
Например, базой является семейство всех открытых множеств пространства.
Среди мощностей различных баз пространства X имеется наименьшая.
Она называется весом пространства X.
Нетрудно видеть, что вес любого подпространства пространства X
не больше веса X. Отсюда следует, что, каково бы ни было кардинальное
число т, пространства веса < т образуют наследственный класс.
Вес произведения системы пространств определяется следующей
важной теоремой, доказанной ленинградским математиком М. Я. Пе-
рельмано м*), погибшим в 1942 году:
Вес произведения системы пространств равен сумме весов про-
пространств-сомножителей, если эта сумма бесконечна, а каждое слагаемое
больше единицы.
Отсюда следует, в частности, что тихоновский куб I"- имеет, при
бесконечном -z,. вес х (А. Н. Тихонов [3]). n-мерное числовое простран-
пространство, являющееся л-й степенью числовой прямой, имеет вес Хо-
6. Говорят, что множество А плотно в пространстве X, если за-
замыкание А в X совпадает с X. Наименьшая из мощностей множеств,
ллотных в пространстве X, называется псевдовесом этого пространства.
Псевдовес пространства не превосходит веса его, но может быть и мень-
jue веса.
7. Для построения топологии оказалось целесообразным ввести
в рассмотрение некоторые классы пространств, определяемые дополнитель-
дополнительными аксиомами. Выбор этих аксиом определялся в основном взаимодей-
взаимодействием между топологией и другими отделами математики, главным обра-
образом анализом и геометрией. Исследователи стремились перекинуть мост
между топологией и этими отделами математики, установив аксиоматиче-
аксиоматическую характеризацию классов пространств, интересных с точки зрения
-этих математических дисциплин. Играли некоторую роль и внутренние
чисто логические мотивы. Так возникла современная, хорошо разрабо-
разработанная топологическая аксиоматика, в построении которой советские
топологи играли самую значительную роль. Мы обращаемся теперь к рас-
рассмотрению этой аксиоматики и некоторых связанных с нею общих
проблем.
8. Важную роль в топологической аксиоматике играют так называе-
называемые «аксиомы отделимости», связанные со следующими понятиями.
Пусть А и В—подмножества пространства X. Мы говорим, что А
•отделимо окрестностью от В в X, если существует окрестность А в X,
не пересекающаяся с В. Мы говорим, что А и В отделимы друг от друга
окрестностями в X, если существуют непересекающиеся окрестности
V и V множеств А и В в X соответственно. Мы говорим, что А и В функ-
функционально отделимы в X, если существует действительная непрерывная
функция/ в X, принимающая значение 0 во всех точках множества А и
значение 1 во всех точках множества В. При этом здесь и в дальнейшем под
непрерывной функцией в пространстве X понимается непрерывное отобра-
отображение этого пространства в естественно топологизированную числовую
.прямую.
*) Мощности в топологии. Л., Рукопись A941), 1—301.

топология 187
9. Самая слабая из рассмотренных аксиом отделимости формулиро-
формулирована А. Н. Колмогоровым. Она состоит в следующем:
Из любых двух различных одноточечных подмножеств простран-
пространства хотя бы одно отделимо окрестностью от другого.
Иначе говоря: если х и у—.различные точки пространства, то либо
существует окрестность х, не содержащая у, либо—окрестность}», не содер-
содержащая х. Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются
пространствами Колмогорова. Класс этих пространств обозначается сим-
символом То.
Переход от общих пространств к. пространствам Колмогорова не
является существенным сужением области исследования, так как рас-
рассмотрение произвольного пространства сводится к рассмотрению некото-
некоторого пространства Колмогорова, получаемого из первого пространства
путём надлежащего «отождествления» точек.
Класс То, как легко убедиться, является наследственным и мульти-
мультипликативным.
Следующий пример пространства Колмогорова является простым и
вместе с тем нетривиальным. Пусть точками пространства F являются
числа 0 и 1, а открытыми множествами—множества: А, {0}, {0,1}*).
Здесь множество {0} отделимо окрестностью от множества {1}, тогда как
множество {1} не отделимо окрестностью от множества {0}.
В силу мультипликативности класса То, этому классу принадлежит
и всякое пространство F"-, где т—любое кардинальное число. В силу
наследственности этого класса, ему же принадлежит и всякое подпростран-
подпространство любого пространства F*. Как мы сейчас увидим, этим класс Т„
по существу и исчерпывается.
10. Для точной и краткой формулировки относящейся сюда замеча-
замечательной теоремы П. С. Александрова и некоторых других резуль-
результатов, излагаемых ниже, будет удобно ввести следующую терминологию.
Будем говорить, что пространство X погружаемо в пространство Y,
если X гомеоморфно какому-нибудь подпространству пространства У.
Пусть й—наследственный класс пространства. Будем говорить, что
U есть универсальное пространство класса $, если U принадлежит классу Ш
и всякое пространство этого класса погружаемо в U.
Очевидно, что установление универсальности некоторого пространства
в изучаемом классе пространств всегда является значительным шагом впе-
вперёд в теории этого класса, так как дальнейшее исследование сводится
тогда к рассмотрению подпространств одного пространства. Теорема
¦П. С. Александрова [46, 63] утверждает следующее:
Каково бы ни было трансфинитпое кардинальное число т, простран-
пространство F' есть универсальное пространство в классе пространств Колмого-
Колмогорова веса^Сх.
Некоторые другие универсальные пространства того же класса по-
построены А. Н. Тихоновым [7].
11. Более узкий класс образуют пространства Риса, характе-
характеризуемые следующей аксиомой:
Каждое из любых двух различных одноточечных множеств отделимо
окрестностью от другого.
*) Здесь и в дальнейшем <<А>> означает пустое множе.тно, «и}»—множество с един-
единственным элементом х, <<х, у»—множество, образованное элементами х и у (не обя-
обязательно различными), и т. л.

188 топология
Иначе говоря: если х и у—различные точки пространства, то существует
окрестность точки х, не содержащая у. Или ещё иначе: всякое одноточеч-
одноточечное множество замкнуто.
Класс пространств Риса обозначается символом 7Y Он содержится
в классе То, не совпадая с ним. Например, пространство F принадлежит
То, но не принадлежит 7Y Класс Т^—наследственный и мультипликатив-
мультипликативный. Вопрос о существовании универсального пространства в классе про-
пространств Риса веса <х является в настоящее время открытым.
12. Ещё более узкий класс образуют пространства Хаусдорфа, харак-
характеризуемые следующей аксимой:
Любые два различных одноточечных множества отделимы друг от
друга окрестностями.
Класс пространств Хаусдорфа обозначается символом Т2. Он содер-
содержится в классе Т,, не совпадая с ним. Класс Тг—наследственный и
мультипликативный.
13. С классом Т2 связана богатая и интересная проблематика, в разра-
разработке которой советские топологи играли видную роль. Для формулировки
одной из относящихся сюда проблем введём следующую терминологию.
Пусть Ш—какой-нибудь класс пространств. Будем говорить, что про-
пространство X абсолютно замкнуто ей, если оно принадлежит $ и замкнуто
во всяком пространстве класса Ш, содержащем X, как подпространство.
Требуется охарактеризовать внутренним образом пространства, абсо-
абсолютно замкнутые в классе Т2,или,как их называют, Н-замкнутые простран-
пространства. (Для классов Т„ и 7\ аналогичные проблемы решаются тривиально.)
Решение проблемы //-замкнутости было дано П. С. Александро-
Александровым и П. С. У р ы с о и о м [2, 4] в виде следующей теоремы:
Для того чтобы пространство Хаусдорфа " X было Н-замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы из всякого его покрытия можно было вы-
выбрать конечное множество элементов с суммой, плотной в X.
Здесь и в дальнейшем под покрытием пространства X понимается
семейство открытых множеств этого пространства с суммой, равной X.
14. Условимся говорить, что пространство У есть расширение про-
пространства X, если X есть подпространство У, плотное в Y.
В связи с понятием //-замкнутости П. С. Александровым
и П. С. У р ы с о н о м [4] была поставлена следующая проблема: для вся-
всякого ли пространства Хаусдорфа существует //-замкнутое расширение?
Первый подход к этой проблеме был осуществлён А. Н. Тихоно-
Тихоновы м [3], доказавшим, что всякое пространство Хаусдорфа является
подпространством некоторого И-замкнутого пространства того же
веса. Окончательное и притом положительное решение проблемы Уры-
сона было дано американским математиком Стоном. Теорема Сто-
Стона (всякое пространство Хаусдорфа имеет //-замкнутое расширение)
была в дальнейшем доказана различными способами А. Д. Алек-
Александровым [4], С. В. Ф о м и н ы м [1] и Н. А. Шаниным [1].
СВ. Фомин при этом доказал, что всякое хаусдорфово пространство
имееет Н-замкнутое расширение того же веса. Особенно простое по идее
доказательство теоремы Стона принадлежит А. Д. Александрову.
15. Назовём логарифмом кардинального числа т наименьшее из кар-
кардинальных чисел а таких, что т<2". М. Я. П е р е л ь м а н о м*)
доказана следующая интересная теорема:
*) См. сноску на стр. 186.

ТОПОЛОГИЯ 189
Псевдовес произведения бесконечной системы пространств Хаусдорфа,
каждое из которых состоит более чем из одной точки, равен supremum'y
псевдовесов пространств-сомножителей и логарифма числа этих сомно-
сомножителей.
16. Понятию Я-замкнутости родственно важное понятие «бикомпакт-
ности». Говорят, что пространство бикомпактно, если из всякого его покры-
ния можно выбрать конечное множество элементов, также образующее
покрытие пространства.
Из теоремы Бореля-Лебега следует, что бикомпактным является вся-
всякое ограниченное замкнутое подмножество л-мерного числового простран-
пространства, рассматриваемое само, как пространство. Известно, какую важную
рольиграютв анализе ограниченные и замкнутые множества. Естественно
было ожидать, что аналогичную роль в топологии и её приложениях будут
играть бикомпактные пространства. Эти ожидания полностью оправдались.
Бикомпактные пространства явились объектом большой теории, построен-
построенной П. С. Александровым и П. С. Урысоном [2,4,5]. Цен-
Центральное понятие этой теории—бикомпактность—оказалось существенным
как для самой топологии в целом, так и для многих её приложений.
Некоторые из них будут рассмотрены ниже.
17. П. С. Александровым и П . С. Урысоном [2,4] была
установлена эквивалентность приведённого выше определения бикомпакт-
ности с двумя другими определениями этого понятия*).
Одно из них формулируется так. Пространство бикомпактно, если
в нём всякое убывающее вполне упорядоченное семейство непустых зам-
замкнутых множеств имеет непустое пересечение. Критерий бикомпактности,
выражаемый этим определением, обобщает известную теорему Кантора
о пересечениях.
Ещё одно определение бикомпактности связано с понятием «точки
полного накопления». Пусть А—подмножество пространства X, х—точка
этого пространства. Мы говорим, что х есть точка полного накопления
А в X, если пересечение множества А с любой окрестностью точки х имеет
ту же мощность, что и всё А.
Соответствующее определение бикомпактности формулируется так.
Пространство бикомпактно, если в нём всякое бесконечное подмножество
имеет точку полного накопления. Критерий бикомпактности, выражаемый
этим определением, обобщает теорему Больцано-Вейерштрасса.
18. Бикомпактные пространства образуют мультипликативный
класс. Этот далеко не тривиальный результат был впервые доказан
А. Н. Тихоновым [3]**). Из этой теоремы следует, в частности,
бикомпактность пространств Fz, D"-, Iх.
19. Из определения бикомпактного пространства непосредственно
следует сохранение бикомпактности при непрерывных отображениях,
т. е. следующая теорема Н. Б. Веденисова:
Если возможно непрерывное отображение бикомпактного простран-
пространства Хна пространство Y, то Y также бикомпактно.
Из сравнения определения бикомпактного пространства с теоремой
П. С. Александрова и П. С. Урысона об Н-замкнутых про-
*) См. также статью П. С. Александрова [63].
**) А. Н. Тихонов рассматривал лишь произведение системы отрезков,
однако его рассуждение дословно переносится на общий случай произведения системы
бикомпактных пространств.

190 топология
странствах следует, что всякое бикомпактное пространство Хаусдорфа
Н-замкнуто.
Класс бикомпактных пространств не является наследственным,
однако, как нетрудно видеть, всякое подпространство бикомпакт-
бикомпактного пространства X, замкнутое в X, как множество, само биком-
бикомпактно.
Из сопоставления всех этих фактов получается следующая теорема
Н. Б. Веденисова:
При непрерывном отображении бикомпактного пространства X
в хаусдорфово пространство Y образ всякого замкнутого множества про-
пространства X замкнут в Y.
Отсюда непосредственно следует, что всякое непрерывное и взаимна
однозначное отображение бикомпактного пространства в хаусдорфово
пространство является топологическим.
Интересно отметить, что последний результат вместе с его локальной
версией, относящейся к отображениям, непрерывным в точке, является
топологической основой данных А. Н. Т и х о н о в ы м [8] доказательств
устойчивости некоторых обратных задач анализа, в частности, обратной
задачи теории потенциала.
Существуют Я-замкнутые небикомпактные пространства. Примеры
такого рода пространств были построены П. С. Александровым,
и П. С. У р ы с о н о м [4].
Бикомпактные хаусдорфовы пространства называются бикомпактами.
20. Наряду с бикомпактными пространствами П. С. Алексан-
Александров [4] ввёл в рассмотрение «локально бикомпактные* пространства,
определяемые следующим образом.
Будем говорить, что пространство X бикомпактно вокруг своей точки х,
если эта точка имеет окрестность в X с бикомпактным • замыканием.
Будем говорить, что X локально бикомпактно, еели X бикомпактно
вокруг каждой своей точки.
Всякое бикомпактное пространство, очевидно, локально бикомпакт-
бикомпактно. С другой стороны, существуют локально бикомпактные, но не би-
бикомпактные пространства. Таково, например, n-мерное числовое про-
пространство.
Основной результат П. С. Александрова [4] о локально би-
бикомпактных пространствах даёт возможность сводить рассмотрение любого
локально бикомпактного пространства Хаусдорфа к рассмотрению
некоторого бикомпакта. Этот бикомпакт получается из первоначального,
пространства посредством присоединения одной новой точки. Частным
случаем этого процесса является присоединение одной «бесконечно уда-
удалённой» точки к локально бикомпактной, но не бикомпактной плоскости
комплексной переменной, в результате чего получается бикомпактная
гауссова сфера.
Чтобы формулировать теорему П. С. Александрова, введём
следующую терминологию. Под одноточечной бикомпактификациеп про-
пространства X будем понимать бикомпакт, содержащий X, как подпро-
подпространство, и отличающийся от X ровно на одну точку. Теорема
П. С. Александрова [4] формулируется тогда так:
Для существования одноточечной бикомпактификациа пространствах
необходимо и достаточно, чтобы X было хаусдорфовым локально биком-
бикомпактным пространством. В этом случае одноточечная бикомпактифика-*
ция X существенно единственна.

ТОПОЛОГИЯ 191
Отсюда легко выводится, что локально бикомпактные хаусдорфовы
пространства могут быть охарактеризованы, как открытые подмножества
бикомпактов, рассматриваемые, как пространства.
21. П. С. Александров [3] ввёл важное понятие «сходимости
по мощности», определяемое следующим образом. Мы говорим, что беско-
бесконечное подмножество А пространства X сходится по мощности к точке х
этого пространства, если, какова бы ни была окрестность U этой точки,
мощность множества A\U меньше мощности множества А*). Для сущест-
существования подмножества А пространства X, сходящегося по мощности к
данной точке х, необходимо, разумеется, чтобы эта точка была неизоли-
неизолированной. В случае, когда X является хаусдорфовым пространством,
бикомпактным вокруг х, это условие оказывается и достаточным. Имеет
место следующая далеко не очевидная теорема П. С. Алексан-
Александрова [3]:
Если хаусдорфово пространство X бикомпактно вокруг своей
неизолированной точки х, то существует бесконечное подмножество А
этого пространства, сходящееся по мощности к х.
22. Пусть И —семейство окрестностей точки х в пространстве X.
Условимся говорить, что 11 есть база X в х, если соблюдается следующее
условие: во всякой окрестности точки х содержится некоторая окрестность
х, принадлежащая U.
Тривиальным примером базы X в х является семейство всех окрест-
окрестностей х в X. Наименьшая из мощностей баз X в х называется весом X в х.
Вес X в х будем обозначать символом рх (X).
Будем говорить о семействе II окрестностей точки х в пространстве X,.
что оно есть псевдобаза X в х, если пересечение всех элементов этого семей-
семейства состоит из одной точки х.
Если X—пространство класса Т1( то во всякой точке этого простран-
пространства существует псевдобаза: например, семейство всех окрестностей
точки х является псевдобазой Хвх. Псевдобазой Хвх является в этом слу-
случаен всякая база Хвх. Наименьшая из мощностей псевдобаз Хвх называ-
называется псевдовесом Хвх. Псевдовес X в х мы будем обозначать символом
)
В случае пространства класса Т, имеем, очевидно: qx(X)<Cpx (X).
Имеет место следующая теорема П. С. Александрова [3]:
Если X-^хаусдорфово пространство, бикомпактное вокруг точки х,
то qx(X)=px(X).
23. Если точка х пространства X такова, что существуют подмноже-
подмножества А, сходящиеся по мощности к х, то среди мощностей этих подмножеств
имеется наименьшая. Она называется весом сходимости Х.в х. По опреде-
определению, вес сходимости X во всякой изолированной точке этого простран-
пространства полагается равным 1. Вес сходимости Хвх мы будем обозначать сим-
символом сх (X).
Согласно вышеприведённой теореме П. С. Александрова,
всякое хаусдорфово пространство, бикомпактное вокруг какой-либо
своей точки х, имеет в этой точке определённый вес сходимости.
Им доказано сверх того, что в этом случае сх(Х) < рх(Х).
24. Некоторые теоремы о бикомпактных пространствах распростра-
распространяются на более широкий класс «компактных» пространств, определяемый
*) «А\В» означает у нас разность множеств А и В, т. с. совокупность элементов
множества А, не принадлежащих В, «А[]В»—пересечение А и В; «А{]В»—сумму АиВ.

192 ТОПОЛОГИЯ
следующим образом. Пространство компактно, если из всякого его счёт-
счётного покрытия можно выбрать конечное множество элементов, также обра-
образующее покрытие. Как и для бикомпактных пространств, здесь возможны
различные эквивалентные определения. Одно из них формулируется так.
Пространство компактно, если в нём всякая убывающая счётная последо-
последовательность непустых замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
Ещё одно определение компактности связано с понятием «точки нако-
накопления». Пусть А—подмножество пространства X, х—точка этого про-
пространства. Мы говорим, что х есть точка накопления А в X, если пересече-
пересечение А с любой окрестностью точки х бесконечно*).
Соответствующее определение компактности формулируется так.
Пространство компактно, если в нём всякое бесконечное точечное множе-
множество имеет точку накопления.
Всякое бикомпактное пространство, очевидно, компактно. С другой
стороны, нетрудно видеть, что всякое компактное пространство не более
чем счётного веса—бикомпактно. Таким образом в классе пространств не
более чем счётного веса компактность совпадает с бикомпактностью.
Вообще эти понятия не совпадают: существуют компактные, но не
бикомпактные пространства (П. С. Александров и П. С. Уры-
сон [4]).
25. Аналогично понятию бикомпактности пространства вокруг точки
определяется «компактность вокруг точки». Говорят, что простран-
пространство Xкомпактно вокруг своей точки х, если эта точка имеет окрестность
в Некомпактным замыканием. Говорят, что пространство X локально ком-
компактно, если X компактно вокруг каждой своей точки.
Аналогично теореме об одноточечной бикомиактификации имеет
место теорема об одноточечной компактификации локально компактных
пространств (П. С. Александров [4]):
Для существования одноточечной компактификации простран-
пространства X необходимо и достаточно, чтобы X было хаусдорфовым локально
компактным пространством.
Здесь под одноточечной компактификацией пространства X пони-
понимается компактное хаусдорфово пространство, содержащее X, как под-
подпространство, и отличающееся от X ровно на одну точку. Единственность
одноточечной компактификации в условиях теоремы утверждать нельзя.
26. В пространствах, с которыми имеет дело анализ, существует
«достаточно много» действительных непрерывных функций. В простран-
пространстве класса Т2 их может быть «мало». Всякая действительная функция
в пространстве, принимающая лишь одно значение, очевидно, являет-
является, непрерывной. Относительно всякого пространства естественно возни-
возникает вопрос, существуют ли в нём действительные непрерывные функции,
отличные от этих тривиальных. Оказывается, что существуют бесконечные
пространства класса Г2, в которых всякая действительная непрерывная
функция равна постоянной. Первый" пример этого рода был построен
П. С. У р ы с о н о м [10]. В этом примере пространство было счёт-
счётным. В 1937 г. чешский математик Поспишиль, обобщив построе-
построение П. С. У р ы с о н а, доказал, что для всякого бесконечного карди-
кардинального числа т существует хаусдорфово пространство мощности т, такое,
*) В случае, когда X есть пространство класса Т1г можно потребовать вместо
этого, чтобы пересечение А с любой окрестностью точки х содержало точки, отличные
от х. В общем случае такое изменение определения привело бы к существенно иному
понятию.

ТОПОЛОГИЯ 193
что в нём всякая действительная непрерывная функция равна постоян-
постоянной. В этих примерах несуществование непостоянных непрерывных функ-
функций основано на следующем свойстве построенных пространств: замыка-
замыкания любых двух непустых открытых множеств пересекаются. Пространства
с этим свойством, очевидно, связны. Таким образом пример П. С. У р ы-
с о н а есть вместе с тем пример счётного связного хаусдорфова про-
пространства.
27. Пример П. С. Ур ы с о н а показывает, что класс Т3 слишком
широк, чтобы можно было строить «анализ» в пространствах этого класса.
Поэтому было естественно пытаться сузить область исследования, нала-
налагая на рассматриваемые пространства дальнейшие условия отделимости.
Одним из таких условий является условие «регулярности»:
Каковы бы ни были точка х и замкнутое множество А, не содержа-
содержащее этой точки, множества {х} и А отделимы друг от друга окре-
окрестностями.
Пространства класса Т1( удовлетворяющие этому условию, назы-
называются регулярными пространствами. Класс регулярных пространств обо-
обозначается символом Т3.
Как нетрудно видеть, всякое регулярное пространство есть хаусдор-
фово пространство. С другой стороны, существуют нерегулярные хаусдор-
фовы пространства. Таким является, например, пространство П. С. У р ы-
с о н а, о котором речь шла выше. Класс Т3) как легко видеть, наслед-
наследственный и мультипликативный.
28. П. С. Александровым и П. С. У р ы с о н о м [2,4]
была установлена следующая харастеризация бикомпактов:
Для того чтобы пространство было бикомпактом, необходимо
и достаточно, чтобы оно было регулярным и Н-замкнутым.
Таким образом в классе Т3 бикомпактность и Я-замкнутость совпа-
совпадают. Для этого класса возникает, однако, своя проблема абсолютной
замкнутости—проблема внутренней харастеризации пространств, абсо-
абсолютно замкнутых в классе Т3. Эта проблема была решена Н. М. В а й н-
б е р г о м [2], ленинградским математиком, погибшим на фронте
Великой Отечественной войны
Для формулировки полученного им результата условимся понимать
под r-покрытием пространства такое его покрытие, что замыкание вся-
всякого элемента покрытия содержится в другом элементе покрытия. Теорема
Н. М. Вайнберга [2] формулируется так:
Для того чтобы регулярное пространство было абсолютно замкнутым
в классе Т3, необходимо и достаточно, чтобы из всякого r-покрытия этого
пространства можно было выбрать конечное покрытие.
29. П. С. Александровым и П. С. У р ы с о н о м [4] уста-
установлены следующие результаты:
Всякое компактное хаусдорфово пространство X такое, что
р,(Х)<Ко во всякой его точке х регулярно.
В компактном регулярном пространстве всякое совершенное множество
имеет мощность не меньше 2No.
Последняя теорема относится в частности к бикомпактам.
П. С. А л е к с а и д р о в [3] рассмотрел вопрос о существовании
совершенных множеств в бикомпактах. Из полученных им резуль-
результатов приведём лишь один.
Условимся говорить о точке х пространства X, что она есть особая
точка этого пространства, если соблюдается следующее условие: каково бы
13 Математика в СССР за 30 лет.

194 топология
ни было кардинальное число т, меньшее мощности X t во всякой окрест-
окрестности точки х существуют точки у, такие что рд (Х)>т. Имеет место
следующая теорема:
Всякий бикомпакт, не содержащий совершенного множества, имеет
особую точку, изолированную в совокупности особых точек.
30. Для топологического подхода к анализу класс Т3 всё" ещё" слишком
широк. Для этого требуются более сильные условия отделимости, напри-
например следующее условие «нормальности».
Всякие два непересекающиеся замкнутые множества отделимы
друг от друга окрестностями.
Пространства класса Тг, удовлетворяющие этому условию, называются
нормальными пространствами. Класс нормальных пространств обозна-
обозначается символом Т4.
Класс Т4, очевидно, содержится в классе Т3. Обратное включение
не имеет места, как показывают примеры, построенные П. С. А л е к с а н-
дровымиП. С. Урысоном [4].
Теория нормальных пространств была построена П. С. У р ы с о-
н о м. Главным результатом этой теории является следующая замечатель-
замечательная теорема продолжения непрерывных функций (П. С. У р ы с о н [10]):
Если А—.замкнутое множество в нормальном пространстве X, то
всякая действительная ограниченная непрерывная функция в А может
быть продолжена до непрерывной функции в X.
Эта теорема явилась обобщением ранее известной теоремы Хаусдорфа,
относящейся к метризуемым пространствам (см. п. 35). Сама теорема
П. С. У р ы с о н а не допускает дальнейших обобщений в отношении
рассматриваемых пространств, если оставаться в пределах класса TV
В самом деле, легко доказывается следующее обращение теоремы
П. С У р ы с о и а:
Пусть пространство X класса Tt удовлетворяет следующему условию:
каково бы ни было замкнутое множество А пространства X, всякая дей-
действительная ограниченная непрерывная функция в А может быть продол-
продолжена до непрерывной функции в X. Тогда X нормально.
Однако, как выяснил А. А. Марков [8], принадлежность про-
пространства к классу Т1 вовсе не является существенной для примени-
применимости теоремы продолжения непрерывных функций, так как данное
П. С. Урысоном [10] доказательство этой теоремы оказывается
годным для любого пространства, в котором всякие два непересекаю-
непересекающиеся замкнутые множества отделимы друг от друга окрестностями.
Наконец, А. Д. Александров показал, что можно ещё обобщить
теорему П. С. У р ы с о н а, распространив её" на упомянутые выше
пространства, удовлетворяющие аксиоме Е2* вместо аксиомы Е2. Если
в таком пространстве А. Д. Александрова всякие два непересе-
непересекающиеся замкнутые множества отделимы друг от друга окрестностями,
то к нему применима урысонова теорема продолжения непрерывных
функций (А. Д. Александров [2)).
В другом направлении обобщил теорему П. С. У р ы с о и а
Н. Б. Веденисов [б], доказавший, что условие ограниченности
'продолжаемой функции может быть отброшено.
Теорема П. С.. У р ы с о н а показывает, что в нормальном про-
пространстве совокупность непрерывных функций достаточно богата. В част-
частности, из этой теоремы следует, что в нормальном пространстве, содержа-
содержащем более одной точки, существуют непостоянные непрерывные функции.

топология 195
Теорема П. С. У р ы с о н а даёт возможность строить «анализ»
в нормальных пространствах и их обобщениях. В частности, А. А. М а р-
к о в ы м [8] установлена возможность построения общей топологической
теории меры и интегрирования в нормальных пространствах. Эта теория
получила значительное дальнейшее развитие в работах А. Д. А л е к с а н-
дрова [2, 3, 5]. Из своей теоремы П. С. У р ы с о н f 10] вывел важное
следствие относительно мощностей связных точечных множеств в нор-
нормальном пространстве:
Мощность связного подмножества нормального пространства~>2*а,
если это подмножество содержит более одной точки.
О связных подмножествах регулярного пространства этого утверждать
нельзя. П. С. Ур ы с о н о м [10] доказано лишь, что всякое связное под-
подмножество регулярного пространства, содержащее более одной точки,
несчётно.
31. Ввиду важной роли нормальных пространств в топологии и её
приложениях, имеют большое значение теоремы, дающие возможность
заключать о нормальности пространств, удовлетворяющих тем или иным
условиям. К числу таких теорем нормальности относится теорема
А.Н. Тихонова [1]:
Всякое регулярное пространство счётного веса нормально.
Другой теоремой того же рода является теорема П. С. А л е к с а н-
р о в а и П. С. У р ы с о и а [2,4]:
Всякий бикомпакт есть нормальное пространство.
32. Класс Т4не является ни наследственным, ни мультипликативным.
А.Н.Тихоновым [3] был построен простой пример бикомпакта,
содержащего ненормальное подпространство, получаемое удалением
одной точки.
Французским математиком Дьедоине был построен пример двух нор-
нормальных пространств, дающих ненормальное произведение.
33. Как отмечено выше, пространство Г- имеет при трансфинитном т
вес т. Оно бикомпактно при всяком ^ и принадлежит классу Т2 в силу
мультипликативности этого класса. Пространство Г- является, следова-
следовательно, бикомпактом и потому нормально. В частности, /N° есть нормальное
пространство счётного веса. П. С. Урысо.ном [7] был установлен
следующий замечательный результат:
Пространство /х» есть универсальное пространство в классе нормаль-
нормальных пространств счётного веса.
Согласно вышеприведённой теореме А. Н. Тихонова, здесь.
можно заменить слово «нормальных» словом «регулярных», что выявляет
наследственность рассматриваемого класса.
Стремясь получить аналогичные результаты для пространств любого
веса, А. Н. Тихонов [3] ввёл ещё один важный класс пространств—
пространства «вполне регулярные». Определение вполне регулярного
пространства аналогично определению регулярного пространства и отли-
отличается от последнего определения только тем, что отделимость окрестно-
окрестностями заменяется функциональной отделимостью.
Мы говорим о пространстве X, что оно вполне регулярно, если оно при-
принадлежит классу Тх и удовлетворяет следующему условию: каковы бы ни
были точка х пространства X и замкнутое множество А этого простран-
пространства, не содержащее этой точки, множества {х} и А функционально отде-
отделимы. Класс вполне регулярных пространств обозначается символом Т .
13*

196 топология
Класс ТР, как нетрудно видеть, наследственный. Из сравнения опре-
определений легко усматривается, что этот класс содержится в Т3. Из теоремы
продолжения непрерывных функций следует, что T4CZTP. С другой сторо-
стороны, А. Н. Т и х о н о в ы м [3] построен пример регулярного, но не вполне
регулярного пространства, а примеры, доказывающие, что класс Т4
не наследственный, вместе с тем является примерами вполне регулярных,
но ненормальных пространств. Таким образом класс Т9 занимает проме-
промежуточное положение между классами Т3 и Т4: он уже первого, но шире
второго.
Вполне регулярные пространства веса < z образуют наследственный
класс, которому принадлежит пространство Г. В самом деле, это прост-
пространство имеет вес <т и нормально, а следовательно, вполне регулярно.
А. Н.Тихоновым [3] доказана следующая замечательная теорема:
Каково бы ни было трансфинитное кардинальное число т, прост-
пространство Г универсально в классе вполне регулярных пространств веса < -.
Таким образом изучение вполне регулярных пространств сводится
к изучению подпространств тихоновских кубов.
Из теоремы А. Н. Тихонова непосредственно вытекают важные
следствия, характеризующие вполне регулярные пространства, как под-
подпространства бикомпактов и как подпространства нормальных пространств.
Для того чтобы пространство было подпространством бикомпакта,
необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне регулярным.
Для того чтобы пространство было подпространством нормального
пространства, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне
регулярным.
Все эти результаты в достаточной мере выявляют значение вполне
регулярных пространств в топологии. В настоящее время обнаружилось,
что и в смежных отделах математики, например в теории топологических
групп*), этот класс пространств играет существенную роль. В самом деле,
из результатов Л. С. Понтрягина и А. А. Маркова вытекает
следующая теорема:
Для того чтобы пространство было замкнутым подпространством
топологической группы, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне
регулярным.
А. А. Марковым [14] указан также некоторый общий способ
построения топологических групп, в котором вполне регулярные простран-
пространства играют самую важную роль.
34. Из вышеприведённых результатов А. Н. Тихонова следует,
что всякое вполне регулярное пространство имеет хаусдорфово бикомпакт-
бикомпактное расширение. Развивая далее идеи, связанные с этими результатами,
чешский математик Чех показал, что среди хаусдорфовых бикомпакт-
бикомпактных расширений вполне регулярного пространства X может быть
выделено одно, являющееся в следующем смысле максимальным: оно
может быть непрерывно отображено на всякое хаусдорфово бикомпактное
расширение X и притом так, что всякая точка самого пространства X ото-
отобразится на самоё" себя. Это чехово расширение пространства X существенно
единственно. Оно обозначается символом рх. Чех доказал далее, что $Х
обладает следующим свойством: всякое непрерывное отображение про-
пространства X в произвольный бикомпакт Y может быть продолжено
*) Определение топологической группы читатель найдёт в статье этого сборни-
сборника, посвященной топологическим группам и группам Ли.

топология 197
до непрерывного отображения $Х в Y. Нетрудно видеть, что наличие
указанного выше свойства максимальности (ЗХ следует отсюда.
В 1938 г. американский математик Уоллмэн указал определённую
конструкцию бикомпактного расширения произвольного пространства
класса 7\. Эту конструкцию, равно как и конструкцию чехова рас-
расширения, читатель найдёт в статье П. С. Александрова [63].
Уоллмэново расширение пространства X обозначается символом шХ.
Существенно новую и в некоторых отношениях более простую конструк-
конструкцию чехова расширения дал П. С. Александров [51]. Вместе с тем
он выяснил связь между рХ и «>Х для вполне регулярного X, показав,
что SX может быть определённым образом получено из «>Х.
В 1940 г. А. Д. Александров [2] обобщил конструкцию уолл-
мэнова бикомпактного расширения на случай произвольного расши-
расширяемого пространства и доказал, что результат этой конструкции—
бикомпактное расширение шХ пространства X—всегда обладает следую-
следующим свойством:
Всякое непрерывное отображение пространства X в произвольный
бикомпакт Y может быть продолжено до непрерывного отображения
i»XeY*).
Продолжая разработку теории бикомпактных расширений,
А. Д. Александров [2] установил ряд других интересных
результатов. Некоторые из них связаны с понятием «совершенно нормаль-
нормального» пространства, введённым Н. Б. Веденисовым и опреде-
определяемым следующим образом. Мы говорим о пространстве X класса Т1г.
что оно совершенно нормально, если в нём всякое замкнутое множества
является совокупностью точек, в которых некоторая действительная
непрерывная функция в X обращается в нуль. Н. Б. Веденисо-
Веденисовым [6] доказана следующая теорема:
Для того чтобы пространство было совершенно нормальным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы оно было нормальным и удовлетворяло усло-
условию: всякое замкнутое множество пространства является пересечением
не более чем счётного семейства открытых множеств.
Понятие совершенно нормального пространства и теорема Н. Б. В е-
Денисов а были обобщены А. Д. Александровым [2],
отбросившим условие принадлежности пространства классу Тг и распро-
распространившим результат на свои обобщённые пространства (см. п. 1).
Понятие совершенной нормальности играет существенную роль в построен-
построенной А. Д. Александровым топологической теории меры.
Дальнейшей успешной разработкой теории расширений занимался
Н. А. Ша ни н fl, 2, 3].
35. Одним из крупнейших достижений советской топологической-
школы является решение «проблемы метризации». Эта проблема!, свя-
связана с понятием «метрического пространства», определяемым следую-
следующим образом.
Пусть X—.произвольное множество, р—действительная функция
от двух элементов этого множества, удовлетворяющая следующим^двум,
условиям:
D1. р(х,у) = О тогда и только тогда, когда х = у;
D2. ?(х,у)+{>(у, z)>p(z,x) для любых х, у, z? X.
*) Мы приводим здееь'результат А. Д. А л*е ксандрова лишь применитель-
применительно к обычному понятию топологического пространства.

198 топология
Тогда мы говорим, что р есть метрика в X. Метрическим простран-
пространством называется всякое множество, рассматриваемое совместно с какой-
нибудь метрикой в нём. Элементы метрического пространства называются
«го точками. Число р (х, у), где р—метрика метрического пространства
X, х и у —его точки, называется расстоянием между х и у в X.
Из условий D1 и D2 следует, что расстояние между любыми двумя
точками неотрицательно, что р (х, у) = р(у, х) для любых точек х и у,
и что р (х, у) + р (у, z)> p (х, 2) для любых точек х, у, 2.
Пусть х—.точка метрического пространства X, г—.положительное
число. Совокупность точек у, расстояние которых от х меньше е, назы-
называется е-окрестностью х в X.
Пусть А—подмножество метрического пространства X. Говорят, что
А открыто в X, если соблюдается условие: какова бы ни была точка х
множества А, существует е>0, такое что а-окрестность х содержится в А.
Открытые множества метрического пространства удовлетворяют аксио-
аксиомам El, E2 и ЕЗ. Таким образом всякое метрическое пространство опреде-
определяет некоторое топологическое пространство. Те топологические простран-
пространства, которые могут быть определены этим путём, исходя из метрических
пространств, называются метризуемыми пространствами. Далеко не вся-
всякое топологическое пространство метризуемо. Легко доказывается, что
всякое метризуемое пространство нормально.
Проблема метризации состояла во внутренней характеризации мет-
ризуемых пространств, т. е. в характеризации их в чисто топологических
терминах, относящихся к самим характеризуемым пространствам. Эта
проблема была решена П. С. Александровыми П. С. У р ы с о-
н о м [1]. Для формулировки полученного ими общего результата введём
следующую терминологию.
Условимся говорить о покрытиях аир пространства X, что первое
вписано во второе, если соблюдается условие: для любых элементов U
иКпокрытияа, таких что UГ\УфАнайдётся элемент Wпокрытия J3, такой,
что U\jVaW. О последовательности а,, а21... покрытий пространства X
условимся говорить, что она есть полная цепь в X, если соблюдается усло-
условие: каковы бы ни были точках и множества С/„ Ut такие, чтохб С/г€а„
{7—1, 2,...) семейство этих множеств есть базис X в х. Будем говорить о
полной цепи ап а2(... в X, что она регулярна, если a,tl вписано в а,- при
i=l.2,...
Найденное П. С. Александровым и П. С. Урысоном
решение проблемы метризации имеет вид следующей теоремы:
Для метризуемости пространства необходимо и достаточно, чтобы
в нём существовала регулярная полная цепь.
Независимо от этой общей теоремы метризации установлены три спе-
специальные теоремы метризации, относящиеся к различным классам про-
пространств.
Первая теорема метризации, доказанная П. С. Урысоном [11],
даёт простое необходимое и достаточное условие метризуемости про-
пространства счётного веса:
Для метризуемости пространства не более чем счётного веса необ-
необходимо и достаточно, чтобы это пространство было регулярным.
Эту теорему легко вывести из вышеприведённой теоремы П. С. У р ы-
с о н а об универсальности пространства /s», принимая во внимание, что
это пространство гомеоморфно параллелотопу гильбертова пространства,

топология 199
определяемому условиями: 0<х,- < -= (i =1,2...), где х, —координаты
в гильбертовом пространстве (А. Н. Тихонов [3]).
Вторая теорема метризации, также установленная П. С. У р ы с о-
н о м [6], относится к компактным пространствам:
Для метризуемости компактного пространства необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно было хаусдорфовым пространством не более чем счёт-
ного веса.
Необходимость была ранее установлена Хаусдорфом. Достаточность
легко следует из первой теоремы метризации, если принять во внима-
внимание, что всякое компактное хаусдорфово пространство не более чем
счётного веса является бикомпактом и, следовательно, регулярным про-
пространством.
Компактные метризуемые пространства называются компактами.
Третья теорема метризации, установленная П. С. Александро-
Александровым [4], относится к локально компактным пространствам:
Для метризуемости локально компактного пространства необходимо
а достаточно, чтобы это пространство было хаусдорфовым и представля-
представлялось в виде суммы попарно непересекающихся открытых множеств, каждое
из которых имеет не более чем счётный вес.
Здесь лишь доказательство необходимости представляло трудности.
36. Одной из главных проблем топологии является исследование во-
вопроса: «какие пространства возможны?» При рассмотрении этого вопроса
топологи отвлекаются от природы точек рассматриваемых пространств,
считая гомеоморфные пространства просто одинаковыми.
Ясно, однако, что самая общая постановка этого вопроса не является
целесообразной: пространств слишком много и они слишком разнообразны,
чтобы можно было хорошо разобраться в их совокупности. Если же над-
надлежащим образом ограничить класс пространств, подлежащий более
детальному исследованию в духе только что формулированного вопроса,
то такое исследование может оказаться плодотворным. В качестве первого
этапа здесь можно рассматривать подсчёт топологически различных (т. е.
негомеоморфных) представителей рассматриваемого класса, т. е.выяснение
мощности совокупности таких представителей. Подсчёты этого рода были
произведены М. Я. П е р е л ь м а н о м *>. В приводимых ниже четырёх
замечательных теоремах М. Я. П е р е л ь м а н а «т» означает произ-
произвольное трансфинитное кардинальное число.
Имеется ровно 2~ топологически различных бикомпактов веса т.
Имеется ровно
топологически различных метризуемых пространств веса
Имеется ровно
топологически различных прост ранете класса Т, веса -z. Столько же имеется
топологически различных вполне регулярных пространств веса т.
Имеется ровно
*) См. сноску на стр. 186.

230 ТОПОЛОГИЯ
топологически различных регулярных пространств псевдовеса т. Столько
же имеется топологически различных вполне регулярных пространств
псевдовеса т.
37. П. С. Александре в ым [13] доказана следующая замечатель-
замечательная теорема:
Канторов дисконтинуум может быть непрерывно отображён на
любой компакт.
Так как компакты образуют подкласс класса бикомпактов, а канторов
дисконтинуум D"*0 есть частный случай обобщённого канторова дискон-
дисконтинуума D~, возникло предположение о возможности представления любого
бикомпакта в виде непрерывного образа обобщённого канторова дискон-
дисконтинуума. Это предположение было однако опровергнуто польским мате-
математиком Шпильрайном. Бикомпакты, которые могут быть представлены
в виде непрерывных образов пространств D*, были названы П. С. Ал ек-
сандровым диадическими бикомпактами. Их теории было по-
посвящено глубокое исследование Н. А. Шанина [5, б, 7, 8], ра-
распространившего на диадические бикомпакты некоторые теоремы, извест-
известные ранее для компактов. Для формулировки главных относящихся
сюда результатов Н. А. Шанина условимся понимать под расположен-
расположенным семейством семейство множеств, удовлетворяющее следующему усло-
условию: каковы бы ни были элементы А и В рассматриваемого семейства,
имеем A d В или ВС А. Н. А. Ша н и н доказал следующую теорему:
Пересечение всякого непустого расположенного семейства открытых
и плотных подмножеств диадического бикомпакта X плотно в X.
Отсюда следует, что непустой диадический бикомпакт не может быть
представлен в виде суммы расположенного семейства своих нигде не плот-
плотных подмножеств.
Путём построения противоречащего примера Н. А. Шанин пока-
показал далее, что условие диадичности не может быть отброшено в последнем
результате: существует бикомпакт, являющийся суммой некоторого распо-
расположенного семейства своих замкнутых нигде не плотных подмножеств.
Другой интересный результат Н. А. Шанина относится к «упо-
«упорядоченным» диадическим бикомпактам. Упорядоченными называются
пространства, конструируемые следующим образом. Пусть X—произволь-
X—произвольное упорядоченное множество. Интервалом множества X называется вся-
всякое подмножество X одного из следующих четырёх типов:
1) совокупность элементов X, лежащих между двумя фиксированны-
фиксированными элементами X;
2) совокупность элементов X, предшествующих фиксированному эле-
элементу X;
3) совокупность элементов X, следующих за фиксированным элемен-
элементом X;
4) всё множество X.
Будем считать открытыми множествами всевозможные суммы ин-
интервалов. X станет тогда нормальным пространством. Н. А. Ш а н и н ым
доказана следующая теорема:
Всякий упорядоченный диадический бикомпакт гомеоморфен ограничен-
ному замкнутому подмножеству числовой прямой.
Здесь условие диадичности также не может быть отброшено, как
показывают известные примеры.
Что касается представления общих бикомпактов в виде непрерывных
образов тех или иных специальных пространств, подобно тому как ком-

ТОПОЛОГИЯ 20 Г
пакты представляются как непрерывные образы одного фиксирован-
фиксированного пространства D'A«, то в этом направлении П. С. Алекса н-
дровым [46, 63] доказана следующая теорема:
Всякий бикомпакт веса < т есть непрерывный образ некоторого зам-
замкнутого множества пространства D"-.
Там же установлен следующий результат, относящийся уже ко
всему классу То:
Всякое пространство класса То веса < ¦z есть взаимно однозначный
и непрерывный образ некоторого подмножества пространства D'.
3d. Приведённые выше результаты Н. А. Шанина основаны на
построенной им «теории калибров», имеющей и самостоятельный интерес.
Центральное понятие этой теории —понятие «калибра» топологического
пространства — определяется следующим образом:мы говорим о кардиналь-
кардинальном числе ¦z, что оно является калибром пространства X, если т >1 и вся-
всякое семейство мощности т открытых множеств пространства X содержит
подсемейство той же мощности с непустым пересечением.
Н. А. Шанин исследовал калибры произведения системы про-
пространств в зависимости от калибров сомножителей. Полученные при этом
результаты дали ему возможность доказать вышеприведённые теоремы
о диадических бикомпактах.
39. В 1928 г. П. С. Александров [26] опубликовал первый
вариант своей «теории спектров». Основной тенденцией этой теории являет-
является построение весьма общих пространств, исходя из тех или иных простых
и наглядных объектов и применяя тот или иной предельный переход.
В современной трактовке теории, данной, например, в статье П. С. Ал е-
ксандрова [63], исходным материалом служат дискретные про-
пространства, т. е. пространства класса То, в которых пересечение всякого
семейства открытых множеств открыто. Ясно, что всякое конечное про-
пространство класса Тв дискретно.
В дискретном пространстве замыкание суммы всякого семейства
точечных множеств равно сумме замыканий элементов этого семейства.
Атак как всякое точечное множество является суммой множеств одноточеч-
одноточечных, то операция замыкания в дискретном пространстве полностью опре-
определяется, если известны замыкания одноточечных множеств.
Условие
х€{7}\{у} A)
для точек х и у дискретного пространства X определяет в- X некоторое
асимметричное и транзитивное отношение, т. е. некоторое частичное упо-
упорядочение *).
Это даёт, как нетрудно видеть, взаимно однозначное соответствие между
дискретными пространствами и частично упорядоченными множествами:
всякое дискретное пространство определяет частично упорядоченное мно-
множество, состоящее из всех точек пространства, причём отношение предше-
предшествования— «х предшествует у»—определяется условием A): всякое
частично упорядоченное множество определяется в этом смысле одним
и только одним дискретным пространством. Чтобы получить единственное
дискретное пространство, определяющее частично упорядоченное множе-
множество X, надо считать открытыми те подмножества X, которые удовлетво-
удовлетворяют условию: если элемент х множества X принадлежит рассматривае-
*) А означает замыкание множества А в рассматриваемом пространстве.

202 топология
мому подмножеству X, то и все следующие за х элементы X принадле-
принадлежат этому подмножеству. Таким образом теория дискретных пространств
эквивалентна теории частично упорядоченных множеств.
В дальнейшем формула «х<у (X)» будет означать, что х предшествует
у в частично упорядоченном множестве X; формула «х<у (X)» будет
означать.что х и у суть элементы частично упорядоченного множества X,
такие что х<у (X) или х=у.
Условимся говорить об отображении / частично упорядоченного мно-
множества X в частично упорядоченное множество Y, что оно сохраняет
порядок, если / (х)</(у) (К) всякий раз, когда х<у (X).
Нетрудно видеть, что непрерывные отображения дискретного про-
пространства X в дискретное пространство Y могут быть охарактеризованы,
как сохраняющие порядок отображения частично упорядоченного мно-
множества, определяемого X, в частично упорядоченное множество, опре-
определяемое Y.
Всякому частично упорядоченному множеству X соответствует обрат-
обратное частично упорядоченное множество X*, имеющее те же элементы и
такое, что х<у(Х*) тогда и только тогда, когда у<х (X). Операции перехо-
перехода к обратному частично упорядоченному множеству соответствует опера-
операция построения пространства, двойственного данному дискретному про-
пространству. Так называется дискретное пространство, состоящее из тех же
точек, что и исходное, в котором, однако, роль открытых множеств играют
замкнутые множества исходного пространства.
Любое семейство множеств можно рассматривать, как частично упо-
упорядоченное множество, беря в качестве упорядочивающего отношения
отношение собственного включения, т. е. полагая, по определению, что
А предшествует В, если Аи В суть элементы рассматриваемого семейства,
такие что AziB и АфВ. Тем самым, в силу эквивалентности частично упо-
упорядоченных множеств дискретным пространствам, можно рассматривать
всякое семейство множеств и как дискретное пространство. С другой
стороны, всякое частично упорядоченное множество, как нетрудно видеть,
изоморфно некоторому естественно упорядоченному семейству множеств.
Отсюда следует, что всякое дискретное пространство гомеоморфно неко-
некоторому семейству множеств (рассматриваемому как дискретное про-
пространство).
О семействе множеств говорят, что оно полно, если всякое непустое
¦подмножество всякого элемента семейства само является элементом
этого семейства (П. С. Александров [47]). Конечные полные семей-
семейства множеств называются абстрактными симплициальными комплексами.
Коротко мы будем их называть А-комплексами.
Очевидно, что элементы всякого абстрактного симплициального ком-
комплекса суть конечные множества. Имея в виду связь А-комплексов с евкли-
евклидовыми симплициальными комплексами (см. п. 42), П. С. Алексан-
Александров предложил называть конечные множества остовами и множества,
состоящие из n-f 1 элементов, п-мерными остовами (п =0, 1,2,...). Таким
образом всякий А-комплекс является некоторым конечным множеством
остовов. Мы говорим, что Сесть л-мерный А-комплекс, если С есть А-ком-
А-комплекс, содержащий хотя бы один п-мерный остов и не содержащий т-мер-
ных остовов с т>п.
Всякое подмножество А-комплекса является семейством множеств
и может быть рассматриваемо как конечное дискретное пространство,
т. е. как конечное пространство класса То. Обратно, как заметил П. С. А л е-

ТОПОЛОГИЯ 203
ксандров [47], всякое конечное дискретное пространство гомоморфно
некоторому подмножеству некоторого А-комплекса. Изучение конечных
дискретных пространств сводится таким образом к изучению А-комплексов
и их подмножеств, чем выявляется комбинаторная сущность теории этих
пространств.
Мы переходим теперь к краткому изложению созданной П. С. Ал е-
ксандровым [26, 40, 63] и А. Г. К у р о ш е м [1, 2] «теории спек-
спектров», давшей возможность строить произвольные бикомпакты, исходя
из конечных дискретных пространств, и тем самым проложившей один
из главных путей систематическому применению комбинаторно-алгебраи-
комбинаторно-алгебраических методов к изучению бикомпактов.
40. Условимся говорить о частично упорядоченном множестве Н,
что оно является направленным, если соблюдается условие: каковы бы
ни были элементы а и р множества S, в 3 существует элемент, сле-
следующий как за а, так и за р *).
Пусть каждому элементу а направленного множества S приведено
в соответствие пространство Ха, а каждой паре <а, р> элементов 3
такой, что а < ^ C), приведено в соответствие непрерывное отображе-
отображение я? пространства Хр на пространство Ха, причём это сделано так,
что
коль скоро а < р < y (S). Мы говорим тогда о системе пространств Ха.,
рассматриваемой совместно с системой отображений я^ чт0 она яв-
является спектром. Пусть спектр образован пространствами X* (а € 3),
и отображениями к1 (« < Р (S)). Рассмотрим произведение X системы
пространств Ха (а €3). Точки Хсуть всевозможные системы <х*> а ев,
такие, что х* € Ха (« k Щ- Пусть Q означает совокупность тех из этих
систем, которые удовлетворяют условию: я? xf = xd, коль скоро а<р(Е).
Будучи подмножеством пространства X, Q также является пространством.
Пространство Q называется полным пределом рассматриваемого спектра.
Оказывается, что полный предел всякого спектра, образованного непусты-
непустыми бикомпактами, есть непустой бикомпакт (П. С. А л е к с а н д-
р о в [63]).
При построении бикомпактов, исходя из конечных дискретных про-
пространств, существенную роль играет введённый П. С. Александро-
Александровым пилений предел спектра, который может быть определён как
совокупность тех точек полного предела спектра, для которых {*} = {*},
т. е. одноточечное множесто {х} замкнуто. Здесь замыкание берётся
в полном пределе и построенное подмножество полного предела рассма-
рассматривается как пространство**).
Очевидно, что нижний предел всякого спектра есть пространство клас-
класса Т,. П. С.Александровым формулировано следующее достаточ-
достаточное условие того, чтобы нижний предел спектра был пространством клас-
класса Т2: для любых двух различных точек <ха>*еви <уя> „ев нижнего
*) Термин «направленное множество» мы предпочитаем применяемому
П. С. Александровы м в том же смысле термину «(неограниченное множе-
множество».
**) У П. С. А л е к с а и д р о в а [63] определение нижнего предела форму-
формулировано в других терминах.

204 ТОПОЛОГИЯ
предела спектра существует а такое, что точки ха и у* отделимы окрестно-
окрестностями в Ха. Спектры, образованные конечными дискретными простран-
пространствами и удовлетворяющие этому условию, П. С. Александров
называет хаусдорфовыми *).
Главным результатом теории спектров является следующая теорема
Александрова-Куроша:
Нижний предел всякого хаусдорфоьа спектра есть бикомпакт и вся-
всякий бикомпакт есть нижний предел некоторого хаусдорфова спектра
(П. С. Александров [63]).
41. Теория спектров позволила осуществить логически естественное
построение «п-мерного элемента» — конструктивной единицы тополо-
топологии полиэдров, п-мерным элементом—коротко п-элементом—.называется
всякое пространство, гомеоморфное п-мерному кубу /" (п =0,1,2, ...),
причём /° определяется, как одноточечное пространство.
Осуществлённое П. С. Александровым построение хаусдор-
хаусдорфова спектра, имеющего своим нижним пределом п-элемент, использует
понятие «барицентрической производной» частично упорядоченного мно-
множества, определяемое следующим образом. Барицентрической производ-
производной частично упорядоченного множества Xt называется естественно упо-
упорядоченное семейство всех непустых упорядоченных подмножеств множе-
множества X. Барицентрическая производная всегда является полным семей-
семейством. Барицентрическая производная конечного частично упорядочен-
упорядоченного множества X, очевидно, конечна, и следовательно, является А-ком-
нлексом. В этом случае в каждом элементе Y барицентрической про-
производной, как в конечном упорядоченном множестве, имеется единствен-
единственный последний элемент (следующий за всеми остальными элементами
множества Y). Этот последний элемент множества Y называется носите-
носителем Y. Носитель элемента барицентрической производной Хг конечного
частично упорядоченного множества X есть элемент самого множества X.
Сопоставляя каждому элементу барицентрической производной носитель
этого элемента, мы получаем отображение частично упорядоченного мно-
множества Хг на частично упорядоченное множество X, причём это отобра-
отображение, как нетрудно видеть, сохраняет порядок. Оно называется есте-
естественным отображением барицентрической производной.
Пользуясь соответствием между частично упорядоченными множе-
множествами и дискретными пространствами (см. п. 39), можно перенести все эти
понятия на конечные дискретные пространства. Можно говорить о барицен-
барицентрической производной конечного дискретного пространства X и о её
естественном отображении на X. Барицентрическая производная конеч-
конечного дискретного пространства X есть конечное дискретное пространства
и её естественное отображение на X непрерывно.
Исходя теперь из произвольного конечного дискретного пространства
Хо, мы можем следующим образом построить спектр. Сначала определяем
индукцией по натуральному числу п последовательность конечных диск-
*) Что это условие не является необходимым, показывает следующий простои
пример. Пусть S — естественно упорядоченная, совокупность натуральных чисел;
Ха при а?3 не зависит от а и является конечным дискретным пространством {а, Ь, с}
с открытыми множествами: Л, {а}, {а, Ь), {а, с), {а, Ь, с};Н?—тождественное отобра-
отображение Я"з на Ха (з<2 C)). Нетрудно видеть, что условие П. С.Александрова
здесь не выполнено, тогда как нижним пределом спектра является хаусдорфов»
пространство, состоящее из двух точек.

ТОПОЛОГИЯ 205
ретиых пространств Хп (л=0, 1,...), полагая ХП?1 равным барицентриче-
барицентрической производной Хп G7 = 0, 1, 2, ...)• Полагаем далее
_п _
где т:к означает естественное отображение Хь на Xfc_i. ^ является тогда
непрерывным отображением Хп на Xm@<m<n) и, как нетрудно видеть,
пространства Хп, рассматриваемые совместно с отображениями Кд, обра-
образуют хаусдорфов спектр. Так построенные спектры будем нзывать бари-
барицентрическими. В частности,беря в качестве Хо естественно упорядоченное
семейство всех непустых подмножеств п-мерного остова, рассматриваемое
как дискретное пространство (см. п. 39), мы получим элементарный
п-мерный спектр. П. С. А л е к с а н д р о в ы м [5, 63] доказана следую-
следующая теорема:
Нижний предел элементарного п-мерного спектра есть п-элемент.
42. Частным случаем п-элемента является п-мерный симплекс (корот-
(коротко п-симплекс). Так называется выпуклое замыкание п-мерного остова,
содержащегося в r-мерном евклидовом пространстве (г>п) и не содержа-
содержащегося ни в каком его линейном подпространстве числа измерений <п.
Остов G, выпуклым замыканием которого является симплекс S, одно-
однозначно определяется этим симплексом. Элементы G называются вершина-
muS. Непустые подмножества G также определяют симплексы, называемые
гранямиS. Среди граней S фигурирует несобственная г/ишь—сам сим-
симплекс S. Остальные грани S называются собственными. Сумма собственных
граней S называется границей S.
Пусть С—конечное множество симплексов (различных размерностей)
в r-мерном евклидовом пространстве Ег. Мы говорим, что С есть евклидов
симплициальный комплекс (коротко Е-комплекс) в Ег, если соблюдаются
условия:
1° грань всякого симплекса, принадлежащего С, принадлежит С;
2° пересечение всяких двух симплексов,принадлежащих С, либо пусто,
либо является гранью каждого из этих симплексов.
Мы говорим при этом, что С есть п-мерный комплекс, если в С входит
хотя бы один п-мерный симплекс и не входит никакой m-мерный симплекс
с т>п.
Сумма симплексов, принадлежащих ^-комплексу С в Ег, является
некоторым точечным множеством в Ег. Мы говорим о подмножестве А
пространства Ег, что оно есть прямолинейный полиэдр в Ег, если оно есть
сумма симплексов некоторого Е-комплекса в ЕГ. Если, в частности, А есть
сумма симплексов «-мерного Е-комплекса, то мы говорим, что А есть
п-мерный прямолинейный полиэдр. Легко доказывается, что приписываемая
таким образом всякому прямолинейному полиэдру элементарно геоме-
геометрическая размерность однозначно определяется этим полиэдром. Иначе
говоря, один и тот же прямолинейный полиэдр не может быть в этом смысле
одновременно п-мерным и m-мерным при п ф т.
Полиэдром называется всякое пространство, гомеоморфное прямоли-
прямолинейному полиэдру. Из результатов П. С. Александрова следует,
что полиэдры могут быть также охарактеризованы, как пространства,
гомеоморфные нижним пределам барицентрических спектров.
Всякий полиэдр гомеоморфен многим прямолинейным полиэдрам
и вовсе не очевидно, что все они имеют одну и ту же элементарно геометри-
геометрическую размерность. В действительности это так, и установление этого

206 топология
факта было одним из глубоких результатов топологической теории размер-
размерности, построенной П. С. Урысоном и Менгером. К её краткому
изложению мы сейчас переходим.
43. В основе брауэр-урысон-менгеровского топологического опреде-
определения размерности лежат геометрические идеи, высказанные в 1921 г.
Пуанкаре и впервые математически оформленные Брауэром в 1913 г.
Исходя из улучшенного ими брауэровского определения размерности,
П. С. Урысон [9, 14] и Менгер, работавшие параллельно и неза-
независимо друг от друга, построили глубокую и богатую содержанием теорию
размерности. Область применимости этой теории составляли первона-
первоначально компакты, затем она была распространена Л. А. Тумарки-
ным [2,4,7] и другими на произвольные метризуемые пространства счёт-
счётного веса (т.е. регулярные пространства счётного веса)*). В дальнейшем
до п. 49 включительно мы под «пространством» и будем понимать ме-
тризуемое пространство счётного веса.
Урысон-менгеровское определение размерности является индуктив-
индуктивным: класс &„ пространств размерности <п определяется в нём индукцией
поп, начиная с п = —1.Мы приведём здесь менгеровскую форму этого
определения, как более простую.
Класс &_! состоит по определению из пустого пространства и только
его одного. Пусть определён класс 8n-i- Будем говорить, что пространство X
имеет в точке х размерность < п, если в каждой окрестности этой точки
содержится окрестность х с границей **), принадлежащей классу 8n-i-
Будем говорить, что пространство X имеет размерность < п, если оно имеет
размерность < л во всякой своей точке. Класс пространств размерности
<п обозначим символом 8„.
Очевидно, что 8л-iCZ^n (л=0, 1,2,...). Будем говорить, что простран-
пространство X п-мерно, или имеет размерность п, если X € 0„ \ 8n-i- Будем гово-
говорить, что X бесконечно-мерно, если X не принадлежит ни одному из клас-
классов 0п. Будем говорить, что пространство X п-мерно в точке х, если оно
имеет в этой точке размерность < п и не имеет размерность < п—1. Раз-
Размерность пространства X обозначается символом dim X; размерность X в
точке х—символом dim* X.
Легко усматривается, что всякий класс &„ является наследственным.
Иначе говоря, если X есть подпространство Y, то dimX<dim У.
Одной из первых глубоких проблем, рассмотренных в теории размер-
размерности, был вопрос о связи между размерностью суммы множеств и раз-
размерностями слагаемых. П. С. Урысоном, Л. А. Ту Маркиным
и Менгером была установлена следующая теорема суммирования:
Если пространство является суммой не более чем счётного семейства
замкнутых, не более чем п-мерных множеств, то оно само не более чем
п-мерно.
Совсем иначе обстоит дело при сложении незамкнутых множеств.
Здесь даже при двух слагаемых размерность суммы может превосходить
наибольшую из размерностей слагаемых, как показывает пример сложе-
сложения 0-мерного множества рациональных точек числовой прямой с 0-мер-
0-мерным же множеством иррациональных её точек, в результате чего полу-
*) В последнее время П. С. Александров распространил многие
теоремы теории размерности на бикомпакты (см., например, П. С. Александ-
Александров [52, 57]).
**) Границей множества А в пространстве X называется пересечение замы-
замыкания А в X с замыканием X \А в X.

ТОПОЛОГИЯ 207
чается 1-мерное пространство—вся числовая прямая. Для размерности
суммы любых двух подмножеств А и В какого-либо пространства
П. С. У р ы с о н о м установлена оценка
dim (AU B)< dim A+dim B+1,
которая не может быть улучшена.
С этим результатом тесно связана следующая замечательная урысо-
новская теорема разложения:
Всякое п-мерное пространство является суммой некоторых своих
л+1 0-мерных подпространств и не может быть представлено как
сумма меньшего числа 0-мерных пространств.
Рассматривался также вопрос о зависимости размерности произве-
произведения двух пространств от размерностей этих пространств. Легко доказы-
доказывается, что
dim (АХ В) < dim А + dim В, B)
где <<Ах??» означает произведение пространств Аи В. Некоторое время
существовала гипотеза о возможности заменить здесь знак « <» знаком
«=», однако Л. С. Понтрягин [3] привёл пример компактов А и Б
в ?* таких, 4Todim A=dim B=2, тогда как dim (Ax В)=3. Этот пример
Л. С. Понтрягина тесно связан с рассматриваемой далее ^гомоло-
^гомологической» теорией размерности П. С. Але ксандрова.
44. Из B) непосредственно следует, что dim /"= п. Установление того
факта, что здесь имеет место знак равенства, является одним из самых
значительных достижений топологии. Это было осуществлено в резуль-
результате работ нескольких авторов, а именно Брауэра, Лебега, П. С. У р ы с о-
н а и Менгера. Содержащееся в этих работах доказательство равенства
«dim /n=n» показало, с одной стороны, что понятие размерности было опре-
определено П. С. У р ы с о н о м и Менгером надлежащим образом, а с дру-
другой, выявило роль элементарно геометрического понятия «числа измере-
измерений», как топологического инварианта пространств.
В основе доказательства равенства «dim In~n» лежит, во-первых,
известная теорема Брауэра-Лебега о покрытиях п-мерного куба, во-вторых,
установленная П. С. У р ы с о н о м [9,14] и Менгером эквивалентность
приведённого выше индуктивного определения размерности другому, неин-
неиндуктивному определению, связанному с покрытиями пространства. Эта
эквивалентность первоначально была установлена лишь для компактов,
для которых второе определение размерности удобно формулируется
в метрических терминах. Впоследствии Гуревич распространил неиндук-
неиндуктивное определение и на некомпактные пространства. Мы приведём
здесь это общее определение.
Пусть а и р — покрытия пространства X. Будем говорить, что а
есть подразделение [3/ если всякий элемент а содержится в некотором
элементе р. Будем называть порядком покрытия а наибольшее из чисел
и, удовлетворяющих условию: имеется л+1 различных элементов а
с непустым пересечением.
Второе определение размерности формулируется так. Мы говорим,
что непустое пространство п-мерно, если всякое его конечное покрытие
имеет конечное подразделение порядка <ли существует конечное покры-
покрытие пространства, не имеющее конечных подразделений порядка <п. Мы
говорим, что непустое пространство бесконечно-мерно, если оно не являет-
является и-мерным ни при каком целом неотрицательном п. Пустому простран-
пространству мы приписываем размерность, равную —1.

¦208 ТОПОЛОГИЯ
П. С. У р ы с о н о м [9, 14], Менгером и Гуревичем установлено, что
второе определение размерности эквивалентно индуктивному.
Теорема Лебега-Врау эра утверждает, что пространство /" п-мерно
в смысле второго определения. В силу теоремы эквивалентности отсюда
следует, что dim In~n.
Из этого равенства следует, что п-мерный элемент имеет размерность п,
и что всякий прямолинейный полиэдр, п-мерный в элементарно геоме-
геометрическом смысле, имеет размерность п. Элементарно геометрическая
размерность прямолинейного полиэдра оказывается таким образом топо-
топологическим инвариантом. Выше мы определили «полиэдр», как простран-
пространство, гомеоморфное прямолинейному полиэдру. Мы видим теперь, что
все прямолинейные полиэдры, гомеоморфные одному и тому же полиэдру X,
имеют одну и ту же элементарно геометрическую размерность, равную
dim X.
45. Цитированная выше теорема Лебега-Брауэра тесно связана с дру-
другой знаменитой топологической теоремой — с теоремой Брауэра о непо-
неподвижных точках, утверждающей, что при всяком непрерывном отображении
л-мерного элемента в самого себя имеется хотя бы одна точка, совпадаю-
совпадающая со своим образом. Эта теорема была значительно обобщена А. Н. Т и-
х о н о в ы м [б], распространившим её на бесконечно-мерные аналоги
л-мерного элемента.
А. Н. Тихонов рассматривает так называемые линейные тополо-
топологические пространства, т. е. абелевы топологические группы, в которых
определено умножение произвольного элемента на произвольное действи-
действительное число, умножение, удовлетворяющее обычным аксиомам линей-
линейного пространства и такое, что >.х, где к—действительное число, х—
элемент группы, непрерывно зависит от пары <л,х>. В таком простран-
пространстве естественно определяются понятия «отрезка» и «выпуклого множе-
множества». О линейном топологическом пространстве говорят, что оно ло-
локально выпукло, если в нём во всякой окрестности любой точки содер-
содержится выпуклая окрестность этой точки.
Теорема А. Н.Тихонова утверждает:
Если X есть выпуклый бикомпакт в локально выпуклом линейном
топологическом пространстве,то при всяком непрерывном отображении X
в самого себя имеется хотя бы одна точка, совпадающая со своим образом.
Эта теорема имеет разнообразные интересные приложения. Самим
А. Н. Тихоновым она была применена к доказательству существо-
существования решений бесконечных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. А. А. М а р к о в [5] применил её к доказательству теоремы
существования «среднего», инвариантного относительно «абелева множе-
множества», что в свою очередь было им применено к доказательствам существо-
существования «инвариантных мер» и «интегральных инвариантов» [5, 7]. Теоре-
Теоремой А. Н. Т и х о н о в а пользуется также Вейль*). Таким образом один
из узловых комплексов идей современной топологии получил плодотвор-
плодотворные выходы в другие отделы математики.
46. Дальнейших крупных успехов в теории размерности добился
П. С. Александров [19, 26], установивший известные теоремы
«аппроксимации» компактов полиэдрами той же размерности.
Одна из этих теорем относится к компактам, содержащимся в г-мер-
г-мерном евклидовом пространстве Ег или в гильбертовом пространстве Н.
*) A. Weil, L'integration dans les groupes topologiques.

ТОПОЛОГИЯ 209
О непрерывном отображении / содержащегося в Ег (в Н) множества X
в пространство Ег (в Я) говорят, что оно есть з-сдвиг, если р(х,/x)<s
для всякой точки х этого множества. Здесь р—евклидова (гильбертова)
метрика в ЕГ(в Н), а—.положительное число.
Теорема П. С. Александрова об' з-сдвигах утверждает:
Если X есть п-мерный компакт в Ег{а Н), то при всяком е >0 существует
s-сдвиг Х на п-мерный, прямолинейный полиэдр и существует з>0
такое, что X не допускает ^-сдвигов на полиэдры низших размерностей.
В другой теореме речь идёт об «s-отображениях» метризованных
компактов. Пусть /—непрерывное отображение метрического простран-
пространства X в пространство Y, е>0. Говорят, что / есть а-отображение,
если прообраз всякой точки множества / (х) имеет диаметр < a *).
Теорема П. С. Александрова об е-отображениях утверждает:
Если X есть метризованный п-мерный компакт, то при всяком е>0
существует г-отображение X на п-мерный полиэдр и существует е>0
такое, что X не допускает е-отображений на полиэдры низших размер-
размерностей.
Обе эти теоремы, очевидно, могут служить для характеризации л-мер-
ных компактов. Теорема об s-отображениях была впоследствии обобщена
на произвольные регулярные пространства счётного веса с одновременным
устранением метрики из её формулировки**). Роль е-отображений игра-
играни- при этом «а-отображения», где а—конечное покрытие пространства.
Если/—непрерывное отображение пространства X в пространство Y,
а—конечное покрытие X, то говорят, что / есть а-отображение, если
всякая точка пространства Y имеет такую окрестность в Y, что её /-про-
/-прообраз содержится в некотором элементе покрытия а. Имеет место следую-
следующая обобщённая теорема П. С. Александрова:
Если dim Х—п, то, каково бы ни было конечное покрытие а простран-
пространства X, существует а- отображение этого пространства на п-мерный
полиэдр; при том же условии существует конечное покрытие а простран-
пространства X такое, что X не допускает а-отображений на полиэдры низших
размерностей.
47. Ещё одна важная характеризация размерности, также установ-
установленная П. С. Александровым, связана с непрерывными отобра-
отображениями компактов на «-мерный элемент. Всякий п-мерный элемент гомео-
морфен п-мерному симплексу и, как непосредственно следует из извест-
известной теоремы Брауэра о топологической инвариантности области и границы,
при всех топологических отображениях симплекса X на элемент Y гра-
границе симплекса соответствует одно и то же подмножество элемента. Это
подмножество называется границей элемента У. Граница п + 1-мерного эле-
элемента, очевидно, гомеоморфна п-мерной сфере, т. е. подмножеству простран-
пространства Е"*1, определяемому соотношением
nfl
между координатами х,- (i = I п -\-1).
*) Диаметром подмножества А метрического пространства X называется
Supremum взаимных расстояний точек- этого множества.
**) См. W. Hurewicz and H. Waliman, Dimension Theory A941).
И Математика в СССР за 30 лег.

210 ТОПОЛОГИЯ
Пусть теперь /—непрерывное отображение пространства X на л-мер-
ный элемент Y с границей S. Будем говорить, что это отображение суще-
существенно, если не существует непрерывного отображения g пространства
X в S такого, что gx = jx для всякой точки х, такой что /x?S. В против-
противном случае будем говорить, что / несущественно. Имеет место следующая
теорема П. С. Александрова:
Пространство X тогда и только тогда допускает существенное отобра-
отображение на п-мерный элемент, когда dim X> п.
Эта теорема была первоначально доказана П. С. Александро-
Александровым [31] для компактов; впоследствии её удалось обобщить на любые
регулярные пространства счётного веса*). В самое последнее время
П. С. Александрову удалось распространить её на ещё более широ-
широкий класс пространств, освободившись от ограничения, налагаемого
на вес пространства.
Теорема П. С. Александрова играет важную роль в теории
размерности, будучи соединительным звеном между урысон-менгеровской
теорией размерности, с одной стороны, и гомологической теорией размер-
размерности П. С. Александрова —с другой **).
48. Л. С. П о н т р я г и н у и Л. Г. Ш н и р е л ь м а н у [1 ] удалось
связать размерность компакта с его метрическими свойствами.
Всякое метризуемое пространство допускает много различных метрик,
т. е. соответствует в вышеопределённом смысле многим метрическим про-
пространствам (см. п. 35). Пусть р—одна из метрик компакта X, a—поло-
a—положительное число. Тогда X может быть разными способами представлено
как сумма конечного числа замкнутых множеств диаметров <s в метрике?.
Наименьшее число потребных для этого замкнутых множеств зависит
от компакта X, его метрики р и числа е. Будем обозначать это число
символом N(X, p, в).
Теорема Л. С. Понтрягина и Л. Г. Шнирельмана
выражается равенством
inf liminf ( iogN(X, p, 6)N e dim x.
Р е^о Ч log s J
Здесь infimum относится ко всем метрикам р компакта X; liminf при а—»0.
берётся при фиксированной метрике р.
49. Существенные результаты связаны с понятием «канторова много-
многообразия». Мы говорим, что X есть п-мерное канторово многообразие, если
X есть п-мерный связный компакт, удовлетворяющий условию: X нельзя
представить в виде суммы двух замкнутых множеств Аи В, отличных от X
и таких, что dim (А{\В)<п — \. Л. А. Т у м а р к и н ы м[б]и Гуревичем
одновременно и независимо была доказана следующая глубокая и важная
теорема:
Всякий п-мерный компакт содержит п-мерное канторово многообразие.
П. С. Александровым [7] установлен следующий результат,
относящийся к подмножествам «-мерного евклидова пространства Еп:
Если содержащийся в Е" компакт X является границей двух непересе-
непересекающихся открытых связных множеств, то X есть п—1 -мерное канторово
многообразие.
*) См. цитированную выше книгу Гуревича и У оллмана, где теорема П. С. А л е-
ксандрова приводится в несколько изменённой редакции без ссылки на автора..
**) О гомологической теории размерности речь будет ниже (см. п. 59).

ТОПОЛОГИЯ 211
При ограничении п < 3 эта теорема была доказана ещё П. С. У р ы с о-
ном [14].
50. Весьма значительную роль играют в топологии алгебраические
методы, ведущие начало от Пуанкаре. С развитием и применением этих
методов, объединяемых под названием «теории гомологии и пересечений»
связаны крупнейшие достижения советской топологической школы. На
них основана, в частности, «гомологическая теория размерности»
П. С. Александрова, о которой вскользь упоминалось выше.
К теории гомологии и пересечений относится также «закон двойствен-
двойственности» Л. С. Понтрягина и теория «V-гомологии» А. Н. Ко л-
могоров а-Александера , оказавшаяся мощным орудием исследова-
исследования, давшим ряд ценных результатов как в самой топологии, так и
в смежных областях. Мы переходим теперь к изложению основ «теории
гомологии».
Характерным для этой теории является привлечение абелевых групп
для построения топологических инвариантов пространств. Возникающие
при этом объекты—«группы гомологии»—зависят не только от рассматри-
рассматриваемого пространства, но и от привлечённой абелевой группы, называемой
областью коэффициентов*). Роль области коэффициентов может играть
любая абелева группа, как «дискретная», т. е. не топологизированная,
так и топологическая. Введение топологических групп в качестве областей
коэффициентов составляет заслугу Л. С. П о н т р я г и н а [7, 9]. Оно
дало возможность надлежащего подхода к «законам двойственности» на
основе построенной Л. С. П о н т р я г и н ы м [8] теории «характеров».
В дальнейшем все рассматриваемые абелевы группы «пишутся адди-
аддитивно», т. е. групповая операция обозначается знаком «+», элемент груп-
группы, обратный элементу х,—символом «—х», единичный элемент группы—
знаком «О». Под «группой» всегда подразумевается или дискретная абелева
группа или бикомпактная абелева топологическая группа. Буква @ будег
означать аддитивную группу целых чисел, символ @т—группу вычетов
mod т (т = 2, 3,...), буква й— группу действительных чисел mod 1. Все эти
группы, кроме последней, будут рассматриваться как дискретные; $— как
топологическая группа с естественной топологизацией. й бикомпактна,
её пространство гомеоморфно окружности. Группы E$ будут иногда
так же рассматриваться, как бикомпактные топологические группы.
Характером дискретной группы называется всякий гомоморфизм её
в й; характером бикомпактной группы Л. С. Понтрягин называет
всякий непрерывный гомоморфизм её в й**). Характеры группы Г скла-
складываются по формуле
где ср и <|>—складываемые характеры, а плюс справа означает сложение
в й. Сумма любых двух характеров Г является характером Г и, как лег-
легко убедиться, характеры Г образуют абелеву группу относительно сло-
сложения. Эта группа называется группой характеров группы Г и обозначает-
обозначается символом yl\ При этом группа характеров дискретной группы Г
*) Они зависят, кроме того, от других аргументов, о чём будет итти речь ниже.
**) Л. С. П о н т р я г и н ы м теория характеров была построена лишь для
счётных дискретных групп с одной стороны и компактных топологических групп
счётного веса с другой. Её обобщение на произвольные дискретные группы и произ-
произвольные бикомпактные топологические группы, не представившее труда, было осуще-
осуществлено Ван-Кампеном.
14*

212 ТОПОЛОГИЯ
топологизируется следующим образом. Мы считаем подмножество А
группы /Г открытым в ~/Y, если соблюдается условие: для всякого
элемента <р множества А найдётся конечная система элементов xt х*
труппы V и положительное число 8 таким образом, что всякий харак-
характер о группы Г такой, что
IФХ* — фэс*| <8(mod I) (i-=l, ..., ft)
¦будет принадлежать Л. Так топологизированная группа характеров дис-
дискретной группы оказывается бикомпактной топологической группой.
Л. С. Понтрягин установил, что связь между группой и её
группой характеров является взаимной в том смысле, что бикомпактная
топологическая группа G тогда и только тогда топологически изоморфна
группе характеров дискретной группы Г, когда Г изоморфна jG- Иначе
говоря, построение группы характеров определяет взаимно однозначное
¦соответствие между классами изоморфных дискретных групп, с одной сто-
стороны, и классами топологически изоморфных бикомпактных групп — с дру-
другой. Это «двойственное» соответствие дискретных и бикомпактных групп
может быть прослежено и дальше. Например, всякому гомоморфизму h
дискретной группы Г в дискретную группу б соответствует сопряжённый
непрерывный гомоморфизм g бикомпактной группы yji в бикомпактную
труппу х^1» определяемый условием: (g<p)х = <р(hx) (x?T, <р€х^)-Это
¦соответствие гомоморфизмов также является взаимным, причём обратное
•соответствие определяется аналогичным образом.
Мы говорим, что группа О двойственна группе Г, если G изоморфна
(топологически изоморфна) группе характеров группы Г.
Л. С. Понтрягин ым была построена для групп «теория спек-
спектров» *), рассматривающая следующие две двойственные друг другу кон-
конструкции:
1°. Пусть каждому элементу а направленного множества S привет
дена в соответствие бикомпактная топологическая группа Га; каждой
паре <а, j3> такой, что а< j3(B)—непрерывный гомоморфизм «>2 группы
Г? в группу Га , причём
ш|шт = шт, Cj
коль скоро а<р<у(Е). Мы говорим тогда о системе групп 1\
рассматриваемой совместно с системой отображений <и?, что она являет-
является обратным спектром.
Аналогично рассмотренному выше понятию полного предела спектр)
пространств вводится понятие «предела» обратного спектра. Предел обрат
ного спектра, образованного группами Га(<х6Е) и гомоморфизмам*
¦<!>?(<* < Р (S)), есть топологическая группа, образованная нитями, т. е
системами < хЛ > „ез такими, что хабГ«(абЕ), х« = о>«х?(а < рBI
Сложение нитей определяется формулой
а топология в пространстве нитей вводится следующим образом: считай
открытым всякое множество нитей А, удовлетворяющее условию: есл
с
*) Эта теория относилась первоначально к счётным дискретным группам в]
•компактным топологическим группам счётного веса (ср. предыдущее примечаний
На произвольные дискретные и произвольные бикомпактные топологические грунц
«на была обобщена Стинродом. *

топология 213
<ха>бЛ, то существуют pgS и открытое множество f/р топологической
группы Г? такие, что всякая нить <уа>, для которой y0J$, также ?Д.
Нетрудно видеть, что нити образуют абелеву группу относительно сложе-
сложения, и что как сложение нитей, так и обратная операция—их вычитание
непрерывны относительно введёной топологии. Иначе говоря, предел обрат-
обратного спектра определён, как абелева топологическая группа. Нетрудно
далее видеть, что предел обратного спектра есть бикомпактная топологи-
топологическая группа.
2°. Вторая конструкция относится к дискретным группам. Пусть
каждому элементу а направленного множества S приведена в соответ-
соответствие дискретная группа Гв, каждой паре <<х, р> такой, что <x<j3(S),—
гомоморфизм яр группы Го в группу Гр. Пусть при этом группы Г«
попарно не пересекаются, а гомоморфизмы яр таковы, что
я^ = ^ (a<P<Y(B)).
О системе групп Г«, рассматриваемой совместно с системой гомоморфиз-
гомоморфизмов rcjj, говорят тогда, что она является прямым спектром.
Рассмотрим прямой спектр, образованный группами Га(абН) и
Гомоморфизмами я? (a < j3 (H)). В теоретико-множественной сумме
S групп Г, определим частичное упорядочение, считая, что х < у (S),
если существуют a, PgS, такие, что тфс = у. Будем говорить об элемен-
элементах х и у множества S, что они эквивалентны, если существует элемент z,
такой, что x<z(S), y<z(S). Нетрудно видеть, что отношение эквивалент-
эквивалентности рефлексивно в S, симметрично и транзитивно. Оно определяет по-
поэтому разбиение множества S на классы эквивалентных друг другу элемен-
элементов. Эти классы называются пучками рассматриваемого прямого спектра.
Всякий элемент множества S принадлежит одному и только одному пучку.
Нетрудно далее видеть, что для всяких двух пучков и и v рассматри-
рассматриваемого спектра найдётся группа Г« такая, что и f) 1\Ф Д и у^\1\ФЛ.
Это даёт возможность следующим образом определить сложение пучков.
Для данных пучков и и и находим а таким образом, что и П IV Ф А
и v f] Га Ф Л. Складываем х и у в группе Гв. Полученный элемент группы
Г, принадлежит одному и только одному пучку w, который, как легко
установить, не зависит от выбора а, хну. Полагаем u + u = w. По отноше-
отношению к так определённому сложению пучки образуют абелеву группу. Эта
абелева группа называется пределом рассматриваемого прямого спектра.
Прямые и обратные спектры оказываются двойственными друг другу
в следующем смысле. Пусть имеем обратный спектр, образованный биком-
бикомпактными топологическими группами Га(<х€3) и их непрерывными гомо-
гомоморфизмами <«? (а < C (S)). Рассмотрим группы характеров /Г, этих
групп. Пусть я* означает гомоморфизм группы уТ} в группу yl\, сопря-
сопряжённый с «в? (см. выше). Тогда группы yl\t рассматриваемые совместно
с гомоморфизмами к* образуют прямой спектр, и предел этого прямого
спектра изоморфен группе характеров предела исходного обратного
спектра. Аналогичная конструкция даёт переход от любого прямого
спектра к двойственному ему обратному спектру.
51. Простейшими объектами теории гомологии являются Л-комплексы
(см. п. 39). Будем рассматривать фиксированный Л-комплекс С. Пусть
Г—произвольная группа, г—целое неотрицательное j число. Будем

214 ТОПОЛОГИЯ
рассматривать функции от г 4-1 вершин комплекса С со значениями,
принадлежащими Г. О такой функции / будем говорить, что она есть
<г, Г>— цепь в С, если соблюдаются следующие условия:
1) /(х0, • • •, х,) ?= 0 лишь когда х„, ¦¦., хг суть различные вершины
одного и того же остова комплекса С;
2) /(х„, .... х,-_17 х,-, .... хг)= --/(х„,..., хг, х,.,, ... х,)приО</<г.
</-, Г > -цепи в С определим также при г = — I. < — 1, Г>-цепями в С
будем называть элементы группы Г. (Это соответствует рассмотрению
постоянных, как функций от нуля аргументов, и удобно в дальнейшем.)
Условие 2) выполняется тривиальным образом при г — 0, когда /—функ-
/—функция одного аргумента. <г, Г>-цепи в С можно складывать естественным
образом по формуле
(/ + g)(*o. -•-. xr) = /(x0, •'•»x,) + g(x0,...,*,), D)
и сумма двух <г, Г>-цепей в С, очевидно, есть <г, Г>-цепь в С.
Ясно, что <г, Г>-цепи в С образуют абелеву группу относительно
сложения. Эта группа — группа <г, Т>-цепей в С—обозначается симво*
лом Lr (С, Г).
Если при этом Г —топологическая группа, то и в U (С, Г) опреде-
определяется топология следующим образом. Подмножество А этой группы
объявляется открытым, если для всякого элемента / этого множества
найдётся окрестность U нуля группы Г такая, что множеству А будет при-
принадлежать всякая <г, Г>-цепь g, удовлетворяющая условию
/(х0, ...%Xr) — g{xa, ...,Xr)€?/
для всяких х„, ..., хг ¦ LT {С, Г) становится топологической группой,
бикомпактной, если Г бикомпактна.
Фундаментальную роль в теории гомологии играют два «граничньп»
оператора—«нижний», «классический», обозначаемый обычно символом
«Д», и сравнительно недавно введённый «верхний граничный оператор*,
обозначаемый символом «v<>. Оба эти оператора применяются к <г, Г>-
цепям в С, нижний—лишь при гз*0, верхний—без всяких ограничений.
Нижний граничный оператор в применении к <г, Г>-цепи /(г>0]
даёт <г—I, Г>-цепь Д/, определяемую формулой
Д/(х0, ..., Xr.J^^fix, х0, ...,хг.х), {%
где суммирование производится по всем вершинам х комплекса С.
Верхний граничный оператор в применении к <г, Г>-цепи / дай
<r-f\, Г>-цепь v/, определяемую равенствами
(- I )A7 (x0, .... хк .„ хл+1, ..., хг) при (х„, ..., xrtl} 6 С,
А--П
О в противном случае.
Оба оператора дистрибутивны относительно сложения и таковы, чИ
В силу дистрибутивности, оператор Д определяет гомоморфизм груши
L'(C, Г) в группу Lri(C, Д), а оператор у—гомоморфизм Lr(C|

ТОПОЛОГИЯ 215
в U*1 (С, Г). Эти гомоморфизмы непрерывны, если Г —топологическая
группа. Ядро первого гомоморфизма есть подгруппа Lr(C, Г), образо-
образованная теми <г, Г>-цепями в С, для которых А/ = 0. Эти цепи назы-
называются г-мерными. А-циклами в С по области Г. Ядро второго гомомор-
гомоморфизма есть подгруппа LT(C, Г), образованная теми <г, Г>-цепями в С,
для которых v/ = 0. Эти цени называются r-мерными к-циклами в С
по области V. Первая подгруппа обозначается символом 2д(С, Г), вто-
вторая— Zy(C, Г). Обе они замкнуты в V(С, Г), если Г—топологическая
группа.
В силу F), образ Z/+J (С, Г) при гомоморфизме, определяемом опе-
оператором Д, есть подгруппа ZI (С, Г), а образ Lr~l (С, Г) при гомомор-
гомоморфизме, определяемом оператором v> —подгруппа Z\(С, Г). Эти подгруппы
также замкнуты в LT(C, Г), если Г--г- бикомпактная топологическая
группа. Первая обозначается символом Яд (С, Г), вторая Яу (С, Г). Об
/•-мерных Д-цйклах в С, входящих в Яд (С, Г) говорят, что опи А-гомо-
логичны нулю в С; обг-мерных v-циклах, входящих в Н%(С, Г) говорят,
что они v-гомологичны пулю в С. Согласно этим определениям г-мерный
Д-цикл / по области Г тогда и только тогда Д-гомологичен нулю в С,
когда в С существует <г+1,Г>-цепь g такая, что / = Ag; г-мерный
V-цикл / по области Г тогда и только тогда v-гомологичен нулю в С, когда
в Сосуществует <г—1, Г>-цепь g такая, что /=vg-
Так как HI (С, Г) с 2\ (С, Г) и Яу (С, Г) С Zv (С, Г), существуют
факторгруппы ZI (С, Г)/Яд (С, Г) и Zv (С, Г)/Я7 (С, Г). Если Г '—биком-
'—бикомпактная топологическая группа, их можно также рассматривать, как
топологические группы и тогда все введённые группы бикомпактны.
Группы ZI(С, Т)/НЪ{С, Г) и Z*(C, Г)/#;(С, Г) обозначаются символами
ВЪ(С, Г) и Bv (С, Г) и называются r-ми группами Бетти комплекса С
по области коэффициентов Г, первая группа — А-группой Бетти, а вто-
вторая— х-группой Бетти. Элементы Вл(С, Г) суть классы Д-гомологич-
ных друг другу в Cr-мерных Д-циклов в С по области Г; элементы
By (С, Г) —классы v-гомологичных друг другу в С r-мерных у-ЦИ1<ловвС
по области Г. При этом мы говорим, что две <г, Г>-цепи в С А-гомоло-
гичны в С, если их разность Д-гомологична нулю в С, и аналогично
определяем <г, Г>-цепи, у-гомологичные в С. ~
Пусть теперь G является группой характеров Г. Тогда, как легко
видеть, группа U (С, G) двойственна группе U (С, Г) и гомоморфизм
Un{C,G) в Lr(C,G), определяемый оператором Д, сопряжён с гомо-
гомоморфизмом U (С, Г) в Lr+1(C, Г), определяемым оператором у- Отсюда
выводится, что группа В1 (С, G) двойственна группе В7(С, Г)-
52. Пусть теперь D—подкомплекс комплекса С, т. е. подмножество
этого комплекса, само являющееся комплексом. Множество C\D вообще
не будет комплексом. Оказывается, однако, целесообразным ввести
понятие « <г, Г>-цепив C\D». Вершинами C\D будем называть эле-
элементы остовов, принадлежащих C\D. Понятие </", Г>-цепи в C\D
определяется дословно так же, как понятие <г, Г>-цепи в С, только
нужно везде заменить «С» на «C\D». <r, Г>-цепи в C\D образуют
группу U (C\D, Г) относительно сложения, определяемого равен-
равенством D). Нижний граничный оператор определяется формулой E)
при {х0, ..., *,._,}€C\D и равенством Д/(х0, ..., хг^)=0 при
{х0, ..., xr_j}<^C\D. Определение верхнего граничного оператора
остаётся mutatis mutandis прежним. Дистрибутивность операторов Д

216 ТОПОЛОГИЯ
и v сохраняется и равенства F) остаются в силе. Но это всё, что нужно
для определения групп Бетти. Повторяя mutatis mutandis конструкцию,
описанную в предыдущем пункте, мы получаем определения групп Бетти
Bl(C\D, Г) и Brv(C\D, Г). Так же, как для групп В1(С, Г) и B$(C,G)
устанавливается двойственность групп Bl (C\D, Г) и В$ {C\D, G) при
двойственных Г и G.
53. Значение групп Бетти в топологии определяется в первую очередь
возможностью их определения для весьма общих пространств в качестве
некоторых топологических инвариантов. Для полиэдров определение
групп Бетти было формулировано давно и восходит ещё к работам
Пуанкаре. Оно сводится к тому, что данный полиэдр X рассматри-
рассматривается, как образ прямолинейного полиэдра У при некотором топологи-
топологическом отображении; У рассматривается, как сумма симплексов неко-
некоторого ^-комплекса К\ наконец, К определяет А-комплекс С, состоя-
состоящий из остовов вершин симплексов, принадлежащих К- Группы Бетти
полиэдра Хи определяются, как группы Бетти А-комплекса С. Законность
этого определения отнюдь не была очевидной, так как оно содержало
много произвола: ведь прямолинейный полиэдр Y и Е-комплекс К могут
быть выбраны весьма разнообразно. Однако американский математик.
Александер доказал, что получаемые таким образом группы Бетти
зависят лишь от самого полиэдра X, установив вместе с тем их
топологическую инвариантность. Правда, у Александера речь шла
о группах Бетти по некоторым специальным областям коэффициентов,
и лишь о Д-группах, однако эти ограничения не имеют принципиального
значения.
После этого усилия многих топологов как в СССР, так и за границей,
были направлены к тому, чтобы надлежащим образом распространить
определение групп Бетти на возможно более широкий класс пространств.
Пробным камнем для различных предложенных определений служит
теорема, известная под названием «закона двойственности Александера—
Понтрягина», устанавливающая связь между группами Бетти подмноже-
подмножества п-мерного евклидова пространства Я" и группами Бетти, его допол-
дополнения в Еп *). Этот закон был первоначально установлен Александером
для полиэдров в Я" и их дополнений, после того, как группы Бетти
были определены им для открытых множеств в Еп. Первая попытка опре-
определения групп Бетти для компактов была сделана Вьеторисом
(L. Vietoris) в 1927 г. Она, однако, не увенчалась полным успехом, так
как «закон двойственности» не получился. Действительного крупного
успеха добился Л. С. П о н т р я г и н [7, 9], который ввёл топологиче-
топологические группы в качестве областей коэффициентов и применил свою теорию
характеров, что дало возможность установить «закон двойственности»
александеровского типа как связь между группами Бетти компакта
в Еп по компактной метризуемой области коэффициентов и группами
Бетти дополнительного пространства по двойственной счётной дискретной,
группе коэффициентов.
Дальнейший крупный шаг был сделан А. Н. Колмогоро-
Колмогоровым [4, 6, 7, 8, 9], который впервые ввёл верхний граничный оператор
и дал определения Д- и vrPYnn Бетти для любого локально биком-
бикомпактного пространства*). Весьма общее определение этих групп было
дано Стинродом. Это последнее определение оказалось, однако, не
*) О законе двойственности Александера-Понтрягина см. п. 61.

ТОПОЛОГИЯ 217
вполне доброкачественным: для весьма простых не бикомпактных
пространств, таких, например, как числовая прямая, оно дава-
давало чрезвычайно сложные группы Бетти. Существенное дальнейшее
усовершенствование было внесено П. С. Александровым [55,
60, 61, 62], определившим «внутренние группы Бетти» для открытых
подмножеств нормальных пространств и доказавшим «закон двойствен-
двойственности Колмогорова» для этих групп (см. пп. 54— 58). Эти «внутрен-
«внутренние группы Бетти», определяемые посредством прямых и обратных
спектров, не обладают недостатками групп Бетти-Стинрода и, как пока-
показал Г. С. Чого шви л и [9], совпадают с группами Бетти-Колмогорова.
Мы переходим теперь к точному изложению основ теории этих групп.
54. Два вспомогательных понятия играют существенную роль в опре-
определении «внутренних групп Бетти-Александрова» наряду с уже введён-
введёнными: понятия «симплициального отображения» и «нерва».
Пусть <р — отображение совокупности вершин Л-комплекса Ов сово-
совокупность вершин Л-комплекса С. Говорят, что <р есть симплициальное
отображение D в С, если <р-образ всякого остова, принадлежащего D,
есть остов, принадлежащий С.
Всякое симплициальное отображение 9 Л-комплекса D в Л-комплекс С
порождает два оператора: оператор р?, применимый к цепям в D,
и оператор а9, применимый к цепям в С. Первый оператор переводит
всякую <г, Г>-цепь / в D в <г, Г>-цепь р9/ в С, определяемую-
равенством
Р<р/ (Уо>
где суммирование распространяется на все системы х0 хг такие, что
<рх, = у,- (/ = 0, ..., г). Второй оператор переводит всякую <г, Г>-цепь f
в С в <г, Г>-цепь о9/ в D, определяемую равенствами
О(р/ (Хо, • • ., Хг)
--..ух,) при {х0, ...,х
0 в противном случае.
Чтобы эти операторы были определены и при г=— 1, полагаем
р9/=а<р/ = / при /6 Г. Оператор р9, очевидно, определяет гомоморфизм.
Lr(D, Г) в LT(C, Г), а оператора,,—гомоморфизм LT(C, Г) в Z/(D, Г).
Эти гомоморфизмы непрерывны, если Г—топологическая группа.
Если G есть группа характеров Г, то гомоморфизм V (С, G) в Lr(D, G),
порождаемый от, сопряжён с гомоморфизмом Lr(D, Г) в Lr(C, Г),
порождаемым р9. Оператор р9 коммутирует с оператором Д, а опера-
оператор а9—с оператором V- В силу этого, операторы р9 и ач порождают:
первый —гомоморфизм группы B\{D, Г) в группу В1(С, Г); второй —
гомоморфизм By (С, Г) в Brv(D, Г), причём эти гомоморфизмы непре-
непрерывны, если Г —топологическая группа. Если G — группа характеров Г,
то гомоморфизм Bl(D, Г) в ВГА(С, Г), порождаемый р,,, сопряжён
с гомоморфизмом BTV (С, G) в Щ (D, О), порождаемым ач.
Особую роль играет тот случай, когда D есть подкомплекс С,
а <р — тождественное отображение совокупности вершин D. В этом
случае гомоморфизмы групп цепей и групп Бетти, порождаемые опе-
операторами рт и о,, носят название естественных гомоморфизмов. В этом
*) Одновременно и независимо верхний граничный оператор был введён Алек-
сандером.

218 ТОПОЛОГИЯ
случае определяются также операторы Е и J «естественных гомомор-
гомоморфизмов» групп цепей LT(C\D, Г) и U{С, Г) в группы Lr(C, Г)
и Lr(C\D, Г) соответственно. А именно, полагаем: при /? Z/(С \?>, Г)
ЕКх х )= 1^Х<" '" " *г)> еСЛИ '(х° х^ определено,
/ v о. • • •> г; ^q если х._ верШины С и /(х0, ..., хг) не определено;
при /6*/(С,Г)
У/(х0, •••, х,) = /(х0,..., хг),
если х,- — вершины C\D. Е коммутирует с v, a J — с Д, откуда сле-
следует, что ? порождает гомоморфизм B^(C\D, Г) в #у(С, Г), а
У —гомоморфизм Бд(С, Г) в Бд (С \ Д Г). Эти гомоморфизмы также
называются естественными.
55. Если а —конечное семейство непустых множеств, то непустые
подмножества а, имеющие непустые пересечения, очевидно, образуют
А-комплекс. Этот Л-комплекс называется нервом семейства а. Согласно
этому определению вершинами нерва а являются элементы а, и остов
{Д,, ..., Аг], где Аба (г = 0, ..., г), тогда и только тогда принад-
принадлежит нерву а, когда
П А*а.
Нерв а обозначается символом N(<x).
56. Пусть а и р —конечные покрытия пространства X. Если
я - подразделение р (см. п. 44), то, сопоставляя каждому элементу U
покрытия а один из содержащих U элементов покрытия р, мы полу-
получаем симплициальное отображение А-комплекса JV(a) в Акомплекс
N{'i). Это симплициальное отображение порождает, согласно выше-
вышесказанному, гомоморфизмы групп Вл (JV(a), Г) и группы В\ (JV ф), Г)
и групп i*v(N(?)> г) в группы Brv(N(a), Г), причём эти гомоморфизмы
непрерывны, если Г —топологическая группа. Содержащийся в пост-
построении этих гомоморфизмов произвол, связанный с выбором одного
из элементов покрытия р, содержащих данный элемент покрытия а,
лишь кажущийся: результирующие гомоморфизмы не зависят от того,
как этот выбор производился. Таким образом всякой паре покрытий
< а, В > пространства X такой, что а есть подразделение C, соответ-
соответствуют определённый гомоморфизм группы BTA(N(a), Г) в группу
Bi(N($), [') и определённый гомоморфизм группы Б?(Л/(C), Г) в группу
BrA(N(ca), Г).
Выделим теперь среди элементов рассматриваемых покрытий те,
замыкания которых не бикомпактны. Пусть а0 и Эо означают соот-
соответственно совокупности тех элементов покрытий а и ¦ 3, замыкания
которых в X не бикомпактны. Тогда N (<хо)и N(8e) суть соответственно
подкомплексы комплексов N(a) и JVC), причём, при определён-
определённых выше симплициальных отображениях, N (а0) симплициально
отображается в JV(,30). Будем рассматривать группы цепей Lr(N(a), Г),
Lr(NC), Г), Lr(N(a)\N(aD), Г), J/(JV(B)\ JV(S0), Г). К элементам
первых двух групп применим оператор естественного гомоморфизма J
(см. н. 54),"переводящий эти элементы в элементы последних двух
групп соответственно; к элементам последних двух групп применим
оператор Е, переводящий эти элементы в элементы первых двух групп.
Выбрав определённое симплициальное отображение <р комплекса N(a)
в комплекс N C), как описано выше, будем иметь операторы р?
из, (см. н. 54), гомоморфно отображающие соответственно Lr(JV(a), Г)

ТОПОЛОГИЯ 219
в Lr(N{$), Г) и Lr(JV(p), Г) в Lr(N(a), Г). Это даёт возможность
построить операторы р?1 и aSl, гомоморфно отображающие
U (JV(a) \ JV («„), Г) в Lr(N (?) \ N (ро), Г) и соответственно
)(?<> г) в Lr(N(a.)\N(«.„), I), определив их равенствами
Оказывается, что р91 коммутирует с А, а с,,, — с v, откуда следует, что
операторы р?1 и а91 порождают гомоморфизмы rpynirBi(JV(a)\ N(ao)> Г)
в BS(N(P)\JV(P.), Г) и B;(N(p)\JV(p0), I1) в B;(N(a)\JV(a0), Г)
соответственно. Эти гомоморфизмы также не зависят от выбора
симплициального отображения «р. Таким образом каждой паре < a, р >
покрытий пространства X такой, что а есть подразделение р, соот-
соответствует определённый гомоморфизм группы K(N(a)\ N(a0), Г)
в группу B5,(N(P)\N(p0), 1') и определённый гомоморфизм группы
BrAN(?)\N($0), Г) в группу B?(N(<x)\JV(a0), Г)- Обозначим первый
гомоморфизм символом ш?, второй— символом -?.
57. Совокупность конечных покрытий пространства X становится
частично упорядоченным множеством, если условиться считать покры-
покрытие р предшествующим покрытию а в том случае, когда а есть подраз-
подразделение р, а р не есть подразделение «. ?сли X — бесконечное про-
пространство класса Тх, то частично упорядоченное множество его конеч-
конечных покрытий направлено (П. С.Александров [55]). Имея в виду
в дальнейшем только этот случай, обозначим направленное множество
конечных покрытий пространства X буквой Е. Фиксируем целое не-
неотрицательное число г и топологическую группу Г. Всякому эле-
элементу а множества S сопоставим группу
(«0), Г)-
Тогда при р<аC) имеем определённый выше непрерывный гомомор-
гомоморфизм <и| групп BrAd в группу ВГА&. Нетрудно видеть, что гомоморфизмы
«о|_ удовлетворяют условию C). Таким образом, группы В^в, рассма-
рассматриваемые совместно с гомоморфизмами <о«, образуют обратный
спектр, однозначно определяемый пространством X, числом г и груп-
группой Г. Предел этого спектра П. С Ал е к с а н дров [55] называет
внутренней г-н ^-группой Бетти, пространства X по области Г. Это
бикомпактная топологическая группа. Мы будем обозначать её сим-
символом ВГА(Х, Г).
Аналогичным образом полагая
где Г —дискретная группа, получаем прямой спектр, образованный
группами BV и гомоморфизмами т*. Предел его П. С. Александ-
Александров [55] называет внутренней r-й ^-группой Бетти пространства X
по области Г. Это ^дискретная группа. Мы будем обозначать её сим-
символом в;(Х, Г)*).
Легко доказывается, что группа Brv (XG) двойственна группе
Bl{X,V), если G двойственна бикомпактной топологической группе Г-
*) В работах П. С. Александрова внутренние группы Бетти определя-
определяются описанным образом лишь для пространств, содержащихся в нормальных про-
пространствах в качестве открытых .множеств.

220 ТОПОЛОГИЯ
58. Пусть теперь У —замкнутое подмножество пространства X,
Z = X\Y. Рассматривая У и Z, как пространства, имеем внутрен-
внутренние группы Бетти трёх пространств: X, У и Z. Ситуация аналогична
рассмотренному выше случаю подкомплекса D комплекса С, когда
мы имеем группы Бетти комплексов С, D и множества C\D. Тогда
были определены «естественные гомоморфизмы» групп
ВИД, Г), Brv(C\D,G), Brv(C,G), ВИС Г)
в группы
ВИС, Г), Br,(C,G), Brv(D,G), Bl(C\D,V)
соответственно, причём Г и G могли быть любыми группами.
Аналогично этому, П. С. Александрову [60] удалось опре-
определить «естественные гомоморфизмы» групп
Вд (У, Г), Brv (Z,G), Br, (X, G), Вд (X, Г)
в группы
Bl{X,V), B;(X,G), Brv(Y, G), BrA(Z,V)
соответственно, причём Г —любая бикомпактная группа, О —любая
дискретная группа, X — любое локально бикомпактное нормальное
пространство. Конструкция «естественных гомоморфизмов» осущест-
осуществляется предельным переходом от случая комплексов с помощью
спектров. Подробности этой конструкции сложны и мы не можем ее"
здесь привести из-за недостатка места.
«Естественные гомоморфизмы» дали П. С. Александрову
возможность определить следующие группы: Bl(XY, Г) —образ В!(У, Г)
при естественном гомоморфизме этой группы в В1{Х, Г); Bl(Y :Х, Г) —
ядро того же гомоморфизма; B$(XZ,G) — образ Brv (Z, О) при естествен-
естественном гомоморфизме этой группы в В$(Х, G); B\[Z :Х, G) — ядро того
же гомоморфизма; Bl{YX,G) — образ B$(X,G) при естественном гомо-
гомоморфизме этой группы в BTV{Y, G);Bl{ZX, Г) — образ ВХ(ХГ)при есте-
естественном гомоморфизме этой группы в B\{Z, Г); Bl{Y:X, G)~
= B;(Y, G)IB${YX, G); Bl{Z: X, Г) = Bl{Z, V)/Br(ZX, V). Ядра естествен-
естественных гомоморфизмов B^(X.G) в Bl{Y,G) nBZ(X, Г) в B\{Z, Г) не дают
ничего нового: первое совпадает с B$(XZ,G), а второе —с B$(XY, Г).
Группы Bl(XY,Y), Brv{XZ,G), Bl(Y:X,V), Brv(Z:X,G), BTV(YX,G),
Bl{ZX,Y), Brv(Y:X,G), B$(Z:X,V) П. С. Александров называет
группами Бетти фигуры X, Y, Z.
В предположении, что группа G двойственна группе Г, П. С Ал ек-
сандров установил следующие соотношения между группами Бетти
фигуры X, Y, Z:
Вд (XY, Г) | В; (YX, G), BTV (XZ, G) | Bl (ZX, Г),
ВЪ (У : X, Г) IB; (У : X, G), BJ (Z : X, G)\Bl'{Z : X, Г),
Bl(Y:X, Г)|ВГB:Х, О), G)
ВГД(У : X, Г) « Вд+1 (Z:X, Г), Brv(Y:X, G) ъ В?1 (Z:X, G),
где вертикальная черта означает двойственность, а знак ««=»—изоморфшо
или топологическую изоморфию. Особенно интересна и важна здесь «глав-
«главная теорема двойственности» G), связывающая группы Бетти соседних раз-
размерностей, причём одна из этих групп относится к множеству У, а другая
к его дополнению в X (обе группы зависят при этом от расположения
соответствующих множеств в пространстве X).

ТОПОЛОГИЯ 221
Из главной теоремы двойственности получается «закон двойствен-
двойственности» Колмогорова-Алексагщрова *), относящийся к случаю «односвяз-
ного» пространства. Мы говорим, что пространство односвязно в размер-
размерности г по области Г, если
Очевидно, что в этом случае Bl (Y : X, Г) = Bl (Y, Г), В? (Z: X, G) =
= BJ(Z, О.тде G— группа характеров Г. Отсюда в силу G) следует за-
закон двойственности Колмогорова-Александрова: если локально биком-
бикомпактное нормальное пространство X односвязно в размерностях г и
.#•+1 по области Г, то для всякого его замкнутого подмножества Y
имеем
BrA(Y,V)\Br^(X\Y,G),
где G группа характеров Г (П. С. Александров [55, 61]).
59. В терминах групп Бетти фигуры X, Y, Z просто формулируется
определение введённого П. С. Александровым понятия «гомоло-
«гомологической размерности». Пусть X— локально бикомпактное нормальное
пространство, Г^абелева бикомпактная топологическая группа. Будем
говорить, что X п-мерно по Г, если п—наибольшее из целых положитель-
положительных чисел г, удовлетворяющих условию: X содержит замкнутое под-
подмножество Y такое, что Bl Y :Х,Т)Ф {0}; если таких г не существует,
будем говорить, что X 0-мерно по Г; если же они существуют, но среди
них нет наибольшего, будем говорить, что X бесконечно-мерно по Г.
Таким образом всякому локально бикомпактному нормальному про-
пространству приписывается определённая размерность noV. Размерность X
по Г обозначается символом Д (X, Г).
В определении числа Д (X, Г) речь идёт не только о пространстве X,
но и о группе Г. Л. С. Понтрягиным [3] построены примеры
компактов X в Е4, показывающие, что Д (X, Г) действительно зависит
от Г. С другой стороны, имеет место теорема Александрова-Понтрягина-
Франкля, утверждающая, что для всякого компакта в Е* все числа Д {X, <&т),
Л1 = 2, 3, 4, ... совпадают друг с другом и с dim X (П. С. Алексан-
Александров^ ]). Доказано также, что все числа А (X, Г) совпадают друг
с другом и с dim X, если X есть полиэдр (П. С. А л е к с а н д р о в [31]).
Результатом большой принципиальной значимости является теорема
Александрова-Понтрягина, утверждающая, что
¦для всякого компакта X, содержащегося в каком-нибудь конечно-мерном
евклидовом пространстве (П. С. А л е к с а н д р о в [31], Л. С. П о н-
трягин [9], П. С. Александров, Л. С. Понтрягин и
X. Хопф [1]). Таким образом урысон-менгеровская размерность
оказывается одной из гомологических размерностей, если ограничиться
рассмотрением компактов в Е" (л= 1, 2,...). Как обстоит дело вне этой
области, до сих пор неизвестно. Доказательство теоремы Александрова-
Понтрягина опирается на приведённую выше теорему П. С. Алексан-
Александрова о существенных отображениях (см. п. 47), на теорему Хопфа
о гомологической харастеризации «существенных отображений» поли-
*) См. П. С. Александров [55, 61].

222 ТОПОЛОГИЯ
пдров на п-мерную сферу и на закон двойственности Александера-Пон-
трягина (см. п. 61).
П. С. Александровым [31] установлено, что Д (X, Г)< dim X
Оля всякого компакта X в Еп. Таким образом* в области таких компактов
урысон-менгеровская размерность является наибольшей из гомологи-
гомологических размерностей.
Гомологическая теория размерности построена в основном для
компактов в Еп и для областей коэффициентов: ©т (т — 2, 3, ...),$.
(Построены также определения размерностей Д(Х, ©), А(Х, 91) и
Д(Х, $,), где 5R — аддитивная группа рациональных чисел, 9^ — аддитив-
аддитивная группа рациональных чисел, приведённых mod 1. Эти определения
выпадают из рамок приведённого выше определения гомологической
размерности.) Для этих пространств и областей коэффициентов доказан
ряд теорем, аналогичных теоремам урысон-менгеровской теории. В част-
частности, П. С. Александровым [31] доказана для гомологических
размерностей теорема суммирования и теорема существования канторо-
вых многообразий, содержащихся в компактах. Они формулируются ана-
аналогично соответствующим теоремам урысон -менгеровской теории с заме-
заменой dim X на Д(Х, Г) и с условием, что все рассматриваемые про-
пространства суть компакты в Е". Это ограничение существеннно для приво-
приводимых доказательств, так как в них используются гомологические свой-
свойства дополнительных по отношению к Еп множеств и всё рассуждение
относится к кругу идей «закона двойственности» Александера-Понтря-
гина (см. п. 61).
Л. С. П о н т р я г и и ы м [3] доказано, что для всякого простого
числа р и для всяких компактов X и Y имеет место «теорема умножения»:
Д (X X Y, ©р) = Д (X, ®р) -I- Д (Y, ®р),
тогда как для урысон-мепгеровской размерности она не имеет места.
В этом отношении урысон-менгеровская размерность не является
«наилучшей» из гомологических.
Для гомологических размерностей легко доказывается «монотония»:
если Д (X, Г) и Д (К, Г) определены и X есть подпространство Y, замкнутое
в Y, то Д(Х, Г)<Д(У, Г).
60. Крупнейшим достижением советской топологической школы
является установленное Л. С. П о н т р я г и н ым [9] обобщение «закона
двойственности» Александера. Первоначально этот закон относился
к полиэдрам в н-мерной сфере и к группам Бетти по @2. Л. С. П о н -
т р я г и н у удалось обобщить этот закон на произвольные замкнутые
множества в n-мерной сфере и произвольные группы Бетти, п-мерную
сферу удалось далее заменить произвольным «гомологическим много-
многообразием». Прежде чем формулировать определение этого понятия, нам
придётся ввести, в качестве его комбинаторной основы, понятие «абстракт-
«абстрактного гомологического многообразия».
Будем рассматривать произвольный Л-комплекс С. Пусть Т —
какой-нибудь из его остовов. Совокупность остовов S комплекса С, удо-
удовлетворяющих условиям:
Sf]T = A, SLJT6C,
очевидно, является подкомплексом С. Этот подкомплекс, зависящий от

ТОПОЛОГИЯ 223
С и Т, называется представителем Т в С. (Л. С. П о н т р я г и и [26].)
Мы будем обозначать его символом
Р(Т, С).
Мы говорим об А-комплексе, что он связный, если его нельзя пред-
представить как сумму двух непустых непересекающихся А-комплексов.
Мы говорим об п-мерном связном А-комплексе С, что он есть п-мерное
абстрактное гомологическое многообразие, если соблюдается следующее
условие: каковы бы ни были целое неотрицательное число г, меньшее п,
иг-мерный остов Т, принадлежащий С, имеем
@ при s = n — r--1.
Оказывается, что для всякого п-мерного абстрактного гомологиче-
гомологического многообразия С имеем В" (С, ©) ^ © или В1(С, ©) = {0]. В зави-
зависимости от этого абстрактные гомологические многообразия делятся на
ориентируемые—те, для которых осуществляется первое, и пеориен-
тируемые — те, для которых имеет место второе. Для всякого п-мерного
абстрактного гомологического многообразия С имеем В1 (С, @2) ^ ©».
Пусть теперь Х^ произвольный полиэдр. По определению, он гомео-
морфен некоторому прямолинейному полиэдру Y. Y является суммой сим-
симплексов некоторого Ё-комплекса К и, наконец, К определяет А-комплекс,
С—совокупность остовов вершин симплексов, принадлежащих К. Это
построение А-комплекса С по заданному полиэдру X не однозначно.
Оказывается, однако, что принадлежность построенного А-комплекса
к классу н-мерных абстрактных гомологических многообразий не зависит
от произвола конструкции и определяется, следовательно, исключительно
полиэдром X, как топологическим пространством. Это даёт возможность
определить п-мерное гомологическое многообразие, как полиэдр, дающий
л-мерное абстрактное гомологическое многообразие при только что опи-
описанной конструкции. Очевидно, что так определённое понятие п-мерного
гомологического многообразия является топологически инвариантным:
всякое пространство, гомеоморфное п-мерному гомологическому много-
многообразию, само является таковым. В дальнейшем мы под п-мерпым
многообразием будем понимать п-мерное гомологическое многообразие,
под п-мерным абстрактным многообразием-^ п-мерное абстрактное гомо-
гомологическое многообразие.
Оказывается далее, что классификация абстрактных многообразий на
ориентируемые и неориентируемые порождает соответствующую тополо-
топологически инвариантную классификацию п-мерных многообразий на ориен-
ориентируемые п-мерные многообразия и неориентируемые п-мерные много-
многообразия.
61. Для формулировки закона двойственности Александера-Понтря-
гина будет удобно ввести понятия «бесконечного А-комплекса», «беско-
«бесконечного Е-комплекса» и «бесконечного полиэдра».
Мы говорим о множестве остовов С, что оно есть бесконечный А-ком-
А-комплекс, если оно полно (см. п. 39) и таково, что всякий остов, принадлежа-
принадлежащий С, содержится лишь в конечном числе остовов, принадлежащих С
(условие «локальной конечности»). Мы говорим о множестве симплексов К
bF", что оно есть бесконечный Е-комплекс в ЕТ, если оно удовлетворяет усло-
условиям 1°и 2° определения Е-комплекса (см. п. 42) и всякая точка, принадле-

•224 ТОПОЛОГИЯ
жащая какому-нибудь симплексу из К, имеет в Ет окрестность, пересекаю-
пересекающуюся лишь с конечным числом симплексов из К (условие «локальной ко-
конечности»). Мы говорим о подмножестве пространства Ет, что оно есть
бесконечный прямолинейный полиэдр, если оно является суммой симпле-
симплексов некоторого бесконечного Е-комплекса в Ег. Мы говорим о простран-
пространстве, что оно есть бесконечный полиэдр, если оно гомеоморфно бесконечно-
бесконечному полиэдру. Оказывается, что всякое открытое подмножество бес-
бесконечного полиэдра само есть бесконечный полиэдр (теорема Рунге).
Понятия «бесконечного А (Е)-комплекса» и «бесконечного полиэдра»
являются обобщениями понятий «Л (Е)-комплекса» и «полиэдра». Многие
понятия и результаты, связанные с комплексами и полиэдрами, естест-
естественным образом обобщаются на бесконечные комплексы и бесконеч-
бесконечные полиэдры. Определение и-мерного А-комплекса дословно перено-
переносится на бесконечные А-комплексы. При определении групп Бетти бес-
бесконечного А-комплекса С мы будем рассматривать лишь конечные
<г, Г >-цепи в С, т. е. функции / от г+1 вершин С со значениями
в Г, удовлетворяющие условиям 1) и 2) определения < г, Г >-цепи
{см. п. 51) и условию 3): f(x0, ..., хг) = 0 для всех систем аргументов
за конечным числом исключений. Здесь Г может быть любой дискретной
группой. Оператор Д применяется к таким цепям совершенно так же,
как к цепям в конечном А-комплексе: мы получаем бесконечные суммы
элементов Г, причём, однако, лишь конечное число слагаемых отлично
от нуля; такие суммы мы трактуем, как конечные, отбрасывая нулевые
слагаемые. Мы получаем таким образом группы Z/ (С, Г) (всех конечных
< г, Г>-цепей в С), Z\(C, Г) (г-мерных конечных А-циклов в С по Г,
т. е. тех < г, Г >-цепей / в С, для которых Д/ = 0), Hi (С, Г) (г-мерных
циклов в С по Г, ограничивающих конечные <г+1,Г> цепи в С)
и ВЪ (С, Г) - Ъ\ (С, Г) / Н\ (С, Г). Группа В\ (С, Г) называется r-й Ь-груп-
пой Бетти бесконечного А-комплекса С по области Г.
Если теперь X бесконечный полиэдр, то он гомеоморфен некоторому
бесконечному прямолинейному полиэдру У. Y является суммой симпле-
симплексов некоторого бесконечного Е-комплекса К в Ег. Остовы вершин сим-
симплексов, принадлежащих К, образуют бесконечный А-комплекс С. Хотя
этот комплекс С и не определяется полиэдром X однозначно, его группы
Бетти В\ (С, Г) оказываются зависящими лишь от X с точностью до изомор»
¦фии, и являются топологическими инвариантами X. Эти группы мы будем
называть группами Бетти полиэдра X по области Г и обозначать симво-
символами br (X, Г), полагая ЬТ (X, Г)^В"(С, Г) *).
Заменяя в определении п-мерного абстрактного гомологического-
многообразия А-комплекс бесконечным А-комплексом, получаем опре-
определение бесконечного п-мерного абстрактного гомологического много-
многообразия. На его основе строится далее понятие бесконечного п-мерпого
гомологического многообразия (ср. п. 60)**). Бесконечные п-мерные
многообразия X классифицируются на ориентируемые и неориентиру-
?мые, в зависимости от того, имеем ли мы В! (X, Ш) «* й или не имеем.
Непустое открытое подмножество бесконечного п-мерного ориентируемого
многообразия является бесконечным п-мерным ориентируемым многооб-
многообразием.
*) Группы br (X, Г) не следует смешивать с группами В? (X, Г) (См. п. 57).
**) Прилагательное «гомологическое» в такой связи в дальнейшем опускается.

ТОПОЛОГИЯ 225
Для всякого ориентируемого бесконечного п-мерного многообразия X
имеет место закон двойственности Пуанкаре:
Brv(X, F)~ft»-'(X, Г) @<г<п),
где Г—любая дискретная группа.
Отсюда и из гакона двойственности Колмогорова-Александрова
(см. п. 58) следует закон двойственности Александера-Понтрягина:
Если бесконечное п-мерное ориентируемое многообразие X односвязно
в размерностях г и г+1 по области Г, то для всякого его замкнутого под-
подмножества Y имеем
Вд (Y,V)lb-r-i(X\Y,G). (8)
Здесь Г —бикомпактная группа, G—её группа характеров, 0<г<л—1.
Приведённый здесь вывод закона двойственности Александера-Пон-
Александера-Понтрягина принадлежит П. С. Александрову [61 ]*). В приведённой
форме закона двойственности предположение о замкнутости множества У
существенно: без этого предположения группы Бетти, фигурирующие в (8),
вообще говоря, не определены. Однако, в последнее время Г. С. Ч о г о-
швили [7, 8] и П.С.Александрову [64, 68] удалось значитель-
значительно обобщить этот закон, распространив его некоторым образом и на не-
незамкнутые У.
62. Гомологические свойства пространств и отображений интересны
не столько сами по себе, сколько в связи с другими свойствами, предста-
представляющими непосредственный интерес. Связь гомологических свойств с раз-
размерностью мы уже рассматривали (см. п. 59). Весьма важна связь гомоло-
гомологических свойств со свойствами «гомотопическими», определяемыми
с помощью понятия «деформации».
Пусть/и g—непрерывные отображения пространства X в пространство
Y. Мы говорим, что h есть деформация) в g в пространстве У, если h такое
непрерывное отображение пространства Хх/ в пространство К, что
А<х, 0>=/х, Л<х, 1> =gx при xgX**). Мы говорим, что / гомотопно g
вY, если существует деформация/ в g в пространстве У. Так, определён-
определённое отношение гомотопии в У, очевидно, рефлексивно, симметрично и тран-
зитивно. Оно ведёт поэтому к разбиению непрерывных отображений
Хв Y на классы: два непрерывных отображениях в У тогда и только тогда
относятся к одному классу, когда они гомотопны. Эти классы непрерыв-
непрерывных отображений X в У называются классами гомотопии X в У. Гомото-
Гомотопическим инвариантом отображения X в У называется всякая функция
непрерывного отображения X в У, принимающая одинаковые значения
для любых двух гомотопных отображений.
Одним из наиболее неожиданных открытий последнего времени
в области топологии явилось выполненное Хопфом доказательство суще-
существования бесконечного множества классов гомотопии трёхмерной сферы
S,в двухмерную 5г.Хопф определил при этом некоторый численный гомо-
*) При этом выводе случай г—п—1 оказался исключённым. Двойственность
(8) имеет, однако, место и при г=п—1, если многообразие X односвязно в размерности
я—I. Это следует, например, из «общего закона двойственности Александера-Пон-
Александера-Понтрягина» (П. С. Александров [61], стр. 270), после исправления ошибки
в приведённой П. С. Александровым формулировке этого закона: перед словом
¦о» должно быть вставлено «ограничивающих в К»; после слова «цепи» должно
быть вставлено «в Г».
**) Мы рассматриваем здесь точки пространства Хх/, как упорядоченные
«пары <х, t>, такие, что х? X, ??/.
15 Математика в СССР за 30 лет.

226 ТОПОЛОГИЯ
топический инвариант отображенийS3 в Sa и показал, что этот инвариант
может принимать всевозможные целые значения. Л. С. По нтряги н [19]
завершил гомотопическую классификацию отображений S3 в S2, дока-
доказав, что инвариант Хопфа является единственными
Для гомотопии двух непрерывных отображений Sa в S2 необходимо
и достаточно совпадения их хопфовых инвариантов.
Л. С. П о н т р я г и н [14, 15] рассматривал также общую проблему
гомотопической классификации непрерывных отображений полиэдра на
сферу. Для ряда случаев он получил интересные результаты, хотя
в целом задача является до сих пор неразрешённой. Во всех этих иссле-
дованиях Л. С. Понтрягина теория гомологии сыграла самую
существенную роль.
Пусть А—подмножество пространства X. Говорят, что А стягиваемо
в точку в пространстве X, если тождественное отображение А, рас-
рассматриваемое как отображение Л в X, гомотопно в X отображению А
в одну точку X. Наименьшее из чисел п, таких, что А может быть пред-
представлено в виде суммы п множеств, стягиваемых в точку в X, назы-
называется категорией А в X. Понятие «категории» было введено Л. А. Л ю-
стерником и Л. Г. Шнирельманом [1], как одна из основ
разработанных ими топологических методов вариационного исчисле-
исчисления*). Эти методы также существенным образом опираются на теорию
гомологии. С их помощью был получен ряд замечательных новых резуль-
результатов вариационного исчисления; достаточно вспомнить известную теорему
Л. А. Люстерникаи Л. Г. Ш н и р е л ь м а н а [2, 3] о суще-
существовании трёх замкнутых геодезических линий на поверхности рода 0.
Мы имеем здесь блестящий пример плодотворного взаимодействия топо-
топологии с другими отделами математики.
Пусть X —компакт в Er, U— открытое множество в Er, Y — поли-
полиэдр в Ег. Под разъединением X и Y в U будем понимать такую дефор-
деформацию h тождественного отображения множества X\JY в Ег, что
h(Xxl)dU,
h<x,\>=h<y,\>
а<х,/>=х
Будем говорить, что компакт X в Ег образует п-мерное гомотопиче-
гомотопическое препятствие в своей точке х, если эта точка имеет окрестность U в
Ег, удовлетворяющую условию: в любой окрестности точки х содержится
полиэдр размерности г—п—1, непересекающийся с X, и такой, что не суще-
существует его разъединений с X в U. П. С. Александровым [31]
доказана следующая теорема:
Компакт X в Ег тогда и только тогда п-мерен в смысле Урысона-
Менгера, когда он образует п-мерное гомотопическое препятствие хотя
бы в одной своей точке и не образует гомотопических препятствий высшей
размерности ни в какой своей точке.
Доказательство этой замечательной теоремы, характеризующей л-мер*
ные компакты в ЕТ в гомотопических терминах, связанных с распо-
расположением этих компактов в Ег, также существенно использует теорий;
•) Литературу вопроса см. в статье Л. А. Люстерника [14].

ТОПОЛОГИЯ 227
гомологии, относясь к кругу идей закона двойственности Александера-
Понтрягина.
63. Ряд работ советских топологов посвящен так называемым «откры-
«открытым» отображениям. Мы говорим о непрерывном отображении / про-
пространства X в пространство У, что оно открыто, если /-образ всякого
множества, открытого в X, есть множество, открытое в У.
Известно, что при непрерывных отображениях размерность может
повышаться, т. е. что имеются примеры непрерывных отображений про-
пространств на пространства высшей размерности. Первым примером этого
рода было известное пеановское отображение отрезка на квадрат. Есте-
Естественно возникла проблема: возможно ли повышение размерности при от-
открытых отображениях, иначе говоря, может ли существовать открытое
отображение пространства X на пространство У при dim X<dim У?
Эта проблема была решена в положительном смысле А. Н. Колмого-
Колмогоров ым [10], построившим, с помощью теории спектров с использованием
понтрягинских компактов (см. п. 59), открытое отображение одномерного
компакта на двухмерный. В самое последнее время Я. М. Ка ж д а н у [1 ]
удалось построить открытое отображение одномерного компакта на
квадрат.
С другой стороны, П.С.Александров доказал следующую тео-
теорему:
Если существует счётно-кратное открытое отображение компакта
X на компакт У, то dimX = dimF.
Мы говорим при этом, что отображение / множества X на мно-
множество Y счётно-кратно, если мощность /-прообраза всякого элемента
множества Y не больше >^0.
П. С Александровым поставлен остающийся нерешённым
вопрос: возможно ли открытое отображение куба /" на куб 1т при
л</л?
Хотя этот обзор и не является полным (из-за недостатка места
в нём не упоминается о многих важных вопросах, рассматривавшихся
советскими топологами), автор надеется, что читатель вынесет впеча-
впечатление значительности вклада советских учёных во все ветви современ-
современной топологии и вместе с тем единства этой большой науки, тесно
и плодотворно связанной с другими отделами математики.

13
[4
БИБЛИОГРАФИЯ.
Александров А. Д.
О разбиениях и покрытиях плоскости. Матем. сб., 2 D4), A937), 304—318.
Additive set-functions in abstract spaces. Матем. сб., 8 E0), A940), 307—348.
Additive set-functions in abstract spaces. Матем. сб., 9 E1), A941), 563—628.
О расширении хаусдорфова пространства до Я-замкнутого. ДАН, 37 A942),
9
[6] S
[7] S
С
138—141.
f5] Additive set-functions in abstract spaces. Матем. сб., 13 E5),( 1943), 169—238.
[б] Геометрия и топология в Советском Союзе, 1. Успехи матем. наук, 2:4 B0),
A947), 3-58.
|7] Геометрия и топология в Советском Союзе, П. Успехи матем. наук, 2:5 B1),
(!947), 9—92.
Александров П. С.
[I] Sur les proprietes locales des ensembles et la notion de compacticite. Bull. Acad.
Polonaise (A), A923), 9—12.
B1 Sur les ensembles de la premiere classe et les espaces abstraits. C. R. Acad. Sci.,
178 A924), 185—187.
C1 Ober die Struktur der bikotnpakten topologischen Raume. Math. Ann., 92 A924),
267—274.
[4] Ober die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Raume. Math. Ann.,
92 A924), 294—301.
[5! Zur Begrflndung der n-dimensionalen mengen-theoretischer Topologie. Math. Ann.,
94 A925), 296—308.
Sur la dimension des ensembles fermes. C. R. Acad. Sci., 183 A926), 640—643.
Sur les multiplidtees cantoriennes et le theoreme de Phragmen-Brouwer generalise,
С R. Acad. Sci., 183 A926), 722—724.
[8] Notes supplementaires au «Memoire sur les multiplicltees Cantoriennes», redigees
d'apres les papiers posthumes de Paul Urysohn. Fund. Math., 8 A926), 352—359.
|9] Ober stetige Abbildungen kompakter Raume. Proc. Amsterd. Akad., 28 A926), 997.
[10] Об основных направлениях современной топологии. М., Трудь' Всеросс. матем.
съезда A927), 64—S9.
[Ill Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. Math. Ann., 96 A927),
489—511.
[12] Ober kombinatorische Eigenschat allgemeiner Kurven. Math. Ann., 96 A927),
512—554.
[13] Ober stetige Abbildungen kompakter Raume. Math. Ann., 96 A927), 555—571.
f 14] Ober die DualitSt zwischen den Zusammenhangszahlen einer abgeschlossenen Menge
und des zu ihr komplementaren Raumes. G6tt. Nachr. A927), 323—329.
[15] Une definition desnombresde Betti pour un ensemble ferme quelconque,С R. Acad.
Sci., 184 A927), 3l7—320.
[16] Sur la decomposition de 1'espace par des ensembles fermes. С R. Acad. Sci.,
184A927), 425—427.
[17] Une generalisation nouvelle du theoremede Phragnun-Brouwer. С R. Acad. Sci.,
184 A927), 575—578.
[18] Darstellung der Grtmdzuge der Urysohn'schen Dimensions theorie. Math. Ann.,
98 A928), 31—63.

БИБЛИОГРАФИЯ 229
[19] Ober den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren
geometrischen Anschauung. Math. Ann., 98 A928), 617—«36.
[20] Zum verallgemeinerten Phragmen-Brouwer'schen Satz. Fund. Math., 11 A928),
222—227.
[21] Zum allgemeinen Dimensionsproblem. Gott. Nachr. A928), 25—44.
[22] Sur l'homeomorphie des ensembles fermes. С R. Acad. Sci., 186A928), 1340—1342.
[23] Sur les frontieres de domaines connexesdans l'espacea п-dimension. С R. Acad. Sci.,
186 A928), 1696—1698.
[24] Bemerkung zu meiner Arbeit «Slmpliziele Approximationen in der allgemeinen
Topologie». Math. Ann., 101 A929), 452—455.
[251 Ober endlich-hoch zusamtnenhangende stetige Kurven. Fund. Math., 13 A929),
34—41.
[26] Untersuehungen fiber Oestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimen-
Dimension. Ann. of Math., 30 A929), 101—187.
[27] Ober geschlossene Cantorsche Mannigfaltigkeiten. G6tt. Nachr. A930), 211—219.
[28] Sur la thcorie de la dimension. С R. Acad. Sci., 190 A930), 1102—1104.
[29] Analyse geometrique de la dimension des ensembles fermes. С R. Acad. Sci.,
191 A930), 475—477.
[30] Sur la notion de dimension des ensembles fermes. J. math. pur. appl., 11 A932),
283—298.
[31] Dimensionstheorie. Ein Beitrag zur Geometrie der abgeschlossenen Mengen. Math.
Ann., 106 A932), 161—238.
[32] Ober die Urysohnschen Konstanten. Fund. Math., 20 A933), 140—150.
[33] Ober einen Satz von Herrn K- Borsuk. Monatshefte f. Math. u. Phys., 40 A933),
127—128.
[34] Bettische Zahlen und s-Abbildungen. Fund. Math., 22 A934), 17—20.
[35] Sur les proprietes locales des ensembles fermes. C. R. Acad. Sci., 198 A934),
227-229.
Les groupes dc Betti en un point. С R. Acad. Sci., 198 A934), 315—317.
0 простейших понятиях современной топологии. М.—Л., ОНТИ A935), 1—32.
Die A-Mengen und die topologische Konvergenz. Fund. Math., 25 A935), 561—567.
Sur les espaces discrets. С R. Acad. Sci., 200 A935), 1649—1651.
Sur les suites d'espaces topologlques. С R. Acad. Sci., 200 A935), 1708—1711.
On local properties of closed sets. Ann. of Math., 36 A935), 1—35.
Алгебраические методы в топологии. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда,
т. 1 A936), 88—108.
[43] О некоторых вопросах топологии замкнутых, множеств. Л., Труды второго Все-
Всесоюзн. матем. съезда, т. 2. A936), 123.
{44] О счётно-кратных открытых отображениях. ДАН, 4 A936), 283—288.
[45] Einige Probletrtstellungen in der mengen-theoretischen Topologie. Матем. сб.,
1 D3), A936), 619—634.
46 К теории топологических пространств. ДАН, 2 A936), 51—54.
47 Diskrete RSutne. Матем. сб., 2 D4), A937), 501—520.
48 Zur Homologie-Theorie der Kompakten. Сотр. Math., 4 A937), 256—270.
49 Algunas problemas planteados en la topologia conjuntista. Rev. mat. hisp.-amer.,
13 A938), 1—33.
[50] Топология. Сб. «Математика и естествознание в СССР», Изд. АН A938), 79—96.
51] О бикомпактных расширениях топологических пространств. Матем. сб., 5 D7),
A939), 403—424.
[52] О-размерности бикомпактных пространств. ДАН, 26 A940), 627—630.
[53] Группы Бетти и кольца гомологии локально-бикомпактных пространств. ДАН,
26 A940), 631—634.
[54] Исправление к работе П. С. Александрова и В. В. Немыцкого «Условие метризуе-
метризуемости топологических пространств и аксиома симметрии». Матем. сб., 8 E0),
A940), 519.
[55] Общая теория гомологии. М., Учён. зап. ун-та, 45 A940), 3—60.
[56] Вывод закона двойственности Александера-Понтрягина из закона двойственности
Колмогорова. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 401—410.
[57] Теорема сложения в теории размерности бикомпактных пространств. Тбилиси,
Сообщ. Гр. фил. АН, 2 A941), 1—6.
[58] Основные гомологические построения для общих проекционных спектров. Тби-
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 2 A941), 213—219.
[59] Закон двойственности для проекционных спектров и локально-бикомпактных
пространств. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 2 A941), 315—319.
160] General combinatorial topology. Trans. Amer. Math. Soc, 49 A941), 41—105.

230 ТОПОЛОГИЯ
[61] О гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств.
ИАН, сер. матем., 6 A942), 227—282.
[62] On homological situation properties of complexes and closed sets. Trans. Amer. Math.
Soc, 54 A943), 286—339.
[63] О понятии пространства в топологии. Успехи матем. наук, 2:1 A7), A947), 5—57.
[64] Общий закон двойственности для незамкнутых множеств п-мерного пространства.
ДАН, 57 A947), 107—110.
[65] Гомологические соотношения в областях двойственности. ДАН, 57 A947),
211—214.
[66] Комбинаторная топология. М—Л., ГТТИ A947), 1—660.
[67] Теоремы двойственности в комбинаторной топологии. В кн. «Юбилейный сбор-
сборник, посвященный тридцатилетию'Великой Октябрьской социалистической ре-
революции», т. 1, М.—Л., Изд. АН A947), 134—180.
[68] Основные теоремы о двойственности для незамкнутых множеств п-мерного
пространства. Матем. сб., 21 F9), A947), 161—231-
Александров П. С. «Ефремович В. А.
[1] Очерк основных понятий топологии. М.—Л., ОНТИ A936), 1—94.
Александров П. С. иКолмогоров А. Н.
[1] Endliche Ueberdeckungen topologischer Raume. Fund. Math., 26 A936), 267—271.
Александров П. С. и Н е м ы ц к и й В. В.
[1] Условие метризуемости топологических пространств и аксиома симметрии. Матем-
сб., 3 D5), A938), 663—672.
Александров П. С. иПонтрягнн Л. С.
[1] Les varietes a п-dimensions generalisees. С. R. Acad. Sci., 202 A936), 1327—1329.
Александров П. С. и Проскуряков И. В.
[I] О приводимых множествах. ИАН, сер. матем., 5 A941), 217—224.
Александров П. С. и Т у м а р к и и Л. А.
[1] Beweis des Satzes, dass jede abgeschlossene Menge positiver Dimension in einem lo-
kal zusammenhangenden Kontinuum von derselben Dimension topologisch enthalten
ist. Fund. Math., 11 A928), 141—144.
Александров П. С. иУрысон П. С.
Ш Une condition necessaire et suffisante pour qu'une classe (L) soit une classe (D).
С R. Acad. Sci., 177 A923), 1274—1276.
[2] Zur Theorie der topologischen Raume. Math. Ann., 92 A924), 258—266.
[3] Ober nulldimensionale Punktmengen. Math. Ann., 98 A927), 89—106.
14] Merhoires sur les espaces topologiques compacts. Amsterdam. Verh. Kon. Akad.
Wet., 14:1 A929), 1—96.
[5] Sur les espaces topologiques compacts. Bull. Acad. Polonaise; (A) A929), 5—8.
Александров П. С. и Хопф X.
[1] Topologie, 1. Berlin A936).
Александров П. С, П о и т р я г и н Л. С. и Хопф X.
11] Ober den Brouwerschen Dimensionsbegriff. Сотр. Math., 4 A937), 239—255.
Барбашин Е. А.
11]. О о-покрытиях пространства. Матем. сб., 18F0), A946), 423—429.
БебутовМ. В.
[1] Одна теорема о симплициальных комплексах. ДАН, 19 A938), 347—348.
БебутовМ. В. иШнейдерВ. Е.
[1] Об одном счётном топологическом пространств. М., Учён. зап. ун-та, 30 A939),
157—160.
Бокштейн М. Ф.
11] Ober die Homologiergruppen der Vereinigung zweier Komplexe. Матем. сб., 9 E1),
A941), 365—376.

БИБЛИОГРАФИЯ 231
[2] Универсальные системы колец V-гомологий. ДАН, 37 A942), 275—278.
13] Полная система полей коэффициентов для V-гомологической размерности. ДАН,
38 A943), 207—210.
[4] Гомологические инварианты топологического произведения двух пространств.
ДАН, 40 A943), 387—390.
Брушлинский Н. К.
[I] Stetige Abbildungen und Bettische Gruppen der Dimensionszahlen 1 und 3. Math.
Ann., 109 A934), 525—537.
[2] О группе отображений топологического пространства на группу Lie. Л., Труды
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 137—138.
Вайнберг Н. М.
[I] О свободной эквивалентности замкнутых кос. ДАН, 23 A939), 215 216.
[2] О регулярной замкнутости топологических пространств. ДАН, 31 A941),
Вайнштейн И. А.
[I] О замкнутых отображениях метрических пространств. ДАН, 57A947), 319—321.
[2] Об одной проблеме П. С. Александрова. ДАН, 57 A947), 431—434.
Вайнштейн ИА. иКаждан Я. М.
[1] Конечнократные непрерывные отображения, повышающие размерность. ИАН, сер.
матем., 8 A944), 129—138.
Веденисов Н. Б.
[1] Sur les espaces metriques complete. J. math. pur. appl., 9 A931), 377—382.
[2] Sur les fonctions continues dans les espaces topologiques. Fund. Math., 27A936),
^3 423
[3] Sur un probleme de M. Paul Alexandroff. Ann. of. Math., 37 A936), 427—428.
[4] О многообразиях в смысле Е. Cech'a. ДАН, 16 A937), 443-446.
[5] О некоторых топологических свойствах упорядоченных множеств. М., Учён. зап.
пед. ин-та, сер. физ.-матем., 2A938), 15—26.
[6] Замечания о непрерывных функциях в топологических пространствах. М., Учён.
зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем., 2 A938), 47—54.
[7] Замечания о размерности топологических пространств. М., Учён. зап. ун-та,
30 A939), 131-140.
[8] Обобщение одной теоремы теории размерности. М., Учён. зап. пед. ин-та им. Либ-
кнехта, 7 A940), 35—40.
[9] Generalisation de quelques the"oremes sur la dimension. Сотр. Math., 7 A940),
194—200.
[10] О размерности n смыслеЕ. Cech'a. ИАН, сер. матем., 5 A941), 211—216.
Верченко И. Я.
[1] Об ациклических континуумах, непрерывно отображаемых в себя без неподви-
неподвижных точек. Матем. сб., 8 E0), A940), 295—306.
Войдиславский М. Р.
[1] Некоторые приложения одного критерия для того, чтобы континуум был плоским,
Матем. сб., 18 F0), A946), 29—40.
В у л и х Б. 3.
II] О метризации сходимостей в линейных пространствах. ДАН, 23 A939), 433—437.
[2] О линейных пространствах с заданной сходимостью. Л., Учён. зап. ун-та, 10A940),
40—63.
Гинзбург А. М.
|l] Aufgabe der vier Farben. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 8 A934), 73—90.
Глезерман М. Е. иПонтрягин Л. С.
[1] Пересечения в многообразиях. Успехи матем. наук 2:1 A7), A947), 58—155.
Гордон И. И.
II] О минимальном числе критических точек функции, заданной на многообразия.
Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2. A936), 123—125.

232 ТОПОЛОГИЯ
[2] On the minimal number of critical points of a real function defined on a manifold.
Матем. сб., 4 D6), A938), 105—113.
Гуль И. М.
[1] Топологическая формула инциденций. ДАН, 56 A947), 895—898.
Ефремович В. А. '
[I] Zur Theorie der nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten. Math. Z., 29 A928—1929),
55—59.
[2] Топологическая классификация аффинных отображений плоскости. Л., Труды
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 127—129.
[3] О неразложимости в топологическое произведение. ДАН, 49 A945), 483—484.
Ефремович В. А. иКрейнес М. А.
[1] К топологии поверхностей второго порядка. ДАН, 2 A935), 365—367.
Зарицкий М. О.
[1] Деяш властивосп поняття похщно! множини в абстрактних просторах. Львов,
Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матем., 5:1 A947), 22—33.
К а ж д а и Я. М.
[1] Пример открытого отображения одномерного локально связного континуума на
квадрат. ДАН, 56 A947), 339—342.
Келдыш Л. В.
11] Непрерывные отображения компактов. ДАН, 58 A947), 181—184.
[2] Непрерывные отображения нульмерного компакта. ДАН, 58 A947), 1585—1588.
Колмогоров А. Н.
[1] Zur topologisch-gruppentheoretischen Begrundung der Geometrie. G6tt. Nachr.,
2 A930), 208—210.
[2] Zur Begrundung der projektiven Geometrie. Ann. of Math., 33 A932), 175—176.
[3J Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes. Studia
math., 5 A934), 29—33.
[41 Ober die Dualitat im Aufbau der kombinatorischen Topologie. Матем. сб., 1 D3),
A936), 97—102.
[5] Homologierung des Komplexes und des lokal-bikompakten Raumes. Матем. сб..'
1 D3), A936), 701—706.
[61 Les groupes de Betti des espaces localement bicompacts. С R. Acad. Sci.,
202 A936), 1144—1147.
[7] Proprietes des groupes de Betti des espaces localement bicompacts. C. R. Acad. Sci.,
202 A936), 1325—1327.
Les groupes de Betti des espaces metriques. С R. Acad. Sci., 202 A936), 1558—1560.
Cycles relatifs. Theoreme de dualitede M. Alexander. C. R. Acad. Sci., 202A936),
1641—1643.
[10] Ober offene Abbildungen. Ann. of Math., 38 A937), 36—38.
[II] Grandeurs gauches et invariants topologiques. Труды семин. повекторн. и тензорн.
анализу, 4 A937), 342—347.
[12] Точки локальной топологичности счётнократных открытых отображений компак-
компактов. ДАН, 30 A941), 477—479.
К о л ь м а и Э.
[1] О разбиении круга. Матем. сб., 2 D4), A937), 65—77.
Комаревский В. м.
[1] Об одном свойстве линейных континуумов с точками ветвления. Ташкент, Труда1
Турк. ун-та, 6—8 A922), 19—26.
B] Теорема Euler'a о многогранниках. Историко-критический обзор различных «8
доказательств. Ташкент, Труды Турк. научн. о-ва, 2 A925), 141—172.
Кон-Фоссен С. Э.
[1] О существовании кратчайших путей. ДАН, 3 A935), 339—342.
КрейнМ. Г. иКрейнС. Г.
11] Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерывных функций,
определённых на хаусдорфовом бикомпактном множестве. ДАН. 27 A940),
427—431.
[8]
9]

БИБЛИОГРАФИЯ 233
[2] Sur l'espacc des fonctions continues definies sur un bicompact de Hausdorff ct ses
sousespaces semiordonnes. Матем. сб., 13 E5), A943), 1—37.
К р е й и е с М. А.
[11 Zur Konstruktion der Poincare-RSume. Rend. circ. mat. Palermo, 16 A932),
277—280.
[2] Формальное умножение топологических комплексов. Матем. сб., 41 A934),
332—338.
Крыжа новский Д. А.
[11 До теорп точкових множин (Про теорему Больцано-Вайерштраса). Одесса, Зап.
НИ кафедр., 2:3 A926), 96—99.
Кудрявцев Л. Д. иРодиянский А. М.
[1] О мощности системы компонент множеств типа FQ. ДАН, 52 A946),*3—6.
К у р о ш А. Г.
[1] Kombinatorischer Aufbau der bikompakten topologischen Raume. Сотр. Math.,
2 A935), 471—476.
[2] К теории частично упорядоченных систем конечных множеств. Матем. сб., 5 D7),
A939), 345—347.
Лаврентьев М. А.
[1] Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes. Fund. Math., 6 A925).
Либерман И. М.
[11 О некоторых характеристических свойствах выпуклых тел. Матем. сб., 13 E5),
A943), 2о9—262.
Лихтенбаум Л. М.
[1] О двух новых топологических инвариантах. Матем. сб., 35 A928), 287—292.
[2] Исследования из топологии континуумов. М., Изд. Комм. акад. A928).
[3] Понятие кривой с точки зрения современной топологии. М., Изд. Комм. акад.
A929), 112.
[4] Sur un invariant topologique. C. R. Acad. Sci., 193 A931), 1307—1308.
[5] Об одной теореме плоской топологии. Матем. сб., 1 D3), A936), 907—916.
Л у з и н Н. Н.
[1] Sur l'accessibilite de points. Fund. Math., 12 A928), 158—159.
Львовский В. Д.
[1] О построении замкнутых односторонних поверхностей с замкнутыми двойными
линиями. Матем. сб., 32 A925), 353—356.
[2] О замкнутых двухсторонних трёхмерных пространствах. Л., Ж. физ.-матем.о-ва,
1 A927), 169—181.
[3] О замкнутых односторонних трёхмерных пространствах. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2:2 A928), 104—122.
[4] Некоторые гомеоморфизмы областей трёхмерного пространства. Л., Труды вто-
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 129—130.
[5] Диаграмма Heegaard'a трёхмерного пространства и фундаментальная группа. Л.,
Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 131—135.
ЛюстерникЛ. А.
[1] TopologischeGrundlagen der allgemeinen Eigenwerttheorie. Monatschefte, f. Math.
u. Phys., 37 A930), 125—130.
[2] Ober die topologischen Eigenschaften der Kurvenf ami lien auf Flachen. Матем. сб.,
38 A931), 59—65.
[3] Замечания к некоторым вариационным задачам. М., Учён. зап. ун-та, 2 A934),
17—23.
[4] Замкнутые геодезические на многомерных сферических многообразиях. ДАН,
26 A940), 328—330.
E] Пересечения в локально линейных пространствах. ДАН, 27 A940), 771—774.
6] Топологическая структура одного функционального пространства. ДАН,
27 A940), 775—777.
[7] Кольцо пересечений в одном функциональном пространстве. ДАН, 38 A943),
67—69.

234 ТОПОЛОГИЯ
[8
r[9
[10
МП
112.
[13
О семействе дуг с общими концами на сфере. ДАН, 39 A943), 85—87.
О размерности критических множеств. ДАН, 39 A943), 371—372.
О категориях некоторых семейств дуг. ДАН, 40 A943), 147.
О числе решений вариационной задачи. ДАН, 40 A943), 243—245.
Новое доказательство теоремы о трёх геодезических. ДАН, 41 A943), 3—5.
Топология и вариационное исчисление. Успехи матем. наук, 1:1 A1), A946),
30—56.
[14] Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом.
Труды матем. ин-та им. Стеклова, 19 A947), 1—96.
Люстерник Л. А. и Шнирельман Л. Г.
[1] Sur un principe topologique en analyse. С R. Acad. Sci., 188 A929), 295-298.
[2] Existence de trois lignes geodesiques fermees sur toute surface de genre 0. C. R.Acad.
Sci., 188 A929), 534—537.
[3] Sur le problem e de trois lignes geodesiques fermees sur la surface de genre 0.
С R. Acad. Sci., 189 A929), 269—271.
[4] Топологические методы в вариационных задачах. М., ГИЗ A930), 1—68.
[5] Применение топологии к экстремальным задачам. Л., Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда, т. 1 A936), 224—237.
[6] Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифферен-
дифференциальной геометрии поверхностей. Успехи матем. наук, 2:1 A7), A947),
166-217.
М а р к о в А. А.
[1] Sur une propriete generate des ensembles tninimaux de M. Birkhoff. С R. Acad.
Sci., 193 A931), 823—825.
[2] Sur les espaces vectoriels consideres comme groupes topologiques. С R. Acad.Set.,
197 A933), 610—612.
[3] Об изотопии компактных множеств в эвклидовых пространствах. ДАН, 3 A934),
137—140.
Ober endlich-dimensionale VektorrSume. Ann. of Math., 36 A935), 464—506.
Некоторые теоремы об абелевых множествах. ДАН, 1 A936), 299—302.
Ober die freie Aequivalenz der geschlossenen Z6pfe. 1 D3), A936), 73—78.
О существовании интегрального инварианта. ДАН, 17 A937), 455—458.
On mean values and exterior densities. Матем. сб., 4 D6), A938), 165—191.
On the definition of a complex. Матем. сб., 5 D7), A939), 545—550.
Что такое гладкая поверхность? Л., Учён. зап. ун-та, 10 A940), 27—39.
О свободных топологических группах. ДАН, 31 A941), 299—302.
О существовании периодических связных топологических групп. ИАН, сер. ма-
матем., 8 A944), 225—232.
О безусловно замкнутых множествах. ДАН, 44 A944), 196—197.
О свободных топологических группах. ИАН, сер. матем., 9 A945), 3—64.
Основы алгебраической теории кос. Труды матем. ин-та им. Стеклова,
4
5
6
7
8
9
[ 0
[И
[12]
[13
Г14
[15
16 A945), 1—54.
[16] О безусловно замкнутых множествах. Матем. сб., 18 F0), A946), 3—28.
Маркушевич А. И.
[1] О некоторых классах непрерывных отображений. ДАН, 28 A940), 301—304.
[2] О продолжении по непрерывности. Матем. сб. 16 E8), A945), 43—58.
Н ем ы цк и й В. В.
[1] On the «third axiom of metric space». Trans. Amer. Math. Soc, 29 A927), 507—513.
[2] Проблема метризации и аксиомы метрического пространства. Труды матем. раз-
раздела Комм, акад., 1 A928), 66—72.
[3] Ober die Axiome des metrischen Raumes. Math. Ann., 104 A930), 606—617.
[4] Метод неподвижных точек для проблем анализа. Л., Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда, т. 2 A936), 141—152.
Н е м ы Ц к и й В. В. и Т и х о н о в А. Н.
[1] Beweis des Satzes, dass ein metrisierbarer Raum dann und nur dann kompakt ist,
wenn er in jeder Metrik vollstandig ist. Fund. Math., 12 A928), 118—120.
О ч а н 10. С
[1] Пространство подмножеств топологического пространства. ДАН, 32 A941),
111—113.

БИБЛИОГРАФИЯ 235
[2] К вопросу о проблеме Суслина. ИАН, сер. матем., 5 A941), 423—426.
|3] Об одной теореме Бэра. ИАН, сер. матем., 5 A941), 427—430.
[4] Пространство подмноже'ств топологического пространства. Матем. сб., 12 E4),
A943), 340—352.
Пархоменко А. С.
[1] О взаимно-однозначных и непрерывных отображениях. Матем. сб., 5 D4), A939),
197—210.
[2] Об уплотнениях в компактные пространства. ИАН, сер. матем., 5 A941), 225—232.
Петров А. А.
[\] О покрытии компактных пространств. Матем. сб., 12 E4), A943), 109 — 120.
Петровский И. Г.
A] Sur la topologie des courbes planes reelles etalgebriques. C. R. Acad. Set., 197 A933),
1270—1272. »
[2] On the topology of real plane algebraic curves. Ann. of Math., 39 A938), 197—209.
П о л а к А. И.
[1] Открытые отображения и непрерывные разбиения. ДАН, 1 A936), 151—152.
|2] Непрерывные отображения метрических пространств в связи с теорией открытых
отображений. М., Учён. зап. ун-та, 30 A939), 165—180.
131 Об открытых отображениях локально связных континуумов М., Учён. зап. ун-та,
30 A939), 181—1S4.
П о н т р я г и и Л. С.
Tl] Zum Alexanderschen Dualitatssatz. Gott. Nachr. A927), 315—322.
J2] Zum Alexanderschen Dualitatssatz, 11. Gott. Nachr. A927), 446—456.
C] Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension. C. R. Acad. Sci.,
190 A930), 1105—1107.
14] Einfacher Beweis eines dimensionstheoretischen Ueberdeckungssatzes. Ann. of
Math., 32 A931), 761—762.
[5] Oberdenalgebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze. Math. Ann. 105A931),
165—205.
F] Ober stetige algebraische Кбгрег. Ann. of Math., 33 A932), 163—174.
?7] Der allgemeine Dualitatssatz fur abgeschlossene Mengen. Int. Mathematikerkongress
Zurich, 2 A932), 195—197.
|8] The theory of topological commutative groups. Ann. of Math. 35 A934), 361—388.
J9] The general topological theorem of duality for closed sets. Ann- of Math., 35 A934),
904—914. (Есть русский перевод см. [27].)
[10] Sur les nombres de Betti des groupes de Lie. С R. Acad. Sci., 200 A935), 1277—1280.
jll] Числа Бетти компактных групп Ли. ДАН, 1 A935), 433—437.
[12] Sur les transformations des spheres en spheres. С R. Congr. intern, math. Oslo,
2 A937), 140.
[13] Classification des transformations d'un complexe in—l)-dimensionnel dans une
sphere/г-dimensionnelle. С R. Acad. Sci., 206 A938), 1436—1438.
[14] Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу, I. ДАН, 19 A938),
147—150.
[15] Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу, П. ДАН,
19 A938), 361—364.
[16] Homologies in compact Lie groups. Матем. сб., 6 D8), A939), 389—422.
[17] Ober die topologische Struktur der Liesche Gruppen. Comment. Math. Helv.,
13 A941), 277.
118] Product in complexes. Матем. сб., 9 E1), A941), 321—330.
[19] A classification of mappings of the three-dimensional complex into the two-dimen-
two-dimensional sphere. Матем. сб., 9 E1), A941), 331—364.
[20] Отображения трёхмерной сферы в п-мерный комплекс. ДАН, 34 A942), 39-41.
21] Характеристические циклы многообразий. ДАН, 35 A942), 35-39.
22] A method of calculation of homology groups. Матем. сб., 11 E3), A942;, 3—14.
23] Некоторые топологические инварианты римановых многообразий. ДАН, 43 A944),
95—98.
[24] Характеристические циклы. ДАН, 47 A945) 246—249.
[25] Классификация некоторых косых произведений. ДАН, 47 A945), 327—330.
{26] Топологические теоремы двойственности. Усп. матем. наук, 2:2 A8), A947), 21—44.

236 ТОПОЛОГИЯ
Ober stetige Kurven. Proc. Amsterdam. Acad., 29 A927).
О разбиении плоскости непрерывными кривыми. М., Труды асе. ии-тов ун-та A928),
Sur les decompositions continues de surfaces endescourbes cantoriennes. С R. Acad.
[27] Общая топологическая теорема двойственности для замкнутых множеств. (Пере-
(Перевод [9].) Успехи матем.. наук, 2:2 A8). A947), 45—55.
[28] Основы комбинаторной топологии. М.—Л., ГТТИ A947), 1—142.
Понтрягин Л. иТолстова Г.
[1] Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes. Math. Ann., 105 A931), 734—747.
Понтрягин Л. С. и Ф р а и к л ь Ф. И.
[1] Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. Math. Ann., 102 A929),
785—789.
Понтрягин Л. С. и Ш н и р е л ь м а и Л. Г.
[1] Sur une propriete metrique de la dimension. Ann. of Math., 33 A932), 152—162.
Проскуряков И. В.
[11 О конечных системах множеств топологического пространства. М., Учён. зал.
ун-та, 30 A939), 141—152.
[2] О некоторых свойствах локально компактных и локально бикомпактных прв-
странств. М., Учён. зап. ун-та, 30 A939), 153—156.
РоднянскийА. М.
[1] Неприводимые континуумы и локальная связность. ДАН, 49 A945), 83—84.
Р о ж а и с к а я Ю. А.
I!
[3
Sci., 190 (ШоО), 1360—1362.
[4] Ober stetige Zerlegungen von Fiachen in zueinander fremde Kurven. Матем. &,
37 A9Й0), 41—51.
[5] Элементарные доказательства двух теорем Урысона о кривых. Матем. св.,
38: 1—2 A931), 98—100.
[6] О непрерывных отображениях круга. Л.,Труды второго Всесоюзного матем. съезд*
т. 2 A936), 117—118.
[7] Ueber stetige Abbildungen eines Elementes. Матем. сб., 1 D3), A936), 745—74
[8] Ueber stetige Abbildungen eines Elementes. Fund. Math., 28 A937), 219—232.
Введение в теорию непрерывных отображений. М., Учён. зап. пед. ин-та, сф
физ.-матем., 2 A938), 27—46.
Рожанская Ю. А. и Степанов В. В.
[1] Очерк развития топологии в СССР за 10 лет. Матем. сб., 35 A928), доп. вы»
43—64.
[2] Топология. Сб. «Математика в СССР за пятнадцать лет», ГТТИ A932), 191—22|
Рохлин В. А.
[1] Гомологические группы. Усп. матем. наук, 1:5—6 A947), 175—223.
С и р в и и т Ю. Ф.
[1] К геометрии линейных пространств. ДАН. 36 A940), 119—122.
[2] Пространство линейных функционалов ДАН, 36 A940), 123-126.
Стебаков С А.
[1] Об одной теореме теории бикомпактных пространств. М., Учён. зап. ун-1<
30 A939), 161—164.
[2] К теории Н-замкнутых топологических пространств. Научи, докл. Воронежа
авиац. ин-та, Изд. Ташкент A944), 47—49.
Степанов В. В. иТумаркин Л. А.
[1] Ober eine Erweiterung abgeschlossener Mengenzu Jordanschen Kontinuen derselbf
Dimension. Fund. Math., 12 A928), 43—45. !

БИБЛИОГРАФИЯ 237
15]
|б:
17
|8
Тихонов А. Н.
Ober einen Metrisationssatz von P. Urysohn. Math. Ann., 95 A925), 139—142.
Sur les espaces abstraits. С R. Acad. Sci., 182 A926), 1519—1522.
_ Ober die topologische Erweiterung von Raumen. Math. Ann., 102 A929), 544—561.
4 Cber die Abbildungen bikompakter Raume in Euklidische Raumc. Math. Ann.,
'ill A935), 760—7ti 1.
Ober einen Funktionenraum. Math. Ann., Ill A935), 762—766.
Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., Ill A935), 767—776.
Об универсальном топологическом пространстве. ДАН, 3 A93G),49—52.
Об устойчивости обратных задач. ДАН, 39 A945), 195—198.
Тихонов А. Н. и В е Денисов Н. Б.
[1] Sur le developpement moderne de la theorie des espaces abstraits. Bull. Sci. Math.,
50 A926), 15—27.
Ту м а р к и и Л. А.
]1] Ober Zerlegungen kompakter metrischen Raume in zu einandcr fremde abgeschlos-
sene Mengen. Proc. Amsterd. Akad., 28:10 A925).
[2] Zur allgemeinen Dimensionstheorie. Proc. Amsterd. Akad., 28:10 A925).
13] Nouvelle demonstration d'un theoreme de Paul Urysohn. Fund. Math., 8 A926),
360—361.
{4] Beitrag zur allgemeinen Dimensionstheorie. Матем. сб., 33 A926), 57—86.
|5] Ober Dimension von Komponenten я-dimensionaler abgeschlossener Mengen. Ма-
Матем. сб., 35 A928), 133—138.
\6] Sur la structuredimensionnelle des ensembles fermes. С R. Acad. Sci., 186 A928),
420—422.
17] Uber die Dimension nicht abgeschlossener Mengen. Math. Ann., 98 A928), 637—656.
'" ' У р ы с о н П. С.
Jl] Les multipliers Cantoriennes. С. R. Acad. Sci., 175 A922), 440—442.
|2] Sur la ramification des Hgnes Cantoriennes. С R. Acad. Sci., 175 A922), 481.
ГЗ] Sur la metrisation des espaces topologiques. Bull. Acad. Polonaise (A), A923),
13—16.
[4] Об одной задаче Caratheodory. Матем. сб., 31 A924), 86—90.
[5] Ein Beitrag zur Theorie der ebenen Gebiete unendlich hohen Zusammenhanges.
Math. Z., 21 A924), 133--150.
[6] Ober die Metrisation der kompakten topologischen Raume. Math. Ann., 92 A924),
275—293.
]7] Der Hilbertsche Raum als Urbild der metrischen Raumc. Math. Ann., 92 A924),
'¦¦ 302—305.
[8] Les classes (D) separables et 1'espaceHilbcrtien. C.R. Acad. Sci., 178A924), 65—68.
19] Memoire sur les multiplicity Cantoriennes. Fund. Math., 7 A925), 29—137.
Щ Ober die MSchtigkeit der zusammenhangenden Mengen. Math. Ann., 94 A925),
262—295.
11 Zum Metrisationsproblem. Math. Ann., 94 A925), 309—315.
12 Sur les ponts accessibles des ensembles fermes. Proc. Amsterd. Akad., 28:10 A925).
13 Sur un espace metrique universal. С R. Acad. Sci., 180 A925), 803—S06.
14 Memoire sur les multiplicitees Cantoriennes. Fund. Math., 8 A926), 225—351.
15. Beispiel eines nirgends separablen metrischen Raumes. Fund. Math., 9 A927),
119—121.
16 Une propriety des continus de M. Knaster. Fund. Math., 10 A927), 175—176.
17 Surun espace metrique universal. Bull. Sci. Math., 51 A927), 43.
18] Sur un espace metrique universal. Bull. Sci. Math., 51 A927), 74.
19] Ober im klcinen zusammenhangende Kontinua. Math. Ann., 98 A928), 296—308.
20 Memoire sur les multiplicitees Cantoriennes, II. Verhandl. Akad. Amsterd. A928).
Урысон П. Си Александров П. С.
[1] Sur les espaces topologiques compacts. Bull. Acad. Polonaise (A), A923).
[2] Memoire sur les espaces topologiques compacts. Verhandl. Akad. Amsterd.
. A928).
[3] Ober Raume mit verschwindender ersten Brouwerscher Zahl. Proc. Amsterd.
. Akad., 31 A928).
Фо мин С. В.
[I] К теории расширений топологических пространств. Матем. сб., 8 E0), A940),
285—294.

238 ТОПОЛОГИЯ
[2] Расширение топологических пространств. ДАН, 32 A941), 114—117.
[3] Extensions of topological spaces. Ann. of Math., 44 A943), 471—480.
Франк М. Л.
[1] Ober die Einseitigkeit von schiefen algebraischen Regelflachen ungerader Ordnung.
Матем. сб., 40 A933), 508—513.
12] Об одном критерии односторонности поверхностей. Л., Труды второго Всесоюзи.
матем. съезда, т. 2 A936), 93—95.
Франкль Ф. И.
[1] Topologische Beziehungen in sich kompakter Teilmengen euklidischer Raume zu
jhren Komplementen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien., 136 A927), 689—699.
[2] Ober die ZusammenhSngenden Mengen von hochstens zweiter Ordnung. Fund Math.,
11 A927), 96—104.
|3] Charakterisierung der (n—l)-dimensionalen abgeschlossenen Mengen des i?n. Math.
Ann., 103 A930), 784—787.
[4] Zur Primen-ientheorie. Матем. сб., 38 A931), 66—69.
|5] Zur Topologie des dreidimensionalen Raumes. Monatshefte, 38 A931), 357—364.
16] К топологии трёхмерного пространства. Матем. сб., 18 F0), A946), 299—304.
Фролов С. В. иЭльсгольц Л. Э.
[1] Limite inferieure pour le nombre des valeurs critiques d'une fonction, donneesur
variete. Матем. сб., 42 A935), 637—643.
[2] Нижняя граница числа критических значений функции, заданной на многообра-
многообразии. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 125—127.
Худеков Н. Н.
[1] О некомбинаторном определении индикатриссы многообразия. Л., Труды второго
Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 119—122.
Цветкова А. И.
[1] К теореме Понтрягина о снятии цикла. ДАН, 57 A947), 331—334.
Чеботарёв Н. Г.
[1] К теории узлов. Казань, Учён. зап. ун-та, математика, 4:1 A932), 9—23.
[2] Курс топологГ). Хрк. Киев, ДНТВУ A934), 1—103.
Черкасов А. Н.
[1] Ober Unstetigkeitspunkte allgemeiner Kontinuen. Матем. сб., 33 A926), 99—ДО.
[2] Sur les points de ramification des continues irreductibles. Матем. сб., 35 A9281
25—29.
|3] О равностепенных гомеоморфизмах. Матем. сб., 8 E0), A940), 349—361.
ЧогошвилиГ. С.
[1] On a theorem in the theory of dimensionality. Сотр. Math., 5 A938), 292.
[2] On the homology theory of topological spaces. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН,
1 A940), 337—340.
[3] О пространствах сходимости. Матем. сб., 9 E1), A941), 377—384.
[4] Behaviour of some topological invariants on level surfaces. Тбилиси, Сообш. П>.
фил. АН, 3 A942), 995—998.
[5] О соотношениях двойственности в топологических пространствах. ДАН, 46A945),
]42 145.
6] О законе двойственности в нормальных пространствах. ДАН, 48 A945), 249—252.
7] Закон двойственности для ретрактов. ДАН, 51 A946), 87—90.
8] Theoreme de dualite pour le polycdre infini. С R. Acad. Sci., 221 A945), \o— \T.
9] О соотношениях двойственности в топологических пространствах. М., Диссертация,
Матем. ин-т им. Стеклова A947).
Шанин Н. А.
[1] О специальных расширениях топологических пространств. ДАН, 38 A943), 7—11.
[2] Об отделимости в топологических пространствах. ДАН, 38 A943), 118— Ш.
[3] К теории бикомпактных расширений топологических пространств. ДАН, 38 AУ«)»
[41 О погружениях в степень топологического пространства. ИАН, сер. матем,
8 A944), 233—242.

БИБЛИОГРАФИЯ 239
[5] Одна теорема из обшей теории множеств. ДАН, 53 A946), 403—404.
[б] О взаимных пересечениях открытых подмножеств произведения топологических
пространств. ДАН, 53 A946), 503—506.
[7] О произведении топологических пространств. ДАН, 53 A946), 595—598.
[8] О диадических бикомпактах. ДАН, 53 A946), 785—788.
Ш к л я р с к и й Д. О.
[1] О разбиениях двумерной сферы. Матем. сб., 1G E8), A945), 125—128.
Шнирельман Л. Г.
[1] Cber eine neue kombinatorische Invariante. Monatshefte, 37 A930), 131—134.
Шумбарскнй М.
[1] Sur la decomposition des elements euclidiens en produits cartesiens. Матем. сб.,
16 E8), A945), 39—42.
Шур а-Б у р а М. P.
Ill Бикомпактные пространства, как образы дисконтинуумов. ДАН, 27 A940),
432—436.
[2] К теории бикомпактных пространств. Матем. сб., 9 E1), A941), 385—388.
Эльсгольц Л. Э.
[1] Теория инвариантов, дающих оценку числа критических точек непрерывной функ-
функции, заданной на многообразии. Матем. сб., 5 D7), A939), 551—558.
[2] Изменение чисел Betti поверхностей уровня непрерывной функции, заданной на
многообразии. Матем. сб., 5 D7), A939), 559—564.
[3J Длина многообразия и её свойства. Матем. сб., 5 D7), A939), 565—571.

ТЕОРИЛ МНОЖЕСТВ
И ТЕОРИЛ ФУНКЦИЙ

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ.
А. А. ЛЯПУНОВ и П. С. НОВИКОВ.
конце XIX в. назрела необходимость критического пере-
пересмотра основ математического анализа после его бур-
бурного развития в XVIII и XIX вв. Базой этого пере-
пересмотра должна была явиться созданная Кантором тео-
теория множеств, которая в то время была ещё изолирована
от остальной математики.
Точка зрения теории множеств при самом своём
возникновении позволила глубоко проникнуть в сущность
непрерывности и показала, что понятие функции, лежащее в основе
математического анализа, гораздо более сложно и многообразно, чем
это предполагали представители классического направления в матема-
математике. В связи с этим многие обстоятельства, считавшиеся твёрдо уста-
установленными, оказались поколебленными, и многие факты приобрели
совершенно иной смысл. С одной стороны, были открыты функции
и множества чрезвычайно сложной природы и мало обозримого строения
(например, неизмеримые или не имеющие свойства Бэра). С другой
стороны, были выделены классы В-функций и В-множеств, строение
которых в значительной степени удалось изучить и которые играют
особенно важную роль в теории функций и математическом анализе.
Инициаторами этого направления в математике — дескриптивной тео-
теории множеств — явились французские учёные Борель, Бэр и Лебег.
В результате работ этих учёных возникли два узловых вопроса тео-
теории множеств, во-первых, детальное изучение строения В-множеств,
в первую очередь выяснение вопроса о их мощности и, во-вторых,
построение новых классов множеств, не являющихся В-множествами,
не прибегая к неэффективным средствам вроде аксиомы Цермело.
Во втором десятилетии XX в. в Московском университете под
влиянием Н. Н. Лузина возник значительный интерес к теории мно-
множеств и теории функций. Первый цикл работ Н. Н. Лузина относился
к метрической теории функций действительной переменной. В то же
время под его руководством был организован семинар по дескриптив-
дескриптивной теории множеств, интересы которого были направлены на указан-
указанные выше узловые проблемы этого направления. Этот семинар явился
источником многочисленных работ по дескриптивной теории множеств.
Один из участников семинара П. С. Александров доказал, что всякое
16*

244 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
несчётное В-множество содержит совершенное подмножество. Из этого
следовало, что всякое несчётное В-множество имеет мощность конти-
континуума. При этом П. С. Александровым была построена Л-онерация.
С помощью А-операции другой участник семинара М. Я- Суслин
построил новый класс множеств, более широкий, чем класс В-мно-
жеств, получивший впоследствии название класса А-множеств. В даль-
дальнейшем свойства А-множеств были в значительной степени изучены
Н. Н. Лузиным, М. Я- Суслиным и целым рядом более молодых уче-
учеников Н. Н. Лузина.
Таким образом, первые дескриптивные результаты Московской
школы явились решением принципиальных вопросов, перед которыми
остановилась западно-европейская наука. К работам московских матема-
тиков примкнули многие советские (в Ленинграде), а также иност-
иностранные ученые (в Польше, Японии, США, Германии, Франции, Гол-
Голландии и др.). Повсеместно было признано большое принципиальное
значение дескриптивной теории множеств, однако ведущая роль в этом
направлении попрежнему принадлежит советской науке.
Мы попытаемся дать общий обзор основных результатов и руководя-
руководящих идей дескриптивной теории множеств и выяснить роль советской
науки в её развитии.-
Ещё в дореволюционное время были открыты некоторые свойства
.А-множеств, которые указывали на тесное родство между ними и В-мно-
жествами.
1. Если дополнение к некоторому А-множеству есть А-множество,
то оба они суть В-множества (М. Я. Суслин).
2. Если некоторое А-множество получено А-операцией над В-множе-
ствами с непересекающимися слагаемыми, то оно есть В-множестм
XU. Н. Лузин).
3. Два непересекающихся А-множества всегда отделимы В-множе-
?твами (Н. Н. Лузин).
4. Все А-множества измеримы и имеют свойство Бэра (Н. Н. Лузин).
5. Всякое несчётно? А-множество содержит совершенное ядро, т. е,
имеет мощность континуума (П. .С. Александров).
В то же время было установлено, что существуют Л-множества, допол-
дополнения к которым уже не являются Л-множествами (М. Я. Суслин). Допол
нения к Л-множествам получили название СА-множеств. Естествен^
возник вопрос об изучении их свойств.
Особенно большой интерес вызывает вопрос о мощчости СА-множеств.
Однако он до настоящего времени не получил окончательного решения
Более того, всё более укрепляется убеждение в том, что этот вопро(
не может иметь решения в смыслеканторовской теории множеств. Повиди
мому, для того чтобы понять причину затруднений, встречающихся в это(
проблеме, необходимо установление новых, более совершенных точе|
зрения в теории множеств, аналогичных тем, которые в настоящее вреш
развиваются в математической логике.
Существенным препятствием в дальнейшем изучении А-множеся
являлось то, что их первоначальное определение с помощью Л-опера
ции очень сложно. Это препятствие было устранено Н. Н. Лузиным
который открыл ряд других, эквивалентных определений Л-мно
жеств.
1. Класс А-множеств совпадает с классом проекций В-множеств (Щ
даже Gs), лежащих в пространстве большего числа измерений.

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 245
2. Класс А-множеств совпадает с классом непрерывных образов мно-
множества иррациональных чисел.
3. Класс А-множеств совпадает с классом непрерывных образов
В-множеств.
Это новое определение А-множеств привело к установлению новых
свойств В-множеств.
1. Непрерывный и взаимно однозначный образ В-мпожества есть
В-множество (Н. Н. Лузин).
2. Всякое В-множество есть сумма счётного множества и непрерыв-
непрерывного и взаимно однозначного образа множества иррациональных чисел
(Н. Н. Лузин).
В таком состоянии находилась теория А-множеств к моменту Вели-
Великой Октябрьской социалистической революции, которая широко открыла
двери Университетов для трудящейся молодёжи и способствовала огром-
огромному притоку молодёжи в науку.
Лишь в послереволюционное время Московская математическая шко-
школа достигла своего расцвета.. В связи с этим круг лиц, работающих в обла-
области дескриптивной теории множеств, значительно вырос. В двадцатых годах
около Н. Н. Лузина образовалась группа лиц, занимающихся теорией
А-, В-множеств (В. И. Г л и в е и к о, Л. В. К е л д ы ш, А. Н. Коли о-
горо в, М. А. Лаврентьев, П. С. Новиков, Е.А. Сели-
вановский, позднее А. А. Ляпунов).
Кроме того, в конце 20-х годов к дескриптивной теории множеств
примкнули ленинградские математики Л. В. Канторович и
Е. М. Л и в е н с о н. С другой стороны, П. С. Александров пере-
перешёл в область топологии и создал там свою очень сильную школу. Некото-
Некоторые последователи этой школы также занимались вопросами, примыка-
примыкающими к дескриптивной теории множеств.
¦ Большое значение для дальнейшего развития теории множеств имела
построенная Н. Н. Лузиным операция решета. Систематическое
использование операции решета позволило Н. Н. Л у з и ну [25] придать
теории А-множеств законченный и чрезвычайно изящный вид. В част-
частности, операция решета позволила выяснить роль трансфинитных чисел,
в образовании А-множеств. Н. Н. Лузиным были введены трансфи-
трансфинитные индексы решета, которые явились мощным орудием для изу-
изучения строения А-множеств и их дополнений. Было показано, что необ-
необходимым и достаточным условием для того, чтобы некоторое А-множество
являлось В-множеством, состоит в том, чтобы у решета, его определя-
определяющего, внешниеиндексыбыли ограничены, т.е. чтобы они не простирались
бой (Н. Н. Л у з и н). Этот же аппарат показал, что всякое А-множество,
й также всякое С А-множество является суммой Xi попарно не пересека-
пересекающихся В-множеств, получивших название конституант. Этим, в част-
частности, без помощи аксиомы Цермело отрезок был представлен как сумма
¦у[л В множеств. Оказалось, что во многих случаях счётная сумма консти-
конституант СА-множества является носителем основных свойств всего множест-
множества. Например, если некоторое А-множество содержится внутри некоторого
СА-множестеа, то оно непременно содержится внутри счётного числа
конституант. Отсюда следует, что если СА-множество имеет совершенное
ядро, то оно имеет конституанту с совершенным ядром. Если некоторое
СА-множество имеет положительную меру, то найдётся счётное число
его конституант, таких, что их сумма имеет ту же меру. Если СА-мио-
жество—второй категории, то это также обусловлено счётным числом его

246 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
конституант. Все эти факты установлены Н. Н. Лузин ы м [25].
Свойства Л-множеств также в значительной мере обусловлены счётными
суммами их конституант, но не в такой полной мере (Е.А.Селиванов-
с к и й [3]). С природой конституант СЛ-множеств связан целый ряд инте-
интересных вопросов, близких к вопросу о мощности СЛ-множеств. Известны
примеры СЛ-множеств, у которых классы конституант неограниченно
растут (Н. Н. Л у з и и [32]), но остаётся открытым в'опрос о том, существует
ли СЛ-множество, у которого все конституанты имеют ограниченные клас-
классы. Решение этого вопроса, с одной стороны, явилось бы приближением
к вопросу о построении СЛ-множества без совершенного ядра—у такого
множества все конституанты не более, чем счётны. С другой стороны, это
дало бы пример Xi В-множеств ограниченных классов, построенных без
помощи аксиомы Цермело.
В связи с этим вопросом получены две редукции проблемы о мощно-
мощности СЛ-множеств: если у всякого несчётного СА-множества существует
конституанта, содержащая более одной точки, то не существует несчёт-
несчётных СА-множеств, лишённых совершенного ядра (П. С. Новиков [8]);
если существует СА-множество, у которого имеется несчётное числа
замкнутых конституант, то существует и СА-множество без совершен-
совершенного ядра (А. А. Л я п у н о в [5]).
Значение индексов решёт далеко не исчерпывается вопросами, связан-
связанными со строением конституант. Имеет место следующий принцип сравне-
сравнения индексов: пусть pt (х) и р2 (х)— два индекса решёт, составленных из
В-множеств. Тогда множество точек, где В, (х) > р, (х), является А-мпо-
жеством (П. С. Н о в и к о в [1, 8]).
Это предложение указывает на некоторую аналогию, которая суще-
существует между отношением непрерывных функций и замкнутых множеств,
с одной стороны, и отношением Л-множеств и индексов решёт, с другой сто-
роны: множество точек, где непрерывная функция j (х) > С, — замкнуто;
если /, (х) и /, (х) две непрерывные функции, то множество точек, где
t\ (x) > /» 00, также замкнуто; для всякого замкнутого множества суще-
существует непрерывная функция, равная 1 в точках этого множества и мень-
меньшая чем 1 в точках его дополнения. Совершенно так же, если р (х) есть
индекс решета, то множество точек, где р (х) 3* а, есть А-множество
(в случае, когда а < 2, то даже В-множество), если р, (х) и р2 (х) два ин-
индекса решёт, то множество точек, где р, (х) з» р2(х), есть А-множестт
и для всякого А-множества существует такой индекс, который в точ-
точках этого множества равен 2, а в точках его дополнения меньше, чем 2.
С помощью принципа сравнения индексов было установлено, чт*
для СЛ-множеств нет теоремы отделимости, аналогичной той, которая
известна для Л-множеств, именно: существуют два непересекающихся
СА-множества, которые неотделимы друг от друга В-множествамТ
(П. С. Н о в и к о в [1 ]). Эта теорема позволила решить вопрос о при-
природе неявных В-функций (см. ниже).
С помощью того же принципа сравнения индексов была установлена
вторая теорема отделимости: если у двух А-миожеств удалить их общу
часть, то оставшиеся части отделимы друг от друга СА-множествам
(Н. Н.Лузин [25]). Эта теорема вполне аналогична известному предль
жению из теории замкнутых множеств: если у двух замкнутых множест
удалить их общую часть, то оставшиеся части отделимы друг от друг'
открытыми множествами. Аналогичная теорема верна и для СЛ-множеств'
если у двух С А -множеств удалить их общую часть, оставшиеся част

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 247
отделимы СА-миожествами. Наконец, верно обращение второй теоремы
отделимости: если два множества, являющихся разностями А-множеств,
отделимы друг от друга С А-множества ми, то их всегда можно предста-
представить как остатки, полученные удалением общей части у двух А- или
СА-множестё (Н. Н. Лузин [25]).
Вторая теорема отделимости также нашла приложение в теории неяв-
неявных В-функций.
Теоремы отделимости были обобщены в различных направлениях.
Остановимся на вопросах кратной отделимости Л-множеств. Если счётная
система А-множеств ?,, ?2, ..., ?„, ... имеет пустое пересечение, то суще-
существуют В-множества #,, Н2,..., #„,... такие, что при всяком п HnZDEn
и 1Ш„ = 0 (П. С. Новиков [4]).
Иакова бы ни была счётная система А-множеств Elt ?2 Еп, ...,
существуют СА-множества #,, Нг,..., #„,... такие, что при всяком
я HnZJEn-llEmu 1Ш„ = 0 (П. С. Н о в и к о в, [6]).
Эти предложения обобщают первую и вторую теоремы отделимости
на случай операции счётного пересечения. Такие же теоремы о кратной отде-
отделимости А-множеств имеют место для ряда других операций (lim, lim,
А-операции). Известен целый ряд дальнейших обобщений этих теорем
(П. С. Н о в и к о в [2, 5, 7, 9], А. А. Л я п у н о в [1, 4, 10], 3. И, К о з-
л о в а [1 ]). Впрочем, оказывается, что все теоремы о кратной отделимости
являются частными случаями одной общей теоремы из теории операций над
•множествами (А. А. Л я п у н о в [15]).
Большое внимание уделялось различным вопросам, касающимся вза-
взаимоотношений, существующих между некоторым множеством, лежащим
"в плоскости, и его проекцией на одну из осей. Эти вопросы равносильны
изучению взаимоотошений между некоторым множеством и его непрерыв-
непрерывными образами. Особенный интерес вызывал вопрос о том, при каких
условиях проекция В-множества есть также В-множество.
Множество, лежащее на плоскости, называется униформным, если на
всякой прямой, параллельной оси 0Y, оно имеет не более одной точки.
Из результатов Н. Н.Лузина 1915 г. следовало, что проекция униформ-
униформного В-множества на ось ОХ всегда является В-множеством и что всякое
В-множество является проекцией униформного Gs..Эта теорема была полу-
получена при помощи первой теоремы отделимости.
В дальнейшем был установлен ряд аналогичных теорем. Если на вся-
всякой параллели к оси 0Y В-множество имеет не более чем счётное число
точек, то его проекция на ОХ есть В-множество (П. С. Н о в и к о в [1 ]).
Пользуясь этим, Н. Н. Лузин [25] показал, что такое В-множество
можно расщепить на счётное число униформных В-множеств.
Следующие предложения существенно опираются на первую теорему
о кратной отделимости:
Если плоское В-множество пересекается всеми параллелями к оси 0Y
по компактным множествам, то его проекция на ОХ есть В-множество
(П. С. Н о в и к о в [12]). Вместо компактных множеств тут можно рассма-
рассматривать множества типа Fa, результат остаётся в силе (В. Я. А р с е-
нин[3]). Используя вторую теорему отделимости, Н.Н.Лузин [25] дока-
доказал, что каково бы ни было В-множество Е, лежащее в плоскости OXY, мно-
множество тех точек х, через которые проходят параллели оси 0Y, несущие
вточности по одной точке множества Е, является С А-множеством. В этой
теореме параллели, несущие по одной точке, могут быть заменены парал-

248 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
лелями, несущими не более чем счётное число точек (Стефания Браун),
а также параллелями, несущими компактные множества (П. С. Нови-
Новиков [12]), и параллелями, несущими множества типа F, (В. Я. А р-
с е н и н [3]). В последних двух результатах значительную роль играет
вторая теорема о кратной отделимости для Д-множеств. Некоторые из
этих задач были решены японским математиком Кунугуи, который
также опирался на кратную отделимость.
Другой цикл результатов связан с распространением непрерывных
отображений. Вопрос ставится так: пусть дано некоторое непрерывное
отображение какого-то множества, имеющее какие-либо специальные
свойства. Спрашивается, в каких случаях его можно распространить до
непрерывного отображения другого множества, возможно более простой
природы, с сохранением указанных специальных свойств.
Рассмотрим прежде всего случай, когда отображение является наибо-
наиболее «простым», т. е. гомеоморфным. В этом случае исчерпывающий ответ
даёт теорема М. А. Лаврентьева [1, 3]: гомеоморфное соответствие
между двумя любыми множествами распространяется на содержащие
их Gt>. С помощью этой теоремы была установлена топологическая инвари-
инвариантность классов В-множеств, начиная со второго, а также классов мно-
множеств, доставляемых более сложными теоретико-множественными опера-
операциями (А, СА и др.).
Переходя к отображениям более сложной природы, оказывается необ-
необходимым накладывать ограничения на природу отображаемых множеств.
Например, непрерывное и взаимно однозначное отображение Л-множе-
ства всегда можно распространить до непрерывного и взаимно однозначного
отображения, содержащего его В-множества; однако, если вместо Л-мно-
жества рассмотреть СЛ-множество, то результат перестаёт быть верным
(В. И. Г л и в е н к о f I ]). Вместо взаимно однозначного отображения
можно рассмотреть такое однозначное отображение, при котором прооб-
прообраз каждой точки не более чем счётный. В этом случае для Л-множеств тео-
теорема остаётся в силе (Н. Н.Лузин [25]).
Из этого и теоремы о расщеплении В-множеств следует, что данное
А-множество можно представить как сумму счётного числа А-множеств,
на каждом из которых отображение взаимно однозначно.
Естественно возникает в некотором смысле противоположный вопрос:
дано непрерывное отображение некоторого множества; требуется у дан-
данного множества выделить подмножество возможно более простой природы
так, чтобы отображение на нём было взаимно однозначно и чтобы образ
этого подмножества совпадал с образом всего множества. Такое подмно-
подмножество называется ушформизирующим. В этом направлении получе-
получены следующие результаты: если отображаемое множество является
В-множеством, то оно всегда имеет униформизирующее СА-под-
множество,- но, вообще говоря, может не иметь никакого униформам-
рующего Аподмножества (Н. Н. Лузин*); если отображаемое
множество является В-мпожесте,ом и прообраз всякой точки пе более
чем счётный, то оно всегда имеет униформизирующее В-подмножестео
(П. С. Н о в и к о в[1]).
Случай, когда отображаемое множество является Л-миожеством,
несколько более сложен. Он был детально изучен Н. Н. Лузиным [28)
и В. Янковы м [I].
*) См. Н. Н. Л у з и и и П. С. Н о п и к о в [1].

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 249"
П. С. Новиковым в 1934 г. был найден процесс эффективного
указания точки в непустом СЛ-множестве. Вопрос о возможности построе-
построения процесса такого рода был поставлен Н. Н. Лузиным ещё в начале 20-х
годов. Пользуясь этим процессом и принципом сравнения индексов, япон-
японский учёный Кондо показал, что если отображаемое множество является
СА-множеством, то оно всегда имеет униформизирующее подмножество
той же природы. Отсюда следует, что непрерывные образы СЛ-множеств
совпадают с непрерывными и взаимно однозначными образами СЛ-мно-
СЛ-множеств.
Достигнутые успехи в области изучения свойств Л- и СЛ-множеств—
отделимость Л-множеств и неотделимость СЛ-множеств, расщепление и уни-
формизация позволили решить до конца некоторые вопросы, относящиеся
к изучению природы основных объектов математического анализа. Речь
идёт о природе неявных В-функций. После того как в 1904 г. Лебег сделал;
ряд ошибочных утверждений относительно их природы, строение неявных
функций оставалось неясным до второй половины 20-х годов, когда
Н. Н. Л у з и н [25] и П. С. Н о в и к о в [2] решили его полностью. Основ-
Основные вопросы состоят в следующем: пусть соотношения
/, (х„ •••, хт; ylt . ..,ур) =
/2 (х,, ..., хт; >!, •.., Ур) =
/P(Xj> •••> xm; у„ ..., ур) =
гдевсефункции/,сутьбэровскиефункции переменныххх, ..., xm;ylt ...,ypr
определяют неявные функции у1г..., ур от аргументов хг,..., хт. Спра-
Спрашивается, каково множество значений аргументов xlt..., хт, для которых
функции ур определены, и какова природа этих функций. Лебег полагал,
¦что множество, где функции определены, всегда В-множество, а природа
•функций такова, что всегда существуют однозначные В-функции
•2i = ?i (х„ ..., хт), . ..,zp = <fp (х„ ..., хт), определённые всюду и удовле-
удовлетворяющие соотношениям A). Однако оказалось, что это неверно. Мно-
Множество U точек пространства т+р измерений, где выполнены равен-
равенства A), является В-множеством. Однако множество, где определены
неявные функции, является проекцией множества U на пространство
/п-измерений и может не быть В-множеством.
Вообще говоря, невозможно выделить системы В-функции у* =
=«р(х1... хт), определённой всюду на множестве U и удовлетворяющей
уравнениям (I). Однако в том случае, когда все неявные функции у{ при-
принимают не более чем счётное число различных значений, то проекция мно-
множества U является В-множеством и выделение однозначных униформи-
зирующих В-функций оказывается возможным. При этом уже самый про-
простой случай одной неявной В-функции F (х, у) = 0 приводит к необхо-
необходимости рассмотрения Л- и СЛ-множеств и употребления значительной
части теории этих множеств (П. С. Н о в и к о в [1 ]).
Дальнейшей задачей дескриптивной теории множеств явилось изу-
изучение открытых Н.Н.Лузиным [4, 5] множеств, получаемых повтор-
повторным применением операций непрерывного отображения счётного сумми-
суммирования и взятия дополнения —они получили название проективных
множеств и множеств, получаемых повторным применением операций
решета и взятия дополнения, исходя из В-множеств, — С-множеств. Как
те, так и другие естественным образом распадаются на трансфинитные

250 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
классы. Оказалось, что С-множества во многом напоминают А-и СА-мно-
жества. Для них удалось установить теоремы отделимости и кратной
отделимости (П. С. Новиков [9]). Оказалось, что для дополнений
к ним первая теорема отделимости неверна (П. С. Новиков [9]).
Однако теоремы, аналогичной теореме Суслина о том, что два взаимно
дополнительных С-множества суть ВС-множества, там нет (П. С. Но-
Новиков, Кунугуи). Все С-множества измеримы, имеют свойство Бэра и
распадаются на X, В-множество (Е. А. С е л и в а н о в с к и й [1, 21).
Совсем другой оказалась картина для проективных множеств. Даже
для второго класса этих множеств, т. е. непрерывных образов СА-множеств,
называемых А,-множествами, остаётся открытым вопрос об их измеримо-
измеримости и наличии у них свойства Бэра. Зато оказалось возможным установить
для них теоремы отделимости, но эти теоремы отделимости совсем не та-
таковы, как в случае А-множеств. Назовём дополнения к множествам
класса А, СА2-множествами и множества, одновременно являющиеся
А,- и СА,-множествами — Вг-множествами. Тогда в теоремах отделимости
роль А-множеств играют СА2-множества, а роль СА-множеств—А„-мно-
жества. Именно: два непересекающихся САг-множества отделимы Вг-мно-
Вг-множествами. Если у двух А8- или САг-множеств удалить их общую часть,
то оставшиеся части отделимы Аг-множествами и, наконец, существуют
два непересекающихся Аг-множества, не отделимых В.гмножествами
(П. С. Новиков [7]). Аналогичные соотношения имеют место в кратной
отделимости (П. С. Новиков [7], А. А. Ляпунов [15]).
В последнее время П.С.Новиков обнаружил, что вопрос об отде-
отделимости в высших классах проективных множеств тесно связан с некото-
некоторыми проблемами теории мощностей, родственными проблеме континуума
и мощности СА-множеств.
Естественно возник вопрос о том, каково взаимоотношение С-мно-
жеств и проективных множеств. Ленинградским математикам Л. В. Кан-
Канторовичу и Е. М. Л и в е н с о н у [3, 4] с помощью развитой ими об-
общей теории операций над множествами удалось доказать, что всеС-мно-
жества входят в класс В,. В дальнейшем этот факт был получен поль-
польским учёным К. Куратовским при помощи принципа сравнения индексов.
Общая теория операций над множествами возникла из работы
А. Н. Колмогорова [8]. В этой работе А. Н. Колмогоров
дал определение широкого класса операций над множествами Ss-one-
раций и установил некоторые общие свойства этих операций. В частности,
им была доказана теорема о том, что при очень общих условиях каждая
Ss-операция порождает трансфинитную систему расширяющихся классов
множеств, отправляясь от замкнутых множеств. А-операция, а также
-обычные операции, порождающие В-множества, являются частными
случаями Ss-операций. Изучением этих операций занимались многие
учёные у нас, а также за границей, но впервые законченная теория |
Ss-операций, а также некоторых других, ещё более общих операций, была j
построена Л. В. Канторовичем и Е. М. Ливенсоном [3,4].j
Одним из наиболее значительных результатов их исследований является j
общий метод, позволяющий во многих случаях определять, к какому ]
проективному классу принадлежат множества, построенные с помощью \
некоторой Ss-операции. Этот метод явился ключом к выяснению того, что;
все С-множества входят во второй класс проективных множеств. Кроме \
того, там построены такие Ss-операции, которые дают все проективные мно-'.
жества класса Аа или САа, исходя из замкнутых множеств, и только их.:

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 251
Дальнейшим изучением общей теории операции над множествами
занимался Ю. С. О чан [6, 7].
А. Н. Колмогоровым был определён своеобразный класс
Ss-операций, названных R-операциями. В основе -построения некоторой
/?-операции лежит всегда некоторая другая, более слабая Ss-операция.
/?-операция при однократном применении даёт более обширный класс мно-
множеств, чем трансфинитное применение исходной Ss-операции. Трансфи-
Трансфинитная последовательность усиливающихся /^-операций, начинающаяся
с Л-операции, называется нормальным рядом /?-операций.
Общие теоретико-множественные свойства /?-операции и их взаимо-
взаимоотношение с другими операциями над множествами были изучены
Л. В. Канторовичем ие.М. Ливе неон ом [4]. В частности,
ими было показано, что R-операции нормального ряда не выводят за пре-
пределы класса проективных множеств.
Дальнейшее изучение трансфинитных классов R-множеств, т. е. мно-
множеств, получающихся /?-операциями нормального ряда, исходя из В-мно-
жеств, было предпринято А. А. Ляпуновым. Оказалось, что все
/?-множества измеримы и обладают свойством Бэра, что для /?-операций
можно построить некоторые трансфинитные индексы, для которых также
имеет место своеобразный принцип сравнения. Кроме того, были получены
теоремы отделимости и кратной отделимости tf-множеств, вполне аналогич-
аналогичные тем, которые известны для Д-множеств. В общем строение /?«-классов
очень близко к строению класса Л-множеств, с той лишь разницей, что
аналога теоремы Суслина о том, что два взаимно дополнительные ^«-мно-
^«-множества суть В/?а-множества, тут нет. Было также уточнено взаимоотно-
взаимоотношение класса R-множеств с классом проективных множеств—все они вхо-
входят в класс В,. Ещё Л. В. Канторович иЕ.М-Ливенсон[4]
показали, что все С-множества содержатся в классе ^-множеств
и не исчерпывают его.
Заканчивая обзор работ по теории проективных множеств, необхо-
необходимо отметить, что в этой области работами советских учёных, в первую
¦очередь Н. Н. Л у зи н а [25], выделена группа проблем, которые не толь-
только не решены, но относительно которых у всех работающих в этом напра-
направлении создаётся убеждение, что решение их средствами современной мате-
математики в духе классической теории множеств невозможно. Наиболее изве-
известные из этих проблем следующие: проблема мощности СА-множеств и
проблема измеримости проективных множеств. Всё более укрепляется
убеждение в том, что рассмотрение этих проблем настойчиво требует
методов математической логики.
Как уже было отмечено, целый ряд вопросов, касающихся строения
проективныхмножеств, оказывается недоступным для средств каиторовской
теории множеств. В таком же положении, повидимому, находятся и неко-
некоторые задачи общей теории множеств, например, проблема континуума.
Н. Н. Л у зи н показал, что все эти вопросы своеобразно связаны с одним
определённым вопросом—именно с вопросом о непустоте некоторого впол-
вполне индивидуального проективного множества. Это множество называется
резольвентой соответствующей проблемы. Оказалось, что в широком клас-
классе случаев, как только дана отчётливая словесная формулировка теоре-
теоретико-множественной проблемы, так, отправляясь от этой формулировки,
возможно определить вполне индивидуальное проективное множество,
пустота или непустота которого равносильна положительному или отри-
отрицательному решению поставленной проблемы. Связь этого обстоятельства

252 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ «ПУНКЦИЙ
с математической логикой была исследована польскими учёными Тар-
ским и Куратовским.
На этом мы закончим обзор работ, относящихся к изучению «макси-
«максимально сложных», но* всё же «вполне индивидуальных» образований
и перейдём к рассмотрению работ советских учёных по теории В-множеств,
Здесь вопрос ставится совершенно иначе—довести изучение общих
свойств В-множеств до возможно большей ясности и полноты. Это направ-
направление часто соприкасается и даже сливается с топологией, но в то же время
нередко требует методов теории Д-множеств. В основе большинства
советских работ лежит классификация В-множеств, предложенная Валле-
Пуссеном и изученная детально Н. Н. Лузиным [25], М. А. Лав-
Лаврентьевым [4] и Л.В.Келдыш [1 —12]. В каждом классе В-мно-
жеств выделены так называемые элементы, играющие такую же роль внутри
класса, как замкнутые множества внутри семейства множеств, являющих-
являющихся одновременно Fa и Gs. Дополнения к элементам класса а называются
множествами, достижимыми снизу класса а. Оказалось, что для эле-
элементов класса а справедливы теоремы отделимости, аналогичные тео-
теоремам отделимости для А-множеств: два элемента класса а без общих
точек отделимы множествами более низших классов. Если у двух элемен-
элементов класса а удалить их общую часть, оставшиеся части отделимы
множествами, достижимыми снизу класса а. В то же время суще-
существуют непересекающиеся достижимые снизу множества класса а,
не отделимые множествами низших классов (Н. Н. Лузин [25]).
Установлены и некоторые теоремыо кратной отделимости (П. С. Нови-
Новиков [2], А. А. Ляпунов [2,4], 3. И. Козлова [1]).
Роль элементов класса а внутри класса заключается в том, что
всякое множество класса а является суммой счётного числа элемен-
элементов. Эти суммы могут быть своеобразным образом вполне упорядо-
упорядочены, так что каждое слагаемое отделимо множеством более низкого
класса от всех последующих. Наименьшая возможная длина такой
трансфинитной строчки называется подклассом множества—.суммы. Раз-
Разбиение класса на подклассы было изучено М. А. Лаврентьевым [4].
В частности, им было доказано, что в каждом классе существует несчётное
число непустых подклассов. В дальнейшем для подклассов были
обнаружены некоторые теоремы отделимости (А. А. Л я п у н о в [б]).
Центральным вопросом теории В-множеств являлся вопрос о возможности
выделения в некотором смысле единственного, основного топологического
типа элементов в каждом классе б-множеств.
Этот вопрос естественно было ставить для нульмерных множеств
со счётной базой, т. е. для подмножеств бэровского пространства. Всё
дальнейшее относится только к этим множествам. Для множеств абсо-
абсолютно первого класса такими основными топологическими типами явля-
являются канторовское совершенное множество и множество, состоящее
из одной точки. Для второго класса таким основным топологическим типом
является само пространство Бэра. Точнее, всякое множество типа Gs
является суммой счётного числа компактных множеств и множе-
множества, гомеоморфного пространству Бэра (П. С. Александров и
П. С Урысон*)).
В 1932 г. Л. В. К е л д ы ш [1 ] показала, что в третьем классе также
существует единственный основной топологический тип, так называемый
*) Math. Ann., 98 A927).

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 253
бэровский элемент третьего класса. Неоднократно высказывалось пред-
предположение, что такое же явление должно иметь место во всех классах,
но установить этот результат долгое время не удавалось. Только в 1940 г.
Л. В. Келдыш [12] удалось доказать существование таких тополо-
топологических типов во всех классах В-множеств и детально выяснить их
строение. Главные результаты Л. В. Келдыш [12] состоят в следу-
следующем: элемент класса а называется универсальным, если из него можно
высечь гомеоморф любому другому элементу класса а или б-множеству
-более низкого класса с помощью совершенного множества; во всяком
классе а существуют универсальные элементы. Элемент класса а называется
каноническим, если он обладает следующими свойствами: 1)всякая порция
«го также является элементом класса а; 2) он первой категории на своём
замыкании; 3) он универсален. Оказалось, что во всяком классе а суще-
существует канонический элемент, что всякие два канонические элемента
класса а между собой гомеоморфны и что всякий элемент класса а есть
¦сумма одного канонического элемента класса а и счётного числа множеств
низших классов. Эти результаты Л. В. Келдыш полностью решают
вопрос о существовании единственного основного топологического типа
элементов во всяком классе а.
Другая группа очень трудных и своеобразных задач относится
к построению арифметических примеров б-множеств низших классов.
Ещё Бэр в 1906 г. дал арифметический пример множества третьего класса
и поставил вопрос о построении аналогичных примеров для высших клас-
классов. Через двадцать лет после этого Л. В. К е л д ы ш*) удалось построить
арифметический пример множества четвёртого класса, а в конце трид-
тридцатых годов она же построила арифметические примеры множеств для
всех конечных классов. В этой работе Л. В. Келдыш дала принци-
принципиальную возможность построения арифметического примера и для транс-
трансфинитных классов; необходимо отметить, что в основе конструкции
существенно лежит пересчёт всех предшествующих трансфинитов. Таким
образом этот вопрос также был доведён до своего естественного конца
в советских работах.
Весьма интересный факт был обнаружен Н. Н. Лузиным при
изучении свойств б-множеств низших классов. Ещё Бэром было доказано,
что всякая монотонно убывающая последовательность замкнутых мно-
множеств непременно стационарна. Н. Н. Лузин [35] показал, что это
остаётся верным и для последовательностей множеств типа Fa, если только
числам второго рода отвечает в точности пересечение множеств, соответ-
соответствующих всем предыдущим числам.
Кроме этих результатов, советскими математиками был получен ряд
других весьма интересных результатов, относящихся к б-множествам
и В-функциям. В. И. Г л и в е н к о [1, 2, 3] и Е. В. Колесова
исследовали строение неявных функций, определённых при помощи
непрерывных функций. А. А. Б р у д н о [1] изучил строение функций,
получаемых из непрерывных предельным переходом, когда предел в каж-
каждой точке достигается. Ю. С. О ч а н [1] показал, что ни при каком вза-
взаимно однозначном преобразовании пространства самого в себя, все б-мно-
жества строго класса а не могут перейти в множества строго класса 3,
где р ф а. Это явилось ответом на вопрос, поставленный А. Н. К о л м о-
го р о в ы м.
*) См. книгу Н. Н. Лузина [25].

254 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Дескриптивная теория множеств возникла в связи с решением неко-
некоторых специальных вопросов—вопроса о мощности В-множеств и вопроса
об эффективном построении множеств, не являющихся б-множествами.
Работы первого периода были тесно связаны с этими проблемами. В даль-
дальнейшем круг этих вопросов несколько расширился. Сюда вошли вопросы,
связанные с изучением строения А- и СД-множеств. На этой почве были
созданы новые методы, которые дали решение значительного круга постав-
поставленных проблем. Далее, как это часто случается при развитии науки, соз-
созданные методы нашли применение в ряде смежных областей и дали возмож-
возможность решить некоторые проблемы, возникшие в других областях науки —
метрической теории функций и топологии. Кроме того, идеи, возникшие
в дескриптивной теории множеств также оказали значительное влияние
на некоторые смежные области, в особенности на топологию и математи-
математическую логику.
Ведущая роль во многих из этих направлений принадлежит советской
науке. Необходимо отметить, что создатель Л-операции П. С.Алексан-
С.Александров, перейдя в топологию, широко использовал там конструкции, род-
родственные Л-операции, например, понятие нерва—очень важное в топо-
топологии— несомненно является развитием идеи Л-операции. Мы не станем
подробно описывать всех работ этого направления, так как они изложены
в статье настоящего сборника, посвященной топологии.
Идеи дескриптивной теории множеств сыграли выдающуюся роль
в теории открытых и замкнутых отображений (Л. В. Келдыш [13]
и И. А. В а й н ш т е й н). Ещё Хаусдорф показал, что Ge инвариантны
при открытых отображениях. Он же высказал предположение, что это вер-
верно и для дальнейших классов б-множеств. Однако Л. В. Келдыш
показала, что всякое А-множество является открытым образом множе-
множества, являющегося пересечением G& и Fa. И. А. В а й н ш т е й н устано-
установил для замкнутых отображений теорему о распространении таких ото^
бражений на Се и широко использовал её в изучении этих отображений.
Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-мно-
б-множеств был решён с привлечением методов дескриптивной теории множеств.
Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощ-
мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счётная, либо
континуум. Однако для случая G3 вопрос оставался открытым. П. С. Н о-
в и к о в [14] показал, что результат остаётся в силе для А-множеств.
В доказательстве этого факта существенную роль играют методы дескри-
дескриптивной теории множеств, в частности теорема Н. Н. Лузина о ста-
стационарности последовательностей F,. Дальнейшее исследование этого
вопроса было проведено молодым казахским математиком А. Тайма-
новым. Одним из наиболее ранних применений дескриптивной теории
множеств в смежных областях был результат П. С. Урысона о том, что
множество достижимых точек границы пространственной области всегда
является А-множеством, но может не быть В-множеством.
Наконец, особенно важный вопрос, где методами дескриптивной тео-
теории множеств пользуются постоянно, это вопрос об установлении из-
измеримости какого-либо множества. Очень многие задачи метрической
теории функций и смежных с ней областей нуждаются в таких до*
казательствах. В этих случаях бывает дана некоторая конструкция
множества, исходя из которой необходимо решить вопрос о его изме*
римости. Ответ получается оценкой дескриптивной природы множества.
Если оно оказывается А- или С-множеством, то этим измеримость

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 255
установлена, если же конструкция ведёт хотя бы к проективным мно-
множествам второго или более высокого класса—вопрос о его измеримости
остаётся открытым. Значение этого факта таково, что он один был бы
способен сделать дескриптивную теорию множеств необходимой состав-
составной частью анализа.
Наконец, помимо связи с различными областями математики необхо-
необходимо отметить глубокие связи дескриптивной теории множеств с математи-
математической логикой. Одной из важных задач последней является изучение
природы трудностей, возникающих в задачах теории множеств, как,
например, проблема континуума или проблема мощности СЛ-множеств.
Но как раз дескриптивная теория множеств выделила несколько таких
проблем, в которых возникли специфические трудности логической
природы, с другой стороны, новые идеи математической логики обнару-
обнаруживают явное родство с идеями дескриптивной теории множеств.

МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО.
Н. К. БАРИ, А. А. ЛЯПУНОВ, Д. Е. МЕНЬШОВ
и Г. П. ТОЛСТОВ.
§ 1. Измеримые функции. Интегрирование. Дифференцирование B59).
§ 2. Суммирование расходящихся числовых рядов B68). § 3. Тригономе-
Тригонометрические ряды B70). § 4. Ортогональные системы и ряды но ортого-
ортогональным функциям B80). § 5. Почти периодические функции B85).
самом начале XX в. была создана теория меры
множеств и было найдено новое чрезвычайно плодотвор-
плодотворное определение интеграла (Лебег).
В очень короткий срок эти понятия проникли во
многие отделы математического анализа и вызвали поста-
постановку целого ряда новых проблем; вместе с тем возникла
качественно новая точка зрения на многие вопросы клас-
классического анализа. Такие вопросы, как разложение функ-
функций в тригонометрические ряды, отыскание примитивных функций,
вычисление длин дуг и площадей поверхностей, приобрели совершенно
иной, более отчётливый и более глубокий смысл. Этот круг идей со-
составил новую область науки, получившую название метрической тео-
теории функций действительного переменного. В течение первого десяти-
десятилетия XX в. эта область привлекла к себе значительное число круп-
крупных учёных и получила повсеместное признание. В начале второго
десятилетия XX в. почётное место среди других научных школ в этом
направлении заняла Московская математическая школа. В Москве были
доказаны две теоремы исключительно большого значения, которые
раскрыли взаимоотношение между центральным понятием метрической
теории функций—понятием измеримой функции и основными понятиями
классического анализа:
Всякая сходящаяся последовательность измеримых функций является
равномерно сходящейся, если пренебречь некоторым множеством сколь
угодно малой меры (Д. Ф. Егоров).
Всякая измеримая функция становится непрерывной, если пренебречь
некоторым множеством сколь угодно малой меры (Н. Н. Лузин).
Вслед за этим в 1915 г. появилась знаменитая диссертация
Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд», которая при-

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 257
несла много результатов первостепенной важности и явилась источником
большого числа работ более молодых математиков.
В дальнейшем главное место в работах Н. Н. Лузина заняла де-
дескриптивная теория функций. Однако влияние, оказанное им на развитие
метрической теории функций, исключительно велико. С одной стороны,
оно состоит в том, что очень многие работы как советских, так и за-
зарубежных учёных, явились развитием направлений, заложенных в его
работах, с другой стороны, большая часть крупных советских учёных,
работавших в области метрической теории функций, является его
учениками.
Почти одновременно с первыми работами по дескриптивной теории
функций П. С. Александрова и М. Я. Суслина появились первые
результаты двух учеников Н. Н. Лузина по метрической теории функ-
функций действительного переменного— А. Я. Хинчина и Д. Е. Меньшова.
А. Я. Хинчиным был построен интеграл, получивший впослед-
впоследствии название интеграла Данжуа-Хинчина. Д. Е. Меньшовым был
построен тригонометрический ряд, почти всюду сходящийся к нулю. Эти
работы представляли чрезвычайно большой интерес и в свою очередь поло-
положили начало целому ряду исследований. Всё это свидетельствовало
об исключительно высоком уровне Московской школы теории функций.
Таково было положение к моменту Великой Октябрьской социалисти-
социалистической революции. После Революции значительно вырос приток новых
сил в стены Университетов, а вместе с тем расширился и круг лиц, зани-
занимающихся теорией функций. В двадцатых годах Советская школа метри-
метрической теории функций быстро достигла своего расцвета, сохранив
Высокий уровень дореволюционного периода и значительно расширив
в то же время круг рассматриваемых вопросов. Начиная со второй поло-
половины двадцатых годов, идеи метрической теории функций перерастают
рамки одной области науки и не только проникают в целый ряд других
областей математики, но и порождают новые самостоятельные дисци-
дисциплины. В этом процессе видная роль принадлежит Советской науке.
Первым по времени явилось приложение метрической теории функций
к граничным задачам теории аналитических функций. Чрезвычайно
важные результаты в этом направлении были получены Н. Н. Лузи-
Лузиным и И. И. Приваловым. В настоящее время эти результаты
вошли во все учебники. В дальнейшем очень сильные результаты в этой
области были получены М. А. Лаврентьевым и М. В. Кел-
Келдышем.
А. Я. Хинчиным была создана метрическая теория чисел,
вея проблематика которой связана с идеями метрической теории функ-
функций. Л. Г. Ш н и р е л ь м а н внёс теорию меры в теорию целых чисел
и получил фундаментальные результаты в направлении решения
проблемы Гольдбаха.
А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров совершенно изменили
облик теории вероятностей, внеся в неё широкую струю теоретико-функ-
теоретико-функциональных идей. Благодаря этому теория вероятностей, стоявшая
до этого особняком, сблизилась с другими направлениями современной
математики и тематика её значительно расширилась. Это открыло новые
возможности для приложений теории вероятностей к технике и есте-
естествознанию.
В двадцатых годах образовалась сильная теоретико-функциональ-
теоретико-функциональная школа в Ленинграде, во главе с Г. М. Фихтенгольцем
17 Иагелатиха в СССР »а 30 лет

258 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
и Н. М. Гюнтером. Ленинградские математики также прило-
приложили много усилий в направлении расширения сферы влияния теории
функций. Н. М. Г ю н т е р широко применял понятие интеграла Стил-
тьеса и теорию аддитивных функций множеств к задачам математиче-
математической физики.
А. Д. Александров нашёл многочисленные применения метри-
метрической теории функций в различных областях геометрии.
Объединение гильбертовской теории собственных значений и идеи
бесконечномерных линейных пространств с концепциями метрической
теории функций привело к созданию одной из самых крупных обла-
областей современной математики—функционального анализа. В создании
этой области Советская наука сыграла чрезвычайно большую роль,
однако описание этих работ выходит далеко за пределы настоящей
статьи.
Отметим, что для настоящего времени особенно характерно исполь-
использование идей метрической теории функций в самых разнообразных
областях математики. М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник
и Н. Н. Боголюбов внесли их в вариационное исчисление,
B. В. Степанов —в теорию почти периодических функций,
C. Л. Соболев —в теорию дифференциальных уравнений в частных
производных, В. А. Тартаковский—в абстрактную теорию
групп. Приложения этих идей в теории динамических систем, интег-
интегральных уравнениях, качественной теории дифференциальных уравне-
уравнений столь многочисленны, что затруднительно установить, кто является
инициатором в этих вопросах.
Подчеркнём, наконец, то обстоятельство, что влияние теории функций
через функциональный анализ проникает и в теоретическую физику.
Одновременно с таким огромным расширением сферы влияния метри-
метрической теории функций, непрерывно шла интенсивная разработка её про-
проблем в глубину. В этом отношении Советской науке неизменно принад-
принадлежала ведущая роль.
Теперь мы перейдём к краткому описанию результатов советских
математиков по метрической теории функций действительного пере*
менного.
К сожалению, ввиду ограниченности срока*), в который написана
эта статья, нижеследующий обзор далеко не может претендовать на
полноту. Более того, авторы считают своим долгом предупредить чита-
читателей о том, что в силу указанной причины пробелы могут быть весьма
значительны. Щь&шЩф
Авторы настоящей статьи считают приятным долгом выразить
глубокую благодарность В. В. Степанову и Б М. Левитану, вы пол*
нившим основную работу по составлению обзора по почти периодичен
ским функциям, С. Б. Стечкину, принявшему деятельное участие в со-
составлении обзора по теории рядов, А. И. Плеснеру и В. В. Немыцкому
за ценные указания, а также Е. М. Ландису, А. М. Молчанову,
А. С. Кронроду, А. Л. Брудно, Н. Я. Виленкииу, В. Я. Козлову
и Ю. А. Шрейдеру за реферирование отдельных работ. Без этой по-
помощи авторы не смогли бы составить этот обзор в данный им срок.
*) От редакции. Первоначально намеченный автор статьи взял назад своё согла-
согласие. Ввилу этого коллектив авторов настоящей статьи имел в своём распоряжении
очень ограниченный срок.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 259
В настоящей статье рассматриваются работы советских учёных,
относящиеся к метрической теории функций действительного перемен-
переменного, т. е. те работы, где основные понятия анализа (функция, про-
производная, интеграл, ряд) изучаются с точки зрения теории меры.
В теории функциональных рядов, кроме проблем, связанных со сходи-
сходимостью, обычно рассматривают вопрос о суммируемости теми или
иными методами. Благодаря этому от метрической теории функций
нельзя отделить изучение суммируемости расходящихся числовых
рядов. Наконец, идеи теории меры столь существенным образом про-
проникли в теорию почти периодических функций, что в настоящее
время совершенно естественно рассматривать её как составную часть
метрической теории функций.
Зато многие разделы теории функций, не связанные с теорией меры
(как, например, приближение функций многочленами, квазианалитиче-
екие функции, дескриптивная теория функций и др.), в этот обзор не
вошли. Им посвящены другие статьи настоящего Сборника.
§ I обзора написан Н. К. Бари, А. А. Ляпуновым и Г. П. Толстовым;
§ 2—Д. Е. Меньшовым; § 3—Н. К. Бари; § 4—Н. К. Бари и Д. Е. Мень-
Меньшовым.
§ 1. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.
В области изучения общих метрических свойств измеримых функций
прежде всего следует отметить фундаментальную работу А. Я. Хин-
чина [7]. Приступая к обзору содержания этой работы, начнём с изло-
изложения результатов, касающихся поведения произвольной измеримой
функции в отношении возрастания и убывания.
А. Я. Хин чин предложил называть функцию асимптотически
направленной в данной точке х, если она становится возрастающейг
убывающей или постоянной по удалении множества, имеющего в данной
точке плотность, равную нулю. Функция называется асимптотически
направленной на данном множестве положительной меры, если она
асимптотически направлена почти во всех его точках.
Основная теорема, выясняющая структуру асимптотически на-
направленных функций, состоит в следующем:
Для того чтебы измеримая функция /(х) была асимптотически
направлена в данном интервале (или на данном измеримом множе-
множестве), необходимо и достаточно, чтобы её значения в зтом интервале
(или на этом множестве) с точностью до множества произвольно малой
меры совпадали со значениями непрерывной функции, имеющей лишь
конечное число максимумов и минимумов.
Интерес к изучению асимптотической направленности вызывается
тем, что функция, асимптотически направленная на некотором мно-
множестве, имеет на не"м почти всюду асимптотическую производную*).
Данжуа доказал, что всякая измеримая функция асимптотически
непрерывна почти всюду. В. В. Степанов[4] отметил, что обратное
*) Принято говорить, что некоторое свойство в точке осуществляется асимпто-
асимптотически, если оно выполнено после удаления множества, имеющего в данной точке
плотность, разную нулю. Таким образом понятно, что значит асимптотическая непре-
непрерывность, асимптотическая производная и т. п.
17*

260 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
предложение также справедливо, и, таким образом, асимптотическая не-
непрерывность почти всюду есть характеристическое свойство измеримых
функций. Если бы измеримые функции обладали также асимптотиче-
асимптотической направленностью, они были бы, в силу вышеупомянутой теоремы
А. Я. Хин чина, асимптотически дифференцируемы. Однако
А. Я. Хин чин построил пример измеримой функции, которая может
быть асимптотически направлена только на множестве меры нуль.
Вместе с тем для измеримых функций наиболее общего вида он уста-
установил следующее предложение:
Всякая измеримая функция, за исключением, быть может, точек
некоторого множества меры нуль, либо имеет асимптотическую производ-
производную, либо оба её верхние производные числа равны + со, а оба нижние
— со соответственно по множествам, имеющим в данной точке верхнюю
плотность, равную единице.
В той же работе А. Я. Хин чина систематизируются и срав-
сравниваются между собой главные из известных в то время обобщений поня-
понятия производной (симметрическая производная, средняя интегральная
производная Бореля, асимптотическая производная), а также некото-
некоторые новые (общая производная, производная «по последовательно-
последовательности»). При этом методы дифференцирования располагаются в ряд,
в котором каждый метод «сильнее» предыдущего и «слабее» последу-
последующего.
Естественно поставить вопрос: можно ли дать такое определение
производной, при котором всякая непрерывная функция имела бы про-
производную почти всюду. Ответ на этот вопрос следует считать отрицатель-
отрицательным. В самом деле, А. Н. Кол мого ров [4] показал, что существуют
непрерывные функции, которые не могут иметь производной, измеримой
по Лебегу*). Это указывает на невозможность построить естественное
определение производной для всех непрерывных функций.
Возвращаясь к работе А. Я. Хи нчина, необходимо отметить, что
она явилась основополагающей работой, определившей на долгое время
проблематику общей теории измеримых функций. В ней А. Я. Хинчи-
ным были созданы новые сильные методы, значение которых сохра-
сохранилось до настоящего времени.
Г. П. То лет о в [1] продолжил исследования А. Я. Хинчина,
касающиеся асимптотической непрерывности и асимптотической диф-
ференцируемости. Среди ряда полученных им результатов отметим де-
дескриптивную оценку для точной асимптотической производной. Оказа-
Оказалось, что она есть функция класса не выше первого по классификации
Бэра.
Ю. Б. Г е р м е и е р [1 ], в результате исследований понятия симмет-
симметрической производной Шварца, получил для симметрических производных
чисел первого порядка аналог знаменитой теоремы Данжуа об обычных
производных числах и показал несправедливость аналогичного предложе-
предложения для симметрических производных чисел второго порядка. В тоже
время для последних он установил аналог упомянутой выше теоремы
А. Я. Хинчина:
•) Здесь предполагается, что производная, как бы мы её ни определяли, должна
удовлетворять некоторым естественным требованиям (возможность вынесения посто-
постоянного множителя за знак производной, производная суммы есть сумма произ-
производных и т. д.).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 261
Если /(х) конечна почти всюду и измерима на множестве Е, то
почти всюду на этом множестве—либо существуют первая и вторая
асимптотические производные j'nc{x) и f"ac (х) и, вместе с тем вторая швар-
цева асимптотическая производная Dl/f (x), причём D-acf(x) = f'ae(x), либо
Ш
при А—>0 по любому множеству, симметричному относительно нуля
и положительной нижней плотности в точке 0.
Изучая производные Валле-Пуассена, Ю. Б. Гермейер показал,
что эти производные порядка >3 могут обращаться в бесконечность
на множестве положительной меры. Заметим, что для обычных
и асимптотических производных это невозможно.
Ср'еди работ, посвященных производным числам, отметим работу
Л. В. Ка нто ро ви ча [12]. Он установил некоторые достаточные
условия, при которых данные четыре функции являются производными
числами от непрерывной функции на множествах специального вида.
Кроме того, им рассмотрен аналогичный вопрос для верхней и нижней
производных.
В. Н. Вениаминов [3] для изучения производных чисел ввёл
метод построения «облицовок». Так называл автор спрямляемые кривые,
соприкасающиеся с данными континуумами (например, жордановой
кривой) по множеству положительной меры. В руках В. Н. Вен на-
нами но в а этот метод оказался весьма тонким орудием исследования.
Применяя его к кривым y = f(x), где /(х) непрерывна, он получил
заново все теоремы Данжуа о производных числах. Из всех существую-
существующих изложений теории производных чисел данное является, пожалуй,
наиболее простым и, несомненно, самым интуитивным
Ленинградский математик И. Н. Л и б е р м а н [2] установил аналог
теоремы Данжуа для производных чисел от произвольной функции по не-
непрерывной функции. Он нашёл необходимое и достаточное условие для
того, чтобы при дифференцировании по данной функции <?(х) для любой
функции имела место теорема Данжуа.
Предыдущий ряд работ относился к обобщению понятия производ-
производной. Отметим теперь работы, относящиеся к обобщению понятия инте-
интеграла.
П. С. Александров [4] показал, что узкий интеграл Данжуа
эквивалентен интегралу в смысле Перрона. Этим были эллиминированы
трансфинитные числа из определения узкого интеграла Данжуа.
Совершенно другим способом П. И. Р о м а н о в с к и й [3] получил
определение интеграла Данжуа-Хинчина без привлечения трансфинитных
чисел.
Г. П. Толстой [б], с помощью расширения понятия производной,
обобщил интеграл Перрона и доказал эквивалентность нового определе-
определения с определением интеграла Данжуа-Хинчина. Им же было изучено оп-
определение интеграла, предложенное Беркиллем, и было показано, что
класс функций, интегрируемых по Беркиллю, частично перекрывается
с классом функций, интегрируемых в смысле Данжуа-Хинчина.

262 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Ю. Гольдовским был построен и доложен на первом Все-
Всероссийском съезде математиков в 1927 г. очень неожиданный результат:
существует точная производная, не интегрируемая в смысле Данжуа-
Хинчина*). Этот результат был утрачен вследствие гибели Ю. Голь-
довского и лишь через несколько лег восстановлен В. Я. Коз л о-
в ым.
К проблеме единственности определения функции её производной
относится работа Ю. Гольдовского [3], в которой доказываете,
что непрерывная функция, обладающая всюду конечной или бесконечной
производной, почти всюду равной нулю,—постоянна. Этот результат
Г. П. Толстовым [2] был перенесён на случай асимптотической
производной.
Если обобщать понятие производной несколько в ином направлении,
а именно говорить о дифференцировании функции по другой функции, то
возникает вопрос, поставленный Лебегом: должна ли функция, произвэд-
ная которой по другой непрерывной функции равна нулю, быть посто-
постоянной. Положительный ответ на этот вопрос был дан в одной из ранних
работ И. Г. Петровского [1, 2].
Заканчивая обзор работ, связанных с обобщением понятия интеграла,
нельзя не вспомнить полученный Н. Н. Лузиным в его диссертации чрез-
чрезвычайно общий результат: для любой измеримой функции /(х) конечной
почти всюду можно найти такую непрерывную F(x), для которой F' (х) =
= /(х)почти всюду. Эта теорема позволяет, следовательно, найти прими-
примитивную для любой измеримой функции. Построив такую примитивную,
Н. Н. Лузин обратил внимание на то, что равенство F'(x)=f(x) выпол«
няется в его построении хотя и на множестве полной меры, но первой
категории, и поставил вопрос о возможности усилить этот результат к
лолучить нужное равенство на множестве второй категории. Отрицатель-
иый ответ на этот вопрос дан Г. П. Толстовым [2].
Теорема Н. Н. Лузина, как было отмечено самим автором, пр
осей её общности не решает вопроса о получении единственного инте-
интеграла для заданной измеримой функции, так как примитивные функ-
функции, если требовать выполнения равенства F' (х) =/ (х) почти всюду, а не
всюду, уже не отличаются друг от друга лишь на постоянную величину.
Н. Н. Лузи н поставил проблему о выделении из пучка примитивных
той, которую естественно назвать неопределённым интегралом, и произ-
произвёл, в связи с этим, ряд глубоких и тонких исследований по поводу харак-
характеристических свойств неопределённых интегралов Лебега и Данжуа,
а также ввёл понятие функции с нулевым изменением. Однако выделить
естественным образом единственный неопределённый интеграл не удалось
ни самому Н. Н. Л у з и н у, ни тем, кто продолжал его исследования,,
так как этого, как мы теперь знаем, не позволяла сама природа вещей;
Именно, А.Н.Колмогоров [4] показал, что если бы удалось дать оп-
определение интеграла, с помощью которого можно было проинтегрировал
любую измеримую функцию, и этот интеграл удовлетворял бы некоторы!
совершенно естественным требованиям**), то определение такого интеграл!
*) Данжуа доказал, что любая точная производная интегрируема в его смысла
если она всюду конечна. Если отказаться от требования конечности в каждой точк»
то, как показывает пример Ю. Гольдовского, теорема эта теряет силу.
**) Законность вынесения постоянного множителя за знак интеграла; условие
чтобы интеграл от суммы существовал и был равен сумме интегралов, и некоторые др,,
гие.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 263
привело бы к построению, без аксиомы Цермело, функции, неизмери-
неизмеримой по Лебегу. Однако современное развитие методов математической
логики позволяет думать, что такое построение принципиально неосу-
неосуществимо.
Мы рассматривали до сих пор работы, посвященные строению произ-
произвольных измеримых функций, а также обобщению понятия производной
и понятия интеграла. Однако для теории функций одной из важных задач
является изучение тех или иных специальных классов функций и их
связи друг с другом. Например, класс функций абсолютно непрерывных
представляет значительный интерес, так как абсолютная непрерывность
есть характеристическое свойство неопределённого интеграла Лебега.
Таким образом, естественно изучить более детально этот класс функций.
Г. М. Фи хтен гол ьц [5] показал, что суперпозиция /[<?(х)] двух
абсолютно непрерывных функций может уже не быть абсолютно
непрерывной. Он поставил и до конца решил вопрос о том, при каких
условиях, наложенных на / (или на <р), суперпозиция будет абсолютно
непрерывной при любой абсолютно непрерывной ср (или соответ-
соответственно /).
Н. К. Б а ри и Д. Е. Мен ь шов [1,2] нашли необходимый и доста-
достаточный признак для того, чтобы непрерывная функция F(x) являлась
суперпозицией двух абсолютно непрерывных. ИЗ этого признака, в част-
частности, вытекало, что тройная суперпозиция абсолютно непрерывных
функций уже не приводит к новому классу функций.
Дальнейшие исследования, проведённые Н. К. Бари [8, 91, привели
к следующим результатам: любая непрерывная функция может быть пред-
представлена в виде суммы трёх суперпозиций абсолютно непрерывных функций,
но есть такие непрерывные функции, которые не могут быть представлены
в виде суммы двух таких суперпозиций.
Совершенно иная картина была обнаружена Н. К. Бари [11] для
суперпозиций функций с ограниченным изменением. С одной стороны ока-
оказалось, что всякая непрерывная функция является суммой двух супер-
суперпозиций функций с ограниченным изменением, с другой стороны, оказа-
оказалось, что такие суперпозиции, взятые в числе л, приводят для каждого
п к существенно новым функциям. Мало того, определив понятие супер-
суперпозиции порядка а для всех трансфинитных чисел а второго класса,
Н. К. Бари показала, что и суперпозиции трансфинитного порядка для
всякого а приводят к новым классам функций. В то же время сущест-
существуют непрерывные функции, не входящие ни в один из этих классов.
Теперь мы перейдём к обзору работ, относящихся к метрической
теории функций многих переменных.
Вопросы дифференцируемости функций двух и большего числа пере-
переменных изучались В. В. С т е п а н о в ы м [2, 6]. Им были найдены необхо-
необходимые и достаточные условия для существования полного дифференциала
почти всюду на заданном множестве. Определив понятие асимптотического
полного дифференциала, он доказал теорему: из существования асимптоти-
асимптотических частных производных на некотором измеримом множестве следует
существование почти всюду на нём асимптотического полного дифференци-
дифференциала (аналогичная теорема неверна для обычных производных и диффе-
дифференциалов). Из этого предложения вытекает, что для квадрируемой по
Лебегу поверхности z=/(x, у) почти во всех точках существует асимпто-
асимптотическая касательная плоскость. Этот результат был независимо получен
М. А. 3 а р е ц к и м.

264 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
А. Д. Мышкис [1 ] исследовал вопрос о существовании полного диф-
дифференциала у функции двух переменных на границе области её задания.
Г. П. Т о л с т о в [7] изучал условия, при которых функции Р (х, у)
и Q(x, У) являются частными производными некоторой функции двух пере-
переменных. Вопреки существовавшему мнению, был построен пример двух
непрерывных функций Р(х, у) и Q(x, у), для которых всюду внутри неко-
некоторого квадрата
дЛ — 09.
ду ~ дх '
но выражение Р dx+Qdy не является полным дифференциалом. Другой
неожиданный результат содержался в примере функции ](х, у) двух пере-
переменных, обладающей всюду непрерывными первыми частными производ-
производными и обеими смешанными производными второго порядка, причём
дх ду ду дх
на множестве положительной меры. Одновременно было показано, что это
неравенство может осуществляться почти всюду, если отказаться от усло-
условия существования смешанных производных всюду.
Г. П. Толстое доказал также следующее предложение:
Если функция f (x, у) обладает в некоторой области всеми частными
производными до порядка п включительно (в этих условиях /(х, у) может
быть разрывна на множестве положительной меры), то величина всякой
производной порядка <п не зависит от порядка дифференцирований всюду
в рассматриваемой области, а для порядка п это имеет место почти всюду.
Результат сохраняется для функций любого числа переменных.
Для функций, являющихся частными производными, получена такая
дескриптивная оценка: если](х, у) обладает всеми частными производны-
производными до некоторого порядка, то все эти производные суть функции класса не
выше первого. Для функции от /л + 1-го переменного, в аналогичных
условиях, все производные оказываются класса не выше т.
Одновременно показано, что при отсутствии некоторых производных
класс тех, которые существуют, может повышаться.
Ряд результатов по теории функций многих переменных получен
А. С. Кронродом. Он изучал для этих функций понятие вариации
и заметил, что для функции п переменных естественно определить не
одну, а п качественно различных вариаций. Оказалось, что те свойства
функции одного переменного, которые вытекают из гипотезы об ограни-
ограниченности её вариации, для функции многих переменных иногда являются
следствиями ограниченности какой-либо одной вариации, а иногда сле-
следуют из ограниченности всех или нескольких вариаций.
Например, для л=2, ограниченность плоской вариации влечёт суще-
существование почти всюду асимптотического полного дифференциала. Огра-
Ограниченность плоской и линейной вариации одновременно влечёт сущест-
существование почти всюду обычного полного дифференциала. Ограниченность
одной линейной вариации позволяет представить функцию в виде суммы
двух «слабо монотонных»*) функций.
*) Здесь имеется ввиду сделанный А. С. Кронродом перенос понятия мо-
монотонности на случай функции многих переменных.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 265-
Отличительной чертой исследований А. С. Кронрода является
построение теории функций многих переменных, существенно отражающее
многомерность области задания функции. Помимо новых понятий вариации,
он вводит аналоги понятий монотонности, производной, интеграла и т. д.
для функций многих переменных. Основным методом исследования служит
изучение множеств уровня.
А. С. Крон род и Е. М. Ланди с[1] изучали структуру множеств
уровня многократно дифференцируемой функции л переменных. Особой
точкой такой функции F называется точка ?, в которой grad F (?)=О.
Доказано, что для п раз дифференцируемой функции F от п переменных
множество всех особых точек отображается функцией F во множество
меры нуль. Отсюда следует, например, что у п раз дифференцируемой функ-
функции л-переменных почти все множества уровня состоят из конечного числа
дифференцируемых многообразий каждое. Этот результат перестаёт быть
верным для л—1 раз дифференцируемых функции от л переменных.
И. Я. Верчен ко и А. Н. Колмогоров [1,2] провели иссле-
исследование точек разрыва функций двух переменных. Ими введено понятие-
нормального разрыва (связанное с понятием непрерывности по разным
направлениям, исходящим из данной точки) и показано, что множество
точек нормального разрыва расположено на счётном множестве спрямляе-
спрямляемых кривых.
Авторы изучили также понятие о так называемых коитингенциях
плоского множества (касательных направлениях ко множеству) и получи-
получили результаты, частным случаем которых являются теоремы Данжуа о
производных числах, если за плоское множество принять непрерывную
кривую y=f(x).
Интересен ряд работ, связанных с определением мер множеств, лежа-
лежащих на поверхностях.
И. Я. Верченко[1], рассматривая поверхности вида z=f(x,y),
квадрируемые по Лебегу, вводит для множеств, лежащих на таких поверх-
поверхностях, понятие меры по отношению к поверхности и показывает, что зна-
значение этой меры не зависит от несущей поверхности. В дальнейшем
И. Я. В е р ч е н к о перенёс понятие площади поверхности на некоторый
класс разрывных поверхностей, изучил многие свойства этого класса и
нашёл необходимые и достаточные условия для конечности площади такой
поверхности. Он дал также решение проблемы Гесце: площадь (по Ле-
Лебегу) поверхности вида г=/(х, у) может быть определена с помощью
одних только вписанных полиэдров.
М. А. Зарецкий показал, что в общем случае (поверхности,
заданной параметрически) поверхность данной площади может включать
в себя множество, лежащее на плоскости и плоской меры, превышающей
площадь поверхности. Поэтому, теория площадей поверхностей может
развиваться независимо от теории плоской меры пространственных мно-
множеств. Последняя является частным случаем теории меры порядка к в про-
пространстве л измерений, гдеп>&. Этойтеории посвящена работа А. Н. Кол-
м о г о р о в а [13]. Здесь автор определяет меру аксиоматически для всех
А-множеств п-мерного пространства. Именно, он называет мерой мно-
множества Е неотрицательную функцию р(Е) (причём она может иногда
равняться + оо), удовлетворяющую четырём аксиомам:
оо со
1) Если ECZ 2 Ет, то *(?)< 2 M^J-
rn— I ml

266 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
2) Если множества Ет попарно без общих точек и все содержатся
оо
в Е, то %
m=-.l
3) Если Е' есть непрерывное отображение Е без растяжений*), то
'E)
v()p()
4) Для некоторого множества J имеем р (J) = 1.
Если J есть куб со стороной, равной единице, в подпростран-
подпространстве Л-измерений, то так определённая мера называется мерой k-ro
порядка.
В отличие от лебеговского случая такое мероопределение не единст-
единственно. Однако для всякого к удаётся определить некоторый класс мно-
множеств, для которого все меры порядка к совпадают. К этому классу, в част- ;
ности, принадлежат все множества, которые являются непрерывными ото- ;
бражемиями без растяжений множеств Е, лежащих в пространствах k-va-
мерений.
Отсюда следует, что мера порядка п определяется единственным
образом и совпадает с мерой Лебега.
В общем случае произвольного &<л и произвольных А-множеств
определяется две меры^максимальная и минимальная, между которыми
заключаются меры при всех возможных определениях.
Перейдём к изложению работ, относящихся к многомерному интегра-
интегралу. В теории кратных интегралов Лебега существенную роль играя
теорема Фубини, позволяющая сводить кратное интегрирование к после-
последовательному интегрированию по одному переменному.
Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц [6] обнаружил очень интересный факт:!
существует измеримая в прямоугольнике /?(а<х< b, c<y<d) футщ\
j(x, у), несуммируемая ни в какой порции этого прямоугольника, но такая,
что
для любой пары измеримых множеств E,cz[a, b] и ?2с[с, а], причё
линейные интегралы берутся в смысле Лебега.
Этот результат вызвал дальнейшие работы по изучению переста-
перестановочного интегрирования.
Г. П. Толстовым показано, что для многомерных интегралок
Данжуа перестаёт выполняться теорема Фубини. ]
В дальнейшем Г. П. Толстое занимался изучением двумерны!5
криволинейных интегралов в смысле Лебега и, в связи с этим, рассматри-
рассматривал функции, имеющие ограниченное изменение на всякой простой спрям-
спрямляемой дуге, лежащей в некотором фиксированном прямоугольнике
При этом было обнаружено, что такая функция может иметь не боле
чем счётное множество и притом только устранимых точек разрыва
После устранения этих разрывов она становится удовлетворяющей уаю
вию Липшица. Отсюда следует, что функция f (х, у), представила
независящим от пути интегрирования криволинейным интегралом, удо»
летворяет условию Липшица,
*) Т. е. такое, при котором расстояния могут только уменьшаться.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕНОГО 267
Конструкции многомерного интеграла, являющегося аналогом уз-
узкого интеграла Данжуа, а также обобщениям этого интеграла на случай
абстрактных пространств посвящен ряд работ П. И. Романовско-
г о [4, 5, б, 7J. Им же [1 ] подробно изучены аксиоматические определения
различных понятий интеграла.
Теорией многомерных интегралов Радона-Стилтьеса занимался
также Н. М. Г ю н т е р [16]. Ему принадлежат важные применения этой
теории к математической физике.
А. Н. К о л м о г о р о в ы м [12] и В. И. Г л и в е н к о [4, 5] были
построены и исследованы чрезвычайно общие схемы конструктивного опре-
определения интеграла, которые при различных специализациях могут быть
обращены по желанию в интеграл Лебега, интеграл Римана, интеграл
Лебега-Стилтьеса и др.; в то же время эти процессы непосредственно дают
аппарат для вычисления длины дуги, площади поверхности и т. п. Рассмот-
Рассмотрение этих общих схем позволяет глубоко проникнуть в природу процесса
интегрирования.
Работы по теории аддитивных функций множеств первоначально отно-
относились к метрической теории функций действительного переменного, одна-
однако, в дальнейшем основное внимание исследователей было обращено на
изучение аддитивных функций абстрактных множеств. Эти исследования
естественно выходят за рамки настоящего обзора. Мы остановимся лишь
на таких работах советских математиков по теории аддитивных функций
множеств, которые можно считать относящимися к области теории функ-
функций действительного переменного.
Вопросы, относящиеся к продолжению аддитивной функции мно-
множеств на более широкий класс множеств, чем тот, на котором она задана
первоначально, были изучены во всей полноте В. И. Гливенко [4].
В частности, им выяснены роль непрерывности аддитивной функции в этом
вопросе и взаимоотношения между понятиями непрерывной аддитивной
функции множеств и вполне аддитивной функции множеств. В. И. Гли-
Гливенко показал, что для того, чтсбы аддитивная функция, заданная
на некотором теле множеств, была непрерывной, необходимо и достаточно,
чтсбы она была вполне аддитивной.
Погибший во время Отечественной войны Б. М. Ю н о в и ч [1] иссле-
исследовал вопрос о дифференцировании вполне аддитивных функций друг отно-
относительно друга. Ему удалось получить такое определение дифференци-
дифференцирования функций множеств, которое естественным образом связано с их
интегральными представлениями.
Г. М. Фихтенгольц [7], опираясь на существенно неэффектив-
неэффективные средства, построил пример ограниченной аддитивной функции мно-
множеств, определённой на всех измеримых подмножествах некоторого куба
и не достигающей наибольшего значения.
В. М. Дубровский [1] занимался изучением семейств вполне
аддитивных функций, определённых на некотором теле множеств. При
этом он использовал введённое им понятие равномерной аддитивности.
В частности, им получен результат: сходящаяся последовательность вполне
аддитивных функций обязательно состоит из равномерно аддитивных
функций и предел этой последовательности есть вполне аддитивная функ-
функция. В. М.Дубровский получил также критерий компактности
семейства вполне аддитивных функций.
Ряд работ, относящихся к изучению вполне аддитивных функции
.множеств, был выполнен тбилисским математиком Г. Я. Арешкиным [1].

268 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
§ 2. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.
Основные работы в этой области относятся к суммированию расходя-
расходящихся рядов линейными методами и методами множителей. Наиболее за-
законченные результаты получаются для суммирования ограниченных после-
последовательностей*) линейными регулярными **) методами.
Условимся называть полем (ограниченным полем) метода А совокуп-
совокупность всех последовательностей (соответственно ограниченных последо-
последовательностей), которые суммируются методом А. Как доказал Мазур,
если ограниченное поле одного метода вложено в ограниченное поле
другого, то эти методы не могут суммировать одну и ту же ограниченную
последовательность к разным значениям. А. Л. Б р у д н о [3, 4] значи-
значительно углубил теорию ограниченных полей и получил ряд основных
результатов, среди которых в первую очередь нужно отметить сле-
следующие:
1) Если Еи ?„..., Еп, ... ограниченные поля и EXZDE.ZD ¦ • ¦ ZJ
ZDEn ..., то их общая часть есть нетривиальное ограниченное поле (поле
называется тривиальным, если оно состоит только из одних сходящихся
п оследо вательностей).
2) Для любой последовательности ограниченных полей существует
максимальное ограниченное поле, содержащееся в их общей части. Это
поле состоит из всех ограниченных последовательностей, суммируемых
к одному и тому же значению методами, соответствующими этим
полям.
3) Если Et а Ег С ¦.. d En CZ-.. , где Еп — ограниченные поля
(п=1,2, ...), то их теоретике-множественная сумма никогда не яв-
является ограниченным полем.
4) Если Ег и ?2 — ограниченные поля, причём E^CLE*, то существует
ограниченное поле Е, для которого ElCZEczE2.
При изучении совместных методов, т. е. таких методов, которые не
могут суммировать одну и ту же последовательность к разным значениям,
существенную роль играют так называемые совершенные методы. Метод А
мы будем называть совершенным, если он совместен с любым методом,
поле которого содержит поле данного метода А. В. М. Д а р е в с к и й [3J
получил достаточное условие для того, чтобы линейный метод был совер-
совершенным. Кроме того, он [1 ] показал, что метод Теплица А эквивалентен
обычной сходимости, если он совместен с любым методом Теплица, поле
которого содержится в поле данного метода А.
Будем называть два метода ограниченно совместными, если они не мо-
могут суммировать одну и ту же ограниченную последовательность к разным
значениям. В. М. Д аревс ки й [2] получил эффективные достаточные
условия ограниченной совместности и полной совместности для очень
широкого класса методов Теплица.
Наряду с линейными методами суммирования изучались также мето-
методы множителей, которые определяются следующим образом. Возьмё»
последовательность функций <?п(х) (п = 0, 1, 2, ...), определённых для
всех положительных х (или для всех натуральных л). Говорят, что ряд
*) Если метод суммирует ряд с частными суммами Sn к сумме S, то мы бу-
будем говорить, что этот метод суммирует последовательность slt S2, ..., Sn, ... к
сумме S.
**) Как известно, метод называется регулярным, если он суммирует всяки»
сходящийся ряд к его обычной сумме.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 269
oo
2 tin суммируется методом множителей, определяемым последователь-
последовательностью {?„ (х)}, к значению S, если ряд
со
2 ?»(*)«„
сходится для всех положительных (натуральных) х и его сумма стремится
к пределу S, когда х—-»оо.
Перрон нашёл достаточные условия для регулярности метода множи-
множителей. Г. Р. Л о р е н ц [1] доказал, что эти условия являются также
необходимыми.
Одним из разделов теории суммирования рядов являются так назы-
называемые «теоремы тауберова типа». Они представляют собою признаки,
ло которым из суммируемости ряда можно заключить о его сходимости.
Наиболее важные тауберовы теоремы были доказаны Харди, Литльву-
дом и Ландау. Они обратили также внимание на интерес нахождения
неравенств между пределами неопределённости S и S частных сумм Sn
некоторого ряда и пределами неопределённости их абелевых средних а
и а, а также их чезаровских средних порядка <x(od и о*).
С. Б. С т е ч к и н [2] доказал ряд теорем тауберова типа для мето-
методов суммирования Чезаро и метода Абеля. В частности, он установил,
<ю
что если а > — I и для ряда 2 ап имеем
то
причём для константы С им найдено наименьшее возможное значение.
Вопросы, связанные с теоремами тауберова типа, изучались также
М. П. Щегловым [3, 5].
Среди работ, посвященных расходящимся рядам, следует отметить
работу А. С. К р о н р о д a [3J, в которой изучаются перестановки чле-
членов числовых рядов с точки зрения их влияния на сходимость ряда.
Как известно (теорема Римана), условно сходящийся ряд можно
заставить сходиться к любой сумме или превратить в расходящийся, соот-
соответственным образом изменив порядок членов этого ряда. А. С. Крон-
род существенно дополнил этот результат. Он обнаружил существова-
существование таких перестановок, которые всякий сходящийся ряд оставляют
сходящимся, но могут некоторый расходящийся ряд сделать сходя-
сходящимся. Такие перестановки он назвал правыми. Аналогично он нашёл
такие перестановки (левые), которые могут переводить сходящийся ряд
в расходящийся, но всякий расходящийся оставляют расходящимся.
Он доказал, что любой условно сходящийся ряд можно превратить
в ряд, сходящийся к заданной сумме, выполнив последовательно две пере-
перестановки, одна из которых левая, а другая правая.
В теории суммирования расходящихся рядов естественно поставить
следующий вопрос: существует ли метод суммирования, который сумми-
суммирует все бесконечные ряды. Такой метод суммирования будем назы-

270 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
вать универсальным. Мы будем предполагать, что все методы суммирова-
суммирования, которые мы рассматриваем, удовлетворяют следующим условиям:
со
а) Если ряд 2 цп суммируется данным методом к значению S
и С есть постоянная величина, то ряд 2 Сап суммируется к значе-
значению CS. "-1
б) Если Два ряда суммируются данным методом к значениям 5 nS\
то сумма этих рядов суммируется к значению S+S'.
со
в) Если ряд 2 "л суммируется данным методом к значению 5
и р есть постоянное натуральное число, то ряд 2 "п суммируется
р п=р+1
к значению S— 2 "л-
п=1
А. Н. Колмогоров [5] доказал, что если можно определить.
без аксиомы Цермело универсальный метод суммирования, удовлетво-
удовлетворяющий условиям а), б) и в), то без аксиомы Цермело можно также
определить множество, неизмеримое по Лебегу. Таким образом, задача
об определении универсального метода суммирования оказывается столь,
же трудной, как задача о построении множества, неизмеримого по Лебегу.
§ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
Свыше тридцати лет назад Н. Н- Лузин в своей замечательной дис-
диссертации разбил совершенно справедливо проблемы теории тригонометри-
тригонометрических рядов на проблемы, относящиеся к общим тригонометрическим
рядам и к рядам Фурье. Однако в то время Н. Н. Лузин должен был кон-
констатировать, что по поводу первого круга вопросов можно сказать очень,
мало. Теперь дело в корне изменилось: именно в теории общих тригономет-
тригонометрических рядов советскими учёными достш нуты существенные результаты
и ими перед мировой наукой поставлен ряд тонких проблем. Этим мы не
хотим сказать, что теория рядов Фурье не находила отражений в работах
наших учёных; напротив, и здесь ими получены значительные результаты.
Основной задачей теории общих тригонометрических рядов являете»
нахождение необходимого и достаточного условия для того, чтобы функ-
функция/^) была представима тригонометрическим рядом. Н. Н.Лузин
доказал, что всякая функция / (х), измеримая и конечная почти всюду
на @, 2т:), изобразима тригонометрическим рядом, суммируемым мето-
методами Пуассона и Римана к этой функции почти всюду.
Н. Н. Лузин поставил вопрос: каким необходимым и достаточным,
условиям должна удовлетворять функция /(х), чтобы быть суммой триго-
тригонометрического ряда, сходящегося в ней почти всюду. В течение 25 лег
этот вопрос оставался нерешённым. В1940 г.Д.Е. Меньшов [25] дал
исчерпывающий ответ: для всякой измеримой функции, конечной почта
всюду, существует тригонометрический ряд, сходящийсяк ней почти всюду.
Совершенно естественно возникает вопрос, может ли существовать,
два различных тригонометрических ряда, обладающих этим свойством.
В случае суммируемости методом Пуассона Н. Н. Лузин получил для
каждой функции бесконечное множество представляющих её рядов, но
для сходимости он ожидал, что дело будет обстоять иначе. Действительно,,

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 271
если два разных тригонометрических ряда сходятся к одной функции почти
всюду, то их разность есть тригонометрический ряд с коэффициентами,
неравными нулю, сходящийся к нулю почти всюду. Однако было известно,
что если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду, или даже
всюду, кроме, быть может, счётного множества точек, все его коэффициен-
коэффициенты равны нулю (Кантор, Юнг).
Достигнутые к тому времени результаты метрической теории функций
показывали, что множествами меры нуль обычно можно пренебрегать.
Поэтому становилась более чем вероятной гипотеза о том, что в формули-
формулировке Юнга множество точек исключения можно заменить любым множе-
множеством меры нуль. Тем неожиданнее оказался появившийся в 1916 г. резуль-
результат Д. Е. Меньшова*): о» построил тригонометрический ряде коэффициен-
коэффициентами, не равными нулю,ч*сходящийся к нулю почти всюду.
Для сокращения дальнейшего изложения введём принятую в настоя-
настоящее время терминологию: множество Е будем называть U-множеством, если
из сходимости тригонометрического ряда к нулю всюду вне множества Е
следует равенство нулю всех коэффициентов ряда. Напротив, множество Е
будем называть М-множеством, если можно построить тригонометриче-
тригонометрический ряд с отличными от нуля коэффициентами, сходящийся к нулю всюду
вне Е. Пользуясь этим определением, можно сказать, что пустые и счётные
множества являются (/-множествами, но Д. Е. М е н ь ш о в дал пример
М-множества меры нуль. Естественно возник вопрос, зависит ли разделе-
разделение множеств на U и М только от мощности множества, т. е. не будут ли
все несчётные множества М-множествами. Отрицательный ответ на этот
вопрос был дан Н. К. Б а р и [1, 4], построившей некоторый класс совер-
совершенных (/-множеств. Одновременно, но независимо польский математик
Райхман дал построение некоторого класса совершенных (/-множеств,
названных им //-множествами (в частности, к этому классу принадлежит
известное Канторовское множество).
После появления этих результатов естественно возникла проблема;
установить, какие несчётные множества меры нуль являются (/-множест-
(/-множествами и какие М-множествами. Проблема эта, повидимому, чрезвычайно
трудна и до сих пор остаётся неразрешённой не только в общем виде, но
и для совершенных множеств. Н. К. Бари [4] доказала, что сумма
счётного множества замкнутых (/-множеств есть (/-множество. Однако
для незамкнутых множеств (хотя бы и измеримых по Борелю) неизвестно
даже, будет ли сумма двух (/-множеств снова (/-множеством.
Даже при изучении проблемы о разбиении всех свершенных множеств
на U-и М-множества возникло неожиданное очень серьёзное затруднение.
Сначала казалось правдоподобным, что здесь играет роль в некотором смыс-
смысле «густота» множества. Поясним мысль не на общем случае, а на некото-
некотором специальном примере. А именно, рассмотрим совершенные множества,
которые получаются, подобно канторовскому, удалением из отрезка неко-
некоторого центрального интервала, из двух оставшихся отрезков по централь-
центральному интервалу одинаковой длины и т. д. Для множества Кантора отноше-
ниг длины удаляемого интервала к длине отрезка, из которого он уда-
удаляется, всегда равно 1/3; в вышеуказанном примере Д.Е.Меньшова
это отношение равно —г-г в п-ом шаге процесса, т. е. стремится к О при
п—>оо. Можно поэтому сказать, что множество Д. Е. Меньшова
*) С. R. Acad. Sci., 163 A916), 433—436.

272 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
является более «густым» (хотя оно всё же меры нуль). Из одной теоремы
Н. К. Бар и [4] следует, что если это отношение как угодно стремится
к нулю, то всегда получается М-множество. В связи с этим возникла
гипотеза о том, что совершенное множество Р описанного типа будет
всегда {/-множеством, если только отношение длины выбрасываемого
интервала к длине отрезка, из которого его выбрасывают, остаётся
всё время больше некоторого положительного числа. Однако
Н. К. Бари [14] опровергла эту гипотезу, показав, что в том случае,
когда рассматриваемое отношение постоянно и равно рациональному
числу ¦—¦ , вопрос о том, является ли множество U- или М-множеством,
решается так: если p = q — 2 или p — q— \, оно оказывается {/-множест-
{/-множеством, в противном случае — М-множеством.
Таким образом выяснилось, что в проблеме единственности множест-
множествами меры нуль не только нельзя пренебрегать, но даже нельзя классифи-
классифицировать их с точки зрения геометрической структуры: приходится решать
вопросы, связанные с арифметической природой множества. В дальнейшем,
работы американского математика Салема подтвердили этот факт.
Заканчивая рассмотрения, связанные с единственностью, отметим,
что совсем недавно А. А. Шнейдером были получены интересные
результаты, связанные с //-множествами и некоторым их обобщением.
Заметим ещё, что если рассматривать не все частные суммы ряда, а
лишь некоторую их подпоследовательность, то вопрос о сходимости к
нулю решается совершенно иначе. В. Я. Козлов [2] показал, что моЖ
ко построить тригонометрический ряд, у которого некоторая подпоследО1
вательность частных сумм сходится к нулю в каждой точке.
К проблеме единственности тесно примыкает следующий вопрос;
пусть известно, что тригонометрический ряд сходится к суммируемо!
функции / (х) всюду, вне некоторого множества Е. Будет ли он рядм
Фурье-Лебега от/ (х)? Было известно, что ответ на этот вопрос оказываете)!
положительным, если множество Е конечно или счётно. И. И. П р и в а
лов [6] доказал, что теорема останется верна, если Е будет замкнутьи
-С-множеством (теорема переносится и на случай, когда вместо сход»
мости рассматривают суммируемость методом Пуассона, лишь бы коэф»
фициенты ряда стремились к нулю).
Также, как в проблеме единственности, необходимость классифика
ции множеств меры нуль возникла и в проблеме о структуре множесг
точек абсолютной сходимости тригонометрического ряда.
Классическим результатом в области абсолютной сходимости тригоь
оо
метрических рядов является теорема Фату: если ряд2(ап cos nx+bn sinnr
71 = 1
СО
¦сходится абсолютно на некотором отрезке, то ряд 2 (I ап I +1КI)с*
п=1
дится. Н. Н.Лузин и независимо от него Данжуа доказали, ч.
теорема останется в силе, если вместо отрезка рассматривать люб
множество положительной меры; кроме того, Н. Н. Л у зи н доказал, >а
и множества меры нуль, если только они второй категории, ведут себя в
отношению к абсолютной сходимости так же, как и множества полож
тельной меры.
Дальнейшие результаты по абсолютной сходимости тригонометрш
ческих рядов получены В. В. Н е м ы ц к и м [1]. Условимся называ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 273
множество Е базисом, если всякое число х можно представить в виде
k1x1+k.xi-\-...-rknxn, где к,(i = \,2,...,п)~целые числа, х,- (i = l, 2,...,п)—
точки множества Е. В. В. Н е м ы ц к и й доказал, что, если ряд сходится
абсолютно на базисе, то он сходится абсолютно всюду. Из этого результата
он смог получить новые доказательства обеих теорем Н. Н. Лузина
и, кроме того, построить целый класс совершенных множеств меры нуль,
которые в отношении абсолютной сходимости ведут себя таким же обра-
образом, как множества положительной меры или второй категории.
В современной литературе вошло в обычай называть N-множеством
такое множество Е, для которого можно построить тригонометрический
ряд, сходящийся абсолютно на нём, но не всюду на @, 2^).
В. В. Н е м ы ц к и й показал, что все счётные множества являются
N-множествами, а также построил класс совершенных N-множеств.
Проблема о нахождении необходимого и достаточного признака для N-mho-
жеств до сих лор не решена и повидимому далека от разрешения, так как
появляющиеся в этом направлении новые работы американских математи-
математиков носят только характер попыток постепенно подойти к решению этого
вопроса.
Интересно указать на некоторую связь между проблемой абсолютной
сходимости тригонометрических рядов и проблемой единственности.
В. Я. К о з л о в [1] показал, что если ряд с отличными от нуля коэффи-
коэффициентами сходится к нулю почти всюду, то он может иметь лишь конеч-
конечное число точек абсолютной сходимости, и расстояние между каждой парой
таких точек соизмеримо с я. Некоторое уточнение этого результата дано
Я. В. Б ы к о в ы м [1 ].
Мы осветили сейчас работы по абсолютной сходимости общих тригоно-
тригонометрических рядов. Если говорить просто о их сходимости, то следует
в первую очередь напомнить результат Н. Н. Лузина, полученный ещё
в 1911 г.: существует тригонометрический ряд с коэффициентами, стремя-
стремящимися к нулю, и расходящийся почти всюду. Д. Е. Меньшов [27]
дополнил этот результат: он построил тригонометрический ряд с коэффи-
коэффициентами, стремящимися к нулю, который не только сам расходится,
но даже любая подпоследовательность его частных сумм является расхо-
расходящейся почти всюду.
Из результатов Н. Н. Л у з и и а и И. И. П р и в а л о в а [2] вытекает
существование тригонометрического ряда, суммируемого методом Абеля
¦к +°° почти всюду. Всвязи с этим Н. Н. Л у з и н поставил проблему:
возможно ли такое явление для простой сходимости? Эта проблема оказа-
оказалась очень трудной и остаётся до сих пор нерешённой.
Ю. Б. Гермейер [2] показал, что не существует тригонометри-
тригонометрического ряда, суммируемого методом Римана к -j-°° на множестве поло-
положительной меры *).
В. Я. К о з л о в [2] построил тригонометрический ряд, некоторая под-
подпоследовательность частных сумм которого сходится к бесконечности в
каждой точке. Он получил также некоторые результаты, касающиеся
универсальных тригонометрических рядов. Этим термином обозначается
тригонометрический ряд, обладающий следующим свойством: для любой
*) Известно, что если тригонометрический ряд сходится к некоторому конечно-
конечному числу S в точке х, то он суммируется в этой точке х к тон же сумме S методом
Римана. Однако если S^+co, ото уже не должно иметь .места. Таким образом резуль-
результат Ю. Б Г е р м е й е р а ещё не даёт ответа на вопрос Н. Н. Лузина.
18 Математика в СССР яа 30 лет

274 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
измеримой функции можно найти такую подпоследовательность частных
сумм этого ряда, которая сходится к этой функции почти всюду.
Д. Е. М е н ь ш о в [29, 30] обнаружил, что произвольный тригономе-
тригонометрический ряд можно разбить на сумму двух универсальных рядов, причём,
если у данного ряда коэффициенты стремятся к нулю, то и полученные
универсальные ряды будут обладать тем оке свойством.
Оставляя пока вопрос об общих тригонометрических рядах, к кото-
которому мы ещё вернёмся, когда будем говорить о методах суммирования рас-
расходящихся рядов, перейдём к достижениям советских математиков в обла-
области теории рядов Фурье-Лебега. Здесь естественно обратить особое внима-
внимание на класс рядов Фурье от функций с интегрируемым квадратом (/?L2),
так как эти функции играют важную роль не только в теории тригонометри-
тригонометрических рядов, но и в общей теории ортогональных систем.
В своей диссертации Н. Н. Лузин дал необходимый и достаточный
признак для сходимости рядов Фурье от функций класса L2*). Этот при-
признак тесным образом связан с существованием дляфункций /?L2 особого
интеграла
Н. Н. Лузин отметил, что в самом факте существования этого интеграла
скрывается некоторое глубокое свойство, известная локальная симметрия
в строении измеримых множеств. Н. Н. Лузин ожидал, что эта симмет-
симметрия оказывает влияние на сходимость рядов Фурье и высказал гипотезу,
что всякий ряд Фурье от функций с интегрируемым квадратом сходится
почти всюду. Эта гипотеза до сих пор не подтверждена и не опровергнута.
Проблема представляется исключительно трудной и попытки приблизить-
приблизиться к её решению делались в разных направлениях.
оо
Прежде всего, если заметить, что для всякой/€L2 ряд 2 (К + ^п
квадратов её коэффициентов Фурье сходится, то в качестве подхода
к решению поставленной проблемы можно рассматривать не все функци!
оо
2, а лишь те, для которых сходится ряд 2 и> (п) (а* + **)> гДе w (")>"
ru-1
и растёт неограниченно при п—»оо. Вопрос ставится так: для каких
функций w (л) (так называемых множителей Вейля) сходимость ряда
ао
2iv(n)(a'+^) влечёт сходимость почти всюду ряда
оо
>•+2 (°n cos nXr^bn sin пх^
п -1
Этим вопросом занимался целый ряд математиков; они постепенно повд
жали рост функции w(n), начиная с w (п) = п (Фату), переходя чер<[
\fn (Вейль), пе для г>0 (Гобсон), \gsn (Планкерель), lg2 n (Xapd
Этот последний результат относится к 1913 г. Наконец, в 1926 1
А. Н. Колмогоров и Г. А. Селиверсто в [1, 2], а такя
*) В. Г. Ч е л и д з е [4] перенёс этот признак на двойные ряды Фурье для фу^
пий от двух переменных с интегрируемым квадратом. 1

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 275
одновременное ними А. И. П л е с н е р [2] доказали, что сходимость ряда
п=1
влечёт сходимость почти всюду ряда
¦"°+]*? (ancosnx+?>,,sinnx).
В течение последних двадцати лет ни у нас, ни за рубежом множитель
Ign никем не был понижен.
Если ещё ничего неизвестно о сходимости ряда Фурье от/ ? L2, то мож-
можно зато указать важный результат А. Н. Колмогорова [3J, касаю-
касающийся подпоследовательности его частных сумм. Именно, если последова-
последовательность целых чисел пк удовлетворяет условию
^>л>1 (*.-= 1,2,3,...),
то для ряда Фурье от всякой функции /?L2 педпоследовательность его
частных cyMMSnk (х) сходится к f (х) почти всюду. Отсюда, между прочим,
легко вытекает, что, если лакунарный ряд
есть ряд Фурье от функции из L2, то он сходится почти всюду (здесь числа
Пк удовлетворяют условию предыдущей теоремы).
Мы рассмотрели пока лишь вопрос о сходимости рядов от функций
/?L2. Если отказаться от этого предположения и рассматривать произ-
произвольные суммируемые функции, то вопрос о сходимости ряда Фурье ре-
решается полностью. А. Н. Колмогоров [7] показал, что можно по-
построить суммируемую функцию /(х), у которой ряд Фурье расходится
в каждой точке. Этот результат явился в высшей степени неожиданным
для всех, кто занимался сходимостью рядов Фурье.
До сих пор мы говорили лишь о продвижениях, которые достигнуты
советскими математиками в уже ранее поставленных проблемах теории
рядов Фурье. Интересно отметить, что были выдвинуты и совершенно
новые проблемы. Так, Д. Е. М е и ь ш о в [26] поставил вопрос о возмож-
возможности получения для данной функции «хорошего» ряда Фурье путём её
малого изменения и получил следующий фундаментальный результат:
любую измеримую функцию можно изменить на множестве как угодно
малой меры так, чтобы получить непрерывную функции с рядом Фурье,
равномерно сходящимся на всей бесконечной оси. Как известно, Н. Н. Л у-
зин доказал знаменитое С-свойство измеримой функции: любую изме-
измеримую функцию можно изменить на множестве как угодно малой меры,
так, чтобы получить непрерывною функцию. Мы видим, что результат
Д. Е. Меньшова является существенным дополнением к теореме
Н. Н. Л у з и н а, так как у произвольно заданной непрерывной функ-
функции ряд Фурье не только не должен равномерно сходиться, но он может,
как известно, даже оказаться расходящимся на множестве мощности
континуума.
18*

276 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Здесь уместно коснуться вопроса о том, какие новые результаты
получены в изучении сходимости ряда Фурье от непрерывной функции.
Д. Е. М с и ь ш о в отметил, что все известные примеры расходящихся
рядов Фурье от непрерывных функций обладают одним общим свойством:
каждый такой ряд содержит подпоследовательность частных сумм, которая
равномерно сходится к этой функции. Желая изучить, является ли этот
факт случайным или закономерным, он пришёл к следующему результату:
существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых имеет любую под-
подпоследовательность частных сумм расходящейся по крайней мере в одной
точке. С другой стороны, любую непрерывную функцию можно разложить
на сумму двух непрерывных, для каждой из которых соответствующий
ей ряд Фурье содержит подпоследовательность частных сумм, сходящуюся
равномерно (Д. Е. Меньшов [28]).
В связи с вопросом о расходимости ряда Фурье от непрерывной функ-
функции в данной точке интересно отметить работу Н. Н. Лузина [11],
в которой он изучает поведение интеграла Дирихле. Как известно, вопрос
о сходимости ряда Фурье от любой суммируемой /(х) сводится к изуче-
изучению поведения интеграла Дирихле
Jn (х) =l\f(x + «) ^2
)
-ii 2sin2"
при п—> ос, где Sj и г„ положительный как угодно малы. Разобьём этот
интеграл на две части
sinfn - }А* в* Sin(n~ }
) V У d*+±\i{X + *)±f
2sin-2- u 2 sin -2-
х).
H. H. Лузин показал, что можно построить непрерывную функцию
f (х), для которой Jn(x) стремится равномерно на 0<х<2я к /(х)
при п—* со, но каждая из последовательностей J'n (x) и J*, (х) расходится
и даже имеет почти всюду бесконечные пределы неопределённости.
Отметим теперь результаты, касающиеся абсолютной сходимости
рядов Фурье.
Основной вопрос теории абсолютной сходимости рядов Фурье состоит
в том, чтобы характеризовать структурным образом тот класс иепрерыв-:
ных функций, ряды Фурье которых абсолютно сходятся. Эта чрезвычайно
трудная задача ещё весьма далека от .своего окончательного решения.
Гораздо более простой, но также очень важной задачей является нахожде-
нахождение тех возможно более широких классов непрерывных функций, ряды
Фурье которых абсолютно сходятся. Основные результаты в этом напра»
влении, ставшие классическими, принадлежат С Н. Бернштейну *). Имен-
Именно, если /6 Lip а, а> -^ , то ряд Фурье функции {абсолютно сходится.
Для а= -„ это уже, вообще говоря, не имеет места.
С. Н. Б е р н ш т е й н [52] выяснил также, что абсолютная сходимосц
ряда Фурье функции / тесно связана с поведением поелсдовательност»
*) Хрк., Зап. матем. т-ва B), 14 A914), 139—144.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 277
{?„} её наилучших приближений посредством тригонометрических много-
многочленов порядка п: если сходится ряд 2 ~г- , то ряд Фурье функции ] абсо-
V п
лютпо сходится.
Пусть iv (о) —модуль непрерывности функции /(х). Из предыдущей
теоремы вытекает, что если сходится ряд "V-—-г—, то ряд Фурье функ-
щи /(х) абсолютно сходится. Налагая некоторые естественные ограни-
ограничения на модуль непрерывности, С. Н. Бери штейн доказал, что
условие сходимости \ ^-— не может быть ослаблено.
п- 1 *
В последнее время С. Б. С т е ч к и н [1] получил некоторые обобще-
обобщения этих теорем.
Другой важной задачей является выяснение вопроса: для каких
функций <р (г) из абсолютной сходимости ряда Фурье для / следует абсо-
абсолютная сходимость ряда Фурье для<р(У)? Используя созданную им теорию
нормированных колец, И. М. Гельфанд [1] получил новое исключи-
исключительно простое доказательство такой теоремы Винера: если ряд Фурье
функции j (x) абсолютно сходится и j (х)Ф0, то абсолютно сходится и ряд
Фурье функции у--г. В указанной работе И. М. Гельфаида имеют-
имеются и другие результаты в этом направлении.
Рамки этой статьи не позволяют нам осветить целый круг интересней-
интереснейших вопросов, связанных с так называемой тригонометрической пробле-
проблемой моментов, т. е. с вопросом о том, при каких условиях, наложенных на
последовательность чисел, можно утверждать, что эти числа могут быть
коэффициентами Фурье от функции того или иного класса. Этому вопросу
посвящен ряд работ Н. И, А х и е з е р а и М. Г. К р е й н а [1, 2, 7].
Так, например, они нашли необходимое и достаточное условие для того,
чтобы заданные числа могли представлять последовательность коэффи-
коэффициентов Фурье от ограниченной функции.
Можно решать вопрос о том, к какому классу принадлежит функция,
рассматривая поведение частных сумм её ряда Фурье, а также их фейеров-
ских или абелсвых средних. В этом направлении следует отметить данное
Г. М. Ф и х т е и г о л ь ц е м [14] необходимое и достаточное условие
для того, чтобы некоторый ряд был рядом Фурье от непрерывной функции,
а также от ограниченной функции.
Ряд работ советских математиков посвящен сопряжённым тригоно-
тригонометрическим рядам. Как известно, для ряда
оо
V (ап cos пх + bn sin пх)
сопряжённым называется ряд
оо
V (bn cosnx — ап sin пх).
я- 1

278 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В случае, когда первый из этих рядов есть ряд Фурье от функции /(x)€L!,
второй будет рядом Фурье от некоторой функции /(х) также ?La, называе-
называемой сопряжённой с данной. Н. Н. Лузин показал, что сопряжённую
функцию можно выразить через данную по формуле
tg 2"
Здесь интеграл в правой части — особый, он имеет смысл почти всюду, если
его определить как lim \ , и самое существование его не является три-
6-.-G J
виальпым, так как если заменить подинтегральное выражение его абсо-
абсолютной величиной, то, как показал Н. Н. Л у з и н, интеграл может уже
не иметь смысла ни в какой точке даже для непрерывной /(х).
Если предполагать, что функция/(х) уже только суммируема, но не
входит в класс L2, сопряжённый ряд не обязан быть рядом Фурье и поэтому
было вообще неясно, что называть сопряжённой функцией.
И. И. П р и в а л о в [4] доказал существование вышеупомянутого
особого интеграла почти всюду для любой суммируемой/ (х). А. И. П л ес-
н е р [1] распространил этот результат и на случай функций, интегрируе-
интегрируемых по Даижуа. Они доказали также, что для суммируемости сопряжЫ-
ного ряда в некоторой точке методом Абеля необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке существовал особый интеграл; в этом случае он е
является суммой сопряжённого ряда. Таким образом, сопряжённую функ-
функцию можно определять либо, как обобщённую сумму (в смысле Абеля)
для сопряжённого ряда, либо через особый интеграл. Возникает вопрос,
что можно сказать о свойствах сопряжённой функции по свойствам данной.
И. И. Привалов*) показал, что если /gLipa @ < a < 1), Ц
и / 6 Lip a. Рисе обнаружил, что если/ (х) суммируема в степени p(j?Lf)i
то и/(х) ?LP при р> 1. Однако для р = 1 это уже неверно: функци*
сопряжённая к суммируемой может быть несуммируемой.
А. Н. К о л м о г о р о в [6] показал, что функция / (х), сопряжёнт
к суммируемой j(x), является интегрируемой в смысле Данжуа В **)ирМ
Фурье от /(х) является сопряжённым к ряду Фурье от /(х).
Отсюда можно получить, как следствие, теорему, доказанную рана
В. И. Смирновым [10]: если J интегрируема по Лебегу, то её pi
Фурье-Лебега является сопряжённым к ряду Фурье-Лебега от / (х). j
Большое число работ было посвящено вопросу о том, как влияет cyi
мируемость ряда Фурье на поведение сопряжённого ряда. А. И. Пле<
и е р [5] сформулировал эту задачу для общих тригонометрических рядо
и получил замечательный по своей силе результат: пусть тригонометр1
ческий ряд суммируем (С, к) на множестве Е положительной меры. ТогИ
почта всюду на Е сопряжённый ряд также суммируем (С, к) (к>0). Вчаа
ности, если данный ряд сходится на Е, то сопряжённый ряд сходится»
Е почти всюду.
*) Bull. Soc. Math., 44 A916), 100—103.
**) Определение интеграла В есть oavio из нескольких определений предложи
пых Данжуа и изучавшихся также Боксом (см., например, Зигмунд, Тригоноч
трические ряды, стр. 153).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 279
Перейдём теперь к общим проблемам, касающимся суммирования три-
тригонометрических рядов.
Со времён Фейера известно, что существуют методы суммирования
рядов Фурье, обладающие тем свойством, что преобразованная последо-
последовательность о„(х) равномерно сходится к /(х) для всякой непрерывной
/(х). Такой метод будем, следуя СМ. Лозинскому, называть
фейероеским. С. М. Лозинскому [8, 10] принадлежит ряд общих
георем о фейеровских методах суммирования. Пусть Sn(x)—частная
сумма ряда Фурье, а
п
о„ (х) = 2 QnkSk (х).
*=1
Тогда всякий фейеровский метод даёт сильную сходимость в пространстве
W(p>\). Далее, С. М. Лозинский построил пример фейеровского
метода, не являющийся методом Теплица, и показал,что если фейеровский
метод удовлетворяет всем условиям Теплица, то для всякой/6 L он сумми-
суммирует ряд Фурье от f (x) к этой функции во всех её точках непрерывности.
СМ. Никольский [7] дал простые достаточные условия, кото-
которые надо наложить на коэффициенты матрицы ||ап*||, чтобы метод сум-
суммирования был фейеровским.
Отметим работы, посвященные исследованию тех или иных специаль-
специальных методов суммирования рядов Фурье. И. И. П р и в а л о в [4] доказал,
что ряд Фурье от любой функции /(x)?L суммируется к ней методом
(С,г) (г>1)во всякой точке, где Дх) конечна и является симметрической
производной от своего неопределённого интеграла.
А. И. Плеснер [1] указал необходимое и достаточное условие
того, чтобы тригонометрический ряд или сопряжённый к нему ряд был
суммируем каким-либо методом Чезаро (суммируем С) в индивидуальной
точке. Предыдущие результаты относятся к уже хорошо известным мето-
методам суммирования. С. Н. Бернштейи [37] указал новый метод
суммирования, получивший его имя. Вместо того чтобы искать lim Sn(x),
n-
где Sn(x) есть сумма первых п членов ряда Фурье, будем искать
предел функций
4{ (^)} п=0, 1,2...
и говорить, что ряд суммируем методом Берпштейна к числу S в точке
х0, если lim Bn(x0) = S. С Н. Бернштейн доказал, что для любой
непрерывной функции /(х) ряд Фурье суммируется его методом равно-
равномерно к /(х). И. П. Н а т а н с он [1 3, 18] установил, что для любой сум-
суммируемой функции ] (х) ряд суммируется этим методом к/{х)п очти всюду.
Кроме того, он перенёс метод Бернштейиа из теории рядов на теорию
интегралов Фурье.
Ф. И. X а р ш и л а д з е [6, 7], слегка видоизменив функции
С. Н. Берн штейна (он рассматривает
предложил говорить, что ряд суммируется методом (В, 1) к сумме 5
вточкехо, если limSn(x0) =S, и показал, что метод (В, 1) есть некоторый

280 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
линейный метод Теплица, более сильный чемметод(С, 1). Некоторые заме-
замечания к методу Бернштейна даны также в работе А. Ф.Тимаиа [1 ].
Каждый метод суммирования определяет некоторый сингулярный
ь
интеграл \ f{t) kn(t, x)dt. Лебег положил начало теории сингулярных
а
интегралов, основная задача которой состоит в том, чтобы представить
функцию/ (х) предельными значениями сингулярного интеграла при п—>оо.
Эта проблема приводит к разнообразным частным вопросам в зависи-
зависимости оттого, понимать ли слово «представить» в смысле сходимости в точ-
точке или почти всюду, а также, какие гипотезы делать относительно /(х).
Лебег нашёл необходимое и достаточное условие для представления
в точках непрерывности функций целого ряда различных классов.
Советскими математиками написано большое число работ, посвящен-
посвященных сингулярному интегралу. В работе П. И. Романовского [2J
даны два довольно общих достаточных условия для представления сумми-
суммируемых функций в точках дифференцируемое™ её неопределённого инте-
интеграла и в точках Лебега. И. П. Натансон [12] дал необходимое и
достаточное условие для представления ограниченных функций в точках
асимптотической непрерывности и доказал, что для неограниченной
функции аналогичная задача не имеет решения, так как не существует ни-
никакого ядра, при котором сингулярный интеграл представляет любую сум-
суммируемую функцию во всех точках её асимптотической непрерывности.
Д. К. Фаддеев [1 ] дал необходимые и достаточные условия для пред-
представления любой суммируемой функции в точках Лебега. Л. В. Канто-
Канторович и Б. 3. В у л и х [1 ] дали необходимые и достаточные условия
для того, чтобы сингулярный интеграл сильно сходился к/(х) в простран-
пространстве L. С. М. Л о з и н с к и й [5] дал необходимые и достаточные условия
слабой сходимости сингулярных интегралов для целого ряда классов
функций. Свои результаты он с успехом приложил к теории ортогональ-
ортогональных функций, а также к исследованию некоторых линейных интерполя-
интерполяционных процессов.
§ 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И РЯДЫ
ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ.
За истекшие тридцать лет вопросы, относящиеся к ортогональным
рядам, а также вообще к системам ортогональных функций, рассматрива-
рассматривались в различных направлениях. Изучались сходимость и суммируе-
суммируемость рядов по ортогональным функциям для общих ортогональных си-
систем и для некоторых специальных систем. Рассматривались ортогональные
системы, инвариантные по отношению к некоторым операциям, например
к операции дифференцирования. Изучался вопрос о так называемой
устойчивости ортогональных систем, и, наконец, проблемы, связанные
ортогональными системами, переносились на системы более общего вида.
При изучении проблемы о сходимости ортогональных рядов, как
и в случае тригонометрической системы, особое внимание было уделено
рядам вида
п- 1

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 281
где \ с2п сходится (т. е. рядам Фурье от функций с интегрируемым квадра-
п1
том). Гипотеза о том, что такие ряды почти всюду сходятся, заставляла
изучать функции Вейля, т. е. такие функции w (п)>0, №>(/?)-> ос при л— >ос,
°° со
для которых сходимость ряда ^ w (п) с? влечёт сходимость "V сп<?п (х)
тг-1 п- 1
почти всюду. Планкерельдоказал, что для всякой ортогональной системы
за функцию w(л) можно принять 1°3л. Этот результат был усилен
Д. Е. Меньшовым [1] (и независимо от него Радемахером), пони-
понизившим множитель Вейля до lg2л. Однако в отличие от тригонометри-
тригонометрической системы, где понижение заведомо можно довести до lg n и даже
остаётся ещё неясным, является ли этот результат окончательным,—для
произвольной ортогональной системы множитель lgan не может быть по-
понижен. Именно, Д. Е. Меньшов доказал, что для любой функции
w(n), растущей медленнее, чем lg2n, можно подобрать ортогональную си-
стему {<?„} и числа сп, для которых У^сп<рп(х) расходится всюду, несмотря
ОО ' '
на сходимость 2 w (")f n-
п - 1
Естественно возник вопрос, что же привело к возможности понизить
множитель Вейля для тригонометрических систем. Можно было думать,
что здесь повлияла ограниченность в своей совокупности функций, входя-
входящих в эту систему. Но А. Н. К о л м о г о р о в и Д. Е. М е н ь ш о в [1]
опровергли эту гипотезу. Впоследствии этот результат был дополнен
Д. Е. Меньшов ым [20]: он построил систему ограниченных в сово-
совокупности ортогональных полиномов, для которых множитель Вейля не
может быть ниже, чем lg2n.
Однако, как показал Н. Я. Виленкин [1 ], для рядов по функциям
Валыиа множитель Вейля можно принять таким же, как для тригоно-
тригонометрической системы, т. е. равным lgn.
Для рядов по функциям Радемахера необходимым и достаточным
со
условием сходимости почти всюду является сходимость ряда *?&. Доста-
Достала 1
точность этого условия была доказана Радемахером; А. Н. Ко л-
могоров и А. Я. Хин чин [1] установили, что расходимость
п влечёт расходимость ортогонального ряда почти всюду.
Перейдём к вопросу о суммируемости ортогональных рядов.
Д. Е. Меньшов [3, 4] доказал, что из сходимости ряда ]?(lg Чп)*с*
а 1
оо
следует суммируемость почти всюду ряда ^сп^„(х) методом Чезаро лю-
п--1
бого порядка а >0; это имеет место для всякой ортогональной системы;
множитель (lglg/7J не может быть понижен, если не накладывать на

282 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
системы никаких ограничений. Однако поведение ортогонального ряда
сильно зависит от порядка, в котором расположены функции ортогональ-
ортогональной системы. Поэтому естественно было поставить вопрос об «улучшении»
ортогональной системы за счёт целесообразной расстановки функций.
Д. Е. Меньшов [22] доказал, что в любой ортогональной системе
можно так переставить порядок функций, чтобы после этого сходимость
2 d уже влекла за собой для соответствующего ортогонального ряда сум-
п- 1
мируемость почти всюду любым методом Чезаро.
Кроме того, Д. Е.Мельшов доказал, что если О < X < 2 и сходится
ОО
уже не только ряд 2 с"> но даже ряд 21 сп 1\ то соответствующий
ряд по ортогональным функциям сходится почти всюду при любом порядке
его членов *).
Проблема единственности разложения в ортогональные ряды пред-
представляет, как мы видели, чрезвычайные трудности уже для тригономе-
тригонометрической системы, следовательно, нельзя ожидать сколько-нибудь пол-
полного её решения для произвольной ортогональной системы. Поэтому есте-
естественно ставить её лишь для некоторых специальных систем. В частности,
для системы Вальша проблему единственности изучал А. А. Шней-
д е р; он доказал, что и здесь все счётные множества являются ^-мно-
^-множествами, а совершенные множества меры нуль могут быть как U-, так
и М-множествами.
Помимо исследований, касающихся ортогональных рядов, некоторые
авторы изучали общие свойства ортогональных систем. Н. Н. Л у з и н
поставил вопрос, является ли тригонометрическая система единственной
ортогональной системой, инвариантной (с точностью до постоянных мно-
множителей) относительно операции дифференцирования и интегрирования.
Ответом на этот вопрос является результат Б. М. Га га ева [7],
который был уточнён Б. В. Г н е д е н к о [1, 2], доказавшим следующее
предложение: все системы функций, ортогональных на [О, 1 ], инвариант-
инвариантные с точностью до постоянных множителей относительно операции
дифференцирования, могут быть записаны в виде
{AkcosBv:nkx + ak), BksmBmkx+xk)} (?=1,2,...)
и
{At cos [2*( л*-у)х+<х*] , Bksin [2* ( л*—j) *+«*] } ¦
(?=1,2,...)
где {rik} — произвольная последовательность (конечная или бесконечная
различных целых положительных чисел, а Ак, Вк и ah - произвольные
постоянные.
Говоря о системах, инвариантных относительно некоторых опера-
операций, естественно остановиться на исследованиях В. Я. Козлова.
Он рассмотрел системы S, состоящие из функций класса /Д периодиче-
периодических с периодом 1, и обладающие следующим свойством: если ?(х) при-
принадлежит к S, той все функции <?(пх) (« = 1,2, ...) также принадлежат
*) Исключительное множество меры нуль, вообще, зависит от порядка членов
ряда.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 283
к S. Такую систему автор называет А-совершенной (арифметически
совершенной).
В. Я. Козлов*) доказал следующую теорему: для того чтобы
А-совершенная система была ортогональной, нормированной и полной, не-
необходимо и достаточно, чтобы она порождалась только тремя функци-
функциями
?о М = 1 .
<рх (х) = A cos 2^х + В sin 2*x,
<ра (х) = С cos 2*х + D sin 2юс,
причём
Проблеме о том, при каких условиях, наложенных на функцию <р(х),
система {<р (пх)} (п = 1,2,...) оказывается полной, посвящен ряд работ как
советских математиков (Н. Ф. Г р е ч у ш н и к о в [1 ], Н. П. Рома-
Романов [1]), так и зарубежных (например Бёргин и Мендель). Полученные
указанными авторами результаты вытекают, как частный случай, из тео-
теоремы В. Я. Козлова. Интересен и самый метод исследования
В. Я. Козлова, основанный на изучении поведения аналитической
функции от счётного множества переменных.
Мы затронули вопрос о полноте систем вида {<p(nx)j. Уместно коснуться
более общего вопроса о признаках полноты произвольно данной орто-
ортогональной системы. Здесь следует отметить результат В. Я- Козлова:
для того чтобы ортогональная нормированная система {срл (х)} была пол-
полной, необходимо, чтобы оба ряда
расходились почти всюду, где
«¦(x)=-J ?п(х) при с?»(х)>0'
1 \ 0 приоп(х)<0,
в?;(х) = ?п(х)-?;(х).
Н. К. Бари [18] изучала вопрос о том, когда из полноты одной
ортогональной системы можно заключить о полноте другой, в известном
смысле «близкой» к первой, и пришла к следующему выводу: если рп
есть расстояние функций $п(х) и <?„ (х) в гильбертовом пространстве **),то
в случае, когда {^„(х)} и {»„(х)} — нормированные ортогональные системы,
из сходимости ряда ^г/п, следует, что эти системы полны или неполны
п=1
п1
одновременно. Этот результат в некотором смысле не может быть усилен,
а именно: длялюбой последовательности чисел р„, 0<р„ <]/^ (п=1,2,...),
таких, что 2 Р« расходится, можно найти две нормированные ортого-
*) Работа находится в печати.
То-есть р„ = р(фп. ?»)= |/ ^Ck-Ь.J их.

284 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
нальные системы {% (х)} и {'¦?„(*)}, для которых р @n, -fn) = р„, (л = 1,2,...),
причём одна из них полная, а другая неполная.
Возникает вопрос о том, какие свойства ортогональных систем, подоб-
подобно полноте, являются в некотором смысле «устойчивыми», т. е. будучи
верными для одной системы сохраняют силу и для других, «близких»
к ней. Близость здесь можно понимать или как стремление к пулю р„ при
п—^ оо, или как сходимость ряда \рп, или как сходимость ряда
П---1
с.-.
V ^ и т. д. Н. К. Б а р и [16, 17] изучала ряд свойств ортогональных
п- 1
систем с точки зрения такой устойчивости, а также перенесла некоторые из
полученных результатов с ортогональных систем на базисы в гильбертовом
пространстве. Принято называть этим именем систему функций {']>„(*)},
обладающую следующим свойством: для любой/6L2 существует один
и только один ряд 2 сп\(х), сходящийся в среднем к /(х).
n-.l
Так как всякая полная ортогональная система есть базис, то естест-
естественно возникает проблема: какие основные результаты из теории ортого-
ортогональных систем могут быть перенесены на базисы?
Желая ответить на этот вопрос и рассматривая различные теоремы
об ортогональных рядах, мы обнаруживаем, что доказательства всех не-
нетривиальных результатов в этой области опираются целиком или частично
на теорему Фишера-Рисса, так как приходится либо из сходимости ряда из
квадратов коэффициентов Фурье заключать об интегрируемости квадрата
функции, либо наоборот. Исходя из этих соображений, Н. К. Бари [19]
ввела определение базиса Рисса. Базис {Ъп(х)) называется базисом
Рисса, если: 1) для всякой функции / (х) g L2 ряд 2 с" сходится, где
п- 1
числа сп являются коэффициентами разложения функции /(х) но системе
{О„(х)); 2) для любой последовательности чисел сп(п = 1, 2,...), длякото-
оо
рой ряд ^с" сходится, существует функция /(х) 6 U, такая, что вели-
П'-1
п являются коэффициентами разложения этой функции по системе
W}- H. К. Б а ри [19]получила ряд результатов, относящихся к бази-
базисам Рисса, и поставила вопрос о том, не будет ли всякий базис в простран-
пространстве/-2 базисом Рисса. Эта проблема представляет значительные трудности.
В последнее время интересные результаты в этом направлении получены
В. Я. Козловым. К этому же кругу вопросов относится недавж*
появившаяся работа К. И. Б а б е н к о [1]*).
Говоря о результатах, касающихся базисов, необходимо отметить
работуМ. Г. К р е й и а, Д. П. М и л ь м а и а и М. А. Р у т м а на [1],
которые установили известную «устойчивость» свойства системы быть
базисом. Именно, они доказали, что при некоторых ограничениях, нало-
наложенных на числа оп(п= 1,2, ...), если система {<Ьп(х)} есть базис и для
*) Замечание при корректуре. После сдачи этой статьи в печать К. И. Бабеико
доказал, что существуют базисы, не являющиеся базисами Рисса. (Работа находится
и печати.)

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 285
некоторой системы {/.„(*)} удовлетворяются неравенства р(бп, ул)<Ьп
(л=1, 2,...), то {¦/.„(*)}—также базис. Теорема эта доказана для базисов в
пространствах Банаха (р—расстояние в таком пространстве).
М. М. Г р и н б л ю м [1, 2] нашёл необходимое и достаточное усло-
условие для того, чтобы полная система была базисом (не только для гильбер-
гильбертова пространства, но для любых сепарабельных пространств Банаха).
Интересное необходимое и достаточное условие для базиса в простран-
пространстве L2 получено недавно В. Я. Козлов ы м.
Заканчивая рассмотрения, связанные с ортогональными системами,
необходимо сказать несколько слов о биортогональных системах. Принято
говорить, что системы {0„} и {gn} образуют биортогональную систему на
отрезке [а, Ь\, если
h
$«*.<«-{ J*-'
кФп.
Систему {о„(х)} называют В-системой, если существует система
!g»(x)}. образующая вместе с ней биортогональную.
С С. Левин [1] нашёл необходимое и достаточное условие для
того, чтобы некоторая система функций из L2 была В-системой: такая
система должна быть минимальной, т. е- ни одна из её функций не может
принадлежать замкнутой линейной оболочке над остальными.
С. С. Левин [2] получил ряд других интересных результатов о
системах функций с интегрируемым квадратом и приложил их затем с
большим успехом к интегральным уравнениям.
§ 5. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
В 1923 г. датский учёный Гаральд Бор определил новый весьма важ-
важный класс функций—почти периодические функции. Комплексная не-
непрерывная функция /@ действительного переменного (—oo<f<-)-oo)
называется почти периодической, если для любого е>0 найдётся отно-
относительно плотное множество действительных чисел •: (почти периодов), для
которого выполняется неравенство
<* A)
лри
— оо < << + оо.
Множество называется относительно плотным, если существует такое
L >0, что для всякого действительного а интервал (a, a-fL) "содержит
по крайней мере одно число множества.
Советскими учёными даны обобщения почти периодических функций
в духе теории функций действительного переменного. Следующие из них
принадлежат В. В. Степанову [5, 7]:
1) Измеримая функция f(x) называемся почти периодической §
(обозначение А. С. Ковапько), если для любого s>0 существует
относительно плотное множество почти периодов (х}, для которых
неравенство A) выполняется при всех значениях /, кроме, быть может,
значений, образующих на любом интервале длины L множество сред-
средней ПЛОТНОСТИ <е.
2) функция /(/), суммируемая на каждом конечном интервале,
называется почти периодической St (обозначение Бора), если для любого

286 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
е>0 существует относительно плотное множество почти периодов {х
для которых выполняется неравенство
d5<«. B)
3) Функция f(t) класса L2 на каждом конечном интервале назы-
называется почти периодической S.,, если вместо неравенства B) выполняется
/ 1/E + *=) —/EI*Л<«. B')-
Все эти классы почти периодических функций содержат функции Бора;
класс 1) содержит все остальные. Для функций этих классов
выполняется ряд свойств, доказанных Бором для непрерывных почти
периодических функций. Именно, для функций класса 1) : сумма
и произведение функций входят в тот же класс; для класса 2) : суще-
существует среднее значение, обобщенный ряд Фурье и теорема о единствен-
единственности для этого ряда; наконец, для класса 3) : равенство Парсеваля.
Следующее глубокое обобщение почти периодических функций
Бора принадлежит Б. М. Левитану [7, 8]. Непрерывная функция
/(х)(—оо< х < + оо) называется N-почти периодической, если для любых
s > 0 и N > 0 существует такое почти периодическое множество*) чисел
tn (в; N), N = 0. ± 1, ± 2,..., что для | х) < N выполняется неравенство:
|/(х + т„) — f(x)\ <г(п = О, ± 1, ± 2,...). Этот класс функций инвариан-
инвариантен относительно сложения и умножения; более того, если/(х)—почти
периодическая по Бору и | /(х) | Ф O,inf j/(x)|=O, то j—^ есть ЛГ-почти
периодическая функция. Если lim ^ J \f(xJdx<co и для всякого
Т—КХ5 — 'Г
1 нт
действительного X существует lim ^т S e-iXxf(x)dx = a(k), то для
Т-.со -Т
такой функции строится ряд Фурье, обладающий свойством единствен-
единственности; JV-почти периодическая функция допускает е-приближение
тригонометрическими полиномами при любом е > 0 па любом интер-
интервале |х| <N. Значение этих функций для дифференциальных уравнений
с почти периодическими коэффициентами указано в статье «Обыкновен-
«Обыкновенные дифференциальные уравнения» настоящего Сборника.
Ряд дальнейших обобщений сделан у нас А. С. Коваиь-
ко [18 — 25]. Во-первых, он обобщает почти периодические функции, от
которых требуется только ограниченность, аналогично &, допуская
для множества значений t, где неравенство |/(f -4-х) — f(t)\ < s не вы-
полняется, среднюю плотность сколь угодно малой на любом достаточ-
достаточно большом интервале (класс W — аналог функциям Вейля) или только
на интервале ( — Т, + Т) при достаточно большом Т (класс В —аналог
функциям Безиковича). Для этих классов (включая S) имеют место
соответствующие теоремы аппроксимации тригонометрическими поли-
полиномами. Также изучаются классы функций SK, Wk, B!; с метрикой,,
основанной на метрике пространства Lk.
*) Определение почти периодического множества мы опускаем.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 287
Ещё Бор обратил внимание на то, что с различными классами
почти периодических функций связаны определённые метрики про-
пространства этих функций; так, боровским функциям соответствует опре-
определение расстояния р(/, <р)= sup |/@~?@!» функциям S, — ме-
-co<t<+co
«+1
трика р(/,<р)= sup Л/ — i\dt, и т. д. Было известно, что простран-
—oo<«<-foo a
ства функций Бора, Степанова и Безиковича полны; А. С. Ко-
ванько [35] впервые показал, что пространство функций Вейля
не полно: предел сходящейся (в смысле метрики Вейля) после-
последовательности функций этого класса может быть функцией Безиковича.
Далее возникает вопрос об условиях компактности множества функций
в одном из пространств почти периодических функций. Для функций
Бора необходимые и достаточные условия компактности даны
Л. А. Люстерником*). К требованиям теоремы Арцела добавляется
требование равностепенной почти периодичности. Соответствующие ус-
условия для классов функций Степанова и Безиковича установлены
А. С. Кованько [32, 35], причём исходным звеном вместо условий
теоремы Арцела являются теоремы Колмогорова и Тулайкова о ком-
компактности в Lp.
Отметим ряд отдельных результатов, касающихся почти периоди-
периодических функций. Б. М. Левитан и В. В. Степанов [1] построили
пример функции, почти периодической в смысле Вейля, которая не являет-
является суммой боровской функции и функции со средним значением, равным
нулю. В работе Б. М. Левитана [3] изучаются свойства функций
с рядами Фурье
У.
п->¦-¦-
П= — -о
А_Л = Л„, ПтЛ„=0.
п->¦-¦-
Для таких рядов обобщённые суммы Фейера равномерно сходятся
к / (х) — lim ~ \ / (/) dt; Б. М. Левитаном даются достаточные усло-
вия для сходимости ряда Фурье.
Н. Н. Б о г о л ю б о в [4] дал чисто арифметическое доказательств
теоремы, устанавливающей связь между почти периодами и частотами
почти периодической функции: пусть Ев есть множество е-почти перио-
периодов функции Бора /(/); тогда существует такое -ц > 0 и такие линейно
независимые числа >м, Х2, ... ,а„, что всякое число х, удовлетворяющее
системе неравенств | Atxj < -ц (mod 2тс) (к = 1,2, ..., п), входит в Ее. Бор
доказывает эту теорему на базе основной теоремы о почти периодических
функциях; независимое доказательство Н. Н. Боголюбова имеет
принципиальное значение.
*) Успехи матем. наук, 1 A936).

ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
С. М. НИКОЛЬСКИЙ.
§ 1. Обзорная литература и монографии С. Н. Берншгейна B90).
§ 2. Последовательности многочленов B91)- § 3. Оценки приближений
функций различных классов B98). § 4. Приближение на бесконечной
вещественной оси C00). § 5. Неравенства Гернштейна C08). § 6. О мно-
многочленах, наименее уклоняющихся от пуля CU9). § 7. Ортогональные
многочлены рН). § 8. Другие средства приближения C12). § 9. Квадра-
Квадратурные формулы C13). § 10. Теория моментов C16). §11. Монографии
В. Л. П ичаропа и Н. И. Ахиезера C18).
овремениая теория приближения функций*) оперирует
понятием наилучшего приближения. Наилучшим прибли-
приближением En(j) функции /(х) при помощи многочленов
п
P7i(x)=V акхк степени п на сегменте — 1<х<1 назы-
вается наименьший максимум
max !/(х)-Р„(х)|
среди всех многочленов Рп данной степени п. Соответственно наилучшим
приближением ?„(/) функции f(x) периода 2тгпри помощи тригонометри-
п
ческих полиномов Тп (х) = ^j (a!: cos kx + bk sin kx) порядка п (на всей
вещественной оси) называют наименьший максимум
max|/(x)-rn(x)!
X
среди всех полиномов Тп степени п**).
Идея наилучшего приближения исходит ещё от нашего великого рус-
русского математика П. Л. Чебышева. Ему же принадлежит доказа-
*) Этот обзор посвящен почти исключительно вопросам приближения функции
действительного переменного на сегменте. В том смысле надо понимать употребля-
употребляющуюся здесь терминологию. По вопросам приближения в комплексной области
см, обзор А. Ф. БермантаиЛ. И. Марку ш ев и ч а, помещённый в насто-
настоящем Сборнике.
**) Обозначения Еп (/) и Е*(/) будут сохранены и в дальнейшем.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 289
тельство важной теоремы, носящей его имя, о наилучшем приближении
непрерывной функции.
Дальнейшее развитие этой идеи происходило главным образом у нас
в России в трудах наших соотечественников Е. И. Золотарёва, А. Н. Кор-
кина и братьев А. А. и В. А. Марковых, далеко продвинувших, в част-
частности, решение задач, относящихся к проблеме о многочленах (и рацио-
рациональных дробях), наименее уклоняющихся от нуля.
Весьма важные задачи, непосредственно примыкающие по своей
постановке вопроса к классическим трудам П. Л. Чебышева, продолжают
привлекать внимание математиков нашего времени, но, наряду с этим
в начале нашего века начали появляться новые постановки задач, которые
привели к новым концепциям большого значения. К этомувремени в мате-
математике под влиянием идей новой теории функций и, в частности, теоремы
Вейерштрасса (о приближении непрерывной функции) появилась тен-
тенденция ставить задачи о приближении многочленами, где в качестве
приближаемых функций фигурирует не отдельная заданная функция,
как это было характерно для старых задач, а произвольная функция,
принадлежащая к более или менее обширному классу функции, напри-
например, аналитических, дифференцируемых, удовлетворяющих условию
Липшица и т. д. Предлагалось при этом сказать всё, что возможно,
о соответствующих приближениях, в частности, о наилучших прибли-
приближениях таких функций. В первых же работах из этого цикла (Лебег,
Борель, Валле-Пуссен) было выяснено, что дифференциальные свойства
функции /(х) влияют на порядок убывания ?„(/) при п—» оо. Проблемы,
возникшие по вопросу о характере этого влияния, некоторое время
ждали своего решения и, наконец, в 1910—1912 гг. блестяще были
решены нашим соотечественником С. Н. Бернштейном и Д. Джексоном*).
С. Н. Бернштейн среди других результатов дал замечательное
определение аналитической функции, основанное на поведении её
наилучшего приближения и привёл выражающиеся в терминах Еп (/),
близкие к необходимым условия того, что функция г раз непрерывно-
дифференцируема. Далее, он получил асимптотическое выражение для
наилучшего приближения функции |х|, решив этим знаменитую тогда
проблему Валле-Пуссена. Джексон дал неравенства, носящие теперь
его имя, точно определяющие порядок ?„(/) для функций, дифферен-
дифференцируемых и имеющих данный модуль непрерывности. Особенно большое
значение приобретают результаты С. Н. Бернштейн а, впервые по-
показавшего в важных для анализа случаях, что не только свойства
функции / влекут определенное поведение Еп (/), но что и, наоборот,
по поведению Еп (/) можно восстановить свойства /. Этим было поло-
положено начало классификации функций с новой точки зрения, что приве-
привело к новому направлению теории функций, которое С. Н. Бернштейн
впоследствии назвал конструктивным.
Работы С. Н. БернштейнаиД. Джексона вместе с некоторыми
результатами Валле-Пуссена послужили базой современной теории при-
приближения функций, особенно интенсивно развивавшейся в послереволю-
послереволюционный период.
Нужно отметить, что роль С. Н. Бернштейна в развитии теории
приближения функций и, в частности, в развитии этой теории у нас в СССР
*) Jackson D. Ober die Genauigkeit der AnnSherung stetiger Funktionen durch
ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gegebe-
ner Ordnung. Diss. G6ttingen A911).
19 Математика в СССР за 30 лет.

290 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
так и осталась до наших дней ведущей. Достаточно сказать, что весьма
значительная часть полученных в этой теории важных результатов при-
принадлежит ему и многие из них оказали воздействие на математическую
мысль у насизи границей. Непосредственное его влияние на более молодое
поколение особенно ярко выразилось в создании Харьковской матема-
математической школы, работающей вокруг вопросов, связанных с приближе-
приближениями функций.
В Москве и Ленинграде интерес к проблемам наилучшего приближе-
приближения обнаружился несколько позднее—с начала тридцатых годов. В Ленин-
Ленинграде этому способствовал переезд туда С. Н. Бернштейна. Москва
же обязана в этом отношении А. Н. Колмогорову; почвой для
интереса к наилучшим приближениям в Москве служило давнишнее
культивирование здесь рядов Фурье.
Естественно, что при этих обстоятельствах в теории при-
приближения функций возникли новые постановки задач и, в част-
частности, в неё быстро проникли идеи функционального анализа. Одна такая
постановка, относящаяся к вопросу о наилучших линейных методах
приближения для Данного класса функций, впервые высказанная и
получившая в одном важном случае решение в работе А. Н. Колмо-
Колмогорова A936 г.), будет в дальнейшем подробно освещена.
Нужно сказать, что в Москве в последние годы вся научная дея-
деятельность в области приближения функций действительного перемен-
переменного возглавлена С. Н. Бернштейном в связи с переездом его
в Москву.
Отметим ещё, что вопросы теории приближения функций много-
ленам и разрабатывались также в Киеве (Н. М. Крылов) и Одессе
(М. Г. Крейн) под влиянием Харьковской математической школы
и независимо от неё.
Теория приближения получила у пас значительное продвижение
и для функций комплексного переменного*) (М. В. Келдыш,
М. А. Л аврентьев — Москва).
Заканчивая вступление к нашему обзору, мы отмечаем, что условия
для развития теории приближения функций в СССР оказались благо-
благоприятными, чему способствовал общий подъ'м науки, происшедший как
следствие Октябрьской социалистической революции.
В результате теория приближения функций многочленами оказалась
принадлежащей к числу тех областей, по развитию которых СССР занимает
ведущее положение среди других стран мира.
§ 1. ОБЗОРНАЯ ЛИТЕРАТУРА И МОНОГРАФИИ С. Н. БЕРНШТЕЙНА.
Приступая к систематическому обозрению результатов, полученных
у нас в СССР по вопросам приближения функций действительного пере-
переменного, начиная с Октябрьской социалистической революции и до на-
наших дней, мы хотим предупредить, что, как правило, изложение будет
весьма кратким и суммарным в отношении первой полсвины этого период*
(до 1932 г.), получившей уже освещение в предыдущих обзорах. Отмети^
следующую вышедшую ранее обзорную литературу по этим вопросам: трч
'доклада С. Н. Бернштейна—1) на V Международном математической
*) См. обг>ор А. Ф. Берманта и А. И. М а р к у ш е в и ч а, помещений
в настоящем Сборнике.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 291
конгрессе в Кэмбридже в 1912 г., 2) на первом Всесоюзном съезде матема-
тиксв в Харькове в 1930 г., [59J или [44], 3) на Юбилейной сессии АН
СССР в 1945 г. [83], обзоры С. Н. Бернштейна [69], В. Л. Г о н ч а-
рова и М. А. Лаврентьева [1] и В. Л. Гончарова*).
Весь наш обзор разбит на разделы, охватывающие родственные между
собой вопросы и литературу. Однако два произведения, вследствие обшир-
обширности рассматриваемых в них вопроссв, выходят за рамки этсй классифи-
классификации. Мы имеем в виду капитальнее монографии С. Н. Бернштейна
1) «Lemons sur les propriete extremales et la meilleure approximation des
fonctions analitiques d'une variable reelle» (Paris, 1926) [iO]; и 2) «Экстре-
«Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных
функций одной вещественной переменной», ч. I A937) [64]. Первая из
них, вышедшая в 1926 г. в коллекции Э. Бореля, представляет собой
систематическое изложение ряда результатов, полученных С. Н. и со-
составляющих оснсвы современной теории наилучшего приближения**).
Вторая монография есть переработка первой. Но между ними есть
различие. Первая содержит большое добавление, в которсм излагается
созданная С. Н. Берн штейном теория квазианалитических функ-
функций; этого добавления, также как некоторых других небольших разделов,
во второй монографии нет, но зато содержание оставшихся разделов
расширено и излагается более систематически ***).
§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ.
2.1. Мы начинаем свой обзор с вопроса, непосредственно связанного
с теоремой Вейерштрасса. Вейерштрасс доказал свою теорему, пред-
предложив эффективное выражение для многочлена степени п, построенного
по данной непрерывной функции, стремящегося к ней равномерно при
л —-» сю. В дальнейшем стали известны другие такие эффективные выраже-
выражения; к числу их относятся, например, тригонометрические суммы Фейера
и полиномы Бернштейна, ставшие в настоящее время классическими.
За отчётный период появилось много различных работ, в которых, с одной
стороны, подвергались дальнейшему изучению уже известные методы
приближения, а с другой, предлагались новые такие методы, обладающие
теми или иными свойствами.
2.2. В непериодическом случае (приближения обыкновенными мно-
многочленами) особенное внимание было уделено изучению полиномов Берн-
Бернштейна
п
* = п
Л. В. К а п т о р о в и ч [10] впервые исследовал сходимость Bn(J, x)
вне отрезка [0, 1] для регулярных функций'; он установил, что
Вп (д х) —»/(х) при п —* оо внутри наибольшего эллипса с фокусами 0 и 1,
¦) См. «Научное наследие П. Л. Чебышева». Математика, 1. Изд. АН A945),
122—'72.
**) Систематический сбзгр этой мсноггафт см. В. Л. Гончаров и М. А. Лаи-
**¦) Отметим ешё гь-шедшие за ггангией < рттнал! ные усно'тафии Valle-Pou-
ssin («L^gcms sin- I'approximation des fonctions d'une variable reelle. Paris AQ1 S)> и
D. Jackson (The theory of approximation. New—York A930)).
19*

292 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
в котором /(х) регулярна; он также дал примеры случаев, когда
Вп(/, х)—.>/(х) в точках х, находящихся вне указанного эллипса.
Глубокое систематическое исследование областей сходимости Bn(f, x)
для аналитических функций было выполнено С. Н. Бернштей ном
в его мемуаре [82] и в более ранних его работах [54, 58]. Оказы-
Оказывается, сходимость.?„(/, х) в точке х существенно зависит от расположе-
расположения узловой линии Fx
в комплексной плоскости г- Например, если/(г)—аналитическая в области,
содержащей Fxh сегмент (О, 1), то точка х лежит внутри области сходимо-
сходимости В„ (J, *)• С другой стороны, х не может быть точкой сходимости
Вп(/, х), если /(z) имеет полюсы внутри Fx или на Fx. С. Н. Б е р н-
штейн изучил также с этой точки зрения сходимость полиномов, пред-
представляющих некоторые модификации Bn(f, x).
И. Н. X л о д о в с к и й [3] показал, что если /(х) имеет непрерыв-
непрерывную производную /(р)(х) порядка р, то В<*>(/, х)—>/(*)(*) равномерно
на сегменте [О, 1] для к = 1, 2, ..., р.
Однако надо заметить, что порядок приближения многочленами
Bn(f, x) и даже его асимптотическое выражение исключительно зависят
от величины второй производной /" (х), как это вытекает из следующего
результата Е. В. В о р о н о в с к о й [2] (обобщённого С. Н. Б е р н-
штейном [48]): если f (х) —непрерывная функция, то
Bn(f, х) -/(х) = ^ х A -х) Г (х) + \ ,
где е„-^-0 равномерно относительно х?[ — 1,-f 1].
Г. Р. Л о р е н ц [3] обнаружил тесную связь между функциями
/(х) ограниченной вариации и их Bn(f, x). Вот его результаты: 1) если
f(x) монотонна на [0,1], то этим же свойством обладает Bn(f, x);
t) для того чтобы /(х) была ограниченной вариации или абсолютно непре-
непрерывной на [О, 1], необходимо и достаточно, чтобы, соответственно,
var Bn(J,
lim var [/(x)-Bn(/,x)]=0,
где М — константа, не зависящая от п.
И. Н. X л о д о в с к и й [2, 4] исследовал сходимость полино-
полиномов Бернштейна для некоторых разрывных функций. В дальнейшем,
Л. В. Канторович [6, 7] рассмотрел в своих работах полиномы вида
п-М
^ f(z)dz
_fc_
n+1
и другие видоизменения Bn(J, x) для изучения с их помощью более
общих классов разрывных функций. Он [11] также применил полиномы
В*. U, х)в исследованиях о наилучших приближениях функциймногочле-

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 293
нами с целыми коэффициентами. Этому же вопросу посвящена работа
С. Н. Б е р н ш т е й н а [31]. В ней получен ряд результатов, дающих
порядок убывания таких приближений для различных важных классов
функций (аналитических, удовлетворяющих условию Липшица, и др.).
Г. Р. Л о р е н ц [2] показал сходимость, в смысле Z>) *), полиномов
Стилтьеса-Ландау для / 6(Z>>) (р > 1).
Е. Я. Р е м е з [1OJ предложил годный для практических ьычислений
способ приближения функции.
2.3. Ещё в начале нашего столетия существовало, повидимому, мне-
мнение, что многочлены Лагранжа
Рп и, х) = 2 № w 1 <**) (р у» х*) =¦• / (**»> *=о, 1,..... п
интерполирующие непрерывнуюфункцию/(х), сходятся к/(х)на сегменте
[ —1, + 1], при сгущении в нём узлов интерполяции. Однако затем
было установлено (Фабер), что при любой последовательности систем
узлов норма Мп интерполяционного процесса, равная
п
Мп = max Mn (х), Мп(х)^У,\ Q(nk) (х) |
неограниченно возрастает, что влечёт существование непрерывной функ-
функции /(х), для которой интерполяционный процесс не может сходиться,
во всяком случае равномерно.
При оценках приближений интерполяционными многочленами важ-
важную роль играет неравенство
| /(Х)-Рп(/, х) К A +Л*„(х) ?„(/)). B.3:1)
Отсюда существенно знать то распределение узлов интерполяции, при
котором константа Мп при данном п. будет наименьшей среди возмож-
возможных; именно, при таком распределении надо ожидать хорошие приближе-
приближения / (х) при помощи Рп(/,х). С. Н. Бернштейн [40] разрешил этот
трудный вопрос, показав, что для сегмента [ — 1, + 1 ] минимум Мп асимп-
2
тотически при п -^> оо равен —Inn и достигается для узлов, являющихся
*) Под приближением в смысле Z.(p) (или в метрике (L(p>)) функции / (х), заданной
на отрезке 1 — 1, -\Ц, посредством многочлена Рп степени п понимается величина
+1 1
-1
Наилучшим приближением En(f)Lif> (или при р—\ Еп(t)i) называют минимум этой
п
величины среди всевозможных многочленов -Рп(х)=2 а"х* степени п. Аналогично
*-о
определяется приближение в смысле L<p> функции /(л) периода "iit при помощи
* п
тригонометрического полинома Tn(x)=2 (Qk cos kx + b^ sin кх) порядка п и соот-
соответствующее наилучшее приближение ?J (/) (р) в смысле L'?>; в этом случае сегмент
(-1, +1] заменяется на сегмент [0,2л] и Рп(х) на Т„(х).

