Автор: Богачев В.И.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ математика
ISBN: 978-5-7429-0669-8
Год: 2011
Текст
В. И. Богачев
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
£
£72
Православный Свято-Тихоновский гуманитарный университет
В.И. Богачев
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
БИБЛИОТЕКА ПРАВОСЛАВНОГО СВЯТО-ТИХОНОВСКОГО
ГУМАНИТАРНОГО УНИВЕРСИТЕТА
МОСКВА '
шкерснтет
Москва
Издательство ПСТГУ
2011
УДК 517.98(075.8)
ББК 22.16я73
Б73
Издается в авторской редакции
Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлениям «Математика» (010100),
«Фундаментальная информатика и информационные
технологии» (010300), «Прикладная математика
и информатика» (010400), «Механика
и математическое моделирование» (010800).
Богачев В. И.
Б73 Функциональный анализ: учебное пособие / В. И. Бога¬
чев. - М.: Изд-во ПСТГУ, 2011. - 396 с.
ISBN 978-5-7429-0669-8
Книга является учебным пособием по курсу функционального ана¬
лиза для студентов, обучающихся по специальностям «Математика»
(010100), «Математическое обеспечение и администрирование информа¬
ционных систем» (010500), «Прикладная математика и информатика»
(010400), «Фундаментальная информатика и информационные техноло¬
гии» (010300), «Прикладная математика» (657100), «Механика» (010800),
а также близким к ним по общематематической программе инженерно-
физическим специальностям. Представлены все основные разделы кур¬
са, в том числе интеграл Лебега, банаховы и гильбертовы пространства,
линейные функционалы и операторы, обобщенные функции и элемен¬
ты нелинейного анализа. Подробное изложение сопровождается большим
числом примеров. Даны задачи для самостоятельной работы. Пособие
предназначено как студентам, так и преподавателям университетов.
УДК 517.98(075.8)
ББК 22.16я73
ISBN 978-5-7429-0669-8 © Богачев В. И., 2011
© Оформление. Издательство Православного
Свято-Тихоновского гуманитарного
университета, 2011
Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Мера и интеграл Лебега 11
§1.1. Алгебры и а-алгебры множеств 11
§ 1.2. Аддитивность и счетная аддитивность 22
§ 1.3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 30
§1.4. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса 40
§ 1.5. Измеримые функции 48
§1.6. Сходимость почти всюду и по мере 56
§1.7. Интеграл Лебега 61
§ 1.8. Предельный переход под знаком интеграла 69
§ 1.9. Классы L1 и /А 78
§1.10. Разложение мер и теорема Радона-Никодима 85
§1.11. Произведение мер и теорема Фубини 91
§ 1.12. Функции ограниченной вариации 99
§ 1.13. Абсолютно непрерывные функции 105
§1.14. Формула Ньютона-Лейбница 109
§ 1.15. Формулы замены переменных 111
§ 1.16. Задачи 119
Глава 2. Метрические пространства 125
§ 2.1. Основные понятия и примеры 125
§ 2.2. Полные пространства и пополнения 134
§ 2.3. Теорема о вложенных шарах 138
§ 2.4. Непрерывные отображения 140
4
Оглавление
§ 2.5. Принцип сжимающих отображений 144
§ 2.6. Компактные множества 146
§ 2.7. Критерии компактности 152
§ 2.8. Задачи 155
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства .... 159
§3.1. Линейные пространства 159
§ 3.2. Нормированные и евклидовы пространства 165
§ 3.3. Конечномерные пространства 173
§ 3.4. Проекции и базисы 176
§ 3.5. Примеры базисов 183
§3.6. Пространства IP и пространства Соболева 190
§ 3.7. Выпуклые множества 198
§ 3.8. Задачи 203
Глава 4. Линейные операторы 209
§4.1. Непрерывные линейные операторы 209
§4.2. Принцип равномерной ограниченности 217
§ 4.3. Теорема Хана-Банаха 219
§ 4.4. Применения теоремы Хана-Банаха 223
§4.5. Сопряженные пространства 230
§4.6. Теоремы об обратном операторе
и замкнутом графике 238'
§ 4.7. Слабая и ^-слабая сходимость 242
§ 4.8. Сопряженные операторы 248
§4.9. Компактные операторы 252
§4.10. Задачи 259
Глава 5. Основы спектральной теории 263
§5.1. Спектр оператора 263
§5.2. Примеры спектров 268
§ 5.3. Самосопряженные операторы 271
§5.4. Теорема Гильберта-Шмидта 276
§ 5.5. Спектр компактного оператора 279
§5.6. Интегральные уравнения 282
§ 5.7. Унитарные операторы 286
§ 5.8. Функции от операторов 290
§ 5.9. Описание самосопряженных операторов 293
§5.10. Неограниченные операторы 303
§ 5.11. Задачи 314
Оглавление
5
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование
Фурье 319
§6.1. Пробные функции 319
§6.2. Обобщенные функции 323
§6.3. Производные обобщенных функций 327
§6.4. Преобразование Фурье в L1 331
§ 6.5. Преобразование Фурье в L2 337
§6.6. Преобразование Фурье и свертка обобщенных
функций 342
§6.7. Уравнения с обобщенными функциями 346
§6.8. Задачи 349
Глава 7. Введение в нелинейный анализ 351
§7.1. Производные в нормированных пространствах 351
§ 7.2. Свойства дифференцируемых отображений 356
§7.3. Обратные и неявные фз^нкции 361
§ 7.4. Производные высших порядков 366
§ 7.5. Нелинейные уравнения 370
§7.6. Гладкие экстремальные задачи 374
§7.7. Экстремальные задачи с ограничениями 376
§ 7.8. Задачи 380
Примерные программы 381
Литература 387
Предметный указатель 389
Посвящается памяти основателя и перво¬
го декана факультета информатики и при¬
кладной математики Православного Свято-
Тихоновского гуманитарного университета
Николая Евгеньевича Емельянова
Предисловие
По своему основному замыслу эта книга является учебным по¬
собием по функциональному анализу для студентов университе¬
тов, обучающихся по специальностям (направлениям) «Матема¬
тическое обеспечение и администрирование информационных сис¬
тем» (010500), «Прикладная математика и информатика» (010400),
«Прикладная математика» (231300), «Механика и математическое
моделирование» (010800) и близким к ним по общематематической
программе, например инженерно-физическим, но вполне может ис¬
пользоваться и для специальности «Математика» (010100). В отли¬
чие от программ для математиков и механиков с годовым курсом,
программы функционального анализа по другим упомянутым спе¬
циальностям обычно предполагают лишь один семестр лекций и
семинаров (32 лекционных часа), причем этот курс бывает сов¬
мещен с элементами вариационного исчисления или теории инте¬
гральных уравнений. Иногда программа включает отдельный по¬
лугодовой курс действительного анализа, посвященный интегралу
Лебега (так построены мои лекции на факультете информатики
и прикладной математики ПСТГУ); этот материал дан в главе 1.
Помимо уменьшения общего объема курс для прикладников от¬
личается от стандартного для математиков еще и другими требо¬
ваниями, предъявляемыми к слушателям как в части их предва¬
рительных знаний, так и относительно усвоенного материала «на
выходе» и его связей с другими изучаемыми дисциплинами («Урав¬
нения математической физики», «Методы оптимизации», «Вычис¬
лительная математика»), опирающимися на знакомство с идеями
и методами функционального анализа. По этой причине целый ряд
имеющихся и хорошо зарегюмендовавших себя пособий по функци¬
ональному анализу не вполне подходит для слушателей указанной
8
Предисловие
категории (в значительно более подробной книге [7] читатель мо¬
жет найти обширную библиографию, насчитывающую несколько
сотен пособий на основных европейских языках). Цель этой кни¬
ги — представить в компактной форме материал по функциональ¬
ному анализу, не связанный со спецификой какого-то конкретно¬
го учебного заведения и помогающий легко создать семестровый
курс (для бакалавров или специалистов). При этом ряд разделов
позволяет варьировать содержание курса и придавать ему направ¬
ленность, уже более ориентированную на специфику конкретного
вуза, а также использовать книгу и для годового курса (примерные
учебные планы приведены в конце учебника). Такая книга может
быть особенно полезна в сравнительно недавно открывшихся ву¬
зах, где еще не сложилась собственная традиция и нет детальных
собственных пособий. Отмечу, что некоторые разделы изложены
здесь не столь подробно, как в более продвинутых учебниках, по¬
этому студентам и аспирантам, специализирующимся по функцио¬
нальному анализу, лучше обратиться к книге [7].
При написании данного пособия я ориентировался на сложив¬
шуюся в нашей стране более чем полувековую традицию препода¬
вания функционального анализа, предполагающую взгляд на этот
предмет более широкий, чем просто рассмотрение его в качестве
фундамента для ряда прикладных дисциплин. Практика убеди¬
тельно показывает, что этот довольно абстрактный предмет замет¬
но расширяет общематематический кругозор и весьма способству¬
ет развитию системно-функционального мышления. Хорошо из¬
вестно, что в успешном осуществлении целого ряда национальных
проектов, имевших решающее значение для обороноспособности и
развития страны, таких, как создание ядерного щита и космиче¬
ская программа, важную роль сыграли математики, работавшие
в функциональном анализе. Достаточно назвать А.Н. Тихонова,
С.Л. Соболева, Л.В. Канторовича, М.В. Келдыша, Н.Н. Боголю¬
бова, И.М. Гельфанда. Нет сомнений, что этот предмет останется
полезным и в будущем, несмотря на очевидную тенденцию сокра¬
щения общетеоретической математической подготовки прикладни¬
ков и некоторого вытеснения ее специальными дисциплинами.
Сделаю несколько замечаний о распределении материала по
главам. Основные сведения главы 1 могут быть изложены за 5-6
хорошо продуманных лекций, каждая из остальных глав требует
не менее 2-3 лекций. При этом подразумевается, что небольшое
Предисловие
9
число важных, но не просто доказываемых фактов (например, те¬
орема о продолжении меры, теорема о спектре компактного опе¬
ратора, описание самосопряженных операторов) могут в реальных
лекциях сообщаться без доказательства или с доказательством при
упрощающих предположениях. Включение в курс интеграла Лебе¬
га представляется весьма целесообразным, но если соответствую¬
щий материал был прочитан в курсе математического анализа или
хорошо представлен в параллельно читаемом курсе теории вероят¬
ностей, то в курсе функционального анализа ему достаточно по¬
святить обзорную лекцию, приуроченную к введению пространств
L2 или Ьр. Однако практика показывает, что, наоборот, лектор по
теории вероятностей ожидает знания элементов интеграла Лебе¬
га от курса функционального анализа. Кратко и обзорно интеграл
Лебега излагать бессмысленно — толку не будет. Поэтому если нет
возможности уделить 5-6 лекций первой главе, то от нее следует
отказаться вообще. В этом случае за один семестр можно расска¬
зать главы 2-4, часть главы 5 и какие-то фрагменты главы 6; ра¬
зумеется, при этом нужно будет исключить многие разделы этих
глав, где интеграл Лебега используется существенно. Похожий, но
более углубленный план может быть предложен и в случае пред¬
варительного изучения интеграла Лебега на втором курсе.
Если же решено полноценно включить главу 1, то оставшие¬
ся главы заведомо не будут охвачены полностью, и тогда лектор
должен ограничиться главами 2-5, причем с заметными сокраще¬
ниями. Здесь может помочь вынесение части материала о метри¬
ческих пространствах в курс математического анализа (что часто
и делается, однако требует слаженной работы разных лекторов).
Все сказанное относится именно к отдельному полугодовому курсу
функционального анализа. Разумеется, годовой курс (принятый по
специальностям «Математика» и «Механика» и читающийся мной
на механико-математическом факультете МГУ) предоставляет го¬
раздо больше возможностей. Видимо, в ближайшие годы трудно¬
сти при организации фундаментальных курсов типа курса функ¬
ционального анализа будут возрастать, так как проводимая в по¬
следние годы реформа школьного образования неизбежно приведет
к значительному понижению среднего уровня студентов, что по¬
влечет снижение уровня основных курсов (подобное явление уже
произошло в так называемых развитых странах, что хорошо зна¬
комо всем работавшим там).
10
Предисловие
При расчете лекционного времени полезно помнить, что за од¬
ну лекцию удается изложить в среднем 4-5 страниц печатного тек¬
ста. Поэтому за один семестр молено охватить лекциями материал,
занимающий в книге не более 100 страниц (конечно, в книге какие-
то детали могут быть представлены полнее, может быть больше
примеров и т.д.). Примерно столько же могут занимать примеры
и упражнения, обсуждаемые на семинарах, а также различные до¬
полнительные материалы, рассчитанные на самостоятельную ра¬
боту или на какие-то вариации программы.
Параграфы нумеруются в пределах каждой главы, причем но¬
меру параграфа предшествует номер главы; например, § 3.4 — это
четвертый параграф главы 3. Для нумерации теорем, лемм, пред¬
ложений, замечаний и примеров используется следующая систе¬
ма: все такие утверждения нумеруются подряд в пределах каждо¬
го параграфа независимо от их типа, причем номеру утверждения
предшествуют номер параграфа и номер главы. Например, теоре¬
ма 3.4.5 является пятым по порядку утверждением в § 3.4 главы 3.
Аналогично устроены номера формул (они заключены в круглые
скобки). Последний параграф каждой главы содержит отмеченные
значком 0 простые упражнения для самостоятельной работы или
обсуждения на семинарах (умение их решать — необходимый при¬
знак усвоения материала), а также ряд менее тривиальных задач
(наиболее трудные отмечены значком*). Обширные подборки задач
представлены в [3], [6], [7], [8], [14], [19], [28], [29], а также в ис¬
точниках, перечисленных в комментариях в [7]. Символ □ означает
конец доказательства.
Характерной особенностью курса функционального анализа
является то, что в нем значительную самостоятельную ценность
представляют не только и не столько окончательные формулиров¬
ки, сколько обсуждение путей их получения или их применений.
Поэтому при чтении этого курса традиционное изложение мате¬
риала с помощью мела и доски эффективнее становящихся стан¬
дартными в других курсах методов, привлекающих компьютерные
презентации или электронные конспекты. Данное пособие и следу¬
ет рассматривать под этим углом зрения.
При работе над текстом я получил значительное число полез¬
ных замечаний от Е.А. Ребровой, А.В. Шапошникова и С.В. Ша¬
пошникова, которым хочу выразить здесь сердечную признатель¬
ность. Наконец, хочу поблагодарить Ю.В. Коровина, инициатива
которого стала важным импульсом к написанию этого пособия.
Глава 1
Мера и интеграл Лебега
В этой главе кратко излагается лебеговская теория меры и инте¬
грала и обсуждается связь между интегрированием и дифференци¬
рованием. Предполагается знакомство с основами математического
анализа, включая последовательности и ряды.
§ 1.1. Алгебры и a-алгебры множеств
При определении меры важную роль будут играть некоторые
специальные классы множеств. Это связано с тем, что мера бу¬
дет определена не для всех множеств. Напомним некоторые про¬
стейшие теоретико-множественные понятия и факты. Важнейшую
роль в функциональном анализе играют неопределяемые понятия
множества и отображения. Отображение / множества X в множе¬
ство Y обозначается так: /: X —* Y. Это подразумевает, что каж¬
дому элементу х € X сопоставлен ровно один элемент f(x) € Y.
В тех случаях, когда речь пойдет о не всюду определенных отоб¬
ражениях, это будет особо оговариваться.
Для всякого А с X множество f(A) := {f(x): х G А} назы¬
вается образом А при отображении /. Сужение отображения / на
подмножество Е с X обозначается через /| е-
Через /_1(у) обозначается полный прообраз элемента у, т. е.
/-1(у) — {х е X: /(ж) — у}. Полный прообраз множества Е С Y
есть множество f~1(E) := {х € X: f{x) £ Е}.
Отображение называется инъективным или инъекцией, если
/(ж) ф f(y) при х ф у. Отображение / называется сюръективным
цли сюръекцией, если f(X) = Y, т. е. для всякого у € Y есть х & X
с /(ж) = у. Если / инъективно и сюръективно, то / называется
биекцией или взаимно однозначным отображением.
Декартовым произведением непустых множеств X и Y называ¬
ется совокупность XxY всех пар вида (х,у), где х € X и у € Y.
12
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Открытым шарол1 в IRn с центром в точке а и радиусом г > О
называется множество
В(а, г) {х £ Ш,п: ||ж — а|| < г},
где х — (х\,... ,хп), ||ж|| = \J х\ + ■ • • + х\. Замкнутым шаром
с центром а и радиусом г называется множество
В(а, г) := {х £ IRn: ||ж — а|| < г}.
1.1.1. Определение. Множество в IRn называется откры¬
тым, если вместе со всякой своей точкой оно содержит некото¬
рый открытый шар с центром в этой точке. Кроме того, пустое
множество тоже считается открытым.
Множество в Ж” называет,ся замкнутым, если его дополне¬
ние открыта.
1.1.2. Пример. Открытый шар является открытым множе¬
ством, а замкнутый шар является замкнутым множеством. В са¬
мом деле, пусть b £ В(а,г). Тогда при г' < г — \\а — Ь|| име¬
ем B(b,r') С В (а, г), что следует из неравенства треугольника:
||ж - а|| < ||ж — 6|| + ||b - а|| < г' + ||6 - а|| < г, если х £ В(Ь,г').
Это показывает открытость В [а, г). Отметим, что здесь недоста¬
точно было бы сослаться лишь на то, что точка а входит в В (а, г)
вместе с шаром. Аналогично проверяется открытость дополнения
замкнутого шара В{а,г).
1.1.3. Предложение. Непустое открытое множество в lRn
являет,ся конечным или счетным объединением открытых ш,аров.
Непустое открытое множество на прямой, отличное от всей
прямой, является конечным или счетным объединением попарно
непересекающихся интервалов или открытых лучей.
Доказательство. Пусть U открыто и непусто. Для каждой
точки а £ U с рациональными координатами (таких точек счетное
число) рассмотрим все шары В(а, q) с U с рациональными радиу¬
сами q. Это дает счетное семейство шаров (с различными возмож¬
ными an q). Объединение полученных шаров дает все U. Действи¬
тельно, пусть х £ U. По определению найдется шар В(х, г) С U.
Возьмем рациональное р £ (0, г). Найдется точка а 6 В(х,р/2)
с рациональными координатами. Тогда при q — р/2 получаем вклю¬
чения B(a,q) С В(х,р) С B(x,r) С U, причем х £ B(a,q). Итак,
точка х покрыта шаром из выбранного счетного семейства.
В общем случае полученные шары могут пересекаться, и не все¬
гда найдется дизъюнктный набор. Однако при п = 1 построенные
§1.1. Алгебры и сг-алгебры множеств
13
интервалы можно объединить в группы по следующему правилу:
интервалы (а, Ь) и (с, d) попадают в одну группу, если U содержит
интервал с концами min(a, с) и шах(Ь, d). Тогда мы получим дизъ¬
юнктные группы, причем объединение интервалов каждой группы
есть либо интервал, либо открытый луч (либо прямая). □
1.1.4. Следствие. Всякое отличное от IRn замкнутое мно¬
жество получается удалением из пространства конечного или
счетного набора открытых шаров.
Всякое непустое замкнутое множество на прямой, отличное
от всей прямой, получается удалением конечного или счетного
набора попарно непересекающихся интервалов или лучей.
Бывают, конечно, множества, не являющиеся ни открытыми,
ни замкнутыми, скажем, множество рациональных чисел.
Важный и интересный пример замкнутого множества — канто-
ровское множество С (названное так в честь знаменитого немец¬
кого математика Георга Кантора).
1.1.5. Пример. Пусть I = [0,1]. Обозначим через J\д ин¬
тервал (1/3,2/3). Через h,\, -hp обозначим интервалы (1/9,2/9)
и (7/9,8/9), являющиеся средними третями отрезков, получен¬
ных после удаления интервала J\ д. Продолжим индуктивно про¬
цесс удаления средних интервалов. На n-м шаге получим 2п от¬
резков, а на следующем шаге удалим их средние трети Jn+ i,i,
•Ли-1,2,- • • ,Jn+i,2n, после чего останется 2n+1 отрезков и процесс про¬
должится. Множество С — I\ (Jnj Jn,j называется канторовским.
Оно замкнуто, имеет мощность континуума, но не содержит ника¬
кого интервала и не имеет изолированных точек.
Доказательство. Множество С замкнуто, ибо его дополне¬
ние до отрезка открыто. Чтобы увидеть, что С имеет мощность
континуума, запишем точки отрезка [0,1] в троичной системе, т. е.
х = Yl’jLi £j3~J, где Xj принимает значения 0,1,2. Как и для деся¬
тичных разложений, такое представление неоднозначно. Например,
последовательность (0,2,2,...) соответствует тому же числу, что
и (1,0,0,...). Однако подобная неоднозначность возможна лишь
для счетного множества точек. По индукции проверяется, что по¬
сле n-го шага удаления остаются точки х, для которых х3 = 0 или
х3 — 2 при j ^ п, если точки типа 1/3 записывать как (0,2,2,...).
Итак, множество С состоит из всех точек вида t — i ^n3~n, где
tn £ {0,2}. Отметим, что разложение, использующее лишь 0 и 2,
14
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
единственно (даже для точек, имеющих и другие разложения с ис¬
пользованием также 1; дело в том, что 2 • 2~п > xn+i2~n~l + •••).
Из сказанного следует, что С равномощно множеству веществен¬
ных чисел. Кроме того, мы видим, что С не содержит интервалов
(нетрудно проверить, что во всяком интервале есть точки, троич¬
ное разложение которых невозможно без единицы). Наконец, во
всякой окрестности точки t € С есть другие точки из С: достаточ¬
но взять такую точку t' € С, что tn = t!n при п ^ т, где т доста¬
точно велико. Ниже, когда будет введена мера Лебега, мы увидим,
что множество Кантора имеет лебеговскую меру нуль. □
Теперь кратко обсудим задачу измерения длин, площадей и
объемов, восходящую к глубокой древности. Частичное ее реше¬
ние, известное с античности и формализованное в конце XIX века,
приводит к так называемой мере Жордана (точнее мере Пеано-
Жордана), определяемой следующим образом.
Для упрощения рассмотрим одномерный случай и попытаемся
задать длину Х(Е) для множеств Е с I = [0,1]. Для промежутка
J вида (а, 6), [а, b), [о, 6] или (а, Ь], где допускается а = Ъ, полагаем
A(J) = \Ь — а\. Для конечного объединения непересекающихся про¬
межутков полагаем A(U"=i Ф) = X)£=i Такие мно¬
жества будем называть элементарными. Чтобы расширить меру
на неэлементарные множества, естественный способ, фактически
известный еще в древности, предлагает следующим образом при¬
ближать неэлементарные множества элементарными. Будем счи¬
тать множество Adi измеримым по Жордану, если для всяко¬
го е > 0 найдутся такие элементарные множества Ае и Ве, что
Ае с А d Ве и Х(Ве\Ае) < е. Легко проверить, что при е —* О
длины Ае и В£ имеют общий предел, который и выбирается в каче¬
стве А (А). Можно также проверить, что мера Жордана аддитивна,
т. е. Х(АиВ) = А(Л)+А(Б) для всяких непересекающихся множеств
Л и Б из области определения. Более того, ниже будет установле¬
но, что она счетно-аддитивна в следующем смысле: если непересе-
кающиеся множества Ап вместе с их объединением А = U^=i Аг
измеримы по Жордану, то А(Л) = А(ЛП).
Однако далеко не всем множествам приписана длина после этой
процедуры. Но гораздо хуже то, что объединение счетного числа
измеримых по Жордану множеств может не быть измеримым по
Жордану. Например, множество QnI рациональных чисел отрезка
неизмеримо по Жордану: в нем нет элементарных множеств поло¬
жительной меры, а все элементарные множества, содержащие Qn/,
1.1. Алгебры и сг-алгебры множеств
15
имеют меру 1. Это явление вызывает недоумение: ведь множе¬
ство рациональных чисел есть счетное объединение очень простых
элементарных множеств (точек). Скажем, круг тоже составлен из
счетного числа элементарных множеств, причем более массивных,
чем точки, но измерим по Жордану.
Тот неприятный факт, что класс измеримых по Жордану мно¬
жеств не замкнут относительно операции счетного объединения,
приводит к вопросу: можно ли продолжить А на более широкую
область определения, замкнутую относительно счетных операций,
с сохранением свойства счетной аддитивности?
Роль счетной аддитивности ясна уже из нахождения площа¬
ди круга путем приближения его объединениями прямоугольников.
Поэтому указанный недостаток меры Жордана является весьма су¬
щественным. Преодолеть его удалось лишь в начале XX века вы¬
дающемуся французскому математику А. Лебегу, предложившему
принципиально иной способ приближения элементарными множе¬
ствами, приводящий к мере Лебега. А именно: сначала по аналогии
со старой конструкцией вводится внешняя мера А* для всякого мно¬
жества А С I как точная нижняя грань сумм -М-Лг), где Jn —
такие интервалы, что А С U^=i Jn-
Здесь решающим шагом является переход к счетным покры¬
тиям (этот шаг уже был сделан Э. Борелем в конце XIX века).
Нетрудно проверить, что для элементарных множеств внешняя ме¬
ра совпадает с обычной длиной. Однако введение внешней меры
еще не решает проблему, ибо на классе всех множеств она не яв¬
ляется даже аддитивной (более того, длину вообще нельзя продол¬
жить до счетно-аддитивной меры на классе всех множеств, инва¬
риантной при сдвигах). Правда, это обстоятельство можно устано¬
вить лишь с помощью так называемой аксиомы выбора (см. § 1.4).
Поэтому приходится несколько сузить область определения меры,
чтобы добиться счетной аддитивности.
С этой целью Лебег ввел класс измеримых множеств. Множе¬
ство А называется измеримым по Лебегу, если выполнено равен¬
ство А* (А) + А*(1\А) = А (/). Равносильное (как будет видно ниже)
описание измеримости по Лебегу в терминах приближений элемен¬
тарными множествами таково: для всякого е > 0 существует та¬
кое элементарное множество Ас, что А*(А Д А£) < е. В отличие
от меры Жордана здесь не требуется никакой вложенности мно¬
жеств, т. е. допускаются «косые приближения». Эта тонкость (вме¬
сте с использованием счетных покрытий в определении внешней
меры) приводит к существенному расширению класса измеримых
16
Глава L Мера и интеграл Лебега
множеств. Расширение столь велико, что ответ на вопрос о суще¬
ствовании множеств, которым не приписана никакая мера, зависит
от принятия или не принятия некоторых специальных теоретико¬
множественных аксиом.
В §1.3 показано, что класс измеримых по Лебегу множеств
замкнут относительно счетных объединений и пересечений, а не
только конечных, причем внешняя мера на классе измеримых мно¬
жеств оказывается счетно-аддитивной, а мера измеримого множе¬
ства равна пределу мер аппроксимирующих его в указанном вы¬
ше смысле элементарных множеств. К сожалению, проверка этих
столь просто формулируемых утверждений нетривиальна (хотя
и элементарна). Итак, в подходе Лебега два идейных новшества:
использование счетных покрытий вместо конечных (эта идея появ¬
лялась и у предшественников Лебега) и выделение области опре¬
деления меры условием Л*(Л) + A*(I\A) = А(I). При обсуждении
мер важную роль играют вопросы, связанные с областями опреде¬
ления. Одно из основных понятий — алгебра множеств.
1.1.6. Определение. Алгеброй множеств называется такой
класс А подмножеств некоторого фиксированного множества X
(называемого пространством), что
(i) 0, X Е Л.;
(И) если А, В Е Л, то Ап В Е Л, Ли В Е А, А\В Е А.
Вместо условия А\В Е А достаточно иметь Х\В Е А при всех
В Е А, ибо А\В = А П (Х\В). Однако условие А\В Е А дает
остальные условия в (п), так как Л П В — А\(А\В).
1.1.7. Определение. Алгебра множеств А называется
о-алгеброй, если (J^Li Ai € А для всякой последовательности
множеств Ап из А.
1.1.8. Определение. Пара (Х,А), состоятся из некоторого
множества X и некоторой а-алгебры А его подмножеств, назы¬
вается измеримым простухтст.вом.
В определении а-алгебры вместо замкнутости относительно
счетных объединений можно требовать замкнутость относитель¬
но счетных пересечений: из формулы U^=i Ап = Х\ D^Li(^\^n)
и из замкнутости алгебры относительно дополнений видно, что
эти свойства равносильны. Итак, сг-алгебра есть класс множеств,
содержащий 0 и замкнутый относительно дополнения и счетных
объединений и пересечений. Тем самым в cr-алгебре можно брать
эти операции в счетном числе в любом порядке.
§1.1. Алгебры и а-алгебры множеств
17
Иногда полезны и некоторые другие классы множеств (опреде¬
ляемые ниже полуалгебры, кольца, полукольца), немного отлича¬
ющиеся операциями, которые они допускают.
1.1.9. Пример. Класс всех конечных объединений промежут¬
ков вида [а, Ь], [а, 6), (а, Ь], (а,Ь) из отрезка [0,1] или только вида
[а, Ь) П [0,1) из [0,1) является алгеброй, но не а-алгеброй. Конечные
объединения замкнутых отрезков алгебру не дают.
Ясно, что множество всех подмножеств фиксированного мно¬
жества X (обозначаемое через 2х) является сг-алгеброй, как
и класс, состоящий лишь из X и пустого множества.
1.1.10. Определение. Пусть дано некоторое семейство А
подмножеств пространства X. Наименьшая о-алгебра подмно¬
жеств X, содержащая А, называется а-алгеброй, порожденной А,
и обозначается символом а{А). Алгеброй, порожденной семейст¬
вом А, называется наименьшая алгебра, содержащая А.
Упомянутые в этом определении наименьшая а-алгебра и наи¬
меньшая алгебра действительно существуют.
1.1.11. Предложение. Пусть X — некоторое множество.
Для любого семейст,ва подмножеств X существует единствен¬
ная порожденная им а-алгебра. Существует и единст,венная по¬
рожденная, данным семейством алгебра.
Доказательство. Положим а (А) — Пдсл гДе пересечение
берется по всем а-алгебрам подмножеств пространства X, содер¬
жащим данную систему множеств GF (такие а-алгебры существуют:
например, 2х). По построению У с сг(Зг). Если дана последователь¬
ность множеств Ап 6 а(А), то их пересечение, объединение и до¬
полнения входят во всякую а-алгебру А, содержащую А, а потому
входят и в a(cF), т. е. гг (У) — сг-алгебра. Единственность очевид¬
на из того, что существование <т-алгебры 23, содержащей А, но не
содержащей a(5F), противоречит определению сг(Эг), ибо ЪПа(А) со¬
держит 5F и является сг-алгеброй. Случай алгебры аналогичен. □
Из определения вытекает, что дополнения множеств класса А
порождают ту же самую а-алгебру, что и У. Счетный класс может
порождать несчетную а-алгебру. Например, интервалы с рацио¬
нальными концами порождают несчетную а-алгебру (она содер¬
жит, в частности, все одноточечные множества).
Алгебру, порожденную семейством множеств 5F, легко описать
явно (задача 1.16.3). Однако элементы а-алгебры, порожденной
18
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
классом множеств IT, обычно не допускают явного описания. Во¬
обще, надо привыкнуть к тому, что порожденная ст-алгебра —
довольно виртуальный объект. Например, не каждое множество
из (Т-алгебры, порожденной интервалами на прямой, представи¬
мо в каком-либо конструктивном виде с помощью счетных объ¬
единений или пересечений интервалов. Скажем, можно образовать
класс Э> счетных объединений замкнутых множеств отрезка, за¬
тем класс rJas счетных пересечений множеств из Д, и индуктивно
продолжить этот процесс. Можно показать, что при этом будут все
время получаться новые классы, но даже их объединение не исчер¬
пывает а-алгебры, порожденной замкнутыми множествами (дока¬
зательство весьма непросто!). Правда, такие сложные множества
редко возникают в приложениях. Приведем пример, когда можно
явно описать а-алгебру, порожденную классом множеств.
1.1.12. Пример. Одноточечные подмножества произвольного
пространства X порождают а- алгебру, состоящую из всех не более
чем счетных множеств и дополнений таких множеств.
Доказательство. Класс А всех не более чем счетных мно¬
жеств и их дополнений входит в а-алгебру Aq. порожденную од¬
ноточечными множествами. Чтобы доказать равенство А = Aq,
достаточно заметить, что А — ег-алгебра. Это ясно из того, что ес¬
ли множества Ап не более чем счетны, то таково и их объединение,
а если среди них есть хотя бы одно АП1 с не более чем счетным
дополнением, то X\(J^°=1 Ап с Х\АЩ. □
В рассуждениях с сг-алгебрами часто используются следующие
просто проверяемые соотношения. Пусть (Аа)а€\ — любое семей¬
ство подмножеств множества X. Тогда
х\ U А = П (Х\Аа), X\f)Aa=U (Х\Аа). (1.1.1)
аЕЛ аЕ А аЕЛ аЕЛ
Кроме того, если /: Е —> X — произвольное отображение некото¬
рого множества Е в X, то
Г1 (и А*) = U /''(А*), /-1 (П А°) = П ГЧЛа).
аЕЛ аЕЛ аЕЛ аЕЛ
Из этих равенств видно, что если А — некоторая сг-алгебра
подмножеств множества X и / — произвольное отображение из
множества Е в X, то класс /_1(Л) всех множеств вида /-1(Л), где
А в А, является гт-алгеброй в Е.
§1.1. Алгебры и сг-алгебры множеств
19
Кроме того, для всякой сг-алгебры 23 множеств в 23 класс мно¬
жеств {А с X: f~1(A) е 23} — а-алгебра. Наконец, для всякого
класса множеств J в X имеем сг(/_1(Эг)) = /_1(сг(Э')).
На простых примерах легко убедиться, что класс /(23) всех
множеств вида f(B), где В G 23, не всегда является алгеброй.
Отметим, что для всякой сг-алгебры 23 в X и всякого А С X
класс 23д := {В П А: В € 23} — сг-алгебра в пространстве А.
1.1.13. Определение. Борелевской о-алгеброй ГО" называет¬
ся а-алгебра 23 (ГО"), порожденная всеми открытыми множества¬
ми. Множества из 23 (ГО/1) называются борелевскими.
Для произвольного множества Е С ГО" через 23(23) обозначим
класс множеств вида Е Г\ В, где В € 23 (ГО").
Конечно, 23 (ГО") порождается и классом замкнутых множеств.
Очевидно, что счетные множества или счетные объединения за¬
мкнутых множеств (как и их дополнения) являются борелевскими.
Ниже мы увидим, что не все множества борелевские (правда, явно
такой пример построить трудно).
Заметим, что 23(23) есть сг-алгебра, порожденная пересечения¬
ми Е с открытыми в ГО" множествами. В самом деле, обозначим
последнюю сг-алгебру через £. Непосредственно проверяется, что
класс 23 всех таких В G 23 (ГО"), что В П Е € £, есть сг-алгебра.
Так как 23 содержит все открытые множества, то 23 = 23 (ГО"), т. е.
23(23) С £. Поэтому 23(23) — £, ибо Е П U G 23(23) для всякого
открытого U С ГО/. Множества из Ъ(23) называются борелевски¬
ми множествами пространства Е, а 23(23) называется борелевской
сг-алгеброй пространства Е. Следует иметь в виду, что такие мно¬
жества могут не быть борелевскими в ГОП, если само Е не является
борелевским в ГО". Например, всегда Е G 23(23), ибо Е П ГО"' = 23.
1.1.14. Предложение. Борелевская а-алгебра прямой порож¬
дается любым из следующих классов множеств:
(i) множество всех интервалов с рациональными концами;
(ii) множество всех лучей вида (—оо,с), где с рационально;
(iii) множество всех лучей вида (—оо,с], где с рационально.
Это же верно, если вместо лучей (—оо, с) и (—сю, с] брать лучи
(с, +оо) и [с, +оо) или вместо рациональных чисел брать точки
какого-либо всюду плотного множества.
Доказательство. Все указанные в (i) — (iii) множества яв¬
ляются борелевскими, так как они либо открыты, либо замкнуты.
20
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Поэтому порождаемые ими ст-алгебры входят в Ъ (И1). Посколь¬
ку каждое открытое множество на прямой есть объединение не
более чем счетного набора интервалов, то достаточно установить,
что всякий интервал (а,Ь) входит в а-алгебры, соответствующие
классам (i) — (Hi). Это вытекает из того, что (а, Ь) есть объеди¬
нение интервалов вида (ап,Ьп), где ап и Ъп рациональны, а также
объединение промежутков вида [ап, Ъп) с рациональными концами,
а такие промежутки входят в ст-алгебру, порожденную лучами ви¬
да (—оо, с), ибо являются разностями лучей. Аналогично разности
лучей вида (с, оо) дают промежутки (ап, Ьп], из которых с помощью
объединений строятся интервалы (а, 6). □
Ясно, что 23(IR1) порождается и отрезками с рациональными
концами. Из этого, кстати, видно, что непересекающиеся классы
множеств могут порождать одну и ту же cr-алгебру. Введем еще
некоторые классы множеств, используемые в теории меры.
1.1.15. Определение, (i) Система 31 подмножеств множе¬
ства X называется кольцом, если 0 £ 31 и множества АП В,
A U В и А\В входят в 31 для всех А, В £ 31.
(И) Система S подмножеств множества X называется по¬
лукольцом, если 0 £ S. А П В £ S для всех А, В £ S и для всякой
пары множеств А, В £ S с А а В множество В\А является
объединением конечного числа дизъюнктных множеств из S. Ес¬
ли X £ S, то S называется полуалгеброй.
Все ограниченные множества на прямой образуют кольцо, но
не алгебру. Класс всех промежутков в отрезке дает пример полу¬
кольца, не являющегося кольцом. Другой пример полукольца: все
промежутки вида [а, Ь) на прямой (а их пересечения с [0,1) или
с [0,1] при b < 1 образуют полуалгебру в [0,1) или в [0,1] соот¬
ветственно). В следующей лемме показано, что класс всех конеч¬
ных объединений элементов полукольца является кольцом (назы¬
ваемым кольцом, порожденным данным полукольцом). Ясно, что
это минимальное кольцо, содержащее данное полукольцо.
1.1.16. Лемма. Для любого полукольца S совокупность ко¬
нечных объединений множеств из S образует кольцо 31. При этом
всякое множество из 31 является конечным объединением попар¬
но пепересекающихся множеств из S. Если S — полуалгебра, то
31 — алгебра.
Доказательство. Класс 31 допускает конечные объединения.
Пусть А = А\ U • • • U Ап, В = В\ U • • • U Вк, где Д, Bj £ S. Тогда
§1.1. Алгебры и ег-алгебры множеств
21
имеем А П В — Ц^п кк At П Bj € 31. Кроме того, верны равенства
а\в = у (ад (J вЛ = U П (MBj).
г=1 ' ]=1 ^ i=l J=1
Так как At\Bj — АД(А4П1Д) есть конечное объединение множеств
из <S, то А\В € 31. Ясно, что А можно записать в виде дизъюнкт¬
ного объединения множеств из S ввиду замкнутости класса S от¬
носительно пересечения. Если X € S, то X € 31. □
Теперь докажем теорему о монотонных классах — весьма по¬
лезный инструмент для работы с а-алгебрами.
Семейство £ подмножеств множества X называется монотон¬
ным классом, если 1ДДД Еп £ £ для каждой возрастающей по¬
следовательности множеств Еп £ £ (т. е. Еп С Еп+\ при всех п)
и ПГ=1 Т-п € £ для каждой убывающей последовательности мно¬
жеств Еп £ £ (т. е. Е„+1 С Еп при всех п).
Для всякого класса £ подмножеств X существует минималь¬
ный монотонный класс, содержащий £ и называемый монотонным
классом, пороэ1сденным £. Таким минимальным классом является
пересечение всех монотонных классов, содержащих £.
1.1.17. Теорема. Пусть А. — алгебра множеств. Тогда
о-алгебра, порожденная А, совпадает с монотонным классом, по¬
рожденным А. Следовательно, если алгебра А входит в некото¬
рый монотонный класс М, то а {А) С М.
Доказательство. Пусть М(А) — монотонный класс, поро¬
жденный А. Тогда М(А) С а (А), ибо ст(А) — монотонный класс.
Докажем обратное включение. Для этого покажем, что М(А) есть
сг-алгебра. По определению монотонного класса достаточно уста¬
новить, что М(А) — алгебра. Докажем сначала, что класс М(А)
замкнут относительно взятия дополнения. Пусть
М0 := {В: В,Х\В £ М(А)}.
Класс Мо является монотонным, что очевидно из монотонности
класса М(А) и равенств (1.1.1). Поскольку А С Мо С М(А), то
получаем равенство Мо — М(А).
Проверим теперь замкнутость М(А) относительно конечных
пересечений. Пусть А £ М(А). Введем класс множеств
Мл := {В £ М(А): АПВ£М(А)}.
22
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Если Вп G Мд — возрастающие множества, то получаем
оо оо
А П IJ Вп = (J (А П Вп) € М(А).
п=1 п— 1
Аналогично рассматривается случай, когда Вп убывают. Поэтому
!Мд — монотонный класс. Если А € А, то имеем А С Ж а С М(А),
откуда получаем Мд = М(А). Пусть теперь А € А и В £ М(А).
Тогда по доказанному АпВ е М(А), т.е. А еЖв- Таким образом,
имеем включения А С Мд С М(А). Следовательно, Мб = М(А)
при всех В £ М(А), что означает замкнутость М(А) относительно
взятия пересечения двух множеств. Из доказанного следует, что
М(А) — алгебра, что и требовалось. □
§1.2. Аддитивность и счетная аддитивность
Числовыми функциями будем называть функции со значения¬
ми в (—оо,+оо). В тех случаях, когда речь пойдет о функциях со
значениями из расширенной прямой [—оо,+оо], это будет специ¬
ально оговариваться.
1.2.1. Определение. Функция множества д со значениями
в ГО,1, заданная на некотором классе множеств А, называется
аддитивной или конечно-аддитивной, если
П П
m(U Ai) = ЦМА) (i-2-i)
i= 1 i=l
для всех п и всех таких конечных наборов попарно непересекаю-
щихся множеств Ai € А, что (J”=1 А, £ А.
Функция д называется счетно-аддитивной, если
ОО ОО
п=1 п=1
для всех таких счетных наборов попарно непересекающихся мно¬
жеств Ап из А, что U^Li Ап € А. Счетно-аддитивная функция
множества на алгебре называется мерой.
Счетно-аддитивная мера д на а-алгебре подмножеств про¬
странства X называется вероятностной, если д неотрицатель¬
на и д(Х) = 1.
Мера, определенная на борелевской а-алгебре всего простран¬
ства ГО." или какой-либо его части, называется борелевской.
§ 1.2. Аддитивность и счетная аддитивность
23
Из определения нетрудно усмотреть, что ряд (1.2.2) сходится
абсолютно (ибо его сумма не зависит от перестановок ряда).
1.2.2. Замечание, (i) Если у — аддитивная функция множе¬
ства на алгебре, то р(0) = 0.
(ii) Для функций множества со значениями в (-оо, +оо] уста¬
навливаются естественные правила сложения: +оо + с = +оо при
с £ (—оо, +оо]. Значение —оо специально исключено во избежание
неопределенности +оо + (—оо). При таком соглашении аналогич¬
но определяют аддитивность и счетную аддитивность функции
множества ц со значениями в (—оо, +оо] на алгебре или кольце,
но при этом дополнительно требуется, чтобы р(0) = 0.
(ш) Мера у со значениями в [0, +оо] на ег-алгебре А в X называ¬
ется о-конечной, если X — U^Li Хп, где ц(Хп) < оо. Простейшим
примером не сг-конечной меры со значениями в [0,+оо] является
мера на множестве из одной точки а, заданная следующим обра¬
зом: р(о) = оо, /х(0) = 0.
Если класс А замкнут относительно конечных объединений, то
конечная аддитивность равносильна равенству
р(А U В) = ц(А) + /х(В) (1.2.3)
для всех непересекающихся множеств А, В £ А. Например, такая
равносильность имеет место, если А — алгебра. Однако уже для
полуалгебр это свойство слабее аддитивности (см. задачу 1.16.18).
Аналогично, если А — ст-алгебра, то счетная аддитивность есть
равенство (1-2.2) для всевозможных дизъюнктных последователь¬
ностей множеств из А.
Приведенные выше формулировки удобны по двум причинам:
во-первых, справедливость соответствующих равенств требуется
проверять лишь для тех наборов множеств, для которых обе части
имеют смысл, а во-вторых, как мы увидим далее, счетно-аддитив¬
ные функции множества допускают счетно-аддитивные продолже¬
ния с полуалгебр на порожденные ег-алгебры.
Аддитивные функции множества называют также аддитивны¬
ми мерами, но мы для упрощения терминологии мерами будем на¬
зывать только счетно-аддитивные меры на алгебрах (или коль¬
цах в тех редких случаях, когда они будут рассматриваться). Кро¬
ме того, счетно-аддитивные функции со значениями в (—оо,+оо],
определенные на алгебрах, мы будем называть мерами со значе¬
ниями в (—оо,+оо] (т. е. тот факт, что допускаются бесконечные
24
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
значения, будет специально оговариваться). Все эти оговорки свя¬
заны с тем, что значительная часть основных результатов в случае
бесконечных мер требует дополнительных условий (причем разных
для разных теорем).
Счетно-аддитивные меры называют также а-аддитивными.
1.2.3. Пример. Простейшая мера — тождественно нулевая.
Другой пример: пусть X ф 0, а Е X и мера Дирака (или дираков-
ская мера) 5а на всяком А с X равна 1 при а € Л и 0 при а $ А.