294 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
нулями полиномов Чебышева cos(n + 1) arc cosx (в периодическом
случае для равноотстоящих узлов). Это исследование попутно уточняет
результат Фабера, так как в нём, между прочим, доказывается неогра-
неограниченность тах.Мп(х)как бы ни был мал сегмент [а, Ь] а [—1,-Н],
что влечёт существование точки х и функции /€(С), для которых
/ (х) — Рп (/, х) расходится.
Из результата А. Н. К о л м о г о р о в а [15], в частности, следует,
что константа 1 + Мп\х), фигурирующая в неравенстве B.3 : 1), рассма-
рассматриваемом для всех непрерывных функций, является точной.
Из работ, относящихся к первым годам отчётного периода, отметим
работы Н. М. Крылова [3,10] и Н. М. Крылова и Я. Д. Та-
маркмна [2], в которых изучается сходимость некоторых интерполя-
интерполяционных процессов и даются (Н. М. Крылов [3]) различные выраже-
выражения для остаточных членов интерполяций.
Сформулируем ещё полученный в этом году результат И. В. Ц е н о-
в а [2]: если на сегменте [ — 1, +1 ] имеет место неравенство | / n+J) (x) | <
< |tp(n+i)(x) |; то при любой системе п +1 узлов интерполяции, прина-
принадлежащих к этому сегменту, отклонение f(x) от соответствующего интер-
интерполяционного полинома Лагранжа меньше, чем такое же отклонение,
составленное для у(х). Отсюда, как следствие, получается известное нера-
неравенство С. Н. Бернштейна ?„(/)<?„(»), а также новое нера-
неравенство
2.4. Если разрешить для многочлена Pn(J, x), интерполирующего
функцию / (х) в т точках x'f), x^\ ..., х<?~> (т—т (п)), иметь степень п,
большую т, то при известных условиях можно достичь равномерной
сходимости
limPn(/, х)=/(х) для всех /6(С). B.4:1)
п-»оо
Фейер*) A916) обнаружил, что это обстоятельство будет, напри-
например, иметь место для многочлена Рп{],х) (п = 2т—1), совпадающего
с/(х) в т нулях полинома Чебышева cos rn arc cosx и.имеющего в этих
нулях производную, равную нулю.
Н. М. Крылов и И. Я. Ш т а е р м а н [1] доказали справед-
справедливость B,4 : 1) в предположении, что в нулях полинома Чебышева
имеет место равенство /(х) ==РП(/, х) и что, кроме этого, в них многочлен
Р„ (/, х) имеет первые три производные, равные нулю.
Во всех приведённых результатах ~ > 2. С. Н. Бернштейн [45]
показал, что для всякого е > 0 можно эффективно построить после-
последовательность многочленов Рп (/, х) степени п такую, что будет иметь
место равенство Р„(/, х)=/(х) в т=т(п) точках сегмента [ —1,+1],
где "-< 1 4 г и притом Pn{J, x) —>/(х) равномерно для всех /6(С).
2.5. В случае приближений периодических (периода 2тг) функций
большое внимание уделялось различным методам суммирования рядов
*) Fejer L, Ontorpolation. Gott. Nachr. A916), 6E—91,

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 295
Фурье, которые можно объединить выражениями
п 2*
§ С (я* cos кх + bk sin кх) = -1- $ К„ (* - х) / (О Л.
О
l, 2,...,п; п=1,2, ...),
где ^^ — коэффициенты, зависящие от /с и п, определяющие метод
приближения, а также соответствующим суммам интерполяционного
типа
n if, X) = If + 2 ^DП) DП) COS tot + 6i"> 8in kx) =
Чаще всего рассматривался случай т—2п, в других случаях т = п,
2л-1, О (л).
Сначала изучались различные суммы вида B.5:1) с точки зрения
их сходимости в случае тех или иных общих классов периодических
функций. Среди них отметим предложенный С. Н. Б е р н ш т е й-
н о м [37] и В. Рогозинским*) весьма изящный метод суммирования вида
сходящийся для произвольной непрерывной функции периода 2-к (короче—
для всех/?(С)), а также обладающие тем же свойством известные ещё
ранее методы суммирования Фейера, Джексона и Валле-Пуссена.
Сумма B.5:2) при >4П) = 1 и т — 2п есть классический интерполяцион-
интерполяционный тригонометрический полином Лагранжа. При других ^п>суммы
B-5:2) частного вида, соответствующие ядрам Фейера (для т = п — 1)
и Джексона (для т =2п — 1), изучались A913 — 1914 гг.) Джексоном**),
показавшим их сходимость для /€(С) и получившим некоторые оцен-
оценки приближений.
У нас исследования в этом направлении впервые велись Н. М. К р ы-
л о в ы м A917—1922 гг.), который в своих работах [1,6] доказал сходи-
сходимость для всех /6(С) суммы B.5:2) {т = 2п — 1), соответствующей
методу суммирования Валле-Пуссена, и дал оценки приближений этими
*) Rogosinski W., Math. Ann , 95 A925).
**) Jackson D., The theory of ap- roximation. New-York A930). См. также
Trans. Amer. Math. Soc, 14 A913), 453-461.

296 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
суммами для функций, удовлетворяющих условию Липшица. Он полу-
получил также оценки приближений суммами B.5:2), соответствующими
методу Фейера (т = п —1) и Джексона (т = 2л —1). Отметим ещё
относящуюся к этому вопросу работу Н.М. Крылова и Я. Д. Та-
маркина [2].
С. Н. Б е р н ш т е й н [51] исследовал суммы B.5:2) при ^")= '
и произвольном т; они естественным образом получались как тригоно-
тригонометрические полиномы порядка л, наименее уклоняющиеся на системе
точек X/ = -^r-i (г = О, ± 1, ±2,...) от /(х) в смысле среднего квад-
ратического; в той же работе С Н. Бернштейн показал сходимость
сумм B-5 :2), соответствующих методу Фейера (т = 2п, Ц.п> = п+п ~к ,
длявсех/?(С). Из других его работпо этому вопросу отметим [41, 42, 47].
В ряде последующих работ СМ. Лозинского [3 — 8, 10],
И. П. Натансона [17, 19, 21, 23, 24], Д. К- Фаддее-
в а [1 ], Ф. И. X а р ш и л а д з е [4, 6] изучались эти и другие сум-
суммы с точки зрения их сходимости для функций, принадлежащих к раз-
различным классам в различных метриках (С, L(p), обобщения И?))*). В них
в одних случаях устанавливался факт сходимости, в других находился
ещё порядок убывания соответствующего приближения. Исследования,
относящиеся к «чистой» сходимости для произвольной функции некото-
некоторого класса, велись параллельно с развитием теории так называемых
сингулярных интегралов; этим осуществлялась тесная связь рассматри-
рассматриваемой области теории приближений функций с идеями функционального
анализа. (Д. К. Ф а д д е е в [1], И. П. Н а т а н с о н [17], С. М. Л о-
зинский [5].) Отметим ещё, что если в сумме B.5:1) заменить
члены ряда Фурье соответственно членами какого-либо числового ряда,
то такую сумму можно рассматривать как метод суммирования этого
числового ряда. С этой точки зрения изучались суммы Бернштейна-
Рогозинского (Ф. И. Харшиладзе [6]) и суммы Валле-Пуссена
(И. П. Натансон [24]).
В последнее время начинает появляться тенденция вместо изучения
отдельных частных сумм изучать произвольные суммы вида B.5 :)
и B.5:2) при достаточно общих предположениях относительно >.^п)-
С. М. Л о з и н с к и й [8, 10] доказал несколько общих утверждений,
показывающих тесную связь между суммами B.5:1) и B.5:2), а также
между сходимостью их для некоторых классов функций. Например, сле-
следующие два утверждения эквивалентны: при п—> со 1) оа(/, х)—»/(х)
для всех /€(С), 2) оп(/, х)—»/(х) для всех /€(С); если они выполняются,
то имеет место 3) \ | / (х) — а„ (/, х) I" dx —> 0 для всех / б A/р>).
о
С. М. Н и к о л ь с к и й [7] показал, что если числа X^n> удовлетво-
удовлетворяют при каждом п условию выпуклости, то, для того чтобы сумма
B.5:1) сходилась для всех}?(С), необходимо и достаточно существование
константы М, для которой
п—к+\
<М. К этой
*) Из иностранных работ, относящихся к этому циклу, отметим лишь работу
Марцинкевича (Studia Math., 6 A936), 1—17).

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 297
работе прилегают исследования С. М. Никольского [2],
Л. Л. Вербицкого [1], А. Ф. Тима на [1] и А. Д. Щ е р-
би н ы [1].
2.6. Здесь будет уместно привести два весьма замечательных усиле-
усиления теоремы Вейерштрасса, пока носящих характер абстрактных теорем
существования.
С. Н. Бернштейн [70] показал, что какова бы ни была моно-
монотонно убывающая к нулю последовательность чисел, существует непре-
непрерывная на f — 1, + 1 ] функция /, для которой Еп (/) = ц„ (п = 1, ?., ...).
Этот результат, высказанный и доказанный для пространства (С) и мно-
многочленов, может быть обобщён без существенных изменений в дока-
доказательстве на пространство Банаха.
Другой результат принадлежит М. Г. Крейну, Д. П. Миль-
ману и М. А. Рутману [1], получившим его, как частный случай
из более общего результата, связанного с исследованием простран-
п
ства Банаха: существует последовательность многочленов Р„(х) = 2 я*п>х';
k v
такая, что любая непрерывная на [—1,-fl] функция /(х) может быть
единственным образом представлена в виде равномерно сходящегося
со
на [ — 1, + 11 ряда / (х) — 2 ЛьРк (х), где <хк — числа.
к=а
2.7. С. Н. Бернштейн [57, 60] поставил интересную пробле-
проблему: найти класс (А) непрерывных функций периода 2-, для которых при
каждом п наилучшим тригонометрическим полиномом порядка л яв-
является их п-я сумма Фурье, и показал, что непрерывная функция
bisin
где no>0, щ+ ¦ —2pi +1 и pi — целые числа (i = 0, 1,...), принад-
лежит к (А). При некоторых ограничительных условиях на коэффициенты
Фурье / эти условия оказываются необходимыми; в частности, 'если / (х)
есть чётная функция и все at > 0, то эти условия необходимы. К этим
результатам близка статья В. Б. Гуревича [1], где полностью
исследуются условия, при которых два тригонометрических полинома
л-го порядка, осуществляющих наилучшие (различные) степенные при-
приближения функции на множестве, состоящем из 2n-f 2 точек, тождест-
тождественно совпадают.
2.8. Наконец, закончим этот параграф формулировкой абстрактного
определения тригонометрического полинома, данного А. А. Марк о-
в ым [5]: если f (x),непрерывная, периода 1, функция вещественной пере-
ценной, то, для того чтобы сумма^ f (kz) была ограниченной функцией
числа п для любого иррационалоного числа а, необходимо и достаточно,
N
чтобы /(х)= 2 ake2ntkx (N —натуральное число, ак —постоянные,
к=- V
причём а0 -= 0).

298 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
§ 3. ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ
РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ.
3.1. В этом параграфе сконцентрированы результаты, связанные
главным образом с точными и асимптотически точными оценками при-
приближений. Почти все они резко разделяются на две категории.
Первая из них может быть охарактеризована следующим образом.
Рассматривается класс $Щ функций, асимптотическое поведение En(f)
каждой из которых—одно и то же. Таким образом, если мы желаем узнать
это поведение, достаточно получить его для одной какой-либо функции
/€50?. Например, все функции вида
где а > 1, т > О и ср(х) —произвольная функция, регулярная в эллипсе,
содержащем внутри точку а с фокусами — 1, + 1, имеют одно и то же асимп-
асимптотическое поведение ?„(/); следовательно, если мы желаем его узнать,
достаточно исследовать с этой точки зрения (а — х)~т. Другой пример:
функции вида / (х) = | х | -f <? (х), заданные на [ — 1, -f 1 ], где <р (х) имеет не-
непрерывную производную ер' 00 > имеют одно и то же асимптотическое по-
поведение ?„(/), именно, для каждой из них существует один и тот же предел
lim/!?„(/) = !!. C.1:1)
П-кю
На втором примере можно проиллюстрировать дальнейшее развитие
идей, связанных с этой постановкой вопроса. Коль скоро уже известно,
что для всякой функции /, имеющей на [ — 1, +1 ] единственную особен-
особенность вида |эс|, выполняется равенство C.1 :1), ставится вопрос об опреде-
определении возможно широкого класса функций, для которых можно (сгущая
особенности) определить limnEn{f) (через р).
п-
Весь этот круг вопросов составляет целое направление в теории при-
приближений функций, начало которому положил С. Н. Бернштейн
ещё в десятых годах, когда он решил ряд важных задач (об асимптотиче-
асимптотическом поведении \х\, (а—х)т и др.). В дальнейшем оно также развива-
развивалось, главным образом, в работах С. Н. Бернштейн а; за грани-
границей оно было поддержано, в своё время, Валле-Пуссеном*). Результатам,
относящимся к этому направлению, посвящены два следующих пункта
3.2 и 3.3. Нужно сказать, что все эти результаты, хотя и дают асимпто-
асимптотическое выражение En(J) для каждой индивидуальной функции задан-
заданного класса $Ш,но эти выражения ведут себя при п —» то неравномерно
относительно Ш-
Второе направление связано с равномерными оценками приближе-
приближений для класса функций. Оно характеризуется такой постановкой вопроса:
задан класс $Щ функций и метод приближения (наилучшие приближения,
суммы Фурье и т. д.); найти для каждого п верхнюю грань отклонений
функций /€9К от их л-х приближений. Для этого направления, исходя-
исходящего ещё от Джексона, характерно, что связанные с ним результаты долгое
иремя носили, как правило, сравнительно грубый характер. Точно опреде-
*) Vallce-Poussin, Lemons sur 1'approximation des fonctions d'une variable
reellc. Paris A919).

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 299
лялся лишь порядок убывания верхней грани. Только за последние 12
лет оно качественно поднялось на уровень первого направления. Первые
точные оценки, относящиеся к этому второму циклу задач, были получены
А. Н. Колмогоровым в 1935 г. (для сумм Фурье); он впервые
в 1936 г. поставил также проблему о наилучших приближениях для дан-
данного класса функций и решил её в одном важном случае. Результаты, отно-
относящиеся ко второму направлению, сконцентрированы в пунктах 3.4— 3.6.
Связь этих двух направлений осуществляется следующим образом.
Обычно, определение верхней грани тех или иных приближений функций
данного класса «щ сводится к нахождению наилучшего приближения
некоторой связанной с $Щ индивидуальной функции (ядра). При этом такое
наилучшее приближение приходится искать уже в другой метрике—
сопряжённой с той, в которой решается задача.
В последнем пункте 3.7 этого параграфа будет приведено несколько
наиболее важных результатов, полученных за отчётный период, которые
относятся к обратной проблеме: по данному поведению En(J) определить
класс функций, к которому принадлежит /.
3.2. Если f (х)~-аналитическая функция в области О, содержащей
[—1,+1 ], то, на основании известной теоремы С. Н. Бернштейна,
/J"» Я = -r < 1 > C-2:1)
п->оо "
где R—полусумма осей наибольшего, содержащегося внутри G эллипса
Cr с фокусами—1 и 1. Обратно, в силу этой же теоремы, из C.2:1) сле-
следует регулярность / внутри Cr и нарушение регулярности хотя бы в одной
точке CR.
Если известен характер особенности / на CR, то неравенство C.2 :1),
дающее представление только о порядке убывания Еп (/) (да и то с точ-
точностью до г), может получить дальнейшее уточнение. Весьма важно знать,
возможно точно, характер убывания En(f) для функций, обладающих
часто встречающимися в анализе особенностями. Исследования в этом
направлении впервые были предприняты и осуществлены в ряде случаев
С Н. Бе р н ш т е й н о м. В его монографиях [10, 64] *) собран и система-
систематизирован ряд полученных им результатов, дающих точные и асимпто-
асимптотические выражения Еп (/) для аналитических функций, имеющих
вне интервала (—1, + 1) различные особенности (полюс, существенная,
логарифмическая особенности и др.)**). Кэтому же вопросу относятся
работы Н. И. Ахиезера [18] и Я. Л. Гер о ни м у с а [5,18] (в мет-
метрике L2').
За границей эти исследования С. Н. Бернштейна получили
развитие в работах Валле-Пуссена ***), исследовавшего периодический
случай. Остановимся лишь на работах последнего времени.
И. И. И б р а г и м о в [2, 4] полностью исследовал асимптотические
выражения для ?„(/), где/(*) = (a-x)s [In (а-х)]"Ча >1); С. Н. Б е р н-
штейн [85] в дополнении к работе И. И. Ибрагимова [4] из об-
общих соображений показал, что Еп[{а — х)тФ{х)]^Ф{а)Еп((а — х)т)
*) См. также С. Н. Берн ш т е и и [2, 5].
**) Более подробный обзор эгих результатов см. В. Л. Гончаров и
М А. Лаврентьев [1].
***) См. сноску на стр. 298.

300 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
{а > 1, т — нецелое), где Ф(х) регулярна в эллипсе с фокусами—1, + 1,
содержащем а. Н. А. Сапогов [1] получил асимптотическое выра-
выражение для наилучшего приближения (а—х)т (а > 1) на отрезке [—1, + 1],
взятого с весом t(x). С. М. Никольский [16] исследовал наилуч-
наилучшее приближение функции (а—х)* в метрике L.
3.3. Если функция f(x) имеет производную /(s)(x), непревышающую
по абсолютной величине К, то будем говорить, что она принадлежит
к классу HS(K). Из неравенства Джексона следует, что для таких функ-
функций En(f) — О (n~s). С другой стороны, для функции | х js (при s нечётном),
принадлежащей к HS(K), при некотором К, порядок n~s достигается
точно. Ещё в 1913 г. С. Н. Бернштейн*) показал существование
НтпЕп(\х |) = р A). В его работах [67, 71, 73] этот результат получил
П-+СО
дальнейшее обобщение. А именно: существует lim««s?n (|x|s) = h-(s)
n-»oo
(s >0), равный наилучшему приближению Л, (|х|6) функции \х\' на всей
вещественной оси посредством целых функций первой степени (см.
пункт 4.1). Если
т
/W=2 CA-iflA-x|s (-\<ax. <at<... <am<\), C.3:1)
А— 1
то справедливо асимптотическое равенство
Еп (/) ^ ^(п—> со). х= max | Ck\ (I -flJ)'/».
СМ. Н и к о л ь с к и й [14], исходя из этого результата, получил
асимптотическое выражение для Еп (/) в случае произвольной функции
f(x) такой, что /(г)(х) имеет разрывы первого рода. В его работах [15,16]
эти вопросы были также исследованы в метрике L. Вот характерный
результат: положим
Еп,ы U)i = min ^ I / (х)" Рп (х) | г (х) dx,
где Рп —всевозможные многочлены степени п и г (х) —непрерывный вес,
удовлетворяющий некоторым условиям.
Тогда
т т cj.1
&=1 П k--i
где A(s) - константа, определяемая равенством C.5:1) (см. ниже).
С. Н. Бе ришт ей и [84] обобщил свои исследования Еп(\х\*у
ещё в другом направлении, рассмотрев вместо \х \s более общую функцию
со
\ | х!srf<V (s). где на O(s) налагаются некоторые ограничения.
о
Мы уже отметили и пункте 2.2 асимптотическую оценку (Е. В. Во-'
роновской) приближения посредством полиномов Бернштейна. При-
*) Acta Math.. 37 AУ13), 1—57.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 301
ведём подобный результат И. П Натансона [22], относящийся
к приближениям тригонометрическими суммами Vn(x) Валле-Пуссена:
если /(х) периода 2 тс и f(x) существует, то
Вот ещё результаты такого же стиля, относящиеся к так называемым
локальным наилучшим приближениям. Обозначим через En(f; a, Р) наи-
наилучшее приближение f на сегменте [а, р] при помощи многочлена степени п.
Для того чтобы функция] (х): 1) обладала на [ — 1, + 1 ] производной поряд-
порядка п, удовлетворяющей условию Липшица степени а@ < а < 1), 2) обла-
обладала непрерывной производной порядка п+1, соответственно, необходимо
v достаточно,чтобы: 1) ?„(/; xlr xs)<C|xt — х2|п+а, (
где С зависит от f и п (Д. А. Райков [4]),
2) %~^Л — а (х) при а < х < р, jJ-a
0
равномерно относительно х, где (л + 1) 122"+>/. (х) = j /(?A'' | (С. Н. Берн-
штейн [79]).
3.4. В этом пункте мы рассмотрим группу результатов, дающих
равномерные оценки приближения для классов функций. Цикл работ,
относящихся к этому пункту, был начат А. Н. Колмогоровым.
Обозначим через Wtf класс функций периода 2тс, имеющих производную
порядка г, по абсолютной величине не превышающую единицы. В 1935 г.
А. Н. К о л м о г о р о в [16] получил асимптотическое выражение
для верхней грани уклонений функций / g W^ от их сумм5п(/, х) Фурье.
Впоследствии СМ. Никольский [5, 8, 13] (см. также В. Т. П и н-
кевич [1]) обобщил эти результаты на класс функций / ? W»r) таких,
что /г)(х) удовлетворяет условию Липшица степени a @ < a < 1) с данной
константой или имеет данный модуль непрерывности. Он получил также
¦соответствующие асимптотические оценки для указанных классов в дру-
других случаях (интерполяционные суммы Фейера и др.) [1, 3, 4].
А. Н. Колмогоров [17] в 1936 г. обогатил теорию приближений
¦функций весьма важной постановкой вопроса. Пусть в некотором линей-
линейном нормированном пространстве функций (Н) задан класс (множество)
.функций 5Щ;.требуется найти в (Я) п таких функций $„..,,% (л за-
задано), чтобы верхняя грань расстояний (наилучших приближений) /€ЭД
до линейного подпространства /?(»>, натянутого на фи..., <|>„, была
наименьшей среди возможных. А. Н. Колмогоров решает эту за-
задачу в пространстве L<s), когде Ш есть класс функций, заданных на
«егменте, имеющих производную r-го порядка, ограниченную по норме.
Решением, сопровождаемым точными оценками, в периодическом случае,
являются тригонометрические функции, а в непериодическом —соб-
—собственные функции некоторой задачи Штурма-Лиувилля с граничны-
граничными условиями. Сумма Фурье, составленная по <?>*(х), даёт эффектив-
эффективный линейный метод приближений функций класса Ш, наилучший
среди возможных, если желать, чтобы приближающий полином был

302 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
линейным агрегатом, состоящим не более, чем из п функций (всё
равно каких).
3.5. Логически более простой является следующая проблема.
Дана система <!>„, <j>i, ..-,*„ и класс $Щ функций; требуется найти
линейный метод приближения вида ип (/) = 2] а.к <Ьк, такой, чтобы верх-
верхняя грань
sup || /-«„(/) |j
/еак
была наименьшей среди возможных. Эта проблема получила в послед-
последнее время решение в метрике (С) в ряде весьма важных случаев.
Мы сейчас переходим к обзору относящихся к этому вопросу работ.
Обозначим через W*) подкласс определённого выше класса W<{\
состоящий из функций, у которых равны нулю первые п коэффици-
коэффициентов ряда Фурье
/ (х) = 2 (ак cos ^x+ bksm КХ)-
к = п
В 1935 г.Бор определил точную верхнюю грань/(х) Травную -?-j для
класса W'^ и затем, в томже году, С. Н. Бернштейн [53,55] дал
точную верхнюю грань/(х) для класса W[r>. Фавард*), обобщив эти дьа
результата, получил верхние грани для произвольных классов 1У„(Г),
равные *
C.5:1)
D-0
Наконец, он же**) и, независимо от него, Н. И. Ахиезери
М. Г. Крейн [8] обнаружили, что эти верхние грани являются одно-
одновременно верхними гранями наилучших приближений Е*п_хЦ) функций
}kW{r> посредством тригонометрических полиномов поря; ка п— 1. При
этом были эффективно указаны линейные суммы вида C.5:1) (например,
при г = 1, Хл"* = -^- ctg 2л") ' ДаЮ1Ш1е Для всего класса W(/> тоже
приближение, что и наилучшие приближения; иначе говоря, для таких
сумм —наилучших линейных методов для W^ — справедливо
sup ?*_Л/)= sup max I / (х) - сп_х (/, х) |.
В дальнейшем этими авторами (и ещё за границей .Б. Надь***}
была решена эта проблема в случае более общих классов функций,
чем 1У(/>. Среди относящихся к этому вопросу работ Н. И. Ахие-
з е р а [27] и М. Г. Крейна [6,7] большой общностью отличаются
следующие результаты М. Г. Крейна [7]:
1) Если почти периодическая функция / (х) имеет т производных и
1Д,/» (х) + A/o»-i> (х) +... + AJ (х)! < 1 (- с«< х < сю), C.5:2)
*) Favard Y., Matematisk Tidskrift (В) A936), 81—94
**) Favard Y.. Bull, des sci. math , A937), 209—224.
***) Nagy В., Ober gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischa
Entwicklungen. Leipzig, Ber. Akad. d. Wiss. A938).

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 303
то для любых е >0 и N>0 можно указать обобщённый тригономе-
тригонометрический полином
ч
показатели которого принадлежат } (х) и заключаются внутри интервала
(—N,N), так что |/(х) — Т(х)| < CN + e, где константа СN (способ
её определения даётся) зависит только от N и многочлена
2) Если в предыдущей формулировке слово «почти периодическая»
1аменить на ((ограниченная», то существует целая функция <р (х) степени
HUMeN *), такая, что |/ (х)—<р (х) | < C/Y -r е, где С^—та же константа.
Неравенства, фигурирующие в обоих предложениях, точны; в них
С/у нельзя уменьшить.
Н. И. Ахиезер [30] получил важный результат, показав, что
sup Еп (/) = ^
где УЛ —класс аналитических в эллипсе с фокусами ~— 1, -\-1 и полусуммой
осей, равной h функций, имеющих вещественную часть по абсолютной ве-
величине, не превышающую К.
С. JV1 Никольский [10,11] построил функцию /6 W{r\ для
которой lim nrE,,(J) = A<-r) (см. 3.5:1); в результате обнаружилось, что
п-»оо
приближения (при больших л) индивидуальных функций /? W{r\ имею-
имеющих особенности вида |xjr, не являются в этом классе наихудшими.
В его работах [8, 17, 18] решён в метрике L ряд задач, подобных
рассмотренные в этом пункте. Вот один результат. Если W[rl (соответ-
(соответственно w?r))—класс функций периода 2к (соответственно заданных на
[—1, +1]), имеющих производную /<г> (х) порядка г и удовлетворяющую
2п +1
неравенству \ |/<r> (x) j dx< 1 (соответственно, \ |/(*)idx<;i\ и если
?n (/)l = min \ | / — Гп | dx ( соответственно, EJJ)l = min \ I / — Pn | dx ) ,
где Тп тригонометрические (а Рп обыкновенные) полиномы, то
sup En{j)= sup En{f)b& sup Е„(})ь(п—>ос),
- во всех случаях даются наилучшие линейные методы.
С. М. Ни ко л ьским [7,10] получены также аналогичные резуль-
результаты в случае обычных наилучших приближений ?„(/) для класса
*) См. пункт 4.1.

304 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
функций, удовлетворяющих условию Липшица (а = 1) с данной констан-
константой. В этом же направлении далеко идущие результаты получены в по-
последнее время Н. С. Берн штейном [90,95], использовавшим для
этого развитую им теорию приближения целыми функциями данной
степени.
Пусть Wr,a, Wr.t и Wr,a соответственно классы функций 1) периода
2ir, 2) заданные на ['—\, + 1], 3) заданные на вещественной оси, имеющие
в области своего определения производную порядка г, удовлетворяющую
неравенству
[/(r)(x)_/(r)(Xi)|<|x_Xi;d @<а<1) г =1,2,...
и пусть Ар(/) — наилучшее приближение f на — оо<х<оо посред-
посредством целых функций р-й степени (см. 4.1). Тогда
sup En(/)= limnr+a sup ??(/)= sup^tf). C.5:3)
Равенство I при r = 0, a = l было получено ранее С. М. Николь-
Никольским [10]; равенство 11 при a= I, r = 0, I,... M. Г. К р е й н ом [7].
Этот результат С. Н. Бернштейна утверждает существование
пределов и их равенство, оставляя открытым вопрос о величине их
(в случае 0<а<1).
Н. И. Ахиезер и Б. М. Левитан[1] предложили удобный
линейный метод приближения /бW{r> тригонометрическими полиномами,
дающий порядок наилучшего приближения 0{пгГ). К этому вопросу отно-
относится более ранняя работа Н. И. Ахиезера [23]. См. также
С. С. М о в ши ц [1].
Для определённого выше класса Wq^ @<a<l) Якоб*) получил
асимптотические оценки при приближении суммами, представляющими
обобщения фейеровских, и И. П. Натансон [22]—суммами Валле-
Пуссена.
А. X. Т у р е ц к и й[1 — 4] получил асимптотические оценки для
многочленов, удовлетворяющих частным случаям неравенств C.5:2) в си-
системах равноотстоящих точек. •
3.6. Константы А(г> суть не что иное как числа Бернулли.
А. Н. Колмогоров [19] получил следующий важный результат,
выражаемый с помощью этих чисел:
Для того, чтобы три заданных числа Мо, Мк и Мп @ < к < п; к,п =
= 1,2,...) соответственно были верхними гранями
M0 = sup |/(x)|, Мы = \Р» 1х)\, А*„ = |/(-)(х)!
функции /(х), заданной на вещественной оси и её производных k-vo
и л-го порядка, необходимо и достаточно выполнение неравенства
n—k t п-к
Ма~Ml, С„*-А<»-*>: (А(»))~.
Дальнейшее развитие этого результата принадлежит А. Ро-
дову [1].
3.7. В предыдущих пунктах были собраны результаты, дающие с той
или иной точностью поведение ?„(/), коль скоро задан класс функций Щ,
*) См. ДАН, 32 A941), 390—394.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ 305
к которому принадлежит /(х). Значительный интерес представляет
решение задач, относящихся к обратной проблеме: по данному поведе-
поведению ?„(/) определить класс функций Щ, к которому принадлежит
/(х). Здесь мы приведём несколько результатов, относящихся к этой
обратной проблеме, полученных в отчётном периоде.
Весьма важные результаты, связанные с квазианалитическими
классами функций, получены ещё в 20-х годах С. Н. Бернштейном.
Класс 2JJ функций, заданных на [а, Ь], называется квазианалитическим,
если из условий: /65Щ, <р € ЗЛ и /(х) = <р(х) на каком-либо интервале,
принадлежащем [а, Ь], следует, что функции / и <р идентичны. Ещё
в 1914 г. С. Н. Бернштейн показал, что функции, заданные на
[ —1, + 1 ], для которых имеет место lim 1/"?„(/) < 1, образуют квазиана-
литический класс. Затем, когда Данжуа и Карлеман предложили
другой класс квазианалитических (бесконечно дифференцируемых) функ-
функций, характеризующихся требованием, чтобы ряд
был расходящимся, С. Н. Б е р н ш т е й н [6, 7, 10] доказал, что этот
класс можно охарактеризовать также требованием, чтобы ряд
был расходящимся.
К этим вопросам относится работа А. И. М а р к у ш е в и ч а [12],
показавшего из весьма общих соображений, что всякая непрерывная на
[ —1, +1] функция есть сумма двух принадлежащих к классу (Берн-
штейна) (Р) квазианалитических функций.
Перейдём теперь к другим результатам, относящимся к классам
дифференцируемых функций. Пусть Wr,a(K) есть класс функций
периода 2те, имеющих производную порядка г = 0,1,2,..., удовле-
удовлетворяющую условию Липшица степени а @ < а< 1) с константой К > О
(I/<г> (х +/i) — /(Г> (х) j < К | Л|*). В случае а<1 ещёвдесятых годах было
доказано предложение: для того чтобы функция /? W',* (К) необходимо
(Джексон) и достаточно (С. Н. Бернштейн), чтобы существовала кон-
сганта /С, > 0 такая, что имеет место
EnUX-^г (п = 1,2,...) C.7:1)
(К и /Сх в прямой части предложения и обратной не одни и те же).
Если а=1, то условие теоремы необходимо, но не достаточно. Известно
лишь (С. Н. Б е р н ш т е й н), что если в неравенстве C.7 : 1) положить
а= 1+ s > 1, то /6 Wr,t (К) и f-r-< i> (х) непрерывна. Таким образом в слу-
случае а = 1 возникло две проблемы:
1) определить в терминах En(J) необходимые и достаточные условия
того, чтобы f^Wr.i(K) при некотором /С;
. 2) выяснить структурные свойства класса функций /, для которых
Е„(/) удовлетворяет C.7 : 1) при <х = 1.
20 Математика ь СССР за 30 лет.

306 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Вторая проблема недавно решена Зигмундом *). Именно, он показал;
что для того чтобы для непрерывной функции периода 2тс имело место
C.7:1) для всех л = 1,2,... и а = 1, необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция / имела непрерывную производную порядка г, удовлетворяющую
неравенству
| = | /(г) (Х + щ _ 2/С) (х) + /О (х -, h) |< M | h |
равномерно относительно х, где М—константа, или, что одно и то же,
чтобы имеЛо место равномерно относительно х неравенство
где Д&/—конечная разность порядка /.
С. Н. Берн штейн в своей недавней работе [96] получил более
общие результаты.
Именно, он ввёл в рассмотрение классы функций / (конечного
роста, но вообще неограниченных), определённых на вещественной
оси и удовлетворяющих при всех х неравенству
для некоторых заданных рг) а;, М, q и исследовал поведение наилучших
приближений Aj(f) функций этого класса при помощи целых функций
экспоненциального типа конечной степени. В частности, С. Н. Берн-
штейном было установлено, что сформулированные выше для перио-
периодического случая результаты Бернштейна-Джексона-Зигмунда без изме-
изменений переносятся на классы М/г« (К) функций / непериодических,
имеющих производную порядка г, удовлетворяющую на вещественной
оси условию Липшица степени а.
§ 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ
НА БЕСКОНЕЧНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ.
4.1. В области приближения на бесконечной оси были получены зна-
значительные достижения.
Прежде всего надо отметить результаты С. Н. Б е р н ш т е й-
н а [8, 10, 64], полученные им в первую половину отчётного периода и отно-
относящиеся к вопросу о приближении па всей вещественной оси посредством
многочленов (с весом) и рациональных дробей**).
Простейшими обобщениями обыкновенных и тригонометрических
полиномов являются целые функции конечной степени или экспонен-
со
циального типа. Целая функция/B)= 2wz* называется функцией
экспоненциального типа с показателем р или же функцией р-й степени,
если для неё имеет место lim \^\an\ = p < <х>. Для краткости обозначим
п-»оо
класс таких функций через Нр. В течение отчётного периода была создана
*) Zigmund A.. Duke Math., 12 A945).
**) Подробнее см. В. Л. Гончаров и М. А. Лаврентьев [1].

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 307
и получила значительное продвижение теория приближения функций,
определённых на вещественной оси, при помощи функций класса Нр.
Первые весьма важные результаты в этом направлении принадлежат
С. Н. Б е р н шт ей и у [3, 4, 9, 10, 64], который исследовал экстремальные
свойства функций класса Нр и обобщил на этот класс своё неравенство
(неравенство Бериштейна) для тригонометрических полиномов.
Далее, надо отметить далеко идущие по своей общности и эффектив-
эффективности предложения, полученные М. Г. Кр ей ном [7], дающие оцен-
оценки наилучших приближений при помощи функций, принадлежащих
к Яр для некоторых классов дифференцируемых функций, определён-
определённых на бесконечной оси. Эти предложения были сформулированы в
пункте 3.5.
4.2. В последнее время теория приближения функциями класса Нр
успешно развивается в работах С.Н. Берн штейн а. Полученные им
[3, 4, 9, 10, 64, 86— 95] в этом направлении результаты но своей силе не
уступают соответствующим известным предложениям, относящимся
к теории приближения на конечном интервале. Приведём некоторые
из них.
Пусть а) ?Л(/;Х), б) ?*(/), в) Ap(J) соответственно обозначают
наилучшие приближения функции / при помощи а) обыкновенных мно-
многочленов степени п на сегменте—л ~<х<Х, б) тригонометрических
полиномов порядка п (/(х) периода 2~) и в) функций <рр€Нр на
вещественной оси.
I) Если <РрбНл и \<рр(х)',<М, то \у'р(х)\<.Мр, причём константа
в правой части точная.
2.) Для того чтобы ограниченная функция ) (х) была равномерно
непрерывной на бесконечной оси, необходимо и достаточно, чтобы
Ар(/)—>0 при р—>оо*) (аналог теоремы Вейерштрасса), при этом
где да (Л)— модуль непрерывности f (обобщение неравенства Джексона).
3) Для того чтобы ]{х) была регулярной и равномерно ограниченной
в каждой п олосе z = x + iy, I у |< Ь' @ < b' < b), необходимо и доста-
достаточно, чтобы Tim VАр (/)<е-ь (обобщение прежнего результата
p->oo
С. Н. Бериштейна для периодических функций).
4) Если f (х) периода 2т,, то Ар (/) = ?[Р] (/) ([р] — целая часть р).
5) При общих предположениях относительно /(х) справедливо
и даже при несколько более сильных, если р-точка непрерывности
h(p) A(J)
6) См. ещё равенства C.5:3) и конец пункта 3.7.
*) Это утверждение .может быть получено также как следствие результатов
М. Г. К р е й и а [7].
20*

308 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Благодаря предложениям 4), 5) осуществляется связь новой теории
с соответствующими теориями приближений тригонометрическими и обы-
обыкновенными полиномами.
4.3. Предложение 1), доказанное С. Н. Берн штейном [9],
играющее большую роль в теории, получило различные обобщения,
прежде всего, в его же работах [10, 64], а в последнее время в работах
Н. И. Ахиезера [33]; в них даются верхние грани для модуля про-
производной |/'(z)! функции /(z) степени р, когда i(/(z)|<;<o(z)|, где w(z)
удовлетворяет некоторым условиям. Другое доказательство этого пред-
предложения дали Б. М. Левитан [1] и Боас *). С. М. Л о з и п-
с к и й [14] получил интересное обобщение в случае функций многих
переменных, а также соответствующие неравенства в других метриках
(L<p> и им подобных).
4.4. В комплексной области важные результаты, относящиеся к во-
вопросу приближения посредством целых функций, были получены
М. В. Келдышем (см. обзор А. Ф. Бе рма нта и А. И. Марку-
шевича, помещённый в настоящем Сборнике).
4.5. Функции срр(х) являются сравнительно близкими обобщениями, с
одной стороны, обыкновенных многочленов, а с другой, — тригонометриче-
тригонометрических полиномов. Б. М. Л е в и т а н [1] предложил эффективный способ
получения последовательности тригонометрических полиномов, которая
сходится к ограниченной функции <рр(х)бЯ(р); эти полиномы обладают
интересными свойствами, например, их абсолютная величина не превы-
превышает sup | <рл (x)i. В дальнейшем, в работах М. Г. К р е й н а [8],
Н. И. Ахиезера [34] и С. Н. Б е р н ш т е й н а [91, 92] были
получены такие последовательности тригонометрических и обыкновен-
обыкновенных полиномов для более общих классов функций, а также 'даны
оценки соответствующих приближений.
4.6. Сравнительно далеко от рассмотренного в этом параграфе круга
вопросов находится вышедший ещё в первую половину отчётного периода
A931 г.) фундаментальный мемуар Н. Н. Боголюбова [2,3],
дискутирующий вопросы, относящиеся к почти периодическим
функциям.
§ 5. НЕРАВЕНСТВА БЕРНШТЕЙНА.
5.1. Мы имеем в виду неравенства
тах|т;(х)|<птах|Г„(х)|, E.1:1)
X X
max |Pi(x)|<n(l-^-V' max |Я„(х)|, E.1:1')
первое для тригонометрических полиномов Тп(х), а второе для обыкновен-
обыкновенных многочленов Рп(х) степени п, полученные С. Н. Бернштейном ещё в
1912 г. **). Они оказались весьма существенным средством для доказатель-
доказательства многих важных предложений. Поэтому, естественно, они сами под-
подвергались изучению; в результате в настоящее время имеется много раз-
различных их обобщений, полученных у нас и за границей (Cere, Ван-дер-
*) Boas R. Р., Мате.м. сб., 5 D7). A941), 18S.
**) Хрк., Зап. матем. т-ва, 13 A912), 49—134.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 309
Корпут, Шааке, Карлсон и др.)*)- Об обобщениях неравенств E.1:1) и
E.1:Г) на случай целых функций конечной степени уже говорилось в
4.2 и 4.3 (случай кратно монотонных многочленов см. 6.2).
С. Н. Бери штейн [34] (см. также [16]) показал, что E.1 : 1)
сохраняется асимптотически при произвольном весе р(х), т. е. если в нём
заменить \Тп(х)\ и \Т'п(х)\ соответственно на р(х)Тп(х) и р(х)Т^(х).
Он [67] дал точное неравенство для максимума абсолютной величины
полинома
F) = 2 {>'»-» la, cos М + ?) -г b0 sin (Ы + *) ] +
J-l4-i,I»pC0s(i'e+9)-a1)sm(<»e-|-?)]} E.1:2)
(обращающегося при цо = 0, >.„_„ =-я, ? = -^- в Т'п(Ь), если
п
Т„ @) = Ц- + V (e0 cos <vb + bv sin vb))
при некоторых предположениях относительно а0 и ^„, обобщив получен-
полученное до этого неравенство Сеге**). Г. Т. Соколов[1] несколько ранее
исследовал с этой точки зрения случай
5. 2. К этому кругу идей относится также работа С. Н. Берн-
штейна [75], в которой даётся доказательство неравенства В. А. Мар-
Маркова
(\<Т(^{1) max \Р„(х)\,
где Та (х) = cos n arc cos x. Сюда же можно отнести его работу [32], где
решается одна проблема Фейера.
§ 6. О МНОГОЧЛЕНАХ,
НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ.
6.1. Н. И. Ахи ез ер [6, 7, 8, 12,16,19—22, 24], продолжая
исследования Е. И. Золотарёва, получил значительные результаты.
Среди решённых им задач отметим задачи о многочлене, наименее укло-
уклоняющемся от нуля: 1) с весом р(х) при заданных старших двух коэффициен-
коэффициентах^) при заданных трёх старших коэффициентах (р (х) = 1), 3) на множест-
множестве, состоящем из двух интервалов***). В более поздней его работе изучает-
изучается задача о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля в интервале 8,,
когда известно, что он » другом интервале 82 принимает значения, при-
принадлежащие к третьему 33. Н. И. А х и е з е р [26] решает задачу о много-
многочлене, наименее уклоняющемся от нуля в смысле L, на двух интервалах.
*) Подробнее см. В. Л. Г о и ч а р о и и М. А. Л а ь р е н т ь е в [I].
**) Szego G., Math. Ann., 82 AС21). 188—212.
***)Т1одробнее об этом см. в обзопе В. Л. Г о и ч а р о в а и М. А. Л а в р с и т ь.
ев а [1] и, особенно, статью В. Л. Г о и ч а р о в а [26].

310 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Далее им [24] показано, что многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля
(в обычном равномерном смысле) на двух интервалах, в случае, если кон-
концы этих интервалов удовлетворяют некоторому арифметическому соотно-
соотношению, ортогональны между собой с некоторым весом. В этих исследо-
исследованиях Н. И. Ахиезер (подобно Е. И. Золотарёву) применял аппа-
аппарат эллиптических функций.
6.2. С. Н. Б е р н ш т е й н [11 —13, 21] поставил и решил проблему о
так называемом кратно монотонном многочлене порядка Л4-1 (т. е. имею-
имеющем все неотрицательные производные до порядка Л+1 включительно), на-
наименее уклоняющемся от нуля. Он обобщил также на случай кратно моно-
монотонных многочленов свою теорему (неравенство Бернштейна) о модуле
максимума первой производной многочлена. В дальнейшем эти исследова-
исследования были продолжены В. Ф. Б р ж е ч к о й [2, 3, 5, 7,8], Я- Л. Г е р о-
нимусом [3,4,8,13,15,26] и Б. А. Рыма рен ко [1], решившими
целый ряд экстремальных задач, относящихся к этому вопросу. (См.
также С. Н. Бернштейн, В. Ф. Бржечка и Б. А. Рымарен-
Рымаренко [1], В. Ф. Бржечка и Я- Л. Г е р о н и м у с [1 — 9].)
6.3. Ещё Е. И. Золотарёв решил задачу о многочлене, наименее укло-
уклоняющемся от нуля в метрике L, показав, что минимум
—' -1
min J 1 о0 х" 4- f a^-^-i !- о„ | их
при варьировании коэффициентами оА., fc>s, когда $ = 0 достигается
для единственного многочлена, равного с точностью до постоянного
множителя A — х2)^ sin(n + l)arccosx. С. Н. Берн штейн[11]
обобщил этот результат, показав, что если заменить аохп на произволь-
произвольную функцию, имеющую производную порядка п, сохраняющую знак
на (—.1, 4-1), то минимум при варьировании ак, к > 0, достигается,
когда /(х) + 2а.х"~* обращается в нуль в нулях многочлена
A —x2)-1/2sin (п-г 1) arccosx.
Я. Л. Г е р о н и м у с решил ряд важных задач о многочленах, наи-
наименее уклоняющихся от нуля в метриках L и L<2> в ряде случаев.
Например, задача Золотарёва решена им [38] точно при $ = 1 и асимп-
асимптотически при любом конечном s > 1. Вот ещё примеры решённых им
п
[31,32, 43] задач: 1)среди всех многочленов Рп(х) = *? А п_рс* степени <л,
удовлетворяющих равенству
~i
или
+ 1
-1

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 311
находится такой, для которого
есть максимум
о
где at — заданные числа; 2) находится минимум интеграла
[ \q(в)Idx,
О
где
п
Y* — ай+'Рк» Ро = О и варьируются числа у*, связанные соотношением
я
Re 2bC"-*=1' c*-fl* + *A> *о = О [46, 52, 55]; 3) решена задача
о минимуме sup 1/FI, где /F)—функция периода 2иг, ряд Фурье
которой начинается с данного тригонометрического полинома <рF) [34];
275
4) даётся минимум для \|gF)|rf6 для тригонометрического полинома
о
порядка <л с первыми заданными коэффициентами [30]; 5) изучаются
экстремальные свойства неотрицательных тригонометрических поли-
полиномов.
К этому же циклу вопросов относятся результаты В. Ф. Б р ж е ч-
ки[4, 9, 11] и Б. А. Рыма рен ко [3]; последний решил подобную
задачу в метрике L<2> в предположении, что заданы значения многочлена
в данной системе точек. Отметим ещё относящиеся сюда исследования
Н. И. Ахиезера и М. Г. К р е й н а [10].
6.4. К исследованиям Н. И. Ахи езера [12], относящимся к при-
приближению многочлена дробной функцией с переменными коэффициентами
в числителе и знаменателе, примыкают работы Г. М. М и р а к ь я-
на[1,2].
6.5. Е. Я. Ремез предложил методы последовательных прибли-
приближений функций многочленами данной степени, годные при фактических
вычислениях, дляполучени я многочленов как угодно мало отличающихся
от наилучшего в обычном смысле [1, 2, 3] и в смысле L(p) [11, 12]; (см.
также одну его оценку наилучшего приближения [9]). Отметим его работу
[б], в которой доказывается следующий результат: если многочлен Рп(х)
степени <п удовлетворяет неравенству |Рп(х)|<х на множестве
EC[a,b], b-a = l и мера тЕ>к = Ы, 0<6<1, то |Рп(х)|<
<x7\Y-|-— lYa<x<ft, где Тп(х)—полином Чебышева.
§ 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ.
7.1. Весьма важные результаты, относящиеся к вопросу об асимпто-
асимптотическом поведении многочленов, ортогональных относительно произволь-
произвольного веса, получил С. Н. Бернштейн[19,27, 28, 33, 35, 39,46]. Значи-
Значительная часть их вошла в монографию С. Н. Бернштейна
[60]. Основная теорема, доказываемая в этой монографии, гласит:

312 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Ортогональные и нормированные относительно веса t(x)(l—х2)^
на интервале (—1, +1) многочлены подчиняются асимптотическому
равенству
cos № + *) (п -* со)
равномерно относительно х на (—1, +1), где
-¦А
n , I f In t(z) — In t(x) /l - .v2
0 = arccosx, 0 = ^ ^ y
u /(x) непрерывная положительная функция, подчиняющаяся некоторым
условиям.
С помощью этой теоремы устанавливается, что (при л—>оо) мини-
минимальное уклонение j t (х) Рп (х) | от нуля на (— 1, + 1), если коэффициент
при х" в Р„(х) равен единице, отличается асимптотически только по-
постоянным множителем (зависящим от I) от соответствующего мини-
минимального степенного уклонения интеграла
t{x)Pn{x)\l^= A>2), G.1:1)
причём оба эти уклонения (второе при любом /) асимптотически миними-
минимизируются многочленом Рп(х), обращающим в минимум G.1:1) при 1=2.
Исследования во второй части монографии значительно расширили
существовавшую до того классическую теорию полиномов Якоби.
За границей существенные результаты, относящиеся к вопросу
об асимптотических свойствах многочленов ортогональных на [—1, -Н]
с данным весом или, что всё равно, многочленов, минимизирующих инте-
интеграл G.1:1) при I = 2 (особенно в комплексной плоскости) получил Сеге*).
7.2. Из многочисленных работ Я. Л. Геронимуса по теории орто-
ортогональных многочленов отметим здесь работы [28, 39, 50], относящиеся
к действительной области и посвященные изучению (соответственно) поли-
полиномов Аппеля, Стилтьеса и Мейхснера. В его работах [12, 16, 58] изу-
изучаются многочлены Рп (х), ортогональные относительно некоторого обло-
обложения fif<l>(x), где<Ь(х) имеет изолированные точки роста; в частности,
даётся асимптотическое выражение Рп(х) при л—» со.
§ 8. ДРУГИЕ СРЕДСТВА ПРИБЛИЖЕНИЯ-
8.1. По вопросу о полных системах отметим большую работу
С. Н. Бернштейна [89] (см. также [80]); в ней обстоятельно иссле-
исследуются необходимые и достаточные условия для того, чтобы последова-
последовательность функций hK(x) = H[xk] (k = 0, 1, 2,...), полученных в результате
применения к функциям хи дифференциальной операции
*) SzegS G. Math. Z., 12 A922), 61—94 и Amer. Math. Soc, 23 A939).

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 313
образовывала на сегменте [а, Ь] полную систему (нетривиальный случай,
когда сро (х) обращается в нуль).
Один общий критерий полноты получен А. Н. Ч е р к а с о в ы м [1J.
Из других вопросов заслуживают большого внимания различные обобще-
обобщения теоремы П. Л. Чебышева о наилучшем приближении при помощи
более общих, чем обыкновенные или тригонометрические полиномы се-
семейств приближающих функций. Нужно сказать, что сам П. Л. Чебышев
впервые высказал свою теорему в связи с решением задачи о наилучшем
приближении заданной траектории другими допустимыми траекториями,
зависящими от некоторого числа параметров, вообще говоря, даже нели-
нелинейно. Особенно хорошо изучены с этой точки зрения полиномы вида
п
). (8.1:1)
Достаточно сказать, что общая теория наилучшего приближения обык-
обыкновенными или тригонометрическими полиномами в настоящее время
есть частный случай теории приближения полиномами вида (8.1 :1), где
на систему <1H(х), • • -, tynW непрерывных функций накладывается только
условие: из того, что сумма (8.1:1) имеет л +1 нулей на сегменте, следует,
что она тождественно равна нулю на нём. См. главу 1 монографии
С. Н. Бернштейна [64]. К вопросу теории таких систем относится
также заметка С. Н. Бернштейна [72].
Интересное обобщение теоремы П. Л. Чебышева получено Л. Г. Ш к и-
р е л ь м а н о м [1], рассмотревшим в качестве приближающих функций
семейство F (х; с1( сг, ..., с„), зависящее от л параметров, удовлетворяющее
некоторым условиям выпуклости и непрерывности.
§ 9. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ.
9.1. С вопросами приближения функций тесно связана теория ква-
квадратурных формул, вчастности,теория квадратурных формул Чебышева*).
В формуле квадратур Чебышева
\ (9.1:1)
-\ i A
значения xt и коэффициент К определяются требованием, чтобы эта форму-
формула была справедлива для всевозможных многочленов степени не выше п.
Имея в виду приложения, квадратурную формулу (9. 1 :1) принято назы-
называть возможной, если искомая система узлов оказывается принадлежащей
к сегменту [ — 1, +1].
П. Л. Чебышев показал, что при р(х) = A — х2)^ эта формула возмож-
возможна; она выполняется, если х,- суть нули многочлена cos n arc cosx. В случае
р (х) = 1 возможность квадратурной формулы (9.1 : 1) была установлена
при п= 1,2,. .., 7; но при л = 8 она невозможна, так как искомые узлы
являются комплексными числами; при л = 9 она снова возможна.
*) Голее подробно о вопросах, затронутых г. 9.1, см. обзорную статью Н. И. Л х и-
с зе р а («Научное наследие П. Л. Чебышеоа», т. I, Изд. АН A945), 5—42).

314 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В 1932 г. С. Н. Бернштейн [49] показал, что квадратурная фор-
формула (9.1 : 1) при р (х) = 1 невозможна, если л > п0, где п0 достаточно вели-
велико. В дальнейшем он подвергнул эту проблему детальным исследова-
исследованиям, что привело к важному результату. Именно, С. Н. Бернштейн
[56, 61] доказал, что квадратурная формула (9.1 : 1) невозможна при вся-
всяком л>10.
Получение этого результата базировалось на глубоком изучении
(С. Н. Б е р н ш т е й и [61, 65, 76, 77]) более общей квадратурной фор-
формулы
\ f{x)p{x)dx=y р,}(х,), (9.1:2^
-1 f~.i
-и
Pi > 0. ^ Р (х) dx > 0, — 1 < х1 < хг < ... < хп < 1,
с положительными коэффициентами. Относительно этой формулы стави-
ставилась проблема: при каких условиях она справедлива для всех многочле-
многочленов данной степени т.
Были получены, с одной стороны, необходимые и, с другой, —доста-
—достаточные условия.
В частности, если Мп обозначает максимальную степень многочле-
многочленов, для которых верна формула (9.1 :1), то Мп < 4|/п. В случае фор-
формулы Котеса
(^) (9.1:3)
i=o
С. Н. Бернштейн показал, что при л>10, если она верна для
всех многочленов степени л, то обязательно некоторые из коэффициентов
ct должны быть отрицательными. Далее, если с,->0 и Nn обозначает наи-
наибольшую степень многочленов, для которых выполняется равенство
(9.1 : 3), то N,, < 4 ]/л\
Наконец, отметим ещё, что С. Н. Бернштейн [63, 74] указал
способ построения квадратурных формул вида (9.1 : 2) (р (х) == 1) с раци-
рациональными коэффициентами, имеющими возможно малый общий зна-
знаменатель.
Р. О. К у з ь м и н [2, 3, 4] исследовал весьма интересными методами
асимптотическое распределение узлов х^х^, ...,х„ квадратурной формулы
(9.1 : 1) (р(х) = 1) в комплексной плоскости (при л—> оо).
Н. И. Ахиезер показал, что квадратурная формула
i=i
^исключая случай а = р= —-jj невозможна при л > п0, если п0 доста-
достаточно велико. При р (х) = 1 это уже упомянутый результат С. Н. Б ерн-
штейна [49].

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 315
В работе Н. И. А х и е з е р а и М. Г. К р е й н а*) (см. также
Н. И. А х и е з е р и М. Г. К р е й н [10] стр. 106—120) изучается ква-
квадратурная формула вида
Р (х) q (х) dx = к ^ [Р («,) ~ Р Ф«)Ь Г9.1 : 4>
где
h
\)q{x)dx = Q, (-оо<а <6< + ос)
а
сточки зрения её возможности для всех многочленов Р(х)степени Bл- 2)
— постановка задачи Маркова; в частности, устанавливается связь такой
постановки с соответствующей задачей Чебышева, требующей, чтобы фор-
формула (9.1:4) была возможна для всех многочленов степени 2л—1.
Н. И. Ахиезер и М. Г. К р е й н [11 ] показали, что в формуле
(9.1:2), где P(x) = /(x)(l-x2)-''',0</(x)<L, справедливой для всех
многочленов Р1п-, (х) и pt > 0, имеет место неравенство Pi^-^- •
Я. Л. Г е р о н и м у с [42] исследовал условия, при которых ква-
квадратурная формула
т
i)-«(ei,)] 0<01<...<62т<2«
возможна для любого тригонометрического полинома #(8) порядка <п,
где F @)—заданная функция периода 2ъ.
9.2. Перейдём теперь к циклу работ, относящихся к вопросу о сходи-
сходимости формул механических квадратур для различных классов функций.
Здесь нужно отметить прежде всего работы Н. М. К р ы л о в а [2, 7,11 ],
и Н. М. Крылова и Я. Д. Тамаркина [1], выполненные в самом
начале отчётного периода. В частности, Н. М. К р ы л о в [2, 7] исследовал
сходимость сумм
Jim 2 К (х,у) \ -g&ffife -\f(x)K (х, У) dx, (9.2:!)
i"l а а
где Рп(х) —некоторые многочлены, а ядро К(х, у) удовлетворяет извест-
известным ограничениям, и указал методы получения соответствующих оценок
приближения.
С. М. Лозинский [2], продолжив исследования Полна **),
получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы имело месте
равенство
k=i
*) Сб. памяти акад. Граве A940), 15—28.
*+) Polya С, Math. Z., 37 A933), 264—286.

316 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
для всех функций/, принадлежащих к классам функций ^ограничен-
^ограниченной вариации, 2) абсолютно непрерывных, 3) имеющих разрывы первого
рода и др.
Несколько в другом направлении Я- Л. Геронимус [67] иссле-
исследовал сходимость квадратурных процессов Полна-Чебышева и Гаусса-
Кристофеля.
§ 10. ТЕОРИЯ МОМЕНТОВ.
10.1. К вопросам приближения функций многочленами прилегает
степенная проблема моментов, заключающаяся в следующем. Задана
последовательность чисел s0, slt s2, ... Требуется установить, существует
ли не убывающая па интервале (а, Ь) (— оо <а < 6< оо) функция а (х)
такая, что одновременно выполняются равенства
ь
s:. = § X*da (х) (ft = 0, 1, . ..). A0.1:1)
Если такая функция существует, то возникает вопрос о её единственности
и изучении её свойств. Аналогично ставится тригонометрическая проблема
моментов, где роль хк играют тригонометрические функции
*'**(* = 0, ± 1,±2, ...) и а=-"., ft = i, 0<^~.
Степенная проблема в случае интервала @, оо) была впервые поставлена
и подробно изучена Стилтьесом, показавшим, что для её разрешимости
(существования функции, удовлетворяющей A0.1:1)) в предположении, что
в (х) имеет бесконечное число точек роста, необходимо и достаточно, чтобы
определители js,-+K|^, | s/+fttl I ™ были положительными для всех
л = 0,1,2,... Стилтьес также исследовал эту проблему сточки зрения её
определённости (единственности решения).
10.2. В тесной связи с проблемой моментов Стилтьеса находятся иссле-
исследования A928 г.) С. Н. Б е р н ш т е й н а [10, 14, 22] об абсолютно
монотонных функциях. С. Н. Бернштейн называет функцию абсо-
абсолютно монотонной в интервале, если все её производные на этом интер-
интервале неотрицательны, и, в частности, устанавливает, что для того чтобы
функция /(х) была абсолютно монотонной в интервале @,оо), необходима
и достаточна возможность её представления в виде интеграла
где з (t) — неубывающая функция. На базе этого представления даётся
решение (другими методами) сформулированной выше проблемы момен-
моментов Стилтьеса для интервала @, оо).
К теории абсолютно монотонных функций относятся работы В. Л. Гон-
Гончарова [14] о нулях последовательных производных абсолютно мо-
монотонной функции и И. Н. X л о д о в с к о г о [5, б, 7], который ввёл
класс более общих почти абсолютно монотонных функций, а также
исследовал некоторые свойства абсолютно монотонных функций двух
переменных.
В работах С. Н. Бернштейна [16, 20, 30] исследуются ещё так
называмые регулярно монотонные функции, обладающие тем свойством,

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 317
что их производные любого порядка сохраняют па некотором интервале
знак (не обязательно положительный) *).
10.3. Н. И. А х и е з е р и М. Г. Крейн [1,2, 4, 5, б, 7] подвергли
подробному систематическому исследованию степенную и тригонометри-
тригонометрическую проблемы моментов при дополнительном условии А. А. Маркова
0<; = (Г)-з(О<2М'"-О a<t'<
где L — заданная константа. Свои исследования эти авторы изложили
в систематическом виде в отдельно изданном сборнике [10], содержащем
много результатов, относящихся к вопросу о существовании решения.
Этот сборник содержит несколько статей М. Г. К р е й и а, в которых
вопросы теории моментов обобщаются на функциональные пространства.
В последнее время литература обогатилась рядом весьма интересных
общих исследований М. Г. К р е и и а (см. его обзор), имеющих отно-
отношение к теории моментов и связанных со спектральной теорией опера-
операторов; изложение их не входит п нашу задачу.
Отметим ещё интересную обзорную статью Н. И. А х и е з е р а [31 ],
излагающую ряд фундаментальных теорем проблемы моментов на базисе
теории матриц Якоби с использованием теории операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве.
Н. И. Ахи ез ер и М. Г. Крейн [9] (см. также К. И. Швецов [2],)
решили степенную проблему моментов при дополнительном условии
А. А. Маркова (коротко L-проблему) на множестве, состоящем из двух
интервалов. Ими [I, 2, 5] также решено несколько экстремальных задач,
связанных с L-проблемой. Вот одна из них. Если коэффициенты Фурье
Ok и bk функции I периода 2-„ удовлетворяют условиям ал = й* = О
(k = 0,1,... , п — 1), \/~а%+ Ь2п = р > 0, то справедливо неравенство
vrai max |/(x)l> * \>,
— 00<Ж<00 t
в котором правую часть нельзя увеличить.
М. С. Л и в ш и ц [1] получил условия, при которых проблема (Гам-
(Гамбургера)
оо
s/: = [ tkda{t) (k = 0, ],...)
будет определённой, связав эти результаты с некоторыми вопросами тео-
теории квазианалитических функций.
П. Г. Р е х т м а н [1], развивая идеи М. Г. К р е й и а, изучил неко-
некоторые вопросы проблемы моментов, в которой «,(/) образуют систему
Чебышева.
Отметим ещё работы Я. Л. Геропимуса [63, 65, 66, 69, 71];
в частности, в работе [63] изучается характер решения о F) тригонометри-
тригонометрической проблемы моментов
О
Например, при известных условиях, налагаемых на ск, устанавли-
устанавливается, что о F) имеет не более чем счётное множество точек роста
*) Подробнее см. обзор. В. Л. Г о п ч а р о в а и М. А. Лаврентьева [\\'

318 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
с предельными точками, принадлежащими к некоторому определённому
множеству. Другие исследования связаны с изучением многочленов, орто-
ортогональных относительно обложения о @). В статье [65] исследуются необхо-
необходимые,а также и достаточные условия, налагаемые на коэффициенты Фурье
функции, чтобы она была положительной и непрерывной или положи-
положительной и удовлетворяющей другим свойствам.
10.4. Ряд исследований по теории моментов принадлежит М. Ф. К р а в-
ч у к у [12, 14, 16—19]. Некоторые из них [12] связаны с теорией
квадратур, в других [18, 19] даются оценки приближений функций, когда
известны приближения моментов связанных с ними функций.
Наконец, отметим ещё работы Е. В. В о р о н о в с к о й [2, 3], в кото-
которых решаются минимальные задачи для моментов, тесно связанные
с вопросами приближения функций многочленами.
§ II. МОНОГРАФИИ В. Л. ГОНЧАРОВА И Н. И. АХИЕЗЕРА.
В заключение мы хотим отметить, что распространению знаний
по теории приближения функций среди наших молодых математиче-
математических кадров и вовлечению их в научную работу в этой области матема-
математики весьма способствовало наличие вышедшей из печати в 1934 г.
прекрасной книги В. Л. Гон ча р она «Теория интерполирования и
приближения функций» [151. С помощью этой книги, элементарно, нов
то же время строго написанной, неискушённый читатель имеет возмож-
возможность без большого труда войти вкруг идей теории приближения; с дру-
другой стороны, для овладевшего этими идеями и самостоятельно научна
работающего в их области она надолго остаётся в качестве справочной
настольной книги.
Весьма ценным вкладом в литературу по теории приближения функ-
функций является недавно вышедшая, из печати книга Н. И. Ахиезера
«Лекции по теории аппроксимаций» [35] *). Книга эта излагает предмет
в духе современного функционального анализа. В ней большое внима-
внимание уделено:
1) теореме П. Л. Чебышева и её различным обобщениями аналогиям
(в метриках С и L)—.теореме, дающей критерий наилучшего приближения
функции при помощи заданных агрегатов функций, обладающих неко-
некоторыми свойствами многочленов;
2) результатам, полученным автором, М. Г. К р е й н о м, Фавардом,
Надь, о которых нами говорилось в пункте 3. 5.
¦) Эта книга является расширением книги Н. И. Ахиезера, изданной в 1940 г.
Харьковским университетом весьма малым тиражом.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
А. Ф. БЕРМАНТ и А. И. МАРКУШЕВИЧ.
§ 1. Конформное отображение C19). § 2. Внутренние свойства однолист-
однолистных функций C33). § 3. Внутренние свойства аналитических функции
C49). § 4. Граничные свойства (J62). § 5. Последовательности и ряды
C75). § 6. Характеристические свойства. Обобщения C40I).
предреволюционные годы в русской математике наблюдался
возрастающий интерес к теории функций комплексного
переменного. Его конкретным выражением явились, с одной
стороны, блестящие образцы применения классической
теории к разработке труднейших проблем механики (ис-
(исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина по гидро-
и аэродинамике и Г. В. Колосова по теории упругости),
а с другой стороны, труды Московской математической шко-
школы, культивировавшей идеи и методы современной теории функций
действительного переменного, в которых изучались наиболее отвлечён-
отвлечённые вопросы, стоявшие на грани теории функций комплексного и дей-
действительного переменного (исследования Н. Н. Лузина, В. В. Голубеза
и И. И. Привалова).
После Великой Октябрьской социалистической революции тенденции,
выражающиеся в расширении поля приложений теории функций ком-
комплексного переменного к проблемам естествознания и техники и в углуб-
углублении её принципиальных основ, постановке новых проблем и разработке
новыхметодов, продолжают развиватьсяв тесной связи и взаимодействии.
Постепенно фронт исследований по теории функций комплексного перемен-
переменного расширяется и теперь, после тридцати лет работы, нет такой области
в этой обширной теории, в которую советские математики не внесли бы
значительного вклада. Перед авторами обзора стояла трудная задача
охвата и классификации огромного материала, представляющего собой
итоги творческой деятельности большого коллектива советских учёных.
Не претендуя на исчерпывающую полноту, они старались представить
основные направления и циклы исследований.
§ I. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.
Проблема конформного отображения является одной из центральных
проблем теории функций комплексного переменного. Исходя из фунда-
фундаментальных свойств голоморфных функций, теория конформного отобра-
отображения даёт синтез аналитических и геометрических представлений,

320 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
который служит основой развития теории функций и постоянным источни-
источником новых проблем в разнообразных областях современной математи-
математики. Хорошо известно также её большое значение для многих приклад-
пых наук.
Если функция w —/ (z) голоморфна в окрестности точки za и /' (z0) Ф О,
то осуществляемое ею отображение малой окрестности этой точки эквива-
эквивалентно подобию с коэффициентом ,/' (z0) | и углом попорота arg/' (z0). Есте-
Естественно возникает вопрос о рассмотрении аналитической функции с гео-
геометрической точки зрения не в локальной, а в глобальной постановке.
В самом общем виде этот вопрос можно формулировать так: каковы гео-
геометрические характеристики образа R (римановой поверхности) функции
w — }{z), принадлежащей определённому классу функций, аналитических
в некоторой области D плоскости z? Мы говорим при этом, что функция
W----I (z) взаимно однозначной конформно (за исключением, быть может,
счётного множества точек, не имеющего предельной внутри D) отображает
область D на риманову поверхность R. Крупнейшие достижения послед-
последнего времени в теории распределения значений аналитических функций
обусловлены успехами в разработке указанного вопроса.
Не меньшую роль играет обратный ему вопрос: существует ли ана-
аналитическая функция w = f(z) конформно (заисключением заданных точек
ветвления), отображающая какую-нибудь область D плоскости z на дан-
данную риманову поверхность R, и если существует, то каковы её аналити-
аналитические характеристики? Этот вопрос привлекал к себе внимание и твор-
творческие усилия многих крупнейших математиков уже со времён Римана.
На пути исследования его первым, и исторически и логически, предста-
представляется тот случай, когда поверхность R— односвязная область в плоско-
плоскости w (как говорят, поверхность R — однолистная и односвязная). Решение
вопроса для этого случая было завершено в 1910—1913 гг. Кёбе и Кара-
теодори, давшими чисто теоретико-функциональное доказательство
теоремы, согласно которой всякая односвязная, однолистная область,
не совпадающая с пунктированной плоскостью, может быть конформно
отображена на единичный круг (теорема Римана).
В случае однолистной многосвязной области Кёбе и Гильберт до-
доказали теорему о возможности конформного отображения такой об-
области на каноническую область той же связности. Ещё раньше было
замечено, что две различные многосвязные области одного и того же но-
рядка связности не всегда могут быть конформно отображены друг на
друга.
Что касается неоднолистных односвязных областей, то здесь прин-
принципиальный успех давно достигнут в работах по униформизации Пуан-
Пуанкаре и Кобе, доказавшими фундаментальную теорему существования
конформного отображения римановой поверхности на полную плоскость
(эллиптический случай) или на плоскость с выключенной точкой (пара-
(параболический случай), или па единичный круг (гиперболический случай).
Определение того, какой именно случай имеет место при отображении
данной открытой римановой поверхности, представляет одну из трудных
и до сих пор далеко не разрешённых проблем геометрической теории функ-
функций (проблема типа).
Мы хотим здесь же отметить,—-хотя изложение соответствующих
работ будет дано в § 6,—что теория конформного отображения вызвала
к жизни новые интересные и весьма важные исследования, распростра-
распространяющие или обобщающие эту теорию. Именно, за последние годы сильное

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 321
развитие получили геометрические рассмотрения в теории функций мно-
многих комплексных переменных и особенно значительные достижения
отмечаются в теории различных классов квазиконформных и вообще
непрерывных (гомеоморфных и негомеоморфных) отображений, сохра-
сохраняющих присущее конформным отображениям свойство преобразова-
преобразования области в область («внутренние отображения») и заменяющих другие
свойства, характеризующие аналитичность, иными, более широкими усло-
условиями.
В этом параграфе будут изложены работы советских математиков,
посвященные общим свойствам конформных отображений, геометрической
и метрической характеристике границы отображённой области и гранич-
граничному поведению однолистной в области функции, т. е. функции, осуще-
осуществляющей конформное отображение этой области.
1.1. Общие свойства. К важным общим принципам в теории конформ-
конформного отображения однолистных односвязных областей должен быть при-
причислен «принцип склеивания», указанный М. А. Лав р енть е вым [15].
В простейшем случае он состоит в следующем утверждении: суще-
существуют две функции f^z) и /2(z), регулярные и однолистные соответственно
в прямоугольниках \х| < 1, — п< у<0 и |х|<1, 0<y<ft, (z = x + iy
a ft — какое-нибудь число), такие, что /х (х)=/2(х'), где х' = ? (х),
аналитическая при | х [ < 1 функция, © ( - 1) = — 1, <р A) = 1, с положи-
положительной производной, ср'(х)>0; кроме того, fx\z^ft{zt) —каковы
бы ни были точки zx и z2 внутри, соответственно, первого и второго
прямоугольника.
Этот принцип оказался существенным для решений целого ряда
задач (о квазиконформных отображениях, о типе римановой поверхно-
поверхности и др.).
Воспользовавшись теоремой М. А. Лаврентьева о существо-
существовании почти аналитических функций, Л. И. Волков ы с к и й [] ] заме-
заметил, что если х' = ср (х), ср @) = 0, — функция с непрерывной положительной
производной отображает самоё на себя действительную ось плоскости
z = x + iy, то существуют две функции w = fl(z) и и> = /2 (z) —регуляр-
—регулярные и однолистные соответственно в верхней (у >0) и в нижней (у<0)
полуплоскости, отображающие их на две области, которые получаются из
круга \w\ < р<оо проведением в нём гладкого простого сечения С, при-
причём на С происходит «склеивание», т. е. Д (х) = /2 (х').
Следует различать, особенно в приложениях к проблеме типа рима-
римановой поверхности, случай fi<oo («гиперболическое склеивание») и слу-
случай {i= оо («параболическое склеивание»). Л. И. Волковыский
дал несколько достаточных признаков, формулируемых через свойства
функции склеивания ср (х) для «гиперболичности» и «параболичности»
склеивания.
Известная теорема Пуанкаре о единственности конформного отобра-
отображения была дополнена В. И. Смирновым [4], установившим, что
конформное отображение отличной от круга односвязной области на самоё
себя не может быть линейным, если граница области содержит более
одной точки и некоторая точка области остаётся неподвижной, причём
угол поворота в ней несоизмерим с к.
Особый характер имеет одна работа П. К. Рашевского [1,2],
в которой рассматриваются конформные отображения и>=/ (z) с точностью
до дробно линейных преобразований как аргумента, так и функции.
С этой точки зрения любому конформному отображению (за исключением
21 Математика в СССР аа 30 лет.

322 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
дробно линейных) можно придать следующий вид в достаточно малой
окрестности каждой точки:
Таким образом характер конформного отображения в бесконечно малом с
точностью до пятого порядка зависит лишь от значения коэффициента а.
Те конфомные отображения, для которых а сохраняет постоянное значение
во всех точках, автор называет однородными. Оказывается, что однород-
однородными являются только отображения zn, ег, In z, а также эквивалентные
им. При этом ег и In z можно рассматривать, с известной точки зрения, как
предельные случаи z".
Вполне общая теорема о конформных отображениях доказана
М. А. Лаврентьевыми В. М. Ш е п е л е в ы м [1,2] при помощи
некоторых специальных случаев принципа Монтеля-Лёвнера: если одно-
связная область D(w — 0^D) конформно отображена на круг [z|<l,
причём точка w — О переходит в точку z = 0 (w = 0+-->z-—0), то всякому
кругу, принадлежащему области D и содержащему точку w = 0, соответ-
соответствует в круге \z\ < 1 область, звездообразная относительно точки z = Q.
Работы советских математиков были посвящены также общим про-
проблемам, относящимся к конформному отображению многосвязных обла-
областей. Прежде всего, отметим, что Г. М. Гол узин [7], используя
соображения экстремального характера, дал простые доказательства
теорем Кёбе о существовании и единственности нормированного кон-
конформного отображения любой п-связной области на всю плоскость,
разрезанную по п дугам логарифмических спиралей с одним и тем же
(но произвольным) наклоном или по п конечным прямолинейным, парал-
параллельным отрезкам любого наклона. В другой работе Г. М. Г о л у з и н [13]
провёл иные, чем у Кёбе, доказательства (опирающиеся на метод
непрерывности)теорем существования и единственности нормированного
конформного отображения многосвязных областей на различные области
канонического типа (Гильберта, Кёбе, Грётша и т. п.), в частности, авто-
автором специально проводится доказательство теоремы Кёбе, в которой
канонической областью служит вся плоскость, разрезанная по прямоли-
прямолинейным отрезкам с заданными наклонами.
Для доказательства различных теорем существовани я Кёбе В. И. К р ы-
ловым [2] был предложен новый метод, более конструктивный, чем
метод непрерывности, использующий возможность сведения задачи о по:
строении искомой функции к системе линейных интегральных уравнений
типа Фредгольма.
В своей обзорной статье о конформных отображениях многосвязных
областей М. В. Келдыш [5] дал новое доказательство теоремы Кёбе
для случая, когда канонической областью является внешность системы
.конечного числа кругов.
Г. М. Го л у зин [14] указал простые итерационные процессы,
посредством которых однолистное конформное отображение конечносвяз-
ных областей на некоторые канонические области сводится к последова-
последовательности конформных отображений односвязных областей. Доказатель-
Доказательство сходимости итерационных процессов основывается на использовании
некоторых экстремальных свойств однолистных функций.
К задачам конформного отображения однолистных областей сводятся
многочисленные задачи самой теории функций, математической физики,
теории упругости, гидро- и аэродинамики. Поэтому весьма важное зна-

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 323
чеиие имеют работы о фактическом, точном или приближённом отыскании
реализующих эти отображения функций. Работы, посвященные конструи-
конструированию приближённых конформных отображений, прореферированы
в статье Л. В. Канторовича и В. И. Крылова, помещённой
в настоящем сборнике. Их мы коснёмся здесь только вскользь.
В. А. Фок 11] исследовал конформное отображение четырёхуголь-
четырёхугольника с нулевыми углами, ограниченного дугами окружностей, на прямо-
прямоугольник. Вопрос этот представляет большой интерес в силу его ближай-
ближайшей связи с модулярными (автоморфными) функциями. Аьтор показывает,
что функция, производящая отображение, даётся отношением дьух инте-
интегралов дифференциального уравнения типа Ляме, причём выводятся фор-
формулы, позволяющие вычислять параметры, входящие в это уравнение
по заданию конкретного четырёхугольника.
П. П. Куфарев [8] предложил некоторый метод последователь-
последовательного определения констант в интеграле Шварца-Кристофеля, основанный
на использовании дифференциального уравнения Лсвнера. Этой же зада-
задачей—определением констант в интеграле Шварца-Кристофеля—зани-
Шварца-Кристофеля—занимался Н. П. Стенин [1].
Л. В. К а н т о р о в и ч е м [15, 16, 19] был разработан метод после-
последовательных приближений для конформного отображения круга на одно-
связную область, опирающийся на тот факт, что эта задача эквивалентна
задаче параметрического представления границы области с помощью
сопряжённых функций. Метод Л.В.Канторовича нашёл примене-
применения в теоретических исследованиях и в других работах но приближённым
конформным отображениям (Г. М. Го л у зи н [30], М. И. Муратов [1],
В. И. Крылов [1]).
Весьма простой метод сведения задачи о конформном отображении
односвязной области на круг к решению интегрального уравнения Фред-
гольма дал С. А. Гершгорин |3].
М. А. Л а в р е н т ь е в [7] и В. К. Г о л ь ц м а н и М. А. Лав-
Лаврентьев [1] обнаружили весьма общий факт, состоящий в том,
что конформное отображение треугольника па односвязиую область D
можно получить, рассматривая предел гомеоморфного соответствия
сети равносторонних треугольников и сети треугольников, покрываю-
покрывающей область D и обладающей некоторыми простыми экстремальными
свойствами.
В неопубликованной работе М. В. К е л д ы ш даёт полное решение
(в эллиптических функциях) задачи о конформном отображении внешности
двух непересекающихся отрезков на кольцо. Отображение двухсвязной
области, ограниченной двумя прямолинейными много угольниками, рас-
рассмотрено Г. М. Г о л у з и н ы м [ 10], распространившим на этот случай
интеграл Шзарца-Кристофеля; если область ограничена двумя круговыми
многоугольниками, автор применяет метод Шварца и строит линейное
дифференциальное уравнение второго порядка, частное двух интегралов
которого даёт функцию, реализующую отображение на кольцо.
Другие способы конформного отображения многосвязных областей
были также предложены в статьях В. И. К р ы л о в а [1] и Г. М. Г о-
л у з и н а [11].
Проблемам, связанным с конформным отображением римановых
поверхностей на однолистные области, посвящены работы В. И. См и р-
нова и Л. И. В о л к о в ы с к о г о. Теорема Пуанкаре-Кёбе о воз-
возможности конформного отображения всякой односвязной римановой
21*

324 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
поверхности на однолистную область была вновь доказана В. И. Смир-
Смирно в ы м [1] с помощью принципа сходимости Арцела. В последнее время
Л. И. Волков некому [1] удалось найти несколько новых крите-
критериев для типа римановой поверхности. Если обозначить через Г= @ < ?<со)
семейство линий на открытой (т. е. без континуальной границы) односвяз-
ной раманоеой поверхности F, концентрически её исчерпывающих, а через
Pt @<f< 1), Р0==РЛ,—семейство линий на поверхности F, выходящих из
общей точки и лучеобразно ёг исчерпывающих, то при выполнении условия,
что интеграл
?<».
J dn
Pt
где ds —элемент дуги, a dn —элемент нормали, равномерно ограничен для
всех значений t из какого-нибудь интервала(/,, /2)d [0, 1], поверхность F—
гиперболического типа. Одновременно выводится критерий Альфорса
СО
«-—|—= оо J пара боли чн ости поверхности F. Далее автор строит
«о J dn
примеры римановых поверхностей различных типов, в известной мере
поясняющие влияние так называемой «средней разветвлённости»
поверхности и симметрии в расположении точек ветвления на принад-
принадлежность её к тому или иному типу. В частности, приведена любо-
любопытная поверхность параболического типа, получающаяся от своеоб-
своеобразного присоединения к некоторой поверхности гиперболического типа
двух точек логарифмической ветвимости.
Л. И.Волковыски й*), продолжая свои исследования, установил
при помощи метода равномерно ограниченных квазиконформных дефор-
деформаций и склеивания ряд признаков для определения типа открытой
односвязной римановой поверхности, которая над всей конечной плоско-
плоскостью имеет только алгебраические точки ветвления первого порядка и в
точке z= оо —только логарифмические точки ветвления.
Обобщая известные теоремы Каратеодори о сходимости последова-
последовательности однолистных областей и (в некоторых случаях) римановых по-
поверхностей к ядру и равномерной сходимости соответствующих функций,
Л. И. Волков ыский вводит понятие ядра последовательности рима-
римановых поверхностей, сходимости к ядру, компактности семейства поверх-
поверхностей, а также понятие обобщённой равномерной сходимости последова-
последовательности аналитических функций. Эти понятия позволяют дать в общем
случае аналоги теорем Каратеодори, которые затем применяются к уста-
установлению нового критерия нормальности семейства мероморфных функ-
функций и к выводу достаточно общего качественного критерия параболичности
римановой повехности.
1.2. Поведение отображения в замкнутой области. Пусть функция
и> = /B), регулярная и однолистная в круге \z\ < 1, отображает его на
область D в плоскости w. Обозначим через L границу области D. В
силу гомеоморфного соответствия точек круга \z\ < 1 и точек области D
устанавливается соответствие и между точками единичной окружности
и точками границы L в том смысле, что если окружность |z| = r<l
*) Работа находится в печати.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 325
стремится к окружности |2j = l, то соответствующие точки w = j(z)
равномерно стремятся к границе L. Большой интерес для многих вопросов
теории функодй представляет более детальное изучение этого совместного
стремления соответствующих точек к перифериям отображаемых областей
с локальной точки зрения и предельного поведения функции/(z). Таким
образом, этот цикл вопросов охватывает геометрическую характеристику
границы L и соответствия граничных точек и аналитическую характери-
характеристику функции f(z) в замкнутом круге.
Основоположное значение имели исследования Каратеодори в 1913 г.,
в которых введено важное понятие простых концов границы L четырёх
родов и доказана теорема о взаимно однозначном и непрерывном (в неко-
некотором специальном смысле) соответствии точек единичной окружности
и простых концов L. Если L содержит свободную жорданову дугу, то ей
гомеоморфно соответствует дуга единичной окружности. В частности,
если L—^замкнутая кривая Жордана, то при конформном отображении
единичного круга на область D между точками единичной окружности
и кривой L устанавливается гомеоморфное соответствие так, что функция
w=f(z) оказывается непрерывной в круге )z)<l и обратная функция
непрерывна в замкнутой области D + L.
В. Н. Вениаминов [1 ]—аналитически, и, независимо от него,
П. С. Урысон [1]—топологически, решили в отрицательном смысле
проблему, поставленную Каратеодори, показав, что односвязная область
не может иметь границы,состоящей только из простых концов второго рода.
Если L не имеет простых концов третьего или четвёртого рода, то множе-
множество Е простых концов первого рода имеет мощность континуума
(П. С. У р ы с о н) и ему соответствует при конформном отображении обла-
области D на круг множество точек второй категории его периферии
(В. Н. Вениаминов). Ф. И. Ф р а н к л ь [1 ] построил пример
конформного отображения, при котором каждой точке окружности | z | = 1
соответствует континуум точек границы L области D; она, следовательно,
не содержит ни одного простого конца первого рода. При этом.два про-
простых конца границы не имеют общих точек.
Характер непрерывности в замкнутом круге \z\ < 1 функции w — j(z),
/@) =0, конформно отображающей круг |z|<l на ограниченную область/),
хорошо выявляется не только с качественной, но и с количественной
стороны из результатов М. А. Л ав р е н т ь е в а [18, 21]. В этих рабо-
работах вводится понятие относительного расстояния p(wlF w», D) между
двумя точками wt и w2 области D. Именно,
w2, D) = min[p1(w1, w2, D); ^(wlt wt, D)],
где р, —нижняя граница длин линий, содержащихся в D и соединяющих
точки w, и w2, а р2 — нижняя граница длин линий, разбивающих область D,
на две односвязные области и отделяющих точки wx и и>2 от точки
w — Q. Граничной точкой w области D М. А. Лаврентьев называет
каждую последовательность и>,, и>2 точек D, имеющую все свои пре-
предельные точки на L (границе D) и такую, что
lim p(ivn, wm, D) = 0.
n-voo
m ->oo
Относительное расстояние p(wA), wB>, D) —между граничными точками
и ivB) = {w(M2)}—определяется как Нтр(и;<п1>, w*,2), D); если

326 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
оно равно нулю, то точки шО и iv<2) считаются идентичными. Так вве-
введённое, метризованное понятие граничной точки совпадает с понятием
простого конца Каратеодори.
При этом доказывается, что если !/'@)j=l и \/(z)\KM, to
JZ.— ?!; < Кг \ p(W,, Wt,D) ,
где К зависит только от М, /С, — абсолютная константа, z, и z2 —про-
—произвольные точки круга |zj<l, a w,h jv2 — соответствующие им «точки»
замкнутой области D + L. Первая из этих оценок даёт количественное
выражение порядка равностепенной непрерывности семейства однолист-
однолистных ограниченных функций, а вторая ^семейства обратных функций.
, Отсюда вытекает упомянутая выше основная теорема Каратеодори
о соответствии границ и теоремы Куранта и Фарреля о равномерной схо-
сходимости последовательности однолистных функций.
Равностепенная непрерывность семейства функций z = on(w), отобра-
отображающих на круг | z | < 1 области Dn в плоскости w, сходящиеся к своему
(невырожденному) ядру D (по Каратеодори), была раньше установлена
А. И. М а р к у ш е в и ч е м [1,4], обобщившим результат Фарреля об
условиях равномерной сходимости функций <?n(w) к функции <р(и>), ото-
отображающей область D на круг | z j < 1. В этих работах А.И.Марк у-
ш е в и ч рассматривает специализацию теоремы Фарреля для некото-
некоторых типов областей D и обобщает также теорему Куранта об условиях
равномерной сходимости в замкнутом круге ' z '¦ < 1 функций
к функции W — I (z) (/ = <p~\), отображающей круг |z|<l на ядро D.
Оказалось, что для такой сходимости необходимым и достаточным
условием является возможность выделить из всякой последовательности
простых концов Еп, Еп a Dn подпоследовательность, сходящуюся
(в определённом смысле) к простому концу Е ядра D.
Теорему Каратеодори о сходимости областей к ядру и равномерной
сходимости соответствующих функций А. И. Маркушевич допол-
дополняет указанием о сходимости в среднем производных этих функций и даёт
такую формулировку теоремы Каратеодори: области Dn сходятся к своему
ядру D тогда и только тогда, когда
lim
где dn — длемепт площади в области D, a v'n(w) = 0 в тех точках обла-
области D, в которых <р„(и>) неопределённа.
Рассматривая область D, «близкую» к кругу \z\<\, А. Р. Мар-
Марченко [1J уточнил оценку отклонения конформного отображения
круга |z|<l на область D от тождественного преобразования, данную
Бибербахом, ошибочно утверждавшим невозможность её улучшения.
Если функция w=/(z), /@) = 0 конформно отображает круг |z|<l
на область D, ограниченную кривой Жордаиа L, содержащейся в кольце
1 — s <j iv! < 1+в и обладающей тем свойством, что диаметр любого е§

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 327
куска не превосходит f\, если расстояние между его концами не превос-
превосходит 2s, то при | z | < 1
J/(Z) —2| </C«lln
и при w 6 D + L
где К, Ки К', K'i — абсолютные константы.
Порядок оценок не может быть улучшен. Если область D — звёзд-
звёздная и граница/, задана уравнением р = р (Ь), причём |р(9 + Д6) — р(8)| <
< JVe Дб, то \f{z) — z\ < Ke, где К зависит только от N.
А. И. Маркушевич [1,4] распространил эти оценки на «близ-
«близкие» между собой области, отличные от круга. Пусть D и D, — области,
ограниченные простыми спрямляемыми кривыми L и L,, отстоящими
друг от друга на расстоянии, меньшем a (L и L1 — s — близки), и удовле-
удовлетворяющими, кроме того, условию, что они имеют в каждой своей точке
касательную, образующую угол a (s)(a1(s)) с действительной осью, причём
I«(sf) - « (s.) | < К\ S. - s, |8, | a» (s2) - a, (Sl) |< К \ s2 - s, [8.
Если w = f(z), /@) = 0 u iv = /,(z), f1@) —0—функции, конформно ото-
отображающие круг \z\ < 1, соответственно, на области D и Dlt то в зам-
замкнутом круге | г | < 1
где у —верхняя граница диаметров дуг кривой Lu имеющей хорды не пре-
превосходящие 2s, А и At —константы, зависящие только от кривой L.
Отметим здесь же, что если области D и Di — звёздные (L и Lx
радиально г —близки), то, как показано Д. А. Квеселава [2], без
дополнительных условий, внутри круга | z | < 1, имеем, в соответствии с
"теоремой А. Р. Марченко,
где K(\z{) зависит только от \z\. Автор показывает, что радиальную
е-близость, с сохранением оценки того же порядка, нельзя заменить
е-близостью в вышеупомянутом общем смысле.
Улучшение оценки для \f(z)—z\, при |z[<l в частном случае (свя-
(связанном с одной теоремой Островского), так же основанное на результате
А. Р. М а р ч е н к о, дало М.А.Лаврентьевым и Д. А. К в е-
с е л а в а [1].
1.3. Оценки для меры граничных множеств при отображении.
В граничных задачах конформного отображения были получены особенно
важные —по своей глубине и значению для других вопросов теории
функций результаты метрического характера. Прежде всего упомянем
основную теорему Н. Н. Лузина и И. И. Привалова [1] *) об
инвариантности при конформном отображении круга | z\ < 1 на область D
граничных множеств точек меры нуль, если граница L области D —
*) См. также И. И. Привалов [4, 56]. Эту теорему независимо получили
Ф. и М. Рисе.

328 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
спрямляемая замкнутая кривая Жордана. Если же L —не спрямляема,
то множество точек меры нуль на окружности |z| = l может переходить
во множество точек L положительной меры. Первый конкретный пример
такой области был построен В. В. Голубевым [4] с помощью весьма
простых рассмотрений некоторых отображений, производимых модуляр-
модулярной функцией. В. Н. Вениаминов [5] показал, что в общем слу-
случае множеству точек L, недостижимых углом*), могут соответствовать
почти все точки окружности Jz|=l (т. е. меры 2^). Рассматривая более
узкий класс граничных точек, а именно, недостижимых конечным
путём **), М. А. Лаврентьев [5, 8] доказал, что это множество
всегда переходит во множество точек меры нуль на окружности. Этот
результат был затем ещё дополнен М. А. Лаврентьевым.
В последующем ряде работ М. А. Лаврентьев уточнил метри-
метрические теоремы о соответствии границ при конформном отображении
и с большой полнотой исследовал возможные случаи. М. А. Лаврен-
Лаврентьев [14, 20] ***) вводит понятие границы (и области) с конечным вра-
вращением и классифицирует односвязные области по количественным
показателям, характеризующим степень «закручивания» границы обла-
области. Пусть С—гладкая замкнутая кривая плоскости w, Р—произвольная
точка на С и а (Р) —.угол между действительной осью и касательной к кри-
кривой С в точке Р. Обозначим через т(С) и М (С)—соответственно нижнюю
и верхнюю границы значений непрерывной функции &(Р), когда точка Р,
начиная с точки Ро—наименее удалённой от точки iv = 0 точки кривой С—
описывает в положительном направлении кривую С. При этом предпо-
предполагается, что начальное значение ос(Р) в точке Ро заключено между
О и те, а область, ограниченная кривой С, содержит точку и> = 0. Одно-
связная область D (w = 0 б D) называется областью с конечным вращением,
если, какова бы ни была замкнутая область Z),, ДсО, всегда найдётся
замкнутая гладкая кривая С, содержащаяся в D и охватывающая Д,
для которой m (С) 3= /л0 > — оо или М(С) <М0 < оо. Оказывается, что
при конформном отображении области D с конечным вращением, содер-
содержащей круг | w | < 1, на круг | г | <. 1 (w = 0«~>¦ г = 0) множеству точек Е
её границы L соответствует на окружности | z | = 1 множество точек <§,
удовлетворяющее условию
где берутся линейные меры множеств, а константа S > 0 зависит только
от т0 или от Мо.
В этих же работах М. А. Лаврентьев усилил результат
В. Н. Вениаминов а, построив пример жордановой области, мно-
множество точек границы которой, недостижимых прямолинейными отрез-
отрезками, переходит при конформном отображении области на круг во мно-
множество точек окружности полной меры, решив тем самым проблему,
поставленную Н. Н. Лузин ым****).
*) Точка на L недостижима угпом, если нельзя построить угол с вершиной
в этой точке, стороны которого принадлежали бы области D.
**) Точка на L недостижима конечным путём, если её нельзя соединить с точкой
области D, спрямляемой жордановой кривой, принадлежащей D.
***) См. также М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев 16, 10].
****) Вместе с тем, для областей с конечным вращением множество граничных то-
точек, недостижимых углами, преобразуется при конформном, отображении на круг обяза-
обязательно во множество точек меры нуль на окружности (М. А. Лаврентьев [20]).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 329
Далее М. А. Лаврентьев фактически строит жорданову область
с неспрямляемой границей для которой не выполняется свойство теоремы
Лузина-Привалова и находит в общем случае новые геометрические
условия для её справедливости (в одну сторону), а также даёт количе-
количественную оценку в этой теореме: если область D содержит круг | w | < 1
и её граница L имеет длину I, то при конформном отображении D на
круг |z|< 1 (w = О--¦ z- 0), имеем
^ К1
<
где Е—-множество точек L, ? —соответствующее ему множество на
окружности | г \ — 1, К—абсолютная константа.
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [6] построили весьма
любопытный и неожиданный пример односвязной области D (w = 0?D),
ограниченной замкнутой спрямляемой кривой Жордана, не совпадающей
с кругом | и>| < 1 и содержащейся в заранее данном круге | и>| < р та-
такой, что при конформном отображении этой области на круг | z | < 1
(и>=0-<—>z = 0) каждой дуге кривой L соответствует дуга той же длины
на окружности z = 1. '
Эти результаты, как и теорема Лузина-Привалова, существенны
для решения других важных задач теории функций: о граничном
поведении, о представлении функций через их предельные значения,
о приближениях с помощью полиномов и т. п.
Пусть область D, содержащая точку iv = 0, ограничена дугой L0.
окружности | w | = 1 и жордановой кривой L,, принадлежащей кругу
|и>|<1. Если D конформно отображена на круг \z\<l (w = Q*--+z = 0),
то дуге Lo соответствует на окружности | z | ¦= 1 дуга длины р не большей,
чем длина а. дуги Lo*). Очевидное распространение этого предложения
составляет один из простых и употребительных вариационных принци-
принципов, который мы называем принципом Монтеля-Лё'внера. М. А. Лав-
Лаврентьев [11] указывает количественные оценки, а именно:
; 2 arc cos ^ ) <KVS*>
i]xi p = I 4-^- ~s^ , e— расстояние от w— 0 до L,; К—константа. Если же
через 7j обозначить диаметр Lx, то, при условии, что ч\<-^ ,
где /С, —константа, меньшая чем у.
1.4. Граничные свойства производной. Наряду с изучением гранич-
граничного поведения функции, осуществляющей конформное отображение, есте-
естественно подлежат исследованию и вопросы, относящиеся к условиям,
при которых производные этой функции существуют на границе, и к их
граничному поведению. Чисто геометрически к этой проблеме подошёл
*) См. Р. Неванлинна, Однозначные аналитические функции. М.—Л., ГТТИ
A941), 58—70: Полна и Сеге, Задачи и теоремы из анализа. М.—Л., ГТТИ, т. II
A938), Отд.. IV, № 131.

330 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ
впервые М. А. Лаврентьев [5], указавший затем в совместной
работе сП.А. Бессоновым*) локальные свойства границы области,
обеспечивающие существование граничной производной, отображающей
функции в соответствующей точке. Эти условия обобщены в другой работе
М. А. Лаврентьева **), в которой даются критерии существования
л-й граничной производной на целой дуге. Подобные критерии неза-
независимо были получены в обширных исследованиях Варшавского и Зей-
деля, причём некоторые результаты Зейделя с помощью нового метода,
использующего аппарат теории функций действительного переменного,
расширил В. И. С м и р н о в [13]. Он показал, что если функция w = j(z)
конформно отображает круг \ z | < 1 на область, ограниченную спрям-
спрямляемой кривой L, имеющей в каждой точке касательную, образующую
угол a(s) с действительной осью (s — длина дуги L от фиксированной её
точки до точки касания), то, при условии, что a. (s)— абсолютно непре-
непрерывная функция и a' (s) принадлежит к классу LP (р > 1)***), f'(z)~
непрерывна в замкнутом круге \z\<l, абсолютно непрерывна на окруж-
окружности |z| = l и отлична от нуля; f" (z) принадлежит классу Нр****)
и имеет граничные значения, почти всюду совпадающие с /"(С), |*| = Ь
Аналогичная теорема относится и к /" (z) при соответствующем дополни-
дополнительном условии.
П. П. Куфа р е в [3] формулировал теорему, являющуюся, в извест-
известном смысле, обобщением одного предложения Каратеодори *****): ест
область D в плоскости w = i>el* ограничена кривой Жордана L, для кото-
которой радиус-вектор р в угле | б | < 0о является однозначной функцией
р = ф(О) аргумента 0, причём
j о @)— 1 |<К|0|", О(О) = 1, К —константа,
то функция г — <в (w), <р @) = 0, отображающая область D на круг \ г \< 1
и её производные у' (w), ..., <p("-2)(w) стремятся к предельным значениям
ц>{\), <р' A), ..., ф("-2)A) при приближении w изнутри D к точке wo — \
по путям, не касательным к кривой L или имеющим в точке w0 касание
не выше (п—\)-го порядка к окружности jtv' = l. Если, кроме того,
кривая L принадлежит кольцу 1 — -g-<j w \ < 1 +-^ , то при определён-
определённых ограничивающих соотношениях между г, /С и п могут быть указаны
оценки граничных производных <р'A), •--, с?(л~2H)-
И. И. Приваловым [4] было установлено, что из одной спрям-
спрямляемости кривой L вытекает абсолютная непрерывность функции <p(w)
на окружности и существование отличной от нуля производной почти
во всех точках окружности. Отсюда немедленно следует, что почти во
всех точках спрямляемой границы сохраняется основное свойство кон-
конформного отображения—^равенство углов между соответствующими друг
другу направлени ями. Однако множество исключительных точек границы
может быть несчётным и всюду плотным. С другой же стороны, известно,
что точки границы, где имеет место консерватизм углов, не обязательно
*) См. П. А. Б е с с о н о в и М. А. Лаврентьев [1].
**) См. В. К. Г о л ь и м а н и М. Л. Лаврентьев [ 1].
***) Т. е. (a'(s)]p суммируема.
****) Т.е. \0™|/"(re'9)Kd-f<C<oo при г —И, reiag ^z.
*****) См. Каратеодори, Конформное отображение. М.—Л., ГТТИ A934).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 331
должны являться точками существования граничных производных *).
В. Н. В е н и а м и н о в [5] исследовал условия, при которых имеет
место консерватизм углов в точках границы односвязной области.
Автор говорит, что граница L области D допускает облицовку, если
существует спрямляемая дуга Жордана Lx, принадлежащая замкнутой
области D и такая, что множество точек L, лежащих на Ьи есть множе-
множество положительной меры. В этом случае консерватизм углов имеет
место почти всюду на общей части LhL,. В. Н. Вениаминов уста-
устанавливает существование такой области, ограниченной замкнутой кри-
кривой Жордана, что консерватизм углов отсутствует во множестве точек,
образом которого является почти вся окружность. Затем, В. Н. Вениа-
Вениаминов указывает условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
консерватизм углов имел место во множестве точек границы, переходящем
в почти все точки окружности: каково бы ни было множество точек Е
положительной меры, лежащее на окружности, существует множество
точек ?, положительной меры, содержащееся в Е такое, что множество
отображённых точек па границе области имеет положительную меру.
От проблем в теории конформного отображения теоретико-множе-
теоретико-множественного и топологического характера перейдём к вопросам аналитиче-
аналитических оценок граничных производных.
В ряде работ М. А. Лаврентьева [22—25] эти вопросы
рассматриваются с точки зрения вариационных принципов, использо-
использованных затем для решения важных прикладных задач (из теории струй).
Обозначим через D (L) одиосвязную область, содержащую точку
z=.— 7, ограниченную замкнутой кривой Жордана, проходящей через
точку z = od . Дугу кривой L М. А. Лаврентьев называет пра-
правильной, если она спрямляема и если в каждой её точке выполнены условия,
лри которых функция, отображающая D(L) на полуплоскость (или на
круг), имеет граничную производную, отличную от нуля. Простейшим
из этих условий может служить ограниченность кривизны**). Если кри-
кривая L обладает тем свойством, что любой её кусок, лежащий в конечной
части плоскости, может быть разбит на конечное число правильных дуг, то
L называется кусочно правильной. Пусть w — f(z, L)—функция, кон-
конформно отображающая D(L) па нижнюю полуплоскость, где L—кусочно
правильная кривая, причём /(со, L)= со, < f (°с, L)\~ 1, и пусть область
D(L) содержит область D(L), причём кривые L и L имеют общую точку
z~zu, правильную для камсдой из этих кривых. Тогда
Знак равенства имеет место только при совпадении L и L.
Подобная теорема имеет место и для областей тина полос. Обозначим
через D(L, L,) — односвязную область, ограниченную двумя кривыми L
и L,, с общими концами Q' и Q", которые могут совпадать и с точкой
2= оо; через f(z, L, L,) обозначим функцию, конформно отображающую
область D(L, L,) на полосу —1 < Imiv <0, при условии, что прямая
Imw:= — 1 соответствует кривой Lu а прямая Imw — 0 — кривой L.
Если область D (L, LJ лежит в области D (L, LJ, а кривые L и L, кро-
кроме точек Q' и Q", имеют общую точку z — z0, правильную для каждой
*) См. Каратеодорн, Конформное отображение. М.—Л., ГТТИ A934).
**) См. П. А. Бессонов и М. А. Лаврентьев [1].

332 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
из них, то, без дополнительного предположения о нормировке отобра-
отображающих функций, имеем:
\1'(z,L,Ll)\>\l'{z,L,Ll)\,
где z— любая правильная точка кривой*).
Далее, М. А. Лаврентьев даёт различные уточнения приве-
приведённых теорем, находит количественные оценки и исследует поведение
граничных производных в зависимости от геометрических свойств огра-
ограничивающих кривых. Отметим один (основной) из этих результатов.
Пусть L—кусочно правильная кривая, ограничивающая область D(L)r
такая, что существует круг К. радиуса г, не содержащий точек L и
окружность которого имеет с кривой L общую дугу Lo. Если круг К при-
принадлежит, области D(L), то для каждой точки z дуги Lo имеем
_
t'S2 ^* 2л2 '
если же круг К находится вне области D(L), то
rf* tn '/'(г, L) 1 С
ds2 ^ г2 '
где С зависит только от некоторых геометрических свойств кривой L
в окрестности точки г—так называемой «степени достижимости» её,
а модуль производной рассматривается как функция длины дуги s кривой L.
Аналогичные теоремы устанавливаются для случаев отображения на
полосу и на круг.
Кроме того, М. А. Лаврентьев [23] изучает вопросы, касаю-
касающиеся существования граничной производной, не равной нулю, в напра-
направлении одного исследования Островского **), а также указанных работ
Зейделя и В. И. Смирнова. Граничные производные регулярных
функций, реализующих конформные отображения «смежных» областей
на круг, исследовал Д. А. Квеселава [3]. Пусть Dx и Da — смеж-
смежные области (;п. е. не пересекающиеся, но имеющие некоторую общую
граничную дугу); если функции ш = Д (z), f1 DD)) = 0, z<! > g Dl и w = Д (z),
/a BaC)) = 0, zWfDj отображают, соответственно, области Dx и D2
на круг | w | < 1, то для точек z' общей части их границ, для которых
существуют граничные производные f[(z') и f[(z'), имеет место оценка
где р (zf; г<?>\ z|D>) — наименьшее из двух относительных расстояний:
Р(zr, 40)> Dx) и \>{z',zp, D%). Автор рассматривает также ряд частных
случаев этой теоремы.
*) Эти предложения дополняют известные принципы Линделёфа и Монтеля-
Левнера, благодаря чему открывается возможность для более полного построения
основ одного из эффективных—как в теоретическом, так и в прикладном отноше-
отношениях—вариационных методов в теории конформных отображений. Очерк такого пост-
построения, устремлённого на решение технических задач, дан в недавно вышедшей кни-
книге М. А. Лаврентьева [28].
**) Acta Math., 64 A934).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 333
§ 2. ВНУТРЕННИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ.
Аналитические функции, реализующие конформное отображение
однолистной области на круг, ^которые называют однолистными, или,
ещё, ушвалентными—образуют простейший, но, вместе с тем, чрез-
чрезвычайно важный класс среди аналитических в этой области функций.
Весьма часто изучение какого-нибудь класса аналитических функций
в области, отображаемой на единичный круг, сводится при помощи
конформного отображения к изучению аналитических же функций
того же класса в единичном круге, что позволяет значительно упро-
упростить изучение.
На протяжении последних 30—35 лет однолистные функции (осо-
(особенно в круге) подверглись всестороннему и детальному исследованию,
в котором видное участие приняли советские математики *). Разработан-
Разработанные тонкие методы постепенно проникали в другие отделы теории функций,
а достигнутые результаты переносились, при необходимой модификации,
на более общие классы функций. Возможность такого транспонирования
и определяет большую методологическую ценность исследований
по теории однолистных функций. И примечательным фактом в её совре-
современном развитии является то, что однолистные функции перестают
занимать, так сказать, исключительное положение среди аналитиче-
аналитических функций.
Особый интерес с точки зрения исследования свойств однолистных
функций внутри единичного круга, общих для того или иного класса
этих функций, представляет весь класс однолистных, регулярных или
мероморфных в круге \z\ < 1 функций. Не является ограничением пред-
предположение, что при 2 — 0 имеет место нормировка: lim y-~j = 1 ~
в случае регулярности, lim [zF {z)] = 1 —в случае мероморфности. Для
Z--.ll
краткости будем обозначать через Rt класс функций
регулярных и однолистных в круге \z\ < 1, а через Мх— класс функций
мероморфных и однолистных в круге | z | < 1, имеющих в нём единствен-
единственный полюс в точке 2=0. Часто удобнее исследовать класс Si ФУНК"
ций ц/ = Ф(;), регулярных и однолистных вне круга К|<1, с един-
единственным полюсом в точке С= =», в окрестности которой функция имеет
разложение
В целях изучения внутренних проблем можно допускать, что рас-
рассматриваемые функции классов /?i и Мг регулярны на окружности
*) Обзор этих исследований до 1939 г. содержится в статье Г. М. Г о л у-
зин а ( 18].

334 теория множеств и Теория функций
г|=1, ибо каждая функция последовательности /„ (z) =—f(inz) (или
n( W принадлежит классу Rt (или Мг) и удовлетворяет при
0<?„<1 этому условию, а если t,,—>l, то /„(z)—>/(z) (или
Fn(z)—>F{z)), равномерно внутри круга \z\ < 1 *) (или внутри кольца
О < | z | < 1). Таким образом свойства, сохраняющиеся при предельном
переходе, могут быть получены из исследования соответствующих
классов функций в замкнутом круге |z|<l.
Отправной точкой для большого цикла проблем, касающихся
внутренних свойств однолистных функций, явились работы Кёбе,
A907—1909 гг.), в которых он установил существование круга | w\ < К,
где К — абсолютная константа целиком покрываемого значениями любой
функции класса 7?t и границ (нижней и верхней) для модуля производ-
производной такой функции во всякой точке z единичного круга, зависящих
только от \z | («теорема искажения»). Этот цикл проблем всё время нахо-
находился в состоянии интенсивного развития, не прекращающегося до
настоящего времени.
Однолистность аналитических в круге |z[<l функций w = f(z)
и w = F(z) определяет наличие замечательных свойств, характеризую-
характеризующих особую «регулярность», «правильность» всего этого класса внутри
круга. Выявление этих свойств в точной количественной форме и пред-
представляет собой основную задачу теории однолистных функций. Многие
важные свойства классов /?, и М, в качественной форме легко выте-
вытекают просто из того факта, что эти семейства функций компактны.*
К ним относятся свойства, устанавливаемые и указанными теорема-
теоремами Кёбе, и теоремами Пика-Бибербаха, и теоремой о равномерной
ограниченности каждого (тейлорового) коэффициента и т. п. Но для
получения количественных,—точных, а также и прибпижённых..
— оценок потребовалось создание остроумных методов, позволяющих
учесть влияние однолистности функции на её поведение во всём
круге | z | < 1.
В самых общих чертах можно считать, что все эти методы осно-
основаны или на вариационно-метрических принципах (например, «теоремы
площадей»), или на вариационно-геометрических принципах (напри-
(например, «теорема Линделёфа»), или на принципе параметрического пред-
представления всего класса функций (например, «теорема Лёвнера»), или,
наконец, на том или другом соединении этих принципов. Последнее,
как можно заранее предвидеть, должно приводить к наиболее эффектив-
эффективным методам, но именно такое соединение ещё ожидает построения своей
общей теории.
2.1. Проблемы покрытий. К известным различным выводам теоремы
Кёбе о покрытии круга | w | < К. с точным определением константы.
(Бкбербаха, Фабера, Грётша, Э. Шмидта, Альфорса) были
прибавлены новые доказательства. М. А. Лаврентьев [11] систе-
систематически развил для решения внутренних задач вариационно геометри-
геометрический метод, опирающийся в основном на принципы Линделёфа и Мон-
теля-Лёвнера. С- его помощью он доказал теорему: если w — f^z)
*) Мы говорим, что последовательность функций {/я (z)> сходится равномерно
внутри области G, если она равномерно сходится на каждом ограниченном замкнутом
множестве точек G.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 335
и w — /„(z) — функции регулярные и однолистные в круге jz|<l, ото-
отображают его на области Dt и D,, не имеющие общей точки, то
причём знак равенства достигается только в случае, когда Dt и D2 —
полуплоскости, разделяемые прямой
= 1. Из этого более
общего предложения легко получается теорема Кёбе, которую можно
формулировать в терминах вариационной задачи: среди всех обла-
областей D, не содержащих точки wlt на которые отображается круг \z\ < 1
функциями iv — / (z), / @) = 0, регулярными и однолистными при | г \ < 1,
область, получаемая выбрасыванием из плоскости луча arg(w — w,)=--
==arg wlt даёт ;/'@)| наибольшее значение. Несколько иное, более
прозрачное, вариационное геометрическое доказательство теоремы
Кёбе изложено в другой работе М. А. Лаврентьева*). Обобщая
вариационную формулировку теоремы Кебе, М. А. Лавр е н т ь е в [11]
точно высказал и решил проблему о наибольшем значении рас-
растяжения |/'@)| для функций w = /(z), /@) = 0, не покрывающих п
заданных точек wlt jv2, . -. , wn**). Единственной экстремальной об-
областью Do оказалась вся плоскость, из которой исключено конечное
число дуг аналитических кривых, причём точки wlt и>2, • • • , wn слу-
служат концами п различных дуг, а всякая иная точка границы есть
или внутренняя точка единственной дуги, или конец по меньшей
мере трёх дуг, пересекающихся в этой точке под равными углами.
Кроме того, всякой дуге, состоящей из правильных точек, соответ-
соответствуют две дуги единичной окружности, одинаковые по длине.
Удаётся также найти вид функции, обратной экстремальной функции
w = fo(z). В частном случае, когда точки wlt iv2, .. -, w'n лежат в вер-
вершинах правильного л-угольника с центром в точке w = 0, область Д
получается выбрасыванием из плоскости п лучей arg(iv — w,) = argiv.
(i=l,2, ...,п) и тогда 1/'@I=^41^,1, (Iw1| = lw,i= ••- =\wa\)
(результат Полка).
Иное доказательство теоремы Кёбе вытекает из работы Г. М. Г о л у -
з и н а [4], посвященной различным теоремам искажения, устанавли-
устанавливаемым с помощью уравнения Лёвнера.
А. Ф. Б е р м а н т о м [10] прямым путём (по идее сходным с пер»
воначальным путём Кёбе, но использующем средства, близкие к упо-
употреблённым Э. Шмидтом) доказана теорема, обобщающая теорему Кёбе
и аналогичную теорему Пика об ограниченных однолистных функциях:
функция из класса Rx, отображающая круг \z\ < 1 внутрь областиА(Е),
симметричной относительно луча arg w —90 = const., покрывает на этом
луче отрезок, исходящий из точки w~ 0 длины, не ма.ъшей контакты
Ki {Е) > -j, зависящей только от множества Е, дополнительного к об-
области А(?). Устанавливаемая в теореме константа — точная, а экстре-
экстремальной областью служит область А(Е), из которой удалён отрезок
луча &rg(w — Ki{E)) = b0. Если Е состоит из одной только точки
и>=оо, то /Сх(?) =/С =-4- (Кёбе), а если ?—внешность круга |iv|<M,
,
*) См. М А. Лаврентьев и Л. А. Л ю с т е р н и к [1 ].
**) Эта проблема была поставлена впервые Н. Г. Чеботарёвым и
Полна.

336 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
М
> 1, то Ki (Е) == ^ 1 + у 1 —д! J (Пик). Для любой функции класса
У?, автор находит уточнение в известном смысле константы К КёСе,
именно:
где pe'e = w и L— граница области D, на которую функция отображает
единичный круг (замкнутый) D. Отсюда вытекает, что, вообще,
У
где Кт—средний, по площади, радиус-вектор области D.
Другое обобщение теоремы Кёбе было предложено в одной задаче
Сеге, которую, независимо друг от друга, решили М. А. Лаврен-
Лаврентьев и В. М. Шепелев [1,2] (при помощи вариационно-геоме-
вариационно-геометрического метода) и Ренгель (при помощи некоторого видоизменения
метода полос Грётша *)), причём Ренгель одновременно дал решение
более общей задачи. Соответствующая этой общей задаче теорема фор-
формулируется так: всякая функция из класса Rx покрывает по меньшей мере
один из прямолинейных отрезков длины К„ с началом в точке jv = O, ле-
лежащих на п любых лучах, исходящих из точки w = 0 и образующих
равные углы, причём Кп удовлетворяет соотношению
где К'п —длина наибольшего из отрезков, с началом ё точке ш = 0, целиком
покрываемых функцией и лежащих на биссектрисах углов рассматривае-
рассматриваемого пучка лучей. Отсюда, в частности, следует /(„ > 4 ", что является
точным решением задачи Сеге.
А. Ф. Бермант [10] доказал общую теорему Ренгеля методом,
вполне аналогичным методу доказательства расширенной теоремы Кёбе
и основанным на обобщении принципа Линделёфа. При этом даётся
некоторое уточнение константы в задаче Сеге, определяемое характе-
характером области, на которую данная функция отображает единичный круг,
а именно:
>Г4ехрГМ1пО+Л
откуда, между прочим, следует, что ^4^<4, Кт — средний радиус-
вектор области.
*) Г. М. Г о л у з и н [17] упростил доказательство Ренгеля, основав решение
прямо на методе полос Грётша.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 337
Решение задачи Сеге, данное М. А. Лаврентьевым и
В. М. Шепелевы м, вытекает из теоремы о конформных отображе-
отображениях, отмеченной нами в 1.1.
2.2. Проблемы «искажений» и экстремальные свойства. В самой
тесной связи с проблемой покрытий, производимых однолистными функ-
функциями, находится общая проблема «искажений» таких функций, т. е.
проблема отыскания величин, ограничивающих модули функции, её
производных и других выражений, зависящих от функции и пригод-
пригодных для любой функции рассматриваемого класса.
Г. М. Г о л у з и и у [4] принадлежит открытие простых способов
исследования однолистных функций при помощи дифференциального
уравнения Лёвнера, определяющего некоторый класс RL однолистных
функций, к изучению которых могут быть сведены внутренние задачи,
относящиеся к общему классу R1. Если область D получается удалением
из круга | w | < 1 жордановой дуги, исходящей из точки окружности
| iv [ = 1 и не проходящей через точку w = О, то функция w = / (z), / @) = О,
конформно отображающая круг | z | < 1 на эту область, является реше-
решением дифференциального уравнения Лёвнера
df(z, 0 __ . .,
Ы — 1\*> Ч
—/С СО / (г, О
при t = /0, / (z, t0) = / (z), удовлетворяющем начальному условию / (z, 0) = z.
Здесь t — некоторый действительный параметр, 0<<<f0, /((<) —непре-
—непрерывная функция t, соответствующая данной области D, причём | К (t) \ = 1 •
Следует заметить, что параметрическое представление функций класса Rb
было предпринято Лёвнером со специальной целью оценки тейлоровых
коэффициентов функций класса Rx. Используя это представление для
других целей, Г. М. Г о л у з и н [9] легко нашёл таким единообразным
путём ранее полученные точные оценки для
Too I
z.'.> ]/ \z)ь
а также для
in г/'(г)
и новые точные оценки для | arg/' (z) |. Задача определения точных границ
для |arg/'(z)|, составляющая содержание так называемой «теоремы
вращения», долгое время оставалась нерешённой. Известная оценка
|arg/'(z)|<21n-{-t}{'r,
недостижимая в классе Rlt была раньше улучшена Г. М. Г о л у з и-
н ы м [1], но окончательное решение вопроса было им получено с помощью
уравнения Лёвнера.
Оказалось, что
[ 4 arc sin | z | при
I « + i"iiVi|i при Y^
22 Матеиатика в СССР за 30 лет

338
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В том, что такая оценка при |z|<—^ точна, убедиться нетрудно,
у 1
и это было просто показано построением экстремальной функции. Точ-
Точность оценки в остальной части единичного круга была обнаружена
И. Е. Б а з и л е в и ч е м [2] из рассмотрения геометрического смысла
решений уравнения Лёвнера, а затем и Г. М. Голузиным [6],
упростившим рассуждения И. Е. Базилевича и доказавшим точ-
точность других, полученных из уравнения Лёвнера, оценок. С помощью
оценки jarg/'(z)| и также новой оценки
Г. М. Голузин получает теорему вращения (Грунского) для функций
класса У].:
Больше того, он доказывает (см. [9]) справедливость этой оценки и для
|Г)|
Воспользовавшись ходом рассуждений М. А. Лаврентьева,
И. Е. Базилевич [1, 2] дал простой вывод уравнений Лёвнера
как для всего класса Rl, так и для его подкласса s-симметрических
функций, соответствующих подклассу функций w = fs(z) из /?,:
z, 0
Выведенное им уравнение имеет вид
,д}Лг, 0... f , fl
для
Методом Г. М. Голузина отсюда получаются точные оценки
I, 1Ш1, |arg/;(z)|,
arg
/«B)
arg
Л (г)
/со
(некоторые из них были известны и раньше). В дальнейшем, И. Е. Б а-
з и л е в и ч [3] нашёл точные оценки снизу и сверху для
Точные границы снизу и сверху, зависящие только от \z\ для моду-
модулей функций класса /?, (и их производных), отображающих круг \z\< 1
на выпуклые и на звездообразные относительно точки ц/=0 области,
а также на области, обладающие к тому же ещё и свойством симметрии
относительно точки ц> = 0, даны И. И. Приваловым [9] при помощи
весьма простых методов. Другие теоремы искажения для этих классов
функций указаны также Г. М. Голузиным [1]. В. Г. Строга-
Строгановым [1] было показано, что экстремальной функцией, дающей мини-
минимум и максимум arg/'(z), |z| = r<l, где /(zN/?, и отображает круг
|z|<l на звездообразную область, служит известная лучевая функ-
функ2 К числу других замечательных свойств этой функции
ция w = (
2. \»
относится и свойство, замеченное И. Е. Базилевичем [7]:

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 339
ция w = 'A_f „реализует экстремум arg/(z) в подклассе функций f(z)?Rlf
имеющих действительные коэффициенты, причём
<p = argz, r—\z\.
Степень искажения при отображениях единичного круга, произво-
производимых однолистными функциями, наглядно характеризуется ещё так
называемыми границами выпуклости и звездообразности, т. е. верхней
гранью pft, соответственно ps, всех г< 1, для которых окружность |z| = r
преобразуется любой функцией рассматриваемого класса в выпуклую
кривую, соответственно, в кривую, звездообразную относительно точки
w = 0. Г. М. Г о л у з и н [2] подробно исследовал этот вопрос, нашёл
точное значение р*для s-симметрических функций класса /?х и оценки рк
снизу и сверху для s-симметрических функций класса М17 а также ввёл
понятие обобщённой звездообразности. Обозначим, например, через р?п)
радиус наибольшего круга, который отображается всякой функцией
класса /?х на область, любую точку которой можно соединить
с точкой w — O ломаной линией, целиком в ней лежащей и состоящей
не более, чем из п прямолинейных отрезков; тогда
Pi») > th у
(pi1) = th |—точное значение, найденное раньше Грунским; при п>1
точные значения для р<п) неизвестны).
Основываясь на введённом им понятии «относительного рассто-
расстояния» (см. 1.2), М. А. Лаврентьев [5] получил следующие
результаты: если односвязная область D в плоскости w содержит
точку w — О и отображается функцией z = <?(w), <?(O) = O на круг
|z|<l, то 1) какова бы ни была точка w, p(O, w, D) > р„, имеем
11 — 9 (w) | < —, Кг — абсолютная константа, 2) плоскостная мера точек
("о
круга Ы<1, соответствующих точкам w области D, для которых
If
р@, w, D) > ро не больше чем -~, Кг —абсолютная константа.
Исходя из параметрического представления Лёвнера семейства
однолистных функций, Г. М. Голузин [17] передоказал некоторые
из предложений Бернацкого *), существенно углубляющие принцип
Линделёфа в применении к однолистным функциям: если функции
/i(z) a ft (г), Д @) = /,(()) = О, arg/;@) = arg/;(O) регулярны и одно-
однолистны в круге |г|<1 и jv = /,(z) отображает его на область Dx,
содержащую область Д,, в которую круг |z|< 1 отображается функ-
функцией w = ft(z), причём D,^kD2, то при каждом z, О < z < г0 имеем
ДBЖ 1Л (*) I; r„ — корень уравнения
J^ = |- (г.-О, 39...).
¦ *> Бернацкий (см. Mathematica, 12 A936)) в своих доказательствах опирается
на обобщение леммы Шварца, данное Рогозннским, и на вариационную формулу
Жюлиа.
22*

340 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Число г„ нельзя заменить большим. В тех же условиях
если jzj<0, 1. Точная граница для 'z\, при которых справедливо
последнее соотношение, до сих пор остаётся неизвестной.
В порядке изложения внутренних свойств однолистных функций
укажем один вспомогательный результат А. Ф. Берма н та [6]
о поведении растяжения на линии симметрии области в одном частном
случае: если D —область в плоскости z = x -,- iy, симметричная относи-
относительно осей координат и ограниченная кривыми у = ±у (х), причём
\у{х)\ монотонно убывает с ростом \х\, то
/'(*.) >/'(Xi)> х,>х1>0,
где w = f (z) — функция конформно отображающая область D на полосу
-a<\mw<a, /@) = 0, /'@)>0.
П. П. К у ф а р е в [2, 5, 7] исследовал дифференциальные уравне-
уравнения более общие, чем дифференциальные уравнения Лёвиера и свя-
связанные с ними задачи о семействах аналитических функций, завися-
зависящих от одного действительного параметра. В этих работах выясня-
выясняются геометрические условия, при которых существует ?.'- >
w?D'(t) (<p(w, t) функция, регулярная в области D{t), зависящей от
параметра /, a<t<b, a D*(t) — ядро семейства областей {?>(/)} при
t—*t0): если функция z=<p(w, t) конформно отображает область D(t)
на круг | z | < 1, о @, t) — О, <р' @, t) > 0, / (z, t) — функция обратная
функции <p(iv, 0 и D(f2)ciD(fj). h>ti> tno % существует, регу-
регулярная в круге \ z \ < 1 и удовлетворяет обобщенному уравнению Лёвнера
? 0?-01 (A)
где P(z, t)~регулярная в круге jz|< 1 функция, причём ReP(z, /)>0.
Далее устанавливается теорема, в известном смысле обратная преды-
предыдущей: еслиР{г,г), ReP(z, f) > 0 регулярна в круге |zj<l, непре-
непрерывна по t, t0 < t < Т и равномерно ограничена во всяком круге | z \ < г < 1,
то решение f(z,t) уравнения (А), для которого f{z, fo) = 6(z), где
O(z), (Ф@) = 0, 0' @) > 0) — функция, конформно отображающая единич-
единичный круг на некоторую область Do - - конформно отображает круг \z\<\
па семейство вложенных друг в друга областей D(t), D(/,)c:D(/1),
*o<<i<<2<7\ D{to)=Do, причём если Do —однолистна и односвязна,
то и все D(t) —однолистные и односвязпые (теорема, известная для
самого уравнения Лёвнера).
Важной является более детальная геометрическая характери-
характеристика областей D{t) по заранее данным свойствам функции P(z,f),
Но, даже в простейшем случае уравнения Лёвнера, эта характери-
характеристика оставалась неизвестной. П. П. К у ф а р е в [5] для уравнения
Лёвнера нашёл некоторые простые условия, касающиеся непрерывной
функции K(t), \K(t)\ = \, при которых можно утверждать, что область
D(t) получается из круга | w\ = 1 проведением разреза по дуге Жордана;
при дополнительном ограничении на K(t) (существование ограни-
ограниченной производной) эта дуга оказывается гладкой.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 341
Однолистная функция в конечной области, конформно и нормиро-
нормирование отображающая эту область на круг, обладает, как известно, экстре-
экстремальными свойствами, вполне её характеризующими. Так, эта функция
даёт решение ряда вариационных задач, относящихся к модулю функций,
регулярных в области, и к различным средним модулей этих функции
и их производных. При этом каждой вариационной задаче можно отнести
последовательность соответствующих экстремальных полиномов, рав-
равномерно сходящихся внутри области к однолистной функции, ото-
отображающей эту область на круг. В работе М. В. Келдыша
и М. А. Лаврентьева [1] найдено необходимое и достаточ-
достаточное условие для того, чтобы полиномы Jn{w) = w + aZw*+ . ¦. -г cinWn,
минимизирующие интеграл у,Р'п (ш) \ds, где Pn(w)~ jv + a2w2-|-... + anJVn,
и L спрямляемая кривая, ограничивающая область D в плоскости w,
w = O?D, сходились внутри области D к функции <р (w) (<р@) = 0,
ср' @) = 1) конформно отображающей область D на круг | z | < 1. Это усло-
условие состоит в том, что область D должна принадлежать к классу обла-
областей /Со, ограниченных спрямляемыми кривыми, определяемых тем, что
функция ln!/'(z)|, где /(z), /(O) = O, функция, конформно отображающая
круг \z\ < 1 на область,—нредставима в единичном круге интегралом
Пуассона. Если D?K0, то сходимость полиномов Jn{w) к функции »(ц/)
будет равномерной в замкнутой области D.
Между прочим, класс К.о содержит области с «конечным вращением»
(см. 1.3), а также области, границы которых подчинены тому условию,
что отношение любой дуги границы к диаметру дуги ограничено.
М. В. Келдыш *) показал, что и для сходимости в области D
полиномов рп (w) = 1 +QiW-f- ... +anwn, минимизирующих интеграл
\ ! ?n (w) \pds, p > О, где ds— элемент длины кривой L, qn (w), qn @) = 1,
полином п-й степени, к функции [<fr (w)]llp, необходимым и достаточ-
достаточным условием служит принадлежность области D к классу Ко- Если
оно выполнено, то сходимость будет равномерной внутри области и
r I
lim \ ![<?'(w)]p-p
п->со у
Полиномы Бибербаха, т. е. полиномы, минимизирующие интеграл
V
где da — элемент площади, р„ (ц>), Рп @) — О, Р'п @)= 1 —полином п-й сте-
степени, также рассматривались М. В. К е л дышем [6]. Он доказал, что
при условии ограниченности кривизны границы L области D полиномы
Бибербаха, сходятся равномерно в замкнутой области D. Недавно
М, В. Келдыш **) распространил этот результат на области, огра-
ограниченные гладкой кривой, для которой наклон касательной удовле-
удовлетворяет условию Гёльдера. В той же статье М. В. Келдыш построил
•)См. М. В. Келдыш и М. А. Л а в р е п т ь е в [1, 6].
**) Работа находится в печати.

342 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
пример области, ограниченной аналитической кривой с одной особой
точкой (угловой), в которой полиномы Бибербаха не сходятся равно-
равномерно в замкнутой области.
[Предельные функции полиномов Жюлиа и Бибербаха для не жор-
дановой области, ограниченной двумя соприкасающимися окружностями,
были изучены М. М. Д ж р б а ш я н о м [1,3].
2.3. Свойства коэффициентов и дальнейшие проблемы «искаже-
«искажений». С проблемами искажений тесно связана другая внутренняя задача,
которую обычно коротко называют «проблемой коэффициентов». В наи-
наиболее общей постановке (для класса /?х) она состоит в установлении
необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять
коэффициенты а и, а3, ..., а„, ... для того, чтобы функция w = z + aiz*-\-...
... +anzn.. ¦ принадлежала классу Rlt иными словами, —в точном опи-
описании «области коэффициентов» в счётно-мерном пространстве для функ-
функций класса Rt. В такой общей постановке «проблема коэффициентов»
не имела до сих пор сколько-нибудь заметного прогресса даже в отно-
отношении указания наиболее вероятных гипотез о характере её решения.
Вместе с тем, уже давно было высказано предположение, что необ-
необходимыми условиями служат ограничения |а„|<л, затем доказанные
лишь для л— 2 (Бибербах, «теорема площадей») и для л = 3 (Лёвнер,
-«теорема о параметрическом представлении»). В 1925 г. Литтльвуд пока-
показал, что | ап | < пе; Ландау несколько дополнил этот результат доказав,
что
ПпТ 1%L < (у+ 4) «* 2,22...
л-к»
Для специальных подклассов функций из класса Rt (отображающих
единичный круг на области выпуклые, звездообразные, симметричные
относительно прямой и т. п.) удаётся найти точные оценки коэффициен-
коэффициентов. Эти оценки были даны, наряду с другими авторами, И. И. П р и-
валовым [9] и Г. М. Г о л у з и н ы м [1].
По отношению к s-симметрическим функциям из класса Rt
iv = z + astlzs+1 + a2s+1z2S+1+...
о
Cere было высказано предположение, что | а„ | < An s, где А—константа,
зависящая только от s. Это предположение, справедливое при s=l
(Литтльвуд) и при s = 2 (Литтльвуд и Палей), было подтверждено
В. И. Л е в и н ы м [6] при s = 3 *). Там же, В. И. Левин показал, кроме
того, что |а„|<Ап 21пл при s = 4, и |а„!<Ал 2 у In n при s>4.
В другой работе В. И. Левин [I] нашёл при s = 2 асимптотиче-
асимптотическую оценку константы А (она больше 1, как было показано Фекете
и Сеге, в опровержение существовавшей гипотезы); именно
lim (sup | ап |)< 3,006.
п-к»
В случаях отображения на выпуклые и звёздные области для коэф-
коэффициентов s-симметрических функций В. И. Левиным даны точные
оценки. И. Е. Базилевич [1] нашёл в точной форме связь между
модулями коэффициентов [astl| и |fl,J+l|, описав область плоскости, запол-
*) В последующем Литтльвуд установил, что оно неверно при достаточно боль-
511ИХ S.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 343
няемую точками с координатами |as+1| и |a2s+1|. До конца вопрос о зави-
зависимости между коэффициентами а,+1 и a2s+1 s-симметрических функций
решён И. Е. Б а з и л е в и ч е м [4] также с помощью метода Лёвнера,
позволившего построить область в пространстве четырёх измерений, цели-
целиком заполняемую точками с координатами Reas+1, Imas+1, Rea2s+1,
Ima2S41. И. Е. Ба зиле вич ем [3] была также установлена зависи-
зависимость между K_J и |а„_ж| и \Qg_t\ и \Qu.t\, где
а /Л2)» l2|<l, s —симметрическая функция. Кроме того, указана
точная оценка для 12„ |.
Ряд работ, относящихся к проблеме коэффициентов однолистных
функций, принадлежит Г. М. Г о л у з и н у. В самое последнее время ему
удалось серьёзно продвинуть, впервые после известной работы Литтль-
вуда, решение задачи о возможно точной оценке коэффициентов любой
функции класса Rt. Отметим сначала результаты более частного харак-
характера. Опираясь на теоремы Правитца, Г. М. Голузин [12] даёт
точные оценки л коэффициентов Ьп_х, Ьп, -.., 6г„.2 функции класса 2и
в предположении, что предыдущие л — 1 коэффициентов Ьо, Ь1У ..., д„_2
равны нулю и аналогичные оценки для функции класса /?„ ранее
найденные Правитцем. Если функция /(z) = z + агг* + a4z*+ ... при-
принадлежит классу /?! и отображает круг |z|<I на звездообразную
область, то, как оказывается, имеет место такая точная оценка: |а„|<1,
л = 3, 4, ..., вместо известной для звездообразных областей общей (при
агФ0) точной оценки |а„|<л.
В связи с указанным результатом Литтльвуда и Палея о равно-
равномерной ограниченности коэффициентов нечётной функции класса #г
М. А. Лаврентьевым была поставлена проблема о зависимости
роста чётных и нечётных коэффициентов произвольной функции клас-
класса /?,. Прямое обобщение теоремы Литтльвуда и Палея получил
И. Е. Базилевич [6], доказавший, что если | агп| < Ахпа, а< —-я-,
Ах —константа, то |ап|<А2, А2 — константа, зависящая только от
Ах и а, и | / (z)\ < -,—-т-т> где /B) 6ЯГ о. К зависит только от Аг и а.
1 —| 2 |
Ю. Е. А л е н и ц ы н [2] распространил это предложение, учитывая
теорию s-симметрических функций класса Rlt и получил, таким образом,
обобщение, при s = 3, указанного выше результата В. И. Л е в и н а:
если ККДл», а<-1+-1, при л =? 1 (mod s), то | / (z) | < ~~ys
(соотношение, известное при ап = 0, п ф. 1 (mod s)), а если s = 3, то
и при всех п: | а„ \ < А,л~1/», где Аг зависит только от Аг и а.
Г. М. Голузин [20] решил задачу в известном отношении обрат-
обратную задаче И. • Е. Б а з и л е в и ч а: если |а2п+г| < А^", a > — 4>-,
то и \ап\<А2па, где А„—константа, зависящая только от At и а
В той же работе автор находит точную оценку для |/(z)/(—z)\ в случае
звездообразного отображения и указывает некоторую оценку в общем

344 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
случае (точная оценка остаётся неизвестной). В следующей работе
Г. М. Голузин [24] ещё больше продвинул решение вопроса о взаим-
взаимном росте коэффициентов. Доказано, что из ограничения \а„\< Ajia,
Ах > 0, а > 0 при всех чётных или при всех нечётных п следует подоб-
подобное ограничение вообще при всех п.- \ ап\ <. Агпа, где Аг зависит только
от At и а. Этот результат основан на новых теоремах об искажениях,
имеющих самостоятельный интерес. Из одной более общей теоремы иска-
искажения функций Ф(С) класса 2i (выведенной при помощи рассмотрения
интегралов типа \ 1п|Ф (?)|darg<I>(C)), получаются следующие точные
оценки:
из которых следуют различные точные оценки для функции класса Rl
и, в частности, такая:
где через ft(z) обозначена сумма всех нечётных, а через /2(г) — сумма
всех чётных членов разложения функций /(z)?i?,. Указанные резуль-
результаты работы уточняются затем для s-симметрических функций класса Rt.
Другую теорему Г. М. Голузина [30] (доказанную методом,
уже употреблённым в его работе [24]) можно назвать «теоремой об иска-
искажении хорд при конформном отображении», ибо она даёт оценку отно-
отношения расстояния двух точек на окружности в плоскости независимой
переменной к расстоянию между отображениями этих точек в плоскости
функции. Именно:
, 1
где Ф (С) 6 21» Ki 1 = Кг I = Р > ' > причём знак равенства достигается для
функции Ф (?) = С + ^-+ const, a = arg Si + arg C2, и только для неё. Эта
оценка позволяет вывести ряд новых теорем искажения функций
класса Rt и с их помощью найти оценку расстояния между двумя со-
соседними коэффициентами:
где А — абсолютная константа. Есть основания предполагать, что оценка
может быть снижена, вообще, до абсолютной константы; это удаётся
доказать пока только в случае звездообразного отображения. Для рас-
расстояния между о2 и а3 даны точные оценки:
1,05...,
прямо вытекающие также из более ранней работы И. Е. Б а зи л евича[1].
Наконец, Г. М. Голузин*) получил, опираясь на теорему об
искажении хорд, неравенство
|а„|<4пе= 2,03...п,
*) Работа находится в печати.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 345
затем ещё улучшенное И. Е. Базилевичем, использовавшим
в своих подсчётах также теорему об искажении хорд Г. М. Г о л у-
з и н а и метод оценки коэффициентов Литтльвуда. И. Е. Б а з и л е-
в и ч [8] показал, что
TTnTsup J^d. < i. si (r.) < 1,604
И
\an|< 1,924 п;
кроме того, при л>10
|вп К 1,759 л,
а при л > 100
|д„1< 1,621 п.
К проблеме о влиянии тейлоровых коэффициентов регулярной
в круге \z| < 1 функции на её свойство однолистности при jz| < 1 отно-
относится исследование Н. Г. Чеботарёва [5], предложившего критерий
однолистности функций, который является распространением критерия
Бибербаха однолистности полинома. Этот критерий выводится посред-
посредством применения метода Н. Г. Чеботарёва [2] построения резуль-
результанта для трансцендентных функций.
Известная теорема Cere об однолистности всякого начального отрезка
ряда функции / (z) 6 /?i в круге | z j < -v- была уточнена в работах Г. В. К о-
рицкого [1] и В. И. Левина [2]. В первой показывается, что
если нечётная функция f(z) производит звездообразное отображение, то
всякий начальный отрезок её ряда однолистно отображает круг | г | < ~j=--
па симметричную звездообразную область. Во второй — константа
Сеге (") увеличена, при л>17 до 1—6 — , где л —степень поли-
полинома— отрезка ряда.
Совсем недавно Г. М. Г о л у з и н *) нашёл обобщение теорем о вза-
взаимном росте коэффициентов функции класса /?,. Устанавливается, что
если оценка |а„|<А,л', а > 0 выполняется для л, принимающего значе-
значения членов какой-либо арифметической прогрессии, то и при всех
п |а„|<А2л', А, — константа, зависящая только от А, и а. При а<0
это утверждение выполняется не всегда. Основой и здесь служит новая
теорема искажения: если |evj=l, v = I, 2,..., л, п > 2 и f(z)?R,
то имеет место оценка, точная в смысле порядка,
min
l/(Mi<
•V---1, 2 п -
A - | Z |)"
где А зависит только от п и ev.
Эта оценка вытекает из теоремы искажения для функции Ф(?)€
1-3
где |CV | = Kv'i = P> v, v'= 1, 2, ..., n, которая содержит в себе (п =
*) Работа находится в печати.

346 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
теорему искажения хорд. Такое обобщение последней теоремы автор
получает, вновь прибегая к параметрическому представлению Лёвнера
для функций класса 2i-
Углубляя и распространяя метод *) вариаций, развитый Шиффером,
Г. М. Голузин [30, 33, 34] нашёл обширные применения этого метода
к решению ряда экстремальных задач в теории однолистных (и неодно-
неоднолистных) функций, среди которых он специально изучает вопрос об
экстремуме коэффициентов в различных классах функций. Так, рас-
рассматривая класс регулярных и однолистных в круге [ г | < 1 функций
w = агг + а2г* + ..., не принимающих в нём данных значений wlt iv2,..., wn,
Г. М. Голузин показывает, что | ап | достигает максимума только
тогда, когда соответствующая функция класса отображает круг | z | < 1
на всю плоскость W, разрезанную по конечному числу аналитических
дуг. Отсюда, как частный случай, получается результат М. А. Л а в-
рентьева (кроме единственности экстремали), указанный в 2.2.
Подобный вопрос решается для класса регулярных функций, отобра-
отображающих круг |z|< 1 на области, принадлежащие данной римановой
поверхности гиперболического типа, а также для класса регулярных
в круге |z|<l функций, характеризуемых тем, что функция класса
не может принять, при любом iv0, и значение и>0 и значение — (так
называемый класс Бибербаха-Эйленберга).
Эти качественные результаты вытекают из характера дифферен-
дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют экстремальные функции;
однако уравнения содержат неизвестные постоянные, что затрудняет
полное определение их решений.
Точно также относительно класса Rt устанавливается, что максимум
| ап | или модуля любой линейной комбинации коэффициентов дости-
достигается только для функций, отображающих круг |z|<l на всю пло-
плоскость, разрезанную вдоль конечного числа аналитических дуг без
кратных точек на конечном расстоянии, уходящих в бесконечность под
углом, меньшим ^- к радиальным направлениям (углубление теоремы
Шиффера). В задаче о тах|а„| при п<6 доказана единственность гра-
граничного разреза.
Из других проблем, исследованных Г. М. Голузин ым новым
вариационным методом, отметим ещё следующие две: 1) Проблема о зна-
значениях величины
v,v' = l
принимаемых при заданных комплексных Yv> Y"»'« v, v' = 1, 2,..., п,
n>\ совместно не равных нулю, заданных ?v, CV', |Cv|>b |Cy'|>I
и Ф(С) пробегающих весь класс 2i- Эта значения образуют круг
с центром в начале координат. Радиус р этого мажорантного круга
равен
*) Этот метод исходит из иной, чем в методе Лёвнера, вариации облает». Он также
.приводит к дифференциальному уравнению для искоуои экстремальной функции.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 347
Значит
1Уф|<р.
а то время, как каждое слагаемое в отдельности (yv?= Yv)> хотя и имеет
мажорантной областью также круг, но радиус его определяется через
эллиптические функции. Отсюда снова получается теорема об искаже-
искажении хорд.Теорема о круговой мажорантной области, как это показано
Г. М. Г о Лузиным, имеет место и для класса'функций регулярных и
однолистных в многосвязной области.
2) Проблема о максимуме величины
п
Д (a)v — civ)
V, V' = l
где <ov, «v (v, v'=l, 2,..., n, n> 2)—аффиксы точек, лежащих на
границе области, в которую отображается внешность круга |С]<1
посредством функции «&(C)g2i- Этот максимум достигается Для функ-
функции, отображающей область | С | > 1, на всю плоскость, разрезанную
по аналитическим дугам, причём может быть указано дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет экстремальная функция (усиление
одной теоремы Шиффера). При л = 3 проблема решается до конца: экстре-
экстремальной функцией будет w = ? М — hJ' ИI = 1 • Как следствие, отсюда
получается результат для класса Rt: если юх, <вг, ш3 — аффиксы любых
точек, не принадлежащих отображению круга \z\ < 1 функцией f(zN/?х
и лежащих на трёх лучах, исходящих из точки w — О под равными
углами, то |wxwtw3| > ¦?-, причём знак равенства имеет место только
для функций
2.4. Многосвязные области. Известные экстремальные свойства
•(Бибербаха, Жюлиа) однолистной функции, нормирование отобража-
отображающей данную односвязную область на круг и вытекающие из этих
свойств теоремы о специальных полиномиальных приближениях этой
однолистной функции, были распространены в ряде работ Г. Я. X а ж а-
лия [1—6] на функции, однолистно отображающие двухсвязную
область на круговое кольцо.
Если w = f(z) — регулярная однозначная функция в двухсвязной
области D, нормированная условиями: |/(z)|>l и ^-. \ yjQ dz> \,
С
С—произвольный замкнутый контур в области D, не гомологичный
нулю, то
max|/(z)|>mod(D),
причём знак равенства имеет место только для функции iv = /0(z),
конформно отображающей область D на кольцо 1 <iv< mod(D) *).
Основываясь на этой теореме, автор показал, что если область достижима
*) Совсем простое доказательство немного более общего предложения было
затем опубликовано А. Макинтайром в Матем. сб., 5 D7), A939), 307—308.

348 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
сверху, то limP(,0)(z)=/0B), равномерно внутри D, где Р"Цг) —
п-юо
п
рациональная дробь вида 2 ^zk, имеющая минимальный максимум
—л
в области D на семействе всех дробей этого вида, удовлетворяющих
всем указанным выше условиям нормировки; кроме того, arg Pn(z0) =
= arg/(z0), где za?D.
Вполне аналогичные теоремы доказал также Г. Я. X а ж а л и я
для случаев, когда в качестве характеристического экстремального
свойства принимается не минимум максимума модуля функций, а мини-
минимум площади производимого ими отображения и минимум длины отобра-
отображения внешнего контура D (при несколько иной нормировке).
Отметим один вспомогательный результат Г. Я. Хажалия [4],
состоящий в континуальном распространении принципа Грётша. Возьмём
какое-нибудь семейство линий Lt(x = ty1(s, t), y = %(s,t), z=x + iy,
0</<2тг, s —длина дуги Lt, Si@< s<s2(f))> лучеобразно исчерпы-
исчерпывающих область D. Тогда
dt
^ In mod (D)
dt K
J (s, 0
где J(s, 0 = ^7^- — функциональный определитель, по условию, отлич-
отличный от нуля. При этом знак равенства достигается только тогда, когда
семейство линий Lt вместе с семейством ортогональных кривых образует
изотермическую сеть, т. е. когда линиям Lt соответствуют при конформ-
конформном отображении области D на кольцо отрезки 1 < | w |< mod (D) радиусов
круга | w | < mod (D).
Отсюда получается прямое определение модуля двухсвязной области:
mod (D) = min exp '
Недавно аналогичная оценка модуля двухсвязной области была
вновь дана Л. И. В о л к о в ы с к и м [1 ].
Экстремальные свойства функций w=F(z), регулярных и однолист-
однолистных в конечносвязных областях, исследовал Г. М. Голузин [7J,
пользуясь методом Грунского, который был им упрощён и расширен.
В этом методе используются особенности интегралов \ In | F(z)| d arg F(z)y
распространённых по отображённым контурам, и свойства функций,
однолистно отображающих данную многосвязную область на некоторые
канонические области (плоскость с разрезами по дугам логарифмических
спиралей и по отрезкам параллельных прямых). Метод Грунского позво-
позволил во многих задачах избежать сложного метода, основанного на
методе полос Грётша. Г. М. Голузин просто получает основную
теорему Грунского: значения In F'(z), где F(z)—однолистные функции.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 349
# данной конечное вязпой области, имеющие в фиксированной точке области
простой полюс с вычетом, равным 1, содержатся, при данном г, в неко-
некотором, вполне определённом круге. При этом автор выводит и более точное
предложение Грётша о том, что указанные значения сплошь покрывают
этот круг. Далее Г. М.Голузин прилагает к другим проблемам мажо-
рации тот же метод, дающий возможность находить не только свойства
функций в случае многосвязной области, но и новые результаты в слу-
случае односвязной области, пока недостижимые с помощью других мето-
методов. Автор вновь получает результат Грунского, состоящий в определении
мажорантной области для lnzF¦*-, если F (г)~^фунющя однолистная в
области, содержащей 0, но не содержащей сю, который для функций
f(z) класса /?х приводит к точной оценке 1п тт^т <1п "Г—рг • и0~
служившей Групскому для точного определения границы звездообразио-
сти функций класса R^, находит мажорантную область (круг) для \nF(z),
которая для функций / (z) класса /?, определяется неравенством
(Групский):
получает теорему Грётша, оценивающую коэффициент Ъх для функций
Ф(С); однолистных в многосвязной области, содержащей точку ; = оо,
в окрестности которой Ф(^) = ? + >-+ ¦¦•; наконец, доказывает новые
теоремы, относящиеся к этим функциям: о мажорантных областях (кру-
(кругах) для ^,'-т«-- и Д-яя <1>(Q. В частности, для функций класса 2i уста-
навливается точная характеристика мажорантного круга для —^, откуда
вытекает известный результат Лёвнера:
если же функция Ф(^) производит звездообразное отображение, то
мажорантной областью для '-^Р будет круг j w— I'<--I- , и, значит,
|Ф(Л) — С|< : j. j (что было получено автором и раньше (см. Г. М. Г о-
лузин [12])').
§ 3. ВНУТРЕННИЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
Очень широкие и важные исследования в теории функций комплекс-
комплексного переменного относятся к выявлению различных свойств функ-
функций внутри области их регулярности, общих для целых классов этих
функций.
Указанные исследования входят в обшую теорию распределения
значений аналитических функций, построение которой является акту-
актуальной проблемой теории функций в течение последних десятилетий.
*) Затем снова полученной Г. М. Г о л у з и н ы м другим путём, из уравнения
Лёвнера.

350 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Эта теория служит для количественных оценок выражений, связанных
с изучаемыми функциями и для геометрической характеристики про-
производимых ими римановых поверхностей.
Методы, изобретённые для изучения целых функций, были затем
обращены для изучения более общего класса аналитических функций,
имеющих заданное множество существенно особых точек. Если случай
приводимого множества не представил никаких серьёзных затруднений,
то случай совершенного множества потребовал преодоления многих
препятствий. Теория внутренних свойств таких функций, свойств,
устанавливаемых по характеру особого множества и по задаваемым дру-
другим их свойствам, относится и к регулярным или мероморфным в еди-
единичном круге функциям (единичная окружность—особая линия). Однако,
это даёт только весьма общие сведения о свойствах регулярных (или
мероморфных) в круге функций. Их удаётся изучить значительно глубже
и обстоятельней.
Известными теоремами о функциях, не принимающих в единичном
круге двух конечных значений, обобщающими теоремы Пикара, опре-
определился круг идей в теории распределения значений, часто называемый
«кругом идей Пикара», в который весьма существенный вклад внёс в
1924 г. А.. Блок, установивший общее, важное свойство регулярных
в круге | z | < 1 функций / (z) = z + й2гг + • • • : риманова поверхность лю-
любой такой функции содержит однолистный круг радиуса, не меньшего абсо-
абсолютной константы (константа Блока). Теорема Блока послужила началом
многочисленных изысканий по проблемам «покрытий и искажений»
и дала, наконец, возможность наглядно и вполне элементарно, не при-
прибегая к модулярным функциям, доказать все основные теоремы «круга
идей Пикара».
Исследования вопросов покрытий и искажений в теории однолистных
функций (класс /?,) оказывали в последнее время значительное влияние
на развитие исследований в общей теории; работы советских ученых, отно-
относящиеся к этой области, прореферированы в предыдущем параграфе.
Что касается методов, применяемых при изучении внутренних свойсго
регулярных функций и вообще в теории распределения значений, то,
в основном, они покоятся на классических оценках, вытекающих из инте-
интегральной формулы Коши, и, в частности, на лемме Шварца. Отдельные упо-
употреблявшиеся приёмы нашли свой синтез в двух общих принципах, имею*
щих фундаментальное значение: в принципе нормальных семейств Мон-
теля и в принципе Линделёфа, обобщающем лемму Шварца. Применение
этих принципов в круге идей Пикара чаще всего опирается на факт суще-
существования регулярной в единичном круге функции, не принимающей
только двух конечных значений (модулярной функции). В то время как
принцип Монтеля позволяет легко находить свойства функций с качест-
качественной точки зрения, принцип Линделёфа даёт возможность указывай
и количественные оценки. .j
Будем обозначать через R класс функций w = /(z), регулярным
внутри единичного круга |z[<l и подчинённых нормировке: ДО)=05
|/'@)| = 1. Мы обращаемся к изложению результатов, касающихся внутрен
них свойств аналитических функций с совершенным множеством особы
точек, а также в особенности функций класса R и функций его подкла?
сов, определяемых посредством отборочных условий функционально?
характера, формулируемых чаще всего независимо от аналитически;
представления функций.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 35F
Разумеется, совсем особый интерес представляют свойства, прису-
присущие функциям всего класса R, ибо они являются следствиями из одного
только факта регулярности функций, и, таким образом, наиболее полно
уясняют влияние такого кардинального во всей теории функций обстоя-
обстоятельства, как регулярность, на поведение функции.
В рассматриваемой обширной области современной теории аналити-
аналитических функций советским математикам принадлежат значительные
результаты как в разработке общих принципов и новых постановок про-
проблем, так и в решении частных задач.
3.1. Проблемы покрытий и принцип Линделсфа. Из теоремы Блока
следует, что множество Т значений любой функции iv = /(z) класса R
(Т —проекция римановой поверхности функции на плоскость w) содержит
круг радиуса, не меньшего абсолютной константы (константа Ландау).
Центр круга, удовлетворяющего условиям предложения, нельзя взять
фиксированным (как в случае многих подклассов R, например, при одно-
однолистности функций, ограниченности и т. п.). Обобщая, это следствие из
теоремы Блока, И. И. Привалов [23], независимо от Монтеляи Вали-
рона, выдвинул задачу о покрытиях для класса R в альтернативной
форме, причём использовал для её решения принцип нормальных семейств.
Автор показал, что каждому кольцу Еп из регулярной *) последователь-
последовательности колец {?„} с общим центром в точке iv = 0, можно поставить
в соответствие кольцо Еп> такое, что любая функция класса R, не покры-
покрывающая**) Еп, покрывает Еп>-
Решая задачу, несущественно отличающуюся от задачи Валирона,
исследованной им с качественной стороны с помощью принципа нормаль-
нормальных семейств, и более частные задачи, А. Ф. Б е р м а н т и М. А. Лав-
Лаврентьев [1, 2, 3] применили принцип Линделё'фа и нашли точное
выражение для соответствующих констант. Каждая функция из класса R
покрывает круг |w| < V за исключением, разве лишь, точек, которые
можно заключить внутрь прямоугольного четырёхугольника, образо-
образованного двумя радиусами круга и дугами двух концентрических окруж-
окружностей (Валирон исключал вместо четырёхугольника кружок, видимый
из точки w = 0 под данным углом г). Константа V = V(a, q) зависит лишь
от угла а, 0<а<2тг между прямолинейными сторонами четырёхугольника
и от отношения q (fl>\) его криволинейных сторон; при условии
О < a < -g- тс константа V определяется через экстремум выражения,
составленного из функции, обратной модулярной.
В дальнейшем А. Ф. Б е р м а н т [1, 6J, основываясь на принципе
Линделё'фа, исследовал вопрос о покрытиях, производимых множеством
значений функции класса R. С этой целью автор рассмотрел поведение
растяжения a (IV,, w2) = |/'@; ivlF w.)|, где f(z;wlt wt), f(Q;wlt wt) = Q—
модулярная в круге | z j < 1 функция, выпускающая три значения wu
wt, oo, в зависимости от положения точек iVj и iv2 в плоскости w. До
конца характеризуется изменение этого функционала при различных
положениях точек wlt iv2 на прямой, проходящей через точку iv = 0
и в некоторых других особенно простых случаях. Отсюда извлекаются
*) Последовательность колец {Еп} называется регулярной,'если радиус внешней
окружности стремится к нулю при п -* со.
**) Говорят, что некоторое множество покрывается функцией, если оно целиком
содержится в множестве значений этой функции.

352 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
теоремы о поведении известной функции Каратеодори <р (т) =HinH^) *)>
дающей точную оценку в теореме Ландау, на всей действительной оси.
Понятие регулярной последовательности колец А. Ф. Бермантом обоб-
обобщено на произвольные совокупности множеств и доказаны общие теоремы
о покрытиях в альтернативной постановке Привалова-Монтеля, причём
указываются значения констант. В этих теоремах, как частные случаи,
содержатся теоремы Блока, Монтеля, И. И. Привалова, Ландау. Спе-
Специализация их для отрезков прямых линий, проходящих через точку
и> = 0, приводит, между прочим, к теореме, в которой устранена альтерна-
альтернатива и которая представляется наиболее точной среди других известных
теорем о покрытиях для всего класса R: любая функция из класса R
покрывает отрезок каждой прямой, проходящей через точку w = 0,
содержащий эту точку внутри, длиною не меньше, чем —^— - 0,456...,
(О
причём эта константа не может быть увеличена.
Таким образом, на класс R оказалась распространённой теорема
Сеге для класса однолистных функций /?,.
Недавно Г. М. Гол узин, исходя из анализа изменения
/'(г. —w0, м>'0), и>„ > 0, 0<г< 1, несколько проще доказал толыко что
указанную теорему, рассмотрел ряд предложений о покрытии точек и, при
дополнительных ограничениях на функции, о покрытии кругов (теорема
Каратеодори о покрытии круга w < -^ функциями из класса R, не обра-
обращающимися в нуль при 0<,'zj<l)!.
Теоремы о покрытиях в альтернативной форме были распространены
И. И. Приваловым [24] на пары функций, а в другой работе
И. И. П р и в а л о в [21], используя принцип нормальных семейств
и метод Ландау, обобщил основные теоремы А. Блока на класс функций
iy = /(z), регулярных (а в одном случае и мероморфных) в круге | zj<l,
с фиксированным значением при 2 = 0не первой, а произвольной, к-й,
производной: /(А)@) = *'•
Элементарным фактом является то,что площадь римановои поверхно-
поверхности функции / (z)?R не меньше, чем т. Грунский показал, что и площадь
множества Т значений /(z) так же не меньше -. Г. М. Г о л у з и п [5, 8]
обнаружил, опираясь на принцип Грётша, более глубокие факты:
площадь звезды**) любой функции из класса R не меньше, чем к; кроме
того, всегда найдётся такое положение данного пучка п лучей с вершиной
в точке w = 0, что сумма длин его отрезков, помещающихся в звезде, не
меньше, чем п. Дальнейшее уточнение этих предложений принадлежит
А. Ф. Б е р м а н т у [3,4], исходившему совсем из других соображений,
связанных с использованием интегралов типа j In \f(z)\dargf(z). Имен-
Именно: 1) сумма S*, площади звезды, и s*, площади области в круге \z\< 1,
соответствующей звезде, не меньше, чем 2^ (и, больше того: S* ¦ s* > я2);
2) указанная сумма длин отрезков не меньше, чем а^п • у (З — — J.
*) v (?) —функция, обратная классической модулярной.
**) Звездой функции w =/(z), /@) =0, /@) Ф 0, называется наиболее широкая
однолистная, звездообразная относительно точки ш=0, область, принадлежащая
тому листу римановои поверхности, на которой лежит точка / @) = 0.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 353
Лемма Шварца и основанный на ней принцип Линделёфа были об-
обобщены А. Ф. Б е р м а а т о м [4, 10]. Автор называет звёздным логариф-
логарифмическим искажением в круге !z|<r<l функции w = f(z), /@) = 0,
Г(О)фО, регулярной в круге |z|<l интеграл
Путём интегрирования является контур X; звезды, соответствующей
кругу |zj<r. Из доказываемого предложения о неубывании звёздного
логарифмического искажения как функции г, 0<г<1, вытекает аналог
леммы Шварца (существенно её обобщающий), в котором вместо макси-
максимума модуля функции в качестве характеристики функции берётся
интеграл
Для растяжения |/'@I получается оценка
И . 'i
где /j —контур в круге |z|<l, соответствующий контуру \[. Таким
образом, заключение, что |/'@)i<l> следует не только тогда, когда
|/(z)j<l (Шварц), но и при значительно более широких условиях:
например,когда ^ \ In \f(z)\d arg/(z) < 0. С помощью этого обобщения
*1
леммы Шварца принцип Линделёфа так обобщается, что удаётся срав-
сравнивать между собой растяжения |/i @)| и |Д@)| функций jx\z), Д@) = 0
и /а (г), /¦> @) = 0, производящих две римаиовы поверхности в различных
областях (эти поверхности могут быть даже не одного типа); кроме того,
обе римаиовы поверхности, при довольно свободных условиях, могут
иметь точки ветвления конечных порядков. Благодаря этому, оказыва-
оказывается возможным применять обобщённый принцип Линделёфа в тех слу-
случаях, когда сам принцип Линделёфа не может быть применён.
А. Ф. Б е р м а н т [4, Ю] распространяет на весь класс функций R
обобщённую теорему Кёбе с помощью введения понятия чётности и нечёт-
нечётности, относительно данного луча, точек римановой поверхности и полу-
получает ряд результатом в частных случаях. Например, если точка и> = <»
достижима извне*) для функции w=j{z)?R и о>т—средний (по площади)
радиус-вектор множества Т значений функции f(z), mo
и, значит, всякая точка круга ' w \ < -4- не достижима извне для любой
функции класса R. (Прямое распространение теоремы Кёбе.)
*) Т. е. можег быть соединена с точкой и> = ос непрерывным путём, не пересе-
пересекающим множества Т значений функций.
23 Математика в СССР за 30 лет.

354 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Отсюда получается теорема искажения, содержащая в себе, как
частный случай, теорему Рогозинского о «типично действительных»функ-
действительных»функциях: если два множества значений, принимаемых функцией f(z)?R
в полукругах, разделяемых каким-нибудь диаметром круга \г\<\,не пере-
пересекаются (что всегда имеет место для класса RJ, то в любой точке
диаметра справедливы оценки (как для однолистных функций)
1*1 < f(z)
\z\ 1-|г1
1-Нг!
О-И)»'
В своём вариационном методе М. А. Лаврентьев [11] исполь-
использует установленную им формулу для растяжения |/'@)|, /@) = 0 одно-
однолистной функции w = f(z), отображающей круг|г|<1 на звездообраз-
звездообразную область, близкую к кругу |и>|<1. А. Ф. Б е р м а и т [7] дал
новое доказательство аналогичной формулы, пригодной и для неодно-
неоднолистных функций. Если w = f(z), f @) —0 —функция, регулярная в круге
| z | < 1, отображающая его на риманову поверхность, звезда которой г—
близка к кругу | w \ < 1, то
]/'@I = <¦»„, +(п + lH(**-i), Ч> О,
где шт—средний (по площади) радиус-вектор звезды, п—число радиаль-
радиальных отрезков в звезде.
Один частный случай принципа Линделёфа дополнил Г. М. Г о л у-
з и н [3]. Если D—выпуклая область (от/.ичная от всей плоскости),
содержащая точку w = 0, w = F(z), F@) = 0 функция, конформно отобра-
отображающая круг |z|<l на область Du w = j(z), /@) = 0, регулярная в
круге I z | < 1 функция, множество значений которой принадлежит D,
7
то множество значений функции и>= \ -dz в круге jz|<r< 1 при-
принадлежит области, в которую круг [z|<r отображается функцией
о
3.2. Ограниченные функции и их обобщения. Чрезвычайно важ-
важный подкласс функций, регулярных в единичном круге \z\< 1, образу-
образуют функции, ограниченные в своей совокупности. С. А. Гельфер[3]
и Г. М. Голузин [22] получили ряд результатов, дающих точные
оценки для таких функций, в частности, они нашли два различных обоб-
обобщения теоремы Каратеодори, в свою очередь обобщающей лемму Шварца.,
С. А. Гельфер показал, что если f(z) = akzk+... регулярна в круге
|z|<l и ограничение нём: |/(z)|<l, то |/(ri)(z)| < га! в круге |z[<rM,
где
П>г_1 /2-1
для п = 1, 2,..., к. Оценка /•<">—точная. При л=1 отсюда следует тео-
теорема Каратеодори. Г. М. Г о л узин уточнил оценки \f (z)\ в различных
случаях. Пусть f(z) = akzk + ak+szkrs^-... регулярна в круге |z|<la
ограничена в нём: |/(z)|<l; тогда
при \>\

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 355
Из этих точных оценок получаются та ки? обобщения теоремы Каратео-
дори: | /' (г) | < к | z \к~х в круге \ г | < |/ ! + ?i~ у > тне всегда в большем
круге; если к — 1, то \ /' (z) | < 1 в круге | z j < г/ }/ 1 + sa — s, причём так-
также не всегда в круге большего радиуса.
Далее, Г. М. Г о л у з и и, основываясь на найденных оценках, не-
несколько упрощает доказательство Дьедонне его теоремы об области
р-листности ограниченных в единичном круге регулярных функций, а
также находит некоторые оценки мажорантных рядов для этих
функций.
А. Ф. Б е р м а н т [10] исследовал вопрос о покрытиях, производи-
производимых ограниченными функциями w = /(z) класса R: \f(z)\<M, М>\.
С помощью обобщённого принципа Линделёфа устанавливается, что
любая такая функция покрывает в плоскости w не более, чем р-листно*)
(р—целое положительное число или со) круг |и>!<у,,, г&е 1р>\(Щ>
причём даётся выражение для константы Ар(М), зависящей, при дан-
данном р, только от М, как при р < оо, так и при р =--- оо. Найденная кон-
константа \(M)—точная. Частными случаями этого предложения, при
граничных значениях р=\, р— °°> являются известные теоремы Ландау
об однолистном и общем покрытиях, производимых функциями рас-
рассматриваемого класса. Исходя из этой теоремы, А. Ф. Бермант дал
новое простое доказательство теоремы Дьедонне и уточнил её, при до-
дополнительных ограничениях на функцию.
Распространяя метод Ландау, применённый им для вывода теоре-
теоремы об однолистном покрытии ограниченными функциями и для оценки
снизу константы Аг (М), И. И. Привалов [21 ] доказал, что вся-
всякая 'функция w-=flz) — zk+..., регулярная в круге \z\<\ и ограни-
ограниченная в нём: j/(z)j <М(Л1>1), покрывает в плоскости w k-листный
круг \w\<i{kK где ?<*> > А<*>(М) > у -~к . А. Ф. Бермант [11J
нашёл точное значение константы А^ (МУ- оно равно (Аг(у М))к, и,
кроме того, показал, что в плоскости w покрывается круг |u>i<Y(/t),
где fM > X\W (M), причём точное значение константы AW(M) равно
(^))
В. И. Левин [5] дал обобщение одной теоремы Ландау, касаю-
касающейся известного предложения Мию. Если функция w=:/(z) регулярна
в круге | г \ < 1 и ограничена в нём: | / (z) | < 1, то при условии
max min |/(z)|<S, 0< 8 < 1
Pg<Pgl I
справедлива оценка
причём указывается простое выражение для А(р, Р) (прир = О, Р--=\ —
случай Ландау).
*) Т. е. из римановой поверхности функции можно выделить такую односвязиую-
часть, содержащую не более р листов, проекция которой на плоскость w покрывает
указанный круг.
23*

356 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В качестве задачи, В. И. Левиным f4] был высказан следую-
следующий результат (затем доказанный): если функция I {z)~ao-\-alzJr...
регулярна в круге \ z \ < 1 и, если в этом круге
то
|а,| <АF,|ао|) и max ;ав
Для А(о, \ао\) и В (о) даны точные выражения. В частности, для
всего класса ограниченных и не обращающихся в нуль в круге |z|< 1
функций, А= 2 i Odin j-^-т, В = -^..
В двух других работах В. И. Левин [3, 7] уточнил известные
п
и нашёл новые оценки, относящиеся к суммам sn = 2 °у коэффициен-
тов Ov функции
регулярной в круге |z|< 1 и ограниченной в нём: |/(z)';< 1. Впервой
работе показывается, что при условии | /' (z) | < 1 имеют место ограни-
ограничения:
1,338 и |snj<4, п = 3, 4,...
вместо известного:
Во второй рассматривается art = sup|srt| в различных подклассах
ограниченных функций, верхняя грань берётся по всем функциям
рассматриваемого подкласса. Отметим такие результаты: если
и |/'(z)|<l, то
1,113...
е случае, когда площадь отображения круга \ г \ < 1 функцией w — f (г),
j/(z)|<l, не превосходит it, то
IIrnan<u,
n->uo
где и —вполне определённая константа- Кроме того, В. И. Левин
показал, что
lim ^
для класса функций w = z + a3z3 + abzb + ..., однолистных в круге \ z |< I a
Ш -?"-< 0,89 ...
П 13
П->оо П 13
для класса функций w—z + а4г4 + a7z7 + ..., однолистных в круг*
|г|<1.
Следует отметить большое внимание, которое уделяется в теории1
функций вопросам изучения различных классов регулярных функций,

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 357
более общих, чем класс ограниченных функций. Г. М. Голузин [31]
выполнил обширное исследование внутренних свойств функций клас-
класса Ни т. е. функций iv = /(z), регулярных в единичном круге |z|< 1
и удовлетворяющих при 0 < г <^ 1 условию
О
Прежде всего, Г. М. Голузин конструирует аналитический аппа-
аппарат, используя один результат Каратеодори и Фейера, связанный
с решением поставленной ими задачи о наименьшем максимуме модуля
степенного ряда с заданными начальными коэффициентами. Этот аппа-
аппарат состоит в ряде неравенств, являющихся обобщением неравенств
Шварца, и в предложениях, позволяющих сводить экстремальную
задачу в классе Нг к соответствующей экстремальной задаче в его
более удобном и простом подклассе. Затем для любой функции
w = /(zN#i доказывается, что имеют место следующие точные оценки:
_
-
причём ).<"> не убывают при 0<г< 1 и lim ),<.")<2n+'
(V \и j + l/1 — \ао\ г ) при г> 1 — 21а0\,
\ у ] гау
1 а°^г при г<1— 2\а\,
где ао = /(О).
Далее даются точные оценки для 2 \fWz)\, для т\ = е» , для
других сумм модулей и для некоторых полных и частичных мажорант-
мажорантных рядов. Устанавливается точная, при 0 < г < —j=. оценка (ранее
указанная Робинсоном)
и оценка при г> —^, получающая через замену 1 в правой части на
2егцпг • Если /@) —0, то при 0<г<-^ имеет место точная оценка
^ С | /' {re1*) ] cfc? < 1,
а в общем случае, при 0<г< 1 интеграл слева мажорируется выра-
выражением _ 8 .
Что касается коэффициентов функции f(z) =2 akzk?H\> т0 КР°"
ме общей оценки ;'яп|<1, показывается, что соотношение |а„1<-г

358 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
справедливо или для всех п, или же для всех п, кроме значений, удо-
удовлетворяющих неравенствам т<л<2т, где т — целое положительное
число, причём промежуток исключаемых п, вообще, не может быть
сужен. Наконец, Г. М. Гол узин даёт применения найденных
оценок для Н1г к оценкам для некоторых других классов, в частно-
частности /?!•
М. М. Д ж р б а ш я н [2, 3, 4] ввёл класс Нр (а) (р > 0, а > — 1)
аналитических в единичном круге функций, удовлетворяющих усло-
условию
1 2т:
A - г2)' | / (re1*) \vrdrd<?< ее.
В его работах были исследованы свойства функций класса Яр(а), дано
параметрическое представление для всего класса и получены некоторые
теоремы единственности.
Другим классом регулярных в круге lzj<l функций, содержащим
в себе класс ограниченных функций (j/(z)| <1), является упоминавшийся
уже нами -класс Бибербаха-Эйлепберга (/(Zj) ¦ /(z2) Ф 1). С ним тесно
связан класс регулярных функций, рассмотренный С. А. Г е л ь ф е-
ром [4], характеризующийся тем, что любая функция w = ?(z) =
= 1 +с12 + --- этого класса не принимает ни одной пары значений и> и
— iv, т. е. удовлетворяет условию
ФО, lzxKl, !г,!<1.
К функциям этого класса принадлежат функции с положительной дейст-
действительной частью и, как показал С. А. Г е л ь ф е р, на них переносятся
многие свойства этих хорошо изученных функций. Автор получает ряд
точных теорем об искажениях функций <p(z) (оценки |?(z)j, |<?'(z)l>
у
arg^-j-<ги др.), устанавливает, что | аг\ <2 и что для всех п \ап \ < 24 |/Зс
(эта оценка недостижима). Наряду с этим выводятся некоторые новые
свойства функций класса Бибербаха-Эйленберга.
Расширяя классы функций однолистных и ограниченных в круге
|з'<1 посредством присоединения к ним подчинённых функций (по
принципу Линделёфа) И. Ф. Лохи н [3] переносит па расширенные
классы некоторые известные теоремы об искажениях для исходных
классов.
3.3. Конечнолистные функции. Интересной и далеко ещё не исчер-
исчерпанной проблемой является задача изучения регулярных функций, tf
ограниченным числом точек в круге |zj<l, в которых они принимают,
одинаковые значения, т. е. копечнолистчых функций. Свойство конеч-
нолистности может рассматриваться как непосредственное обобщений
свойства однолистности. •;
С. А. Г е л ь ф е р [1] дал лучшую, в своё время, оценку радиуй|
р-листного круга | w [ < г„ (гр > р,\ покрываемого р-листной в круг
|zj<l регулярной функцией w — zp-\- а^*1-{¦... Г. М. Голузин [37]
опираясь на распространение принципа полос Гретша на р-листны
отображения, полностью перенёс теоремы Кебе и Cere (с теми же то<
ными константами) о покрытии круга и отрезков множеством значени

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 359
однолистной функции на р-листные функции w — zp-\- alzp*1+ • • •
С целью оценки коэффициентов этих функций, а также р-листных функ-
функций w = sp-f^p • -»-+•¦¦> регулярных вне круга К'<1 (за исключе-
исключением точки оо), Г. М. Г о л у зи н [12, 19] устанавливает аналог ин-
интегрального соотношения Правитца на р-листные -отображения и с его
помощью находит соотношение (обобщающее «теорему площадей»):
2 л l^pin,2 </> + (/?— 1)IVi2+ • ¦ • +l*/>-ii2» из которого следуют некото-
некоторые оценки коэффициентов ап и Ьп. В частности, всегда \аг\ <2р, причём
эта оценка—точная.
Ю. Е. Аленицын [1] доказал, что для р-листных функций
w — zq + aizq*s-\-a<,szq**s-\- ..., регулярных в круге | z | < 1, оценка коэф-
_2_Р
фициентов j ап \ < А (р, s) ns — 1, s < Ар, указанная Робертсоном при
дополнительных ограничениях на s и на функцию, справедлива всегда,
если только j<jj и s < Ар. Эта оценка распространяет на р-листные
функции оценки Литтльвуда, Литтльвудаи Палея, В. И. Л е в и н а для
однолистных функций.
С. А. Г е л ь ф е р [2] нашёл оценки границ звёздности и выпукло-
выпуклости для некоторых классов р-листных функций.
Дальнейшим обобщением класса конечно-листных функций является
введённый Спенсером класс функций, так называемых р-листных в сред-
среднем, охватывающий класс р-листных функций. Применив соответствую-
соответствующее определение к функциям и> = Ф(С)=*р + *р • -^ + •¦- , регулярным
вне круга |^'<1 (за исключением точки ? = оо, где они имеют р-крат-
ный полюс), Ю. Е. Аленицын [4] выделяет два подкласса р-лист-
р-листных в среднем функций Ф(С) на основании следующего критерия. Пусть
S(a; r, R)—площадь части римановойповерхности функции, проектирую-
проектирующейся в кольцо г <| w — a\< R; если существует такая точка а, что
или S (а; 0, /?)<р.т/?г для любого R (первый подкласс) или S (a; r, R) <
<p*(R2 — г2) для любого г>0 и всех достаточно больших R B-й подкласс),
то функция Ф (?) называется р-листной в среднем. Доказывая для этих
функций справедливость обобщённого соотношения Правитца, данного
Г.М. Голузиным [19] для р-листных функций, автор переносит
на функции р-листные в среднем оценки, полученные для р-листных функ-
функций. В частности, если функция Ф(',) = г- + Ь1 + -?+ ... однолистна в
среднем, то имеет место оценка («теорема площадей»):
Одним из обобщений класса однолистных функций служит класс
локально однолистных функций, подклассы которых были рассмотрены
Монтелем и Робертсоном. С. А. Г е л ь ф е р [1] изучил более широкий
класс функций f(z)=zk+ ... (к>\), регулярных в круге jzj<l и одно-
однолистных во всяком круге фиксированного радиуса р, р<1, изнутри каса-
касающемся окружности ] z i = 1, причём /' (z) ф 0, при 0 < ] 2 j<l. Он доказал
ряд теорем об искажениях этих функций и нашёл оценки для коэффициен-
коэффициентов в различных случаях. Факт существования этих теорем и оценок был

360 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ
обнаружен Монтелем. При этом оказалось, что величины, ограничиваю
щие \f(z)\, \j'(z)\, при |z|—И, имеют порядок роста, не зависящий от р
и что он такой же, как и для функций, однолистных во всём круге.
Зависимость порядка роста при|2|—»1 величины, ограничивающей
модуль локально однолистной функции от характера и расположения
в единичном круге областей её однолистности, исследован в работе
Ю. Е. Алепицына [3], в случае, более общем, чем у Монтеля
иуС. А. Гельфера, когда областями однолистности являются кру-
круговые двухуголышки, с фиксированным углом раствора, имеющие одну
из своих вершин на единичной окружности. Автор показывает, что поря-
порядок роста при 12 | —s-1 оценки модуля функции зависит только от угла
раствора.
3.4. Функции аналитические внутри круга и автоморфные функ-
функции. В ряде работ В. В. Г о л у б е в [2, 3, 11 ] впервые осуществил под-
подробное и систематическое перенесение, методов теории целых функций
на аналитические функции, имеющие заданное совершенное множество
особых точек и получил, таким образом, новые результаты, касающиеся
указанных функций. Хотя во многих местах исследования В. В. Г о л у-
б е в а относятся к общему случаю, мы ради простоты изложения будем
предполагать, что особым множеством является единичная окружность.
Прежде всего, В. В. Голубев строит аналитический аппарат
в виде канонических произведений для представления функций f(z),
регулярных внутри круга | z[< 1.
Примарные множители имеют вид:
п-1
ак — Ь
где г = Ьк — точка окружности jz|=l, ближайшая к точке z = ak.
При этом
о»
/B) = «»<*>
Пусть dk = \ ак — Ьк | и р — показатель сходимости ряда ]?} dk; тогда
где d — \— \z\, что является аналогом теоремы Бореля.
со •
Кроме того, для ¦ II и,, (z) [ даётся общее ограничение снизу. Далее
показывается, что на бесчисленном множестве окружностей, концен-
концентрических с особой окружностью j z | = 1, имеем
П «*
?|6), з>0,
где ? —показатель сходимости расстояний нулей функций от окруж-
окружности I z I = 1.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 361
Если /(z) —регулярна в круге \z\<\ и ап — её нули, то при
\f(z)\<expK.d~'1, где d = I —| z\, К — константа, h > 0, ряд 2 ^
к -1
будет сходящимся; этот факт позднее был переоткрыт Монтслем (см. 5.4).
Если, при тех же условиях, |/(z)| <Kd-h, то ряд 2 ^1;s сходится.
Как известно, из ограниченности f(z) следует сходимость ряда 2 ^л> что
также из своих рассуждений получает В. В. Голубев.
В. В. Г о л у б е в доказывает теоремы о связи между ростом функции
и её действительной (или мнимой) части, из которых вытекают некоторые
признаки единственности функций, а также распространяет теорему
Шоттки на функции изучаемого им класса. Наконец, В. В. Голубев
изучает множество Пикара для функций, имеющих особую линию. Пока-
Показывается, что множество Пикара есть наложение счётного множества
замкнутых множеств и что оно не содержит внутренних точек. В част-
частности, множество Пикара может быть незамкнутым. Даны примеры функ-
функций с различными множествами Пикара и указаны простые построения
аналитических функций, не имеющих исключительных значений.
Особо важными и интересными классами функций аналитических
в круге |.2|<1, для которых единичная окружность есть купюра,
являются классы автоморфных функций. Им посвящены работы
В. И. Смирнова, В. В. ГолубеваиГ. П. Боева.
В. И. С м и р н о в [2, 3] подробно изучает проблему обращения
отношения двух регулярных интегралов линейного дифференциального
уравнения
в связи с которой, как известно, возникают автоморфные функции. Пред-
Предполагается, что рассматриваемое уравнение имеет четыре особые точки.
В. В. Г о л у б е в [3] прилагает общие теоремы о функциях, име-
имеющих окружность |zj = l своей особой линией к автоморфным функциям
и находит различные оценки для функций, принадлежащих к типу Фукса.
Далее, изучаются граничные значения автоморфных функций, прини-
принимаемые ими, по всем не касательным к особой окружности путям, почти
всюду. Доказывается предложение, в силу которого автоморфная функ-
функция, фундаментальная область которой имеет счетное множество вер-
вершин на особой окружности, может принимать почти всюду на окружно-
окружности определённые значения только в том случае, если она неопределённа
хоть в одной из вершин фундаментальной области. В. В. Голубев
даёт новое доказательство теоремы Г. П. Боева [5]: если множество
вершин фундаментальной области, лежащих на особой окружности,
оо
имеет положительную меру, то ряд ^dn, где dn — расстояния эквта-
лентных между собой точек до окружности |z!= 1, сходится. Для огра-
ограниченной автоморфной функции найдено разложение в виде
со
, . . ЧГ< 1
/ (Z) = Z 7j л,,-. д,.1 д,. '

362 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В указанной работе Г. П. Б о с в показывает, что, в условиях теоремы,
кроме того, сходится также и ряд, составленный из эквивалентных дуг.
Что касается граничного поведения, то Г. П. Б о е и обнаружил нали-
наличие почти нсюду определённых предельных значений у ограниченной авто-
морфной функции и отсутствие их почти всюду у функций, граница фун-
фундаментальной области которой имеет счётное множество особых точек.
В другой работе Г. П. Б о е в [6] рассматривает последовательность
итераций рациональной функции, сходящуюся к треугольной или элли-
эллиптической функции.
В дальнейшем В. В. Г о л у б е в [9, 12. 13] продолжал исследо-
исследования задач аналитического и геометрического характера, относящихся
к автоморфным функциям, связанных с проблемами, затронутыми в его
упомянутом фундаментальном сочинении. Кроме того, основные вопросы
теории автоморфных функций систематически изложены в книге В. В. Г о-
лубева [16], посвященной аналитической теории дифференциальных
уравнений.
К некоторым обобщениям эллиптических и автоморфных функций
относятся работы Г. П. Б о е в а [7, 8] и П. А. Б е с с о н о в а [1, 2],
§ 4. ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА.
Граничные свойства аналитических функций — это свойства, про-
проявляемые ими в окрестности множества особых точек. Обычно вопрос
о граничных свойствах ставится для функции однозначной и аналитической
в данной области G и тогда речь идёт об исследовании функции в окрест-
окрестности границы Г (которая наряду с особыми точками может содержать
и правильные точки функции), а именно, о росте модуля функции, о суще-
существовании предельных значений, свойствах предельной функции, об опре-
определении функции по её предельным значениям и т. д.
В случае односвязной области, конформное отображение позволяет
свести общую задачу о граничных свойствах к изучению функций, анали-
аналитических в круге. Однако для некоторых теорий, например, для теории
интеграла Коши, целесообразно проводить исследование непосредственно
в более общих областях, ограниченных произвольными спрямляемыми
кривыми.
Результаты, получаемые для односвязных областей, частично имеют
силу и "для областей многосвязиых, в той мере, в какой функция изу-
изучается в них в окрестности изолированной связной компоненты границы.
Для бесконечно связных областей, где имеются компоненты, предельные
для других компонент границы, требуется особое исследование. Наиболее
изучен случай однозначных функций, непрерывных на множестве особых
точек. В нём содержится существенная часть теории функций с совер-
совершенным, всюду разрывным множеством особых точек.
Зарождение теории граничных свойств относится к первым годам
текущего столетия; оно тесно связано с развитием теории функций дейст-
действительного переменнсго.Своими позднейшими успехами теория граничных
свойств обязана, главным образом, советским учёным —Н. Н. Л у з и ну,
В. В. Голубеву, И. И. Привалову и др.
4.1. Существование предельных значений и соответствующие тео-
теоремы единственности. Простейшие и, вместе с тем, наиболее важные гра-
граничные свойства относятся к предельным значениям функции в углах
•с вершинами в точках единичной окружности у или вдоль кривых,

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 363
ведущих к точкам у. А. И. П л е с и е р [3] показал, что для функ-
функции /(z), мероморфной в единичном круге, все точки окружности,
за исключением, быть может, множества меры нуль, делятся на два
рода: в одних (точки' первого рода) функция имеет единственное
предельное значение внутри любого угла раствора, меньшего г., сим-
симметричного относительно радиуса и с вершиной в данной точке*), в дру-
других (точки второго рода) совокупность предельных значений функции
внутри произвольного угла с вершиной в данной точке покрывает всю
плоскость. Ещё раньше И. И. Привалов [4] заметил, что для того
чтобы утверждать, что почти все точки некоторого множества Е, mes E>0,
на окружности являются точками первого рода для данной функции
/(г), нет необходимости рассматривать в каждой точке С 6 Е все углы рас-
раствора, меньшего я, с вершиной в ?; достаточно установить наличие преде-
пределов в углах с произвольно фиксированным раствором а (С) (а (С) предпола-
предполагается измеримой функцией ?). Точно так же нет необходимости рассма-
рассматривать предельные значения самой функции f(z); достаточно установить,
что её действительная (или мнимая) часть имеет угловые предельные
значения почти всюду на Е.
Пример мероморфной функции, не имеющей угловых предельных
.значений ни в одной точке окружности, даёт известная автоморфная функ-
функция Шварца**). С другой стороны, давно известен обширный класс меро-
морфных функций, для которых угловые предельные значения сущест-
существуют почти всюду. Это функции ограниченного вида, т. е. функции,
представимые в виде частного двух ограниченных по модулю функций.
Функция, не входящая в этот класс, может, конечно, иметь угловые
•предельные значения, но если ни одно из них не принимается функцией
внутри круга, то тогда они могут существовать только на множестве меры
нуль, как показал И. И. П р и в а л о в [41], обобщая свойства автоморф-
ных функций.
Пусть / (z) sj= const — мероморфная в единичном круге функция, облада-
обладающая угловыми предельными значениями на множестве Е точек окружно-
¦сти положительной меры и пусть Е—.множество всех угловых предельных
значений, принимаемых на Е. И. И. Привалов [41J, используя методы
¦его, совместной с Н. Н. Л уз и ным, работы***) и опираясь на одну теорему
Р. Неванлянна, доказал, что Е содержит некоторое замкнутое множество
положительной гармонической меры. Отсюда вытекает, как следствие,
теорема единственности для мероморфных функций: мероморфная функция
¦единственным образом определяется своими угловыми предельными значе-
значениями, принимаемыми на множестве точек окружности положительной
меры. Важнейший частный случай этой теоремы, относящийся к голо-
голоморфным функциям, был впервые установлен Н. Н. Л у з и и ы м
•и И. И.Приваловым [2]****). Этот результат давал ответ на вопрос,
поставленный П. фату*****). Именно, приведя пример функции, для ко-
которой угловые предельные значения равны нулю на несчётном множестве
*) Соответствующее предельное значение называется угловым предельным зна-
значением функции.
**) См., например, Мотель, Нормальные семейства аналитических функции.
М.—Л., ГТТИ A938).
***) См. Н. Н. Л у з и и и И. И. П р и в а л о в [2].
****) Для функций, ограниченных по модулю, теорема единственности была
получена другими методами Ф. и М. Рисе в 1916 г. Их работа, опубликованная во
время войны в весьма редком издании, долго оставалась у нас неизвестной.
*****) См. его диссертацию Series trigonometriques et series de Taylor A906).

364 ТЕСРЛЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
точек меры нуль, Фату прибавлял: «вероятно, что однозначная функция
может принимать значение нуль только па множестве точек меры нуль
изолированной купюры, но представляется весьма трудным дать общее
доказательство этого факта». Теоремы единственности Лузина-Привалова
не могут быть усилены, как установил Б. Б. Д е в и с о н [1 ], доказавший,
что для любого множества е меры нуль на окружности у можно построить
функцию /(г)фО, голоморфную, в единичном круге и имеющую во всех
точках е угловые предельные значения, равные нулю.
Предел мероморфной функции в точке ?6 Y, ПРИ стремлении к ^ вдоль
радиуса, называется её радиальным предельным значением. И. И. При-
Привалов [41 ] доказал следующую теорему: для мероморфной функции
/(z)=js const совокупность радиальных предельных значений, прини-
принимаемых на множестве точек окружности второй категории на некото-
некоторой дуге а и таком, что любая порция его на а обладает положительной
мерой, содержит в себе замкнутое множество положительной гармони-
гармонической меры. Здесь снова содержится теорема единственности для меро-
морфных функций в следующем виде: мероморфная функция единствен-
единственным образом определяется своими радиальными предельными значениями,
принимаемыми на мномсестве точек окружности, удовлетворяющем
условиям предыдущей теоремы. Важнейший частный случай этой теоремы
единственности, относящийся к голоморфным функциям, был получен
впервые Н.Н.Лузиными И. И. Приваловым [2].
Этим разрешался в отрицательном смысле следующий вопрос П. Фату:
«возможно ли получить аналитическую функцию, определённую, напри-
например, рядом Тейлора с конечным радиусом сходимости и непродолжимую,
которая принимала бы значение нуль во всех точках окружности сходи-
сходимости вдоль радиусов, оканчивающихся в них».
Условия, содержащиеся втеореме единственности Н. Н. Лузина
и И. И. Привалова (для радиальных значений), не могут быть ослаб-
ослаблены, что следует из двух фактов, установленных в том же мемуаре:
а) существует голоморфная функция)(z) Ф 0, для которой радиальные
предельные значения равны нулю на мномсестве точек у меры 2- (но первой
категории);
б) существует голоморфная функция / (z) Ф О, для которой радиальные
предельные значения равны нулю на множестве точек у второй категории
и положительной меры *) (которую можно взять сколь угодно близкой к 2я).
С помощью конформного отображения все указанные результаты
распространяются на случай любой области, ограниченной жордановой
спрямляемой кривой. При этом существенно используются предложения
об инвариантности множества меры нуль и о сохранении почти всюду
углов с вершинами в точках спрямляемой границы (§ 1).
Наряду с угловыми и радиальными предельными значениями изуча-
изучались также предельные значения, понимаемые в ином смысле.
Так, например, Н. Н. Лузи н [3] построил функцию/(z), голоморф-
голоморфную внутри единичного круга К и такую, что если удалить из К внутрен-
внутренности некоторой последовательности кружков {Кп}, попарно не имеющих
общих точек, с радиусами, стремящимися к нулю и центрами, стремящи-
стремящимися к единичной окружности, то \f(z)\ на остающемся множестве равно-
*) Однако ни на какой дуге о окружности не выполняются одновременно два
условия: множество имеет вторую категорию и каждая его порция обладает положи-
положительной мерой.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 365
мерно стремится к со, при | z ] —>1. Этот пример послужил в качестве инстру-
инструмента для построения других примеров аналитических функций, обла-
обладающих теми или иными особенностями в отношении граничных свойств.
Значительная их часть была опубликована в основном мемуаре Н. Н. Л у-
зина и И. И. Привалова [2]. Своеобразие примера Н. Н. Л у-
з и н а уясняется с помощью следующего предложения, являющегося
следствием классической теоремы единственности: если G — область,
ограниченная жордаиовой кривой Г и/? —множество, полученное из О
путём выбрасывания счётного множества областей, попарно без общих
точек, и с диаметрами, стремящимися к нулю, то всякая функция, голо-
голоморфная в G и стремящаяся к нулю, когда г, оставаясь в R, стремится
к точкам некоторой дуги, лежащей на Г, есть тождественный нуль.
4.2. Представление аналитических функций через их предельные
значения. Первый результат, расширяющий рамки классической теории
интеграла Коши, был получен в 1906 г. П. Фату, доказавшим, что анали-
аналитическая функция / (z), ограниченная внутри круга, обладает угловыми
предельными значениями / (С) почти во всех точках окружности у и выра-
выражается через них интегралом Коши:
{последний интеграл понимается в смысле Лебега).
Естественное обобщение интеграла Коши представляет интеграл
типа Коши-Лебега:
у (О <К
2л! }
да
где L — спрямляемая кривая, а ^ f,) a priori заданная, суммируемая на L
функция; для интеграла D.2:2), конечно, нельзя утверждать, что его
предельные значения совпадают с 9 (')• После работ Племеля, изучавшего
предельные значения интеграла типа Коши с непрерывной функцией
<pQ, следующий шаг в разработке общей теории был сделан в магистер-
магистерской диссертации В. В. Голубева *), послужившей отправным пунк-
пунктом для исследований Н. Н. Лузина, И. И. Привалова
и В, С. Ф ёдорова. Во второй главе своей работы В. В. Голубев,
обобщая результаты Племеля, доказал, что разность двух значений общего
интеграла D.2:2) в двух точках г' и г", симметричных относительно
точки Со ?L, стремится к <?("¦,„) почти во всех точках Со, когда г' и z" стре-
стремятся к 'о, оставаясь на какой-либо прямой, не касающейся L в точке 10.
¦Отсюда, как простое следствие, вытекало, что условия
^-Д? К) •:"</;= 0, #1 = 0,1,2..., D.2:3)
достаточны для того, чтобы суммируемая на L функция <р(С) совпадала
почти всюду на L с угловыми предельными значениями аналитической
внутри L функции, представимой интегралом Коши. Необходимость этих
условий (И. И. Привалов [4]) получается со ссылкой на теорему един-
единственности для угловых предельных значений.
*) В. В. Голубев, Однозначные аналитические функции с совершенным множе-
множеством особенностей. М., A916V

366 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Далее, В. В. Голубев распространил результаты Фату на случай
области, ограниченной произвольной жордановой спрямляемой кривой
и заметил, что из полученного им обобщения будет следовать теорема
об инвариантности множества меры нуль, при конформном отображении
круга на область, ограниченную жордаиовой спрямляемой кривой,
если только удастся построить аналитическую, ограниченную в единичном
круге функцию, которая не имела бы угловых предельных значений на
множестве меры нуль, заданном a priori. Соответствующее построение
было дано Н. Н. Лузиным [1].
Дальнейшее продвижение теории требовало выяснения условий
существования особого интеграла, т. е. существования предела
- С 2^1 \С -Т
— ^о ini J ' ''О
L
где LB получается путём исключения из L двух дуг одной и той же длины г,
откладываемых по обе стороны от Со. И. И. Привалов [4] доказал,
что при некоторых условиях, наложенных на L *), особый интеграл суще-
существует почти всюду на L и также почти всюду на L существуют угловые
предельные значения интеграла типа Коши, выражаемые формулой
(знак + соответствует стремлению 2 к С, изнутри L, а знак — извне).
Отсюда, в частности, вытекало, что угловые предельные значения
\ fsd-2 совпадают с <р (С), тогда и только тогда, когда
почти всюду на L. Это условие, налагаемое на ?(;), эквивалентно указан-
указанным выше условиям D.2:3).
Если L—кусочно-гладкая кривая с ненулевыми углами и ?(С)-
функция, непрерывная на L и удовлетворяющая условиям Липшица-
Гёльдера
то функция f(z), представленная интегралом типа Коши D.2:2), является
равномерно непрерывной внутри L, так что для каждой точки С 6 L суще-
существует lim/(z)=/G), причём функция /(?) удовлетворяет условиям:
z->C
|/C.)-/C.)i<K'i:.-'.ix. если ).<1
и
^/I <K"!C1-:2|[K'" + |ln|;1-C2|i], если Ы .
(И. И. Привалов [4,51]).
*) Например, в предположении, что L состоит из конечного числа дуг опреде-
определённой погнутости.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 367
В соотношениях D.2:3) или D.2:6) необходимые и достаточные
условия представимости аналитической функции интегралом Коши выра-
выражены в терминах предельных значении функции. Г. М. Фихтен-
гольц[14] заметил, что условие принадлежности функции /(z), анали-
аналитической в единичном круге, к классу Н1, т. е. выполнение соотношений
вида:
0<г<1, D.2:7)
указанное Ф. Рнссом в качестве достаточного для представимости / (z)
её интегралом Коши или её интегралом Пуассона:
2я
является также и необходимым. Здесь, как и в первоначальном резуль-
результате Фату (дававшем лишь достаточные условия), предельные значения
функции не фигурируют, а ограничению подвергается оцениваемый в сред-
среднем рост | / (z) | при | z | —> 1.
Класс //i является одним из классов Нь (8 > 0) функций! аналитиче-
аналитических в единичном круге (ф. Рисе), определяемых при помощи соотношений:
5), 3 > О, О < г < I - D.2:9)
б
Все они содержатся в классе А, изучавшемся Неванлинна и Остров-
Островским, и характеризуемом соотношениями:
2г.
±^\n*\f(rel')\d0<C(f), 0<г<1. D.2:10)
и
Этот последний класс совпадает с совокупностью голоморфных в единич-
единичном круге функций ограниченного вида. Следовательно, функции класса А
(и, в частности, классов//5) обладают угловыми предельными значениями
/(С) почти во всех точках единичной окружности. Относительно /(С)
известно (А. Островский, Ф. Рисе и Г. Сеге), что 1п|/(С)|— суммируемая
функция и, что в случае, когда /(z)€#s, функция |/(С)|8 также яв-
является суммируемой.
В. И. Смирнов [10] подверг систематическому исследованию
вопросы аналитического представления функций классов Н* и А. Он пока-
показал, что функции класса А полностью характеризуются наличием предста-
представления вида
2п .„ 2п .„
где
1--?.

368 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
— функция Бляшке для f(z) (а,, а2, ...,я„, ... задаются произвольно,
со
при единственном условии, что 2('-|an|)< + °°)> Qi (&) и q @) — дей-
i
ствительные функции, из которых первая суммируема, а вторая имеет
ограниченное изменение на [0, 2~], причём её производная почти всюду
равняется нулю. Функции класса #s можно охарактеризовать тем, что для
них ql(b) = \np@), где р@)>О и [p(G)]s —суммируемая функция,
a q(b) — невозрастающая функция. Если /(z) принадлежит классу Hv
и 2~ \ I /(е'')) Мб < со для ? > 8', то /(z) принадлежит классу Нь. Имеет
и
место и более сильная теорема (В. И. См и рнов [12]): ecauf(z) принад-
принадлежит классу А,
2 те 2те
И m ^ J in* | / («») | rfu = I J In* | / («") | dO
!** j • 2к _
и и
<OO7
mo /(z) принадлежит классу Hi.
Интересное граничное свойство функций класса Нг было обнаружено
Н.Н.Лузиным [29]: почти для каждой точки С единичной окруж-
окружности можно найти выпуклый, замкнутый контур 1\, все точки кото-
которого, отличные от С, принадлежат единичному кругу, такой, что
\ \ |/'(^)|2^а < °°i /п. е. площадь образа области D^, ограниченной Гс,
конечна. Это свойство, повидимому, может иметь значение для исследова-
исследования сходимости ряда Тейлора в точках единичной окружности (ср. 5.1).
В связи с этой теоремой Н. Н. Лузин [47] поставил следую-
следующий вопрос: существует ли ограниченная в единичном круге функ-
функция /(z), для которой образ (вообще мнэголистный) любого круга,
касающегося изнутри единичной окружности, имел бы бесконечную
площадь?
В. И. Смирнов [12] исследовал условия, при которых функция
/(z), аналитическая в области О, ограниченной жордановой спрямляемой
кривой L, выражается через свои угловые предельные значения интегра-
интегралом Коши, или, представляющим обобщение интеграла Пуассона, инте-
интегралом Грина:
Пусть z = O(w) какая-либо из функций, конформно отображающих
круг\\*>\<\ на данную область G. Тогда, для представимостиf(z) инте-
интегралом Коши необходимо и достаточно, чтобы функция /(O(w))o' (iv) при-
*) Здесь G (?, z) обозначает функцию Грина для области G, имеющую логариф-
логарифмический полюс в точке z, a dGJdn— её нормальную производную.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 369
надлежала классу Я, в круге \w\< 1, а для представимости интегралом
Грина—чтобы функция f(ty(w)) принадлежала классу Нх.
Первое из этих условий означает, что
±^\f(z)\ds<C(f), 0<г<1, D.2:14)
L
где L, образы окружностей \ w\ = r, при отображении z = o(w). Соответ-
Соответствующий класс функций, аналитических в области G, обозначается через
?х. М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [6] заметили, что для
принадлежности к Ег достаточно, чтобы условие
lk\>\f(z)\ds<C(f), л = 1,2..., D.2:14')
с„
выполнялось для какой-либо последовательности жордановых спрямля-
спрямляемых кривых {Сп}, сходящихся к L изнутри области. А. Л. Ш а г и н я н [8]
показал, что существует область G', функция f(z) класса Ех и такая
последовательность спрямляемых кривых {А„}, сходящаяся к L изнутри G
и удовлетворяющая, кроме того, условию lim дл. Л„ = дл. L, что
П-КЭО
>= ОО .
Вместе с этим было показано, что функция класса Ек относительно обла-
области G может не принадлежать классу Et относительно некоторой подобла-
подобласти GjСТО со спрямляемой границей Lx.
Для функций аналитических в единичном круге и представимых в нём
интегралом Коши, т. е. для функций класса Я,, из неравенства | / (еи)\ < М,
выполняемого почти всюду на @,2я), вытекает неравенство | / (z) | < М для
|z|<l. Аналогичное заключение перестаёт быть верным для функций
аналитических в области G, ограниченных произвольной жордановой
спрямляемой кривой L и представимых интегралом Коши, т. е. для функ-
функции класса ?,. Именно, В. И. Смирнов [12] показал, что для функ-
функций класса Е, неравенство |/ (z) \ < М, z?G является следствием неравен'
ства |/(С)|<М, выполняемого почти всюду на L, тогда и только тогда,
когда справедлива формула
w = reia, D.2:15)
т. е. когда логарифм модуля производной от функции, конформно отобра-
отображающей единичный круг на область G, представляется своим интегралом
Пуассона. Существование областей со спрямляемыми границами, для
которых условие D.2:15) не выполнено, было установлено М. В. К е л-
дышеми М.А. Лаврентьевым [б].
Предыдущие рассмотрения относились к ограниченным областям;
для неограниченных областей, например, для полуплоскости нужно осо-
особое исследование.
24 Математика в СССР вл 30 лет.

370 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В работе В. И. К р ы л о в а [3] изучались классы функций, аналити-
аналитических в полуплоскости, аналогичные классам #« и А в случае круга
Определив эти классы посредством условий:
+ 00
—оо
и, соответственно,
+0О
$ In*\j(x + iy)\dx<C
— 00
автор установил основные свойства функций этих классов и дал для ни::
параметрические представления.
М. Г. К р е й н [12], изучая целые функции, установил, что для целок
функции /(z), ln+ |/(z) | имеет гармоническую мажоранту в каждой из дву:
полуплоскостей Imz>0 и Imz<0 тогда и только тогда, когдь
Ш-+ОЭ I Z I
¦ ОО
Естественным обобщением интеграла типа Коши (Коши-Лебега
является интеграл типа Коши-Стилтьеса:
1 йФ (s)
2ni 3 С,
D.2:16
где s—Длина дуги L, отсчитываемая в положительном направлении о
какой-нибудь точки на L, a = a(s)—угол между положительным напра
влением касательной к L в точке C = C(s) и действительной осью и Ф(в)—
комплексная функция с ограниченным изменением на [О, X] (X—длина L,
В. И. Смирнов [10] доказал для случая круга, что функция, пред
ставимая интегралом типа Коши-Стилтьеса, принадлежит каждому к
классов Hi, при 0 < 3 < 1 и, что, следовательно, для при падл ежнош
её к классу Я, достаточно, чтобы функция /(С)(|?| = 1) была суммиру-
суммируемой. И. И. Привалов [55] распространил на интегралы D.2:16
основные предложения, установленные им ранее для интегралов Кои№
Лебега. В случае, когда предельные значения D.2:16) почти всюду ш.
L совпадают с Ф' (s), интеграл D.2:16) естественно называть интеграле»
Коши-Стилтьеса. И. И. П р и в а л о в показал, что в этом случае фун.ь
цияФ(?) необходимо является абсолютно непрерывной, так что интегра.=
Коши-Стилтьеса совпадает с интегралом Коши-Лебега.
Изложенный круг вопросов тесно связан с изучением граничим,
свойств гармонических функций. Так, в основе диссертации Фату,
положившей начало систематическому изучению граничных свойств ана-
аналитических функций, лежит теорема о том, что производная интеграла
Пуассона-Л еб era
имеет угловое предельное значение во всякой точке, в которой /(G) имее
производную, причём это предельное значение равно этой производнА

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 371
Некоторым дополнением к этой теореме может служить следующий резуль-
результат А. И. м а р ку шев.ич а [2]: пусть /@)—функция, суммируемая
в интервале (О, 2*), ограниченная в окрестности Ь = 60 и обладающая
производной jj? @), взятой по некоторому множеству Е, для которого
Ь = 0оесть предельная точка; для того чтобы интеграл D.2:17) имел
угловое предельное значение fE(Q0) в точке С = «*'<>, какова бы ни была функ-
функция /@), удовлетворяющая указанным условиям, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство:
где (СЕ)К обозначает множество точек интервала F0 — г, S0-f =), не
принадлежащих Е.
Если
1—г2 ..
—^db
и v{r, а) —сопряжённая гармоническая функция, то, при гипотезе непре-
непрерывности /F), ещё Фату было установлено, что v {r, а) имеет предел
$ ^dO D.2:18)
•о—я
при а=0о и г—>1 во всякой точке, где существует последний интеграл
(понимаемый в смысле главного значения). И. И. Привалов [4] дока-
доказал для общего случая, когда /@)—суммируемая функция, что интеграл
D.2:18) существует почти всюду и что v (r, а) принимает почти всюду
угловые предельные значения D.2:18). В случае, когда /@) непре-
непрерывна и удовлетворяет условиям Гельдера с показателем X, Фату было
показано, что gF) удовлетворяет условиям Гельдера с показателем ^
At 1
И. И. Привалов [4] существенно усилил результат Фату, доказав,
что фактически показатель условий Гельдера для g @) совпадает с к, если
Х<1, а при Х = 1 g(b) удовлетворяет условию:
т е. во всяком случае, удовлетворяет условию Гельдера с любым пока-
показателем, меньшим единицы.
Большинство результатов, рассмотренных в 3.1 и 3.2, изложены
в содержательной монографии И. И. П р и в а л о в а [56].
Общую .задачу, которая ещё ждёт дальнейших исследований, можно
было бы расчленить на три, связанные между собой:
^ а) охарактеризовать класс аналитических в единичном круге функ-
функций, обладающих угловыми предельными значениями на множестве
точек положительной меры;
б) исследовать условия, при которых функция ? (С) = ^ (е'°), опреде-
определённая на некотором множестве Е, mes Е>0 точек окружности, совпадает
почти всюду на Е с предельными значениями некоторой аналитической
в единичном круге функции /(z);
в) если условия задачи б) выполнены,—построить по <p(Q соответ-
соответствующую функцию / (z).
24*

372 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В связи с последней задачей отметим одну работу Г. М. Г о л у-
з и н а и В. И. Крылова [1], в которой полностью решается задача
об определении функции класса Et по её угловым предельным значениям,
заданным на множестве граничных точек, имеющем положительную меру.
Аналогичные задачи можно было бы формулировать, например, для
радиальных предельных значений, потребовав для обеспечения единствен-
единственности, чтобы множество Е было второй категории на некоторой дуге о
и чтобы каждая порция ? на о обладала бы положительной мерой.
К теории граничных свойств можно отнести также некоторые резуль-
результаты, полученные А. Я. Хинчиным, И. И. Приваловым
и Г. М. Фихтенгольцем, относительно сходимости последова-
последовательности аналитических функций. А. Я. X и н ч и н [4, б] доказал, что
последовательность аналитических функций {/„(z)j, равномерно огра-
ограниченных в области G со спрямляемой границей Г, сходящаяся на
множестве Е точек Г, имеющем положительную меру, сходится равно-
равномерно внутри G. Теорема эта обобщала теорему Монтеля, в которой
¦множеством Е являлась некоторая дуга*). И. И. Привалов [19]
доказал, что теорема А. Я. Хин чина остаётся в силе и тогда, когда
функции {/„(г)}, не будучи равномерно ограниченными, не принимают
значений, принадлежащих некоторому линейному континууму плоскости.
Несколько иной характер носят следующие теоремы Г. М. Фи х-
тен гольца [11 ]: Пусть {/„ (z)}— последовательность функций анали-
аналитических в единичном круге и удовлетворяющих условиям:
|/n(«'e)|//(|/n(re'e)i)de<N, 0<г<1; л=1, 2, ..., D.2:19)
и
где Н(t)—положительная функция, неограниченно возрастающая вместе
с t. Для того чтобы последовательность {/„(z)} равномерно сходилась
внутри единичного круга, необходимо и достаточно, чтобы последова-
последовательность { \ /п (?"*) ^а } сходилась на множестве положительной меры.
о
Если условие D.2:19) заменить следующим:
2 о
\\fnire»)\dB<N, 0<г<1; л=1,2, ....
и
то, полагая
2л;
можно утверждать, что для равномерной сходимости {/„(z)} внутри еди-
единичного круга необходимо и достаточно, чтобы последовательность
{фп(а)} сходилась по мере на некотором множестве точек положительной
меры.
*) Для случая, когда О есть круг, подобный же результат был независимо
получен Островским, отметившим, что теорема имеет место также при условии
In* |/п(ге«ч)| dH<N, 0<r< \,п = 1,2,...

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО . ' 373
4.3. Аналитические функции, непрерывные на множестве особен-
особенностей. Если однозначная функция/(z) непрерывна в некоторой области G
и является аналитической в ней, за исключением, быть может, некоторого
замкнутого множества Е, то при известных условиях она будет аналити-
аналитической также и во всей области G. Очевидно, прежде всего, что /(z) будет
аналитической во всех изолированных точках Е; поэтому множество ?
a priori можно считать совершенным. Если оно всюду разрывно и имеет
конечную длину*), то, как показал Пенлеве, /(z) будет аналитической
во всех его точках. Пример множества Е бесконечной длины, для которого
существует непрерывная в расширенной плоскости функция /(г) ф const,
аналитическая всюду вне Е, был построен Помпею. В этом примере, од-
однако, мера Е (поверхностная) положительна. Первый пример совершен-
совершенного, всюду разрывного множества меры нуль, являющегося множеством
особых точек для некоторой непрерывной в расширенной плоскости функ-
функции, был дан в упомянутой выше диссертации В. В. Голубева. Позднее,
аналогичный пример был построен П. С. У р ы с о н о м [2]. Примеры
В. В. Голубева и П. С. Урысона, а также дальнейшие при-
примеры Данжуа, оставляют открытым следующий вопрос: нужны ли какие-
либо дополнительные условия, и если нужны, то какие именно, для того,
чтобы совершенное, всюду разрывное множество Е, не содержащее порций
конечной длины, могло бы служить множеством особенностей однознач-
однозначной в окрестности множества ? непрерывной аналитической функции?
Наиболее общее a priori возможное множество особенностей одно-
однозначной аналитической функции — это совершенное множество без внутрен-
внутренних точек. Из них наиболее простыми, наряду с совершенными всюду
разрывными, являются линейные континуумы. Если, в частности, кон-
континуум С есть жорданова спрямляемая кривая, то, как показал Пенлеве,
функция, непрерывная в области G, содержащей С, и аналитическая в G — С,
будет аналитической также и во всех точках G.
Н. Н. Лузин**) заметил, что теорема Пенлеве распространяется
и на такие жордановы кривые у, для которых каждое совершенное под-
подмножество содержит спрямляемую порцию. Им был поставлен вопрос,
исследовавшийся затем Данжуа, об условиях, при которых однозначная
жорданова дуга (т. е. график однозначной и непрерывной действительной
функции у=/(х)) может служить множеством особенностей некоторой
непрерывной функции. И этот частный вопрос, а также и более общий
вопрос о том, необходимы ли дополнительные условия, и если нужны,
то какие именно для того, чтобы жорданова кривая, ни одна из порций
которой не удовлетворяет указанному выше условию Н. Н. Л узина,
могла бы быть множеством особенностей непрерывной функции, ждёт ещё
дальнейшего исследования.
Изучением предельных значений, которые непрерывная функция f(z)
принимает на своём множестве особенностей, занимался В. С. Фёдо-
Фёдоров [!..2, 6, 17]. Ему принадлежит следующая теорема единственности:
•) Совершенное множество Е называется всюду разрывным, если в любой окрест-
окрестности каждой из его точек г можно провести замкнутую жорданову кривую, не про-
проходящую через точки Е и содержащую внутри точку г. Длиной (о смысле Пеилеве)
называется нижний предел сумм длин замкнутых жордановых спрямляемых крирых
Qt(,n) <sn'nl, попарно внешних друг к другу и содержащих внутри все точки Е, при
услонии, что п-* оо и наибольший из диаметров о/"),..., оП(") стремится к пулю.
¦•) См. A. Denjoy. Stir la continuite des fonctions amiHiques singulierfs. Bull.
Soc. Math, de Frptue, IX A932).

374 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
функция f(z), однозначная и непрерывная в области G, аналитическая
в области G—Е, где Е — совершенное (относительно области G) всюду
раз разное множество точек, единственным образом определяется через
свои значения па каждой порции Е. Более того, задание одной только дей-
действительной её части на порции Е определяет функцию с точностью
до аддитивного постоянного.
Указанная теорема оттеняется следующим замечательным приме-
примером, найденным Н. Н. Лузиными И. И. Приваловым [2]:
существует непрерывная в замкнутом единичном круге К Функция
/(z) Ф О, обращающаяся в нуль в каждой точке единичной окружности
и аналитическая б области К — Е, где Е—некоторое совершенное (отно-
(относительно /<) всюду разрывное множество.
Далее, В. С. Фё д о р о в [12, 14] изучал множество R тех точек осо-
особого множества Е, в которых существует производная/' (С)—lim '/2)~{/') ,
и установил, между прочим, что R может быть всюду плотным на Е.
Значительное число работ В. С. Фёдорова посвящено вопросам
аналитического представления непрерывных аналитических функций
посредством аппарата, являющегося двумерным аналогом интегралов
типа Коши.
Помпею и Данжуа заметили, что если Е, mesE>0, ограниченное
измеримое множество точек плоскости и <p(z)—измеримая и ограничен-
ограниченная на ? функция |<p(z)| <ЛТ, то двойной интеграл ^ \ у~г dv — инте-
грал Помпею-Данжуа (коротко, интеграл P-D) — представляет непре-
непрерывную во всей плоскости функцию, удовлетворяющую в любой окрест-
окрестности U множества Е соотношению:
!/(«i)-/BO!<Af{CI(C/)|21-zI!flln|z,-z1|! + Cs(t/)]}. D.3:1)
Функция эта—аналитическая вне Е и обращающаяся в нуль в беско-
бесконечно удалённой точке.
Предположим, что Е—ограниченное совершенное множество, не содер-
содержащее внутренних точек и не разбивающее плоскости, и что каждая пор-
порция Е имеет положительную меру (поверхностную). В. С. Ф ё д о р о в [13]
показал, что для представимости функции /(z), непрерывной в некото-
некоторой окрестности U множества Е и аналитической в U — Е, формулой:
где ?(z) — ограниченная функция и Н (z) — функция аналитическая в U,
необходимо и достаточно,чтобы для любого круга /<<:, принадлежащего U,
с центром Вч??и радиусом р > 0, существовал полином р (z), удовле-
удовлетворяющий в К', условию:
i/(z)-p(z)|<C-p, D.3:3)
где С не зависит от К',. Если условие D.3:3) заменить следующим:
|/(z)-p(z)|<C.pH«f
где ? > 0, то отсюда будет вытекать, что J(z)—'аналитическая во всей
области G. В той же работе даётся пример функции /(z), /(°°)=0, непре-

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 375
рывной во всей плоскости и аналитической вне некоторого ограниченного,
совершенного, всюду разрывного множества Е, каждая порция которого
имеет положительную меру, которую невозможно представить по фор-
формуле D.3: 2), даже считая <р (С) неограниченной (суммируемой) функцией.
В других работах В. С. Ф ё д о р о в [7, 10, 11] занимался вопросами
представимости непрерывных аналитических функций в виде суммы ряда
интегралов P-D.
§ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
Этот параграф охватывает исследования, многочисленные и разно-
разнообразные как по тематике, так и по методам. Обширная группа вопросов
связана с классической проблемой изучения ряда Тейлора, куда относится
не только изучение сходимости и суммируемости, но и изучение свойств
аналитических функций, в зависимости от свойств коэффициентов ряда.
Исследования ряда Дирихле в своей основной части связаны с теорией
чисел и поэтому представлены здесь лишь в малой мере.
Большое количество результатов получено в теории приближения
функций и интерполяции функций в комплексной области. Особое раз-
развитие в трудах советских математиков получили относящиеся сюда
проблемы полноты и единственности. Последние, в отличие от проблем,
связанных непосредственно с граничными свойствами функций, пони-
понимаются здесь в следующем специальном смысле: пусть Е— некоторое мно-
множество аналитических функций, рассматриваемое как линейное простран-
пространство, и {Ln} — последовательность линейных функционалов, определённых
на Е. Требуется выделить множество е функций, обладающих тем свой-
свойством, что из Ln (/) = 0 (п --1, 2, ...) следуетьчто f(z) = 0. Простейший при-
пример даёт пространство Е всех функций, аналитических в данной
области, и последовательность функционалов Ln(/)=/(zn), где точки zn
имеют предельную точку внутри области; здесь е = Е.
Среди проблем, не укладывающихся в указанную тематику,
выделяется проблема общего изучения множества точек сходимости
и свойств предельной функции для произвольной последовательности
аналитических функций. К ней примыкают аналогичные исследования,
относящиеся к последовательностям гармонических функций. Эти проб-
проблемы, а также некоторые другие, не связанные с ними, выделены нами
в особый пункт.
5.1. Ряд Тейлора. Исследования, относящиеся к ряду Тейлора,
часто трудно отделить от общего изучения функций аналитических в круге
конечного или бесконечного радиуса. Сюда относятся: исследования схо-
сходимости (суммируемости) ряда Тейлора, куда примыкает и теория анали-
аналитического продолжения (в частности вопрос о сверхсходимости) и исследо-
исследования свойств функций, представленных рядом Тейлора в зависимости
от коэффициентов ряда, в частности определение особых точек, изучение
роста, распределение значений, арифметические свойства и т. д.
Мы начнём наш обзор с вопросов сходимости. Н. Н. Лузин*)
показал, что среди рядов Тейлора
.. E.1:1)
*) Ober eine Potenzreihe. Rend. mat. Circ. Palermo, 32 A9П).

376 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
с коэффициентами, стремящимися к нулю, существуют ряды, расходя-
расходящиеся во всех точках единичной окружности («Пример Лузина»). В другой
работе Н. Н. Лузин [47] доказал, что при том Же условии liman = 0
п-юо
ряд Тейлора сходится почти всюду на каждой дуге о единичной окружно-
окружности, к которой примыкает какая-либо область G, отображаемая посредст-
посредством iv =/(z) на риманову поверхность конечной площади. В случае, когда
за область G можно принять весь единичный круг, условие конечности
оо
площади обозначает, что ^ n\an'f < оо, и сходимость ряда E.1:1)
почти всюду на окружности |z|=l вытекает тогда из известных теорем
теории рядов Фурье. Смысл новой теоремы Н.Н.Лузина заключается
в том, что в ней условие конечности площади приобрело локальный
характер. Отметим следующую гипотезу, высказанную в той же работе:
если производная/'(z) ограниченной аналитической функции имеет в еди-
единичном круге какое-либо исключительное конечное значение, то ряд
Тейлора для /(z) сходится почти во всех точках единичной окружности.
К исследованиям сходимости ряда Тейлора относятся работы
И. И. П р и в а л о в а [4, 5, 16], в которых изучается связь между сходи-
сходимостью (суммируемостью) в точках единичной окружности действитель-
действительной и мнимой частей ряда Тейлора.
Результаты И. И. П р и в а л о в а были завершены следующей тео-
теоремой А. И. П л е с и е р а [5]: если действительная часть ряда Тейлора
сходится (или суммируется одним из методов Чезаро или Абеля) па неко-
некотором множестве точек окружности, то и мнимая часть ряда Тейлора,
а следовательно и сам ряд Тейлора, сходится (или суммируется тем же
методом) почти во всех точках этого множества.
Аналитическое продолжение ряда Тейлора можно рассматривать как
своего рода суммирование этого ряда. А. И. М а р к у ш е ви ч [13]
показал, что существуют две такие последовательности натуральных
чисел {пк} и {тк} и такая последовательность действительных чисел {8,},
Hm V~Ш = Hm VV^K\ = 1.
п->оо n-»oo
оо
что для всякой функции / (z) == 2 aiz' справедливо разложение
пк тк
f(z) = lim (У,W' + У. A ~»/)atzi}, E.1:2)
равномерно сходящееся внутри прямолинейной звезды Миттаг-Леффлера
функции)(z) *). Здесь аналитическое продолжение осуществляется путём
разложения ряда Тейлора на сумму двух степенных рядов, сверхсхо-
сверхсходящихся в звезде функции f(z), причём ни способ разложения, ни номера
частичных сумм не зависят от f(z). Вообще же, для любой односвязной
ОО
области G, содержащей начало координат, ряд Тейлора 2 aiz' либ°
о
сверхсходится в этой области, либо разбивается на сумму двух сверх-
•) Прямолинейной звездой Миттаг-Леффлера функции / (z) относительно дан-
данной точки (например, z=0) называется область плоскости г, образованная всеми пря-
прямолинейными отрезками, исходящими из данной точки и продолженными до ближай-
ближайших к ней особых точек / (z) (или до бесконечности).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 377
сходящихся в области G рядов (способ разбиения зависит и от области
и от функции).
Обращаясь к изучению свойств аналитических функций, опреде-
определяемых данным рядом Тейлора, отметим прежде всего цикл работ
И. Р. Брайцева и М. Ф. Субботина, частично выполненных в предрево-
предреволюционные годы*). Основная идея этих работ заключается в изучении
особых точек посредством преобразования данной функции f(z) в дру-
другую F(z), особые точки которой -q связаны с особыми точками Е функ-
функции /(г), заданным соотношением ? = <р(т)), в частности Ъ — е**( — \nt\)~z,
где <р и о > 0—действительные параметры.
Если, например, о=1, то
m=l
У ' if *'
~<x>( In -- + 2kni) Vltiy i-2W
В случае, когда все особые точки / (z), лежащие на конечном расстоянии,
являются изолированными, доказывается, что на границе круга сходи-
сходимость для функции /<p(z) (с центром в начале координат), вообще, лежит
лишь одна особая точка ~ц. В этом заключается преимущество функции
fv(z) перед исходной функцией. Для разыскания точки у\ И. Р. Брай-
Цев применял одну теорему Фабри, существенно им уточнённую.
М. Ф. Субботин упростил эту часть метода, показав, что использо-
использование теоремы Фабри является здесь излишним.
По найденной точке i\ определяется и соответствующая ей особая
точка ? функции f(z). Посредством изменения значений параметра <р нахо-
находятся одна за другой все особые точки /(z) как на границе круга сходи-
сходимости, так и вне его.
М. Ф. Субботин [2], используя охарактеризованные выше
методы, дал общую теорию, сводящую изучение роста целой функции
произвольного конечного порядка р и нормального типа вдоль различ-
различных лучей, выходящих из начала координат, к исследованию особых
точек суммы ряда Тейлора с конечным радиусом сходимости и обратно.
В качестве взаимно ассоциированных функций у него фигурируют:
со
целая функция g(z) = 2cnz" порядка р и типа ] и функция
л=о;
СО v
/(z)=2 1' Гт" + г") cnzn, t>0 (с радиусом сходимости, равным еди-
нице). Основная формула, к которой он приходит:
j
непосредственно связывает рост целой функции g(z) вдоль луча argz = <p
с радиусом-вектором Rv некоторой звездообразной области Е, опреде-
определяемой расположением особых точек/(z).
•) И. Р. Брайцев, об Особых точках аналитических функций. Варшава A915);-
М. Ф. Субботин, Об определении особых точек аналитической функции. Матем.
сб., 30A916).

378 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
В работах И. Р. Б рай цева и его учеников (И. Ф. Л о хин,
В. И. Беневоленский) совершенствовались прежние методы
И. Р. Б райцева и М. Ф. Субботина и расширялось поле их
приложений.
В одной заметке В. Л. Гончаров [4] занимался определением
особенностей действительной аналитической функции действительного
переменного, по радиусу сходимости ряда Тейлора, заданному в каждой
точке. Полученные результаты, в частности, позволяли определить в тер-
терминах коэффициентов ряда Тейлора наименьший из аргументов особых
точек, находящихся на границе круга сходимости. К этому вопросу
В. Л. Гончаров [22, 23] позднее возвратился в связи с работой
Мандельбройта *), посвященной отысканию наименьшего аргумента осо-
особых точек.
А. О. Г е л ь ф о и д [3] дал следующее уточнение теоремы Вигерта
GO
и Ло: Ее ли / (z) = 2 Яп2" имеет только одну особую точку z = \, пра-
и
вцльна в бесконечно удалённой точке и в окрестности точки z= 1 удовле-
удовлетворяет неравенству
i/WKt'1-"'1', E.1:3)
где з—*0 при z—>\, то существует целая функция g(z) порядка о= х~-
такая, что g(n) = an. Обратно, если g(n) = an и g(z) — целая функция
порядка о < 1, то в окрестности точки z— 1 выполняется неравенство
E.1:3) с Р-у^-.
Д. Д. Мордуха й-Б олтовской [8], обобщая одну теорему
Адамара, доказал, что для коэффициентов ряда Тейлора /(г)
необходимо существует предел: Ига -^- =а, если на границе круга сходи-
мости находится только одна особая точка z=a, в окрестности которой
имеет место разложение f(z) алгеброидального типа, логарифмического,
алгебро-логарифмического или, наконец, вида
где
^s(u) = u + ^? + 3s"+• • •> s<'> P/ = const,
и ш(z) — функция, аналитическая в круге радиуса, большего чем \а\. Это
исследование было продолжено М. Г. X а п л а н о в ы м [1 ], получившим
более общие результаты. В другой своей работе М. Г. Ха планов [2]
дал необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять
коэффициенты тейлоровского разложения мероморфной функции с полю-
*) С. R. Acad. Sci., 204 A937), 1456.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 379
сами ограниченной кратности и с ограниченными степенями добавочных
полиномов в миттаг-леффлеровском разложении функции.
В совместной работе А. О. Г е л ь ф о н д аи Д. М. Т о и д з е [1]
результаты изучения интерполяционного ряда специального вида, для
мероморфных функций с простыми полюсами в точках z—ku, Л=1, 2, ...,
прилагаются к ряду Тейлора с конечным радиусом сходимости. Полу-
Получаются условия на коэффициенты тейлоровского ряда, необходимые
и достаточные для того, чтобы функция была регулярной' в угле
Я- < argz < 2ir — ft, @- > 0) и удовлетворяла бы некоторым условиям, огра-
ограничивающим её рост в этом угле (при \z\ —»о°).
К кругу вопросов, связанных с рядом Тейлора, относится рабо-
работа Г. М. Г о л у з и н а [26]. В ней автор изучает асимптотический за-
кон преобразования коэффициентов ряда /(z)«= 2 ~| ПРИ переходе к
со *
/*(z) =/(p(z))= 2г*~> Г^е P(z)~ полином. Как приложение, он по-
к=1
лучает следующее свойство полиномов: пусть К—континуум и а и b—
комплексные числа, удовлетворяющие неравенству
где d(K) — трансфинитный диаметр К', тогда любой полином
принимает в дополнении к К либо значение а, либо значение Ь, причем
указанное в теореме число у -^— нельзя, вообще, заменить большим.
В качестве другого приложения автор доказывает, что предложенная,
в своё время, Полна оценка снизу через коэффициенты {ск} для трансфи-
трансфинитного диаметра границы области, в которой f(z) остаётся аналити-
аналитической, не может быть улучшена.
Д. М.Тоидзе [1]изучал лакунарные степенные ряды, представляю-
оо
щие целые функции. Если f{z) = 2 a^v- — целая функция конечного по-
рядка р и /-nfc+i > V*. '^ > 0 для некоторой бесконечной последова-
последовательности {jj.,,.}, то снижению порядка роста функции в каком-нибудь
направлении arg z = » соответствует и снижение порядка роста полиномов
максимальных по модулю, среди тех полиномов, на которые ряд разбит
указанными лакунами. Обратно, если f(z)—целая функция порядка р
и полиномы максимального роста среди какой-либо подпоследователь-
ности частичных сумм ряда 2 ап*п имеют в некотором направлении <р
и
порядок, меньший р, то /(z) есть сумма целой функции с лакунами
указанного характера и целой функции порядка, меньшего р. Аналогичные
предложения устанавливаются также с учётом не только порядка, но
и типа целой функции, и отсюда вновь выводятся известные теоремы
Островского о сверхсходимости рядов Тейлора.
А. О. Гельфонд [20] доказал, что если для целой периодиче-
ской функции /(z)=2 ап*п порядка р > 1 существует предел

380 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Пт ^=/., где N (л) — число коэффициентов, отличных от нуля среди
п->оо П
коэффициентов а0, аг, ¦ ¦ ¦¦ а„, то
Т > г'р •
К изучению свойств аналитических функций, в зависимости от
коэффициентов ряда Тейлора, относится важный цикл исследований
но весьма общей проблеме продолжаемых полиномов, формулирован-
формулированной Н. Г. Чеботарёвым следующим образом: каким неравенствам
должны быть подчинены коэффициенты полинома
t(z)-a9 + a1z+ ... + a,,z"
для того, чтобы существовала аналитическая функция (в частности
полином) F (z)-- /B)Н-2"'1 <? (z), обладающая заданным свойством ЗЕ*).
В частности, свойство ЗЕ может заключаться в принадлежности всех
нулей функции F (г) к определённому множеству 5JJ точек плоскости.
Относящиеся сюда результаты самого Н. Г. Ч е б о т а р ё в а, Н. Н. М еп-
маиа, Л. И. Гаврил о в а, М. Ф. Кравчука, М. Г. Крейна,
Б. Я. Левина, Л. С. Поит ря г и и а и др. реферированы в обзоре
Н. Г. Чеботарёва Алгебра 1, помещённом в настоящем сборнике.
Из результатов М. Г. Крейна [10|**), не вошедших в обзор
Ы. Г. Ч с бот а рёва, приведём следующее предложение, допол-
дополняющее одну теорему Гром мера: для того чтобы ряд Тейлора
ао + а^ + ••• -\-anzn-\- ... с действительными коэффициентами сходился
в некоторой окрестности точки г---0 и представлял бы мероморфную
оо
функцию / (z)~mo-\- ^х _' ,, где Xj действительны, та > 0 и
sign [>-; = sign X/ (j — 1, 2, ...), необходимо и достаточно, чтобы все детер-
детерминанты |а,-,А-1о = Д| были положительны и чтобы
Dn
D'n~-
"n °пч ¦ • • e«n-i
Исследованию арифметических свойств аналитических функций
посвящен цикл работ А. О. Гельфонда. В одной из первых своих
работ А. О. Гельфонд [2] изучает связь между ростом целой функ-
функции /(г) и величиной ' = limj/ шп |, где «¦„ представляет расстояние
п-*со
от / (п) до ближайшей целой точки k -( im. Если х < 1, т. е. если
функция является асимптотически целочисленной, то она должна быть
либо полиномом, либо её порядок роста должен превышать некоторый
предел, зависящий от х.
*) Эга формулировка охватывает основные проблемы коэффициентов в теории
функции.
**) Об одном специальном класс; целых чисел и меро.морфных функций см.
Н. И. А х и е з е р и М. Г. К ре и н [10], статья VI.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГ'О 381
Таким образом получается ряд предложений, обобщающих извест-
известную теорему Полна о целочисленных целых функциях. В другой ра-
работе (А. О. Гельфонд [5]) доказывается, что целая функция порядка
ниже второго, принимающая целые значения во всех целых комплекс-
комплексных точках, есть полином. Им же [8] рассматривается целая функция,
принимающая целые значения в точках, образующих геометрическую
прогрессию: 1, р, З2, ... (р —целое, большее единицы число) и дока-
доказывается, что если
->'
т0 g (z) — полином. С другой стороны, строится трансцендентная функ-
функция о (г) такая, что <?(CЛ) (к-- О, 1, 2, .-•)-- целые числа и
Работа [11] дает ещё одно обобщение теоремы Полна. Дальнейшие
результаты А. О. Г е л ь ф о н д а в направлении арифметических свойств
функций непосредственно связаны с его исследованиями по теории
чисел (см. в настоящем сборнике обзор А. О. Г е л ь ф о н д а).
Б. Я. Левин [3] изучал функции, аналитические в окрестности
ill
начала координат и принимающие в точках --, -,-, —,,¦ ¦ . @Ц?Лое>1)
q q* q"
рациональные значения: f С-r\ = -^r\t гДе ^(к) — целочисленная
\^q у <7т' ' 4
функция. Он получил при этом следующие результаты (содержащиеся
в них оценки являются точными):
I. Если С? (к) < к{к~ Х) + sk + а (к), где а{к) = О(\) и s — целое
число, то f (z) — полином или же имеет особую точку в круге радиуса qs\
я частности, если
^ (k- ij
где <p{k)—>(x, при к—>оо, то /(z)- полином.
II. Если <]> (Аг)< k *fc 2Г*' + (к—\) 0 (к— 1) (ft (к) — целочисленная
функция) и I (z) — целая функция, то для её порядка р выполняется
неравенство:
1 9 (л),
Там же содержится ещё следующая теорема: если- f{z) голоморфна
* окрестности точки 2 = 0, если f (—^)=р*, где q'k<Nqnk и если,
W J Як
наконец, /@), /'@), .. . , /<2п-2)@) — рациональные числа, то j(z)- рацио-
рациональная функция порядка не выше п.
В работе Д. Д. Мор д ух ай-Бо л то в с ко го [16] известная тео-
теорема Бореля о ряде Тейлора с целочисленными коэффициента-
коэффициентами, представляющем функцию мероморфную, в круге радиуса > 1 *),
•) См., например, L. Bieberbach., Lehrbuch der Funktionentheorie. Bd. II,

382 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
распространяется на случай ряда Тейлора с трансцендентными коэффи-
коэффициентами специального вида. Исследование продолжено в работе
С. Я. Альпера [1], где рассмотрены случаи, когда коэффициенты
ряда имеют вид линейных форм от чисел вида exi (х, — алгебраиче-
алгебраические числа) или вид полиномов от числа 5, алгебраически зависящего
от чисел еЧ. В другой работе Д. Д. Мор духай-Бо л то век ой [17]
изучает вопросы распределения нулей для целой функции, тейлоров-
тейлоровское разложение которой обладает алгебраическими коэффициентами.
В работе М. Ф. Субботина [ 1 ] было получено следующее уси-
усиление классической теоремы Эйзенштейна (теорема Субботина-Коха):
со
если ряд 2 ап2п с рациональными коэффициентами представляет алге-
о
браическую функцию, то существует такая последовательность целых
чисел у, о, г, у,, у2, ... , что
Qfc = -2v-i» г^е Ъ"== "Т^'-^ПГ"^""'(mod у), v = n — k
и к — целое положительное число.
5.2. Ряды Дирихле. Значительная часть исследований по рядам
Дирихле (Н. Г. Чудаков, Ю. В. Линник и др.) выходит за пре-
пределы настоящего обзора, так как исследования эти имеют в виду,
прежде всего, интересы теории чисел (см. статью А. О. Гельфонда
«Теория чисел» в настоящем сборнике).
И. Р. Брайцев [6] распространил свой метод определения осо-
особых точек функции, представленной рядом Тейлора, на ряды Дирихле.
В работах Ю. Ф. Сир вин та [2,3,4] содержится ряд замечаний
и примеров, относящихся к сверхсходимости рядов Дирихле. В работе
Г. Л/Лунца [1] рассматриваются обобщённые ряды Дирихле
со
Уап«-'»«, E.2:1)
где {/.„} какая-либо последовательность комплексных чисел (HmA.n=oc).
п-»сс
Автор определяет область абсолютной сходимости такого ряда в за-
зависимости от {ап} и {Х„} и в случае, когда 1пп = о(кп), доказывает,
что ряд расходится во всякой точке, лежащей вне области абсолют-
абсолютной сходимости. В одной из работ А. И. Маркушевича [16] отме-
отмечается, между прочим, что при условии lim ? — оо система функ-
I лп I
ций {e~lnZ) полна во всей плоскости, и что в этом случае существует
универсальный ряд Дирихле для всех целых функций.
А. Ф. Леонтьев*) изучил класс аналитических функций,
представимых в какой-либо полуплоскости в виде
п
H lim 2anJe->/*\ E.2:2)
*) Работа находится в печати.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 383
при условии, что Цтд-=з<оо (Х„ —здесь действительные числа
одного знака). Класс этот шире, чем класс функций, представимых
соответствующими рядами Дирихле. Однако с каждой из изучаемых
функций можно единственным образом соединить её формальное раз-
ложение /(z)~ "S. a.je~*jZ, (ay = Нтап]-), которое определённым образом
суммируется к /(z) в полуплоскости её голоморфности. Далее автор
распространяет на изучаемый им класс некоторые теоремы из теории
рядов Дирихле и, наконец, замечает, что функции, представимые
в какой-либо области, содержащей прямолинейный отрезок, парал-
п
лельный мнимой оси длиной 2кз, в виде: /(z)=lim ^ (ап/е~л12 + bnjexiz)
однозначно разбиваются на сумму двух функций указанных выше
классов (одна для последовательности {Х„}, другая —для { — >-„})•
Если в E.2:2) знаки Х„ произвольные и сходимость равномерная
в бесконечной полосе, то / (z)— почти периодическая функция; при
|Х„|<Д— это целая функция экспоненциального типа. М. Г. Крейн
и Б. Я. Левин дали полную характеристику распределения нулей
таких функций. Кроме того Б. Я. Левин [5] показал, что если
inf Хк = — Д и f». (у) = lim —^— , то lim р.(у) = Д.
а:-*оо * у—юо
5.3. Теория приближения. Проблема полноты. В теории анали
тических функций наряду со сходимостью равномерной внутри дан-
данной области G рассматривают также равномерную сходимость в замк-
замкнутой области, сходимость, в среднем, измеряемую интегралами, взя-
взятыми по площади или по контуру, и др. Каждый род сходимости
соответствует рассмотрению некоторого множества Е функций, анали-
аналитических в области G, как линейного пространства с определённой
метрикой. Для последовательности функций {/„(z)}, принадлежащих Е,
возникает тогда одна из основных проблем теории приближения —
проблема полноты: будет ли замыкание линейной оболочки последо-
последовательности {/„ (z)} совпадать с Е, т. е. можно ли любую функцию
из Е представить в виде предела сходящейся последовательности
«полиномов» относительно /n(z): pn{z) = a['!l)/0(z) + ... +a{nl)fn(z) или
же это может и не иметь места? В наиболее важном случае /„ (z) = z",
л = 0, 1, 2, ... , и тогда речь идёт о полноте системы полиномов.
Пусть сначала сходимость понимается как равномерная сходи-
сходимость в замкнутой области. Соответствующая проблема полноты была
в этом случае до конца решена М. В. Келдышем [7, 11]. Именно,
им была доказана следующая теорема: для того, чтобы система поли-
полиномов, была полной в замки, той односвязной области G, необходимо и
достаточно, чтобы дополнение G относительно расширенной плоскости
представляло одну область, содержащую бесконечно удалённую точку
строго внутри. С. Н. Мергелян [1] получил некоторые результаты,
выявляющие зависимость наилучших (чебышевских) приближений
?„(/) аналитической функции /(г) комплексными полиномами, от
свойств границы области и от граничных свойств функции /(z). В част-
частности, он показал, что для любой сколь угодно медленно сходящейся
к нулю последовательности положительных чисел {[>п} и для любого на-

384 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦКЙ
турального р, существует область G, ограниченная жордановои кривой,
и в ней аналитическая функция, непрерывная, вместе со своими произ-
производными до порядка р включительно, в замкнутой области, причём для
этой функции ?„(/)> рп, п = О, 1, 2 ...,
Если G ограничена замкнутой спрямляемой кривой Г, то можно
рассматривать множество ?2 функций, аналитических в области G
(аналог класса Яг для круга, см. 4.2), и сходимость последовательно-
последовательности {Fn(z)} к F(z) понимать в смысле сходимости в среднем, оцени-
оцениваемой интегралом по контуру: \ | Р(г) —Fn(z)|2cfs—>0 при п—* со.
Г
Необходимые и достаточные условия полноты системы полиномов
в такой постановке были найдены В. И. Смирновым [9], доказав-
доказавшим, что полнота имеет место тогда и только тогда, когда гармони-
гармоническая функция In|<р'(и>) 1, где z = <p(w) — какая-либо из функции, кон-
конформно отображающих единичный круг | w | < 1 на область G, выра-
выражается через свои угловые предельные значения интегралом Пуас-
Пуассона. В частности, это имеет место, когда область G звездообразна,
или когда кривая Г кусочно аналитическая, с ненулевыми углами.
Если степени 1, z, z*, ... ортогонализировать на Г, то получится
система полиномов {pn{z)}, ортогональных по контуру. В случае, когда
условие полноты выполнено, всякая функция /б?2 разлагается в ряд
Фурье по полиномам \pn(z)], равномерно сходящийся внутри G, как
это было показано ещё Сеге. В. И. Смирнов [9] доказал для
аналитического контура Г, что всякая функция, аналитическая вну-
внутри Г (вообще, не принадлежащая классу Е2), разлагается в ряд по
полиномам {pn(z)}, равномерно сходящийся внутри Г, причём в слу-
случае, когда f\z)k.E.u коэффициенты ряда вычисляются как коэффи-
коэффициенты Фурье относительно системы {/?пB)}«
Работа В. И. Смирнова оставляла, однако, открытым вопрос
о том, существуют ли области, ограниченные спрямляемыми кривыми,
в которых полнота не имеет места. Этот вопрос был решён М. В.Кел-
В.Келдышем и М. А. Лаврентьевым в совместных работах A,6], где
они построили пример области, для которой условие В. И. Смир-
Смирнова не выполнено. М. В. Келдыш [2] рассмотрел пространство
функций Ер, в котором сходимость последовательности {Fn(z)} к F(z)
выражается условием: { \F (z) — Fn(z)\pds,p>0, при п—> со, и показал,.
г
что условие полноты здесь то же самое, что и в рассмотренном ранее
случае р — 2.
П. П. Коровкин [4] изучал полиномы, ортогональные по кон-
контуру с весом, что соответствует сходимости понимаемой в следующем
смысле:
при п—> оо,гдеп(С) (вес)—функция, суммируемая на Г. В частности, для
произвольного спрямляемого контура и при некоторых предположениях
относительно п (С) им было полностью определено замыкание линейной
¦оболочки системы zn; далее, в случае гладкого контура Г указаны условия,
лри которых формальное разложение в ряд Фурье по полиномам, ортого-

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 385
нальнымс весом, сходится равномерно внутри Г для любой функции класса
Е\ и в случае аналитического контура Г доказана разложимость в ряд
по ортогональным полиномам для функций, аналитических в некоторых
областях, лежащих вместе с границей внутри Г. В той же работе
П. П. Коровки ным были даны асимптотические представления доя
полиномов, ортогональных с весом, устанавливаемые при более широ-
широких условиях, чем ранее известные.
Большой цикл работ относится к изучению сходимости в среднем по
площади, т. е. сходимости в смысле:
\[\F(z)-Fn(z)\pdxdy->O, при и->оо.
о
А. И. Марку Шевич[1] доказал*), что для полноты системы полином
мое в односвязной области G достаточно, чтобы граница V области G
совпадала с границей той из дополнительных к G областей, которая со-
содержит бесконечно удаленную точку (области типа Каратеодори). Им
также было установлено, что в областях со спрямляемой границей Г, угол
наклона касательной к которой удовлетворяет условию Гёльдера с пока-
показателем Х>0 и для аналитических функций, непрерывных в замкнутой
области и удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем ц. > О, сущест-
существует последовательность полиномов {pn(z)} степени п, удовлетворяющих
в замкнутой области Q неравенству: \f(z) — pn{z)\ <C(/, г)п-^-е\где е
произвольное положительное число. Отсюда вытекало, что последователь-
последовательность полиномов {Pn,p(z)}( наименее уклоняющихся от /(z) в среднем в р-и
степени, равномерно сходится к /(z) в замкнутой области, при р > -
(если уклонение оценивается интегралом по площади) или при /? > —
(если уклонение оценивается интегралом по контуру).
М. В. Келдыш [6] обнаружил, что в областях, не являющихся
областями типа Каратеодори, с топологически эквивалентными грани-
границами (области типа луночек—ограниченные парами замкнутых жордановых
кривых, имеющих одну общую точку), полнота иногда имеет место, иног-
иногда нет—в зависимости от метрических свойств границы области. Эти метри-
метрические свойства исследовались А. Л. Шаги ня ном [2, 3, 4, 6, 7, 9—12],
указавшим критерии, которые с одной стороны достаточны, а с дру-
другой необходимы для полноты системы полиномов в области типа луночки.
Существенную роль в исследованиях А. Л. Шагиняна играет изуче-
изучение равномерной аппроксимации с весом. Вот пример относящихся сюда
результатов. Пусть Go—область типа луночки, такая, что в узловой
точке границы z0 существуют односторонние касательные, наклонённые
соответственно под углами <dv ш2, <р3 и <?4 к действительной оси ( —тг < <?i<
<9г < 9» < ф« <к) и пусть G—другая область типа луночки с той оке узло-
узловой точкой, лежащая в Go. Для того чтобы для любой функции f(z), анали-
аналитической в G и непрерывной в 0, существовала последовательность полино-
полиномов, удовлетворяющая соотношению:
hmp(z)\f(z)-pn(z)\ = O
n-«so
•) Независимо тот же результат был получен Фаррелем (Bull, of the Amer. Math.
Soc, 40, 41 A934, 1935)).
25 Математика в СССР за 30 лет.

386 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
(р (z) > 0 — весовая функция), достаточно, чтобы
In In
и необходимо, чтобы
in in-
lim
Для вопроса о полноте системы {zn}, в смысле сходимости в среднем
по площади, при тех же обозначениях, получаются следующие критерии:
пусть Т {[>)—линейная мера совокупности дуг окружности |z —zj = p,
принадлежащих G. Тогда условие
lim
достаточно, и условие
in in ^т-.
р-»о in —
р
>
р-»о ,nJ_ Ь-Ь
Р
необходимо для того, чтобы система {zn} была полна .в G. Некоторые
уточнения этих критериев найдены М. М. Джрбашяном [5].
Один из наиболее общих критериев полноты в односвязных обла-
областях, не являющихся областями Каратеодори, получен М. В. Келды-
Келдышем в следующем виде. Пусть G — односвязная область, граница кото-
которой совпадает с границей G, и К — окружность, содержащая внутри G.
Система полиномов {z"} полна в G {в смысле сходимости в среднем по пло-
площади), если для любого г > 0 и для любой точки z0, не принадлежащей
к G, существуют число т)>0, кривая z=z(s), соединяющая z0 с какой-
либо точкой_ К, и такая положительная функция р (s), что площадь
a(s) частив, попадающей в круг \г~ z(s)\ < p(s), удовлетворяет нера-
неравенству:
А. Л. Шагиняном исследовались также вопросы полноты поли-
полиномов в неограниченных областях [3, 10, 12], связанные с ними вопро-
вопросы полноты для систем рациональных функций, имеющих полюс на гра-
границе области [3,5,10], вопросы полноты для открытых множеств,
состоящих из нескольких областей, имеющих одну или более общих
граничных точек [3,10] и т. д.
Приближение полиномами, оцениваемое интегралами по площади,
с весом, рассмотрено в работах А. Л. Шагиняна [1] и М. В. Кел-
Келдыша [9,12]. М. В. Келдышем доказано, что для всякой одно-

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 387
связной области можно подобрать положительный вес р (z) так, чтобы
полнота для системы степеней {zn} имела место. Для этого достаточно
выбирать /?(z) постоянным на каждом круговом образе (при некото-
некотором конформном отображении области на круг) и притом удовлетво-
удовлетворяющим условию
In in in——
lim ^->2,
«.@*0 in —
где d(z)~ расстояние от z до границы G. Показано, что существует
область, в которой при всяком вес е р (z), удовлетворяющем условию
!п !п !п
Шй
d (z)->0 ,„'
d(z)
полнота системы степеней не имеет места.
В частном случае, когда область G есть круг с разрезом вдоль радиу-
радиуса, полнота или соответственно неполнота имеет место при аналогичных
условиях, но с заменой числа 2 в правой части неравенства через 1. На-
Наконец, М. В. Келдыш указал для случая единичного круга пример
веса, являющегося квадратом модуля аналитической функции, не обра-
обращающейся в нуль, для которого полнота системы степеней не имеет места.
Ряд исследований посвящен проблеме приближения полиномами непре-
непрерывных функций комплексного переменного на континуумах плоскости.
М. А. Лаврентьеву [11,19] принадлежит здесь следующая основ-
основная теорема. Для того чтобы система {zn\ была полна на ограниченном
континууме С в смысле равномерной сходимости относительно множества
всех непрерывных на С функций (вообще, неаналитических), необходимо
и достаточно, чтобы континуум не содержал внутренних точек, и чтобы
плоскость не разбивалась им (т. е. дополнение к С—связно).
Для случая функций, непрерывных на неограниченном континууме С,
проблема равномерного приближения может ставиться следующим обра-
образом: найти условия, при которых для любой функции / (z), непрерывной
на С, и для любой функции г (t) > 0, / >0, можно было найти такую целую
функцию g (z), чтобы на С имело место неравенство:
I/(*)-Ж! <*(!*')•
Эта задача, идущая от Карлемана, доказавшего, что в'качестве С можно
взять, например, прямую, была полностью решена М. В. Келдышем
и М. А. Лаврентьевым [8], установившими, что необходимые и
достаточные условия заключаются в том, 1) чтобы континуум С не содер-
содержал внутренних точек и 2) чтобы существовала возрастающая функция
¦r\(f),-i\(t)—>cx; при t—><x> такая, что любую точку ??С можно соединить
с бесконечно удалённой точкой непрерывной кривой, лежащей вне круга
:г |<-»j (| С j) и не имеющей общих (конечных) точек с С
А. Л. Шагинян [5] изучал на неограниченных континуумах при-
приближение непрерывных функций поли номами с весом. Вот пример одной
из найденных им теорем: если неограниченный континуум С не содержит
внутренних точек, разбивает плоскость на две области и содержится
25*

388 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
внутри полосы \ у \ < а, то для любой функции / (z), непрерывной на С и удов-
удовлетворяющей условию lim/(z)e~|z| = O и для любого s>0 существует т-
I zl-voo
следоватедьность полиномов {Рп (z)} такая, что
(z)-PnB)i->0, при л->со,
а с другой стороны существует функция, например, —_Г21 • для которой
соотношение sup e~
— Qn(z) ->0 пРи п—><х> не может вы-
вы- 2а/
полняться па С ни для какой последовательности полиномов Qn (z). Эта
и ей подобные теоремы представляют распространение известных ре-
результатов С. Н. Бернштей на на комплексную область.
М. В. Келдыш [10] занимался изучением приближения целыми
функциями на областях с бесконечно удалённой граничной точкой или на
действительной оси, оценивая степень приближения и рост соответст-
соответствующей целой функции. Если область G ограничена в расширенной
плоскости жордановой кривой, проходящей через бесконечно удалён-
удалённую точку, то для всякой функции / (z), непрерывной в G, за ис-
исключением, быть может, точки z=cc и аналитической в G и для
любых в > 0 и у\ > 0 существует целая функция g (z) такая, что
|/(z) — g(z)| < ее ' (z€G).
В частных случаях, например, для области G, заключённой внутри
некоторого угла или полосы, возможно лучшее приближение.
В случае, когда сама область G есть угол или полоса, указывает-
указывается также связь между ростом /(z), порядком роста аппроксимирующей
целой функции g(z) и степенью приближения. Если, например, G есть
угол: j arg z I < •*• и для М (г) = max | / (г) |, | arg г \ < -"• выполняется соот-
ношение: lim-n ^r (r) = v {т. е. порядок роста /(г) в угле G есть v),
то для любого г>0 и р, 0 < р < — можно построить целую функцию g (z)
порядка i>-, не выше чем max Г v, р, „ ^_ ¦ j , для которой в угле G выпол-
выполняется неравенство
\i{z)~g(z)\<se-\^\
Данная здесь оценка для порядка аппроксимирующей функции вообще
не может быть понижена.
Для функций, определённых на действительной оси, вообще неана-
неаналитических, указывается следующее предложение: если /(х) — диффе-
дифференцируемая функция, определённая в бесконечном интервале ( —оо.оэ),
и если
In max |/' (х) |
(-+0О
те для любого а > 0 существует целая функция g (z) порядка не выше v +1,
довлетворяющая на всей оси неравенству: |/(х) — g{x)\ < s. В частности,

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 389
следовательно, для функций с ограниченной производной возможно
равномерное приближение на всей действительной оси целыми функ-
функциями экспоненциального типа.
Проблема полноты в смысле равномерной сходимости внутри
области для различных последовательностей аналитических функций
исследовалась в работах А. О. Гельфонда, И. И. Ибрагимова,
Б. Я- Левина и А. И. Маркушевича.
Пользуясь методами теории интерполяции, А. О. Гельфонд [18J
получил теоремы о полноте в кругах определённого радиуса последо-
оо
вательностей вида {/(anz)], где /(z)= 2 anz" —целая функция, все тей-
о
лоровские коэффициенты которой отличны от нуля.
И. И. Ибрагимов [1] аналогичными средствами установил тео-
теоремы полноты для системы {z"ea»z}, п = 0,1, 2, ... при различных гипо-
гипотезах относительно чисел {an} и доказал также, что система {z"<?G°(z)},
со
л = 0,1,2,..., где <p(z)= 2 а" — функция аналитическая в круге
о
|z|< R, с отличными от нуля тейлоровскими коэффициентами, полна
в этом же круге | z \ < R. В частности, в этой работе было установлено,
что система функций {z"e"nZ} (| an |<; 1) полна в круге |z|<ln2 и не
может быть полной в круге радиуса, большего *-. Общий критерий
полноты, использующий принцип, применявшийся уже в подобных
вопросах Карлеманом, был указан А. И. Маркушевичем [11]. Из
него как частные случаи вытекало значительное количество отмечен-
отмеченных выше специальных теорем, причём отчасти в улучшенном или
обобщённом виде*).
В других работах А. И. Маркушевич [8,16] придал критерию
полноты ещё более общий вид, назвав его принципом двойственности.
Пусть F (z, Q — функция аналитическая при | г \ < R и | С | < Р,
О < R < оо, 0 < Р < оо, ER и Ер множества всех аналитических функ-
функций одного переменного, соответственно, в кругах | z \ < R, \ С | < Р, рас-
рассматриваемые, как линейные метрические пространства типа Фреше
и, наконец, О и Q — подмножества тех функций из Er и ЕР, которые
могут быть представлены в виде A[F(z,",)]—f{z) или L[F(z, С)] = ф(С),
где через А и L обозначены линейные функционалы, определённые на
Ер и ER. Тогда замыкание линейной оболочки последовательности функ-
функций {/„ (z) = A [F(z, С)]} содержит О тогда и только тогда, когда си-
система функционалов {л} обладает свойством единственности на 2 (так,
что из А„(р = 0, п = 1, 2,..., и<р?2 следует, что ф =е0).
Теорема эта немедленно преобразует каждую теорему о единствен-
единственности в двойственную ей теорему полноты и обратно. В частности,
известные специальные теоремы полноты почти все получаются из неё,
как двойственные классическим теоремам единственности. Для даль-
дальнейшего продвижения теории необходимы специальные методы, позво-
позволяющие находить новые теоремы единственности (полноты). К числу
*) Аналогичный критерий был независимо получен Б. Я- Лев п"н ы .п.

390 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
таких новых результатов относится работа И. И. Ибрагимова [3],
посвященная теоремам о полноте последовательностей вида
{/<»>(*)} (или {/B + оц,)}).
5.4. Интерполяция и связанные с ней проблемы единственности.
Основное место среди советских исследований по интерполяции в комп-
комплексной области занимают работы А. О. Гельфонда и В. Л. Гон-
Гончарова.
А. О. Гель фонд [6] дал достаточные условия разложимости
целой функции конечного порядка в ряд Ньютона в следующем виде:
пусть fcv == lim -^," , где п(г) — число точек интерполяции {ап} в кру-
Г->со
ге радиуса г; тогда целая функция f(z) порядка р < v разлагается в соот-
соответствующий ряд Ньютона:
f(z) = Aa + A1(z-aa)-i-Ai(z—a0)(z-a1)+...
Если, кроме того, с> ществует предел 0 < \х = li m —¦, то в ряд Нъю-
г-юо г
тона разлагается также и всякая целая функция порядка p = v и типа
'['<*< 1\ _ . в работах В. Л. Гончарова [6,8] были вве-
I *) 2* — t
и
дены интерполяционные ряды (ряды Абеля-Гончарова), обобщающие
классический ряд Абеля, причём общий член записан в виде кратного
интеграла:
со г г' г<"-1)
О а0 <н
Рассмотрение таких рядов соответствует следующей интерполяци-
интерполяционной задаче: найти функцию f(z) по заданным
fn\an), л = 0,1,2, ...
В. Л. Гончаров, среди других предложений, устанавливает следу-
следующее:
J) Если ряд 21а/'~а/+Л сходится, причём lim ау = о, то функция
1 ;'->со
/(z), аналитическая в круге j z — a\ < R, разлагается в соответствующий
ряд Абеля-Гончарова, равномерно сходящийся внутри указанного круга.
2) Если выполнено условие
п-1
lim ^— „; = т, р > 0, т > О,
И
то всякая 'целая функция f (z) порядка меньшего р или тряска р
и типа з, удовлетворяющего неравенству рзт? < ш?A 4-шI-?, где и> —по-
—положительный \ корень уравнения «V0 U1 = 1, разлагается в соответ-
соответствующий ряд Абеля-Гончарова.
! В другой работе В. Л. Гончаров [13] изучал ту же интерполя-
интерполяционную задачу при добавочном ограничении: ат+р—ат, т = 0, 1,2,...,
где р — натуральное число, /?>2. Здесь было установлено, что соответ-

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 391
ствукщий ряд Абеля будет сходиться к целой функции / B), если её
порядок ниже 1, или равен 1, но тогда тип ниже |>.0|, где |ло| —наи-
—наименьший из модулей корней уравнения:
ехр(о>ла0)...
1
| = 0, т =
С другой стороны, существует функция g (z) = 2 скеткг порядка 1
я типа | /.„ |, которая не может быть разложена в ряд Абеля, так как
для неё
g(m)(flm) = 0, m = 0, I, 2,...
В. Л. Гончаров [19,20] дал обзор теории интерполяции для
целых функций, содержащий значительное количество оригинальных
результатов. Здесь он формулировал общую проблему теории интерпо-
интерполирования в следующем виде. Дана последовательность интерполя-
интерполяционных функций {<р„ (z)}, принадлежащих некоторому линейному про-
пространству функций 2 и, вообще, треугольная, а в частности, линейная
система линейных функционалов Lnm, п — 0, 1, 2,...; т = 0, 1, 2,..., п,
п
определённых на 2. Строятся полиномы /„ = 2 СтУт, удовлетворяющие
о
условиям: Lnm (/„) = Lnm (/) { " " ft' .'' " , где / - какая-либо функ-
I ill — \Jf !,•••, It
ция из Q (предполагается, что в системе {Lnm} такие полиномы суще-
существуют и единственны). Требуется найти класс сходимости KCZ&,
для элементов которого /g/C выполняется соотношение Пт/„ = / (про-
(проблема сходимости), класс единственности U, KdUС2, для элементов
которого из Lnm — 0, п==0, 1, 2,...-, следует, что и /==0 (проблема
единственности) и, наконец, построить /6 2 по данным Lnm(f)=Anm
(проблема конструкции).
Решению проблем единственности и конструкции для целых функ-
функций первого порядка, в случае, когда система {<?„ (z)} есть система
степеней {zn}, а система линейных функционалов имеет вид:
mVft, « = 0, 1,2,...,
где /(С) — функция ассоциирования по Ворелю с g{z), посвящены
работы А. О. Гельфонда [15, 17]. Весьма частными случаями этой
постановки задачи являются проблемы единственности и конструкции
для интерполяционных процессов Ньютона и Абеля, при равноотсто-
равноотстоящих точках интерполяции.
Интерполяционный процесс Ньютона изучался также в недавней рабо-
работе И. И. Ибрагимова и М. В. Келдыша [1]. Авторы получили сле-
следующий критерий сходимости, применимый для любой целой функции
(быть может бесконечного порядка): пусть М (г) —максимум модуля
целой функции g(z) и п (г) — число точек интерполяции в круге радиуса г.

392 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Если для некоторого ft, 0 < 9 < -2- и для всех достаточно больших г
выполняется неравенство
п(г)>С\аМ(гЛ>),С>-1' E.4:1)
In—
то ряд Ньютона сходится к /(z). Точность этого критерия характе-
характеризуется тем, что для каждого 0>у существует целая функция
и последовательность точек интерполирования, таких, что неравенство
удовлетворяется, тогда как ряд Ньютона расходится. Из неравенства
Иенсена вытекает, что если неравенство E.4:1) выполняется для
некоторого Ь< 1, то мы не выходим ещё за пределы класса един-
единственности. В связи с этим авторы строят процесс, решающий
проблему конструкции и в том случае, когда ньютоновский ряд
непосредственно не даёт решения задачи. В работе И. И. Ибраги-
Ибрагимова [5] даётся общий критерий сходимости ряда Абеля-Гончарова,
аналогичный указанному здесь критерию сходимости ряда Ньютона,
и в таком же смысле точный.
В работе А. О. Гельфонда [21] рассматривается следующая интер-
интерполяционная задача:
Пусть {апт}, п = 0, 1, 2,...; т = 0, 1, 2,.... п, — заданная треуголь-
треугольная таблица комплексных чисел и {Рп (z)} — последовательность поли-
полиномов, для которых разделённые разности удовлетворяют условиям:
ДА.[Pn; ak0, akl,¦¦¦, akk]-ink, k = 0, 1, 2 п.
Для функции / (z), однозначной и аналитической в некоторой области,
содержащей все точки {anm}, изучается интерполяционная формула:
' в*. а*к] • рк (z) + ял (/; г).
Здесь, как частный случай, при апт = ат, п = т, т + ],... содержится
интерполяционная формула Ньютона, а при апт — ап, тл = О, 1,..., п,
формула Абеля-Гончарова. Строя компактное интегральное представле-
представление остаточного члена Rn (/; z) (в виде кратного интеграла) и оценивая
его, А. О. Гельфонд получает теорему о сходимости изучаемого
им общего интерполяционного процесса. В частности, если |апт|<1,
то всякая целая функция, удовлетворяющая условию |/(z)| < Де*|г|,
при <з<1п2 разлагается в интерполяционный ряд, равномерно сходя-
сходящийся в любой конечной части плоскости. В этой же работе указы-
указываются некоторые методы построения всех целых функций, удовлетво-
удовлетворяющих условиям одного из следующих типов:
а) f(an) = cn (an->oo), б) р»Цп) = с„, в) /<">(/") = сп (\Ц>\).
Из исследований, относящихся к интерполяции функций, аналити-
аналитических в конечном круге, отметим работу СМ. Лозинского [б].
Перейдём теперь к теоремам единственности. Как известно, теорема
Бляшке даёт критерий для того, чтобы из условий / (гл) = 0, п = 1, 2,...,
где /B) — функция аналитическая и ограниченная по модулю в единич-
единичном круге, вытекало бы, что /(z)^0. И. И. Привалов [10] показал,

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 393-
что тот же критерий — расходимость ряда 2 О " 1 zn !) — остаётся в силе
и при условии:
^ п+1 / (г«**)| dft< N, 0 < г < 1.
В. В. Голубев[1] заметил, что условие расходимости ряда 2 0 ~! гп I)
перестаёт быть достаточным, если вместо ограниченности /(z) требовать
выполнения неравенства вида \f(z)\ <- г, 3 > 0, и доказал, что
в этом случае достаточное условие заключается в расходимости ряда
со
2 A — I z\ I+e, s > 0; для функций более общего класса, удовлетворя-
удовлетворяющих условию: | f(z)\ < f""!-'1)', достаточное условие заключается
со
в расходимости ряда 2 О ~! z\ I+5+e.
1
Автор указал, что эта теорема находит применение в теории
последовательностей аналитических функций, очевидно, в следующей
форме: если функции последовательности {/„ (z)} удовлетворяют нера-
неравенствам | / (z) | < eM/d-ij08, | z I < 1, и сходятся на множестве точек {zn},
для которых ряд 2 0 —; zn\ I4"s e расходится, то последователь-
последовательность равномерно сходится внутри единичного круга *).
Известные теоремы единственности теории целых функций осно-
основаны на изучении соотношения между ростом целой функции и распре-
распределением её нулей. Б. Я. Левин [2] существенно уточнил классиче-
классические соотношения, выяснив связь между ростом целой функции по
лучам и распределением её нулей не только по модулям, но и по
аргументам**). Для характеристики роста целой функции g(z) автор
пользуется индикатором роста hg(f), который для функции конечного-
порядка р и нормального типа определяется как
а для характеристики распределения нулей вводит плотность (ф)
которую для того же класса функции определяет посредством соотно-
соотношения:
где п(г, 9) — число нулей g(z), заключённых в секторе 0<argz<0,
|z|<r. Предполагая, что плотность существует для данной функции
*) Эти же теоремы помещены в книге Моителя ('Нормальные семейства аналити-
аналитических функций», вышедшей из печати на три года позднее работы В. В. Голу-
б е в а .
**) Часть результатов Б. Я. Левина была повторена в работах Пфлюгера,.
посвященных той же проблеме (Comment. Math. Helv., 11 A938), 12 A939)).

394 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
для всех значений й, Б. Я. Левин доказывает, что в случае, когдар
не есть целое число
ч>
^ $ cos ,'-(<?-й-т:)</Д(О). E.4:2)
Если же р — целое и g(z) имеет вид:
где нули {а,} обладают плотностью А(&), то
sinp(<p —ф)^Д(Ф). E.4:3)
Обращая эти формулы и выражая плотность через индикатор роста,
Б. Я- Левин получил обобщение теорем единственности, принадле-
принадлежащих Карлсону и Ф. и Р. Неванлинна. В частности, им было най-
найдено следующее предложение: если g(z)~ целая функция конечного
порядка р с индикатором роста Л(?) — обращается в нуль на множестве
точек, содержащем подмножество плотности Д(^) и
(? + ^) < " OfН-" (<?
где Н (?) определяется формулой E.4 : 2) для функций нецелого поряд-
порядка и формулой E.4: 3) для функций целого порядка, то g(z)==O. Ука-
Указанные предложения распространяются также на случай функций, ана-
аналитических в угле.
Изложенные результаты Б. Я- Левина [2] были применены им [4]
к вопросу о представлении целой функции интерполяционным рядом
Лагранжа. Пусть {ап}, Игл! ап \ = со —множество точек, для которого
П-УСО
существует плотность
\-2-
причсм для некоторого d > 0 круги \ z — ап | < d | ап \ 2 не имеют об-
общих точек. Тогда для целой функции g(z) порядка •? с индикатором ft(<p),
удовлетворяющим неравенству
Л(9)<//(9), М<*, E-4:4)
(#(<р) определяется формулой E.4 : 2) или E.4 : 3)), имеет место равно-
равномерно сходящееся в каждой ограниченной области разложение

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 395
Здесь F(z) обозначает каноническое произведение, соответствующее
нулям {ап}:
z ~р
Так как H(<s) является индикатором роста для целой функции F (z),
обращающейся в нуль во всех точках {ап}, знак неравенства в E.4:4)
нельзя заменить знаком равенства без того, чтабы не утратилась един-
единственность определения целой функции по её значениям в точках {а,,}.
В качестве следствия Б. Я. Левин получил следующее предло-
предложение: если для целой функции f(z) порядка р выполняются неравенства:
\f(an)\<M*), п=1,2, ....
причём
/!(?,)<«(?/), / = 1,2 N
и
то
f(z)n= const.
Б. Я. Левин [6] получил также обобщение теоремы, Карлсона
в следующем направлении: если целая функция g (z) удовлетворяет
в правой полуплоскости неравенству вида
\g(z)\ < в'Аг-ВД
и для неё
где -/(г)— число нулей функций в круге \z — -^-r\<-jr, то g(z)ssO.
Теорема эта не может быть улучшена, как показывает пример
g (з) = sin t.z.
В. Л. Гончарову [8] принадлежит ряд критериев единствен-
единственности определения функции по нулям её последовательных производ-
производных. Так, в качестве следствий из доказанных им теорем о сходи-
сходимости ряда Абеля-Гончарова, вытекают следующие предложения:
1) Если /fn)(zn) = O, п=0, 1,2 и последовательность {г„} сходится
со
к точке ",, правильной для f(z), то из того, что 2 I zn — zn*i i< °° или
U
2 I zn — zn+1 = оо, по lim п | zn—zn<l! < -j-, где R^ —радиус сходимости
ряда Тейлора функции /(z) в точке ;, то /(z) = 0.
2) Если / (z)— функция порядка р и типа а, /по из /(n)(z,i) = 0,
л = 0, 1, 2, ..., и
limn '¦ У'iz,- — Zi,,\ < '"^ „L ¦,
l-i-CO
*) Последовательное гь {ап} удовлетворяет указанным выше условиям.

396 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
где ш —корень уравнения ш^1»»!, следует, что f(z) = O. Предложе-
Предложения эти не являются окончательными. В работе В. Л. Гончаро-
Гончарова [20] читатель найдёт формулировки некоторых, относящихся сюда,
вопросов. Укажем ещё следующие теоремы единственности, принад-
принадлежащие В. Л. Гончарову [5]: если /(z) и <? (z) целые функции
конечного порядка, с нулями равномерно ограниченной кратности, и нули
этих функций, так лее как и нули их производных f'(z) и <f'(z), соот-
соответственно совпадают, то <? (z) = c/(z)(c = const.), за исключением двух
случаев:
1) д2) = ^.я(о, cp(z) = .Be>p<2> (P(z)-полином) и
2) f{z) = A[\ + ep<z~>]m, <? = В [\ + e-p^m]{P{z)- полипом, т—целое).
Если потребовать, чтобы совпадали ещё нули вторых производных,
опуская требование ограниченной кратности нулей f(z) и <?(z), то исклю-
исключительные случаи примут вид:
Г)
2') / (z) = А (I -f ^+b), ? (z) = В (I + *-«•---«.) •).
Весьма общая теорема единственности для целых функций была
получена А. О. Гельфондом [15] в его цитированной выше работе.
Пусть для целой функции g(z) = ^anzn первого порядка и нормального
типа выполнены равенства:
Г/ЮЛ-О, л = 0, 1,2
"^г—функция, ассоциированная с g(z) no Бо\.елю,
о
С —замкнутый контур, заключающий внутри все особые точки f(z)
и и (г) (ц@) = 0, и' @) = 1) — функция, аналитическая внутри некоторой
односвятой области G, содержащей С. Тогда, из того, что все особые
точки f(z) лежат в некоторой подобласти G, в которой и (z) однолистна,
следует, что g(z)^O. Беря, в частности, и (С) = е', и(^,) — гУ-, и(С) =
z=e'(e'—\), и A) = е2—е 2, А. О. Гельфонд получает специаль-
специальные теоремы единственности, относящиеся соответственно к условиям:
-|) = O,n = O, 1,2,...
Укажем ещё теорему единственности, установленную А. О. Гель-
фондом и И. И. Ибрагимовым [1]: если для аналитической
в круге \z\<R функции f(z) выполняются условия:
=0, k=l,2, ....
•) Результаты этой работы В. Л. Гончарова, через десять лет после
выхода её в свет, повторены в работе индусского математика Ганапати (Math. I.,
43 A937), 32—37).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 397
то из
\__
R > а = hm ¦. ТГТ-— г, г
tr— L (Ук — ">k-iV- (чк-i — П-2)! • • • V J
/c->co
следует, что /(z)=5 0. С другой стороны, при некоторых ограничениях на
последовательность {v*} условие /?<<з всегда может быть выполнено
для функции / (z) ф 0.
5.5. Различные проблемы, относящиеся к последовательностям и
рядам аналитических функций. М. А. Лаврентьеву [6,9,11,19] принад-
принадлежат основные результаты в области исследования следующих общих
проблем, поставленных Монтелем: 1) дана последовательность полино-
полиномов, сходящаяся в области G, найти структуру множества иррегулярных
точек (т. е. точек неравномерной сходимости) этой последовательности,
2) найти условия, которым следует подчинить функцию, определённую
в области С для того, чтобы её можно было представить в виде предела
сходящейся последовательности полиномов*). Он устанавливает следую-
следующую фундаментальную лемму: для того чтобы функция f(z), определённая
? области G, была представит в G в виде предела сходящейся последователь-
последовательности полиномов, необходимо и достаточно,чтобы для каждого замкнутого
множества FaG существовала порция Ft такая, чтобы на множестве,
образованном из Fl и из смежных с Fl (ограниченных) областей, /(г) пред-
представлялась в виде предела сходящейся последовательности равномерно огра-
ограниченных полиномов.
При этих условиях существует такая последовательность полиномов,
сходящаяся к f(z) в области G, что внутри каждой односвязной области,
смежной с множеством, образованным границей G и множеством тех то-
точек, где f(z) не является аналитической, сходимость является равномер-
равномерной. Называя ограниченное и. замкнутое множество Е множеством М,
если для любого его замкнутого подмножества ?х существует порция Е,,
являющаяся границей некоторой области D, содержащей бесконечно уда-
удалённую точку, причём все точки Е, не принадлежащие ?2, принадлежат D,
М. А. Лаврентьев получает полное решение проблемы 1): для
того чтобы множество Е, содержащееся в односвязной области G, было
множеством всех иррегулярных точек для некоторой последовательности
полиномов, сходящейся в G, необходимо и достаточно, чтобы Е вместе
с границей области G составляло бы континуум, без внутренних точек,
и чтобы Е было множеством М ••). Для проблемы 2) цитированная выше
лемма позволяет лишь осуществить редукцию к случаю сходящейся в замк-
замкнутой области равномерно ограниченной последовательности полиномов.
М. А. Л а в р е н т ь е в [19] поставил в связи с этим несколько специаль-
специальных вопросов, остающихся нерешёнными, и указал некоторые весьма
общие достаточные условия для представления функции в виде предела
сходящейся последовательности полиномов.
Задачей о представлении функций сходящейся последовательностью
равномерно ограниченных полиномов занимался М. В. Келдыш [1].
Им было показано, что функция f(z), определённая и ограниченная на
*) В формулировке той и другой проблемы полиномы можно заменить, вообще,
однозначными аналитическими в области функциями.
**) Аналогичный результат был получен независимо Гартогсом и Розенталем.

398 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
окружности | г | == 1, с действительной и мнимой частями, принадлежа-
принадлежащими к первому классу Бэра и удовлетворяющая условиям:
j(z)zndz=O, n = 0, 1, 2, ...,
является пределом сходящейся последовательности равномерно ограни-
ограниченных полиномов, если множество точек разрыва f (z) имеет меру нуль.
(Из всех условий этой теоремы лишь последнее не является необхо-
необходимым.)
П. П. Коровкин [1] занимался исследованием количественной
характеристики множества сходимости ряда полиномов. Пусть
= ao, Р n[(z) = {z-a{»)){z -<>)-.. (Z—«<„»>), П=1, 2, ....
причём нули {лт} полиномов принадлежат ограниченной области G и для
каждого прямоугольника ш со сторонами, параллельными осям, суще-
существует предел ев («>) == lim v'"' , где v(<«, п) — число нулей pn(z), попа-
п->оо п
оо
дающих на ш. Тогда ряд ^cnpn(z) сходится для всех z, удовлетвори-
и
ющих неравенству
lnjz — x|?(d<»)<— 1п[Шп
и расходится во всякой точке, не являющейся предельной для
и удовлетворяющей неравенству
\\n\Z — Xjc?
— In
n-юо
В другой работе (печатается) тот же автор рассматривает ряды поли-
оо
номов 2 cnPniz)> B которых коэффициент старшего члена pn(z) равен!
lim у \сп\<?-в . П. П. Коровкин доказывает, что множеств»
П- >ОО
точек сходимости ряда принадлежит некоторому множеству Е типа F,,
причём ёмкость Е, определяемая как верхняя грань ёмкостей замк-
замкнутых множеств, содержащихся в Е, не превышает R. Для всякого
множества типа Fa ёмкости R можно указать ряд, удовлетворяющий
оо
указанным условиям, сходящийся на этом множестве. Ряд 2 сп#»D-
и
сходящийся при тех же условиях на некотором множестве Е ёмкости R,
может сходиться вне его только на множестве точек, принадлежащем
некоторому множеству типа Fa ёмкости нуль, причём для всякого
множества типа Fa ёмкости нуль можно подобрать ряд, сходящийся
вне соответствующего Е на этом множестве.
В совместных работах М. В. Келдыша и М. А. Лавренть-
Лаврентьев а [2,7] были исследованы сходящиеся последовательности гармонических
полиномов в пространстве трёх измерений. Работы эти, непосредственно

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 39-*
не относящиеся к теории аналитических функций комплексного перемен-
переменного, имеют, однако, для неё методологический интерес и содержат резуль-
результаты большого самостоятельного значения. Авторы устанавливают
структуру множества иррегулярных точек сходящейся последовательно-
последовательности и изучают свойства предельной функции. Доказывается также теорема
о том, что произвольная функция, непрерывная на континууме простран-
пространственной меры нуль, не разбивающем пространства, является пределом
равномерно сходящейся последовательности гармонических полиномов.
В дальнейших исследованиях М. В. К е л д ы ш а и М. А. Л а в р е н т ь-
е в а [3, 4] и М. В. Келдыша [4, 8] были разработаны новые
методы для решения вопросов, относящихся к сходящимся последователь-
последовательностям гармонических функций и, в частности, построена теория устой-
устойчивости решений задачи Дирихле (см. обзор С. Л. Соболева в насто-
настоящем сборнике). Этим путём в работах М. В. К е л д ы ш а [4] были най-
найдены необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять
континуум, не разбивающий пространства для того, чтобы всякая непре-
непрерывная на нём функция, регулярная во внутренних точках, разлагалась
в равномерно сходящийся ряд гармонических полиномов. Там же был по-
построен пример континуума, не разбивающего пространства и не имеющего
внутренних точек, на котором любые две непрерывные функции, предста-
вимые в виде пределов равномерно сходящихся последовательностей поли-
полиномов, обладают свойством единственности (т. е. совпадают на всём кон-
континууме, если они совпадают на некоторой его порции). Этот последний
результат даёт, в известном смысле, трёхмерный аналог моногенных функ-
функций Бореля.
В работах А. И. Маркушевича [8, 16] исследовался общий воп-
вопрос о базисе в пространстве аналитических функций. Рассматривая мно-
множество Ей всех функций, аналитических в области \z\<R, как линейное
пространство типа Фреше, автор ставит следующие задачи, относящиеся к
какой-либо последовательности {/„(z)} функций из Er:1) проблему полно-
полноты; 2) проблему усиленной линейной независимости, понимая её как иссле-
исследование условий, при которых каждая функция /n (z) не принадлежит замк-
замкнутой линейной оболочке остальных функций последовательности; 3) проб-
проблему единственности, понимая её как исследование условий, при которых
из того, что какая-либо функция f{z) 6 Er обращает в нуль все линей-
линейные функционалы Ln(f), п= 1, 2, ..., биортогональные с {/„ (z)}, следует,
оэ
что / (z) = 0; 4) проблему сходимости для рядов 2 ^л (/) /л (z)- Последо-
вательность, обладающая лишь свойствами 1), 2) и 3), образует базис
в широком смысле слова (А. И. Маркушевич' [7]). Здесь с каждой
функцией / (z)€En соединяется её формальное разложение (единственное):
Если оно сходится или обладает сходящейся подпоследовательностью
частичных сумм, то в пределе получается функция / (z); всякую функцию
/ (z) 6 Er можно представить в виде суммы двух других функций, также
принадлежащих Er: / (z) = <p (z) + <Kz), так что разложения <? (z) и <J> (z) будут
обладать сходящимися подпоследовательностями частичных сумм. Базис
в собственном смысле слова (в смысле Шаудера) получается тогда, когда

400 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
каждое разложение 2 Ln(f) fn(z) сходится. Работы А. И. М а р к у ше-
в и ч а содержат теоремы, дающие критерии к проблемам 1), 2), 3) и 4) и
лримеры применения этих критериев.
Известная проблема Фабера о существовании полиномиального ба-
базиса для произвольной односвязной ограниченной области G была разре-
разрешена впервые в положительном смысле Геузером (Heuser). Г. М. Г о л у-
зин у [16J принадлежит простое доказательство существования бази-
базисов, опирающееся на одну теорему Биргхофа.
Для случая областей, ограниченных правильной аналитической кри-
кривой, полиномиальный базис образуют полиномы Фабера. А. К. X а -
р а д з е [4] распространил теорему Иенча о нулях частичных сумм ряда
Тейлора на ряды по полиномам Фабера. Свойства полиномов Фабера и не-
некоторые их обобщения были рассмотрены в работе Я. Л. Г е р о н и м у-
с а [49]. Н. И. П о с т о е в а [1] изучала разложения функций в ряды
по полиномам, которые асимптотически близки к полиномам Фабера. Ис-
Исследованию вопросов сходимости и суммируемости рядов по полиномам
Фабера, для случая, когда граница области не является аналитической,
посвящена работа А. И. Маркушевича [14].
И. И. Привалов [22] изучал разложения по полиномам Чебы-
'шева для функций аналитических внутри эллипсов с фокусами ±1.
В частности, он установил, что полиномы Чебышева ортогональны с
весом на каждом из эллипсов. Факт этот был вторично обнаружен через
шесть лет Уолшем.
В работах Я. Л. Геронимуса [25, 47] изучаются полиномы
комплексного переменного, ортогональные на контуре, или на несколь-
нескольких контурах одновременно [53]. Теории полиномов, ортогональных с ве-
весом на окружности |z| = l, посвящены работы [56, 57, 62, 66, 71]того
же автора. Я. Л. Геронимус использует эти полиномы как аппарат
для исследований по тригонометрической проблеме моментов.
Я. Л. Геронимусу [46, 55, 66] принадлежит также цикл
исследований некоторых экстремальных свойств аналитических функций
при тех или иных дополнительных условиях. В них решаются новыми
методами и обобщаются экстремальные задачи Каратеодори-Фейера,
Ф. Рисса и некоторые другие.
Значительное количество работ советских математиков посвящено
исследованию рядов рациональных функций специального вида. Из них
отметим работу В. Л. Гончарова [16], посвященную условиям
со
сходимости классического ряда Абеля со + ^ *ы—» работу
М. К. Г о н ч а р о в о й [1], в которой изучаются условия представимости
целой функции рядами вида
или
1
где С„(z) — полиномы степени р—1, работы В. Л.Гончарова и

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 401
М. К. Гончаровой [1, 2], в которых исследуются ряды типа
оо п
Ламмеля: С„ + 2 С" П i — a^z (a>n~ Действительные числа такие, что
г 1 m
оо
О < ап < anil< 1, Нтя„=1 и ряд 2 A — а„) расходится), работу
n-»oo 1
С. Я. А л ь п е р а [1], в которой изучается аналитический характер
функций, определяемых рядами Ламберта
со со
anz"
работу Г. В. Бадаляна (готовится к печати), посвященную обобще-
обобщениям факториальных рядов и рядам типа Лагранжа и др.
§ 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА. ОБОБЩЕНИЯ.
Известно, что аналитические функции ^комплексного переменного
и гармонические функции обладают разнородными характеристическими
свойствами, каждое из которых может быть принято за основу их опреде-
определения. К этим свойствам относятся, например, наличие производной (мо-
(моногенность) или, в геометрических терминах, конформность отображения,
осуществляемого функцией, выполнение условий теоремы Морера, пред-
представимость функции равномерно сходящимся рядом полиномов и т. д.
Для гармонических функций можно упомянуть, например, об уравнении
Лапласа, о свойстве среднего арифметического и т. п.
В связи со всеми этими свойствами, совокупностью которых обус-
обусловливается место, занимаемое аналитическими и гармоническими функ-
функциями в анализе, естественно возникает вопрос об исследовании вообще
классов функций, обладающих каким-либо из них, при условии, что не-
некоторые ограничения, само собой подразумевающиеся, когда речь идёт об
аналитических (гармонических) функциях, отбрасываются.
Вопрос этот представляет двоякий интерес. С одной стороны, исследуя
его, удаётся обнаружить ослабленные комплексы требований, приводя-
приводящие снова к классу аналитических (или гармонических) функции. С другой
стороны, удаётся выделить новые классы функций, не совпадающих с ана-
аналитическими или гармоническими, но обладающих теми или иными цен-
ценными их свойствами (вообще говоря, модифицированными).
Подобным образом были выделены и исследованы моногенные функ-
функции Бореля, квазианалитические классы функций Бернштеина и Данжуа,
субгармонические и супергармонические функции, внутренние отображе-
отображения Стоилова, квазиконформные отображения Лаврентьева иГрётша ит. д.
6.1. Моногенность. Условия Коши-Римана ~ — Л, ¦?,— — А^ явля-
ются необходимыми для моногенности функции f(z) = u + iv в некоторой
точке z0 6 G, однако одни эти условия не достаточны.
Теорема Люмана-Меньшова •) утверждает, что, если функции и и v
„ у- , , . ди ди до до
непрерывны в области G и обладают частными производными d— , g- , g- , ^т,,
*) Люман высказал эту теорему в 1923 г. в менее общем виде; его доказательств
содержало существенный пробел.
26 Матечатгка в СССР за 3? лет.

402 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
удовлетворяющими уравнениям Коши-Римана почти всюду в области G*),
то /(z) является аналитической в области G. Таким образом, при некото-
некоторых дополнительных условиях, выполнение уравнений Коши-Римана почти
всюду в области G уже достаточно для моногенности, а следовательно,
и аналитичности функции / (z) — и (х, у) + iv (х, у) в области G. В этой
теореме функции и (х, у) и v (x, у) предполагались непрерывными в областиG.
Г. П. Т о л с т о в [8] показал, что теорема остаётся справедливой, если
предположить, что и(х, у) и v (x, у) ограничены в области (уравнения
Коши-Римана попрежнему предполагаются выполненными почти всюду).
Известный пример функции е -4 показывает, что условие ограниченности
здесь нельзя отбросить.
Теорема, доказанная Г. П. Толст о в ым, была высказана без дока-
доказательства Монтелем в 1913 г., рассматривавшим её как следствие из дру-
другой теоремы о полном дифференциале: если и (х, у) и v (x, у) ограничены и
обладают частными производными ¦- и? , удовлетворяющими почти всюду
в области G условию jr=^x-. tno выражение udx + vdy есть полный диффе-
дифференциал. Однако последнее предложение оставалось в литературе без дока-
доказательства и, наконец, Г. П. Толстое [7] установил, что оно несправед-
несправедливо даже в предположении непрерывности функций и(х,у) и v(x, у).
Пусть и (х, у) и v (х, у) дифференцируемы в некоторой точке
zo = xo-\-iyo; рассмотрим линейное преобразование:
u—uo = (ux).(x-xo) + (i/,)o(y —у0),
v-vo = (гд0 (х-х„) + {veH (у - у0). F.1:1)
Легко видеть (см. Д. Е. Меньшов [12|), что для моногенности
}(z) = u + iv (или f{z) = u — iv) в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы
семейство концентрических окружностей (х — х0J + (У — УоJ = г2 преобра-
преобразовывалось бы посредством F.1:1) в точку или в семейство концентрических
окружностей. Так как,вообще говоря, преобразование вида F.1:1)можег
переводить семейство окружностей также и в семейство отрезков с общим
центром, лежащих на одной и той же прямой, или вообще в семейство
гомотетических эллипсов, то условия моногенности функции в точке
можно выражать в различных геометрических терминах, смысл которых
сводится к тому, чтобы исключить как случай отрезков в качестве
образов окружностей, так и случай гомотетических эллипсов с нерав-
неравными полуосями.
Вот примеры таких условий:
(шах !/(/)-/(*.)!)• **'
где <зр есть площадь, ограниченная образом окружности \z — zo] = j
*) В тех точках, где условия Коши-Римана a priori могут не выполняться,
существование частных производных не предполагается; достаточно потребовать,
ч гобы в этих точках, исключая, быть может, конечное число их, существовали коне*
пые производные числа.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКТНОГО ПЕРЕМЕННОГО 403
C) вдоль трёх лучей, исходящих из z0 и принадлежащих трём различ-
различным прямым, преобразование w = f(z) (или F.1:1)) обладает одинаковыми
растяжениями в точке z0;
D) при преобразовании и>=/ (z) сохраняются углы между тремя
лучами, исходящими из точки z0 и принадлежащими трём различным
прямым;
E) сохраняется угол между двумя лучами, исходящими из z0 и при-
принадлежащими различным прямым, причём вдоль этих лучей преобразо-
преобразование обладает одинаковыми растяжениями в точке 20*) и т. п.
Каждое из этих_условий необходимо и достаточно для моногенности
j(z) = u + iv (или /B)), если и (х, у) и v (x, у) дифференцируемы в данной
точке. Без требования дифференцируемости условия эти не только недо-
недостаточны для моногенности, но даже недостаточны и для существования част-
частных производных: ^, ^, ™ и -^. Д. Е. М е н ь ш о в [8, 9, 17] доказал,
что в'случае, когда /B) непрерывна и унивалентна в данной области, каж-
каждое из условий А), С), D) и Е), выполненное во всех точках области G (за
исключением конечного или счётного множества их), уже достаточно для
моногенности (аналитичности) / (z) (или /(z)) в области О без каких-либо
добавочных гипотез относительно и или v. Для условия В) аналогичный
результат был получен Н. С. Ш т е й н б е р г"[1].
В связи с отдельными результатами, здесь указанными, Д. Е. Мень-
Меньшов высказал следующую гипотезу: пусть [* вообще какой-либо комплекс
условий, из которого для функции / (z) = и (х, y)+iv (x, у), с дифференцируе-
дифференцируемыми и(х, у) и v(x, у) в точке z0, следует моногенность функции /(z) (или
/(z)); тогда из выполнения одних только условий ^ в каждой точке неко-
некоторой области О (за исключением, быть может, конечного или счётного
множества точек этой области) для функции / (z) = и + iv непрерывной
и унивалентной в области G, следует, что она (или же /(z)) аналитическая
в области О (без каких-либо специальных предположений о функциях
и и v). Иллюстрацией к этой гипотезе может служить следующая теорема
Д. Е. Меньшова [10]. Функция / (z) (или / (z)) непрерывная и унивалент-
ная в области G, будет аналитической в G, если в каждой точке G (за
исключением, быть может, конечного или счётного множества точек)
выполняется по одному из условий С), D) или Е) (в разных точках—разные
условия).
Заметим, что теорема Д. Е. Меньшова [17], относящаяся к усло-
условию А), представляет существенное обобщение следующей теоремы Бора:
если для функции f(z), дающей гомеоморфное отображение области G, в
каждой точке области существует конечное положительное растяжение.
lim
,mof(z) (или /(z)) аналитическая функция.
л
В теоремах, где речь идёт об условиях А), В) и С), требование гомео-
гомеоморфности отображения (т. е. непрерывности и унивалентности / (z)) суще-
существенно, как показывают уже простейшие примеры. В случае условия
D), выполняемого в области G почти всюду, от этого можно отказаться
*) Очевидно, что Е) обобщает условия Кошн-Римана. В последних, если их
выразить геометрически, вместо двух лучей фигурируют две прямые, параллельные
осям координат.
26*

404 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
(Д. Е. Меньшов [12]), если потребовать, например, что
L (г) = lim
—функция конечная (во всех точках G, кроме, быть может, конечного
или счётного их множества), и суммируемая по площади G.
Укажем ещё одну теорему Д. Е. М е н ь ш о в а [И], получаемую без
гипотезы об унивалентности / (z): Если f (z) непрерывна в области
G и если для каждой точки zo?G существуют две прямые Ll{za)
и L2 (z0), проходящие через z0 и такие, что на них } (z) имеет в точке z одну
и ту же производную
то f (z) является аналитической в области G.
Ряд результатов был получен также в терминах обобщённых производ-
производных: средней*) и асимптотической**).
В.С.Фёдоров [23] доказал следующую теорему: функция одно-
однозначная и непрерывная в области G является аналитической в ней, если вы-
выполнено одно из следующих условий: 1) / (z) имеет в каждой точке области
конечную среднюю производную; 2) /(z) имеет почти всюду в области G либо
конечную среднюю, либо конечную асимптотическую производную, причем
функция L(z) F.1:2) имеет конечное значение в области G (всюду, за исклю-
исключением, бытьможет, счётного множества точек). Д. Е. Меньшов [13]
доказал, что из существования конечной асимптотической производной
во всех точках области (за исключением, быть может, конечного или счёт-
счётного множества их) уже вытекает, что непрерывная функция / (z) является
аналитической (без каких-либо гипотез относительно L (z)).
Изложение всех основных результатов по условиям моногенности (до
1936 г.) содержится в работе Д. Е. М е н ь ш о в а [12].
К исследованиям моногенности можно отнести также решение сле-
следующей, имеющей методологическое значение, задачи Н. Н.Лузина:
доказать, не опираясь на интегральную теорему Коши, что функция, мо-
моногенная в области, является аналитической (т. е. разлагается в ряд Тей-
Тейлора в окрестности каждой точки области). Задача эта была решена Г. М.
Адельсон-ВельскимиА. С. Кронродом [3]. Для доказа-
доказательства авторы [I] провели оригинальное исследование линий уровня
непрерывных действительных функций и (х, у), обладающих частными
производными в некоторой области, а также исследование [2] свойства
максимума для решений систем уравнений в частных производных
эллиптического типа:
*) Функция / (z), однозначная и поверхностно суммируемая в области G, имеет
в точке г0 е G среднюю производную /' (г0), если для всякого а > 0 существует такое
й> 0, что из ?<0 следует: С { |/(z) —/(z0)—/'(zo)(z —zo)l ds< s?» (В. с. Фёдо-
I Z-Z) I < p
ров [23]).
**) Функция/(z) обладает в точке z0 асимптотической производной /'(z), если
существует lim -—-¦¦}-- = f'(z0), причём для множества Е выполняется усло-
z ? К, z-»Zj 2 '—~ 'О
вне lim ——г— = 1, где Нг —часть Е, принадлежащая кругу ] г | < г.
г_»о ъг*

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНСГО ПЕРЕМЕННОГО 405
(An В сохраняют знак в данной односвязной области, причём знаки А и В
противоположны). Такого рода системы можно рассматривать как обоб-
обобщение уравнений Коши-Римана. Все эти исследования по своим методам
и результатам выходят за рамки первоначально поставленной задачи.
6.2. Теорема Морера. Теорема Морера, обратная интегральной тео-
теореме Коши, указывает на одно из характеристических свойств анали-
аналитической функции. Именно, функция/(z), однозначная и непрерывная од-
односвязной области G, является аналитической в ней тогда и толь ко тог-
тогда, когда интеграл \ / (z) dz, взятый по любой замкнутой спрямляемой кри-
г
вой, принадлежащей G, равен нулю. Свойство это широко используется в
исследованиях моногенности; в интересах этих исследований, а также и
для других вопросов желательно, по возможности, ослабить требования,
заключающиеся в условиях теоремы Морера. В. С.Фёдоров [19J построил
пример непрерывной в области О функции /(-г), не аналитической ни
в одной точке области G, такой, что \ /(z)cfz = O для всех окружностей
С
одного и того же фиксированного радиуса. С другой стороны, В. С. Ф ё-
доров [19] показал, что, если {С,,} есть последовательность замкнутых
кусочно-гладких жордаповых кривых, среди которых имеются кривые сколь
угодно малого диаметра и если для любой кривой С, получаемой из некото-
некоторой кривой Сп путем сдвига, г.меем \ / (г) dz —0, где j (г)—функция,
непрерывная в области, то f(z) является аналитической функцией.
Если известно только, что f(z)—поверхностно суммируемая функция
и интеграл \ / (z) dz — 0 для тех кривых (получаемых, попрежнему, сдви-
с
гом из Сп), для которых интеграл существует, то можно утверждать, что
/B) отличается от некоторой аналитической функции o(z) самое большее
на множестве меры нуль.
Следующее предложение В. С. Фёдорова [29] обобщает теорему
Морера в несколько ином направлении: если f(z) однозначна и непрерывна
в области G и интеграл \ f(z)dz равен нулю для всякой замкнутой, жор-
с
дановой, спрямляемой кривой С, принадлежащей G и не проходящей через*
точки некоторого всюду разрывного множества Е, причём для каждой точ-
точки 206Я существует окрестность U такая, что \ \ / (з) dz \ < М (U) < <х>,
С'
какова бы ни была спрямляемая кривая С, лежащая в этой окрестности,
то f(z) является аналитической в G.
В последнее время Г. П. Толстое ым*) получен следующий ре-
результат: если интеграл \ {{z)dz от измеримой функции j'(z) имеет смысл
с
и равен нулю для всякой замкнутой, спрямляемой кривой С, лежащей
в области G и встречающей фиксированное множество Е поверхностной
меры нуль, по множеству линейной меры нуль, то, изменяя } (z) самое боль-
большее на множестве точек меры нуль, можно сделать её аналитической
*) Работа находится в печати.

406 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
в области G. Опустить гипотезу об измеримости /(z) в теореме V. П. То л-
с т о в а, вообще говоря, нельзя.
6.3. Квазиконформные отображения. Пусть {Eh B)} семейство гомо-
тетических эллипсов с общим центром z (h—малая полуось эллипса);
назовём характеристиками семейства отношение р B) большой оси к малой
и угол ft B) между большой осью эллипсов и действительной осью*).
Уравнение эллипса Eh(z) имеет вид:
где a(z), P(z) и у (г) просто выражаются через p(z) и &(г); распре-
распределение эллипсов Eh(z) в области G называется непрерывным (равно-
(равномерно непрерывным), если функции a (z), $(z)n у B) непрерывны (соот-
(соответственно, равномерно непрерывны) в области. М. А. Лаврен-
Лаврентьеву [15] принадлежит заслуга выделения и изучения классов
внутренних **) отображений w — / (z) области О, обладающих тем свой-
свойством, что эллипсы Eh(z) данного непрерывного распределения
с характеристиками p(z), 0(z) преобразуются посредством w = f(z)
в окружности (с точностью до бесконечно малых), в том специальном
смысле, что
,. max !/(;)-/(с) I __.
11111 —.—. —jr- — -, Т~,~~\~\ — ••
Такой класс М. А. Лаврентьев назвал почти аналитическим
(с характеристиками p(z) и 0 (г)), а соответствующее отображение —
квазиконформным***). В случае, когда p(z)e^1,t. e. эллипсы Eh суть
окружности — квазиконформные отображения превращаются в конформ-
конформные первого или второго рода (Д. Е. Меньшов [17]).
Основной результат теории, построенной М. А. Лаврентье-
в ы м 115], заключается в следующем обобщении теоремы Римана о кон-
конформных отображениях: каковы бы ни были характеристикиp(z)<C и О- (г)
некоторого распределения эллипсов, непрерывного в односвязной области G,
допускающей конформное отображение на круг, существует гомеоморфное,
квазиконформное отображение G на круг, имеющее характеристики
p{z) и 9(г). Наряду с этим результатом М. А. Лаврентьев получил
ещё ряд предложений об основных свойствах классов почти анали-
аналитических функций.
Рассмотрим семейство \w = f(z)} гомеоморфных отображений еди-
единичного круга самого на себя, обладающих непрерывными частными
пример пуль.
** Н
*) В случае, когда р (г)=1, о (г) можно приписывать произвольное значение, на-
нар пуль.
) Непрерывное отображение w =--f (z) называется внутренним (Стоилов), если
оно преобразует каждое открытое множество и открытое и никакой континуум не пре-
преобразует в точку. Если н'=-/(г)—знутреннее отображение области, то всегда суще-
существует такое гомеоморфпое отображение г = ?(?)-об.части G самоё на себя, что функция
/(а(г)) является аналитической в G. Указанное свойство можно принять за опре-
определение внутреннего отображения.
***) Некоторые специальные классы почти аналитических функций рассма-
рассматривались М. А. Лаврентьевым |7] в 1928г. Грёгш A928) изучал
клексы отображений, которые также преобразуют эллипсы и окружности (с точ-
точно с ыо до бесконечна малых); однако он не фиксировал общих для всего класса харак-
характеристик p(z) и Э(г), требуя только равномерном ограниченности отношений больших
полуосей эллипсов к малым (/>(г) <С). Такие же классы отображении, под именем
квазиконформных, рассматривал А.н.форс и своей работе о поверхностях иаложе-
лня A935).

ТЕОГ'ИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 407
производными всюду, исключая, быть может, конечное число анали-
аналитических дуг. Если эти отображения принадлежат классам квазикон-
квазиконформных отображений (вообще, различным), для которых характери-
характеристики р (z) равномерно ограничены, то тогда семейство {/ (z)} равно-
равностепенно непрерывно. Далее, если {/s (z)}—семейство, удовлетворяющее
указанным условиям и такое, что для характеристики ps(z) выпол-
выполняется неравенство: ps(z)<l-|-s, причём /S(O) = O и /еA)=1, то
|/,(z) —z|< а(з), где X(s)—>0, при г—»О, (л(г) не зависит от семей-
семейства функций).
При тех же условиях (впрочем, условие /s(l) = l опускается) для
любой точки z0, z0'; < 1, и чисел з, и р, st > О, О <р< 1 — | z01, в каждой
паре точек zx и г2, принадлежащих кольцу A — г'Л? < i 2 —z0! < р,
имеем:
<
)Г77Т
(zo) 2 . . .
' < T; S' Sl '
где -<)(г, s,)—>O, при ? и sx, стремящихся к нулю (-//(г, sx) не зависит от
/e(z)). Эти предложения, наряду с весьма полезной леммой о склеива-
склеивании (см. 1.1) и служат базой для доказательства основной теоремы.
В той же работе почти аналитические функции изучаются в окрест-
окрестности изолированной «особой точки» однозначного характера. Если
область G есть круг с выколотым центром: 0<|z|<l и p(z), 9(z)
характеристики некоторого непрерывного распределения эллипсов
в области G такого, что интеграл \—— = оо, q(г) = maxp(z), то
J rq (г) ,., г
можно построить гомеоморфное и квазиконформное отображение еди-
единичного круга самого на себя с характеристиками p{z) и 0(z). Отсюда,
как следствие, получается обобщение теоремы Пикара: если f(z) почти
аналитическая функция в области 0<|z|<l с характеристиками,
удовлетворяющими условию предыдущей теоремы, и j(z) не стремится
ни к конешому, ни к бесконечному пределу, при z, стремящемся
к нулю, то точка z = O является предельной для корней уравнения
j(z) = A, каково бы ни было комплексное число А (за одним возможным
исключением *)),
В позднейших работах самого М. А. Лаврентьева и его уче-
учеников теория квазиконформных отображений получила дальнейшее
развитие и нашла важные приложения (к проблеме типа римановых
поверхностей, к механике, в частности к теории струй, и т. п.).
3. Я. Шапиро [1] обобщила понятие о квазиконформных отоб-
отображениях следующим образом: отображение w = f(z) области G на
г
*) В частном случае, когда условие \ —г— = оо заменяется условием \p(z)\ < С
о
и при некоторых дополнительных ограничениях, налагаемых на функции / (z),
аналогичная теорема была впервые получена Грётшем A928 г.). В общем виде она
содержится также и в работе Альфорса, упоминавшейся в предыдущей сноске.

408 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
область D называется квазиконформным с характеристиками р (z, w),
f}(z, w); Pi{z, w), &!(z, w), если оно гомеоморфно, и семейство {Eh(z)\
гомотетических эллипсов с центрами z 6 G и характеристиками р [z, /(z)],
^lz, (/С3)] преобразует (с точностью до бесконечно малых высших поряд-
порядков, по отношению к ft) в семейство гомотетичееких эллипсов с цент
ром в w = f(z)?D и характеристиками Pi[z,f(z)], &, [г, f(z)]. В работе
3. Я. Шапиро доказывается, что, каковы бы ни были односвязньч
области О и D, допускающие конформное отображение на круг и дей-
действительные функции
p{z, w) > 1, 0(z, w); pt(z, w) > 1, i\(z, w), z?G, w?D,
соответствующие равномерно непрерывным, распределениям эллипсов в
'областях О и D, существует квазиконформное отображение G на D
с характеристиками р, ft; р,, 01( переводящие 3 заданные граничные
точки (простые концы) G в 3 граничные точки (простые концы) D.
В работе Б. В. Шаба та [1] рассматриваются классы квазикон-
квазиконформных отображений с характеристиками p(z), b(z); p1(z), ^(z).
Отображения М. А. Лаврентьева получаются отсюда при p1(z)~\.
В качестве средства для изучения этих классов привлекаются системы
уравнений с частными производными, которые являются обобщениями
уравнений Коши-Римана. Автор устанавливает, что действительная
и. мнимая части и (х, у) и v (x, у) квазиконформного отображения w = /(z)
с данными характеристиками являются решением (в некотором обоб-
обобщённом смысле слова) эллиптической системы дифференциальных
уравнений вида:
аих-± Ьия — vy~ 0, dux + си, — vx- 0, F.2:1)
где коэффициенты а, Ь, стлй определённым образом выражаются чере?
характеристики. Отображения М. А. Лаврентьева соответствую
условию: b = dnac — b2^\. Используя специальные методы теорш
дифференциальных уравнений, Б. В. Шабат доказал, что если а, з
cud обладают в G частными производными порядка т > 0, удовлетво-
удовлетворяющими условиям Ге'льдера с показателем Ь, 0<8<1, то квазиког-
формное отображение с соответствующими характеристиками обладаем
частными производными порядка т + 1, удовлетворяющими условию Пар
дера с тем же показателем 8.
Далее Б. В. Шабат устанавливает, что для любой эллиптиче-
эллиптической системы F.3:1) с коэффициентами, удовлетворяющими условии
Гсльдера в данной области G, допускающей конформное отображен»,
на круг, существует решение и, v с непрерывными частными произ-
производными такое, что функция и> = /B) — и + iv гомеоморфно отображав"
область О на круг; в случае, когда и частные производные коэ>'
фициентов удовлетворяют условию Гёльдера, доказывается, что соо*
ветствующее решение единственно (при условиях нормировки нг
f(z) = u-{- iv, подобных тем, которые обеспечивают единственность кт*
формного отображения). В общем случае, когда коэффициенты тольк:
непрерывны, вопрос о единственности остаётся открытым. В пост*
новке 3. Я. Шапиро (Б. В. Шабат даёт повое, теоретико-функ
циональное доказательство теоремы 3. Я. Шапиро) отображени
оказываются, вообще, не единственными, как показывает пример, иде:
которого принадлежит Д. Е. Меньшову.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 409
К исследованиям Б. В. Шабата примыкает работа Г. Н. По-
Поло же г о. Автор изучает, под именем р-апалитических, функции
f(z) = u + iv, действительная и мнимая часть которых удовлетворяет
уравнениям:
«х = j vb, Ну = - - vx, F.3:2)
где р = р (х, у) действительная, непрерывная и положительная в обла-
области О функция. Очевидно, что такая система обобщает уравнения
Коши-Римана и, в свою очередь, содержится как частный случай
в системе F.3:1). Основной результат автора заключается в получении
им интегрального представления р-аналитической функции (в предпо-
предположении, что р(х,у) дважды непрерывно дифференцируема):
где \2 (С, 2) и й (?, z) строятся по фундаментальным решениям системы
F.3:2), имеющим предписанные особенности при С = z. В частном случае,
когда p~l,Q(l, z) = UC,, z) = ln(C — z) и интеграл превращается в инте-
интеграл Коши: / (z) = ^ \ yztj- Обобщая результат Г. Н. По л ожег о,
г
Б. В. Шабат в своей работе (готовится к печати) вывел аналогичную
формулу и для общей системы F.3:1).
В последних работах М. А. Лаврентьева [29, 30], теория квази-
квазиконформных отображений получает дальнейшее развитие, в котором
она, ещё в большей мере, чем это было до сих пор, смыкается с тео-
теорией систем дифференциальных уравнений с частными производными.
Изучение квазиконформных отображений на плоскости вызывает
интерес к возможному распространению результатов теории на про-
пространство, где, конечно, следует ожидать существенно новых обстоя-
обстоятельств. В этом направлении до сих пор имеются пока лишь фраг-
фрагментарные результаты (М. А. Лаврентьев [26], М. А. К р е й н е с [ 1 ],
А. И. Маркушевич [6]).
6.4. Гармонические и субгармонические функции. Гармонические
функции двух действительных переменных столь тесно связаны с ана-
аналитическими функциями комплексного переменного, что всякое обоб-
обобщение понятия аналитической функции немедленно приводит к соот-
соответствующему обобщению гармонических функций. Остановимся на
определениях гармонических функций, содержащих минимальное коли-
количество требований. Пусть / (х, у) — функция, определённая и сумми-
суммируемая (поверхностно) в некоторой области О. И. И. П рива л о в [17] *)
ввёл выражение:
где интеграл распространён по кругу радиуса h с центром в точке
(х, у). Если /(х, у) дважды дифференцируема в точке (х, у), то
lim J, существует и равен оператору Лапласа А/; обобщая поня-
*) В работе И. И. Привалова рассматривается общий случай функции.
х?, ..., Хп) от п переменных.

410 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
тие оператора Лапласа, И. И. Привалов называет lim
и lim-Ц-зг1^ > соответственно, нижним Д*/ и верхним Д*/ операто-
рами _Лапласа функции /(х, у) в данной точке, а в случае, когда
д*/ = д*/, общее значение их называется обобщённым оператором Лап-г
ласа*) Д*/- В предположении, что /(х, у) непрерывна в области G,
устанавливается, что условие ^*/<0 <Д*/ достаточно для гармонич-
гармоничности её в области О. Эта теорема обосновывает на новом пути следую-
следующее определение гармонической функции (принадлежащее Е. Леви A909)):
функция, непрерывная в данной области, называется гармонической, если
для неё имеет место соотношение Дл / (х, у) = ^-2 \ { [/ (с, -ц) — / (х, у)] da =¦¦ О
в каждой точке (х, у)(EG и для достаточно малых h. В этом определении
средние по площади круга могут быть заменены средними по окружности;
кроме того, предположение непрерывности функции / (х, у) может быть
заменено простым условием существования соответствующих интегралов
(см. И. И. Привалов [38]).
В позднейшей работе И. И. П р и в а л о в [58] показал, что для гар-
гармоничности непрерывной функции /(х, у) в области G достаточно, чтобы
условие Д*/ <0<Д*/ выполнял ось только почти всюду в G, при дополни-
дополнительном предположении о том, что Д*/>— оо и Д*/ < -(?оо всюду в обла-
области G, за исключением, быть может, замкнутого множества Е ёмкости нуль.
Существенное обобщение понятия гармонической функции представляют
субгармонические функции, введённые в науку ещё Гартогсом A906 г.)
в связи с теорией аналитических функций многих переменных и позднее
исследованные Ф. Риссом A925 — 1930 гг.). Функция /(х, y)=/(z) назы-
называется субгармонической в области G, если она полунепрерывна сверху
в этой области и конечна на всюду плотном множестве точек и если
в каждой точке области
о
начиная с достаточно малого радиуса р. В этом определении среднее по
окружности можно заменить средним по площади круга. И. И. П р и в а-
л о в у принадлежит заслуга систематической разработки общей теории
субгармонических функций и её применений к теории аналитических
функций. Не имея возможности охарактеризовать здесь все многообразные
результаты И. И. Привалова в теории субгармонических функций,
мы отсылаем читателя к двум его монографиям [38,56], из которых пер*
вая даёт построение общей теории субгармонических функций с её различ-
различными приложениями, а вторая специально останавливается на приложе-
приложении теории к исследованию граничных свойств аналитических функций.
Из других работ отметим ещё один результат М. В. Келдыша [3],
установившего, что теорема, аналогичная теореме Лиувилля, справед-
*) Обобщённый параметр Лапласа для функций двух переменных был введён
также Бляшке A915 г.) посредством равенства: Д*/= \г:п тМ-¦
П. —* U ft " : а

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 411
лива для субгармонических функций двух переменных, тогда как для суб-
субгармонических функций трёх переменных она, без дополнительных усло-
условий, перестаёт иметь место. Отметим также работы учеников И. И. При-
Привалова (П.И.Кузнецова, В. В. С а г а т е л я н а, Б. П ч е-
лина, Н. М. Лисенкова и др.).
Обобщение гармонических функций в другом направлении представ-
представляет полигармонические функции, т. е. функции, удовлетворяющие диф-
дифференциальному уравнению Дпи = О, где Д" — п-кратный оператор Лап-
Лапласа. И. И. Привалов и Б. Пчелин [I], введя понятие обобщён-
обобщённого полигармонического оператора, по аналогии с обобщённым
гармоническим оператором И. И. П ривало в а, установили основные
свойства полигармонических функций, аналогичные свойствам гармони-
гармонических функций. И. Н. В е к у а в обширном цикле исследований изучал
решения дифференциального уравнения вида
п
д"и + 2^А-(дп-ли) = 0, F.4:1)
где
—аналитические функции двух действительных неременных в некоторой
области О плоскости. Очевидно, что полигармоническое уравнение явля-
является лишь весьма частным случаем уравнения F.4:1). В своих работах
И. Н. В е к у а исходил из найденного им представления решений уравне-
уравнения F.4:1)через произвольные аналитические в области G функции одного
комплексного переменного. Пользуясь этими представлениями, И. Н. Ве-
Веку а распространил многие важные свойства аналитических функций
комплексного переменного на решения уравнения F.4:1), в частности,
изучил вопросы разложения в ряды и приближения решений посредством
определённого класса частных решений. Результаты И. Н. В е к у а были
применены им к задачам теории уравнений математической физики и к син-
сингулярным интегральным уравнениям. Частично результаты И. Н. В е-
ку а вошли в монографию Н. И. М у с х е л и щ в и л и *), в которой
читатель найдёт сводное изложение результатов Н. И. М у с х е л и-
ш в и л и и его учеников.
6.5. Функции многих комплексных переменных**). Истекшие годы
ознаменовались значительным прогрессом теории аналитических функ-
функций многих комплексных переменных. Интерес к этой теории обусловли-
обусловливается тем, что функции многих переменных обладают важными свойства-
свойствами, исчезающими, благодаря упрощению дела, при переходе к случаю
одного переменного. Мы остановимся сейчас на тех отделах этой теории,
которые привлекли к себе внимание советских математиков.
Пусть некоторая область D 2-п-мерного пространства п комплексных
переменныхzu г„,..., zn гомеоморфно отображается с помощью аналитиче-
аналитических функций
wk--wk{zv ¦¦ -,zn) F.5:1)
*) Сингулярные интегральные уравнения. М.—Л., ГТТИ A946).
**) Этот пункт но просьбе авторов написан Б. Л. Фуксом.

412 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ !
на область ? пространства переменных w,,..., wn. Такое отображение обычч
но называют псевдоконформным, так как оно прил>1 вообще не ^
няет углов между направлениями.
Как известно, при и = 1 для каждой односвязной области можно у
зать (с учётом нормирования) одно отображение F.5:1), переводящее эту;
область на единичный круг ?, а для каждой двухсвязной области на коль^
Ц° Sri? < lzl < 1- Легко указать на экстремальные свойства, выделяю^
щие области ? и ?г из всех образов D, получаемых с помощью F.5:Щ
Например, хорошо известно, что ? обладает среди них наименьшей пло|
щадью. Круг является простейшим примером так называемой репре!
зентативной области. Подобная же область может быть определена в каиН
дом классе отображаемых друг на друга псевдоконформно областей. Ик
число, однако, с возрастанием п увеличивается. Например, при п>Ц
односвязные области имеют не одну, а много репрезентативных областей.
Поэтому возникает необходимость в изучении общих свойств репрезевд
тивных областей. Они находятся в общем случае, исходя из так называв
мой кернфукиии области Кд- Эта функция Кг», в свою очередь, определяете^
со (
как ^1 Tvi*. гДе ?v (zu ••¦)г„) образуют в D полную, ортонормирование
(по объёму) систему аналитических функций, или как величина, обратная
минимуму интеграла \ 'ft (tlt ..., tn) 'fdiu, где dw — элемент объёма; всё
Ъ ',
h (z1;..., zn) = 1. Поэтому этот минимум даёт -^ в точке (zu ..., zn). Тогда
D i
> TPqdzpdzq ( где Tp,j — -——— ) оказывается положительно-спреде-
ленной эрмитовой формой, инвариантной при псевдоконформных отсбр*
жеииях. Полагая. \
ds2^ 2 Tv-qdzjAi,lt F.5:2)
мы определим в D риманову геометрию, инвариантную при псевд*
конформных отображениях. В частном случае, когда n = l, D—одно]
связная область, она сводится к геометрии Лобачевского (постоянно!
отрицательной кривизны), инвариантной при конформных отображения^
Отображение F.5:1) области D на ? равносильно введению в В
новых криволинейных координат; отображение на репрезентативную
область —введению так называемых репрезентативных координат. Рев]
резентативные координаты определяются в окрестности каждой точкЧ
Р области D, как аналитический аналог геодезических (нормальных) коор
динат инвариантной метрики F.5:2). Поэтому, при отображении на репре
зентативную область, некоторые геодезические многообразия, прохо
дящие через Р, отображаются на многообразия, имеющие в Р* (Р*-
образ Р) евклидову кривизну, равную нулю. Например, в частном слуг
чае односвязной плоской области геодезические линии, проходящш
через Р, переходят в диаметры, идущие через центр круга (точка Р*\
являющегося репрезентативной областью. Подобное геометрически
определение репрезентативных координат было дано Б. А. Фукс ом [4
и играет существенную роль при получении ряда результатов, отно

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 413
сящихся к общим свойствам репрезентативных областей и метрики,
инвариантной при псевдоконформных отображениях. Среди этих
результатов отметим:
1) Предложения, относящиеся к псевдоконформным отображе-
отображениям области D на себя (иначе к группе движений инвариантной
геометрии F.5:2)); их связь с репрезентативными координатами состоит
в том, что в этих координатах подобные отображения, оставляющие
точку Рнеподвижной, становятся линейными. Оказалось (Б. А. Ф у к с
f3,5J), что для принадлежности однопараметрической группы Ли
Псевдоконформных отображений, определяемой бесконечно малым
п
преобразованием Ж/= 51 St—+ft-/- к группе движений геометрии
-F.5:2), необходимо и достаточно, чтобы Im [Ж (In &)] = (). Этот критерий
позволил получить условия наличия у метрики F.5:2) /п-параметрической
группы движений, /^-параметрической подгруппы группы движений, оста-
оставляющих неподвижной некоторую точку Р области D, установить воз-
возможные типы групп движений метрики F.5:2).
2) Предложения, относящиеся к общим свойствам инвариантной мет-
метрики F.5:2). Оказалось (Б. А. Ф у к с [4]), что риманова кривизна R мет-
метрики F.5:2) во всех точках, по всем аналитическим двумерным направле-
направлениям (плоскостям) меньше 2. (Аналитическая плоскость двух измерений
п
определяется уравнениями ^ Aksz? + Bk = 0, к — 1, 2, ..., п — 1; вооб-
ще аналитическая поверхность г измерений определяется уравнениями
•?*(zi, ¦•¦)г»)--0, к = 1, 2, ..., п — г, где ранг матрицы ^ равен п—г
и <sk—.аналитические функции.) Отсюда, между прочим, следует, что не
всякая положительно определённая метрика вида F.5:2), где Т.ш =—"—
dzpdz.i
(Ф—некоторая функция), является инвариантной метрикой при отображе-
отображениях F.5:1) для некоторой области D. Другая теорема (Б. А. Фу к с [4,9])
устанавливает (при п = 2) условия существования в геометрии F.5:2)
вполне геодезических, аналитических поверхностей (все геодезические
линии такой поверхности являются геодезическими линиями простран-
пространства). Между прочим оказалось, что, если хотя бычерез одну точку про-
проходят вполне геодезические поверхности по всем направлениям, то D—
гипершар. Для весьма широкого класса областей обнаружилось, что
при приближении к границе области D, R стремится к —1.
3) Большую группу результатов, представляющих собой оценки для
границы изменения различных геометрических величин при псевдокон-
псевдоконформных отображениях. Такие оценки получены при п = 2 для измене-
изменения углов, кривизны аналитических поверхностей (Б. А. Ф у к с [2]),
для изменения кривизны гиперповерхностей (И. М.Митрохин [1 ]),
для изменения кривизны неаналитических поверхностей (Е. П. В о с-
к р е с е и с к и й [1]). Другие оценки характеризуют (при п = 1) поведе-
поведение минимальной функции области (минимальная функция, M(z, /).
области сообщает \ \h\2du> его минимальное значение -^-) и её произ-
' водных (Б. А. Фукс [12, 13]).

414 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
4) Сюда примыкают результаты П.П.Куфарева[1], относящиеся
к исследованию кернфункции области. Полученное им выражение керн-
функции двухсвязной области в эллиптических функциях позволило ему
изучить область наименьшей площади (двухсвязную), на которую можно
отобразить нормированным конформным отображением данную двухсвяз-
двухсвязную область. П. П. К у фа р е в [4] получает асимптотическое выражение
для Kd(z, 2) при приближении точки г к границе области.
Другая группа результатов советских математиков связана с ин-
интегральными представлениями аналитических функций комплексных
переменных. Такие представления являются, чаще всего, аналогами
интегральной формулы Копти. Они, хотя и лишены универсальности
этой классической формулы, играют, однако, важную роль в теории,
оказываясь исходным пунктом многих исследований. Одна из подоб-
подобных формул была получена в недавнее время А. А. Т е м л я к о-
вым [4]. Она позволяет восстановить аналитическую функцию F (w, г)
в гиперконусе |w|+|zj<R по её значениям на границе этого гиперко-
гиперконуса, определяемой уравнением |w|4-jz|=R. Это представление интересно
тем, что позволяет свести изучение аналитической функции F(w, z) в ука-
указанном гиперконусе к рассмотрению особым образом связанной с ней ана-
аналитической функции одного переменного. Последнее оказывается, напри-
например, полезным для получения эффективного метода аналитического про-
продолжения] F(w, z) через границу гиперконуса (в случае, если она не
является её естественной границей).
Е. Н. Аравийская [1], исходя из другого интегрального пред-
представления аналитической функции двух комплексных переменных, полу-
получила новый способ разложения такой функции в ряд многочленов.

БИБЛИОГРАФИЯ.
Абрамов И. М.
[1] О формулах, выражающих производную n-го порядка от сложной функции.
Прикл. матем. и мех., 3:3 A939), 145—150.
Агрономов Н. А.
[1] К теории исчислимых комплексов. Ставрополь, Труды с.-х. ип-та, 6:1 A921),
1—5.
[2] Sobre algunos integrales definidas. Rev. mat. hisp. amer., 3 A928), 246—253.
Адамов А. А.
GO
Г sinm (ax)
[1] Об интегралах вида \ ^—- dx. Л., Изв. политехи, ни-та, ^30 A927), 3—23.
и
-к.!;'
[2].О двух формулах, служащих для вычисления 9=е А' по данному модулю
в теории эллиптических функций. Л., Изв. политехи, ии-та, 30 A927), 24—28.
Адельсо и -Вельский Г. М. и Кронрод А. С.
[1] О линиях уровня непрерывных функций, обладающих частными производными.
ДАН, 49 A945), 239—241.
[2] О принципе максимума для решений системы уравнений эллиптического типа.
ДАН, 49 A945), 559—561.
[3] Прямое доказательство аналитичности моногенной функции. ДАН, 50 A945),
7—10.
Акимов М. И.
[1] О некоторых приложениях функций Еесселя многих переменных. Симферополь,
Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 64—72.
[2] О функциях Bessel'fl многих переменных и их приложениях в механике. Пгр.
A922), 1—136.
|3] Sur les fonctions hypergeometriques confluentes. С. R. Acad. Sci., 181 A925),
313—315.
[4] Sur l'application des transcendantes de Fourier-Bessel a plusieurs variables au deve-
loppementen series trigonometriques des fonctions conditionnellement periodiques.
C. R. Acad. Sci., 183 A926), 333—336.
[5] Transcendantes de Fourier-Bessel a plusieurs variables. C. R. Acad. Sci., 185 A927),
409—412.
[6] Sur les fonctions de Bessel a plusieurs variables. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:1 A928),
1—30.
Акимов Н. И.
[\] К вопросу о разложении данной функции в ряд по полиномам^ Якоби. Л., Зап.
горн, ин-та, 8 A934), 224—226.
Александров П. С.
[1] Sur l'invariance topologique des ensembles complementaires aux ensembles'A. Матем.
сб., 31 A924), 310—318.

416 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[2] L'integration аи sens de M. Denjoy considered comme recherche des fonctions pri-
primitives. Матем. сб., 31 A924), 465—476.
[3] Sur les ensembles comple'mentaires aux ensembles (A). Fund. Math., 5 A924),
160—165.
[4] Ueber die Aequivalenz des Perronschen und des Denjoyschen Integralbegriffe,s.
Math. Z., 20 A924), 213—222.
Александров П. С. и Колмогоров А. Н.
[1] Введение7 в теорию функций действительного переменного. Изд. 3. М.—Л., ОНТИ
A938), 1—268.
А л е н и ц ы н Ю. Е.
[1] О коэффициентах р-листиых функций. Матем. сб., 10 E2), A942), 51—58.
B] О коэффициентах однолистных функций. Матем. сб., 15 E7), A944), 131—138.
[3] О локально однолистных функциях. Матем. сб., 18 F0), A946), 115—124.
[4] О функциях р-листных в среднем. Матем. сб., 20 F2), A947), 113—123.
Алхимов М. И.
[1] Об условиях суммируемости методом средне-арифметических одного класса двой-
двойных последовательностей. Днепропетровск, Научн. зап. ун-та, 25 A941), 29—36.
Альмухамедов М. А.
[1] Применение метода П. Л. Чебышева построения интерполяционных формул к од-
одному практическому вопросу. Казань, Учён. зап. ун-та, математика, 7:2 A934),
97—113.
Альпер С. Я.
[1] О некоторых свойствах аналитических функций, связанных с арифметическими
свойствами коэффициентов их разложений в ряды. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 3 A939), 3—27.
Аравийская Е. Н.
[1] Ueber ein Verfahren zur effektiven Herstellung von vollstandigen Orthogonalfunk-
tionensystemen zweier komplexen Veranderlichen. Матем. сб., 2 D4), A937),
065—672.
[2] О приближённом представлении функций двух комплексных переменных в обла-
областях, конвексных относительно некоторых классов функций. Томск, Изв. НИИ
матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 37—42.
[3] К теории роста функций с заданными нульповерхностями. Томск, Изв. НИИ
.матем. и мех. ун-та, 3:1 A946), 01—71.
А р е ш е в М. С.
[1] О дифференциалах сложной функции. ДАН, 57 A947), 311—313.
[2] О некоторых локальных свойствах функции двух независимых переменных.
ДАН, 57, A947), 423—426.
Ар е ш к и и Г. Я.
[1] К теопни кратного интегрирования на абстрактных множествах. Тбилиси, Сообщ.
АН ГрССР, 5 A944), 360—363.
[2] Вполне аддитивные функции множества и mrrerpa:i Lebesgue'a-Radon'a. Тбили-
Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 14 A947), 173-216.
[3; К теории меры В-множеств. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 7 A946), 505—506.
Арсении В. Я.
\1] О проекциях В-множеств. ИАН, сер. матем. A939), 233—242.
|2| О проектировании некоторых В-множеств. ДАН, 27 A940), 105—107.
\'А] Природа проекций некоторых В-мможеств. ИАН, сер. матем., 4 A940), 403—410.
Артмеладзе Н. К.
[1] О формулах механических кубатур. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
7 A940), 147—160.
А х и е з ер Н. И.
II] Про одну иластивкть методи сумування Weierstrass'a. Киев, Научи, зап.,
2 A9241, 72—77. У

БИБ ЛИОГР АФИ Я 417
[2] Ueber eine Anwendung der Eulerschen Transformation. Киев, Зап. физ.-матем.
отд. Ан УССР, 1:4 A925), 32—33.
[3] Новий виВ1Д необхщних умов принадлежности шло! фунюи! шлого порядку
до певпого типу. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 2:3 A927), 29—33.
[4] Про деяк» застосуваиия cyivianifinoli формули Poisson'a. Киев, Зап. ип-та нар.
проев., 2 A927), 157—162.
[5] Sur les fon:tions entieres d'ordre en tier. Rend. circ. mat. Palermo, 51 A927),
390—393.
[6] Ueber einige Funktionen die in gegebenen Interwallen am wenigsten von Null
abweichen. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 3 A928).
[7] Об одной задаче Е. И. Золотарёва. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 919—931.
[8] О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля. Хрк., Труды первого Всесоюзн.
матем. съезда A930), 284—289.
[9| О некоторых полиномах наименьшего уклонения. ДАН, (А), 18 A930), 489—494.
[10] Об экстремальных свойствах некоторых дробных функций. ДАН, (А), 18 A930),
495—499.
[11] Asymptotische Losung einer Aufgabe Uber Polynome minimaler Abweichung. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 4 A930), 141—144.
[12] Ueber ein Tchebyscheffsches Extremumproblem. Math. Ann., 104 A930), 739—744.
[13] Sur les polyndmes de Tchebyscheff pour deux segments. С R. Acad. Sci., 191 A930),
754—756.
[14] Sur les proprietes asymptotiquesdequelquespolynomes. С R. Acad. Sci., 191 A390),
916—918.
[15] Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation dequelques fractions par
des polyndmes. С R. Acad. Sci., 191 A930), 991—993.
[16] Об асимптотических свойствах полиномов на двух интервалах. ИАН, сер.
физ.-матем. A931), 161—178.
[17] Об одной minimum-проблеме теории функций и о числе корней алгебраического
уравнения, которые лежат внутри единичного круга. ИАН, сер. физ.-матем. A931),
1169—1189.
[18] Ueber asymptotische Grosse der besten AnnSherung einiger rationalen Funktionen
durch Polynome. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 5 A932), 37—47.
[|9] Ueber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von
Null abweichen, I. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 1163—1202.
[20] Ueber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von
Null abweichen, И. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 309—344.
[21] Ueber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von
Null abweichen, 111. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 499—536.
[22] Ueber eine extremale Eigenschaft rationaler Funktionen. Хрк., Зан. матем. т-ва
D), 6 A933), 39—45.
[23] Ueber den Jacksonschen Approximationssatz. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
8 A934), 3—12.
[24] Ueber eine Eigenschaft der «elliptischen» Polynome. Хрк., Зан. матем. т-ва D),
9 A934), 3—8.
[25] Bemerkung tlber extremale Eigenschaften einiger mit Transformation der ellipti-
elliptischen Funktionen zusammenhangender Brfiche. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 11 A935),
27—34.
[26] Verallgemeinerung einer Korkine-Zolotareffschen Minimum-Aufgabe. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 13 A936), 3—14.
[27] О наилучшем приближении одного класса непрерывных периодических функций.
ДАН, 17 A937), 451—454.
[28] Про теорему акад. С. Н. Бернштейна тдносно квадратурно! формули П. Чеби-
шова. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A937), 75—82.
[29] Про одну теорему S. Bochner'a. Хрк., Зап. матем. т-иа D), 14A937), 75—80.
[30] О наилучших приближениях аналитических функций. ДАН, 18 A938), 241—244.
[31] Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов. Успехи матем. наук, 9 A941),
126—156.
[32] О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 275—290.
[33] О некоторых свойствах целых трансцендентных функций экспоненциального типа.
ИАН, сер. матем., 10 A946), 411—428.
[34] О полиномах Б. М. Левитана. ДАН, 54 A946), 3—6.
C5] Лекции по теории аппроксимации. М., ГТТИ A947), I —-325.
[36] Конструктивная теория функций в Харьковском университете и математическом
институте A917—1947). Успехи матем. наук, 2:3 A9), A947), 158-174.
2 7 Математика в СССР за 30 лет

418 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Ахиезер Н. И. и Бабенко К. Н.
[1] О взвешенном приближении многочленами непрерывных на всей числовой оси
функций. ДАН, 57 A947), 315—318.
А х и е з .е р Н. И. и К р е й н М. Г.
[1] Ueber Fouriersche Reihen beschrankter summierbarer Funktionen und ein neues
Extremumproblem, I. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 9 A934), 9—23.
[21 Ueber Fouriersche Reihen beschrankter summierbarer Funktionen und ein neues
Extremumproblem, II. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 10 A934), 3—32.
[3] Sur uneformuledequadraturedeTchebycheff. C. R. Acad. Sci.,200 A935), 890—893.
[4] Ueber eine Transformation der reelen Toeplitzschen Formen und das Momentenpro-
blem in einem endlichen Interwalle. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 11 A935), 21—26.
[51 О двух минимум-проблемах, связанных с проблемой моментов. ДАН, 1 A936),
331—334.
f61 Das Momentenproblem bei der zusatzlichen Bedingung von A. Markoff. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 12 A936), 13—36.
[7] Bemerkung zur Arbeit «Ueber Fouriersche Reihen beschrSnkter summierbarer Funk-
Funktionen und ein neues Extremumproblem». Хрк., Зап. матем. т-ва D), 12 A936),
37—40.
[8] О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых
периодических функций. ДАН, 15 A937), 107—112.
[91 Проблема момен-пв на двух пггервалах при додатков1й yMOBi А. А. Маркова.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 47—60.
[10] О некоторых вопросах теории моментов. Хрк., ГОНТИ УССР A938), 1—253.
[111 Деяк1 зауваження про коефнйенти квадратурних формул Gauss'овьского типу.
Одесса, Труды ун-та, 2 A93&), 29-38.
[121 О некоторых формулах квадратур П. Л. Чебышева и А. А. Маркова. Сб. памяти
акад. Граве A940), 15—28.
[131 Some remarks about three papers of M. S. Verblunsky. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
16 A940), 129—134.
Ахиезер Н. И. и Левитан Б. М.
[1] Об одном применении неравенства Г. Бора и Ж. Фавара. ДАН,14 A937), 419—422.
Ахиезер Н. И. иШтаерман И. Я.
[1] Ueber die Zusammenhang zwischen derStormerschen Integrationsmethode und den
Bernoullischen Polynomen. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 2:2 A927),
16—24.
Бабенко К. И.
[1] О базисах в гильбертовом пространстве. ДАН, 57 A947), 427—431.
Баганов А. В.
[11 Общая формула производной п-го порядка дробной функции. Иваново, Труды хим..
технол. ин-та, 3 A940), 212—213.
Базилевич И. Е.
[1] Zum Koeffizientenproblem der schlichten Funktionen. Матем. сб., 1 D3), A936),
221—228.
2] Sur les thdoremes de Koebe-Bieberbach. Матем. сб., 1 D3), A936), 283—292.
Дополнение к работам <Zum Koeffizientenproblem der schlichten Funktionen» я
((Sur les theoremes de Koebe-Bieberbach». Матем. сб., 2 D4), A937), 689—698.
[4] К теории однолистных функций. Матем. сб., 3 D5), A938), 359—366.
[5] К теории однолистных функций. Саратов, Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матем.,
1 A4): 1 A938), 3—5.
[6] Об одной теореме Littlewood'a и Ра1еу'я. Матем. сб., 6 D8), A939), 337—344.
[7] Об одном экстремальном свойстве функции F(z)= . __ . Матем. сб., 12E4),
A943), 315—319.
Бари Н. К.
[1] Sur l'unicitd du developpement trigonometrique. С. R. Acad. Sci., 177A923),
1195—1197.
[2] Sur la representation analytique d'une classe de fonctions continues. С R. Acad.
Sci., 183 A926), 469—471.
Ill

БИБЛИОГРАФИЯ 419
[31 Sur la representation finie des fonctions continues. С R. Acad. Sci., 184 A927),
" 1112—1115.
[4] Sur I'unicite du developpement trigonometrique. Fund. Math., 9 A927), 1.
[5] Sur la structure analytique d'une fonction continue arbitraire. C. R. Acad. Sci.,
186 A928), 1414—1416.
[61 Sur Ies fonctions joissant de la propriete Л7. С. R. Acad. Sci., 189 A929), 441—443.
[71 Sur quelques formes mixtes de la representation finie d'une fonction continue arbi-
arbitraire. С R. Acad. Sci., 188 A929), 980—982.
[81 Mernoire sur la representation finie des fonctions continues, 1. Math. Ann.,
103A930), 145—248.
[91 M^moire sur la representation finie des fonctions continues, II. Math. Ann.,
103 A930), 598—653.
[10] Sur la representation des fonctions continues au moyen de fonctions a variation bor-
пёе. С R. Acad. Sci., 192 A931), 1183—1185.
[Ill Sur une classification des fonctions continues a partir des fonctions a variation bor-
пёе. Матем. сб., 40 A933), 326—372.
[12] Теория рядов. М., Учпедгиз A936), 1—137.
[13] Sur la nature diophantique du probleme d'unicite du developpement trigonometri-
trigonometrique. С R. Acad. Sci., 202 A936), 1901—1903.
[14] Sur le г61з des lois dioj hantiques dans le probleme d'unicite de developpement
trigonometrique. Матем. сб., 2 D4), A937,) 699—724.
[151 Об устойчивости некоторых свойств ортогональных систем. ДАН, 33 A941),
342—345.
[16] Об устойчивости свойства полноты системы функций. ДАН, 37 A942), 99—103.
[17] Sur la sta'bilite de certaines proprietes des systemes orthegonaux. Матем. сб.,
12 E4), A943), 3—27.
[18] О базисах в гильбертовом пространстве. ДАН, 54 A946), 383—386.
[19] Sur Ies systemes complete de fonctions orthogonales. Матем. сб., 14 E6), A944),
51—108.
Бари Н. К. и Меньшов Д. Е.
[1] Sur l'integrale de Lebesgue-Stieltjes et Ies fonctions absolument continues de
fonctions absolument continues. С R. Acad. Sci., 182 A924), 1373—1376.
[2] Sur I'integrale de Lebesgue-Stieltjes et Ies fonctions absolument continues. Ann. di
Mat., 5 A927), 19.
Батырев А. В.
[1] Некоторые приложения теории множителей Якоби. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 1 A937), 66—71.
Бегенев И. А.
[1] О линейной независимости функций некоторого вида. Воронеж, Изв. пед. ин-та,,
4 A938), 229—236.
Безикович Я. С.
[1] Исчисление конечных разностей, л., Изд. ун-та A939), 1—366.
[2] Процесс механических квадратур для несобственных интегралов. Л., Учён. зап.
ун-та, сер. матем., 6 A939), 36—42.
[3] Об одной теореме Fejer'a. Л., Сб. работ текстил. ин-та, 2A941), 164—171.
. Белобородько И.
[1] О формуле Лейбница. Хрк., Научи, зап. полигр. ин-та, 1 A939), 90.
Беневоленский В. И.
[1] О возможности непосредственного применения метода И. Р. Брайцева в теории
аналитических функций в том случае, если радиус круга сходимости ряда Тейлора
меньше единицы. Горький. Учён. зап. ун-та, 6 A939), 58—63.
[2] О существовании особых изолированных точек функции, определяемой рядом
Тейлора. Горький, Учён. зап. ун-та 6 A939), 64—68.
Берман Д. Л.
[1] Об одном интерполяционном процессе Эрмита. ДАН, 58 A947), 1569—1572.
Берна нт А. Ф. |
[1] Об одной теореме П. Монтеля. ДАН, 3 A936), 3—8.
[2] О формуле Лаврентьева для вариации растяжения аналитической функции. Л.,
Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936).
27*

420 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[3] О некоторых свойствах регулярных функций. ДАН, 18 A938), 137—140.
|4] Remarque sur la lemme de Schwarz. С R. Acad. Sci., 207A938).
15] Проблемы покрытии и искажения в теории регулярных функций. М., Диссерта-
Диссертация, Матем. ин-т им. Стеклова A941).
[б] Растяжение модулярной функции и задачи о покрытиях. Матем.сб., 15 E7), A944),
285—324.
f7] О вариации растяжения регулярной функции. ДАН, 45 A944), 287—289.
|8] Об одном обобщении теоремы Кебе. ДАН, 52 A946), 383—386.
[9] Курс математического анализа для ВТУЗ'ов. Ч. 1, 2. Изд. 3, М.—Л., ГТТИ A946),
331+344.
A01 О некоторых обобщениях принципа Э. Линделёфа и их применениях. Матем. сб.,
20 F2), A947), 55—112.
}11] О регулярных ограниченных функциях. Успехи матем. наук, 2:4 A947), 163—165.
Берм ант А. Ф. иЛаврентьев М. А.
A] Sur I'ensemble des valeurs d'une fonction analytique. Матем. сб., 42 A935),435—4эи.
[2] Об абсолютных констаитах типа А. Блоха. ДАН, 1 A935), 279—285.
{31 О константах Bloch'a. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936),
172—178.
Бернштейн С. Н.
{1] Quelques remarques sur l'interpolation. Math. Ann., 79 A918), 1—12.
J2] Sur le developpement asymptotique de la meilleure approximation par des polynomS
de degres infiniment croissant des foi ctions rationnelles. C. R. Acad. Sci., 175 A922),
804—806.
13] Sur une propriete des fonctions entiers. С R. Acad. Sci., 176 A923), 1603—1605.
[4] Sur les proprietes extr6males des polynomes et des fonctions entieres sur l'axe reel.
С R. Acad. S:i., 176 A923), 1782—1784.
[5] Sur la meilleure approximation des fonctions possedant un point singulier essentiel.
С R. Acad. Sci., 177 A923), 99—102.
{6] Sur les fonctions quasi analytiques. С R. Acad. Sci., 177 A923), 937—940.
G] Sur les fonctions quasi-analytiques de M. Carlleman. С R. Acad. Sci., 179 A924),
743—747.
|8] Le probleme de l'approximation des fonctions continues sur tout l'axe reel et 1'une
de ses applications. Bull. Sci. Math. France, 52 A924), 399—410.
[0] Sur tine propriete des fonctions entieres de genre 0. Xp(<., Научи, зап., 2 A926),
110] Lecons sur les proprietes extremales et la meilleure approximation des fonctions
analytiques d'une variable reelle. Paris, Oauthier-Villars, 10 A926), 1—207.
[11] Sur une propriete des polyn6mes de Tchebycheff. ДАН (А), A927), 405—407.
[12] Sur les polyn6mes multiplement monotones. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 1 A927),
1 ¦ ' 1 1 *
? 137 Sur les polyn6mes multiplement monotones qui s'ecartent le moins du zero.
С R. Acad. Sci., 185 A927), 247—248.
[14] Sur un probleme relatif aux fonctiors absolument monotones. С R. Acad. Sci.,
185 A927), 495—497.
[15] Demonstration nouvelle d'une inegalitd relative aux polynomes trigonometriques.
Atti Accad. naz. Lincei., 5 A927), 558—561.
[16] О некоторых свойствах регулярно монотонных функций. Хрк., Зап. матем. т-в»
D), 2 A928), 1—11.
[17] Demonstration du theoreme de M. Hilbert sur la nature analytique de solution if
equations du type elliptique sans l'emploi des series normales. Math. Z., 28 A926
330—348.
[18] Sur quelques proprietes asymptotiques de la meilleure approximation. С R. Ac*
Sci., 186 A928), 840—842.
[19
20
21;
22
23
24
' 3A928), 65—71.
[25] Sur les fonctions multiplement monotones. Киен, Зап. физ.-матем отд. А
УССР, 3:2 A928), 40—47.
Sur les polyndmes de Jacobi. С. R. Acad. Sci.. 186 A928), 1090—1092.
Sur les fonctions regulierement monotones. С R. Acad. Sci., 186A928), 1266—126"
Sur la croissance des polyn6mes. С R. Acad. Sci., 187 A928), 558—559.
Sur les fonctions absolument monotones. Acta Math., 52 A928), 1—66.
Sur un theoreme de W. Gontcharoff. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 2 A928), 73—7-
Sur une propriete de la fonction exponentielle. Хрк., Учён. зап. НИ кафш

БИБЛИОГРАФИЯ 421
[26] Про монотонн! функцп. Хрк.„Зап. матем. т-па D), 3A929), 11—18.
[27] Sur la distribution des zeros des polynomes tendant vers une fonction continue posi-
positive sur ur segment donne. J. math. pur. appl., 8 A929), 317—338.
[28] Sur les polyndmes ortogonaux. C. R. Acad. Sci., 188A929), 361—364.
[29] Zusatz zum vorangehenden Artikel der Herrcn W. Bfecka und J. Geronimus iibei
monotone Polynome minimaler Abweichung. Math. Ann., 102 A929), 517—519.
[30] Sur les fonctions regulierement monotones. Болонья, Труды международн. матем.
съезда, т. 2 A930), 267—275.
[31] Несколько замечаний о полиномах наименьшего уклонения с целыми коэффи-
коэффициентами. ДАН (А),- 16 A930), 411—418.
[32] Sur I'application de la methode de Tchebytheff a une classe de problemes deM.
Fejer. ИАН, сер. физ.-матем. A930), 381—398.
[33] Sur une classe de polyndmes d'ecart minimum. С R. Acad. Sci., 190 A930),
237—240.
[34] Sur la limitation des derives des polyndmes. С R. Acad. Sci., 190 A930),
338—341.
C5] Sur une classe de polyndmes orthogonaux. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4 A930),
[361 Suruneformule d'interpolation. С. R. Acad. Sci., 10! A930), 635—637.
[37] Sur un procede de sommation des series trigonometriques. С R. Acad. Sci.,
191 A930), 976-979.
[38] Sur les polynomes orthogonaux relatifs a un segment fini. J. Math. pur. appl.,
9 A930), 127-178.
[39] Sur les polyn6mes orthogonaux relatifs a un segment fini. J. Math. pur. appl.,
10 A931), 219-286.
[40] Sur la limitation des valeurs d'un polynome Pn(x) de degre n sur tout un seg-
segment par ses valeurs en (л+ 1) points du segment. ИАН, сер. физ.-матем. A931),
1015-1050.
[41] Exemple d'une fonction continue pour laquelle la formule d'interpolation trigono-
metrique de Lagrange diverse. ДАН, (А), 13 A931), 365—366.
[42] Sur une classe des formules d'interpolation. ИАН, сер. физ.-матем. A931),
1151—1161.
[43] Sur le maximum absolu d'une somme trigonometrique. С R. Acad. Sci., 193 A931),
433—436.
[44] Сучасний стан та проблеми теорп найкращого наближення функцп дШсно! змж-
HOi через пошноми. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 5 A932), 21—35.
[45] Sur une modification de la formule d'interpolation de Lagrange. Хрк., Зап. Mai ем.
т-ва D), 5 A932), 49—57.
[46] Complement a l'article «Sur une classe des polynomes orthogonaux». Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 5 A932), 59—60.
[47] Sur une formule d'interpolation de M. de la Vallee Poussin. Хрк., Зап. матем.
т.-ва D), A932), 61—64.
[48] Complement a l'article de la E. Voronovskaya «Determinationide la forme asympto-
tique de I'approximation des fonctions par les polynomes de M. Bernstein. ДАН
(A), 4 A932), 86—92.
[49] О формуле приближённого интегрирования Чебышева. ИАН, сер. физ.-матем.
A932), 1219—1927.
[50] Remarque apropos d'une note deM. R. Salem. С R. Acad. Sci., 197A933), 213—214.
[51] О тригонометрическом интерполировании по способу наименьших квадратов.
ДАН, 4 A934), 1—8.
[52] Sur la convergence absolue des series trigonometriques. C.'R. Acad. Sci., 199 A934),
397—400.
[53] Sur quelques proprietes extremales de l'integrales successives. С R. Acad. Sci.,
200 A935), 1900—1902.
[54] Sur le domaine de convergence des polynomes
С R. Acad. Sci., 202 A936), 1356—1358.
[55] Sur quelques proprietes extremales de l'intdgrales successb'es. C.LR- Acad. Sci..
203A936), 147. * •
[56] Sur la formule de quadrature appro:heede Ts:hebycheff. С R."A-ad. Sci.,203 'A936),
1305—1306.

422 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[57] О периодических функциях, для которых наллучше сходящимся рядом является
ряд Фурье. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.-матем., 10 :3 A936), 3—8.
[58] Sur la convergence de certaines suites de polynomes. J. math. pur. appl., 15A936),
345—356.
[59] Современное состояние и проблемы теории приближения функций действительного
неременного посредством полипомов. Хрк., Труды Всесоюзн. матем. съезда A936),
58—96.
[60] О многочленах, ортогональных в конечном интервале. Хрк., ГНТИ A937), 1—128.
[61] О формулах квадратур Когеса и Чебышева. ДАН, 14 A937\ 323—328.
[62] О формулах квадратур с положительными коэффициентами. ИАН, сер. матем.
A937), 479-504.
[63] Примеры формул квадратур с положительными коэффициентами и рациональ-
рациональными абсциссами. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.-матем., 4:2 A937),
19—21.
[64] Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных
функций одной вещественной переменной. Ч. I, М.—Л., ОНТИ A937), 1—203.
[65] Sur lesformulesde quadratures coefficients non-negatives et abscisses equidistantes.
С R. Acad. Sci., 204 A937), 1924—1296.
166] Modification de la formulede quadrature de Tchebycheff. С R. Acad. Sci., 204A937),
1526—1529.
[67] Sur la meilleure approximation des fonctions non-regulieres. С R. Acad. Sci,
205 A937), 825—827.
[68] Sur un theoreme de M. Szego. Prace mat.-fiz., 44 A937), 9—14.
[69] Конструктивная теория функций вещественной переменной. Сб. Матем. и естеств.
в СССР, Изд. АН A938), 36—41.
i'/0] Sur le probleme inverse de la theorie de la meilleure approximation des fonctions
continues. С R. Acad. Sci., 206 A938), 1520—1523.
171] О наилучшем приближении | x \v при помощи многочленов весьма высокой степени.
ИАН, сер. матем. A938), 169—190.
{72] О базисе системы Чебышева. ИАН, сер. матем. A938), 499—504.
{73] О наилучшем приближении (х—с)р, ДАН, 18A938), 379—384.
[74] Примеры формул квадратур, аналогичных формуле Чебышепа. Л., Труды индустр.
ин-та, разд. физ.-матем., 5: 1 A938), 3—7.
?75] О теореме В. А. Маркова. Л., Труды индустр. ин-та, разд. физ.-матем.,
5: 1 A938). 8—13.
[76] Quelques applications de la methode parametrique a l'ctude dec formules de quadra-
quadrature. Хрк., Зап. матем. т-ваD), 15:1 AQ38), 16—30.
f77] Sur un systeme d'equations indeterminees. J. math. pur. appl., 17 A938), 179—186.
[78] Определение ряда функций но экстремумам его последовательных остатков.
ДАН, 22 A939), 3—6.
[79] К вопросу о локальном наилучшем приближении функций. ДАН, 26 A940),
839—842.
[80] Первая заметка о линейных дифференциальных операторах. ДАН, 29 A940),
532—535.
[81] Ю приближении непрерывной функции линейным дифференциальным оператором
от многочлена. ИАН, сер. матем., 5 A941), 15—42.
.п /~т\
|82J О сходимости многочленов 2 с'п / ( — ) х™A —*)""'" в комплексной обла-
т=0 ^-П '
сти. ИАН, сер. матем., 7 A943), 49—88.
[83] Конструктивная теория функций как развитие идей Чебышепа. ИАН, сер. матем.
0 A945), 145—158.
со
[84] О наилучшем приближении функций вида J у •> d$(s) на отрезке (—1, - 1).
и
ИАН, сер. матем., 10A946), 185-196.
[85Д Добавление к работе И. И. Ибрагимова «Об асимптотическом значении наилуч-
наилучшего приближения функции, имеющей вещественную особую точку». ИАН, сер.
матем., 10A946), 461—462.
[86] О верхней границе максимума модуля производной монотонной функции конеч-
конечной степени. ДАН, 51 A946), 567—568.
[87] О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при
помощи целых функций данной степени, I. ДАН, 51 A946), 327—330.
[88] О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при
помощи целых функций данной степени, II. ДАН, 51 A946), 485—488.

БИБЛИОГРАФИЯ ^^^^ 423
[89] О наилучшем приближении функций на всей вещественной <)СИ ]
функций конечной степени, III. ДАН, 52 A946), 365—568.
[90] Обобщение одного результата С. М. Никольского. ДАН, 53 ,.-.„,, „„.
[91] О наилучшем приближении на всей вещественной оси при помощи не лих
конечной степени, IV. ДАН, 54A946), 103—108.
[92] О приближении функций на всей вещественной оси при помощи целых функций
данной степени, V. ДАН, 54 A946), 479—482.
[93] Новый вывод и обобщение некоторых формул наилучшего приближения. ДАН,
54 A946), 667—668.
[94] О наилучшем приближении аналитических функций при помощи целых функций
конечной степени. ДАН, 56 A947), 891—«94.
[95] О предельных зависимостях между константами теории наилучшего приближения.
ДАН, 57 A947), 3—5.
[96 О свойствах однородных функциональных классов. ДАН, 57 A947), 111—114.
[97 Предельные законы теории наилучших приближений. ДАН, 58 A947), 525—528.
[98 О роли нерапенств и экстремальных проблем в математическом анализе. В кн.
«Юбилейный сборник посвященный тридцатилетию Великой Октябрьской социа-
социалистической революции», т. 1. Изд. АН A947), 114—133.
Б е р и in т е й и С. Н., Бржечка В. Ф. и Рымаренко Б. А.
[1] Sur la variation minimale du polynome Pn(x) monotone dans I'intervale (—1, + 1),
dont les derivees sont donnes. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 19—24.
Бессонов П. А.
A] Sur les fonctions presqueperiodiquesd'une variable complexe, definies dans toutle
plan. С R. Acad. Sci., 182 A926), 1011—1013.
[2] Sur les fonctions meromorphes presque periodiques definies dans tout le plan. C.R.
Acad. Sci., 186 A928), 63—65.
[3] Принцип «максимума модуля» в применении к функциям комплексной перемен-
переменной, более общим, чем аналитические. М., Труды авто-дорожн. ин-та, 3 A936),
245—247.
Бессонов П. А. и Лаврентьев М. А.
[1] Sur ('existence de la derivee limite. Bull. Soc. Math, ^rance, 58 A930), 175—198.
Боголюбов Н. H.
[1] Sur I'approximation des fonctions par les sommes trigonometriques. ДАН (А),
. A930), 147—152.
[2] Sur I'approximation trigonometrique des fonctions dans l'intervalle infini, I. ИАН,
сер. физ.-матем. A931), 23—54.
[3] Sur I'approximation trigonometrique des fonctions dans l'intervalle infini, П. ИАН,
сер. физ.-матем. A931), 149—160.
J4] Деяю арифметичн1 властивост! май>ке-перюд1в. Киев, Зап. каф. матем. физики
АН УССР, 4 A939), 185—206.
Богомолов С. А.
[1] Общие основания ньютонова метода первых и последних отношений. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва B), 22 A917), 79—112.
Богомолова В,
[1] Об одном классе функций, всюду ^асимптотически непрерывных. Матем. сб.,
32 A925), 152—171.
Б о е'в Г. П.
11] О конформном преобразовании и формуле Landen'a. Саратов, Учён. зап. ун-та,
1:1 A923), 3—6.
12] Рост целых функций внутри углов, свободных от нулей. Саратов, Учён.зап. ун-та,
а: 2 A925), 28—32.
[3] О медленно растущих и ограниченных однозначных аналитических функциях.
Саратов, Учён. зап. ун-та, 4 : 2 A925), 1—10.
[4] Об автоморфных функциях. Саратов, Учён. зап. ун-та, 5 : 2 A926), 191—208.
[5] Об автоморфных функциях. Саратов, Учён. зап. ун-та, 6 A5), A927), 47—53.
J6] О функциональных соотношениях и итерации рациональных функций, связан-
связанных с формулами умножения элементарных автоморфных функций. Саратов,
Учён. зап. уи-та, сер. физ.-матем., 1 A4) : 1 A938), 6—19.

424 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[7] О полуэллиптических функциях. Саратов, Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матеч..
1 A4): 1 A938), 20—28.
(8] О почти автоморфных функциях первого рода. ДАН, 31 A941), 731—733.
[9] О почти автоморфных функциях первого рода. ДАН, 31 A941), 837—839.
Брайцев И. Р.
[1] Об одном представлении аналитической функции. Н.-Новгород, Изв. ун-та,
1 A926), 81—122.
[2] О разложении функций целого положительного аргумета по функциям основным.
Н. Новгород, Изв. ун-та, 3 A929), 15—27.
[3] Об одном классе линейных разностных уравнений бесконечно большого порядка.
Матем. сб., 37 A930), 97—160.
GO
[4J Об одном критериуме сходимости интеграла $ f(t)dt. H. Новгород, Изв. ун-та,
4 A930), 81—88. u m
[5] Об особых точках аналитической функции, определяемой интегралом
Матем. сб., 39 : 1—2 A932), 81—104.
[6] Ueber die Singularitaten der durch eine Dirichletsche Reihe bestimmten analyti-
schen Funktionen. Math. Ann., 109 A933), 83—94.
[7] Sur l'allure de la fonction definie par une serie de Dirichlet au voisinage de sol
point singulier. C. R. Acad. Sci., 199 A934), 1005—1007.
[8] Sur la representation de la fonction qui est donnee par son developpement en sent
de Dirichlet. С R. Acad. Sci., 199 A934), 1179—1181.
[9] Sur une formule de M. Marcel Riesz dans la theorie de la serie de Dirichlet et mi
reponse a M. Vladimir Bernstein. Горький, Учён. зап. ун-та, 2 A935), 43—46.
[ 10] Sur les singularites de types speciaux d'une fonction donnee par son developpemat
en serie de Dirichlet. С R. Acad. Sci., 200 A935), 1565—1567.
[11] Sur la formule fondamentale de la theorie de la seriede Dirichlet. С R. Acad. Sci.,
200 A935), 1718—1720.
[12] Sur un cas particulier de la distribution des points singuliers d'une fonction definil
par une serie de Dirichlet. С R. Acad. Sci., 201 A935), 254—256.
113] Sur la generalisation de mes resultats precedents relatifs aux series de Dirichlet
C. R. Acad. Sci., 201 A935), 634—636.
[14] О трёх основных проблемах теории аналитических функций. Л., Труды второп
Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936).
[15] К вопросу об интерполировании аналитических функций. Горький, Учён, зал
ун-та, 6 A939), 106—110.
[ 16] Об интерполировании целой функции, ассоциированной с рядом Дирихле. Горк
кий, Учён. зап. ун-та, 6 A939), 111—114.
[17] По поводу одной теоремы С. Мандельбройта. Горький, Труды пед. ин-та, 5A940)
3—15.
Бржечка В. Ф.
[1] О некоторых неравенствах, получаемых из интерполяционной формулы Лагранж)
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 1 A927), 12—16.
[2] О наименьшем уклонении от нуля в данном интервале монотонного полинома пр
заданном значении второй производной в какой-либо точке интервала. Хрк,
Зап. матем. т-ва D), 2 A928), 57—66.
некоторых задачах на extremum. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4A930), 103—121
Ueber ein Extremumproblem. Хрк., Зан. матем. т-ва D), 9 A934), 49—52.
Ueber eine Arbeit von Prof. J. Oeronimus. Хрк., Зап. матем. т-ва D), ю A934
65—68.
[6] Об одном неравенстве для полиномов. Хрк., Научи, зап. мех.-мат. ин-та, 1 A935
60—62.
[7] Sur les polynomes multiplement monotones, qui s'ecartent le moins de zero, 1
deux premiers coefficients etant donnes. C. R. Acad. Sci., 200 A935), 618—8$
[8] Ueber einige extremale Eigenschaften der Vielfach monotonen und monotonen PoJ
nome. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 12 A936), 61—80.
[9] Об одной экстремальной задаче. Хрк., Сб. научн.-техн. статей электротехн. им
5 A939), 83—87.
[10] Об одной экстремальной задаче. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 16 A940), 33—44.
[11] Об одном классе полиномов, ортогональных на двух конечных симметричя
интервалах. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 75—98.
За
[3] О
[4] Ue
[5] Ue
65

БИБЛИОГРАФИЯ 425-
Бржечка В. Ф. и Геронимус Я. Л.
[1] Sur le polyndme multiplementmonotonel'ordre ft+1 qui s'ecarte le moinsde zero»-
dont la derivee l'ordre/z+ 1 atteint la valeur donnee. Киен., Зап. физ.-матем. отд.
АН УССР, 3 : 2 A928), 1—8.
[2] Sur les polyndmes monotones qui s'ecartent le moins de zero. С R. Acad. Sci.,
186 A928), 1187—1189.
13] Sur de polyndme monotone qui s'ecarte le moins de zero sur le segment donnfr
dans le cas ou valeurs de ses deux derivees premieres sont donnees aux extre-
mites opposees. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 25—34.
|4) Ueber das monotone Polynom welches die minimale Abweichung von Null hat, wenn.
die Werte seiner ersten Abteilungen gegeben sind. Math. Ann., 102 A929), 505—516.
|5] Ueber die monotonen Polynome, welche die minimale Abweichung von Null haben»
Math. Z., 30 A929), 357—374.
[6] On a monotonic polynomial having the minimal deflection from zero. Toh. Math,
Journ., 30 A929), 386—389.
[7] On a problem concerning the monotonic polynomial of order ft+ 1. T6h. Math. Journ.,.
31 A929), 45—48.
[8] Sur une inegalite pour les polyndmes monotones. С R. Acad. Sci., 190 A930),
253—254.
[9] Sur les polyndmes monotones et multiplement monotones qui s'ecartent de moins-
moinsde zero. Хрк., Научн. зап. техи. ии-та, 4A930), 53—62.
[10] Cber eine Ungleichung fur monotone Polynome. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4 A930)г
103—122.
Бродский Г. А.
[1] Об одной граничной задаче теории бигармонических функций. ДАН, 31 A941),.
208—209.
Б р у д н о А. Л.
[1] О функциях, равномерно непрерывных на В-множествах. ИАН, сер. матем. т
4A940), 105—112.
[2] Непрерывность и дифференцируемость. Матем. сб., 13 E5), A943), 119—134.
[3] Суммирование ограниченных последовательностей линейными регулярным»
методами. ДАН, 43 A944), 191—193.
[4] Суммирование ограниченных последовательностей матрицами. Матем. сб.,.
16 E8), A945), 191—247.
Буницкий Е. Л.
[1] Дифференцирование функции от функции. Казань, Изв. физ.-матем. об-ва B)г
22 A917), 123—127.
Быков Я. В.
[1] К теории тригонометрических рядов. Казань, Учёи. зап. ун-та, 98 : 7 A939),.
47—51.
Быстренин В. В.
[1] К теоремам аппроксимации в теории почти периодических функций. ДАН,.
33 A941), 390—392.
Б юл ер Г. А.
[1] О некоторых классах теории функций двух комплексных переменных, мероморф-
ных в единичном бицилиндре. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та,.
2 : 2 A938), 164—186.
[2] Об интегральном представлении функции Матье. Томск, Изв. НИИ матем. и мех.
ун-та, 3 : 1 A946), 191—197.
В е к у а Е.
[1] Ueber harmonische und metaharmonische Funktionen im Raum. Тбилиси, Сообш.
АН ГрССР, 2 A941), 29—32.
Векуа И. Н.
[1] Об одном новом интегральном представлении аналитических функций и его при-
приложении. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2A941), 477—484.
[2] Дополнение к работе «Об одном новом интегральном представлении аналитиче-
аналитических функций и его приложении». Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 701—706.

426 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
\'Л] Об одной линейной граничной задаче Римана. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН
ГрССР, 11 A942), 109—137.
[4] О метагармонических функциях. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,
12 A943), 105—166.
[5] Исправление к статье «Об одной линейной граничной задаче Римаиа». Тбилиси,
Труды матем. ин-та АН ГрССР, 12 A943), 215.
16] О некоторых основных свойствах метагармонических функций. Тбилиси, Сообщ.
ЛН ГрССР, 4 A943), 281—288.
|7] Об одном разложении метагармонической функции. ДАН, 48 A945), 3—6.
f8) К теории функций Лежандра. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 7 A946), 3—10.
[9] К теории цилиндрических функций. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 7 A946),
95—101.
'[10] Об одном обобщении интеграла Пуассона для полуплоскости. ДАН, 56 A947),
229—231.
В еку а Н. П.
|1] Задача Римана с разрывными коэффициентами для нескольких неизвестных функ-
функций. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944), 10.
}2] Об одной линейной граничной задаче Римана с разрывными коэффициентами для
системы аналитических функций. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944),
481—482.
Векуа Н. П. и Квеселава Д. Л.
11J Об одной краевой задаче теории функций комплексного переменного. Тбилиси,
Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 233—240.
В е л I. м и н В. П.
\ 1] О приближённом выражении ех через алгебраические функции. Сб. памяти акад.
Граве A940), 34—47.
Вениаминов В. н.
Jl] Sur un probleme de la representation conforme de M. Caratheodory. Матем. сб.,
31 A924), 91—93.
12] Sur une propriete metrique de courbes de Jordan. Матем. сб., 31 A924), 446—464.
f3] Геометрическое доказательство основных теорем теории производных чисел.
Матем. сб., 32 A925), 101—110.
14] Sur les derivee-limited'unefonction analytique. C. R. Acad. Sci., 180 A925),
114—116.
15] Sur quelques proprietes de la derivee-limite. С R. Acad. Sci., 180A925), 902—904.
Вербицкий Jl. Л.
11] Об одном способе суммирования интерполяционных полиномов. Днепропетровск,
Научи, зап. ун-та, 21 A940), 113—119.
В е р ж б и и с к и й М. Л.
[1] Одно обобщение теоремы Лагерра о корнях целой трансцендентной функции.
ДАН, 30 A941), 774—777.
\2] О корнях некоторого класса целых трансцендентных функций. ДАН, 33 A941),
99—102.
ВержбицкиК Б. Д.
J1] Абсолютная сходимость степенных рядов нескольких матриц. Матем. сб.,
42 A935), 725—736.
|2) Упрощение степенных рядов нескольких матриц. Матем. сб., 42 A935), 737—744.
J3] Суммирование рядов композиций нескольких матриц. Л., Учён. зап. ун-та, сер.
матем., 10 A940), 100—110.
В е р ч е и к о И. Я.
11] О поверхностной мере множеств. Матем. сб., 10 E2), A942), 11—32.
Верчен ко И. Я. и Колмогоров А. Н.
11] О точках разрыва функций двух переменных. ДАН, 1 A934), 105—107.
|2] Продолжение исследований о точках разрыва функций двух неременных. ДАН,
4A934), 361—364.

БИБЛИОГРАФИЯ 427
В и л е и к и п Н. Я.
[1] Об одном классе полных ортогональных систем. ИАН, 11 A947), 363—398.
Волк И. М.
[1] Один из приёмов построения функций, конформно отображающих одиосвязные
области, ограниченные простыми замкнутыми контурами, на круг. Свердловск,
Учён. зап. ун-та, 2 A937), 49—64.
Волков ыский Л. И.
[1] К проблеме типа односвязной римановой поверхности. Матсм. сб., 18F2), A946),
185—212.
Воловельская С.
[1] Опыт построения элементов теории функций в некоммутативной ассоциативной
системе с тремя единицами. Хрк., Зап. матем. т-ва D), A6) A940), 143—157.
*••' Воронове к ая Е. В.
[1] О преобразовании функционального ряда через разности его членов. ДАН (А),
A930), 693—700.
[2] Определение асимптотического вида приближения функций полиномами
С. Н. Бернштейна. ДАН (А), A932), 79—85.
' J3] Минимальная задача в теории моментов и задача оценки полиномов, I. ДАН,
1 A936), 99—102.
[4] Минимальная задача в теории моментов и задача оценки полиномов, 11. ДАН,
3 A936), 147—150.
\5] Символические полиномы и их оценка. Л., Труды индустр. ин-та, разд.
физ. матем., 10 : 3 A936), 36—40.
[6] Минимальная задача в теории абсолютно монотонных последовательностей. Л.,
Труды иидустр. ин-та, разд. физ.-матем., 4 : 2 A937), 22—33.
Воскресенский Е. П.
[1] О деформации неаналитической поверхности при псевдоконформном отображе-
отображении. Воронеж, Научи, сообш. ун-та, 1 A941), 13—18.
By л их Б. 3.
[1] Некоторые теоремы о последовательностях разрывных функций. ДАН, 1 A935),
357—362.
[2] Un theoreme sur les fonctions de classe 1. Fund. Math., 26 A936), 202—207.
Гаврилов А. Ф.
[1] Интеграл Фурье и его приложения. Л., Изд. воен. электротехп. акад. РККА
A937), 45.
Г а г а е в Б. М.
Jlj Обобщение формулы Фурье. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 1 A926), 33—40.
[2] К теории суммируемых ортогональных рядов. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C),
2 A927), 58—61.
[3] Некоторые свойства суммируемых рядов Sturm'а-ЫоиуШе'я. Казань, Учён, зап.
ун-та, 87 A927), 67—82.
|4] Ueber bairesche Klassen. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 3 A928), 18—22.
|5] Sur la representation des fonctions par des polynomes a coefficientes qui appartien-
nent a un ensemble donne denombrable. Матем. сб.. 36 A929), 184—187.
[6] Современное состояние теории ортогональных функций. Казань, Учён. зап.
¦ ун-ia, 2 A929), 175—198.
[7] Sur l'unicite du syst6me de fonctions orthogonales invariant relativement a la deri-
cation. С R. Acad. Sci., 188 A929), 222—225.
[8] По поводу статьи К. П. Персидского «Заметка о нулях голоморфной функции».
Казань, Учён. зап. ун-та, 90 : 6 A930), 968.
[9] Sur les suites convergentes des fonctions mesurables B. Fund. Math., 18 A932),
182—188.
110] Нормальные семейства полигармонических функций. Матем. сб., 2 D4), A937),
759—768.
П11 О функциях, удовлетворяющих эллиптическому уравнению. ДАН, 18 A938),
393—396.

428 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[ 12] Некоторые свойства разложения функции в ряды по ортогональным полиномам.
Киев, Учён. зап. пед. ин-та, 2 A940), 32—40.
[13] Обобщение одной теоремы Бэра. ДАН, 38 A943), 3—6.
! 14] О некоторых классах ортогональных функций. ИАН, сер. матем., 10 A946),
197—205.
|15] О представлении непрерывных функций. Казань, Труды авиац. ин-та, 17A946),
3—7.
[16] Анализ. Успехи матем. наук, 2:6 B2) A947), 16—20.
Г а х о в Ф. Д.
[1] О краевой задаче Римана. Матем. сб., 2 D4), A937), 673—683.
[2] О решении краевых задач логарифмического потенциала для полуплоскость
Казань, Учён. зап. ун-та, 98 : 9, математика, 3 A938), 65—78.
Гельфанд И. М.
[1] Ueber absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrate. Матем. с*.,
9 E1), A941), 51—66.
ГельферС. А.
[1] К теории многолистных функций. Матем. сб., 8 E0), A940), 239—250.
[2] О границах звбздности и выпуклости для р-листиых функций. Матем. сб., 16 E81
A945), 81—86.
[3] Об одном свойстве ограниченных функций. Матем. сб., 16 E8), A945), 291—294
[4] О классе регулярных функций, не принимающих ни одной пары значений*
и —iv. Матем. сб., 19 F1), A946), 33—46.
Гельфонд А. -О.
fl] Sur le theoreme de M. Picard. С. R. Acad. Sci., 188 A929), 1536—1539.
[2] Sur une application du calcul des differences finies a Г etude des fonctions entier&i
Матем. сб., 36 A929), 173—183.
3 Sur un theoreme de M. M. Wiegert-Leau. Матем. сб., 36 A929), 99—101. ;
4 Sur up \heoreme de M. O. Polya. Atti Accad. naz. Lincei., 10 A929), 569—574. !
5] Sur les proprietes arithmetiques des fonctions entieres. Tdh. Math. J. A929tj
6 Sur le developpement des fonctions entieres d'ordre fini en serie d'interpolation<W
Newton. Atti Accad. naz. Lincei, 11 A930), 377—381. j
[7] Sur )e theoreme de M. Picard. С R. Acad. Sci., 190 A930), 1536—1537. j
8] О функциях целочисленных в точках геометрической прогрессии. Матем. c6,i|
40 A933), 42—47. •¦
[9] К теореме Адамара об особенностях пересечения двух рядов. М., Учён. зап. ун-Ц/
1 A933), 11—15. j
[10] О функциях, которые обращаются в нуль вместе со всеми своими производным*
в точке границы. М., Учён. зап. ун-та, 2: 2 A934), 25—28.
[11] О рядах с целыми коэффициентами. М., Учён. зап. ун-та, 2 : 2 A934), 29—31.
[12] Sur les diviseurs premiers des valeurs de la fohction exponentielle. Труда
физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934), 53—58.
[13] Ueber die harmonischen Funktionen. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклом,;
5 A934), 149—158.
[14] Исчисление конечных разностей. Ч. I. M.—Л., ОНТИ A936), 1—176.
|15] Проблема представления и единственности целой аналитической функции первого
порядка. Успехи матем. наук, 3 A937), 144—174.
[16] К статье «Проблема представления и единственности целой аналитической функ-
функции первого порядка». Успехи матем. наук, 4 A938), 278—290.
[17] Interpolation et unicite des fonctions entieres. Матем. сб., 4 D6), A938), 115— l4i
[18] Sur les systemes complets des fonctions analytiques. Матем. сб., 4 D6), A93SL
149—156. •;
[19] О ряде Тейлора, ассоциированном с целой функцией. ДАН, 23 A939), 756—7$
[20] О коэффициентах периодических функций. ИАН, сер. матем., 5 A941), 95—Щ
[21] О некоторых интерполяционных задачах. Успехи матем. наук, 1 : 5—6 A5—Щ
A946), 236—239.
Гельфонд А. О. и Ибрагимов И. И. <
[1] О функциях, производные которых равны нулю в двух точках. ИАН, II A94ft
547-560. 1

БИБЛИОГРАФИЯ 429
Г е л ь ф о и д А. О. и Т о и л з е Д. М.
A1 Разложение мероморфной функции в ряд рациональных дробей и ряд Тейлора.
Матем. сб., 2 D4), A937), 935—946.
Гермейер Ю. Б.
[1] О симметрических производных числах. Матем. сг)., 12 E4), A943), 121—145*
[2] Производные Римана и Валле-Пуссена и их применение к некоторым вопросам
из теории тригонометрических рядов. М., Диссертация A946).
Г ер и ет Н. Н.
}1] О радиусе круга сходимости ряда Лагранжа. Л., Труды индустр. ин-та, разд.
физ.-матем., 10 : 3 A936), 41—48.
Г ер о и и м у с Я. Л.
{1] О минимальном среднем квадратичном отклонении полинома от нуля при данном
весе. Матем. сб., 35 A928), 55—63.
{2] О минимальном среднем квадратичном отклонении от нуля полинома в данном
интервале. Хрк., Зап. матем, т-ва D), 2 A928), 13—36.
[3] Про монотонний полшом, що наименьше вихляеться в1д нуля. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 2 A928), 37—40.
t4] Sur le polyn6me multiplement monotone, qui s'ecarte le moins de zero, dont les
deux premiers coefficients sont donnes. ДАН (A), A928), 485—490.
\5] The approximation of a function having a pole. J. London Math. Soc., 4 A929),
220-225.
[6] Узагальнення теореми Euler'a про брах1стохроии. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
3 A929), 35—38.
[7] Про найменше вихялення вц нуля монотонного пол1иому, коли задано зна-
значения одного коефЩ1ента. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 39—50.
[8] Sur le polynome multiplement monotone qui s'ecarte le moins de zero, dont un coef-
coefficient est donne. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 377—389.
[9] Sur un probleme de Tchebyscheff. Матем. сб., 36 A929), 102—106.
J10] Sur l'erreur des quadratures mecanique de Gauss. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
УССР, 4:2 A929), 57—66.
[И] О некоторых экстремальных задачах. Матем. сб., 37 A930), 161—168.
J12] Sur quelques proprietes d'une classe de polynomes orthogonaux. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 4 A930), 123—128.
[13] On a problem concerning the monotonic polynomials. Rend. circ. mat. Palermo,
54 A930), 47—50.
J14] Sur 1'ecart minimal quadratique de zero d'un polyn6me. Rend.circ. mat. Palermo,
54 A930), 298—313.
On a problem of M. S. Bernstein. Ann. of Math., 31 A930), 126—128.
On a set of polynomials. Ann. of Math., 31 A930), 681—686.
On some quadrature-formulae. ИАН, сер. физ.-матем. A930), 399—408.
Sur 1'approximation quadratique d'une fonction ayant un pole. Toh. Math. J.,
32 A930), 137—143.
119] Sur une formule de Tchebycheff. Atti Accad. naz. Lincei, 11 A930), 275—278.
[20] On some persymmetric determinants. Proc. Soc. of Ediaburgh, 50A930), 304—309.
121] Sur un probleme d'Hermite. Хрк., Вести. АН УССР, физ.-матем. отд., 2 :5 A931),
295—298.
[22] On some persymmetric determinants formed by the polynomials of M. Appell. J.
London Math. Soc, 6 A931), 55—59.
123] Op some problems involving the persymmetric determinants. Proc. Soc. of Edin-
Edinburgh, 51 A931), 14—18.
On the polynomials of Legendre and Hermite. Toh. Math. J., 34 A931), 295—296.
On orthogonal polynomials. Trans. Amer. Math. Soc, 33 A931), 322—328.
On some problems of Tchebycheff? Amer. J. Math., 53 A932), 597—604.
On a problem of M. J. Shohat. Amer. J. Math., 54 A932), 85—91.
On a class of Appell polynomials. Хрк., Зап. матем. т-ва, D), 8 A934), 13—24.
Sur un probleme minimale. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 10 A934), 69—74.
30] Sur quelques proprietes extrfonales des polynomes trigonometriques. С R. Acad.
Sci., 198 A934), 221—222.
C1] Sur quelques proprietes extremales des polynomes. C. R. Acad. Sci., 198 A934),
887—889.
[32] Sur quelques proprietes extremales des polynomes dont la variation totale est don-
nee. С R. Acad. Sci., 198 A934), 1205—1206.

430 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
1331 Sur quelques proprietes extremales des polynomes trigonometriques. С R. Acad..
Sci., 198 A934), 2221—2222.
[34] Sur 1'equivalence de deux problemes extremales. С R. Acad. Sci., 199A934),.
1010—1012.
[35] On some extremal properties of trigonometric polynomials with real roots. Bull.
Amer. Math. Soc, 41 A935), 924—930.
[36] On a class of Jacobian polynomials. Toh. Math. J., 40 (Ш5), 222—225.
[37] Sur quelques inegalites pour les polynomes dont les premiers coefficients sont donnes.
С R. Acad. Sci., 200 A935), 1513—1515.
[38] Sur quelques proprietes extremales de polynomes, dont les coefficients premiers sont
donnes. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 12 A936), 49—60.
[39] On a supposition of Stieltjes. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 13 A936), 55—61.
[40] On some extremal properties of polynomials. Ann. of Math.. 37A936), 483—517.
[41] On some extremal properties of polynomials on the unit-circle. Киев, Ж. ин-та матем.
АН УССР, 4 A936), 21—32.
[42] On some quadrature formulas and on allied theorems on trigonometric polynomials.
Bull. Amer. Math. Soc, 42 A936), 129—135.
[43] О некоторых экстремальных свойствах полиномов. Л., Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда A936).
144
[45]
[46
[47
[48
[49
Sur quelques polyn6mes ortogonaux. С. R. Acad. Sci., 203 A936), 291—292.
О проблеме коэффициентов для ограниченных функций. ДАН, 14 A937), 95—98.
О некоторых экстремальных задачах. ИАН, сер. матем. A937), 185—202.
Про деяк1 ортогональш полшоми. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 123—128;
Про ортогональна полшоми. Хрк., Учён. зап. ун-та A937), 57—64.
О некоторых системах полиномов. Матем. сб., 3 D5), A638), 375—388.
1501 О некоторых сгойствах полиномов Meixner'a, Хрк., Зап. матем. т-ва D)*
15:2A938), 51—56.
[51] Об аппроксимации непрерывных функций посредством обобщённых полиномов,.
подчинённых линейным связям. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 15 : 2 A938), 57—64.
[52] Об одной экстремальной задаче Чебышева. ИАН, сер. матем. A938), 445—456.
153] Об ортогональности системы полиномов на нескольких контурах. ДАН, 23 A939),
427—429.
[54] Об одной minimum-проблеме. ДАН, 24 A939), 224—225.
[55] Об одной задаче F. Riesz'a и обобщённой задаче Чебышева-Коркина-Золотарёва.
ИАН, сер. матем. A939), 279—288.
[56] Обобщённые ортогональные полиномы и формула Кристоффеля-Дарбу. ДАН,
26 A940), 843—846.
[57] О некоторых свойствах обобщённых ортогональных полиномов. ДАН, 29 A940),.
5—8.
[58] О некоторых уравнениях в конечных разностях и соответствующих системах орто-
ортогональных полиномов. ДАН, 29 A940), 536—538.
[59] Об ортогональности системы полиномов на нескольких контурах. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 16 A940), 12—32.
[60] О полиномах, ортогональных относительно данной числовой последовательности.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 3—18.
[61] О полиномах, ортогональных относительно данной числовой последовательности
и о теореме W. Hahn'a. ИАН, сер. матем., 4 A940), 215—228.
[62] О некоторых свойствах обобщённых ортогональных полиномов. Матем. сб.,
9 E1), A941), 121—136.
[63] О характере решения проблемы моментов в случае предельно-периодической
ассоциированной дроби. ИАН, сер. матем., 5 A941), 203—210.
[64] The generalisation of a lemma of M. S. Kakeya. Bull. Amer. Math. Soc, 47 A941),
93—95.
[65] О полиномах, ортогональных на круге, о тригонометрической проблеме моментов
и об ассоциированных с нею функциях типа Caratheodory и Schur'a. ДАН, 39 A943),
319—324.
[66] О полиномах, ортогональных на круге, о тригонометрической проблеме моментов
и об ассоциированных с нею функциях типа Caratheodory и Schur'a. Магем. сб.,
15 E7), A944), 99—130.
[67] О некоторых функциях распределения, связанных с системой полиномов. ДАН,
44 A044), 383—387.
[68] On Gauss and Tchebycheff 's quadrature formulas. Bull. Amer. Math. Soc, 50 A944),
217—221.
[69] О положительных тригонометрических полиномах и гармонических функциях»
ДАН, 51 A946), 569—572.

БИБЛИОГРАФИЯ 431
[70] О формулах киадратур Гаусса и Чебышева. ДАН, 51 A946). 655—658.
[71] On tha trigonometric moment problem. Ann. of Math., 47 A946), 742—791.
[72] Про деяк! перет.^орення ненреривних дроб(в та вщпойдн! системи ортогональ-
них пол1ном1П. Сб. трудов ин-та матем. АН УССР, 8 A946), 121—133.
[73] О наилучшем приближении посредством функций, не образующих системы Чебы-
Чебышева. ДАН, 57 A947), 7—10.
Герцфельд А. А.
[1] Исследование сходимости двойного ряла Фурье. Л., Труды пром. акад. имен»
Сталина, 1 A938), 43—51.
Г ер in г о р и н С. А.
[1] О числе нулей функции и её производной. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927),
248—250.
[2] О средних значениях функций на гиперсферах л-мерного пространства. Матем. сб.^
35 A928), 123—132.
[3] О конформном отображении односвязной области на круг. Матем. сб., 40 A933),.
48—58.
Гливенко В. И.
[1] Sur les fonctions implicites. Матем. сб., 36 A929), 138—142.
[3] Sur les fonctions implicitement continues. Матем. сб., 36 A929), 143—159.
[2] Sur les fonctions representables implicitement parfonctions continues. Fund. Math.,
14A929), 252—265.
Интеграл Стилтьеса. М.—Л., ОНТИ A936), 1—216.
Опыт общего определения интеграла. ДАН, 14 A937), 61—64.
Общая теория предела функций. М., Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем., 2 A938),.
9—14.
17] О формуле Маклорена в курсе анализа. М., Учён. зап. пед. ин-та, сер. фип.-матем.,.
2 A938), 95—100.
[8] О теории экстремумов в курсе анализ?.. М.,Учён. зап. пед. ин-та им. Либкнехта,
7 A940), 53—56.
Г н е д е н к о Б. В.
[1] О единственности системы ортогональных функций, инвариантной относительно-
дифференцирования. ДАН, 14 A937), 159—162.
[21 О некоторых классах ортогональных функций. ИАН, сер. матем., 10 A946),.
197—205.
Говурин М. К.
[1] Ueber die Stieltiessche Intergration abstrakter Funktionen. Fund. Math., 27A936),
254—268.
Г о д ы ц к и й А. М.
[1] Об одном приёме вычисления двойного интеграла. Л., Сб. трудов технол. ин-та,
2 A939), 3—10.
Гокиели Л. П.
[1] Sur les propriety fondamentalles de l'ensemble de toutes les propositions. Тбилиси
Бюлл. ун-та, 5 A925), 295—305.
Голубев В. В.
[1] Исследование по теории особых точек однозначных функций. Саратов, Учён. зап.
ун-та, 1 A924), 1—47.
[2] Исследование по теории особых точек однозначных функций. Саратов, Учён. зап.
ун-та, 2:2 A924), 49—96.
[3] Об одном обобщении теоремы Picard'a. Матем. сб., 31 A924), 557—567.
[4] О сог>тветствии границ при конформном изображении. Матем. сб., 32 A925), 55—57.
[5] Исследование по теории особых точек однозначных функций. Саратов, Учён. зап.
ун-та, 3:2 A925), 1—23.
[6] Исследование по теории особых точек однозначных функций. Саратов, Учён. зап.
ун-та, 4:2 A925), 11—29.
[7] Исследование по теории особых точек однозначных функций. Саратов, Учён. зап.
ун-та, 5:2 A926), 209—227.

432 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
|8] Исследования по теории особых точек. Саратов, Учён. зап. ун-та, 6 A5), A927),
31—45.
|9] Об аналитическом представлении одного класса автоморфных функций. М., Труды
Всеросс. матем. съезда A927).
110] О конформном отображении границ областей. Саратов, Учён. зап. ун-та,
7:3 A929), 31—36.
.[11] К теореме Picard'a. Саратов, Учён. зап. ун-та, 7:3 A929), 37—40.
[12] К теории медленно растущих автоморфных функций. Саратов, Учён. зап. ун-та,
7:3 A929), 41—44.
[13] К вопросу об аналитическом изображении автоморфных функций. Саратов, Учён.
зап. ун-та. 12:1 A934), 85—91.
{14] Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., ГТТИ A941).
Г о л у з и н Г. М. v%
|1] О некоторых оценках, относящихся к функциям, совершающим однолистное кон-
конформное преобразование круга. Матем. сб., 36 A929), 152—172.
J2] К теории однолистных конформных преобразований. Матем. сб., 42 A935),
169—190.
[3] К принципу мажорации в теории функций. Матем. сб., 42 A935), 647—650.
[4] О теоремах искажения в теории конформных отображений. Матем. сб.,1 D3),A936),
127—135.
]5) Sur la representation confortne. Матем. сб., 1 D3), A936), 273—282.
[6] Sur les theoremes de rotation dans la theorie de3 fonctions univalentes. Матем.сб., ¦
1 D3), A936), 293—296.
[7] О теоремах искажения для конформного отображения многосвязных областей.
Матем. сб., 2 D4), A937), 37—64.
[8] Некоторые теоремы покрытия для функций, регулярных в круге. Матем. сб.,
2 D4), A937), 617—619.
[9] Дополнение к работе «О теоремах искажения в теории конформных отображений».
Матем. сб., 2 D4), A937), 685—688.
{10] О конфлр.мном отображении двухсвязных областей, ограниченных прямолиней-
прямолинейными и круговыми многоугольниками. В кн. «Конформное отображение одно-
связных и многослязных областей». М.—Л., ОНТИ A937), 90—97.
|11] Конформное отображение многосиязных областей на плоскость с разрезами ме-
методами функциональных уравнений. В кн. «Конформное отображение односвЯЗ-
ных и многошинных областей». М. —Л., ОНТИ A937), 98—110.
A2] Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций. Матем. сб.,3 D5),
A938), 321—330.
|13] О методе непрерывности в теории конформных отображений многосвязных обла-
областей. Матем. сб., 4 D6), A938), 3—8.
[14] Итерационные процессы для конформного отображения многосвязных областей.
Матем. сб., 6 D8), A939), 377—382.
[15] О предельных значениях интеграла Коши. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем.,
6 A939), 43—44.
J16] О полных системах функций в комплексной области. Л., Учён. зап. ун-та, сер..
матем., 6 A939), 48—51.
]17] К теории очиолнстиых функций. Матем. сб., б D8), A939), 383—388.
[18] Внутренние задачи теории однолистных функций. Успехи матем. наук, 6 A939),
26—89. " :
19] О р-лисгпых функциях. Матем. сб., 8 E0), A940), 277—284.
20 О коэффициентах однолистных функций. Матем. сб., 12 E4), A943), 40—47.
21] К теории однолистных функций. Матем. сб., 12 E4), A943), 48—55.
22] Оценка производной для функций, регулярных и ограниченных в круге. Мате»ц
сб., 16 E8), A945), 295—306.
{23] О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций. Л., Научи. бюлл|
ун-та, 7 A945), 4—6.
[24] К теории однолистных функций. Матем. сб., 18 F0), A946), 167—180. f
[25] О задаче Каратеодори-Фейера и об одной аналогичной задаче. Матем. сб., 18 (Ш
A946), 213—226. . ]
[26] Некоторые свойства полиномов. Матем. сб., 18 F0), A946), 227—236. I
J27] О теоремах искажения в теории конформных отображений. Матем. сб., 18 (Щ
A946), 379—390. ,|
[28] О числе конечных асимптотических значений целых функций конечного порядК*)
Матем. сб., 18 F0), A946), 391—396.

ПИПЛИОГРАФИЯ 433
[29] О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций. Матсм. сб.,
19 (G1), A946), 183—202.
[30] Метод вариации и конформном отображении. Матем. сб., 19 F1), A946), 203—236.
[31] Оценки для аналитических функций с ограниченным модулем. Труды матем.
ин-та им. Стек лова, 18 A940), 87.
[32] Метод вариаций в конформном отображении. Л., Научи, бюлл. ун-та, 9 A946),
3—5.
[33] Метод вариации в конформном отображении, П. Матем. сб., 21 F3), A947),
83—117.
[34] Метол вариаций в конформном отображении, III. Матем. сб., 21 F3), A947),
119—132.
Г о л у з и н Г. М. и К р ы л о в В. И.
[1] Обобщение формулы Carleman'а и приложение её к аналитическому продолжению
функций. Матем. сб., 40 A933), 144—149.
Г о л у з и и Г. М., Канторович Л. В., К р ы л о в В. И., М е л е н т ь-
е в П. В., Муратов М. И., С т е и и и Н. П.
[1] Конформное отображение одпосвязпых и многосвязных областей. Л.—М., ОНТИ
A937), 1 127.
Гольдовский Ю.
fl] Note sur les derivees exactes. Матем. сб., 35 A928), 35—36.
[2] Sur les suites des fonctions continues. Fund. Math., 11 A928), 275—276.
[3] Quelques proprieties des derivees exactes. Матем. сб., 39:3 A932), 3—5.
Г о л ь д ф a ii и И. А.
[1] Sur la theorie des noyaux singuliers symetriques completemert continues. Матем.
сб., 39:4 A932), 85—112.
[2] Remarques sur notre article «Sur la theorie de noyaux singuliers symetriques comple-
tement continue». Матем. сб., 41 A934), 511—514.
Г о л ь ц м а п В. К. и Л а в р е н т ь е в М. А.
[1] Sur l'existence des derivees limites. Матем. сб., 38:3—4 A931), 51—58.
Гончаров В. Л.
[I] О целых функциях и прямых Жюлиа. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 1 A927), 94—107.
[2] Sur les fonctions entieres et les droites de Julia. С R. Acad. Sci., 185 A927),
1100—1103.
[3] Sur la determination des fonctions par les zeros de leurs derivees. С R. Acad.
Sci., 185 A927), 1575—1578.
[4] Об одной геометрической задаче, связанной с теорией функций. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 2 A928). 41—48.
[5] Sur la determination des fonctions paries leurs derivees. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
2 A928), 49—56.
[6] Sur les suites de zeros des derivees successives. C. R. Acad. Sci., 186 A028),
1271—1273.
[7] Note sur les moyennes carrees du module des derivees successives d'une fonction
holomorphe dans le cercle unite. Хрк., Зан. матем. т-ка D), 3 A929), 51—56.
[8] Recher^hes sur les derivees successives des fonctions analitiques. Generalisation dс la
serie d'Abel. Ann. Ecole Normale, 47 A930), 1—78.
[9] Re.'herjhes sur les derivees successives des fonctions analitiques. Etude des valeurs
que les derivees prennent d?ns une suite de domaines. ИАН,сер.физ.-матем.A930),
74—104.
[10] Sur les valeurs des fonctions analitiques dans un angle. Хрк., Зап. матем. т-ва D)
4 A930), 12ft—135.
[11] Exemple d'une fonction entiere / (z) qui tend zero avec l/г dans tout lc plan sauf
une region d'aire arbitrarement petite. Хрк., Зан. матем. т-ва D), 4 A930),
137—139.
[12] Sur I'integrale de Cauchy dans le domaine hypcrcomplexe. ИАН, сер. физ.-матсм.
A932), 1405—1424. »
[13] Sur un procede d'iteration. Хрк., Зап. матем. т-м D), 5 A032), 67—85.
[14] Sur les zeros des derivt-es successives des fonctions absolument monotones. Хрк.,
Зап. матем. т-на D), 7 A933), 3—8.
28 Математика в СССР за 30 лет

434 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
115] Теория интерполирования и приближения функций. М.—Л., ГТТИ A934), 1—316.
[16] Sur la convergence de la serie d Abel. Матем. сб., 42 A935), 473—484.
[17] Sur les formules d'interpolation de Lagrange et de Newton. Хрк., Зап. матем. т-ва
D), 13 A936), 41—53.
[18] Об определении регулярно-монотонных функций посредством нулей последова-
последовательных производных. Л., Труды второго Всесогозн. матем. съезда, т. 2 A936),
191—194.
[19] Determination des fonctions entieres par interpolation. Act. Sci. et Ind.,
465 A937), 1—48.
120] Интерполяционные процессы и целые функции. Успехи матем. наук, 3 A937),
113—143.
[21] Об интерполировании функций с конечным числом особенностей с помощью рацио-
рациональных функций. ИАН, сер. матем. A937). 171—184.
[22] Sur un theoreme de M. Mandelbrojt. Матем. сб., 3 D5), A938), 673—675.
[23] Ещё о теореме Мандельбройта. Матем. сб. 5 D7), A939), 447—450.
[24] О корректирующих множителях интерполяционных процессов. ДАН, 32 A941),
471—473.
[25] Об одном обобщении теоремы Гаусса-Люка. ДАН, 36 A942), 43—45.
Гончаров В. Л. и Гончарова М. К.
[1] О представлении аналитических функций рядами рациональных функций спе-
специального типа. ДАН, 30 A941), 296—298.
[2] Об одном процессе интерполирования с помощью дробно-рацпональных функций.
М., Учён. зап. ун-та, 73 A944), 3—22.
Гончаров В. Л. и Лаврентьев М. А.
[1] Теория аналитических функций. М., Сб. «Математика за 15 летл, ГТТИ A933),
84—98.
Гончарова М. К.
[1] О некоторых интерполяционных рядах, являющихся обобщением рядов Ньютона
и Стерлинга. М., Учён. зап. ун-та, 30 A939), 17—48.
Гордон М. иКравчукМ.
[1] О критерии линейной зависимости функций; Киев., Сб. научио-иссл. работ
индустр. ин-та, 2 A937), 45—50.
Г о р н ш т е и н М. С.
|1] Некоторые замечания о линейных разностных уравнениях пторого порядка и
о непрерывных дробях. Матем. сб., 5 D7), A939), 269—288.
[2] Линейные разностные уравнения. Матем. сб., 14 E6), A944), 269—302.
Граве Д. А.
[1] Generalisation d'un theoreme d'Abel. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР,
1:1 A922), 7—8.
Г2] Про загальну показникову функшю. Киев, Ж. ии-та матем. АН УССР, 4 A938),
43—46.
Град штейн М. И.
[1] О монотонных функциях от многих независимых переменных, определённых
п неограниченных сверху классах, состоящих из изолированных точек. Одесса,
Учён. зап. НИ кафедр, 1:4 A924), 21—22.
Г р е б е и ю к Д. Г.
[1] Об одном классе полиномов, наименее уклоняющихся от нуля в данном проме-
промежутке. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 15 A927), 43—66.
[2] О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля, коэффициенты которых удовле-
удовлетворяют двум линейным зависимостям. Ташкент, Труды Ср.-Аз. ун-та, 5а:2 A929),
3—51.
[3] О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля, коэффициенты которых удопле-
творяют нескольким линейным зависимостям. Ташкент, Труды Ср.-Аз. ун-та,
математика, 18 A939), 1—155.
[4] Приложение теории полиномов, наименее уклоняющихся от пуля, к механиче-
механическим квадратурам. Ташкент, Изв. Узб. фил. АН, 9 A940), 10—23.

БИБЛИОГРАФИЯ 435
Гречу ш ников Н. Ф.
[1] К теории биортогональпых систем функции. Казань, Учён. зап. ун-та, математика,
7:2 A934), 27—52.
Г р и и б е р г Г. А.
[I] О разложении функций в ряды вида/ (.х)~^Ак Fk(ax). Л., Изв. политехи, ин-та,
к
отд. техн. естеств. и матем., 33 A931), 22—45.
оо
С sin E dF
[2] Об интегралах особого вида Гг(т)-=\ ,, '-.Л., Изв. политехи, ин-та,
о3 Ь
отд. техн. естеств. и матем., 33 A931), 46—54.
Гринблюм М. М.
[1] Некоторые теоремы о базисе в пространстве тина (В). ДАН, 31 A941), 428—432.
[2] Биортогональные системы в пространстве Банаха. ДАН, 47 A945), 79—82.
[3] К теории биортогональных систем. ДАН, 55 A947), 291—294.
Г р у з и н ц е в Г. А.
[1] Об одном типе свойств точечных ансамблей. Хрк., Учён. зап. НИ кафедр, 1 A924),
50—62.
[2] О различных мерах точечных ансамблей. Хрк., Научн. зап., 2 A926), 11—19.
Г у р е в и ч В. Б.
[I] О некоторых случаях совпадения тригонометрического полинома наилучшего
приближения с полиномами степенных приближений. ИАН, сер. матем., 10A946),
469—486.
Г у р е в и ч Л. А.
[1] О сходимости в среднем биортогональпых рядов. Матем. сб., 2 D4), A937),
327—338.
[2] О сходимости в среднем биортогональных рядов. Воронеж, Труды ун-та, 9:4 A937),
38—50.
[3] О сходимости рядов по неортогональной системе функций. Воронеж, Научн. сообщ.
ун-та, 1 A941), 5—12.
Гусейнов А. И.
[I] О конформном отображении круга на область, близкую к кругу. Баку. Труды
сект, матем. АН АзССР, 2 A946), 18—22.
Г ю нт ер Н. М.
[1] Sur un thooreme auxiliaire С. R. Acad. Sci., 176 A923), 1115—1117.
[2] Sur quelques applications des fonctions de W. Stekloff. ДАН (А), A924), 35—38.
13] О действиях над функциями, не имеющими производных. ИАН F), 18 A924),
353—372.
[4] О действиях над функциями, не имеющими производных. ИАН F), 19 A925),
75—96.
Sur une lemme de Poincare. С. R. Acad. Sci., 181 A925), 649—651.
О лемме Пуанкаре. Матем. сб., 33 A926). 291—331.
Замечание о теореме Могега. Сб. «In mem. Lobatschevskii», 2 A927), 156—162.
Об одном приложении теории замкнутости. ИАН F), 21 A927), 63—94.
Об одном приложении теории замкнутости. ИАН F), 21 A927), 255—272.
[10 Замечание об интегралах Стилтьеса. М., Труды Всеросс. матем. съезда A928),
193-195.
•Ill] Sur les integrates de Stieltjes generalises. Atti Congr. mat. Bologna, 2 A930)
313—324.
[12] Les fonctions moyennen et les integrates de Stieltjes. Yerhandl. Intern. Math.
Kongr. Zurich, 2A932), 128—129.
[13] La thdorie potential et scs applications aux problemes fondamentaux de la phy-
physique mathematique. Paris A934), 303.
[14] La theorie des fonctions de demaines dans la physique mathematique. Prace
matem.-fis. Warszawa, 44 A935), 33—50.
[15] Sur une integrate analogue a I'integrale de Fourier. ДАН, 4 A935), 315—318.
28*

436 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[16] Интегралы Счилтьега в математической физике ни теории интегральных уравне-
уравнений. Л., Труды второго Всесоюзн. магем. съезда, т. 1 A93E), 271—317.
[17] Об одном интеграле, аналогичном интегралу Фурье. ДАН, 4 A936), 289—292.
[181 О сглаживании функции и связанных с ними задачах. Л., Учён. зап. ун-та,
3:17A937), 51—78.
[19] Sur les noyaux du type Fourier. ИАН, сер. матем. A037), 315—354.
[20] Sur les noyaux du type Fourier. С R. Acad. Sd., 204 A937), 737—739.
[21] О постановке некоторых задач математической физики. Л., Учён. зап. ун-та,
сер. матем., 10 A940), 12—26.
Данилевский А. М. и Э ф р о с A.M.
[1] Операционное исчисление и конгурпые интегралы. Хрк., ГНТИ A937), 1—384.
Даревскин В. М.
[1] К вопросу о суммировании расходящихся рядов. Матем. сб., 41 A934), 458—482.
[2] О некоторых вопросах в теории расходящихся рядов. Магем. сб., 7 D9), A940),
549—590.
[31 О внутренне совершенных методах суммирования. ИАН, сер. матем., 10 A946),
' 97—104.
Дпойченкоп А. Н.
[11 О двух позых процессах интегрирования. Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 8 A936),
145—163.
[2] О вычислении коэффициентов тригонометрических рядов. Ростов п/Д, Учён. зап.
НИИ матем. и мех.-физ. ун-та, 1 A937), 47—50.
[3] Об определении коэффициентов рядок Фурье и связи с новыми процессами ин-
интегрирования. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1A937), 72—73.
Д и о р к и н Б. С.
[1] О разложении целой функции комплексного переменного в сходящийся ряд Нью-
Ньютона. Матем. сб., 12 E4), A943), 377—380.
Д е в и с о н Б. Б.
fil Universion of the Unicity-Theorem. Матем. сб., 38:1—2 A931), 45—47.
[2] On the uniform convergence of the trigonometrical esries. Матем. сб., 39:3 A932),
71—87.
Демидович Б. П.
[1] О существовании интегрального инварианта на множестве периодических точек.
ДАН, 2 A936), 11—14.
ДопутатопВ. Н. и Фиников С. П.
[1] Курс теории рядов. М., Гос. электромашиностр. ии-т им. Кагап-Шабшай A932),
1-198.
Джигит С. Д.
[1] Об одной зависимости между тремя переменными. Симферополь, Изв. Крым,
пед. ин-та, 4 A936), 141—144.
Д ж р б а ш я и М. М.
[1] О некоторых экстремальных проблемах в нежордановых областях. Ереван, ДАН
АрмССР, 1:3 A944), 5—12.
[2] О каноническом представлении мероморфных и единичном круге функции. Ереван,
ДАН АрмССР, 3 A945), 3—9.
13] Некоторые вопросы теории представимости аналитических функций. Диссерта-
Диссертация A945).
14] О представимости некоторых классов голоморфных в единичном круге функций.
Ереван, ДАН АрмССР, 4 A947).
[5] О метрических признаках полноты системы полиномов в неограниченных областях.
Ереван, ДАН АрмССР, 7 A947), 3—Ю.
Д л у г а ч Л. А:
[1] О разложении функции в ряды. Хрк., Научн. зап. полигр. ин-та, 1 A939),
113—115

БИБЛИОГРАФИЯ 437
Д о At о р я д А. П.
[I] К вопросу о пепараболическом интерполировании по способу наименьших ква-
квадратов. Ташкент, Бголл. Ср.-Аз. ун-та, 19 A034), 1—6.
Дринфельд Г. И.
[1] Про зниженпя порядку штегр'алыюго швар1янта. Киев., Ж. матем. цикла АН
УССР, 1 A932), 83—«6.
[21 Узагальнеиня одного способу будувати абсолютш штегральш швариянти
вищих порядк-in. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР, 1:1 A933), 85—90.
[3] Про композицш функщй. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A936), 33—38.
Дуби и с кий Е. А.
[1] Об условиях, порождающих сходимость двойных и «-кратных поверхностей.
Днепропетровск, Научи, зап. ун-та, 25 A941), 17—28.
Дубровский В. М.
[I] О некоторых свойствах вполне аддитивных функций множества и о предельной
переходе под знаком интеграла. ИАН, сер. матем., 9 A645), 311—320.
[2] О некоторых cbohcti ах Еполне аддитивных функций множества и их применение
к обобщению одной теоремы Н. Lebesgue'a. Матем. сб., 20 F2), A947), 317—330.
[3] О базисе семейстиа вполне аддитивных функций множества и о свойствах pai но-
номерной аддитивности и равнс.степенной непрерывности. ДАН, 58 A947), 737—740.
Дяченко В. Е. и Погреб ы секи й И. Б.
[I] Про дробоне диференшрування та штегрирування. Киев, Ж. ин-та. матем. АН
УССР,' 1 A934), 35—42.
Ермаков В. П.
[I] Полином, наименее уклоняющийся от нуля в данных пределах. Матем. сб.,
30 A918), 511—520.
Ермолаев Н. М.
II] О разложении одного определённого1 интеграла в полусходящийся ряд. ДАН,
16 A937), 203—206. '
Ж у р а в с к и и A.M.
[I] Sur la convergence des formules'des quadratures mecaniques dans un intervalle infini.
Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:1 A928), 31—52.
12] Об интеграле Кронекера. Л., Зан. горн, ин-та, 8 A934), 227—235.
3 а б о р о в с к я й А.
J1] Одна теорема из теории'функций Бесселя. М., Труды геол.-разв. ин-та, 20 A940),
275—276.
Зарецкий м. А.
fl] Об одной теореме об абсолютно непрерывных функциях. ДАН (А), A925), 88—90.
2 Surunprobleme des ensembles congruents. Л., Ж. физ.-матем. о-ва., 1 A627),
182—186.
Зморович В. А.
[1] Ueber cine konforme Abbildung, 1. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 9 A934), 29—32.
[2] Исследования по теории упипалеитных функций. Киев, Сообщ. о научно-иссл.
работе политехи, ин-та, 4 A945), 4—6.
3 у х о в и ц к и й С. И.
[1] Про мш1мальне паблнження системи несумкних лшШних р^вняпь в зв'язку з де-
якими шшими мнпмум-проблемами. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A938),
83—94.
[2] Об одном применении теоремы Нааг'а о наилучшей аппроксимации непрерыв-
непрерывных функций. Кие», Сб. паучпо-нссл. работ технол. ип-та кож.-обуви, пром-сти,
3 A940), 236—238.
Ибрагимов И. И.
[1] О полноте некоторых систем аналитических функций. ИАН, сер. матем. A939),
553—568.

438 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[2] Об асимптотическом значении наилучшего приближения функции, имеющем веще-
вещественную критическую точку. ДАН, 49 A945), 242—245.
[3J О полноте системы последовательных производных аналитической функции. ДАН,
52 A946), 393—394.
[4J Об асимптотическом значении наилучшего приближения функций, имеющих
вещественную особую точку. ИАН, сер. матем., 10 A946), 429—460.
[о] О сходимости интерполяционного ряда Абеля-Гончарова. Матем. сб., 21 F3)
A947), 49—62.
Ибрат-имов И. И. и Келдыш М. В.
II] Об интерполяции целых функций. Матем. сб., 20 F2), A947), 283—292.
Иванов И. И.
[I] Об интегрировании некоторых трансцендентных функции. Л., Изв. политехи,
ин-та, отд. техн. естеств. и матем., 33 A931), 19—21.
Иг натовский B.C.
[1] Ueber die zu den hypergeometrischen Reihen orthogonalen Funktionen, I. ДАН
(A), A931), 179—189.
[2] Untersuchung einiger Integrate mit Besselschen Funktionen und ihre Anwendung auf
Beugungserschelnungen und andere, I. Untersuchungen der Integrale. Труды физ.-
матем. ин-та им. Стеклова, 3:1 A933), 1—118.
{31 Ueber ein Integral mit Besselschen Funktionen. ИАН, сер. физ.-матем. A933),
345—362.
Каме и ецк и ft И. М.
|1] Об интерполировании с помощью производных и соответствующих интерполя-
интерполяционных процессах, I. ДАН, 25 A939), 357—359.
[2] Об интерполировании с помощью производных и соответствующих интерполя-
интерполяционных процессах, II. ДАН, 26 A940), 225—227.
[3] Об индикатрисе возрастания целой функции первого порядка и распределении
особенностей функции, представленной ассоциированным рядом Тэйлора, I. ДАН,
26 A940), 560—563.
[4] Об индикатрисе возрастания целой функции первого порядка и расположении
особенностей функции, представленном ассоциированным рядом Тэйлора, П.
ДАН, 27 A940), 322—324.
Канторович Л. В.
[1] Об универсальных функциях. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:2 A928), 13—21.
[2] Sur les suites de fonctions rcntrant dans la classification de M.W.H. Young. Fund.
Math., 13 A929), 178—185.
[3] Sur un probleme de M. Steinhaus. Fund. Math., 14 A929), 266—270.
[4] Sur les ensembles proiectifs de la deuxieme classe. С R. Acad. Sci., 189 A929).
1233—1235.
[51 Sur le theoreme de M. Vitali. С R. Soc. Sci. de Varsovie, 22 A929), 142—148.
[6] О некоторых разложениях по полиномам в форме С. Н. Бернштейна. ДАН (А),
A930), 563—566.
[7] О некоторых разложениях по полиномам в форме С Н. Гернгатейпа. ДАН (А),
A930), 595—600.
[8] Sur les suites des fonctions presque partout continues. Fund. Math., 16 A930),
25—28.
[91 Sur les fonctions du type 9(. C. R. Acad. Sci., 190 A930), 1267—1271.
[ 10] О сходимости последовательности полиномов С. Н. Бернштейна за пределами основ-
основного интервала. ИАН, сер. физ.-матем. A931), 1103—1115.
[II] Несколько замечаний о приближении к функциям посредством полиномов с целыми
коэффициентами. ИАН, сер. физ.-матем. A931), 1163-—1168.
[12] Об обобщённых производных непрерывных функций. Матем. сб., 39:4 A032),
153—170.
[13] Un exemple d'une fonction semicontinue universelle pour les fonctions continues,
Fund. Math., 18 A932), 99—109.
[14] Sur deux classes des operations sur les ensembles fermes. C. R. Soc. Sci. de Varso-
Varsovie, 25 A932). 1—7.
[15] О конформном отображении. Матем. сб., 40 A933), 294—325.
[16] О некоторых методах построения функции, совершающей конформное отображе-
отображение. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 229—235.

БИБЛИОГРАФИЯ 439
[17] О конформном отображении многосвязных областей. ДАН, 2 A934), 441—445.
[18] Об одном обобщении интеграла Стилтьеса. ДАН, 4 0^34), 417—421.
[19] Некоторые испранления к моей статье «О конформном отображении». Матем. сб.,
41 A934), 179—182.
[20] La representation explicite d'une fonction mesurable arbitraire dans la forme de la
limite d'une suite des polyndmes. Матем. сб., 41 A934), 503—510.
[21] Sur un espace des fonctions a variation borne et la differentiation d'une serie terme
a terme. С R. Acad. Sci., 201 A936), 1457—1460.
[22] Основы теории функций вещественного переменного, значения которого принад-
принадлежат линейному полуупорядоченному пространству. ДАН, 2 A936), 359—363.
[23] К проблеме моментов для конечного интервала, I. ДАН, 14 A937), 531—536.
[24] Некоторые теоремы о сходимости почти везде. ДАН, 14A937), 537—540.
[25] Исправление к заметке «К проблеме моментов для конечного интервала». ДАН,
16 A937), 150.
[26] Эффективные методы в теории конформных отображений. ИАН, сер. матем. A937),
79—90.
[27] Конформное отображение круга на односвязную область. В кн. «Конформное ото-
отображение односвязпых и многосвязных областей». М.—Л., ОНТИ A937), 5—17.
[28] К теории интегралов Стилтьеса-Римана. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 6 A939),
52—68.
[29] Определённые интегралы и ряды Фурье. Л., Изд. ун-та A940), 1—246.
Канторович Л. В. и В у л и х Б. 3.
[1] Sur la representation des operations liniaires. Сотр. Math., 5 A937), 119—169.
Канторович Л. В. и Л и в е н с о и Е. М.
[1 Sur les fonctions de M. Hausdorff. С. R. Acad. Sci., 190 A930), 352—354.
[2 Sur les ensembles projectifs de M. Lusin. С R. Acad. Sci., 190 A930), 1113—1115.
[3 Memoir on the analytical operations and projective sets, I. Fund. Math., 18 A932),
214—279.
[4] Memoir on the analytical operations and projective sets, II. Fund. Math.,20 A933),
54—97.
[5] Sur quelques theoremes consernant la theorie des ensembles projectifs. С R. Acad.
S:i., 204 A937), 466—468.
Канторович Л. В. и Фихтенгольц Г. М.
[1] Теория функций вещественной переменной и функциональный анализ. Сб. «Ма-
«Матем. л естеств. в СССР». Изд. АН A938).
К в а л ь в а с с е р В. И.
[1] Об одном пыводе формулы Стирлинга. Куйбышев, Сб. научно-исслед. работ ин-
дустр. ин-та, 2 A941), 75—78.
К и е с е л а в а Д. А.
[II К принципу Lindelof'a. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 713—718.
[2] К теории конформных отображений. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,
У A941), 19—32.
[3] О конформном отображении смежных областей. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР,
о A944), 468—472.
[4] Решение одной граничной задачи теории функций. ДАН, 53 A946), 683—686.
К е л д ы ш Л. В.
[1] О гомеоморфности канонических элементов третьего класса. Матем. сб., 41 A934),
187—220.
[2] О простых функциях класса а. ДАН, 4 A934), 192—197.
[3] Верхние оценки для классов действительных конституант аналитического допол-
дополнения. ИАН, сер. матем. A937), 265—284.
[4] Счётные измеримые В-решёта, определяющие множества, измеримые В. ИАН,
сер. матем. A937), 403—418.
[о] Решёта, определяющие множества, измеримые В. ДАН, 19 A938), И—14.
[6] Об одном свойстве решёт измеримых В. ИАН, сер. матем. A938), 125—136.
|7] Структура минимальных решёт, определяющих множества, измеримые В. ИАН,
сер. матем. A938), 221—248.
J8] Однородные множества, измеримые В. ДАН, 26 A940), 531—534.

440 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[9] Прямое доказательство теоремы о принадлежности канонического элемента Еа
к классу я и арифметические примеры В-множеств высоких классов. ДАН,
28 A940), 675—678.
[10] Структура В-множеств. ДАН, 31 A941), 651—653.
[11]| Sur la structure des ensembles mesurables D. Матем. сб., 15 E7), A944), 71—98.
[121 Структура В-множестп. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 17 A945), 1—76.
[ 13] Об открытых отображениях А-множеств. ДАН, 49 A945), 646—648.
Келдыш М. В.
11] Sur les suites de polynomes bornes dans leur ensemble. Матем. сб., 42 A935),
719—724.
|2] Об одном классе' экстремальных полипомов. ДАН, 4 A936), 163—166.
3] О теореме Лиувилля для субгармонических функций. Матем. сб., 2 D4), A937),
369—378.
[4] О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле. ДАН, 18 A938), 315—318.
[5] Конформные отображения многосвязных областей на канонические области.
Успехи матем. наук, 6 A939), 90—119.
|6] Sur l'approximation en moyenne quadratique des fonctions analytiques. Матем. сб.,
5 D7), A939), 391—402.
[7] Sur rapproximation des fonctions analytiques dans les domaines fermes. Матем. сб.,
8 E0), A940), 137—148.
|8] О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле. Успехи матем. наук, 8 A941),
171—292.
[9] О замкнутости ортогональных с весом систем полиномов. ДАН, 30 A941)
771—773.
[10] О приближении голоморфных функций целыми функциями. ДАН, 47 A945),
243—245.
[ 11] О представлении функции комплексного переменного рядами полиномов в замкну-
замкнутых областях. Матем. сб., 16 E8), A945), 24S—258.
[12] Sur l'approximation en moyenne par polynomes des fonctions d'une variable complexe.
Матем. сб., 16 E8), A945), 1—20.
Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А.
1] К теории конформных отображений. ДАН, 1 A935), 85—87.
2 Sur les suites des polynomes harmoniques. С R. Acad. Sci., 202 A936). 1149—1157.
3 Об устойчивости решения задачи Дирихле. ИАН, сер. матем. A937), 551—593.
4] Sur le probleme de Dirichlet. С. R. Acad. Sci., 204 A937), 1788—1790.
5' О единственности задачи Неймана. ДАН, 16 A937), 151—152.
6] Sur la representation conforme des domaines limites par des courbes rectifiables.
Ann. Ecole Norm., 54 A937), 1—38.
[7] Sur la suite convergente des polynomes harmoniques. Тбилиси, Труды матем. ин-та
Гр. фил. АН, 1 A937), 165—184.
[8] Об одной задаче Карлемана. ДАН, 23 A939), 746—748.
[9] Об одной оценке для функции Грина. ДАН, 24 A939), 102—103.
[10] Оценки для относительной гармонической меры. Прил. к кн. Р. Неваплинпа
«Однозначные аналитические функции». М., ГТТИ A941), Збо—379.
Келдыш М. В. и С е д о в Л. И.
[ 1] Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций. ДАН,
16 A937), 7—10.
Ким Ю.
[I] О представлении полигармонических функций рядами полигармонических поли-
полиномов. Казань, Учён. зап. ун-та, 100:5 A940), 31—40.
Клименко СМ.
[1] Об интерполировании периодических функций посредством тригонометрических
полиномов. Орёл, Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем., 1 A940), 5—52.
Кован ь ко А. С.
[1] Sur une extension d'un theoreme de Weierstrass sur la convergence uniforme des sui-
suites de fonctions a une variable complexe. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск.
ун-та, 3 A921), 10.
[2] Sur les suites de fonctions additives et absolument continue». Симферополь, Зап.
.матем. Аб. Крымок. ун-та, 3 A921), 96—98.

БИБЛИОГРАФИЯ 441
[3] Sur quelques fonctions sommables. Симферополь, Зам. матем. каб. Крымск. ун-та,
3 A921), 98—100.
[4] Определение интеграла вдоль квадрируемой кривой. Симферополь, Зап. матем.
каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 135—144.
[51 Sur les suites de fonctions a une variable complexe. С R. Acad. Sci., 179 A924),
gY3 -875
[6] Sur les suites de fonctions de la classe 1 (Baire). С R. Acad. Sci , 179 A924),
1302—1306.
[7] Sur les conditions necessaires et suffisantes de la sommabilite de quelques fonctions.
С R. Acad. Sci., 180 A925), 899—902.
J8] Sur une clas«e de points de la convergence non uniforme des suites de fonctions,
С R. Acad. Sci., 181 A925), 364—368.
[9] Sur les suites de fonctions absolument continues. C. R. Acad. Sci., 181 A925),
768—770.
[10] Об одном обобщении формул Lagrange'a и Cauchy о конечном приращении. Матем.
сб., 33 A926), 203—206.
|11] Sur les conditions necessaires et suffisantes de Г integration des suites des fonctions-
sommable terme a terme. С R. Acad. Sci., 182 A926), 561—564.
[12] Sur l'integration des suites de fonctions totalisables. C. R. Acad. Sci., 183 A926),
471—473.
[13] Sur les conditions necessaires et suffisantes de la sommabilite de quelques fonctions.
С R. Acad. Sci., 183 A926), 735—736.
[14] Криволинейные интегралы но иеспрямляемым кривым Jordan'a. Баку, Изв. Азерб.
ун-та, 6 A927).
[15] Sur l'integration des suites de fonctions totalisabies. С R. Acad. Sci., 184 A927),
93—96.
[16] Sur les suites de fonctions de classe 1. С R. Acad. Sci., 184 A927), 1156—
1158.
[17] Sur la generalisation de la methode de Cauchy de la construction des series conju-
guees. Киев., Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 2:2 A927), 13—15.
[18] Sur une generalisation des fonctions presque periodiques. С R. Acad. Sci.,
186 A928), 354—355.
[19] Sur l'approximation des fonctions presque periodiques generalisees. Матем. сб.,
36 A929), 409—416.
[20] Sur l'approximation des fonctions presque periodiques generalisees. С R. Acad. Sci.,
188 A929), 142—145.
[21] Sur une classe de fonctions presque periodiques qui engendre des classes de fonctions
p.p. deW. Stepanoff, H. Weyl et A. Bezkovitch. С R. Acad. Sci., 189 A929),
393—396.
[22] Sur une classe des fonctions presque periodiques generalisees. ДАН (А), A930),
145—146.
[23] Sur les classes des fonctions presque periodiques generalisees. Ann. de Math.,
9 A931), 24.
[24] Sur la structure des fonctions presque periodiques generalisees. C. R. Acad. Sci.,
198 A934), 792—794.
[25] Sur la structure des fonctions presque periodiques generalisees. Матем. сб.,
42A935), 3—18.
[26] Sur quelques modes de convergence des suites de fonctions a une variable reelle sur
(— со, +ос). Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та 1:2 A935), 148—154.
[27] Определение интеграла Римана-Стилтьееа для функций двух независимых
переменных с двумя добавочными функциями и его связь с теорией меры по-
поверхности. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 64—107.
[28] О компактности систем обобщённых почти периодических функций В. В. Степанова.
ДАН, 26 A940), 219—221.
[29] Интеграл Стилтьеса-Лебега от функций двух независимых переменвых с двум»
добавочными функциями. Иваново, Учён. зап. пед. ин-та, физ.-матем. ф-т,
1:1 A941), 10—26.
[30] О некоторых новых методах и формулах в анализе. Иваново, Учён. зап. пед. нп-та,
физ.-матем. ф-т, 1:1 A941), 47—48.
[311 О компактности систем обобщённых почти периодических функций А. С. Безико-
вича. ДАН, 32 A941), 118—119.
[32] Sur les systemes compactes des fonctions presque periodiques generalisees de W. Ste-
Stepanoff. Матем. сб., 9 E1), A941), 389—402.
[33] О компактности систем обобщённых почти периодических функцийБезиковича,
ДАН, 43 A944), 53—54.

442 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
|34] О компактности систем обобщённых почти периодических функций Вейля. ДАН,
43 A944), 291—292.
|35] О компактности систем обобщённых почти периодических функций Безиковича.
Матом, сб., 16 E8), A945), 365—382.
J36] Взаимоотношения различных обобщений почти периодических функций. Томск,
Изн. НИИ матем. и мех. ун-та, 3:1 A946), 1—36.
[37] Про квалрувалымсть дсяких окремих вид1в поверхоиь и cenci Лебега. Львов,
Учо». зап. ун-та, сер. физ.-матем., 5:1 A947), 34—52.
[38] Про компактшсть систем узагальнемих майже нерк>дичиих функцш Вейля.
Львов, Учён. зап. ун-та, сер. ф:и.-матем., 5:1 A947), 53—67.
К о в г у и Д.
[1] Приложение метода интегральных вычетов Cauchy-Leaute к разложению произволь-
произвольных функций к ряды, связанные с первым методом Poisson'a. Хрк., Научн.зап.
авиац. ип-та, 4:1 A940), 85—80.
Козлов В. Я.
J1] О связи между абсолютной сходимостью и единственностью разложения функции
в тригонометрический ряд. ДАН, 15 A937), 417—420.
|2] О некоторых свойствах полных систем ортогональных функций. Диссертация A940),
К о з л о в а 3. И.
11] О кратной отделимости. ДАН, 27 A940), 108—111.
B] О некоторых классах А-и В-множсств. ИАН, сер. матем., 4 A940), 479—500.
К о л м о г о р о в А. Н.
|l] Une serie de Fourier-Lebesgue divergente presque partout. Fund. Math., 4 A923),
324—326.
|2J Sur l'ordre de grandeur des coefficients de la sdriede Fourier-Lebesgue. Bull. Acad.
Polonaise (A), A923), 83—86.
|3] Une contribution a l'etude de la convergence des series de Fourier. Fund. Math.,
5 A924), 96—97.
|4] La definition axiomatique l'integrale. С R. Acad. Sci., 180 A925), 110—111.
15] Sur la possibilite de la sommation des series divergentes. C. R. Acad. Sci.,
180 A925), 362—364.
16] Sur les fonctions harmoniques conjuguees et les series de Fourier. Fund. Math.,
7 A925), 23—28.
17) Sur une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout. С R. Acad. Sci., 183 A926),
1327—1329.
[8] Об операциях над множествами. Матем. сб., 35 A928), 414—422.
|9| Sur un procede d"integration de M. Denjoy. Fund. Math., 11 A928), 27—28.
110] Общая теория меры и исчисление вероятностей. Труды Комм. акад. разд. матем.,
1 A929).
11] Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. naz. Lincei, 12 A930), 388—391.
121 Untersuchungen iiber Integralbegriff. Math. Ann., 103A930), 654—696.
13) Beitrage zur Masstheorie. Math. Ann., 107 A932), 351—366.
14] О сходимости рядов по ортогональным полиномам. ДАН, 1 A934), 291—295.
J15] Quelques remarques sur l'approximation des fonctions continues. Матем.сб.,
41 A934), 99—103.
]1G[ Zur Grossenordnung des restgliedes Fourierscher Reihen differenzierbarer Funktio-
nen. Ann. of Math., 36 A935), 521—526.
117] UebeF die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse. Ann.
of Math., 37 A936), 107—110.
118| (Jne generalisation de I'incgalitc deM. J. Hadamard entre les bornessuperieures des
derivees successives d'une fonction. С R. Acad. Sci., 207 A938), 764—765.
119] О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произ-
произвольной функции на бесконечном интервале. М., Учён. зап. ун-та, 30 A939), 3—16.
Колмогоров А. Н. и Меньшов Д. Е.
]1] Sur la convergence des series des fonctions orthogonales. Math. Z., 26A927),
4^2—441.
Колмогоров А. Н. и С е л и в е р с т о в Г. А.
| П Sur la convergence des series de Fourier. С R. Acad. Sci., 178 A924), 303—306.
J2] Sur la convergence des series de Fourier. Atti Accad. naz. Lincei, 3 A926), 307—310.

БИБЛИОГРАФИЯ 443
Колмогоров А. Н. и X и и ч и II А. Я.
[1] Ueber Konvergenz von Reihen deren Glieder durch den Zufalle bestimmt werden.
Матем. сб., 32 A925), 668—677.
Кондратов В. И.
[ 1] О некоторых оценках семейств функций, подчинённых интегральным неравенствам.
ДАН, 18 A938), 235—240.
[2] О некоторых свойствах функций из пространства Lp. ДАН, 48 A945), 563—566.
К о и д ударь В.
[1] Sur Tintegrale de Stieltjes. Матем. сб., 2 D4), A937), 361—366.
К о р е н б л ю м Б. И.
[1] О представлении функций класса Lp сингулярными интегралами в точках Лебега.
ДАН, 58 A947), 973—976.
К о р и ц к и н Г. В.
[1| Теорема Szeg6 для некоторых частных классов однолистных функций. Матем. сб.,
36 A929), 91—98.
[2] Об однолистности некоторых степенных рядов. Томск, Изв. НИИ матем. и мех.
ун-га, 2:1 A938), 67—73.
К о р о в к и н П. П.
[1] Об одном обобщении ряда Тэйлора. ДАН, 14A937), 479—482.
[2] Одна теорема о рядах по полиномам. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 6 A939),
69—70.
|3] Асимптотическое выражение полиномов, ортогональных на спрямляемом контуре.
ДАН, 27 A940), 521—524.
[4] О полиномах, ортогональных по спрямляемому контуру при наличии веса.
Матем. сб., 9 E1), A941), 469—488.
[5] О расходимости рядов полиномов. ДАН, 33 A941), 179—181.
[6] Обобщение теоремы Д. Ф. Егороза. ДАН, 58 A947), 1265—1267.
[7] Мнэжеств) сходимости рядов полиномов. ДАН, 58 A947), 1589—1592.
[Н] Асимптотическое представление полиномов, ортогональных по площади. ДАН,
58 A947), 1883—1885.
К о с т а н д и Г. В.
jlj Так называемый «четвёртый случай» в интегрировании рациональных дробей.
Одесса, Труды индустр. ин-та, 1 D), A940), 89—90.
К о т е л я н с к и й Д. М.
[II Про деяю застосунання кпадратичних форм до проблеми Nevanlinna-Pick'a. Киев,
Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A936), 73—88.
К о ч и н Н. Е.
11] Об одном частном случае задачи Римапа. ДАН, 17 A937), 287—290.
К о ш л я к о в Н. С.
|1] О некоторых приложениях теории интегральных вычетов. Симферополь, Зап.
матем. каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 189—254.
|2) О некоторых приложениях теории интегральных вычетов. Симферополь, Зап.
матем. каб. Тапр. ун-та, 2 A921), 1—79.
[3] Sur une integrate def inie analogue a celle de Poisson. Симферополь, Зап. матем. каб.
Крымск. ун-та, 2 A921), 259—260.
[4] Sur la fonction I1 (ia) a 1'argument purement imaginaire. Симферополь, Зап. матем.
каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 7—8.
|5] О вычислении по формуле механических квадратур определённых интегралов с бес-
бесконечными пределами. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 801—808.
16] Об одном определённом интеграле, содержащем цилиндрическую функцию Kv(x).
ДАН, 1 A934), 103—105.
G] Об одном определённом интеграле, содержащем цилиндрическую функцию
ДАН, 2 A934), 145—147.
|8] О выражении через определённые интегралы квадрата римановои функции
ДАН, 2 A934), 401—405.

444 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[9] Об одно» общей сумматорноп формуле и её приложениях. ДАН, 4 A934),
187—191..
|10] Об одном обобщении полиномов Бернулли. Матс.м. сб., 42 A935), 425—434.
[II] О выражении через определённый интеграл квадрата функции Ричапа. ДАН,
2 A936), 83—86.
[12] О некоторых определённых интегралах. ДАН, 4 A930), 239—242.
[13) О некоторых разложениях в ряды Fourier-Bessel'H. ДАН, 14A937), 173—176.
[ 14] Об одном преобразовании определённых интегралов и его применении в теории
римановой функции C(s). ДАН, 15 A937), 3—8.
[ 15] О некоторых определённых интегралах, содержащих бесселевы функции. ИАН,
сер. матем. A938), 417—426.
|16] О функциях, аналогичных неполным функциям гамма. Л., И:ш. электротехн.
ин-та, 21 A939), 3—6.
Кравчук М. Ф.
|1] 1итерполяшя та деяк1 питания з теори функцШ дШсного змшпого. Киев., Зап,
физ.-матем. отд. АН УССР, 1:3 A925), 70—82.
[21 До теорп функцш дШсного змшпого. Киев, Зап. ин-та нар. проев. 1 A926),
94—100.
[3] Про сушльщеть коретв щло1 трансцендентно!' функшТ. Киев, Вегтн. политехи.
ин-та, 20 A926), 63—64.
[4] Замтса про Тау1ог'ову формулу. Киев, Зап. физ.-.матем. отд. АН УССР, 2:2 A927),
1—4.
[5] Залйтка з приводу теореми Cauchy. Киев, Зап. физ.-.матем. отд. АН УССР,
2:2 A927), 33—36.
[6] Про деяк1 неретворення кратних пггеграл1в. Киев., Зап. С.-госп. ин-та, 3 A927),
77—88.
[7] Sur les poles des fonctions meromorphes. C. R. Acad. Sci., 185 A927), 178—180.
[8] Sur les p61es des fonctions analytiques. С R. Acad. Sci., 185 A927), 336—339.
|9] Sur les fonctions analytiques a singularites reelles. С R. Acad. Sci., 185 A927),
1106—1109.
[10] Sur une generalisation des polynomes d'Hermite. C. R. Acad. Sri., 189 A929),
620—622.
[11] Honi результати в cnoco6iMoMenTiB. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР, 1:1 A933),
3—20.
[12] Про задачу мометтв. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР, 1:1 A933), 21—40.
13] Sur la distribution des racines de polynomes orthogonaux. С R. Acad. Sci.,
196A933), 739—741.
[14] Про одну HepiBiiicTb у проблем! мометтв, Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
2 A935), 35—43.
[15] Об одной алгебраической задаче в проблеме моментов. ДАН, 2 A935), 89—94.
16] Sur quelques inegalites dans le problfeme des moments. С R. Acad. Sci., 200 A935),
1567—1569.
[17] Про узагальнену проблему момешчв. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A936),
3—8.
[18] О некоторых аппроксимациях в обобщённой проблеме .моментов. ДАН, 14A937),
91—94.
[19] Об аппроксимациях в проблеме моментов для функций двух переменных. ДАН,
17 A937), 279—282.
[20] О распределении абсцисс механических квадратур гауссова типа. Томск, Изв.
НИИ матем. и мех. ун-та, 2:1 A938), 57—62.
Крейн М. Г.
[1] Le systeme derive et les contours derives. Одесса, Ж. НИ кафедр, 2:3 A926),
61—73.
[2] О ряде Тэйлора, определяющем аналитическую функцию, регулярную в области,
ограниченной несколькими кружками. Казань, Изп. физ.-мате.м. о-ва C), 2 A927),
50—57.
[3] Ueber eine neue Klassevon HermiteschenFormen und ueber eine Verallgemeinerung
de* trigonometrischen Momentenproblems, 1. ИАН, сер. физ.-матем. A933),
1259—1275.
[4] Sur des d6rivees des noyaux de Mercer. C. R. Acad. Sci., 200 A935), 797—799.
[5] Sur les operateurs differentiels autoadjoints et leursfonctions de Green symetriques.
Магем. сб., 2 D4), A937), 1023—1072.

БИБЛИОГРАФИЯ 445
[6] К теории наилучшего приближения периодических функций. ДАН, 18 A938),
245--250.
[7] О наилучшей аппроксимации непрерывных дифференцируемых функций на Bceii
вещствешюп оси. ДАН, 18 A938), 619—G24.
[8] О представлении функций интегралами Фурье-Стилтьеса. Куйбышев, Учён. зап.
нел. и учшельск. нн-та. 7 A943), 123—148.
[9] Об обобщённо;! проблеме моментов. ДАН, 44 A944), 239—243.
f 10] Об одном обобщении исследований О. Szego, В. И. Смирнова и А. Н. Колмогорова.
ДАН, 46 A045), 05—98.
[11] Об одной экстраполянионной проблеме А. Н. Колмогорова ДАН, 46A945),
306-309.
[12] К теории целых функций экспоненциального типа. ИАН, сер. матем., 11 A947),
319 -326.
Крейи М. Г. и Лепи тан Б. М.
[1] On some minimum problem in the class of Stepanoff almost periodic Functions.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 111—123.
Крейн М. Г. и Рехтман П. Г.
[1] Допробле.ми Nevanlinna-Pick'a. Одесса, Труды ун-та, математика, 2A938), 63—77.
К р е и н М. Г., М и л ь м а н Д. П. и Рут м а и М. А.
}1] Заметка о базисе в пространстве Вапасп'а. Хрк., Зап. .матем. т-ваD), 16A940),
106—108.
К р е й н е с М. А.
Jl] Sur une classe de fonctions deplusieurs variables. Матем. сб., 9E1), A941),713—720.
Кронрод А. С.
{1] О структуре множества точек разрыва функции, дифференцируемой в точках
непрерывности. ИАН, сер. матем. A939), 569—578.
[2] О перестановочности членов числовых рялов. ДАН, 49 A945), 163 -166.
[3] О перестановках членов числовых рядов. Матем. сб., 18 F0), A946), 237—280.
Кронрод А. С. и Л а н д и с Е. М.
[1] О множествах ур:>.;ня функций многих переменных. ДАН, 58 A947), 1269—1272.
К р у к о в с к н ii Б. В.
|1] Исследование ноиых классов бесконечных определителей, сходящихся к нулю.
Киев, Труды технол. ин-та силикатов, 1 A939), 223—244.
[2] Об одном определителе, являющемся обобщением определителя Грама. Киез,
Труды технол. ин-та силикатов, 1 A939), 245—252.
К р у т о в Д.
[1] К теореме Ппкара-Ландау. ДАН, 3 A934), 78—82.
К р ы ж а н о в с к и й Д. А.
[1] Sur les differentes definitions de limite. Одесса, Ж. НИ кафедр, 1:8—9 A924), 1—10.
[2] Геометрическая интерпретация зависимости между двумя функциями ог двух пере-
переменных. Казань, Изв. фаз.-матем. о-ва B), 22 A937), 113—122.
Крылов А. Н.
[1] About some important formulas in the theory of trigonometric series. Хрк., Зап. ма-
матем. т-'.-а B), 16 A918), 73.
[2] Remarque a propos d'un raisonement des Stieltjes dans la theorie des series tngo-
nometriques. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 2 A921), 222 -224.
Крылов В. И.
[1] Об одном методе построения функции, преобразующей конформно область на
круг. В кн. «Конфзрмное отображение однпсиязных и многосьязпых областей».
М.—Л., ОНТИ A937), 25—46.
[2] Приложение интегральных уравнений к доказательству некоторых теорем теории
конформных преобразований. Мате.м. сб., 4 D6), A938), 9—30.
,[3] О функциях, регулярных в полунлоекопи. Мате.м. сб., 6 D8), A939), 95—138.
{4J Несколько простых замечаний о классах аналитических функции, регулярных
в круге. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 6 A939), 71—80.

446 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[5] Существование обобщённых производных or суммируемых функций. ДАН,
55 A947), 379—382.
Крылов Н. М.
[1] Sur quelques formules d'interpolation generalisees. Bull. Sci. Math., 41 A917),
309—320.
[2] О некоторых формулах для приближённого представления функций, основанных
на обобщениях так называемых механических квадратур. Симферополь, Зап.
матем. каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 19—20.
[3] Sur la determination de diverses formes du reste de la formule d'interpolation
de Lagrange. Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 22—23.
|4] Sur le reste de la serie Taylor. Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 1 A919),
24—26.
[5] Sur quelques generalisations de la seiie de Taylor. Симферополь, Зап. матем. каб.
Тавр, ун-та, I A919), 27—29.
[6] О некоторых формулах обобщённой интерполяции. Симферополь, Зап. матем.
каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 48—58.
|7] Sur quelques formules d'approximation, fondles sur la generalisation des quadra-
quadratures, dites «mecahiques». C. R. Acad. Sci., 168 A919), 721—723.
[8] О сходимости некоторых формул механических квадратур для многократных
интегралов. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 2 A921), 248—250.
[9] Sur la formule de Stokes en coordonnees curviligne (Extrait d'une lettre adresse
a prof. M. Tikhomandritzky). Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та,
3 A921), 61—63.
[10J О сходимости некоторых интерполяционных формул и, в частности, формулы
М. Riesz'a. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 73—84.
111] Sur quelques rerherches dans ledomainede la theorie de l'interpolation etdes quadra-
quadratures dites «mecaniques». Proc. Intern. Congr. Toronto, 1 A924), 651—658.
[12] Sur un lemme dans la truorie de fermeture se rapportant aucas des fonctions fon-
damentalesde la premiere сlasse limite. Хрк., Научи, зап. технол. ин-та, 2A927),
93—94.
[13] Sur une formule generate de G. Andreieff dans la theorie des integrates di-finies..
Boll, un Mat., 3 A930), 2—4.
Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н.
[1] Sur quelquc-s thooremes generales de la mesure. С R. Acad. Sci., 201 A935),
1002—1003.
[2] Les mesures invariantes et la transitivite. С R. Acad. Sci., 201 A935), 1454—1456.
Крылов Н. М. и Тамаркин Я. Д.
[1] Sur l'application de la theorie des quadratures mecaniques gtnerelistes a l'evalution
par approximantions successives de la solution de l'tiquation integrate. Киев, Зап.
физ.-матем. отд. АН УССР, 1:1 A922), 16—21.
|2] Sur une formule d'interpolation. Proc. Intern. Congr. Toronto, 1 A924), 641—650.
Крылов Н. М. и Ш т а е р м а н И. Я.
|1] Notes sur quelques formules d'interpolation. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АНУССР,
1:1A922), 21—23.
[2] Sur quelques formules d'interpolation convergentes pour toute fonction continue.
Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1:1 A922), 13—16.
Кудрявцев В. А.
[1] О распределении корней производной целой трансцендентной функции, корни
^ которой лежат внутри некоторого угла. Матем. сб., 32 A925), 172—17G.
[2! О распределении корней производной целой трансцендентной функции. Матем. сб.,
32 A925), 364—366.
Кузьмин Р. О.
[1] О корнях бесселевых функций. Пермь, Ж. физ.-матем. о-ва, 2 A919), 17—21.
[2] О некоторых тригонометрических неравенствах. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927),
233—239.
[3] К теории механических квадратур. Л., Изв. политехи, ин-та, отд. техн. естеств.
и матем., 33 A931), 5—14.
[4] Бесселевы функции. Изд. 2. Л.—М., ОНТИ A935), 1—244.

БИБЛИОГРАФ И Я 447
[5] Sur la methodedeTchebycheff pour revaluation approchee des integrales. С R. Acad.
Sci., 201 A935), 1094—1095.
[6] Sur la methode dc quadrature de Tchebycheff. C.R. Arad. Sci., 202A936), 272—273.
G] О тригонометрических рядах, расходящихся повсюду. Л., Труды индустр. ии-та,
разд. физ.-матем., 10:3 A936), 53—56.
[8] О распределении корней полиномов, связанных с квадратурами Чебышева. ИАН,
сер. матем. A938), 427—444.
[9] О формулах квадратур. Л., Труды индустр. ин-та, разд. физ.-матем., 3:1 A939),.
16—32.
[10] О коэффициентах степенного разложения для функции Римана. Л., Труды поли-
политехи, ин-та, 3 A941), 44—49.
Кузьмин Р. О. и Натансон И. П.
[1] О сильной сходимости интерполяционного полинома Лагранжа. Л., Учён, зап..
ун-та, сер. матем., 6 A939), 81—в9.
Кулик СМ.
[11 Меиа корешв полино-uiB Кравчука. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3—4A935),
89—96.
[2] Pi3HHuei3i Р1Вняиня для деяких ортогональних пол1ном1в. Киев, Ж. ии-та матем.
АН УССР, 4 A936), 97—109.
[3] Ортогоналып полЫоми, зв'язаш з деякими схемами дискретпих рознодшш
iMonipHOCTen. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A937), 89—136.
[4] Производящие функции некоторых ортогональных полиномов. Матем. сб.,
12E4), A943), 320—334.
Купрадзе В. Д.
[1] О функциях Mathieu-НапкеГя. Труды физ.-матем. ии-та им. Стеклова, 4 A933),
77—86.
[2] Diffrazione della onde elastiche sopra un conforno ellittivo. Atti Accad. naz. Lincei,.
18 A933), 130—135.
Куфарев П. П.
[1] Ueber das zweifachzusammenhangende Minimalgebiet. Томск, Изв. НИИ матем..
и мех. ун-та, 1 A935), 228—236.
[2] Об однопараметрических семействах аналитических функций. Матем. сб., 13 E5),
A943), 87—118.
[3] К вопросу о поведении отображающей функции на границе. Томск, 'Изв. НИИ
матем. и мех. ун-та, 3:1 A946), 37—60.
[4] Об одном свойстве ядрозой функции области. Томск, Изн. НИИ матем. и мех.
ун-та, 3:1 A946), 72—74.
[5] Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной поляр-
полярной особенностью правой части. Томск, Учён. зап. ун-та, 1 A946), 35—48.
[6] Об одном специальном семействе однолистных областей. Томск, Учён. зап. ун-та,
5 A947).
[7] Теорема о решениях одного дифференциального уравнения. Томск, Учён. зап.
ун-та, 5 A947).
[8] Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шаарца-
Кристоффеля. ДАН, 57 A947), 535—537.
[91 Одно замечание об интегралах уравнения Лёпнера. ДАН, 57 A947), 655—656.
[10] К теории однолистных функций. ДАН, 57 A947), 751—754.
Лаврентьев М. А.
[1] Sur la recherche des ensembles homdomorphes. С R. Acad. Sci., 178 A924),
187—190.
[2] Sur la representation des fonctions mesurables В par les series transfinies de polyno-
mes. Fund. Math., 5 A924), 123—129.
[3] Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes. Fund. Math., 6 A924),
149—160.
[4] Sur les sous-classes de la classification de M. Baire. С R. Acad. Sci., 180 A925),
111—114.
Sur la representation conforme. С R. Acad. Sci., 184 A927), 1407—1409.
Sur un problemede M. P. Montel. С R. Acad. Sci., 184A927), 1634—1G37.
Sur une methode geometrique dans la representation conforme. Atti del. Congr. Int.
Mat., 3 A928), 241.

448 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[8] Sur la correspondence entre lesfrontieresdans la representation conforme. Матем. сб.,
3b" A929), 112—115.
19] Sur un probleme de M. P. Montel. С R. Acad. Sci., 188 A929), 689—691.
110] Sur un probleme de maximum dans la representation conforme. C. R. Acad. Sci.,
191 A930), 827—829.
[11] К теории конформных отображении. Труды физ.-матем. ип-та им. Стеклова,
5 A934), 159—240.
Sur deux questions extremales. Матем. сб., 41 A934), 157—165.
Sur la representation conforme. M., Учён. зап. ун-та. 2:2 A934), 39—42.
О некоторых свойствах однолистных функций. ДАН, 1 A935), 1—4.
Sur une classe de representations continues. Матем. сб., 42 A935), 407—424.
S ld etti ti С R A S 2093
Sur une classede representations continues. С R. Acad. Sci., 200A935), 1010—1013.
Геометрические вопросы теории фу икни if комплексного переменного. Л., Труды
второго Всесоюзп. матем. съезда, т. 1 A936), 258—270.
[18] О семействах однолистных функций. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда,
т. 2 A930). 170—172.
[ 19] Sur les fonctions variable complexe representables par des series de polynomes. Actual
Sci. et lndustr., 441 A936), 1—62.
[20] О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций. Матем. сб.,
1 D3), A936), 815—846.
[21] О непрерывности однолистных функций в замкнутых областях. ДАН, 4 A936),
207—210.
|22| К теории струй. ДАН, 18 A938), 225—226.
123] О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струн.
Магем. сб., 4 D6), A938), 391—458.
[24] О некоторых свойствах струпных течений. ДАН, 20 A938), 235—238.
[25| К теории струимых течений. ДАН, 20 A938), 239—240.
126] Об одном дифференциальном признаке гомеоморфпых отображений трёхмерных
областей. ДАН, 20 A938), 241—242.
[27] Об одном классе квазиконформных отображений и о газовых струях. ДАН,
20 A938), 343—340.
[28] Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики.
М.—Л., ГТТИ A940), 1—159.
[29] Квазиконформные отображения и их производные системы. ДАН, 52 A946),
287—290.
[30] Общая проблема квазиконформных отображений плоских областей. ДАН УССР,
3_4 A940), 3—10.
[31] Теория квазиконформных отображений. В кн. «Юбилейный сборник, посвящен-
посвященный тридцатилетию Велико!! Октябрьской социалистической революции», т. 1.
Изд. АН A947). 96 — 113.
J32] Общая знача теории квазиконформных отображений плоских областей. Матем.
сб., 21 F3), A947), 285—320.
Лаврентьев М. А. и К в е с с л а в а Д. А.
[1] Об одной теореме Островского. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 171—174.
Лаврентьев М. А. и Л ю с т е р н и к Л. А.
[1] О некоторых экстремальных гадачах теории конформных отображений. В кн.
«Оснош vai ;ационн >п> исчисления», т. 1, ч. 2, Добавление 2. М.—Л., ГТТИ
A935), Г07-395.
Л а в р е и г |. е в М. А. и Привалов И. И.
[1] Общий очерк развития теории функций комплексного переменного в СССР за
время 1917—1927. Матем. сб., 35 A928), доп. вып., 5—20.
Лаврентьев М. А. и Шепелев В. М.
[11 Sur la representation "conforme. С. R. Acad. Sci., 191 A930), 1420—1427.
[2] О некоторых свойствах однолистных функций. Мате.м. сб., 2 D4), A937), 319—326.
Л а м б и н Н. В.
[ 1] Об одном классе существенно особых точек. ДАН, 25 A939), 467—469.
Л а и ц е в и ц к и й И. Л.
|1] Об ортогональности полиномов Фейера-Сеге. ДАН, 31 A941), 199—200.

БИБЛИОГРАФИЯ 449
Лап и о-Данилевский И. А.
[1] Theorie algorithmique des софе de Riemann. Матем. сб., 34 A927), 113—148.
[21 Sur la resolution algorithmique du probleme de Riemann. С R. Acad. Sci
185 A927), 528—530.
[3] Resolution algorithmique generate du probleme regulier de Riemann. С R. Acad.
Sci., 185A927), 1181—1184.
[4] Sur les fonctions inverses des fonctions meromorphes. С R. Acad. Sci., 189A929).
1235—1237. .
Лебедев Н. Н.
[1] Об одной формуле обращения. ДАН, 52 A946), 661—664.
Левин Б. Я.
[1] Обобщение теоремы Гёльдера о гипертрансцендентности функции Г(х). Ростов
н/Д, Учён. зап. уи-та, 1 A934), 79—98.
[2] О росте целой функции по лучу и о распределении её нулей по аргументам. Матем
сб., 2 D4), A937), 1097—1142.
[3] О некоторых арифметических свойствах голоморфных функций. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 15:2 A938), 43—50.
[4] О некоторых приложениях интерполяционного ряда Лагранжа в теории целых
функций. Матем. сб., 8 E0), A940), 437—454.
[5] О вековой константе голоморфной почти периодической функции. ДАН, 33 П941).
182—184.
[6] О функциях, голоморфных в полуплоскости. Одесса, Труды ун-та, 3A941), 5—14.
[7] О почти периодических классах (В») и (Wp). Одесса, Труды ун-та, 3 A941),
135—139.
[8] Критерий Эрмита для целых функций экспоненциального типа, I. ДАН, 41 A943),
50—54.
[9] Критерий Эрмита для целых функций экспоненциального типа, II ДАН, 41 A9431
103—104. v ''
[10] Об одном обобщении теоремы Фейера-Рисса. ДАН, 52 A946), 291—294.
Левин Б. Я. и Л е в и т а н Б. М.
[1] О рядах Fourier обобщённых почти периодических функций. ДАН, 22 A939).
543—546.
[2] Дополнение к заметке «О рядах Фурье обобщённых почти периодических функ-
функций». Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 109—110.
Левин Б. Я. иЛифшиц М. С.
[1]УКвазианалитнческие классы функций, представленных рядами Фурье. Матем. сб.,
9 E1), A941), 693—712.
Левин В. И.
11] Bemerkung zu den schlichten Abbildungen der Einheitskreises. Jahresber. DMV,
42 A932), 68—70.
[2] Ueber die Abschnitte von Potenzreihen, welche mit ihrer ersten Ableitung in Ein-
heitskreise beschrankt sind. Sitzber. Berl. Math. Gesell., 32 A933), 53—59.
Aufgabe 163. Jahresber. DMV, 43 A934), 113.
. Ein Beitrag zu dem Milloux-Landauschen Satz. Jahresber. DMV, 44A934), 262—265.
[5] Ein Beitrag zum Koeffizientenproblem der Schlichten Functionen. Math. Z.,
38 A934), 306—311.
[6] Ueber die Koeffizientensummen einiger Klassen von Potenzreihen. Math. Z.
38 A934), 565—590.
[7] Some remarks on the coefficients of Shlicht functions. Proc. London Math. Soc. B),
39 A935), 467—480.
8
[10
О неравенствах, I. Матем. сб., 3 D5), A938), 341—346.
О неравенствах, II. Матем. сб., 4D6), A938), 309—324.
О неравенствах, III. Матем. сб., 4 D6), A938), 325—332.
О неравенствах, IV. К неравенству Hilbert'a-Riesz'a. ИАН, сер. матем. A938),
525—542.
[12] Об одном континуальном аналоге ряда Маклорена. ДАН, 42 A944), 51—53.
Левин С. С.
[1] Ueber einige mit der Konwergenz im Mittel verbundene Eigenschaften von Funk-
tionenfolgen. Math. Z., 32 A930), 491—511.
[21 Integralgleichungen und Funktionalraume. Матем. сб., 39:4 A932), 1—72.
29 Математика в СССР за 30 лет

450 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Левитан Б. М.
[11 Об одном обобщении неравенств С. Н. Бернштейна и Н. Bohr'a. ДАН, 15 A937),
169—172.
[2] Новое обобщение почти периодических функций, I. ДАН, 17 A937), 283—284.
[?] Про ряди Fourier одного класу майже пер1одичних функШй. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 14 A937), 105—116.
[4] Про один клас piBHOMiprio зб1жних послшовпостей функщй. хрк., Зап. матеи.
т-ва, D), 14 A937), 117—122.
[5] Ueber die Parsevalsche Gleichung fur verallgemeinerte Fouriersche Integrale. Ann. of
Math., 38 A937), 784—786.
[6] О средних значениях измеримых функций. ДАН, 19 A938), 445—448.
[7] Новое обобщение почти периодических функций Bohr'a. Хрк., Зап. матем. т-ва
D), 15:2 A938), 3—34.
[8] Ueber eine Verallgemeinerung der stetigen fastperiodischen Funktionen von
H. Bohr. Ann. of Math., 40 A939), 805—815.
[91 О функциях с чисто точечным спектром. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 16A940),
89—101.
1101 Исправление к работе «Новое обобщение почти периодических функций Н. Bohr'a».
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 125—126.
[11] Некоторые вопросы теории почти периодических функций, I. Успехи матем.
иаук, 2:5 B1), A947), 132—192.
[22] Некоторые вопросы теории почти периодических функций, II. Успехи матем.
наук, 2:6 B2), A947) 174—214.
[13] О приближении ./V-почти периодических функций конечными тригонометриче-
тригонометрическими суммами. ДАН, 56 A947), 907—909.
[ 14] Об обобщённых положительно определённых и обобщённых почти периодических
последовательностях. ДАН, 58 A947), 977—980.
[15] Обобщённые, положительно определённые и обобщённые почти периодические
функции. ДАН, 58 A947), 1593—1596.
Левитан Б. М. и С т е п а н о в В. В.
[1] О почти периодических функциях, принадлежащих в собственном)] смысле
классу W. ДАН, 22 A939), 229—232.
Левицкий В. и Кравчук М.
[1] Формула Стирлиига. Киев, Зап. С.-госп. ии-та, 3 A927), 89—90.
Лейбензон Л. С.
]1] Die Anwenlungder Methode der harmonischen Funktionen von W. Thomson beider
Frage der Stabilitat der gepressten spharischen elastischen Hflllen. Матем. сб.,
40 A933), 429—442.
Леонтович Е. А. и Майер] А. Г.
[1] Об одном неравенстве, связанном с интегралом Фурье. ДАН, 4A934), 353—360.
Либермаи И. Н.
[1] Исследование о сходимости одной категории рядов. Л., Труды нндустр. ин-та,
разд. физ.-матем., 4:2 A937), 34—38.
[2] Theoreme de Denjoy sur la derivee d'une fonction arbitraire par rapport a une
fonction continue. Матем. сб., 9 E1), A941), 221— 236.
[3] О характере возрастания сумм некоторых тригонометрических рядов вблизи
нуля. Л., Труды высш. инж-.техн. училища военно-морск. флота, 6 A946),
105—112.
Лившиц М. С.
[1] О некоторых вопросах, связанных с определённостью проблемы моментов Нат-
burger'a. Матем. сб., 6 D8), A939), 293—306.
[21 О некоторых специальных классах квазианалитических функций. Одесса, Труды
уи-та, 3 A941), 23—34.
Лисовский М. А.
[1] О полиномах, ортогональных на нескольких кривых. Хрк., Сб. научн. работ ин-та
механиз. с. х., 2 A940), 9—18.

БИБЛИОГРАФИЯ 451
Лозинский С. М.
Об интерполяционном процессе Fejer'a. ДАН, 24 A939), 318—321.
О формулах механических квадратур. И АН, сер. матем., 4 A940), 113—126.
О тригонометрической интерполяции. ИАН, сер^ матем., 4A940), 229—248.
О сильной сходимости интерполяционных процессов. ДАН, 28 A940), 202—205.
Ueber singulare Integrate. Матем. сб., 7 D9), A940), 329—364.
Ueber Interpolation. Матем. сб., 8 E0), A940), 57—68.
О сильной сходимости интерполяционных процессов. ДАН, 30 A941), 334—388.
Об аналогии между суммированием рядок Фурье и суммированием интерполяци-
интерполяционных тригонометрических полиномов. ДАН, 39 A943), 79—84.
[9] О субгармонических функциях и их приложении к теории поверхностей. ИАН,
сер. матем., 8 A944), 175—194.
[10] On convergence and summability of Fourier series and interpolation processes. Ма-
Матем. сб., 14 E6), A944), 175—268.
Об одной теореме N. Wiener'a. ДАН, 49 A945), 562—565.
О сильной сходимости рядов Фурье. ДАН, 51 A946), 7—10.
Об одной теореме N. Wiener'a, II. ДАН, 53 A946), 691—694.
Обобщение теоремы С. Н. Бериштейна о производной тригонометрического поли-
полинома. ДАН, 55 A947), 9—12.
Лоренц Г. Р.
[1] Ueber lineare Summierungsverfahren- Матем. сб., 39:3A932), 44—51.
12] Sur la convergence force des polynomes de Stieltjes-Landau. Матем. сб., 1 D3).
A936), 553—556.
[3] Zuf theorie der Polynome von S. Bernstein. Матем. сб., 2 D4), A937), 543—556.
Л о х и н И. Ф.
[11 Определение особых точек аналитических функций. Горький Учён. зап. ун-та,
12 A939), 135—156.
[2] О методе Маидельбройта для определения особых точек на окружности сходимв-
сти ряда Тейлора. Горький, Учён. зап. ун-та, 12 A939), 157—162.
Лузин Н. Н.
[11 Sur la representation conforme. Иваиово-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та,
2 A919), 77—80.
[2] Sur l'existence d'un ensemble non denombrable qui est de premiere categoric dans
tout ensemble parfait. Fund. Math., 2 A921), 155—157.
[3] О существовании аналитических функций равномерно бесконечных вблизи ку-
купюры. Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ии-та, 5 A922), 20—26.
[4] Sur un probleme de M. E. Borel et les ensembles projectifs de M. H. Lebesgue;
les ensembles analytiques. С R. Acad. Sci., 180 A925), 1318—1320.
[5] Sur les ensembles projectifs de M. H. Lebesgue. С R. Acad. Sci., 180 A925),
1572—1575.
[6] Les proprietes des ensembles projectifs. С R. Acad. Sci., 180 A925), 1817—1818.
[7] Sur les ensembles non mesurables В et l'emploi de la diagonale de Cantor. С R. Acad.
S:i., 181 A925), 95—97.
[8] Sur ie probleme de M. E. Borel et la methode de resolventes. С R. Acad. Sci.,
181 A925), 279—281.
[9] Sur l'unicite et la multiplicite des fonctions analytiques. Ann. Ecole Norm. C),
42 A925), 143—191.
[10] Memoiresur les ensembles analytiques et projectifs. Матем. сб., 33 A926), 237—290.
[11] Sur une mode de convergence de l'integrale de Dirichlet. Казань, Изв.физ.-матем.
о-ва C), 1 A926), 1—4.
[12] Remarque sur un lemmede Poincare. Матем. сб., 33A926), 357—362.
[13] Sur un exemple arithmetique d'une fonction ne faisant pas partie de la classification
de M. Rene Baire. С R. Acad. Sci., 182 A926), 1521—1523.
[14] Современное состояние теории функций действительного переменного. М., Труды
Всеросс. матем. съезда A927), 11—32.
[15] Sur une question concernant la propriete de M. Baire. Fund. Math., 9 A927),
116—118.
[16] Sur les ensembles analytiques. Fund. Math., Ю A927), 1—95.
[17] Remarque sur les ensembles projectifs. C. R. Acad. Sci., 185 A927), 835—837.
[18] Sur les voies de la theorie des ensembles. Atti del Congr. Internaz. Mat. Bologna,
1 A928), 295—299.
[19] Sur l'accessibilite des points. Fund. Math., 12 A928), 158—159.
29*

452 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[20] Sur le probleme des fonctions implicites. С. R. Acad. Sci., 189 A929), 80—83.
[21] Sur la representation parametrique semi-reguliere des ensembles. С R. Acad. Sci.,
189 A929), 229—232.
[221 Sur les fonctions implicites a une infinite denombrable de valeurs.C. R. Acad. Sci.,
189 A929), 313—315.
[231 Sur un principe general de la theorie des ensembles analytiques. С R. Acad. Sci.,
189 A929), 390—392.
[24] Sur les points d'unicited'un ensemblemesurable В. С R. Acad. Sci., 189 A929),
422—423.
[25] Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications. Paris, Gauthier-Villars
A930), 1-328.
[26] Sur le probleme de M. Hadamard d'uniformisation des ensembles. С R. Acad. Sci.,
190 A930), 349—351.
[27] Analogies entre les ensembles mesurables (B) et les ensembles analytiques. Fund.
Math., 16 A930), 48—76.
[28] Sur le probleme de M. Hadamard d'uniformisation des ensembles. Clui, Mathema-
tica, 4 A930), 54—66.
[29] Sur un% propriete des fonctions a carre sommables. Bull, of Callcutta Math. Soc,
20 A930) Ш—15*1.
[30] Sur une famille de complementaires analytiques. Fund.Math., 17 A931), 4—7.
[31] Современное состояние теории функций действительного переменного. М.—Л.,
ГТТИ A933), 1—159.
[32] Sur les classes des constituantes des complementaires analytiques. Ann. di Pisa,
2 A933), 3—6.
[331 Sur les ensembles toujours de premiere categorie. Fund. Math., 21 A933), 114—126.
[34] Несколько замечаний о кратной отделимости. ДАН, 2 A934), 280—284.
Г35] О стационарных последовательностях. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова,
5 A934), 125—147.
Т36] Sur une propriete nouvelle des ensembles mesurables (?). C. R. Acad. Sci.,
198A934), 1116—1118.
[37] Sur quelques problemes difficiles de la theorie des fonctions. С R. Acad. Sci.,
198 A934), 1296—1298.
[381 Sur la decomposition des ensembles. С R. Acad. Sci., 198 A934), 1671—1674.
139] Quelques remarques sur les courbes qui sont des complementaires analytiques.
Cluj, Mathematica, 10 A934), 70—80.
[40] Sur les suites stationnaires. Act. Sci. et industr., 149:5 A934), 1—19.
[41] О некоторых новых результата* дескриптивной теории функций. М.—Л., Изд. АН
A935), 1—86.
[42] Sur les ensembles analytiques nuls. Fund. Math., 25 A935), 109—131.
[43] Sur un raisonnement nouveau dans la theorie des fonctions descriptive. С R. Acad.
Sci., 201 A935), 638—640.
D4] Sur un choix d'ensemble parfait distingue dans un complementaire analytique arbit-
raire ayant des constituantes non denombrables. C. R. Acad. Sci., 201 A935),
806—809.
[45
Г 46
К
Г48
Теория функций действительного переменного. М., Учпедгиз A940), 1—301.
О частях натурального ряда. ДАН, 40 A943), 195—199.
О локализации принципа конечной площади. ДАН, 56 A947), 447—450.
О частях натурального ряда. И АН, 11 A947), 403—410.
Лузин Н. Н. и Новиков П. С.
[1] Choix effectif d'un point dans un complementaire analytique arbitraire donnee par
un crible. Fund. Math., 25 A935), 559—560.
Лузин Н. Н. и Привалов И. И.
[1] Sur l'unicite et la multiplicite des fonctions analytiques. С R. Acad.Sci.,
178 A924), 456—459.
[2] Sur l'unicite et multiplicite des fonctions analytiques. Ann. Ecole Norm., 42 A925),
143—192.
Лузин Н. Н. и С ер пинский В.
[1] Sur une decomposition d'un intervalle en une infinite non denombrable d'ensembles
non mesurables. С R. Acad. Sci., 165 A917), 422—424.
Sur une proprietd du continu. С R. Acad. Sci., 165 A917), 498—500.
Sur quelques proprietes des ensembles (A). C. R. AcadSci.de Cracovie (A), A918),
35—48.
[2]
[3]

БИБЛИОГРАФИЯ 453
[4] Sur une decomposition du continu. С R. Acad. Sci., 175 A922), 357—359.
[5] Sur un ensemble non mesurable B. J. math. pur. appl., 2 A923), 53—72.
[6] Sur un ensemble non denombrable qui est de premiere categorie sur tout ensemble
parfait. Atti Accad. naz. Lincei, 6 A928), 214.
[7] Sur les classes des constituantes d'un complementaire analytique. C. R. Acad. Sci.,
189 A929), 794—797.
Лукомская М. A.
[1] Нахождение нулей и полюсов аналитической мероморфной функции в некотором
кругу. Минск, Учён. зап. Белорусск. ун-та, 1 A939), 31—43.
Луни Г. Л.
[1] О некоторых обобщениях рядов Дирихле. Матем. сб., 10 E2), A942), 33—50.
Лурье А. И.
[1] О формуле Шварца-Кристоффеля. Л., Изв. политехи, ин-та, 30 A927), 113—121.
Л ыги н Е. Н.
[1] К интегралу Stieltjes'a no'Radon'у и по Гюнтеру. Владивосток, Учён. зап. Даль-
невост. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A937), 137—140.
Люстерник Л. А.
[11 Неравенства Брауна-Минковского для произвольных измеримых множеств. ДАН,
3 A935), 55—58.
Люш В. В.
[1] О некоторых случаях определения относительных maxima и minima. M., Изв.
технол. ин-та, 2 B6), A928), 123—135.
Л я н ц е В. Е.
[1] До Teopii майже перюдичнихфункщй двох дШсних змпших. Львов, Учён; зап.
ун-та, сер. физ.-матем., 5:1 A947), 68—73.
Ляпунов А. А.
[1] Об отделимости аналитических множеств. ДАН, 2 A934), 276—280.
[2] Sur la separabilite multiple des ensembles mesurables В. С R. Soc. Sci. de Vars.,
28 A935), 118—119.
[3] Sur quelques proprietes des cribles rectilignes et des ensembles С. С R. Soc. Sci.de
Vars., 29 A936), 1—8.
[4] Contribution a l'etudede separabilite multiple. Матем. сб., 1 D3), A936), 503—510.
|5] О некоторых униформных аналитических дополнениях. ИАН, сер. матем. A937),
285—306.
[6] О подклассах В-множеств. ИАН, сер. магем. A937), 419—426.
[7] Об униформизации аналитических дополнений. Матем. сб., 3 D5), A938), 219—223.
[8] Исправление к статье «Об униформизации аналитических дополнений». Матем.
сб., 5 D7), A939), 441—446.
[9 Об одном свойстве Ss-операций. ИАН, сер. матем. A939), 407—412.
[10 О кратной отделимости для (^-операции. ИАН, сер. матем. A939), 535)—552.
[11 Некоторые случаи униформизации плоских СА- и А?-множеств. ИАН, сер.
га
[14]
матем. A939), 41—52.
О вполне аддитивных вектор-функциях, I. ИАН, сер. матем., 3 A940), 465—478.
[] О вполне аддитивных вектор-функциях, II. ИАН, сер. матем., 10A946), 277—279.
[14] О регулярно разложимых проективных множествах. Матем. сб., 20F2), A946),
179—196.
[15] О кратной отделимости для te-операций. ДАН, 53 A946), 399—402.
[16] О регулярно разложимых проективных множествах. Матем. сб., 20 F2), A947),
179—196.
[17] Об ^-множествах. ДАН, 58 A947), 1887—1890.
Ляпунов А. М.
[1] Sur une formule d'Analyse. ИАН F), 11 A917), 87—118.
Маккавеев С. Ф.
[1] О некоторых интегралах типа Лапласа. Л., Труды ин-та инж. пром. строит.,
6 A938), 35—49.

454 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Максимов И.
}1] О трансфинитных пространствах. Матем. сб., 3 D5), A938), 553—558.
2] Sur les ensembles mesurables В dans l'espace transfini. Сотр. Math., 7 A940),
201—213.
{3] On a continuum of the power 2жи Ann. of Math., 41 A940), 321—327.
[4] On the continuum hypothesis. Ann. of Math., 44A943), 90—92.
[5] On functions of class I having the property of Darboux. Amer. J. Math., 65 A943),
161—170.
[6] О трансфинитных пространствах ? и о континуум-гипотезе. ДАН, 43 A944),
243— 246.
М а л и ев А. С.
[1] Ряды Фурье повышенной сходимости для функций, определённых в данном про-
промежутке. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 1437—1450.
[2] О разложении в ряды Фурье повышенной сходимости функций, определённых
в данном промежутке. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 1113—1120.
М а л к и н И. Г.
[1] Проблема существования функций Ляпунова, II. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва,
5 A931), 63—84.
М а л о в и ч к о В. М.
[11 Метода анал1зи безкрайньо малих. Херсон, Зап. ин-та нар. проев., 2 A926—1927),
113—127.
Марков А. А.
[1] Sur les mouvements presque periodiques. С. R. Acad. Sci., 189 A929), 732—734.
[2] Zur Widerlegung der quasi-ergodischen Hypothese durch prof. J. Frenkel. Phys,
Z. d. Sowjetunion, 2 A932), 282—285.
[31 Stabilitat im Liapounoffschen Sinneder Fastperiodizitat. Math. Z., 36 A933),
708—738.
[4] Некоторые теоремы об абелевых множествах. ДАН, 1 A936), 299—302.
[5] Арифметическая характеризация тригонометрических полиномов. Л., Труды
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2. A936), 202—205.
[6] Почти периодичность и гармонизуемость. Л., Труды второго Всесоюзн. матем.
съезда, т. 2 A936), 227—231.
[7] О теории стационарных колебательных процессов акад. Н. М. Крылова и д-ра
Н. Н. Боголюбова. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936),
241—246.
[8] Sur une propriety caractdristique des polynomes trigonometriques. Сотр. Math.,
3 A936), 305—309.
[9] On mean values and exterier densities. Матем. сб., 4 D6), A938), 165—191.
Маркушевич А. И.
[1] Конформное отображение областей с переменными границами с приложениями
к аппроксимации аналитических функций полиномами. М., Диссертация A934).
[2] О производных интеграла Пуассона. Матем. сб., 41 A934), 659—668.
[3] Вторая теорема о среднем значении. Матем. сб., 42 A935), 567—582. !
[4] Sur la representation conforme des domaines a frontieres variables. Матем. сб.,
1 D3), A936), 863—886.
[5] Конформное отображение областей с переменными границами. Л., Труды второго
Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 174—177.
[6 О некоторых классах непрерывных отображений. ДАН, 20 A940), 301—304.
|7 О базисе (в широком смысле слова). ДАН, 41 A943). 241—243.
[8 Некоторые вопросы приближения и разложения функций в ряды. М., Диссерта-
Диссертация A944).
[9] Элементы теории аналитических функций. М., Учпедгиз A944), 1—544.
10 Обобщение одной теоремы Д. Е. Меньшова. Матем. сб., 15 E7), A944), 433—436.
11 К проблеме полноты системы аналитических функций. ДАН, 43 A944), 3—6.
12 О наилучшем приближении. ДАН, 44 A944), 290—292.
13 Аналитическое продолжение и сверхсходимость. ДАН, 45 A944), 239—241.
14 О полиномах Фабера. ИАН, сер. матем., 8 A944), 49—60.
15 О продолжении по непрерывности. Матем. сб., 16 E8), A945), 43—58.
16] О базисе в пространстве аналитических функций. Матем. сб., 17 E9), A945),
811—252.

БИБЛИОГРАФИЯ 455
37
[31 Н
[4] О
Сб
[17] Об одной граничной задаче теории аналитических функций. М., Учён. зап. уи-та,
100 A946), 20—30.
[18] Несколько замечаний об интегралах типа Коши. М., Учён. зап. ун-та, 100 A946)
31—33.
[19] Ряды. М.—Л., ГТТИ A947), 1—156.
Марчевский М. Н.
[1] О конечных разностях функций двух независимых переменных. X., Научн. зап..
2 A926), 21—46.
[2] Деяк-i питания, звязащ з сумуванням. Хрк., Зап. ин-та нар. проев., 2 A927),
37—45.
Некоторые, вопросы, связанные с суммированием. Матем. сб., 35 A928) 43—54.
некоторых преобразованиях при вычислении определённых интегралов. Хрк.,
Сб. трудов ин-та инж. ж.-д. трансп., 7 A937), 40—60.
[5] О некоторых случаях интегралов от рациональной и иррациональной функции,
состоящих только из алгебраической части. Хрк., Сб. трудов ин-та инж. ж.-д.
трансп., 7 A937), 61—75.
Марченко А. Р.
[1] Конформное отображение круга на область, близкую к кругу. ДАН, 1 A935),
287—290.
[2] О конформных отображениях. Л., Сб. ин-та инж. ж.-д. трансп., 132 A938),
108—115.
[3] О некоторых свойствах однолистных функций. Саратов, Учёи. зап. ун-та, сер.
физ.-матем., 1 A4) -.2 A938), 3—11.
Марченко В. А.
[1] Применение метода суммирования Фейера-Бохнера к обобщённым рядам Фурье.
ДАН, 53 A946). 7—10.
Мейлихзон А. С.
[1] К вопросу о комплексах Галуа. ДАН, 58 A947), 981—984.
М е в з о с Л. М.
[1] Некоторые экстремальные свойства неотрицательных тригонометрических и моно-
монотонных полиномов. Хрк., Научн. зап. полигр. ин-та, 1 A939), 91—112.
|М е й м а н Н« Н.
[1] Про полюси мероморфних функций. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 97—104.
[2] Об /^-продолжаемых полиномах. Матем. сб., 3 D5), A937), 59—650.
[3] К проблеме Эрмита-Гурвица для целых трансцендентных функций. ДАН, 40 A943),
55—58.
[4] К вопросу о распределении нулей целой функции. ДАН, 40 A943), 200—203.
[5] Оценка расстояний между соседними нулями для одного класса целых функций.
ДАН, 53 A946), 11—14.
Меньшов Д. Е.
[1] Sur les series de fonctions orthogonales. Fund. Math., 4 A923), 82—105.
[2] Sur la convergence des series de fonctions orthogonales. С R. Acad. Sci., 178 A924),
301—303.
[3] Sur la sommation des series des fonctions orthogonales. С R. Acad. Sci., 180 A925),
2011—2013.
4] Sur les series de fonctions orthogonales. Fund. Math., 8 A926), 56—108.
5] Sur les series de fonctions orthogonales. Fund. Math., 10 A927), 375—420.
6] Sur la representation conformedesdomaines plane. С R. Acad. Sci., 187 A928),
502-505.
{71 Sur les differentielles totales des fonctions univalentes. Math. Ann., 105 A931),
75—85.
[8
19
[10
Sur les fonctions monogenes. Bull. Soc. Math. France, 59 A931), 141—182.
Sur les representations qui conservent les angles. Math. Ann., 109 A933), 101—159.
Sur les conditions suffisantes pour qu'une fonction univalente soit holomorphe.
Матем. сб., 40 A933), 3—23.
[11] Sur la generalisation des conditions de Cauchy-Rietnann. Fund. Math., 25 A935),
59—97.
112] Les conditions de monogeneitd. Act. Sci. et Ind., 329 A936), 1—52.

456 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[13] Об асимптотической моногенности. Матем. сб., 1 D3), A936), 189—210.
[14] Sur la convergence et la sommation des series de fonctions orthogonales.Bull.
Soc. Math. France, 64 A936), 147—170.
[15] Ряды по ортогональным функциям, ограниченным в своей совокупности. ДАН,
15 A937), 295—300.
[16] Суммирование рядов по ортогональным функциям линейными методами. ИАН,
сер. матем. A937), 203—230.
[17] Sur une generalisation d'un theoreme de M. H. Bohr. Матем. сб., 2 D4), A937),
339—356.
[18] Sur les series de fonctions orthogonales bornees dans leur ensemble. Матем. сб.,
3 D5), A938), 103—120.
[19] Sur une generalisation d'un theoreme de M. M. Hardy et Littlewood.
Матем. сб., З D5), A938), 367—374.
[20] Sur les multiplicateurs de convergence pour les series polyndmes orthogonaux. Ма-
Матем. Сб., 6 D8), A939), 27—52.
[21] Об изображении измеримых функций тригонометрическими рядами. ДАН,
26 A940), 222—224.
[22] Sur la sommation des series de fonctions orthogonales par des methodes de Cesaro.
Матем. сб., 8 E0), A940), 121—136.
[23] Sur la serie de Fourier des fonctions continues. Матем. сб., 8 E0), A940),493—518.
[24] О равномерной сходимости рядов Фурье. ДАН, 32 A941), 245—246.
[25] Sur la representation des fonctions mesurables par des series trigonometriques.
Матем. сб., 9 E1), A941), 667—692.
[26] Sur la convergence uniforme des series de Fourier. Матем. сб., 11 E3), A942),67—96.
[27] О частных суммах тригонометрических рядов. ДАН, 41 A943), 55—57.
[28] Sur les sommes partielles des series de Fourier des fonctions continues. Матем. сб.,
15 E7), A944), 385—432.
[29] Об универсальных тригонометрических рядах. ДАН, 49 A945), 79—82.
[30] О частных суммах тригонометрических рядов. Матем. сб., 20 F2), A947), 197—236.
Меньшов Д. Е. иЛаврентьев М. А.
[1] Успехи теории функций действительного переменного в СССР. Матем. сб.,
35 A928), доп. вып. 21—42.
Мергелян С. Н.
[1] О скорости приближения аналитических функций полиномами в замкнутых обла-
областях. ДАН АрмССР, 6 A947), 97—103.
Мецхваришвили Я. Г.
[1] Об одном разложении произвольной голоморфной функции внутри кругового
кольца применением метода Неймана. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,
14 A947), 33-52.
Миндлин Я. А.
Обобщение одного разложения Шлёмильха. ДАН, 2 A934), 537—539.
разложении произвольной функции в ряды Шлёмильха. ДАН, 1 A936),
147—150.
[2] О
Минятов А. К.
[1] О построении интерполяционных формул. Матем. сб., 39:1—2 A932), 15—65.
[2] Об интерполировании функций многих комплексных переменных. ДАН, 4 A935),
227—230.
Миракьян Г. М.
[1] Об одной функции, наименее уклоняющейся от нуля. Л., Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда A936).
[2] Sur une nouvelle fonction quis'ecarte le moins possible de zero. Хрк., Зап.матем.
т-ва D), 12 A936), 41—48.
[3] Обобщение статической интерпретации корней некоторых полиномов. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 16 A940), 158—166.
то
[4] Аппроксимирование непрерывных функций с помощью полиномов е~"
ДАН, 31 A941), 201—205.
[5] Сходимость одной интерполяционной формулы. ДАН, 51 A946), 83—86.

БИБЛИОГРАФИЯ 457
Миронов В. Т.
[1] Заметка об одном соотношении междуостаточными членами дробных и целых
рациональных интерполяционных формул. Иркутск, Учён. зап. пед. ин-та,
4A940), 11—15.
[2] Об одном интерполяционном ряде. Иркутск, Учён. зап. пед. ин-та, 4A940), 16—31.
[3] Об интерполяционных рядах вида
-L .1
2 (г — и) (z — м2 « )... B — ип 9 )
an ^ -J-+—-v -f-J; \щ = \0\, иФv, яфа.
(г —v){z — v2*)... (z — vn~)
Иркутск, Учён. зап. пед. ин-та, 6 A941), 7—19.
[4] О некоторых условиях сходимости дробных интерполяционных формул. Иркутск,
Учён. зап. пед. ин-та, 9 A946), 14—18.
Митрохин И. М.
[I] Ueber bie Veranderung der Krummung von Hyperf lachen bei pseudokonformen
Abbildungen. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1 A936), 267—280.
М и х л и н С. Г.
[1] О равномерной сходимости рядов аналитических функций. Матем. сб., 39:3A932)
88—96.
М о в ш и ц С. С.
[1] Une methode de construction de sommes trigonometriques dormant l'approximation
du meilleur ordre pour les fonctions possedant des proprietes differentielles. Киев,.
Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матем., 2 A936), 123—149.
М о р д у х а й-Б олтовской Д. Д.
[1] Некоторые теоремы о кривых второго и третьего порядка в связи с теорией эллип-
эллиптических функций. Ростов н/Д, Изв. Донск. ун-та, 4 A924), 4—7.
[2] О разложении на примерные множители целой трансцендентной функции.
Матем. сб., 31 A924), 579—584.
[3| Sur lesfacteurs primaires de lafonction entiere. С R.Acad. Sci., 180 A925), 191—194.
[4] О задаче Шварца, относящейся к абелевым интегралам. Ростов и/Д, Изв. ин-та
матем. и естеств. С.-Кавк. ун-та, 2 A926), 1—13.
[5] Sur la generalisation du theoreme d'Eisensteinindiquee par Tchebyscheff. С R. Acad.
Sci., 182 A926), 258—260.
[61 Sur les proprietes arithmetiques des developpements holomorphes des fonctions ex-
primables en termes finis.Bull. Sci. Math., 50 A926), 343—360.
[71 Sur les proprietes arithmetiques des developpements holomorphes des fonctions ex-
primables en termes finis. Bull. Sci. Math., 50 A926), 370—381.
[8] Про особлив1 точки спешялышх титв функцШ, даних у вигляд1 Тау1ог'ового ряду.
Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР, 3 A93))> 69—92.
[9] О точечном множестве, проходимом любой алгебраической кривой. Матем. сб.,
39:3 A932), 120—128.
[10] Das Theorem fiber die Hypertranszendenz der Funktion und einige Verallgemeine-
rungen. Toh.Math.J., 35A932), 16—34.
[II] О пределе сумм. Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 1 A934), 111—118.
[12] 8ur les integrates abeliennes avec les systemes reductibles des periodes. C.R.Acad.
Sci., 198 A934), 1006—1008.
[13] Sur les facteurs primaires de la fonction entiere transcendente du genre infini.XpK.,
Зап. матем. т-ва D), 10 A934), 77—86.
[14] О невозможности выражения в конечном виде с помощью элементарных трансцен-
трансцендентных функций модулярных функций. ДАН, 1 A936), 307—310.
[151 Sur les reductions tnon6mes des int6grales abeliennes. Ann. di Mat., 15 A936),
47—76.
[16] О мероморфной функции, определяемой степенным разложением с коффиниен-
тами, равным алгебраическим числам, или трансцендентным первого класса. Ро-
Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 26—27.
[17] О нулях целой функции, определённой разложением с алгебраическими коэффи-
коэффициентами. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 41—42.
[18] Об абелевых интегралах, зависящих от пространственных криных третьего и чет-
четвёртого порядков. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 40—41.

458 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[19] Об иррациональных функциях, наименее уклоняющихся от нуля. Ростов н/Д,
Изв. пед. ин-та, 9 A938), 19—23.
[201 Об одном обобщении признака сходимости Куммера. Ростов н/Д, Изв. пед. ин-та,
9 A938), 27—30.
[21] О росте трансцендентной функции, выражаемой в конечном виде с помощью эле-
элементарных трансцендентных. Сб. памяти акад. Граве A940), 172—192.
[22] О неразрешимости в конечном виде с помощью элементарных функций трансцен-
трансцендентных уравнений Кеплера. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. у-та,
4 A940), 25—26.
[23] Метациклические уравнения и абелевы интегралы. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 4 A940), 27—28.
[24] Заметка о теореме Принсгейма. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ.ун-та,
4 A940), 119—121.
Муратов М. И.
[1] Конформное преобразование полуплоскости на область, близкую к ней. В кн.
«Конформное отображение односвязных и многосвязных областей» М.—Л., ОНТИ
A937), 5—17.
МурзаевЕ. А.
[1] Об оценке быстроты сходимости обобщённого (на нерегулярный процесс) алгорит-
алгоритма Якоби. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 78—79.
Мусхелишвили Н. И.
[1] Applications des integrates analogues a celles de Cauchy a quelques problem»
de la Physique Mathematique. Тбилиси A922), VIII + 157.
[2] Sur la solution du probleme biharmonique pour l'aire exterieure a une ellipse.
Math. Z., 26 A927), 700—705.
Мусхелов Н. И.
[1] Об определении гармонической функции по заданиям на контуре. Пермь, Ж.
физ-матем. о-ва, 1 A918), 89—93.
М ы ш к и с А. Д.
[1] О существовании полного дифференциала на границе плоской области. ИАН,
сер. матем., 10 A946), 359—392.
[2] Об одной геометрической лемме, имеющей приложение в теории устойчивости
Ляпунова. ДАН, 55 A947), 299—302.
Назаров Н. Н.
[1] Ueber die Entwicklung einer beliebigen Funktion nach Laguerreschen Polynomen.
Math. Z., 33 A931), 481—487.
[2] Об оценке наилучшего приближения непрерывной функции при помощи поля-
нома. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 21 A935), 1—5.
Натансон И. П.
[1] Sur la representation des fonctions aux points de continuite approximative par des
integrates singulieres. Fund. Math., 18 A932), 99—109.
[2] О слабой сходимости сингулярного интеграла с симметрическим ядром. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва C), 6 A932—1933), 23—27.
[3] Об одном свойстве интеграла Dirichlet. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C),
6 A932—1933), 28—32.
[4] К вопросу о разложении функций по ортогональным полиномам. ИАН сер.
физ.-матем. A933), 85—88.
[5] О сходимости рядов по ортогональным полиномам. ДАН, 2 A934), 209—211.
[6] К вопросу о слабой сходимости сингулярных интегралов. ДАН, 3 A934),
' 306—307.
[7] Ктеории сингулярных интегралов. Л., Труды ин-та инж. пром. строит., 1A934),
73—80.
[8] Новое доказательство теоремы Vitali. Л., Труды ин-та инж. пром. строит., 1A934), |
81—84. "¦ '¦
[9] Об одной бесконечной системе линейных уравнений. Казань, Изв. физ.-матем.о-м
C), 7 A934—1935), 97—98.
[10] О представлении функций с помощью формул, аналогичных формуле Фурье. ДАНц
4 A935), 291—294.

БИБЛИОГРАФИЯ 459
A1] Некоторые замечания к теореме Стеклова-Северини. ДАН, 2 A936), 209—212.
[12] Sur la representation des fonctions sommables par des integrates singulieres. Матем.
сб., 1 D3), A936), 369—376.
[13] О суммировании рядов Фурье по методу С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского. Л.,
Труды индустр. ин-та, разд. физ.-матем., 4:2 A937^,39—44.
[14] О нелокальной сходимости сингулярных интегралов. Алма-Ата, Учён. зап. Ка-
захск. ун-та, 2 A938), 3—17.
.[15] О вполне регулярных бесконечных системах линейных уравнений. Алма-Ата,
Учён. зап. Казахск. ун-та, 2 A938), 19—22.
A6] Об интеграле типа Дини. Матем. сб., 4 D6), A938), 541—548.
[17] Некоторые нелокальные теоремы о сингулярных интегралах. ДАН, 14 A938),
357—360.
[18] К теории бернштейновского способа суммирования рядов Фурье. Л.,Труды ин-та
точн. мех. и оптики, 1:3 A940), 197—206.
[19] Об одном способе суммирования интегралов Фурье. Матем. сб., 7 D9), A940),
313—320.
120] Основы теории функций вещественной переменной. Л., Изд. ун-та A941), 1—294.
[21] О признаке Дини при тригонометрическом интерполировании. ДАН, 42 A944),
25—28.
[22] Некоторые оценки, связанные с сингулярным интегралом Валле-Пуссена. ДАН,
45 A944), 290—293.
[23] On the convergence of trigonometrical interpolation at equidistant knots. Ann. of
Math., 45 A944), 457—471.
[24] Приложение интеграла Валле-Пуссена в теории рядов Фурье. ДАН, 49 A945),
402—404.
125] Приближение периодических функций при помощи интеграла Валле-Пуссена. Л.,
Научн. бюлл. ун-та, 10 A946), 3.
[26] О приближённом представлении функций, удовлетворяющих условию Липшица,
с помощью интеграла Валле-Пуссена. ДАН, 54 A946), 11—14.
[27] Об одном неравенстве. ДАН, 56 A947), 911—913.
[28] О суммировании рядов Фурье функций ограниченной вариации. ДАН, 57 A947),
13—15.
Неймарк Ю. И.
[1] К задаче распределения корней полиномов. ДАН, 58 A947), 357—360.
Некрасов П. А.
[1] Новые периодические функции. Самара, Гос. изд. A923), 1—6.
Немыцкий В. В.
[1] О некоторых классах линейных множеств в связи с абсолютной сходимостью три-
тригонометрических рядов. Матем. сб., 33 A926), 5—32.
Немыцкий В. В., Слудская М. И. иЧеркасов А. Н.
[1] Курс математического анализа. Т. 1, 2. М., ГТТИ A944), 360+404.
Николаев В. Ф.
[1] Интерполирование с помощью показательных функций и полиномов. Матем. сб.,
42 A935), 65—80.
Никольский С. М.
[1] Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера. ИАН, сер. матем., 4 A940), 501—508.
[2] О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами. ИАН, сер.
матем., 4 A940), 509—520.
[3] Оценка остатка суммы Фейера для периодических функций, имеющих ограничен-
ограниченную производную. ДАН, 31 A941), 210—214
[4] Асимптотическая оценка остатка при приближении интерполяционными триго-
тригонометрическими полиномами. ДАН, 31 A941), 215—218.
[5] Асимптотическаяоцеика остатка при приближении суммами Фурье. ДАН, 32 A941),
386—389.
[6] Об одном функциональном неравенстве. Днепропетровск, Научн. зап. ун-та,
25 A941), 41—43.
[7] Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица, многочленами. ДАН,
42 A944), 113—116.

460 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[8] Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами. Тру-
Труды матем. ин-та им. Стеклова, 15 A945), 1—76.
[9] Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем. ИАН, сер.
матем., 10 A946), 207—256.
[ 10] О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию
Липшица. ИАН, сер. матем., 10 A946), 295—332.
[11] Об интерполировании и наилучшем приближении дифференцируемых периодиче-
периодических функций тригонометрическими полиномами. ИАН, сер. матем., 10 A946),
393—410.
[12] Наилучшие приближения многочленами функций, удовлетворяющих условию
Липшица. ДАН, 52 A946), 7—10.
[13] Ряд Фурье функций с данным модулем непрерывности. ДАН, 52 A946), 191—194.
[ 14] О наилучшем приближении функции, s-я производная которой имеет разрывы
первого рода. ДАН, 55 A947), 99—102.
[15] О наилучшем приближении многочленами в среднем функций с особенностями
вида |а—х|». ДАН, 55 A947), 195—198.
[16] О наилучшем приближении многочленами в среднем функции \а—х\". ИАН, сер.
матем., 11 A947), 139—180.
[17] Наилучшее приближение в среднем одного класса функций любыми полинома-
полиномами. ДАН, 58 A947), 25—28.
[18] О наилучшем линейном методе приближения многочленами в среднем дифферен-
дифференцируемых функций. ДАН, 58 A947), 185—187.
Никонов В. И.
[1] Асимптотические выражения итерированных функций. Л., Труды индустр. ин-та,
разд. физ.-матем., 5:1 A938), 33—56.
[2] Интегральное представление некоторых тригонометрических полиномов как спо-
способ их изучения. Л., Труды индустр. ин-та, разд. физ.-матем., 3:1 A939), 11—15.
Новиков П. С.
1] Sur les fonctions implicitesmesurables (B). Fund. Math-, 17 A931), 8—25.
2] Об одном свойстве аналитических множеств. ДАН, 2 A934), 273—276.
3] К теории релятивного континуума. ДАН, 3 A934), 17—20.
4] О счётно-кратной отделимости В-аналитических множеств. ДАН, 3 A934),
145—148.
[5] О некоторых системах множеств, инвариантных по отношению к А-операции.
ДАН, 3 A934), 557—560.
[6] Обобщение второго принципа отделимости. ДАН, 4 A934), 8—11.
[7] Sur la separabilitedes ensembles projectifs du seconde classe. Fund. Math., 25 A935),
459—466.
[8] О взаимоотношении второго класса проективных множеств и проекций униформ-
униформных аналитических дополнений. ИАН, сер. матем. A937), 231—252.
[9] Отделимость С-множеств. ИАН, сер. матем. A937), 253—264.
[10] Les projections des complementaires analytiques uniformes. Матем. сб., 2 D4),
A937), 3—16.
I»
[12
[13
Об единственности обратной задачи потенциала. ДАН, 18 A938), 165—168.
О проекциях некоторых В-множеств. ДАН, 23 A939), 863—864.
О множествах эффективно-несчётных. ИАН, сер. матем. A939), 35—40.
[14] О мощности множества связных компонент Д-множеств, ДАН.56 A947), 787—790.
Н ы р к о в а А. Г.
[1] О положительных тригонометрических суммах. Л., Труды индустр. ин-та, разд.
физ.-матем., 3:1 A939), 5—10.
Огиевецкий И. Е.
[1] Про методи сумащ! Теплща i Терона. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A938),
65—68.
[2] Обобщение теоремы о сходимости рядов. ДАН, 31 A941), 206—207.
[3] О критерии равномерной сходимости Дирихле. ИАН, сер. матем., 5 A941),
441—444.
[4] О суммах Бореля. Днепропетровск, Научн. зап. ун-та, 25 A941), 63—64.
[5] Обобщение теоремы Ландау на функциональные ряды. ДАН, 51 A946), 667—670.
[6] Обобщение теоремы Дирихле и Адамара на квази-равномерно сходящиеся ряды.
ДАН, 56 A947), 791—794.

БИБЛИОГРАФИЯ 461
171 О критериях сходимости одного класса двойных рядов. ДАН, 58 A947),
1893—1896.
18] Распространение теоремы Фробениуса на двойные степенные ряды. ДАН,
58 A947), 1897—1900.
Оглобин Н. В.
[1] Исследование одной функции. Симферополь, Изв. нед. ин-та, 3 A930), 236—249.
ОлевскийМ. Н.
[1] Об одном обобщении бесселевых функций. ДАН, 40 A943), 5—10.
;[2] Некоторые теоремы о среднем в пространствах постоянной кривизны. ДАН,
45 A944), 103—106.
[3] Об одной формуле суммирования, связанной с трансформацией Ганкеля. ДАН,
46 A945), 387—391.
О р л о d А. Я. .
{Ц О формулах Чебышева для интерполирования по способу наименьших квадратов.
Пгр., Изв. Русского астрон. о-ва, 23 A919), 22—26.
Орлов М.
[11 Sur les polynomes de Laguerre et d'Hermite. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
3—4 A935), 45—50.
Очан Ю. С.
Об эквивалентности семейств В-множеств. ДАН, 23 A939), 753—755.
О сравнительной мощности йх-операций. ДАН, 33 A941), 185—189.
К вопросу о проблеме Суслина. ИАН, сер. матем., 5 A941), 423.
Об одной теореме Бэра. ИАН, сер. матем., 5 A941), 427—430.
Пространство подмножеств топологического пространства. ДАН, 32 A941),
Ш—114.
[6] Обобщённая А-операция. ДАН, 33 A941), 393—396.
17] О пер вместимости Ss-операций. Матем. сб., 10 E2), A942), 151—164.
[8] Некоторые вопросы эквивалентности семейств множеств. ИАН, сер. матем.,
6 A942), 171—188.
¦19] Пространство подмножеств топологического пространства. Матем. сб., 12 E4),
A943), 340.
П ев н ы й Б. Г.
[1] Об асимптотическом разложении функции Whittaker'a. ДАН, 28 A940), 308—309.
[2] Некоторые функциональные равенства для обобщённых гипергеометрических ря-
рядов и функций Whittaker'a. ДАН, 28 A940), 310—312.
Персидский К. П.
:A] Ueber einige Eigenschaiten meromorpher Funktionen. Казань, Изв. физ.-матем.
об-ва C), 4 A929—1930), 89—91.
Петровский И. Г.
A] Sur les fonctions primitives par rapport a une fonction continue arbitraire. C. R.
Acad. Sci., 189 A929), 1242—1245.
B] Sur l'unicitd de la fonction primitive par rapport a une fonction continue arbitraire.
Матем. сб., 41 A934), 48—59.
Петровский И. Г. и Смирнов К. Н.
[11 Об условиях равностепенной непрерывности семейства функций. М., Бюлл. ун-та
(А), 1:10 A938), 1—15.
Пинкевич В. Т.
[1] О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле
Weyl^. ИАН, сер. матем., 4 A940), 521—528.
Плеснер А. И.
{1] Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Mitteil. d. Math. Semin. d.
Uniw. Giessen, 10 A923), 1—36.
[2] Ueber Konvergenz von trigonometrischen Reihen. J. reine u. angew. Math., 155 A925),
15—25.

462 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[3] Ueber das Verhalten analitischerFunktion am Rande ihren Definitionsbereich. J.
reine u. angew. Math., 158A927).
[4] Trigonometrische Reihen. Берлин—Лейпциг A929).
[5] О сопряжённых тригонометрических рядах. ДАН, 4 A935), 235—238.
Поливанов Л. И.
[1] О теореме Cauchy-Fatou. Н.-Новгород,.Изв. ун-та, 1 A926), 123—133.
ПоложийГ. Н.
[1] О р-аналитических функциях комплексного переменного. ДАН, 58 A947)>
1275—1278.
Понтрягнн Л. С.
[1] Les fonctions presque periodiques et 1'analisis situs. С R. Acad. Sci., 196 A933),
1201—1203.
[2] О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций. ИАН, сер. матем.,
6 A942), 115—134.
Попов А. И.
[1] О некоторых определённых интегралах, содержащих цилиндрические функции.
ДАН, 2 A934), 11—12.
[2] О некоторых приложениях простейших разрывных функций. ДАН, 4 A934),
257—259.
О некоторых рядах. ДАН, 4 A934), 372—373.
О некоторых определённых интегралах. ДАН, 1 A935), 442—444.
О различных рядах. ДАН, 2 A935), 94—96.
О рядах, содержащих цилиндрические функции. ДАН, 2 A935), 96—99.
Несколько замечаний о функциях Весееля. Л., Труды индустр. ин-та, разд.
физ.-матем., 10:3 A936), 49—52.
[8] О разрывных функциях и их применениях. Л., Труды индустр. ин-та, разд.
физ.-матем., 4:2 A937), 45—58.
Постоева Н. И.
[1] О разложении функции комплексного переменного по полиномам. Матем. сб.,
4 D6), A938), 549—560.
Привалов |И. И.
[1] О сходимости рядов Sturm'a-Liouvill'R и Legendre'a. Хрк., Зап. матем. т-ва B>
15 A917), 148—160.
[2] О приближении суммами Fejer'a функций, удовлетворяющих условию Lipschl-
tz'a. Матем. сб., 30 A918), 521—526.
}3] О суммировании ряда Legendre'a. Матем. сб., 30 A918), 527—534.
Интеграл Cauchy. Саратов, Изв. ун-та, физ.-матем. фак., 11:1 A918), 94+11.
К теории сопряжённых тригонометрических рядов. Матем. сб., 31 A924),
224—228.
6 Обобщение теоремы Paul du Bois Reymond'a. Матем. сб., 31 A924), 229—231.
7] Обобщение теоремы Фату. Матем. сб., 31 A924), 232—235.
8] О ряде Тэйлора. Матем. сб., 31 A924), 345—349.
9 О функциях, дающих однолистное конформное отображение. Матем. сб..,
31 A924), 350—365.
[10] Eine Erweiterung des Satzes von Vitali flber Folgen analytischer Funktionen. Matt.
Ann., 93 A924), 149—152.
Sur les suites des fonctions analytiques. C. R. Acad. Sci., 178 A924), 178—180.
Sur certaines proprietes metriques des fonctions analytiques. C. R. Acad. ScL,
178 A924), 611—614.
[13] Sur certaines proprietes metriques des fonctions analytiques. Journ. Ёс. Polyt,
24 A924), 77—112.
[14] О последовательностях аналитических функций. Матем. сб., 32 A925), 45—49.
[15] Ueber einen Mittelwertsatz in derTheorieder analytischen Funktionen. Матем.сб.,
32 A925), 50—54.
[16] О сходимости сопряжённых тригонометрических рядов. Матем. сб., 32 A925)^.
357—363.
[17] Sur les fonctions harmoniques. Матем. сб., 32 A925), 464—471.
118] Об одном новом процессе суммирования бесконечных рядов. Матем. сб.,32 A925)>
711—722.

БИБЛИОГРАФИЯ 463
[19] Sur les suites des functions analytiques. Матем. сб., 33 A926), 113—128.
[20] Современное состояние теории функций комплексного переменного. М., Труды
Всеросс. матем. съезда A927), 33—49.
[21] По поводу предложения Bloch'a. Матем. сб., 35 A928), 111—121.
[22] Q полиномах Чебышева. М., Изв. асе. ин-тов ун-та, 1—2 A928), 23—36.
[23] Sur une propriete generate des functions analytiques. С R. Acad. Sci., 187 A928),
927—930.
[24] Об областях, образованных из точек, изображающих общие значения пары ана-
аналитических функций. Матем. сб., 37 A930), 79—90.
[25] Ряды Фурье. Изд. 3. М.—Л., ГТТИ A934), 1—164.
[26] Об одной граничной задаче субгармонических функций. Матем. сб., 41 A934),
3—10.
[27] Об одной граничной задаче в теории аналитических функций. Матем. сО.,
41 A934), 519—526.
[28] О некоторых вопросах теории субгармонических и аналитических функций. Ма-
Матем. сб., 41 A934), 527—550.
[29] Граничная задача теории функций. ИАН, сер. физ.-матем. A935), 301—306.
130] Некоторые вопросы теории субгармонических функций, I. ДАН, 1 A935),
201—204.
[31] Некоторые вопросы теории субгармонических функций, II. ДАН, 2 A935),
183—186.
Обобщение формулы Jensen'a, I. ИАН, сер. физ.-матем. A935), 837—847.
Обобщение формулы Jensen'a, П. ИАН, сер. физ.-матем. A935), 848—856.
[34] Современные проблемы теории функций комплексного переменного. Томск, И:.в.
НИИ матем. и мех. ун-та, 1:2 A935), 107—119.
[35] Обобщение метода Линделёфа. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1:2 A935),
126—143.
[36] К общей теории гармонических и субгармонических функций. Матем. сб., 1 D3),
A936), 103—122.
[37] О некоторых экстремальных задачах теории субгармонических функций. Матем.
сб., 1 D3), A936), 297—302.
[38] Субгармонические функции. М.—Л., ОНТИ A937), 1—199.
[39] Некоторые замечания к теории нормальных семейств непрерывных функций.
Матем. сб., 2 D4), A937), 739—744.
[40] Граничные задачи теории гармонических и субгармонических функций в простран-
пространстве. Матем. сб., 3 D5), A938), 3—25.
[41] Приложения понятия гармонической меры множества к некоторым проблемам
теории функций. Матем. сб., 3 D5), A938), 527—534.
[42] Приложения понятия гармонической меры к некоторым задачам теории субгар-
субгармонических функций. Матем. сб., 3 D5), A938), 535-542.
[43] Различные классы субгармонических функций в связи с их аналитическими пред-
представлениями. ИАН, сер. матем. A938), 191—220.
[44] Об одном классе субгармонических функций в связи с его аналитическим предста-
представлением. ИАН, сер. матем. A938), 303—312.
145] Приложения понятия гармонической меры к некоторым проблемам теории функ-
функций. ДАН, 18 С938), 3-6.
[46] Граничные задачи теории гармонических и субгармонических функций в простран-
пространстве. ДАН, 18 A938), 7—8.
[47] Различные классы субгармонических функций в связи с их аналитическими пред-
представлениями. ДАН, 18 A938), 507—510.
[48] Обобщённый принцип максимума для субгармонических функций. ДАН, 19 A938),
27—30.
О предельных значениях аналитической функции. ДАН, 19 A938), 663—666.
Элементы теории эллиптических функций. М., Изд. ун-та A939), 1—48.
Об интегралах типа Коши. ДАН, 23 A939), 859—862.
Некоторые замечания к теории субгармонических функций. ИАН, сер. матем.
A939), 7—12.
К проблеме Ватсона. ИАН, сер. матем. A939), 13—22.
Об интегралах типа Коши-Стилтьеса. ДАН, 27 A940), 195—197.
Об интеграле типа Коши-Стилтьеса. ЙАН, сер. матем., 4 A940), 261—276.
Граничные свойства однозначных аналитических функций. М., Изд. ун-та A941),
1—256.
[57] К определению субгармонической функции. ИАН, сер. матем., 5 A941),.
281—284.
[58] К определению гармонической функции. ДАН, 31 A941), 102—103.

464 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[59] Некоторые приложения обобщённого оператора Лапласа. ДАН, 3! A941),
104—105.
[60] On a theorem of S. Saks. Матем. сб., 9 E1), A941), 457—460-
[61] Некоторые приложения обобщённого оператора Лапласа. Матем. сб., 11 E3),
A942), 149—154.
[62] Некоторые замечания к теории субгармонических функций. Матем. сб., 12 E4),
A943), 85—90.
[63] Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 7. М.—Л., ГИТТЛ
A945), 1—400.
Привалов И. И. иБродский Г. А.
[1] О предельных значениях интеграла типа Коши-Стилтьеса. Томск, Изв. НИИ ма-
матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 43—52.
Привалов И. И. иКуэнецов П. И.
[1] Граничные задачи и различные классы гармонических и субгармонических функ-
функций, определённых в произвольных областях. Матем. сб., 6 D8), A939), 345—376.
Привалов И. иПчелин Б.
[1] К общей теории нолигармоиических функций. Матем. сб., 2 D4), A937), 745—758.
Привалов И. И. и Сарателян В. В.
[1] О потенциале двойного слоя в пространстве. Матем. сб., 9 E1), A941), 429—436.
Пулькии СП.
jl] О существовании ломаных итераций с бесконечным множеством предельных точек.
Куйбышев, Учён. зап. пед. и учител. ин-та, 3 A940), 10—28.
[2] Об итерациях функции одного независимого переменного. ИАН, сер матем
6 A942), 71—108.
[3] Об устойчивости итерационных последовательностей. Куйбышев, Учён, зап пед.
и учител. ин-та, 7 A943), 143—159.
Пфейффер Г. В.
[1] Зведення Jacobi-евого визначника, вщмшного в«д нуля, а разом 13 тим будь-
якого визначника до особливого вигляду. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР,
2 A932), 39—42.
[2] La simplification des recherches de L. Bianchi, gentralisante le caractere de S. Lie,
que les parametres soient essentiels. Atti Accad. naz. Lincei, 16 A932), 420—426.
[3] Про можливкть виражати функци, що мають у co6i параметри, через деяк!
або Bci параметри та функцп, що не мають у co6i видшених параметров, з з61ль-
шенням числа функщй на число видшених параметр1в. Киев, Ж. матем. цикла АН
УССР, 1:1 A933), 69—84.
[4] Sur l'expression d'un systeme des fonctions con tenant deux parametres. С R. Acad.
Sci., 196 A933), 833—835.
15] Sur l'expression d'un systeme des fonctions contenant deux parametres. Bull. Acad.
Belg., 19 A933), 44—64.
[6] Sur les parametres d'un systeme desfonctions qui sont essentiels. Хрк., Зап. мате*:
т-ва D), 6 A933), 3—6.
[7] О выражении функций через функции. ДАН, 4 A936), 203—206.
[8] Про можливкть выражати функщю, систему т функшй, що мктять у co6i пара-
параметр, через параметр та дв!,... т+ 1 фуикцШ, незалежних вщ параметра. Ки*1
Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A936), 35—46.
[9] Про можливкть виражати функшю, систему m функцф, що мктять у co6i двапарй»,
метри, через параметри та три.., т+2 функщ!, незалежш Bin napaMeTpie. Киеве
Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A936), 91—100. f
it 10] Виражування функщй через функцп. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A9381;
101—102.
Радзишевский Л. П.
[1] Новое обобщение теоремы о среднем значении конечного приращения функцшь
Матем. сб., 41 A934), 233—234.
Радзольский А. И.
[1] Приложение эллиптических функций к решению основной геодезической задач!,
М., Русск. астрон. ж., 2:2 A925), 77—88.

БИБЛИОГРАФИЯ 465
Райков Д. Л.
[1] О некоторых арифметических свойствах суммируемых функций. Матем. сб.,
! D3), A936), 377—384.
[2] Обобщение теоремы Икеара-Ландау. Матем. сб., 3 D5), A938), 559—568.
[3] Одна теорема из теории аналитических характеристических функций. Томск,
Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 8—11.
[4] О локальном приближении дифференцируемых функций. ДАН, 24 A939),
652—655.
[5] О разностях и производных. Матем. сб., 7 D9), A940), 379—384.
[6] Об абсолютно непрерывных функциях множеств. ДАН, 34 A942), 263—265.
Раппопорт СИ.
[1] Об одном процессе приближения функций тригонометрическими полиномами.
ДАН, 56 A947), 1.1—12.
Рашевский П. К.
[1] Un criterium caracteristique des representations conformes e2, Inz, . C. R.
Acad. Sci., 197 A933), 291—294. ^
[2] Representations conformes zn, e2, In z au point de vue de geometric conforme. Матем.
сб., 42 A935), 157—168.
Ремез Е. Я.
[1] Sur la determination des polynomes d'approximation de degre donne. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 10 A934), 41—64.
[2] Sur un procede convergent d'approximations successives pour determiner les poly-
ndmes d'approximation. С R. Acad. Sci., 198 A934), 2063—2065.
[3] Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tchebycheff. С R. Acad.
Sci., 199 A934), 337—340.
[4] Про методи найкращого в розумШш Чебишова наближенного представления функ-
функций. Киев, Изд. АН УССР A935), 1—162.
[5] 6 некоторых основных предложениях теории наилучшего приближения функций
нескольких переменных. ДАН, 3 A935), 343—346.
[6] Sur une propriete extremale des polynomes de Tchebycheff. Хрк., Зап. матем. т-ва
D), 13 A936), 93—95.
[7] Об определении полиномов наилучшего приближения. Л., Труды второго Все-
союзн. матем. съезда A936), 215—218.
[8] Sur I'interpolation des fonctions qui sont d'allure irreguliere dans l'intervalle donne.
Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A937), 9—52.
[9] О некоторых оценках наилучшего приближения и, в частности, об одной основной
теореме Валле-Пуссена. Сб. памяти акад. Граве A940), 235—244.
[10] Об остаточных членах некоторых формул приближённого анализа. ДАН, 26 A940)
130—134.
[11] Среднестепениые приближения и приближения по принципу наименьших квадра-
квадратов. ДАН, 28 A940), 397—400.
[12] О средних степенных приближениях и приближениях но принципу наименьших
квадратов. Матем. сб., 9 E1), A941), 437—450.
[13] О характере сходимости Полиа-Джексона в общем случае непрерывных полино-
полиномов. ДАН, 58 A947), 1283—1286.
[14] Оценки быстроты сходимости процесса Полиа-Джексона для непрерывных по-
полиномов при добавочных структурных условиях. ДАН,-58 A947), 1601—1604.
[15] О предельном переходе Полиа-Джексона-Жюлиа и некоторых соотЕетствующих
ему интерполяционных алгорифмах. ДАН, 58 A947), 1901—1904.
Рехтман П. Г.
[1] Узагальнет каношчш представления моментов нер1вности Чебишова. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 15:1 A938), 69—80.
Родов А.
[1] Зависимости менаду верхними гранями производных функций действительного
переменного. ИАН, сер. матем., 10 A946), 257—270.
Романов Н. П.
[1] Об ортонормированных системах. ДАН, 46 A945), 239—242.
30 Математика в СССР аа 30 лег

466 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Романовский-В. И.
[1] О способах интерполирования осадков. Ташкент A924), 1—30.
[2] Surune methode d'interpolation de Tchebycheff. С R. Acad. Sci., 181 A925)
595—597.
[3] On certatin expansions in series of polynomials of incomplete 3-functions. Матем.
сб., 33 A926), 207—230.
[4] Sur une formulede M. A. R. Crathorne relative aux moments. С R. Acad. Sci.,
189 A929), 105—107.
Романовский П. И.
[1] Анализ одной системы аксиом, могущих служить для определения интеграла.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 5 A931), 3—55.
[2] Quelques considerations sur la theorie des integrates singulieres. Math. Z., 34 A931),
35—49.
[3] Essai d'une exposition de l'integrale de Denjoy sans nombres transfinis. Fund.
Math., 19 A932), 38—44.
[4] Integrate de Denjoy dans les espaces abstraits. Матем. сб., 9 E1), A941), 67—120.
[5] Integrale de Denjoy dans l'espace a «-dimensions. Матем. сб., 9 E1), A941),
281—308.
[6] Integrale relative a un reseau. Матем. сб., 9 E1), A941), 309—316.
G] Sur I'existence de 1'integrale de Burkill. Матем. сб., 9 E1), A941), 317—320.
Рохлин В. А.
[1] О классификации измеримых разбиений. ДАН, 58 A947), 29—32.
[2] О проблеме классификации автоморфизмов пространств Лебега. ДАН, 58 A947),
189-191.
Рымаренко Б. А.
[11 Sur les polyn6mes monotones. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4 A930), 95—102.
[2] О многократно монотонных полиномах. Матем. сб., 41 A934), 44—47.
[3] О минимальном среднем квадратичном отклонении полинома одной степени от
нуля. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда A936), 211—215.
[4] О минимальной осцилляции многократно монотонных полиномов. Хрк., Сб. тру-
трудов полиграф, ин-та, 1 A938), 43—45.
[5] Об одной интерполяционной формуле. Хрк., Научи, зап. полиграф, ин-та, 1A939),
69—70.
Сагателян В. В.
[11 Об интеграле типа Коши-Стилтьеса с бесконечными пределами. М., Учёи. зап.
ун-та, 73 A944), 23—32.
Салехов Г. С.
[1] Обобщение порядка производных. Киев, Учён. зап. пед. ин-та, 2 A940), 41—48.
Сапогов Н. А.
[1] Наилучшее приближение функции, имеющей вещественную критическую особен-
особенность на эллипсе сходимости. ^ИАН,}сер. матем., 10 A946), 463—468.
Сарычев А. Т.
[1] Геометрическая интерпретация второй теоремы о среднем в интегральном исчи-
исчислении. Казань, Учён. зап. ун-та, 98:7 A939), 59—60-
Светлов А. В.
[11 Об асимптотическом выражении для бесселевых функций большого порядка. ДАН,
2 A934), 445—448.
[2] On the asymptotic expansions of the confluenc-thypergeometric functions. Труды
физ.-матем. ин-та: им. Стеклова, 9 A935), 201—222.
Свешников Г. Н.
[1] Элементарная теория явления Гиббса. Саратов, Учён. зап. уи-та, 7:3 A929L
81—86.
Седов Л. И.
[1] Приложение теории функций комплексного переменного к некоторым задача*
плоской гидродинамики. Успехи матем. наук, 6 A939), 120—182.

БИБЛИОГРАФИЯ 467
Селезнев А. И.
[1] Обобщение одной теоремы Адамара о рядах Тейлора, не продолжаемых за
окружности их кругов сходимости. Матем. сб., 20 F2), A947), 311—316.
Селиванов Н. А.
[1] О цепях сегментов Lebesgue'a. Томск, Изв. НИИ матем, и мех. ун-та, 2:1 A938),
63—66.
[2] Доказательство одной теоремы Denjoy о производных функциях. Томск, Изв.
НИИ матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 29—31.
[3] О производных функциях. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 3:1 A946),
125—127.
Селиваиовский Е. А.
[1] Sur une classe d'ensembles definis par une infinite denombrable de conditions.
С R. Acad. Sci., 184 A927), 1311—1314.
[2] Об одном классе эффективных множеств (множества С). Матем. сб., 35 A928),
379—413.
[3] Sur les proprietes des constituantes des ensembles analytiques. Fund. Math.,
21 A933), 20—28.
С е л ю т и н И. Б.
[1] Упрощённый способ интерполяции при вычислении частот. Ж. Вестн. злектротех-
вики, 2 A931), 80.
Семёнов Н. Н.
[1] Об одной двойной сумме. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A926), 114—118.
[2] Об одной элементарной задаче из теории числовых последовательностей. Л.,
Изв. политехи, ин-та, 30 A927), 135—142.
СеререниковС. В.
[1] О приближённом представлении функций в форме рациональных алгебраически»
дробей. Новочеркасск, Труды инж.-мелиорат. ин-та, 1 A936), 150—170.
СикорскийЮ. С.
[1] О спрямлении дуг плоских кривых. Одесса, Научн.-техн. ж., 5 A927), 101—106.
С и р в и н т Ю. В'.
Об асимптотическом ряде Дирихле. ДАН, 2 A936), 127—132.
Sur un theoreme de Vladimir Bernstein. Матем. сб., 6 D8), A937), 175—184.
Quelques exemples de series de Dirichlet dont la suite d'exposants est condensee.
[1
[2
13
Матем. сб., 10'E2), A942), 59—66.
[41 Quelques exemples de series de Dirichlet dont la suite d'exposants est condensee.
• Матем. сб., 12 E4), A943), 370—376.
С кр ы л ев В. А.
[1] О функциях Эрмита, аналогичных функциям Штурма. Хрк., Сб. научн.-иссл. работ
текст, ин-та, 2 A940), 209—220.
[2] Соотношения между простейшими симметрическими функциями нулей, принад-
принадлежащих целой трансцендентной функции и её производной. Матем. сб., 19 F1),
A946), 155—163.
Слободецкий Л. Н.
[1] О представлении функций, регулярных в единичном круге, некоторыми рядами
интерполяционного вида. ДАН, 32 A941), 13—15.
2] Об одной теореме Wigert'a. ДАН, 33 A941), 103—104.
3] О представлении регулярных функций рядами дробно-рациональных функций.
ДАН, 56 A947), 123—126.
Слугинов СП.
[1] Различные способы обоснования теории эйлеровых интегралов. Пермь, Труды
матем. семин. ун-та, 2 A928), 1—12.
[2] Об одном способе вывода зависимости между эйлеровыми интегралами 1-го и 2-го
рода. Пермь, Труды матем. семин. уи-та, 2 A928), 27—29.
30*
[2]
[3]

468 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
3] Thdoreme de Cauchy. T6h. Math. J., 33 A930), 78—87.
4] Le determinant symbolique de Buhl. Boll. Un. Mat. Ita!., 9 A930), 6—12.
5] Thooreme (formule) de Stokes. Toh. Math. J., 36 A932), 86—98.
6] Le methode symbolique de Buhl. Boll. Un. Mat. Ital., 13 A934), 54—58.
[7] О формуле Стирлинга. Пермь, Учён. зап. ун-та, 1:1 A935), 25—26.
Смирнов В. И.;
[1] Приложение принципа сходимости к теории упиформизации. Хрк., Зап. матем.
т-ва B), 16 A918), 39—54.
121 Sur les equations differentielles Hneaires du second ordre et des fonctions automor-
phes, I. Bull. Sci. Math., 45 A921), 43—120.
[3] Sur les equations differentielles lineaires du second ordre et des fonctions automor-
phes, II. Bull. Sci. Math., 45 A921), 126—135.
[4] О конформном преобразовании односвязной области в себя. Симферополь, Зап.
матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 145—152.
Sur les series de polynomes. С. R. Acad. Sci., 183 A926), 1014—1016.
Sur quelques series de polyn6mes. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1A927), 268—274.
[7
Sur les polynomes orthogonaux к une variable complexe. C. R. Acad. Sci., 186 A928),
21—23.
[81 Sur quelques polyn6mes aux proprietes extremales. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
2 A928), 67—72.
[9] Sur la theorie des polynomes orthogonaux a une variable complexe. Л., Ж.
физ.-матем. о-ва, 2:1 A928), 155—179.
{101 Sur les valeurs limites des fonctions regulieres a l'interieur d'un cercle. Л., Ж.
физ.-матем. о-ва, 2:2 A928), 22—37.
(Ill Sur les valeurs limites des fonctions analytiques. С R. Acad. Sci., 188 A929),
131-134.
f 121 Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problemes qui s'y rattachent.
ИАН, сер. физ.-матем. A932), 337—372.
[131 Ueber die Randerzuordnung bei konformer Abbildung. Math. Ann., 107 A932),
313—323.
.[14] Некоторые ленинградские работы в области анализа и его приложений. Л., Труды
второго всесоюзн. матем. съезда, т. I A936), 109—140.
Смогоржевский А. М.
Т11 Про одну задачу на minimum. Киев, Зап. прир.-техн., отд. АН УССР, 3 A931),
109—115.
[2] Sur les polynomes orthogonaux. C. R. Acad. Sci., 200 A935), 801—«03.
С м о л и ц к и й X. Л.,
Т11 К вопросу о тождественности функций Le Roy, Poincare и Стеклова. ДАН,
16 A937), 3—6.
[2] О функциях Le Roy, Poincare и Стеклова. ДАН, 22 A939), 151—152.
Смоляиов П. Т.
[11 К анализу периодических рядов. Казань, Учён. зап. ун-та, математика, 7:2A934),
129—141.
Соболев С. Л.
[1] О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производ-
производные, интегрируемые с квадратом. ДАН, 1 A936), 267—270.
Соколов Г. Т.
[1] Об одном свойстве тригонометрических сумм. ДАН, 1 A934), 439—442.
[2] О некоторых экстремальных свойствах тригонометрических сумм. ИАН, сер.
физ.-матем. A935), 857—884.
[31 Про дробове диференщровання та штегрування. Киев, Ж. инст. матем. АН УССР,
1 A937), 143—152.
Соколов И. Г.
[1] Про наближення фупкщй, що задовольняють умов! Jliimimja полшомами Беря-
штейна. Львов, Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матем., 5 : 1 A947), 5—9.
[2] Про коефвденти Фур'е для деяких клашв неперервних функшй. Львов, Учён.
зап. ун-та, сер. физ.-матем., 5: 1 A947), 10—15.

БИБЛИОГРАФИЯ 469
Соловьёв П. В.
[1] Об одной граничной задаче в теории аналитических функций. ДАН, 33 A941),
190—192.
Соловьёв П. О.
[1] Про найкраще накладания двох замкнених кривих. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
3 A929), 161—174.
С о л о м е н ц е в Е. Д.
11] О некоторых классах субгармонических функций. ИАН, сер. матем. A938),
571—582.
С п е н г л е р Н. Ф.
[1] Обобщение формулы Green'a для пространства «-измерений. Хрк., Зап. матем.
т-ва B), 15 (г917), 193—200.
Сретенский Л. Н.
[1] Sur la representation trigonometrique d'une fonction donnee par une table dc va-
leurs numeriques. Бюлл. геофиз. ин-та, 36 A931), 141—143.
Стеклов В. А.
[I] Remarques sur les quadratures. ИАН F), 12 A918), 99—118.
[2] Quelques remarques complementaires sur les quadratures. ИАН F), 12 A918),
587—614.
13] Sur les quadratures. ИАН F), 12 A918), 1859—1890.
[4] Sur les quadratures. ИАН F), 13 (Ш9)> 65—96.
[5] Sur le ddveloppementdes fonctions continues en series de polynomes de Tchebychef.
ИАН F), 15 A921), 249—266.
[6] Une contribution nouvelle au probleme du developpement des fonctions arbitrages
en series de polynomes de Tchebychef. ИАН F), 15 A921), 267—280.
17] Une methode de la solution du probleme du developpement des fonctions en series
de polyn6mes de Tchebychef independante de la theorie de fermeture. ИАН F),
15 A921), 281—302.
[8] Une methode de la solution du probleme du ddveloppement des fonctions en series
de polyn6mes de Tchebychef independante de la theorie de fermeture. ИАН F),
15 A921), 303—326.
[9] Sopra la teoria delle quadrature dette meccaniche. Atti Accad. naz. Lincei,
32:1 A923), 320—326.
[10] Sur le probleme d'approximation des fonctions arbitraires a l'aide des polynomes
d'approximation des fonctions arbitraires к l'aide des polyn6mes de Tchebychef.
ИАН F), 20 A926), 857—862.
[II] Theorie de fermeture et le probleme de representation approchee des fonctions con-
continues a l'aide de polyn6mes de Tchebycheff. Acta Math., 49 A926), 263—299.
Степанов В. В.
[I] К принципу Du-Bois-Reymond'а в теории роста функций. Матем. сб., 30 A918),
535—542.
[2] Ueber totale Differenzierbarkeit. Math. Ann., 90 A923), 318—320.
[3] О распределении значений неполных сумм сходящегося ряда. Матем. сб., 31 A924),
256—264.
[41 Sur une propridte' caracteristique des fonctions mesurables. Матем. сб., 31 A924),
487—489.
[5] Sur quelques generalisations des fonctions presque periodiques. C. R. Acad. Sci.,
181 A925), 90—94.
[6] Sur les conditions de ('existence de la differentieHe totale. Матем. сб., 32 A925),
511—527.
[7] Ueber eine Verallgemeinerung der fast periodischen Funktionen. Math- Ann.,
95 A925), 473—498.
[8] Sur les suites des fonctions continues. Fund. Math., 11 A928), 264—274.
[9] Sur 1'equation de Laplace et certains systemes triples orthogonaux. Матем. сб.,
11 E3), A942), 204—238.
[10] О некоторых полных неортогональных системах. ДАН, 48 A945), 409—413.
Степанов В. В. иТихонов А. Н.
[II] Ueber die Raume der fast periodischen Funktionen. Матем. сб., 41 A934), 166—178.

470 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
С т еч к и н С. Б.
[1] Об абсолютной сходимости ортогональных рядов. Успехи матем. наук, 2 : 3 A9),
A947), 177—178.
[2] Теоремы тауберова типа. Успехи матем. наук, 2:3 A9), A947), 187—188.
Столбов Е. М.
[1] Однородные функции и размерный анализ. Казань, Труды асиац. ин-та, 17A946),
102—106.
Строганов В. Г.
[1] Ueber den arc. /' (z) unter der Bedingung, dass f(z) die konforme Abbildung eines
sternartigen Oebietes auf das Innere dcs Einheitskreises der z-Ebene liefert. Труды
физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 7 A934), 247—258.
[2] On the asymptotic expansion of the Bessel function with purely imaginary argument
Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 9 A935), 22 —234.
Субботин М. Ф.
[1] О форме коэффициентов степенных разложений алгебраических функций. Ново-
Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ин-та, 7 A919), 226—251.
[2] Sur les proprietes-limites du module des fonctions entieres d'ordrefini. Math. Ann.,
104 A930), 377—386.
С у п л и и М. Л.
[1] Интерпретация некоторых разрывных задач в оценке рядов Фурье и интеграла
Стилтьеса. Хрк., Сб. трудов ин-та ипж. ж.-д. трансп., 7 A937), 76—92.
Супрун Е. Я.
[1] Дифференцирование с произвольным указателем. Полтава, Научи, зап. ин-та
ипж. с.-х. строит., 1 A940), 107—140.
С у с л и и М. Я.
[1] Sur un corps поп denombrable de nombres reels. Fund. Math., 4 A923), 311—315,
Сушкевич А. К.
[1] О теореме Weierstrass'a. Воронеж, Труды ун-та, 1 A923), 2.
[2] Об одном определении интеграла. Хрк., Научн. зап., 2 A92G), 57—70.
Тагам лицкий Я. А.
[1] Об интегрировании последовательностей функций. ДАН, 57 A947), 17—19.
[2] ОС абсолютно сходящихся рядах Дирихле. ДАН, 57 A947), 875—878.
[3\ О0 абсолютно сходящемся интеграле Лапласа. ДАН, 58 A947), 197—200.
Талдыкин А. Т.
П] Равномерно минимальные системы функций. ДАН, 26 A940), 540—542.
[2| Нормальные системы функций. ДАН, 20 A940), 543—547.
13J О замкнутости биортогональных систем функций. ДАН, 26 A940), 554—557.
J4] Минимальные и регулярные системы функций. ДАН, 39 A943), 129—133.
Темляков А. А.
'[1] Zu dem Wachstumsproblcm der harmonischen Funktionen dcs dreidimensionala
Raumes. Матем. сб., 42 A935), 707—718.
[2] Ueber harmonische Funktionen von drei VerSnderlichen mit einer meromorphe
zugeh5rigen Funktion. Матем. сб., 5 D7), A939), 487—496.
[3] О гармонических функциях и решениях волнового уравнения с тремя незавив
мыми переменными. Матем. сб., 14 E6), A944), 133—154.
[4] Аналитическое продолжение функции двух переменных. Матем. сб., 19 F1)
A946), 73—84.
Т е р-М кртичев А. И.
[1] Периодические функции и периоды. Баку, Н. И. Азерб. политехи, ин-та, 1 A925|
Т и м а н А. Ф.
[1] Об одном методе приближения непрерывных функций тригонометрическими пол
номами. ИАН, сер. матем., 11 A947), 263—282.

БИБЛИОГРАФИЯ 471
Тимченко И. Г.
[1] Ddmonstration elementairede 1'existence d'unefonction inverse d'unefonction holo-
morphe d'une variable complexe. Одесса, Ж. НИ кафедр, 2:3 A926), 56—60.
Тихомандрицкий М. А.
[11 Современное состояние теории абелевых интегралов. Симферополь, Зап. матем.
каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 41—43.
Т о и д з е Д. М.
11] Sur les fonctions entieres. C. R. Acad. Sci., 201 A935).
T о л с т о в Г. П.
[1] Sur la derivee approximative exacte. Матем. сб., 4 D6), A938), 499—504.
[2] Sur quelques proprietes des fonctions approximativement continues. Матем. сб.,
5 D7), A939), 637—646.
3] Об интеграле Perron'a. Матем. сб., 5 D7), A939), 647—660.
4 Замечание К теореме Д. Ф. Егорова. ДАН, 22 A939), 309—311.
5 Метод Perron'a в интеграле Denjoy. ДАН, 25 A939), 470—472.
6] La methode de Perron pour I'integrale de Denjoy. Матем. сб., 8 E0), A940),
149—168.
[7] Sur la differentielle totale. Матем. сб., 9 E1), A941), 461—468.
[8] Sur les fonctions bornees verifiant les conditions de Cauchy-Riemann. Матем. сб.,
10 E2), A942), 79—86.
[9] О точках плотности линейных измеримых множеств. Матем. сб., 10 E2), A942),
249—264.
[10] О некоторых снойствах частных производных. ДАН, 58 A947), 749—752.
Турецкий А. X.
[11 О некоторых экстремальных свойствах полиномов. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
17 A940), 45—64.
[2] К вопросу об ограничении интерполяционных полиномов. ДАН, 41 A943), 205—208.
[3] Об одном экстремальном свойстве тригонометрических полиномов, удовлетво-
удовлетворяющих в отдельных точках интервала дифференциальному соотношению. ДАН,
50 A945), G5—68.
D] Асимптотические неравенства для тригонометрических полиномов, удовлетворяю-
удовлетворяющих в некоторой системе точек дифференциальному соотношению. ИАН, сер.
матем., 10 A946), 487—512.
У р ы с о и П. С.
Об одной задаче Caratheodory. Матем. сб., 31 A922), 86—90.
Sur une fonction analytique partout continue. Fund. Math., 4 A923), 144—150.
Un theoremesur la puissance des ensembles ordonnees. Fund. Math., 5 A924), 14—19.
Ueber einen Problem von Herrn Caratheodory. Fund. Math., 6 A924), 229—235.
Remarque sur ma note «Un theoreme sur la puissance des ensembles ordonnes». Fund.
Math., 6 A924), 278.
[6] Exemple d'une serie entiere prenant, sur son cercle de convergence, un ensemble
de valeurs non mesurable В. С R. Acad. Sci., 183 A926), 548—551.
У с м а н о в Н. К.
[1] Комплексные квазииормальные семейства аналитических функций. Казань, Учён,
зап. ун-та, 100:5 A940), 41—116.
Ф' а д л е е в Д. К.
[1] О представлении суммируемых функций сингулярными- интегралами в точках
Lebesgue'a. Матем. сб., 1 D3), A936), 351—368.
Фёдоров В. С.
П] Непрерывность и моногенность. Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та,
1 A919), 45—56.
[2] Непрерывность и моногенность. Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та,
1 A919), 139—145.
[31 О конформном отображении кругов с разрезами. Иваново-Вознесенск, Изв. ноли-
техн. ин-та, 5 A922), 49—59.
[4] Особые значения везде непрерывных аналитических функций. Иваново-Возне-
Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та, 6 A922), 43—56.

472 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[5] Моногенность и непрерывные однозначные изображения. Иваново-Вознесенск,
Изв. политехи, ин-та, 8:2 A925), 38—48.
[6] Sur la continuite des fonctions analytiques. Матем. сб., 32 A925), 115—121.
[7] О разложении всюду непрерывной аналитической функции в ряд по двойным
интегралам Lebesgue'a. Матем. сб., 33 A926), 385—394.
[81 Sur la representation des domaines et des fonctions analytiques. С R. Acad. Sci.,
182 A926), 1203—1205.
[9] О рядах по двойным интегралам Лебега в теории аналитических функций. Матем.
сб., 34 A927), 29—36.
[10] Sur la representation des fonctions analytiques. Bull. Acad. Sci. Polonaise (A), A927).
[11] Замечания к статье «О разложении всюду непрерывной аналитической функции
в ряд по двойным интегралам Lebesgue'a». Матем. сб., 35 A928), 37—38.
[12] Sur la monogenite des fonctions d'une variable complexe. Иваново-Вознесенск,
Изв. политехи, ин-та, 11 A928).
[13] Sur la representation des fonctions analytiques au voisinage d'un ensemble de ses
points singuliers. Матем. сб., 35 A928), 237—250.
[14] Sur la monogeneite des fonctions d'une variable complexe. Ann. di Mat., 6 A929),
161—168.
[15] О росте аналятических функций и их производных. Матем. сб., 37 A930), 63—78,
[ 16] Sur ипергоргШё caracteristique des fonctions monogenes.C. R. Acad. Sci., 193 A931),
512—513.
[17] Sur les fonctions analytiques partout continues. С R. des seances de la Soc. des Sc.
et de Lettres de Varsovie, XXIV A931), classe III.
[18] Об одном характеристическом свойстве моногенных функций. Матем. сб.,
39:1—2 A932), 5—14.
19 О теореме Могега. Матем. сб., 40 A933), 168—179.
20 О криволинейных интегралах. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 887—896.
21 Sur les derivees des fonctions de variable complexe. Матем. сб., 41 A934), 92—98.
22] О моногенных функциях. ДАН,:3 A935), 13—14.
23' О моногенных функциях. Матем. сб., 42 A935), 485—500.
24 О методе интегральных средних и аналогичных методах в теории функций ком-
комплексного переменного. Матем. сб., 2 D4), A937), 521—542.
[25] О производных всюду непрерывных функций комплексного переменного. Иваново,
Труды энерг. ин-та, 1 A937), 3—12.
[26] Об одном свойстве криволинейных интегралов. Иваново, Труды энерг. ии-та,
1 A937), 13—15.
[27
[28
[29
О полиномах комплексного переменного. ДАН, 20 A938), 643—644.
О полиномах комплексного переменного. Матем. сб., 4 D6), A938), 459—470.
О последовательностях криволинейных интегралов. Матем сб., 6 D8), A939),
53—66.
[30] Особые значения аналитической функции, непрерывной на всюду разрывном со-
совершенном множестве её особых точек. ИАН, сер. матем. A939), 23—34.
31]
32'
зз!
[34]
35]
36
37
38'
[39
О коэффициентах Фурье. ДАН, 26 A940), 127—129.
О коэффициентах Фурье. Матем. сб., 8 E0), A940), 41—56.
О гармонических функциях. Матем. сб., 12 E4), A943), 161—183.
О сопряжённых гармонических функциях в пространстве. Матем. сб., 13 E5),
A944), 287—300.
О моногенности в пространстве. ДАН, 46 A945), 243—244.
О моногенности. ДАН, 48 A945), 414—415.
О моногенности в пространстве. ЙАН, сер. матем., 9 A945), 257—274.
Моногенность. Матем. сб., 18 F0), A946), 353—378.
Об одном свойстве криволинейных интегралов. ДАН, 58 A947), 755—756.
Филиппов А. А.
[1] Об одной формуле дифференциального исчисления. Одесса, Учён. зап. высш. шк,
1A921), 33—36.
Ф и ш м а н Н. М.
[1] Комплексные числа и гиперболические функции. Изд.2, М.—Л., ГТТИ A933), 1—101;
Фихтенгольц Г. М.
[1] On a theorem in the theory of differentiation of functions defined by integrals. J. d "
pur. a. appl. math., 48 A917), 142—147. !
[2] Теория простых определённых интегралов, зависящих от параметра. Пгр. A9Щ
VII+327.

БИБЛИОГРАФИЯ 473
[3] Note sur les fonctions absolument continues. Bull. Acad. de Belgique, 8 A922),
430—443.
[4] Sur les suites convergentes des integrates definies. Bull. Acad. Polonaise (A), A923),
91—116.
[5] Об абсолютно непрерывных функциях. Матем. сб., 31 A924), 286—296.
[6] Sur une fonction de deux variables sans integrate double. Fund. Math., 6 A924),
30—36.
[7] Sur les fonctions d'ensembles additives et continues. Fund. Math., 7A925), 296— 301.
[8] Sur la notion de fermeture des systemes de fonctions. Rend. circ. Mat. Palermo,
50 A926), 385—398.
[9] Sur 1'integration des suites des fonctions sommables. С R. Acad. Sci., 184 A927),
436—439.
10] Sur les suites des fonctions harmoniques. С R. Acad. Sci., 184 A927), 1370—1372.
11] Sur les suites des fonctions analytiques. С R. Acad. Sci., 184A927), 1528—1531.
Sur un probleme de M. Banach. Fund. Math., 10 A927), 302—304.
О последовательностях гармонических функций. М., Труды Всеросс. съезда матем.
A927), 197—198.
[14] Sur l'integrale de Poisson et quelques questions qui s'y rattachent. Fund. Math.,
13 A929), 1—33.
15 Об одном обобщении интеграла Стилтьеса. ДАН, 3 A936), 95—100.
16 Об интеграле Данжуа. Л., Учён. зап. пед. инст., 28 A939), 225—244.
17 Математический анализ, I. Л., Изд. ун-та A939), 1—352.
18] Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. I. M.—Л., ГТТИ A947),
1—690.
ФихтенгольЦ'Г. М. и Натансон И. П.
[1] Криволинейные и кратные интегралы. Л.—М., ОНТИ A937), 1—295.
фок В. А.
[1] О конформном изображении четырёхугольника с нулевыми углами на полупло-
полуплоскости. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 147—168.
[2] Новое асимптотическое выражение для бесселевых функций. ДАН, 1 A934),
97—103.
[3] Об одном определённом интеграле, содержащем цилиндрическую функцию Kv (x).
ДАН, 1 A934), 443—444.
Франк М. Л.
[1] Об интерполировании некоторых замкнутых кривых. Симферополь, Изв. Крым,
пед. ин-та, 3 A930), 217—226.
Франкль Ф. И.
[1] Zur Primendentheorie. Матем. сб., 38:3—4 A931), 66—69.
Фукс Б. А.
[1] Limitation pour la variation d'un angle dans le cas d'une transformation pseudo-
conforme dans l'espace de deux variables complexes. С R. Acad. Sci., 200 A935),
718—720.
[2] Ueber einige Eigenschaften der pseudokonformen Abbildung. Матем. сб., 1 D3),
A936), 561—574.
[3] О группе движений геометрии, инвариантной при псевдоконформных отображе-
отображениях. ДАН, 16 A937), 153—156.
[4] Ueber geodSsische Mannigfaltigkeiten einer bei pseudokonformen Abbildungen inva-
rianten Riemannschen Geometrie. Матем. сб., 2 D4), A937), 567—594.
[5] Die Oruppe der pseudokonformen Abbildungen eines Bereich in sich. Томск, Изв.
НИИ матем. и мех. ун-та, 1 A937), 281—285.
[6] О локально изометрических аналитических отображениях. ДАН, 20 A938), 3—4.
[7] К теории однолистных псевдоконформных отображений. Томск, Изв. НИИ матем.
и мех. ун-та, 2:1 A938), 147—155.
[8] О псевдоконформных отображениях области на себя с фикспунктом на границе.
ДАН, 23 A939), 865—867.
[9] Об одном свойстве метрики, инвариантной при псевдоконформных отображениях.
Матем. сб., 5 D7), A939), 497—504.
[10] Об инвариантной римановой метрике в теории псевдоконформных отображений
и её приложениях. Успехи матем. наук, 6 A939), 251—286.

474 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[11] О минимальной функции области. Ташкент, Научи, докл. Воронежск. авиац. ин-та
A944), 40.
[12] О минимальной функции области, I. Матем. сб., 16 E8), A945), 21—38.
[13] О минимальной функции области, II. Матем. сб., 18 F0), A946), 329—346.
[14] Интегральная формула Коши в теории аналитических функций многих комплекс-
комплексных переменных. Успехи матем. наук, 2:3 A9), A947), 142—157.
ХажалияГ. Я.
[1] О конформном отображении двухсвязных областей на кольцо. Тбилиси, Труды
матем. ин-та. Гр. фил. АН, 1 A937), 89—105.
12] К теории конформных отображений двухсвязных областей. ДАН, 20 A938), 75—78.
[3] К теории конформных отображений двухсвязных областей. Тбилиси, Труды матем.
ин-та Гр. фил. АН, 4 A938), 123—134.
[4] К теории конформных отображений двухсвязных областей. MaTeiVt. сб., 8 E0),
A940), 97—106.
[5] К теории конформных отображений двухсвязных областей. ДАН, 26A940), 558—559.
[б] Об одном минимальном свойстве конформного отображения двухсвязных областей.
Кутаиси, Труды пед. ин-та, 3 A941).
Халилов 3. И.
[1] Об одной оценке функций двух комплексных переменных. Баку, Труды Азерб.
ун-та, 1:1 A942), 21—27.
[2] Общее комплексное представление решений системы полигармонических уравне-
уравнений. Баку, ИАН АзССР, 10 A945), 21—24.
X а п л а н о в М. Г.
[1] О характере степенных разложений функций, имеющих на круге сходимости одну
особую точку. Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 8 A936), 92—130.
[2] О коэффициентах ряда Тейлора одного класса мероморфных функций. ДАН,
28 A940), 679—684.
Харадзе А. К.
[1] Quelques applications d'une classe particuliere des polynomes. Тбилиси, Бюлл.
ун-та, 3 A923), 97—106.
[2] О полиномах, аналогичных лежандровым, и некоторых их применениях. Тбилиси,
Изв. Закавк. индустр. ин-та, 1 B), A935), 1—28.
[3] Sur un operateur fonctionnel et sur la generalisation des polynomes de Legendre.
С R. Acad. Sci., 201 A935), 923—935.
[4] О распространении теоремы Jentsch'a на ряды Faber'a. Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда, т. 2 A936), 207.
[5] Об одном применении полиномов, аналогичных якобиевым. Тбилиси, Сообщ. АН
ГрССР, 2 A941), 15—22.
[6] О тождестве Эйлера-Лагранжа и неравенстве Буняковского-Шварца. Тбилиси,
Сообщ. АН ГрССР, 3 A942), 1—5.
[7] Об одном обобщении полиномов Якоби. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 4 A943),
492—502.
X а р ui и л а Д з е Ф. И.
[1] О представлении функции в виде предела сингулярного интеграла, распростра-
распространённого на бесконечный промежуток. ДАН, 20 A938), 339—342.
[2] О сильной представимости функции сингулярным интегралом. Л., Учён. зап.
ун-та, сер. матем., 6 A939), 108—114.
[3] Некоторые новые признаки для определения класса тригонометрического ряда.
ДАН, 26 A940), 138—139.
[4] О тригонометрическом интерполировании. Матем. сб., 8 E0), A940), 471—488.
[5] Об одной теореме акад. С. Н. Бернштейна из теории интерполяций. Л., Труды
ин-та точн. мех. и оптики, 1:3 A940), 207—212.
[6] О методе суммирования С. Н. Берпштейиа и В. Рогозинского. ДАН, 30 A941),
692—695.
{71 О методе суммирования С. Н. Бернштейна рядов Фурье. Матем. сб., 11 E3), A944
121—148.
Хведелидзе Б. В.
>t] Об одной линейной граничной задаче Римана для системы аналитических функ
ций. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 4 A943), 289—296.

БИБЛИОГРАФИЯ 475
X и н ч и н А. Я.
[1] О процессе интегрирования Denjoy. Матем. сб., 30 A918), 548—557.
[2] Sur la theorie de l'integrale de M. Denjoy. Иваново-Вознесенск, Изв. политехи,
ин-та, 3 A921), 49—51.
[3] Новое доказательство основной теоремы метрической теории множеств. Иваново-
Вознесенск, Изв. политех, ин-та, 6 A922), 39—41.
[4] Sur les suites de fonctions analytiques bornees dans leur ensemble. Fund. Math.,
4 A923), 72—75.
Ueber dyadische Brflche. Math. Z., 18 A923), 109—116.
О последовательностях аналитических функций. Матем. сб., 31 A924), 147—151.
Исследования о строении измеримых функций. Матем. сб., 31 A924), 265—285.
Исследования о строении измеримых функций. Матем. сб., 31 A924), 377—433.
Retherches sur la structure des fonctions mesurables. Fund. Math., 9 A927),
[5
6
7'
8
9
212—279
[10J Uber eine Ungleichung. Мате.м. сб., 39:3 A932), 35—39.
{11] F.ine arithmetische Eigenschaft der summierbaren Funktionen. Матем. сб.,
41 A934), 11—13.
[12] Fourierkoeffizienten langs einer Bahn im Phasenraum. Матем. сб., 41 A934), 14—16.
{13] Восемь лекций по математическому анализу. Изд. 2, М.—Л., ГТТИ A946), 1—231.
X л о д о в с к и и И. Н.
[1] Une remarque sur la representation des fonctions continues par les polynomes a coef-
coefficients entiers. Матем. сб., 32 A925), 472—475.
[2] Sur la representation des fonctions discontinues par les polynomes de M. S.Bern-
S.Bernstein. Fund. Math., 13 A929), 62—72.
[3] О некоторых свойствах полиномов С. Н. Бернштейна. Хрк., Труды Всесоюзн.
матем. съезда A934).
14] Sur le developpement des fonctions definies dans un intervalle infini en series de
polynomes de M. S. Bernstein. Сотр. Math., 4 A937), 380—393.
15] Проблема моментов и полиномы С. Н. Бернштейна. ДАН, 19 A938), 659—662.
}б] Почти абсолютно монотонные функции. ДАН, 25 A939), 725—728.
|7] Некоторые интерполяционные свойства абсолютно монотонных функций двух пе-
переменных. ДАН, 28 A940), 387—391.
{8] Дифференциальные свойства функций с одной знакопостоянно" конечной разно-
разностью /7-го порядка. ДАН, 47 A945), 645—647.
Цветков Г. Е.
[1] О корнях функций Whittaker'a. ДАН, 32 A941), 10—12.
[2] О комплексных корнях функций Whittaker'a. ДАН, 33 A941), 290—291.
Цепов И. В.
11] О формуле Тейлора и об остаточном члене интерполяционных формул Лагранжа
и Ньютона. Симферополь, Изп. Крым. пед. ин-та, 4 A936), 123—129.
12] Некоторые вопросы теории приближения функций. Матем. сб., 21 F3), A947),
435—438.
Чеботарёв Н. Г.
II] Критерий вещестпепности корней трансцендентных уравнений. Одесса, Ж. НИ
кафедр, 1:1 A923), 15—30.
. [2] О методе исключения переменных из трансцендентных уравнений. Казань, Изп.
физ.-матем. о-ва B), 24:1 A924), 1—6.
{3] Поправка к моей статье «Ометоде исключения переменных из трансцендентных
уравнений». Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 1 A926), 146—148.
. [4] Ueber die RealitSt von Nullstellen ganzer transzendenten Funktionen. Math. Ann.,
99 A928), 660—686.
[5] Bemerkung zur Teorie der schlichten Functionen. Jahresber. DMV, 38 A929),
179—193.
[6] Bemerkung uber analytische Iterationen. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва,
4:3 A929—1930), 49—50.
[7] К проблеме Гурвица для целых трансцендентных функций. ДАН, 33 A941),
483—486.
[8] Об одном частном виде трансцендентных уравнений. ДАН, 34 A942), 42—45.
[9] Об ^-интегрируемых полиномах. ДАН, 35 A942), 67—69.
{10] О целых функциях с вещественными перемежающимися корнями. ДАН,
35 A942), 219—222.

476 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
111] Об одном видоизменении постановки задачи Гурвица. ДАН, 35 A942), 251-—254.
L12] О выражении абелепых интегралов через элементарные функции. Успехи матем.
наук, 2 : 2 A8), A947), 3—20.
Челидзе В. Г.
[1] О производных числах функции от двух переменных. ДАН, 15 A937), 13—16.
[2] Generalisation du theoreme concernant de changement de l'ordre de differentiation.
Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 1 A937), 109—112.
[3] О производных числах функции от двух переменных. Тбилиси, Труды матем.
ин-та Гр. фил. АН, 2 A937), 109—142.
[4] О необходимом и достаточном условии сходимости двойного тригонометрического
ряда Fourier-Lebesgue'a функции от двух переменных с интегрируемым квадратом.
Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 6 A939), 97—124.
[5] Об одной теореме о поверхностном интеграле. Тбилиси, Труды матем. im-та
Гр. фил. АН, 7 A940), 105—112.
[6] О функциях интернала. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 9 A941), 1—18,
[7] О представлении функций двух переменных сингулярными двойными интегра-
интегралами. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 11 A942), 1—18.
[8] О независимости трёхмерного поверхностного интеграла от поверхностей интегри-
интегрирования в четырёхмерном пространстве. Тбилиси, Труды ун-та, 22 A942), 119—124.
[9] Метод Абеля-Пуассона суммирования двойных рядов Фурье. Тбилиси, Труды
матем. ин-та АН ГрССР, 13 A944), 79—98.
[10] Об одной теореме о двойном степенном ряде. ДАН, 53 A946), 695—698.
|11] Об абсолютной сходимости двойных рядов Фурье. ДАН, 54 A946), 117—120.
Ч е р к а с о в А. Н. •
П] Функция с полной системой степеней. ИАН, сер. матем., 7 A943), 245—249.
Ша бат Б. В.
[11 Об обобщённых решениях одной системы уравнений в частных производных Ма-
' тем. сб., 17 E9), A945), 193—209.
Ш а г и н я н А. Л.
[1] К теории взвешенных ортогональных полиномов на плоскости комплексного пере-
переменного. ДАН, 15 A937), 425—428.
[2] Об аппроксимации полиномами в нежордановых областях. ДАН, 27 A940).
318—321.
[3] К вопросу об аппроксимации в среднем в комплексной области. ИАН, сер. матем.,
5 A941), 285—296.
[4] Заметки по исследованию полноты рациональных функций в комплексной обла-
области, III. Ереван, ДАН АрмССР, 1:1—2 A944), 5—8.
[5] Заметки по исследованию приближений рациональными функциями в комплекс-
комплексной области. ДАН, 44 A944), 51—55.
[6] Об экстремальных полиномах, аппроксимирующих функцию, реализующую кон-
конформное отображение области на круг. ДАН, 45 A944), 54—56.
[7] Заметки по исследованию приближений рациональными функциями в комплексной
области, II. ДАН, 48 A945), 11—14.
[8] О функциях, представимых интегралом Коши-Лебега. Ереван, ДАН АрмССР,
2 A945), 99—102.
[9] Об одном признаке нормальности семейства аналитических функций. Ереван,
ДАН АрмССР, 3 A945), 33—38.
[10] Метод исследования полноты рациональных функций в областях с несвязным до-
дополнением и в неограниченных областях. М., Диссертация A945), 1—135.
[11] Об одном признаке неполноты системы аналитических функций. ДАН АрмССР,
5 A946).
[12] О полноте семейств аналитических функций в комплексной области. Ереван, Изв.
ин-та матем. и мех. АН АрмССР, 1 A947), 3—59.
Шапиро 3. Я.
[1] О существовании квазиконформных отображений. ДАН, 30 A941), 685—687.
Швецов К. И.
[1] О предельном значении интегралов. Проблема моментов с дополнительным усло-
условием А. А. Маркова на множестве Е. Хрк., Научн. зан. авиац. ин-та, 2:4 A939),
62—68.

БИБЛИОГРАФИЯ 477
[2] О проблеме .моментов Hamburger'a при дополнительном требовании отсутствия
масс на заданном интервале. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 16 A940), 121—128.
Ш е р м а н Д. И.
[1] Об одной краевой задаче теории аналитических функций. Ташкент, Научн. труды
Воронежск. авиац. ин-та, 1 A944), 67—71.
Шилов Б. Ф.
[1] О приближённом конформном преобразовании двухсвязных областей. Л., Труды
Воен. мех. ин-та A939), 153—187.
Шилов Г. Е.
;[1] О коэффициентах Фурье некоторого класса непрерывных функций. ДАН, 35A942),
3—8.
Ш и ф н е р Л. М.
[1] О степени матрицы. ДАН, 1 A935), 599—601.
[2] О степени матрицы. Матем. сб., 42 A935), 385—394.
[3] Об однородной инвариантной функции от матрицы второго порядка. Матем. сб.,
42 A935), 559—566.
{4] Об одной задаче на разыскание минимумов. Орджоникидзе, Учён. зап. С.-Осет.
пед. ин-та, 1 A938), 135—138.
Шмушкович В.
[1] Об одной комбинаторной теореме теории множеств. Матем. сб., 6 D8), A939),
139—148.
Шн ейд ер В. Е.
[1] Непрерывные образы суслинских и борелевских множеств. Метризационные тео-
теоремы. ДАН, 50 A945), 77—80.
\2] Дескриптивная теория множеств в топологических пространствах. ДАН, 50 A945),
81—84.
ШнейдерВ. Я.
{1] Об одном выражении полного дифференциала сложной функции одного незави-
независимого переменного. Свердловск, Изв. Уральск, политехи, ин-та, 6 A927), 53—71.
Шнирельман Л. Г.
,\Ц О равномерных приближениях. ИАН, сер. матем., 2 A938), 53—59.
Ш п и л ь р ей и Я. Н.
[1] Теорема Бореля о перемножении интегралов. Ж. Энергетик, 3 A931), 16—17.
Ш т а е р м а н И. Я.
[1] Обобщение формул ортогонализирования. Киев, Вестн. политехи, ин-та, 21 A927),
49—56.
[2] Гиперболические функции. М.—Л., ОНТИ A935), 1—55.
[3] Связь эллиптических функций с тригонометрией. Киев, Труды авиац. ин-та,
8 A938), 5—20.
Штейнберг Н. С.
[1] Об условиях, достаточных для моногенности функции комплексного переменного.
Матем. сб., 17 E9) A945), 45—58.
Штокало И. 3.
[1] О приближённом конформном отображении посредством полиномов Сеге. Хрк.,
Сб. научн.-иссл. работ текст, ин-та, 1 A939), 169—182.
¦[2] Оценка модуля некоторых коэффициентов функций, дающих однолистное конформ-
конформное отображение. Хрк., Сб. научн.-исслед. работ текст, ин-та, 2 A940), 223—230.
[3] К вопросу о необходимом и достаточном условии однолистности функций в
|z|<l. Хрк., Сб. научн.-исслед. работ текст ин-та, 2 A940), 231—238.
Шу н М. С.
A] Об асимптотическом представлении полиномов Лежандра. Хрк., Научн. зап.
аиац. ин-та, 4 : 1 A940), 81—83.

478 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Шустер А. Г.
[1] Некоторые нелинейные бигармонические задачи. Куйбышев, Учён. зап. пед.
и учител. ин-та, 7 A943), 160—180.
Щеглов М. П.
[1] К вопросу о поведении степенного ряда в круге сходимости. Матем. сб., 14 E6),
A944), 109—132.
[2] О некоторых равенствах. ИАН, сер. матем., 9 A945), 321—328.
[3] О некоторых вопросах суммирования методом Пуассона. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 423—428.
[4] О сходимости и ограниченности ряда Дирихле. ИЛН, сер. матем., 9 A945),
527—530.
[5] О суммировании Пуассона. Матем. сб., 18 F0), A945), 41—58.
Щербина А. Д.
[1] Об одном методе суммирования рядов, сопряжённых с рядами Фурье. Днепро-
Днепропетровск, Научн. зап. ун-та, 25 A941), 45—61.
Э ф р ос А. М.
[1] О некоторых применениях операторного исчисления к анализу. Матем. сб.,
42 A935), 699—706.
[2] Деяк1 прикладання операилйногочислення до аиал1зу. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
14 A937), 205—226.
Юнович Б. М.
[1] О дифференцировании абсолютно аддитивных функций множеств. ДАН, 30 A941),
112—114.
Ялтуновская М.
[1] Об одной интерполяционной проблеме. ДАН, 3 A936), 199—202.
Я н к о в В.
[1] Об унификации А-множеств. ДАН, 30 A941), 591—592.
Янчевский С. А.
[1] Функции комплексного переменного. Изд. 2, Л.—М., ОНТИ A937), 1—196.
Яснопольский С. А.
[1] Про исчисления виразу. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР, 3A931), 93—96.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
В. В. НЕМЫЦКИЙ и В. В. СТЕПАНОВ.
§ I. Аналитическая теория дифференциальных уравнений D81). § 2. Кра-
Краевые задачи дифференциальных уравнений D8j). § 3. Отдельные вопро-
вопросы теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений D88).
§ 4. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями D93).
§ 5. Устойчивость по Ляпунову и смежные вопросы D9Q). § 6. Динами-
Динамические системы E08).
сборнике «Математика в СССР за пятнадцать лет» теория
обыкновенных дифференциальных уравнений была пред-
представлена лишь небольшим параграфом в статье В. В. С т е-
Панова «Анализ» и отчасти в статье Л. Г. Ш н и р е л ь-
м а н а «Топологические методы в анализе». Бурное и
всестороннее развитие этой науки за последнее пятнадцати-
пятнадцатилетие заставило в настоящем сборнике посвятить ей весь-
весьма обширный обзор результатов советских математиков в
оласти аналитической и качественной теории обыкновенных диффе-
^нциальных уравнений. В обзоре совершенно не затрагиваются числен-
ше методы решения дифференциальных уравнений, а также методы
фиближёниого интегрирования, так как этим вопросам посвящена спе-
шалыгая статья настоящего сборника. Авторы полностью отдают себе
ггчёт в условности принятой здесь классификации работ, а также не
пгетендуют на исчерпывающую полноту обзора.
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
В рассматриваемый период научная работа в области аналитической
¦еории дифференциальных уравнений сосредоточивалась в ленинград-
:кой математической школе.
Одна из первых работ в этой области принадлежит В. И. С м и р -
i о в у [1]. Эта работа посвящена задаче обращения линейного диффереи-
шального уравнения второго порядка с четырьмя особыми точками. За-
Задача обращения есть исследование независимого переменного, как функ-
¦щш отношения двух решений дифференциального уравнения. Случай
трёх особых точек является классическим, он решён в работах Фукса,
11варца и Клейна. В случае четырех особых точек уравнение содержит
существенный параметр; вопрос об однозначном обращении сводится к крае-
краевой задаче как обычного,так и полярного типа. В. И. С м и р н о в получает
Л Математика в СССР за 30 лет

482 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
решение задачи с помощью теорем колебания. Им устанавливается суще-
существование трёх значений параметра, для которых обращение приводит к
однозначным функциям фуксова типа (автоморфным функциям с гранич-
граничным кругом). Второй вопрос, решённый в той же работе, состоит в нахожде-
нахождении спектра значений параметра, при которых задача обращения допускает
однозначное решение в клейновых функциях. Оказывается, что этот спектр
состоит из одного сплошного промежутка и бесконечного множества Д1 с-
кретных точек. В. И. С ми р н о в ы м даны, кроме того, характеристики
клейновых функций в различных точках спектра и исследованы качествен-
качественные законы зависимости группы производящих подстановок уравнения
от параметра.
В заметке [4] В. И. См и р н о в даёт качественный (топологический)
критерий эквивалентности двух линейных уравнений второго порядка с
рациональными коэффициентами с точки зрения рациональных преобразо-
преобразований независимого переменного; общие результаты прилагаются к полу-
получению уравнения с четырьмя особыми точками из уравнения Гаусса,
В. И. Крылов [1] исследовал вопрос о числе и построении
регулярных интегралов в иррегулярной особой точке. В одном частном
случае вопрос о существовании в иррегулярной особой точке регуляр-
регулярных интегралов, у которых степенные разложения содержат конечное
число членов, решён до конца М. С. Горнштейном [2].
С рядом работ большого принципиального значения выступил
ленинградский математик И. А. Л апп о-Д ани левск и й [15,17,18],
Его программа заключалась в широком применении аппарата аналити-
аналитических функций от матриц к исследованию систем дифференциальных
уравнений. И. А. Лаппо-Данилевским была впервые построена
теория аналитических функций от матриц и получены основные факты
этой теории. В отношении систем дифференциальных уравнений им впер-
впервые с надлежащей полнотой поставлена задача о характеристике особен-
особенности решения как вблизи регулярной, так и иррегулярной особой точки,
Для регулярного случая дано генеральное выражение характеристики
особенности через параметры, входящие в уравнение (задачи Пуанкаре), i
выяснен мероморфный характер этой зависимости. Для группы уравнения
произведён подробный анализ алгоритмического представления и дан<
само это представление. В иррегулярной точке дано локальное представлен
ние характеристик особенностей в функции параметров при значениях па
раметров близких к нулю. Им же локально решены обратные задачи—по
строение уравнения по данным характеристикам особенностей во все]
сингулярных точках уравнения.
Идеи И. А. Лаппо-Данилевского нашли своё продолже
ние в работах Н. Е. К о ч и н а, Н. П. Е р у г и н а, Л. М. Ш и ф н е ре
Б. Л. Крылова.
Н. Е. Ко чин [2] впервые выяснил, в чём состоит трудность гея»
рального решения задачи Пуанкаре для иррегулярных точек; эта трдо
ность заключается в многозначности характеристики особенностей, ка
функции параметров уравнения. ;
В работе Н. П. Е р у г и н а [2] полностью исследован вопрос озаи
симости показательной подстановки в иррегулярной особой точке от пар(
метров уравнения в случае матриц второго порядка. Это исследовав
основано на подробном изучении логарифмической функции матриц*
Л. М. Шифнер [2] перевёл на язык функций от элементов матр(
тейлоровы и лорановы ряды от матриц в задаче Пуанкаре для одам

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 483
дифференциального уравнения второго порядка с особыми точками типа
Фукса. Получен ряд новых формул.
Б. Л. Крылов [2, 3] произвёл подробное исследование регуляр-
регулярных систем с тремя особыми точками. В частности даны явные формулы
для группы данной системы. При помощи матричной записи построены
канонические решения данной системы.
§ 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В современном развитии теории линейных дифференциальных уравне-
уравнений одно из главных мест занимают краевые задачи. Пусть дан линейный
дифференциальный оператор
L (у) = /,у(»> + 1Уп~») + ... + luy,
где /, — непрерывные функции х в рассматриваемом интервале (а, Ь). Ста-
Ставится задача о нахождении значений параметра X, для которых дифферен-
дифференциальная система, состоящая из уравнения
L(y)-Xpy = O [р(х)>0]
и граничных условий
п-1 п-1
ut (у) *= 2 аиУи) («) + 2 b»y{i) w=°> i=0>1 —n -]'
имеет не тождественно равные нулю решения. Эта задача сводится к на-
нахождению характеристических чисел и фундаментальных функций одно-
однородного интегрального уравнения Фредгольма, ядром которого является
функция Грина G(x, <) оператора L (у), т. е. решение уравнения
L(y) = O, непрерывное вместе с производными до (л — 2)-го порядка,
тогда как (л — 1 )-ая производная имеет разрыв в точке х = ?; G (х — 0, с) —
— G(x + 0, ?) = j~yv Соответствующее интегральное уравнение есть
Весьма существенные достижения в теории краевых задач полу-
получил М. Г. К р е й н, применив результаты своих и Ф. Р. Г а н т-
м а х е р а исследований в области интегральных уравнений.
Первый цикл их работ связан с ядрами Келлога. Так называются ядра
интегрального уравнения Фредгольма, все «детерминанты Фредгольма»
которых удовлетворяют условиям
хх, х2, •••-хпЛ>0 a<Xl<Xi< '¦¦ <Хп
s,, s2, .... sn/ v st < s2< ... < sn
У такого ядра все характеристические числа являются положительными
и простыми; пусть они будут Х4 < X, < ... < Хп < ..., и соответству-
31*

484 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ющие фундаментальные функции <р0 (х), ^ (х), ...,?„ (х),...; тогда любая
m
линейная комбинация 2 ct9i (х) имеет в интервале (а, Ь) не более т нулей,
m
а любая комбинация 2 с.фДх), & = 0, 1, ..., т—\ имеет не менее
к нулей. М. Г. К р е й и называет эти ядра осцилляциснными.
В приложении к дифференциальным системам М. Г. К р е й и рас-
рассматривает сначала самосопряжённый оператор чётного порядка
и самосопряжённые граничные условия. Этот оператор называется осцил-
осцилляционным, если хоть одна функция Грина (соответствующая некоторым
граничным условиям) является осцилляционным ядром.
В работах М. Г. К р е й н а [б, 8, 10] даются необходимые и достаточ-
достаточные условия осцилляционности оператора A). Эти условия имеют такой
вид: можно найти такие п решений уравнения L (у) = 0, о>а, «2, ..., (»„,
удовлетворяющих граничным условиям:
у(а) = у'(а) -у<»-1>(а)-0, B)
чтобы выполнялись неравенства:
W (ш,) > О, W (<»!, w..) ;;> О, ...,W (<»i, a>2, . . •, а>п) > 0.
Здесь и> обозначает детерминант Вронского; первые я —1 неравенств вы-
выполняются для а < х < Ь, а последнее и для х = Ь. В таком случае
функция Грина, удовлетворяющая, кроме условия B), также условиям
у{Ь) = у'(Ь)=:...=у*-Ч{Ь) = О C)
заведомо -является осцилляционным ядром. Обобщением классических тео-
теорем Штурма для уравнения второго порядка является свойство функции
w(o>].(x, X), о)г(х, л), ..., о)„(х, >-)), где о>, (х, Х)~система линейно неза-
независимых решений уравнения L (у) — Хру = О с граничными условиями B).
Именно эта функция имеет только простые нули, их значения возрастают
вместе с X. и число их равно номеру последнего характеристического
числа хп, не превышающего к для граничных условий B), C). Наконец,
доказывается, что приведённое условие эквивалентно такому: существует
представление самосопряжённого оператора
L (у) -_-(_1)»Рв!|.?1 Ар2 ... ?п1 |.рпу>
в котором р,- (х) >0 при акх<Ь.
В последующих работах М. Г. К р е и и [9, 10] обобщает полученные
результаты на случай несамосопряжённого оператора порядка п. Пусп
какая-нибудь функция Грина этого оператора даёт осцилляционное ядрд
тогда осцилляционным будет и ядро, отвечающее граничным условия»
У(а) = У'(а)= ••• ~-у(п~1Ца) = О; y{b) = y'{b)= ¦.. =/»-*>(*) = 0."
Даются необходимые и достаточные условия осцилляционности этого ядр!
в форме необращения в нуль п детерминантов Вронского, а таюй

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 485
в возможности представить оператор в виде Ро ^pi ¦ ^Рг • • ¦ • • jx ?пУ
с положительными на интервале (а, Ь) функциями р,(х). П. К а л а ф а-
ти [1 ] доказывает, что функция Грина несамосопряжённого оператора мо-
может быть осцилляционной только в случае, если граничные условия штур-
мовы, т. е. распадаются на условия, относящиеся отдельно к концу a
и к концу Ь. ,
Другая группа работ М. Г. К р е и н а [2, 7] связана с ядрами Мер-
сера. Ядра Мерсера—это симметричные ядра, у которых все характеристи-
характеристические числа положительны. Рассматриваются уравнения L (у) — Хру = О,
где! имеет видA), с самосопряжёнными граничными условиями. Доказы-
Доказывается, что при условии {— 1)" /0 > 0 существует только конечное число
отрицательных характеристических чисел, при чём это число не зависит от
выбора функции р (х). Более точные результаты получаются для положи-
ь
тельного оператора, т. е. для такого, что \ L (у) у dx > О при любой п раз
а
дифференцируемой функции у (х), удовлетворяющей граничным условиям
B) и C).
Число отрицательных нулей равно числу отрицательных квадратов
в каноническом представлении квадратичной формы
п-г
2 2
Здесь введено обозначение:
Ох" Оу* "
Наконец, даётся обобщение теоремы Гильберта-Шмидта в следующей фор-
форме: для того чтобы функция g(x), имеющая п - 1 абсолютно непрерывных
производных и п-ю производную с суммируемым квадратом, разлагалась
е равномерно сходящийся ряд Фурье по фундаментальным функциям ядра
Грина и чтобы ряды, получающиеся почленным дифференцированием 1,2,...
...,я — 1 раз сходились равномерно, а ряд из п-х производных сходился в сред-
среднем квадратичном, необходимо и достаточно, чтобы g(x) удовлетворяла
«главным граничным условиям». Главными граничными условиями Крейн
называет такие условия Ut (у) = 0 , i = 1, 2, ..., г (в наибольшем числе),
в которых коэффициент a.ik — $ik = 0 для к > п. Это условие эквивалентно
условию сходимости ряда 2^»с$, ГДе cv—коэффициенты Фурье g(x):
<ч = \ g (x) ъ (x) с (х) dx.
a
Ряд авторов разрабатывал вопросы краевых задач для частных диф-
дифференциальных систем. Работы С. А. Янчевского о краевых зада-
задачах уравнения четвёртого порядка охарактеризованы в сборнике «Матема-
«Математика в СССР за пятнадцать лет». Эти работы относятся к дифференциаль-
дифференциальному уравнению (су")" + A»(х) —Хт(х))у = 0, р > 0, т>0. В 1938 г. эти
результаты распространены Д. Ш и н о м [4] на самосопряжённые квази-
квазидифференциальные уравнения наиболее общего вида

486 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
Ряд результатов С. А. Янчевского можно получить, кроме тоге,
как частные случаи результатов М. Г. Крейнаи его школы.
Кроме обычных граничных условий, связывающих значения функции
и производных в концах интервала (я, Ь) (билокальные условия), можно
рассматривать условия, линейно связывающие значения решения уравне-
уравнения и его производных в нескольких точках (полилокальные условия)
«ли, в общем случае, линейные функционалы от функций и её производ-
производных. Эти самые общие условия имеют вид-:
к 0 а
Для таких граничных условий функция Грина построена 3. Ф. С у р и-
к о в о й [1].
Наиболее общие исследования в этой области принадлежат А. С. Смо-
г о р ж е в с к о м у [3, 4]. Он рассматривает систему л линейных уравне-
уравнений первого порядка; в таком случае роль функции Грина переходит
к квадратной матрице от функций, аналогичных функции Грина; это так
называемый тензор Грина. Автор даёт его построение, также как и постро-
построение обобщённого тензора Грина, соответствующего тому случаю, когда
V — О является характеристическим числом дифференциальной системы,
Автор даёт необходимые и достаточные условия, чтобы тензор Грина имел
симметричный или эрмитов характер.
Работа А. А. Граф фа [1] посвящена исследованию сопряжённо!
дифференциальной системы в случае билокальных, полилокальных и ин
тегральных граничных условий. Автор определяет (это определение есп
у Дарбу) систему решений сопряжённого уравнения, которую естествен^
назвать сопряжённой с данной фундаментальной системой исходного урав
нения; далее, вводя для системы линейных алгебраических уравненю
понятие «связанной» с нею системы (условие ортогональности любого век
тора-решения первой системы вектору-решению второй), автор полу
чает условия существования решения неоднородной системы. Для сам
сопряжённого уравнения устанавливается форма самосопряжённых репй
ний и даётся новая каноническая форма самосопряжённых граничны
условий. В качестве приложения этих результатов даётся критерий пол<
жительности характеристических чисел.
Д. Ш и н получил весьма глубокие результаты для наиболее обпр
квазидифференциальных линейных уравнений. Рассматриваемый дифф
ренциальный оператор пишется в виде :
/[»], Где /[о] = роо/, fi*\z=iPkb?xjtk-li-
Комплексные функции P/;v определены в конечном или бесконечном инк
вале а < х < Ь и удовлетворяют условиям: „ - и PAv (v< к) — функции с Я
к А'

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 487
тегрируемым квадратом в каждом конечном замкнутом интервале
(а, Р)С(а, Ь); ]W для к<п — 1 абсолютно непрерывны, функция /М с
интегрируемым квадратом. Для уравнения /[п] =»/*(/* принадлежит
^г (я, Ь)) доказывается существование единственного решения, определя-
определяемого начальными, условиями
fW(c) = ck ck?(a,b), A-0, 1,2, ...,п-1.
Для системы п решений /1? /2, ..-,/„ однородной системы условием
линейной независимости является неравенство нулю детерминанта типа
Вронского
НЧ/х,/,, ...,/nI = det l/^-1)!; A,/=-1,2, ...,п.
Оператор g{n}, сопряжённый с /in-i, определяется равенствами
п-1
причём QfcV = ( n v>p~*—n k'n "Л . Формула Лагранжа имеет вид:
Ч ' n—v,n—v s
Оператор является самосопряжённым, если
Qtv = P*v, v < А, А = 0, 1, ..., л; v = 0, 1, ..., п — 1.
Далее рассматривается уравнение /М — // = 0 с самосопряжённым
оператором /tnJ и комплексным параметром I (пусть для определённости
Im (/) > 0). Для этого уравнения ищетсячисло линейно независимых реше-
решений в интервале (с, Ь), где а < с < Ъ, удовлетворяющих условию:
ь ¦
\ / ,2 dx < оо. Обобщая метод Г. Вейля, автор доказывает, что суще-
с
ствует п или Г-g- | линейно независимых решений, удовлетворяющих
этому условию. Аналогично, если поставить условие на левом конце,
с
т. е. рассматривать интервал (а, с) и требовать \ |/|*dx< со, то ока-
а
зывается, что существует п или п — Г у 1 линейно независимых реше-
решений, удовлетворяющих этому условию. Наконец, при условии на обоих
ь
концах: \ | /1" dx < оо, возможны следующие значения для числа линейно
а
независимых решений:
О, [i], »-["-]. п.
Для исследования краевых задач Гильберт, а затем Курант с успехом
применили методы вариационного исчисления. Из работ советских мате-

488 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
матиков, относящихся к этому методу, отметим статью Ю. В. Рудн е-
в а [2], который исследует решения уравнения второго порядка
d
dx
и соответствующего неоднородного уравнения, при условии, что коэф-
коэффициент R обращается в нуль (первого порядка) на одном или на двух
концах рассматриваемого интервала; соответствующее граничное условие
заменяется условием конечности решения в данном конце; результаты
получаются те же, что в классическом случае Штурма.
В цикле интересных работ Л. А, Л юсте рник [2, 3, 4, 5], прила-
прилагая метод вариационного исчисления, открыл новый класс нелинейных
уравнений, у которого решения краевой задачи имеют тот же характер,
что у линейных уравнений. Пусть F(x, у, у') —функция, однородная
относительно переменных у, у' чётного порядка 2к. Рассматриваемое
уравнение есть
оно обращается в уравнение Штурма, если &=1 и F—многочлен:
F==R(x)y'2-{-P(x) у2. Рассматривается простейшая граничная задача:
у {а) = у (Ь) = 0. Доказываются такие свойства этой системы: существует
счётная последовательность значений к± < Xt < ... < Хп < ..., для которых
система имеет нетривиальные решения; эти числа возрастают, как пЛ.
Решение, соответствующее числу Хп, обращается в нуль п—1 раз в интер-
интервале (а, Ь). Далее даётся критерий положительности всех характеристиче-
характеристических чисел, а также признак для определения числа отрицательных
характеристических чисел.
§ 3. ОТДЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИ-
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Исследованием свойств решений линейного дифференциального урав-
уравнения второго порядка систематически занимались Н. В. Адамов
и М. И. Е л ь ш и н.
Н. В. А д ам о в [2, 3, 4] сводит уравнение
*)и = 0, A)
где функция р (х) неотрицательная и периодическая с периодом о>, к урав-
уравнению Риккати. Для двух уравнений Риккати с различными функциями
р (х) автор устанавливает теоремы сравнения, которые справедливы и для
их пикаровских приближений. Из рассмотрения первого приближения
автор приходит к ляпуновскому критерию ограниченности решений урав-
уравнения A):
ш \ р (х) dx < 4.
б
Рассмотрение следующих приближений даёт ряд усиливающихся призна-
признаков ограниченности решений.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 489
Н. В. А д а м о в [7] рассматривает, кроме того, оператор
{Y{x,y)dx-X(x, y))dy;Y(x,y)=X(x,y)f(x, y),X>Q.
Этот оператор преобразует в себя каждую интегральную кривую уравне-
уравнения -г =Цх,у). При выполнении условий
dx
в рассматриваемой области, этот оператор переводит поле кривых опять
в поле. Для приложений можно взять X = <р (х), в частности <р (х) = teM(x-a',
если I— < М. Итерации этого оператора при определённых усло-
условиях сходятся к решению уравнения во всей рассматриваемой области.
Использование этого оператора в применении к уравнению Риккати,
соответствующему уравнению A), позволило автору дать новые условия
того, что решения линейного уравнения A) являются неколеблющимися.
В качестве необходимого условия, вместо тривиального — р(х) > 0, полу-
чается более общее условие: — \ p{x)cix> 0. Отсюда следует, что если
в разложении функции р (х) в ряд Фурье свободный член равен 0, то решения
уравнения (I) колеблющиеся. Достаточные условия неколеблемости реше-
решения имеют у Н. В. Адамова такую форму: пусть а (при выполнении не-
X
обходимого условия) такое число, что Si (х) = — { р (х) dx > 0 при х > а.
и
ж
Тогда, если обозначить S (х) =-- \ Sx (x) dx, мы имеем два критерия отсут-
0
ствия у уравнения A) колеблющихся решений:
X
dx>0, — ^ eSx>p (х) dx > 0.
a
Очевидно, это критерии более общие, чем тривиальный: р (х) <0.
М. И. Е л ь ш и н [1, 2, 3, 4] исследует решения уравнения
выражая это решение в форме, впервые рассмотренной Хамелем:
х =
где R и у - произвольные постоянные, ш — переменная частота, удовле-
удовлетворяющая уравнению

490 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
здесь инвариант уравнения / (<) = — + 4—1- Для неколеблющихся ре-
со
шений \ о dt сходится, для колеблющихся последовательность нулей
о
решения tlt t2, ¦¦¦,tn, ... определяется уравнениями
<*
j 2
о
Для сравнения решений двух уравнений с инвариантами / {t), 7 (t) автор
представляет функцию / (t, <x) = l (t)+a [7@ — /(<)], 0<а< 1, в правую
часть уравнения частот и получает для частоты уравнение в вариациях:
ша (/, «) = »(/, a) J f®~'a}s) Sin 2 J «• (S, а) dcds.
(
Из анализа этого уравнения устанавливается, что фаза V ш d? + у убы-
(I
вает при возрастании инварианта. Полученные формулы позволяют срав-
сравнить данное уравнение с уравнением, у которого / (t) = 0 + <Ь* —
— >.2 ехр ( — 4 \ О dM , / > /. При X > 0 получается ряд условий
со
осцилляционности в форме w-2I"l><lsds< ос, а при /. = 0 необходимое
и
и достаточное условие существования двух нулей на интервале (а, Ь).
В частности, доказывается, что решение уравнения с почти периодическим
инвариантом, у которого постоянный член в разложении Фурье равен
пулю, является колеблющимся; решается также вопрос о колебательном
характере уравнения с периодическим инвариантом.
Линейным уравнением с периодическими коэффициентами посвящена
заметка В. В. Степанова [2]. Для системы двух однородных линей-
линейных уравнений с периодическими коэффициентами
вводятся полярные координаты x = pcosi>,y = psinih Тогда, согласно
Леви-Чивита, решение для & имеет вид: ft = u.t + ш (t), где ц— постоянная,
ш — ограниченная функция. В заметке изучается характер этой функции,
причём задача сводится к исследованию траекторий на торе.
Б. М. Л е в и т а н [1, 2], определив новый обобщённый класс почти
периодических функций, применил эти функции к исследованию уравне-
уравнений с почти периодическими коэффициентами. Рассматривается система
уравнений
п
¦ж = 2 /** (о х*+& (о. r=i, 2,...,«,
где fijt и g, -действительные почти периодические функции в смысле Bopd
или в новом обобщённом смысле. Доказываются теоремы: 1. Всякое ограни-
ограниченное решение системы является почти периодическим (в новом смысле),

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 491
¦если соответствующая однородная система не имеет ограниченных решений
(кроме тривиального). 2. Система имеет по крайней мере одно почти пери-
периодическое решение, если она имеет ограниченные решения и если однородная
система не имеет решений, для которых ^x*{t) принимает сколь угодно
малые значения. Эти теоремы аналогичны теоремам Фаварадля функций
почти периодических в смысле Бора, но в новом классе условия тео-
теорем проще, так как ограничения, налагаемые на решения однородной
системы, касаются только одного уравнения, а не целого семейства
уравнений, как это имеет место у Фавара.
И. С. Г р а д ш т е й н [1 ], в связи с анализом работы прибора Гутен-
махера для решения линейных дифференциальных уравнений, исследовал
системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, содер-
содержащие степени малого параметра в при старших производных, именно,
системы вида
/=1,2, ...,n; p = -jf
Им доказано, что при условии отрицательности всех действительных час-
степ корней (. уравнения
Det j a\f A + а$} ¦+-...+ а^р"» k*-i,2,...,m = 0
решения данной системы при s —* О стремятся к решениям системы,
« которой г = О, имеющим соёпадающие с заданными начальные значе-
значения тех функций и производных, которые определяют задачу Коши для
укороченной системы.
Переходим теперь к нелинейным задачам.
Один из методов практического решения нелинейных задач физики
ведёт своё начало от Ван-дер-Поля и состоит в том, что правая часть
уравнения, зависящая периодическим образом от времени, заменяется
её осреднённым значением по явно входящему времени. Важные ма-
математические результаты в этом направлении получены Н. М. К р ы-
ловым и Н. Н. Боголюбовым [12]. Они рассматривают урав-
уравнение нелинейных колебаний с одной степенью свободы
#+••*-¦/('.*?.•)•
dt1
где s —малый параметр, / — степенной ряд от г:
причём /„ предполагается полиномом от х, -?-, cos t, sin t. Следуя Ван-

492 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
дер-Полю, вводятся полярные координаты x = flsin8, --^- = a
и затем получаются осредиённые уравнения первого приближения
da е п /—, d6 е л, ,—,
где
(a) — — '( (f It a sin
4m2 J J ° '
ii о
1 л ~r
At? J j
C0S ?) C0S
и о
Если существует корень а0 уравнения F(a) = 0, то осреднённоеурав-
осреднённоеуравнение первого приближения имеет периодическое решение а = а0, в"= vf + 4
Г$ — постоянная интеграции, v = u) —^-Ф(а0) J .Затем получается первое
приближение стационарного решения неосреднённого уравнения, как
сумма члена a sin 0, и тригонометрического полинома от nt и тО, умножен-
умноженного на параметр е; оно имеет вид x==z(f, ft), гдеz — периодическая функ-
функция периода 2ъ по обоим аргументам, т. е. при иррациональном v квази-
квазипериодическая функция времени. Если F'(а0) < 0, к этому решению асим-
асимптотически стремятся все достаточно близкие решения первого приближе-
приближения. Н.М.Крылову и Н. Н. Боголюбову удаётся исследовать
характер точного решения уравнения вблизи этого приближённого щи
достаточно малом значении параметра е. Применяя метод Пуанкаре-
Ляпунова разложения решений в ряды и теорию Пуанкаре-Данжуа тра-
траекторий на торе, авторы устанавливают существование у точного решения
стационарных решений x=z(f, v(s) t), начальные значения которых
лежат в е-близости от стационарных решений приближённого решения.
При иррациональном v(s) эти решения являются квазипериодическими
и образуют семейство от одного параметра; при рациональном v (e) эти
решения периодические и образуют, вообще говоря, дискретное множе-
множество. Все остальные достаточно близкие решения асимптотически стре-
стремятся к стационарным. Аналогичные результаты получаются для «резо-
«резонансного случая», когда частота ш близка к одному из некоторого множе-
множества рациональных чисел —; здесь полагается «> = — + го.
S S
Н. Н. Боголюбов[1] посвятил строгому обоснованию метода Ван-
дер-Поля специальное исследование, которое содержит интересные мате
матические результаты. Сначала автор показывает, что ряд физических
задач, содержащих «малый» или «большой» параметр (возмущающая перио-
периодическая сила большой частоты), надлежащим выбором координат приво-
приводится к уравнениям вида *—-' =¦ sXt (<гх1;..., хп) i—\,2,...,n, или кратко
— = еХ (t, х), где г—малый параметр. Для таких систем доказывается
ряд теорем. Если X ограничен в некоторой области D, удовлетворяет в ней
условиям Липшица, и существует равномерно в D суе::енное седнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 493
Г
lim y { X(t, x)dt = Xri (х), то для любого {большого) L>0u любых
j>, у\ > 0 можно найти такое г0, что коль скоро решение уравнения
-,^ = гХ0(?) определено для 0<f<oo и остаётся в области D вместе со
своей [.-окрестностью, то решение точного уравнетях{г), х @) — % @), удо-
удовлетворяет при г < е„ неравенству |х (/) — 2 (f) | < ? для 0< г < -g . Эта
теорема оправдывает замену точного решения осреднённым при доста-
достаточно малых значениях з для конечного (возрастающего вместе с е)
интервала времени. Следующие теоремы устанавливают условия, при
которых истинное решение находится вблизи осреднённого па беско-
бесконечном промежутке времени 0<f < оо. На функцию X(t, x) налагается
дополнительное условие: среднее значение
I ;¦ 1
lim '- [ X {-, х) их = Хо (х)
существует равномерно относительно t, — °о < t < + оо. Основными явля-
являются случаи когда осредненное уравнение имеет решение постоянное или
же периодическое. В первом случае Х(;о)=0; в предположении неравен-
неравенства нулю характеристических показателей доказывается для достаточно
м: лого г существование решения х* \t) исходного уравнения, которое при
— со < t < + со находится в окрестности точки ;; в случае, если все дей-
действительные части характеристических показателей отрицательны, все
достаточно близкие решения асимптотически приближаются к х* (t);
а если число таких показателей s < п, то асимптотически Приближа-
Приближающиеся решения образуют многообразие s измерений. В случае перио-
периодического решения осреднённого уравнения предполагается, что п—1
характеристические показатели имеют отличные от нуля действительные
части; доказывается, что в окрестности периодического решения осред-
осреднённого уравнения лежит инвариантное многообразие от одного пара-
параметра решений точного уравнения; асимптотический ход остальных
близких к этому многообразию решений аналогичен предыдущему слу-
случаю в зависимости от числа характеристических показателей с отри-
отрицательными действительными частями.
§ 4. О КРИВЫХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ.
Уже в конце XIX и в начале XX столетия были установлены тео-
теоремы существования и единственности интегральной кривой системы диф-
дифференциальных уравнений
~tff ==]i v^l> Хц • • • i *rt< ')'
проходящей через данную точку [t0, х10, ..., хп0\ п+ 1-мерного
пространства, при самых общих предположениях относительно функций,
стоящих в правых частях. Поставлены и решены многие проблемы отно-
относительно расположения интегральных кривых в пространстве. Однако

494 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
несмотря на то, что многие учёные разрабатывают эти вопросы (поставлен-
(поставленные 65 лет тому назад Пуанкаре), вся проблема изучения расположения
интегральных кривых кажется и до сих пор неисчерпаемой. Немало труда
вложили в её решение я советские учёные.
Начнём с теорем существования.
В 1922 г. Биркгоф указал возможность установления теорем суще-
существования на основе рассмотрения неподвижных точек при некоторых
преобразованиях семейства функций в себя. Однако сам Биркгоф указал
весьма ограниченную область применимости своего метода. В 1926 г.
П. С. Александрови В. В. Немыцкий*) доказали этим мето-
методом теорему Пеано; независимо от них польский учёный Шаудер получил
в 1926—1927 гг. ещё более общий принцип. В конце двадцатых годов.
А. Н. ТихоновиЛ. Г. Шнирельман указали на один принцип,
который позволил геометризировать доказательства методом последо-
последовательных приближений; одновременно с ними в Италии тот Же принцип
опубликовал Каччопэли. С тех пор принцип неподвижной точки и прин-
принцип Каччополи-Тихонова служат основными методами доказатель-
доказательства теорем существования решения самых разнообразных нелинейных
проблем. К циклу работ по теоремам существования относятся работы
Н. В. А д а м о в а [5, 7], в которых поставлен и решён следующий вопрос:
найти оператор А[у] такой, что: 1) нахождение функции у, удовлетворяю-
удовлетворяющей уравнению у — А [у], было бы эквивалентно решению дифференциаль-
дифференциального уравнения у' = /(х,у), 2) опгератор А[у] применим во всей области
непрерывности )(х, у) и 3) если кривые у = <j>(x, y0) не пересекаются, то не
пересекаются и кривые у = Л[<р(х,у0)].
В изучении свойств кривых, определяемых дифференциальными урав-
уравнениями, можно наметить б циклов работ: 1) рассмотрение дифференци-
дифференциально-геометрических свойств интегральных кривых; 2) изучение асим-
асимптотических свойств, т. е. поведения кривых при t—> со; 3) нахождение
типов расположения интегральных кривых в данной области; 4) уста»
новление существования специальных типов интегральных кривых, на^
пример замкнутых, и изучение расположения интегральных кривых!
их окрестности; 5) изучение изменения расположения интегральных крич
выхпри изменении правых частей дифференциальных уравнений; б) рас*
смотрение расположения интегральных кривых при условии отсутствий
единственности. '
Интересное перечисление возможных проблем об интегральных кри^
вых дал Н. Д. Моисеев [13].
К пеовому циклу вопросов относятся работы Н. Д. М о и с е ев|
[3, 13], П. К. Р а ше в ск о г о, В. В. Алферова [1]. В част*
ности, Н. Д. Моисеев проводит дифференциально-геометриче|
скую характеристику пучка интегральных кривых, выходящих из дай
ной точки плоскости (х, у) для системы двух уравнений второго порядку
Эту характеристику он прилагает к проблемам небесной механики и эти
методом доказывает невозможность некоторых типов траекторий дл
проблемы трёх тел.
Второго цикла вопросов касаются работы Н. Н. Лузина [1|
Б. М. Г а га ев а [2,3], С. А. Га л ьп ерна [4], Н. В. Адамова [2/3!
В частности, Н.В.Адамовым дачы критерии ограниченности решени
уравнения у" -Ьр(х)у = 0для периодической функции ^(х), а С. А. Гал!
*) См. изложение их результатов в статье В. В. Немыцкого [2].

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 495-
перном критерии существования асимптот у решения уравнения
у' = /(х, у); Н. Н. Лузин для уравнения частного вида ^ = / (х) -Ь<р(у)
установил критерий существования предельного решения, к которому
приближаются все остальные решения.
Более богаты результатами работы, касающиеся поведения интеграль-
интегральных кривых около особых точек. Сюда относятся, прежде всего, работы
И. Г. П е т р о в с к о г о [3, 4]. Он подвергает детальному анализу пове-
поведение интегральных кривых нелинейной системы вида
Jf — ^ a>k*i + Pi (Х„ X,.. • • , Xn, 0>
где Щк постоянные. В этой работе он значительно уточняет ранее получен-
полученные результаты Перрона. Свои результаты он получает с помощью ориги-
оригинального метода Х-преобразований, т. е. преобразований вида xt = Xi~x.
В частности, ему удаётся доказать в ряде случаев существование семейства
интегральных кривых полной размерности, приближающихся к началу ко-
координат в данном направлении или касающихся данной «ведущей» пло-
плоскости, устанавливая тем самым глубокую аналогию с линейным случаем.
Ряд работ И. С. К у к л е с а [2, 3, 4] и М. А. Альмухамедо-
в а [2, 3] посвящен классической проблеме Пуанкаре различения «центра»
от «фокуса». Дело идёт об исследовании поведения интегральных
кривых системы уравнений
около начала координат. Со времени опубликования работ Пуанкаре
и Ляпунова было известно, что в зависимости от нелинейных частей
окрестность особой точки может быть либо заполнена спиралями (фокус),
либо замкнутыми кривыми (центр). В общем случае для полного решения
вопроса о том, будет ли данная особая точка центром или фокусом, тре-
требуется знание всех коэффициентов разложения в ряд Тэйлора функций
Р{х,у) иО(х, у). И. С Кук лес [2,3, 4], М. А. Альму хам ед о в [2,3]
иГ А.Туманян дают ряд достаточных условий для существова-
существования или отсутствия центра, причём для случая полиномиальных пра-
правых частей проблема ими значительно продвинута; в одной из работ
И. С. К у к л е с [3] сводит вопрос о существовании центра к нахожде-
нахождению частного решения некоторого уравнения в частных производных
В трёхмерном пространстве некоторые приёмы, позволяющие разли-
различить структуру особых точек, даёт М П. П а п у ш. Ставился также во-
вопрос и о распределении особых точек различных типов на многообразии,
например, на изоэнергетической поверхности. Используя методы Морса,
некоторые предварительные результаты здесь получили П. А. Кузь-
Кузьмин [1] и Л. Э. Э л ь с г о ль ц [1].
Переходим теперь к установлению существования траекторий и инте-
интегральных многообразий некоторого специального типа. Особую роль
в теории играют периодические решения. Ещё Пуанкаре выдвинул, как
важную, проблему нахождения предельных циклов, т. е. таких периоди-
периодических решений для системы уравнений ^ = Р (x,y);-^- = Q (x, у), ко-
которые были бы предельными для спиралей. А. А. А н д р о н о в [1]

496 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
показал*) важность решения подобной задачи для теории автоколебаний
электрических систем; им, а также М. А. Альмухамедовым [4],
Е. А. Леонтович**) и А. Г. Майером[1] были даны практические
приёмы для разыскания предельных циклов в частных случаях. Здесь
уместно отметить, что А. А. Андронов основал и руководит
в гор. Горьком целой школой математиков и физиков, разрабатыва-
разрабатывающих математическую проблему автоколебаний и другие физические
и технические проблемы, приводящие к исследованию вопросов каче-
качественной теории дифференциальных уравнений. К этой школе принад-
принадлежат уже ранее упоминавшиеся математики А. Г. Май ер,
Е. А. Леонтович, а также Н. Р. О т р о к о в, Н. Н. Б а у т и н
и др. Одно время в этих работах принял участие и известный
геометр Л. С. Понтрягин. Для этой школы типично либо при-
применение метода функций последования Пуанкаре, либо методов осред-
осреднения Ван-дер-Поля.
Иной метод разыскания периодических решений разработай
В. В. Н е м ы ц к и м [7, 8, 12]; этот метод состоит в построении некото-
некоторой конечной системы ломаных, которые отражают всю качественную
картину поведения решений в ограниченной замкнутой области, несодер-
жащей особых точек. При этом удаётся конечным заранее вычислимы»
числом шагов построить сколь угодно узкие кольца, в которых толькс
и могут заключаться предельные циклы. Для системы двух уравнени!
второго порядка, т. е. для динамической системы с двумя степенями сво-
свободы, вопрос о существовании периодических решений (траекторий),
а также и вопрос о наличии областей, в которых не могут или могут за-
заключаться периодические решения, подверг рассмотрению Н.Д.Мои-
Н.Д.Моисеев [14, 17].
Методом Н. Д. Моисеева является улучшенный им метод ко»
гактных характеристик Адамара. Говоря кратко, этот метод состой]
в изучении пересечения и касания кривых решений системы с некого!
рой топографической системой/(х, у) = С кривых на плоскости. Н. Д. Мой
с е е в ввёл в рассмотрение пересечения интегральных кривых «с топо
графической» системой линий /(х, у, t) =C, зависящих от времени, и пока
:!;;л, что второй метод Ляпунова исследования устойчивости движение
м >жет быть представлен с этой точки зрения. Основным его результат»
явилось установление справедливости в некоторых случаях так нази
ваемого критерия Уиттекера, который ранее не был доказан. Однаю
кроме этого на многих примерах, связанных с решением различны!
проблем небесной механики, Н. Д. Моисеев показал практически
возможность нахождения областей, не содержащих периодически!
решений, а также областей, содержащих лишь одно периодически
движение. :j
Не только нахождение периодических решений, но и исследоваш
поиедения решений в их окрестности является предметом важных работ
В первую очередь укажем на И. Г. Петровского [3], которьй
показал, что знание характеристических показателей данного периода
ческого решения обеспечивает возможность исследования окрестноси
периодического решения в той же мере, как знание корней характерно^
ческого уравнения для особой точки. Однако надо иметь в виду, что нахц
*) См. А. А. А н д р о н о в и Е. А. Леонтович [1].
**) См. также А. А. А н д р о н о в и А. Г. В и т т [1].

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 497
ждение характеристических показателей само представляет трудную
проблему. Интересную работу в этом направлении опубликовал Н. А. А р-
х е м ь е в [8], который свой метод разыскания характеристических
показателей применил к некоторым проблемам небесной механики.
Наконец, наиболее трудной из решённых проблем явился вопрос об уста-
установлении существования интегральных многообразий для некоторого
класса систем дифференциальных уравнений. Этот результат получен
Н. Н. Боголюбовым [1].
Переходим к работам, характеризующим расположение интеграль-
интегральных кривых в целом. Естественно поставить вопрос о выделении класса
конечно определимых систем, т. е. таких систем дифференциальных урав-
уравнений, для которых знание конечного числа интегральных кривых доста-
достаточно для определения топологической структуры всего семейства.
Е. А. Леонтович и А. Г. Май ер [1] показали, что подобный
класс образуется системами, у которых Р (х, у), Q (х, у) суть поли-
полиномы. Введём определение. Траекторию / (Р, t) назовём ю- (соотв. а-)
орбитно-устойчивой, если для любого е > 0 можно найти такое 8 > О,
что из условия р (/(Р, т), /(Q,'))<8 вытекает, что траектория /(Q, /)
остаётся для f>t (t <т), в е-окрестности траектории /(Р, t). Оказы-
Оказывается, что орбитно неустойчивых хотя бы в одну сторону траекторий
лишь конечное число, и они разбивают всю плоскость на конечное число
областей. Задание этих орбитно неустойчивых траекторий, а также
по одной орбитно-устойчивой траектории в каждой области достаточно
для определения топологической структуры всего семейства траекторий.
Следующей важной проблемой теории интегральных кривых является
вопрос об изменении структуры кривых при изменении правых частей диф-
дифференциальных уравнений. Уже давно было известно, что если в правую
часть уравнений ввести параметр, то некоторые значения этого параметра
будут критическими, т. е. такими, что малого изменения этого значения
параметра достаточно, чтобы произвести резкое изменение всей картины
интегральных кривых. Применительно к изучению вопроса в случае
устойчивости на неустойчивость точки равновесия динамической системы,
описываемой канонической системой уравнений занимался, в частности,
Н.Г. Ч ета ев [12].
Другая постановка проблемы принадлежит А. А. Андронову
и Л. С. Понтрягину [1], которые ввели понятие «грубых систем».
Пусть дана система
$-Р(х,у); %-=Q{x,y), 0)
где Р(х,у) и Q(x, у)—аналитические функции; наряду с этой системой
рассмотрим другую, изменённую систему
ft=P(x,y) + p(x,y); %-Q(x,y) + q(x,y), B)
где р и q тоже аналитические функции. Первую систему назовём грубой
' в области G, если, каково бы ни было ч\ > 0, можно указать такое г>0,
что для всех аналитических функций р (х, у) и q(x, у), удовлетворяющих
в G условиям
\Р{*>У)\<*. к(Х,у)|<«, \р'х(Х, УI<е, \р'у(Х,у)\<е,
\q'x(X,y)\<* и \q'e(x,y)\<e,
32 Математика в СССР за 30 лет

498 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
существует топологическое отображение области G самой в себя, обладаю-
обладающее следующими свойствами: 1) соответствующие точки находятся на рас-
расстоянии не более чем yj; 2) точки одной и той Же траектории первой системы
соответствуют точкам, принадлежащим одной и той же траектории второй
системы и обратно. А. А. Андронов и Л. С. Понтрягин при
своём анализе рассматривали лишь те области, границы которых суть
циклы без контакта. Им удаётся, делая некоторые предположения отно-
относительно характеристических показателей предельных циклов, а также
свойства сепаратрис, т. е. интегральных кривых, соединяющих две особые
точки, дать исчерпывающую характеристику грубых систем. Несколько
позже А. А. Андронов и Е. А. Леонтович [1] расши-
расширили класс грубых систем, введя понятие грубости различных по-
порядков.
Интересным и важным вопросом является вопрос о «рождении» пре-
предельных циклов из центра. Н.Н.Баутин показал в весьма общих пред-
предположениях, что из центра не может родиться более чем три предельных
цикла при достаточно малом изменении параметра, от которого зависят
правые части системы.
Остановимся теперь на последнем цикле вопросов, касающихся рас-
расположения интегральных кривых в случае «неединственности», т. е. при
произвольных непрерывных правых частях уравнений. Этими вопросами
много занимались за границей, и только в самые последние годы эта тео-
теория подверглась интенсивной разработке в Москве. Из старых работ
безусловно должна быть упомянута работа М. А. Лаврентьева [1].
В этой работе построен пример такого дифференциального уравнения
вида — = /(х, у) с непрерывной правой частью, у которого все точки
некоторого квадрата являются точками ветвления. Для случая трёхмер-
трёхмерного пространства интересный пример построен М. Ф. Бокштей-
н о м Г1 ]. Он показал, что каков бы ни был плоский односвязный контину-
континуум, всегда можно найти такую систему дифференциальных уравнений вида:
что этот плоский континуум будет служить пересечением пучка интеграль-
интегральных кривых, выходящих из некоторой'точки пространства, с некоторой
гиперплоскостью х — ха. Точки ветвления интегральных кривых могут
быть подвергнуты классификации. Для случая плоскости подобной клас-
классификацией занимались Шарпантье, Ван-Кампен, Монтель; для случая
пространства классификацию предложил В. В. Немыцкий, разде-
разделивший все точки пространства на точки непрерывности и точки разрыва.
Е. А. Барбашин [2], воспользовавшись этой классификацией,
показал, что точки единственности будут точками непрерывности,,
а также установил, что точки непрерывности образуют множество-
второй категории по Бэру.
Изучение свойств расположения интегральных кривых в соединении
с проблемами механики привело к двум большим отраслям науки, тесно-
связанным с теорией дифференциальных уравнений: теория устойчивости!
по Ляпунову, теория динамических систем. К обзору достижений совет-;
ских математиков в этих областях мы и переходим. \

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 499
§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ.
Проблема «устойчивости по Ляпунову»—один из немногих хорошо
разработанных вопросов качественной теории дифференциальных урав-
уравнений нестационарных (автономных) систем. Пусть дана система диффе-
дифференциальных уравнений
-ai = fi(xvxt,...,xn,t), /1@,0,...,0./)?=0. A)
Относительно функций Д(х,, х2, ..., х„, t) делаются предположения, обес-
обеспечивающие существование и единственность решения любой задачи
Коши. Рассмотрим наряду с заданной нестационарной системой стацио-
стационарную
^ = //(xt,x., ...,xc,f); fr=l, Л @,0, ...,0, 0=0. (Г)
Из последнего условия вытекает, что система (Г) имеет решение,
xt = 0; х2 = 0; ...; хп = 0; / = т, которое А. М. Ляпунов называет «невоз-
«невозмущённым» или «тривиальным». Рассмотрим п+ 1-мерное пространство
{х,. х2, ..., хл, t} и в этом пространстве цилиндрическую окрестность щ
оси t
п
^Х*, <р0, —co<f< + co.
Иногда вместо цилиндрической окрестности рассматривают криволиней-
криволинейный цилиндр, сечения которого «плоскостями», перпендикулярными оси/,
суть области, содержащие точки оси t внутри или на границе. Сечения
Що гиперплоскостями, перпендикулярными оси t, обозначим и? <; реше-
решения системы (Г), начинающиеся в точке Р — Р(х10. х20, .. .,xn0, t0), будем
обозначать /(Р, 0- Тривиальное решение системы (Г) называется устой-
устойчивым, если, каково бы ни было число е > 0, можно найти такое число
о>0, что все решения /(Р, 0 системы (Г), начинающиеся на uato, при
дальнейшем продолжении, т. е. при t > t0, останутся в us; если допол-
дополнительно предположить, что при/—>оо /(Р,/) неограниченно прибли-
приближается к оси /, то тривиальное решение называется асимптотически
устойчивым. Если тривиальное решение не удовлетворяет условиям
устойчивости, то оно называется неустойчивым (А. М. Ляпунов). Если
в условии устойчивости число а зависит от е, но не зависит от /0> то
К. П. П е р с и д с к и й [4, 7] предложил такую устойчивость называть
равномерной. Проблема устойчивости по Ляпунову состоит в разыскании
условий, накладываемых на правые части системы (Г), при выполнении,
которых тривиальное решение этой системы будет устойчивым или не-
неустойчивым. Заметим, что А. М, Ляпунов давал чисто аналитические
формулировки своим определениям и теоремам. Широкую пропаганду
геометризации теории А. М. Ляпунова систематически, начиная с 1934 г.,
проводит Н. Д. М о и с е е в [1, б, 11, 13]. В частности, приведённая
выше формулировка представляет лишь перередактированную формули-
формулировку Н. Д. Моисеева.
А. М. Ляпунов, анализируя работы своих предшественников—Дирих-
предшественников—Дирихле, Пуанкаре и др., предложил два различных метода решения поставлен-
поставленной задачи: один из методов, называемый «прямым методом» и известный
32*

500 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
под названием «второй методы» Ляпунова исходит из идеи Пуанкаре
о построении «топографической системы». Однако в руках самого
А. М. Ляпунова прямой метод оказался мало приложимым к изучению
конкретно заданных систем. И. Г. М а л к и н [б, 7, 9, 13, 15] пока-
показал широкое прикладное значение «второй методы». Другой метод,
разбиравшийся также А. М. Ляпуновым, предполагал предварительное
сведение задачи к изучению некоторой упрощённой системы дифферен-
дифференциальных уравнений. Советские математики значительно продвинули
решение проблемы как в направлении развития первой, так и второй
методы Ляпунова.
Напомним некоторые определения А. М. Ляпунова: функция
V (хи х2, ..., хп, /) называется знакоопределённой, если существует знако-
знакопостоянная функция W(x1,xi,.. .,хп), обращающаяся в нуль лишь в на-
начале координат, такая, что соблюдается одно из неравенств: У<1Уили
V>iy для всех t>t0. Функция V (xlt х2, ...-, хп, t) допускает бесконечно
малый верхний предел, если, каково бы ни было s >0, можно найти такие
числаои*в, что|У|Одля|х4|<о, s = 1,2, .. .,п и />*„. Семейство ги-
гиперповерхностей W(xlfxtt . ..,хп) = СилиУ(х1, х2, ...,хп, t) = C Н.Д.Мо-
Н.Д.Моисеев [13], обобщая терминологию Пуанкаре, называет соответственно
топографической и тектографической системой поверхностей для
системы (Г) (однако для системы (Г) ту и другую систему следует на-
назвать топографической). Для работ А. М. Ляпунова характерно предпо-
предположение голоморфности функций IV и V, но в 1930 г. И. Г. М а л к и н[1]
локазал, что теоремы Ляпунова остаются в силе, если допустить, что
V имеет непрерывные частные производные, а в 1936 г. Н. Д. М о и се-
€ в [1] показал, что возможно допустить и «угловые линии» на поверх-
поверхностях, составляющих топографическую систему.
Первой по времени проблемой, которой занялись советские матема-
математики в области теории устойчивости по Ляпунову, была проблема об
обращении «первой теоремы Ляпунова» об устойчивости. Эта проблема
ещё в 19*30 г. была поставлена Н. Г. Ч е т а е в ы м. Он на примере
¦системы
показал невозможность обращения первой теоремы, если требовать от
функций W(xt, х2, ...,х„) и V(x1,x2, ...,х„, *) голоморфности всюду
в окрестности начала, включая и самую точку хх = х2 = ... •= хп=0 и пр«
предположениях голоморфности функции /,- (х„ х2, ..., х„, t). Если же
ограничиться системами двух уравнений с правыми частями, не завися-
зависящими от времени, то, как показал в 1930 г. И. Г. М а л к и н [1], первая
теорема Ляпунова может быть полностью обращена, если допустить воэ>
можность нарушения голоморфности функции V (хь х2,..., xn,'t) в начале
координат. Наконец, полное решение проблемы получил в 1937т,
К. П. П е р с и д с к и и [7, 8]. Он установил следующее. Пусть функ-
функции /?(Xi, x2, ...,xn, t) имеют непрерывные частные производные в нек*
торой щ. Тогда для устойчивости тривиального решения необходиЩ
и достаточно существования знакоопределённой функции V (хг, хг хи, /)
имеющей непрерывные частные производные, в некоторой и\, полная пр*
изводная которой V, в силу системы A), была бы или тождественно pai
ной нулю, или функцией знакопостоянной, обратной по знаку V. Прищ
если^(х1, хг, ...,xn, t)=cx,<p2 = c2; .. .;<р„ = сп — система независимых шЦ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 501
тегралов системы (]), то искомая функция есть V = 2 ?2- Сложнее об-
стоит вопрос об условиях неустойчивости. А. М. Ляпунов ясно указывал
в § 16 своей диссертации на возможность значительного обобщения своих
теорем о неустойчивости. Одна.теорема о неустойчивости, которую можно
получить, не прибегая к существенно новой методике, была указана
Н. Г. Ч е т а е в ы м [2, б]. Однако в её формулировке были неточности. (См.
работы Б. В. Воронова [1], А. Д. М ышки с а [3], С. И. Туман о-
в а [2]). Полное устранение этих неточнрстеи оказалось возможным лишь с
помощью привлечения совершенно новой методики доказательства. Суще-
Существенные результаты в этом направлении получены К. П. Персид-
Персидским [8J и А. Д. М ы ш к и с о м [5]. Приведём результат К. П. П е р-
сидского. Пусть дана некоторая (п+ 1)-мерная область G, содер-
содержащая ось t либо внутри, либо на границе; пусть Gz есть сече-
сечение этой области гиперплоскостью f = t, которое мы будем пред-
предполагать связной л-мерной областью, пусть, кроме того, G лежит внут-
п
ри цилиндра 2 х?<ра и существует область G-, которая имеет хотя бы
одну граничную точку на поверхности 2 х^ — ^' Пусть далее с — мно-
f=i
жество всех граничных точек G и r = Gtc.
Назовём множество о —с—Г боковой поверхностью G, а область G —
сектором (полусектором), если для любого е > 0 можно найти точку
(а1г а2, ..., аю 0), 2 «i<e. лежащую внутри G такую, что интегральная
п
кривая, проходящая через эту точку при t >0, для которых 2 х?@ < Р»
i=i
будет оставаться внутри (или на границе) G, т. е. не может выйти из G через
боковую поверхность.
К. П. Пе рсидский доказал: если интегральные кривые системы
(Г) пересекают боковую поверхность области G в одном направлении,
то G есть либо сектор, либо полусектор. Далее, из этой леммы, используя
уже методику А. М. Ляпунова, он получает критерий неустойчивости: до-
допустим, что система (Г) такова, что существует некоторый сектор G,
в котором функция V(x1; хг, ...,хп, t) и её полная производная V удов-
удовлетворяет условиям: 1) внутри и на границе сектора \V | <L, где L —
константа; 2) V—знакоопределе'нная положительная функция; ¦• 3) во
всякой внутренней точке сектора имеет место неравенство V'>y\ (V, t),
где t)(V, t) — неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям
к) (a', t) > т] (а", /) при а' 3» а"; ^ ч\ (а, t) dt = оо при любом а > 0. При
"о
этих условиях тривиальное решение неустойчиво. А. Д. М ы ш к и с [5}
получил аналогичный результат, перекрывающийся с результатом
К. П. Персидского. При проведении доказательства А. Д. М ы ш-
к и с у пришлось использовать теорию пересечения комплексов и понятие
кронекеровской характеристики.
Для теории устойчивости, в особенности для её приложений, важно
рассмотреть устойчивость тривиальных решений канонических систем
дифференциальных уравнений. Н. Г. Ч е т а е в у [б] удалось получить
при помощи прямого метода Ляпунова такую теорему: если силовая

502 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
функция U = Um есть однородная функция степени т относительно
лагранжевых координат qs, и если при сколь угодно малых по абсолютной
величине значениях qs она может принимать положительные значения,
положение равновесия неустойчиво. При исследовании устойчивости
по Ляпунову конкретно заданной системы приходится строить функцию
Ляпунова; в этом направлении существенным является такой результат
И. Г. М а л к и н а [14]-. пусть система ^s= Fs (tlf хх, хг, ..., хп), где
Fs~ непрерывные функции, равные нулю при х,— 0, i = 1, 2 п, обеспечи-
обеспечивающие единственность решения, и пусть эта система представила
s виде: -?f = Xs-\- Rs, где Xs(xi: х„ ...,х„, t) обладают теми же
свойствами, что и Fs, a Rs непрерывны и обращаются в нуль при
X[ — Q, i =\,2, ..., п. Тогда можно найти % столь малые, что если
существует для «упрощённой системы» ~= Xs знакоопределе'нная поло-
положительная функция V, полная производная которой в силу этой системы
знакоопределе'нная отрицательная и если частные производные ^- огра-
пичены в области jxsj<#; / > О, то тривиальное решение системы
й? --= Fs (t, х,, х2> ..., xn) устойчиво, если только \ Rs (xlt x2, ..., хп, t) | <r)s
в этой области. Имея р виду в дальнейшем обзоре использование этой
теоремы, назовём ее первым принципом сведения Малкина. Рассматривая
этот принцип, мы, собственно говоря, подошли к другому методу Ляпуно-
Ляпунова, называемому обычно «исследованием устойчивости по первому прибли-
приближению». Этот метод и до А. М. Ляпунова и в настоящее время, как известно,
является одним из самых употребительных в приложениях математики,
однако лишь в руках А. М Ляпунова и его последователей в СССР и за гра-
границей он получил теоретическое обоснование. При исследовании устой-
устойчивости по этому методу систему ¦?? — Xs {t, хи х,, ..., х„) представляют
в виде:
W = Psi @ Xi + Рзг (Q Xi + • • • + Psn @ Хп + X, Ц, Хг, Х„ . . ., Х„),
где нелинейные добавки Xs бесконечно малые при Хл = хг= ... -=х„ = 0,
во всяком случае порядка выше первого. В разных случаях делаются раз-
разные предположения относительно Xs(t, xlt x2, ...,х„). Далее изучается
устойчивость линейной системы ^ = psl (/) Xj + p^ (i)x2+... +psn{t)xn
и делаются заключения об устойчивости нелинейной системы.
К рассмотрению этого вопроса, очевидно, может быть приложен
первый принцип сведения Малкина. И. Г. М а л к и н [6] установил
теорему: если для системы первого приближения существует зиакоопре-
белённая функция V, полная производная которой в силу системы есть
знакоопределе'нная функция противоположного V знака и V допускает
бесконечно малый высший предел, то невозмущённое движение устойчиво
при всяком^ выборе функций Xs, аналитических по хи х2, ..., хп с коэффи-
коэффициентами, представляющими непрерывные ограниченные функции t
Если сравнить эту теорему с условиями первой теоремы Ляпунова, обра-
обращенной К. П. Персидским [7], то убеждаемся, что здесь для три-
тривиального решения уравнения первого приближения требуется больше

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 503
чем простая устойчивость. В самом деле, если только допустить, что
ps. (t) — ограниченные функции для / > t0, то условия высказанной теоремы
являются необходимыми и достаточными для равномерной устойчивости
тривиального решения нелинейной системы. Необходимость установ-
установлена И. Г. М а л к и н ы м [5, 9] в 1935 г., достаточность -К. П. П е р-
сидским [3]в 1933 г.
Так как эти же условия необходимы и достаточны для равномерной
устойчивости тривиального решения системы первого приближения, то,
следовательно, имеем: для того чтобы тривиальное решение системы A)
было равномерно устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы равномер-
равномерно устойчивым было тривиальное решение уравнения системы первого
приближения, причём в окончательной формулировке К. П. Персид-
Персидский [3, 4, 8] предполагал относительно нелинейных добавков выпол-
выполненным неравенство
\Xt(x1,xt,...,xn,t)\<A{xlx1+...+xnxn)m т>^--
Приведём теперь критерий К. П. Персидского равномерной устой-
устойчивости: если xsk (t) есть фундаментальная система решений системы
первого приближения, то для равномерной устойчивости тривиального
решения необходимо и достаточно, чтобы существовали такие константы
В и а > 0, что
где *!—начальное значение, при которомxik (t1) = blk (8,-,c — символ Кроне-
кера). Этот критерий позволяет судить об устойчивости тривиального
решения по свойствам фундаментальной системы решений системы пер-
первого приближения.
Позднее И. Г. М а л к и н [8, 9, 10] установил, что если отказаться
¦от ограниченности pSa{f), то для устойчивости тривиального решения
по первому приближению достаточно, чтобы
где В(/1)^-?A < const и р< Bт— 1)а, а число т таково, что
\Xs\<A(x,x1+...+xnxn)m.
В этом случае мы можем утверждать, что lim xs (/) ет = 0, если Н < ~j .
Если вводить те или иные ограничения на систему первого приближения,
то можно устанавливать легче проверяемые критерии.
А. М. Ляпунов ввёл характеристические числа функции /(/).
Рассмотрим f{t)ext и назовём /.„ характеристическим числом для
/(О, если Нт / @ е(д»-е>( =0, a lim f(t)e'*»+**= с», где s > 0. Харак-
Характеристическим числом системы функций, например, совокупности функ-
функций, образующих решение некоторой системы дифференциальных уравне-
уравнений, А. М. Ляпунов назвал наименьшее характеристическое число функ-
функций, составляющих эту систему. Наконец, характеристическим числом
системы дифференциальных уравнений он назвал характеристическое
число одного из решений. Далее вводится понятие «правильной си-
системы». Пусть {Хц (t) ... х!п (t)} —фундаментальная система решений,

504 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
притом такая, для которой сумма характеристических чисел состав-
составляющих её решений будет наибольшей из возможных. Обозначим её
п
через s. Система -— = "V psk (t) хк называется правильной, если сумма
CIS <яй
к- 1
s +характеристическое число е J " =0.
К числу правильных систем относятся системы приводимые, т. е. такие,
которые линейным преобразованием с ограниченной обратной матрицей
могут быть приведены к системам с постоянными коэффициентами. Ха-
Характеристические числа некоторой фундаментальной системы решений
называют характеристическими числами системы уравнений. Если си-
система уравнений первого приближения правильная и все её характе-
характеристические числа положительные, то, как показал А. М. Ляпунов,
тривиальное решение устойчиво.
Н. Г. Ч е т а е в ?9] установил в известном смысле обратную тео-
теорему: если система дифференциальных уравнений первого приближения
правильная и среди её характеристических чисел имеется хотя бы одно
отрицательное, то тривиальное решение неустойчиво. Если вспомнить,
что приводимые системы, по Ляпунову, будут всегда правильными,
то становится важным исследовать условия приводимости систем. К числу
приводимых систем, как показал А. М. Ляпунов, принадлежат, например,
уравнения с периодическими коэффициентами. Другие критерии приво-
приводимости, связанные с изучением одновременно свойств фундаментальной
системы решений данной системы и союзной системы, получил Н. П. Е ру-
руги н [8]. Интересную характеристику правильных систем дал К. П. Пер-
Перси д с к и й [7, 8]: если система уравнений
-~=р!Пхг+.. •+psnxn, s= 1,2, ...,«,
— правильная, то её характеристические числа суть пределы при с—»»
характеристических чисел системы уравнения
d-? = qsiX1+ ¦¦¦+qsnxn, s= 1,2, ...,«,
где qsn — периодические функции с периодом х, удовлетворяющие на интер-
интервале @, х) условию qsk (f) = psk {t). Обратно, если характеристические числа
второй системы имеют пределы при т—>оо, то первая система правиль-
правильная. Приведённые результаты показывают, что вопрос об устойчивости
часто решается, если известны характеристические числа линейной
системы
at '-
Формально этот вопрос легко решается, если мы воспользуемся пре*
образованием Перрона, приводящим заданную систему к треугольнг
форме. Однако коэффициенты этого преобразования не могут быть эффек.
тивно найдены. Для случая уравнений с постоянными коэффициентам!
характеристические показатели находятся по корням векового уравнений
|| psk —}, || = 0; поэтому естественно найти случаи, когда нахождение харая
теристических показателей может быть сведено к вековому уравнение

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 505
К. П. Персидский [8] ввёл класс функций со слабой вариацией.
Говорят, что вещественная или комплексная функция, непрерывная
при всех значениях ?> 0, имеет ела бую вариацию, если для любого е>0
и для любого Т > О существует такое JV (s, Т), что для t1 > N и f2 > N
и таких, что (t1 — t„) < Т, имеет место неравенство
К этому классу, в частности, относятся такие функции, для которых
lim / {t) — A, a также такие функции, для которых lim /' (t) = 0. Для
систем ^ = 2 Psk @ xs> гДе коэффициенты суть функции со слабой ва-
вариацией, имеет место теорема: если вещественные части корней уравнения
II Psk @—Ml — 0 меньше или равны —а, то характеристические числа задан-
заданной системы не менее а; если вещественные части корней характеристи-
характеристического уравнения > {J, то характеристические числа системы дифферен-
дифференциальных уравнений не более — р.
Пуанкаре и А. М. Ляпунову было известно, что не для любой системы
первое линейное приближение может решить проблему об устойчивости;
это обстоятельство, в частности, имеет место, когда для установившихся
движений действительные части корней векового уравнения равны нулю,
и для периодических движений, когда некоторая часть характеристических
показателей чисто мнимая. Все эти случаи А. М. Ляпунов назвал особыми
и подверг специальному исследованию, сводившемуся к тому, что в некото-
некоторых случаях удавалось свести вопрос к изучению устойчивости триви-
тривиального решения некоторой упрощённой нелинейной системы, для кото-
которой удавалось построить функции V {х1г xt, - - -, хп, t), удовлетворяющие
условиям теорем об устойчивости и неустойчивости. В последнее время
этими особыми случаями много занимались Г. В. Каменков [1,2, 3,4J
и И. Г. Малкин [7].
Г. В. Каменковым был подвергнут рассмотрению случай
наличия нулевых корней. Наиболее общий результат в этом направлении
получен И. Г. М а л к и н ы м [13]; именно, имеет место следующий прин-
принцип сведения Малкина: пусть система дифференциальных уравнений
имеет вид:
i+ .. • +rtnxn + Y, (/, х,у), 1-1,2,...,*,
+XAt,x,y), s=\,2,...,n,
где Yt и Xs —аналитические функции, разложения которых начинаются
членами не ниже второго порядка и обладают коэффициентами, являю-
являющимися ограниченными функциями времени. Коэффициенты щ и pSj —
ограниченные функции, причём pSJ- таковы, что существует знакоопре-
делённая функция V, для которой выражение
dV
dt"
есть знакоопределённая функция знака, противоположного с V, и кроме
того, допускает бесконечно малый высший предел. Отбросим в первой

506 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
группе уравнений все члены, содержащие переменные хи х2, .. .,хп и рас-
рассмотрим полученную таким образом «укороченную» систему к уравнений
с к неизвестными:
<^ = YUt,yn---,yk) = Yi(t,yi,...,yk, 0, ...,0).
Допустим, что тривиальное решение этой системы устойчиво, асимпто-
асимптотически устойчиво или неустойчиво при любом выборе членов порядка выш
чем N, где N — некоторое целое положительное число. Тогда, если разло-
разложения функций
Xs (/, уи ...,ук)= X, (/, у„ .. ., уА., О, . . ., 0)
начинаются членами не ниже N-го порядка, то тривиальное решенш
х, — .. ¦ — у1 = ... = ук = О соответственно устойчиво, асимптотически
устойчиво, неустойчиво. Применяя этот «принцип сведения» к стационар-
ному и периодическому случаю, И. Г. Малкин [14, 15] получил
ряд существенных результатов, значительно обобщивших результат
А. А. Андронова и А. Г. Витта [3], а также результат
Г. В. Каменкова [3, 4]. Помимо вопросов устойчивости или н>
устойчивости, А. М. Ляпунов ставил и решал вопросы об услот
устойчивости, т. е. об устойчивости не по отношению к возмущённы!
движениям, заполняющим полную окрестность оси t, но лишь част*
этой окрестности, или об устойчивости по отношению к некоторые
параметрам. Классические результаты А. М. Ляпунова для стационар
пых систем были несколько обобщены в работах Перрона, И. Г. Пе
ровского [3], К. П. Персидского, но существенное продвя
жение п этом вопросе сделал Н. Д. Моисеев [6, 13]. Прежде всег
он ввёл понятие «вероятности устойчивости» и указал некоторые приём
позволяющие вычислять эту вероятность в ряде случаев. В. В. Степе
нов [5] упростил формулировку определения вероятности устойчивост
дав следующее определение: пусть / (Р, t) — некоторое движение, обозначг
через R (Р) = sup р (/ (Р, t), 0). Строим около начала координат два шар
5 (/¦) и S (R) радиусов г и R_{r < R), обозначаем через Е (/?, г) множеств
тех точек S (г), для которых R (Р) < R, и называем вероятностью устойщ
«ости тривиального решения lim Mim mes '"Si'P I • Вторым направл
нием работы Н. Д. Моисеева [13] было расчленение понятия устг
чивости на понятия «продольной» и «поперечной» устойчивости. Он р.
сматривает «локальную» систему координат, связанную с данным «Heei
мущённым движением». За локальные системы координат он принима
разные системы, в частности систему ортогональных векторов, од«
из которых "а есть расстояние от точки Ро до точки пересечения
траектории То с плоскостью Е(Р), проходящей через возмущённую то.
ку Р и нормальной к траектории То, причём это расстояни? измеряете
вдоль То. Устойчивость относительно изменения координаты а Н. Д. Мо:
се ев называет продольной, а устойчивость по отношению к изменен!
координат (-у,, v.,..., г<п) поперечной. Приведя систему уравнений к нов
системе координат, Н. Д. Моисеев даёт ряд критериев устойчиво?1
и неустойчивости по первому приближению для обоих типов этих услош
устойчивости. Другую форму условной устойчивости и неустойчивое

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 507
рассмотрел в своих работах X. С. Ха ликов [I]; для получения
своих критериев автор применяет методику А. М. Ляпунова без всяких
существенных изменений.
До сих пор мы, следуя А. М. Ляпунову, рассматривали вопрос,
об устойчивости по отношению к изменению начальных условий.
Однако можно ставить вопросы об устойчивости в отношении к па-
параметрам, входящим в правые части уравнений. Этими вопросами
для случая линейных систем занимались Н. Г. Четаев [1],
Г. Н. Д у б о ш и н [4] и И. Г. М а л к и н [14]. Приведём формули-
формулировку И. Г. М а л к и н а, которая в существенных чертах заимство-
заимствована от Г. Н. Дубошина: пусть задана система -?f = Xs{t,xl, ...,xn),
где Xs таковы, что обеспечена единственность решения задачи Коши в
области | xs | < Я; t> О и пусть Xs ((, О, О, ..., 0) = 0. Наряду с этой систе-
системой рассмотрим систему
где R (t, 0, ..., 0) = 0. Невозмущённое движение х{ = О называется устой-
устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для всякого поло-
положительного числа г < Н, как бы мало оно ни было, существуют два дру-
других положительных числа ^ (е) и щ (а) таких, что всякое решение второй
системы с начальными значениями при t = t0, удовлетворяющими неравен-
неравенствам | х" | < -»)i при произвольных Rs, удовлетворяющих неравенствам
IfisKis ПРИ всех * 3s А>» удовлетворяют неравенствам |зс. |<з. Для
«периодических движений» установлением критериев для подобной
устойчивости занимался Н. А. А р т е м ь е в [3, 4, 7], который называл
устойчивые движения «осуществимыми».
Наконец, наиболее общий результат получил И. Г. М а л к и н.
Используя первый принцип сведения, он показал: если дана система урав-
уравнений
-}{=PsiXi + ¦ ¦ ¦ Л' Psn Х„ + *s,
где psi (t)-~ непрерывные и ограниченные функции времени, a Xs аналити-
аналитические функции, разложения которых начинаются с членов не ниже второго
порядка и обладают ограниченными коэффициентами, то для устойчи-
устойчивости при постоянно действующих возмущениях достаточно, чтобы
решения xsi{t, t0) уравнения первого приближения, определяемых началь-
начальными условиями xsl {t0, t0) = о,/, удовлетворяли при всех t ss t0 неравенствам
где М и а— положительные числа. Из этой теоремы получается также
ранее известный критерий Перрона.
Н. Д. М о ис е с в у [9, 10, 13] также принадлежит концепция
«областных» характеристик устойчивости, т. е. устойчивости, связанной
не с единым невозмущённым движением, а с любым движением в данной
¦области. Помимо определения Н. Д. Моисеев рассмотрел и ряд при-
примеров, связанных с проблемами небесной механики, где подобные областные
характеристики могут быть вычислены. Проблема областных характе-
характеристик с совершенно иной точки зрения ставилась А. А. Марко-

508 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
в ы м [6] и позднее М. fB. Б е б у т о в ы м [1]. А. А. Марков
и М. В. Бебутов прежде всего рассматривали невозмущённые дви-
движения, устойчивые по Ляпунову в обоих направлениях. Это определение
может быть дано в следующей форме. Движение / (Р, t) называется устой-
устойчивым по Ляпунову по отношению к множеству Е начальных состояний
в обе стороны, если, каково бы ни было в > 0, можно найти такое *), что,
какова бы ни была точка QdE, из условия р (Р, ??)<•») вытекает:
р(/(Р, t); f{Q, 0)<s Для дюбого t. Если движение остаётся в конечной
части пространства, то одного только предположения, что движение устой-
устойчиво по Ляпунову в обе стороны по отношению к самому себе, достаточно,
чтобы утверждать, что оно почти периодическое. Если же такая устой-
устойчивость наблюдается для некоторой области, составленной из движений,
то, как показал М. В. Б е б у т о в [1], или все движения, заполняющие
эту область, могут быть взаимно однозначно и взаимно непрерывно ото-
отображены на семейство параллельных прямых либо они все почти пери-
периодические. Обратное утверждение, конечно, не верно.
В заключение этого параграфа укажем на основные организационные
формы, в которых протекала работа по теории устойчивости. В тридцатые
годы основным научным центром работы был Казанский университет, при
котором был организован семинар постановок проблем и научных гипо-
гипотез. В этом семинаре в форме живой беседы обсуждались предположения
и результаты участников. Хотя формально ни один из участников не
был руководителем, но фактическим главой семинара был Н. Г. Ч е т а е в.
Вокруг семинара группировались многие казанские математики;
И. Г. Малки н, Г. В. Каменков, К. П. Персидский, позже
X. С. X а л и к о в и др. К концу тридцатых годов работа семинара
замерла и совершенно прекратилась после отъезда в 1940 г. Н. Г. Че-
Чета е в а в Москву, где он продолжает работу в институте механики
Академии наук СССР. Вторым научным центром, культивировавшим
теорию устойчивости по Ляпунову, был астрономический институт М<н
сковского университета, где под руководством сначала В. В. С т е*
панова, затем Н. Д. Моисеева работал и работает семинар по
качественным вопросам небесной механики. В последние годы Н. Д. М о и-
с е е в основал интенсивно работающий и выпускающий свои «Записки*
семинар по устойчивости движения в Военно-воздушной академии имени
Жуковского. Вышло уже два выпуска этого единственного в мире журнала,
посвященного специально вопросам устойчивости движения. ¦
§ 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.
Общая теория динамических систем возникла после работ Пуанкаре,
по небесной механике и в особенности после работ Биркгофа 1912—1927 гг.'
Окончательно оформились эти идеи в книге «Динамические системы»,
выпущенной Биркгофом в 1927 г. Седьмая глава этой книги «Общая те<н
рия динамических систем» представляет набросок будущей большой тео»
рии. В 1927—1931 гг. появилась следующая серия работ Биркгофа,
которой он, отправляясь от идеи Пуанкаре о «возвращаемости» орбит:
динамической системе с инвариантной мерой, создал принципиальны!
основы новой метрической теории общих динамических систем. Работ*
Биркгофа обладали всеми достоинствами и всеми недостатками первый
работ по новой теории. Исключительная свежесть идей, широкие пер
спективы дальнейшего развития, и в то же время нечёткость формулир»'

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 509
вок, неадэкватные возможностям теории предположения, недоработанное^
отдельных частей теории. В последующие годы теория общих динами-
динамических систем подверглась интенсивной разработке.
В 1930 г. в топологическом кружке при Московском университете
состоялась серия докладов А. А. М а р к о в а, в которых он дал совер-
совершенно чёткие формулировки и доказательства всем теоремам Биркгофа,
заключённым в седьмой главе книги «Динамические системы». Он указал
также рамки применимости теории Биркгофа—это были однопараметри-
ческие группы преобразований регулярных топологических пространств
или в некоторых случаях полных метрических пространств. Из всех
этих обширных исследований А. А. М а р к о в [4] опубликовал в 1931 г.
лишь заметку, в которой дал первое в литературе определение «абстракт-
«абстрактной динамической системы», ставшее с тех пор основным в этой части
науки, а также установил одно любопытное топологическое свойство
минимальных множеств Биркгофа.
Впоследствии, в 1941 г., некоторые части исследований А. А. М а р-
кова вошли в качестве примечаний к русскому изданию книги
Биркгофа.
Второе чёткое изложение теории Биркгофа, относящееся к середине
тридцатых годов, принадлежит Л. С. Понтрягину и Л. Г. Ш н и-
рельману; это изложение, которым продолжительное время поль-
пользовались многие московские математики, осталось также неопублико-
неопубликованным.
В области метрической теории динамических систем советские учё-
учёные начали работать тоже с начала тридцатых годов. В 1931 г. появилась
работа А. Я. Хинчина [2], которая устранила дршшие аналитические
предположения в доказательстве Биркгофа эргодической теоремы. В этой
работе А. Я. X и н ч и н [2] придаёт теореме ту окончательную формули-
формулировку, в которой её область применимости становится более обширной
и естественной. Эта, ставшая теперь классической, формулировка такова:
пусть V—инвариантная часть фазового пространства, с инвариантной
мерой, имеющая конечный объём; пусть ф(Р)—суммируемая на V функ-
с
1 С
ция, определённая для всех точек Р ? V, тогда предел lim — \ <р (/ (Р, t)) dt
и
существует для всех точек Р множества V за исключением, самое большее,
некоторого множества меры нуль; если дополнительно предположить,
что фазовое пространство не разложимо на два инвариантных множества
положительной меры, то:
Позже, в 1937 г., А. Н. Колмогоров [1] дал ещё более простое
доказательство этой теоремы.
Наконец, в 1936 г. В. В. Степанов [4] перенёс эргодическую
теорему и на случай пространства с бесконечной мерой. Именно, пусть
%(Р> 0—мера множества тех моментов времени, в которые траектория
x = f(P, t) приводит к компактной области V, тогда: 1) lim \-<?v(P,t) = О,
за исключением, быть может, точек множества меры нуль. 2) Если

510 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
V! и V2 две произвольные компактные области, то предел lim " „ . суще-
ствует независимо от выбора точки Р.
Оставляя теперь исторический порядок, переходим к систематиче-
систематическому обзору полученных результатов. Начнём с определения, введён-
введённого в науку А. А. Марковым [4]: Пусть R—регулярное топологи-
топологическое пространство со счётной определяющей системой (к этому классу
принадлежат евклидово и гильбертово пространства). Назовём общей
динамической системой непрерывную однопараметрическую группу топо-
топологических отображений R на самого себя, т. е. систем отображений /,
обладающих следующими свойствами: 1) /,Р есть непрерывная функция
вещественного параметра t и точки Р пространства R; 2) имеет место-
тождество/„/„Р=/Ц+ВР. Совокупность образов точки Р при всех преоб-
преобразованиях группы назовём траекторией системы и обозначим символом
/(Р, —со, +°°)- Точку q= lim f(P, tn) назовём ^предельной, а точку
q= lim / (Р, tn) а-предельной точкой, а- и ш-предельные точки назы-
1->--со
ваются динамически предельными точками; их совокупность обозначаюг
через Ер. При таком определении множество Ер определено, как
зависящее от параметра t. Однако имеет место формула
-со, +оо)
(В. В. Нсмыцкий [6]), которая даёт инвариантную, независимую or
параметра t характеристику множества динамически предельных точек;
Рассмотрим замыкание некоторой траектории /(Р, — со, + <х,у
Г. Ф. X и л ь м и [2] дал инвариантную внутреннюю характеристику
этого множества, доказав теорему: для того, чтобы инвариантное множе-
множество Е было замыканием некоторой траектории f (P, —со, + со), необходи-
необходимо и достаточно, чтобы его нельзя было разбить на сумму двух множеств
QiuQ2, каждое из которых не совпадало бы с Ей было бы замкнутым. Подоб-
Подобное множество Е Г. Ф. Хильми назвал динамически неразложимым. Ес-
Если Ep-f (Р, — со, + со) = 0, то траекторию естественно назвать асимпто-
асимптотической, причём подобная асимптотическая траектория может аппро-
аппроксимировать своё предельное множество равномерно или неравномерна
Оказывается (В. В. Н е м ы ц к и й [9]), что если /(Р, —со, -+• °°) равномерна
аппроксимирует своё предельное множество, то это предельное множеств
будет минимальным множеством, т. е. все входящие в него траектори
всюду плотны на этом множестве. Пусть, наконец, Ер ¦ / (Р, — со, +со)^С,
тогда траектория называется устойчивой по Пуассону. Для того чтобь
характеризовать замыкание траектории, устойчивой по Пуассону*
Г. Ф. Хильми[1, 2] ввёл такое определение: инвариантное замкнут
множество Q называется квазимшшмальным, если его нельзя предо*
вить в виде суммы двух отличных от Q замкнутых множеств, из котори
одно положительно, а другое отрицательно инвариантно. Он же дока?
такую теорему: для того чтобы некоторое множество Е было замыканш.
устойчивой по Пуассону траектории, необходимо и достаточно, чт(&
оно было квазимшшмальным. Из определения устойчивости по Пуассо»
вытекает, что траектория возвращается бесчисленное множество ре
в окрестность любой своей точки. Допустим, что эти возвращен!
относительно плотны на оси времени; подобные траектории назва.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 51 Г
М. В. Б е б у т о в ы м [3, 4] почти рекуррентными. Замыкание почти
рекуррентной траектории есть минимальное множество. Почти рекуррент-
рекуррентные траектории становятся рекуррентными в смысле Биркгофа в случае
компактного фазового пространства. Напомним определение Биркгофа:
траектория / (Р, t) называется рекуррентной, если для любого s > 0 можно
найти такое Т, что всякая дуга траектории временной длины Т будет
аппроксимировать всю траекторию с точностью до а. Замыкание рекуррент-
рекуррентной траектории есть минимальное множество и если минимальное мно-
множество компактно, то все составляющие его траектории рекуррентны.
Наконец, введём дальнейшую специализацию и предположим, что
/(Р, — оо, -foo) — почти периодическая траектория. Точное определе-
определение этого понятия дал А. А. М а р к о в [3, б]. Траектория /(Р, О
называется почти периодической, если, каково бы ни было е > 0, можно
найти относительно плотное множество чисел {хп} г-смещений такое,
что для любого t p[/(P, t), /(P) ^п + 0] < е- Определение почти пе-
периодической траектории не является топологически инвариантным, и
почти периодичность зависит от выбора параметра времени. А. А. Мар-
Марков [8] ввёл понятие гармонизуемых движений, т. е. таких, которые
могут быть сделаны почти периодическими с помощью изменения пара-
параметра во всём фазовом пространстве. Поскольку всякое гармонизуемое
движение рекуррентно, стал естественным вопрос: не будет ли всякое
рекуррентное в смысле Бир<гофа движение гармонизующим? Однако
интересным примером А. А. М а р к о в [8] показывает, что это не так.
Для полной топологической характеристики замыкания почти перио-
периодической траектории большую роль играет работа В. В. Степанова
н А. Н. Тихонова [1]. В этой работе введено такое определение:
назовём пространством ограниченной функции f(t) множество функций
#(/), элементы которого суть f(t + i) и lim / {t + vn). В. В. Степанов
и А. Н. Тихонов [1] показали, что /?(/) тогда и только тогда есть
компактная топологическая группа, если f(t) есть почти периодическая
функция. Дальнейшее изучение /?(/) в зависимости от свойств f(t) про-
провёл Л. С. Понтрягин [1]. Следуя рассуждениям этих авторов,
можно, сравнительно несложно, показать, что минимальное множество
тогда и только тогда есть замыкание почти периодической по Маркову
траектории, если оно есть пространство компактной, коммутативной
связной топологической группы.
До сих пор мы занимались характеристикой замыкания индивидуаль-
индивидуальной орбиты. Совершенно новую струю в теорию внесли советские учёные,
давая характеристику динамической системы в целом. Уже в первой
работе А. А. М а р к о в а [4] было установлено интегральное свойство
минимального множества: именно, оно должно быть канторовым многообра-
многообразием. Г. Ф. X и л ь м и [4] указал второе свойство минимального множе-
множества: если минимальное множество лежит в л-мерном пространстве, то
оно не более чем п—1-мерно. Вторым крайним случаем являются вполне
неустойчивые системы, изученные В. В. Н е м ы ц к и м [3] и после него
М. В. Б е б у т о в ы м [2]. Динамическая система называется вполне
неустойчивой, если ни одна траектория вовсе не возвращается в некото-
некоторую свою окрестность (блуждающая по Биркгофу). Скажем, что динами-
динамическая система имеет седло в бесконечности или несобственное седло, если
существует такая последовательность точек {Рп} и последовательности чи-
чисел {хл} и {tn} таких, что Рп->Р f{PnJn)->q;O<xn<:tn, a {/(Pn,*n)}

512 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
не содержит никакой сходящейся последовательности. Тогда имеет место
теорема: для того чтобы динамическую систему, расположенную в локально
компактном пространстве, можно было отобразить на систему па-
параллельных прямых, необходимо и достаточно, чтобы она была вполне
неустойчивой и без седла в бесконечности. Эта теорема была сначала дока-
доказана В. В. Н е м ы ц к и м для динамической системы, расположенной
в л-л;ерном евклидовом пространстве, а затем перенесена М. В. Б е б у-
т о в ы м на случай локально компактного пространства. При этом
перенесении М. В. Бебутов значительно усовершенствовал метод
локальных сечений, предложенный американским математиком Уитнеем,
в частности он показал, что какова бы ни была точка локально компактной
динамической системы, можно найти такую её окрестность, что траек-
траектории, заключающиеся в этой окрестности, отображаются на систему
параллельных отрезков в гильбертовом пространстве.
К числу интегральных характеристик динамических систем, нахо-
находящихся в полном метрическом пространстве, относятся исследования
Г. Ф. X и л ь м и [7]. Мы скажем, что в инвариантном множестве М имеет
место несжимаемость областей, если для любой ограниченной относи-
относительной области Gcz M при всяком t /(G, t) не содержится в G качестве
истинной части. Г. Ф. Хилый доказал следующую теорему: в дина-
динамической системе, которая допускает несжимаемость областей, все траек-
траектории, за исключением заключающих множество точек первой категории
по Бэру, будут либо устойчивы по Пуассону в обоих направлениях, либо
не имеют ни одной динамически предельной точки (неустойчивы по Ла-
гранжу).
Очень интересную интегральную характеристику для локально
компактных динамических систем дал М. В. Бебутов [3, 5]. Рас-
Рассмотрим пространство Ru, элементами которого являются непрерывные
функции <р (х) действительного переменного х, определённые на всей
числовой оси, это семейство функций метризуем так, чтобы сходимость
в этой метрике совпадала с равномерной сходимостью на каждом конеч-
конечном . отрезке. В пространстве Ru определяем динамическую систему
с помощью формулы
/.[?<*),*] =?<х +*)•
Оказывается, что построенная динамическая система является уншер-'
сальной в том смысле, что любую другую динамическую систему с одной
особой точкой, расположенную в локально компактном пространстве со
счётной базой, можно отобразить взаимно однозначно и взаимно непре-
непрерывно в часть этой системы.
Наконец, упомянем один интересный отрицательный результат,"
полученный А. Г. М а й е р о м [4, 5] в самое последнее время. Рассмот-
Рассмотрим динамическую систему, расположенную в компактном метрическое
пространстве. Биркгоф предложил следующий процесс анализа её струк
туры. Пусть Mi—множество «блуждающих точек», т. е. таких, которы
не возвращаются после некоторого промежутка времени в достаточн
малую свою окрестность. Это есть инвариантное множество. Исключи»
«го из динамической системы. Рассмотрим оставшуюся динамически
систему и определим в ней множество М2 блуждающих относительно не
точек и т. д. Биркгоф показал, что существует такой трансфинит второг
класса, на котором процесс оборвётся, и выделившееся таким образм
ядро будет состоять из центральных движений, представляющих собо!