Счетная аддитивность ясна из того, что точка а может входить
лишь в одно из попарно непересекающихся множеств. Приведем
чуть менее тривиальный пример. Пусть А — cr-алгебра всех под¬
множеств счетного множества S = {s„.}, ап ^ 0, ап < °°-
Для А С S положим ДА) = (ГД. Sn<-A ап. Тогда р — мера на А
(обязательно проверьте в качестве упражнения!).
Полезно рассматривать и свойство субаддитивности:
П П
/*(U Ai) ^ (L2-4)
i—1 i= 1
для всех Ai Е А с U"=i Ai Е А. Аддитивная неотрицательная
функция множества на алгебре субаддитивна (см. ниже).
1.2.4. Предложение. Пусть р — аддитивная числовая функ¬
ция множества па алгебре (или кольце) множеств А. Тогда сле¬
дующие условия равносильны:
(i) функция р счетно-аддитивна;
(ii) функция р непрерывна в нуле в следующем смысле: если
Ап Е А, Ап+1 С Ап для всех п Е 1N и П^1 Ап = 0, то
Ит р(Ап) = 0; (1.2.5)
п—> оо
(Ш) функция р непрерывна снизу, т. е. если Ап Е А таковы,
что Ап С Ап+1 для всех п Е 14 и (J^Li Ап € А, то
ОО
п=1
Доказательство, (i) Предположим, что р счетно-аддитивна,
Ап Е А, Ап+х С Ап, Р)п_^ Ап — 0. Тогда Вп Ап\Ап-1_| Е А.
Множества Вп дизъюнктны. Поэтому сходится ряд из р(Вп). То¬
гда E^LwM^n) -+ 0 при JV -*■ оо, но Е5ЕлгМДг) = p(AN), ибо
Un=N Вп — Адг. Итак, приходим к условию (ii).
§ 1.2. Аддитивность и счетная аддитивность
25
Пусть теперь выполнено (И) и Вп £ А — попарно непересекаю-
щиеся множества с В := U^=i Вп G Л, Ап = _В\ U£=i Вк- Ясно, что
An £ Л, Лта+1 С An, n^Li Ai = 0- По условию, ц(Ап) —> 0. Зна¬
чит, lim УТ=1 ц{Вк) — 1^{В) ввиду конечной аддитивности. Итак,
ц счетно-аддитивна. Далее, из (и) следует (ш), ибо если множества
Ап £ Л монотонно возрастают и дают в объединении множество
А 6 Л, то множества А\АП € Л монотонно убывают к пустому
множеству. Наконец, из (Ш) ввиду конечной аддитивности очевид¬
ным образом следует счетная аддитивность д. □
Следует иметь в виду, что указанная равносильность не имеет
места для полуалгебр (задача 1.16.17).
1.2.5. Пример. Пусть Л — алгебра таких множеств Л С IN,
что либо А, либо JN\A конечно. Для конечных А пусть /и(А) = 0,
а для А с конечным дополнением пусть /г (А) = 1. Тогда д — адди¬
тивная, но не счетно-аддитивная функция множества.
Доказательство. Ясно, что Л — действительно алгебра. Ра¬
венство (1.2.3) очевидно, если А П В = 0 и А конечно. Наконец,
АД е Л не могут быть бесконечными одновременно из-за дизъ-
юнктности. Если бы д была счетно-аддитивной, то мы бы имели
M0N) = J2'n=i MW) = 0> однако д(1Л) = 1. □
Существуют и аддитивные, но не счетно-аддитивные функции
множества на сг-алгебрах (см. пример 4.5.5), но построение таких
примеров требует применения аксиомы выбора.
1.2.6. Пример. Пусть X = [0,1] и Л - описанная в приме¬
ре 1.1.12 сг-алгебра не более чем счетных множеств и их дополне¬
ний. Положим д(А) = 0, если А не более чем счетно, д(А) — 1, если
А\А не более чем счетно. Тогда д счетно-аддитивна. Это очевидно
из того, что если Ап £ Л дизъюнктны, то лишь одно из них может
иметь не более чем счетное дополнение.
Чтобы строить менее тривиальные примеры (скажем, меру Ле¬
бега), нам понадобятся вспомогательные средства, обсуждаемые
в следующем параграфе. Отметим ряд простых свойств аддитив¬
ных и счетно-аддитивных функций множества.
1.2.7. Предложение. Пусть д — неотрицательная аддитив¬
ная функция множества на алгебре или кольце А. Тогда
(i) если А, В £ Л и А С В, то д(А) ^ д(Л);
(И) если A-i, ...,АпеА, то д(и"=1 Л) < Ya=i /ДАО;
26
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
(ш) функция у счетно-аддитивна в точности тогда, когда
в дополнение к аддитивности она счетно-субаддитивна в следу¬
ющем смысле: для всякой такой последовательности {Аг,} с А,
что Un=i Ап £ А, имеем £t((Jn=i An) ^ J^n=i у(Ап).
Доказательство. Так как у(В\А) ^ 0, то верно (i). Утвер¬
ждение (ii) легко проверяется по индукции с учетом равенства
у(А U В) — у(А\В) + у(В\А) + у(А П В) и условия у ^ 0.
Если у счетно-аддитивна и объединение множеств Ап G А так¬
же входит в А, то согласно предложению 1.2.4 имеем сходимость
4US.iA)^(U£H i), что ввиду (И) дает указанную в (ш) оцен¬
ку. Наконец, такая оценка в сочетании с аддитивностью дает счет¬
ную аддитивность. Действительно, пусть Вп — попарно непересе-
кающиеся множества из А, объединение В которых также входит
в А. Тогда для всякого neN имеем
п п оо
Ey(Bk) = ^(U Вк) ^ ^ y^ji(Bk),
к=1 к=1 к= 1
откуда вытекает, что б{Вк) = р(В). □
Продолжение с полуалгебры на алгебру строится просто.
1.2.8. Предложение. Пусть До — полуалгебра. Тогда всякая
аддитивная функция множества у на До однозначно продолжа¬
ется до аддитивной функции множества на алгебре А, состо¬
ящей из всевозможных конечных объединений множеств из Aq
(m. е. алгебре, порожденной До). При этом продолжение счетно¬
аддитивно, если мера у счетно-аддитивна на До- Это же верно
и в случае полукольца А и порожденного им кольца.
Доказательство. По лемме 1.1.16 класс конечных объедине¬
ний элементов из До — алгебра (или кольцо, когда До — полуколь¬
цо) . Всякое множество из Д имеет вид дизъюнктного объединения
элементов До. Положим у(А) — Ym=i У-(А%), если Аг из До попарно
не пересекаются и в объединении дают А. Указанное продолжение
очевидным образом аддитивно, но надо проверить корректность
его задания, т. е. независимость от разбиения А на части из До.
В самом деле, если В\,..., Вт — попарно непересекающиеся мно¬
жества из До, дающие в объединении А, то в силу аддитивности
у на алгебре До справедливы равенства у{А,) = у(Аг П Bj),
y{Bj) = X)”=i б{Аг П Bj), откуда вытекает требуемое. Проверим
счетную аддитивность указанного продолжения в случае счетной
§ 1.2. Аддитивность и счетная аддитивность
27
аддитивности на До. Пусть А. Ап £ А, А = Ап, причем
Ап П = 0 при пф к. Тогда
г Гп
А = [^J Bj, Ап — Bn i, где Bj, Bn^ £ До-
J=1 i=l
Положим Cn>id := BnjCiBj. Множества дизъюнктны, причем
oo rn г
■®7 = U U ^'nAj > Bn,i — [_J Cn,i,j ■
n=l i=l j=l
В силу счетной аддитивности р на До имеем
оо гп г
= ^ ^ у A t(C'n,ij); p{Bn,i) — У , A
п=1г=1 j=l
Кроме того, справедливы равенства
Г г„
/i(H) = ^ ^ fb(Bj), д(Яп) = ^ ^ /Д-Дг,0
3=1 г=1
по определению д на Д. Эти соотношения дают нужное равенство
/х(А) — ХДл р,{Ап). ибо обе величины равны сумме всех p(Cn^j).
Законность перестановки суммирования по п и по /у очевидна из
того, что ряды по п сходятся, а суммы по у и г конечны. □
Поскольку на алгебрах бывают аддитивные, но не счетно-адди¬
тивные функции, следующее эффективно проверяемое достаточное
(хотя и не необходимое) условие счетной аддитивности весьма по¬
лезно на практике.
1.2.9. Теорема. Пусть у, — неотрицательная аддитивная
функция множества на некоторой алгебре множеств А в Ш,п,
причем для всякого А £ А и всякого е > 0 найдется такой ком¬
пакт Ке £ А, что КЕ С А и р,(А\К£) < е. Тогда мера ц счетно¬
аддитивна на А.
Доказательство. Пусть множества Ап £ А убывают и их
пересечение пусто. Покажем, что р(Ап) —> 0. Пусть е > 0. Возьмем
такие компакты Кп £ Д, что Кп с Ап и р(Ап\Кп) < е2~п. Ясно,
что (XI1 Кп С П«=1 Ап = 0- Найдется такое т, что fXLi Кп = 0.
В самом деле, если каждое из таких пересечений непусто и содер¬
жит какую-то точку хт, то предельная точка последовательности
28
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
{хт} будет общей точкой этих пересечений. Таким образом,
т т т.
Ап = Ап\ П = U (Ап\кп) с (J (Ап\кп),
п—Х п=1 п= 1
откуда
т т
МА») < ц(Ап\Кп) < ^е2~п < е.
71= 1 П= 1
Итак, ц(Ап) —> 0, что влечет счетную аддитивность р. □
В примере 1.2.5 значение р на компактах меньше 1 < р(ЕЧ).
1.2.10. Замечание. Из доказательства видно, что можно сле¬
дующим образом ослабить условия этой теоремы и обобщить ее
на совершенно абстрактную ситуацию. Пусть р ^ 0 — аддитив¬
ная функция на алгебре А в некотором пространстве X, причем
найдется класс множеств X в X (необязательно лежащий в А) со
следующими двумя свойствами: 1) ЗС — компактный класс, т. е.
если Кп еХ таковы, что П^1 Кп = 0, то Пи=1 Кп = 0 при неко¬
тором N; 2) X приближает р, т. е. для всяких А 6 А и г > О
найдутся такие Ае € А и К£ € X, что Ае с Ке с А и р(А\Ае) < е.
Тогда р счетно-аддитивна.
1.2.11. Пример, (i) Пусть I — отрезок в Е1, Л - алгебра
конечных объединений промежутков из I (замкнутых, открытых,
полуоткрытых). Тогда обычная длина Ai, равная сумме чисел Ьг—аг
на конечном дизъюнктном объединении промежутков с концами щ
и bi, счетно-аддитивна на алгебре А. Это же верно для алгебры
конечных объединений промежутков вида [а, b) в [0,1).
(ii) Пусть I — куб в И” вида [а, Ь]п. А алгебра конечных
объединений параллелепипедов из I, являющихся произведениями
промежутков из [а,Ь] (открытых, замкнутых или полуоткрытых);
такие произведения называют брусами. Тогда обычный объем Ата
счетно-аддитивен на алгебре А. Будем называть А„ мерой Лебега.
Доказательство. Конечные объединения отрезков компакт¬
ны и приближают изнутри конечные объединения прочих проме¬
жутков. Случай куба совершенно аналогичен. □
Следующий результат показывает, что указанное достаточное
условие счетной аддитивности носит весьма универсальный харак¬
тер. Иное доказательство можно получить из результатов следую¬
щего параграфа (см. предложение 1.3.10).
§ 1.2. Аддитивность и счетная аддитивность
29
1.2.12. Теорема. Пусть у, — неотрицательная счетно-адди¬
тивная мера на борелевской сг-алгебре В(Ш") пространства IR/1.
Тогда для всякого борелевского множества В С Ип и всякого е > О
найдутся такие открытое множество Ue и компакт КЕ, что
Ке С В С и£ и p(UE\KE) < е.
Доказательство. Покажем, что для любого е > 0 найдет¬
ся такое замкнутое множество Fe с В, что /i(B\Fe) < е/2. Тогда
в силу счетной аддитивности р само Fe можно приблизить изнутри
с точностью до е/2 компактом Fe П U, где U — замкнутый шар до¬
статочно большого радиуса. Обозначим через А класс всех таких
множеств А € 23(Юп), что для всякого е > 0 найдутся замкнутое
множество Fe и открытое множество UE, для которых Fe С А С UE
и p(UE\F£) < е. Заметим, что всякое замкнутое множество А вхо¬
дит в А, ибо в качестве Fe можно брать само А, а в качестве UE
молено взять некоторую открытую 5-окрестность А& множества А,
т. е. объединение всех открытых шаров радиуса 5 с центрами в точ¬
ках из А (при стремлении 6 к нулю открытые множества Л* убы¬
вают к А, поэтому их меры стремятся к мере А). Покажем, что
А — сг-алгебра. Если это сделано, то теорема доказана, так как
замкнутые множества порождают борелевскую ст-адгебру.
По построению класс А замкнут относительно операции допол¬
нения. Поэтому остается проверить замкнутость А относительно
счетных объединений. Пусть Aj € А и е > 0. Тогда существу¬
ют такие замкнутые множества Fj и открытые множества Uj, что
Fj с Aj С Uj и p(Uj\Fj) < е2~\ j е IN. Множество U — UpLi Uj
открыто, а множество Z/, = Fj замкнуто для всякого к € IN.
Остается заметить, что Zf. с Uyli Л? С U и при достаточно боль¬
шом к имеет место оценка p(U\Zk) < е. Действительно,
Эта теорема показывает, что измеримость можно определять
(как и делается в ряде учебников) в духе конструкции Пеано-
Жордана через внутренние приближения компактами и внешние
приближения открытыми множествами. Для этого надо сначала
задать меру открытых множеств (что определит и меру компак¬
тов). На отрезке это легко, ибо открытое множество слагается из
в силу счетной аддитивности.
□
30
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
дизъюнктных интервалов, что по счетной аддитивности задает его
меру через меры интервалов. Однако уже в случае квадрата тако¬
го дизъюнктного представления открытого множества нет, поэтому
упомянутое построение здесь не столь эффективно.
Наконец, отметим, что из этой теоремы видно, что если рас¬
смотренная выше на порожденной кубами алгебре мера Лебега
продолжается на борелевскую сг-алгебру, то продолжение должно
задаваться равенством
ОО
Ап(В) := inf^A„(/j),
j=1
где inf берется по всем не более чем счетным покрытиям борелев-
ского множества В кубами Ij. На самом деле это и будет сдела¬
но ниже, однако обоснование того, что указанное равенство дает
счетно-аддитивную меру, совсем не тривиально: оно будет дано об¬
ходным путем с помощью конструкции внешней меры, чему по¬
священ следующий параграф (это одна из самых трудных теорем
данной главы).
§ 1.3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
Здесь показано, как продолжать счетно-аддитивные меры с ал¬
гебр на сг-алгебры. Мы будем рассматривать конечные функции
множества, а в конце параграфа будет сделано замечание о функ¬
циях со значениями в [0, +оо].
Пусть неотрицательная функция множества д определена на
некотором классе А подмножеств фиксированного пространства X,
причем X, 0 е А и д(0) — 0. Тогда формула
А
ОО ОО
(Л) = inf|^^ д(Лп) ф 6 Л, А С
п=1
71=1
задает новую функцию множества, определенную уже для каж¬
дого А С X и называемую внешней мерой. Эта же конструкция
применима к функциям множества со значениями в [0, +оо]. Если
само X не входит в А, то д* задается указанной формулой на всех
множествах А, которые можно покрыть счетной последовательно¬
стью элементов А, а всем прочим множествам можно приписать
бесконечное значение (иногда им приписывают значение, равное
точной верхней грани значений р* на содержащихся в них мно¬
жествах, которые покрываются последовательностями из А). Хотя
функцию д* и называют внешней мерой, она не обязана быть даже
§ 1.3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
31
аддитивной (см. простой пример ниже; в предположении аксиомы
выбора неаддитивна и внешняя мера, порожденная обычной дли¬
ной). Более подробно внешние меры Каратеодори, необязательно
происходящие из аддитивных функций множества, обсуждаются
в [6, гл. 1]; см. также замечание 1.3.17.
Для А £ А всегда имеем р*(А) ^ р(А) (можно взять А\ — А),
но равенства в общем случае может не быть (см. пример 1.3.6).
1.3.1. Определение. Пусть р — неотрицательная функция
множества па области определения А С 2х. Множество А на¬
зывается р-измеримым (или измеримым по Лебегу относитель¬
но р), если для всякого е > 0 найдется такое Ае £ А, что выпол¬
нено неравенство р*(А А А£) < е.
Класс р-измеримых множеств обозначается через Ац.
Нас будет интересовать случай, когда р — счетно-аддитивная
мера на алгебре А. Определение измеримости, данное самим Лебе¬
гом, состояло в равенстве р*(А)+р*(Х\А) — р(Х) (для отрезка X).
Ниже будет показано, что для аддитивных функций на алгебрах
такое определение (возможно, интуитивно не столь прозрачное)
равносильно данному выше (см. предложение 1.3.15).
Так как р*(0) = р(0) = 0, то А с Лм, ибо при А £ А берем
Ае = А. Далее, всякое множество А с р*(А) = 0 является р-из¬
меримым (берем Ае — 0). Наконец, если А £ А^ и р*(А А В) — О,
то В £ Лр, ибо В А Ае С (В А Ае) U (А А Ае) (проверьте!), откуда
р*(В А Ае) ^ р*(В А А) + р*(А А Ае) по лемме 1.3.4 ниже.
1.3.2. Пример, (i) Пусть X = [0,1], А — {0,Х}, р(Х) — 1,
р(0) = 0. Тогда р — счетно-аддитивная мера на о-алгебре Л, при¬
чем Ац — А. Действительно, р*(Е) — 1 для всякого Е ф 0. По¬
этому из непустых множеств лишь весь отрезок можно приблизить
множеством из Л с точностью е < 1.
(ii) Пусть Л — алгебра конечных объединений промежутков из
примера 1.2.11 с обычной длиной А. Тогда А-измеримость А рав¬
носильна тому, что для всякого е > 0 можно найти множество Е,
равное конечному объединению интервалов, и множества А'с, А” из
отрезка I, для которых
А = (Е и А’е)\А1 А*(4) ^ е, А*(А") ^ е.
Даже если р — счетно-аддитивная мера на <х-алгебре Л, соот¬
ветствующая внешняя мера р* может не быть счетно-аддитивной
на классе всех множеств.
32
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
1.3.3. Пример. Пусть X — множество из двух точек {0,1},
А = {0, X}. Положим р{0) = 0, р{Х) = 1. Тогда класс А является
a-алгеброй, а р счетно-аддитивна на А, но /Г не является аддитив¬
ной на (т-алгебре всех множеств, ибо //*({0}) = 1, р*({1}) = 1, хотя
м*({0} и {1}) = 1.
Однако всегда имеется счетная субаддитивность.
1.3.4. Лемма. Пусть р — неотрицательная функция множе¬
ства на классе А. Тогда функция р* счетно-субаддитивна, т. е.
оо оо
Л* (U ^п)<5>*(Ап) (1.3.1)
п=1 п=1
для любых множеств Ап.
Доказательство. Пусть е > 0 и р*(Ап) < оо. Для всякого п
существует такой набор {Bn>k])f=l с А, что Ап С Ukli Bn,k и
ОО
^2^(Вп,к) ^ Ц*{Ап) + —.
к= 1 Z
Тогда U~i Ап С U“=i Ufcli Ai,fc- Поэтому получаем
оо оо оо оо
Д1К)«ЕЕ Л(Дг,А:) ^ Екоо+=.
п=1 п=1 к=1 П—1
Ввиду произвольности е приходим к (1.3.1). □
Убедимся, что в случае счетно-аддитивной меры внешняя мера
является продолжением исходной меры.
1.3.5. Лемма. Пусть р — конечная неотргщателъная счет¬
но-аддитивная функция множества на алгебре А. Тогда А С Ali
и внешняя мера р* совпадает с р на А.
Доказательство. Выше было отмечено, что А d J\.[£• Пусть
А в А и А с U“=] А», где Ап е А. Тогда А = (Jп=М П Ап).
Поэтому в силу предложения 1.2.7(ш) имеем
оо оо
л(А ^ /х(А П Ап) ^ ^ ^ /г(Ап),
П=1 П=1
откуда //(А) ^ р*(А), т.е. д(А) = р*(А), ибо /Т(А) < ^(А).
Отметим, что счетная аддитивность р важна в этой лемме.
□
§1.3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
33
1.3.6. Пример. Пусть А — алгебра всех конечных подмно¬
жеств 1N и их дополнений, а функция множества /г равна 0 на
конечных множествах и 1 на их дополнениях. Тогда р аддитивна,
одноточечные множества {п} покрывают IN и ц*(ЕЧ) = 0 < /i(IN).
Следующий факт верен далее без аддитивности р.
1.3.7. Лемма. Если А — алгебра, то Ац — тоже алгебра.
Доказательство. Если А е Ато Х\А е Л/4 ввиду форму¬
лы (Х\А) А (Х\А£) = А А Ае и того факта, что Х\Ае € А при
А£ е А. Пусть А, В € Лм и е > 0. Возьмем такие Ае, Ве € Л, что
р*(А А Ае) < е/2 и р*(В А В£) < е/2. Поскольку
(A U В) А (Ае U Д) С (Л А Ае) U {В А Д),
то ввиду субаддитивности р* справедливы неравенства
р* ((A U В) A (As U Д)) ^ /i* ((А А Ае) U (В А Д)) < е. (1.3.2)
При этом Ае U Д £ Л. Следовательно, A U В £ Afl. Итак, Лм —
алгебра. □
Нам понадобится еще одно свойство внешней меры.
1.3.8. Лемма. В ситуации предыдущей леммы для всех мно¬
жеств А и В с р*(А)<оо, р*(В)< оо справедливо неравенство
\р*(А)-р*(В)\^р*(ААВ). (1.3.3)
Доказательство. Заметим, что А с Ви(ААВ), откуда в си¬
лу субаддитивности р* получаем оценку
р*(А)^р*(В) + р*(ААВ),
т.е. р*(А) - р*(В) ^ р*(ААВ). Оценка р*(В) — р*(А) ^ р*(ААВ)
получается аналогично. □
Теперь мы докажем основную теорему о продолжении меры.
Наиболее трудным местом является проверка конечной аддитив¬
ности внешней меры, причем эта трудность одинакова как в рас¬
сматриваемой абстрактной ситуации, так и в случае меры Лебега
на отрезке.
1.3.9. Теорема. Пусть р — конечная неотрицательная счет¬
но-аддитивная функция множества на алгебре А. Тогда Л/4 —
о-алгебра, содержатся А, внешняя мера р* счетно-аддитивна
на Ац, причем она совпадает с р на А, т. е. является продол¬
жением р. В частности, р* продолжает р па а (Л).
34
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Доказательство. Мы уже знаем, что Л^ — алгебра, содер¬
жащая Л, причем /А совпадает с ц на /I. Проверим аддитивность
функции /А на Л/(. Пусть А, В £ Л м, причем А П В = 0. Зафик¬
сируем е > 0 и найдем такие ф, Д € Л, что
/1*{АААе)<е/2 и /Д(В Л Ве) < е/2. (1.3.4)
Оценка (1.3.3) с учетом совпадения /А на Л с ц дает
/х*(Л U В) ^ М(Л U Бе) - /А ((A U В) Л (А£ U В£)).
Вспоминая оценку (1.3.2), находим
UB) > ц(Ае U ВЕ) - е. (1.3.5)
Так как А П В = 0, то Ае П В£ С (А А Ае) U (В А Ве). В самом
деле, пусть х £ Ае П Ве. Если х А А АЕ, то х £ А, откуда ж 0 В.
Значит, х £ В А В£. Аналогично, если х $ В А В£, то А А А£.
Поэтому получаем
ц(А£ П В£) = ц*(Л£ П Ве) ф ц*(А А А^) + /х*(В Д В£) ф е.
Из оценок fi(Ae) ^ /х*(А) — е/2 и /i(B£) ^ /х*(В) — е/2, которые
следуют из (1.3.3) и (1.3.4), имеем
ц(Ле U В£) = /х(Ае) + /х(В£) - fi{Ae n Ве) ^ if {А) +fi* (В) - 2е.
С учетом соотношения (1.3.5) это дает
/х*(Аи£)^,х*(А) + /х*(£)-Зе.
В силу произвольности е получаем /х*(А и В) > н*М) + и*(В).
Поскольку /х*(А U В) ф /х*(А) + /х*(В), то
11*{A U В) = /А(А) + /х*(В).
Аддитивность [1 на Л.^ доказана. Проверим теперь, что счетное
объединение измеримых мнолсеств измеримо. /Достаточно доказать
это для непересекающихся множеств Ап £ А/л, поскольку в общем
случае можно положить Вп = Ап\ U/l} Ак, а тогда множества Вп
не пересекаются, по доказанному измеримы и имеют то же объ¬
единение, что и множества Ап. Имея дело с непересекаюгцимися
множествами, замечаем, что ввиду конечной аддитивности д* на
алгебре Ац справедливы следующие соотношения:
п п ОО
XV(4*) =B*(U Ак) < Л* (Q Ак) ^ ц(х).
к=1 fe=l к=1
§1.3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
35
Итак, ряд из у*{Ак) конечен. Пусть е > 0. Выберем п так, что
ОО
Е 1‘Члк)<1-
к—п-f 1
Пользуясь измеримостью конечных объединений, мы найдем такое
множество ВеЛ, что у* (.В Д ljfc=i Ак) < е/2. Ввиду включения
В Д IJ Ак С {В Д IJ Ак) U ( U ЛЛ)
fc=l fc=l к=п+1
получаем
М
fe=i
*(вд IjAfc) влу4 +/ и
к=1
к=п+1
ОО
^ 2 + ^*{Ак) < £■
к=п+1
Итак, Ufcli Д/г G Ам. Тем самым Ам — a-алгебра, поэтому мы име¬
ем а (А) С Ац. Из аддитивности и счетной субаддитивности у*
на Ам следует счетная аддитивность (предложение 1.2.7). □
1.3.10. Предложение. Мера у* является единственным
неотрицательным счетно-аддитивным продолжением меры у на
а-алгебру <т(А), порожденную А, а также единственным таким
продолжением меры у на Ац.
Доказательство. Пусть v — какое-то неотрицательное счет¬
но-аддитивное продолжение у на a (A), A G сг(А) и е > 0. По¬
скольку А € Ам, то найдется В G Л с д*(Д Д В) < е. Это значит,
что существуют такие множества Сп G А, что А А В содержится
в объединении U,TLi Сп и )ГД=1 ц{Сп) < е. Тогда
ОО ОО
\v{A)-v(B)\ ^ v{A Д В) С E-w^E у{С-а) К. Е.
п=1 п=1
Так как v(B) = ц(В) = у*{В), то окончательно получаем
НА) - у*(А)| = ИД) - и(В) + у\В) - у*(А)|
^ ИД) - 1/(2?)| + И(В) - д*(Д)К 2е.
В силу произвольности е приходим к равенству и {А) = у* (А).
Это рассуждение дает единственность неотрицательного счетно¬
аддитивного продолжения у и на Ам, ибо мы использовали лишь
36
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
включение А € Ам (неотрицательность важна, см. ниже). Одна¬
ко из теоремы 1.1.17 следует, что р не может иметь отличных
от р* (даже знакопеременных) счетно-аддитивных продолжений
с Л на <т(Л): легко видеть, что класс множеств А е сг(Л), для
которых р*{А) = i'(Л), является монотонным. □
Обозначение: далее /а* на Aft обозначается символом р.
Приведем пример меры д ^ 0 на сг-алгебре Л, имеющей зна¬
копеременные счетно-аддитивные продолжения на Afl. Положим
X - {0,1}, Л = ог(Л) = {0,Х}, ii = 0, i/({0}) = 1, К{1}) = -1,
ДХ) = 0. Тогда р = v = 0 на Л, точки 0,1 входят в Лм и имеют
нулевую меру относительно продолжения р на Лм, а мера v есть
ненулевое продолжение р.
Следует иметь в виду, что не всякая счетно-аддитивная мера
на под-сг-алгебре Ло в сг-алгебре Л продолжается до меры на Л
(см. задачу 1.16.9).
1.3.11. Пример. Важный частный случай, к которому при¬
менима теорема о продолжении, описан в примере 1.2.11. Так как
a-алгебра, порожденная кубами с ребрами, параллельными коор¬
динатным осям, есть борелевская сг-алгебра, то в результате полу¬
чаем счетно-аддитивную меру Лебега \п на борелевской сг-алгебре
куба (и даже на более широкой сг-алгебре измеримых множеств),
продолжающую элементарный объем. Эта мера более подробно рас¬
сматривается в § 1.4. По теореме 1.3.9 мера Лебега любого борелев-
ского (как и любого измеримого) множества В в кубе есть А* (В).
Возникает вопрос, почему бы нам сразу не задать меру на сг-ал¬
гебре борелевских подмножеств куба этой формулой. Дело в том,
что трудность состоит в проверке аддитивности полученной функ¬
ции множества. Чтобы обойти эту трудность, приходится прове¬
рять аддитивность на более широком классе измеримых множеств
и доказывать, что он является сг-алгеброй.
Дадим теперь новое описание измеримых множеств.
1.3.12. Следствие. Пусть р — неотрицательная счетно¬
аддитивная функция множества на алгебре Л. Множество А яв¬
ляется р-измеримым в точности тогда, когда существуют та¬
кие множества А', А" € сг(Л), что
А' с Ас А" и р*(А"\А') = 0.
Множество А' можно взять в виде Dfeli где Ап^ € А,
а А” в виде U£Li Bn,k, где Bn,k е А.
§ 1.3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
37
Доказательство. Пусть А £ AjL. Для всякого е > 0 найдем
множество Ае £ сг(А), для которого А С Ае и р*(А) > р*{А£) - е.
Действительно, по определению найдутся такие Ап £ А, что
оо оо
А С U Ап и д*(Я) ^ м(Аге) - е.
П=1 п=1
Положим Ае — U^°=i Аг- Ясно, что А С Ае, Ае £ а {А) С Лд.
Счетная аддитивность р* на Лм дает р*(А£) ^ Y^n=i ^(Ап)- По¬
ложим А" = fXLi А/n- Тогда А С А" £ сг(Л) С Л/л, причем
р*{А) = р*(А"), ибо р*(А) > /Т(Л1/п) - 1/n > р*(А") - 1/п для
всех п. Отметим, что для построения А" измеримость А не нужна.
Применим доказанное к дополнению А и найдем содержащее Х\А
множество В £ а (А) С Лм равной с Х\А внешней меры. Поло¬
жим А' = Х\Н. Тогда Л' С Л, причем в силу аддитивности р* на
ст-алгебре А)Л и включений А,В£ Л/4 имеем
/х*(Л') = д(Х) - д*(В) - м(Х) - р*(Х\А) - мДЛ),
что и требовалось. Обратно, пусть такие множества Л' и Л" суще¬
ствуют. Так как Л есть объединение Л' и части Л"\Л', то доста¬
точно проверить, что всякое множество С С А"\А' входит в AjX.
Это верно, ибо у?{С) р*(А"\А') = р*(А") - р*(А') = 0 ввиду
аддитивности д* на Лм и включений Л"Д'бсг(Л)сЛ(1. □
1.3.13. Следствие. Для равенства неотрицательных боре-
левских мер р и v на прямой необходимо и достаточно, чтобы
они совпадали на всех отрезках (или на всех интервалах).
Доказательство. Поскольку отрезок есть пересечение вло¬
женной последовательности интервалов, а интервал есть объедине¬
ние возрастающей последовательности отрезков, то в силу счетной
аддитивности совпадение //, и v на отрезках равносильно совпаде¬
нию на интервалах и влечет равенство обеих мер на алгебре, по-
рожденной промежутками. Так как tr-алгебра, порожденная этой
алгеброй, есть 23 (Н1), то по теореме о единственности продолже¬
ния получаем доказываемое. С
Описанное в теореме 1.3.9 счетно-аддитивное продолжение на¬
зывается лебеговским продолжением или лебеговским пополнени¬
ем меры /г, а измеримое пространство (X, А1Л, р) называется лебе¬
говским пополнением (X, А, р). Кроме того, А1Л называют лебегов¬
ским пополнением алгебры (или сг-алгебры) А относительно р.
38
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Такая терминология (обычно используемая в том случае, когда
А — «г-алгебра) связана с тем, что мера р на Л/( является полной
в смысле следующего определения.
1.3.14. Определение. Неотрицательная счетно-аддитивная
мера р на о-алгебре А называется полной, если А содержит все
подмножества всякого множества из А, имеющего р-мерху нуль.
В этом случае говорят также, что а-алгебра А полна относи¬
тельно меры р. Точно так эюе определяют полноту меры на ал¬
гебре или кольце.
Из определения внешней меры видно, что если А с В € A)L
и р(В) — 0, то А <5 Ац и р(А) — 0. Полнота ограниченной меры р
на (7-алгебре А равносильна равенству А = А1Л (задача 1.16.20).
Примером неполной счетно-аддитивной меры служит нулевая
мера на сг-алгебре, состоящей из пустого множества и [0,1]. Бо¬
лее содержательный пример: мера Лебега на сг-алгебре борелевских
подмножеств отрезка или куба, построенная с помощью приме¬
ра 1.2.11. Мы увидим в § 1.4, что существуют компакты в [0,1] нуле¬
вой меры Лебега, содержащие неборелевские подмножества (мож¬
но также взять неборелевское подмножество отрезка в квадрате).
Множества меры нуль называют пренебрежимыми.
Следующий критерий измеримости (представляющий собой ис¬
ходное определение Лебега) говорит, что существование неизмери¬
мых множеств равносильно неаддитивности внешней меры.
1.3.15. Предложение. Пуст,ь р — неотрицательная счет¬
но-аддитивная мера на алгебре А. Множество А входит в Afl
в точности тогда, когда р*(А) + р*(Х\А) = р(Х). Это равно¬
сильно такэюе тому, что р*{ЕГ\А)+р*(Е\А) — р*(Е) для всякого
множества Е С X.
Доказательство. Проверим достаточность первого из ука¬
занных условий (тем самым окажется достаточным и более сильное
второе). Найдем такие д-измеримые множества В и С, что А с В,
У\Л с С, р{В) — д*(Л), р{С) — р*(Х\А). Существование та¬
ких множеств было установлено в доказательстве следствия 1.3.12.
Очевидно, что Х\С С Л и
р(В) - р(Х\С) = р(В) + д(С) - р(Х) = 0.
Следовательно, р*(А Д В) — 0, откуда вытекает измеримость А.
Установим необходимость второго из упомянутых в формули¬
ровке условий. В силу субаддитивности внешней меры достаточно
§ 1.3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
39
проверить, что р*{Е П А) + р*(Е\А) ^ Р*(Е) для всех Е С X
и А € А1Л. Пусть е > 0. Найдем такие множества Ап € А, что
оо оо
Е С Ап и Iи*(Е) ^ 'У ^ д(Ап) — £.
П=1 71=1
Тогда Е П А С U£Li(Ai П А) и £\А с ЦГ=1(АЛ^)> откуда ввиду
аддитивности д* на получаем
оо оо
д* {Е П А) + д* {Е\А) ^^2fi*{AnnA) + J2 ^ VА) =
71=1 П=1
оо оо
= 2 д*(Ап) = Е ^ < М*(Я) + £•
П=1 71=1
В силу произвольности е утверждение доказано. □
Данный критерий измеримости можно сформулировать как ра¬
венство д* (А) = д* (А), если внутреннюю меру задать равенством
Д*(А) := д(Х)-д*(Х\А),
как и было фактически сделано Лебегом. Следует только иметь
в виду, что при этом нельзя пользоваться определением внутрен¬
ней меры в духе меры Жордана как точной верхней грани мер
множеств из алгебры А, вписанных в А.
1.3.16. Замечание. Всякое множество А € At, можно превра¬
тить в пространство с мерой, ограничив д на класс д-измеримых
подмножеств А, представляющий собой сг-алгебру в А. Полученная
мера ра (или д|а) называется ограничением или сужением д на А.
1.3.17. Замечание, (i) Пусть д — счетно-аддитивная неотри¬
цательная мера на полукольце СИ. Множество А С X называется
измеримым по Каратеодори относительно д, если для всякого мно¬
жества Е С X справедливо равенство
д*(£ПА)+д*(Я\А) =д*(Я).
Пусть — класс всех измеримых по Каратеодори множеств (по¬
дробное обсуждение см. в [6, гл. 1]). Аналог теоремы 1.3.9 имеется
и для мер со значениями в [0, +оо], а также для мер на кольцах, од¬
нако при этом вместо класса Ам приходится брать либо класс СЖц,
либо совпадающий с Ш1М в случае счетно-аддитивной меры класс
локально измеримых множеств
л;г := м С X: АП Е е Ац для всех Е € А с р(Е) < оо}.
40
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Класс Лц из определения 1.3.1 для меры со значениями в [0, +оо]
может не быть сг-алгеброй. Рассмотрим такой пример: пусть А —
алгебра конечных множеств в IN и их дополнений, д(Л) = оо, если
А £ А непусто, д(0) = 0. Тогда мера д со значениями в [0, +оо]
счетно-аддитивна. При этом из неравенства ц*(Е) < оо следует,
что Е = 0. Поэтому Л/( совпадает с Л и не является сг-алгеброй.
(ii) Пусть конечная мера д ^ 0 счетно-аддитивна на кольце 31
и сг-конечна, т.е. X = {J™=1Rk, где Rk £ 31 и p{Rk) < оо. Тогда
теорема 1.3.9 позволяет легко построить продолжение д до счетно-
аддитивной меры со значениями в [0, +оо] на ст-алгебре а(31), по¬
рожденной 31. В самом деле, перейдя к Ц^=1 Rj, можно считать,
что Rk С Rk+i- Для каждого к мера /г имеет единственное счетно¬
аддитивное продолжение на ст-алгебру Л*, подмножества Rk, поро¬
жденную пересечениями RPiRk, где R £ Я, ибо такие пересечения
образуют алгебру и д конечна и счетно-аддитивна на ней. Очевид¬
но, что эти продолжения согласованы, т. е. продолжение на Л;с+1
на множествах из Л*, дает то же, что и продолжение на Л/,;. Лег¬
ко проверить, что сг(31) есть класс всех таких множеств Е, что
Ef]Rk £ Л/,, для каждого к. Теперь продолжение на cr(3t) задается
формулой
д(£) = lim ц(Е П Rk),
к—*оо
где fj,(EPiRk) есть значение на ЕП Rk продолжения д на Ак. Полу¬
ченное продолжение счетно-аддитивно. Действительно, для дизъ¬
юнктных Aj £ ai Ji) множества Aj ПRk дизъюнктны при каждом к,
откуда n(Rk П (Jyli Aj) = YlpLi V>iAj n Rk)- Легко видеть, что ра¬
венство остается и в пределе к —* оо (включая случай бесконечных
значений). Той же формулой д продолжается и на более широкий
класс <т(3?-)дС.
§ 1.4. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
Вернемся к мере Лебега, которая была рассмотрена в приме¬
рах 1.2.11 и 1.3.11. Пусть I — куб в К” вида [а,Ь]п, Ло — алге¬
бра конечных объединений параллелепипедов из I с ребрами, па¬
раллельными координатным осям (эти параллелепипеды называют
брусами).
Как мы знаем, обычный объем Хп счетно-аддитивен на Ло
и продолжается до счетно-аддитивной меры, также обозначаемой
через \п и называемой мерой Лебега на сг-алгебре £„(/) всех
Ап-измеримых множеств в I, содержащей борелевскую гг-алгебру.
§ 1.4. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
41
Представим ГО” в виде объединения возрастающей последователь¬
ности кубов Ik = {|a?j| ^ к, г = 1,... ,п} и положим
Сп \= {Е С IRn: Е П Ik € Ln(h) для всех к € 1N}.
Легко проверить, что £п — ст-алгебра. На ней формула
Хп(Е) = lim Хп(Е П Ik)
к—> оо
задает ст-конечную меру Ап.
1.4.1. Определение. Указанная выше мера Хп на Еп называ¬
ется мерой Лебега на ГО”. Множества из Еп называются изме¬
римыми по Лебегу.
В тех случаях, когда подмножества ГО” рассматриваются с ме¬
рой Лебега, обычно используются термины «множество меры
нуль», «измеримое множество» и т.п. без явного упоминания ме¬
ры Лебега. Мы также будем следовать этой традиции.
Для задания меры Лебега множества Е € £п можно использо¬
вать и формулу
ОО
\n(E) = ^2xn(EnQj),
з=1
где Qj — попарно непересекающиеся кубы, являющиеся сдвигами
[-1,1)” и дающие в объединении все ГО”. Поскольку <т-алгебра,
порожденная параллелепипедами указанного выше вида, есть бо-
релевская cr-алгебра Ъ{1) куба I, то все борелевские множества
в кубе I, а значит и во всем ГО”, измеримы по Лебегу.
Меру Лебега можно рассматривать также на кольце £° всех
множеств конечной меры Лебега, замкнутом относительно счетных
пересечений.
В одномерном случае мера Лебега множества Е есть сумма ряда
из Ai (Е П (п, п + 1]) по всем целым числам п.
Рассмотрим основные свойства меры Лебега.
Сдвиг множества А на вектор /г, т. е. множество всех точек
вида а + h, где а € А, обозначим через А + h.
1.4.2. Теорема. Пусть А — измеримое по Лебегу множество
конечной меры. Тогда
(i) Хп{А + h) = АП(Л) для всякого вектора h € ГО”;
(ii) Ап(аЛ) = |а|”А„(Д) для всякого вещественного числа а;
(in) An(U(A)) = Хп(А) для всякого ортогонального линейного
оператора U на ГО”.
42
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Доказательство. Из определения меры Лебега ясно, что до¬
статочно рассматривать ограниченные множества.
(i) Возьмем такой куб I с центром в начале координат, что мно¬
жества А и А + h содержатся в некотором кубе внутри I. Пусть
Л0 — алгебра, порожденная кубами в I с ребрами, параллельны¬
ми координатным осям. При определении внешней меры А можно
рассматривать лишь такие множества В € Ло, что В + h С I.
Поскольку объемы множеств из Ло не меняются при сдвигах, то
множества А + h и А имеют одинаковые внешние меры. Для каж¬
дого е > 0 найдется множество А£ € Ло с А* (А А Ае) < е. Тогда
а; ((л + h) л (а£ + h)) = а; ((А а ад + ь) = ада а а£) < е>
откуда следует измеримость А + h и доказываемое равенство.
Утверждение (И) очевидно для множеств из Ло и потому, как
и (i), переносится на все измеримые множества.
(iii) Здесь также достаточно доказать наше утверждение для
множеств из Ло- Поэтому остается показать, что для всякого за¬
мкнутого куба К с ребрами, параллельными координатным осям,
справедливо равенство
Xn{U(K))=Xn(K).
Допустим, что это неверно для некоторого куба К, т. е.
Xn(U(K))=rXn(K), где г ф\.
В силу утверждений (i) и (и) последнее равенство верно для всяко¬
го замкнутого куба, с ребрами параллельными координатным осям.
Легко проверить, что грань любого куба имеет меру нуль. Поэто¬
му Xn(U(E)) = гХп(Е) для множеств Е, являющихся конечными
объединениями кубов, имеющих ребра, параллельные координат¬
ным осям, и попарно непересекающиеся внутренности. Пусть В —
единичный шар и В£ — шар радиуса 1 + е. Возьмем множество Е
указанного вида так, что В с Е С ВЕ. Тогда
Хп{В)сХп(Е)^(1 + е)пХп{В).
Так как U{B) С U(E) С U(Be) и Xn(U(B)) = Xп(В), то
хп(В) С Xn(U(E)) ^ (1 + е)пХп(В).
Значит, (1 + е)~п ^ г < (1 + е)п. При достаточно малом е > 0 мы
получаем противоречие с тем, что г Ф 1. □
Отметим, что свойство (И) меры Лебега является следствием
свойства (i), ибо из (i) оно следует для куба и а, — 1/т, где m € IN,
§ 1.4. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
43
затем переносится на рациональные а, что по непрерывности при¬
водит к общему случаю. При этом свойство (i) характеризует ме¬
ру Лебега с точностью до множителя (задача 1.16.16). Тем самым
свойство (Hi) также следует из (i) (обоснуйте это!). Из теоремы 1.4.2
вытекает, что мера Лебега всякого прямоугольного параллелепипе¬
да Р с I (а не только с ребрами, параллельными координатным
осям) равна произведению длин его ребер.
1.4.3. Следствие. В предыдущей теореме для всякого линей¬
ного оператора Т в И71 имеем А„(Т(Л)) — | detT|An(H).
Доказательство. Как и выше, достаточно иметь это равен¬
ство для куба. Для диагонального оператора оно верно. Ортого¬
нальный оператор не меняет меру. Если detT = 0, то образ Т явля¬
ется собственным подпространством и имеет меру нуль. Наконец,
невырожденный оператор молено записать в виде Т = USV, где
операторы U и V ортогональны, a S диагоналей. □
Всякое счетное множество имеет лебеговскую меру нуль. Как
показывает следующий пример канторовского множества, описан¬
ного в примере 1.1.5, существуют и несчетные множества лебегов-
ской меры нуль.
1.4.4. Пример. Множество Кантора С замкнуто и имеет мощ¬
ность континуума, но лебеговскую меру нуль, ибо мера множества,
остающегося после n-шага построения С, равна 2П3-П.
1.4.5. Пример. Пусть е > 0 и {гп} — множество всех рацио¬
нальных точек из [0,1]. Положим
оо
К = [0,1]\ IJ (гп - е4~п, гп + е4_п).