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 513
замыкание движений, устойчивых по Пуассону. Установив это ещё
в 1926 г., Биркгоф поставил проблему: нельзя ли доказать, что для дина-
динамических систем, описываемых системами дифференциальных уравне-
уравнений, это число шагов будет конечным и равным порядку системы.
A. Г. Май ер [4] установил, что даже для случая динамических
систем, определяемых системой трёх дифференциальных уравнений, чи-
число шагов может быть любым трансфинитным числом второго класса.
Вопрос о структуре динамической системы в целом очевидным образом
связан с топологическими свойствами пространства, в котором распо-
расположена динамическая система, например свойства, изученные
B. В. Н е м ы ц к и м и М. В. Б е б у т о в ы м, тесно связаны
с локальной компактностью пространства, анализ структуры систем,
данных Биркгофом, с компактностью. Аналогично этому, очевидную роль
должны играть и комбинаторные инварианты пространств, в которых
расположены динамические системы. Широко известна, например, роль
плоскости для определения возможной структуры интегральных кри-
кривых. Некоторые дальнейшие работы, касающиеся динамических систем
на плоскости, принадлежат В. В. Н емыцкому [5] и Ю. К. Солн-
Солнцеву [1]. Последний дал теорему, полностью характеризующую
(«-предельное множество траекторий, расположенное в ограниченной
области плоскости. В направлении изучения влияния топологических
свойств пространства работал А. Г. М а й е р [3], который рассматри-
рассматривал поведение траекторий на поверхностях конечного жанра.
В последние годы появился ряд работ, обобщающих понятие дина-
динамической системы. Эти обобщения идут в трёх направлениях. Прежде
всего делаются попытки отказаться от единого параметра на всех траек-
траекториях и рассматривать лишь топологические свойства взаимного рас-
расположения траекторий. В. В. Н е м ы ц к и й [4, 6] показал, что
многие понятия теории динамических систем, как-то: а- и ш-предель-
ные точки, устойчивость по Пуассону, рекуррентность, хорошо перено-
переносятся на тот случай, когда система кривых, заполняющих метрическое
пространство, обладает свойством: каково бы ни было е > О и какова
бы ни была дуга ab и точка q на этой дуге, можно найти число 3 такое,
что, при условии \>(c,d)>'>, на кривой, проходящей через с, сущест-
существует дуга dca" такая, что «отклонение»
a (ab, </«/')< з.
Это свойство В. В. Немыцкий назвал геометрической непрерыв-
непрерывностью.
Второе направление обобщения характерно стремлением замейить
понятие однопараметрической группы более общим понятием. Следуя
этому пути, Е. А. Б а р б а ш и и [3] заменяет однопараметрическую.
группу полуупорядоченностью точек пространства, удовлетворяющей
некоторым аксиомам. В. В. Немыцкий [11] поступает иначе, он
вместо однопараметрической группы рассматривает произвольную
локально компактную группу преобразований. Обоим авторам удаётся
перенести основные результаты теории динамических систем Биркгофа.
Рассматривая специально Ar-параметрические группы преобразований,
удаётся применить методы общей динамики к теории интегральных много-
33 Математика в ССС1' за 30 лет

514 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
образий пфаффовых систем (В. В. Н е м ы ц к и й [11], Е. А. Б а р б а-
ш и и [4]).
Наконец, следуя третьему направлению, авторы отказываются от
предположений единственности. Отказ от условия единственности моти-
мотивируется желанием включить в «общую динамику» теорию интегральных
кривых всех систем дифференциальных уравнений с непрерывной правой
частью. Эту теорию развивали М. Н. Минкевич [1], Е. А. Б арба-
шин [1, 2], Б. М. Б у д а к [1]. Е. А. Б а р б ашин предложил пер-
первую удачную аксиоматику этих «диссипативных» (по определению
Б. М. Б у д а к а) динамических систем. Он поставил и разрешил мно-
многочисленные вопросы теории, перенеся на общий случай результаты
Камке, Важевского, Зарембы и др. по теории систем обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, а также многие результаты Биркгофа.
Б. М. Б у д а к [1] значительно улучшил аксиоматику Е. А. Бар-
баш и н а, а также ввёл понятие «движения» в диссипативных систе-
системах и использовал его для ряда теорем. Вся теория находится в стадий
разработки, и рано ещё подводить окончательные итоги.
Переходя к вопросам метрической теории динамических систем,
отметим два основных цикла вопросов: 1) проблема нахождения в про-
пространстве динамической системы меры, инвариантной при преобразова*'
ниях, составляющих эту систему; 2) изучение свойств динамических си-'
стем с данной инвариантной мерой. Каждый из этих вопросов нашёл сво§
отражение в работах советских математиков. После уже упомянутьа
работ А. Я. X и н ч и н а и А. Н. К о л м о г о р о в а, новым сущест-
существенным продвижением вперёд, поставившим вопрос на принципиальна
новую точку зрения, явились работы украинских учёных Н. М. К рь
лова и Н. Н. Б о г о л ю б о в а [13, 14, 15, 17]. В этих работах вмест
того, чтобы рассматривать инвариантную меру как заданную, автор»
показали существование инвариантной меры в любой компактной дни'
мической системе. Подобных мер можно ввести бесчисленное множеств!
исходя из индивидуальной меры Каратеодори. Пусть задана некотора,
точка р 6 R. Положим, mes р (А) = 1, если р ? А, и mes р (А) = 0, ее
R — А. Эта мера неинвариантна. Положим,
где / {A, t)— образ множества при преобразовании t. Наконец, инвариаа
ная индивидуальная мера рр (А) получится с помощью предельного пе.
хода. Именно,
Дальнейшая задача исследований Н. М. Крылова и Н. Н. Б
голюбова состояла в том, чтобы изучить совокупность всех ш
риантных индивидуальных мер, допускаемых данной динамической сие
мой, а также выделить из динамической системы ту её часть, коте
имеет меру, равную единице, во всякой нормированной индивидуал*
инвариантной мере.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 515
Ведя исследования в этом направлении, они доказали, что множество
тех точек р?/?, для которых при любой непрерывной функции <?{Р)
существует предел
lim —
имеют меру, равную единице, во всех инвариантных мерах. Далее, [ставя
в связь с этим пределом инвариантную меру—индивидуальную меру,
определяемую точкой Р, авторы естественным образом выделяют так
называемые эргодические множества, для точек которых индивидуальные
меры совпадают, причём для почти всех точек (при любой инвариантной
мере), очевидно, имеет место утверждение: каждая точка принадлежит
одному эргодическому множеству. Все эргодические множества инва-
инвариантны. Любая инвариантная мера является линейной комбинацией
индивидуальных мер или пределом таких мер. Результаты Н. М. К р ы-
лова и Н. Н. Боголюбова оказали большое влияние на даль-
дальнейшее развитие теории.
С. В. Ф о м и н [1] перенёс результаты этих авторов на случай пол-
полных и сепарабельных метрических пространств.
Проблемой установления инвариантной меры занимался также
А. А. М а р к о в [10]; в своих исследованиях он применил обобщённый
принцип неподвижной точки, установленный А. Н. Тихоновым,
и получил следующий результат: пусть Е—нормальное топологи-
топологическое пространство, V — семейство топологических преобразований
Е самого в себя, и пусть это семейство преобразований есть абелево
множество, т. е. <рФж = Ф<рж. Тогда существует вещественная фунщия р,
определённая на произвольном подмножестве Е и удовлетворяющая усло-
условиям: 1°[*?=1; 2° ;i.{A + B)<.}>.A + ]xB; 3' [»(А + Я) = {*А + рВ, если
А-В пусто; 4" и.А = inf G, где G произвольная область, заключающая А, и
5°(i<pA=f<.A для всякого А?Е и всякого <р?Г. Если дополнительно пред-
[СО -j СО
2 А,- < V |iA. Этот результат,
как частный случай, заключал и результаты Н. М. Крылова и
Н. Н. Боголюбова.
- Метрическую теорию можно изучать в динамических системах, где
не задано никакой топологии, или во всяком случае вне всякой связи
с топологией пространства. Однако если заданная динамическая система
есть непрерывная динамическая система в метрическом пространстве со
счётной базой, то для любой меры в этом пространстве автоматически
устанавливается, как показал Г. Ф. Хилый в 1940 г., некоторая
связь с топологией пространства. Пусть G?M—измеримое множество,
и пусть Fg(P)—•его характеристическая функция. Назовём вероятностью
пребывания точки р во множестве 6:J
Имеет место теорема: если мера пространства М конечна и если эта мера
инвариантна, то все точки пространства М, за исключением, быть
33*

510 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
может, множества меры нуль, расположены на орбитах, рекуррентных
по вероятности т. е. таких, что
существует и отличен от нуля для любой области пространства.
Проблема нахождения инвариантной меры в данной динамической си-
системе тесно связана с классической проблемой об «интегральном инвариан-
инварианте». Пусть R—некоторое пространство и пусть в нём задано вполне аддитив-
аддитивное семейство «0J множеств, которые мы называем измеримыми множества-
множествами и пусть Н(А)—вполне аддитивная неотрицательная функция на этих
множествах, называемая мерой, пусть, наконец, /(Р)—функция точки прост-
пространства R, тогда процессом, обобщающим процесс Лебега, мы можем опре-
определить интеграл \ / (Р) dH по отношению данной меры. Пусть в прост-
А
ранстве R задана с другой стороны некоторая динамическая система
Rt — W (P, *)}• Мы скажем, что в ней существует интегральный инва-
инвариант, если существует такая суммируемая неотрицательная функция
точки /(Р), для которой \ / (Р) dH — \ /(Р) dH при любых /, причём
а <?(л,о
мера тех точек, где /(Р)=о, равна нулю.
Как известно, для динамической системы, заданной канонической
системой дифференциальных уравнений, интегральным инвариантом будет
характеристическая функция множества. Подобные интегральные инва-
инварианты могут играть роль инвариантных мер предыдущей теории. Обрат-
Обратное, очевидно, не верно так как для изложенной постановки является "
характерным задание заранее некоторого семейства ЭД} измеримых мно-
множеств, например, множеств, измеримых по Лебегу.
Эта проблема рассматривалась ещё Биркгофом и Смитом в 1927
и Хопфом в 1932 г. Однако исчерпывающее решение получено в 1937 г.
А.А.Марковым [11].
Результат А. А. Маркова формулируется весьма просто:
Пусть Г являет :я одно параметрической группой взаимно однозначных
преобразований множества Е в самого себя. Тогда для существования
интегрального инварианта относительно Г необходимо и достаточно,
чтобы при всяком г > 0 существовало 8 > 0 такое, что mes (<p (А)) <»
при всяком о 6 Г, как только mes A < 8. Это решение проблемы остав-
оставляет некоторое неудовлетворение потому, что условия накладываются
на само преобразование. Интересно было бы найти условие, которое
зависело бы лишь от топологической структуры инвариантного мно-
множества и составляющих его траекторий. В направлении решения
этом проблемы сделано пока весьма мало. Укажем только на работу.
Б. П-Демидовича [1],в которой показана возможность установ-
установления интегрального инварианта в динамической системе в л-мерном
пространстве, состоящей только из периодических движений, причём
за основу принята мера Лебега.
В направлении антлиза динамических систем с помощью спектраль-
спектральных разложений линейных операторов в СССР появились две работ*
А. Я. X и н ч и н а [1, 3]. В первой он получает значительное уточнение

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 517
теоремы Пуанкаре о «возвращении»: пусть Н (/) = mes [E-f{E, t)], где
f (?. /) — образ множества Е при преобразовании t. Пусть далее mes v,
т. е. мера всего пространства, конечна. Тогда имеет место соот-
.. ... <mes Я}2 ,
ношение: Н (f) = mes^ при t -> со.
Во второй работе А. Я. X и н ч и н [3J показывает возможность
получения наиболее важных результатов Неймана и Кушана с помощью
элементарного спектрального анализа. •
В заключение укажем.что наибольшее число работ по общей динамике
падает на московских математиков, группировавшихся вначале вокруг
топологического кружка (основанного в 1925 г.), а впоследствии вокруг
семинара по «Качественной теории дифференциальных уравнений» инсти-
института математики Московского университета, основанного в 1934 г. и
работающего под руководством В. В. Степанова и В. В. Немыц-
кого. Работы, выполненные в Ленинграде А. А. Марковым, в
Киеве Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, в
Горьком А. А. Андроновым и А. Г. Майером, в своём
большинстве докладывались и обсуждались на заседаниях этого семи-
семинара. Некоторые предварительные итоги русских и иностранных работ
по общей динамике опубликованы в монографии В. В. Н ем ы ц к о г о,
В. В. Степанова «Качественная теория дифференциальных урав-
уравнений», а также в обзорах в журнале «Успехи математических наук».

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
С. Л. СОБОЛЕВ.
§ 1. Общий очерк E18). § 2. Новые методы E21). § 3. Новые задачи E26).
§ 4. Качественное исследование решений E28). § 5. Зависимость от кра-
краевых условий E33). § 6. Обобщение на новые классы функций E37).
§ 7. Теория систем дифференциальных уравнений E41). § 8. Зависимость
or формы области E43).
§ 1. ОБЩИЙ ОЧЕРК.
еория дифференциальных уравнений в частных прои*
водных и, в частности, тот её раздел, который носи*
название математической физики, принадлежит к числ1
классических математических дисциплин. Однако вплот
до последних десятилетий, эта область науки продоД
[ жает интенсивно развиваться. В её успехах заметну;"
долю составляют достижения советских математики!
В настоящем очерке мы постараемся дать обзор всег
наиболее'существенного из того, что сделано в Советском Союзе в эти
области за тридцать лет. Нашей задачей будет не столько изложение вс.
го материала, сколько обрисовка основных линий развития теории дш
ференциальных уравнений в частных производных. Естественно, что щ
этом отдельные, даже весьма ценные результаты, стоящие несколько.
сторо не от главного пути развития этой науки, могут не найти отражен
в столь краткой статье. Неизбежна также некоторая субъективность в г
боре материала и степени подробности изложения отдельных раздел?
Сначала нам придётся остановиться подробнее на самом предме
математической физики и её состоянии в начале XX столетия. Мате*
тическая физика, как наука, состоит в отыскании и исследовании per
ний различных дифференциальных и интегральных уравнений. Обыт
изучаются те решения, которые удовлетворяют некоторым добавочнь
условиям, носящим название краевых условий. К таким уравнения
по большей части второго порядка, приводят многие физические зада»
из исследования которых математическая физика и возникла. Ещй
XVIII в. были найдены решения некоторых задач теории дифферени
альных уравнений в частных производных, получивших свое назвав
от тех физических явлений, которые они описывают. Были решены: зад
ча о колебаниях бесконечной или конечной струны, задача о ^

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 519
странении тепла в некоторой среде, задача о тепловом равновесии тел
специальной формы и т. п. Дале*1, в начале XIX в. прибавилось ещё
решение дифференциальных уравнений в частных производных первого
порядка. Но, главным образом, первая половина XIX. в. характерна
лишь накоплением целого ряда решений отдельных специальных задач.
Положение начинает изменяться во второй половине XIX в., в тече-
течение которой создаётся общая теория уравнений в частных производных
второго порядка. Эта теория возникла постепенно. Сначала были иссле-
исследованы простейшие общие свойства самых типичных дифференциальных
уравнений, а затем, шаг за шагом, происходит всё более глубокое каче-
качественное изучение их решений. Одновременно расширяются и обобщаются
результаты, полученные в прошлые годы.
Уже давно стало известно, что для разных типов уравнений второго
порядка характерны и совершенно различные постановки краевых задач.
Известна также была качественная разница в поведении решений этих
уравнений. То, что уравнения теории колебаний имеют решения, пред-
представляющие собой распространяющиеся волны, уравнения диффузии
или теплопроводности решения, в которых отдельные возмущения рас-
расползаются расплываясь, а уравнения теории потенциала обладают та-
такими решениями, которые внутри области являются гладкими, но,
с приближением к границе, характер гладкости портится—эти факты
были достоянием ещё очень раннего периода развития науки.
Постепенно, к 1917 г., в результате роста и развития математики
был получен целый ряд существенных результатов, которые нужно пере-
перечислить. Стало известно, что свойства дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией
зависят от свойств симметрической квадратной матрицы, служащей
главной частью коэффициентов при вторых производных от неизвестной
функции. Более точно, если квадратичную форму, соответствующую
этой матрице, привести к сумме квадратов с помощью вещественного
линейного преобразования, то число положительных и отрицательных
членов в ней после такого преобразования и является тем инвариантом,
от которого зависят все её свойства и которые определяют тип уравнения.
В основном, стало известно, какие именно задачи хорошо ставятся
и решаются для трёх важнейших типов уравнений в частных производных
второго порядка: эллиптических, нормально параболических и нормаль-
нормально гиперболических. Для гиперболических и нормально параболических
уравнений это были: задача Коши и смешанная задача. Для эллиптических
уравнений такими хорошими задачами оказались краевые задачи: задача
Дирихле, задача Неймана и смешанная задача, промежуточная между ними.
Вначале задачи математической физики решались только для
областей специальной формы. Позднее, главным образом при помощи тео-
теории интегральных уравнений, было выяснено, что решения задач суще-
существуют не только в таких областях как круг, цилиндр, шар и т. п., но
и в любых областях с достаточно гладкой границей. Существование соот-
соответствующих решений устанавливалось при этом в том случае, если
предписанные краевые значения искомых функций и их производных
сами были достаточно гладкими.
Ко второму десятилетию XX в. в различные области математики
проникает ряд новых идей, составивших в целом самостоятельную об-
область науки—функциональный анализ. Вместо отдельных функций
объектом изучения стпног.ятся множества ('пнкций. Новая точка зпе.чия

520 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
повлекла за собой изменение взглядов на самые задачи науки. Эти идеи
проникли и в математическую физику. Функцию, дающую решение какой-
либо задачи теории дифференциальных уравнений в частных производ-
производных, начинают, рассматривать не изолированно, а вместе с целым клас-
классом других, как элемент какого-либо функционального пространства.
Нетрудно понять,что, например, отыскание какой-либо функции только
по её индивидуальным свойствам труднее, чем отыскание её в хорошо
изученном многообразии. Простое житейское сравнение может хорошо
пояснить в чём тут дело. Представим себе прибывшего впервые в большой
город человека, который хотел бы найти в этом городе нужное ему лицо
но фотографии. Это было бы трудной задачей. Зная же связи этого лица
с другими, зная место, которое оно занимает, или дом, где оно живёт, имея
общих знакомых с ним, наш вновь прибывший, вероятно, быстро спра-
справился бы с этим. Точно также много легче искать неизвестную функцию,
зная её место среди других.
Изучение различных функциональных пространств началось в тес-
тесной связи с развитием теории функций вещественного переменного. Раз-
Различные функциональные пространства: пространство суммируемых
функций, пространство функций с интегрируемым квадратом и т. п.,
возникли вместе с появлением теории интеграла Лебега и в значительной
мере обусловили появление этой теории, о чём мы скажем ниже. Функ-
Функциональные пространства различаются между собой не только своим
содержанием, будучи составлены из разных элементов, но и своей топо-
топологической структурой. В них по разному определяется понятие бли-
близости и предельного перехода. В гильбертовом пространстве, например,
близкими будут те функции, для которых интеграл от квадрата модуля.
разности мал. В пространстве непрерывных функций близкими являются
функции, для которых равномерно мала сама абсолютная величина раз-,
ности и т. п.
Вместе с представлением о функциях, как элементах функционального
пространства, появляется и понятие о непрерывной зависимости в это»
пространстве. Пусть каждой функции / из некоторого функционала
ного пространства F отвечает функция и—элемент функционального
пространства U. Можно сказать, что и зависит от /. Эта зависимость
будет непрерывной, если близким значениям / отвечают близкие значе-
значения и. В теории дифференциальных уравнений в частных производных,
вместе с появлением этих понятий, и, в большой мере обусловлива
их появление, встаёт вопрос о том, будет ли решение какой-либо задачи
математической физики непрерывно зависеть от краевых условий в к*
ком-либо смысле и, если будет, то в каком. Таким образом, новая точк
зрения на функции решительно изменила лицо современной теории диф*
ференциальных уравнений в частных производных, поставив на очереди
ряд совершенно новых вопросов: качественное изучение функций, даю
щих решение, исследование непрерывной зависимости и т. п. После тог
как стала вырисовываться единая, общая картина наших знаний во все
областях математической физики, стало ясно, что, как раз, вопрос о не
прерывной зависимости есть столь же кардинальный вопрос для какой
либо задачи, как и вопросы существования или единственности решений
Эта непрерывность позволяет отличать задачи хорошо поставленны
от задач, поставленных неудачно. Решение задачи Коши методом степенны
рядов, выполненное Ковалевской, подверглось с этой точки зрения спра
ведливой критике. Для многих типов уравнений (например, для ураа

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 52*
нения Лапласа) это решение уже не обладало непрерывностью, которая
была бы нужна с физической точки зрения. Задача Коши для уравнения
Лапласа именно поэтому лишена интереса.
Новые идеи принесли свои плоды ещё и в другом отношении. Из топо-
топологических свойств множества решений уравнения удавалось сплошь
и рядом получить не только теоремы существования и единственности
решения задачи, но и алгорифм для нахождения этих решений.
Такова была обстановка к третьему десятилетию XX в. Русская
наука в теории дифференциальных уравнений в частных производных
имела к тому времени много прекрасных традиций, которые были сохра-
сохранены и многократно увеличены в течение тридцати лет советской власти.
Именно, переход от частных постановок отдельных задач для специаль-
специальных областей: круга, шара и т. п., к установлению существования реше-
решений краевых задач для областей любой формы (с достаточно гладкой гра-
границей) совершался при значительном участии русских учёных. Труды
A. М. Ляпунова составили крупнейший шаг в теории потенциала.
В значительной мере оказались плодотворными замечательные идеи
B. А. С т е к л о в а [1, 2], который своей теорией замкнутости, сам топ>
не зная, предвосхитил понятия и теоремы современного нам функцио-
функционального анализа и теории гильбертова пространства, создавая почву,
на которой они впоследствии расцвели.
§ 2. НОВЫЕ МЕТОДЫ.
Общие теоретические методы решения задач теории дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных часто представляют собою-
способы приближения к рассматриваемому решению, которые могут
быть самыми различными в зависимости от того, в каком функциональном,
пространстве их рассматривать. Каждое из функциональных пространств
порождает свой способ приближения. Для каждой задачи математиче-
математической физики оказывается наиболее естественной постановка её в соответ-
соответствующем пространстве. Например, пространство решений для задачи
Дирихле уравнения Лапласа, как выяснено работами ряда учёных, тесно
связано с пространством краевых условий. Пусть предписанные крае-
краевые значения искомой функции заменены последовательностью других.
Решая задачу для каждого случая, мы получим последовательность
решений. Если краевые условия стремятся к пределу равномерно, то
равномерно будет стремиться к пределу и решение задачи. Если краевые
условия стремятся к своему пределу в среднем, то в среднем будет стре-
стремиться к своему пределу и решение.
Для смешанной задачи о колебаниях ограниченной среды, с началь-
начальными и краевыми условиями на различных многообразиях, часто наи-
наиболее естественным будет пространство Гильберта, в котором квадрат
расстояния двух функций определяется как интеграл от квадрата модуля
их разности. Как мы уже говорили выше, понятие о приближении
в функциональных пространствах вызвало к жизни ряд новых методов
решения задач математической физики.
К числу этих новых методов прежде всего относятся:
1) метод непрерывного продолжения по параметру,
2) прямые методы вариационного исчисления.
В той или иной мере связаны с новыми точками зрения, хотя и не
столь непосредственно, два других метода:

522 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3) метод верхних и нижних функций,
4) метод конечных разностей,
также возникшие в последние десятилетия.
Помимо того, произошло значительное усовершенствование и раз-
развитие старых методов.
Метод непрерывного продолжения но параметру для получения
решения различных типов уравнений, не поддающихся непосредствен-
непосредственному решению, впервые был разработан С. Н. Бернштейном в самом
начале нашего столетия.
Метод С. Н. Б е р н ш т е й н а [1,3] основан на доказанной им
важной теореме, касающейся аналитического характера решений эллип-
эллиптических уравнений. Он рассматривает вместо одного данного уравне-
уравнения некоторое многообразие таких уравнений, зависящее от параметра
„ / ди ди д2и дги д2и\ п ,,,
F (а; х, у, и, дх, Гу, ^ ^,, -2)-О, (I)
где а меняется в некотором промежутке а <а< Ь. Установив, что решение
уравнения для данных граничных условий является аналитической
функцией параметра а, продолжимой вдоль всего отрезка, он можа
из существования решения при а=а заключить о существовании
решения также при а — Ь. Для того чтобы убедиться в продолжимости,
решения при изменении а, С. Н. Бернштейн доказывает, что если он»
существует при некотором а0, оно разложимо в ряд вокруг а0, радиус схо-
сходимости которого—? зависит только от максимума абсолютной величинн
функции и её производных до второго порядка в рассматриваемой облает*.
Наконец, пользуясь ещё чрезвычайно остроумными оценками проиэ?
водных от решения уравнения внутри области, он доказывает, что эг
производные, до второго порядка, равномерно ограничены в облает
при всех значениях а. Это даёт нижнюю границу для круга сходимост
и тем самым устанавливает возможность аналитического продолжена
решения по всему отрезку. *
Метод, предложенный С. Н. Бернгатейном, оказался весь*,
плодотворным. С. Н. Бернштейн сам указывал на то, что границ!
его применимости могут быть расширены без особого труда. Это и был
сделано последующими авторами, которые уже не требуют аналитич
ского продолжения по параметру, а получают результат, примени
просто непрерывное изменение.
Существенным успехом теории дефференциальных уравнений в час
ных производных за последние десятилетия является появление мета
конечных разностей и прямых методов вариационного исчисления д
решения основных задач. Вместе с методом интегральных уравнена
появившимся чуть ранее, эти методы составляют крупное завоевав
науки XX в.
Разностный метод решения задач дифференциальных уравнен,
в частных производных по сравнению с разностным методом решения оби
новенных дифференциальных уравнений обладает рядом особенносте
В обыкновенном дифференциальном уравнении всегда можно, зам
нив производные разностными отношениями, получить приближена
решение, взяв решение соответствующего разностного уравнения. Те
ность определяется при этом величиной тех промежутков, на котор
.мы разбиваем область изменения независимого переменного.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 523
В дифференциальном уравнении в частных производных дело обстоит
¦совсем не так. Очень часто уменьшение промежутков изменения неза-
независимого переменного, выполненное неудачно, не увеличивает, а умень-
уменьшает точность приближения.
Метод конечных разностей стал сильным орудием решения задач
для уравнений в частных производных с того момента, как Л. А. Л ю-
ст е р н и к о м [1,7] были использованы соображения, касающиеся
поведения решения разностного уравнения в целом. Он одновременно
рассматривает уравнение, которое нужно решать (уравнение Лапласа),
и разностное уравнение, которым оно приближённо заменяется.
Риман первый указал, что гармонические функции дают минимум
интегралу Дирихле:
задачи о равновесии мембраны этот интеграл выражает потенци-
потенциальную энергию деформации.)
Рассматривая задачу о минимуме соответствующей квадратичной
формы для разностных отношений, Л. А. Люстерник доказал схо-
сходимость решения разностного уравнения к решению задачи Дирихле.
Не ограничиваясь областью с гладким контуром, он рассматривает обла-
области с границей в виде произвольного замкнутого множества. Предельный
переход от разностного уравнения при этом возможен, как и ранее, но он
приводит к гармонической функции, которая удовлетворяет граничным
условиям, быть может, не во всех точках. Точного решения задачи Ди-
Дирихле при этом не существует. Л. А. Люстерник назвал те точки,
в которых граничные условия выполняются, регулярными. Точки, в ко-
которых они могут быть не выполнены при каких-либо заданиях, он назвал
нерегулярными. Л. А. Люстерник провёл исследование признаков
регулярности граничной точки. Впервые разработанный Л. А. Люстер-
яи ком метод конечных разностей был впоследствии применён другими
авторами к решению многих задач.
Из советских работ в этом направлении наиболее значительными
являются исследования И. Г. Петровского [13] и А. Н. Тихо-
Тихонова [I, 4].
И. Г. Петровский, использовав частично идею С. Н. Берн-
штейна об оценке производных от решения внутри области, а также
некоторые свойства супергармонических функций, впервые дал полное
решение задачи Дирихле для «-мерного пространства. Им установлены
широкие достаточные условия регулярности некоторой точки границы
области.
А. Н. Тихонов исследовал применимость метода конечных
разностей к решению параболических уравнений.
Вариационные методы решения задач теории дифференциальных
уравнений в частных производных состоят в том, что вместо самого урав-
уравнения рассматривается вариационная задача о минимуме некоторого
интеграла так, чтобы данное уравнение служило уравнением Эйлера для
этой вариационной задачи. Минимум интеграла изучается в соответствую-
соответствующем функциональном пространстве и может быть найден приближённо.
Основную роль в методе играет последовательность функций, для кото-
которой интеграл стремится к своему наименьшему значению. Эта последо-
последовательность носит название минимальной.

524 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Советским учёным принадлежит несколько существенных резуль-
результатов в теории прямых методов вариационного исчисления. С. Л. С о б о-
л е в [14, 16, 18, 20] применил эти методы для решения задачи о поли-
полигармонических уравнениях, частным случаем которых является ура-
уравнение Лапласа. К этой задаче мы вернёмся позже, а сейчас остановимся
подробнее на методе, использованном им.
Задачу об отыскании решения уравнения естественно ставить
в классе всех тех функций, для которых существует интеграл Дирихле.
Однако не ясно было, для всякой ли такой функции можно говорить
о граничных условиях. Её предельные значения на границе могли бы,
казалось, и не существовать. С. Л. Соболевым установлено, что
из существования интегралов от квадратов производных до некоторого
порядка / функции а многих переменных следует существование пре-
предельных значений, которые функция принимает на многообразиях разной.
размерности. Таким образом, он установил, что внутри класса функций,
для которых интеграл Дирихле существует, задача Дирихле и, соответ-
соответственно, её обобщение на полигармонические уравнения всегда имеет
смысл. Предельные значения, которые нужно задавать на границе, не
будут, вообще говоря, непрерывными функциями, а будут лишь интегри;
руемы с квадратом. Стремление функции к этим предельным значения!
будет также осуществляться в среднем. Таким образом им была устано*
лена своего рода законченность постановки задачи для функций с огра
ничейным интегралом Дирихле.
Кроме этого, С. Л. Соболев ым систематически проведена иде
использования интегрального уравнения в вариациях для установлен*,
качественных свойств решений дифференциальных уравнений в частно
производных. Пользуясь непосредственно интегральным уравнение»
он доказывает существование у решения неограниченного числа при
изводных в любой внутренней точке области. Помимо того, как мы ук
жем позднее, та же идея легла далее в основу теории обобщённых решен»
линейных уравнений.
Существенной частью всяких прямых методов является установлена
того, что минимизирующая последовательность функций сходится та
что предельная функция продолжает удовлетворять тем же условия!
как и члены последовательности.
Для того чтобы, например, предельная функция была непреры
вплоть до контура, нужна равностепенная непрерывность всех члер
последовательности вплоть до контура.
Такого рода равностепенная непрерывность (компактность в сред»
на поверхностях разной размерности при обобщённом понимании преде,
была установлена С. Л.Соболевым для всех функций рассматрива
мого им класса. Это обстоятельство составляет очень важное звено пря»
методов вариационного исчисления, и его установление является npl
ципиальным достижением.
Интересны исследования Л. В. Канторовича, в которых f
сматриваются некоторые более узкие классы функций, чем класс функи
с ограниченным интегралом Дирихле. Он получает при этом более и
стые условия компактности.
Помимо вариационных методов к числу прямых методов след*
отнести метод моментов, предложенный Б. В. Галеркиным. Этот мег
теоретическое обоснование которого дано М. В. Келдышем f
позволяет быстро находить приближённые решения несамосопряжён«

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 525
уравнений
Ly = O
с краевыми условиями. Идея его заключается в том, что решение ищется
в виде линейного агрегата нескольких заданных функций у = Е а^, удо-
удовлетворяющих обычно требуемым краевым условиям. Для определения
коэффициентов разложения составляются некоторые интегралы (обоб-
(обобщённые моменты), которые должны обращаться в нуль, если уравнение
Ly=O удовлетворено в точности. Из условий обращения в пуль этих
интегралов можно получить систему конечного числа т уравнений с т
неизвестными для определения коэффициентов. Решая эту систему,
найдём приближённое решение.
К прямым же методам следует причислить данную С. Л. С о б о л е-
вым [15] теорию знакопеременного алгорифма Шварца для решения
краевых задач в области, представляющей собой сумму или пересечение
двух областей. Им доказано, что сходимость процесса, в этом случае, есть
следствие простых вариационных соображений.
Упомянем ещё работы Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова
об оценке погрешностей в прямых методах вариационного исчисления.
О методе интегральных уравнений мы здесь говорить не будем, так
как он будет содержанием другой статьи.
К числу новых конструктивных методов решения уравнений в част-
частных производных можно отнести метод функционально-инвариантных
решений для решения ряда задач теории волн, принадлежащий
B. И. Смирнову и С. Л. С о б о л е в у [1, 2, 3, 4] *). Этими авторами
указан некоторый частный класс решений волнового уравнения
Ди = ^. C)
Функция и принадлежит.^ этому классу, если не только она сама пред-
представляет решение волнового уравнения, но и любая функция / (и) от неё
также служит решением.
Функционально-инвариантные решения В. И. Смирнова и
C. Л. Соболева удовлетворяют одновременно двум уравнениям.
Кроме волнового уравнения они удовлетворяют ещё уравнению характе-
характеристик. Существует два класса таких функционально-инвариантных реше-
решений простейших уравнений математической физики, известных очень
давно. Это решения волнового уравнения вида
X :!: at D)
я решения уравнения Лапласа в виде комплексного переменного
z=x-i~iy. E)
Для'первого из этих решений любая вещественная функция от него пред-
представляет собою снова решение. Для второго таким решением будет любая
¦аналитическая функция от г, регулярная в комплексной области.
Класс решений, построенный В. И. С м и р н о в ы м и С. Л. Со-
Соболевым, определяется из уравнения
*) См. также С. Л. С о о о л е к (С, 7, 8, II, 13].

526 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где тождественно
11\ = т\ G)
В этом классе содержатся как решения, имеющие вид плоских волн,
так и решения в виде комплексной линейной комбинации координат,
но многообразие решений, даваемых этой формулой, гораздо шире,
В. И, Смирновым и С. Л. Соболевым показано, что для
задачи с тремя переменными в этом классе содержатся важные элемен-
элементарные решения типа источников колебаний. То же имеет место и для
уравнений теории упругости, сводящихся к волновым.
В классе функционально-инвариантных решений вместе с решением,
представляющим собою падающую упругую волну, содержится и реше-
решение, представляющее собою волну, отражённую от плоской границы.
Благодаря этому В. И. Смирнову и С. Л. Соболеву удалось,
дать в замкнутой форме решение общей задачи о колебании слоистых
сред. Задача о колебаниях в анизотропной среде была решен»
B. С в е к л о *).
Применение тех же функционально-инвариантных решений позво:
лило решить в ясном виде задачу диффракции установившихся коле-
колебаний, задачу отражения упругих волн в трёхмерном случае; позволил»
построить строгую теорию поверхностных волн Релея и дать ряд каче*
ственных результатов для теоретической сейсмологии. Пользуясь emfr
методом наложения, В. И. Смирнов дал затем новое решение ряда за*
дач колебаний: колебания шара, круга и т. п. Работы В. И. См и рнова
и С. Л. Соболева относились к случаю плоской задачи (две простра*
ственные переменные). Н. П. Е ру г и н [6] дал общий вид функционально1
инвариантных решений для пространственных переменных.
Классические исследования теории распространения волн othoi
сились, главным образом, к уравнениям с постоянными коэффициентами,
C. Л. С о б о л е в ы м [5, 9, 17] дан новый метод решения нормальног
гиперболического уравнения с переменными коэффициентами. Этот метг
основан на обобщении так называемой формулы Кирхгофа для волн*
вого уравнения. На характеристическом конусе, проходящем чере
заданную точку пространства х и t между значениями двух последователе
ных производных от неизвестной функции, существуют дифференциал
ные соотношения, выражающие тот факт, что они не могут быть зада
независимо. Использовав эти соотношения, можно построить интеграл
ные уравнения типа Вольтерра для неизвестной функции, разрешимые О
методу последовательных приближений.
Метод С. Л. Соболева позволил также С. А. X р и с т и
н о в и ч у [2] решить задачу Коши для нелинейных уравнений п;
помощи сведения их к интегральным уравнениям типа Вольтерра. :
§ 3. НОВЫЕ ЗАДАЧИ.
Для каждой математической дисциплины весьма важны, с тот
зрения её развития, те новые задачи, которые в ней ставятся и возникай.
Теорию дифференциальных уравнений в частных производных советск
наука обогатила рядом таких новых постановок.
*) Диссертация. Л., Университет.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 527
Для уравнений гиперболического типа обычно ставились и решались
задача Коши и смешанная задача. В задаче Коши при решении уравнений
второго порядка начальные данные для неизвестной функции и её первой
производной задаются на некоторой поверхности в пространстве хи x2,...,xn,f,
аналогичной плоскости f=0 для волнового уравнения. Эта поверх-
поверхность должна быть, как говорят, пространственно ориентированной,
т. е. конус характеристик с вершиной на поверхности нигде не должен
иметь с этой поверхностью общих точек кроме вершины. Смешанная
задача состоит в отыскании решения в некоторой области в том же про-
пространстве, тина полубесконечного цилиндра, образующие которого па-
параллельны оси времени, а основание—пространственно ориентирован-
ориентированный кусок поверхности. Задача о колебании ограниченной струны
или мембраны представляет собою типичный пример такой задачи.
В смешанной задаче на основании полубесконечного цилиндра задаются
данные Коши (начальные условия), а на боковой поверхности (так назы-
называемые краевые условия) — какая-либо одна линейная комбинация не-
неизвестной функции и её производных.
С. Л. Соболевым [26, 27] поставлены и решены ещё две новые
краевые задачи для уравнений гиперболического типа. Он рассматри-
рассматривает неоднородное гиперболическое уравнение с коэффициентами, не
зависящими от времени, в бесконечном цилиндре с образующими, парал-
параллельными оси t. На боковой поверхности задаётся либо сама неизвест-
неизвестная функция, либо её нормальная производная. Им установлено, что при
определённых условиях, касающихся поведения решения при больших
отрицательных значениях t, такая задача имеет решение, определённое
с точностью до нескольких произвольных постоянных, а подчас и един-
единственное. Решение задачи возможно, если только свободный член не
слишком быстро растёт при t —> оо, и при этом оно будет зависеть непре-
непрерывным образом от этого свободного члена.
Вторая аналогичная задача для гиперболического уравнения отно-
относится к области, ограниченной конусом, ориентированным времяобразно.
С. Л. Соболев поставил и решил задачу об отыскании решения вол-
волнового уравнения с постоянными коэффициентами в такой области по
заданию значения неизвестной функции на поверхности конуса. Суще-
Существенно оказалось поведение функции, стоящей в граничных условиях,
и решения вблизи вершины конуса. Эта задача была им сведена к преды-
предыдущей при помощи специальных преобразований координат и замены неиз-
неизвестной функции. Идея метода, применённого С. Л. Соболевым
для решения этой задачи, типична для современных исследований в обла-
области теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она
основана на замене свободного члена уравнения приближённым его зна-
значением. Необходимым звеном доказательства является то, что при прибли-
приближении, в соответствующем функциональном пространстве, свободного
члена уравнения к некоторому пределу самое решение также будет стре-
стремиться к определённому пределу. Приближённые уравнения можно
выбрать так, чтобы их решение заведомо существовало. Отсюда получится
и решение нашей задачи.
В задачах С. Л. Соболева непрерывность изменения решения
' при изменении свободного члена есть следствие интегральных оценок ре-
решения, связанных с законом сохранения энергии.
Подробнее мы вернёмся к этому несколько позднее, когда будем гово-
; рить о зависимости решений от начальных и краевых условий.

.528 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Одним из простейших уравнений эллиптического типа, не считая урав-
уравнения Лапласа, является уравнение полигармоническое
Дт« = 0. (8)
.Для частного случая т = 2 это уравнение связано с задачами теории упру-
упругости и было предметом разнообразных исследований.
С. Л. С о б о л е в [16, 18, 20] рассмотрел новую краевую задачу для
полигармонического уравнения в области с вырожденным контуром
в «-мерном пространстве. Он предполагает, что граница области состоит,
из кусков многообразий разной размерности
"п-и "n-2J • • • j Sj, Slt So. (9)
В трёхмерном случае граница состоит при этом из кусков поверхностей,
линий и изолированных точек. Как он доказал, на кусках разной размер-
размерности нужно и можно задавать разное количество производных от не-
неизвестной функции. На поверхности Sn_! задаётся функция с производными
до порядка т — \, всего т условий; на кусках размерности Sn_r задаются
производные до порядка т— Г у1 — 1. Например, для бигармоническогв
уравнения Даи = О в пространстве трёх измерений на поверхностях за-
задаются функция и нормальная производная, а на линиях и в точках—
только сама неизвестная функция. Интересно, что здесь, как и во многих^
других вопросах, с уменьшением размерности каждый раз на единицу,
число условий падает на единицу не каждый раз, а только через один.
Таким образом играет роль половина разности числа измерений. Как мы
увидим и дальше, половина числа измерений играет особую роль во многих,
вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Глубокие корни этого закона открыты С. Л. Соболевым в назван*
лых работах.
Помимо установления теоремы существования и единственности для
решения основной краевой задачи для полугармонических уравнений
С. Л. С о б о л е в ы м были исследованы качественные свойства некого
рых классов решений этих уравнений и даны оценки их поведения вблиза
точек контура. Мы вернёмся к этому вопросу несколько позже в соотвег
ствующем месте.
Вопросы теории диффузии и теории вероятностей привели наук
в последнее время к некоторым новым задачам теории дифференциальна
уравнений в частных производных. Оказалось, что некоторые процесс!
управляются дифференциальным уравнением в частных производнад
сверхпараболического типа (т. е. таким, у которого после приведена
уравнения к каноническому виду исчезает вторая производная в
только по одному переменному, а по двум). Эти уравнения щ
смотрены А. Н. Колмогоровым, И. Г. Петровским 1
Н. С. Писку новым [1], которыми поставлены и решены нови
краевые задачи для этих уравнений.
§ 4. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ.
К числу работ по качественному исследованию поведения решеш
уравнений математической физики прежде всего относятся начатые да
задолго до Великой Октябрьской социалистической революции исследи
вания С. Н. Бернштейна. Работы его содержат как исследование локал|

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 529
ных свойств решений уравнений внутри области или вблизи границы, так
и исследование свойств решений в целом. Ещё в 1904 г. им было впервые
доказано, что решения дифференциальных уравнений в частных производ-
производных эллиптического типа, непрерывные вместе с производными до третьего
порядка, аналитичны. Доказательство этой своей замечательной теоремы
С. Н. Б е р н ш т е й и [2, 5] основал на сочетании метода последователь-
последовательных приближений и специально созданного им метода нормированных
рядов.
Ряды С. Н. Бернштейна имеют вид
г7х'A-х)\ A0)
Им доказано, что в такие ряды может быть разложена любая непрерыв-
непрерывная вещественная функция на отрезке [0, 1 ]. Им даны, кроме того, способы
нахождения той области, где функция /(х) аналитична. Построив разло-
разложение произвольного решения эллиптического уравнения в ряды этого
вида, он доказал аналитичность этого решения в любой внутренней точке
области. Им же была, кроме того, установлена аналитичность по х реше-
решений параболических уравнений
a + b + CU + d
Работы эти, решившие одну из проблем, над которыми уже давно заду-
задумывались учёные (например, Гильберт, поставивший её в ряд своих про-
проблем, выставленных им на конгрессе в 1901 г.), породили впоследствии
целый ряд исследований. Замечательное свойство аналитичности решений
было прослежено систематически. Было выяснено большое количество
условий, при которых решения дифференциальных уравнений в частных
производных являются аналитическими функциями одной или несколь-
нескольких независимых переменных.
Наиболее общие результаты в этом направлении принадлежат
И. Г. П е т р о в с к о м у [11]. Им установлена аналитичность решения
по всем пространственным координатам весьма общего вида систем диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных, названных им параболи-
параболическими. Его теоремы перекрывают все полученные до сих пор
результаты. Метод И. Г. Петровского состоит в том, что он рас-
рассматривает уравнения не только в вещественной, но и в комплексной обла-
области независимых переменных. При этом становится возможным рассма-
рассматривать мнимые части этих переменных как новые независимые пе-
переменные и решать полученные таким образом новые уравнения.
Исследование этих новых уравнений и приводит к доказательству основ-
основной теоремы.
Теория аналитичности решений дифференциальных уравнений в част-
частных производных является одним из достижений по преимуществу совет-
советской науки.
С. Н. Бернштейну [1, 3, 7] принадлежит также ещё несколько
замечательных идей, породивших целые новые направления в вопросах
о качественном изучении поведения решений дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных.
34 Математика в СССР за 30 лет

530 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Помимо установления аналитичности внутри области, он исследует
ещё поведение решений на границе области существования, оценивая
производные от решения внутри области по значениям самого решения.
Оценки эти С. Н. Бернштейн производит с помощью некото-
некоторых специальных вспомогательных функций, построенных при помощи
производных от неизвестного решения. Установив с помощью основного
дифференциального уравнения, что эта вспомогательная функция не мо-
может иметь максимума внутри области, можно извлечь отсюда искомые огра-
ограничения для производных. Оценки С. Н. Бернштейна чрезвычайно
интересны, ибо они позволяют в ряде случаев легко устанавливать сходи-
сходимость различных приближений к решению.
В числе теорем о качественном характере решений дифференциальных
уравнений в частных производных отметим ещё замечательную теорему
С. Н. Бернштейна [4], обобщающую известную теорему Лиувилля
о том, что ограниченная, гармоническая на всей плоскости функция должна
быть постоянной. Она гласит: если z—ограниченная функция двух перемен-
переменных, имеющая непрерывные частные производные первого и второго поряд-
порядков и удовлетворяющая на всей плоскости уравнению вида
Ar+2Bs + Ct = 0, A2)
где А, В, С — ограниченные функции от х, у, z, p, q, г, s и t, удовлетворя-
удовлетворяющие неравенству
АС-В2>0, A3)
то функция z есть постоянная. Эта теорема является одной из сильней-
сильнейших теорий, касающихся свойств в целом решений уравнений эллипти-
эллиптического типа. Она получается из другой важной геометрической теоремы.
Поверхность, заданная уравнением z=f(x, у), где/(х, у) на всей плоскости
имеет производные первого и второго порядков, кривизна которой не поло-
положительна и не равна тождественно нулю, не может оставаться всюду
заключённой между двумя плоскостями. Как следствие, из этой теоремы
вытекает теорема о том, что не существует минимальных поверхностей.
вида z=f(x, у), заданных на всей плоскости х, у, отличных от плоскости.
С. Н. Бернштейн выполнил подробное исследование вопросов
о существовании решения первой краевой задачи (задачи Дирихле) для;
нелинейных эллиптических уравнений вариационного исчисления. Им;
установлены в законченном виде весьма широкие условия, при которых.,
задача Дирихле разрешима для этих уравнений.
К числу исследований по качественному изучению решений относятся;
ещё работы по теории систем дифференциальных уравнений первого 4
порядка с двумя независимыми переменными и двумя неизвестными функ-
функциями. Здесь существенными являются результаты М. А. Л а в р е н ть-.
е в а. Ему удалось обобщить теорему Пикара о поведении аналитической
функции вблизи существенно особой точки. М. А. Лаврентьев уста-
установил, что решения широкого класса таких уравнений, названных им урав-
уравнениями квазиконформных отображений, подобно уравнениям Коши-
Римана, приводят к преобразованиям, выпускающим не более двух точек
(см. статью по теории функций комплексного переменного).
Качественные свойства решений параболических уравнений, как
хорошо известно, отличаются от качественных свойств решений эллипти-
эллиптических уравнений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 531
Решения эллиптических уравнений, регулярные вплоть до границы,
составляют лишь часть множества всех решений этих уравнений. В послед-
последние десятилетия происходит подробное изучение поведения на границе
решений, имеющих там особенность. Такое изучение связано с расшире-
лием классов функций, среди которых мы ищем решение той или иной
задачи. Мы остановимся на этих вопросах в другом месте.
Поведение решений гиперболических уравнений везде в области их
существования может быть самым неправильным. В то время как все
решения эллиптических уравнений «естественно» оказывались аналити-
аналитическими, никаких «естественных» ограничений для решений уравнений
гиперболического типа не существует. Можно высказать лишь в общей
форме положение о том, что если решение имеет особенности, то располо-
расположение этих особенностей приурочено к характеристикам уравнения.
Давно известно, что если решение гиперболического уравнения имеет
лишь разрывы двух производных на некоторых поверхностях и притом
эти разрывы первого рода, то поверхности разрыва должны быть характе-
характеристиками. Новые качественные результаты были получены С. Л. С о б о-
л е в ы м [6, 13, 17], который ввёл в рассмотрение обобщённые решения
волнового уравнения и уравнений теории упругости, имеющие не только
разрывы производных первого и второго .порядков, но разрывные и сами
по себе. Им показано, что и для таких обобщённых решений при некоторых
естественных условиях поверхности разрывов также будут характеристи-
характеристиками. К вопросу об обобщённых решениях мы ещё вернёмся ниже.
Выше отмечалось влияние теории функций на математическую физику.
Это влияние можно считать взаимным, ибо из задач математической фи-
физики в значительной мере рождалась сама современная теория функций.
При изучении различного рода множеств функций естественно возникла
потребность определить понятие о расстоянии между двумя функциями.
Введение такой метрики создаёт, как мы уже отмечали, из множества
функций функциональное пространство. Если расстояние двух функций
определить как интеграл от абсолютной величины разности или интеграл
от квадрата разности, то даже пространство, составленное из функций,
интегрируемых в обычном смысле слова, уже не говоря о непрерывных
функциях, оказалось бы в обоих случаях неполным. Для того чтобы оно
было полным, т. е, чтобы в нём всякая сходящаяся в себе последователь-
последовательность имела предел, оказалось нужным расширить понятие интеграла.
построив понятие интеграла Лебега, и ввести в рассмотрение функции,
интегрируемые по Лебегу или суммируемые.
Многие процессы в современном анализе используют выбор
сходящейся подпоследовательности. Свойство некоторых бесконечных
множеств содержать сходящуюся подпоследовательность в любой своей
бесконечной части называется компактностью. Простейшим примером
компактного множества функций служат семейства функций, равносте-
равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных в пространстве непрерыв-
непрерывных функций, если положить в основу равномерную сходимость.
Наряду с изучением суммируемых функций развивается и учение
о компактности множеств в различных функциональных пространствах.
Компактность позволяет получить решение уравнений математической
физики прямыми методами. Благодаря компактности удаётся установить
существование решения многих задач для гиперболических уравнений
и т. п. Как мы уже упоминали, в математической физике приходится поль-
пользоваться различными функциональными пространствами с различными
34*

532 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
понятиями сходимости. Большое число вопросов приводит к необходи-
необходимости рассмотрения близости в среднем, в других случаях, особенно часто
в нелинейных задачах, оказывается нужна равномерная близость.
Для многих вопросов оказалось важным установить взаимные связи,
различных функциональных пространств. Эта задача была поставлена
С. Л. Соболевым [18], который установил некоторые основные
факты, касающиеся соотношений между различными функциональными
пространствами и применил открытые им свойства к различным дифферен-
дифференциальным уравнениям в частных производных. По существу теория поли-
полигармонических уравнений и теория прямых методов явились частными
примерами использования этих общих результатов. Осветим этот вопрос
подробнее.
Теория С. Л. Соболева относится к функциям, у которых произ-
производные до порядка I абсолютно интегрируемы со степенью рз&1. Производ-
Производные здесь должны пониматься в так называемом слабом смысле не как пре-
пределы разностных отношений, а как функции, для которых верна формула
интегрирования по частям. Для функций одной переменной из интегрируе-
интегрируемости производных порядка / следует абсолютная непрерывность всех
производных, до порядка / — 1 включительно. Однако для функций не-
нескольких переменных это уже не так. Функция 21gr = lg(x2 + y2+2')
имеет производные первого порядка ?, ~, -,-, интегрируемые с ква-
квадратом, не будучи сама непрерывна.
Основная теорема С. Л. Соболева заключается в том, что от
¦интегрируемости первых производных от f со степенью р следует интегр»
руемость функции f со степенью 1 l t . Если р>п, то функция f Ht
~р~~п
прерывна.
Функциональное пространство Lp функций, имеющих производный
порядка I, интегрируемые в степени р, оказывается частью пространен
г 1-1 г 1-2 /->
L. j , ^J_> • • • <-
1_7 1 2
р п р~~п
где Ск обозначает пространство функций с непрерывными производныщ
до порядка к. :
Результаты С. Л. Соболева были дополнены В. И. К о н д pf
новым [1], который доказал, что ограниченное множество из Llp Ш
пактно во всех пространствах A4), если рассматривать его как множеств
сложенное в одно из них.
Вместе с теоремой о компактности в среднем на многообразиях мей
шей размерности, о которой мы говорили выше, эти результаты дают Д1
статочную для многих приложений качественную характеристику пр
странств. Мы уже говорили о том, как применением этих теорем была реви
на, например, краевая задача для полигармонического у равная
в области с вырожденным контуром. '¦¦¦"
С помощью этих же теорем С. Л. Соболев [28, 29, 30] установи,
что одно из характерных свойств смешанных задач математической фна
кй—почти периодичность решений как функций времени—есть следсШ
общих качественных соображений. Как известно, почти периодичное

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 533
некоторой функции равносильна тому, что она, в известном смысле, разло-
разложима в ряд Фурье 2 OneiXnt, в котором Хп принимают дискретные
значения.
Таким образом представление функции в виде ряда Фурье и возмож-
возможность приближённого решения различных задач математической физики
с помощью нескольких членов этого ряда оказываются следствием глубо-
глубоких общих свойств самой задачи. Поясним сказанное подробнее.
Если и —решение простейшей смешанной задачи для волнового урав-
уравнения, то интеграл от суммы квадратов первых производных от и по обла-
области выражает собою полную энергию колебаний, т. е. сумму энергии потен-
потенциальной и энергии кинетической. Этот интеграл не зависит от времени.
Его постоянство есть выражение физического закона сохранения энергии
и является следствием математических уравнений.
Рассмотрим функциональное пространство, элементами которого
служат пары функций: мгновенные значения решений и их скорости -? .
Приняв интеграл энергии за норму элемента в этом функциональном
пространстве, мы можем мыслить себе решение как траекторию в таком
гильбертовом пространстве.
Эта траектория в силу закона сохранения энергии должна всегда на-
находиться на постоянной сфере. Такие траектории, как элементы гильбер-
гильбертова пространства, образуют некоторое множество. Если бы оказалось,
что это множество компактно, то траектория вынуждена была бы возвра-
возвращаться бесконечно много раз в окрестность любого своего значения. Можно
доказать, что при этом она была бы почти периодической функцией пере-
переменного t в гильбертовом пространстве.
С. Л. Соболевым найден ещё один интеграл для смешанной за-
задачи, содержащий вторые производные и сохраняющий постоянное значе-
значение, отличный от интеграла, выражающего энергию. Из того условия,
что интеграл этот остаётся ограниченным, можно при помощи теоремы
В. И. Кондрашова установить компактность, а значит и почти
периодичность решения.
§ 5. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ.
Наличие интеграла, выражающего закон сохранения энергии для
волнового уравнения, позволило С. Л. С о б о л е в у [21] доказать, что
решение задачи Коши для нелинейных уравнений так же, как и для линей-
линейных, имеющее непрерывные производные до второго порядка, будет суще-
существовать, если начальные данные обладают производными до порядка
|-jl+3, интегрируемыми с квадратом.
В XIX столетии мало интересовались характером зависимости реше-
решения от начальных данных. Теорема Ковалевской, в которой доказано
существование аналитического решения задачи Коши для любых аналити-
аналитических уравнений при аналитических начальных данных, казалась вполне
решающей вопрос. Лишь в первые десятилетия XX в. было замечено, что
с физической точки зрения такое решение неудовлетворительно. В самом
деле, для того чтобы при этих условиях получить решение, близкое к дан-
данному, нужно обеспечить в начальных данных определённого порядка бли-
близость всех производных. В физических же задачах вообще существова-

534 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
иие всех производных требовать невозможно и все данные опыта в лучше,
случае дают с некоторой точностью несколько производных.
Исследование решения в вещественной области изменения независ»
мых переменных требует, очевидно, совсем другого. Нужно, чтобы ошибл
в дополнительных условиях, малая с физической точки зрения, давал
бы, опять-таки малую с физической точки зрения, ошибку в результате
Поэтому на очередь встал вопрос о том, чтобы исследовать всев№
можные различные виды непрерывности в функциональном простра.
стве решений дифференциальных уравнений в частных производный
Именно этот вопрос для нелинейных уравнений гиперболического тип
и был решён С. Л. Соболевым.
Для уравнений с переменными коэффициентами, и тем более д.
уравнений нелинейных^ интеграл, выражающий закон сохранения эне(
.гии, не существует, но некоторое его видоизменение приводит к оценка
ограничивающим в среднем рост суммы квадратов производных. В c«t
теоремы С. Л. Соболева сходимость интегралов от квадратов про*
водных порядка Г у 1 + 3 достаточна для существования у функции в
прерывных производных до второго порядка.
Если мы будем применять эти соображения к приближённым рек
ниям, построенным, например, при помощи степенных рядов, на ochoi
нии теоремы Ковалевской, то легко совершить предельный переход, i
пользуя компактность множества приближённых решений. Предельн
переход в оценках даст нам окончательное доказательство всей тео<"
Отметим тут же, что близкая идея лежит в основе исследований И. Г.
ровского по теории систем дифференциальных уравнений в чаев
производных, о которых мы будем говорить ниже.
Уже для линейного волнового уравнения давно хорошо известно,,
число непрерывных производных у решения меньше, чем число непрер
ных производных у начальных данных или правой части приблизитель
на],-^, где п—число независимых переменных. Если бы мы разб1*
область изменения t на несколько участков и заново перевычислили
начальные данные на каждом из них, то на первый взгляд это прим
бы каждый раз к потере нескольких производных.
Этого, однако, не происходит. Те структурные свойства операте
выражающего функцию через начальные данные, которые сохраняют ft,
менным число непрерывных производных, были подвергнуты С. Л. С
болевым специальному исследованию в работе, посвященной нек
рым интегро-дифференциальным уравнениям. Попутно из тех же иссл1
ваний вытекает возможность решать смешанные задачи для гиперб
ческих уравнений при помощи так называемых запаздывающих потен!
лов, что и было проведено С. Г. Михлиным [3]. Поясним это
робнее.
Метод теории потенциала, заключающийся в том, что решение $"
либо задачи математической физики представляется в виде наложений
ментарных источников на границе области в случае уравнений ranepf
ческого типа, приводит к существенным трудностям. Каждый истс
колебаний создаёт волну разрыва очень высокого порядка. Значение па
циала на границе будет поэтому интегро-дифференциальным опера",
от плотности, и решение краевой задачи сводится к решению инт*
дифференциального уравнения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Б ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 535
С. Л. Соболевым установлено, что некоторая степень такого
интегро-дифференциалыюго оператора будет оператором интегральным,
и указан основанный на этом алгорифм решения соответствующего
интегро-дифференциального уравнения.
Зависимость решения общего гиперболического уравнения от началь-
начальных данных исследовал И. Г. П е т р о в с к и й [15, 16, 17], решивший для
них вопрос о так называемых лакунах. Чтобы рассказать суть этой работы,
нам придётся углубиться в теорию дифференциальных уравнений в част-
частных производных и напомнить некоторые основные их свойства. Каждому
дифференциальному уравнению в частных производных вида
dku
—г= > ao.i n — —1-.
dtk jUu dtk° дх*1 .. . дхкп"^
отвечает уравнение характеристической поверхности
A5)
Поверхность характеристик—это та поверхность, нак ото рой могут иметь
разрывы частные производные решения.
Другое важное свойство характеристик состоит в том, что дифферен-
дифференциальное уравнение A5) вырождается на поверхности характеристик
в уравнение с меньшим числом независимых переменных, связывающее
производные порядка ниже чем к. Это приводит к тому, что, вообще говоря,
данные Коши на поверхности характеристик не могут быть заданы неза-
независимо. Обозначая т— = а8, мы видим, что A6) в пространстве a^aj, ...,an
представляет уравнение некоторой поверхности:
Ф(*1, «г, ¦¦¦> а*)=О. A7Ч
Среди характеристических поверхностей особо важную роль играет
характеристический конус с вершиной в данной точке. Этот конус, как,
впрочем, и другие характеристические поверхности, связан с поверхностью
A7) двойственным образом. Касательные плоскости конуса отвечают точкам
поверхности A7) и наоборот.
И. Г. Петровский называет уравнение A5) общим гиперболи-
гиперболическим, если поверхность A7) распадается на вложенные друг в друга
овалы числом f-1 , т. е. или -^, или —5— в зависимости от чётно-
чётности п, ив случае нечётного п ещё один непарный кусок.
Им доказано, что для общего гиперболического уравнения можно ста-
ставить задачу Коши и решение её будет непрерывно зависеть ох начальных
данных в смысле гильбертовой метрики. Непрерывность имеет место, если
считать малой функцию с малым интегралом от квадрата модуля.
Задача Коши состоит, как известно, в том, что значение неизвестной
функции и нескольких её производных задаётся на плоскости t = 0.
Если мы проведём из данной точки х(/!), 44 • • •. хп!>, *A1) характери-
характеристический конус, то его поверхность, пересекая плоскость t = 0, разобьёт
. её на несколько областей: G1( G2, ..., Gs. Например, для обычного вол-
волнового уравнения с тремя переменными характеристический конус раз-

535 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
бивает плоскость * = 0 на круг г</0 и его внешность г >/0, где
г = у 2 (Xi — xi^y. Известно, что значение неизвестной функции и при
этом не меняется при изменении начальных условий в области г > /0,
т. е. не зависит от того, что происходит в начальный момент в этой
области.
В общем случае таких областей, на которые разбивается характеристи-
характеристическим конусом плоскость f = 0, будет не одна, а несколько. Лакунами
И. Г. Петровский называет те из них, в которых значения началь-
начальных условий не влияют на значение решения в вершине конуса.
Наличие лакун или их отсутствие связано с важным физическим
явлением, а именно—так называемой диффузией волн.
Меняя в данной точке x^f), х?0), ..., х?у независимое переменноеf((l),
мы будем перемещать характеристический конус, а также линию его пере-
пересечения с плоскостью t = 0. Если на плоскости f = 0 начальное возмущение
было сосредоточено в некоторой ограниченной области ш, то волны будут
проходить через нашу точку тогда, когда поверхность конуса проходит
через <». В момент, когда область «» попадает в лакуну, возмущение успо-
успокаивается. Если это случается сразу после прохождения волны, то послед-
последняя при этом имеет резко обрывающийся задний фронт. Если <» попадает
в область, не являющуюся лакуной, то задний фронт будет размываться
(диффундировать).
Тот простой факт из окружающей жизни, что мы после исчезновения
предмета из нашего поля зрения перестаём его видеть и что звук, проходя
мимо нас, вообще говоря, исчезает, а не остаётся, как остаются звучания
на рояле при нажатой педали, связан с наличием лакуны у решения вол-
волнового уравнения. С наличием лакуны связана также конечность скорости
распространения волн.
Для одного линейного дифференциального уравнения второго порядка
с переменными коэффициентами вопрос о лакунах был разобран ранее.
Заслуга И. Г. Петровског о—рассмотрение этого вопроса для общих
гиперболических уравнений. Им даны необходимые и достаточные условия
существования лакуны для линейных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами, содержащих только старшие производные, и указаны некоторые
необходимые условия в общем случае.
Если область на плоскости t—О не теряет свойства быть лакуной
при малом изменении коэффициентов (и соответственно малом изменении
её самой), то она называется устойчивой лакуной.
И. Г. Петровский дал необходимое и достаточное условие того,
что некоторая область будет устойчивой лакуной. Он разбирает сначала
уравнения с постоянными коэффициентами, содержащие только старшие
производные.
Оказалось, что во всех этого рода вопросах основную роль играет
упомянутое нами двойственное уравнение характеристического конуса.
В соответствие точкам xlt х2, ¦.., хп, внутри предполагаемой лакуны,
можно построить по определённому закону на алгебраической римановой
поверхности й (а,, а2 а„) =0 некоторые циклы Cs размерности п —2.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы область была лакуной,
заключается в том, что все такие циклы должны быть гомологичны нулю.
Кроме того, И. Г. Петровский дал ещё необходимое условие
существования лакуны для уравнений с переменными коэффициентами.
Он заменяет такое уравнение уравнением с постоянными коэффициентами,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 537
совпадающими с ними в данной точке. При этом области Gk на плоскости
t — О, на которые характеристический конус уравнения (с переменными
коэффициентами) разбивает эту плоскость, переходят в соответствующие
им новые. Необходимое условие существования лакуны связано с тем, что
если для исходного уравнения в некоторой точке Р область G,. была лаку-
лакуной, то для всех близких точек близкие к Gk области для новых уравнений
с постоянными коэффициентами тоже будут лакунами.
Результаты И. Г. Петровского развиты А. М. Д а в ы д о-
в о й *), которая дала некоторые более простые достаточные условия:
существования лакуны. Работы И. Г. Петровского относятся
к системам, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций.
С. А. Г а л ь п е р н [1, 2, 3] рассматривал случай, когда число уравнений
больше числа неизвестных функций, и выяснил вопрос о том, когда решение
задачи Коши для таких систем непрерывно зависит от начальных данных
в пространстве функций, имеющих конечное число производных.
§ 6. ОБОБЩЕНИЕ НА НОВЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ.
Вместе с изучением характера непрерывности зависимости решений
уравнений от начальных данных в круг вопросов, изучаемых наукой, есте-
естественно, вошли различные обобщения понятия о решении, в которых
не требуется непрерывности производных, а подчас и само решение может
иметь разрывы непрерывности.
Необходимость изучения таких обобщённых решений вытекает из раз-
разных соображений. С математической точки зрения введение этих решений
делает полными те функциональные пространства, в которых эти решения
нужно рассматривать. Мы уже видели, что эти пространства выбраны
не случайно, а связаны с внутренними свойствами задачи. Полнота про-
пространств создаёт значительные удобства в пользовании ими. Даже для
отыскания гладких решений удобно в качестве промежуточного звена
использовать разрывные обобщённые решения. Кроме того, реальные физи-
физические процессы, которые вообще описываются какими-либо функциями
с некоторой долей идеализации (откидывание атомистической структуры
вещества и т. п.), иногда с большим успехом могут быть описаны именно
прерывными функциями.
Систематическое изучение некоторого класса обобщённых решений
начал Н. М. Г ю н т е р. Он сформулировал большое количество задач
математической физики в терминах функций областей при помощи интегра-
интегралов Стилтьеса-Радона и дал их решение.
Мы уже встречались с решениями волнового уравнения, взятыми из
гильбертова пространства, когда говорили о почти периодических реше-
решениях волнового уравнения. Рассматривая в этом гильбертовом простран-
пространстве предельные точки для сходящихся последовательностей решений,
мы получим обобщённые решения волнового уравнения из гильбертова
пространства. Пользуясь таким предельным переходом в других функ-
функциональных пространствах, мы получим другие обобщённые решения.
В работах С. Л. Соболева по теории обобщённых решений
в основу положена другая идея, которую можно интерпретировать геоме-
геометрически. В трёхмерном пространстве х, у, z линейное многообразие
такое, как прямая линия, проходящая через начало, задаётся системой
*) Диссертация. М., Университет.

538 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
уравнений плоскостей
или в векторной форме
Скалярному произведению векторов можно привести в соответствие ска-
скалярное произведение функций (и, v), определив его как интеграл от их
произведения. Распространяя далее это представление, можно опреде-
определить таким же образом линейное многообразие решений однородного
уравнения Ly-=O системой соотношений
(У.»)=0,
где v пробегает некоторую систему функций. Для этой цели восполь-
воспользуемся известной формулой Грина
(<Р, Ly) = (Мр, у),
где М — сопряжённый с L дифференциальный оператор, справедливый,
если функции <р и у принадлежат сопряжённым семействам (удовлетво-
(удовлетворяют сопряжённым граничным условиям). Вместо уравнения Ly — Q
лшжно написать (ср, Ly) = O или
Таким образом равенства, определяющие линейное многообразие реше-
решений, можно записать в виде (и, у) = 0, где
а ср пробегает всевозможные значения из сопряжённого семейства. Такого
рода рассмотрение включает, очевидно, в число обобщённых решений все
предельные точки для обычных решений в том пространстве, где заданы
функции у. Однако этот метод даёт больше. Решения уравнения Ly=0
рассматривались нами первоначально в некотором пространстве Y. Мно
жество v может быть взято в этом случае как множество из У*, где К* —
сопряжённое пространство. Можно также выбрать за v элементы, при-
принадлежащие некоторому подпространству Е, более узкому чем Y*.
Тогда равенства
(г,у) = О
будут иметь смысл во всём пространстве Е*, сопряжённом с Е, т. е. в про-
пространстве функционалов над Е. Е*, очевидно, будет включать в себя Y.
Такое расширение первоначального пространства, где решения у были
заданы, приводит к появлению совсем новых обобщённых решений
уравнения Ly = O.
Пространство функционалов содержит иногда в себе пространство
функций и является его расширением. Для того чтобы установить это,
нужно, разумеется, отождествить функционалы вида ly=\.vydQ над
функцией у с функцией с. Поступая указанным образом, мы можем опре-
определить в Е* понятие о решении уравнения Ly = O.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 539
Заметим при этом, что такое определение для уравнений вариацион-
вариационного исчисления равносильно замене уравнений Эйлера на интегральное
уравнение в вариациях.
Пользуясь понятием слабой сходимости, С. Л. Соболев перенёс
на пространство функционалов определения простейших дифференциаль-
дифференциальных операторов и построил формальную теорию линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных в этом пространстве. В качестве
одной из задач он рассмотрел пространства функционалов над функциями,
имеющими непрерывные производные до порядка /, и определил в них
понятие о решении волнового уравнения.
Это пространство содержит в качестве своих элементов, например,
такие, как употребляемая в теоретической физике 5-функция, обращаю-
обращающаяся в со в одной точке пространства и равная нулю во всех остальных
точках, а также производные от этой 8-функции. Формальные преобразо-
преобразования над этими функциями, часто употребляемые в этой науке, при-
приобретают при этом определённый смысл.
Аппарат линейных уравнений в пространстве функционалов был
С. Л. Соболевым применён к решению задачи Коши для волнового
уравнения, а также в теории почти периодичности' решений волнового
уравнения.
Задача Коши так же, как и смешанная задача в пространстве функ-
функционалов, может при этом быть сформулирована просто как задача
нахождения обратного оператора, т. е. как задача решения уравнения
в некотором функциональном пространстве. При этом уже не нужно рас-
рассмотрение каких-либо начальных или граничных условий. Эти условия
относятся либо к свободному члену уравнения, либо входят в определе-
определение пространства.
С. Л. Соболев показал, что задача Коши для волнового уравне-
уравнения при любом функционале в правой части имеет определённое един-
единственное решение. Тем самым найден тот класс элементов, для которого
эта задача ставится наиболее естественно, и устранено то обстоятельство,
что она могла даже для непрерывных функций оказаться неразрешимой.
Основным орудием в теории С. Л. Соболева послужил метод
так называемых средних функций.
Если любой суммируемой функции /(Р) привести в соответствие
интеграл
г it h
где Q — переменная интегрирования, г —расстояние'от Р до Q и •/.--
соответствующая постоянная, то такая «средняя» функция будет инте-
интегрально сколь угодно близка к /(Р) и будет обладать всеми непрерыв-
непрерывными производными.
Для элементов из других функциональных пространств fh (P) также
даёт удобное приближение.
С. Л. Соболевым показано, что «оператор усреднения» можно
распространить на пространство функционалов и что результат его при-
применения к любому функционалу будет функцией, имеющей все произвол-

540 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ные. Функционал, отвечающий этой функции, будет сколь угодно бли-
близок к исходному. Это даёт возможность построить в пространстве функцио-
функционалов всюду плотную сеть достаточно гладких функций, которая и позво-
позволяет доказать все основные теоремы.
С. Л. Соболев установил также обобщённую почти перио-
периодичность обобщённых решений предельных задач для волнового урав-
уравнения—решений из пространства функционалов.
Значительно расширены советскими математиками также и другие
основные задачи теории дифференциальных уравнений в частных про-
производных. В первую очередь отметим исследования А. Н. Тихо-
Тихонова [1,4] по теории уравнения теплопроводности. Им даны весьма
широкие условия, которым должны удовлетворять на бесконечности
решения этого уравнения, для существования решения задачи Коши
в бесконечной области.
Оказалось, что на неизвестную функцию и, удовлетворяющую
уравнению
и условию
u|j-o-=«p(x),
достаточно наложить требование
Mm и<Гс*2= 0
х-къ
при каком-нибудь С для того, чтобы задача стала определённой и полу
чила бы единственное решение. Расширить это условие далее, как пока*
зал А. Н. Т и х о н о в, уже почти невозможно. ;
А. Н. Тихоновым исследован класс областей, в которых тЖ
решать смешанную задачу для уравнения теплопроводности. Оказалось
что эти области почти те же, как и области, в которых разрешима зад:
Дирихле.
Новой главой учения о дифференциальных уравнениях в частнь
производных явилось создание теории квазиконформных отображен
М. А. Лаврентьевым (см. статью по теории функций комплек
ного переменного). Задача о квазиконформном отображении—это зада1
о таком отображении плоской области, при котором в каждой точ:
задаётся отношение полуосей того эллипса, в который переходит беек
нечно малый круг на плоскости.
М. А. Лаврентьев установил возможность такого отобрал
ния любой односвязной области на круг и дал значительное количест!
применений своей теории и своих методов к различным задачам мех
ники. Им разобрана теория струйного течения жидкости, теория во.
на поверхности тяжёлой жидкости и ряд других вопросов подобий
рода. ,
Метод М. А. Лаврентьева заключается в использован»'
процесса, напоминающего метод конечных разностей. Он разбивает от
бражаемую область на ячейки и отображает каждую из них порози
Изучив изменение отображающей функции при изменении контур!
он вводит затем последовательные поправки, с помощью которых реШ|
задачу до конца. Существенна при этом устанавливаемая им компактной
получаемого семейства отображающих функций.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 541
Теория квазиконформных отображений есть по существу теория
некоторых частного вида систем дифференциальных уравнений в частных
производных с двумя независимыми переменными и двумя неизвестными
функциями.
Класс таких уравнений, для которых было возможно строить реше-
решение, в последнее время расширен в работе Г. М. Адельсон-Вель-
ского и А. С. Кронрода [1]. Они показали существование реше-
решений у системы двух линейных уравнений с двумя независимыми перемен-
переменными и двумя неизвестными функциями при одном условии непрерывности
коэффициентов. Ими же установлен и качественный результат, заклю-
заключающийся в том, что решение всегда имеет непрерывные производные
на один порядок больше чем коэффициенты.
§ 7. ТЕОРИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Теория систем дифференциальных уравнений в частных производных
является одним из тех направлений, в которых наша наука достигла
весьма существенных успехов. Главные результаты в этой области при-
принадлежат И. Г. Петровскому [9, 11, 14—17].
Хорошо известно, что классические задачи математической физики
все относились к трём типам: эллиптическому, гиперболическому и пара-
параболическому, с качественно различными свойствами.
И. Г. Петровский выделил среди различных систем дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных такие классы, которые обла-
обладают всеми свойствами соответственно эллиптических, гиперболических
и параболических уравнений.
Определение и свойства систем уравнений гиперболического типа
напоминают свойства общих гиперболических уравнений, о которых речь
шла выше.
Поясним подробнее суть дела. Для уравнений гиперболического типа,
как мы видели выше, двойственный конус характеристик распадался
на простые овалы. Аналитически это обозначает, между прочим, то, что
в любом направлении уравнение порядка к допускает плоские волны,
имеющие все скорости вещественными и различными, т. е. допускает
ровно к решений вида f(X — Vkt), где X — произвольная линейная функ-
функция переменных хи х„, ..., хп. Подобно тому как в теории систем обы-
обыкновенных дифференциальных уравнений для существования общего
решения в виде суммы членов типа VAAX не требуется простоты корней
характеристического уравнения, в линейных системах уже нет надобно-
надобности требовать различность всех скоростей. Условие это заменяется другим,
более сложным. Вместо отсутствия кратных корней у характеристического
уравнения И. Г. Петровский требует, чтобы у некоторой л-матрицы
все элементарные делители были простыми.
И. Г. Петровским выделен и изучен также и второй суще-
существенный класс систем уравнении, являющийся обобщением обычного
уравнения теории распространения тепла. Он назвал такие системы пара-
параболическими. Не приводя здесь математического определения этого
класса, чего мы не делали и для гиперболических систем, укажем лишь
основные свойства такого класса. Для всех этих уравнений плоскости
t—-const, служит характеристиками и притом кратными. Для всех таких
систем разрешима задача Коши при соответствующих данных на плоско-

542 ДПФФЕРЕЧЦИЛЛоНЫЕ УРАВНЕНИЯ
сти t — О и, по всей вероятности, и некоторые смешанные задачи, как
выяснено работами учеников И. Г. Петровского, для систем второго
порядка.
Все решения этих систем внутри области определённости являются
аналитическими функциями переменных х,, х«, ..., х„ и неограниченно
дифференцируемы по t. Зависимость от начальных данных непрерывна
в очень сильной степени. При изменении начальных данных непрерывным
образом в пространстве Lt решение меняется непрерывно в пространстве
аналитических функций с соответствующей топологией, в которой не-
непрерывное стремление к пределу осуществляется сразу для всех произ-
производных. Из аналитичности решений следуют, конечно, отсутствие лакун
и бесконечная скорость распространения возмущения.
Наконец И. Г. Петровскому и его ученикам мы обязаны иссле-
исследованиям по теории эллиптических систем уравнений, т. е. систем,
у которых все характеристики мнимые. Им установлена аналитичность
решений всех таких систем.
Н. И. Симонов [3, 4] и 3. Я. Ш а п и р о [1 ] занимались также
решением первой краевой задачи для таких уравнений,—задачи, анало-
аналогичной задаче Дирихле.
Кроме того, предельный переход от параболических систем, для кото-
которых в некоторых случаях смешанная задача была решена С. 3. Б р у-
ком [1 ], также позволяет получить решение этой первой краевой задачи.
Мы лишены здесь возможности останавливаться подробно на тех
методах, которыми И. Г. Петровскому удалось достичь всех этих
результатов.
Для исследования гиперболических систем он применяет аппарат
интегралов Фурье, дополненный соответственным образом, причём одной
из основных идей весьма трудного анализа, проведённого им, является
установление непрерывной зависимости получаемых им приближённых
решений от начальных данных. Эта идея лежит в основе почти всех совре-
современных методов исследования.
Эллиптические системы он изучает с целью установить аналитичность
всех их решений при помощи продолжения этих решений в комплексную
плоскость независимых переменных, причём там эти уравнения превраща-
превращаются в уравнения с вещественными характеристиками.
Заслуга И. Г. Петровского в теории систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных исключительно велика. Можно
без преувеличения сказать, что им заложены основы этой теории и даны
все наиболее существенные результаты и понятия.
Особое место среди систем дифференциальных уравнений в частных
производных занимают системы с двумя независимыми переменными. Эти
уравнения также были предметом специального изучения советских
учёных.
Для системы уравнений с двумя независимыми переменными у нас
была изучена так называемая задача Гурса, задача об отыскании решения
при условиях, заданных на двух пересекающихся прямых (на коорди-
координатных осях).
Для вещественных функций, имеющих конечное число производных,
вопрос о существовании и единственности решения и о непрерывной
зависимости от граничных условий в соответствующем пространстве разо-
разобран Л. А. М е л ь ц е р [1], которая установила все эти свойства для
систем с вещественными характеристиками.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 543
Н. М. Г ю н т е р [1 ] и С. Л. Соболев [3, 4, 12] исследовали
аналитические решения задачи Гурса, обнаружив при этом, что она имеет
решение в очень широком классе случаев.
Для системы уравнений первого порядка вида
т\ I
2л uii'ji
~ду
задача, в которой uv i—\,2, ..., т, задаются при х = 0, a ut, i = m+\,
m-j-2 tn + l, задаются при у —0, будет разрешимой или нет в зави-
зависимости от значений матриц !|a,-,-j| и j|fti,-||.
С. Л. Соболев показал, что решение этой задачи существует
почти для всех значений коэффициентов ai;- и Ьц и что исключением могут
быть лишь некоторые многообразия меньшей размерности. До работ
Н. М. Гюнтера было известно только, что существует некоторая
область изменения коэффициентов, в которой задача имеет решение.
Результат советских учёных в этом вопросе аналогичен результату Фред-
гольма и Гильберта в теории интегральных уравнений с параметром,
которые доказали, что решения интегрального уравнения есть мероморф-
ная функция этого параметра, т. е. имеет на плоскости лишь изолирован-
изолированные полюсы. Если вспомнить, что теория Фредгольма в свою очередь
связана с теорией дифференциальных уравнений, зависящих от пара-
параметра, то становится правдоподобным наличие каких-то общих законов,
управляющих зависимостью решений дифференциальных уравнений от
коэффициентов.
§ 8. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ФОРМЫ ОБЛАСТИ.
Наряду с изучением зависимости решений уравнений математиче-
математической физики от краевых и начальных данных в различных функциональ-
функциональных пространствах, вместе с вопросами устойчивости по отношению
к изменениям этих условий советской наукой поставлен ещё один вопрос
об устойчивости.
М. А. Л а в р е н т ь е в иМ. В. Келдыш*) рассматривали вопрос
об устойчивости задачи Дирихле при изменении формы области, в которой
задана неизвестная функция. Вопрос этот заключается в следующем.
Пусть во всём пространстве задана некоторая непрерывная функция f(p).
Будем считать решением задачи Дирихле в области D с границей Г такую
гармоническую функцию и, которая совпадает с / на Г. Меняя D, мы
будем получать разные решения. Если область Dn стремится к D извне:
DnZDD + Г, то, как показали М. А. Лаврентьев и М. В. Келдыш,
решение приближённой задачи ип будет равномерно стремиться к и.
Ими установлено, что это будет уже не так, если Dn + l'nczD, т. е. если
область D,, стремится к D изнутри.
Примеры показывают, что неустойчивость может иметь место не
только на границе, но и внутри области. Этот замечательный факт был
не только установлен, но и исследован весьма подробно. М. А. Л а-
врентьевым и М. В. Келдышем даны критерии устойчивости в
отдельных точках и достаточные условия устойчивости в области. Нет
*) М. В. К е л д ы ш [1, 2, 3], М. В. К е лд ыш и М. А. Лаврентьев [1]..

544 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
солшелия в том, что в этой работе М. А. Лаврентьева и М. В. К е л-
д ы ш а мы имеем, зарождение некоторой новой, весьма интересной главы
учения о дифференциальных уравнениях в частных производных.
В нашем кратком очерке мы попытались дать представление о роли
советских учёных в теории дифференциальных уравнений в частных про-
производных.
В этой области знаний наша наука имеет ряд существенных заслуг,
которым она безусловно обязана нашей Родине, её Правительству и лично
товарищу Сталину.
Родина дала советским учёным все условия для плодотворной работы,
и читатель может сам судить, насколько оправдано это высокое дове-
доверие советского народа.

БИБЛИОГРАФИЯ.
Аваза ш вили Д. 3.
[1] Теорема единственности решения электромагнитных уравнений Maxwell'a в неод-
неоднородной бесконечной среде. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 8 A940),
109—134.
Адамов Н. В.
[1] Sur quelques proprietes des integrates d'une equation du second ordre a coefficients
periodiques. С R. Acad. Sci., 197 A933), 1280—1282.
[2] Геометрический смысл условия устойчивости Ляпунова. ДАН, 2 A935), 361—364.
[3] Некоторые достаточные условия устойчивости. ДАН, 2 A935), 447—450.
[4] Sur l'oscillation des integrates de l'equationdudeuxieme ordre aux coefficients рё-
riodiques et sur quelques conditions de la stabilite. Матем. сб., 42 A935), 651—668.
[5] Об одном методе последовательных приближений. ДАН, 18 A938), 219—224.
[6] О нахождении периодических решений обыкновенного дифференциального урав-
уравнения первого порядка методом последовательных приближений. ДАН, 19 A938),
15—20.
[7] Некоторые свойства преобразований, не меняющих интегральную кривую уравне-
уравнения первого порядка. ДАН, 29 A940), 539—543.
Адельсон-Вельский Г. М. и Кронрод А. С.
[1] О принципе максимума для решений системы уравнений в частных производных
эллиптического типа. ДАН, 49 A945), 559—561.
Алферов В. В.
[1] О направляющих кривых обыкновенных дифференциальных уравнений. Матем.
сб., 41 A934), 453—457.
Альмухамедов М. А.
[1] О числе возможных типов особых точек для систем обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений с п-переменными. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C),
8A936—1937), 23—29.
[2] О проблеме центра. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 8 A936—1937), 29—37.
[31 Об условиях наличия особой точки типа «центр». Казань, Изв. физ.-матем, о-ва
C), 9 A937), 107—126.
[4] К задаче отыскания гладкого предельного цикла. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва,
11 A939), 161—179.1
Андронов А. А.
[1] Les cycles limites de Poincare et la theorie des oscillations auto-entretenues. С R.
Acad. Sci., 189 A929), 559—562.
Андронов А. А. и Витт А. Г.
[1] Sur la theorie mathematique des auto-oscillations. С R. Acad. Sci., 190 A930),
256—258.
[21 Unstetige periodische Bewegungen und die Theorie des Multivibrators von Abraham
und Bloch. ДАН (А), A930), 189—192.
[3J Об устойчивости по Ляпунову. Ж. теор. и экспер. физ., о A933).
35 Математика в СССР за 30 лет

546 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
14] Stir la theorie mathematiquedessystemesauto-oscillatoiresjl deux degres de liberty.
Thechn. Phys. of the USSR, 1:3 A934).
Андронов А. А. и Л е о н т о в и ч Е. А.
[11 Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра. Горький, Учён,
зап. ун-та, 6 A939), 3—24.
Андронов А. А, иМайер А. Г.
[1] Задача Мизеса в теории прямого регулирования и теория точечных преобразова-
преобразований поверхности, ДАН, 43 A944), 58—60.
Андронов А. А. иПонтрягин Л. С.
[1] Грубые системы. ДАН, 14 A937), 247—250.
Андронов А. А. и X. а й к и и С. Э.
[1] Теория колебаний. Ч. I. M.—Л., ОНТИ A937).
Аппельрот Г. Г.
[1] О некоторых преобразованиях основной формы системы алгебраических дифферен-
дифференциальных уравнений. Матем. сб., 32 A925), 9—21.
[2] К вопросу о периодических решениях алгебраических дифференциальных уравне-
уравнений. Матем. сб., 34 A927), 365—383.
[3] О некоторых свойствах действительных непрерывных решений дифференциаль-
дифференциальных уравнений упрошенной основной формы. ИАН, сер. физ.-матем.A934),443—514.
[4] К вопросу о действительных непрерывных решениях дифференциальных уравне-
нений упрощённой основной формы. ДАН, 1 A935), 438—441.
А р^аЪ и,й с к,Хя Е. Н.
[1] О свойствах интегралов дифференциальных уравнений, интегрирующихся в ква-
квадратурах. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1:1 A935), 90—97.
Артемьев Н. А.
[1] Die Anwendung des Storungsverfahrens zur Berechnung der Eigenwerte bei Defor-
Deformation des Randes. Матем. сб., 39:3 A932), 52—66.
[2] Периодические решения одного класса уравнений в частных производных. ИАН,
сер. матем. A937), 15—50.
[3] Осуществимые движения. ИАН, сер. матем. A939), 351—370.
[4] Осуществимые траектории. ИАН, сер. матем. A939), 429—448.
15] Stabilite аи sens de Liapounoff et nombre de solutions periodiques. Сотр. Math.,
6 A939), 78—92.
[61 Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ч. I.
Л., Изд. ун-та A941), 1—159.
[7] Исследование осуществимости периодических движений. ИАН, сер. матем.,
5 A941), 127—158.
[8] Метод определения характеристических показателей и приложение его к двум
задачам небесной механики. ИАН, сер. матем., 8 A944), 61—100.
Артмеладзе Н. К.
[1] О решении задачи Дирихле для колебательного уравнения в случае разрывных
контурных заданий. Тбилиси, Труды матем. ин-таГр. фил. AH.jl A937), 205—210.
Б а к а л я е в А. С.
[1] Обобщённый принцип излучения в пространственной стационарной задаче теории
упругости. ДАН, 4 A935), 239—242.
12] Теорема единственности в стационарных краеш>;х задачах теории упругости. ДАН,
1 A936), 51—54.
[3] Обобщённый принцип излучения и теорема единственности в пространственных
стационарных краевых задачах теории упругости. Матем. сб., 1 D3), A936),
575—590.
Барабанов А;
[1] О приведении уравнении к самосопряжённому i;iuy. Сараю», Учён. зап. ун-та,
сер. физ.-матем., I A4):2 (I938), 29—33.

БИБЛИОГРАФИЯ 547
Барбашин Е. А.
[1] О некоторых особенностях, возникающих в динамической системе при наруше-
нарушениях единственности. ДАН, 41 A943), 145—147.
[2] Локальные особенности обыкновенных точек для системы дифференциальных урав-
уравнений. ДАН, 41 A943), 193—196.
[3] О поведении точек при гомеоморфных преобразованиях пространства. ДАН,
51 A946), 3—6.
[4] О классификации интегральных многообразий системы уравнений в полных диф-
дифференциалах. ДАН, 55 A947), 283—286.
Бебутов М. В.
[1] О динамических системах, устойчивых по Ляпунову. ДАН, 18 A938).
[2] Об отображении траекторий динамической системы на семейство параллельных
прямых. М., Бюлл. ун-та (А), 2:3 A939), 3—23.
[31 О динамических системах в пространстве непрерывных функций. ДАН, 27A940),
904—906.
[4] О динамических системах в пространстве непрерывных функций. М., Бюлл. ин-та
матем. ун-та, 2:5 A940).
[5] О методе локальных сечений в теории динамических систем. М., Диссертация
(Ш41).
[6] Цепи Маркова с компактным пространством состояний. ДАН, 30 A941), 480—483.
Бебутов М. В. и С т е п а н о в В. В.
[1] Об изменении времени в динамических системах с инвариантной мерой. ДАН,
24 A939), 217—219.
[2] Sur la mesure invariante dans les systemes dynamiques qui ne different que par le
temps. Матем. сб., 7 D9), A940), 143—166.
Безухов К. И.
[1] Формула для решения системы уравнений, полученных нри расчёте оболочек
и складок. М., Ж. Вести, инж. и техн., 1 A935), 41—42.
Бермант А. Ф.
[1] К вопросу об интегрировании линейных неоднородных дифференциальных урав-
уравнений. Ростов н/Д, Труды ин-та матем. и естеств. Сев.-Кавк. ун-та, 16 A930),
131—145.
Б ер н ш т е й н С. Н.
[11 Sur l'integration des equations aux derivees partielles du type elliptique. Math.
Ann., 95 A926), 585—594.
[2] Sur la nature analytique des solutions des equations differentielles aux derivees par-
partielles du type elliptique. Math. Z., 25 A926), 505—513.
[3] Sur l'integration des equations aux deriv6es partielles du type elliptique, II. Math.
Ann., 96 A927), 633—647.
[4] Ueber ein geometris.hes Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differen-
tialglei hungen vom elliptischen Typus. Math. Z., 26 A927), 551—558.
[5] Demonstration du theoreme de M. Hilbertsur la nature analytique des solutions des
equations du type elliptique sans l'emploi de sdries normales. Math. Z., 28 A928),
330—348.
[6] Sur l'equation differentielle de Fokker-Planck. С R. Acad. Sci., 196 A933),
1062—1064.
[7] Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений пара-
параболического типа. ДАН, 18 A938), 385—388.
[8] Первая заметка о линейных дифференциальных операторах. ДАН, 29 A940),
532—535.
[9] Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. ИАН,
сер. матем., 4 A940), 17—26.
[10] Об одной геометрической теореме и её приложениях к уравнениям в частных произ-
производных эллиптического типа. Успехи матем. наук, 8 A941), 75—81. (Перевод,
см. [4].)
[11] Доказательство теоремы Гильберта об аналитическом характере решений эллип-
эллиптических уравнений без и пользования нормальных рядов. Успехи матем. наук,
8 A941), 82—99. (Перевод, см. [5].)
[12] Новые обобщения теоремы Лиувилля и её распространение на уравнения парабо-
параболического типа. ДАН, 42 A944), 107—112.
35*

548 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СРАВНЕНИЯ
Бернштейн С. Н. иПетровский И. Г.
[I] О первой краевой задаче (задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа
и о свойствах функций, удовлетворяющих этим уравнениям. Успехи матем.наук,
8 A941), 8—26.
Бицадзе А. В.
[1] Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений эллипти-
эллиптического типа. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944), 770.
Бланк Я. П.
11] Связь между гауссовой кривизной и линиями кривизны 2-го рода системы инте-
интегральных кривых уравнений Пфаффа. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 2 A928), 75—76.
[2] Ueber eine geometrische Deutung der Integrabilitatsbedingung der Pfaffschen Diffe-
rentialgleichung. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 13 A936), 75—81.
Бланк Я. П. иМиколаенко М. А.
11] Про Lie'ei квадрики в системи штегральних кривихПфафевого Р1вняння S Pdx—0.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 95—110.
Блинников Т. Н.
fl] Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейных
координатах. Прикл. матем. и мех., 2 A938—1939), 407—413.
Богаутдинов Г. Н.
[1] Об одной теореме неравномерной устойчивости. Казань, Учён. Гзап, ун-та,
100:5 A940), 120—127.
Богданов Ю. С.
II] О нормальных системах Ляпунова. ДАН, 57 A947), 215-217.
Боголюбов Н. Н.
И] О некоторых статистических методах в математической физике. Львов, Изд. АН
УССР A945).
Боголюбов Н. Н. иКрылов Н. М.
[1] La theorie generalede la mesure dans son application a l'etude des systemes dynami-
ques de la mecanique non-Hn6aire. Ann. of Math-, 38 A937), 65—113.
Бокштейн М. Ф.]
[ 1 ] Теоремы существования и единственности решений систем обыкновенных дифферент
циальных уравнений. М., Учён. зап. ун-та, 15 A939), 3—72.
Брук С. 3.
[1] О задаче Cauchy для систем дифференциальных уравнений параболического типа.
ИАН, сер. матем., 10 A946), 105—120.
Б у д а к Б. М.
[1] Дисперсные динамические системы. М., Диссертация A941).
Булгаков Б. В.
[1] О применении метода А. Пуанкаре к свободным псевдолинейным колебательным
системам. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 263—281.
[2] О применении метода Ван-дер-Поля к псевдолинейным колебательным системам
со многими степенями свободы. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 395—411.
[3] Автоколебания регулируемых систем. ДАН, 38 A942), 283—285.
[4] Об операционных решениях систем линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. ДАН, 41 A943), 248—250.
Б у р с т и н Ц. Л.
[1] Em Beitrag zur Theorie der Systeme Pfaff'scher Aggregate. Матем. сб., 37A930),
13—22.
[2] Beitrage zum Problem von Pfaff tmd zur Theorie der Pfaffschen Aggregate, I. Bei-
Beitrag. Матем. сб., 41 A934), 582—654.

БИБЛИОГРАФИЯ 549
Б ы с т р е н и н В. В.
[1] О почти-периодических решениях некоторых обыкновенных дифференциальных
уравнений. ДАН, 33 A941), 387—389.
Б ю л е р Г. А.
[1] Об интегральном представлении функций Матье. Томск, Изв. НИИ матем. и
мех. ун-та, 3:1 A946), 191 — 197.
Б ю ш г е и с С. С.
[1] Sur l'equation de Bour. M., Отчбты засед. матем. о-ва A926), 12—13.
Вагнер В. В.
[1] О понятии индикатрисы «теории дифференциальных уравнений. ДАН, 57 A947),
219—222.
В ек у а И. Н.
[1] Об общем представлении решений дифференциальных уравнений в частных про-
производных второго порядка. ДАН, 17 A937), 291—296.
[2] Randwertaufgabe der Schwingungen einer unendlichen Schicht. Тбилиси, Труды
матем. ин-та Гр. фил. АН, 1 A937), 164.
[3] Общее представление решений дифференциальных уравнений в частных произ-
производных эллиптического типа, линейных относительно оператора Лапласа. Тби-
Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 2 A937), 227—-240.
[4] Граничные задачи теории линейных эллиптических дифференциальных уравне-
уравнений с двуми независимыми переменными, I. Тбилиси, Сообш. Гр. фил. АН, 1 A940),
29—34.
[5] Граничные задачи теории линейных эллиптических дифференциальных уравне-
уравнений с двумя независимыми переменными, П. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН,
1 A940), 181—186.
[6] Граничные задачи теории линейных эллиптических уравнений с двумя незави-
независимыми переменными, III. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 497—500
[7] Комплексное представление решений эллиптических дифференциальных урав-
уравнений и его применения к граничным задачам. Тбилиси, Труды матем. ин-та
Гр. фил. АН, 7 A940), 161—253.
[8] Allgemeine Darstellung der Losungen elHptischer Differentialgleichungen in
einem mehrfach zusammenhangenden Gebiet. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН,
1 A940), 329-334.
[9] Решение основной краевой задачи для уравнения Д"+1 и =-. 0. Тбилиси, Сообщ.
АН ГрССР, 3 A942), 213—220.
[10] О решении уравнения Аи + А2 и — 0. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3 A942),
312—314.
[11] О решении смешанной граничной задачи теории ньютонова потенциала для много-
связной области. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3 A942), 753—758.
[12] Об одном интегральном представлении решений дифференциальных уравнений.
Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 4 A943), 843—852.
[13] Общее представление решений дифференциального уравнения сферических функ-
функций. ДАН, 49 A945), 319—322.
Векуа И. Н. иХазаров Д. Ф.
[1] Замечания по поводу метода Фурье.| Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940),
647—650.
В е л л е р Л. И.
[1] Один из способов решения и исследования обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений линейных второго порядка с постоянными коэффициентами. Л., Труды
хим.-технолог. ин-та, 2 A935), 7—16.
Викберг Б. А.
[1] К вопросу о классификации решений обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. Баку, Изв. Азерб. ун-та, 3 A923—1924), 221—229.
В и т т А. Г.
[1] Sur la stability du mouvement quasi periodique. С R. Acad. Sci., 195 A932).

550 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Волк И. М.
[1] Одно обобщение метода малого параметра в теории нелинейных колебаний неавто-
неавтономных систем. ДАН, 51 A946), 433-435.
[2] Об упругих колебаниях при сопротивлении пропорциональной степени скорости.
Прикл. матем. и мех., 10 A946), 125—135.
[3] О периодических решениях неавтономных систем, зависящих от малого параметра.
Прикл. матем. и мех., 10 A946), 559—575.
Вольберг О. А.
[1] О так называемых импульсивных функциях Хевисайда-Дирака. Л., Труды ин-
дустр. ин-та, раздел физ.-матем., 3:1 A939), 76—82.
Воронов Б. В.
[1] Теорема Четаева о неустойчивости с точки зрения ее' доказательства. М., Труды
# поен.-возд. акад., Зап. семип. по теории устойчивости движения, 2 A946).
Гавра Д. Л.
[1] Об импульсивных функциях Хевисайда-Дирака. Л., Труды политехи, ип-та.
3 A941), 34—38.
Гаврилов А. Ф.
\\] Применение разложений по малому параметру к интегрированию некоторых урав-
уравнений в частных производных (нелинейных обобщений телеграфного уравнения).
Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 13 A944), 55—77.
Г а г а ев Б. М.
[1] О системе дифференциальных уравнений второго порядка, интегралы которой—
линейные дробные функции произвольных постоянных. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва B), 24:1 A924), 57—60.
[21 Рост интегралов дифференциальных уравнений. Казань, Учён. зап. ун-та,
85 A925), 229—236.
[3] О росте интегралов дифференциальных уравнений первого порядка. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва B), 25 A925), 15—19.
[4] Приложение симметрнзуемого ядра к дифференциальному уравнению колебания
пластинки. Казань, Учён. зап. ун-та, матем., 4:1 A932), 62—64.
[5] Ueber Sturm-Liouvillesche Reihen mit Lflcken. J. reine und angew. Math., 166 A932),
204—207. •
Г а л о h e н Г. М.
[1] К вопросу о формальном интегрировании некоторых дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных второго порядка. ДАН, 55 A947), 289—2S0.
Г а л ь п ер и С. А.
[1] О корректной постановке задачи Коши для совместных систем дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка. ДАН, 18 A938), 227 230.
[2] О корректной постановке задачи Коши для совместных систем линейных уравне-
уравнений в частных производных. Матем. сб., 7 D9), A940), 111—142.
[3] Замечание о линейной системе уравнений в полных дифференциалах. М. Учён
зап. ун-та, 45 A940), 93—96.
[4] Об асимптотах решений уравнения /=/(х, у). ДАН, 54 A946), 387—390.
Гантмахер Ф. Р. и Крейн М. Г.
'•[1] Осцилляционные матрицы и малые колебания механических систем. М Л.,
ГТТИ A941), 1—220.
Гантмахер Ф. Р. иСегал Б. И.
[1]'Способ гидродинамического расчёта одной системы плотины. ДАН, 35 A942),
103—109.
Г е р ш г о р и и С. А.
[1] Ueber einen allgemeinen Mittelwertsatz der mathematischen Physik. ДАН (А),
A932), 50—53.

БИБЛИОГРАФИЯ 551
Гоголадзе В. Г.
[1] Проблема Коши для «обобщённого» волнового уравнения. ДАН, 1A934), 166—169.
[2] Общая задача интегрирования обобщённого волнового уравнения с переменными
коэффициентами. ДАН, 1 A934), 301—304.
[3] К теории запаздывающих интегралов. ДАН, 3 A934), 481—484.
[4] Волновое уравнение для неоднородных и анизотропных сред. Труды физ.-матем.
ин-та им. Стеклова, 9 A935), 107—166.
15] Интеграл Фурье и функционально-инвариантные решения волнового уравнения
в многомерном пространстве. ДАН, 44 A944), 335—338.
Голубев В. В.
[1] Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.—Л., ГИТТЛ
A941), 1—398.
Г о л у з и и Г. М.
[1] Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнения
Ьар1асе'аи многосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функцио-
функциональных уравнений). Матем. сб., 41 A934), 246—276.
\2] Решение пространственной задачи Dirichlet для уравнения Laplace'a и для обла-
областей, ограниченных конечным числом сфер. Матем. сб., 41 A934), 277—283.
13] Решение плоской задачи теплопроводности для многосвязпых областей, ограничен-
ограниченных окружностями, в случае наличия изолирующего слоя. Матем. сб., 42 A935),
191—198.
Горгидзе А. Я.
{1] Метод' последовательных приближений в применении к плоской задаче теории
упругости. ДАН, 4 A934), 254—259.
Горнштейн М. С.
[1] Интегралы линейных дифференциальных уравнений, содержащие конечное число
членов. Матем. сб., 42 A935), 583—592.
'{2] Регулярные интегралы линейных дифференциальных уравнений в иррегулярной
особой точке. Матем. сб., 1 D3), A936), 385—402.
{3] Регулярные линейные разностные уравнения. ДАН, 30 A941), 586—590.
Горячев Н. Н.
{1] Заметки|об уравнениях Якоби. Томск, Изв. ун-та, 79:2 A928), 82—84.
Г р а'в с Д. А.
|1] Об уравнениях Эйлера и их приложениях в теории упругости. ИАН F), 20 A92G),
917—942.
[2] Ueber die linearen Differentialgleichungen, die in Bezug auf die lineare gebrochene
Transformationsgruppen invariant sind. j. reine und angew. Math., 156 A926),
164—175.
13] О решении линейных дифференциальных уравнений при помощи определённых
интегралов. ИАН F), 21 A927), 943—952.,
{4] Про Ланласове р^вняння. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 2:3A927), 1—4.
Г р а д ш т е й п И. С.
J1] О поведении решений систем линейных дифференциальных уравнений, выро-
вырождающихся в пределе. ДАН, 53 A946), 395—398.
Г р а ф ф А. А.
[I] К теории линейных дифференциальных систем в области одного измерения. Матем.
сб., 18 F0), A946), 305—328.
\2] К теории линейных дифференциальных систем в области одного измерения, П.
Матем. сб., 21 F3), A947), 143—159.
Гремяченский А. П.
II]'О построении мощных мажорантных функций в аналитической теории дифферен-
дифференциальных уравнений. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 3 A939),
28—57.

552 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Гродский Г. Д.
[1] Об интегрировании в конечной форме или же при помощи квадратур линейного
дифференциального уравнения второго порядка и общего уравнения Риккати.
Куйбышев, Сб. научно-иссл. работ индустр. ин-та, 2 A941), 63—74.
Гуревич Г. Б.
[1] О применении теоремы Стокса к установлению интегрируемости дифференциаль-
дифференциальных уравнений. М., Труды Всеросс. матем. съезда A927).
[2] О некоторых интегральных задачах тензорного анализа. Труды семинара по век-
торн, и тензорн. анализу, 1 A933), 143—195.
Гусейнов А. И.
[11 Об одной задаче теории потенциала. Баку, Труды Азерб. ун-та, сер. матем.,
1:1 A942), 3—18.
Гюнтер Н. М.
[11 Sur la resolution des equations Rot. X-A, grad. X-A. Proc. Intern, math. Congr.
Toronto A924), 535—541.
[2] Об аналитических решениях уравнения -^~ = / (х, у, и, Ц, д" g, g ).
Матем. сб., 32 A925), 26—42.
[3] Об уравнении -ft + u^ + v' JZ + w J)z ='• Матем- сб-. 32 (^25), 279—304,
[41 О распространении теоремы Коши на любую систему уравнений в частных произ-
водных. Матем. сб., 32 A925), 367—447.
[5] О задаче Неймана. Матем. сб., 35 A928), 139—220.
[6] О линейных уравнениях первого порядка в частных производных с двумя незави-
независимыми переменными. Л., Сб. ин-та пут. сообщ., 47:3 A928), 115—126.
[7] Дополнение к статье: «О системе линейных уравнений первого порядка в частных
производных с двумя независимыми переменными.). Л., Сб. ин-та пут. сообш.,
101 A929), 315—325.
[81 Sur tine application des integrals de Stieltjes au probleme de Neumann. С R.
Acad. Sci., 189 A929), 447—450.
[9] Sur le potentiel newtonien. С R. Acad. Sci., 194 A931), 538—541.
[10] Sur les integrales de Stieltjes et leurs applications aux problemes fondamentaux
de la physique mathematique. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 1 A932),
494.
[11] La theorie du potentiel et ses applications aux problemes fondamentaux de la phy-
physique mathematique. Paris A934), 1—303.
[12] Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка в частных произ-.
водных. М.—Л. ГТТИ A934), 1—359.
[13] La theorie des fonctions de demaines dans la physique mathematique. Prace
matem.-fis. Warszawa, 44 A935), 33—50.
[14] Sur les modules des formes algebriques. Тбилиси, Труды матем. ии-та АН, ГрССР,
9 A941), 97—206.
Д е м и д о в и ч Б. П.
[1] О некоторых достаточных условиях существования интегрального инварианта.
Матем. сб., 3 D5), A938), 291—311.
Д ер ж а в и и С. С.
[1] Основная система дифференциальных уравнений из теории электромагнитного
вариометра. Л., Труды ин-та. инж. ж.-д. трансп., 9 A934), 106.
ДолидзеД. Е.
[1] Решение общей линейной краевой задачи вращения жидкости. Тбилиси, Трудь
матем. ин-та. Гр. фил. АН, 4 A938), 77—88.
[2] Краевая задача линеаризированной системы гидродинамических уравнений к
плоскости и в симметричном пространстве. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр.фил»
АН, 7 A940), 65—104.
Д р и и ф е л ь д Г. И.
[1] Найзагальшш! штегральш жварианти довольного порядку. Структура контр*
Bapiaimnix функцШ. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A936), 37—48.

БИБЛИОГРАФИЯ 553
Д у б о ш и н Г. Н.
[1] Об устойчивости решений канонических систем. ДАН, 1 A935), 273—27У.
[2] Некоторые критерии устойчивости для уравнения х-'гРХ — О. ДАН, 3 A935),
390—392.
[31 Опыт исследования устойчивости решений неголо.морфных систем. Матем. сб.,
42 A935), 601.
[4] К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих воз-
возмущений. М., Труды астрон. ин-та им. Штернберга, 14:1 A940).
[5] Об устойчивости тривиальных решений некоторых дифференциальных уравнений
небесной механики. М., Труды астрон. ин-та им. Штернберга, 15:1 A945).
Дьяченко В.
[I] Про один клас звичайних лппйних диференшальпих ршнянь з рашональними
коефвдентами.Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938), 17—24.
Дьяченко В. и Бреус К.
[1] Застосування циклшичных координат до р1вияння Лапласа. Киев, W. ин-та матем.
АН УССР, 4 A938), 9—18.
Егоров Д. Ф.
[1] Интегрирование дифференциальных уравнений. Курс лекций. М., Изд. ун-та
A933), 1—168.
Е л ь ш и н М. И.
[1] Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. М., Дис-
Диссертация A937).
[2] К проблеме колебаний линейного дифференциального уравнения второго порядка.
ДАН, 18 A338), 141—146.
[3] Об одном методе вычисления фазы линейного уравнения второго порядка. М.,
Учён. зап. ун-та, 45 A940), 97—108.
[4] К условиям, при которых решение линейной системы второго порядка имеет два
нуля. ДАН, 51 A946), 573—576.
Е р у г и н Н. П.
[I] Sur la substitution exposante pour quelques system:s im'guliers. Матем. сб.,
42A935), 745-753.:'
[2] Показательная подстановка иррегулярной системы лилейных дифференциальных
уравнений. ДАН, 17 A937), 235—236.
[3] О показательной подстановке системы линейных дифференциальных уравнений.
(Проблема Пуанкаре.) Матем. сб., 3 D5), A93Я).. 509—526.
[4] О проблеме Римана для системы Гаусса. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939),
293—304.
Замечание к статье Л. М. Шифнера. ИАН, сер. матем., 5 A941), 377—380.
О функционально-инвариантных решениях. ДАН, 42 A944), 385—386.
Приводимые системы. Л., Научн. бюлл. ун-та, 2 A945), 5—6.
Приводимые системы. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 13 A946).
5]
6
7
8.
ЖгентиВ. С.
[1] Решение краевой задачи для уравнения ДДи+А2Ац —0 в бесконечной области.
Тбилиси, Сообш. АН ГрССР, 7 A946), 239—246.
[2] Решение первой краевой задачи для дифференциального уравнения колебания
пластинки в бесконечной области. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,
14 A947), 79—120.
Зверев А. В.
[1] Применение символического метода к решению дифференциальных уравнений
Эйлера. Горький, Труды индустр. ин-та, 2:4 A939), 17—38.
3 е р а г и я П. К.
[1] Об интегрировании полигармонического уравнения. Тбилиси, Труды матем.
ин-та Гр. фил. АН, 8 A940), 161—164.
3 м о р о в и ч В. А.
[1] О некоторых нелинейных дифференциальных уравнениях. Киев, Сб. научно-исслел-
работ индустр. ин-та, 5 A938), 217—231.

554 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Зуховицкий С.
[1] Про апроксимашю функшн полшомами. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938),
25—40.
Ибадов Т. иЛопатинский Я.
[11 Об одном семействе решений волнового уравнения. Баку, Труды Азерб. ун-та,
о A945), 95—99.
Иванов В. С.
[1] Обоснование одной гипотезы Ван-дер-Поля в теории автоколебаний. Л.. Учён.
зап. ун-та, сер. матем., 10 A940), 111—119.
Иванов И. И.
[1] О двух дифференциальных уравнениях. Л., Труды индустр. ин-та, раздел
физ.-матем., 5:1 A938), 24—27.
Игнатовский В. С.
[1] Ueber doppelpolige Losungen der Wellengleichungen. Math. Z., 34 A931), 1—34.
[2] Zur Wellenglekhungen in п-dimensionalen Euklidischen Raum. ИАН, сер.
физ.-матем. A931), 611—620.
[3] Fortpflanzung von Storungen in inhomogenen isotropen Medien. ИАН, сер.
физ.-матем. A932), 857—905.
Калакуцкий В. А.
[1] Исследование дифференциального уравнения Лагранжа при наиболее общих
предположениях о функциях, входящих в него. М., Диссертация A945).
Калафати П.
[1] О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений. ДАН, 26 A940),
535—539!
Каменков Г. В.
11] Исследование одного особенного по Ляпунову случая задачи устойчивости по Ля-
Ляпунову. Казань, Труды авиац. ин-та, 3 A934).
[2] Об устойчивости движения в одном особенном случае, I. Казань, Труды авиац.
Ин-та, 4 A935).
[3] Исследование одного особенного случая задачи об устойчивости движения,
П. Казань, Труды авиац. ин-та, 5 A936).
[4] Об устойчивости движения. Казань, Труды авиан. ин-та, 6 A937).
Канторович Л. В.
[1] Применение теории интегралов Stieltjes'a к вопросу об изгибе балки, лежащей
на упругом основании. Л., Труды ин-та пром. строит., 1:1 A934), 17—34.
[2] Об общих методах улучшения сходимости при приближённом решении граничных
задач математической физики. Л., Труды ин-та пром. строит., 1:2A934), 65—72.
[3] Об одном новом методе приближённого решения уравнений в частных производ-
производных. ДАН, 2 A934), 532—536.
[4] О сходимости метода приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
ДАН, 30 A941), 479—582.
[5] О методе наискорейшего спуска. ДАН, 56 A947), 233—236.
Канторович Л. В. и Крылов В. И.
[1] Методы приближённого решения дифференциальных уравнений в частных произ-
производных. М.—Л., ГТТИ A936), 1—528.
Канторович Л. В. иФрумкин П. В.
[1] О применении одного метода приближённого решения уравнений в частных вро-
изводных к задаче о кручении призматических стержней. Л., Труды строит, ин-та,
4 A937), 111—122.
Каримов Д. X.
[1] О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений парабол
лического типа. ДАН, 25 A939), 3—6.
[2] О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений парабо-
параболического типа. ДАН, 28 A940), 404—407.

БИБЛИОГРАФИЯ 555
[3] О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений парабо-
параболического типа. ДАН, 46 A945), 191—195.
[4] О периодических решениях нелинейных уравнений четвёртого порядка. ДАН,
49 A945), 642—645.
[5] О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений парабо-
параболического типа. ДАН, 54 A946), 295—298.
[6] О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений параболи-
параболического типа. ДАН, 56 A947), 119— V.2.
17] О периодических решениях нелинейных уравнений четвёртого порядка. ДАН,
57 A947), 651—653.
{8] О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений параболи-
параболического тина. ДАН, 58 A947), 9t9—972.
Катаев Н.
[1] Sur les equations de Poincare. ДАН (А), A920), 10.3—104.
Келдыш М. В.
[1] О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле. ДАН, 18 A938), 315—318.
.[2] О задаче Дирихле. ДАН, 32 A941), 308—309.
J31 О разрешимости и устойчивости задачи, Дирихле. Успехи матем. наук, 8 A941),
171—231.
[4] О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач. ИАН, сер. матем., 6 A942),
309—330.
Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А.
:[1] Об устойчивости решений задачи Дирихле. ИАН, сер. матем. A937), 551—596.
К е л д ы ш М. В. и Ф р а н к л ь Ф. И. ,
|1] Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложе-
приложением к теории крыла в сжимаемом газе. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 561—602.
{2] Строгое обоснование теории винта Жуковского. Матем. сб., 42 A935), 241—273.
К и б е л ь И. А. и Ф р а н к л ь Ф. И.
•{1] О прямолинейных движениях газа. Техн. заметки ЦАГИ, 52.
Кильчевский М.
[1] OcHoniii р1вняпня теорИ оболонок. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4A936),
39—78.
Колмогоров А. Н.
{1] Ein vereinfachtes Beweis des Birkhoff-Khintschinschen Ergodensatzes. Матем. сб.,
2 D4), A937), 367—368.
Колмогоров А. Н., Петровский И. Г. и П и с к у н о в; Н. С.
[1] Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием количества веще-
вещества, и его применение к одной биологической проблеме. М., Бюлл. ун-та (А),
1:6A937), 1—26.
Кондратов В. И.
A] О некоторых свойствах функций из пространства Lp. ДАН, 48 A945), 563—566.
.[2] О краевой задаче в области с вырожденным контуром|для некоторых нелинейных
операторных уравнений. ДАН, 51 A946), 411—414.
Коновалов Ю. В.
{\\ О нахождении фундаментальных чисел и фундаментальных функций однородного
дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля при однородных граничных
условиях. Прикл. матем. и мех., 3:1 A939), 83—86.
К о с и к Ф.
}1] Построение функции Грина для операторов высших порядков. Хрк., Зап.матем.
т-ва D), 17 A940), 167—173.

556 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
К о с т ю к А. К.
[1] Определение устойчивости в смысле Ляпунова и его возможные истолкования.
М., Труды воен.-возд. акад., Зап. семин. по теории устойчивости движения,
2 A946).
К о ч и н Н. Е.
[1] К теории волн Коши-Пуассона. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 9 A935),
167—188.
[21 Sur la docomposition d'une matrice a definition rationnelle. Матем. сб.. 2 D4),
A937), 901—922.
Кошляков Н. С.
[ 1] Об одном дифференциальном уравнении с частными производными второго порядка.
Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 9 A935), 189—200.
[2] Об одном преобразовании дифференциального уравнения с частными производ-
производными второго порядка. Л., Изв. электротехн. ин-та, 20 A937), 3—7.
Коялович Б. М.
[11 О неопределённых дифференциальных уравнениях. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
1 A926), 66—76.
[2] О неопределённых дифференциальных уравнениях (главные решения). Пермь,
Ж. физ.-матем. о-ва, 4 A927), 103—112.
[3] К вопросу об интегрировании дифференциального уравнения )• йу — у dx—R(x)dx.
Сб. памяти акад. Граве A940), 79—87.
Кравчук М. Ф.
[1] Sur la recherche des nombres caracteristiques et des fonctions fondamentales С R.
Acad. Sci., 189 A929). 519—522.
[2] Про развинения в ряди розв'язок .-iiiiiiiHiix диференщальних р^внянь. Киев, Ж.
матем. цикла АН УССР, 1 A932), 1—32.
[3] Про зб)жнкть cnoci6y моменпв для р1внянь з частинпими иохшпими. Киев.
Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A936), 23—28.
Кравчук М. и Латышева К.
[1] Застосування cnoci6y моментов дп розв'язування лппйпих диферешцалышх pie-
нянь, шо мають особливости в коефпиентах. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР.
1 A936), 3—22.
Кравчук М. и Ф а й и М.
[1] Методична заметка про штегрирування лшшних диференщальних р1внянь з>
сталими коеф^щентами. Киев, Труды авиац. ин-та, о A936), 5—11.
Красносельский М- А. и Крейн С. Г.
[1] О центре общей динамической системы. ДАН, 58 A947), 9—11.
К р е ер Л. И.
[1] Об особых интегралах дифференциальных уравнений первого порядка. Орджо-
Орджоникидзе, Учён. зап. Сев-Осег. пед. ин-та, 1 A938), 105—124.
Крейн М. Г.
[1] Об узлах гармонических колебаний механических систем некоторого специаль-
специального типа. Матем. сб., 41 A934), 339—348.
[2] О функциях Грина, положительных в смысле Мерсера. ДАН, 1 A936), 55—58.
[3] Об одном специальном классе дифференциальных операторов. ДАН, 2 A935)^
345—349.
[4] Sur quelques applications des noyaux de Kellog aux problemes d'oscillation. Хрк+
Зап. матем. т-ва D), 11 A935), 3—19.
[5] Sur les vibrations propres des tiges dontl'unedes extremites est encastreeet l'autrfr
libre. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 12 A936), 3—11.
[6] Об осцилляционных дифференциальных операторах. ДАН, 4 A936), 379—381
[7] Stir les developpements des fonctions arbitraires en series de fonctions fondameih
tales d'un probleme aux limites quelconque. Матем. сб., 2 D4), A937), 923—934."
[8] Sur les operateurs differentielsautoadjointset leurs fonctions de Green symetriqueK
Матем. сб., 2 D4), A937;, 1023-1072.

БИБЛИОГРАФИЯ 557
[9] О несимметрических осцилляционных функциях Г]гина обыкновенных диффе-
дифференциальных операторов. ДАН, 25 A939), 643-646.
[10] Осцилляционные теоремы для обыкновенных линейных дифференциальных опе-
операторов произвольного порядка. ДАН, 25 A939), 717—720.
[И] Об одном новом свойстве дифференциального оператора Штурма-Лиувилля.
Одесса, Труды ун-та, сер. матем., 3 A940), 21—32.
Крейн М. Г. и Нудельман Я. Л.
II] Про Mi hi максима; ьш властивесп вузл1в гармоншних кол!вань." Одесса, Труды
ун-та, сер. матем., 2 A938), 103—112.
Крейн М. Г. и Финкельштейн Г. М.
{1] О вполне неотрицательных функциях Грина обыкновенных дифференциальных
операторов. ДАН, 24 A939), 220—223.
Крылов А. Н.
{1] О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих
приложения н технических вопросах. Изд. 3, Л., Изд. АН A933), 1—472.
Крылов Е. Л.
A] Zur einer /rbeit von Lutz: «Die allgemeine Losung der Differentialgleichung
u. s. w.», Sitzungsber. Bayer. Akad. Math. Naturw. Abt. A926). Казань, Изн.
физ.-матем. о-ва C), 5 A931), 85—89.
[2] Определение группы системы Гаусса.Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 9A937),
13—30.
[3] Построение канонических интегральных матриц системы Гаусса. Казань, Изи.
физ.-матем. о-ва C), 12 A940), 92—117.
Крылов В. И.
A] Исследование линейного дифференциального уравнения в иррегулярной особой
точке. Матем. сб., 36 A929), 425—433.
Крылов Н. М.
[1] Upon some theorems the theory of equations. Симферополь, Зап. матем. каб.
К1ымск. ун-та, 2 A921), 251—252.
[2] Sur 1'application du principe de minimum a la throne des oscillations propres
des systemes. Acta Math., 52 A928), 135—141.
Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н.
A] Про Rayleigh'iB принцип в теорп диференциальних р!внянь мат!матично1
ф1зики та про одну Ейлерову методу в нар1ацш1пм численнь Киев, Зап.
физ.-матем. отд. АН УССР, 3:3 A926), 37—57.
12] Sur quelques travaux recents de la chaire de la Physique mathematique de FAcade-
miedes Sciences d'Ukraine. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН ^уССР A930).
}3] О некоторых теоремах, касающихся существования интегралов дифференциальных
уравнений с частными производными гиперболического типа. ИАН, сер. физ.-
матем. A931), 323—344.
D] Определение максимальных значений некоторых величин (прогибов, моментов
и т. д.) с помощью специальных методов, выработанных для снижения мажораций
этих величин. ИАН, сер. физ.-матем. A931), 771—785.
15] Sur le phenomene de l'entralnement en radiotechnique. С. R. Acad. Sci., 194 A932),
1064—1066.
16] Les phenomenes de demultiplication de frequence en radiotechnique. С R. Acad.
Sci., 194 A932), 1119—1122.
171 Quelques exemples d'oscillations non-lineaires. С R. Acad. Sci., 194 A932).
{8] Recherches sur la stabilite statique et la stability dynamique des machines synchro-
nes. Congres intern, d'lilectricite A932).
[9] Sur quelques proprietes generates des resonances dans la mecanique non-lineaire.
С R. Acad. Sci., 197 A933), 908—910.
[10] Основные проблемы нелинейной механики. ИАН, сер. физ.-матем. A933),
475—498.
{11] Sur les fonctions quasi-pfiriodiques des equations de la mecanique non-lineaire
С R. Acad. Sci., 199 A934).

558 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ 12] -Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний.
Киев, Изд. АН УССР A934).
[13] Sur quelques theoremes de la theorie generale de la mesure. С R. Acad. Sci.,
201 A935), 1002—1003.
114] Les mesures invariantes et la transitivite. С R. Acad. Sci., 201 A935), 1454—1456.
[15] Sur mesures invariantes et transitives dans la mecanique non-lin6aire. Матем. сб.,
1 D3), A936), 707—711.
[16] Sur les proprietes ergodiques de l'equation de Smoluchovsky. Bull. Sci. Math.,
France, 64 A936), 49—56.
[17] La theorie generate dela mesure et son application a retudedessystdmesdynamiques
de la mecanique non-lineaire. Ann. of Math., 38:1 A937).
Кузьмин П. А.
[1] Замечание о смене устойчивости установившегося движения. Казань, Труды
авиац. ин-та, 4 A935).
12] К вопросу о распределении особых точек дифференциальных уравнений механики.
Казань, Труды авиац. ин-та, 5 A936).
К у к л ее И. С.
[1] О частных интегралах некоторых линейных уравнений. М., Учён. зап. ун-та,
2:2 A934), 73—80.
[2] О центрах и фокусах. ДАН, 19 A938), 459—461.
[3] О необходимых и достаточных условиях существования центра. ДАН, 42 A944),
164—167.
[4] О некоторых случаях отличия фокуса от центра. ДАН, 42 A944), 212—215.
[5] О двух основных группах особых точек. ДАН, 42 A944), 262—264.
Купрадзе В. Д.
[1] О функциях Mathieu-НапкеГя. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 4A93$
77—86.
[2] «О принципе излучения» А. Зоммерфельда. ДАН, 1 A934), 52—54.
[3] Теоремы существования и единственности в теории диффракции. ДАН, 1 A934'
235—238.
[4] Некоторые новые приложения теории резольвенты в граничных задачах теори
потенциала. ДАН, 23 A939), 7—14.
[5] Zur Frage der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem inhomogenen ebt
nen Medium. Сотр. Math., 6 A939), 228—233.
[6] Некоторые новые теоремы об уравнении колебаний и их применения в граничил
задачах. Тбилиси, Труды ун-та (А), 23 A945), 1—11.
Купрадзе В.;Д. иАвазашвиля Д. 3.
[1] Теорема единственности в теории распространения электромагнитных гармоник
ских колебаний в неоднородном трёхмерном пространстве. Тбилиси, Сообщ
Гр. фил. АН, 1 A940), 35—41.
КуренскийМ. К.
[1] Riduzione del problema delle superfici ortogonali all'integrazione di un sistema
equazioni di prim'ordine in una funzione incognita. Rend. circ. mat. Paler*
50 A926), 412—418.
[2] Про жгегр)рування диференщяльних р1вняпь с частковими похщними при бага
них залежних змшних. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 5:3 A927), 35—И
[3] Про деяк1 звичайшд!фференщяльн!р!вняння. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3A92;
75—«0.
[4] Sur l'equation de Riccati. Atti Accad. naz. Lincei., 9 A929), 950—957.
[5] Sur la methode d'integration de l'equation aux derivees partielle du second ordrea'.
une seule fonction inconnue et deux variables independantes. Atti. Acad. naz. Lini
10 A929), 148—154.
[6] Method of integration of equations with partiel derivatives of the second order w
2 dependent and 2 independent variables. Ann. di mat., 8 A930), 293—300.
[7] A method of integrating the general form of a system of partial differential equati
of the first order in the dependent and the independent variables.Proc. London Л*
Soc, 31 A930), 407—416.
[8] Zur Integrabilitatsmethode partieller Differentialgleichungen erster Ordnung
zwei abhSngigen und zwei unabhangigen Veranderlichen. Rend. circ. mat. Paler
45 A931), 121—128.

БИБЛИОГРАФИЯ 559'
< [9] Sur la variation des constantes arbitrages pour les integrates des equations lineaires
ordinaires du deuxieme ordre. С R. Acad. Sci., 192 A931), 1627—1629.
[10] L'integration des equations aux derivees partielles du second ordre a une inconnue
et deux variables independantes. Atti Accad. naz. Lincei, 14 A931), 408—414.
[11] L'integration des equations, qui determinent les fonctions conjuguees de Beltrami.
Atti Accad. naz. Lincei, 14 A931), 482—487.
[12] Generalisation des parentheses de Poisson-Jacobi. C. R. Accad. Sci., 191 A931),
1285—1287.
[13] Sur l'integration des equations aux derivees partielles du second ordre avec 2 fonc-
fonctions de 2 variables independantes. Atti Accad. naz. Lincei, 15 A931), 348—353.
[14] L'integration des equations aux derivees partielles qu second ordre avec 2 fonctions
de 2 variables independantes. Atti Accad. naz. Lincei, 16 A932), 415—420.
[15] L'integration des equations aux derivees partielles du second ordre avec 2 fonctions
de 2 variables independantes. Atti Accad. naz. Lincei, 16 A932), 496—499.
[16] L'intdgration des equations aux derivees partielles du second ordre avec 2 fonctions
de 2 variables independantes. Atti Accad. naz. Lincei, 16 A932), 567—571.
[17] L'integration des equations aux derivees partielles du second ordre avec 2 fonc-
fonctions de 2 variables independantes. Atti Accad. naz. Lincei, 16 A932), 612—616.
[18] Sur la generalisation de la mdthode de Hamburger pour intigrer un systeme
d'equations aux derivees partielles du premier ordre, lineaires aux Jacobiens. Rend.
circ. mat. Palermo, 46 A932), 353—364.
[19] L'integration du systeme d'equations aux derivees partielles du premier ordre 4
3 fon tions inconnues de 2 variables independantes. Bull. Acad. Sci. de Belgique,
19 A933), 520—527.
[20] Sur les equations de Backhand. Хрк., Зап. матем. т-ва', 6 A933), 61—78.
[21] L'integration des equations aux derivees partielles du second ordre avec 2 fonctions
de2 variables independantes. Atti Accad. naz. Lin:ei, 17 A933), 52—57.
[22] Способ интегрирования линейных в якобианах уравнений с частными производными
первого порядка при нескольких неизвестных функциях. ДАН, 14 A937), 163—166.
[23] Про штегрирування опте! системи р1вняиь з частиипими похцшими першого
порядку, зв'язанно! i3 згинанним i3OTponnoi конгруенцй. Киев, Ж. ин-та матем.
АН УССР, 4 A938), 47—64.
Куфарев П. П.
[1] Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной поляр-
полярной особенностью правой части. Томск, Учён. зап. ун-та, 1 A946), 35- 48.
Лаврентьев М. А.
[1] Sur une equation diffcrentielle du premier ordre. Math. Z-, 23 A925), 197—209.
ЛандкофН. С.
[11 О структуре множества иррегулярных точек задачи Дирихле. ДАН, 28 A940),
291—293.
[2] О расположении иррегулярных точек обобщённой задачи Дирихле. ДАН,
39 A943), 367—370.
[3] О некоторых характеристиках иррегулярных точек в задаче Дирихле. Матем.
сб., 19F1), A9F), 175—182.
[4] О разрешимости обобщённой задачи Дирихле. ИАН, И A947), 181—196.
Лаппо-Данилевский И. А.
[1] Resolution algorithmique du probleme de Poincare conrernant la construction d'un
groupe de monodromie d'un systeme donne d'equations differentielles lineaires.
С R. Acad. S-i., 185A927), 439—442.
[2] Resolution algorithmique des problemes reguliers de Poincare etde Riemann, I. Л.,
Ж. физ.-матем. о-ва, 2:1 A928), 94—120.
[3] Resolution algorithmique des problemes riguliers de Poincare et de Riemann, II.
Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:1 A928), 121—154.
[4] Theorie des matrices satisfaisantes a des systemes d'equations differentielles lineai-
lineaires a coefficients rationneles arbitraires (M6moire premier). Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2:2 A928), 41—80.
[5] Resolution algorithmique du probleme de Poin~ar6 pour systemes d'equations dif-
differentielles lineaires a coefficients rationnels arbitraires. С R. Acad. Sci., 186 A928),
349—351.
[6] Les singularites d'integrales des systemes d'equations differentielles lineaires a coef-
coefficients rationnelles arbitraires. С R. Acad. Sci., 188 A929), 848—850.

560 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[7] Probleme fondamentale de la theorie des fonctions dans la classe des matrices, satis-
faisant a des systemes d'equations differentielles a coefficients rationnelles. С R
Acad. Sci., 188A929), 982—984.
[8] La generalisation de la formule de Jacobiconcernantle determinant, forme des solu-
solutions d'un systeme d'equations differentielles lineaires. С R. Acad. Sci., 189 A929),
557—559.
[9] Les expressions explicites des invariants d'une groupe de monodromie d'un systeme
d'equations differentielles Hn6aires a coefficients rationnelles arbitraires. C.R.Acad.
Sci., 189 A929), 674—676.
{101 Observations sur notre note: «Fonctions analytiques d'une seule substitution variab-
variable». С R. Acad. Sci., 190 A930), 291—292.
[11] Sur les fonctions meromorphes de matrices. С R. Acad. Sci., 191 A930), 1112—1115.
[12] Les determinations diverses d'une matrice reguliere possedant les substitutions expo-
santes donnees aux points singuliers a distance finie. ИАН, сер. физ.-матем. A931),
773—748.
[13] La caracteristique analytique des singularites d'integrales des systemes d'equations
differentielles lineaires a coefficients rationnelles arbitraires. C. R. Acad. Sci.,
192 A931), 74—77.
[14] La decomposition de la matrice integrate normale d'un systeme d'equations dif-
differentielles lineaires et la construction de la matrice primitive. С R. Acad. Sci.
193 A931), 979—981.
[15] Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires. Труды
физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934), 1—253.
[16] Теория функций от матриц и систем линейных дифференциальных уравнений.
М., ГТТИ A934).
[17] Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires, II.
Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 7 A935), 5—208.
[18] Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires, III. Тру-
Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 8 A936), 1—204.
ЛебедевН. Н.
[1] Интегральное уравнение для периодических решений уравнения и"+ (<*<> т
+aL Cos2x+a2cos4x)u=0. ДАН, 52 A946), 395—397.
Левитан Б. М.
[1] О линейных дифференциальных уравнениях с почти периодическими коэффициен-
коэффициентами. ДАН, 17 A937), 285—286.
[2] Новое обобщение почти периодических функций Н. Bohr'a. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 15:2 A938), 3—32.
Леонов М. Я.
[1] Некоторые задачи и приложения теории потенциала. Прикл. матем. и мех., 4:Е—6
A940), 73—86.
[2] О квазигармонических колебаниях. Прикл. матем. и мех., 10 A946), 575—581.
Леонтович Е. А. иМайер А. Г.
[1] О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на тра-
траектории. ДАН, 14A937), 251—254.
Л и д я ев С. Ф.
[1] О представимости решения уравнения теплопроводности в виде интеграла Пуас-
Пуассона. ИАН, сер. матем., 5 A941), 263—268.
Л о п а т и и с к и. ii Я. Б.
[1] К вопросу о решении уравнения у' = /(х, у). Баку, Труды Азерб. ун-та, 1 A939),
88—106.
[21 Об одном применении метода Римапа. Баку, Труды Азерб. ун-та, сер. матем.,
1:1 A942), 19—20.
[3] Некоторые свойства линейных дифференциальных операторов. Матем. сб.,
17 E9), A945), 267—288.
[4] Об одном классе решений волнового уравнения. Баку, Труды сект, магем. АН
АзССР, 2 A946), 23—31.

БИБЛИОГРАФИЯ 561
Л у з и и Н. Н.
[1] О качественном исследовании уравнения движения поезда. Матем. сб., 39:3A932),
6—26.
[2] Об одной теории уравнений с частными производными. ДАН, 18 A938), 529—532.
[3] К изучению матричной теории дифференциальных уравнений. Автоматика и теле-
телемеханика, 5 A940), 3—66.
[4] Об одном случае теоремы Janet-Riquier, I. ДАН, 31 A941), 5—8.
|5] Об одном случае теоремы Janet-Riquier, П, Ш. ДАН, 31 A941), 419—424.
Лузин Н. Н. и К у з и е ц о в П. И.
[1] Об абсолютной инвариантности и инвариантности дог в теории дифференциальных
уравнений. ДАН, 51 A946), 247—250.
[2] Об абсолютной инвариантности и инвариантности до е в теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений, П. ДАН, 51 A946), 331—334.
Лурье А. И.
[1] К теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами. Л., Труды индустр. ин-та, разд. физ.-матем., 6:3 A937), 31—36.
Л ю к ш и и В. С.
[1] Инвариантность числа произвольных функций, зависящих от наибольшего числа
аргументов, в задаче об обращении дифференцирования, I, П. ДАН, 24 A939),
643—646.
Люстерник Л. А.
[1] Bemerkung zur Losungdes Dirichlet'schen Problems. Матем. сб., 33 A926), 363—366.
[2] Sur une classe d'6quations differentielles non-lineaires. Матем. сб., 2 D4), A937),
1143—1168.
[3] Про деяк1 нелшшни р1вняння з осциляшйними розв'язками. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 14 A937), 129—150.
[4] Обобщение уравнения типа Штурма-Лиувилля. ДАН, 15 A937), 235—238.
[51 Quelques remarques supplementaires sur les equations non-lineaires du type de Sturm-
Liouville. Матем. сб., 4D6), A938), 227—232.
[6] Об одной краевой задаче в теории нелинейных дифференциальных уравнений.
ДАН, 33 A941), 5—8.
[7] Проблема Дирихле. Успехи матем. наук, 8 A941), 115—124.
Л я п и н Н. М.
[1] Об уравнении Лапласа для предела сходимости бесконечных рядов эллиптического
движения и его графической интерпретации. Ростов н/Д, Изв. нед. ин-та, 9 A938),
12—18.
Магнарадзе Л. Г.
[1] К задаче колебания упругой полуплоскости. ДАН, 2 A935), 505—507.
[2] Некоторые граничные задачи математической физики для поверхностей с угловыми
линиями. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 7 A940), 25—46.
[3] Задача Дирихле как предельный случай задачи Коши-Дирихле для волнового
уравнения, уравнения теплопроводности и аналогичных. Тбилиси, Труды матем.
ин-та АН ГрССР, 11 A942), 73—95.
[4] Об эффективных решениях задачи Коши для некоторых линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Тбилиси, Сообщ.
АН ГрССР, 5 A944), 247—251.
[5] Об асимптотическом представлении решений некоторых линейных уравнений
в частных производных нормального гиперболического типа при большом значении
параметра. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944), 671—676.
Ма й ер А. Г.
{11 Доказательство существования предельных циклов у уравнений Релея и Ван-дер-
Поля. Горький, Учён. зап. ун-та, 2 A935), 19—25.
[2] Грубое преобразование окружности в окружность. Горький, Учён. зап. ун-та,
12 A939), 215—229.
13] О траекториях на ориентируемых поверхностях. Матем. сб., 12E4), A943), 71—84.
4] Об одной задаче Биркгофа. ДАН, 55 A947), 477—480.
[5] О траекториях в трёхмерном пространстве. ДАН, 55 A947), 583—586.
36 Математика в СССР аа 30 лег

562 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Макаров О. М.
[1] Sur une propriete des integrates completes des rangs superieurs de I'equation diffe-
rentielle aux derivees partielles du 1-ier ordre. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
8 A934), 61—70.
Макаров С.
[1] Некоторые обобщения основных теорем Ляпунова об устойчивости движения.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 10 A939).
М а л и е в А. С.
[I] О некоторых свойствах интегралов однородного линейного дифференциального
уравнения с биквадратным характеристическим уравнением. Л., Труды ин-та
инж. пром. строит., 4 A937), 72—77.
М а л к и и И. Г.
[1] Das Existenzproblem von Liapounoffschen Funktion. Казань, Изв. физ.-.матем.
о-ва C), 4 A929—1930).
[2] Проблема существования функции Ляпунова. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C),
5 A931). К
[3] Об устойчивости интегралов некоторых систем дифференциальных уравнений.
Казань, Труды авиац. ин-та, 1 A933), 32—37.
[4] Die Stabilitatsfrage bei differential Gleichungen. Казань, Труды авиац. ин-та,
2 A934), 21—28.
[5] Об устойчивости по первому приближению. Казань, Труды авиац. ип-та, 3 A934).
[6] Об устойчивости движения в смысле Ляпунова. ДАН, 15 A937), 437—440.
[7] Некоторые вопросы общей теории устойчивости движения в смысле Ляпунова.
М., Диссертация A937).
[8] Об устойчивости движения в смысле Ляпунова. Матем. сб., 3 D5), A938), 47—101.
[9] Об устойчивости движения по первому приближению. ДАН, 18 A938), 159—161.
[ 10] Обобщение основной теоремы Ляпунова об устойчивости движения. ДАН, 18 A938),
162—165.
[II] Об одной теореме существования Poincare-Ляпунова. ДАН, 27 A940), 307—311.
[12] Об одной теореме существования Пуанкаре-Ляпунова. Свердловск, Учён. зап.
ун-та, 3 A941), 3—10.
[13] Некоторые основные теоремы устойчивости движения в критических случаях.
Прикл. матем. и мех., 6 A942), 411—425.
[14] Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Прикл. матем. и мех.,
8 A944), 241—249.
[15] Об устойчивости периодических движений динамических систем. Прикл. матем.
и мех., 8 A944), 327—335.
Мандельштам Л. И. и П а п а л е к с н Н. Д.
[1] Об обосновании одного метода приближённого решения дифференциальных урав-
уравнений. Ж. эксп. и теор. физ., 4 A934), 117—122.
Марков А. А.
[1] Ob.r einige Bewegungsfalle im Dreikorperproblem. Л., Бюлл. астрон. ин-та,
21 A928), 5-10. '
[2] Закон десяти третей и классификация соударений в общей задаче трёх тел Л.,
Ж- физ.-матем. о-ва, 2 A929), 81—97.
[3] Sur les mouvements presque periodiques. С. R. Acad. Sci., 189 A928), 732—735.
[4] Sur une propriete generate des ensembles minimaux de Birkhoff. С R. Acad. Sci.,
193 A931), 823—825.
[5] Zur Widerlegungder quasi ergodischen Hypothesedurch prof. I. Frenkel Phvs Z. d.
Sowjetunion, I A932), 387—406.
[6] Stabilitat im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizitat. Math. Z., 36 A933),
708—738. v
[7] Об одном общем свойстве минимальных множеств Birkhoff'а. Л., Бюлл астрон.
ин-та, 32 A934), 147—152.
[8] Почти периодичность и гармонизуемость. Л., Труды второго Всесоюзн. матем.
съезда, т. 2 A936),' 227—231.
[9] О теории стационарных колебательных процессов акад. Н. М. Крылова и д-ра
Н. Н. Боголюбова. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2. A936),
241—246.

БИБЛИОГРАФИЯ 563
}10] Некоторые теоремы об абелевых множествах. ДАН, I A936), 299—302.
[II] О существовании интегрального инварианта. ДАН, 17 A937), 455—458.
A2J On mean values and exterior densities. Матем. сб., 4 D6), A938), 165—191.
M а с л о в А. Ф.
[1] О преобразовании Moutard'a и квадратичных решениях уравнения с равными
инвариантами. Матем. сб., 32 A925), 569—598.
[2] Sur les solutions quadratiques de l'equation harmonique. J. math. pur. appl.,
14 A935), 229—232.
M а т ы ui у к В. К.
[1] Об одном типе абелевых уравнений шестого порядка. Ростов н/Д, Труды ин-та
матем. и естеств. Сев.-Кавк. ун-та, 16 A930), 191—211.
[2] Об одном свойстве дифференциальных уравнений (аоу„ + аху + я2) dx - (&0Уг + Ьху +
+ b.,) dy = O типа Пенлеве. Ростов н/Д, Изв. Сев.-Кавк. ун-та, 4 B1), A931), 3—5.
Мачи некий М. В.
[1] Об одной задаче теории теплопроводности. М., Ж. экспер. и теор.физ., 2:1 A932,
12—17. ;
Мсйман Н. Н.
[1] Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений. ДАН, 33 A941),
175—178.
Мельцер Л. А.
[1] О корректной постановке задачи Гурса. ДАН, 30 A941), 688—691.
[2] О корректной постановке задачи Гурса. Матем. сб., 18 F0), A946), 59—104.
М е ц х в а р и ш в и л и" Я. Г.
[1] О предельных решениях уравнения гиперболического типа с переменными коэффи-
коэффициентами в случае двух независимых переменных. ДАН, 17 A937), 343—346.
[2] О предельных решениях уравнения гиперболического типа с переменными коэф-
коэффициентами в случае двух независимых переменных. Тбилиси, Труды матем. ин-та
Гр. фил. АН, 4 A938), 163—224.
[3] О методе Фурье. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 485—490.
[4] О некоторых свойствах регулярных решевий колебательного уравнения.Тбилиеи,
Труды ун-та (А), 26 A945), 13—22.
М и и д л и н Я. А.
[1] Краевая задача волнового уравнения в случае сферы. Прикл. матем. и мех.,
1 A937—1938), 441—446.
[2] Краевая задача волнового уравнения в случае круга. Томск, Изв. НИИ матем.
и мех. ун-та, 2:2 A938), 32—36.
[3] Общее представление решения всг.ноисго уравнения. ДАН, 58 A947), 17—20.
Минкевич М. Н.
[1] Качественное исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка при отсутствии предположения об единственности решения М.,
Диссертация A945).
М и п я т о в А. К.
[1] Сравнительное исследование дифференциальных и разностных уравнений. Томск,
Изв. НИИ матем. и мех. уи-та, 1:1 A935), 1—22.
М и х а л ь с к н й н.
[1] Метод иеозначешшх функцш i сучинник1в при вшнукуванш частинних штегра-
Л1В деяких диференщальиих р1вняиь з частинними похщиими при деюлькох нев1-
домих функциях. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР, 2 A932), 63—67.
М и х л и и С. Г.
[1] Le probleme biharrhonique fondamental a deux dimensions. С. R. Acad. Sci.,
196 A933), 608—610.
[2] Теорема единственности для основной бигармонической проблемы. Матем. сб.,
41 A934), 284—291.
[3] Основные краевые задачи для волнового уравнения. ДАН, 29 A940), 281—285.
36*

564 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[4] Применение преобразования Лапласа к краевым задачам для волнового уравне-
уравнения. ДАН, 31 A941), 306—308.
М о жар В.
[1] Доказ кнування розв'язки диференшального Р1вняння з частиннимн похиними
6irapMOiii4iioro типу. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР, 3 A931), 97—102.
Моисеев Н. Д.
И] О несущественности одного из ограничений, налагаемых на топографические си-
системы в теории устойчивости по Ляпунову. ДАН, 1 A936), 159—162.
[2] О вероятности устойчивости по Ляпунопу. ДАН, 1 A936), 211-213.
13] Об относительной кривизне двухсложных динамических траекторий. Астрон. ж.
13 A936), 78—83.
[4] Об устойчивости и протиЕ-оустойчисости обобщённого третьего типа. ДАН,
16 A937), 299-301.
[5] О проблеме механизации динамических фазоных траекторий. ДЛН, 17 A937),
297—300.
[6] Ueber Stabilitatswahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Z., 42 A937), 513—537.
17] Ueber die Stabilitat von Losungen eines Systems von Differentialgleichungen. Math.
Ann., 113A937), 452—460.
(81 Об устойчивости периодических траекторий в обобщённом смысле Якоби. ДАН,
18 A938), 537—540.
[9] О построении областей сплошной устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпу-
Ляпунова. ДАН, 20 A938), 419—423.
[10] О фазовых областях сплошной устойчивости и неустойчивости. ДАН. 20 A938),
423—425.
[11] О современном состоянии качественной небесной механики. Астрон. ж., 1в:4A9?9).
[12] Об одном «методе» отыскания предельных циклов. Ж. экспер. и теор. физ.,
9:5 A939).
[13] О некоторых общих методах качественного изучения форм движения в проблемах
небесной механики, I. О методах контактных характеристик в случае двух степе-
степеней свободы. М., Труды астрон. ин-та им. Штернберга, 8:1 A939).
[14] О некоторых общих методах качественного изучения форм движения в проблемах
небесной механики, II. О критериях существования траектории пепересекаюших
границ данной области. М., Труды астрон. ин-та им. Штернберга, 9:2 A939).
\ 15] О некоторых общих методах качественного изучения форм движения в проблемах
небесной механики, III. О конструкции областей сплошной устойчивости и сплош:
ной неустойчивости в смысле Ляпунова. М., Труды астрон. ин-та им. Штернберга,
9:2 A939).
f!fi] О некоторых общих методах качественного изучения форм движения в проблемах
небесной механики, IV. О характеристиках продольной и поперечной устойчи-
устойчивости- М., Труды асгрон. ин-та им Штернберга, 14:1 A940).
[17] О некоторых общих методах качественного изучения форм движения в проблемах
небесной механики, V. О характеристике контактов траекторий с кривыми задан-
заданной топографической системы в случае двух степеней свободы. М., Труды астрой,
ин-та им. Штернберга, 14:1 A940).
[1Я] О некоторых общих методах качественного изучения форм движения в проблемах
небесной механики, VI. О построении областей однотипных контактов в случа*
трёх степеней свободы. М., Труды астрон. ин-та им. Штернберга, 14:1 A940).
[19] О некоторых методах теории технической устойчивости, I. М., Труды воен.-возд.
акал., 135 A945).
[20] Об областях сплошной устойчивости в проблемах баллистики и динамике полёта.
М., Труды воен.-возд. акад., 136 A945).
J21] Количественный аспект теории устойчивости. М., Труды воен.-нозд. акад., Зап.
семин. по теории устойчивости движения, 1 A946).
[22] Обзор развития неляпуновских теорий устойчивости. М., Труды воен.-возд. акгиг
Зап. семин. по теории устойчивости движения, 1 A946)
J231 Структура книги Ляпунова <-Обшая задача об устойчивости движения». М . Труда
воен.-возд. акад., Зап. семин. по теории устойчивости движения, 1 A946).
{24] Обзор истории развития понятия и теории устойчивости в смысле Ляпунова. М»
Труды воен.-возд. акад., Зап. семин. по теории устойчивости движения, 1 A94$
[25] Построение функции Ляпунова для системы однородных линейных дифференциал!
ных уравнений с постоянными коэффициентами в обыкновенных случаях. М., Tpj.
ды воен.-возд. акад., Зап. семин. по теории устойчивости движения, 2A940)..

БИБЛИОГРАФИЯ 565
Мордухай-Болтовской Д. Д.
[1] Об интегрировании в конечном виде дифференциальных биномов в случае ирра-
иррациональных показателей. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва О), 1 A926), 14—25.
[2] Об арифмешческих свойствах интегралов дифференциальных уравнений первого
порядка типа Пеплеве. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 2 A927), 1—13.
[3] Sur la resolution des equations differentielles du premier ordre en forme finie. Rend.
circ. mat. Palermo, 61 A937), 49—72.
[4] Sur quelques applications de la theorie analytique des equations differentielles &
l'integration en forme finie. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A937), 53—66.
Морозов Б. М.
[1] К вопросу о нахождении интегрирующего множителя, представляющего симме-
симметрическую функцию, в некоторых частных случаях. Пермь, Труды матем. сеу.ин.
ун-та, 2 A928), 20—26.
Муравьёв С.М.
[I] К решению уравнений вида х2у" + xft(x)y' + f*(x)y = 0. Л., Труды лесо1ехн. акад.
им. Кирова, 53 A938), 49—54.
Мусхелишвили Н. И.
[1] Sur les orbites periodiques et les lignesgdodesiquesfermees. Atti Accad.naz.Lincei,
5 A927), 769—773.
[2] Sur le probleme fondamental d'hydrodynamique a deux dimensions. Atti Accad.
naz. Lincei, 7 A928), 995—1001.
|3] Sur le probleme de torsion des cylindres elastiques isotropes. Atti Accad. naz. Lin-
Lincei, 9 A929), 295—300.
[4] Nouvelle methode de reduction du probleme biharmonique fondamental к une equa-
equation de Fredholm. С R. Acad. Sci., 192 A931), 77—79.
[5] Recherches sur les problemes aux limites relatifs a l'dquation biharmonique et aux
equations de l'elasticite a deux dimensions. Math. Ann., 107 A932), 282—312.
|6] Sur le probleme de torsion des poutres elastiques composees. С R. Acad. Sci.,
194 A932), 1435—1437.
[7] Praktische Losung der fundamentalen Randwertaufgabe der Elastizitatstheorie in
der Ebene fur einige Berandungsformen. Z. angew. Math. Mech., 13 A933), 264—282.
[8] Новый общий способ решения основных контурных задач плоской теории упруго-
упругости. ДАН, 3 A934), 7—11.
[9] Об одной новой контурной задаче теории упругости. ДАН, 3 A934), 141—144.
[10] Решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости, ДАН,
3 A935), 51—54.
[II] О решении основных граничных задач теории ньютонова потенциала. Прикл.
матем. и мех., 4:4 A940), 3—26.
[12] О решении задачи Дирихле на плоскости. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1A940),
99—106.
[12] Замечания относительно основных граничных задач теории потенциала.Тбилиси,
Сообщ. Гр. фил. АН, I A940), 169—170.
[14] Об основной смешанной краевой задаче теории логарифмического потенциала для
мпогосвязных областей. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 309—314.
Мусхелишвили Н. И. и Авазашвили Д. 3.
[1] О решении основных контурных задач теории логарифмического потенциала. Тби-
Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 7 A940), 1—24.
Мусхелишвили Н. И. и Фок В. А.
[1] Sur l'equivalence dedeux methodes de reduction du probleme plan biharmonique
a une equation integrate. С R. Acad. Sci., 196 A933), 1947—1948.
M у с х ел о в Н. И.
[1] Sur l'integration de l'equation biharmonique. ИАН F), 13 A919), 663—668.
*M ы ш к и с А. Д.
[1] О существовании полного дифференциала на границе плоской области. ДАН,
48 A945), 87—90.
[2] Об области единственности решения системы линейных дифференциальных урав-
уравнений в частных производных. Матем. сб., 19 F1), A946), 489—^522.

566 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[3] Второй противоречащий пример к формулировке теоремы Чегаева о неустойчи-
неустойчивости. М., Труды воен.-возд. акад., Зап. семип. по теории устойчивости движ^
ния, 2 A946).
[4] Достаточные условия устойчивости и неустойчивости тривиального решспм:
приведённой нелинейной системы дифференциальных уравнений и обыкновении:
случаях. М., Труды воен.-возд. акад., Зап. семип. по теории устойчивости двняо:
ния, 2 A946).
{5] Обобщение первой теоремы Ляпунова о неустойчивости на случай, зависящий о-
времепи части окрестности невозмущённого состояния. М., Труды воен.-возд.акад.
Зап, семин. по теории устойчивости движения, 2 A94G).
[6] О методе A. Haar'a u «опросе о еднпстьенности решения задачи Cauchy л л:
систем дифференциальных уравнений в частных производных. ДАН, 58 A947,
21—22.
М ю н т ц Г. И.
[1] Zum dynamischen Warmeleitungsproblem. Math. Z., 38 A034), 323—337.
Нсметти В. П.
Ц] Sur la solution singuliere de I'equation ordinaire du premier ordre. Казань, Из:,
физ.-.магем. о-ва C), 3 A928), 48—55.
Н е м ы ц к и й В. В.
[1] Solutions des equations elliptiques pour les «petits» domaines. Матем. сб., 1 D3,
A936), 485—502.
J] Метод неподвижных точек в анализе. Успехи магем. наук, 1A936), 141—17;.
13] Ober vollsta'ndig unstabile dynamische Systeme. Ann. di Math., 14 A936,
275—286.
14] О семействах кривых, заполняющих метрическое пространство. ДАН, 21 A938,
99—102.
[5] Семейства кривых типа Бендиксона. ДАН, 21 A938), 103—105.
[6] Sur les systemes de courbes remplissant un espace metrique. Матем. сб.,6 D8,
A939), 283—292.
[7] Приближённое качественное интегрирование системы уравнении — = Q (х. у,
^ = Р(х, у). ДАН, 38A943), 71-75.
[8] Качественное интегрирование системы — = Q(x, у); -ту = Р (х, у) в первом при-
приближении. ДАН, 38 A943), 211—214.
J9] Динамические системы на предельном интегральном .многообразии. ДАК.
47 A945), 555—558.
{10] Качественное интегрирование системы дифференциальных уравнений. Мате.м. со.
16 E8), A945), 307—344.
[11] Обшие динамические системы. ДАН, 53 A946), 495—498.
[12] Качественное интегрирование системы-j- — Q(x, у); -~ = Р(х, у) с помощью уни-
универсальных сетей ломаных. М., Учён. зап. ун-та, 100 A946), 34—52.
Немыцкий В. В. и Степанов В. В.
[1] Качественная теория дифференциальных уранненпп. М.-Л., ГТТИ A947), 1—4481
Н и к о л а е и к о М.
[1] Systemes conoi'dales des courbes integrates de I'equation de Pfaff. Хрк., 3:
матем. г-ва D), 9 A934), 45 — 48.
Никольский К. В.
[1] О геометрии уравнения Дирака. ДАН (А), A930), 701—708.
Нугманова Ш.
[1] Об устойчивости периодических движений. ДАН, 42 A944), 206—208.
Н ы р к о в а А. Г.
[1] Задача Szasz'a. Л., Труды политехи, ин-та, 3 A941), 50—59.

БИБЛИОГРАФИЯ 5(O
Олевский М. Н.
[1] Решение некоторых начальных и краевых задач для волнового уравнения,
уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа в пространствах постоянной
кривизны. ДАН, 33 A941), 282—286.
[2] Решение задачи Коши для волнового уравнения в га-мерном пространстве
постоянной' кривизны. ДАН, 46 A945), 3—7.
Оппоков Г. В.
[I] Выпод уравнения Лаграюка второго рода. Изв. Артилл. акад. РККА, 24 A937),
51—57.
Оранская Н. В.
J1] Интегрирование уравнения de Sparre'a. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та,
2:2A938), 187— Г91.
Орлов М.
[1] Нотатки про диференщальне р1вняния Чебишова. Кие;!, Ж. ин-та матем. АН
УССР, 1 A936), 63—72.
Отроков Н. Ф.
[1] К устойчивости периодических интегралов. Горький, Учён. зап. ун-та, 6 A939),
125—128.
[2] О числе предельных циклов в окрестностях фокуса. ДАН, 43 A944), 102—105.
Охлопкова Е.
[1] Sur quelques problfemes aux limites de la theorie du potentiel logarithmique.
Atti Accad. naz. Lincei, 12 A930), 558—566.
Панов Д. Ю.
[1] Об одном методе решения краевых задач дифференциальных уравнений в част-
частных производных. ДАН, 3 A935), 63—66.
B] Решение краевых задач дифференциальных уравнений в частных производных
для длинных и узких областей. ИАН, сер. матем. A937), 63—78.
П а п к о в А. С.
[1] К теории интегрирования уравнений в частных производных любого порядка,
допускающих промежуточный интеграл. Ростов н/Д, Труды ин-та матем. и
естеств. Сев.-Кавк. ун-та, 16 A930), 147—189.
Папкович П. Ф.
{1] Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гар-
гармонические функции. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 1425—1435.
Персидский К. П.
[I] Заметка к вопросу об устойчивости движения. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва
C), 5 A931).
[2] О некоторых случаях устойчивости движения. Казань, Труды авиац. ин-та,
1 A933).
ТЗ] Об устойчивости движения но первому приближению. Матем. сб., 40 A933),
284—293.
14] К устойчивости движения. Матем. сб., 42 A935), 37—42.
f5] Об одной теореме Ляпунова. ДАН, 14 A937), 541—544.
[6] Об одной теореме устойчивости движения. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C),
A937).
[7] К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений. Ка-
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва, 11 A939), 29—45.
{81 К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Успехи матем.
наук, 1:5—6 A5—16), A946), 250—256.

568 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Петров В. Н.
[1] Граница применимости теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравен-
неравенствах к линейным уравнениям с обыкновенными производными второго по-
порядка. ДАН, 51 A946), 251—254.
[2] Неприменимость теоремы о дифференциальном неравенстве С. А. Чаплыгина
к некоторым нелинейным уравнениям с обыкновенными производными второго
порядка. ДАН, 51 A946), 495—498.
Петровский И. Г.
[1] Einige Betnerkungen zu den Arbeiten von Herren О. Perron und L. A. Lusternik
iiber das Dirichlet'sche Problem. Матем. сб., 35 A928), 105—110.
[2] Ueber die Losung der ersten Randwertsaufgabe der WSrmeleitungsgleichung. M.,
Учён. зап. ун-та, 2:2 A934), 55—60.
[3] Ueber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewohnlicher Differential-
gleichungen in der Nahe eines singularen Punktes. Матем. сб., 41 A934), 107—156.
[4] Nachtrag zu meiner Arbeit «Ueber das Verhalten der Integralkurven eines Systems
gewdhnlicher Differentialgleichungen in der Nahe eines singularen Punktes. Матем.
сб., 42 A935), 403.
[5] Zur ersten Randwertsaufgabe der Warmeleitung?gleichung. Сотр. math.,
1:3A935), 383—419.
[6] Sur le probleme de Cauchy pour un systeme d'equations aux derivees partielles dans
le domain reel. С R. Acad. Sci., 202 A930). 1010—1012.
[7] О системе дифференциальных уравнений, все решения которых аналнтичны. ДАН,
17 A937), 339—342.
18] О задаче Коши в области неаналитических функций. Успехи матем.паук, 3A937),
234—238.
[9] Ueber das Cauchysche Problem filr System von partiellen Differentia lgleichun-
lgleichungen. Матем. сб., 2 D4), A937), 815—870.
[10] О проблеме Cauchy для системы линейных дифференциальных уравнений с част-
частными производными в области неаналитических функций. М., Бюлл. ун-та (А),
1:7 A938), 1—72.
[11] Sur l'analyticite des solutions des systemes d'equations differentielles. Матем.
сб., 5 D7), A939), 3—70.
[12] Метод Перрона решения задачи Дирихле. Успехи матем. наук, 8 A941), 107—114.
[13] Новое доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных
разностей. Успехи матем. наук, 8 A941), 161—170.
[14] О зависимости решения задачи Коши от начальных данных. ДАН,! 38 A943),
163—165.
[15] О диффузии волн и лакунах для систем гиперболических уравнений. ИАН, сер.
матем., 8 A944), 101—IC6.
[16] On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations. Матем. сб.,
17 E9), A945), 289—370.
[17] О скорости распространения разрывов производных смещений на поверхности
неоднородного упругого тела произвольной формы. ДАН, 47 A945), 258—261.
[18] О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными. Успехи
матем. наук, 1:3—4 A3—14), A946), 44—70.
[19] Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 2. М.—Л.,
ГТТИ A946), 1-144.
[20] К теории уравнений с частными производными. «Юбилейный сборник, посвящен-
посвященный тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции», т. I.
Изд. АН A947), 214—230.
Пискунов Н. С.
[1] Solution du premier probleme aux limites pour Tequation - -2 —0i-7--\-at~ +
4-<v|^--fsu \-f. Матем. сб., 1 D3), A936), 931—952.
[2] Краевая задача для уравнения гиперболо-параболического типа. ДАН, 15 A937),
23—24. !
[3] Краевые задачи для уравнения эллиптико-параболического типа. ДАН, 20 A938),
247—250.
[4] Уравнение гиперболо-параболического типа. Матем. сб., 3 D5), A938), 259—270.

БИБЛИОГРАФИЯ 569
[5] Интегрирование уравнений теории пограничного слоя. ДАН, 27 A940), 102—104.
[6] Краевые задачи для уравнения эллиптико-параболического типа. Матем. сб.,
7 D9), A940), 385—424.
[7] Интегрирование уравнений теории пограничного слоя. ИАН, сер. матем., 7 A943),
35—48.
Платонов Н. Ф.
[1] Геометрические образы в высшей математике. Интегрирование линейных дифферен-
дифференциальных уравнений. Тверь, Изв. пед. ии-та, 5 A929), 153—157.
П о в з н ер А. Я.
[1] Об уравнениях типа Штурма-Лиувилля и позитивных функциях. ДАН, 43A944),.
387—391.
[2] Об уравнениях типа Штурма-Лиувилля на полуоси. ДАН, 53 A946), 299—302.
П о г р е б ы с с к и й И. Б.
[1] Про Ытегральш крив1 системи трьох звичайних диференщяльних р1внянь в око-
лищ особливо1 точки невизначенносп. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР»
3—4 A935), 51—60.
[2] До питания про обчислення першду коливань систем з одним степенем свобом.
Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A937), 67—72.
Полубарииова-Кочина П. Я.
[1] К задаче о приливах в прямоугольном бассейне при малых значениях угловой
скорости вращения жидкости. ИАН, сер. матем. A937), 445—470.
[2] Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым случаям
движения грунтовой воды. ИАН, сер. матем. A938), 371—398.
[3] Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым задачам
о движении грунтовых вод (случай трёх особых точек). ИАН, сер. матем. A939),
329—350.
[4] Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым задачам
о движении грунтовых вод (число особых точек больше трёх). ИАН, сер. ма-
матем. A939), 579—602.
П о п т р я г и н Л. С.
[1] Les fonctions presque periodiques et l'analisis situ?. С R. Acad. Sci., 196 A933),
1201—1203.
[2] О динамических системах, близких к гамильтоновым. Ж. экспер. и теор. фнз.,
4 A934), 883—«85.
Потасов А. М.
[1] О дифференциальном уравнении с четырьмя регулярными особыми точками. Л.,
Труды кораблестр. ин-та, 5A940), 3—13.
Проскуряков А. П.
[1] Характеристические числа решений дифференциального уравнения второго по-
порядка с периодическими коэффициентами. Прикл. матем. и мех., 10 A946),
545—558.
Пугачёв В. С.
[1] Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, содержащих параметр, I. ИАН, сер. матем., 5 A941), 75—84.
\2] Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифферен-
дифференциальных уравнений, содержащих параметр, II. ИАН. сер. матем. 5 A941),
431—440.
[3] Оценка погрешности приближённого представления интегралов линейных диффе-
дифференциальных уравнений, содержащих параметр, первыми членами их асимптоти-
асимптотических разложений. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 203—208.
[4] Об асимптотических представлениях интегралов систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, содержащих параметр. Матем. сб., 15 E7), A944), 13—54.

570 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пфейффер Г. В.
[1] Sur une methode speciale d'integration des equations et des systemes d'6quations
non-lineaires aux derivees partielles du premier ordre. Киев, Зап. физ.-матем.
отд. АН УССР, 1:1 A922), 41—59.
[2] Une methode sp6ciale d'integration des equations aux derivees partielles du premier
ordre. С R. Acad. Sci., 176 A923), 62—64.
]?.] Note sur Ies cas particuliers des equations lineaires en jacobiants aux derivees partiel-
% Ies du premier ordre de plusieurs fotactions, qui admettent l'integrale generate—
l'integrale deM-er Hamburger. Киев, Зап. физ.-матсм. отд. АН УССР, 1:3 A925),
91—99.
{4] Note sur les proprietes des integrates d'un systeme jacobien d'equations lineaires
aux derivees partielles du premier ordre. Киев, Зап. физ.-.матем. отя- АН УССР,
1:4A925), 15—19.
[5] Загальний огляд дослцпв, mo ix нерев1в проф. Г. В. Пфейфер у цариш 1нтегри-
рунання ршняиь з частинними похщними першого порядку o.iniei та багагвох
негшюмихфункш1' за час зр. 1914 дор. 1920. Киев, Зап. ин-та пар. просн., 2 A927),
141 — 150.
J6| Les systemes d'equations aux derivees partielles du premier ordre a plusieurs foncti-
ons inconnuespossidant I'integraledeM. Hamburger. С R. Acad. Sci., 185 A927),
98—101.
{7] Construction, d'apres un systeme d'equations lineaires aux derivees partielles du
premier ordre a une fonction inconnue, d'une 6quation, lineaire en jacobiens, satisfai-
sant aux conditions de M. Hamburger, et aussi d'un systeme d'equations lineaires
en jacobiens, pour lequel sont remplies les conditions generalis6es de M. Hamburger.
С R. Acad. Sci., 185 A927), 246—447.
[8] Sur la permutation des solutions d'une equation lineaire aux deriv6es partielles du
premier ordre. Bui!. Sci. Math., 52 A928), 350—352.
(9] Теоремы, выясняющие ряд вопросов в задаче о перестановке решений линейного
уравнения с частными производными первого порядка. ДАН (А), A929), 177—!82.
i 10j Sur les integrates des equations aux derivees partielles du premier ordre qui ne con-
tiennent pas la fonction inconnue. Bull. Sci. Math., 53 A929), 268—275.
[11] Sur les integrates des equations et des systemes d'iquations aux derivees partielles
, du premier ordre d'une fonction inconnue, qui possedent les integrates de S. Lie.
С R. Acad. Sci., 189 A929), 1228—1230.
[12] Обобщение способа Jacobi интегрирования полных систем линейных однородных
уравнении. ДАН (А), A930), 405—409.
[13] Вплив nepnioi постановки Jacobi на класу штеграл1в. Хрк., Зап. матсм, т-ва,
4A930), 73—78.
[14] Ueber die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, die in Bezug auf ^ie
partiellen DifferentiaIquotienten homogen sind und die Funktion nicht enthalten.
Math. Ann., 104 A930), 363—372.
[15] Sur les integrates completes des equations lineaires et des systemes d'equations aux
derives partielles. Ann. de Toulouse, 22 A930), 147—170.
[16] Sur Ies operateurs d'un systeme complet d'equations lineaires et homogenes aux
derivees partielles du premier ordre d'une fonction inconnue. С R. Acad. Sci.,
190A930). 909—911.
[17] La generalisation de la methode de Jacobi-Mayer. С R. Acad. Sci., 191 A930),
1107—1109.
[18] Свойства операторов линейного однородного уравнения с частными производны-
производными первого порядка. ИАН, сер. физ.-матем. A931), 4Й7—478.
{19] Обобщение способа Jacobi интегрирования полных систем линейных однородных
уравнений. Обобщение соответствующих исследований Clebsch'a. ИАН, сер. физ.-
матед. A931), 1051—1087.
[20] Конструкция операторов лйш'шого однородного р1вияния з частинними поха-
ними першого порядку. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР, 1 A931), 37—72.
[21] Про onepaTopi noBHoi системи лшШпих однородпих ргвпянь з частинними похи-
ними першого порядку oaHici иевщомо! функцП. Киев, Зап. прир.-техп. отд. АН
УССР, 1 A931), 39—40.
[22] Sur la permutation des integrates d'une equation lineaire et homogene aux derivees
partielles du premier ordre. Ann. de Toulouse, 23 A931), 139—182.
[23] Construction de l'operation generate permutant les integrates d'une equation lineai-
lineaire et homogene, aux derivees partielles du premier ordre. С R. Acad. Sci.,
192 A931), 660—662.
J24] Sur la relation reciproque entre deux systemes en involution d'equation lineaires.
С R. Acad. Sci., 193 A931), 284—285.

БИБЛИОГРАФИЯ 571
[25] Обобщение способа Jacobi-Mayer'a интегрирования нелинейных уравнений и пол-
полных систем нелинейных уравнений с частными производными первого порядка
одной неизвестной функции. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 131—151.
[26] Про р1впяння: -р= Руп + Qy" -f ••• + Ry + S(n>3) загалыпип, шж, pie-
няння Riccati. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР, 1 A932), 33—38.
[27] Про Л1Н1Йно незалежш розв'язки р1внянь з частинними похщними. Киев, Ж.
матем. цикла АН УССР, 2 A932), 61—62.
[28] О возможности с помощью линейного комбинирования уравнений Jacobi'евой
системы, содержащей параметры, строить Jacobi'eBbi системы, не содержащие
такого числа параметров, на которое уменьшено число уравнений. ИАН, сер.
физ.-матем. A933), 177—214.
[29] Об интегральных инвариантах (п—1)-го порядка. ИАН, сер. физ -матем. A933),
1103—1112.
[30] Про можлив1сть, за допомогою лшшногокомбшуванпя picimiib системи Jacobi,
що м1стить у co6i иараметри, будувати системи Jacobi, що не мктять у co6i такого
числа параметр1в, на яке зменшилось число р^внянь. Киев, Ж. матем. цикла
АН УССР, 1:1 A933), 41—68.
[31] Ueber dieallgemeine Integrate von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung
mit einer unbekannten Funktion und von Systemen solcher Gleichungen, die Integrate
im Sinne von S. Lie zulassen. Math. Z., 36 A933), 790—805.
[32] La generalisation des methodes de Jacobi pour l'integration des systemes complets
d'equations lineaires et de Jacobi-Mayer pour 1'integration des systemes com-
complets d 'equations non-Iineaires. Хрк., Зап. матем. т-ва, 6 A933), 7—10.
[33] La generalisation de la methode de Jacobi de I'integration des systemes complets
d'equations Hneaires et homogenes: la generalisation des recherchescorrespondantes
de Clebsch. Acta Math., 61 A933), 203—238.
[34] La generalisation de la methode de Jacobi-Mayer de I'integration des equations non-
Iin6aires et des systemes d'equations non-lineaires aux derives partielles du premier
ordre d'une fonction inconnue. Acta Math., 61 A933), 239—261.
[35] Про piBHHiiim та системи р1впянь з частинними похщними першого порядку бага-
тьох функщй, що мають штеграли м. Hamburger'a. Киев, Ж. ин-та матем. АН
УССР, 1 A934), 11—26.
[36] Интегрирующий множитель системы символических уравнений, эквивалентной
системе линейных в Jacobi'апах уравнений, удовлетворяющей обобщённым усло-
условиям М. Гамбургера. ДАН, 2 A935), 350—353.
[37] Про л1шйш в Jacobi'анах р^вняння i системи р1внянь, що задовольняють умови
М. Hamburger'a та узагальнеш умови М. Hamburger'a, з якими зв'язаш nenoroii
сигтеми лнийних однориних pieiiniib. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
3—4 A935), 3—10.
138] Sur une methode speciale d'integration des systemes complets d'equations lineaires
aux derivees partielles. С R. Acad. Sci., 201 A935), 495—497.
[39] Узагальнений штеграл S. Lie i зв'язаш з ним 1птеграли. Киев, Ж. ип-та маге.м.
АН УССР, 1 A936), 29—36.
J40] Особливий crroci6 1нгегрируваипя повних систем лпийпих р^впянь з частинними
пох1дними першого порядку одшст невьюмо! функиЛ. Киев, Ж. ин-та матем.
АН УССР, 3 A936), 3—34.
[41] Узагальнення особливого cnoci6y штегрирувания повпих- систем лшШних piB-
нянь з частинними похиними першого порядку o;uiif:i невЦомо! функцИ. Киев,
Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A936), 47—78.
[42] Про noBiii штеграли поппих систем лЫйних piBHaiib з частинними похшними
першого порядку. Киев, Ж. нн-та матем. АН УССР, 3 A936), 79—90.
[43] Узагальнення поняття про im-еграл S. Lie. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
3 A936), 113—126.
[44] Новий cnoci6 штегрирування р1вияиь i повних систем р^внянь з частинними по-
хШними першого порядку одн{е! невщомо! функцЯ. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
3 A936), 127—137.
[45] Die Konstruktion des allgemeinen Operators des Involutionssystems von homo-
genen linearen partiellen Differentialgleichungen. Ann. di Math., 14 A936),
327—342.
[46] Methode speciale d'integration des systemes complets d'equations lineaires aux
derivees partielles du premier ordre, a une fonction inconnue. Ann. de Toulouse,
28 A936), 211—242.
[47] О возможности присоединения к полной системе нелинейных уравнений линейного
уравнения, системы линейных уравнений. ДАН, 15 A937), 167—168.

572 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[48] Побудова жтеграла S. Lie вищого класу за штегралом S. Lie нижчого класу;
зокрема штеграла S. Lie за штегралом Lagrange'a. Киев, Ж. ин-та матем. АН
УССР, 2 A937), 3—42.
[49] Р1вняння в частинних похиних, штеграшя яких може бути зв'язаиа з штегриру-
ваниям р1внянь М. Hamburger'a. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 2 A937),
43—82.
[501 Про деяк1 властивос™ систем лпййних в Jacobi'анах р1внянь. Киев, Ж. ин-та
магем. АН УССР, 2 A937), 83—90.
[51] Про символ1чний запис систем лпийних в Jacobi'aimx р1внянь, як1 задовольня-
ють узагальнет умови М. Hamburger'a. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
2 A937), 91—94.
[52] Про штегрирування ллтйних в Jacobi'апах р1вняиь, систем р1пнянь, яю
задовольняють узагальне!й умови М. Hamburger'a з якими зв'язаш неповш
системи лшшних одпорщних [Мвнянь з частииними похиними першого по-
порядку одше! невщомо! функш!. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 2 A937),
95—106.
[53] Про тдшукання Для napaMeTpiB неповно! системи лшШних р1вняиь з частин-
ними похиними першого порядку одше! невщомо! функш! таких, при якнх не-
повна система переходить у повну. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 2 A937),
107—116.
[54] Про системи лш1Йних р1внянь з частинними похиними першого порядку, зв'я-
занш, за дослиженнями Jacobi, з шволюшйними системами нелшшних р1внянь.
Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 2 A937), 117—134.
[55] Продолучення до повно! системи нелйпйних р1внянь з частинними похиними
першого порядку сумicних з нею р1внянь. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
2 A937), 135—140.
[56] Про можлинкть долучення до повноЧ системи нел11Ййних р1внянь з частинними
похщними першого порядку сумкних з нею: л1шйного р1вняння, системи лннй-
них р1внянь. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 2 A937), 141—154.
[57] Об интегралах уравнений с частными производными первого порядка одной неиз-
неизвестной функции, не содержащих функции и однородных относительно производ-
производных ДАН. 23 A939), 119—121.
[58] Les systemes jacobiens generalises d'equations lineaires aux derivees partielles du
premier ordre a plusieurs fonctions inconnues et la methode speciale d'integration.
Матем. сб., 5 D7), A939), 251—268.
[59] Получение различных типов интегралов Lagrange'a. ДАН, 27 A940), 99—101.
[60] Переход от общего способа Jacobi интегрирования полных систем нелинейных
уравнений iK упрощённому. ДАН, 28 A940), 99—101.
[61] Об уравнениях, системах уравнений с частными производными первого порядка
многих функций, обладающих обобщённым интегралом S. Lie, ДАН, 31 A941),
195—197.
[62] Упрощённый признак существования линейных множителей символической фор-
формы. ДАН, 38 A943), 255—256.
[63] О практическом применении признаков выделения символическими формами
линейных множителей. ДАН, 38 A943), 301—303.
[64] Линейные в якобианах уравнения, на которых расположены обобщённо-яко-
биевы, якобиевы системы линейных уравнений многих, функций и связан-
связанные с ними символические формы канонического вида. ДАН, 41 A943),
378—379.
[65] Символические формы канонического вида, выделяющие один или ряд линейных
множителей, и связанные с ними линейные в якобианах уравнения. ДАН, 42 A944),
299—302.
[66] О семи-якобиевых, семи-обобщённо-якобиевых уравнениях, системах уравнений
с частными производными первого порядка многих функций. ДАН, 52 A946),
665—668.
[67] О семи-гамбургеровых уравнениях, системах уравнений с частными производ-
производными первого порядка многих функций. ДАН, 52 A946), 753—754.
[68] О семи-обобшённо-лиевых уравнениях, системах уравнений ранга рA<р<*)
класса g = п — 1 с частными производными первого порядка многих функций,
ДАН, 53 A946), 95—98.
[69] О семи-обобщённо-лиевых уравнениях, системах уравнений ранга рA < р<А),
класса g < п — 1 с частными производными первого порядка многих функций.
ДАН, 53 A946), 195—198.
[70] О семи-смешанных уравнениях, системах уравнений с частными производными'
первого порядка многих функций. ДАН, 53 A946), 303—306.

БИБЛИОГРАФИЯ 573
Рапопорт И. М.
[1] О плоской обратной задаче теории потенциала. ДАН, 28 A940), 305—307.
[2] Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала. ДАН, 31 A941), 303—305.
Ребиков А. А.
!Г1] Дифференциальные уравнения колебаний. Смоленск, Научи, изв. ун-та, 2 A930)»
3—9.
Риз П. М.
Г1] Деформации и напряжения естественно закрученных стержней. ИАН, сер. матем.
A939), 449—476.
Романовский В. И.
Ill Sur l'integration des systemes en involution d'une classe quelconque. Матем. сб.,
32 A925), 255—272.
12] Интегрирование инволюционных систем уравнений любого класса с частными
производными любого порядка. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 20 A935), 1—84.
Романовский П. И.
Jl] Заметка о поведении интегралов дифференциального уравнения -r\ = F(x, у).
Матем. сб., 36 A929), 124—128.
Руднев Ю. В.
{1] О поведении бесконечно убывающих интегралов линейного уравнения второго по-
порядка при больших значениях аргумента. М., Учён. зап. ун-та, 15 A939),
203—208.
[2] Уравнение Штурма-Лиувилля с особенностями. М., Учён. зап. ун-та, 100 A946),
113—126.
Румянцев А. Г.
J1] К решению линейного однородного дифференциального уравнения с переменными
коэффициентами второго порядка. Л., Труды политехи, ин-та, 3A941), 67—74.
Руссьян Ц. К.
W Les caract6ristiques du premier ordre de Г equation aux derivees partiellesdu second
ordre. Math. Ann., 90 A923), 46—54.
{2] Generalisation de la methode de Cauchy de l'integration de l'equation differentielle
aux derivees partielles du premier ordre. Хрк., Учён. зап. НИ кафедр, 1 A924),
27—37.
13] Classe du systeme d'equations de Pfaff. Хрк., Научн. зап., 2 A926), 47—55.
|4] Метод интегрирования дифференциального уравнения в частных производных
второго порядка по 2 независимым переменным, I. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 2 A928), 113—198.
15] Integrates completes de rang divers d'un systeme en involution. Rend. circ.
mat. Palermo, 54 A930), 285—293.
J6] Methode de l'integration de l'equation aux derivees partieUes du second ordre
a deux variables inddpendantes par la reduction au systeme d'equations differen-
tielles de Pfaff, II. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4 A930), 5—72.
|7] Integration de l'equation aux derivees partielles d'ordre quelconque d'une fonction
inconnue aux deux variables independantes. ИАН, сер. физ.-матем. A932),
1029—1063.
Щ Integrates completes des ranges divers de Г equations aux derivees partiellesdu pre-
premier ordre ^- =F(x, y, z, ^). Rend. circ. mat. Palermo, 57 A933), 87—100.
[9] Cas remarquable du systeme en involution des equations aux derivees partielles de
1'ordre d'une fonction inconnue deux variables independantes. ИАН, сер. физ.-ма-
физ.-матем. A933), 45—84.
110] Integration du systeme de l'equation aux differentielles totales par les m+l
integrales Mi=ci (/=1, 2, ..., m-j-1). Хрк., Зап. матем. т-ва D), 7 A933),
45—70.

574 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
A1] Relation entre le systemed'equationaux differentielles totales et celui d'equations
lineaires homogenes aux derivees partielles du premier ordre. Хрк., Зап. матем.
¦г-на D), 8 A934), 51—50.
[12] Sur la generalisation d'un theoreme de la theorie des equations aux derivees partiel-
partielles du premier ordre. Хрк., Зап. матем. r-ва D), 8 A034), 57—60.
[13] Ableitung der Integrate von Cauchy der partiellen Differentialgleichung erster
Ordnung aus dem vollsta'ndigen Integrate derselben mittelst der Variatione der wil-
kiirlichen Konstanten. Хрк., Зап. магем. т-ва D), 9 A934), 53—62.
[14] Die Gleichungen der charakteristischen Mannigfaltigkeiten des Systems in Involu-
Involution der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und das allgemeine Inte-
Integral der Differentialgleichungen derselben. Матем. сб., 42 A935), 217—240.
[15] Про один випалок штеграпП т пфаффових диференшальних [мвнянь за допомо-
гою п штеграл1в uj=Cj. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 15:1 A938), 31—68.
Р ы т о в СМ.
[1] Об одном расширении области применения метода малого параметра. ДАН.
47 A945), 186—190.
Саваренский Е. Ф.
[1] Неограниченная применимость теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных
неравенствах к линейным уравнениям с частными производными первого поряд-
порядка. ДАН, 51 A946), 255—258.
Сарымсаков Т. А.
[1] Об асимптотических законах распределения вещественных корней колеблющихся
интегралов линейного дифференциального уравнения второго порядка. ДАН,
24 A939), 322—324.
[2] О теореме Штурма. Ташкент, Изв. Уз. фил. АН, 8 A940), 29—30.
Светлов А. В. и Строганов В. Г.
fl] О решении плоской магнитной задачи, ДАН, 4 A934), 113—118.
[2] Решение плоской задачи Robin'a-Poincare для некоторых многосвязных областей
Труды Главн. геофиз. обсерв., 17 A938), 26—36.
С era л Б. И.
[1] Некоторые пространственные задачи теории потенциала и их приложения.
ИАН, сер. матем., 10 A946), 323—358.
[2] Расчёт фильтрации под плотинами с бесконечной глубиной проницаемого основа-
основания. Инж. сб., 3 A946), 137—158.
[3] Об одной задаче теплопроводности. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 20 A947),.
65—76.
Семёнов Н. С.
[1] Применение метода проф. Л. В. Канторовича к решению задач об изгибе тонких
прямоугольных пластинок. Прикл. матем. и мех., 3:4 A939), 107—116.
С и к о р с к и й Ю. С.
[1] Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложением их к некоторым тех*
ническим задачам. М.—Л., ГТТИ A940), 1—154.
Симонов Н. И.
[1] О краевой задаче для системы линейных дифференциальных уравнений. Саратов,
Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A4): 2 A938), 12—28.
[2] О первой краевой задаче для нелинейного эллиптического уравнения. М., Бкши
ун-та, матем., 2:1 A939), 3—18.
[3] Решение некоторых краевых задач для эллиптических систем линейных уравне-
уравнений. ДАН, 44 A944), 287—289.
[4] Решение некоторых краевых задач для линейных эллиптических систем любого
порядка. М., Учён. зап. ун-та, 100 A946), 53—84.
Синегуб С.
[1] Некоторые замечания об операторном методе в проблемах Майера и Лагранжа.
Воронеж, Труды ун-та, 9:4 A937), 113—121.

БИБЛИОГРАФИЯ 575-
Синцов Д. М.
[11 Обобщение формулы Enneper'a-Beltrami на системы интегральных кривых пфаф-
пфаффова уравнения Pdx-fQ dy+Rdz=0. Хрк., Зап. матем. т-иа D), 1 A927), 64—73.
[21 Свойства системы интегральных кривых пфаффова уравнения Р dx+Q dy+R dz—0.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 1 A927), 74—79.
П1 Поправка к статье «Обобщение формулы Эпнепера-Бельтрами'>. Хрк.. Зап. матем.
т-ва D), 2 A928), 199.
[41 Окрем! Bina,iKH систем штегралышх кривих пфаффова р1вняння. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 3 A929), 111—120.
[51 Свойства системы интегральных кривых пфаффова уравнения в п переменных.
ИАН, сер. физ.-матем. A931), 1275—1294.
[61 Studien fiber das System der Intergralkurven der Pfaffschen Gleichung. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 5 A932), 97—122.
[7] Sur une propriete du systemc des courbes integrates de l'cquation differentielle du
second ordre. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 6 A933), 19—20.
[8] Etudes sur les systemes des courbes integrates d'dquation de Pfaff ^P dx — 0.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 11 A935), 35—44.
[9] Sur une application mecanique des proprietes des courbes integrales de 1'equation de
Pfaff. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 11 A935), 45—48.
Сиротин Е. Ё.
[1] Интегрирование уравнения Riccati вида у'-\-у" -\ = 0 при помощи рядов.
Минск, Труды Белорусск. ун-та, 4—о A923), 135—158.
С л у г и и о в С. П.
[1] Уравнение Лапласа. Пермь, Учён. зап. ун-та, 1:4 A935), 141—143.
[2] УравнениеМонжа-Ампера. Владивосток, Учён. зап. Дальневост. ун-та, сер. физ.-
матем., 1 A937), 59—85.
[3] Уравнение Штурма-Лиувилля. Владивосток, Учён. зап. Дальневост. ун-та, сер.
физ.-матем., 1 A937), 87—120.
Смирнов В. И.
[1] Задача обращения линейного дифференциального уравнения второго порядка
с четырьмя особыми точками. Пгр. A918), XVI 4- 307.
[2] Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires du second
ordre et des fonctions automorphes. С R. Acad. Sci., 171 A920), 510—512.
[3] Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires du second
ordre etdes fonctions automorphes. Симферополь, Зан. матем. каб. Крымск. ун-та,
3 A921), 20—24.
[4] О рациональных преобразованиях линейных дифференциальных уравнений вто-
второго порядка. Матем. сб., 34 A927), 101—108.
[">] Sur les solutions sineulieres de l'equation d'onde et des equations d'elasticite.
Труды сейсм. ин-та, 78 A936), 1—30.
[6] Решение предельной задачи для волнового уравнения в случае круга и сферы.
ДАН, 14 A937), 13—16.
[7] Решение предельных задач теории упругости в случае круга и сферы. ДАНГ
14 A937), 69—72.
Смирнов В. И. и Соболев С. Л.
[1] Sur le probleme plan des vibrations elastiques. С. R. Acad. Sci., 194 A932),
1437—1439.
12] Sur quelques problemes des vibrations elastiques. С R. Acad. Sci., 194 A932),
1797—1799.
[3] Sur une methode nouvellc dans le probleme plan des vibrations elastiques. Труды
сейсм. ин-та, 20 A932), 1—37.
[4] Sur l'application de la methode nouvelle a l'etude des vibrations elastiques dans
Pespace a symetrie axiale. Труды сейсм. ин-та, 26 A933).
Смирнов СВ.
[1] Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в частных
производных. Иваново, Учён. зап. пед. ин-та, физ.-матем. фак., 1:1 A941), 36—41.

576 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С м о г о р ж е в с к и й А. С.
[1] Про узагальпену функцию Fpina звичайиого диференщялыюго р1вняпня. Киев,
Ж. ин-та матем. АН УССР, 3—4 A935>, 61—76.
|2] Про узагальнений тензор Грша системи звичайних лшшних диференшальних
ршнянь. Киев, Сб. научио-исслед. работ иняустр. ин-та, 3 A936), 109—115,
[3] О функции Грина обыкновенного линейного дифференциального уравнения. Л.,
Труды второго Всесоюзи. Mai ем. съезда, т. 2 A930).
14] Les fonctions de Green des systemes differentielles Iineaires dans un domaine a une
seule dimension. Матем. сб., 7 D9), A940), 179—196.
J5] О линейных квазидпфференциальных системах. Киев, Сообш. о научно-исслед.
работе политехи, ин-га, 4 A945), 3—4.
Смоленский Б. И.
[1] Основные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с геоме-
геометрической точки зрения. Свердловск, Изв. Уральск, политехи, ин-та, 5 A926),
13—35.
[2] Геометрическая интерпретация некоторых обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Свердловск, Изв. Уральск, нолигехн. ин-га, 6 A927), 27—52.
{3] Основные конические сечения обыкновенных дифференциальных уравнений пер-
первого порядка. Изв. Уральск, политехи, ин-та, 7 A929—1930), 7—13.
J4] Алгебраические кривые обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв.
Уральск, политехи, ин-та, 7 A929—1930), 15—22.
15] Основные теоремы дифференциального уравнения Пфаффа в четырёхмерном про-
пространстве. Свердловск, Изв. Уральск, лесотехи. ии-ia, З A934), 45—57.
Соболеве. Л.
jl] Замечание по поводу работ Н. И. Салтыкова «Исследования по теории уравнений
с частными производными 1-го порядка одной неизвестной функции» и «О развитии
теории уравнений с частными производными 1-го порядка одной неизвестной функ-
функции». ДАН (А), A929), 168—170.
]2] Об одной предельной задаче теории логарифмического потенциала и её применение
к отражению плоских упругих волн. Труды сейсм. ин-та, 2 A930), 1—18.
13] Sur les solutions analytiques des systemes d'equations aux derivees partielles avec
deux variables independantes. С R. Acad. Sci., 190A930), 289—291.
{4] Об аналитических решениях систем уравнений в частных производных с двумя
независимыми переменными. Матем. сб., 3&:1—2 A931), 107—147.
15) Об одном обобщении формулы Kirchhoffa. ДАН, 1 A933), 256—262.
16] Sur les vibrations d'un demiplan et d'une couche a conditions initiales arbitrages.
Матем. сб., 40 A933), 236—266.
17] L'equation d'onde sur la surface logarithmique de Riemann. C. R. Acad. Sci.,
196 A933), 49—51.
[8] Sur un probleme de la diffraction des ondes. С R. Acad. Sci., 196 A933), 104—105.
[9] Новый метод решения задачи Коши для уравнения в частных производных второго
порядка. ДАН, 1 A934), 433—448.
110] К вопросу об интегрировании волнового уравнения в неоднородной среде. Труды
сенсм. ин-та, 42 A934), 1—26.
111] Функционально-инвариантные решения волнового уравнения. Труды физ.-матеи.
ин-та им. Стеклова, 5 A934), 259—264.
[12] К вопросу об аналитических решениях системы уравнений в частных производ-
производных с двумя независимыми переменными. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова,
5 A934), 265—282.
{13] Обшая теория диффракции воли па римановых поверхностях. Труды физ.-мате*.
ии-та им. Стеклова, 9 A935), 39—106.
Ц4] Основная краевая задача для полигармонического уравнения в области с выро-
вырожденным контуром. ДАН, 3 A936), 311—314.
1151 Алгорифм Шварца в теории упругости. ДАН, 4 A936), 235—238.
116] О прямом меюдс решения полигармонического уравнения. ДАН, 4 A936),
339—342.
[17] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires
hyperholiques normales. Ма-ем. сб., 1 D3), A936), ''9—72.
[18] Об одной краевой задаче для нолигармонических уравнений. Матем. сб., 2 D4),
A937), 4*7—500.
[19] О задаче Коши для квазилинейных гиперболических уравнений. ДАН, 20 A938V
79—84.

БИБЛИОГРАФИЯ 577
[20] Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений (автореферат). Успехи
матем. наук, 4 A938), 275—277.
[21] К теории нелинейных гиперболических уравнений с частными производными.
Матем. сб., 5 D7), A939), 71—100.
[22.] Об оценках некоторых сумм для функций, заданных на сетках. ДАН, 25 A939),
563—566.
[23] Об оценках некоторых сумм для функций, заданных на сетке. ИАН, сер. матем.,
4 A940), 5—16.
[241 Об устойчивости в среднем решения краевых задач для уравнений гиперболиче-
" ского типа. ДАН, 32 A941), 383—3S5.
[25] К вопросу об устойчивости решения краевой задачи для уравнений в частных
производных гиперболического типа. ДАН, 32 A941), 459—462.
[26] Некоторые новые краевые задачи для уравнений в частных производных. ДАН,
32 A941), 463—466.
[27] Некоторые новые задачи теории уравнений п частных проидвойных гиперболиче-
гиперболического типа. Матем. сб., И E3), A942), 155—203.
[?8] О почти периодичности решений волнового уравнения, I. ДАН, 48 A945),
570—573.
[29] О почти периодичности решений волнового уравнения, II. ДАН, 48 A945),
646—648.
[30] О почти периодичности решения волнового уравнения, III. ДАН, 49 A945), 12—15.
[31] Уравнения математической физики. М.—Л., ГТТИ A947), 1—440.
Соколов Ю, Д.
[1] О новом случае интегрируемости в прямолинейной задаче трёх тел. ДАН,
46 A945), 99—102.
Солнцев Ю. К.
[1] О предельном поведении интегральных кривых одной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений. ИАН, сер. матем., 9 A945), 233—240.
Соловьёв П. В.
[1] Функции Грина параболических уравнений. ДАН, 24 A939), 107—109.
[2] О периодических решениях некоторых линейных уравнений четвёртого порядка.
ДАН, 25 A939), 729—732.
[3] Решение уравнений эллиптического и параболического типа для малых областей.
Матем. сб., 5 D7), A939), 473—486.
[4] Решение параболического уравнения с переменными коэффициентами. М.,Учён.
зап. ун-та, 15 A939), 81—94.
[5] Некоторые замечания о периодических решениях нелинейных уравнений гипербо-
гиперболического типа. ИАН, сер. матем. A939), 149—164.
Сретенский Л. Н.
[1] Об одной обратной задаче теории потенциала. ИАН, сер. матем. A938), 551—570;
Станкевич Б. В.
[1] Об одном линейном дифференциальном уравнении и о геометрическом истолкова-
истолковании некоторых его частных случаев. Пермь, Ж. физ.-матем. о-ва, 3 A926), 43—45.
Стеклов В. А.
[1] Основные задачи математической физики, I. Основные задачи математической фи-
физики для тел линейных размеров. Пгр., A922), IV+285.
[2] Основные задачи математической физики, II. Основные задачи математической
физики для тел трёх измерений. Пгр., A923), 11+ 185.
[3] Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
М—Л., Гос. изд. A927), XVI + 419.
Степанов В. В.
[1] Sur la resolution du probleme de Dirichlet a l'aidede l'integraledePoisson.Матем.
сб., 32 A925), 111—114.
[2] Sur le probleme de M. Levi-Civita concernant le mouvement moyen. Atti Acad.
naz. Lincei, 27 A933), 526—531.
[3] Качественные методы теории дифференциальных уравнений. Л., Труды второго
Всесоюзн. матем. съезда, т. I A936), 206—223.
[4] Sur une extension du theoreme ergodique. Сотр. Math., 3 A936), 239—253.
37 Математика в СССР за 30 лет

578 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[5] К определению вероятности устойчивости. ДАН, 18A938), 151—154.
[б] Курс дифференциальных уравнений. Изд. 4. М.—Л., ГТТИ A945), 1—406.
Степанов В. В. иТихонов А. Н.
[1] Ueberdie RSumeder fastperiodischen Funktionen. Матем. сб., 41 A934), 166—178.
Сурикова 3. Ф.
[1] Обшие линейные дифференциальные системы. ДАН, 1 A936), 153—158.
Тарабрин В. П.
[1] Новое доказательство теоремы существования и единственности решения системы
дифференциальных уравнений в частных производных. Саратов, Учён. зап. ун-та,
сер. физ.-матем., 1 A4): 2 A938), 123—134.
Темляков А. А.
[1] Sur la croissance des fonctions satisfaisant aux equations aux derivees partielles
lineaires et du second ordre. C. R. Acad. Sci., 200 A935), 799—801.
T и м а и А. Ф.
[1] О выражении общего интеграла одного дифференциального уравнения второго
порядка в частных производных. Днепропетровск, Научи, зап. ун-та, 21 A940),
103—112.
Тихонов А. Н.
[11 Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных. М., Бюлл. ун-та
(А), 1:9 A933).
[2] Ueber unendliche Systeme von Differentialgleichurigen. Матем. сб.,41 A934),
551—560.
[3] Математическая теория термопары. ДАН, 4 A935), 168—172.
[4] Theoremes d'unicite pour l'equation de la chaleur. Матем. сб., 42 A935), 199—216.
Тополянский Д. Б.
[1] До питания про дослщження параметра диференшального [Мвняння турбулент-
турбулентно! теорц. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A934), 63—68.
[2] Задача про кручення деяких цилшдричиих стержтв, шо мають iionepc4ni nepe-
pi3H з зовншшим швкруговим жолобком. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
3—4A935), 101—118.
Троицкий Н. Г.
[1] О динамических системах, определяемых всюду плотными в них множествами
рекуррентных движений. М., Учён. зап. ун-та, 15 A939), 73—80.
Туляков А.
[1] Eine Normalitatsbedingung fur Familien von Potentialfunktionen. Fund. Math.,
31 A933), 27—28.
Туманов СИ.
[1] Метод функций или так называемая «вторая метода» Ляпунова. М. .Труды воен,-
возд. акад., Зап. семии. по теории устойчивости движения, 2 A946).
[2] Противоречащий пример к формулировке 1934 г. теоремы Четаева о неустойчиво-
неустойчивости. М., Труды воен.-возд. акад., Зап. семин. по теории устойчивости движения,
2 A946).
Турчанинов А. С.
[1] О некоторых приложениях исчисления матриц к линейным дифференциальным
уравнениям. Одесса, Учён. зап. высш. шк., 1 A921), 41—48.
У р ы с о и П. С.
[1] Zur ersten Randwertaufgabe. der Potentialtheorie. Ein Fall der Unlosbarkeit. Math.
Z., 23 A925), 155—158.
Фёдоров Г. Ф.
[1] Проблема Фукса, Матем. сб., 11 E3), A942), 97—I2C».

БИБЛИОГРАФИЯ 579
Фещснко С. и Бреус К.
[1] До питания коливань балки шд впливом рухомого навантаження. Киев, Ж. ин-та
матем. АН УССР, 1 A936), 107—112.
Флорин В. А.
[1] О смешанной задаче Дирихле-Неймана. Л., Труды ин-та инж. пром. стсоиг.-
6 A938), 72—74. J ь
Фомин С. В,
[1] О конечных инвариантных мерах в динамических системах. Матем. сб., 12 E4).
A943), 99—108.
Ф р а н к л ь Ф. И.
[I] О илоскопараллельиых воздушных течениях через каналы при околозвуковых
скоростях. Матем. сб., 40 A933), 59—72.
[2] Вихревое движение и обтекание тел в плоскопараллельном течении сверхзвуковой
скорости. М.—Л., Реактивное движ-, Изд. АН A935), 82—94.
[3] Сверхзвуковые течения осевой симметрии. М., Изв. арт. акад. 6 A934), 91—112.
[4] К задаче внутренней баллистики. Техн. заметки ЦАГИ, 52.
[5] О задаче Коши для линейных и нелинейных уравнений в частных производных
второго порядка гиперболического типа. Матем. сб., 2 D4), A937), 793—814.
[6] Теория винта с конечным числом лопастей при больших поступательных и окруж-
окружных скоростях. Труды ЦАГИ, 540 A942).
J7] О задаче Коти для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа
с начальными данными на переходной линии. ИАН, сер. матем.,8 A944), 195—224.
[8] О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течении. ИАН„
сер. магем., 9 A945), 121—143.
[9] К теории сопел Лапаля. ИАН, сер. матем., 9 A945), 387—422.
[10] К теории уравненияy^!i + d--=0. ИАН, сер. матем., 10A946), 135—166.
[II] О влиянии ускорения на сопротивление при движении продолговатых тел вра-
вращения в газах. Прикл. матем. и мех., 10 A946), 521—524.
[12] Об одном семействе частных решений уравнений Дарбу-Трикоми и его примене-
применение к приближённому нахождению критического течения в заданном сопле Ла-
валя. ДАН, 56 A947), 683—686.
[131 Исследования по теории крыла бесконечного размаха, движущегося со скоростью
звука. ДАН, 57 A947), 661—664.
Франкль Ф. И. и Алексеева Р. Н.
[1] Две краевые задачи из теории гиперболических уравнений в частных производных
с приложением к сверхзвуковым газовым течениям. Матем. сб. 41 П934)
483—502. ' V
Халиков X. С.
[1] Об устойчивости «в большом» интегралов дифференциальных уравнений. Казань
Изв. физ.-матем. о:ва C), 9 A937). 31—59.
[2] Замечание об одной теореме устойчивости движения. Казань, Изв. физ -матем
о-ва C), 11 A938).
X а л и л о в 3. И.
[1] О некоторых вопросах теории краевых задач для линейного эллиптического диф-
дифференциального уравнения второго порядка. Баку, Изв. Азерб. фил. АН, 2 A945),
5—11.
[2] Общая краевая задача для системы обобщённых полигармонических уравнений
ДАН, 51 A946), 167—170.
[3] Об одном общем методе решения задач о собственных значениях теории колеба-
колебания двумерной упругой системы. Баку, Труды сект, матем. АН АзССР A946),
о—40.
[4] Краевые задачи для эллиптических уравнений. ИАН,. II A947), 345—362.
X а р а з о в Д. Ф.
[1] Общее представление решений эллиптических дифференциальных уравнений выше-
второго порядка в многосвязных областях. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР 2 П941)
799—805. v , \ ,,
37*

580 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Хве д е л и д з е Б. В.
II] О краевой задаче Пуанкаре теории логарифмического потенциала. ДАН, 30A941),
195—198.
[2] О краевой задаче Пуанкаре теории логарифмического потенциала для многосвяз-
многосвязных областей, I. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 571—578.
[31 О краевой задаче Пуанкаре теории логарифмического потенциала для многосвяз-
многосвязных областей, II. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 865—872.
;[4] Задача Пуанкаре для линейного дифференциального уравнения второго порядка
эллиптического типа. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 12 A943), 71—78.
X и л ь м и Г. Ф.
f 1] Sur la structured'ensembledesmouvements stabiles au sens dePoisson. Ann. of Math.
37 A936), 43—45.
}2] Sur les ensembles quasi-minimaux dans les systemes dynamiques. Ann. of. Math.,
37 A93G), 899—907.
13] Sur les centres d'attraction minimaux des systemes dynamiques. Сотр. Math.,
3 A936), 227—238.
4] Об одном свойстве минимальных множеств. ДАН, 14A937), 261—262.
5] О теории квазиминимальных множеств. ДАН, 15A937), 113—116.
6] О метрически неразложимых множествах движений. ДАН, 15 A937), 421—424.
7] Sur les mouvements des systemes dynamiques qui admettrent «rincompressibilite»
des domaines. Amer. J. Math., 59 A937), 803—808.
\8] О движении динамических систем, допускающих «несжимаемость» областей. М.,
Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем., 2 A938), 77—82.
[9] Об эргодической теореме. ДАН, 24 A939), 213—216.
Г10] Sur les theoremes de recurrence dans la dynamique generate. Amer. J. Math., 61 A939),
149—168.
111] Sur la recurrence ergodique dans les systemes dynamiques. Матем. сб., 7D9), A940),
101—110.
X и н ч и н А. Я.
{1] Ein Verscharfung der Poincareschen «Wiederkehrsatzes». Сотр. Math., 1 A932).
[2] Zur Birckhoffs Losung des Ergodenproblems. Math. Ann., 107 A932).
13] The methode of spectrale reduction in classical dynamics. Proc. of Mat. Acad.Wa-
schingt., 19 A933).
14] Математические основания статистической механики. М.—Л., ГТТИ A943).
15] Об эргодической проблеме квантовой механики. И АН, сер. матем., 7 A943),
167—184.
Христианович С. А.
'{1] Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, задан-
заданных на замкнутом контуре. Матем. сб., 1 D3), A936), 511—534.
\2] Задача Cauchy для нелинейных уравнений гиперболического типа. Матем. сб.,
2 D4), A937), 871—900.
4 ета ев Н. Г.
Об устойчивых траекториях динамики. Казань, Учён. зап. ун-та, 4 A931).
Одна теорема о неустойчивости. ДАН, 1 A934), 529—530.
Об одной мысли Пуанкаре. Казань, Труды авиац. ин-та, 2 A934), 18—20.
Об одной мысли Пуанкаре. Казань, Труды авиац. ин-та, 3 A935), 3—6.
5] Об устойчивых траекториях динамики. Казань, Труды авиац. ин-та, 5 A936).
О неустойчивости равновесия, когда силовая функция не есть максимум. Казанц,
Учён. зап. ун-та, 98:9 A938).
17] Об одной мысли Пуанкаре. Казань, Труды авиац. ин-та, 10 A940), 3—4.
[8] Об уравнениях Пуанкаре. Прикл. матем. и мех., 5 A941), 253.
19] Теорема о неустойчивости для правильных систем. Прикл. матем. и ми
8 A944), 323.
|10] Об одной задаче Коши. Прикл. матем. и мех., 9 A945).
[11] О наименьшем характеристическом числе. Прикл. матем. и мех., 9 A945), 193.
112] Устойчивость движения. М., ГТТИ A946).
:[ 13] К вопросу о вычислении частных решений для системы линейных дифференциал
ных уравнений с постоянными коэффициентами. Прикл. матем. и мех., 1ОA94в
291—294.

БИБЛИОГРАФИЯ 58 f
Шабат Б. В.
[1] Об обобщённых решениях одной системы уравнений в частных производных.
Матем. сб., 17 E9), A945), 193—210.
Шапиро 3. Я.
[1] Об эллиптических системах уравнений с частными производными. ДАН, 46 A945),
146—149.
Шаповалов В. П.
[1] Об интегрировании уравнения, определяющего вращательное движение артилле*-
рийского снаряда. Л., Труды Кораблестр. ин-та, 5 A940), 20—23.
Ш е р м а н Д. И.
[1] Об одном методе решения статистической задачи теории упругости о напряжениях
для плоских многосвязпых областей. ДАН, 1 A934), 376—379.
[21 К новому методу Н. И. Мусхелишвили в плоской задаче теории упругости. ДАН,
1 A936), 201—206.
|3] Некоторые замечания к задаче Дирихле. ДАН, 29 A940), 286—287.
[4] О приведении к интегральному уравнению плоской задачи теории потенциала.
ИАН, сер. матем., 9 A945), 357—362.
[5] О некоторых задачах теории установившихся колебаний. ИАН, сер. матем.,
9A945), 363—370.
[б] О некоторых задачах теории потенциала. Прикл. матем. и мех., 9 A945), 479—488.
[7] К общей задаче теории потенциала. ИАН, сер. матем., 10 A946), 121—134.
Шин Д.
[1] Теоремы колебания граничных проблем самосопряжённой дифференциальной-
системы четвёртого порядка. ДАН, 18 A938), 323—324.
[2] Теорема существования квазиднфференциального уравнения л-го порядка. ДАН,
18 A938), 515—518.
[3] О решениях самосопряжённого дифференциального уравнения м~^=1и, I A)ф0,
принадлежащих к Ls @, оо). ДАН, 18 A938), 519—522.
[4] О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве. ДАН,
18 A938), 523—526.
[5] О решениях системы квазидифференциальных уравнений. ДАН, 28 A940),
392—396.
[6] О решениях линейного квазидифференциального уравнения п-го порядка. Матем.
сб., 7 D9), A940), 479—532.
[7] О квизидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве. Матем. сб.,
13 E5), A943), 39—70.
Шиффнер Л. М.
[1] О линейном дифференциальном уравнении л-го порядка. Матем. сб., 42 A935),
547—558.
[2] Разложение интегралов системы дифференциальных уравнений с правильными
особыми точками в ряды по степеням элементов дифференциальных подстановок.
Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 9 A935), 235—266.
[3] Об интегрировании н конечном виде некоторых дифференциальных систем. ИАН,
сер. матем., 4 A940), 341—348.
[4] Ещё об интегрировании дифференциальных систем в конечном виде. ИАН, сер.
матем., 4 A940), 417—422.
Штаерман И. Я.
[1] Sur une transformation des equations de la theorie d'elasticity. Киев., Ж. ин-тг
матем. АН УССР, 3—4 A935), 35—40.
Ш т о к а л о И. 3.
[1] Обобщение основной формулы символического метода на случай линейных диф-
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. ДАН, 47A945), 9—10.
[2] Обобщение формулы Гивзайда на случай линейных дифференциальных уравне-
уравнений с переменными коэффициентами. ДАН, 51 A946), 335—336.
[3] Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных
уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Матем. сб., 19 F1), A946),
263—286.

582 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эльсгольц Л. Э.
[1] О критических множествах. М., Диссертация A946).
Яблоков В. А.
]1] Об особых решениях обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка. Казань, Учён. зап. ун-та, 2 A929), 202—206.
J2] Об особых решениях дифференциальных уравнений в частных производных пер-
первого порядка. Казань, Учён. зап. ун-та, матем., 4:1A932), 31—36.
53] Интегрирование дифференциальных уравнений методом контактных преобразо-
преобразований. Казань, Учён. зап. ун-та, 100 : 5 A940), 3—30.
Я н ч е в с к и й С. А.
Jl] Oscillati6n theorems for the differential boundary value problems of the fourth,
order. Ann. of Math., 29 A927—1928), 521—542.
\2\ Oscillation theorems for the differential boundary value problems of the fourth order.
Ann. of Math., 31 A930), 663—680.
13] О нерегулярных колебательных свойствах собственных функций для дифферен-
дифференциальных уравнений четвёртого порядка. ДАН, 1 A935), 89—92.

функциональный
АНАЛИЗ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
В. В. СТЕПАНОВ и Л. Э. ЭЛЬСГОЛЬЦ.
§ 1. Общие вопросы E85). §2. Качественные методы в вариационных
задачах E87).
§ 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ.
начале рассматриваемого периода вариационное исчисле-
исчисление было представлено у нас талантливым грузинским
математиком А. М. Размадзе (умер в 1929 г.). Его
исследования примыкали к классическому направлению
Вейерштрасса-Каратеодори. (См. о них в сборнике «Ма-
«Математика в СССР за пятнадцать лет», стр. 115—116.)
В 1934 г. появился посмертный его мемуар [6], в кото-
котором подробно излагается теория разрывных решений ва-
вариационного исчисления.
Из дальнейших работ в направлении вейерштрассовой теории следует
отметить исследования К. С. Е р м и л и н а [1, 2, 3]. Он ставит задачу
о сильном экстремуме интеграла
где
Vx'4-У*
причём функция /(х, у; ft) допускает разрыв по третьему аргументу:
f(x, у; -0)Ф1(х,у; +0).
Допускаются экстремали, содержащие отрезки прямых pip', парал-
параллельные оси х. Такие же линии допускаются и в качестве кривых
сравнения. Выводятся необходимые условия, связывающие значения коор-
координат и углы наклона дуг экстремалей в точках р°, р\, аналогичные
условиям Эрдманна. Путём построения поля экстремалей доказывается
существование сильного экстремума при выполнении условия, соответ-
соответствующего условию Якоби, и положительности построенной для рассма-
рассматриваемого случая функции Вейерштрасса.
Далее можно указать на работы И. М. Рапопорта [1,2], отно-
относящиеся к формальной теории—обратной задаче вариационного исчисле-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ния. Автор даёт необходимые и достаточные условия существования функ-
функции z(x, у, уп, у[, ..., у'п), удовлетворяющей уравнениям
¦ % - /х zv'. = fi (х> У, ¦¦-, Уп,у[, ¦¦-, У'„),
где /,- — заданные функции. При выполнении этих условий z находится
квадратурами. Для п — 1 эта задача была решена Дарбу.
Следующим этапом в развитии вариационного исчисления в Совет-
Советском Союзе явились прямые методы вариационного исчисления, ведущие
у нас своё начало от Л. А. Л ю с т е р н и к а A926 г.). Несколько позд-
позднее к этим методам пришёл Курант и его школа (Гёттинген), но приори-
приоритет принадлежит Л. А. Люстернику. Для задачи Дирихле полу-
получены сильные результаты Л. А. Люстерником и И. Г. Пет-
Петровским. И. Г. Петровский доказывает, что последователь-
последовательные приближения сходятся к граничной заданной функции во всех точках,
удовлетворяющих критерию Перрона.
В продолжение прежних исследований Л. А. Люстерника
в 1934 г. появилась заметка Л. А. Люстерника и И. Г. Петров-
ь
с к ого [1], где вторая вариация интеграла \ /(х, у, y')dx рассматри-
а
вается как предел квадратичной формы Дх • А, которая определяется
/1—1
следующим образом. Пусть S (у) = 2 / (*,-, У;, Pi), где х,- = а -\- i Ax,
t—U
&х = ——, р,= -'*Г-^- Решения системы уравнений — = 0, / = 1,2,..., п,
обозначаются у1; у2, ..., уп. Тогда, если обозначить 5уг = У; — yt, форма А
определяется равенством
Если решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль при х=а, не имеет
других нулей в интервале (а, Ь), доказывается, что
(>
ПтДхЛ= [ (Рьу2 + 2 Qoy by' 4 Roy'2) dx.
a
Если интервал (a, b) содержит / нулей решения уравнения Якоби, то ука-
указанный предел представляется как сумма / +1 интегралов от неотрица-
неотрицательных функций и / отрицательных слагаемых.
Другой прямой метод разработан в работах Н. М. Крылова и
Н. Н. Боголюбова. В частности, они дали теоретическое обосно-
обоснование метода Ритца. Эти работы, так же как работы в теоретико-мно-
теоретико-множественном направлении вариационного исчисления, охарактеризованы
в сборнике «Математика в СССР за пятнадцать лет», стр. 122—136.
Рассмотрению задачи об условных экстремумах с общей точки зрения
функционального анализа посвящена статья Л. А. Люстерника [7].
С этой точки зрения задача об экстремуме функционала принципиально
пе отличается от задачи нахождения экстремума функции, 'разница

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 587
только в области определения функции и соответственно функционала.
Л. А. Люстерник делает дальнейший шаг, сближающий, с одной
стороны, условные экстремумы функции, а с другой—изопериметрические
задачи и задачи на условные экстремумы вариационного исчисления.
Общая задача ставится так: даны два линейных пространства А и В
(В—полное пространство) и дан оператор b (а), отображающий А в В;
оператор b имеет дифференциал в смысле Фреше. Ищется экстремум функ-
функционала / (а) при условии b (а) = 0. Точка а?А называется регулярной,
если дифференциал db(h), /?€ А отображает пространство А на всё про-
пространство В; в регулярной точке вводится понятие касательной плоско-
плоскости Fa к многообразию b (a) = 0 в точке а; если расстояние от точки каса-
касательной плоскости Fa до многообразия b (а) = 0 есть бесконечно малая
высшего порядка относительно расстояния до точки а, то точка назы-
называется абсолютно регулярной.
Решение задачи об относительном экстремуме сводится к нахожде-
нахождению точек соприкосновения многообразия Ь(а) = О с поверхностями
/ (а) = const. Необходимое условие экстремума функционала / (а) в абсо-
абсолютно регулярной точке а есть существование такого линейного функ-
функционала I в пространстве В, что функция Н (а) - / (а) -|-1 [b (а)] обла-
обладает дифференциалом, тождественно обращающимся в нуль в точке а.
Отсюда получаются классические правила множителей Эйлера
и Лагранжа.
§ 2. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ.
Начиная с 1927 г. в СССР получили большое развитие топологические
методы исследования вариационных задач. Как известно, многие свойства
функций и функционалов зависят от топологической структуры простран-
пространства, на котором они определены. В частности, число критических точек,
т. е. точек, в которых дифференциал функции равен нулю, а также число
решений вариационных задач существенно зависят от свойств простран-
пространства, на котором функция или функционал заданы. Например, на сфере
легко определить трижды дифференцируемую функцию, имеющую лишь
цве критические точки—точку максимума и точку минимума, но функ-
функции, заданные на торе или на проективной плоскости, имеют по крайней
мере три критические точки.
Прежде чем поставить вопрос об оценке числа решений вариационной
задачи, естественно решить тот же вопрос для конечномерного случая,
т. е. оценить число критических точек функции.
Вопрос об оценке числа критических точек может быть поставлен
различно. Можно оценивать число геометрически различных критических
точек, можно, приписывая критическим точкам некоторую кратность,
оценивать сумму кратностей критических точек, оценивать, так сказать,
число аналитически различных критических точек.
Понятие кратности критической точки было введено американским
математиком Морсом. Последний представлял приращение трижды диффе-
дифференцируемой функции, заданной на многообразии в окрестности крити-
критической точки, в виде
I, ;>- 1

588 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
где х,-— локальные координаты, a R содержит члены порядка выше второго
относительно
Если гессиан T--L-
отличен от нуля, то критическая точка назы-
называется невырожденной. В её окрестности можно преобразованием локаль-
п
ных координат привести квадратичную форму "V -—~- Дх,-Дх;- к кано-
ническому виду, содержащему лишь квадраты приращений новых
координат, из которых к имеют отрицательные коэффициенты и п — к
положительные. Число к Морс называет типом критической точки.
Точка минимума, например, имеет тип 0, точка максимума тип п. Если же
гессиан в критической точке исчезает, то точка называется вырожденной
и ей приписывается некоторая кратность. Работы Морса были посвя-
посвящены оценке числа аналитически различных критических точек и после-
последующему переносу этих результатов на функциональный случай.
У нас, в СССР, работа велась в основном в ином направлении,
в направлении оценки числа геометрически различных критических точек
и геометрически различных решений вариационных задач.
Первые и основополагающие результаты в этой области были полу-
получены Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом [4].
С помощью введённого ими топологического инварианта категории им
удалось оценить снизу число геометрически различных критических
точек функций, заданных на многообразиях. Категорией замкнутого
множества А относительно содержащего это множество пространства М
называется минимальное число замкнутых множеств, в сумме покрываю-
покрывающих А, каждое из которых сводимо к точке с помощью непрерывной
деформации в М. Оказалось, что категория многообразия М относи-
относительно М не меньше числа геометрически различных критических точек
дважды непрерывно дифференцируемых функций, заданных на М, причём,
если число различных значений функции, принимаемых в критических
точках, так называемых критических значений, меньше категории, то
по крайней мере одному из этих значений соответствует континуум
критических точек. Так как вычисление категории представляет значи-
значительные трудности, то были введены новые топологические инварианты—
комбинаторная категория и ранг, которые снизу оценивают категорию
и в некоторых случаях вычисляются легче. Обнаружив, наряду с неко-
некоторыми другими свойствами категории, что категория замкнутого мно-
множества относительно многообразия М не больше размерности этого
множества +1, Л. А. Люстернику и Л. Г. ШнирельманУ
удалось оценить, а в некоторых случаях и вычислить категории многих
пространств. Так, например, они показали, что категория п-мерного
проективного пространства и категория л-мерного тора относительно
этих же пространств равны п + 1.
Перенося понятие категории и основные результаты на функцио-
функциональный случай, Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирельман
получили возможность оценивать число решений вариационных задач
и, в частности, решить известную проблему о трёх геодезических. Они
показали, что на всякой трижды дифференцируемой топологически экви-
эквивалентной сфере поверхности S существуют по крайней мере три замкну-

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 589
тые самонепересекающиеся геодезические различной длины. Если же длины
двух из этих геодезических совпадают, то появляется континуум замкну-
замкнутых самонепересекающихся геодезических равной длины, покрывающий
поверхность S, т. е. через каждую точку поверхности проходит по край-
крайней мере одна такая геодезическая (этот случай реализуется, например,
на эллипсоиде вращения); если же длцны всех трёх упомянутых выше
геодезических совпадают, то появляется континуум замкнутых само-
самонепересекающихся геодезических равной длины, дважды покрывающий
поверхность S, т. е. через каждые две точки поверхности, проходит
по крайней мере одна такая геодезическая (этот случай реализуется
на сфере).
В процессе решения проблемы о трёх геодезических Л. А. Л ю с т е р-
ник [5] ввёл весьма плодотворное понятие базиса гомотопий некоторого
множества линий на данном многообразии, т. е. таких простейших семейств
линий, к которым непрерывной деформацией можно свести всё рассма-
рассматриваемое множество линий. Оказалось, что базисом гомотопий всякого
компактного семейства самонепересекающихся замкнутых линий ограни-
ограниченной длины на сфере является семейство окружностей. Этот глубокий ре-
результат был дополнен вычислением базисов гомотопий таких же множеств
кривых на любых двумерных двухсторонних поверхностях*).
В последующие годы идеи Л. А. Л ю с т е р н и к а и Л. Г. Ш н и-
рельмана получили развитие в работах: И. И. Гордона,
С. В. Фролова, Л. Э. Э л ь с г о л ь ц а, Г. С. Чогошвили и
других авторов. В 1935 г. И. И. Гордон доказал []], что на каждом
замкнутом п-мерном многообразии можно задать функцию, имеющую лишь
л+1 критическую точку. В том же году С. В. Ф р о л о в и Л. Э. Э л ь с-
тольцв совместной работе [1 ] ввели новый топологический инвариант—
длину множества по отношению к некоторому многообразию, который
оценивает снизу категорию и является весьма удобным для вычисления
инвариантом, связанным с кольцом пересечений.
Длиной цикла Z относительно содержащего его многообразия М
называется максимальное число циклов Z,- многообразия М таких, что
пересечение Z • Zx • Z2.. .Ze не гомологично нулю mod 2 в М, причём все
7Ч отличны от М. Длиной замкнутого множества называется максималь-
максимальная длина содержащихся в нём циклов. В 1939 г. Л. Э. Э л ь с г о л ь ц [3]
изучал свойства длины, среди которых отметим следующие: —длина то-
топологического произведения многообразий равна сумме длин множителей;
длина многообразия не меньше его ранга и не больше его комбинаторной ка-
категории — 1; даны были также некоторые аддиционные теоремы для
длины.
Статья Л. Э. Эльсгольца [1] посвящена целому ряду новых
изотопических инвариантов, оценивающих число критических точек.
Среди этих инвариантов следует отметить число элементов множества
по отношению к некоторому многообразию. Числом элементов замкнутого
множества А по отношению к некоторому содержащему множество А
многообразию М называется минимальное число замкнутых элементов
из М, в сумме которых содержится А. Число геометрически различных
критических точек дважды непрерывно дифференцируемой функции,
заданной на многообразии, не меньше числа элементов многообразия
*) Подробнее о результатах Л. А. Люстер пика и Л. Г. Ш н и р с л ь-
м а н а, полученных до 1932 г. см. статью Л. Г. Ш и и р е л ь м а н а [2].

590 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
относительно того же многообразия. Очевидно, что категория меньше или
равна числу элементов. Можно ещё улучшить, по крайней мере формаль-
формально, оценку числа критических точек, наделяя элементы, на сумму кото-
которых мы разбиваем многообразие, ещё некоторыми дополнительными свой-
свойствами, например, требуя некоторой простоты от их пересечения; так
возникает понятие числа элементов с регулярным примыканием.
В 1938—1939 гг. Г. С. Чогошвили [1] и Л. Э. Э л ь с г о л ьц
[2] независимо друг от друга проводят исследование изменения чисел Бет-
Бетти mod 2 поверхностей уровня дважды непрерывно дифференцируемых
функций, заданных на многообразиях. Г. С. Ч о г о ш в и л и установил,
что при прохождении поверхности уровня через невырожденную критиче-
критическую точку типа к в классификации Морса или к- и (п—к—\)-мерные числа
Бетти mod 2 поверхностей уровня увеличиваются на единицу, или к — \
и (п — к)-мерные числа Бетти mod 2 убывают на единицу (при п = 2к воз-
возможен ещё один исключительный случай). Л. Э. Эльсгольц иным
методом получает те же результаты, а также устанавливает, при каких
условиях наступает каждая из упомянутых возможностей.
В 1939 г. Г. С. Ч о г о ш в и л и [2] изучает изменение чисел Бетти
mod 2 области меньших значений (т. е. множества точек (J < х), в которых
значения функций не больше некоторого числа х) и поверхностей уровня
функций, заданных на ограниченных многообразиях. В 1939—1940 гг.
Л. Э. Эльсгольц [4] обобщает методы оценки числа критиче-
критических точек на случай функций, заданных на некоторых классах прос-
пространств, не являющихся многообразиями. Примерно в то же время
Г. С. Чогошвили [2J и Л. Э. Э л ь с г о л ь ц [5] различными
методами исследуют изменение инвариантов типа категории поверхностей
уровня. Г. С. Чогошвили рассматривает случай прохождения по-
поверхности уровня через изолированную невырожденную критическую
точку. Л. Э. Эльсгольц допускает наличие как вырожденных изо-
изолированных критических точек, так и целых критических множеств.
В 1939 г. Л. А. Л юс терн и к доказывает [II] существование
бесконечного множества собственных значений для некоторых классов
нелинейных операторных уравнений. Эти результаты являются развитием
идей, использованных Л. А. Люстерником [4] ещё в 1930 г. для
построения теории собственных значений форм чётных степеней.
Позднее В. И. Соболев [1] и Э. С. Цитланадзе [I] несколь-
несколько обобщили и дополнили результат Л. А. Л ю с т е р н и к а. Оказа-
Оказалось, что для каждого вполне непрерывного симметрического нечётного
однородного позитивного *) оператора, определённого в гильбертовом про-
странстве, существует последовательность положительных, стремящихся
к нулю собственных значений: )ч > л, > ... > кп> •.., причём если Х„ = Хп+Р,
то этому кратному собственному значению соответствует р-мерная
система собственных элементов.
1941—1943 гг. ознаменовались новыми крупными успехами в рас-
рассматриваемой области. Л. А. Люстерник [13, 14, 15, 17, 18,
19, 21] с помощью созданной А. Н. Колмогоровым и Алексан-
дером теории верхних гомологии определяет основные понятия теории
пересечений и понятие длины множества в бесконечномерных про-
пространствах. В то время как в конечномерном случае группы гомо-
*) Позитивность оператора означает положительность некоторого соответ
ствующего ему функционала.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 591
логий верхних циклов (V-циклов) могут быть выражены через группы
гомологии нижних циклов (Д-циклов), в бесконечномерных пространст-
пространствах группы верхних гомологии дают существенно новые инварианты,
позволяющие изучать, так сказать, (оо — ?)-мерные циклы пространства,
выделяемые из всего бесконечномерного пространства к независимыми
уравнениями. На необходимость изучения таких (оо — /с)-мерных циклов
Л. А. Люстерник указывал ещё задолго до создания теории верх-
верхних гомологии, но лишь теория V-гомологий дала Л. А. Л юс терни-
к у в руки требуемый для этой цели аппарат.
Длиной некоторого Д-цикла Z Л. А, Люстерник называет
максимальное число V-циклов Х1,Х2,...,Х1 таких, что пересечение
(Х1 х Х„ х -.. х X/) х Z <-f> 0. С помощью доказанной П. С. Алексан-
Александровым*) для бикомпактных пространств теоремы «о снятии цикла»,
являющейся обобщением одноимённой теоремы, установленной Л. С. П о н-
трягиным [I] ранее для многообразий, Л. А. Люстерник
доказывает, что длина + 1 оценивает снизу категорию и тем самым
оценивает снизу и число решений вариационных задач. Вычислив длину
пространства кривых с общими концами на поверхностях, гомеоморф-
гомеоморфных сфере, Л. А. Люстерник проще получил и даже усилил резуль-
результат Морса о существовании бесконечного числа геодезических дуг, про-
проходящих через две заданные точки на поверхностях, гомеоморфных сфере.
Оценка длины пространства замкнутых самонепересекающихся кри-
кривых на поверхностях, гомеоморфных «-мерным сферам, дала возможность
Л. А. Люстернику проще доказать его прежний результат о суще-
существовании трёх замкнутых самонепересекающихся геодезических на по-
поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере, и доказать существование
л-j-l замкнутых самонепересекающихся геодезических различной длины
на многообразиях, гомеоморфных «-мерной сфере, слияние длин которых
приводит к появлению континуума геодезических равной длины.
Последующие исследования Л. С. Понтрягина позволили
при « = 2Й усилить последний результат и доказать существование в этом
случае 2л — I таких замкнутых самонепересекающихся геодезических.
В 1942 г. Л. С. Понтрягин опубликовал статью [3] о характеристи-
характеристических циклах, в которой, в частности, доказал, что множество критиче-
критических точек систем функций /:, /2,..., /*, заданных на «-мерном многооб-
многообразии, т. е. точек, в которых ранг матрицы ' Ч, где х/ — локальные
координаты, меньше min (к, л), является носителем некоторого харак-
характеристического цикла.
В 1943 г. Е. Д. Б а р б а ш и н [1] дал новое определение категории
при помощи покрытий, из которого следуют многие ранее известные свой-
свойства категории и некоторые новые.
В 1946 г. Д. П. Г р о с с м а н [1] получил оценку для категории
л-мерного связного полиэдра, у которого все группы гомотопии до ^-мер-
^-мерной включительно тривиальны, а именно: категория такого полиэдра отно-
относительно самого себя не превосходит Г ~-г 1 +1 •
К тому же году относится статья Л. Э. Э л ь с г о л ь ц а [б] об
изменении фундаментальной группы области меньших значений (/<х)
функций, заданной на многообразии. Оказалось, что при прохождении
*) ИАН, сер. матем., 6 A942), 227—282.

592 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
х через невырожденную критическую точку типа к в классификации Морса
при к > 2 фундаментальная группа F области меньших значений не изме-
изменяется; при к = 2 F приобретает новое соотношение, при к — 1 в F появ-
появляется новая образующая или две компоненты области (/<х) объединя-
объединяются в одну, фундаментальная группа которой изоморфна свободному
лроизведению фундаментальных групп объединившихся компонент; при
к=О появляется новая компонента с тривиальной фундаментальной груп-
группой. Эти результаты позволяют в комбинации с результатами Морса в
некоторых случаях уточнять прежние оценки числа аналитически раз-
различных критических точек. Например, можно утверждать, что на сфере
Пуанкаре каждая дважды непрерывно дифференцируемая функция с не-
невырожденными критическими точками имеет по крайней мере шесть кри-
критических точек.
Работа в области топологических методов в вариационных задачах
в настоящее время интенсивно продолжается. Известен уже ряд результа-
результатов, касающийся свойств инвариантов типа категории; получены новые
результаты, касающиеся изменения групп Бетти области меньших значе-
значений и поверхностей уровня; изучено изменение фундаментальной группы
ловерхностей уровня; дана оценка числа критических точек при отображе-
отображении многообразия на окружность; указаны точные нижние границы числа
как геометрически, так и аналитически различных критических точек;
выяснены некоторые свойства критических множеств систем функций;
методы оценки числа критических точек приложены к оценке числа осо-
особых точек динамических систем. Однако мы не можем остановиться на
всех этих результатах, так как они ещё не опубликованы.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
В. И. СМИРНОВ.
еория интегральных уравнений и её приложения сра-
сравнительно долгое время не привлекали внимания матема-
математиков нашей страны. Крупные математические школы Пе-
Петербурга, Москвы, Харькова, Киева в период времени до
1917 г. не интересовались общей теорией интегральных
уравнений. Замечательные работы А. М. Ляпунова о фигу-
фигурах равновесия вращающейся жидкости содержали исклю-
исключительное по силе анализа применение метода последова-
последовательных приближений лишь к частному случаю нелинейного интеграль-
интегрального уравнения. Основным в них было исследование разветвления реше-
решений. Получаемые при применении метода последовательных прибли-
приближений линейные интегральные уравнения рассматривались А. М. Ля-
Ляпуновым независимо от общей теории.
С начала двадцатых годов стали появляться отдельные работы, отно-
относящиеся к конкретным вопросам теории интегральных уравнений, и только
за последние десять—пятнадцать лет в Советском Союзе сформировались
крупные исследовательские направления в области теории интегральных
уравнений и их приложений. Мы будем говорить лишь о теории инте-
интегральных уравнений. Вопросы приложений должны быть включены в
статьи, посвященные тем разделам науки, в которых применяются инте-
интегральные уравнения. Вопросы приближённого решения интегральных
уравнений войдут в статью Л. В. К ант о ро в и ча и В. И. Крылова,
помещённую в этом сборнике.
1. Наиболее крупным циклом работ по интегральным уравнениям
в Советском Союзе является цикл работ по теории сингулярных интеграль-
интегральных уравнений, содержащих неизвестную функцию под знаком интегра-
интеграла, понимаемого в смысле главного значения по Коши. Основы теории
таких сингулярных интегральных уравнений были заложены Гильбертом
и Пуанкаре в начале XX в. Существенным моментом в развитии теории
было появление работ Ф. Нётера и Карлемана A921—1922 гг.). Даль-
Дальнейшее развитие теории определялось, главным образом, работами совет-
советских математиков. Сюда относятся работы Н. И. Мусхелишвили,
И. Н. В е к у а и других математиков Тбилиси, а также работы С. Г. М и х-
лина, Ф. Д. ГаховаиН. И. Ахиезера. Обилие материала не
даёт возможности сколько-нибудь полно изложить результаты этих работ.
38 Математика в СССР за 30 лет

594 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
В отличие от обычных уравнений Фредгольма свойства сингулярных
уравнений указанного типа различны в зависимости от того, будет ли число
независимых переменных больше или равно единице. Исчерпывающее
изложение теории в случае одного переменного и в предположении, что
функции удовлетворяют условию Липшица, дано в прекрасной книге
Н. И. Мусхелишвили [5]. Рассматриваемые уравнения имеют вид
»- a (t.) ? (t.) + -'- \к ('»/_*>у @ dt=/ (g. (i>
Пока будем считать, что L состоит из одного или нескольких гладких
замкнутых контуров плоскости комплексного переменного t. Точки t и f,.
лежат на L, A(t0), K(t0, t) и f(t0) — заданные функции, <р@ — искомая и
/С<р —символ оператора, стоящего в левой части уравнения. Сопряжённый
оператор определяется так:
±^Щ№®<1и B)
Пусть В @ = К (f, t), S (t) = A (t) + B{t) и D (Q = A {t) ~B{t). Счи-
Считается, 4toS@ и D(t) на L в нуль не обращаются. Существенное зна-
значение имеет так называемый индекс т оператора К, равный приращенин>
функции _—:lg ( p- J при обходе L в положительном направлении. Как до-
доказал Ф. Нётер для случая одного замкнутого контура, разность между
числом линейно независимых решений уравнений К?=0 и /('6 = 0 равна т.
Сначала рассматривается характеристическое уравнение
= а (д 9 &)+^ \ Щ <tt=f (/„). C)
Его решение приводится к задаче Гильберта о нахождении функции Ф(/)г
регулярной вне и внутри L, при заданном линейном соотношении между её
предельными значениями Ф+(*) и Ф~(/) на L с одной и с другой стороны.
Впервые эта задача Гильберта была решена Ф. Д. Г а х о в ы м. Таким путём
уравнение C) решается в конечном виде(при помощи интегралов).Решением
этого уравнения занимались С. Г. М и х л и н (при т = 0), И. Н. В екуа
и Б. В. Хведелидзе. Окончательные формулы были даны И. Н. В е*
к у а в случае одного контура и Б. В. Хведелидзе для нескольких
замкнутых контуров. Общее уравнение A) может быть записано в вид&:
A (t0) ? (f.) + ^ Г ^ dt = / (*.) -1 J A (f„ О Т @
где
t-u
Применение к уравнению D) результатов, полученных для уравне
C), сводит уравнение D) к обычному уравнению Фредгольма (с дополн
тельными условиями при т < 0). Этот путь, идея которого восходит к K

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 595
леману, был использован И. Н. В е к у а для доказательства основных
теорем, установленных иным путём Ф. Нётером для случая интегриро-
интегрирования по одному замкнутому контуру. Одну из этих теорем мы привели
выше, а вторая даёт обычные условия разрешимости уравнения A)—орто-
гоналыюсть f(t0) но всем решениям уравнения К'$ = 0. И. Н. В е к у а
использовал указанный метод и для исследования зависимости решения
уравнения D) от параметра л, входящего множителем к интегралу, содер-
содержащему ядро к (х„, х). Этот же метод был использован в работе
Н. И. Мусхелишвили и Д. А. Квеселава при рассмотрении более
сложного случая, когда L состоит из разомкнутых контуров, о чём мы будем
говорить ниже.В работах И. Н. В е к у а, В. Д. К у п р а д з е и С. Г. М и х-
л и и а был рассмотрен общий вопрос о приведении уравнения A) к обыч-
обычному уравнению Фредгольма, эквивалентному, в некотором смысле, урав-
уравнению A).
В работе Н. И. Мусхелишвили и Д. А. Квеселава [1]
рассмотрен, как мы упомянули выше, случай, когда L состоит из конеч-
конечного числа разомкнутых дуг LUL2, ...,Ln. Предварительно было про-
проведено исследование свойств интеграла тина Коши вблизи конца дуги,
по которой производится интегрирование. Пусть сг, с„, ...,cin — концы
указанных выше дуг, занумерованные в любом порядке. В рассматрива-
рассматриваемом случае функция
о@ 1*
однозначна па L. Построим функцию
голоморфную вне L. Вблизи ск (к = 1, 2, ..., 2п) <[> (г) имеет вид
$ (г) = («* + ifa) lg {г- ск) + <]>* (г),
где
(—, если ск— начало, и+, если ск- конец дуги), и 6 (z) имеет конечный
предел при z—>cu- Те концы, в которых <хк — целые, называются особенны-
особенными, а остальные неособенными. Пусть с1>с„,..., ст — все неособенные концы.
Задача ставится следующим образом: ищутся все решения уравнения A)
в классе /г(сг, с2,..., cq) функций, которые остаются ограниченными вблизи
неособенных концов си с2, ..., cq. Вообще, функция 9 @ должна удовле-
удовлетворять условию Липшица на замкнутых дугах, не содержащих концов Lk,
а вблизи концов иметь вид —?±14-, где?^/) удовлетворяет условию Лип-
шица и 0< а < 1. Введём целые числа кк следующим образом: 1)ак-г кк = О
в особых концах; 2) 0 < <х.к + х* < 1 при к = 1, 2, ..., q; 3) — 1 < лк + ~кк < О
на остальных неособых концах.Число т = —k1~k2—... — \in называется
индексом класса h(cl7 c2, ..., cq). Путём подробного анализа задачи авторы
доказывают, между прочим, следующие две основные теоремы, аналогич-
аналогичные упомянутым выше теоремам для замкнутого контура: 1) Необходимые
и достаточные условия разрешимости уравнения К? = / в классе
38*

596 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
h (cx, c2,..., cq) заключаются в том, чтобы J/^;- dt = О (/ = 1, 2,..., k'), где
4>/, (/ = 1,2,..-, k') — полная система линейно независимых решений урав-
уравнения К'$ = О в классе h (cg+1, .... ст). 2) Если к — число линейно незави-
независимых решений уравнения К? = О в классе h (с1у с2, ..., ся) и к' — то же самое
для уравнения К'ф *= О в классе h (свм, ..., ст), mok — k'=m, гдет — индекс
класса h(cx, с2,..., cq). Метод, который используется авторами, по идее тот
же, который мы описали выше для замкнутых контуров.
В работе Д. А. Квеселава [1] указанный выше метод переносит-
переносится на случай замкнутого контура при разрывности данных задачи. В этой
же работе даётся и другой метод исследования того же вопроса. Весьма
важная работа Н. И. М у с х е л и ш в и л и и Н. П. В е к у а [1]
посвящена системам сингулярных интегральных уравнений. Задача Гиль-
Гильберта при этом не решается в конечном виде, и вопрос об индексе значи-
значительно осложняется. Системам посвящены и другие работы математиков
Тбилиси.Упомянем ещё о работах Л. Г. Магнарадзе о сингулярных
интегро-дифференциальных уравнениях.
2. Н. И. А х и е з е р [3] исследовал уравнения вида
E)
где L—ограниченное множество точек вещественной оси, состоящее
из конечного или бесконечного числа открытых промежутков. Отно-
Относительно р (t), определённой и суммируемой на L, предполагается сле-
следующее: 1) p(f)>0; 2) почти везде на L
где (а > 0, рк > 0, afc§L и число точек <хк конечно в каждом интервале,
дополнительном к L. Устанавливается, что теми же свойствами обла-
обладает и q{t) = —jfr, если только qr{t) суммируема на L при некотором
г> 1. Это условие будем считать выполненным. Таким образом почти
везде на L
Примем ещё, что верхняя и нижняя грани L не совпадают ни с одной
из точек ак, $к, и что pr(t) — суммируема. Введём в рассмотрение гиль-
гильбертовы пространства Ьг(р) и Ll{q) функций, квадраты которых сум-
суммируемы на L с весами p(t) и q(t). Далее, через И{р) обозначив
подпространство Li(p), ортогональное ко всем функциям (t — Pa) и,;
кроме того, к единице, если v>0. Аналогично определяется Я (q).
Доказывается, что оператор, стоящий в левой части уравнения E),<
определён везде в L2(/?), и его область значений принадлежит Li(q)J
Он взаимно однозначно и изометрично отображает Н(р) на H{q),$
решение уравнения E) определяется формулой

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 597
3. Многомерные сингулярные интегралы определяются аналогично
одномерным. Возьмём интеграл вида
KK,---,K-'.,^)d-^-, (б)
где Е — m-мерное евклидово пространство, г, 61( ..., 6т_2, <? — сфериче-
сферические координаты точки Л^ относительно полюса Мо. Положим пока,
что функция U(M1) удовлетворяет условию Липшица в любой конечной
части пространства и что на бесконечности U(M1) = O(p~m), где р —
расстояние от точки Мг до начала координат. Как это доказал Ж. Жиро,
для существования интеграла F) необходимо и достаточно, чтобы инте-
интеграл от f(MQ; 0lt ..., 0m_2, ©) по поверхности гиперсферы с центром в Ма
равнялся нулю. Это условие в дальнейшем считаем выполненным.
Правило композиции двойных сингулярных интегралов было впервые
получено Трикоми. В иной форме и из других соображений оно было
получено С. Г. М и х л и н ы м [4, 5, 7], результаты которого мы изложим.
Пусть имеется оператор
A(U) = a (Mo \\ г
" E J
rCM1)cfc2. G)
E
Функцию f(M0; cp) разложим в комплексный ряд Фурье:
Оператору G) приведём в соответствие функцию точки и действитель-
действительного параметра к
Л(Мо, >0 = а(Мо) + 2^ *» + 2 (~1)\a-*Wв".
которую назовём символом оператора G). Правило композиции сингуляр-
сингулярных двойных интегралов можно сформулировать тогда следующим
образом:
Результат композиции двух сингулярных операторов есть сумма, одно
слагаемое которой есть абсолютно сходящийся интеграл, а другое —сингу-
—сингулярный оператор, символ которого равен произведению символов данных
операторов. Рассмотрим теперь сингулярное уравнение
A{U) = F(M) (8)
и поставим задачу: найти такой сингулярный оператор В, чтобы в операто-
операторе В А отсутствовал сингулярный интеграл, а коэффициент при U(MU), был
равен единице.
Доказывается, что эта задача регуляризации имеет решение тогда
и только тогда, когда символ оператора везде отличен от нуля.

598 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Символ оператора В находится чрезвычайно просто:
По символу оператор восстанавливается с точностью до абсолютно сходя-
сходящегося интеграла. Применяя оператор В к обеим частям уравнения
(8), мы сведём его к уравнению Фредгольма
ВА (U) = BF, (9)
которому удовлетворяют все решения уравнения (8). Обратное, вообще
говоря, неверно: уравнение (9) может иметь «лишние» решения.
Правило композиции и понятие символа были обобщены Жиро
на случай пространства любого числа измерений. Следующим шагом
в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений было рас-
распространение операции сингулярного интегрирования на гильбертово
пространство функции, квадраты которых суммируемы в Е. Из правила
композиции следует, что двойной сингулярный интеграл можно пред-
представить в виде ряда по положительным и отрицательным степеням опера-
оператора, символ которого равен eiX. Как показано С. Г. Михлиным,
этот оператор —унитарный в указанном гильбертовом пространстве. Им же
было показано, что m-мерпый сингулярный интеграл может быть разложен
в ряд по степеням (положительным и отрицательным) (т — 1) коммутиру-
коммутирующих унитарных операторов, представляющих собой сингулярные инте-
интегралы с символами e-iX\ е2П*, ..., е2Пт-гг е<>. Отсюда вытекает, что сингу-
сингулярный интеграл есть оператор, ограниченный в гильбертовом простран-
пространстве, если только
^ 6„ е„ • • •, К--» ?),2 d* < С,
где ш — гиперсфера радиуса, равного единице, с центром в Мо, и С —по-
—постоянная, не зависящая от М„.
Перенесение операции сингулярного интегрирования в гильбертово
пространство позволило решить задачу о сведении сингулярного уравне-
уравнения со многими независимыми переменными к эквивалентному уравнений'
Фредгольма. С. Г. Михлиным доказано, что если символ оператора
отличен от нуля, то соответствующее уравнение может быть сведено к
эквивалентному уравнению Фредгольма. Им же для многомерных уравне-
уравнений доказано обычное условие разрешимости, а также тот факт, что число
линейно независимых решений однородных основного и сингулярного
уравнений одинаково.
Теоремы о регуляризации и о сведении к эквивалентному уравнение
Фредгольма остаются в силе для систем многомерных интегральных урав-
уравнений. Условие необращения в нуль символа уравнения заменяется усло-
условием необращения в нуль символического определителя системы.
4. Переходим к работам по нелинейным интегральным уравнения»
Здесь мы не имеем до настоящего времени достаточно общей теории. Пер
вым общетеоретическим моментом в истории нелинейных интегральны
уравнений был известный мемуар Шмидта A908 г.). Но необходимо отме
тить, что в упомянутых выше более ранних работах А. М. Ляпунова с»
держится всё основное для общей теории, изложенной в мемуаре Шмидг

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 599
Затем, с конца двадцатых годов начинают появляться работы других
направлений (Гаммерштейн, Иглиш и др.),и литература по нелиней-
нелинейным уравнениям разрастается. Значительную долю в этот период внесли
и работы советских математиков. Они содержат целый ряд новых усло-
условий для теорем существования и единственности, и, с другой стороны,
в них выявляются оригинальные общие методы исследования инте-
интегральных уравнений. Подробное выяснение результатов этих работ
требует обычно перечисления большого числа условий, и нам придётся
в большинстве случаев ограничиться лишь общими указаниями. Первой
по времени работой была работа П. С. У рысона [1], в которой
рассматривается уравнение вида
b
A0)
Это уравнение автор пишет как обобщение уравнения, к которому приво-
приводит предельная задача для дифференциального уравнения y" + f(x, у) = 0,
и исследование автора примыкает к исследованиям Пикара об упомянутой
предельной задаче. В основе изучения уравнения A0) лежит метод
последовательных приближений, а также некоторые доказанные автором
теоремы о положительных решениях линейных интегральных уравнений
с положительным ядром и положительным свободным членом. Основные
предположения: К (х, t, 0) = 0; производная Ку (х, t, у) > 0; К' (х, t, у) убы-
убывает по у; /С; (х, /, у) —> Q (х, I) при у —>оо, где Q (x, t) > 0 или Q (х, /) = 0.
Если а и f* — наименьшие собственные значения линейных интегральных
уравнений с ядрами К'„ (х, /, 0) и Q (х, t), то 0<зс<?, и р = оо, если Q(x,t)~O.
Доказывается, что однородное уравнение A0) имеет только нулевое ре-
решение при X > Э и 0<а<я и имеет единственное решение, отличное от
нулевого, при а < }. < р. Неоднородное уравнение не имеет решений при-
X > р и имеет единственное решение при 0 < к < р. Автор исследует также
зависимость решения от параметра а и от параметра, входящего множите-
множителем в свободный член /(х).
В дальнейшей истории работ по нелинейным интегральным уравнениям
важное значение имеют работы В. В. Н е м ы ц к о г о [2, 3]. В первой
из них рассматривается уравнение типа Гаммерштейна:
= $ К <t,/)/[*,? @1 <Н» A1)
где х и / — точки п-мерного пространства и Е — измеримое множество ко-
конечной меры. Ядро не считается симметричным. В основе исследования
лежит теорема Шаудера о существовании неподвижной точки при непре-
непрерывном преобразовании замкнутого, выпуклого множества линейного,
нормированного, полного пространства в его^омпактную часть и теорема
Каччиополи о единственности неподвижной точки. Автор ведёт исследо-
исследование параллельно в L2 и в пространстве С непрерывных функций. В пер-
первом случае основные предположения о ядре для теоремы существования
сводятся к существованию интеграла от К2 (х, t) по обеим переменным,
к неравенству /2 [х, у (х)] < С (х), где С (х) суммируема для всех <$> (х), у ко-
которых норма в L2 не превышает некоторой постоянной, и к непрерывности

600 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
f{x, и) по и. Основной момент состоит в доказательстве того, что оператор
A{*)=[K(x,t)f[t,9{t))dt
непрерывен и компактен на некотором семействе функций <?(х). Отсюда
применением теорем Шаудера и Каччиополи получаются теоремы суще-
существования и теоремы единственности решения уравнения A1); кроме того,
доказываются некоторые теоремы существования путём сравнения нели-
нелинейного уравнения с некоторым линейным уравнением.
Далее В. В. Немыцкий [3] тем же методом неподвижной точки
рассматривает при малых к уравнения вида
[x,t,v(t)]dt. A2)
Отметим ещё работу В. В. Немыцкого [5J, в которой автор для
уравнений типа Гаммерштейна налагает на f{t,u) условие \f(t, u)\<
<C\u\ + D при всех и (вместо указанного выше) и получает, при
некоторых предположениях о ядре, новые теоремы сущестнования
и единственности. Там же он приводит соображения о применимости
теоремы Каччиополи к нелинейным уравнениям весьма общего вида.
За год до этого Н. С. Смирнов [2] применил метод В. В. Немыц-
Немыцкого к уравнениям, содержащим операторы вида
у, у„, ?(у,)» •-., ?(yn)Jrfyi ¦¦¦dyn.
Новые теоремы существования и единственности при помощи метода
В. В. Немыцкого получены в работе В. М. Дубровского [1].
В работе Л. В. Канторовича [23] метод последовательных при-
приближений в применении к уравнениям в абстрактных пространствах
определённого типа приводит, между прочим, к следующей общей
теореме: пусть K(x,t,u) непрерывна по х и t в Е при iu|<<po(x),'
и существует такая, тоже непрерывная функция Ф(х, t, и), что
\K(x,t, 0)|<Ф(х, /, 0), Ф;>0, Фии>0;
\К(х, t, и + Ли)~К{х, t, и)|<Ф(х, /, !и| + |Ди!)-Ф(х,
при \и\ + \Ди\^ъо(х). Если при этом
то уравнение A2) (при >-==1) имеет решение <ь(*) такое, что |<р(/)|<
<^(t). Если, кроме того, равнение
$
имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 1?@1<?о№
то и (!2) имеет только одно такое решение. Оно может быть получай

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 601
по методу последовательных приближений с любой исходной функцией
<fi(t), удовлетворяющей условию |<рх@1<?о@- Метод упомянутой работы
применяется автором и к линейным интегральным уравнениям.
Отметим ещё некоторые отдельные работы по нелинейным инте-
интегральным уравнениям.
В работах Н. Н. Назарова [1,2] чисто аналитические методы
применяются к ряду отдельных задач теории для уравнений A1) и A2).
В частности, проводится подробное исследование аналитического про-
продолжения решения по параметру X. и поведения решений в окрестности
точки разветвления.
В работе Н. С. С м и р н о в а [3] для интегральных уравнений с опе-
операторами вида
применяется преобразование Лапласа.
В работах А. А. Тем л як о ва [1,2,3] рассматриваются частные
типы интегральных уравнений первого рода, а также вопрос о реше-
решениях уравнений второго рода, которые стремятся к бесконечности
при >.—>0.
Упомянем еще о работе Г. С. Салехова [2] о разветвлении реше-
решений и работу М. М. Вайнберга [1], в которой даётся новая нело-
нелокальная теорема существования решений уравнения вида A1).
5. Ряд работ Н. М. Гюнтера посвящен применению функций
областей и интеграла Радона к теории интегральных уравнений. Автор
рассматривает в основном уравнения вида
A3)
где /((*. х) —функция точки х, принадлежащей <и, и множества - из и,
которое принадлежит л-мерному евклидову пространству. Сначала произ-
производится анализ уравнения A3) в предположениях, аналогичных обыч-
обычной теории Фредгольма. Далее рассматривается тот случай, когда
интегральный оператор с эрмитовым ядром (его определение совер-
совершенно естественно) ограничен, а также и некоторые случаи неограни-
неограниченного оператора. В случае ограниченного оператора автор не поль-
пользуется результатами Гильберта, а непосредственно применяет метод
Хелингера. При неограниченном операторе используется метод аппро-
аппроксимации Карлемана. Во всех работах подробно исследуются свойства
спектральной функции. Непосредственным применением своих методов
Н. М. Гюнтер исследует также уравнения вида
где G{x, t)~ непрерывное, положительно определённое ядро и k{t)~
ограниченная функция, меняющая знак на промежутке (а, Ь). Несколько
работ Н. М. Гюнтера посвящено исследованию ядер типа Фурье. Дело

602 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
сводится к отысканию всех симметричных функций к(х, t), удовлетворя-
удовлетворяющих уравнению
со
где
Эти же идеи были им применены также к исследованию нагружённых
интегральных уравнений.
В смысле идейном непосредственно примыкают к указанным выше
вопросам работы В. М. Дубровского [2,3], посвященные уравне-
уравнениям Вольтерра и Фредгольма в абстрактных пространствах. В первой
из них рассматриваются уравнения вида
A4)
A5)
где х —элемент, а е —подмножество некоторого абстрактного множе-
множества А. Уравнение A4) есть уравнение Вольтерра, если из х,б*(х)
следует е {xt) de (х). ДляA5) аналогично должно быть: изехd e* (е)сле-
(е)следует e*(e1)de* (e). Выясняются условия, которые надо наложить на е(х)
и е*(е) для того, чтобы сохранились основные свойства уравнений Воль-
Вольтерра. При исследовании уравнений типа Фредгольма автор пользуется
понятием интеграла, построенного А. Н. Колмогоровым.
6. В работе Ф. Р. Гантмахера и М. Г. К р е й н а [3] иссле-
исследуются интегральные уравнения с ядрами Келлога и приложения таких
уравнений к теоремам колебаний различных собственных функций, инте-
интегральные уравнения с ядрами типа функции Грина и некоторые классы
нагружённых интегральных уравнений. Приведём отдельные результаты
этих работ. Ядром Келлога называется вещественное симметричное ядро
К (х. О при условии, что символы Фредгольма удовлетворяют неравен-
неравенствам
к (у х;' ¦•• *п)>о; к (I1' **• ¦¦¦' х")>о.
V In I.. ..., 1„/ \ Хи А,,, . . ., Хп J
Келлог выяснил важные свойства таких ядер. В указанной работе уста-
установлено, что эти свойства сохраняются и для нагружённого уравнения
K(X,t)?(t)dz(t), A6)
а
где з(^) возрастает.
М. Г. К р е й н [4J занимался специальными ядрами Келлога,
имеющими характер функции Грина.
Ф. Р. Г а н т м а х е р [1 ] исследовал несимметричные ядра Келлога.:
Важнейшим следствием указанных выше работ о ядрах Келлога является,

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 603
возможность выявить широкие классы таких краевых задач (и несамосо-
несамосопряжённых) дифференциальных уравнений, для которых имеют место
обычные теоремы колебаний.
7. Мы переходим теперь к изложению отдельных работ по теории инте-
интегральных уравнений. Работы В. А. Ф о к а [1, 2] посвящены интеграль-
интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности, В одной из них указы-
указывается применение преобразования Лапласа к уравнению Вольтерра.
В другой работе приводится подробный анализ уравнения
A7)
с симметричным ядром, т. е. Л(—х) — h(x). Соответствующее однородное
уравнение, без предположения симметрии ядра, было рассмотрено Вине-
Винером и Хопфом. Они строили все решения такого уравнения, имеющие
на бесконечности порядок О (еах). В. А. Ф о к рассматривает уравнение A7)
при таких условиях на бесконечности, которые гарантируют существова-
существование и единственность решения и тем самым дают только нулевое решение
в однородном случае. Предполагается, что функцияht(x) = ecxh (х) (с>0)
абсолютно интегрируема и ограниченной вариации на промежутке (О, ее).
Строится функция
#{и;)= \ e!"xh(x)dx A8)
— оо
ч':тпая и голоморфная в полосе —с < Jm (w) < с. Если уравнение
//(и>) = 1 A9)
не имеет вещественных корней и f(x) абсолютно интегрируема и ограничен-
ограниченной вариации на промежутке @,оо), то имеет место теорема существования
и единственности решения, обращающегося в нуль на бесконечности. Если
уравнение A9) имеет 2п вещественных корней, кратность которых не
превышает s, то добавляется условие абсолютной интегрируемости
x"'1f(x)\g (х) и п условий ортогональности
(x)b.(x)dx = O (--0, 1,..., л-1),
где-{г(х)—решения однородного уравнения, имеющие на бесконечности
оценку О (Xs). Доказательство указанных теорем сопровождается кон-
конструкцией решения <з(х) и функций уг(х)(г=Э, 1,..., л—1). Отмечается, что,
кроме уг(х), нет других решений однородного уравнения, имеющих на
бесконечности оценку О(е1Х), где а удовлетворяет некоторому неравенству
вида а <аа.
В работах С. Л. Соболева [5, б] рассмотрен один класс
интегро-дифференциальных уравнений, аналогичных уравнениям Вольтер-
Вольтерра. Уравнения такого типа встречаются в теории дифференциальных урав-
уравнений с частными производными гиперболического типа. Пусть
М ^(х^0, . ¦., х^;)) и М (х1; ..., хп) точки л-мерного пространства
иг = }/ (х<"> — x.y-t ... + №> — х;1J. Уравнение t—t<~'"~r определяет

604 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
поверхность конуса (л -f- 1)-мерного пространства (х„ ..., хп, t) с вершиной
Мт, ?а). Автор рассматривает уравнения вида
dx
При s < п-^г- и некоторых предположениях о ядрах (и свободном члене)
доказывается, что путём нескольких итераций уравнение приводится к
обычному уравнению Вольтерра, разрешимому методом последовательных
приближений. Условия, налагаемые на ядра Я«„,в, *„ (М@), f@); M, t),
касаются их поведения вблизи поверхности и вершины конуса
t = f(u> — г, внутренность которого является областью интегрирования, а
также существования и свойств нескольких производных от ядер. Во вто-
второй части работы условия разрешимости уточняются и даются примеры
уравнений, которые показывают, что для рассматриваемого типа уравне-
уравнений условия разрешимости являются наилучшими. Работа связана со
многими довольно сложными и тонкими оценками.
Линейные уравнения типа Вольтерра были получены и исследованы
С. Л. Соболевым [1, 3] при решении задачи Коши для линей-
линейных гиперболических уравнений с частными производными. Рассмо-
Рассмотрим эти уравнения в простейшем частном случае. Пусть t(M;M0) —
функция Гамильтона центрального поля с центром Мо для интеграла
вида
dS (с > 0); B0)
С(Х, у, 2)
Р — трёхмерная область, определяемая неравенством ч(М;
Упомянутое уравнение имеет вид
<? (М<0\0 = J ^ <? (М, t - т) Н (М; Мт) dx dydz + f (M<0>, 0.
где ядро Н(М;Мт) имеет оценку [Н{М; М") |< ч^м?мт) и интегри-
интегрирование совершается по* точке М(х, у, z). Доказывается существование
и единственность решения и применимость метода последовательных
приближений. При этом, естественно, предполагается отсутствие осо-
особенностей в соответствующих частях центрального поля вариационной
задачи интеграла B0).
В. И. Романовский [2] рассматривал уравнения вида
(*. х, y)<p(f, x)dt + f(x, у). B1)
Однократная итерация приводит его к обычному уравнению Фредгольма
с двойным интегралом и параметром X2. В дальнейшем Иглиш *) дока-
*) Acta Math., 67 A936).

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 605
зал для указанного выше уравнения основные теоремы Фредголыиа.
Союзным с B1) надо считать при этом уравнение вида
А. Н. Тихонов [3] рассматривает уравнения 4(t) = v(t, cp), где
v (t, <?) — оператор, значения которого при заданном t определяются
значениями <?(*') на промежутке 0</'<f. Выясняются условия,
при которых метод последовательных приближений Пикара или
метод полигональных приближений типа Коши-Липшица приводит
к решению указанного уравнения. Далее автор рассматривает более-
общие уравнения в случае оператора v(P, t; cp), определённого
при t > О для элементов Р некоторого множества % и для функций
<p(Q, t), где Q6^- Как и выше, считается, что значения v (Р, /; <р)
определяются значениями с? (Q, V) на промежутке 0 <?'<?. В каче-
качестве приложения автор рассматривает, между прочим, задачу охла-
охлаждения тел, если на границе принят закон Стефана-Больцмана.
В работе А. М. Данилевского и М. Г. К рей н а[1] иссле-
исследованы билинейные ряды для симметричных непрерывных положитель-
положительных ядер. Доказана возможность почленного дифференцирования такого
ряда при наличии соответствующих производных у ядра. Получается
следующая своеобразная теорема: если ядро К (х, t) с указанными свойст-
свойствами и имеющее непрерывные производные до порядка п допускает разло-
разложение К (х, t) = О! (х) ф 1 @ + о2 (х)<!>2 (t) +..., то функции <|L (х) имеют непре-
непрерывные производные до порядка п, и возможно почленное дифференци-
дифференцирование ряда. В одной из работ М. Г. К р е й н а [3] различные свойства
обычных уравнений Фредгольма с положительным ядром распространяют-
распространяются на уравнения A6), где о (() —функция ограниченной вариации.
Несколько работ посвящено аналитической теории интегральных
уравнений. В работе Л. Н. Сретенского [1] рассматриваются
уравнения Вольтерра в предположении аналитичности ядра и свобод-
свободного члена. Исследуется влияние полюсов свободного члена и особен-
особенностей ядра на решение. Предполагается, что ядро есть частное двух
целых функций.
В работе С. А. Я н ч е в с к о г о [1] исследуются аналитические
интегральные уравнения Фредгольма, причём кривая интегрирования
фиксирована и интегрирование совершается или по длине дуги или по
комплексной координате t пути интегрирования:
Т (z) = Ь\К (z, О «Р @ d* +/ (*) или <рB) ->Л К (z, t)
с с
В первом случае К (z, f) можно заменить на К {z, T) и с? (t) на <р G). В пред-
предположении мероморфности ядра исследуется представление интегрального
оператора, аналогичное представлениям Миттаг-Лефлера и Коши, в
зависимости от полярных линий ядра. Изучаются и многозначные ядра.
В работе 3. И. X а л и л о в а [2] рассматриваются интегральные
уравнения, ядра которых—линейные функции К0(х, f) + л/Ci (х, t) пара-
параметра, причём Ко и Кг удовлетворяют обычному условию, соответствую-
соответствующему вполне непрерывному оператору. Автор исследует тот случай, когда

606 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
уравнение с ядром Ka-l-^Ki имеет дискретный спектр, и приводит это урав-
уравнение к эквивалентному в известном смысле обычному уравнению Фред-
гольма с некоторым ядром К и параметром перед интегралом. При симме-
симметричности Kt даётся необходимое и достаточное условие симметричности
К- Если Ко и К.1 симметричны, то К симметризуемо Ki справа. Рассмо-
Рассмотрен случай симметричных Ко il Ki при дополнительном условии опреде-
определённости К1- В работе В.М.Дубровского [4] доказывается теорема
существования и единственности для уравнения
X-yh
с? (х) = >• j К (х, 0 ? @ <П + / М (л > 0)-
— со
В работе А. Н. Хованского [1] даётся решение обобщённого урав-
уравнения Абеля:
8. Исследованию бесконечных систем линейных и нелинейных урав-
уравнений были посвящены работы Б. М. Коя л овича[1], Р. О. Ку зь-
м и н а [1, 2]| и Л. В. Канторовича [23]*). В работах Л. В. К а н-
торовича даны общие теоремы о существовании решения, о его един-
единственности, о предельном переходе по параметру,, входящему в коэффи-
коэффициенты, и о решении систем методом редукции. Основным предположением
является наличие мажорантной системы с определённым свойством. Будем
говорить о нелинейных системах
со оо
х, - &@ + 2 <#>*i + 2 c*b*«x*iX*, + • • • B2/
*i-l ki.kt-i
Пусть имеется некоторая мажорантная система
со .со
xt-bw + 2 ей**, + 2 eft*,**,**, + • • •» B3)
где I &A) | < B(l), | ci',} | < dj?l и т. д. Главным решением системы назы-i
вается решение, которое получается по методу последовательных при-
приближений при нулевом первом приближении. Приведём некоторые
результаты Л. В. Канторовича: если система B3) имеет неотрица-
неотрицательное решение Х,->0, то система B2) имеет решение х*, удовлетво-
удовлетворяющее условию \x*t\<X'i. Если Х\ есть главное решение системыB3),-
то решение системы B2), удовлетворяющее условию ]х,|<Х*ь единственно,,
и это есть главное решение B2). Далее главное решение системы B2),
может быть получено редукцией к конечной системе; находится её глав-,
ное решение и совершается предельный переход.
*) См. также Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые,
методы высшего анализа. М.—Л., ГТТИ A941).

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . 607
Перейдём к линейным системам
оо
" «,А B4)
к-
и введём два условия
>.* I > 0; B5)
\biKK9i, B6)
где К—постоянная. Система B4) при условии B5) называется регулярной.
Исследование таких систем, при несколько иной записи, было проведено
Б.М. Кояловичем, причём он рассматривал ограниченные решения,
т. е. такие, что 1х,|<С, где С—постоянная. Им был дан, между прочим,
метод оценки в некоторых случаях неизвестных х,- при больших значе-
значениях /. Пользуясь этим методом, он выделил такой класс регулярных
систем с единственным ограниченным решением, для которых х,- имеет
предел при i—^ со.
В упомянутых выше работах Р. О. Кузьмина был подробно
исследован вопрос о единственности ограниченных решений регулярных
систем. К регулярным системам легко применяются указанные выше
общие теоремы. Приведём теоремы единственности: если главное решение
X* системы
k=i
удовлетворяет условию XI > а > 0 (а—постоянная), то система B4)
при условиях B5) и B6) имеет единственное ограниченное решение, которое
может быть получено методом последовательных приближений, исходя
от любого ограниченного первого приближения. Отметим, что в рассмат-
рассматриваемом случае л*- = К есть решение.
Как я уже упоминал в начале статьи, мною не приведены многочи-
многочисленные и важные работы, содержащие приложения интегральных урав-
уравнений к различным вопросам математической физики и механики. Но и
из того, что приведено, я надеюсь, отчётливо видно, насколько интенсивно
развивалась теория интегральных уравнений в работах математиков Со-
Советского Союза за последние пятнадцать лет. Надо надеяться, что эта
важная как в теоретическом, так и в прикладном отношении область ма-
математики ещё интенсивнее будет развиваться в будущем.
С. Г. Михлин предоставил мне ряд материалов по теории сингулярных
интегральных уравнений, который я использовал при составлении соот-
соответствующего раздела статьи. Глубоко благодарю его за эту помощь.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
Af. Г. КРЕЙН и Л. А. ЛЮСТЕРНИК.
§ 1. Возникновение советской школы функционального анализа F11). § 2.
Общая теория линейных пространств F13). § 3. Обшие аналитические методы
функционального анализа F25). § 4. Теория операторов в гильбертовом про-
пространстве F33). § 5. Теория нормированных колец F53). § 6. Функциональный
анализ на топологических пространствах с транзитивной группой непрерывных
преобразований F63).
од термином «функциональный анализ» понимают—при всём
различном его истолковании разными авторами в разное
время—обобщение концепций классического анализа, при
котором вместо функций точки п-мерного пространства
рассматриваются функции элементов более общей при-
природы (функции от линий, поверхностей и т. д.). Вариа-
Вариационное исчисление должно, например, рассматриваться
как дифференциальное исчисление над функционалами.
Такие концепции возникли в последние десятилетия XIX в. В первых ра-
работах по функциональному анализу изучались конкретные функционалы
и операции, возникшие как первое обобщение тех или иных операций
анализа.
Быстрому развитию функционального анализа «и выделению его
в самостоятельную дисциплину способствовали следующие события
в истории математики, имевшие место на рубеже двух столетий:
1) Создание новых ветвей анализа и выявившиеся при этом замеча-
замечательные аналогии в разных областях алгебры, геометрии и анализа:
возникновение теории общих ортогональных и биортогональных систем
и её аналогия с разложением векторов по осям (в создании этой теории
выдающуюся роль сыграли работы математиков «петербургской школы»:
введение П. Л. Чебышевым общих ортогональных систем, первые
примеры биортогоиальных систем П. Л. Чебышева и А. А. Маркова,
работы А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова о полноте ортогональных
систем); возникновение теории интегральных уравнений Фредгольма и
её аналогия с теорией систем линейных алгебраических урагнений;
развитие, теории собственных значений для краевых задач дифферен-
дифференциальны,'-, а затем—для интегральных уравоений и её аналогия с при-
приведением квадргтических форм к каноническому виду (приведение по-
поверхности второго порядка к главным осям). Эти аналогии заставляли
искать общие объединяющие концепции, характерные для функциональ-
функционального анализа.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 609
2) Движение в геометрии, начавшееся созданием неевклидовой геоме-
геометрии Лобачевского и превратившее в объекты геометрии пространства
более общей природы. В сочетании с теорией множеств Кантора оно
привело к созданию теории общих абстрактных пространств. Взаимопро-
Взаимопроникновение геометрии и анализа содействовало блестящим успехам той
и другой областей, до конца XIX в. оно ле выходило, однако, за пределы
концепций, указанных ещё Декартом (например, соответствие между
функцией одного переменного и линией). В конце XIX и начяле XX в.
были открыты новые каналы геомегризации анализа—функции стали
рассматриваться как точки или векторы «функциональных» пространств.
Переходу от задач алгебры к задачам анализа отвечап при этом переход
от конечномерных пространств к бесконечномерным. Именно, использо-
использование такого геометрического аппарата характерно для современного
функционального анализа и является рыдающим в вопросе об отнесении
к этой области математики той или иной раоогы.
3) Развитие теории функций действительного переменного (теория
меры, обобщение понятия интеграла и т. д.). Гильбертово пространство,
например, удалось реализовать как пространство функций только путём
пополнения множества непрерывных функций до множества измеримых
функций с интегрируемыми квадратами.
4) Наконец, позже—развитие современной алгебры, изучающей алге-
алгебраические операции над объектами произвольной природы (общая теория
групп, колец и т. д.).
Так сложился современный функциональный анализ, уходящий кор-
корнями в классические задачи математической физики (краевые задачи, ва-
вариационные проблемы, интегральные уравнения) и являющийся высшим
синтезом современных геометрических, теоретико-функциональных и
алгебраических концепций.
В развитии функционального анализа особенную роль сыграли
вопросы, смежные по теме или методу для разных математических ди-
дисциплин. Такой была и «ультраклассическая» тематика петербург-
петербургской школы—смежная для алгебры и анализа. Неудивительно, что
она оказала своё влияние и на предисторию и на дальнейшее развитие
функционального анализа. В этом разрезе можно привести ещё при-
пример работы по теории моментов, начатой знаменитыми исследованиями
П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и Стилтьеса и сыгравшей впослед-
впоследствии значительную роль в развитии спектральной теории линейных
операторов.
Значение функционального анализа в современной математике заклю-
заключается и в том, что он перебрасывает мостики между далёкими, на пер-
первый взгляд, теориями, например, топологией и вариационным исчислением,
теорией групп и гармоническим анализом, интегральными уравнениями.
В частности, некоторые теории, имевшие свою внутреннюю логику раз-
развития, но мало связанные с другими, получили неожиданные при-
применения и выходы.
Наибольшего развития среди глав функционального анализа полу-
получила теория линейных операторов, действующих в наиболее простом
по геометрической структуре функциональном пространстве—гильбер-
пространстве—гильбертовом пространстве (так называемая спектральная теория). Она воз-
возникла из теории интегральных уравнений как бесконечномерное обоб-
обобщение теории квадратических форм и матриц. Спектральная теория
ие только получила многочисленные применения к разным задача*
39 Математика в СССР за 30 лет

610 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
анализа, но и стала основным математическим аппаратом квантовой
механики.
Гильбертово пространство есть функциональное пространство квадра-
тической сходимости в среднем. Другим законам сходимости отвечают
другие функциональные пространства, классические примеры кото-
которых были изучены венгерским математиком Ф. Риссом. На почве этих
исследований возникла общая теория линейных нормированных простран-
пространств или пространств Банаха (типа Б). После работ Львовской школы-
Банаха и его учеников—эта теория выросла в стройную самостоятельную
математическую дисциплину. С геометрической точки зрения нормирован-
нормированные пространства являются обобщением на бесконечномерный случаи про-
пространств Минковского, подобно тому как пространство Гильберта является
обобщением евклидова пространства. Из учеников С. Банаха особо отме-
отметим С. Мазура и Ю. Шаудера (последний трагически погиб от рук геста-
гестаповцев во время немецко-фашистской оккупации Львова). В исследова-
исследованиях Шаудера тонкие методы функционального анализа в сочетании
с топологическими находили плодотворное применение к классическим
задачам уравнений математической физики.
Если линейный функциональный анализ является далеко продвинутой
дисциплиной, то нелинейный функциональный анализ находится
лишь в стадии формирования. В нелинейных задачах следует различать
исследование «в малом» от исследования «в целом». Основным методом
исследования «в малом», как и в классическом анализе, является
локальная аппроксимация нелинейного объекта линейным (или «поли-
«полиномиальным»). Исследования нелинейных задач «в целом» приводят к
задачам геометрии и топологии нелинейных функциональных пространств
и требуют применения очень глубоких и тонких топологических
средств.
Функциональный анализ является молодой дисциплиной, оформив-
оформившейся и получившей широкое развитие лишь в последние десятилетия.
Советская школа функционального анализа—одна из самых молодых.'
Но она уже внесла существенный вклад в развитие этой науки, её значе-
значение непрерывно возрастает и, можно считать, что она уже заняла веду-
ведущее место.
Приступая к систематическому изложению результатов работ совет-
советских математиков за тридцать лет, мы откажемся от хронологического
порядка и повествовательной формы расположения материала в пользу,
порядка логического развития и систематического изложения. Интеграль-.
ным уравнениям, которые можно рассматривать как наиболее класси-
классическую главу функционального анализа, посвящен специальный обзор,
настоящего сборника.
Важнейшие направления нелинейного функционального анализа»
освещены в обзоре по вариационному исчислению. Применения методов
функционального анализа к дифференциальным уравнениям обыкновен-j
ным и в частных производных, приближённым вычислениям освещен^
в основном в соответствующих обзорах.
Чтобы не повторяться, настоящий обзор не включает матери^
ала, изложенного в статьях по смежным дисциплинам. Он посвящё^
поэтому в основном вопросам линейного функционального анализа и,
распадается естественно нашесть параграфов, различающихся нетолькш
тематикой, но и методами — возрастающим разнообразием применяй
мых .средств.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 61 !
§ 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ СОВЕТСКОЙ ШКОЛЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
Систематическая разработка вопросов функционального анализа
ведётся в нашей стране сравнительно недавно. В сборнике «Матема-
«Математика в СССР за пятнадцать лет» нет раздела «Функциональный
анали.з». Вместе с тем внимательный просмотр разных глав этого
сборника показывает, как в недрах разных математических школ
велась большая подготовительная работа, обеспечившая быстрое и раз-
разностороннее развитие функционального анализа у нас и оказавшая
влияние на его развитие за рубежом.
Укажем прежде всего на Московскую топологическую школу.
Ещё в период её формирования были введены понятия и доказаны
теоремы, которые р.нсследствии превратились в повседневный аппарат
функционального анализа: лемма П. С. Урысона о расширении
непрерывной функции; понятие бикомпакта, введённое П. С. Алек-
Александровым; теоремы А. Н. Тихонова о бикомпактнести тополо-
топологического произведения бикомпактов. Начатое в 1927 г. работами
П. С. Александрова геометрическое направление в теории абст-
абстрактных пространств как пределов симплициальных аппроксимаций
соответствует характерному для функционального анализа предельному
переходу от конечномерного к бесконечномерному.
Интересно отметить взаимодействие между Московской топологи-
топологической и Львовской функционально-аналитической школами. В 1923 г.
П. С. Урысон доказал существорание универсального сепарабель-
ного метрического пространства; в 1927 г. С. Банах и С. Мазур доказали, что
таким универсальным пространством является пространство С непрерыв-
непрерывных функций на сегменте. П. С. Александров и В. В. Немы ц-
кий доказали в 1927 г. (работа осталась неопубликованной), что при
непрерывном отображении в себя выпуклого компакта в гильбертовом
пространстве существует неподвижная точка. В 1930 г. Ю. Шаудер дока-
доказал аналогичную теорему для компактов в полном нормированном про-
пространстве. Для сепарабельных пространств Шаудер доказал также теоре-
теорему о существовании неподвижной точки при слабо непрерывном отобра-
отображении выпуклого слабо замкнутого и слабо компактного множества
в свою часть. Наконец, в 1935 г. А. Н. Тихонов [2] доказал теорему о
неподвижной точке в самом общем виде—в ненормированных, но «локаль-
«локально выпуклых» линейных пространствах *); при непрерывном отображении
в себя выпуклого бикомпакта существует неподвижная точка.
Первое крупное оригинальное направление в советском функцио-
функциональном анализе относилось к нелинейной тематике. Этот, на первый
взгляд, парадоксальный факт объясняется ранним развитием у нас
топологии и её влиянием на функциональный анализ. В 1928—1930 гг.
появились работы Л. А. Люстерника и Л. Г. Шнирель-
м а н а по топологическим методам вариационного исчисления. Вариа-
Вариационные методы теории собственных значений в этих исследованиях
распространялись на обширный класс функций и функционалов значи-
значительно более сложной природы, чем квадратичные формы. Это направ-
направление впоследствии сомкнулось с упомянутым ранее «аппроксимативным»
•) Линейное пространство называется лока/ъно выпуклым, если каждое откры-
открытое множество, содержащее точку, заключает в себе и некоторую выпуклую окрест-
окрестность этой точки.

612 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
направлением Московской топологической школы в работах Л. А. Л ю-
стериика [21] по гомологической структуре функциональных прост-
пространств в вариационных задачах.
В 1928—1930 гг. в Москве и Ленинграде развернулась работа по
топологической алгебре (А. Н. Колмогоров, Л. С. П о н т р я-
г и н, А. А. Марков), которая впоследствии сомкнулась с новыми
направлениями советского функционального анализа. К этому же пе-
периоду относятся работы В. В. Степанова, А. Н. Тихонова и
Л. С. Понтрягина о топологической прирэде пространства почти
периодических функций.
f?r. Отдельные работы по теории функций действительного переменного
двадцатых годов непосредственно относились к функциональному анали-
анализу, например, работы А. Н. Колмогорова [I] и А. Н. Ту-
лайкова [1]о компактности множеств в Lp. Мы отметим сейчас, что
роль А. Н. Колмогорова в формировании и развитии советской
школы функционального анализа определялась не только непосредствен-
непосредственной его работой в этой области, но и постановкой задач, индуциро-
индуцированных другими областями математической науки, и выработкой объе-
объединяющих точек зрения.
H'l В Ленинграде в тридцатые годы наблюдалось перерастание школы
теории функций действительного переменного (Г. М. Фихте н голь ц,
Л. В. Канторович и его ученики, А. А. М а р к о в) в школу функ-
функционального анализа.
Методы функционального анализа вырастали в Ленинграде на базе
работ Н. М. Гюнтера и С. Л. Соболева по уравнениям ма-
математической физики (см. обзор по дифференциальным уравнениям в ча-
частных производных).
На Украине работа по функциональному анализу вырастала, с одной
стороны, из работ по алгебраическому анализу—теории матриц.интеграль-
ным уравнениям (М. Г. К р е й н), работ по теории моментов, продолжа-
продолжающих классическую тематику П. Л. Чебышева и А. А. Маркова
(Н. И. А х и е з е р, М. Г. К р е й н); с другой—из работ по качествен-
качественной теории дифференциальных уравнений (Н. Н. Боголюбов,
Н. М. Крыло в).
В 1936 г. вышел в свет 1-й выпуск «Успехов математических наук»,
в основном посвященный вопросам функционального анализа, сыгравший
значительную роль в пропаганде функционального анализа среди моло-
молодёжи. Содержащаяся в нём обзорная статья Л. А. Люстерника
сыграла роль первого учебйого пособия по функциональному анализу,
а статья В. В. Немы ц кого о методе неподвижных точек заинтере-
заинтересовала широкие круги советских математиков.
; В «Успехах математических наук» был опубликован в дальнейшем
также фундаментальный курс по спектральной теории линейных операто-
операторов—обработка лекций, читанных в Московском университете А. И. П л е-
с н е р о м, составленная последним в сотрудничестве с В. А. Рохли-
Рохлины м. (См. А. И. Плеснер [5]; А. И. П л е с н е р и В. А. Р о х-
лин[1].)
Во второй половине тридцатых годов сложились три активных кол-
коллектива в области функционального анализа: в Москве, Ленинграде и
Одессе. Отметим здесь выдающуюся роль А. И. Плеснера в форми-
формировании Московской школы функционального анализа. В его оригиналь-
оригинальных курсах, руководимых им семинарах и диссертациях его учеников

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 613
вопросы функционального анализа ставились с большой широтой: общие
линейные пространства, спектральная теория операторов, общий гармо-
гармонический анализ, алгебраические методы, аналитические функционалы.
На этих семинарах и курсах был воспитан большой коллектив молодых
математиков; из них И. М. Гельфанд стал вскоре центром кристал-
кристаллизации новых оригинальных направлений функционального анализа.
Деятельность А. И. Плеснера и И. М. Гельфанда получила
большой резонанс в Одессе, Киеве, Харькове.
Конференции по функциональному анализу, состоявшиеся в 1937 г.
в Москве и в 1940 г. в Киеве (с участием львовских математиков), пока-
показали, что период формирования школы функционального анализа закон-
закончился и что у нас сложился мощный коллектив, ведущий работу по функ-
функциональному анализу в разных научных центрах—Москве, Ленинграде,
Одессе, Киеве, Харькове, создавший ряд оригинальных направлений и
нашедший функциональному анализу новые плодотворные применения.
Активное участие молодёжи в этих конференциях показывает, что функ-
функциональный анализ, подобно тому как в своё время теория функций дей-
действительного переменного, а сейчас и алгебра, особенно привлекает мо-
молодые научные силы к творческой работе в математике.
§ 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ.
1. Геометрические вопросы теории нормированных пространств.
Значительная часть общих предложений теории пространств Банаха
допускает тополого-геометрическую формулировку, которая сообщает
наглядность и естественность их содержанию. Более того, многие из этих
общих предложений были навеяны и установлены благодаря тому, что они
явились аналогами различных предложений обычной л-мерной геометрии.
Видное место в разработке различных вопросов геометрии функцио-
функциональных пространств принадлежит математикам Украины и в особенности
Одессы, создавшим здесь ряд оригинальных направлений. Эти исследо-
исследования можно разделить на три группы: а) исследования по геометрии
и топологии единичной сферы, б) по теории регулярно выпуклых множеств
и в) по теории конусов.
а) В области первой группы исследований существенные результаты
были получены Д. П. М и л ь м а н о м [I, 2], В. Л. Ш м у л ь я н о и
[2, б] и др. в установлении различных геометро-топологических критериев
и признаков рефлективности банаховского пространства Я (пространство
Е называется рефлективным, если оно совпадает со своим вторым сопря-
сопряжённым Е** = Е, т. е., если для всякого X € Е** найдётся х € Е такой, что
Х(/) = /(х) (/6 ?*)). Точкой отправления этих исследований послужило
следующее предложение, впервые замеченное А. И. П л е с н е р о м [3]
(и значительно позднее американцем Петтисом): пространство Ба-
Банаха рефлективно тогда и только тогда, когда его единичная сфера
трансфинитно замкнута. Чтобы не пояснять последнего термина, сформу-
сформулируем это предложение ещё в форме, приданной ему В. Л. Ш м у л ь я-
н о м [7]: пространство Е рефлективно тогда и только тогда, когда всякая
трансфинитная последовательность вложенных друг в друга ограничен-
ограниченных выпуклых замкнутых множеств из него имеет непустое пересечение.
Из предложения А. И. Плеснера непосредственно вытекает,
что всякое подпространство 0 рефлективного пространства Е также
рефлективно. Более того, можно утверждать, что если G—некоторое под-

514 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
пространство пространства Е, то Е рефлективно в том а только е том
случае, если G и Е/О рефлективпы (М. Г. К р е й н и В. Л. Шмул ь-
ян [I]).
С. Банаху принадлежит следующее важное предложение: если про-
пространство Е сепарабельно, то для его рефлективности необходимо а доста-
достаточно, чтобы единичная сфера в Е была слабо компактна.
Как показали В. Р. Гантмахер иВ. Л. Шмульян [2],
единичная сфера всякого рефлективного пространства слабо компактна.
До сих пор, однако, не выяснено, имеет ли место обратное предложе-
предложение, т. е. сохраняет ли силу предложение Банаха без требования сепара-
сепарабельности. Однако, если граница единичной сферы пространства Е строго
выпукла (т. е. не содержит отрезков), то для рефлективности Е не только
необходима, но и достаточна слабая компактность единичной сферы
(В. Л. Ш м у л ь я н). Наиболее сильный результат в этом направлении
был затем получен Д. П. Мильманом [1], который показал, что
условие слабой компактности единичной сферы вмеже с условием, что
всякая трансфинитная последовательность вложенных друг в друга не-
непустых замкнутых выпуклых множеств, лежащих на границе единичной
сферы, имела непустое пересечение, необходимо и достаточно для рефлек
тивности Е.
Если, например, всякое выпуклое множество, лежащее на границе
единичной сферы, сепарабельно, то второе условие будет выполняться
и слабая компактность единичной сферы будет необходимым и достаточ-
достаточным условием рефлективности пространства.
В. Л. Ш м у л ь я и у принадлежит глубокое замечание, что в тео-
теореме Мильмана можно заменить единичную сферу любым замкнутым
ограниченным выпуклым телом. Таким образом, если окажется, что су-
существуют нерефлективные локально слабо компактные пространства Е,
'то они будут обладать парадоксальным свойством: в них не сущ ствуют
выпуклые тела со строго выпуклой границей (или, например, только се-
парабельными гранями). Заметим, что в сепарабельном пространстве,
а также в пространствах с базисом (любой мощности) тела со строго
выпуклой границей всегда существуют.
Д. П. М и л ь м а н у [!] также принадлежит следующий изящный
.геометрический признак рефлективности пространства Банаха, который
впоследствии переоткрывался и передоказывался Петтисом и Какутани:
для рефлективности пространства Е достаточно, чтобы его единичная
сфера была равномерно выпуклой, т. е. чтобы для любого г > 0 существо-
существовало S = о (г) > 0 такое, что из равенства
следует: \\х — у Ц < г.
Между прочим, в силу этого предложения результаты американского
математика Кларксона по теории абстрактных функций со значениями в
пространстве с равномерно выпуклой сферой оказались частным случаем
соответствующих результатов И. М. Гельфанда, о которых будет
итти речь в § 3.
Впоследствии Д. П. М и л ь м а н у и В. Л. Ш м у л ь н у уда-
удалось получить ещё более сильные, но того же типа достаточные признаки
рефлективности пространства. Мы опускаем здесь изложение различ-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 615
ных исследований В. Л. Шмуль я н а [7] по теории пространств со
слабо или сильно дифференцируемой нормой, представляющих собой
дальнейшее и значительное развитие первоначальных исследований
С. Мазура по тому же вопросу.
б) В теории регулярно выпуклых множеств в результате иссле-
исследований С. Мазура, Асколи, Эйдельхайта и др. были получены
различные обобщения известной теоремы Минковского л-мерной геометрии
о том, что если некоторое линейное многообразие не содержит внутренних
точек некоторого выпуклого тела, то существует гиперплоскость, содер-
содержащая в себе это линейное многообразие, по одну сторону от которой рас-
расположено данное выпуклое тело. В частности, можно утверждать, что если
некоторая точка х0 не принадлежит замкнутому выпуклому множеству К,
то существует гиперплоскость / (х) = с (/ ? Е*), отделяющая его от К, т. е.
такая, что f(xe) > с и /(х)<с при всяком х?К.
Если мы перейдём теперь к рассмотрению гиперплоскостей и выпук-
выпуклых множеств в сопряжённом пространстве Е*, то здесь естественным
образом выделяются регулярные гиперплоскости и регулярно выпуклые
множества.
Гиперплоскость Н?Е* называется регулярной, если её уравнение
можно задать в виде f(xo) = c, где х0—некоторый отвечающий гипер-
гиперплоскости элемент из Е, а с—число (в общем случае уравнение гиперпло-
гиперплоскости Н^Е* имеет вид Х0(/) = с, где Х0?Е**, с—число).
Множество К€Е* называется регулярно выпуклым, если любой эле-
элемент g 6 К можно отделить от К регулярной гиперплоскостью. Всякое
регулярно выпуклое множество выпукло и замкнуто. Обратное утвержде-
утверждение справедливо только для рефлективного пространства.
Теорию регулярно выпуклых множеств следует рассматривать как
дальнейшее развитие тонкой теории С. Банаха регулярно замкнутых
линейных подпространств пространства Е*.
Основные положения теории регулярно выпуклых множеств устано-
установлены М. Г. Крейном и В. Л. Шмульяном [1]. К наиболее
интересным из них принадлежит установление того факта, что неог-
неограниченное множежво К?Е* регулярно выпукло тогда и только тогда,
когда его пере е чение с любой с ферой \ \\t 11 < R @ < R < со) регулярно выпукло,
или того, что если два регулярно выпуклых множетва Кг и Ки из которых
хотя бы одно ограничено, отстоят друг от друга на расстояние d > О,
то для всякого a", 0<d'<d, найдётся регулярная гиперплоскость,
по разные стороны от которой на расстоянии, не меньшем у, находятся
множества Ку и Кг.
Важным также является данное ими описание построения регуляр-
регулярно выпуклой оболочки ограниченного множества StE* (пересечения
всех регулярно выпуклых множеств, содержащих S) как множества—в
некотором смысле—центров тяжести всевозможных обложений поло-
положительными массами множества S.
М. Г. Крейну и Д. П. Мильману[1] принадлежит следую-
следующее предложение, получившее ряд важных применений: всякое ограни-
ограниченное регулярно выпуклое множество К?Е* есть регулярно выпуклая
оболочка множества S своих крайних точек. Поясним, что крайней точкой
выпуклого множества называется точка, не являющаяся серединой ника-
никакого отрезка, принадлежащего множеству. При доказательстве этого пред-
предложения существенную роль сыграло введение в Е* так называемой

616 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
тихоновской топологии*. Под окрестностью точки /„ в этой топологии
понимают всякую совокупность /€?*, удовлетворяющих неравенствам
К 8i (/=1,2, —, /г),
где е, > 0, а X/ —произвольные элементы из Я.
Известная теорема А. Н. Тихонова о том, что топологическое
вроизведение бикомпактов есть бикомпакт, позволяет утверждать
(В. Р. Гантмахер.и В. Л. Шмульян [2]), что выпуклое мно-
множество является регулярно выпуклым тогда и только тогда, когда от
есть бикомпакт в тихоновской топологии.
Заметим, что введение тихоновской топологии позволяет значи-
значительно упростить доказательство многих предложений из теории ре-
регулярно выпуклых множеств и вообще из теории пространств Банаха
(В. Л. Шмульян [4]).
Говоря о выпуклых оболочках множеств, приведём ещё следующее
предложение М. Г. Крейна и В. Л. Шмульяна[1], относящееся
уже к множествам из Е. Если S—слабо компактное в Е множество, то
1) его слабое замыкание слабо компактно и слабо замкнуто, 2) его выпуклая
оболочка слабо компактна. Это предложение в отличие от тривиальной
теоремы о компактности выпуклой оболочки компактного множества
(именуемой обычно теоремой С. Мазура) требует для своего доказатель-
доказательства тонких средств.
в) Теория конусов в пространстве Банаха возникла в связи с неко-
некоторыми вопросами проблемы моментов теории линейных интегральных
уравнений с положительными ядрами и теории матриц с положительными
элементами.
Основные понятия и положения этой теории, включая и само понятие
конуса, были установлены М. Г. Крейном [10, 13, 16, 17]. Конусом
в пространстве Банаха называется выпуклое замкнутое множество К,
обладающее тем свойством, что если х?К; хФО, то >ос?/( при >.>0
и 1х ? К при Х<0. Функционал /€?* называется положительным
(относительно К), если / (х) > 0 для всякого х 6 К. Множество К* положи-
положительных функционалов всегда непусто; если конус К является воспроиз-
воспроизводящим в Е, т. е. если линейная замкнутая оболочка К совпадает с Е,
то множество К* само является конусом в пространстве Е*. Конус К 6 Я
называется нормальным, если существует 8 > 0 такое, что если
х, у€К; || х || = || у || = 1, то непременно ||x + y||>S (Д. П. Ми л ьман).
Основная теорема М. Г. Крейна гласит: произвольный функцио-
функционал из Е* может быть пред:тавлен в виде разности двух положительных
функционалов в том и только в том случае, если конус К нормален.
Следующую теорему того же автора можно рассматривать, как даль-
дальнейшее развитие известного предложения Банаха-Мазура о вложении
произвольного сепарабельного пространства в пространство непрерывных
функций. Пусть К €Е~ нормальный конус. Существует взаимно одт-
значное непрерывное линейное отображение пространства Е в некотор»
подпространство пространства Cq всех непрерывных функций на некопн-
ром бикомпакте Q*), при котором элементы из К и только они переходы
в неотрицательные функции. В случае, когда Е сепарабельно, в качестм
Q может быть взят сегмент [0,1].
*) С обычным определением нормы ||зс||=гпах |х (q)\.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 617
М. Г. Крейну и С. Г. Крейну [!,2] удалось решить также
важный вопрос, когда возможно отображение с указанными свойствами
пространства Е на всё пространство Cq. Оказалось, что для этого необхо-
необходимо и достаточно, чтобы нормальный телесный конус К был миниэдрален.
Конус К называется миниэдральным, если пересечения всяких двух
«транслированных» конусов К„ и Кь{а, b?K) есть снова некоторый
транслированный конус КЛС^К)- Через Ка мы обозначаем множество
элементов, в которые переходит конус К при трансляции х —» х + а.
Из теоремы М. Г. Крейна и С. Г. Крейна, в частности, сле-
следует, что всякий телесный миниэдральный конус в п-мерном пространстве,
при соответствующем выборе системы координат, представляет собой мно-
множество всех векторов с неотрицательными координатами. Последнее пред-
предложение впервые было доказано А. И. Ю д и н ы м [ 1, 2] в ответ на неко-
некоторые вопросы, выдвинутые Л. В. Канторовичем. Заметим вооб-
вообще, что теория конусов в той своей части, где речь идёт о миниэдраль-
ных конусах, приходит в тесное соприкосновение с теорией полуупоря-
полуупорядоченных пространств, которая получила широкое развитие в ра-
работах Л. В. Канторовича и его учеников и о которой речь бу-
будет идти ниже.
За недостатком места мы опустим здесь многие другие результаты
по геометрии конусов, полученные М. Г. Крейном и его сотрудни-
сотрудниками (Ю. И. Гросбергом, В. Л. Шмульяном и др.), и перей-
перейдём к изложению особого круга исследований в теории операторов, для
которого понятие конуса играет определяющую роль.
Мы переходим к изложению исследований, касающихся операторов,
оставляющих инвариантным конус *).
П. С. Александров и X. Хопф в своей известной книге «Топо-
«Топология, I» заметили, что теорема Перрона о том, что матрица с положи-
положительными элементами имеет собственный вектор с положительными
координатами, непосредственно следует из известной теоремы Брауэра
о неподвижной точке.
Исследования Перрона и Фробениуса о матрицах с неотрицатель-
неотрицательными элементами были перенесены Йенчем **) на интегральные уравне-
уравнения с неотрицательными ядрами.
М. Г. К рейн поставил вопрос, могут ли быть распространены
результаты Перрона-Фробениуса-йенча на вполне непрерывные опе-
операторы в пространстве Банаха, оставляющие инвариантным некоторый
конус. Последнее условие в пространстве л-мерных векторов или непре-
непрерывных функций переходит в условие неотрицательности матрицы или
интегрального ядра при соответствующем выборе конуса (в первом слу-
случае — конуса векторов с неотрицательными координатами, во втором
случае — конуса неотрицательных функций).
Первые существенные результаты в этом направлении были полу-
получены М. А. Р у т м а н о м f 1, 2].
Пусть А — вполне непрерывный линейный оператор, оставляющий
инвариантным некоторый телесный конус К- Если при этом для каждого
элемента xtK, хФО, найдётся натуральное число N — N(x) такое,
*) Замечание при корректуре. Значительная часть этих исследований система-
систематизирована в совместной статье М. Г. Крейна и N1. А. Рутмана. См. Успехи
матем. нгук, 3:1 B5), A948).
•*) Jentzsch, Journ. rein
reine u. angew. Math., 141 A912).