П= 1
Тогда К — компакт без внутренних точек с мерой Лебега не меньше
1 — е, ибо мера [0,1]\К не превосходит 2е4-п.
Таким образом, положительность меры компактного множе¬
ства не означает, что у него есть внутренние точки.
Отметим, что всякое подмножество канторовского множества
также имеет меру нуль. Из этого вытекает, что совокупность всех
измеримых множеств имеет мощность, равную мощности класса
всех подмножеств прямой. Можно показать (см. [6, гл. 6]), что бо-
релевская сг-алгебра имеет мощность континуума. Поэтому среди
подмножеств канторовского множества имеются неборелевские из¬
меримые множества.
44
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Естественно возникает вопрос, сколь обширен класс измеримых
по Лебегу множеств и охватывает ли он все множества. Оказывает¬
ся, что ответ на этот вопрос зависит от привлечения дополнитель¬
ных теоретико-множественных аксиом и принципиально не может
быть дан в рамках «наивной теории множеств» без аксиомы выбо¬
ра. Во всяком случае, как показывает следующий пример Витали,
с помощью аксиомы выбора легко строится пример неизмеримого
по Лебегу множества.
1.4.6. Пример. Будем считать точки х и у из [0,1] эквива¬
лентными, если число х — у рационально. Ясно, что полученное от¬
ношение действительно является отношением эквивалентности,
т. е. 1) х ~ х, 2) у ~ х при х ~ у, 3) х ~ г при х ~ у и у ~ z. Та¬
ким образом, возникают классы эквивалентности, объединяющие
точки, которые отличаются друг от друга на рациональное число,
причем разности между представителями различных классов ир¬
рациональны. Выберем теперь из каждого класса ровно по одному
представителю и обозначим полученное множество через Е. Воз¬
можность такого построения как раз и обеспечивается аксиомой
выбора. Множество Е не может быть измеримо по Лебегу!
Действительно, если его мера равна нулю, то мера [0,1] также
равна нулю, ибо [0,1] покрывается счетным множеством сдвигов Е
на всевозможные рациональные числа. Положительной мера мно¬
жества Е тоже не может быть, ибо для различных рациональных
р и q множества Е + р и Е + q не пересекаются и имеют равную
меру с > 0. Так как Е+р с [0,2] при р £ [0,1], то [0,2] будет иметь
бесконечную меру. Множество Е называют множеством Витали.
Этот пример показывает также, что на кольце всех ограничен¬
ных множеств нет ненулевой конечной счетно-аддитивной меры,
инвариантной при сдвигах. Из утверждения (ш) предложения 1.2.7
заключаем, что внешняя мера на классе всех множеств неадди¬
тивна. Именно поэтому ее сужают на класс измеримых множеств.
Следует, однако, иметь в виду, что вместо аксиомы выбора мож¬
но присоединить к стандартным теоретико-множественным аксио¬
мам такое предположение, что все подмножества прямой окажут¬
ся измеримыми. Заметим еще, что далее если использовать акси¬
ому выбора, то все равно остается такой вопрос: существует ли
какое-нибудь продолжение меры Лебега до счетно-аддитивной ме¬
ры на классе всех подмножеств отрезка? Пример Витали говорит
лишь, что такое продолжение не может быть инвариантным от¬
носительно сдвигов. Ответ на поставленный вопрос также зависит
§ 1.4. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
45
от привлечения дополнительных теоретико-множественных аксиом
(см. § 1.12(х) в книге [6]). Во всяком случае, лебеговское продолже¬
ние заведомо не является максимально возможным: можно пока¬
зать, что для каждого множества Е с [0,1], неизмеримого по Лебе¬
гу, найдется продолжение меры Лебега до счетно-аддитивной меры
на ст-алгебре, порожденной всеми измеримыми по Лебегу множе¬
ствами в [0,1] и множеством Е.
Важное свойство измеримости по Лебегу на IRn — ее инвари¬
антность относительно широкого класса преобразований.
1.4.7. Теорема. Пусть отображение /: Ш.п —► ГО," липшице-
во на ограниченных множествах. Тогда / переводит измеримые
по Лебегу мнооюест.ва в измеримые. Если же / имеет обратное,
которое липшицево на ограниченных множествах, т,о прообразы
измеримых по Лебегу множеств измеримы.
Доказательство. Пусть А с ГО," измеримо по Лебегу. Доста¬
точно рассмотреть ограниченное А. Пусть С — постоянная Лип¬
шица отображения /. Для всякого е > 0 найдется компакт К£ С А
с Х(А\К£) < е. Тогда f(KE) — компакт в f(A). Покажем, что
X*(f(A)\f(Ke)) ^ 2Спе\ ввиду произвольности е это будет озна¬
чать измеримость /(Л). Найдем такую последовательность замкну¬
тых шаров Bj := B(xj,rj), что А\Ке С UpLi &з и X/pLi -ЧЧ/) Ч 2е.
Тогда имеем f(A)\f(KE) с UpLi /(#,), откуда вытекает оценка
X*(f(A)\f(ke)) ^ Х)^=1 МЯ-В?))- Остается заметить, что /(Щ)
входит в шар B(f(x.j),Crj) меры CnX(Bj). Второе утверждение
теоремы следует из первого. □
В предложении 1.5.14 мы увидим, что здесь недостаточно по¬
требовать лишь непрерывность / (даже вместе с обратным).
Отметим, что эта теорема верна отнюдь не для всякой боре-
левской меры. Например, если мера р на [0,1] задана формулой
р(А) — А(Л П [0,1/2]), A G 23([0,1]), то все множества из [1/2,1]
имеют р-меру нуль, однако при отображении х н-> х/2 некоторые
из них перейдут в неизмеримые подмножества [0,1/2].
Напомним определение меры Жордана (или Пеано-Жордана,
что более точно отражает историю вопроса).
1.4.8. Определение. Ограниченное множество Е в ГО," назы¬
вается измеримым по Жордану, если для всякого е > 0 существу¬
ют множества Ue и Ve, являюьищеся конечными объединениями
кубов, такие, что U£ С Е с V6 и Xn(V£\Ue) < е.
46
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
При е —> 0 существует общий предел мер Ue и Ve, называе¬
мый мерой Жордана множества Е. Из определения очевидно, что
всякое измеримое по Жордану множество Е измеримо и по Лебегу,
причем его мера Лебега совпадает с мерой Жордана (кстати, суще¬
ствование предела мер U£ и Ve легко установить непосредственно,
но из свойств меры Лебега оно следует сразу). Обратное неверно:
например, множество рациональных чисел отрезка не является из¬
меримым по Жордану.
Совокупность измеримых по Жордану множеств — кольцо (см.
задачу 1.16.19), и на нем мера Жордана совпадает с мерой Лебе¬
га. Разумеется, мера Жордана счетно-аддитивна на своей области
определения, а ее лебеговское продолжение есть мера Лебега.
Продолжение потребовалось именно потому, что класс изме¬
римых по Жордану множеств не замкнут относительно счетных
объединений.
Перейдем к рассмотрению мер Лебега-Стилтьеса. Пусть д —
неотрицательная борелевская мера на Е11. Тогда функция
t >-> F(t) = д((-ооЛ))
ограничена, возрастает, непрерывна слева, т. е. F{tn) —> F(t) при
tn 11, что вытекает из счетной аддитивности д, причем справедли¬
во равенство lim F{t) = 0. Эти условия оказываются и достаточ-
t—>—oо
ными для того, чтобы функция F порождалась некоторой мерой по
указанной формуле. Функция F называется функцией распределе¬
ния меры д. Отметим, что иногда функцию распределения задают
формулой F(t) — д((—ооЛ]), что приводит к отличию в точках
положительной д-меры. Действительно, если д({Д) = с > 0, то
д((—ооД]) = д((—ооД)) + с; при этом F(s) — F(t) — д([£, s)) ^ с
при s > t, поэтому скачки функции F — это точки положительной
д-меры. Если д — вероятностная мера, то lim F(t) = 1.
£-^-f-oo
Напомним, что любая монотонная функция F имеет не более
чем счетное множество точек разрыва. Действительно, если, ска¬
жем, F возрастает, то для каждой точки разрыва t мы имеем
a(t) := lim F(s) < /3(t) = lim F(s),
но /3(ti) ^ afa) при t\ < t<2- Значит, каждой точке разрыва сопо¬
ставлен непустой интервал, причем разным точкам сопоставлены
дизъюнктные интервалы. Понятно, что таких интервалов лишь ко¬
нечное или счетное множество.
§1.4. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
47
1.4.9. Теорема. Пусть F — ограниченная, неубывающая
и непрерывная слева функция, причем lim F(t) — 0. Тогда суще-
t—> —ОО
ствует и единственна такая неотрицательная борелевская мера
на И1, что F(t) = /./,((—oo,i)) для всех t £ Ю,1.
Доказательство. Если F ф 0, то можно перейти к случаю,
когда lim F(t) = 1. Возьмем счетное всюду плотное множество S
t—>+оо
точек непрерывности F. Рассмотрим класс А всех множеств вида
А = UiLi «7») где Ji — промежуток одного из четырех типов (а, Ь),
[а, Ь], (а, Ь] или [а, b), причем а и Ъ либо входят в S, либо совпадают
с —оо или +оо. Легко проверить, что А — алгебра.
Зададим функцию множества р на А следующим образом: ес¬
ли А — промежуток с концами в а иЪ из А, причем а ^ Ь, то
р(А) = F(b) — F(a), где F(—оо) - 0, F(+oо) = 1, а если А есть
конечное объединение непересекающихся промежутков Д, то по¬
ложим р(А) — Ясно, что функция р корректно определе¬
на и аддитивна. В силу теоремы 1.2.9 для доказательства счетной
аддитивности р на А достаточно проверить, что в каждом мно¬
жестве А € А при каждом е > 0 можно найти такое конечное
объединение К£ отрезков с концами в S, что р(А\Ке) < е. Доста¬
точно сделать это для открытых или полуоткрытых промежутков.
Например, если J = (а,Ь), где а и Ъ входят в S (или совпадают
с точками +оо, — оо), то в силу непрерывности F в точках из S
имеем F(b) — F(a) = lim [F(bi) — F(m)], где щ | a, bi | b, сц, bi £ S.
г—хх>
Если а = — оо, то это же вытекает из условия lim F(t) = 0.
t—> — ОО
Продолжим функцию р до меры на а-алгебре 23 (IR1), которая
порождается алгеброй А в силу плотности S.
Заметим, что F(t) = р((—оо, t)) для всех t, а не только для
t £ S, ибо обе функции непрерывны слева и совпадают на S. Един¬
ственность р ясна из того, что F однозначно задает значения р на
промежутках. В этом доказательстве ввиду предложения 1.2.8 вме¬
сто А можно было взять полуалгебру промежутков вида (—со, 6),
[а, Ь), [а, +оо), хде a,b £ S (либо далее с любыми а, 6, ибо здесь важ¬
на лишь непрерывность F слева). Для меры на [0,1) можно исполь¬
зовать и полуалгебру промежутков [0,а) со всеми а £ [0,1]. □
Мера, р, построенная выше по функции F, называется мерой
Лебега-Стилтъеса с функцией распределения F. Такие меры вале¬
ны в теории вероятностей и различных ее приложениях. Ниже бу¬
дет рассмотрен связанный с ними интеграл Лебега-Стилтьеса.
48
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
§ 1.5. Измеримые функции
Для введения интеграла нужны измеримые функции. Несмот¬
ря на свое название, понятие измеримости функций определяется
в терминах сг-алгебр и никак не связано с мерами. Связь с мера¬
ми возникает тогда, когда берется ст-алгебра всех множеств, изме¬
римых относительно фиксированной меры. Этот важный частный
случай рассмотрен в конце параграфа.
1.5.1. Определение. Пусть (X, Л) — пространство с а-ал-
геброй. Функция /: X —> И1 называется измеримой относитель¬
но А (или Л-измеримой), если {ж: /(ж) <с}£Л для всех с Е Ж1.
Простейший пример Л-измеримой функции — это индикатор
1а множества Л € Л, задаваемый так: /д(ж) = 1 при х € А,
1а{%) — 0 при х А. Индикатор множества А называют также
характеристической функцией А или индикаторной функцией А.
Множество {ж: 1д(ж) < с} пусто при с ^ О, равно дополнению А
при с 6 (0,1] и совпадает с X при с > 1. Конечно, включение А Е Л
является и необходимым для Л-измеримости /д.
1.5.2. Теорема. Функция / измерима относительно а-алгеб-
ры А в точности тогда, когда f~1(B) Е Л для всех В Е 23(Ж1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / — Л-измеримая функция. Обозна¬
чим через 23 совокупность всех таких множеств В Е 23 (IR1), что
f~1(B) Е А. Покажем, что Ъ — а-алгебра. Действительно, если
Вп Е 23, то /_1(U^Li Вп) = U^Li/_1(^n) € Л. Кроме того, при
В Е 23 имеем /-1(Ж1\1?) = X\f~l (В) Е А. Так как 23 содержит
лучи (—ею, с), то 23(Ж1) с В, т. е. 23(IRJ) = Ъ. Обратное утвержде¬
ние очевидно, ибо лучи — борелевские множества. □
Измеримость / равносильна также тому, что /-1(В) € Л для
всех множеств В из какого-либо класса, порождающего ©(Ж1). На¬
пример, тому, что {ж: /(ж) ^ с} Е А для всех рациональных с, или
тому, что {ж: / (ж) Д}еЛ для всех рациональных с, или же тому,
что {ж: а < /(ж) ^ b} Е А для всех а, Ь (см. предложение 1.1.14).
Запишем / в виде / = /+ — /~, где
/+(ж) := тах(/(ж),0) и /“(ж) := max (-/(ж), 0).
Заметим, что Л-измеримость / равносильна Л-измеримости обеих
функций /+ и /~. Например, при с > 0 имеет место равенство
{ж: /(ж) < с} = {ж: /+(ж) < с}.
§1.5. Измеримые функции
49
Из определения видно, что сужение /\е всякой А-измеримой
функции / на любое множество Е С X измеримо относительно
индуцированной ст-алгебры Ае = {А П Е: А € А}.
1.5.3. Пример. Любая непрерывная функция / является бо-
релевской, поскольку в этом случае множества {х: /(ж) < с} от¬
крыты, а потому являются борелевскими.
Важный подкласс A-измеримых функций образуют простые
функции, т. е. такие A-измеримые функции /, которые принима¬
ют лишь конечное множество значений. Таким образом, простая
функция / имеет вид / = Y17=l сД/1р гДе °г € IR1, А% £ А, т. е. явля¬
ется конечной линейной комбинацией индикаторов множеств из А.
Очевидно, что верно и обратное (убедитесь в этом!). Представление
простой функции в указанном виде не единственно, однако легко
перейти к представлению, в котором все числа с* различны, а мно¬
жества А{ дизъюнктны. Для этого достаточно взять все различные
значения функции / и их полные прообразы.
Часто бывает полезно следующее более общее определение.
1.5.4. Определение. Пусть (Xi, АД и (Х2,А2) — простран¬
ства с а-алгебрами. Отображение /: Х\ —■» Х2 называется из¬
меримым относительно пары (Ai,A2) или (Ai, А2)-измеримым,
если /_1(П) £ А\ для всех В £ А2.
Если взять (Х2,А2) = (IR1,23(Л11)), то мы приходим к опре¬
делению Ai-измеримой функции. В другом частном случае, когда
Х\ — (ЕТ\ !В(Ш.П)) и Х2 = (lRfc,B(IRfc)), мы приходим к понятию
борелевского (или измеримого по Борелю) отображения.
1.5.5. Предложение. Пусть А — а-алгебра в X. Функции
/1,..., fn на X измеримы относительно А в точности тогда,
когда отображение F — (Д,...,/п): X —> IR" измеримо относи¬
тельно пары (А. 23 (Щ")).
Доказательство. Измеримость отображения F дает измери¬
мость всех Д, ибо /Д1((-оо,с)) есть прообраз при F открыто¬
го множества {хг < с}. Обратно, пусть все /г измеримы. Тогда
F-1(R) £ А для всякого В вида (ац&Дх ••• х (ап,Ьп). Легко
проверить (задача 1.16.1), что класс 23 всех таких В £ 23 (ШТ),
что f~1(B) £ А, есть сг-алгебра. Так как 23(IRn) — наименьшая
сх-алгебра, содержащая параллелепипеды указанного вида (зада¬
ча 1.16.2), то приходим к равенству 23 = 23(ИП). □
50
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
1.5.6. Предложение. Если функция / измерима относитель¬
но G-алгебры Лир — борелевская функция, то A-измерима и фун¬
кция р о /. Более общим образом, если функции Д,..., fn измери-
мы относительно А, отображение F = (/i,...,/„) принимает
значения в множестве Y С IRn, на котором задана борелевская
функция р, то функция p(fi,..., /„) измерима относительно А.
В частности, это верно, если р непрерывна на Y.
Доказательство. Первое утверждение сразу следует из тео¬
ремы 1.5.2 и равенства (ро/)~г(В) = /_1(^_1(В)). Для доказа¬
тельства второго заметим, что борелевость р на Y означает, что
чгЩ —оо,с)) = Y П В, где В € 23(IRn) (см. сказанное после опре¬
деления 1.1.13). Поэтому (poF)^1 ((—оо,с)) = F~l(B) € Л в силу
предыдущего предложения. Наконец, непрерывная на Y функция
р является борелевской на Y, так как множество {у: р(у) < с]
можно представить в виде Y П U, где U открыто в Ип (это следует
из того, что для всякой точки Уо е Y имеется открытый шар V
с центром в у0, для которого р(у) < с при всех у £ Y П V). □
1.5.7. Теорема. Пусть функции f, g, fn, где п 6 IN, измеримы
относительно а-алгебры А. Тогда
(i) измеримы относительно А функции fg и af + /Зд для всех
чисел а, (3 £ Ш,1, а если g ф 0, т.о A-измерима и функция f /д\
(и) если существует конечный предел fo(x) = lim fn(x) при
п—>оо
всех х, то функция /о измерима относительно Л;
(Ш) если функции sup fn(x) и inf fn(x) конечны при всех х, то
п п
они измеримы относительно А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение (i) вытекает из предыдущего
предложения, в котором надо взять функции ах + (Зу, ху и х/у (на
множестве у Д 0). Менее очевидно утверждение (п), вытекающее
из следующего легко проверяемого соотношения:
ОО ОО ОО 1
{х: f0(x) < с} = У (J Р) {ж: fm(x) < с-
k=1 n= 1 т—п
Для доказательства (ш) заметим, что
sup„ fn(x) = lim тах(/Дж), ...,fn(x)),
гДе функция max(/i,..., fn) измерима ввиду предыдущего предло¬
жения. Утверждение для inf проверяется аналогично. □
§ 1.5. Измеримые функции
51
1.5.8. Замечание. Для функций / со значениями в расши¬
ренной прямой IR = [—оо, +оо] определяют Л-измеримость, требуя
включения /_1(—оо), /-1(+оо) G Л и Л-измеримость / на / ДЛЗ).
Это равносильно измеримости в смысле определения 1.5.4, если
на Ж взять сг-алгебру Ъ (Ж), состоящую из борелевских множеств
обычной прямой с возможным добавлением точек — оо, +оо. Тогда
для функций со значениями в IR имеет место аналог доказанной те¬
оремы, если положить +оо+с — +оо при с G (—оо, +оо], +оо-0 = О,
+оо • с = Too при с > 0, Too • с = -оо при с < 0, причем при
рассмотрении сумм не допускать выражений — оо Т оо (например,
если рассматривать функции fug, принимающие значения либо
в [—оо,Тоо), либо в (—оо,Тоо]).
Покажем, что измеримые функции приближаются простыми:
ограниченные равномерно, а в общем случае поточечно.
1.5.9. Предложение. Пусть Л — некоторая а-алгебра под¬
множеств пространства X. Тогда для всякой ограниченной
A-из меримой функции / найдется последовательность простых
функций fn, сходящаяся к / равномерно на X. Можно сделать
эту последовательность возрастающей.
Доказательство. Поделив на постоянную и добавив посто¬
янную, можно считать, что 0 ^ /(ж) ^ 1. Для каждого п € IN
разделим [0,1) на 2П непересекающихся промежутков
Ij = [U - 1)2-", J2-")
длины 2-п, причем в Д» включим 1. Положим Aj = /~1(Д). Яс¬
но, что Aj & А и Uj>i Aj = X. Зададим функцию fn равенством
fn{ж) = (j — 1)2~п при ж € Aj. Тогда /п — простая функция, причем
suPxeA' |/(ж) ~ 1п(х)\ < 2~п, ибо / переводит Aj в Ij, a fn отобра¬
жает Aj в левый конец Ij, отстоящий от любой точки Ij не более
чем на 2~п. Легко проверить, что /„(ж) ^ /пы(ж). □
Рассмотрим теперь неограниченные функции.
1.5.10. Следствие. Пусть А — некоторая cr-алгебра подмно¬
жеств пространства X. Тогда для всякой A-измеримой фпункции
/ найдется последовательность простых функций fn, сходящаяся
к / в каждой точке. Если / ^ 0, то последовательность {/„}
можно выбрать возрастающей. Наконец, в общем случае можно
взять fn так, что |/п(ж)| ^ |/(ж)|.
52
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Доказательство. Функция д arctg/ измерима и прини¬
мает значения в (—7г/2,7г/2). Как показано выше, найдутся про¬
стые функции дп со значениями в [—тг/2,7г/2), поточечно возраста¬
ющие к д. Если / ^ 0, то их можно взять со значениями в [0,7г/2).
В общем случае, отказавшись от монотонности {(/„}, можно вы¬
брать дп со значениями в (—тг/2, тг/2); например, можно переопре¬
делить каждую функцию дп значением — л/2 + 1 /п на множестве
{х: дп(х) ^ —7г/2 + 1 /п}. Функции /п = tgдп обладают нужными
свойствами. Последнее утверждение следствия легко усмотреть из
доказательства. □
Еще раз обратим внимание читателя на то обстоятельство, что
пока при обсуждении измеримых функций не появлялись меры.
Предположим теперь, что на п-алгебре Л подмножеств простран¬
ства X задана неотрицательная счетно-аддитивная мера д. Тогда
А/г — пополнение А относительно д — может быть шире А.
1.5.11. Определение. Вещественная функция f на X назы¬
вается д-измеримой, если она измерима относительно а-алгебры
Ац всех д-измеримых множеств.
Будем считать g-измеримой также всякую функцию f, ко¬
торая не определена на некотором мпоо/сестве Z g-меры нуль или
бесконечна на Z, а на X\Z является А^-измеримой. Множество
всех д-измеримых функций обозначим через £°(/г).
В случае меры со значениями в [0, +оо] определение аналогич¬
но, но вместо Afl берется Л|‘,)С.
Итак, /.«-измеримость функции / означает, что / определена
всюду, кроме, возможно, множества меры нуль, причем для всех
с € Ж1 имеем {х: /(х) < с} G А^ (или Л|^с в случае бесконеч¬
ной меры). Конечно, д-измеримых функций может быть больше,
чем Л-измеримых. Если /«-измеримая функция f не определена
на множестве Z меры нуль, то при любом доопределении ее на Z
она будет Л ^-измеримой. Из дальнейшего будет видна оправдан¬
ность более широкого понятия измеримой функции, допускаемого
второй частью определения. Когда в конкретных ситуациях идет
речь об измеримой функции, бывает ясно, определена ли она всю¬
ду или лишь почти всюду, и специально это не оговаривается. Ино¬
гда такое уточнение необходимо. Например, если рассматривается
континуум функций fa(t) = (t - а)-1 на [0,1], где а € [0,1], то
с формальной точки зрения у этих функций нет ни одной общей
точки области определения.
§ 1.5. Измеримые функции
53
Когда ясно, о какой мере д идет речь, д-измеримость называ¬
ют измеримостью. Имея дело с мерой Лебега на IRn, говорят об
измеримости по Лебегу или просто об измеримости.
Для функций со значениями в [—оо, +ос] (возможно бесконеч¬
ных на множестве положительной меры) д-измеримость понима¬
ется так: /_1(-схэ), /-1(+оо) € Ам, а на множестве {|/| < оо}
функция / д-измерима. Такие функции мы не будем причислять
к £°(д) (да и вообще не будем их рассматривать); во избежание
путаницы их удобнее называть не функциями, а отображениями.
1.5.12. Определение. Две д-измеримые функции fug на¬
зываются эквивалентными, если они равны вне множества меры
нуль. При этом fug называются модификациями или версиями
друг друга. Обозначение: / ~ д.
Так как объединение двух множеств меры нуль имеет меру
нуль, то это дает отношение эквивалентности на £°(д). Простран¬
ство классов эквивалентности обозначается через Т°(д).
Таким образом, можно считать, что элемент Т°(д) — некоторая
измеримая функция (представитель класса эквивалентности) и все
почти всюду ей равные функции; представители разных классов
отличаются на множестве положительной меры.
1.5.13. Предложение. Пусть д — мера на а-алгебре А. То¬
гда для всякой р-измеримой функции / можно найти такие мно¬
жество А € А и функцию д, измеримую относительно А, что
f(x) = д(х) при х € А и р(Х\А) — 0.
Доказательство. Можно считать, что функция / определе¬
на всюду и конечна. В силу следствия 1.5.10 существует поточечно
сходящаяся к / последовательность Ам-измеримых простых функ¬
ций /„. Функция /„ принимает конечное число различных значений
на множествах А\,...,Ак € Ам. В каждое из Ai можно вписать
такое множество Д из А, что д(Д) = p{Af). Рассмотрим функ¬
цию дп, совпадающую с /п на объединении множеств Д и равную
нулю вне этого объединения. Ясно, что дп — A-измеримая простая
функция, причем существует такое множество Zn 6 А меры нуль
что fn(x) = дп(х) при х Zn. Положим Y — Zn. Тогдг
Y € А и p(X\Y) — 0. Положим д{х) = f{x) при х G Y и д{х) — (
в противном случае. Мы имеем f{x) = lim fn{x) — \im^gn(x) дл?
всякого х G Y. Поэтому / является A-измеримой на У, что дает
A-измеримость д на X. С
54
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Из доказанного вытекает, что для ограниченной д-измеримой
функции / существуют такие A-измеримые функции Д и f2, что
fi(x) Д f(x) < /2(ж) для всех х и ц(х: /Дж) ф /г(а;)) = 0.
Действительно, пусть f\ — /2 = д на Y. Вне Y можно положить
fi(x) — inf /, /2 = sup /. Для неограниченных функций это неверно
(см. [7, задача 3.12.47]).
Характеристическое свойство измеримых функций иметь из¬
меримые прообразы борелевских множеств не следует путать со
свойством совершенно иной природы: иметь измеримые образы бо¬
релевских множеств. Следующий поучительный пример полезно
помнить. В нем используется функция Кантора, интересная и во
многих других отношениях (она понадобится ниже при обсужде¬
нии связей между интегралом и производной).
1.5.14. Предложение. Сугцествует такая непрерывная не¬
убывающая функция Со на [0,1] (называемая функцией Канто¬
ра или канторовской лестницей!), что Со(0) = 0, Cb(l) = 1
и Со = {2k — 1)2~п на интервале Jn^ из дополнения к множеству
Кантора С из примера 1.1.5. Кроме того, функция
/(ж) - [Со{х) + х\/2
осуществляет непрерывное и взаимно однозначное отображение
отрезка [0,1] на себя, причем сугцествует такое множество ме¬
ры нуль Е в канторовском множестве С, что f{E) неизмеримо
по Лебегу.
Доказательство. Определенная указанным образом на до¬
полнении к С функция является неубывающей. Пусть СЬ(0) = 0,
Со(х) = sup{Co(f): t ф. С, t < х] при х G С. Неубывающая функ¬
ция Со принимает все значения вида p2~q. Поэтому она не имеет
скачков и непрерывна на [0,1]. Тогда / — непрерывное и взаимно
однозначное отображение отрезка [0,1] на себя. На каждом интер¬
вале дополнения к С функция / имеет вид ж/2+const (где const за¬
висит от интервала) и потому переводит такой интервал в интервал
вдвое меньшей длины. Следовательно, дополнение к С переходит
в открытое множество U меры 1/2. Множество [0,1]\С/ меры 1/2
имеет неизмеримое по Лебегу подмножество D. Очевидно, что мно¬
жество Е = f~1(D) С С имеет меру нуль, причем f{E) = D. □
Пусть g — функция, обратная к функции / из предыдущего
примера. Тогда множество д-1 (Е) неизмеримо, хотя Е имеет меру
§ 1.5. Измеримые функции
55
нуль и д — борелевская функция. Это показывает, что в определе¬
нии измеримой по Лебегу функции требование измеримости про¬
образов борелевских множеств не влечет измеримость прообразов
произвольных измеримых по Лебегу множеств.
Ниже нам понадобится следующий простой факт.
1.5.15. Лемма. Пусть К — компактное множество на пря¬
мой, U — открытое множество, содержащее К, а / — непрерыв¬
ная функция на К. Тогда существует такая непрерывная функция
g на прямой, что g = f на К, g — 0 вне U, причем
sup \g(x)I = sup |/(z)|.
zefft1 хек
Доказательство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай,
когда множество U ограничено. Множество U\K представляет со¬
бой конечное или счетное объединение попарно непересекающихся
открытых интервалов. Положим g — 0 вне U, g = / на К, а на
каждом из упомянутых интервалов (а, Ь) доопределим g с помощью
линейной интерполяции: g(ta + (1 — t)b) = tg(a) + (1 — t)g(b). □
Строение измеримых по Лебегу функций проясняет следующий
классический результат Н.Н. Лузина (теорема Лузина).
1.5.16. Теорема. Функция / на отрезке [а, Ь] измерима по Ле¬
бегу в точности тогда, когда для всякого е > 0 существуют та¬
кие непрерывная функция f£ и компактное множество К£ С [а, Ь],
что А([а, £>]\ЛГе) < е и f = f£ на К£.
Доказательство. Достаточность указанного условия ясна из
того, что при его выполнении множество {ж: f(x) ^ с} совпадает
с точностью до множества меры нуль с борелевским множеством
U£Li {% £ К\/п '■ fi/n(x) ^ с}- Проверим необходимость этого усло¬
вия. Можно считать, что функция / всюду на [а, 6] определена
(доопределив в противном случае) и ограничена, перейдя к arctg /.
Возьмем последовательность простых функций /п, равномерно схо¬
дящуюся к /. Функция fn принимает к значений на дизъюнктных
измеримых множествах Лп,ь • • • i Впишем в Ап^ компакт Кп^
так, что сумма мер Ап^\Кп^ будет меньше е2~п. Ограничение /„
на Кп Кп.) U • • • U Кп,к непрерывно из-за дизъюнктности КП){.
Поэтому непрерывно ограничение / на множество К£ := П^=1 Кп
(как равномерный предел непрерывных на К£ функций). Ясно, что
К£ компактно. По доказанной выше лемме / можно продолжить
56
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
с КЕ до непрерывной функции f€ на [а,Ь\. Наконец, мера допол¬
нения К£ не больше суммы ряда из мер дополнений Кп, что не
превосходит е. □
Эта теорема вместе с приведенным доказательством сохраняет
силу для произвольной ограниченной борелевской меры на отрезке.
§ 1.6. Сходимость почти всюду и по мере
Пусть (Х,А,у) — пространство с неотрицательной мерой у.
Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всю¬
ду (или у-почти всюду) на X, если множество Z точек в X, не
обладающих этим свойством, входит в А[х и имеет меру нуль от¬
носительно ц, продолженной на А/х. Дополнения множеств меры
нуль называют множествами полной меры. Мы будем использо¬
вать следующие сокращения «почти всюду»: п.в., д-п.в. По опреде¬
лению класса А/х существует такое множество Zq G А, что Z с Zq
и y(Z0) — 0, т. е. соответствующее свойство выполняется вне неко¬
торого множества из А меры нуль. Это обстоятельство полезно
иметь в виду, имея дело с неполной мерой.
Например, можно говорить о сходимости п.в. последовательно¬
сти функций fn, о фундаментальности п.в. {/„}, о неотрицательно¬
сти п.в. некоторой функции и т.д. Сходимость {/„} п.в. вытекает из
сходимости {fn(%)} для каждого х (называемой поточечной сходи¬
мостью), а последняя следует из равномерной сходимости {/п}. Бо¬
лее глубокая связь сходимости почти всюду с равномерной сходи¬
мостью описывается следующей теоремой замечательного русского
математика Д.Ф. Егорова (именуемой теоремой Егорова). О самом
Егорове можно прочитать в интересной книге [21].
1.6.1. Теорема. Пусть (Х,А,у) — пространство с конечной
неотрицательной мерой у, fn — у-измеримые функции, причем
у-почти всюду существует конечный предел /(ж) = lim fn(x).
п—>оо
Тогда для всякого е > 0 существует такое множество Хе 6 А,
что у{Х\Х£) < е и фунщии fn сходятся к / равномерно на Хе.
Доказательство. Продолжим у на Afl. По условию есть та¬
кое множество L е А„, что y{L) = у(Х), на L все функции /„
определены, конечны и сходятся к /. Поэтому утверждение сво¬
дится к случаю, когда {fn(x)} сходится в каждой точке. Тогда
X™ := Г) {ж: Ifi(x) - f(x)\ < ±} € Ам.
г^-п
§ 1.6. Сходимость почти всюду и по мере
57
Для всех т,п € IN имеем X™ С Х™+1, причем U^Li= X,
ибо при фиксированном т для всякого х существует такой но¬
мер п, что |fi(x) — f(x)| < 1 /т при г ^ п. Пусть е > 0. В си¬
лу счетной аддитивности /г для всякого т существует номер к(т)
с ц{Х\Х%т)) < е2~т. Пусть Хе := ГС=1 Щту ТогДа е Лм и
оо оо оо
И(Х\Х,) = м( и (Х\Х?Ы)) « Е M*vqjm)) < « Е 2~"
т=1 т—1 т=1
Наконец, при фиксированном т для всех х £ Хе и всех г ^ fc(m)
имеем | Д (ж) — /(ж)| < 1/т, что означает равномерную сходимость
{/„} к / на множестве Хе. Остается взять в Х£ подмножество из А
равной меры, которое мы обозначим тем же самым символом. □
Теорема Егорова не распространяется на случай е — 0. Напри¬
мер, функции fn: х i-* хп на (0,1) сходятся в каждой точке к нулю,
но не сходятся равномерно ни на каком множестве Е С (0,1) лебе-
говской меры 1, ибо во всякой окрестности точки 1 найдутся точки
из Е и потому supj-gg fn{x) = 1 для каждого п. Свойство сходимо¬
сти, установленное Д.Ф. Егоровым, называют почти равномерной
сходимостью. Для неизмеримых функций теорема Егорова теряет
силу (пример: /„(ж) = Ie(x + 1 /п), где Е — множество Витали).
Перейдем к рассмотрению еще одного важного вида сходимости
измеримых функций.
1.6.2. Определение. Пусть (Х,А,р) — пространство с ко¬
нечной мерой ц, которая продолжена на Afl. и пусть дана после¬
довательность р-измеримых функций fn.
(i) Последовательность {fn} называется фундаментальной по
мере, если для каждого с > 0 имеем
lim sup р(х: \fn(x) - fk(x)\ ^ с) = 0.
N-^oo n>k^N
(И) Последовательность {/„} сходится по мере к р-измеримой
функции f, если для каждого с > 0 имеем
lim р(х: \f{x) - /„(ж)| > с) = 0.
В случае бесконечной меры р определение сходимости по ме¬
ре удобнее модифицировать так: требуется сходимость по мере на
каждом множестве положительной меры. Это более слабое и бо¬
лее удобное условие, чем полученное прямолинейным перенесением
определения.
58
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Сходящаяся по мере последовательность измеримых функций
/п фундаментальна по мере. Это вытекает из того, что множество
{х: \fn(x) — fk{x)\ ^ с} содержится в множестве
{х: |/(ж) - fn(x)| > с/2} U {ж: |/(ж) - /Дж)| ^ с/2},
поэтому его мера не превосходит сумму мер этих двух множеств.
Отметим еще, что если последовательность {/та} сходится по
мере к функциям / и д, то / = д почти всюду, т. е. с точностью
до переопределения функций на множестве меры нуль может су¬
ществовать лишь один предел в смысле сходимости по мере. Дей¬
ствительно, для каждого с > 0 имеем
ц(ж: |/(ж) ~д(х)\ > с) ^ д(х: \f(x) - fn(x)\ ^ с/2) +
+ д{х: \fn{x) - д(х)\ ^ с/2) —> О,
откуда д[х: |/(ж) — д(ж)| > 0) = 0, ибо множество точек, где
функция |/ — д\ положительна, является объединением множеств
точек, где она не меньше п-1. Тем самым f[x) = д(х) почти всюду.
Выясним теперь связь между сходимостью почти всюду и схо¬
димостью по мере. Оказывается, из первой следует вторая, обрат¬
ное неверно, но выполнено для некоторой подпоследовательности.
1-6.3. Теорема. Пусть (X, Л, /г) — пространство с конеч¬
ной мерой. Если д-измеримые функции fn сходятся почти всюду
к функции f, то они сходятся к / и по мере.
Доказательство. Для заданных с > 0 и е > 0 по теореме
Егорова найдется измеримое множество Хе меры более д(Х) — е,
на котором сходимость равномерна, т. е. имеется такое число N,
что |fn(x) — f(x)| < с при п ^ N иж€ Хс. Поэтому при п ^ N
выполнено неравенство g{x: \fn{x) — f(x)\ ^ с) < е. □
Обратное к доказанной теореме утверждение неверно: суще¬
ствует последовательность измеримых функций на [0,1], которая
сходится к нулю по мере Лебега, но не сходится ни в одной точке.
Построим такую последовательность.
1.6.4. Пример. Для каждого п 6 IN разделим [0,1] на 2п про¬
межутков 1щк = [(/с - 1)2~п, к2~п), к — 1,..., 2п, длины 2~п. Поло¬
жим fn>k(x) = 1 при х G 1п,к И fn,k(x) = 0 при х 1п>к. Запишем
функции фщк в единую последовательность
fn = (/l,lj /l,2> /2,1) /2,2) • • •))
§ 1.6. Сходимость почти всюду и по мере
59
в которой функции fn+itk следуют за функциями fnj. Последова¬
тельность {/п} сходится к нулю по мере Лебега, ибо длина проме¬
жутка, на котором функция fn отлична от нуля, стремится к нулю
с ростом те. Однако сходимости нет ни в одной точке х, посколь¬
ку при фиксированном х в последовательности {/гг(ж)} бесконечно
много нулей и единиц.
Следующий результат Ф. Рисса (теорема Рисса) дает частичное
обращение теоремы 1.6.3.
1.6.5. Теорема. Пусть (X, Л, р) — пространство с конечной
мерой.
(i) Если последовательность р-измеримых функций fn схо¬
дится к функции / по мере то существует ее подпоследова¬
тельность {fnk}, которая сходится к / почти всюду.
(и) Если последовательность р-измеримых функций fn фун¬
даментальна по мере р, то она сходит,ся по мере р к некоторой
измеримой функции /.
Доказательство. Продолжим р на Ац. Пусть {/„} фунда¬
ментальна по мере. Покажем, что найдутся возрастающие к беско¬
нечности натуральные числа пк) для которых
р{х: \fn(x) - fj(x)\ ^ 2~k) \/n,j^nk.
Действительно, найдем номер щ, для которого
р(х: \fn(x) - fj(x)\ ^ 2-1) < 2-1 Уте, j ^ теь
Далее найдем номер «2 > п\, для которого
р(х: \fn(x) - fj(x)\ ^ 2~2) ^ 2~2 Уте, j ^ те2.
Продолжая этот процесс индуктивно, получаем нужную последо¬
вательность {теД. Можно считать, что fHk определены всюду. По¬
кажем, что последовательность {/nfc} сходится п.в. Для этого до¬
статочно установить, что она п.в. фундаментальна. Положим
Ej = {x: |/п,+1 (х) - fnj (х) | ^ }.
Поскольку
то множество Z — Hfeli UytL/c Щ имеет At-меру нуль. Если х входит
в X\Z, то последовательность {fnk(x)} имеет конечный предел.
60
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
В самом деле, найдется к с ж $ \JJLk Щ > т. е. ж Ej при всех
j ^ к. Это по определению означает, что |/П;+1 (ж) — fn. (ж)| < 2“J
при всех j 5= к. Значит, сходится ряд из fnj+1(x) — /п .(ж), что да¬
ет сходимость /Пк(х) — /П1 (ж). Итак, {/nfc} сходится почти всюду
к некоторой функции /. Тогда {/«*,} сходится к / по мере, что дает
утверждение (И) ввиду фундаментальности {/„} по мере и вклю¬
чения множества {ж: |/(ж) - /п(ж)| > с} в объединение множеств
{ж: |/(ж) - /«*,(ж)| > с) и {ж: |/„Дж) - /п(ж)| > с}.
Утверждение (i) вытекает из того, что сходимость по мере вле¬
чет фундаментальность по мере, причем предел сходящейся почти
всюду подпоследовательности совпадает почти всюду с пределом
{/„} по мере ввиду единственности предела по мере с точностью
до эквивалентности. □
Из теоремы Рисса легко получить такой факт.
1.6.6. Следствие. Если мера д конечна, то последователь¬
ность р-измеримых фунщий сходится по мере д в точности то¬
гда, когда всякая ее подпоследовательность имеет дальнейшую
подпоследовательность, сходящуюся р-п.в.
1.6.7. Следствие. Пусть д — конечная мера, и пусть две по¬
следовательности р-измеримых функций fn и дп сходятся по ме-
ре д к функциям fug соответственно. Предположим, что Ф —
непрерывная функция на некотором множестве Y с Ж2, причем
(f(x),g(x)) € Y и (fn(x),gn(x)) е Y для всех х и всех п. Тогда
функции Ф(/га,Дп) сходятся по мере д к функции Ф(/, д).
В частности, fngn —> fg и afn + j3gn —> af + (5g no мере д для
всех чисел а, /3 € Ж1.
Доказательство. Функции Ф(/, д) и Ф(/п, дп) измеримы вви¬
ду предложения 1.5.6. Если наше утверждение неверно, то найдут¬
ся такие с > 0 и подпоследовательность jn, что
д(ж: \^{f(x),g(x))-^(fjn{x),gjn(x))\> cj > с (1.6.1)
для всех п. По теореме Рисса в {jn} найдется подпоследователь¬
ность {in}, для которой fin(ж) -» /(ж) и gin{ж) ->• д{ж) п.в. В силу
непрерывности 'Г получаем Ф(/гп(ж),&п(ж)) -+ Ф(/(ж),д(ж)) п.в.,
откуда Ф(fin, gin) Ф(f,g) по мере вопреки (1.6.1). Оставшиеся
утверждения следуют из уже доказанного применительно к функ¬
циям Ф(ж, у) = ху и Ф(ж, у) — ах + /Зу. □
§ 1.7. Интеграл Лебега
61
Сходимость по мере можно задать метрикой (см. задачу 2.8.31).
Непосредственным следствием теоремы Лузина является такой
полезный факт.
1.6.8. Следствие. Для любой измеримой по Лебегу функции /
на отрезке I существует последовательность непрерывных функ¬
ций fn, сходящаяся к f по мере.
Взяв многочлены рп с таxt^i — Pn(t)\ ^ ?г_1> получим, что
многочлены рп тоже сходятся к / по мере.
Имеется несколько равносильных определений интеграла
Лебега. Мы воспользуемся способом, при котором интеграл опре¬
деляется сначала для простых функций, а затем интеграл неотри¬
цательной функции задается как супремум интегралов мажориру¬
емых ею простых функций. После этого мы установим эквивалент¬
ность этого способа нескольким другим, включая подход самого
Лебега.
Пусть (Х,А,р) — измеримое пространство с неотрицательной
мерой (возможно, со значениями в [0, +оо]). Как и выше,
Пусть простая неотрицательная функция / принимает значе¬
ния Ci ^ 0 на попарно непересекающихся множествах Ai € Л., где
г — 1,... ,п. Положим
где 0 • р(х: /(ж) = 0) 0 и допускается значение +оо. Коррект¬
ность данного определения ясна из аддитивности меры, благодаря
которой можно перейти к случаю, когда все с, различны. Напри¬
мер, если ci = С2, то c\p(Ai) + С2ДА2) = ci/.t(.Ai U Л2).
При определении интеграла удобно использовать расширенное
понятие измеримой функции на X из определения 1.5.11 и допус¬
кать к рассмотрению такие функции, которые определены почти
всюду (т. е. могут быть не определены на множестве меры нуль
или принимать на нем бесконечные значения).
Из определения очевидна неотрицательность интеграла на не¬
отрицательных простых функциях. Кроме того, из аддитивности
меры очевидна линейность интеграла на простых функциях.
§1.7. Интеграл Лебега
/+(ж) = тах(/(ж),0), / (х) = тах(-/(ж),0).
62
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
1.7.1. Определение. Пусть / — р-измеримая функция. Если
/(ж) ^ 0 р-п.в., то положим
L
f{x)p{dx)
:=sup|y^ р(х) p(dx):
(p ^ 0 — простая функция и <p(x) ^ f(x) p-п.в. >.
Будем называть f интегрируемой, если эта величина конечна.
В общем случае будем называть функцию / интегрируемой по
Лебегу относительно р или р-интегрируемой, если обе функции
/+ и /~ интегрируемы. При этом полагаем
[ /О) Kdx) •- / /+
Jx JX
(ж) p(dx)
L
f {x)p(dx).
Если интегрирование ведется по всему пространству X, то об¬
ласть интегрирования иногда не указывается и используется обо-
I / dp. В случае меры Лебега на IRn будем обозначать
J f(x)dx.