$18 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
что при п> N элемент Ап х лежит внутри К, то наибольшее по модулю
собственное значение к оператора А положительно и ему соответствует
единственное собственное направление: Аи = ки, || и || = 1, при этом и ле-
лежит внутри К, а число к является простым полюсом резольеенты опера-
оператора А. Сопряжённый оператор А* также имеет положительный соб-
собственный сектор: Л*Ф = ло>, || о jj = 1.
Эта теорема представляет собой далеко идущее обобщение упомя-
упомянутых результатов Перрона и Йенча.
Доказательство М. А. Рутмана базируется на принципе непо-
неподвижной точки Ю. Шаудера. Хотя его работа была опубликована и на
французском языке, тем не менее до сих пор за границей продолжаются
исследования, ставящие себе гораздо более частные цел^. Так, например,
Розе*) недавно поставил задачу доказать теорему Йенча с помощью
принципа Шаудера; Марро **) недавно опубликовал полученное им обоб-
обобщение результатов Перрона на вполне непрерывные бесконечные матри-
матрицы с неотрицательными элементами.
Кроме трго, М. А. Р у т м а н получил весьма общие критерии того,
чтобы вполне непрерывный оператор, оставляющий инвариантным неко-
некоторый (не обязательно телесный) конус, имел в этом конусе собственное
направление, отвечающее одному из наибольших по модулю собственных
чисел. Ему также удалось обобщить многие из подобных результатов на
нелинейные, вполне непрерывные монотонные операторы, т. е. операторы,
для которых из соотношения х<у(х, у 6Я) следует Ах<Ау.
В работе М. Г. К р е й н а [13] начинается разработка теории не-
непрерывных операторов, оставляющих инвариантным конус (см. также
статью М. Г. Крейна иМ. А. Рутмана в Успехах матем.
наук, 3:1 B5), A948)). Отметим следующую его теорему. Пусть Г-
коммутативная совокупность линейных непрерывных операторов, пре-
преобразующих внутренность телесного конуса К в свою часть. Тогда су-
существуем положительный функционал <ь6К*, !!^|| = 1> являющийся Ф
щим собственным вектором всех сопряжённых операторов А* : A* <|> = ^|
(кА > О, A?L'). Если, кроме того, все операторы А 6 F имеют внутр
К общий неподвижный вектор и: Аи —и, ||иЦ=1, то все числа ХА = 1
Частным случаем этой теоремы является следующее, предшество-
предшествовавшее ей, предложение А. А. Маркова [1, 2]: пусть EQ — линейм
пространство всех вещественных ограниченных функций x(q), определёш
нык на аб:трактном множестве Q, а Г = {Т}—коммутативная совокуЬ
ность однозначных преобразований множества Q в свою часть. Тогда в F
существует инвариантное среднее, т. е. линейный функционал М(?
обладающий следующими свойствами: 1) М{\) - 1; 2) М(х)>0, fcl
*@)>O@€Q); 3) M(xr) = M(x)(x^EQ;Ti:V),zdexT(q)^x(Tg)(q^
С помощью этой теоремы А. А. М а р к о в установил критерий cyf.
ствования интегрального инварианта для коммутативной совокупное
отображений абстрактного множества с заданной на нём мерой в сам
себя, — критерий, который по своей простоте, общности и законченное
значительно превосходил то, что было до него известно из работ Биркго$
Смита, Е. Хопфа и др.
Теорема А. А. Маркова явилась, в свою очередь, обобщеня
теоремы Н. Н. Б о г о лю 6 о в а и Н. М. К р ы л о в а [2] о существ
*i E. Rothe, Amer. Journ. of. Math., 66A944).
•*) R. Marrot, С R. Acad. Sci., 217 A943).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 619
вании инвариантных мер в динамических системах. Рассматривая ком-
компакт Q с заданной в нём однопараметрической группой автоморфизмов
Tt{Q) ( — 00 < t < 00; q?Q), являющихся непрерывной функцией точки
(t, q), Н. Н. Б о г о л ю б о в и Н. М. Крылов доказали, что в Q
существует инвариантная мера т (е), т. е. вполне аддитивная функция
борелевских подмножеств Q, обладающая тем свойством, что т [ft (e)] —
= т{е) ( — со < t < со), причём /л (Q) = 1.
В силу известной теоремы Рисса-Радона об общем виде линейного
непрерывного функционала в пространстве С (Q) всех непрерывных
функций x(q) на компакте Q теорема Крылова-Боголюбова равносильна
существованию в пространстве С (Q) среднего М (х), инвариантного
по отношению к группе Tt (— 00 < t < со). Множество всех инвариант-
инвариантных средних выпукло, и Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов
показывают, что в нём имеется достаточное количество крайних точек.
Далее они выясняют, что крайним и только крайним инвариантным
средним М отвечают инвариантные транзитивные меры т (е). Инвариант-
Инвариантная мера т (е) называется транзитивной, если Q нельзя разбить на два
измеримых подмножества Qlt Q2 без общих точек, инвариантных по отно-
отношению к группе Т, и таких, что т (QJ > 0 и т (Q2) > 0.
Исследования Н. Н. Б о г о л ю б о в а и Н. М. К р ы л о в а со-
содержат много других результатов, составляющих важный вклад в тео-
теорию динамических систем, которые, вероятно, найдут себе более полное
отражение в другом обзоре. Мы их здесь касаемся постольку, посколь-
поскольку они содержат некоторые важные идеи функционального анализа.
Именно, в их работах впервые получило применение понятие крайней
точки выпуклого множества функционалов.
За этой теоремой последовала общая теорема М. Г. К р е й н а
и Д. П. М и л ь м а н а [1] о крайних точках регулярно выпуклого мно-
множества функционалов, которая получила немедленное применение в упо-
упоминавшейся также уже работе М. Г. К р е й н а и С. Г. К рейна.
В тот же период A940-1941 гг.) идея крайней точки была использована
в работе Н. Н. Б о г о л ю б о в а и С. Г. К р е й н а [1], основной
результат которой будет сформулирован ниже.
После того как «метод крайних точек» получил ещё одно блестящее
применение в работе И. М. Г е л ь ф а н д а и Д. А. Р а й к о в а [3] по
теории унитарных представлений локально-бикомпактных групп (см. § 6),
можно говорить о новом важном функциональном методе исследования,
разработанном советскими математиками.
Заметим также, что метод крайних точек и другие методы функ-
функционального анализа позволили Н. Н. Б о г о л ю б о в у [8] обобщить
формулированные выше его и Н. М. Крылова результаты по дина-
динамическим системам на случай некоммутативных групп гомеоморфизмов
компакта.
. ^формулируем упомянутый нами результат Н. Н. Боголюбова
и С. Г. К р е й н а, который являет собой обобщение теоремы Фреше
об интегральных уравнениях со стохастическими ядрами: пусть А —
толпе непрерывный линейный оператор, оставляющий инвариантным
щтгдралъный телесный конус К?Е и имеющий внутри К непсдмжныи
ттор Аи — и; ||Ц|! = 1. Тогда множество неподвижных положительных
Функционалов оператора А* образует симплекс; кроме того, если оператор
Щ имеет, помимо единицы, собственные числа, по модулю равные единице,
що все они являются корнями натуральной степени из единицы. Дальней-

620 ' ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
шее развитие этой теоремы получено недавно М. Г. Крейном и
М. А. Р у т м а н о м *).
2. Линейные полуупорядоченные пространства. Первые глубокие
идеи и методы исследования функционалов в полуупорядоченных простран-
пространствах были указаны Ф. Риссом в его докладе на Всемирном математическом
конгрессе в Болонье, в 1927 г. Развёрнутая аксиоматика полуупорядо-
полуупорядоченных пространств, которые сейчас справедливо называются/^-простран-
называются/^-пространствами, принадлежит Л. В. Канторовичу. Его фундаментальные
исследования в этой области, наряду с работой Фройденталя **)
легли в основу многочисленных работ советских (в основном ленинград-
ленинградских математиков, а также иностранньх учёнь х.
Линейное множество Е называется полуупорядоченным (по термино-
терминологии учеников Л. В. К а н т о р о в и ч а — пространством К4). если
для некоторых элементов из Е установлено соотношение х > 6, удо-
удовлетворяющее следующим четырём условиям:
1. Если х> 6, то хф 6.
2. Если х > О, у> Ь, то х + у > 6.
3. Если х > 0, к > О, то кх > 0.
Прежде чем сформулировать условие 4, необходимо заметить, чя
условия 1—3 позволяют ввести понятие х<у или, что то же, у>х
обозначающее, что у — х>Ь. Естественно писать: z = sup gjj, где 5Ш-
множество элементов из Е, если z > х для каждого х 6 Ш> но z < !*
если г' — элемент из Е, удовлетворяющий условию z'>x для каждог
х?ЭД?. Теперь можно сформулировать
4. Для всяких х, у 6 Е существует sup (x, у).
Для уяснения уже упомянутой связи теории полуупорядочении
пространств с теорией миниэдральных конусов заметим, что ем
обозначить через Ш «конус» всех элементов х>0 пространства I
то условие 4. будет обозначать, что пересечение всяких двух трав
лированных конусов Sa и й6 есть снова некоторый конус ®с, rj
с = sup (a, b); это и означает миниэдральность «конуса» й, а такл
(так как теперь не требуется, чтобы а, Ь?Ш), что й воспроизв
дит все Е (т. е. любой элемент представим в виде разности двух 31
менюв из Я).
Однако наиболее важные исследования ленинградских математик
относятся к так называемым К8-пространствам, в которых вывд
няется ещё следующее условие.
5. Всякое множество М элементов х?Е, ограниченное сверЗ
имеет supM.
В таких пространствах Л. В. Канторович естественным об
зом определяет понятие верхнего и нижнею пределов последовате
ности, ограниченной сверху и соответственно снизу:
lim~xn=inf{sup(xn+1, хп+„ ...)}>* lim xn =
n-юо (п) тГ^Гоо
*) Успехи матем. наук, 3:1 B5), A948).
**) Freudenthal, Konink Acad. v. wetensch. Amsterdam, 39 A936).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 621
Это даёт возможность установить следующие два понятия сходимости:
<°) —
(о)-сходимость: х„—>х, если lim xn= hm хп — х;
П-оо п->-оо
(О сходимость (или (*)-сходимость): х„ —»х, если любаяпод последо-
последовательность {хпл.} содержит часть, о)-сходящуюся к х.
Если в Е ввести топологию, считая замкнутым всякое множество,
которое содержит все свей (о)-пределы, то (*)-сходимость совпадает
с топологической сходимостью.
Исследование этих сходимостей привело Л. В. Канторовича
к необходимости выделить класс так называемых регулярных про-
пространств, удовлетворяющих, кроме аксиом 1—5 ещё следующей ак-
аксиоме
б.. Пусть М„ —такая последовательность множеств, что су-
существует lim [sup М„] =J0—конечный или бесконечный.
Тогда существуют конечные подмножества MndMn такие, что
li[M;]y
В регулярных пространствах для всякой (о)-сходящейся последо-
(о) .
вательности хп —>х существует регулятор сходимости — элемент х0,
такой, что | х„ — х j < ?Х0 при п S& N (е) (здесь | х | = х+ -+- х_, где х+ =
= sup(x, 0), x.==sup( — х, 0) (х=х+ — х.)).
К Е' Если в К8-пространстве введена метрика, удовлетворяющая
некоторым простым естественным требованиям, то оказывается, что
(*)-сходимость совпадает с метрической сходимостью.
В частности, если К6-пространство нормировано, причём, кроме
обычных аксиом, норма ещё удовлетворяет условиям
а) Цх.11 <||х,||, если |xl|<|x,|,
б) Цх„||->0, если х„|0; ||х„||-»с», если х„|<»
то*(*)-сходимость совпадает со сходимостью по норме (в-сходимостью).
Классические конкретные пространства (LD L(p> (p > 1), М, т, S, V
и т. д.) допускают естественную полуупорядоченность, причём (о)- и (t)-
«ходимости оказываются теми сходимостями, которые обычно изучаются
в этих пространствах. Например, в пространстве S измеримых функ- -
ций (о)-сходимость есть сходимость почти везде, (О-сходимость —схо-
—сходимость по мере.
- Многие классические теоремы о сходимостях в конкретных
пространствах (например, теорема Егорова об измеримых функциях,
теоремы о предельных переходах под знаком интеграла и другие)
оказываются частными следствиями общих положений теории про-
пространств К, и иной раз получают совершенно неожиданные доказа-
доказательства.
• Концепции полуупорядоченных пространств позволили Л. В. К а н-
ю р о в и ч у [23] обобщить метод мажорант и свести в единообразную
схему многочисленные. доказательства сходимости методов последова-
последовательного приближения — от ньютоновского метода решения алгебраиче-
алгебраических уравнений до решения некоторых классов нелинейных интеграль-
интегральных уравнений. Этим же методом доказано существование решений для
ВДного класса, бесконечных систем линейных и нелинейных уравнений
бесконечным числом неизвестных.

622 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Отправляясь от этих же идей, Л. В. Канторович провёл ряд
фундаментальных исследований по линейным (аддитивным и однородным)
операторам, отображающим некоторое полуупорядоченное' пространство
в другое полуупорядоченное.
Соответственно наличию (о)- и G)-сходимости вводятся в рассмотрение
классы операторов /•/?. Я°, /-/{ и Н1в; здесь, например, И\ означает класс
операторов, переводящих всякую (/)-сходящуюся последовательность
в (о)-сходящуюся.
При этом устанавливается, что Н\аН\с1Н1 — Н\. Кроме того, если
для любых хх > 0, х2 > 0 всегда !|хх + х21| = jj xt \\ + \\ х2 \\, то Н\ = Наа. Если
/^-пространство регулярно, то каждый оператор из Н\ представим в виде
разности двух положительных операторов из На0 (т. е. таких, которые
положительные элементы переводят в положительные).
Теория полуупорядоченных пространств дала возможность впервые
получить ряд общих теорем о продолжении линейных оператгров в ба-
нахоЕСких пространствах. В частности, для оператора класса #?,дей-
#?,действующего из банаховского пространства в /^-пространство, возможно
продолжение того же класса; получена также теорема о продолжении
линейного положительного оператора, в известном смысле обобщающая
результаты, ранее полученные С. Банахом, Ф. Риссом, и другие теоремы/
о продолжении положительных функционалов в пространствах функций..
Далее получена теорема о расширении непрерывных линейных оператс рев,
содержащая в качестве следствий различные теоремы о расширении
меры, функции множеств и т. д. Недавно Г. П. А к и л о в [1], учение
Л. В. Канто ровича, получил интересные результаты, в которых
методами полуупорядоченных пространств устанавливаются признак»
того, чтобы в данном пространстве Банаха каждая непрерывная линейная
операция допускала непрерывное продолжение. Оказывается, что такое
продолжение возможно далеко не во всех пространствах Банаха.
Л. В. Канторович и Б. 3. Вулих получили ряд резуль?
татов по аналитическому представлению линейных операторов классе»
Н°о, H°t, H\, действующих в полуупорядоченных и в нормированные
пространствах.
Первые результаты в этом направлении (Б. 3. В у л и х [3, 8]) епю
сятся к операторам, действующим в конкретных пространствах (отобр»
жающим L в М, L в С и т. д.). Затем, в более общей постановке (Л. В. Кая
торович и Б. 3. Вулих [1]) изучались операторы, область опреде
ления которых есть произвольное пространство Банаха, а область знав
ний—то или иное конкретное пространство. В аналитическом предег
злении операторов фигурируют абстрактные функции ^функции от <ж
лярного аргумента со значениями, принадл жащими некоторому баи.
ховскому пространству) различных классов, систематическое изучен!
которых, как уже упоминалось, было начато в СССР И. М. Гельфа
дом[4], который впервые применил их в вопросах аналитичеекг
представления линейных непрерывных операторов.
Развивая дальше метод использования абстрактных функа
Л. В. К а нторо вич [25] получил ряд теорем об аналитическомп^
ставлении операторов, отображающих некоторое конкретнее простр»
ство в произвольное пространство Банаха. Интересно, что б р.
случаев приходится привлекать абстрактные интегралы Хеллингер

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 623
Например, общая форма оператора класса Н], действующего из про-
пространства М* ограниченных измеримых функций х (t) (а <, / <, Ь) — в про-
произвольнее пространство К&, даётся в следующем виде:
где /(O=\x(x)dx, a g(t)~абстрактная функция, абсолютно непре-
а
(о)
рывная в том смысле, что 2 \g(w~ g(t'>)\ —>0> если 2I^~ /i J —> О,
интервалы (/,', ф — неналегающие. Оператор, переводящий простран-
пространство L в пространство Къ, также задаётся интегралом Хеллингера,
причём для операторов класса H't абстрактная функция g(t) удовлетво-
удовлетворяет услови^о Липшица
\g(Q — g(tl)\ <yo|f2 — M,
а для операторов класса Н\, который в данном случае совпадает
с классом //*, —условию
\\g(U)-g(fxn<C\t%-tx).
В частности, общая форма оператора класса Н\, действующего и;;
L в L(p)(p з* 1), выглядит так (Л. В. Канторович и Б. 3. В у-
лих [1]): ' .
ь
где
\ [sup ess | у (t, s) | Jp ds < oc.
Для операторов класса Н\ получается теорема Дэнфорда о пред-
представлении линейных непрерывных операторов, действующих из L в
L(P)(P>1). с существенным дополнением для случая р = 1. Заметим
ещё, что в вопросах об аналитическом представлении линейных операто-
операторов нашло себе существенное применение понятие о норме комплекса
элементов, разработанное Б. 3. Вулихом [8].
Мы уже упоминали о некоторых работах, в которых для ряда важных
случаев было выяснено содержание понятия полуупорядоченных про-
пространств путём его реализации с точностью до структурного изоморфизма
в виде того или иного конкретного пространства. Эти исследования
А. И. Ю д и н а, М. Г. и С. Г. К р е й н о в и др. в известном смысле про-
продолжаются в работах А. Г. П и н с к е р а, а также Б. 3. В у л и х а.
В исследованиях А. Г. П и н с к е р а [1, 2, 4 — 11 ] исходным момен-
моментом является понятие разложения /С6-пространства в «дизъюнктную»
сумму его подпространств. Говорят, что К5-пространство X разлагается
в дизъюнктную сумму подпространств {Ха}, если 1) подпространства X,
попарно дизъюнктны, т. е. если х' 6Ха>, х" 6 ХЛ-, то inf ((х' |, | х" \) = 0;
.2}для всякого х>0 существует представление x = sup{Xo}> бХ

624 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
х« > О.Это представление оказывается единственным. Можно показать, чтс
пространства—компоненты Х« обладают следующими свойствами:
1) Если множество Е с Xd ограничено в X, то оно ограничено и в Л
(Х« — «правильное» подпространство).
2) Если х' 6 X ; | х | < | х' |, то х ? Ха (X. — «нормальное» подпро-
странство).
3) Система {X,} полна в X, т. е. если элементх?Х дизъюнктен п<
всем Х«, то х = 0.
Справедливо и обратное предположение: если в X существует систеш.
{Хо} попарно-дизъюнктных подпространств, удовлетворяющих условия*
1), 2) и 3), то X разлагается в дизъюнктную сумму подпространства Л„
Фройденталь ввёл следующее важное понятие. Элемент е?Х назь
вается единицей, если для каждого х?Х; х > 0, непременно inf (е, х) > С
Оказывается, что всякое К6-пространство разлагается в диз^юнктнуь
сумму подпространств с единицей, /^-пространство называется непр*-
рызным, если всякий его положительный элемент может быть пред-
представлен в виде суммы двух положительных дизъюнктных элементоь
и дискретным, если для всякого его положительного элемента ;
существует элемент х': 0 < х' < х, не допускающий представления в в№-
суммы двух положительных дизъюнктных элементов. Устанавливается
что всякое Къ-про:транство разлагается в дизъюнктную сумму непрерьь-
ного и дискретного подпространств.
Далее А. Г. П и н с к ер показывает, что при довольно общих усло-
условиях /С5-пР°стРанство может быть разложено в дизъюнктную сумму под
пространств, каждое из которых структурно-изоморфно некоторому про-
пространству измеримых функций, заданных на хаусдорфовом бикомпакте
с вполне аддитивной мерой.
Среди прочих результатов, касающихся конкретного представление
/(^пространства, приведём следующий, не самый значительный, но про-
простой по формулировке: всякое дискретное К^-пространство данной мощ-
мощности изоморфно нормальной части пространства всех вещественных функ-
функций, заданных на некотором аб:трактном множестве.
Другие теоремы о реализации /С5-пространств получены недавда
Б. 3. В у л и х о м. В них /С5-Пространство реализуется в виде простран-
пространства непрерывных функций на хаусдорфовом бикомпакте, областью зна-
значений которых является вся бесконечная ось, превращенная в компак
путём присоединения точек +оо и —¦ оо.
В заключение укажем ещё, что Б. 3. Вулихом было предложен*
целесообразное определение произведения элементов в /F-пространсте
с единицей, которое он затем использовал для установления ряда общи,
теорем о линейных функционалах, непрерывных в смысле (o)-cxft
димости.
3. Отдельные исследования, а) А. Н. К о л м о г о р о в [2] привл*
внимание к теории линейных топологических пространств. Он показа"
что линейное топологическое пространство нормируемо тогда и толь
тогда, если в этом пространстве существует выпуклая, симметриш
относительно своего центра и притом ограниченная в определённом смы:,
окрестность. Заметка А. Н. Колмогорова вызвала к жизни бо.
шое количество тонких исследований ненормируемых линейных тог
логических пространств у нас и за границей.
Интересные результаты в этом направлении были получены у ь
Ю. Ф. С и р в и н т о м [5,С], а также В. Л. Шму л ьяном [3,10,1*

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 625
Родственным результату А. Н. Колмогорова является
критерий нормируемости топологического кольца, установленный
Д. П. Мильман ом'[14] с помощью метода, по идее заимствованного из
одной алгебраической работы И. Р. Ш а ф а р е в и ч а *).
б) Г. М. Фихте нгольц [1,3] занимался исследованием
линейных пространств Е, в которых определено понятие сходимости после-
последовательности элементов, удовлетворяющее ряду требований. Для ряда
случаев он установил общую форму линейных функционалов, опреде-
определённых на всём Е и непрерывных в смысле этой сходимости. Особенно
интересным является установленный им критерий нормируемости рассма-
рассматриваемых им линейных «сходимостных» пространств (с сохранением
топологии). /
§ 3. ОБЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
1. Аналитический вид линейных функционалов и операторов в про-
пространстве Банаха. Поскольку з приложениях функционального ана-
анализа приходится иметь дело с линейными операторами, действующими
из некоторого конкретного пространства X в другое У, весьма важным
представляется знание общего вида оператора для того или иного случая.
Вместе с тем, за исключением немногих случаев, даже для класси-
классических пространств X, Y (например, когда X и Y — пространства Гиль-
Гильберта) общий аналитический вид линейного непрерывного или вполне
непрерывного оператора не известен. Существенный шаг в деле изуче-
изучения указанного вопроса был сделан И. М. Г е л ь ф а н д о м [4] в его
кандидатской диссертации, защищавшейся в 1934 г.
Имея в виду охватить возможно большее число различных частных
случаев пар пространств X, Y, И. М. Г е л ь ф а н д конкретизирует одно
из пространств, а другое оставляет произвольным. Он находит общий вид
линейного непрерывного оператора, действующего из X в Y, для случаев,
когда: а) X — С{а, Ь) или LW{a, b) или /<'>, а У—вообще говоря, произ-
произвольное пространство Банаха; б) X — произвольное пространство
Банаха, a Y — V(a, b) или М, или (/), или (с). Аналогичные вопросы
он решает для вполне непрерывных операторов.
Для случая, когда X— некоторое пространство функций x(t){a<
<f < Ь),он ищет общий вид линейного непрерывного (или вполне непре-
ь
рывного) оператора А, действующего из XbY в форме Ах = \ x(t)dyt,
а
гдеу, (а < / < Ь) — некоторая абстрактная вектор-функция со значениями
из К, а для случая, когда У—пространство функций y(t)(a < / < b),
вформеАх = /,(х)(а< t < 6),где/, — некоторая абстрактная вектор-функ-
вектор-функция со значениями из Y* (сопряжённое с пространством Y линейных
непрерывных функционалов). В последней форме ещё Радон нашёл общий
вид линейного непрерывного (или вполне непрерывного) оператора, дей-
действующего из С в С, а Л. В. К а н то р о вич и Г. М. Фихтенгольц
ф, 2] решили ту же задачу для линейного непрерывного оператора, дей-
.ствующего из С в М (см. ниже).
Для отыскания общего вида операторов того или иного класса
И. М. Гельфанду приходится предварительно развить теорию
*) ДАН, 40 A943).
Ю Математика в СССР за 30 лет

626 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
абстрактных вектор-функций xt 6 X того или иного типа (вектор-функщй
с ограниченной вариацией в сильном или слабом смысле, слабо сумми-
суммируемых вектор-функций и т. д.). Эти исследования, возможно, имеют боль
шее значение, чем те задачи, для решения которых они понадобились
По И. М. Гельфанду вектор-функция xt 6 X (/,6 X*), где / 6 (a, b
называется слабо суммируемой, если для любого / g X* (х?АГ) существую
ь ь
\ дл*
интеграл Лебега^ f(xt)dt fy(x) = { ft(x)dt\ Оказывается, что
и а
такой функции всегда существует элемент S6A"** (g?X*) такой, чт!
/ ; (/) (у (х) = g (х)), и соответственно этому И. М. Г е л ь ф а н д пола-
ь ь
гает %~ \xidt(g—\t,dt'Y Он устанавливает различные условия, д«-
о о
статочные для того, чтобы элемент ? второго сопряжённого пространств^
X** принадлежал данному пространству. Его теория суммируемых фун!-
ций и их интегралов явилась значительным шагом вперёд в сравнение
с более ранней элементарной теорией Бохнера *). С помощью ^
И. М. Гельфанду удалось также установить ряд тонких признакос
того, чтобы абстрактная функция х, 6 X (а < t < b) имела почти всюд:
сильную производную. Для этого, например, достаточно, чтобы длг
любых разбиений (*„, /,,— fn) (интервала (а, Ь)) оставалась ограничен-
ограниченной сумма 2II хиы — хп II и чтобы пространство X было рефлективным
Последний результат, но только для частного случая, когда X—пш-
бертово пространство, был почти одновременно получен Биркгофом**).
В диссертации можно также найти много остроумных попутно уст*
навлизаемых предложений, неожиданных по содержанию или по метод1
доказательства (например, всякий непрерывный линейный оператор, деи
ствующий из рефлективного пространства в 1A\ вполне непрерывен, ил
пространство LA) и всякое сепарабелыюе пространство, содержат
часть, изоморфную L'1', не изоморфно никакому сопряжённому простриг-
ству и др.).
Так как диссертация была опубликована двумя-тремя годами позж
её выполнения, то за это время появился ряд работ американских матем»
тиков на ту же тему. Однако эти исследования оказались либо боле
частного характера, либо дополнениями к исследованиям И. М. Г ел»
фанда, сохранившим свою полную значимость и оригинальностью
настоящего времени.
Влияние диссертации И. М. Гельфанда можно обнаружь
в ряде работ ленинградских математиков, например, в обширных иссл
дованиях Л. В. Канторовича и его ученика Б. 3. В у л их
касающихся общего вида линейных операторов, действующих из одно
полуупорядоченного пространства в другое, в работах М. К. Г о в
р и н а [2] по теории интегралов Стилтьеса для абстрактных функт
основанных на понятии произведения элементов двух пространств Бана^
Здесь кстати будет указать, что, повидимому,- первой советской pal
той по теории пространств Банаха явилась работа Л. В. К ант
ровича и Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц а [1, 2]. В ней устанаа
*) Bochner, Fund. Math., 20 A933).
**) Birkhoff, Trans. Amer. Math. Soc, 38 A935).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 627
вается общий вид линейного непрерывного функционала /(х) в простран-
ствеЩа,Ь) (всех ограниченных измеримых функций
ь
с нормой || х |i = sup | х (t) [) в виде интеграла Радона / (х) = \ х (/) </Ф (t),
it
где Ф {е) — аддитивная в узком смысле функция множеств на теле всех из-
измеримых множеств из [а,Ь] (обобщение известной теоремы Рисса). Этот
вид специализировался далее при задании различных дополнительных
свойств функционала (см. более поздние работы Г. М. Ф и х т е н-
г о л ь ц а [1, 3, 4]). В этих работах было также показано, что мощность
пространства, сопряжённого с М (а, Ь), равна 2е, а сопряжённого с
М (а, Ь) равна 22':. Установление общего вида линейного непрерывного
оператора из С в М позволило показать, что линейные непрерывные опе-
операторы из С в С не всегда допускают линейное непрерывное расширение
из С в М.
А. А. Марковым получено другое обобщение теоремы Рисса
об общем виде линейного непрерывного функционала в пространстве С (Q)
всех непрерывных функций на некотором компакте Q (ср. обобщение Радо-
Радона-Сакса), которое по общности, простоте и законченности своих форму-
формулировок оказалось очень удобным для многих исследований. А. А. М а р-
к о в рассматривает произвольное нормальное топологическое простран-
пространство Т (нормальность означает, что для любых двух непересекающихся
замкнутых множеств F,,F2ciT найдутся их содержащие непересекаю-
непересекающиеся открытые множества Gu G2CZT) и пространство С (Т) всех веще-
вещественных ограниченных непрерывных функций на Т с обычной нормой
(И х|| = ?up \x(t) \), Из общих положений Рисса следует, что линейный
te т
непрерывный функционал /(х) в пространстве С (Г) допускает единствен-
единственное разложение / = Д — /- (II/II = !!/+!!+ 11/-!!)» где /+,/_—неотрицатель-
/+,/_—неотрицательные функционалы (аддитивные функционалы, принимающие на неотрица-
неотрицательных функциях неотрицательные значения). Используя некоторые идеи
Неймана, А. А. М а р к о в показывает, что всякий неотрицательный функ-
функционал ЦфО) допускает единственное представление в виде интегра-
интеграла Римана-Стилтьеса-Фреше: / (х) = ? х (/) d Ф (I f), где Ф (I) —- неотрица-
неотрицательная функция множеств, определённая на всяком подмножестве ЪаТ
и обладающая свойствами: а) Ф (&г + ?2) < Ф (&,) + Ф (&,), б) Ф (&t + ?a) =--
= Ф (&,) + Ф {%.), если пересечение ?, (~| %г пусто, и в)Ф(<?) = inf Ф(О), где
infimum распространяется на все открытые множества ОсТ, содержа-
содержащие Ь.
В связи с другими своими исследованиями об инвариантных мерах
А. А. М а р к о в исследует свойства мер Ф, порождаемых средним зна-
значением (неотрицательный функционал /(х), нормированный так, что
/(!)= 1, А. А. М а р к о в называет средним значением), инвариантным
по отношению к некоторому непрерывному отображению rf пространства Т
в самоё себя (/ (у) = / (х), если у (t) = х (ср (Q) (t 6 Г)).
При более общих предположениях глубокое исследование линейных
непрерывных функционалов в пространстве С(Т) и порождаемых ими
функций множеств с детальным рассмотрением вопросов слабой схо-
сходимости линейных непрерывных функционалов было произведено
А. Д. А л е кс а н д р о в ы м [1, 2, 3).
40*

E28 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Вопросами аналитического представления линейных непрерывных
функционалов и операторов занимался также ленинградский математик
Ю. Ф. С и р в инт [1].
А. П. Артёменко[1] иЮ. И. Гросбе р г [1 ] почти одновре-
одновременно нашли и исследовали общий вид линейного непрерывного функцио-
функционала в пространстве V (а, Ь) функций x(t)(a < /< b, x(a)=O) ограни-
ограниченной вариации с]\х|; = Varx(О-
Совсем недавно Б. Я. ЛевиниС. Г. Крейя нашли общий вид
линейного непрерывного функционала для некоторых новых классов
пространств Банаха и показали, что этот результат позволяет зна-
значительно обобщить исследования Лебега, Д. К. Ф а д д е е в а, И. П- Н а-
тансона и молодого киевского математика Б. И. К о р е и б л ю-
ма[1] (работа которого и послужила поводом для этих исследований) о
представлении функций сингулярными интегралами.
2. Базис, биортогональные системы к др. Как известно, последо-
последовательность {и(} называется базисом пространства Е Банаха, если
каждый элемент х 6 Е единственным образом предстазляется в виде
оо
x^y^CiUi.B этом случае, как показал Банах, коэффициенты ct =
i
= Fi(x)(i— 1, 2, ..,) суть линейные непрерывные функционалы. До сих
нор неразрешённым остаётся вопрос: во всяком ли сепарабельном про-
пространстве существует базис? Это обстоятельство придаёт особый интерес
исследованиям, посвященным изучению различных характеристик бази-
базиса. Ряд ценных результатов в этом направлении был получен М. М. Грин-
блюмом, руководившим научной работой в области функционального
анализа в Воронеже, а затем в Ташкенте. Из многих найденных им ха-
характеристик базиса мы ввиду его простоты и полезности приведём лишь
следующий критерий: пусть {ut} ? Е — некоторая полная система в Е
т. е. линейная замкнутая оболочка системы {и,} совпадает с Е. Тогда дл::
того, чтобы {щ) была базисом, необходимо и достаточно, чтобы сущ-,
ствовала такая константа а. > 0, что расстояние \>(Sn,S') > а для всех г.
Здесь Sn и Sn означают поверхности единичных сфер в подпространства:,
являющихся линейными замкнутыми оболочками последовательностей
Другие критерии того же автора формулируются для полных систе..
{и,-} с биортогональной системой {F,-} с Е* (Ft (и ) —tt ,i,k=l, 2,...), oi~
ладающей свойством тотальности (равенства Ft (х) =0, i = 1, 2,... вынат
няются одновременно только при х = 0). Если существует базис {и,-},тоо?
со
является одной из таких систем (в силу разложения х = 2 Ft (х) ut и еР
1
единственности). Полные системы {ц,}, которым отвечают тотальные биор-
биортогональные системы {F,}, оказывается, существуют в каждом сепарабель-
сепарабельном пространстве Е (А. И. М а р к у ш е в и ч [1 ]).
М. Г. К р е й н, Д. П. М и л ь м а н и М. А. Р у т м а н [I ] заметили,
что свойство последовательности {ut} быть базисом устойчиво в том смысле,
что всякая достаточно близкая к базису последовательность {v{\ такж
является базисом. В качестве такого условия достаточной близости можг,
быть взято условие о (u, v) = ^\\ Ft || || щ — vt \\ < 1. Последнее можно за

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 629
менять более слабым условием p(u, v) < оо, если дополнительно потре-
оо
бовать, чтобы 2 с^{ = 0 только при с,= 0(/ = 1, 2,...).
1
Этот факт был обнаружен после того, как Н. К. Бари [1] дока-
доказала, что если {щ} —полный о р пронормированный базис в гильбертовом
пространстве Е, то базисом в Е будет также всякая другая пдследд-
вательнвсть {v,-}<?, обладающая следующими двумя свойствами:
оо со
1) V|]u(. —<уг |]2<оо и 2) равенство ^tcivi = 0 возможно только при с, = 0.
Так как в пространстве С [0, 1] существует базис, то из результата
упомянутых трёх авторов вытекает, между прочим, следующее усиление
классической теоремы Вейерштрасса о полноте системы степеней /п(п =
= 0, 1,...) в С[0, 1]: существует последовательность полиномов {Рл@1
такая, что всякая непрерывная функция f (t) @ < t < 1) допускает един-
единственное равномерно сходящееся на сегменте [О, 1] разложение вида
Приходится удивляться тому, что в течение нескольких десятилетий
не было известно это уточнение теоремы Вейерштрасса, полученное столь
простыми средствами функционального анализа. Подчеркнём, однако,
что до сих пор не удалось найти полиномиальный базис {Р„} е С [0, 1],
элементы которого получались бы последовательно с помощью единой ана-
аналитической формулы, подобно тому как это имеет место для различных ор-
ортогональных систем классических полиномов (полиномы Лежандра, Че-
бышева, Эрмита и т. д.).
Свойства биортогональных систем {щ}?Е, {Ft}^E* становятся бо-
более прозрачными для случая пространства наиболее простой геометри-
геометрической структуры, когда Е = Е* = $ есть сепарабельное гильбертово
пространство. Обширное исследование биортогональных систем для этого
случая было произведено безвременно погибшим С. С. Л е в иным [1, 2]
и затем они были продолжены в разных направлениях М. М. Г р и н-
блюмом и Л. А. Гуревичем[1] ив последнее время Н. К. Бари
[1, 2] и К. И. Б а бе нк о[1].
Теорию базиса и вообще биортогональных систем следует рассматри-
рассматривать как один из вопросов теории аппроксимаций в абстрактной поста-
постановке функционального анализа. Следует указать, что в последнее
время в работах советских математиков общие идеи и методы функцио-
функционального анализа всё чаще и чаще используются для решения кон-
конкретных вопросов теории приближения. Упомянем здесь ряд иссле-
исследований Н. И. А х и езе ра [2, 4], Н. И. Ах иезера и М. Г. Крей-
на[1], А. И. Маркушевича [1, 2], М. Г. Крейна [24], С. М. Ни-
Никольского [3] и Е. Я. Ремеза [2, 3] (см. обзор по теории при-
приближения функций многочленами).
3. Отдельные исследоЕания. а) Г. А. Сухомлинов, ученик
А. И. Плеснера, повидимому, впервые обнаружил очень простое,
но важное обстоятельство, что теорема Гана о возможности расширения
линейного непрерывного функционала с сохранением нормы допускает
обобщение на случай нормированных пространств, в которых определено
умножение на комплексные скаляры (или даже кватернионы).
б) С. М. Н и к о л ь с к о м у [1,2] принадлежит исследование, в неко-
некотором роде завершающее исследования Ф.Рисса, Радона и др. о максималь-

|>30 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ных областях GA комплексной плоскости /., в которых резольвента
(I—л А) (А —какой-либо линейный непрерывный оператор в банаховом
пространстве Е) представляет собой мероморфную функцию, и об от-
открытом множестве ФА всех тех к, для которых для уравнения х —ХАх = у
и сопряжённого ему уравнения a — kA*g — f, справедливы обычные
утверждения теории Фредгольма-Рисса-Шаудера. Известно было, что сум-
сумма всех ОА принадлежит ФА. С. М. Никольский показал, что эта
сумма не всегда совпадает с Фд. Полученные здесь результаты С. М. Ни-
Никольского о радиусе Фредгольма оператора явились обобщением ранее
установленных Н. Н. Боголюбовым (см. также М. Розенберг
[1]) некоторых предложений относительно операторов А, для которых
при некотором целом п существует вполне непрерывный оператор S та-
такой, что || А" — S |! < 1.
в) В. Р. Гантмахер[1] показала, что если линейный непрерыв-
непрерывный оператор А отображает единичную сферу пространства Е в сла-
слабо компактное множество в Е, то этим же свойством обладает и сопря-
сопряжённый оператор.
г) М. Г. К р е й н [38] построил теорию вполне непрерывных опера-
операторов в пространстве с двумя нормами (гильбертовой и банаховой), обоб-
обобщающую различные исследования по теории интегральных уравнений.
4. Некоторые вопросы нелинейного анализа. Здесь мы рассмотрим
некоторые вопросы нелинейного анализа, примыкающие к проблемам
общего дифференциального исчисления в абстрактных пространствах,
которыми занимались в основном Л. А. Люстерник и его ученики.
а)Дифференциальное исчисление в линейных
и локально линейных пространствах. Дифференциа-
Дифференциалом в смысле Фреше df (a, h) функции / (х) в линейном пространстве Е на-
называют линейный функционал La(h)—df{a,h) такой, что f(a + h) —
рассматривать как оператор, отображающий Ев Ё—«оператор гради-
градиента».
1 акая трактовка задач вариационного исчисления дана в работе
Л. А. Люстерника [7] (см. обзор по вариационному исчислению),
а также в курсе М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерни-
Люстерника [1 ]. Пространства «допустимых кривых» для ряда основных вариацион-
вариационных задач (задачи в параметрическом виде,с подвижными концами) суть
нелинейные пространства, но «локально» линейные (линейные в бесконеч-
бесконечно малом). На таких пространствах в цитированном курсе тоже опреде-
определяется понятие дифференциала.
В работе Л. А. Люстерника [12] локально линейные про-
пространства определяются как пространства, в которых окрестности ка-
каждой точки «почти изометрически» отображаются на окрестности нуля
некоторого пространства Банаха Е («касательного» пространства
в точке а).
Отображение s(M)=M! метрического пространства М в Mi на-'
зывается почти изометричным в точке а?М, если —- ¦ °,' s;f-' —>l npt
(р (а, а') + f> (а, а")] -» 0. Здесь s (а'), s (а") — образы точек а', а" при от»
Сражении s; \>к и ,'Х — расстояния соответственно в М иМх. Втакихл*
кально линейных пространствах можно рассматривать дифференцируемы
функционалы и операторы (линейные в бесконечно малом).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 631
б) Верхние размерности и их применение.
Подпространство в локально линейном пространстве М имеет верхнюю
размерность к (размерность со — к), если оно локально определяется к
независимыми дифференцируемыми условиями. Множества верхней раз-
размерности к играют в бесконечномерных пространствах ту же роль, что
множества размерности п — к в л-мерных. Они были введены для гео-
геометрического изучения структуры в целом важных функциональных про-
пространств (например, пространства кривых с общими концами на сфере)
(Л. А. Л ю с т е р н и к [3]). Дальнейшее изучение этих пространств
потребовало применения топологического аппарата верхних гомологии
Колмогорова-Александера (Л. А. Л ю с т е р н и к [21]).
Существенно, что многообразия верхней размерности к > 2 в связном
локально линейном пространстве не разбивают последнего. Это позволя-
позволяет применить к бесконечномерным функциональным пространствам прин-
принцип продолжения, неоднократно применявшийся в конечномерных слу-
случаях; пусть некоторое свойство верно для фиксированного «неособого»
элемента а0; будучи нерно для неособого элемента а, оно переносится на
достаточно близкие к нему элементы; совокупность «особых» элементов име-
имеет верхнюю размерность к > 2. Тогда свойство имеет место для всех неосо-
неособых элементов. Таким свойством в пространстве уравнений часто являет-
является свойство иметь нечётное число решений; этим способом удаётся ино-
иногда доказать наличие нечётного (значит, не равного нулю) числа решений
для всех «неособых» уравнений данного класса, а предельным перехо-
переходом—наличие решений и для особых уравнений. В качестве примера
рассмотрим задачу о собственных нормированных функциях, т. е. реше-
решениях системы
ь
У" + ?(х,У,у')-'-У, У(а) = у(Ь), ^y*dx=\. A)
и
Здесь <р — нечётная функция пары аргументов у и у': <?(х, —у,—у') =
— — ? (х> У> у); при 9 = О система A) имеет для любого целого к > 0 нечёт-
нечётное (одно) число пар решений, отличающихся знаком и имеющих внутри
интервала (а, Ь) точно к нулей. Это свойство ' переносится для всех
«неособых» ср, поскольку «особая» совокупность в пространстве функций
<р имеет верхнюю размерность 2. Предельным переходом это свойство
доказывается и для «особых» ср. Для проведения рассуждения наклады-
накладывается ограничение на порядок роста функции ср относительно аргументов
у и у'. Таким образом свойство краевых задач линейных дифференци-
дифференциальных уравнений — случай ср = а (х) у (х) -f Ь (х) у' (х) — обладать «соб-
«собственными» решениями с любым числом узлов переносится на «нечётные»
уравнения (Л. А. Л ю с т е р н и к). Такое обобщение свойств линейных
уравнений на нечётные или на однородно-нечётные удаётся в ряде слу
чаев.
в) Оператор градиента. Такое же обобщение дано для
теоремы о том, что всякий линейный симметричный позитивный вполне
непрерывный оператор имеет счётное число собственных значений. Эта
теорема перенесена на однородно-нечётные (Л. А. Л ю с т е р н и к [11]),
а затем просто нечётные (В. И. Соболев [1], Э. С.Цитл анадзе [1, 2])
¦операторы градиента позитивных функционалов в гильбертовом про-
пространстве (см. обзор по вариационному исчислению).
В связи с этим Э. С. Ц и т л а н а д з е [2] была доказана любо-
лытная теорема: оператор градиента слабо непрерывного функционала

632 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
в гильбертовом пространстве вполне непрерывен. Результаты переносятся
и на операторы градиента в некоторых других пространствах, напри-
например, Lp.
г)Почти изометрические отображения линей-
линейных пространств. Вопрос о единственности (с точностью до изо-
метрии) касательного пространства к локально линейному приводит к сле-
следующей задаче: будут ли изометричны два пространства Банаха, если
существует почти изометрическое в точке отображение окрестности одного
из них на окрестность другого.
Это предложение доказано для конечномерного случая; для беско-
бесконечномерного оно доказано лишь при дополнительном предположении
дифференцируемости (М. И. В и ш и к). Однако, как показал А. Г. С и-
г а л о в, почти изометричность отображения не влечёт его дифференци-
дифференцируемости. М. И. В и ш и к показал также, что отображение одного линей-
линейного пространства Банаха в другое, почти изометричное в каждой точке,
есть изометрическое отображение.
А. Г. Сигалов [1] поставил задачу определить класс дифференци-
дифференцируемых кривых, инвариантный по отношению к почти изометрическим
отображениям и в известном смысле минимальный. Таким оказался класс
«квазидифференцируемых кривых». Пусть х@—функция со значениями
в пространстве Банаха, непрерывная относительно вещественного аргу-
аргумента/, х@) = 0. Мы скажем, что х@ квазидифференцируема при*=0,
> О для лю-
если существует предел -^~ при t —> 0 и если
бых пар последовательностей tk-+0 и 4 = 0, для которых tk = O{t'k)
— -^
'к <*
д) Локальная и интегральная метрик и. В локаль-
локально линейном пространстве, наряду с его «интегральной» метрикой, имеет
место локальная метрика—метрика того линейного пространства, на кото-
которое почти изометрично отображается окрестность исходного простран-
пространства. А. Г. Сигалов рассмотрел вопрос индуцирования интегральной
метрики локальной (подобно тому как в п-мерных многообразиях зада-
задание элементов дуги ds индуцирует интегральную метрику). Дано локально
компактное пространство М, окрестности которого гомеоморфны неко-
некоторым множествам в банаховском пространстве Е. Тем самым задана в них
локальная метрика—метрика в Е, задан элемент дуги ds. Процессом инте-
интеграции получается длина кривой и вводится интегральная метрика в М,
где расстояние между точками определяется как нижняя грань длив
кривых, соединяющих эти точки. А. Г. С и г а л ов [2] в весьма общих
предположениях доказывает существование кривой, реализующей этот
минимум расстояний между своими концами, обобщая, таким образом, на
бесконечномерный случай теорему Менгера о существовании решений
вариационных задач.
е) Полунепрерывность кратных интегралоа
Переходя от одномерной метрики к двумерной, т. е. от обыкновенных
интегралов вариационного типа к кратным, А. Г. С и г а л о в [2] иссле-
исследует свойства функционалов, заданных кратными интегралами. Много-
Многочисленные работы таких выдающихся математиков, как Лебег, Гур<$
Хаар, Тонелли, Радон и др., были посвящены исследованию полунепре-
полунепрерывности функционалов вариационного исчисления, задаваемых интегр*

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 633
лами J (г) =\\ f(x. у, z, ^ , ~Л dx, dy. Путём сочетания деликатных
теоретико-функциональных и геометрических методов А. Г. С и г а л о в
доказывает полунепрерывность функционалов такого типа в самых общих
предположениях, не требуя даже дифференцируемое™ F.
ж) Аналитические функционалы. Предыдущие иссле-
исследования имели исходным пунктом вариационные задачи. Несколько
в стороне от этой тематики находится работа об аналитических функцио-
функционалах Г. А. Сухомлинова [1]. Рассматривается линейное норми-
нормированное пространство Е, в котором определено умножение на комплекс-
комплексные числовые множители. Рассматриваются «слабые» дифференциалы
комплекснозначных функций на таких пространствах: df (a, t) =
= lim — f— . Функция, обладающая слабым дифференциалом
в каждой точке некоторой области G, называется аналитической. После-
Последовательно доказываются следующие свойства такой функции: 1) слабый
дифференциал её является и «сильным», т. е. дифференциалом Фреше;
2) она обладает дифференциалами всех высших порядков; 3) для неё
имеет место локальное разложение в ряд типа Тэйлора по её дифферен-
дифференциалам последовательных порядков.
С другой точки зрения вопросы дифференциального исчисления
и полиномиального разложения функционалов трактуются в работе
М. К. Г о в у р и н а [3] (эти исследования примыкают к проблематике
п. 1 настоящего параграфа).
§ 4. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
Систематическая разработка спектральной теории операторов в гиль-
гильбертовом пространстве началась в СССР совсем недавно —не более чем
десять лет тому назад. Вместе с тем за этот короткий период советским
исследователям удалось разработать ряд важных глав этой теории, капи-
капитальным образом завершающих основные её построения. Одновременно
эти результаты советских математиков открыли новые широкие выходы
теории операторов в классический анализ и перспективы новых больших
её применений.
1. Спектральные функции эрмитова оператора. С целью выяснить
целеустремлённость и взаимодействие наиболее важной группы работ,
проделанных в указанном направлении, начнём с некоторых работ фун-
фундаментального значения, впервые выяснивших одно из самых основных
понятий теории эрмитовых операторов —понятие неортогональной спек-
спектральной функции эрмитова оператора негипермаксимального типа.
Здесь мы имеем в виду два важных цикла работ: более ранний—А. И. П л е-
с н е р а [1, 2] по теории максимальных операторов негипермаксимального
типа и далее—М. А. Н а й м а р к а [9] по теории общих эрмитовых, неги-
пермаксимальных операторов. Мы, следуя порядку логической связи,
начнём с последних работ. Предварительно приведём ряд общих фактов
и уточним терминологию, которой мы будем пользоваться.
Комплексное число X называется точкой регулярного типа для линей-
линейного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, если ему
отвечает такое кх > О, что \Af — ~kf\>kx\f\ для всех / ? ф (А) — области
определения оператора А. Легко видеть, что множество р (А) всех точек

«K4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
регулярного типа открыто. Каждому л g j> отвечает кардилыюе числом,
равное числу измерений ортогонального дополнения 9?А к множеству
(Л —>./) ф (А). Оказывается (М. А. Красносельский [1],
М. Г. К р е й н и М. Л. К р а с н о с е л ь с к и й [1 ]), что щ сохра-
сохраняет постоянное значение для всех /. одной и той же компоненты
множества р(А). Для эрмитова оператора (% (А)~ .?, {Ag, }) = {g, Af)
для всех g, f ? 2) (Л)) множество \> (А) содержит в себе все невещест-
ненные точки и поэтому п;. сохраняет соответственно постоянные зна-
значения n+ = nt(A) и п_ = п_. (А) при всех л с Itn/. >0 и Im/.<0. Этот
факт, установленный впервые в общем случае эрмитова оператора Ней-
Нейманом*), позволил последнему ввести для эрмитова оператора понятие
индекса дефекта —упорядоченной нары (п+, п.).
В дальнейшем мы будем рассматривать только замкнутые эрмитовы
операторы. Как известно, линейный оператор А называется замкну-
замкнутым, если из Afn~*g и /„—>/<, следует, что /О€55(А) и g = Af0. Для
всякого эрмитова оператора существует наименьшее его замкнутое рас-
расширение А, при этом для любого невещественного >. замыкание множества
(А — II) ф (А) даёт (А — а/) ф (А).
Замкнутый эрмитов оператор А называется, по Нейману, гиперма-
кшмалъным (а, иначе, большей частью, самосопряжённым), если nt (A) =
= я_(А) = 0, и максимальным, если хотя бы одно из дефектных чисел и
и+ и ц_равно нулю.
Замкнутый эрмитов оператор А допускает гипермаксимальное рас-
расширение тогда и только тогда, если п+ (А) —п_(А).
Ещё Карлеман**) показал, что у эрмитова оператора с равными де-
дефектными числами (Карлеман, собственно, рассматривал операторы
в L,, задаваемые вещественным интегральным ядром, для которых всегда
п+ = п.) существуют, кроме ортогональных спектральных функций, ещё
особые неортогональные спектральные функции. Облекая карлеманов-
скую теорию интегральных операторов в L2 в абстрактную форму, Стон***)
показал методом Карлемана, что неортогональные спектральные функции
существуют у всякого негипермаксимального замкнутого эрмитова опе-
оператора.
М. Г. К р е й н [25] заметил, что излагаемые ниже результаты
М. А. Н а й м а р к а позволяют заменить определение Карлемана-Стона
обобщённой спектральной функции (которое нам в дальнейшем не пона-
понадобится) следующим ему эквивалентным. Однопараметрическое семейство;
Е (а.) (— оо < л < оо) ограниченных эрмитовых операторов (определённых
на всём ф) называется обобщённой спектральной функцией замкнутого
эрмитова оператора А, если для любого /?§ : 1°. (Е (л)/, /) не убывает
при возрастании X; 2°. Е (л.) / — непрерывная слева вектор-функция I;
3°. Е(л)/—>0 при а—;>—оо и E(/S)f—»/ при /. —»-оо и, кроме того,j
оо оо j
для любого /€2>(А); 4°. А/= J i*dEQ*)f, |A/|2=-- J л2 d (?(>.)/,/) (при
со со
этом векторный интеграл в первом соотношении понимается в смысле5
сильной сходимости векторов в (i§)
*) J. Neumann, Math. Ann., 102 A929).
**) Stone, Sur les Equations integrates singuliferes a noyaxreel et symetriqua. Uppsala
A923).
***) Carlerran, Linear Transformations in Hilbert space. New York A932).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 635
Существование обобщённых спектральных функций у замкнутого
эрмитова негипермаксимального оператора А Карлеман и Стон уста-
устанавливали путём аппроксимации (в особом смысле) оператора А ограни-
ограниченными операторами Ап{п — \, 2,...), получая при этом ?(-.) как сла-
слабые пределы обычных ортогональных спектральных функций Е„ (/-)
операторов Ап(п — 1, 2,...).
В дальнейшем семейство ?(/.) ( — оо < X, < сю) ограниченных эрми-
эрмитовых операторов, обладающее свойствами спектральной функции 1° —3°,
но не обязательно 4°, будет именоваться дистрибутивной оператор-
функцией.
М. А. Н а й м а р к у принадлежит следующая классическая по
своей простоте и важности теорема: для того чтобы семейство Е {^)
(— оо < X < оо) ограниченных эрмитовых операторов было дистри-
дистрибутивной оператор функцией, необходимо и достаточно, чтобы оно
допускало представление
E?)f = PE(k)t, B)
где Ё A)~ некоторая ортогональная дистрибутивная оператор-функция
в некотором гильбертовом пространстве §, содержащем g, a P—оператор
ортогонального проектирования § на §*). Поясним, что дистрибутивная
оператор-функция Е(к) называется ортогональной, если Е (х.) Е ([*) = Е (v),
где v = min (X, ц).
С помощью этого предложения М. А. Наймарк устанавливает
основную теорему теории спектральных функций замкнутых эрмитовых
операторов: для того чтобы дистрибутивная оператор-функция
?(Х)(—оо < л. < оо) была спектральной функцией замкнутого эрмитова
оператора А, необходимо и достаточно, чтобы она допускала предста-
представление B), где Е (л) —обычная ортогональная спектральная функция неко-
некоторого гипермаксимального расширения А оператора А в некотором объем-
объемлющем пространстве §цй.
М. А. Наймарк даёт правило конструирования всех гипермакси-
гипермаксимальных расширений А оператора А с выходом в более широкое
пространство j§ из .?, устанавливает, в каких случаях два различных рас-
расширения А и А' с выходом в одно и то же или разные объемлющие
пространства | и|' приводят к одной и той же спектральной функции
Б {к), и в результате получает, так сказать, наиболее экономное правило
для отыскания и построения любой спектральной функции оператора.
Одновременно он впервые выясняет, что аппроксимационными процес-
процессами Карлемана в принципе может быть получена любая спектральная
функция данного эрмитова оператора; но неудобство этих процессов
втом, что они не дают возможности описать множество всех спектральных
функций оператора, как это позволяет сделать теорема М. А. На й-
ма рк а.
Сравнительно недавно под влиянием тех успехов, которые были достиг-
достигнуты советскими математиками применением «метода крайних точек»,
М. А. Н а й м а р к [14.15] исследовал крайние спектральные функции
¦ *) Эту теорему М. Л. Н а й м а р к сперва установил |9| весьма слс
редствами, но впоследствии нашёл простое и идейное доказательство |12].
) у ру М р р у || сложными
средствами,

636 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
оператора А. Легко видеть, что множество К (А) всех спектральных функ-
функций ?().) данного замкнутого эрмитова оператора А выпукло, т. е. если
Ег (>-), Е% (>-) € К (А), то и весь отрезок рЕ1 (/.) + A - ?) Е2 (/.) (О < р< 1)
принадлежит^ К (А). Соответственно этому спектральная функция
Е (>.) ? К (А) называется крайней, если она не является центром никакого
отрезка из К (А).
Представляют также интерес исследования М. А. Н а й м а р к а [8]
о специальных спектральных функциях Е р.) замкнутого эрмитова опера-
оператора А, обладающих свойством, что множество /€ф> для которых
,l)<*, C)
совпадает с Ф (А) (в общем случае оно содержит Ф (А) как свою правиль-
правильную часть).
Интересные обобщения исследований М. А. Н а й м а р к а получены
недавно М. А. Красносельским. Последний детально изучил
эрмитовы расширения неполных эрмитовых операторов (т. е.
линейных операторов 'А, удовлетворяющих условию (Ag, /) =
= (g, Ag) (g, /б 2) (Л)), где " Ф (А) неплотно в ф). В частности,
М. А. Красносельский доказал, что всякий замкнутый неполный
эрмитов оператор А всегда допускает полное эрмитово расширение
А (ф (А) = ф) и выяснил, когда среди этих расширений имеются гипер-
гипермаксимальные.
2. Теория максимальных операторов. Легко показывается, что у
замкнутого эрмитова оператора А будет единственная спектральная функ-
функция в том и только в том случае, когда он максимален (М. А. Н а й-
ма рк [9]); эта функция будет ортогональной тогда и только тогда,
когда оператор гипермаксимален.
Глубокое исследование по теории максимальных операторов, пред-
предшествовавшее работам М- А. Н а й м а р к а по обобщённым спектраль-
спектральным функциям эрмитовых операторов, произведено А. И. Плеснером
[1, 2]. Автор прежде всего замечает, что аналогично тому, как это имеет
место для гипермаксимальных операторов, можно утверждать, что мно-
множество всех/?^, удовлетворяющих условию C), где Е (\)—спектраль-
(\)—спектральная функция максимального оператора А, совпадает с Ф (А).
В общей теории спектральных функций остаётся открытым вопрос:
какими структурными свойствами должна обладать дистрибутивная опе-
оператор-функция Е (>ч) для того, чтобы являться спектральной функций
некоторого эрмитова оператора. Этот трудный вопрос ещё до возникно-
возникновения его в общей постановке был полностью решён А. И. Плеснером
[1, 2] для того случая, когда оператор А максимален.
Для характеристики спектральных функций максимального опера-|
тора А. И. Плеснер вводит в рассмотрение оператор-функцию'
D(a, [a) = ?(v) — E(t.)E ([*), где v = min(K, jj.) ( — oo < X, p. < oo), харак-
характеризующую отклонение от ортогональности, и устанавливает следую-
следующую теорему: для того чтобы дистрибутивная функция Е ().) (— сю <д.<<х>)
была спектральной функцией некоторого максимального оператора
с индексом дефекта @, п), необходимо и достаточно, чтобы при любых
/€ Ф и (*€ (— ос,оо) функция от X:(D (/., у) /, /) была абсолютно непре-
непрерывна и е'ё производная была класса (Ц/х).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 637
Поясним, что комплекснозначная функция F (х) (— оо < х < оо)
называется функцией класса (W,,) {р>\), если она есть граничная
¦функция некоторой аналитической в верхней полуплоскости функции
F(x+iy) (y>0), обладающей тем свойством, что
sup \ \F(x + iy)\pdx< оо.
Эта теорема позволила А.И. Плеснеру развить теорию функций
максимального оператора, которая оказалась значительно сложней соот-
соответствующей теории функций гипермаксималыюго оператора. Не вдаваясь
в подробности, укажем, что с помощью спектральной функции Е (л) макси-
максимального оператора А строится класс Л-измеридшх функций;каждой функ-
функции F(\) этого класса относится оператор Z7 (А), с областью онределе-
ния ®F (состоящей т всех / 6 *Q, ^ I F ().) \гй {Е ().) /, /) < со), для
которого в известном смысле F (A)/— \ F(k)dE{k)f (/6 2)j). Линейное
— со
соответствие F (/.) —> F (А) обладает свойством, существенным образом
нарушающим аналогию со случаем гипермаксималыюго оператора. Оказы-
Оказывается, что если для А-измеримых функций G (к) и F (к) и /?& имеет
смы:л выражение G (A) F (А) /, то
(G(A)F(A)/, /) =
со со
F ().) О (>.) </ (Е {).) /, /) - \ ^ 00 G (jx) dA </ц (D (д., j.) /, /).
Далее, А. И. Плеснеру удаётся выделить из множества А-изме-
А-измеримых функций некоторое линейное кольцо функций Q(А), обладающее
тем свойством, что для любых G (I) 6 Q (А) и F (к) 6 ^ (А) двойной инте-
интеграл в написанной формуле обращается в нуль. Для функций из кольца
Я (А), оказывается, сохранится мультипликативность ^соответствия
F{l)->F (А), точнее, если f, (>.), F. (X) € ^ (А) (или ^ (X), F, (а) 6 ^ (А))
и /="(/.) =5^ (X)F2 (л), то F(A)/ = F1(A)F2(A)/ для всех/, для которых
правая часть имеет смысл.
Все эти положения применяются к изучению уравнения F(A)f = g.
А. И. П л е с и е р [4] показывает также, что развитая им теория
функций максимального оператора позволяет обосновать и указать широ-
широкие границы применимости операторного исчисления Хевисайда, kotoj
рое представляет собой, по сути, не что иное, как исчисление функций
специального оператора дифференцирования в некотором пространстве
функций ? {t) (t > 0).
Заметим ещё, что плеснеровское кольцо функций Q (А) для макси-
максимального оператора А с индексом дефекта @, п) содержит в числе прочих
функций все функции классов Wp (р > 1), а также все функции ехр (//>.)
(*0

638 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Операторы Ut = ехр(г7Л) (t > 0), соответствующие последним
функциям, оказываются полуунитарными (т. е. изометричными и ото-
отображающими все ф в свою правильную часть). Более того, имеет место
следующее предложение: общий вид непрерывного однопараметрического
семейства полуунитарных операторов Ut (t>0), образующих абелееу
полугруппу UJUt = Us+t (s. t > 0), даётся формулой
e'»dE(l)f (/еВ, />0),
где Е(\)—спектральная функция некоторого максимального оператора А
с индексом дефекта @,п) *). Непрерывность полугруппы означает, что для
люоых t и g, f?H функция /: (U,f, g) непрерывна. Эта теорема напоми-
напоминает по содержанию известную теорему Стона о непрерывной однопара-
метрической группе Ut (— с» < t < оо) унитарных операторов, но для
своего установления требует более тонких средств.
Здесь кстати будет упомянуть о другом интересном обобщении тео-
теоремы Стона, полученном И. М. Г е л ь ф а н д о м [8], который рассмотрел
однопараметрическую группу Ut (—ос < t < оо) линейных непрерывных
операторов в банаховом пространстве со свойствами: 1)при любомД?
выражение Utf ( — оо< t < оо) есть слабо непрерывная функция t,
2) ВД,«=У,,, (-co<t,s<oo) иЗ) ;|U,i:<M(-oo<f< оэ). Импока-
зано, что всякая такая группа допускает в известном смысле пред-
представление Ut =• ехр(НА) (— оо<*<оо), где Л—некоторый замкнутый,
вообще говоря, неограниченный линейный оператор с областью опреде-
определения %(А)сЕ, плотной в Е (в случае Стона А—гипермаксималышй
оператор).
Возвращаясь к максимальным и полуунитарным операторам, напом-
напомним, что между этими двумя классами операторов имеется простая
связь, указанная ещё Нейманом. Если А—максимальный оператор
с индексом дефекта @,п), то его преобразование Кэли—оператор
U~{A-\-iI)(A — iI)'1 будет полуунитарным, не имеющим неподвижных
векторов <?Ф0 (?/<р = ?), и, наоборот, всякому такому полууиитарному
оператору U отвечает максимальный оператор с индексом дефекта @, п),
связанный с ним указанным соотношением. Это позволяет свести теорию
максимальных операторов к теории полуунитарных и наоборот. В частно-
частности, спектральному разложению эрмитова оператора соответствует опре-
определённое спектральное разложение полуунитарного оператора, природа
которого также выяснена А. И. Плеснером [3].
3. Теория полуограниченных операторов. Эрмитовы операторы А,
встречающиеся в математической физике, большей частью бывают полу-
полуограничены, т. е. для них (при полуограниченности снизу)
/п(А)= inf <#!>>< оо.-
)
Такие операторы всегда допускают гипермаксимальное расшире-
расширение А, для которого т{А) = т (Л). М. Г. К р е й н [33,36,37]**) впервые вы-
*) Не да .но Купер (Cooper, Ann. of Math., 48 A947)) повторил часть результа-
результатов Л. И. И л е с н е р а о полугруппах Uf (ОЭ) полуунитарных операторов.
**) См. также М. Г. К р е ii н и М. А. Красносельский [I].

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАДИЗ 639
ценил, когда такое расширение единственно, и более того, дал полное опи-
описание всех возможных гипермаксимальных расширений А, для которых
т (A)>y> ^Де Y — наперёд заданное число, не большее, разумеется,
чем т(А).
Замена S=A—у/ на 5 = Л —у/ сводит вопрос об отыскании
таких расширений к отысканию всех положительных гипермаксималь-
гипермаксимальных расширений ~S положительного оператора S (т (S) > 0). С другой
стороны, если S (Ф S*) — замкнутый положительный оператор, то опе-
оператор В={1 — S)(I + S)~1, определяемый равенством
будет неполным эрмитовым оператором, т. е. его область определения
1)(A)^(/ + S)S(S) не будет плотной в ?j, а будет составлять пра-
правильнее подпространство в ?, и (Bg,f) = (g, Bf)(g, /б?). Кроме того,
оператор В будет иметь || В || = 1.
М. Г. Крейну принадлежит следующая основная теорема о не-
неполных эрмитовых операторах: пусть В—некоторый неполный эрмитов
оператор с нормой ||В||<1. Тогда множество $ (В) всех полных эрми-
эрмитовых расширений В оператора В (Ф (в) = $}) с нормой < 1 непусто. Более
того, оно содержит два крайних расширения В^. и Вм таких, что
эрмитов оператор В' E5 (В') = ф) принадлежит 93 (В) тогда и только
тогда, когда
Символическое неравенство для эрмитовых операторов: В <С(ф (В) =
= ®(С) = $) означает, что ВфС и (Bf, /)<(C/,/) для всех /eg.
Из этой теоремы с помощью преобразования В — (/--S)(/ + SI
выводится теорема о расширении положительных операторов: множе-
множество $ (S) всех положительных гипермаксимальных расширений S поло-
положительного оператора S содержит два крайних расширения S^ и Sm,
обладающих тем свойством, что гипермаксимальный оператор S' йудет
принадлежать S$ (S) тогда и только тогда, если при каком-либо а > О
(а тогда и при всех а > 0) выполняется неравенство
(Sn + aiy' < (S' + а/)-1< (SM + al)'1.
Далее, выясняются условия, при которых существует единствен-
единственное положительное расширение SiS^ — SM), устанавливаются различ-
различные характеристики жёсткого расширения Sy, и мягкого Sm и различ-
различные конструктивные формулы перехода от произвольного расширения
Se$(S) к жёсткому S».. Эти результаты позволили М. Г. Крейну
выработать ряд существенно новых методов установления теорем
суй ествования функций Грина и правил их конструирования для
различных краевых задач с дифференциальным оператором эллипти-
эллиптического типа.
Другие применения этих результатов получаются в проблемах
типа стилтьесовской проблемы моментов.

640 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
4. Эрмитовы операторы с конечным индексом дефекта (и, я).
Обобщённой резольвентой замкнутого эрмитова онератораА называется
оператор-функция /?2(Imz=?0), образуемая по формуле
IE а)
где Е(>.) —некоторая (ортогональная или неортогональная) спектраль-
спектральная функция оператора А. Решение вопроса о конструктивном опре-
определении общего вида обобщённой резольвенты Rz замкнутого эрмитова
оператора даёт одновременно решение вопроса о конструктивном
определении множества всех спектральных функций замкнутого эрми-
эрмитова оператора. Указанный вопрос получил полное решение в рабо-
работах М. Г. К р е й н а [34] для случая, когда дефектные числа п+ (А) = п_(А)
конечны. М. Г. Крейн также нашёл общий вид резольвенты Иг
положительного замкнутого эрмитова оператора A(nt(A) — п_ (А) < оо),
не имеющей отрицательного спектра (?(^) = 0 при X < 0). В его
постановке вопрос решается в предположении, что задана хотя бы
одна ортогональная резольвента /?* оператора А и базис {g1; ... , gn}
ортогонального дополнения 3?z к (A —z/J)(A) (т. е. базис решений
уравнения Ag — zg=O) хотя бы для одного невещественного z. Инте-
Интересно, что в окончательной формуле, дающей общий вид R7, появ-
появляется матрица-функция F(z) = ||//a.B)||,\ голоморфная при Imz>0
и обладающая тем свойством, что эрмитовой матрице
F (z) + F* (z) = || f,k (z) + Шъ1 Ч
(удвоенная «вещественная часть» матрицы F(z)) соответствует неотри-
неотрицательная форма при любом г (Im г > 0).
Для случая п+ (А) = п_ (А) = 1 этот результат был получен рань-
раньше одновременно и разными путями М. А. Най м а рко м [13] и
М. Г. К ре ином [25]. Постановка самого вопроса была подсказана
проблемой моментов (обыкновенной и обобщённой —см. п. 5 этого
параграфа), для которой его решение имеет фундаментальное зна-
значение.
В другом направлении велись исследования замкнутых эрмитовых
операторов Ас индексом дефекта (п, п) (п < со) М. С. Лившицем.
Его результаты приобретают большую общность, если от рассмотре-
рассмотрения простых замкнутых эрмитовых операторов с индексом дефекта
(п, п) перейти к простым *) замкнутым изометрическим операторам V.
По определению индекс-дефекта такого оператора будет (п, п), если
размерности ортогональных дополнений 9i и Ш' к его области опре-
определения Ъ(У) и области значения Ш(У) будут равны_п. Тогда при
любом С(|С| Ф 1) ортогональное дополнение 92с к 3t(/ — CV) будет иметь
размерность п. Пусть {g }«, {git}" — некоторые фиксированные орто-
нормированные базисы пространств 9? и W, a {gk (i^)]1} —произвольный
базис 9?г. Оператору V М. С. Лившиц относит матрицу-функцию
W (У (К I < 1)» которую он называет характеристической матрицей-
*) Изометрический оператор V называется простым, если у него нет инвариант-
инвариантного пространства, в котором он был бы унитарным.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 641
функцией изометрического оператора V и которую определяет равен-
равенством
W &) = М-1 &) N С),
где
М С) = И (g, С), g*) ill. N (".) •= ||; (g, (С), gi ||« (| С |< I).
Он устанавливает следующие два предложения:
Для того чтобы матрица функция W (?) была характеристиче-
характеристической функцией некоторого изометрического оператора, необходимо
и достаточно, чтобы она была голоморфна внутри единичного круга,
обращалась в нуль при С = 0 и при любом С(|С|<1) имела норму,
меньшую единицы, т. е.
п п п .
V
/=i
Для того чтобы два простых изометрических оператора К, и Vt>
действующие в пространствах ^ и .§2, были унитарно эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы существовали две постоянные унитар-
унитарные матрицы U' и U" такие, что
Если оператор V получается с помощью преобразования Кэли из не-
некоторого эрмитова оператора, то в первой теореме функция W(Q должна
удовлетворять ещё одному дополнительному условию, которое также
устанавливается. Особенно подробно связь между матрицей-функцией
W(С) и изометрическим оператором V (эрмитовым оператором Л) изучена
М. С. Лившицем для случая п=1, для которого W(Q обращается
в регулярную функцию, отображающую внутренность единичного
круга в свою часть, оставляя точку Z. — 0 неподвижной.
Отметим следующую, найденную им, неожиданную по своей про-
простоте, характеристику оператора дифференцирования \ — ~^ (Л > 0)
bLB)(O, I) с областью определения, состоящей из всех абсолютно не-
непрерывных функций /€LB)@, 1), удовлетворяющих граничным усло-
условиям/СО) = /A) = 0 и имеющих производную/'6ЬB)@, 1). Оказывается,
Ш того чтобы простой замкнутый эрмитов оператор А был унитарно
эквивалентен некоторому оператору дифференцирования Ah(h>0), необ-
необходимо и достаточно, чтобы он имел индекс дефекта A, I) и допускал
расширение А без спектра.
М. С. Л и в ш и ц у [3] удалось развить теорию спектра и инвари-
инвариантных подпространств (своеобразную теорию элементарных делителей)
для различных квазиунитарных расширений изометрического операто.
ра V. Расширение V оператора V он называет квазиунитарным, если
j)(V) = 4g и V отображает 91 в 91'. Эти исследования позволили ему
обнаружить существование обширного класса несамосопряжённых си-
систем граничных условий для одномерной краевой задачи с самосопря-
Кённым дифференциальным оператором, которым отвечают полные
шстемы главных функций-
'1 Математика в СССР за 30 лет.

642 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Особенно .важным является то, что введение характеристических
функций открыло путь к построению теории многозначных аналитиче-
аналитических функций от замкнутого эрмитова оператора с индексом дефекта
(п, п). Основная идея заключается в том, что если в характеристиче-
характеристической функции W(Q совершить подстановку С = ? (z), где с? (z) (® @) = 0) —
функция, конформно отображающая внутренность единичного круга
в свою часть, то функция W(<?(z)) окажется характеристической функ-
функцией некоторого замкнутого эрмитова оператора В (определяемого
до унитарной эквивалентности) и который в силу ряда соображений
естественно рассматривать как функцию Ф (А), где z = $(?) — обратная
функция к cp(z).
Ввиду того, что в релятивистской волновой механике рассматри-
рассматривают такого рода функции от замкнутых эрмитовых операторов с ин-
индексом дефекта A, 1), оставляя большой произвол в толковании их
математического содержания, эти идеи М. С. Лившица, возможно,
найдут важные применения.
5. Эрмитовы операторы с индексом дефекта A, 1). В связи с иссле-
исследованиями по проблеме моментов М. Г. К р е й н [25—28] развил особую
теорию эрмитовых операторов с индексом дефекта A, 1). Для этой
теории, так же, впрочем, как и для исследований А. И. Плеснера
по максимальным операторам, характерно применение значительного
аппарата теории аналитических функций.
Если замкнутый эрмитов оператор А имеет индекс дефекта A, 1),
то при любом невещественном z подпространство 3#2 = (А — г!)Ъ(А)
имеет одномерное ортогональное дополнение. Если элемент и 6^ вы-
выбрать так, чтобы он не принадлежал fgjz и 3JJ- хотя бы при одном
z(Imz=#=0), то каждому элементу /?ф будет отвечать ы-функция
/„ (z) (Im z < 0), мероморфная внутри каждой из двух плоскостей Imz > О
и Imz<0, такая, что / — /n(z)u6 9#z. Легко видеть, что соответствие
f-^fuiz) обладает тем свойством, что если g = Af, то gu (z) = z/u(z).
При исследовании эрмитова оператора с индексом дефекта A,1) всегда
можно ограничиться случаем простого оператора (оператора, для кото-
которого не существует инвариантного подпространства ^ос4 в котором
он гипермаксимален). В этом случае соответствие /—>/u(z) также
взаимно однозначно. Легко также показывается, что всякая спектраль-
спектральная функция Е(к) такого оператора А вполне определяется неубыва-
неубывающей функцией о (/.) = (? (к) ц, и) ( —оо <Х < оо); множество последних
обозначается через VU(A).
Функцию a?Vu(A) M. Г. Крейн называет канонической, если
она порождается ортогональной спектральной' функцией Е (к) опе-
оператора А.
Пусть теперь {фа.} —некоторый ортонормированный базис. Положим.
= (x*,a) (fc=l, 2, ...)
где вектор-функция 7.*€^й определяется из соотношения
М. Г. Крейн доказывает, что оператору А и «масштабу» и всегда
соответствуют 4 функции pt{z), д((г) (г = 0, 1), для которых при любом

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 643
выборе базиса {<pA}f им.еют место разложения
к 1
(z) рлп - Рх (*) лдс)=(z - с) 2 v*
^. (z) jt»i (С) — ^ (z)p0 (С) =- 1 + (z — Г) 2 Т* (*) Фа- (С).
Функции p,-(z), qt(z) [i—0, 1), естественно, определяются с точностью
до некоторого линейного преобразования.
Если можно указать такую окрестность точки 0, где все функции
b(z) (?= 1, 2, • • •) голоморфны, то функции qt{z), pt(z) (/ = 0, 1) могут
быть построены по формулам
Использование результата М. Г. Крейнаи М. А. Наймарка
об общем виде обобщённой резольвенты эрмитова оператора с инде-
индексом дефекта A, 1) (см. п. 4) приводит далее к теореме: общий вид
функции o6Vu(A) определяется из соотношения
do (А) _ р0 (z) + -г (z) pt (z) .г Q
где ¦: (г) — произвольная голоморфная внутри верхней полуплоскости функ-
функция, для которой 1тт(г)>0. Функциям т(г)^ С (С — вещественная
конечная или бесконечная постоянная) и только им отвечают канониче-
канонические функции o6Vu(A).
Роль функций e?Va(A) выясняется следующей теоремой, ^а кото-
которую М. Г. К р е й н был наведён и которую получил, отправляясь от
одного результата М. С. Лившица [1] (см. следующий п. 6). Если
и-функции gu(z) и /u(z) элементов g, /б? голоморфны на всей веще-
вещественной оси, то
Таким образом, если, например, масштаб и возможно выбрать
так, что все ы-функиии /„ (z)(/e$) будут голоморфны, то пространство
$ реализуется в виде некоторого пространства аналитических функций
р М — со < л < оо), в котором скалярное произведение изображается

644 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
(многозначно) в виде интеграла Стилтьеса, а оператор А в виде опера-
оператора умножения на аргумент. Этот случай, между прочим, имеет
место при соответствующем выборе масштаба и тогда и только тогда,
когда вся вещественная ось состоит из точек регулярного типа
(т. е. для каждого >.( — оо </ч < оо) найдётся положительное кх>0
такое, что |(А-/./)/| > *д|/|, /еФ(А)).
Последнее условие эквивалентно тому, что хотя бы одно (а тогда
и всякое) гипермаксимальное расширение А оператора А имеет дискрет-
дискретный спектр (обратный оператор А'1 вполне непрерывен). В этом случае
функции ФА.(z), сопряжённые с функциями <?к(г) (A: =1,2, ...), вычис-
вычисляются по очень простому правилу:
где о —произвольная функция из VU(A).
Более общий случай получается, если предположить только, что
множество 5Rn тех / 6 $> для которых /„ B) голоморфно на всей веще-
вещественной оси, плотно в $• В этом случае (а значит, и подавно в пре-
предыдущем) можно утверждать, что неубывающая функция о(/.)=
= з(л — 0)(о( — оо) = 0, а(оо)<оо) принадлежит VU(A) тогда и только
тогда, когда о удовлетворяет равенству D) для всех g, /63iu и, таким
образом, является решением некоторой обобщённой проблемы момен-
моментов. Если в предыдущем случае каноническая функция о (и) оказыва-
оказывалась всегда функцией чистых скачков, сгущающихся на бесконечности,
то теперь можно утверждать, что всякая каноническая функция о (а)
имеет почти всюду производную, равную нулю. Для канонических о?\/аЩ
и только для них множество функций /u(M(/6 9i) плотно в L{2).
Здесь, как и в дальнейшем, Lj2) обозначает гильбертово простран-
пространство всех о-измеримых и с а-интегрируемым квадратом функций
/(*¦)( — °° < '• < <*) с обычным определением скалярного произведения
/. g)=
Замечательный класс простых замкнутых эрмитовых операторов Д[
выделяется, если потребовать существование целого масштаба, т. е<
такого масштаба и, что все /„(z)(/6 $) — целые функции. Сами опер^
торы этого класса М. Г. К р е й н [27] также назвал целыми. Оказываете^
что у целого оператора А всегда существует целый вещественн
масштаб и, который притом определяется с точностью до скалярно
множителя. Поясним, что масштаб и называется вещественным,
каждому / б ? отвечает g 6 ? такое, что /„ G) = g^(z) (Im 2 ф 0).
Для целого вещественного масштаба вводится функция

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 645
и устанавливается следующая теорема: функция D(x + iy) есть чётная
функция от у, монотонно растущая вместе с \у\; при этом
Число Л>0, однозначно соответствующее целому оператору А,
М. Г. Крейн называет типом иелого оператора А.
Последняя теорема показывает (и этим она важна), что все
целые функции /„ (z) не вьше экспоненциального типа h и имеют
в качестве индикаторной диаграммы отрезок мнимой оси.
Теорема позволяет установить ряд асимптотичгских характеристик
спектра любого гипермаксимального расширения А целого оператора А,
совпадающего теперь с последовательностью корней уравнения
где произвольное вещественное с определяется выбором А.
М. Г. Крейну удалось также дать полное описание всех цельх
операторов данного типа h > 0 (результат ещё не опубликован). Первый
пример целого эрмитова оператора типа h > 0 был получен этим
автором при исследовании «неопределенного» случая в проблеме про-
продолжения положительно определённой функции F (х) (|х| *са).
6. Спектральная теория эрмитовых операторов и проблема момен-
моментов. Как известно, под «степенней прсблемей моментов» понимают
круг вопросов, возникающий в связи с задачей о представлении задан-
заданной последовательности вещественных чисел {S*} в видг
(t) (A = 0, 1, ...), E)
где a(t) (t?j) - некоторая неубывающая функция в конечном или
бесконечном (в одну или обе стороны) замкнутом интервале J, кото-
который также предполагается заданным.
Первые замечательные результаты в этом круге вопросов принад-
принадлежат П. Л. Чебышеву A874 г.), далее А. А. Маркову и Стилтьесу.
После некоторого перерыва вопросы этой теории снова привлекли
внимание многих аналистов (Гамбургер, Невашшнна, М. Рисе, Кар-
леман и др.).
Начиная с 1933 г. интерес к проблеме моментов поддерживался
в СССР работами Н. И. Ахиезераи М. Г. Крейн а, которые
в течение ряда лет разрабатывали' и совершенствовали малоизвестные
идеи и начинания А. А. Маркова, составляющие особое направление
в конструктивной теории функций (см. соответствующий обзор
С. М. Никольского в этом сборнике).
Однако то замечательное развитие, которое получила проблема
моментов в СССР, было осуществлено на других путях, на путях,
показавших, что при соответствующем обобщении проблемы моментов

646 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
её узловые вопросы сливаются с центральными вопросами спектраль-
спектральной теории эрмитовых операторов. При этом оказалось также, что
влияние методов проблемы моментов и спектральной теории операторов
взаимно. Благодаря этим работам советская математика заняла ведущее
место в той области, в которой первые замечательные результаты
были получены П. Л. Чебышевым и его учеником А. А. Марковым.
Начнём прежде всего с исследований М. Г. К р е й н а и М. С. Л и в-
ш и ц а, показавших, что всё богатство закономерностей классиче-
классической проблемы моментов сохраняется при следующем обобщении в её
постановке.
Пусть L — некоторая линейная система аналитических функций/(/),
на всей вещественной оси обладающая свойством:
а) если /6L и для некоторого вещественного a: f(a) = O, то также
(V@ L
()V@ 6
Пусть, кроме того, на L задано квазискалярное произведение (g, /)
(g, f ? L), т. е. функционал, обладающий всеми свойствами обычного ска-
скалярного произведения, кроме разве того, что в неравенстве (/, /) 3s О
знак = может также иметь место при jфО. Тогда возникает следующий
комплекс вопросов (обобщённая проблема моментов).
Каковы условия того, чтобы функционал (/, g) допускал представление
U,g)= \ f(t)g?)do(t), (б)
—оо
где о (/) = о (/ — 0) (— оо < / < оо, о @) = 0)—некоторая неубывающая функ-
функция? Когда такое представление единственно (проблема является опре-
определённой)? Как находится общий вид представления в случае его неедин-
неединственности?
В этой общей постановке классическая проблема Гамбургера будет
соответствовать тому случаю, когда L есть множество всех полиномов от /.
Если в качестве L выбрать множество всех рациональных функций
(или всех правильных рациональных функций), полюса которых при-
принадлежат наперёд заданной последовательности точек {zk} (\mzk> 0),
то проблема, как показал М. Г. К рейн, становится эквивалентной
так называемой проблеме Неванлинна-Пика (интерполяционной про-
проблеме отыскания функции, голоморфной в верхней полуплоскости и ото-
отображающей её на свою часть, по её значениям на последовательности
точек {zk}).
Обозначим через D множество всех /gL таких, что tf?L. Предпо-
Предполагая, что 1 6 L и что функции / 6 L только непрерывны на всей веществен-
вещественной оси, М. С. Лившиц [1J доказывает, что условие а) вместе с усло-
условиями :
Р) С/, g) = (/»'?) (Л g€D);
у) D плотно (точнее квазиплотно) bL по отношению к норме
(квазинорме) ||/|| = \/~JfJ),
гарантирует существование по крайней мере одного представле-
представления F).
Этот результат М. С. Лившица (который мы сформулировали
несколько более общо, чем у него) явился первым общим признаком
существования представления F), открывшим новые перспективы для
проблемы моментов. В пояснение значения этого результата М. С. Л и в-
ш и ц [1] доказывает теорему: пусть К —некоторое выпуклое множество

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 647
комплексной плоскости г, содержащее точку О*) и имеющее мнимую ось
своей осью симметрии. Для того чтобы функция F(z) (z б К) допускала пред-
представление
F(z)= ^ <?'"*'do @, G)
— СО
где o{t) = o{t—0) (о(— оо) = 0 — некоторая неубывающая функция, необ-
необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной и чтобы при любых
2гг б К, • • •, 2г„ 6 К (л=1,2, ...) эрмитова форма ^}F (z}- — 7k) fy zk была
неотрицательна.
Необходимость условий тривиально проверяется. Для доказательства
достаточности расссматривается множество всех функций /(/), допускаю-
допускающих представление /(/)=\ exp{izt)dt(z),. где Кг—множество точек г
таких, что 2z?K, a dt(z)—некоторый дифференциал обложения ком-
комплексными массами Кх- Это множество обладает свойством а) и 1 ? L.
В L можно ввести скалярное произведение, полагая для 7i>/»€^:
if и /») = \ \ F (z — С) d-ч (z) dt2 (С). Тогда будет выполняться также р)
и представление G) получится из соответствующего представления E).
Для случая, когда К есть отрезок (конечный или бесконечный) мни-
мнимой оси, последняя теорема превращается в теорему С. Н. Б е рнштей-
яа об экспоненциально выпуклых функциях, для случая К — { — оо, оо)—
в известную теорему Бохнера о непрерывных положительно определён-
определённых функциях/ (х) и для случая Кв(—а, о)—в её обобщение, найденное
М. Г. Крейном [15] .
Заметим, что только для последнего случая проблема представления
функции F(z) в виде E) может быть неопределённой (допускающей раз-
различные решения).
Возникающие в связи с этим сложные вопросы были подробно иссле-
исследованы М. Г. К р е й н о м [15], и именно здесь были обнаружены уди-
удивительные аналогии с классической проблемой моментов, показавшие, что
последняя является одной из многих задач некоторого круга проблем.
Укажем также, что проблема, о которой идёт речь, в силу теоремы
Бохнера, может быть формулирована как проблема продолжения поло-
положительно определённой функции F(x) (| х < а) (т. е. функции,которой отве-
отвечает положительно определённое ядро F(x — у) @<х, y<fl) на всю веще-
вещественную ось с сохранением положительной определённости.
Отклоняясь несколько в сторону от нашей основной темы, отметим,
кстати, что ряд тонких результатов по последней проблеме был также по-
получен А. П. А р т ё м е н к о [2] (только немногие из них появились в
печати). В частности, в обобщение теоремы М. Г. К р е й н а он пока-
показал, что не только непрерывная, но даже всякая неизмеримая положи-
положительно определённая функция F(x) (|x|<a) имеет положительно опре-
определённое продолжение на всей оси (в настоящее время опубликовано
только последующее доказательство этой теоремы, данное Б. Я. Л е-
виным [1], в связи с которым он нашел ряд интересных обобщений
*) Это условие несущественно, так как условие 1?L несущественно (см. дальше).

648 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
известной теоремы Фейера-Рисса о неотрицательных тригонометрических
полиномах на случай целых почти периодических и других клас-
классов функций). А. П. Артёме н ко принадлежат также различные
другие предложения об измеримых и неизмеримых положительно опре-
определённых функциях на всей оси, которые затем обобщались М. Г. К р е й:
ном [18,21], на случай положительно определённых функций f(g),
заданных на группе (см. § 5).
Возвращаясь снова к обобщённой проблеме моментов, укажем также
на то, что свою теорему о достаточности условий а), C) и I fc L для суще-
существования представления F) М. С. Лившиц обобщил на случай
системы L функций многих переменных и применил его к исследова-
исследованию проблемы продолжения положительно определённых функций мно-
многих переменных.
Однако при исследовании вопросов единственности представления
E) и других связанных с ними вопросов М. С. Л и в ш и ц натолкнулся
на ряд значительных трудностей. Последние были преодолены в работах
М. Г. Крейна [25—28]. М. Г. Крейн показывает прежде всего, что
при условии аналитичности на всей вещественной оси функций <р системы
L, удовлетворяющей условию а), уже одни условия C), у) (без условия
16^) достаточны для существования представления F). Более того, можно
указать необходимые и достаточные условия (в них войдёт, конечно, усло-
условие $)) существования представления F), но наибольший интерес будет
представлять именно случай выполнения условий р), у), который в даль-
дальнейшем только и рассматривается. Также не представляет интереса
случай, когда произведение (g, /) сингулярно (т. е. (/,/) = 0 по крайней
мере для одного /ФО)—в этом случае представление (б) всегда един-
единственно и функция о очень просто находится.
Представление F) неединственно тогда и только тогда, когда эрми-
эрмитов оператор А, определяемый равенством А<р=/<р (<рб?О, имеет индекс
дефекта A,1). В этом случае выделяется однопараметрическое семейство
канонических функций о, (t) (— оо <s <oo), дающих представлениеF), для
которых L плотно в /Да).
Именно для исследования этого случая М. Г. К р е й н и построил
общую теорию замкнутых эрмитовых операторов с индексом дефекта
A,1). Если же представление F) единственно, то индекс дефекта опера-
оператора А может иметь одно из трёх значений: @,0), A,0), @,1), при этом
только при первом значении индекса дефекта множество L плотно в Lf\
где о — неубывающая функция, дающая представление F). За недостатком
места мы опускаем тот большой аналитический аппарат, который
М. Г. К р е й н построил для распознавания того, какой именно случай
имеет место, а также для эффективного построения общего вида предста-
представления F) в случае неопределённости проблемы.
Эти исследования, между прочим, позволили М. Г. К р е й н у по-
получить ответы на все основные вопросы проблемы продолжения винто-
винтовых дуг.
Непрерывная линия ? = ?, ( — оо < f < оо) в гильбертовом простран-
пространстве ф называется бинтовой линией, если скалярное произведение
B{s, t) =(;r+s — cr,?r+f — К) ( — °° <r, s, t < оо) не зависит от г.
Для случая вещественного гильбертова пространства определение
эквивалентно тому, что длина хорды || Е,„ — ?, || = d (s) (— оо < г, s < ю)
не зависит от г. Для этого случая винтовые линии были введены и изуча-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 649
лись Нейманом и Шенбергом. В общем случае винтовые линии были
рассмотрены А. Н. Колмогоро вы м [4, 5] в связи с теорией слу-
случайных функций со стационарными приращениями.
В гильбертовом пространстве Lf\ соответствующем некоторой не-
неубывающей нормированной функции о (>.) = а (к — 0) ( — оо < X < ос;
а( — оо) = 0, с (со) < оо), такой винтовой линией будет, например, линия
?(*> = <?,(),) = [exp(ifX) — 1] _/_(_ оо < X < с»). Основной результат
А. Н. Колмогорова гласит, что для всякой винтовой линии
?,С§ найдётся одна и только одна ей изометричная линия Ц°\ или, что
то же, всякой винтовой линии отвечает одна и только одна нормирован-
нормированная функция о такая, что
МО- (8)
Пользуясь методами обобщённой проблемы моментов, М. Г. Крейн
[30] доказывает, что и для всякой винтовой дуги ?t(a <ct<b) найдётся
ей изометричная дуга ^(a^t<ft) и, вообще говоря, не одна. При этом
винтовая дуга ?, {а < t <. Ъ) определяется так же, как и винтовая ли-
линия с тем отличием, что скалярное произведение В (s, t) теперь состав-
составляется только для значений г, r-f s, r-{-tn3[a,b]. Из этого результата
вытекает, что для всякой винтовой дуги 5, (a<f <;?>) существует винтовое
продолжение—винтовая линия Г,( —oo<f<oo) такая, что Г, = ?,
(а < t < b). Отыскание всех винтовых продолжений ?, данной дуги ?,
(a <f < b) сводится к отысканию всех нормированных о, удовлетворяющих
(8), при 0 ^ s, t <b — a. Оказывается, что если винтовая дуга St (a < t< b)
однозначно продолжается, то её винтовое продолжение С, лежит в наи-
наименьшем замкнутом линейном многообразииL? (вообще говоря, не содер-
содержащем начало координат), «натянутом» на дугу ?,. Если же винтовая
дуга ?,(a<f<6) неоднозначно продолжается, то она имеет однопа-
раметрическое семейство канонических винтовых продолжений (т. е.
лежащих в L?), а также продолжения it, для которых Г совпадает с
любым наперёд заданным линейным многообразием LCZ&, содер-
содержащим Lj. Среди канонических расширений имеется одно и толь-
только одно продолжение %, вида 5, = ut + t\t (— оо < t < оо), где и 6 ?, а
%( — оо < f < оо)—унитарная линия; все прочие канонические расши-
расширения суть унитарные линии, радиусы которых заполняю^ некоторый
интервал (р, оо), при этом существует одно, и только одно, каноническое
продолжение %, радиуса у и два, и только два, продолжения любого
радиуса /?>р.
Поясним, что непрерывная линия (или дуга) ?, называется унитарной,
если найдётся такой «центр» р, что (?s — p, ?, — р) зависит только от
разности s - t.
Унитарная дуга (линия) всегда является винтовой дугой (линией).
Среди её центров всегда имеется один, и только один, лежащий в Li,
и соответствующая ему константа г'=Ц$, — р\\ называется радиусом
дуги (линии).
М. Г. Крейн [21, 22] решил также поставленную А. Н. Колмо-
Колмогоровым проблему: какому условию должна удовлетворять функция

650 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
о винтовой линии S,( — оо</<оо) для того, чтобы эта линия вся
умещалась в линейном многообразии, натянутом на её половину
?t(— oo<f<0). Этим условием (необходимым и достаточным) оказа-
лось условие расходимости интеграла \ A +f2)~1loga'@<#(= — оо).
Последняя проблема, если её сформулировать для унитарной линии
(с центром р — 0), является континуальным аналогом соответствующей
проблемы для стационарных последовательностей {?„}"» в $ (т. е. по-
последовательностей со свойством (?„, ?т) = / (т — п)), решённой ранее
А. Н. Колмогоровым [4, 6].
Эти две проблемы А. Н. Колмогорова привели М. Г. К р е й-
н а к ряду предложений, формулируемых чисто аналитически. Неко-
Некоторые из них потом подвергались дальнейшим обобщениям в работе
Н. И. Ахиезера [2].
Возвращаясь снова к общим исследованиям, укажем, что дальней-
дальнейшая эволюция проблемы моментов привела М. Г. К р е й н а [35] к разра-
разработке теории особого класса эрмитовых операторов—эрмитовых операто-
операторов с направляющими функционалами,—теории, которая открыла путь
к новым широким обобщениям теорем гармоническбго анализа бохне-
ровского и планшерелевского типа, чрезвычайно сблизившим эти два
различных типа теорем.
Пусть L — некоторое линейное множество, а А—линейный оператор
в L с некоторой областью определения QaL. Система из т однопара-
метрических семейств линейных функционалов Ф,>tf; к) (/=1,2, ...т,
— оо < X < оо) называется направляющей для оператора А, если:
1) для каждого /6L функции Ф,(/; /.) (/= I, 2, , т) аналитически
зависят от Xg( —ос, оо), 2) хотя бы при одном значении X функцио-
функционалы линейно независимы и 3) при данных /?L и >,6 (—°°,4- °°)урав-
°°)уравнение А<р — /-<? = / имеет решение в том и только в том случае, если
Ф,(/; х)=0(/ = 1,2,...,/п).
Пусть теперь в L задано некоторое скалярное (или квазискалярное)
произведение (/, g) (/, g?L) и по отношению к нему некоторый эрми-
эрмитов оператор А с направляющей системой функционалов Ф; (/. а)
(/= 1, 2,... , т). М. Г. Крейн доказывает, что тогда существует
некоторая эрмитова матрица-функция S (/.) = || о/А. (}.) |jm (— со < к < оо),
которой соответствует неубывающая с растущим X эрмитова форм
2 aik (*¦) ?Д"; такая, что для любых g, / б L
\ ф/(/;*)ф*(г;ь)*>у*(>0- (9)
;, k--l -со
Решается также вопрос о единственности функции S (к) (при её
нормировке условиями S @) = О, S (а — 0) = S ().)).
Обобщённая проблема моментов, трактовавшаяся выше, теперь
соответствует тому частному случаю проблемы отыскания функции S (/.),
когда т ¦— 1.
Теорема о существовании представления (9) позволяет без труда
установить ряд общих теорем о представимости непрерывных положи-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 651
тельно определённых ядер F (х, у) (х, y€j, J—конечный или бесконеч-
бесконечный интервал) в виде
т
при этом {еру (х; X)}™—некоторый базис всех решений, удовлетворяющих
какой-либо системе граничных условий уравнения L? — >-<р — 0, где L —
дифференциальный оператор любого порядка, удовлетворяющий весьма
немногим требованиям. Эти результаты М. Г. К р е й н использовал
для установления теорем бохнеровского типа для положительно опре-
определённых ядер F (p, a) {р, </€ Q) на некоторых римановых многообразиях
Q—ядер, инвариантных относительно транзитивной группы движений
в Q. Они соприкасаются также с некоторыми важными исследованиями
Б. М. Левитана иА. Я. Повзнера, о которых будет итти речь
дальше.
7. Другие работы, а) В статье А. И. П л е с н е р а и В. А. Р о х-
лина [1] разработана теория унитарных инвариантов для несепара-
бельного случая. Вводится новое понятие «обобщённой» функции от
операторов, которая дала возможность сформулировать и доказать ряд
теорем, аналогичных ранее известным для сепарабельного случая. Так,
с помощью обобщённых функций даётся выражение для операторов,
перестановочных с любым оператором, перестановочным с данным.
Из результатов А. И. Плеснера отметим ещё следующую
теорему: пусть дано в несепарабелыюм пространстве любое (несчётное)
тожество взаимно перестановочных эрмитовых операторов. Тогда они
ме выражаются как обобщённые функции некоторого эрмитова опера-
оператора (обобщение известной теоремы Неймана).
б) М. А. Н а й м а р к у, в числе других работ, принадлежит иссле-
исследование «прямых полиномов» 2Х,г • А{х А| от гипермаксимального опе-
оператора Ах и эрмитова оператора А2, действующих в гильбертовых про-
пространствах ig, и 4g2. Эта теория позволила, например, найти все само-
дк+1
сопряжённые краевые условия для оператора S акг ¦ к t (akl — числа)
в полосе а<х<й, — оо < у < оо.
в) В связи с работами С. Л. С о б о л е в а по изучению почти перио-
периодичности решений некоторых краевых задач Л. С. П онт ряги н [4]
провёл тонкое исследование одного специального класса операторов
в гильбертовом пространстве. Пусть {ек}—ортонормированный базис
гильбертова пространства ф, a J,, (р—натуральное число)—унитарный
оператор в $, относящий каждому вектору /=3?*С*€Ф вектор Jpf —
. Л. С. Понтрягин изучает линейные опера-
pi
торы, которые в согласии с принятой в этой статье терминологией
следует назвать УР-гипермаксимальными. Оператор Я этого класса
выделяется следующими требованиями: 1) ф (Н) плотно в ^; 2) если
положить {/, g} = {Jpf,g) (/,g€€), то {Hf,g} = {f,Hg} для любых
/,g6®(#), и 3) если элементу g€? отвечает элементу*6? такой,
что {Я/, g} = {/, g*} для всех /€$(#), то g€$ (H) и g* = Hg. Основной

652 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
результат Л. С. Понтрягина гласит: всякому J,,-гипермаксималь-
ному оператору Н отвечает р-мерное инвариантное псдпространство L,
в котором форма {/,/} неположительна, т. е. {/,/} < 0 при всех f(-L
(и в котором все собственные числа оператора И имеют неотрицатель-
неотрицательную мнимую часть).
Как и для обычных гипермаксимальных операторов, теория 7;)-гипер-
максимальных операторов тесно связана с теорией Jp-унитарных опера-
операторов, т. е. операторов U, отображающих взаимно непрерывно и одно-
однозначно ?> на самоё себя так, что {Uf, Ug}~{f,g) (/, g€ &) (см.
И. С. И о хв идо в [1]). Для случая р = 1 теория последнего класса
операторов была развита М. Г. К р е й н о м в сеязи с его исследо-
исследованиями винтовых линий в пространстве Лобачевского бесконечного
числа измерений. Ряд первых положений этой теории может быть так-
также получен на основе теории конусов.
г) В. А. Д и т к и н [2, 3], обобщая аппарат операционного исчи-
исчисления, исследовал функции от оператора дифференцирования D — -jt
в гильбертовом пространстве Ы, со скалярным произведением (/, #)„,=
= \ | :0) (х) \г- В LJ, оператор D не эрмитов, но P = D—i^ff явля-
—оо
ется самосопряжённым оператором, для которого можно строить
широкий класс функций G (Р). Это даёт возможность определить в Ц>
операторы Н {D) для широкого класса функций И. Специально исследу-
исследуются функции И (D) для случая си (х) = A + ix)n.
д) В диссертации М. И. В и ш и к а, результаты которой частично
опубликованы [1, 2], метод «ортогональных проекций» применён к урав-
уравнениям эллиптического типа. Грубо говоря, этот метод заключается
в следующем. Расматривается некоторая краевая задача для дифферен-
дифференциального уравнения в частньх производных. Строится гильбертово
пространство Н, в котсрсм подпрсстранство Нг элементов — решений
данного уравнения представляет ортогональное дополнение подпростран-
подпространства Н2 элементов с нулевыми краевыми условиями. Если в Н сущест-
существует элемент, удовлетворяющий данным краевым условиям, то его про-
проекция на Иг и даст решение нашей краевой задачи. Такой метод приме-
применялся Вейлем для случая гармонического уравнения, но в форме, не
допускающей обобщения. М. И. В и ш и к нашёл гибкую форму метода
проекций, применимую для эллиптических самосопряжённых уравнений
любого порядка.
Уже для уравнений второго порядка этот метод, в применении ко
второй краевой задаче, даёт решения для любых контуров, освобождая
от ограничений, которые налагает на область метод Куранта. Метод
проекций применим к эллиптическим уравнениям любого порядка и
даст доказательство существования не только для задач типа Дирихле,
но и, например, для выделенных автором задач, являющихся аналогами
задачи Неймана. Автором получаются интересные обобщения на уравне-
уравнения высшего порядка теории периодов многозначных решений этих
уравнений. В неопубликованной работе автору удалось освободиться от
требования ограниченности интегралов Дирихле. Работа М. И. Ви-
Виши к а даёт яркий пример глубокого проникновения геометрических
приёмов функционального анализа в классические задачи анализа-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 653
§ 5. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАННЫХ КОЛЕЦ.
И. М. Г е л ь ф а н д у [5,6, 9, 10] принадлежит создание нового боль-
большого направления в функциональном анализе—общей теории коммута-
коммутативных' нормированных колец.
В этой теории замечательным образом сочетаются идеи современной
алгебры и общей теории банаховых пространств и она позволяет атаковать
многие вопросы классического анализа с неожиданных позиций. В отно-
отношении изящества своих методов, естественности и простоты, с которой
разворачиваются её проблемы и разнообразные приложения, эта теория,
безусловно, принадлежит к наиболее замечательным достижениям функ-
функционального анализа.
Совокупность R элементов х, у,... называется нормированным коль-
кольцом, если она представляет собой банахсво пространство, с умноже-
умножением на комплексные числа, в котором определено ассоциативное умно-
умножение элементов, перестановочное с умножением на комплексные числа,
дистрибутивное относительно сложения и такое, что
если, кроме того, в R есть единица е (ех=хе = х), то предполагается, что
||«|| = 1. (И)
В силу неравенства A0) произведение ху есть непрерывная функция обоих
сомножителей по совокупности.
Легко показать, что без ограничения общности можно всегда
предположить существование в кольце единицы е (в противном случае
кольцо можно всегда расширить на одно измерение с сохранением
перечисленных свойств и так, чтобы оно имело единицу).
Примером нормированного кольца может служить совокупность RE
всех линейных непрерывных операторов А, действующих в банаховом
пространстве Е, с обычным определением нормы оператора. По сути
кольцами RE и их пэдкольцами исчерпываются все примеры норми-
нормированных колец; в самом деле, так как всякое нормированное кольцо/?
является банаховым пространством, то оно порождает кольцо RE (Е = R)
всех линейных непрерывных операторов, действующих в R, и кольцо R
алгебраически и изометрически изоморфно некоторому подкольцу коль-
кольца RE. Для установления этого изоморфизма следует каждому x(-R
отнести оператор Ах, полагая АРу = ху (у б/?).
И. М.Гельфанд [ГРШ *)] исходит из более общего определе-
определения нормированного кольца, а именно, вместо A0) он требует непре-
непрерывности произведения ху по каждому отдельному сомножителю.
Оказывается, что в силу одного этого требования всегда возможно заме-
заменять норму ей топологически эквивалентной так, чтобы уже имели
место A0) и A1) (получается путём рассмотрения изоморфизма х*—*Ах).
Простым примером коммутативного нормированного кольца яв-
является кольцо С (Q) всех непрерывных функций на некотором биком-
*) Значительную часть излагаемого здесь материала по коммутативным нор-
нормированным кольцам можно найти в статье И. М. Гельфанда, Д. А. Рай-
Райкова и Г. Е. Шилова «Коммутативные нормированные кольца» (Успехи
натем. наук 1:2 A2), A946)), которую в дальнейшем мы будем цитировать как ГРШ.

654 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
пакте с обычным определением умножения и равномерной нормой.
Это кольцо, с точки зрения его подколец и идеалов, изучалось
Стоном*). Более сложные и интересные специальные нормированные
кольца изучались Винером и его учениками, а затем В. А*. Дитки-
ным (о них ещё будет итти речь впереди). На этих примерах впо-
впоследствии необычайно ярко были проиллюстрированы идейность и
преимущества в смысле простоты гельфандовских методов общей теории
нормированных колец.
Ряд положений, относящихся к общей теории нормированных колец,
можно найти ещё у Ф. Рисса. Хотя его исследования проводились для коль-
кольца ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, но они непо-
непосредственно переносятся и на кольца операторов в нормированном прост-
пространстве и, значит, вообще нормированные кольца. Рисе развил понятие
спектра элемента (оператора) и теорию аналитических функций эле-
элемента (оператора).
После Рисса почти в течение тридцати лет функциональный ана-
анализ хранил полное молчание в отношении общей теории нормированных
колец. Это молчание было нарушено С. Мазуром, получившим ряд
важных результатов. В частности, он показал, что если нормирован-
нормированное кольцо является полем (т. е. каждый его элемент х имеет обратный
элемент) у—хг1, ух = ху*= е, то оно изоформно полю комплексных чисел **).
Два нормированных кольца /? и /?' называются вполне изоморфными,
если между ними можно установить алгебраический изоморфизм, ото-
отображающий непрерывно одно кольцо на другое. Если некоторое кольцо
R изоморфно полю комплексных чисел, то каждый его элемент х имеет
вид х = 1-е, и изоморфизм изометричен (|) х || = | X |).
Однако, получив свои результаты, С. Мазур не обнаружил, что он
вошёл в преддверие новой важной теории функционального анализа.
Замечательные же исследования И. М. Гельфанда, а также работы
его учеников и последователей явились стройной разработкой этой новой
теории.
1. Общая теория коммутативных нормированных колец. Исследова-
Исследование коммутативного нормированного кольца R начинается у И. М. Гель-
ф а н д а с исследования идеалов J кольца (линейных подмножеств
J, отличных от R и @) и обладающих свойством, что если x?j, &
y?R, то хубУ). Устанавливается два следующих фундаментальных
факта.
1) Всякий идеал J содержится в некотором максимальном идеале М
(идеале, не являющемся правильной частью никакого другого идеала),
который всегда замкнут.
2) Кольцо RJM вычетов коммутативного нормированного кольца R
по максимальному идеалу М есть поле комплексных чисел.
Таким образом гомоморфное отображение х—>Х = х + М кольца1
R в поле RJM порождает гомоморфное отображение в поле комплексных
чисел. Число, соответствующее элементу х ? R при этом гомоморфизме,
И. М. Гельфанд обозначает через х(М) и называет его значением'
*) Stone, Trans. Amer. Math. Soc, 41 A937).
**) Ему принадлежит также более топкий результат: нормированное кольцо,)
и котором операция умножения на скаляр определена только для вещественных ска-!
ляров, может быть полем лишь в одном из трёх случаен: когда оно вполне изоморфно]
либо полю вещественных чисел, либо полю комплексных чисел, либо полю кватернио-?
нов.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 655
элемента х на идеале М. Множество всех максимальных идеалов кольца
R обозначается через 2JJ.
Таким образом каждый элемент х кольца R порождает некоторую
функцию х(М) на множестве $Щ; оказывается имеет место следую-
следующее замечательное соотношение:
max|x(M)|=lim
Af?9Jt n->oo
Если написанный предел равен нулю, т. е. х(М) = 0для любого,
максимального идеала М, то элемент х называется обобщённо-нульсте-
пенным элементом. Множество же всех обобщённо-нульстепенных эле-
элементов называется радикалом кольца. Очевидно, радикал кольца совпа-
совпадает с пересечением всех максимальных идеалов М кольца R.
Обозначим через /?эл совокупность всех функций х (М) на 5Щ, поро-
порождённых элементами х?/?. После всего сказанного нетрудно заключить,
что /?зн есть кольцо в смысле обычного перемножения функций и что
отображение х—>х(М) кольца R в кольцо функций /?§т является алгебраи-
алгебраическим гомоморфизмом, ядром которого является радикал кольца R.
Отсюда выводится остроумным образом тонкий факт, что в норми-
нормированном кольце без радикала (т. е. с радикалом, состоящим из одного
элемента) топология вполне определяется, алгебраической структурой
кольца, что при более точной формулировке означает, что всякий алге-
алгебраический изоморфизм между двумя нормированными кольцами без
радикала одновременно является гомеоморфизмом.
Кольцо /?зи обладает следующим важным свойством, которое мы
назовём свойством аналитической полноты.
Если х (М) 6 /?ал, то также F (х(М)) 6 R , где F (к)—произвольная
функция, голоморфная в области, содержащей значения данной функ-
функции х(М).
И. М. Гельфанд показывает далее, что в 2JJ можно внести топо-
топологию, после которой 9JJ становится бикомпактом, а /?эл—кольцом
непрерывных функций на этом бикомпакте. Получается это следующим
образом. Каждый максимальный идеал М порождает некоторый линейный
функционал/ по формуле / (х) — х(М). Этот функционал мультипликати-
мультипликативен:/(ху) =/(х) / (у) и имеет норму, равную единице (/(е)=1). Легко
видеть, что и, обратно, всякому линейному мультипликативному
функционалу отвечает максимальный идеал, которым он и порождается.
С другой стороны, множество мультипликативных функционалов есть
замкнутая часть слабо топологизированной единичной сферы S* про-
пространства всех линейных непрерывных функционалов / на R. А так
как S* — бикомпакт в слабой топологии, то и Ш бикомпакт в слабой
топологии.
Таким образом обнаруживается замечательный факт: всякое норми-
нормированное кольцо без радикала вполне изоморфно некоторому нормирован-
нормированному кольцу непрерывных функций на некотором бикомпакте.
Если кольцо R (/?зл) симметрично (т. е. вместе с х(М)€#ал также
x(MN/?9r), to, поскольку оно всегда обладает ещё тем свойством, что
для всякой пары МХФ М° найдется x?R такое, что х (М г) Ф х (М2),
оно, по известной теореме Стопа, оказывается плотной частью про-
'-апраиства С (9#) всех непрерывных функций на $Щ с обычной равно-
равномерной нормой.

656 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Заметим также, что если кольцо R имеет конечное число образующих
хи х2, х хп (т. е. каждый элемент из R есть либо полином от
Х;б R U = 1, 2, .. ., л), либо предел некоторой последовательности таких
полиномов), то 2JJ гомеоморфно некотордму замкнутому ограниченному
множеству п-мерного комплексного пространства Е„. Соответствующий
гомеоморфизм получается путём отнесения элементу х точки Еп с коорди-
координатами (х,- (М) 0" = 1,2,. .., л).
И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов [1] показали, что в известных
случаях целесообразно рассматривать ещё иной способ топологизации
множества Ш максимальных идеалов. При этом новом способе топологи-
топологизации максимальный идеал М называется точной соприкосновения под-
подмножества 916 Ш, если М содержит пересечение всех идеалов, входящих
в "й. Оказывается, что при такой топологизации Ш также оказывается
бикомпактным Т^-пространством. Эта новая топология в 2И, вообще
говоря, не совпадает со слабой топологией. Совпадение имеет место тогда
и только тогда, когда для любого замкнутого в слабой топологии множе-
множества Ж б Ш и не принадлежащей к нему точки Мо можно найти такое
х 6 R, что х (М) — О для всех М € 91 и х (М„) ф 0. Кольца, обладающие
последним свойством, именуются регулярными.
Большое и глубокое исследование регулярных колец было произ-
произведено Г. Е. Шиловым (изложено в виде отдельной монографии [4]).
Автор показывает, что всякое регулярное кольцо обладает тем свойством,
что для любых двух замкнутых непересекающихся множеств F1 и F2 из5Ш
найдётся элемент х€/? такой, что х{М) =0 для всех M^Ft и равно 1 для
всех M^F*. С помощью этого предложения устанавливается, чтодля/?ад
имеет место «критерий локальной принадлежности», а именно: если некото-
некоторая функция у (М) локально принадлежит /?от (т. е. для каждой точки Мо
найдётся такая её окрестность Uo и элемент х„ ?/?, что у(М) — х„ (М) для
всех M?U0), то она вообще принадлежит /?от- Для случая симметриче-
симметрических колец это предложение в другой формулировке было установлено
также М. Г. К ре ином [19,20]. Предложение легко обобщается на
случай замены кольца Rw любым его замкнутым идеалом.
Особенно интересны исследования Г. Е. Шилова о примарных
идеалах в регулярном кольце. Идеал JZR называется по Гельфанду
примарным, если существует только один максимальный идеал, его
содержащий. Г. Е. Шилов показывает, что в регулярном кольце без
радикала каждый идеал М содержит наименьший примарный идеал J,
состоящий из всех тех элементов x?R, которые обращаются в нуль
в какой-либо окрестности М. Он устанавливает общие характеристики
идеала J, позволяющие судить о том, когда его замыкание J совпадает
с М. После этого он устанавливает ряд признаков того, когда в регу-
регулярном кольце R каждый замкнутый примарный идеал является макси-
максимальным.
Теоремы И. М. Гельфанда позволили указать необычайно
простые пути для установления некоторых теорем винеровского типа. Но
только после результатов Г. Е. Шилова стало возможным доказатель-
доказательство, на основе положений общей теории нормированных колец, таубе-
ровских теорем типа тех, которые впервые обнаружил Винер при изу-
изучении своих специальных колец, — теорем, которые он рассматривал
как конечную цель своих исследований.
Г. Е. Ш и л о в у [3,ГРШ] принадлежит важное понятие границы Г мно-
множества 9Ji максимальных идеалов. Замкнутое множество Р CZ 2JJ назы-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 657
вается границей множества Ш, если для каждого x?R абсолютная
величина функции х (М), М € ffl, достигает своего максимума на Г и всякое
другое замкнутое подмножество из ЧЯ1, обладающее этим свойством,
содержит Г. Оказывается, граница всегда существует и имеет простую
характеристику, в силу которой, например, для регулярного кольца би-
бикомпакт 2R совпадает со своей границей. Устанавливается, что если
в некотором подкольце /?, кольца R максимальный идеал М1 принадле-
принадлежит границе 9К (/?!), то он расширяется до некоторого максимального иде-
идеала кольца R. Вообще же говоря, не всякий идеал M1CZR1 обладает
этим свойством, если только кольцо /?i не является симметрическим.
Недавно Д. П. Мильман [5] указал другой интересный подход
к понятию границы Г, доказав, что оно является частным случаем общего
понятия Т-границы, устанавливаемого для любого ограниченного мно-
множества линейных непрерывных функционалов.
Г. Е. Шилову [2,ГР1Л] принадлежит также полезное понятие обоб-
обобщенного делителя пуля. Так называется всякий элемент х 6 R, для которого
можно указать последовательность {y,,}ClR, такую, что || уп \\ = 1 (л = 1,2,...)
ихУп—*0- Легко показывается, что если некоторое комплексное число
К принадлежит границе спектра кольца R, то х — Ке — обобщённый дели-
делитель нуля.
Поясним, что спектром элемента x?R называется множество ком-
комплексных чисел '., обладающих тем свойством, чтох--ле не имеет обрат-
обратного элемента. Заметим, кстати, что из гельфандовской теории следует,
что спектре элемента совпадает с множеством значений функции х(М).
Из указанного Г. Е.Шиловым свойства границы спектра почти
непосредственно получается, что если О есть единственный обобщённый
делатель пуля нормированного кольца (относительно коммутативности
которого наперёд ничего неизвестно), то R есть поле комплексных
чисел. В этом предложении Г. Е. Шилова обобщаются как цитиро-
цитированное в начале этого параграфа предложение С. Мазура, так и другое
его предложение, согласно которому всякое кольцо R, в котором
!ixy|l ^ !|x|||iy ii Для любых х, y?R есть поле комплексных чисел.
В [ГРШ] можно также найти изложение результатов И. М. Г е л ь -
ф а н д а по теории аналитических функций от элементов кольца, а также
его теорем о разложении колец в прямую сумму своих идеалов. Эти
исследования следует рассматривать как дальнейшее развитие глубо-
глубоких идей Рисса по теории функций от операторов, о которых мы уже
упоминали.
За недостатком места мы опускаем изложение аналитических методов,
развитых И. М. Г е л ь ф а н д о м [4] и Г. Е. Ш и л о в ы м [4] для ис-
исследования примарных идеалов кольца, а также интересные исследова-
исследования Г. Е. Ш и л о в а по теории колец, являющихся в особом смысле
прямой непрерывной суммой колец с одной образующей.
2.- Изучение конкретных нормированных колец. Созданию общей
теории нормированных колец предшествовали исследования некоторых
конкретных колец, на питательной почве которых и выросла общая
теория, полностью преобразовавшая 'затем методы изучения конкрет-
конкретных колец. Именно, Винеру принадлежит установление ряда замеча-
замечательных свойств классических колец анализа, как, например, кольца
W всех абсолютно сходящихся тригонометрических рядов *=\ cneint
— со
12 Математика в СССР за 30 лет

658 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
с нормой || «р Ц= 2 Iе" I и с обычным умножением, или кольца L всех
абсолютно интегрируемых функций x(t)( — со < t < оо) с нормой
оо
||х[|= $ \x{t)\dt,
—оо
в котором под произведением z = xy понимается «свёртка»
оо оо
z(f)= 5 x(t-s)y(s)ds= \ y(t-s)x(s)ds.
Заметим, что кольцо L не имеет единицы и поэтому его расши-
расширяют до кольца V<a\ состоящего из элементов вида %=le-tx(t), где
е—формально присоединённая единица, X—произвольное комплексное
число и
IUII = IM + I|x||.
Кольцо V<e>, как известно, изоморфно кольцу L* непрерывных
функций cp(f) (на всей сомкнутой вещественной оси) вида
eitsX(s)US ( — оо<<<со, <р(со) = <р( — оо) = к),
в котором произведение определяется обычным способом:
Винер показывает, что кольца W и L* обладают тем свойством,
что если какому-либо из этих колец принадлежит некоторая функция
<р(/), отличная всюду от нуля, той функция <?-l(t) также принадлежит
этому кольцу. А отсюда уже следует, как заметил Леви, что эти
кольца функций аналитически полные.
Эти результаты Винер получает с помощью весьма искусных и
тонких выкладок. И. М. Г е л ь ф а н д [6,12, ГРШ] показывает, что мы при-
придём к ним самым естественным образом, если отыщем максимальные
идеалы М в кольцах R = W, V^ и построим соответствующие им
кольца /?вд на максимальных идеалах, которые всегда аналитически
полны. Кольцо W оказывается само кольцом функций на максималь-
максимальных идеалах (т. е. бикомпакт 2JJ (W) его максимальных идеалов М
гомеоморфен окружности @, 2тг) и если М <-->/, то для любого
<р6 W : <? (М) = о (t), a L* есть кольцо /?ж для /? = V(«), точнее —мно-
—множество 3JJ (У(о)), гомеоморфно сомкнутой вещественной оси, и если
М<— U то для любого з€ИЛв):з(М)=ср(?;а). и. М. Гельфанд пока-
показывает, как непосредственно установить последние утверждения. Этот
подход позволил тотчас же обобщить результаты Винера.
И. М. Гельфанд рассматривает банахово пространство И^
оо
лорановых рядов х= V спип, подчинённых условию

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 659
где {«„}"„„ есть некоторая фиксированная последовательность поло-
положительных чисел. Он показывает, что эта совокупность будет норми-
нормированным кольцом тогда и только тогда, когда для всех целых т, п
отношение ат+л/а„,ап есть величина ограниченная. Для кольца W<an>
бикомпакт 9JJ оказывается гомеоморфным круговой полосе II ком-
комплексной плоскости: г < | С | < R, где
г— Mm п^_ , R=\\m i/a_n,
7l-»0O / Я_„ П-юэ
ОО
при этом если М+~*', то x{M) — x(Q= ^ cj,k, причём последний
к^-оо
ряд абсолютно сходится. После этого нетрудно заключить, что
кольцо W<in> не имеет радикала и его можно рассматривать как
некоторое кольцо непрерывных (если г < R, голоморфных внутри
полосы) функций в полосе г<|?|<;/?. Следовательно, как всякое
кольцо /?яя, кольцо W<dn> аналитически полное.
Для случая а„= 1 (л = О, ±1, ± 2, ...) кольцо И^<ап> = И^ и полу-
получаются результаты Винера. На примере кольца W<in> легко
поясняется шиловское понятие границы множества 5Ш максимальных
идеалов, которая здесь (при г < R) совпадает с границей в обычном
смысле (что не всегда бывает), состоящей из окружностей |С|=г
и j?| = #. Для случая, когда \/ а?п—И при п-^ос, примарные иде-
идеалы исследовались И. М. Ге л ьфан дом [10] и Г. Е. Шиловым [4].
Аналогичным образом, вместо кольца L, И. М. Гельфанд [ГРШ]
рассматривает более общее кольцо L <*(<)> всех измеримых функций
х@ ( — оо < t < оо), удовлетворяющих условию
!|xi!= \ a(t)\x(t)\dt,
— оо
где а@( — °°< t< оо) — положительная непрерывная функция такая,
что <x(s-f 0<a(s) • a(t) ( — oo<f, s<oo). Нормированное кольцо,
получающееся из L<«(o> путём присоединения единицы, обозначается
через V<«(()> • Кольцо V<>(()> также не имеет радикала; его биком-
бикомпакт 3JJ гомеоморфен полосе r,<Im^ < r2, где
.. 1па(П ,.„ 1па(/)
у
(-»+оо *
при этом если М*~-С, то для элемента ^~)-е-\-х кольца
Этот результат тотчас же находит применения в теории интеграль-
интегральных уравнений вида
x(t)-K [ K(s~t)x(t)dt =
— оо
где х, у, К — элементы кольца L<*(o>s
42*

660 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Г. Е. Шилов [4] показал, что верна теорема: если а(/) возра-
возрастает при t—>±ao не быстрее некоторой степени t, то кольцо
^<«с)> не содержит в себе как правильную часть никакого замкнутого
примарного идеала кольца V<l(t)>- Этот факт эквивалентен существо-
существованию в кольце V<2(()> тауберовских теорем винеровского типа.
Интерес также представляет изучавшееся Г.Е.Шиловым [ГРШ]
кольцо И^<*„> всех степенных рядов ^}спип таких, что
({ап}? — фиксированная последовательность положительных чисел
со свойством am+n<anam, Hm |/an = #>0), или континуальный ана-
п-юо
п-юо
+
лог этого кольца — кольцо L<««)>.
Гельфандовский метод позволил также сравнительно просто
получить тонкие результаты Винера и Питта для кольца V
(см. [ГРШ]). Через V обозначается кольцо всех комплексных функций
x(t) ( — оо < / < оо) с ограниченной вариацией и нормой ||x|j = varx,
удовлетворяющих условию х( — оо) = 0 и непрерывных справа. При
зтом произведение элементов х, y?V определяется как свёртка:
= \ x(t~s)dy(s)= ^ y{t-s)dx(s)
Кольцо V распадается в прямую сумму кольца Vc всех непре-
непрерывных функций из V и кольца Vd функций скачков из V, при
этом Vc является идеалом кольца V. Максимальные идеалы кольца Vd
известны и в прямой сумме с Vc дают максимальные иде-
идеалы кольца V. Кроме этих максимальных идеалов М, в Ж
существуют идеалы, не содержащие Vc. Те из них, которые
не содержат в себе Va — кольца всех абсолютно непрерывных
x€V, —также известны (они получаются путём простого расширения
максимальных идеалов из Va, которое изоморфно и изометрично L).
Остаётся исследовать те максимальные идеалы, которые содержат
в себе Va, но не Vc. Впервые Д. .А. Райков [ГРШ] дал конструкцию
некоторых максимальных идеалов этого типа, после чего Ю. А. Шрей-
д е р *) дал полное описание всех этих идеалов, решив тем самым
трудный вопрос, давно стоявший на очереди.
Значительно проще кольца V его фактор-кольцо VIJa(a>Q),
где Ja — идеал, состоящий из всех xgV, для которых
eiisdx(s)==O при —a^t^a.
Это кольцо исследовалось Г. Е. Шиловым [ГРШ] и в другом плане
«некольцевыми методами» М. Г. Крейном [24].
*) Работа находится в печати.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 661
Особо следует остановиться на работе В. А. Д и т к и н а [I]. Напи-
Написанная под руководством А. И. Плеснера, эта работа является
первой советской работой, посвященной изучению ряда специальных
нормированных колец. Она была выполнена до появления общей тео-
теории нормированных колец и впоследствии дала повод к различным
обобщениям, формулировавшимся в терминах общей теории регулярных
колец (Г. Е. Шило в). В этой работе изучались, кроме колец
L— L ( —оо, оо) и L@, 2л:), винеровское кольцо Ми. всех непрерывных
функций x(t), удовлетворяющих условию
тах
кольцо В почти периодических боровских функций и весьма общего
типа кольца К (обобщения кольца W) с двумя образующими (У и V = U~X.
В. А. Д и т к и н ы м установлены различные признаки того, когда
замкнутый идеал J рассматриваемого кольца является главным (J = xR),
когда он может быть получен как пересечение множества максималь-
максимальных идеалов и др. В частности, установлено, что замкнутый идеал J
кольца L или Mw является пересечением некоторого множества макси-
максимальных идеалов, если множество общих нулей всех интегралов Фурье
ip(/, x){x?j) есть не более, чем счётная сумма отрезков и точек (доста-
(достаточное условие, которое до сих пор не удалось заменить более общим:
оно перенесено Г. Е. Ш и л о в ы м [4] на случай регулярных колец).
Последнее предложение В. А. Д и т к и н использовал для обобщения
тауберовских теорем, установленных Винером, что способствовало
выяснению функциональной сущности этих теорем.
Значительный интерес для изучения представляет также кольцо А
всех функцийх (?), регулярных внутри круга |С|<1 и непрерывных в
за.\:кнутом круге, с нормой \\x\\ = max | x (С) |. а также кольцо Dn всех ком-
комплексных функций х(/), определённых и обладающих п-й непрерывной
производной на сегменте [0,1], с нормой
п
:ix!!= У-^тах1х№)@1-
*=о
Г. Е. Ш и л о в [4] показал, что каждый максимальный ^идеал
кольца Dn содержит ровно л+I примарных идеалов и что каждый зам-
замкнутый идеал есть пересечение некоторого множества примарных идеалов.
Аналогичные теоремы были установлены для соответствующего кольца
функций п переменных И. Э. Шнолем*). Подкольца кольца Dn
изучались Я. И. X у р г и н ы м и Н. И. Щетининым [1 ].
Кольцо А интересно тем, что, несмотря на его кажущуюся простоту, его
граничные примарные идеалы (т. е. принадлежащие граничным макси-
максимальным идеалам) до сих пор не все найдены. Интересный класс гранич-
граничных примарных идеалов указал Г. Е. Шилов [6]. Он же показал
[ГРШ], что кольцо Do, всех комплексных функций x(t), определённых
и обладающих всеми производными на сегменте [0,1], не нормируемо.
*) Работа находится в печати.

662 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Более тонкий результат Г. Е. Шилова гласит, что всякое нормиро-
нормированное кольцо, содержащее ?>„, содержит кольцо Dlt при некотором доста-
достаточно большом п.
Укажем ещё, что теории колец принадлежит выдающаяся роль в раз-
развитии обобщённого гармонического анализа функций и, в частности,
гармонического анализа функций на топологических группах; об этом
важном и наиболее значительном цикле применений теории колец будет
итти речь в § 6.
3. Некоммутативные и полуупорядоченные нормированные кольца.
Общая теория некоммутативных нормированных колец представляет
большие трудности, и только в самое последнее время .здесь достигнуты
некоторые успехи. Естественным обобщением теории максимальных
идеалов в коммутативных нормированных кольцах должна явиться
теория операторных представлений некоммутативных нормированных
колец. И здесь ряд решающих идей и методов принадлежит И. М. Г е л fa-
фа н д у и его сотрудникам. Но ввиду того, что наиболее эффектные
применения теория представлений получила в теории групп, то мы о ней
расскажем в § 6.
В отношении изучения конкретных некоммутативных нормирован-
нормированных колец имеются исследования Неймана, Мэррея, Калкина и др.
о подкольцах R кольца 93 всех ограниченных операторов в гильберто-
гильбертовом пространстве, содержащих вместе с каждым оператором А сопря-
сопряжённый оператор А* и замкнутых в слабой топологии для опера-
операторов. И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк [1] нашли акси-
аксиоматическую характеристику таких колец в предположении обычной
замкнутости (в равномерной топологии).
Операция х —-»х*, отображающая некоторое кольцо R на самоё
себя, называется инволюцией, если она обладает следующими свойствами:
1) (х + у)* = х*+у*, 2) (/.х)*=7.х*, 3) (х*)* = х, 4) (ху)* = у*х*.
Упомянутые авторы доказали, что если в нормированном кольце имеется
инволюциях—*х* такая, что || х* || = || х ||, ||x*xj| = ||X*|| • ||х|| и (е + х*х)-1
существует для любого х &R, то кольцо R можно отобразить на подколъцо 3?
кольца 93 всех ограниченных операторов А в гильбертовом пространстве
ф и притом так, что норма элемента х g R равна норме соответствующего
оператора Ах, а х* соответствует сопряжённому оператору (Лж. = А*х).
Построения, с помощью которых это предложение было получено,
представляют ещё больший интерес, чем само предложение. Они дали
повод Д. А. Р а й к о в у [6] к установлению ряда общих предложений
о кольцах с инволюцией, позволивших ему показать, что многие из по-
построений И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка сохраняют силу
и при менее ограничительных требованиях, налагаемых на инволюцию.
Интересно, что благодаря теореме И. М. Гельфанда
и М. А. Н а й м а р к а выяснилось, что результаты английского матема-
математика Стина, публиковавшиеся в течение ряда лет, следуют непосред-
непосредственно из работ Неймана и Мэррея.
В инволюционном кольце 5R С 93 естественным образом выделяется
конус, состоящий из самосопряжённых операторов с неотрицательным
спектром. Аналогичный конус, как показал Д. А. Райков [б],
удаётся выделить и в некоторых абстрактных нормированных кольцах с
инволюцией; и с этим конусом обычно связаны важные рассмотрения. По-
видимому, представило бы интерес изучение нормированных колец, полу-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 663
упорядоченных при помощи некоторого конуса, удовлетворяющего ряду
требований.
В этом направлении изящный результат был получен ещё в 1941 г.
тремя молодыми киевскими математиками: И. X. Берниковым,
С. Г. К р е й н о м и А. В. Т о в б и н ы м [1 ].
Пусть в нормированном кольце R (в котором умножение элемента
x?R на скаляр к определено только для вещественных /.) задан нормальный
телесный конус К, содержащий внутри себя единицу. Если произведение
всяких двух элементов конуса есть снова элемент конуса, то кольцо R
изоморфно отображается на кольцо С (Q) всех непрерывных вещественных
функций С на некотором бикомпакте Q, причём при этом отображении
конус К переходит в конус всех неотрицательных функций из С (Q).
Этот результат навеян, с одной стороны, исследованиями
М. Г. К р е й н а и С. Г. К р е й н а [1], с другой стороны (в особен-
особенности по методам), гельфандовской теорией коммутативных нормирован-
нормированных колец. Он эффектен тем, что в нём кольцо R не предполагается ком-
коммутативным и вместе с тем оказывается таковым в силу свойств конуса К-
В более слабой формулировке, а именно: при дополнительном пред-
предположении, что х2 6 К для любого х ? R и что кольцо R коммутативно,
теорема была установлена Стоном.
Условиям теоремы удовлетворяет, например, всякое коммутативное
кольцо R ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовом
пространстве $. Впрочем, изоморфность такого кольца некоторому кольцу
C(Q) следует проще всего из гельфандовской теории коммутативных
колец.
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ С ТРАНЗИТИВНОЙ ГРУППОЙ
НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
Выдающиеся успехи современной теории топологических групп были
бы невозможны, если бы эта теория не опиралась в своих построениях на
результаты, достигнутые методами функционального анализа при изу-
изучении различных пространств функций на топологической группе. При
этом изучении фундаментальное значение имеют теоремы Хаара и Неймана
об инвариантных мерах, устанавливаемые теоретико-множественными
и функциональными методами. Напомним, что для прогресса, осущест-
осуществлённого в теории топологических компактных групп, решающее значение
имела теория унитарных представлений таких групп, построенная Пете-
Петером и Вейлем путём изучения интегральных уравнений на топологиче-
топологической группе. Существование достаточного числа непрерывных характеров
у коммутативной локально компактной группы было получено впервые
методами функционального анализа. И даже в теории Л. С. П о н т р я-
гина этого класса топологических групп, которая, по мере возможно-
возможности, выдержана в духе чистого синтеза алгебры и топологии, при дока-
доказательстве упомянутого факта не удалось полностью освободиться от апел-
апеллирования к результатам, полученным функциональными методами (тео-
(теории Петера-Вейля). Наоборот, знаменитый принцип двойственности
для этих групп, открытый Л. С. Понтрягиным, теперь получается
как один из результатов теории интегралов Фурье на группе (Д. А. Р а й-
к о в [4,5]). Более того, в том замечательном обобщении, которое дано

664 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
этому принципу Б. М. Левитаном [б], понятие группы вообще
не фигурирует.
В настоящее время мы являемся свидетелями возникновения новой
обширной главы теории топологических групп —теории представлений
локально компактных групп унитарными операторами в гильбертовом
пространстве, которая теперь представляется как раздел спектрального
анализа различных классов функций на грунде. Другим её обобщением
является теория операторных представлений нормированных' колец.
По своей глубине и трудностям, которые эти теории в себе таят, они
оставляют далеко позади себя теорию Петера-Вейля конечномерных
унитарных представлений компактных групп, —и здесь снова всеми достиг-
достигнутыми успехами мы обязаны функциональному анализу. Одновременно
мы констатируем, что ведущие идеи и методы в этих теориях принадле-
принадлежат, безусловно, советским математикам (И. М. Гельфанд,
М. А. Н а й м а р к, Д. А. Р а й к о в и др.).
В целях экономии места мы изложим относящиеся сюда исследования
в порядке, почти обратном их хронологическому следованию.
1. Положительно определённые функции. Пусть Q —некоторое топо-
топологическое пространство. Функция Ф (р, q) называется положительно
определенным ядром на Q, если для любых pl(-Q, ... , pn(zQ и ком-
комплексных ?1; ?2, ...,?„ (п= 1,2, ...) выполняется неравенство
Такое ядро всегда эрмитово, т. е. Ф(р, q) — Ф{q, р).
Каждое положительно определённое ядро позволяет отобразить Q
в множество Qh некоторого гильбертова пространства ?ф так, что если
р, q€Q переходят при отображении в элементы ер, еч^^Ф, то
Ф (р, q) = (el,, eq) — скалярному произведению ер на ег При этом можно
всегда считать, что Qh натягивает $ф, т. е. линейная замкнутая обо-
оболочка множества Qh совпадает с фФ. Легко видеть, что отображение
q—*eq будет непрерывным в том и только в том случае, когда Ф (р, q) есть
непрерывная функция на Q х Q. Этот подход позволяет сразу обнаружить
ряд свойств положительно определённого ядра. Если, например, ядро Ф
непрерывно в каждой точке диагонали (т. е. в точках (р, р) 6 Q x Q) или
если при любом фиксированном р ядро Ф(р, q) непрерывно относительно
q, аФ(р, р) — непрерывная ограниченная функция на Q, то ядро Ф непре-
непрерывно на Q х Q (М. Г. К р е й н).
2. Инвариантные ядра и унитарные представления. Пусть теперь
G есть некоторая транзитивная топологическая группа гомеоморфизмов
Q (непрерывная группа преобразований Q, так что если s?G и q&Q,
то sq(?Q) есть непрерывная функция на G x Q. Ядро Ф(р, q)(p, q€Q)
называется инвариантным, если для любых р, q?Q, s?G: *&(sp, sq) =
=Ф(р, g) (в частности, Ф(р, р) — const.). Инвариантное положительно
определённое ядро называется нормированным, если Ф (р, р) ^ 1 • Инва-
Инвариантные нормированные положительно определённые ядра образуют,
очевидно, выпуклое множество; его крайние точки называются элемен-
элементарными ядрами.
Если Ф(^кО) — непрерывное инвариантное положительно определён-
определённое ядро, то легко видеть, что каждому s?G отвечает унитарный оператор
Us, действующий в ^Ф, такой, что если p — sq, то ep = Useq. Отображе-

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 665
ние s—*US есть унитарное представление группы G. Поясним, что уни-
унитарным представлением топологической группы называется функция
Us, отображающая группу G в совокупность унитарных операторов,
действующих в $, и обладающая следующими двумя свойствами:
1) UJJi = Ust для любых s, t?G и 2) для любого x?ig вектор-функция
(Zsx непрерывно зависит от s?G.
Унитарное представление Us называется неприводимым, если $
не содержит никакого правильного подпространства, инвариантного
по отношению ко всем операторам Us(s(-G).
Оказывается, что унитарное представление Us, порождаемое непре-
непрерывным нормированным положительно определённым ядром Ф, непри-
еодимо тогда и только тогда, когда ядро Ф — элементарное.
3. Унитарные представления локально бикомпактных групп. При-
Приведённые в предыдущем пункте понятия и утверждения получаются
путём небольшого обобщения соответствующих понятий и утверждений
основоположной работы И. М. Гельфанда и Д. А. Райкова
[2, 3], в которой всякая топологическая группа рассматривается как
группа непрерывных преобразований на самой себе (Q = G). В этом слу-
случае всякое инвариантное ядро <b(s, t)(s, t ?G) имеет вид Ф (s, f) =
=/(f-ls). Поэтому функция /(s)(s 6 G) называется положительно опре-
определённой (нормированной, элементарной), если ФE, /) = /(t1 s)(t, s?G)
есть положительно определённое (нормированное, элементарное) ядро.
Теперь уже всякое унитарное (неприводимое) представление Us
группы G порождается некоторой непрерывной положительно определен-
определений функцией (элементарной).
Для дальнейших построений И. М. Г е л ь ф а н д и Д. Л. Рай-
Райков вынуждены предположить, что группа G локально бикомпактна.
Вводя тогда хааровское лево-инвариантное интегрирование, они вводят
в рассмотрение нормированное кольцо L =¦¦ L(G) всех интегрируемых
комплексных функций х (s) с нормой, равной интегралу от абсолют-
абсолютной величины |x(s)|, и произведением (композицией) z = xxy, опре-
определяемым, как свёртка:
В этом кольце вводится инволюция x*(s) = /Г1 х (S), где характер ls
определяется известной формулой*) ds'1 = Z;1 ds.
Линейный непрерывный функционал F(x)(x&L) называется поло-
положительным, если F(x*x) > 0. Устанавливается, что множество Р всех
положительных функционалов с нормой < 1 находится в одно-однознач-
одно-однозначном соответствии со множеством всех положительно определённых
функций / так, что
F(x)= J7(s)x(s)ds.
Множество Р оказывается регулярно выпуклым и поэтому, по
теореме Крейна-Мильмана, каждая его точка является в опреде-
определённом смысле «центром тяжести» множества крайних точек (функцио-
*) A. Weil, L'intdgration dans les groupes topologiques et ses applications.
Paris, 1940.

ббб ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
налов) совокупности Р. Так как при этом крайнему функционалу из Р (и
только такому) соответствует элементарная функция, то отсюда, исполь-
используя ещё некоторые дополнительные рассуждения, И. М. Гельфанд
и Д. А. Райков приходят к следующему кардинальному выводу: всякая
локально бикомпактная группа обладает полной системой неприводимых
унитарных предоставлений. Поясним, что система неприводимых унитар-
унитарных представлений называется полной, если для любого s0 ф е найдётся
представление Us, для которого USo ф Ue = I.
4. Унитарные представления групп Ли. После этого результата
указанных авторов, естественно, возникла проблема: задана группа Ли;
как определить все её неприводимые унитарные представления?
Интерес к этой проблеме поддерживался тем обстоятельством, что
для случая лореицовой группы движений в четырёхмерном ми-
мире эта проблема была ужа давно выдвинута волновой механикой.
Ряд унитарных представлений неоднородной лоренцовой группы
был найден Вигнером.
В решении указанной проблемы большая выдающаяся работа была
проделана И. М. Г е л ь ф а н д о м и М. А. Н а й м а р к о м [2 — 5] по оп-
определению унитарных представлений различных «конкретных групп Ли».
В частности, они нашли все неприводимые унитарные представле-
представления лоренцовой группы преобразований в л-мерном пространстве—то
же для всех полупростых групп и унимодулярной комплексной группы
в гс-мерном пространстве и других групп (эти вопросы относятся, по
существу, к теории непрерывных групп).
5. Гармонический анализ функций на коммутативной группе. Воз-
Возвращаясь снова к общей теории представлений, укажем, что операторным
представлением некоторого нормированного кольца R с инволюцией
х<-->х* называется гомоморфное и непрерывное отображение х—>Л,
кольца R в некоторое кольцо ограниченных операторов, действующих
в гильбертовом пространстве ф, с сохранением условия, что всякой паре
х, х* соответствуют сопряжённые операторы (Лж. = А%). Операторное
представление х —> Ах называется неприводимым, если никакое правиль-
правильное подпространство из $ не является инвариантным по отношению
ко всем операторам Aj:.
Из работы И. М. Гельфанда и Д. А. Райкова легко сле-
следует (см. также Сегал *)), что общий вид неприводимого операторного
представления кольца L (G) локально бикомпактной группы G полу-
получается по формуле
^(s)Usds, A2)
где Us — некоторое неприводимое представление группы О.
Если к тому же группа коммутативна (следовательно, кольцо L(G)
коммутативно), то представление Us одномерно и, следовательно, его
можно рассматривать как характер: Us —у (s) (характером у (s) комму-
коммутативной топологической группы называется непрерывная функция
X (s) такая, что у (st) = -/ (s) х (О» IX (s) I — ' (s>' € О)). С другой стороны,
неприводимое операторное представление коммутативного кольца есть
не что иное, как гомоморфное отображение кольца в поле комплекс-
комплексных чисел. Такое отображение в гельфандовской теории получается при
*) Segal, Bull. Amer. Math. Soc, 53 A947).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 667
гомоморфизме L—^LjM, где М — максимальный идеал кольца L. По-
Поэтому A2) можно переписать ещё так:
(s)x(s)<fe. A3)
Это равенство было доказано впервые И. М. Гельфандом
и Д. А. Райковым [1 ] и является непосредственным обобщением
соответствующего факта из теории интегралов Фурье (когда О есть группа
вещественных чисел, то x(s)~exp (г'/.s)). Они доказывают, что кольцо
L(G) не имеет радикала и поэтому отображение х-^х(М) (Mff,). где
Шо~множество максимальных идеалов кольца L(G), есть изоморфизм.
Если х?М, т. е. х (М) ф 0, то из A3) легко выводится, что
X(t)=xt(M)/x(M), A4)
где х, (s) = х {t^s) 6 L (G). Однако при установлении A3) упомянутые
авторы сперва определяют функцию х@ указанной формулой, дока-
доказывают, что она есть характер, и затем устанавливают A3). Из отсут-
отсутствия в кольце L(G) радикала и A4) устанавливается существование
полной системы характеров. Из соотношения A3) получаются для инте-
интегралов Фурье на группе \ х (s) x (s) ds все аналоги винеровских теорем
для обычных интегралов Фурье.
Система X также является группой и притом локально бикомпакт-
яой, если в неё ввести топологию по Л. С. Понтрягину [27], при-
причём последняя оказывается (Д. А. Райков [5]) эквивалентной топо-
топологии, порождаемой в X слабой топологией в Шо (интересное эле-
элементарное доказательство этого факта нашёл Г. Я. Любарский*).
Отправляясь от A3), Д. А. Райков изящно доказал, что общий «ид
непрерывной положительно определённой функции f(s)(s?G) даётся
формулой
где <j—однозначно определяемая неотрицательная вполне аддитивная
регулярная функция множеств на теле борелевских множеств группы
характеров X.
Когда О есть группа натуральных чисел или группа всех веществен-
вещественных чисел, то это предложение переходит соответственно в известную тео-
теорему Герглотца или Бохнера.
Отправляясь, в свою очередь, от этого предложения, М. Г. К рейн
|22] получил обобщение известной теоремы Планшереля, согласно кото-
которому: определение интеграла у (х)= \ x(s)x{s)ds (x€^) можно распро-
распространить с класса L^{G) на класс L2 (G) {всех измеримых комплексных фупк
щй x(s), для которых \ I x (s) |2 ds < оо) так, чтобы при соответст-
соответствующем определении интеграла на группе X преобразование х (s) —>y {у)
Шо изометрическим отображением Lt(G) на L2(X) и чтобы при этом
имела место формула обращения x(s)=iy (%) у.(s)dx-
, *) См. Успехи матем наук, 3:3B5) A948)

668 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
А отсюда уже, как показал Д. А. Р а й к о в [4], получается принцип
двойственности Л. С. По.нтрягнна: группа G* характеров группа
X совпадает с группой G.
Таким образом, два основных предложения теории коммутативных
локально бикомпактных групп (существование полной группы харак-
характеров X и принцип двойственности) получаются как следствия теорем
спектрального анализа функций на группе.
Позже выяснилось, что приведённые обобщения теорем Бохнера
и Планшереля были также получены и опубликованы в том же году Вей-
лем *). Но этот автор для их установления пользовался основными теоре*
мами Л. С. П опт рягина о структуре коммутативных групп, а по-
поэтому не решил той методологической задачи, которая была поставлена
и решена предыдущими авторами. Эти теоремы были несколько позже
получены также А. Я. П о в з н е р о м. Дальнейшие исследования
Б. М. Левитана (см. ниже) подтвердили принципиальное преимуще-
преимущество методов советских авторов.
Изложенные результаты о коммутативных группах можно найти
в большом мемуаре Д. А. Р а й к о в а [5], гдо они обобщаются на тот
случай, когда группа G задана без топологии, по на ней определена лево-
инвариантная мера, удовлетворяющая ряду требований.
В последнее время Годеман и упоминавшийся уже Сегал получили,
используя методы советских авторов, тауберовские и др. теоремы для
интегралов Фурье на группе.
Обобщение ряда результатов И. М. Г е л ь ф а н д а и Д. А. Р аи-
к о в а на случай групп, являющихся прямым произведением неком-
некоммутативной бикомпактной группы на локально бикомпактную комму-
коммутативную группу, дано в диссертации Г. Я. Любарского [1].
Дальнейшие глубокие обобщения всего этого цикла идей получены
Б. М. Левитаном [3—6]. В этих исследованиях уже вовсе нефигу-
нефигурирует понятие группыивместо семейства операторов Tsx{t) = x{st) (s6G)
над функциями x{t) из Ll(G) или L%(G), порождаемых групповой компо-
композицией, рассматриваются некоторые более общие семейства ограниченных
операторов Ts(s(-Z), действующих одновременно в пространствах L^Z)
и L2 (Z) функций, определённых на некотором локально компактном про-
пространстве Z со второй аксиомой счётности, причём пространства L, (Z)
и Li(Z) строятся обычным образом при помощи некоторой произвольно
заданной меры т (?) {EdZ)t положительной на любом открытом множе-
множестве. Семейство операторов Ts {s(- Z), называемых Б. М. Левитаном
операторами обобщённого сдвига, определяется чисто аксиоматически.
Эта аксиоматика позволяет обратить Lx (Z) в коммутативное нормирован-
нормированное кольцо путём определения произведения элементов х, k^i)
равенством
где Т\ — оператор, сопряжённый с Ts.
Оказывается, что в кольце ?г(О) всегда отсутствует радикал и что
каждому максимальному идеалу отвечает взаимно однозначно непре-
*) См. A. Weil, L'intdgration dans les groupes topologiques et ses applications.
Paris, 1940.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 669
рывная функция <р @ = ? if; M) (t 6 Z) такая, что 7> (/) = <р (s) с? (t)
{S,t(;Z) И
= \ X (/) ер (/,М) </[*(/).
Функцию p(t) (t?Z) Б. М. Левитан называет положительно
определённой, если функция p(t, s) = T*p(/) является положительно
определённым ядром.
Для непрерывных и ограниченных положительно определённых функций
он устанавливает интегральное представление р (t) = \ ? (/, М) (IF (M),
где F(<?)—вполне аддитивная неотрицательная функция на борелевских
множествах локально бикомпактного пространства Ш максимальных
идеалов кольца LX(Z) (обобщение теоремы Бохнера). Замечательно, что
и при таком общем построении удаётся установить аналоги теоремы
Планшереля и в особенности принципа двойственности. Оказывается,
что заданная мера шна2и операторы обобщённого сдвига Ts порождают
на Щ некоторую меру р и соответствующий класс операторов обобщён-
обобщённого сдвига &s в пространствах Li,2 (Ш) и подобно тому как из Т и Ts
получаются « и (Ss, из ци (Ss получаются m и Ts (последнее устанав-
устанавливается при некоторых дополнительных ограничениях).
Б. М. Л е в и т а н [7, 8, 9] разработал общие приёмы построения
различных классов операторов обобщённого сдвига, задаваемых интеграль-
интегральными ядрами, матрицами и т. д.
А. Я. П о в з н е р у [2, 3, 4] и Б. М. Левитану и А. Я. П о в-
знеру[1] принадлежит ряд тонких исследований всякого специаль-
специального класса операторов обобщённого сдвига, впервые рассматривав-
рассматривавшегося Дельзартом в связи с обобщением понятия почти периоди-
периодической функции. Этот класс операторов порождается дифференциаль-
дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля Ly — y"-\-^(t)y @<f<oo, >>{t) > О)
следующим образом: оператор Ts относит функции х(/)(О< t < со)
некоторого класса функцию u(s,t) @<s, /<oo)) являющуюся решением
дифференциального уравнения в частных производных Lsu = Ltu при
начальных условиях: и @, t).— х (t) и и'г @, /) ~ 0 @ < t < со). Операторы
Ts удовлетворяют, однако, нужным требованиям только при некоторых
дополнительных предположениях относительно [>, которые впервые для
достаточно общего случая были установлены А. Я. Повзнером
(до этого Б. М. Л е в ит а и [2] указал такие условия для р аналитических).
Укажем, что Б. М. Левитану [1,2] удалось также развить тео-
теорию почти периодических функций по отношению к операторам обоб-
обобщённого сдвига, значительно обобщающую и совершенствующую упоми-
упоминавшиеся исследования Дельзарта.
6. Представление колец. Возвращаясь снова к вопросам функцио-
функционального анализа на некоммутативной локально бикомпактной группе,
отметим вместе с А. Вейлем, что кольцо Lx (G) изоморфно некоторому инво-
инволюционному кольцу R(G) операторов, действующему в L2 (G), так как
каждому /€^i соответствует оператор Л/ в L2 по формуле
rfs, A5)
при этом Л; - Л;. (/• (s) = l-i /I?!)", и || А, || < || / |jLl.

670 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Таким образом операторные представления кольца R (G) порождают
операторные представления группового кольца 1^@), 'которые, как мы
знаем, тесно связаны с унитарными представлениями группы G.
В настоящее время в Москве разрабатывается общая теория опера-
операторных представлений инволюционных колец ограниченных операторов
А в гильбертовом пространстве § (инволюци они ость означает, что вме-
вместе с каждым оператором А в R входит его сопряжённый А*), а также
абстрактных инволюционных колец. Частным вопросом этой теории являет-
является проблема «разложения» любого унитарного представления на неприводи-
неприводимые. Именно в связи с этой проблемой после результата И. М. Гельфан-
да и Д. А. Р а й к о в а [2] были проделаны первые шаги для построения
указанной общей теории (А. Н. К о л м о г о р о в и Б. М. Левитан). Ещё
в 1943 г. на одном из заседаний Московского математического общества
А. Н. Колмогоров сообщил без доказательства свой результат
об инволюционных кольцах операторов с образующими не более чем
в счётном числе, согласно которому каждое такое кольцо R имеет неко-
некоторую систему неприводимых операторных представлений R—^R^ такую,
что пространство ф в известном смысле может быть ортогонально со-
собрано из пространств %, в которых действуют представляющие кольца
и при этом каждый оператор А «собирается» в особом смысле из своих
представителей А^ в кольцах /?ц. Этот результат следует рассмат-
рассматривать как непосредственное обобщение известной теоремы о том,
что всякое инволюционное кольцо матриц с помощью одного и того же
унитарного преобразования его матриц может быть преобразовано в пря-
прямую сумму неприводимых колец матриц. Он обобщает эту теорему в том
же направлении, как спектральное разложение самосопряжённого опе-
оператора обобщает приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду.
Г. М. Адельсон-Вельский*) получил это же разложение
кольца в неприводимые составляющие кольца и подробно его исследовал
для самого общего случая инволюционного кольца операторов с любым
числом образующих. При этом он искусно использовал как некоторые
идеи А. Н. Колмогорова и Б. М. Левитана [12], так
и некоторые методы из работы И. М. Г е л ь ф а н д а и М. А. Н а й-
марка [1].
7. Спектральный анализ функций на некоммутативной группе. Как
известно, теория Петера-Вейля конечномерных унитарных представлений
бикомпактной группы G построена на изучении спектральных свойств
оператора Af в L2(G), соответствующего по формуле A5) какой-либо
непрерывной функции на группе. Поэтому, естественно, явилась мысль
о необходимости изучения спектральных свойств операторов Af для
того или иного класса функций / на локально бикомпактной группе
и тех связей с теорией унитарных представлений этих групп, которые
здесь имеются. Ряд важных результатов в этом направлении получил
Б. М. Левитан в упоминавшейся выше работе [12]. Некоторые из
них пересекаются с последними результатами Годемана**) (в первых
своих работах Годеман повторил результаты И. М. Гель фан да и
Д. А. Райкова [2]).
8. Кольца, порождаемые положительно определёнными функциями.
Приведём здесь прежде всего результаты исследований М. Г. К рейна
*) Работа находится в печати.
**) Godem.-nt, С. R. Acad. Sci., 221 A945); 222 A946); 223 A947).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 671
[18—21), явившиеся хронологически первыми в СССР исследованиями о по-
положительно определённых функциях на некоммутативных группах и на
многообразиях с группой.
Пусть попрежнему Q—некоторое топологическое пространство, a G—
непрерывная транзитивная группа преобразований Q. Обозначим через RQG
(соответственно Rqg) линейную оболочку всех (соответственно всех не-
непрерывных) инвариантных положительно определённых ядер на Q (см. п. 1
этого параграфа). Оказывается, что при соответствующем определении,
нормы в RQg последнее будет полным нормированным кольцом, a Rfc
его подколъцом, состоящим из всех непрерывных функций fkRoe (опу-
(опубликован более частный результат). Более того, оказывается, что
Rqg всегда является пространством, сопряженным к некоторому
банахову пространству. В некоторых случаях то же можно утверждать
и для Rqg-
В случае, когда Q и G бикомпактны, R'qg оказывдется кольцом функ-
функций (притом регулярным) на множестве ЯК своих максимальных идеалов
(ЭД = Q), а поэтому аналитически полным (если / (р, q) (Е Rqg, то и F (/) € Rqg,
где F (..)—функция, голоморфная в области, содержащей все значения /).
Так как функции ((-Rqg характеризуются тем, что допускают разло-
разложения вида / (р, q) = ^ ctft (р, q), где ]? | ct \ < оо, а <?; {р, q) - непре-
непрерывные элементарные положительно определённые ядра, то теорема об
аналитической полноте кольца Rqg является обобщением соответствующей
теоремы Винера-Леви о кольце W абсолютно сходящихся тригонометриче-
тригонометрических рядов, которая теперь отвечает случаю: Q— окружность, a G — группа
всех её вращений. Если Q — двумерная сфера единичного радиуса, aG—
группа её вращений, то функции x<(cos 6) (г = О, 1),гдех,-(х) (i = O, 1,2...) —
последовательные полиномы Лежандра, a b = b(p,q) — угловое расстоя-
расстояние между точками р, q, дают полную систему элементарных ядер. Таким
образом, из указанной общей теоремы получается аналог теоремы Винера-
Леви для случая абсолютно сходящихся рядов из лежандровых поли-
полиномов. При другом выборе Q и G можно получить аналоги этой теоремы
для рядов из ультрасферических и др. полиномов.
Теорема об аналитической полноте кольца Rqg позволяет устано-
установить аналитическую полноту различных бесконечных рядов, состав-
составленных из произвольных (не только зональных) картановских сфериче-
сферических функций на Q. Случай Q=G приводит к теореме об аналитиче-
аналитической полноте определённого кольца почти периодических функций нэ
любой группе, которое является наиболее естественным обобщением
кольца W.
Непрерывная функция P(q) (q€Q) называется сферическим полино-
полиномом, если она представляется в виде линейной комбинации картанов-
картановских сферических функций на Q (или, что то же, если все транслирован-
транслированные функции P(sq) {s?G) принадлежат одному и тому же конечномерному
пространству функций на Q).
Совокупность всех таких полиномов образует некоторое алгебраи-
алгебраическое кольцо 3*qG. Оказывается, что алгебраический изоморфизм двух
колец 3*QiGX и 9?q2g. (Q, и Q2 —два бикомпакта с транзитными группами
непрерывных преобразований G, и О„) влечёт гомеоморфизм бикомпактов
Яг U Яш-
Всё значительно осложняется, если отказаться от бикомиактности Q
и G. Даже для случая, когда Q естьл-мерное, но некомпактное риманово.

672 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
многообразие, a G — его группа движений, исследование кольца q
представляет значительные затруднения. Однако и здесь существенные
продвижения вперёд достигнуты И. М. Гельфандом и М. Г. К р е й-
н о м и притом совершенно различными методами. Для ряда случаев
удалось, например, найти все элементарные (инвариантные) ядра <?(Р»?)
и показать, что любая положительно определённая функция / полу-
получается в виде интеграла Стилтьеса \ <р<» (р> q) da (а) по параметру а (кото-
(который может иметь несколько координат), от которого они все зависят
(аналог теоремы Бохнера). Этот результат, например, получен для слу-
случая, когда Q—п-мерное (или даже бесконечномерное) пространство Лоба-
Лобачевского, a G— его группа движений (М. Г. К р е й н), или для любого
симметрического риманова пространства (И. М. Гельфанд).
Метод М. Г. К р е й н а основывается на его исследованиях по спек-
спектральной теории эрмитовых операторов. Он интересен тем, что в ряде
случаев даёт возможность решить «проблему продолжения» положительно
определённых функций / (р, q), определённых в гипершаре много-
многообразия, на всё многообразие (с сохранением положительной опреде-
определённости).

БИБЛИОГРАФИЯ.
Айзенштадт Н. Д.
[1] Об-одном типе аддитивного оператора. М., Учён- зап. ун-та, 15 A939), 95—112.
Аки лов Г. П.
11] О распространении линейных операций. ДАН, 57 A947), 643—646.
Александров А. Д.
I] Additive set-functions in abstract spaces. Матем. сб., 8 E0), A940), 307—348.
2] Additive set-functions in abstract spaces. Матем. сб., 9 E1), A941), 563—628.
3] Additive set-functions in abstract spaces. Матем. сб., 13 E5), A943), 169—238.
A p ж а н ы х И. С.
[1] Существование решений линейных интегральных уравнений Фредгольма в связи
с задачей об устойчивости. Ташкент, Изв. Узб. фил. АН, 6 A940), 39—45.
А р т ё м е н к о А. П.
[1] Общий вид линейного функционала в пространстве функций ограниченной вариа-
вариации. Матем. сб., 6 D8), A939), 215—220.
[2] О позитивных линейных функционалах в пространстве почти периодических функ-
функций Н. Bohr'a. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 16 A940), 111—114.
[3] Новое доказательство двух теорем S. Bochner'a. Одесса, Труды ун-та, 3 A941),
123—133.
[4] Эрмитово положительные функции и позитивные функционалы. Одесса, Диссер-
Диссертация A941).
Ахиезер Н. И.
[1] О максимальных симметрических операторах в гильбертовом пространстве. Хрк.'
Научн. зап. авиац. ин-та, 3 : 1 A940), 3—8.
[2] Об одном предложении А. Н. Колмогорова и одном предложении М. Г. Крейна.
ДАН, 50 A945), 35—40.
[3] О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 275—290.
[4] Лекции по теории аппроксимации. М.—Л., ГТТИ A947), 1—323.
[5] Ингегральные операторы с ядрами Карлемана. Успехи матем. наук, 2:5 B1),
A947), 93—131.
Ахиезер Н. И. и Крейн М. Г.
[1] О некоторых вопросах теории моментов. Хрк., ГОНТИ A938).
Бабенко К. И.
[1] О базисах в гильбертовом пространстве. ДАН, 57 A947), 427—431.
Б а р б а ш и н Е. А,
II] О о-покрытиях пространства. Матем. сб., 18 F0), A946), 423—428.
Бари Н. К.
[1] Об устойчивости некоторых свойств ортогональных систем. ДАН, 33 A941),
342—345.
[2] О базисах в гильбертовом пространстве. ДАН, 54 A946), 383—386.
43 Математика в СССР за 30 лет

ffl
674 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Белоновский П. Д.
[1J Интегральные уравнения и их роль в математической физике. Вятка, Труды пел.
ин-та, 3 : 5 A928), 1—81.
Б е р м а н т А. Ф.
[1] Sur la theorie elementaire de quelques equations integrates. Ростов н/Д, Протоколы
матем. и естеств. о-ва A926).
[2] Об интегральных уравнениях Volterr'a первого вида. Ростов н/Д, Сб. статей по
матем. A930), 105—130.
Бернштсйи С. Н. ¦.
[1] Об уравнениях вариационного исчисления. Успехи матем. наук, 8A941), 32—74.
Б ер р и Р. Я.
[1] Некоторые замечания о полуупорядоченных пространствах. Воронеж, Научи,
работы студ. ун-та, 1 A939), 13—21.
Боголюбов Н. Н.
[11 Sur quelques methodes nouvelles dans le calcul des variations. Ann. di Mat,
7 A930), 243—272.
[21 Application des methodes directes й quelques problemes du calcul des varia-
variations. Ann. di Mat., 9 A933), 195—242.
Деяи уваги до теореми Pieua. Киев, Учён. зап. ун-та, отд. физ.-матем., 3A937).
Про деяш ергоднчш нластивост1 сущльних групп перетворень. Киев, Учён,
зап. ун-та, отд. физ.-матем., 9 A939).
Боголюбов Н. Н. и Крейн С. Г.
[1] Про позитивн1 Ц1лком iienepepBHi оператори. Киев, Ж. ин-та матем., АН УССР,
9 A947), 130—139.
Боголюбов Н. Н. и Крыл он Н. М.
[I] On Rayleigh's principle in the th?ory of differential equations and on Euler's
method in calculus of variations. Ann. of Math., 29 A927—1928), 255—275.
[2] Загальна теор!я Mipn та it застосування до ьивчения динам1чних систем нелШ-
Н1йно1 мехатки. Киев, Зап. каф. матем. физ. АН УССР, 3 A937).
Борухов Л.
[1] Линейное интегральное уравнение с почти периодическим ядром и свободным
членом.'ДАН, 57A947), 647—649.
Букреев Б. Я.
[1] О теоремах Кнезера и Гильберта. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та,
3 A921), 153—158.
[2] Об одном предложении вариационного исчисления. Киев, Вестн. политехи, ип-та,
20 A926), 23—25.
[3] Про HaeiraniHiiy задачу Zermela. Хрк., Зап. матем. т-ва, 7 A933), 83—85.
[4] Введение в вариационное исчисление. Изд. 3. Хрк.—Киев, ГТТИ A934), 1—183.
Бы строп Н. А.
[1] О некоторых интегральных уравнениях, связанных с уравнением Лапласа. Л.,
Труды ин-та инж. ж.-д. трансп., 9A934), НО—111.
Вагнер В. В.
[1] Геометрия поля локальных кривых в Х3 и простейший случай задачи Лагранжа
в вариационном исчислении. ДАН, 48 A945), 245—248.
[21 Геометрия поля локальных центральных плоских кривых в Ха. ДАН, 48 A945),
405—408.
[3] Геометрия пространства с ареалыюй метрикой и её приложения к вариационному
исчислению. Матем. сб., 19 F1), A946), 341—406.
[4] О достаточном условии в задаче Лагранжа для кратных интегралов. ДАН, 54A946),
483—486.
[5] О геометрической интерпретации экстремальных поверхностей в задаче
Лагранжа для кратных интегралов. ДАН, 55 A947), 91—94.

БИБЛИОГРАФИЯ 675
Вайнберг М. М.
[1] Существование собственной функции у одного класса нелинейных интегральных
уравнений. ДАН, 46 A945), 51—54.
[2] Существование собственной функции у одного класса линейных интегральных
уравнений. М., Учён. зап. ун-та, 100 A946), 85—92.
!] Об одной теореме Гаммернггейна Для нелинейных интегральных уравнений. М.,
Учён. зап. ун-та, 100 A946), 93—103.
[4] О собстьенных значениях одного класса нелинейных интегральных уравнений.
ДАН, 58 A947), 953—956.
Васильев В.
[1] К вопросу об интегрировании систем линейных интегро-дифференциальных урав-
уравнений. Иркутск, Учён. зап. пед. ин-та, 9 A946), 19—25.
Васильков Д. А.
[1] Частично упорядоченные линейные системы банахова пространства и системы
функций. ДАН, 35 A942), 148—151.
[2] Классификация упорядочений линейных систем. ДАН, 39 A943), 175—178.
13] Упорядочения абстрактных множеств и линейных систем. И АН, сер. матем.,
7 A943), 203—236.
[4] On the theory of partially ordered linear systems and linear spaces. Ann. of. Math.,
44 A943), 580—G09.
Веку а И. Н.
[1] О сингулярных линейных интегральных уравнениях, содержащих интегралы
п смысле главного значения по Коши. ДАН; 26 A940), 335—338.
[2] Об одном классе сингулярных интегральных уравнений с интегралом в смысле
главного значения по Коши. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 579—586.
J3] О приведении сингулярных интегральных уравнений к уравнениям Фредгольма.
Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 697—700.
[4] Интегральные уравнения с особым ядром типа Коши. Тбилиси, Труды матем.
ин-та АН ГрССР, 10 A941), 45—72.
!5) К теории сингулярных интегральных уравнений. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР,
3 A942), 869—875.
В е к у а Н. П.
[1] Интегральные уравнения типа Вольтерра с интегралом в смысле Адамара. Тби-
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 508.
[2] Интегральные уравнения типа Фредгольма с ядром в смысле Адамара. Тбилиси,
Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 7 A940), 113—146.
[3] Об одном классе сингулярных интегральных уравнений и некоторые краевые за-
задачи теории потенциала. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 10 A941), 92.
[4] К теории систем сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффи-
коэффициентами. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944), 133—134.
[5] Краевая задача Гильберта с рациональными коэффициентами для нескольких
неизвестных функций. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 7 A946), 595—600.
[6] Граничная задача Рим ma-Гильберта для систем аналитических функций. Тби-
Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрСССР, 14 A947), 1—16.
Векуа Н. П. и Квеселава Д. А.
A] Об одной краевой задаче теории функций комплексного переменного и её при-
приложении к решению системы сингулярных интегральных уравнений. Тбилиси,
Труды матем. ин-та АН ГрССР, 9A941), 33—48.
Вер ников И. X., К р с fi н С. Г. и Товбии А. В.
[1] О полуупорядоченпых кольцах. ДАН, 30 A941), 778—780.
В и ш и к М. И.
[1] Метод ортогональных проекции для самосопряженных уравнений. ДАН, 50A947)
115—118.
[2] Метод ортогональных проекции для общих самосопряжённых уравнении. ДАН,
58 A947), 957—960.

676 ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ лпллпо
В н ш невски и Л. А.
A] Абсолютный экстремум одного полиномиального функционала. Симферополь,
Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 37—40.
[2] О некоторых вопросах теории функций бесконечного числа переменных. Симфе-
Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 65—126.
J3] О некоторых вопросах теории функций бесконечного числа переменных, Симфе-
Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 2 A921), 155—208.
14] Sur l'application d'analyse de fonctions a une infinite des variables aux problemes
d'extremum. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 2 A921), 215—218.
[5] Ueber einen Satz betreffend der gleichmassigen Konvergenz Bilinearformen der
unendlichvielen unabhangigen Variabeln. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск.
ун-та, 2 A921), 230—233.
[6] Ueber eine Minimalaufgabe von Tschebyschew. Симферополь, Зап. матем. каб
Крымск. ун-та, 2 A921), 253—258.
[7] Uaber ein System linearer Oleichungen mit unendlichvielen Unbekannten. Симферо-
Симферополь, Зап. магем. каб. Крымск. ун-га, 3 A921), 85—88.
[8] Ueber Taylorsche Entwi:kelung'und fiber relatives Extremum der Funktionen von
unendlichvielen unabhangigen Variabeln. Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск.
ун-та, 3 A921), 161—175.
Вороновская Е. В.
[1] Нормирование конечных функционалов. Л., Труды индустр. ин-та, раздел
физ.-матем., 5 : 1 A938), 14—20.
[2] Нормирование конечных функционалов, П. Л., Труды политехи, ин-та, 3 A941),
23—33.
В у л и х Б. 3.
11] Об одном типе метрических пространств. ДАН, 4 A935), 295—298.
[2] К теории /С-нормированных пространств. ДАН, 2 A936), 55—58.
[3] Sur les formes generates de certaines operations lineaires. Магем. сб., 2 D4), A937),
275—306.
[41 On a generalized notion of convergence in a Banach space. Ann. of. Math., 38 A937),
156—174.
[51 Sur les operations lineaires dans l'espace des fonctions sommables. Mathematica,
13 A937), 40—54.
F] О линейных методах суммирования в абстрактных пространствах. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 15 : 2 A938), 65—75.
[7] О метризации сходимостей в линейных пространствах. ДАН, 23 A939), 433—437.
[8] К-нормированные пространства. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939), 179—224.
19] Определение произведения в линейном полуупорядоченном пространстве. ДАН,
26 A940), 847—851.
[10] Свойства произведения и обратного элемента в линейных полуупорядоченных
пространствах. ДАН, 26 A940), 852—856.
[11] О линейных пространствах с заданной сходимостью. Л., Учён. зли. ун-та, сер.
матем., 10 A940), 40—63.
[1?] Интеграл Стнл!ьеса для функций со значениями в полуупорядочемных простран-
пространствах. -П., Учён. зап. ун-та, сер. матем , 12 A941), 3—29.
[13] О линейных мультипликативных операциях. ДАН; 41 A943), 148—151.
[14] Аналитическое представление линейных мультипликативных операций. ДАН,
41 A943), 197—201.
[15] О лингйных функциональных и линейных полуупорядоченных пространствах.
ДАН, 52 A946), 95—98.
|16] О линейных мультипликативных операциях. ДАН, 52 A946), 387—390.
[17] О некоторых нелинейных операциях в линейных полуупорядочепных простран-
пространствах. ДАН, 52 A94 ), 479—481.
[18] Конкрэтное представление линейных полуупорядоченных нрострлнетн. ДАН,
58 A947), 733—736.
Г а г а е в Е. М;
[1] Решение системы линейных интегральных уравнений. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва B) 24:2 A924), 19—30.
121 К теории симметрического ядра. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 1 A326),
149—152.

БИБЛИОГРАФИЯ 677
Г а и т м а х е р В. Р.
[1] Oberschwache totalstetige Operatoren. Матем. сб., 7 D9), A940), 301—308.
Гантмахер В. Р. иШмульян В. Л.
[11 О линейных пространствах, единичная сфера которых слабо компактна. ДАН,
17 A937), 91—94.
[2] О слабой компактности в пространстве Банаха. Матем. сб., 8 E0), A940),
489—492.
Гантмахер Ф. Р.
[1] О несимметрических ядрах Келлога. ДАН, 1 A936), 3—5.
Гантмахер Ф. Р. иКрейнМ. Г.
[1] О нормальных операторах в эрмитовом пространстве. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 4 A929—1930), 71—84.
[2] Об интегральных ядрах типа функций Грина. Одесса, Труды ун-та, 1 A935),
оУ—OU«
[3] Об одном специальном классе детерминантов в связи с интегральными ядрами
Kellog'a. Магем. сб., 42 A935), 501—508.
Гельфанд И. М.
[1] Sur un lernme de la theorie des espaces lineaires. Зап. матем. т-ва D), 13 A936),
35—40.
[2] К теории абстрактных функций. ДАН, 17 A937), 237—240.
[3] Операторы и абстрактные функции. ДАН, 17 A937), 241—244.
|4] Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren. Матем. сб., 4 D6), A938),
235—286.
[51 О нормированных кольцах. ДАН, 23 A939), 430—432.
[6] Об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах и интегралах. ДАН,
25 A939), 571—574.
[7] О кольце почти периодических функций. ДАН, 25 A939), 575—577.
|8] Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве.
ДАН, 25 A939), 711—716.
[9] Normierte Ringe. Матем. сб., 9 E1), A941), 3—24.
[10] Ideale und primare Ideale in normierten Ringen. Матем. сб., 9 E1), A941),
41—48.
[11] Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topologischen Gruppen. Матем. сб.,
9 E1), A941), 49—50.
[12] Ober absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale. Матем. сб.,
9 E1), A941), 51—66.
Гельфанд И. М. и Колмогоров А. Н.
[1] О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах. ДАН,
22 A939), 11—15.
Гельфанд И. М. иНаймаркМ. А.
[ 1] On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space.
Матом, сб., 12 E4), A943), 197—219.
[2] Об унитарных представлениях комплексной унимодулярной группы. ДАН,
54 A946), 195—198.
Unitary representations of the Lorenze group. Journ. of Physics, 10 A946), 93—94.
Унитарные представления группы линейных преобразований прямой. ДАН,
55 A947), 571—574.
|5] Основная серия неприводимых представлений комплексной унимодулярной
группы. ДАН, 56 A947), 3—5.
[6] Унитарные представления группы Лоренца. ИАН, сер. матем., 11 A947),
504.
[7] Унитарные представления полупростых групп Ли, 1. Матем сб., 21 F3), A947),
411—405—431.
[8] Дополнительные и вырожденные серяи представлений комплексной унимоду-
мярной группы. ДАН, 58 A947), 1577—1580.
Гельфанд И. М. и Райков Д. А.
[1] К теории характеров коммутативных топологических групп. ДАН, 28 A940),
195—198.
131
[4]

578 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
121 Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных групп. Матем.
сб., 13 E5), A943), 301—316.
[3] Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных групп. ДАН,
42 A944), 203—205.
Гельфанл И. М. и Шилов Г. Е.
[I] Ober verschiedene Methoden der Einfuhrung der Topologie in die Menge der maxi-
malen ldeale eines normierten Rings. Матем. сб., 9 E1), A941), 25—40.
Г е л ь ф а н д И. М., Райков Д. А. и Шилов Г. Е.
[1] Коммутативные нормированные кольца. Успехи матем. паук, 1 : 2 A2), A946),
48—146.
Г е л ь ф е р С. А.
[1] Точки разветвлений интегральных уравнений с комплексными переменными. Л.,
Труды ин-та ииж. ж.-д. трансп., 9 A934), 112.
Говурин М. К.
[1[ Ober die Stieltjessche Integration abstrakter Funktionen. Fund Math., 27 A936),
254-268.
[2] О /С-кратно-линейпых операциях в пространствах Banach'a. ДАН, 22 A939),
547—551.
131 К построению дифференциального и интегрального исчисления в пространствах
Banach'a. ДАН, 22 A939), 552—556.
Г о л ь д ф а й и И. А.
[11 Sur la theorie des noyaux singuliers symetriques completement cont'.nus. Матем.
сб., 39 : 4 A932), 85—112.
B] Об одном частном случае линейного интегрального уравнения Фредгольма с несим-
несимметрическим ядром. Матем. сб., 6 D8), A939), 149—160.
|3] К теории линейных интегральных уравнений с симметрическим ядром типа
Schmidt'a. M., Учён. зап. ун-та, 15 A939), 113—169.
[4] Об одном классе линейных интегральных уравнений. М., Учён. :san. ун-та,
100 A946), 104—112.
Гордон И. И.
11] On the minimal number of critical points of a real function defined on a manifold.
Матем. сб., 4 D6), A938), 105—113.
Григорьев В. Е.
[1] О некоторых типах интегральных уравнений Вольтерра, решаемых конечным
числом квадратур. Казань, Труды авиац. ип-та, 8 A937), 23—35.
Гринблюм М. М.
[1] О геометрическом структуре симметрического оператора, определённого в про-
пространстве Гильберта. ДАН, 3 A936), 407—410.
B] О сопряжённом операторе. ДАН, 17 A937), 3—8.
|3] Об одном отображении пространств числовых последовательностей. ДАН,
21 A938), 422—424.
14"
15]"
Некоторые теоремы о базисе в пространстве типа (В). ДАН, 31 A941), 428—432.
Биортогональные системы в пространстве Банаха. ДАН, 47 A945), 79—82.
Об одном классе линейных пространств. ДАН, 49 A945), 479—482.
О моей статье «Биортогональные системы в пространстве Банаха*. ДАН,
52 A946), 391—392.
|8] К теории биортогональных систем. ДАН, 55 A947), 291—295.
Гринблюм М. М. и Г у р е в и ч Л. А.
[1] Об одном свойстве базиса в гильбертовом пространстве. ДАН, 30 A941), 287—289.
Гросберг Ю. И.
[1] Про jiiHiiini фунюпопали на простор! функщй обмежсно? париацп. Киев, Учён.
:san. пед. ип-та, 2 A939), • 17—23.

БИБЛИОГРАФИЯ 679
Гросберг Ю. И. и Крейн М. Г.
[1] О разложении линейного функционала на положительные составляющие. ДАН,
25 A939), 721—724.
Гроссман Д. П.
[1] Об одной оценке для категории Люстерника-Шнирельмана. ДАН, 54 A946),
109—112.
ГуревичА.
[1] Unitary representation in Hilbert space of a compact topological group. Матем.
сб., 13 E5), A943), 79—86.
Гусейнов А. И.
[1] Теоремы существов-ншя и единственности для нелинейных интегральных
сингулярных уравнений. Матем. сб., 20 F2), A947), 239—310.
Гюнтер Н. М.
[1] Об одной вспомогательной теореме. ИАН F), 17 A923), 53—64.
J2] Sur une application des fonctions universelles de M. A. Korn. C. R. Acad. Sci.,
183 A926), 551—553.
C) Основы математической физики. 4.1. Интегральные уравнения. Л., Кубуч A931),
1-176.
14] Sur les integrates de Stieltjes et leurs applications aux problemes fondatnentaux
de la physique mathematique. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 1A932), 494.
[5] Sur les operations lineaires. Phys. Z. d. USSR, 3A933), 115—139.
|6] Sur les problemes des «Belastete Integralgleichungen». Studia Math. 4A933), 8—14.
G] О спектральной функции некоторых эрмитовых интегральных уравнений. ДАН,
4 A935), 299—302.
[8] Sur quelques applications nouvelles de la theorie des fonctions des domaines й la
theorie des equations integrales. Матем. сб., 42 A935), 279—384.
[9] Sur la resolvante de certaines equations integrales Hermitiennes. C. R. Acad. Sci.,
200 A935), 1714—1717.
[10] Sur les equations aux integrales des noyaux du type Fourier de M. H. Weyl. Киев,
Ж. ин-та матем. АН УССР, 2 A936), 21—46.
11] Sur quelques applications nouvelles de la theorie des fonctions des domaines & la
theorie des equations integrales, П. Матем. сб., 2 D4), A937), 197—274.
[12] Sur quelques applications nouvelles de la theorie des fonctions des domaines & la
theorie des equations integrales, III. Матем. сб., 2 D4), A937), 387—464.
[13] К теории интегралов Стилтьеса-Радона и интегральных уравнений. ДАН.
21 A938), 219—223.
[14] К общей теории интегральных уравнений. ДАН, 22 A939), 215—219.
[15] Замечание об интегралах Hellinger'a. ДАН, 30 A941), 99—102.
[16] Об интегральных уравнениях третьего рода. ДАН, 30 A941),677—680.
Данилевский А. М.
[1] К одной теореме М. Г. Крейна. ДАН, 1 A936), 335—338.
Данилевский А. М. и Крейн -М. Г.
[1] О билинейных разложениях симметрических ядер, положительных в смысле
Мерсера. ДАН, 1 A936), 303—306.
Д и т к и н В. А.
[1] Исследование строения идеалов в некоторых нормированных кольцах. М., Учён.
зап. ун-та, 30 A939), 83—130.
[2] К теории дифференциального оператора. ДАН, 56 A947), 779—782.
[3| О полноте системы функций. ДАН, 56 A947), 899—901.
[4] Операционное исчисление. Успехи матем. наук, 2:6 B2), A947), 72—158;
Дубровский В. М.
[1] О некоторых нелинейных интегральных уравнениях. М., Учён. зап. ун-та,
30 A939), 83—130.
[2] Интегральные уравнения типа Вольтерра в абстрактных пространствах. Матем.
сб., 7 D9), A940), 167—178.

680 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
[3] Интегральные уравнения типа Фредгольма с ядром, представляющим собок
функцию элемента и множества абстрактного пространства. Матем. сб., 9 E1),
A941), 403—420.
[4] Об одном виде интегральных уравнений с переменной областью интегрирования-
ДАН, 47 A945), 638—640.
Е г'/fp'p в Д. Ф.
[1] Основания вариационного исчисления. Пгр., Гос. изд. A923), 1—77.
[2] Sur la theorie des equations integrates au noyau symetrique. Матем. сб., 35 A928),
293—310.
[31 Sur quelques points de la theorie des equations integrales й limites fixes. С R.
Acad. Sci., 186 A928), 1703—1705.
[4] Addition & la note «Sur la theorie des equations integrales au noyau symetrique').
Матем. сб., 36 A929), 116—123.
Ермилин К. С.
[Т] К вопросу о разрывных решениях в вариационном исчислении. Тбилиси, Труды
матем. ин-та Гр. фил. АН, 1 A937), 65—71.
[2] Об одной задаче вариационного исчисления. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр.
фил. АН, 4 A938), 135—162.
[3] Об экстремуме интегралов в случае разрывной подинтегральной функции. ИАН.
сер. матем., 5 A941), 269—276.
Жуковский Н. Е.
[1] Заметка по вариационному исчислению. М., A923), 1—20.
Замятина В. Н.
Г11 О фундаментальных функциях оператора, IV. Л., Труды ин-та инж. пром.строит.,
6 A938), 75—95.
Зимин М. Ф.
A] Особый случай простейшей задачи вариационного исчисления. Новочеркасск,
Изв. Сев.-Кавк. индустр. ин-та, 1 A5), A935), 46—51.
9
по;
ИгнатовскийВ. С.
По поводу лапласовской трансформации. ДАН, 2 A935), 5—11.
По поводу лапласовской трансформации, II. ДАН, 2 A936), 169—172.
По поводу лапласовой трансформации, III. ДАН, 4 A936), 107—110.
По поводу лапласовой трансформации, IV. ДАН, 14 A937), 167—172.
По поводу лапласовой трансформации, V. ДАН, 14 A937), 475—478.
По поводу лапласовой трансформации, VI. ДАН, 15 A937), 67—70.
По поводу лапласовой трансформации, VII. ДАН, 15 A937), 163—166.
По поводу лапласовской трансформации, VIII. ДАН, 15 A937), 231—234.
По поводу лапласовской трансформации, IX. ДАН, 17 A937), 169—172.
По поводу лапласовской трансформации, X. ДАН, 18 A938), 511—514.
И к о р и и к о в Ю. В. '
[1] Векториальный вывод вариаций некоторых кратных интегралов, распространён-
распространённых на переменную область. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 153—171.
Иохвидов И. С.
[1] Унитарные операторы в пространстве с индефинитной метрикой. Одесса, Труды
ин-та инж. морск. флота, 7 A947).
Калафати П. П.
[1] Функцп Грша та жтерполяшйш властивостл фундаментальних фушйщй лшШ-
Hoi дифферепц1ально! системи 2-го порядку. Одессу, Труды ун-та, 2 A938).
45-61.
[2] О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений, ДАН,
26A940), 535-539.
Канторович Л. В.
[1] Одип прямой метод решения задач о минимуме двойного интеграла. ИАН, сер.
физ.-матем. A933), 647—652.
[2] О продолжении семейств линейных функционалов. ДАН, 1 A935), 204—210.

БИБЛИОГРАФИЯ 681
13] О полуупорядочеиных линейных пространствах и их применениях в теории линем-
ных операций. ДАН, 4 A935), 11—14.
[41 О некоторых общих методах расширения пространства Гильберта. ДАН, 4 A935),
115—118.
[5] Некоторые частные методы расширения пространства Гильберта. ДАН, 4 A935),
163—167.
[6] Ober die VollstSndigkeit eines Systems von Funktionen, die von einem stetigen
Parameter abhSngen. (Ein Beitrag zur Theorie der Integralgleichungen erster Art.)
Сотр. Math., 2 A935), 406—416.
[7] Sur un espace des fonctions a variation bornee et la differentiation d'une serie
termea terme. С R. Acad. Sci., 201 A935), 1457—1460.
[8] Sur les proprietes des espaces semi-ordonnes lineaires. С R. Acad. Sci., 202A930),
813—816.
[9] Les formes generates des operations lineaires qui transforment quelques espaces
classiques dans un espace semi-ordonne lineaire arbitraire. С R. Acad. Sci..
202 A936), 1251—1253.
[10] К общей теории операций в полуупорядоченных пространствах. ДАН, 1 A936),
271—274.
[11] Некоторые теоремы о полуупорядоченных пространствах общего типа. ДАН,
2 A936), 7—10.
[12] Основы теории функций вещественного переменного со значениями, принадле-
• жащими полуупорядоченному линейному пространству. ДАН, 2 A936), 359—364.
13] О некоторых классах линейных операций. ДАН, 3 A936), 9—14.
14 Общие формы некоторых классов линейных операций. ДАН, 3 A936), 101—106.
15 Об одном классе функциональных уравнений. ДАН, 4 A936), 211—216.
16 О последовательностях линейных операций. ДАН, 14 A937), 255—260.
17 К проблеме моментов для конечного интервала. ДАН, 14 A937), 531—536.
18] Некоторые теоремы о сходимости почти везде. ДАН, 14 A937), 537—540.
19] О полуупорядоченных пространствах. ИАН, сер. матем. A937), 91—НО.
20] О функциональных уравнениях. Л., Учен. зап. ун-та, 3 : 7 A937), 17—33.
21] Lineare halbgeordnete Raume. Матем. сб., 2 D4), A937), 121—168.
22] Sur la continuity et sur le prolongement des operations lineaires. C. R. Acad.Sci.,
206 A938), 833—835.
[23] The method of successive approximations for functional equations. Acta Math.,
71 A939), 63—97.
[24] Об одном эффективном методе решения некоторых классов экстремальных про-
проблем. ДАН, 28 A940), 212—215.
[25] Linear operations in semi-ordered spaces, I. Матем. сб., 7D9), A940), 209—284.
|26] О сходимости вариационных процессов. ДАН, 30 A941), 107—111.
[27] О сходимости метода приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
ДАН, 30 A941), 579—582.
[28] Применение идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным диф-
дифференциальным уравнениям. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 31—40.
[29] О перемещении масс. ДАН, 37 A942), 227—229.
[30] Об одном эффективном методе решения экстремальных задач для квадратичных
функционалов. ДАН, 48 A945), 483—487.
[31] О методе наискорейшзго спуска. ДАН, 56 A947), 233—236.
Канторович Л. В. и Вулих Б. 3.
1] Sur la representation des operations lineaires. Сотр. Math., 5 A938), 119—165.
2] Sur un theoreme de M. N. Dunford. Сотр. Math., 5 A938), 430—432.
Канторович Л. В. иФихтенгольц Г. М.
[1] Некоторые теоремы о линейных функционалах. ДАН, 3 A934), 307—312.
[2],Sur les operations lineaires dans l'espace des fonctions bornees. Studia Math.,
5A934), 69—98.
Канторович Л. В., Крылов В. И. и Смирнов В. И.
[1] Вариационное исчисление. Л., Кубуч A933), 1—204.
К а щ е ев Н. А.
[1] Об одной системе интегро-дифференциальных уравнений типа Volterra. Куйбы-
Куйбышев, Учён. зап. пед. и учит, ин-та, 7 A943), 181—197.

682 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Квеселава Д. А.
[1] Сингулярные интегральные уравнения с разрывными коэффициентами. Тбилиси,
Труды матем. ин-та АН ГрССР, 13 A944), 19—28.
Келдыш М. В. и Ф р а п к л ь Ф. И.
[1] Внешняя задача Неймана для нелинейных уравнений эллиптического типа и при-
приложение к теории крыла в сжимаемом газе. ИАН, сер. физ.-матем. A934),
561—601.
[2] Строгое обоснование теории винта Жуковского. Матем. сб., 42 A935), 241—273.
Колмогоров А. Н.
[ 1] Ober Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel. Gott
Nachr. A931), 60—63.
[2] Zur Normierbarkeit eines allgemeines topologischen linearen Raumes. Studia Math.,
5 A934), 29—33.
[3] La transformation de Laplace dans les espaces lineaires. С R. Acad. Sci., 200 A935),
1717—1718.
[4] Кривые в гильбертовско.м пространстве, инвариантные по отношению к одно-
параметрической группе движений. ДАН, 26 A940), 6—9.
[5] Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовском про-
пространстве. ДАН, 26 A940), 115—118.
|6] Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве. М., Бюлл.
ун-та (А), 2 : 6 A941).
Кондратов В. И.
[ 1] О некоторых свойствах функций из пространства Lp. ДАН, 48 A945), 563—566.
Коронблюм Б. И.
| \\ О представлении функций класса ?* сингулярными интегралами в точках
Лебега. ДАН, 59 A947), 973-976.
КошляковН. С.
[ 1] Sur une equation integrate singuliere. Симферополь, Зап. матем. каб. Таьр.ун-та
1 A919). 35—37.
Коялович Б. М.
[1] Исследование о бесконечных системах линейных уравнений. Труды физ.-матем.
ин-та им. Стеклова, 3 A930), 41—167.
[2] К теории бесконечных систем линейных уравнений. Труды физ.-матем.
ин-та им. Стеклова 2 : 4 A932), 16.
[3] Об основных понятиях теории бесконечных систем линейных уравнений. Л.,
Учён. зап. пед. ин-та, 5 A937), 83—100.
Красносельский М. А.
[1] О дефектных числах замкнутых операторов. ДАН, 56 A947), 559—652.
Крейн М. Г.
[1] Об одном специальном классе дифференциальных операторов. ДАН, 2 A935),
345—349.
|2| Sur les derivees des noyaux de Mercer. С R. Acad. Sci., 200 A935), 797—799.
[3] Sur les equations integrates chargfies. С R. Acad. Sci., 201 A935), 24—26.
[4] Sur quelques applications des noyaux de Kellog aux problemes d'oscillation. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 11 A935), 3—20.
[5] Sur quelques proprietes des noyaux de Kellog. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 13A936),
15—28.
|6| Об осцилляционных дифференциальных операторах. ДАН, 4 A935), 379—382.
[7] О некоторых вопросах геометрии выпуклых ансамблей, принадлежащих линей-
линейному нормированному и полному пространству. ДАН, 14A937), 5—8.
[8] О характеристических числах дифференцируемых симметрических ядер. Матем.
сб. 2 D4), A937), 725—732.
[9] Про деям властивосп резольвента ядра Kellog'a. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
14A937), 61—74.
[10] Про позитивн1 аддитивш функцюнали в лшШних нормованих просторах. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 227—237.

БИБЛИОГРАФИЯ 683
X11J О несимметрических осцилляционных функциях Грина обыкновенных диф-
дифференциальных операторов. ДАН, 25 A939), 643—646.
[12J Осцилляциоиные теоремы для обыкновенных линейных дифференциальных
операторов произвольного порядка. ДАН, 25 A939), 719—722.
[13] О линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторое коническое
множество. ДАН, 23 A939), 749—752.
{14] О нагружённых интегральных уравнениях, функции распределения которых не
монотонны. Сб. памяти акад. Граве A940), 88—103.
[15] О проблеме продолжения эрмитово положительных непрерывных функций. ДАН,
26 A940), 17—21.
[16] Основные свойства нормальных конических множеств в пространстве Банаха.
ДАН, 28 A940), 13—17.
[17] О минимальном разложении линейного функционала на положительные соста-
составляющие. ДАН, 28 A940), 18—22.
[18] Об одном кольце функций, определённых на топологической группе. ДАН,
29 A940), 275—280.
[19] Об одном специальном кольце функций. ДАН, 29 A940), 355—359.
[20] К теории почти периодических функций на топологической группе. ДАН.
30 A941), 5—8.
{21] О положительных функционалах на почти периодических функциях ДАН,
30 A941), 9—12.
[22] Об одном обобщении теоремы Планшереля на случай интегралов Фурье на комму-
коммутативной топологической группе. ДАН, 30 A947), 482—486.
[23] Об одном новом свойстве оператора Штурма-Лиувилля. Одесса, Труды ун-та,
3A941), 15—22.
[24] О представлении функций интегралами Фурье-Стилтьеса. Куйбышев, Учён. зап.
пед. ин-та, 7 A943).
{25] Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице. ДАН, 43A944),
339—342.
[26] Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице, П. ДАН,
44 A944), 143—146.
[27] 05 одном замечательном классе эрмитовых оператороз ДАН, 44 A944), 191—195.
[28] Об обобщённой проблеме моментов. ДАН, 44 A944), 239—243.
]29] О логарифме безгранично разложимой эрмигово-положительной функции. ДАН,
45 A944), 99—102.
{30] О проблеме продолжения винтовых дуг в гильбертовом пространстве. ДАН,
45 A944), 147—150.
[31] Об одном обобщении исследований D. Эге^о, В. И. Смирнова и А. Н. Колмогорова.
ДАН, 46 A944), 91—94.
[32] Об одной окстраноляциошюй проблеме А. Н. Колмогорова. ДАН, 46 A944),
306—309.
[33] О самосопряжённых расширениях ограниченных и полуограниченных эрмитовых
операторов. ДАН, 48 A945), 323—326.
[34] О резольвентах эрмитова оператора с индексом дефекта (т, т). ДАН, 52 A946),
657—660.
[35] Об одном общем методе разложения положительных определённых ядер на эле-
элементарные произведения. ДАН, 53 A946), 3—6.
[36] Теория самосопряжённых расширений полуограниченных эрмитовых операторов
и её приложения, I. Матем. сб., 20 F2), A947), 431—493.
[37] Теория самосопряжённых расширений полуограниченных эрмитовых операторов
и её приложения, И. Матем. сб., 21 F3), A947), 363—402.
C8] Про Ц1лком неперерпж оператори в функнлональних просторах з двома нормами.
Киев, Ж. ии-та матем. АН УССР, 9 A947), 104—129.
[39] Про деяк1 HOBi застосування теори ер.м1тових onepaTopin. Киев, Ж. ин-та матем.
АН УССР, 10 A947).
Крейн М. Г. и Красносельский М. А.
[1] Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые их примене-
применения к теории ортогональных полиномов и проблеме моментов. Успехи матем.
наук, 2 : 3 A9), A947), 61—106.
Крейн М. Г. и Крейн С. Г.
[1] Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерывных функций,
определённых на хаусдорфовом бикомпактном пространстве. ДАН, 27 A940),
427—431.

684 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
[2] Sur l'espace des fonctions continues definles sur un bicompact de Hausdorff (
ses sousespaces semi-ordonnes. Матем. сб., 13 Eo), A943), 1—38.
Крейн М. Г. и Левитан Б. М. '.
[1] О некоторых минимум-задачах в пространстве почти'периодических фунюш
Степанова. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 111—124.
КрейнМ. Г. иМильманД. П. ¦
[1] On extreme points of regularey convex sets. Studia Math., 9 A940), 133—138.
Крейн М. Г. и Шмульяи В. Л.
[1] On regularey convex sets in the space conjugate to a Banach space. Ann. of Matt
41 A940), 556—583.
К р е и н М. Г., М и л ь м а н Д. П. и Р у т м а н М. А.
[11 Об одном свойстве базиса в пространстве Banach'а. Хрк., Зап. матем. т-ва (
16 A940), 106—110.
Крылов В. И.
[1] Приложение интегральных уравнений к доказательству некоторых теорем теор|
конформных преобразований. Матем. сб., 4 D6), A938), 9—30.
Крылов Н. М.
[1] Разбор диссертации проф. Л. А. Вишневского «Некоторые вопросы теории фун
• пий бесконечного числа независимых переменных». Симферополь, Зап. мата
каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 5—21.
[2] Sur la theorie des equations integrales au noyau symfitrisable. Симферополь, 3l
¦ матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 89—95.
[3] Sur les equations integrales de premiere espece. Симферополь, Зап. матем. а
Крымск. ун-та, 3 A921), 129—134.
[4] Sur differentes generalisations du lemme fondamental du calcul des variatio
Матем. сб., 31 A924), 220—223.
Крылов Н. М. и Виш невский Л. А.
[1] Sur l'extremum absolu dans le probleme simple du calcul de variations. Симф*.
поль, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 2 A921), 209—214.
К у з ь м и н Р. О.
[1] К теории бесконечных систем линейных уравнений. Труды физ.-матем. ш
им. Стеклова, 2 A931). „
[2] Об одном классе бесконечных систем линейных уравнений. ИАН, сер. физ.-ма.
A934), 515—546.
КупрадзеВ. Д.
[1] Интегральные уравнения для электромагнитных волн. ДАН, 1 ^1934), 161—1
[2] Решение краевых задач уравнений Гельмгольца в исключительных случ*
ДАН, 2 A934), 521—526.
[3] Метод интегральных уравнений в теории диффракции. Матем. сб., 41 (Е
561—581.
[4] О некоторых сингулярных интегральных уравнениях математической фиа
Успехи матем. наук, 2 A936), 196—237. ¦ <
[5] Решение задачи Дирихле для многосвязных областей. Тбилиси, Сообщ. Гр. ф
АН, 1 A940), 569—572.
[6] К теории интегральных уравнений с интегралом в смысле главного значении
Коши. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 23—28.
[7] К теории интегральных уравнений с интегралом' в смысле главного знамени*
Коши, II. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 227—232.
[8] К теории интегральных уравнений с интегралом в смысле главного значения
Кон'И. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 587—596.
[9] О проблеме эквивалентности в теории особых интегральных уравнений. Тбня
Сообш. АН ГрССР, 2 A941), 794—798.
[ 10] К теории интегральных уравнений с интегралом в смысле главного значе
Коши. ИАН, сер. матем., 5 A941), 255—262.
[11] Теоремы Noether'a для системы особых интегральных уравнений. Тбилиси, "
Груз, индустр. ин-та, 1 A943), 315—321.

БИБЛИОГРАФИЯ 685
Лаврентьев М. А. и Люстерник Л. А.
A] Основы нариационного исчисления. Т. I. ч. 1, 2. М.—Л.,ОНТИ, A935), 148+400.
[2] Курс вариационного исчисления. М.—Л., ГОНТИ, A938), 1—192.
ЛандкофН. С.
A] О плотности некоторых систем гармонических функций в пространстве функций,
непрерывных на множестве. ДАН, 55A947), 7—8.
Лебедев Н. Н.
11] Интегральные уравнения для периодических решений уравнения и"-(-(ао+
+а, cos 2x+ascos 4х)ы=0. ДАН, 52 A946), 395—398.
Л ев и н Б. Я.
[I] Об одном обобщении теоремы Фейера-Рисса. ДАН, 52 A946), 291—294.
Левин Б. Я. иМильмаиД. П.
[1] О подпространствах в пространстве С, состоящих из функций ограниченной ва-
вариации. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 16 A940), 102—105.
Левин С. С.
[1] Ueber einige mit der Konvergenz im Mittel verbundenen Eigenschaften von Funktio-
nenfolgen. Math. Z., 32 A930), 491—511.
12] Integralgleichungen und Funktionalraume. Матем. сб., 39:4A932), 3—72.
Левитан Б. М.
И] Обобщение операции сдвига в свяш с почти периодическими функциями. ДАН,
26 A940), 639—642.
[2] Die Verallgemeinerung der Operation der Verschiebung im Zusammenhang mit fast-
periodis;hen Funktionen- Матем. сб., 7 D9), A940), 449—478.
[3] Нормированные кольца, порождённые обобщённой операцией сдвига. ДАН,
47 A945), 3—6.
[4] Теорема о представлении положительно определённых функций для обобщённой
операции сдвига. ДАН, 47 A945), 163—165.
{5] Теорема Р1апспеге1'я для обобщённой операции сдвига. ДАН, 47 A945),
323—326.
[6] Закон двойственности для обобщённой операции сдвига. ДАН, 47A945), 401—403.
17] A generalization of the operation of translation and infinite hypercomplex systems.
Матем. сб., 16 E8), A945), 259—280.
[8] A generalization of the operation of translation and infinite hypercomplex systems.
Матем. сб., 17 E9), A945), 9—44.
[9] A generalization of the operation of translation and infinite hypercomplex systems.
Матем. сб., 17 E9), A945), 163—192.
110] Интегральные уравнения и операции обобщённого сдвига. ДАН, 51 A946),
659—662.
|11] Кольца операторов и операции обобщённого сдвига. ДАН, 52 A946), 99—102.
J12] К теории унитарных представлений локально компактных групп. Матем. сб.,
. 19 F1), A946), 407—428.
Левитан Б. М. иПовзнер А. Я.
[11 Дифференциальные Гуравнения Ш гурма-Лиувилля на полуоси и теорема План-
шереля. ДАН, 52 A946), 483—486.
Л и в ш и ц И. М.
11] К теории регулярных возмущений. ДАН, 48 A945), 83—86.
Лившиц М. С.
[I] Об одном применении теории эрмитовых операторов к обобщённой проблеме
моментов. ДАН, 44 A944), 3—7.
12] Об одном классе линейных операторов в гильбертовом пространстве. Матем. сб.,
19 F1), A946), 239—262.
{3] К теории изометрических операторов с равными дефектными числами. ДАН,
58 A947), 13—15.

686 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Лоренц Г. Р.
[ 1] О функционалах и операциях в пространствах последовательностей. ДАН, 1 A935).
81—85.
Лузин Н. Н.
[1] Remarque sur un lemme de Poincare. Матем. сб., 33 A926), 357—362.
Л ы г и и Е. Н.
[1] Применение интегральных уравнений в интегралах Стилтьеса к краевым задачам.
Владивосток, Учён. зап. Дальневост. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A937), 123—135.
Любарский Г. Я.
[1] Гармонический анализ на топологическом многообразии с транзитивной группой.
Казань, Диссертация A945).
Люст ерник Л. А.
[1] Ueber einige Anwendungen der direkten Methoden in Variationsrechnung. Матем.
сб., 33 A926), 173—202.
[2] Применение обшей геометрии (геометрия «функционального пространства». О ра-
работах Courant'a). Вестн. Комм, акад., 25A928), 288—293.
[3] Sur quelques methodes topologiques dans la geometrie differentielle. Atti Congr.
dei Mat. Bologna, 4 A928), 291—296.
[4] Topologische Grundlagen der allgemeinen Eigenwerttheorie. Monatshefte. 37 A930).
125—130.
[5] Ober die topologischen Eigenschaften der Kurvenfamilien auf Flachen. Матем. сб.,
38 A931), 59—65.
[6] Замечание к некоторым вариационным задачам. М., Учён. зап. ун-та, 2 : 2 A934),
17—24.
Об условных экстремумах функционалов. Матем. сб., 41 A934), 390—401.
Применение топологии к экстремальным задачам. Л., Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда, т. 1 A936).
[9] Основные понятия функционального анализа. Успехи матем. наук, 1 A936),
77—140.
[10] Применение неравенства Бруна-Минковского к экстремальным задачам. Успехи
матем. наук, 2 A936), 47—54.
[11] Об одном классе нелинейных операторов в гильбертовом пространстве. ИАН,
сер. матем. A939), 257—264.
[12] Пересечение в линейных в малом функциональных пространства. ДАН, 27A940),
771—774.
[ 13] Топологическая структура одного функционального пространствах. ДАН, 27 A940),
775-777.
[14] Кольцо пересечений в одном функциональном пространстве. ДАН, 38 A943),
67—70.
[7]
[8]
15
16
17
18]
19
20'
О семействах дуг с общими концами на сфере. ДАН, 39 A943), 85—87.
О размерности критических множеств. ДАН, 39 A943), 371—372.
О категориях некоторых семейств дуг. ДАН, 40 A943), 147—148.
О числе решений вариационной задачи. ДАН, 40A943), 243—245.
Новое доказательство теоремы о трёх геодезических. ДАН, 41 A943), 3—5.
Топология и вариационное исчисление. Успехи матем. наук, 1:1A1), A946),
30—56.
[21] Топология функциональных пространств и нариациониое исчисление в целом.
Труды матем. ип-та им. Стеклоиа, 19 A947).
[22] Теорема о трёх геодезических. В кн. «Юбилейный сборник, поснящённый
тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции», т. 1. Изд.
АН A9V7), 181—185.
Люст ер ник Л. А. и Петровский И. Г.
[1] О приведении втором вариации к каноническому виду треугольными преобразо-
преобразованиями. М., Учён. зап. ун-та, 2:2 A934), 5—16.
Л ю с т е р н к к Л. А. и Ш н и р е л ь м а и Л. Г.
[1] Sur un principe topologique en analyse. С R. Acad. Sci., 188 A929), 295—298.
[2] Existence de trois geodesiques fermees sur tout surfaces de genre 0. C. R. Acad.
Sci., 188A929), 534—537.

БИБЛИОГРАФИЯ 687
[3] Sur le probleme de trois rgeodesiques fermees sur les surfacesdegentese 0. С R.
Acad. Sci., 189 A929), 269—271.
[4] Топологические методы в вариационных задачах. М., Гос. изд. A930), 1—68.
[5] Применение топологии к экстремальным задачам. Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда, т. 2 A936), 224—236.
[6] Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к диф-
дифференциальной геометрии поверхностей. Успехи матем. наук, 2:1 A7), A947),
166—217.
Ляпунов А. А.
[1] О вполне аддитивных вектор-функциях. И АН, сер. матем., 4 A940), 465—478.
[2] О вполне аддитивных вектор-функциях, II. ИАН, сер. матем., 10A946), 277—279.
Магнарадзе Л. Г.
[1] Об одном новом интегральном уравнении теории крыла самолёта. Тбилиси, Сообщ.
АН ГрССР, 3 A942), 503—508.
Марков А. А.
[1] Ober eine Minimumeigenschaft der Schr6dingerschen Wellengruppen. Z. f. Phys.,
42 A927), 637—640.
[2] Об одной задаче на экстремум. Новочеркасск, Изв. Сев.-Кавк. индустр. ин-та,
1 A5), A935), 59—62.
Некоторые теоремы об абелевых множествах. ДАН, 1 A936), 299—302.
О существовании интегрального инварианта. ДАН, 17 A937), 455—458.
On mean values and exterior densities. Матем. сб., 4 D6), A938), 165—191.
[6] О вариационных методах в теории пластичности. Прикл. матем. и мех., 11 A947),
335—350.
МаркушевичА. И.
[1] О базисе (в широком смысле слова) для линейных пространств. ДАН, 41 A943),
241—243.
?21 О базисе в пространстве аналитических функций. Матем. сб., 17 E9), A945),
211—252.
Марченко В. А.
[1] О функциях, равноотстоящих от некоторых множеств в пространстве ограничен-
ограниченных функций. ДАН, 51 A946), 663—666.
Мильман Д. П.
[1] Об некоторых признаках регулярности пространств типа (В), ДАН, 20 A938)
243—246.
[2] Об одном свойстве регулярных пространств. ДАН, 22 A939), 394—398.
[3] Об одной классификации точек спектра линейного оператора. ДАН, 33 A941)
279—281.
[4] Нормируемость топологических колец. ДАН, 47A945), 166—168.
[51 Характеристика экстремальных точек регулярно выпуклого множества. ДАН
57 A947), 119—121.
Михальский Н.
[1] Вариационное обобщение схемы Чебышепа для параболического интерполиро-
интерполирования. М., Русск. астрон. ж., 4 A927), 15—19.
М и х л и н С. Г.
[1] Приведение основных задач плоской теории упругости к интегральному уравнению
Фредгольма. ДАН, 1 A934), 295—301.
[2] Задача Дирихле для областей с несколькими замкнутыми границами. ДАН,
1 A934), 370—376.
[3] Композиция двойных сингулярных интегралов. ДАН, 2 A936), 3—6.
[4] Сингулярные интегральные уравнения с двумя независимыми переменными.
Матем. сб., 1 D3), A936), 535—552.
[5] Дополнение к статье «Сингулярные интегральные уравнения с двумя независи-
независимыми переменными. Матем. сб., 1 D3), A936), 963—964.
[б] Об одной задаче теории сингулярных интегральных уравнений. ДАН, 15 A937),
[7] Проблема эквивалентности сингулярных интегральных уравнений. Матем. сб.,
3 D5), A9Ь7), 121-141.

688 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
[8] Ра:пространение операции сингулярного интегрирования на пространство L,.
ДАН, 19A9.8), 353-356.
[9] Сведение сингулярного интегрального уравнения к эквивалентному уравнению
Фредгольма. ДАН, 20 A938), 93—96.
[101 Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. ДАН, 24 A939),
315—317.
[111 О сходимости рядов Фредгольма. ДАН, 42A944), 387—390.
A2] Об одной теореме Ф. Нётера, ДАН, 43A944), 143—145.
Г13] Теоремы Фредгольма в теории сингулярных интегральных уравнений. ДАН,
54 A946), 763—764.
114] О разпешимости линейных уравнений в гильбертовом пространстве. ДАН,
57 A947,, 11-12.
[15] Интегральные уравнения М.—Л., ГТТИ A947), 1—304.
Михневич Г. Л.
[1] Решение неоднородного линейного интегрального уравнения второго рода с косо-
симмегричным ядром. Одесса, Ж. НИ кафедр, 1:8—9A924), 14—23.
[2] Об одном преобразовании однородного линейного интегрального уравнения вто-
второго рода с комплексным автопараметром. Одесса, Ж. НИ кафедр, 1:8—9 A924),
24—28.
[3] Линейные интегральные уравнения второго рода с кососимметричным ядром.
Одесса, Ж. НИ кафедр, 2:3 A926), 78—89.
МожарВ. и Василенко П.
fl] Про одну вар1ацшну задачу. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A934), 69—74.
» Мусхелишвили Н. И.
[1] Исследование новых интегральных уравнений плоской теории упругости. ДАН
3 A934), 73—77.
[2] Приложение интегралов типа Коши к одному классу сингулярных интегральных
уравнений. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 10 A941), 1—44.
[3] К статье «Приложение интегралов типа Коши к одному классу сингулярных ин-
интегральных уравнений». Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 10 A941),
161—162.
[4\ Системы сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши. Тбилиси
Сообщ. АН ГрССР, 3 A942), 987—996.
[5] Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и не-
некоторые их приложения к математической физике. М Л., ГТТИ A946), 1—448.
Мусхелишвили Н. И. и] В е к у а Н. П.
[1] Краевая задача Римана для нескольких неизвестных функций и её приложение
к системам сингулярных интегральных уравнений. Тбилиси, Труды матем. ин-та
АН ГрССР, 12 A943), 1—44.
Мусхелишвили Н. И. и К в е с е л а в а Д. А.
[1] Сингулярные интегральные уравнения с ядрами типа Коши на разомкнутых кон-
контурах. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, И A942), 141—171.
Мусхелов Н. И.
[1] Решение одного интегрального уравнения, встречающегося в теории чёрного излу-
излучения. М., Ж. Русск. физ.-хим. о-ва, часть физ., 56 A924), 30—39.
М ю нт ц Г. М.
[1] Integralgleichungen der Elastodynamik. Матем. сб., 39:4A932), 113—133.
[2] Интегральные уравнения. Ч. I. Л.—М-, ГТТИ A934), 1—320.
Назаров Н. Н.
[1] К теории нелинейных интегральных уравнений. Ташкент, Труды Ср.-Аз. ун-та.
17 A937), 1—13.
[2] Об одном классе нелинейных однородных интегральных уравнений. Ташкент,
Труды Ср.-Аз. ун-та, 28 A940), 1—12.
[3] Об одном преобразовании. Ташкент, Бюлл. АН УзССР, 4A946), 3—5.
[4] Об одном классе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. ДАН,
58 A947), 741-744.

БИБЛИОГРАФИЯ 68У
Н а й м а р к М. А.
[1] О степенных рядах от операторов в гильбертовом пространстве. Матем. сб., 3D5
A938), 473—482.
[2] О прямом произведении замкнутых операторов. ИАН, сер. матем. A939), 53—86.
3] О структуре области определения самосопряжённого оператора. ИАН, сер. матем.
A939), 165—180.
[4] Дефектные подпространства прямого произведения симметрических операторов, I.
ИАН, сер. матем. A939), 265—278.
[5] О квадрате замкнутого симметрического оператора. ДАН, 26 A940), 863—867.
[6] Дополнение к статье <<О квадрате замкнутого симметрического оператора».ДАН
28 A940), 206—208.
[7] Дефектные подпространства прямого произведения симметрических операторов,
ДАН, 28 A940), 209—211.
[8] О самосопряжённых расширениях второго рода симметрического оператора. ИАН
сер. матем., 4A940), 53—104.
[9] Спектральвые функции симметрического оператора. ИАН, сер. матем., 4 A940
277—318.
[10] Direkte Polynome von symmetrischen Operatoren und ihre selbst-adjungierte Fort-
setzungen. Матем. сб., 9 E1), A941), 629—666.
[11] Об одном представлении аддитивных операторных функций множеств. ДАН
41 A943), 373—375.
A2] Положительно определённые операторные функции па коммутативной группе
ИАН, сер. матем., 7 A943), 237—244.
[13] О спектральных функциях симметрического оператора. ИАН, сер. матем., 7 A943),
285—296.
[14] Об экстремальных свойствах спектральных функций симметрического оператора.
ДАН, 54 A946), 7—10.
[15] Экстремальные спектральные функции симметрического оператора. ИАН, сер.
матем., 11 A947), 327—344.
Натансон И. П.
[1] Sur les integrates аи sens de M. Bochner. С. R. Soc. Sci. de Varsovie, 30 A937).
194—201.
[2] Некоторые нелокальные теоремы о сингулярных интегралах. ДАН, 19 A938),
357 360.
[3] Об интеграле типа Дини. Матем. сб., 4 D6), A938), 541—548.
[4] О вполне регулярных бесконечных системах линейных уравнений. Алма-Ата,
Учён. зап. Казах, ун-та, 2 A938), 19—22.
Некрасов А. И.
[1] О волнах установившегося вида. Гл. П. О нелинейных интегральных уравнениях.
Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та, 6 A922), 155—171.
[2] О нелинейных интегральных уравнениях с постоянными пределами. М., Изв. физ.
ин-та при научн. ин-те и ин-те биолог.-физ. при Наркомздраве,2 A922), 221—.238.
[3] Об одном классе линейных ингегро-дифференциальиых уравнений. Труды ЦАГИ,
190 A934), 12—17.
Н с м ы ц к и й В. В.
1] Sur les equations integrates non-lineaires. С. R. Acad. Sci., 196 A933), 836—838.
2] Thdoremes d'existence et d'unicite des solutions integrates non-lineaires. Матем.
сб., 41 A934), 421—452.
[3] Об одном общем классе нелинейных интегральных уравнений. Матем. сб.,
41 A934), 655—658.
[4] Метод неподвижных точек в анализе. Успехи матем. наук, 1 A936), 141—174.
[5] I. Нелинейные интегральные уравнения, сравнимые с линейными. II. Общее не-
нелинейное интегральное уравнение. ДАН, 15 A937), 17—22.
Н и к о л а д з е Г. Н.
[I] Einige Eigenschaften der Risspunktkurve in der Variationsrechnung. Тбилиси,
Бюлл. ун-та, 3 A923), 324—328.
Никольский СМ.
[1] Линейные уравнения в метрическом пространстве. ДАН, 2 A936), 309—312.
[2] Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах. ИАН.
сер. матем., 7 A943), 147—166.
44 Математика в СССР за 30 лет

690 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
[31 Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем. ИАН, сер.
матем., 10 A946), 207—256.
Огиевецкий И. Е.
[1] Die Verallgemeinerung des schiefsymmetrischen Dualitatsgesetzes auf den Hilbert-
schen Raum. Rend. circ. mat. Palermo, 59A935), 228—230.
[2] Об операторных уравнениях. Днепропетровск, Научн. зап. Ун-та, 25 A941),
37—40.
Панов Д. Ю.
[1] О применении метода академика С. А. Чаплыгина к решению интегральных урав-
уравнений. ИАН, сер. физ.-матем. 6 A934), 843—886.
[21 О применении метода академика С. А. Чаплыгина к решению интегральных урав-
уравнений. Труды ЦАГИ, 45 A935), 69—71.
Перельман Я. И.
[1] Метод Б. Г. Галеркина в вариационном исчислении и в теории упругости. Прикл.
матем. и мех., 5 A941), 345—358.
Персидский К. П.
[1] К решению интегральных уравнений. Казань, Учён. зап. ун-та, 2 A929), 207—216.
Петровский И. Г. и Смирнов К. И.
[11 Об условиях равностепенной непрерывности семейства функций. М., Бюлл. ун-та
(А), 1:10 A938), 1—15.
Пинскер А. Г.
[11 Аналитическое представление некоторых частично аддитивных функционалов.
ДАН, 18 A938), 397—402.
Об одном функционале в пространстве Hilbert'a. ДАН, 20 A938), 411—414.
О расширении полуупорядоченных пространств. ДАН, 21 A938), 6—10.
О некоторых свойствах расширенных .ЙГ-пространств. ДАН, 22 A939), 120—224.
О нормированных ^-пространствах. ДАН, 33 A941), 12—15.
Об одном классе операций в БГ-пространствах. ДАН, 36 A942), 243—246.
Универсальные ^-пространства. ДАН, 49 A945), 8—11.
Разложение ^-пространств на элементарные пространства. ДАН, 49 A945)
169—173.
О сепарабельных .йГ-пространствах. ДАН, 49 A945), 327—328.
Вполне линейные функционалы в .йГ-пространствах. ДАН, 55 A947), 303—306.
О конкретных представлениях линейных полуупорядоченных пространств ДАН
55A947), 383—386.
ПлеснерА. И.
1] Спектральный анализ максимальных операторов. ДАН, 22 A939), 225—228.
2] Функции максимального оператора. ДАН, 23 A939), 327—330.
3] О полуунитарных операторах. ДАН, 25 A939), 708—710.
4] О включении операционного исчисления Heaviside'a в спектральную теорию ма-
максимальных операторов. ДАН, 26 A940), 10—12.
[5] Спектральная теория линейных операторов. Успехи матем. наук, 9 A941), 3—125.
[61 Основные понятия спектральной теории эрмитовых операторов. Успехи матем.
наук, 1:1 A1), A946), 192—216.
Плеснер А. И. и. Рохлин В. А.
[1] Спектральная теория линейных операторов, II. Успехи матем. наук, 1:1 A1),
A946), 71—191.
Повзнер А. Я.
[11 О позитивных функциях на абелевой группе. ДАН, 28 A940), 294—295.
[2] Об уравнениях типа Штурма-Лиувилля и позитивных функциях. ДАН, 43 A944),
387—391.
3] Об уравнениях типа Штурма-Лиувилля на полуоси. ДАН, 53 A946), 299—302.
4] Об одной общей формуле обращения типа Планшереля. ДАН, 57 A947), 123—125.
5] О спектре ограниченных функций. ДАН, 57 A947), 755—758.
6] О спектре ограниченных функций и преобразовании Лапласа. ДАН, 57 A947),
871—874.

БИБЛИОГРАФИЯ 691
Понтр,ягин Л. С.
[1] Ober den algebraischen Inhalt topologischen Dualitatssutze. Math. Ann.,
105 A931), 165—205.
[2] Непрерывные группы. М.—Л., ОНТИ A938), 1-315.
13] Характеристические циклы многообразий. ДАН, 35 A942), 35—39.
14] Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой. ИАН, сер. матем.,
8 A944), 243—280.
Привалов И. И-
[1] Интегральные уравнения. Изд. 2. М—Л., ОНТИ A937), 1—248.
Пшеборский А. П.
[1] Задача об экстремуме интеграла Г/ (х, у,у') dx с переменными конечными точками
Хрк., Учён. зап. НИ кафедр, 1 A924), 1—26.
Радзишевский Л. П.
[1] Об одном методе для исследования некоторых классов интегральных уранпении
и систем с бесконечным числом неизвестных. ДАН, 4 A934), 364—372.
[2] К общей теории линейных функциональных уравнений. ДАН, 2 A935), 11—14.
Размадзе А. М.
[11 Deux propositions du calcul des variations. Тбилиси, Бюлл. ун-та, 1 A919—1920),
157—172.
[2] Ober das Fundamentallemma der Variationsrechnung. Math. Ann., 84 A921),
115—116.
[3] Ober imstetige Losungen mit einem Onstetigkeitspunkt in der Variationsrechnung.
Тбилиси, Бюлл. ун-та, 2 A922—1923), 282—312.
[4] Sur une condition de minimum necessaire pour les solutions anguleuses dans le cal-
calcul des variations. Bull. Sci. Math., 51 A923), 223—235.
[5] Sur les solutions discontinues dans le calcul des variations. Math. Ann., 94 A925),
1—52.
[6] Sur les solutions periodiques et les extremales fermees du calcul des variations.Math.
Ann., HO A935), 63—96.
Райков Д. А.
[1] О положительно определённых функциях. ДАН, 26 A940), 857—862.
[2] Положительно определённые функции на дискретных коммутативных группах.
ДАН, 27 A940), 325—329.
[3] Положительно определённые функции на коммутативных группах с инвариант-
инвариантной мерой. ДАН, 28 A940), 296—300.
[4] Обобщённый закон двойственности для коммутативных групп с инвариантной
мерой. ДАН, 30 A941), 583—585.
[5] Гармонический анализ на коммутативных группах с мерой Хаара и теория харак-
характеров. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 14 A945), 1—86.
[6] К теории нормированных колец с инволюцией. ДАН, 54 A946), 391—394.
[7] О различных типах сходимости положительно определённых функций. ДАН,.
.58A947), 1279—1282.
Рапопорт И. М.
[1] Обратная задача вариационного исчисления. ДАН, 18 A938), 131—136.
[2] Обернена задача вар!ашйного числення. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР,
I A938), 81—104.
[3] Обернена задача вар1ац1йного числення. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4A938),
105—122.
[4] Обратная задача вариационного исчисления. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва,
II A939), 47—69.
Ремез Е. Я-
[1] Продеяю властивостЧ конвекснот оболонки точково! множиии та про задачу Miiii-
мального наближення. Киев, Сб. трудов ин-та матем. АН УССР 1 A938), 115—130.
[2] Про дея!П класи лшшних функцюпал1в у просторах Ср та про остатков! члени,
формул наближеного анализу. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A939), 21—62.
[3] Про деяк1 класи лшшних функцшнал1в у просторах СР та про остатков! члени
формул наближеного artani3y. Киев, Ж. ии-та матем. АН УССР, 4A940), 47—81,
44*

692 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
РозенбергМ.
II] Про яеям властивостч л!нШних функщональних рйвнянь. Киев, Научи, зап.
ун-та, отд. физ.-матем., 4 A939).
Розет Т. А.
[1] О формулах обращения одного класса интегральных преобразований. ДАН,
57 A947), 227—>30.
Романов Н. П.
[1] Об одной полной ортонормиропаиной системе пространства L, @,1). ДАН,
45 A944), 294— 29.x
[21 Об одном специальном семействе бесконечных унитарных матриц. ДАН, 52A946),
295—298.
Романовский В. И.
[1] Surune classed' equations integrates lineaires. С. R. Acad. Sci., 191 A930), 552—555.
[2] Sur une classe d'equations integrales lineaires. Acta Math., 59 A932), 199—208.
Рудый И. М.
11] Про способи находження резольвенти штегральних р1внянь типу Вольтерра для
деяких окремих випадюв. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A936), 79—88.
[2] Провластивост1функцш Komi та ix застосування до розв'язку штегральних pie-
нянь. Киев., Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A938), 95—104.
Р у м m и с к и й Л. 3.
[1] О некоторых классах позитивных функций. ДАН, 33A941), 105—108.
Рутман М. А.
[11 Об одном специальном классе иполне непрерывных линейных операторов. ДАН,
18 A93S), 625—628.
[2] Sur les operatcurs totalement continue lineaires laissant invariant un certain cone.
Матем. сб., 8 E0), A940), 77—96.
[3] По поводу одной заметки Т. А. Сарымсакова. ДАН, 52 A946), 569—572.
Салсхов Г. С.
[1] Теоремы существования решений нелинейных интегральных уравнений. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва C), 9 A037), 5—12.
B) О разветвлении решений нелинейных интегральных уравнений. Казань Изв.
физ.-матем. о-ва C), 11 A939), 151—159.
Салтыков В. Н.
[1] О решении интегрального уравнения Н. Моисеева, определяющего фигуру нере-
гуляризироваиного геоида. ДАН, 16 A937), 143—146.
[2] О преобразовании интегрального уравнения нерегуляризироианного геоида Мои-
Моисеева к квазистоксовой форме. ДАН, 16 A937), 147—150.
С а р м а н о в О. В.
[1] О монотонных решениях корреляционных интегральных уравнений. ДАН,
53A946), 781—784.
Сарымсаков Т. А.
[I] Обобщение теорем Р. Йентша и ф. Гантмахера. ДАН, 48 A945), 329—330.
С в е р ж е н с к и й С. Б.
[1] Обобщенное преобразование однородного линейного интегрального уравнения
второго рода с комплексным автопараметром. Одесса, Ж. НИ кафедр, 2-3A926),
90—95.
С в е ш пиков Г. Н.
[1] О минорах Fredholm'a. Саратов, Учён. зап. ун-та, 3:2 A925), 24—27.
Сигало в А. Г.
[1] Почти изометрические отображения и нсевдодифференцируемость. ДАН, 52A946),

БИБЛИОГРАФИЯ 693
[2] Дифференциально-эквивалентные метрики. М., Диссертация A946).
[3] О двойных интегралах вариационного исчисления в параметрической форме. ДАН
55 A947), 387—390.
СирвинтЮ. Ф.
Об интегральных преобразованиях пространства L. ДАН, 18 A938), 255—258.
К геометрии линейных пространств. ДАН, 26 A940), 119—122.
Пространство линейных функционалов. ДАН, 26 A940), 123—126.
Слабая компактность в банаховых пространствах. ДАН, 28 A940), 199—201.
[о] Выпуклые множества и линейные функционалы в абстрактном пространстве.
Ч. 1—Выпуклые множества. ИАН, сер. матем., 6 A942), 143—170.
[6] Выпуклые множества и линейные функционалы в абстрактном пространстве.
Ч. 2—Линейные функционалы. ИАН, сер. матем., 6 A942), 189—226.
Смирнов Н. С.
[11 Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. Л.—М., ОНТИ A936 )
1-122.
[2] Теорема существования решения нелинейных интегральных уравнений. ДАН,
3 A936), 203—208.
[3] О применении интеграла Фурье к интегральным нелинейным уравнениям. ДАН,
19 A938), 3—8.
[4] Применения рядов Фурье к решению интегральных и иптегро-дифференциальных
уравнений. ИАН, сер. матем. A939), 413—428.
Соболев В. И.
Ill О собственных элементах некоторых нелинейных операторов. ДАН, 31 A941),
734—736.
[2] Об обратных элементах в полуупорядоченных кольцах. ДАН, 56A947), 237—239.
Соболев С. Л.
[1] Волновое уравнение для неоднородной среды. Труды сейсмод. ин-та, 6 A?30
1—57.
2] Задача Коши в пространстве функционалов. ДАН, 3 A935), 291—294.
3] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires
hyperboliques normales. Матем. сб., 1 D3), A936), 39—72.
[4] Об одном классе иптегро-дифференциальных уравнений со многими независимы-
независимыми переменными. ДАН, 17 A937), 447—450.
[5] Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений для нескольких неза-
независимых переменных, I. ИАН, сер. матем. A937), 515—550.
[6] Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений с несколькими незави-
независимыми переменными, II. ИАН, сер. матем. A938), 61—90.
[7] Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений со многими независимыми
переменными, II. ДАН, 18 A938), 75—80.
[8] Об одной теореме функционального анализа. ДАН, 20 A938), 5—10.
[9] Об одной теореме функционального анализа. Матем. сб., 4 D6), A938), 471—498.
Сретенский Л. Н.
[11 Memoire sur les equations de M. V. Volterra. Матем. сб., 38: 1—2 A931), 1—44.
[2J Об одной задаче минимума в теории корабля. ДАН, 3 A935), 247—248.
[3] К доказательству теоремы Гильберта-Шмидта. ДАН, 52 A946), 195—198.
Степанов В. В.
[1] Анализ. Сб. «Математика в СССР за 15 лет» A932), 99—118.
С т е п а ков В. В. и Тихонов А. Н.
[1] Sur les espaces des fonctions presque periodiques. C. R. Acad. Sci., 196 A933),
1199—1201.
С у п л и н М. Л.
A] Эффективные способы решения ивтегральных уравнений для особого вида ядер
Хрк., Сб. трудов ин-та инж. ж.-д. трансп., 7 A937), 9—39.
Сухомлинов Г. А.
[ 1] Аналитические функционалы. М., Бюлл. ун-та (А), 1 : 2 A937).
[2]
[3]

694 ФУКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
[2] О продолжении линейных функционалов'в комплексном и кватернионном линей-
линейном пространстве. Матем. сб., 3 D5), A938), 353—358.
Т а л д ы к и н А. Т.
[11 Интегральные уравнения с нормальными и полунормальными ядрами. ДАН,
26 A940), 548-1553.
[2] Классификация некоторых систем функций. ДАН, 39 A943), 179—182.
Темляков А. А.
{1] Особое линейное интегральное уравнение типа Volterra. Томск, Изв. НИИ матем.
и мех. ун-та, 1:1 A935), 23—33.
{2] Существование особых решений нелинейных интегральных уравнений вида у(х)=
= 1К(х, s) /(«, ?(s)) ds. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1 : 1 A935), 39—44.
ь
[3] О нелинейном интегральном уравнении типа J F(x, s, <? (s))rfs=/(K). Томск, Изв.
НИИ матем. и мех. ун-та, 2 : 1 A938), 83—98.
Титов Н. С.
{1] Различные виды сходимости элементов и линейных операторов в банаховских
пространствах. ДАН, 52 A946), 573—576.
Тихонов А. Н.
{11 Ober die Erweiterung yon Raumen. Math. Ann., 102 A930), 262—276.
|2] Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., Ill A935), 767—776.
[3] О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым
задачам математической физики. М., Бюлл. ун-та (А), 1 : 8 A938), 1—25.
Т о и д з е Д. М.
11] Sur l'independance de l'integrale curviligne du chemin d'integration et la genera-
generalisation des lemmes fondamentaux du calcul des variations. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 5 A932), 123—129.
Т у л а й к о в А. Н.
[1] Zur Kompaktheit in Raum Lp fur p=l. Nachr. Oott. A933), 167—170.
Турчанинов А. С.
II] Фокальные точки в вариационном исчислении. Одесса. Ж. НИ кафедр. 1:8—9
A924), 11—13.
{2] Общая обратная задача вариационного исчисления. Одесса, Ж. НИ кафедр.,
2: 3 A926), 36—43.
У р ы с о н П. С.
[1] Об одном типе нелинейных интегральных уравнений. Матем. сб., 31 A924),
236—255.
[2] Sur quelques equations fonctionnelles Hneaires. Матем. сб., 36 A929), 385—40J.
Фаге М. К-
[1] Спектральные многообразия ограниченного линейного оператора в гильбертова
пространстве. ДАН, 58 A947), 1609—1612.
ФихтенгольцГ. М.
[1] О линейных функционалах, непрерывных в обобщённом смысле. ДАН, 4 A93J),
217—220.
|2] К теории линейных функционалов. ДАН, 4 A936), 247—250.
f3] Sur les operations Hneaires dans 1'espace des fonctions continues. Bull. Acad. Sci
de Belgique E), 22 A936), 26—33.
[4] Об общей форме некоторых линейных функционалов и операций. Л., Труды
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 142—143.
15] Sur les fonctionnelles lineaires, continues au sens generalise. Матем. сб., 4D6),
A938), 193—214.
[6] Sur une classe d'operations fonctionnelles lineaires. Матем. сб., 4 D6), A938),
215-226.

БИБЛИОГРАФИЯ 69 5
Фок В. А.
[1] О некоторых интегральных уравнениях Volterra. Матем. сб., 31A924), 519—528-
[2] О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Матем. сб.,
14 E6), A944), 3—50.
Фролов С. В. и ЭльсгольцЛ. Э.
[1] Limite interieure pour le notnbre des valeurs critiques d'une fonction, donnee sur
une variete. Матем. сб., 42 A935), 637—643.
Халилов 3. И.
[1] Об одном методе определения собственных функций и собственных значений
Баку, Изв. Азерб. фил. АН, 5 A943), 19—23.
[2] Об интегральном уравнении Фредгольма с ядром, линейным относительно пара-
параметра. ДАН, 54 A946), 571—574.
[3] Об интегральном уравнении Фредгольма с ядром, линейным относительно пара-
параметра. Баку, Труды ин-та матем. АН АзССР, 2 A946), 3—10.
[4] Линейные сингулярные уравнения в нормированных кольцах. ДАН, 58 A947),
1613—1616.
Харазов Д. Ф.
[1] Об одном классе сингулярных интегральных уравнений, ядро которых—мероморф"
ная функция параметра.Тбилиси.Труды матем. ин-та АН ГрССР, 13 A944), 139—152-
[2] О собственных значениях интегральных уравнений, ядра которых—целая раци"
ональная функция параметра. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН Гр.ССР,
14 A947), 17-24.
[3] О собственных значениях интегральных уравнений с ядрами, зависящими от па-
параметра. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 7 A946), 315—322.
[4] О собственных значениях мероморфных ядер интегральных уравнений. Тбилиси,
Сообщ. АН ГрССР, 7 A946), 413—420.
Хахубия Г.
{1] К вопросу о нагружённых интегральных уравнениях с симметричными ядрами.
Тбилиси, Изв. Груз, индустр. ин-та, 11 A939), 1—9.
X в о л е с А. Р.
[1] Об интегральных уравнениях Фредгольма третьего рода. Тбилиси, Сообщ. АН
ГрССР, 2 A941), 389—395.
Хованский А. Н.
[1] Об одном обобщении интегрального уравнения АЬе1'я. ДАН, 50 A945), 69—70.
X у р г и н Я. И.
[lj О единственности решения задачи Коши для линейных дифференциальных урав-
уравнений в частных производных. М., Диссертация A946).
[21 Одна Теорема об аппроксимации. М-, Учён. зап. ун-та A947).
Хургин Я. И. и Щетинин Н. И.
[1] О замкнутых подкольцах кольца функций с л непрерывными производными.
ДАН, 29 A940), 288—291.
Цитланадзе Э. С.
1] Некоторые вопросы собственных значений для нелинейных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве. ДАН, 53 A946), 311—314.
[2] Некоторые вопросы условного экстремума и вариационной теории собственных
значений. ДАН, 56 A947), 17-20.
[3] К вопросу о собственных значениях нелинейных вполне непрерывных операто-
операторов в гильбертовом пространстве. ДАН, 57 A947), 879—881.
Чеботарёв Н. Г.
[1] Об одном общем критерии минимакса. ДАН, 39 A943), 373—376.
Чогошвили Г. С.
[1] Изменение чисел Betti движущейся поверхности уровня. ДАН, 22 A939),
972 | 301.

696 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
|2] О поперхностях уровня и областях меньших значений функции, заданной на
ограниченном многообразии. ДАН, 24 A939), 635—639.
[3] О преобразованиях Шнирельмана. ДАН, 30 A941), 199—203.
Шапиро Г. М.
[1] Собственные значения в нормированных структурах. ДАН, 24 A939), 523—524
Шварцман А. П.
[1] О матрицах Грина самосопряжённых конечноразностных операторов. Одесса,
Труды ун-та, 3 A941), 35—77.
Ш ер м а н Д. И.
[1] О приведении одного класса задач к интегральному уравнению Фредгольма.
ДАН, 32 A941), 603—605.
Шилов Г. Е.
Идеалы и подкольца кольца непрерывных функций. ДАН, 22 A939), 7—10.
К теории идеалов в нормированных кольцах функций. ДАН, 27 A94Q), 900—903.
О расширении максимальных идеалов. ДАН, 29 A940), 83—85.
О регулярных нормированных кольцах. Труды матем. ин-та им. Стеклова,
21 A947).
[51 О нормированных кольцах с одной образующей. Матем. сб., 21 (СЗ), A947),
25—37.
[6] Пример континуальной системы примарных идеалов в кольце функций. М.,
Учён. зап. ун-та, A947).
[7] Об одном свойстве колец функций. ДАН, 58 A947), 985—988.
Шин Д.
[11 О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве. ДАН,
18 A938), 523—526.
[21 О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве. Матем. сб.,
13 E5), A943), 39—70.
Шмульян В. Л.
[11 Про слабо компактщ множини в лшшних нормованих просторах. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 14 A937), 238—242.
[2] О регулярно замкнутых и слабо компактных множествах и пространствах типа
(В). ДАН, 18 A938), 403—406.
[31 Линейные топологические пространства и их связь с пространствами типа (В).
ДАН, 18 A939), 475—477.
О различных топологиях в пространствах Банаха. ДАН, 23 A939), 331—334.
О некоторых геометрических свойствах сферы в пространстве типа (В). ДАН,
24 A939), 647—651.
О принципе вкладок в пространстве типа (В). Матем. сб., 5 D7), A939), 317—328.
О некоторых геометрических свойствах единичной сферы пространства типа (В).
Матем. сб., 6 D8), A939), 77—94.
[8] О мультипликативных линейных функционалах в некоторых специальных нор-
нормированных кольцах. ДАН, 26 A940), 13—16.
[9] О дифференцируемости нормы в пространстве Банаха. ДАН, 27 A940), 643—648.
[101 Ober lineare topologische Raume. Матем. сб., 7 D9), A940), 425—448.
[11] О некоторых геометрических свойствах сферы в линейных полуупорядоченных
пространствах Банаха. ДАН, 30 A941), 392—396.
[121 Sur la structure de la sphere unitaire dans 1'espace de Banach. Матем. сб., 9 E1),
A941), 545—562.
[131 О линейных топологических пространствах. Матем. сб., 9 E1), A941), 727—730.
[14] О последовательностях выпуклых множеств. Одесса, Труды ун-та, 3 A941),
115—122.
[151 Аппроксимация в пространстве ограниченных функций. ДАН, 34A942), 266—271.
[16] О некоторых вопросах функционального анализа. ДАН, 38 A943), 170—173.
[17] Sur les ensembles compacts et faiblement compacts dans 1'espace du type (B).
Матем. сб., 12 E4), A943), 91—98.
[181 О компактных множествах в пространстве измеримых функций. Матем. сб.,
15 E7), A944), 343—346.
[4]
[5]
[6]
[7]

БИБЛИОГРАФИЯ 697
Шнирельман Л. Г.
[1] Ober eine neue kombinatorische Invariante. Monatshefte, 37 A930), 131—134.
[2] Топологические методы в анализе. Сб. «Математика в СССР за 15 лет» A932),
143—156.
Эльсгольц Л. Э.
[11 Теория инвариантов, дающих оценку числа критических точек непрерывной функ-
функции, заданной на многообразии. Матем. сб., 5 D7), A939), 551—558.
[2] Изменение чисел Betti поверхностей уровня непрерывной функции, заданной
на многообразии. Матем. сб., 5 D7), A939), 559—564.
[3] Длина многообразия и её свойства. Матем. сб., 5 D7), A939), 565—571.
[4] К вопросу об оценке числа критических точек непрерывных функций, заданных
на пространствах, не являющихся многообразиями. Матем. сб., 8 E0), A940),
455—462.
[5] К вопросу об изменении топологических инвариантов поверхностен уровня. Матем.
Сб., 8 E0), A940), 463—470.
[6] Изменение фундаментальной группы области меньших значений функции,
заданной па многообразии. Матем. сб., 19 F1), A946), 237—238.
Юдин А. И.
[1] Решение двух проблем теории полуупорядоченных пространств. ДАН, 23 A939),
418—422.
[2] Некоторые геометрические вопросы теории линейных полуупорядоченных про-
пространств. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 10 A940), 64—83.
Я в en M. А.
[1] Классификация Borel-Joung'a элементов полуупорядоченных пространств
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 15 : 2 A938), 35—42.
Я н ч е в с к и й С. А.
[1] О комплексном уравнении Фредгольма. ДАН, 3A936), 255—260.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Б. В. ГНЕДЕНКО и А. И. КОЛМОГОРОВ.
§ 1. Суммы независимых слагаемых G03). § 2. Суммы слабо зависимых
случайных неличин G14). § 3. Идеи метрической теории функций в тео-
теории вероятностей G16). § 4. Теория случайных процессов G19). § 5. Новый
подход к предельным теоремам для сумм большого числа слагаемых G25).
§ 6. Логические основы теории вероятностей G26).
сторию теории вероятностей можно условно разделить
на четыре периода.
Первый период создания начал этой науки связан с
именами Паскаля, Ферма и особенно Я. Бернулли. Второй
период —это XVIII и начало XIX в.: Муавр, Лаплас, Га-
Гаусс и Пуассон. Третий период — вторая половина XIX в. —
по преимуществу связан с именами русских учёных:
П. Л. Чебышева A821 — 1894), А. А. Маркова A856- 1922)
и А. М. Ляпунова A857- 1918). В течение этого периода общие теоре-
теоретические исследования по теории вероятностей в Западной Европе
находились в некотором загоне; начинавшая развиваться математическая
статистика (Кетле, Курно, Гальтон, К. Пирсон, Брунс, Борткевич)
в части теоретико-вероятностного аппарата обходилась в основном резуль-
результатами предыдущего периода, а новые потребности статистической физики
ещё не нашли достаточного отражения в общих работах по теории веро-
вероятностей. Тем временем в России, почти исключительно силами упомя-
упомянутых знаменитых русских математиков, вся система теории вероятно-
вероятностей была перестроена, расширена и существенно углублена. Их работы
образовали прочный фундамент, на котором развивалась теория вероят-
вероятностей в следующий, четвёртый период —начала XX в. Это период общего
подъёма интереса к применениям теории вероятностей в различных спе-
специальных областях естествознания, техники и общественных наук. В этой
напряжённой международной научной работе советская теория вероят-
вероятностей занимает, хотя и не столь исключительное место, какое пришлось
на долю классических русских работ предыдущего периода, но тоже место
очень значительное, а в общих проблемах самой теории вероятностей,
нам кажется, даже первое.
В России и в СССР четвёртый период развития теории вероятностей
открывается работами С. Н. Бернштейна. С широким размахом его
работ за десятилетие 1917—1927 гг. можно сравнить лишь развернувшиеся

702 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
приблизительно одновременно работы Р. Мизеса. Оба они поставили
задачи:
1) строгого логического обоснования теории вероятностей;
2) завершения исследований по предельным теоремам типа теорем
Лапласа и Ляпунова, приводящим к нормальному закону распределения;
3) по возможности полного охвата новых областей теории вероятно-
вероятностей полноценными с логической и математической стороны современ-
современными методами исследования.
В третьем из этих направлений деятельность Р. Мизеса была, быть
может, поставлена ещё шире, чем исследования С. Н. Бернштейна,
давшего, впрочем, много образцов применения вероятностных методов
к самым разнообразным задачам физики, биологии и статистики.
Но во втором, собственно математическом, направлении исследования
С. Н. Бернштейна стоят на значительно более высоком методологи-
методологическом и техническом уровне. Для независимых случайных величин
условия применимости основной предельной теоремы были им доведены
до той степени общности, которая оказалась уже по существу оконча-
окончательной. Ему же принадлежат непревзойдённые по общности условия
применимости основной предельной теоремы к зависимым величинам
и первая строго доказанная двумерная предельная теорема (случай
любого числа измерений уже не составляет новых принципиальных
трудностей).
Наконец, что касается логического обоснования теории вероятностей,
то С. Н. Бернштейну принадлежит первая систематически разви-
развитая аксиоматика теории вероятностей, построенная на понятии качествен-
качественного сравнения событий по их большей или меньшей вероятности. Само
численное выражение вероятности появляется в этой концепции уже
в виде производного понятия. Строго формализированное развитие подоб-
подобной концепции дано сравнительно недавно американским математикой
Купманом *).
Несколько позднее начинается деятельность Московской теоретико-
вероятностной школы. Моментом её возникновения естественно считать
появление в 1924 г. работ А. Я. X и н ч и н а по закону повторного лога-
логарифма и в 1925 г. работы Е. Е. Слуцкого о стохастических асимпто-
асимптотах и пределах. Направление, созданное С. Н. Бернштейном, и ра-
работы Московской школы остаются и далее определяющими факторами
в развитии советской теории вероятностей. Однако к ним присоединяется
ряд новых направлений, теория вероятностей с успехом культивируется
во всё большем числе математических центров (Москва, Ленинград,
Ташкент, Киев, Харьков и т. д.), а переплетение работ различных
направлений становится всё более тесным **).
Ввиду многочисленности и разнообразия применений теории вероят-
вероятностей научная работа в этой области часто превращается в решение
отдельных весьма специальных задач, требующих иногда виртуозной мате-
математической техники, но вносящих мало нового в развитие общих руково-
руководящих идей теории вероятностей. Следуя традициям П. Л. Чебышева,
советские специалисты в теории вероятностей всегда стремились выделить.
из этого хаоса отдельных прикладных проблем основные теоретико-веро-
теоретико-вероятностные схемы, заслуживающие глубокого и исчерпывающего изучения
•) Koopman, Ann. of Math. 41 A940), 269—293, 42 A941), 169—187.
••) Дальнейшее наше изложение будет распределено не по научным школам,.
а по научным проблемам.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 703
во всей их общности. Предельные теоремы для сумм независимых слагае-
слагаемых, цепи Маркова, общие марковские процессы, случайные функции
и случайные векторные поля с распределениями, инвариантными по отно-
отношению к какой-либо группе преобразований,—все эти классические или
более новые общие темы исследований советских математиков возникли
в результате тщательно продуманного сведения большого числа отдельных
проблем из самых различных областей естествознания и техники к основ-
основным типичным теоретическим схемам.
Нащупывание этих основных теоретических схем вовсе не является
делом простой формальной классификации. Часто только после долгой
работы над разрозненными задачами удаётся обнаружить плодотворную
общую концепцию, позволяющую охватить все эти задачи единым
методом. Поэтому естественно, что на каждом этапе развития науки,
вырастающей постепенно из множества частных задач, выдвигаемых
перед ней с самых разных сторон, только некоторая часть этих задач
оказывается поглощённой тем или иным сформировавшимся разделом
общей теории, большое же количество задач остаётся предоставленным
для решения разрозненными «кустарными» приёмами. В научной работе
такие разрозненные задачи отнюдь не должны рассматриваться с пре-
пренебрежением, особенно в тех случаях, когда их прикладное значение
велико. Но в общий обзор достижений советских математиков за три-
тридцать лет решение таких задач могло бы войти лишь в виде перечня
названий соответствующих работ. Поэтому авторы настоящего обзора
предпочли сосредоточить всё внимание на небольшом числе основных
направлений советских исследований по теории вероятностей, каждое
из которых объединено достаточно ясной руководящей идеей.
Применения теории вероятностей к математической статистике осве-
освещены в помещённой рядом статье Н. В. Смирнова. Заслуживали бы
освещения в специальной статье ввиду специфичности соответствующих
проблем работы по применению теории вероятностей к задачам стати-
статистической физики; только некоторые из них найдут отражение в настоя-
настоящей статье.
§ 1. СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛАГАЕМЫХ.
Основные исследования П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова почти
целиком сосредоточены вокруг проблемы изучения поведения сумм боль-
большого числа независимых случайных величин такого рода, что роль
каждого отдельного слагаемого в формировании суммы исчезающе мала.
К этой проблеме сводятся более специальные задачи, связанные с после-
последовательностями независимых испытаний, составлявшие основной пред-
предмет исследований Бернулли, Лапласа и Пуассона. Она имеет основное
значение в теоретико-вероятностном обосновании статистических мето-
методов исследования (теория выборок) и теории ошибок. Поэтому большой
интерес к названной проблеме вполне обоснован.
Кроме того, как это обычно в истории математики, эта проблема,
на которую крупнейшие математики предшествующего поколения потра-
потратили самые значительные усилия, приобрела интерес в качестве проб-
пробного камня для проверки силы новых методов исследования.
Там, где дело идёт только о законах распределения отдельных
сумм, самым могущественным оказался метод характеристических функ-
функций, постепенно поглотивший метод моментов классической русской

704 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
школы и заменивший «прямые» методы, заимствованные ноной Москов-
Московской школой из теории функций действительного переменного. Для
задач, требующих оценки вероятностей событий, зависящих от значений
многих сумм, пока больше всего дали элементарные «прямые» методы
Московской школы. В будущем, возможно, они сменятся методом стоха-
стохастических дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.
1.1. Закон больших чисел. Порледовательность случайных величин
называется устойчивой, если существует такая последовательность
постоянных
Г Г Г
ЧТО ДЛЯ ЛЮбоГО г > О
1ипР(|Сп—С„|>«) = 0. A.1:1
п—>со
Практически это обозначает, что с возрастанием номера п зависимость
величин ?„ от «случая» делается исчезающе малой. Если величины *л
имеют конечные математические ожидания
то наиболее естественным представляется взять за постоянные Сп матема-
математические ожидания Ап. В соответствии с этим будем говорить, что после-
последовательность величин ?„, имеющих конечные математические ожида-
ожидания Ап, нормально устойчива, если при любом з>0
limP (Г.,,-Д, 1>ф=0. A.1:2)
«->со
Когда говорят, что последовательность случайных величин ~„ подчи-
подчиняется закону больших чисел, то имеют в виду, что она устойчива.
В классических работах всегда имеется в виду нормальная устойчивость,
но во многих случаях логичнее и проще иметь в виду устойчивость
в общем смысле слова.
Если случайные величины Сп имеют конечные дисперсии
то достаточным условием нормальной устойчивости является соотно-
соотношение
HniBn-0, A.1:3)
М->00
которое не является, однако, необходимым. Это условие лежит в основе
классических теорем П. Л. Чебышева и А. А. Маркова.
Исходным пунктом работ советских математиков можно считать
замечание, сделанное в 1918 г. С. Н.Бернштейном [2], что необхо-
необходимым и достаточным условием устойчивости с заданными постоянными
С„ может служить равенство

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 705
Более широкое развитие аналогичных идей было дано в 1925 г.
Е. Е. Слуцким [5].
Если последовательность С„ устойчива, то за постоянные С„ можно
всегда взять медианы /л?„ величин '(,п. Поэтому в силу цитированного ре-
результата С. Н. Бернштейна необходимое и достаточное условие
устойчивости последовательности ?„ может быть записано в виде
Пт М ^,пG~^~=0. A.1:5)
п-«х> ' -г (in — "ЬпГ
Классическое условие A.1:3) легко применить к суммам незави-
независимых слагаемых
с конечными дисперсиями
Основано это на том, что дисперсии сумм 1п являются суммами дис-
дисперсий слагаемых
В отличие от дисперсий Вп математические ожидания, входящие в
условия A.1:4) и A.1:5), не выражаются сколько-либо простым обра-
образом через характеристики отдельных слагаемых <;[п). Необходимое и
достаточное условие устойчивости сумм независимых слагаемых, просто
выражающееся через свойства отдельных слагаемых, было найдено
в 1928 г. А. Н. Колмогоровым [2,5]. Его можно привести к виду
(Б. В. Гнеденко [24])
и. J(^'-<t
Необходимое и достаточное условие нормальной устойчивости сумм
независимых слагаемых записывается несколько сложнее (Б. В. Г н е-
денко, [24J), но его получение не представляет больших трудностей,
после того как общее условие устойчивости A.1:6) установлено. Спе-
Специальный интерес имеет случай с?.п) = —,;
где
?хЛ, ..-Л,...
— последовательность одинаково распределённых независимых величин.
В этом случае необходимое и достаточное условие устойчивости приобре-
приобретает чрезвычайно простой вид
lim nP( j; j > п) — 0. A-1:7)
п->оо
45 Математика в СССР за 30 лет

706 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Если одинаково распределённые независимые величины Zk имеют конеч-
конечное математическое ожидание, то условие A.1:7) выполнено.' Устойчи-
Устойчивость при этом оказывается непременно нормальной. Это составляет содер-
содержание теоремы А. Я. Хинчина [17]: средние арифметические Сп
независимых одинаково распределённых величин 6Л с конечным математи-
математическим ожиданием всегда нормально устойчивы.
Перечисленные результаты достаточно полно и окончательно освещают
вопрос об условиях применимости закона больших чисел к суммам незави-
независимых слагаемых. Использованный в прореферированных работах аппарат
довольно прост, но принципиально отличен от классического метода момен-
моментов. Это неизбежно, ибо, как показал А. Я. X и н ч и н [5], даже в случае,
когда слагаемые имеют конечные моменты всех порядков, не существует
необходимого и достаточного условия устойчивости, выраженного через
эти моменты.
Однако,еели дело идёт не о принципиальной применимости закона боль-
больших чисел, а о достаточно точной оценке вероятностей
то обращение к моментам высших порядков вполне естественно. Основные
результаты в этом направлении принадлежат С. Н. Бернштейн у*).
1.2. Притяжение к закону Гаусса. Сохраняя обозначения пред-
предшествующего пункта, будем говорить, что последовательность случайных
величин ?„ притягивается к закону Гаусса, если при надлежащем выборе
постоянных С„ и Нп > О
limP CnZCn < t) = -}= { е~Тdt A.2:1)
n-«o
' —оо
для любого действительного t. Основным классическим случаем является
тот, когда величины ?„ имеют конечные математические ожидания Ап
и дисперсии В„, а A.2:1) имеет место при
В этом случае будем говорить, что величины Zn нормально притягиваются
к закону Гаусса.
Установление чрезвычайно общих достаточных условий для нормаль*
ного притяжения сумм
возрастающего числа независимых слагаемых к закону Гаусса является
бессмертной заслугой П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова,
Их исследования нашли дальнейшее развитие в работе С. Н. Берн-
штейна [13, 40], где в применении к интересующей нас сейчас проблеме
даны условия, по существу эквивалентные тем, которые оказались впослед-
впоследствии в известном, излагаемом далее, смысле необходимыми и достаточными.
Без каких-либо ограничений поиски необходимых условий для при-
притяжения к закону Гаусса, повидимому, могут дать только довольно слож-
*) См. С. Н. Бернштейн [41], ч. Ill, гл. 2 «Уточнение неравенств»
Чебышева».

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 707
но формулируемые и не слишком интересные результаты. Объясняется
это тем, что самая идея предельных законов для сумм возрастающего числа
слагаемых естественна только в том случае, когда с возрастанием числа
слагаемых роль каждого из них в отдельности убывает. Точно это требо-
требование можно сформулировать, потребовав в дополнение к A.2:1), чтобы
при любом s>0
lim [sup P(\ tf}-m^\ > sffn)] = 0. A.2 :2)
к
к
Это так называемое требование «предельной пренебрегаемости» отдельных
слагаемых. Заметим, что оно является автоматическим следствием соот-
соотношения A.2:1) в случае, когда закон распределения слагаемых в пре-
пределах одной суммы неизменен. Выяснение необходимых и достаточных
условий притяжения сумм независимых слагаемых к закону Гаусса
с дополнительным условием A.2:2) явилось результатом исследований
А. Я. X и н ч и н а, Леви и Феллера *). Мы дадим здесь формули-
формулировку одной из теорем А. Я. X и н ч и н а, которая особенно прозрач-
прозрачно вскрывает существо дела: если выполнено условие A.2:2) и
где F (t)—невырожденный **) закон распределения, то для того, чтобы
этот закон распределения был законом вида
необходимо и достаточно, чтобы при любом s > О
п
ИтУ Р(|^п)-т!;[я)|>еЯп) = О. A.2:3)
Сами необходимые и достаточные условия притяжения к закону Гаусса
с соблюдением условия A.2:2) были впервые опубликованы в явной форме
Феллером. Их можно сформулировать так: для того чтобы суще-
существовали постоянные С„ и Нп >0, для которых выполняются требова-
требования A.2:1) и A.2:2), необходимо и достаточно существование пос-
постоянных Кп, для которых
lim inf Р (| С„ - тС„ | > К„) > О,
A.2:4)
*) Обзор этих исследований см. в работах А. Я. Хинчина 1421 и
Б. В. Г и ед енко [24].
*•) Вырожденным законом распределения называется закон распределения
постоянной величины.
45*

708 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Первое из условий A.2:4) относится к свойствам сумм, а не отдель-
отдельных слагаемых. Можно записать условия A.2:4) в следующей экви-
эквивалентной форме:
. * ) 0-2:4')
lim У. Р (| Йп) - m?(fcn) \>Кп) = 0, I
которая свободна от указанного недостатка, хотя и несколько менее
наглядна.
Аналогичное исследование условий притяжения к л-мерным законам
Гаусса сумм независимых векторов начинается с работы С. Н. Берн-
штейна [13, 40]. Дальнейшие продвижения в этом направлении в СССР
принадлежат А. Я. Хинчину, В. И. Романовскому и Б. В. Г не-
денко *).
1.3. Уточнение классической предельной теоремы. Наиболее важ-
важным случаем притяжения к закону Гаусса остаётся и теперь случай
нормального притяжения:
где
Как с теоретической, так и с практической точек зрения естественно
желание возможно точнее оценить разность
Fn(t)-4>(t),
и случае же, если она недостаточно мала, присоединить к Ф (/) какие-
либо поправочные члены, выражающиеся достаточно просто через распре-
распределения слагаемых ?;Г\ которые позволят оценить Fn {t) уже с доста-
достаточной точностью.
Для частного случая предельной теоремы Лапласа наиболее эффек-
эффективный метод точной оценки Fn (f) был предложен С Н. Берпштей-
ном в 1911 г. Позднее С. Н. Бернштейн [39] ещё несколько усилц
свои результаты в этом направлении.
Для общего случая в основе большинства дальнейших исследова
ний лежит метод, предложенный П. Л. Чсбышсвым и использующи1
для приближённого изображения Fn (t) ряды вида
Ф (*) -f С%п> Ф'" @ + ... -f Ср Ф(8) @ + ... ,
где Ф(ч) —последовательные производные функции Гаусса Ф, а коэфф«
циенты С(,п) выражаются через моменты слагаемых ?tn). Эта аде
П. Л. Чебышева была особенно полно развита шведским математике
Крамером.
*) Наиболее законченные формулировки см. Б. В. Гнеденко [25].

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 709
Всякая область математики, в которой дело идёт о нахождении
удачных приближённых выражений или об улучшении оценок, при-
приобретает более значительный теоретический интерес, когда в ней обна-
обнаруживаются постановки задач, позволяющие говорить о наилучших
приближениях и наилучших оценках. В интересующей нас сейчас
области такой этап исследований только начинается. В иностранной
литературе, примыкая к Крамеру, замечательные результаты такого
рода опубликовал в 1945 г. Эссеэн. Задача, разобранная Эссеэном
для случая последовательных сумм
одинаково распределённых слагаемых
Р ? Ё
в общем случае переменных законов распределения послужила предме-
предметом глубоких исследований Ю. В. Линника [1].
1.4. Предельные законы распределения сумм одинаково распреде-
распределённых слагаемых. Излагавшиеся выше результаты А. Я. Хинчина,
Леви и Феллера об условиях притяжения к закону Гаусса были полу-
получены в результате исследования более общей, хотя и не менее есте-
естественной проблемы, которой посвящены этот и следующий пункты
нашего обзора. Проблема эта заключается в нахождении всех законов
распределения для сумм возрастающего числа исчезающе малых по
сравнению с суммой независимых слагаемых.
Обратимся сначала к простейшему случаю последовательных сумм
слагаемых
м» '•г* • • • ) $п> • • •
с одинаковыми распределениями и предположим, что существуют по-
постоянные С„ и Нп>0, для которых
где F{t)~невырожденный закон распределения. А. Я. Хинчин [39]*)
нашёл необходимые и достаточные условия, которым должна удовле-
удовлетворять функция распределения F(t), для того чтобы она могла
появиться в качестве предельной в такого рода обстоятельствах. Ока-
Оказалось, что для этого логарифм характеристической функции
00
= С
должен иметь вид
*) См. также совместную работу А, Я. Хинчина и П. Леви [1].

710 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
где «, р, у, ft —действительные постоянные @<а<2, |Р|<1, р->0,
f — произвольно) и
Это так называемые устойчивые законы. Те из них, для которых р = 0,
симметричны и были до А. Я- Хин чин а рассмотрены Леви. Линей-
Линейным преобразованием переменного / можно свести дело к случаю
Y=0, [x=l.
Наоборот, различным значениям параметров а и '$ соответствуют суще-
существенно различные устойчивые законы распределения F(t). При а=2
получается закон Гаусса.
Б. В. Гнеденко [13] установил вполне прозрачные необходимые
и достаточные условия притяжения сумм интересующего нас сейчас
вида к каждому из устойчивых законов. Принято думать, что эти
предельные теоремы имеют только теоретический интерес, так как они
относятся к суммам случайных величин с бесконечными дисперсиями
(случай конечных дисперсий приводит к закону Гаусса). Мнение это,
несмотря на его распространённость, не вполне понятно, так как суммы
независимых слагаемых с бесконечными дисперсиями и даже с беско-
бесконечными математическими ожиданиями появляются вполне естественно,
например, в такой излюбленной классической задаче, как задача
о «разорении игрока», если рассматривать серию игр, каждая из кото-
которых продолжается до достижения проигрыша заданных размеров. Более
актуальные применения указаны в заметке А. Н. Колмогорова и
Б. А. Севастьянова [1].
Перейдём теперь к более общей схеме сумм
где слагаемые, входящие в одну и ту же сумму, имеют одинаковый закон
распределения, но для разных сумм законы распределения слагаемых
могут быть различны.- А. Я. X и н ч и н [41] доказал, что в этом слу-
случае предельные законы F (t), которые могут появиться в соотношении
A.4:1), характеризуются тем, что они неограниченно делимы, т. е. могут
быть представлены как законы распределения суммы любого числа
независимых одинаково распределённых слагаемых. Этого рода законы
распределения появились в связи с изучением случайных процессов с
непрерывным временем у Финетти. Общий вид неограниченно делимых
законов с конечной дисперсией был найден А. Н. Колмогоро-
Колмогоровы м [14, 15]. Они характеризуются тем, что логарифм их характеристи-
характеристической функции записывается в виде
аз
log ср (>.) = гул + р ^ S (л, х) dg (x),

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 711
где у и ft — постоянные, a g(x) — вспомогательная функция распреде-
распределения. Гауссовский случай получается, если функция g(x) сводится
к единичной функции Е(х) = О при х < О, Е (х) = 1 при х > 0. Общая
формула для логарифма характеристической функции неограниченно
делимого распределения (без требования конечности дисперсии) была
найдена позднее Леви.
1.5. Предельные законы для сумм предельно пренебрегаемых слагае-
слагаемых. В 1936 г. Г. М. Б а в л и [2] установил для случая конечных диспер-
дисперсий, что предельный закон распределения сумм произвольных (не
обязательно одинаково распределённых) независимых предельно пре-
пренебрегаемых слагаемых всегда неограниченно делим. Годом позднее
А. Я. X и н ч и н [41] доказал это предложение без требования конеч-
конечности дисперсии. Эта общая теорема А. Я. Хинчина содержит
в себе изложенный в предыдущем пункте результат, относящийся
к суммам одинаково распределённых (в пределах каждой суммы) сла-
слагаемых, так как в этом случае «предельная пренебрегаемость» сла-
слагаемых имеет место автоматически.
Условия притяжения к неограниченно делимым законам были исчер-
исчерпывающе изучены Б. В. Г н е д е н к о [10].
Существо метода Б. В. Гнеденко состоит в том, что для
каждой суммы независимых слагаемых строится вполне определён-
определённый «сопровождающий» неограниченно делимый закон распределе-
распределения. Предельная пренебрегаемость слагаемых влечёт за собой сближе-
сближение истинного закона распределения и сопровождающего неограничен-
неограниченно делимого. Вопрос о существовании предельного закона для истин-
истинных законов сводится поэтому к более простому вопросу о существо-
существовании предельного закона для сопровождающих законов. С точки зре-
зрения применений вся эта концепция заслуживала бы переработки в напра-
направлении эффективных оценок близости законов распределения сумм к
какому-либо неограниченно делимому закону и приёмов нахождения наи-
наилучшего (хотя бы в асимптотическом смысле) приближения истинного
закона распределения суммы неограниченно делимым законом. В этом
направлении работа ещё совсем не начата.
1.6. Новые задачи о предельном поведении сумм. Условия примени-
применимости закона больших чисел, разыскание возможных видов предельных
законов распределения для сумм большого числа слагаемых и условий
притяжения к каждому из них—все эти задачи возникли с неизбежностью
из желания довести до логического конца работы П. Л. Чебышева,
A.M. Ляпунова и А. А. Маркова.
Наряду с этим, в последнее время много внимания уделяется новым
задачам о предельном поведении сумм большого числа независимых сла-
слагаемых. Те из этих новых задач, в которые входят только законы распре-
распределения сумм, не слишком своеобразны и их решение требует лишь
небольшого видоизменения рассмотренных выше методов. Такова, напри-
например, задача об условиях «относительной устойчивости» сумм положитель-
положительных слагаемых, которой занимались А. Я. X и н ч и н, А. А. Боб-
Бобров [1], Б. В. Гнеденко и Д. А. Райков [3].
Значительно своеобразнее задачи, связанные с оценкой вероятностей
событий, зависящих от значений, принимаемых несколькими последова-
последовательными суммами

712 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
одного и того же ряда независимых слагаемых
Этими задачами мы и будем далее заниматься. Внимание к такого рода зада-
задачам было впервые привлечено Борелем. Им был поставлен вопрос об усло-
условиях применимости усиленного закона больших чисел, т. е. об условиях, при
которых имеет место соотношение
Р jlim |с"~ж"
I I п
jm | о ) i. A.6:1)
К Борелю же восходит вопрос об определении асимптотической оценки
размаха колебаний отклонений
приведший А. Я. Хинчина к его знаменитому «закону повторного
логарифма», о котором будет подробнее сказано далее.
Методы решения подобных задач можно разбить на две группы.
Первая группа «элементарных» методов основана на употреблении нера-
неравенств, подобных неравенству Чебышева, но позволяющих оценить пове-
поведение некоторой конечной последовательности сумм, а не одной суммы.
Методы этого рода по существу приведены в действие уже в первой работе
А. Я. X и н ч и н а [2] о законе повторного логарифма, но наибольшее при
менение в дальнейшем нашло одно совершенно элементарное неравенство,
установленное в 1929 г. А. Н.Колмогоровым [2]. Оно в принятых
нами обозначениях может быть записано следующим1 образом:
>a)<^?. A.6:2}
Замечательные усиления этого неравенства были найдены С. Н. Берн-
штейном [30,41].
Другая группа методов должна была бы быть основана на асимптоти-
асимптотических формулах для вероятностей того или иного поведения длинного
ряда последовательных сумм, малых по сравнению с суммами слагаемых.
Такие формулы были даны в 193L г. А. Н. Колмогоровым [13,18].
Используемый в этих работах метод «стохастических дифференциальных
уравнений» применим и к суммам зависимых величин определённого
типа. Поэтому подробнее о нём будет сказано позднее.
Перейдём теперь к результатам, полученным в направлении решения
задач очерченного типа. В совместной работе А. Я. Хинчина и
А. Н. Колмогорова[1] исчерпывающее решение получила задача
нахождения условий, при которых ряд
П--1
из независимых случайных величин сходится с вероятностью, равной
единице.
Менее полны результаты по усиленному закону больших чисел.
Всё, что можно извлечь из рассмотрения дисперсий слагаемых, это до-

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 713
статочное условие А.Н.Колмогорова [8], заключающееся в сходи-
сходимости ряда
п-1
Оно, однако, не является необходимым.
Подобно обычному закону больших чисел, естественно назвать требо-
требование A.6:1) требованием усиленной нормальной устойчивости средних
арифметических ~ , а просто усиленно устойчивыми называть эти сред-
средние, если существуют такие постоянные Сп, для которых
{ lim
—С„ =0} = 1. A.6:3)
А. Н.Колмогоровым [24] было установлено, что в случае одина-
одинаково распределённых ?„ для усиленной устойчивости необходимо и доста-
достаточно существование у ?„ конечных математических ожиданий. Устой-
Устойчивость при этом получается всегда нормальной. Интересные дальнейшие
результаты принадлежат А. А. Боброву [4]. Общая же проблема необ-
необходимых и достаточных условий усиленной устойчивости остаётся
открытой.
1.7. Закон повторного логарифма и примыкающие к нему вопросы.
Рассмотрим последовательность случайных величин
К К, ..., 8„, ... A.7:1)
и какую-либо вполне определённую (независимо от случая) функ-
функцию /(я). Определим множество тех номеров я. для которых
Если это множество с вероятностью, равной единице, конечно, то назо-
назовём /(я) верхней функцией последовательности A.7:1), если же оно
с вероятностью, равной единице, бесконечно,— нижней функцией.
Усиленный закон больших чисел в формулировке, данной в пред-
предшествующем пункте, обозначает не что иное, как утверждение, что
При ЛЮбоМ г > 0 фуНКЦИЯ
является верхней функцией для абсолютных величин
отклонений сумм ?„ от их математических ожиданий. Вполне естест-
естественно желание выяснить для каждой последовательности независимых
случайных величин
объём класса верхних функций для соответствующих абсолютных откло-
отклонений Ьп.
В 1924г. А. Я- Хин чин [2] дал почти исчерпывающее решение
этой задачи для случая «схемы Бернулли» (величины \п одинаково

714 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
распределены и принимают только два значения). Его результат
можно сформулировать так: при любом в > О
есть верхняя функция, а
g (л) - A - a) |/2BnloglogBn
есть нижняя функция. При этом, как и ранее, мы полагаем:
п
После этого А. Н.Колмогоров [4] обнаружил, что тот же закон
имеет место и в значительно более общих условиях. Далее этим вопросом
занимались по преимуществу иностранные авторы. Из простых по форму-
формулировке результатов следует указать, что закон повторного логарифма во
всяком случае имеет место для одинаково распределённых слагаемых \
при единственном (неизбежном по самой формулировке закона) ограниче-
ограничении конечности их дисперсий.
Вопрос об условиях применимости закона повторного логарифма ещё
не исчерпан до конца. Наряду с расширением условий применимости, раз-
различными иностранными авторами было потрачено много труда на усиле-
усиление этого закона в направлении ещё более точного разграничения верхних
функций от нижних. Основной фундаментальный сдвиг в этом направле-
направлении был, однако, достигнут в СССР И. Г. Петровским [2]. Сам
И. Г. Петровский ограничился решением задачи из теории дифферен-
дифференциальных уравнений, к которой вопрос приводится при помощи упоминав-
упоминавшихся выше методов А. Н. Колмогорова. Исследование И. Г. П е т-
ровского приводит к такому критерию: в предположении, что
функция Ф (t) монотонна, функция f (п) = Ф(ВП) будет верхней функцией,
если интеграл
J-°(Q« 2 dt
to
сходится, и нижней функцией, если этот-интеграл расходится. Для
применимости критерия И. Г. Петровского нужны ещё некоторые
условия, оправдывающие законность перехода к разрешённой им задаче
из теории дифференциальных уравнений. Они были выяснены Эрдешем
и Феллером *).
§ 2, СУММЫ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Основные свойства сумм независимых слагаемых сохраняются в слу-
случае, если зависимость между слагаемыми достаточно мала или если она
достаточно быстро ослабевает с увеличением разности номеров слагаемых
(в последнем случае предполагается, что слагаемые занумерованы в каком-
либо определённом «естественном» порядке). Эта идея, выдвинутая и впер-
впервые разработанная А. А. Марковым, нашла дальнейшее развитие в ряде
советских исследований.
*) См. статью W. Feller'a в Trans. Amer. Math. Soc, 54 A943), 373—413.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 715
2.1. Закон больших чисел. Если в сумме
все слагаемые имеют конечные дисперсии, то
может быть записано в виде
Bn=2 2W B.1.1)
1-1 /=1
или в виде
где
<#> = М [$п) -
— смешанные вторые моменты, а
- ( ' ]
—коэффициент'ы корреляции между слагаемыми Е*п) и E/n).
Формула B.1:2) позволяет извлечь из классического условия
UmBn = O B.1:3)
П-»СО
ряд других достаточных условий нормальной устойчивости сумм ?п, выра-
выраженных через дисперсии слагаемых Ь{У и коэффициенты корреляции г$ .
Этим занимались С. Н. Б е р н ш т е й н и А. Я. X и н ч и н. Например,
в курсе С. Н. Б е р н ш т е й н а [41 ] для случая средних арифметических
последовательности величин %-t даётся такое достаточное условие: -.
/-*1Ы Л
где С—постоянная, а функция <р (/л) стремится к нулю при т -* оо. Естест-
Естественно, однако, что, как это наблюдалось уже в случае независимых сла-
слагаемых, в терминах одних вторых моментов вопрос не может быть решён
до конца.
В нескольких работах А. Я. Хинчина разбирается вопрос о при-
применимости к последовательностям зависимых величин усиленного закона
больших чисел. Однако здесь не выяснен до конца даже вопрос о том, что
могут дать вторые моменты ¦).
•) Точно проблему можно поставить так: при каких условиях, наложенных на
числа cij, можно гарантировать, что для сумм
случайных величин §п со вторыми моментами
сц=М [(и — Mil) iSi — -Me/)]
будет выполняться соотношение

716 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Более полные результаты получены для случаев, когда слагаемые воз-
возникают в результате случайного процесса какого-либо специального типа—
марковского или стационарного. Об этом сказано в следующих парагра-
параграфах нашего обзора.
2.2. Классическая предельная теорема. Исследования А. А. Марко-
Маркова об условиях нормального притяжения к закону Гаусса сумм возра-
возрастающего числа слабо зависимых слагаемых были продолжены С.Н.Берн-
штейном [11, 13, 18, 40]. О результатах этих работ С. Н. Берн-
штейна, относящихся к схеме «цепей Маркова», будет сказано далее.
Тонкие результаты С. Н.Бернштейна, выраженные непосредственно
через требование достаточно быстрого ослабевания зависимости слагаемых
с возрастанием разности номеров, довольно сложны по формулировке.
Заметим лишь по их поводу, что коэффициенты корреляции в этой проб-
проблеме являются слишком грубым измерителем зависимости. Вместо них при-
приходится обращаться или к требованию полной независимости слагаемых
с достаточно далёкими номерами, или требовать, чтобы условные первые
и вторые моменты слагаемых при фиксированных значениях предшествую-
предшествующих слагаемых мало отличались от безусловных. Смысл второго рода усло-
условий стал вполне ясным в контексте возникшей позднее теории стохастиче-
стохастических дифференциальных уравнений.
§ 3. ИДЕИ МЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Теория вероятностей как наука, посвященная количественному изуче-
изучению специфической области «случайного», не является частью чистой
математики. Её отношение к чистой математике аналогично отношению ме-
механики или геометрии, если последнюю понимать как науку о свойствах
реального пространства. Тем не менее из неё, подобно геометрии, можно
выделить чисто математическую часть. В геометрии это выделение было
осуществлено на границе XIX и XX вв., когда геометрия в качестве части
чистой математики превратилась в науку о системе предметов, называе-
называемых «точками, прямыми или плоскостями» и удовлетворяющих известным
аксиомам.
Аналогичная полная аксиоматизация теории вероятностей может быть
осуществлена различными способами. Из этих способов в последние годы
особенно большое влияние на развитие конкретных разделов теории веро-
вероятностей оказало построение, которое принимает за исходные, не подлежа-
подлежащие формальному определению объекты изучения множество U — {и}
«элементарных событий» и называемую «вероятностью» функцию Р(А),
определённую на некоторой системе $ подмножеств основного множестваU-
Соответствующая аксиоматика *) в законченном виде дана в 1933 г..
А. Н. Колмогоровым [24], хотя связанный с ней круг идей начал раз-
разрабатываться значительно раньше французской школой (Е. Борель)
и советской Московской школой с самого начала её работы.
•) Новым цля теории вероятностей в этой концепции была введённая
Е. Борелем счётная аддитивность вероятности. Об оправдании этой аксиомы см.
последний параграф настоящего обзора. Сейчас заметим лишь, что все интересные
конкретные результаты, основанные на Этой аксиоме, допускают и «допредельную»
интерпретацию, от неё независимую (см. например, интерпретацию усиленного зако-
закона больших чисел у С. Н. Берн штейна [41], стр. 155—156).

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 717
Эта система построения теории вероятностей со стороны логической
и философской не является ни единственно возможной, ни предпочтитель-
предпочтительной перет, другими (см. последний параграф настоящего обзора). Её боль-
большой успех объясняется, повидимому, следующими обстоятельствами:
1) Из систем полной аксиоматизации*) теории вероятностей,
предложенных до настоящего времени, она наиболее проста.
2) Она позволила охватить единой простой схемой не только все клас-
классические разделы теории вероятностей, но и вызванные запросами естество-
естествознания новые разделы, связанные с распределениями вероятностей для
«случайных функций».
3) Она связала теорию вероятностей с теорией меры и метрической
теорией функций, располагающими богатым арсеналом тонко отточенных
методов исследования.
Второе и третье из этих обстоятельств и будут сейчас в центре нашего
внимания. С точки зрения рассматриваемой сейчас концепции вероятность
Р(А) есть не что иное, как «абстрактная мера», подчинённая условию
нормированности P(U)= I, случайная величина ? есть измеримая отно-
относительно этой меры функция 5 (и), математическое ожидание М($) есть
интеграл Лебега
и т. д.
3.1. Совместное распределение вероятностей бесконечной системы
случайных величин. Рассмотрение последовательности случайных
величин
5„ 5iV.., 5„, ... C.1:1)
как последовательности функций %п(и) одного и того же аргумента и,
на области U изменения которого задана в качестве меры вероятность
Р(А), лежит в основе ряда изложенных в предшествующем параграфе
результатов Московской школы (особенно относящихся к сходимости
рядов со случайными членами, усиленному закону больших чисел
и закону повторного логарифма). Здесь нам остаётся указать на некото-
некоторые результаты более общего характера.
Вопросы, в которых расцениваются вероятности событий, зависящих
от значений конечного числа величин последовательности C.1:1), реша-
решаются при помощи соответствующих конечномерных распределений
F?i52 •. En (xi> зсг,...,хп). Если же наступление какого-либо события зави-
зависит от значений, принимающихся бесконечным числом величин из C.1:1),
то в рассмотрение естественно входит закон распределения в пространстве
числовых последовательностей
возможных значений величин C.1:1). Этот закон распределения однозначно
определяется совокупностью распределений
^ЬЬ -Лп (Xi> х=» • • ¦> хп)-
*) Т. е. из систем, в которых исключена всякая апелляция к наглядному
содержанию таких понятий, как «событие», «несовместимые события», «событие А
является следствием события В,> и т. п.

718 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
А. Н. Колмогоровым [24] была установлена теорема,
утверждающая, что для существования случайных величин (и следова-
следовательно, бесконечномерного их закона) с заданными законами распре-
распределения F5l... Еп (х,, ...,х„) не только необходима, но и достаточна
совместность этих законов F5l ...5, (х1; ..., х„) в обычном элементарном
смысле.
Решение отдельных задач многократно приводило к тому, что
вероятность осуществления тех или иных предельных соотношений в
последовательности случайных величин может при известных условиях
общего характера равняться только нулю или единице. Аналогии из тео-
теории меры привели А. Н.Колмогорова [24] к такой общей теореме:
если / (?!, ?2, • • •, $п> ¦ • •) — бэровская функция независимых случайных вели-
величин ?„, значение которой не меняется при изменении значений конечного
числа аргументов, то вероятность равенства
может равняться только нулю или единице.
3.2. Случайные функции. Пусть каждому «элементарному событию*
поставлена в соответствие функция си@> принадлежащая некоторому
функциональному пространству Ъ, и пусть для любого измеримого по
Борелю подмножества А пространства & множество тех я, для которых
?и@бА, принадлежит системе %. Тогда говорят, что задана случайная
функция S (t) типа %. После первых результатов А. Н. Колмогоро-
в а [24] эта логическая схема была разработана рядом американа<их
авторов (особенно Дубом). Независимо от отшлифовки формально логи-
логической стороны дела наиболее интересные вопросы, естественно возни-
возникающие при рассмотрении случайных функций, систематически изучались
Е. Е. Слуцким.
Каждой конечной группе значений tXt t2 tn аргумента t соответ-
соответствует я-мерный закон распределения Ftltt... tn {хг, х2, ..., хп) случайных
величин i (?,), S (*»), . •., S (?„) Одним из основных вопросов теории слу-
случайных функций является вопрос о том, каким условиям надо подчинить
функции Ftxtt... ,„ (х„ x2, ... ,хп) для того, чтобы они могли соответствовать
случайной функции какого-либо типа й. Для этого во всех случаях они
должны быть согласованы в элементарном смысле слова. Дополнительные
условия различны для различных функциональных пространств. Для
наиболее важных случаев достаточно общие условия такого рода были
даны Е. Е. Слуцким и А. Н. Колмогоровым (см. особенно
Е. Е. Слуцкий [28]). Эти условия выражаются через законы распре-
распределения разностей ?(*')-?(*) (т. е. через двумерные распределения
Fti'(x,x'). Для пространства измеримых функций по Е. Е. Слуцкому
достаточна стохастическая непрерывность с@> т. е. условие, что при
любом « > О
для всех (или почти всех) t.A. H. К олмогоро в ым было предложено
в этом случае несколько более сложное необходимое и достаточное усло-
условие*). Для пространства непрерывных функций достаточное усло-
*) См. W. Ambrose, Trans. Amer. Math. Soc, 47A940), 66—79.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 719
вие А. Н. Колмогорова состоит в существовании таких т > О
иа>1, что
Наиболее существенные из более специальных результатов о случай-
случайных функциях действительной переменной получены в связи с понятиями
теории случайных процессов (где переменное /трактуется как «время»),
которой посвящается следующий параграф обзора. Для статистической
механики непрерывных сред существенны, однако, как скалярные, так
и векторные случайные функции нескольких переменных (точки в про-
пространстве). Результаты в этом направлении пока немногочисленны
(А. М. О б ух о в, А. Н. К о л м о г о р о в).
§ 4. ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.
Исторически направление исследований, объединяемое теперь под.
названием общей теории случайных процессов, имеет два источника.
С одной стороны, это работы А. А. Маркова об «испытаниях, связанных
в цепь», с другой — начатые по замыслу Пуанкаре исследования Башелье
о «непрерывных вероятностях». Второе из этих направлений приобрело
прочную логическую основу лишь после создания описанной в пред-
предшествующем параграфе нашего обзора теоретико-множественной системы
построения основ теории вероятностей.
Дальнейшее развитие теории случайных процессов тесно переплетает-
переплетается с теорией динамических систем (см. в этом сборнике статью о дифферен-
дифференциальных уравнениях). И та и другая соответствуют представлениям клас-
классической, доквантовой, физики. Увлекательность обеих этих теорий заклю-
заключается в том, что из общих представлений «детерминированного про-
процесса» и «случайного процесса» им удаётся путём совершенно естест-
естественных с логической стороны разграничений различных типов фазо-
фазовых пространств (множеств возможных состояний) и различных типов
закономерностей изменения состояний (отсутствие или наличие последей-
последействия, стационарность и т. п.) придти к достаточно богатым результатам.
Аналогичная логико-математическая обработка концепций совре-
современной квантовой физики является в значительной мере делом будущего.
4.1. Цепи Маркова. Пусть изучаемая система может находиться
в одном из состояний
(конечное, или счётное множество состояний) и процесс её изменения
мыслится разложенным на шаги, занумерованные целыми числами t
(дискретное время). Пусть, кроме того, условная вероятность перехода
за шаг с номером t в предположении, что перед этим шагом имелось состо-
состояние %{, не зависит от более ранней истории системы (отсутствие последей-
последействия). Такого рода случайный процесс называется цепью Маркова...
Входящие в определение вероятности перехода $,-—>%j за шаг с номе-
номером t будем обозначать

720 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Легко видеть, что вероятность перехода <?,-—»<?/ за t шагов с номерами
1,2, ..., /, которую мы обозначим
вычисляется из рекуррентных формул
)
Особенно важен однородный по времени случай
В этом случае матрица || Р\0 || равна ^матрице \\pa\\, возведённой в сте-
степень U
Естественно возникает вопрос о предельном поведении вероятностей
ф при /—>со. В случае конечного числа состояний и однородности по'
времени А. А. Марков доказал, что, когда все ptj положительны, суще-
существуют пределы
НтР<|)=Р/( D.1:2)
(->оо
не зависящие от исходного состояния i§,-. Этот результат (эргодиче-'
екая теорема А. А. Маркова), начиная с 1929 г., сделался исходным для'.
длинного цикла работ В. И. Романовского и ряда иностранных
авторов (Мизес, Адамар, Фреше и др.). В. И. Романовский ис-
использовал алгебраические методы, восходящие, кроме А. А. Маркова, к
Фробениусу, а Мизес явился инициатором «прямых» теоретико-вероят%:
ностных методов. Вопрос о предельном поведении переходных вероятно-
вероятностей Pip в случае однородности по времени и конечного числа состояний
был при помощи алгебраических методов до конца разобран в фунда-
фундаментальном мемуаре В. И. Романовского [35]. Исчерпывающее
изложение «прямым» методом можно найти в курсе С. Н. Бе рн ш т ей-,
на [41]. А. Н. Колмогорову [29] прямыми методами удалось,
полностью выяснить предельное поведение вероятностей P;j> в случае:
однородности по времени и счётного числа состояний.
Неоднородные во времени цепи исследовались ещё А. А. Марковы».
Для них естественным обобщением соотношения D.1:2) является соот-
соотношение
!im|p('>-P<.0 1=0. D.1:3}
f->oo
выражающее исчезновение при t —» оо зависимости состояния iS/; через I
шагов от исходного состояния (?,• или Я;-) ¦).
*) По поводу примыкающих сюда вопросов см. А. Н. К о л м oropol
[22, 32], С. Н. Б е р н ш т е й н [41]. '

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 721
Типичной постановкой задачи в исследованиях А. А. Маркова было
изучение сумм последовательности случайных величин
определённых тем, что S, принимает значение а,-, если через t шагов
от начального состояния <?г система попадает в состояние %}. Естественно,
что суммы
могут быть записаны в виде
где t^p есть число попаданий в состояние "ё/ за первые t шагов при исход-
исходном состоянии %t. Поэтому с современной -точки зрения естественной
основной задачей является изучение предельного поведения при / —> оо
случайных величин р\9.
Для однородного по времени случая проблемы типа обычного и уси-
усиленного закона больших чисел здесь все легко решаются. Закону повтор-
повторного логарифма посвящена статья Т. А. Сарымсакова [9]. Глубже
вопросы о предельных законах распределения. Основным в случае конеч-
конечного числа п состояний является вопрос о предельном поведении при
/-*¦ оо вероятностей
Q}') (и,, т„ ..., та) = Р (ц<{> = ти ?$ = т„..., и<<> = тп).
Работами ряда авторов вполне подготовлено полное решение этого вопроса
в смысле нахождения необходимых и достаточных условий для примени-
применимости соответствующей локальной предельной теоремы с я — 1-мерным (так
как ml + m2+ ... +тп = п) законом Гаусса и даже исчерпывающего
разбора особых случаев. Окончательных обозримых формулировок резуль-
результатов этого рода, однако, ещё нет. Из такого рода результатов должны
были бы уже автоматически следовать локальные и интегральные одно-
одномерные предельные теоремы для сумм гп. (О них см. работы В.И. Р о-
мановскогоиТ. А. Сарымсакова, ав первую очередь уже
цитированный мемуар В. И. Романовского [35].)
Неоднородный по времени случай послужил А. А. Маркову
и С. Н. Бе рнштейну материалом для тонкого изучения границ при-
применимости классической предельной теоремы к последовательностям
зависимых случайных величин. Специально исследовался случай двух
состояний и матрицы
^сходящейся к единичной. Если асимптотически
то при а < -j предельная теорема применима, но, вообще говоря, перестаёт
8игь применимой при <*¦> -j (С Н. Бернштейн [И, 18]).
Математика в СССР за 30 лет

722 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
4.2. Общие марковские процессы. Основные результаты теории
марковских цепей существенно опираются на предпосылку отсутствия
последействия. Если сохранить это требование, но перейти к произволь-
произвольному фазовому пространству 2 = {ш} возможных состояний и отбросить
Ограничение значений «времени» t целыми числами, то мы получим кон-
концепцию общего марковского процесса, управляемого вероятностями
перехода
Р (/„ *.; <•», А)
за промежуток времени (/х; /а) из состояния «в в множество состояний
Лей. Эти вероятности подчинены при любых tx < t2 < tt уравнению Смо-
луховского
Р (*„ t%; «„ А) = [ Р (ttt h; ш,Л) Р (tlt /s; ш„ rf<o). D.2:1)
Общая теория марковских процессов и их классификация были даны
в 1930 г. А. Н. Колмогоровым [10]. Специальные, важные в при-
применениях случаи выделяются различными способами:
1) отдельно рассматриваются случаи, когда фазовое пространство 8
является конечным, или счётным множеством (как это было в случае
цепей Маркова), дифференцируемым л-мерным многообразием и т. п.;
2) изучается случай дискретного, или непрерывного изменения
«времени» /;
3) выделяется случай однородности по времени, когда переходные
вероятности P(tx, /a; <«, А) зависят только от разности времён /2— i&.
4) накладываются требования непрерывности изменения <» (/) со вре-
временем t или, наборот, ограничивается число моментов скачкообразно!*
перехода из состояния в состояние;
5) на распределения вероятностей Р (tlf /2; с», А) накладывают^
те или иные требования дифференцируемости, начиная с требование
чтобы они выражались через соответствующие плотности вероятности!
перехода.
Возникающая отсюда обширная программа ещё далеко не выполнего!.
Специально подробно изучены лишь некоторые случаи.
4.2а. Множество Q конечно, время изменяется непрерывно и nept
ходные вероятности Р (tlt t%; <«, <»') дифференцируемы по tx и t%. В ж
случае переходные вероятности подчиняются линейным дифференциал!
ным уравнениям, употреблявшимся ещё задолго до возникновения общ*
теории. Общая теория этого случая.проще и приводит к более прость
и законченным формулировкам, чем теория цепей Маркова с дискретна
временем.
4.2Ь. Случай счётного множества состояний при известных ограг
чениях тоже приводит к системам линейных дифференциальных уравнен*
но уже с бесконечным множеством неизвестных функций. В применена
встречается ряд случаев, где они, тем не менее, с успехом решаются. Си
циально изучен случай «ветвящихся процессов», где дело удаётся свес
к конечной системе нелинейных дифференциальных уравнений (Я
А. Н. Колмогоров и Н. А. Дмитриев [1], А. Н. К о лм
горов и Б. А. Севастьянов [1]. Этот случай охватывает ваяа|
схемы ветвящихся цепных реакций.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 723
4.2с. Скачкообразные процессы с любым множеством состояний
и непрерывным временем были предметом многочисленных исследований
В. М. Дубровского.
4.2d. Процессы с дискретным временем при различных ограниче-
ограничениях на топологическую или дифференциально-геометрическую природу
фазового пространства и на дифференцируемость вероятностей перехода
(хотя бы лишь в смысле существования плотности вероятностей пере-
перехода по отношению к какой-либо мере) исследовались М. В. Бе бут о-
в ы м [1,2], а также Н. М. Крыловыми Н. Н. Боголюбо-
Боголюбовым [1,2,3].
4.2е. Особенно много исследований посвящено слунаю непрерыв-
непрерывного времени и фазового пространства в виде дифференциального много-
многообразия в предположении непрерывности <« (/) и надлежащей дифферен-
цируемости вероятностей перехода. В этом случае, как показал А. Н. К о л-
м о г о р о в, переходные вероятности подчиняются дифференциальным
уравнениям в частных производных параболического или гиперболиче-
гиперболического типа; эти уравнения появились впервые в работах по брауновскому
движению Фоккера и Планка (в общем'виде они даны в работе А.Н.Кол-
А.Н.Колмогорова [19]; см. также А. М. Я г л о м [2]).
Задачи о временном поведении о> (t) сводятся здесь к различным крае-
краевым задачам соответствующих уравнений в частных производных.В виде
примера использования этого метода см. работу И. Г. Петровско-
г о [2] или работу А. Н. Колмогорова иМ. А. Леонтови-
ч а [1 ]. Важные применения этого аппарата к статистической физике раз-
разработаны в работах Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова,
выходящих за рамки нашего обзора. *
4.2f. Во всей общности А. Н. Колмогоровыми Леви решён
вопрос об аналитическом виде переходных вероятностей для одномерных
«процессов с независимыми приращениями». Они выражаются при помо-
помощи уже упоминавшихся в первом параграфе обзора «неограничено делимых»
законов. Более тонкие вопросы о процессах с независимыми приращения-
приращениями разбирались в ряде работ Б. В. Гнеденко и А. Я. X и н ч и н а-
Успех А. Н. Колмогорова и Леви вызван тем, что в случае
независимых приращений применим метод характеристических функций.
Однако их результат с этим методом не связан неразрывно и полученное
ими разложение процесса на «скачкообразную часть» и «непрерывную»
(в случае независимых приращений неизбежно гауссовскую), вероятно,
может быть обобщено на значительно более общий случай марковских про-
процессов. Повидимому, уравнение Смолуховского D.2:1) при каких-то
весьма общих условиях может быть заменено смешанным интегро-диф-
ференциальным уравнением типа, указанного в конце работы А. Н.Кол-
Н.Колмогорова [32] по общей теории марковских процессов.
4.3. Стационарные процессы. В случае марковских процессов основ-
основную роль играют переходные вероятности P(tutt; <«, Л) при заданном
состоянии о) в момент t1. Самое существование безусловных вероятностей
для того или иного течения процесса здесь, вообще говоря, не предпола-
предполагается. Теперь мы станем на другую точку зрения: исходным является
распределение вероятностей в пространстве функций ««(/), где / пробегает
действительную прямую, а значения <« берутся из фазового пространства Q.
Требование однородности по времени в этом случае превращается
в требование стационарности: вероятность Р (<» (t) ? Л) принадлежности
функции <» (/), описывающей ход процесса во времени, к какому-либо
46*

724 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
множеству А не меняется, если множество А заменить множеством
НХА, получающимся при замене каждой функции ш (t) из А на функцию
«(*-¦с).
Изучение стационарных процессов с фазовым пространством 2 экви-
эквивалентно изучению динамических систем с инвариантной мерой в про-
пространстве Q" функций «>(/) действительного переменного со значения-
значениями из Q. Из общих результатов в этой области на первом месте стоит
знаменитая эргодическая теорема Биркхофа-Хинчина (А. Я. Хин-
чин [25, 27, 52]).
4.4. Корреляционная теория стационарных в широком смысле про-
процессов. Для любых функций / (ш) и g (ш) с конечными математическими
ожиданиями
М|/{(/)}|» и M|g>(/)}|2
. из стационарности процесса изменения ш(/) вытекает, что математические
ожидания
являются функциями одного ?, а математические ожидания
(*)} = А,
постоянны. . . ,
Если интересоваться только результатами, которые могут быть выра-
выражены через эти первые и вторые моменты для конечного числа функций
/0й)» S (т)> • • • s то естественно перейти на следующую концепцию процес-
процессов, стационарных в широком смысле: фазовое пространство Оесть п-мер-
ное пространство векторов х = (х1? х2, ..., х„); случайный процесс состоит
в задании распределения вероятностей в пространстве векторных функций
т. е. совместного закона распределения п случайных функций
Е.(9Л@,---.М0.
требование же стационарности ограничивается тем, что
Af;ft(/) = A,
не зависят от времени, а
зависят только от т.
Можно, не нарушая общности, ограничиться случаем
Ак=О, Вкк=\- к=\,2, ...,п.
Тогда В if (t) есть не что иное, как коэффициент корреляции между МО
и </(/ + -с). Общие контуры, возникающие из этих положений корреля-
корреляционной теории случайных процессов, были намечены в работе А. Я. Хин-
чин а [32]. Обзор дальнейшего развития этой теории, в котором цри:
нимали участие Е. Е. Слуцки й, А.Н.Колмогоров, В. Н. За:
сухин иМ. Г. Крейн, дан в статье А. Н. Колмогорова [47].

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 725
4.5. Другие типы случайных процессов. Ряд исследований посвящен
различным специальным типам случайных процессов, которые не уме-
умещаются в намеченные выше схемы. Из них так называемые «сложные
цепи», введённые ещё А. А. Марковым, сводятся (с увеличением числа
состояний) к обычным «простым» цепям Маркова. Заслуживали бы более
подробного исследования «стохастические мосты»*), введённые С. Н. Б е р н-
щтейном [21], обобщающие понятие марковского процесса. Иссле-
Исследование стационарных процессов, естественно, приводит к «процессам
со стационарными приращениями».Важные исследования о предельных
переходах от одних типов случайных процессов к другим типам (например,
об условиях, при которых зависящий от параметра немарковский процесс
в пределе превращается в марковский) были произведены Н. Н. Б о г о-
л ю б о в ы м.
§ 5. НОВЫЙ ПОДХОД К ПРЕДЕЛЬНЫМ ТЕОРЕМАМ
ДЛЯ СУММ БОЛЬШОГО ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ.
Хорошо известно из истории классического анализа, что предельный
переход от соотношений между конечными разностями к соответствую-
соответствующим дифференциальным соотношениям часто приводит к значительно более
простым результатам, чем непосредственное исследование разностных
соотношений. Аналогичным образом большинство формул, которые
в классических исследованиях о суммах большого числа случайных сла-
слагаемых или о результатах большого числа испытаний получаются после
длинных рассуждений в качестве асимптотических, появляется в теории
случайных процессов с непрерывным временем в качестве точных реше-
решений естественно и просто поставленных задач. Эта идея, восходящая
к Пуанкаре и Башелье, убедительно развита на простейших примерах,
хотя бы в книге А. Я. X и н ч и и а [33]. Она даёт руководящий принцип
для построения новых доказательств и для нахождения новых формулиро-
формулировок предельных теорем классического типа. Первые применения такого
метода были даны некоторыми иностранными авторами из школы Куранта
(Полна, Люнебург). Общий набросок метода дан в работе А. Н. К о л м о-
г о р о в а [32]. Применение метода к доказательству классической пре-
предельной теоремы Ляпунова и предельных теорем нового типа для сумм
независимых слагаемых дано в упоминавшихся уже ранее работах
А. Н. Колмогорова [13, 18].
Дальнейшее развитие метода велось с двух методологически различ-
различных точек зрения. С. Н. Бернштейн систематически развивает
«метод стохастических дифференциальных уравнений», не связывая
с предельными дифференциальными уравнениями предельной теоретико-
веротностной схемы непрерывного по времени случайного процесса.
Наоборот, в работах И. Г. Петровского и А. Я. Хин чина
этот предельный случайный процесс всё время имеется в виду.
С точки зрения фактических результатов в работах С. Н. Б е р н-
штейна [22, 27,31,41] значительно полнее разобраны затруднения, воз-
возникающие в случае некомпактного фазового пространства (каким является
уже простая действительная прямая, к которой и относятся работы
*) Интересный двумерный аналог этого понятия указан в статье А. Я. Бояр-
ско г о 13].