значение
интеграл функции / также через
Для простых неотрицательных функций такое определение да¬
ет прежнее значение интеграла. В самом деле, если / принима¬
ет значения с\,... ,Сп на дизъюнктных множествах ,..., Ап и
р(х) А, /(ж) почти всюду, причем <р принимает значения si,... ,Sk
на дизъюнктных множествах В-\ ,, В/;, то можно считать, что
п — к и Ai = Bi, перейдя к дизъюнктным множествам А, П Bj.
Тогда для каждого фиксированного i либо р А / на Ai, т. е. ,чг ^ сг,
либо р(А{) — 0. В обоих случаях Sip(Ai) A Cip(Ai). Поэтому ин¬
теграл от <р не превосходит интеграл от /. При этом в качестве <р
можно взять и /. Итак, получаем прежнее значение интеграла.
Важным свойством интеграла Лебега является то, что по само¬
му определению всякая функция, эквивалентная интегрируемой,
также интегрируема. Кроме того, так как |/| — /+ + /_, то изме¬
римая функция / интегрируема в точности тогда, когда интегри¬
руема функция |/|, причем в этом случае
[ fdp А [
Jx Jx
\f\dp.
Из определения очевидно также, что если /яд — такие /t-изме-
римые функции, что |д(ж)| ^ |/(ж)| д-п.в. и / интегрируема, то
§ 1.7. Интеграл Лебега
63
функция д также интегрируема и выполнено неравенство
[ \д\ dp 5$ / 1/1 dp.
Jx Jx
(1.7.1)
В частности, если функция / интегрируема, то для всякого изме¬
римого множества А функция /7д также интегрируема.
Интеграл функции flj\ будем называть интегралом / по мно¬
жеству А и обозначать одним из следующих символов:
Если /(ж) ^ 0 при р-п.в. ж € А, то, взяв в определении ip = О,
имеем
то / = 0 п.в., поскольку в противном случае при некотором п G 1N
мы получим р (ж: |/(ж)| ^ п-1) > 0, а тогда простая функция
ip — n~^I{|/|^n-i} имеет положительный интеграл, причем из-за
оценки ^ |/| интеграл от |/| не меньше.
Простым следствием определения является следующее часто
используемое неравенство П.Л. Чебышёва.
1.7.2. Теорема. Для всякой р-интегрируемой функции /
и всякого R > 0 справедливо неравенство
Доказательство. Положим Ад = {ж: |/(ж)| ^ В,}. Ясно, что
R-Iar(x) ^ |/(ж)| для р-н.в. ж. Следовательно, интеграл функции
R Iar мажорируется интегралом функции |/|, что дает (1.7.2). □
Для мер со значениями в [0, +оо] получаем такой факт.
1.7.3. Следствие. Для всякой р-интегрируемой функ¬
ции / существует такая последовательность измеримых мно¬
жеств Ап конечной меры, что /(ж) = 0 при ж Ап.
Доказательство. Множества {ж: |/(ж)| > 1/тг} имеют ко¬
нечные меры, ибо иначе интеграл функции |/| бесконечен. □
Отметим, что если
р{ж: \f(x)\ > R) < ^ Jx |/(*)| p{dx). (1-7.2)
64
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Для вычисления интеграла неотрицательной измеримой функ¬
ции можно использовать любую возрастающую к ней последова¬
тельность простых функций. Это не очевидно из определения.
1.7.4. Лемма. Пусть дана последовательность простых
функций /„ ^ 0, /„(ж) ^ fn+i(x) р-п.в. при всех п, причем ин¬
тегралы от функций fn равномерно ограничены. Тогда функция
/(ж) := lim fn(x) конечна и-п.в., интегрируем,а и
п—>оо
Доказательство. Интегралы от /п возрастают к конечному
пределу L. Для каждого R > 0 по неравенству Чебышёва име¬
ем р(х: /п(ж) > R) ^ L/R. При п —■> оо левая часть возрастает
к р(х: f(x) > В,), поскольку множества {ж: /п(ж) > /?,} возраста¬
ют и в объединении дают {х: /(ж) > 1?} с точностью до множества
меры нуль (на котором {/„(ж)} не является возрастающей). Значит,
ц(ж: /(ж) > В) ^ L/R при всех В, > 0, откуда следует равенство
ц(ж: /(ж) = +оо) = 0.
Пусть ip ^ 0 — простая функция, <р(ж) ^ /(ж) ц-п.в. Покажем,
что интеграл от <р не превосходит L. Функции ipn := min(fn,p) —
простые и /7,-п.в. возрастают к р. Так как интеграл от <рп не боль¬
ше интеграла от /п, то достаточно проверить, что интегралы от
Рп возрастают к интегралу от р. Ввиду аддитивности интеграла
на простых функциях остается показать, что интегралы от РтПе
сходятся к интегралу от р!в для всякого множества Е, на котором
функция р равна постоянной с > 0 (при с = 0 это очевидно, ибо
тогда рп = 0 на Е). Пусть е G (0,с/2). Удалив множество меры
нуль, можно считать, что рп(х) возрастают к р(х) для всех ж G Е.
Тогда множества Еп := (ж G Е: рп(х) ^ с — е} возрастают к Е,
откуда (л(Еп) —> р(Е). Из этого видно, что р(Е) < оо, ибо
/ pndp ^ (с-е)у(Еп) -> (с- е)ц(Е),
J Е
а левая часть не больше L. Так как е можно взять сколь угодно
малым, интегралы от <рп1е сходятся к ср(Е), т. е. к интегралу от
функции plEi что нам и требовалось.
Отметим еще, что в случае конечной меры сходимость инте¬
гралов от рп к интегралу от р сразу следует из теоремы Егорова,
дающей равномерную сходимость вне множества Ее меры менее е,
поскольку интегралы по Ее оцениваются через esup^ |<р(ж)|. □
§ 1.7. Интеграл Лебега
65
Если / ^ 0 — //-измеримая функция, то следствие 1.5.10 дает
//-п.в. возрастающую к / последовательность простых функций /п
(которые интегрируемы, если интегрируема /).
Выясним условие интегрируемости функции со счетным чис¬
лом значений.
1.7.5. Пример. Предположим, что //-измеримая функция /
принимает счетное число различных значений щ. Тогда интегри¬
руемость / равносильна сходимости ряда
ОО
^2 \сп\(л(х: f(x) = Сп),
П=1
причем в случае интегрируемости получаем
ОО
f(x) n(dx) = '^2cnlJL{х: /(ж) = сп)-
П=1
В частности, для меры // на счетном пространстве S — {s„}, наде¬
ленном сг-алгеброй всех подмножеств S, функция / интегрируема,
если Y%Li \f(sn)\ Ksn) < оо (на 5 все функции измеримы); при
этом интеграл функции / равен fisn) Msn)-
В самом деле, достаточно рассмотреть случай, когда щ ^ 0.
Занумеруем щ по возрастанию. Пусть fn(x) = f(x) при f(x) ф сп,
fn(x) = 0 при /(ж) > сп. Тогда /„ — простые функции, возрастаю¬
щие к /. Так как интеграл от /п равен )Г)”=1ciМ(ж; /(ж) = Cj), т0
остается применить доказанное выше предложение.
В § 1.8 мы обсудим связь интеграла Лебега с интегралом Рима¬
на, но уже сейчас уместно подчеркнуть, что первый (в отличие от
второго) определяется на весьма абстрактных пространствах, от
которых требуется лишь выделение класса измеримых множеств.
Однако и в том весьма частном случае, когда речь идет об отрезке
с мерой Лебега и рассматриваются лишь ступенчатые функции —
чрезвычайно специальные простые функции, подсчет интеграла,
хотя и дает один и тот же ответ, осуществляется по-разному! В ри¬
мановской схеме мы идем по промежуткам постоянства функции
и складываем произведения их длин на соответствующие значе¬
ния функции. Иначе ведется счет по Лебегу: здесь мы перебираем
различные значения функции и умножаем их на длины множеств,
на которых эти значения принимаются. Классики теории интегра¬
ла любили такой образный пример: можно считать монеты (или
банкноты, у кого что есть), имеющиеся в кармане, вытаскивая их
66
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
по одной и суммируя номиналы; но можно разложить все в куч¬
ки по номиналам, сложить в пределах каждого номинала, а затем
просуммировать полученные величины. Первый способ — риманов¬
ский, второй — лебеговский.
В следующей теореме установлено одно из важнейших элемен¬
тарных свойств интеграла — линейность.
1.7.6. Теорема. Если функции fug интегрируемы относи¬
тельно меры р, то для всяких чисел а и /3 функция af+/3g также
р-интегрируема, причем
[ (af + /3g)dp = a [ f dp+ (3 I gdp. (1.7.3)
Jx Jx Jx
В частности, если мнооюества А и В из А/( не пересекаются, то
I f (х) p(dx) = / f(x) p[dx) + f /(ж) p(dx). (1.7.4)
Jaub Ja Jb
Доказательство. Для простых функций (1.7.3) следует из
аддитивности меры. Случай /3 = 0 очевиден из определения. Те¬
перь достаточно рассмотреть случай а = /3 = 1. Если f,g ^ 0,
то (1.7.3) следует из справедливости этого равенства для простых
функций и леммы 1.7.4: взяв п.в. возрастающие к f и g последова¬
тельности простых функций /„. ^ 0 и дп ^ 0, получаем последова¬
тельность простых функций /п + дп, п.в. возрастающую к / + д.
Из уже доказанного следует (1.7.4) для любой интегрируемой
функции /, ибо /+1лив — /+7д + ф+1в и аналогично для /“.
В общем случае функция f+g интегрируема в силу неравенства
I/ + д\ ^ 1/1 + |р|- Так как / + д = /+ + д+ - (/“ + д~), то ввиду
уже доказанного остается рассмотреть случай, когда / ^ 0 и д ^ 0.
Рассмотрим множества А = {х: /(ж) + д{х) ^ 0} и В = Х\А. Так
как (/ + д)1д ^ 0, —д1л ^ 0, —(/ + д)1в ^ 0, то на основании
доказанного для неотрицательных функций получаем
(f + g)dp- / gdp — / fdp,
Ja Ja Ja
/ (.f + g)dp+ / f dp = — / gdp.
Jb Jb Jb
Вычтем второе равенство из первого и применим (1.7.4).
□
Отметим еще одно полезное элементарное свойство интеграла
Лебега.
§ 1.7. Интеграл Лебега
67
1.7.7. Предложение. Всякая Л^-измеримая ограниченная
функция / интегрируема по всякому множеству А € Л^ конеч¬
ной меры, причем
L
/(ж) p{dx)
< sup \f(x)\fi(A).
хеА
Доказательство. Если <р — неотрицательная простая фун¬
кция с <р(х) ^ |/(,т)| при п.в. х Е А, принимающая различные
значения щ,..., с„, то интеграл от <р1л равен
П П
^Гсщ(А П <р_1(с,:)) ^ тахСг^д(Л П<р_1(сг)) = maxcifji(A),
г=1 г=1
что не превосходит sup^g^ |/(ж)| р(А). □
В следующей теореме установлено очень важное свойство абсо¬
лютной непрерывности интеграла Лебега.
1.7.8. Теорема. Пусть дана р-интегрируемая функция /. То¬
гда для каждого е > 0 найдется такое 5 > 0, что
/ \f(x)\ p(dx) < е, если р(А) < 5.
J А
Доказательство. Найдется такая простая функция р ^ О,
что (р ^ |/| п.в. и разность интегралов от |/| и tp меньше е/2.
Положим 5 = e(2maxx tp(x) + 2) 1. При р(А) < 6 получаем
[ 1/1 dp = [ pdp + f (|/| - tp) dp ^
JA JA JA
suptp(x)p(A) + / (i/| - (p)dp^^-
x JX г
что и требовалось.
+
□
1.7.9. Пример. Пусть даны неотрицательная ограниченная
борелевская мера р на отрезке [а, Ъ] (например, классическая мера
Лебега), р-интегрируемая функция / и д-измеримое множество Е.
Тогда для всякого е > 0 найдется такое конечное объединение U
интервалов, что
р(Е Л U) < е
f f dp— I .
JE Ju
f dp
< £.
В частности, если интеграл / по каждому интервалу равен нулю, то
/ = 0 п.в. В самом деле, берем 6 ^ е, соответствующее е в свойстве
68
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
абсолютной непрерывности из предыдущей теоремы, затем при¬
ближаем Е конечным объединением интервалов с точностью до 5
в смысле меры симметрической разности.
1.7.10. Замечание. Мы не предполагали полноту меры ц, но,
разумеется, в качестве А можно взять и А^ (если мера не пол¬
на). При замене А на Ам мы получим тот же класс интегрируе¬
мых функций, что очевидно из определения. Однако если вместо
сг-алгебры А взять какую-то ее подалгебру Ао (даже порождаю¬
щую А) и в определении интеграла рассматривать лишь простые
функции, соответствующие множествам из Ао, то запас интегри¬
руемых функций может столь расшириться, что потеряет содержа¬
тельность.
Например, пусть Ао — алгебра промежутков в [0,1]. Возьмем
такое множество Е с [0,1], что и Е, и его дополнение пересека¬
ют каждый непустой интервал по множеству положительной ме¬
ры (см. задачу 1.16.7). Тогда всякой измеримой неотрицательной
функции /, равной нулю на Е, будет приписан нулевой интеграл
при таком классе «простых» функций (в нем лишь нулевая функ¬
ция <р удовлетворяет условию / п.в.), хотя в смысле нашего
обычного определения интеграл этой функции может быть и бес¬
конечным из-за того, что он бесконечен по дополнению Е.
1.7.11. Замечание. Измеримость и интегрируемость комп¬
лексной функции / относительно меры ц понимается соответствен¬
но как измеримость и интегрируемость ее вещественной и мнимой
частей Re / и Im /. Положим
J / d/х := IRefdn + i J Im/ dp.
Аналогично интеграл отображения / = (Д,..., fn) с интегрируе¬
мыми компонентами /,; есть вектор, координатами которого явля¬
ются интегралы от Д.
1.7.12. Замечание. Следствие 1.7.3, показываюхцее, что вся¬
кая интегрируемая функция равна нулю вне некоторого множе¬
ства, на котором исходная мера ст-конечна, позволяет в принципе
свести рассмотрение интеграла к случаю конечной меры. Однако
при этом надо помнить, что условие интегрируемости функции /
на объединении дизъюнктных измеримых множеств Хп, на кото¬
рых она интегрируема, состоит в сходимости ряда из интегралов
от |/| по Хп, а не просто в сходимости ряда из интегралов от /
по Хп, хотя интеграл от функции / в случае ее интегрируемости
§ 1.8. Предельный переход под знаком интеграла
69
равен именно последнему ряду, что будет ясно из обсуждаемых
ниже результатов о предельном переходе в интеграле.
Выше были определены меры Лебега-Стилтьеса на прямой:
каждой непрерывной слева неубывающей функции F, имеющей
предел 0 на —оо и предел 1 на +оо, была сопоставлена вероятност¬
ная борелевская мера /i с F(t) — р((—oo,t)). Пусть д — /./.-интегри¬
руемая функция. Будем называть интегралом Лебега-Стилтьеса
функции д по функции F число
[ д(t)dF(t):=[ g{t)p{dt). (1.7.5)
J—оо JtR.
Это определение легко расширить, включив также функции F ви¬
да F — С[F\ + C2F2, где Fi,F2 — функции распределения веро¬
ятностных мер /ii и Ц2, a ci,C2 — числа. Тогда в качестве р надо
брать меру cip± + C2P2- Аналогично определяется интеграл Лебега-
Стилтьеса по отрезку или интервалу. В некоторых приложениях
известна именно функция распределения F, а не сама мера р, по¬
этому обозначение в левой части (1.7.5) оказывается наглядным
в выкладках. Если д принимает конечное число значений с* на про¬
межутках [а,;, Ьг) и обращается в нуль вне этих промежутков, то
[ g(t)dF(t) = j2^F^-F^-
•' *=1
Для непрерывных функций д на [а, Ь\ интеграл Лебега-Стилтьеса
можно получить в виде предела таких сумм римановского типа.
В самом деле, пусть функция д непрерывна. Тогда она равномер¬
но непрерывна на отрезке. Значит, для всякого е > 0 существует
такое 5 > 0, что для любых точек а — to < t\ < ■ ■ ■ < tn = b
c \ti — ti-1| ^ 5 ступенчатая функция h, равная д(Ьг) на (U-i, ti]
(при этом h(a) — д{а)), отличается от д не более чем на е. Счи¬
тая меру р вероятностной, видим, что разность интегралов от д
и h по мере р не превосходит по абсолютной величине е. Инте¬
грал Лебега-Стилтьеса затрагивается также ниже при обсуждении
функций ограниченной вариации.
§ 1.8. Предельный переход под знаком интеграла
Здесь доказаны три основные теоремы о сходимости интегри¬
руемых функций, носящие имена Лебега, Беппо Леви и Фату. Как
обычно, мы предположим, что р — неотрицательная мера (возмож¬
но, со значениями в [0, +оо]) на измеримом пространстве (X, Л).
70
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Начнем со следующей важной теоремы Беппо Лёви о монотонной
сходимости.
1.8.1. Теорема. Пусть дана последовательность ц-интегри¬
руемых функций fn, причем /п(ж) < /„+Дж) п.в. для каждого п
и выполнено неравенство
Тогда функция /(ж) = lim /п(ж) почти всюду конечна и интегри¬
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что /п ^ 0, перейдя к раз¬
ностям fn — fi. Интегралы от fn возрастают к некоторому числу J.
Для каждого п следствие 1.5.10 дает простые функции ipn^ ^ 0,
при /с —> оо возрастающие к fn п.в. Функции gn — max(y?i,ra,..., <рп,п)
просты, дп рп+1) ибо <Pj,n ^ <Pj,n+\• Так как ^ fj ^ fn п.в.
при j < п, то дп ^ fn п.в. Поэтому д - lim дп ^ / п.в. С другой
п—ЮО
стороны, д ^ ipn>k при п < к, откуда д ^ fn п.в., т.е. д = / п.в.
По лемме 1.7.4 функция д интегрируема и ее интеграл равен пре¬
делу интегралов от дп, не превосходящему J (так как дп ^ /п п.в.).
Значит, интеграл от / равен J. □
Разумеется, в этой теореме вместо возрастания /п(ж) к /(ж)
можно требовать убывание почти всюду. Ниже будет приведено
другое обоснование теоремы Беппо Леви.
Вот еще одна равносильная формулировка:
если ряд из интегралов интегрируемых функций /п ^ 0 схо¬
дится, то почт,и всюду сходится ряд fn (ж) м интеграл от
его суммы равен сумме ряда из интегралов от fn.
Следующий часто используемый результат теории интеграла —
теорема Фату (иногда его называют леммой Фату). Он показыва¬
ет, что в случае неотрицательных /„ (или хотя бы имеющих об¬
щую интегрируемую миноранту) для интегрируемости предельной
функции / достаточно равномерной ограниченности интегралов
от fn. Правда, при этом вместо равенства (1.8.1) гарантируется
лишь некоторое неравенство.
sup / /„(ж) g(dx) < оо.
п J х
L
руема. Кроме того, справедливо равенство
(1.8.1)
§ 1.8. Предельный переход под знаком интеграла
71
1.8.2. Теорема. Пусть {/п} — последовательность неотри¬
цательных у-интегрируемых функций на X, которая сходится
к функции / почти всюду, причем
sup / /„(ж) y(dx) < К < оо.
п Jx
Тогда функция / у-интегрируема и / /(ж) y{dx) ^ К.
Jx
Более того, / /(ж) y(dx) ^ liminf / fn(x)y{dx).
Jx' n^°° Jx
Доказательство. Положим gn{x) = inffc^n Д(ж). Тогда
О ^ 9п ^ /п> 5n ^ fl'n+i*
Поэтому функции интегрируемы и образуют монотонную по¬
следовательность, а их интегралы ограничены сверху числом К.
По теореме Беппо Леви почти всюду существует конечный предел
д(ж) = lim дп(х), причем функция д интегрируема и ее интеграл,
п—►ОО
равный пределу интегралов функций дп, не превосходит К. Оста¬
ется заметить, что /(ж) = д(ж) п.в. в силу сходимости {/п(ж)} п.в.
Второе утверждение теоремы следует из доказанного путем пере¬
хода к подходящей подпоследовательности. □
1.8.3. Следствие. Пусть {fn} — последовательность у-ин-
тегрируемых функций ид— у-интегрируемая функция.
(i) Пусть fn ^ д п.в. для каждого п, причем
liminf / fn(x) y(dx) ^ К < оо.
п Jx
Тогда функция lim inf fn у-интегрируема, причем
/ liminf fn(ж) y(dx) ^ liminf / fn(x)y(dx).
Jx n—*oo n—>oo Jx
(ii) Пусть fn^g п.в. для каждого n, причем
lim sup
/ fn(x) y(dx) > -oo.
Jx
Тогда функция lim sup fn у-интегрируема, причем
?г—юо
/ lim sup/п (ж) y(dx) ^ lim sup
J X n—>oo n—>oo
/ fn(x)y{dx).
Jx
72
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Доказательство, (i) Перейдя к /„ — д, сводим утверждение
к случаю /п ^ 0. Заметим, что liminf fn(x) = lim inf,>n h(x).
n—> OO n—ЮО
К функциям <p„(x) = infj^n/j(x) применима теорема Фату: ин¬
теграл от (рп не превосходит К, ибо <рп < /, при г ^ п.
Утверждение (ii) следует из (i) переходом к — fn. □
Важнейшей в теории интеграла является следующая теорема
Лебега о мажорированной сходимости.
1.8.4. Теорема. Пусть р-интегрируемые функции /п сходят¬
ся почти всюду к функции /. Если существует такая р-интег-
рируемая функция Ф, что
\fn{x)\ ^ Ф(ж) п.в. для каждого п,
то функция / интегрируема, причем
/ f{x)p{dx) = lim / fn(x)p(dx).
Jx n_>0° Jx
Кроме того, lim
71—>00
Доказательство. Первое равенство следует из второго, кото¬
рое вытекает из утверждения (ii) предыдущего следствия. В самом
деле, для дп := |/„ - /| п.в. имеем дп -> 0 и 0 ^ дп ^ 2Ф. □
Распространим доказанное на случай сходимости по мере.
1.8.5. Теорема. Теоремы Лебега и Фату остаются в силе,
если вместо сходимости почти всюду в их условиях потребовать
сходимость {fn} к / по мере р (в случае неограниченной меры
требуется сходимость по мере на каждом множестве конечной
меры).
Доказательство. Пусть р(Х) < оо. Поскольку {/„} имеет
подпоследовательность, сходящуюся к / почти всюду, то сразу по¬
лучаем аналог теоремы Фату для сходимости по мере, а также за¬
ключение теоремы Лебега для выбранной подпоследовательности.
Тогда утверждение верно и для всей последовательности {/п}, ибо
в противном случае нашлась бы такая подпоследовательность fnk,
что / | fnk — /| dp ^ с > 0 для всех к, а это невозможно в силу до-
J х
казанного, так как из {/Пк} можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся п.в.
L
|/(т) - fn{x)\p{dx) = 0.
§ 1.8. Предельный переход под знаком интеграла
73
В случае неограниченной меры каждая из функций /п равна
нулю вне некоторого счетного объединения множеств конечной ме¬
ры. Поэтому найдется счетный набор дизъюнктных множеств Ej
конечной меры, вне объединения Е которых все /„ равны нулю.
Тогда / = 0 п.в. вне Е. Теперь можно выделить подпоследователь¬
ность в {/„}, которая сходится почти всюду па Е. □
Рассмотрение функций fn(x) = nl(од/п](ж)> поточечно сходя¬
щихся к нулю на (0,1], показывает, что в теореме Лебега нельзя
отказаться от наличия интегрируемой мажоранты, а в теореме Фа¬
ту не всегда можно переставлять предел и интеграл. Однако может
случиться, что интегралы от \ fn — /| сходятся к нулю и без общей
интегрируемой мажоранты (задача 1.16.29(ii)).
1.8.6. Замечание. Теорему Лебега мы вывели из теоремы Беп-
по Леви, но можно поступить наоборот. Сделаем это для конечной
меры. Тогда иное обоснование теоремы Лебега сразу получаем из
теоремы Егорова: для данного е > 0 находим такое множество Хе,
что р(Х\Хе) < е и на ХЕ сходимость !/ - fn\ —> 0 равномерна;
при этом интеграл от |/ — /п| по Х\Хе не больше интеграла от 2Ф
по Х\Х£, а последний стремится к нулю при t —» 0 ввиду абсолют¬
ной непрерывности интеграла Лебега.
Следующий шаг: вывод теоремы Беппо Леви из теоремы Лебе¬
га. Перейдя к /„ — Д, считаем, что fn ^ 0. Зафиксируем М € IN.
Так как равномерно ограниченные функции miri(/n, М) возрастают
к min(/, М) п.в., где / = Ит то интеграл от min(/, М) не боль-
71—ЮО
ше конечной по условию точной верхней грани К интегралов от /п.
Если <р — простая и р ^ /, то р ^ min(/, М) при М > max^ р(х),
значит, интеграл от р не больше К. Поэтому / конечна п.в. (взяв
р = М/{/=оо}) имеем p({f = оо}) ^ К/М УМ) и интегрируема.
С помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости до¬
казывается следующее утверждение о непрерывности и дифферен¬
цируемости интеграла по параметру.
1.8.7. Следствие. Пусть р — неотрицательная мера (воз¬
можно, со значениями в [0, +оо]) на пространстве X и функция
/: X х (а, Ь) —► Ж1 такова, что при каждом а € (а, Ъ) функция
х ьч f(x, а) интегрируема относительно р.
(i) Пусть для почти всякого х функция а ьч f(x, а) непрерыв¬
на на (а, Ъ), причем существует такая р-интегрируемая функ¬
ция Ф, что для каждого фиксированного а имеем |/(ж, а)| ^ Ф(ж)
74
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
почти всюду. Тогда функция
J: а I—► / f(x,a)p(dx)
J х
непрерывна на (а,Ь).
(ii) Пусть для п.в. х функция а f(x,a) дифференцируема,
причем существует такая р-интегрируемая функция Ф, что при
п.в. х имеем \df(x, а)/да\ ^ Ф(ж) сразу для всех а € (а,Ь). Тогда
функция J дифференцируема на (а, Ь), причем
J'(c)= [
Jx
Доказательство. Утверждение (i) непосредственно следует
из теоремы Лебега, (ii) Пусть а фиксировано и tn —> 0. По теореме
о среднем для п.в. х существует такое £ = £(ж, а, п), что
|*й1(/(а:>а + *п) -/(ж>а))| = \df(x,Q/da\ ^ Ф(х).
Указанное разностное отношение сходится к д/(х,а)/да. По тео¬
реме Лебега предел lim t~г (J(a + tn) - J(a)) равен интегралу от
функции df(x, а)/да. □
Определение интеграла редко используется для установления
интегрируемости конкретных функций. Нередко интегрируемость
проверяют путем оценивания по модулю заведомо интегрируемой
функцией. Весьма эффективные и часто используемые на практи¬
ке достаточные условия интегрируемости даются теоремами Беппо
Леви и Фату. Полезны следующие два признака интегрируемости
по Лебегу в терминах сходимости рядов или римановских интегра¬
лов по прямой.
1.8.8. Теорема. Пусть (Х,Л,р) — пространство с конечной
неотрицательной мерой. Интегрируемость р-измеримой функ¬
ции / относительно р равносильна сходимости ряда
ОО
Y2np{x: п ^ |/(ж)| < n + 1), (1.8.2)
71= 1
а также равносильна сходимости ряда
ОО
|/(ж)|>п).
71= 1
(1.8.3)
§ 1.8. Предельный переход под знаком интеграла
75
Доказательство. Пусть А0 = {х: |/(ж)| < 1}. Для п е IN
положим Ап := [х: п < |/(ж)| < п + l}. Множества Ап явля¬
ются ^-измеримыми, попарно не пересекаются и дают в объедине¬
нии все пространство (с точностью до множества меры нуль, на
котором функция / может быть не определена). Функция д, за¬
данная равенством д(х) = п для х Е Ап, где п = 0,1,..., оче¬
видным образом д-измерима, причем д(х) ^ |/(ж)| ^ д(х) + 1
всюду, где / определена, т. е. почти всюду. Следовательно, функ¬
ция д интегрируема в точности тогда, когда интегрируема /. Как
мы знаем из примера 1.7.5, интегрируемость д равносильна схо¬
димости ряда (1.8.2). Теперь остается заметить, что ряды (1.8.2)
и (1.8.3) сходятся или расходятся одновременно и имеют равные
суммы. Действительно, мы имеем {ж: |/(ж)| > n} = UkLnAk> от¬
куда д(ж: |/(ж)| ^ п) = д(А„) + д(Ап+1) Н , поэтому при сум¬
мировании по п число р(Ап) будет сосчитано п раз. □
1.8.9. Пример, (i) Функция /, измеримая относительно огра¬
ниченной неотрицательной меры д, интегрируема во всякой сте¬
пени р € (0, сю) в точности тогда, когда д(ж: |/(ж)| > t) убывает
быстрее любой степени t при t —► +оо.
(и) Функция | \пх\р на (0,1) интегрируема по Лебегу при всех
р > —1, а функция ха интегрируема на (0,1) при а > —1. В самом
деле, {х € (0,1): | In ж^ ^ п} = (0, е~п1/р] при р > 0; при р < 0
получим [e-1/nl/lpl, 1); {х € (0,1): ж" ^ п} = (0,п1;,“] при а < 0.
Для бесконечных мер указанные признаки не годятся, так как
они не учитывают множества малых значений |/|. Их можно моди¬
фицировать и для бесконечных мер, но имеется следующий универ¬
сальный критерий, одно из достоинств которого состоит в сведении
проблемы к некоторому римановскому интегралу.
1.8.10. Теорема. Пусть д — счетно-аддитивная мера со зна¬
чениями в [0, +оо] и / — р-измеримая функция. Тогда интегриру¬
емость функции f по мере д равносильна интегрируемости функ¬
ции t и-> д(ж: |/(ж)| > i) на (0,+оо) по мере Лебега. При этом II \f(x)\p(dx)= I д(ж: \f{x)\>t)dt. (1.8.4)
■1X Jo
Доказательство будет дано в следствии 1.11.9 (см. также теоре¬
му 1.15.2). Так как функция в правой части убывает, то фактически
речь идет о римановском интеграле.
76
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Одно из исходных построений самого Лебега также может ис¬
пользоваться в качестве удобного и наглядного критерия интегри¬
руемости. Пусть (Х,А,р) — пространство с конечной неотрица¬
тельной мерой и / — ц-измеримая функция. Рассмотрим так на¬
зываемые лебеговские суммы
+ ОС
Л(е) := ksp(x: ке ^ f(x) < (к + 1)е), е > 0. (1.8.5)
к=—оо
1.8Л1. Предложение. Измеримая функция / интегрируема
по Лебегу в точности тогда, когда при некотором е > 0 обе части
ряда (1.8.5) nok>0uk<0 сходятся. В этом случае указанный
ряд сходится при всех е > 0, причем величины Л(е) при е —> 0
стремятся к интегралу от /.
Доказательство. Считая / определенной всюду, рассмотрим
функцию /е, равную ке на множестве {ж: ке < /(ж) < (к + 1)е}
для каждого целого к. Ясно, что эта функция измерима, причем
абсолютная сходимость ряда (1.8.5) есть условие ее интегрируемо¬
сти. В случае сходимости сумма ряда равна интегралу от /е. Так
как аирд. |f(x) — /е(ж)| ^ е и р(Х) < оо, то либо обе функции /
и /Е интегрируемы, либо обе неинтегрируемы. В случае интегриру¬
емости модуль разности интегралов не превосходит ер(Х), откуда
следуют последние два утверждения. □
Обсудим теперь связь с интегралом Римана, считая извест¬
ным его определение (см. [17] или [31]). Для кусочно-постоянных
функций на отрезке римановский интеграл совпадает с лебегов-
ским. Функция Дирихле (индикатор множества рациональных чи¬
сел) неинтегрируема по Риману на [0,1], но является простой и име¬
ет нулевой интеграл Лебега (эта функция почти всюду равна нулю,
но в задаче 1.16.35 предлагается построить пример такого компак¬
та, что его индикаторная функция уже не совпадает почти всюду
ни с какой интегрируемой по Риману функцией). Сначала приве¬
дем критерий Лебега интегрируемости по Риману, доказательство
которого можно прочитать в книге [17].
1.8.12. Теорема. Функция / интегрируема по Риману на от¬
резке или кубе в точности тогда, когда она ограничена и множе¬
ство точек разрыва / имеет лебеговскую меру нуль.
Отметим, что множество точек разрыва функции может иметь
меру нуль, но не быть измеримым по Жордану.
§ 1.8. Предельный переход под знаком интеграла
77
1.8.13. Пример. Пусть функция / на [0,1] равна нулю в ирра¬
циональных точках, а в рациональных точках вида несократимой
дроби т/п равна 1/п. Тогда она разрывна во всех рациональных
точках, но непрерывна в иррациональных, ибо для всякого фикси¬
рованного к есть лишь конечное число несократимых дробей т/п
из [0,1] с п ^ к. Значит, функция / интегрируема по Риману, но
множество ее точек разрыва неизмеримо по Жордану.
1.8.14. Теорема. Если функция / интегрируема на отрезке
I = [а, 6] по Риману в собственном смысле, то она интегрируема
на I и по Лебегу, причем ее римановский и лебеговский интегралы
равны.
Доказательство. Можно считать, что b- а = 1. Для каждо¬
го п £ IN разделим отрезок I = [а, Ь] на непересекаюгциеся проме¬
жутки [а, а + 2~п),..., [b - 2~п, b] длины 2-п, обозначаемые через
h, ■ ■ ■ ,hn- Пусть mk = inf*^ f(x), Mk = supxeJfc f(x).
Рассмотрим ступенчатые функции fn и gn, заданные следую¬
щим образом: fn — mk на Ik, дп — Mk на Ik, k — 1,..., 2n. Ясно, что
fn{x) ^ f{x) ^ gn{x), fn{x) fn+i{x), gn+i(x) f 9n{x). Поэтому
существуют пределы <p(x) = lim fn(x), 'ф(х) — lim gn(x), причем
n—изо n—*oo
<p(x) ф f(x) < ф{х). Как. известно из курса анализа, интегрируе¬
мость / по Риману влечет равенство
lim [ fn(x) dx = lim [ gn(x) dx = R(f), (1.8.6)
n-oo Ja n-^oo Ja
где R(f) обозначает римановский интеграл / (мы используем от¬
меченное выше совпадение римановского и лебеговского интегра¬
лов для кусочно-постоянных функций). Функции р и ф ограниче¬
ны и измеримы по Лебегу (как поточечные пределы ступенчатых),
поэтому они интегрируемы по Лебегу. Очевидно, что
rb rb rb rb
/ fn(x)dx С / p{x)dx^ / ip(x)dx < / gn(x)dx
J a Ja J cl J a
для всех n. Из (1.8.6) вытекает, что интегралы функций р я ф
равны R(f), откуда р(х) = ф{х) п.в., ибо <р(х) ^ ф>(х). Поэтому
р — f — ф п.в., что дает доказываемое утверждение. □
Существуют несобственно интегрируемые по Риману функции,
которые неинтегрируемы по Лебегу (см. задачу 1.16.36). Однако су¬
ществование абсолютного несобственного интеграла Римана влечет
интегрируемость по Лебегу.
78
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
1.8.15. Теорема. Предположим, что функция f интегрируе¬
ма на промежутке I (ограниченном или неограниченном) по Ри¬
ману в несобственном смысле вместе с функцией |/|. Тогда функ¬
ция / интегрируема на I и по Лебегу, причем ее несобственный
римановский интеграл равен лебеговскому.
Доказательство. Мы рассмотрим случай, когда промежуток
I = (а, Ъ] ограничен, а / интегрируема по Риману в собственном
смысле на отрезках [а + е, Ь], е > 0. Случай о = — оо аналогичен,
а общий случай разбивается на конечное объединение рассматрива¬
емых. Пусть fn = //[«+„-!,ьр Тогда /„(ж) -» f{x) при х <Е (а, 6]. По
предыдущей теореме функции fn измеримы по Лебегу. Значит, из¬
мерима и /. Кроме того, лебеговские интегралы функций |/п| рав¬
ны их римановским интегралам, которые по условию равномерно
ограничены. По теореме Фату функция |/| интегрируема по Лебе¬
гу. По теореме Лебега интегралы функций /п по (а, Ъ) стремятся
к лебеговскому интегралу /, что дает его совпадение с несобствен¬
ным римановским. □
Обе теоремы верны и в многомерном случае с аналогичными
доказательствами (но можно использовать и теорему 1.8.12).
Основное преимущество лебеговского интеграла перед рима¬
новским состоит в рассматриваемом в следующем параграфе свой¬
стве полноты пространства интегрируемых функций. Этим свой¬
ством не обладает даже абсолютный несобственный римановский
интеграл. Кроме того, интеграл Лебега проще в обращении при
предельных переходах и кратном интегрировании.
§ 1.9. Классы L1 и LP
Пусть (X, Л, д) — измеримое пространство с неотрицательной
мерой (возможно, бесконечная, т. е. со значениями в [0, +оо]).
Совокупность всех д-интегрируемых функций будем обозна¬
чать через П1{р).
Часто бывает полезно не различать функции, равные почти
всюду (напомним, что такие функции называются эквивалентны¬
ми, см. определение 1.5.12). Для этого вместо пространства £х(д),
состоящего из функций, рассматривают пространство Д(д) (аль¬
тернативное обозначение: Ll(X, д)), элементами которого являют¬
ся классы эквивалентности в (д), состоящие из почти всюду рав¬
ных функций. Тем самым Т1(д) — это часть Т°(д), соответствую¬
щая классам с интегрируемыми представителями.
§ 1.9. Классы L1 и Lp
79
Здесь будет установлено, что пространство интегрируемых по
Лебегу функций обладает свойством полноты, т. е. фундаменталь¬
ные в среднем последовательности сходятся в среднем (этого важ¬
ного свойства нет у интеграла Римана, см. пример 1.9.4).
1.9.1. Определение, (i) Последовательность функций fn, ин¬
тегрируемых по мере у (возможно, со значениями в [0,+оо]), на¬
зывается фундаментальной в среднем, если для всякого е > 0 най¬
дется такой номер N, что
I I fn{x) - fk(x)I y{dx) <£ Vn, k^N.
Jx
(ii) Будем говорить, что последовательность у,-интегрируе¬
мых функций fn сходится к у-интегрируемой функции f в сред¬
нем, если
Пт [ |/(ж) - fn(x)\y(dx) = 0.
Фундаментальность или сходимость в среднем будем также на¬
зывать фундаментальностью или сходимостью в L1 (у) соответ¬
ственно.
В главе 2 обсуждаются общие метрические пространства, но,
забегая вперед, отметим, что такие сходимость и фундаменталь¬
ность соответствуют естественной метрике пространства LJ (у), за¬
даваемой формулой
d(f,g)=[ \f{x) - g(x)\y{dx),
Jx
где в правой части подразумеваются произвольные представители
классов эквивалентности fug (ясно, что от их выбора значение
интеграла не зависит). Неравенство треугольника очевидно из по¬
точечной оценки \f(x) — h(x)\ ^ \f{x) — g(x)\-\-\g(x) — h.(x)\. Именно
для того чтобы из условия d(f, g) = 0 следовало равенство / — д,
и сделан переход к пространству классов эквивалентности. Заме¬
тим еще, что указанная метрика соответствует норме
II/IIlmm) := / 1/(®)1м(<*»0
J X
на L1 (у), о чем говорится в главе 3.
Если последовательность интегрируемых функций /п фунда¬
ментальна в среднем, то supn ||/n||i,i(M) < оо, что видно из оценки
Ц/пИщщ) ^ Win - /т\\щу) + Н/тИщщ), где гп выбрано так, что
80
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
||/п — fm\\b1{ц) ^ 1 ПРИ п ^ т. Кроме того, если последователь¬
ность интегрируемых функций fn сходится в среднем к функциям
/ и д, то ||/ - g\\Li(fM) = 0 и потому /(ж) = д(х) д-п.в.
Следующая теорема показывает полноту пространства L1 (р)
с указанной метрикой.
1.9.2. Теорема. Если последовательность р-интегрируемых
функций fn фундаментальна в среднем, то она сходится в сред¬
нем к некоторой р-интегрируемой функции f.
Доказательство. Найдем такую последовательность {те/Д,
что ||/nfc+1 — /пЛщщ) ^ 2~fc. Теорема Беппо Леви дает сходи¬
мость /i-п.в. ряда из \fnk+1(x) — fnk(x)|, откуда следует сходимость
ряда из фч,+1{%) — fnk{x)- Значит, последовательность {/пДж)}
имеет конечный предел /(ж) для р-п.в. х, поскольку мы имеем
fnk+1 — fni + (fn.2 ~ fni) + • • • + {fn.h+1 ~ fnk)-
Тогда д-п.в. мы имеем |/(ж)| = lim |/п, (ж)|. По теореме Фату
тъ—>оо
функция / интегрируема. Наконец, для всякого е > 0 найдется
такой номер Ne, что
/ | /та /гта! dp ^ £
JX
при всех гг, m > Ns. Подставляя n — Uk и еще раз применяя теорему
Фату, приходим к оценке J \f — fm\dp ^ е при m ^ Ne. Теорема
доказана. □
1.9.3. Следствие. Если фундаментальная в среднем последо¬
вательность р-интегрируемых функций fn сходится почти всю¬
ду к функции f, то функция / интегрируема и последователь¬
ность {fn} сходится к ней в среднем.
Убедимся теперь, что интеграл Римана не обеспечивает такой
полноты.
1.9.4. Пример. Существует фундаментальная в среднем, рав¬
номерно ограниченная последовательность неотрицательных сту¬
пенчатых функций, которая сходится в среднем к ограниченной
функции, не имеющей интегрируемой по Риману модификации.
Доказательство. Возьмем компакт К с [0,1] положитель¬
ной меры Лебега, не имеющий внутренних точек. Скажем, допол¬
нение к объединению интервалов Un = (гп — 10~~п,гп + 10~п), где
§ 1.9. Классы L1 и L>‘
81
{r„} — все рациональные точки из [0,1]; мера этого объединения не
превосходит 2/9. Множества Wn = U\ U • • • U Un открыты и возрас¬
тают к открытому множеству W = (J„ Un. Поэтому их индикаторы
1\уп являются ступенчатыми функциями и возрастают к Т\у. Ясно,
также что имеет место сходимость в среднем. Сама функция 1\у не
интегрируема по Риману, ибо она разрывна в каждой точке из К
(во всякой окрестности такой точки ж есть точки у из W, так что
Iw(x) = 0 и hv(y) = 1), т. е. множество точек разрыва имеет по¬
ложительную меру. Однако нам надо больше: никакая функция /,
почти всюду равная 1\у, не интегрируема по Риману. Это видно из
того, что у такой функции множество точек разрыва также имеет
положительную меру: если Z — множество меры нуль, вне которо¬
го / совпадает с 1\у, то K\Z по-прежнему имеет положительную
меру, причем при х G K\Z мы имеем /(ж) = Iw{x) — 0, хотя, как
и раньше, во всякой окрестности точки х есть точки у из W\Z,
в которых f(y) = Iw(y) = I-
Отметим, что здесь на роль предельной функции не годится
обычно приходящая в голову функция Дирихле (индикатор мно¬
жества рациональных чисел). Дело в том, что такая функция почти
всюду равна нулю, поэтому нужного эффекта не возникает. □
1.9.5. Предложение. Функция / интегрируема относитель¬
но меры р в точности тогда, когда существует последователь¬
ность простых функций fn, которая сходится к / почти всюду
и фундаментальна в среднем. При этом ||/ — /пЦь1^) —¥ 0.
Доказательство. Если такая последовательность существу¬
ет, то / G XL1 (/а) и II/—фп\\ьх(ц) —* 0, что вытекает из доказательства
предыдущей теоремы. Для доказательства обратного возьмем по¬
следовательность простых функций fn так, что /п(ж) —> /'(ж) п.в.
И | /„( ж)! ^ |/(ж)| п.в. (см. следствие 1.5.10). По теореме Лебега
получаем ||/ - фп\\ьЦц) 0. □
Перейдем к обсуждению классов Lp и связанных с ними нера¬
венств Гёльдера и Минковского.
Пусть (X, Л, р) — пространство с неотрицательной мерой р (ко¬
нечной или со значениями в [0, +оо]) и р е (0, +оо). Обозначим че¬
рез Пр{р) множество всех //-измеримых функций /, для которых
|/|р — /х-интегрируемая функция. В частности, II1 (/а) — множество
всех д-интегрируемых функций. Как и выше, через -С0(/а) обозна¬
чаем класс всех /а-п.в. конечных р,-измеримых функций. Обозначим
82
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
через Ьр(ц) фактор-пространство £?,(/х) по введенному в £° (/г) от¬
ношению эквивалентности. Итак, 1Р{р) есть множество классов эк¬
вивалентных //-измеримых функций /, для которых \f\p интегри¬
руема. Эти же обозначения используются также для комплексных
функций.