726 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
С. Н. Б е р н ш т е й н а), в работах же И. Г. Петров ского [1]
и А. Я. Хинчина [33] полнее разобраны «задачи с границами».
Следует заметить, что все имеющиеся теоретически строгие работы
этого типа далеко не охватывают случаев, в которых аналогичные пре-
предельные переходы используются в приложениях. Поэтому в данном напра-
направлении желательна интенсивная дальнейшая работа.
В перечисленных работах С. Н. Бернштейна, А. Я. Хинчи-
Хинчина и И. Г. Петровского дело идёт в основном о предельных теоре-
теоремах, связанных с непрерывными случайными процессами, управляемыми
уравнениями Фоккера-Планка. Только у А. Я. X и н ч и п а [33] даётся
обобщение предельной теоремы Пуассона, связанное со скачкообразными
процессами с непрерывным временем.' Из этой предельной теоремы раз-
развились все подробно излагавшиеся в первом параграфе настоящего обзора
исследования по предельным теоремам для сумм, приводящим к неогра-
неограниченно делимым законам. По этому поводу следует отметить, что пре-
предельные теоремы, соответствующие более общим скачкообразным, или сме-
смешанным, процессам с непрерывным временем, которые управляются отме-
отмечавшимися выше интегро-дифференциальными уравнениями, пока отсут-
отсутствуют.
§ 6. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
С точки зрения обоснования теории вероятностей её естественно раз-
разбить на две части. Первая, «элементарная» часть имеет дело только со
схемами, в которые входит лишь конечное число событий. Вторая, «неэле-
«неэлемента рная>> часть начинается там, где про какую-либо случайную величину
предполагается, что она способна принимать бесконечное число значений
(например, в силу того, что она точно подчиняется закону Гаусса) и про-
простирается вплоть до самых современных построений с распределениями
вероятностей в различных функциональных пространствах. Заранее ясно,
что вся вторая часть, связанная с математической бесконечностью, не
может претендовать на более простое отношение к материальной дей-
действительности, чем вообще математика бесконечного, т. е., например,
чем теория иррациональных чисел, или дифференциальное исчисление.
6.1. Логические основы элементарной теории вероятностей. Собы-
События любой конечной системы могут быть составлены из конечного числа
попарно несовместных событий. Поэтому всё дело сводится: 1) к выя-
выяснению реального смысла такой схемы: при каких-либо условиях @
необходимо должно произойти одно и только одно из событий
причём каждое из 'них имеет при условиях @ вероятность P(At);
2) к обоснованию того, что в описанных условиях всегда
Р (А,) > О,
Как известно, эта задача решается различно. Одни считают, что
определение вероятностей Р (At) имеет научный смысл только тогда,
когда условия @ могут неограниченно повторяться и основывают
тем или иным способом понятие вероятности на понятии частоты по-
появления события. Другие же авторы первичным считают понятие

ТЕОРМЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 727
«равновероятности» (не требующее, вообще говоря, для своего введе-
введения неограниченной повторяемости условий @) и на нём основывают опре-
определение численного значения вероятности. Оба эти подхода могут
окрашиваться субъективно-идеалистически, но, повидимому, оба могут
быть проведены и с объективных материалистических позиций. Советская
литература вопроса бедна. Кроме введений к учебникам и популяриза-
популяризации, укажем лишь на критическую статью А. Я. Хинчина [13].
6.2. Обоснование неэлементарных разделов теории вероятностей.
Отказавшись от конечности системы % = {А] событий, которым припи-
приписывается определённая вероятность Р(А), естественно требовать, чтобы
эти события образовывали «булевскую алгебру», а вероятность была неот-
неотрицательной аддитивной функцией элемента этой алгебры, равной еди-
единице для «единицы» алгебры (В. И. Г л и в е н к о [6]). Можно потребо-
потребовать ещё, чтобы Р (А) = 0 только для «нуля» алгебры (т. е. для одного един-
единственного «невозможного» события).
Вопрос о «счётной аддитивности» вероятности здесь не возникает,
так как сумма счётного числа элементов в булевской алгебре не имеет
смысла. Естественно, однако, определить сумму
оо
nU А,
как событие А, для которого
HmP[(fj An-A)\J(A- U А,)] = 0.
k=i
Тогда счётная аддитивность непременно будет иметь место.
Булевская алгебра событий может оказаться «неполной» в том смысле,
что счётная сумма её элементов не всегда существует. Но тогда её можно
«пополнить», причём «пополнение» определяется однозначно. Эта опера-
операция столь же естественная, как введение иррациональных чисел.
Изложенная концепция В. И. Гливенко с принципиальной точки
зрения является наиболее естественной. Однако
1) аксиоматика теории вероятностей как теории полных нормиро-
нормированных булевских алгебр довольно сложна,
2) в такой теории слишком сложным оказывается определение поня-
понятия случайной величины.
Поэтому приходится прибегнуть к реализации основной булевской
агебры в виде булевской алгебры множеств «элементарных событий».
«Элементарные события» могут быть введены в качестве идеалов основной
булевской алгебры (В. И. Г л и в е н к о [6]). Такой путь приводит вновь
к системе А. Н. К о л м о г о р о в а, изложенной в § 3 нашего обзора.
Дефектом перехода к теоретико-множественной концепции с эле-
элементарными событиями является то обстоятельство, что при ней неиз-
неизбежно появляются непустые события, имеющие вероятность, равную нулю.
Неизбежность этого пожертвования одним из естественных принципов
элементарной теории вероятностей ясна уже в простейших примерах слу-
случайных величин с непрерывными распределениями.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
Я. В. СМИРНОВ.
§ 1. Теория кривых распределения. Теория корреляции G29). § 2. Распре-
Распределение статистических характеристик в выборках. Оценка параметров за-
законов распределения G32). § 3. Статистическая оценка законов распределения.
Критерии соответствия. Проверка гипотез G.И). §4. Проблемы прогноза. Раскры-
Раскрытие t периодичностей. Некоторые приложения статистических ,«етодов G37).
од именем ((математической», или «вариационной)), статисти-
статистики долгое время понималась специальная дисциплина, обо-
обосновывавшая различные приёмы изучения биологических
явлений изменчивости и наследственности. Этот сравни-
сравнительно тесный, круг вопросов составлял главный пред-
предмет исследования английской школы биометриков во
главе с Пирсоном. Разработанные ими методы вскоре,
однако, нашли себе плодотворное применение в целом
ряде других областей: в метеорологии, геофизике, гидрологии, агро-
агрономии, зоотехнике, лесоводстве, в вопросах контроля и испытания
продукции массового производства и т. д. Под влиянием растущего
спроса развитие этой дисциплины за последние десятилетия было вве-
введено в значительно более широкое русло. В настоящее время мы на-
наблюдаем уже достаточно оформившиеся контуры новой отрасли матема-
математики, ставящей себе целью разработку рациональных методов иссле-
исследования массовых процессов.
За истекший тридцатилетний период работы советских математиков
сыграли достаточно крупную, прогрессивную роль в развитии матема-
математической статистики. Несомненное и очень значительное влияние оказали
на прогресс этой науки блестящие достижения наших математиков в
непосредственно смежной области—теории вероятностей (А. Н. Кол-
Колмогорова по аксиоматике и теории стохастических процессов,
С. Н. Бернштейна —.по предельным теоремам, А. Я. Хинчина
и др.).
Обычная теоретическая схема (не претендующая, впрочем, на исчер-
исчерпывающую общность), с которой связаны различные постановки проблем
математической статистики, достаточно известна. Объектом исследования
этой схемы является некоторая система, состояния которой с интересую-
интересующей нас точки зрения описываются определённым множеством параметров.
В простейших случаях это множество конечно: например, множество
изучаемых признаков биологической особи (рост, вес, объём и т. д.),

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 729
множество координат и импульсов рассматриваемого числа частиц физи-
физической системы; в более сложных случаях множество параметров—беско-
параметров—бесконечно, как это будет, например, в случае поля скоростей турбулентного
потока жидкости, поля давления или температуры земной атмосферы
и т. д. Необычайная сложность процессов, происходящих в таких системах,
приводит к необходимости использовать статистические приёмы исследо-
исследования. При статистическом подходе мы рассматриваем каждое наблюдае-
наблюдаемое состояние системы как случайный представитель или экземпляр, вы-
выбранный наудачу из абстрактной генеральной совокупности потенциально
возможных при одинаковых общих условиях состояний. В этой генераль-
генеральной совокупности мы предполагаем возможным задать некоторое распре-
распределение вероятностей случайных параметров, отвечающее тем или иным,
выставляемым обычно в виде гипотезы, условиям. В простейших случаях
это будет некоторая многомерная функция распределения: в случае беско-
бесконечного числа параметров—распределение случайной функции или слу-
случайного поля в функциональном пространстве. Данными наблюдения
могут быть или регистрируемые состояния более или менее обширной
совокупности экземпляров данной системы (выборки из генеральной сово-
совокупности) или лишь некоторые средние характеристики состояний систе-
системы (пространственные или временные). Взаимоотношения между эмпири-
эмпирически данным материалом и теоретически допускаемым распределением
генеральной совокупности являются основным предметом математической
статистики. Сюда входит, например, вопрос о реконструкции, возможно
более полной и точной, закона распределения генеральной совокупности
по данным выборки, надлежащая организация проверки различных гипо-
гипотез, относящихся к генеральной совокупности, приближённая оценка пара-
параметров и теоретических средних, характеризующих теоретическое рас-
распределение, интерпретация различных соотношений и зависимостей, на-
наблюдаемых в выборках, и множество других практически и теоретически
насущных задач, возникающих в приложениях статистического метода.
Мы перейдём теперь к характеристике отдельных, наиболее крупных
достижений советских учёных в важнейших проблемах математической
статистики.
§ 1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ТЕОРИЯ КОРРЕЛЯЦИИ.
Предельные теоремы теории вероятностей, устанавливающие при
весьма общих условиях применимость нормального закона к суммам
независимых или почти независимых величин, обеспечивают пригодность
теоретической модели нормально распределённой совокупности ко многим
конкретным задачам. Уже ранние статистические исследования, прове-
проведённые Кетле и широко развитые затем английской школой Гальтона-
Пирсона, констатировали сравнительно широкую приложимость нормаль-
нормального закона к биологическим популяциям. Однако, наряду с этим, выяс-
выяснилась и возможность значительных отступлений от обычной картины
нормального распределения, выражающихся в заметной асимметрии
и эксцессе некоторых эмпирически наблюдённых распределений. Для
математического описания распределений подобного типа Пирсон ввёл
систему функций распределения, являющихся решениями дифферен-
дифференциального уравнения
1 dy _ х — а
~у dx~ bo + btX+b^x* '

730 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
детально разработав приёмы определения параметров этих кривых по
эмпирическому материалу. Кривые Пирсона, весьма разнообразные по
форме, оказались пригодными для целей интерполяции в весьма широком
классе случаев. Однако стохастическая природа этих кривых долгое вре-
время была не выяснена; то обоснование, которое в некоторых своих работах
давал им сам Пирсон, было явно несостоятельным и вызвало справедли-
справедливую критику (Б. С. Я с т р е м ск ий [1]). Этот вопрос оставался откры-
открытым до работы А. А. Маркова [1], показавшего, как можно нритти
к предельным распределениям некоторых типов Пирсона, рассматривая
одну из урновых схем зависимых испытаний (схему прикладываемого
шара). Эта схема принадлежит к тому довольно распространённому типу
зависимых испытаний, когда последовательные суммы случайных вели-
величин образуют простую цепь Маркова: закон распределения каждого сла-
слагаемого становится полностью определённым, если известно значение
суммы всех предшествующих слагаемых и не зависит от значений отдель-
отдельных слагаемых этой суммы. В работе Полна*) (повидимому, не знавшего
о результатах А. А. М а р к о в а) дано подробное исследование этой схе-
схемы типа «заражения» по его терминологии («contagion»). С. Н. Берн-
штейном [34], В. П. Савкевичем[1]иА. Шепелевским[2]
были рассмотрены некоторые обобщения этой схемы.
Другой подход к теоретическому обоснованию кривых Пирсона был
намечен в работе А. Н. Колмогорова [32]. Различные типы кривых
Пирсона получаются здесь как стационарные распределения, устанавли-
устанавливающиеся по истечении длительного промежутка времени во временном
стохастическом процессе, при некоторых допущениях о средней скорости
и дисперсии изменения случайного параметра эволюционирующей
системы.
Существование такого стационарного распределения при некоторых
условиях было доказано С. Н. Бернштейном [27]. В работах
Г. А. Амбарцумян [1, 2] проведено детальное исследование
частных случаев стохастического процесса, приводящего к основным
кривым Пирсона.
Обобщение этих кривых, приводящее к ортогональным рядам, ана-
аналогичным известному ряду Грама-Шарлье, было разработано В. И. Р о-
мановским [20]. С. Н. Бернштейном [12, 41 ] была исследо-
исследована также и другая стохастическая схема, допускающая во многих пра-
практически важных случаях очень конкретную интерпретацию и приводя-
приводящая к некоторым трансформациям нормального распределения.
Ещё более значительны достижения советских математиков в обла-
области теории корреляции, получившей уже широкое практическое примене-
применение. Работы С. Н. Бернштейна [13] и А. Я. X и н ч и н а [8] по
предельным законам для сумм случайных величин подвели прочный тео-
теоретический фундамент под теорию нормальной корреляции. С. Н. Б е рн-
штейном [41] были даны интересные приложения этих теорем к
случаю наследственной передачи полимерных признаков (зависящих от
большого числа ген), приведшие к теоретическому объяснению эмпири-
эмпирически констатированного Гальтоном закона наследственной регрессии.
Первостепенное значение представляют исследования С. Н. Берн-
Бернштейна [15, 16] о геометрических основах теории корреляции. В
этих работах в основу классификации различных поверхностей корреля-
*) Ann. d. l'Inst. H. Pome, 1A930), 117.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 731
ции положены простые геометрические принципы. Если изменение одной
из случайных величин вызывает такое изменение условного закона рас-
распределения (плотности), при котором этот последний претерпевает лишь
сдвиг, то корреляция называется твёрдой. Нормальная корреляция,
очевидно, тверда; твёрдая и прямолинейная корреляция всегда нормаль-
нормальна. Если все условные законы одной величины, отвечающие различным
значениям другой, могут быть получены путём сжатия (или растяжения)
одной и той же кривой, то корреляция называется упругой. Более общим
типом изогенной корреляции будет тот, в котором упругая деформация
условного закона сопровождается одновременным сдвигом. Дифферен-
Дифференциальное уравнение, выведенное С. Н. Бернштейном, позволило
ему определить все виды твёрдой корреляции и некоторые частные слу-
случаи изогенной. Окончательное завершение эта чрезвычайно изящная
теория получила в работах О. В. С а р м а н о в а [1,2]. Поверхности
изогенной корреляции имеют вид
F (х, у) = S [DxY~ + 2Gx*y + 2Ехуг 4- Ах% -\--Вуг + 2Нху + 1 ]с.
Условные законы в некоторых случаях выражаются кривыми Пирсона.
В общем случае изогенная корреляция гетероскедастична (переменная
условная дисперсия). Кривая регрессии у по х имеет уравнение
— Gx*-j-Hx + I
а аналогичное для регрессии х по у.
A. М. О б у х о в ы м [1,2] развита теория корреляции случайных
векторов, впервые рассмотренная в работе Готтелинга*). Эта теория
находит большие приложения в метеорологических, геофизических
задачах, теории турбулентного потока и др. областях. А. М. О б у х о в,
применяя тензорные методы, впервые даёт изложение в инвариант-
инвариантной форме. Им введены тензоры регрессии и условной дисперсии.опреде-
лены различные корреляционные инварианты. В случае нормального
распределения п-мерного случайного вектора это последнее полнос-
полностью определяется заданием вектора математического ожидания и тен-
тензором дисперсии. Доказанное А. М. Обуховым предложение о кано-
каноническом разложении корреляционной плотности приводит задачу изу-
изучения многомерных векторных корреляций к случаю одномерных век-
векторов.
B. И. Романовским [21 ] исследовались различные проблемы,
связанные с изучени'ем связи качественных признаков (теория ассоциации).
При определении числа и размера проб, необходимых для установле-
установления средней величины какого-либо количественного признака, распреде-
распределённого на известной площади (например, урожая или содержания металла
в руде), приходится считаться с наличием корреляции в отдельных точках
рассматриваемой области. Интересная попытка выделить непрерывные
изотропные случайные поля марковского типа была сделана А. Я. Б о я р-
с к и м [3]. Более общие результаты получены А. М. Обуховым [5].
В. И. Романовским [21], В. С. Немчиновым. [1],
А. К. М и т р о п о л ь с к и м [2, 3, 4] и Б. И. Л а г у н о в ы м [ 1 ] раз-
разрабатывались вопросы, связанные с нахождением уравнений регрессии.
*) Hottalinj, Biometrica, 28 A936).

732 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
В ВЫБОРКАХ.
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Задачи выборочного метода, т. е. приёмов приближённого установле-
установления по эмпирически данному материалу различных характеристик гене^
ральной совокупности, могут быть весьма разнообразны, в зависимости
от природы теоретического закона распределения и постановки наблю*
дения. Рациональный подбор таких функций эмпирических наблюдений
(статистик — по терминологии Фишера), которые при данных условиях
дают в известном смысле наилучшее приближение (информацию) оцени-
оцениваемых теоретических величин (например, параметров закона распреде-
распределения), представляет сложную задачу. Оценка точности приближения мо-
может быть полностью осуществлена, если известен закон распределения ста-
статистики в выборках из рассматриваемой совокупности; в этом случае
решается и вопрос о большей или меньшей пригодности этой статистики,
по сравнению с другими служить приближённой мерой оцениваемого
параметра. Исследование законов распределения эмпирических средни.
различного вида (средние, дисперсии, коэффициенты корреляции и т. д.,
в выборках из генеральных совокупностей представляет поэтому одну ж
важнейших проблем математической статистики. Наиболее изученным!
при этом естественно оказались выборки из нормальной совокупности
которым посвящено много работ английских и американских статист*
ков во главе с Фишером. Возможность полностью охарактеризоват
нормальное распределение небольшим числом параметров, сравнитель
ная простота калькуляций открывают путь для углублённого аналис
различных соотношений между генеральной совокупностью и репрезен
тирующей её выборкой.
Крупные достижения в этой области, получившие всеобщее приза
ние, принадлежат В. И. Романовскому, Цикл его работ [8, 1
11, 13,18,19, 21], по своей проблематике отправлявшихся от идей англк
ской школы, выгодно отличается полной строгостью методологичесга
установок, преодолевая довольно значительную путаницу в основнь
предпосылках, вызывавшуюся характерным для английских статистик
смешением эмпирических элементов со стохастическими. С большим аи
литическим мастерством В. И. Романовским применяется метод nf
изводящих функций, приводящий к своеобразным задачам обращем
в теории интегральных уравнений первого рода.
В. И. Романовским впервые дан строгий вывод законов ра
пределения известных критериев t и z Стюдента-Фишера, эмпиричесм
коэффициентов регрессии и ряда других характеристик. Сводку оснг
ных результатов этих работ можно найти в известном курсе [37] этг
автора, сыгравшем фундаментальную роль в повышении математическг
уровня статистической мысли.
Распределение длины и аргумента радиуса-вектора нормальным р.
пределением его компонент было изучено Е. Кузнецовым [.
Р. О. К у з ь м и н [2] исследовал асимптотическое поведение закона ра
пределения эмпирического коэффициента корреляции, данное Фишер?
Н. В. Смирновым [10] было найдено распределение максимально
уклонения от эмпирического среднего (нормированного эмпирической я
Персией), позволившее уточнить известное правило Шовене для отбр
сывания аномальных наблюдений.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 733
Изучение членов вариационного ряда, т. е. упорядоченных в по-
порядке возрастания наблюдённых значений случайной величины, и ус-
установление предельных законов в таком ряду, при довольно общих
предположениях, были проведены в работах Н. В. Сми рн о в а [2, 6].
Интересные результаты относительно распределения крайних членов
вариационного ряда были получены Б. В. Гнеденко [15, 23]. Пре-
Предельные распределения этих членов могут быть трёх, и только трёх,
типов (для максимального члена):
ДЛЯ Х<°' W (х)-1е~(~Х)Л для х<0'
длях>0 ^«W-li длях>0
Г(х)=е-еа (—сс<Х<оо),
установленных ранее в работах Фишера-Типпета и Мизеса. Пользуясь
очень тонкими методами, Б. В. Гнеденко получил необходимые
и достаточные условия для принадлежности предельного распределения
крайних членов к каждому из этих типов, полностью очерчивающие их
область притяжения. Как показывают работы Гумбеля, эта теория нахо-
находит себе приложения в гидрологических расчётах (объёмы водохранилищ),
исследованиях крайних возрастных групп, строительном деле и т. п.
В неопубликованной ещё работе Н. В. С м и р н о в, используя методы
Б. В. Г н е д е н к о, даёт в известной степени исчерпывающую класси-
классификацию предельных распределений для центральных членов вари-
вариационного ряда и областей их притяжения.
Вопросы, связанные с рациональным построением статистик, даю-
дающих при данном объёме выборки наиболее эффективную оценку парамет-
параметров теоретического закона распределения, представляют весьма актуаль-
актуальную проблему современной науки. Классический подход к этой проблеме,
при котором оцениваемый параметр рассматривается как случайная
величина с некоторым априорным распределением, в большинстве слу-
случаев оказывается бесплодным, само допущение существования априорного
закона часто оказывается необоснованным. В работах Фишера и Неймана
была выдвинута новая широкая концепция, которая видит основную зада-
задачу статистического метода в установлении обоснованных правил, имеющих
своей целью выделение из некоторого множества гипотез, допустимых
в данной конкретной области исследования, гипотез, совместимых с дан-
данными наблюдения.Эти правила должны быть, во-первых, достаточно надёж-
надёжными, чтобы при систематическом использовании их ошибочные резуль-
результаты встречались практически редко, во-вторых, наиболее эффективными,
т. е. после учёта результатов наблюдения применение этого правила
возможно более суживало множество допустимых гипотез. Мерой добро-
доброкачественности статистического правила является коэффициент доверия,
определяемый как нижняя грань вероятностей правильности вывода;
вытекающего из рекомендуемого правила. Разработанные Фишером
и Нейманом приёмы позволяют, отправляясь только от данных выборки
(не прибегая к априорным вероятностям), указать отвечающие заданному
коэффициенту доверия «доверительные границы», в которых лежит оце-
оцениваемый параметр генеральной совокупности. Пересмотр уже сложив-
сложившейся методологии и развитие новых идей составляют основное русло
современной научной работы учёных, работающих в этой области.

734 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
В работе А. Н. Колмогорова [43] даётся оригинальная трактов-
трактовка этих идей, уточняющая ряд тонких логических пунктов применительно-
к простейшей задаче оценки параметров закона Гаусса при ограниченном
числе наблюдений. С. Н. Бернштейн [37] указал на ряд трудностей,
связанных с концепцией Фишера, ограничивая применимость этих мето-
методов условиями, оправдываемыми в рамках классических теорем. Оценка
эффективности статистических правил в конечном счёте неотделима ог
точного представления о цели статистического исследования. Хотя своег
образие логической ситуации и необычность введённых категорий яви-
явились источником ряда ошибочных интерпретаций (в чём повинен и сам
Фишер), всё же плодотворность нового пути несомненна. Дальнейшее
развитие этой проблематики составляет поэтому насущную потребность
нашей науки.
В работах В. И. Романовского [44] и К. В. Б родовиц-
кого[2] даются изложение и дальнейшая разработка ряда вопросов
этого цикла.
В. И. Романовский [45] и А. Н. Колмогоров [46]
подвергли пересмотру в духе новых идей ортодоксальное изложение основ
метода наименьших квадратов и теории ошибок.
§ 3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
КРИТЕРИИ СООТВЕТСТВИЯ. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.
Как было указано во введении, одной из основных задач математи-
математической статистики является реконструкция теоретического закона рас-
распределения генеральной совокупности по данным эмпирического распре-
распределения выборки. В случае одномерной совокупности задача сводится
к установлению функции распределения F (х) некоторой случайной вели-
величины по данным независимым наблюдениям. В случае дискретной вели-
величины ?, принимающей s значений х1г х2, ..., х„ данные наблюдения естест-
естественным образом разбиваются на s групп из ти тг, ¦ ¦ • ,ms наблюдений
(т, + тг + ... + ms = л), отвечающих каждому из возможных значений К
Асимптотические формулы в этом случае дают возможность оценить веро-
вероятную степень приближения, достигаемую при данном, не слишком малом
объёме выборки, и обратно установить надлежащее число наблюдений
так, чтобы с данной степенью вероятности гарантировать требуемую бли-
близость эмпирического распределения к теоретическому распределению
вероятностей. Если теоретическое распределение считается заданным
и ставится вопрос о допустимости наблюдённого расхождения, то этот
вопрос сравнительно полно решается известным критерием у} Пирсона,:
точная теория которого дана В. И. Романовским [22]. В случае;
непрерывности функции распределения ^(х) все эти задачи становятся:
значительно труднее и строгое решение их дано лишь сранительно недав-.
но в исследованиях московских математиков В. И. Г л и в е н к о,
А. Н. Колмогорова и Н. В. Смирнова.
Относительная частота Sn (x) тех наблюдений, которые не превос-
превосходят заданного числа х, называется эмпирической функцией распре-
распределения, геометрически изображающейся ступенчатой кривой. Первое
строгое доказательство равномерной сходимости эмпирической кривой
к непрерывному теоретическому закону с вероятностью, равной еди-
единице, было дано В. И. Гливенко [4]. Оно опиралось на очень об-

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 735-
щую концепцию закона больших чисел в функциональных простран-
пространствах, развитую в ряде интересных работ этого безвременно скончав-
скончавшегося талантливого математика. В. И. Гливенко [4] даёт следу-
следующую простую оценку, из которой немедленно следует указанная те<ъ
рема: пусть
Dn = sup|S«(x)-F(x)j;
— оо<ж+оо
тогда, какова бы ни была непрерывная функция F (х), при любом е > О'
P{Dn<s}<\-Jni.
А. Н. Колмогоровым [16] доказано более точное предложение..
Пусть
Тогда, каков бы ни был непрерывный закон распределения F(x), после-
последовательность функций ФП(Х) стремится с ростом п к предельному
закону
Ф(>0=
Независимость предельного распределения от вида закона F(x) при-
приводит к замечательному следствию: задав определённый уровень вероят-
вероятности («коэффициент доверия») я и определив л» из уравнения Ф (л) = а,
можно для всякого достаточно большого п утверждать с вероятно-
вероятностью, равной а, что ни при одном х ^лонение \Sn(x)— F(x)\ не прев-
превзойдёт —4=. Эту же теорему легко использовать для проверки степе-
V п
ни согласованности теоретически допускаемого закона с эмпирическим
распределением.
Дальнейшие исследования поведения аппроксимирукш ей кривой
Sn(x) были проведены Н. В. Смирновым II1], уточниешим резуль-
результаты В. И. Гливенко и А. Н. Колмогорова. Один из наибо-
наиболее общих результатов, содержащих как частный случай теорему
А. Н. Колмогорова, формулируется следующим образом: пусть
кривые
4: и y=*y2(x) = F(x)-y=.
ограничивают полосу около теоретической кривой y — F (x); vn (>.) — чис-
число выходов эмпирической кривой за*пределы этой полосы, т. е. число-
точек пересечения Sn(x) с кривыми у=Уг{х) и у = >2(х), лежащих на
вертикальных ступенях Sn(x), и
Фп (t, X) *= Р (vn (/.) <t]/"n) для t > 0.

736 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
тогда, согласно теореме, доказанной этим автором, для п —*• оо после-
последовательность Фп (*,/.) сходится к предельной функции
1+1ЛJ_
2 ~
m=0
каков бы ни был непрерывный закон F(x).
Эта теорема даёт точную оценку для случайных осцилляции эмпи-
эмпирической кривой при приближении её к теоретической функции F(x).
Отметим ещё простой и наиболее точный по своей оценке результат:
Все эти результаты не стеснены каким-либо предположением о спе-
специальном виде теоретического закона F (х): множество допустимых
гипотез здесь необычайно широко, в то время как в классических
проблемах рассматривались лишь семейства законов распределения
более или менее специального типа, зависящие от конечного числа
параметров (параметрический случай), и вопрос сводился лишь к на-
наилучшей оценке параметров.
Другой критерий соответствия, оценивающий близость распреде-
распределений в смысле взвешенного среднего квадратического, был указан
Мизесом. Полная теория этого критерия («ш'-критерия Мизеса»)
была разработана Н. В. Смирновым [4|: закон распределения его
при надлежащем весе оказывается также независимым от вида тео-
теоретической функции F(x). В столь же общих предположениях отно-
относительно закона F (х) оказалось возможным трактовать проблему о
принадлежности двух независимых выборок к одной и той же гене-
генеральной совокупности. Ьсли Sni(x) и Srt2(х)—эмпирические кривые,
относящиеся к двум независимым выборкам объёмов пх и л2, то, как
показал Н. В. Смирнов [7], критерий
(-со<а:«ю)
распределяется при больших лг и л2 согласно закону А. Н. Колмо-
Колмогорова, если гипотеза постоянства закона F(x) оказывается пра-
правильной.
К этим результатам, отвечающим общим тенденциям современ-
современной статистической теории, примыкает также ряд интересных предло-
предложений, полученных В. И. Романовским [44] и Т. А. С а рым-
саков ым. Пусть S — генеральная совокупность с дискретным аргу-
аргументом I, принимающим возможные значения хи х2, ...,х8 с вероятно-,
стями Ри Р„ ..., Ps; функция б = ср (х, xs; Р\, ¦ ¦ ¦, Ps) предста-
представляет некоторую характеристику генеральной совокупности,
uT^f fxx, ..., хд; ^, ..., "^ ) — соответствующую характеристику эм-
эмпирического распределения, получаемую заменой вероятностей Pt часто-

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 737
*^-, соответствующих значений S в выборке. Если <? непрерывна
по совокупности аргументов Pt (Pt > 0, ^ Рг = 1), /по вероятность нера-
венствл
]Т — В\<е'для п—>'со
стремится к единице равномерно относительно Р1г ...,PS при любом
«>О. Т. А. С а рым саков, уточняя этот результат В. И. Романов-
Романовского, обнаружил при тех же условиях справедливость более силь-
сильного соотношения
Р{Т-»6} = 1 (л->оо);
В. И. Романовским [19] рассмотрен также ряд задач уже
параметрического типа, связанных с проверкой гипотез принадлежности
двух независимых выборок к одной и той же нормальной совокупности.
Особое значение имеет найденное им распределение критерия 6 (также
введённого им), нашедшего себе применение в так называемом дисперсион-
ном]анализе агрономических и других аналогичных явлений. Им же [42]
изучены статистические вопросы, относящиеся к рядам событий, свя-
связанных цепью Маркова, указаны приёмы эмпирического установления
закона цепи и проверки гипотезы простоты её.
§ 4. ПРОБЛЕМЫ ПРОГНОЗА. РАСКРЫТИЕ ПЕРИОДИЧНОСТЕЙ.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ.
Мы отметим в заключение ряд работ, связанных со вполне конкрет-
конкретными задачами и в то же время представляющих значительный общий ме-
методологический интерес. Среди этих результатов несомненно значительное
место занимают работы Е. Е. С л у цк о го [8, 16, 17, 18, 20,21, 22, 24,25]
по исследованию связанных временных рядов, проблемы прогноза
и экстраполяции, получившие широкую известность и многочисленные
отзвуки в мировой литературе. Теория непрерывного стохастического
процесса, в значительной мере созданная работами Е. Е. Слуцкого,
А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова, привела первого из
этих авторов к чрезвычайно интересным заключениям о псевдопериоди-
псевдопериодических свойствах некоторых классов стационарных случайных рядов
(предельный синусоидальный закон). Дальнейшие его исследования в этой
области имели следствием перестройку теории периодограмм Шустера
на несравненно более широкой базе, а также пересмотр всех обычных
методов оценки статистических констант, справедливых лишь в усло-
условиях независимости последовательных наблюдений. Вопросы корреля-
корреляции, прогноза и экстраполяции связных рядов, давно уже привле-
привлекавшие интерес крупнейших представителей нашей отечественной стати-
статистики (В. М. Обухов, Н. С. Четвериков, Б. С. Я с т р е м-
ск и й), получили в работах Е. Е. Слуцкого повое освещение. По
глубине теоретического проникновения в природу этих трудных, ждущих
ещё научного разрешения вопросов, остроумию применённых методов
47 Матемятика в СССР за 30 лет

738 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
исследования Е. Е. С л у ц к о го далеко оставляют позади аналогичные
попытки западноевропейских и американских статистиков.
Своеобразные «проблемы скученности», возникающие в связи с экс-
плоатацией установок массового пользования (автоматическая телефо-
телефония), были предметом глубоких исследований А. Я. Хинчина [19, 24}
и А. Н. Колмогорова. Эти работы были продолжены О. А. В о л ь-
бе-ргом [1] и Е. Н. Б у х м а н о. м [1, 2]. Весьма сложные вопросы
статистического описания непрерывных случайных полей разработаны
А. М. О б у х о в ы м [5] в его исследованиях по теории турбулентности,
развивающем глубокие идеи, внесённые в эту область А. Н. К о лмо^
горовым.
Вопросы общей структуры средних величин получили новое развитие
в работах А. Н. Колмогорова [9], А. А. К о н ю с а [1 ] и совме-
совместной работе А. Я. Боярского, В. Н. С т а в р о в с к о г о, В. И.Хо-
тимского и Б. С. Ястремского [1].
Проникновение статистических методов в самые различные обласи
исследования характеризуется обилием новых задач, требующих специаль-
специальных подходов и путей для своего решения. Мы упомянем здесь лишь
очень интересные в этом отношении работы А. Н. Колмогоров»
о теории кристаллизации металлов [28], о законе распределения размере*
частиц при дроблении [40], а также о работе ряда советских гидролого»
по водохозяйственным расчётам (С. И. К р и ц к и й, М. Ф. М енкель,
А. Д. Саваренский и др.).
Заканчивая этот обзор, отнюдь не претендующий на полноту охвата,
мы с законным удовлетворением можем констатировать, что советская;
статистическая мысль в целом ряде первостепенных задач теории сыграла
несомненно основополагающую роль и дала образцы, не превзойдённые
ещё по глубине и идейной содержательности.

БИБЛИОГРАФИЯ.
Амбарцу мя н Г, А.
[1] Кривые распределения вероятностей, приводящие в пределе к кривым распреде-
распределения Пирсона. ДАН, 16 A937), 259—262.
[2] Рассмотрение одного частного вида непрерывного стохастического процесса.
Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 10 A940), 120—138.
Андронов А. А., В и т т А. Г. и П о н т р я г и н Л. С.
[1] Statistische Auffassung dynamtscher Systeme. Phys. Z. Sowjet., 6 A934), 1—24.
А н у ч и н С. А.
[1] Обработка вариационной статистикой результатов лабораторных испытаний.
Выдержка из труда С. А. Анучина «Искусственный шёлк», Изв. текст, пром..
8 A931), 25—27.
Б а в л и Г. М.
[1] Обобщение предельной теоремы Пуассона. ДАН, 2 A935), 508—511.
[2] Ueber einige Verallgemeinerungen der Grenzwertsatze der Wahr scheinlichkeits-
re hnung. Матем. сб., 1 D3), A936), 917—930.
[3] Обобщение предельной теоремы Пуассона. Свердловск, Учён. зап. ун-та, 2 A937),
3—6.
[4] О локальной предельной теореме теории вероятностей. Свердловск, Учён. зап.
ун-та, 2 A937), 7—24.
[5] Ueber den lokalen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Istanbul,
Revue de la Fac. des Set. de l'Univ., 2:2 A937), 1—14.
Бар к алая A.
[1] О цепях Маркова. М., Учён. зап. ун-та, 73 A944), 33—36.
Бахурин И. М.
[1] Этюды по теории наименьших квадратов. Л., Зап. горн, ин-та, 7 A926), 13—25.
Бебутов М. В.
Цепи Маркова с компактным пространством состояний. ДАН, 30 A941), 480—481.
Markoff chains with a compact state space. Матем. сб., 10 E2), A942), 213—238.
Бернштейн С. Н.
[1] Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей. Хрк., Зап. матем.
т-ва B), 15 A917), 209—274.
[21 О законе больших чигел. Хрк., Зап. матем. т-ва B), 16 A918), 82—87.
[3] О взаимоотношении между балловой оценкой и фактическим весом урожая по>
Харьковской губернии за 1913—1918 гг. Хрк., Статист, бюлл. ЦСУ УССР,
4 A921), 2—5.
[4] О приложении математики к биологии. Наука на Укр., 1 A922), 14—19.
[5] Sur le theoreme limite du ralcul des probability. Math. Ann., 85 A922). 237—241.
[6] Demonstration mathemattque de la lot d'heredite de Mendel. С R. Acad. Set.,
177 A923), 528—531.
17] Prin tpe de stationarite et generalisation de la loi de Mendel. C. R. Acad. Set.,
177 A923). 581—584.
47*
[11
[2]

740 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[8] Об одном видоизменении неравенства Чебышева. Хрк., Учён. зап. НИ кафедр,
1 A924), 38—49.
[9] Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности,
Хрк., Учён. зап. НИ кафедр, 1 A924), 83—115.
ПО] Об экономическом барометре конъюнктурного института. Ж. Хозяйство Укр„
4 A925), 12—22. •
[11] Sur les sommes de quantites dependantes. ИАН F), 20 A926), 1459—1478.
[12] Sur les courbes de distribution des probalilites. Math. Z., 24 A926), 199—211.
f 13] Sur l'extension du theoreme limite du calcul des probability aux sommes de quan-
quantites dependantes. Math. Ann., 97 A926), 1—59. (Есть русский перевод.
См. [40].)
{14] Современное состояние теории вероятностей и её приложений. М., Труды Всеросс
съезда матем. A927), 50—63.
A5] О применении одного геометрического принципа к теории корреляции. Казань,
Сб. «In mem. Lobatschewskib, 2 A927), 137—150.
[16] Fondements geome'triques de la theorie des correlations. Metron, 7:2 A927),
3—27.
[17] Поняття кореляцп ямж статистичними величинами. Хрк., Вестн. статистики
Укр., 1 A928), 111—113.
[18] Sur les sommes des quantites dependantes. ДАН (А), A928), 55—60.
[19] Sur une propriete elementaire coefficient de correlation. Хрк., Зап. матем. т-ва,
5A932), 65—66.
[20] Stir les liaisons entre les grandeurs aieatoires. Zurich, Verhand. math. Kongr.,
1 A932), 288—309.
[211 Современное состояние теории вероятностей. М.—Л., ГТТИ A933), 1—41.
[22] Sur 1'equation differentielle de Fokker-Plank. С. R. Acad. Sci., 196 A933),
1026—1064.
[231 О зависимости между случайными величинами. Труды ноябр. юбилейной сессии
АН СССР A933), 38—62.
[24] О линейных квазинепрерывных цепях Маркова, I. ДАН, 1 A934), 1—10.
|25] О рассеянии с поглощением. ДАН, 1 A934), 230—234.
[26] О линейных квазинепрерывных цепях Маркова, П. ДАН, 1 A934), 361—366.
[27] Principes de la theorie des equations difffirentielles stichastiques. Труды физ.-
матем. ии-та им. Стекловд, 5 A934), 95—124.
[28] О математическом ожидании простоя рабочих единиц при сложном производ-
производственном процессе. Хрк., Ж. Уголь, 117 A935), 109—111.
[29] Determination d'une limite interieure de la dispersion des sommes de grandeurs
liees en chaine singuliere. Матем. сб., 1 D3), A936), 29—38.
[30] О некоторых видоизменениях неравенства Чебынтева. ДАН, 17 A937), 275—278.
[31] Equations differentialles stochastiques. Paris, Hermann A938), 1—31.
[32] Несколько замечаний по поводу предельной теоремы Ляпунова. ДАН,
24A939), 3—7.
[33] Исправление одного доказательства. ДАН, 25 A939), 705—707.
[34] Задача об урне с добавляемыми шарами. ДАН, 28 A940), 5—7.
[35] Новые приложения почти независимых величин. ИАН, сер. матем., 4 A940),
137—150.
[36] О суммах зависимых величин, имеющих взаимно почти нулевую регрессию. ДАН,
32 A941), 303—307.
[37] О «доверительных» вероятностях Фишера. ИАН, сер. матем., 5 A941), 85—94,
¦[38] Об одном свойстве, характеризующем закон Гаусса. Л., Труды политехи, ин-та,
3 A941), 3—20.
[39] Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа. ИАН, сер. матем.,
7 A943), 3—16.
[40] Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимы
величин. Успехи матем. наук, 10 A944), 65—114. (Перевод [13].)
[41] Теория вероятностей. Изд. 4. М—Л., ГТТИ A946), 1—556.
{42] О предельной теореме теории вероятностей, Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-»
i. 3:1 A946), 174—190.
Бобров А. А.
[1] Об относительной устойчивости сумм положительных случайных величин. ДАН
15 A937), 239—240.
[2] Об относительной устойчивости сумм в одном частном случае. Матем. сб., 4 D61
A038), 99—104. *

БИБЛИОГРАФИЯ 741
[3] Об относительной устойчивости сумм положительных случайных величии. М.,
Учён. зап. ун-та, 15 A939), 191—202.
[4] Conditions of applicability of the strong law of large numbers. Duke Math. J.,
12 A945), 43—46.
Боголюбов Н. Н.
[11 Метод функцюнальних похидних в статистичной мехамцк Киев, Сб. трудов
ин-та матем. АН УССР, 8 A947), 177—199.
Богоявленский И.
[1] Схемы шаров в теории вероятности. Зап -Белорусск. АН, 12 A930), 204—208.
Боярский А. Я.
[1] Теория корреляции и дифференциальное исчисление. М., Труды НИ сектора ин-та
нар.-хоз. учёта, 1:2 A934), 23—35.
[2] О вероятности обнаружения фигуры при механических испытаниях на плоско-
плоскости. М., Пробл. учёта и статист., 11 E), A937), 86—119.
[3] О геометрической корреляции. ИАН, сер. матем., 5 A941), 159—164.
Боярский А. Я., С т а в р о в с к и й В. Н., X о т и м с к и й В. И/и
Ястремский Б. С.
[1] Теория математической статистики. Изд. 2. М., Соц.-эконом.. изд. A931), 1—431.
БродовицкийК. В.
[1] Исчисление вероятностей не наблюдавшихся максимумов (с кратким указанием
о возможности применения их при строительных расчётах и приложением табли-
таблицы вероятностей). Изв. Дальневост. геофиз. ин-та, 2 (9), A932), 213—239.
[2] Об условиях, необходимых и достаточных для того, чтобы априорные вероятности
имели смысл. Ташкент, Труды Ср.-Аз. ун-та, сер. матем. (V), 19 A940), 1—8.
[3] Постановка проблемы сходства в теории статистических выборок. Ташкент, Труды
Ср.-Аз. ун-та, сер. матем. (V), 20 A940), 1—38.
Б у х м а н Е. Н.
[1] К проблеме скученности. Прикл. матем. и мех., 3—4 A939).
[2] Проблемы скученности в телефонии. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 247—256.
Васильев А. С.
[1] Вероятнейший результат измерения одной и той же величины несколькими
инструментами. ИАН F), 21 A927), 373—384.
[2] Вероятнейший результат измерения одной и той же величины несколькими
инструментами. ИАН F), 21 A927), 543—566.
Вашакидзе Д. Р.
[1] О максимуме отклонения теоретического закона распределения от соответствую-
соответствующей эмпирической кривой. Тбилиси, Труды матем. ии-та Гр. фил. АН, 4 A938),
101—122.
[2] О максимуме уклонения теоретического закона распределения от соответствую»
щей эмпирической кривой. М., Учён. зап. ун-та, 15A939), 183—190.
В ел ь м и н В. П.
[1] Некоторые свойства корреляционных связей величин, разность которых является
точной линейной функцией. Ростов н/Д, Труды ин-та матем. и естеств. Сев.-
Кавк. ун-та, 16 A930), 95—98.
Вихляев Г. А.
[1] Очерки теоретической статистики. Изд. 2. М., «Новый агроном» A926), 1—291.
Вольберг О. А.
[11 Задача о стационарной и нестационарной очередях. ДАН, 24 A939), 656—661.
|2) О распределении времени ожидания. Л., Учёи. зап. пед. ин-та, 28 A939), 81—102.
[3] Предельный случай стационарной задачи об ожидании. Л., Учён. зап. пед. и -та,
28A939), 103—110.
[4] Задача об ожидании. Л., Изв. воен.-электротехн. акад., 17 A939), 93—126.

742 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
'ГельвихП. А.
[1] Об одном неправильном выводе в теории вероятностей. Л., Изв. воен.-техн. акад.,
1 A927), 128—140.
Гельфонд А. О. и Хинчин А. Я.
[I] Детерминанты Грама для стационарных рядов. М., Учён. зап. ун-та, 1 A933), 3—5.
Герасимович Б.
[1] Probability problems connectid with the discovery of variable stars in a photo-
photographic way. ДАН (А), A931), 93—100.
Гиляровский Н. И.
[1] Обоснование теории ошибок измерений. Л Труды ип-та инж. ж.-д. трансп.,
9 A934), 113.
Гинзбург Г. М.
[1] О предельных законах распределения в стохастических процессах. Хрк., Зап.
матем. т-ва D),' 17 A940), 65—74.
[2] О достаточных условиях единственности] предельных распределений. ДАН',
.30 A941), 293—295.
Г и х м а н И. И?
II] Об одной схеме образования случайных процессов. ДАН, 58 A947), 961—964.
Гливенко В. И.
Ill Sur les yaleurs probables de fonctions. Atti Accad. naz. Lincei, 8A928), 480—483.
[2] Sur la loi des grands nombres dans les espaces fonctionels. Atti Accad. naz. Lincei,
8 A928), 673—676.
[3] Sur queiques formes generates de la loi des grands nombres. Atti. Accad. naz.
Lincei, 9 A929), 466—469.
[4] Sulla determinazione empirica della leggi di probability. Giorn. d. att., 4A933),
1—10.
Теория вероятностей. М., Учпедгиз A937), 1—136.
Курс теории вероятности. М.—Л., ГОНТИ A939), 1—220.
(Гн^ед|енко Б. В.
[1] Вычисление среднего перехода между станками. Иваново, Бюлл. НИ текст, ин-та,
1—2A934), 117—122.
[2] Вычисление среднего перехода между станками. Иваново, Бюлл. НИ текст, ин-та,
11—12A934), 118—122.
[3] О среднем простое станков при многостаночной работе. Изв. хлопчатобум. про-
мышл., 11 A934), 15—18.
[4] Об одном характеристическом свойстве безгранично делимых законов распределе-
распределения. М., Бюлл. ун-та (А), 1:5 A937), 10—16.
[5] О характеристических функциях. М., Бюлл. ун-та (А), 1:5 A937), 17—18.
f6] О сходимости законов распределения сумм независимых слагаемых. ДАН,
18 A938), 231—234.
{5]
16]
7
8'
9'
t 0
О предельных теоремах для сумм независимых слагаемых. ДАН, 22 A939), 61—64.
О предельных законах теории вероятностей. ДАН, 23 A939), 868—871.
Об областях притяжения устойчивых законов. ДАН, 24 A939), 640—642.
К теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин. ИАН,
сер. матем. A939), 181—232.
{11] К теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин (исправ-
(исправления к статье под тем же заглавием). ИАН, сер. матем. A939), 643—647.
[ 12] Обзор современного состояния теории предельных законов для сумм независимых
слагаемых. Тюмень, Учён. зап. пед. ин-та, 1 A939), 5—28.
[13] К теории областей притяжения устойчивых законов. М., Учён. зап. ун-та,
30A939), 61—82.
[14] Несколько теорем о степенях функций распределения. М., Учён. зап. ун-та,'
45 A940), 61—72.
115] Предельные теоремы для максимального! члена вариационного ряда. ДАН;
32 A941), 7—9.
16] К теории счётчиков Гейцер-Мюллера.' Ж. Экспер. и теорет. физ., 11 A941),
J01—106.

БИБЛИОГРАФИЯ 743
[17] О локально устойчивых законах распределения. ДАН, 35 A942), 295—298.
f 181 Исследование роста однородных случайных процессов с независимыми прираще-
приращениями. ДАН, 36 A942), 3—4.
[191 Локально устойчивые законы распределения. ИАН, сер. матем., 6 A942),
291—308.
{20] О росте однородных случайных процессов с независимыми однотипными прира-
приращениями. ДАН, 40 A943), 103—107.
[21] О законе повторного логарифма для однородных случайных процессов с независи-
независимыми приращениями. ДАН, 40 A943), 291—293.
[22] О росте однородных случайных процессов с независимыми приращениями. ИАН,
сер. матем., 7 A943), 89—110.
[23] Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire. Ann. of
Math., 44A943), 423—453.
[24] Предельные законы для сумм независимых случайных величин. Успехи матем.
наук, 10 A944), 115—165.
[25] Элементы теории функций распределения случайных векторов. Успехи матем.
наук, 10 A944), 230—244.
[26] Про елш;о1ди розешвання. Львов, Учён. зап. ун-та, 5:2 A947), 116—120.
[27] Про функцп вщ випадкових величин. Львов, Учён. зап. ун-та, 5:2 A947),
121—128.
ГнеденкоБ. В. иГрошев А. В.
[1] О сходимости законов распределения нормированных сумм независимых случай-
случайных величин. Матем. сб., 6 D8), A939), 521—541.
Г од н ев И. Н.
[1] К обоснованию классической квантовой статистики. Иваново, Учён. зап. пед.
ии-та, физ.-матем. фак., 1:1 A941), 42—46.
Гончаров В. Л.
[1] Теория вероятностей. М—Л., Гос. изд. Оборонной пром. A939), 1—419.
[2] О распределении циклов в перестановках. ДАН, 35 A942), 299—301.
[3] О чередовании событий в ряде независимых опытов, отвечающим схеме Бернул-
ли. ДАН, 38 A943), 295—297.
D] Из области комбинаторики. ИАН, сер. матем., 8 A944), 3—48.
Горин Н. П.
[1] Некоторые замечания о геометрических вероятностях. Свердловск, Изв. Уральск,
лесотехн. ин-та, 3 A934), 58—64.
Г р о ш е в А. В.'
[1] Область притяжения закона Пуассона. ИАН, сер. матем., 5 A941), 165—172.
Давыдов Б.
[1] Уравнение Фоккера-Планка в фазовом пространстве и время релаксации макс-
велловского распределения. ДАН, 2A934), 212—219.
Деревицкий Н.
[1] Браковка отдельных дат полевого опыта и последующая обработка его данных
Ташкент, Труды Ср.-Аз. ун-та, сер. матем. E), 22 A940), 1—21.
Диман штейн Я.
¦[1] К вопросу о математическом выражении движения населения. Киев, Научн. зап.,
2 A926), 115—131.
Дмитриев Н. А. и Дынкин Е. Б.
{11 О характеристических числах стохастических матриц. ДАН, 49 A945), 159—162.
. ,[2] Характеристические корни стохастических матриц. ИАН, сер. матем., 10 A946),
167—194.
Дубровский В. м.
{1] Обобщение теории чисто разрывных случайных процессов W. Feller'a, ДАН,
19 A938), 439—444.
{2] Об одной краевой задачетеории вероятностей. ИАН, сер. матем., 4AЙ40),411—416.

744 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[3] Исследование чисто разрывных случайных процессов методом интегро-диффе-
ренциальных уравнений. ИАН, сер. матем., 8 A944), 107—128.
[4.1 О чисто разрывных случайных процессах с последействием. ДАН, 47 A945),
83—85.
151 Об одной задаче, связанной с чисто разрывными случайными процессами. ДАН,
47 A945), 475—477.
Е г у д и н Г. И.
[1] Параметры распределения случайной переменной, инвариантные относительно
преобразования переноса, и алгебраические семиинварианты. ДАН, 48 A945),
643—645.
[2] Об одном эффективном методе вычисления математических ожиданий центральных
выборочных моментов. ДАН, 53 A946), 491—494.
[31 Об устойчивости одного весьма широкого класса статистик. ДАН, 57 A947),
115—117.
[4] Некоторые соотношения между моментами распределения крайних значений
в случайной выборке. ДАН, 58 A947), 1581—1584.
Ж у Р а в с к и.й А. М.
[1] О предельной теореме исчисления вероятностей. Труды физ.-матем. ин-та
им. Стеклова, 4 A933), 9—36.
Засухин В. Н.
[11 К теории многомерных стационарных случайных процессов. ДАН, 33 A941),
435—437.
Иванов И. И.
[1] Способ наименьших квадратов и основы теории вероятностей. И::д. 3. М.,
ГТТИ A927), 1—132.
ИдельсонН. И.
[1] Способ наименьших квадратов. Изд. 3. М., Геодезиздат A947), 1—359.
Казанский А.
[1] Об одном случае предельной теоремы исчисления вероятностей. Л., Зап. гори,
ин-та, 8 A934), 236—244.
К а н В. Л.
[1] О применении теоремы Лапласа для случая конечного числа опытов. Л., Труды
политехи, ин-та, 3 A941), 39—43.
Канторович Л. В.
[1] Sur un probleme de M. Steinhaus. Fund. Math.. 14 A929), 266—270.
[2] Некоторые соображения по расстановке минных полей в связи с подсчётом веро-
вероятностей поражения. Труды ВВМИСУ, 6 A944).
[31 Методика расчёта живучести систем объектов. Тезисы докл. научн.-техн. конфер.
ВИТУ ВМС A946).
[4] Теория вероятностей. Л., A946), 1—160.
Келлер Л. В.
[1] О распространении предельных теорем теории вероятностей на интегралы и сред-
средние значения функций сплошного аргумента. Труды главн. геофиз. обсерв,-
4 A935), 5—20.
Клетеник Д. И.
[1] Об одном из обобщений теоремы Моавра-Лапласа на случай события с треда
несовместимыми вариантами. Ростов н/Д, Юбил. сб. научн. работ машиностр.
ин-та, 1 A940), 77—86.
Козуляев П. А.
[1] Sur la repartition de la partie fractionnaire d'une variable aleatoire. Матем. сб„
2 D4), A937), 1017—1019.

БИБЛИОГРАФИЯ 745
[2] Асимптотический анализ одной основной формулы теории вероятностей. М-,
Учён. зап. ун-та, 15 A939), 179—182.
[3] К проблемам интерполяции и экстраполяции стационарных последовательностей.
ДАН, 30 A941), 13—17.
[4] К вопросу об экстраполяции стационарных случайных процессов. ДАН,
56 A947), 903—906.
Колмогорова. Н.
[1] Sur la loi des gramls nombres. С R. Acad. Sci., 185 A927), 919—921. •
[2] Ueber die Summen durch den Zufall bestimmter unabhSngiger Gr5ssen. Math.
Ann., 99 A928), 309—319.
[3 Sur uneformule limite de M. A. Khintchine. C. R. Acad. Sci., 186 A928), 824—825.
[4 Ueber das Gesetz des iterierten Logarithmus. Math. Ann., 101 A929), 126—135.
[5 Bemerkungen zu meiner Arbeit «Ueber die Summen zufalliger Gr5ssen». Math.
Ann., 102 A929), 484—488.
[6] Sur la loi des grands nombres. Atti Accad. naz. Lincei, 9 A929), 470—474.
[7] Общая теория меры и исчисление вероятностей. Труды Коммутхтич. акад., разд.
матем., 1 A929), 8—21.
[8
НО
[И
[12
[13
Sur la loi forte des grands nombres. C. R. Acad. Sci., 191 A930), 910—912.
Sur la notion de la moyenne. Atti. Accad. naz. Lincei, 12 A930), 388—391.
Ueber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math.
Ann., 104 A930), 415—458. (Есть русский перевод. См. [32].)
Sur la probleme d'attende. Матем. сб., 38:1—2 A931), 101—106.
Метод медианы в теории ошибок. Матем. сб., 38:3—4 A931), 47—50.
Eine Verallgemeinerung des Laplace-Liapounoffschen Satzes. ИАН, сер. физ.-матем.
A931), 959—962.
[14] Sulla forma generale di un processo stocastico omogeneo. Atti Accad. naz. Lincei,
15 A931), 805—808.
[15] Ancorasulla forma generale di un processo stocastico omogeneo. Atti Accad. naz.
Lincei, 15 A931), 866—869.
[16] Sulla determinazione empirico di una legge di distribuzione. Giorn. d. Att., 4 A933),
83—91.
[17] Sur la determination empirique d'une loi de distribution. M., Учён, зап.ун-та,
1 A933), 9—10.
[18] Ueber die GrenzwertsStze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. ИАН, сер. физ.-матем.
A933), 363—372.
[19] Zur Theorie der stetigen zufalligen Prozesse. Math. Ann., 108 A933), 149—160.
[20] К вопросу о пригодности найденных статистическим путём формул прогноза.
Ж. Геофиз., 3 A933), 78—82.
21] Zufflllige Bewegungen. Ann. of Mtah., 35 A934), 116—117.
22 Zur Theorie der Markoffschen Ketten. Math. Ann., 112 A935), 155—160.
23 Уклонение от формулы Харди при частичной изоляции. ДАН, 3 A935), 129—132.
24 Основные понятия теории вероятностей. М.—Л., ОНТИ A936), 1—80.
25] К условию А. И. Плеснера для закона болы;.их чисел. Матем. сб., 1 D3), A936),
847—850.
[26] Anfangsgrflnde der Theorie der Markoffschen Ketten mit unendlich vielen meg-
lichen ZustSnden. Матем. сб., 1 D3), A936), 607—610.
[27] О некоторых современных течениях в теории вероятностей. Л., Труды второго
Всесоюзн. матем. съезда, т. I A936), 349—357.
[28] К статистической теории кристаллизации металлов. ИАН, сер. матем. A937),
355—360.
[29] Цепи Маркова со счётным числом возможных состояний. М., Бюлл. ун-та (А),
1:3 A937), 1—16.
[30] Ein vereinfachter Beweis des Birkhoff-Khintchinschen Ergodensatzes. Матем.
сб., 2 D4), A937), 367—368.
[31] Zur UmkehrbarkeitderstatistischenNaturgesetze. Math. Ann., 113 A937), 766—772.
[32] Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 5 A938),
5—41. (Перевод [10].)
[33] Упрощённое доказательство эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина. Успехи
матем. наук, 5 A938), 52—56.
[34] К решению одной биологической задачи. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. уи-та,
2 A938), 7—12.
[35] Sur 1'interpolation et extrapolation des suites stationaires. С R. Acad. Sci.,
208A937), 2043—2045.
C6] Об одном новом подтверждении законов Менделя. ДАН, 27 A940), 38—42.

746 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[37] Кривые в гильбертовском пространстве, инвариантные по отношению к однопара-
метрической группе движений. ДАН, 26 A940), 6—9.
[38] Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовеком про-
пространстве. ДАН, 26A940), 115—118.
[39] Стационарные последовательности в гильбертовском пространстве. М., Бюлл.
ун-та, 2:6A941).
[40] О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроб-
дроблении. ДАН, 31 A941), 99—101. ,
[41] Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последователь-
последовательностей. ИАН, сер. матем., 5 A941), 3—14.
[421 Confidence limits for an unknown distribution function. Ann. of Math. Stati-
stiks, 12 A941), 461—463.
[43] Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу
наблюдений. ИАН, сер. матем., 6 A942), 3—32.
[44] Число попаданий при нескольких выстрелах и общие принципы оценки эффектив-
эффективности стрельбы. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 12 A945), 7—25.
[45] Искусственное рассеивание в случае поражения одним попаданием и рассеива-
рассеивания в одном измерении. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 12 A945), 26—45.
[46] К обоснованию метода наименьших квадратов. Успехи матем. наук, 1:1 (И),
A946), 57—70.
'[47} Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром. В кн. «Юбилей-
«Юбилейный сборник, посвященный тридцатилетию Великой Октябрьской социалисти-
социалистической революции», т. I. Изд. АН A947), 242—254.
Колмогоров А. Н. и Дмитриев Н. А.
[1] Ветвящиеся случайные процессы. ДАН, 56 A947), 7—10.
Колмогоров А. Н. иЛеонтович М. А.
[1] Zur Berechnung der mittleren Brownschen Flache. Phys. Z. d. Sov. Un«, 4A933),
1—13.
Колмогоров А. Н. и Севастьянов Б. А.
[1] Вычисление финальных вероятностей для ветвящихся случайных процессов
ДАН, 56 A947), 783—786.
Колмогоров- А. Н., Петров А. А. и С м и р н о в - Ю. М.~
[1] Одна формула Гаусса из теории метода наименьших квадратов. ИАН, 11A947),
561—566.
Колмогоров А. Н., Петровский И. Г. и Пискунов Н. Cj
[1] Исследование уравнения- диффузии, соединённой с возрастанием количества
вещества, и его применение к одной биологической проблеме. М., Бюлл. ун-та,
(А), 1:6 A937), 1—26.
КомаровВ. Н.
[1] О втором и третьем центральных статистических моментах как мерах дисперсии
и косости. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 5 A937), 49—56.
К о н ю с| А. А.
[1] К теории средних величин. Ташкент, Труды Ср.-Аз. ун-та, сер. матем. E),
24A940), 1—10.1
Кравчук М. Ф.
[1] До способу мометЧв у математичшй статистицк Киев, Зап. С.-госп. ин-ia
2 A927), 83—95. i
Кравчук М. Ф. иОконенкоА. А. \
[1] Про нормальний закон розподшу при двох змДнних ознаках. Киев, Зап. С.-госп.'
ин-та, 1 A926), 95—99. ¦¦
К Р е й н М. Г. ;
[1] Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова. ДАН, 46 A945),г
339—342. ]

БИБЛИОГРАФИЯ 747
Прутков Д.
[1] Математическое ожидание целой функции. Казань, Учён. зап. ун-та, 2 A930),
147—149.
Крылов 6.
[1] Серийные выборки. Ташкент, Труды Ср.-Аз. ун-та, сер. матем. E), 25 A940),
1—24.
Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н.
[1] Sur les proprietes ergodiques de 1'equation de Smoluchovsky. Bull. Soc. Math.
A936).
[21 Sur les probabilites en chafne. C. R. Acad. Sci., 204 A937), 1386—1388.
[3] Lesproprietes ergodiques des suites des probabilites en chatne. С R. Acad. Sci.,
204 A937), 1454—1456.
[4] Наслшки дИ статистично! змжи п>раметр1в вщносно ерпшчних властипостей
динам!чних неконсерв/гивних систем. Киев, Зап. кафедры матем. физ. АН
УССР, 3 A937), 153—11.9.
[5| Про р1вняння Фоккер-Планка, що виводяться в TeopiJ пертурбац1й методом,
основанном на спектральних властивостях пертурбацШнпго галпльношана.
Киев, Зап. кафедры матем. физ. АН УССР, 4 A939), 5—158.
{б] Про деяк1 проблеми ергод1чно! теэрН стохастичних систем. Киев, Зап. кафедры
матем. физ. АН УССР, 4 A939), 243—287.
Кузнецов Е.
[1] О коэффициентах параллельной корреляции проф. Эгиза. Саратов, Ж. опытн.
агр., 6 A928), 175—185.
[2] Закон распределения случайного вектора. ДАН, 2 A935), 187—193.
Кузьмин Р. О.
[II О методе Ляпунова в теории верэятностей. Л., Труды ин-та инж. пром. стр.,
2 A934), 49—64.
[2] О законе распределения коэффициента корреляции в выборках из нормальной
совокупности. ДАН, 22 A939), 302—305.
Л абу т и и Д. Н.
Непрерывная цепь Маркова. Л., Учён. зап. пед. ин-та A937), 67—72.
О простой цепи Маркова. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939), 171—178.
О производящей функции. Л., Учён,, зап. ун-та, сер. матем., 10 A940), 139—147.
Лагунов Б. И.
[1] К практике выравнивания статистических рядов. Киев, Окружн. статист, бюро,
A927), 22.
[2] Ортогональш лшШн! функцп в метод1 найменших квадратов. Киев, Ж. матем.
циклу АН УССР, 1 A932), 79—82.
Латышева К. Я.
[1] Про FaycciB закон розподшу для функци двух змшних. Киев, Ж. ин-та матем.
АН УССР, 2 A934), 113—119.
Л а х т и н Л. К.
[1] Кривые распределения и построение для них интерполяционных формул по спо-
способам Пирсона и Брунса. М. A922), 1—151.
[2] Курс теории вероятностей. Пгр., Гос. изд. A924), 1—275.
Леви некий В. П.
[1] Краткий курс вариационной статистики. М., Учпедгиз A935), 1 —128.
[2] О сводных характеристиках суммарной статистической совокупности. Ташкент,
Труды Ср.-Аз. ун-та, сер. матем. E), 26 A940), 1—17.
Л и н и и к Ю. В.
•[ 1] О точности приближения к гауссову распределению суммы независимых случай-
случайных величин. ДАН, 55 A947), 575—578.
12] О точности приближения к гауссову распределению сумм независимых случай-
случайных величин. ИАН, 11 A947). 111—138.

748 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Лощинин П. Е.
[1] Разновидность одной урновой задачи. Бухара, Сб. работ, пед. ин-та
им. С. Орджоникидзе A938), 69—72.
Лу комский Я. И.
[1] Приложение теории средних величин к случайной выборке. М., Пробл. учёта
и статист., 11 E), A937), 146—153.
Л у р ь е А. Л.
[1] Прямой, обратный и безусловный законы больших чисел. ДАН, 49 A945),
566—569.
[2] Об обратной теореме Бернулли. ДАН, 50 A945), 45—48.
Львов Н. Н.
[1] О вероятной ошибке кривой, построенной по рассеянным точкам. Саратов, Загт,
план, ин-та, 7 A940), 197—203.
Л я п и н Н. М.
[1] Вывод формулы для средней случайной вариации суточного хода хронометров,
Одесса, Учён. зап. высш. школы, 1 A921), 9—14.
[21 Об одном основном свойстве случайных ошибок. Одесса, Учён. зап. высш. шк.,
1 A921), 15—18.
Мальцев А. И.
fl] Замечание к работе! А. :Н. Колмогорова, А. А. Петрова и Ю. М. Смирнова
«Одна формула Гаусса из теории наименьших квадратов». ИАН, И A947),
567—568,
М а р к о в А. А.
[1] О некоторых предельных формулах исчисления вероятностей. ИАН F), 11A917),
lit"™1оО»
[2
13
[4
[5
Обобщение задачи о последовательном обмене шаров. ИАН F), 12 A918), 261—266.
Несколько задач исчисления вероятностей. ИАН F), 12 A918), 2101—2116.
О коэффициенте дисперсии (вторая заметка). ИАН F), 14 A920), 191—198.
Трудность метода моментов, два примера неполного разрешения её. ИАН F),
[6] Исчисление вероятностей. Изд. 4. М., Гос. изд. A924), 1—588.
16 A922), 281—286.
Исчисление вероятн
[7] Об эллипсоидах (эллипсах) рассеяния и корреляции. И АН F), 18A924), 117—126.
Матусевич Н. Н.
[1] Об одной формуле теории ошибок. Зап. по гидрографии, 2 A932), 43—48.
Мечников В. В.
[1] О вероятности попадания при стрельбе по движущейся цепи. Л., Изв. воен,-
техн. акад., 1 A927), 114—127.
Митропольский А. К.
[1] Основы статистики. Т. 1. Л., A925), 1—288.
[2] Об установлении корреляционных уравнений по способу Чебышева. ИАН,
сер. матем. A937), 125—138.
[3] О вычислении корреляционных уравнений при малом числе испытаний. Л.,
труды лесотехн. акад., 48 A937), 3—48.
[4] О множественных нелинейных корреляционных уравнениях. ИАН, сер. матем.
A939), 399—406.
{5] О вычислении корреляционных уравнений по способу сумм. М., Труды лесо-
лесотехн. акад., 60 A947), 63—72.
Мордухай-Болтовской Д. Д.
[1] Об одной задаче Чезаро, относящейся к исчислению вероятностей. Ростов н/Д,
Изв. пед. ин-та, 9 A938), 24—26.
Налбандьян Я. А.
[Т] Обобщение проблемы Бюффона. Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 8 A936),

БИБЛИОГРАФИЯ 749
Натансон И. П.
[1] К предельной теореметеории вероятностей. Л., Труды ин-та точн. мех. и оптики,
1:2 A940), 109— 111.
Немчинов В. С.
11] Полиномы Чебышева и математическая статистика. М., Сельхозгиз A946), 1—139.
Новиков В. С.
[1] О некоторых свойствах формулы агрегатного индекса. М., Пробл. учёта и ста-
статистики, 11 E), A937), 140—145.
Нуварьев В. С.
A1 К вопросу обоснования способа наименьших квадратов. Томск, Изв. политехи,
ии-та, 62:2 A945), 201—212.
Обухов А. М.
1] Нормальная корреляция векторов. ИАН, сер. матем. A938), 339—370.
2 Теория корреляции векторов. М., Учён. зап. ун-та, 45 A940), 73—92.
3 О рассеянии звука в турбулентном потоке. ДАН, 30 A941), 611—614.
4 О распределении энергии в спектре турбулентного потока. ДАН, 32 A941),
22—24.
[ 5] Приложение методов статистического описания непрерывных полей к теории атмо-
атмосферной турбулентности. М., Диссертация A947), 1—122.
Огородников^ К.
[11 Sur le thdoreme limitel de theorie des erreurs d'observation. [ИАН, сер. физ.-
мат. A931), 1—21.
О м ш а н с к и й М. А.
A1 О дисперсии особенностей случайного бессвязного ряда. Л., Труды Главн. геофиз.
обсерв., 10 A936), 112—116.
Панкин А. В.
{1] Применение теории случайных ошибок к обработке результатов хронометража
Вести, металлопром., 5A931), 69—78.
Парфентьев Н. Н.
\1] Применение теории вероятностей к получению точной сравнительной оценки
наблюдаемых явлений, когда для изучаемого рода объектов не имеется масштаба
измерения. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 23 A923), 21—23.
12] La deduction asymptotique de la loi de J. Bernoulli dans la theorie desprobabili-
tes. Казань, Учён. зап. ун-та, 87 A927), 90—91.
Персидский К. П.
{1] К теореме Маркова. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва," 4 A929—1930), 37—40.
[2] Об основной теореме теории вероятностей. ИАН, сер. физ.-матем. A932),
639—656.
[3] Об одной теореме теории вероятностей. Казань, Учён. зап. ун-та, математика,
4 : 1 A932), 37—42.
[4] О предельных теоремах. Казань, Учён. зап. ун-та, математика, 4:1 A932),
43—48.
{5] Несколько замечаний о законе больших чисел. Казань, Учён. зап. ун-та, матема-
математика, 4:1 A932), 49—54.
[6] О законе больших чисел. ДАН, 18 A938), 81—84.
Петренко А. И.
[1] О поверке решения нормальных уравнений коррелят, решаемых по схеме Гаусса-
Дулитля. Воронеж, Научи, зап. с.-х. ин-та, 3 A8), A936), 139—149.
Петровский И. Г.
[1] Ueber das Irrfahrtproblem.J Math. Ann., 109 A934), 425—444.
B] Zur ersten Randwertaufgabe dei Warmeleitungsgleichung. Сотр. math., 1 A935),
383—419.
Пяеснер А. И.
[1] Weber das Gesetz der grossen Zahlen. Матем. сб., 1 D3), A936), 165—168.

750 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Померанцева-Ильинская Е. Н.
{1] Об оценке ошибок средней при малом числе наблюдений. Ж. Геофизики,.
6:1 A9), A936), 34—49.
Попов В. С.
[1] К вопросу об определении прямой по измеренным координатам её точек. Зап.
Белорусск. АН., 2 A930), 79—80.
Райков Д. А.
[1] О разложении законов Пуассона. ДАН. 14 A937), 9—12.
[21 О разложении законов Гаусса и Пуассона. ИАН, сер. матем. A938), 91—124.
[3] О связи между центральным предельным законом теории вероятностей и зако-
законом больших чисел. ИАН, сер. матем. A938), 323—338.
[4] Одна теорема из теории аналитических характеристических функций. Томск,
Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 8—11.
[5] О компонировании аналитических функций распределения. ДАН, 23 A939),
511—514.
Романов Н. А.
[1] О возможности контакта между теорией вероятностей и учением акад. И. П. Пав-
Павлова об условных рефлексах. ДАН, 1 A935), 193—201.
Романовский В. И.
11] Статистическое мировоззрение. Ташкент, Воен. мысль, 1 A921), 59—76.
[2] О корреляционном отношении. Вести, статист., 12 A922), 29—33.
[3] О вероятностях связанных признаков и о их применении в статистике. Вестн.
статист., 12 A922), 34—41.
[4] Обобщение нера.енства Марког.а и его применение в теории корреляции.
Таш:<енг, Бюлл, Ср.-^з. ун-та, 8 A925), 107—111.
[5] О распределении суммы нормально распределенных величин. Ташкент, Еюлл.
Ср.-Аз. ун-та, 9 A925), 89—94.
[6] Нозое доказательство теоремы Пуассона. Ташкент, Еюлл. Ср.-Аз. ун-та, .9 A925),
95—101.
[7] О статистических критериях принадлежности данной особи к одному из близких
видов. Ташкент, Труды Турк. паучн. о-ва, 2 A925), 173—184.
[8] Sur la distribution des ecarts quadratiques moyens dans les observations sur les
quantity к distribution normale. С R. Acad. Si., 180 A925), 1320—1323.
[91 Generalisations d'un inegalite de A. Markoff. С R. Acad. Sci., 180 A925),
1468—1470.
[10] Sur certaines esperances mathematiques et sur l'erreur moyenne du coefficient de
correlation С R. Acad. Si., 180 A925), 1897—1899.
[11] On the distribution of the regression coefficient in samples from normal population.
ИАН F), 20.A926), 643—648.
[12] О распределении средней арифметической в сериях независимых испытаний.
ИАН F), 20 A926), 1087—1106.
[J3] On the moments of standard deviations and correlation coefficient, hi samples from
normal population. Metron, 5 A926).
[14] Сокращённый вывод формулы К. Пирсона для моментов гипергеометрического-
ряда. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 12 A926), 127—129.
[151 О центральных моментах двух нормально рагпрелелёиных случайных перемен-
переменных. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 15 A927), 307—312.
[16
[17
[18
Об одной задаче Р. А. Фишера. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 15 A927),313—317.
Элементы теории корреляции. Изд. 2. Ташкент A928), 1—147.
О статистических критериях групповой принадлежности. ДАН (А), A928),.
347—352.
[19] On the criteria that two given samples belong to the same normal population. Me-
tron, 7 A928).
[20] Sur la generalisation des courbes de Pearson. Atti del Congr. intern, dei Ma-
tern. Bologna A928).
[21] On the moments of means of functions of one and more random variables. Metron,
8 A929).
|22] Sur la loi de probabilite de frequences assujetties aux conditions lineaires et le
criterium (x2) de Pearson. ДАН (А), A929), 83—86.
[23] Sur les chaines de Markoff. ДАН (А), A929), 203—208.

БИБЛИОГРАФИЯ 751
[24] Sur une extension du theoreme de A. Liapounoff sur la limite de probabilite.
ИАН, сер. физ.-матем. A929), 209г-225.
[25
[26
27
Sur un theoreme limite du calcul des probabilit6s. Матем. сб., 36 A929),36—64.
Sur les probability a posteriori. С R. Acad., Sci., 189 A929), 515—517.
Sur les chatnes biconnexes continues de Markoff. С R. Acad. Sci., 190 A930),,
695—697.
[28] Sur les chatnes discretes de Markoff. С R. Acad. Sci., 191 A930), 450—452.
[29] Sur les zeros de matrices stocastiques. C. R. Acad. Sci., 192 A931), 266—269.
[30] Generalisations d'un theoreme de M. E. Slutsky. С R. Acad. Sci., 192 A931),.
718—721.
Sulle fegressioni multiple. Giorn. di att., 2 A931), 161.
Sulle probabilita a posteriori. Giorn. di att., 2 A931), 493.
33] Sur la loi sinusoidale limite. Rend. Circ. mat., Palermo, 54 A932), 82—111.
[34] Sur une generalisation de la loi sinusoidale limite. Rend. Circ. mat. Palermo,
57 A933), 130—136.
[35] Re-herches sur les chatnes de Markoff. Acta Math., 66 A936), 147—251.
[36] Аналитические неравенства и статистические критерии. ИАН, сер. матем. A938),.
457—474.
[37] Математическая статистика. М., ГОНТИ A938), 1—523.
[381 Элементарный курс математической статистики. М.—Л., Госплапиздат A939\
1^-360.
Об индуктивных выводах в статистике. ДАН, 27 A940), 419—421.
Цепные связи и критерии случайности. Ташкент, Изв. Узб. фил. АН. 7A940),
38—50.
[41] О разыскании неизвестной вероятности. Ташкент, Изв. Узб. фил. АН, 8A940),
22—23.
[42] Статистические задачи, связанные с цепями Маркова. Ташкент, Изд. Узб. фил.
АН A940). 33.
[43] О способе Магжова установления предельных теорем для цепных процессов.
Ташкент, Изв. Узб. фил. АН, 3 A941), 3—8.
[44] Об индуктивных выводах в статистике. Ташкент, Труды Узб. фил. АН, 3 A942),
3—22.
[45] О некоторых теоремах, относящихся к способу наименьших квапратов. ДАН,
51 A946), 259—262.
[46] О криаых Персена. Ташкент, Труды ин-та матем. и мех. АН УзССР A946),
3-13.
[47] Применение математической статистики в опытном деле. М.—Л., ГТТИ A947),.
1-247.
[48] Основные задачи теории ошибок. М.—Л., ГТТИ A947), 1-116.
Савкевич В. П.
[1] К схеме урны с добавляемыми шарами. ДАН, 28 A940), 8—12.
Сапогов Н. А.
[1] О сингулярных цепях Маркгва. ДАН, 58 A947), 193—196:.
[2] Предельная тезрема Лапласа-Ляпунова для сингулярной цепи Маркова. ДАН,.
58 A947), 1905—1908.
Сарманов О. В.
Об изогенной корреляции. ДАН, 32 A941), 16—18.
Об изогенной корреляции. ИАН, сер. матем., 9 A945), 169—200.
О монотонных решениях корреляционных интегральных уравнений. ДАН,
53 A946), 781—781
[41 О выпрямлении симметричн й корреляции. ДАН, 58 A947), 745—748.
15] Распространение предельн й теоремы теории вероятностей на сумму почти неза-
независимых величин, удовлетворяющих условию Линдеберга. ШИАН, 11 A947),
569—575.
Сарымсаков Т. A.j
[1] Об асимптотических законах распределения вещественных корней колеблющих-
колеблющихся интегралов линейного дифференциального уравнения второго порядка. ДАН,
24 A939), 322—324.
[2] Об элементарных арифметических свойствах законов цепи. Ташкент, Изв. Узб.
' фил. АН, 6 A940), 46—49.

752 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[4
[5
C] Применение методов теории вероятностей к исследованию некоторых функций.
Ташкент, Труды Узб. фил. АН, 1 A941).
4] О последовательностях стохастических матриц. ДАН, 47 A945), 331—333.
5] О цепях Маркова со счётным числом возможных состояний. ДАН, 47 A945),
641—644.
[6] О синтезе двух систем изложения в теории дискретных цепей Маркова. ДАН,
48 A945), 167—169.
[7] Новый необходимый и достаточный критерий регулярности цепей Маркова с
непрерывным множеством возможных состояний. ДАН, 49 A945), 85—88-
[8] О цепях Брунса. ДАН, 49 A945), 246—248.
[9] Закон повторного логарифма для схемы Маркова. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та
(юбилейный), A945).
Необходимый и достаточный критерий выполнения эргодического принципа для
однородных стохастических процессов. Ташкент, Бюлл. АН УзССР, 8 A946).
СверженскийС. Б.
[1] Функция Е(х) и её применение в теории вероятностей. Казань, Изв. физ-матем
о-ва B), 25 A925), 41—43.
Слуцкий Е. Е.
[1] К вопросу о логических основах исчисления вероятностей. Вестн. статист.,
12 A922).
[2] О некоторых схемах корреляционной связи и о систематической ошибке эмпи-
эмпирического коэффициента корреляции. Вестн. статист., 13 A923).
[3] До питания по переачну густоту населения. Киев, Зап. соц.-эконом. отд. АН
УССР, 1 A923).
[4] О новом коэффициенте средней плотности населения. Вестн. статист., 14 A923).
[5] Ober stochastische Asymptoten und Qrenzwerte. Metron, 3 A925).
[6] Об одном опыте построения теории средних без помощи теории вероятностей.
Вегтн. статист., 20 A925).
[7] К вопросу о «законе больших чисел». Вестн. статист., 22 A925).
[8] Сложение случайных причин как источник циклических процессов. М., Вопросы
конъюнктуры, 7 : 1 A926).
[9] Ober die zufallige zyklische Anordnung paarweise gleichner Elemente. Z. f. angew.
Math. u. Mech., 6 A926).
[10] Ober stochastische Asymptoten und Qrenzwerte. Ton. Math. J., 27 A926).
[11] Sur un theoreme Hmite relatifaux series des quantites eventuelles. С R. Acad.
S"i., 185 A927), 169—171.
[12] Ober einen Fall, wo das Gesetz der grossen Zahlen auf von einander abhangige
OrCssen Anwendung findet. Tdh. Math. J., 28 A927).
[13] Sur un criterium de la convergence stochastique des ensembles des valeurs eventuel-
eventuelles. С R. Acad. Sci., 187 A928), 370—372.
[14] Sur les fonctions eventuelles continues, integrables et derivables dans le sens sto-
stochastique. С R. Acad. Sci., 187 A928), 878—881.
[15] Quelques propositions sur les Hmites stochastiques eventuelles. С R. Acad. Sci.,
189 A929), 384-316.
[16] Sur 1'erreur quadratique moyen du coefficient de correlation dans le cas des suites
des 6preuves non indepcndantes. С R. Acad. Sci., 189 A929), 612—614.
[17] Sur 1'extension de la theorie de periodogrammes aux suites des quantites depe.i-
dantes. C. R. Acad. Sci., 189 A929), 722—723.
[18] О квадратической ошибке коэффициента корреляции в случае однородных связ-
связных рядов. М., Труды конъюнктурного ин-та, 2 A929).
[19] Sur les fonctions eventuelles compactes. Atti del Congr. Intern. Mat. Bologna,
6 A932).
[20] О распределении ошибок коэффициента корреляции в однородных связных
рядах. М., Ж. Геофиз., 2:1 A932), 66—98.
[21] К вопросу о сущестпонании свяли между солнечной постоянной и температурой.
М., Ж. Геофиз., 3 A933), 263—281.
[22] Alcune applicazioni dei coefficient! di Fourrier all'-analisi delle funzioni aleato-
rie stazionarie. Oiorn. d. Att., 5 A934), 1—50.
[23] К вопросу о солнечной постоянной. М., Ж. Геофиз., 4 A934).
[24] Статистический эксперимент как метод исследования. Критические заметки
к проблеме «земля—солнцей. М., Ж. Геофиз., 5 A935), 18—38.
[25] К вопросу об экстраполяции в связи с проблемой прогноза. М., Ж. Геофиз.,
5 A935), 263—279.

БИБЛИОГРАФИЯ 753
[26] Об 11-летней периодичности солнечных пятен. ДАН, 4A935).
[27] О связных случайных функциях одной независимой переменной. Хрк., Труды
Всесоюзн. матем. съезда A936).
[28] Qualche propositione relativa alia teoria delle funzioni aleatorie. Giorn. d. Att.,
8 A937), 183—199.
[29] The Summation of Random causes as the Source of Cyclic Processes.Econometrica,
5 A937).
[30] Sur les fonctions aleatoires presque periodiques et sur la decomposition des foncti-
ons aleatoires stationnaires en composantes. Actual. Sci. et Industr., 738 A938).
[31] Несколько предложений к теории случайных функций. Ташкент, Труды
Ср.-Аз. ун-та, сер. матем. E), 31 A940), 1—15.
[32] О таблицах обратной неполной бэта-функции. Ташкент, Труды ин-та матем-
и мех. АН УзССР A946), 41—49.
Смирнов Н. В.
[1] О вероятностях больших уклонений. Матем. сб., 40 A933), 443—454.
12] Ober die Verteilung des allgemeines Gliedes in der Variationsreihe. Matron,
12 A935), 59—81.
[3) Sur la distribution de u>* . C. R. Acad. Sci., 202 A936), 449—452.
{4] О распределении <»2 -критерия Мизеса. Матем. сб., 2 D4), A937), 973—994.
[51 О числе перемен знака в последовательности уклонений. И АН, сер. матем.( 1937),
361—372.
[61 О зависимости членов вариационного ряда. М., Бюлл. ун-та (А), 1 : 4 A937),
1—12.
[7] Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределения в двух незави-
независимых выборках. М., Бюлл. ун-та (А), 2 : 2 A939), 3—14.
[8] Об уклонениях эмпирической кривой распределения. Матем. сб., 6 D8), A939),
3—26.
[9] Об одной предельной теореме в схеме независимых испытаний. ИАН, сер. матем.
A939), 319—328.
[10] Об оценке максимального члена в ряду наблюдений. ДАН, 33 A941), 346—349.
[11] Приближение законов распределения случайных величин по эмпирическим дан-
данным. Успехи матем. наук., 10 A944), 179—206.
[12] О критерии симметрии закона распределения случайной величины. ДАН,
56 A947), 13—15.
Смогоржевский А. С.
[1] Про ортогональш полшоми, зв'язаш з 1мов1рностною схемою С. Н. Бериштейиа.
Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3—4 A935), 119—125.
Соколов И. Г.
[1] О проблеме моментов. Ростов н/Д, Изв. Донск. политехи, ип-та, 14A930), 29—37.
С о р к и н Р. Е.
[1] О наивероятнейших значениях меры точности из опыта. Изв. Артилл. акад. РККА,
20 A936), 81—92.
Сретенский Л. Н.
[1] О влиянии присоединённых наблюдений на коэффициент корреляции. М.,Геофиз.
бюлл., 14 A926), 50—53.
Субботин М. Ф.
[1] On the Law of Frequency of Error. Матем. сб. , 31 A924), 296—301.
[2] Sur la loi des erreurs d'observation. С R. Acad. Sci., 180 A925), 1716—1719.
С ы з р а н ц е в П. И.
[1] Основные коэффициенты математической обработки опытных данных при методе
средних. Саратов, Труды с.-х. ин-та, 2 A940), 123—128.
J2] Основные коэффициенты математической обработки опытных данных при методе
средних. М., Докл. Всесоюзн. акад. с.-х. наук, 10 A941), 45—48.
Тихомиров Е.
[1] О применении метода корреляции в метеорологии. Л., Метеорол. вестн., 9—12
A929), 286—293.
(В Математика в СССР за 30 лет

754 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
X и н ч и н А. Я.
[1] Ueber dyadische Bruche. Math. Z., 18 A923), 109.
[2] Ueber einen Satz der Wahrsiheinlichkeitsreihnung. Fund. Math., 6A924), 9—20.
[3] Sur un theoreme general relatif aux probability denombrables. C. R. Acad.
S'-i., 178 A924), 617—618.
[4] О петербургской игре. Матем. сб., 32 A925), 330—341.
[5] Ueber die Anwendbarkeitsgrenzen des Tchebycheffschen Satzes in der Wahrschein-
li.hkeitsrechnung. Матем. i6., 32 A925), 648—688.
[6] Основные законы теории вероятностей. М., Изв. асе. ин-тов ун-та A927), 91.
[7] Ueber das Gesetz der grossen Zahlen. Math. Ann., 96 A927), 152—168.
[8] Begrilndung der NormalkoTelation nach der Lindebergschen Methode. M., Изв.
асе. ин-тов ун-та, 1—2 A928), 37—45.
[9] Ueber die Stabilitat zweidimensionaler Verteilungsgesetze. Матем. сб., 35 A928),
19—23.
[10] Sur la loi forte des grands nombres. С R. Acad, Sci., 186 A928), 285—287.
[11] Усиленный закон больших чисел и его значение для математической статистики.
Вестн. статист., 29 A928), 123.
[12] Ueber ein Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Z.( 29 A928—1929),
746—751
[13] Учение Мизеса о вероятностях и принципы физической статистики. Успехи физ.
наук, 9 A929), 141—166.
[14] Ueber die positiven und negativen Abweichungen des arithmetischen Mittels. Math.
Ann., 101 A929), 381—За').
[15] Ueber einen neuen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Ann.,
101 A929), 745—752.
[16] Ueber Anwendungskriterien fur das Gesetz der grossen Zahlen. Матем. сб., 36 A929),
78—80.
[171 Sur la loi des grands nombres. С R. Arad. Sci., 188 A929), 477—479.
[18] Sur une generalisation de quelques formules classiques. С R. Acad. Sci.,
188 A929), 532—534.
[19] О среднем времени простоя станков. Матем. сб., 40 A930), 119—123.
[20] Die Maxwell-Boltzmannsche Energieverteilung als Grenzwertsatz der Wahrschein-
li hkeitsre^hnung. Труды семин. вероятн. и статигг., 1 A930), 1—11.
Основные законы теории вероятностей. М.—Л., ГТТИ A932), 1—82.
Sur les classes d'evenements equivalents. Матем. сб., 39 : 3 A932), 40—43.
Remarques sur les suites d'evenements obeissanta la loi des grands nombres. Матем..
сб., 39 :3 A932), 115—119.
Математическая теория стационарной очереди. Матем. сб., 39 : 4 A932), 73—84,,
Zu Birkhoffe L6sung des Ergodenproblems. Math. Ann., 107 A932), 485—488.
Sulla su:cessioni stazionai di eventi. Giorn. di Att., 4A933), 3. ¦
Zur mathematis:hen Begrundung der statistischen Mechanik. Z. angew. Math.
B1
[22
[23
24
251
26
27
Men., 13 A933), 101—103.
Г28] Ueber stationare Reihen zufalliger Variablen. Матем. сб., 40 A933), 124—128.
[29] The method of spertralreduction in classical dinamics. Trans. Amer. Math. Sot
19 A933), 567—573.
[30] Eine Verscharfung des Poincareschen Wiederkenhrsatzes. Сотр. Math., 1 A93
177—179.
[31] Zur mathematischen Begrundung der Maxwell-Boltzmannschen Energievertt
lung. M.f Учён. зап. ун-та, 2 : 2 A934), 35—38. *
[32] Korrelationstheorieder stationSren stochastischen Prozesse. Math. Ann., 109A93
604—615. '.
[33] Асимптотические законы теории вероятностей. М.—Л., ОНТИ A936), 1—196. •
[34] Su una legge dei grand numeri generalizzata. Giorn. di Att., 7 A936), 365—3f
[35] Ueber Klassenkonvergenz von Verteilungsgesetzen. Томск, Изв. НИИ матем.и ж
ун-та, 1 A937), 261—265.
[36] Новый вывод одной формулы П. Леви. М., Бюлл. ун-та (А), 1 : 1 A937), 1-
[37] Об арифметике законов распределения. М., Бюлл. ун-та (А), 1 : 1 A937), 6—
[38] Об одном признаке для характеристических функций. М., Бюлл. ун-та (
1 : 5 A937), 1—3.
[39] Инвариантные классы законов распределения. М., Бюлл. ун-та (А), 1:5 (lft
4—5.
[40] Примеры случайных величин, подчиняющихся устойчивом законам распред
ния. М., Гюлл. ун-та (А), 1 : 5 A937). 6-9.
[41] ZurTheorie der unbeschrankt teilbaren Verteilungsgesetze. Матем. сб., 2 t
A937), 79—120. I

БИБЛИОГРАФИЯ 755
[42] Предельные законы для сумм независимых случайных величин. М.—Л., ГОНТИ
A938), 1—116.
[43] Теория затухающих спонтанных аффектов. ИАН, сер. матем. A938), 313—322.
[44] Две теоремы о стохастических процессах с однотипными приращениями. Матем.
сб., 3 D5), A938), 577—584.
[45] Zur Methode der willkflrlkhen Funktionen. Матем. сб., 3 D5), A938), ?85—5C0.
[46] Об унимодальных распределениях. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та,
2 : 2 A938), 1—7.
[47] Теория корреляции стационарных стохастических процессов. Успехи матем.
наук, 5 A938), 42—51.
[48] О локальном росте однородных стохастических процессов без последейстиня.
ИАН, сер. матем. A939), 487—508.
[49] Средние значения сумматорных функций в статистической механике. ДАН,
31 A941), 442.
[50] Об аналитических методах статистической механики. ДАН, 33 A941), 438.
[511 Законы распределения сумматорных функций и статистической механике. ДАН,
34 A94?), 61—62.
[52] Математические основания статистической механики. М.—Л., ГТТИ A943), 1—126.
53] Конвексные функции и эволюционные теоремы статистической механики. ИАН.
сер. матем., 7 A943), 111—112.
[54] Об эргодической проблеме квантовой механики. ИАН, сер. матем., 7 A943), 107.
[55] Sur une cas de correlation a posteriori. Матем. сб., 12 E4), A943), 185—196.
Хинчин А. Я- и Колмогоров А. Н.
[1] Ueber Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden.
Матем. сб., 32 A925), 668—677.
Хинчин А. Я. и Л ев и П.
[1] Sur les lois stables. C. R. Acad. Sci., 202 A936).
Хотимский В. И.
[1] Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов и таблицы
для нахождения уравнений параболических кривых. М.—Л. A925), 1—88.
Чебанов С. Г.
II] О подчинении речевых укладов «Индо-Европейской» группы закону Пуассона.
ДАН, 55 A947), 103—106.
Чеботарёв А. С.
[1] Способ наименьших квадрат о» и теории вероятностей. Изд. 3-е, М.—Л., ОНТИ
A936), 1—475.
Ч у и р о в А. А.
[1] Основные проблемы теории корреляции A926), VII+164-|-D1).
Шепелевский А.
[1] П,о критики nipcoHOBOiTeopii кривих частоти. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР,
2 A932), 1—24.
[2] О вероятностной схеме дифференциального уравнения Пирсона. ДАН,
19 A938), 9—10.
Ш и л л о П. И.
[I] Теория ошибок и способ наименьших квадратов. М., Изд. Межев. ин-та, вып. II
A925), F)+G)+C).
Шилов П. Ф.
|1] Способ наименьших квадратов. М., Геодезиздат A943), 1—406.
Шмидт О. Ю.
[1] О парадоксе Bertrand'a в теории вероятностен. Матем. сб., 33 A926), 33—40.
Щ и г о л е в Б. М.
[1] О разложении асимметрической кривой распределения на 2 кривые Гаусса. М„
Русск. астр, ж., 1 : 3-4 A624), 76-89.
48*

756 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
\2] Разложение функции распределения трёх переменных на 2 сферических распре-
распределения. М., Русск. астр, ж., 2 : 1 A925), 1—6.
[3] Разложение распределения трёх переменных на два приведённых нормальных
распределения. М., Русск. астр, ж., 3 : 3—4 A926), 145—156.
Юдин М. И.
[ 11 Общий случай определения положения точки на плоскости по трём засечкам
углои. ДАН, 49 A945). 485-488.
Я г л о м А. М.
[1] Эргодический принцип для марковских процессов, имеющих стационарное рас-
распределение. ДАН, 56 A947), 347—349.
[2] О статистической обратимости брауновского движения. ДАН, 56 A947),
691—695.
[3] Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся случайных процессов. ДАН,
56 A947), 795—797.
¦ ЯстремскийБ. С.
[1] Голый эмпиризм и крише распределения Пирсона. Вести, статист. A927),
173-197.
12] К вопросу о возможных значениях коэффициента совокупной корреляции в случае
линейной связи. Труды семин. верояти. и статист., 1 A930), 12—20.

ЧИСЛЕННЫЕ
И ГРАФИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ.
Л. В. КАНТОРОВИЧ и В. И. КРЫЛОВ.
§ I. Приближённые методы в алгебре G62). § 2. Численное интегрирование
и интерполирование G67). § 3. Вариационные и прикыьачщие к ним мет. ды
реше.ыя дифференциальных уралзен/.й G73). §4. Метод конечных разн>-
стей П8д). § 5. Другие методы решения дифференциальных узавнений (.8s)).
§ 6. Приближённое решевие интегральных ура!нений С<93). § 7. Конформн:е пре-
преобразование G97). § 8. Приближённое ре LeHHe функциональных уравнений G93).
ак известно, многие, даже простейшие, математические
задачи (алгебраические и трансцендентные уравнения,
интегрирование) не допускают точного решения в конеч-
конечном виде. В других случаях, когда точное решение зада-
задачи принципиально возможно, оно является настолько
сложным, что получение при его помощи численных ре-
результатов или использование его для исследования во-
вопроса практически не осуществимо. В этих случаях при-
приходят на помощь приближённые методы, которые обладают гораздо
большей универсальностью и практической эффективностью. Они позво-
позволяют дать решение в виде достаточно точных и обозримых формул или
получить численные результаты во многих случаях, когда точные ме-
методы оказываются бессильными.
Такие методы особенно ценны в приложениях математики, где ввиду
неизбежной неточности исходных данных или неточного соответствия ма-
математического закона физическому явлению неточность решения, про-
проистекающая от применения приближённых методов, не имеет значения, а
эффективность и возможность удобного использования результатов яв-
является огромным преимуществом. Поэтому приближённые методы в мате-
математике существуют с самого начала её истории. В их создании и разработке
принимали участие величайшие математические умы. Достаточно вспом-
вспомнить приближённые методы решения уравнений, интерполирования,
численного интегрирования и решения дифференциальных уравнений,
связанные с именами Ньютона, Эйлера, Лобачевского и Гаусса.
Приближённые методы анализа занимают весьма важное место и в ра-
работах классиков русской математики и прежде всего П. Л. Чебышева и его
школы. П. Л. Чебышеву, кроме отдельных конкретных методов и формул,
получивших широкое признание и распространение (чебышевское интер-
интерполирование, формула численного интегрирования П. Л. Чебышева
и др.), принадлежит начало теории наилучшего приближения, дальше

760 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
развитой С. Н. Бернштейном. Эта теория, наряду с большой обще-
общематематической ролью, имеет глубоко принципиальное значение для тео-
теории приближённых методов, так как проливает новый свет на вопросы
о сходимости и точности приближённых методов и позволяет поставить
их на подлинно научную высоту. Эти вопросы привлекали внимание
и других виднейших представителей Петербургской математической шко-
школы: А. А. Маркова, В. А. Стеклова и А. Н. Крылова,
работы которых частично входят уже в советский период.
Следует особо отметить деятельность А. Н. Крылова. Ему, кро-
кроме создания и усовершенствования ряда важных приближённых методов
(улучшение сходимости тригонометрических рядов, численное и механи-
механическое интегрирование дифференциальных уравнений и др.), принадлежит
выдающаяся заслуга в пропаганде, стимулировании и поднятии значе-
значения работ в области приближённых методов, чрезвычайно способствовав-
способствовавших развитию их у нас , а также широкому и правильному использованию
в прикладных науках.
Некоторые вопросы приближённых методов (итерационные методы,
численное интегрирование) привлекали внимание и дореволюционных
московских математиков (П. А. Некрасов, Н. В. Бугаев и др.).
Таким образом работа в области приближённых методов в советский
период может рассматриваться как продолжение традиций интереса к
этой области дореволюционной русской математики. Однако в советское
время эта работа получила огромный размах и развитие, связанные
с общим подъёмом и расширением научной деятельности в условиях нашей
страны. Этот подъём особенно отразился на области приближённых мето-
методов благодаря тому, что вызванное индустриализацией страны развитие
прикладных научных дисциплин (механики и др.) поставило, в связи с
введением новой техники, перед последними большое число проблем, ма-
математический анализ которых потребовал широкого использования и раз-
разработки приближённых методов.
Именно с этими условиями связаны характерные черты работы
в данной области в советский период.
Аналитическое исследование современных проблем физики, механики,
геофизики и различных областей техники (аэромеханика, строительная
механика, гидравлика, теплотехника, электротехника, артиллерия)
с математической стороны связано обычно с решением дифференциальных
уравнений—обыкновенных и в частных производных,—интегральных
уравнений и с задачами конформного отображения. При этом сложность
встречающихся проблем требует, как правило, приближённой их трак-
трактовки. Между тем приближённые методы решения этих задач были наиме-
наименее изучены. Они только начали разрабатываться к этому периоду, в то
время как классическая проблематика приближённых методов (числен-
(численное решение уравнений, интерполирование, механические квадратуры)
была развита весьма полно и разносторонне.
Вследствие этого центр тяжести работы в обла-
области приближённых методов в советский пе-
период переходит от классических вопросов
к приближённым методам высшего анализа—
главным образом к вопросам приближённого
и численного решения дифференциальных и
интегральных у ра вн ений. Наиболее принципиально важные
результаты—построение новых способов, исследование точности и сходи-

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 761
мости основных методов, а также важнейшие практические приложения—
относятся к этой проблематике. Большое число работ продолжало появ-
появляться и по более классическим вопросам, однако, если даже не говорить
о работах «провинциального» характера, это были исследования, отно-
относящиеся к отдельным вопросам и имеющие более частный теоретический
и ограниченный практический интерес: некоторые усовершенствования
и видоизменения известных методов, отдельные теоретические исследова-
исследования в связи с ними. И даже среди этих вопросов наиболее важна пробле-
проблематика, получившая развитие в связи с потребностями решения дифферен-
дифференциальных и интегральных уравнений (вековое уравнение, некоторые во-
вопросы интерполирования и механических квадратур и пр.).
Вторая характерная особенность состоит в том, что в разработке при-
приближённых методов, наряду с математиками и не в меньшей доле, прини-
принимают участие представители механики и других прикладных дисциплин.
Ряд методов и существенный прогресс в их применении возник в связи
с решениями отдельных конкретных задач. Насколько велика эта доля,
видно из того, что два приближённых метода решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений, получивших самое широкое распространие и признание,
связаны с именами наших виднейших механиков Б. Г. Галеркина
и С. А. Чаплыгина.
Третья характерная особенность состоит в том, что машинизация
математических расчётов—использование счётных и решающих машин—
сделала необходимым специальное приспособление и ориентировку
численных методов на применение этих средств.
Наконец, следует указать, что разработка приближённых методов
потребовала использования современных теоретических достижений
математического анализа—конструктивной теории функций, новых ре-
результатов теории дифференциальных и интегральных уравнений, вари-
вариационного исчисления и функционального анализа.
Наряду с наличием ряда работ, содержащих отдельные результаты
из области приближённых методов, следует отметить существенные
достижения по систематизации полученных результатов.
Лучшее изложение вопросов, связанных с более элементарными при-
приближёнными методами, представляет ставший уже классическим «Курс
приближённых вычислений» А. Н. Крылова. Должны быть отмечены
также курсы приближённых вычислений Я. С. Б е з и к о в и ч а [1],
В. П. В е т ч и н к и н а [1, 3, б, 7], Г. В. О п п о к о в а [2, 3] и др.
и курсы исчисления конечных разностей А. О. Гельфонда [1]
и Я. С. Безиковича [5]. Кроме того, осуществлены переводы
книг Скарборо, Стеффенсена, Уиттекера и Робинзона.
В области приближённых методов высшего анализа создана сводная
монография Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [2],
не имеющая аналогичных по содержанию в мировой литературе. Отдель-
Отдельным группам методов посвящены монографии Н. М. 'Крылова [31,
32, 33], Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [б], Д. Ю. П а-
нова [16], Ш. Е. Микеладзе [5, 30], Л. С. Лейбензо-
на [1,2], П. В. Мелентьева [8].
Работа в области приближённых методов за истекшие тридцать лет
велась во всех важнейших математических центрах Советского Союза.
Кроме уже упоминавшихся работ В.. А. С т е к л о в а по механиче-
механическим квадратурам, А. Н. Крылова по разнообразным вопросам
и G. Н. Бернштейнаи его школы по теории интерполирования и

762 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
механических квадратур, которые в большей мере отражены в другой ста-
статье, нужно в первую очередь назвать следующие: работы Н. М. К р ы л о-
в а и его учеников, прежде всего Н.Н.Боголюбова и М. Ф. Кр а в-
ч у к а в Киеве по исследованию сходимости и оценке погрешности
метода Ритца, а также ряда других методов решения дифференциальных
и отчасти интегральных уравнений; работы Ленинградской группы ма-
математиков: С. А. Гершгорина, Л. В. Канторовича,
В. И. Крылова и П. В. Мелентьева, относящиеся к система-
систематической разработке методов решения дифференциальных уравнений
в частных производных, интегральных уравнений и конформного отображе-
отображения; работы Тбилисской группы математиков из школы Н. И. М у с х е-
лишвили по тем же вопросам; в Москве—работы коллектива ЦАГИ
(М. В. Келдыша, В. П. Ветчинкина, Д. Ю. Панова
и др.), а также некоторых других отраслевых институтов и, наконец,
работы группы прикладного анализа математического института Акаде-
Академии Наук СССР, руководимой Л. А. Люстерником (И. Я. А к у га-
гаек и й, В. А. Д и т к и н, О. П. К р а м е р, Л. Я. Н е й ш у л е р,
Д. А. Р а й к о в, Б. И. С е г а л, К. А. С е м е н д я е в), развившей
интенсинную деятельность в годы Великой Отечественной войны.
§ 1. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ В АЛГЕБРЕ.
В линейной алгебре одной из важных тем был вопрос о приближённом
решении систем большого числа линейных алгебраических уравнений.
Задача эта является весьма актуальной, так как, с одной стороны, подоб-
подобного рода системы непосредственно появляются во многих задачах (про-
(пространственные системы в строительной механике, нормальные уравнения
в геодезии и астрономии), с другой стороны, к ним приводит применение
большинства приближённых методов решения проблем высшего анализа—
граничных задач для уравнений в частных производных и интегральных
уравнений.
Хотя такие системы и допускают точное решение, но алгорифмы, слу-
служащие для этой цели, являюгея весьма громоздкими. Поэтому для решения
систем большого числа уравнений оказывается выгодным применение
приближённых методов, в первую очередь метода итераций и метода Зей-
деля. Их применение является тем более целесообразным, что часто ха-
характер систем, встречающихся на практике (с доминирующими диаго-
диагональными членами), благоприятствует их использованию. Поэтому ука-
указанные методы вызвали значительный интерес. Кроме работ, популяризи-
популяризирующих эти методы и содержащих в той или иной мере оригинальное
их изложение (Д. Ю. Панов [3], В. П. 3 ы л е в [2], А. А. У м а н-
с к и й [1 ]), мы имели и новые результаты по вопросу об их приложимости.
В работе Ф. С. Черепкова [1] устанавливается, что сходимость
метода итераций для системы уравнений
имеет место, если | Xt | > I, где Хг—наименьшее собственное число систем»
в случае симметричной матрицы А=||а,.||, а для случая несимметрично!
матрицы А )п—наименьшее собственное число матрицы АА*. Им даны так

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 763
же более точные оценки быстроты сходимости метода итераций и способы
повышения её. В работе В. К. Иванова [1] исследуется вопрос
о сходимости метода Зейделя, который отличается от обычного метода ите-
итераций тем, что при построении следующего приближения учитываются
последние полученные значения всех неизвестных так, что приближения
определяются формулами
i-l n
A=l k=i
Устанавливается, что применение метода Зейделя к данной системе рав-
равносильно применению обычного метода итераций к некоторой другой
системе, что и приводит к установлению критерия сходимости метода
Зейделя. Им построены также примеры систем, для которых один из этих
методов сходится, а другой расходится.
Для приближённого решения систем линейных уравнений может
также применяться метод «наискорейшего спуска» (о котором говорится
ниже, в § 8).
Отметим ещё работы А. Б. Т и ц [2], С. Бернштейна [1]
и М. Л. Франка [15] по графическим методам решения систем алге-
алгебраических уравнений, что может также рассматриваться как одно из
эффективных средств решения таких систем.
Вопрос о приближённом решении бесконечных систем алгебраиче-
алгебраических уравнений рассматривался в связи с их теорией в работах
Б. М. Кояловича, Р. О. Кузьмина и Л. В. Канторо-
Канторовича; мы не касаемся этих работ здесь, так как о них идёт речь
в статье об интегральных уравнениях.
В теории линейных и квадратичных форм и весьма многих прикладных
задачах, особенно при исследовании колебательных движений, бывает
необходимым находить корни алгебраического уравнения, которое полу-
получило название «векового» потому, что в небесной механике оно служит
для определения неравенств с весьма большими периодами в движении
планет. Уравнение это имеет следующий вид:
Д(Х) =
12
!„ — к a
a21 a22 — k ... a2n
а„, an, ... ann — X.
-•nl
.0.
Чтобы применить к его решению обычные методы, нужно привести его
к привычному виду алгебраического уравнения
что может быть достигнуто путём раскрытия определителя и разложения
его по степеням X. Это легко проделывается для л = 2, 3, но уже с л = 4
вычисления становятся громоздкими и при больших л практически не-
невыполнимыми. Затруднение здесь представляет, главным образом, то
обстоятельство, что элементы определителя содержат неизвестную вели-
величину X. Последнее заставляет часть выкладок проводить в буквенной фор-
форме, и это значительно увеличивает их число.

764
ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Сказанное относится ко всяким вообще определителям, элементы кото-
которых содержат буквенные параметры. Таким, например, будет опреде-
определитель часто встречающегося более общего уравнения типа Галеркина:
а1П —
ап1-П
Л1
= 0.
Мы остановились на вековом уравнении только потому, что оно является
наиболее часто встречающимся и на нём могут быть лучше всего выяснены
идеи методов вычисления.
В 1931 г. А. Н. Крылов [5] предложил метод численного решения
векового уравнения, значительно более удобный, чем известные до тога
методы Лагранжа, Лапласа, Якоби и Леверрье.
Свой метод А. Н. Крылов развивает, исходя из хорошо извест-
известного факта о возможности приведения нормальной системы дифференци-
дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению более высо-
высокого порядка.
Наряду с вековым определителем Д(Х), рассматривается вспомо-
вспомогательная система дифференциальных уравнений
?i = au?i+ •¦•+ainqn
Чп = anlqt + ¦¦¦¦+ annqn.
Положив qi = x, A. H. Крылов обычным путём составляет уравне-
уравнение порядка п для х, исключая все прочие функции qt. Уравнение
он получает в фооме
1
a,
О ... О
fit /» ••• /in
= 0.
Решение его, вообще говоря, равносильно решению вспомогательной
системы. Характеристическое же уравнение для него немедленно
приводится к виду
а1п
Ь1П
А
= 0.
Последнее, как правило, является эквивалентным заданному вековому
уравнению. Но определитель D{1) существенно отличается от векового
определителя Д (к) в том отношении, что неизвестная X и её степени
находятся не в диагональных элементах, а в первом столбце, что
значительно облегчает вычисления. Алгебраические дополнения эле-
элементов первого столбца все численные. Подсчёт их и составление
уравнения совершаются просто.
Само собой разумеется, сходные рассуждения могут быть развиты
не только применительно к вековому уравнению, но и к раскрытию

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 765
определителя типа Галеркина и к вычислению определителей матриц
более общего типа, которые в линейной алгебре носят название
/.-матриц.
Изложив свой метод, А. Н. Крылов замечает, что уравнения
А (X) = 0 и D (х) = 0 тождественны между собой и D (X) может быть
получено из Д (X) «чисто алгебраическими преобразованиями, помимо
рассмотрения той системы дифференциальных уравнений, для которой
оба вида представляют характеристическое уравнение».
Алгебраическое содержание метода А. Н. Крылова было
подвергнуто детальному рассмотрению Ч. Н. Лузиным [1—4],
Д. К. Фаддеевым [1], И. Н. Хлодовским [1] иФ. Р. Гант-
махером [1].
Мы не будем анализировать их работ и укажем лишь источник,
из которого могут быть получены все результаты.
Вековой определитель Д (X) есть полином степени п относительно к
который в современной алгебраической литературе называют собствен-
собственным полиномом матрицы A = \\aik ||. Задача о раскрытии этого опре-
определителя есть задача о нахождении коэффициентов Вг, ¦.., Вп собствен-
собственного полинома Рп(к) по заданной матрице А.
В алгебре же матриц хорошо известно следующее тождество Кели:
Рп(А) = Ап + В.А"-1 + ... + Вп = 0.
Оно даёт в явном виде связь между матрицей А и подлежащими
определению коэффициентами Вк собственного полинома и может быть
использовано для их нахождения. Метод А. Н. Крылова, как
легко видеть, тесно связан с этим тождеством, и анализ тождества
позволяет выяснить алгебраические основания метода А. Н. Крылова.
В 1937 г. А. М. Данилевский [1] предложил иной метод рас-
раскрытия векового определителя, который, как показывают простые
подсчёты, требует при больших п затраты труда в полтора раза меньше,
чем метод А. Н. Крылова. Его способ основан на приведении
«векового» определителя Д (X) к нормальному виду Фробениуса:
Д(Х) =
in-l и \ n-i и л
К л12'- • • • «lnj-
Все преобразования основаны на элементарных свойствах опреде-
определителей и для выполнения требуют весьма простых операций. Отметим
также, что исключительные случаи, которые встречаются при выпол-
выполнении преобразования, могут привести только к упрощению задачи.
Вопросом об оценке областей возможного расположения собст-
собственных чисел матрицы занимался С. А. Гершгорин [9] и по-
получил в этом направлении несколько интересных результатов. Он
показал, что все собственные числа матрицы принадлежат обла-
области, состоящей из л кругов с центрами в точках аа и радиусами
«и X
1
0
0
«и
— X
J
0
kl3
0
— X
0
... к
... 0
... 0
... 1
= (-
k
in-l "¦in
0
0
— X
i)n[xn-«i

766 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
п
/?f = 2lfl<-l' При частных предположениях относительно этих крутое
кф1
и элементов аГ; им установлены более точные утверждения относи-
относительно собственных чисел.
Задача об определении собственных чисел и инвариантных много-
многообразий матрицы рассматривалась К. А. Семендяевым [2].
Им указан способ «последовательного выделения»,, основанный иг
методе Дункана и Коллара, предложенном также независимо от них
П. Ф. Пап ков ич ем [1].
Л. С. Маянцем [1] было внесено некоторое усовершенствование-
в вычисления собственных значений и векторов по способу итерации.
Это усовершенствование, повидимоку, особенно успешно может приме-
применяться в случае доминирующих диагональных членов матрицы.
Работы, относящиеся к вопросу о приближённом решении алге-
алгебраических уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений,
весьма немногочисленны.
Не останавливаясь на исследованиях, касающихся, главным обра-
образом, практики различных применений метода итераций (С. В. Сере б-
рянников, Е. В. Бабанский), метода Лсбачевского-Грэффе
(Н. И. М о г и л е в с к и й, И. И. Забелло), скажем несколько
подробнее о следующих работах.
Начнём с группы работ, посвященных методу Ньютона. В работах
П. В. М е л е н т ь е в а [8] разработана техника применения метода
Ньютона для нахождения комплексных корней алгебраических урав-
уравнений.
Нахождению комплексных корней алгебраических уравнений посвя-
посвящена также работа М. А. Л у к о м с к о й [1 ].
Л. А. Д л у г а ч [1] предложено уточнение метода Ньютона, состо-
состоящее в том, что при решении уравнения / (х) = 0, по значениям самой
функции / (х) и её производной в двух точках данная кривая заменяется
полиномом третьей степени х = Р(у), точка пересечения которого с осью Or
даёт новое приближение к корню.
Д. А. Г р а в е [1] была исследована сходимость обобщённого алго-
алгорифма Ньютона, когда последовательные приближения определяются
формулой
Тогда, если Q > 1 и Q > \jnj\yi > то алгорифм сходится и приво-
приводит к одному из корней уравнения.
Рассматривалось также применение метода Ньютона для решения
систем нелинейных уравнений. Именно, были даны условия выбора пер-
первого приближения, обеспечивающие сходимость процесса (Н. П. Сте-
Стенин, Л. В. Канторович 18]).
Возможный путь решения уравнения даёт представление корня в виде
степенного ряда Лагранжа. Оценка погрешности при решении уравне-
уравнения этим способом дана Г. М. Баженовым [1].
Наконец, укажем работу С\ С. М о в ш и ц а и А. В. Т о в б и н а [1],
где они, исходя из того, что ближайший к началу полюс фунКЦии
^ cnz" получается в форме — = lim ^ > применяют это к функции^ |Z),

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 767
что и даёт процесс нахождения корня. Авторами получена оценка погреш-
погрешности в случае, когда/(г) —многочлен. Оказывается, что методы Нью-
Ньютона, Лагерра, Бернулли и Уиттекера могут рассматриваться как частные
случаи данного метода.
Л. А. Люстерником был предложен и исследован метод
нахождения точки экстремума функции многих переменных /, заключа-
заключающийся в последовательном отыскании экстремума по каждой из перемен-
переменных при фиксированных значениях остальных. Им установлена сходимость
этого метода при определённых условиях. Так как данный метод эквива-
эквивалентен по существу применению процесса Зейделя к системе уравнений
-'- = 0, то тем самым Л. А. Люстерником установлена сходимость
процесса Зейделя в применении к системам нелинейных уравнений при
довольно общих условиях *). Применение метода Ньютона, в комбинации
с методом Зейделя для систем того же вида, рассмотрено Д. Ю. Пано-
Пановым [21].
Вопросу о сходимости метода Зейделя для систем нелинейных урав-
уравнений посвящена также работа Д. М. Загадского [1], в которой
сходимость его устанавливается, если соответствующее преобразование
есть преобразование сжатия.
§ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ.
Вопросы численного интегрирования занимали многих русских мате-
математиков ещё в дореволюционное время.
Отметим прежде всего П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Н. В. Бугаева,
В. Г. Имшенецкого и в последний период В. А. С т е к л о в а. Работы
его продолжаются и в послереволюционный период и с обзора их умест-
уместно начать прежде всего.
Численное интегрирование состоит в приближённой замене опреде-
определённого интеграла на сумму значений функции в ряде точек, умноженных
на некоторые численные коэффициенты, т. е.
где /?„ — остаточный член.
В классических случаях вес р(х) = 1, при этом для формулы Котеса
абсциссы равноотстоящие и она точна для полиномов степени п — 1, в слу-
случае формулы Гаусса абсциссы—корни полинома Лежандра, и формула
справедлива для полиномов степени 2п—\, в случае формулы Чебышева
абсциссы выбраны специальным образом, так чтобы было обеспечено
равенство коэффициентов A(in)•-= А^ = ... = аТ и справедливость фор-
формулы для полиномов степени л — 1.
Основная проблематика в данной области состоит в изучении сходи-
сходимости формул, т. е. исследовании, при каких условиях можно гаранти-
гарантировать стремление Rn к нулю при л—*¦ оо, оценке погрешности формулы—
остаточного члена/?„, в построении новых формул, имеющих те или иные
преимущества в отношении точности,удобства или достоинств в применении
*) М. А. Л а в р е нт ьев и Л. А. Люстерник, Основы вариационного
исчисления. Т. I, ч. 1. М— Л., ОНТИ A935), п. 26.

768 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
к тем или иным задачам, или относящихся к новым, не рассматривав-
рассматривавшимся ранее случаям; наконец, вопросы практического использования
формул.
В работах В. А. С т е к л о в а [1, 2, 3] *) прежде всего устанавли-
устанавливается сходимость формул квадратур с положительными коэффициентами
п
и вообще с такими, у которых 2 I -А*п) I ограничена для непрерывных
к— 1
и для интегрируемых (/?) функций, что обобщает прежние результаты
Стилтьеса и А. А. Маркова. Далее им были даны новые формы
остаточных членов формул квадратур, базирующиеся на использовании
разложения по полиномам Чёбышева и отличающиеся большой точностью.
Например, такая оценка
1 + -,L-
-г
где Ms+i = max j /<s+i) (X) |, Для формул котесовского типа, где коэффи-
коэффициенты А(кП) и 2 | А^ | могут неограниченно возрастать, В. А. С т е-
к л о в устанавливает сходимость лишь для функции, регулярной в опре-
определённой окрестности промежутка интегрирования.
Последние результаты были существенно уточнены в работе
Р. О. Кузьмина [1], которым были даны асимптотические формулы
для коэффициентов формул Котеса и был установлен точный вид области
голоморфности функций, обеспечивающей сходимость формул Котеса.
Вопросу об исследовании остаточного члена формул квадратур типа
Гаусса для аналитических функций посвящена интересная работа
В. А. Ф о к а [1]. В этой работе он даёт выражение остаточного члена
в виде интеграла по подходяще выбранному контуру, притом выражение
настолько точно, что в конкретных случаях оно даёт не только правиль-
правильную оценку порядка, но и два первых знака остаточного члена.
В работах В. А. Стеклова строятся также некоторые весьма
практичные новые формулы, например, формула
;-!)+/(!)]+2 (тв-/п0/(О)+Я„
(где та, т2 — моменты функции р(х); предполагается, что р — чётная)
которая представляет прямое обобщение формулы Симпсона.
Не только большой принципиальный, но и несомненный практический
интерес имеют глубокие исследования по механическим квадратурам,
проведённые С. Н. Бернштейном.
Как известно, абсциссы формулы Чёбышева были даны им для л = 7,
При л = 8 корни соответствующего уравнения оказываются мнимыми,
а при л = 9 опять вещественными. С. Н. Б е р н ш т е й н у [1, 3, 4, 8],
после ряда предварительных результатов, удалось установить, что л = 9*-
последнее возможное значение; при всех л > 9 среди корней оказываются
мнимые, т. е. формула Чёбышева нереализуема. Асимптотическое распре-
распределение этих корней на комплексной плоскости исследовал P.O. Кузь-
Кузьмин [5]. Одновременно С. Н. Бернштейном [8] было установ-
*)См. также В. А. Стеклов, ИАН F), 10A916), 169—186 и И АН F),
10A916), 829—850.

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 769
лено обязательное наличие отрицательных чисел среди коэффициентов
формулы Котеса при л Зг 10 и л = 8.
Наконец, С. Н. Бернштейном [4, 6] исследована возмож-
возможность построения формулы типа Чебышева, точной для полиномов более
низкой степени, чем л, и выяснены ограничения для степени, при которых
эта формула реализуема. Аналогичный вопрос решён им для формул
типа Котеса; в обоих случаях эта степень порядка Уг п. С. Н. Берн-
Бернштейном [5, 7] построены также некоторые конкретные формулы
такого рода, где допускается два значения для коэффициентов, напри-
например, формула вида
\ / (X) dX = \ [/ (Х]) -!- / (X.) 1' / (Х3) + / ( - X.) + / ( -X.) + / (-X,)] +
ч
точная для полиномов 11-й степени. Н. И. Ахиезером [1] некото-
некоторые результаты С. Н. Бернштейна распространены на формулы
типа Чебышева с весом, равным весу полиномов Якоби. Вопрос об осу-
осуществимости другой, более общей формулы Чебышева с коэффициентами
± 1 и формулы Маркова рассматривается в работе Н.И. Ахиезера
и М. Г. К ре й на [1].
Исследованию остаточных членов формул квадратур посвящены ра-
работы A.M. M и н я т о в а [2, 4], в которых даётся оценка остаточного
члена через границу некоторого дифференциального оператора от данной
функции, а не специально п-й производной.
Е. Я. Р е м е з [8, 10, 11] проводит новый общий подход к оценке
остаточных членов приближённых формул, в частности формул механиче-
механических квадратур, основанный на любопытном использовании идей функ-
функционального анализа. В частности, им получены таким образом выра-
выражения остаточных членов сумматорно-квадратурной формулы Лапласа,
формулы Чебышева и др.
Исследованию остаточных членов формул квадратур посвящены также
работы В- П. В е л ь м и н а [2, 3, 4] и И. Я. Ш т а е р м а н а [1 ].
В ряде работ даётся построение тех или иных видоизменений клас-
классических формул квадратур. Отметим работу Я. С. Безикови-
ча [4], дающую формулы, точные для полиномов степени 2п —2 и исполь-
использующие п ординат, причём в числе их концевые, которые представляют
обобщение формулы Маркова. Отметим работы В. П. Ветчинки-
н а [1 ], Ш. Е. М и к е л а д з е [7, 18, 26, 30] и др., содержащие
те или иные видоизменения котесовских или гауссовых формул. Несколько
квадратурных формул предложено в связи с баллистическими расчётами
(Л. Е. Бра вин [1], Г. В. Оппоков [3], Б. Н. О к у н е в [\]).
Более принципиальный интерес имеют рассмотренные ниже работы,
посвященные некоторым менее разработанным вопросам теории квадратур.
Ряд работ относится к вычислению несобственных интегралов.
А. Н. Крыловым (Лекции, изд. 2-е, стр. 130) предложено для
этой цели приведение интеграла к собственному посредством интегри-
интегрирования по частям или замены переменной, и эти приёмы примене-
применены, в частности, для вычисления интегралов, к которым приводит решение
дифференциального уравнения у" = / (х). Я. С. Б е з и к о в и ч е м [6]
49 Математика в СССР за 30 лот

770 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
установлена и непосредственная сходимость формул механических квадра-
квадратур для несобственных интегралов с особенностями, подчинёнными некото-
некоторым условиям. Следует сказать, однако, что такая сходимость будет весьма
медленной, даже если предварительно интеграл превращен в собственный,
скажем, интегрированием по частям, но сохранилась особенность в одной
из первых производных. В этих случаях оказывается полезным приём,
предложенный в работе Л. В. Канторовича [5], аналогичный
методу выделения особенности А. Н. Крылова для улучшения
сходимости тригонометрических рядов. Он заключается в том, что под-
интегральная функция разлагается на два слагаемых, одно из которых
содержит особенности, но допускает интегрирование в конечном виде,
второе—функция, непрерывная вместе с первыми производными, и при-
применение к нему обычных формул механических квадратур даёт малую
погрешность. Этот приём оказывается весьма эффективным и, в частности,
с успехом применялся при вычислении интегралов Кристофеля-Шварца
(Н. П. С т е н и н, Б. И. С е г а л). Другой приём для вычисления инте-
интеграла функции, имеющей особенности в промежутке интегрирования или
вблизи него, основанный на исследовании остаточного члена и состоящий
в разложении интервала на ряд частей и применении формулы интегри-
интегрирования к каждой части, предложен Б. Б. Д е в и с о н о м [2]. Специ-
Специально для функций, разлагающихся в ряд по дробным степеням аргу-
аргумента, некоторый приём уточнения результата формулы квадратур
указан В. П. В е л ь м и н ы м [2]. С вопросом вычисления интервалов
в бесконечном промежутке связаны работы А. М. Ж у р а в с к о г о [2]
и Н. С. Кошлякова [1].
Ряд работ был посвящен приближённому вычислению кратных инте-
интегралов. В работе М. Л. Ф ранка [14] рассматривается задача отыска-
отыскания минимальной системы ординат, которая давала бы формулу, точную
для полиномов до данной степени. Эта задача решается для некоторых
случаев. В частности, им получена формула с пятью ординатами, дающая
точное значение интеграла по прямоугольнику для полиномов до пятой
степени:
1 1
С \f(x,y)dxdys*f(a1,b1)+n-b1,a1L-f(~a1,-b1)~-f(bl,-a1)
' (а, = 0,86429; ft, = 0,46607),
а также формула, использующая 8 ординат и точная для полиномов до 7-й
степени; семью ординатами ограничиться здесь нельзя, так как корни соот-
соответствующих уравнений оказываются мнимыми. При применении обычной
формулы Гаусса по каждой переменной для той же цели потребовалось бы
соответственно использовать 9 и 16 точек. Кроме формулы типа Гаусса,
им построены формулы типа Котеса с назначенными точками и формулы,
в которых часть точек назначена заранее, а часть подбирается. Вычисле-
Вычислению двойных и вообще кратных интегралов посвящена большая работа
А. Б. Т и ц а [1 ]. Прежде всего задача вычисления в ней упрощается тем,
что с помощью отражения в координатных плоскостях интеграл по кубу
(—1, 1; —1, 1;...; — I, 1) сводится к интегралу по кубу
(О, 1; 0, 1; ... ; 0, 1), после чего последний заменяется на сумму значений
в ряде точек, которые выбираются целесообразным образом, а коэффи-
коэффициенты определяются из условия справедливости формулы для полиномов

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 771
данной степени. Им построены л-мерные аналоги формул Котеса, Гаусса
и Чебышева, а также даны остаточные члены этих формул.
Некоторые формулы для приближённого вычисления двойных и трой-
тройных интегралов даны также Н. К. Артмеладзе [1]. Этому же
вопросу посвящены работы Н. Н. Назарова [1], А. М. Ж у р а в-
с к о г о [3], А. М. Г о д ы ц к о г о [2]. Полезная формула, дающая
выражение двойного интеграла через значения функции и производных,
предложена недавно Ш. Е. Микеладзе [20, 30].
В связи с тем, что в математических и технических расчётах находят
применение интегралы Стилтьеса, были даны формулы для их прибли-
приближённого вычисления. Формула типа формулы касательных указана в ра-
работе Л. В. Канторовича [9] и несколько другого вида в работе
М. О р л о в а [4]. По существу, на превращении в интеграл Стилтьеса
также основан предложенный П. П. Юшковым способ вычисления
интеграла \ / (х) <р (х) dx в случае, когда для <р (х) первообразная известна.
о
Любопытный графо-аналитический метод для этой же цели дан А. А. П о-
п о в ы м [1]. Графическим методам нахождения определённых интегралов
посвящена также работа М. Л. Франка [18]. •
Полезные практические соображения по поводу численного нахо-
нахождения определённых интегралов имеются у П. В. Мелентьева[8]
и Д. В е х а ч е [1 ].
Следует особо отметить, что введение в математическую практику
счётно-аналитических машин потребовали специального приспособления
порядка вычисления определённых интегралов для этой цели. Такого
рода предложения и описания хода работы даны в статье В. А. Д и т к и-
н а и И. Я. А к у ш с к о г о [1, 2]. Интересные соображения по поводу
вычисления некоторых типов интегралов (моментов, коэффициентов
Фурье) высказаны Л. А. Л ю с т е р н и к о м |5].
Интерполирование является частной проблемой общей теории при-
приближения функций. Обзору развития и успехов последней отведено
в сборнике специальное место. Поэтому мы ограничиваемся указанием
только на некоторые работы по этой ветви математики.
После выхода из печати известной книги В. Л. Гончарова*)
и переводной книги Стефенсена **) в 1946 г. была издана монография
Ш. Е. Микеладзе [30], содержащая разнообразный материал по
классическим задачам интерполирования. В ней приведено большое число
известных и широко применяемых формул и даны многочисленные
видоизменения их, принадлежащие автору книги.
В проблеме интерполирования, при обычной её постановке, считаются
заданными в отдельных точках значения самой функции и нескольких
производных. Эти значения и играют роль параметров, по которым строит-
строится интерполирующая функция. Во многих технических вопросах суще-
существенную роль играют не только (даже, может быть, не столько) значения
функции и её производных, но и величины другой природы—длины, пло-
площади, статические и инерционные моменты и т. д., значения которых
бывает необходимо учитывать при расчётах. Такого рода величины встреча-
встречаются, например, в теории корабля, где при помощи их характеризуются
*) Теория интерполирования и приближения функций. М.—Л„ ОНТИ A937).
**) Теория интерполяции. М.—Л., ОНТИ A935), 235. стр.
49*

772 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
его мореходные и другие качества. Потребности расчёта кораблей
побудили В. Г. Власова [2] рассмотреть задачи интерполирования
в том случае, когда, кроме значений функции, считаются заданными
интегралы или моменты от неё различных порядков. Он получил
ряд формул, удобных для практического приложения. Нужно, к сожале-
сожалению, отметить, что в своей книге В. Г. Власов не воспользовался
полиномами Лежандра, хотя решение рассмотренных им задач почти
непосредственно получается из разложения функции по этим полиномам.
Попытка применения теории наилучшего приближения к практиче-
практическим вычислениям была сделана Е. Я. Ремезом [6]. Заданную линию
он приближённо заменял вписанной ломаной, которая является графиком
функции вида
Подставляя вместо абсолютных значений | х — xt | их наилучшие по-
полиномиальные приближения той или иной степени, Е. Я. Ремез полу-
получает полином, приближающий рассматриваемую функцию. Им была
составлена таблица полиномов, дающих наилучшие приближения к U; в
различных промежутках.
При интерполировании функции / (х) по её значениям ут = / (х0 + rft)
при помощи полинома у0 = axV +...-+-/ по способу наименьших ква-
квадратов обычно определяют коэффициенты этого полинома. Если х велико,
то степени его могут иметь весьма большие значения и, для того чтобы
вычислить у0 с заданной абсолютной погрешностью, коэффициенты а,...,/
иногда приходится определять с большим числом знаков. Чтобы упростить
вычисления, М. И. Юдин предложил искать не а,..., I, а погрешности
гг =/(хг)— у°г, определяя их из задачи 2 sl = niin при условиях связи:
После определения sr вычисляются y*r = yr~sr и по ним строится по-
полином у0 обычным интерполированием.
Изучая вопрос об интерполировании с помощью показательных функ-
функций, В. Ф. Николаев [1] устанавливает необходимое и достаточное
условие для того, чтобы 2п чисел у„,..., угп_1 были бы значениями функ-
функции а* Р1 (х) + ... -f йр Рр (х), где Pt (x) — полиномы от х заданной степени.
Мы укажем ещё на статью А. М. М и и я т о в а [1 ], в которой он
ставит задачей найти общий источник для получения известных и новых
интерполяционных формул. Он исходит из симметрической функции Ф" (;, х)
двух аргументов и строит линейную комбинацию
I (х) =Lt ЧГ (х„ х) + • • • +Ln Ч- (х„, х),
коэффициенты L,- которой подбираются так, чтобы в точках xt (/ = 1, ..., л)
/ (х) принимала значения такие же, что и заданная функция. Произвол
в выборе ^'(^х) позволяет ему получить ряд формул интерполирования.

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 773
§ 3. ВАРИАЦИОННЫЕ И ПРИМЫКАЮЩИЕ К НИМ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Вариационные методы, прежде всего методы Рэлея-Ритца и Б. Г. Га-
леркина, являющиеся одним из наиболее удобных и сильных средств эффек-
эффективного решения задач математической физики, привлекли особенно боль-
большое внимание. В результате, за истекшие тридцать лет, сделан очень боль-
большой вклад в эту область. Начнём с краткого обзора основных вариацион-
вариационных методов.
Метод Ритца, как известно, состоит в том, что вместе с данной гра-
граничной задачей, например, уравнением Пуассона
Lu = Au = /(x,у); ц = 0 на Г,
рассматривается связанная с ней вариационная проблема в указанном
случае о минимуме интеграла
Решение последней ищется в форме
un = «1 ?i (х, у) + а, <?2 (х, у) + ... + ап <?„ (х, у),
где <?,- (х, у) —известные функции, удовлетворяющие граничным условиям.
Тогда условие минимума приводит к алгебраической системе для нахо-
нахождения а{. Этой системе уравнений в случае самосопряжённой задачи мож-
можно придать следующий вид:
Такая форма написания системы уравнений метода Ритца была дана впер-
впервые Б. Г. Галеркиным A915). Однако уравнения в этом виде допускают
и непосредственное обоснование и могут быть применены к граничным
задачам, не связанным с вариационными принципами (несамосопряжён-
(несамосопряжённые задачи, граничные задачи для уравнений гиперболического и парабо-
параболического типов). Таким образом этот приём представляет новый общий
метод решения граничных задач, лишь в частном случае эквивалентный
методу Ритца. За этим методом прочно установилось имя Б. Г. Галеркина
и он получил самое широкое распространение у нас и за границей, в осо-
особенности в применении к задачам теории упругости.
Другой возможный вариационный принцип есть принцип наимень-
наименьших квадратов, т. е. нахождения приближённого решения в той же форме
и„, но из условия минимума интеграла
что приводит для определения а,- к системе
\[L{un)-f(x,y)]L[<?t(x,y)]dxdy = O (/=1,2, ...,п).
Первоначально данный метод был предложен Буссинэ, но подвергся су-
существенному развитию и обобщению в работах Н.М.Крылова [31 ].

774 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Наконец, Н. М. К р ы л о в ы м [21, 23] был дан детально разработан-
разработанный М. Ф. Кравчуком [11] метод моментов, который в некотором
смысле является обобщением и метода Ритца и метода Буссинэ. Именно,
для уравнения вида
L(y)=M(y)-KN(y)=f(x)
с определёнными граничными условиями, где М — дифференциальный
оператор 2А-го порядка, а N порядка ниже 2к; решение ищется в форме
«„, причём коэффициент at определяется из системы уравнений]
[L (цп) - / (х)] М (?,) dx - О (/ = 1, 2, ..., п).
Если N = 0 и М = L, то этот метод переходит в метод наименьших квадра-
квадратов. Метод Ритца в том случае, когда в качестве <f{ приняты собственные
функции уравнения L (и) = )м, также представляет частный его случай.
Специально для уравнений в частных производных Л. В. Канто-
Канторовичем (Л. В. Канторович [1], Л. В. Канторо-
Канторович и В. И. Крылов[1, 2]) развит особый вариационный метод—
приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Он со-
состоит втом, что задача нахождения функции двух переменных и (х, у) заме-
заменяется разысканием одной или нескольких функций одного переменного
ft (x) значений неизвестной функции на нескольких линиях. Функция и
приближённо выражается через них в форме
1 = 1
где ф,- известные функции. (Впрочем, можно разыскивать и„ в такой
форме, строя это выражение и каким-либо иным путём.) После этого, под-
подставляя выражение ц„ в / (и), получаем одномерную вариационную про-
проблему, которая приводит к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений для определения функций /,. Соответствующая система диф-
дифференциальных уравнений может быть написана, как впервые было ука-
указано Б. Г. Галеркиным, в форме Галеркина (М. Я. П ерельман [1],
Л. В. Канторович [20])
[1Ция)-1(х,у)]ъ{х,у) dy = 0 (i=l, 2,-., л),
где Dx обозначает сечение области D прямой х — const.
Ряд дальнейших работ посвящен порядку использования этих мето-
методов и их применениям к конкретным вопросам. Кроме цитированных
уже, следует назвать прежде всего сводные работы Л. С. Лейбензо-
н а [1,2], где даются многочисленные применения метода Ритца и других
вариационных методов в задачах теории упругости, главным образом отно-
относящихся к уравнению Пуассона. Возможность применения метода Ритца
и для выпуклых областей и некоторые другие вопросы, связанные с его
использованием, отмечены в работе Л. В. Канторовича [17]. Дру-
Другой вариант метода Рэлея-Ритца с минимизацией иного функционала
для задачи о собственных числах предложен В. Ромбергом [2].
Довольно полный обзор применений метода Б. Г. Галеркина дан в статье
М. Я. Перельмана [1].

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 775
Ряд работ посвящен разнообразным применениям методов Ритца и
Галеркина к конкретным задачам теории упругости и гидродинамики.
Среди них назовём работы Б. А. Соколова [1], Л. Г. Степанян-
ц а [1], В. А. Б о д н е р [1], Д. Ю. Па нова [18]. В последней ра-
работе, в частности, метод Б. Г. Галеркина с успехом применяется к ре-
решению нелинейного дифференциального уравнения.
Метод моментов подвергнут дальнейшему развитию в работах
М. Ф. Кравчука и К. Я. Л а т ы ш е в о й [1, 2], а также К. Я- Л а-
тышевой[1] распространён на случай обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений с особенностями, а в работах В. М о ж а р [1, 2]—на урав-
уравнения параболического типа.
Метод приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям
применён для задач теории упругости в работах Т. К. Ч е п о -
вой [1], А. И. Лурье [1], Л. В. Канторовича и
П. В. Фрумкина [1], Н. X. Арутюн.яна [1]—для задач
кручения и изгиба и в работах Т. Н. Р о г о в а [1], Н. С. Семё-
Семёнова [1], И. А. Б а с л а в с к о г о [1] и В. 3. В л а с о в а [1]
в задачах теории пластинок и оболочек. Н. Быстрое [1] показывает
возможность его использования в трёхмерных задачах.
Следует отметить также, что при приближённом нахождении соб-
собственных чисел могут оказаться весьма полезными указанные Л. А. Л ю-
стерником[7]и основанные на исследовании вариации способы уточ-
уточнения величин собственного значения на основании приближённого зна-
значения собственной функции, а также в том случае, когда приближённое
решение проведено для области, не совпадающей с действительной.
Наиболее глубокие исследования, относящиеся к вариационным
методам, связаны с вопросом о сходимости приближённых решений ц„ к
точному при п —> оо, а также с оценкой погрешности разности \ип — и\.
Относительно метода Ритца многочисленные результаты получены,
главным образом, Н. М. Крыловым. В работе Н. М. Крылова
и Я. Д. Тамаркина [1] была установлена для ряда проблем сходи-
сходимость метода Ритца. Доказательство базировалось на теории бесконечных
определителей Хельге фон-Коха. В дальнейших работах Н. М. К р ы-
л о в а ставится задача не только об установлении самого факта стрем-
стремления к нулю разности \и — ип\ или порядка этого стремления, а о по-
получении для неё конкретных оценок сверху, в которых участвовали бы
только данные, взятые из условий задачи и притом настолько точные,
чтобы их можно было бы использовать даже для небольших значений л.
Эта программа была выполнена для целого ряда задач. Наиболее полные
оценки получены для уравнения
их сводка дана в монографии Н. М. Крылова [31 ]. Приведём несколь-
несколько таких оценок.
Если в качестве основных функций взяты <р„ (х) == sin kx, то, предпола-
предполагая <7(х)>0, имеем:
max q1'*
ь х
maxg У
У
l)V

776 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В процессе доказательства одновременно устанавливается интересный
факт, что Нт | у — у„ |: | у — У„ | = 1, если У„ обозначает отрезок ряда Фу-
Фурье точного решения, т. е. приближения Ритца дают по существу ту же
аппроксимацию, что и отрезки ряда Фурье. Оценки аналогичного харак-
характера получаются для задачи о приближённом нахождении собственных
чисел и собственных функций, а также о решении неоднородного уравне-
уравнения, если не соблюдено условие q (х) > 0. При этом использование произ-
производных функций q в оценках позволяет получить более высокий порядок
малости. Например, для случая, когда <j>fc(x)=xfc(l — х) (к = 1, 2,..., п),
т. е. приближённое решение ищется в виде многочлена, имеем следующую
оценку для разности между к-ш собственным числом 1к и л-м приближе-
приближением к нему i.kn\ установленную Н. Н. Боголюбовым,
где
N= { max | -^ I + 2 max \ q' | [/ | аГ | ^~^+ max ,
Для уравнения более общего вида
подобного же характера оценки систематически проведены в монографии
Н. М. Крылова [33].
Наконец, Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [3,4]
рассматривается применение метода Ритца к решению задачи Дирихле
для уравнения эллиптического типа
К*
дх
в выпуклой области, ограниченной контуром F(x, у) = 0, где основ-
основные функции берутся в форме <p,7(x,y)==F(x, у)х'у3'. Исследование
здесь значительно труднее, чем для функции одного' переменного, но
оценки получаются авторами для всех указанных выше проблем и выра-
выражаются через производные решения, а в конечном счёте даже через дан-
данные задачи. Некоторый недостаток их в том, что даже для установления
оценки порядка малости — или -¦$ приходится привлекать производные и
довольно высокого порядка.
В другой работе Н. М. Крылова [24] даётся оценка погрешности
при применении метода наименьших квадратов, в котором она имеет более
низкий порядок, а также метода моментов, предложенного самим
Н. М. Крыловым.
Кроме того, Н. М. К р ы л о в ы м [16, 27] рассмотрены аналогичные
.методы решения и оценки погрешности в применении к нелинейным диф-
дифференциальным уравнениям, для задачи нахождения периодических
решений дифференциальных уравнений и для решения интегро-диффе-
ренциальных уравнений. Заслуживает быть отмеченной также работа
Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [5], в которой они дают
методы приближённого нахождения максимальных значений решений
дифференциальных уравнений без разыскания самого решения.

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 777
Метод моментов подвергнут весьма полному исследованию в работах
М. Ф. Кравчука [11]. Для обыкновенных уравнений здесь устанав-
устанавливается сходимость приближений к решению для самих функций и для
производных, кроме наивысшей, входящей в уравнение. При этом для
частного выбора оснбвных функций устанавливается и быстрота сходимо-
сходимости оценкой разности |и — ип \. Именно оказывается, что [и — ип\ =
= О(п1-2~а), если коэффициенты и свободный член уравнения имеют г про-
производных, удовлетворяющих условию Липшица с показателем 8. Наконец,
установлена сходимость при соответствующих условиях при применении
метода моментов к решению граничных задач для уравнений эллиптиче-
эллиптического типа и сделана некоторая попытка оценить порядок разности
1 и — ип | в этом случае.
Для плоской задачи теории упругости сходимость метода Ритца дана
в работе К. Н. Шевченко [3].
Обычно для уравнений в частных производных непосредственно уста-
устанавливается сходимость минимальной последовательности {ц„} к решению
в среднем, равномерная же сходимость отсюда не следует.
Однако для уравнений эллиптического типа имеется общая тео-
теорема (Л. В. Канторович [16, 18], Л. В. Канторович и
В. И. К р ы л о в [2]), что минимальность последовательности ип влечёт
равномерную сходимость, если е„ = / (ы„) — / (и) убывает не слишком медлен-
медленно и известны некоторые сведения о характере функций ип. В частности,
из этого результата вытекает, что если функции последовательности типа
F (х> У) Тп (х, у), где Т„ — алгебраический или тригонометрический поли-
полином л-го порядка, то равномерная сходимость может быть гарантирована,
когда
На основании этих теорем установлена сходимость метода приведения
к обыкновенным дифференциальным уравнениям для случая области,
ограниченной кривыми, допускающими явное дважды дифференцируемое
задание при соответствующем выборе функций срА (х, у). При этом устанав-
устанавливается и порядок малости разности, например | ип — и| = О(п~р}/lg л),
если производные и порядка (р + 1) суммируемы с квадратом. Для метода
Ритца также получается оценка быстроты сходимости, причём налага-
налагаются требования на производные более низких порядков, чем при дру-
других методах оценки.
Значительные трудности представила проблема сходимости для мето-
метода Галеркина в случае несамосопряжённых задач, когда он не совпадает
с методом Ритца, и потому соображения минимальности и вытекающие
из них оценки не могут быть использованы. Обоснование можно было счи-
считать данным для этого метода только при том упомянутом выше специ-
специальном выборе функций фп, когда методы Ритца и Галеркина можно
рассматривать как частные случаи метода моментов.
В некоторых работах (В. Р о м б е р г [1],' Ю. В. Р е п м а н [1 ])
высказывались даже сомнения в обоснованности применения метода Га-
Галеркина и выдвигались предложения замены его другими. Г. И. Пет-
Петровым [1] было дано обоснование метода Галеркина для специального
вида обыкновенных уравнений четвёртого порядка и при особом выборе
основных функций. И лишь в работе М. В. Келдыша [1] впервые

778 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
были получены весьма общие результаты о сходимости этого метода.
В ней прежде всего рассматривается предельная задача для обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения
L (у) = р (х) у<*0 + ^ Ри (х, Му<*> = / (х),
и устанавливается, что если система функций 1, х, ..., х"~|<р ("),<рB) ,.-
полна в L"(<sk(x) — функции, используемые в методе), то имеет место схо-
сходимость собственных чисел и функций, найденных по методу Б. Г. Галер-
кина, к истинным, а если >. не характеристическое, то и сходимость при-
приближённых решений к точному. Для случая уравнений второго порядка
рассмотрены и другие граничные условия.
По отношению к задаче Дирихле для уравнения в частных производ-
производных эллиптического типа установлена сходимость приближений к реше-
решению в среднем.
Доказательство этих результатов для случая обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений использует теорию бесконечных систем линейных
уравнений, а для уравнений в частных производных—дополнительно ряд
тонких соображений и оценок.
Переходим к некоторым методам, уже не связанным с вариационными
соображениями.
Л. В. Канторовичем [7] был предложен другой метод при-
приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, отличный от
рассмотренного выше. Он состоит в том, что решение попрежнему ищется
в форме и = 2 *Р> (х> У)'/* (х)> составленной путём интерполирования из
1
значений неизвестной функции на линиях или иным образом, но система
дифференциальных уравнений для определения функций /,- (х) (прибли-
(приближённых значений неизвестной функции на линиях у = у,-) получается из
условия, чтобы данное выражение удовлетворяло требуемому уравнению
в частных производных на тех же самых или на некоторых других линиях.
Этот метод может применяться для уравнений всех типов, а не только элли-
эллиптического. Принципиально такого же характера метод приведения к
системе дифференциальных уравнений и даже дающий ту же самую систе-
систему при определённых условиях, но существенно отличный от изложен-
изложенного выше по форме, предложен М. Г. Слободянским[1] для урав-
уравнений Пуассона и бигармонического (для уравнений гиперболического и
параболического типов сходный способ предложен Хартре). Именно, метод.
состоит в том, что за неизвестные берутся значения решения на линиях
y — a-\-nh и затем совершается переход от дифференциального уравне-
уравнения к разностному только по одной переменной у. Специально для
случая уравнения Пуассона удаётся получить конечное выражение
для характеристического определителя и написать общие выражения для
неизвестных функций, что для многих случаев приводит к весьма удоб-
удобной схеме решения. В эту схему внесено дальнейшее упрощение, а также
лредложен приём, существенно повышающий точность метода, в случае
области непрямоугольного характера, в ещё неопубликованной работе
В. Н. Ф а д д е е в о й.

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 779
Тот же метод успешно применён М. Г. Слободянским [1]
для бигармонических проблем и для пространственных задач. Им иссле-
исследована также погрешность метода.
Несколько работ было посвящено методам другого характера, в кото-
которых ищется решение, удовлетворяющее точно дифференциальному урав-
уравнению и лишь частично граничным условиям. Такого рода методы были
предложены в своё время Бриллюэном и Треффцем. В этих методах коэф-
п
фициенты а{ линейной комбинации решений un == V ак <?к (х, у) определя-
определяла 1
ются из условий (/ (s) — граничное задание)
в случае метода Бриллюэна и
^ Г /fs)— V a "I д?к
J L <md J дХ
в случае метода Треффца.
Метод Треффца был усовершенствован и систематически применялся
Л. С. Л е й б е н з о н о м, а также П. Ф. Папковичем, а метод
Бриллюэна—С. Бергманом.
К этой же группе методов должны быть отнесены предложенные
Б. Г. К о р е н е в ы м [1, 2] и Л. А. Г а л и н ы м [1 ] способы решения
задачи Дирихле. У Б. Г. Коренева решение разыскивается в исто-
истокообразной форме с конечным числом источников, а параметры определя-
определяются из требования удовлетворения граничного условия в некоторых
точках. УЛ. А. Галина решение ищется в форме гармонического
полинома, но коэффициенты определяются из тех же соображений; реше-
решение при этом может быть записано явно с помощью интерполяционной
формулы, так что способ оказывэется достаточно эффективным. Специально
для нахождения функции Грина тот же способ был применён А. М. Ч у-
фистовой [1].
Для задачи о собственных числах и функциях дифференциальных
проблем оказывается весьма эффективным также метод последовательных
приближений.
Сущность этого метода состоит в том, что для разыскания собственной
функции уравнения
с однородными граничными условиями начинают с любой функции
у=<р0 (х), удовлетворяющей граничным условиям, и затем определяют
функции <?п(х) последовательно из соотношений
и данных граничных условий. Тогда при довольно широких условиях

780 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
будет
Нт -р = X — первому собственному числу, а
lim -j-—-n ' = ?(x)—первой собственной функции.
У нас этому методу был посвящен ряд работ В. И. Новоторце-
в а [1, 2], а в последнее время работы К. С. 3 а в р и е в а. А. Г. Наза-
Назарова и С. С. Голушкевича.
Этот метод наиболее подробно изложен и подвергнут существенному
развитию в книге П. Ф. Папковича [2].
§ 4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ.
Метод конечных разностей, или, как его часто иначе называют, метод,
сеток основан на замене решаемого дифференциального уравнения при-
приближённым уравнением в конечных разностях. Такую замену можно рас-
рассматривать как замену дифференциального уравнения системой конечных
уравнений с таким числом неизвестных, сколько значений функции под-
подлежит определению. Известно несколько способов составления уравнения
в конечных разностях, соответствующего рассматриваемому дифференци-
дифференциальному уравнению и его приближённо заменяющему. Мы перечислим
сейчас наиболее часто употребляемые.
Первый и наиболее простой из них состоит в том, что в дифференциаль-
дифференциальном уравнении все производные, в него входящие, заменяют их выраже-
выражениями того или иного вида через конечные разности, отбрасывая при этом
остаточные члены. Для обыкновенных уравнений такой путь применяется
в настоящее время редко ввиду того, что он либо приводит к сложным урав-
уравнениям, либо даёт малую точность. Более благоприятные в смысле точности
и простоты уравнения могут быть получены иными путями. Но для диф-
дифференциальных уравнений в частных производных, где наши знания явля-
являются менее полными, такой путь часто употребляется и в настоящее время.
Второй способ построения приближённого разностного уравнения
состоит в том, что рассматриваемое дифференциальное уравнение с началь
ными условиями заменяют, разумеется, там, где это удаётся сделать, рав-
равносильным интегральным уравнением, затем входящие в него интегралы'
вычисляют приближённо по квадратурным формулам с равномерно рас-
распределёнными узлами и получают нужное разностное уравнение.
В третьем способе рассматривают точное или приближённое соотно-i
шение между разностями функций и производными, выполняющееся;
в широком классе функций. Затем при помощи дифференциального
уравнения исключают из него производные и дифференциальные опе-;
раторы и получают уравнение между значениями в узлах сетки. Напри-
Например, между значениями функции в центре и вершинах правильного;

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 731
лг-угольника и оператором Лапласа имеет место следующая зависимость:
полученная С. А. Г е р ш г о р и н ы м [5] и с успехом применённая им
для приближённого решения уравнений Лапласа, Пуассона и др. Если
функция и гармоническая, указанная зависимость переходит, после
отбрасывания остатка R, в разностное уравнение
Укажем главные направления работы советских математиков в методе
конечных разностей для обыкновенных дифференциальных уравнений
и те результаты, которые нам представляются наиболее существенными.
Для определённости записи выберем уравнение второго порядка вида
У = /(х,у);
к нему должны быть прибавлены два условия, начальных или гранич-
граничных, в зависимости от типа задачи. Разностное уравнение, которым оно
может быть приближённо заменено, можно построить весьма многими
способами, в зависимости от той цели, которая преследуется при вы-
вычислениях.
Родоначальники методов, о которых будет итти ниже речь, развивали
их для уравнений частного вида, которые далеко не исчерпывали области
возможного применения самих методов. Работы советских учёных здесь
были направлены на расширение области их применимости.
Мы начнём с разностных уравнений рекурсионного типа. Исходны-
Исходными здесь были хорошо известные формула Адамса для уравнений первого
порядка и формула Штермера для уравнений второго порядка. Были
построены формулы, являющиеся их прямым обобщением на уравнения
более высоких порядков (см., например, А. Н. В о л о х о в [1]). К тому же
рекурсионному классу принадлежит и формула, которую можно найти у
М. Ф. Субботина [1, 2] и в которой для вычисления следующего
значения у„+1 решения используются только значения правой части
уравнения и их сумма первого порядка.
А. П. Д о м о р я д [2] предложил для составления у„+1 восполь-
воспользоваться не только значениями правой части уравнения, но и производной
от неё. Такой приём, позволяющий увеличить порядок приближения
к уп+1 без привлечения новых точек сетки к вычислениям, будет, вероятно,
особенно полезен в начале вычислений.
П. В. М е л е н т ь е в [8], стремившийся создать расчётные формулы
с наиболее простыми коэффициентами, которые были бы пригодны для
быстрых вычислений ограниченной точности, в своей работе пользовался
при решении уравнений первого порядка формулой
Погрешность её имеет порядок п()Д4У- Ввиду её большой простоты и отно-
относительно хорошей точности она может быть рекомендована для примене-
применения в технических расчётах.

782 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В задачах с граничными условиями при построении разностного урав-
уравнения нет причины стремиться к тому, чтобы оно было рекурсионного вида,
и можно поставить перед собой цель —построить для вычисления уп+,
формулу с наиболее быстро убывающими коэффициентами с тем, чтобы глав-
главная часть уп+1 содержалась бы в возможно меньшем числе первых членов.
Такого рода формула была предложена в 1909 г. Коуэллом. Несколько
позже, пользуясь богатым вычислительным опытом, Коуэлл и Кроммелин
усовершенствовали её *). Обе эти формулы были получены для уравнения
второго порядка выписанного нами выше вида. Они нерекурсионного ти-
типа и не дают возможности прямого вычисления уп+1 по предыдущим значе-
значениям уп, )/„_!, ... Из них у„+, может быть найдено, например, лишь последо-
последовательными приближениями. Однако эти формулы сравнительно с анало-
аналогичными формулами типа Адамса имеют несомненнное преимущество более
быстрого убывания коэффициентов, что часто заставляет отдать им пред-
предпочтение даже при решении задач с начальными условиями.
Б. В. Нумеров [3] внёс в них некоторые изменения, которые
позволяют увеличить интервал таблицы.
М. Ф. Субботин [1, 2]и В. П. Ветчинкин [1,7] построи-
построили формулы коуэллова типа для уравнений других порядков.
Разностные уравнения рассматриваемого вида получили широкое
применение в вычислительной практике астрономических учреждений.
Можно ожидать, что они окажутся полезными не только для решения
задач Коши, но и граничных задач, которые более близки их природе.
Мы остановились на двух крайних точках зрения, которые могут быть
приняты при составлении разностного уравнения. В первой из них стре-
стремятся получить чисто рекурсионную формулу, а во второй—формулу
с наиболее быстро убывающими коэффициентами. Но цель, которую
ставят при составлении уравнения, может бесконечно разнообразиться.
Можно, например, искать также формулы, которые содержали бы yntlr
Уп, Уп-и- • • с тем> чтобы получить уравнения с одним неизвестным значе-
значением уп+2. Такого рода формулы были построены М. Ф. Субботи-
Субботиным [1,2] и В. П. В е т ч и н к и н ы м [1, 7]. Коэффициенты в них
менее благоприятны, чем в формулах коуэллова вида, но всё же они
значительно меньше соответствующих коэффициентов в рекурсионных
формулах, и в этом отношении упоминаемые здесь формулы предпочтитель-
предпочтительнее рекурсионных. Для ознакомления с многообразными другими ре-
результатами, полученными в разностных уравнениях, мы отсылаем
к обзорной книге А. Н. Волохова [1].
В этой же связи мы укажем на некоторые работы Ш. Е. Микела-
д з е [2, 11, 12], в которых он стремится получить разностные уравнения
общего типа и из них, как частные случаи, вывести многие известные
и построить новые формулы для приближённого решения уравнений.
Работы, связанные с применением разностных уравнений того вида,;
который здесь имелся в виду, к решению граничных задач для обыкно-
обыкновенных уравнений, немногочисленны и в них лишь устанавливается воз<
можность такого применения без исследования сходимости и оценки
погрешности полученных приближений. Укажем на книгу А. Н. Кры-
Крылова [8] (§109), работы М. Ф. Суббо ти на [1,2] и заметку Ш. Е. Ми-
к е л а д з е [4].
*) В 1924 г. Джексон заметил, что усовершенствованная формула Коуэлл»
в точности совпадает с одной из квадратурных формул Гаусса. :

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 785
С. А. Казаковым [1] был указан разностный метод, приспо-
приспособленный специально к численному решению квазилинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений
О (/-1,...,п),
-I «as tp; (z,, . . ., Zn, t) (/= 1 , . . ., ОТ).
Впоследствии он был усовершенствован О. П. Крамер [1]. Идея
метода заключается в следующем: пусть система численно решена для
некоторого значения t. На промежутке до этого значения t множители к(
в уравнениях системы будут известными функциями. Если их экстрапо-
экстраполировать на ближайший следующий промежуток, то тогда первые урав-
уравнения системы становятся линейными и легко решаются. Из вторых же
уравнений v}- находятся квадратурами. Расчётные формулы строятся
путём выделения главных частей из получающихся для zt и vj выражений.
Как показала практика вычислений, метод С. А. Казакова
при использовании специально построенных таблиц Л. Я. Н е й ш у л е-
р а, по крайней мере при решении уравнений внешней баллистики, имеет
преимущества по сравнению со схемой Адамса, позволяя увеличить зна-
значение шага таблицы в полтора раза.
Вопросам оценки погрешностей разностных методов были посвящены
работы Ш. Е. Микеладзе, который исследовал погрешность квадра-
п
турной формулы вида уп+й = у„ + 2 hAJ (xk+i, у*+г) + О (ft1) для уравнения
первого порядка у' = f(x, у) при предположении, что/удовлетворяет усло-
условию Липшица, Ф. Г. Цхадая [2], расматривавшего погрешность
одной из разностных формул, Ш. Е. Микеладзе для уравнения
у(») = /(х, у, у',..., у*"-1)) и затем А. П. Доморяда [2], производив-
производившего оценку погрешности, получающейся при применении им раз-
разностных формул, близких по идее к формуле Адамса. Попытку
оценки погрешности классической формулы Штермера предприняли
Л. Г. Афендик [1] и Н. С. Самойлов а-Яхонтова [2].
Их результаты не являются окончательными.
Мы перейдём к методу конечных разностей для уравнений в частных
производных. Он значительно менее исследован и разработан сравнитель-
сравнительно со случаем обыкновенных уравнений. Усилия наших учёных здесь
были направлены, главным образом, на разработку метода для наиболее
часто встречающихся в приложениях типов уравнений по преимуществу
второго порядка.
Особенности в применении метода сеток к уравнениям в частных
производных вызваны прежде всего тем, что для уравнений разных типов
могут быть корректно поставлены задачи различного вида—с начальными
или граничными условиями. Метод сеток тесно связан с типом диффе-
дифференциального уравнения и для уравнений разных типов нужно избирать,
вообще говоря, сетки различных видов. Для определённости будем иметь
в виду уравнения с двумя независимыми переменными. Наиболее упот-
употребительными являются прямоугольные сетки плоскости. Представим
себе, что на плоскости нанесена сетка точек
— in, у — Ki (i, к = и, + I, ± z, ...)
шага h по горизонтальной оси х и шага / по вертикальной оси у.

784 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Если рассматриваемое уравнение —эллиптического типа и для него
решается задача Дирихле, то выбор шагов Ли / по обеим осям безразличен
и проще всего здесь избрать квадратную сетку, считая Л = /, хотя такое
соотношение между Л и / не всегда является наилучшим.
Более сложным будет положение дела в уравнениях гиперболического
и параболического типов.
Вопрос о зависимости м,ежду Ли/ был рассмотрен для простейших
разностных уравнений, которые получаются из дифференциального путём
замены в нём производных на наиболее простые выражения их через
значения функции*). Так, например, если уравнение теплопроводности
ду сдх*> с>и'
заменить разностным уравнением
uik+i -uik_ ai+i,k-2uik+ui-i,k
Л2 '
i
то при выборе шагов Ли/ следует считать 1<2~-
Для гиперболических уравнений связь между Ли/ определяется
характеристиками, ограничивающими так называемую «область влияния
для каждой точки. Шаги сетки h и / должны быть выбраны так, чтобы
область влияния разностного уравнения была не меньше области влияния
для дифференциального уравнения.
Авторам статьи не известны случаи исследования зависимости между
«областью влияния» дифференциального и разностного уравнений для
более точной аппроксимации производных конечными разностями, или
разностными отношениями.
Попутно мы укажем, что, повидимому, также остался неисследован-
неисследованным вопрос о выборе наилучшей сетки.
С наибольшей полнотой было исследовано применение метода сеток
к уравнениям эллиптического типа. Здесь в первую очередь нужно
назвать работу Л. А. Люстерника [3]. В ней рассматривается
уравнение Лапласа ¦— + -г-^ -— О и задача о нахождении его решения, при-
принимающего на границе области заданные наперёд непрерывные значения.
Автора в ней интересовал вопрос не о приближении по методу сеток
к решению, существование которого предполагается заранее, а доказа-
доказательство существования решения задачи Дирихле путём предельного
перехода от уравнения в конечных разностях к дифференциальному
уравнению.
Преследуя эту принципиальную цель и желая достигнуть ее простер
шими средствами, Л. А. Л ю с т е р и и к [2] рассматривает квадра»
иую сетку на плоскости и заменяет лапласово уравнение разностным
Щхл ,к + Ui-l,k + Ui,k-x.i + ttl,k-i — 4U,-A- = 0.
Им было установлено, что решение разностного уравнения, когда длин
стороны квадрата стремится к нулю, равномерно сходится к гармони1»
*) См. по этому поводу, например, Ш. Е. М и к е л а д з е [6] и стать
R. Courant, К. Freidrichs, H. Lewy, Math. Ann., 100 A028).

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 785
ской функции и эта последняя во всех точках плотности границы непрерыв-
непрерывна и принимает заданные значения.
И. Г. Петровский[1] дал новое весьма общее доказательство
сходимости метода. Им установлено, что при любой области из последо-
последовательности «сеточных функций» можно выделить частичную последова-
последовательность, равномерно сходящуюся к гармонической функции, которая
будет удовлетворять граничному условию во всякой точке, регулярной
в смысле существования в ней супергармонического барьера. Если грани-
граница области состоит только из «регулярных» точек, то вся последователь-
последовательность сеточных функций равномерно сходится к решению задачи.
Попутно заметим, что выписанное выше разностное уравнение при
граничных данных для и решают обычно методом итерации. Если число
внутренних точек сетки велико, то процесс медленно сходится. Вопросом
его улучшения занимался Л. А. Люстерник [7]. Он установил прак-
практические приёмы, позволяющие улучшать приближения, используя для
этой цели результаты, полученные на разных этапах вычислений.
Если не преследовать цели доказательства существования решения
граничной задачи и иметь в виду лишь приближение решения, то про-
проблема может быть изменена и формулирована в следующем виде:
известно, что решение граничной задачи существует и известны его диф-
дифференциальные свойства. Нужно оценить погрешность, которая полу-
получается при приближённом его нахождении по методу сеток. Такая задача
была поставлена С. А. Гершгориным [8]. Он рассматривал
эллиптическое уравнение с заданными граничными значениями.
Так же, как и Л. А. Люстерник, он выбрал квадратную сет-
сетку со стороной h и заменил дифференциальное уравнение разностным,
получающимся из него путём замены -?-г, ^- ,... соответственно
„а !1ША^м=+ "'•-'>*, ^Д-JU*,... чтобы сделать задачу о ре-
шении разностного уравнения определённой, нужно избрать правило для
выбора значений utk в граничных узлах сетки. Например, можно считать,
что Uik в таких узлах принимает значение, равное точному решению
и (х, у) в ближайшей точке контура. С. А. Гершгорин показывает,
что погрешность приближённого решения не будет превосходить
где Ми М3, М4—максимальные значения производных первого, третьего
и четвёртого порядков точного решения и (х, у), aN, N, И N4 имеют сход-
сходное значение для некоторой вспомогательной функции. _
Оценка состоит из двух членов. Первый из них ]/ 2 МХЛ, линейный
относительно Л, связан с переносом заданных значений с границы обла-
области на граничные точки сетки. Если последние точно располагаются
на границе области, то этот первый член отсутствует и оценка приво-
приводится ко второму члену. Он и представляет собственную погрешность
метода сеток. Как видно из его строения, он является величиной второго
порядка малости относительно Л.
Мы привели указанную оценку погрешности отчасти для того, чтобы
показать, что при применении метода сеток несовпадение точной области,
в которой разыскивается решение, с приближённой сеточной областью
50 Матеиатикав СССР за 30 лет

786 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
может явиться источником значительных ошибок и что существенной при
практических расчётах является задача достаточно хорошего переноса
значений и(х, у) с границы заданной области на границу аппроксимиру-
аппроксимирующей сеточной области. Вопрос этот был подвергнут исследованиям
в работах Д. Ю. Панова [7] и Ш. Е. М и к е л а д з е [14, 16].
Метод сеток, в том виде, как мы его излагали до сих пор, аналогичен
и по идее и по точности методу Эйлера в теории обыкновенных дифферент
циальных уравнений.
Ближайшей задачей было построение разностных уравнений, более
точно аппроксимирующих дифференциальное. Здесь мы не имеем столь
подробно и полно разработанной картины уравнений, приспособленных
к различного рода задачам и имеющих различную степень точности, как
для обыкновенных уравнений.
Внимание было обращено на уравнения, связанные с оператором Лап-
Лапласа,—гармоническое, бигармоническое, Пуассона и аналогичные.
Идея, положенная в основание построений, состоит в следующем.
Рассмотрим какую-либо совокупность узлов квадратной сетки плоскости.
Обозначим через uik, ДИ|*, Д*«,ь, ... значения самой функции и и операто-
операторов Аи, Д2н, ... от неё во взятых узлах и будем искать соотношение вида
¦ • • = О,
которое было бы верным с точностью до членов, содержащих h в возможно
большей степени.
Такого рода приближённых равенств можно построить весьма много,
достигая различную точность и преследуя разные цели. Некоторые
из них можно найти в статье Ш. Е. Микела дзе[14]. Мы приведём
одно из них, типичное в такого рода вопросах. Обозначим индексом «О»
какой-либо внутренний узел сетки, индексами 1, 2, 3, 4 — четыре бли-
ближайших к нему узла, отстоящих от него на расстоянии h по горизонтали
и вертикали, и индексами 5, 6, 7, 8 — узлы в вершинах квадрата с цен-
центром в О и со сторонами 2Л, параллельными осям координат. Имеет место
следующее равенство:
193
при этом R имеет оценку |#К|7Щ)Л*вЛв. ^»"~максимальное значе-
значение производных восьмого порядка в указанном квадрате.
Возможность использования равенства для приближённого решения
уравнений очевидна. Если функция и —гармоническая, то все члены
равенства, содержащие оператор, пропадут. Кроме того, если пренебречь
остаточным членом /?, мы получим следующее разностное уравнение:
4 (U, + иг 4- и3 + и4) + (иЛ + и, + щ + иа) - 2Оио = О.
Наиболее простая оценка погрешности, получающейся при применении
этого уравнения, такова:
193 а*шЪ\маь,\
Ж2оо

методы 787t
где ifj —максимальная абсолютная пбгрФШд$8> переноса граничных зна-
значений и с контура области на граничные узлы сеточной области, а, Ь~
полуоси эллипса, содержащего заданную область внутри себя.
Погрешность метода сеток в собственном смысле является здесь малой:
шестого, а не второго порядка, как в предыдущей оценке.
Применение метода сеток к решению бигармонического уравнения1
можно найти в работе Д. Ю. Панова [3], затем А. Я. Г о р г и д з е,.
и А. К. Р у х а д з е [1], которые использовали приближённый метод,
указанный Н. И. Мусхелишвили, а также Д. Р. В а ш а к и д-
з е [2], давшего практически удобный способ составления разностных
уравнений в узлах сетки, соседних с контуром области.
К уравнениям параболического типа метод сеток применялся с про-,
стейшей заменой производных через конечные разности. (Д. Ю. П а-
н о в [1,2] и Ш. Е. М и к е л а д з е [16].) Пусть рассматривается ущь-
нение ^=a^+6^ + cu + g с начальным условием н(х,О) = ер(х)
и граничными условиями и@, у) = ф(у), u(L, у) = х(у).
¦ Построим в плоскости сетку прямых х = ih, y = kl. Шаги Ли/, как
отмечалось выше, не могут быть независимы. Наиболее простое условие
зависимости между ними есть следующее: '<2M^2, M = max]a|. Если
в уравнении заменить производные следующими приближёнными выра-
выражениями их через конечные разности
дх'
ди и
дх
ди и
ду
i+i .к -
2Л
i.k+1 -
I
ui-i,k
uik
получится разностное уравнение рекурсионного типа и, как устанавли-
устанавливается при некоторых предположениях о самом решении и и граничных
данных, погрешность значений щк, найденных из такой системы, будет
второго порядка малости относительно Л.
Приложение метода сеток к уравнениям гиперболического типа для
простых случаев было дано в работе Ш. Е. М и к е л а д з е [5] и в статьях
А. Ф. Гаврилова [1,2,3]. Мы хотим указать ещё на несколько
работ Ф. И. Ф р а н к л я, давшего применение этого метода к решению»
нескольких трудных проблем газовой динамики. С формальной точки
зрения всё сводится к решению уравнения вида
д2и
где Н, К, L, М зависят от х, у, а, Р=|^, <?= г;» которое для сверхзву-
сверхзвуковых скоростей будет гиперболического типа. Применение теории харак-
характеристик позволяет свести задачу к системе уравнений первого
порядка, а к последней применить метод конечных разностей. Сходи-'
мость приближённого решения к точному была исследована в статье:
Ф. И. Франкляи Р. Н. Алексеевой [1].
50*

188 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Широко пользовался идеями конечных разностей в своих работах
и получил в этом направлении интересные результаты С. А. X р и с т и-
а н о в и ч *).
Среди применений разностного метода к вариационному исчислению
мы остановимся лишь на тех вопросах, которые имеют прямое отношение
к приближённым методам решения задач математической физики. Мы
имеем в виду ряд интересных и глубоких работ Н. М. Крылова
и Н. Н. Боголюбова**). Центр тяжести их исследований лежит
в оценке погрешностей при приближённом определении собственных
чисел и собственных функций граничных задач. Наиболее простая из них
такова. Нужно найти в промежутке 0<х</ решения уравнения Штур-
ма-Лиувилля
при граничных условиях у(О) = О, у(/) = О. Разыскание собственной
функции Ук номера к и соответствующего ей собственного числа Xjt рав-
равносильно решению следующей вариационной задачи:
= min ---
яри изометрических связях
t i
x = O (i = l,2, ..., к-\).
Последняя приближённо может быть заменена алгебраической задачей
о минимуме квадратичной формы. Разделим промежуток (О, I) на п равных
частей точками -^ I (i =0,..., п) и заменим интегралы суммами значе-
значений функций в этих точках, а производную у' отношением разностей
¦v • Тогда дело будет итти о минимуме квадратичной формы
2 [л W
при некоторых условиях связи. Как показали исследования, минимизи-
минимизирующие векторы алгебраической задачи при п—*¦ со будут сходиться
к собственным функциям уравнения Штурма-Лиувилля и минимумы
квадратичных форм —к собственным числам X*.
Погрешность приближения имеет порядок ^.
Для улучшения порядка приближения можно прибегать к более точ-
точной аппроксимации производной, привлекая разности более высоких
порядков. Так, если производную у заменить на ——^ "^г . т0 погреш-
погрешность вычисления собственных чисел будет иметь порядок tj .
*) См., например, С. А. Христианович, «Плоская задача математи-
математической теории пластичности». Матем. сб., 1 D3), A936), 5|7—529; Христиан»!
в и ч С. А., М и х л и и С. Г., Д е в и с о н Б. Б., «Некоторые вопросы механик^
сплошной среды» М.—Л., Изд. АН A938), 1—4о7.
•*) Обзор этих работ можно найти в статье Н. М. К
р ы л о в а [31].

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ " "¦ ' 789
§ 5. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
Предложенный С. А. Чаплыгин ы м [1,2,3] метод приближённого
нахождения решения дифференциальных уравнений основан на свойствах
функций, удовлетворяющих дифференциальным неравенствам. В наиболее
простом виде теорема Чаплыгина может быть высказана так. Пусть дано
уравнение первого порядка euda^=f(x, у) а начальное условие у(ха) = у„.
Всякие две функции z(x) и t (х), выполняющие начальное условие и удовле -
творяющие в промежутке х, < х < хх неравенствам
будут в этом промежутке соответственно меньше и больше решения у (х)
уравнения, график которого проходит через начальную точку М0(х0, у0):
z{x)<y(x)<t{x).
Эта теорема даёт возможность построения пары аппроксимирующих
функций z(x), t(x) и являющихся в промежутке (xt, xx) соответственно
минорантной и мажорантной для решения уравнения.
Известен процесс, позволяющий при условии постоянства знака
|4 по одной паре функций z(x) и t(x) построить бесконечную последо-
последовательность zn(x) и tn(x) других пар функций, удовлетворяющих нера-
неравенствам Чаплыгина и всё более и более приближающихся к решению
уравнения. Способ построения имеет много общих черт с известным
способом Ньютона нахождения корней уравнений.
Н. Н. Лузин [5] исследовал сходимость таких приближений
к решению и показал, что она будет весьма быстрой. Оказалось, что при
п —* ос разность /„ (х) — zn (x) будет стремиться к нулю не медленнее
чем 2-2".
А. В. Г е л ь ф а н д [1, 2, 3] дал обобщение теоремы Чаплыгина
на случай системы дифференциальных уравнений. Он установил, что
если функции у,(х) образуют решение нормальной системы дифферен-
дифференциальных уравнений ),;=/1(х, у1г..., У„) (г = 1,..., п) и если функции
уи(х) удовлетворяют условиям y'u{x,) = yt{x,) и уи > /, (х, уы,..., у1п)
для х>х0, при этом ^ >0 (/, ?= 1,..., п), то при всяких значе-
значениях х, где выполняются условия теоремы, будет уи > у,-. При пред-
предположении, что квадратичные формы 2д~а являются отрицательно
определёнными, А. В. Гельфанд даёт способ построения мажорант-
мажорантной и минорантной последовательностей для решения системы. Эти при-
приближения оказываются столь же быстро сходящимися к решению урав-
уравнения, как и в случае одного уравнения.
В последнее время Е. Ф. Саваренским [1] были рассмо-
рассмотрены наиболее простые случаи применимости теоремы Чаплыгина

•790 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
к уравнениям в частных производных. Он рассматривал линейное
неоднородное уравнение ;
Рг &, *)&+. • •+pn-, to,«) т?Ь+ъг*Ь>*> -°
с начальным условием Коши ъ (xlt..., х„_„ х°) = <р (х15 ..., х„_,) при
предположении голоморфности всех функции, входящих в задачу. Тео-
Теорема, указанная им, состоит в следующем: голоморфные функции
v (х,) и и (xt), обращающиеся в, <? (х„..., хп^) при х„=*х° а удовлетво-
удовлетворяющие в интервале х° < х,- < Xt неравенствам
р to, *)?+..^g
будут всюду в указанном интервале удовлетворять также неравенствам
u<z<v.
При перенесении основной теоремы о дифференциальном неравен-
неравенстве на уравнения порядка выше первого мы сталкиваемся с новым
фактом, который не имеет места для уравнений первого порядка
и который получил название задачи о границах применимости тео-
теоремы Чаплыгина. Мы выясним содержание этой проблемы на про-
простейшем примере линейного, уравнения второго порядка Цу)=у*-+-
— р/ — рху = ц. Оператор, обратный для L{z — y) = L B) — q, имеет
следующее представление:
где g (х, %) — функция Грина задачи Коши сопряжённого уравнения
У + (РУУ — Р\У = 0 с «точкой влияния» Е. Если \ > х0 и L(z) — q>0,
то быть уверенным в положительности z — у можно лишь в том
случае, если g{х, Ч)>0 при всяких х из (х0, %). Последнее же навер-
наверное будет справедливо, когда фокус *) X, ближайший к х0 справа,
будет отстоять от х0 дальше чем S. Поэтому теорема Чаплыгина для
рассмотриваемого уравнения может быть формулирована в такой
форме: если (l)L(z)>q и *(х,) = у„ z'(xa)=y'0> B) хо<х<Х, то
г(х)>у(х).
По сравнению с уравнениями первого порядка здесь встретилось
новое дополнительное ограничение B) применимости заключения. Задача
оценки X и составляет содержание проблемы определения границ приме-
применимости теоремы Чаплыгина. Аналогичный смысл она имеет и для других
более сложных уравнений.
Заметим, кстати, что задача определения сопряжённого фокуса X
хорошо известна в вариационном исчислении и появление её в разбирае-
разбираемом врпросе можно было бы предвидеть заранее, если обратить внимание
на то, что проблема Чаплыгина является частной задачей теории вариа-
вариаций дифференциальных операторов, а именно, задачей об определении
*) Корень решения сопряжённого уравнения при начальном условии у (х,)=0.

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ • 791
условия монотонности оператора, обратного для заданного дифферен-
дифференциального оператора.
Метод Рунге во многих отношениях уступает разностным методам
и употребляется лишь там, где последние применены быть не могут,
в частности, для того, чтобы начать таблицу. Первоначально этот метод
был развит для уравнений первого порядка и систем таких уравнений.
В. П. В е т ч и н к и н ы м [6] были рассмотрены схемы, позволяющие
применять его к уравнениям высших порядков без приведения их к систет
мам. Им же была сделана попытка повышения точности этого метода
и доведения её до величины седьмого порядка малости относительно
шага h таблицы.
Широко распространённым, особенно при исследовании нелинейных
задач, является метод малого параметра, или метод возмущений. Исследо-
Исследования в этом направлении проводились, главным образом, в Киеве
Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Они рассматривали
нелинейные уравнения, близкие к точно интегрирующимся и,, в част-
частности, к линейным. Обычное применение к таким уравнениям разложения
по степеням малого параметра приводит к приближённым решениям,
содержащим вековые члены. Последние вносят большие погрешности
и часто делают найденное приближение малопригодным на больших про-
промежутках. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов поставили
целью развитие методов, которые позволяли бы находить приближённые
решения, верные с точностью до е™ и не содержащие вековых членов.
В основу они положили способ вариации произвольных постоянных,
В смысле формального построения приближений ими получены многие
весьма интересные результаты.
При исследовании граничных задач для уравнений в частных про-
производных важно бывает проследить, какое влияние на решение оказы-
оказывает вариация контура области. Сообразно с этим вводят параметр
не в дифференциальное уравнение, а в граничное условие. Эта идея
была применена Д. Ю. П а н о в ы м [15]. Построенные им ряды имеют
лишь асимптотическую сходимость, но при малых X дают хорошие
результаты, позволившие уточнить известные приближённые формулы,
Тем же приёмом воспользовался Я. Л. Л унц[1]в решении задачи
об изгибе узкой защемлённой пластинки.
Н. А. Артемьев [1] рассматривал влияние изменения области
на собственные числа и функции граничной задачи
Дц + Хи = О, ц/Ге=О.
Ге задаётся уравнениями x = /1(f) + scp, {t), y = /2 (/) + stp2 (t). При пред-
предположении, что собственные числа и функции будут аналитиче-
аналитически зависеть от е при малых \е\г он разлагает их в ряд по степеням а
и устанавливает возможность последовательного определения коэф-
коэффициентов разложений.
Мы закончим указанием на работы, касающиеся алгорифмов типа
Шварца. С. Г. Михлин применял их к решению задачи теории упру-
упругости в многосвязной области, являющейся пересечением двух других
областей. Сходимость ему удалось установить лишь в случае, когда отдель-
отдельные граничные кривые достаточно далеки друг от друга.
Позднее С. Л. Соболев установил сходимость метода в значитель-
значительно более широком классе случаев.

792 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Одним из основных методов решения задач математической физики
является представление решения в форме бесконечного ряда, который
может быть получен в результате применения метода Фурье или иным
способом. При использовании этого приёма численного нахождения реше-
решения наиболее существенное значение имеет быстрота сходимости ряда
и в случае медленной сходимости —улучшение её.
Уместно здесь сказать и о работах, относящихся к улучшению схо-
сходимости рядов. Задача приближённого суммирования рядов с постоянными
членами рассматривалась Б. Майзелем[1], который для ряда вида
2 u (v) получает приближённое значение суммы в форме интеграла с удоб-
удобным выражением оценки погрешности. Улучшение сходимости рядов,
общий член которых разлагается по степеням —, рассматривалось
В. П. В е л ь м и н ы м [1]. __
Построению разложения в ряд Фурье—гармоническому~анализу—
посвящен ряд работ чисто технического характера, на которых мы не будем
останавливаться. Однако следует упомянуть о работе А. Н. Крылова [6],
в которой для уточнения вычисления коэффициентов Фурье рекомен-
рекомендуется устранение знакопеременности cos пх или sin пх подстановкой вме-
вместо них их выражений по формуле Муавра, а также о предложении
Л. А. Л ю с т е р н и к а [5] относительно порядка вычисления коэффи-
коэффициентов Фурье с помощью одного только суммирования (на табуляторе).
В некоторых случаях разложение функции в ряд Фурье сходится
весьма медленно. Общий приём улучшения сходимости его есть класси-
классический метод выделения особенностей А. Н. Крылова.
Дальнейшему развитию метода А. Н. Крылова посвящена
работа Г. С. С а л е х о в а [1], где рассматривается вопрос об определе-
определении особенностей, суммировании и улучшении сходимости рядов вида
при условии, что для функций fx+kv. известна производящая. В частно-
частности, таким образом получается несколько способов нахождения особенно-
особенностей и улучшения сходимости для тригонометрических рядов вида
а также для рядов по полиномам Лежандра и некоторых других специаль-
специальных рядов.
К методу А. Н. Крылова примыкает также предложенный
А. С. М а л и е в ы м [1, 2] метод разложения функций в быстро сходя-
сходящиеся тригонометрические ряды в промежутке [0, я] в том случае, когда
функция внутри промежутка многократно дифференцируема, а медленная
сходимость обычных рядов по косинусам или по синусам проистекает
от апериодичности функции. Именно, продолжая данную функцию на
промежуток [0, я] хотя бы в форме полинома л-й степени с соблюдением
условий, обеспечивающих её непрерывность и периодичность её и её пер-
первых производных, получаем после этого быстро сходящееся разложение1
функции.
Другой способ улучшения сходимости рядов Фурье, встречающихся
в небесной механике, предложен М. Ф. Субботиным [7].

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ^793
Для рядов, получающихся в результате решения граничных задач,
улучшение может производиться двояко: либо путём выделения в этих
рядах медленно сходящихся частей и суммирования их в конечном виде,
либо профилактически—обеспечивая заранее более быструю сходимость
полученного ряда. Быстрота сходимости разложения зависит от правиль-
правильности задачи, которая определяется правильностью правой части, гранич-
граничных функции и контура. Поэтому при наличии неправильности задачи,
например, разрыва у граничной функции, представляется целесообраз-
целесообразным подобрать частное решение задачи, имеющее разрыв такого же харак-
характера. Вычитая его, придём к новой задаче, в которой этой особенности уже
не будет и в результате решения которой получим быстро сходящийся
ряд (Л. В. Канторович [10]).
В ряде случаев вместо бесконечного ряда решение задачи получает-
получается в форме интеграла, зависящего от параметра, с бесконечными предела-
мж. В частности, в такой форме оно получается при применении метода
Фурье в интегральной форме и особенно часто при применении символи-
символического метода. Эффективный путь построения приближённого решения
при применении символического метода разработан Н. М. Крыловым
кН. Н. Боголюбовым.
§ 6. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
Возможность сведения большинства задач математической физики
к механики к интегральным уравнениям первоначально использова-
использовалась, главным образом, для установления существования решения и его
свойств.
В дальнейшем, однако, возникла задача применить этот путь как
Эффективное средство построения решения, что привело к созданию мето-
методов приближённого решения интегральных уравнений. В частности, этому
вопросу был посвящен ряд работ, выполненных в Советском Союзе, в ко-
которых все основные методы приближённого решения интегральных урав-
уравнений подверглись в той или иной степени развитию и исследованию или
нашли новые применения.
Первым и простейшим методом решения интегрального уравнения
Фредгольма является метод последовательных приближений—ряд
Неймана. При численной его реализации целесообразно обычно соответ-
соответствующие интегралы заменять суммами по какой-либо формуле механи-
механических квадратур, что приводит к удобной схеме вычислений. Оправдан-
Оправданность этого метода в том отношении, что ряды для значений неизвестной
функции получаются сходящиеся, была установлена Н. М. Крыловым
и Я. Д. Тамаркиным [1] для случая, когда параметр находится
в обычно указываемых границах сходимости ряда Неймана. В случае,
если мы находимся вне этих пределов, может быть применён метод ана-
аналитического продолжения, введение вместо л нового параметра и пере-
перестроения ряда по его степеням. В частности, если нам известен характер
расположения собственных чисел задачи, то может быть указан определён-
определённый эффективный порядок применения этого приёма (Л. В. Канто-
Канторович и В. И. Крылов [2]).
Л. А. Люстерником [1] дан иной метод последовательных
приближений, аналогичный методу Зейделя для алгебраических систем,
требующий, однако, на каждом шагу решения уравнения Вольтерра

794 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
и установления его сходимости. Для решения линейных интегральных
уравнений может быть применён также способ последовательных прибли-
приближений, который даёт метод «наискорейшего спуска», изложенный в § 8.
Основным методом численного решения уравнении Фредгольма являет-
является переход от интегрального уравнения к алгебраической системе линей-
линейных уравнений приближённой заменой интеграла суммой и приданием
соответствующих значений аргументу, т. е. переход от уравнения
K(x,y)?(y)dy =
к системе
п
<Р (х,)-\ 2 АкК l*i> х*)в/ (*¦) (' = Ь 2, ..., п).
*=i
Таким же образом определение собственных чисел и функций интеграль-
интегрального уравнения сводится приближённо к аналогичной задаче для
матрицы.
Некоторая попытка оценки погрешности при применении этого метода
была сделана И. А. Акбергенов ы м [2]. В более совершенном виде
такая оценка дана Л. В. Канторовичем и В. И. Крыло-
Крыловы м [1]. Характер оценки таков, что она позволяет на основании только
данных приближённого решения составить заключение о существо-
существовании решения интегрального уравнения (установить, что X не есть соб-
собственное число) и о границах погрешности. Ещё ранее, специально для
интегрального уравнения задачи Дирихле, его сведение к удобно запв- ~
санной алгебраической системе и оценки погрешности при такой замене
были даны Н« М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [1р.
Для бигармонической проблемы такой же метод решения с оценкой
погрешности рассмотрен А. Я. Горгидзе и А. К. Рухадзе [1).
С. А. Гершгориным [10] дана удобная форма интегрального
уравнения для нахождения функции, совершающей конформное отобрав
жение, которая обобщена для случая многосвязных областей В. И. Крн-
ловым [2,3]. Некоторая её модификация, а также пример численного
решения полученного интегрального уравнения переходом к алгебраиче-
алгебраической системе указаны в работе А. М. Б а н и н а [1].
Как показывают упомянутые только что оценки и практическое при-
применение метода, при правильности ядра и использовании точных формул
квадратур (Гаусса) метод замены интегрального уравнения алгебраи-
алгебраической системой даёт исключительную точность даже при весьма1
небольшом числе уравнений. Однако во многих случаях ядро не пра*
вильно, в частности, когда это функция Грина. Некоторые приёмнй
для устранения особенности в этих случаях указаны Л. В. К а н торо*
вичем и В. И. Крыловым [1] и Л. В. Канторовичем[5J
Например, в случае особенности ядра при х =у переход к линейной алге
браической системе оказывается значительно более точным, если предвар**
тельно преобразовать интегральное уравнение к виду

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 795
и лишь по отношению к первому интегралу применить формулу механиче-
механических квадратур, а второй вычислить точно.
Интересный приём для той же цели дан у Н. К. Артмеладзе [2],
где предлагается применять вместо обычных формул квадратур фор-
формулы с весом, равным К (х, у), что, правда, связано с дополнительными
вычислениями для их построения. Этот метод применим и для уравнений
«двумя переменными.
При практическом осуществлении данного метода получающуюся
систему целесообразно решать способом итерации или Зейделя, в частно-
частности, как это было сделано П. В. Мелентьевым [5, 10] в расчёте
турбинных лопаток.
Некоторую разновидность того же метода представляет способ, отли-
отличающийся тем, что уравнение записывается в большем числе точек, чем
используемые при квадратуре, и неизвестные значения функции находят-
находятся затем по способу наименьших квадратов. Такой способ предлагается
по поводу частных задач Н. А. Кильчевским [1], а также в одной
работе Н. И. Мусхелишвили [2].
Второй метод, также применимый в ряде случаев, это —замена
ядра на вырожденное и сведение таким образом задачи опять к алге-
алгебраической системе. Оценка погрешности при применении этого метода,
такого же характера, как упомянутая выше, дана Л. В. Канторо-
Канторовичем и В. И. Крыловым [I], а затем тем же методом для
ряда других случаев И. А. Акбергеновым [1,3].
По существу, эквивалентно этому методу применение к интеграль-
интегральному уравнению вариационного метода, состоящего в разыскании
решения в форме 2а/??(х)> гДе коэффициенты аг определяются из
условия минимума квадратичного функционала
ъ
= $ {? (X) - X (\ К (X, у) <? (у) rfy - / (X) } <р (X)
для которого интегральное уравнение служит уравнением Эйлера.
Сходимость этого метода, так же как и других, близких к нему
(моментов и наименьших квадратов), изучалась в работах Н. М. К р ы-
лова [21] и М. Ф. Кравчука [7,11]. В общем случае ими устано-
установлена сходимость неопределённых интегралов приближённого решения
к точному:
х
lim \ un{x)dx = \ u(x)dx.
Однако при некоторых дополнительных предположениях имеет
место и равномерная сходимость и может быть оценён порядок при-
приближения.
Для уравнений типа Вольтерра (ликейных и нелинейных) метод, сход-
сходный с методом численного интегрирования дифференциальных уравнений,
рассмотрен в работе Ш. Е. М и к е л а д з е [3]. В ней дано также при-
применение этого метода для нахождения собственных чисел и функций обык-
обыкновенного дифференциального уравнения и некоторого уравнения в част-
частных производных, сводящихся' к уравнению Вольтерра.
Другой метод приближённого решения уравнения Вольтерра анало-
аналогичного типа, но с использованием более точных формул квадратур

796 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
и с другой схемой вычислений развит в недавней работе В. И. К р и-
л о в а. На иных соображениях, именно на разложении правой части
по функциям, преобразованным оператором уравнения, основан метод,
предложенный для этой цели Г. М. М ю н т ц е м.
В связи с тем, что всё чаще в приложениях встречаются нелинейные
задачи, приобретает особый интерес приближённое решение нелинейных
интегральных уравнений. Им посвящено у нас несколько работ. В работах
В. П. Ветчинкина [2,5] для интегральных уравнений вида
F{x, u(x)) = u(x) + X^/C(x, s)u°(s)ds
а
детально разработан, в случае вырожденного ядра К (х, s), комбинирв-
ванный метод. Решение разыскивается в форме, определяемой видом ядра,
но с использованием замены интегралов по формуле квадратур и последу-
последующим решением алгебраической системы способом итерации. Для слу1
чая любого ядра осуществлён прямой переход к алгебраической системе
с решением её последовательными приближениями.
Д. Ю. Панов [5, 8, 10] переносит на случай нелинейных инте
Тральных уравнений метод С. А. Чаплыгина, устанавливая сходи-
сходимость соответствующих последовательностей, приближающихся с двух
сторон, и быстроту её порядка — 2~2П.
Построение указанных последовательностей требует на каждом шагу
либо точного решения линейного интегрального уравнения, либо нахо-
нахождения приближённых его решений, между которыми заключено точнее.
Следует указать, однако, что сходимость метода имеет место лишь
в границах, где существование решения гарантируется методом последо-
последовательных приближений.
Специально решению нелинейных интегральных уравнений общего
вида
ь
посвящена работа Д. М. 3 а г а д с к о г о [2]. В ней для указанной целя
предлагается аналог метода Ньютона. Именно, если <р0 (х) — начальное
приближение, то следующее приближение <pj (x) находится из линейнего-
уравнения
?. (*) = \ к; (х, у, <р0 (у)) [?1 (х) - 9о (у)] dy + ^ К (х, у, <р0 (у)) dy.
а а
Аналогичным образом определяются последующие приближения. Сходе*
мость метода гарантируется при известных условиях, наиболее суще{
ственное из которых то, что начальное приближение удовлетворяв!
уравнению с не слишком большой погрешностью. Это гарантируй
и существование решения. Порядок сходимости 2~-п. Как один из воя
можных способов нахождения такого первоначального приближегав
в той же работе развивается использование метода наискорейшег
спуска, применённого Л. В. Канторовичем для линейных ин
тегральных уравнений. Для решения интегральных и интегродиффв"

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 797
ренциальных уравнений, ядро которых зависит от линейной функции ар-
аргументов, Н. С. Смирновым предложено применение рядов Фурье.
. Методике численного решения одного- специального типа интегро-
дифференциальных уравнений с использованием счётно-аналитических
машин посвящена работа В. А. Диткина и И. Я. А к у ш с к о г о [1 ].
Следует, наконец, указать, что многие полезные ^соображения отно-
относительно численного решения интегральных уравнений имеются в ряде
нематематических работ: по физике, астрофизике.теории упругости, гидро-
гидродинамике.
§ 7. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.
За последние десятилетия было установлено большое значение кон-
конформных преобразований в гидродинамике, теории упругости и других
областях прикладной математики. Точное его выполнение удаётся осуще-
осуществить в виде, пригодном для приложений только в случаях особенно
простых областей. В связи с этим возникла потребность создания прибли-
приближённых методов, которые позволяли бы получать результаты там, где точ-
точные методы оказываются бессильными. Они начали развиваться в недав-
недавнее время—в двадцатых годах этого столетия. Мы начнём с описания
метода разложения по степеням малого параметра (Л. В. К а н т о-
рв в и ч [2,4, 12], Л. В. Канторович и В. И. Крылов[1,2],
В. И. К р ы л о в [1 ], М. И. М у р а т о в [1 ]). Допустим, что в плоскости
комплексной переменной iv рассматривается семейство замкнутых ли-
яий Сх, зависящее от параметра X, и ограничивающих односвязные
области ?>д. Пусть уравнение этого семейства есть
F(w, w, >.) = 0.
Функция, конформно отображающая единичный круг | г | < 1 на Сх
или область Dx на единичный круг, будет зависеть от параметра X,
и если F(w, iv, к)—аналитическая функция своих аргументов, то можно
ожидать, что разыскиваемая отображающая функция будет аналитиче-
аналитически зависеть от \. Её можно разложить в ряд по степеням приращения
параметра и последовательно определять коэффициенты такого разло-
разложения. Будем_считать, что речь идёт о преобразовании [круга |z|<l
на Од и F(w, iv, X) голоморфна при малых |Х[. ¦*
Функция, совершающая нужное преобразование | г | < 1 на Dx,
ищется в форме
iv (z, I) = iv0 (г) + XWj (z) + . ..
Чтобы начать последовательное вычисление коэффициентов ivn B)
разложения, нужно Знать функцию iv0 B), совершающую преобразование
круга на Do. Была установлена возможность индуктивного определения
коэффициентов ivn(z) и сходимость разложения iv(z, к) по крайней мере
при малых | а.|. Вычисления особенно простыми оказываются в том случае,
когда Do есть круг и ?>д —область, близкая к нему.
Этот метод даёт возможность выполнять преобразование круга на
области, близкие к Do. В некоторых случаях, как показали примеры,
метод даёт хорошие результаты, даже если ?>д будет далека от Do.
Исходя из результатов изучения зависимости преобразующей функции
от геометрических свойств области и интегральных представлений анали-

798 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
тических функций, М. А. Лаврентьев^] предложил новый способ
приближённого построения функции, выполняющей преобразование
области, близкой к канонической (кругу, полуплоскости, полосе), на эту
каноническую область.
Так, например, если область D плоскости z = re'f близка к кругу
в том смысле, что контур её может быть задан уравнением
|
и е —малая величина, то с точностью до величины порядка еа функция
iv = /B), преобразующая D на единичный круг jiv|<l, представляется
формулой
Аналогичные формулы им были получены для областей- близких к полу-
плоскости и полосе.
П.В. М елентьевым[1,8] был предложен графо-аналитический
метод приближённого построения функции, осуществляющей преобразо-
преобразование круга (или его внешности) на конечную область (или её внешность),
содержание которого заключается в том, что строится полином
о
преобразующий окружность круга в некоторую кривую, имеющую с гра-
границей области 2л общих точек. Сам полином находится последовательны-
последовательными приближениями и для выполнения их требуется графический перенос
точек на контур области и производство вычислений, хорошо известных
в приближённом гармоническом анализе. Последние могут быть проведены
по весьма удобным схемам.
Если область односвязна, то функция Грина G(x, у- х0, уо) =
==1 igr_j_o(Xj у) для неё есть реальная часть логарифма функции {(г),
совершающей конформное преобразование области на единичный круг.
Разыскание же О равносильно решению задачи Дирихле с граничным
условием <р(х, y) = 2^1gf на контуре области. Этот факт может быть
использован для приближённого построения преобразующей функции/ (z).
Будем искать <р в форме гармонического полинома степени л
п
Ф^Рп (г, <р) = а„ +. V] гк (аи cos k<? + bk sin k<?).
Для определения 2л +1 коэффициентов его возьмём такое же число точек ,
Mi{rt, ft) на контуре области и потребуем, чтобы граничное условие
для Ф выполнялось в точках Mt. Это приведёт к системе 2л -f 1 линей-
линейных уравнений
п
по + 2 /¦*(«* cos Л«р(+** sin *<р,)~ j^

приближённые методы : 799
из которой определяются все ак и &*. После этого составляется прибли-
приближённое выражение функции Грина и по ней восстанавливается /(z)
(А. М. Ч у ф и с т о в а [1 ]).
Укажем на попытку эффективного решения одной классической
задачи. Функция, совершающая конформное преобразование полуплоско-
полуплоскости на я-угольник, может быть представлена в форме интеграла Кристоф-
феля-Шварца
о
Применение этой формулы затрудняется тем, что она содержит параметры
ai, •••> ап> трудно поддающиеся определению. Три из них могут быть зада-
заданы произвольно. Остальные же я—3 должны быть найдены из геометри-
геометрических свойств многоугольника. Вопросу об их вычислении была посвя-
посвящена работа Н. П. Стенина [1]. Рассматривая отношения сторон
многоугольника, он составляет систему уравнений для определения
параметров и к её решению применяет способ Ньютона. Оказалось, что
если начальные значения параметров взяты достаточно близкими к истин-
истинным, то получится сходящийся процесс. В частном случае, когда речь
идёт о четырёхугольнике и определению подлежит параметр, отвечав
ющий только одной вершине, за начальное его значение может быть
взято любое число, лежащее в интервале между точками, соответствую-
соответствующими соседним вершинам.
Изящное решение задачи об эффективном конформном преобразова-
преобразовании многосвязной области на плоскость с параллельными разрезами дал
Г. М. Голузин [1]. Проблему разыскания преобразующей функции он
привёл к решению системы линейных функциональных уравнений и уста-
установил, что она может быть решена последовательными приближениями
и получающийся ряд будет сходящимся, если граничные кривые достаточ-
достаточно далеки друг от друга. Особенно простыми вычисления будут в том
случае, когда область представляет собой внешность Л полных кругов.
Наконец, мы укажем ещё методы, которые основаны на экстремаль-
экстремальных свойствах разыскиваемой преобразующей функции. Мы ограничимся
здесь лишь краткими указаниями на источники. Изложение этих методов
можно найти в книге Л.В.Канторовича и В. И. К р ы л о в а [2].
Мы отметим также работы Г. Я. X а жали я [1, 2], в которых он
рассматривает аналогичный вопрос для двухсвязной области.
§ 8. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ]
УРАВНЕНИЙ.
Хорошо известно, что теория многих типов уравнений алгебры и ана-
анализа охватывается общими концепциями функционального анализа.
При этом смысл отдельных теорем и методов становится более ясным, их
исследование значительно упрощается с такой общей точки зрения. В отно-
отношении методов приближённого решения это сделано в наименьшей степе-
степени; однако несомненно, что и здесь использование функционального ана-
анализа должно оказаться плодотворным.
Достаточно указать на известный, почти тривиальный факт теории
функциональных уравнений, что для уравнения вида х = Ах + В сходи-
сходимость метода последовательных приближений (хп+1 = Ахп + В) к решению

800 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
имеет место, если || А ||< 1, а в случае гильбертова пространства и вполне
непрерывного самосопряжённого оператора, если|Х,|>1, где ^ — наи-
наименьшее собственное число. Между тем он заключает в себе ряд теорем
о сходимости метода итераций для линейных алгебраических систем,
а также интегральных и дифференциальных уравнений. То же самое
относится и к нелинейным уравнениям.
Отметим некоторые более новые работы из этой области.
Может быть дана общая теорема (Л. В. Канторович [18])
о приближённом решении функциональных уравнений при замене дан-
данного оператора на близкий к нему, которую приведём в несколько
упрощённых условиях, именно:
Если К и К — операторы, переводящие пространство X типа В,
в себя, х = Vz есть решение уравнения x = Kx + z и выполнено условие
||Г|1||К —К||<<х< 1, то уравнение x=Kx + z также имеет решение X
и при этом
И V Г II <" —^— II Y II
11 * л II -Ч» Y^ll " " '
Из этой теоремы могут быть получены теоремы о приближённом реше-
решении различного типа уравнений, в частности некоторые упоминавшиеся
выше теоремы об оценке погрешности при приближённом решении интег-
интегральных уравнений. В ещё неопубликованной работе того же автора вопрос
рассматривается в более общей постановке, когда данное уравнение Кх=*у
содержит элементы одной пары пространств, а приближённое уравнение
д- = у —элементы другой пары пространств, известным образом связан*
ной с первой. Так, например, обстоит дело, когда мы заменяем прибли-
приближённо интегральное уравнение системой линейных алгебраических ура-
уравнений—оператор в функциональном пространстве заменяется линейным
преобразованием л-мерного пространства в себя. Эта схема позволяет
охватить многие методы приближённого решения дифференциальных'
и интегральных уравнений, не подходящие под первоначальную, и полу« .
чить в общей форме различные теоремы о применимости этих методов.
В работе Л. В. Канторовича [15] развивается приближён-
приближённый метод решения некоторого класса экстремальных задач, основанный
на том, что для краевых экстремумов экстремум нелинейного функционала
y = F(x) достигается одновременно с экстремумом некоторого линейного
функционала. Такой линейный функционал и одновременно решение за-,
дачи разыскиваются последовательными приближениями. Этот процесс,;
применимый и для некоторых математических задач—о решении систем
несовместных линейных алгебраических уравнений, о разыскание
полинома наилучшей аппроксимации,—одновременно даёт эффективное
средство решения задач практического характера—о рациональной
системе раскроя, о наилучшем распределении заданий по станкам, о иа*,,
выгоднейших путях перемещения грузов и др. (Л. В. Канторо*
вич [14]).
i Для более обычного характера задач об экстремуме функционалу
с успехом может быть применён метод наискорейшего спуска, состояний
в том, что, начав с некоторого значения х0, отыскивают направление гр*ь
диента поверхности в точке х0 и двигаются по нему до тех пор, пока функ-
функционал уменьшается,что приводит к первому приближению хи после чег%
процесс продолжается. Этот метод для случая функционала в л-мернЦ

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 801
пространстве, предложенный ещё Коши и вновь выдвинутый в последнее
время на Западе, подвергся разработке» и исследованию в работах
Л. В. Канторовича [21,22].
Метод одновременно даёт средство решения различного типа уравне-
уравнений и задач о собственных значениях, так как эти вопросы сводятся
к задачам об экстремуме некоторых функционалов.
В частности, уравнение в пространстве Гильберта
L{x)-=Ax — B = 0
(А—самосопряжённый оператор в пространстве Гильберта) сводится
к задаче о минимуме функционала Я (х) = (Ах, х) — 2 (В, х) и последо-
последовательные приближения для него имеют вид
:xn~L^)LXn-
Устанавливается сходимость этого метода с быстротой геометрической
прогрессии, знаменатель которой зависит от расположения спектра урав-
уравнения. Это позволяет построить эффективные процессы решения систем
алгебраических уравнений, линейных интегральных уравнений, дифферен-
дифференциальных уравнений, принципиально пригодные для всех случаев,
а также способы нахождения собственных чисел для тех же задач.
В последнем случае применение метода особенно эффективно.
Наконец, отметим одну теорему о приближённом решении нелиней-
нелинейных функциональных уравнений вида Р(х) = 0, где Р—дважды дифферен-
дифференцируемый оператор, переводящий пространство Банаха в себя. Именно,
если известно приближённое решение этого уравнения х0 такое, что
<-») и выполнены некоторые условия
то можно утверждать наличие вблизи него единственного-точного реше-
решения, которое может быть найдено способом последовательных приближе-
приближений Ньютона или другими аналогичными процессами. Эта теорема заклю-
заключает и уточняет, например, известные результаты о сходимости процесса
Ньютона для систем нелинейных алгебраических уравнений, а также упо-
упоминавшиеся результаты Д. М. Загадского о применении метода
Ньютона для нелинейных интегральных уравнений. Следует подчеркнуть
некоторое принципиальное значение этой теоремы; именно, из неё ясно,
что если каким-либо приближённым методом удаётся достаточно точно
удовлетворить уравнению, то, вообще говоря, тем самым устанавливается
и наличие близкого точного решения задачи. Иначе говоря, как правило,
в конкретных случаях калькулятивными методами в известном смысле
решается и проблема существования решения.
51 Математика в СССР за 30 лет

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ.
К. А. СЕМЕНДЯЕВ.
§ 1. Таблицы (8J2)." § 2. Применение ьычиглигелышх прибэроз (807).
§ 3. Математические прибэры (808) § 4. Модели для приближённого решенил
дифференциальных уравнений и некоторых других математических задач (811).
етоды приближённого решения математических задач весь-
весьма существенно зависят от тех вспомогательных средств
для производства вычислений, которые могут быть при
этом использованы. Естественно поэтому, что развитие
прикладной математики вызывает спрос на новые матема-
математические приборы и таблицы и, в свою очередь, появле-
появление новых приборов и таблиц позволяет усовершенство-
усовершенствовать существовавшие до того методы численного реше-
решения многих задач. В дореволюционной России вспомогательным сред-
средствам для вычисления оказывалось мало внимания. Почти никакой
работы не велось по вычислению математических таблиц, а в области
математических приборов сделанная А. Н. Крыловым попытка по-
построения прибора для интегрирования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений осталась совершенно одинокой.
В СССР интенсивное развитие прикладной математики, в связи с воз-
возрастающими потребностями техники и физики, повлекло за собой усиление
работы в области математических таблиц и приборов.
§ 1. ТАБЛИЦЫ.
Возможности упрощения вычислительной работы с помощью таблиц
чрезвычайно велики. Поэтому, несмотря на развитие механизации
математических вычислений, количество таблиц, выпускаемых во всбм
мире, всё время возрастает. В основном таблицы можно разделить на три
категории: 1) таблицы специальных функций (бесселевых, эллиптических
и т. п.), 2) элементарные таблицы общего назначения—таблицы умно-
умножения, квадратов, обратных величин, логарифмов, тригонометрических
функций и 3) таблицы специального назначения, служащие для решения
узкого класса задач (таблицы геодезические, навигационные и т. п.).
Этот последний тип таблиц мы будем затрагивать в настоящем обзоре
лишь постольку, поскольку они связаны с теоретической работой по
конструированию таблиц.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 803
Из оригинальных таблиц бесселевых функций в первую очередь
следует упомянуть таблицы, вычисленные А. Н. Д и н н и к о м [1,2]
для некоторых функций Бесселя от комплексной переменной
{/«(х), Мх), JA*i31*), JAxi3'-)] и функций дробного порядка
»(х) и /„(х) для п=± 2 > ±4; ± Т; ±Т; ±Т; ± Т' ± б"] '
содержащие также значения первых нулей этих функций. Эти таблицы,
чвляющиеся продолжением работы, начатой их автором ещё в 1911 г., пере-
печатывались в широко известных немецких таблицах Янке и Эмде
и Хаяши, (притом без исправления довольно значительного количества
содержащихся в них ошибок).
Таблицы Н. Гришкова [1] для J±43(x), J±2/3(x); /±1/3(х)
и /,2/s(x) представляют ссбсй расширение соответствующих таблиц
А. Н. Динника.
Для /у3(х) более точны и подробны таблицы В. Р. В у р с иа н а [1],
содержащие (-*^~1/з/у3(х) для х<1, 2 и e-*hh{x) для 1, 2<х< 16.
Большая работа по составлению фундаментальных таблиц бесселе-
бесселевых функций была проделана в Математическом институте им. В. А. Сте-
клова АН СССР. Два тома таблиц, содержащих значения /0(х),
/,(х) с 8 — 9 десятичными знаками и hh (х), /-i/3(x), Ka(x), КЛХ),
iH^{ix), H[ly {ix) с 8 значащими цифрами, для аргумента от 0 до 10,0
через 0,001 должны были выйти из печати в 1941 г., однако набор их
погиб во время осады Ленинграда.
В. Р. Б у р с и а н у и В. А. Фоку [1 ] принадлежит небольшая
X X
таблица значений { K0(t)dt и \ h(t)dt, являющаяся до настоящего вре-
п о
мени наиболее подробной и точной таблицей этих функций. В. А. Фок[3]
выпустил также таблицы функций Эйри *), получивших за последние
годы ряд применений в разнообразных прикладных задачах, ликвиди-
ликвидировав тем самым существенный пробел в мировой табличной литературе.
Вслед за бесселевыми функциями наиболее распространёнными спе-
специальными функциями являются эллиптические.
Русские таблицы эллиптических интегралов появились лишь после
революции, причём первые, изданные Гидрологическим институтом **),
представляют собой краткое извлечение с частичным исправлением оши-
ошибок из фундаментальных таблиц Лежандра. Появившиеся позднее
таблицы Н. С. Самойловой-Яхонтовой[1] уже существенно
отличаются от таблиц Лежандра: они расположены по аргументу
ft' = sina0, а не по G. Одновременно с таблицами Н. С. Самойло-
Самойловой-Яхонтовой вышли таблицы эллиптических интегралов
В. П. Ветчинкина [4], содержащие разнообразный материал,
главным образом, заимствованный из различных иностранных источников
*) Функциями Эйри называют определённым образом нормированные решения
уравнения z" = xz. Они могут быть выражены через
¦3
р
'±•/.(¦
**) См. Бюлл. Рее. гидролог, ин-та, 5 A922), 9—12 и Зап. Гидролог, ин-та,
6 A932), 52.
51*

804 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
(не всегда достаточно критически).Из вычисленных автором заново таблиц
к9
в первую очередь следует отметить таблицы значений К, Е, -^, Igq
для к3, близких к единице.
И. М. Рыжик указал, что во многие* формулы для специаль-
специальных функций задач математической физики удобно ввести предложен-
предложенную им функцию
s^ У>- г
В своей книге И. М. Рыжик [I] дал значительное число примеров
таких формул, относящихся к различным специальным функциям, таб-
таблицы функции S (z, у), а также таблицы коэффициентов полиномов Лежан-
дра, Якоби, Чебышева, Эрмита и Лагерра.
В целом ряде работ физиков и техников встречаются вычисленные ими
для специальных прикладных целей таблицы некоторых функций, могу-
могущих найти различное применение. Укажем, например, на таблицы
¦П./2
интеграла Т{и, а)— \ e-usln<-x+a')dxB статье Л. Д. Розенберга [1]
о
и таблицы одного интеграла по комплексному переменному в статье
В. А. Фока [2].
К специальным функциям можно отнести также многозначные табли-
таблицы логарифмов. Б. В. Нумеровым был предложен [4] новый
метод интерполирования в таблице логарифмов с помощью производной,
предполагающий использование арифмометра или таблицы логарифмов
с меньшим числом знаков, и даны полные шести- (на трёх страницах)
и десятизначные таблицы логарифмов [2], приспособленные для этого
метода. Гораздо больший интерес представляет небольшая табли-
таблица М. Ф. Субботина [б], весьма рациональным образом исполь-
использующая применявшийся и ранее приём представления любого числа N
в виде JV = JVOA ± z), где z мало. Тем же автором [5] были состав-
составлены удобные многозначные таблицы тригонометрических функций, к
сожалению, не изданные до настоящего времени в удобном для пользо-
пользования виде.
Упомянутые выше таблицы В. П. Ветчинки и а [4] также содер-
содержат в сокращённой фэрме таблицы семизначных логарифмов чисел
и тригонометрических функций ( log S'J) "* , log —fr- ? log cos a V Сокра-
Сокращение объёма таблицы логарифмов чисел достигается введением шага,
значительно увеличенного по сравнению с шагом обычных таблиц и при-
притом различного в различных частях таблицы (однако допускающего
линейную интерполяцию).
Таблицы показательных и гиперболических функций для аргу-
аргумента, выраженного в долях я, вычисленные М. В. Николае-
Николаевой [1], являются более полными, чем все соответствующие иностран-
иностранные таблицы.
Вопросом о составлении таблиц неполных Г- и В-функций, имею-
имеющих широкое применение в математической статистике, занимался
Е. Е. С л у ц к ий [1, 2]. Он поставил главной своей задачей построение
небольшой по объёму таблицы, позволяющей сравнительно простой тех-
техникой интерполяции получать значение функции для произвольных зна:

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 805
чений аргумента. Это достигается путём введения надлежащих вспомога-
вспомогательных переменных, являющихся аргументами таблицы.
В отличие от перечисленных выше таблиц последние две работы
представляют собой не таблицы, но лишь теоретическую разработку струк-
структуры таблиц. В области теории построения таблиц особую роль играют
работы Л. Я. Нейшулера. В этих работах автор последовательно
развивает совершенно новые теоретические вопросы, заново ставит и ре-
решает в общем виде ряд задач по конструированию таблиц, которые до него
решались только как отдельные частные задачи. Свои теоретические иссле-
исследования Л. Я. Н е й ш у л е р сопровождает значительной практической
работой, выпуская большое число таблиц, хорошо иллюстрирующих
его теоретические результаты.
Остановимся более подробно на основных работах Л. Я. Не й-
шулера. Чрезвычайно ценным является введение Л. Я. Н е й ш у-
л е р о м ряда характеристик таблиц—сдвиг, число членов, число изме-
измерений и т. д. *). Наибольшее число работ Л. Я. Нейшулера отно-
относится к задачам, связанным с табулированием функций многих перемен-
переменных, так как с возрастанием числа переменных эффективность предлага-
предлагаемых им методов сильно возрастает. Называя fc-членной таблицу, состоя-
состоящую из к таблиц, каждая с двумя входами, автор полностью исследует
вопрос о допустимости построения двучленных таблиц функции трёх
переменных [12, 25], трёхчленных таблиц функции двух, трёх и четырёх
неременных [10, 12, 25], а также и о возможной структуре этих таблиц.
К этим работам близко примыкают работы о некоторых типах таблиц для
функций специального вида трёх, четырёх, шести и большего числа пере-
переменных (Л. Я. Н е й ш у л е р [ 13, 22,23,24,27]). Примерами приложений
результатов указанных выше работ могут служить таблицы Л. Я. Не й-
шулера [8, 17, 26] и заметка Л. И. Шатровского [1].
Все типы таблиц, приведённые в перечисленных выше работах, устрое-
устроены так, что в пределах заданной точности значения искомой функции для
любых систем значений аргументов из той области, для которой построена
таблица, определяются только рядом смотрений в таблицу. Однако
Л. Я. Н е й ш у л е р о м [14, 19] даны также некоторые типы таблиц
аддитивных, в которых для получения искомого результата к основному
найденному в таблицах числу нужно прибавить некоторые поправки,
находящиеся здесь же в таблице.
Особо следует остановиться на нескольких работах Л. Я. Нейшу-
Нейшулера, посвященных табулированию функций, заданных неявно. Разра-
Разработанные им конструкции таблиц позволяют по существу решать системы
уравнений. В конструкции более общего типа (Л. Я. Нейшулер
[14, 21 ]) предполагается наличие грубого приближённого решения, уточ-
уточнение которого достигается сразу с помощью таблиц. Весьма оригиналь-
оригинальной является конструкция таблиц для несколько специального класса
функций трёх или четырёх переменных, использующая для решения у рав-
равнения совершенно новый приём — нахождение равных чисел в различ-
различных столбцах таблицы (Л. Я. Нейшулер [16, 21]). :—¦
Для точных таблиц умножения, квадратов, кубов целых чисел
Л. Я. Нейшулером [1, 2, 4, 5, б, 9, 15, 18, 20] дано несколько кон-
конструкций, в основном использующих метод слитного суммирования,
т. е. такого построения таблицы, когда результат .получается путём
*) Определение этих понятий см. Л. Я. Нейшулер [18].

806 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
последовательного приписывания отдельных находимых в таблице
групп цифр.
Две подобного типа таблицы умножения были опубликованы также
А. А. Ч у д о в ы м [2, 3].
Отметим, наконец, некоторые таблицы, особенностью которых являет-
является приём сокращения объёма таблиц путём выбора специально подобран-
подобранной сетки значений аргумента, обеспечивающей наименьший объём при
заданной степени точности (Л. Я. Нейшулер [3, 11, 24]). В заключе-
заключение следует указать, что, хотя некоторые таблицы Л. Я. Нейшулера
имеют больше теоретическое значение, чем практическое, табулирование
многих функций было бы невозможно без развития созданных им методов.
Из теоретических работ, посвященных табулированию функций,
можно упомянуть не вполне удачную попытку дать элементарную и
по существу чисто описательную теорию построения таблиц в книге
Л. И. Брагинского [1], интересную лишь далеко проведённой ана-
аналогией между таблицами и номограммами. Вопросам, связанным с вычи
слением таблиц, посвящены также заметки Н. И. И д е л ь с о н а [1 ], пред-
предлагающего новый приём субтабулирования, использующий формулу Эве-
ретта, Я. С. Бе зико в ич а [2|, указывающего па возможность приме-
применения во многих случаях для уточнения таблиц метода последовательных
приближений Пикара, Б. В. Нумерова [1] и Г. М. Баженова[2].
В дополнение к уже упомянутым таблицам остановимся ещё на
нескольких таблицах умножения и деления. Таблицы умножения можно
разбить на два типа: таблицы, позволяющие сразу прочитать искомое про-
произведение для любых сомножителей, имеющих определённое число зна-
знаков, и таблицы алгорифмические, с помощью которых последовательно
получаются отдельные цифры или группы цифр произведения, причём
число знаков у множимого не ограничено, а у множителя не велико (один
или два). К первому типу относятся таблицы Л. Г. Асатиани [1, 2]
и уже упомянутые выше таблицы Л. Я. Нейшулера и А. А. Ч у д о-
в а. Ко второму типу относятся таблицы А. А. Зернова [4], А. А. Ч у-
дова [1 ] и Л. Я. Нейшулера [5]. Таблицы Л. Г. Асатиани
снабжены дополнительными табличками, позволяющими уточнять резуль-
результат при пользовании этими таблицами для деления на многозначный
делитель. Таблицы А. А. Чудова [1] могу г служить как алгорифмиче-
алгорифмические таблицы при делении на двухзначное число. Большими приближён-
приближёнными таблицами частных являются таблицы М. И. Эйдельнан-
та[1] (двухзначные делимые, трёхзначные делители, частное с шестью
знаками) и Л. Я. Нейшулера [1] (делимое — однозначное, делитель-
четырёхзначный, частное — семизначное).
Как видно из предыдущего, в области построения таблиц советская
наука добилась значительных успехов. Развита оригинальная теория
табулирования, результаты которой позволили построить много таблиц,
имеющих разнообразное практическое применение, всё время ведётся рабо-
работа по вычислению различных специальных функций. Остаётся лишь
пожелать ликвидировать отставание в деле вычисления фундаментальных
таблиц математических функций. Несмотря на то, что некоторые шаги
в этом отношении были уже сделаны *), до настоящего времени работа по
вычислению таблиц остаётся неорганизованной.
*) См. Совещание по организации и координации работ по составлению таблиц
специальных функций. (Обзор докладов и погтанозления.) ИАН, ОТН, 6 A938),
117—118.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 807
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ.
В этом параграфе мы остановимся на вопросах, связанных с приме-
применением различных вычислительных приборов и машин для математических
расчётов.
В задачу настоящей статьи не входит перечисление многочисленных
и разнообразных руководств по пользованию счётной линейкой и ариф-
арифмометром. Мсжло указать лишь несколько небольших заметок (Н. Н. П а в-
л о в [1 ], М. М. С е г е л ь [1, 2]). Исключения заслуживает только бро-
брошюра М. М. Фивейской [1], содержащая едва ли не единственную
в мировой литературе подробную теорию логарифмических счетных
линеек с разрезанными шкалами.
Основной интерес в данном разделе представляют вопросы, связанные
с использованием счётных автоматов. Эти вычислительные машины, изве-
известные также под именем счётно-аналитических машин, были созданы для
нужд статистики и бухгалтерского учёта. Вычисления на них выпол-
выполняются автоматически по данным, нанесённым в виде отверстий в опреде-
определённых местах на специальных карточках из плотной бумаги (перфокар-
(перфокартах). Инициатива применения этих машин для математических вычислений
в Советском Союзе принадлежит И. Н. Я н ж у л у. В своих работах
[1, 2, 3] он даёт краткое описание существующих машин и указывает на
ряд их простейших применений для математических и астрономических
вычислений. Позже И. Я. Акушским [5, 8] было дано более детальное
описание принципов работы подобных машин, в том числе некоторых
моделей, не описывавшихся никогда на русском языке.
Начатая И. Н. Янжулом работа получила дальнейшее широкое
развитие в отделе приближённых методов анализа Математического инсти-
института им. В. А. Стеклова АН СССР, создавшем специальную счетную стан-
станцию, где ведётся работа по дальнейшему расширению области примене-
применения счётно-аналитических машин. На этой станции проведено также боль-
большое количество массовых и экспериментальных вычислений.
Остановимся более детально на отдельных вопросах.
Большое число математических задач сводится к вычислению сумм
произведений вида ]?а,-&,-. Для вычисления таких сумм И. Н. Янжу-
i
лом было предложено два способа: один из них с использованием спе-
специальной, создаваемой заранее картотеки был распространён в нескольких
вариантах И. Я. А к у ш с к и м [2] на практический гармонический
анализ. Другой, в котором умножение осуществляется путём последова-
последовательного сложения множимых по весьма остроумной схеме был детально
рассмотрен И. Я. Акушским [4]. В. А. Диткин и И. Я. Акуш-
ский[1,2] дали также хороший пример применения этого способа. Да-
Далее И. Я. А ку ш с к им [6] была разработана схема для вычисления выра-
п
жений вида 2 ЬУик для разных к, могущая найти себе применение,
как указывает автор, при численном интегрировании дифференциальных
уравнений и субтабулировании.
Три заметки И. Я. А к у ш с к о г о [1, 3, 4] посвящены рассмотре-
рассмотрению возможности использования счётно-аналитических машин для числен-
численного решения задачи Дирихле методом конечных разностей.После несколь-
нескольких простейших вариантов были указаны две возможности добиться боль-
большей эффективности работы машин: 1) производить одновременный подсчёт

808 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
искомой функции в точках, симметричных относительно координатных
осей, 2) сокращать числа потребных перфокарт, учитывая некоторые осо-
особенности формулы Либмана. Важно отметить, что рассмотренные
И. Я. Акушским методы могут быть перенесены и на пространствен-
пространственную задачу.
Из большого числа конкретных задач, решение которых произведено
на счётно-аналитических машинах, стоит упомянуть решение одного инте-
гро-разностного уравнения, встретившегося в одной задаче теории чисел
(А. А. Б у хшт а б [1]).
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ.
Для решения различных математических задач существуют всевоз-
всевозможные приборы. Каждый такой прибор представляет собой по существу
модель механическую, электрическую, гидравлическую и т. п., такую, что
величины, могущие быть измеренными на модели (перемещения, напря-
напряжения, токи, давления), удовлетворяют как раз тем уравнениям (алге-
(алгебраическим, дифференциальным, интегральным и т. п.), решение которых
ищется.
Задачи, для решения которых применяются математические приборы.,
весьма разнообразны. Одними из первых возникли 70—80 лет тому назад
различные механические интегрирующие приборы —планиметры, инте-
интеграторы, интегриметры и интеграфы, позволяющие находить площадь
и моменты различных порядков относительно заданной оси, а так-
также интегралы с переменным верхним пределом от функции, заданной
графически. К тому же классу приборов следует отнести и гармони-
гармонические анализаторы, так как нахождение коэффициентов Фурье тоже
взодится к интегрированию произведений заданной функции на
известные.
Систематическая работа в этой области в Советском Союзе не велась.
. Можно указать лишь отдельные эпизодические малосущественные заметки,
посвященные уже известным конструкциям (Г. Н. Л и о д т [1 ], Д. С а-
вин [1], К. А. Семендяев [1]), а также ряд вновь предложен-
предложенных схем приборов (Н. Е. К о б р и н с к и й [1 ], Б. Л. Л а п т е в [1],
Е. Люстих [1], К. В. Меликов [1], С. Д. Пономарёв [1]),
нуждающихся, однако, в дальнейшей технической разработке. Лишь
два прибора, связанных с графическим заданием функции в полярных
координатах, были реализованы. Это пространственный интеграф
М. Л. Франка [1], позволяющий по графику р = /(М) получить
кривую р= Jft ¦¦ и обратно, и анализатор Л. К. Мартенса [1], служа-
служащий для вычисления интегралов \ i'('f)dcp по графику P = p(<f)- Послед-
Последний используется для приближённого гармонического анализа.
Наиболее ценная работа в области механических интегрирующих
приборов была проведена И. С. Б р у к о м [1,2], сконструировавшим
большую машину для интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений по типу машины Буша, построенной в США в 1935 г. Основ-
Основным элементом машины И. С. Брука является интегратор томсонов-
ского типа, состоящий из двух соприкасающихся дисков, плоскости кото-
которых взаимно перпендикулярны. Меньший из этих дисков может переме-
перемещаться перпендикулярно к своей плоскости, вдоль радиуса большего

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 809
диска. Если обозначить расстояние точки соприкосновения дисков от
центра большего через г, угол поворота большего диска через <р, то, как
легко видеть, угол поворота меньшего диска будет равен \ г rf<?.
Каждый интегратор снабжён специальным, оригинальной конструкции,
усилителем, представляющим собой так называемую следящую систему,
поворачивающуюся на тот же угол, что и интегрирующий диск, и позво-
позволяющую передать этот поворот на другие части машины со значитель-
значительным усилием при ничтожной нагрузке на интегрирующий диск, что исклю-
исключает возможность проскальзывания. Машина И. С. Брука состоит
из шести таких интеграторов и механических приспособлений, с помощью
которых можно передавать вращение одних дисков на другие,преобразовы-
другие,преобразовывать в смещения интегрирующих дисков, складывать, умножать на различ-
различные коэффициенты и т. п. Выполнив надлежащим образом связи, так,
чтобы образовалась замкнутая механическая система, моделирующая
заданное дифференциальное уравнение, можно привести машину в движе-
движение. Графики зависимости каких-либо двух переменных величин
в функции третьей могут быть записаны при этом автоматически. В настоя-
настоящем кратком обзоре нет возможности более детапьно остановиться
на устройстве этой машины. Вопросы точности работы подобного рода
машин рассмотрены М. Л. Б ы х о в с к и м. И. С. Б р у к о м [4] была
также указана возможность замены механических интеграторов элек-
электрическими с сохранением всей принципиальной схемы.
Машина И. С. Брука представляет собой сложное счётно-решаю-
счётно-решающее устройство, отчасти похожее на специальные счётно-решающие
устройства, получившие применение в военной технике (пуазо, корректо-
корректоры и т. п.). Мы не будем здесь рассматривать эти приборы, а ограничим-
ограничимся лишь указанием на богатую содержанием книгу Н.А. Лившица,
А. В. Данилова и Д. В. Спицы на [1], а также статью
Н. Г. Бруевича [2], содержащую описание тех элементарных
звеньев (механических или электрических), из координированной работы
которых складывается работа счётно-решающих устройств.
Электрические схемы с электронными лампами, предложенные
Г. Л. Ш н и р м а н о м [1 ], позволяют интегрировать и дифференциро-
дифференцировать функции, заданные в виде переменных токов. В основном эти
схемы применяются как элементы для счётно-решающих устройств в тех
случаях, когда исходная функция естественным образом получается в
виде переменного тока. Кроме примеров применения своих приборов
в сейсмологии, Г. Л. Ш н и р м а н даёт также способы получения
переменного тока, соответствующего произвольно заданной функции,
с помощью фотоэлементов, однако достигаемая при этом точность не
очень велика.
Отметим, наконец, в числе интегрирующих приборов фотоэлектриче-
фотоэлектрический планиметр, построенныйМ. Л. Франком [11, 12]. В этом приборе
поток света, пропускаемый через отверстие заданной формы, измеряется
фотоэлементом, что даёт возможность найти площадь отверстия. Разра-
Разработанная автором компенсационная методика измерения повышает точ-
точность измерения, а применение специальных светофильтров позволяет
находить интегралы вида \ \ f(x, y)dxdy (правда, довольно грубо).
Перейдём теперь к вопросу о решении алгебраических уравнений
механическим путём. Н. Г. Бруевичем[1] был дан краткий обзор

810 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
предложенных для этой цели приборов. Более подробный обзор посвя-
посвятил В. М. П р о ш к о 12] решению систем линейных алгебраических
уравнений.
Приборы, служащие для решения алгебраических уравнений, можно
разбить на две группы. К первой отнесены приборы, непосредственно
моделирующие данную систему, так что, придав величинам, изобража-
изображающим коэффициенты и правые части уравнений, заданные значения,
можно непосредственным измерением получить значения неизвестных.
К этой группе следует отнести кинематические стержневые механизмы
И. М. Рабиновича [1], в которых коэффициенты моделируются
длинами отдельных звеньев механизма (или их проекций), правые части —
перемещениями последнего звена, а неизвестные выражаются через
углы поворота звеньев. Гидравлические модели, основывающиеся на
свойствах жидкостей в сообщающихся сосудах, были предложены
A. Е. Д о н о в ы м [1] и В. С. Морозовы м*). В обеих моделях
коэффициенты моделируются геометрическими размерами (у B.C. Моро-
зов а —площадями цилиндров, ay A. E. Донова — расстояниями
между осями уравновешивающих рычагов и точками приложения
давлений от отдельных поршней), а неизвестные—давлениями. К той
же группе следует отнести и электромодели Л. И. Гутенмахера,
которые будут подробно рассмотрены дальше.
Вторую группу образуют приборы, облегчающие процесс решения
уравнений каким-либо определённым образом, чаще всего по методу
итераций. К этой группе относится электрический прибор, построенный
К. В. Самсон овым[1], схема которого была затем развита и усо-
усовершенствована В. М. П р о ш к о [1, 3]. Прибор этот состоит из системы
потенциометров, в которых величины коэффициентов, свободных членов
и неизвестных задаются на реостатах. Система подвижных контак-
контактов обеспечивает включение сопротивлений моделирующих поочерёдно
каждое уравнение системы. Уравнения решаются методом итераций
Зейделя, для чего они последовательно отображаются на приборе.
B. М. П р о ш к о [2, 31 даёт анализ возможных погрешностей прибора
и расчётные формулы для его конструкции.
К сожалению, ни одна из предложенных конструкций не была
до сих пор реализована в виде пригодного для практических целей
прибора.
Механическому решению алгебраических уравнений высших сте-
степеней посвящены лишь отдельные заметки (П. А. Флорин-
с к и й [1], М. Л. Франк [3], В. X а н о в [1]).
К кругу вопросов, связанных с алгебраическими уравнениями,
примыкают работы С. А. Г е р ш г о р и н а [4, 6] о механизмах для
построения функций комплексного переменного. В первой работе даётся
общая методика построения шарнирного механизма, связывающего две
точки так, что, если одна пробегает по плоскости комплексного пере-
переменного z, другая проходит через соответствующие точки плоскости
С - f(z). Возможность построения такого механизма доказывается для
любой алгебраической функции /(z). Во второй статье более подробно
описывается реализованный механизм для построения функции
*) См. подробное описание прибора В. С. Морозовав статье В. М. П ро ш и о [2].

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 811
§ 4. МОДЕЛИ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
Метод аналогий, основанный на том, что зачастую различные физи-
физические процессы описываются одинаковыми уравнениями (дифференциаль-
(дифференциальными, интегральными или алгебраическими), издавна позволял истолко-
истолковывать по-разному решение одной и той же математической задачи. На
этом же методе основывается и возможность построения моделей физи-
физических систем, описываемых решаемыми уравнениями и позволяющих
измерить величины, моделирующие искомые. Первой задачей, для которой
был применён метод физического моделирования, является задача Дирих-
Дирихле. Н. Н. Павловский [1J ещё в 1922 г. указал на возможность
находить решения ряда плоских задач гидродинамики, измеряя потенциал
станиолевой пластинки соответствующей формы и довольно детально
разработал методику построения моделей*). В дальнейшем этот метод
электро-гидродинамических аналогий (ЭГДА) был применён к решению
пространственных задач гидродинамики (Б. Ф. Р е л ь т о в [1]), задач
теории упругости (С. Г. Гутман [1]) и нашёл, кроме того, довольно
широкое применение в ряде технических расчётов. Позднее была пока:
зана возможность построения гидродинамических моделей для реше-
решения задачи Дирихле.
П. В. М е л е н т ь е в [9] детально разработал технику получения
линий тока плоского, потенциального потока, фотографируя течение
глицерина, подкрашенного марганцевокислым кали. Им же разрабо-
разработана методика расчёта поля по полученным фотографиям.
Однако все описанные «непрерывные» модели, позволяя во многих
случаях получить быстро чёткую картину искомого поля, больше при-
пригодны для качественных целей, чем для расчётных. Для целей количе-
количественных более целесообразным оказалось применение моделей «дискрет-
«дискретных», моделирующих не непрерывную среду, а систему точек. Такие
дискретные модели моделируют по существу уже не дифференциальные
или интегральные уравнения, а соответствующие им разностные, алгебраи-
алгебраические уравнения.
Механическая модель для разностного уравнения, соответствующего
уравнения Лапласа, была предложена С. А. Гершгориным [1,3].
Эта модель состоит из совокупности стержней, перемещение каждого
из которых изображает значение искомой функции в узловой точке ква-
квадратной сетки. Эти стержни связаны между собой шарнирно или через
зубчатые сцепления так, что перемещение каждого из них равно
среднему арифметическому из перемещений четырёх смежных с ним
стержней. Задавая на границе перемещения стержней или разности
перемещений в направлении нормали к границе, можно получить
сразу же решение задачи Дирихле или Неймана. Автор доказывает
при этом, что для смещения одного стержня (при установке граничных
условий) потребуется усилие всего в п~ раз больше, чем на смеще-
смещение одного свободного стержня, если вся модель содержит п2 стержней.
В работе указана также возможность перенести ту же механическую
схему на бигармонические уравнения и уравнения Пуассона.
*) См. также В. И. Д а в и д о в и ч [I].

812 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Через несколько лет С. А. Г е р ш г о р и н [7] предложил значи-
значительно более удобную электрическую модель. Эта модель в простейшем
виде состоит из квадратной сетки узловых точек, соединённых равными
проводимостями. В силу уравнений Кирхгофа напряжение в каждой узло-
узловой точке будет равно среднему арифметическому из напряжений
в соседних точках. С. А. Гершгорин указал, как на такой сетке
решаются задачи Дирихле и Неймана, а также, как этот метод может
быть обобщён на решение пространственной задачи и на решение уравне-
уравнения Лапласа в криволинейной (цилиндрической) системе координат.
Спустя десять лет, Л. И. Гутенмахер, пользуясь теми же идеями,
что и С. А. Гершгорин, с группой своих сотрудников начал вести боль-
большую теоретическую и практическую работу по электромоделирвЬанию,
значительно обобщив и развив методы построения и использования элек-
электрических сеток. Л. И. Г у т е н м а х е р [1, 2, 3, 4, 5, 8] строит сетки
более общего типа, соединяя узлы произвольными двуполюсниками,
содержащими в общем случае активные проводимости, индуктивности
и ёмкости. При этом были разработаны некоторые существенно новые
структуры соединений, а также методы задания правых частей для неод-
неоднородных уравнений, что позволило моделировать широкий класс урав-
уравнений и притом различными способами.
Следующим шагом вперёд является разработанная Л. И. Г у т е н-
м а х е р о м методика использования времени как одной из координат
путём рассмотрения неустановившихся процессов в модели. Эти процессы
описываются разностно-дифференциальными уравнениями, содержащими
разности по пространственным координатам и производные по времени,
и моделируют соответствующие дифференциальные уравнения. Так как
переходные процессы в модели протекают очень быстро, потребовалось
разработать специальные методы, посредством которых начальные условия
задаются периодически, вызывая периодическое повторение всего
процесса, а измерения могут быть произведены в один и тот же момент
в каждом периоде.
На построенных в Энергетическом институте АН СССР под руковод-
руководством Л. И. Гутенмахера электроинтеграторах были получены
решения большого числа различных задач*), показавшие достаточную для
технических расчётов точность (порядка 1 —2%,).
Поскольку схема Л. И. Гутенмахера описывается (если
не рассматривать переходные процессы) алгебраическими уравнениями,
то оказалось возможным рассматривать некоторые схемы как модели для
явлений, описываемых интегральными или интегро-дифференциальными
уравнениями, приближённо заменяя эти уравнения соответствукщими
алгебраическими (М. П. Белаш [1], Л. И. Гутенмахер [7]).
Такой подход к моделям позволяет, в частности, использовать их для
решения ряда задач о нахождении собственных значений и функций.
Дальнейшее развитие идей электромоделирования пошло по линии
привлечения в качестве элементов электронных ламп-усилителей. Исполь-
Использование усилителей расширяет область применения моделей, приводя
к новым интересным приложениям**) (решение систем алгебраических
*) См. Л. И, Гутенмахер [4], Л. И. Г утснма хер, Л. Г. Коган
и И. Н. Попов [1], Ю. Г. Толстое 11,2].
**) См. Л. И. Г у т е и м а х е р [6, 9], Л. И. Г у т е н у. а х е р, И. С. Град-
штейн и В. А. Т а ф т [1], Л. И. Гутенмахер, Н. В. Корольков
и В. А. Тафт [1].

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ S13
уравнений с комплексными коэффициентами, систем дифференциальных
уравнений в частных производных и др.), даже если ограничиться, как
это пока приходится делать по техническим причинам, одномерными
моделями. Однако возникает при этом новая трудность —необходимость
рассмотрения устойчивости модели по отношению к влиянию паразитных
параметров ламп и малых возмущений в начальных условиях. Тщатель-
Тщательное рассмотрение, например, так называемой матричной схемы, служащей
для моделирования системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами
2 (аыу\ + Ькм) = fk (О (Л = 1, 2, ... , п),
приводит нас к-системе более высокого порядка, причём остаётся открытым
вопрос о близости решений этих двух систем. Для данного случая (мат-
(матричная схема) вопрос этот был детально исследован И. С. Град-
штейном [1], причём были получены достаточные условия устой-
устойчивости, заключающиеся в требовании обращения в нуль элементов
матрицы ||flfjt|| по одну сторону диагонали и выполнении неравенств
fl,; > 0 для всех i. Достаточные условия устойчивости были получены
также для матричных схем, служащих для решения систем линейных
алгебраических уравнений. Если систему уравнений записать в матричной
форме в виде
то для устойчивости соответствующей модели достаточно, чтобы все корни
уравнения \А + кЕ\-0 (? —единичная матрица) имели отрицательную
вещественную часть или чтобы сходились некоторые процессы последо-
последовательных приближений для решения заданной системы.
А. Л. Г о ф л и н ы м [1] и Н. В. К о р о л ь к о в ым[1] были
построены и исследованы экспериментально две модели с усилителями
(для дифференциального уравнения балки на упругом основании и для
системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами).
J1. И. Гутенмахером[8] были разработаны схемы, моделирую-
моделирующие некоторые вычислительные процессы. Эти схемы позволяют автомати-
автоматизировать некоторые вычисления, выполняемые систематически по одним
и тем же формулам, например, численное интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений разностным методом. К тому же типу нужно
отнести схему, предложенную Ю. Г. Т о л с т о в ы м [4] для вычисле-
вычислений по реккурентной формуле
Уп;* = — [Ьк-{гоук+... +cn-iyk-\n-i)} (k = 0, 1, ... ,),
и построенный им же прибор для численного гармонического анализа
и синтеза по 36 ординатам (см. Ю. Г. Толстое [3]).
Л. А. Люстерник [б, 7] разработал метод применения элек-
электрических моделей, состоящих только из сопротивлений и ёмкостей, для
нахождения собственных значений уравнений Штурма-Лиувилля и не-
некоторых других плоских и пространственных самосопряжённых уравне-
уравнений. Этот метод основан на том, что если, наряду с уравнением

814 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Ау + лу = О (у — л-мерный вектор, А — л-мерная симметрическая матрица,
аппроксимирующая соответствующий оператор), рассмотреть уравнение
—у- = кАу, то, вообще говоря, при достаточно большом t можно считать
у — Суj e~kXlt, где >.,— наименьшее собственное значение, а у2 —соответ-
—соответствующий собственный вектор. Выбирая надлежащим образом начальные
условия, можно последовательно определить и остальные собственные
значения. Экспериментальная работа по этой схеме была проведена
A.M. Прохоровым*).
Гидравлическая модель уравнения теплопроводности, в которой
производные по пространственным коордкнатам заменены разностями,
была создана В. С. Л у к ь я н о в ы м [1]. Основным достоинством этой
модели является её большая наглядность, обусловленная простотой ана-
аналогии между течением тепла и течением жидкости. Однако точность полу-
полученных на ней результатов не очень велика и круг задач, решаемых на
этой модели, весьма ограничен как по типу уравнений, так и по числу
измерений. Это явилось основной причиной того, что электрические
модели в своём развитии зашли далеко вперёд по сравнению с гидравли-
гидравлическими.
Подводя итоги, мы можем заметить, что работа по развитию и приме-
применению вспомогательных средств для вычислений велась в разносторонней
тематике по всему Советскому Союзу. За последние годы значительная
часть работы в этом направлении сконцентрировалась около трёх тем:
применение счётно-аналитических машин к математическим вычислениям,
теория построения таблиц функций многих переменных и создание различ-
различных электромоделей. Здесь советской математикой достигнуты значитель-
значительные успехи, а степень активности работы по этим темам позволяет ожидать
ещё больших результатов в ближайшем будущем.
*) См. Л. А. Л юстерник и А. М. Прохоров [1].

НОМОГРАФИЯ.
С. В. БАХВАЛОВ.
омография — сравнительно молодая область математики.
Разработка основных её вопросов началась в восьмидесятых
годах прошлого столетия. Основателем номографии нужно
считать французского математика Оканя.
Предложенный им метод «Из выравненных точек»
является основным методом в современной номографии
и состоит в следующем. Предположим, что уравнение
F{u,v,w) = O
равносильно уравнению следующего вида
A, (и) А% (и) А3 (и)
B, (v) Bt (v) В, (ф)
C, (w) C2 (и>) Cs (и>)
= 0.
(I)
B)
Принимая элементы каждой строки этого определителя за проективные
координаты точки, получим на плоскости три линии (шкалы) с отметками
параметров и, v, w. Параметры и, v, w, удовлетворяющие уравнению A),
определяют на плоскости три точки, принадлежащие одной прямой.
Обратно, если три точки номограммы лежат на одной прямой, то отметки
и, v, w параметров этих точек удовлетворяют уравнению A). Окань
построил «морфологическую» теорию номограмм, в которой дал клас-
классификацию существующих и всех теоретически возможных видов номо-
номограмм. Метод из выравненных точек для уравнения с тремя переменными
получил дальнейшее развитие в применении к уравнениям со многими
переменными. Сюда нужно отнести метод двойного выравнивания, номо-
номографирование при помощи бинарных полей и бинарных шкал.
В разработке общей теории номограмм принимали участие крупней-
крупнейшие номографы Соро, Кларк, Швердт и др., а также русские учёные
Н. М. Герсеванов, А. К. Власов. Н. М. Герсеванов дал
новый вид номограмм из равноудалённых точек. А. К. Власов показал,
что, если производить на коническом сечении одновременно операции
сложения и умножения вурфов, получаем номограмму первого жанра
канонического уравнения четвёртого порядка типа Коши.

ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Разработка теоретических и практических вопросов номографии
в Советском Союзе началась в тридцатых годах настоящего столетия,
и за короткий срок были достигнуты большие результаты
Расцвет советской номографии связан с именем Н.А. Глаголева
A888—1945 гг.). Он возглавил первый в Советском Союзе научный центр
по номографии—научно-исследовательский номографический семинар
при научно-исследовательском институте математики Московского уни-
университета, труды которого имеют большую научную ценность. Этот
семинар объединил работу всех советских номографов и явился центром
современной номографической мысли. Н. А. Глаголев являлся
не только организатором и руководителем номографического семинара.
Он дал целый ряд интересных и принципиально важных работ по
номографии. Водной из них (Н. А. Глаголев [2]) он показывает,
что роль проективной геометрии в номографических построениях не
исчерпывается лишь установлением связи между сетчатыми номограм-
номограммами и номограммами из выравненных точек. Развивая идеи А. К. Вла-
с о в а, Н.А. Глаголев показал, что всё проективное исчисление
вурфов целиком совпадает с задачей номографирования уравнения третьего
номографического порядка, при этом трём каноническим формам этих
уравнений соответствуют три проективных действия: сложение, умно-
умножение и действие, определяемое проективитетом с двумя мнимыми двой-
двойными точками.
В номографическом семинаре много внимания уделялось вопросу
приведения номограмм к виду, наиболее удобному для их использования.
Н. А. Г л а г о л е в [6] даёт интересное экспериментальное решение
этой задачи путём проектирования данной номограммы эпидиаскопом
на косой экран и определения на нём четырёх контрольных точек, опре-
определяющих искомое преобразование.
Этот же вопрос изучает М. В. П е н т к о в с к и й [1, 2, 3]. Рас-
Рассматривая проективное преобразование как движение в проективной
плоскости, он получает наглядную картину деформации, расположенной
на плоскости номограммы при проективном её преобразовании. Построив
специальные сетки для преобразования номограмм, он получает возмож-
возможность не только качественной оценки влияния изменения параметров
преобразования номограммы, но и даёт весьма простые геометрические
приёмы преобразования номограмм; при этом значения соответствующих
параметров в аналитической форме преобразования находятся без допол-
дополнительных вычислений.
Члены номографического семинара посвятили целый ряд работ про-
проблеме общей анаморфозы, состоящей в определении необходимых и доста-
достаточных условий того, чтобы уравнение A) было равносильно урав-
уравнению B).
X. А. Б и т н е р [1] даёт необходимые и достаточные условия ана-
морфозируемости1 функции трёх переменных, т. е. следующего предста-
представления функции
Ах (и) А, (и) Ая (и)
B, (г) B,(v) Bt{i)
C, (w) С, (w) С3 (w)
В другой своей работе X. А. Б и т н е р [2] рассматривает задачу
приведения уравнения A) к уравнению вида B) в предположении, что

НОМОГРАФИЯ 81Т
номограммы первого жанра. В работе получены необходимые и достаточные
условия такого представления и указан способ преобразования уравне-
уравнения A) в уравнение B).
А. И. Молдавер[1] рассматривает задачу построения номограм-
номограммы уравнения Ф(ги z2, zs) = O, приведённого к виду
/ (*i, 22) <р3 СО + g («I, Zt) 0s (Zz) + h(zlt 22) = 0,
и получает необходимые и достаточные условия для построения обобщён-
обобщённой номограммы, в которой выравнивание производится по одной из
отсчётных линий семейства
/ {zv г,) г (х, у) + g (zx ,z2) s (x, y) + h (zlf z2) = 0.
К таким семействам принадлежат совокупности всех прямых плоскости,
окружностей, проходящих через данную точку, совокупность окруж-
окружностей, центры которых лежат на данной прямой, и др. В частности,
полученные условия являются необходимыми и достаточными для по-
построения номограммы из выравненных точек уравнения
/ (*1, **) ?, (Zs) + g Uu «i) 4 («.) + h {ZU Zt) = 0.
В ряде работ П. В. Николаев [1—8] рассматривает вопрбс
анаморфозы алгебраических уравнений, устанавливая единственность
анаморфозируемости уравнения Массо с точностью до коллинеации.
В других работах П. В. Николаев показывает, что допустимые,
но не коллинеарные преобразования плоскости номограммы уменьшают
число базисов и что возможны лишь для уравнений нулевого жанра.
Далее он определяет условия рациональной анаморфозируемости урав-
уравнений и выводит для неё алгоритм. Им изучается также вопрос об
анаморфозе симметричных уравнений.
"С. В. Б а х в а л о в *) получает необходимые и достаточные усло-
условия представления функции F(u, v, w) в виде
F (и, v, w) = о (и, v)
A, (и) Аг (и) А3 (и)
B, (v) В, (v) Ba (v)
Сг (w) С2 (w) Cs (w)
Вопросы приближённой анаморфозы представлены в работах
М. Л. Франка и И. Н. Д е н исюка. М. Л. Франк [10] указывает
метод построения номограмм из выравненных точек в тех случаях, когда
теоретически метод Оканя является неприменимым. При этом две шкалы
будут вполне точными, на третьей же шкале получается вполне точно три
точки. И. Н. Денисюк [б], в отличие от М. Л. Ф р а н к а, даёт
аналитическую постановку задачи приближённого номографирования
и указывает метод её решения.
И. А. В и л ь н е р [8, 9] даёт полное решение вопроса номографи-
номографирования аналитических функций w = f'(z) комплексного переменного
в предположении, что шкалы переменных a, b (z = a+ bi) прямолиней-
прямолинейные. Он определяет все виды аналитических функций, удовлетворяющих
условиям номографируемости при двух прямолинейных шкалах.
*) Работа находится в печати.
52 Математика в СССР за 30 лет

818 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
А. А. Г л а г о л ев [2, 3] впервые применил теорию уникурсальных
линейных рядов к построению номограмм и получил как новые типы номо-
номограмм, обобщающие номограммы Кларка, так и новый бездетерминантный
метод решения общего уравнения третьего номографического порядка
в номограммах второго жанра. Он же в неопубликованной ещё работе
показал, что как исследования Кели, Сальмона и других, относящиеся
к линейным уникурсальным рядам, так и предложенные Штурмом спо-
способы построения трилинейного соответствия, по тем или иным данным,
можно применить для получения новых типов номограмм некоторых
уравнений шестого номографического порядка и для весьма значи-
значительного расширения метода критических точек.
А. И. М о л д а в е р [4] рассматривает вопрос применения уникур-
уникурсальных кривых в номографии.
Морфологическая теория номограмм, предложенная основателем
номографии, получила развитие в работе П. П. Андреева [2], где
даны новые виды номограмм; для ряда номограмм получены обобщения.
К сожалению, в небольшой статье не представляется возможным дать
полный обзор всех работ по теоретической номографии за тридцать лет.
В то же время нельзя не отметить имена советских математиков
О. В. Ермоловой, П. Н. Поповой-Глаголевой,
А. И. Мандзюк, Д. И. Перепёлкина, М. И. Горбунова-
Посадова и других, которые своими исследованиями в области номо-
номографии способствовали успешному её развитию в Советском Союзе. Совет-
Советские номографы Н. А. Глаголев, И. Н. Денисюк, М. В. Пент-
к о в с к и й, Б. А. Невский и др. много внимания и сил уделяли
развитию практической номографии в Советском Союзе, внедрению номо-
номографии в различные области промышленности и техники. Ими разраба-
разрабатывались методы, дающие возможность упростить и ускорить процессы
разработки, расчёта и вычерчивания номограмм, методы внешнего офор-
оформления номограмм и другие.
В 1928 г. при «Энергострое» И. Н. Денисюк организовал номо-
номографическое бюро.
Н. А. Глаголев совместно с И. Н. Денисюком организо-
организовал в 1932 г. Всесоюзное номографическое бюро при Наркомтяжпроме,
в дальнейшем существовавшее при Технико-теоретическом издательстве.
Номографическое бюро при научно-исследовательском институте
математики Московского университета, руководимое Н. А. Глаголе-
Глаголевым, выполнило много заданий различных учреждений и научно-иссле-
научно-исследовательских институтов. Номограммы, конструкции которых были под-
подготовлены Н. А. Глаголевым и его учениками, применялись в военно*
морском флоте, артиллерии.
Следует отметить, что номографами Советского Союза создана боль-
большая номографическая учебная литература.

БИБЛИОГРАФИЯ.
Абольник СВ.
[1] К вопросу о приближённом гармоническом анализе. Л., Научно-техн. сб. по
электросвязи, 17 A937), 120—128.
< А г е е в Д. В.
[1] Обобщение метода Ньютона вычисления корней уравнения. Л., Научно-технич.
сб. электротехн. ин-та связи, 4—5 A934), 151—155.
Адамов Н. В.
[1] Об одном методе последовательных приближений. ДАН, 18 A938), 219—224.
Акбергенов И. А.
" [1] О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода
и определении его собственных значений. Матем. сб., 42 A935), 679—697.
[2] Об оценке погрешности," приближённо -о решения интегрального уравнения
Фредгольма второго рода по способу Е. Nistr6m'a. Л., Труды второго Все-
союзн. магем. съезда A936), 386—387.
[3] О приближённом решении линейного интегрального уравнения Фредгольма вто-
второго рода и об определении его собственных значений. Ташкент, Труды
Ср.-Аз. ун-та, матем. (V), 16 A937), 49.
Акушский И. Я.
П] Применение счётно-аналитических машин к численному решению задачи Дирихле.
ДАН, 52 A946),179—182.
[2] О некоторых схемах для практического гармонического анализа. ДАН, 52 A946),
475—478.
[3] Четырёхсчётчиковая схема решения задачи Дирихле с помощью счётно-анали-
счётно-аналитических машин. ДАН, 54 A946), 663—663.
[41 О численном решении задачи Дирихле на счётно-аналитических машинах, ДАН,
54 A946), 759-762.
[5] Краткий очерк счётно-аналитических машнн. ИАН, ОТН, 8 A946), 1081—1120.
[6] Процесс диагонального суммирования иа табуляторе и некоторые его приме-
применения. ИАН, ОТН, 5 A947), 475—495.
[7] О некоторых вопросах, связанных с применением счётно-аналитических машин.
Труды магем. ин-та им. Стеклоза, 20 A947), 39—48.
[8] Счётно-аналитические машины и некоторые их применения к математическим
задачам. Успехи матем. наук, 2:2 A8) ,A947), 79—184.
J9] Одна «экстремальная» задача применения селекторов в счётно-аналитических
машинах. Успехи матем. наук, 2:4 (^0>, A947), 183—185.
ПО] Уатематичесьие таблицы на перфорационных картах. Функции одного перемен-
переменного. ИАН, ОТН, 11 A947), 1405—1454.
Альмухамедов М. А.
[1] Применение метода П. Л. Чебышева построения интерполяционных формул
к одному практическому вопросу. Казань, Учён. зап. ун-та, сер. матем.,
7:2' A934), 97—113.
52*

820 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Андреев М. А.
[ 1 ] Штурманская линейка (для морских штурманов). Л., Морск. сб., 9A938),
85—89.
Андреев П. П.
[ 1 ] Циркулярная номограмма квадратного ураинения на декартоюй сетке. Ж. Матем.
просе., 10 A937).
[2] Конструктивные возможности морфологической теории номограмм. М., Диссер-
Диссертация A939).
Антимонов К. П.
[1] Таблицы погрешностей результатов вычислений. М.-Иркутск, Труды НИ лесн.
ин-та, 1:4 A932).
Аронтрихер Л. И,
[1] Таблицы погрешностей результатов вычислений. М.-Иркутск, Труды Сиб.
лесн. ин-та, 1:4 A9о2), 1—8.
Артемьев Н. А.
?11 Die .Anwendung des StOrungsverfahrens zur Berechnung der Eigepwerte. Матем. сб.,
Я9:3 A932), 12—65.
[2] Оценка величин периода колебаний на основании метода интегральных урав-
уравнений. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 1231—1235.
АртмеладзеН. К.
[1] О формулах механических кубатур. Тбилиси, Труды матем. ин-та, Гр. фил.
АН, 8 A940), 147—158. . .
[2] О приближённом решении интегральных уравнений. Тбилиси, Труды матем.
ин-та, АН ГрССР.,13 A944), 29—52.
Арутюнян Н. X.
[1] Приближённое решение проблемы кручения стержней с полигональным попе-
поперечным сечением. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 19—30.
Асатиани Л. Г.
[ 11 Большие счётные таблицы для механического и быстрого умножения и деления.
Изд. 3. М., ГТТИ A931), 218.
[2] Малые таблицы. Готовые проценты, умножение, деление. Изд. 6. Тбилиси A946)
Астафьев А. Ф.
[1] Исследование свойств конических номограмм аналитическим и геометрическим
способами. Вестн. мех. н прикл. матем., 2 A931), 92—100.
Аф ен д и к Л. Г.
[1] Оценка погрешности при численном интегрировании по способу Штермера.
Прикл. мат. и мех., 1 A937—1938), 557—562.
[2] О численном интегрировании методом Штермера. Днепропетровск, Научн. зап.
ун-та, отд. физ.-матем., 1:1 A938), 85—93.
Ахиезер Н. И.
[1] Про теорему акад. С. Н. Бернштейна вишосно квадратурно! формули П. Л. Ч«-
бишова. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A937), 75—82.
АхиезерН. И. иКрейнМ. Г.
[1] О некоторых формулах квадратур П. Чебышева и А.Маркова. Сб. памяти акад.
Граве A940), 15—28.
Бабаков И. М.
[1] К расчёту высших частот крутильных колебаний приведённого вала. Прикл.
матем. и мех., 5 A941), 109—124.

БИБЛИОГРАФИЯ 821
БабанскийЕ. В.
[1] Способ Ньютона для решения алгебраических и трансцендентных уравнений,
как один из видов итерационного способа. Л., Труды ин-та точной мех. и оптики,-
1 A936), 63—73.
Баженов Г. М.
[1] Ober die Berechnung der Wurzeln von algebraischen Gleichungen mit Hilfe der
unendlichen Rsihen. Хрк., Зап. матем. т-ва, 7A933), 39—44.
Г2] Об определении интервала аргумента при табулировании функций. Воронеж,
Труды ун-та, 8:1 A935), 6—8.
[3] Таблица для решения уравнения Кеплера с помощью арифмометра. Воронеж,
Труды ун-та, 8:1 A935), 46—47.
Б а н и н А. М.
[1] Приближённое конформное отображение в применении к задаче обтекания про-
произвольного контура плоскопараллельным потоком. Прикл. матем. и мех., 7A943),
131—140.
Баславский И. А.
[1] Изгиб прямоугольной плиты переменной толщины. Труды высш. инж.-техн. уч.
ВМФ, 4 A943), 37—81.
Безикович Я, С.
[1] Приближённые вычисления. Л., ГТТИ A930).
[21 Une m6thode pour acrroitre le nombre des decimates d'une table. ИАН, сер. физ.-
матем. A932), 1229—1234.
[3] Модификация метода Шгермера для уравнений высших порядков. Л., Труды
индустр. ин-та, раздел физ.-матем., 10:3A936), 30—35.
[4] О формулах механических квадратур с п ординатами, верных для многочленов
степени не выше 2 п—2 и 2п—3. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.-матем.,
4:2 A937), 9—18. .
[5] Исчисление конечных разностей. Л., Изд. ун-та A939), 1—369.
[б] Процесс механических квадратур для несобственных интегралов. Л., Учён. зап.
ун-та, сер. матем., 37:6 A939), 36—42.
Б е л а ш М. П.
[1] Электрические модели для приближённого решения интегральных и дифферен-
дифференциальных уравнений. Ж. Электричество, 11 A945), 23—25.
Беленький И. М. и Зелинский И. Е.
[1] Вихревая теория решётчатого крыла с тонким пером произвольного профиля.
Прикл. матем. и мех., 2 A939), 13—22.
БермантЕ. М.
[1] Гармонический анализ. Метод сеток. М., Труды авиац. ин-та, 5 A941), 5—47.
БернштейнС.
[1] Применение графостатики к решению систем линейных уравнений. М., Труды
ин-та инж. трансп., 15 A930), 9—14.
Берн штейн С. Н.
[ПО формуле приближённого интегрирования Чебышева. ИАН, сер. физ.-матем.
A932), 1219—1227.
[2] Sur la formule de- quadrature approche de Tchebycheff. С R. Acad. Sci., 203
A936), 1305—1306.
[3] О формулах квадратур Котеса и Чебышева. ДАН, 14A937), 323—326.
[4] Sur les formules de quadrature a coefficients non-negatifs et abscisses equidistantes.
С R. Acad. S:i., 204 A937), 1294—1296.
[5] Примеры формул квадратур с положительными коэффициентами и рациональными
абсциссами. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.-матем., 4:2A937), 19—21.
[6] О формулах квадратур с положительными коэффициентами. ИАН, сер. матем.
A937), 479—5иЗ.
J7] Примеры формул квадратур, аналогичных формулам Чебышева. Л.,
индустр. ин-та, раздел физ.-матем., 5:1 A938), 3—7.

822 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
18] Sur un systeme d'equations indeterminees. J. math. pur. et appl., 17 <1938),
179-1F6.
[9] Quelque app'ications de la methode parantftrique a l'e'tude des formules de
quadrature. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 15:1 A938), 16—30.
{10] О приближении непрерывной функции линейным дифференциальным оператором
от многочлена. ИАН, сер. матем., 5 A941), 14—42.
Б и т н е р X. А.
'[1] Необходимые и достаточные условия анаморфозируемости функции трёх пере-
переменных. М.-Л., Номогр. сб. A9?5), 77—104.
. ,[2] К проблеме общей анаморфозы. М., Учён. зап. ун-та, 28 A939), 7—14.
Боголюбов Н. Н.
Г1] Про наближене розв'язування диференщальних р1внянь. Киев. Труды физ.»
матем. отд. АН УССР, 5:5 A927), 357—365.
Боголюбов Н. Н. и Крылов Н. М.
II] Sopra il metodo dei coefficienti costand par l'integrazione approssimata delle
equazioni differenzali delle flslca matematica. Boll. un. Mat. Ital., 7 A928), 72—75.
Богоявленский И.
[1] Формула Чебышева для приближённого вычисления определённых интегралов.
Минск, Зап. Белорусск. с.-х. акад., 4 A927), 128—135.
Б о д н е р В. А.
[1] Устойчивость пластин под действием продольных периодических сил. Прикл-
матем. и мех., 2 A938), 87—104.
Боев Г. Л. и Тарасов И. И.
[1] Таблица комплексных значений модулярной функции х2 = Я(т). Саратов, Учён,
зап. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A4):2 A938), 214—219.
Божевольнов Е.
[1] Самодельный счётный прибор. Ж. Физ., хим., матем., техн. в сов. школе, 5 A931),
83—85.
Бородулин Г. М.
?1] Простейшая схема решения линейных уравнений по способу последовательных
приближений. Ж. Геодезист, 11 A940), 48—57.
Б р а в и н Л. Е.
[1] Новый метод для вычисления некоторых видов квадратур посредством вспомо-
вспомогательной функции. Изв. Воен.-морск. акад., 4 A940).
Брагинский Л.
J1] Табличные и графические методы вычислений. М. A938), 1—279.
Б р а д и с В. М.
[1] Умножение приближённых чисел. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 25 A925),
56—85.
[2] Опыт обоснования некоторых практических правил действия над приближённы-
приближёнными числами. Тверь, Изв. пед. ин-та, 3A927), ЮЗ—140.
13] О предельной погрешности произведения нескольких приближённых сомножи-
сомножителей. Тверь, Изв. пед. ин-та, 4 A928). 5—15.
БруевичН. Г.
[1] Машины для решения алгебраических уравнений. Ж. Вестн. металлопром.,
1 A938), 54—74. .
' [2] Механизмы для выполнения математических операций. Техн. энциклопедия
B-е изд.), т. 13, 66—91.
Брук И. С.
II] О механическом приборе для решения обыкновенных дифференциальных
ний. Ж. Автомат, ителемех., 3A936), 143—152. .

БИБЛИОГРАФИЯ 823
. [2] Машина для интегрирования дифференциальных уравнений. М.—Л.-, Изд. АН
A941), 1—44.
[3] О некоторых методах механического решения системы линейных алгебраических
уравнений. Ж. Электричество, 11 A945), 17—22.
[4] Прибор для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. ДАН,
53A946), 527—529.
Бурсиан В. Р.
|1] Таблицы значений функций /i/8. Л., Учён. зап. ун-та, сер. физ., 1:1 A935), 4—7-
Б у р с и а н В. Р. и Ф о к В. А.
ОО X ОО I
Щ Table of the function J/Ce(x)dx, Jlo(x)dx, e* \ K(x)dx, e-x j* /„ (x) rfx» Труды
x О x о
физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 2:1 A931), б—10.
Б у х м а н Е. Н.
II] Номограмма числа наблюдений, необходимого при определении выборочным
путём средней или доли (частости). Прикл. матем. и мех., 2 A938—1939), 529—533.
Б у х ш т а б А. А.
fl] О разложении чётных чисел на сумму двух слагаемых с ограниченным числом
простых множителей. ДАН, 29 A940), 544—548.
Быстрое Н.
XI] О приближённом решении уравнений в частных производных стремя независимы-
независимыми переменными. ДАН, 3 A934), 12—16.
Б ы.х о в с к и й М. Л.
fl] Новый дифференциальный анализатор Буша. ИАН, ОТН A946), 1177—1198.
12] Новые американские счётно-аналитические машины. Успехи матем. наук. 2:2
A947), 231-234.
13] Автоматическая счётно-аналитическая машина Гарвардского Университета. ИАН,
ОТН, 11A947), 1561—1575.
,{4] Точность механизмов, у которых положения звеньев гписываюгся дифференци-
дифференциальными уравнениями. ИАН, ОТН, 11A947), 1455—1512.
Варсанович Д. Ф.
{1] Номография. М.—Л., Гизместпром A939), 1—162.
Вашакидзе Д. Р.
{1] Приближённые формулы для эллиптических интегралов второго рода. Тбилиси.
Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 597—599.
]2] О численном решении бигармонического уравнения. Тбилиси, Труды матем.
ин-та АН ГрССР, 9 A941), 61—74.
¦ В е й н б е р г Б. П.
[1] Приёмы, облегчающие вычисление средних и их погрешностей при добавлении
новых данных. Л., Изв. Гл. геофиз. обсерв., 2—3 A934), 38—41.
В е к у а И. Н.
A] Об аппроксимации решений эллиптических дифференциальных уравнений. Тби-
Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3 A942), 97—101.
В е л ь м и и В. П.
[1] Приближённое вычисление остаточных членов бесконечных рядов. Новочеркасск,
Изв. Сев.-Кавк. индустр. ин-та, 1 A5), A935), 5—12.
[2] Об остаточном члене формулы Симпсона. Новочеркасск, Изв. Сев.-Кавк.
индустр ин-та, 1 A5), A935), 13—18.
[3] Остаточные члены формул механических квадратур. Новочеркасск, Изв.
Сев.-Кавк. индустр. ин-та, 1 A5), A935), 19—37.
14] О поправочных членах к формулам механических квадратур. Ростов н/Д, Учён.
зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 28—29.

824 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[5] О приближённом решении некоторых типов линейных разностных уравнений.
Ростов н/Д, Юбил. сб. научн. работ машиностр. ин-та, 1 A940), 44—52.
Ветчинкин В. П.
[1] Методы приближённого и численного интегрирования обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Новые формулы механических квадратур. М.,Военно-возд.
акад. им. Жуковского, вып. 1 A932), 1—104.
[2] Числовые методы решения нелинейных интегральных уравнений.Труды ЦАГИ,
вып. 192.
[3] Руководство по приближённым вычислениям. Труды ЦАГИ, вып. 210.
[4] !;овые формулы и таблицы эллиптических интегралов и функций с приложением
сокращённых семизначных логарифмов чисел и тригонометрических величин,
М., Военно-возд. акад. 20A935), 1-47.
[5] Численные методы решения нелинейных интегральных уравнений. Л., Труды
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2A936), 410—414.
[6] Элементарные способы численного интегрирования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений высших порядков и их систем. Труды ЦАГИ, 273, 11—13 A936),
13—56.
[7] Сборник статей по численному интегрированию дифференциальных уравнений.
Труды ЦАГИ, 309 A937), 1—51.
В е х а ч е Д. К.
[1] Применение планиметра к вычислению многократных интегралов и к интегри-
интегрированию дифференциальных уравнений с частными производными. Ж. Геодезист,
1 A930), 32.
Вильнер И. А.
[1] Номограмма для определения гиперболического синуса и косинуса от комплекс-
комплексного аргумента. Ж. Электричество, 12:1 A934), 48—50.
[2] Номограммы эллиптических интегралов (действительная область). «Ж. Элек-
Электричество, 16 A935).
[3] Номограмма для определения гиперболического синуса и косинуса от комплекс-
комплексного переменного. Ж. Электричество, 17 A935), 45—47.
[4] Аналитические функции нулевого и второго класса. Сб. «XXV лет», ч. 1. Труды
8-й юбил. научно-техн. конфер. кафедр МЭМИИТ.
[5] Номограммы с бинарными полями. Сб. «XXV лет», ч. 2. Труды 8-й юбил. научно-
техн. конфер. кафедр МЭМИИТ.
[6] Номограмма для вычисления гиперболического и кругового тангенсов и котанген-
котангенсов от комплексного аргумента. Прикл. матем. и мех., 4:1 A940), 145—152.
[7]«О номографировании систем уравнений и аналитических функций. Прикл.
матем. и мех., 4: 2 A940), 105—116.
[8] Аналитические функции комплексного переменного первого номографического
класса и их номограммы. ДАН, 53 A946), 191—194.
[9] Номограммы аналитических функций комплексного переменного. М., Диссерта-
Диссертация A947).
[10] О номограммах эллиптических функций интегралов в комплексной области.
ДАН, 55A947), 795—799.
[11] Комогр ммы систем уравнений и аналитических функций. ДАН, 58 A947).
729—7.2.
Власов В. Г.
[1] О точности приближённых формул квадратур, применяемых в кораблестроении.
Изв. Военно-морск. акад. A939), 63—101.
[2] Интегральное интерполирование и некоторые его применения. М.—Л., Воен-
мориздат A946), 1—263.
Власов В. 3.
[1] Строительная механика тонких упругих пластинок. Прикл. матем. и мех,
10A946), 173—192.
Воинов Б. П.
[1J Графическое построение кривых целых рациональных функций. Баку, Изв. Аз
фил. АН, 8A943), 13—17.

БИБЛИОГРАФИЯ 825
В о л о х о в А. Н.
f 1] Разностные методы численного интегрирования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Труды ЦАГИ, вып. 314.
[2] Исследования по численному интегрированию дифференциальных уравнений.
Л., Диссертация A941).
Вольберг О. А.
[I] Влияние округления на распределение погрешностей. К вопросу об обосновании
предложенных В. М. Брадисом «Правил подсчёта цифр». Тверь, Изв. пед. ин-та,
5 A929), 119—152.
Вольпер Д. В.
{1] Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений III и IV поряд-
порядка и их приложения. Днепропетровск, Научн. труды металлург, ин-та, 6A940),
78—128.
Высоцкий В. Н.
{!] Номографический метод составления эмпирической формулы. М., Труды нефт.
ин-та, 2A940), 17—20.
Гавра Д. Л.
[1] Основы номографии. Л., Кубуч A934), 1—162.
[2] Некоторые случаи кручения призм с криволинейными контурами. Л., Труды
индустр. ин-та, 3 A939), 33—40.
Гаврилов А. Ф.
[1] Применение характеристик к приближённому численному интегрированию
линейных уравнений с частными производными второго порядка гиперболическо-
гиперболического типа. (Волновое уравнение.) Л., Научно-техн. сб. электротехн. ин-та связи,
1 A933), 5—15.
{2] Применение характеристик к приближённому численному интегрированию
линейных уравнений с частными производными второго порядка гиперболического
типа, II. Л., Научно-техн. сб. электротехн. ин-та связи, 4—5A934), 147—150.
[3] Применение характеристик к приближённому численному интегрированию урав-
уравнений в частных производных второго порядка, линейных, с постоянными коэф-
коэффициентами гиперболического типа. Л., Труды второго Всесюзн. матем. съезда,
т. 2 A936), 393—397.
[4] Применение разложения по малому параметру к интегрированию некоторых
уравнений с частными производными (нелинейное обобщение телеграфного урав-
уравнения). Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР, 13A944), 55—78.
Г а г а е в Б. М.
[1] О порядке приближения выражения функций с помощью собственных функций.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 1 A926), 41—48.
Галин Л. А.
П] Решение краевых задач теории упругости методом точечной интерполяции. Прикл.
матем. и мех., 3:4 A934), 163—172.
Гантмахер Ф. Р.
[1] К алгебраическому анализу метода акад. А. Н. Крылова преобразования веко-
векового уравнения. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 45—48.
Гантмахер Ф. Р. иКрейн М. Г.
[1] Об интегрируемых ядрах типа функции Грнна. Одесса, Труды ун-та A935),
39—48.
¦ Г а н ь ш и н В. Н.
J1] О вычислении коэффициенте? нормальных уравнений при последовательном урав-
уравнивании по способу Крюгера. Ж. Геодезист, 1 A935), 29—32.

826 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Гельфанд А. В.
[1] Приближённое интегрирование системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936),
403—405.
[2] Приближённое интегрирование системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка. ИАН, сер. матем. A938), 583—594.
[3] К вопросу о приближённом интегрировании системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Минск A941), 1—16.
Гельфанд И. С.
[ 1] Приближённые формулы для полных эллиптических интегралов первого и вто-
второго рода. Свердловск, Труды и материалы горн, ин-та, б A940), 57—62.
ГельфондА. О.
[1] Исчисление конечных разностей. М.—Л., ОНТИ A936), 1—176.
Геронимус Я. Л.
[1] On some quadrature-formulas. ИАН, сер. физ.-матем. (Г930), 399—408.
Герсеванов Н. М.
[1] Основы номографии. Теория и построение инженерных номограмм. Изд. 2.
М.—Л., ГНТИ A932), 1—50.
12] О графическом способе решения функциональных уравнений. М.—Л., Номогр.
сб. A935), 4—12.
[3] О некоторых приложениях операции дробного и комплексного итерирования»
ДАН, 31 A941), 835—836.
[4] О некоторых приёмах решения функциональных уравнений с помощью итер*»
ций. ДАН, 39 A943), 227—230.
Гершгорин С. А.
[П Прибор для интегрирования дифференциального уравнения Лапласа. Ж.*
Прикл. физ., 2 A925), 161—167. -- г
[2] Об одном способе численного интегрирования обыкновенных линейных циффере*
циальных уравнений. М.—Л., Ж. Русск. физ.-хим. о-ва, часть физ., 57 A925L
171—178.
[3] К описанию прибора для интегрирования дифференциального уравнения ЛаШИИ
са. Ж. Прикл. физ., 3 A926), 271—274.
[4] О механизмах для построения функций комплексного переменного. Л., УК*
физ.-матем. о-ва, 1 A926), 102—113.
[5] О приближённом интегрировании дифференциальных уравнений Лапласа С
Пуассона. Л., Изв. полигехн. ин-та, 30 A927), 75—95.
1 г* '
[6] Механизм для построения функции комплексного переменного ? = -^ (z + —). М.
Изв. технол. ии-та, 2 B6), A928), 17—24.
[7] Об электрических сетях для приближённого решения дифференциального урЖ
нения Лапласа. Ж. Прикл. физ., 6:3—4 A929), 3—30.
[8] Fehlerabs-hatzung fur das Differenzverfahren zur Losung partielen Differen
algleichungen. J. Angew. Math. Men., 10A930), 373—382.
[9] Ueber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. ИАН, сер. физ.-матем. A9Я
749—754.
[10] О конформном отображении односвязной области на круг. Матем. сб., 40 A9?
48—58.
Гинодмаи В. А.
[1] Счётные машины и эффективность их работы. М.—Л., ГоспланиздатA939), 1—
Глаголев А. А. -:
[1] Курс номографии. М., ОНТИ A934), 1—64.
[2] Применение метода алгебраической геометрии к построению номограмм. М,—
Номогр. сб. A935), 24—46.
{3] Новые идеи в номографии. Л., Труды научно-техн. конфер. военно-трансп. al
сб. 2A938), 97—106.

БИБЛИОГРАФИЯ 827
[4] Новый метод номографирования номографического уравнения третьего поряд-
порядка общего вида. ДАН, 54 A946), 199—200.
Глаголев Н. А.
11] Научные проблемы в области номографии. Ж. Фронт науки и техн.,
5—6 A934), 72—74.
[2] Применение проективного исчисления к построению номограмм. М.—Л., Но-
могр. сб. A935), 13—23.
[3] Теоретические основы номогра ии. Изд. 2. М.—Л., ГТТИ.A936), 1—252.
D] Справочник по ноуографии. М.—Л., ОНТИ A937).
[5] О научной работе в области номографии. М., Учён. зап. ун-та, 28 A939), 3—6.
16] Курс номографии. М.—.... ГТТИ A943), 1—151.
ГоголадзеВ. Г.
11] Интегрирование уравнений гиперболического типа в частных производных.
Л., Труды второго Всесозн. матем. съезда, т. 2 A936), 257—258.
Годыцкий-Цвирко А. М.
[1] Графическое интегрирование дифференциального уравнения второго порядка.
Л., Сборн. ин-та nyieft сообщ., 96A927), 291—296.
[2Д Об одном приёме вычисления двойного интеграла. Л., Труды техн. ин-та, 2 A940),
3—10.
Г о л у з и н Г. М.
II] Конформное отображение многгсвязных областей на плоскость с разрезами ме-
методом функци нальных уравнений. Сб. «Конформное отображение одно&шзных
и многосвязн"ых областей». М.—Л., ОНТИ A937), 98—110.
Голушкевич С. С.
{1] Новый способ приближённого решения самосопряжённых линейных краевых
задач. Труды военно-морск. учил., 3 A931), 17—31.
Горанский В. А.
11] Определение частоты собственных' колебаний судна при помощи метода Ritz'a
ИАН, сер. физ.-матем., 3 A929), 224—242.
Горбунов-Посадов М. И.
1Г1] Об одном классе уравнений пятого порядка. М., Учён. зап. ун-та, 28 A939),
21—26.
[2] О балках и прямоугольных пластинках, лежащих на упругом полупространстве.
ДАН, 24 A939), 421—425.
Горгидзе А. Я.
|1] Об одном применении метода последовательных приближений в теории упруго-
упругости. Тбилиси, Труды матем. ин-та, 4 A938), 13—40-
Горгидзе А. Я.иРухадзе А. К.
II] Об одном численном решении интегральных уравнений плоской задачи теории
упругости. Тбилиси, Сообщ. Гр.фил. АН, 1 A940), 255—258.
Городецкая Е. И.
J1] О численном интегрировании дифференциальных уравнений второго порядка
с применением круга кривизны. Киев, Труды технол. ин-та пищ. пром., 1 A938),
125—131.
Городский М. А.
J1] О номографических уравнениях, не приводящихся к каноническому виду. М.,
Ж. Гидротехн. строит., 9 A934), 23—24.
[2] О преимуще;твах номограмм из выравненных точек перед пропорциональными
номограммами. М., Вестн. инж. и техн., A934), 214—216.
[3] О приближённом построении номограмм из выравненных точек для уравнений
произвольного вида. М., Учён. зап. ун-та, 28 A939), 15—2O.j
Горохов М. С. ''
{!] Связь графического метода интегрирования с численным. Томск, Труды НИИ
матем. и мех. ун-та, 1 A940), 138—140.

828 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ГорнщтейнМ. С. ¦ ,i
[1] Некоторые замечания о линейных разностных уравнениях второго порядка и
непрерывных дробях. Матем. сб., 5 D7), A939), 269—286.
Г о ф л и н А. Л.
[1] Электрическая модель балки, лежащей на упругом основании. Ж. Электри-
Электричество, 5.A947), 48—49. :
Г р а в е Д. А.
[1] Algorithme du calculdes racines des equations algebriques. Киев, Ж. нн-та матем.
АН УССР, 2 A936), 3—20.
Градштейн И. С.
[1] Решение систем линейных уравнений на электрических моделях Л. И. Гутен-
махера. ИАН, ОТН, 5 A947), 529—587.
[2] Прибор для черчения графика функции от функции (сложной функции). Трудм
матем. ин-та им. Стеклова, 20A947), 129—130.
Градштейн И. С. иТафтВ. А.
[1] Влияние собственных параметров усилителей в матричных схемах. ИАН, ОТИ,
1 A946).
ГрамзинС. Ф. "
[1] Метод нахождения эмпирических формул для многофакторных явлений. 'N1.,
Вестн. инж., 1 A929), 1—4.
[2] Метод нахождения эмпирических формул для многофакторных явлений. М.,
Вестн. ипж., 2 A929), 46—51.
Г р а у р А. В.
[1] К вопросу о таблицах натуральных значений тригонометрических функций в
десятичном делении окружности. Алма-Ата, Изв. Казах, фил. АН, сер. горного дела,
1 B2), A946), 110—123.
ГречушниковН. Ф.
[1] Таблицы номограмм из выравненных точек. Казань, Учён. зап. ун-та, матем.,
4:1 A932), 55—61.
ГринавцевК. А.
[1] Сложение и вычитание на счётной (логарифмической) линейке. Ж. За реконстр.
электросвязи, 5 A931), 41—45.
Гринберг Г. А.
[1] Некоторые приближённые формулы для эллиптических интегралов' первого
н второго рода. Прикл. матем. и мех., 1:1 A933), 61—69.
Г р и ш к о в Н.
[1] Таблицы бесселевых функций _/±1/3 и y±2i3 действительного и мнимого аргу-
аргумента. Сталине, Труды Донец, техникума им. Артёма A925), 52—57. -
ГродскийГ. Д.
[1] Об уменьшении погрешности и увеличении точности её оценки при вычислении
сумм знакопостоянных бесконечных рядов. Куйбышев, Учён. зап. 'пед. й учи-
Тельск. ин-та, 3 A940), 29—35. "
Грязное М. П,
[1] Графический метод вычисления нормальной кривой вариационного ряда. Антро-
Антрополог, ж., 1—2 A933), 193—200. У
Г у д к о в В. П. •
[1] Приём графического вычисления криволинейного интеграла особого вида и ere
приложение к некоторым вопросам строительной механики. М., Труды ин-та
ииж. траисп., 17 A931), 147—162. . '

БИБЛИОГРАФИЯ 829
Г у р е в и ч С. С.
[11 Устойчивость двумерной тонкой плиты. Л., Учён. зап. ун-та, матем., 8 A939),
137—152.
Гутенмахер Л. И.
{1] Искусственные электрические модели многомерных тел. ДАН, 27 A940), 198—201.
[2] Электрическое моделирование физических явлений. Ж. Электричество,
;5.A940), 24—32.
[3] Электрическое моделирование физических явлений для решения краевых задач
математической физики (электроаналогии). Ж. Техн. физ., 12 : 2—3 A942), 47—64.
[4].Электрическое моделирование (электроинтегратор). Изд. АН A943).
[5] Искусственное воспроизведение физических явлений для решения технических
проблем. ИАН, ОТН, 4—5 A945), 434—446.
f61 Электрические цепи для приближённого решения системы уравнений. ДАН,
47 A945), 262—264.
[7] Интегральные уравнения многомерных электрических моделей. Ж. Электри-
. . чество, 1—2 A946), 14—18.
[8] Электрические модели (аналоги) физических явлений и их некоторые примене-
применения в технике и физике. ИАН, ОТН, 8 A946), 1121—1146.
f9> Электрические многомерные модели с усилителями. ИАН, ОТН, 5 A947),
511—528.
Гутенмахер Л. И., Градштейн И. С. иТафт В. А.
fl] Электрическое моделирование физических процессов при помощи матричных схем
с усилителями. Ж. Электричество, 3 A946), 35—40.
Гутенмахер Л. И., Коган Л. Г. и Попов И. Н.
*[1] Электромагнитные расчёты на интеграторе. Ж. Электричество, 11 A945),
26—28.
Гутенмахер Л. И., Корольков Н. В. и Тафт В. А.
|1] Электрические схемы для решения системы уравнений. Ж. Электричество,
4 A945), 33—36.
Гутенмахер Л. И., Градштейн И. С, Корольков- Н. В. и
Тафт В. А.
f Ij К статье И. С. Брука. Ж. Электричество, 3 A946), 40—41.
Гутман С. Г.
[1] Приложение метода электроаналогий к решению задач теории упругости. Изв.
НИИ гндротехн., 26 A940).
Гущин Б. П.
[1] Станок для вычерчивания кривых. (Его схема и геометрическая теория.) Л.,
Сб. ин-та путей Сообщ., Ю1 A929), 305—313.
Давидович В. И
fl] Метод электро-гидродинамических аналогий. Л. A932).
Данилевский А. М.
[1] О численном решении векового уравнения. Матем. сб., 2 D4), A937), 169—171.
Девисон Б. Б.
fl] К теории метода логарифмической интерполяции построения кривых подпора.
Л., Изв. гидрол. ин-та, 31 A930), 15—22.
[2] О применении метода Гаусса приближённого вычисления определённых инте-
интегралов. Л., Зап. гидрол. ин-та, 13 A934), 141—158.
ДенисюкИ. Н.
[1] Некоторые сведения из практической номографии. М., Изд. горного ин-та A933).
Р] Атлас номограмм для механического расчёта проводов на открытых подстанциях
B2 номограммы и текст). М. A934).
(ЗД Что такое номограмма и как ею пользоваться. М., Изд. 2 A935).
р] О проективном преобразовании номограмм. М.—Л., Номогр. сб. A935), 201—217.

[5] Номограмма для нелинейного интерполирования по таблицам и для определе-
определения погрешностей. Примеч. к табл. Барлоу A936). ;.
[6] Аналитические методы приближённой корреляции и соответствующие функци-
функциональные задачи. М., Учён. зап. ун-та, 28 A939), 27—42.
Д и а н и н С. А.
[1] Приближённое решение задачи определения потенциальной функции, заданной
на бесконечном цилиндре с полусферой на конце и на неограниченной шм-
скости. Ж. эксп. и теор. физ. 2;1 A932), 12—16,
Д и н н и к А. Н.
[1] Таблицы функций Бессгля 0-го и 1-го порядка от комплексного аргумента. М>-
Пгр., Ж. Русск. физ.-хим. о-ва, часть физ., 55 A923), 121—127.
[2] Таблицы бесселевых функций дробного порядка. Киев, Зап. прир.-техн. отд.
АН УССР A933), 29.
Диткин В. А. и А куш с кий И. Я.
[1] О решении интегро-дифференциального уравнения колеблющегося крыла конеч-
конечного размаха. Рефераты АН, отд. физ.-матем. наук A943—1944), 82.
[2] О численном решении уравнения циркуляции колеблющегося крыла. Труди
матем. ин-та им. Стеклова, 20 A947), 7—38.
Д л у г а ч Л. А.
[1] О приближённом решении уравнений. Хрк., Труды автодор. ин-та, 4 A938k
182—184.
Добровольский В. П.
[1] К вопросу о выделении вещественных корней уравнения. Киев, Вести, поли-
политехи, ин-та, 20 A926), 65—66.
Д о н о в А. Е.
[1] Гидравлический прибор для решения системы линейных уравнений со многим
неизвестными. Л., Учён. зап. ун-та, матем., 8A939), 160—167.
Доморяд А. П.
A] К вопросу о непараболическом интерполировании по способу наименьших квад-
квадратов. Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 19 A934), 1—36.
\2] Обобщение метода Adams'a-Stromer'a численного интегрирования дифферен-
дифференциальных уравнений видау' = / (х, у). Оценки погрешности интегрирования. Л.,
Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 399—402.
Дородницын А. А. . :
[1] Пограничный слой в сжимаемом газе. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 449—486.
Д ю к о в !И. Г.
[1] Формула Cowell' я и Krommelin'a. Казань, Учён. зап. ун-та, 85A925), ЗТ—3&.
Ермолова О. В.
[1] Номограммы квадратичной формы. М.—Л., Номогр. сб. A935), @5—130. '¦'
[2] Номограммы с подвижными индексами Маргулиса. М.—Л., Номогр. сб. A935),
243—260.
[3] Sur la dissociation des variables dans une equation en contenant un nombrecprt
conqu?. С R. Acad. Sci., 202 A936), 26—28.
[4] Разъединение переменных в уравнении со многими переменными (обобщение уели
вий Гурса). М., Учён. зап. ун-та, 28 A939), 43—54.
[5] Равномерная шкала на уникурсальной кривой и приложение её свойств к о»
строению номограмм. М., Учбн. зап. ун-та, 28 A939), 55—70.
ЕфименкоВ. А.
[1] О приближённом вычислении собственных значений краевых задач обменов»
ных дифференциальных линейных уравнений четвёртого порядка с переменив
коэффициентами. Прикл. матем. и мех., 1 A937—1938), 155—176.
[2] О приближённом вычислении собственных значений и собственных футга:
краевых задач дифференциальных уравнений в частных производных. ИДЯ
сер. матем. A938), 613—623. ,У

БИБЛИОГРАФИЯ 831
Ефремович В. А.
[1] О графическом решении системы линейных уравнений. Смоленск, Научн. изв.
пед. ин-та, матем. науки A932), 7—9.
ЖеребповП. Г.
[1] Аппарат для вычерчивания кривых второго порядка. М., Учён. зап. ун-та,
2 : 2 A934), 61—66. '
Журавский А. М.
[1] О графическом определении центра тяжести плоского многоугольника. Прикл.
матем. и мех., 3 A936), 85—96.
[2] Sur la convergence deformules de quadratures mecaniques dans un intervalle
infinie. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1:2A936), 31—52.
[3] О приближённых кратных квадратурах. ИАН, сер. матем. A937), 51—62.
[4] Об одном приёме приближённого интегрирования дифференциальных уравне-
уравнений и вычисления квадратур. ИАН, сер. матем., 4 A940).
[5] Справочник по эллиптическим функциям. М.—Л., Изд. АН A941), 1—235.
Ж у р и н П. Д.
[1] Номограммы с параллельными шкалами повышенной точности. Ж. Вестн. инж.
и техн., 4A936), 222—224.
ЗабеллоИ. И.
[1] Приближённое вычисление корней алгебраических и трансцендентных уравне-
уравнений. Ж. Матем. проев., 12 A937), 23—35.
Завриев К. С.
[1] Свободные колебания балок на упругом основании. Тбилиси, Сообщ. АНГрССР,
6 A945), 527—534.
Загадский Д. М.
[1] К вопросу о приложимости метода Зейделя к решению систем нелинейных урав-
уравнений. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939), 245—250.
[2] Приближённое решение нелинейных интегральных уравнений. Л., Диссертация
A946).
Замятина В. Н.
[I] О фундаментальных функциях оператора XIV. Л., Труды ин-та инж. путей сообщ.
6 A937), 75—95.
[2] Плоская задача теории упругости для кругового кольца. Прикл. матем. и мех,,
6 A942), 53—74.
Запольский П. С.
[1] Прибор, упрощающий вычисления. Ж. Геодезист, 8 A929), 44—46.
Зволинский Н. В.
[1] Приближённое решение некоторых задач устойчивости цилиндрической обо-
оболочки. Труды ЦАГИ, 246 A936), 1—55.
[2] Приложение метода интегральных уравнений к одной задаче устойчивости
цилиндрической оболочки. Труды ЦАГИ, 320 A937), 1—16.
[3] Сжатие прямоугольной пластинки за пределами устойчивости. Труды ЦАГИ,
505 A940).
3 е р н о в А. А.
[1] Основы практической номографии и вычислений с приближёнными величи-
величинами, I. Вестн. металлопром., 5 A930), 76—91.
[2] Основы практической номографии и вычислений с приближёнными величи-
величинами, II. Вестн. металлопром., 6 A931), 26—39.
-[3] Основы практической номографии и вычислений с приближёнными величи-
величинами. III. Вестн. металлопром., 4 A932), 75—80.
[4] Счётчик для точного умножения чисел с неограниченным количеством цифр на
однозначные множители. М. A932).

832 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
3 ер н о в В. Д.
[I] Табличный и механический гармонический анализ. М., Труды ин-та инж. трансп.,
2 A926), 5—16.
Зморович В. А.
[1] XJber eine konforme Abbildung. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 9 A935). 29—32.
3 ы л е в В. П.
[1] Таблицы для исчисления эйлеровых сферических треугольников, допускающих
более одного решения при помощи сравнения данных элементов. Омск, Сибирск.
с.-х. акад. A923), 8.
[2] Признаки сходимости и оценки погрешностей решений систем линейных алге-
алгебраических уравнений способом итерации (в матричном изложении). М.—Л.,
Сб. трудов инж. строит, ин-та им. Куйбышева, 2 A939), 232—245.
Иванов В. К.
[1] О сходимости процессов итерации при решении систем линейных алгебраич»-
ских уравнений. ИАН, сер. матем. A939), 477—486.
Иванов И. И.
[1] О вычислении определённого интеграла
1— Xя) rfx
Л., Изв. политехи, ин-та, 30 A927), 97—103.
Идельсон Н. И.
[1] К вопросу о расширении таблиц. Изв. Русск. астрон. о-ва, 25:5—9 A924), 40—43,
Казаков С. А.
[1] Вычисление траекторий центров тяжести артиллерийских снарядов. Прикл.
матем. и мех., 9 A945), 129—138.
К а й н е р М. А.
[11 Пространственная графика логарифмики у=ах.\ Одесса, Ж. НИ кафеле,
1:4 A924), 32—35.
Канторович Л. В.
[1] Один прямой метод приближённого решения задачи о минимуме двойного интегра-
ла. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 647—652.
[2] О конформном отображении. Матем. сб., 40 A933), 294—325.
[3] О некоторых методах построения функции, совершающей конформное отображе-
отображение. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 229—235.
[4] Некоторые исправления к моей статье «О конформном отображении». Матем.
сб., 41:1 A934), 179—182.
[5] О приближённом вычислении некоторых типов определённых интегралов и дру-
других применениях метода выделения особенностей. Матем. сб., 41 A934), 235—245.
[6] О конформном отображении многосвязных областей. ДАН, 2 A934), 441—445.
[7] Об одном методе приближённого решения дифференциальных уравнений 1
частных производных. ДАН, 2 A934), 532—536.
[8] О функциональных уравнениях. Л., Труды ун-та, 3 : 7 A934), 17—33.
[9] Применение теории интегралов Stieltjes'a к вопросу об изгибе балки, лежащей
на упругом основании. Л., Труды ин-та пром.строит., 1 : 1 A934), 17—34.
[10] Об общих методах улучшения сходимости при приближённом решении граничных
задач математической физики. Л., Труды ин-та пром. строит., 1 : 2 A934), 65—72.
[11] О некоторых методах приближённого решения уравнений в частных производ-
производных. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 398.
[12] Конформное отображение круга на односвязную область. М.—Л., ОНТИ, Св.
«Конформное отображение односвязных и многосвязных областей», A937), 5—18.

БИБЛИОГРАФИЯ 833
[13] Эффективные методы в теории конформных отображений. ИАН, сер. матем.
<1937), 79.
[14] Математические методы организации и планирования производства. Л., Изд.
уи-та A939), 1—64.
[ 15] Об одном эффективном методе решения некоторых классов экстремальных про-
проблем. ДАН, 28 A940), 212—215.
[16] О сходимости вариационных методов. ДАН, 30 A941), 107—111.
[17] Некоторые замечания о методе Ритца. Л., Труды воен. инж.-техн. уч. Воеи-
но-морск. флота, 3 A941), 3—16.
[18] О сходимости метода приведения к обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнениям. ДАН, 30 A941), 579—582.
[19] Методы рационального раскроя материала. Произв.-техн. бюлл. Н. К. боепри-
боеприпасов, 78 A942).
[20] Применение идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 31—40.
Г21Д Об одном эффективном методе решения экстремальных задач для квадратичного
функционала. ДАН, 48 A945), 485—487.
[221 О методе наискорейшего спуска. ДАН, 56 A947).
Канторович Л. В. и Крылов В. И.
}1] Методы приближённого решения уравнений в частных производных. М.—Л.,
ОНТИ A936), 1—528.
B] Приближённые методы высшего анализа. М.—Л., ГТТИ A941), 1—618.
Канторович Л. В. иФрумкинП. В.
[1] О применении одного метода приближённого решения уравнений в частных
производных к задаче о кручении призматических стержней. Л., Труды
ин-та инж. пром. строит., 4 A937), Ш—122.
Карамзин П. В.
[1] Номографическое решение уравнений третьей степени. Баку, Труды строит,
ин-та, 1 A934), 191—205.
К а р г и н Д. И.
[1] О точности графических расчётов. Л., Сб. ин-та путей сообш.., 101 A929), 275—293.
Келдыш М. В.
Ill О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач. ИАН, сер. матем., 6A942).
309—330.
Кибель И. А. и ФранкльФ. И\
[1] О прямолинейных движениях газа. Труды ЦАГИ, вып. 52.
Кильчевский Н. А.
A] Некоторые методы интегрирования уравнений равновесия упругих оболочек.
Прикл. матем. и мех., 4 : 2 A940), 43-—58.
Кириллов А. В.
[1] Применение трафаретов к решению уравнений по методу Греффе. Новочеркасск,
Изв. Сев.-Кавк. индустр. ин-та, 1 A5), A935), 72—78.
К и ч а ев П. Я.
[1] Интегрирование некоторых трансцендентных функций при помощи таблиц.
М., Труды ии-та ииж. трансп., 25 A932), 25—50.
Кноль Д. К. и Шнейдер А.
[1] Об одном методе графического интегрирования уравнений равновесия плоской
задачи теории упругости при наличии данных оптического метода изучения
напряжений. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 415—419.
Кобринский Н. Е.
[1] Новый тип гармонического анализатора. М., Вестн. металлопром., 4 A938),
54—58.
53 Математика в СССР за 30 лет

834 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Е^. ——Т— —'- —~ — -—-" —!-.—. — — -. Г. ",'¦ VJ =¦"¦., .'¦ -—^Г. ,1 Г. ,— ,- .,., , _.. ' ,1..'_JS' ¦
К о в н е р С. С.
[1] К технике численного интегрирования дифференциальных уравнений с частными
производными. ДАН, 37 A942), 20—23.
К о в н е р С. С. и Ж а к Д. К.
[1] Вычисление степеней (ператоров Либманна и Гершгорина и их приложение к
машинному интегрированию уравнений.. ДАН, Е8 A94i), 5—8.
Коган Я. М.
[1] К вопросу об обращении метода д'Оканя, I. Л., Сб. текстил. ин-та, 1A936),
157—164.
Кондратьев П. Г.
[1] Практика разложения периодических кривых. Изв. главн. геофиз. обсерв.,
4A929), 3—11.
Коновалов Ю. В.
[1] О нахождении фундаментальных чисел и фундаментальных функций однород-
однородного дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля при однородных гранич-
граничных условиях. Прикл. матем. и мех., 1 A939), 83—96.
Коренев Б. Г.
[1] Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задаче о равновесии, колеба-
колебаниях и устойчивости плит и мембран. Прикл. матем. и мех., 5 : 6 A940), 61—72.
[2] К вопросу о применении способа компенсирующих нагрузок. Прикл. матем.
и мех., 6 A942), 91—94.
Корольков Н. В.
[1] Результаты разработки и испытания опытной установки для решения систе-
системы дифференциальных уравнений. ИАН, ОТН, 5 A947), 585—596.
КостаидиГ. В.
[1] Несколько слов о содержании и расположении тригонометрических таблиц
логарифмов. Одесса, Ж. Наука и техника, 2 A924), 26—29.
К о ш л я к о в Н. С.
[1] О вычислении по формуле механических квадратур определённых интегралов
с бесконечными пределами. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 801—808.
.' ' К о я л о в и ч Б. М.
[1] Об одной новой формуле интегрирования. Ж. Прикл. хим., Л A920), 150.
Кравчук М. Ф.
[1] Про способ М. Крилова в Teopii наближено! 1нтеграцН диференщальних piB-
нянь. Киев, Труды физ.-матем. отд. АН УССР, 5 A926), 12—33.
[2] Про пох1дш В1Д наближених 1нтеграл1В деяких диференщальних р1внянь.
Киев, Вестн. политехи, ин-та, 21 A927), 3—10.
[3] Про cnoci6 наименьших квадрат1В та про cnoci6 момент1в у Teopii' наближено*
штеграцп диференщальних р1шшнь. Киев, Вестн. политехи, ин-та, 21 A927),
11—18.
.[4] Note sur une methode N. Kryloff pour l'integration des equations diffGrentielles
de la physique mathematique. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР,
2: 2 A927), 5—8.
[5] Sur la convergence de qiielques precedes de Pintegration approchee des
.' equations differentielles. С R. Acad. Sci., 187A928), 411—415.
[6] Про наближене розв'язання Л1шйшх диференщальних р^внянь. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 3 A929), 57—74.
[7] Sur la resolution approchee des equations integrates lineaires. С R. Acad. ScL,
188 A929). 978—980.
{8] Sur la resolution approchee des equations differentielles lineaires. С R. Acad.
Sci., 189 A929), 439—441.
[9] Sur les derivees des integrates approchees de certains equations differentielles
Rsnd. circ.' mat. Palermo, 44 A930), 194—198.
tjOlTlp'o кнування та наближене визначення розв'язок деяких лШйних р1внянь
зчастинними похщними. Киев, Зап. прир.-техн. огд. АН УССР, 1 A931), 45—89.

БИБЛИОГРАФИЯ 835
Til] Застосування cnoci6y момент!в до розв'язання лишйних диференцдальних
та штегральних р!внянь. Киев, Сообщ. АН УССР, 1 A932), 168.
[12] Sur i'approximation des integrates des equations differentielles lineaires. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 6A933), 11—18.
[13] Принцип середнього арифметичного i cnoci6 найменших квадрат1В. Киев,
Ж. матем. ин-та АН УССР, 2 A935), 65—87.
[14] Об одной алгебраической задаче в проблеме моментов. ДАН, 2 A935), 89—94.
[15] Проточшсть наближення способом моментов розв'язок линшних диференШаль-
них р!внянь. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 2 A935), 23—65.
[16] Про зб1жн!сть способу моментов для р1внянь з частииними похщними. Киев,.
Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A936), 23—27.
Кравчук М. Ф. и Латышева К. Я.
[1] Применение способа моментов к приближённому решению линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах. ДАН, 3 A936),
251—254.
[2] Застосування способу момент1в до розв'язування диференшальних р1вняиь що
мають особливое^ в коефипентах. Киев, Ж. матем. ин-та АН УССР, 1 A936),
3—23.
Крамер О. П.
[1] Применение метода А. С. Казакова численного интегрирования некоторых
обыкновенных дифференциальных уравнений. ИАН, ОТН, 5 A947).
К р е е р Л. И.
[1] Приближённое вычисление вещественных корней алгебраических уравнений
(гониометрический метод). Матем. сб., 41 A934), 317—331.
Крыжановский Д. А.
[1] Графхчний cnoci6 розв'язуваиня системи р1внянь першого ступеня. Одесса,
Зап. ин-та нар. проев., 1 A927), 226—232.
Крыжановский СЕ.
[1] Методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравне-
• ний. Мелитополь, Научн. зап. ин-та инж.-механ. с. х., 1 A938), 140—167.
Крылов А. Н,
[1] О приближённом численном решении обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Пгр., Ежег. союза морск. ииж., 2A917), 3—43.
[2] О приближённом численном решении обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. М., Арх. физ. наук, 1—2 A918), 68—119.
[3] Sur l'integration des equations differentielles ordinaires par des approximations
numeriques. M., Арх. физ. наук, 1 A919), 65—115.
[4] Приближённое численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений. Берлин A923), 1—92.
[5] О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются
частоты колебаний материальных систем, ИАН, сер. физ.-матем. A931)
491—539.
[6] О вычислении коэффициентов ряда Фурье. ДАН (А), A932), 31—36.
[7] О применении способа последовательных приближений к нахождению решения
некоторых дифференциальных уравнений колебательного движения. ИАН, сер.
физ.-матем. A933), 1—44.
[8] Лекции о приближённых вычислениях. Изд. 3. Л., Изд. АН A935), 1—541.
[9] О расчёте нагревания масляного кабеля при коротком замыкании. ИАН, сер.
матем. A937), 3—14.
Крылов В. И.
[1] Об одном методе построения функции, преобразующей конформно область
на круг. М.—Л., ОНТИ, Сб. «Конформное отображение односвязных и много-
многосвязных областей». A937), 25—47.
[2] Интегральные уравнения конформного преобразования области на плоскость
с разрезами. М.—Л., ОНТИ, Сб. «Конформное отображение односвязных
и многосвязных областей» A937), 111—120.
53»

836 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
J3] Интегральные уравнения конформного преобразования двухсвязных областей
на кольцо. М.—Л., ОНТИ, Сб. «Конформное отображение односвязных и мно-
многосвязных областей» A937), 121—126.
Крылов Н. М
II] Application of the method of W. Ritz to a system of differential equations. ИАН
(бТ, И A917), 521—534.
[2] Sur un complement a la methode du calcul des fonctions implicites par des
approximations successives. Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 1 A919),
20—21.
[3] Sur quelques formules d'approximation, fondees sur la generalisation des qua-
quadratures «dites mecaniques». Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та,
1 A919), 59—64.
}4] Sur diverses generalisations de la methode de W. Ritz et sur quelques questions,
qui s'y cattachent. Симферополь, Зап. матем. Каб. Тавр, ун-та, 1 A919),
127—188.
|5] Sur diverses generalisations de la methode de W. Ritz et sur quelques questions,
qui s'y rattachent. Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 2 A921), 81—146.
[б] Application of the method of infinite determinants to some boundary problems in
one dimension. Симферополь, Зап. матем. каб. Тавр, ун-та, 2 A921),
147—154.
[7] QuaL-he osservazioni sopra il metodo del sig Pearson. Симферополь, Зап. матем.
каб. Тавр, ун-та, 2 A921), 234—236.
[8] Sur la methode d'integration de W. Ritz. (Reclamation depriorite.) Киев, Зап.
физ.-.матем. отд. АН УССР, 1 : 1 A922), 12—13.
19] Про визначення похибки при застосуванш способу Ritz'a для наближенно!
жтеграш диференщальних р!внянь. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР,
1 : 3 A925), 23—25.
] 10] Про поширення методу пайменших квадра^в на наближену штеграшю системи
диференщальних р1внянь. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1 : 3 A925),
59—62.
{11] Про один cnoci6 наближено! 1нтеграцЦ диференщальних piBHHHb, основании
на принцип! minimum'y. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1 : 3 A925),
65—69.
[12] Про визначення ступня похибки при застосуванш cnoci6y W. Ritz'a до систем
диференщальних р!внянь математично! ф!зики. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
УССР, 1 : 4 A925), 3—4.
[13] Sur diff6rents precedes d'integration approchee en physique mathematique. Ann.
de Toulouse, 17 A925), 153—186.
[14] Sur l'estimation de l'erreur commise dans l'application de la methode de
W. Ritz pour l'integration approchee des equations differentielles. С R. Acad.
S:i., 180 A925), 1316—1318.
1151 Sur une methode basee sur le principe de minimum pour l'integration approchee
des equations differentielles. С R. Acad. Sci., 181 A925), 86—88.
[16] On the approximate solution of the integro-differential equations of mathema-
mathematical physics. Ann. of Math., 27 A925—1926), 537—540.
[17] Про pi3HicHi узагальнення Ritz'oeoro методу та методу пайменших квадрата
для наближеного штегрирування р1внянь математично! ф!зики. Киев, Труды
физ.-матем. отд. АН УССР, 3 : 2 A926), 3—28.
Г181 Про наближене розв'язування лЫШних штегральних р1внянь. Киев, Труды
физ.-матем. отд. АН УССР, 3 : 6 A926), 185—208.
[19] Sur une methode d'integration approchee contenant comme cas particulier la
methode de W. Ritz, ainsi que celle des moindres Carres. C. R. Acad. Sci.,
182A926), 676—678.
[20] О некоторых методах приближённого решения задач математической физики
Сб. «In mem. Lobatschevskii», 2 A927), 180—185.
[21] Sur differents procedes d'integration approchee en physique mathematique.
Ann. de Toulouse, 19A927), 167—200-
[221 Sur l'integration approchee de quelques equations aux denvees partielles
de la physique mathematique. С R. Acad Sci., 184 A927), 587—590.
[23] Sur la methode des reduites pour la solution approchee des problemes de la phy-
physique mathematique. С R. Acad. Sci., 187A928), 415—418.
{241 Sur quelques recherches recentes dans le domaine de la solution approchee des
problemes de la phisique mathematique. Болонья, Труды Международного
матем. съезда ( 1928).

БИБЛИОГРАФИЯ 837
[25] Sur quelques idees de P. Tchebycheff qui peuvent etre rattachees a la solution
approchee des problemes du calcul des variations. ИАН, сер. физ.-матем. A929),
435—456.
[26] Sur la solution approchee des problemes fondamentaux de la physique mathema-
tique a l'aide des methodes permettant d'apprecier l'erreur connaise dans
la m-ieme approximation. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 457—470.
[27] Sur le calcul approche des solutions periodiques de systemes differentials.
Ж. Прикл. физ. A929).
[28] Sur la resolution approchee des equations differentielles lineaires. ИАН, сер. физ.-
матем. A930), 363—380.
[29] Sur la situation approchee des problemes de la physique mathematique et de
la science d'ingenieur. ИАН, сер. физ.-матем. A930), 1089—1114.
[30] Sur la solution approchee des problemes de la physique math6matique et de la
science d'ingenieur. Rev. mat. hisp.-amer. A931).
[31] Les methodes de solution approchee des problemes de la physique mathematique.
Paris, Gauthier-Villars et C-ie A931), 1—68.
[32] Методи наближенного i символ!чного розв'язання диференциальних р1внянь
математичю» ф1зики i техшки. Киев, Техиздат A931).
C3] Приближённое решение основных проблем математической физики. Киев A931).
34] О некоторых направлениях в облас и приближённого решения ир-блем матема-
математической физики. В кн. «Юбилейный c6jphhk, посвященный тридцатилетию Ве-
Великой Октябрьской социалистической революции», т. I. Изд. АН A947), 231—241.
Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н.
[1] La solution approchde du probleme de Dirichlet. ДАН (А), A029) 283—288.
[2] Sur le calcul des racines de la transcendante de Freiholm les plus voisin;s d'un
nombre donne par les methodes des moindres carreset de l'algorithme variationnel.
ИАН, сер. физ.-матем. A929), 471—488.
[3] Application de la methode de l'algorithme variationnel a la solution approchee
des equations differentielles aux derivees partielles du type elliptique. И АН, сер.
физ.-магем. A930), 43—71.
[4] Application de la methode de l'al'orithme variationnel a la solution approchee
des equations differentielles aux derivees partielles du type elliptique. ИАН, сер.
физ.-матем. A930), 105—114.
[5] Символические методы линейной механики в их приложениях к исследованию
резонанса в электронном генераторе. ИАН, сер. матем., I A934), 7—34.
[6] Введение в нелинейную механику. Киев, Изд. АН УССР A937).
Крылов Н. М. и Кравчук М. Ф.
[1] Деяю уваги про розв'язання алгебра!чних р1внянь, основапш лише на понягп
незведимости. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1 : 2 A924), 62—72.
Крылов Н. М. и Тамаркии Я. Д.
[1] Sur la methode de W. Ritz pour la solution approchee des problemes de la physique
mathematique. ИАН, F), 12 A918), 69—88.
Кудрявцев В. А.
[1] Применение полиномов Лежандра к приближённому интегрированию дифферен-
дифференциальных уравнений. М., Сб. научно-иссл. трудов текст, ин-та, 5 A937), 15—22.
К у з н е ц о. в В. И.
[1] Теория расчёта прямоугольных балок, лежащих на сплошной упругой оси»
как на изотропном полупространстве. М., Труды ин-та инж. трансп., 55 A939).
Кузьмин Р. О.
[1] О работах Стеклова по теории механических квадратур. Л., A928), 1—8.
[2] К теории механических квадратур. Л., Изв. политехи, ин-та, отд. матем. A931),
1—14.
[3] Об одном классе бесконечных систем. ИАН, сер. физ.-матем., 4 A934),
515—546.
[4] О способе Чебышева для приближённого вычисления интегралов. Л., Сб. ин-та
инж. ж.-д. трансп., 132 A938), 3—22.
[5] О распределении корней полиномов, связанных с квадратурами Чебышева.
ИАН, сер. матем., 2 A938), 427—444.
[6] О формулах квадратур. Л., Труды индустр. ин-та, 3A939), 16—31.

838 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Кузьмич Ф. И. <
II] Рационализация техники вычисления. Труды Донск. ун-та, 15 : 6 A930), 1—17.
Куницкий Н. П., Никитин В. П. и Т у р к и н В. К.
[1] Диаграммы устойчивости для систем пятого порядка. ДАН, 58A947).
Куфарев П. П.
[1] К вопросу о кручении и изгибе стержней полигонального сечения. Прикл. матем.
и мех., 1 A937), 43—76.
Лаврентьев М. А.
[1] Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики.
М.—Л., ГТТИ A9*6), 1—159.
Лаврентьев М. А. и Келдыш М. В.
[1] Общая задача о жбстком ударе о воду. Труды ЦАГИ, 152 A935), 5—13.
Лапаури И. Д.
[1] О численном интегрировании дифференциального уравнения гиперболического
типа. Тбилиси, Труды матем. ип-та АН ГрССР, Ю A941), 108—110.
12] К вопросу приближённого решения дифференциального уравнения параболиче-
параболического типа. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3A942), 14—17.
Лаптев Б. Л.
{1] Прибор для вычисления криволинейного интеграла. Казань, Учён. зап. ун-та,
98: 9 A938), 79—83.
Латышева К. Я.
A] Наближене розв'язання за допомогою способу момегтв лппйних диференциаль-
них ршнянь, що мають особливое™ в коефшдентах Киев., Ж. ин-та матем. АН
УССР, 2 A936), 91—124.
ЛейбензонЛ. С.
[1] Вариационные методы решения задач упругости, с приложением к кручению
и изгибу авиационных профилей. Труды ЦАГИ, 495 A940), 152.
[2] Ваоитциснные методы решения задач теории упругости. М —Л., ГТТИ A943),
1—287.
Лившиц Н. А., Данилова А. В. и Спицын Д. В.
{1] Синхронные и счётно-решающие устройства. Л., Изв. воепно-электротехн. акад.
A940).
Л и н и и к В. П.
[1] Гармошйний анализатор. Киев, Научн. зап. ун-та, 2 A924), 89—92.
Л и о д т Г. Н.
[1] К вопросу о точности определения площадей планиметрии. Воронеж, Зап.
с.-х ин-та, 17 : 3 A940), 117—134.
Лойцянский Л. Г.
|l]'Sur l'inversion approchee des fonctions. Матем. сб., 31 A924), 585—590.
[2] Об одном графическом методе решения уравнений. Л., Ж. Русск. физ.-хим. о-ва,
часть физ., '56 A925), 270—280.
[3] Quelques remarques sur la methode de l'inversion approchee des fonctions
au point de vue du cal;ul effectif. Матем. сб., 32 A925), 22—25.
Лопатинский Я- Б.
[1] К вопросу о решении уравнения у' = /(х, у). Баку, Труды Азерб. ун-та, 1 A939),
88—10о#
Лузин Н. Н.
11] О методе академика А. Н. Крылова составления векового уравнения. ИАН, сер.
физ.-матем. A931), 903—958.
{2] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе академика А. Н. Кры-
лова. ИАН, сер. физ.-матем. П932), 595—638.
]3] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе академика
А. Н. Крылова. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 735—762.