В случае меры Лебега на Щп или на множестве Е С IRn ис¬
пользуются символы £J'(IRn), LP(E) и LP(E) без указа¬
ния меры. Вместо 1Р([а, Ь]) и Ьр([а. +оо)) будем писать Ьр[а, Ь\
и IP [а, +оо). Иногда бывает нужно явно указать пространство X во
введенных обозначениях, и тогда используются символы ХР(Х, //)
или LP (X, /г). Часто допускается сознательная неточность обозна¬
чений в выражениях типа «функция / из 1Р», в которых следовало
бы говорить «функция / из £>р» или «класс эквивалентности функ¬
ции / в UK». Обычно такое смешение не приводит к недоразумени¬
ям, а иногда и способствует сокращению формулировок, неявно
указывая на то, что какое-либо утверждение верно не только для
отдельной функции, но и для всех представителей ее класса. При
1 < р < оо положим
Эти же обозначения используются для элементов Lp(/t).
Наконец, пусть £-°°(ц,) — множество всех ограниченных всюду
определенных //.-измеримых функций. При / £ £°°(/t) положим
Функцию / называют сую,ественно ограниченной, если она /t-п.в.
равна ограниченной функции. Тогда величина \\f\\oo задается как
и выше (она не зависит от представителя класса эквивалентности
функции /). Альтернативные обозначения: esssup|/|, vraisup|/|.
Пространство классов эквивалентности существенно ограниченных
функций обозначается через L°°(//).
Отметим, что ||/||оо может быть строго меньше вирже^- 1/(ж)1-
Например, нулевую функцию можно переопределить единицей на
множестве меры нуль. Пространство L°°(/t) оказывается полным
метрическим (см. гл. 2 и §3.6) с метрикой ||/ — д\\ь°°(ц)- Есте¬
ственная метрика и норма на пространстве LP{p) обсуждаются
в §2.2, 3.6. При этом используется следующее неравенство Гёль-
дера, которое имеет большое самостоятельное значение: это одно
из наиболее употребительных неравенств теории интеграла.
||/1и°°(м) := ||/||оо := Inf sup |/(ж)
х&Х
§ 1.9. Классы L1 и Lp
83
1.9.6. Теорема. Пусть 1 < р < оо, q — р(р — 1) г, / € £/р(ц),
д £ £9(р). Тогда fg € Сг(р) « ll/fl'lli < Ц/МЫ1?; т. е. выполнено
следующее неравенство Гёлъдера:
jx \fg\ Ф ^ (J \f\p d,(?j (^j^\g\qdpj . (1.9.1)
Доказательство. Функция fg определена п.в. и измерима.
Нетрудно показать (см. задачу 1.16.38), что для всех неотрицатель¬
ных а и b справедливо неравенство ab ^ у + у. Тогда
1/(д)1 Ь(ж)1 <• 11/0*01Р 1 |g(^)lg
11/11р Мя " Р 11/11? Я Ml ’
Правая часть этого неравенства интегрируема, причем ее интеграл
равен 1, поэтому левая часть также интегрируема и ее интеграл не
превосходит 1, что равносильно (1.9.1). □
В приведенной форме неравенство Гёлъдера верно и для ком¬
плексных функций, а в вещественном случае получаем такой факт.
1.9.7. Следствие. При условиях доказанной теоремы
Jx fg dg < \f\p ф)1/Р Ig\q ф)1А?. (1-9.2)
В задаче 1.16.39 выясняются условия равенства в (1.9.2).
Непосредственным следствием неравенства Гёлъдера является
следующее неравенство Коши-Буняковского, которое, однако, мож¬
но легко доказать непосредственно (см. §3.2).
1.9.8. Следствие. Если f,g G C2(/t), то fg € П1(р), причем
Если р(Х) < оо, то £2(д) С С1^), так как |/| ^ |/|2 + 1, но
£2(Щ1) Л1 (И1), что показывает функция (1+|ж|)_1. Ясно также,
что £г(д) С £р(д) при р{Х) < оо и г > р ^ 1.
1.9.9. Теорема. Пусть f,g € £р(д), где р <£ [1,+оо). Тогда
/ + р G £р(ц). причем выполнено неравенство Минковского
(^|/ + 9|рф)1/Р < (lfiTdfjl" + {IxM"d,‘)1/P- (1А4)
84
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Доказательство. Функция f+g определена п.в. и измерима.
При р = 1 неравенство (1.9.4) очевидно. При р > 1 из неравенства
|/ + д\р «С 2Р(|/|Р + |£|Р) следует, что |/ + 9|р G £Х(м)- Заметим, что
\f + g\p< |/ + 5Г11/1 + 1/ + ^1р~1151- (1-9-5)
Поскольку I/ + д\р~г € £р/(г,~1}(д) = £9(/Ч> то в силу неравенства
Гёльдера
[ 1/ + .<?Г11/1^
Jx
Оценивая аналогичным образом интеграл от второго слагаемого
в правой части (1.9.5), приходим к оценке
lx
\f + g\pdp<
\ 1/я
\f + g\pdp)
х /
I \f\pdgj +(yJx^PdfJ)
\ i/p-
Заметив, что 1 - 1/q = 1 /р, получаем ||/ + д||р ^ ||/||р + ||з||?
□
Неравенство Минковского означает, что при 1 ^ р < ос форму¬
ла d(f,g) ||/ - д\\р на LP(p) задает метрику, ибо
\\д - Нр = \\д- f + f - Цр < h~ f\\p + II/ - /г11р-
Аналогично предложению 1.9.5 получаем такой результат (где
случай р = оо покрывается следствием 1.5.10).
1.9Л0. Предложение. Функция / входит в £р(д) в точно¬
сти тогда, когда существует последовательность простых функ¬
ций fn, которая сходится к / почти всюду и фундаментальна
в Ьр(р). При этом ||/ - /„||Ьрщ) -> 0.
1.9.11. Следствие. Пусть р — неотрицательная борелевская
мера на IRn, конечная на шарах (например, мера Лебега). Для вся¬
кой функции / G £р(д), где р G [1, +оо), найдется такая последо¬
вательность бесконечно дифференцируемых функций fj, каждая
из которых равна нулю вне некоторого шара, что ||/—fj\\LP(p) —> 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ввиду неравенства Минковского и преды¬
дущего предложения достаточно уметь приближать простые функ¬
ции. Более того, достаточно рассмотреть простую функцию, рав¬
ную нулю вне шара. Далее утверждение сводится к индикаторам
ограниченных измеримых множеств, ибо если функции д\,..., дь
§ 1.10. Разложение мер и теорема Радона-Никодима
85
приближаются в IP последовательностями {gij}, ■ ■ ■, {Sk,j}, т0 сум¬
ма cig\ Н 1- CkQk приближается суммами cigij Н 1- cugkj- Ин¬
дикаторы множеств указанного вида приближаются индикаторами
конечных объединений кубов, что сводит все к случаю индикатора
одного куба К. В последнем случае нетрудно явно указать глад¬
кие ipj, для которых 0 ^ <pj ^ 1, = 1 при х G К, <fj(x) — 0,
если расстояние от х до К больше 1 jj. Тогда \\pj — 1к\\ьг>{ц) ~> 0
по теореме Лебега о мажорированной сходимости. □
Это следствие теряет силу при р — оо, ибо равномерный предел
непрерывных функций непрерывен.
В случае ограниченной борелевской меры р на отрезке [а, 6]
(или на кубе) мы получаем, что в Lp(p) плотно множество мно¬
гочленов, ибо многочленами равномерно приближаются непрерыв¬
ные функции.
Из обоснования предыдущего предложения легко усмотреть та¬
кой факт.
1.9.12. Предложение. Если ограниченные борелевские мерь
р и v на И” дают равные интегралы на C,Q°(IRn), то у. = v.
Хотя функции из пространства £Р(р) можно складывать
и умножать на числа (на множествах полной меры), это простран¬
ство не является линейным, ибо указанные операции не ассоци¬
ативны: например, если функция / не определена в точке х, тс
такова и / + (—/), но эта функция должна быть всюду равна ну¬
лю (в линейном пространстве лишь один нулевой элемент). Можнс
взять в £-Р{р) множество всюду определенных конечных функций
которое уже является линейным пространством, но целесообразнее
перейти к пространству Ьр(р).
§ 1.10. Разложение мер и теорема Радона-Никодима
В этом параграфе мы кратко обсудим знакопеременные меры
а также рассмотрим вопрос о связи двух различных мер. Следую¬
щая теорема — разложение Хана — характеризует знакопеременные
меры как разности неотрицательных.
1.10.1. Теорема. Пусть р — счетно-аддитивная веществен
ная мера на измеримом пространстве (X, .А). Тогда найдется та
кое множество Х~~ € Л, что, полагая Х+ = Х\Х , для всес
А € Л получаем
р(АГ\Х~)^ 0 и р(АГ\Х+)^ 0.
86
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Доказательство. Назовем множество Е&Л отрицательным,
если ц(АГ\Е) ^ 0 при всех А 6 А. Аналогично определим положи¬
тельные множества. Положим а — inf р(Е), где нижняя грань бе¬
рется по всем отрицательным множествам. Пусть Еп — последова¬
тельность отрицательных множеств, для которых lim ц(Еп) = а.
п—ИЭО
Ясно, что Х~ = U“=i Ап — отрицательное множество, причем
а < < fJ'(En). Значит, р(Х~) = а, ибо величина р(Х~)
конечна по условию теоремы.
Покажем, что Х+ — Х\Х~ — положительное множество. Пред¬
положим противное. Тогда существует такое Aq £ А, что Aq с Х+
и д(Ао) < 0. Множество Aq не может быть отрицательным, ибо
тогда было бы отрицательным и множество Х~ U Aq, для которого
р(Х~ U Aq) < а, что невозможно. Поэтому найдутся такие множе¬
ство А\ С Aq и натуральное число Ад, что А\ 6 A, р(А\) ^ 1/fci,
причем к\ — наименьшее возможное из натуральных чисел к, для
которых в Aq найдется подмножество с мерой не меньше 1 /к. За¬
метим, что fi(Ao\Ai) < 0.
Повторяя рассуждение, проведенное для Aq, применительно
к Ao\Ai, получаем множество Ач С Ao\Ai из А, для которого
//(А) ^ 1/Ад с наименьшим возможным натуральным Ад. Продол¬
жим этот процесс индуктивно. В результате получим дизъюнкт¬
ные множества А; £ А с таким свойством: An+i С Ао\ U”=i А
и ц(Ап) ^ 1/А;п, где кп — наименьшее из натуральных чисел А;, для
которых в Aq\UA[ Аг есть подмножество меры не меньше 1/к.
Заметим, что кп —> +оо, ибо множества Ап дизъюнктны, поэтому
ряд из их мер сходится.
Пусть В — Ао\и^х А;. Заметим, что р{В) < 0, ибо д(Ао) < 0,
M(USi А) > 0 и |JiA А,; с Aq. Более того, В — отрицательное мно¬
жество. В самом деле, если С с В, С £ А и /г(С) >0, то найдется
натуральное число к с /г(С) > 1/к, что при кп > к противоречит
выбору кп, ибо С С А(Д U”=1 А,;. Таким образом, присоединив В
к Х~, приходим к противоречию с определением а. Следователь¬
но, множество Х+ положительно. □
Построенное в предыдущей теореме разложение измеримого
пространства X в дизъюнктное объединение X = Х+ U Х~ назы¬
вается разложением Хана для меры /г. Конечно, разложение Хана
может быть неединственным, так как добавление множества, все
подмножества которого имеют меру нуль, не влияет на свойство
множества быть отрицательным. Однако единственность имеется
§1.10. Разложение мер и теорема Радона-Никодима
87
в следующем смысле: если X = Х+ U X — другое разложение
Хана, то для всех А £ А выполнены равенства
р(АПХ~) = р(АпХ~) и р(АпХ+) = р(АПХ+). (1.10.1)
Действительно, всякое множество В из А, входящее в Х~ П Х+
или в Х+ П Х~, имеет меру нуль, ибо р(В) одновременно неотри¬
цательно и неположительно.
1.10.2. Следствие. При условиях теоремы 1.10.1 положим
р+{А) = р(А ПХ+), р~(А) = -р(А ПГ), АеА. (1.10.2)
Тогда р+ и р~ — неотрицательные счетно-аддитивные меры, при¬
чем р = р+ — р~.
Очевидно, что р(Х+) — наибольшее значение, принимаемое ме¬
рой /г, а р(Х~) — ее наименьшее значение.
1.10.3. Следствие. Если ц: А —* IR1 — счетно-аддитивная
мера па а-алгебре А, то множество значений р ограничено.
1.10.4. Определение. Меры р+ и р~, построенные выше, на¬
зываются соответственно положительной и отрицательной ча¬
стями р. Мера
И := +
называется полной вариацией р. Величина ||д|| := |р\{Х) называ¬
ется вариацией меры р.
Разложение р = р+ — р~ называется разложением Жордана
или Жордана-Хана.
Меру \р\ не следует путать с функцией множества А(->• \р(А)\,
которая обычно пеаддитивна (например, если \\р\\ > р{Х) = 0).
В частности, в общем случае \р\(А) > \р(А)\.
Отметим, что меры р+ и р~ обладают следующим свойством,
которое можно было бы взять в качестве их определения:
р+(А) = sup|/.t(5): В С А, Б€Л.|,
р~~{А) — supj—р{В): ВсА,ВеА |
для всех А € А. Отметим, что \\р\\ не совпадает с величиной
sup{\р(А)\, A G Л}, если обе меры р+ и р~ отличны от нуля. Од¬
нако выполнено неравенство ||/л|| ^ 2 sup{|//(М) j: А € А}.
88
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Можно рассматривать комплексные меры на ст-алгебре А, т. е.
функции вида rj — р + го, где р и и — действительные счетно¬
аддитивные меры на А. Вариацией Ц77Ц комплексной меры г/ назы¬
вают точную верхнюю грань сумм Х^=1 \г)(Ак)\ по всевозможным
разбиениям пространства на дизъюнктные части Ак € А. Посколь¬
ку \v{Ak)\ < \р{Ак)\ + W(Ak)I, то 1ФЦ ^ ||ц|| + ||i/||.
Перейдем к теореме Радона-Никодима. Пусть / — функция,
интегрируемая относительно меры р (возможно, знакопеременной
или со значениями в [0,+оо]) на пространстве (X, А). Тогда опре¬
делена функция множества
(1.10.3)
Из теоремы Лебега вытекает, что v счетно-аддитивна на А. Дей¬
ствительно, если множества Ап е А попарно не пересекаются, то
ряд 1ап(х)/(х) сходится для каждого х к 1а{х)/(х), ибо в нем
лишь один из членов может быть отличен от нуля в силу дизъюнкт-
ности Ап. При этом
N
J2IAn(x)f(x) < lA(x)\f(x)\.
П= 1
Поэтому этот ряд допускает почленное интегрирование.
Будем обозначать и через / • /г. Функция / обозначается сим¬
волом do/dp и называется плотностью меры v относительно р
(плотностью Радона-Никодима или производной Радона-Никоди¬
ма). Мера v абсолютно непрерывна относительно р в смысле сле¬
дующего определения.
1.10.5. Определение. Пусть р и и — счетно-аддитивные ме¬
ры на пространстве (X, А).
(i) Мера и называется абсолютно непрерывной относитель¬
но р, если ф|(И) = 0 для всякого множества А с |д|(И) = 0.
Обозначение: о -С р.
(И) Мера и называется сингулярной относительно р, если су¬
ществует такое множество О. € А, что выполнены равенства
|д|(П) = 0 и ф|(Х\П) = 0. Обозначение: и L р.
Определение имеет смысл и для мер со значениями в [0, +оо].
Отметим, что если мера и сингулярна относительно то р син¬
гулярна относительно о, т. е. р _L и. Поэтому меры р и v называют
взаимно сингулярными. Если о <С р и р -С о, то меры р и и назы¬
ваются эквивалентными. Обозначение: р ~ и.
§ 1.10. Разложение мер и теорема Радона-Никодима
89
Следующий результат — теорема Радона-Никодима — являет¬
ся одним из ключевых в теории меры. Доказательство будет дано
в гл. 4 с помощью методов гильбертова пространства.
1.10.6. Теорема. Пусть у и и — конечные, меры на простран¬
стве (Х,Л). Мера v абсолютно непрерывна относительно меры
у в точности тогда, когда существует такая у-интегрируемая
функция f, что и задается формулой (1.10.3).
Ясно, что функция dv/dy определена однозначно с точностью
до множества меры нуль, ибо функция с нулевым интегралом по
каждому множеству п.в. равна нулю.
Отметим, что если меры у, и v конечны и неотрицательны, при¬
чем v <С у, то v ~ у в точности тогда, когда dvjdy > 0 п.в. отно¬
сительно у. Легко проверить, что если даны три меры у\, /д и у3,
для которых ц,\ -С у2 и уа <?С у3, то у\ <С уз и
dyi/dy3 = (dyi/dy2){dy2/dyz).
Это вытекает из следующего утверждения.
1.10.7. Предложение. Пусть на измеримом пространстве
(X, Л) заданы две ограниченные меры у и и, причем v <С у. Пусть
g := dv/dy. Тогда для всякой v-интегрируемой функции / функция
fg интегрируема относительно у, причем
I / du = I fgdy. (1.10.4)
Jx Jx
Обратно, если у-измеримая функция f такова, что fg £ П\у),
то f G -С1 (г') и выполнено равенство (1.10.4).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя разложение Хана и определе¬
ние интеграла для знакопеременных мер, можно перейти к слу¬
чаю неотрицательных мер. Кроме того, достаточно рассмотреть
неотрицательные функции /. Равенство (1.10.4) верно для простых
функций в силу определения плотности Радона-Никодима. С по¬
мощью равномерных приближений оно сразу переносится на огра¬
ниченные функции. Наконец, из справедливости этого равенства
для min(/, п) следует его справедливость для / по теореме Беппо
Леви. Это рассуждение дает и обратное утверждение. □
1.10.8. Замечание, (i) Теорема Радона-Никодима верна и для
сг-конечных мер в следущем виде. Пусть у и и — сг-конечные
неотрицательные меры на сг-алгебре А в пространстве X, при¬
чем v <С у. Тогда найдется Д-измеримая функция д, которая
90
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
^-интегрируема по множествам А конечной /./-меры, и для таких
множеств н(А) есть интеграл от д по мере р. Обратно, если дана
//-измеримая функция д ^ 0, причем X есть счетное объедине¬
ние множеств Хп, по которым д интегрируема, то мы получаем
ег-конечную меру г/, ограничение которой на каждое Хп задается
плотностью д относительно р. Все это сразу вытекает из случая
конечных мер. При такой интерпретации предыдущее предложе¬
ние остается в силе и для ст-конечных неотрицательных мер.
(ii) Если функция / интегрируема относительно бесконечной
неотрицательной меры р, то множество (а:: /(ж) ф 0} являет¬
ся счетным объединением множеств Хп конечной меры, которые
можно сделать дизъюнктными. На этом объединении мера р экви¬
валентна конечной мере ро, заданной так: ро на каждом Хп есть
Сп • р, где Сп > 0 выбраны так, что ряд из спр(Хп) сходится. Тем са¬
мым р задается относительно ро плотностью д, равной с~г на Хп.
Поэтому интеграл от / по мере р записывается как интеграл от fg
по конечной мере ро.
1.10.9. Пример, (i) Пусть р — ограниченная неотрицательная
мера и мера г/ задана плотностью / € £1(р) относительно р. То¬
гда мера \и\ задается относительно р плотностью |/|. Это ясно из
рассмотрения // на множествах {/ < 0} и {/ ^ 0}.
(ii) Пусть р — знакопеременная ограниченная мера и мера v
задана плотностью / € Т-1(р) относительно р. Тогда мера \н\ зада¬
ется относительно |р| плотностью |/|. Это следует из (i), ибо мера
р задается плотностью £ относительно |р| с |£| = 1, поскольку ме¬
ры р+ и р~ есть ограничения |р| на множества {/ > 0} и {/ < 0}
соответственно, т. е. р+ = /+ • |р|, р~ = / • |р|.
Из теоремы Радона-Никодима можно получить следующее раз¬
ложение Лебега.
1.10.10. Теорема. Пусть р и v — конечные меры на а-алгеб-
ре Л. Тогда существуют такие мера ро на А и р-интегрируемая
функция f, что
V = / • Р + Ро, Ро Т р.
Доказательство. Рассмотрим меру Л |р| + \и\. По теореме
Радона-Никодима получаем р = Д • А, и = fu ■ А, где /м, /„ 6 L1 (Л).
Пусть У — {ж: /Дж) ^ 0}. При ж € У положим /(ж) = /Дж)//Дж).
Наконец, положим ро(А) := п(Л П (Х\У)). Для ограничений ру и
ну мер р и и на множество У очевидным образом имеем иу = /-ру.
Получено искомое разложение. □
§1.11. Произведение мер и теорема Фубини
91
Из доказанного выше явствует, что меры у и v эквивалентны
в точности тогда, когда и = д ■ у, где д € £1(м) я у-п.в. д(х) ф 0.
Если у — конечная или ст-конечная неотрицательная мера на
некоторой сг-алгебре А в пространстве X, то всякая конечная из¬
меримая неотрицательная функция / (необязательно интегрируе¬
мая) задает «^-конечную меру и := f ■ у по формуле (1.10.3), так
как X — объединение множеств конечной меры {х: /(ж) ^ п}пХп,
где у(Хп) < оо и / интегрируема на Хп. Ясно, что в такой фор¬
ме теорема Радона- Никодима верна и для сг-конечных мер. Для
мер ц({0}) — 1, i/({0}) = оо (или наоборот) она уже теряет силу
(с конечными функциями /).
§ 1.11. Произведение мер и теорема Фубини
Пусть (X, А, у) и (У,Ъ,и) — пространства с конечными неотри¬
цательными мерами. В пространстве ХхУ рассмотрим множества
Ах В, где А € А, В € “В, называемые измеримыми прямоугольни¬
ками. Алгебра <S, порожденная такими прямоугольниками, состоит
из всевозможных конечных объединения попарно непересекаюгцих-
ся измеримых прямоугольников, ибо пересечения двух таких объ¬
единений и дополнение любого из них также можно представить
в указанном виде. Положим
ухь>(Ах В) := y(A)v{B).
Распространив функцию ухи по аддитивности на всевозможные ко¬
нечные объединения попарно непересекающихся измеримых прямо¬
угольников, мы получим конечно-аддитивную функцию на алге¬
бре S. Корректность такого определения ухи на алгебре S (неза¬
висимость от разбиения множества на попарно непересекающиеся
измеримые прямоугольники) очевидна из аддитивности мер у я и.
В самом деле, если некоторое объединение дизъюнктных прямо¬
угольников А\ х jBi,. .. ,Ап хВп есть также объединение дизъюнкт¬
ных прямоугольников С\ хф,... ,Cfc х Dfc, то это же объединение
можно составить из более мелких дизъюнктных прямоугольников
вида (А{ ПС7)х(В^ПЕ>г), причем каждый прямоугольник обоих на¬
боров является объединением некоторого числа этих более мелких
прямоугольников.
Символом А (8>23 обозначим сг-алгебру, порожденную прямо¬
угольниками указанного вида (иначе говоря, порожденную S) и на¬
зываемую произведением а-алгебр Л и Ъ. Например, произведение
23(IRI)023(IR1) совпадает с 23(IR2). В самом деле, гт-алгебра 23(1R2)
92
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
порождается прямоугольниками (а, 6) х (с, d) (задача 1.16.2) и по¬
тому входит в В(ГО1)®В(т1). Верно и обратное включение, ибо
для всякого В е В (ГО,1) мы имеем ВхГО1 е 23(ГО2) поскольку класс
всех борелевских множеств В с таким свойством очевидным об¬
разом является сг-алгеброй и содержит все интервалы; аналогич¬
но ГО.1 х В € 23 (ГО2), откуда В\ х В-2 € В (ГО2) для всех множеств
ВЬВ2 £ ^(ГО1), что дает включение В (ГО1)® В (ГО1) С В(ГО2).
Нетрудно проверить, что функция pxv на алгебре прямоуголь¬
ников счетно-аддитивна (сделайте это!) и потому может быть одно¬
значно продолжена до счетно-аддитивной меры на а-алгебре А®В.
Однако вместо этого мы сразу установим полезную формулу, яв¬
ным образом задающую такое продолжение на Л.®В.
Следующий результат является довольно типичным примене¬
нием теоремы о монотонных классах.
1.11.1. Предложение, (i) Пусть (X, А) и (У, В) — измери¬
мые пространства и А®В — а-алгебра, порожденная всеми мно¬
жествами АхВ, где А £ А, В € В. Тогда для всякого множества
Е Е А®В и всякого х 6 X множество
Ех \= {у 6 У: (х,у) е Е}
содержится в В. Кроме того, для всякой А®Ъ-измеримой функ¬
ции / при каждом фиксированном х € X функция у н-> f(x,y)
является В - измеримой.
(и) Если на В задана конечная мера и, то числовая функция
х I—> v(Ex) является A-измеримой при всех Е G А® В.
Доказательство, (i) Если Е является произведением мно¬
жеств из Л и В, то утверждение верно. Обозначим через £ класс
всех множеств Е е А®В, для которых оно верно. Поскольку пере¬
сечениям, объединениям и дополнениям множеств соответствуют
такие же операции над их сечениями в точке ж, то класс £ очевид¬
ным образом является а-алгеброй. Поэтому £ = Л®В. Измери¬
мость функции у ь-► /(ж, у) вытекает из доказанного применитель¬
но к множествам {(ж,у): /(ж,у) < с}.
(И) Функция /е(х) := и{Ех) корректно определена согласно
утверждению (i). Обозначим через £ класс множеств ЕеА®Ъ, для
которых она Л-измерима. Этот класс содержит множества АхВ
с А € А. В £ В. Поэтому £ содержит все конечные дизъюнкт¬
ные объединения таких прямоугольников, т. е. порожденную ими
алгебру. Далее, £ — монотонный класс, что следует из теоремы
§1.11. Произведение мер и теорема Фубини
93
Лебега и того обстоятельства, что если множества Е3 возрастают
к Е, то Е3Х возрастают к Ех (и аналогично с убывающими мно¬
жествами). По теореме 1.1.17 класс £ содержит А<8>® и потому
совпадает с А®®. □
1.11.2. Следствие. В ситуации утверждения (ii) предыдуще¬
го предложения для всякой ограниченной А®>®-измеримой функ¬
ции f на X х У определена и Л-измерима функция
х
f{x,y)v(dy).
Доказательство. Если / = 1е, где Е е А®®, то утвержде¬
ние является прямым следствием предложения. В общем случае
найдется последовательность {/п} линейных комбинаций таких ин¬
дикаторов, равномерно сходящаяся к /. Интегралы от fn(x,y) по
переменной у по мере v будут сходиться к интегралу от /(ж, у) по
переменной у по мере и, что даст A-измеримость предела. □
Применим доказанное для построения произведения мер.
1.11.3. Теорема. Функция рхи счетно-аддитивна на алге¬
бре, порожденной измеримыми прямоугольниками, и однозначно
продолжается до счетно-аддитивной меры р,®и на лебеговском
пополнении А®®, обозначаемом через (А®®)^®,, или А®>®, при¬
чем справедливо равенство
р®и{Е) = / н(Ех) p(dx), Е е А®®. (1.11.1)
JX
Доказательство. Из предложения 1.11.1 следует, что форму¬
ла (1.11.1) корректно задает p®v. Функция счетно-аддитивна,
так как если Е — (J^=i где множества Еп € А®® дизъюнктны,
то Ех = \J^=l{En)x, где (Еп)х <Е ® дизъюнктны, откуда получаем
и{Ех) = X^°=i и{(Еп)х)- Это равенство можно интегрировать по¬
членно по мере р, ибо частичные суммы ряда равны н{^^=1{Еп)х)
и не превосходят v(Y). Для прямоугольников Е = Ах В получаем
число p(A)iy(B), так как Ех = В при ж € А и Ех = 0 при ж ^ А. □
Полученная нами мера р®и называется произведением мер р
и и. По построению мера p®v полна. Разумеется, меру р®и мож¬
но рассматривать и на а-алгебре А®®, которая не обязана быть
полной даже для полных сомножителей.
94
Глава 1. Мера, и интеграл Лебега
Лебеговское пополнение и-алгебры Л®®, как правило, шире са¬
мой этой а-алгебры. Например, если в качестве А — 23 мы возьмем
борелевскую сг-алгебру отрезка [0,1], а в качестве мер д и и возьмем
меру Лебега, то Л®23 совпадет с борелевской сг-алгеброй квадра¬
та (ибо всякое открытое в квадрате множество является счетным
объединением открытых квадратов). При этом, конечно, существу¬
ют измеримые неборелевские множества в квадрате (неборелевское
подмножество отрезка остается таковым и в квадрате).
Не исправит положение и замена борелевских сг-алгебр на пол¬
ные а-алгебры измеримых по Лебегу множеств. В этом случае, как
видно из предложения 1.11.1, в А® 25 не будет входить неизме¬
римое подмножество отрезка, рассматриваемое как подмножество
квадрата, хотя оно очевидным образом имеет меру нуль в квадрате
и входит в пополнение Л®25.
Легко определить и произведение <т-конечных неотрицатель¬
ных мер д и v на а-алгебрах Л и 23. Пусть X является объеди¬
нением возрастающей последовательности множеств Хп конечной
д-меры, а У является объединением возрастающей последователь¬
ности множеств Уп конечной гу-меры. Тогда определены сужения
д|х„ и 1у|уп данных мер на Хп и Yn. Формула
д®^(Е) = Hm n\xn®v\Yn{En(XnxYn))
задает сг-конечную меру на Л®23.
Можно было бы сразу свести дело к конечным мерам, выбрав
такие конечные меры д0 и что д = • д0, v = gv ■ /м0, где gtl
и qv положительные измеримые функции (см. замечание 1.10.8).
Тогда можно положить д®г> := Нетрудно проверить,
что это дает ту же меру, что и выше.
На самом деле можно определить и произведение любых двух
неотрицательных мер, необязательно сг-конечных, но при этом воз¬
никают некоторые отличия и тонкости (в частности, появляются
неэквивалентные конструкции, совпадающие для конечных мер,
см. [6, гл. 3]).
По индукции можно определить произведение конечного числа
конечных или сг-конечных неотрицательных мер дп на простран¬
ствах (Хп, Лп), п = 1,..., N. При этом такое произведение ассоци¬
ативно, т. е. справедливо равенство
Д1<®(д2<®Дз) = (Д1®Д2)®Д3.
Рассмотрим также сечения Еу = [х е X: (х, у) € Е}.
§ 1.11. Произведение мер и теорема Фубини
95
1.11.4. Теорема. Пусть множество Е С XxY измеримо от¬
носительно меры [/Ял/, т. е. входит в (AigtB) . Тогда для р-п.в. х
множество Ех и-измеримо, а функция х i-4 и(Ех) р-измерима,
для и-п.в. у множество Еу р-измеримо, а функция у t—» р{Еу)
и-измерима, причем справедливо равенство
р®и{Е)= f и{Ех) p(dx) = f р(Еу) v{dy). (1.11.2)
JX JY
Утверждение, верно и в случае, когда р и и — ег-конечные меры,
если мнооюество А имеет конечную меру.
Доказательство. Из доказательства теоремы 1.11.3 видно,
что мера р®и на А®Ъ совпадает с мерой
С(Е) ■.= J^p(Ey)u(dy).
Поэтому доказываемое утверждение верно для Е 6 А®Ъ. Оно вер¬
но и для всякого множества Е, имеющего р®и-меру нуль. В самом
деле, найдется множество Е € А®Ъ, которое содержит Е и имеет
меру нуль относительно р®и. Тогда Ех С Ех, причем и(Ех) = О
для д-п.в. х в силу уже установленного равенства
I и(Ёх) p(dx) = 0.
J х
Аналогичным образом р(Еу) = р(Еу) = 0 для v-п.в. у. Наконец,
всякое р®г/-измеримое Е имеет вид Е — Е\ U Е2, где Е\ G А®Ъ,
Е\ П Е2 — 0 и р®и(Е2) — 0. Значит, теорема верна и для Е.
В случае с-конечных мер запишем X и Y в виде X = Un=i
Y — U^Li ^ni где Хп и Yn — возрастающие множества конечной
меры, а затем воспользуемся доказанным выше для Хп х Yn и тео¬
ремой Беппо Леви. П
1.11.5. Следствие. Если Е С XxY таково, что р®и(Е) — 0,
то и(Ех) = 0 при р-п.в. х и р(Еу) = 0 при v-п.в. у.
Следующий важнейший факт — теорема Фубини.
1.11.6. Теорема. Пусть р и и — a-конечные неотрицатель¬
ные меры и / € XL1 (р®и). Тогда для р-п.в. х функция у >—> f{x,y)
интегрируема относительно и, для и-п.в. у функция х н-» f(x,y)
интегрируема относительно р, функции
ж |-> / f(x,y)u(dy) и т/ н-> / f(x,y)p(dx)
JY J X
96
Глава. 1. Мера и интеграл Лебега
интегрируемы на соответствующих пространствах, причем вер¬
ны равенства
Доказательство. Достаточно рассмотреть / ^ 0 и конечные
меры. Для индикаторов теорема уже доказана. Тогда она верна для
простых функций. Пусть функция / ограничена и А®$-измерима.
Возьмем равномерно сходящиеся к ней простые Л.®S-измеримые
функции /п. По следствию 1.11.2 определены и Д-измеримы
Функции дп равномерно сходятся к д. Значит, интегралы от дп по
мере р сходятся к интегралу от д. Поэтому теорема верна и для /.
Для общей Д®В-измеримой функции / ^ 0 положим /п = min(/, п)
и зададим дп как и выше. Для /п теорема верна, поэтому интегралы
от дп по мере ц равны интегралам от fn по мере ц®г/ и не превосхо¬
дят интеграла от / по мере р®и. По теореме Беппо Леви конечный
предел до(х) Пт дп(х) существует р-п.в. и интегралы от дп по
п—>оо
мере р, сходятся к интегралу от до по мере р. Так как /п | /, то при
этом в таких точках х по той же теореме функция у у—> /(ж, у) ин¬
тегрируема по мере v и ее интеграл равен до(х). С другой стороны,
интегралы от дп по мере р равны интегралам от /„ по мере p®v,
возрастающим к интегралу от / по мере р®ь>. Значит, последний
равен интегралу от до по р. т.е. повторному интегралу / по утр.
Это же верно и для повторного интеграла по р и v. В общем слу¬
чае находим Д®23-измеримую функцию, п.в. равную /, и замечаем,
что ввиду предыдущего следствия теорема верна для п.в. равных
нулю функций. Значит, она верна и для /. □
Отметим, что при избранном способе задания произведения
мер важнейший частный случай теоремы Фубини — для индикато¬
ров — фактически покрывался определением. Если бы мы произ¬
ведение мер получили с помощью теоремы о продолжении счетно¬
аддитивной меры на алгебре (такая возможность была упомянута
выше), то теорему Фубини для индикаторов можно было бы дока¬
зывать так: заметив, что она очевидна для конечных объединений
прямоугольников, расширить ее на счетные объединения, затем на
fd(p®v)=[ [ f(x,y) p{dx)u(dy) =
f{x,y)v{dy)p{dx). (1.11.3)
x Jy
§ 1.11. Произведение мер и теорема Фубини
97
счетные пересечения таких счетных объединений, а затем на все
дСх&'-измеримые множества, пользуясь тем, что всякое такое множе¬
ство с точностью до множества меры нуль совпадает с содержащим
его множеством предыдущего типа (см. следствие 1.3.12).
В задаче 1.16.42 предлагается построить примеры, показываю¬
щие, что существование и равенство повторных интегралов в со¬
отношении (1.11.3) не гарантирует р® ^-интегрируемость измери¬
мой функции /. Кроме того, может случиться так, что оба повтор¬
ных интеграла измеримой функции существуют, но не равны (для
неизмеримых функций это тоже возможно). Наконец, существуют
и такие измеримые функции /, что один из повторных интегра¬
лов существует, а второй не существует. Имеется, однако, важный
частный случай, когда существование повторного интеграла влечет
интегрируемость функции на произведении.
Этот случай охватывается следующей теоремой Тонелли.
1.11.7. Теорема. Пусть / — неотрицательная д® и-изме¬
римая функция на X х Y, где ц и и — a-конечные меры. Тогда
/ € если
I /
JY JX
/(ж, у) p{dx) u(dy) < оо.
Доказательство. Достаточно доказать теорему для конеч¬
ных мер. Положим fn = min(/, п). Тогда функции fn ограничены
и измеримы относительно p®v, а потому интегрируемы. Ясно, что
fn / в каждой точке. Остается заметить, что по теореме Фубини,
применяемой к справедлива оценка
JXxYfnd(»®") = Ш, fn dp^ dv ^ Ш, / dpj d.u,
ибо /п(ж,у) < f{x,y). По теореме Фату / интегрируема. □
Отметим, что из существования повторных интегралов функ¬
ции / на XxY не следует ее измеримость (см. [6, задача 3.10.43]).
1.11.8. Предложение. Пусть (X, А) и (У, Ъ) — измеримые
пространства и /: X -> Ш1, g: Y —у JR1 — измеримые функции.
Тогда отображение (f,g): XxY —> И2 измеримо относительно
А®23 и ТДИ2). В частности, график функции / и множества
{(x,t): f(x) ^ £} и {(x,t): f{x) ^ t} в пространстве XxIR1 вхо¬
дят в а-алгебру А^ТДН1).
98
Глава L Мера и интеграл Лебега
Доказательство. Класс множеств Е е 23(IR2), для которых
(f,g)~1(E) € А®Ъ, является а-алгеброй. Если E = IxJ, где I
и J — интервалы, то (/,^)_1(£|) = f~l(I)xg~l(J) 6 А®23. Поэтому
выполнено равенство £ = 23 (Ш2).
В случае, когда (У, 23) = (И1,23(IR1)) и д(у) = у, получаем из¬
меримость отображения (ж, у) >-> (/(ж), у) из ХхК,1 в Ш,2, что дает
принадлежность к Л,® 23 (ГО,1) прообразов борелевских множеств.
Например, график / есть прообраз прямой жх = жэ в И2, а два
других указанных в формулировке множества являются прообра¬
зами полуплоскостей х\ ^ жг и х\ ^ Ж2- □
Следующий результат вытекает не только из теоремы Фубини,
но уже из ее частного случая — теоремы 1.11.4.
1.11.9. Следствие. Пусть Y = И1, Л — мера Лебега на И1,
/ ^ 0 — интегрируемая функция на пространстве (Х,А,у)
с о-конечной мерой у. Тогда
J^fdg = д®А({(ж,у): 0 ^y^f(x)}^=J y(t: /(ж) ^ t) dt.
Доказательство. Множество А = {(ж,у): 0 ^ у < /(ж)}
измеримо относительно д®А ввиду предложения 1.11.8. При этом
А* = {ж: t ^ /(ж)}, Ах = [0,/(ж)] и А(ЛЖ) = /(ж). □
Первое равенство означает, что интеграл есть «мера множества
под графиком». Если у, — обычная мера Лебега на X = ЛК", то
и на произведении ГО^хГО1 берется обычная мера Лебега (конечно,
в общем случае это не так). Отметим еще, что
д<8>а({(ж,у): 0 ^ у ^ /(ж)}) = д®А({(ж,у): 0 < у < /(ж)})
и y(t: /(ж) ^ t) — y{t: /(ж) > t) для д-п.в. t.
1.11.10. Замечание. Идея доказательства последнего след¬
ствия может быть использована для иного обоснования теоремы
Фубини, привлекающего в случае / ^ 0 произведение у ® v ® А,
где А — мера Лебега на [0, +оо). Как и выше, возьмем множество
Е = {(ж, у, t): t ^ /(ж, у)} вХхУх [0,+оо) и вычислим его ме¬
ру двумя способами. Рассматривая сечения Ех, мы находим, что
г/® А(Ех) есть интеграл от /(ж, у) по у по мере и, а у ® v ® Х(Е)
есть интеграл от / по мере y®v. Аналогично у®\(Еу) совпадает
с интегралом от /(ж, у) по ж по мере у.
§1.12. Функции ограниченной вариации
99
§1.12. Функции ограниченной вариации
В этом параграфе мы изучим важный класс функций на от¬
резке, для которых почти всюду по мере Лебега существует инте¬
грируемая по Лебегу производная. Этот класс — класс функций
ограниченной вариации — совпадает с совокупностью разностей
возрастающих функций. Напомним, что функция /, определенная
в окрестности точки х € IR1, называется дифференцируемой в этой
точке, если существует конечный предел
Пт
h->0
f(x + h)~ /(ж)
h
который называется производной / в точке х и обозначается че¬
рез /'(ж). Из курса анализа хорошо известна формула Ньютона-
Лейбница, которая следующим образом выражает функцию / на
[а, Ь] через ее производную /':
f(x) = f{a)+f f'(y) dy. (1.12.1)
J a
Для непрерывно дифференцируемых функций / интеграл в фор¬
муле (1.12.1) существует в смысле Римана, поэтому никаких про¬
блем с интерпретацией этого равенства не возникает. Проблемы
появляются при попытке распространить формулу Ньютона-Лей¬
бница на более широкий класс функций. Если производная суще¬
ствует всюду или почти всюду, то возникают вопросы о ее инте¬
грируемости в каком-то смысле и о выполнении равенства (1.12.1).
Чтобы пояснить характер возникающих здесь трудностей, мы рас¬
смотрим несколько примеров. Сначала мы построим функцию /,
которая в каждой точке прямой дифференцируема, но /' не инте¬
грируема на [0,1] ни в смысле Лебега, ни в несобственном смысле
Римана.
1.12.1. Пример. Пусть /(ж) = x2sin(x-2) при х Ф 0, /(0) = 0.
Тогда функция / всюду дифференцируема, но функция /' не яв¬
ляется интегрируемой по Лебегу на [0,1].
Доказательство. Равенство /'(0) = 0 следует из определе¬
ния. При мы имеем /'(ж) — 2xsin(x-2) — 2ж-1 cos(x-2). Нам
достаточно показать, что функция гр(х) = ж-1 cos(.t~2) не интегри¬
руема по Лебегу на [0,1]. Предположим противное. Тогда интегри¬
руема и функция ж-1 cos((2x’2)"'1), что проверяется с помощью за¬
мены переменных у = л/2х. Следовательно, интегрируема функция
100
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
<р(х) — х 1 cos2((2а;2) х). Так как ip(x) = 2<р(х) — х 1, то получаем
интегрируемость х~г — противоречие. □
В рассмотренном примере функция f несобственно интегри¬
руема по Риману. Однако теперь легко испортить и это свойство.
Возьмем компактное множество К с [0,1] положительной меры
Лебега, не имеющее внутренних точек (см. пример 1.4.5). Множе¬
ство [0,1 ]\К имеет вид U^Li(an, bn), где интервалы (ап,Ьп) попарно
не пересекаются.
Возьмем такую гладкую функцию в, что в(х) = 1 при х ^ 1/2
и в{х) = 0 при х ^ 1. Положим д(х) = в(х)/{х) при х ^ 0, д{х) — 0
при х < 0. Заметим, что д'(0) = д'( 1) = 0 и д(х) — 0 при всех
х ^ (0,1). Кроме того, |^(ж)| < Сmin{a:2, (1 — ж)2} при некотором С.
1.12.2. Пример. Положим
ОО
F(x) = Xfon - °n)2g(f-_^ )•
n_-j 4 On Un'
Функция F всюду дифференцируема, a F' не интегрируема по Ле¬
бегу на [0,1] и разрывна в каждой точке множества К (поэтому не
интегрируема по Риману в несобственном смысле).
Доказательство. Ряд, задающий F, сходится равномерно,
так как функция д ограничена. Достаточно показать, что F'(x) = 0
в каждой точке х е К, ибо в интервале (ап,Ьп) функция F равна
(Ьп — an)2g[(x — an)/(bn — ап)), поскольку каждое такое слагаемое
равно нулю вне своего (ап,Ьп).
По построению имеем F(x) = 0 при х е К. Пусть h > 0. Если
х + h € К, то F(x + К) — F{x) = 0. Если х + h & К, то найдем
интервал (ап, 6П), содержащий x + h. Тогда x + h — an < h, поэтому
мы получаем
F{x + h) — F(x)
F{x + h)
h
h
— (рп ®п) ,
/г
ж + /г — а
Ьп
&п \
CL-n. '
€
(Ьп ап)
^ h
h2
ipn any
= Ch,
что стремится к нулю при h —* 0. Случай h < 0 аналогичен. Оче¬
видно, что функция F1 не ограничена в правой окрестности точ¬
ки ап, ибо F на (an,bn) представляет собой аффинное преобразо¬
вание д на (0,1). Следовательно, F' имеет разрыв в каждой точ¬
ке из замыкания {оп}. Указанное замыкание совпадает с К ввиду
§ 1.12. Функции ограниченной вариации
101
отсутствия внутренних точек у К. Поэтому нет несобственной ри¬
мановской интегрируемости F' (иначе множество точек разрыве
F' имело бы меру нуль). Интегрируемости F' по Лебегу нет, чте
видно из предыдущего примера. С
Таким образом, ни интеграл Лебега, ни несобственный инте
грал Римана не решают задачу восстановления всюду дифферен
цируемой функции по ее производной. В книге [6] можно найп
сведения о более общих интегралах, решающих указанную задач;
(правда, лишь в некотором смысле). Однако в приложениях гораз
до более типична задача восстановления функции, имеющей про
взводную лишь почти всюду. Конечно, без дополнительных пред
положений такое восстановление невозможно. Например, функци:
Кантора (предложение 1.5.14) почти всюду имеет производную
равную нулю, хотя и не является постоянной. Лебегом был опи
сан класс всех функций, которые почти всюду дифференцируем!
и восстанавливаются по своей производной с помощью формул!
Ньютона-Лейбница для интеграла Лебега. Оказалось, что это af
солютно непрерывные функции. Они обсуждаются в следующе!
параграфе, но сначала мы рассмотрим более широкий класс фунь
ций, которые также почти всюду дифференцируемы, хотя и не o6s
заны быть интегралами.
1.12.3. Определение. Будем говорить, что функция / ь
мпооюестве Т С IR1 имеет ограниченную вариацию, если
П
V(f,T) := sup^l/fo+i) - /(it) I < OO,
i= 1
где snp берется no всем наборам t\ ^ ^ ^ tn+\ из T. Ecj
T = [a, b], то положим Vab(f) := V(f, [a, b}).
Если функция / имеет ограниченную вариацию, то она огр
ничена, причем для всякого to € Т выполнено неравенство
sup|/(i)|<|/(i0)| + V(/,r).
teT
Далее нас будет интересовать случай, когда Т — промежуток [а,
или (а, Ь) (возможно, неограниченный). Простейший пример фун
ции ограниченной вариации — это неубывающая на [а, Ь] фун
ция / (в случае открытого или неограниченного промежутка п]
этом требуется, чтобы пределы в концах были конечны). Зде
щ{ф) = V (/, [a, b}) — f(b) — /(о). В случае, когда концы не вход
102
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
в промежуток, получим V(f,(a,b)) = lim f(t) - lim f(s). Ясно,
t—>6— s—*o+
что ограниченную вариацию имеет также и всякая невозрастающая
санкция. Таковой оказывается и разность неубывающих функций,
ибо пространство BV[a,b\ всех функций ограниченной вариации
линейно. При этом
Vab(af + f3g)<\a\Vab(f) + \(3\Vab(g)
для любых двух функций / и д ограниченной вариации и произ¬
вольных скаляров а ж /3. Это очевидно из оценки
|+ Pg(ti+i) - af{U) - Pgfa)| ^
< H\f(ti+1) - f(U)| + \p\ |g{ti+1) - g(ti)|.
1.12.4. Предложение. Пусть функция f на [a.b] имеет ог¬
раниченную вариацию. Тогда
(i) функции V: ж V(f, [а, ж]) и U: ж У(ж) - /(ж) — неубы¬
вающие на [а, Ь];
(и) функция V непрерывна в точке ж0 € [а, Ъ] в точности то¬
гда, когда в этой точке непрерывна функция /;
(Ш) для всякого с G (а, Ъ) справедливо равенство
V(f,[a,b]) = V(f, [а, с]) + V(/, [с, 6]). (1.12.2)
Доказательство. Так как при добавлении новой точки в раз¬
биение [а, Ь] соответствующая сумма абсолютных величин прира¬
щений функции не уменьшается из-за оценки
\f(U+i) - f(U)I < \f(U+1) - /(с)| + |/(с) - f(U)I,
при вычислении V*(f) можно рассматривать разбиения, содержа¬
щие точку с. Тогда
к п
V(f,[a,b\) =sup[j]|/(ti+i)-/(^)|+ \f{ti+1)-f(ti)\ ,
*=1 г=к+1
где sup берется по разбиениям с Д+i = с. Из этого равенства по¬
лучаем (1.12.2), откуда вытекает, что V — неубывающая функция.
Функция U = V - / также неубывающая, ибо при х ^ у имеем
V(x) - V(y) = V*(f) > |f{x) - f(y)| ^ /(x) - f(y).
Тогда \V(x) — V(y)| ^ |/(ж) — /(y)|, откуда сразу вытекает непре¬
рывность / в точке ж, если в этой точке непрерывна функция V.
§ 1.12. Функции ограниченной вариации
103
Осталось проверить непрерывность V в тех точках х, где непре¬
рывна /. Пусть s > 0. Выберем 5о > 0 с |/(ж + /г) — /(ж)| ^ е/2
при |/г| ^ <5q. По определению существуют такие наборы точек
а = t\ < ■ • • < tn+1 = жиж = «1<"'< Sn+i = Ь, что
+
V(f,[a, ж]) - Iffa+i) ~ /(*i
У(/, M)-£|/Ku)-/(«*)I
г=1
+
i= 1
^ £
^ 2'
Пусть |/г| < 6 min(<5o, x — tn, S2 — x) и h > 0. Тогда
V(x + h) - V{x) = V*{f) - V,b+h(f) ^ ^ ~ /(S0I+
i=1
+ | - V^ft(/) < |/(x) - /(* + Л)| + |/(x + Л)- /(«2)1+
+ J2\f{si+i) ~ f(8i)I + | - Vsb+fc(/) < |/(x) - /(® + fc)| + ! ^ e,
i=2
ибо |/(®+h)-/(e2)|+Efc=2 l/(«i+i) —/(«i)| Vb+h{f). Аналогична;
оценка имеет место при h < 0. I-
Отметим, что если функция / непрерывна в какой-то точк
слева, то и У непрерывна слева в этой точке.
1.12.5. Следствие. Непрерывная функция ограниченно
вариации есть разность непрерывных неубывающих функций.
1.12.6. Следствие. Всякая функция ограниченной вариаци
имеет не более чем счетное множество точек разрыва.
Следующая теорема имеет обманчиво элементарную формул*
ровку. К сожалению, доказательство ее довольно трудно и здесь н
будет обсуждаться (хотя его можно полностью изложить со всем
вспомогательными результатами на трех страницах, см. [6, гл. I
или [7, гл. 4]).
1.12.7. Теорема. Всякая монотонная функция на отрезке т
чти всюду имеет конечную производную.
1.12.8. Следствие. Всякая функция ограниченной вариаци
на отрезке почти всюду имеет конечную производную.
104
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
1.12.9. Следствие. Всякая неубывающая функция / на от¬
резке [а, Ъ] почти всюду на [о, b} имеет конечную производную f,
которая интегрируема, причем
f'(x) dx ^ /(Ь) - /(а). (1.12.3)
Следовательно, производная всякой функции ограниченной вариа¬
ции на [а,Ь} такоюе интегрируема на [а,Ь].
Доказательство. Положим /(ж) = /(6) при ж ^ Ъ. Пусть
f (% —j— ^ f
hn — и /„(ж) = ^ -. Тогда /п ) 0 и п.в. имеем
fn(x) —> /'(ж). Кроме того,
rb rb-\-hn -j rb
/ /„(ж) dx — — / /(у) dy - — / /(ж) dx =
./a Ja+hn П'п Ja
b+hn ^ ra+hn
/(ж) dx--~J /(ж) dж ^ /(Ь) - /(а),
ибо / = /(6) на [Ь,& + /гп] и / ^ /(а) на [а, а + dn]. Остается вос¬
пользоваться теоремой Фату. □
Функция Кантора Со (см. пример 1.5.14) показывает, что
в (1.12.3) может не быть равенства даже для непрерывных функ¬
ций. В самом деле, С'0(ж) = 0 почти всюду, но Со(ж) ф const. В сле¬
дующем параграфе мы рассмотрим подкласс класса функций огра¬
ниченной вариации, приводящий к равенству в (1.12.3).
В заключение отметим, что описанная в конце § 1.7 конструк¬
ция интеграла Лебега-Стилтьеса по возрастающим функциям рас¬
пространяется на функции ограниченной вариации. Пусть на пря¬
мой дана непрерывная слева функция F ограниченной вариации.
Согласно предложению 1.12.4 ее можно представить в виде разно¬
сти ограниченных непрерывных слева возрастающих функций Fi
и F2. Эти функции являются функциями распределения ограни¬
ченных неотрицательных борелевских мер щ и ц2- Следовательно,
F есть функция распределения ограниченной борелевской меры
Д :== Pi — Ц2- Интеграл Лебега-Стилтьеса по F определим как ин¬
теграл по мере ц, т. е. для ограниченной борелевской функции /
положим
j f(t)dF{t) J f{t) p(dt) — j f(t)m{dt)- j fit)p2{dt).
§ 1.13. Абсолютно непрерывные функции
105
Можно проверить, что при выборе F\ и F2 на основе предложе¬
ния 1.12.4(i) верны равенства р+ = р\ — цг/2, р~ = уг/2.
§ 1.13. Абсолютно непрерывные функции
В этом параграфе рассматриваются функции на ограниченных
промежутках и вводится еще один важный класс функций.
1.13.1. Определение. Функция f на отрезке [а, ft] называет¬
ся абсолютно непрерывной, если для всякого е > 0 найдется такое
5 > 0, что для каждого набора попарно непересекаюш,ихся интер¬
валов (ai,bi) в [а, ft] с Y^l= 1 |&г — Ог| < 5 справедливо неравенство
ЕГ=11/(Ьг) ~ /Ы1 < е.
Следует иметь в виду, что здесь важно брать именно дизъюнкт¬
ные интервалы (см. задачу 1.16.43).
Важным примером абсолютно непрерывной функции является
функция /, удовлетворяющая условию Липшица, т. е.
I /0*0 - /(у) | ^ L\x-y\
с некоторой постоянной L. Для таких функций указанное условие
выполнено не только для дизъюнктных интервалов (обратно, со¬
гласно задаче 1.16.43, если в определении забыть требование дизъ-
юнктности, то придем к классу липшицевых функций).
Из определения очевидно, что абсолютно непрерывная функ¬
ция равномерно непрерывна. Обратное неверно: например, фун¬
кция / на [0,1], равная п-1 в (2п)-1, обращающаяся в нуль
в (2n + I)-1 и доопределенная по непрерывности линейным обра¬
зом между этими точками, не является абсолютно непрерывной.
Это явствует из расходимости ряда Е/Li |/((2п)~1) | и стремления
к нулю величин Е^°=т [(2п)-1 — (^n + I)-1]-
Обозначим через АС[а,Ь] класс всех абсолютно непрерывных
функций на отрезке [о, 6].
1.13.2. Предложение. Пусть функции /i, • ■ ■, /п абсолютно
непрерывны па отрезке [а, Ъ\, а функция р определена и удовлетво¬
ряет условию Липшица на множестве U С ГОД причем для всех х
из [а, ft] имеем (/Да:),..., /п(ж)) G U. Тогда функция ..., /п)
абсолютно непрерывна на отрезке [а, Ь].
Доказательство. По условию при некотором С > 0 для всех
х, у € С/ имеем
\р{х) - <р(у)\ ^ С\\х - у|| ^ С\xi - 2/11 Н 1- С\хп - уп|.
106
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Пусть е > 0. Найдем такое 5 > 0, что при каждом j = 1,... ,п будет
выполнено неравенство J2i=i \fj(Pi) — < en~l(C + l)-1 для
всякого набора попарно непересекающихся интервалов ..,
(a*,, bk) в [a, 6] с J2i=i — ai| < 8. Теперь остается просуммировать
по г от 1 до к оценки
■ ■ ■, fn(k)) ~ <p(fi(a,i),..., fn(ai)) \ ^
< C\fi(bi) - h(ai)\ + • • • + C\fn(bi) - /„(*)I
и заметить, что сумма правых частей по г от 1 до к не превосходит
числа Спеп~1(С + I)-1 < е. □
1.13.3. Следствие. Если функции fug абсолютно непрерыв¬
ны, то таковы же fg и f + д, а если д ^ с > 0; то и //д.
Доказательство. В качестве надо взять <р(х,у) = х + у,
р(х,у) = ху и р(х, у) = х/у на прямоугольниках, соответствующих
отрезкам, в которых принимают значения / и д. □
1.13.4. Предложение. Всякая функция f, которая абсолют¬
но непрерывна на отрезке [а,Ь], имеет на этом отрезке ограни¬
ченную вариацию.
Доказательство. Возьмем S для е = 1 из определения абсо¬
лютно непрерывной функции. Пусть т > \Ь — а\5~г натурально.
Пусть задано разбиение а — t\ ^ ^ tn — b. Добавим к точкам
ti все точки вида Sj — а + (b — a)jm~1, где j = 0,,т. Точки
полученного разбиения обозначим через zi,... Тогда
п—1 к—1
l/fa+l) - /(*i)I < l/fc+0 - f(Zi)I =
i=l i=1
m
3=1 *= zi+iS(sj_i,Sj]
ибо сумма длин интервалов (zi,Zi+1) c Zi+\ G (sj-\,Sj} не превосхо¬
дит Sj — Sj-1 = |6 — a|m-1 < 5. Итак, V(f, [a, 6]) < m. □
1.13.5. Следствие. Всякая абсолютно непрерывная функция
на [a, b} имеет почти всюду производную, интегрируемую на [а, Ь].
В частности, это верно, если функция липшицева.
Доказательство. Применимо следствие 1.12.9. □
§ 1.13. Абсолютно непрерывные функции
107
1.13.6. Предложение. Пусть функция / абсолютно непре¬
рывна на от,резке [а, Ь]. Тогда функция V: ж ^ У(/, [а, ж]) также
абсолютно непрерывна и потому / есть разность неубываютщх
абсолютно непрерывных функций V и V — f.
Доказательство. Пусть е > 0. Найдем такое S > 0, что сум¬
ма абсолютных величин приращений / на всяком конечном на¬
боре непересекающихся интервалов (щ, hi) суммарной длины ме¬
нее д оценивается через е/2. Пусть дано к таких интервалов. Для
каждого г — 1,,к можно найти такое разбиение [аг, hi] точками
СЧ = t\ < • • • < tlm. = h, что
rrij — l
v{f,[aiM)< E i/(4+i)-/(4)i + e4_l-
j=i
Тогда
к к
Y\v(bi) - v(ai)\ = y v(/> к w <
i= 1 i= 1
к пч — 1
<EE№i+i)-/(4-)i + |<E.
i= 1 j=l
ибо интервалы попарно не пересекаются и сумма их длин
не превосходит 5. □
Для всякой интегрируемой по Лебегу функции / на [а, Ь] и вся¬
кой постоянной С можно рассмотреть функцию
F(x) = С+ f f(t) dt,
J а
которая называется неопределенным интегралом /. Оказывается,
что функции такого вида — это в точности абсолютно непрерывные
функции. В этом состоит следующая теорема Лебега об абсолютно
непрерывных функциях.
1.13.7. Теорема. Функция / абсолютно непрерывна на [а, Ь]
тогда и только тогда, когда существует такая интегрируемая
на [а, Ъ] функция д, что
РХ
fix) = /(а) + / д{у) dy Ухе [а, Ь].
Jа
(1.13.1)
108
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Доказательство. Если / имеет вид (1.13.1), то в силу абсо¬
лютной непрерывности интеграла Лебега для всякого е > 0 най¬
дется такое 8 > 0, что
для всякого множества D меры меньше 5. Остается заметить, что
для всякого объединения U — (J?=i[ai; h] попарно непересекающих-
ся отрезков суммарной длины меньше 5.
Докажем обратное утверждение. Можно иметь дело с неубы¬
вающей функцией /, ибо в силу предложения 1.13.6 функция /
есть разность двух неубывающих абсолютно непрерывных функ¬
ций. Пусть /(а) = 0. Согласно теореме 1.4.9 существует такая
неотрицательная борелевская мера д на [а, б], что /(ж) = д([а, х))
для всех х € [а, Ь\. Теперь достаточно установить, что мера д за¬
дается некоторой интегрируемой плотностью д относительно меры
Лебега Л, что в силу теоремы Радона-Никодима равносильно абсо¬
лютной непрерывности д относительно Л.
Пусть Е с [а,Ь] — борелевское множество лебеговской меры
нуль. Нам надо проверить, что ц(Е) = 0. Зафиксируем е > 0. По
условию существует такое <5 > 0, что сумма абсолютных величин
приращений / на всяких непересекающихся отрезках суммарной
длины менее 8 оценивается через е. Найдем такое открытое мно¬
жество U, содержащее Е, что Л(U) < 5. Множество U представляет
собой конечное или счетное объединение попарно непересекающих¬
ся интервалов (сд, ф). В силу выбора 8 для каждого конечного объ¬
единения (,aubi) имеем д(1Х=1(в*Л)) = Е?= i If{h) - /(а*)| < £,
откуда ввиду счетной аддитивности д получаем д([7) ^ е. Следо¬
вательно, д(Е) ^ д(£7) ^ е, ибо д ^ 0. Итак, д(£?) = 0. □
Можно проверить, что если выполнено равенство (1.13.1), то
Для ступенчатых д это равенство очевидно, а общий случай полу¬
чается предельным переходом (проверьте!).
НЛМ)= / \g(x)\dx=\\g\\Li[aM. (1.13.2)
J а
§ 1.14. Формула Ньютона-Лейбница
109
§ 1.14. Формула Ньютона-Лейбница
Теперь мы можем показать, что интеграл Лебега дает формулу
Ньютона-Лейбница (1.12.1) в ее естественной общности.
1.14.1. Теорема. Пусть / £ -С1 [о, Ь]. Тогда
cl fx
— / f(t) dt = f(x) почти всюду на [а, Ь].
dx Ja
Доказательство. Положим /(ж) = 0 при х 0 [а, Ь]. Пусть
РХ
F(x)= f(t)dt.
J а
Предположим сначала, что |/(ж)| ^ М < ос для всех х £ [а, Ь].
Пусть hn —> 0. Функция F липшицева. По следствию 1.13.5 она
почти всюду дифференцируема на [а, Ь]. Тогда для п.в. х £ [а, 6]
верно равенство lim h~l[F{x + hn) - F[x)\ — F'(x). Поскольку
га—юо
F(x + hn) - F(x)
hn
Л-/
' hn Jx
x+hn
то по теореме о мажорированной сходимости получаем равенство
гх F(y + lin) — F{y)
lim
n—> oo
/
J a
hr
fit) dt
ги пол;
dy= [ F'{y)dy
J a
для каждого x £ [a,b\. Заметим, что
' ny + hn)-F(y) dy _ [*+h
Гх F
J a
h
rx+tin ^ rx
/ F{y) dy-— F{y) dy =
J CL+hn П ** <3
= -/'
hn Jx
"П J a+hn
x+hn l
F(V) dy - I-
/ hr)
a+hn
F{y) dy,
что стремится к Fix) — F{a) при n --> ос в силу непрерывности F.
Итак,
F{x) = F{x) - F(a) = Г F\y) dy,
J a
иначе говоря,
f [.F\y) - f(y)\ dy = 0 Vx £ [a, b\.
J a
В силу примера 1.7.9 имеем F'(х) — /(ж) = 0 п.в. на [а, Ь].
по
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Перейдем к общему случаю. Можно считать, что / ^ 0, ибо
/ есть разность неотрицательных интегрируемых функций. Пусть
fn = min(/, п). Поскольку f — fn^ 0, то функция
[ {f(t) ~ fn(tj) dt
J a
не убывает, следовательно, ее производная почти всюду существует
и неотрицательна. Таким образом,
a mdy>ii в-в-
В силу ограниченности fn и доказанного выше получаем оценку
F'{x) ^ fn(x) п.в. Значит, F'{x) > f(x) п.в., откуда
rb rb
/ F'{x)dx ^ / f(x)dx.
J a J а
С другой стороны, в силу следствия 1.12.9 имеем
F(b)-F{a)
-f
fix) dx,
откуда
[F'(x) - f(x)]
dx — 0,
что возможно лишь при F'{x) — f(x) — 0 п.в. ввиду установленного
выше неравенства F'{x) — fix) ^ 0 п.в. □
Разумеется, если / разрывна, то доказанное равенство не обя¬
зано быть верным всюду (скажем, если f — 0 п.в., но не всюду).
1.14.2. Следствие. Пусть f G С1 [а, Ъ]. Тогда для почти вся¬
кой точки х G [а, Ь] имеем
I rx-\-h -I rx-\-h
оТ / Ш - /0*01dy = 0, fix) = lim — / f{y) dy.
h~*0 Ztl Jx-h h->0 Zn Jx_h
Точки x с тлким свойством называются точками Лебега функ¬
ции /.
§1.15. Формулы замены переменных
111
Доказательство. Второе из этих равенств выполнено почти
всюду по доказанной выше теореме. Применив его при фиксиро¬
ванном г к функции |/(ж) — г|, получаем, что для всякого рацио¬
нального числа г почти всюду имеет место равенство
\f(x) - г| = lim — / \f(y) - r| dy.
h-+0 ZH Jx_h
Тогда при почти всех х это равенство верно сразу для всех ра¬
циональных чисел г. При таких х оно остается в силе для всяко¬
го числа г € IR1: возьмем рациональные г*, —> г и заметим, что
||/(у) - Ы - |/(у) - гт\\ ^ |гк - гт\. Наконец, берем г = f(x). □
Если функция / абсолютно непрерывна, то, объединяя дока¬
занную теорему с теоремой 1.13.7, мы видим, что интегрируемая
функция д, неопределенный интеграл которой есть / — /(а), по¬
чти всюду равна /'. Значит, мы получаем следующую формулу
Ньютона-Лейбница для абсолютно непрерывных функций.
1.14.3. Следствие. Пусть функция f абсолютно непрерывна
на [а, Ь]. Тогда ее производная существует почти всюду, интегри¬
руема и удовлетворяет равенству
f(x) = f(a)+[ f'(t)dt, x<=[a,b\. (1.14.1)
J а
Из формулы Ньютона-Лейбница вытекает следующая формула
интегрирования по частям.
1.14.4. Следствие. Пусть fug — абсолютно непрерывные
функции на отрезке [а, b]. Тогда
f f(x)g(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - ( f(x)g\x)dx. (1.14.2)
J a, J cl
Доказательство. Функция fg абсолютно непрерывна соглас¬
но следствию 1.13.3, поэтому к ней применима формула Ньютона-
Лейбница. Остается заметить, что (fg)' — fg + fg' почти всюду
(т. е. во всех точках, где / и g дифференцируемы). □
§ 1.15. Формулы замены переменных
Пусть (X, А, р) — измеримое пространство с конечной (или
неотрицательной) мерой р и /: X —» Y — отображение со зна¬
чениями в некотором пространстве У, наделенном сг-алгеброй Ъ.
112
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Предположим, что / измеримо, т. е. / 1(В) е Л для всех В е S.
Тогда на “В определена мера до/--1 по формуле
Счетная аддитивность этой меры вытекает из того факта, что для
любых попарно непересекающихся множеств Вп мы имеем равен¬
ство / 1 (Un=i Вп) — \Jn=if 'Ш- Мера ро f 1 на ст-алгебре S
называется образом меры р при отображении /. Для всякой огра¬
ниченной S-измеримой функции р справедливо следующее равен¬
ство, называемое формулой замены переменных:
В самом деле, по определению эта формула верна для р = /в,
В 6 Ъ. Значит, равенство остается в силе для простых функций р,
а тогда оно переносится и на их равномерные пределы, т. е. на все
ограниченные S-измеримые функции. Более того, в случае неотри¬
цательной меры р оно справедливо для S-измеримых функций р,
интегрируемых относительно меры pof~l. Для доказательства до¬
статочно рассмотреть случай р ^ 0 и применить теорему о моно¬
тонной сходимости применительно к функциям min(<^, те), что дает
интегрируемость р о / относительно р и нужное равенство. Кста¬
ти, из сказанного видно, что здесь интегрируемость р относительно
р°/—1 равносильна интегрируемости pof относительно р.
1.15.1. Пример. Пусть / — //-измеримая вещественная функ¬
ция и Фj(t) = р[х: f(x) < t) - ее функция распределения. Тогда
для всякой ограниченной борелевской функции р интеграл от p(f)
записывается в виде следующего интеграла Лебега -Стилтьеса:
Действительно, правая часть есть интеграл от р по мере ро/-1
на прямой по определению интеграла Лебега-Стилтьеса. Это же
верно, если функция p(f) интегрируема.
С помощью этого примера можно показать, что всякая веро¬
ятностная борелевская мера о на прямой является образом меры
Лебега на интервале (0,1) при подходящей возрастающей функ¬
ции /: (0,1) —> IR. Для этого / подбирается так, чтобы получить
в качестве Фj-(t) функцию те((—оо. t)).
роГ\В) := р{Г\В)).
(1.15.1)
§1.15. Формулы замены переменных
113
Выведем одно полезное тождество, выражающее интеграл Ле¬
бега по абстрактному пространству через интеграл Римана и уже
объявленное в частном случае в теореме 1.8.10.
1.15.2. Теорема. Пусть / — измеримая функция на изме¬
римом пространстве (X, Л) с мерой р со значениями в [0, +ос]
и ф — локально липшицева неубывающая функция на прямой, при¬
чем Пт 'ф(К) = 0. Если функция ф(ф) интегрируема относи-
R—>—оо
тельно р, то
г /-+оо
/ ф{/(х)) p(dx) = / ф'ф) р(х: /(ж) > t) dt. (1.15.3)
JX J-оо
Кроме того, интегрируемость ф(ф) равносильна интегрируемо¬
сти функции ф'^)р(х: /(ж) > t) на прямой с мерой Лебега.
В частности, при 1 ^ р < оо функция |/|р интегрируема по
мере р в точности тогда, когда функция t н-» tP~1 р (ж: |/(ж)|> t)
интегрируема на [0, +оо) по мере Лебега. При этом
[ \f\pdp = p [ tp гр(х: \f(x)\>t)dt. (1.15.4)
J X Jo
Доказательство. Теорема сводится к случаю а-конечной ме¬
ры, ибо такова мера р на множестве {ф(ф) ф 0}. Далее с помощью
теоремы о монотонной сходимости можно ограничиться случаем
конечной меры и считать, что р — вероятностная мера. Положим
F(t) = р(х: /(ж) < t), G(t) = р[х: f(x) > t). Тогда F(t) + G(t) = 1
для всех точек t, за исключением не более чем счетного множества,
возможных скачков F. Сначала предположим, что функция / огра¬
ничена. По формуле (1.15.2) правая часть (1.15.3) равна
/+оо
■
-ОО
ф(ф) dF(t).
Пусть R> Rq — supt \f(t)\. Тогда F(—R) = 0, F(R) — 1. Формула
интегрирования по частям дает
f ip(t)dF(t) = - [ Tpr(t)F(t) dt + ф(К) —
J-R J-R
rR
= / ф'{t)G(t)dt + iP(-R).
J-R
114
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
При R —» +оо получаем нужную формулу (при R > Rq левая
часть совпадает с интегралом по всей прямой). Общий случай сле¬
дует из доказанного применительно к функциям /„, заданным так:
fn(x) = /(ж) при |/(ж)| < п, /„(ж) = п при /(ж) > п, /„(ж) - -п при
/(ж) < — п. Тогда функции t >—> д(ж: /п(ж) > t) сходятся к функ¬
ции G в точках непрерывности последней (значит, почти всюду),
а интегралы от ф(/п) сходятся к интегралу от 'ip(f) по теореме Ле¬
бега, так как ф(/п) -* ip(f) поточечно и О «С ф(}п) ^ ф(/) + -0(0)
ввиду монотонности ф и того факта, что ф имеет нулевой предел
в — оо. Из доказательства видна равносильность интегрируемости
ф{ф) по мере д и интегрируемости ф’С по мере Лебега. Последнее
утверждение теоремы следует из первого применительно к функ¬
циям |/| и ф(г) = *р1[о,+оо)(*)- □
Обсудим теперь связь абстрактной формулы замены перемен¬
ных с известной из анализа формулой замены переменных
/ <p(.F(x))| det-F'(x)| dx = f <p(y)dy (1.15.5)
JE JF{E)
для непрерывно дифференцируемых взаимно однозначных отобра¬
жений F области Е С lRn на область F(E) с Нп, удовлетворяю¬
щих условию | det К'(ж) | > 0, и интегрируемых на F(E) функций <р.
Почему здесь появляется функция | det F'(x)\, т. е. модуль якобиана
замены, хотя в формуле (1.15.1) никаких якобианов нет? Для отве¬
та на этот вопрос обозначим через д меру с плотностью | det F'(x)\
относительно меры Лебега на Е, обозначаемой через Х\е- Тогда из
формулы (1.15.1) мы видим, что образ меры д при отображении F
есть мера Лебега на множестве F(E). Таким образом, классическая
формула есть равенство
(| detF'l ■ \\e)oF~1 — \F(E)-
Поскольку F переводит измеримые по Лебегу множества в изме¬
римые (см. теорему 1.4.7), то формула (1.15.5) остается в силе для
всякого измеримого по Лебегу множества Е из области, на кото¬
рой F взаимно однозначно и | det Т'(ж)| > 0. Кроме того, из сказан¬
ного понятно, что для доказательства формулы (1.15.5) достаточ¬
но установить ее для всех замкнутых кубов Е в исходной области
и функции (р = 1.
Последнее делается просто. Пусть для какого-то куба К фор¬
мула неверна, скажем, интеграл от | det F1 \ по К есть </А (F(K)), где
q > 1. Зафиксируем 4 > 0, для которого q(l — £) > 1 + 6. Разделим
§ 1.15. Формулы замены переменных
115
К на 2П одинаковых кубов с попарно непересекающимися внутрен¬
ностями и вдвое меньшими ребрами. Хотя бы для одного из таких
кубов К\ интеграл от | (let F' по К\ не меньше числа qX(F(Ki)).
Продолжая эту процедуру, получим вложенные кубы Kj со стремя¬
щимися к нулю длинами ребер, для которых интегралы от | det F' \
по Kj не меньше чисел q\[F(Kj)). Эти кубы имеют единственную
общую точку а. Можно считать, что | det F'(a)\ = 1, умножив F на
положительную постоянную. Пусть М = ||1?/(а)-1|| и е > 0 таково,
что (1 — еМ)п >1 — 6. Найдется такая окрестность W точки а,
что при а + h € W получим F(a + h) = F(a) + F'{a)h + r(h), где
||r(/г)|| T е||/г||. Ввиду непрерывности F' эту окрестность можно
выбрать так, что |detF'{x) — detF'(a)\ < 6 при x € W. Можно
считать, что а — 0 и F(a) = 0. Для всех достаточно больших j име¬
ем Kj С W. Далее имеем дело с такими j. Линейное отображение
G: h F'(0)h переводит кубы Kj в множества G(Kj) такого же
объема. Так как F{h) = F'(0)h + r(h) = F'(0)[h + i?,(0)_1r(/i)], то
A{F(Kj)) > (1 - 6)\{G(Kj)) = (1 - 5)X(Kj),
ибо F(Kj) содержит множество G(Qj), где Qj — куб, полученный
из Kj сжатием с коэффициентом (1 — еМ) с центром в центре Kj.
С другой стороны, интеграл от | detF'(x)\ по Kj отличается от
| detFr(0)\X(Kj) — X(Kj) не более чем на 6X(Kj). Итак,
(1 + 5)X(Kj) ^ [ | detF'^)! dx ^ qX(F(Kj)) ^ q( 1 - 5)X(Kj),
J к j
откуда l + 6 g(l — 5) — противоречие. Случай q < 1 аналогичен.
В частном случае, когда F(x) = Тх + а, где Т — обратимый
линейный оператор и a € И”, мы получаем формулу
/
ip(Tx + a) dx = | detT|
_1 / (f(y)dy
J IRn
(1.15.6)
для всякой функции сд, шгтегрируемой по Лебегу на ПТ1. Конечно,
этот частный случай сразу следует из формулы для объема образа
куба при линейном отображении.
Мы нашли образ меры ] det F'| • Л при отображении F. Най¬
дем теперь образ самой меры Л. Это легко сделать с помощью
формулы (1.15.5), но можно заметить, что образ Л при обратном
отображении Ф = F-1 есть jdetF'l • Л = |detФ'(1Дт))| 1 • Л, ибо
116
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
Ф' {Fix)) F'(x) — I. Поэтому, рассматривая F как обратное к Ф, за¬
ключаем, что AoF-1 есть мера с плотностью |det F,[F~1(x)) | 1 от¬
носительно меры Лебега. Таким образом, появление якобиана свя¬
зано с представлением образа через меру Лебега.
Условия на Ф можно ослабить, но это непросто. Мы рассмот¬
рим лишь одномерный случай, представляющий собой полезное
следствие формулы Ныотона-Лейбница. Про многомерный случай
см. [6] и указанную там литературу.
1.15.3. Предложение. Пусть ф — монотонная абсолютно
непрерывная функция на отрезке [c,d\ и ф([с, d}) С [а,Ь]. Тогда
для всякой функции f, интегрируемой по Лебегу на отрезке [а, Ь],
фунщия /(ф)ф' интегрируема на [с, d] и справедливо равенство
rip(d) fd
/ f{x) dx = / f(^{y))^'(y)dy. (1.15.7)
J p(c) J c
Это же верно и для лучей вида (—oo,d], [с,+оо), (—оо,+оо).
Доказательство. Можно считать, что ф не убывает, причем
а = ф(с), b = ф(д). В силу интегрируемости ф' на [с, d] определена
конечная неотрицательная борелевская мера р = фг ■ А, где А —
мера Лебега на [с, d\. Обозначим через v борелевскую меру цоф~1
на [а, Ь], т. е. н{В) = (В)). В силу общей формулы замены
переменных (1.15.1) равенство (1.15.7) для всех борелевских ин¬
тегрируемых функций / равносильно тому, что мера и совпадает
с мерой Лебега Ai на [а, Ь]. Поэтому для доказательства в случае
борелевских / достаточно установить равенство значений и и Ai на
каждом отрезке [<т, /3] из [а, 6] (см. следствие 1.9.3). Найдется такой
отрезок [7Д] С [с, d\, что ф{7) = а, ф(5) = /3, [7,5] = ?/>-1([а,/3]).
Остается заметить, что по формуле Ньютона-Лейбница справед¬
ливо соотношение
Р\) = Mbs 5]) = [ Ф\у) dy = - V>( 7) = р-а.
J*y
Чтобы перенести доказанное равенство с борелевских функций на
все измеримые по Лебегу, проверим, что мера и абсолютно непре¬
рывна. Это равносильно тому, что ф~г(Е)[){у: ф'(у) > 0} имеет
лебеговскую меру нуль для всякого множества Е лебеговской меры
нуль. Так как Е покрывается борелевским множеством лебеговской
меры нуль, то можно само Е считать борелевским. Тогда остается
применить равенство (1.15.7) к функции / = Jg. Случай бесконеч¬
ного промежутка вытекает из доказанного. □
§ 1.15. Формулы замены переменных
117
Формула (1.15.7) верна и для необязательно монотонной функ¬
ции <р, если дополнительно известно, что функция /('ф)ф' интегри¬
руема, однако в отличие от рассмотренного случая это не всегда
выполняется автоматически (см. [6, задачи 5.8.63-5.8.65]).
Важное применение теоремы Фубини и формулы замены пере¬
менных — построение свертки.
1.15.4. Лемма. Пусть функция / на Мп измерима по Лебегу.
Тогда функция (х,у) ь-> /(ж — у) измерима по Лебегу на простран¬
стве Ж,2ге.
Доказательство. Заметим, что /(ж — у) = /о(.Р(ж,у)), где
/о(ж, у) — /(ж) — измеримая по Лебегу функция на IR2"' и F —
обратимое линейное преобразование (ж, у) *—> (ж — у, у). Прообразы
измеримых множеств при F измеримы (теорема 1.4.7). □
1.15.5. Теорема, (i) Пусть f,g£ /Cx(lRn). Тогда функция
f*g(x)= I f(x — y)g{y) dy, (1.15.8)
ЛRn
называемая сверткой fug, определена для почти всех х и инте¬
грируема, причем
II/* ffllbi(iRn) ^ ll/IU1(lR.,l)llsllT1(IRn)> (1.15.9)
Кроме того, f * g = g * f почти всюду.
(и) Пусть / £ Л»1 (Ж”), g £ £P(IR”), где р £ [1,+оо). Тогда
функция f * g определена почти всюду, f * g = g * f почти всюду,
причем
ll/*5lliP(]Rn) ^ ll/lk1(iRn)l|si|LP(iRn)- (1.15.10)
(iii) Пусть f £ £°°(IRn), g £ T1 (IRra). Тогда функция
f * g{x) = / f(x - y)g{y) dy
ЛRn
определена для всех x и равномерно непрерывна, причем
II/*0ll,L°°(]Rn) ^ ||/||ь°о(1Яп)llslll/^IR71)- (1.15.11)
Кроме того, f * у(ж) — g * f(x).
Доказательство, (i) Как мы знаем из леммы, функция
ф: (ж,у) |/(ж - у)у(у)|
118
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
измерима на пространстве IR2". Поскольку выполнено равенство
[ [ \f(x-y)\\g(y)\dxdy= [ ( I \f(z)\dz)\g(y)\dy < оо,
•llR" JJR." J К" \J]Rn J
то в силу теоремы 1.11.7 функция ф интегрируема на К2п и
V’IIlrir.2™) ^ II/ IIlrir,") Из lib1 (IR,™)-
По теореме Фубини функция
р: х I—> ./ ф(х, у)dy
определена для почти всех х и интегрируема, а потому интегри¬
руема и функция f * д, ибо |/ * д{х)\ < <р(ж)) а измеримость f * д
вытекает из леммы 1.15.4 и утверждения об измеримости в теореме
Фубини. Для тех х, для которых функция /(ж — у)д(у) интегриру¬
ема по аргументу у, заменой переменной z = х — у (см., например,
формулу (1.15.6)) убеждаемся в равенстве / * д(х) — д * f(x).
(И) Обоснование аналогично, но надо применить еще и неравен¬
ство Гёльдера с q = (р— 1)/р при р > 1 (в интеграле по у), дающее
оценку
dx =
[ [ If(x-y)g{y)\dy
Jm.n Jnn
= f I [ \f(x-y)g(y)1/p\ \g{y)\1~1/p dy
< / [ \f(x-y)\p\g{y)\dydx ([ \g(y)\q{1~1/p) dy)
■Jmn J]R.n \Jmn /
dx <
Так как q(l — 1/p) = 1, 1 + p/q — p. а правая часть оценивается
через || |/|Р \\li\Mli\\9\\li = II/IIz,pIIsCi, то приходим к (1.15.10).
(Ш) Оценка (1.15.11) очевидна. Равенство / * д(х) — д * f(x)
доказывается так же, как и в (i). Если функция д непрерывна
и равна нулю вне некоторого куба, то д * / очевидным образом
равномерно непрерывна. В общем случае мы возьмем непрерыв¬
ные функции gj с ограниченными носителями так, чтобы получить
11.9 — gj\\bl{]Rn) 0 ПРИ j —> 00 (следствие 1.9.11). Оценка (1.15.11)
дает равномерную сходимость gj * f к д * f, откуда следует дока¬
зываемое. □
§1.16. Задачи
119
1.15.6. Следствие. Пусть д & С1(МП). Если функция / из
£oo(]R7i,) имеет ограниченные производные до порядка к, то тако¬
ва же и функция f * д, причем
dxh ■ ■ ■ dXim (,f*g) = {dXil . . ■ dXim f) * g для всех m^k
и эти производные равномерно непрерывны.
Доказательство. Равенство dXi(f*g) = dxJ*g следует из те¬
оремы о дифференцировании интеграла Лебега по параметру (см.
следствие 1.8.7). По индукции наше утверждение распространяет¬
ся на производные высших порядков, а их равномерная непрерыв¬
ность следует из доказанной выше теоремы. □
С помощью свертки строят гладкие приближения функций (см.
предложение 3.6.4).
§ 1.16. Задачи
1.16.1? (i) Доказать, что для всякой ст-алгебры А в X и всякого
отображения /: Е -+ X класс f~1(A) всех множеств вида f~1(A), где
A е А. есть ег-алгебра в Е. (и) Показать, что для всякой с-алгебры £ в Е
класс 23 = {В С X: /-1(П) 6 £}, есть п-алгебра в X.
1.16.2? Показать, что борелевская ег-алгебра 23 (Жп) — наименьшая
«т-алгебра в Ж", содержащая все множества вида (од, Ь\) х • • ■ х (ап, Ъп).
1.16.3? Пусть S — некоторый класс множеств в пространстве X.
Добавим к S' пустое множество и обозначим через 5д совокупность всех
множеств этого расширенного набора и их дополнений. Через Зц обо¬
значим класс всех конечных пересечений множеств из Зд. Доказать, что
класс S3 всех конечных объединений множеств из 9ц совпадает с алге¬
брой, порожденной S'.
1.16.4? Пусть S' — некоторый набор множеств в пространстве X.
Доказать, что всякое множество А из ег-алгебры сг(З'), порожденной S',
содержится в п-алгебре, порожденной некоторым не более чем счетным
поднабором {Fn} С S'.
1.16.5? Пусть W — непустое открытое множество в Ж". Доказать,
что W является объединением не более чем счетного набора открытых
кубов, ребра которых параллельны координатным осям и имеют длины
вида р2~9, где р, q е М, а центры имеют координаты вида m2_fc, где
т € Z, k € IN.
УКАЗАНИЕ: заметить, что объединение всех кубов указанного вида,
принадлежащих W, дает все W.
120
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
1.16.6? Показать, что борелевская сг-алгебра 23(IR1) — наименьший
класс множеств, содержащий все замкнутые множества и допускающий
счетные пересечения и счетные объединения.
Указание: проверить, что указанный класс является монотонным
и содержит алгебру конечных объединений .лучей и промежутков; дру¬
гой способ: проверить, что совокупность всех множеств, входящих в упо¬
мянутый класс вместе с дополнением, является сг-алгеброй и содержит
замкнутые множества.
1.16.7? Показать, что на прямой существует такое борелевскос мно¬
жество В, что для всякого непустого интервала J множества В П ,J
и (Ж1\Б) П «7 имеют положительные меры Лебега.
Указание: см. [6, т. 1, пример 1.12.16].
1.16.8. Пусть ц — произвольная конечная борелевская мера на от¬
резке I. Показать, что найдется такое множество Е первой категории,
т. е. счетное объединение нигде не плотных множеств, что ц(1\Е) = 0.
Указание: достаточно для всякого п найти компакт Кп без вну¬
тренних точек с ц(Кп) > /х(1) — 2~п. Пользуясь тем, что /х имеет не более
чем счетное множество точек a,j ненулевой меры, можно найти счетное
всюду плотное множество точек Sj нулевой /х-меры. Вокруг каждой точ¬
ки Sj можно описать такой интервал Unj, что /х((7пу) < 2~3~п. Компакт
Кп — I\U“i Unj — искомый.
1.16.9. Обозначим через А класс всех множеств первой категории
в отрезке [0,1] (т. е. счетных объединений нигде не плотных множеств)
и их дополнений и положим д(А) = 0, если множество А имеет первую
категорию, ц(А) — 1, если [0,1]\Л имеет первую категорию. Доказать,
что А — ст-алгебра, мера /х счетно-аддитивна, но не продолжается до
счетно-аддитивной меры на 23([0,1]).
Указание: применить задачу 1.16.8.
1.16.10. Доказать, что мера Лебега измеримого множества Е с К"
есть точная нижняя грань сумм ^n(Uk) по всем последовательно¬
стям открытых шаров [Д, покрывающих Е.
1.16.11? Показать, что множество Е С IR измеримо по Лебегу в точ¬
ности тогда, когда для каждого е > 0 существуют такие открытые мно¬
жества U и V, что EcU, U\E с К и А(У) < е.
1.16.12? Пусть А С Ш1 — множество положительной меры Лебега.
Доказать, что найдутся такие а\, а2 € А, что а\ — а2 иррационально.
1.16.13. Пусть А с JR1 — множество положительной меры Лебега.
Доказать, что А — А := {ai — а2: ai, а2 <Е А} содержит интервал. В част¬
ности, найдутся такие числа а\, а2 € А, что число а\ — а2 рационально.
1.16.14. Показать, что всякое множество на прямой положительной
меры Лебега содержит неизмеримое подмножество.
§ 1.16. Задачи
121
1.16.15? Пусть д — ограниченная неотрицательная борелевская мера
на Ж”. Доказать, что для всякого ц,-измеримого множества Е и всякого
е > 0 найдется конечное объединение Ее открытых кубов с ребрами,
параллельными координатным осям, для которого д(.Е Д Ее) < е.
1.16.16? Пусть д — вероятностная борелевская мера на I = [0,1]п,
причем д(Л) = ц{В) для всяких борелевских множеств А, В С I, отли¬
чающихся лишь сдвигом. Показать, что д — мера Лебега \п.
1.16.17. (i) Пусть 91 — полукольцо, д: 91 —* [0,+оо) — счетно-ад¬
дитивная функция и А,Ап £ 91 таковы, что Ап либо возрастают, либо
убывают к А. Показать, что справедливо равенство д(А) = lim д(А„).
п—>оо
(и) Привести пример, показьгеающий, что из указанных в (i) свойств
не вытекает счетная аддитивность неотрицательной аддитивной функ¬
ции множества на полукольце.
1.16.18. В пространстве X = {1,2,3} на псшуалгебре А0 из пяти
множеств 0, {1}, {2}, {3} и X функция и задана так: и{0) — 0, на осталь¬
ных четырех множествах и равна 1. Проверить, что v не является конеч¬
но аддитивной, хотя для каждой такой пары дизъюнктных множеств
А,Ве А0, что A U В е А0 выполнено условие v(A U В) = и(А) + и(В)
(такими парами являются лишь 0, 0 и 0, X).
1.16.19. (i) Показать, что ограниченное множество Е с Ж" измери¬
мо по Жордану (см. определение 1.4.8) в точности тогда, когда граница Е
(т. е. множество точек, во всякой окрестности которых есть точки из Е
и из дополнения Е) имеет меру нуль.
(ii) Показать, что класс всех измеримых по Жордану множеств на
отрезке (или в кубе) представляет собой кольцо.
1.16.20? Показать, что ограниченная неотрицательная мера д на
а-алгебре А полна в точности тогда, когда А = А,,: в частности, ле-
беговское продолжение полной меры совпадает с ней самой.
1.16.21. (Критерий измеримости Юнга) Пусть (X, А, д) — простран¬
ство с конечной неотрицательной мерой. Доказать, что множество А С X
входит в А/( в точности тогда, когда для всякого множества В, не пере¬
секающегося с А, справедливо равенство д*(А U В) = д*(.4) + fB(B).
1.16.22. Доказать, что множество числе в [0,1], в десятичной записи
которых не используется какая-либо цифра, имеет меру нуль.