БИБЛИОГРАФИЯ 839
[4] О некоторых свойствах перемещающего множителя- в 'методе академика
А..Н. Крылова. ИАН, сер. физ,-матем. A932), 1065—1102.
15] О методе приближённого интегрирования академика С. А. Чаплыгина. Труды
ЦАГИ, 141 A932), 1—32.
Лукомская М. А.
[1] К вопросу о нахождении комплексных корней алгебраических уравнений. Минск,
Учён. зап. Белорусск. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A939), 45—55.
Лукьянов В. С.
\ 1] Гидравлические приборы для технических расчётов. ИАН, ОТН, 2 A939), 53—67.
Лунский Н. С.
[1] Таблицы, сводящие умножение любых чисел к сложению, а деление—к вычи-
вычитанию, с подробной инструкцией. М. A928).
Лунц Я. Л.
[1] Изгиб длинных защемлённых пластин. Прикл. матем. и мех., 7A943), 167—178.
Л у р ь е А. И.
}1] Приближённое решение некоторых задач о кручении и изгибе стержня. Л., Труды
иняустр. ин-та, 3: 1 A939), 121—126.
J2] Приближённое решение плоской задачи теории упругости для балки переменного
сечения. Л., Труды индустр. ин-та, 3 A939), 132—137.
Люстерник Л. А.
II] Ober die Topologischen Eigenschaften der Kurvenfamilien auf Flachen. Матем-
сб. 3-(lS3t), 59—63.
[2] Замечания к некоторым вариационным задачам. М., Учён зап. ун-та, 2A934),
17—23.
13] Проблема Дирихле. Успехи матем. наук, 8 A941), 115—125.
]4] Некоторые проблемы вычислительной математики. ИАН, ОТН A946), 1147—1156.
|5] Механизация чи~ленного решения математических задач на счётно-аналитиче-
счётно-аналитических машинах. Успехи матем. наук, 1 : 5—6 A5—16), A946), 224—227.
^6] Нахождение собственных значений функций на электрической схеме.
Ж. Электричество, 11A946), 67—68.
}7] Замечания к численному решению краевых задач уравнения Лапласа и вычисле-
вычислению собственных значений методом сеток. Труды матем. ин-та им. Стеклова,
20 A947), 49—64.
Люстерник Л. А. и К о б р и н с к и й Н. Е.
J1] Математическая техника. Успехи матем. наук, 1 : 5—6 A5—16), A946), 3—26.
Люстерник Л. А. и Прохоров А. М.
[ 1] Определение собственных значений и функций некоторых операторов с помощью
электрической цепи RC. ДАН, 55 A947), 579—582.
12] Определение собственных значений и фулкций некоторых операторов с помо-
помощью элементарной цепи RC. ИАН, ОФН, 11A947), 141—145.
Л ю с т и х Е.
{1] Несколько схем механических интеграторов. ДАН, 15 A937), 9—12.
Л я п и н Н. М.
11] Простой способ получения формулы Cowell'a. Одесса, Учён. зап. высш. шк.,
1 A921), 61—64.
МагнарадзеЛ. Г.
[1] Об одном новом интегральном уравнении теории "крыла самолёта. Тбилиси,
Сообщ. АН ГрССР, 3 A942), 503—507.
Майзель Б.
Jl] Praktisches Verfahren zur Summierung einiger Reihen mit geslchertem Genau-
igkeitsgrad. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 9 A934), 65—70.

840 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Макавеев В. М.
[1] К анализу эмпирических кривых. Новый способ выделения периодических
членов при свободном члене, имеющем постоянную величину. Л., Изв. Русск.
гидрол. ин-та, 14 A925), 13—30.
Максудов Г.
[1] Приближённое интегрирование дифференциальных уравнений по способу ака-
академика Чаплыгина. Казань, Учён. зап. уи-та, математика, 7 : 2 A934), 53—96.
М а л и е в А. С.
[I] Ряды Фурье повышенной сходимости для функций, определённых в данном про-
промежутке. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 1437—1450.
[2] О разложении в ряды Фурье повышенной сходимости функций, определённых
в данном промежутке. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 1113-—1120.
[3J О некоторых свойствах интегралов лииейн го дифференциального уравнения
с биквадратным характеристическим уравнением. Л., Труды ин-та инж. пром.
строит., 4 A937), 72—77.
Мандельштам Л. И. и Папалекси Н. Д.
[1] Об обосновании одного метода приближённого решения дифференциальных
уравнений. Ж. эксп. и теор. физ., 4 A934), 117—122.
Мандзюк А. И.
[1] К вопросу о построении номограмм. М., Труды зоотехн. ин-та, 4 A936), 121—132.
[2] Номограммы с немым бинарным полем. М., Учён. зап. ун-та, 28 A939), 71—74.
Марков А. А.
[1] К вопросу о расширении области применения метода итераций. Новочеркасск,
Изв. Сев-Кавк. индустр. ин-та, 1 A5), A935), 52—54.
[2] К вопросу о проективном методе построения логарифмической шкалы. Новочер-
Новочеркасск, Изв. Сев.-Кавк. индустр. ин-та, 1 A5), A935), 55—58.
Мартене Л. К.
[1] Прибор для приближённого гармонического анализа. Л., Труды второго Все-
союзн. съезда матем., т. 2 A936), 407—408.
Марчевский М. Н.
[1] Прибор для ускоренного вычисления степенных вычетов по данному нечётному
первоначальному модулю. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 1 A927), 25—31.
Матусевич Н. К.
[1] О применении теории случайных ошибок к вопросам интегрирования табличных
величин. Зап. по гидрографии, 4 A933).
М а я н ц Л. С.
[1] Метод уточнения корней вековых уравнений высоких степеней и численного
анализа их зависимости от параметров соответствующих матриц. ДАН, 50 A945)„
121—124.
МелентьевП. В.
[1] Приближённое численное интегрирование обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Л., Ж. Русск. физ.-хим. о-ва, часть физ., 62: 3 A930), 267—280.
[2] Новый метод численного интегрирования дифференциальных уравнений внешней
баллистики. Бюлл. нач. вооруж. РККА (по Арт. упр.), 13A932), 49—73.
13] Номография. Л.—М., ГТТИ A933), 1—248.
[4] Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.,
Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 406—409.
[5] Приближённое решение интегральных уравнений. Л., Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда, т. 2 A936), 409—410.
[6] Приближённое конформное преобразование односвязных областей. Л., Труды
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 420.
[7] Приближённое конформное преобразование. М.—Л., ОНТИ, Сб. «Конформвое
отображение односвязных и многосвязных областей» A937), 80—89.

БИБЛИОГРАФИЯ 841
(81 Несколько новых методов и приёмов приближённых вычислений. Л.—М., ОНТИ
A937), 1—148.
[9] Экспериментальный метод построения линий тока плоского потенциального по-
потока. Л. A939).
[10] Методика расчёта лопастей гидротурбомашин. М.—Л., Изд. АН A939).
Me ликов К. В/
[1] Об одной возможной конструкции гармонического анализатора. Пгр., Зап.
по гидрогр., 3/44 A921), 185—191.
Мельникова Г. П.
[1] О применении бинарных полей в номограммах типа Кларка. М., Труды ин-та
механиз. и электриф. с. х„ A939), 139—144.
Мечников В. В.
[1] О формулах квадратур и об определении параметров эмпирических формул
по способу наименьших квадратов. Л., Изв. военно-техн. акад., 1 A927), 141—149.
[2] О формулах интерполирования и о численном интегрировании обыкновенных
дифференциальных уравнений. Л., Изв. военно-техн. акад., 2 A930), 91—121.
[3] Технические приёмы численного интегрирования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Изв. арт. акад. РККА, 6 A934), 1—60.
М и к е л а л з е Ш. Е.
[II О численном интегрировании дифференциальных уравнений с частными произ-
производными. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 819—842.
[2] О новых алгорифмах численного интегрирования обыкновенных дифферен-
дифференциальных урапнений. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 1187—1224.
[31 О численном решении интегральных урапнений. ИАН, сер. физ.-матем. A935),
255—300.
[41 О корнях функции, определяемой дифференциальными уравнениями. ИАН, Сер.
физ. матем. A935), 559—586.
[5] Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными
производными. М.—Л., Ьзд. АН A936), 1—108.
[6] О численном интегрировании некоторых дифференциальных уравнений мате-
математической физики. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936),
388—393.
[7] Исследование формул механических квадратур. Тбилиси, Труды ин-та матем.
Гр. фил. АН, 2 A937), 43—108.
ft, д*и , дъи
[8] О численном решении дифференциального уравнения J^is + ^у* + йг2==^х> у' z^-
ДАН, 14 A937), 177—180.
[9] О численном интегрировании уравнений Лапласа и Пуассона. ДАН, 14 A937),
181—182.
[101 О численном решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона.
ИАН, сер. матем. A938), 271—292.
[111 Об интегрировании дифференциальных уравнений разностным методом. ИАН,
сер. матем. A939), 627—642.
[121 К вопросу о решении краевых задач разностным методом. ДАН, 28 A940),
401—403.
[13] Обобщение метода численного интегрирования дифференциальных уравнении при
помощи формул механических квадратур. Тбилиси, Труды матем. ин-та
Гр.фил. АН, 7 A940), 47—64.
[14] К вопросу численного интегрирования дифференциальных уравнений с частными
производными при помощи сеток. Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 249—254.
[15] О разделённых разностях с повторяющимися значениями аргумента. Тбилиси,
Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 9 A941), 49—60.
[16] О численном интегрировании уравнений эллиптического и параболического
типов. ИАН, сер. матем., 5 A941), 57—74.
[17] О приближённом интегрировании линейных дифференциальных уравнений
с прерывными коэффициентами. Тбилиси, Сообщ. Ан ГрССР, 3 A942), 633—639.
[18] Формулы квадратур с разностями. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3 A942),
1001—1003.
[19] Новые формулы для численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 4A943), 215—218.

•842 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[20] О формулах механических кубатур, содержащих частные производные инте-
интегрируемой функции. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 4 A943), 297—300.
[21] К вопросу предельного изгиба прямолинейных стержней в пределах упругости.
Тбилиси, Труды матем. ин-та, 12 A943).
[22] О вычи -лении интеграла функции, зависящей от параметра. Тбилиси, Сообщ.
АН ГрССР, 5 A944), 582—584.
[23] Об одном методе численного дифференцирования. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР,
5 A944), 663—666.
[24] A new method for the cal:ulation of the trajectory of the center of gravity of projec-
tive. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944), 861—865.
[25] Application of a formula of numerical differentiation to the calculation of the tra-
trajectory of the center of gravity of artillery shele. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР,
5 A944), 959—964.
[26] О формулах квадратур. ДАН, 49 A945), 167—168.
[27] О расширении математических таблиц (на груз. яз.). Тбилиси, Сообщ. АН
ГрССР, 6 A945).
[28] К вопросу интерполирования функций от двух переменных (на груз. яз.). Тбили-
Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 6 A945).
[29] Решение краевых задач с помощью обобщённой формулы Маклорена. ДАН,
52A946), 759—761.
[30] Теория и практика интерполирования (на груз. яз.). Тбилиси, A946), 1—393.
Миллер Ф. А.
[1] Вычисление некоторых неопределённых интегралов, содержащих произведение
двух бесселевых функций. Л., Изв. полигехн. ин-та, 30 A927), 123—133.
М и н я е в П. А.
[1] Решение некоторых систем линейных уравнений, часто встречающихся в строи-
строительной механике и теории упругости. Ж. Судостроение, 10 A938), 533^-536.
МинятовА. М. ¦
[1] О построении интерполяционных формул. Матем. сб., 39 A932), 15—65.
[2] Об одной теореме, касающейся приближённого вычисления определённых инте-
интегралов. Матем. сб., 41 A934), 349—353.
[3] Сравнительное исследование дифференциальных и разностных уравнений. Томск,
Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1 : 1 A935), 1—22.
[4] Об одной теореме, касающейся приближённого вычисления определённых инте-
интегралов. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда A936), 205—206.
Миронов В. Т.
[1] Заметка об одном соотношении между остаточными членами дробных и целых
рациональных интерполяционных формул. Иркутск, Учён. зап. пед. ин-та,
4A940), 11—15.
[2] Об одном интерполяционном ряде вида
V< (z— ai)...(z—an)
— » (z-M-ii-in) '
Иркутск, Учён. зап. пед. ин-та, 4 A940), 16—31.
Михалевский Л. И.
[1] Построение номограмм уравнения с пятью переменными (номограмма стернар»
ным полем). М.—Л., Номогр. сб. A935), 179—182.
Михальский Н.
[1] Вариационное обобщение схемы Чебышева для параболического интерполиро-
интерполирования. Астрон. ж., 4 : 1 A927), 15—19. :
М и х л и н С. Г.
[1] Метод последовательных приближений в применении к бигармоническоЙ npfc
блеме. Труды сейсм. ин-та АН, 39 A934), 1—14.
Млодзеевский Б. К.
[1] Решение численных уравнений. М.—Л., Гос. изд. A924), 1—Ю9.

БИБЛИОГРАФИЯ 843
Мовшиц С. С. иТовбин А. В.
[1] По поводу теоремы K6nig'a о приближённом решении уравнений. Киев, Учён,
зап. ун-та, сер. физ.-матем., 4 : 5 A939), 135—145.
Могилевский Н. И.
{1] Об одном видоизменении способа Graffe вычисления корней уравнения. Хрк.,
Труды ИНЖ.-ЭКОН. ин-та, 2 A940), 367—372.
М о ж а р В.
[1] Про повну систему функшй, шо аннулюються на KOHTypi даиого вшкритного
згори промкутного обсягу. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3—4A935), 77—82.
{2] Застосування способу momchtjb до наближенного разв'язування линшних
диференщальних р1вняиь з частиниими похщними парабол1чного типу. Киев,
Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A935).
Молдавер А. И.
}1] Об одном случае общей анаморфозы. М.—Л., Номогр. сб. A935), 47—76.
[2] К вопросу о точности номографических градуировок. М.—Л., Номогр. сб. A935),
183—200.
[3] Геометрическая интерпретация вычислительных формул. М.—Л., Номогр. сб.
A935), 218—242.
[4] Уникур:альные кривые и их применение в номографии. М., Учён. зап. ун-та,
28 A939), 75—106.
[5] Гексагональные номограммы Лаллемана. М., Учён зап. ун-та, 28A939), 107—114.
Муратов М. И.
И] О конформном преобразовании неограниченных областей. М.—Л., ОНТИ, Сб.
«Конформное преобразование односвязных и многосвязных областей» A937).
:Мусхелишвили Н. И.Ч
[1] Sur l'integration apporochee d'dquation biharmonique. С. R. Acad. Sci.,
185 A927), 1184—1186.
[2] О численном решении плоской задачи теории упругости. Тбилиси, Труды
матем. ин-та Гр. фил. АН, 1 A937), 87—88.
i Муштари X. М.
[1} Об одном способе получения некоторых результатов в решении задач Сен:Венана
о кручении и о поперечном изгибе призматических тел. Прикл. матем. и мех.
A938), 427—440.
Назаров А. Г.
[ 1] К вычислению высших частот свободных колебаний и принадлежащих им фун-
фундаментальных функций. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 4A943), 17—23.
Назаров Н. Н.
1-П Приближённое вычисление двойных определённых интегралов. Ташкент, Бюлл.
Ср.-Аз. ун-та, 10 A925), 91—119.
[2] Новый вывод формулы Чебышева. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 21 A935),
7—11.
Натансон И. П.
[1] О приближённом представлении функции, удовлетворяющей условию Липшица,
с помощью интеграла Валле-Пуссена. ДАН, 54A946), 11—14.
Нейман И. Ш.
|1] Рекуррентные формулы для определения вынужденных крутильных колебаний
многомассовой системы. Ж. Техн. возд. флота, 10—И A940), 88—103.
Нейшулер Л. Я.
A1 Таблицы деления многозначных чисел и вычисления процентов. М.—Л. A929),
1—191.
[2] Серия таблиц умножения. Н.-Новгород A929), 1—4.
[3] Серия таблиц деления. Н.-Новгород A929), 1—17.

844 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[4] Таблицы произведений пятизначных чисел иа двузначные. Умножение любых
чисел , деление и процентирование с точными 4 и 6 знаками. Новочеркасск,
A930), 1—201.
[5] Таблицы умножения многозначных чисел. Новочеркасск A930), ¦ 1—4?.
[6] Таблицы. Умножение, деление, логарифмы, полные квадраты четырёхзначных чи-
чисел. Изд. 2, М.—Л. A933), 1-94.
[7] Таблицы приближённых вычислений. Деление, умножение, десятичные и на-
натуральные логарифмы, полные квадраты четырёхзначных чисел. Изд. 2, М.—Л.
A939), 1—139.
[8] Таблицы по подсчёту трудодней в колхозах. М., Сельхозгиз A935).
[9] О таблицах произведений наименьшего объёма . ДАН, 18 A938), 259—262.
[10] Об оптимальных трёхчленных таблицах функции двух переменных. ДАН,
24, A939), 843—846. • ^
[11] Таблицы для вычисления дирекционных углов a=arctg-^ и расстояний S=
V(WT5jr М.—Л., ГТТИ A940), 1—228.
б фй ё
(WT(yj , (),
[12] О двух- и трёхчленных таблицах функций трёх переменных. ДАН, 36 A942),
133—137.
[13] О новом типе таблиц функций нескольких переменных. ДАН, 43 A944), 146—150
[14] О табулировании систем неявных функций двух переменных. ДАН, 44 A944),
388—392.
[15] Об оптимальных слитных таблицах квадратов и кубов. ДАН, 47A945), 478—482.
[16] О табулировании одного класса функций четырёх переменных, заданных в не-
неявном виде. ДАН, 48 A945), 488—491.
17] Таблицы для расчёта девиации магнитного компаса. М., Изд. АН A945).
18] О табулировании функций. ИАН, ОТН A946), 1157—1176.
19] Таблицы для расчёта баллистических траекторий по методу С. А. Казакова. М.
Изд. АН A946). г г ^
[20] Таблица квадратов четырёхзначных чисел. М., Центр, геодез. часть A946).
[21] О табулировании функций, заданных в неявном виде. ИАН, ОТН, 5 A9471,
597—608.
[22] О fC-членных таблицах функций трёх переменных, представляющих сумму про-
произведений функций от одного переменного. ДАН, 55 A947), 191—194.
[23] О построении К-членных таблиц для функций п (п ^ 3) переменных с минималь-
минимальным числом входов. ДАН, 56 A947), 343—346.
[24] Заметки по табулированию. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 20A947), 113—116.
[25] О табулировании функций трёх переменных. Труды матем. ин-та им. Стеклова.
20 A947), 87—108. Н
[26] Авиационные таблицы высот и азимутов солнца (АТВАС). Изд. Гидрогоаф. vnw
ВМС A947). . У
[27] О табулировании функций четырёх и многих переменных. ИАН, ОТН, 11 A947),
1543—1560.
Неметти В. П.
[1] Ряд для вычисления несоизмеримого корня уравнения. М-, Труды ин-та янж.
трансп., 10 A929), 7—11.
Никифоров М. Е.
[1] Логарифмический счёт без помощи таблиц и счётных инструментов. Казань,
Труды хим.-технол. ин-та, 3 A934), 3—12.
Николаев А. Н.
[1] Извлечение квадратных и кубических корней из чисел с помощью арифмометра.
Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 11 A925), 65—74.
Николаев В. Ф.
[1] Интерполирование с помощью показательных функций и полиномов. Матем.
сб., 42 A935), 65—80.
Николаев П. В.
[1] Полиномы Массо и рациональные преобразования номограмм. ДАН, 28 A940),
582—584.

БИБЛИОГРАФИЯ 845
2] Анаморфоза полиномов. ДАН, 28A940), 774—778.
3] Рациональные преобразования номограмм. М., Учён. зап. ун-та, 73A944), 83—98.
4] «Полиномы Массо». М., Учён. зап. ун-та, 73A944), 99—116.
5] О единственности анаморфоз уравнений Массо. М., Учён. зап. ун-та, 73 A944),
117—128.
F] Об анаморфозе симметрических уравнений. ДАН, 47 A945), 86—89.
[7] Рациональная анаморфоза уравнений. ДАН, 47 A945), 159—162.
[8] Анаморфоза уравнений. Матем. сб., 17 E9), A945), 253—266.
Николаева М. В.
[1] Таблицы гиперболических функций от аргументов, выраженных в долях ж.
Л., Сб. по теор. сооруж. A932), 114—120.
Новотворцев В. И.
[1] Метод последовательных приближений в применении к исследованию затухаю-
затухающих колебаний инженерных конструкций. Свободные затухающие колебания.
ИАН, сер. физ.-матем. A933), 237—255.
[2] Метод последовательных приближений в применении к исследованию свободных
колебаний инженерных конструкций. Труды сейсмолог, ин-та АН, 23A933), 22.
Нумеров Б. В.
{1] По поводу расширения таблиц. Изв. Русск. астрон. о-ва, 23 : 7—9 A921).
[2] Таблицы десятичных логарифмов чисел от 1000 до 10 000- Л.—М., ГТТИ A932)
[3] Метод экстраполирования в применении к численному интегрированию линей-
линейных дифференциальных уравнений второго порядка. ИАН, сер. физ.-матем.
A932), 1—8.
[4] Сокращённая форма многозначных таблиц логарифмов чисел. ИАН, сер.
физ -матем., A932), 373—380.
J5] Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка.
Бюлл. нач. вооруж. РККА (по Арт. упр.), 2 A932), 5—35.
О к у н е в Б. Н.
[1] Комбинированные формулы интерполирования численного дифференцирова-
дифференцирования и численного интегрирования. Изв. Арт. акад. РККА, 1 A932), 77—93.
Оппоков Г. В.
A] Численное интегрирование основных уравнений внешней баллистики. М., Изд.
Осоавиахима A930).
{2] Численное интегрирование дифференциальных уравнений. М.—Л., ГТТИ A932),
1—276.
[3] Численный анализ. М.—Л., Оборонгиз A939), 1—176.
Оранская Н. В.
II] Интегрирование уравнения de Sparre'a. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та,
2 : 2 A838), 187—191.
О р л е и к о П. Е.
[1] Графический способ гармонического анализа периодических кривых. Вести,
инж. и техн., 4 A936), 234—235.
Орлов А. Я.
[1] О формулах Чебышева для интерполирования по способу наименьших квадратов.
Л., Изв. Русск. астрон. о-ва, 23 A919), 22—26.
Орлов М.
[11 Наближене числове розв'язування штегральних р1внянь. Киев, Зап. прир.-техн.
отд. АН УССР, 3 A931), 1—68.
[21 Про наближене обчисления подвШних штегралш. Киев, Ж. матем. ии-та АН
УССР, 1 A932), 39—46.
[3] Про числове наближення розв'язування штегральних р!внянь. Киев, Ж. матем,
цикла АН УССР, 1 A931), 73—80.
[4] Ober die angenaherte Auswertung von Stielties Integralen. Хрк., Зап. матем. т-ва
D). 6 A933), 47—60.
E] Sur quelques formules approchees pour Ics integrates elliptiques completes. Киев,
Ж. ин-та матем. АН УССР. 3—4 A935), 41—44.

846 ицсЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Осипов В. С.
[1] Таблицы для решения кубических уравнений. A937), 1—19.
Островский А. М.
[1] Ober die Konvergenz und die Abrundungstetigkeit des Newtonschen Verfahrens.
Матем. сб., 2 D4), A937), 1073—1096.
[2] Ober einen Fall der Konvergenz des Newtonschen NSherungsverfahrens. Матем.
сб., З D5), A938), 253—258.
Отрыганьев Н. Н.
[1] Логарифмирование на счётах. Ж. Геодезист, 4 A937), 03—70.
Павлов Н. Н.
[I] Новый способ решения кубического уравнения при помощи логарифмической
линейки. М., Ж. Вестн. инж. и техн., 3 A932), 134—135.
Павловский Н. Н.
.[1] Теория движения грунтовых вод под гидравлическим напором. Пгр., Изв. ме-
лиорат. ин-та A922).
Панов Д Ю.
[1] Ober die angenaherte numerische Losung des Problems der Warmeleitung.
Z. angew. Math, und Mech., 12 A932), 185—188.
[2] О приближённом численном решении уравнения — =о2Ли. Матем. сб., 40 A933),
373—393.
[3] Решение систем линейных уравнений. Добавление к книге Д. Скарборо «Числен-
«Численные методы математического анализа». М.—Л. A934).
[4] Численное решеьие краевых задач дифференциальных уравнений в частных
производных. Добавление к книге Д. Скорборо «Численные методы математиче-
математического анализа». М.—Л. A934).
[5] О применении метода академика С. А. Чаплыгина к решению интегральных
уравгепий. ИАН, сер. матем. A934), 81?—886.
[6] О коэффициентах формулы Gregory для приближённого вычисления определён-
определённых интегралов. М., Учён. зап. ун-та, 2 : 2 A934), 67—72.
[7] Приближённое графическое решение краевых задач уравнения Лапласа. Труды
ЦАГИ, 169 A934), 3—24.
[8] Применение метода акад. С. А. Чаплыгина для решения интегральных уравне-
уравнении. М.—Л., ЦАГИ, Техн. заметки, 45 A935), 69—71.
[9] Об одном методе решения краевых задач дифференциальных уравнений в част-
частных производных. ДАН, 3 A935), СЗ-66.
Ц0] О применении метода акад. Чаплыгина для решения интегральных уравнении.
Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 385—386.
[II] Приближённое графическое решение краевых задач уравнения Лапласа. Л.,
Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 409.
[12] Решение краевых задач дифференциальных уравнений в частных производных
для узких и длинных областей. ИАН,сер. матем. A937), 63—77.
[13] Сведения по технике вычислений и теории погрешностей. Справочник по номогр.
A937), 40—51.
[14] Приближённые вычисления. Матем. и естеств. в СССР. Изд. АН A938), 97—100.
[ 15] О кручении стержней, поперечное сечение которых ограничено кривой
х = А Уу(\—у). Прикл. матем. и мех., 1 : 1 A938), 133.
[16] Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных
производных. М.—Л., Изд. АН A938), 1-129.
[17] Численное решение краевых задач дифференциальных уравнений в .частных
производных эллиптического типа. Успехи матем. наук, 4A938), 34—44.
[ 18] О применении метода Б. Г. Галеркина для решения некоторых задач теории упру-
упругости. Прикл. матем. и мех., 3 A939), 139—142.
[19] О больших прогибах круглой пластинки. Труды ЦАГИ, 450 A939).
[20] Крутильные колебания круглого стержня при наличии упругого гистерезиса.
Труды ЦАГИ, 485 A940). .
|21] О приближённом численном решении краевых задач нелинейных уравнен»
в частных производных. ДАН, 55 A941}), 13—16.

БИБЛИОГРАФИЯ 847
Панов Д. Ю., Попов С. Г. и Хохлов А. И.
[ 1] Приближённое решение графическим методом задачи о кручении для винтового-
профиля. Труды ЦАГИ, 169 A934), 25—31.
Папкович П. Ф.
[1] Об одном методе разыскания корней характеристического определителя. Прикл,
матем. и мех., 1 : 2 A930), 314—320.
12] Строительная механика корабля, Т. II. Л. A941), 1—159.
Пастухов А. С.
[1] О приближениях Чебышева. Матем. сб., 32 A925), 320—325.
Пентковскнй М. В.
Til Коррелятивное преобразование абака Массо полярным методом. М.—Л., Номогр,
сб. A935), 145—178.
[2| Проективное преобразование номограмм. М.—Л., ОНТИA937), 1—112.
[3] Проективное преобразование номограмм. М., Учён. зап. ун-та, 28A939), 115—140.
[4] Плоские эквиваленты пространственных номограмм Mehmke. M., Учён. зап.
ун-та, 28 A939), 141—148.
Перельман М. Я.
[1] Метод Б. Г. Галеркина в вариационном исчислении и в теории упругости. Прикл.
матем. и мех., 5 A941), 345—358.
Перепёлкин Д. И.
[1] О построении номограммы симметричного уравнения третьего номографического
порядка. М.—Л„ Номогр. сб. A935), 131—138.
Петров Б. Н.
[1] Граница применимости теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравен.
ствах.к линейным уравнениям с обыкновенными производными второго порядка.
ДАН, 51 A946), 251—254.
[2] Неприменимость теоремы о дифференциальном неравенстве С. А. Чаплыгина
к некоторым нелинейным уравнениям с обыкновенными производными второго
порядка. . ДАН, 51 A946), 495—498.
Петров Г. И.
[1] Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой
жидкости. Прикл. матем. и мех., 4 : 3 A940), 3—12.
Петров М. К.
[1] Про випадок в трати точности при вшйманн! наближених чисел. Херсон, Зап..
ин-та нар. проев., 2 A926), 128—131.
Петровский А.
[1] Счётная линейка для ускорения подсчётов положений равновесия. Ж. Метроло-
Метрология и поверочное дело, 12 A939), 20—23.
Петровский И. Г.
[1] Новое доказательство существования решения задачи Дирихле методом конеч-
конечных разностей. Успехи матем. наук, 8 A941), 161—170.
Пинкевич В. Т.
[1] О погрешности, допускаемой методом Штермера. Днепропетровск, Научн. зап.
ун-та, 1 : 1 A938), 59—61.
.Пинский А. X.
. [1] Применение метода Адамса-Штермера к уравнениям высших порядков. Томск,
Изв. индустр. мн-та, 59: 1 A940), 165—181.
Плотников Г. А.
\\] О выделении периодической части функции способом «скользящей средней»*
Ж. Метеорол. и гидрол., 7 A938), 23—27.

S48 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Побединский Б. Г.
[1] Графическое интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка.
Матем. сб., 35 A928), 87—103.
[2] Номограммы из выравненных точек с параллельными разрезанными шкалами.
(Номограммы с большой точностью.) Ж. Вестн. инж. и техн., 2 A933), 61—63;
Полубаринова-Кочина П. Я.
[1] Об интегральном уравнении теория приливов в бассейнах постоянной Тлубиньц
И АН, сер. матем., 2 A938), 249—270.
[2J Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым зада-
задачам о движении грунтовых вод (случай трёх особых точек). И АН, сер. матем.,
3 A939), 329—350.
[3] Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым зада-
чам о движении грунтовых вод (число особых точек >i3). И АН, сер. матем.,
3 A939), 579—602.
Пономарёв М. И.
[1] Метод аппроксимирования экспериментальных кривых. М., Ж. Электросвязь,
1 A938), 45—56.
Пономарёв С. Д.
6
[1] Описание прибора, позволяющего брать определённые интегралы TnnaJ*/(y)dx
а
и другие, к этому типу сводящиеся, если графически задано у=р(х). М.,
Ж. Вестн. инж. и техн. A934), 176—178.
Попов А. А.
J1] Новый метод графо-аналитического интегрирования. ДАН, 38A943), 298-300.
Попов И. А.
[ 1 ] К вопросу об общем методе построения номограмм на полулогарифмической й лОСа-
рифмической сетках. М., Труды ин-та механиз. и электриф. с. х. A939), 125—134.
Попов П. А.
[ 1 ] Новый метод определения высших гармонических кривых тока и напряжения,
заданных графически. Новочеркасск, Изв. индустр. ин-та, механич. часть, Л A5),
[2] О разложении графически заданных однозначных периодических функций в ряд
Фурье. Новочеркасск, Изв. индустр. ин-та, механич. часть, 2 A6), A936), 52—65.
Попов а-Г лаголеваП. Н.
[1] Обобщение формы уравнений шкал в номограммах из выравненных точек. М.—Л.,
Номогр. сб. A935), 139—144.
Прейпич Н. X.
[1] О средних ошибках численных значений функций, интерполированных из та-
таблиц. М.—Л., Труды Всесоюзн. НИИ метрологии, 3 B9), A936), 80—87.
П р о ш к о В. М.
[1] Об электрическом приборе для решения системы линейных алгебраических урав*
нений. Прикл. матем. и мех., 3 : 4 A939), 195—206.
[2] Приборы для определения корней систем линейных уравнений. Успехи матш»«
наук, 1 : 5—6 A5—16), A946), 41—42.
[3] Электрический прибор для решения системы совместных линейных алгебраиче-.
ских уравнений. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 22 A947), 117—128.
Пугачёв В. С.
[1] Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифферент
циальных уравнений, содержащих параметр. ИАН, сер. матем., 5 A941), 75—84»
[2] Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифферен-
дифференциальных уравнений, содержащих параметр, II. ИАН, сер. матем., 5 A9ОД
431—440. ¦
[3] Оценка погрешности приближённого представления интегралов линейных Явф»
ференциальиых уравнений, содержащих параметр первыми членами их асиия*
тотических разложений. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 203—208.

БИБЛИОГРАФИЯ 849
[4] Задача внешней баллистики для авиационной бомбы. Прикл. матем. и мех.,
6 A942), 281—287.
[5] Заметки по внешней баллистике снарядов и авиабомб. Прикл. матем. и мех.,
6 A942), 347—369.
П у т я т а Т.
[1] Определение погрешности в методе Бибербаха. Киев, Труды технол. ин-та сили-
силикатов, 1 A939), 275—277.
Рабинович И. М.
[1] Прибор для механического решения системы линейных уравнений. Вестн.
воен.-инж. акад., Сб. по строительн. механике, 1 A934), 137—160.
Рапопорт-И. М.
[1] О приближённом вычислении эллиптических, интегралов и функций. Киев,
Труды авиац. ин-та, 8 A938),'21—35.
12] О дифференцировании в счётно-решающих приборах. ИАН, ОТН, 11 A947),
1521—1542.
Р ев и ч Д. Я.
[1] О некоторых методах численного интегрирования дифференциальных уравне-
уравнений высших порядков. Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936),
398.
12] О приближённом интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ростов н/Д, Юбил. сб. научн. работ машиностр. ин-та, 1 A940), 53—76.
Рельтов Б. Ф.
jl] Исследование фильтрации в условиях пространственной задачи по методу электро-
электрогидродинамических аналогий акад. Н. Н. Павловского. Изв. НИИ гидротехники,
15 A935), 1—18.
Ремез Е. Я.
Ill Питания Teopi'i та практики логаритм1чних обчислень. Киев, Зап. ин-та нар.
проев. 2 A927), 163—172.
121 Деяю способи чисельно! штеграцп д1фереишальних ртпяпь. Киев, Зап.
прир.-техн. отд. АН УССР 1 A931), 1—38.
[3] Sur la determination des polyn6mes d'approximation de degre donne. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), 10 A934), 41—63.
[4] Sur un procede convergent d'approximation successive pour determiner les poly-
nomes d'approximation. С R. Acad. Sci., 198 A934), 203—206.
15] Sur le cal:ul effectif des polynomes de Tchebycheff. С R. Acad. Sci., 199 A934),
337—340.
16] Sur l'interpolation des fonctions qui sont d'allure irreguliere dans l'ntervalle donne.
Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A937), 9—51.
[7] Про деяк1 властивост! конвексноУ оболонки точково! множинн та про задачу
мМмального наближеиня. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938), 115—130.
[8] О некоторых классах линейных функционалов в пространствах Ср и об оста-
остаточных членах формул приближённого анализа, I. Киев, Труды ин-та матем.
АН УССР, 3 A939), 21—62.
[9] Об остаточных членах некоторых формул приближённого анализа. ДАН,
26 A939), 130—134.
[10] О некоторых классах линейных функционалов в пространствах Ср и об остаточ-
остаточных членах формул приближённого анализа, II. Киев, Труды матем. ин-та АН
УССР, 4 A940),' 47—82.
[11] Об остаточных членах некоторых формул приближённого анализа. ДАН,
26 A940), 130—134.
112] О средних степенях приближения по принципу наименьших квадратов. Матем. сб.,
9 E1), A941), 437—450.
Р е п м а н Ю. В.
[1] К вопросу математического обоснования метода Галеркина решения задач об
устойчивости упругих систем. Прикл. матем. и мех., 4 : 2 A940), 3—6.
Риз П. М.
[1] Определение собственных частот вибраций лопастей воздушных винтов. Труды
ЦАГИ, 218 A935), 1—21.
54 Математика в СССР за 30 лет

850 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Р огов Т. Н.
[1] Равносторонняя треугольная плита, свободно опёртая по контуру. Труды высш.
инж.-тех. уч. Военно-морск. флота, 2 A940), 34—43.
Розенберг Л. Д.
[1] Метод расчёта звуковых полей, образованных распределёнными системами
излучателей, работающими в закрытых помещениях. Ж. Техн. физ., 12 A942),
247.
Романовский В. И.
[I] Обобщение способа Сильвануса-Томсона гармонического анализа. Ташкент,
Труды Туркм. ун-та, 6—8 A922). 3—18.
[2] О новом методе решения некоторых линейных разностных уравнений с двумя
независимыми переменными. Матем. сб., 45 A938), 144—165.j
Ромберг В.
[1] Bemerkung fiber die GQHigkeitsgrenzen der Galerkins^hen Naherungsmethode fQr
Eigenwertprobleme. Ж. Техн. физ., З A936), 489—491.
[2] Метод для однэзременного приближённого определения собственного значения
и собственной функции. ДАН, 14 A937), 65—68.
Рыбалтовский Н. Ю.
[1] Логарифмическая линейка для решения задач по способу Сомнера. Л., Зап. по
гидрографии, 53 A927), 109—111.
Рыжик И. М.
[1] Специальные функции. Собрание формул и вспомогательных таблиц. М.—Л.,
ОНТИ A936), 1—160.
[2] Таблица интегралов, сумм рядов и произведений. М.—Л., ГТТИ A943).
Рымаренко Б. А.
[1] Об одной интерполяционной формуле. Киев, Научн. зап. полиграф, ин-та,
1 A939), 69—70.
Саваренский Е. Ф.
[1] Неограниченная применимость теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциаль-
дифференциальных неравенствах к линейным уравнениям с частными производными первого
порядка. ДАН, 51 A946), 255—258.
Савин Д.
[1] Планиметр. Ж. Геодезист, 4 A931), 44—46.
Садовский Л. Е.
[1] Алгебраизация одной задачи управления вычислительными автоматами. Успехи
матем. наук, 2:6 A947), 223—226.
Салехов Г. С.
[1] Новый метод определения областей сходимости, суммирования, а также улуч-
улучшения сходимости некоторых рядов, разложенных по тригонометрическим функ-
функциям по полиномам Legendre'a, Чебышева, по функциям ВеввеГя и других.
Казань, Учён. зап. ун-та, 96 : 4—5 A936), 73—124.
СалютинИ. Б.
[1] Упрощённый способ интерполяции при вычислении частот. Ж. Вестник электро-
электротехники, 2 A931), 80.
Самойлов а-Я х о и т о в а Н. С.
[1] Таблицы эллиптических интегралов, М.—Л., ОНТИ A935), 1—107.
[2] По поводу заметки Л. Г. Афендика «Оценка погрешности при численном инте-
интегрировании Штермера». Прикл. матем. и мех., 2 A939), 143.
Самсонов К. В.
[1] Прибор для решения системы линейных алгебраических уравнений методом
итерации. Прикл. матем. и мех., 2 A935), 309—313.

БИБЛИОГРАФИЯ 851
Саткевич А. А.
[1] Приёмы исследования эмпирических кривых, I. Номографический метод парал-
параллельного координирования в его применении к анализу эмпирических кривых.
Пгр., Ж. Опытно-строительное дело, 3 A919), 90.
[2] Приёмы исследования эмпирических кривых, II. Координатные изображения
в логарифмических масштабах, как средство анализа числовых результатов
наблюдения. Пгр. A920), 1—64.
[3] Метод Чебышева постепенного составления по данным опыта целой алгебраи-
алгебраической функции в упрощённом обосновании и применённой к практике форму-
формулировке. Пгр., Изв. Русск. гидрол. ин-та, 1—3 A921), 1—39.
Сверженский С. Б.
[1] О переходе от кривых разных типов Пирсона к их гистограммам. Казань, Изи,
физ.-матем. о-ва B), 25 A925), 43—47.
С е г а л Б. И.
[1] Приближённое вычисление некоторых гиперэллидтических интегралов, нстре-
чающихся в расчёте плотин. ДАН, 35 A942), 22*3—229.
С е г е л ь М. М.
[1] Приближённое решение уравнений с помощью логарифмической линейки.
Казань, Труды хим.-техиол. ин-та, 2 A934), 3—7.
[2] Решение трансцендентных уравнений при помощи логарифмической линейки
с обычными и новыми шкалами. Казань, Труды ин-та инж. коммун, строит.,
2 A935), 3—8.
Седов Л. И.
[ 1] Beitrag zu den Aufgaben fiber Drehung innerhalb einer Fliissigkeit und fiber Torsion.
Прикл. матем. и техн., 3 A936), 150—153.
Семендяев К. А.
[1] О применении интегратора в качестве степенного интегриметра. Прикл. матем.
и мех., 4 : 1 A940), 139—144.
[2] О нахождении собственных значений и инвариантных многообразий матриц
посредством итераций. Прикл. матем. и мех., 3 A943), 193—221.
Семёнов Н. С.
[1] Применение вариационного метода Л. В. Канторовича к решению задач об изгибе
гонких прямоугольных пластин. Прикл. матем. и мех., 4A939), 107—116.
Серебрянников С. В.
[1] О проективном построении функциональных шкал. Новочеркасск, Труды
инж.-мелиорат. ин-та, 3 A939), 164—167.
[2] "О решении численных уравнений методом итерации. Новочеркасск, Труды
инж.-мелиорат. ин-та, 3 A939), 168—172.
Синцов Д. М.
[1] Формула Эрмита для приближённого вычисления сегмента кривой и её видс»-
изменение. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 22 A917), 226—233.
Слободянский М. Г.
[1] Способ приближённого интегрирования уравнений с частными производными
и его применение к задачам теории упругости. Прикл. матем. и мех., 3 A939),
75—82.
[2] Пространственные задачи теории упругости для призматических тел. М., Учён.
зап. ун-та A940), 39.
Слуцкий Е. Е.
[1] О таблицах «закона уЧ (неполная Г-функция), ИАН, сер. матем., о A941),
183—184.
[2] О таблицах обратной неполной бета-функции. Ташкент, Труды матем. и мех.
ин-та АН УзССР, 1 A946).

852 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Смирнов Л. С.
[1] Планиметр (прибор для механического интегрирования). М.,Кн-во «Высшая тех-
техника», 10.
Смирнов Н. С.
[1] Применение рядов Фурье к решению интегрэльных и интегро-дифференциальных
уравнений. ИАН, сер. матем., 4 A939), 413—426.
С м о л я к о в П. Т.
[1] О признаках эволюции и периодизма в эмпирических рядах. Казань, Изв.
физ.-ма.ем. о-ва, 9 A937), 77—96. •
Соболев С. Л.
[1] Алгорифм Шварца в теории упругости. ДАН, 4 A936), 243—246.
Соколов Б. А.
[1] О кручении вала переменного сечения. Прикл. матем. и мех., 3:3 A937),
153—160.
СоколовБ. В.
[1] Зеркальный треугольник смесей. Учён. зап. ун-та, 28 A939), 149—152.
Сретенский Л. Н.
[1] Об экстраполяции. Бюлл. геофиз. ин-та, 36 A931), 144.
Стеклов В. А.
[1] Sur l'approximation des fonctionsa l'aidedepolynomes deTchebychef et sur les qua-
quadratures. ИАН F), 11 A917), 187—218.
B] Sur l'approximation des fonctions a l'aide de polynomes de Tchebychef et sur les
quadratures. ИАН F), 11 A917), 535—566.
|3] Sur Papproximation des fonctions a I'aide de polyn6mes de Tchebychef et sur Ies
quadratures. ИАН F), 11 A917), 687—718.
[4] Remarques sur les quadratures. ИАН F), 12 A918), 99—118.
15] Quelque remarques complementaires sur les quadratures. ИАН F), 12 A918),
587—614.
[6] Sur les quadratures. ИАН F), 12 A918), 1859—1890-
[7] Sur les quadratures. ИАН F), 13 A919), 65—96.
Стенин Н. П.
[1] Определение параметров в формуле Кристоффеля-Шварца. М.—Л., ОНТИ.
Сб., «Конформное преобразование односвязных и многосвязных областей»A937).
С т е п а и я н ц Л. Г.
AJ Расчёт ламинарного пограничного слоя на телах вращения. Прикл. м^тем.
и мех., 6 A942), 317—326.
Субботин М. Ф.
[1~1 Численное интегрирование дифференциальных уравнений, I. Ташкент, Бюлл.
Ср.-Аз. ун-та, 16 A927), 273—287.
[2] Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Ташкент, Бюлл.
Ср.-Аз. ун-та, 17 A928), 21—29.
[3] О численном интегрировании дифференциальных уравнений. ИАН, сер.
физ.-матем. A933), 895—902.
[4] Численное интегрирование дифференциальных уравнений. (Основные методы
современной небесной механики.) Ж. Мироведение, 23 : 1 A934), 58—71.
151 О таблицах функций, применяемых в астрономических вычислениях. ИАН, ОТН,
6 A938), 105—111.
[6] Многозначные таблицы логарифмов. М.—Л., Изд. АН A940).
J7J Об одном способе улучшения сходимости тригонометрических рядов, имеющих
значение в небесной механике. ДАН, 40 A943), 343—347.
С у р м и и М. Л.
11] Решение интегральных уравнений первого рода типа Абеля. Киев, Ж. матем.
ин-та АН УССР, 3 A939), 113—119. ;

БИБЛИОГРАФИЯ 853
Сушкевич А. К.
[1] Про cnoci6 Ньютона-Фур'е обчислення коретв р1внянь. Хрк., Учён. зап. ун-та,
8—9 A937), 61—65.
[2] О непосредственном вычислении детерминантов 4-го и 5-го порядков. Хрк., Научн.
зап. ин-та сов. торговли A939), 23—29.
Тельный С.
[1] Графический метод интегрирования дифференциальных уравнений, встречаю-
встречающихся в электротехнике. Екатеринослав, Изв. горн, ин-та, 14 A924), 403—413.
Терехов С. К.
[1] Упрощение вычислений при графическом уравнении. Зап. по гидрогр.,
66 A931), 67—72.
Терских В. П.
[1] Графический способ планиметрирования. М., Ж. Вести, инж. и техн., 1 A935)
24—26.
Т и ц А. Б.
[1] Приближённое вычисление п-кратных интегралов. ИАН, сер. матем., 4 A940),
423—464.
[2] Графическое решение уравнений, систем уравнений и неравенств. Хрк., Изв.
Инж.-строит, ин-та A941), 20.
Товстолес Ф. П.
[1] Приложение теории детерминантов к обобщению метода выравнивания точек
для построения номограмм. М., Ж. Вестн. инж. и техн., 3 A930), 101—104.
12] Приложение теории детерминатов к обобщению метода выравнивания точек для
построения номограмм, II. М., Ж. Вестн. инж. и техн., 4 A930), 141—146.
Толстов Ю. Г.
[1] Применение метода электрического моделирования физических явлений к реше»
нию некоторых задач подземной гидравлики. М.,Ж. Техн. физ., 12 : 10 A942).
[2] Конформное преобразование двухсвязных областей с помощью электроинте-
электроинтегратора. ИАН, ОТН, 7—8 A944).
[3] Новый электронный аппарат для гармонического анализа и синтеза. ИАН, ОТН,
3 A946).
[4] Электрический аппарат для решения однородных и неоднородных обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами высших
порядков, дающий решение в виде ряда Тэйлора. ИАН, ОТН, 3 A947), 319—322.
Тополянский Д. Б.
[1] О применении эффективных методов конформного отображения к решению одной
задачи об изгибе стержней. Прикл. матем. и мех., 4 : 2 A941), 123—124.
Тумаркин С. А»
[1] Об оценке ошибок в методе средних. М.—Л., Труды ЦАГИ, 198 A935), 1—16.
Уманский А. А.
[1] Специальный курс строительной механики. Ч. 1 A935), 1—176.
[2] О расчёте многопролётных упруго опёртых балок. Труды ЦАГИ, 247A936), 1—36.
Упорников Н. А.
[1] Практические приёмы численного интегрирования дифференциальных уравне-
уравнений движения центра тяжести снаряда. Л. A926), 1 — 112.
Фаддеев Д. К.
[1] О преобразовании характеристического уравнения матрицы. Л., Труды ин-та
пром. строит. A937), 78—86.
Фельдгейм Э.
[1] О характере сходимости при интерполировании методом Лагранжа. ДАН,
14 A937), 329—334.

854 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Фивс некая М. М.
[1] Логарифмические линейки с разрезными шкалами. М.—Л., ОНТИ A935), 1—44.
Филоненко А. С и Башков Е. Ф
[\] Таблицы шестизначных натуральных величин тригонометрических функций
для счётных машин. М.—Л., Госкартогеодезия AРЧ2), 1—196.
Флоренский П. А.
{1] Физика на службе математики (математические приборы). Ж. Соц. реконструк-
реконструкция и наука, 4 A932), 43-63.
Флорине кий Ф. В.
{1] Метод Хоуэлла, его варианты и приложения к задачам механики. Метод при-
приближённого интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Днепропетровск A939), 59.
12] О меюде Хоуэлла. М.—Л., Прикл. мате.м. и мех., 2 A934), 91—100.
Фок В. А.
fl] Об остаточном члене некоторых формул квадратур. ИАН, сер. физ.-матем.
A932), 419—448.
\2] Распределение топов, возбуждаемых плоской волной на поверхности проводника.
Ж. Экспер. и теор. физ., 15 A945), 700—701.
13] Таблицы функций Эйри. М., Информ. отд. НИИ, 108 A946), 1—53.
Франк М. Л.
[1] Одна из возможных конструкций полярного интеграфа. Симферополь, Зап.
мате.м. каб. Тавр, ун-та, 1 A919), 29—32.
[2] Ueber die Interpolation einiger in der Praxis vorkommend geschlossener Kurven.
Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 15—16.
[3] Логарифмический прибор для решения алгебраических уравнений. Симферополь,
Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 35—38.
[4] О вычислении корней уравнения с помощью метода постоянного коэффициента.
Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 2 A921), 225—229.
•{5] Об одной конструкции полярного интеграфа. М., Труды Всеросс. матем. съезда
A927), 189.
[6] Об интегрировании некоторых замкнутых кривых. Симферополь, Изд. пед.
ин-та, 3 A930), 217—226.
J7] О приложении асимптотической формулы к вычислению определённых интегра-
интегралов и интегрированию некоторых дифференциальных уравнений. Симферополь,
Изв. Крымск. иед. ин-та, 3 A930), 227—235.
18] Графические методы интегрирования обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Л.—М., ГТТИ A933), 1—50.
[9] Новый метод графического интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. Матем. сб., 40 A933), 129—143.
f 10] Об одном методе геометрической анаморфозы. Л., Труды индустр. ин-та, раздел
физ.-матем., 10:3 A936), 9—16.
[11] Фотоэлектрический интегратор. Л., Труды второго'Всесоюзн. матем. съезда,
т. 2 A936), 422—424.
[12] Компенсационный фотоэлектрический интегратор. Л., Труды индустр. ип-та,
раздел физ.-матем., 4:2 A937), 94—100.
[13] О приближении многоугольников уникурсальными кривыми. ИАН, 2 A938),
137—160.
[14] Метод приближённого вычисления двукратных интегралов, распространён-
распространённых на площади прямоугольника. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.-матем..
5 : 1 A938), 66—78.
[15] Начертательная геометрия четырёхмерного пространства по идее Е. С. Фёдо»
рова. Л., Учён. зап. ун-та, сер.матем., 6 A939), 90—107.
[16] Номограмма для решения полного уравнения четвёртой степени. М., Учён. зап.
ун-та, 28 A939), 153—154.
[17] Графический метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью
функциональных шкал и его применение. Л , Труды политехи, ии-та. 3 A941),
79-95.
[18] Вычисление некоторых типов определённых интегралов с помощью графического
метода. Л., Труды политехи, ин-та, 3 A941), 96—105.

БИБЛИОГРАФИЯ 855
Франкль Ф. И.
[1] Сверхзвуковые течения осевой симметрии. Изв. Военно-арт. акад., 6 A934),
91—112.
[2] К задаче внутренней баллистики. Труды ЦАГИ, 52.
[3] Вихревое движение и обтекание тел в плоскопараллелыюм течении сверхзвуко-
сверхзвуковой скорости. М.—Л., Реактивн. движение A935), 82—94.
[4] О задаче Коши для линейных и нелинейных уравнений в частных производных
второго порядка гиперболического типа. Матем сб., 2 D4), A937), 793—814.
[5] Асимптотическое разложение функций Чаплыгина. ДАН, 58 A947), 757—760.
Франкль Ф. И. и Алексеева Р. Н.
[1] Две краевые задачи из теории гиперболических уравнений в частных производ-
производных с приложением к сверхзв\'ковым газовым течениям. Матем. сб., 41 A934),
483—502.
Хажалия Г. Я.
J1] К теории конформных отображений двухсвязных областей. Тбилиси, Труды
матем. ин-та Гр. фил. АН, 4 A938), 123—133.
[2] К теории конформных отображений двухсвязных областей. Матем. сб., 8 E0),
A940), 97—105.
Ханов В.
[1] Кинематическое решение трёхчленного уравнения. Труды матем. ин-та им. Стек-
лова, 20 A947), 131—133.
Хлодовский И. Н.
[1] К теории общего случая преобразования векового уравнения методом акад.
А. Н. Крылова, ИАН, сер. физ.-матем., 8A933), 1077—1102.
Христенко В. Я
11] Гармонический анализ экспериментальных периодических функций. Томск,
Изд. «Кр. Знамя» A937), 1—92.
Худеков Н. Н.
[1] Об одном формальном свойстве итерированных функций. Л., Учён. зап. ун-те,
сер. матем., 6 A939), 115—118.
Цимбалистый М. Г.
]1] Вычисление гиперболических функций с помощью тригонометрических таблиц.
Л., Научно-техн. сб. электротехн. ин-та связи, 4 A933), 78—82.
Ц х а д а я Ф. Г.
[1] К вопросу численного интегрирования обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 601—608.
[2] О погрешности при численном интегрировании обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений разностным методом. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР.
11" A942), 97—106.
Чаплыгин С. А.
[1] Основания нового способа приближённого интегрирования дифференциальных
уравнений. М., Бюлл. научно-экспер. ин-та путей сообщ., 13A919), 1—16.
[2] Приближённое интегрирозаиие обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка. Пгр. (Ком. особ. арт. оп.), A920), 1—20.
[3] Новый метод приближённого интегрирования дифференциальвых уравнений.
Изд. 2, М.—Л., ГТТИ A932), 1—50.
Чеботарёв Н. Г.
[1] Об одном видоизменении способов Штурма и Фурье. ДАН, 34 A942), 3—6.
Ч е п о в а Т. К.
[1] Приближённое решение задач кручения некоторых призматических стержней.
Прикл. матем. и мех., 1 : 2 A937), 225—261.

856 ЧИСЛЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Черевков А. П.
[1] О решении'трансцендентного уравнения т cos а—xl sin я/ = 0. Вестн. инж. и техн..
6 A931), 261—262.
Черепков Ф. С.
[1] О решении систем линейных уравнений методом итерации. Матем. сб., 1 D3),
A936), 953—960.
Чудов А. А.
[1] Таблицы деления и умножения многозначных чисел на двузначные. М.—Л.,
ОНТИ A935), 1—98.
[21 Таблицы умножения четырёхзначных чисел на двузначные числа. М. A940),
* 1-188.
[3] Таблицы умножения трёхзначных чисел иа трёхзначные. М. A940), 1—454.
Чуфистова А. М.
[1] Приближённое конформное отображение с помощью показательной функции.
Л., Учён. зап. ун-та, 37:6 A939), 119—126.
Шапиро Г. С.
[1] О расчёте плиты, имеющей вид бесконечной ленты, лежащей на упругом осно«
вании. ДАН, 37 A942), 230—232.
Шатровский Л. И.
[1] Применение метода Нейшулера к составлению таблиц воздушной стрельбы.Труды
матем. ин-та им. Стеклова, 20 A947), 109—112.
III в е й к о в с к и й Н. Т.
|[1] О разыскании периодичностей. Бюлл. геофиз. ии-та, 36 A931), 145—20&.
Шевелёв М. Л.
[1] О методе Э. Уиттекера для вычисления корней алгебраического уравнения.
Ж. Математ. проев., 12 A937), 35—46.
Шевченко К. Н.
[1] Применение вариационного .метода к решению задач теории упругости. Прикл.
матем. и мех., 2 A938), 219—222.
[2] Колебание пластинки в её плоскости. Прикл. матем. и мех., 6 A942), 41—52.
[3] Распределение напряжений внутри прокатываемой полосы. Прикл. матем. и мех.,
6 A942), 381—394.
[Ш и б'и н е в и ч С. Д.
[1] Построение кривых перемещений, скоростей и тангенциальных ускорений мето-
методами графического дифференцирования и интегрирования. Саратов, Труды ин-та
механиз. с. х., 4 A938), 150—171.
Шнирман Г. Л.
[1] Электрические методы интегрирования и дифференцирования. Труды сейсмол.
ин-та, 105 A940).
Шорохов И. А.
[1] О графическом способе решений уравнений высших степеней. Иваново, Труды;
энерг. ин-та, 1 A937), 21—29.
Шпильрайн' Я. Н.
[1] Таблицы специальных функций. Ч. 1—2. М.—Л..ГТТИ A933—1934), 159 + 102.
Штаерман И. Я.
[1] Quelques remarques sur les formules des quadratures dites mecaniques au point
devuede leurcalculeffectif. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1 :2 A924),
10—12.
[2] О приближённом интегрировании дифференциальных и интегральных уравне-
уравнений. Киев, Вестн. политехи, ин-та, 20 A926), 26—62.

БИБЛИОГРАФИЯ 857
[3] О приложении методов интерполяции к приближённому интегрированию диф-
дифференциальных уравнений равновесия упругих оболочек. Киев, Вестн. политехи,
ип-та, 20 A926), 101—112.
[4] Ноеий метод розв'язування деяких алгебра1чиих р1внянь, що мають застосу-
вання в математичнШ ф1зищ i тех нищ. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A934),
83—89.
[5] Новий метод розв'язування деяких алгебрашних р1вняиь, що мають застосування
в математичнШ ф!зиц1 i техниць Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A934), 9—20.
3 й д е л ь н а н т М. И.
[1] Счётные таблицы для деления любого числа на любое с точностью до 5 значащих
цифр с приложением таблиц поправок. Ташкент, НИХИ A930), 1 — 193.
Юдин М. И.
[1] О параболическом интерполировании и его обобщении для некоторых эмпири-
эмпирических функций. Л., Труды главн. геофиз. обсерв., 4 A935), 90—106.
Юшков П. П.
[1] Табулярный метод приближённого интегрирования. Прикл. матем. и мех.,
4 A939), 181—188.
Яковлев И. А.
[1] К вопросу о точности приближённых формул квадратур. Ж. Судостроение,
7 A938), 427—428.
Я н ж у л И. Н.
[1] Применение счётных автоматов в астрономических вычислениях. Астрон. ж,
16 : 5 A939), 72—85.
[2] Техника и организация машинизированного учёта. М., Госпланиздат A939).
[3] Счётные автоматы и их применение в астрономических вычислениях. Успехи
матем. наук, 1 : 5—6 A5—16), A946), 27—40.

ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО
ПРОСТРАНСТВА.
с. п. фиников.
§ 1. Метрическая геометрия (861). §2. Проективно-диффереициальная геоме-
геометрия (868). § 3. Метод внешних форм Картаиа (879).
аботы по дифференциальной геометрии за рассматривае-
рассматриваемый период представляют необычайное разнообразие на-
направлений. Всё же можно отметить темы, привлекавшие
больше внимания исследователей. Вначале такой темой
было изгибание поверхностей, прежде всего изгибание на
главном основании. Затем большое развитие получила про-
ективно-дифференциальная теория конгруэнции, и, в осо-
особенности, теория расслояемых пар конгруэнции. Здесь
была создана не только проективная, но и метрическая теория. Послед-
Последние годы развитие дифференциальной геометрии протекало под знаком
перехода от классических методов Гаусса, Дарбу к методу внешних
форм и подвижного репера Картана. В связи с этим разнообразие поста-
поставленных задач стало ещё большим.
§ 1. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
1. Изгибание на главном основании. В самом начале рассматривае-
рассматриваемого периода вышли в свет две диссертации: С. С. Бюшгенса [1]
и С. П. Финикова [1], посвященные задаче изгибания поверхности
на главном основании. После того как К. М. Петерсон, один из основате-
основателей Московского математического общества, ввёл понятие основания
изгибания как общей сопряжённой системы линий на паре налагающихся
поверхностей и главного основания как сопряжённой системы, сохраняю-
сохраняющейся при непрерывном изгибании поверхности, теория изгибания на
главном основании пережила эпоху, когда она была в центре внимания
лучших геометров. Уже К. М. Петерсон показал, что способность поверх-
поверхности изгибаться с сохранением сопряжённой системы зависит только
от изображения этой сопряжённой системы на сфере с помощью параллель-
параллельных нормалей. Бианки и Коссера связали это сферическое изображение
с наиболее интересными теориями того времени: с циклическими систе-
системами Рибокура и с присоединёнными в бесконечно малом изгибании
поверхностями Бианки.

862 ГЕОМЕТРИЯ
Совершенно не был затронут вопрос об определении всех главных
оснований (если они существуют) данной поверхности или даже данного
линейного элемента, т. е, главных оснований на какой-нибудь поверх-
поверхности из всей совокупности поверхностей с одним линейным элементом.
Первой задачей обеих диссертации и было составление системы уравнений
для главных оснований поверхности или линейного элемента.
С. С. Бюшгенс применяет полученные им уравнения к опреде-
определению главных оснований на поверхностях, налагающихся на поверх-
поверхности вращения. Исключая случай поверхностей, обладающих семейством
оо1 главных оснований, автор даёт полную классификацию и даже описа-
описание возможных изгибаний, не интегрируя уравнений и почти не проводя
выкладок. Предсказанные им главные основания Фосса (с двумя семей-
семействами геодезических линий) были значительно позднее A931) получены
Б. Гамбье прямым вычислением.
Свои уравнения С. П. Фиников прилагает прежде всего к опре-
определению главных оснований на поверхностях второго порядка. Здесь
система уравнений легко интегрируется и даёт те главные основания
поверхности, которые были обнаружены ещё К. М. Петерсоном, а затем
Б. К. Млодзеевским. Найденные общие решения показывают, что полу-
полученные основания исчерпывают все главные основания поверхности
второго порядка. Интереснее другое приложение общих формул: изы-
изыскание поверхностей, обладающих главными основаниями в наибольшем
количестве. Искусственный приём приводит к единственной действи-
действительной поверхности (минимальный геликоид), которая обладает дву-
параметрическим семейством главных оснований. Позднее Б. Гамбье
добавил ещё второй минимальный геликоид, мнимый, обладающий тоже
оо* главных оснований.
Существенное дополнение к этой теории сделал Н. Н. Лузин [1,2],
который дал эффективное построение, поверхностей, не обладающих
главными основаниями, и даже более того, показал, что поверхности,
допускающие изгибание на главном основании, представляют относи-
относительно редкое исключение.
Это обстоятельство делает особенно ценным изыскание отдельных
изгибаний на главном основании. Этим вопросом занимался уже К'. М. Пе-
терсон и им были указаны главнейшие из известных типов изгибаний
на главном основании: основания, содержащие конические линии (линии
прикосновения описанных конусов). Определение всех таких оснований
проведено Б. К. Млодзеевским (основания с двумя семействами кониче-
конических линий) и Д. Ф. Егоровым (основания с одним семейством конических
линий) ещё в 1904,1911 гг. В наше время наиболее ярким представителем
этого направления является А. Ф. М а с л о в. Он пользуется методом
квадратичных решений, предложенных назависимо Д. Ф. Егоровым
и А. Демуленом. Они показали, что для определения изгибания
на главном основании достаточно найти три решения 6,, 02, 0, уравнения
Мутара
_f!| = M0, M = /(u, v)
так, чтобы они удовлетворяли условию

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 863
Задача сводится к определению функции М, допускающей квадратичные
решения, к отысканию самих решений.
А. Ф. М а с л о в [1, 2, 6, 9] дал общий метод последовательного
отыскания квадратичных решений уравнений Эйлера Е(п) для целых
положительных чисел п, где Е(п)—уравнение Мутара с функцией М
вида
К сожалению, найденные решения могут приводить к развёртывающимся
поверхностям, когда задача теряет смысл. Может быть, наиболее интерес-
интересный из результатов, полученных этим автором, относится к существенному
дополнению данных Б. К. Млодзеевским главных оснований с двумя
семействами конических линий. Здесь общий метод А. Ф. Масло-
ва [1] с лёгкостью обнаружил новый случай изгибания на главном
основании, который было трудно усмотреть в довольно сложных
выкладках Б. К. Млодзеевского.
Ревизия работы Д. Ф. Егорова, проведённая в 1928 г. в диссертации
Вассёра, была менее удачна. Он обнаружил ошибку в рассуждениях
Дарбу, которая отразилась и на результатах Д. Ф. Егорова, поставив
под сомнение тот случай оснований с одним семейством конических
линий, когда геометрическое место вершин описанных конусов — линия
двоякой кривизны. Вассёр и его учитель Гамбье не смогли разрешить
свои сомнения, и вопрос оставался открытым, пока В. В. Рыжков [1]
не подтвердил результаты Д. Ф. Егорова, показав, что предположение
о ненулевом кручении линии вершин приводит к противоречию.
После классических работ Рибокура в дифференциальной геометрии
эпохи Бианки-Дарбу утвердилось название изгибания конгруэнции
за таким преобразованием конгруэнции, когда каждый луч уносится
в пространстве, неразрывно связанный с присоединённой к нему
касательной плоскостью какой-то изгибающейся поверхностью S. Если
принять эту терминологию, то нетрудно заметить, что изгибание поверх-
поверхности на главном основании, по самому определению, связано с особым
изгибанием конгруэнции, при котором развёртывающиеся поверхности
конгруэнции остаются инвариантными, т. е. при изгибании конгруэнции
развёртывающиеся поверхности её, деформируясь, остаются развёрты-
развёртывающимися. Чтобы обнаружить эту связь, достаточно заметить, что
развёртывающиеся поверхности конгруэнции соответствуют на фокальной
поверхости фокальной сети, а эта сеть сопряжена. Следовательно, при.
изгибании фокальной поверхности на главном основании из линий
фокальной сети обе конгруэнции касательных к линиям этой сети изги-
изгибаются с инвариантными развёртывающимися поверхностями.
В работах С. П. Ф и н и к о в а [1, 16) был поставлен общий вопрос
об изгибании конгруэнции с инвариантными развёртывающимися поверх-
поверхностями. В общем случае он приводит к изгибанию поверхности более
общего вида, когда коэффициенты второй квадратичной формы изгибаю-
изгибающейся поверхности удовлетворяют линейному неоднородному урав-
уравнению с коэффициентами, зависящими только от линейного элемента
поверхности. Это изгибание было затем исследовано автором в отдельной
статье [7] под названием изгибания на кинематически сопряжённом
основании. При специальном расположении луча конгруэнции относи-
относительно присоединённой касательной плоскости поверхности эта поверх-

864 ГЕОМЕТРИЯ
ность изгибается на главном основании. Таким образом вновь появляется
конгруэнция осей <»* циклов Рибокура, причём каждая ось несёт на
себе оо1 циклических систем, расположенных на одной сфере, имеющей
ось своим диаметром. При изгибании поверхности на главном основании
лучи конгруэнции переносятся, неразрывно связанные с перпендикуляр-
перпендикулярными к ним касательными плоскостями поверхности. При этом развёр-
развёртывающиеся поверхности при изгибании остаются развёртывающимися
и всё время соответствуют основанию изгибания. Конгруэнция остаётся
циклической, а сферы, несущие циклы, расширяются или сжимаются,
сохраняя свои центры на лучах конгруэнции так, что линия пересечения
с касательной плоскостью поверхности остаётся неизменной.
В 1935 — 1939 гг. к этой задаче вернулся С. Д. Российский.
В многочисленных статьях [5, 8, 9, 11 — 20] он обстоятельно рассмотрел
изгибание конгруэнции с сохранением главных распределительных
и других специальных систем линейчатых поверхностей конгруэнции.
Наиболее интересно изгибание изотропной конгруэнции (С. Д. Рос-
Российский [5, б, 7, 10]), лучи которой перпендикулярны к присоеди-
присоединённым касательным плоскостям некоторой поверхности S и которая
остаётся изотропной при изгибании поверхности S на главном осно-
основании.
Поверхность S, индуцирующая изгибание, является произвольной
минимальной поверхностью; главное основание состоит из линий нулевой
длины, которые сопряжены на минимальной поверхности; изгибаясь,
поверхность S остаётся минимальной. Так как средняя огибающая изо-
изотропной конгруэнции — тоже минимальная поверхность, то посредством
изотропной конгруэнции устанавливается, таким образом, преобразова-
преобразование минимальных поверхностей. Например, поверхность Эннепера соот-
соответствует поверхности Геннеберга.
2. Различные задачи изгибания. Своеобразное изгибание нормаль-
нормальной конгруэнции рассматривал СВ. Бахвалов [5]. Автор присо-
присоединяет каждый луч конгруэнции к той точке поверхности S, через
которую он проходит, и требует, чтобы при изгибании поверхности 5
не менялись расстояния фокусов луча от точки пересечения его
с поверхностью S. Задача допускает два очевидных решения: 1) всякая
нормальная конгруэнция при изгибании в одной из своих фокальных
поверхностей остаётся нормальной и сохраняет инвариантным рассто-
расстояние между фокусами (как радиус геодезической кривизны ортогональной
траектории геодезических, огибаемых лучами конгруэнции) и 2) кон-
конгруэнция нормалей минимальной поверхности, когда эта поверхность
изгибается, . оставаясь нормальной, сохраняет свои фокусы на луче
неподвижными (ибо не меняются главные радиусы кривизны поверх-
поверхности). Оставляя эти случаи в стороне, имеем две возможности: 1)
поверхность S —средняя поверхность конгруэнции, не ортогональная
лучам; она принадлежит специальному классу поверхностей, налага-
налагающихся, на поверхности вращения; 2) если поверхность S не делит
пополам фокальное расстояние каждого луча, то существует вторая
поверхность S, которая вместе с первой поверхностью S гармонически
разделяет фокусы луча и при изгибании S на кинематическом основании
сама одновременно изгибается; в силу неподвижности фокусов точки
этой поверхности S неразрывно связаны с соответствующими триэдрами
поверхности S.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 865
Последняя задача сама по себе представляет большой интерес и была
рассмотрена С. В. Б а х в а л о в ы м [3] отдельно. Другую специальную
задачу изгибания он формулирует следующим образом: с каждой касатель-
касательной плоскостью поверхности S неразрывно связаны две точки Мг и Mit
которые описывают пару налагающихся поверхностей 5, и S2. Поверх-
Поверхность S изгибается; поверхности Si hS2 при этом преобразуются. Требует-
Требуется, чтобы Si всегда налагалась на S2. Задача допускает нетривиальное
решение, которое автор подробно исследует.
Изгибание поверхностей Бианки рассматривал С. С. Бюшгенс [10].
Н. И. Алексеев исследовал изгибание поверхности, которая, изгиба-
изгибаясь, остаётся поверхностью Вейнгартена. Кроме очевидного изгибания
поверхностей постоянной гауссовой кривизны, ни одна поверхность не
остаётся поверхностью Вейнгартена при всех изгибаниях. Существуют,
однако, поверхности, допускающие изгибание на главном основании,
не выводящие их из класса поверхностей Вейнгартена. Кроме тривиаль-
тривиального случая изгибания минимальной поверхности и изгибания поверхно-
поверхностей Монжа с сохранением линий кривизны, автор находит некоторый
класс (двуиараметрическое семейство) поверхностей Фосса, которые
вместе с тем являются поверхностями вращения и при изгибании с сохра-
сохранением сопряжённой системы геодезических линий остаются поверх-
поверхностями Вейнгартена.
Более отдалённое отношение к задаче изгибания поверхностей имеют
работы С. П. Ф и н и к о в а [5, 10] о конгрузнциях качения (конгруэн-
(конгруэнции, лучи которых присоединены к точкам некоторой поверхности S так,
что. при изгибании её переносятся в пространстве и при наложении
поверхности S па некоторую поверхность So все совпадают так, что кон-
конгруэнция свертывается в одну прямую), которые продолжают исследо-
исследования Бианки.
Интереснее другая задача (С* П. Ф и н и к о в [12]), тоже связанная
с вопросами изгибания поверхности. Будем называть плоским элементом
совокупность плоскости и точки (центр элемента), лежащей на ней. Со-
Соединим с каждой точкой М некоторой поверхности S со1 плоских элементов,
центры которых лежат в касательной плоскости поверхности S, а плоско-
плоскости проходят через точку касания М. Такая система со3 плоских элемен-
элементов расслояема, если существует оо1 поверхностей Е, описанных центра-
центрами системы и имеющих своими касательными плоскостями плоскости
системы: каждую плоскость—в центре элемента, которому эта плоскость
принадлежит. При этих условиях задача формулируется так: найти
поверхность S и присоединённую к ней систему оо3 плоских элементов
так, чтобы при всех изгибаниях поверхности S система оставалась рас-
слояемой. Задача имеет очевидное решение, если система плоских эле-
.ментов образована фокусами и фокальными плоскостями оо1 нормаль-
нормальных конгруэнции, имеющих поверхность S своей первой фокальной
поверхностью. Оставляя это решение в стороне, мы приходим только
к одному построению: поверхность S и все поверхности ^ налагаются
на одну и ту же поверхность второго порядка и каждая пара поверхно-
поверхностей ? связана с поверхностью S конгруэнцией W, которая и устана-
устанавливает преобразование Бианки для поверхностей, налагающихся на
поверхности второго порядка.
Обратимся теперь к тем задачам метрической геометрии, которые не
вливаются в общее русло работ по изгибанию поверхностей. На первом
месте следует поставить работы Д. Н. 3 е й л и г е р а [1, 2, 3] по ком-
55 Математика в СССР за Зп лет

866 ГЕОМЕТРИЯ
плексной линейчатой геометрии. Работы эти вытекают из магистерской
диссертации А. П. Котельникова «Винтовое исчисление и некоторые прило-
приложения его к геометрии и механике» A895) и изложены в трёх публикациях
1897, 1908 и 1928 гг. под общим заглавием «Основные формулы комплекс-
комплексной геометрии прямой». Только последняя статья [2] и монография [3]
падают на рассматриваемый период. В основу этого своеобразного метода
исследования линейчатых образов положена теория новых комплекс-
комплексных чисел, введённых независимо А. П. Котельниковым и Е. Штуди
синимой единицей «>, подчинённой условию ю* = 0. Прямая определяется
комплексным вектором го-\-тг1> где г0 —вектор направления прямой
и тх — момент её относительно начала координат. Подобно В. Бляшке,
но независимо от него и во многих случаях раньше Д. Н. 3 е й л и-
г е р строит не только аналитическую геометрию линейчатых поверхно-
поверхностей второго порядка, линейных конгруэнции и комплексов, но и даёт
основные факты из дифференциальной геометрии линейчатых поверх-
поверхностей и конгруэнции.
Другое большое направление, в главной части завершённое до 1917 г.,
представлено работами Д. М. Синцова по интегральным кривым пфаффо-
пфаффовых уравнений (теория коннексов). О более новых работах в этом напра-
направлении мы будем говорить в связи с последними мемуарами С. С. Б ю ш-
г е н с а.
Что касается до классических трудов Д. М. Синцова, то мы
можем только отослать читателя к статье «Геометрия» в сборнике
«Математика в СССР за пятнадцать лет», стр. 177.
Из более мелких работ следует отметить интересные сообщения
Я. П. Б л а н к а [1, 2, 3) о поверхностях с двумя и более сетями сопря-
сопряжённых плоских конических линий, где автор распространяет на поверх-
поверхности К. М. Петерсона теорию поверхностей переноса с несколькими
образующими. Эта последняя задача заново трактуется в трёх статьях
Н. Г. Чеботарёва [2, 3, 4], где не только дано изящное решение
задачи для поверхностей переноса, но и обобщение на пространство
произвольного числа измерений и на любую группу непрерывных пре-
преобразований.
Интересное обобщение кривых Бертрана построил Н. Г. Т у г а-
н о в [1]. Он рассматривает кривую на поверхности, следовательно, при-
присоединяет вместо трёхгранника Френе прямоугольный трёхгранник,
построенный на касательной к кривой и нормали к поверхности; место
кривизны и кручения занимают нормальная кривизна и геодезическое
кручение. При такой замене теорема Бертрана сохраняет силу: если
геодезическое кручение -- и нормальная кривизна v удовлетворяют линей-
ному уравнению с постоянными коэффициентами
то существует вторая линия, сопряженная с первой, которая лежит на
второй поверхности, параллельной первой; d= const, есть отрезок общей
нормали между соответствующими точками обеих поверхностей,
а ^ = const, есть угол между касательными двух сопряжённых кривых.
При всяком значении постоянных $ и d произвольная поверхность S несёт

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 867
два семейства линий A), которые образуют между собой угол ~—ty.
Нормальные кривизны их связаны соотношениями
где J и К суть средняя и полная кривизны поверхности. Аналогичные
построения получаются, если заменить пару параллельных поверхностей
парой фокальных поверхностей конгруэнции, луч которой является общей
нормалью пары сопряжённых кривых. При этом нормальная кривизна
заменяется геодезической.
3. Потенциальные поверхности. Теории поверхностей в собственном
смысле (потенциальные поверхности с плоскими линиями кривизны),
посвятил свой мемуар Л. Н. Сретенский [3]. Потенциальные поверх-
поверхности были введены в науку в докторской диссертации Д. Ф. Егорова
A901) из своеобразных кинематических условий. При заданной на поверх-
поверхности ортогональной сети линий и, v одночленная непрерывная группа
преобразований точек на поверхности, сохраняющая линии сети, опреде-
определяется уравнениями
где /—параметргруппы. Если эти уравнения рассматривать как уравне-
уравнения движения жидкости (вообще сжимаемой) на поверхности, то можно
поставить вопрос: когда это движение будет обладать потенциалом скоро-
скоростей? Поверхность называется потенциальной, если она обладает потен-
потенциалом скоростей относительно сети линий кривизны. Л. Н. Сретен-
Сретенский ищет потенциальные поверхности с плоскими линиями кривизны.
Они составляют семейство поверхностей, зависящее от трёх произвольных
функций одного аргумента. Интеграция проводится до конца и допускает
простое геометрическое построение.
Новую идею в изучение поверхности внёс Д. Ф. Егоров [2]..
Мы уже говорили, что поверхность можно рассматривать как двухмерное
многообразие плоских элементов. Автор рассматривает поверхность
как совокупность оо1 одномерных многообразий плоских элементов, кото-
которые он называет «линиями» F и которые много позднее Бляшке назовёт
поверхностными полосами (Streife). Д. Ф. Егоров ставит вопрос:
можно ли из того же семейства «линий» F образовать новую поверхность?
Такое преобразование допускает всякая поверхность S: любая совокуп-
совокупность оо1 положений в пространстве поверхности S имеет огибающей
поверхность S, которая касается каждой поверхности S вдоль характе-
характеристики, следовательно, имеет с поверхностью S общими оо1 плоских
элементов с центрами на этой характеристике, т. е. общую «линию» F.
Так как огибающая S есть геометрическое место характеристик, а все
«линии» F принадлежат одной и той же поверхности S, только в разных
её положениях, то, очевидно, поверхность S образована из поверх-
поверхности S размещением семейства «линий» F. Однако если поверхность S
вполне произвольна, то этого нельзя сказать о семействе «линий» F.
Автор показывает, что нормали к плоским элементам одной «линии»
(нормали к поверхности S) принадлежат линейному комплексу. Так как
геодезическая кривизна линии центров многообразия плоских элемен-
элементов F на поверхности S и на поверхности S, которая касается всех оо*
55*

S68 ГЕОМЕТРИЯ
-плоскостей наших элементов, одна и та же, то семейство геодезических
линий F или асимптотических, или линий кривизны и после размещения
ма новой поверхности S сохранит это свойство. Отсюда такое разнооб-
разнообразие задач, которые ставит автор в своём мемуаре.
В применении к теории конгруэнции эта идея привела Д. Ф. Е г о р о-
в а [3] к изящному построению конгруэнции W с двумя линейчатыми
фокальными поверхностями. По определению —это конгруэнции, лучи
которых пересекают соответствующие образующие фокальных поверх-
поверхностей, образуя линейчатые поверхности второго порядка. Автор берёт
семейство со1 поверхностей второго порядка Q. Характеристикой слу-
служит пространственная кривая четвёртого порядка. Однако если каждая
поверхность Q сама является характеристикой семейства оо1 линейных
комплексов, т. е. определяется в плюккеровых координатах прямой р
уравнениями
2^ = 0, 2^,-0, 2]Vfo = 0, i = l,2, ...,6, B)
где V,- = A-(»), У1—~фГ> У"~~ф^~ и " — параметр семейства, то характе-
характеристика поверхности Q распадается на четыре прямые, образующие
косой четырёхугольник И. Пара противоположных сторон его описывает
две линейчатые фокальные поверхности, а образующие поверхностей Q,
которые их пересекают,—искомую конгруэнцию W. Она определяется,
следовательно, в плюккеровых координатах уравнениями B).
Отсюда вытекает, что с каждой такой конгруэнцией связана другая
конгруэнция того лее класса: она описывается образующими второй системы
тех же поверхностей Q и ее фокальные поверхности описываются второй
парой противоположных сторон четырёхугольника Н. Если фокальные
поверхности присоединённой конгруэнции вырождаются в прямые, т. е.
все косые четырёхугольники Н имеют пару противоположных сторон на
двух прямых, то фокальные поверхности первой конгруэнции имеют
общую пару прямолинейных директрис, все преобразования Лапласа —
линейчатые поверхности с теми же директрисами, а конгруэнция—наибо-
конгруэнция—наиболее общая конгруэнция R с линейчатыми фокальными поверхностями
(С. П. Фиников [24]),
§ 2. ПРОЕКТИВНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Последняя работа Д. Ф. Егорова [3] и по результатам, и по
Л1етоду, вполне классическому, относится к проективно-дифференциаль-
иой геометрии. Развитие клейновских геометрий, афшшой, проективно-
дифференциальной и т. д., столь характерное для дифференциальной
геометрии нового времени и несомненно вызванное, как и тензорный
анализ, широкими идеями Эйнштейна, нашло себе живой отклик в нашем
отечестве.
В ряде статей М. П. Черняев [3—б, 10] рассматривает различные
вопросы афинно-дифференциальной геометрии кривых и афинных сфер
в духе Бляшке. В дифференциальной геометрии афинного гг-мерного про-
пространства работают Г. Ф. Л а п т е в и Т. А. Ш у л ь м а н.
Ещё обильнее исследования по проективно-дифференциальной гео-
геометрии. По некоторым разделам работы геометров Советского Союза
доминируют в мировой литературе. К таким разделам относится теория

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 869'
конгруэнции, в особенности теория расслояемых пар. Проективная теория
расслояемых пар в значительной мере построена в Москве, а метриче-
метрическая—вся целиком создана московскими геометрами.
1. Расслояемая пара конгруэнции. Понятие расслояемой пары кон-
конгруэнции было введено в науку Г. Фубини A924) как приложение идеи,
расслояемости системы оо3 плоских элементов. Пусть дана пара конгруэн-
конгруэнции, между лучами которых d и й' установлено взаимно однозначное соот-
соответствие. Если каждой точке луча d присоединить плоскость, проходящую'
через эту точку и через луч d', то с каждым лучом d будет связано оо1
плоских элементов, а с конгруэнцией (d) — система со3 плоских элемен-
элементов. Вторая система получится, если в этом построении поменять местами
лучи d и d'. Если обе эти системы расслояемы, то пара конгруэнции рас-
слояема. Г. Фубини установил, что фокусы лучей dud' соответствуют
друг другу так, что прямые, соединяющие соответствующие фокусы
лучей dj и d2, касаются тех же фокальных поверхностей. Таким образом
получается четвёрка конгруэнции, описываемая косым четырёхугольником,
стороны которого касаются поверхностей, образованных вершинами; она
затем была подробно исследована СП. Финиковым [26] и вошла
в науку под названием конфигурации (Т).
Г. Фубини строил понятие расслояемой пары в надежде, что «оно
окажется полезным в теории поверхностей», куда её и применил затем его
ученик и соавтор «Проективно-дифференциальной геометрии» Чех A926).
С 1927 г. начались в этой области работы советских математиков, кото-
которые поставили задачу изучения самой конфигурации. СП. Фиников
[11, 15] показал, что конгруэнции, входящие в расслояемые пары, не
произвольны. Многообразие расслояемых конгруэнции зависит от одной
функции двух аргументов. Среди конгруэнции W существует, например,
только три типа расслояемых, т. е. способных образовать расслояемую
пару с подходяще подобранной конгруэнцией, именно: 1) Конгруэнции
R образуют расслояемые пары с конгруэнциями того же типа. Эти пары
(сопряжённые) рассмотрел ещё Г. Фубини. Развёртывающиеся поверх-
поверхности обеих конгруэнции пары соответствуют друг другу и высекают
сопряжённую сеть на каждой из поверхностей, которые расслояют ту
или другую систему плоских элементов (т. е. касаются плоскостей элемен-
элементов в их центрах). Каждая конгруэнция R образует многообразие расслояе-
расслояемых пар, зависящее от пяти произвольных постоянных. 2) Конгруэнции
линейного комплекса образуют расслояемые пары с кош руэнциями
того же комплекса. Эта теорема была затем доказана синтетически
М Козьминым [1]. Наконец, конгруэнции W с линейчатыми
фокальными поверхностями образуют расслояемые пары сами с собой.
Много позднее, в 1947 г. Г. М. Б а м-3 еликович получил все
эти расслояемые пары, исследуя вопрос, когда заданная расслояемая
конгруэнция допускает расслояемых пар больше, чем обычно. Так как
он работал уже новым методом (внешних форм Картана), то ему удалось
с лёгкостью разрешить и другой вопрос: о произвольности фокальной
поверхности расслояемой конгруэнции. Какова бы ни была заданная
поверхность S, можно найти с произволом четырёх функций одного аргу-
аргумента расслояемые конгруэнции, которые будут иметь её своей фокальной
поверхностью.
Расслояющие поверхности пары образуют замечательную конфи-
конфигурацию, которую А. Террачини назвал системой Биапки. По самому
построению они касаются плоскостей элементов в их центрах; следо-

870 ГЕОМЕТРИЯ
вательно, касательные плоскости поверхностей первого семейства ?, про-
проведённые в точках пересечения с прямой d, проходят через соответ-
соответствующий луч d' и, наоборот, плоскости, проходящие через луч d,
касаются поверхностей второго семейства Е' в точках, расположенных
на прямой d'. Отсюда вытекает, что каждая пара поверхностей Е, Е'
служит фокальными поверхностями конгруэнции, лучи которой соеди-
соединяют соответствующие точки этих поверхностей. При этом асимптоти-
асимптотические линии на всех поверхностях Е и Е' соответствуют друг другу.
Следовательно, все эти оо2 конгруэнции суть конгруэнции W, и каждые
четыре поверхности 21; 22, ^, 1^ образуют конфигурацию знаменитой
теоремы Бианки о переместительности асимптотических преобразований.
2. Параболическая расслояемая конгруэнция. Всё сказанное выше
относится к конгруэнциям с различными фокальными поверхностями,
но существуют расслояемые пары, содержащие параболические конгруэн-
конгруэнции, и в таком случае обе конгруэнции пары—параболические (С. П. Фи-
Финик о в [28, 33]). Каждая параболическая расслояемая конгруэнция
описывается асимптотическими касательными произвольной конгруэнции
Ro. Среди различных свойств поверхностей R, быть может, наиболее.замеча-
наиболее.замечательна принадлежащая только им способность проективно изгибаться.
Две поверхности проективно-наложимы, если каждой паре соответствую-
соответствующих точек присоединено проективное преобразование пространства, кото-
которое приводит одну из поверхностей к касанию второго порядка с другой
в заданной паре точек. Если поверхности имеют касание второго порядка
в данной паре точек, то существуют направления, по которым порядок
касания повышается. В нашем случае эта четвёрка направлений, кроме
двух асимптотических, содержит ещё пару сопряжённых направлений.
Сопряжённая сеть линий на поверхности, которая везде касается этих
направлений и является основанием изгибания, называется сетью R.
Касательные к линиям сети того и другого семейств описывают конгруэн-
конгруэнции W. Поверхностями Ro называются те поверхности R, у которых
два семейства линий сети R совпадают и становятся, следовательно, асим-
асимптотическими. Расслояемая параболическая конгруэнция описывается
касательными к этим асимптотическим линиям R.
Какова бы ни была поверхность (X) типа /?0, ей можно присоединить
с произволом пяти параметров поверхность (У) тоже типа Ro так, что
касательные к их асимптотическим R опишут расслояемую параболиче-
параболическую пару. При этом прямая ху, соединяющая соответствующие точки
обеих поверхностей, касается их и описывает конгруэнцию W с фокаль-
фокальными поверхностями (X), (Y). Если поверхность (Y) фиксировать, то можно
подыскать поверхность (У) с тремя произвольными постоянными так,
чтобы она была поверхностью Ro, асимптотическим преобразованием по-
поверхности (X) и чтобы асимптотические касательные R обеих поверхно-
поверхностей (У) и (У) пересекались в некоторой точке Т. Эта точка опишет
тогда новую поверхность Ro, асимптотические линии которой соответ-
соответствуют асимптотической поверхности (X), а касательная R проходит через
точку X. Прямая YY' несёт на себе ещё оо1 точек новых поверхностей
такого же рода (У). Эта прямая пересекает асимптотическую касатель-
касательную R поверхности (X) в точке Z, которая снова описывает поверх-
поверхность Ro, соответствует своими асимптотическими поверхности (X) и
имеет прямую YY' своей касательной R.
Таким образом четвёрка поверхностей (X), (Y), (Z) и (Т) образует
замкнутый цикл; все поверхности соответствуют асимптотическим.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 871
и касательная Ro каждой поверхности проходит через соответствующую
точку следующей.
Возвращаясь к расслояемым парам из гиперболических конгруэнции,
заметим, что каждая такая пара вводит в рассмотрение ещё четыре кон-
конгруэнции, которые, естественно, распадаются на две группы по две кон-
конгруэнции в каждой. Прежде всего имеем те две конгруэнции, которые
вместе с расслояемой парой образуют конфигурацию (Г), затем—две дру-
другие, описываемые диагоналями того четырёхугольника, который лежит
в основе конфигурации (Г). Естественно было поставить вопрос: когда
эти конгруэнции сами будут составлять расслояемые пары? (С. П. Фини-
Фиников [15]). Для конгруэнции, описываемых диагоналями, ответ чрезвы-
чрезвычайно простой: тогда и только тогда, когда первоначальная пара—сопря-
пара—сопряжённая.
3. Расслояемая четвёрка конгруэнции. Конгруэнции двух пар кон-
конфигурации (Г) гораздо более тесно между собой связаны. Поэтому с изве-
известным правом две расслояемые пары одной конфигурации (Г) могут быть
названы четвёркой. Эта связь подробно исследуется СП. Финико-
Финиковым [15]. Асимптотические линии соответствуют на всех четырёх семей-
семействах расслояемых поверхностей Е, 2', Х1, Е2. Все конгруэнции,
«писанные прямыми г, соединяющими соответствующие точки поверх-
поверхностей Е, 2„ или прямыми р пересечения их касательных плоскостей,
соответствуют своими развёртывающимися поверхностями. Они сопря-
сопряжены или гармоничны поверхностям 2, St и т. д. Если расслояемая
четвёрка содержит одну конгруэнцию W, то и все четыре суть конгруэн-
конгруэнции W и даже более того—все четыре суть конгруэнции R (касательные
к системе R поверхности R); в этом случае обе пары—сопряжённые
и конгруэнция диагоналей—того же самого рода. Пантази указал три
замечательных типа сопряжённых четвёрок:
1) Первый тип сопряжённой четвёрки связан с поверхностями S,
асимптотические которых принадлежат линейным комплексам. С. П. Ф и-
ников [32, 39] показал, что это—единственные поверхности, у которых
первые и вторые директрисы Вильчинского — общие у двух семейств оо1
поверхностей, которые, следовательно, делают пару конгруэнции своих
директрис сопряжённой расслояемой парой. Ещё раньше Г. Фубини
показал, что каждая поверхность S может быть преобразована двумя
способами, посредством конгруэнции W, в поверхность второго по-
порядка Q. Бушин Су 1935, 1936) обнаружил, что она преобразуется
дважды в одну и ту же поверхность второго порядка Q. Пантази
{1934, 1935) дополнил эту сопряжённую пару до сопряжённой четвёрки.
Поверхность Q входит два раза в каждую серию расслояющих поверх-
поверхностей четвёрки. СП. Фиников [41 ] установил, что фокальные
поверхности —тоже поверхности типа5, диагонали косого четырёхуголь-
четырёхугольника, описывающего четвёрку, — их директрисы Вильчинского. С другой
•стороны, расслояющие поверхности четвёрки легко соединяются по-четверо
так, что конгруэнции, их соединяющие, образуют новые сопряжённые
четвёрки. Все они связаны с той же самой поверхностью второго
лорядка Q, которая является огибающей всех их поверхностей Ли и несёт
на себе все прямые Демулена этих поверхностей.
2) Второй тип составляют вырождающиеся четвёрки с двумя кон-
груэнциями W Егорова.
3) Четвёрка из конгруэнции с проективно налагающимися фокаль-
фокальными поверхностями. С П. Фиников [27, 29] и Чех независимо

872 ГЕОМЕТРИЯ
рассматривали конгруэнции, у которых фокальные поверхности проектив-
но налагаются соответствующими точками. СП. Фиников делит все
такие конгруэнции на 5 групп: D,—конгруэнции R с линейчатыми фокаль-
фокальными поверхностями. Всякая линейчатая поверхность с двумя прямолиней-
прямолинейными директрисами несёт ее3 сетей R, которые позволяют построить эти
конгруэнции. D2—конгруэнции с проективно-минимальными фокальными
поверхностями. Каждая фокальная поверхность несёт оо1 сетей R, даю-
дающих возможность построить наши конгруэнции. Обе фокальные поверх-
поверхности—проективно-тождественны, и вся последовательность Лапласа
содержит только конгруэнции этого типа. Фокальные поверхности кон-
конгруэнции D3 и Dt несут только одну сеть R, которая позволяет построить
конгруэнцию требуемого типа. Фокальные поверхности конгруэнции ?>„
несут две такие сети. Только конгруэнции D2 удовлетворяют требованиям
Пантази: каждая фокальная поверхность позволяет построить две конгру-
конгруэнции этого тина, которые после четырёх продолжений замыкаются
в сопряжённую четвёрку расслояемых конгруэнции.
Интересное дополнение к этим результатам позволяет построить пре-
преобразование Р. Калапсо A935). Калапсо применяет своё преобразо-
преобразование к произвольной конфигурации G). Всегда существует два и,
вообще говоря, только два семейства оо2 поверхностей второго порядка
(Qj) и (Q2) такие, что каждая пара поверхностей QL, Q2 проходит через
один косой четырёхугольник XYZT конфигурации и для двух главных
перемещений и, v имеет характеристиками его стороны. Именно, для
v — const, характеристика Qt состоит из прямых XY, ZT и ещё пары
Y'Z', Т'Х', а характеристика Q, —из прямых YZ, ТХ и ещё пары
X"Y", Z"T", при и — const, поверхность Qj имеет характеристикой четыре
прямые YZ, ТХ, X'Y', Z'T, а поверхность Q.—прямые XY, ZT; Y"Z";
Т'Х". Четырёхугольники X'Y'Z'T' и X"Y"Z"T" описывают производные
конфигурации G") и G").
С. П. Фиников [44] исследовал конфигурации G) с четырьмя
фокальными поверхностями R (конфигурации Йонаса), у которых оба
преобразования Калапсо (в обе стороны)—снова конфигурации Йонаса.
Это—всегда сопряжённые четвёрки и только перечисленных выше трёх
типов: 1) четвёрки, присоединённые к поверхностям S, преобразуются
в конфигурацию, целиком лежащую на фундаментальной поверхности
второго порядка Q; все четыре фокальные поверхности совпадают с поверх-
поверхностью Q, а конгруэнции вырождаются в семейство образующих поверх-
поверхности Q; 2) сопряжённые четвёрки с четырьмя линейчатыми поверхно-
поверхностями преобразуются в дважды взятую конгруэнцию R с линейчатыми
фокальными поверхностями и только; 3) четвёрка из конгруэнции с про-
ективно-наложимыми фокальными поверхностями допускает неограни-
неограниченное повторение преобразований Калапсо.
4. Метрическая теория расслояемых пар. Работы по метрической
теории расслояемых пар стали появляться почти одновременно с проектив-
проективными. Уже в 1924 г. Бианки привлёк внимание к только что вышедшей
статье Г. Фубипи, рассмотрев случай ортогональных пар, когда общий
перпендикуляр проходит через неподвижную точку пространства. Им
отмечен случай расслояемой конгруэнции,нормальной к одной из своих
расслояющих поверхностей. Такая поверхность всегда имеет постоянную
отрицательную кривизну, а конгруэнция общих перпендикуляров каждой
пары соответствующих лучей является нормальной псевдосферическок
конгруэнцией.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 873
Одновременно с С. П. Финиковым С. Д. Российский
[], 2, 3] обратился к метрической теории расслояемых пар, исследуя
тот случай, когда общий перпендикуляр пары соответствующих лучей
d, d' описывает нормальную конгруэнцию. Гораздо интереснее его совме-
совместное с С. С. Бюшгенсом исследование *) изгибания пары конгруэн-
конгруэнции при изгибании одной из расслояющих поверхностей. Авторы рассма-
рассматривали и случай двусторонней расслояемости, и случай односторонней
(расслояемость одной системы оо3 плоских элементов). В случае двусто-
двусторонней расслояемости решениями могут быть: 1) конгруэнция (d)—кон-
(d)—конгруэнция нормалей поверхности постоянной кривизны; с каждой кон-
конгруэнцией (d) связывается оог конгруэнцией (d') (случай Бианки);
2) конгруэнция (d)—конгруэнция нормалей какой-то поверхности I,
отличной от той поверхности S, которая производит изгибание. Поверх-
Поверхность S налагается на поверхность вращения R (три произвольных пара-
параметра). При изгибании луч d' вообще перемещается в касательной пло-
плоскости поверхности S. Все пары—сопряжённые. В случае односторонней
расслояемости поверхность S попрежнему налагается на некоторую
поверхность вращения R.
Существенно расширил результат Бианки Л. С. Е р м о л а е а.
Он поставил вопрос о расслояемости пары конгруэнции, описанных нор-
нормалями двух фокальных поверхностей конгруэнции К, и получил сле-
следующий замечательный результат: конгруэнция К есть произвольная
псевдосфераческая конгруэнция.
Работы С. В. Бахвал ова, относящиеся к 1937—1944 гг., открыли
новый этап в развитии метрической теории расслояемых пар. В 1937 г.
СВ. Бахвалов [7] обнаруживает семейство расслояемых пар, лучи
которых имеют общими перпендикулярами прямые, принадлежащие одной
и той же псевдосферической конгруэнции. Расстояние а между лучами
каждой пары конгруэнции постоянно, угол <э между теми же лучами тоже
постоянен. Если b—постоянное фокальное расстояние псевдосферической
конгруэнции, V—постоянный угол её фокальных плоскостей, то
sin <р : sin V = а : Ь.
Отсюда следует, что а<^у> т- е- а не больше расстояния между гранич-
граничными точками луча. На отрезке между граничными точками луча можно
выбрать точку произвольно и через неё пройдёт два луча, которые обра-
образуют две расслояемые пары вместе с такими же двумя лучами, проходящими
через точку, симметрично расположенную относительно центра луча исход-
исходной псевдосферической конгруэнции. Каждый луч первой пары перпендику-
перпендикулярен ко второму лучу второй нары. Все лучи, пересекающие один луч
псевдосферической конгруэнции, образуют прямой коноид.
В следующей работе С. В. Бахвалов [8] обобщает свой резуль-
результат, определяя расслояемые пары с постоянным расстоянием между парой
соответствующих лучей и постоянным углом этих лучей. Общее решение
зависит от четырёх произвольных функций одного аргумента и приводит
к такой же конфигурации оэ1 расслояемых пар, присоединённых к конгру-
конгруэнции общих перпендикуляров,—конфигурации, которую естественно
назвать конфигурацией Бахвалова. Поставив требование [11, 12], чтобы
точки пересечения лучей нары с их общим перпендикуляром описывали
* См. С. С. Б ю ш г е и с и С. Д. Р о с с и и с к и й [1,2].

874 ГЕОМЕТРИЯ
одну пару расслояющих поверхностей, автор приходит к конгруэнции
Бианки, которая определяется как конгруэнция с равной гауссовой кри-
кривизной двух фокальных поверхностей в точках, лежащих иа одном луче,
и которая занимает такое видное место в теории изгибания на главном
основании.
К этим работам примыкают исследования С. П. Ф и н и к о в а [60],
поставившего себе задачу дать общие уравнения, определяющие расслоя-
емые пары, присоединённые к одной конгруэнции их общих перпендику-
перпендикуляров, т. е. пары, у которых соответствующие лучи ги г2 пересекают под
прямым углом тот луч г заданной конгруэнции, к которому они присоеди-
присоединены. При всяком способе определения расслояемой пары условие рассло-
яемости двух систем плоских элементов даёт систему из шести уравнений
на величины, определяющие лучи конгруэнции пары, причём эти шесть
уравнений сводятся к пяти независимым. Первая особенность поставлен-
поставленной задачи в том, что одно из этих уравнений—конечное и допускает про-
простое геометрическое истолкование. Будем называть расстояние между
центром луча г и серединой отрезка, отсекаемого на луче г лучами гг, г2
конгруэнции пары, эксцентриситетом пары, а угол между биссектрисой
угла со сторонами, параллельными лучам гг, г2 пары, и вершиной, напри-
например, в центре луча г и биссекторомугла между фокальными плоскостями—
асимметрией пары. В этих условиях теорема формулируется так: отно-
отношение двойного эксцентриситета пари к синусу двойной асимметрии
равно отношению расстояния между граничными точками общего пер-
перпендикуляра соответствующих лучей пары к косинусу угла между ними.
Вторая особенность новой постановки задачи в том, что приведение
системы из шести уравнений к пяти независимым не совершается едино-
единообразно во всех случаях. Есть особый случай; система содержит тогда
ещё одно конечное уравнение, именно: равенство нулю асимметрии пары;
эксцентриситет пары тоже обращается в нуль и пара становится симметрич-
симметричной (расположена симметрично относительно центра и главных плоскостей
луча г). Многообразие этих особых пар зависит от четырёх произвольных
функций одного аргумента. В общем случае асимметрия может обращаться
в нуль или в силу ортогональности пары (соответствующие лучи взаимно
перпендикулярны, пара зависит от пяти произвольных функций одного
аргумента) или в силу симметричности (эксцентриситет равен нулю, шесть
функций одного аргумента). Симметричные пары наиболее интересны.
В отличие от особых пар симметричные пары общего типа всегда приводят
к конфигурации Бахвалова.
Этой же задачей занимался Н. И. Алексеев, который получил
в своей кандидатской диссертации A944) независимо от С. П. Финн-
к о в а некоторые из его результатов (конечное соотношение, произвол
симметричных пар); кроме того, им получена теорема относительно изо-
изотропной конгруэнции общих перпендикуляров: если с изотропной конгруэн-
конгруэнцией связана одна расслояемая пара, лучи которой пересекают соответст-
соответствующие лучи изотропной конгруэнции под прямым углом в точках, симмет-
симметрично расположенных относительно центра, то она несёт оо1 таких
пар, образующих конфигурацию Бахвалова.
Существование изотропных конгруэнции, допускающих присоеди-
присоединение расслояемых пар, доказал С. Д. Российский [23]. С. П. Ф и-
пиков *) A947) освободил теорему Н. И. Алексеева от излишнего
*) Работа находится в печати.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 875
требования о симметричном пересечении луча изотропной конгруэнции
парой соответствующих лучей заданной первой расслояемой парой.
Ряд изящных теорем о кривизне расслояющих поверхностей пары
конгруэнции дал С. В. Бахвалов [14]: 1) Отношение четвёртой
степени косинуса угла касательной плоскости расслояющей поверхности
пары конгруэнции с общим перпендикуляром соответствующих лучей
пары к гауссовой кривизне поверхности не зависит от выбора расслояющей
поверхности семейства и является инвариантом луча пары. 2) Произведе-
Произведение таких инвариантов для соответствующих лучей пары равно четвёртой
степени отношения кратчайшего расстояния между лучами к ' синусу
угла между ними.
5. Расслояемая пара кривых. Расслоясмые пары конгруэнции пред-
представляют блестящий, но не единственный, пример применения идеи рас-
слояемости системы оо1 плоских элементов. Другой пример расслояемости,
может быть, не так богатый специальными случаями, но не менее живо-
живописный, тесно связанный с предыдущим и хорошо его дополняющий,
представляет расслояемая пара кривых (С. П. Ф и н и к о в [61]). Автор
рассматривает кривую Мг как многообразие её соприкасающихся плоско-
плоскостей тх. Каждой точке Р плоскости mt ставится в соответствие плоскость
некоторой нулевой системы Н, присоединённой к паре соответствующих
точек Ми М3 двух кривых. Таким образом получается первая система
ао* плоских элементов. Вторая получится заменой кривой (Мг) на вторую
кривую пары (М3). Расслояемость зависит не только от выбора кривых,
но прежде всего от выбора нулевой системы Е. На кривые или, скорее,
на точечное соответствие между ними налагается требование, чтобы они
допускали линейный комплекс, имеющий в соответствующих точках
касание второго порядка с каждой кривой, а нулевая система S опреде-
определяется касательным комплексом обеих кривых (касание первого порядка),
который находится в инволюции с построенным соприкасающимся. Теперь
плоскость элемента с центром в точке Р плоскости тг будет всегда прохо-
проходить через прямую МгРх, плоскость элемента с центром в точке Q плоско-
плоскости т2 пройдёт через прямую M%Q. В силу расслояемости существует два
семейства поверхностей (Р) и (Q), которые касаются плоскостей элементов
в их центрах. Все эти поверхности—линейчатые, и образующими служат
лрямые МгР или JVf,Q. Все поверхности (Р) проходят через точку М,
и в этой точке касаются плоскости тг, а так как это—соприкасающаяся
¦плоскость кривой (Mj), то эта кривая является общей асимптотической
всех поверхностей (Р). С другой стороны, из теоремы взаимности нулевой
системы следует, что плоскость Q пройдёт через точку Р, если плоскость
элемента Р проходит через точку Q. Следовательно, любые две поверхно-
поверхности (Р) и (Q) служат фокальными поверхностями конгруэнции прямых
{P1Q1), где Рг есть произвольная точка образующей MtPlf a Q—точка
пересечения образующей M2Q с касательной плоскостью поверхности
(Р) в точке Рг. Конгруэнция (PiQO есть конгруэнция W, ибо прямоли-
лейная образующая МгР поверхности (Р) переходит в прямолинейную
«образующую JVf3 поверхности (Q).
Таким образом расслояемая пара кривых тоже несёт систему Бианки,
т. е. со* конгруэнции W, связывающих два семейства по оо1 поверхностей
(Р) и (Q), но эта система Бианки отличается от системы Бианки-Терра-
•чини, связанной с расслояемой парой конгруэнции, ибо каждая конгруэн-
конгруэнция W по-своему устанавливает соответствие точек между поверхностями
<Р) и (Q).

876 ГЕОМЕТРИЯ
Поверхности (Р) и (Q) распределяются на пары сопряжённых МХР;
и M2Qi. Соответствующие образующие двух сопряжённых поверхностей,
пересекающиеся в точке Nit—на линии пересечения плоскостей тг, т,.
В каждой точке N,- эти поверхности имеют общую касательную плоскость,
а так как эта плоскость вместе с тем является соприкасающейся плоско-
плоскостью линии (Nt), то сопряжённые поверхности касаются вдоль общей асим-
асимптотической (Л/,). Линии (Nt) для всякого значения параметра t имеют
общий соприкасающийся (касание второго порядка) линейный комплекс.
Любая пара их расслояема. Расслояющие поверхности (R)—линейчатые
поверхности с образующими NtMs, где Nt—точка кривой (Nt), a M,--
любая точка прямой МхМг. Они тоже соединяются в семейства сопряжён-
сопряжённых, образующие которых сходятся в одной точке Ms, и линия (Ms) являет-
является их общей асимптотической. Все линии (Ms) имеют общий соприкасаю-
соприкасающийся (касание второго порядка) линейный комплекс и каждая пара их
расслояема. Расслояющие поверхности—те же самые поверхности (R),
которые теперь группируются иначе. Все поверхности (R) образуют дву-
параметрическое семейство; семейство конгруэнции W, для которых они
служат фокальными поверхностями, зависит уже от трёх параметров и
образует трёхмерную систему Бианки.
Прямые (М,Мо) и (т^,) описывают две линейчатые поверхности,
которые тоже образуют пару расслояемых поверхностей, именно: каждой
точке одной поверхности можно поставить в соответствие плоскость, про-
проходящую через эту точку и через соответствующую образующую второй
поверхности. Мы получим, таким образом, две системы ос2 плоских эле-
элементов. Они могут быть расслоены двумя системами кривых (Ms) и (Nt)
так, что каждая кривая, проходящая через центр элемента, будет иметь
его плоскость своей соприкасающейся плоскостью. Заметим, наконец,
что две линейчатые поверхности расслояемы, если они служат фокальными
поверхностями конгруэнции W.
Приведённое выше построение непосредственно связано с расслояемой
парой конгруэнции, составляя её часть. Будем называть асимптотической
поверхностью нары ту линейчатую поверхность одной из конгруэнции
пары, которая пересекает одну из расслояющих поверхностей (а следова-
следовательно, и все поверхности одного семейства) по асимптотической линии.
Тогда можно сказать, что две соответствующие асимптотические поверх-
поверхности пары конгруэнции всегда образуют расслояемую пару поверхностей.
Действительно, соприкасающаяся плоскость асимптотической линии
совпадает с касательной плоскостью к поверхности, а касательные плоско-
плоскости расслояющих поверхностей пары, проведённые в точках пересечения
с лучом d, проходят через соответствующий ему луч d' второй конгруэн-
конгруэнции. Отсюда следует, что асимптотические линии, по которым асимпто-
асимптотическая поверхность пересекает расслояющие поверхности одного семей-
семейства, в точках пересечения с лучом d будут иметь своими соприкасающимися
плоскостями плоскости элементов, центры которых лежат на луче d.
Справедлива и обратная теорема: всякую расслояемую пару линейчатых
поверхностей можно продолжить в расслояемую пару конгруэнции.
Б. А. Р о з е н ф е л ь д [7] дал этим фактом новое геометрическое
истолкование. Пользуясь тем, что шесть однородных плюккеровых коор-
координат прямой определяют в пятимерном пространстве Еь точку на гипер-
гиперквадрике Qt, автор присоединяет каждой паре прямых трёхмерного про-
пространства прямую в пространстве ?5, соединяющую те две точки на гипер-
гиперквадрике Qit которые изображают две прямые пары. Тогда две линейна-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 877
тые поверхности в Е3, между образующими которых установлено взаимно
однозначное соответствие, изобразятся в Я6 линейчатой поверхностью.
Если эта поверхность — развёртывающаяся, то пара поверхностей в
?3-*-расслояема. Двухмерное многообразие пар прямых в Е3, т. е. две
конгруэнции с лучами во взаимно однозначном соответствии, изображается
двухмерным многообразием прямых в Е5. Это двухмерное многообразие бу-
будет распадаться двумя способами на семейство развёртывающихся поверх-
поверхностей, т. е., по терминологии Гитара, будет конгруэнцией в Еь, если
пары прямых в Е3 описывают конфигурацию (Т). Фокальные плоскости
этой конгруэнции пересекают гиперквадрику Q4 no кривым второго поряд-
порядка, которые изображают поверхности второго порядка Калапсо, а преобра-
преобразованию Калансо соответствует в Еъ преобразование Лапласа и т. д.
Теория расслояемости, конечно, далеко не исчерпывает научной про-
продукции советских геометров в области дифференциальной геометрии трёх-
трёхмерного пространства. Среди других тем видное .место занимает теория
проективного или афинного изгибания. Кроме работ С. П. Ф и и и к о в а
по совместному изгибанию двух конгруэнции [58] и изгибанию конфигу-
конфигурации (Г) [57], новое слово в теории изгибания сказал Г. Ф. Л а и т е в.
До сих нор мы имели два метода перенесения классического понятия метри-
метрического изгибания поверхности на геометрию другой фундаментальной
группы. Первый из методов принадлежит Фубини-Картану и обобщает
своеобразное понятие катания поверхности по её изгибанию, когда в каж-
каждый момент две поверхности касаются друг друга так, что совпадают каса-
касательные соответствующих линий. Другой метод указал Террачини, вводя
понятие инварианта двух бесконечно близких элементов (проективный
. 1инейный элемент поверхности, конгруэнции и т. д.) и требуя сохранения
его при изгибании. Тот и другой методы не всегда достигают цели: напри-
например, в афинной геометрии изгибание поверхностей тривиально; все
поверхности наложимы в изгибании первого порядка и ни одна неизгибаема
второго порядка. Г. Ф. Лаптев (диссертация, 1941) перенёс в новое
пространство (пространство афинной связности) наиболее характерную
особенность изгибающейся поверхности—сохранение всех внутренних гео-
геометрий преобразуемого образа. При этом новое понятие изгибания сохра-
сохраняет смысл и для многообразий в неголономном пространстве (афинной
связности). Для многообразий афишюго пространства автор дал полную
классификацию с точки зрения их изгибаемости; указал число измерений
того афинного пространства, в котором это многообразие может быть осу-
осуществлено, и число измерений того пространства, в котором многообра-
многообразие может изгибаться A947). Идею Г. Ф. Лаптева видоизменила
и применила к изгибанию гиперповерхностей в афинном простран-
пространстве Т. А. Ш у л ь м а н [1]. Она требует, чтобы при изгибании гиперпо-
гиперповерхности сохранилась эквиафинная геометрия, и выделяет довольно
широкий, специальный класс гиперповерхностей, допускающих такое
изгибание.
К вопросам изгибания примыкает исследование К. Н. Т и х о ц к о-
г о [1, 2] о конформном отображении конгруэнции и комплексов (изгиба-
(изгибания в геометрии группы подобных преобразований). По определению,
два комплекса (или конгруэнции) находятся в отношении преобразова-
нияК, если их можно расположить так, чтобы совпала любая пара соответ-
соответствующих лучей и вдоль этих совпавших лучей касались все соответству-
соответствующие линейчатые поверхности комплексов (конгруэнции). В первой рабо-
работе автор выделил довольно широкий класс конгруэнции, допускающих

878 ГЕОМЕТРИЯ
преобразование К (зависящий от одной произвольной функции двух
аргументов), во второй он получил с четырьмя произвольными функциями
одного аргумента конформно-преобразуемые комплексы.
Своеобразное преобразование конгруэнции построил М. Потоц-
Потоцкий [1]. Автор связывает соответствующие лучи своих конгруэнции
требованием, чтобы они несли фокусы оо1 конгруэнции, которые соответ-
соответствуют друг другу развёртывающимися поверхностями. Вся конфигура-
конфигурация зависит от двух функций двух аргументов. Специальным случаем,
этого преобразования является преобразование Лапласа, где конгруэн-
конгруэнции семейства вписаны в последовательность, образованную заданной кон-
конгруэнцией и её преобразованием.
Большое исследование точечных взаимно однозначных соответствий
пары поверхностей предпринял Л. С. Ермолаев [4]. В отличие от
работ Чеха автор рассматривает пару поверхностей в определённом взаим-
взаимном расположении. Благодаря этому особую роль здесь играет соответствие
инцидентных касательных и двойные линии соответствия, т. е. такая
пара соответствующих друг другу линий, соответствующие касательные
которых всегда пересекаются. Автор даёт полную классификацию таких
соответствий. Некоторые специальные случаи их рассмотрел С. П. Ф и-
ников [32, 36].
Основы теории конгруэнции плоских алгебраических кривых я-го-
порядка строит В. В, Рыжков [2]. Он предполагает, что поверхность
S—огибающая плоскостей кривых Р конгруэнции—не вырождается в
развёртывающуюся поверхность, и рассматривает конгруэнцию прямо-
прямолинейных поляр d каждой кривой Р относительно точки М касания пло-
плоскости этой кривой с огибающей S. Фокусы кривой Р лежат в точках
пересечения с кривой Р* порядка л+1 с двойной точкой в точке М. Каса-
Касательные в двойной точке сопряжены на поверхности S, если конгруэнция
поляр d сопряжена поверхности S. Среди специальных случаев, рассмо-
рассмотренных автором, отметим случай распадения кривой Р* на п+1 прямых,
проходящих через точку М.
Различные специальные типы конгруэнции и сопряжённых сетей
рассматривает С. П. Фиников. Его работы [17, 23, 59] относятся
соответственно к конгруэнции Гурса, последовательности Фубини, сети
Розе. Другая серия работ этого автора относится к паре поверхностей
с инцидентностью тех или других элементов в каждой паре соответству-
соответствующих точек. Среди них можно отметить проблему пары поверхностей,
у которых асимптотические линии одной соответствуют сопряжённой
системе на другой и соответствующие касательные пересекаются. Наи-
Наиболее замечательное решение (зависящее от четырёх произвольных функ-
функций одного аргумента) приводит к шестизвенной последовательности
Лапласа, именно: в этом случае первой поверхности пары (М) соот-
соответствуют две вторые (М') и (М"), сопряжённые касательные которых:
пересекают асимптотические касательные первой поверхности в точках
Ми М, и Ми, М22. Шестиугольник М'М^цМ'МцМа описывает
периодическую последовательность Лапласа.
Геометрическую характеристику конгруэнции с постоянным инва-
инвариантом Вельша дал В. X. Бадальян [1]. Эти конгруэнции, и только
они одни, обладают тем свойством, что фокальные поверхности в соответ-
соответствующих точках имеют общую пару полярно сопряжённых прямых,
относительно всех поверхностей второго порядка Дарбу, присоединён-
присоединённых к этим точкам каждой поверхности.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 879
Новый объект ввела в современную проективно-дифференциальную
геометрию Т. Л. К о з ь м и н а [1 ]. Понятие трижды сопряжённой систе-
системы поверхностей было дано Дарбу, который посвятил им отдельную главу
своей книги «Lec.ons sur les systlmes ortogonaux». Однако он не дал проек-
проективной теории этой системы поверхностей, ибо, кроме теоремы существо-
существования, он рассматривает, главным образом, параллельные и ортогональ-
ортогональные преобразования их. Т. Л. Козьмина показала, что теория трижды
сопряжённых систем представляет естественное и нетривиальное обоб-
обобщение теории сопряжённых сетей, где важное место занимают преобразо-
преобразования Лапласа, вписанные и описаннцр последовательности. При этом
все соотношения становятся богаче и теория разнообразнее. Автор пока-
показывает, что преобразование Лапласа, применённое к поверхностям одного
семейства данной системы, относительно линий пересечения с поверхно-
поверхностями двух других семейств, приводит всегда к семейству поверхностей
новой, трижды сопряжённой системы, которая и называется преобразова-
преобразованием Лапласа от первоначальной. Таким образом трижды сопряжённая
система допускает преобразования Лапласа относительно каждой из своих
грех сопряжённых сетей. Полученные шесть первых преобразований Ла-
Лапласа связаны между собой различными вписанными и описанными после-
последовательностями. Аналогичная теорема замкнутости имеет место и для
всех преобразований п-го порядка.
§ 3. МЕТОД ВНЕШНИХ ФОРМ КАРТАНА.
При построении проективно-дифференциалыюй геометрии надо было
найти ту систему формул, которая заменила бы формулы гауссовой теории
поверхностей. Две наиболее крупные школы Запада— американская школа
Вильчинского и итальянская школа Фубини —каждая по-своему решала
этот вопрос. Вильчинский определяет поверхность четырьмя решениями
двух уравнений в частных производных второго порядка с предельно
малым числом коэффициентов — четыре, которые составляют полную систе-
систему инвариантов поверхности и сами должны удовлетворять довольно слож-
сложной системе уравнений. По существу к той же системе уравнений приходит
и Фубини, ибо вся теория дифференциальных форм и ковариантного диф-
дифференцирования, которая строилась его учеником Чехом, осталась неис-
неиспользованной. Московская школа проективно-дифференциальной геоме-
геометрии при построении основных формул начинала с теории конгруэнции
и положила в основу уравнения инфинитезимальных преобразований
присоединённого к лучу конгруэнции тетраэдра. При этом в теории кон-
конгруэнции был сразу же удачно выбран полуканонический тетраэдр,
построенный на фокусах и фокальных плоскостях и отнесённый к пара-
параметрам развёртывающихся поверхностей. Он определяется достаточно
свободно (произвольное положение двух вершин в фокальных плоско-
плоскостях), чтобы можно было удобно решать большой круг задач, и вместе
с тем достаточно хорошо связан с окрестностью луча конгруэнции, чтобы
четыре коэффициента 3,8Х> Д, \ в уравнениях инфинитезимальных
преобразований тетраэдра были относительными инвариантами допусти-
допустимых преобразований вершин. Они хорошо характеризуют различные виды
конгруэнции.
Отношение ^=-Д!- является инвариантом Вельша. Если 8 = 0,
то первая фокальная поверхность вырождается в линию; если Д=0».

880 ГЕОМЕТРИЯ
то она становится развёртывающейся поверхностью. Равенство л = 1
определяет конгруэнции W; равенства л=1 и Г-г-) ~®—конгруэн-
~®—конгруэнции R; если а=1 и (¦?¦) . = 0) то конгруэнция принадлежит линейному
комплексу. Уравнение (-у) } = О характеризует конгруэнцию Гурса;
уравнения \„ = Зиу = 0 определяют фокальную сеть Йонаса, уравнения
(In A)uy= ~ (In o)up = АД, — 6о, определяют фокальную сеть Слотника.
Сохранение отношений -^-, -у , o5t для двух конгруэнции показывает про-
проективную наложимость их.
Канонический тетраэдр поверхности не отличается такой гибкостью
и поэтому менее удобен.
Развитие проективно-дифференциальной геометрии и новые более
сложные задачи поставили на очередь обобщение тетраэдра отнесения
и переход к методу внешних форм Картана.
1. Метрические работы. Д. И. П е ре пёлкин[1] первым из москов-
московских геометров применил метод Картана к исследованию многообразий
V т в евклидовом пространстве Rn. Первая задача, которую он себе поста-
поставил, касалась обобщения кривых Бертрана на четырёхмерное простран-
пространство кривых Бертрана, Автор исходит из требования, чтобы две кривые
имели в соответствующих точках одни и те же нормальные плоскости (пло-
(плоскости, содержащие первую и третью нормали кривой). Реперы обеих
кривых находятся в твёрдом взаимном расположении. Каждая из кривых
характеризуется двумя линейными соотношениями с постоянными коэф-
коэффициентами между тремя кривизнами.
13 следующей большой работе Д. И. Перепёлкин [3] строит
теорию кривизны риманова многообразия Vm в Rn. Введённые им «напра-
«направления кривизны» удачно обобщают главные направления поверхности,
а «многообразие К» в нормальном (соприкасающемся) пространстве хорошо
представляет центры нормальных кривизн.
В другой статье Д. И. П сренёлкин [2] исследует пару параллель-
параллельных многообразий Vm, Vm в Rn- Он определяет их требованием, чтобы каса-
касательные пространства в соответствующих точках были параллельны, а
прямые, соединяющие эти точки, были к ним нормальны. Эти многообразия
характеризуются требованием, чтобы гауссово кручение равнялось нулю.
Аналогичный вопрос ставится для ортогональных многообразий (усло-
(условие параллельности касательных пространств заменяется ортогонально-
ортогональностью). Решение зависит от размерности второго соприкасающегося
пространства а2.
С 1936 г. к методу Картана переходит СВ. Бахвалов. Во всех
работах по метрической теории расслояемости он пользуется своеобразным
репером, три оси которого параллельны двум лучам расслояемой пары
и' их общему перпендикуляру. Чтобы облегчить применение метода Кар-
Картана исследования инволюционное™ пфаффовых систем, он даёт совер-
совершенно элементарное доказательство основной теоремы Картана для слу-
случая систем Пфаффа с двумя независимыми переменными.
В 1939, 1940 гг. появляются первые мемуары С. П. Финикова,
построенные на этом методе. В 1940 г. И. С. П л у ж п и к о в [] ] применяет
метод Картана к линейчатым поверхностям. Несколько подробнее отметим
интересную работу В. Прокофь ева[1]. Стремясь построить наиболее
простую 'модель пространства проективной связности, несущего данную

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 881
систему геодезических линий, Картан вводит нормальные пространства.
При этом особое место занимают нормальные пространства двух измере-
измерений. В. Прокофьев исследует вопрос о погружении такого простран-
пространства в проективное пространство; он разбивает их на две группы: те, кото-
которые осуществляются на поверхностях трёхмерного пространства, и те,
которые могут быть только на поверхности пространства четырёх измере-
измерений. Поверхности трёхмерного пространства — всегда развёртывающиеся.
2. Погружение пространства афииной связности. С 1943 г. стали
печататься сообщения Г. Ф. Л апт е ва fl, 2]. Мы уже говорили о его
новом понятии изгибания многообразия; не менее интересна его работа
о погружении пространства афинной связности в афинное пространство.
Собственно, после того как Картан разрешил задачу Шлефли по-
погружения риманова пространства, казалось, что погружение пространств
афинной, проективной связности не вызовет затруднений, и, действитель-
действительно, вскоре после выхода в свет «Пространств проективной связности»,
где Картан утверждал, что двумерное пространство проективной связности
может быть осуществлено, вообще говоря, только в четырёхмерном про-
пространстве, Шин-Шен-Черн опубликовал доказательство теоремы погру-
погружения п-мерного пространства проективной связности. Однако оно
оказалось неполным, как это обнаружил Г. Ф. Лаптев, и воспол-
восполнение пробела приводило к довольно большим арифметическим труд-
трудностям, с которыми автор блестяще справился. Задача трактуется им
для пространства афинной связности, но рассуждения применимы и к
случаю Шин-Шен-Черна.
С. Д. Российский [23], К. Н. Т и х о ц к и й [2], Т. Л. К о з ь-
мина [1] и Н. И. Алексеев решают свои задачи, о которых мы
говорили выше, методом Картана.
Особо следует отметить работы С. С. Б ю ш г е н с а по геометрии
векторного поля и заметку Г. М. Б а м-3 еликовича [1].
Мы уже имели случай говорить о классических работах Д. М. Си н-
ц о в а по геометрии интегральных кривых пфаффова уравнения. К этому
вопросу вернулся Я. П. Бланк [4], перенося сюда основные понятия
проективно-дифференциальной теории поверхностей. Л. С. Е р м о л а е в
[5] строит геометрию векторного поля, связывая его с комплексом пря-
прямых, определяемых этим полем. С. С. Бюшгенс [20, 21, 22] подошёл за-
заново к построению геометрии поля векторов, чрезвычайно удачно исполь-
используя метод подвижного репера ивнешнихформКартана. Собственно, задачи,
которые себе ставит автор, значительно шире и интересней. Многочислен-
Многочисленные сообщения С. С. Бюшгенса в Московском математическом общест-
обществе и на научных конференциях дают представление о новой теории стацио-
стационарного течения жидкости, рассматриваемого с .точки зрения дифферен-
дифференциальной геометрии, т. е. путём изучения общих свойств движения, выде-
выделения замечательных классов течения жидкости и т. д., вне связи с теми
или другими граничными условиями. Эта теория хорошо и удобно изла-
излагается в терминах внешних форм Картана, причём не только общие урав-
уравнения стационарного потока получили новую, удачную форму, но и спе-
специальные задачи течения, которые ставит автор, во многих случаях могли
быть доведены до решения в конечном виде. Опубликованные статьи по
существу являются введением в новую большую теорию, имеющую целью
установить наиболее важные для теории стационарного потока типы поля
скоростей и дать основные формулы, которые характеризуют то или
другое поле в принятой символике, или, скорее, дать геометрическое
56 Математика в СССР за 30 лет

882 геометрия
истолкование своих формул. Конечно, автор не мог ограничить себя такой
утилитарной целью, и опубликованная «Геометрия векторного поля» имеет
самостоятельное значение. Автор по-новому определяет линии кривизны,
асимптотические, геодезические линии, сопряжённые направления, омби-
омбилические точки и полную кривизну поля, вместе с тем он вводит понятие
линий винчения, где вектор касательной совпадает с вектором Дарбу,
рассматривает поле вращения после специального комплекса и строит
инварианты поля. В целом, С. С. Бюшгенс обогатил дифференциаль-
дифференциальную геометрию новой областью приложения её методов.
3. Проективно-изгибаемые конгруэнции. Заметка Г. М. Б а м-Зели-
к о в и ч а [ 1 ] интересна с другой точки зрения. О её геометрическом соде^ка-
нии мы уже упоминали. Автор открывает новые возможности использова-
использования особенностей метода Картана. В этом методе сами переменные или их
дифференциалы не фигурируют, а дифференциальные уравнения записы-
записываются в виде соотношений между линейными формами, которые по усло-
условию образуют, если их приравнять нулю, вполне интегрируемую систему
(характеристическую), так что остаётся произвол в выборе основных пере-
переменных задачи в виде той или другой системы первых интегралов харак-
характеристической системы. Автор использует этот произвол для того, чтобы
выделить из уравнений системы, которая определяет расслояемую пару,
группу уравнений, определяющих произвольную поверхность, которая
касается первой грани подвижного тетраэдра в его вершине. Характери-
Характеристическая система этой группы составляет, очевидно, часть большой
характеристической системы и её первые интегралы можно ввести в состав
совокупности первых интегралов большой системы. Предполагая, что
произвольная поверхность дана, т. е. дано решение малой системы, автор
может считать, что все уравнения первой группы удовлетворены, и остаёт-
остаётся искать значения оставшихся свободными неизвестных функций так,
чтобы были удовлетворены все остальные уравнения большой системы.
При этом расслояемая пара может быть отнесена к наиболее удобному
для неё тетраэдру, построенному на четырёх фокусах и четырёх фокальных
плоскостях пары лучей, и вторая система даст все расслояемые пары,
присоединённые к данной фокальной поверхности. Пользуясь этим мето-
методом, автор решил задачу Фубини о произвольности фокальных поверхно-
поверхностей конгруэнции: к произвольной поверхности можно присоединить,
с произволом семи функций одного аргумента, изгибаемую конгруэнцию,
для которой эта поверхность является фокальной.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
П. К. РАШЕВСКИЙ.
§ 1. Римановы пространства и пространства афинной связности п измере-
измерений (883). § 2. Проблема вложения (8J2). § 3. Римановы и афинно-связные
прс странства двух измерений C93). § 4.05 )бщённые метрические геометрии (903).
§ 5. Неголономная геометрия (907). § 6. Теория семейств геометрических
образов (910). § 7. Тензорный аппарат и его обобщения (914).
а последние двадцать лет в СССР возникла и развилась
дифференциально-геометрическая школа, основной чертой
которой является применение тензорных методов.
Тензорными мы будем называть методы, позволяющие
при любом выборе координатной системы в простран-
пространстве, на поверхности и т. д. систематически выявлять и
держать в поле зрения геометрические свойства изучаемо-
изучаемого образа, т. е. свойства, инвариантные относительно
выбора координатной системы.
Основатель и руководитель этой школы, В. Ф. К а г а н организовал
в 1927 г. научно-исследовательский семинар при Московском универси-
университете, в процессе работы которого вырос ряд—в то время молодых—научных
работников: Я. С. Дубнов, Г. Б. Г у р е в и ч, А. М. Л о п ш и ц,
П. К. Р а ш е в с к и й, Г. М. Ш а п и р о, А. П. Н о р д е н, В. В. В а г-
н е р, Н. В. Ефимов. К более позднему поколению относятся
Я. Л. Ш а п и р о, В. И. К о с ти н, Б. А. Р о з е н ф е л ь д и др. В
настоящее время почти все научные работники СССР, работающие в обла-
области тензорной дифференциальной геометрии, принадлежат к этой школе.
В Казани П. А. Ш и р о к о в, независимо от Московского семинара
и несколько раньше его, также начал работу в этой области, которой и
принадлежат почти все исследования его и его учеников (Б. Л.Лаптев,
И. П. Егоров и др.).
§ 1. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА АФИННОЙ
СВЯЗНОСТИ п ИЗМЕРЕНИЙ.
Тензорные методы в наибольшей степени обнаруживают свои преиму-
преимущества в многомерных пространствах, а тензорный анализ в узком смысле
слова приспособлен прежде всего к многомерным римановым простран-
пространствам, а затем и к их обобщению — пространствам афинной связности.
51*

884 геометрия
Естественно, что первоначально работа Московского семинара была
сосредоточена в области римановой геометрии.
Римановым пространством называется многообразие п измерений,
которое отнесено (по крайней мере в окрестности каждой точки) к координа-
координатам хг, ..., х" и в котором задана дифференциальная квадратичная форма
ds2 = gi?(xS ...,xn)dx*dx*. A.1)
При этом-предполагается, что координатых1, ..., х" допускают любые
дифференцируемые и обратимые преобразования, а форма A.1) должна
оставаться при этом строго инвариантной. В записи A.1) и вообще в ана-
аналогичных записях предполагается суммирование от 1 до л по индексам а
и Р (стоящим один раз внизу и один раз наверху). В случае собственно-
риманова пространства форма A.1) предполагается положительно опре-
определённой, в случае псевдориманова пространства — неопределённой, но
во всяком случае ранга п.
Форма A.1) употребляется для определения дифференциала дуги
вдоль любой кривой
х'-х'@ A.2)
в римановом пространстве.
Геодезические линии, т. е. кривые, вариация дуги которых равна нулю,
определяются в римановом пространстве дифференциальными уравне-
уравнениями
d*x{ , dx'dx? n
-W + Ut-dT7T = 0- О-3)
Здесь Г«'/? — компоненты связности, выражаемые определённым образом
через ga и -^i .
'¦ 1. Субпроективные пространства. Известно, что если риманово
пространство допускает (хотя бы в малом) такое отображение на проек-
проективное пространство, при котором геодезические линии отображаются на
прямые, то это риманово пространство будет пространством постоянной
кривизны, т. е. в малом либо пространством Евклида (параболиче-
(параболическим), либо Лобачевского (гиперболическим), либо Римана (эллипти-
(эллиптическим).
В. Ф. К а г а н [3, 6, 7] предпринял подробное исследование римано-
вых пространств, представляющих ближайшее обобщение пространств
постоянной кривизны. Он назвал субпроективным пространством рима-
риманово пространство, допускающее такое отображение на проективное про-
пространство, при котором геодезические отображаются на кривые, распо-
расположенные на двухмерных плоскостях некоторой фиксированной связки
О (такого рода пространства впервые были введены в рассмотрение
Шуром).
Если х1, ..., х" — проективная система координат, имеющая начало О
в центре связки, то компоненты связности г{то субпроективного простран-
пространства должны иметь вид
i /,m«/mI. A.4)

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 885
»
Отсюда вытекает, что компоненты метрического тензора gf/ должны
' совместно с другими неизвестными величинами flm и рк удовлетворять
системе дифференциальных уравнений
где |i = gaX*.
Эту систему удаётся после ряда сложных выкладок проинтегрировать
до конца; в итоге определяется метрика субпроективного пространства^
Если оставить в стороне случай, когда субпроективное пространство
является евклидовым (но в своеобразной системе координат), метрический
тензор субпроективного пространства имеет одну из следующих двух форм:
где X —линейная функция координат, v —квадратичная форма от коорди-
координат, х —произвольная функция от -г и 0 —произвольная функция от
координат;
где X есть корень квадратный из некоторой квадратичной формы (но
не линейная функция), атиЭ имеют прежний смысл.
Поверхность 0 = 0 можно рассматривать как аналог абсолюта в про-
проективной метрике.
Впоследствии В. Ф. К а га н [7] дополнил исследование ещё одним
«исключительным случаем» субпроективного пространства.
П. К. Рашевским[1, 4] было замечено, что за счёт преобразо-
преобразования координат вида х' = -^ можно добиться существенного упрощения
формул субпроективной геометрии; а превращается в константу,/?,- = О,
так что A.4) даёт Г/т = х'//т, и т. д. Исходя отсюда, удаётся получить необ-
необходимые и достаточные инвариантные признаки А, А', В субпроектив-
субпроективного пространства:
А. Компоненты тензора кривизны имеют вид
Rki, n = gkiTu + gijTki - guTkj - gkjTlu A.8)
где
Tij = n__2 ^V ~ 2 (« —2) (n — 1) ' ^li ~ ^'; ' ^ = ^л ^'
A'. V^u-ViTn^O. A.9)
В. Существуют два скалярных поля G и g таких, что
Отсюда вытекает, что G и g функционально зависимы.
Условия А, А' означают, что субпроективное пространство при1
надлежит к числу конформно-евклидовых, т. е. его линейный элемент
можно представить в виде
A.11>

886 ГЕОМЕТРИЯ
где flfs2 —линейный элемент евклидова пространства, a U — некоторая
скалярная функция. Кроме того, тензор
i ) " A.12)
удовлетворяет условиям Гаусса-Кодацци, так что субпроективное про-
пространство всегда первого класса (т. е. допускает вложение в каче-
качестве гиперповерхности в евклидово п + 1-мерное пространство с сохра-
сохранением метрики).
Эти геометрические свойства суСпроективных пространств были
одновременно обнаружены Г. М. Шапиро [1,4] совершенно непосред-
непосредственным путём. А именно, в результате преобразования координат
он фактически привёл линейный элемент субпроективного простран-
пространства к виду A.11); кррме того, он показал, что субпроективная метрика
как при положительно определённой, так при неопределённой форме A.1)
совпадает с внутренней геометрией произвольной «гиперповерхности
вращения» в п+ 1-мерном евклидовом или псевдоевклидовом простран-
пространстве:
t ynyn\ A.13)
Здесь у", у1, ..., уп — прямоугольные декартовы координаты, причём
скалярный квадрат вектора выражается формой
у
где е,= ±\.
В псевдоевклидовом пространстве в некоторых случаях вместо
гиперповерхности вращения A.13) приходится брать гиперповерхность
вида
2 г г 1 -У§), A.14)
где левая часть уравнения выражает квадрат расстояния от начала О
(коэффициенты et, ег,... , еп равны ±1; ео=—е1; / — произвольная
функция от у1—у").
Случаи A.13) и A.14) отвечают случаям A.6) и A.7) в теории
В. Ф. Кагана. Геометрический сжысл уравнений A.13) и A.14)
сводится к тому, что гиперповерхность состоит из пересечений гипер-
гиперплоскостей параллельного пучка с концентрическими гиперсферами —
каждой гиперплоскости со своей гиперсферой, причём гиперплоскости
пучка неизотропные в случае (ЫЗ) и изотропные в случае (Ы4).
Ряд дальнейших добавлений к теории субпроективных пространств
был сделан П. А. Широковым [1,7], который рассмотрел отдельно
субпроективные пространства с центром (когда центр связки О явля-
является регулярной точкой пространства) и пространства без центра
(в центре связки О метрика не определена или не регулярна).
2. Другие специальные типы римановых пространств. Большое
число работ в этом направлении принадлежит П. А. Широкову.
Многие из них относятся к конструкциям специально в пространствах
постоянной кривизны. Мы остановимся здесь на некоторых его рабо-
работах более общего характера '
Миллером было введено понятие о сходящихся направлениях
Идоль заданной кривой х' = х'(/) (/= 1, 2,..., п) в римановом простран-

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 887
¦стве. А именно, пусть г>'(/) — компоненты вектора, определённого
в каждой точке данной кривой, и пусть вектор vl удовлетворяет
уравнению
' A.15)
где Dvl (t) — абсолютный дифференциал.
Геометрический смысл условия A.15) состоит в том, что в локаль-
локальном евклидовом пространстве точки х1' точка, указываемая концом
вектора ъ', остаётся неподвижной при движении точки х' вдоль дан-
данной кривой (локальные евклидовы пространства вдо.ъ данной кривой
предполагаются отождествлёнными в силу афинной связности, имеющей
место в римановом пространстве).
Направления векторов v'(t) вдоль кривой x'(t) называются схо-
сходящимися направлениями.
П. А. Широко в [19] ставит вопрос о римановых пространствах,
обладающих полем сходящихся направлений, т. е. полем направлений,
которые являются сходящимися вдоль любой кривой пространства.
Оказывается, что для этого необходимо и достаточно, чтобы в про-
пространстве существовало семейство геодезически параллельных гиперпо-
гиперповерхностей, все точки которых являются шаровыми (вторая квадра-
квадратичная форма отличается от первой скалярным множителем у), при-
причём радиус нормальной кривизны о должен быть для каждой гипер-
гиперповерхности постоянным (во всех точках и по всем направлениям)
и совпадать с расстоянием по ортогональной геодезической от на-
начальной до данной гиперповерхности (геодезически параллельные ги-
гиперповерхности по самому определению допускают ортогональную
конгруэнцию геодезических линий).
Формулированному результату можно придать аналитическую
форму, записав линейный элемент ds* рассматриваемого риманова
пространства в следующем виде:
dsa = dxia + xll<p«e(xS..., у?)йхЧх* (а, р«=2, 3,.... л). A.16)
Здесь хг = const. — гиперповерхности геодезически параллельного се-
семейства, а координатные линии х1 — ортогональные к ним геодези-
геодезические. При этом а = х1; начальная гиперповерхность х1==0 несёт на
себе, очевидно, вырожденную метрику ds = O.
Задача, разрешённая здесь, фактически более узка, чем можно
подумать. Существование поля сходящихся направлений влечёт сущест-
существование и поля сходящихся векторов: в каждой точке пространства
существует вектор ^* такой, что для всякой кривой имеет место урав-
уравнение A.15).
Если предположить, что начальная гиперповерхность х1 = 0 стяги-
стягивается в точку, в окрестности которой метрика регулярна, то это при-
приводит нас к концентрическим гиперсферам в евклидовом пространстве.
В другой работе П. А. Широков [23] исследует частные типы
конформно-евклидовых пространств. Прежде всего рассматривается
случай, когда такое пространство является, по терминологии автора,
приводимым, т. е. имеет линейный элемент вида
v.(xr xn)dx4x», A-17)

888 ГЕОМЕТРИЯ
в подходящим образом выбранной системе координат. Геометрический
смысл приводимости заключается в следующем: пространство рассло-
расслоено на оо"' ^-мерных поверхностей и оо п — р-мерных поверхностей,
причём поверхности разных семейств ортогональны между собой
в каждой точке, где они встречаются, и соответствие между поверх-
поверхностями одного семейства, установленное посредством поверхностей
другого семейства, всегда изометрическое.
П. А. Широков получает следующий результат. Конформно-ев-
Конформно-евклидово (или конформно-псевдоевклидово) приводимое пространство ненуле-
ненулевой кривизны разлагается только на два пространства. Если они
оба имеют число измерений > 1, то это пространства постоянной кривиз-
кривизны, значения которой отличаются у них только знаком. Если же одно
из пространств одномерное, то второе —постоянной кривизны.
Отсюда вытекает, что приводимые конформно-евклидовы простран-
пространства будут симметрическими по Картону. Так называются пространства,
обладающие следующим свойством: если через произвольную точку О
провести связку геодезических и ставить в соответствие точки, распо-
расположенные на одной и той же геодезической по разные стороны от О
и на равных расстояниях от О, то это соответствие всегда является
изометрическим, т. е. сохраняет метрику пространства. Признаком
симметрического пространства является постоянство тензора кривизны
Rii'ku T- е- тождественное обращение в нуль его абсолютной произ-
производной
Vmfli/.ftl =0. A.18)
Оказывается, что рассмотренные выше конформно-евклидовы при-
приводимые пространства исчерпывают (вместе с пространствами посто-
постоянной кривизны) все случаи конформно-евклидовых симметрических
пространств с положительно определённой квадратичной формой ds2.
При этом р-мерные и п— р-мерные поверхности, на которые простран-
пространство расслаивается (см. выше) при конформном отображении на
евклидово пространство, превращаются в семейство со"-р р-мерных
сфер и оор п — р-мерных сфер, ортогонально пересекающихся между
собой.
П. А. Широков решает далее полностью вопрос о конформно-
евклидовых симметрических пространствах и в случае неопределенной
квадратичной формы ds2. В этом случае возможны и неприводимые
пространства этого рода, для которых линейный элемент имеет один
из двух видов: :
sftfr"'*^ AЛ9)
^ _
й (х, хJ + 2fc ? х'х1 ¦* — кг
= 1,3,..., п-1)
A=1,3,.... 2m-1; / = 2m+l,..., л)
(Л = 1, 2 т).

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 889
Здесь в, ву=±1, 9(х, х) — квадратичная форма от х' с теми же
коэффициентами, как и дифференциальная квадратичная форма в чис-
числителе; к.а. лт — некоторые константы.
В. В. Вагнером [7] был изучен частный тип римановых про-
пространств, для которых, за счёт специального выбора координатной
системы, можно добиться обращения компонент связности Г*/ в кон-
константы. Оказалось, что простейшим случаем таких пространств будут
пространства с конформно-евклидовой метрикой вида
ds* = es*x*g^dx4x». A.21)
Здесь х1,..., хп—специальная система координат; s«, g°n —констан-
—константы. В общем же случае исследуемое пространство оказывается приводимым
и «разлагается» по схеме A.17) налекоторое число пространств с метрикой
вида A.21).
Некоторую хотя и довольно внешнюю аналогию с приводимыми рима-
новыми пространствами представляют рассмотренные П. К. Р а ш е в-
с к и м «расслоённые пространства».
Рассмотрим псевдариманово пространство 2л измерений, которое «рас-
«расслоено» двумя семействами л-мерных поверхностей, каждое от п параме-
параметров; можно считать* что при подходящем выборе" координат в простран-
пространстве—обозначим их'х1, "..'., х"; и1,..., и'1—поверхности "одного семейства
получаются при закреплённых х' и переменных и1, а поверхности другого—
при закрепленных и' и переменных х'. Потребуем, далее, чтобы поверхности
обоих пространств были изотропными, т. е. чтобы все кривые на них были
изотропными, flfs=O. В 2п-мерном псевдоримановом пространстве не может
быть изотропных направлений, более чем п измерений и соответственно
более чем л-мерных изотропных поверхностей, причём n-мерные изотроп-
изотропные поверхности, если они существуют, автоматически будут вполне гео-
геодезическими поверхностями (это значит, что каждая геодезическая, каса-
касающаяся поверхности, целиком лежит на ней). Поверхности расслоения
будут, таким образом, вполне геодезическими. Потребуем, наконец, что-
чтобы поверхности каждого семейства обладали абсолютным параллелиз-
параллелизмом—это значит, что при параллельном перенесении любого вектора,
первоначально касательного к поверхности семейства, он остаётся ка-
касательным к поверхностям этого же семейства, по какому бы пути его ни
переносить.
Основной результат заключается в том, что выставленные условия
необходимы и достаточны для существования в псевдоримановом про-
пространстве скалярного поля U (х1,..., хп; и1,.. ., и"), порождающего
метрику пространства по формуле
дха
A.22)
Квадратичная форма имеет при этом л положительных и п отрицатель-
отрицательных квадратов—кстати сказать, только для такого рода метрики возможны
л-мерные изотропные направления.
Интересный частный тип риманова пространства был рассмотрен
В. В. В а г н е р о м [4] в связи с механической задачей инерциального
вращения твёрдого тела около неподвижной точки. А именно, трёхмерное

890 ГЕОМЕТРИЯ
пространство конфигураций вращающегося твёрдого тела может быть снаб-
снабжен» римановой метрикой, как обычно, по формуле
dst = 2Tdt\ A.23)
где Т—живая сила, a t—время. Оказывается, что такое пространство
может быть получено из трёхмерного эллиптического пространства следую-
следующим путём. В эллиптическом пространстве строится три конгруэнции клиф-
фордовых параллелей, лучи которых в каждой точке встречаются под
прямыми углами^и затем длины вдоль прямых первой конгруэнции умно-
умножаются на 2]/^!, вдоль второй—на 2]/у2, вдоль третьей—на 2]/JT-
Здесь Ji, Ji} Ja—главные моменты инерции. Полученное пространство
В. В. В а г н е р называет пространством Эйлера; для него даются инва-
инвариантные характеристики и выводится ряд свойств.
Остановимся, наконец, на важном общем свойстве римановых про-
пространств, исследованном Я. Л. Ш а п и р о [5]. Рассмотрим пространство
t1, t*,..., tn, в котором заданы длины вдоль (всех) координатных линий
"и только вдоль них:
Vе) dV- при dt* = dta = ... = ?tf" =
при dt1 = dti= ... =^"-1 =
A,24)
Такое пространство назовём п-мерной тканью. Зададимся, с другой
стороны, произвольным римановым пространством х1 хп с метрикой
dsa = gajdxe dxe. Оказывается, что произвольную п-мерную ткань всегда
можно «вставить» в произвольное л-мерное риманово пространство и при
этом так, чтобы начальные координатные поверхности всех измерений
в V-,..., Г совпали с такого же рода поверхностями в х\ ..., хп. Более
точно: вблизи нуля можно так выразить х1, ... , хп функциями от
t\ . . . , tn, что:
1) при *'1 = 0, **« = 0, ...,/'* = 0 функции x*i, х'2, ..., х'* тоже
обращаются в 0, и это при любом значении Л<п и при любом выборе
2) длина координатных линий ткани A.24) совпадёт с длинами тех
кривых риманова пространства, в которые линии ткани отобразятся.
Задача при этом решается однозначно, если на каждой начальной коор-
координатной линии х1' (xf—переменное, остальные х1,. t., х" равны 0) указать
заранее то направление, которое должно отвечать возрастанию параметра
t* на соответствующей линии ткани. Мы получаем, таким образом, л-мерное
обобщение задачи Чебышева об одевании поверхностей.
Общее впечатление от рассмотренных до сих пор направлений остаёт-
остаётся несколько пёстрым. И это не случайно. Общее понятие многомерной ри-
мановой геометрии ещё далеко не заполнено конкретным содержанием,
и разные авторы в разных направлениях пытаются это конкретное содержа-
содержание создать.
То, что сделано здесь до сих пор, ещё не способно заполнить общий
фон картины, отчего и возникает впечатление известной разрознен-
разрозненности.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 891
3. Пространство афинной связности. Пространство афинной связ-
связности (без кручения) возникает как обобщение риманова пространства
за счёт отказа от части его свойств, именно от метрических свойств. Мы
не задаёмся теперь тензором glh т. е. квадратичной формой A.1), а непо-
непосредственно задаём объект связности Г*/, симметрический по нижним инде-
индекса^. Таким образом объект связности уже не вычисляется из метрического
тензора g,;, а задаётся произвольно при условии соблюдения прежнего за-
закона преобразования компонент при переходе в новую систему координат
Т/'к> = хГ х'г х\, Г/а + хркг хГ A.25)
(tf-g и т. д.).
Параллельное перенесение векторов, геодезические, абсолютное
дифференцирование тензоров определяются посредством объекта связно-
связности совершенно аналогично римановой геометрии; метрика, однако, отсут-
отсутствует.
Наиболее заметным геометрическим образом в пространстве афинной
связности являются его геодезические линии. Естественно ставить во-
вопрос об изучении таких пространств с заранее предписанными свой-
свойствами геодезических. В этом направлении ряд результатов принадлежит
Я. Л. Ш а п и р о (мы опираемся на неопубликованную докторскую дис-
диссертацию). Рассмотрим n + m-мерное пространство афинной связности
Ап+т, отнесённое к координатам х" (а, р, у,... =1,2,..., п + т), которое
при специальном выборе координат обладает следующим свойством: все
/л-мерные координатные поверхности вида'
х1 = с1, х! = с„...,хп=ся A.26)
являются вполне геодезическими и, более того, со1 таких поверхностей,
проведённых через любую геодезическую, также образуют вполне геоде-
геодезическую поверхность т + \ измерений (вполне геодезической называется
поверхность, в которой лежит всякая касающаяся её геодезическая линия
пространства). Поверхности A.26) будем называть и-поверхностями; усло-
условимся далее, что индексы /, /, к, ... пробегают значения 1, 2, ..., п,
а индексы а, Ь, с, . .. —значения п + 1, л + 2, ..., п + т.
Каждую точку (xf, xa) пространства An<.m посредством проведённой
через неё о-поверхности можно спроектировать на л-мерную координат-
координатную поверхность А„(х\ . .., xn), xntl = xnta = ... = xntm = 0, именно
в точку с теми же х' и с ха = 0.
Геодезические линии в А„+т проектируются в некоторые кривые
в А„, которые обязательно образуют семейство оо*"-* «путей», т. е. опре-
определяются на Ап дифференциальными уравнениями вида
Обратно, л-мерное пространство (х1,..., х") с произвольным семей-
семейством «путей», заданных уравнениями вида A.27), всегда можно вклю-
включить в некоторое пространство А +т так, что пространство (х\ ..., х")
совпадает с А„, а заданные на нём пути—с проекциями геодезических.
При этом можно не требовать, чтобы проектирующие /л + 1 -мерные по-
поверхности были вполне геодезическими: это получится -само собой.

892 ГЕОМЕТРИЯ
В случае, когда Antm является римановым пространством, его метрика
имеег вид
ds* = gab(х"*1, ••• > хп*т)dxadxb +
*п+м) 1Т/У (х1, ..., xn) dx{ dx1. A.28)
Я. Л. Шапиро рассматривает также ряд частных случаев своих
построений, устанавливая связь с большим числом результатов других
авторов. В частности, случай, когда метрика II,, постоянной кривизны,
даёт общие субпроективные пространства, у которых среди уравнений
геодезической всегда имеется л— 1 линейных уравнений, связываю-
связывающих координаты х1, .. . , х" (при общем числе координат п + т).
Далее Я. Л. Ш а п и р о ставит следующую задачу. Пусть в л-мер-
ном пространстве (х1, ..., х") задано семейство оо2"-1 кривых—будем
называть их траекториями, так что через каждую точку по каждому
направлению проходит оо1 траекторий. Требуется включить простран-
пространство (х\ ..., хп) в пространство афинной связности Antm в качестве
координатной поверхности Ап так, чтобы проекции геодезических
в Лп+т на Ап совпадали с заданными траекториями (проектирование
производится посредством в-поверхностей A.26), которые теперь уже не
предполагаются—и не будут—вполне геодезическими). Оказывается,
что существует в основном два типа семейств траекторий, допускающих
такое включение; дифференциальные уравнения траекторий будут
следующие:
тип b
dx3 dxk vi „ dx1 dxJ dxk dxf fl OQv
тип с
<Px{ ,,f dxs dxh ofii dx} „i у dx* dx1 dx{ .. «m
Соответственно имеем и два типа включающих пространств Ап<т.
Я. Л. Шапиро показывает, что единая теория поля предста-
представляет собой частный случай его построений.
Другая работа в области пространств афинной связности А„ (без
кручения) принадлежит И. П. Егорову. Известно, что Ап допускает
группу движений с максимальным числом параметров в случае обыкно-
обыкновенной афинной геометрии: это будет группа всех афинных преобразова-
преобразований пространства, зависящая от п* + п параметров. Пусть iV —число
параметров группы движений произвольного Ап. Как показал
И. П. Егоров, или N = n*+_n, что приводит нас просто к афин-
ному пространству, или N<n* (под движениями мы понимаем взаимно
однозначные отображения Ап на себя с сохранением связности).
§2. ПРОБЛЕМА ВЛОЖЕНИЯ.
Большое количество вопросов дифференциальной геометрии связано
со вложением одного пространства в другое, большего числа измерений,
.в качестве некоторой поверхности в нём. Классическим примером в этой
области является задача изгибания поверхности в трёхмерном евклидовом
пространстве. Действительно, вопрос сводится к вложению двухмерного

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 893
риманова пространства в трёхмерное евклидово. Эта задача, казалось,
была исчерпана многочисленными исследованиями. Тем не менее, при
изучении поверхности вблизи точек уплощения (точек с нулевой нормаль-
нормальной кривизной повеем направлениям) обнаруживаются явления совершен-
совершенно особого характера. Здесь ряд результатов принадлежит Н. В. Ефи-
Ефимову [5—9, 12]. А именно, оказывается, что в окрестности точки упло-
уплощения поверхность в некоторых случаях неожиданно сильно сопротивляет-
сопротивляется (непрерывному) изгибанию. Это выражается прежде всего в явлении
относительной неизгибаемости: при определённых условиях для точки
уплощения можно указать такое целое число т, что, рассматривая поверх-
поверхность в окрестности данной точки с точностью до бесконечно малых поряд-
порядка т и пренебрегая бесконечно малыми порядка т + 1 и выше, можно
считать поверхность неизгибаемой. Здесь предполагается, что т>п, где
п—1 —порядок касания поверхности со своей касательной плоскостью;
число т берётся наибольшим из возможных.
В некоторых случаях можно обнаружить, что т = со, тогда поверхность
(предполагаемая здесь аналитической) вообще не допускает достаточно
гладких изгибаний в окрестности данной точки уплощения—по крайней
мере в классе аналитических поверхностей. Такова, например, поверх-
поверхность
Доказательства ведутся путём алгебраического исследования бинар-
бинарных форм возрастающих степеней, образующих ряд Тэйлора, например,
для функции z = f(x, у) в уравнении поверхности (и аналогично для её
параметрического представления).
Н. В. Ефимовым исследован также вопрос о возможности непре-
непрерывного изгибания друг в друга поверхностей, реализующих данную ана-
аналитическую метрику в окрестности данной параболической точки Мо
и имеющих с касательной плоскостью в этой точке касание первого поряд-
порядка (и не выше). Оказалось, что такое изгибание (с точностью до
зеркального отражения) всегда можно осуществить и при этом так,
что точка Мо будет иметь всё время индекс*) (даже если ему
при этом придётся перескакивать от одного значения к другому). Нуж-
Нужно предположить только, что среди геодезических, проходящих через
МОг имеется не более одной, вдоль которой гауссова кривизна К равна
нулю и стационарна (dK = 0). В случае изолированной параболиче-
параболической точки индекс всегда существует и инвариантен при непрерывном
изгибании.
Задача изгибания двухмерных поверхностей в трёхмерном евклидовом
пространстве естественно обобщается на изгибание л-мерной гиперповерх-
гиперповерхности в п + 1-мерном евклидовом пространстве #п+1. В наиболее исчер-
исчерпывающей формулировке эта задача требует исследования тех римановых
пространств Vn, которые допускают вложение в Rntl в качестве его гипер-
гиперповерхности (так называемые Vn первого класса). Задача ставится,
разумеется, лишь в малом и сводится к отысканию—дополнительно к мет-
метрическому тензору g,i, заданному в Vn, —тензора Ьц, играющего роль
•) Мы говорим, что параболическая точка Мо имеет индекс, если п некоторой её
окрестности нет нормалей, параллельных нормали в самой Мо. Индексом называется
тогда кратность сферического отображения этой окрестности, т. е. число обходов на
сферическом отображении, отвечающее одному обходу вокруг точки Мо.

894 ГЕОМЕТРИЯ
коэффициентов второй квадратичной формы, т. е. удовлетворяющего
уравнениям Гаусса-Кодацци
Rv, ы = bik bn — btl bik, Vfijk — Vjbik = 0.
Как известно, Vn первого класса вложимо в /?„+1, вообще говоря,
единственным образом, причём Ьа- определяются однозначно из уравнений
Гаусса. Наибольшая трудность проблемы сосредоточивается, таким обра-
образом, на специальных типах Vn, когда Ъц определяются с участием урав-
уравнений Кодацци, в особенности, когда Ъц определяется неоднозначно,
так что V„ допускает изгибание в /?п+1.
В разработке всего этого комплекса вопросов, начатого исследования-
исследованиями Вайзе и Томаса, значительные результаты (пока неопубликованные)
принадлежат А. М. Л о п ш и ц у. Назовём Vn вырожденным, если у его
тензора Риччи /?«( = Ri'u*, где /?;*;/—тензор кривизны) л—2 собствен-
собственных значения равны нулю, а два остальных—равны между собой. Под
собственными значениями мы понимаем корни векового уравнения
Для невырожденных Vn A. M. Л о п ш и ц даёт явное выражение
для тензора Ьп-, инвариантным образом Составленное посредством тензо-
тензора кривизны и тензора g,/. Это выражение представляет Ъц во всех слу-
случаях, когда вложение возможно; проверка же самой этой возможности
сводится теперь к подстановке предлагаемого выражения в уравнения
Гаусса и Кодацци. Далее А. М. Л о п ш и ц исследует строение выро-
вырожденных Vn первого класса и указывает для них метод отыскания всех
возможных тензоров ЬАр.
Ту же проблему в той же постановке (параллельно А. М. Лопши-
цу, но независимо от него) успешно разрабатывала Н. А. Розен сон
[3, 4, 6]. В силу большой сложности и запутанности тензорных выкладок,
ведущих к решению вопроса, эквивалентные по существу результаты мо-
могут в данном случае облекаться в весьма разнообразные аналитические
формы. В связи с этим Н. А. Розенсон получила другой вариант'
той же теории. Ею полностью исследованы все. случаи вложения Vn
в Rn+i' когда ранг второй квадратичной формы ba& c/x" dx* не ниже 2 *).
В результате сложных выкладок ею получены в явной форме при-
признаки пространств Vn первого класса, явные выражения для btj, когда
это можно сделать однозначно, и исследован произвол в его выборе,
когда Vn допускает изгибание.
Укажем далее результат А. Е. Л и б е р а [1,3]; им установлено, что
класс риманова пространства Sn постоянной отрицательной кривизны
равен точно л—1, т.е. что Sn нельзя вложить в евклидово пространств»
< 2л — 1 измерений (то, что вложение в Rtn-i возможно, было показано,
ещё Шуром). Точно так же при вложении Sn в эллиптическое пространство,,
а также при вложении локально евклидова пространства Rn в эллипти-
эллиптическое пространство класс тоже равен л—1. Напротив, очевидно, что при
вложении пространства постоянной положительной кривизны в евклидово
или гиперболическое, а также евклидова пространства в гиперболиче-
гиперболическое класс равен 1.
*) Случай ранга < 2 приводит к евклидову V", когда задача тривиальна.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 895
Мы переходим теперь к теории поверхностей уже не в евклидовом
пространстве Rn, а в афинном пространстве Ап или проективном Рп.
При этом можно поверхность понимать буквально так же, как и в /?„;
однако тогда меньшее число инвариантов, имеющихся в Л„ и Рп сравни-
сравнительно с Rn, сильно усложняет развитие теории и делает её совершенно
непохожей на классическую теорию поверхностей. Можно, однако, пойти
по другому пути: задаться, например, в Л, не просто поверхностью, а
поверхностью, снабжённой в каждой точке произвольно выбранной нека-
некасательной к ней прямой, которой предназначается роль нормали. Это ус-
усложнённое образование—«нормализованная поверхность»—представляет
хорошую аналогию с классической теорией поверхностей. Эта идея послу-
послужила А. П. Норде ну [1—4, 6—11] исходным пунктом большого
цикла его исследований, к которым мы сейчас и переходим. Не останавли-
останавливаясь на промежуточных этапах, покажем наиболее общие результаты,
к которым пришёл А. П, Норден [7, j3].
Рассмотрим в Р„ гиперповерхность Хп^; каждую её точку ха снабдим
нормалью первого рода в виде прямой Р„ проходящей через хв, но не
касательной к Х„_г, и нормалью второго рода в виде плоскости Рп.г, лежа-
лежащей в касательной гиперплоскости Tn_t и не проходящей через ха. В осталь-
остальном нормали первого и второго родов фиксируются произвольно; гиперпо-
гиперповерхность Xn_j будем называть теперь нормализованной. Под х" мы
понимаем как-нибудь нормированные однородные координаты в Рп) а —
и вообще греческие индексы — будут пробегать значения 1, 2, ... , п + 1.
Нормали будем обозначать соответственно I и II. Пусть и1,..., ип~г~
криволинейные координаты на Хп^; тогда однородные координаты
х" суть функции от ы':
Подберём коэффициенты lt так, чтобы однородные координаты
определяли при каждом i точку на II, всего л—1 точку. При преобразо-
преобразовании криволинейных координат и1, ..., и" величины /, ведут себя
как тензор, а при перенормировании однородных координат ха —*-ох*,
где o=s о (и1, ... , и"), h преобразуются по закону
/,¦ —> /f — д( In о.
На I произвольно выбираем нормированную точку Xi(u1,... ,Цп~1I
теперь любую нормированную точку пространства можно разложить по
точкам х",у%X*. Воспользуемся этим для разложения точки д,у\ при
произвольных /,/. Положим:
д}У'г = А* у* + рих* + BtjX*.
При этом величины G?;.= A*t — M* симметричны относительно i,j, не
зависят от вкбора точки X* на I, инвариантны при перенормировании
точки х* и ведут себя как объекты афинной связности при преобразовании
а1,... jU". Таким образом на Хп-\ возникает афинная связность -G*/
без кручения. Но так как конструкция нормализованной гиперповерх-
гиперповерхности сама себе двойственна, то построения, проделанные для нормиро-
нормированных точек гиперповерхности и их производных, можно повторить

896 ГЕОМЕТРИЯ
для касательных гиперплоскостей с« и их производных совершенно
аналогичным образом.
Возникает вторая афинная связность Г*;, вообще говоря, отличная
от первой. Пусть Вц — симметрический тензор наХ„_1, нулевые направ-
направления которого ВцйиЧи* = 0 совпадают с асимптотическими направлени-
направлениями на Хп.г. Очевидно, Вц определён с точностью до скалярного множи-
множителя. Две связности С*-, Г*;- и тензор Вц связаны между собой зависи-
зависимостью
А. П. Н о р д е н рассматривает также пару связностей G?/, 1%,
a priori заданных в многообразии Хп^и независимо от истолкования Хп.г
как гиперповерхности в G№. Тогда от этих связностей требуется лишь,
чтобы совместно с некоторым тензором Вц они удовлетворяли выписан-
выписанному условию. Геометрический смысл этого условия состоит в следующем.
Если два направления на Хп_1г заданные векторами v\ v', сопряжены
A) B)
относительно Вц, т. е. Вц vlv' = 0, и если переносить одно направление
согласно связности G,y-, а другое согласно связности Г,у, то они остаются
сопряжёнными относительно Вц.
Такую пару связностей на Х„_х А. П. Н о р д е н называет парой
сопряжённых параллельных перенесений. Если Вц возникает указанным
выше путём в силу вмещения Хп^ в Рп, то сопряжённость относительно Вц
означает просто сопряжённость направлений на гиперповерхности Л„_,.
Пара сопряжённых перенесений играет роль внутренней геометрии
нормализованной гиперповерхности. A. Yi, Норден указывает большое
число частных случаев своей теории. В частности,если в Р„ внести метрику
евклидову, эллиптическую или гиперболическую и выбрать нормализацию
естественным образом в связи с метрикой, то связности G?y- и 1 *; будут
определяться символами Христоффеля для первой и третьей квадратич-
квадратичных форм.
Далее, А. П. Н о р де н обобщает своё построение, рассматривая в Ря
нормализованную поверхность Хт любого числа измерений т. Нормали-
Нормализация заключается в проведении через каждую точку х* поверхности Хт
плоскости Pn_m в качестве нормали I и в задании в каждой касательной
плоскости Тт плоскости Рт_, в качестве нормали II. На Хт возникает сно-
снова инвариантная связность G*/, но уже только одна. Наиболее интересен
случай т — п, т. е. когда поверхность заполняет всё пространство. В этом
случае нормаль II представляет некоторую гиперплоскость, соотнесён-
соотнесённую с каждой точкой пространства (и через, неё не проходящую), а нор-
нормаль I совпадает с самой точкой. При этом в Рп получается общий вид
проективно-евклидовой связности, т. е. связности с прямолинейными
геодезическими, что ещё раньше было показано Бортолотти. В отдельной
работе А. П. Норден [15] изучает частный случай этой связности,
когда она одновременно является еейлевой, т. е. допускает тензор &/,.
для которого
Особенно интересные результаты получаются в случае п = 2; отметим
один, из них: для построения исслбдуемой связности нужно задать два

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 897
произвольных однопараметрических семейства прямых и отнести каждой
точке пересечения двух прямых из разных семейств в качестве нормали II
прямую, соединяющую характеристические точки, расположенные на
этих прямых.
. Теорию нормализованных поверхностей А. П. Н о р д е н распростра-
распространяет и на пространства Мп конформной группы Мебиуса. А именно, поверх-
поверхность Хт в Мп называется нормализованной, если через каждую её точку
проведена некоторая п — m-мерная сфера Мп_т, вполне ортогональная к
Хт. Эту конструкцию можно свести к предыдущей, если реализовать
Мп в качестве гиперквадрики Qn в Рп+1; группа Мебиуса сведётся
к преобразованиям гиперквадрики в себя соответствующей подгруппой
проективных преобразовании в Рп+Х- В результате Хт окажется поверх-
поверхностью на Qn, и наша конформная нормализация Хт 'в Мп повлечёт за
собой проективную нормализацию Хт в Рп.ц. А именно, примем за
нормаль I плоскость Pn_m+1, сечением которой с Qn получается сфера Мп-т.
За нормаль II примем плоскость Рт_1( полярную с Pn_m+,.: Внутренняя
геометрия на Хт, возникающая при этом, будет вейлевой; причём её
угловая метрика совпадает с угловой метрикой, заимствованной из Мп.
Наиболее интересен частный случай т = п, когда поверхность Хт
заполняет все Мп (А. П. Н орден [9]). Тогда сфера Мп_т = М„ сводится
к паре точек, и нормализация означает соотнесение каждой точке х из Мп
некоторой точки X также из М„, т. е. отображение Мп на себя. Каждое
такое отображение порождает, следовательно, в Мп связность, которая
оказывается вейлевой конформно-евклидовой связностью общего вида.
Отображение х—>Х будем называть нормальным, если при вмещении Мп
в Мп+1 конгруэнция окружностей, соединяющих х с X и проходящих орто-
ортогонально к Мп, допускает ортогональную гиперповерхность, отличную
от Мп (тогда эта конгруэнция и вообще является нормальной). В этом
случае вейлева связность обращается в риманову, и .Мп превращается
в конформно-евклидово Vn общего вида. В частности, в случае инверсии
относительно гиперсферы мы получаем известную интерпретацию Пуан-
Пуанкаре для неевклидовых геометрий.
Чтобы обобщить инверсию, рассмотрим расслоение Мп на мт А-мер-
ных поверхностей, где к = п — т, и подвергнем эти поверхности инверсии—
каждую относительно своей гиперсферы. Поверхности эти будем называть
эквиабсолютными, а соответствующие им гиперсферы—абсолютами. Если
потребовать ещё нормальность отображения, то эквиабсолютные поверх-
поверхности оказываются А-мерными сферами. Если, наконец, предположить
линейность семейства абсолютов, то мы приходим к римановой метрике
специфического вида
Здесь индексы а, 3 пробегают значения 1, 2,.... m;ga^w. F зависят толь-;
ко от и1,..., ит ; индексы о, у пробегают значения т + 1,..., п и уор зави-
зависит только от um+1,..., и". При этом gsj определяют произвольную кон-
конформно-евклидову метрику, а уср — метрику постоянной кривизны. Полу-
Полученное риманово пространство можно рассматривать как обобщение
субпроективного, однако более широкое обобщение с теми же свойст-
свойствами геодезических было на другом пути получено Я. Л. Ш а п и р о
(см. A.28), случай П,-/ постоянной кривизны). Добавим ещё следующее.
Так как rfs2 по вышесказанному даёт обязательно конформно-евклидову
57 Математика в СССР аа 30 лет

898 ГЕОМЕТРИЯ
метрику, то линейный элемент
тоже даёт конформно-евклидову метрику и притом, очевидно, приводимую
в смысле П. А. Широкова A.17).
Согласно П. А. Широкову, в этом случае метрика p-ga$ имеет
постоянную кривизну, которая лишь знаком отличается от постоянной
кривизны метрики уср (тривиальный случай т = 1 мы оставляем в стороне).
§ 3. РИМАНОВЫ И АФИННО-СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ДВУХ ИЗМЕРЕНИЙ.
Пространства двух (а иногда и трёх) измерений обладают рядом инте-
интересных специфических свойств, которые плохо поддаются обобщению
на многомерный случай. Поэтому случай малого числа измерений под-
подвергался специальному изучению. Двухмерные пространства мы будем
кратко называть поверхностями, хотя и не всегда предполагаем их вло-
вложенными в пространство высшего числа измерений. Метрической поверх-
поверхностью будем называть двухмерное риманово пространство.
1. Теория сетей. Одна из простейших и важнейших конструкций
на поверхности состоит из двух семейств кривых, каждое от одного пара-
параметра, и называется сетью. Предполагается, что через каждую точку
проходит по одной кривой каждого семейства в разных направлениях.
В большом цикле работ по тензорной теории сетей основные резуль-
результаты, принадлежащие Я. С. Дубнову, успешно развивались затем
Н. В. Ефимовым и А. П. Норденом.
Пусть gap — метрический тензор поверхности и <р«р—тензор сети
(а, р=1, 2); другими словами, дифференциальные уравнения линий
сети имеют вид
O; <p«? = <рц«. C.1)
Тензор сети cpd? определяется, очевидно, с точностью до скалярного
множителя; но эту неопределённость можно устранить, нормировав тен-
тензор сети условием
Det|*dp|e -Detlg.pl. C.2>
Указанные детерминанты — в вещественном случае — всегда имеют
разные знаки, так как нулевые направления для <р«р действительные, а для
gdj —мнимые. Нормированный таким образом тензор сети мы будем назы-
• «~ ?-
вать приведённым и обозначать <р<«?. Через <?"р и <рйр будем обозначать тен-
о
зоры, образующие матрицы, обратные матрицам <р«? и q>«? сооответственно,
Я. С. Дубнов связывает, далее, с сетью тензор *(, определяе-
определяемый формулой (индекс после вертикальной чёрточки обозначает кова-
риантное дифференцирование по метрике )

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 899
Этот тензор он называет тензором Чебышева, так как обращение tt
в нуль характеризует чебышевскую сеть (т. е. такую, что отрезки линий
одного семейства, заключённые между любыми двумя линиями другого
семейства, всегда равны между собой по длине).
Однако тензор Чебышева интересен не только этим. Он входит в общую
теорию сетей на основании следующей теоремы приведения, доказанной
Я. С. Дубновым:
Все дифференциальные инварианты (и коеарианты) сети на поверх-
поверхности могут быть получены алгебраическими операциями над следующими
тензорами:
1. Метрический тензор gaf, гауссова кривизна К и её последовательные
ковариантные производные Кц, К\ц, • ¦ • (инварианты внутренней гео-
геометрии поверхности).
2. Тензор сети <р,/.
3. Тензор Чебышева xt и скаляр <о—угол между направлениями линии
сети — и их последовательные ковариантные производные *ii/, ^i;*, —
. . . , Ш|Ь О),,/, . . .
При помощи этого тензорного аппарата Я. С. Дубнов получает
целый ряд результатов. Приведём некоторые из них. Геодезическая сеть
на поверхности (оба семейства состоят из геодезических) характеризуется
условием
о о о о „
2 fu\k => <?ikxi + fik't—ft^k' I *4'
Если задаться наперёд некоторым тензором т{ на поверхности и искать
геодезическую сеть, для которой т,- должен служить тензором Чебышева,
о
то придётся интегрировать C.4), рассматривая <р,-/ как неизвестный тен-
тензор. При этом, если
Чи'ФО, где %- = *ш + <с/1* — *,-*/ — 4Kgu, C.5)
о
то задача имеет не более одного решения <р?/, и это решение —если оно
существует —совпадает с %• с точностью до скалярного множителя.
Если же т),7 = 0, то сеть определяется неоднозначно.
Я. С. Дубнов называет особенной геодезическую сеть, для которой
тензор Чебышева удовлетворяет условию *),-/• = 0 и тем самым обслуживает
не одну эту сеть, а целую связку оо8 геодезических сетей. Особенные геоде-
геодезические сети существуют лишь на специального вида поверхностях,
которые были рассмотрены в совместной работе Я. С. Дубнова
и Н. В. Ефимова [2]. Поверхности эти можно характеризовать
также существованием двух геодезических сетей, для которых четыре на-
направления касательных в каждой точке различны и образуют постоян-
постоянное ангармоническое отношение. В этом случае и любая третья сеть,
для которой направления касательных образуют постоянные ангармо-
ангармонические отношения и с касательными первой сети, и с касательными
второй сети, будет также геодезической. Таких сетей будет, очевидно,
оо*, и это будет связка особенных геодезических сетей с общим тензором
Чебышева.
Поверхности, допускающие особенные геодезические сети, могут
быть двух типов, в зависимости от того, является ли тензор Чебышева
57*

900 ГЕОМЕТРИЯ
изотропным или нет. Линейный элемент в изотропных координатах
имеет следующий вид:
Если g^dtp Ф 0:
J~* n д*Ф dudv, C.6)
dudv
до д<о
дп ' дп
где «о удовлетворяет уравнению
Если g^tdt? = 0:
'(поверхность Ли).
Тензорная теория сетей Я. С. Дубнова без труда переносится
и на более общий случай, когда поверхность, несущая сеть, снабжена
не римановой метрикой ga$, а лишь афинной связностью Г*/=Г*,-.
Особенные геодезические сети в неметрическом случае с оригинальной
точки зрения были изучены А. П. Н о рден ом [5]. Проективным преобра-
преобразованием связности (Г*- —> Г*/ + Pi8/ + Pi 8*) он превращает любую сеть
в сеть чебышевскую *); в случае геодезической сети новая связность
оказывается вей левой.
В случае же особенной геодезической сети новая связность квазиев-
квазиевклидова, т. е. с абсолютным параллелизмом направлений. Геодезические
линии новой, а следовательно, и старой связности при подходящем отобра-
отображении поверхности на евклидову плоскость переходят в изогональные
траектории некоторого однопараметрического семейства кривых. Это
и служит признаком связности, допускающей особенные геодезические
сети.
Отметим ещё некоторые из результатов Я. С. Дубнова, относя-
относящиеся к сетям на метрических поверхностях. Виртуально-асимптоти-
Виртуально-асимптотическая сеть (т. е. способная при подходящем вложении поверхности в трёх-
трёхмерное евклидово пространство стать асимптотической сетью) имеет тен-
тензорную характеристику
На квадрике (поверхности второго порядка) сеть прямолинейных обра-
образующих будет одновременно и геодезической и асимптотической. Поэтому
тензор этой сети определится согласно C.5), причём xt определяется
согласно C.8). Это даёт для тензора ¦*),/ —с точностью до скалярного мно-
множителя — следующее выражение:
Чи = 4K/CU/ - ЬКиК/ - 16КЪг C-9)
о
Итак, за тензор сети <pf/- можно принять ч\ц после нормирования послед-
последнего. Записав теперь условие геодезичности сети, т. е. уравнение C.4),
мы получаем уравнения, связывающие g,/, К и ковариантные производ-
производные К- При этом Det | % | Ф 0. Полученные условия соблюдаются не только
на квадрике, но, очевидно.и на всякой поверхности, изгибаемой на квад-
квадрику. Эти условия являются также и достаточными для наложимости дан-
данной поверхности на квадрику.
*) Это значит, что касательные направления к линиям каждого семейства
параллельны в смысле связности Г^ вдоль линий другого семейства.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 901
Далее Я. С. Дубнов рассматривает следующие четыре свойства,,
которыми может обладать сеть на поверхности.
1. Сеть является ромбической, т. е., приняв линии сети за координат-
координатные линии и, v на поверхности, можно добиться, чтобы линейный элемент
имел вид
(O=?).
2. Сеть является конформно-геодезической, т. е. становится геодези-
геодезической после подходящего конформного преобразования поверхности.
3. Сеть, биссекторная для данной, является изотермической.
4. Скалярное поле ty(M) = tg-^-, где <в — угол пересечения кривых
сети, мулътипликативно-диагоналыю относительно биссекторной сети.
Последнее означает, что всякий раз, когда точки Мь М2, Мг, Mt образуют
вершины криволинейного четыреугольника, ограниченного линиями бис-
биссекторной сети, имеет место равенство
Имеет место теорема: всякий раз, когда сеть обладает любыми двумя
из этих свойств, она обладает и двумя другими свойствами.
В совместной работе Я. С. Д у б н о в а и С. А. Фукса [1 ] понятие
сети переносится на трёхмерное пространство — в виде системы трёх криво-
криволинейных конгруэнции. Темой исследования служат пространственные
аналоги чебышевской сети— таковые возможны в нескольких вариантах.
Отметим оригинальный аппарат исследования: сеть задаётся своим так
называемым главным тензором Ф\, три собственных направления кото-
которого касаются линий сети, а три собственных значения совпадают с кор-1
нями кубичными из единицы. Этот аппарат был построен Я. С. Дубно^
в ы м первоначально для двухмерного случая, когда Щ имеет два соб-
собственных направления, касательных к линиям сети, и два собственных
значения, равных ±1.
В исследованиях по теории сетей Н. В. Е ф и м о в [3, 9] рассматривал
тензорными методами виртуально сопряжённые сети, поверхности пере-
переноса, поверхности Фосса и др., получив ряд наглядно-геометрических
результатов. Так, для поверхностей Фосса (так называются поверхности^,
обладающие сопряжённой геодезической сетью) получена следующая гео-
геометрическая характеристика: поверхность Фосса допускает такое непре-
непрерывное изгибание, что при каждом положении поверхности асимптотиче*
ские направления образуют постоянное ангармоническое отношение с асим-
асимптотическими направлениями при каждом другом положении поверхности^.
Сопряжённая геодезическая сеть сохраняется при этом изгибании и слу-
служит его главным основанием (так называется сеть, остающаяся всё время
сопряжённой в процессе изгибания).
Отыскание тензорной характеристики виртуально сопряжённой сети
приводит Н. В. Ефимова к новой трактовке изгибания на главном
основании: такого рода изгибание возникает, в случае, когда виртуальна
сопряжённой сети отвечает не однозначно определённая вторая квадратич-
квадратичная форма, а целое их семейство, зависящее от одного параметра. Инте-
Интересен также полученный Н. В. Ефимовым инвариант, сохраняющий
постоянное значение для любых четырёх соответствующих точек на четырёх
данных положениях поверхности, изгибаемой на главном основании..

90 2 ГЕОМЕТРИЯ
Тензорные методы в теории сетей не только дали возможность обозреть
в инвариантной форме прежние результаты, но привели к существенно
новым фактам.
2. Поверхности с. афинной связностью (без кручения). А. П. Н о р-
д е н [13] изучил поверхности, геодезические которых допускают дробно-
линейныЙ интеграл вида
А (и, v)du + B(u, v)dv _ . _ ,
С (и, v)du + D(u, v)du~ Xm
В другой работе А. П. Н о р д е н [14] дал конструкцию двухмерной
афинно-связной геометрии, элементы которой обобщают не точки евкли-
евклидовой плоскости, а её прямые: точку этой геометрии нужно интуитивно
мыслить наподобие прямой линии, а направление, исходящее из точки,—
наподобие точки, отмеченной на прямей. В частности, в пространстве пря-
прямых евклидовой плоскости возникает афинная связность этого типа.
П. К. Рашевский [16] изучил поверхности, геодезические кото-
которых обладают следующим свойством. Построим бесконечно малый шести-
шестиугольник из отрезков геодезических, причём геодезические, соединяющие
противоположные вершины, пересекаются в одной точке —центре.
Выберем три вершины, попарно не соседние, и потребуем, чтобы
направления сторон, исходящих из каждой из этих вершин, после парал-
параллельного перенесения в центр вдоль соответствующей диагонали совпа-
совпадали там с направлениями двух других диагоналей. Вообще говоря, этому
требованию нельзя удовлетворить без того, чтобы шестиугольник не ра-
разомкнулся у одной из вершин.
Для произвольной связности полученный зазор будет бесконечно
малым третьего порядка; если потребовать, чтобы он имел четвёртый поря-
порядок малости, мы получаем эквиафинную связность (признак /?,у = #/.);
если же потребовать пятый порядок малости, то получаем более узкий
класс связностей, которые и подлежат изучению, и которые мы назовём
«шестиугольными» (признак Ra = Rn; R(tjik) — O).
Для всех возможных типов шестиугольных связностей найдены выра-
выражения компонент Г*- в специальной системе координат.
П. К. Р а ш е в с к и м [3, 6, 7] изучается афинная связность в беско-
бесконечно малом с точностью высокого порядка. Остановимся подробнее на
одной из этих работ (П. К. Рашевский [6]). В окрестности произволь-
произвольной точки О рассмотрим произвольную афинную связность с точностью
четвёртого порядка, т. е. пренебрегая линейными размерами пятого
порядка малости. Тогда в специально подобранной системе координат х, у
(начало которой, между прочим, совпадает с данной точкой) конечные
уравнения геодезических принимают вид
Геометрический смысл этих уравнений таков: если через произволь-
произвольные точки G, Q проведены одновременно геодезическая линия и «прямая»
(Ах + By + С = 0), то геодезическая линия в произвольной точке R откло-
отклоняется от прямой в вертикальном направлении на отрезок, равный учет-
учетверённому произведению площадей треугольников GOR и QOR. Изучена
также группа коллинеаций, сохраняющих геодезические также в беско-
бесконечно малом и также с точностью четвёртого порядка.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 903
В целом работа, проведённая в теории поверхностей с афинной связ-
связностью показала, что эта теория не принадлежит к разряду абстрактных
схем, как может показаться с первого взгляда, а, напротив, по конкрет-
конкретности и геометрической жизненности своих результатов является достой-
достойным продолжением классической теории поверхностей.
§ 4. ОБОБЩЁННЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ГЕОМЕТРИИ.
До сих пор мы имели дело лишь с одним видом метрической геоме-
геометрии — римановой геометрией, где дифференциал! дуги определялся фор-
формулой
ds = Yii* (x1, ..., x")"rfx""drxP. D.1)
Широким обобщением римановой геометрии является финслерова
геометрия, где дифференциал дуги определяется формулой
ds = L (х1,..., хп; dx\ ..., dxn). D.2)
Здесь L — произвольная функция, однородная первого измерения отно-
относительно flfx1,..., dxn. К финслеровой геометрии приводит в первую очередь
задача геометризации вариационного исчисления. Однако и на чисто
геометрических путях мы нередко наталкиваемся на финслерову метрику.
Рассмотрим на плоскости х, у какое-либо семейство кривых от двух пара-
параметров и, v. Рассмотрим две бесконечно близкие кривые семейства
(и, v) и (u + du, v +dv). Допуская, что они пересекаются, рассмотрим
угол dcp между ними. Очевидно, угол будет выражаться формулой
вида D.2)
dv = L{u,v; du,dv), D.3)
так что метрика бесконечно малых углов между кривыми семейства будет,
вообще говоря, финслеровой метрикой в многообразии кривых семейства.
1. Проблема двойственности. Известно, что на эллиптической пло-
плоскости имеет место полная двойственность между точками и расстояниями
между ними, с одной стороны, и прямыми и углами между ними, с дру-
другой стороны. Эта двойственность с некоторым искажением свойств имеет
место и на гиперболической плоскости.
В. Ф. Каган [8] поставил вопрос о распространении явлений двой-
двойственности на более широкий класс объектов и именно в следующей форме.
Вместо прямых на плоскости (для простоты евклидовой) рассматривается
семейство оо2 кривых, подобранное так, что угловая метрика D.3) будет
римановой
dfa = а (и, v) du* + 23 {a, v) dudv + f {и, v) dvl, D.4)
в то время как, вообще говоря, эта метрика лишь финслерова. Такое
семейство В. Ф. Каган называет гонометрическим. Гонометрическим
будет всякое семейство ооа окружностей, однако класс всевозможных
гонометрических семейств гораздо шире. Если искать уравнение гоно-
метрического семейства в конечном виде у = / (х, и, v), задавшись наперёд
какой-нибудь угловой метрикой D.4), то функция/ (х, u, v) должна удовле-
удовлетворять дифференциальному уравнению второго порядка (штрих означает
дифференцирование по х):
= аП _ 2Шо+у/ f D.5)

904 ГЕОМЕТРИЯ
где а, р, у —коэффициенты наперёд заданной метрики D.4). Если же эти
коэффициенты исключить из уравнения, то получается весьма сложное
уравнение пятого порядка, которое характеризует / для произвольное
геометрического семейства.
П; К. Рашевский предложил задавать гонометрическое семей-
семейство его дифференциальным уравнением k — <f(x, у, а), где к — кривизна
кривой, а а — угол наклона касательной к оси ОХ. В таком случае функция
<Р должна удовлетворять дифференциальному уравнению третьего порядка
^d| ? ) = 0, D.6)
где
Xcp^cosa^ + sina— -+АГ-37- D.7)
Впоследствии М. А. Джавадов в неопубликованной работе нашёл
нетривиальные примеры гонометрических семейств. В. И. К о с т и н [2\
рассмотрел гонометрические семейства, допускающие группу.
Иным образом проблема двойственности была поставлена П. К. Р а-
ш е в с к и м [23]. Назовём элементом точку х, у некоторого двухмер-
двухмерного пространства, снабжённую определённым исходящим из неё направле-
направлением z = -~. Элемент есть понятие нейтральное по отношению к точкам,
с одной стороны, и прямым, с другой стороны, и его мы положим в основу
двойственной геометрии.
Бесконечно близкие элементы (х, у, z) и (х + dx, y-\-dy,z-\- dz) назы-
называются примыкающими, если
dy-zdz = O. D.8)
Кривой называется однопараметрическое семейство элементов, вдоль
которого соблюдается условие D.8). В частности, пучок элементов, исхо-
исходящих из точки (х, у) образует кривую в этом смысле; и вообще коорди-
координаты элемента х, у, z выбираются с точностью до контактного преобра-
преобразования (допустимые системы координат).
Введём теперь два мероопределения —два рода длинна кривых, при
помощи фомул
ds1 = A1dx + B1dz, ds2 = A2dx+B2dz. D.9)
Здесь Д-, B{ — функции х, у, z.
Закон преобразования этих метрик при преобразовании координат
х, у, z таков, что dsj, и ds« остаются инвариантными. Одна метрика должна
представлять как бы аналогию с измерением длин, а другая —с измере-
измерением углов геодезического поворота касательной вдоль кривых на какой-
нибудь метрической поверхности. И, действительно, каждую поверхность
можно снабдить парой метрик вида D.9), которые будут играть именно
эту роль. Но это будет очень специальный случай биметрической системы,
как мы будем называть пару метрик D.9) общего вида.
После подходящего контактного преобразования координат х, у, г
можно добиться, чтобы Bj обратилось в нуль и первая метрика стала
просто финслеровой:
dSl = А (х, у, z) dx = Л (х, у, |Q dx D.10)
Г так как вдоль любой кривой z = -rO •

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 905
Аналогично можно поступить и с ds2, однако одновременное для ds1
nds2 приведение к финслерову виду невыполнимо, так что биметрическая
система к паре финслеровых метрик не сводится. Для финслеровой метрики
D.10) вполне определённым образом строится, как известно, её угловая
метрика, которую мы обозначим через dby и которую можно после неко-
некоторого естественного её продолжения на любую пару примыкающих эле-
элементов представить в форме, аналогичной D.9).
db1 = C1dx + D1dz, dO^C^dx + D^dz. D.11)
Здесь ddt — аналогичная угловая метрика для ds2; x, у, z — любая до-
допустимая система координат.
П. К. Рашевским разработан аппарат для изучения биметриче-
ских систем и рассмотрены их частные случаи, особенно случай так назы-
называемой двойственной системы, где в максимальной степени соблюдается
принцип двойственности, — насколько это возможно без возвращения
к тривиальным случаям (плоскости эллиптическая и гиперболическая).
А именно, принцип двойственности состоит здесь в максимальном сбли-
сближении угловой метрики dbx для ds± с метрикой ds2 и, взаимно, угловой
метрики d&2 для ds2 с метрикой ds±.
Простое совпадение
dbt^dst, dO2 = dsx D.12)
вернуло бы нас к тривиальному случаю эллиптической плоскости; мы
потребуем лишь конформного соответствия:
db^yKlds,, rfe.-j/Xds,, D.13}
где Ki, Кг — функции элемента. Этим и определяются двойственные
системы. Существенно, что биметрическая система, связанная, как
было выше указано, с произвольной метрической поверхностью, всегда
будет двойственной системой (именно, частным случаем при К2 = 1 )•
В этом смысле на произвольной метрической поверхности имеет место
принцип двойственности в ослабленной форме D.13).
В дальнейшем аппарат биметрических систем применялся для раз-
разработки конкретных геометрических вопросов. М. А. Джавадов [1J
изучил так называемые гонометрические системы, однозначно связанные
с любым семейством оог кривых на метрической поверхности, и показал,
что любую финслерову метрику можно реализовать в виде угловой метри-
метрики D.3). М. Г. Фрейдина рассмотрела двойственные системы, допу-
допускающие однопараметрическую группу движений. Б. В. Лесовой постро-
построил измерение площадей в семействе ос2 кривых (специального вида) на
метрической поверхности и перенёс в эту теорию теоремы Крофтона для
прямых на плоскости. Е. А. Скундин рассмотрел биметрические
системы, связанные с семействами ортогональных реперов в трёхмерном
пространстве.
2. Финслеровы пространства и их обобщения. В этом направлении
большой цикл работ принадлежит В. В. Вагнеру. Прежде всего
им [3] замечено, что двухмерное финслерово пространство х1, х2 с куби-
кубической метрикой
ds =}/ а. Зт (х1, х2) tfx" dx» dx* D.14)

906 ГЕОМЕТРИЯ
может быть снабжено афинной связностью, причём объект связности Г*,-
обладает кручением (Г^ Ф vfy, но имеет тензор кривизны, равный нулю.
В. В. Вагнер получил необходимые и достаточные признаки про-
пространств этого рода 1) плоских, т. е. с постоянными аа?г в специальных
координатах, 2) конформно отобразимых на плоские.
Впоследствии В. В. В а г н е р [8, 11] сильно обобщил метрику
D.14), рассмотрев вообще такие финслеровы пространства, которые допу-
допускают связность с коэффициентами Г*-, зависящими только от точки.
(Дело в том, что Г*-, по общей теории Бервальда, строятся для любого
финслерова пространства, но, вообще говоря, зависят не только от точки,
но и от выбора направления в ней.)
Далее В. В. Вагнеру принадлежит идея следующей трактовки
геометрии Финслера. Известно, что вместо задания метрики Финслера
посредством функции L (х, dx) (см. D.2)) можно задаться в локальном про-
пространстве векторов с" в данной точке ха гиперповерхностью, определяемой
концами единичных векторов ?а:
L(x,S) = l. D.15)
Известно также, что согласно Бервальду можно определить в про-
пространстве Финслера связность, отображающую локальные векторы
в точке ха в локальные векторы в точке ха + йхл по закону
dl*=-YUx,l)dx°, D.16)
где функции Г„ вполне определяются посредством метрики L, но зави-
зависят от S1, ...,$" уже нелинейным образом (хотя и являются одно-
однородными первого измерения). Связность сохраняет длины векторов
L (х, Z) и её геодезические совпадают с экстремальными кривыми
метрики.
В. В. Вагнер [20] предложил рассматривать эту связность как
соотвэтствие между индикатрисами D.15) в бесконечно близких точках
пространства ха, ха + dx". С этой точки зрения он изучил двухмерные про-
пространства Финслера с конечными группами голономии, перенеся на связ-
связность D.16) понятие о группе голономии, принадлежащее Картану.
Далее В. В. В а г н е р [23] рассмотрел с этой же точки зрения так назы-
называемые гомологические преобразования метрики Финслера, в аналитиче-
аналитической форме применяемые в методе Каратеодори в вариационном исчис-
исчислении. Суть дела сводится в понимании локальных пространств уже не как
центро-афинных, а как центро-проективных, в связи с чем координаты
локальных векторов Ъа допускают преобразования
D.17)
и индикатриса принимает новое-положение.
Развивая эту же идею связности как соответствия индикатрис,
В. В. Вагнер перешёл к геометризации так называемой задачи Ла-
гранжа в вариационном исчислении. Геометрически дело сводится к вы-
вырождению финслерова пространства в том смысле, что его индикатриса
будет не гиперповерхностью, а просто некоторой поверхностью в локаль-
локальном пространстве векторов %*. В трёхмерном случае, изученном В. В. В а г-

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 907
н е р о м [26, 27], индикатриса задачи Лагранжа есть кривая, заданная
в каждом локальном пространстве.
Наконец, понятие индикатрисы и её гомологического преобразования
было распространено В. В. Вагнером [29, 30, 31, 32] на геометри-
геометрическую теорию вариационной задачи для кратных интегралов, в том числе
и на задачу Лагранжа. Геометрически это означает в общем случае рас-
рассмотрение л-мерного пространства с m-мерной «ареальной метрикой»:
для каждой точки х" в каждом m-мерном подпространстве её п-мерного
локального векторного пространства ?" задаётся измерение т-мерных
объёмов. В случае задачи Лагранжа рассматриваются не все /л-мерные
подпространства, а в каждой точке фиксируется некоторое их семейство
от определённого числа параметров. Соответствующая геометрическая
теория весьма широко и детально разработана В. В. Вагнером,
но настолько сложна, что здесь мы не имеем возможности охарактеризо-
охарактеризовать её более подробно.
§ 5. НЕГОЛОНОМНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Первоначальная идея неголономной геометрии подсказана механикой.
Пусть д1, ..., ^ — обобщённые координаты механической системы. Связи,
имеющие вид уравнений
a[{q)dq*+...+ai(g)dg« = O (/= 1, 2, ..., р), E.1)
называются неголономными, если они не могут быть заменены конечными
связями, т. е. если пфаффова система E.1) не является вполне интегри-
интегрируемой. Сохраним в системе E.1) лишь линейно независимые уравнения.
Так как число их р, то в каждой точке пространства ql, ..., qn выделено
л— /?-мерное направление, образованное теми бесконечно малыми векто-
векторами (dgl, . ..,dqn), компоненты которых удовлетворяют системе E.1).
Траектории движения системы qa = да (t) могут проходить, лишь касаясь
в каждой своей точке соответствующего л — ^-мерного направления.
Поэтому мы будем интересоваться в каждой точке свойствами нашего
л-мерного пространства только в наперёд заданном л — /?-мерном напра-
направлении. В этом и состоит, в грубых чертах, основная идея неголономной
геометрии. Число л—р мы будем в дальнейшем обозначать через т.
1. Неголономная Геометрия в евклидовом пространстве /?„. Пусть
в каждой точке пространства Rn задано m-мерное направление, которое
можно представлять себе /л-мерной плоскостью Rm. Мы говорим в этом
случае, что в /?„ погружено неголономное многообразие Х%.
В каждой точке можно построить также л — m-мерное направление
Rn-m, ортогональное к Rm. Таким образом для Х%, погружённого в Rn,
автоматически возникает «оснащение» (см. ниже, п. 2). В касательных
к X™ плоскостях Rm автоматически возникает также метрика, заимство-
заимствованная из Rn, так что неголономное многообразие Хп превращается
в неголономное пространство V». Совершенно аналогично обстоит дело
и при погружении Х% в риманово пространство Vn.
А. М. Лопшиц [I] рассмотрел некоторые вопросы геометрии VZ
в Rn методами прямого геометрического исчисления. В каждой точке
строятся два афинора^ В и С, причём Вх означает проекцию вектора х
на плоскость Rm, а Сх — проекцию на плоскость Rn~m- Тогда афинор
неголономности (А. М. Лопшиц называет его афиноромголономности)

908 ГЕОМЕТРИЯ
может быть определён как кососимметрическая билинейная вектор-функ-
вектор-функция двух векторов, Мху.
Мху = С'Вх\ By- С By | Вх. E.2)
Здесь С'х\у означает" вектор-функцию от х, у такую, что если вме-
вместо у подставить dr, дифференциал радиуса-вектора точки, то получится
дифференциал dCx при соответствующем смещении (причём х пред-
предполагается постоянным);
C'x\dr — d [Cx), при условии dx = 0.
Обращение афинора М в нуль необходимо и достаточно для голономно-
сти Vn, т. е. для того, чтобы все Rm оказались касательными плоскостями
к некоторому семейству оо™-"» m-мерных поверхностей. В дальнейшем
этими же методами А. М. Л о п ш и ц решает задачу о таком минимальном,
расширении плоскостей Rm, чтобы V% (теперь уже с большим т) стало
голономным, а также изучает вопрос о сужении Rm таком, чтобы V"
стало голономным (особенно для случая, когда т уменьшается на I).
В. В. В а г н е р [10] провёл ряд исследований специально для случая
V\ в R3, также пользуясь прямыми методами; V\ задаётся полем нормаль-
нормального единичного вектора л (представляющего в данном случае Rn~m; n = 3,
т = 2); касательные к V\ плоскости ортогональны к п. Параллельное
перенесение касательных к V\ векторов в касательном же направления
определяется, как обычно, параллельным перенесением в R3 с последую-
последующим проектированием на касательную плоскость R2 в бесконечно близкой
точке. В.В.Вагнер остроумным приёмом строит дополнительно пере-
перенесение касательных векторов и в нормальном направлении п; это пере-
перенесение равносильно перенесению по бесконечно малому контуру, иду-
идущему всё время касательно к V\ и возвращающему исходную точку
на прежнюю нормаль п, но в сдвинутом положении. В результате парал-
параллельное перенесение становится возможным по любому пути. Далее
В. В. Вагнер получает аналог теоремы Гаусса-Бонне: угол поворота
вектора, параллельно обнесённого по замкнутому контуру, равен потоку
вектора кривизны через любую поверхность, ограниченную этим контуром.
Вектор кривизны определён в каждой точке Rs формулой
1= _rot (J^_ .n + /Ji-f^n)divn + f ё-У п. E.3)
\nrotn J \dr J \drS
Здесь --- —афинор, преобразующий dr в dn, а /2 —его второй инг.а-
риант (сумма диагональных миноров второго порядка); г — радиус-вектор
произвольной точки, п — соответствующая единичная нормаль к V,2-
Вектор к всегда касателен к VI. Его обращение в нуль означает
наличие абсолютного параллелизма в V\ (В. В. Вагнер [9]). Далее
В. В. Вагнером [15] рассматривалось V\ в R3 в связи с теорией
конгруэнции кругов.
2. Общая теория неголономных пространств. В работе В. В. Вагне-
Вагнера [11], удостоенной в 1937 г. премии им. Н. И. Лобачевского, была создана
теория кривизны неголономных пространств. Пусть в аналитическом.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 909
п-мерном пространстве задано поле m-мерных направлений; полученное
неголономное многообразие обозначаем Х%. Мы называем Хп' оснащением,
«ели одновременно задаётся поле п — m-мерных направлений Х?-т (не име-
имеющих общих направлений сХ„). Условно направления Х%~т можно назы-
называть нормальными к Хп. В каждом касательном к Х« /п-мерном векторном
пространстве введём евклидову метрику; в этом случае X™ обозначаем через
Vn. Тогда естественно определяется введённое Схоутеном параллельное
перенесение касательных к Vn векторов в касательных же направлениях.
Однако соответствующий этому перенесению тензор кривизны Схоутена
недостаточно глубоко затрагивает свойства неголономного пространства;
его обращение в нуль ещё не гарантирует независимости параллельного
перенесения от пути.
.В. В. В а г н е р поступает следующим образом. Он расширяет каса-
касательные Vn направления, присоединяя к ним направления всех тех
бесконечно малых смещений, которые можно осуществить, грубо говоря,
в результате бесконечно малых «почти замкнутых» путей по V?\ Фор-
Формально же речь идёт о присоединении всех скобок Пуассона к векторным
полям, касательным к V%. В расширенном V™, которое обозначается
V+i) инвариантно вводится метрика и параллельное перенесение; затем
снова расширяется аналогичным приёмом до у™4тх4гПг и т. д.,
пока после s-ro шага У™1+ГП2+'' '+ms не заполнит всего пространства;
m1 + mi + ...+ms = n (это обязательно произойдёт в случае вполне него-
неголономного пространства). Полученная теперь риманова метрика во всём
Хп позволяет ввести в Хп обычную связность, на основе которой строится
тензор кривизны Вагнера для исходного V™. Его обращение в нуль озна-
означает абсолютный параллелизм в V™-
Нужно заметить, что для осуществления всего построения необходимо
предположить сильное оснащение V™, т. е. оснащение не только его
самого, но и всех его последовательных расширений. Намеченная здесь
теория развита В. В. Вагнером весьма детально с исследованием
большого^ числа частных вопросов. Специальная работа, также весьма
богатая содержанием, посвящена случаю V" (т — п—1), когда общая
теория значительно упрощается. Наряду с К", рассматриваются Л^,
т. е. неголономные многообразия, в которых взамен метрики непосред-
непосредственно задаётся параллельное перенесение.
Наконец, В. В. Вагнер [16] применил методы неголономной
геометрии к решению конкретных задач неголономной механики в изящ-
изящной геометрической форме.
3. Нелинейные неголономные пространства. К понятию нелинейного
неголономного многообразия в финслеровом пространстве приводит гео-
геометризация задачи Лагранжа в вариационном исчислении: найти экстре-
экстремали криволинейного интеграла \ L (х1,..., xn; dx1,..., dxn) при усло-
условии, что допустимыми являются лишь интегральные кривые системы
уравнений
р/(х\...,х"; rfxS...,rfxn) = 0 (р=1,2,...,л-/п). E.4)
Все функции L и р/— однородные первой степени относительно
dx1,.. ,,dxn. Тогда можно считать, что L определяет в пространстве

910 ГЕОМЕТРИЯ
финслерову метрику, которая рассматривается нами, однако, лишь
для элементов, принадлежащих m-мерному конусу*) допустимых напра-
направлений E. 4), заданному в каждой точке пространства. Такого рода про-
пространство подробно изучено В. В. Вагнером [6]; между прочим,
в этом случае кривые стационарной длины (т. е. экстремали задачи
Лагранжа) не совпадают с геодезическими линиями как «прямейшими*
в смысле конструируемого в пространстве параллельного перенесения.
Некоторую конкретизацию этой сложной теории представляет деталь-
детально исследованный В. В. Вагнером [12] частный случай, когда
п-мерное пространство Финслера заменяется трёхмерным евклидовым,
в каждой точке которого задана коническая поверхность.
В дальнейшем В. В. В а г н е р [22] разработал весьма сложную тео-
теорию еще" более общего пространства, в котором, взамен метрики Фин-
Финслера, конус допустимых направлений снабжён оснащением: каждой
образующей его сопоставлено определённое п—/п-мерное направление.
Кроме того, в пространстве предполагается заданным параллельное
перенесение весьма сложной конструкции.
В общем итоге: после большой работы, проведённой в теории него-
лономных пространств В. В. В а г н е р о м, вряд ли есть необходимость-
в дальнейшем развитии общих схем; но нужна большая работа по испы-
испытанию различных моментов теории, так сказать, на их жизнеспособность
и по заполнению конкретным содержанием тех её отделов, которые спо-
способны служить для этой цели. Сам В. В. Вагнер дал также ряд.
совершенно конкретных результатов, однако до исчерпания намечен-
намеченной задачи ещё очень далеко.
§ 6. ТЕОРИЯ СЕМЕЙСТВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ.
При изучении какого-нибудь геометрического образа (кривая,
поверхность и т. д.) обычно представляют его себе составленным из точек
того пространства, в котором он помещён. Однако в принципе вовсе
не обязательно принимать за основной геометрический образ именно
точку. С таким же успехом можно использовать, например, прямые линии,
плоскости, сферы и т. д., если, конечно, эти понятия имеют смысл в рас-
рассматриваемом пространстве.
Будем считать, что рассматриваемое пространство есть пространство-
Клейна, т. е. рассматриваемая геометрия есть геометрия инвариантов
некоторой наперёд заданной группы преобразований пространства в себя
(обычно эта группа—конечная группа Ли).
Фиксируем в пространстве какую-нибудь точку О и сопоставим ей
подгруппу преобразований, сохраняющих О неподвижной, —стацио-
—стационарную подгруппу, а каждой другой точке М сопоставим совокупность
преобразований, переводящих О в М,—класс смежности по стационар-
стационарной подгруппе (группу преобразований для простоты предположим тран-
транзитивной). Выбор точек в качестве основных образов равносилен, таки»
образом, расслоению группы преобразований на классы смежности по
определённой подгруппе. Но это же расслоение можно провести и п<>
отношению к другой подгруппе, например, расслоить группу движений
в евклидовом пространстве на классы смежности по подгруппе, перево-
*) В смысле конической поверхности.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 911
дящей в себя фиксированную прямую. Это будет означать, что за основ-
основной геометрический образ принята не точка, а прямая. Итак, переход
к другим основным геометрическим образам взамен точки является не
случайной прихотью, а естественно вытекает из возможностей, предо-
предоставляемых теоретико-групповой точкой зрения. Чтобы ясно ощутить
одинаковую законность выбора любой подгруппы как стационарной,
нужно, однако, отвлечься от понимания заданной группы как группы
преобразований в некотором пространстве, а рассматривать группу
первоначально в её собственном пространстве (параметрическую группу).
Если за основной образ принята прямая линия в евклидовом про-
пространстве, то в качестве других геометрических образов следует рас-
рассматривать семейства (многообразия) прямых и аналогично в других
случаях. В этом смысле и нужно понимать заголовок этого парагра-
параграфа. Вышеприведённые рассуждения поясняют принципиальную сторону
дела, но это не значит, что фактическая методика исследований была
именно такой.
Наиболее разработанной теорией указанного рода является теория
конгруэнции в трёхмерном евклидовом пространстве, т. е. теория семейств
прямых от двух параметров а1, и*. Параметры и1, а* для прямых кон-
конгруэнции выбираются совершенно произвольно, так что их можно
подвергать произвольному обратимому функциональному преобразо-
преобразованию
Возникает вопрос, какими тензорными величинами в многообразии
и1, и* можно охарактеризовать конгруэнцию с точностью до движения
в пространстве? По существу эта задача была решена ещё теорией Санниа.
Я.С.Дубнов [12] дал оригинальное построение этой теории
в последовательной инвариантно-тензорной форме, рассмотрел с этой
точки зрения ряд частных случаев, а также распространил теорию и на
комплексы (семейства прямых от трёх параметров). В изложении с удоб-
удобством использован развитый Я. С. Д у б н о в ы м [2, 11 ] метод тензоров
с векторными (и вообще нескалярными) компонентами.
П. К. Р а ш е в с к и м [9] было замечено, что с некоторой моди-
модификацией метод Я. С. Дубнова может быть перенесён в п-мерное
евклидово пространство. В результате была построена тензорная теория
конгруэнции, т. е. семейств прямых от л—1 параметров в п-мерном
евклидовом пространстве. Точнее, было показано, что три тензора вида
аи, В{, Ьц в многообразии и1, аг, при условии соблюдения определённых
дифференциальных соотношений между ними, характеризуют конгру-
конгруэнцию с точностью до движения.
Дальнейшее широкое обобщение теории принадлежит В. В. В а г-
не ру [18], который рассмотрел в n-мерном евклидовом пространстве
Rn семейство ориентированных Ar-мерных плоскостей, зависящее от
т параметров. При этом предполагается, что п>2к, т<п — к. В случае
т — п—к плоскости семейства, вообще говоря, однократно покрывают
пространство (область пространства); в этом случае семейство называется
конгруэнцией.
В. В. Вагнер вводит определённые геометрические объекты —
тензоры и коэффициенты инвариантной связности, которые характе-
характеризуют семейство сначала совместно с произвольной направляющей
поверхностью; затем эта поверхность связывается инвариантно с семей-

912 ГЕОМЕТРИЯ
ством, представляя собой обобщение средней поверхности конгруэнции.
Одновременно рассматривается ряд частных вопросов.
Перенося все Rk нашего семейства параллельно в фиксированную точ-
точку О и пересекая их с гиперсферой с центром в О, мы получаем анало-
аналогичную теорию для семейства плоскостей Sk^ в эллиптическом простран-
пространстве Sn^, которое получится в результате отождествления диаметрально
противоположных точек гиперсферы.
В. В. Вагнеру [15] принадлежит также исследование по теории
конгруэнции кругов в R,, устанавливающее связь этой теории с него-
лономной геометрией.
Наконец, большой цикл работ по теории семейств геометрических
образов принадлежит Б. А. Розенфельду, который сделал по-
попытку построить основы этой теории в' возможно более общем виде.
Здесь мы дадим понятие о некоторых основных идеях его работ. Рас-
Рассмотрим многообразие всех /с-мерных плоскостей в п-мерном пространстве
или эллиптическом Sn, или евклидовом /?„, или гиперболическом S'n
(а также и в так называемом унитарном пространстве постоянной кри-
кривизны Un). Согласно сказанному в начале этого параграфа, дело сводится
к расслоению группы движений в соответствующем пространстве на
классы смежности по стационарной подгруппе, т. е. подгруппе, сохра-
сохраняющей фиксированную А-мерную плоскость. При зеркально-сим-
зеркально-симметрическом отображении пространства на себя—относительно этой
фиксированной Ar-мерной плоскости — каждое соответствие между точ-
точками пространства переходит в некоторое новое соответствие (так как
соответствующие точки —после зеркального отображения обеих—займут
новые положения). В частности, каждое движение в пространстве пре-
преобразуется в новое движение. В результате группа движений изоморфно
отображается на себя, причём, если движение g переходит в g', то g'
переходит в g—мы получаем так называемый инволютивный изоморфизм.
При этом инволютивном изоморфизме движения нашей стационарной
подгруппы остаются инвариантными. Как показано Картаном, при нали-
наличии такого инволютивного изоморфизма в множестве классов смежности
по подгруппе можно ввести риманову метрику или по крайней мере
афинную связность и при этом симметрическую в смысле Картана
(см. § 1). Действительно, в пространстве группы движений возникает,
согласно Картану, симметрическая метрика или, по крайней мере,
связность. А множество классов смежности отображается на вполне
геодезическую поверхность в пространстве группы движений, в ре-
результате чего на этом множестве, а тем самым и в многообразии
Ar-мерных плоскостей индуцируется симметрическая метрика или по край-
крайней мере связность. Эту геометрию, существование которой можно, таким
образом, утверждать на основе общих результатов Картана, Б. А. Р о зе н-
фельд [2] фактически реализует и изучает.
В случае, например, эллиптического пространства квадрат линей-
линейного элемента для бесконечно близких /с-мерных плоскостей представляет
собой сумму квадратов /с +I стационарных расстояний между ними по
общим перпендикулярам (результат, отмеченный также в работе
В. В. Вагнера [18]).
Б. А. Р о з е н ф е л ь д. [I, 2, 7] исследует связь между геометрией
в многообразии /с-мерных плоскостей как геометрией самостоятельного
пространства с римановой метрикой или афинной связностью и непо-
непосредственной геометрией этих плоскостей во вмещающем их пространстве.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 913
Так, геодезические линии в многообразии Ar-мерных плоскостей пред-
представляют собой геликоидообразные семейства таких плоскостей от одного
параметра. Например, в эллиптическом пространстве эти семейства имеют
такой вид: подвижная Л-мерная плоскость сечёт ортогонально к + 1
попарно полярных неподвижных прямых, причём точки сечения пере-
перемещаются по этим прямым с постоянными скоростями. Устанавливает-
Устанавливается связь между параметрами такого геликоида и координатами век-
вектора, указывающего направление геодезической в многообразии пло-
плоскостей.
Развивая далее эти построения, Б. А. Р о з е н ф е л ь д [7] вво-
вводит для семейств /с-мерных плоскостей от т параметров, т. е. на /п-мерных
поверхностях в многообразии /с-мерных плоскостей, определённые тен-
тензорные величины. До конца исследование доводится в случае конгруэн-
конгруэнции, т. е. в случае т=п — к. Тогда получается система тензоров с опре-
определёнными дифференциальными соотношениями между ними, необхо-
необходимыми и достаточными для задания семейства с точностью до движений
во вмещающем пространстве. По результатам работа Б. А. Розен-
ф е л ь д а детализирует и углубляет вышеупомянутое исследование
В. В. В а г н е р а, но по методу от него не зависит.
Аналогичным образом Б. А. Розенфельдом была развита
геометрия многообразия ^-мерных сфер в п-мерном конформном про-
пространстве.
В процессе совместной работы П. К. Рашевского и М. А. Джа-
в а д о в а над конкретными типами расслоённых пространств (см. § I)
было замечено, что проективное п-мериое пространство Gn можно метри-
зовать следующим образом. Пусть х°, х\ ..., хп—однородные, как-нибудь
нормированные координаты точки, а и0, и,,..., «„—как-нибудь норми-
нормированные коэффициенты уравнения гиперплоскости. Рассмотрим 2п-мер-
ное пространство пар: произвольная точка х и произвольная гипер-
гиперплоскость и. Если расслоить это пространство на п-мерные поверхности
двух типов:
1) и закреплена, х описывает всё пространЬтво,
2) х закреплено, и описывает все гиперплоскости, то скалярная
функция
U = In (x°u0 + хХ +... + хпи„)
порождает в пространстве пар проективно-инвариантную псевдорима-
нову метрику (см. A.21)). Аналогичное построение справедливо и для
пар вида: произвольная /п-мерная плоскость и произвольная (п- т — 1)-
мерная плоскость. Оказалось, что метрика, возникающая в многообра-
многообразиях плоскостей метрических пространств и в многообразиях сфер в кон-
конформных пространствах, изученная Б. А. Розенфельдом, может
быть естественно сведена к геометрии пар в проективном пространстве.
В связи с этим Б. А. Розенфельдом была разработана гео-
геометрия пар в проективном пространстве, но в ином, не дифференциально-
геометрическом направлении, а в стиле его остальных работ, когда всё
исследуемое пространство в целом получает конечное представление сред-
средствами синтетической и элементарно-аналитической многомерной гео-
геометрии. В частности, геометрия пар: точка + гиперплоскость в п-мерном
проективном пространстве, получила реализацию как геометрия связки.
параллелей Клиффорда в псевдоэллиптическом пространстве 2п+1
58 Матембтика в СССР за 30 лет

914 ГЕОМЕТРИЯ
измерений*); постоянное расстояние .между двумя параллелями совпа-
совпадает с расстоянием в метризованном пространстве пар.
Ещё до этих общих построений и независимо от них Б. А. Розен-
ф е л ь д изучил частный случай—геометрию пар прямых в трёхмерном
проективном пространстве. Каждая такая пара может быть изображена
одной прямой, но уже в пятимерном псевдоэллиптическом пространстве.
Однородными координатами этого пространства служат величины
ри = рн (г, / = 1, 2, 3, 4), определяющие в трёхмерном проективном про-
пространстве линейный комплекс, а абсолютом — поверхность второго порядка
с уравнением
п Рг1 = 0.
Точки абсолюта отвечают, таким образом, прямым трёхмерного
проективного пространства (т. е. специальным линейным комплексам).
Пара точек абсолюта, т. е. прямая пятимерного пространства, изобра-
изображает пару прямых в трёхмерном пространстве. В связи с этим вопросы
трёхмерной проективной линейчатой геометрии, где речь идёт об образах,
составленных из пар прямых, успешно сводятся к вопросам пятимерной
метрической линейчатой геометрии. На этом пути был получен ряд инте-
интересных конкретных результатов в теории пар конгруэнции.
Отметим также работу И. М. Я г л о м а и А. М. Я г л о м а [1],
создавших аппарат для геометрии прямых линий в двухмерных про-
пространствах постоянной кривизны и изучивших в этой геометрии экви-
лонгальные преобразования (аналог конформных преобразований) и пре-
преобразования Лагерра (аналог преобразований Мёбиуса).
В общем итоге для семейств геометрических образов мы имеем в на-
настоящее время хотя и интересные, но вряд ли окончательные наброски
общей теории. Ещё далеко не ясно, насколько можно эту теорию продви-
продвигать в область более тонких построений, не теряя обозримости результа-
результатов, на каком методе следует в конце концов остановиться и какие част-
частные задачи заслуживают специального исследования.
§ 7. ТЕНЗОРНЫЙ АППАРАТ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ.
Тензорной дифференциальной геометрии естественно приходится
заниматься усовершенствованием и самого своего аппарата —тензорного
анализа и, в частности, тензорной алгебры.
1. Тензорная алгебра. Крупные достижения принадлежат здесь
Г. Б. Г у р е в и ч у [5, 7— 12]; важнейшим его результатом является
полная классификация тривекторов в восьмимерном пространстве (для
семимерного пространства классификация была дана Схоутеном).
Тривектором называется тензор вида WiJk, кососимметрический
по всем своим индексам. Через [abc] мы будем обозначать простой
тривектор u[tbjCk], т. е. результат альтернированного перемножения
векторов а, Ь, с.
Г. Б. Гуревич вводит для произвольного тривектора WiJk ари-
арифметические инварианты г, р„ р2, alt o2, о3. Здесь г—ранг тривектора,
*) Т.-е- hi гиперсфере в Bл+2)-мерном псевдоевклидовом пространстве в дан-
нам случае с п +1 -f- квадратами и п+l —квадратами в основной квадратичной
форме,.;

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 915
«од которым, как известно, можно понимать число линейно незави-
независимых среди векторов
Pi= wUk, G.1)
где векторы р,- получаются из W,y/, путём фиксирования индексов /, к
всеми возможными способами. Аналогично \>г — число линейно незави-
независимых среди векторов
Pi = Wi[ikWimn], G.2)
i'2 —среди векторов ....
WWlmnWkJV; G.3)
». б3 —соответственно среди векторов
Pi = Wllmn Wim Wablc Wmr WrV];b G.4)
Pi — W[lmn Wjm Wab[cWp(,r Wef\g\
В каждом случае рассматриваются все гекторы pt, получаемые из со-
соответствующего тензора.путём фиксирования всеми возможными спо-
способами всех индексов, исключая i. Оказывается, что эти шесть ариф-
арифметических инвариантов вполне характеризуют триЕектор в восьми-
восьмимерном пространстве с точностью до преобразования координат.
А именно, каждый такой тривектор может быть приведён к виду
т
W = a [ate] -\- ? [qrs] -r Y [aqp] + 3 [bsp] + г [crp] -f >^ [brt] + ^ [cst], G.5)
где a, b, c, p, q, r, s, / — линейно независимые векторы и каждый из
коэффициентов а, р, у, 2, г, >., р равен 0 или 1. В зависимости от зна-
значений этих коэффициентов получаются 23 типа тривекторов, которые
даны в нижеследующей таблице:-
I a = B = Y = s = ?=}- = tJL=I; (888; 888), /? = 48;
п o=p=Y=8=x=!i!=i; s==°; (888; 885)> я=45;
Ш a = j3 = Y = >. = }i=l; о = г = О; (888; 873), /? = 42;
IV B = Y=-S = e = >. = ^=l; a = O; (888; 852), А? = 39;
V Y = 3 = e = X = j*=l; a = p = O; (888; 822), R = 36;
VI p = Y = 8 = ). = j*=l; а = г = 0; (888; 741), /? = 36; G.6)
VII p = y = A = fi=l; о = г = г=.0; (888; 621), /? = 33;
VIII YJ=>- = Fl=l; a = p = 8 = ? = O; (888; 411), /? = 30;
ix a=?=Y=8^e=fi=1; }-=°; (887= 52°)' ^=зо;
X a«=p = Y = 8 = {i-iI; з = Х = О; (886; 410), tf = 27;
XI a = p = Y«=!*=l; S = s = X = O; (&в4;400), /? = 24;
XII p = Y = s = e= t* = l; a = ^ = 0; (874; 200), /? = 21;
XIII y = 3 = « = h=1; a = p = X = O; (863; 100), /?=18.
Остальные 10 типов отвечают рангу г = 7, т. е. мы спускаемся по существу
в семимерное пространство. '
В процессе этого исследования Г. Б. Гуревичу пришлось пре-
преодолеть большие трудности и создать сложную сеть алгебраических кон-
58*

916 ГЕОМЕТРИЯ
струкций; многие из этих попутных результатов имеют значение само-
самостоятельных теорем (например, новые признаки простоты поливектора).
Далее Г. Б. Гуревич дал систему арифметических инвариантов
(хотя и не претендующую на исчерпывающий характер) для произволь-
произвольной матричной алгебры Ли.
Будем понимать под нуль-алгеброй матричную алгебру Ли, у всех
матриц которой все характеристические числа равны нулю. Нуль-алгебре
соответствует цепь вложенных одно в другое линейных подпространств
причём Erh характеризуется тем, что все его векторы аннулируются Аг-й
степенью любой матрицы из данной нуль-алгебры. Числа измерений
rltrz, ,rh представляют собой арифметические инварианты данной
нуль-алгебры. Нуль-алгебра называется полной, если она содержит все
матрицы, переводящие векторы каждого ЕГк в векторы EFk-i (под ЕГо
понимаем вектор-нуль). Полная нуль-алгебра вполне характеризуется
своими инвариантами г1} г2, ..., rh.
Г. Б. Г у р е в и ч [17] даёт регулярный процесс, позволяющий
соотнести каждой линейной системе матриц, в частности каждой ма-
матричной алгебре Ли, некоторую полную нуль-алгебру г, а следовательно,
и её инварианты. Полученные результаты были применены Г. Б. Гуре-
Гуревич ем [18] для исследования так называемых полных линейных
систем бивекторов, для которых дана исчерпывающая классификация.
Г. Б. Гуревич [16] выполнил также классификацию квадривек-
торов Wig i в пространстве не выше семи измерений путём сведения
её к классификации тривекторов.
Специально в двухмерном случае Г. Б. Гуревич [13, 14, 15]
дал геометризированный инвариант теории форм до четвёртого поряд-
порядка включительно с оригинальной методикой построения арифметиче-
арифметических инвариантов. При этом установлена интересная аналогия между
кубической формой в двухмерном пространстве и тривектором в шести-
шестимерном пространстве.
Ряд ценных работ по тензорной алгебре принадлежит также
Я. С. Дубнову [15]. Рассмотрим п-мерное афинное пространство.
Через Ф будем обозначать афаноры, т. е. операторы афинкого пре-
преобразования векторов _ _
г->Фг.
Объём параллелотопа, построенного на п линейно независимых
векторах 71, ..., г", обозначим г1 г2... гп. Через (Ф„ Ф„ ..., Ф„} обо-
обозначаем совместный инвариант п афиноров
*Ф Ф rh 1_Ф17[1ФГг'...Ф,"г"]
{ф»ф« Фп] 7^> '
Здесь [1,2 п] означает альтернацию (без деления), и инвариант
получается симметрическим относительно Ф1г Ф2 Ф„. В частности,
_ {Ф1г Ф2 Ф,., /,-..,/}, где / — единичный афинор, обозначаем
п-к
{ф„ф,....,ф*}.

ТЕНЗОРНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 917
Тогда для любых л афиноров имеет место обобщённое уравнение
Гамильтона-Кэли
ФAФ»---*»)-
-<Ф1}ФBФ3...Фп)-{Ф!1>ФAФз...Фп)- ... -<Ф„>ФAФ2...Фп_г) +
Aф2 ¦¦•ф„-2)-
, ..., Фп> = 0.
Если Фг = Ф2= ... =ФП = Ф, то это уравнение превращается в обычное,
В этой же работе (Я. С. Дубнов [15]) изучены свойства введённых
инвариантов.
В дальнейшем Я- С. Дубнов [17] применил эти результаты
к построению полной системы инвариантов двух афиноров Ф и Ч.;
в трёхмерном пространстве. В качестве такой системы могут быть
взяты «следы» (суммы диагональных элементов) следующих двенадца-
двенадцати афиноров:
Ф, Фг, Ф\ Ч\ W*, Ч?я, ФЧ>, Ф2'Г, Ф?'*, Ф2*Г2
Последние два инварианта служат корнями квадратного уравнения,
коэффициенты которого составлены из десяти предшествующих инвари-
инвариантов.
Укажем ещё на совместную работу Я. С. Д у б н о в а и В. К. И в а-
н о в а [1], где рассматривается вопрос о тождественном преобразовании
полинома относительно нескольких неопределённых афиноров к поли-
полиному низшей степени, и на работу В. А. Тартаковского [1]
о тензорах специального вида (называемых автором мулыпитензорсми).
В работе исследуется вопрос о существовании мультитензоров, у кото-
которых некоторые из компонент равны нулю в любой системе координат.
2. Тензорный анализ. Задача ковариантного интегрирования, т. е.
задача отыскания тензора в римановом пространстве по его косариаит-
ной производной, была изучена Я. С. Дубновым [14] для п=2, 3
и другим методом А. М. Лопшицем [1] для п=2.
Далее Б. Л. Л а п т е в [1 ] рассмотрел эту же задачу в финслеро-
вом пространстве, тоже 2 и 3 измерений.
Б. Л. Л а п т е в [2] изучил производную Ли от объектов, завися-
зависящих от точки и направления, в частности, от объектов в пространстве
Финслера (как и обычно, при составлении производной Ли подлежащие
дифференцированию величины получают приращения за счёт заданного
бесконечно малого преобразования пространства в себя). Полученные
результаты были применены к вариационному исчислению (Б. Л. Лап-
Лаптев [3]).
3. Теория геометрических объектов. Уже при построении обычного
тензорного анализа в римановом пространстве мы, строго геверя, не
можем обойтись лишь понятием о тензоре. Коэффициенты связности Г,*,
уже тензором не являются. Тем более это заметно в теории пространства
афинной связности, проективной связности и т. д.
С тридцатых годов возникает более широкое понятие дифференци-
дифференциально-геометрического объекта в данной точке как системы чисел
Ф17 Ф8, ..., Ф,,, заданных для каждой системы координат х1, —, хп

ГЕОМЕТРИЯ
по-своему и преобразующихся вслед за преобразованием координат
х1, ..., хп так, что Ф,, Ф2, .. . , Ф„ в новой системе координат выража-
выражаются вполне определёнными функциями от Фг, Ф2, ..., Ф„ в старой
системе координат и от частных производных старых х\ . • •, х" по но-
новым х\ • . • , х" до определённого порядка г;. Вид этих функций, конечно,
не может быть просто произволен—он должен удовлетворять групповым
законам.
В. В. Вагнером [25] была установлена интересная связь между
понятием геометрического объекта и теорией бесконечных групп Ли.
Оказалось, что всякую такую группу можно рассматривать как группу
всех преобразований пространства, отображающих некоторый объект
в себя.
П. К. Рашевским (в неопубликованной работе) показано, что
объекты, определяющие одну и ту же группу (вообще говоря, беско-
бесконечную), могут быть выражены один через другой; точнее, компоненты
одного объекта выражаются определёнными функциями от компонент
другого объекта и их производных по координатам. Вид функций не зави-
зависит от выбора системы координат.
Задача классификации геометрических объектов очень трудна и в ней
делаются лишь первые шаги. Представляет интерес в этом отнсшгиии
работа Ю. П е н з о в а [1 ], который нашёл все возможные геометриче-
геометрические объекты с одной компонентой.
Наконец, В. В. Вагнер [21, 24] даёт широкое обобщение обыч-
обычного тензорного анализа. Он рассматривает составное многообразие Х„.\ (т),
т. е. п-мерное пространство Хп, каждой точке которого сопоставлено
локальное /n-мерное пространство Хт(иг, ..., um). Между локальными
пространствами Хт в бесконечно близких точках (х1) и (x'-frfx') уста-
установлено произвольного вида соответствие—связность, линейная относи-
относительно dx' (В. В. В а г н е р рассматривает и более общую схему, но наи-
наиболее интересен этот частный случай):
rfu° + r? (u\ • • •, u"; x\ ..., х") rfxv = O.
Эта связность порождает в Хп ковариантное дифференцирование
в применении к полю- локального геометрического объекта (под послед-
последним понимается поле геометрического объекта определённого типа, задан-
заданное в каждом локальном Хт). На это ковариантное дифференцирование
переносятся с соответствующими видоизменениями некоторые основные
результаты из области тензорного анализа.

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ».
А. Д. АЛЕКСАНДРОВ.
§ 1. Проблема пространственных форм (920). § 2. Геодезические линии (922).
§ 3. Изгибание поверхностей (9.5). § 4. Проблема погружения (9^8). § 5. Вну-
Внутренняя геометрия поверхностей (930). § 6. Теор?мы типа Лиувилля (931).
§7. Теория выпуклых тел ^933). § 8. Заполнение пространства и решёгки (936).
§ 9. Основания геометрии (937). § 10. Отдельные работы (933).
еометрия «в целом» не представляет собой математической
теории с определённым предметом и методом исследова-
исследования, но объемлет круг вопросов, возникающих в разных
геометрических теориях и характеризующихся тем, что
в них геометрический образ изучается не в произвольно
малой его области, но весь в целом. Самое понятие гео-
геометрии «в целом» возникло из противопоставления гео-
геометрии «в малом», где геометрический образ исследуется
как раз в произвольно малой области, как это делается в классической
дифференциальной геометрии. Там, где постановки вопросов «в малом»
отсутствуют, обычно не говорят о геометрии «в целом», именно потому,
что все вопросы ставятся «в целом». Такое положение мы имеем в син-
синтетической и алгебраической геометрии; никто не интересуется здесь
свойствами сколь угодно малой части треугольника или алгебраической
поверхности; они с самого начала рассматриваются только «в целом».
Однако в наш обзор мы включаем не только дифференциальную гео-
геометрию «в целом», но также некоторые вопросы синтетической и тео-
теоретико-множественной геометрии, например, теорию многогранников и
теорию выпуклых тел.
Дифференциальная геометрия «в целом» как особая область задач
наметилась в конце прошлого столетия в работах Клейна и Киллинга
ло так называемой проблеме пространственных форм (см. § 1) и в работах
Минковского, Либмана, Адамара по теории поверхностей «в целом».
Далее ею занимались многие геометры, из которых достаточно назвать
Гильберта, Пуанкаре, Бляшке, Г. Вейля, Кон-Фоссена. Из дореволю-
дореволюционных русских робот по дифференциальной геометрии «в целом» нам
известна только работа С. Н. Бернштейна 1915 г. о поверхностях отри-
отрицательной кривизны *) (см. § 6).
*) С. Н. Еернштейн, Об одной геометрической теореме и её приложениях
К уравнениям в частных производных эллиптического типа. Успехи матем. наук, 8
A941), 758 (перевод с французского, см. Хрк., Зап. матем. т-за, 15: 1 A915), 38—45.

020 ГЕОМЕТРИЯ
Первыми работами по геометрии «в целом» советского периода
являются работы П. С. У р ы с о н а [1] и Т. Н. К о т о в а [1, 2, 3, 4, 5],
появившиеся в 1922—1924 гг. Далее в Москве геометрией «в целом»
занимались Л. Г. Шнирельман, Л. А. Люстерник и др.
Главное их внимание привлекали вопросы, касающиеся геодезических
линий'на замкнутых поверхностях, разрабатыЕаемые в плане приложе-
приложений общих топологических методов вариационного исчисления.
Если в Москве направление геометрии «в целом» развилось, главным
образом, на почве Московской топологической школы, то в Ленинграде
она имеет своим основным источником элементарно-геометрические
работы Б. Н. Делоне и О. К. Житомирского (см. § 8). Вскоре
внимание ленинградских геометров (А. Д. Александров,
О. К. Житомирский, И. М. Л и б е р м а н, С. П. Олрвя-
хищников) сосредоточилось на вопросах изгибания поверхностей
«в целом»,теории выпуклых тел и выпуклых поверхностей. Первые ленин-
ленинградские работы этого направления относятся к 1935 - 1936 гг.
В 1934 г. в Ленинград приехал С. Э. Ко н-Ф о с с е н; этот выдаю-
выдающийся геометр эмигрировал из Германии и стал советским гражданином.
За короткий период пребывания в Советском Союзе —он умер в 1936 г.—
им был сделан ряд значительных работ по проблеме пространственных
форм и по теории геодезических линий «в целом».
Война нанесла Ленинградской геометрической школе тяжёлый
удар: О. К. Житомирский умер в 1942 г., И. М. Л и б е рм а н
и С. П. Оловянишников погибли на фронте в 1941 г.
Геометрия «в целом» объемлет весьма разнообразные задачи и поль-
пользуется также разнообразными методами; поэтому мы не будем давать
общую характеристику её развития, а перейдём непосредственно к рас-
рассмотрению отдельных её проблем и тех результатов, которые были полу-
получены в них советскими. геометрами. Многие из них, как, например,
результаты С. Э. К о н-Ф оссена, Л. А. Люстерника
и С. П. Оловянишников а, принадлежат к лучшим геометриче-
геометрическим достижениям последнего времени.
§ 1. ПРОБЛЕМА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ.
В самом общем смысле проблема пространственных форм состоит
в вопросе о возможной топологической структуре многообразия, на кото-
котором может быть задана геометрия, подчинённая тем или иным условиям,
например, риманова геометрия с кривизной данного знака или геометрия
Клейна, заданная «в малом» локальной группой преобразований. Не-
Нетривиальность проблемы выясняется, например, из следующего" сообра-
соображения. Если линейный элемент
с аналитическими коэффициентами gtk задан в малой области аналитиче-
аналитического многообразия М, то в силу аналитического продолжения он
может быть распространён вдоль любого пути, до любой его точки.
Однако заранее ясно, что такое продолжение может оказаться неодно-
неоднозначным и будет зависеть от пути. Однозначное распространение на всё
многообразие возможно лишь при определённой топологической струк-

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 921
туре этого последнего. Те же соображения возникают при аналитическом
продолжении геометрии Клейна, заданной в малой области многообразия
посредством локальной группы Ли.
Если многообразие М не замкнуто, то на геометрию накладывается,
помимо условий «в малом», ещё условие «в целом», именно, требование
полноты. Для метрической геометрии оно формулируется следующим
образом: всякое ограниченное множество в многорбразии М должно быть
компактным. На замкнутом многообразии всякая геометрия тривиально
оказывается полной. В случае незамкнутого многообразия без условия
полноты нельзя ожидать определённых результатов (например, на вся-
всяком незамкнутом двухмерном многообразии можно задать метрику любой
постоянной кривизны).
Полные двухмерные многообразия постоянной кривизны были най-
найдены Клейном и Киллингом. Те же методы дают общие теоремы ь случае
многомерных многообразий с геометрией постоянной кривизны (и даже
с любой клейновской геометрией).
Из известной теоремы Гаусса-Боннэ вытекает, что риманову мет-
метрику с кривизной постоянного знака можно задать на замкнутом двух-
двухмерном многообразии тогда и только тогда, когда оно имеет эйлерову
характеристику того же знака.
В более недавнее время новые результаты по проблеме простран-
пространственных форм были получены X. Хопфом и Риновым.
С. Э. Ко н-Ф о с с е н [3] исследовал связь полной кривизны
двухмерного полного риманова многообразия с его топологической
структурой, а также с его метрическими свойствами в бесконечности
и с поведением его геодезических линий. Полная кривизна многообра-
многообразия М есть интеграл от гауссовой кривизны по площади, распростра-
распространённый на все М. Если М не замкнуто, то интеграл определяется
как обычный несобственный интеграл. В этом случае он может и не
существовать. С. Э. К о н -Ф о с с е н- доказал: если полное двухмерное
многообразие М имеет определенную полную кривизну со (М) и конечную
эйлерову характеристику х (Щ, то
ш(М)<2*х(М). A)
(В случае замкнутого многообразия М все условия выполнены сами
собой и, как следует из теоремы Гаусса-Боннэ, «в (М) = 2ity (M).) Осно-
Основываясь на этой оценке, С. Э. Ко н-Ф о с с е н получил теорему: пол-
полная риманова метрика положительной кривизны может быть задана
только на трёх двухмерных многообразиях: на плоскости, на сфере а на
проективной плоскости. В предположении конечности х (Щ это следует
сразу из оценки A); без этого предположения результат получается
посредством следующего рассуждения. Допустим, что М не есть ни одно
из многообразий, указанных в теореме. Тогда, как известно, М имеет
в качестве бесконечно-листной накрывающей евклидову плоскость Е.
В силу отображения накрытия метрика, данная в М, индуцирует
метрику в Е, которая также будет полной. Так как <» (М) > 0 и накры-
накрытие бесконечно-листное, то получается ю(?)=;оо вопреки оценке A).
Следовательно, М может быть лишь одним из трёх многообразий, ука-
указанных в теореме.
Оценку A) С. Э. Ко н-Ф о с с е н [3] получает посредством чрезвы-
чрезвычайно изящного геометрического рассуждения, которое, за недостатком

922 геометрия
места, мы .не можем здесь наметить.Тем же методом он получает некоторые
другие оценки для полной кривизны бесконечных областей полного мно-
многообразия, ограниченных конечным числом геодезических [7]. Наконец,
тем же методом он исследует характер «уходящих областей» (Fluchtgebiet)
многообразия*) [3].
В другой работе С. Э. Ко н-Ф о с с е н [2] исследует структуру
многомерного полного риманова многообразия положительной кривизны..
Он доказывает, что если полное рйманово многообразие М положительной
кривизны не замкнуто, то никакие дзе расходящиеся последовательности
точек в нём не могут быть разделены компактным множеством. >
Наглядно говоря, М имеет только один конец, уходящий в бесконечность.
Фундаментальная же группа многообразия М должна быть конечной,
независимо от того, замкнуто оно или нет. Так как из двухмерных мно-
многообразий этими свойствами обладают только сфера, проективная и евкли-
довская плоскости, то в этой общей теореме С. Э. Ко н-Ф о с с е н а
содержится уже указанный выше его результат для двухмерных мно-
многообразий. Как следствие своих выводов С. Э. К о н-Ф о с с е н при-
приводит важное замечание, что не на всяком более чем двухмерном много-
многообразии можно задать полную метрику постоянной кривизны. Примером
может служить произведение прямой на сферу. (Вместе с тем хорошо
известно, что на всяком двухмерном многообразии можно задать полную
метрику постоянной кривизны.)
§ 2. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ.
Исследование геодезических линий является одной из важных про-
проблем геометрии не только вследствие большого его самостоятельного
интереса, но ещё потому, что оно теснейшим образом связано с общими
задачами вариационного исчисления и динамики; в частности, инерциаль-
ное движение механической системы изображается движением точки по
геодезической в соответствующем римановом многообразии. Задачи, каса-
касающиеся геодезических линий «в целом», возникли, между прочим, именно
в связи с динамикой. В области геодезических «в целом» советским гео-
геометрам принадлежит ряд главнейших достижений последнего времени^
работа эта ведётся непрерывно, и есть все основания думать, что она
будет интенсивно продолжаться в дальнейшем.
Геодезические линии в римановом многообразии определяются
известными дифференциальными уравнениями, и характер их в малых,
областях многообразия полностью выясняется из классических теоре»
теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Совершенно новые
качественные задачи возникают при рассмотрении геодезических «в целом».
Сюда относится, например, вопрос о наименьшем числе замкнутых геоде^
зических на многообразии данной топологической структуры. Пуанкаре,
поставивший этот вопрос, высказал в 1908 г. гипотезу, что на всяком
двухмерном римановом многообразии, гомеоморфном сфере, есть по край*,
ней мере три замкнутые геодезические без кратных точек. В 1930 г..1
*) Уходящей областью называется область q в полном двухмерном.римашк
вом многообразии, допускающая такой гомеоморфизм на круг без центра, что всякая
последовательность точек, расходящаяся в q, отображается в последовательность^
сходящуюся к центру круга.

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 923
Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирельман [1] дали общий топо-
топологический метод оценки числа решений экстремальных задач «в целом»,
заключающий, в частности, общий метод оценки числа замкнутых гео-
геодезических на многообразиях. Этим путём ими была доказана гипотеза
Пуанкаре. Один тот факт, что доказательством этой гипотезы занимались
Пуанкаре, Биркгоф и другие геометры, показывает всю силу конкрет-
конкретного достижения Л. А. Люстерника и Л. Г. Шнирельман а,
не говоря уже о значении их общего метода, далеко выходящего за рамки
теории геодезических линий.
Л. А. Люстерник продолжал совершенствование топологи-
топологических методов вариационного исчисления и получил на этом пути новые
результаты о геодезических. Так, он доказал, что на п-мерном римано-
вом многообразии, гомеоморфиом п-мерной сфере, есть не менее чем п — 1
замкнутых геодезических (Л. А. Л ю с т е р н и к [3]). Он дал также [6]
новое доказательство и уточнение теоремы Морса о том, что на много-
многообразии, гомеоморфном сфере, всякие дзе точки соединимы бесконечным
чахлом геодезических.
Отметим ещё два результата, касающихся геодезических на замкну-
замкнутой поверхности F положительной кривизны:
]. Если на F кривизна всюду < К, то всякая геодезическая на F
является кратчайшей на любом отрезке с длиной < -^-=. (А. В. П о г о-
V
релов [1]. Эта теорема усиливает классический результат Боннэ, где
речь идёт об отрезке геодезической, кратчайшем в сравнении с доста-
достаточно близкими к нему линиями. В теореме А. В. Погорелова
последнее требование снимается.)
2. Для всякой F существует такое число I, что отрезок геодезической
длины > I имеет кратные точки. (И. М. Л и б е р м а н [3]. Здесь суще-
существенно, что кривизна на F всюду > 0.)
Геодезические линии на «римановой плоскости», т. е. на полном
римановом многообразии, гомеоморфном плоскости, весьма полно иссле-
исследовал С. Э. Ко и-Ф о с с е и [7], пользуясь, по существу, синтетическим
методом. Он исходил, в частности, из своих оценок для полной кривизны
бесконечных областей такого многообразия и установил тесную связь
кривизны многообразия с поведением его полных геодезических, т. е.
геодезических, бесконечно продолженных в обе стороны. Приведём при-
примеры результатов, полученных С. Э. К о н-Ф о с с е н о м; всюду речь
идёт о полных геодезических на римановой плоскости R:
1. Если полная геодезическая L на R ограничивает область G, гбмео-
морфную полуплоскости, то полная кривизна области G
ш (G)
Если же L — «прямая», т. е. кратчайшая на всяком отрезке, то
u>(G)<0.
2. Если на R кривизна К > 0, то всякая полная геодезическая без
кратных точек делит R на две области, гомеоморфные полуплоскости.
Из 1 и 2 следует, что если на R К з* 0, то на R нет «прямых», кроме
того случая, когда К = О всюду.
3. Если на R кривизна К > 0, то через каждую точку на R прохЬ-
дЧт полная геодезическая без самопересечений.

924 ГЕОМЕТРИЯ
4. Если на R кривизна К > 0 и полная геодезическая L имеет крат-
кратные точки, то она образует единственный одноуголъник Е, т. е. замкну-
замкнутую кривую без кратных точек и с одной угловой точкой, a L — E состоит
из двух лучей, не имеющих кратных точек.
5. Пусть полная кривизна ш (R) > 2я— ? , где п — целое > 0. Пусть
О—любая односвязная ограниченная область на R. Тогда на R есть такая
ограниченная область Н ZD G, что для всякой точки А б R—Н существует
в R — G кратчайший путь с началом и концом в А, обходящий О п раз.
(Т. е. путь, гомотопный замкнутой кривой, охватывающей G и проходи-
проходимой п раз.)
С. Э. Ко н-Ф о с с е н доказал эту теорему для л = 1; для любого л
, она доказана СП. Оловя.иишниковым в 1941 г. *).
Мы не будем приводить других результатов С. Э. К о н-Ф о с с е н а;
все они в совокупности дают очень полное представление о структуре
всего семейства полных геодезических на римановой плоскости положи-
положительной кривизны.
Новую область представляет исследование геодезических на поверх-
поверхностях, не подчиняющихся обычным для дифференциальной геометрии
требованиям регулярности. В этом случае геодезическую следует опре-
определять как кривую, кратчайшую на всяком достаточно малом участке.
Вследствие нерегулярности поверхности, она может не допускать зада-
задания дифференциальными уравнениями и для её исследования нужны
особые методы.
Впервые геодезические на любых выпуклых поверхностях рассматри-
рассматривали Буземан и Феллер в 1935 г. Они доказали, что если в точке А
такая поверхность имеет касательную плоскость, то проекция на эту
плоскость всякой геодезической, проходящей через А, имеет кривизну,
равную нулю
В 1940 г. И. М. Л и б е р м а н [2], основываясь на простом нагляд-
наглядном построении, получил ряд теорем о геодезических на произвольных
выпуклых поверхностях в пространстве любого числа измерений. Теоремы
И. М. Либермана, и тем более его метод, дают весьма полную
информацию об основных свойствах геодезических как кривых в про-
пространстве.
Пусть F—замкнутая выпуклая поверхность и L—геодезическая на F.
Возьмём внутри тела Я, ограниченного поверхностью F, точку О и про-
проведём из неё лучи во все точки L. Получим конус К; пусть К,—часть
будет выпуклой, обращенной выпуклостью в сторону К[-
Сила этой леммы состоит в том, что она устанавливает простую связь
геодезических с плоскими выпуклыми кривыми и тем самым во многом
сводит их изучение к изучению последних. Благодаря ей И. М. Л и б е р-
м а н в короткой заметке с лёгкостью получает ряд общих и далеко не
тривиальных результатов. Вот самые первые из них: пусть х (s)— вектор,
конец которого зачерчивает геодезическую L, где s — длина дуги этой гео-
*) Эга работа С. П. О л о в я н и ш н и к о в а была доложена им весной 1941 г.
на геометрическом семинаре Ленинградского университета, но остала:ь неопублико-
неопубликованной.

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 925
дезаческой. В каждой точке на L существуют правая и левая производные
Хг, х{\ |Xr| = |x'i| = l. Всюду, кроме счётного множества точек, х'г — х[.
(Правая и левая производные определяют правую и левую касательные;
там, где они совпадают, есть обычная касательная.) x'r(s), x\ (s) суть
функции ограниченной вариации и почти везде существует х", т. е. почти
везде геодезическая имеет кривизну и определённую главную нормаль.
Далее устанавливаются теоремы, касающиеся сходимости касатель-
касательных к геодезическим на сходящихся поверхностях, теоремы, содержащие,
в частности, приведённый выше результат Буземана и Феллера, и т. д.
§ 3. ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Различают три вида изгибания: 1) изометрическое отображение
одной поверхности на другую (длины кривых на одной поверхности равны
длинам соответствующих кривых на другой); 2) непрерывное изгибание,
при котором поверхность F погружается в непрерывное семейство изо-
метричных ей поверхностей; 3) бесконечно малое изгибание, при котором
поверхность F деформируется в зависимости от параметра t так, что
производные от длин кривых на ней в начальный момент равны нулю.
Изгибание называется тривиальным, если оно сводится к движению или
движению и отражению. В случае бесконечно малого изгибания речь
идёт о бесконечно малом движении. Если поверхность допускает только,
тривиальное бесконечно малое изгибание, то она называется жесткой.
При сохранении регулярности поверхности изгибание есть деформа-
деформация с сохранением линейного элемента ds*. Это приводит к дифферен-
дифференциальным уравнениям, которым должны удовлетворять координаты
точек изогнутой поверхности; в случае бесконечно малого изгибания
эти уравнения приводятся к линейным уравнениям для составляющих ско-
скорости бесконечно малого изгибания. Из теорем существования решений
дифференциальных уравнений в малой области немедленно вытекает,
что всякая достаточно малая область достаточно регулярной поверхности
допускает нетривиальные изометрические отображения. «В целом» по-
подобный результат не имеет места.
Ещё в 1833 г. Миндинг высказал гипотезу, что сфера не изгибаема.
Но только в 1899 г. Либман и Минковский разными методами доказали,
что сфера не допускает нетривиальных изометрических отображений.
Это был первый результат по проблеме изгибания «в целом». После этого
вопросом о неизгибаемости замкнутых выпуклых поверхностей зани-
занимались Гильберт, Бляшке, Либман, Г. Вейль, Кон-Фоссен. Результатом
их работы явилось доказательство того, что замкнутая выпуклая поверх-
поверхность положительной кривизны - жёсткая (Либман, Бляшке, Вейль)
и не допускает нетривиальных изометрических отображений (Кон-Фос-
(Кон-Фоссен, 1927 г.). При этом речь идёт о трижды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых поверхностях. Были получены некоторые другие результаты об
изгибании поверхностей «в це^ом». В частности, С. Э. Кон-Фоссен
доказал, ч-о всякая незамкнутая выпуклая поверхность не жёсткая, Ока-
Оказывается, однако, что неизгибаемость не является привилегией одних
только поверхностей «в целом»: Н. В. Ефи м о в доказал существование
аналитических поверхностей, не допускающих непрерывных изгибаний
для сколь угодно малой окрестности некоторой точки при единственном
условии, что изгибание сохраняет аналитичность поверхности. Хотя

92о ГЕОМЕТРИЯ
этот результат относится к геометрии «в малом», мы не можем обойти его
молчанием ввиду его принципиального значения для всей теории изги-
изгибания поверхностей.
Как уже было отмечено, «в малом» всякая регулярная поверхность
допускает нетривиальные изометрические отображения, а в окрестно-
окрестности точки не нулевой кривизны также бесконечно малые изгиба-
изгибания. В 1.908 г. Е. Леви доказал, что всякая аналитическая поверх-
поверхность с кривизной постоянного знака допускает в малом непре-
непрерывное изгибание, сохраняющее её аналитичность. В 1937 г. тот же
результат был получен Шильдтом для окрестности изолированной
параболической точки, где поверхность имеет с касательной плос-
плоскостью прикосновения первого порядка (вторые производные не все
равны нулю). Но в 1940 г. Н. В. Ефимов [9, 12] доказал, что
при более высоком порядке прикосновения сколь угодно малая окрест-
окрестность параболической точки аналитической поверхности может не допу-
допускать непрерывных изгибаний, сохраняющих аналитичность поверхности.
Например, этим свойством обладает любая окрестность точки @, 0, 0)
на поверхности z — х9 + 1-х'у3 + у*, где к — любое трансцендентное число,
Более того, из исследований Н. В. Ефимова становится ясным,
что при высоком порядке прикосновения неизгибаемость должна быте
правилом, а изгибаемость исключением, хотя это общее утверждение
остаётся пока недоказанным. В тех же работах Н. В. Ефимовым
получены также другие интересные результаты, касающиеся изгибания
окрестности параболической точки. Метод исследования сводится в основ-
основном к анализу алгебраических свойств форм в разложении правой части
уравнения поверхности по степеням х и у.
В работе 1938 г. А. Д. А л е к с а н д р о в [14] рассматривал зам-
замкнутые поверхности, названные им Т-поверхностями («типа тора») и опре-
определяемые следующим внутренним свойством: на 7-поверхности есть
области положительной и отрицательной кривизны, разделённые кусочно^
гладкими кривыми, и полная кривизна областей положительной кри-
кривизны равна 4ж *). А. Д. Александров доказал: 1) На всякой
Т-поверхности области положительной кривизны образуют одну связнул
область, являющуюся частью замкнутой выпуклой поверхности; граница
этой области состоит из плоских ьрисых. 2) T-noeepxnoimu могут быть
любого рода р (гомеоморфны шару с р ручками). 3) АналитическаяТ-пО'
верхноапь не допускает нетривиальных изометрических отображений
(в классе аналитических поверхностей). 4) Аналитическая 7'-поверхность—
жёсткая.
Доказательство теоремы 1) проводится чисто геометрическим методом,
путём изучения сферического изображения поверхности на линиях, где
кривизна меняет знак. После того как теорема 1) доказана, теоремы 3)
и 4) получаются простым вычислением благодаря предположению анали-
аналитичности. ¦¦ '
В 1936 г. А. Д. А л е к с а н д р о в [5] впервые исследовм
бесконечно малые изгибания нерегулярных поверхностей. Выведя ура-
уравнение для скорости этого изгибания в очень общих предположениях, он
провёл его анализ для произвольных выпуклых поверхностей
*) Меньше 4п она не может быть ни на какой замкнутой регулярной поверхн»-
сти без самопересечений, так как такая поверхность имеет опорную Касательную
плоскость любого направления.

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 927
щения и пришёл к следующему результату: выпуклая поверхность вра-
вращения жестка тогда и только тогда, когда она не содержит плоских
Kyi ков и ее сферическое изображение (или его замыкание) покрывает всю
сферу.
Наиболее выдающимся достижением последнего времени в трудной
области изгибания поверхностей «в целом» является, несомненно, теорема
С. П. Оловянишникова [2], открытая им в 1941 г. Речь идёт
об изгибании' бесконечных полных выпуклых поверхностей, гомеоморф-
ных плоскости. С. П. Оловянишников не только доказал, что
вешая такая поверхность, имеющая полную кривизну < 2я, допускает
нетривиальные изометрические отображения, но указал также произвол
в построении поверхности, изометрической данной*). Точно результат
С. П. Оловянишникова состоит в следующем. Пусть F—бес-
F—бесконечно полная выпуклая поверхность с полной криризной < 2-, ориен-
ориентированная указанием обхода какого-либо контура. Пусть /.—«луч»
на F, т. е. геодезическая бесконечная в одну сторону, являющаяся крат-
кратчайшей на всяком отрезке. Если F бесконечно подобно сжимать к произ-
произвольной точке О, то в пределе F переходит в выпуклый конус—«предель-
конус—«предельный конус» К (F) поверхности F, луч L переходит в образующую этого
конуса—«предельную образующую» G(L) луча L, а ориентация на F
определяет ориентацию на K(F). Легко доказать, 4toK(F) имеет туже
полную кривизну, что a F **).
Пусть теперь Ко—любой выпуклый конус с той же полной кривизной,
что F, или, что то же самое, K(F). Пусть на Ко даны образующая Go и ориен-
ориентация. Тогда существует выпуклая поверхность Fo, изометричная F
и такая, что 1) Ко есть её предельный конус, 2) ориентация, данная на Ко,
совпадает с ориентацией, определённой на нём ориентацией Fo, которая
в свою очередь, определяется ориентацией F в силу изометрического
отображения, 3) образующая Go есть предельная образующая того луча
на FQ, который соответствует в силу изометрии данному лучу L на F.
Меняя конус Ко, его ориентацию и образующую Go, будем получать раз-
разные поверхности, изометричные F.
В этой теореме замечательно, между прочим, то, что на поверхность F
не налагаются никакие требования регулярности: речь идёт о границе
любого бесконечного выпуклого тела. Результат, следовательно, очень
общий и вместе с тем богатый содержанием. А между тем, до С. П. Оло-
Оловянишникова не было ни примеров, ни казавшихся вероятными
гипотез об изгибаемости бесконечно выпуклых поверхностей, хотя этот
вопрос возник ещё у Дарбу.
Доказательство С. П. Оловянишникова чисто геометри-
геометрическое и основано на теореме А. Д. Александрова о склеивании
выпуклого многогранника из развёртки (см. § 4). С. П. Оловяниш-
Оловянишников использует эту теорему, доказывая свою теорему для много-
многогранников, после чего она переносится на общие выпуклые поверхности
путём предельного перехода.
*> Полная кривизна <» всякой бесконе»тной выпуклой поверхности -=С"тс. Вероят-
Вероятно, пэ..ер> нос и с о>= я не допускают нетри. иальных иземе-рических отображений
(в классе ьыпуклых поверхностей"). Для многогранников это доказано С. П. Опоая-
нишниковым.
**) Сферическое изображение конуса К (F) есть замыкание сферического изоб-
изображения поверхности F. Если в—полный угол вокруг вершины конуса, то его пол-
полная кривизна о>=2п—9.

328 ГЕОМЕТРИЯ
А. Д. Александров [34] дал общие условия, при которых из
кусков выпуклых поверхностей можно «склеить» полную (замкнутую или
бесконечную) выпуклую поверхность. Эта «теорема о склеивании» при-
приводит к теоремам об изгибаемости выпуклых поверхностей. В качестве
примера А. Д Александров доказывает, что регулярная выпук-
выпуклая поверхность, ограниченная геодезическим многоугольником, имеющая
полную кривизну < 4гс, допускает нетривиальные изометрические ото-
отображения.
Строго говоря, первая теорема об изгибании поверхностей «в целом»
принадлежит Коши, который доказал в ]813 г., что два замкнутых выпук-
выпуклых многогранника, одинаково составленных из разных граней, равны.
Этот классический результат лежал в стороне от дифференциально-
геометрической теории поверхностей, но если привлечь к рассмотрению
любые выпуклые поверхности, то он, естественно, включается в общий
комплекс теорем об изгибании поверхностей «в целом». В 1941 г.
С. П. Оловянишников [3] дал окончательное обобщение тео-
теоремы Коши: выпуклая поверхность, изо метричная замкнутому выпуклому
многограннику, сама есть равный ему многогранник.
Проблемы изгибания поверхностей «в целом» представляют боль-
большое качественное многообразие, решение их даётся нелегко и требует
привлечения разнообразных методов, включая обычные методы класси-
классического анализа, специальные синтетические и топологические соображе-
соображения и т. д. Эти проблемы *) продолжают привлекать внимание наших
геометров, и нужно думать, что полученные ими новые важные результаты
не заставят себя долго ждать.
§ 4. ПРОБЛЕМА ПОГРУЖЕНИЯ.
Мы говорим, что двухмерное риманово многообразие R с линейным
элементом ds2 погружаемо в трёхмерное евклидово пространство Е, если
R допускает такое отображение на некоторую поверхность F в простран-
пространстве Е, что R и F имеют в соответствующих точках один и тот же линей-
линейный элемент ds\ Говорят, что поверхность F реализует линейный элемент
или риманову метрику ds2. Многообразие R будет погружаемо в Е
«в малом», если всякая точка в R имеет окрестность, погружаемую в Е.
Проблема погружения состоит в решении вопроса о погружаемости дан-
данного R в Е.
Аналогично ставится проблема погружения риманового многообра-
многообразия любой размерности в евклидово пространство высшей размерности.'
Можно fa осматривать также погружение в пространство другого типа,
например, пространство Лобачевского.
Многомерная проблема погружения исследована пока только «в пя-
пялом». Дальше мы будем говорить о погружении двухмерного многообра-
многообразия в трёхмерное пространство, опуская для краткости указание щ
размерность.
Ещё Дарбу доказал, что всякое риманово многообразие с аналитиче-
аналитическим линейным элементом погружаемо«в малом» в евклидово пространство,.
Гильберт в 1900 г. доказал, что полное многообразие постоянной отрицаг
тельной кривизны не допускает погружения «в целом» в евклидово прв*
¦*) См. постановки задач и некоторые новые результаты в заметке Н. В. Еф*
нова [13].

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 929
странство. В 1916 г. Г. Вейль наметил доказательство теоремы: всякоего-
меоморфное сфере многообразие положительной кривизны с аналитиче-
аналитическим линейным элементом погружаемо в евклидово пространство, т. е. что
существует аналитическая замкнутая выпуклая поверхность, реализую-
реализующая его метрику. Доказательство Вейля доведено до конца Г. Леви
в 1938 г. Кроме теорем Гильберта и Вейля, никаких других теорем о
погружении «в целом» не было известно.
А. Д. Александров в ряде работ, начиная с 1941 г., развил
новый подход к проблеме погружения, отбросив обычные требования регу-
регулярности, налагаемые на допустимые поверхности, и введя в рассмот-
рассмотрения метрические многообразия, не являющиеся римановыми.
Пусть F—поверхность и X, Y — точки на ней; за расстояние рр (X,Y)
между X и Y на F принимается точная нижняя граница длин кривых,
соединяющих на F точки X и Y, Если каждая пара точек на F соединима
кривой конечной длины, то расстояние рр(Х,К) определено для всех пар
X, Y: на поверхности F определяется её внутренняя метрика i>f и F
превращается в метрическое пространство. Внутренняя геометрия поверх-
поверхности F определяется как теория этого метрического пространства вне
зависимости от того факта, что оно представляется поверхностью в каком
бы то ни было объемлющем пространстве.
Проблема погружения сводится тогда к задаче: дать условия, необ-
необходимые и достаточные для того, чтобы метрическое пространство R
допускало изометрическое отображение на поверхность данного класса,
причём поверхность рассматривается с её внутренней метрикой ур.
А. Д. Александров решил эту проблему для выпуклых поверх-
поверхностей в пространствах Евклида, Лобачевского и сферическом. Исходным
пунктом является при этом решение проблемы погружения для много-
многогранников. Пусть дан комплекс К треугольников, образующий многообра-
многообразие R, причём каждый треугольник есть плоский метрический, а не только
«топологический» треугольник. (Отождествление сторон в комплексе
предполагается изометрическим.) Тогда в многообразии R, естественно,
определяется метрика: расстояние между точками есть точная нижняя
граница длин ломаных, соединяющих эти точки (длины звеньев лома-
ломаной определяются в каждом треугольнике, поскольку треугольник пло-
плоский—метрический). Так определённую в ^метрику А. Д. А л е к с а н д-
р о в называет многогранной.
Многогранная метрика будет «положительной кривизны», если
сумма углов, сходящихся в вершине, комплекса К < 2тг для каждой
вершины. («Кривизна вершины» есть 2тс минус сумма углов вокруг неё.)
Основная теорема А. Д. Александрова [24] утверждает:
если комплекс К гомеоморфен сфере и имеет метрику положительной
кривизны, то у него можно склеить замкнутый выпуклый многогранник.
Иными словами, существует такой многогранник, изометричный ком-
комплексу К, или, что то же, многообразию/?. Элементарный смысл этой теа»
ремы состоит в том, что комплекс К есть развёртка, и речь идёт о склеи-
склеивании многогранника из развёртки. К многогранникам причисляются
также дважды покрытые плоские выпуклые многоугольники, подобно
треугольнику, склеенному из двух наложенных друг на друга равных
треугольников.
Если треугольники комплекса К суть треугольники на плоскости
Лобачевского или сферические, то многогранник строится соответственна
в пространстве Лобачевского или сферическом.
59 Математика в СССР ва 30 лет

930 ГЕОМЕТРИЯ
Доказательство основано на применении топологической теоремы
Брауэра об инвариантности области. Рассматривается многообразие М
всех комплексов данного строения с метриками положительной кривизны
и многообразие Р всех выпуклых многогранников, допускающих раз-
разбиение на треугольники, образующие комплекс данного строения *).
Многообразие Р, естественно, отображается в М. Это отображение ока-
оказывается взаимно непрерывным и взаимно однозначным вследствие тео-
теоремы Коши о равенстве изометричных многогранников. Тогда, привле-
привлекая индукцию но числу вершин рассматриваемых комплексов и теорему
Брауэра, удаётся показать, что Р отображается на всё М, т. е. что вся-
всякий комплекс из М изометричен некоторому многограннику.
Если теперь в многообразии R задана Л1етрика р, допускающая
приближение многогранными метриками р„ положительной кривизны, то,,
реализуя эти метрики р„ выпуклыми многогранниками и выбирая из
этих многогранников сходящуюся последовательность, получим в пре-
пределе выпуклую поверхность, реализующую метрику р.
Таким путём А. Д. Александров [24, 32 J доказал: пусть R
есть полное риманово многообразие, гомеоморфное области на сфере
и имеющее кривизну всюду Ж, тогда в пространстве постоянной кри-
кривизны К существует выпуклая поверхность F, изометричная R.
Если К> 0, то R необходимо гомеоморфно сфере, и речь идёт
о погружении в сферическое пространство. Если К —0, то R гомеоморфн»
сфере, плоскости или цилиндру, и речь идёт о погружении в евклидово
пространство. Если К < О, то R может быть гомеоморфно любой области
на сфере, и речь идёт о погружении в пространство Лобачевского.
В случае евклидова пространства А. Д. Александров [23]
доказал также, что поверхность F необходимо будет гладкой и, следова-
следовательно, реализует не только метрику р в R, но и самый линейный эле-
элемент, данный в R.
Для общего случая многообразия, в котором метрика не может быть
задана всюду определённым линейным элементом, А. Д. Алексан-
Александров дал ряд необходимых и достаточных условий погружаемости (в виде
выпуклой поверхности) как <<в целом», так и <<в малом». Этим самым
были даны необходимые и достаточные условия, характеризующие вну-
внутреннюю метрику выпуклой поверхности в пространствах Евклида, Лоба-
Лобачевского и сферическом, не подчинённой никаким требованиям регуляр-
регулярности. Из этих теорем погружаемости А. Д. Александров выводит
«теорему о склеивании», упомянутую выше, в § 3. За недостатком места
мы не формулируем ни условий погружаемости, данных А. Д. Алек-
с а н д р о в ы м [21, 25, 30], ни его «теоремы о склеивании» [34].
§ 5. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Выше, в § 4, было дано определение внутренней геометрии поверх-
поверхности как геометрии соответствующего метрического пространства.
В этом общем смысле внутреннюю геометрию выпуклых поверхностей, не
подчинённых никаким условиям регулярности, развил А. Д. Алек-
Александров [2], 25, 27—31, 35]. На место обычных для дифференциаль-
*) Треугольники эти не обязаны быть плоскими; требуется лишь, чтобы они
разворачивались на плоскость. Многогранники рассматриваются с точностью ДО
движения.

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 931
ной геометрии аналитических определений основных понятий длины,
угла, площади кривизны, геодезической кривизны вводятся и иссле-
исследуются новые общие определения. В частности, получается обобщение
теоремы Гаусса о том, что площадь сферического изображения области
на выпуклой поверхности равна её интегральной кривизне; доказывается,
что углы треугольника, ограниченного кратчайшими па выпуклой поверх-
поверхности, не меньше углов плоского треугольника со сторонами той же длины.
Строится внутренняя теория кривых на выпуклых поверхностях.
Более детальное изложение этой теории потребовало бы введения
соответствующих определений, для чего здесь нет места.
Из методов, применяемых А. Д. Александровым, главную
роль играет метод приближения многогранниками: задача решается
сначала для выпуклых многогранников, после чего результат переносится
на общие выпуклые поверхности путём предельного перехода. В качестве
примера отметим, что этим методом чрезвычайно просто получается сле-
следующая теорема, обобщающая известное изопериметрическое свойство
круга (А. Д. А л е к с а н д р о в [31 ]): среди всех выпуклых поверхно-
поверхностей, гомеоморфных кругу, ограниченных кривой данной длины и имеющих
данную полную кривизну < 2п, наибольшую площадь имеет боковая
поверхность прямого кругового конуса (и только она, не считая поверхно-
поверхностей, ей изометричных).
В другой работе А. Д. Александров [26] даёт решение другой
аналогичной изометрической задачи, пользуясь по существу тем же мето-
методом, но уже не для выпуклых поверхностей.Пусть G — гомеоморфная кругу
поверхность с кривизной всюду < К < О, имеющая границу длины I. Пусть
S—площадь G,a So— площадь круга с окружностью длины I на плоскости
Лобачевского кривизны K.S<S0 и S = S0 тогда и только тогда, когдаG
изометрична Go.
В случае К —0 эта теорема была доказана СМ. Лозинским
[1] с помощью теории субгармонических функций и ещё раньше Радо
и Бекенбахом при более сильных предположениях регулярности.
§ 6. ТЕОРЕМЫ ТИПА ЛИУВИЛЛЯ.
Теоремами типа Лиувилля мы называем предложения, в известной
мере аналогичные теореме Лиувилля о том, что ограниченная аналити-
аналитическая функция постоянна. К этому типу относится теорема о поверхно-
поверхностях отрицательной кривизны, доказанная С. Н. Бернштейном ещё в
1915 г. и далее усиленная им в 1940 г. (С. Н. Б ернштейн [3]).
Заметив, что рассуждения С. Н. Бернштейна почти не исполь-
используют сделанного им предположения о двухкратной дифференцируемости
поверхности, Г. М. Адельсо н-В е л ь с к и й [1] придал этой тео-
теореме чисто геометрическую форму, в которой мы её и приводим. Пусть
поверхность F задана уравнением z = /(x, у), где/ (х, у) — однозначная
непрерывная функция, определённая на всей плоскости (х, у). Будем
говорить, что /"имеет неположительную кривизну (в обобщённом смысле),
если для любой плоскости Р открытые множества G* точек Р, лежащих
над F, и G~ — точек Р, лежащих под F, не имеют ограниченных связных
компонент. (Если F, т. е. / (х, у), дважды непрерывно дифференцируема
и имеет всюду неположительную кривизну, это условие, очевидно,
выполнено.)
59*

932 геометрия
Теорема С. Н. Бернштейна, обобщённая Г. М. Адельсон-
Вельским, утверждает: если поверхность F имеет неположитель-
неположительную кривизну и J/JjfiiJ —»0 при )/х* + у*—> оо, то F цилиндрическая
поверхность с образующими, параллельными плоскости (х, у).
Ещё в первой своей работе С. Н. Бернштейн показал, что
эта теорема приводит к общим теоремам единственности для дифферен-
дифференциальных уравнений эллиптического типа.
Другая теорема того же типа была доказана в 1938 г. А. Д. А л е к-
сандровым [15]. Пусть Z (и, v, w) — положительно однородная
первой степени функция, определённая во всём пространстве (и, v, w)
и аналитическая (т. е. разлагается в степенной ряд в окрестности любой
точки, кроме начала). Пусть далее её второй дифференциал в каждой
точке или тождественно исчезает, ила есть знакопеременная форма.
Тогда функция Z линейная (т. е. её второй дифференциал необходимо
всюду тождественно обращается в нуль). Хотя теорема формулируется
аналитически, доказательство её проводится геометрическим методом.
Именно, рассматривается огибающая семейства плоскостей ux + vy +
¦±wz = Z(u, v, w). В тех точках, где d*Z знакопеременный, она имеет
отрицательную кривизну. Точки, где d*Z=O, будут её особыми точками.
Рассмотрение этих особых точек в соединении с требованием аналитич-
аналитичности Z приводит к тому, что огибаюшая необходимо вырождается в
точку, что эквивалентно линейности функции Z.
Из этой теоремы А. Д. Александров выводит следующую:
пусть f(x, у; п ) —функция двух численных переменных х>у>0 и еди-
единичного вектора ~h, существенно монотонная относительно х и у при
всяком п*) и в остальном совершенно произвольная (например, даже неиз-
неизмеримая). Пусть Н' и Н" — две аналитические замкнутые выпуклые
поверхности R'^R' и R[>R"t —их главные радиусы кривизны в точках
с параллельными внешними нормалями п. Тогда, если для каждой пары
их точек с параллельными нормалями 77 /(/?!, Я^п) =/ {R\, R't; n), то
поверхности Н' и Н" равны и параллельно расположены. То же условие
можно заменить геометрическим: индикатрисы Дюпена поверхностей
Н' и И" в точках с параллельными нормалями нельзя поместить одну
внутри другой путём параллельного переноса.
Если Н' (и) и Я" (и) - опорные функции поверхностей Н',Н", то
из условий данной теоремы легко выводится, что Z(u) = Z{u,v,w) =
= Н' {и) — Н" (и) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, а следо-
следовательно, линейна, что, как известно, обозначает, что поверхности равны
и параллельно расположены.
В другой заметке А. Д. Александров [11] доказывает ту же
теорему для кусочно-аналитических поверхностей, но зато при условиях
аналитичности функции / (х, у; п).
Беря в этой теореме определённую функцию /, получим теорему
единственности выпуклой поверхности с такой функцией главных радиу-
радиусов кривизны. В этом смысле она содержит, например, классические тео-
теоремы Кристоффеля: f — x + y, и Минковского: / = ху.
Освобождение в теореме А. Д. Александрова от тяжкого
требования аналитичности и обобщение теорем С. Н. Бернштейна
¦)Т. е. / (х1( уг\ Ц)> / (х2, у2; ~h), если х?^хг, ух>у, или

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 933
и А. Д. Александрова на случай большего числа измерений пред-
представляет важную, но, видимо, трудную задачу.
А. Д. А л е к с а н д р о в [8] доказал для многогранников теорему,
аналогичную приведённой: пусть у двух замкнутых выпуклых многогран-
многогранников грани имеют соответственно параллельные внешние нормали и ни
для какой такой пары граней одну грань нельзя поместить внутри другой
параллельным переносом. Тогда многогранники равны и параллельно рас-
положены.
Доказательство проводится методом Коши, применённым им для
доказательства равенства выпуклых многогранников, одинаково состав-
составленных из разных граней.
§ 7. ТЕОРИЯ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ.
После того как в конце прошлого столетия Брунни Минковский
положили начало теории выпуклых тел, она служила предметом много-
многочисленных исследований. Задачи этой теории можно в основном разбить
на пять групп: 1. Общие свойства выпуклых тел и поверхностей. 2. Тео-
Теоремы существования и единственности выпуклого тела (поверхности)
с теми или иными данными. 3. Экстремальные задачи. 4. Исследование
и характеризации различных специальных выпуклых тел (тел постоян-
постоянной ширины, эллипсоида, шара и т. п.). 5. Системы выпуклых тел (запол-
(заполнение пространства, плотнейшее расположение). Речь идёт о выпуклых
телах в л-мерном евклидовом пространстве; дальше это имеется в виду
без особых оговорок; л будет обозначать число измерений пространства *).
К первой группе относится теорема И. М. Либермана [4].
Для того чтобы замкнутое ограниченное множество с внутренними точ-
точками было выпуклым телом, необходимо и достаточно, чтобы оно само-
и каждая его грань были стягиваемы в себе в точку. Гранью множества
называется пересечение множества с опорной плоскостью.
Буземанн и Феллер доказали в 1935 г. важную теорему, что всякая
выпуклая функция двух переменных почти везде имеет второй дифферен-
дифференциал. Обобщение этого факта на случай л переменных и его приложения
в теории выпуклых поверхностей дал А. Д. А л е к с а н д р о в [17, 19].
Хотя результат формулирован аналитически, он имеет очевидный
геометрический смысл и доказательство использует геометрические
соображения.
Доказательство теорем единственности и решение экстремальных
задач для выпуклых тел в большей части основано на методе «смешения»
выпуклых тел и свойствах их «смешанных объёмов»**). Этот метод был
*) Многочисленные исследования, касающиеся выпуклых тел в бесконечно-
бесконечномерных линейных пространствах, занимают особое положение и находятся в тесней-
теснейшей связи с функциональным анализом. Их мы касаться не будем.
**) Пусть Hlt...,Hm—выпуклые тела, A^..., Дя^-числа >_0. Из начала О в точки
Хг Хот тел Hlt ...j_Hm проводим векторы OXlt..., ОХт и строим вектор
бХ=Х1ОХ1+...+Ат ОХщ. Когда точки Х^,... , Хт зачерчивают независимо друг
от друга каждая сьоё тело, точка X зачеркивает выпуклое тел.), обозначаемое
Н = А1Н1+...+AmHM. Этой е:ть «смешение» или линейная комбинация тел Hv ... Нт..
Минковский доказал, что объём тела Н есть однородный многочлен сте-
степени л (число измерений) от А{. Коэффициенты многочлена (соответственно норми-
нормированные) называются смешанными объёмами. В общем случае смешанный объём V
(Hv..., Hn) есть симметричный функционал от л тел, положительно линейный
относительно каждого аргумента.

934 ГЕОМЕТРИЯ
развит Брушюм и особенно Минковским, который как раз и дал его
глубокие приложения к задачам указанного типа.
В 1937 г. А. Д. А л е к с а н д р о в [9, 10, 12, 13, 18] дополнил
этот метод, введя в теорию выпуклых тел функции множества вместе
со связанными с ними приёмами функционального анализа и доказав
новое общее неравенство для смешанных объёмов. Одновременно часть
результатов А. Д. Александрова была получена Фенхелем и Иес-
сеном. Мы формулируем три из теорем А. Д. Александрова,
представляющиеся наиболее интересными, для чего воспроизведём
сначала необходимые определения.
Пусть Я — выпуклое тело, S — единичная сфера и М — множество наS.
Пусть F (Я; М) —площадь того множества на поверхности тела Н, в каж-
каждой точке которого есть опорная плоскость с внешней нормалью, направ-
направленной в М (если нормаль отложена из центра S). F (Н; М) есть вполне
аддитивная неотрицательная функция М; она называется поверхностной
функцией тела Н. Пусть далее Е — единичный шар и Н + 'кЕ — тело сме-
смешения Н и Е. Тогда
F{H + \E;M) = V 1тС^^п-т.1(Н;М),
где каждое Fk{H;M) есть неотрицательная вполнеаддитивная функциям,
называемая k-й функцией кривизны тела Н. (п — 1)-я функция кривизны
есть поверхностная функция; нулевая - есть площадь М и, следовательно,
не зависит от //. Для тела с регулярной поверхностью Fk (Я; М) есть
интеграл от симметрической функции главных радиусов кривизны А-ой
степени по площади М, т. е. по сферическому изображению. Интеграл
от Fk{H',M) по всей сфере S называется k-м интегралом кривизны; п-й
интеграл кривизны определяется как объём тела Н. k-й интеграл кри-
кривизны есть «средняя k-мерная поперечная мера» тела Я, т. е. среднее
из А-мерных площадей его А-мерных проекций; в частности, при к = 1 это
будет средняя ширина.
А. Д. Александров доказал:
1. Если у двух выпуклых тел k-е функции кривизны (при любом данном
к>0 и <п — 1) равны, то тела равны и параллельно расположены. Эта
теорема в предположении регулярности поверхности была доказана ещё
Кристоффелем в случае к = 1, п = 3, а для к — п — 1 Минковским*).
2. Пусть к, т. — данные целые числа: 0 < к <т < п. Среди всех выпуклых,
тел с данным k-м интегралом кривизны наибольший т-й интеграл кри-
кривизны имеет шар и только шар. В случае т = пи к = п — 1 или 1 получается
свойство шара иметь наибольший объём при данной поверхности или при
данной средней ширине. Первый из этих частных результатов восходит
к Штейнеру и был доказан Минковским с помощью неравенств Брунна.
Второй результат был получен тем же методом П. С. У рысоном
[1] в 1924 г.
3. Для всякой вполне аддитивной неотрицательной функции мно-
множества на сфере, удовлетворяющей двум, очевидно необходимым, инте-
интегральным условиям существует выпуклое тело с поверхностной функцией,
*) Минковский ограничился случаями многогранников и тел с регулярной
поверхностью. Однако одно введение поверхностной функции уже даёт обобщение
его теоремы на любые выпуклые тела. Существенно новым является результат для
А1 и < п—1.

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 935
равной данной. У помянутые условия следующие: 1) Условие замкнутости—
векторная площадь есть нуль, \ nF (dM) = 0. 2) Площади проекций поло-
я
житёльны. А. Д. Александров показывает, между прочим, что
подобная теорема существования не может иметь места ни для какой
функции кривизны, кроме поверхностной функции.
Теоремы 1 и 2 основаны на общих неравенствах между смешанными
объёмами, доказанных А. Д. Александровым. Доказательство
теоремы 3 осуществлено тремя разными методами (А. Д. Александ-
Александров [12, 16, 18]), из которых два первых являются прямым обобщением
метода, применённого Минковским. Третий метод основан на теореме
инвариантности области, с помощью которой результат сначала полу-
получается для многогранников, после чего производится предельный пере-
переход к любым выпуклым телам.
Тем же методом А. Д. Александров [16, 22] доказал теоремы
существования и единственности конечного и бесконечного выпуклого
тела с данной <<интегральной кривизной». Приведём соответствующий
результат для бесконечно выпуклого тела как более простой. Пусть
на плоскости Т задана вполне аддитивная неотрицательная функция
множества <р(М) такая, что ср(Т)<2^ и для всякого одноточечного
М ср (М) < 2л *). Пусть К — выпуклый конус, однозначно проектирующийся
на Т и имеющий полную кривизну, равную <р(Т). Тогда существует,
и притом единственная, с точностью до переноса в направлении, пер-
перпендикулярном к Т, бесконечная полная выпуклая поверхность F, для
которой (при всяком М) <? (М) есть площадь сферического изображения
того множества на ней, проекцией которого является множество М,
а К есть предельный конус поверхности (т. е. при бесконечном подобном
сжатии к вершине К F переходит в К). Эта теорема показы-
показывает, что интегральная кривизна выпуклой поверхности может быть
любой функцией множества с точностью до очевидно необходимых
условий.
Упомянем ещё решённую С. С. Ковнером экстремальную задачу
о наибольшем центрально-симметричном выпуклом теле, содержащемся
в данном. В плоском случае получается следующий результат. Пусть
s0 и s—площади данной выпуклой области и содержащейся в ней наибольшей
2 s s 2
центрально-симметричной. Тогда -о-<— <1, причём — — -^- тогда и
только тогда, когда данная область —треугольник. В решении этой
задачи метод Брунна-Минковского опять-таки играет существенную роль.
Из исследований о специальных выпуклых телах укажем резуль-
результат С. П. Оловянишникова[1] об эллипсоиде. Если все (п — 1)-
мерпые плоские сечения п-мерпого выпуклого тела, делящие его объём
в данном отношении кфА, центрально-симметричны, то тело есть
эллипсоид. Такого рода характеризации специальных выпуклых тел
привлекали многих иностранных геометров со времён Брунна. Однако
они не всегда имеют достаточный принципиальный интерес. В отличие от
этого теорема С. П. Оловянишникова интересна не только
сама по себе, но и по данным автором приложениям, в частности, к функ-
функциям распределения вероятностей.
*) Речь идёт о трёхмерном пространстве. При любом изменении п нужно лишь
вместо 2-п взять площадь соответствующей единичной полусферы.

936 геометрия
§ 8. ЗАПОЛНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА И РЕШЁТКИ.
Системами выпуклых тел, а именно вопросами заполнения простран-
пространства выпуклыми многогранниками занимались в России Г. Ф. Вороной
и Е. С. Фёдоров. Их исследования были продолжены Б. Н. Делоне,
О. К. Житомирским. Пользуясь чрезвычайно изящным построе-
построением, Б. Н. Делоне [3] нашёл все четырёхмерные параллелоэдры,
т. е. выпуклые многогранники, могущие заполнять четырёхмерное про-
пространство, если их прикладывать параллельно друг к другу по целым
граням. Таких многогранников оказалось 52 разных топологических
типа (с точки зрения комбинаторного строения комплекса граней). Все
они могут быть афинно преобразованы в области Вороного, т. е. в обла-
области ближайших точек параллелепипедальной решётки. Ещё Г. Ф. Воро-
Вороной доказал, что л-мерный примитивный параллелоэдр *) можно так
преобразовать в область Вороного.
Углубив метод Г. Ф. Вороного, эту теорему О. К. Житомир-
Житомирский [2] обобщил, доказав, что всякий п-мерный параллелоздр,
(п—])-мерные грани которого образуют только шестигранные пояса,
допускает афинное преобразование в область Вороного**).
Соединяя свои геометрические методы с теорией положительных квад-
квадратичных форм от трёх целочисленных переменных, Б. Н. Д е л о н е ***)
дал полную классификацию трёхмерных решёток и указал простой,
практически удобный алгорифм для определения по любому данному
основному трёхвекторнику всех основных свойств решётки, как-то: её
симметрии, области Вороного и т. д. Этим он решил одну из основных
задач геометрической кристаллографии. Если рентгеновский анализ
кристалла позволил найти один из основных трёхвекторников его атом-
атомной решётки, то, исходя отсюда, метод Делоне позволяет найти уже про-
простым вычислением все основные свойства этой решётки.
Б. Н. Д е л о н е [7] также дал геометрический вывод плотнейших
расположений равных шаров в четырёхмерном пространстве. Эта задача,
как известно, эквивалентна отысканию положительной квадратичной
формы четырёх целочисленных переменных, имеющей наименьший дис-
дискриминант при данном положительном минимуме. В этом теоретике*
числовом плане задача была решена ещё А. Н. Коркиным и Е. И. Золо-
Золотарёвым. Вывод Б. Н. Делоне, отличаясь чрезвычайной простотой
и наглядностью, даёт гораздо более простое решение этой задачи.
Другие геометрические исследования Б. Н. Делоне, касаю-
касающиеся теории решёток, направлены на решение других задач теории
чисел, и потому мы их не будем касаться. Отчёт о них даётся в обзоре
работ по теории чисел. Мы можем заметить только, что геометрические
методы теории чисел, исходящие в основном от Минковского и Вороного,
развивались в Советском Союзе в первую очередь именно Б. Н.Делоне
и присоединившимися к нему ленинградцами Б. А. Венковым,
В. А. Тартаковским, О. К. Житомирским и др.
¦) Параллелоэдр примитивный, если при заполнении им пространства в одной
вершине сходится нашеиьцее возможное число параллелоэдров, т. е- (л + 1).
**) В отпой (я—2)-мерной грани может сходиться четыре или три параллелчэдра.
В последнем случае (л—1)-мерные грани, одного параллелоэдра, гараллельные
данной (л —2)-мерной грани, образуют шесшгранньЙ пояс; в первом случае
этот пояс—четырёхгранный.
¦¦*) См. совместную работу Б. Делоне, Н. Подурова и А. Алек-
Александрова [1].

ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ» 937
§ 9. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.
Здесь мы не будем говорить об основаниях геометрии в том клас-
классическом смысле, который идёт от Евклида, а остановимся на рабо-
работах, использующих в качестве одной из основ топологические понятия.
При современном понимании пространства выделение топологических
его свойств в качестве первоосновы представляется совершенно естест-
естественным. В этом духе обоснование евклидовой планиметрии дал ещё
Гильберт.
В 1930 г. А. Н. Колмогоров [1] нашёл характеризацию прост-
пространств постоянной кривизны (Евклида, Лобачевского, Римана), исходя
из требований, налагаемых на их топологию и группу движений.
Пусть R — локально компактное, связное, метризуемое пространство
и G — транзитивная группа его топологических отображений на себя,
причём отображения из G равномерно непрерывно в совокупности*).
Возьмём точку Xt^R и пусть Gxi — группа тех преобразований из
О, которые оставляют Хг на месте. Тогда, взяв точку Y, отличную от
Xlt рассмотрим множество всех тех точек, которые получаются из У
преобразованиями из Gxr Это множество S(Xj) назовём сферой (пер-
(первого порядка) с центром Xt. Закрепив теперь точку Xi^S(X1)
и выбрав другую точку Y'^S^XJ, определим сферу второго порядка
S(X!,Xt) как множество всех тех точек из S(X1), которые получа-
получаются из Y' преобразованиями из Gxlt оставляющими Xt на месте.
Далее определяем сферу третьего порядка и т. д. Сфера п-го порядка
обозначается S (Х„ ..., Хп); точка Х„ есть её центр на S (Х„ ..., Xn-i).
Введём теперь следующее требование: если Sn = S'{X1) ¦ • ¦, Хп),
Sn = S" (X,..., Хп) - две сферы с общим центром, то одна из них отде-
отделяет от другой их центр Хп на S (Х19..., Xn-i) = Sn-i т. е., например,
связная компонента множества Sn_i—5'и, содержащая Хп, не содержит
точек Sn.
При этом условии, как доказал А. Н.Колмогоров, простран-
пространство R оказывается гомеоморфным конечномерному пространству постоян-
постоянной кривизны, а группа G изоморфна группе движений этого пространства.
Этот замечательный результат обеспечивается тем, что простое и есте-
естественное требование отделимости сфер оказывается очень сильным. Напри-
Например, на цилиндре сферы состоят из пар точек, и потому здесь требование
отделимости не имеет места.
В другой работе А. Н. К о л м о г о р о в [2] дал аксиоматику про-
проективной геометрии, чётко выделяющую её топологическую сторону.
Пусть имеется три рода элементов: точки, прямые, плоскости; пусть
они 1) образуют топологические пространства R°,R1,RZ и 2) связаны
известными отношениями инцидентности. Вводятся следующие аксиомы:
I. Пространства R°,R1,R2 бикомпактны.
II. Имеют место обычные проективные аксиомы связи (инцидентности).
III. Отношения инцидентности непрерывны (т. е., например, прямая
как элемент Z?1 непрерывно зависит от двух её точек как элементов R0,
пока эти точки не совпадают).
*) Метризуемость есть свойство топологическое, например, можно требовать,
чтобы R имело счётный базис и было регулярно.Равномсрная непрерывность имеется в
виду в смысле какой-либо метрики в R. По определению G транзитивиа, если для
всяких X, Y 6 R есть g 6 G такое, что g (X)=Y.

938 ГЕОМЕТРИЯ
IV. Имеет место теорема Паскаля.
'Зти аксиомы определяют одно из двух проективных пространств:
вещественное и комплексное.
Доказательство основано на данной Л. С. Понтрягиным топо-
лого-алгебраической характеризации полей вещественных и комплекс-
комплексных чисел.
Заметим ещё, что результаты А. Д. Александров а [35] по харак-
характеризации внутренней метрики выпуклых поверхностей можно также рас-
рассматривать как относящиеся к обоснованию геометрии в терминах общей
метрики. В частности, им даны условия, при которых метрическое двух-
двухмерное многообразие будет римановым (в несколько обобщённом смысле).
§ 10. ОТДЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ.
Имеется, конечно, немало задач геометрии «в целом», которые не могут
быть без натяжки включены в те группы проблем, о которых говорилось
выше. Здесь можно назвать работы по теории кривых: М. Я. В ыгод-
с к и й [1], А. П. Г р е м я ч е н с к и й [1], Л. Г. Шнире л ьман [1],
исследования о форме цилиндра, плавающего в безразличном равновесии:
А. К. Рубан [1], В. А. Залгаллер и П. О. К осте лянец [1]
и др. Наконец, имеется ещё область теоретико-множественной геометрии,
в которой фигуры весьма общей природы изучаются по существу синтети-
синтетическими методами, дополненными топологическими и теоретико-множе-
теоретико-множественными соображениями. Здесь можно назвать принципиально интерес-
интересную работу А. А. Маркова [3], где даётся чисто геометрическая харак-
теризация гладкой поверхности (m-мерной в п-мерном евклидовом про-
пространстве).
Упомянем ещё исследования А. Н. К о л м о г о р о в а, Ф. И. Шми-
дова, И. Я. Верченко по так называемым контингенциям, по-
понятие которых введено Булиганом. Пусть М — множество в евкли-
евклидовом пространстве. Полукасательной к М в точке А называется любой
предел лучей, идущих из Л в точки Хп 6 М при условии, что Хп —> А. Мно-
Множество всех полукасательных к М в А называется контингенцией мно-
множества М в точке А.
Отметим теорему (Ф. И. Ш м и д о в и И. Я. В е р ч е н к о [1]),
замечательную общностью и вместе с тем точностью результата: для любого
М множество тех точек, где коитингенция не содержит никакой прямой,
не более чем счётно, а множество тех точек А, через которые проходит
плоскость, не содержащая никакой прямой контингенции в А, лежат
на не более чем счетной совокупности спрямляемых кривых.
Этой теоремой, в частности, вскрывается строение особенностей кри-
кривых и поверхностей. Например, множество точек, где выпуклая поверх-
поверхность не имеет касательной плоскости, заключается на не более чем счёт-
счётном числе спрямляемых кривых.
Ф. И. Шмидов [1], ввёл новое понятие метрической контин-
контингенции, основанное на понятии меры, и получил для этих контингенции
такие же результаты.

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
С. С. БЮШГЕНС и А. А. ГЛАГОЛЕВ.
§ 1. Изучение и развитие наследия Н. И. Лобачевского (939). §2. Аксиома-
Аксиоматика (941). § 3. Плоскостные вурфы, их исчисление и обобщение (943).
§ 4. Обобщения теоремы Польке (944). § 5. Многомерная геометрия. (945).
§ 6. Многозначные соответстпия (946). § 7. Точечные линейные ряды (9,8).
§ 8. Крипые третьего порядка (950). § 9. Кремоновы соответствия (950).
§ 10. Геометрия треугольника и тетраэдра (951). § П. Разное (952).
ысшая синтетическая геометрия, как в период своего бур-
бурного развития на Западе, так и после, привлекала у нас
к себе внимание лишь немногих исследователей, и, пожа-
пожалуй, только в Московском университете поддерживался
и поддерживается некоторый интерес к этой отрасли зна-
знания. Мы должны констатировать, что за последние трид-
тридцать лет в области высшей синтетической геометрии име-
имеются довольно скромные результаты по сравнению с
другими разделами математики.
§ 1. ИЗУЧЕНИЕ И РАЗВИТИЕ НАСЛЕДИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО.
Истекшее тридцатилетие включает в себе ряд юбилейных дат, свя-
связанных с именем Н. И. Лобачевского, творца неевклидовой геометрии,
одного из величайших геометров мирового масштаба.
1) В 1926 г. исполнилось 100 лет со времени, когда Н. И. Лобачевский
A1/111826 г.) на заседании физико-математического факультета Казанско-
Казанского университета сделал доклад, содержащий изложение основных начал
открытой им неевклидовой геометрии.
2) В 1930 г. исполнилось 100 лет со времени публикации в Казанском
Вестнике его мемуара «О началах геометрии», в котором в первый раз
появилось в печати изложение начал неевклидовой геометрии.
3) В 1943 г. исполнилось 150 лет со дня рождения Н. И. Лобачевского.
4) В 1946 г. исполнилось 90 лет со дня его смерти.
Эти даты были отмечены трудами советских математиков в целом
ряде изданий.
Мы не будем здесь говорить о работах, касающихся биографии
Н. И. Лобачевского или оценивающих общее значение его трудов для
других разделов математики; мы отметим лишь те, которые имеют непо-
непосредственное отношение либо к содержанию, либо к методам синтети-
синтетической геометрии.

940 ГЕОМЕТРИЯ
В. Ф. К а г а н в своих статьях и комментариях к работе Н. И. Ло-
Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий»
собрал и тщательно обработал большой фактический материал, с помощью
которого он дал отчётливую историю развития идей Н. И. Лобачевского,
подробно разъяснил, как и почему идеи Н. И. Лобачевского не встретили
должного понимания его современников и даже долгое последующее
время не получили надлежащей оценки. Эти работы В. Ф. К а г а н а
по своей фундаментальности и убедительности представляют весьма
ценный и непревзойдённый вклад в научную историю открытия Н. И. Ло-
Лобачевского.
Статья П.С.Александрова*) подробно излагает с современной
точки зрения самую сущность неевклидовой геометрии, созданной
Н. И. Лобачевским; автор приводит точную аксиоматику абсолютной
планиметрии, подробно освещает вопрос о непротиворечивости системы
аксиом, даёт исследование различных известных моделей плоскости
Н. И. Лобачевского и весьма детально разъясняет взаимную связь
понятий конгруэнтности и движения.
В сборнике статей работников Казанского университета **) особый
интерес представляет статья П. А. Ш и р о к о в а, содержащая в ориги-
оригинальной манере синтетическое изложение (притом весьма элементарное)
неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского; здесь же дана схема
построения аналитической геометрии неевклидовой плоскости.
В брошюре Э. Кольмана A944 г.) даётся очерк философского
значения открытия Н. И. Лобачевского и выясняется роль материали-
материалистических взглядов Н. И. Лобачевского в развитии его идей; следует
отметить, между прочим, оригинальное и весьма убедительное толко-
толкование автором позиции Гаусса в отношении неевклидовой геометрии.
Д. Д.Мордухай-Болтовской [1, 9] дал подробное реше-
решение основных задач на построение в геометрии Н. И. Лобачевского.
Из работ, не приуроченных к юбилеями. И. Лобачевского, но допол-
дополняющих его исследования, отметим нижеследующие:
Н. Н. И о в л е в [1 ], продолжая свои исследования, начатые до рево-
революции, в 1917 г. дал проективный вывод формул тригонометрии Н. И. Ло-
Лобачевского, пользуясь линейными проективными координатами, а также
точечным и тангенциальным уравнением абсолюта; его вывод более прост,
чем известные выводы Кэли, Клебша, Стори.
О. К. Житомирский [1] методом проективной метрики иссле-
исследовал некоторые вопросы теории кругов неевклидовой геометрии, причём
получил ряд новых свойств, например, свойства пучков с изотропной,
радикальной осью и фокальные свойства ортогональных кругов. В раб<н
тах по неевклидовой геометрии кругов за базу обычно принимают поляр-
полярное пространство с основной поверхностью вещественной и нелинейчатой;
автор показал, что с точки зрения проективной метрики такое полярное
пространство недостаточно для изображения всех кругов и что осталыюй
части кругов соответствует в эллиптическом случае полярное простран-
пространство с мнимой основной поверхностью, а в гиперболическом случае —
полярное пространство с линейчатой основной поверхностью.
А. А. Чебыше в-Д м и т р и е в [1 ] указал одно своеобразное
свойство плоскости Лобачевского. Возьмём систему двуугольников
(ап) сп, Ьп), у которых при конечных основаниях сп углы прямые»
*) См. Сб. «Николай Иванович Лобачевский». м.-^-Л., ГТТИ A943).
**) «Николай Иванович Лобачевский». М.—Л., Изд. АН A943).

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 941
тогда таких двуугольников, очевидно, нужно бесчисленное множество
<л = 0, ± 1, ± 2,...), чтобы покрыть полуплоскость Лобачевского, если
все их основания сп расположить по одной прямой; однако, располагая
эти двуугольники вокруг одной точки так, чтобы угол (ак+1, с,.) равнялся
углу параллелизма тс (ск), мы конечным числом двуугольников покроем
(с некоторым избытком) всю плоскость Лобачевского.
Н. М. Н е сте рович [1, 3, 5, б] занимался фигурами-двойниками
и треугольниками, а также построениями в пространстве Лобачевского.
А. С. Смогоржевский [1] дал построение в гиперболической
плоскости треугольника потрём углам, пользуясь интерпретацией Бельт-
рами; здесь же он дал построение в евклидовой плоскости четвёртого
пропорционального отрезка только циркулем с коэффициентом простоты
i(no Лемуану), равным L = 10, меньшим чем в известных до сих пор
построениях Маскерони (L = 14), Лемуаиа (L = 13).
§ 2. АКСИОМАТИКА.
Вопросами аксиоматики евклидовой плоскости или исследованием
гильбертовой системы аксиом занимались московские геометры Е. К. Бре-
нев, Н. Ф. Четве ру хин, Н. А. Г л а г о л е в, харьковские гео-
геометры И. С. Чернушенко, Г. А. Грузинцеви ленинградцы
С. А. Богомолов и Е. М. Ливенсон; москвичи Н. А. Г л а-
голев и П. К. Рашевский занимались также вопросами проек-
проективной аксиоматики.
Е. К. Б р е н е в [I] доказал, что в системе аксиом Гильберта две сред-
средние аксиомы порядка вполне достаточно формулировать в более слабом ви-
виде, чем это сделано у самого Гильберта; а именно, их можно взять в виде
II: 2. «Если А и С —точки прямой, то существует по крайней мере
одна такая точка D, что С лежит между А и D».
II :3. «Если на прямой даны три точки, то из них может оказаться
самое большое одна такая точка, что она лежит между двумя другими».
В одной из своих работ, касающихся аксиом евклидовой плоскости,
Н. Ф. Четве ру хин [2] показал, что система аксиом Молерупа
(в которой последний совершенно не пользуется конгруэнтностью углов)
может быть получена из группы аксиом конгруэнтности (Гильберта) при
помощи подходяще выбранного определения конгруэнтности углов;
если же конгруэнтными углами назвать соответственные .углы двух кон-
конгруэнтных треугольников, то, не нарушая системы Гильберта, можно в ней
сделать некоторые сокращения.
Н. Ф. Четверухин показал также, что для теории конгуэпт-
ности на плоскости недостаточна система линейных аксиом; необходимы
и плоскостные аксиомы конгруэнтности; это обстоятельство отличает
плоскую геометрию от пространственной, где, как известно, достаточны
линейные и плоские аксиомы конгруэнтности и не требуются какие-
либо добавочные пространственные аксиомы.
В другой работе Н. Ф. Ч е т в е р у х и н [3] выяснил значение
аксиомы Паша для линейной аксиоматики порядка. Ещё сам Гиль-
Гильберт указывал на желательность построения такой системы неза-
независимых аксиом, чтобы аксиомы, относящиеся к порядку расположения
точек на прямой (линейные аксиомы), сами по себе были достаточны
для доказательства общего предложения 5 (о возможности упорядочить
всякую конечную группу точек на прямой).

942 ГЕОМЕТРИЯ
Н. Ф. Четверухин решил эту задачу и доказал, что, выделяя
из аксиомы Паша её линейные части, мы придём к системе пяти незави-
независимых линейных аксиом порядка.
В работах, посвященных аксиоматике, Н. А. Г л а г о л е в [8, 9]
показывает, что проективная система аксиом I группы Енриквеса
недостаточна, если считать, что «принадлежность» (appartenance) есть
понятие первоначальное, определяемое неявно самими аксиомами; при
последнем требовании систему Енриквеса необходимо дополнить тремя
аксиомами «принадлежности», и в этом случае надлежит сохранить лишь
четыре первые аксиомы Енриквеса, две же последние его аксиомы будут
следствиями системы, предложенной Н. А. Глаголевым.
В другой работе Н. А. Глаголев [13] даёт новую концепцию
аксиом первой группы геометрии Евклида, сущность которой состоит
в том, что аксиомам первой группы предпосылаются аксиомы при-
принадлежности, введённые автором ранее для проективной геометрии; далее
к этой же группе присоединяется аксиома параллельности в усиленной
форме; в результате получается система проще гильбертовой системы,
причём даже требование Розенталя о существовании одной точки на
прямой (вместо двух у Гильберта) становится излишним.
С. А. Б о г о м о л о в [2] дал построение эллиптической неевкли-
неевклидовой геометрии, в основу которой были положены три первичных понятия
(точка, разделение двух пар точек, равенство отрезков) и соответствую-
соответствующая им своеобразная система аксиом. В последующей статье (С. А. Б о-
г о м о л о в [3]) эти аксиомы были подвергнуты анализу и была до-
доказана их совместность (с помощью построения аналитического про-
пространства) и их порядковая независимость.
Е. М. Ливенсон [1] исследовал вопрос об относительной зави-
зависимости аксиом III группы Гильберта, которые автор берёт в формули-
формулировке Штейнгауза, принятой также Вейнлёз*), изучавшей вопрос о
независимости аксиом I и II групп; относительно II группы результаты
Е. М. Ливенсона сходятся с результатами Вейнлёз, за исключе-
исключением аксиомы II: 2, которая оказалась зависящей от остальных аксиом
I и II групп.
Работы И. С. Чернушенко [1, 2, 3] касаются вопроса о непро-
непротиворечивости и независимости аксиом Гильберта; из них вторая работа
даёт в отношении неприводимости основных понятий и независимости
постулатов подробный критический анализ систем Веблена, В. Ф. К а-
г а н а, Мура.
Работа Г. А. Грузинцева [1] представляет собой комментарий
и дополнение к § 2 книги Гильберта «Основания геометрии» и даёт полное
доказательство (чего нет у Гильберта) взаимной независимости всех
аксиом I группы.
К исследованиям, касающимся основ проективной геометрии, можно
отнести ещё одну работу Н. А. Глаголева и две работы П. К. Р а-
шевского.
Н. А. Глаголев [10] показал, что аналогично теореме Гильберта
о свойствах проективной плоскости (недоказуемость теоремы Дезарга без
пространственных аксиом) линейная конгруэнция, взятая отдельно-
от линейного комплекса, теряет свои проективные свойства; именно,
можно построить конгруэнцию, обладающую свойствами линейной (череа
*) WeinlSs, Fund. Math., т. 11.

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 943
каждую точку пространства проходит один луч и в каждой плоскости
лежит один луч) и в пересечении с двумя плоскостями, проходящими
через её луч, не дающую коллинеарных полей; эти конгруэнции образуют
особый класс, ещё не отмеченный в литературе.
П. К. Р а ш е в с к и й [21] доказывает весьма интересное предло-
предложение, которое он называет теоремой о единственности проективной гео-
геометрии на плоскости. Основные аксиомы принадлежности, аксиомы
порядка и непрерывности недостаточны, чтобы построить проективную
геометрию на плоскости в обычном смысле этого слова, так как они ещё
не определяют поведения прямых, и любое семейство ъ2 замкнутых (само-
(самонепересекающихся) линий на плоскости, попарно пересекающихся в одной
точке и соединяющих любые две точки плоскости, удовлетворяет такой ак-
аксиоматике. Чтобы выделить случай «настоящих» проективных прямых,
нужно присоединить ещё аксиому Дезарга, утверждающую, что если кон-
конфигурация Дезарга A03) осуществлена со всеми требуемыми ею инцидент-
ностями, кроме, может быть, одной, то эта последняя инцидентность
автоматически имеет место. Автор доказывает, что всякая попытка орга-
организовать совокупность прямых на плоскости по принципу обязательного
замыкания некоторой конфигурации автоматически непременно даст нам
геометрию с аксиомой Дезарга или Паппа; формулированный результат
верен не только при наличии обычных аксиом порядка и непрерывности,
но и в гораздо более общих предположениях; впрочем при слабых пред-
предположениях остаётся ещё открытым вопрос, не совместима ли наша аксио-
аксиоматика также и с конфигурационной аксиомой G3)?
В другой работе П. К. Р ашевский [22] исследовал некоторые
случаи недезарговои геометрии элементов двух родов (точек и «прямых»),
опирающихся на три аксиомы: 1) для каждой пары элементов одного рода
существует один и только один элемент второго рода, им инцидеипи.ый
2) каждый элемент одного рода инцидентен по крайней мере трём элемен-
элементам другого рода, 3) аксиома конфигурации, т. е. аксиома, требующая
автоматического выполнения последней инцидентности в любом осуще-
осуществлении какой-либо определённой конфигурации.
Автор специально рассматривает две конфигурации: 1) три диагональ-
диагональные точки полного четыре угольника лежат на одной прямой и 2) если
точки А, В, С одной прямой перспективно (центр S) связаны с точками
А', В', С другой прямой, то и после круговой подстановки над
А', В', С перспективное соответствие сохраняется (центр S); обе гео-
геометрии носят дискретно-комбинаторный характер. Для первой геометрии
автор даёт некоторый алгорифм, до известной степени воспроизводящий
исчисление отрезков Гильберта, для второй геометрии оказываются
возможны лишь два случая, каждый с конечным числом элементов,
именно, либо конфигурация A34, 134>), либо конфигурация B15, 21S).
§ 3. ПЛОСКОСТНЫЕ ВУРФЫ, ИХ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОБОБЩЕНИЕ.
Определение вурфа пяти точек плоскости впервые было введено
Коном *) с несколько излишними усложнениями; А. А. Глаголев,
упрощая это определение, предложил на основании заключительной
теоремы Кона связывать вурф пяти точек с той коллинеацией плоскости,
которая сохраняет этот вурф.
*) Kohn, Math. Ann., т. 46.

944 ГЕОМЕТРИЯ
Работы В, Н. Д е п у т а т о в а, И.Н.Бронштейна, Н. А. Г л а-
г о л е в а (у последнего даны также обобщения для «-мерного простран-
пространства) положили основы для исчисления вурфов. А. А. Глаголеву при-
принадлежат первые после Кона конкретные приложения обобщённых
вурфов.
Все эти работы в достаточной мере освещены в сборнике «Математика
СССР за пятнадцать лет», и мы к ним возвращаться не будем. Отметим
небольшое число более поздних работ.
B. М. А с т а ф ь е в [1 ] заменил две конгруэнции первого порядка
и третьего класса, участвующие в данном А. А. Г л а г о л е в ы м [1]
построении пространственной кривой 18-го порядка, конгруэнциями
первого порядка, но р-го и q-ro классов, вследствие чего получается кри-
кривая порядка (р +1) (q f 1) + 2.
C. И. 3 е т е л ь [2] при помощи исчисления линейных вурфов (проек-
(проективное возведение в степень) даёт более простое, чем известное ранее
решение интересной для практики задачи о делении стороны тре-
треугольника пропорционально л-м степеням (л —целое) прилежащих
сторон.
Н. А. Колмогоров [2J берёт на плоскости пять точек Л, В, С, D, Е
и, как и Мёбиус, называет выражение "д д [ддс): '"лл(ДШ ангармони-
ангармоническим отношением пяти точек плоскости, причём здесь площади тре-
треугольников берутся со знаком, зависящим от направления обхода
по контуру.
Затем он устанавливает различные свойства этого ангармонического
отношения и показывает, что уравнение (ABCDX) = a, где А, В, С, D —
постоянные точки плоскости, определяет прямую.
§ 4. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПОЛЬКЕ.
Начало работ по приложению высшей синтетической геометрии
к начертательной геометрии было положено А. К. Власовым [1],
давшим простое доказательство теоремы Польке-Шварца. Н. А. Г л а-
г о л е в [4] обобщил теорему Польке-Шварца, доказав следующую более
общую теорему: чтобы п + 1 точек на плоскости являлись параллель-
параллельными проекциями вершин пирамиды, подобной данной п-гранной пира-
пирамиде, необходимо и достаточно, чтобы какие-либо п из этих точек
являлись вершинами многоугольника, афинпого с основанием данной пира-
пирамиды.
Он же, путём данного им метода предельного перехода, дал общий
приём для определения тех условий, при которых различные группы
точек на плоскости являются параллельными проекциями вершин какого-
либо многогранника.
А. М. Л о п ш и ц обобщил теорему Польке-Шварца на пространство
п измерений.
Н. М. Б е с к и н [1,2], продолжая исследования Круппа, доказал, что
если в пространстве дана некоторая пространственная дезаргова конфи-
конфигурация D и некоторая плоская дезаргова конфигурация D,, то всегда
можно найти такую точку О и такую плоскость г., что, проектируя
из О на тс конфигурацию D, мы получим на п плоскую дезаргову конфигу-
конфигурацию D[, унимодулярно-афинную данной конфигурации Dt.