Указание: для к е {0,1,..., 9} заметить, что мера множества тех
чисел х = (0, Х1Х2 • • •), для которых х\ Ф к, равна 1 —10—1, а затем найти
меру множества чисел, для которых хпф к при п = 1,..., т.
1.16.23? Пусть А — и-алгебра в пространстве X и S — всюду плотное
множество в Ж1 (например, S = Q). Доказать, что функция /: X —> IR1
измерима относительно А в точности тогда, когда {ж: f(x) < s} € А
для каждого s € S.
122
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
1.16.24? Привести пример класса множеств И и двух разных мер
на <?(&), совпадающих на 3\ Найти такие вероятностные меры.
1.16.25? Пусть функции /„, где п Е 1N, измеримы относительно неко¬
торой сг-апгебры А в пространстве X. Доказать, что множество L всех
тех точек х Е X, в которых существует конечный предел lim /п(ж), яв¬
ляется элементом А. То же самое верно для множеств L , L+ тех точек,
где предел равен — оо и +оо.
1.16.26? Доказать, что если функция / на прямой имеет только раз¬
рывы первого рода или если множество ее точек разрыва имеет меру
нуль, то она является борелевской.
1.16.27? Доказать, что для индикаторных функций множеств в про¬
извольном пространстве выполнены следующие соотношения:
(i) 1апв — IaIb, (ii) Iлив = I а + Iв - IaIb, (ш) Ia\b — Ia~ IaIb,
(iv) Iaab = I a + Iв - 2IaIb-
1.16.28? При каких а и /3 функция xa\sin®!*3 интегрируема no Лебегу
на [0,1]? На [0,27т]?
1.16.29? (i) Построить последовательность функций /„ > 0 на [0,1],
которые стремятся к нулю в каждой точке и интегралы от которых стре¬
мятся к нулю, но для которых функция Ф(ж) = sup fn(х) неинтегрируема.
В частности, функции /„ не имеют общей интегрируемой мажоранты.
(ii) Построить последовательность функций /„ ^ 0 на [0,1], интегра¬
лы которых стремятся к нулю, но supn fn(x) = +оо для каждого х.
1.16.30? Последовательность неотрицательных функций /п на [0,1]
сходится к функции / в Г1 [0,1]. Верно ли, что \J~fn —> Vf в Р2[0,1]?
1.16.31? Функции fn на [0,1] сходится к / в L1 [0,1]. Доказать, что
функции sin fn сходятся к sin / в L2[0,1].
1.16.32. Пусть /та —> / в L1 (ц). Доказать, что найдутся подпоследо¬
вательность {nk} и функция Ф Е ^(д) такие, что |/„Дж)| ^ Ф(аг) при
всех к для ц-п.в. х.
1.16.34. Доказать, что ряд п 1 sin(n®)|l — пх\ 1/2 сходится по¬
чти всюду на [0,7г] и выяснить, интегрируема ли его сумма по Лебегу.
1.16.35. Построить такое измеримое множество в [0,1], что всякая
функция на [0,1], почти всюду равная его индикаторной функции, раз¬
рывна почти всюду и потому не является интегрируемой по Риману.
П
§ 1.16. Задачи
123
Указание: взять такое множество, что оно само и его дополнение
пересекаются со всяким интервалом по множеству положительной меры.
1.16.36? Пусть ,1п — последовательность попарно непересекающих-
ся отрезков в [0,1], сходящихся к началу координат, |Jn| = 4~п. Пусть
f(x) = n~l/\J2n\ на J2n, f(x) = -n-1/\J2n+i\ на J2n+i, а в остальных
точках / равна нулю. Показать, что функция / интегрируема по Риману
в несобственном смысле, но не является интегрируемой по Лебегу.
1.16.37? Пусть / е Л2(Ж1) и функция xf(x) также входит в Л^Ж1).
Доказать, что / £ Л1 (Ж1).
• 1.16.38? Пусть 1 < р < оо, р-1 + (Г1 = 1. Показать, что для всех
" р I д
неотрицательных а и Ь справедливо неравенство ab ^
1.16.39. ° Пусть f е £р(//), 9 € £9(а0> где 1 < р < оо, р-1 + <?-1 = 1,
причем
J fgd/л = ||/иЫ|д > о.
Доказать, что д = sgn/ • |/|р-1 п.в., где sgn/ — знак /.
Указание: из обоснований неравенства Гёльдера и задачи 1.16.38
заключить, что \д\ = |/|р_1, откуда вытекает требуемое.
px-\-h
1.16.40. Пусть / е Л^Ж1), fh(x) := (2/i)-1 / f{t)dt, где /г > 0.
Jx—h
Доказать, что ||Д — /||цх —> 0 при h —* 0.
1.16.41. (i) Доказать, что график измеримой числовой функции на
измеримом пространстве (Х,А,р) с конечной мерой имеет меру нуль
относительно р®А, где А — мера Лебега.
(и) Пусть функция / ^ 0 на пространстве с мерой (Х,А,р) такова,
что множество под графиком, т. е. S — {(ж, у): 0 ^ у ^ /(ж)} измеримо
относительно меры д® А, где А — мера Лебега. Доказать, что функция /
измерима относительно р.
Указание: (i) использовать р ® A-измеримость графика и теорему
Фубини; (и) использовать //-измеримость множества Sy = {х: (х,у) £ S}
для почти всех у > 0 и задачу 1.16.23.
1.16.42. Построить примеры, показывающие, что (а) существование
и равенство повторных интегралов в (1.11.3) не гарантируют р® ^-ин¬
тегрируемость измеримой функции /; (Ь) может случиться так, что оба
повторных интеграла существуют для измеримой функции /, но не рав¬
ны; (с) существуют такие измеримые функции /, что один из повторных
интегралов существует, а второй не существует.
Указание: (а) пусть Кп = [2~n,21-n], f(x,y) = 0 вне \JnKn, на
квадрате Кп функция / принимает два значения, интеграл от /п по Кп
124
Глава 1. Мера и интеграл Лебега
равен 0, интеграл |/| по Кп равен 1; (b) f(x, у) = у 2 при 0 < х < у < 1,
f(x,y) = —х~2 при О < у < х < 1, f(x,y) = 0 в остальных точках;
(с) f(x,y) = р(х)ф(у), где р имеет нулевой интеграл по [0,1], а ф не
является интегрируемой.
1.16.43. Доказать следующую теорему Г.М. Фихтенгольда: пусть
функция / на отрезке [а, Ь] такова, что для всякого е > 0 найдется та¬
кое 6 > 0, что для любого конечного набора интервалов (аг,ф) в [а, 6]
(возможно пересекающихся) с X3”=i |Ф ~ (н\ < & справедливо неравенство
£Г=11f(bi) — /(оц)| < £; тогда / удовлетворяет условию Липшица, т.е.
1.16.44. Пусть / — измеримая по Лебегу функция на прямой. Дока¬
зать, что для всякой вещественно-аналитической функции д на прямой
композиция f(g) измерима.
1.16.45. Пусть / — неубывающая возрастающая функция на [0,1].
Доказать, что / = р + ф, где функции р и ф являются неубывающими,
р абсолютно непрерывна и ф'(х) = 0 п.в.
1.16.46. Предположим, что множество Е С !RfcxlRn измеримо по
Лебегу, / е £j1(E), Еу {х е Kfc: (х,у) е Е}, у € Шп, компактные
множества К3 с Е таковы, что множество Е\ U"Li Kj имеет меру нуль,
Eq — объединение проекций Kj на Жп. Показать, что
1.16.47. Пусть k е 1N и функция рь на прямой определена так:
Pk(t) = t, если |t| ^ к, pk{t) = к, если t ^ к, Pk(t) — —к, если t < —к.
Пусть д — вероятностная мера.
(i) Доказать, что для всякой функции / е £2(д) функция pk(f) яв¬
ляется ближайшей к / в метрике из Г2(д) функцией среди функций, по
модулю не превосходящих к.
(И) Показать, что если / € £4(д), то ||/ - Pk{f)\\b* < (4fc) 111/111,4
(iii) Показать, что если / 6 Г2(д) такова, что при некотором С > 0
для каждого к существует такая д-измеримая функция что |<д| ^ к
и II/ — 9к\\ь* < Ск~\ то / е Гр(д) при всех р < 4.
(iv) Привести пример, показывающий, что в (Ш) нельзя утверждать,
что f € L4 (д).
УКАЗАНИЕ: (i) если \д\ < к. то при оценке интеграла от |/ — д\2 рас¬
смотреть интегралы по множествам, где |/| < к, f > к, / < —к; (ii) заме¬
тить, что |/ - pk{f)| |/j — fc < (4fc)_1|/|2; (iii) получить оценки для мер
множеств, где |/| ^ 2fe+1, используя то, что |/ — p^(f)\ ^ 2fc на этом мно¬
жестве, затем рассмотреть ряд из 2ру(2к ^ |/| < 2fc+1); (iv) рассмотреть
функцию f(x) = х~1/4 на [0,1].
!/(*)-/(»)! < L\x-y\.
Глава 2
Метрические пространства
В этой главе рассматривается одно из важнейших понятий со¬
временной математики — метрическое пространство. Подробно об¬
суждаются ключевые определения и примеры. Кроме того, приве¬
дены основные сведения о компактных пространствах.
§ 2.1. Основные понятия и примеры
Одним из самых фундаментальных понятий современного ана¬
лиза является понятие метрического пространства. Для функцио¬
нального анализа особо важны различные метрические простран¬
ства функций и отображений.
2.1.1. Определение. Метрикой на множестве X называет¬
ся функция d: X У. X —> [0,+оо), удовлетворяющая следующим
условиям:
1) d(x, у) — 0 в точности тогда, когда х = у,
2) d(x,y) = d(y,x) для всех х,у £ X,
3) d(x, z) ^ d(x, у) + d(y, z) для всех x,y,z е X.
Множество с заданной на нем метрикой называют метриче¬
ским пространством.
Условие 3) называется неравенством треугольника. Метриче¬
ское пространство X с метрикой d обозначается через (X,d). На
одном и том же множестве могут быть заданы разные метрики.
Выражение «метрическое пространство X» без указания метрики
подразумевает, что некоторая метрика выбрана. Если выполнены
лишь условия 2) и 3), то d называют предметрикой.
Разные метрики на множестве могут иметь различный прак¬
тический смысл. Скажем, в группе поселков, соединенных дорога¬
ми и тропинками, расстояние можно измерять как по прямой по
карте, так и как кратчайшее расстояние по дорогам или же как
кратчайшее расстояние и по дорогам, и по тропинкам. В общем
126
Глава 2. Метрические пространства
случае такие метрики могут существенно отличаться, но во всех
случаях расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А
до В и от В до С. Стандартная евклидова метрика на IR."' имеет
вид d(x,y) = {(хх - уг)2 + ■ ■ ■ + (хп - уп)2)1/2.
Всякое подмножество метрического пространства само являет¬
ся метрическим пространством относительно метрики объемлюще¬
го пространства.
2.1.2. Пример, (i) Любое множество X становится метриче¬
ским пространством с метрикой d(x, у) = 1 при х ф у, d(x, х) = 0.
(И) Множество всех ограниченных функций B(fl) на непустом
множестве О является метрическим пространством с метрикой
d(f,g) = вир|/(®)-^(ж)|. (2.1.1)
Частным случаем является пространство 1°° всех ограниченных по¬
следовательностей на IN' с метрикой
d(x,y) = sup \хп - уп|, х = (хп), у = {уп)-
П
(iii) Множество С[а, Ь] всех непрерывных функций на отрезке
[а, 6] — метрическое пространство с метрикой (2.1.1), 12 = [а,Ь].
(iv) Множество I2 всех таких бесконечных вещественных после¬
довательностей х — (хп), что хп < °°, с метрикой
d(x,y) = \^Г(хп-уп)2^ ■
71=1
Величина d(x,y) здесь конечна, ибо (хп — уп)2 <: 2х2 + 2у2.
(v) Множество И°° всех бесконечных вещественных последова¬
тельностей х = [хп) можно наделить метрикой
ОО
d(x,y) = ^2_птт(|жп - уп|, 1). (2.1.2)
П=1
(vi) Если дано счетное семейство непустых метрических про¬
странств (Хп, dn), то произведение П^=1 Хп состоит из всевозмож¬
ных последовательностей х = (хп), где хп £ Хп, и наделяется мет¬
рикой
ОО
d(x,y) = ^2~nmin {dn(xn,yn), 1).
П=1
(2.1.3)
2.1. Основные понятия и примеры
127
Легко проверить, что в этих примерах получаются метриче¬
ские пространства. Скажем, неравенство треугольника в (и) и (Hi)
вытекает из поточечной оценки
В случае (iv) при x,y,z € I2 нужно проверить неравенство
(£>» - *»)2)1/2<(Х>» - Уп)2)1'2+(Eton - г„)2)1/2.
П= 1 77.= 1 Г) —1
Ясно, что достаточно проверить его для конечных сумм, что пере¬
ходом к ип ~ хп — уп и vn = уп — zn сводится к неравенству
которое после элементарных преобразований записывается в виде
классического неравенства Коши-Буняковского
которое читатель должен уметь доказывать. Наконец, в (v) нера¬
венство треугольника следует из легко проверяемого неравенства
mindw — «|, 1) < тш(|го — и\, 1) + тт(|н — гф 1) для чисел u,v,w.
Совершенно аналогична проверка в (vi).
На координатном пространстве IRn есть много метрик, помимо
обычной евклидовой (например, d(x,y) — sup^ \xi — гц\).
В приложениях функционального анализа особо важную роль
играют пространства С[а, Ь] и I2, а также другие пространства отоб¬
ражений, образуемые похожим способом. Поэтому при появлении
каких-либо новых объектов и понятий бывает полезно посмотреть
на них с точки зрения этих двух пространств.
Для общего метрического пространства (X, d) естественным об¬
разом определяются многие понятия, известные для ]Rn.
2.1.3. Определение. Открытым шаром радиуса г > 0 с цен¬
тром в точке xq называется множество
В(хо,г) := {х G X: d(x, xq) < г}.
Замкнутый шар радиуса г > 0 с центром в xq есть множество
{х £ X: d{х, жо) ^ г}.
If(x) ~ h(x)| ^ |f(x) - g(x)\ + \g(x) - h{x)|.
n=1
n=1 n= 1
128
Глава 2. Метрические пространства
Множество А называется ограниченным, если оно содержится
в шаре. Его диаметр есть diam А := sup{d(x,y)\ х, у Е А).
2.1.4. Определение. Последовательность точек хп в X схо¬
дится к точке х, если для всякого е > 0 найдется такой номер п6)
что d(xn,x) < е для всех п ^ пе. Тогда х называется пределом
{жп} и обозначается через lim хп.
п—>оо
Последовательность {хп} С X называется фундаментальной
или последовательностью Коши, если для всякого е > 0 найдется
такой номер пе, что d(xn, х^) < е для всех п, к ^ пе.
Сходящаяся последовательность фундаментальна, так как
d(xn,Xk) ^ d(xn, х) + d(x, х/с). Ясно, что предел может быть только
один (ввиду неравенства треугольника и положительности рассто¬
яния между различными точками). Фундаментальная последова¬
тельность ограничена, ибо объединение шара и конечного множе¬
ства ограничено.
2.1.5. Пример, (i) Сходимость последовательности функций
{ipn} к ip по метрике (2.1.1) в В ( А ) или в С[а, Ь] есть равномерная
сходимость функций.
(п) В пространстве Ш,°° с метрикой (2.1.2) сходимость последо¬
вательности элементов хг — (х\, х\,...) к элементу х — (.xi, Х2,...)
равносильна покоординатной сходимости хгп —> хп при г —» оо
для каждого фиксированного п (без какой-либо равномерности
по п). Действительно, если d(x,xl) —> 0, то при любом фикси¬
рованном п мы имеем \хп — хгп\ ^ 2пд(хг,х) —> 0. Обратно, если
есть покоординатная сходимость и дано е > 0, то берем к так, что
Y^=k+1 2_П < е/2, а затем, пользуясь сходимостью по фиксирован¬
ным первым к координатам, находим ге такое, что \хп — хгп\ < е/2
при п = 1,..., к для всех г > гЕ. Это дает Yln=i 2_n|хп — хгп\ < е/2
при i ^ гЕ. Следовательно, d(x,xl) < е при г ^ i£.
Обратим внимание на то, что в пространстве I2 тоже можно
ввести покоординатную сходимость, но в отличие от Ип она уже
не будет совпадать со сходимостью по естественной метрике I2: ска¬
жем, последовательность векторов еп Е I2, имеющих нулевые коор¬
динаты, кроме п-ой координаты, равной 1, сходятся покоординатно
к нулевому элементу, но не сходятся по указанной метрике.
2.1.6. Определение. Точка х называется предельной для
множества М в метрическом пространстве X, если во всяком
§ 2.1. Основные понятия и примеры
129
открытом шаре положительного радиуса с центром х есть точ¬
ки из М, отличные от х. Точками прикосновения множества М
называют, точки самого М и его предельные точки.
Точка х является предельной для М в точности тогда, когда
существует сходящаяся к х последовательность различных точек
из М. Для точки прикосновения х возможны два случая:
1) х € М и в некотором открытом шаре В(х, г) положительного
радиуса нет других точек М; тогда х называется изолированной
точкой множества М,
2) существует сходящаяся к х последовательность различных
точек из М (при этом х может и не входить в М).
При такой терминологии изолированные точки являются точ¬
ками прикосновения, но не являются предельными.
Если всякий шар положительного радиуса с центром в х со¬
держит несчетное множество точек из М, то х называют точкой
сгущения или конденсации множества М.
2.1.7. Определение. Множество U в метрическом про¬
странстве X называется открытым, если для всякой точки х
из U найдется такое г(ж) > 0, что B(x,r{x)) С U. Пустое мно¬
жество тоже считается, открытым.
Множество F в X называется замкнутым, если его дополне¬
ние X\F открыто.
Все X и пустое множество открыты и замкнуты. В ГОП с обыч¬
ной метрикой нет других множеств, одновременно открытых и за¬
мкнутых, но в пространстве из двух точек обе таковы. Конечно,
множество может быть ни открытым, ни замкнутым.
Замкнутость F равносильна тому, что F содержит все свои пре¬
дельные точки. В самом деле, предельная точка замкнутого множе¬
ства не может быть в открытом дополнении. Если же F содержит
все свои предельные точки и X\F не открыто, то для некоторого
х € X\F во всяком шаре В(х,1/п) есть точка хп из F, т. е. ж —
предельная точка F и потому х € F, что невозможно.
Легко проверить, что открытый шар В(хо,г) радиуса г > 0 от¬
крыт в смысле введенной выше терминологии, а замкнутый шар
замкнут. Сказанное не является тавтологией, ибо непосредственно
из определения ясно лишь, что сам центр хо входит в шар В(хо,г)
с шаровой окрестностью. Чтобы убедиться, что для всякой точки
х € B(xq,v) найдется подходящий радиус г (ж) > 0, следует взять
г(ж) < г — d,{x, xq) и воспользоваться неравенством треугольника.
Отметим, что открытый шар В(хо,г) может оказаться замкнутым
130
Глава 2. Метрические пространства
множеством, отличным от замкнутого шара {х: d(x,xо) ^ г}. На¬
пример, так будет в пространстве из двух точек а и Ъ при г = d(a, Ъ).
Во всяком метрическом пространстве (X, d) объединение любо¬
го набора открытых множеств открыто. Значит, пересечение любо¬
го набора замкнутых множеств замкнуто. Легко проверить, что ко¬
нечные пересечения открытых множеств открыты, а конечные объ¬
единения замкнутых множеств замкнуты (достаточно вспомнить,
что дополнение объединения есть пересечение дополнений).
2.1.8. Замечание. Упомянутые свойства открытых множеств
(вместе с их применениями при рассмотрении сходимости и непре¬
рывных отображений) мотивируют введение более широкой катего¬
рии топологических пространств. Топологическим пространством
называют множество X с выделенным в нем классом т открытых
по определению множеств (этот класс называют топологией в X),
если т содержит пустое множество и все X, причем произвольные
объединения и конечные пересечения множеств из т входят в т.
Таким образом, всякое метрическое пространство оказывается то¬
пологическим. Ниже мы встретим ряд важных функциональных
пространств, имеющих естественную топологию, которую нельзя
получить из метрики.
2.1.9. Определение. Для всякого множества А С X пере¬
сечение всех содержащих А замкнутых множеств называется
замыкаттм А и обозначается символом А.
Ясно, что замыкание А — наименьшее замкнутое множество,
содержащее А. Оно совпадает с множеством всех предельных и изо¬
лированных точек множества А. В самом деле, все предельные точ¬
ки входят в замыкание (ибо входят во все замкнутые множества,
содержащие А). Если точка z А не является предельной, то най¬
дется открытый шар B(z,r), не имеющий общих точек с А. Тогда
А лежит в замкнутом множестве X\B(z,r), т. е. А С X\B(z,r)
и потому z А.
Точка называется внутренней для множества, если она входит
в это множество вместе с некоторым шаром положительного ради¬
уса с центром в данной точке. Совокупность всех внутренних точек
множества называется его внутренностью. Конечно, внутренность
может быть пуста, но в любом случае она открыта.
Хотя все приведенные определения совпадают с теми, которые
в начальном курсе анализа даются применительно к множествам
на прямой, общие метрические пространства по своим свойствам
§ 2.1. Основные понятия и примеры
131
заметно отличаются от прямой и Н1га и их подмножеств. Мы неод¬
нократно убедимся в этом ниже, но сейчас заметим лишь, что да¬
же подмножества плоскости с обычной евклидовой метрикой мо¬
гут иметь довольно удивительные свойства. Например, если взять
три точки а, b и с на плоскости так, что d(a,b) = 1, d(b, с) = 2,
d(a,c) — 5/2, то в полученном метрическом пространстве замкну¬
тый шар радиуса 2 с центром в Ъ строго содержит шар большего
радиуса 9/4 с центром в а. Введем еще ряд важных понятий.
2.1.10. Определение, (i) Множество А называется всюду
плотным в множестве В в метрическом пространстве X, если
замыкание А содержит В.
(И) Метрическое пространство называется сепарабельным, ес¬
ли в нем имеется конечное или счетное всюду плотное множе¬
ство.
(iii) Множество Е называется нигде не плотным в метриче¬
ском пространстве X, если во всяком непустом открытом мно¬
жестве в X имеется шар положительного радиуса, свободный от
точек М.
2.1.11. Замечание. Даже если А плотно в В, то А П В мо¬
жет быть пусто. Например, по нашему определению множество
рациональных чисел плотно в множестве иррациональных чисел,
хотя не имеет с ним общих точек. Однако если U открыто, то
U П А — U П А для всякого А. В самом деле, пусть х € U П А и
V Э х открыто. Тогда в V найдется и <Е U П А. Так как U П V
открыто и и € U П V, то имеется а € А П U П V, откуда х Е U П А.
Прямая с ее обычной метрикой сепарабельна: множество всех
рациональных чисел в ней всюду плотно. Сепарабельны и про¬
странства С[а,Ь] и I2. Скажем, в I2 плотно множество конечных
последовательностей с рациональными компонентами, а в С [а, b]
всюду плотно счетное множество многочленов с рациональны¬
ми коэффициентами (всякая непрерывная функция равномерно
приближается многочленами). Можно также взять и множество
кусочно-линейных функций следующего вида: для каждой пары
п, т € 1N разделим [а,Ь] на 2п равных промежутков точками tn^,
разделим [—2т,2то] на 4т равных промежутков точками rmj, за¬
тем возьмем функции, принимающие в точках tn>i какие-либо из
значений rmj и линейно доопределенные между точками tn
Можно показать, что сепарабельное метрическое пространство
имеет мощность не выше континуума, но обратное неверно.
132
Глава 2. Метрические пространства
Пространство В (Cl) с бесконечным множеством О несепарабель¬
но. Действительно, для каждого непустого множества Е С Cl возь¬
мем функцию /в на fi, равную 1 в точках Е и 0 во всех осталь¬
ных точках, т. е. индикатор множества Е. Множество полученных
функций несчетно, а расстояние между функциями /е и /е> с раз¬
личными множествами Е и Е' равно 1. Поэтому в В(С1) имеется
несчетное множество попарно непересекающихся открытых шаров.
Ясно, что счетное множество не может присутствовать во всех этих
шарах. В частности, пространство 1°° несепарабельно.
Указанные в предыдущем определении свойства можно охарак¬
теризовать через замыкание следующим образом. Пространство се¬
парабельно, если оно является замыканием конечного или счетного
множества. Множество Е нигде не плотно, если его замыкание не
содержит шаров положительного радиуса. Проверка этих утвер¬
ждений — простое, но полезное упражнение.
2.1.12. Определение. Изометрией двух метрических прост¬
ранств (АД, di) и (М2,d2) называется такое взаимно однозначное
отображение J пространства Mi на М2, что
d2(J(x),J(y)) — di(x,y) для всех х,у 6 М\.
Многие свойства метрических пространств инвариантны от¬
носительно изометрий. К таким свойствам относятся сепарабель¬
ность, ограниченность и вводимая ниже полнота. Замечательной
особенностью пространств ограниченных функций В (Cl), на пер¬
вый взгляд весьма специальных, является то, что с точностью до
изометрий они содержат вообще все метрические пространства.
2.1.13. Теорема. Всякое метрическое пространство (M,d)
изометрично части пространства В(М).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М непусто. Зафиксируем элемент
Хо е М и для каждой точки х G М зададим функцию fx на М
с помощью равенства fx(y) — d(y,x) — d(y, то). Заметим, что в си¬
лу неравенства треугольника \fx(y)\ ^ d(x,x0), т.е. функция fx
ограничена. Для фиксированных x\,x2 € М в силу неравенства
треугольника имеем
|/*i(у) - /х2(у)I - \d(y,xt) - d(y,x2)I ^ d(xг,х2),
что дает d(fxi,fx2) ^ фц,ж2). Поэтому d(fXl,fX2) = d(xi,x2) вви¬
ду равенства ) ~ fx2(xi)\ = d(xi,x2). Итак, отображение
J: 1 и Jj из M в В(М) является изометрией М и J(M). □
§ 2.1. Основные понятия и примеры
133
Известно, что всякое сепарабельное метрическое пространство
изометрично некоторому подмножеству пространства С [0,1] с его
обычной метрикой (см., например, [7, теорема 6.10.24]). Таким об¬
разом, одно функциональное пространство (ДО,1] содержит в каче¬
стве подмножеств все существующие сепарабельные метрические
пространства! Однако отнюдь не всегда легко для данного про¬
странства указать явно изометричную ему часть в С[0,1]; напри¬
мер, попробуйте это сделать для пространства 12.
Приведем одно полезное свойство сепарабельных метрических
пространств (называемое свойством Линделёфа).
2.1.14. Теорема. Из всякого набора открытых .множеств
в сепарабельном метрическом пространстве можно выбрат,ъ не
более чем счетный поднабор с тем же самым объединением.
Доказательство. Пусть множества Ua открыты в метриче¬
ском пространстве (X,d). Возьмем в X счетное всюду плотное
множество {хп}. Для каждой точки хп имеется счетное множе¬
ство открытых шаров В(хп, гД с центрами в хп и рациональными
радиусами гд, > 0. Если B(xn,rk) входит в какое-нибудь из мно¬
жеств Ua, то мы отметим ровно одно такое множество Un>k- В итоге
отмечено не более чем счетное семейство множеств (соответствую¬
щих разным пик). Проверим, что объединение всех отмеченных
множеств совпадает с объединением всех множеств Ua. В самом де¬
ле, пусть точка х содержится в каком-то Ua. Найдется такое г > 0,
что B(x,r) С Ua. Возьмем точку хп, для которой d(x,xn) < г/4.
Ясно, что найдется гд, < r/4 с х € В(хп, гд,). В силу неравенства
треугольника В(хп,Гк) С B(x,r) С Ua. Так как B(xn,rk) С Ua, то
имеется отмеченное множество Un>k, содержащее B{xn,rj-)- Итак,
х е В(хп,гк) С ип>к. □
2.1.15. Предложение. Всякое подпространство сепарабель¬
ного метрического пространства сепарабельно относительно
метрики объемлющего пространства.
Доказательство. Пусть S — счетное всюду плотное множе¬
ство в метрическом пространстве X. Пусть У с X. Каждой точ¬
ке s €. S сопоставим пустое, конечное или счетное подмножество
С У следующим образом. Для всякого фиксированного п £ IN
выберем какой-нибудь элемент уп £ Y с d(yn,s) < 1 /п, если тако¬
вой имеется. Объединение всех У, при s £ S не более чем счетно.
Оно всюду плотно в У. В самом деле, для всякого у £ У и всякого
п £ 1N найдется s(y) £ S с d(y,s(y)) < 1/п. Поскольку имеются
134
Глава 2. Метрические пространства
точки из Y, отстоящие от s(y) менее чем на 1/п, то среди них нами
была взята некоторая точка уп из построенного семейства, что дает
соотношения d(y,yn) < d(y,s(y)) + d(s(y),yn) < 2/п. □
§ 2.2. Полные пространства и пополнения
Введем теперь одно из основных понятий, связанных с метри¬
ческими пространствами. Роль этого понятия будет ясна из даль¬
нейшего.
2.2.1. Определение. Метрическое пространство называется
полным, если всякая фундаментальная последовательность в нем
сходится.
2.2.2. Пример, (i) Полуинтервал [0,1) с обычной метрикой
не является полным пространством, так как последовательность
{1 — 1 /гг.} фундаментальна, но не сходится к точке из [0,1). Однако
этот же интервал оказывается полным пространством с метрикой
d(x,y) = |tg(7rx/2) - tg(7ry/2)|.
(ii) Пространство B(Q) с метрикой (2.1.1) полно. В самом деле,
пусть {/п} — фундаментальная последовательность. Ясно, что для
каждого фиксированного х числовая последовательность {/„(ж)}
фундаментальна и потому сходится. Ее предел мы обозначим че¬
рез /(ж). Ограниченность фундаментальной последовательности
{/„} показывает, что функция / ограничена. Остается заметить,
что {/п} сходится к / по метрике В(О), а не только поточечно.
Для этого при фиксированном е > 0 находим такое число п£, что
|/п(ж) — fk(ж)| < е для всех п,к ^ п£ и всех ж £ П. Если теперь
зафиксировать номер п ^ п£ и устремить к к бесконечности, то
получим оценку |/п(ж) — /(ж)| ^ е для всех ж £ П, т. е. справедливо
неравенство d(fn, /) ^ в.
(Ш) Пространство С[а, Ь] с метрикой (2.1.1) полно. Это следует
из (ii) ввиду того факта, что предел равномерно сходящейся после¬
довательности непрерывных функций непрерывен.
(iv) Пространство I2 из примера 2.1.2(iv) полно: если после¬
довательность векторов Vj = (xjjU) £ l2 фундаментальна, то для
каждого п последовательность чисел х^п фундаментальна и име¬
ет предел хп. Так как sup.,- Y^i хрп ^ С < оо, то Y^Li хп ^ <?>
т. е. v := (ж„) £ I2. Наконец, d(vj,v) —* 0, ибо для каждого е > О
найдется такое j£, что Y^=i(xj,n - хк,п)2 < е2 при j,k > js. При
к -» оо находим Y^=i(xj,n ~ хп)2 ^ е2 при j ^ je.
§ 2.2. Полные пространства и пополнения
135
(v) Если (Xn,dn) — полные непустые метрические простран¬
ства, то их произведение с метрикой (2.1.3) также полно. Очень
простая проверка этого предоставляется читателю.
Приведем пример, в котором полнота пространства не столь
легко проверяется по определению, а требует использования каких-
либо теорем (а также знакомства с материалом гл. 1).
Пусть (Г2, Л, ц) — пространство с неотрицательной мерой р (ко¬
торая может быть и бесконечной), 1^р<ооиЬр(ц) — простран¬
ство классов эквивалентности ц-измеримых функций (веществен¬
ных или комплексных в зависимости от поля скаляров), интегри¬
руемых в степени р. Это пространство уже рассматривалось в § 1.9.
Пространство Lp(p) наделяется метрикой
где под интегралом фигурируют произвольные представители
класса эквивалентности / и д, обозначаемые теми же символом.
Тот факт,” что получено метрическое пространство, выражается
неравенством Минковского (см. теорему 1.9.6).
2.2.3. Теорема. Пространство Lp(p), где 1 ^ р < оо, полно
относительно указанной метрики.
Доказательство. Если последовательность {fn} фундамен¬
тальна в Ьр{ц). то аналогично доказательству теоремы 1.9.2 для
случая р = 1 надо брать пк так, что ||/„fc+1 - fnk\\PLP^ ^ %~кр- То¬
гда при р > 1 по теореме Беппо Леви почти всюду будет сходиться
ряд из функций 2fe|/nfc+1(a:) — fnk(%)\p■ Это дает сходимость почти
всюду ряда из \fnk+1{x) — fnk{%)\, ибо легко видеть, что
Как и в указанной теореме, получаем существование почти всюду
конечного предела /(ж) = lim /П(с(ж), включение / € ХД(ц) и схо-
Полнота ряда других важных пространств будет установлена
ниже. Непосредственно из определений ясно, что замкнутые под¬
множества полных пространств полны как самостоятельные про¬
странства.
1/»№М - /»>(*)! S + 2‘|/п,+1(х) - /„„(*)|”.
димость {/„,} к / в Lp(p).
□
136
Глава 2. Метрические пространства
2.2.4. Замечание. Если последовательность {хп} в метриче¬
ском пространстве фундаментальна, то для всякой точки хо суще¬
ствует предел lim d(xn,xо), ибо
п—>оо
\d{xn,xo) - d(xk,xо) | ^ d{хп,хк).
Однако в случае неполного пространства может не существовать
никакого элемента, удаленного от жо на величину этого предела.
Аналогично проверяется существование предела lim d(xn, уп) для
п—юо
двух фундаментальных последовательностей {хп} и {уп}. Конечно,
если существуют х = Пт хп и у — Ит уп, то указанный предел
п—>оо га—юо
равен d(x,y), что проверяется аналогичным образом.
2.2.5. Определение. Пополнением метрического простран¬
ства М называет,ся такое полное метрическое пространство М,
что М изометрично всюду плотному множеству в М.
Сейчас будет показано, что всякое метрическое пространство
имеет единственное пополнение. Для этого понадобится следующее
вспомогательное утверждение, полезное и само по себе.
2.2.6. Лемма. Пусть и (М2Д2) — полные метриче¬
ские пространства, Е\ С М\ и Е% С М2 — всюду плотные мно¬
жества и J — изометрия из Е\ на Еф Тогда J продолжается
единственным образом до изометрии Mi и М2-
Доказательство. Всякая точка х Е МДЕх есть предел по¬
следовательности {жп} С Е\. Так как J — изометрия, а М2 пол¬
но, то {J(xn)} сходится к некоторой точке из М2, которую мы
и возьмем в качестве «/(ж). Всякая другая последовательность то¬
чек х'п Е Mi, сходящаяся к х, приведет к тому же элементу J(x),
ибо {xi,x\,..., хп,х'п,...} тоже сходится к х. Отображение J со¬
храняет расстояния: если хп —» ж, zn —► z, то d\{xn,zn) —> d\{x,z)
и d^(j(x),J(z)) = lim d2(J{xn),J(zn)) — lim di(xn,zn). Наконец,
J(Mi) = М2, ибо ко всякой точке у Е М2 сходится последова¬
тельность точек J(xn) с жп Е Ei, а тогда последовательность {жп}
фундаментальна в М\ и потому сходится к некоторому ж € М\, что
дает J(ж) = у. Из сказанного ясна единственность изометрического
продолжения. □
2.2.7. Предложение. Всякое метрическое пространство
имеет единственное с точностью до изометрии пополнение.
§2.2. Полные пространства и пополнения
137
Доказательство. В силу теоремы 2.1.13 можно считать, что
М лежит в пространстве В (Cl) с Cl = М. Так как В{М) полно, то
искомым пополнением является замыкание множества М в В (Cl).
Остается заметить, что если М' — некоторое пополнение М, то М и
М' изометричны. Действительно, имеется изометрия J' между М
и всюду плотной частью J'(M) в М'. По доказанной выше лемме
эта изометрия продолжается до изометрии из М на М'. □
2.2.8. Замечание. По аналогии с известной процедурой по¬
полнения множества рациональных чисел можно взять в качестве
пополнения метрического пространства X пространство X клас¬
сов эквивалентности всех фундаментальных последовательностей
х = {хп} пространства X, считая фундаментальные последова¬
тельности х' - {х'п} и х" = {ж"} эквивалентными, если фундамен¬
тальна последовательность Д, х'[...., х'п. х"п...., что равносильно
тому, что d{x'n,x'n) —*• 0. Таким образом, две эквивалентные после¬
довательности задают один и тот же элемент. Легко видеть, что по¬
лучено отношение эквивалентности. В частности, если {хп} ~ {уп}
и {Уп} ~ {zn}-, то {хп} - {zn}, ибо d(xn,zn) ^ d(xn,yn) + d(yn,Zn).
Метрика вводится по формуле
d({xn}, {Уп}) ■= Нш d(xn,yn).
п—*оо
Существование этого предела пояснялось в замечании 2.2.4. Если
х = {хп} и у = {уп} заменить эквивалентными последовательно¬
стями х' = {х'п} и у' = {у'п}, то предел не изменится, ибо
Id(xn,yn) - d(x'n,y'n)| =
= Id(xn, yn) - d(x'n, yn) + d(x'n, yn) - d(x'n, y'n)\ ^
< \d(xn,yn) - d(x'n,yn)\ + \d(x'n,yn) - d,(x'n,y'n)\ ^
< d(xn,x'n) + d{yn,y'n).
Выполнение неравенства треугольника
^ {?/n}) X G?({yn}, {zn})
видно из неравенства d(xn,zn) < d(xn,yn) + d(yn,zn) при каж¬
дом n. Каждому x G X соответствует постоянная последователь¬
ность х — {ж,ж,...}, что задает вложение X в X, сохраняющее
расстояние. При этом образ X всюду плотен в X. Действительно,
для каждого элемента {хп} € X и каждого е > 0 найдется такой
номер к, что d(xn,Xk) ^ е при п ^ к. Значит, элемент {ж^ж*,,...}
138
Глава 2. Метрические пространства
отстоит от {хп} на расстояние не более е. Наконец, заметим, что X
полно. В самом деле, пусть последовательность точек хк = {х!Ц}
в X фундаментальна. Предъявим точку х — {хп} Е X, к ко¬
торой сходится эта последовательность. Вспомним, что для каж¬
дого к найдется элемент из образа X вида zk = {ук,Ук, ■ • где
ук Е X, для которого d(xk,zk) < 1 /к. Значит, последовательность
{zk} тоже фундаментальна. Так; как d(zk,zm) = d(yk,ym')> то Фун¬
даментальна последовательность {уп} в X. Она и задает искомый
элемент х — {уп} Е X, ибо является пределом точек zk (а тогда
и точек хк) ввиду оценки d(x, zk) = lim d(yn, yk) < supn>fc d(yn, yk)
n—юО
и фундаментальности {yn}. Эта более длинная конструкция бывает
полезна. Например, если X — линейное пространство, то X также
линейно.
§ 2.3. Теорема о вложенных шарах
Следующая теорема о вложенных шарах — один из важнейших
общих результатов теории метрических пространств.
2.3.1. Теорема. Пусть {Вп} — последовательность замк¬
нутых непустых множеств со стремящимися к нулю диамет¬
рами в полном метрическом пространстве X, причем Вп+\ с Вп
для всех п. Тогда множество H^Li Вп непусто.
В частности, последовательность замкнутых вложенных
шаров со стремящимися к нулю радиусами в полном метрическом
пространстве имеет общую точку.
Доказательство. Возьмем хп g Вп. Ввиду вложенности этих
множеств и стремления их диаметров к нулю последовательность
{хп} фундаментальна. Из-за полноты пространства X она сходится
к некоторой точке, которая входит во все Вп в силу их замкнутости
и вложенности. □
Ясно, что из-за стремления диаметров к нулю в пересечении
лежит лишь одна точка.
Простые примеры показывают, что нельзя отказаться от пол¬
ноты X, а также от замкнутости и вложенности множеств. Ока¬
зывается, даже в случае шаров нельзя отказаться и от стремления
к нулю их радиусов (задача 2.8.7). Задача 2.8.8 говорит, что теоре¬
ма верна только в полном пространстве.
Еще один важный результат — теорема Бэра о категории. На¬
звание пояснено ниже.
§ 2.3. Теорема о вложенных шарах
139
2.3.2. Теорема. Если X — полное метрическое пространство,
причем X = Хп, где множества Хп замкнуты, то хотя бы
одно из них содержит открытый шар некоторого положитель¬
ного радиуса.
Если X = U^Li Ап, где Ап — произвольные множества, то
хотя бы одно из Ап всюду плотно в некотором шаре ненулевого
радиуса, т. е. полное метрическое пространство нельзя предста¬
вить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
Доказательство. Предположим противное. Тогда для всяко¬
го п во всяком открытом шаре U имеется открытый шар, свобод¬
ный от точек Хп, ибо иначе U входит в Хп — Хп. Поэтому найдется
замкнутый шар В\ положительного радиуса гд, свободный от то¬
чек Х\. В шаре Вл найдется замкнутый шар По радиуса гг < ?т/2,
свободный от точек Х2 ■ По индукции получаем вложенные замкну¬
тые шары Вп со стремящимися к нулю радиусами и Вп П Хп — 0.
Предыдущая теорема дает общую точку всех Вп, не входящую в
объединение ХП) — противоречие. Последнее утверждение теоремы
очевидно из первого, применяемого к замыканиям Ап. □
Несмотря на тривиальность доказательств, обе эти теоремы
имеют многочисленные применения, в чем мы убедимся ниже.
При первом знакомстве с теоремой Бэра может вызвать недо¬
умение ее мнимое противоречие с тем фактом, что натуральный
ряд — полное пространство относительно естественной метрики
прямой — является счетным объединением точек. Никакого дей¬
ствительного противоречия здесь нет: точка в таком пространстве
сама является шаром положительного радиуса.
Название теоремы Бэра (в честь Р. Бэра) связано с тем, что
множества, представимые в виде счетных объединений нигде не
плотных множеств, называют множествами первой категории,
а все прочие — множествами второй категории. В этой термино¬
логии теорема Бэра гласит, что полное метрическое пространство
не является множеством первой категории. Метрические простран¬
ства, в которых открытые шары — множества второй категории,
называют бэровскими. Однако бывают и неполные бэровские мет¬
рические пространства, например интервал (0,1) с обычной мет¬
рикой; это легко вывести из того, что прямая — бэровское про¬
странство. Более того (это доказывается заметно сложнее), бывают
бэровские метрические пространства, которые нельзя превратить
в полные при сохранении сходимости. Из теоремы Бэра вытекает
следующий принцип равномерной ограниченности.
140
Глава 2. Метрические пространства
2.3.3. Пример. Пусть X — полное метрическое пространство
и функции /„: X —> И1 таковы, что при всех N € IN множе¬
ства {х: \fn(x)\ ^ Лг} замкнуты и для каждого х € X после¬
довательность Ш.х)} ограничена. Тогда найдется такой замкну¬
тый шар В положительного радиуса, что выполнено неравенство
supnsupa:eB \fn(x)\ < ос.
Доказательство. Пусть XN := {хеХ: supn]/n(z)| ^ N}.
Множества Хц замкнуты как пересечения замкнутых множеств
{х: ]/п(ж)| < N). По условию объединение множеств Хм есть X.
Согласно теореме Бэра некоторое Xм имеет внутренние точки и по¬
тому содержит замкнутый шар положительного радиуса. □
Этот пример применим к непрерывным функциям, обсуждае¬
мым в следующем параграфе.
§ 2.4. Непрерывные отображения
Здесь мы обсудим непрерывные отображения метрических про¬
странств.
2.4.1. Определение. Отображение / из метрического про¬
странства (X, dx) в метрическое пространство (У, dY) называет¬
ся непрерывным в точке х € X, если для всякой последовательно¬
сти {хп}, сходящейся к х, последовательность {/(жп)} сходится
к точке /(ж).
Отображение / называется непрерывным, если оно непрерыв¬
но в каждой тючке.
Непрерывность в точке х можно сформулировать в так называ¬
емых (е, <5)-терминах: для каждого е>0 найдется такое £>0, что
dY[f(z),f(x)) <е для всех таких точек z € X, что dx(z,x) < 5.
Действительно, последнее свойство очевидным образом влечет
непрерывность. С другой стороны, если оно не выполнено, то при
некотором е > 0 найдется такая последовательность точек zn, что
d(zn,x) < 1 /п и dYiyf{zn),f{x)) ^ е. Это противоречит непрерыв¬
ности, ибо zn -ч х, но f(zn) f(x).
2.4.2. Предложение. Непрерывность отображения / равно¬
сильна тому, что для всякого открытого множества V С Y мно¬
жество /-1(П) открыто в X. Это эквивалентно тюму, что для
всякого замкнутого множества Z С Y множество f~l(Z) за¬
мкнуто в X.
§ 2.4. Непрерывные отображения
141
Доказательство. Пусть / непрерывно и V открыто в Y. По¬
ложим U := f~l(V). Пусть х € U. Для у = f(x) найдется открытый
шар Vq С V положительного радиуса с центром в у, а для этого
шара найдется такой открытый шар Uq положительного радиуса
с центром в х, что /(По) С Vo С V. Это означает открытость U.