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 945
Н. Ф. Четверухи н [6, 13] нашёл необходимые и достаточные
условия, при которых две тройки прямых, заданных в какой-либо пло-
плоскости, являются параллельной проекцией двух прямоугольных систем
осей в пространстве. Он же исследовал вопрос об «афинной жёсткости»
многогранников.
Упомянем ещё о работах Л. И. Елькина [1], Г. И. Федотова
[1] и др.
§ 5. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ-
В области многомерной геометрии А. К. В л а с о в [2] продолжил
начатые ранее исследования относительно пятёрки ассоциированных плос-
плоскостей четырёхмерного пространства и пришел к некоторой четырёхмерной
конфигурации ±, состоящей из точек, прямых, плоскостей и трёхмерных
пространств и связанной с гиперповерхностью V\, определяемой пятёркой
ассоциированных плоскостей.
Касательная гиперплоскость /?„ в точке X гиперповерхности V\ пере-
пересекает VI по некоторой поверхности третьего порядка с двойной точкой
в X, а конфигурацию - по некоторой новой конфигурации А, состоящей
из точек, прямых и плоскостей.
Если из точки X спроектировать конфигурацию А на какую-либо
плоскость ге касательной гиперплоскости /?г то на -к мы получим полную
иаскалеву конфигурацию (с штейнеровскими и киркмановскими точками,
аггейнеровскими и келевскими прямыми и т. д.).
Последняя работа А. К. Власова [2], носящая в точности
такое же название, как и его первая студенческая работа, как бы под-
подводит итог многолетних исследований автора в области паскалевых
конфигураций.
А. А. Глаголев [9] дал простое построение, позволяющее
наглядно и взаимно однозначно отображать прямые четырёхмерного
пространства в проективные окружности трёхмерного пространства,
причём пересекающиеся прямые пространства Rt отображаются в дважды
пересекающиеся окружности пространства R3.
* Оснэвываясь на этом построении, он установил примечательную
связь между четырёхмерными построениями А. К. В л а с о в а, относя-
щлчяся к пятёрке ассоциированных плоскостей, и трёхмерными построе-
построениями Дарэу и Стефаноса. относящимися к геометрии кругов.
М. Л Ф р а н к [6], развивая идею Е. С. Ф ё д о р о в а об отображе-
отображении точек трёхмерного пространства параллельными векторами пло-
плоскости, пришёл к следующему изображению точек четырёхмерного про-
пространства: если А (х, у, г, 0 - точка пространства Rit то она отобра-
отображается в вектор AtA2 плоскости к, причем (х, у) будут координатами
начали вектора А^ относительно декартовой системы координат, взятой
на плоскости nt а проещш вектора А^Аг на оси ОХ и OY соответственно
равны г и t.
М. Л. Ф р а и к решил основные задачи этой своеобразной начер-
начертательной геометрии четырёхмерного пространства и применил получен-
полученные и« результаты к новому графическому методу решения системы
линейных уравнений.
Последний метод М. Л. Ф р а н к а проще, чем аналогичный метод
Мемке, использующий обыкновенную ортогональную проекцию точек
четырёхмерного пространства, и значительно проще известного графи-
6Э Математика в СССР оа 30 лет

946 ГЕОМЕТРИЯ
ческого метода Ван-дер-Берга последовательного исключения неиз-
неизвестных.
Д. Д. Мордухай-Болтовской [8] удачно использовал
ряд предложений четырёхмерной геометрии как для выполнения построе-
построений в ограниченной части плоскости, так и для обобщения теоремы
Менелая на случай тетраэдра.
Укажем ещё на работу Н. Н.Худекова [2], в которой иссле-
исследуется вопрос о типах расположения я+ 2 точек в /?„.
§ 6. МНОГОЗНАЧНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ-
Если учение о проективном соответствии было, так сказать, первым
этапом в развитии высшей синтетической геометрии, то учение о много-
многозначных алгебраических соответствиях можно рассматривать как второй
этап в развитии этой науки, замечательный как по достигнутым здесь
результатам (формулы Цейтена, теоремы Жонкье и т. д)., так и по
обилию приложений.
Здесь можно отметить также, что иногда те или иные геометрические
образы можно конструктивно привести в многозначное соответствие
более просто, нежели в соответствие проективное, что имеет важное
значение при решении многих конструктивных задач.
Например, линейное построение декартова листа по семи точкам,
из которых одна двойная, будет более простым, если определять эту
кривую не при помощи двух проективных пучков прямых и кониче-
конических сечений, а при помощи тех же двух пучков, но приведённых
в особое одно- двухзначное соответствие.
Переходя к рассмотрению работ по многозначным соответствиям,
опубликованных у нас за последние тридцать лет, мы можем разделить
их на три группы.
К первой группе можно отнести те работы, в которых авторы строят
то или иное конкретное многозначное соответствие и затем применяют
это соответствие к решению интересующей их задачи.
Так, например, Т. Н. Крупенькин [ 1 ] доказывает этим методом,
что если одна из т • п точек пересечения двух кривых, принадлежащих
к пучкам кривых m-го и я-го порядков, будет двигаться по кривой С
порядка к, то остальные тп—1 точек опишут кривую Е порядка
Bmn — \) к, и затем, исследуя взаимное расположение кривых С и Е,
приходит к одной интересной теореме, аналогичной теореме Г. Н. Нико-
ладзе (см. Линейные ряды).
" С. А. Новицкий [1] определяет число тетраэдров с двумя общими
вершинами, одновременно вписанных в одну поверхность m-го порядка
и описанных около другой поверхности л-ro порядка, и, полагая в полу-
полученной им формуле т=л=2, получает теорему Б. Гаадбье*).
И. А. П о п о в [1,2] исследовал особенности кривой, определяемой
двумя пучками кривых m-го и л-го порядков, приведёнными в произволь-
произвольное — (р, <7)~значное соответствие, и, основываясь на полученных им
результатах, показал, что как некоторые теоремы Залтеля, относящиеся
К Transformation Arquesienne**), так и теоремы Даскупта об образо-
*) Ann. Sci.f ГЁс. Norm., sup. A935).
**) Saltel, C. R. Acad. Sci. de Belgique, 22 A872).

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 947
вании особого вида кривой восьмого порядка*), являются лишь част-
частными случаями теорем более общих.
А. И. М а н д з ю к [31 дала новое решение задачи о построении при-
приведённой сети конических сечений, удовлетворяющей определённым
условиям, поставленной и решённой в 1931 г. Помей **).
А. А. Глаголев доказал некоторые, обобщённые им, теоремы
Бурместра и дал простой способ построения точек Бурместра, самая сущ-
сущность которого состоит в следующем.
В плоскости десяти полюсов определённым образом строятся две
тройки окружностей С,, С2, С3 и С'и С'„, С'%.
Тогда коническое сечение 00' ABC, где О—точка пересечения трёх
радикальных осей (С2, С3); (Cs, Cj); (Сь С2), т. е.
О = (С„ С,) • (С„ С,) • (С,, С,),
о'= (c2Jq. (С с;ь (с;, О,
а = (с„ с,). (с;, с;),
в=(с„с1).(с;, q,
с = (с,, о. (с;, с;),
проходит через 4 точки Бурместра и один из 10 полюсов, что указывает
на существование 10 аналогичных кривых, каждая из которых мсжет
быть построена таким же способом.
Ясно, что, построив две из этих 10 кривых, мы определим точки Бур-
Бурместра.
Такой способ построения точек Бурместра значительно проще, чем
недавно опубликованный способ Хакмюллера ***).
Ко второй группе работ по многозначным соответствиям можно отнести
те работы, в которых исследуется вопрос о правильном определении крат-
кратности совпадений.
Так, например, М. А. Ю к и н [1], исследуя вопрос о правильном
определении кратности совпадений точек В, соответствующих одной
и той же точке А, получает здесь теорему, аналогичную теореме Альфана-
Цейтена для принципа Шаля, и затем применяет найденную им теорему
к выводу формул Плюкера.
А. А. Глаголева [1] объясняет, каким образом Штейнер мог
получить неправильное число б5 конических сечений, касающихся данных
пяти, вместо правильного числа 3264, и выясняет сущность ошибки, при-
приводящей к неправильному ответу.
Н. И. Щ е т и н и н [1], анализируя результат, полученный фран-
французским геометром Помей****) относительно числа конических сечений,
имеющих соприкосновение пятого порядка с данной уникурсальной кри-
кривой л-го порядка, приходит к заключению, что этот результат нуждается
в исправлении.
Третья группа работ (В. П. У л а н о в с к и й и О. В. Ермолова)
ставит своей целью познакомить русского читателя с классическими рабо-
работами Шаля и Цейтена, в которых даются применения метода многозначных
*) Dasqupt, Bull, of the Cal~utta Math. Soc, 26 A934—1935).
**) Potrey, Journ. dc ГЁс. Polyth., 28 A931).
***) Hackmiiller, Z. f. angew. Math, u Mech. A938). См. также И. И. Артобо-
Артоболевский, Синтез механизмов A944).
****) Journ. de ГЁс. Polyth. A929).
60*

948 ГЕОМЕТРИЯ
соответствий к решению труднейших задач механики и современной алгеб-
алгебраической геометрии (решение общей задачи плоского движения фигур,
формула Цейтена).
Следует отметить также работу Ф. С. Р ацер-Ивановой [1],
сделавшей доступными трудные исследования Грассмана-Штурма о гео-
геометрическом построении линейных многообразий и давшей некоторые но-
новые приложения этих построений.
§ 7. ТОЧЕЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ РЯДЫ.
Точечный линейный ряд g\ состоит из всех подвижных групп точек
по п точек в каждой группе, которые высекаются на неподвижной алгеб-
алгебраической кривой С каким-либо пучком алгебраических же кривых,
прлчём различные пучки могут высечь на С один и тот же линейный ряд
gl, что и позволяет, в сущности, построить любую алгебраическую кривую
при полющл двух проективных пучков кривых.
Еслл вместо пучка взять вообще линейную систему к-го измерения,
то высекаемый ею на С линейный ряд g? будет линейным рядом к-го изме-
измерения.
Теория линейных рядов составляет основное, если не единственное
содержание той ветви современной алебраической геометрии, которая
носит название «геометрии на кривой».
В геометрии на кривой исследуются свойства линейных рядов, харак-
терныз для кривых одного рода, и, например, существование на кривой С
линейного ряда g»(n=k) позволяет сделать заключение о рациональ-
рациональности крлвой С.
В высшей же синтетической геометрии рассматриваются и те геометри-
геометрические образы, которые связаны как с линейными рядами, так и с поряд-
порядками кривых—носителей этих линейных рядов.
Так, например, уже совокупность треугольников Понселе, вписан-
вписанных в одно коническое сечение Ci и описанных около другого С2, связана
с линейными рядами g\, образованными на d и С2 вершинами и точками
прикосновения сторон треугольников Понселе.
То же самое можно сказать и о связи линейного ряда g1 с оо1 тетраэдров
Гурвица, вписанных в одну нормальную кривую пространства и оскули-
рующчх другую.
Давая общую характеристику рассматриваемых ниже работ Г. Н. Н и-
коладзе, Д. Д. Мордухай-Болтовского, С. А. Новиц-
Новицкого, Т. Н. КрупенькинаиА. И. Мандзюк.мы можем ска-
сказать, что во всех этих работах исследуются геометрические образы, свя-
связанные с линейным рядом g\, нанесённым на кривую определённого
порядка.
Так, в работах Г. Н. Н и к о л а д з е [3, 5], относящихся к ал-
алгебраической геометрии, устанавливается связь подвижной конфигура-
конфигурации Кп с линейным рядом gj, нанесённым на кривую определённого
порядка, хотя вследствие принятого автором аналитического метода ис-
исследования эта связь иногда и не обнаруживается в его работах с пол-
полной ясностью.
Например, из трансцендентного метода доказательства, предложен-
предложенного Г. Н. Николадзе для доказательства своей теоремы о двух
произвольных эн-иэдрах, оскулирующих одну и ту же нормальную кри-
кривую С3 пространства и вследствие этого вписанных в одну и ту же простран-

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 949
ственную кривую -—у-~—-го порядка, не совсем хорошо видна связь
этой теоремы со свойством линейного ряда g^, нанесённого на кривую С3.
Между тем из синтетического доказательства той же теоремы, пред-
предложенного С. А. Новицким [2], эта связь становится очевидной,
и при этом становится ясным также, что эта теорема Г. Н. Николадзе
является широким обобщением упомянутой выше теоремы Гурвица.
Заметим, что и теорема Т. Н. Крупенькина [1 ], дополняющая
одну из теорем Г. Н. Н и к о л а дз е и трактующая о классе кривой,
огибаемой сторонами полных л-угольников, вершины которых образуют
группы линейного ряда gi, нанесённого на кривую m-ro порядка, является
далеко идущим обобщением теоремы о треугольниках Понселе.
В 1910 г. Д. Д. Мордухай-Болтовсксй доказал, что если пересечь
алгебраическую кривую к-то порядка кривыми m-го порядка, принадле-
принадлежащими пучку с т бесконечно удалёнными центрами, то геометрическое
место средних арифметических центров точек пересечения есть прямая I.
Д. Д. Мордухай-Болтовской [7] в 1926 г. вновь обра-
обратился к этой теореме и рассмотрел её более подробно для случая к—3
и т—2 и дал для этого частного случая ряд новых теорем относительно
прямой /, которую он назвал квадратичным диаметром кривой третьего
порядка.
Все эти теоремы Д. Д. Мордуха й-Б олтовского с более
общей точки зрения были рассмотрены А. И. М а н д з ю к [1, 2], которая
показала, например, что первая теорема Д. Д. Мордухай-Бол-
товского является лишь частным случаем такой более общей тео-
теоремы: если среди групп линейного ряда gl, лежащего на кривой k-го порядка,
имеется группа, содержащая среди своих п точек а бесконечно удалённых,
то средние арифметические центры групп точек ряда gl лежат на кривой
к— a -j-1-ro порядка. Точно также она показала, что в теореме Д. Д. М о р-
духай-Болтовского, трактукшей о случае Еырождения ква-
квадратичного диаметра в точку, причина вырождения зависит только от осо-
особенностей пучка кривых второго порядка, высекакщего линейный ряд
на кривой третьего порядка С, и совершенно не зависит от порядка кри-
кривой С, которая поэтому в этой теореме может быть заменена любой алге-
алгебраической кривой, и т. д.
Она же показала, что три из недавно опубликованных теорем Хаар-
блейхера*) о треугольнике Понселе и две из трёх теорем японского
математика Огино Шузаки **) о многоугольниках Понселе являются
лишь весьма частным случаем ранее опубликованных у нас теорем
Г. Н. Николадзе и А. И. Мандзюк.
Ввиду того что целый ряд сугубо практических задач приводит к кон-
конструктивным задачам относительно инволюций /*, понятно, что задача
построения простой конструктивней теории инволюций /* и до настоя-
настоящего времени находится в центре Ениманкя синтетических геометров.
Некоторые достижения в этом направлении принадлежат А. А. Г л а-
г о л е в у [8, 9], который дал конструктивное определение сопряжён-
сопряжённости двух троек точек, равносильное аналитическому определению Поля
Аппеля, и построил на основе этого определения простую конструктивную
теорию инволюций /J.
*) H4arbleichcr,"C. R. Acad. Sci., 206 A938).
**) Ogino Schflsaku, T6hoku Math. Journ., 43 A937).

950 ГЕОМЕТРИЯ
Он же, введя новое понятие о сопряжённости двух троек точек отно-
относительно конического сечения, обобщил некоторые классические теоремы
относительно II и построил на основе этих обобщений теорем синтети-
синтетическую теорию линейных систем линейных комплексов пространства.
§ 8. КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.
Среди вопросов, относящихся к плоским кривым третьего порядка,
вопрос об их классификации, как ранее, так и за последние тридцать лет,
привлекал к себе у нас, пожалуй, наибольшее внимание.
Так, например, этому вопросу посвящается докторская диссертация
А. А. А д а м о в а [1], в которой даётся элементарный метод для изу-
изучения и классификации кривых третьего порядка по их уравнениям в
декартовых координатах, причём к этой работе приложен альбом, содер-
содержащий 1113 очень хороших изображений кривых третьего порядка.
Тому же вопросу посвящена и работа А. А. Б е г е н е в а [2] где
даётся особый метод образования видов кривых третьего порядка при
помощи дискриминантных парабол.
Здесь надлежит упомянуть и о большой статье С. А. Богомолова
[4], в которой подробно излагается данный Грассманом способ образования
кривых третьего порядка при помощи планиметрических произведений;
затем символические уравнения Грассмана применяются для классифи-
классификации кривых третьего порядка.
Другой вопрос, которым у нас занимались, это вопрос об определении
и построении тех или иных кривых третьего порядка.
Так, например, А. А. Г л а г о л е в [7] дал следующее новое опреде-
определение общей кривой третьего порядка:
Если на плоскости я даны два треугольника ABC и А'В'С и если точка
X и проходящая через неё прямая х движутся по плоскости к таким обра-
образом, что вурф X (АВСх) сохраняет одно постоянное значение, равное К,
а вурф Х(А'В'С'х) сохраняет другое постоянное значение, равное К',то
точка X описывает общую кривую третьего порядка.
Он же обнаружил тесную конструктивную связь между многоуголь-
многоугольниками Понселе и замыкающимися 2л-угольниками Штейнера кривой
третьего порядка.
Особо следует отметить изящные построения А. П. Котельни-
Котельников а [1], относящиеся к строфоиде.
§ 9. КРЕМОНОВЫ СООТВЕТСТВИЯ.
Кремоново соответствие на плоскости—это самое общее алгебраическое
взаимно однозначное соответствие, которое можно установить между точ-
точками X и X' двух плоскостей я и а', причём за порядок кремонова соответ-
соответствия принимают порядок кривой, описываемой точкой X (или X'), когда
соответствующая ей точка X' (или X) движется по произвольной прямой
плоскости а' (или а).
Кремоново соответствие первого порядка называется коллинеацией,
второго—квадратичным соответствием, если же л>2, то особых названии
не имеется.
Одной из основных задач в теории кремоновых соответствий, которая
ещё до сих пор не решена, является определение числа основных видов
кремонова соответствия п-го порядка, причём под видом кремонова соот-

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 951
ветствия подразумевают вид кремоновои или гомолоидальной сети кривых
плоскости а (или а'), соответствующих прямым плоскости а' (или а).
Аналитическое решение этой задачи сводится к решению в целых
положительных числах так называемых уравнений Кремона, что с уве-
увеличением порядка л становится весьма затруднительным; вот почему
Б. К. Млодзеевский, занимавшийся кремоновым соответствием,
стал искать и нашёл другой геометрический метод решения задачи. Этим
методом Б. К. Млодзеевский [1 — 4] определил все основные виды
гомолоидальных сетей до 21-го порядка включительно, указал, какая
сеть сопряжена с какой, определил числа aik и тем самым дал полную
картину кремоновых соответствий до 21-го порядка включительно, в то
время как аналитический метод позволил Кремону и Кэли решить тот
же вопрос только для п, не превышающего i3.
Таблицы Б. К. Млодзеевского являются ценным вкладом
в теорию кремоновых соответствий и до настоящего времени являются
в мировой научной литературе наиболее полными и обстоятельными табли-
таблицами кремоновых преобразований.
Позднее Н. А. Б о б к о в с к ая [2] способом, несколько отличным
от способа Б. К. Млодзеевского и целиком основанным на ши-
широком использовании таблиц последнего, определила 438 и 616 видов
гомолоидальных сетей кривых 23-го и 24-го порядков, среди которых
впервые обнаружились сети, не имеющие двух базисных точек одинако-.
вой кратности.
Из других работ по теории кремоновых пребразований остановимся
на работах А. А. Глаголева, Т. Н.Крупенькина и П. П. А н-
д р е е в а, относящихся к вопросу построения кремоновых соответствий.
А. А. Глаголев [2], основываясь на обобщённых им теоремах
Шаля и Кремона о двух и трёх лежащих в одной плоскости проективных
пучках алгебраических кривых, на случай, когда эти пучки приведены
в алгебраическое многозначное соответствие, дал общий метод построения
кремонова соответствия на плоскости и в пространстве и, в частности,
показал, как из данного плоского кремонова соответствия m-го порядка
можно получить кремоново соответствие 2т2-го порядка и определить
основные характеристические числа последнего преобразования.
П. П. Андреев [1] и Т. Н. Крупенькин [2] дали примеры
построения инволюционных кремоновых соответствий, причём П.П.Анд-
П.П.Андрееву удалось найти весьма простой способ построения того самого инво-
инволюционного кремонова соответствия 17-го порядка, которое исполь-
используется Кастельнуово при доказательстве знаменитой теоремы о рациональ-
рациональности плоской инволюции.
§ 10. ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТЕТРАЭДРА.
Многие теоремы, относящиеся к геометрии треугольника, можно
рассматривать с точки зрения элементарной геометрии или с точки зрения
высшей синтетической геометрии.
Например, в элементарной трактовке теорема Микеля гласит: четыре
окружности, описанные около четырёх треугольников полного четырёх-
четырёхсторонника S, проходят через одну точку.
С точки же зрения высшей синтетической геометрии та же теорема
Микеля гласит: четыре кривые третьего порядка (те же окружности, но

852 ГЕОМЕТРИЯ
каждая дополненная не определяющей её стороной четырёхсторонника S),
проходящие через восемь точек (шесть вершин четырёхсторонника S
плюс две абсолютные точки), гройд^т и ещё через одну декят^ ю точку.
Если классифицировать многочисленные работы по геометрии тре-
треугольника, опубликованные у нас за последние тридцать лет, то следует
заметить, что как по методу, так и по содержанию они относятся в сущ-
сущности к элементарной геометрии. Исключение представляют только не-
немногие работы, где вопросы геометрии треугольника рассматриваются
с более общей точки зрения.
То же самое можно сказать и о работах, относящихся к тетраэдрам,
где теоремы Чевы и Менелая, а также некоторые теоремы о гомологичных
треугольниках распространяются на аналогичные теоремы в трёхмерном
пространстве; теорема Менелая распространена и на пространство п-изме-
рений (К. К. М о к рищ ев [1, 2]). Нужно заметить, однако, что здесь
метод доказательства не всегда носит элементарный характер.
§ П. РАЗНОЕ.
Остановимся в заключение на некоторых работах, не относящихся
к указанным выше разделам, но представляющих интерес.
Как известно, все построения на плоскости, выполняемые цирку-
циркулем и линейкой, могут быть осуществлены линейно, если задана непо-
неподвижная окружность и указан её центр.
Д. Д. Мордухай-Болтовской [14] распространил это
положение Штейнера на шар, доказав, что все построения, осуществляе-
осуществляемые на шаре циркулем с раствором в 90° и циркулем с произвольным раство-
раствором, могут быть осуществлены только одним первым циркулем при условии
задания на шаре определённой окружности.
Д. Д. Мордухай-Болтовской доказал также, что вместо
всей окружности можно задать только её часть.
Укажем на работы С. Г. Кислицына [2], М. П. Черняева
[8] и в особенности Б. Н. Саморукова [2], относящиеся к кон-
конфигурации Петерса-Морлея, которая строится следующим образом: в про-
пространстве берут три произвольные прямые а, Ъ, с; затем строят прямые
#1, Ьи си где а,—кратчайшее расстояние между & и с; bt—между а и с,
ct—между а и Ъ; затем опять строят три прямые а2, Ьг, с2, где аг—крат-
аг—кратчайшее расстояние между а и аи Ьг—между b и &i и с2—между с и ct.
Тогда, согласно теореме Петерса-Морлея, существует ещё прямая I,
пересекающая под прямым углом прямые а2, t2, c2, и мы получаем, таким
образом, конфигурацию, состоящую из 10 прямых, где каждая прямая
пересекает под прямым углом три прямые конфигурации.
Хотя эта теорема и принадлежит, в сущности, к элементарной гео-
геометрии, но большинство авторов, начиная с Штуди и А. П-. К о т е л ь-
н и к о в а и кончая М. П. Ч е р н я е в ым и С. Г. Кислицыным,
доказывает эту теорему при помощи винтового исчисления, причём до-
доказательство С. Г. Кислицына является самым простым из дока-
доказательств такого рода.
Б. Н. С а м о р у к о в, обратив внимание на то обстоятельство, что
если три прямые а, Ь, с лежат в одной плоскости, то теорема Петерса-
Морлея обращается в теорему о пересечении высот треугольника; при
помощи винтового исчисления получает две конфигурации, которые автор
рассматривает как распространение на пространство теорем о медианах

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 953
и биссектрисах треугольника, но он не даёт геометрического определения
этих последних конфигураций.
М. Л. Франк распространил полученный им ранее результат
об одном критерии односторонности поверхностей на алгебраические
поверхности нечётного порядка и дал конкретный пример односторонней
поверхности третьего порядка. М. Л. Франк дал ещё ряд интересных
графиков кривых очень высокого порядка.
И.Н.Рукавиц ын[3] аналитическим методом исследовал вопросы
геометрии связки сфер с радикальным центром в бесконечности: если
/?!, R2, R3 — три главные сферы, а -—плоскость их центров, то «плоско-
«плоскостью» будет сфера с центром в плоскости те, а «прямой», проходящей
через две точки М и JV, будет окружность, преходящая через М и N
и определяемая как пересечение трёх сфер —директрис. Плоскость этой
окружности перпендикулярна к плоскости г.
И. Н. Р у к а в и ц ы н [6] исследовал также вопрос о зависимости
степеней двух точек относительно пяти сфер ортогонального комплекса.
Известно, что многие графические методы и даже новые графические
дисциплины возникали из основных принципов вьешей синтетической
геометрии, как из своих общих источников. Поэтому здесь с особым
удовлетворением можно отметить появление у нас, под общей редакцией
С. А. Христианови ча*), целого цикла работ как переводных,
так и самостоятельных, относящихся к пространственной графостатике.
Сюда же можно отнести и доклад Н. С. Васильева на втором Все-
Всесоюзном математическом съезде.
Можно отметить также впервые появление у нас серьёзных учебников
и задачников по высшей синтетической геометрии, относящихся, правда,
только к её первому разделу, т. е. к учению о проективном соответствии.
Упомянем ещё о работах, стоящих, так сказать, на грани элементар-
элементарной и высшей синтетической геометрии, каковой является, например,
работа Д. И. Перепёлкина [8], в которой способ определения
конического сечения при помощи фокуса и директрисы, очевидный для
параболоида вращения, распространяется также и на другие виды поверх-
поверхностей второго порядка.
Сюда же можно отнести и теорему М. П. Черняева [12], трак-
трактующую о наличии прямого угла QPR, где Q,P, /? — диагональные точки
некоторого четырёхугольника, вписанного в коническое сечение и обла-
обладающего тем свойством, что две его стороны проходят через фокусы и пере-
пересекаются в вершине Р прямого угла QPR. Ясно,что эта теорема М. П.Ч е р-
н я е в а обобщает теорему о делении нормалью угла между радиуса-
радиусами-векторами.
Такой же характер носят и работы Н. А. Извольского,.
Б. Н. Рахманова, А. Ф. Масло ва, М. К. Гребенчаи многих
других.
*) Успехи матем. наук, 7 A940).

БИБЛИОГРАФИЯ.
Агрономов Н. А.
[1] О преобпазо. ании общего уравнения кривой второго пспядка к простейшему
виду. Владивосток, Труды Дальиевост. ун-та G), f A926), 3—8.
[21 Notas sobre el ortopolo. Rev. mat. Msp. amer., 2 A927), 175—178.
[3j Sobre algunos sistemas de dos Han u'os. Rev. mat. hisp. amer., 2 A927), 229—304.
[4] Об oihom обобщении теоремы об ортополюге. Пермь. Труды матем. семин. ун-га.
2 A928), 12—17.
Адамов А. А. •
[1] Элементарный способ для изучения очертаний кривых третьего порядка по дан-
данному уравнению в декартовых координатах. Пгр., Гос. изд. A918), 1—338.
А д е л ь с о н-В ельский Г. М.
[1] Обобщение одной геометрической теоремы С. Н. Берншгейна. ДАН, 49 A945),
399—401.
Александров А. Д.
[1] Одна теорема о выпуклых многогранниках. Труды физ.-матем. ин-та им. Стек-
лог.а, 4 A<33), 87—88.
[2| Элементарног доказательство существозания центра симметрии у трёхмерных
выпуклых параллелоэдров. Труды физ.-матем. ин-та им. Стехлова, 4 A913), 89—99.
[3] Вывод четырёхмерных ненормальных параллелоэдров. ИАН, сер. физ.-матем.
A934), 803—818.
[4] Новое доказательство несгибаемости поверхности шара. ДАН, 1A935), 353—357.
[5] О бесконечно малых изгибаниях нерегулярных поверхностей. Матем. сб.,
1 D3), A936), 3J7—322.
[6] К вопросу о суще:твовании выпуклого тела, сумма главных радиусов кривизны
которого есть данная положительная функция, удовлетворяющая условиям
замкнутости. ДАН, 14 A937), 59—60.
[7] Новые неравенства для смешанных- объбмов выпуклых тел. ДАН, 14 A937),
155—158.
[8] Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем
о выпуклых многогранниках. ИАН, сер. матем. A937), 594—608.
[9] К теории смешанных объёмов выпуклых тел. Матем. сб., 2D4), A937), 947—972.
[10] К теории смешанных объёмов выпуклых тел. Матем. сб., 2 D4), A937),
1205—1238.
[11] Одна общая теорема единственности для замкнутых поверхностей. ДАН,
19 A938), 233—236.
[12] К теории смешанных объёмов выпуклых тел. Матем. сб., 3 D5), A938), 27—46.
13] К теории смешанных объёмов выпуклых тел. Матем. сб., 3 D5), A938), 227—252.
14] Об одном классе замкнутых поверхностей. Матем. сб., 4 D6), A938), 69—77.
15] О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН, 22A939), 99—102.
16] Применение теоремы об инвариантности области к доказательствам существова-
существования. ИАН, сер. матем. A939), 243—256.
[17] О выпуклых поверхностях с плоскими границами теней. Матем. сб., 5D7), A939),
3j9—316.
[18] О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 6 D8), A939), 167—174.

БИБЛИОГРАФИЯ 955
[19] Существование почти везде второго дифференциала выпуклой функции и свя-
связанные с ним свойства выпуклых поверхностей. Л., Учён. зап. ун-та, сер. мат ем.,
6 A939), 3—35.
[20] Существование выпуклого многогранника и выпуклой поверхности с заданной
метрикой. ДАН, 30 A941), 103—106.
[21] Внутгенняя геометрия произзольной выпуклой поверхности. ДАН, 32 A941),
467-470.
[22] Существо.ание и единственность выпукло'! поверхности с данной интегральной
кривой. ДАН, 35 (\Ы2), 143-147.
[23] Гладкость выпуклой поверхности с ограниченной гауссовой кривизной. ДАН,
36 A942), 211-2 6.
[24] Существо апие выпуклого многогранника и выпуклой поверхности с заданной
метрикой. Магем. со., 11 E3), A942), 15-66.
[25] Внутренняя метрика выпуклой поверхности в пространстве постоянной кри-
кривизны. ДАН, 45 A944), 3—6.
{26] Изоперимегрические неравенства на кривых поверхностях. ДАН, 47 A945),
239—242.
[27] Кривые на выпуклых поверхностях. ДАН, 47 A945), 319—322.
[28] О треугольниках на выпуклых поверхностях. ДАН, 50 A945), 19—22.
[29] Кривизна выпуклых поверхностей. ДАН, 50 A945), 23—26.
[30] Выпуклые поверхности как поверхности положительной кривизны. ДАН,
50 A945), >7—30.
[31] Одна изэперимегрическая задача. ДАН, 50 A945), 31—34.
[32] Полные выпуклые поверхности в пространстве Лобачевского. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 113—120.
[33] О метрике выпуклой поверхности в пространстве постоянной кривизны. ДАН,
51 A946), 407—410.
[34] О склеивании выпуклых поверхностей. ДАН, 54 A946), 99—102.
C5] Основания внутренней геометрии поверхностей. Л., Научн. бюлл. ун-та,
7 A946), 3—4.
[36] О работах С. Э. Кон-Фоссена. Успехи матем. наук, 2:3 A9), A947), 107—141.
[37J Геометрия и топология в Советском Союзе, I. Успехи матем. наук, 2 :4 B0),
A947). 3—Е8.
[38] Геометрия и топология в Советском Союзе, II. Услехи матем. наук, 2 :5 B1),
П947), 9—92.
39] Метод склеивания в теории поверхностей. ДАН, 57 A947), 863—865.
Александров В. А.
[1] О применении методов высшей геометрии к решению задач на построение. Орёл,
Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем., 1 A940), 53—60.
Алексеев Н. И.
[1] Изгибание поверхностей Weingarten'a, остающихся поверхностями Weingarten'а.
М., Научн. зап. гидромелиорат. ин-та, 10 : 26 A941).
Амосов С. И. и Кузьмин Р. О.
[1] Об одном геометрическом вопросе. Л., Изв. политехи, ин-та, отд. естеств. и матем.,
30 : 3 A931), 15—18.
А н а н о в Д. Г.
[1] Курс начертательной геометрии. Ч. I, М Л., ГТТИ A932), 1—343.
Андреев П. П.
[1] Построение инволюционного кремонова соответствия 17-го порядка. Л., Труды
научно-техн. конфер. военно-трансп. акад., сб. 2 A938), 79—82.
Антонов М. Я.
[1] О построении архимедовой спирали. Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ин-та,
11 A929), 240—244.
Астафьев В. К.
JI] К вопросу о построении пространственных кривых проективными способами.
Рязань, Учён. зап. пед. ин-та, 1 A939), 29—39.

966 ГЕОМЕТРИЯ
Б а д а л ь я н В. X.
[1] Геометрическая характеристика конгруэнции с постоянным инвариантом Бсльша.
ДАН, 33 A941), 339—341.
Баженов Г. М.
[1] Геометрический метод определения эллиптической орбиты планеты по трйм её
геоцентрическим расстояниям. Воронеж, Труды ун-та, Ю: 1 A938), 11—13.
Б а м-3 е л и к о в и ч Г. №.
[1] О фокальных поверхностях расслояемых конгруэнции. ДАН, 56 A947), 671—674
Бахвалов СВ.
[1] К вопросу об изгибании поверхностей с сохранением главных радиусов кривизны
М., Изв. асе. ин-тов ун-та, 1—2 A928), 8—14.
[2] Sur la deformation simultanee de deux surfaces assocides. С R. Acad. Sci.,
188 A929), 1364—1367.
[3] Совместное изгибание двух связанных поверхностей. Матем. сб., 40 A933),
150—167.
[4] О некоторых свойствах пары конгруэнции. ДАН, 1 A936), 207—210.
[5] Об одном изгибании нормальной конгруэнции. Матем. сб., 1 D3), A936),
243—252.
[6] Об одном инварианте системы замкнутых линий. М., Учён. зап. пед. ин-та,
сер. физ.-матем., 1 A937), 34—49.
[7] Sur les couples de congruences rrctilignesstratifiables. C.R. Acad. Sci., 204A937),
1859—1861.
[8] Пара расслояемых конгруэнции. ДАН, 21 A938), 275—276.
[9] О паре параболических конгруэнции. ДАН, 21 A938), 419—421.
[10] Замкнутые геодезические линии на выпуклом многограннике. М., Учён. зап. пед.
ин-та, сер. физ.-матем., 2 A938), 61—76.
[11] О расслояемых парах конгруэнции, связанных с конгруэнциями Bianchi. ДАН,
23 A939), 743—745.
[12] Пара расслояемых конгруэнции. Матем. сб., 6 D8), A939), 67—76.
[13] Замечания к методу подвижного трёхгранника. Матем. сб., 7 D9), A940),
321—326.
[14] Об одном инварианте асимптотических преобразований. ДАН, 44A944) ,95— 96.
[15] Геодезические линии на кубе. М., Учён. зап. ун-та, 100 A946), 127—139.
Б е г е и е в А. А.
[1] Новое решение задачи Аполлония о касании. Воронеж, Изв. пед. ин-та,
5 : 2 A939), 5—11.
[2] Новый метод образования видов кривых третьего порядка. Воронеж. И?в. пег.
ин-та, 7: 1 A940), 27—50.
[3] Распространение метода дискриминантных парабол иа кривые л-го порядка.
Воронеж, Изв. пед. ип-та, 7 : 1 A940), 51—72.
Б е к е е в А. П.
[1] Построения -Штейнера в геометрии треугольника. Владивосток, Учён. зап.
Дальневост. ун-та, сер. фиэ.-матем., 1 A937), 141—149.
[2] О некоторых случаях гомологического расположения треугольников. Владиво-
Владивосток, Учён. зап. Дальневост. ун-та, сер. физ.-матем. 1 A937), 151—172.
БерковичА.
[1] Обоснование неархимедовой геометрии Лобачевского. Одесса, Научн. зап. пед.
ин-та, 2 A939), 71—82.
Бериштейн С Н.
[1] Ober ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partielle Differen-
tia'gleichungen vom elliptischen Typus. Math. Z., 26 (.927), 551— 55S (есть рус-
русский перевод. См. [2]).
[2] Об одной геометрической теореме и её приложениях к уравнениям в частных про-
производных эллиптического типа. Успехи матем. наук, 8 A941), 75—81 (пере-
(перевод [1]).
[3] Усиление теоремы о поверхностях отрицательной кривизны. ИАН, сер матем..
6 A942), 285—290. .

БИБЛИОГРАФИЯ 957
[4] Дополнение к моей статье «Усиление теоремы о поверхностях отрицательной
кривизны». ИАН. сер. матем., 7 A943), 297—298.
Б ее к и и Н. М.
[1] Аналог теоремы Pohlke-S:hwarz'a в центральной аксонометрии. ДАН, 50 A945),
41—44.
[2] Аналог теоремы Польке-Шварца в центральной аксонометрии. Матем. сб.,
19 @1), A946), 57—72.
[3] (Лшвн.е предложение аксонометрии. В кн. «Вэпрэсы современной начертатель-
начертательной геометрии». М.-Л., ГТТИ A947;, 55—126.
Бланк Я. П.
A] liber g?radlinig:m FlS:hen mit einem konjugierten Netz ebener Kegellinien. Хрк.,
Зэп. магем. т-ва D), 7 A933), 15—24.
[2] Ober S hatt;njn;nzen auf den Fla.hen. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 8 A934),
4й—-50.
S3] РШ hen mit zwei konjjgierten Netzen ebener K?g3llinien. Хрк., Зап. матем. т-ва
A), П A935), 55—68.
[4] Uber eine g^ometrisJie Deutung der Intigrabilitatsbedingung der Pfaffschen
Diff ;rsntialgiei hung. Хрк., Зап. магем. т-ва D), 13 A93b), 75—81.
[5] EngJl'eija проблема про поверхш переносу. Хрк., Зап. магем. т-ва D), 14A937),
181—204.
[6] Проблема Engel'n о поверхностях переноса, II. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
17 A940), 99—108.
Бобковская Н. А.
[1] К таблицам кремоновых сетей 23-го и 24-го порядков. М.,Труды зоотехн. ин-та,
4 A936), 151—174.
[2] Таблицы кремоновых сетей 23-го и 24-го порядков, вычисленные по способу
А. А. Глаголева. М., Труды зоотехн. ин-та, 4 A936), П5—197.
Богомолов С. Л.
[1] Основания rco.-.ieipuH. Пгр., Го.-, нзд. A923), 1—330.
|2] Введение в неевклидову геометрию Римана. Л.—М., ГТТИ A934), 1—226.
3J И тлелование <и;темы аксиом римановой геометрии. Л., Учён. зап. пед. ин-та,
5 A937), 21—48.
[4] Меюд Гга'смапа и его применение к исследованию и классификации кривых
третьего порядка. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939), 5—56.
[5] Изогоны и изоэдры. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939), 57—80.
Богоявленский А.
[1] Расстояние точки до прямой. Минск, Зап.-Белорусок, акад., 11 A930), 145—150.
[2] Об одном спо обе вывода формул для четырёхугольника с 3 прямыми углами
в геометрии Лобачевского. Казань, Учён. зап. ун-та, 98: 7 A939), 37—46.
Бородин Б. В.
[1] К вопроу о вычислении длины дуги кривой. Пермь, Труды матем. семин. ун-та,
2 A928), 30—31.
Б р е и е в Е. К.
[1] Аксиомы порядка в системе аксиом геометрии Hilbert'a. Матем сб., 31 A924),
576—578.
Бронштейн И. Н.
|1] О .мнимых линейных wurf'ax. Матем. сб., 34 A924), 37—47.
Б у й м о л а Г. Л.
[1] Коефщ'снг то<:ност1 геэметричных побудов. Львсв, Учён. зап. уи-та, сер-
<1.из.-л а;ем;, 5 : 1 <1947), 80—93.
Б у к р е ев Б. Я.
[1] Простейшее решение задачи об эволютах пространственной кривой. Симферо-
Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 159—160.
[2] О фокусах кривых второго порядка. Киев, Изв. политехи, с.-х. ин-та, 19 A924),
3—8.
[3] Наризи з г1пербол1чно! геометрп. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 18 A940), 57—69.

958 ГЕОМЕТРИЯ
Б у р с т и н Ц. Л.
[1] BeitrSge zum Problem der Verblcgung der НурегШспеп in euklidischen Raumen.
Матем. сб., 37 A930), 3— 12.
[2] Ein Beitrrg zurTheorie der Parallelhyperfia hen, 1. Матем., сб., 37A030), 23—34.
[3] Ein Beitrg zur Theorie der Parallelhyperfia hen. II. Матем. <б.. 37A930), 36—40.
[4J Ein В itra? zur Theorie der Einbettung der Riemann'schen Raume in euklidi-
euklidischen Raume. Матем. сб., 38 : 3—4 (ИЗ ). 74—85.
[5] Beitrag? der Verbiegung von НурегШ-hen in euklidischen Raumen. Матем. сб.,
38 : 3—4 A931), 86—93.
[6] Zum Einbetturgsproblem. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 5 A932), 87—95.
[7] Zur Ch?nkterisierurg der Kugelfla he, der Ebene und der Zylinderfla.he. Матем.
сб., 40 A933), 24—30.
[8] Probleme der Differentialgeometrie in der Mechanik, II. ^ Матем. сб., 40 A933),
31—38.
[9] Ein Beitrrg zur Theorie des Klassenbegriffes der quadratis'hen Differentialformen.
Труды семин. по векторп. и тензорн. анализу, 4 A937), 121—138.
Бюшгенс С, С.
[1] Об изгибании поверхностей на главном огновании. М. A917), 1—79.
2] Sur certaines families invariables de courbes. Матем. сб., 32 A925), 348—352.
3] Sur une rlasse des hypersurfa-es. Матем. (б.. 32 A925), 625—631.
4] Sur les surfa es ayan-t une famille des paralleles planes ou spheriques. Матем. сб.,
32 A925), 632—645.
5] К теореме Koenigs'a. Матем. сб., 33 A926), 49—?6.
6] Sur le theoreme de Kpenigs. M., Ohcih. засед. матем. о-ва A926), 3—4.
7] Sur Г equation de Bour. M., О1чё'Ы за'ед. матем. о-ва A926), 12—13.
[8] Equation des geodesiques des surfaces a rourbure totale ronstente, surfaces dont
les lignes de courbure totale constante sont geodesiques. Bull. Sti. Math., 60 A936),
235—239.
f9] Sur la deformation des surfaces de Bian'-hi. С R. Arad. S~i., 202 A936), 2122—2124.
10] Sur les surfa-es de Bian hi. С R. Acad. S i., 203 A936), 762—764.
11] Sur le roulement des courbes. L'enseignement Math., 35:3—4A937).
12] О качении кривой. М., Ж. Матем. про в., 10 A937), 40—47.
13] О качении кривых. М., Научн. зап. гидромелиорат. ин-та, 5 A938), Ь—13.
14] Метод комплексного переменного в кинематике плоских механизмов. ИАН, ОТН
A938).
15] Качение фигуры со скольжением. ИАН, ОТН A938).
16] К аналишчекой теории плоских зацеплений.- ИАН, ОТН, 10 A939).
17] Механизм Беннета-Верховского. Прикл. матем. и мех., 2 A939).
18] Метод комплексного переменного в кинематике механизмов. ИАН, ОТН A939).
19] Дифференциальная геометрия. М.—Л., ГИТТЛ A940), 1—300.
2Э] Геомет ил векторного поля. ДАН, 43A945), 163— 1Г6.
21] Геометрия векторного поля, II. ДАН, 48A945), 403—404.
22] Геометрия векторного поля. ИАН, сер. матем., 10 A946), 73—96.
23] Ратлояемые пары конгруэнции (проективное обобщение случая Bianchi). M.,
Учён. зап. ун-та, 100 A946), 140—149.
[24] Аналитиче-кая геометрия. Ч. 1, 2. Изд. 2. М.—Л., ГТТИ A946), 4?0+2f6.
[25] Критическая поверхность адиабатического потока. ДАН, ?8 A947), 365—S68.
Бюшг-енс С. С. и Российский С. Д.
[1] Deformation des congruences stratifi?bles. C. R. Acad. S-i., 189 A929), 140—143.
[2] S т les couples des corgruences stratifiables et sur la deformation des surfaces. Матем.
сб., 36 A929), 339—370.
Вагнер В. В.
[1] Sur la ge"ometrie differentielle des multiplirites anholonomes. Труды семин. по
вектори. и тензорн. анализу, 2—3 AРЗ.Е). 269—318.
[2] Sur la geometrie differentielle des multiplHtes anholonomes. Труды семин. по
векторн. и тензорн. анализу, 4 A937), 69.
13] Двухмерное пространство с кубической метрикой. Саратов, Учён. зап. ун-та,
сер. физ.-матем., 1 A4): 1A-938), 29—40.
[4] Геометрия про"транства конфигураций твёрдого тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки. Саратов, Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A4): 2 A938),
34—59.

БИБЛИОГРАФИЯ 9f>9
[5] Неголономные многообразия, для которых дифференциальные уравнения линий
стационарной длины имеют первый линейный интеграл. Саратов, Учён. зап. ун-та,
сер. физ.-матем., 1 A4) : 2 A938), €0—66.
[6] A generalisation of non-holonomie manifolds in Finslerian Space. Саратов, Учён.
зап. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A4): 2 A938), 67—97.
[7] Римановы пространства с постоянными символами Кристоффеля. Саратов, Учён.
зап. ун-та, сер. фиг>.-матем., 1 A4): 2 A938), 98—104.
[8] tTber BerwaldVhe Raume. Матем. (б., 3 D5), A938), 655—f62.
[9] tJber r| von der Krflmmutig Null iti R3. Матем. сб., 4 D6), A938), 333—338.
[10] On the geometrical interpretation of the curvature vector of a non-holonomie r| in
the .three-dimensional Euclidean space. Матем. сб., 4 D6), A938), 339—356.
[11] Дифференциальная геометрия неголоиомных многообразий. Казань, VIII между-
народн. конкурс на сои-кание премий им. Лобачевского A94р), 1SE—262.
[12] Differential geometry of non-linear non-holonomie manifolds in the ihree-dimen-
sional Euclide?n space. №атем. сб., 8 E0), A940), 3—40.
[13] Геометрия (п—1)-меркого пеголономного многообразия в л-уерром пространстве.
Труды семин. по пекторн. и тензорн.' анализу, 5 A941), ПЗ—225.
[14] К вопросу сб определении инвариантной характеристики поверхностей Лиувилля.
Труды семин. по векторп. и тенгорн. анализу, 5 A941), 24f—249.
[15] Теория конгруэнции кругов и геометрия неголономного v% R3. Труды семин. по
векторн. и тенгорн. аналигу, 5 A941), 271—283.
[16] Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем.
Труды семинара по векторн. и тензорн. анализу, 5 A941), 301—327.
[17] О группе голономии Картана для поверхностей. ДАН, 37 A942), 7—10.
[18] Differential geometry of the family of #*'sin Rn and of the f?mily of totally
geodesieSfc—^s in ¦<?„—! of positive curvature. Матем. сб., 10E2), A942), 165—212.
[19] Об обобщённых пространствах Бервальда. ДАН, 39 A943), 3—5.
[20] Двухмерные пространлва Финслера с конечными непрерывными группами
голономии. ДАН, 39 A943), 223—226.
[21] Абсолютная производная поля локального геометрического объекта в составном
многообразии. ДАН, 40 A943), 99—102.
[22] The inner geometry of non-linear non-holonomie manifolds. Матем. сб., 13 E5),
A943), 135—167.
¦23] Гомологические преобразования метрики Финслера. ДАН, 46 A945), 287—290.
[24] Обобщение тождеств Риччи и Бианки для связности в составном многообразии.
ДАН, 46 A945), 335—338.
[25] Теория геометрических объектов и теория конечных и бесконечных непрерывных
групп преобразований. ДАН, 46 A945), 383—386.
[26] Геометрия поля локальных центральных плоских кривых в Х3. ДАН, 48 A945),
24f— 248.
[27] Геометрия поля локальных кривых в Х3 и простейший случай задачи Лагранжа
в вариационном исчислении. ДАН, 48 A945), 383—386.
[28] Постоянные поля локальных геометрических объектов в составном многообразии
с линейной связностью. ДАН, 53 A946), 187—190.
[29] О до"таточном условии в задаче Лагранжа для кратных интегралов. ДАН,
54 A946), 483—486.
[30] Геометрия пространства с ареальной метрикой и её приложения к вариацион-
вариационному и.числению. Матем. сб., 19 F1), A946), 341—404.
[31] О геометрической интерпретации экстремальных поверхностей в задаче Лагранжа
для кратных интегралов. ДАН, 55 A947), 91—94.
[32] Геометрия «-мерного пространства с m-мерной римановой метрикой и её прило-
приложения к вариационному исчислению. Матем. сб., 20 (R2), A947), 3—25.
[33] Ге метрическая теория простейшей л-мерн ;й сингулярной задачи вариационного
исчисления. Л атем. сб., 21 F3), A947), о21—362.
В а й н ф е л ь д А. С.
[1] Геометрический метод определения и исследования деформации линейчатой
поверхности. Хрк., Научн. зап., 2 A926), 87—Ю6.
Васильев А.
[1] L'algsbra di Lobacewski. Period. Math., 5 A925), 121—130.
Вельмин В. П.
[1] Применение теории целых комплексных чисел к решению одной геометрической,
задачи. Ростов н/Д, Изв. Донск. ун-та, 5 A925), 40—41.

•QUO ГЕОМЕТРИЯ
В и л л и м И. И.
[1] Практические приёмы решения задач на пересечение многогранников. Л., Труды
кораблестр. ин-та, 5 A940), 127—134.
Власов А. К.
[1] Новое доказательство теоремы PohIke. Матем. сб., 32 A925), 453—456.
[2] Об о обенностях в расположении паскалевых линий для данных шести точек
конического сечения. Матем. сб., 32 A925), 689—704.
Войлоков Н. Т.
[1] О смешанных интегральных инвариантах. ДАН, 32 A941), 107—ПО.
Выгодский М. Я.
[1] О замкнутых линиях с заданной индикатрисой касательных. Матем. сб., 16 E8).
A945), 73—80.
Гаврилов А. Ф.
[1] Об алгебраиче:ких интегралах уравнения геодезических линий. Л., Изв. поли-
политехи, ин-та, 30 A927), 53—74.
Глаголев \. А.
[1] Применение плоскостных пурфоп к определению пространственной кривой
четвертого порядка первого рода. Матем. сб., 32 A925), 342—347.
[2] Constru tion effe tive et generale de la transformation de Cremona dans le plan
et dans l'espace. С R. Acad. S i., 196 A933), 666—667.
[3] Элгу.ен арюе до азагельств.) теоремы > мн ^угольниках Понс-еле. Ииформ.
фач-ia ojooor.) назначения Иархомзема PCqCP A934).
[4] Чи го reovieipH4eoKoe определение инволюции Tpeibero порядка. Л., Труды
вюрого Всг оюзм. съезда матем., т. I A936), 102—104.
[5] Проективное обо нование одной геометрической теории Бурместера. Л., Труды
иаучно-гехи. копфер. военно-тран^п. акад., (б. 2 A938), 27—32.
[6] Эффективное по:троепие кремонопа соответствия в пространстве. М., Труды ин-та
механиз. и электриф. с. х. A939), 110—112.
7] Новое определение кривой Tpeibero порядка. ДАН, 53 A946), 779—780.
Ь] О сопряжённо:ти двух троек точек. ДАН. 54 A946), 291—294.
[9] Применение теории инволюций высших порядков к решению задач линейной
геоме1рии. М., Диссертация A946).
[10] О построении то>.ек Бурл.естра. ДАН, 58 A947), !881—1882.
Глаголев Н. А.
[1] Задача о кра1чайи;ей линии в проекциях с числовыми отметками. Матем. сб.,
31 A924), 319—323.
[2] Римановы многообразия проективной стгуктугьт. Матем. 'б., 32 A925), 177—191.
[3] О геотезиче~:<ом отоэрэжении многообразий. Ма ем. сб., 32 A925;, 305—319.
[4] Обобщение теоремы Pohlke. Maieiv. .6., 32 A9zo), 4=7—463.
[51 Новые применения плоскостных пурфов. М., Труды Всеросс. съезда матем. A 27),
235—236.
[6] Общий метоп и-чи'ления и приложения плоскостных вурфов. М., Изв. асе. ин-тов
ун-та, 1—2 A928), 15—22.
[7] Работы Luigi Bian hi по многомерной геометрии и геометрии кривых прострагств.
М., Труды геом. кружка ун-та, 1 A930), 37—48.
[8] Sur une 'ocneption des axiomes du premier groupe de la geometrie protective.
Period. Mat., 15 A935), 172—176.
[9] Sur l3s axiomes d'appartenance de la geometrie eu:lidienne. C. R. Acad. S:L,
201 A935), 867—868.
[10] О проекшпных свойствах линейной конгруэнции. Л., Труды второго Всесоюзн.
съезда матем., т. II A936).
[11] Проективная геометрия. М.— Л., ОНТИ A936), 1—292.
[12] Sur le probleme generate du calcul proje tif. J. math. pur. appl., 17 A938),
387--404.
[13] Sur les axiomes d'appartenance de la geometrie eu lidienne. Матем. сб., 6 D8),
A939), 221—226.
[14] О безмерных геометрических образах. М., Труды каф. матем. городск. пед. ин-ia»
1 A940).
(I5j Начертательная геометрия. Изд. 2. М.—Л., ОНТИ A946), 1—235.

БИБЛИОГРАФИЯ 961
[16] Геэчегричгеки? пргобразования в начертательной геометрии В ки. «Вопросы
сзвремеинзй нячергательизй геометрии». М.—Л., ГТТИ A947), 9—54.
Глаголева А. А.
A] О:либка Шгейнера в решении одной геометрической задачи. Л., Труды научно-
техн. конфер. военно-трансп. акад., сб. 2 A938), 51—60.
ГливенкоВ. И.
Jl] Sur les surfaces d'aire finie. С. R. Acad. Sci., 183 A926), 498—500.
Го гояв ленский И.
fl] Центр тяжести многоугольника. Минск, Зап. Белорусск. Акад., 11 A930)
123—136.
Головин Б. М.
f I] Одно упрощение второго гильбертова постулата. Саратов, Труды планов, ин-та.
2 A934), 163.
{2] Построение метрической евклидовой геометрии без помощи проективной и посту-
постулатов конгруэнции. Саратов, Труды планов, ин-та, 3 A934), 161—170.
f3] Построение метрической евклидовой геометрии без помощи проективной и посту-
постулатов конгруэнции, II. Саратов, Труды планов, ин-та, 4 A93?), 145—166.
[4] Построение метрической евклидовой геометрии без помощи проективной и посту-
постулатов конгруэнции. Саратов, Труды планов, ин-та, 6 A935), 129—142.
Г о и и н Е. Г. . . .
[1] Интерпретация Пуанкаре как аналог стереографической проекции. Пермь, Учён.
зап. пед. ин-та, 3 A938), 39—42.
[2] Доказательство независимости аксиом соединения проективной геометрии.
Пермь, Учён. зап. пед. ин-та, 3 A938), 43—46.
Горбунов Б. Н. и Уманский А. А.
[1] О построении конических сечений. Киев, Изв. политехи, и с.-х. ин-та, 1'9<1924),
126—134. Щ
[2] Про взае.мш криш. Киев, Труды физ.-матем. отд. АН УССР, 5 :5 A927),
371—374.
Гордон 8. О.
[1] Курс начертательной геометрии. Изд. 2. М.—Л., ОНТИ A937), 1—310.
Горин Н. П.
[1] О некоторых свойствах кривых, полярных системе софокусных коник. Екате-
Екатеринбург, Изв. Уральск, ун-та, 1 A920), 1—16.
[2] Некоторые свойства Фокальных кривых софокусных поверхностей второго поряд-
порядка. Екатеринбург, Изв. Уральск, ун-та, 2 A921), 1—8.
[3] О сложении сил в пространстве Лобачевского (статика в плоскости). Свердловск,
Изв. Уральск, ун-та, 3 A922—1923), 1—20.
[4J Некоторые замечания о полю:ах и полярах в гиперболической плоскости. Сверд-
Свердловск, Изв. Уральск, политехи, ин-та, 6 A927), 341—345.
Г о х м а н Э. X.
[1] Введение в тензорное исчисление. Хрк.—Киев, ГНТИ A935), 1—130.
Граве Д. А.
[1] Плоская геометрия Евклида как предельная для геометрии Лобачевского.1
Сб. «In mem. Lobatschevskii», 2 A927), 25—36.
Гремяченский А. П.
[1] Об одном обобщении теории о кривых постоянной ширины. Ростов н/Д, Учбн.
зап. ун-та, 8 A936), 170—173. ' '
. Григорьев Е. И.
[1] Из новой геометрии треугольника. Казань, Учён. зап. ун-та, 85 A925), 63—67.
[2] Методические замечания по вопросу о геометрических местах. Казань, Труды
авиац. ин-та, 1 A933), 45—59. •
[37 Деление параболического сегмента. Казань, Труды авиац. ин-та, 3 A935), 37—43.
[4] О площади четырёхугольника. Казань, Учён. зап. ун-та, 98 : 9- A938), 65—78.
61 Математика в СССР аа 30 пет

962 ГЕОМЕТРИЯ
Грузинцев Г. А.
II] Об аксиомах первой группы в'системе Гильберта. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
4 A930), 163—190.
Гулисашвили А. А.
11] Получение аксонометрических проекций путём вращения ортогональвых. Тби-
Тбилиси, Труды индустр. ин-та, 1 A943), 103—114.
ГуревичГ. Б.
[1] Sur la divisibiltte des trivecteurs et des quadrivecteurs par un vecteur. C. R. Acad.
Sci., 192 A931), 138—139.
[2] О ранге тривектора. М., Учен. зап. ун-та, 1 A933), 22—25.
[3] Ober einige Integralaufgaben der Tensoranalysis. Труды семин. по векторн. и тен-
зорн. анализу, 1 A933), 143—195.
[4] Sur une equation algebrique en polyvecteurs. C. R. Acad. Sci., 197 A933), 222—224.
[5] Sur les formes canoniques d'un trlvecteur dans l'espace a six dimensions. C. R.
Acad. Sci., 197 A933), 385—389.
[6] О некоторых арифметических инвариантах тривектора и кубической' формы.
ДАН, 3 A934), 317—319.
[7] Приведение тривектора к каноническому виду в одном особом случае. ДАН,
3 A934), 320—321.
[8] О тривекторах в пространстве 7 измерений. ДАН, 3 A934), 564—509.
[9] Классификация тривекторов восьмого ранга. ДАН, 2 A935), 353—357.
[10] L'algebre du trivecteur, I. Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу.
2—3 A935), 51—118.
[11] Алгебра тривектора. М., В кн. «Материалы I научно-техн. конфер. кафедр ин-та
инж. трансп.» A936), 177.
[12] Sur l'algebre du trivecteur, II. Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу,
4 A937), 139—146.
[13] Геометрическая теория квадратичной и кубической бинарных форм. М., Учён,
гап. пел. ин-та им. К. Либкнехта, 7 A940), 3—14.
[14] Аналогия между бинарной кубической формой и тривектором в шестимерном про-
пространстве. М., Учён. зап. пед. ин-та им. К. Либкнехта, 7 A940), 15—20.
[15] Арифметические инварианты бинарной формы четвёртого порядка, М., Учён,
зап. пед. ин-та им. К. Либкнехта, 7 A940), 21—30.
[16] Арифметические характеристики квадривекторов шестого и седьмого ранга. М.,
Учён. зап. пед. ин-та им. К. Либкиехта, 7 A940), 31—34.
[17] О некоторых арифметических инвариантах произвольной матричной алгебры Ли.
ДАН, 45 A944), 51—53.
[18] Полные системы бивекторов. ДАН, 45 A944), 383—384.
Д а в а т у В.
[1] Синтетические основы плоской параболической геометрии. Хрк., Зап. матем.
т-ва B), 15 A917), 177—192.
ДармостукП. М.
[1] Особенные случаи соприкасающегося шара (и плоскости) в точке пространствен-
пространственной кривой. Хрк., Зап. матем. г-ва D), 1 A927), 80—83.
[2] Про крив! на разгорних поверхнях, що i'XHi дотичш утворюють конгруэншю з
фокальною кривою. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4 A930), 201—210.
[3] Quelques proprietes de la congruence de droites. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
11 A935), 69—76.
[4] О системе прямых, соединяющих точки соответствующих кривых двух семейств
кривых, зависящих от двух параметров. Хрк., Труды гидрометеорол. ин-та,
3 A940), 259—265. ~
Делоне Б. Н.
[1] Sur la theorie des para 116 loedres. C. R. Acad. Sci., 183 A926), 464—469.
[2] Простейший способ построения параболы по точкам. Л., Вестн. мех. и прикл.
матем., 1 A929),с 88—89.
[3] Sur la partition reguliere de l'espace a 4-dimensions. ИАН, сер. физ.-матем.,
1 A929), 79.
[4] Sur la partition reguliere de l'espace a 4-dimensions. ИАН, сер. физ.-матем.,

БИБЛИОГРАФИЯ 963"
[5] Neue Darstellung der geometrischen Kristattographie. Z. f. Kristallographie (A),
84 A932), 109—149.
[6] Sur la generalisation de la theorie des paralleloedres. ИАН, сер. физ.-матем. A933),
641—646.
{7] О плотнейших параллелепипедальных расположениях шариков в пространствах
трёх и четырёх измерений. Труды матем. ин-та им. Стеклова, 4 A933), 63—69.
[8] Доказательство неравенства Бруна-Минковского. Успехи матем. иаук, 2 A936),.
39—46.
[9] Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи матем. наук, 3 A937),.
16—62.
[10] Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи матем. наук, 4 A938),
102—164.
Делоне Б., Подуров Н. и Александров А.
[1] Математические основы структурного анализа кристаллов. М.—Л., ГТТИ
A934).
Демидович Б. П.
[1] О некоторых достаточных условиях существования интегрального инварианта.
Матем. сб., 3 D5), A938) 291—310.
Депутатов В. Н.
[1] К вопросу о природе плоскостных вурфов. Матем. сб., 33A926), 109—118.
Дешевой Г. М.
[1] Применение метода изображения координат к решению задач в перспективе.
Л., Зап. горн, ин-та, 12 : 3 A939), 45—67.
Джавадов М. А.
[1] Гонометрические системы. Баку, Труды сек. матем. АН АзССР A946), 72—99.
Джигит С. Д.
[1] О свойствах касательных функции ya = j. Изв. Крым. пед. ин-та, 8 A939),
61—69.
Долапчиев Б.
[1] Sur certaines courbes tracees sur une surface donnee. Матем. сб., 42 A935).
395—402.
Дуб И. Д.
{1]Об одном доказательстве теоремы Паскаля и Брианшона. Одесса, Научн. зап.
пед. ин-та, 2 A939), 59—60.
Дубин С. В.
[1] К теории афинных полей. Свердловск—М., Изв. Уральск, лесотехн. ин-та, 3 A934),
65—80.
Ду б н о в Я- С.
[11 О симметрично сдвоенных Ортогональных матрицах. М., Труды асе. ин-тов
ун-та A927), 33—55.
[2] О тензорах с векторными компонентами. М., Труды Всеросс. съезда матем. A927),
190—192.
[3] О совместных инвариантах системы афиноров. М., Труды Всеросс. съезда матем.
A927), 236—237.
[4] Соотношения между кривизнами линии, лежащей на данний гиперповерхности.
Матем. сб., 36 A929), 417—424.
[5] Sur lescaracteristiques tensorielles de certaines classes de surface et de leurs reseaux.
С R. Acad. Si., 192 A931), 261—264.
[6] Sur les tenseurs fondamentaux d'une congruence rectiligne. С R. Acad. Sci.,
• 192 A931), 339—401.
[7] О циклическом афиноре. М., Учён. зап. ун-та. 1 A933), 16—17.
[8] О матрицах Дирака. М., Учён. зап. ун-та, 2 A933), 43—48.
[9] Основы векторного исчисления. Ч. I. Векторная алгебра. Изд. 3. М.—Л., ГТТИ
A939), 1—212.
61*

964 ГЕОМЕТРИЯ
[ 10] Stir Ies tenseurs a divergence unique. Atti Accad. naz. Lincei, 17 A933), 507—?08.
A1] Ober Tensoren rrit nichtskalaren Komponenten. Труды семин. по веюорн. и тен-
зорн. анализу, 1 A933), 196—222.
[12] Die Differentialgeometrie der Strahlenkongruenzen in tensorieller Darstellung.
Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу, 1 A933), 223—303.
[13] К дифференциальной геометрии сетей (теоремы приведения; геодезические сети).
ДАН, 4 A935), 7—10.
{14] Integration covariante dans Ies espaces de Riemann a deux et a trois dimensions.
Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу, 2—3 A935), 174—199.
[15] Sur uhe generalisation de l'equation de Hamilton-Cayley et sur Ies invariants
simultanes de plusieurs affineurs. Труды семин. по веюорн. и тензорн. анализу,
2—3 A935), 351—367.
116] Sur Ies caracteristiques tensorielles des surfaces et de leurs reseaux. Труды семин.
по векторн. и тензорн. анализу, 4 A937), 197—304.
[17] Полная система инвариантов двух афиноров в центроафинном пространстве двух
и трёх измерений. Труды семии. по векторн. и тензорн. анализу, 5 A941),
250—270.
[18] Сети равных путей на поверхности. М., Учён зап. ун-та, 100 A946),
212—216.
Дубнов Я. С. и Ефимов Н. В.
[1] О парах и пучках сетей. ДАН, 4 A936), 43—46.
[2] Об особенных геодезических сетях и поверхности Lie. ДАН, 15 A937), 415—416.
Дубнов Я. С. иИванов В. К.
[1] О понижении степени афинорных полиномов. ДАН, 41 A943), 99—102
Дубнов Я. С. и Сабиров М. А.
[1].К теории шаровых конгруэнции. ДАН, 22 A939), 478—480.
[2] Основные тензоры в метрической теории шаровых конгруэнции. ДАН, 49 A945),
639—641.
Дубнов Я. С. и Фукс С. А.
[1] О пространственных аналогах чебышевской сети. ДАН, 28 П940), 102—104.
Д у д и н С.
[1] Очерки по элементарной аналитической геометрии в параллельных тангенциаль-
тангенциальных координатах. Свердловск, кзв. Уральск, ун-та, 3 A922—1923), 21—50.
[2] Очерки по элементарной аналитической геометрии в параллельных тангенциаль-
тангенциальных координатах. Свердловск, Изв. Уральск, политехи, ин-та, 4 A924—1925).
17—43.
Д у к о р И. Г.
[1] К теореме Хелли о совокупностях выпуклых тел с общими точками. Успехи
матем. наук, 10 A944), 60—61.
Д у ш и и Н.
[1] Самонроективные или W-кривые. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 1 A927), 32—63.
Егоров Д. Ф.
[1] Дифференциальная геометрия. М.—Пгр., Гос. изд. A924), 1—288.
[2] ?ur Ies surfaces, engendrees par la distribution des lignes d'une famille donnee.
Матем. сб., 31 A924), 153—184.
[3] Fur Ies congruences W a focales reglees. Atti Accad. naz. Lincei, 10 A929),
145—148.
E л ь к и н Л. И.
[1] Опыт синтетического дсказательства теоремы Польке. Баку, Труды строит,
ин-та. 1 A943), 183—189.
Ермолаев Л- С.
[1] Sur Ies ccup'es des surfaces dent 'es asyrrptotiques fe correspondent et qufr
aux points homologues, ont une raire ce droites cenjuguees corr.ir.unes. Atti
Accad. naz. Lineei, 22 A935), 23—29.

БИБЛИОГРАФИЯ 965
[2] Пооектпвное отображение поверхности. ДАН, 26 A940), 743—745.
[3] Некоторые классы точечных соггветствий поверхностей, определяемые проектив-
проективными отображениями. ДАН, 27 A910), 422—4^4.
[4] Кла:сификацил взаимно однознгчных точечных соответствий аналитических,
пэверхнктей. ДАН, 31 A941), 425—427.
[5] Ди|)'{)еренциальнчя геометрия векторнэго поля, комплекс прямых, определяемых
пчлем. Томск, Чзв. Н'Л'Л матем. и мех. ун-та, 3: 1 A943), 111—124.
[6] Дифференциальная геометрия векторного поля. Комплекс пр-шых, определя-
определяемых полем. Томск, Изв. НЛ'Л матем. и мех. ун-та, 3: 1 A94 ,-); 111—1j4.
Ермолова О. В.
[1] Обобщение теоремы Римана. Л-, Труды научно-техя. кон})ер. вэенно-трансп.
акад., сб. 2 A9J8), 45—50.
Е ф и м о р Н. В.
[1] О семействах геодезически параллельных гиперповерхностей с омбилическими
точками. Матем. сб., 40A933), 504—507.
[2] Об одном точечном соответствии между дпумя поверхностями, характеризую-
характеризующем их иометричпость. Матем. сб., 41 A934), 60—72.
[3] О некоторых сопряжённых сетях и связанных с ними инвариантах. ДАН,
4 A935), 3—6. ;
[4] О геодезических сетях на поверхности с афйнной связностью. Матем. сб.,
3 D5), A938), 191—199.
[5J Исследование некоторых арифметических инвариантов параболической точки по-
верхн1сти. ДАН, 23 A939), 855—858.
[6] Изгибание, окрестности параболической точки поверхности. ДАН, 25 A939).
179—181.
[7] Изгибание окрестности параболической точки поверхности. Матем. сб., 6 D8),
A929), 427—474.
[8] Изгибание окрестности параболической точки поверхности. ДАН, 26 A940),
135—137.
[9] Докгзательство существования поверхности, не изгибаемой в малом. ДАН,
27 A940;, ^14—317.
[10] Инвариантные характеристики некоторых сетей и поверхностей. Труды семин.
по векторн. и тензорн. анализу, 5 A941), 148—172.
[11] Высшая геометрия. М.—Л., ГТТИ A945), 1—487.
[12] Исследование изгибания поверхности с точкой уплощения. Матем. сб., 19 F1),
A946), 461—488.
[13] Некоторые вопросы теории изгибания поверхностей. Успехи матем. н ук,
1 : 1 A1), A946), 220—222.
[14] Исследование бесконечно малых изгибаний некоторых классов поверхностей.
Матем. сб., 20 F2), A947), 27—53.
Ефремович В. А.
[1] Топологическая классификация афинных отображений плоскости. Матем. сб.,
42 A935), 23—36.
[2] Правильные многогранники. ДАН, 57 A947), 223—226.
Житомирский О. К.
[1] К неевклидовой геометрии кругов. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A926), 119—143.
[2] Verscharfun* eines Satzcs von Woronoi. Л.,Ж. физ.-матем о-ва, 2 A929), 131—151.
|3] О иоверхно.тях с плоскими границами теней. Матем. сб., 3 D5), A938), 347—352.
[4] О не.гибаемостн овалоидов. ДАН; 25 A939), 347—349.
Залгаллер В. А. иКостелянец П. О.
[1] К задаче о плавающем цилиндре. ДАН, 25 A939), 354—356.
Зейлигер Д. Н.
[1] Из курса линейчатой геометрии. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 23 A923),
130—156.
[2] О:новные формулы комплексной геометрии прямой, III. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), " A928), 56—92.
[3] Комплексная линейчатая геометрия. Л.—М., ГТТИ A934), 1—196.
Зелении В. А.
[1] Теория общей аксонометрии. Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та,
9 A926), 3—20.

966 ГЕОМЕТРИЯ
Зеленин Е. В.
(I] Некоторые вопросы начертательной геометрии пространства четырёх измерений.
Тюмень, Учён. зап. пед.. ин-та, 1 A939), 63—78.
Зетель СИ.
{1] О построении некоторых правильных многоугольников. Свердловск, Изв. Уральск,
ун-та, 3 A922—1923), 195—203.
Зимин М. Ф.
[1] О сложении плоских криволинейных отрезков. Ростов н/Д, Труды ин-та матем.
и естеств. Сев.-Кавк. ун-та, 16 A930), 53—64.
[2] О бирациональных пасах треугольников. Новочеркасск, Изв. Сев.-Кавк. индустр.
ин-та, 1 A5), A935), 38—45.
Иваненко Д.
{1] Uber eine Verallgemeinerung der Geometrie, welche in der Quantenmechanik nfitz-
lich sein kann. ДАН (А), A929), 73—78.
Игнатовский В. С.
[1] Einige Bemerkungen fiber Affinoren und Matrizen. ИАН, сер. физ.-матем. A931)
603—610.
Извольский Н. А.
[1] Некоторые изыскания о парах кругов. Ярославль A927), 1—13.
[2] Гармонизирующие конические сечения. Ярославль, Труды пед. ин-та,
2 : 4 A929), 5—17.
[3] Основной курс проективной геометрии. М.—Л., ГТТИ A933), 1—166.
[4] Синтетическая геометрия. М., Учпедгиз A941), 1—129.
И к о р н и к о в Ю. В.
[1] Векториальные формулы кривизны поверхности, заданной в криволинейных
координатах. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 449—487.
[2] Обобщение понятия векториального произведения на векторы m-мерного про-
пространства и некоторые приложения этого обобщения. ИАН, сер. физ.-матем.
A934), 727—792.
J3] Об одном комплексе линеалов второго измерения в/?4. Л., Учён. зап. пед. ин-та,
.28 A939), 251—292.
И о в л е в Н. Н.
[1] Два новых способа проективного вывода основных формул тригонометрии Лоба-
Лобачевского. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 22 A917), 234—241.
[2] Главные методы обоснования геометрии Лобачевского, Т. 1. Самара A923), 1—144.
Кавун И. Н.
{1] Начало доказательного курса геометрии. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 5 A937), 11—20.
Каган В. Ф.
fl] Применение учения о параллельном перенесении векторов к выводу предложения
представляющего собой обобщение теоремы Гаусса об угловом избытке геодези-
геодезического треугольника. Матем. сб., 31 A924), 208—219.
12] Геометрические идеи Римана и их современное развитие. М., Труды Всеросс.
матем. съезда A927), 89—130.
t3] Sur les espaces sous-projectifs. C. R. Acad. Sci., 191 A930), 548—550.
[4] Геометрические идеи Римана и их современное развитие. М.—Л., ГТТИ A933),
1—74.
15] О преобразовании многогранников. Изд. 2. М.—Л.. ГТТИ A933), 1—36.
[6] Ober eine Erweiterung des Begriffes vom projektiven Raume und dem zugeh6rigen
Absolut. Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу, 1 A933), 12—101.
[7] Der Ausnahmfall in der Theorie der subprojektiven Raume. Труды семин, по
векторн. и тензорн. анализу, 2—3 A935), 151—173.
[8] Ober die nietrische DualitSt. Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу,
4 A937), 256—268.
19] Основы теории поверхностей. Т. 1. М.—Л., ГТТИ A947), 1—512.

БИБЛИОГРАФИЯ 967
К а й н е р М. А.
[1] О многомерных определителях и их приложении к тензорному исчислению.
Одесса, Ж. НИ кафедр, 1:4 A924), 27—31.
Каминский Б. Д.
{I] Кривые на поверхности, имеющие постоянную нормальную кривизну. ДАН,
18 A938), 251—254.
К а р г и и Д. И.
{1] О размерах угла зрения при практическом построении перспективы. Л., Сб.
ин-та инж. ж.-д. трансп., 132 A938), 110—132.
Карета Л. А.
fl] Форми кошчних nepepi3iB на викройц! конуса. Каменец-Подольск, Зап. ин-та
нар. проев., 2 A927), 1—3.
Кильчевский М. О.
fl] Про перетворення метрики у неевкл!довому простор!. Киев, Ж. ин-та матем.
АН УССР, 2 A936), 25—34.
Кислицын С. Г.
[1] Прямой метод в винтовом исчислении. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 5 A937),
57—66.
[2] О теореме Морлея-Петерсона. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939), 111—112.
ТЗ] Некоторые вопросы проективной линейчатой геометрии. Л., Учён. зап. пед. ин-та,
28 A939), 113—126.
К о в а н ц о в Н. И.
11] О поверхностях, у которых прямая канонического пучка в каждой точке со-
совпадает с метрической н >рмалью. ДАН, 58 A947), 1261—1263.
¦ К о в а и ь к о А. С.
f 1] Об одном прямом методе исследования некоторых квадрируемых поверхностей.
Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2: 1 A938), 38—56.
К о в н е р С. С.
П] Об одном искусственном примере линий равного изменения. М., Геофиз. бюлл.
14 A926), 47—49.
Козлов П. Ф.
A] Связь рёбер областей Вороного полярной параллелепипедальной системы точек,
с векторами Зеллинга заданной. Тюмень, Учён. зап. пед. ин-та, 1 A939), 29—50.
Козьмин М.
tl] Demonstration synthetique du theoreme de M. Finikoff sur les congruences strati-
fiables appartenant a complexe Uneaire. Bull. Sci. Math., 57 A933), 173—175.
Козьмина Т. Л.
[1] Преобразование Лапласа трижды сопряжённых систем поверхностей. ДАН,
55 A947), 187—190.
Колмогоров А. Н.
. f 1] Zur topologisch-gruppentheoretischen "Begrflndung der Geometrie. Gott. Nachr.,
2 A930), 208—210.
2] Zur Begrundung der projektiven Geometrie. Ann. of Math., 33 A932), 175—176.
Колмогоров Н. A.
|1] Операции первой и второй ступени над ангармоническими отношениями четырёх
точек на прямой линии. Кировск, Труды зоотехн.-ветерин. ин-та, 3: 1 (9),
A936), 31—35.
|2] Теория ангармонического отношения пяти точек плоскости. Кировск, Труды
зоотехн.-ветерин. ин-та, 3 : 2—3 A938), 161—168.

968 геометрия
Комаревский В. М.
[1] Обобщение доказательства теоремы Эйлера о многогранниках, данного Staudt'oM.
Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, б A923), 151—153.
[2] Теорема Euler'a о многогранниках. Историко-критический обзор различных её
доказательств. Ташкент, Труды научн. о-ва, 2 A925), 141—172.
К о н -Ф о с с е и С. Э.
[1] О существовании кратчайших путей. ДАН, 3 A935), 309—310.
[2] Полные римановы пространства положительной кривизны. ДАН, 3 A935).
387—389.
[3] Kurzeste Wege und Totalkrummung auf Fiachen. Сотр. Math., 2 A935), 69—133.
[4] Изгибаемость поверхностей в целом. Успехи матем. наук, 1 A936), 33—76.
[5] Der approximative Sinussatz fflr kleine Dreiecke auf krummen Fia hen. Сотр.
Math., 3 A936), 52—54.
[6] Existenz kiirzester Wege. Сотр. Math., 3 A936), 441—452.
[7] Totalkrummung und geodatische Linien auf einfachzusammenhangenden offenen.
vollstandigen Flachenstiicken. Матем. сб., 1 D3), A936), 139—164.
К о п п В.
[1] Двучленная группа винтов в квазиевклидовом пространстве. Казань, Учён. зап.
ун-та, 98 : 7 A939), 27—36.
Космаков А. В.
[1] Деление отрезка на л равных частей в гиперболической геометрии. Иркутск,
Учён. зап. пед. иц-та, 9 A946), 8—13.
Костанди Г. В.
11] Геометрическая интерпретация одной теоремы. Одесса, Ж. НИ кафедр.
2:3 A926), 74—77. F
К о с т и н В. И.
[1] Гонометрические семейства, допускающие группу. Горький, Учён. зап. ун-та.
12 A939), 176—181. *
[2] О гиперболической геометрии Кели-Клейна. Горький, Учён. зап. ун-та
12 A939), 183—195. '
Котельников А. П.
[1] Точки Бурместра, их свойства и построение. Матем. сб., 34 A927), 207—348.
[2] Принцип относительности и геометрия Лобачевского. Сб. «In mem. Lobatschev-
skii», 2 A927) 37—66.
Котов Т. Н.
[1] Геодезические линии. Хрк., Наука на Укр., 3 A922), 107—113.
[2] Об а имптотических геодезических линиях. Хрк., Наука на Уко., 4 A922),
170—173. У ч
[3] Геодезические линии на поверхностях вращения с максимальной параллелью.
Хрк., Учён. зап. НИ кафелр, 1 A924), 63—75.
[4] О геодезически параллельных кривых и геодезических кругах. Матем. сб.
31. A924), 508—515.
[5] О геодезических линиях, асимптотических к замкнутой геодезической линии.
Матем. (б., 31 A924), 516—518.
[6] О пределах расстояния между полюсами правильных поверхностей вращения
с исключительно замкнутыми геодезическими линиями. Матем. сб., 32 A925),
43—44.
[7] Исследования из области теории геодезических линий и геодезических кругов.
(Геодезические круги и геодезические параллельные кривые.) Хрк., Научн. зап..
2 A926), 79—86 • У
Кочин Н. Е.
[1] Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд. 6. М.—Л., ГОНТИ;
A938), 1—456.

БИБЛИОГРАФИЯ 9f9
Кравчук М. Ф.
[!] До теорН кривих 4 ступеня. Киев, Научн. зап., 1 A923), 76—84.
B1 Зам1гка про обвщ кола в неевклдашш геометрП. Киев, Зап. С.-госп. ин-та,
1 A926), 74—75.
К р е е р Л. И.
[1] О правильных многоугольниках с целочисленными координатами вершин. Орд-
Орджоникидзе, Учён. зап. Сев.-Осет. пед. ин-та, 1 A938), 125—128.
Крейн М. Г.
[1] Ober den Satz von «Curvatura integra». Казань, Изв. физ.-мате^. о-ва C), 3 A928),
36—47.
[2] L'integrale de Steiltjes dans la theorie des contours convexes. Казань, Изв. физ.-
матем. о-ва C) 3 A929), 81—63.
[3] Sur l'aire mixte de deux ovales. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР A929), 3.
[4] Об одной теореме М. Я. Выгодского. Матем. сб. 18 F^), A946), 447т-450.
КрупенькинТ. Н.
[1] О многозначном соответствии в геометрии. Информ. фак-та особ, назнач. Нар-
ко зема РСФСР A934).
[2] К вопросу о построении инволюционных кремоновых соответствий на плоскости.
Труды второго Всесоюзн. матем. съезда A936).
Крутков Ю. А.
[1] Об инвариантах симметрического тензора. Л., Ж. Русск. физ.-матем. о-ва, часть
физ., 60 A928), 314—315.
КрыжановскийД. А. •' ;
{!] Про теорему Дезарга. Одесса, Ж. НИ кафедр, 2 : 3 A926), 100—101.
Кузнецов Г. П.
[1] О биссектрисах внутренних и внешних углов треугольника. Новочеркасск, Пав.
Донск. политехи, ин-та, 11 A929), 237—239.
К у з ь м и н Р. О.
[1] К теории изгибания поверхностей. ДАН, 3 A934), 209—211.
К у р е н с к и й М. К.
{1] Об одном методе решения задачи изгибания поверхностей. ДАН, 1 A936),
243—244.
[2] Zur Bestimmung der aufeinander abwickelbaren Flachen. Хрк., Зап. матем. т-ва
D), 12 A936), 99—114.
[3] Три спсгоби розв'язапня задач1 про згинання поверхень. Киев, Ж. ин-та матем.
Ку"тилинД. И.
[1] Прямой приём вычисления производных от вектора и тензора в случае ортого-
ортогональных систем криволинейных координат. Прикл. матем. и мех., 7 A943)
431—438. к '
Лазарев П.
[1]Об элементарном выводе объёма эллипсоида вращения. Ж. Прикл. физ.
7: 6 A930), 79—84. v v '
Л а п т е в Б. Л.
[1] Ковариантное интегрирование в пространстве Финслера двух и трёх измерений.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 9 A937), 61—76.
[2] Производная Ли для объектов, являющихся функцией точки и направления.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 10 A938).
{3] Инвариантная форма второй вариации, полученная Дифференцированием Ли
в пространстве Финслера. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 12 A940).

970 ГЕОМЕТРИЯ
Лаптев Г. Ф. -
[1] О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверх-
поверхности пространства афинной связности. ДАН, 41 A943), 329—331.
[2] О погружении пространства афииной связности в афинное пространство. ДАН,
47 A945), 551—554.
[3] Аффиное изгибание многообразий с сохранением внутренних геометрий. ДАН,
58A947), 5^9—532.
Левин Б. Я.
[1] О пересечении поверхностей. Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 1 A934), 145—148.
Л и 6 е р А. Е.
[1] О классе римановых пространств постоянной отрицательной кривизны. Саратов.
Учён. зап. ун-та, сер. физ.-матем., 1 A4):2 A938), 105—122.
.[2] Первые целые алгебраические интегралы уравнений геодезических. ДАН,
31 A941), 840-^-841.
[3] О вмещении риман шых многообразий постоянной кривизны друг в друга. ДАН,
55 A947), 295—298.
Л и б е р м а н И. М.
[1] Некоторые свойства, характеризующие выпуклые тела. ДАН, 19 A938),
341—342.
[2] Геодезические линии на выпуклых поверхностях. ДАН, 32 A941), 310—313.
[3] Геодезические линии на выпуклой поверхности положительной гауссовой кри-
кривизны. ДАН, 33 A941), 9—11.
[4] О некоторых характеристических свойствах выпуклых тел. Матем. сб., 13 E5),
A943), 239—262.
Ливенсон Е. М.
[1] Независимость аксиом III и II группы системы геометрических аксиом Hilbert'a.
Труды второго Всесоюзного матем. съезда, т. 2 A936), 440—441.
Лозинский С. М.
[1] О субгармонических функциях и их приложениях в теории поверхностей. ИАН,
сер. матем., 8 A944), 175—194.
Л о п ш и ц А. М.
[1] Integrazione tensoriale in una varieta Riemanniana a due dimension!. Труды семии.
по векторн. и тензорн. анализу, 2—3 A935), 200—211.
[2] Metodo eeometrico per la deduzione delle condizioni di olonomia di un sistema di
viricoli. Труды семин. по вектори. и тензори. анализу, 2—3 A935), 319—326.
[3] SugH spazi Riemannieni contenanti un campo di giaciture para He le. Труды семин.
по векторн. и тензорн. анализу, 2—3 A935), 327—335.
[4] Nichtholonome systeme im mehrdimensionalen euklidischen RSume. Труды семин.
по векторн. и тензорн. анализу, 4 A937), 302—332.
Лузин Н. Н.
[110 существовании алгебраических поверхностей, не имеющих главного основания,
I, II. ДАН, 19 A938), 21—26.
[2] О существовании алгебраических поверхностей, не имеющих главного основа-
основания, III, IV. ДАН, 19 A938), 227—232.
[3] Доказательство одной теоремы теории изгибания, I. ИАН, ОТН, 2 A939),
81—106.
[4] Доказательство одной теоремы теории изгибания, II. ИАН, ОТН, 7 A939), 115—132.
[5] Доказательство одной теоремы теории изгибания, III. ИАН, ОТН, 10 A939),
65—84.
Люкшин В. С.
[1] Об изгибании поверхностей вращения отрицательной кривизны с особой точкой.
ДАН, 17 A937), 335—338.
{2] К теории изгибания поверхностей вращения отрицательной кривизны. Матем.
сб., 2 D4), A937), 557—566.
[3] Некоторые обобщения задачи бесконечно малого изгибания поверхностей
вращения отрицательной кривизны. ДАН, 18 A938), 389—392.

БИБЛИОГРАФИЯ 971
[4] Об изгибании замкнутых и открытых с круговыми рёбрами поверхностей вращения
отрицательной кривизны. ДАН, 20 A938), 529—532.
Люстерник Л. А.
[1] Sur quelques methodes topologiques dans geometrie differentielle. Atti. Congr.
dei Math. Bologna. 4 A928), 291—296.
[2] Неравенства Брауна-Минковского для произвольных измеримых множеств.
ДАН, 3 A935).
[3] Замкнутые геодезические на многомерных сферических многообразиях. ДАН,
26 A940), 328—330.
[4] Выпуклые тела. М.—Л., ГТТИ A941), 1—136.
[5] Новое доказательство теоремы о трёх геодезических. ДАН, 41 A943), 3—4.
[6] О числе решений одной вариационной задачи. ДАН, 40 A943), 215—217.
Люстерник Л. А. и Шнирельман Л. Г.
[1] Топологические методы в вариационных задачах. М., Гос. изд. A930), 1—68.
[2] Топологические методы в вариационных задачах и их применение к дифферен-
дифференциальной геометрии поверхностей. Успехи матем. наук, 2 : 1 A7), A947), 166—217.
М а и д е л ь Н. А.
J1] Studien zur M6gli;hkeit der Einfuhrung von komplexen Gr6ssen in der Raum-
Zeitmetrik von Minkowsky. ИАН, сер. ' физ.-матем. A931), 755—769.
МандзюкА. И.
[1] Обобщение теоремы проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского о квадратичных диа-
диаметрах кривой третьего порядка. М., Труды зоотехн. ин-та, 4 A936), 133—135.
[2] О некоторых теоремах проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского и японского мате-
математика Огино Шузаки. Л., Труды паучно-техн. конфер. военно-трансп. акад.
сб. 2 A938), 61—64.
J3] Применение одно-четырёхзначного соответствия к разрешению основной конструк-
конструктивной задачи, относящейся к инволюции третьего порядка второго измерения.
Л., Труды научно-техн. конфер. военно-трансп. акад., сб. 2 A938), 67—72.
[4] О некоторых теоремах, относящихся к алгебраическим кривым. М., Труды ии-та
механиз. и электрифик. с.х. A939), 145—148.
Марков А. А.
[1] К вопросу о построении прямоугольника наименьшей площади, заключающего
в себе данную систему кругов. Новочеркасск, Изв. Сев.-Кавк. индустр. ин-та,
1 A5), A935), 63—71.
[2] О существовании интегрального инварианта. ДАН, 17 A937), 455—458.
J3] Что такое гладкая поверхность. Л., Учён. зап. ун-та, сер. мате.ч. 10A940), 27—39.
Марковский Д.
[11 Повна кривина оборотових елтсоща, гтерболоша та параболоща. Херсон, Зап.
ин-та нар. проев., 1 A925—1926), 55—67.
Маркус Э.
J1] Об одном замечательном соответствии между прямыми и кривыми третьего
порядка и некотором свойстве одного класса изотермо-асимптотических поверхно-
поверхностей Фубнни. ДАН, 32 A941), 242—244.
М а с л о в А. Ф.
11] О преобразовании Moutard'a и квадратичных решениях уравнения с равными
инвариантами. Матем. сб., 32 A925), 569—598.
[21 Sur la deformation des surfaces avec conservation d'un systeme conjugue. Матем.
сб., 33 A926), 43—48.
13] Sur la deformation continue d'une classe de surfaces. Матем. сб., 33 A926),
367—370.
f4] Sur la deformation des surfaces avec conservation d'un systeme conjugue conique.
С R. Acad. Sci., 186 A928), 1345—1347.
[5] Sur une classe de congruences. С R. Acad. Sci., 187 A928), 794—796.
16] О квадратичных решениях уравнения (Е2). Матем. сб., 36 A929), 107—г-108.

972 ГЕОМЕТРИЯ
[7] Sur une application du theoreme de M. Eisenhart. С R. Acad. Sci., 188 A929),
756—759.
[8] Об одном классе конгруэнции Biarrhi. Матем. сб., 40 A933), 196—209.
[9] Предельный случай теоремы переместительности в преобразовании Бианки.
Матем. сб., 3 D5), A938) 209—218.
Матисова А. М.
[ПО центральной поверхности изотропной конгруэнции. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва B), 23 A923), 126—129.
[2] О конгруэнции Ribaucour'a. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 24 A924),
7—13.
[3] Геометрическая интерпретация формулы Тэйлора и теоремы Коши. Саратов,
Труды авто-дор. ин-та, 4 A938), 201—205.
Млодзеевский Б. К.
[1] К теории кремоновых преобразований. Матем. сб., 31 A924), 7—34.
[2] К таблицам кремоновых чисел первых 21 порядков. Матем. сб., 31 A924), 35i—57.
[3] Таблицы кремоновых чи:ел первых 21 порядков. Матем. сб., 31 A924), 57—77.
[4] Линейные системы кривых, связанных с арифметическими решениями кремо-
кремоновых уравнений. Матем. сб., 31 A924), 341—344.
М о к р и щ е в К. К. !
[1] Об одном обобщении теоремы Менелая. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ.
ун-та, 2 A938), 38—39.
[2] Об одном про-транственном аналоге теоремы Чевы и ей обратной. Ростов и/Д,
Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 51—59.
[3] О теореме Niewenglowski в теории кривых Bertrand'a. Ростов н/Д, Учён. зап.
НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 60—63.
[4] О некоторых свойствах кривых Бертрана в четырёхмерном евклидовом про-
странстве. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 4 A940), 31—34.
[5] Об одном классе кривых четырёхмерного евклидова пространства. Ростов н^Д.
Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 4 A940), 35—40.
Мордухай-Болтовской Д. Д.
[1] О геометрических построениях в пространстве Лобачевского. Ростов н/Д, Изв.
Донск. ун-та, A918).
[2] О пересечении алгебраических кривых. Ростов н/Д, Изв. Донск. ун-та, 4A924),
1—3.
[3] Некоторые теоремы о кривых второго и третьего порядков в связи с теорией эллип-
эллиптических функций. Ростов н/Д, Изв. Донск. ун-та, 4 A924), 4—7.
[4] О диаметральных свойствах алгебраиче кой кривой в геометрии Лобачевского.
Ростов н/Д, Изв. Донск. ун-та, 4 A924), 99—102.
[5] Основания геометрии неизогенных и негомогенных пространств с точки зрения
теории групп. Ростов н/Д, Изв. Донск. ун-та, 7 A925), 29—39.
[6] О гиперплоскостном сечении гиперкону! ов. Ростов н/Д, Труды ин-та матем.
и естеств. Сев.-Кавк. ун-та, 2 A926), 15—28.
[7] Квадратичные диаметры и поляры кривых третьего порядка. Ростов н/Д, Труды
ин-та матем. и еаеств. Сев.-Кавк. ун-та, 2 A926), 29—38.
[8] Начертательная геометрия трёхмерного и четырёхмерного пространств как метод
геометрических построений в ограниченной области. Пермь, Ж. физ.-матем. о-ва,
4 A927), 63—71.
[9] О геометрических построениях в пространстве Лобачевского. Сб. «In mem.
Lobatschevskii», 2 A927), 67—82.
[10] Sur les proprietes diametrales de la conique gauche. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 3 A928), 48—55.
[11] Об одевании поверхностей. Ростов н/Д, Труды ин-та матем. и естеств. Сев.-Кавк.
ун-та, 16 A930), 21—52.
[12] Про деяю задач! небесно! мехашки в не Евклцювому npocTopi. Киев, Ж. матем.
цикла АН УССР, 1 A932), 47—70.
[13] Sur les constructions au ir.oyen de la .regie et d'un arc de cercle fixe dont le centre
est connu. Period. Math., 14 A934), 101—111.
[14] О штейнеровских построениях на сфере. Матем. сб., 42 A935), 535—546.
[15] Про дуги алгебра!чних кривих. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 2A936), 53—70.

БИБЛИОГРАФИЯ 973
[16] О некоторых формулах стереометрической теории транверсалей. Ростов и/Д,
Изв. пед. ин-та, 9 A938), 31—42.
[17] О заполнении неевклидовых пространств правильными многоугольниками и мно-
многогранниками. Ростов н/Д, Учён зап. НИИ матем. ифиз. ун-та, 2 A938), 35—37.
[18] Про властивост! ко:ого чотирикугника i гексаедра, одержуваних проектуванням
в чотирим1рному npoCTopi. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938), 53—64.
[19] Геометрия как наука о пространстве.Рослов н/Д, Изв.пед. ин-та, 10 A941), 10—25.
[20] О.-новные теоремы теории транвергалей на плоскости Лобачевского. Ростов н/Д,
Изв. пед. ин-та, 10 A940), 114—125.
[21] О полуправильных телах. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та,
4 A940)Г 3—22.
[22] Основные формулы теории транверсалей на плоскости Лобачевского. Ростов
н/Д, -Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 4 A940), 23—24.
[23] О кривизне на плоскости Лобачевского. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем.
и физ. ун-та, 4 A940), 29—30.
Морозов В. В.
[1] К вопросу об особых точках плоских кривых. Казань, Труды ин-та ииж. ком-
коммун, строит., 3 A935), 3—6.
Мочульский А.
[1] Антиметрия четырёхмерного пространства векторов вещественной длины. Одесса,
Ж. НИ кафедр, 1 : 4 A924), 36—48.
Мусхелишвили Н. И.
[1] Курс аналитической геометрии. Изд. 3. М.—Л., ГТТИ A946), 1—644.
НалбандьянЯ. А.
[1] Об о"ях отклонения пространственной кривой. Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та,
1 A934), 131—138. '
[2] О линиях теней. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 (J937),
80—82.
[3] О наиболее плотной ткани. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та,
2 A938), 31—33.
[4] Общая задача о катании двух поверхностей. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем.
и физ. ун-та, 2 A938), 69—71.
Нестерович Н. М.
[1] О двойниках косоугольного и прямоугольного треугольников на плоскости Лоба-
чеиского. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 64—65.
[2] Об. эквивалентности в конструктивном отношении комплекса М.-Б. и комплекса
Е. ДАН, 22 A939), 233—235.
[3] О фигурах-двои пиках в пространстве Лобачевского и приложении их к решению
геометрических задач на построение. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ.
ун-та, 3 A939), 93—125.
[4] О несобственных треугольниках на гфере (плоскости Римана). Ростов н/Д,
Изв. пед. ин-та, 10 A940), 158—178.
[5] Геометрические построения в пространстве Лобачевского. Ростов н/Д, Учён.
. зап* НИИ матем. и физ. ун-та, 4 A940), 41—65.
[6] О несобственных треугольниках пространства Лобачевского и универсальные
формулы тригонометрии их. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та,
4 A940), 66—80.
[7] О конструктивной мощности комплекса Е на плоскости Лобачевского. ДАН,
43 A944), 194—196.
Николадзе Г. Н.
[1] Sur une methode nou/elle de la geometrie analytique. Тбилиси, Бюлл. ун-та,
1 A919—1920), 140—152.
[2] Generalisation d'untheoremedeM. Bertini. C. R. Acad. Sci., 185A927). 1005—1009.
[3] Sur les configurations de 1'espace ordinaire. C. R. Arad. Sri., 187 A928), 93—97.
[4] Sur les points caracteristiques d'une < ourbe appartenant a un systeme continu.
С R. Acad. S i., 189 A929), 820—822.
[5] Sur une methode generate de re her hes des proprietes invariantes des figures geo-
metriques. Atti Accad. naz. Lin.ei, 11 A930), 879—883.

974 ГЕОМЕТРИЯ
Николаев Б. Н.
[1] Новое доказательство теоремы Pohlke. Л., Сб. ин-та пут. сообщ., 101 A929),
295—303.
[2] Кольцевые геликоиды. Л., Труды ин-та инж. водн. трансп., 12 A940), 246—262.
Новиков В. В.
[1] О делении в заданном отношении площади круга на ряд концентрических колец.
Труды Гос. опытн. ин-та, 9 : 88 A933), 64—66.
Новицкий С. А.
[1] Обобщение теоремы Б. Гамбье, Л., Труды второго Всесоюзн. матем. съезда.
т. II A936), 87—89.
[2] Одна теорема о пространственной кривой третьего порядка. Л., Труды научно*
техн. конфер. военно-трансп. акад., сб. 2 A938), 65—66.
Н о р д е н А. П.
[1] Sur l'inclusion des theories metriques et affines des surfaces dans la geometrie dea
systemes specifiques. С R. Acad. Sci., 192 A931), 135—137.
[2] Die relative Geometrie der Fiachen im projektiven RSume. Труды семин. по век-
торн, и тензорн. анализу, 2—3 A935), 230—268. •
[3] О парах сопряжённых параллельных перенесений. Л., Труды второго Всесоюзн.
матем. съезда, т. II A936), 75—77.
[4] Ober Paare konjugierter Parallelubertragung. Труды семин. по векторн. и тен-
тензорн. анализу, 4 A937), 205—255.
[5] Об особенных геодезических сетях в неметрической геометрии. Труды семин.
по векторн. и тензорн. анализу, 5 A941), 226—245.
[6] О проективио-евклидовом пространстве Вейля. ДАН, 48 A945), 327—328.
[7] Афинная связность на поверхностях проективного и конформного пространств.
ДАН, 48 A945), 567—569.
[8] О парах сопряжённых параллельных перенесений в многомерных пространствах.
ДАН, 49 A945), 649—652.
[9] Конформно-евклидово пространство Вейля. ДАН, 50 A945), 53—56.
[10] Об истолковании пространства с вырождающейся метрикой. ДАН, 50 A945),.
57—60.
[11] Об инвариантах сопряжённых сетей. ДАН,. 53 A946), 499—502.
[12] О конформно-геодезических семействах линий на плоскости. ДАН, 53 A946),
591—594.
[ 13] Пространство афинной связности, допускающее дробно-линейный интеграл геоде-
геодезических. Матем. сб., 18 F0), A946), 125—138.
[14] Обобщённая геометрия двухмерного линейчатого пространства. Матем. сб.,
18 F0), A946), 139—152.
[15] Проективно-евклидова геометрия Вейля. Матем. сб., 18 F0), A946), 153—167.
[16] Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиальной группы. ДАН,
55 A947), 199—202.
[1,7] Афинная связность на поверхностях проективного пространства. Матем. сб.,
20 F2), A947), 263—281.
[18] Геометрия. Успехи матем. наук, 2 :6 B2), A947), 8—15.
[19] Поверхности нулевой кривизны биаксиального 'пространства. ДАН, 58 A947),
1597—1600.,,
О г и е в е ц к и й И. Е.
[1] О соотношениях между коэффициентами ортогонального преобразования и пара-
параметрами Родрига. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 1 A927), 108—111.
[2] Ober ein schiefsymmetrischen Dualitatsgesetz. Rend. circ. mat. Palermo, 51 A927),
315—320.
Оглобли н H- B.
[1] On the multiplication of vector quantities. Симферополь, Зап. матем. каб.
Крымск. ун-та, 3 A921), 2—6.
[2] Приложение векториального анализа к теории кривых. Симферополь, Зап. матем.
каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 26—34.
[3] Об интегральных соотношениях векториального анализа. Симферополь, Зап.
матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 185—193.

БИБЛИОГРАФИЯ 975
[4] Геометрическое исследование одного рода кривых. Симферополь, Изв. Крымск.
пед. ин-та, 1 A927), 103—109.
Олевский М. Н.
[1] Ober eine Anwendung des Minkowski'schen Koordinatensystems in der gewOhn-
lichen und affinen Differentialgeometrie. Матем. сб., 36 A929), 73—77.
Оловя ниш ников СП.
[1] Об одной характеристике эллипсоида. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 12 A941),
114—128.
[2] Об изгибании бесконечных выпуклых поверхностей. Матем. сб., 18 F0), A946),
429—440.
[3] Обобщение теоремы Коши о выпуклых многогранниках. Матем. сб., 18 F0),
A946), 441—446.
ОльшвангА. В.
[1] О применении инволюций к построению афинных фигур в аксонометрической
проекции. ЦИУПИ, 7A929—1930), 57—63.
[2] Роль биссекториальной плоскости в связи с принципом афинности в начертатель-
начертательной геометрии. Свердловск, Труды Уральск, индустр. ин-та, 1 A936), 173—182.
Остащенко-Кудрявцев Б. П.
[1] Общая теория эквивалентных конических проекций. Хрк., Сб. научи, трудов
инж.-строит. ин-та, 4 A938), 220—270.
П а в л о в Н. Н.
[1] Способ деления площади трапеции на ряд равновеликих параллельных полос.
М., Ж. Вестн. инж. и техн., 12 A930), 450—451.
Панфилов И. И.
Г11 О кривизне сферических индикатрис. Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ин-та,
8 A920—1922), 81—83.
Парфентьев Н. Н.
[1] Проблема пространства в современном освещении. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва B), 24 A924).
Пархоменко А. С.
[1] Проективная плоскость. М., Изд. ун-та A944), 1—114.
П е н з о в Ю.
[1] Классификация однокомпонентных дифференциальных геометрических объектов
класса v. ДАН, 54 A946), 567—570.
Перепёлки и Д. И.
[1] Sur les directions de courbure d'une Vm dans Rn. С R. Acad. Sci., 199 A934),
1089—1091.
[2] О параллельных многообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве.
ДАН, 1 A935), 593—598.
[3] Sur la courbure et les espaces normaux d'une Vm dans Rn. Матем. сб., 42 A935),
81—120.
[4] Sur la transformation conforme et la courbure riemannienne nor male intrinseque
d'une Vm dans Vn. С R. Acad. ScL, 200 A935), 513—515.
[5] Sur la relation entre les trois formes quadrtiques d'une surface. Bull. Sci. Math.,
60 A936), 293—296.
[6] Sur certaines varietes orthogonales dans #n. C. R. Acad. Sci., 202A936), 1134—1135.
[7] Об угловых инвариантах пространства л-измерений. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 7 A936), 55—62.
[8] Поверхности второго порядка, как геометрические места точек. Ж. матем. проев.
A936).
[9] Sur les courbes de l'espace euclidien a quatre dimensions analogues aux courbes
de Bertrand. Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу, 4 A937), 386—387.

1-1
ГЕОМЕТРИЯ
Петренко А. И.
[1] Опрегеление длины стороны многоугольника. Хрк., Зап. с.-х. ин-та, 4 A945),
193—198.
Петров А. 3.
[1] Один тип пространств Эйнштейна. Казань, Труды авиац. ин-та, 7 A946), 8—12.
Петров П. И.
[1] Диффегенциальные инварианты пространств Римана. ДАН, 58 A947), 1273—1274.
Петровский И. Г.
[1] Sur la topologie des courbes reelles et aigebriques. C. R. Acad. S:i., 197 A933),
1270—1272.
[2] On the topologie of real plane algebraic courves. Ann. of Math., 39 A938),
187—209.
Петрушева М.
[1] Вывод обобщённых формул Serret-Frenet для пространства Лобачевского в комп-
комплексной геометрии прямой. Казань, Учён. зап. ун-та, 90 A930), 959—967.
Плужников И. С.
[1] Опыт применения метода Е. Cartan'a к исследованию действительных линей-
линейчатых пбвёрхнОггей.М.,Труды станкоинструм.ин-та им. Сталина, 7A940), 83—144
Погорелов А. В.
[1] Одна теорема о геодезиче-ких на замкнутой выпуклой поверхности. Матем, сб.,
18 F0), A946), 181—183.
Подгорный Н. К.
[1] Фокальная теория поверхностей второго порядка. (Приложение метода взаимных
поляр.) Баку, Научн. изв. полигехн. нн-та, 1 A940), 9—19.
П о з н я к Э. Г.
[1] О замкнутых кривых с параллельными касательными. Матем. сб., 17 E9), A945),
59—64.
Полевой М. Ш.
[1] Признаки равен~тва выпуклых четырёхугольников. Л., Учён. зап. пед. нн-та,
28 A939), 305—316.
Пономарёв А. С.
[1] Деление косого угла на три равные части, I. Труды Казах, горно-металл. ин-та,
2 A938), 95—105.
[2] Деление косого угла на три равные части, П. Труды Казах, горно-металл. ин-та,
3 A939), 107—110.
Понтрягин Л. С.
[1] Числа' Бетти компактных групп Ли. ДАН, 1 A935), 433—435.
[2] Homologies in compact Lie groups. Матем. сб., 6 D8), A939), 389—422.
[3] Некоторые топологические инварианты римановых многообразий. ДАН,
33 A944), 95—98.
[4] Характеристические циклы дифференцируемых многообразий. Матем. сб.,
Л F3), A947), 232—284.
Попов И. А.
[Г] Об'оаном способе построения алгебраических кривых. Л., Труды научно-техн.
конфер. военно-трансп. акад., сб. 2 A938), 33—44.
[2] Об одном из общих методов образогания алгебраиче~ких кривых выших поряд-
порядков при помощи пучков. М.,Труды ин-та механиз. и электриф. с.х. A939), 133—13&
П о тоц к и й ¦ М.
[1] Семейство конгруэнции с соответствием развёртывающихся поверхностей и
с фокуами, лежащими на соответствующих лучах двух конгруэнции. ДАН,'
22 A939), 306—308.

БИБЛИОГРАФИЯ 977
Прокофьев В.
[1] Погружение двухмерных пространств нормальной проективной связности в трёх-
трёхмерное проективное пространство. ДАН, 36 A942), 95—'97.
П у р ы ш е в М. М.
[1] Построение второй проекции круга, квадрата и равностороннего треугольника
по одной заданной. Л., Труды ин-та инж. водн. трансп., 9 A939), 327—332.
Радзишевский А. П.
[ПК вопросу о формах проявления отвлечённой геометрии. ИАН, сер. физ.-матем.
A933), 809—81Q.
[2] Некоторые формы проявления отвлечённой геометрии. Л.—М., ГТТИ A934), 1—88.
Раздольский А. И.
[1] Приложение эллиптических функций к решению основной геодезической задачи-
М., Русск. астрон. ж., 2:2 О925). 77—88.
Рахманов Б. Н.
fl] О пучке кривых второго порядка. Саратов, Труды с.-х. ин-та, 2 A940), 111—116.
[2] Об особых точках изогональных траекторий кривых второго порядка. Саратов,
Труды с.-х. ин-та, 2 A940), 117—122.
Рацер-Иванова Ф. С.
|1] Геометрическая теория линейных систем алгебраических кривых, л., Труды
научн.-техн. конфер. военно-трансп. акад., сб. 2 A938), 83—96.
Рашевский П. К.
[1] Sur les espaces sous-projectifs. C. R. Acad. Sd., 191 A930), 547—548.
[2] Sur les congruences к plusieurs dimensions. C. R. Acad. Sci., 192 A931), 137—138.
[3] Характеристический признак семейства геодезических афинно-связного про-
пространства двух измерений. Матем. сб., 39 : 1—2 A932), 72—80.
[4] Caracteres tensoriels de l'espace sous-projectif. Труды семин. по векторн. и тен-
зорн. анализу, 1 A933), 126—142.
[5] Sur Interpretation infinitesimale du systeme des vecteurs duals. C. R. Acad. Sci.,
197 A933), 217—220.
[6] Геодезические линии двухмерного пространства афинной связи в бесконечно
малом с точностью четвёртого порядка. ДАН, 3 A934), 313—316.
[7] Геодезические линии двухмерного афинно-связного пространства в бесконечно
малом в связи с измерением площадей. ДАН, 3 A934), 570—571.
[8] Метрическая двойственность в двухмерной геометрии Финслера, в частности
на произвольной поверхности. ДАН, 3 A935), 147—150.
[9] Congruence rectiligne dans l'espace euclidien a n dimensions. Труды семин. по
векторн. и тензорн. анализу, 2—3 A935), 212—229.
[10] Sur 1'interpretation infinitesimale de l'appareil des vecteurs duals. Труды семин.
по векторн. и тензорн. анализу, 2—3 A935), 336—350.
[11] Une geometrie metrique quale, fondee sur les espaces de Cartan generalises. C. R.
Acad. Sci., 201 A935), 921—923.
[12] Systeme bimetrlque dual. С R. Acad. Sci., 201 A935), 1088—1090.
[13] Systemes trimetriques et la metrique de Finsler generalisee. C. R. Acad. Sci.,
202 A936), 1237—1239.
[ 14] Введение в риманову геометрию и тензорный анализ. М.—Л., ОНТИA936), 1—199.
[15] Об одном обобщении эллиптической геометрии, сохраняющем теорему сину-
синусов. М., Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем., 1 A937), 50—72.
[16] Геометрия конуса нулевых направлений. М., Учён. зап. пед. ин-та, 1 A937), 73—93.
[17] Die Sechseckfibertragung. Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу, 4 A937),
186—196.
[18] О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допусти-
допустимой линией. М., Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем., 2 A938), 83—94.
[19] Курс дифференциальной геометрии. Изд. 2. М.—Л., ГОНТИ A939), 1—360.
[20] Одна общая теорема о касании кривых (обобщение теоремы о конечном прира-
приращении). М., Учён. зап. ун-та, 30 A939), 185—193.
[21] Sur l'unicite de la geometrie projective dans le plan. Матем. сб., 8 E0), A940),
107—120.
[22] Sur une geometrie projective avec de nouveaux axiomes de configuration. Матем.
Сб., 8 E0), A940), 183—204.
62 Математика в СССР за 30 лет

978 ГЕОМЕТРИЯ
[23] Полиметрическая геометрия. Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу,
5 A941), 21—147.
[24] Геометрическая теория уравнений с частными произиодными. М.—Л., ГТТИ
A947), 1—354.
Розенсон Н. А.
[1] Дифференциальные инварианты риманова пространства. Л., Труды индустр.
ин-та, раздел физ.-матем., 10 : 3 A936), 57—75.
[2] Дифференциальные инварианты риманова пространства, II. Л., Труды индустр.
ин-та, раздел физ.-матем., 4 : 2 A937), 59—84.
[3] О римановых пространствах класса 1. ИАН, сер. матем., 4 A940), 181—192.
[4] О римановых пространствах класса 1, II. ИАН, сер. матем., 5 A941), 325—352.
[5] Об инвариантной характеристике конформно-евклидовых пространств класса 1.
Л., Труды политехи, ин-та, 3 A941), 60—66.
[6] О римановых пространствах класса 1, III. ИАН, сер. матем., 7 A943), 253—284.
Роэенфельд Б. А.
[1] Теория конгруэнции и комплексов прямых в эллиптическом пространстве. ИАН,
сер. матем., 5 A941), 105—126.
[2] Внутренняя геометрия множества m-мерных плоскостей п-мерного эллипти-
эллиптического пространства. ИАН, сер. матем., 5 A941), 353—368.
[3] Внутренняя геометрия множества прямых эллиптического пространства. М.,
Учён. зап. ун-та, 73 A944), 49—58.
[41 Метрические геометрии пространства шаров. М., Учён зап. ун-та, 73 A944),
59—82.
[5] К теории поверхностей в симметрических пространствах. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 371—386.
[6] Многомерное обобщение поверхности Клиффорда (многомерный случай безгра-
безграничного евклидова пространства с конечным объёмом). М., Учён. зап. ун-та,
100 A946), 150—154.
[7] Дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей. ИАН, сер.
матем., 11 A947), 283—308.
[81 Метрика и афинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик.
' ДАН. 57 A947), 543—546.
[9] Дифференциальная геометрия семейств] многомерных плоскостей. ИАН,
11 A947), 283—308.
Р о з е р Е.
[1] Von der Abbildung der Raume konstanter Krummung aufeinander. Казань, Изв.
физ.-матем. о-ва C), 3 A928), 100—110.
Российский С. Д.
[1] О парах конгруэнции, допускающих расслоение. М., Труды Всеросс. матем;
съезда A927), 224.
[2] Sopra una classe di coppie di congruenze rettilinee stratificabili. Матем. сб.,
36 A929), 7—32.
[3] Sur une classe de couples de congruences rectilignes stratifiables. С R. Acad. Sci.,
188 A929), 215—218.
{4] Очерк исследований Bianchi по теории конгруэнции. М., Труды геом. кружка
ун-та A930).
[5] Sur un cas de deformation des congruences isotropes a reseau conjugue persistant.
C. R. Acad. Sc!.. 197 A933), 1562—1565.
[6] Sur une transformation des surfaces minima. С R. Acad. Sci., 198A934), 1108—1110.
[7] Sur un cas de deformation des congruences isotropes et sur une transformation
des surfaces minima quis'y rattachent. Rend. circ. mat. Palermo, 59A935), 82—96.
[8] Deformation d 'une congruence rectiligne avec conservation des surfaces reglees prin-
cipales. С R. Acad. Sci., 200 A935), 515—517.
[9] Sur la deformation des surfaces avec reseau conjugue persistant. C. R. Acad. Sci.,
200 A935), 1268—1271.
[10] Изгибание конгруэнции на главном основании и одно связанное с ним преоб-
преобразование минимальной поверхности. Л., Труды второго Всесоюзн. матем.
съезда, т. 2 A936), 68—71.
[11] Deformation d'une congruence rectiligne avec conservation des surfaces reglees
principales. Ann. di Mat., 14 A936), 349—358.

БИБЛИОГРАФИЯ 979
[12] Об изгибании конгруэнции Ribaucour'а на главном основании. Матем. сб., 2
A937), 1199—1204.
[13] Об изгибании конгруэнции с сохранением её главных линейчатых поверхностей.
ДАН, 18 A938), 219—224.
[14] Об одном случае изгибания прямолинейной конгруэнции с сохранением её рас-
распределительных поверхностей. ДАН, 19 A938), 349—352.
[15] К задаче изгибания прямолинейной конгруэнции с сохранением её распредели-
распределительных поверхностей. ДАН, 19 A933), 435—438.
[ 16] Перманентные сопряжённые и перманентные ортогональные системы линейча-
линейчатых поверхностей прямолинейных конгруэнции. ДАН, 20 A938), 85—88.
[ 17] Перманентные изоклинные системы линейчатых поверхностей прямолинейных
конгруэнции. ДАН, 20 A938), 89—92.
[18] О некоторых случаях изгибания конгруэнции с сохранением её главных линей-
линейчатых поверхностей. Матем. сб., 4 D6), A938), 79—98.
[19] Изгибание прямолинейных конгруэнции с сохранением некоторых специальных
систем линейчатых понерхностей. Матем. сб., 5 D7), A939), 573—636.
[20] К общей задаче изгибания конгруэнции с сохранением некоторых специальных
систем линейчатых поверхностей. Матем. сб., 6 D8), A939), 307—330.
[21] Теорема существования неортогональной двусторонне расслояемой пары кон-
конгруэнции с изотропной конгруэнцией общих перпендикуляров. ДАН, 41 A943),
6—10.
[22] Ортогональный репер, связанный внутренним образом с произвольной кон-
конгруэнцией, и условия расслоения пары конгруэнции. ДАН, 41 A943), 58—СО.
[23] К вопросу о произволе, с которым может существовать ортогональная дву-
двусторонне расслояемая пара конгруэнции с изотропной конгруэнцией общих пер-
перпендикуляров. ДАН, 41 A943), 105—107.
Рубан А. К.
[1] К задаче о плавающем цилиндре. ДАН, 25 A939), 350—353.
Р у к а в и ц ы н И. Н.
[1] О некоторых некторпых тождествах. М.—Иркутск, Труды Вост.-Сиб. ун-та7
2 A934), 34—35.
[2] Об одном свойстве системы трёх пространственных векторов. М.—Иркутск, Труды
Вост.-Сиб. ун-та, 2 A934), 36—38.
[3] Геометрия связки сфер с радикальным центром в бесконечности. Л., Труды
второго Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 A936), 89—93.
[4] Интерпретация длины в гиперболической связке кругов. Иркутск, Учён. зап.
пед. ин-та, 4 A940), 5—8.
[5] Об одном выражении смешанного произведения трёх векторов вида ([i?t, /?а] /?3).
Иркутск, Учён. зап. иед. ин-та, 4 A940), 9—10.
[6] Связь между степенями двух точек относительно пяти сфер ортогонального комп-
комплекса. Иркутск, Учён. зап. пед. ин-та, 6 A941), 3—6.
[7] Некоторые соотношения в ортогональных комплексах сфер. Иркутск, Учён.
зап. иед. ин-та, 9 A946), 3—7.
Р у м е р Ю. Б.
[1] Спинорный анализ. М.—Л., ОНТИ A936), 1—104.
Р у п ч е в И. А.
[1] Метод комплексного переменного в сферической кинематической геометрии. ДАН,
26 A940), 331—334.
Рыжков В. В,
П] Об изгибании на главном основании, содержащем одно семейство конических
линий. ДАН, 33 A941), 287—289.
[2] О конгруэпциях плоских алгебраических кривых. ДАН, 41 A943), 202—204.
[3] Начертательная геометрия кривых линий и поверхностей. В кн. «Вопросы со-
современной начертательной геометрии». М.—Л., ГТТИ A947), 244—285.
Р ы н и н Н. А.
[1] Начертательная геометрия. Изд. 4. Л.—М., Госстройиздат A939), 1—448.
Сабиров М. А.
[1] По поводу статьи Б. Д. Каминского. ДАН, 19 A938), 671—672.
62*

980 ГЕОМЕТРИЯ
СавёловА. А.
[1] Афинные преобразования. Томск, Изд. «Кр. Знамя» A937), 1—55.
Сайкин С. Ф.
[1] К теореме Пифагора. Казань, Учён. зап. ун-та, 98 : 7 A939), 57—58.
Саморуков Б. Н.
[1] О некоторых элементах, характеризующих кривую в бесконечно малых частях.
Ростов н/Д, Учбн. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 28—30.
Г2] О двух конфигурациях прямых, аналогичных конфигурации Петерсен-Морлея.
' Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 64—68.
Свешников Г. Н.
[1] О параллельном смещении вектора и уравнении ортогональных траекторий геоде-
геодезических линий. Саратов, Учён. зап. ун-та, 4 : 2 A925), 30—34.
Сергеев В. В.
[1] К теории вертикального угла. Томск, Изв. Сиб. технол. ин-та, 50 : 4 A929), 1—7.
Синцов Д. М.
[1] Несколько моделей для иллюстрации квадратичного характера линейчатой гео-
геометрии (задача Gergorme-Steiner'a). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 22A917),
222—225.
[2] О точках возврата огибающей. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 24 : 1 A924),
61—67.
[3] Этюды по теории плоских кривых, I. Несколько замечаний по поводу книги
G. Loria «Spezielle algebr. u. transc. ebene Kurven», II. Об одной любопытной цис-
соидальной кривой. Хрк., Учён. зап. НИ кафедр, 2 A926), 71—78.
14] Етюди з Teopii кривих, III. Зв'язок Декартового листка з Штейнеровою гшо-
циклощою. Хрк., Зап. ин-та нар. проев., 2 A927), 35—36.
[5] Гауссова кривизна и линии кривизны. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 2 A928),
77—79.
[6] Деяк1 властивосп прямолЫйчатих поверхонь. Хрк., Зап. ин-та нар. нросв.,
3 A928), 76—83.
[7] Этюды по теории плоских кривых, IV. Мальтийский крест, V. Значение радиуса
" кривизны в обыкновенной точке кривой. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 2 A928), 80—86.
[8] Крив» подвШно! кривизни — nepepi3i гелжоида оборотовими поверхнями (зок-
рема поверхнями другого порядку). Хрк., Зап. ин-та нар. проев., 3 A928),
84—91.
[9] Sur le moment de deux droits et son application dans la theorie des connexes.
L'Enseignement math., 27 A928), 50—71.
10] Геометр1я Монжевих р1внянь. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 121—132.
11] Кривизна асимптотичних лЫШ. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 133—146.
12] Этюды по теории плоских кривых, VI. К определению особенных точек. Ж. матем.
о-ва при Донецком горн, ин-те, 1 A929).
[13] Скрут асимптотичних лшш. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 147—160.
Г14] Zur Krummungstheorie der Integralkurven der Pfaffschen Gleichungen. Math.
Ann., 101 A929), 261—272.
П51 Кривая Уатта. Владивосток, Изв. кафедры матем. Дальневост. ун-та A930),
13—16.
[16] Огибающие кривых в пространстве. Пермь, Ж. физ.-матем. о-ва ун-та,
5 : 1 A930), 20—24.
Г17] Питания про особлив! елементи конексу. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4A930),
191-199.
[18] Sur la determination des poins singuliers d'une surface, definie par des equations
de forme parametrique. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 7 A933), 9—14.
[19] Sur Гахе de deviation (normal affine). Хрк., Зап. матем. т-ва D), 8 A934), 33—36.
[20] Discussion du cas douteux des singularites doublies de la courbe en coordonnees
tangentielles. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 8 A934), 37—44.
[21] Sur une extension d'un probleme de Czuber sur les enveloppes. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 9 A934), 33—38.
[22] Формули Френе-Серре для плоского и-вим!рного простору. Хрк., Учён. зап.
ун-та, 1 A935), 5—19.

БИБЛИОГРАФИЯ 981
123] Sur le sens geometrique de Г equation differentiatedes surfaces reglees. Хрк., Зап.
матем. т-ва D), П A935), 49—54.
[24] Sur une propriete des lignes geodesiques du systeme des courbes integrates de
l'equation de Pfaff. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 13 A936), 63—64.
1.25] Sur les congruences des courbes dans l'espace. Хрк.,. Зап. матем. т-ва D), 13 A936),
65—73.
[26] Sur la classification des points d'une courbe dans Rn et le nombre des types des
points des rebroussement. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 13 A936), 74—79.
[27] Hafinpocriiiii образи метрично! функци коппексного простору. Хрк., Зап. матем.
т-ва D), 14 A937), 159—172.
[28] Ober die Geometrie der Mongeschen Gleichungen. Труды семян, по векторп. и тен-
зорн. анализу, 4 A937), 182—185.
[29] Исследования по теории пфаффовых многообразий. Хрк., Зап. матем. т-ва D),
16 A940), 62—81.
[30] Конгруэнции кривых, заданные совокупной системой нормального типа. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 18 A940), 1—26.
[31] Общая теория коннекса с элементом (точка, прямая) в пространстве. Киев, Сб.
трудов ин-та матем. АН УССР, 5 A940), 31—71.
[32] Конфигурации, определяемые пересечением 2, 3 и более билинейных комплексов.
Киев, Сб. трудов ин-та матем. АН УССР, 6 A941), 3—32.
С к о ч к о О.
[1] Про приклад д1лити кути на будь-як! частини механичним способом. Киев,
Ж. матем. цикла АН УССР, 2 A932), 51—54.
Слугинов СП.
[1] Длина дуги в пространстве п измерений. Пермь, Ж. физ.-матем. о-ва, 3 A926),
7—10.
[2] Гауссова кривизна. Пермь, Учён. зап. ун-та, 1 : 4 A935), 121—140.
Смирнов В. И.
[1] О фундаментальной области групп движения на плоскости Лобачевского-Болиаи.
Сб. «In mem. Lobatschevskii», 2 A927), 103—118.
Смогоржевский А. С.
[1] О некоторых геометрических построениях в гиперболической и евклидовой пло-
плоскостях. ДАН, 50 A945), 61—64.
[2] Построение в гиперболической плоскости треугольника по трём углам. Киев,
Сообщ. политехи, ин-та, 5 A946), 3—4.
С нарский А.
[1] К вопросу о проведении общей касательной к двум данным кривым второго
порядка. Л., Сб. электромех. ин-та, 2 A933), 14—25.
Соболев С. Л.
[1] О некоторых группах преобразований л-мерного пространства. ДАН, 32 A941)
380—382.
Соколин А. С.
[1] Об одной задаче Родо. ДАН, 26 A940), 871—872.
Соколова В. А.
[1] Афинные преобразования минимальных поверхностей. Томск Изв. ун-та
7У : 2 A928), 148—149. J
[2] Изгибание минимальной поверхности переноса. Томск, Изв. НИИ матем. и мех
ун-та, 1 : 2 A935), 160—167.
Сретенский Л. Н.
[1] Об изгибании поверхностей. Матем. сб., 36 A929), 109—111.
[2] Sur une generalisation du complex tetraedral. Матем. сб., 37 A930), 91—95.
[3] Потенциальные поверхности с плоскими линиями кривизны. ИАН, сер. физ -
матем. A933), 903—918. v
С у с л о в Г. К.
[1] Учение о векториальном поле. Одесса A922), 1 149.

982 ГЕОМЕТРИЯ
Тартаковский В. А.
[1] Об одном отображении афинной группы. Матем. сб., 19 F1), A946), 19—32.
Т и х о ц к и й К. Н.
f 1] Sur la deformation et la transformation К des congruences. Матем. сб., 5D7), A039),
297—306.
[2] La transformation К des complexes. Матем. сб., 16 E8), A945), 87—100.
Трегубов А. М.
[1] Вариант определения положения центра поверхности второго порядка. М.,Труды
нефт. ин-та, 2 A940), 21—22.
Туганов Н. Г.
113 О линиях на поверхности, геодезическое кручение и нормальная кривизна кото-
которых связаны линейным соотношением. ДАН, 20 A938), 515—516.
|2] О линиях на поверхности, геодезическое кручение, нормальная кривизна и гео-
геодезическая кривизна которых связаны линейным соотношением с постоянными
коэффициентами. ДАН, 30 A941), 381—383.
|3] О поверхностях, конформно изображающихся посредством нормалей на одну
полость своей поверхности центров. ДАН, 33 A941), 109—111.
f41 О базисных линиях на поверхности. ДАН, 57 A947), 327—330.
J5] О базисных линиях на поверхности. ДАН, 58 A947), 1911—1914.
Уланове к и й В. П.
J1] Принцип Шаля и его приложения. Л., Труды паучно-техн. конфер. военно-
трансн. акад., сб. 2 A938), 7—26.
V р и с м а и С. М.
[1] Про пари кривих. Хрк., Зап. матем. т-на C), 3 A923), 175—186.
{2] Струкшйна крива. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 4 A930), 231—234.
У р м а е в Н. А.
{1] Приведённая длина геодезической линии. ИАН, сер. матем., 5 A941), 369—376.
У р ы с о н П. С.
[1] Зависимость между средней шириной и объёмом выпуклых тел в л-мерном про-
пространстве. Матем. сб., 31 A924), 477—486.
У с м а н о в Н. К.
11J Обобщение теоремы Бляшке. Казань, Учён. зап. ун-та, 100 : 5 A940), 117— 1К>.
Фаддеев Д. К.
[1] Об одной задаче аналитической геометрии. ДАН, 47 A945), 559—561.
Фёдоров Е. С.
}1] Графические операции с четырьмя независимыми1 переменными. ИЛН F),
12 A918), 615—624.
[2] Треугольники, четырёхгранники и нентатопы как образы, обусловливающие
коррелятивность, выражаемую одинаковыми символами. ИАН F), 12 A918),
1905—1910.
J3] Специальный упрощённый вид системы с параметром точкою. ИАН F),
12 A918), 1911-1912.
[4] Некоторые полярные системы в плоскости. ИАН F), 12 A918), 1913—1924.
Федотов Г. И.
11] Новое доказательство теоремы Польке. Научи, докл. Воронежск. авиац. ин-та,
A944), 42—45.
Ф и л и п п о в с к и й С. С.
[1] Измерение площадей. Ижевск, Учён. зап. Удмурт, пед. ин-та, 1 A946), 122—139.
Фиников С. П.
П] Общая задача изгибания на главном основании. М. A917), 1—198.

БИБЛИОГРАФИЯ 983
[2] Congruences avec les deux nappes de la surface focale applicables Tune sur Pautre
par les points correspondents. Ann. di Mat., I A924), 175—184.
[3] Об одном случае особого изгибания конгруэнции. Матем. сб., 32 A925), 241—248.
{4] Sur les surfaces de M. Bianchi. Матем. сб., 32 A925), 249—254.
[5] Sur les congruences «de roulement. Матем. сб., 32 A925), 599—612.
[6] Sur les surfaces principals des congruences rectilignes de M. Bianchi. Atti Accad.
naz. Lincei, 1 A925), 515—516.
[7] Sur la deformation des surfaces a reseaux cinematiquement conjugues persistants.
Матем. сб., 33 A926), 129—160.
[8] Современное состояние дифференциальной геометрии. М., Труды Всеросс. матем.
съезда A927), 162—176.
[9] О парах конгруэнции. М., Труды Всеросс. матем. съезда, A927), 376.
[10] Sur la congruence rectiligne de roulement d'un infinite de manieres. Матем. сб.,
34 A927), 49—54.
[П] Sur les congruences stratifiables. С R. Acad. Sci., 185,A927), 379—381.
[12] Sur la deformation d'un systeme de со3 elements plans. Bull. Sci. Math., 51 A927),
393—403.
13] Sur l'equation intrinseque d'une surface. С R. Acad. Sci., 186 A928), 825—827.
14] Sur les congruences de M. Demoulin. Atti Accad. naz. Lincei, 9 A929), 493—498.
15] Sur les congruences stratifiables. Rend. circ. mat. Palermo, 53 A929), 313—364.
16] Deformation d'une congruence rectiligne avec developpables persistantes. Bull.
Sd. Math., 53 A929), 341—360.
f 17] Sur les congruences de M. Ooursat. С R. Acad. Sci., 188 A929), 1367—1370.
[18] Sur les suites de Laplace periodiques contenant une congruence W. C. R. Acad.
Sci., 188 A929), 1647—1651.
[19] Sur les suites de Laplace contenant des congruences de Wileczynski. С R. Acad.
Sci., 189 A929), 517—519.
[20] Deformation d'une surface et reseaux conjugues persistants. Bull. Sci. Math.,
54 A930), 137—168.
[21] Congruences W ayant le long des rayons correspondents meme complexe lineaire
osculateur. C. R. Acad. Sci., 190 A930), 999—1001.
[22] Transformation des couples des congruences stratifiables. C. R. Acad. Sci.,
191 A930), 642—644.
[23] Sur les suites de M. Fubini. Atti Accad. naz. Lincei, 12 A930), 41—47.
[24] La congruence R ayant deux surfaces gauches pour les deux nappes de sa surface
focale. Atti Accad. naz Lincei, 12 A930), 302—306.
[25] Sur les quadriques de Lie et les congruences de M. Demoulin. Матем. сб.,
38 : 1—2 A931), 48—97.
[26] La transformation des congruences de droites. Atti Accad. naz. Lincei, 14 A931),
421—427.
[27] Congruences dont les deux nappes de la surface focale sont projectivement appli-
cables d'une sur l'autre par les points focaux correspondents. С R. Acad. Sci.,
19'2 A931), 1175—1177.
[28] Congruences paraboliques stratifiables, transformations des surfaces Ro. С R. Acad.
Sci., 193 A931), 812—814.
[29] Congruences dont les deux nappes de la surface focale sont pro jectivement applicab-
applicables d'une sur l'autre par les points focaux correspondents. Bull. Sci. Math.,
56 A932), 117—136.
[30] Couples de surfaces dont les lignes de courbure se correspondent, les tangents cor-
respondantes se coupent. С R. Acad. Sci., 196 A933), 28—32.
[31] Surfaces dont les lignes de courbure se correspondent avec egalite des rayons de
courbure principaux homologues. С R. Acad. Sci., 196 A933), 984—986.
]32] Sur les couples de surfaces dont les asymptotiques se correspondent et qui aux points
correspondents ont les m6mes directrices de Wileczynski. С R. Acad. Sci., 197 A933),
. 883—8&5.
[33] Transformation Г des congruences de droites. Ann. di Pisa, 2 A933), 59—88.
[34] Congruences stratifiables paraboliques. Math. Z., 36 A933), 344—357.
[35] Теория поверхностей. М.—Л., ГТТИ A934), 1—200.
[36] Couples des surfaces dont les asymptotiques correspondent etles tangentes asympto-
asymptotiques homologues se coupent. Atti. Accad. naz. Lincei, 20 A934), 164—168.
[37] D6formation protective d'un couple de congruence. C. R. Acad. Sci., 199 A934),
177—178.
{38] Transformation des surfaces a l'aide deco2quadrique, ayant un contact d'une seconde
ordre avec la surface et sa transformee. С R. Acad. Sci., 199 A934), 769—771.

984 ГЕОМЕТРИЯ
[39] Surfaces ayant aux points homologues les mSmes directrices de Wileczynski.
Казань, Изв. физ-.матем. о-ва C), 7 A934—1935), 44—54.
[40] Couples des surfaces dont les tangentesasymptotiques aux points homologues coen-
courent. Atti Accad. naz. Lincei, 21 A935), 85—89.
[41] Couples stratifiables attaches aux surfaces dont les asypmtotiques appartiennent
к des complexes lineaires. С R. Acad. Sci., 201 A935), 1090—1091.
[42] Теория прямолинейной конгруэнции в проективио-дифференииальной геометрии.
Хрк., Труды Всесоюзн. матем. съезда A936), 290—298.
[43] Bianchi как геометр. М., Труды геом. кружка НИИ матем. и мех. ун-та, т. I A936).
[44] Transformation de M. Calapso. С. R. Acad. Sci., 202 A936), 548—549.
[45] Sur quelques reseaux conjugues. С R. Acad. Sri., 202 A936), 1734—1736.
[46] Deformation a reseau conjugue persistant et problemes geometriques qui s'y rat-
tachent. Mem. Sci. Math., 96 A936).
[47] Configuration (Г) admettant une infinite de transformation de Calapso. C. R. Acad.
Sci., 204 A937), 166—167.
[48] Suites de Laplace pour lesquelles les surfaces d'indice de пгёте parite ont leurs;
asymptotiques en correspondance. C. R. Acad. Sci., 204 A937), 321—323.
[49] Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи.
М.—Л., ОНТИ A937), 1—176.
[50] Проективно-дифференциальная геометрия. М.—Л., ОНТИ A937), 1—263.
[51] О последовательностях Лапласа с парой проективно налагающихся конгруэн-
конгруэнции. ДАН, 14 A937), 243—246.
[52] Поверхности с непересекающимися основными трёхгранниками. Матем. сб.,
2 D4), A937), 627—663.
[53] О паре поверхностей, которые соответствуют точечно так, что асимптотические
линии одной поверхности переходят в сопряжённую систему другой и касательные
к соответствующим линиям пересекаются. ДАН, 20 A938), 525—528.
[54] Изгибание поверхностей с вытяжкой одного семейства линий. ДАН, 21 A938),
3—5.
[55] Дифференциальная геометрия. М., Учпедгиз A939), 1—236.
[56] Sur le reseau des lignes doubles dans la correspondance ponctuelle de deux surfaces
et sur la correspondance A des surfaces. Матем. сб., 6 D8), A939), 475—520.
[57] Deformation projective d'une configuration (T). J. math. pur. appl., 18 A939),
405—416.
[58] Конгруэнции, ассоциированные в совместном изгибании. ИАН, сер. матем.
A937), 373—402.
[59] Сети Розе. ИАН, сер. матем., 4 A940), 151—180.
[60] Sur le probleme de S. Bachvaloff dans la theorie des couples stratifiables. Матем.
сб., 12 E4), A943), 287—314.
[61] Пара линейчатых поверхностей, расслояемых двумя семействами кривых.
ИАН, сер. матем., 9 A945), 79—112.
[62] Сопряжённые сети с общими осями. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та,
3 : 1 A946), 75—103.
Фиников С. П. и Гамбье Б.
[1] Surfaces dont les lignes de courbure se correspondent avec egalite des rayons de
courbure principaux. Ann. l'Ecole norm., 50 A933), 319—370.
Фок В. А.
[1] Волновое уравнение Дирака и геометрия Римана. Ж. Русск. физ.-хим. о-ва,
часть физ., 62 : 2 A930), 133—152.
Франк М. Л.
[1] Ober zentrische Kollineation von Kegelschitten. Math. Ann., 92 A924), 83—87.
[2] Геометрия Лобачевского и её значение для современной науки. К столетнему
юбилею неевклидовой геометрии. Симферополь, Изв. Крымск. пед. ин-та, 1 A927),
13—15.
[3] О максимальном числе двойных точек многоугольника с чётным числом сторон.
Симферополь, Изв. Крымск. пед. ун-та, 1 A927), 100—102.
[4] О приближении многоугольников уникурсальными кривыми. ИАН, сер. матем.
A938), 137—160.
[5] Приближение односвязных многогранников рациональными поверхностями.
ДАН, 23 A939), 423—426.
[6] Начертательная геометрия четырёхмерного пространства по идее Е. С. Фёдорова.
Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 6 A939), 90—107.

БИБЛИОГРАФИЯ 985
[7] Приближение односвязных многогранников рациональными поверхностями.
Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.-матем., 3 : 1 A939), 59—75.
Фрейдина М. Г.
[1] Двойственные оистемы, допускающие группу движений. ДАН, 57A947), 547—550.
Фридман А. А.
[1] О кривизне пространства. Ж. Русск. физ.-хим. о-ва, часть физ., 56 A924), 59—68.
Фукс Б. А.
[1] Ober die w-Kurven. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 3 A928).
[2] Ober vollstandiggeodatische analytischeMannigialtigkeiten einer vierdimensionalen
Riemannschen Geometric. Томск., Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1 : 2 A935),
168—174.
[3] Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer bei pseudokoniormen ^bbildungen inva-
rianten Riemannschen Geometrie. Матем. сб., 2 D4), A937), 567—594.
Хапланов М. Г.
[1] К вопросу о разыскании точек перегиба у пику реальной кривой. Ростов н/Д^
Учён. зап. ун-та, 1 A934), 139—144.
Харадзе А. К.
[1] Sur une generalisation des developpees des courbes planes. Тбилиси, Бюлл.
ун-та,. 4 A924), 305—314.
Хилькевич Э. К.
[I] По поводу задачи гармонического деления. Тюмень, Учён. зап. пед. ин-та,
1 A939), 51—54.
[2] Об одном свойстве треугольника, перспективно вписанного в другой треуголь-
треугольник. Тюмень, Учён. зап. пед. ин-та, 1 A939), 55—58.
Худеков Н. Н.
|1] Ober eine Verallgemeinerung des Begrifis der geordneten Menge. Матем. сб.,
37 A930), 169—212.
[2] О типах общего расположения л-)-2точекв Rn- Матем. сб., 9E1), A941), 249—276.
Чайковский К.
[1] Определение поверхности и объёма сферического дниша. Ж. Вестн. инж. и техн. t
3 A931), 120—121.
Чахтаури А. И.
fl] О проективно-евклидовой геометрии. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР.
14 A947), 217—245.
Чеботарёв Н. Г.
[1] О ширине контуров и тел. Одесса, Ж. НИ кафедр, 1 :8—9 A924), 29—41..
[2] О поверхностях п-ереноса. Матем. сб., 31 A924), 434—445.
[3] Об одном обобщении поверхностей переноса. Одесса, Ж. НИ кафедр,
2 : 3 A924), 44—55.
[4] Об обобщённых поверхностях переноса. Труды семин. по векторн. и тензорн.
анализу, 4 A937), 348—353.
Чебышев-Дмитриев А. А.
[1] Некоторые свойства плоскости Лобачевского. Труды второго Всесоюзн. матем-
съезда, т. 2 A936), 108—109.
Чердаицев И. А.
fl] Основы векторного и тензорного анализа. Изд. 2. М.—Л., Гос. изд. A925), 1—143.
Черёмухин П. А.
fl] Остаточный член ряда Тэйлора для векторной функции от скалярного перемен-
переменного. Сталинград, Труды механ. ии-та, 1 A940), 249—251.
Чернушенко И. С.
[1] О гильбертовых аксиомах связи. Хрк., Научн. зап., 2 A926), 107—113.
[2] Современное положение вопроса об основании евклидовой геометрии. Хрк.,.
Зап. матем. т-ва D), 2 A928), 87—112.

986 геометрия
[3] О взаимной непротиворечивости геометрических аксиом Гильберта. Хрк., Научн.
зап., 4 A928), 93—112.
[4] Zur Frage fiber den Unabhangigkeitsbeweis der Axiome. Хрк., Зап. мат ем. т-ва D),
11 A935), 77—78.
Черняев М. П.
[1] О некоторых специальных случаях одевания поверхностей. Ростов н/Д, Труды
Сев.-Кавк. асе. НИ ин-тов, 63 A929), 1—70.
[2] Определение направлений Чебышева на развёртывающихся поверхностях и на
поверхностях с плоскими линиями кривизны. Ростов н/Д, Труды ин-та матем.
и естеств. Сев.-Кавк. ун-та, 16 A930), 213—218.
[3] Длина дуги, кривизна и эволюта плоской кривой в афинной дифференциальной
геометрии. Ростов н/Д, Изв. Сев.-Кавк. ун-та, 4 B1), A931), 6—20.
[4] Определение поверхностей, все афинные нормали которых проходят через фик-
фиксированную точку. Ростов н/Д, Учёи. зап. ун-та, 1 A934), 119—121.
|5] Об одной теореме М. d'Ocagne и её обобщении в афинной дифференциальной
геометрии. Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 1 A934), 122—123.
[6] Об одном свойстве центра афинной кривизны плоской кривой. Ростов н/Д, Учён.
зап. ун-та, 1 A934), 124—126.
[7] Об одном свойстве эквитангенциальной кривой двоякой кривизны. Ростов
н/Д, Учён. зап. ун-та, 1 A934), 127—130.
[8] Конфигурация Morley-Petersen'a. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ.
ун-та, 1 A937), 83—84.
[9] Обобщение одного свойства конических сечений. Таганрог, Труды ин-та механиз.
с. х., 1 A937), 3—11.
[10] Афинная нормаль и афинная эволюта гипоциклоиды Штейнера. Таганрог, Труды
ин-та механиз. с. х., 1 A937), 12—16.
[11] Об одной теореме линейчатой геометрии. Таганрог, Труды ин-та механиз. с. х..
1 A937), 21—23.
[12] Обобщение одного свойства конических сечений. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 2 A938), 3—33.
[13] Об одном геометрическом месте точек, определяющем коническое сечение. Ростов
н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 34—48.
[14] Об одном свойстве гомологичных треугольников. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 2 A938), 49—50.
[15] Образование эвольвенты круга движением полюса логарифмической спирали,
катящейся без скольжения по данной окружности. Таганрог, Труды ин-та
механиз. с. х., 2 A939), 225—226.
[16] Гомологичные тетраэдры. Таганрог, Труды ин-та механиз. с. х., 2A939), 227—228.
[17] Геометрическое место точек, определяющее коническое сечение. Таганрог,
Труды ин-та механиз. с. х., 2A939), 229—230.
[18] Пространственный аналог теоремы Менелая. Таганрог, Труды ин-та механиз.
с. х., 2 A939), 231—233.
Ч ет а ев Н. Г.
[1] Ober die von den elipsoiden abgeleiteten Qleichunggewichtsfiguren. Казань, Изв.
физ.-матем. о-ва C), 4 A929—1930), 1—36.
Четверухин Н. Ф.
[1] Зависимость между понятиями конгруэнтности отрезков и конгруэнтности углов.
Матем. сб., 31 A924), 324—330.
[2] О многоугольниках, описанных около плоских точечных множеств. Матем. сб.,
31 A924), 331—336.
[3] Значение аксиомы Pasch'a для линейной аксиоматики порядка. Матем. сб.,
31 A924), 568—575.
[4] Ober die Bedeutung des Axiomes von Pasch iflr die Hnearen Anordnugsaxiome.
Jahresbericht DMV, 33 A924).
[5] Eine Bemerkung zu den Nicht-Desarguesschen Liniensystem. Jahresbericht DMV,
36 A927).
[6] Qeradentripel als Projektion von rechtwinklingen Achsenkreuzen in Raume. Матем.
сб., 40 A933), 494—503.
[7] Ober ein axonotnetrisches Problem im mehrdimensionalen RSume. Мате.м. сб.,
1 D3), A936), 229—242.
[8] К вопросу об изображении осевых триэдров в параллельной проекции. М., Учён.
зап. пед. ин-та, физ.-матем. фак-т A937).

БИБЛИОГРАФИЯ 987
[9] Методы геометрических построений. М., Учпедгиз A938), 1—138.
[10] Геометрические построения и приближения. М., Учпедгиз A938).
[11] Высшая геометрия. Изд. 5. М., Учпедгиз A939), 1—296.
[12] Аксонометрическая интерпретация метода проекций с векторными отметками.
«Инженерн. сб.» АН, 2 : 1 A943).
[13] Об афинной жёсткости многогранников. ДАН, 42 A944), 3—6.
[14] Об одной теореме аксонометрии в центральной проекции. ДАН, 50A945), 75—76.
[15] Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии. М., Учпедгиз A946).
[16] Стереометрические задачи на проекционном чертеже. М., Изд. Акад. пед. паук
A947).
[17] Основная теорема аксонометрии с точки зрения условных изображений. М.,
Учён, труды авиац. ин-та, 6 A947).
[18] Полные и неполные изображения. В кн. «Вопросы современной начертательной
геометрии». М.—Л.. ГТТИA947), 127—187.
[ 19] Условные изображения и параметрический метод их построения. В кн. «Вопросы
современной начертательной геометрии». М.—Л., ГТТИ A947), 188—243.
Чистяков И. И.
[1] О рациональных треугольниках. Тверь, Изв. пед. ин-та, 1 A926), 52—58.
Чихтаури А.
[1] Геометрия, связанная с коррелятивным преобразованием. Тбилиси, Труды
матем. ип-та АН ГрССР, 13 A944), 101—136.
Шапиро Г. М.
[1] Sur les espaces sous-projectifs. С. R. Acad. Sci., 191 A930), 551—552.
[2] Sur la transplantation du transport parallfele. Atti Accad. naz. Lintei, 16 A932),
92—94.
[3] О пересадке семейств с одной поверхности на другую. М., Учён. зап. ун-та,
1 A933), 18—21.
J4] Ober die Metrik der subprojektiven Raume. Труды семик, но векторп. и теизорн.
анализу, 1 A933), 102—125.
[5] Ober einiach-parallele Unterraume des Euclidischaiiinen RSumes. Труды семи».
no векторн. и тензорн. анализу, 2—3 A935), 368—381.
[6] Sur la correspondance entre les surfaces et la representation des sys times de courbes.
Матем. сб., 42 A935), 593—596.
[7] Ober die Transplantation der Kurvensysteme und der Parallelflbertragung. Труды
семин. по векторн. и тензорн. анализу, 4 A937), 296—301.
Шапиро Я. Л.
[1] Об одном характеристическом свойстве метрики поверхности вращения. ДАН,
28 A940), 23—24.
[2] О геодезических полях многомерных направлений. ДАН, 32 A941), 237—239.
3] Чебышевские сети в л-мерном римановом пространстве. ДАН, 32 A941), 240—241.
4] О некоторых полях геодезических конусов. ДАН, 39 A943), 6—10.
5] О произвольных компонентах тензора второго ранга. Матем. сб., 17 E9), A945),
65—84.
Широков П. А.
|1] О группе конформных преобразований неевклидовых пространств эллиптиче-
кого и гиперболического типа. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 23 A923),
83—113.
[2J Этюды по геометрии Лобачевского. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B),
24 : 1 A924), 26—32;
[3] О векторной площади. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 24:2A924), 31—43.
[4] Об одном способе вывода основных формул геометрии Лобачевского. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва B), 24 A925), 33—41.
[5] Геометрическая интерпретация параллельного переноса вектора в геометрии
Weyl'fl. Казань, Учён. зап. ун-та, 85 A925), 56—58.
[6] О функции, удовлетворяющей уравнению Laplace'a в Riemann'OBbix трёхмер-
трёхмерных пространствах и зависящей только от расстояния. Казань, Учён. зап. ун-та,
85 A925), 59—62.
|7] Кривые в пространстве постоянной положительной кривизны. Казань, Учён.
зап. ун-та, 85 A925), 218—228.

988 ГЕОМЕТРИЯ
[8] Об отличительных свойствах сфер в пространстве постоянной кривизны. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва B), 25 A925), 48—55.
|9] Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Riemann'OBbix про-
пространствах. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 25 A925), 86—114.
[10] Исследование тензорного дифференциального уравнения /)$/)(, Ojj=0 для Rie-
тапп'овых пространств. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), I A926), 123—134.
[11] О параллельном переносе векторов в неевклидовых пространствах постоянной
кривизны. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 1 A926), 135—145.
[ 12] Об одном приложении тензорного анализа в теории поверхностей. Казань, Учён.
зап. ун-та, 87 A927), 62—66.
[13] Преобразование винтовых интегралов в пространствах постоянной. Сб. «In. mem.
Lobatschevskii», 2 A927), 119—134.
[14] Об одном приложении винтового исчисления к дифференциальной геометрии.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 4 A929—1930), 85—88. "
[15] Цепная линия в пространстве Лобачевского. Казань, Учён. зап. ун-та, матема-
математика, 4 : 1 A932), 24—30.
[16] Геодезическое кручение кривой, принадлежащей к неголономному образу.
Казань, Учён. зап. ун-та, математика, 4 : 1 A932), 65—69.
[17] Тензорный анализ. Ч. I. Алгебра тензоров. Л.—М., ГТТИ A934), 1—464.
[18] О пространстве Schur'a. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 7 A934—1935),
64—76.
[19] О сходящихся направлениях вШетапп'овых пространствах. Казань, Изв. физ.-
матем. о-ва C), 7 A934—1935), 77—88.
[20] О границе значений присоединённой формы. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва
C), 7 A934—1935), 89—96.
[21] К вопросу о трансляциях в римановых пространствах. Казань, Изв. физ.-
матем. о-ва C), 9 A937), 3—4.
[22] Об отличительном свойстве поля скоростей группы конформных преобразований
в римановых пространствах. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 11 A939), 3—7.
[23] Симметрические конформно-евклидовы пространства. Казань, Изв. физ.-матед».
о-ва C), И A939), 9—27.
Шклярский Д. О.
[1] Условно сходящиеся ряды векторов. Успехи матем. наук, 10 A944), 51—59.
Ш л е п и н В. И.
[1] Теория подобно изменяющегося треугольника. Ростов н/Д, Труды ин-та механиз.
с. х., 1 A939), 33—36.
Ш м и д о в Ф. И.
[1] Метрические контингенции. ДАН, 39 A943), 271—274.
Ш м и д о в Ф. И. и В е р ч е и к о И. Я.
[1] Sur quelques proprietes geometriques des ensembles. С R. Acad. Sci., 200 A935),
616—618.
Шнирельмап Л. Г.
11 ] О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых. Успехи матем. наук.
10 A944), 34—44.
Шор Я. Е.
[1] Векторные методы в начертательной геометрии и их приложения в механике. В кн.
«Вопросы современной начертательной геометрии». М Л. ГТТИ A947), 286—327^
Шпильрейн Я. Н.
[1] Векторное исчисление. М.—Л., Гос. изд. A925), VIII+324.
Шульман Т. А.
[1] Об изгибании гиперповерхностей и афинном пространстве. ДАН, 58 A947),
1297-1299.
Щетинин Н. И.
[ 1] Принципы соответствия Шаля и некоторые его приложения. М., Труды ин-та
механиз. и электриф. с. х. A939), 113—124.

БИБЛИОГРАФИЯ С)89
Щ и г о л е в Б.. М.
[1] О сопряжённых прямолинейных диаметрах кривых четвёртого порядка. Пермь,
Ж. физ.-матем. о-ва, 2 A919), 125—138.
Ю к и н М. А.
[1] Видоизменение принципа Шаля и теоремы Хальфена. Л., Труды второго Все-
союзн. матем. съезда, т. 2 A936), 100—102.
Яблоков В. А.
[1] О взаимно полярных конических сечениях. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B),
23 A923), 76—82.
[2] Теоремы Аполлония в л-мерной геометрии Евклида. Казань, Учён. зап. ун-та,
87 A927), 83—85.
{3] Кривые двоякой кривизны. Казань, Учён. зап. ун-та, 87 A927), 147—155.
[4] О некоторых свойстках пространственных кривых третьего порядка. Казань,
Учён. зап. ун-та, математика, 7:2A934), 17—26.
{5] О взаимно сотяжённых винтовых линиях нулевой системы. Казань, Труды
авиац. ин-та, 3 A935), 32—36.
Я г л о м И. М.
Г11 Группы Мёбиуса и Лягерра на плоскостях постоянной кривизны. ДАН, 54A946),
319—323.
Яглом И. М. и Яглом А. М.
[1] Тангенциальные модели Пуанкаре плоских геометрий постоянной кривизны.
ДАН, 53 A946), 405—408.
ЯковкинА.
[I] О секторном планиметре. Л., Изв. Русского астрон. о-ва, 25:5—9 A924), 17—19.
Яцына В. П.
[11 Теория линий средин второго порядка. Л., Изв. техиол. ин-та, 1 B5), A927),
246—290.

ИСТОРИЯ
МАТЕМАТИКИ

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ.
А. П. ЮШКЕВИЧ.
§ 1. Развитие истории математики в России (993). § 2. Изучение истории
математики в СССР (995). § 3. Научная методология в истории математики
(996). § 4. История русской и советской математики (S97). § 5. Математика
древнего Востока A003). § 6. История античной математики A004).
§ 7. История математики средних веков инового времени A006).
§ 1. РАЗВИТИЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ.
ервые сведения по истории математики на русском язы-
языке приведены были в очень кратком авторском предисло-
предисловии к «Эвклидовым элементам» (Спб., 1739), переподу
курса теоретической геометрии А. Такэ A654). В отдель-
отдельных речах и статьях русских учёных XVIII в. также
сообщались иногда историко-математические сведения, а
в «Академических известиях» за 1789—1791 гг. печаталась
«История о мафиматике», перевод известной «Histoire des
mathematiques» Монтюкла. Перевод этот, впрочем, закончен не был и
доходил лишь до начала XVII в.
В XIX в. интерес к истории математики начал несколько возра-
возрастать. В начале его появились две работы по истории идей обоснования
исчисления бесконечно малых, стоявших тогда в центре внимания мате-
математиков, именно «Краткое изложение различных способов изъяснять
дифференциальное исчисление» С. Е. Гурьева (Умозрительные иссле-
исследования АН, 1815, т. IV) и «Опыт о различных теориях дифференциаль-
дифференциального исчисления и о сравнении оных» П. А. Рахманова (Спб., 1812). Сведе-
Сведения по истории математики имелись в «Лексиконе чистой и прикладной
математики» В. Я. Буняковского, который, однако, выпустил только
первый том этого труда от А до Д (Спб., 1839). Для истории русской
математики имело большое значение издание нескольких старинных
рукописей. В «Трудах» Общества истории и древностей российских за
1828 г. митрополит Евгений Болховитинов опубликовал древнейший
памятник русских математических и хронологических вычислений, соста-
составленный новгородским диаконом Кириком и относящийся к началу XII в.
Этот памятник переиздал затем с рядом комментариев П. Хавский (Чте-
(Чтения в имп. Обществе истории и древностей российских, 1847, №6). Во
«Временнике» имп. Московского Общества истории и древностей рос-
российских издана была «Книга сошного письма 7137 года» A853, кн. 17).
63 Математика в СССР за 30 лет

994 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Общество любителей древней письменности опубликовало автографы
нескольких арифметических и землемерных рукописей XVII в, («Счёт-
(«Счётная мудрость», Спб., 1879). Ряд важнейших библиографических и био-
биографических сведений по* истории математики появился в сочинениях
о литературе петровского времени и по истории Академии Наук
П. П. Пекарского, в истории Российской академии М Сухомлинова,
в истории Московского университета С. Шевырёва и других аналогич-
аналогичных сочинениях.
В последней четверти XIX в. и начале XX в. русские учёные высту-
выступили с некоторыми исследованиями по истории математики. М. Е. Ва-
щенко-Захарченко издал «Историю математики. Исторический очерк раз-
развития геометрии» в древности и в средние века (Киев, 1883) и комментиро-
комментированный перевод «Начал» Евклида (Киев, 1880). И. Ю. Тимченко опу-
опубликовал чрезвычайно богатые фактическим материалом «Исторические
сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории
аналитических функций», доведя изложение вопроса до начала XIX в.
(Записки матем. отд. Новороссийского университета, т. XII, XVI, XIX,
Одесса, 1892—1898). Он же издал перевод «Истории элементарней Л'.ате-
матики» Ф. Кеджори, снабдив его ценными и обширными дополнениями
(Одесса, 1910, 2-е изд., 1917). В. Ф. Каган выпустил большой труд
по истории геометрии «Основания геометрии, ч. II. Исторический очерк
развития учения об обоснованиях геометрии» (Одесса, 1907). Несколько
работ посвятили специально Н. И. Лобачевскому А. В. Васильев
и В. Ф. Каган. Был издан также ряд произведений великого геометра.
Н. М. Бубнов написал ряд больших оригинальных работ по средне-
средневековой арифметике и, в частности, по истории цифр и абака: «Ариф-
«Арифметическая самостоятельность европейской культуры» (Киев, 1908),
«Подлинное сочинение Герберта об абаке» (Киев, 1908), «Абак и Боэ-
Боэций» (Киев, 1908). Историей методики арифметики в России занимался
Д. Д. Галанин.
Наиболее крупным историком математики дореволюционного пери-
периода явился В. В. Бобынин. Интересы В. В. Бобынина были весьма разно-
разнообразны. Его магистерская диссертация была посвящена анализу опу-
опубликованного в 1877 г. папируса Ринда («Математика у древних египтяи»,
М., 1882). В коллективном IV томе «Vorlesungen uder Geschichte der
Mathematik» M. Кантора перу В. В. Бобынина принадлежала глава
по истории элементарной геометрии в XVIII в. В. В. Бобынин неустанно
пропагандировал историко-математические знания в единолично изда-
издававшемся им в 1885—1904 гг. журнале «Физико-математические науки
в их настоящем и прошедшем», активно участвовал в различных других
русских и иностранных журналах, в энциклопедических и биографиче-
биографических словарях. Он же поставил впервые чтение курса истории матема-
математики в Московском университете. Главной научной заслугой В. В. Бобы-
Бобынина явились его основоположные исследования по истории русской
математики. Его «Русская физико-математическая библиография»
(М., 1885—1900) содержит полный указатель книг, вышедших по физико-
математическим наукам в России с начала книгопечатания по 1816 г.
В «Очерках истории развития физико-математических знаний в Рос-
России» (вып. 1, 2, М., 1886 и 1893) В. В. Бобынин дал обстоятельный анализ
рукописной литературы по практической арифметике и геометрии XVI1 в.;
статьи «Эпоха государственного содействия развитию научных зна-
знаний», продолжившие «Очерки», были посвящены характеристике мате-

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ 995
матической культуры петровского времени («Физико-математические
науки в их прошлом и настоящем», 1888—1892). Эти работы послужили
отправным пунктом ряда исследований советских историков матема-
математики. В. В. Бобынин явился первым русским специалистом в истории
математики. Общее число его трудов—свыше двухсот.
§ 2. ИЗУЧЕНИЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СССР.
Несмотря на выдающуюся деятельность В. В. Бобынина и других
названных лиц, история математики в целом получила в предреволюцион-
предреволюционной России лишь незначительное развитие. Характерно, что журнал
B. В. Бобынина не получил поддержки и широкого распространения,
и редактор-издатель вынужден был после двадцатилетнего труда отка-
отказаться от его выпуска. Лишь после Великой Октябрьской социалисти-
социалистической революции историко-математические исследования приобрели
более широкий размах. В этот период, главным образом, начиная с 1930 г.,
возникла обширная историко-математическая литература. В ряде уни-
университетов и педагогических институтов были поставлены курсы истории
математики. К разработке проблем истории математики пришли молодые
советские учёные, начавшие работать совместно с представителями стар-
старших поколений. Ряд учёных избрал историю математики своей основной
специальностью; началась подготовка аспирантов по этой дисциплине
в Московском университете. С 1939 г. начал регулярно работать научно-
исследовательский семинар по истории математики на механико-
математическом факультете Московского университета. В АН СССР
развернули активную деятельность Комиссия по истории физико-мате-
физико-математических наук и с 1945 г. институт истории естествознания. Эти
успехи явились одним из проявлений общего необыкновенного про-
прогресса математики в СССР.
Важную роль в развитии истории математики сыграло издание учеб-
учебной и популярной литературы. Вышли популярные книги А. В. Ва-
Васильева («Целое число». Пгр., 1919), С. А. Богомолова
(«Актуальная бесконечность». М., 1934), Г. Н. Попова («Очерки по
истории математики». М.—Пгр., 1923), В. П. Шереметевского
(«Очерки по истории математики». М., 1940), В. Беллюстин а («Как
постепенно дошли люди до настоящей арифметики». М , 19401 и т. д.
Кроме того были опубликованы переводы известных работ Г. Г. Цейтена
по истории математики в древности и средние века и в XVI—XVII вв.,
историко-математической хрестоматии Г. Вилейтнера, лекций по исто-
истории древневосточной математики О. Нейгебауера, лекций по истории
математики в XIX в. Ф. Клейна.
Не меньшее значение имело издание ряда сочинений классиков мате-
математики. Изданы были, не считая работ выдающихся математиков по фи-
физике, астрономии и механике, сочинения Архимеда, Кеплера, Кавальери,
Декарта, Ферма, Лопиталя, Ньютона, Гюйгенса, Ламберта, Эйлера,
Лежандра, Л. Карно, Монжа, Листинга, Галуа, Лежен-Дирихле, Пуанка-
Пуанкаре. Несколько позднее развернулась работа над изданиями трудов русских
классиков математики: М. В. Остроградского, Н. И. Лобачевского,
C. В. Ковалевской, П. Л. Чебышева, А. Н. Крылова. Советские издания
классиков математики, как правило, стоят на высоком научном уровне
и значительно превосходят иностранные по качеству вспомогательного
63*

996 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
научного аппарата. Обширные статьи и комментарии, сопровождающие эти
издания, нередко представляют собой самостоятельные истооик-о-матема-
тические исследования. В работе этой принимали участие С. Н. Берн-
ш т е й н, И. М. Виноградов, М. Я. Выгодский, В. Ф. К а г а и,
А. П. Котельников, А. Н. Крылов, С. Я. Лурье,
Д. Д. Мордухай-Болтовской, А. П. Юшкевич и др.
Крупнейшим математикам прошлых времён посвящены были также
специальные сборники и монографии,—например, Л. Эйлеру, И. Нью-
Ньютону, Н. И. Лобачевскому, П. Л. Чебышеву. О содержании их гово-
говорится далее. Работа эта продолжается и в настоящее время; например,
публикуются новый перевод -«Начал» Евклида, сочинения Н. И. Лобачев-
Лобачевского,П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Римана и др.
Распространению историко-математических знаний содействовала
также публикация работ по истории математики в некоторых специаль-
специальных журналах: «Успехи математических наук», «Математика в школе»
и др.
§ 3. НАУЧНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ.
Для разработки общих вопросов истории математики имели большое
значение методологические указания классиков марксизма-ленинизма.
Так, на основе данного Энгельсом определения математики как науки
о количественных отношениях и пространственных формах действитель-
действительного мира, А. Н. Колмогоров [1] построил новую периодизацию
истории математики. Первой конкретной исторической формой проявления
общего определения математики, данного Энгельсом, А. Н. Колмо-
Колмогоров считает развитие математики кзк науки о числах, величинах
и геометрических фигурах, хронологически завершающееся в XVII в.
Явное введение в математику идей движения и изменения, приведшее
к выдвижению на первый план понятия функции, созданию аналити-
аналитической геометрии и дифференциального исчисления и, отчасти, проек-
проективной геометрии, явилось отличительной чертой развития математики
XVII—XVIII вв. как науки об изменениях величин и о геометрических
преобразованиях. Геометрия при этом занимает подчинённое место в отно-
отношении к «чистой» математике как науке о числах. Наконец, математика
XIX —XX вв. развивается уже как наука о количественных и простран-
ственны^ формах действительного мира во всей их всеобщности. Вели-
Величины и числа становятся лишь частными случаями более общих
и абстрактных количественных форм, примером которых может слу-
служить понятие группы. С другой стороны, геометрия всё более превра-
превращается в науку о пространствах любого числа измерений, состоящих из
элементов любой природы. Вместе с тем, геометрия всё теснее сплетается
с остальной математикой и исчезает характерное для предыдущей эпохи
её неравноправное положение в системе математики. Исходя из этих
идей, А. Н. Колмогоров дал краткий очерк развития матема-
математики от древнейших времён до наших дней.
Опубликование математических рукописей Маркса сообщило толчок
историко-математическим исследованиям в других направлениях. Руко-
Рукописи эти, расшифрованные Р. С. Богдан ь, А. М. Нахимовской,
Д. А. Райковым и С. А. Яновской, под руководством послед-
последней, содержат ряд ценных указаний (сб. «Марксизм и естествознание»
М., 1933). Общее значение имеют идеи Маркса относительно оперативной

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ 997
роли математической символики, о соотношении исторического и логи-
логического в развитии математики, о диалектике в самой математике. Подроб-
Подробнее изучены и комментированы идеи Маркса были в работе С. А. Янов-
Яновской [1]. Указания Маркса насчёт оперативного характера математи-
математической символики были применены В. И. Гливенко[1]к изучению
понятия дифференциала первого порядка. Статья В. И. Гливенко
нашла затем отклик в исследованиях М. Фреше.
Для истории проблемы обоснования исчисления бесконечно малых
большой интерес имеет данный Марксом исторический очерк, в котором
Маркс выделил следующие этапы: мистическое дифференциальное исчис-
исчисление Ньютона и Лейбница, • рациональное дифференциальное исчисле-
исчисление Эйлера и Даламбера и алгебраическое дифференциальное исчисление
Лагранжа. Проблема основания анализа явилась темой ряда историче-
исторических работ советских учёных.
Для советских историков математики имели также огромное руко-
руководящее значение указания И. В. Сталина и его соратников относи-
относительно периодизации всеобщей истории, относительно русской истории и
отдельных её этапов. Внимание партии и правительства к историческому
развитию русской культуры и культуры народов СССР явилось, вместе
с тем, важнейшим стимулом к постановке исследований по исто-
истории русской математики и математики некоторых союзных респу-
республик СССР.
Выдающееся значение для дальнейшего направления историко-мате-
матических работ советских учёных должны иметь итоги философской
дискуссии о книге Г. Ф. Александрова и особенно выступление
А. А. Жданова. Речь А. А. Жданова поставила перед советскими
историками математики ряд важнейших задач: построения истории
математики, как подлинно марксистско-ленинской науки, изучения
закономерностей развития математики, исследования глубоко прогрес-
прогрессивного влияния отечественной математики на разЕитие науки во всём
мире, особой концентрации внимания на эпохе XIX—XX в., реши-
решительной борьбы с буржуазными националистическими и идеалистиче-
идеалистическими извращениями истории математики. Многим из этих проблем
уделялось до сих пор недостаточное внимание. В частности, специально
критике буржуазных воззрений на общие вопросы истории математики
уделена была работа М. Я. Выгодского [3], в которой автор разо-
разобрал ошибочные концепции М. Симона, М. Кантора и др., а также
Г. Н. Попова [1].
§ 4. ИСТОРИЯ РУССКОЙ И СОВЕТСКОЙ МАТЕМАТИКИ.
Первая работа по истории русской математики, вышедшая после
Великой Октябрьской социалистической революции, была опубликована
А. В. Васильевым [1]. В ней содержалась краткая характери-
характеристика успехов петербургской Академии Наук в математике XVIII в.,
в частности деятельности С. Я. Румовского, С. Е. Гурьева и Н. И. Фуса,
было очерчено развитие физико-математических факультетов с 1804 г.
до середины XIX в. и изложены основные результаты, полученные
Н.И. Лобачевским, М. В. Остроградским, В. Я. Буняковским и П. Л. Че-
бышевым. После выхода книги А. В. Васильевав работе над исто-
историей математики в России наступил перерыв. Но за последние десять
лет по этому вопросу появилось много новых исследований.

998 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Т. И. Р а й н о в отвёл несколько глав математике в своём сводном
труде по истории науки в России XI—XVIII вв.*). Автор опирался пре-
преимущественно на работы В. В. Бобынина, но привлёк и новый материал,
в частности математический раздел одной космографической рукописи
XVI в. и «Устав ратных, пушечных и иных дел», составленный в начале
XVII в. и содержащий задачи на определение расстояний удалённых
предметов и их размеров. Геометрические разделы «Арифметики» Маг-
Магницкого изучила М. К. Р а х и л е в и ч [1]. Краткую биографию Маг-
Магницкого и обзор его «Арифметики» опубликовал И. Я. Д е и м а н [1,2].
B. Л. М и н к о в с к и й [2] обратил внимание на идеи изложения курса
геометрии, в частности, учения о несоизмеримых величинах одного забы-
забытого автора середины XIX в.—Татаринова. И. И. Чистяков [1] обри-
обрисовал деятельность математика XVIII в. М. Матинского. Л. В. Ч е-
репнин{1, 2J произвёл тщательное исследование истории русской
метрологии и хронологии, непосредственно связанных для эпохи феода-
феодализма с развитием математики.
В 1945 г. вышел коллективный очерк **) истории математики в Акаде-
Академии Наук СССР, содержащий сжатый обзор основных открытий её членов
и членов-корреспондентов в XIX и XX вв. Краткие характеристик!;
успехов русской математики в XIX —XX вв. дали В. И. Смирнов
[1] и в более подробном изложении П. С. Александров [3]. Дру
гая работа П. С. А л е к с а н д р о в а [б] посвящена была оценке значения
отечественной математики в развитии мировой науки, начиная с Лоба-
чезского и кончая нашими днями.
История русской математики от древнейших времён до настоящего
времени была освещена Б. В. Гнеденко [1]. В первой главе
своей книги Б. В. Г н е д е н к о, в основном базируясь на рабо-
работах В. В. Бобынина, описал математические познания в России до
начала XVIII в. Во второй главе содержатся биографии и популярные
характеристики научного творчества Л. Эйлера, Н. И. Лобачевского,
М. В. Остроградского; П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова.
C. В. Ковалевской и в ряде случаев подчёркивается связь исследований
этих учёных с потребностями практики. Наиболее оригинальной является
третья глава о математике XX в. Автор прежде всего останавливается
на особенностях развития советской математики: направляющей роли
партии и советского правительства, массовости науки, росте числа учеб-
учебных заведений и научных институтов, возникновении новых математи-
математических центров в ряде республик, на новой системе организации препо-
преподавания и подготовки научных работников и т. д. Далее он даёт характе-
характеристику Ленинградской и Московской математических школ, отмечая
плодотворные результаты известного синтеза их, знаменовавшего послед-
последнее десятилетие, и коротко останавливается на направлениях, разраба-
разрабатываемых в Казани, Киеве, Харькове, Тбилиси, Одессе, Ташкенте и других
городах. Большое место Б. В. Гнеденко уделил творчеству москов-
московских математиков. Очертив постепенное распространение их интересов
с теории функций действительного переменного на всё более широкий
*) Т. И. Рай нов, Наука в России XI—XVIII веков. М.—Л., Изд. АН
A940).
**) Очерки по истории Академии Наук СССР. Физико-математические науки
(очерк по истории математики составили Б. В. Гнеденко, Б. Н. Делоне,
М. В. Келдыш, Л. А. Л ю с т е р н и к, И. Г. П е т р о в с к и и, Л. С. П о н т-
р я г и н, С. Л. С о б о л е в). М.—Л., Изд. АН A945).

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ 999
круг дисциплин—топологию, теорию функций комплексного переменного,
вариационное исчисление, теорию чисел и т. д., Б. В. Г н е д е н к о под-
подробнее остановился на успехах русской и советской школ теории веро-
вероятностей. Работы по теории вероятностей автор рассмотрел и с точки зре-
зрения их международного значения, выявив руководящую роль советских
исследований в этой области в мировой науке *). Русской и советской шко-
школам теории вероятностей Б. В. Гнеденко посвятил также специаль-
специальную работу **). Более краткие обзоры даны были А. Я. X и н ч и н ы м
fl] и С. Н. Бернштейном [2r3J. A. H. Колмог оров [4] в яркой
характеристике роли русских и советских учёных в развитии теории
вероятностей дал попутно новую периодизацию истории этой дисциплины.
Изучением русской математики и её преподавания в XVIII и начале
XIX в. занимался А. П. Юшкевич. Характеризуя арифметические
рукописи допетровского времени, он рассмотрел их как составной элемент
общеевропейской литературы по практической арифметике и подверг
критике резкую одностороннюю оценку их, данную В. В. Бобыниным.
С той же точки зрения он подошёл к «Арифметике» Магницкого и про-
проанализировал её алгебраическую часть, выяснив, что присущий ей эклек-
эклектический характер связан был с аналогичными чертами руководств Де-
шаля, Валлиса и других авторов XVII в. А. П. Юшкевич изучил
также русскую математическую учебную литературу и преподавание
в XVIII в. и показал, что в развитии математической культуры в России
этой эпохи своеобразно проявлялись те же основные тенденции, которые
наблюдались в других крупнейших европейских государствах. Быстрые
успехи русской математической культуры в XVIII в. автор рассмотрел
в связи с нуждами развивавшегося русского хозяйства и с потребностью
государства в усилении военно-технического образования. Вместе с тем
А. П. Юшкевич подчеркнул препятствия, стоявшие на пути развития
русской математики в условиях царской России, при господстве класса
помещиков. Особо остановился он на той роли, которую сыграли в рас-
распространении математических знаний организация военно-технических
школ и Академии Наук, а также лично Эйлер и его ученики и последова-
последователи: Котельников, Румовский, Головин, Курганов, Фус (А. П.Юшке-
П.Юшкевич ПО]). Переходному периоду в истории русской математики на рубе-
>KeXVIII—XIX вв., связанному с общественным подъёмом в кругах пере-
передовой интеллигенции, была отведена работа А. П. Юшкевича [7]
о С. Гурьеве и П. Рахманове, оригинальных пропагандистах прогрессив-
прогрессивных идей французской математики эпохи буржуазной революции. Здесь,
в частности, был разобран «Опыт усовершения элементов геометрии»
Гурьева—первый русский трактат по методологии и методике матема-
математики. Новые биографические данные о Гурьеве опубликовал также
Н. Н. Шемянов j 1 ]. А. П. Ю шкевич ***) обрисовал далее
подъём университетского преподавания математики в первой половине
XIX и. и деятельность Н. И. Лобачевского и М. В. Остроградского,
в творчестве которых с такой силой проявились характерные для рус-
русской математики уже той эпохи черты: смелость новаторской мысли,
широкий материалистический подход к проблемам науки, тесная связь
между научным творчеством и задачами практической деятельности.
*) Книга Б. В. Гнеденко получила различные оценки в рецензиях
А. Н. Кол м.о горова иН. И. Ахиезера.
**) См. Тпуды ин-та истории естеств., 2 A948).
***) См. «Матем. в школе», 1—3 AS48).

1000 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
А. П. Юшкевич*) и В. Е. Прудников (последний под
руководством С. А. Яновской) изучили также развитие мате-
математики в Московском университете за 1755—1855 гг. История
Московского математического общества до 1905 г. и деятельность
Н. Д. Брашмана, А. Ю. Давидова, Н. В. Бугаева и других виднейших
его основателей и членов были освещены М. Я. Выгодским, успехи
математики в Московском университете за последние десятилетия —
в коллективной статье П. С. Александрова, Б. В. Гнеденко
и В. В. Степанова **). Сжатые, но выразительные характеристики
деятельности Московского математического общества и эволюции его
печатного органа «Математического сборника» были даны П. С. А л е-
к с а н д р о в ы м [5] и, соответственно, Л. А. Люстерником [3].
Обзор замечательных достижений московской школы теории функций
составил В. В. Степанов [1]. Успехам московской топологической
школы, занявшей ведущее место в мировой науке, посвящены были
работы Ф. И. Франкля [1] и Л. С. Понтрягина [I]. Д. М. Син-
Синцов [1] написал обзор деятельности Харьковского математического
общества и его виднейших сочленов за первые пятьдесят лет его
существования.
Большое число работ, особенно за последние годы, посвящено было
классикам русской науки. Ряд трудов был опубликован о Н. И. Лобачев-
Лобачевском и ранее—А. В. Васильевым [3], Д. Д. Мордухай-Бол-
т о в с к и м [3]. Но глубокое изучение жизни и творчества великого
новатора науки явилось делом последних лет. На первое место следует
поставить монографию В. Ф. К а г а н а [3], подведшую итоги его полу-
полувековым исследованиям о Н. И. Лобачевском и неевклидовой геометрии.
В этой книге содержится блестящее по стилю жизнеописание Н. И. Лоба-
Лобачевского на фоне русской общественной жизни первой половины XIX в.^
причём научное творчество Н. И. Лобачевского тесно в ней связывается
с его биографией. По-новому В. Ф. Каган осветил место в учебной
литературе той эпохи рукописной «Геометрии» Н. И. Лобачевского.
Вопрос о приоритете в открытии неевклидовой геометрии В. Ф. К а г а н
разрешил на основании совершенно убедительных данных в пользу вели-
великого русского геометра. Автор даёт также новое освещение ряда частных
вопросов, например, известного эпизода с проф. Солнцевым. В. Ф. К а-
г а н очертил также в своей книге дальнейшие судьбы неевклидовой
геометрии и с большой силой продемонстрировал основополагающую
роль в современной математике ряда идей, впервые развитых Лоба-
Лобачевским. В. Ф. К а г а н составил также более краткий очерк жизни и
открытий Лобачевского в отдельной брошюре [2]. В изданиях сочинений
Лобачевского В. Ф. Каган [4—9] и А. П. Котельников [1, 2]
опубликовали несколько ценных комментирующих статей и много при-
примечаний исторического и математического характера.
Особое исследование В. Ф. Каган ***) посвятил сравнению построе-
построения системы неевклидовой геометрии у Н. И. Лобачевского, Больяи
и Гаусса, причём указал на одну неточность Гаусса, прошедшую мимо
внимания издателей его сочинений.
Н. И. Лобачевскому были посвящены также многочисленные работы
других авторов, освещавшие с той или иной новой стороны его жизнь
*) Рабсна находится в печати.
**) Работа находится в печати.
***) См. Труды ин-та истории естеств., 2 A948).

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Ю01
и творчество. П. С.Алекса ндров[1] охарактеризовал Н. И. Лоба-
Лобачевского как большого русского университетского деятеля. Б. Г. К у з-
н е ц о в [1, 2] остановился на вопросе о связи открытия неевклидовой
геометрии Лобачевским с широким общественным подъёмом в России
первой четверти XIX в., подчёркивая национальные корни новаторских
идей Лобачевского. Многие авторы—В. Ф. Ка гай, П. С. Александ-
Александров, Б. Г. Кузнецов, Э. Кольман — убедительно выяснили
роль, которую сыграли в подготовке открытия Лобачевского его передо-
передовые материалистические взгляды и резко антикантианские воззрения,
которые он разделял с рядом других русских математиков своего времени,
например, Т. Осиповским. Э. Кольман высказал при этом предполо-
предположение, что Гаусс воздерживался от публикации своих геометрических
идей, ибо долгие годы не был окончательно убеждён в существовании
неевклидовой геометрии. А. Н. К о л м о г о ро в [2] остановился на .зна-
.значении и месте открытий Н. И. Лобачевского в математическом мышле-
мышлении XIX в., указав, между прочим, что лишь после него оказалось воз-
возможным правильно поставить вопрос о взаимоотношении физики и
геометрии
Интересные работы посвятили Лобачевскому также Б. Л. Л а п-
тев[1], Н. Г. Ч еб ота р ёв[4], П. А. Широков [1] (предложивший
удачный вариант синтетического изложения системы его геометрии) и др.
Для биографии Н. И. Лобачевского большое значение имеют многочис-
многочисленные новые документы, собранные Л. Б. Модзалевским*),
а также В. М. Нагаевой **), собравшей материалы о Лобачевском,
как деятеле школьного просвещения. До сих пор, однако, не были под-
подвергнуты полному изучению исследования Н. И. Лобачевского по
алгебре и математическому анализу***).
Другой цикл работ был посвящен П. Л. Чебышеву. Общую харак-
характеристику его творчества дал в замечательной речи в 1921 г. В. А. С т е к-
л о в [2]. Краткий биографический очерк опубликовал А. Н. Кры-
Крылов [5]/который также издал впервые составленную по записям слушате-
слушателей «Теорию вероятностей» П. Л. Чебышева (М., 1936) и его «Высшую
алгебру». С. Н. Б е р н ш т е й н [6] в выпуклой характеристике твор-
творчества П. Л. Чебышева особо подчеркнул интуитивно материалистическое
отношение великого ученого к математике и его огромное влияние на
последующее развитие математики во всём мире. Новые важные доку-
документы о деятельности П. Л. Чебышева в Учёном комитете Мин. нар. просве-
просвещения и в Артиллерийском комитете, ярко осветившие его просвети-
просветительскую работу в области среднего и начального образования и его
участие в развитии отечественной артиллерии, и новые биографические
материалы о годах учения П. Л. Чебышева в Московском университете
и о его защите магистерской диссертации обнаружил В. Е. Пруд-
Прудников ****).
Оценке значения некоторых теоретико-числовых работ П. Л. Чебы-
Чебышева были уделены комментарии А. О. Гельфондаи Б. Н. Дело-
Делоне в первом томе его «Полного собрания сочинений». Краткий обзор
*) Работа находится в печати.
**) В. м. Н а г а е в а опубликовала «Наставления учителям математики в гимна-
гимназиях» Лобачелского в трудах ин-та истории естеств., 2 AS48).
***) Подробный обзор советской литературы о Н. И. Лобачевском составил
Г. Ф. Р ыб к и н [1].
****) Работа находится в печати.

1002 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
математических -результатов дал Н. И. А х и е з е р [2]. Обстоя-
Обстоятельному анализу творчества основателя Петербургской математи-
математической школы посвящено было двухтомное издание, в котором были
рассмотрены не только открытия П. Л. Чебышева, но и дальнейшее
развитие их А. А. Марковым, А. М. Ляпуновым, С. Н. Бернштей-
ном и др. Теория полиномов в этом издании изложена Н. И. А х и е-
зером [1], теоретико-вероятностные исследования П. Л. Чебышева—
С. Н. Бернштейном [5], теоретико-числовые—И. М. Виногра-
Виноградовым и Б. Н. Делоне [1], работы по интегрированию алгебраи-
алгебраических функций—В. В. Голубевым [1], теория наилучшего прибли-
приближения функций—В. Л. Г о и ч а р о в ы м [1 ]. Во втором томе «Научного
наследия П. Л. Чебышева» были опубликованы статьи И. И. А р т о б о-
левскогоиН. И. Левитског о, В. В. Добровольского
и 3. Ш Блоха по теории механизмов. Петербургской школе теории
чисел посвятил обширную монографию Б. Н. Д е л о н е [1]. В этой книге,
наряду с краткими биографиями П. Л. Чебышева, А. Н. Коркина,
Е. И Золотарёва, А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного и И. М. Виноградова,
даётся подробное изложение их основных теоретико-числовых работ
в форме конспекта с комментариями. Б. Н. Д е л о н е [2] дал также
обзор замечательных достижений русских и советских учёных в тео-
теории чисел.
Жизни и творчеству В. А. Стеклова посвящены работы
В. И С м и р и о в а [3] и Н. М. Г го н т е р а [1], специально остано-
остановившегося на трудах В. А. Стеклова по математической физике.
Характеристику научной и общественной деятельности А. Н. Кры-
Крылова дали В. И. С м и рн о в [2] и Л. А. Люстерник [2].
Великому механику Н. Е. Жуковскому, бывшему активнейшим дея-
деятелем Московского математического общества, его вице-президентом
и президентом, посвящены биографии, составленные В. В. Голубе-
Голубевым [1 ] и Л. С. Л е й б е н з о н о м [1 ].
Очерк научной деятельности С. В. Ковалевской составил Н. Н. П а р-
фентьев fl]. H. Д. Моисеев [1] написал очерк жизни и трудов
по теории устойчивости А. М. Ляпунова; Н. Г. Чеботарёв [2]—
очерк жизни и творчества Д. А. Граве.
Весьма содержательные научно-биографические характеристики
ряда великих русских математиков помещены в сборнике*) «Люди рус-
русской науки». Там приведены биографии Н. И. Лобачевского (П. С. А л е к-
с а н д р о в), М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова
(Б. В. Гнеденк о), С. В. Ковалевской (П. Я. П о л у б а р и н о в а-
К о ч и и а), А. М. Ляпунова (Н. Г. Ч е т а е в), А. Н. Крылова
(Л. С. Лейбензон и А. И. Маркушевич). Недостаток места
не позволяет остановиться на ряде статей о названных и других русских
и советских математиках, вышедших в различных изданиях**). Я не
касаюсь здесь также обзорных статей в сборнике «Математика в СССР
за пятнадцать лет» и аналогичных изданиях, содержание которых
учтено в других обзорах настоящего издания.
Работа над изучением истории математики в различных республиках
СССР только начинается. Здесь можно отметить работы И. А. О р б е л и [1 ]
*) Находится в печати.
**) Следует отметить также ценное библиографическое исследование
О. В. Динзе и К. И. Шафрановского [1].

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ 1003
об арифметике армянского математика Анании Ширакаци, несколько
исследований по истории математики в Урарту и Армении Г. Б. П е т р о-
с я на [1—4] и Т. И. Туманяна [1] и труды Д. Г. Цхака я[1, 2]
по истории грузинской математики XVIII в.
§ 5. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ВОСТОКА.
Ряд исследований советских учёных относится к математике древнего
Востока, привлекшей, как известно, особенное внимание за последние
тридцать лет. Первой появилась публикация задач так называемого
Московского математического папируса, начатая Б. Тураевым[1]
и завершённая В. В. Струве [1]. Изданиеэтого папируса имело огром-
огромное значение для истории древневосточной математики, особенно благода-
благодаря задаче № 14 (об определении объёма некоторой усечённой пирамиды)
и задаче № 10 (в которой одни усматривают вычисление боковой поверх-
поверхности полуцилиндра, а другие — вычисление поверхности полушария).
Издание папируса существенно изменило представление о характере
египетской математики и породило большие споры, в которых приняли
участие Пит, В. В. Струве, О. Нейгебауер и др. Папирус Райнда,
изучавшийся у нас ещё В. В. Бобыниным, был вновь проанализирован
Г. Н. Поповым [3], который привлёк также задачу № 14 Москов-
Московского папируса. Более полно ознакомил советских читателей с названным
папирусом И. И. Ч и с т я к о в [1]. Обзор древнеегипетской матема-
математики дал Д. Ц и н з с р л и н г [1 ]. С. Я. Л у р ь е [2] предложил рекон-
реконструкцию египетского вызода правила для объёма усечённой пирамиды.
Новый толчок исследованиям сообщили открытия О. Нейгебауера по
истории вавилонской математики, впервые изложенные у нас И. И. Ч и с-
т я к о в ы м [3]. С. Я. Лурье подверг в некоторых вопросах
критике общую концепцию Нейгебауера, согласно которому вавилоняне
располагали широко развитой системой алгебраических преобразований
и даже решали биквадратные уравнения. По мнению С. Я. Лурье
[10], для решения линейных задач с двумя неизвестными вавилоняне
применяли метод ложного положения, а правило решения квадратного
уравнения получили геометрическим путём. Решение вавилонянами би-
биквадратных уравнений С. Я- Лурье отрицает. Он предложил также
интересную геометрическую реконструкцию вавилонского правила сум-
суммирования ряда натуральных квадратов.
М. Я. Выгодский в систематическом обзоре клинописных
текстов подверг критике данное Нейгебауером объяснение происхож-
происхождения таблиц умножения и предложил собственную гипотезу. Он
установил также возможность арифметического истолкования решения
ряда линейных задач, трактуемых Нейгебауером алгебраически.
Вместе с тем, М. Я. Выгодский [6—8] пришёл к заключению,
что точка зрения С. Я. Лурье*) на методы решения квадратных
уравнений приводит к большим трудностям и даже противоречиям.
С. Я. Лурье [15], со своей стороны, подверг критике ряд гипотез
М. Я. Выгодского.
В своём обзоре египетской арифметики М. Я. Выгодский [8]
предложил также новую гипотезу о происхождении египетской
*) Имеется в виду работа С. Я. Лурье [10].

1004 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
2
таблицы дробей вида ^тгг • ДРУГУЮ гипотезу выдвинула по этому вопро-
вопросу, привлекающему большое внимание историков математики, С. А. Я н о в-
с к а я [3]. И. Н. Веселовский*) отстаивает предположение, что
египетские аликвотные дроби возникли в связи с двоичным подразделением
египетских единиц мер, при котором все дроби были аликвотными или
распадались на аликвотные -2"''4"'"8' ''"'64' Толчком к расширению
класса дробей послужила работа по установлению календаря, когда месяц
подразделялся на декады: так появились обозначения для дробей 7з и
7Э. В связи с потребностью в более детальном подразделении месяца воз-
возникли затем и другие дроби, которые по традиции раскладывались на
аликвотные. Далее И. Н. Веселовский предлагает новую гипо-
2
тезу относительно происхождения таблицы 2 . , в разработке кото-
которой усматривает наличие четырёх последовательных стадий. Самую
таблицу он считает плодом усилий учёных, принадлежавших к гелио-
польской жреческой школе эпохи 3—б-й династий. И. Н. В е с е л о в-
с к и й подверг также сомнению предположение Нейгебауера о примене-
применении к решению задач, приводимых к кубическим уравнениям, таблицы
значений п*+п*.
§ 6. ИСТОРИЯ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ.
Большое число работ посвящено было античной математике, т. е.
эпохе возникновения математики как науки. Тщательный анализ древ-
древнегреческой арифметики был дан М. Я. Выгодским, начиная от
устного и пальцевого счёта и абака, до методов извлечения квадратных
и кубических корней. М. Я. В ы г о д с к и й [8] подверг при этом реши-
решительной критике буржуазную концепцию греческой математики как чисто
геометрической, обыкновенно обосновываемую якобы специфически
геометрической одарённостью древних эллинов и, вместе с тем, их слабыми
способностями к вычислениям. М. Я. Выгодский показывает, что
уже в эпоху Архимеда греки обладали развитой теорией арифметических
операций. При этом автор предложил, реконструкцию архимедова приёма
извлечения квадратного корня, родственную применению цепных дробей.
С. Я. Лурье [8], с другой стороны, высказал предположение, что
в основе методов приближённых вычислений античности лежали неко-
некоторые геометрические построения, а не арифметические преобразования.
Тесное переплетение философских и математических исследований
в античности обратило на себя особое внимание советских учёных.
М. Я. Выгодский [1], изучая место Платона в истории математики,
подчеркнул реакционность платоновской философии математики. Такую же
оценку Платона, резко противостоящую его обычной оценке буржу-
буржуазными историками науки, дал затем и С. Я. Л у р ь е[16]. С другой
стороны, советские учёные справедливо указывают на успехи в области
инфинитезимальных исчислений, достигнутые великим материалистом—
атомистом античности Демокритом, значение которого в истории мате-
математики начинают оценивать правильным образом лишь в последнее время.
Этому вопросу посвятил ряд работ С. Я. Лурье. Сохранившиеся отры-
отрывочные материалы позволяют, однако, пока лишь гипотетически рекон-
*) См. Труды ин-та истории естеств., 2 A948).

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Ю05
струировать систему математических воззрений Демокрита. Согласно
С. Я. Л у р ь е, для Демокрита и математические величины .могли
разделяться только на конечное, хотя и очень большое число частей—
математических атомов, принципиально не делимых ни на какие части.
По мнению С. Я. Л у р ь е, древние атомисты пытались строго доказать
логическую непротиворечивость своих идей и вычислительных приёмов.
В атомистических процедурах С. Я. Лурье усматривает, вместе с тем,
единственный источник античных открытий в области квадратур и куба-
кубатур. Развитый позднее Евдоксом, Евклидом'и Архимедом так называе-
называемый метод исчерпывания он считает совершенно бесплодным для откры-
открытий и годным лишь для проверки результатов, найденных как-либо
иначе (С. Я. Л у р ь е [7, 16]). С особенной остротой эта концепция
С. Я Л у р ь е [14] проявилась в работе об Архимеде, в которой автор
стремится показать, что все важнейшие результаты сиракузский матема-
математик получал с помощью неделимых, и лишь затем заново излагал
на языке строгих математических доказательств. Такую же позицию
в этом вопросе занял и М. Я. Выгодский [4].
Концепция С. Я. ЛурьеиМ. Я. Выгодского вызвала ряд
возражений. Н. И. И д е л ь с о н [1] указал, что метод античных мате-
математиков-атомистов лишь предвосхищал в примитивной форме идеи утвер-
утвердившегося позднее более сильного и точного так называемого метода
исчерпывания или метода пределов. С этой точки зрения он подверг разбору
ряд доказательств Архимеда. А. П. Юшкевич*), также усматривая
в методе исчерпывания раннюю форму применения предельного перехода,
считает, что в нём не было разрыва между приёмом открытия и приёмом
изложения. Главными слабостями этой античной процедуры являлись
отсутствие упрощающих и сокращающих рассуждения общих понятий
и весьма ограниченный запас известных древним грекам числовых соот-
соотношений (прогрессия, сумма ряда квадратов натуральных чисел). Поль-
Пользование неделимыми линиями не имело принципиальных эвристических
преимуществ перед применением полосок и т. п. Д. Д. Мордухай-
Болтовской в более ранней работе [5] подробно разобрав различ-
различные формы метода исчерпывания у Евклида и Архимеда, пришёл к
выводу, что античным математикам представления о пределе и о бес-
бесконечном процессе были чужды.
Интересную работу о «Началах» Евклида выполнила, под руковод-
руководством С. А. Яновской, А. Е. Р а й к*). С точки зрения почти всех
издателей и комментаторов «Начал», арифметические книги «Начал»
¦представлялись чужеродным и довольно случайным их элементом. Осо-
Особенные трудности связаны были с пониманием роли X книги «Начал»,
содержащей некоторую классификацию квадратичных иррацианаль-
ностей. А. де Морган выяснил математическое содержание классификации
и высказал предположение, что X книга есть венец творчества Евклида;
остальные же книги были написаны позже и служили подходом к десятой.
А. Е. Р а й к выдвинула гипотезу, объясняющую, что побуждало Евкли-
Евклида ввести в рассмотрение класс «рациональных» величин, объединяющий
величины, соизмеримые с единицей, и величины, квадраты которых соиз-
соизмеримы с единицей. Она показала, что классификация эта является полной
для всех «иррациональных» в смысле Евклида корней квадратных и
*) См. Труды совещания по истории естеств. М. A948).
**) Работа находится в печати.

jOOri ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
приводящихся к ним биквадратных уравнений с «рациональными» в
смысле Евклида коэффициентами. Наряду с некоторыми существенными
частными выводами, работа А. Е. Р а и к содержит общее предположение,
что классификация X книги играла в системе Евклида не самостоятель-
самостоятельную, но вспомогательную роль, позволяя индивидуализировать каждую
иррациональность, однозначно отнеся к ней класс иррациональности
и упорядоченную группу натуральных чисел в качестве её индивиду-
индивидуального имени в классе—двойного имени (бином). С помощью средств,
изложенных в I—VI книгах, Евклид мог построить любую квадратич-
квадратичную иррациональность, но для возможности отличения одного отрезка
от другого, не прибегая к органам чувств (что было несовместно с пифа-
горейско-платоновской установкой Евклида), он прибег к арифметике.
Таким образом, согласно А. Е. Р а и к и С. А. Я н о в с к о й, «Начала»
представляют собой стройную систему, в которой арифметике принадле-
принадлежит весьма существенное место и которая несёт на себе печать классо-
классовой идеологии автора. В истории развития науки математическое содер-
содержание «Начал» сохранилось, но их философская установка была отбро-
отброшена. Дальнейшие поколения не испытывали уже нужды в евклидовых
формах индивидуализации иррационалыюстей, и связь между арифме-
арифметическими и геометрическими книгами «Начал» была утрачена. Последняя
оказалась имеющей лишь исторический интерес и притом особенно с точки
зрения борьбы мировоззрений в математике.
Другую реконструкцию хода идей Евклида, получивших выражение
в X книге «Начал», предложил А. И. Маркушевич*). В качестве
движущих пружин всего построения А. И. Маркушевич
использовал два принципа, которые, с его точки зрения, естественно
вытекают из того, что оставил после себя Теетет. Проводя реконструк-
реконструкцию, автор запрещал себе пользование алгебраической символикой, чтобы
избежать модернизации, которую он усматривает у А. де Моргана и у
А. Е. Райк.
Попытке решения издавна привлекающей внимание геометров про-
проблемы о содержании «Поризмов» Евклида посвящена была одна работа
Д. Д. Мордухай-Болтовского **). И. Я. Д е п м а н [2, 4]
изложил найденный К. Шоем арабский перевод утраченного сочинения
Архимеда о правильном семиугольнике. К. А. Рыбников *), под руко-
руководством С. А. Яновской, детально разобрал метод решения изопе-
риметрических задач Зенодора.
§ 7. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ СРЕДНИХ ВЕКОВ
И НОВОГО ВРЕМЕНИ.
История математики классического средневековья привлекла мень-
меньшее внимание советских учёных. Здесь следует отметить прежде всего рабо-
работы Д. Д. Мордухай-Болтовского [7, 8]. В одной из них автор
рассмотрел ранние формы применения правила ложного положения
и других приёмов численного решения уравнений, в другой —воззрения
схоластиков XIII в. на понятие числа. Продолжением этой работы яви-
явилось исследование ранних форм буквенной алгебры XVI в. [9]. Д. Д. М о р-
*) Работа находится в печати.
**) См. Труды сосещания по истории естеств. М. A?48).

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Ю07
духай-Болтовской [11] изучал также вопрос о первых ростках
идеи функций у Скотта иОресма. С. Я. Л у р ь е [12] в связи с изучением
трудов Кавальери рассмотрел воззрения на неделимые Фомы Аквин-
ского и Фомы Брадвардина.
Арифметике стран с арабским языком были посвящены работы
Н. В. Юсупова [1,2], который остановился, в частности, на приё-
приёмах приближённого извлечения квадратных и кубических корней и на
раннем применении десятичных дробей самаркандским учёным XV в.
Гаяситдином Джемшидом. А. П. Юшкевич*) сопоставил воз-
воззрения на алгебру у Омара Хайяма и у Декарта.
Эпоха формирования новой математики XVII и XVIII вв. привлекла,
естественным образом, целый ряд исследователей. Возникновение новой
алгебры и аналитической геометрии у Декарта осветил А. П. Ю ш к е-
в и ч [6], указав на прямую связь математических открытий Декарта
с обусловленными социальными потребностями эпохи общими методоло-
гичеекмш устремлениями французского мыслителя; картезианская
алгебра была при этом охарактеризована, как алгебра геометрического
построения корней уравнений, в противовес алгебре Ньютона и XVIII в.,
как алгебре численного решения уравнений. Общей опенке «Геометрии»
Декарта была посвящена также статья С. А. Яновской [2]. Но подав-
подавляющее большинство исследований по математике XVII—XVIII вв. отно-
относится к области анализа. М. Я. Выгодский [4] дал подробный разбор
«Стереометрии бочек» Кеплера и вызванных ею возражений Гульдена.
Он пришёл при этом к общему выводу (тесно связанному с его концеп-
концепцией античного метода исчерпывания), что нестрогость и атомистический
характер ранних инфинитезимальных приёмов XVII в. являлись необхо-
необходимой предпосылкой дальнейшего развития математики. С этими идеями
связаны были также педагогические установки М. Я. Выгодского,
получившие выражение в его известном курсе исчисления бесконечно
малых **). С. Я. Лурье [4, 12] сопоставил воззрения на природу неде-
неделимых Кавальери и схоластиков, с одной стороны, и Кавальери и Галилея,
с другой. Он отметил, что Кавальери стремился обойтись без новой
алгебры и в своих трудах выдвигал на первый план чисто математиче-
математические соображения относительно неделимых, воздерживаясь от прямого
отождествления непрерывного не только с совокупностью мельчайших
частиц, как Кеплер, но и с совокупностью непротяжённых неделимых.
С. Я. Л у р ь е подробно описал также полемику между Кавальери
и Гульденом. В вопросе о роли нестрогих инфинитезимальных рассужде-
рассуждений он занял ту же позицию, что и М. Я. Выгодский.
Вопрос о происхождении интеграционных приёмов Паскаля и
о взаимоотношении между Паскалем, Такэ и Кавальери исследовала
Э. Я. Бахмутская ***). Она установила наличие в подходе Паскаля
к построению анализа двух различных принципов. Первый из них заклю-
заключался в том что доказательство считается законченным, когда теорема
доказана с точностью до величин, которые можно сделать менее любой
данной, второй же—в отбрасывании величин, неоднородных в смысле так
называемой аксиомы Архимеда. Э. Я. Бахмутская исправила при
этом некоторые ошибки А. Босмана. Эта работа освещала развитие
*) См. Труды ин-та истории естеств., 2 A948).
**) Основы исчисления бесконечно малых. М.~Л., ГТТИ A936).
***) Работа находится в печати.

исчисления бесконечно малых в XVII в. с иных позиций, чем исследо-
исследования М. Я. В ы г о д с к о г о и С. Я. Лурье.
С. А. Яновская*) указала, что необходимая для дальнейшего
развития науки и техники разработка новых методов и форм математи-
математического исследования связана была не с отказом от строгости научных
методов, но с борьбой против устаревших по своему содержанию приёмов.
Предпосылкой прогресса исчисления бесконечно малых являлись не
«нестрогость» исследований Паскаля, Кавальери, Барроу и др., но суще-
существенное развитие эффективных приёмов математического анализа, вклю-
включавшее и дальнейшую разработку античного наследия и, вместе с тем,
выработку новых, вначале несовершенных, понятий. В частности,
С. А. Яновская показала, что, развивая свой метод экстремумов
и касательных, Ферма был весьма далёк от традиционно приписываемого
ему простого отбрасывания бесконечно малых, но стремился к точному
обоснованию предложенной им процедуры.
Работы советских историков математики показали интенсивную дея-
деятельность крупнейших математиков XVII—XVIII вв., направленную
на уяснение принципов анализа и во многом подготовившую реформу
Коши и Гаусса. Д. Д. Мордухай-Болтовской [10] исследовал
вопрос о воззрениях на аксиоматику Эригона, Паскаля, Лейбница.
В работе о развитии теории пределов тот же автор [11] коснулся ростков
идеи предела в схоластической философии и наметил три этапа в эво-
эволюции понятия предела в XVIII—XIX вв.: толкование предела как
последнего значения переменной величины у Ньютона и Лейбница, как
недостижимого значения у Даламбера и, наконец, как символа последо-
последовательности чисел. Полемику вызвал давно дебатируемый историками
вопрос о философии анализа Ньютона. Согласно Н. Н. Лузину [4],
ньютонова теория пределов отличалась высокой степенью строгости и, по
Ньютону, переменная не достигает предельного своего значения.
С. А. Богомолов [1] стоял на противоположной позиции.
С. Я. Лурье [14], с некоторыми оговорками, считал метод флюксий
Ньютона исчислением нулей. А. П. Ю ш к е в и ч [9] отмечал неясности
и колебания во взглядах Ньютона на бесконечно малые и предел, связан-
связанные с его тракт >вкой непрерывности, и находил, что выход из логических
трудностей Ньютон стремился найти, опираясь на механические аналогии.
А. Н. Колмогоров [3] пришёл к заключению, что понятия
предела и скорости являлись для Ньютона исходными и в силу своей
простоты и ясности не подлежали прямому определению. Возможное
достижение бесконечно малыми предела нуль не приводило Ньютона
к каким-либо логическим трудностям или неточностям, поскольку
текущие величины заранее предполагались непрерывными. Согласно
А. Н. Колмогорову, ньютонов метод флюксий обладал теми же
формальными алгоритмическими достоинствами, что и исчисление
дифференциалов Лейбница. Отмечу попутно, что общую характеристику
геометрических открытий Ньютона дал Н. А. Глаголев [Ц.
Общую характеристику развития идей обоснования анализа в XVIII в.
составил А. П. Ю ш к е в и ч [1, 2, 3, 4], подробнее остановившись на роли
критики, данной Беркли, и на воззрениях Л. Карно. «Аналистом» Беркли
занимался также И. Н. С а м о й л е н к о [1 ]. С. А. Я н о в с к а я [4]
изучила дискуссию о принципах анализа в Парижской Академии Наук
*) В устном сообщении.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ 1009
в начале XVIII в. и возражения против дифференциального исчисления,
выдвинутые М. Роллем; на этом частном примере она показала, что при
зарождении существенно новых и важных идей сама борьба против них
содействует их развитию и прогрессу науки. С. Я. Л у р ь е [5] разобрал
философскую и математическую стороны исчисления нулей Эйлера.
А. П. Юшкевич [7] осветил участие в спорах о философии анализа
русских учёных конца XVIII и начала XIX в., отметив передовой харак-
характер воззрений Гурьева и Рахманова. М. Я. Выгодский*), оценивая
взгляды математиков XVIII в. на строгость доказательств, отстаивал ту
мысль, что большинство их апеллировало в своих попытках обоснования
анализа к его содержательному истолкованию, к геометрическим, физи-
физическим и механическим прообразам математической бесконечности. Фор-
Формальное обоснование анализа было для большинства аналистов этой эпохи
чуждым.
Некоторые работы были посвящены более специальным вопросам.
Н. Г. Ч е б о т а р ё в [3] дал очень обстоятельный обзор истории так
называемого параллелограмма Ньютона вплоть до современности.
А. П, Ю ш к е в и ч **) в очерке возникновения исчисления бесконечно
малых Лейбница обратил внимание на связь общих научно-методоло-
научно-методологических идей Лейбница с его открытием дифференциального исчисле-
исчисления. М. Я. Выгодский [5] составил богатый новым материалом
обзор возникновения дифференциальной геометрии, подробнее остано-
остановившись на трудах Эйлера и Монжа и, в частности, обратил особое
внимание на один важный мемуар Монжа, мимо которого проходили
почти все историки науки. В. Д. Д а е в [1, 2] занимался историей спора
между Эйлером, Даламбером и др. о природе произвольных функций,
входящих в решения дифференциальных уравнений с частными произ-
производными, и ранней историей тригонометрических рядов. А. П. Юшке-
Юшкевич [8] выяснил связь данного Коши определения определённого инте-
интеграла с общими устремлениями математики его эпохи и с его ранними
работами по интегрированию. А. И. Маркушевич[1] дал ориги-
оригинальный обзор развития основных идей и методов теории функций
комплексного переменного до Коши и Римана. Ранним работам Коши
по теории функций комплексного переменного посвящена была нео-
неопубликованная диссертация С. Е. Б е л о з е р о в а.
Наряду с названными работами, которые, естественно, группируются
в определённые циклы, появился ряд исследований по отдельным вопро-
вопросам истории математики. М. Я. Выгодский [2] дал очерк разви-
развития и обобщения понятия о числе, за которым последовали более
частные обзоры В. Л. М и н к о в с к о г о [1], Л. И. К р е е р а [1]
и В. Н. Молодшего [2]. А. О. Гельфонд[1] дал весьма серьёз-
серьёзный обзор истории современного состояния вопроса о трансцендентных
числах. А. Н. Крылов опубликовал блестящие очерки жизни и дея-
деятельности Эйлера [2], Лагранжа [3] и Ньютона [4]. Н. С. Кош л я ко в [1 ]
написал очерк о вариационном исчислении Эйлера, Б. А. Венков [1] —
о его теоретико-числовых работах, В. В. Паевский [1]—о его
демографических мемуарах. Н. Г. Чеботарёв [I] подверг анализу
теоретико-числовые и алгебраические открытия Лагранжа и их зна-
значение для последующей истории математики. А. Р. К у л и ш е р [1]
*) См. Труды шг-та истории естеств. A948).
**) См. Успехи матем. наук, 3: 1B3), A948).
64 Математика о СССР за 30 лет

1010 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
осветил некоторые исследования Гамильтона. Д. Д. Мордухай-
Болтовской [12] разработал вопрос о связи методических идей
первой половины XIX в. с философией того времени. В. Р. Мрочек [1]
занимался ранней теорией вероятностей. Обширные исторические разделы
помещены были в ряде обзорных статей Большой Советской Энцикло-
Энциклопедии (А. Н. К о л м о г о р о в [1], В. Ф. Каг а н [1], Н. Н. Лу-
Лузин [2, 3], А. Фридман [1], О. Ю. Ш м и дт [1] и др.). Краткую
характеристику математики последних десятилетий дал А. В. В а с и л ь-
е в [4]. Следует отметить также, что элементы истории математики начи-
начинают находить место в ряде курсов по специальным дисциплинам,
например, в руководствах И. В.Арнольда [1], А. И. Марку-
шевича[1] и Г. М. Шапиро [1].
Подводя итоги, можно заметить, что советские историки математики
начали с изучения и освоения лучших, наиболее прогрессивных частей
наследия великих математиков прошлого, с одной стороны, и соответ-
соответствующих трудов и указаний классиков марксизма-ленинизма, с другой.
Плодом зтой работы явились издание математических рукописей Маркса
и многочисленные комментированные публикации классиков математики.
Дальнейшие усилия советских исследователей концентрировались, глав-
главным образом, вокруг нескольких проблем — истории древневосточной
математики, истории принципов и методов исчисления бесконечно малых
и истории математики в России и в СССР. В соответствии с указаниями
партии и устремлениями всей советской общественности работа над изуче-
изучением развития математики в нашей стране всё более выдвигается при
этом на первый план. В названных областях советскими учёными была
проделана немалая работа, особенно за последние 15 лет, и впервые или же
с новой точки зрения освещен целый ряд вопросов. Работа эта интенсивно
продолжается и сейчас, но задачи, стоящие перед советской историей
математики, значительно шире и глубже. Прежде всего стоят большие
задачи в исследовании отечественной математики, особенно XIX—XX вв.,
по выявлению всё возраставшей и ныне ведущей её роли в ряде
важных дисциплин, по изучению истории математики во всех союзных
республиках, по изданию классиков русской науки. Наряду с этим,
необходимо гораздо шире развернуть идейную научную критику буржу-
буржуазных извращений в истории математики. Предстоит работа по дальней-
дальнейшему углублению изысканий по истории мировой математики и изучению
закономерностей её развития. Необходимо подготовить полноценные
в идейном отношении руководства и пособия по истории математики
как для учителей, так и для учащихся на различных ступенях школы.
Необходимо создание научно-популярной литературы. Нет сомнения
в том, что советские историки математики успешно справятся с этими
важными и большими задачами.

БИБЛИОГРАФИЯ.
Александров П. С.
[1] Николай Иванович Лобачевский. Сб. «Николай Иванович Лобачевский». М.—Л.,
ГТТИ A940), 3—30.
[2] Что такое неевклидова геометрия. Сб. «Николай Иванович Лобачевский». М.—Л.,
ГТТИ A940). 31—81.
[3] Развитие математики в нашей стране. Вестник АН, 5—6 A945).
[4] Н. И. Лобачевский. Успехи матем. наук, 1 : 1 A1), A946), 11—14.
[5] Московское математическое общество. Успехи матем. наук, 1 : 1 A1), A946),
232—241.
[6] Русская математика XIX и XX вв. н её влияние на мировую науку. М., Учён.
зап. ун-та, 91 A947), 3—33.
Арнольд И. В.
[1] Краткий историко-биографический справочник. В кн. «Теория чисел». М., Учпед-
Учпедгиз A939), 248—253.
АхиезерН. И.
[11 Общая теория полиномов П. Л. Чебышева. В кн. «Научное наследие
П. Л. Чебышева». М.—Л., Изд. АН, т. I A945), 5—42.
[2] Краткий обзор трудов П. Л. Чебышева. В кн. П. Л. Чебышеп, Избранные
математические труды. ML—Л., ГТТИ A946), 171—189.
Беллюстин В.
[1] Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. М., Гос. изд. A922), 1—203.
Бернштейн С. Н.
11] О математических работах П. Л. Чебышева. Ж. Природа, 2 A935), 1—6.
[2] Петербургская, школа теории вероятностей. Ж. Природа, 8 A939), 17—22.
[3] Петербургская школа теории вероятностей. Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем.,
10 A940), 3—10.
[4] Академик П. Л. Чебышеп. Ж. Природа, 3 A945), 78—86.
[5] О работах П. Л. Чебышепа но теории вероятностей. В кн. «Научное насле-
наследие П. Л. Чебышева». М.—Л., Изд. АН, т. 1 A945), 43—68.
[6] Чебышев, его влияние на развитие математики. М., Учён. зап. ун-та, 91 A947),
35—45.
Б о б р и к А. А.
[1] Из истории понятия «средняя величина». Центрография. Сб. Центрографич.
лабор. им. Менделеева к пятнадцатилетию Октября, 1 A938), 22—24.
Б о б ы н и н В. В.
[1] Древнепндусская математика и отношение к ней древней Греции. Казань, И:;в.
физ.-матем. о-ва B), 22 A917), 128—157.
61*

1012 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Богомолов С. А.
[1] Актуальная бесконечность (Зенон Элейский, Ис. Ньютон, Г. Кантор). Л.—М.,
ГТТИ A934), 1—48
В о е в Г. П.
11] Беседы но истории математики. В помощь учителю средней школы. Саратов
A947), 1—102.
Вавилов СИ.
[1] Исаак Ньютои. Изд. 2. М.—Л., Изд. АН A945), 1—216.
Васильев А. В.
11] Математика в России. Вып. 1 A725—1826—1863). Пгр. A921), 1—72.
[2] Целое число. Исторический очерк. Изд. 2. Пгр., Изд. Научи, кн-во A922), 1—246.
|3] Столетие неевклидовой геометрии. М., Научи, раб., 10 A926), 20—29.
[4] Математика за последние пятьдесят лет. Матем. образ., 1—2 A928).
Венков Б. А.
[ 1] О работах Леонарда Эйлера по теории чисел. В кн. «Леонард Эйлер», Труды ин-та
истории науки и техники B), 1 A935), 81—87.
Виноградов И. М.
fl] Русская математика. Краткий очерк развития оригинальных школ и направле-
направлений. Ж. Славяне, 5—6 A942), 74—75.
Виноградов И. М. и Д е л о и е Б. Н.
[1] Работы П. Л. Чебышева по теории чисел. В кн. «Научное наследие 11. Л Чебы-
шева». М.—Л., Изд. АН, т. I A945), 69—88.
Выгодский М. Я.
[1] Платон как математик. М., Вести. Комм, акад., 16 A926), 193—216.
|2] Понятие числа в его развитии. Естеств. и марксизм, 2 A929), 3—30.
[3] Проблемы истории математики с точки зрения методологии марксизма. Естеств.
и марксизм, 2—3 A930), 32—48.
[4] Иоганн Кеплер и его научная деятельность. В кн. Кеплер, «Новая стереометрия
винных бочек». М.—Л., ГТТИ A935), 7—94.
[5J Возникновение дифференциальной геометрии. В кн. Монж, Приложение
анализа к геометрии. М.—Л., ОНТИ A936), 7—70.
[6] Математика древних вавилонян. Успехи матем. наук, 7 A940), 102—153.
[7] Математика древних вавилонян, II. Успехи матем. наук, 8 A941), 293—335.
[8] Арифметика и алгебра в древнем мире. М.—Л., ГТТИ A941), 1—252.
Г а р и г Г. Э.
[1] Снор Тарталья и Кардана о кубических уравнениях и его общественные основы.
Труды ин-та истории пауки и техники A), 7 A935), 67—104.
Г е л ь ф а н д М. Б.
[I] Теория иррациональности у Евклида. Ж. Матем. и физика в средней школе,
6 A936).
Гельфонд А. О.
}1] Очерк истории современного состояния теории трансцендентных чисел. Естеств.
и марксизм, 1 A930), 33—55.
Глаголев Н. А.
[1] Ньютон как геометр. В сб. «Московский университет—памяти Ньютона». М.,
Изд. ун-та A946), 71—80.
Г л и в е и к о В. И.
[1] Понятие дифференциала у Маркса и Адамара. Ж. Под знаменем марксизма,
5 A934), 79—85.
Г и е д е и к о Б. В.
11] Очерки по истории математики в России. М.— Л., ГТТИ A946), 1—248.

БИБЛИОГРАФИЯ Ю13
Голубев В. В.
[1] Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебраических функций. В кн.
«Научное наследие П. Л. Чебышева». М.—Л., Изд. АН, т. I A945), 88—121.
Гончаров В. Л.
[1] Теория наилучшего приближения функций. В кн. «Научное наследие П. Л. Че-
Чебышева». М —Л., Изд. АН, т. I A945), 122—168.
Г о р я ч к и и В. В.
[1] Очерк но истории математики в Японии. Владикавказ, Изв. Горек, пед1. ин-та,
7 : 2 A930), 43—59.
Г р а в е Д. А. .
[1] Historische Bemerkungen. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1:4 A925), 6—7.
Гребеиюк Д. Г.
[1] История обоснования анализа бесконечно малых. Ташкент, Соц. наука и тех-
техника, 4 A936), 18—30.
Г ю и т с р Н. М.
|1] Труды В. А. Стеклова по математической физике. Успехи матем. наук, 1 : 3—4
A3—14), A946), 23—43.
Даев В. Д.
[1] К истории вопроса о возможности изображения произвольной функции посред-
посредством тригонометрического ряда. Воронеж, Изв. пед. ин-та 4 A938), 215—222.
[2] Открытие Фурье. К истории тригонометрических рядов. Воронеж, Изв. пед.
ин-та, 7 : 1 A940), 5—26.
Делоне Б. Н.
fl] Петербургская школа теории чисел. М-—Л., Изд. АН A947), 1—419.
[2| Развитие теории чисел в России. М., Учён. зап. ун-та, 91 A947) 77—96.
Д е п м а н И, Я.
.1] Л. Ф. Магницкий. Ж. Матем. в школе, 3 A939).
2| Леонтий Магницкий. Морской сборник, I A939).
3] Недавно найденное сочинение Архимеда. Ж. Матем. в школе, 6 A940).
4] Интеграл вероятности. Ж. Природа, 11 A940).
5] Древнейший вывод формулы половинного угла. Ж. Матем. в школе, 3 A941).
[6] Задачи на деление площадей. Ж. Матем. в школе, 2 A946).
Динзе О. В. иШафраиовский К. И.
[1] Математика в изданиях Академии Наук СССР A728—1935). М.—Л., Изд. АН
A936).
Идельсон Н. И.
[1] О книге С. Я. Лурье «Архимед». Л., Вести, ун-та, 3 A946).
Извольский Н. А.
[1] Геометрия Понселе. Ж. Матем. просвещ., 4 A935).
Каган В. Ф.
[1] Геометрия. БСЭ, т. 15 A929), 332—385.
12] Великий учёный Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке. М.—Л., Изд.
АН A934), 1-55.
[3] Лобачевский. М.—Л., Изд. АН A944), 1—332.
[4] Сочинения Н. И. Лобачевского, предшествовавшие «Геометрическим исследова-
исследованиям». В кн. Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории па-
параллельных линий. М.—Л., Изд. АН A945), 5—16.
[5] Обзор сочинения «Геометрические исследования». В кн. Н. И. Лобачевский,
Геометрические исследования по теории параллельных линий. М.—Л.,
Изд. АН A945), 17—22.

1014 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
[6] Исследования Лежандра по теории параллельных линий. В кн. Н. И. Ло-
Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий.
М..—Л., Изд. АН A945), 23—36.
[7] Учение о параллельных линиях и открытие неевклиловой геометрии. В кн.
Н. И. Лобачевский. Полное собр. соч., т. I, M.—Л., ГТТИ A946), 31—74.
[8] Элементы неевклидовой геометрии у других геометров. В кн. Н. И. Лобачев-
Лобачевский, Полное собр. соч., т. I. M Л., ГТТИ A946), 160—172.
[9] Историко-библиографические сведения о сочинении «Геометрические исследо-
исследования». В кн. Н. И. Лобачевский, Полное собр. соч., т. I. M.—Л., ГТТИ 0946),
172—176.
Колмогоров А. Н.
|1] Математика. БСЭ, т. 38 A938), 359—401.
[2] Лобачевский и математическое мышление XIX века* В кн. «Николай Ивано-
Иванович Лобачевский». М.—Л., ГТТИ A943), 87—100.
[3] Ньютон и современное математическое мышление. В сб. «Московский универ-
университет—памяти Ньютона». М., Изд. ун-та A946), 27—42.
[4] Роль русской науки в развитии теории вероятностей. М., Учён. зап. ун-та,
91 A947), 53-64.
К о л ь м а и Э,
[1] Вводная статья к «Предварительным исследованиям по топологии» И. Б. Ли-
Листинга. М. A932).
[2] Великий русский мыслитель Н. И. Лобачевский. М.—Л., Госполитиздат,
A944), 1—98.
К о л ь м а и Э. и Яновская С. А.
[1] Гегель и математика. Ж. Под знаменем марксизма, 11—-12 A931), 107—120.
Костин В. И.
[1] Лобачевский и его геометрия. Горький A947), 1—75.
Котельников А. П.
[1] Обзор сочинения «О началах геометрии». В кн. Н. И. Лобачевский,
Полное собр. соч., т. I. M.—Л., ГТТИ A946).
[2] Историко-библиографические сведения о сочинении «О началах геометрии».
В кн. Н. И. Лобачевский, Полное собр. соч., т. I. M.—Л., ГТТИ A946).
Кошляков Н. С.
[1] Вариационное исчисление Эйлера. В кн. Леоиард Эйлер, Труды ин-та истории
науки и техники B), 1 A935), 37—50.
К р е ер Л. И.
[1] Дробное число. (Критика идеалистич. толкований вопросов методологии, истории
и методики дробей.) Владикавказ, Изв. 2-го Сев.-Кавк. пед. ин-та, 9 A932),
247—272.
Крыжа п овский Д. А.
[1] Построение ряда самостоятельных геометрий (о К. Фёдорове). Ж. Матем.и физ.
в ср. школе, 4 A934).
[2] Теория двойных рядов Коши в свете обобщённого понятия предела. Л., Труды
второго Всесоюзи. съезда, т. 2 A936).
Крылов А. Н.
[1] Несколько замечаний о работах Гаусса. Л., Труды ин-та истории науки и тех-
техники A), 3 A934), 206—208.
[2] Леонард Эйлер. В кн. «Леонард Эйлер», Труды ин-та истории науки и тех-
техники B), t A935), 1—28.
[3] Жозеф Луи Лагранж. В ки. «Луи Лагранж». М.—Л. A937), 1—16.
[4] Ньютон и его значение в мировой науке. М.—Л., Изд. АН .A943), 1—39.
f5] Пафнутий Львович Чебышев. М.—Л., Изд. АН A944), 1—30.
Кудрявцев П. С.
[1] Исаак Ньютон. М., Учпедгиз A943), 1 — 143.

БИБЛИОГРАФИЯ Ю15
Кузнецов Б. Г.
Ш Лобачевский и его современники. Ж. Под знаменем марксизма, 7 A937),
136—157.
[2] Ломоносов, Лобачевский, Менделеев. М.—Л., Изд. АН A945), 1—332.
Кулишер А. Р.
A] В. Клиффорд и грассмаповы линейные алгебры. Труды второго Всесоюзн. матем.
съезда, т. 2 A936).
Купрадзе В. Д.
{1] Заметки о французской математике. (К декаде франко-советского культурного
сближения.) Ж. Природа, 6 A934), 66—68.
Л а н к о в А. В.
{1] Н. И. Лобачевский в элементарной геометрии. Пермь, Учён. зап. пед. ин-та,
3 A938), 5—14.
Л а п т е в Б. Л.
П] Н. И. Лобачевский. В кн. «Н. И. Лобачевский».М.—Л., Изд. АН A943), 5—18.
Лебедев В. И.
{1] Кто изобрёл алгебру. Пгр. A919).
[2] Как постепенно обобщалось понятие о числе. Пгр. A919).
J3] Кто автор первых теорем геометрии. Изд. 2. Пгр. A921), 1—64.
Лейбензон Л. С.
П] Николай Егорович Жуковский. М.—Л., Изд. АН A947), 1—184.
Л и н н и к Ю. В.
{1] Столетие открытия кватернионов. Ж. Природа, 2 A944).
Л у з и н Н. Н.
11] Эйлер. (По поводу 150-летия со дня смерти великого математика.) М., Соц.
реконстр. и наука, 8 A933), 3—24.
[2] Функция. БСЭ, т. 59 A935), 314—334.
[3] Дифференциальное исчисление. БСЭ, т. 22 A936), 622—642.
[4] Ньютонова теория пределов. Сб «И. Ньютон». М.—Л., Изд. АН A943),
53—74.
[5] И. Ньютон как математик и натуралист. Ж. Природа, 3—4 A943).
Лурье С. Я.
11] К вопросу о египетском влиянии на греческую геометрию. Труды ин-та исто-
истории науки и техники A), 1 A933). 45—70.
{2] Новейшая литература по истории античной математики. Труды ин-та истории
науки и техники A), 21 A934), 297—303.
13] Обзор русской литературы по истории математики. Арх. истории науки и тех=
ники, 3 A934).
[4] Мнимый «порочный круг» у Кавальери. Труды ин-та истории науки и техники
A), 5 A935)" 491—497.
[5] Эйлер и его «исчисление нулей». В кн. «Леонард Эйлер», Труды ин-та истории
науки и техники B), 1 A935), 51—79.
[6] Неопубликованная научная переписка Леонарда Эйлера. В кн. «Леонард
Эйлер», Труды ин-та истории науки и техники B), 1 A935), 111—162.
{7] Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.—Л., Изд. АН A935), 1—197.
{8] Приближённые вычисления в древней Греции. Л., Труды ии-та истории науки
и техники A), 4 A936), 21—46.
[9] Об эйлеровом «Введении в анализ бесконечно малых». В кн. Л. Эйлер «Введение
в анализ бесконечно малых». М.—Л., ОНТИ A936), 9—20.
{10] Предисловие и примечания к «Лекциям по истории античных математических
наук» О. Нейгебауера. М.—Л. A937).
{11] Из истории математики в древности. Вестн. древе, истории, 3 A938), 193—199.
[12] Математический эпос Кавальери. В кн. Кавальери «Геометрия». М.—Л., ГТТИ
A940), 7—82.
J13] Предшественники Ньютона в философии бесконечно малых. Сб. «И. Ньютон»,
М.—Л., Изд. АН A943), 75—98.

1016 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
[14] Архимед. М.—Л., Изя. АН A945), 1—270.
115] К вопросу о возникновении алгебраического мышления. Успехи матем. наук,
1 : 1 A1), A945), 248—257.
[16] Очерки по истории античной науки. М.—Л. A947), 3—10.
Люстериик Л. А.
[1] К вопросу обоснования анализа и геометрии положения без теории множеств.
М., Вести. Комм, акал., 13 A925), 217—222.
[2] Памяти А. Н. Крылова. Успехи матем. наук, 1 : 1 A1), A946), 3—10.
[3] Математический сборник. Успехи матем. наук, 1 : 1 A1), A946), 242—247
Максимов А. А.
[1] Очерки по истории борьбы за материализм в русском естествознании. В кн.
«Н. И. Лобачевский». М., Госполитиздат A947), 66—102. '
Максимов С. Я.
[1] Учение древних математиков об определении объёмов и поверхностей тел
Рязань, Учён. зап. пед. ии-та, 2 A940), 245—273.
М а р к у ш е в и ч А. И.
[1] Исторический очерк теории функций комплексного переменного. В кн. «Эле-
«Элементы теории аналитических функций». М., Учпедгиз A944), 36—62.
Минковский В. Л.
[1] Исторический обзор развития понятия иррационального числа. Ж. Матем.
в школе, 5 A940).
[2] Доказательства от противного и аксиома Татаринова. Ж. Матем. в школе,
3A941).
Моисеев Н. Д.
[11 А. М. Ляпунов и его труды по теории устойчивости. М., Учён. зап. ун-та,
91 A947), 129-147.
М о л о д ш и й В. Н.
[1] Энгельс о происхождении и факторах развития математики. Естеств. и марк-
марксизм A933), 181—203.
[2] Понятие комплексного числа в его развитии. Ж. Матем. в школе, 1 A946).
Мордухай-Болтовской Д. Д.
[1] Genese und Geschichte der Limestheorie. Archeion., т. 14, 45—72.
[2] Ньютон A727—1927). Очерки по истории знаний, I. Л., Изд. АН, A927), 1—73.
[3] Лобачевский и основные логические проблемы в математике. Ростов н/Д, Изв.
Сев.-Кавк. ун-та, 12 : 1 A927), 78—95.
[4] Из истории метода наложения в элементарной геометрии. Матем. образ.,
3 A928), 107—113.
[5] Метод исчерпывания. Матем. образ., 6 A928), 229—240.
[6] Исследования о происхождении некоторых основных идей современной мате-
математики. Ростов н/Д, Изв. Сев.-Кавк. ун-та, 2 A5), A928), 35—36.
[7] Два основных источника методов решения уравнений (XII в.). Ростов н/Д, Изв»
Сев.-Кавк. ун-та, 2 A5), A928), 36—46.
[87 Генезис современного числа (XIII в.). Ростов н/Д, Изв. Сев-Кавк. ун-та, 2 A5),
A928), 47—66.
[9] Первые шаги буквенной алгебры. Ростов н/Д, Изв. Сев.-Кавк. ун-та, 2 A5),
A927), 66—83.
[10] Аксиоматика XVII века (первая половина XVII века). Ростов н/Д, Изв. Сев.-
Кавк. ун-та, 2 A5), A928), 83—102.
[11] Генезис и история теории пределов (XVIII в.). Ростов н/Д, Изв. Сев.-Кавк. ун-
унта, 2 A5), A928), 103—114.
[12] Философские элементы f эволюции методических идей в математике первой
половины XIX века. Ростов н/Д, Изв. Сев.-Кавк. ун-та, 2 A5), A928),
118—129.
[13] Эволкщия понятия функции в прошлом и настоящем. Ростов н/Д, Учён, зап-
НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 51—52.

БИБЛИОГР АФИ Я Ю17
[141 Вводная статья к «Математическим сочинениям» Ньютона. М.—Л., ОНТИ A937),
7-15
Мро че к. В. Р.
[1] Возникновение и развитие теории вероятности. Труды ин 7а истопчи науки и
техники A), 2 A934), 45—60.
О р б е л и И. А.
[1] Вопросы и решения вардапета Анания Ширакаци, армянского математика VII п.
Пгр., Издал и перевёл И. А. Орбели A918), 1—90.
П а е в с к и и В. В.
[1] Демографические работы Л. Эйлера. Сб. «Леонард Эйлер». Труды ии-та исте-
истерии науки и техники B), 1 A935\ 103—111.
Парфентьев Н. Н.
[1] Научное значение работ С. В. Ковалевской в области чистой математики. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва B), 23 A923), 1—11.
[2] Научный очерк работ .Феликса Клейна. Казань, Изв. 'физ.-матем. о-ва B),
25 A926), 31—40.
[3] Значение творений Исаака Ньютона в истории развития математики, механики,
физики, астрономии и философии наук (к 200-летней годовщине его смерти:
1727—1927). Казань, Научно-педагог. сборн., 2 A927), 27—43.
Петросян Г. Б.
[1] Арифметика в Урарту по урартским клинописям. Изв. Арм. фил. АН A935)-
[2] Учебник арифметики Анания Ширакаци и его значение для истории арифметики
Изв. Арм. фил. АН A935).
[3] Армянский древний перевод Евклида и его значение для истории математики.
Изв. Арм. фил. АН A93().
[4] Положительные числа Ованеса Саркавага. Изв. Арм. фил. АН A936).
Поитрягин Л. С
[1] Топология в Советском Союзе. М., Учён. зап. ун-та, 91 A947), 65—76.
Попов Г. Н.
1] История математики, I. M. A920).
2] Псаммит Архимеда. Пгр. Изд-во «Сеятель» A922), 1—96.
3] Очерки по истории математики. М.—Пгр. A923).
4] Культура точного знания в Перу. М. A923).
5] Краткий очерк научной деятельности Архимеда. Псаммит Архимеда. М.—Л.
A932).
[6] Сборник исторических задач по элементарной математике, М. A932).
Рахилевич М. К.
[1] Геометрические идеи Леонтия Магницкого. Пермь, Учён. зап. пед. ии-та, 3A938)-
19—37.
Рождественский Н. Н.
[1] Расширение понятия числа. Хрк., Научн. зап. B), A926), 155—160.
Рыбкин Г. Ф.
[1] Новые книга о Лобачевском. Труды ин-та истории естеств., 1 A947), 428—440.
Самойленко И. Н.
[1] «Аналист» Беркли. Л., Труды второго Всесоюзного матем. съезда, т. 2 A936).
Синцов Д. М.
[1] Харьковское математическое общество за 50 лет. Хрк., Труды первого Всесоюз-
Всесоюзного матем. съезда A934).
Слугинов С. П.
[1] К столетнему юбилею новой геометрической теории Н. И. Лобачевского. Пермь
Труды матем. семин. ун-та, 1 A927), 11—19.

1018 ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Смирнов 'В. И.
[1] Русская математика XIX и XX вв. Ж. Природа, 3 A945), 17—23.
[2] Научное творчество А. Н. Крылова. Успехи матем. наук, 1:3—4 A3—14), A946),
[3] В. А." Стеклов. Успехи матем. наук, 1:3—4 A3—14), A946), 17—23.
Стеклов В. А.
[1] Математика и её значение для человечества. Берлин, Гос. изд. A923), 1—137.
[2] Теория и практика в исследованиях Чебышева. Успехи матем. наук 1:2 A2),
A946), 4—11.
Степанове. В.
[1J Московская школа теории функций. М., Учён. зап. ун-та, 91 A947), 47—52.
Струве В. В.
[1] Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der SchOnen Kflnste in Moskau.
Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Ai A930).
С у ш к е в и ч АД. ,
[1] Э. Галуа и теория групп. Ж. Природа, 4 A934).
Туманян Т. И.
II] О положительных числах Аиания Ширакаци. Сб. научных работ Матенадарана,
I A941).
Т у р а е в Б.
[1] The volume of the truncated puramid in egyptian mathematics. Ancient Egypt,
3 A917).
Фесепков В. г.
[1] Исаак Ньютон A727—1927). Астрой, ж., 4 A927), 91—101.
Филиппов А. А.
[1] Великий счёт (очерк истории математики). Одесса, Всеукр. гос. изд. A922), 1—24,
Флоренский П. Г.
[1] Из истории неевклидовой геометрии. Ж. Природа, 3 A929), 253—254.
ФранкльФ. И.
[1] Московская топологическая школа. Ж. Есгестз. и]марксизм, 4 A929), 169—188.
Фридман А.
[1] Арифметика. БСЭ, г. 3 A926), 338—346.
X и и ч и и А. Я.
[1] Теория вероятности в дореволюционной России и в Советском Союзе. Фронт
науки и техники, 7 A937), 36—46.
Холщевников А.
[1] О математических рукописях Маркса. Фронт иауки и техники, 2 A933), 100—106.
X о т и м с к и й В. И.
[1] Исторические корни теории вероятностей. Ж. Под знаменем марксизма, 1 A936),
137—150.
[2] Исторические корни теории вероятностей, II. Ж. Под знаменем марксизма,
6 A936), 143—155.
[3] Исторические корни теории вероятностей, III. Ж. Под знаменем марксизма,
II A936), 116—123.
[4] Исторические корни теории вероятностей. М., Пробл. учёта и статист., 11 E),
A937), 69—85.
Цейтлин 3. А.
[1] Феликс Клейн. М., Сб. «На борьбу за материалистическую диалектику в мате-
математике», A931).

БИБЛИОГРАФИ Я Ю19
Цинзерлинг Д.
[1] Математика у древних египтян. Ж. Матем в школе, A939), 2—3.
Ц х а к а я Д. Г.
[1] К вопросу о математических знаниях в Грузии в XVII в. Тбилиси, Труды матем.
ин-та АН ГрССР, 9 A941), 207—215.
[2] Тригонометрия народов Ближнего Востока об одном из грузинских памятников
в астрономической литературе. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,
13 A944), 219.
Чеботарёв Н. Г.
fl] О значении работ Лагранжа по теории чисел и алгебре. Успехи матем. наук,
2 A936), 17—31.
[2] Академик Д. А. Граве- Сб. памяти Граве. М.—Л., ГТТИ A940) 3—14.
13] Многоугольник Ньютонаи его роль в современном развитии математики.Сб. «И.Нью-
«И.Ньютон». М.—Л., Изд. АН A943), 29—126.
[4] Геометрия Лобачевского и её значение в современной науке. В кн. «Н. И. Лоба-
Лобачевский». М.— Л., Изд. АН A943), 56—82.
Черепиин Л. В.
fl] Русская метрология. М., Изд. истор.-архив, ин-та A944), 1—93.
[2] Русская хронология. М., Изд. истор.-архив, ин-та A944), 1—93.
Чернов С. Н..
[ 1 ] Леоиард Эйлер и Академия Наук. В кн. «Леонард Эйлер». Труды ин-та исто-
истории науки и техники B), 1 A935), 163—238.
Чистяков И. И.
{1] Крепостной математик—композитор XVIII в. М. Матинский. Тверь, Изр. нед.
ин-та, 4 A928).
[2] О новейших исследованиях в области древнеегипетской математики. Ж. Матем.
образов., 4 A928),-. 141—150
C] О новейших исследованиях в области древнейшей истории математики. Ж. Матем.
и физ. в средней школе, 1—3 A934).
[4] Б. Кавальери и его метод неделимых. Ж. Матем. и физ. в ср. школе, 1 A936).
Шапиро Г. М.
[1] Исторический обзор. В кн. «Высшая алгебра». М., Учпедгиз A938), 3—24.
ШемяновН. Н.
[1] У истоков русской методики математики. Ярославль, Учён. зап. пед. ин-та,
1 A945).
Шереметевский В. П.
[1] Очерки по истории математики. М., ГУПИ A940), 1—176.
Широков П. А.
{1] Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. В кн. «Н. И. Лобачевский».
М—Л., Изд. АН A943), 19—22.
/21 Н. И. Лобачевский, как творец новой геометрической системы. Ж. Природа,
6 A943).
Шмидт О. Ю.
fl] Алгебра. БСЭ, т. 2 A926), 137—146.
Юсупов Н. П.
[1] Очерки по истории развития арифметики на Ближнем Востоке. Казань, Тат-
издат A932), 1 — 177.
[2] Из истории математики народов Ближнего Востока. Л., Труды второго Вее-
союзн. матем. съезда, т. 2 A936).
Юшкевич А. П.
A] Философия математики Лазаря Карно. М., Естеств. и марксизм, 3 A929),
83—99.

1020
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
[2] Первый печатный курс дифференциального исчисления. В кн. Лопиталь,
Анализ бесконечно малых. М.—Л., ГТТИ A935), 11—46.
[3J Идеи обоснования математического анализа в XVIII в. В кн. Карно, Раз-
Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М., ГТТИ A936), 7—57.
4] Английская философия эмпиризма и теория флюксий. Л., Труды второго Все-
союзн. матем. съезда, т. 2 A936).
[5] Интегральное исчисление. БСЭ, т. 28 A937), 586—600.
|6] Декарт и математика. В кн. Декарт, Геометрия, М.—Л. A938), 257—299.
[7] Акад. С. Гурьев и его роль в развитии русской науки. Труды ин-та истории
егтеств., 1 A947), 219—268.
[8] О возникновении понятия об определённом интеграле Коши. Труды ин-та исто-
истории естеств., 1 A947), 373—411.
[9] Советская юбилейная литература о Ньютоне. Труды ин-та истории естеств.,
1 A947), 446-455.
10] Математика и её преподавание в России в XVII—XIX вв. Ж. Матем. в школе,
1_6 A947).
Яновская С. А
[1] О математических рукописях Маркса. Сб. «Марксизм и естеств.» A933),
136—180.
[2] Геометрия Декарта. Фронт науки и техники, 6 A937).
[31 К теории египетских дробеГ:. Труды ин-та истории естеств., 1 A947).
[4] Мишель Ролль, как критик анализа бесконечно малых. Труды ии-та истории
естеств., 1 A947), 327—346.

РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ
И ЭСТОНСКИХ
МАТЕМАТИКОВ

РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ МАТЕМАТИКОВ
ЗА ТРИДЦАТЬ ЛЕТ.
А. Я. ЛУСИС.
числу латвийских (рижских) математиков мы относим,
всех тех математиков, деятельность которых протекала,
на территории Латвийской ССР, главным образом, в
рижских вузах. Как видно из библиографического указа-
указателя, научно активных математиков в Риге немного. Из
общего числа (80) оригинальных работ латвийских мате-
математиков за последние тридцать лет важнейшие работы
группируются по трём основным разделам математики:
теории чисел, геометрии и анализу.
I. В области теории чисел весьма активно работал Э. Фогеле
в направлении теории диофантовых уравнений, теории полей алгебраи-
алгебраических чисел и аналитической теории чисел. В работе [3] он указывает
новые случаи, когда уравнение х* + Ay* — z* не имеет рационального
решения. Работы [2] и [5] содержат указания новых общих классов диа-
фантовых уравнений третьей степени, неразрешимых в квадратичных
числовых полях, а для нескольких видов уравнений x* + Ay* = Bz* разре-
разрешимость в таковых полях. В недавно опубликованной работе [10]
Э. Фогеле доказывает, что в квадратичном поле К \/ — 5 почти все
целые числа неоднозначно разлагаются на простые множители. Метод
его доказательства можно распространить также на другие числовые поля.
По аналитической теории чисел Э. Фогеле [6,9] создал метод,
представляющий комбинацию методов Хейльброна и Ингама для опре-
определения такого наименьшего числа Л = /г(х), чтобы интервал (х, х +Л)
при достаточно больших х содержал по крайней мере одно простое
число. Метод Э. Фогелса в случае простых чисел даёт известный
результат Ингама, а в применении к другим арифметическим функ-
функциям—новые результаты. Детальная оценка работы [б] имеется в Фи-
Физико-математическом реферативном журнале (т. V, 447—448, 1941).
В работе [13] Э. Ф о г е л с, применяя методы И. М. Виноградова
в аналитической теории чисел и оценки тригонометрических сумм,
получил много арифметически важных следствий, главным образом
относящихся к распределению простых чисел в некоторых квазилиней-
квазилинейных прогрессиях.
2. В области элементарной геометрии руководящий латвийский
математик Э. Лейнекс A889—1937) опубликовал в начале

1024 РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ И ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ
рассматриваемого периода две работы [1 ] и [2], а до революции в журнале
«Математическое Образование»—несколько работ аналогичного характера.
Им составлена монография, в которой систематически и методически ясно
изложены вопросы новой геометрии треугольника. Э. Гринберге
написал интересную заметку [4] об определении объёма многогран-
многогранников, без применения бесконечных процессов и статью [2] о роли транс-
трансформаций в элементарной геометрии.
По некоторым вопросам алгебраической геометрии работали
Я. Витолс, Е. Лейманис [2] и 3, Скопец. Я. Витолс
и Е. Лейманис исследовали некоторые классы алгебраических
кривых высшего порядка и построили несколько новых классов плоских
и пространственных кривых, применяя кинематический метод
Я. Витолс а. 3. Скопец [1] развил применение трёх методов для
построения специальных трансформаций Кремона любой степени в л-мер-
ном пространстве.
Основные работы другого руководящего рижского математика
А. Медера об аналитическом исследовании особых точек кривых в
трёхмерном пространстве опубликованы в 1896—1909 гг. (Journ. f. reine
u. angew. Math.) и представляют важные дополнения к упомянутым
вопросам классической дифференциальной геометрии. За последние
тридцать лет А. М е д е р опубликовал лишь несколько работ из области
анализа и теории вероятностей.
Среди молодых геометров, работающих в области дифференциальной
геометрии, следует упомянуть Э. Гринбергса и А. Эрглиса.
В работе по теории овалов Э. Гринбергс[1] определил два
специальных класса овалов, применяя опорную функцию (Stiitzfunktion)
в виде тригонометрического полинома. В другой его работе [3] опреде-
определены простейшие свойства кривых евклидова п-мерного пространства без
применения тензорного анализа, употребляя лишь элементарные понятия
векторного исчисления. Таким путём получены некоторые новые резуль-
результаты относительно соприкасающихся сфер, определения кривизны при
произвольном параметре и теории нормальной кривизны. В своей диссерта-
диссертации Э. Гринберге [5] указал некоторые новые результаты в про-
проблемах касания, оскуляции и супероскуляции двух геометрических фигур.
Например, теорию касания, независимую от определённой метрики,
можно построить посредством понятия бесконечно близких точек.
В этой теории можно обобщить, например, теорему Менье для л-мерного
пространства. В работе установлена своего рода двойственность между
свойствами семейств точек и поверхностей. Даны новые общие аналити-
аналитические критерии существования оскуляции и супероскуляции двух
геометрических фигур. Указана тесная связь между проблемой супе-
супероскуляции и нахождением особых решений определённого типа
дифференциальных уравнений. Результаты общей теории иллюстриру-
иллюстрируются детальным изучением кривых трёхмерного евклидова пространства
в случае, когда соприкасающаяся фигура—цилиндр вращения. В этом
случае автор пополняет новыми результатами известную работу
Тамерла *). А. Э р г л и с в своей работе (ещё не напечатана) разви-
развивает идею Хлавати для составления натурального уравнения произ-
произвольной поверхности и более детально изучает порядок такого
уравнения.
•) Tamed, Sitz. Ber. Akad. Wien. A931).

РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ МАТЕМАТИКОВ ЗА ТРИДЦАТЬ ЛЕТ 1025
3. У латвийских математиков сравнительно много работ по анализу.
Эти работы группируются по следующим разделам анализа: дифферен-
дифференциальному и интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям,
интегральным уравнениям, теории функций и теории множеств.
А. М е д е р [3] по дидактическим соображениям указывает
несколько простых методов для получения функций двух переменных,
когда результат дифференцирования зависит от порядка дифференци-
дифференцирования. В работе [4] детально разработан вопрос об условиях при-
приложимости классического правила Лопиталя. Аналогичный характер
в сторону уточнения некоторых классических вопросов дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчислений имеют предыдущие 4 работы Медера*),
опубликованные в период с 1903 по 1911г. в журнале «Monatshefte
fur Math. Phys.».
Несколько новых результатов по вопросам дифференцирования
и интегрирования почти периодических функций нескольких перемен^
ных получил Н. Бразма [1,2]. Опираясь на это, он в дальнейшей
работе [5], относящейся к теории функций комплексного переменного,
изложил основные свойства почти периодических функций нескольких
комплексных переменных.
4. В начале текущего столетия среди рижских математиков крупней-
крупнейшим, безусловно, являлся П. Б о л ь A865—1921)—основоположник теории
кв'айипериодических функций и талантливый исследователь асимпто-.
тических решений дифференциальных уравнений и их приложений
к механике. А. Кнезер и А. М едер совместно в заметке [1 ], посвя-
посвященной памяти П. Боля, дали обстоятельную характеристику его работ.
За последние тридцать лет в области дифференциальных уравнений и их
приложений к механике работали Е. Лейманис и А. Путнис.
По качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Е. Лейманис опубликовал две заметки [3, 4] и работу [5], в которых
исследуются особые точки и особые многообразия дифференциальных
систем третьего и высшего порядков в действительной области. Для систем
третьего порядка устанавливаются 8 типов особых точек как комбинаций
из основных типов (узел, седло, фокус) особых точек, известных по рабо-
работам Пуанкаре относительно систем первого и второго порядков. В рабо-
работах [4] и [5] Е. Лей м аниса даются также обобщения некоторых
теорем Пикара и Шази об особых многообразиях дифференциальных
систем высшего порядка и их приложения к ограниченной проблеме
трёх тел.
С проблемами фигур равновесия вращающейся жидкости и теории
планетиых фигур связаны важные исследования талантливого математика
А. Путниса A907 —1940) о перманентном вращении неоднородной
жидкости, частицы которой притягиваются по гравитационному закону
Ньютона. Здесь рассматриваются основные проблемы: установить зави-
зависимость между распределением масс, формой поверхности и угловой ско-
скоростью вращения и доказать существование такого относительного равно-
равновесия или перманентного вращения жидкости. А. П у т н и с [1, 2, 3, 4]
исследует проблемы в случае эллипсоида вращения при разных распреде-
распределениях масс, примыкая к теории Вавра и Дива вращающейся неодно-
•) Результаты первой из этих работ («теоремы Медера») вошли в известный курс
анализа В. В. Немыцкого,' М. И. С луде к ой, А. Н. Черкасова
(т. II, стр. 265).
65 Математика в СССР за 3» лет

1026 РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ И ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ
родной жидкости и дополняя её некоторыми новыми результатами.
Математический метод исследования в этих работах состоит в применении
сферических функций и дифференциальных уравнений гидромеханики
и теории ньютоновского потенциала.
5. По теории интегральных уравнений работали: А. Л у с и с,
Э. Свенсон и С. Крачковский. В двух публикациях [3]
и [6] А. Л у с и с установил интегро-дифференциальное уравнение, харак-
характеризующее резольвенту уравнения Фредгольма, и указал на значение
уравнения резольвенты в доказательствах некоторых общих свойств
ортогональных и главных ядер. Во второй работе [6] более детально
разобраны случаи симметричного и симметризуемого ядра; например,
для таких ядер свойство существования простых полюсов резольвенты
можно установить из её характеристического уравнения. Указана роль
уравнения резольвенты также для построения функций Грина в граничных
задачах линейных дифференциальных уравнений.
Более обширную работу по интегральным уравнениям Вольтерра
и теории композиции и пермутабельных функций первого рода провёл
А. Л у с и с в работах [1, 7, 8, 10, 11]. В решении основной проблемы
пермутабельных функций (определить все функции, пермутабельные
с данной) автор систематически применяет символ обращения (инверсии)
композиции и трансформации Переса. Более детально, чем в работах
Вольтерра и Переса, рассмотрены случаи основной проблемы, когда
данная функция второго и высшего порядков (в смысле теории ком-
композиции). Положительно решён вопрос, поставленный Вольтерра,
о некотором групповом свойстве пермутабельных функций.
Теорию функциональных уравнений («Summengleichungen», по
терминологии Горна), построенных аналогично линейным интегральным
уравнениям второго рода с заменой интеграла на знак суммы, разработал
Э. Свенсон в своих работах [1, 2]. Автор связывает проблему разре-
разрешимости таких уравнений с теорией ограниченных квадратичных форм,
исходя из основных работ Гильберта и Геллингера в этой области.
С. Крачковским [1] разрабатывается теория ядра инте-
интегральных уравнений наименьшей нормы («главного ядра»), которые имеют
те же правые главные функции, как и некоторое данное квадратично-
суммируемое ядро. Эта теория тесно примыкает к известным работам
московского математика С. Левина о «простых ядрах». Основной
метод С. Крачковског о— построение функций по их компонентам
в функциональном пространстве и пользование сходимостью в среднем,
и интегралами в смысле Лебега.
6. По теории функций и теории множестз работ латвийских мате-
математиков немного. К теории функций действительного переменного
и теории множеств относятся: работа Э. Свенсона [3], две ненапе-
ненапечатанные ещё заметки С Крачковского и одна заметка молодого
математика Э. Ариньша, содержащая некоторые дополнения
к результатам польского математика Яничевского о неприводимых
континуумах. В работе [3] Э. Свенсона исследованы интегралы
типа- Геллингера методом Гана, приводящим при помощи подходящей
подстановки рассматриваемые интегралы к интегралам Лебега.
По теории аналитических функций рижский математик Э. Линд-
варт в 1914 г. разработал вопрос об определении рода целой функции
методом Лагерра, а в 1941 г. другой рижский математик Г Локот[1]
сообщил о своей работе, где рассмотрены нули аналитической функции.

РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ МАТЕМАТИКОВ ЗА ТРИДЦАТЬ ЛЕТ Ю27
двух переменных в окрестности особой точки. Имеется ещё третья
работа [6] Н. Б р а з м а, где детально исследована риманова поверх-
поверхность аналитической функции, употребляемой в электротехнике, —
так называемой функции реактанца.
7. Кроме упомянутых работ латвийских математиков по теории
чисел, геометрии и анализу, за последние тридцать лет опубликованы
работы А. М е д е р а [ 1, 2] по теории вероятностей, несколько работ
по математической статистике К. Залтса [2, 3], Э. Фогелса
[11, 12], Э. Г р и н б е р г с а [6, 7] и номографии К. Залтса [5, 6].
Среди них более заметными являются работы А. М е д е р а по теории
вероятностей и К. Залтса по номографии.
В работе [1] А. М е д е р применяет выражение весьма общего типа
для определения субъективной ценности изменения состояния, содержащее
в виде частных случаев выражения, данные другими авторами. При этом
оказывается, что основные результаты, полученные другими авторами,
остаются действительными при общих предположениях, в особенности
относительно субъективной невыгодности игры, которая является без-
безобидной с точки зрения математического ожидания, а также относительно
субъективной выгодности страхования. В другой работе A. Me дера [2]
даётся, без использования теоремы Лапласа, улучшенная нижняя
оценка вероятности неравенства рг > рг между вероятностями plt p% двух
событий, если такое неравенство удовлетворяется соответствующими
статистическими вероятностями, которые получены из двух серий
опытов.
В работах К. Залтса исследована основная проблема номо-
номографического изображения с двух противоположных точек зрения: либо
по заданным уравнениям шкал разыскивается изображённая функцио-
функциональная зависимость, либо наоборот. Работа [5] содержит основы теории
номограмм, состоящих из прямолинейных шкал. Изучается связь между
параметрами трёх проективных шкал и коэффициентами изображаемого
такой номограммой уравнения. При этом впервые выясняется структура
коэффициентов уравнения и геометрическое значение обращения коэффи-
коэффициентов в нуль. В работе систематически изучены всевозможные сочетания
исчезающих коэффициентов, составлены указатели для определения
основных точек проективных шкал и показано на примерах применение
разработанной теории к каноническим случаям номографического изо-
изображения. Во второй работе [6] К. Залтса рассматривается задача
определения шкал по заданной зависимости между отсчётами в точках,
расположенных на одной прямой. Наиболее важным результатом
этой работы является открытый автором метод определения вспомога-
вспомогательного множителя, который иногда необходимо вводить для того,
чтобы данное выражение было возможно представить в требуемой форме
определителя с разделёнными по строкам переменными.
65*

БИБЛИОГРАФИЯ.
Бразма Н.
[1] Stir l'integration des fonctions presque reriodiques des deux variables indepen-
dentes. Comment. Math. Helv, 11 A939), 330—335
[2] Differentiation et integration des fonctions presque periodiques de plusieurs vari-
variables reelles. Рига, Труды Латв ун-та, матем. C), 7 A939), 235—263.
[3] Раскрытие скобок и приведение членов бесконечного ряда (на латв. яз.). Рига,
Сб. о-ва студ.-матем. Латв. ун-та, 1 A940), 35—37.
[4] Один своеобразный бесконечный процесс (на латв. яз.). Рига, Сб, о-ва студ.-ма-
студ.-матем. Латв. ун-та, 1 A940), 37—39.
[5] Stir les fonctions presque periodiques des plusieurs variables complexes. Рига,
Труды Латв. ун-та, матем. C), 20 A941), 431—455.
[6] Ober eine Riemannsche Flache. Рига, Учён. зап. ун-та, матем. A), 1 A943),
1—21.
В и т о л с Я.
[1] О кинематическом методе построения алгебраических кривых в пространстве
(на латв. яз.). Рига, Диссертация A938), 1—1Р2.
Гринберге Э.
[1] Ober die Bestimmung von zwei speziellen Klassen von Eilinien. Math. Z.,
42 A936), 51—57.
[2] О некоторых трансформациях в элементарной геометрии (на латв. яз.). Сб.
докл. съезда латв. матем. A936), 21—36.
[3] О кривых евклидова л-мериого пространства (на латв. яз.). Рига, Латв. ун-т
A937).
[41 Об объёме многогранников (на латв. яз.). Рига, Сб. о-ва студ.-матем. Латв. ун-та,
1 A940), 7-9.
[5] Об оскуляции, супероскуляции и характеристических точках (на латв. яз.).
Рига, Диссертация A943), 1—99.
[6] Характеризация рождаемости, смертности и естественного прироста (на латв.
яз.)- Ж. Латв. экономист, 13/14 A943).
[7] О численном развитии популяции при неизменной рождаемости и смертности
(на латв. яз.). Ж. Латв. экономист, 23/24 A943).
3 а л т с К.
[1] Счётные машины «Comptometer» и «Comptograph» (на латв. яз.). Рига, Ж.
Латв. экономист A925).
[2] Методы вычисления индексов цен (на латв. яз.). Рига, Ж. Латв. экономистA927).
[3] Статистические материалы в латышских наро ных песнях D раб. на латв. яз.).
Рига A922—1932).
[4] Номография и школа (на латв. яз.). Рига, Сб. докл. съезда латв, матем.
A936), 37—70.
[5] Три проективные шкалы как номограмма из выравненных точек (на латв. яз.).
Рига, Труды Латв. ун-та, инж. B), 4 A938), 73—135.
[6] Проблема разделения переменных в номографии (на латв. яз.). Рига, Труды Латв.
ун-та, инж. B), 5 A938), 137—200.

БИБЛИОГРАФИЯ Ю29
Крачковский С.
[1] Системы функций. Интегральные уравнения. Рига, Диссертация A946).
Лсймапис Е.
[1] Проблема трёх тел (на латп. яз.)- Рига, Ж. Мин. проев., 2 A935), 193 201.
[2] Sur une classe de courbes planes algebriques de genre n=0. Рига, Труды Латв.
ун-та, матем. B), 8 A936), 409—447.
[3] Sur les points singuliers des equations differentielles. C. R. Acad. Sci.,
202 A936), 1244—1246.
[4] Sur les solutions d'un systeme differential аи voisinpge d'une multiplicity sin-
guliere. С R. Acad. Sci., 202 A936), 1738—1740.
[5] Sur les multiplicites singulieres d'un systeme differentiel reel. Ann. Sci. ?г.
Norm. Sup. C), 53 A936), 309—327.
|6] Каузальные системы и вечный возврат (на латв. яз.). Рига, Ж. Мин. ипоср.,
2 A937), 28—43.
Л е й н е к с Э.
[1] О построении центра данной окружности с помощью одной линейки. М.. Ж.
Матем. Образование, 6 A917), 161—174.
[2] Теорема Лемуса. М., Ж. Матем. в школе, 1 A918).
[3] Геометрия треугольника (рукопись на латв. яз.). Рига, Латп. ун-т A930).
Л и н и с В.
[1] О построениях с помощью циркуля и линейки (на латв. яз.). Рига, Сб. о-ва
студ.-матем. Латв. ун-та, 1 A940), 21—26.
Л о к о т Г.
[1] Nullgebilde einer analytischen Funktion zweier Veranderlichen in der Umgebung
eines singularen Punktes. Диссертация A941).
Л у с и с А.
[1] Интегральные уравнения Вольтерра и пермутабельные функции (на латв. яз.).
Рига, ТрудыЛатв. ун-та, 17 A927), 623—638.
[2] Исторический очерк развития понятия о функции (на латв. яз.). Рига, Ж. Мин.
проев., 2 A927), 138—143.
[3] Уравнение Фредгольма (на латв. яз.). Рига, Труды Латв. ун-та, 18 A928),
549—567.
|4] Функции линий как обобщение понятия о функции (на латв. яз.)- Рига, Трулы
Латв. ун-та, 20 A929), 187—213.
[5] Принципы теории функционалов (на латв. яз.). Рига, Ж. Мин. проев., 3 A929).
[6] Sur I'equation de Fredholm a noyau symetrique reel. Рига, Труды Латв. ун-та,
матем. A), 1 A930), 1—26.
[7] Sur la recherche des fonctions permutables de premiere espece avec une fonction
donnee. Rend. Aecad. Lincei, 11 A930), 166—169.
[8] Sur la recherche des fonctions permutables de premiere espece. Toulouse, Ann.
Fac. Sci., 22 A930), 171—184.
[9] Международный конгресс математиков в Осло (на латв. яз.). Рига. Ж. Мин.
проев., 1 A937), 638—647.
[10] Основная проблема пермутабельных функций (на латв. яз.). Рига, Диссертация
A937), 1—100.
[11] Sur leprobleme fondamental de la theoriedes fonctions permutables. Рига, Труды
Латв. ун-та, матем. C), 5 A938), 125—194.
М е д е р А.
[1] Ober den sogenannten moralischen Wert einer Vermogensanderung. Рига. Труды
Латв. ун-та, 1 A921), 45—62.
[2] Ober eine Aufgabe der Wahrschein'ichkeitsrechnung. Рига, Трулы Латп. унта,
12 A925), 557—564.
[3] Ober die Herstellung von Funktionen / (x, y), fur welche f'M (a, b)-pf" (a, b)
ist. Рига. Труды Латв. ун-та, 13 A926), 655—668.
[4] Zur l'Hospitalsehen Regel. Рига, Труды Латп. ун-та, 15 A92G), 487—512,
[5] Direkte und indirekte Beziehungen zwischen Gauss und der Dorpater Uni-
versitat. Arch. f. Gesch. Math. Naturw. Techn., 11 A928), 62—67.

1030 РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ И ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ
М е д с р А. и К и е з е р А.
[11 Piers Bohl zum Gedachtnis. Jahresb. Deutsch. Math. Ver., 33 A924), 25—32.
Путине А.
[1] Le potentiel newtonien a l'exterieur d'un astre ellipsoidal en rotation perma-
nente. Comm. Math. Helv., 18 A035), 181—185.
[2] Sur le theoremede Stokes pour les ellipsoides heterogenes en rotation permanente.
Geneve, Soc. Phys. Math., 52 A935), 135—137.
CJ Sur la rotation permanente de la surface ellipsoidale d'une masse f luide hete-
rogene. Рига, Труды Латв. ун-та, матем. B), 7 A936), 399—409.
[4] Sur la rotation permanente des ellipsoides heterogenes. Рига, Труды Латв.
ун-та, матем. C), 1 A938), 1—65.
Свенсон Э.
|1] Zur Theorie der Summengleichungen. Марбург, Диссертация A925). 1—80.
|2] Zur Theorie der Summengleichungen. Journ. reine u. angew. Math., 160 A929),
38—60.
[3] Beitrelge zur Theorie gewisser Integraltypen. Journ. reine u. angew. Math.,
170 A934), 179—196.
Скопец 3.
[1] О некоторых методах построения специальных трансформаций Кремона. М.,
Диссертация A946).
Фогеле Э.
[1] О некоторых важных проблемах теории чисел (на латв. яз.). Рига, Ж. Мин.
проев., 1 A938).
[2] Ober die Moglichkeit einiger diophantischen Gleichungen 3 u. 4. Grades in qua-
dratischen Korpern. Comment. Math. Helv., 10 A938), 263—269.
[3] Some Impossible Diophantine Equations in the Form of x4+ay* = z2. Рига,
Труды Латв. ун-та, матем. C), 2 A938), 67—74.
[4] The general rational Solution of the Equation ахг—by"-=zs. Amer. J. Math..
60 A038), 734—736.
[5] Cber die M5glichkeit diophantischer Gleichungen in relativ quadratischen Zahlen-
кбгрег. Рига, Труды Латв. ун-та, матем. C), 9 A940), 273—284.
[б] On average values of arithmetical functions. Рига, Труды Латв. ун-та, матем.
C), 10 A940), 285—313.
[7] Проблемы об арифметических функциях (на латв. яз.). Рига, Сб. о-ва студ.
матем. Латв. ун-та, 1 A940), 26—30.
[8] Аддитивные теоремы о квадратических вычетах (на латв. яз.). Рига, Сб. о-ва
студ.-матем. Латв. ун-та, 1 A940), 31—35.
[9] On average values of arithmetical functions. Cambridge, Proc. Phil. Soc,
37 A941), 358—372.
[101 Zur Arithmetik quadratischer Zahlenkorper. Рига, Учён. зап. ун-та, матем.
A), 2 A943), 23—47.
[Ill О сравнении статистических масс (на латв. яз.). Ж. Латв. экономист, 9/10, 15/16
A943).
[12] Метод корреляции (на латв. яз.). Ж. Латв. экономист, 11/12, 13/14, 19/20,
23/24 A943).
[13] Исследования об асимптотически равномерно распределённых числовых ' после-
последовательностях (па латв. яз.). Рига, Диссертация A943), 1—50.
Энгелис Г.
[1] О прямых методах вариационного исчисления (на латв. яз.). Рига, Диссертация
A943). •

РАБОТЫ ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ
ЗА ТРИДЦАТЬ ЛЕТ.
А. К. ХУМАЛ.
I. АЛГЕБРА, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
В я й з я л я К.
[1] Verallgemeinerung des Begriffes der Dirichletschen Reihen. Тарту, Учён. зап.
уи-та, сер. А, 1 : 2 A921), 32.
Аннотация. Если в определении ряда Дирихле взять вместо отри-
отрицательных коэффициентов в показателях комплексные числа, то получается
обобщённый ряд Дирихле. Областью сходимости ряда является, при специ-
специальных условиях, полуплоскость.
К а и г р о Г.
[1] Verallgemeinerte Theorie der absoluten Summabilitat der divergenten Potenz-
reihen. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 37 : 7 A942), 102.
Аннотация. Следуя идеям Ле Руа и Майе в обобщении теории
Бореля, автор улучшает их результаты опусканием излишних условий и
исправлением хода доказательств.
[2] Ва-суммирование произвольного порядка и его применение к степенным рядам.
Тарту, Учён. зап. ун-та, матем, науки, 3 A946), 42.
Аннотация. Введение порядка суммирования ряда и определение
суммы ряда в виде интеграла Ле Руа дают возможность дальнейшего обоб-
обобщения аналитической теории расходящихся рядов в смысле Бореля.
Кран Э.
[1] Ober Minimaleigenschaften der Kugel in drei und mehr Dimensionen. Тарту, Учён,
зап. ун-та, сер. А, 9 ; 1 A926), 44.
Аннотация. «Изопериметрическое» свойство шара сохраняется
при обобщении на л-мерное пространство. Это обстоятельство Даёт возмож-
возможность доказать, что первое собственное значение дифференциального уравне-
уравнения Дц+Аи=0при краевом условии ц=0 получается минимальным на сфере,
если к сравнению допускаются поверхности с равной площадью в л-мерном
пространстве.
Н ут Ю.
[1] Topologische Grundlagen des Zahlbegriffs. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А,
15 : 5 A929), 56.
С а р в Я.
[1] Foundations of Arithmetic. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 29 : 2 A935), 34.

1032 РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ И ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ
Тудеберг А.
ll] Ober die Theorie und die Anwendungsmethoden der Quadraturreihen Тарту
Учён. зап. ун-та, сер. А, 25:7 A933), 64.
[2] Orthogonalsysteme von Polynomen- und Extremumprobleme der Interpolations-
rechnung. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 28 : 3 A935), 58.
Я а к с о н X.
[1] Sur certains types des systemes d'equations lineaires a une infinite d'inconnues.
Sur l'interpolation. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 8 : 1 A925), 182.
Аннотация. Изучаются 6 типов систем линейных уравнений,
связанных с рядами Дирихле и линейными дифференциальными уравнениями.
При решении этих систем используется метод Фурье.
[2] Sur la legitime d'une methode de Fourier. Co сводкой: О применимости метода
Фурье. Тарту, Учён. зап. ун-та, матем. науки, 2 A946), 14.
Аннотация. Достигается общий критерий применимости метода
Фурье для решения бесконечной системы линейных уравнений с бесконечным
множеством неизвестных.
II. ГЕОМЕТРИЯ.
Кран Э.
A] Die Wahrscheinlichkeit der Richtigkeit des Vierfarbensatzes. Тарту, Учён. зап.
ун-та, сер. А, 22 : 2 A932), 8.
Н ут Ю.
11] Ober die Anzahl der Losungen der Vierfarbenaufgabe. Тарту, Учён. зап. ун-та,
сер. А, 15 : 3 A929), 52.
Аннотация. При помощи дуального преобразования и стерео-
стереографической проекции получается плоская сеть, узлы которой соответствуют
областям шаровой поверхности. Задача состоит в обозначении узлов сети
четырьмя знаками так, чтобы каждая пара узлов, соединённых непосредст-
непосредственно нитью, имела бы различные знаки. Для числа решений этой задачи соста-
составляется рекурсионная формула.
12] Ober die Vierfarbenformel. Тарту, Учён, зап. ун-та, сер. А, 15 : 4 A929), 38.
Аннотация. Число обозначений узлов нитевой сети четырьмя кра-
красками выражается рекурсионной формулой. После трансформации этой
формулы из неё делаются выводы для специальных случаев.
|3] Eine arithmetische Analyse des Vierfarbenproblems. Тарту, Учён. зап. ун-та,
сер. А, 20 : 7 A931), 80.
|4J Einige Bemerkungen uber Vierpunktaxiome. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А,
23: 4 A932), 10.
С а р в Я.
II] Геометрические фигуры Ахмеса (на эст. яз.). Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А,
11:5 A927), 14.
Аннотация. Анализируя начертания треугольника и трапеции
и приведённые правила вычисления площадей в знаменитой рукописи Ахме-
Ахмеса (на папирусе Ринда), автор приходит к заключению, что эти чертежи сле-
следует понимать как изображения прямоугольных фигур, а не равнобедренных.
[2] Zum Beweis des Vierfarbensatzes. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 13 : 1 A928), 10.
Аннотация. Доказательство топологической теоремы четырёх
красок основывается на пяти вспомогательных теоремах геометрического
содержания; последнюю из них ещё нельзя считать строго доказанной.
[3] Основы геометрии (на эст. яз.). Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 19 : 4 A931), 88.
[4J Исчисление точек в аналитической геометрии (на эст. яз.). Тарту, Учён. зап.
ун-та, матем. науки, 1 A946), 32.
Тудеберг А.
[1] Ober die Beweisbarkeit einiger Anordnungsaussagen in geometrischen Axio-
mensystem. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 26 : 6 A934), 24.

РАБОТЫ ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ ЗА ТРИДЦАТЬ ЛЕТ ЮЗЗ
Хумал А. и Сарв Я.
[1] Die theoretische Reichweite der Faltungs- und Obertragungskonstruktionen. Тарту,
Учён. зап. ун-та, сер. А, 38 : 12 A943), 8.
Аннотация. Конструкции на плоскости, осуществимые сгибанием
её и переносом точек, совпадают по теоретической мощности с конструкциями
сгибания.
Хумал Л. и С и й д а м Э.
ll] Die theoretische Reichweite der Faltungskoristruktionen. Тарту, Учён. зап.
ун-та, сер. А, 38 : 11 A943), 16.
Аннотация. Исследование конструкций на плоскости, осущест-
осуществимых сгибанием её, показывает, что этот способ превышает мощность цирку-
циркуля и линейки, позволяя решить и такие геометрические задачи, которые
приводятся к уравнениям третьей или четвёртой степени.
III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.
Кран э.
[1] Ober Eigenschwingungszahlen freier Platten. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А,
21 : 3 A931), 12.
Нут Ю.
[1] Eine nichteuklidische Deutung der relativistischen Welt. Тарту, Учён. зап. ун-та,
сер. А, 29 : 3A936), 16.
[2] AnsStze zu einer expansionistischen Kinematik. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А,
* 29 : 6 A936), 68.
[3] Expansionistische Dynamik, I : Korpuskulare Punktdynamik fur einen streng-
euklidischen Raum. Таллин, Учён. зап. техн. ин-та, сер. А, 5 A939), 40.
[4] Expansionistische Dynamik, II: Wellenmechanische Grundlagen. Таллин, Учён.
зап. техн. ин-та, сер. А, 6 A939), 26.
Сарв Я.
[1] Direkte Herleitung der Lichtgeschwindigkeitsformeln. Тарту, Учён. зап. ун-та,
сер. А, 13:6 A928), 16.
Аннотация. Даётся элементарная формулировка законов элек-
электродинамики и выводится формула скорости электромагнитных волн без помо-
помощи дифференциальных уравнений. Формулы Фрэнеля, Лоренца и Зэмана по-
получаются на чисто классической основе.
IV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
К я р с и а А.
|1] Vereinfachte Methoden zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten bei normaler
Korrelation. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 29 : 2 A936), 16.
B1 Ober das Problem der Messung der Storung bei statistischen Reihen mit Anwen-
dung auf die Klimatologie. Тарту, Учён. зап. ун-та, сер. А, 34 : 2 A940), 62.
f3] Ober das System der einmodigen Haufigkeitskurven. Тарту, Учён. зап. ун-та,
сер. А, 35 : 1 A940), 66.
V. УЧЕБНИКИ.
Борквель А.
[1] Основы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве (на эст. яз.).
Тарту, Изд. «Академический Кооператив» A937), 1—358.
[2] Основы математического анализа (на эст. яз.). Тарту, Изд. «Академический Ко-
Кооператив» A939), 1—492.
[3] Обыкновенные дифференциальные уравнения. Тарту, Эгосиздат «Научная лите-
литература» A941), 1—264.

1034 • РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ И ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ
Н ут Ю.
[11 Начала статики (на эст. яз.). Тарту, Изд. «Академический Кооператив» A937),
1—152.
[2] Основы кинематики и динамики (на эст. яз.). Тарту, Эгосиздат «Научная лите-
литература» A040), 1—272.
Р я г о Г.
[1] Элементы математического анализа (на эст. яз.). Тарту, Изд. «Лоодуо> A922),
1—176.
С а р в Я.
[1] Начальный курс аналитической геометрии (на эст. яз.). Тарту A926), 1—178.
X у м а л А.
[1] Финансовая математика (на эст. яз.). Тарту, вып. 4 Комиссии университет-
университетских учебников при АН ЭстССР A940), 1—116.
Хумал А., Гаршенек А. и Рюнк О.
[1] Начертательная геометрия. 4.1. (на эст. яз.). Тарту, Эгосиздат «Научная лите-
литература» A946), 1—104.

ИМЕННОИ
УКАЗАТЕЛЬ

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ.
(В указателе помещены фамилии советских учёных,
упоминаемых в статьях.)
Адамов А. А. 950.
Адамов Н. В. 488, 489, 494.
Адельсон-Вельский Г. М. 404, 541, 670,
931, 932.
Адо И. Д. 117, 149, 155.
Акбергенов И. А. 794, 795.
Акилов Г. П. 622.
Акушский И. Я. 762, 771, 797, 807, 808.
Александров А. Д. 135, 138, 184, 188, 194,
1-95, 197, 258, 627, 920, 926—936, 938.
Александров П. С. 14, 16, 133, 135, 183,
184, 187—195, 197—211, 217, 219—222,
225—227, 245, 252, 254, 261, 494, 591,
611, 617, 940, 998, 1000—1002.
Алексеев Н. И. 865, 874, 881.
Алексеева Р. Н. 787.
Аленицын Ю. Е. 343, 359, 360.
Алферов В. В. 494.
Альмухамедов М. А 495, 496.
Альпер С. Я. 382, 401.
Амбарцумяи Г. А. 730.
Андрунакиевич В. А. 128.
Андреев П. П. 818, 951.
Андронов А. А. 495—498, 506, 517.
Аравийская Е. Н. 414.
Арешкин Г. Я. 267.
Ариньш Э. 1026.
Арнольд И. В. 125, 1010.
Арсении В. Я. 247, 248.
Артёменко А. П. 628, 647, 648.
Артемьев Н. А. 497, 507, 791.
Артмеладзе Н. К. 771, 795.
Артоболевский И. И. 947, 1002.
Арутюнян Н. X. 775.
Асатиани Л. Г. 806.
Астафьев В. М. 944.
Афендик Л. Г. 783.
Ахиезер Н. И. 277, 299, 302—304, 308,
309, 311, 313—318, 380, 593, 596, 612,
629, 645, 650, 769, 999, 1002.
Бабанский Е. В. 766.
Бабенко К. И. 284, 629.
Бавли Г. М. 711.
Бадалян Г. В. 401.
Бадальян В. X. 878.
Баженов Г. М. 766, 806.
Базилевич И. Е. 338, 342—345.
Бам-Зеликович Г. М. 869, 881, 882.
Банин А. М. 794.
Барбашин Е. А. 498, 513, 514, 591.
Бари Н. К. 263, 271, 272, 283, 284, 629.
Бархин Г. С. 105.
Баславский И. А. 775.
Баутин Н. Н. 496, 498.
Бахвалов С. В. 817, 864, 865, 875, 880.
Бахмутская Э. Я. 1007.
Бебутов М. В. 508, 511—513, 723.
Бегенев А. А. 950.
Безикович Я. С. 761, 769, 806.
Белаш М. П. 812.
Беллюстин В. 995.
Белозеров С. Е. 1009
Беневоленский В. И.'378.
Бермант А. Ф. 288, 290, 308, 335, 336,
340, 351—355.
Бернштейн С. Н. 276, 277, 279, 289—302.
304—314, 316, 388, 522, 523, 529, 530,
647, 701, 702, 704—708, 712, 715, 716,
720. 721, 725, 726, 728, 730, 731, 734,
760, 761, 768, 769, 931, 932, 996, 999,
1001, 1002.
Бернштейн С. 763.
Бескин Н. М. 944.
Бессонов П. А. 330, 331, 362.
Биллевич К. К. 96.
Битнер X. А. 816.
Бланк Я. П. 866, 881.
Блох 3. Ш. 1002.
Бобковская Н. А. 951.
Бобров А. А. 711, 713.
Богдань Р. С. 14, 996.
Боголюбов Н. Н. 258, 287, 308, 491, 492,
497, 514, 515, 517, 525, 586, 612, 618,
619, 630, 723, 725, 761, 762, 776, 788,
791, 793, 794.

103S
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Богомолов С. А. 941, 942, 950, 995, 1008.
Боднср В. А. 775.
Боев Г. П. 361, 362.
Бокштейн М. Ф. 498. •
Боль П. 1025.
Борквель А. 1033.
Бочвар Д. А. 23, 37—39.
Боярский А. Я. 725, 731, 738
Бравин Л. Е. 769.
Брагинский Л. И. 806.
Бразма Н. 1025, 1027.
Брайцев И. Р. 377, 378, 382.
Бренев Е. К. 941.
Бржечка В Ф. 310, 311.
Бродовицкий К. В. 734.
Бронштейн И. Н. 944.
Брудно А. А. 253.
Брудно А. Л. 268.
Бруевич Н. Г. 809.
Брук И. С. 808, 809.
Брук С. 3. 542.
Будак Б. М. 514.
Бурсиан В. Р. 803.
Бухман Е. Н. 738.
Бухштаб А. А. 59—60, 808.
Быков Я. В. 273.
Быстрое Н. 775.
Быховский М. Л. 809.
Бюшгенс С. С. 861, 862, 865, 866, 873,
881, 882.
Вагнер В. В. 152, 883, 889, 890, 905—913,
918.
Вайнберг М. М. 601.
Вайнберг Н. М. 193.
Вайнштейн И. А. 254.
Вальфиш А. 3. 60.
Васильев А. В. 995, 997, 1000, 1010.
Васильев Н. С. 953.
Вашакидзе, Д. С. 787.
Веденисов Н. Б. 183, 189, 190, 194,
197.
Векуа И. Н. 411 593—595.
Векуа Н. П. 596.
Вельмин В. П. 769, 770, 792.
Вениаминов В. Н. 261, 325, 328, 331.
Венков Б. А. 65, 936, 1009.
Вербицкий Л. Л. 297.
Верников И. X. 663.
Верченко И. Я. 265, 938.
Веселовский И. Н. 1004.
Ветчинкин В. П. 761, 762, 769, 782, 791,
796, 803, 804.
Вехаче Д. 771.
Виленкин Н. Я. 115, 140, 144, 281
Вильнер И. А. 817.
Виноградов И. М. 53—56, 58, 996, 1002,
1023.
Витолс Я- 1024.
Витт А. Г. 496, 506.
Вихров А. И. 126.
Вишик М. И. 632, 652, 653.
Власов А. К. 815, 816, 944, 945.
Власов В. Г. 772.
Власов В. 3. 775.
Войдиславский М. Р. 125.
Волковыский Л. И. 321, 323, 324, 34а
Волнина Н. В. 88, 89.
Волохов А. Н. 781, 782.
Вольберг О. А. 738.
Воронов Б. В. 501.
Вороновская Е. В. 292, 300, 318.
Воскресенский Е. П. 413.
Вулих Б. 3. 280, 622—624, 626.
Выгодский М. Я. 16, 938, 996, 997, 1000,
1003—1005. 1007—1009.
Вяйзяля К. 1031.
Гаврилов А. Ф. 787.
Гаврилов Л. И. 101, 380.
Гаврилов М. А. 41.
Гагаев Б. М. 282, 494.
Галин Л. А. 779.
Гальперн С. А. 494, 495, 537.
Гантмахер В. Р. 614, 616, 630.
Гантмахер Ф. Р. 153, 154, 156, 157, 483,
602, 765.
Гардашников М. Ф. 126.
Гаршнек А. 1034.
Гахов Ф. Д. 593, 594.
Гельфанд А. В. 789.
Гельфанд И. М. 139, 140, 145, 277, 613,
615, 619, 622, 625, 626, 638, 653—659,
662, 664—668, 670, 672.
Гельфер С. А. 354, 358—360.
Гельфонд А. О. 62, 63, 378—382, 389—
392, 396, 761, 1001, 1009. '
Гермейер Ю. Б. 260, 261, 273.
Геронимус Я. Л. 299, 310,312,315,-317,
400.
Герсеванов Н. М. 815.
Гсрчиков А. И. 128.
Гершгорин С. А. 105, 323, 762, 765, 781,
785, 794, 810—812.
Глаголев А. А. 818, 943—945, 947, 949—
951.
Глаголев Н. А. 816, 818, 941, 942, 944»
1008.
Глаголева А. А. 947.
Гливенко В. И. 14, 30, 31, 41, 133, 245,
248, 253, 267, 727, 734, 735, 997.
Гнеденко Б. В. 282, 705, 707, 708, 710,
711, 723, 733, 998—1000, 1002.
Говурин М. К. 626, 633.
Годыцкий А. М. 771.
Гокиели Л. П. 14, 17.
Головин О. Н. ПО, 112, 132.
Голубев В. В. 16, 328, 360—362, 373,
393, 1002.
Голузин Г. М. 322, 323, 333, 335—339,.
342—349, 352, 354—359, 372, 379,
400, 799.
Голушкевич С. С. 780.
Гольберг П. А. 118, 123.
Гольдовский Ю. 262
Гольцман В. К. 323, 330.
Гончаров В. Л. 291, 299, 306, 308, 309.
316—318, 378, 390, 391, 395, 396, 400,
401, 771, 1002.
Гончарова М. К 400, 401.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
1039
Горбунов-Посадов М. И. 818.
Горгидзе А. Я. 787, 794.
Гордон И. И. 589.
Горншгейн М. С. 482.
Горшков Д. С. 65, 97.
Гофлин А.» Л. 813.
Граве Д. А. 86, 105, 766.
Градштейн И. С. 491, 812, 813.
Граев М. И. 111, 113, 115, 132, 142, 143,
145.
Графф А. А. 486.
Гребенча М. К. 953.
Гремяченскии А. П. 938.
Гречушников Н. Ф. 283.
Гринберге Э. 1024, 1027.
Гринблюм М М. 285, 628, 629.
Гришков Н. 803.
Гросберг Ю. И. 617, 628.
Гроссман Д. П. 591.
Грошев В. И. 119.
Грузинцев Г. А. 941, 942.
Грушко И. А. 112, 123, 133.
Гуревич В. Б. 297.
Гуревич Г. Б. 155, 883, 914—916.
Гуревич Л. А. 629.
Гутенмахер Л. И. 810, 812, 813.
Гутман С. Г. 811.
Гюнтер Н. М. 258, 267, 537, 543, 601,
612, 1002.
Давидович В. И. 811.
Давыдова А. М. 537.
Даев В. Д. 1009.
Данилевский А М. 98, 605, 765.
Данилов А. В. 809.
Даревский в. М. 268.
Девисон Б. Б. 364, 770, 788.
Делоне Б. Н. 64, 86—88, 95, 96, 920,
936, 998, 1001, 1002.
Демидович Б. П. 516.
Денисюк И. Н. 817, 818.
Депман И. Я. 998, 1006.
Депутатов В. Н. 944.
Джавадов М. А. 904, 905, 913.
Джрбашян М. М. 342, 358, 386.
Динзе О. В. 1002.
Динник А. Н. 803.
Диткин В. А. 652, 654, 661, 762, 771,
797, 807
Дицман А. П. 115, 116, 120, 126, 145.
Длугач Л. А. 766.
Дмятриев Н. А. 722.
Добровольский В. В. 1002.
Доморяд А. П. 781, 783.
Донияхи X. А. 122.
Донов А. Е. 810.
Дороднов А. В. 89, 90.
Дринфельд Г. И. 138.
Дубнов Я. С. 883, 898—901, 911, 916,
917
Дубошин Г. Н. 507.
Дубровский В. М. 267, 600, 602, 606,
723.
Дюбюк П. Е. 116, 119—121.
Дынкин Е. Б. 153, 155.
Егоров Д. Ф. 867, 868.
Егоров И. П. 883, 892.
Елькин Л. И. 945.
Ельшин М. И. 488, 489.
Ермилин К. С. 585.
Ермолаев Л. С. 873, 878, 881.
Ермолова О. В. 818, 947.
Еругин Н. П. 482, 504, 526.
Ефимов Н. В. 883, 893, 898, 899, 901,
925, 926, 928.
Жегалкин И. И. 34—36.
Житомирский О. К. 920, 936, 940.
Журавский А. М. 770, 771.
Забелло И. И. 766.
Завриев К. С. 780.
Загадский Д. М. 767, 796, 801.
Залгаллер В. А. 938.
Залтс К. 1027.
Зарецкий М. А. 263, 265.
Засухин В. Н. 724.
Зейлигер Д. Н 865, 866.
Зернов А. А. 806.
Зетель С. И. 944.
Зыков А. А. 44, 45.
Зылев В. П. 762.
Ибрагимов И. И. 299, 389—392, 396.
Иванов В. К. 763, 917.
Идельсон Н. И. 806, 1005.
Извольский Н. А. 953.
Иовлев Н. Н. 940.
Иохвидов И. С. 652.
Каган В. Ф.' 16, 883—886, 903 940, 942,
996, 1000, 1001, 1010.
Каждан Я. М. 227.
Казаков С. А. 783.
Калафати П. 485.
Каменков Г. В. 505, 506, 508.
Кангро Г. 1031.
Канторович Л. В. 124, 245, 250, 251,
261, 280, 291, 292, 323, 524, 593, 600,
606, 612, 617, 620—622, 625,626, 761—
763, 766, 770, 771, 774, 775, 777, 778,
793—797, 799—801.
Квеселана Д. А. 327, 332, 595, 596.
Келдыш Л. В. 245. 252, 253, 254.
Келдыш М. В. 257, 290, 308, 322, 323,
328, 329, 341, 369, 383, 335—388, 391,
397—399, 410, 524, 543, 544, 762, 777,
998.
Кильчевский Н. А. 795
Кислицин С. Г. 952.
Кишкина 3. М. 114.
Кнезер А. 1025.
Кобринский Н. Е. 808.
Кованько А. С. 285—287.
Ковнер С. С. 935
Коган Л. Г. 812.
Козлов В. Я. 262, 272, 273, 282—285.
Козлова 3. И. 247, 252.
Козьмин М. 869.
Козьмина Т. Л. 879, 881.
Колесова Е. В. 253.

1040
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Колмогоров А. Н. 13, 14, 16, 17, 19, 20,
28—31, 34, 134, 135, 146, 151, 187, 211,
216, 227, 245, 250, 251, 253, 257, 260,
262. 265, 267, 270, 274, 275, 278, 281,
290, 294, 299, 301, 304, 509, 514, 528,
590, 602, 612, 624, 625, 649, 650, 670,
705, 710, 712—714, 716, 718—720, 722—
725, 727, 728, 730, 734—738, 937, .938,
996, 999, 1001, 1008, 1010.
Колмогоров Н. А. 944.
Кольман Э. 14—16, 940, 1001
Коляяковский Д. П. 120.
Кондратов В. И. 532, 533.
Конторович П. Г. 123.
Кон-Фоссен С. Э. 920—925
Конюс А. А. 738.
Копейкина Л. И. 132.
Коренблюм Б. И. 628.
Кориикий Г. В. 345.
Коренев Б. Г. 779.
Коровкин П. П. 384, 385, 398.
Корольков Н. В. 812, 813.
Костелянец П. О. 938.
Костин В. И. 883, 904.
Котельников А. П. 950, 952, 996, 1000.
Котов Т. Н. 920.
Кочин Н. Е. 482.
Кошляков Н. С. 770, 1009.
Коялович Б. М. 606, 607, 763.
Кравчук М. Ф. 102, 318, 380, 762, 774,
775, 777, 795.
Крамер О. П. 762, 783.
Кран Э. 1031—1033.
Красносельский М. А. 634, 636, 638.
Крачковский С. 1026.
Креер Л. И. 1009.
Крейн М. Г. 102, 105, 277, 284, 290, 297,
302, 304, 307. 308, 311, 315, 317, 318,
370, 380, ?83,' 483—486, 602, 605, 612,
614—620, 628—630, 634, 638—640,642—
652, 656. 660, 663, 664, 667, 670, 672.
724, 769.
Крейн С. Г. 617, 619, 623 628, 663.
КрейнесМ. А. 409.
Крицкий С. И. 738.
Кронрод А. С. 264, 265, 269, 404, 541.
Крупенькин Т. Н. 946, 948, 949, 951.
Крылов А. Н. 760, 761, 764, 765, 769.
770, 782, 792, 802, 1001, 1009.
Крылов Б. Л. 482, 483.
Крылов В. И. 322, 323, 370, 372, 482,
593, 606, 761, 762, 774, 777, 793—
797, 799.
Крылов Н. М. 290, 294—296, 315, 491,
492, 514, 515, 517, 525, 586, 612, 618,
619, 723, 761, 762, 773—776, 788, 791.
793—795.
Кузнецов Б. Г. 1001.
Кузнецов Е. 732.
Кузнецов П. И. 411.
Кузьмин П. А. 495.
Кузьмин Р. О. 62, 314, 606, 607, 732, 763,
768.
Куклес И. С. 495.
Кулаков А. А. 119, 120.
Куликов Л. Я. 115.
Кулишер А. Р. 1009.
Купрадзе В. Д. 595.
Курбатов В. А. 97.
Курочкин В. М. 129.
Курош А. Г. 14, 85, 108, 110-—116, 118,
122, 129—131, 144, 145, 203.
Куфарев П. П. 323, 330, 340, 414.
Кярсна А. 1033.
Лаврентьев М. А. 245, 248, 252, 257, 258,
290, 291, 299, 306, 308, 309, 317, 321 —
323, 325, 327—332, 334—339, 341, 343,
346, 351, 354, 369, 384, 387, 397—399,
406—409, 498, 530, 540, 543, 544, 630,
767, 798.
Лагунов Б. И. 731.
Ландис Е. М. 265.
Лаппо-Данилевский И. А. 482.
Лаптев Б Л. 808, 883, 917, 1001.
Лаптев Г. Ф. 868, 877, 881.
Латышева К. Я. 96, 775.
Левин Б. Я. 103, 380, 381, 383, 389,
393—395, 628, 647, 648.
Левин В. И. 342, 343. 345, 355, 356, 359.
Левин С. С. 285, 629, 1026.
Левитан Б. М- 286, 287, 304, 308, 490,
651, 664, 668—670.
Левитский Н. И. 1002.
Леднёв Н. А. 88, 96.
Лейбензон Л. С. 761, 774, 779, 1002.
Лейманис Е. 1024, 1025
Лейиекс Э. 1022.
Леонтович Е. А. 496—498.
Леонтович М. А. 723.
Леонтьев А. Ф. 382.
Лесовой Б. В. 905
Либер А. Е. 894.
Либерман И. М. 920, 923, 924, 933.
Либерман И. Н. 261.
Ливенсон Е. М. 148, 245, 250, 251, 941,
942.
Лившиц М. С. 317, 640—643, 646, 648.
Лившиц Н. А. 809.
Линник Ю. В. 54, 57, 58, 130, 382,
709.
Лиодт Г. Н. 808.
Лисенков Н. М. 411.
Лозинский С. М. 279, 280, 296, 308, 315,
392, 931.
Локот Г. 1026.
Лопшиц А. М. 883, 894, 907, 908, 917,
944.
Лоренц Г. Р. 269, 292, 293.
Лотоцкий А. В. 63.
Лохии И. Ф. 358, 378.
Лузин Н. Н. 16, 245—249, 251—254, 257,
262, 272, 273, 275, 276, 278, 282, 327,
328, 362—366, 368, 373, 374, 376, 404,
494, 495, 765, 789, 862, 1008, 1010.
Лукомская М. А. 766.
Лукьянов В. С. 814.
Лунц Г. Л. 382.
Лунц Я. Л. 791.
Лурье А. И. 775.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
1041
Лурье С. Я. 16, 996, 1003—1008.
Лусис А. Я. 1026.
Любарский Г. Я. 667, 668.
Люстерник Л. А. 226, 258, 287, 335,
488, 523, 586—591, 611, 612, 630, 631,
762, 767, 771. 775. 784, 785, 792, 793,
813, 824, 920, 923, 998, 1000, 1002.
Люстих Е. 808.
Ляпин Е. С. 114, 121, 126.
Ляпунов А. А. 245—247, 250—252.
Магнарадзе Л. Г. 596.
Майер А. Г. 496, 497, 512, 513, 517.
Майзель Б. 792.
Малиев А. С. 792.
Малкин И. Г. 500, 502, 503, 505—508.
Мальцев А. И. 39, 40, 113, 118, 123, 125,
127—129, 137, 142, 148—151, 154—158.
Мандзюк А. И. 818, 947—949.
Марджанишвили К. К. 56.
Марков А. А- 96, 721, 730, 760.
Марков А. А. 39, 40, 44, 105, 113, 123,
127, 135—137, 142, 143, 194—196, 208,
297, 507—511, 515, 516, 612, 618, 627,
938.
Маркушевич А. И. 16, 288, 290, 305,
308, 326, 327, 371, 376, 382, 385, 389,
399, 400, 409, 628, 629, 1002, 1006,
1009, 1010.
Мартене Л. К. 808.
Марченко Д. Р. 326, 327.
Маслов А. Ф. 862, 863, 953.
Маянц Л. С. 766.
Медер А. 1024, 1025, 1027.
Мейман Н. Н. 99, 100, 102, 103, 105,
380.
Мелептьев П. В. 761, 762. 766, 771, 781,
795, 798, 811.
Меликов К. В. 808.
Мельцер Л. А. 542.
Менкель М. Ф. 738.
Меньшов Д. Е. 263, 270, 271, 274, 275,
276, 281, 282, 402—404, 406, 408.
Мергелян С. Н. 383.
Меркулов А. М. 92.
Микеладзе Ш. Е. 761, 769, 771, 782—784,
786, 787, 795.
Мильман Д. П. 146, 284, 297, 613—616,
619, 625, 628, 657.
Минкевич М. Н. 514.
Миньковский В. Л. 998, 1009.
Минятов А. М. 769, 772.
Миракьян Г. М. 311
Митропольский А. К. 731.
Митрохин И. М. 413.
Михлин С. Г. 534, 593—595, 597, 598,
788, 791.
Млодзеевский Б. К. 951.
Мовшиц С. С. 304, 765.
Могилевский Н. И. 766.
Модзалевский Л. Б. 1001,
Можар В. 775.
Моисеев Н. Д. 494, 496, 499, 500, 506—
508, 1002.
Мокрищев К. К. 952.
66 Математика в СССР за 30 лет
Молин Ф. Э. 108.
Молдавер А. И. 817, 818.
Молодший В. Н. 14, 43, 1009
Мордухай-Болювской Д. Д. 63—64, 378,
381, 382, 940. 946, 948, 949, 952, 996,
1000, 1005, 1006, 1008, 1009.
Морозов В В. 156—168.
Морозов В. С. 810.
Мрочек В. Р. 1010.
Муратов М. И. 323, 797.
Мусхелишвили Н. И. 411, 593—596. 702,
787, 795.
Мышкис А. Д. 264, 501.
Мюнтц Г. М. 796.
Нагаева В. М. 1001.
Назаров А. Г. 780.
Назаров Н. Н. 601. 771.
Наймарк М А. 633—636,640, 643, 651,
662, 664, 666, 670.
Натансон И. П. 279, 280, 296, 301, 304,
628.
Нахимовская А. Н. 14, 996.
Невский Б. А. 819.
Нейшулер Л. Я. 762, 783, 805, 806.
Немчинов В. С. 731.
Немыцкий В. В. 152, 183, 272, 273, 494,
496, 498, 510—514, 517, 599, 600, 611,
612, 1025.
Нестерович Н. М. 941.
Николадзе Г. Н. 946, 948, 949.
Николаев В. Ф. 772.
Николаев П. В. 817.
Николаева М. В- 804.
Никольский С. М. 279, 296, 297, 300, 301,
303, 304, 629, 630, 645.
Нисневич В. Л. 122.
Новиков П. С. 20, 22, 23, 25, 36—39, 42—
44, 245—250, 252, 254.
Новицкий С. А. 946, 948, 949.
Новоторцев В. И. 780.
Норден А. П. 883, 895—898, 900, 902.
Нумеров Б. В. 782, 804, 806.
Нут Ю. 1031—1034.
Обухов А. М. 719, 731, 738.
Обухов В. М. 737,
Окунев Б. Н, 769.
Окунев Л. Я. 128.
Оловянишников С. П. 920, 924, 927, 928,
935
Оппоков Г. В. 761, 769.
Орбели И. А. 1002.
Орлов М. 771.
Отроков Н. Р. 496.
Очан Ю. С. 259, 253.
Павлов Н. Н. 807.
Павловский Н. Н. 811.
Паевский В. В. 1009.
Панов Д. Ю. 761, 762, 767, 775, 786, 787,.
791, 796.
Папкович П. Ф. 766, 779, 780.
Папуш М. П. 495.

1042
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Парфентьев Н. Н. 1002.
Пензов Ю. 918.
Пентковский м. В. 816, 818.
Перельман М. Я. 186, 188, 199, 774.
Перепёлкин Д. И. 818, 880, 953.
Персидский К. П. 499—506, 508.
Петров Г. И. 777.
Петровский И. Г. 262, 495, 496, 506, 523.
528, 529, 534—537, 541, 542, 586, 714,
723, 725, 726, 785, 998.
Петросян Г. Б. 1002.
Пинкевич В. Т. 301.
Пинскер А. Г. 623, 624.
Пискунов Н. С. 528.
Плеснер А. И. 275, 278, 279, 363, 376,
612, 613, 629, 633, 636—638, 642, 651,
661.
Плужников И. С. 880.
Повзнер А. Я. 122, 142, 155, 651, 668,
669.
Погорелов А. В. 923
Поду ров Н. 936.
Положий Г. Н. 409.
Полубаринова-Кочина П. Я. 1002.
Пономарёв С. Д. 808.
ПонтрягинЛ. С. 103, 104, 113, 115, 134,
135, 137—142, 144, 146—151, 183, 196,
207, 210—212, 216, 221, 222, 226, 380,
496—498, 509, 511, 591, 612, 651, 652,
663, 667, 668, 938, 998. 1000.
Попов А. А. 771.
Попов Г. Н. 995, 997, 1003.
Попов И. А. 946.
Попов И. Н. 812.
Попова-Глаголева П. Н. 818.
Постоева Н. И. 400.
Потоцкий М. 878.
Привалов И. И. 257, 272, 273, 278, 279,
327, 330, 338, 342, 351. 352, 355, 362—
366, 370—372, 374, 376, 392, 400, 409—
411.
Прокофьев А. Н. 122.
Прокофьев В. 880, 881.
Прохоров А. М. 814.
Прошко В. М. 810.
Прудников В. Е. 1000, 1001.
Путнис А. 1025.
Пчелин Б. j 411.
Рабинович И. М 810.
Размадзе А. М. 585.
Райк А. Е. 1005, 1006.
Райков Д. А. 14, 57, 136, 138—140, 301,
619,653, 660, 662—668, 670, 711, 762.
996.
Рай нов Т. И. 99S.
Рапопорт И. М. 585.
Рахилевич М. К. 998.
Рахманов Б. Н. 953.
Рацер-Ивайова Ф. С, 948.
Рашевский П. К- 130, 156, 321, 494, 883,
885, 889, 902, 904, 905, 911, 913, 918.
941—943.
Рельтов Б. Ф. 811.
Ремез Е. Я. 293, 311, 629, 769, 772.
Репман Ю. В. ";77.
Рехтман П. Г. 317.
Рогов Т. Н. 775
Роднянский А. М. 254,
Родов А. 304.
Розенберг Л. Д. 804.
Розенберг М. 630.
Розенсон Н. А. 894.
Розенфельд Б. А. 152, 876, 883, 912—914.
Романов Н. П. 57, 283.
Романовский В. И. 604, 708, 720, 721,
730—732, 734, 736, 737.
Романовский П. И. 261, 267, 280.
Ромберг В. 774, 777.
Россинский С. Д. 864, 873, 874, 881.
Рохлин В. А. 612, 651.
Рубан А. К. 938.
Руднев Ю. В. 488.
Рукавицын И. Н. 953.
Рутман М. А. 284, 297, 617, 618, «20, 62S
Рухадзе А. К. 787, 794.
Рыбаков Л. М. 125.
Рыбкин Г. Ф. 1001.
Рыбников К. А. 1006.
Рыжик И. М. 804.
Рыжков В. В. 863, 878.
Рымаренко Б. А. 310, 311.
Рюик О. 1034.
Ряго Г. 1034.
Саваренский А. Д. 738.
Сава ре некий Е. Ф. 789.
Савин Д. 808.
Савкевич В. П. 730.
Сагателян В. В. 411.
Садовский Л. Е. 40, 112, 113.
Салехов Г. С. 601, 792.
Самойлепко И. Н. 1008.
Самойлова-Яхонтова Н. С. 783, 803.
Саморуков Б. Н. 952.
Самсонов К. В. 810.
Санов И. Н. 116.
Сапогов Н. А. 300.
Сарв Я. 1031—1034.
Сарманов О. В. 731.
Сарымсакрв Т. А. 721, 736, 737.
Свекло В. 526.
Свенсон Э. 1026.
Севастьянов Б. А. 710, 725.
Сегал Б. И. 55—56, 762, 770.
Сегель М. М. 807.
Селивановский Е. А. 245, 246, 250.
Селиверстов Г. А. 274.
Семендяев К. А. 762, 766, 808.
Семёнов Н. С. 775.
Серебрянников С. В. 766.
Сигалов А. Г. 632, 633.
Сийдам Э. 1033.
Симонов Н. И. 542.
Синцов Д. М. 866, 881, 1000.
Сирвинт Ю. Ф. 382, 624, 628.
Скопец 3. 1024.
Скундин Е. А. 905.
Слободянский М. Г. 778, 779.
Слудская М. И. 1025.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
1043
Слуцкш: Е. Е 702, 705, 718, 724, 737,
738, 804.
Смирнов В. И. 278, 321, 323, 324, 330,
332, 361, 367—370, 384, 481, 482, 525,
526, 998, 1002.
Смирнов Н. В. 702, 732—736.
Смирнов Н. С. 600, 001, 797.
Смогоржепский А. С. 486, 941.
Соболев В. И. 590, С31.
Соболев С. Л. 258, 399, 524—528, 531 —
535. 537—540, 543, 603, 604, 612, 631,
651, 791, 998.
Соколов Б. А. 775.
Соколок Г. Т. 309.
Солнцев Ю. К. 513.
Соминский И. С. 65.
Спицын Д. В. 809.
Сретенский Л. Н. 605, 867.
Ставровский В. Н. 738.
Стеклов В. А. 521, 760, 761, 767, 768, 1001.
Стенин Н. П. 323, 760, 770, 799.
Степанов В. В. 258, 259, 263, 285, 287,
481, 490, 506, 508, 509, 511, 517, 612,
1000.
Степанянц Л. Г. 775.
Стечкин С. Б. 269, 277.
Строганов В. Г. 338.
Струве В. В. 1003.
Субботин М. Ф. 377, 378, 382, 781, 782,
792, 804.
Сурикова 3. Ф. 486.
Сухомлинов Г. А. 029, 633.
Сушкевич А. К. 107, 125, 126, 133.
Тайма нов А. 254.
Тартаковский В. А. 58—59, 64, 95, 96,
107, 258, 917, 936.
Тафт В. А. 812.
Темляков А. А. 414, 601.
Тиман А. Ф. 280, 297.
Тихомиров А. И. 128—130.
Тихонов А. Н. 183, 185—190, 195, 196,
199, 208, 494, 511, 515, 523, 540, 605,
611, 612, 616.
Тихоцкий К. Н. 877, 881.
Тип А. Б. 763, 770.
Товбин А. В. 116, 121, 663, 766.
Тоидзе Д. М. 379.
Толстов Г. П. 260—264, 266, 402, 405, 400.
Толстое Ю. Г. 812, 813.
Тулайков А. Н. 612.
Туганов Н. Г. 866.
Тудеберг А. 1032.
Туманов С. И. 501.
Туманян Г. А. 495.
Туманян Т. И. 1003.
Тумаркин Л. А. 183, 206, 210.
Тураев Б. 1003.
Турецкий А. X. 304.
Туркин В. К. 116, 119—122.
Узко в А. И. lloi 127, 128, 130, 131, 145,
155.
Улановскии В. П. 947.
Уманский А. А. 762.
66*
Урысон П. С. 183, 188—НЮ, 192—195
198, 199, 206—208, 211, 252, 254, 325
¦ 373, 599, 611, 920, 934.
Фаддеев Д. К. 64, 86—88, 95,96, 280, 296,
628, 765.
Фаддеева В. Н. 778.
Фёдоров В. С. 365, 373—375, 404, 405.
Фёдоров Е. С. 945.
Федотов Г. И. 945.
Фивейскан М. М. 807.
Фиников С. П. 861—803, 805, 868—875,
877, 878, 880.
Фнхтенгольц Г. М. 257, 263 266 267,
369, 377, 372, 612, 625—627.
Фишер А. М. 14.
Флоринский П. А. 810.
Фогеле Э. 1023, 1027.
Фок В. А. 323, 603, 768, 803, 804.
Фомин С. В. 114, 115, 188, 515.
Франк М. Л. 763, 770, 771, 808—810,
817, 945, 953.
Франкль Ф. И. 325, 787, 1000.
Фрейдина М. Г. 905.
Фридман А. 1010.
Фролов С. В. 589.
Фрумкин П. В. 775.
Фукс Б. А. 154, 412, 413.
Фукс С. А. 901.
Фукс-Рабинович Д. И. 112, 113, 122.
Хажалия Г. Я. 347, 348, 799.
Халиков X. С. 507, 508.
Халилов 3. И. 605.
Ханов В. 810.
Хапланов М. Г. 378.
Харадзе А. К. 400.
Харшиладзе Ф. И. 279, 296.
Хведелидзе Б. В. 594.
Хейсин Г. М. 122.
Хильми Г. Ф. 510—512, 515.
Хинчин А. Я. 30, 57, 60—61, 257, 259,
260, 281, 372, 509, 514, 516, 517, 702,
706—713, 715, 723—728, 730, 737, 738,
999.
Хлодовский И. Н. 292, 316, 765.
Хованский А. Н. 104, 105, 606.
Хотимский В. И. 738.
Христианович С. А. 526, 788, 953.
Худеков Н. Н. 946.
Хумал А. К 1033, 1034.
Хургин Я. И. 661.
Цапырин В. Н. 103—105.
Ценов И. В. 294.
Цинзерлинг Д. 1003.
Цитланадзе Э. С. 590, 631.
Цхадая Ф. Г. 783.
Цхакая Д. Г. 1003.
Чаплыгин С. А. 761, 789, 796.
Чеботарёв Н. Г. 60, 88—95, 97, 99—105.
125, 126, 135, 138, 152, 156, 158, 335,
345, 380, 866, 1001, 1002,- 1009.
Чебышев-Дмитриев А. А. 940.

1044
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Челидзе В. Г. 274.
Чепова Т. К. 775
Черепков Ф. С. 762
Черепнин Л. В. 998.
Черкасов А. Н. 313, 1025.
Черников С. Н. 116—119.
Чернушенко И. С. 941, 942.
Черняев М- П. 868, 952, 953.
Четаев Н. Г. 98, 497, 501, 504, 507, 508,
1002.
Четвериков Н. С. 737.
Четверухин Н. Ф. 941, 942, 945.
Чистяков И. И. 998, 1003.
ЧогошвилиГ. С. 217, 225, 589, 590.
Чудаков Н. Г. 54, 55, 382.
Чудов А А. 806.
ЧунихинС. А. 120, 121, 126.
Чунихина И. К. 120.
Чуфистова А. М. 779, 799.
Шабат Б. В. 408, 409.
Шагинян А. Л. 369, 385—387.
Шанин Н. А. 188, 197, 200, 201.
Шапиро Г. М. 133, 883, 886, 1010.
Шапиро 3. Я. 407, 408, 542.
Шапиро Я. Л. 883, 890—892, 897.
Шатровский Л. И. 57, 805.
Шатуновский С. О. 27, 28, 31, 86
Шафаревич И. Р. 93, 119, 146, 155,625.
Шафрановский К. И. 1002.
Швецов К. И. 317.
Шевченко К. Н. 777.
Шейнфинкель М. И. 31—34, 40
Шемянов Н. Н. 999.
Шепелев В. М. 322, 336, 337.
Шепелевский А. 730.
Шереметевский В. П. 995.
Шестаков В. И. 41, 42.
Шилов Г. Е. 653, 656, 657, 659—662.
Шимбирёва Е. П. 124.
Шин Д. 485, 486.
Широков П. А. 883, 886—888, 898, 940
1001.
Шифнер Л. М.'482.
Шмидов Ф. И. 938.
Шмидт О. Ю. 85, 107, 109, 117—121,
1010.
Шмульян В. Л. 613—617, 624.
Шнейдер А. А. 272, 282.
Шнейдмюллер В. И. 128.
Шнирельман Л. Г. 56, 57, 210, 226, 257,'
313, 481, 494, 509, 588, 589, 611, 92»,
923, 938.
Шнирман Г. Л. 809.
Шноль И. Э. 661.
Шрейдер Ю. А. 660.
Штаерман И. Я. 294, 769.
Штейнберг Н. С. 403.
Шульмаи Т. А. 868, 877.
Щеглов М. П. 269.
Щербина А. Д. 297.
Щетинин Н. И. 661, 947.
Эйдельнант М. И. 806.
ЭльсгольцЛ. Э. 495, 589—591.
Эрглис А. 1024
Юдин А. И. 017, 623.
ЮдинМ. И. 772.
Юкин М. А. 947.
Юнович Б. М. 2*17.
Юсупов Н. В. 1007
Юшкевич А. П. 15, 16, 996, 999, 1Ш,
1005, 1007 1009.
Юшков П. П. 771.
Яаксон X. 1032.
Яглом А. М. 723. 914.
Яглом И. М. 914.
Янжул И. Н. 807.
Янков В. 248
Яновская С А. 13—16, 18, 996, 997,
1000, 1904—1008.
Яичевский С. А. 485, 486, 605.
ЯстремскийБ. С. 730, 737, 738.
Редактор В. И.
* С1.ий род актер С. И. Лхламч.
.Подписано и нрчп'И 21/VIII 194S у. 65,25 печ. л. 96,22 уч.-изд. л. 59 440 тип. зн. в неч. листе.
А-06917 Тираж 0 000 экз. Ш<на кнаги51 р. Переплёт 3 р. Заказ _N> 147.
lb-я типогрэфнл треста «Попигрофннига» ОГИЗа при Court? Министров СССР,
Москва, Трёхпрудвый, 9.