Предположим теперь, что прообразы открытых множеств от¬
крыты. Покажем, что / непрерывно в каждой точке х € X. Ес¬
ли это не так, то найдется сходящаяся к х последовательность
точек хп, для которой точки f(xn) не сходятся к /(ж). Перейдя
к подпоследовательности, хюжно считать, что точки f(xn) не по¬
падают в некоторый открытый шар V с центром в f(x). Значит,
хп $ f~l(V). Однако множество /-1 (V) открыто и содержит х. По¬
этому {хп} не может сходиться к х, вопреки нашему построению.
Итак, / непрерывно в х. Утверждение про замкнутые множества
следует из описания замкнутых множеств как дополнений откры¬
тых и соотношения /-1(У\П) = Х\/~1(У'). □
2.4.3. Замечание. Для отображений общих топологических
пространств (см. замечание 2.1.8) указанное в предыдущем пред¬
ложении свойство принимается в качестве определения непрерыв¬
ности. Оно уже не будет равносильным определению в терминах
последовательностей (см. [7, пример 1.6.8(H)]). В случае тополо¬
гических пространств свойство из нашего определения называют
секвенциальной непрерывностью.
Отметим, что из непрерывности отображения в точке следует
его ограниченность на некотором шаре с центром в этой точке.
Если / взаимно однозначно отображает пространство X на про¬
странство Y, причем / и f~x непрерывны, то / называется гомео¬
морфизмом, а пространства X и Y называются гомеоморфными.
В этом случае замкнуты также образы замкнутых множеств (что
не всегда имеет место для общих непрерывных отображений). На¬
пример, прямая гомеоморфна интервалу, но не отрезку.
Как и в анализе на прямой, вводится более сильная непрерыв¬
ность: равномерная непрерывность.
2.4.4. Определение. Отображение / из метрического про¬
странства (У, dx) в метрическое пространство (Y, dY) называ¬
ется равномерно непрерывным, если для всякого е > 0 найдется
такое 6 > 0, что dY (/(х), /(у)) ^ е при dx{x,y) ^ 5.
Понятно, что равномерно непрерывные отображения непрерыв¬
ны. Пусть (X,dx) и (Y,dy) — метрические пространства.
142
Глава 2. Метрические пространства
2.4.5. Предложение. Пусть fn: (X, dx) —> (Y,dy) — непре¬
рывные отображения, которые равномерно сходятся к отображе¬
нию /: (X,dx) —* (Y,dY) в следующем смысле: для всякого е > О
найдется такой номер пе, что dY (/п(ж), /(ж)) ^ е для всех пе
и х € X. Тогда отображение / непрерывно.
Доказательство. Пусть жо £ X и s > 0. Возьмем указанный
в условии номер п£ и такое 5 > 0, что dY (/Пе(ж), /Пе(жо)) < £ при
dx (ж, ж'о) < S. Тогда для таких ж получаем
dy(/(s)>/(*o)) < dY(f{x)Jns(x)) + dY {fnE{x), fne(xo)) +
+ dY{fne(xо),/(ж0)) ^ 3s,
что показывает непрерывность / в точке жо- □
Если равномерно сходящиеся отображения /п равномерно не¬
прерывны, то их предел также равномерно непрерывен. Это видно
из доказательства.
Нетрудно проверить, что множество B(X,Y) всех ограничен¬
ных отображений из метрического пространства X в метрическое
пространство Y — метрическое пространство с метрикой
d{f,g) = sup dY (f(x),g(x)).
XClX
Здесь ограниченным считается отображение, принимающее значе¬
ния в некотором шаре из У”. В приложениях часто встречаются раз¬
личные подмножества пространств такого вида, наделенные и дру¬
гими естественными метриками. Некоторые примеры рассмотрены
в задачах. Подпространство в B(X,Y), состоящее из ограничен¬
ных непрерывных отображений, обозначается символом Сь(Х, У)
(оно наделяется той же метрикой, что и В(Х, У)). Множество огра¬
ниченных непрерывных числовых функций на метрическом про¬
странстве X обозначается через Сь(Х).
С учетом задачи 2.8.2 получаем такой факт.
2.4.6. Следствие. Пусть X и Y — непустые метрические
пространства, причем Y полно. Тогда пространство Съ(Х, Y) то¬
же полно. В частности, полны Сь(Х) и С[а,Ь].
Введем еще один важный класс отображений.
2.4.7. Определение. Отображение f:X—>Y удовлетворя¬
ет условию Липшица с постоянной L (или Липшицев о с постоян¬
ной L), если сф(/(ж), /(У)) < Ldx (ж, у) для всех х, у G X.
§ 2.4. Непрерывные отображения
143
Ясно, что липшицево отображение равномерно непрерывно.
Приведем простой пример липшицевой функции: расстояние от
точки до множества.
2.4.8. Пример. Пусть А — непустое множество в метрическом
пространстве (X, d). Расстояние от точки ж 6 X до множества А
зададим формулой
dist (ж,^4) := inf{d(a5,у): у 6 А).
Тогда ж и-* clist (ж, А) — липшицева с постоянной 1 функция, при¬
чем множество ее нулей совпадает с замыканием А. Действительно,
для любых х и z имеем d(x, у) < d(x, z) + d(z, у) для всех у. По¬
этому dist (ж, А) < d(x, z) + dist (z, А), откуда следует неравенство
jdist (ж, А) - dist (z, Я)| < d(x, z). Ясно, что dist (ж, А) = 0 в точно¬
сти тогда, когда либо ж 6 А, либо есть последовательность точек
уп G А, сходящаяся к ж. Заметим, что всегда
dist (ж, А) = clist (ж, А).
Следующее простое утверждение будет использовано ниже.
2.4.9. Предложение. Пусть (X,dx) u (Y,dY) —метрические
пространства, причем У полно, и пусть отображение / из мно¬
жества Хо С X в пространство Y удовлетворяет условию Лип¬
шица с постоянной L. Тогда / единственным образом продолжа¬
ется до липшицева с постоянной L отображения из замыкания
множества Хо в замыкание /(Хо) в пространстве Y.
Доказательство. К каждой точке ж из замыкания Хо схо¬
дится некоторая последовательность точек жп € Хо (необязатель¬
но различных). Естественно положить /(ж) := lim /(хп). В самом
п—>оо
деле, последовательность точек /(хп) фундаментальна в У ввиду
липшицевости / и потому сходится к некоторой точке у & Y. По
той же причине у не зависит от выбора сходящейся к ж последо¬
вательности. Это показывает также, что /(ж) = /(ж) при ж G Хо-
Наконец, если х' и х" — две различные точки из замыкания Хо,
то, взяв сходящиеся к ним последовательности {х'п} и {ж"} из Хо,
получаем, что dY /(ж")) ^ Ldx (х'п, ж"). Это дает оценку
dY(f(x'),f(x")) ^ Ldx(x',x"). □
Полнота У здесь существенна: например функция /(ж) — х из
(0,1) в (0,1) не продолжается до липшицевой функции на [0,1].
144
Глава 2. Метрические пространства
Отметим, что не всегда / продолжается до липшицева отоб¬
ражения на всем X. Например, если X = [0,1], Xq = Y — {0,1}
с обычной метрикой и /(ж) — ж на Xq, то нет даже непрерывного
продолжения на [0,1] (однако см. задачу 2.8.29).
§ 2.5. Принцип сжимающих отображений
Липшицевы отображения с постоянной L < 1 называются сжи¬
мающими отображениями или сжатиями. В приложениях часто
используется следующий принцип сжимающих отображений.
2.5.1. Теорема. Всякое сжатие f непустого полного метри¬
ческого пространства X имеет единственную неподвижную точ¬
ку х, т. е. /(ж) = ж. При этом d{х,хп) ^ Ln(l — L)~1d(xi,Xo) для
всякого xq € X, где жп+1 := /(жп).
Доказательство. Пусть жо € X. Положим хп = /(хп-\),
n € IN. Покажем, что последовательность {/(жп)} фундаменталь¬
на. Для этого заметим, что
d(xk+i,xk) < Ld(xk,xk-1) ^ ^ Lkd{xi,xo).
Поэтому d(xn+m,xn) оценивается через
d(xn+m, Хп+т—l) + 1 ? 2) Н“ ‘ * * “Ь d{xnJt\^Xri) ^
^ Ln+m~1d(xi,x0) +Ln+m~2d(Ж1,жо) Н [- Lnd(xi,xo),
что дает d(xn+m, хп) ^ Ln(l — L)~1d(xi, жо). Из этой оценки и усло¬
вия L < 1 следуют фундаментальность {жп} и существование пре¬
дела ж = Пт хп. Очевидно, что
п—>оо
/(ж) = lim /(хп) = lim xn+i = ж
п—> оо п—>оо
ввиду непрерывности /. Единственность неподвижной точки ясна
из того, что d{x,y) — d[f(x),f(y)) ^ Ld(x,y) для другой непо¬
движной точки у. Очевидна и оценка скорости сходимости. □
Имеется небольшое усиление этой теоремы.
2.5.2. Следствие. Пусть X — полное метрическое прост¬
ранство и /: X —> X — такое отображение, что некоторая его
степень fn является сжимающим отображением. Тогда / имеет
неподвижную точку.
§ 2.5. Принцип сжимающих отображений
145
Доказательство. Существует точка ж с /”(ж) = ж. Тогда
/п(/(ж)) = /(/”(ж)) — /(ж), т. е. /(ж) — также неподвижная точ¬
ка /п. Ввиду единственности неподвижной точки сжимающего от¬
ображения имеем /(ж) = ж. □
Применим теорему о сжимающем отображении к дифференци¬
альным уравнениям.
2.5.3. Пример. Пусть v — непрерывная функция на плоско¬
сти, причем \v(t,x) — v(t,y)| ^ L|ж — у|, где L — некоторое число.
Тогда для всякого жо на всяком отрезке [0,г], где rL < 1, диффе¬
ренциальное уравнение
x'(t) = v(t, x(t)), ж(0) = Жо,
имеет единственное решение.
Доказательство. Данное уравнение равносильно интеграль¬
ному уравнению
x(t) — жо + / v(s,x(s))ds.
Jo
Для доказательства разрешимости последнего рассмотрим отобра¬
жение F, заданное формулой
F(x)(t) — жо + / v(s,x(s))ds
Jo
в пространстве С[0,г]. Ясно, что функция F(x) непрерывна для
непрерывной функции ж. Тогда
v(s,x(s)) - u(s,y(s))| ds <
sup |г>(й,ж(в)) - v(s,y(s))\ ^ Lr\\x - y\\.
s€[0,r]
Поэтому есть функция ж, для которой F(ж) — х. □
На самом деле единственное решение есть на всей оси, ибо ре¬
шение продолжается на [г, 2г] и т.д.
В приложениях встречаются сжимающие отображения, зави¬
сящие от параметра. Приведем одно из простейших утверждений,
позволяющих количественно оценить такую зависимость.
2.5.4. Предложение. Предположим, что X — полное мет¬
рическое пространство и отобраоюения / и g из X в X липшицевы
\F(x) — F(y)\\ sup
te[o.
р Г
',?•] Jо
146
Глава 2. Метрические пространства
с постоянной Л < 1. Тогда для неподвижных точек Xf и хд этих
отображений справедливо неравенство
d(xf,xg) < (1 - Л)-1 sup d(f(x),g{x)).
хеХ
Доказательство. Положим уп = gn(xf). Из доказательства
теоремы о неподвижной точке следует, что = Пт уп. Поэто-
п—»оо
му d(xf,xq) — lim d(xf,yn). Как и в доказательстве упомянутой
теоремы, для каждого п мы имеем
d{xf,yn) ^ d(xf,g(xf))( 1 + АН Ь Ага) ^
< (1 - A)-1d(xf,g(xf)) = (1 - \)~1d(f(xf),g(xf)),
откуда вытекает доказываемое утверждение. □
§ 2.6. Компактные множества
Важнейшую роль в непрерывной математике имеет понятие
компактности. Это понятие вводится в более широкой категории
топологических пространств, но мы ограничимся случаем метри¬
ческих пространств.
Покрытием множества А называют набор множеств, объеди¬
нение которых содержит А. Покрытия, состоящие из открытых
множеств, называют открытыми покрытиями.
2.6.1. Определение. Множество в метрическом простран¬
стве называется компактным (или компактом), если из всякого
его покрытия открытыми мноэюествами можно выбрать конеч¬
ное подпокрытие.
Такое же определение вводится для топологических про¬
странств (см. замечание 2.1.8). Это отнюдь не напрашивающее¬
ся определение на первый взгляд кажется слишком техническим
по сравнению с интуитивно убедительным свойством компактно¬
сти для подмножеств прямой, состоящим в возможности выбора
сходящейся подпоследовательности из всякой последовательности.
Ниже мы установим равносильность этого определения ряду дру¬
гих (в том числе в терминах последовательностей). Однако данная
форма определения оказывается весьма полезной во многих вопро¬
сах, причем в случае общих топологических пространств она уже
не сводится к характеризациям, имеющим место для метрических
пространств (см. [7]).
§ 2.6. Компактные множества
147
2.6.2. Предложение, (i) Замкнутое подмножество компак¬
та компактно.
(И) Компакт замкнут.
(ш) Образ компакта при непрерывном отображении также
компактен.
(iv) Всякое бесконечное подмноэюество компакта имеет пре¬
дельную тючку в этом компакте.
(v) Всякое непрерывное отображение из компактного метри¬
ческого пространства в метрическое пространство равномерно
непрерывно.
Доказательство. Отметим, что первые четыре утверждения
верны и для топологических пространств, (i) Пусть множество А
замкнуто в компакте К и семейство открытых множеств Ua по¬
крывает А. Добавив к этому семейству открытое дополнение А,
получим покрытие всего К открытыми множествами. Выберем из
него конечное подпокрытие. Оно состоит из некоторых множеств
Uai,... ,Uan исходного семейства и, возможно, дополнения А. Ясно,
что первые п множеств покрывают А, ибо дополнение А не пере¬
секается с самим А.
(ii) Пусть К — компакт в пространстве X и у G Х\К. Тогда для
каждой точки х € К найдутся окрестность Ux точки х и окрест¬
ность Vx точки ycUxnVx = 0. Из окрестностей Ux выберем ко¬
нечное подпокрытие UXl,..., UXn компакта К. Тогда окрестность
V VXl ГУ • ■ П VXn точки у не пересекается с К, ибо не пересекается
с UX1U- • -UUXn. Итак, V С Х\К, что показывает открытость Х\К.
(ш) Пусть К — компакт и f(K) — его образ при непрерыв¬
ном отображении в пространство У. Для всякого покрытия }{К)
открытыми множествами Va получаем покрытие множества К от¬
крытыми (ввиду непрерывности /) множествами /^1(VrQ!). Выбрав
из них конечное подпокрытие К, получим конечное покрытие f(K)
соответствующими множествами Va.
(iv) Пусть дана бесконечная последовательность точек хп
в компакте К. Если никакая точка х из К не является предель¬
ной для {жп}, то для всякой точки х € К найдется такое открытое
множество Ux, что х Е Ux и Ux П {хп} конечно. Выбрав конечное
подпокрытие, получаем, что конечна последовательность {хп}, т. е.
приходим к противоречию.
(v) Пусть отображение /: X —> У непрерывно, где (X,dx) —
компактное метрическое пространство, (У, dY) — метрическое про¬
странство. При заданном е > 0 для каждой точки х € X есть такое
6Х > 0, что dY (f (y),f(z)) ^ е при dx(y,x) ^ 8Х и dx{z,x) ^ 5Х.
148
Глава 2. Метрические пространства
Открытые шары В(х,5х/2) покрывают X, поэтому из них можно
выбрать конечное подпокрытие В(х\, 5Х1/2),..., В(хп, 6Хп/2). По¬
ложим 5 тт(6Х1/2,... ,5Хп/2). Пусть dx(x,y) ^ 5. Найдется
такая точка ж*, что dx(x,Xi) < 5х./2. Тогда dx(y,Xi) < SXi, ибо
5 ^ 5XJ2. Значит, имеем dY (/(ж), /Ы) < £• D
2.6.3. Следствие. Непрерывная вещественная функция на
компакте принимает наименьшее и наибольшее значения.
Доказательство. Непустой компакт в ГО,1 содержит точную
верхнюю грань и точную нижнюю грань. Можно также просто вы¬
брать точки хп, значения функции в которых стремятся к точной
верхней грани значений, и взять их предельную точку, которая
и будет точкой максимума; аналогично с минимумом. □
2.6.4. Определение, (i) Пусть А — множество в метриче¬
ском пространстве (X,d) и е > 0. Множество ЕсХ называется
е-сетью для А, если для всякой точки а € А найдется точка е G Е
с d(a,e) < е. Точки из Е называются узлами е-сети.
(ii) Множество А в метрическом пространстве называется
вполне ограниченным или предкомпактным, если для всякого е > 0
оно обладает конечной е-сетью.
Иначе говоря, вполне ограниченное множество — это множе¬
ство, которое для всякого в > 0 можно покрыть конечным числом
открытых шаров радиуса е. Центры таких шаров не обязаны ле¬
жать в А, но при этом в А можно найти конечную 2е-сеть с таким
же или меньшим количеством элементов, как и число данных ша¬
ров. Для этого в каждом из упомянутых шаров, пересекающихся
с А, надо взять произвольный элемент А и воспользоваться нера¬
венством треугольника. Для каждого е > 0 имеется минимально
возможное число элементов е-сети для Л, обозначаемое через Ne.
Двоичный логарифм числа Ne является важной метрической ха¬
рактеристикой вполне ограниченного множества и называется его
метрической энтропией. Эта характеристика используется в раз¬
личных областях, например в теории информации.
Вполне ограниченное пространство сепарабельно: взяв конеч¬
ное число узлов l/n-сети для каждого п, получаем не более чем
счетное всюду плотное множество. Ограниченность множества не
означает, что оно вполне ограничено.
2.6.5. Пример, (i) Пространство ЕЧ с расстоянием 1 между
всякими различными элементами ограничено (является замкнутым
§ 2.6. Компактные множества
149
шаром радиуса 1 с центром в любой точке), но не вполне огра¬
ничено: это пространство нельзя покрыть конечным числом ша¬
ров радиуса 1/2. (и) В пространстве 12 шары не являются вполне
ограниченными. Например, шар радиуса 1 с центром в нуле содер¬
жит точки еп, у которых п-я координата 1, а остальные 0. Тогда
d(en,ek) = л/2 при п ф к. Значит, никакое конечное число шаров
радиуса 1/2 не может покрыть все еп.
Отметим такое свойство вполне ограниченных множеств, оче¬
видное из определения (читателю предлагается это проверить).
2.6.6. Пример. Равномерно непрерывные отображения пере¬
водят вполне ограниченные множества во вполне ограниченные.
В частности, это верно для липшицевых отображений.
Имеется простой критерий того, что множество вполне ограни¬
чено, в терминах фундаментальных последовательностей.
2.6.7. Предложение. Подмножество А метрического про¬
странства X вполне ограничено в точности тогда, когда из вся¬
кой бесконечной последовательности его элементов можно выде¬
лить фундаментальную подпоследовательность.
Доказательство. Пусть А вполне ограничено и {жп} с А.
Покроем А конечным числом шаров радиуса 1. Хотя бы один шар
U\ этого покрытия содержит бесконечную часть {хп}. Множество
А П U\ можно покрыть конечным числом шаров радиуса 1/2 и вы¬
брать среди них такой шар U2, что U\ П С/2 содержит бесконечную
часть {хп}. Продолжая по индукции, для каждого п получаем шар
Un радиуса 1/п с тем свойством, что множество Vn := U\ П • • • П Un
содержит бесконечно много точек исходной последовательности.
Найдем попарно различные элементы х\~п € Vn. Это дает фунда¬
ментальную последовательность.
Докажем обратное. Пусть множество А обладает указанным
свойством. Предположим, что для некоторого е>0вй нет конеч¬
ной е-сети. По индукции строим последовательность точек ап € А
с попарными расстояниями не менее е: в качестве а\ берем произ¬
вольный элемент А; если точки сц,..., ап уже построены, то най¬
дется точка an+i с расстояниями до всех них не менее е, ибо иначе
ai,...,an образовывали бы е-сеть. Из такой последовательности
нельзя выбрать фундаментальную подпоследовательность. □
Дадим теперь несколько равносильных описаний компактности
в метрическом пространстве.
150
Глава 2. Метрические пространства
2.6.8. Теорема. Пусть К — множество в метрическом про¬
странстве X. Следующие условия равносильны.
(i) Множест,во К компактно.
(и) Всякая бесконечная часть К имеет предельную точку во
множестве К.
(ш) Всякая бесконечная последовательность в К содержит
подпоследовательность, сходящуюся к точке из К.
(iv) Множество К вполне ограничено и полно.
Доказательство. Мы уже знаем, что из (i) следует (И). Яс¬
но, что из (ii) следует (Ш), так как если последовательность {хп}
имеет предельную точку х £ А", то некоторая ее подпоследова¬
тельность сходится к х. Для этого достаточно в каждом шаре ра¬
диуса 1/п с центром в х взять точку Xkn £ {жп}, отличную от х.
В силу предыдущего предложения из (iii) следует, что К вполне
ограничено. При этом К полно, так как всякая фундаментальная
последовательность точек из К содержит сходящуюся в К подпо¬
следовательность и потому сама сходится.
Докажем, что из (iv) следует (i). Пусть дано покрытие К от¬
крытыми множествами Ua, а £ Л. Поскольку К сепарабельно (как
отмечено выше), то по теореме 2.1.14 существует не более чем счет¬
ное его подпокрытие {Uan}- Предположим, что из этого подпокры¬
тия нельзя выбрать конечное. Тогда для каждого п найдется точ¬
ка хп £ А, не входящая в (J"=1 Uai. Ввиду предыдущего предло¬
жения и полноты К из последовательности {жп} можно выбрать
подпоследовательность {хПк}, сходящуюся к точке х £ К. Найдет¬
ся такой номер т, что х € Uam. Следовательно, для некоторого N
получаем хПк £ Uam для всех к ^ N. Это противоречит тому, что
хПк $ иГ=1 U<y.i ПРИ всех Полученное противоречие завершает
доказательство теоремы.
Приведем еще другое доказательство последней импликации,
не использующее свойство Линделёфа. Предположим, что из {Ua}
нельзя выбрать конечное подпокрытие. Для каждого п выберем ко¬
нечное число замкнутых шаров Впрадиуса п-1, покрывающих К.
Найдется шар В\^г, который не покрывается конечным числом
множеств Uа (иначе нашлось бы конечное подпокрытие всего К).
Далее найдем такой шар Д2,г2, чт0 В\,н П не покрывается ко¬
нечным числом множеств Ua\ продолжая по индукции, получаем
шары -Вп,г„ с тем свойством, что B\tix П П ВПугп не покрыва¬
ется конечным числом множеств Ua. Диаметры этих вложенных
замкнутых множеств стремятся к нулю, поэтому они имеют общую
2.6. Компактные множества
151
точку жо- Эта точка лежит в некотором Ua. Тогда ввиду открыто¬
сти Uа и стремления радиусов шаров к нулю мы имеем Вп^п с Ua,
что противоречит выбору Вп^п. □
2.6.9. Теорема. Пусть / — непрерывное взаимно однознач¬
ное отображение компакта К на метрическое пространство Y.
Тогда /_1 также непрерывно.
Доказательство. Пусть g — /-1. Если множество Е замкну¬
то в К, то Е компактно. Тогда компактно д~г(Е) = f(E). Поэтому
д~1(Е) замкнуто. Это дает непрерывность д. □
Хорошей иллюстрацией использования компактности является
следующая классическая теорема Дин и.
2.6.10. Теорема. Пусть последовательность непрерывных
функций на компакте поточечно убывает к непрерывной функ¬
ции. Тогда она сходится равномерно. То же самое верно в случае
поточечного возрастания.
Доказательство. Пусть нам даны компакт К, непрерывные
функции fn с /„(ж) ^ /n+i(«), причем известно, что функция
/(ж) = lim /„(ж) также непрерывна. Надо доказать, что сходи-
п—юо
мость равномерна. Вычитанием / сводим задачу к случаю / — 0.
Пусть дано е > 0. Для каждой точки ж есть такой номер п(ж),
что /„(ж) (ж) < £. Ввиду непрерывности существует такая окрест¬
ность Ux точки ж, что fn(x)(y) < е при у е Ux. Эти окрестно¬
сти покрывают К: поэтому можно найти конечное подпокрытие
Ux 1,..., UXm. Положим N£ := тах(п(ж-1),..., п(жт)). Тогда ввиду
оценки /n+i ^ fn при n>Ne получаем fn(y) < е при всех у е К.
Отметим, что непрерывность предельной функции существенна:
функции /п(ж) = хп на [0,1] убывают поточечно, но не равномер¬
но. Этот же пример с [0,1) вместо [0,1] показывает существенность
компактности К. □
Очевидно, что объединение конечного набора компактов ком¬
пактно. Докажем аналогичное для произведений.
2.6.11. Теорема. Произведение конечного или счетного набора
непустых метрических компактов является компактным отно¬
сительно естественной метрики на произведении.
Доказательство. Пусть (ХфсД) и (Хг, df) — два компакта.
Компактность Х1ХХ2 с метрикой d(x,y) := d\{x\,yi) + 2/2))
152
Глава 2. Метрические пространства
где х = (ж1,ж2), у = (уъУг), ®1>У1 € Хг, х2,У2 е Хь проверяет¬
ся так. Если дана последовательность zn = (хп.уп) € Х1ХХ2, то
выберем из {хп} сходящуюся в Х\ подпоследовательность {хпД,
а затем в {пг} выберем дальнейшую подпоследовательность, для
которой будут сходиться вторые компоненты. Для счетного про¬
изведения метрических компактов (Xn,dn) естественная задается
формулой (2.1.3). Здесь можно применить аналогичное рассужде¬
ние, выбрав подпоследовательность индексов, дающую сходимость
первых компонент, и продолжив для последующих компонент. Од¬
нако можно заметить также, что первое утверждение влечет ком¬
пактность конечных произведений Srn — П!Г=1 с метриками
d\(xi,yi)-\ \-dm{xm,ym). Тогда получаем компактность и в мет¬
рике
2_1 min(di(a:i, yi), l) 1 1- 2~m min{&т{хт,ут), 1).
Остается заметить, что в нашем счетном произведении Sm обра¬
зует 21_т-сеть, если Sm вложить в это произведение формулой
(xi,..., хт, zm+i, zm+2, ■ • •)> взяв какие-нибудь фиксированные эле¬
менты Zj € Xj. Поэтому конечная 21_то-сеть в Sm будет конечной
22_т-сетыо в счетном произведении. □
В стандартном координатном пространстве Нп компактные
множества — это замкнутые ограниченные множества. В курсе
анализа этот факт обычно выводится из случая п = 1, который
в свою очередь устанавливается с помощью свойств вещественных
чисел. В большинстве интересных для приложений пространств
класс компактных множеств строго содержится в классе замкну¬
тых ограниченных множеств. Поэтому представляют значитель¬
ный интерес критерии компактности в конкретных пространствах.
Мы рассмотрим три характерных примера.
2.7.1. Теорема. Множество К в пространстве 12 компактно
в точности тогда, когда оно замкнуто, ограничено и выполнено
следующее условие:
Доказательство. Если К компактно, то оно замкнуто, ог¬
раничено и для всякого е > 0 имеет конечную е-сеть а1,..., ар,
где а1 = (а\, аг2,...). Взяв т таким, что Yl^Lm \ап\2 < £<2 ПРИ всех
§2.7. Критерии компактности
ОО
§ 2.7. Критерии компактности
153
г = 1,...,р, получим Yln=mxn < ^е2 для всякого х = (хп) е К.
В самом деле, \хп ~ ah\2 < при некотором i ^ р. Остается
воспользоваться оценкой х\ ^ 2\хп — агп\2 + 2\агп\2.
Обратно, если выполнено указанное условие, то множество К
обладает конечной е-сетью для каждого е > 0. В самом деле, пусть
то таково, что 8иржбЛ: 53^=m+i. хп < £2/4. Множество Кт всех то¬
чек вида тттх := (ад,..., хт, 0,0,...), где х £ К, является е/2-сетью
для К (ибо расстояние между х и тстх не больше е/2). В множе¬
стве Кт есть конечная е/ 2-сеть (которая и будет конечной е-сетью
для К), ибо проекция Кт на !Rm ограничена из-за ограниченно¬
сти К и потому имеет конечную е/2-сеть, которая становится е/2-
сетью для Кт после дописывания нулевых координат с (то + 1)-го
места. □
2.7.2. Пример. Множество
ОО
Е={хе12: ^anx2^l|,
71—1
где ап > 0 и ап —> +со, компактно в I2. В самом деле, легко про¬
верить, что оно замкнуто и ограничено. Кроме того, имеют место
соотношения
ОО ОО
sup ^ ж2 ^ sup sup а"1 ^ апа;2 < sup а~1 —> 0
х&Еп=т хеЕ п>т п=т п>т
при то —► оо. Поэтому применима доказанная теорема.
Мы знаем, что всякое метрическое пространство М изомет-
рично части пространства В(М) ограниченных функций (теоре¬
ма 2.1.13). Поэтому интересно выяснить, как устроены компакты
в последнем пространстве.
2.7.3. Теорема. Множество К в пространстве В(П) ком¬
пактно в точности тогда, когда оно замкнуто, ограничено и для
всякого е > 0 множество П можно разделить на конечное число
частей П-j,Л1п с тем свойством, что при каждом г — I,... ,п
имеем | f(u>) — /(и/)| < е для всех / € К, ш,ш' £ П*.
Доказательство. Как и в предыдущем доказательстве, если
множество К компактно, то оно замкнуто, ограничено и для вся¬
кого е > 0 имеет конечную е-сеть Д,..., frn. Для конечного набора
функций fi,, frn нужные множества Д существуют. В самом
154
Глава 2. Метрические пространства
деле, отображение F — (Д, ..., /т): О —> Ит принимает значе¬
ния в ограниченном множестве М. Разделим М на дизъюнктные
части Mi диаметра менее е и положим П* := F~1(Mi). Остается
заметить, что для всякой функции / € К при ш,ш' € fij имеем
| f(u>) — f(u>') | < Зе. В самом деле, найдется такая функция fj из
выбранной е-сети, что d(f, fj) < е, откуда
1/М - Z(w')I < 1/И - ДНЖДН - Д(Ж1 + 1ЛЖ') - /(w')|.
Обратно, пусть выполнено указанное условие. Достаточно пока¬
зать, что К вполне ограничено. Пусть е > 0. Возьмем указанные
в условии множества Oi,..., fin. Существует такое число М > 0,
что sup^gfj |/(ш)| ^ М для всех / € К. Отрезок [—М, М} разделим
точками а\ — —М,... ,ат — М на отрезки равной длины менее е.
Рассмотрим конечное множество F всех функций / на П таких,
что на каждом из множеств функция / принимает постоянное
значение из {ор,..., ат}. Полученное множество является Зе-сетыо
для К. Действительно, для всякой функции / € К можно вы¬
брать по точке u>i в каждом 0$, а затем взять число так, что
f(ui) € [oj(i), Oj(j)+i]. Функция д, равная aj{i) на П*, входит в F.
При этом |/(ш) — д(со)| < 2е для всех ш € П. В самом деле, ш Е П*
при некотором г, откуда получаем
\f(u)-g(uj)\^\f(uj)-f(uji)\ + \f(uji)-g(uji)\ + \g(ui)-g(uj)\<2e,
ибо |/(ш) - /(cjj)| < е и д(шг) = p(w). □
Следующая теорема Асколи-Арцела дает критерий компактно¬
сти в С [а, Ь] со стандартной метрикой (2.1.1). Этот критерий также
имеет общий интерес, поскольку, как отмечалось выше, в С[0,1]
содержатся изометричные копии вообще всех сепарабельных про¬
странств, значит, и всех компактных метрических пространств.
2.7.4. Теорема. Множество К в пространстве С[а,Ь] ком¬
пактно в точности тогда, когда оно замкнуто, ограничено и рав¬
ностепенно непрерывно, т. е. для всякого е > 0 найдется такое
5 > 0, что при \t — s| <6 имеем \f(t) — f{s)\ < е сразу для всех
функций / G К. Аналогичное утверждение верно в случае про¬
странства С(Х), где X — метрический компакт.
Доказательство. Как и в предыдущей теореме, необходи¬
мость указанного условия легко усмотреть из того, что оно выпол¬
нено для конечных множеств. Достаточность этого условия следует
§ 2.8. Задачи
155
из предыдущей теоремы. Действительно, пространство С[а,Ь\ изо-
метрично части пространства В([а,Ь\). Поэтому достаточно прове¬
рить, что К вполне ограничено как подмножество В([а,Ь\). В каче¬
стве множеств Oi можно взять промежутки длины менее 5, дающие
в объединении [а, Ъ]. Это же рассуждение годится для любого мет¬
рического компакта X вместо отрезка (в качестве П; надо брать
части диаметра менее 5). □
Задача 2.8.22 предлагает распространить этот результат на про¬
странства отображений со значениями в метрических простран¬
ствах.
2.7.5. Замечание. Если в теоремах выше опустить условие
замкнутости, то получим критерии вполне ограниченности в соот¬
ветствующих пространствах. Это ясно из доказательств.
2.7.6. Следствие. Если X — метрический компакт, а после¬
довательность функций fn € С(Х) поточечно сходится и равно¬
степенно непрерывна, то она сходится равномерно.
Доказательство. Условия легко дают равномерную ограни¬
ченность {/п} и единственность предельной точки в С(Х). □
2.7.7. Пример. Пусть С ^ 0. Множество Ес всех дифферен¬
цируемых на [0,1] функций / с |/(0) | ^Си supt \f(t)\ ^ С вполне
ограничено в С[0,1], ибо \f(t) — /(s)| ^ C\t — s| для всех / € Ес по
теореме о среднем, что дает равностепенную непрерывность; кроме
того, \ f(t)\ ^ |/(0)| + C\t\ ^ 2С, т. е. множество Ес ограничено.
§ 2.8. Задачи
2.8.1? Пусть X — бесконечное множество. Доказать, что оно равно¬
мощно множеству всех своих конечных подмножеств.
2.8.2? Доказать, что пространство B(X,Y) ограниченных отображе¬
ний из непустого множества X в полное непустое метрическое простран¬
ство (Y,dy) полно относительно метрики
d{f,g) ■■= sup dY(f(x),g(х)).
хех
2.8.3? Всякое ли метрическое пространство, состоящее из трех точек,
можно изометрично вложить в IRn?
2.8.4? Верно ли, что замыкание открытого шара в метрическом про¬
странстве является замкнутым шаром?
2.8.5? Доказать, что конечный набор ограниченных множеств огра¬
ничен.
156
Глава 2. Метрические пространства
2.8.6? Пусть А и В — непустые компакты в метрическом простран¬
стве (X,d). Доказать, что найдутся такие точки а 6 А и 5 € В, что
d(a, b) = inf{d(x, у): х € А,Ь € В}.
2.8.7. Построить пример, показывающий, что в теореме о вложен¬
ных шарах нельзя отказаться от стремления к нулю их радиусов.
Указание: придумать такую полную метрику на IN, чтобы множе¬
ства {n, п + 1,...} оказались шарами.
2.8.8. Показать, что во всяком неполном метрическом пространстве
есть последовательность вложенных замкнутых шаров с убывающими
к нулю радиусами и пустым пересечением.
Указание: вложить это пространство в его пополнение и устроить
шары, стягивающиеся к точке пополнения, не входящей в исходное про¬
странство.
2.8.9? Доказать, что метрическое пространство сепарабельно в точ¬
ности тогда, когда оно обладает свойством Линделёфа.
2.8.10? Пусть множество U открыто в метрическом пространстве,
множество F замкнуто, U — замыкание U и F° — множество внутренних
точек F. Доказать, что U\U и F\F° являются нигде не плотными.
2.8.11? Доказать, что функция / на метрическом пространстве не¬
прерывна в точности тогда, когда для всякого с 6 Ш1 открыты множе¬
ства {х\ /(х) < с} и {ж: f(x) > с}.
2.8.12? Привести пример неограниченной равномерно непрерывной
вещественной функции на ограниченном полном метрическом простран¬
стве.
Указание: рассмотреть IN с метрикой d(n, к) = 1, п Ф к.
2.8.13? Доказать, что множество всех непрерывных функций на [0,1]
имеет мощность континуума.
2.8.14? Доказать, что множество {х G I2: \хп\ ^ сп}, где сп > О,
компактно в I2 в точности тогда, когда (сп) € I2-
2.8.15? Выяснить, являются ли вполне ограниченными в С[0,1] мно¬
жество функций xa(t) = ta, где а > 0, а также его часть, соответствую¬
щая а ^ 1.
2.8.16? Выяснить, являются ли вполне ограниченными в простран¬
стве С1 [0,1] следующие множества:
(i) множество всех таких функций /, что /(0) = 0 и f(t) ^ t2;
(И) множество всех таких дважды дифференцируемых функций /,
что /(0) = /'(0) = 0 и< 1;
(iii) множество таких дважды дифференцируемых функций /, что
/(0) = /'(0) = 0и|/"(*)Ч*;
§2.8. Задачи
157
2.8.17.° Компактно ли множество
ОО
|x = {xn)£l2: ^{n-'x^ + xl) < l}
П= 1
в пространстве l2?
2.8.18? Пусть (X, dx) и (У, dY) — метрические пространства, А С X,
В с Y — непустые вполне ограниченные множества. Доказать, что про¬
изведение Ах В вполне ограничено в пространстве X х У с метрикой
d((xi,yi),{x2,y2)) := dx(x1,X2)+dy{y1,y2)-
2.8.19. Существует ли неполное метрическое пространство, всякое
сжимающее отображение которого имеет неподвижную точку?
2.8.20. Пусть (К, d) — компактное метрическое пространство и отоб¬
ражение f:K—*K таково, что d(f(x),f(y)) < d(x,y) при х Ф у. Дока¬
зать, что / имеет неподвижную точку.
2.8.21. Показать, что метрическое пространство компактно в точ¬
ности тогда, когда всякая непрерывная вещественная функция на нем
ограничена.
2.8.22. ° Пусть (X, dx) — непустое компактное метрическое простран¬
ство, (У, dy) — непустое метрическое пространство. Множество C(X,Y)
всех непрерывных отображений из X в У наделим метрикой
d(f,g) ■= sup dY(f(x),g(x)).
хех
(i) Доказать, что К с C(X,Y) вполне ограничено в точности тогда,
когда выполнены следующие условия: (а) для всякого е > 0 найдется
такое 5 > 0, что dY(f(x),f(x')) < е при dx{x,x') ^ S для всех / е К,
(Ь) найдется такое вполне ограниченное множество М с У, что f(x) е М
при всех f £ К и всех х £ X.
(ii) Привести пример, показывающий, что (Ь) нельзя заменить на
равномерную ограниченность отображений из К.
(ш) Показать, что при условии (а) условие (Ь) равносильно следу¬
ющему: для каждого фиксированного элемента х € X множество точек
{/(ж): / е К} вполне ограничено.
(iv) Показать, что компактность К равносильна замкнутости К и
выполнению условий (а) и (Ь), где множество М в (Ь) компактно.
2.8.23. ° Пусть (K,d) — метрический компакт. Доказать, что множе¬
ство F с С (К) вполне ограничено в точности тогда, когда оно ограниче¬
но и существует такая функция ш: [0, +оо) —> [0, +оо), удовлетворяющая
условию lim w(t) = о>(0) = 0, что при всех х,у € К, / £ F верно неравен¬
ство \f(x) - f(y)\ < w(d(x,y)).
158
Глава 2. Метрические пространства
2.8.24. Доказать, что метрическое пространство несепарабельно
в точности тогда, когда при некотором е > 0 в нем имеется несчетное
множество точек, попарные расстояния между которыми не меньше е.
2.8.25? Пусть Ас — множество точек сгущения несчетного множе¬
ства А в метрическом пространстве. Доказать, что Ас замкнуто и не
имеет изолированных точек, а если А сепарабельно, то А\ПС конечно
или счетно.
2.8.26? Пусть X — метрическое пространство. Колебанием функции
/: X —> Ж1 на множестве Е С X называется величина
osc(f,E) := swpXjyeE | f(x) - f(y)|.
Колебанием функции / в точке xq называется величина
osc f{xо) := Inn osc (/, B(x0,s)),
где B(xo,e) — замкнутый шар радиуса £ с центром в хо. Доказать, что
непрерывность / в точке жо равносильна тому, что osc/(xo) = 0.
2.8.27. Пусть F — компакт в С[0,1]. Доказать непрерывность функ¬
ций ф(х) := inf/6д/(х) и tp(x) := supfeF f (x).
2.8.28. Дана последовательность функций /„. на метрическом про¬
странстве, причем известно, что если хп х, то существует конечный
предел f(x) = lim fn(xn). Доказать, что функция / непрерывна.
гг—► со
2.8.29. Пусть (X, d) — метрическое пространство, / — ограниченная
функция на множестве А с X я \f(x) — }{у)\ ^ d(x, у) для всех х,у £ А.
Положим
д{х) := max{sup(/(y) - d(x,y)),iaf f}.
уел а
Проверить, что д\А = /|А, supy6X \э(у)I = supx6A |/(ж)|, причем для всех
х,у £ X вьшолнено неравенство |<?(ж) — д(у) \ ^ d(x,y).
2.8.30. Доказать, что множество интегрируемых по Риману функ¬
ций на [0,1] — счетное объединение нигде не плотных множеств в Гх[0,1].
2.8.31. Рассмотрим следующую метризацию сходимости по мере.
Пусть у, — конечная неотрицательная мера на пространстве X. Для
f,g £ L°{n) положим
d(f,g) ■= [ min(|/ — д\, 1) dy.
Jx
Доказать, что d — метрика, относительно которой L°(/i) полно, причем
последовательность сходится по этой метрике в точности тогда, когда
она сходится по мере.
Глава 3
Гильбертовы и банаховы пространства
В этой главе обсуждаются основные свойства гильбертовых
и банаховых пространств — важнейших типов пространств функ¬
ционального анализа.
§ 3.1. Линейные пространства
Предполагается, что читатель помнит основы линейной алге¬
бры. Однако ряд понятий полезно все же напомнить, поскольку
здесь возникает специфика, связанная с бесконечномерностью про¬
странств функционального анализа. Мы будем рассматривать ли¬
нейные (или векторные) пространства над полями вещественных
или комплексных чисел. Для элементов такого пространства Е (на¬
зываемых векторам,и) определены операции сложения и умноже¬
ния на скаляры, т. е. заданы отображения
ЕхЕ—>Е, (и, v) н-> и + v, ЕхК —> Е, (и,\)\-+Аи,
где К —- поле скаляров, причем требуется выполнение следующих
условий: u+v = v+u, u+(v+w) — (и+г>)+ги, имеется единственный
элемент 0 €. Е, для которого tt + O — и я 0 ■ и = 0 для всех и е Е,
а также 1 • и = и, А (и + v) — Аи + Av и р(А и) = (рА )и для всех
скаляров А, р, € К.
Семейство V векторов называется линейно зависимым, если
найдутся конечный набор элементов vi,...,vn € V и конечный
набор скаляров оц,..., ап, не равных одновременно нулю, для ко¬
торых a\v 1 + • • • + otnvn — 0. В противном случае семейство V
называется линейно (или алгебраически) независимым.
Из курса линейной алгебры читателю должно быть известно,
что в пространстве Л1та любое семейство из более чем п векторов
линейно зависимо.
160
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Пространство Е называется бесконечномерным, если для каж¬
дого п в нем есть п линейно независимых векторов.
3.1.1. Пример, (i) Пусть О — бесконечное множество. Про¬
странство Е всех вещественных (или комплексных) функций на
множестве О с поточечными операциями, т. е.
(/ + йОН := /И + (\f)M = A/(w),
линейно и бесконечномерно. Действительно, линейность очевидна,
а для доказательства бесконечномерности для фиксированного п
возьмем различные точки ,..., шп € П и рассмотрим функции
/х,..., fn на П, заданные так: fi(o-ij) = 5ij, где 5ц = 1 и 5ij = 0 при
г ф j. Линейная независимость функций /г,..., /п очевидна.
(ii) Взяв П = IN в (i), получаем пространство всех вещественных
(или комплексных) последовательностей х — (хп), обозначаемое
через IR°° (или С°° в комплексном случае).
(ш) Множество 7 всех вещественных (или комплексных) мно¬
гочленов на отрезке (или на всей прямой) является бесконечномер¬
ным линейным пространством. Для доказательства бесконечномер¬
ности проверим, что для каждого п функции /о(ж) = 1, Д(ж) = х,
/2(ж) = ж2,..., /п(ж) = хп линейно независимы. Предположим, что
они оказались линейно зависимы. Это значит, что нашлись такие
скаляры сно, ■ ■ ., ап, что оо/о + - ■■+anfn = 0. Написанное равенство
есть тождество ао + оцж + • ■ ■ + апхп = 0 для всех ж (из отрезка или
всей прямой). Это возможно лишь при а,[ — 0, ибо ненулевой мно¬
гочлен степени п не может иметь более п корней. Это рассуждение
остается в силе для любого бесконечного множества вместо отрезка
или прямой.
(iv) Рассмотрим пространство I2 всех вещественных последо¬
вательностей ж = (жп) = (ж1,Ж2,... ,жп,...) с тем свойством, что
|жп|2 < оо. Это пространство с покомпонентными операция¬
ми линейно, ибо для суммы ж + у — (х\ + уг,..., хп + уп,...) двух
векторов ж = (жп) и у — (уп) имеем \хп + уп\2 ^ 2ж2 +2у2, что дает
сходящийся ряд для всех ж ,у € I2- Ясно также, что Аж G 12 для
всех векторов ж € I2 и всех скаляров А. Аналогично определяется
комплексное пространство I2.
(v) Множество C0O(IR1) всех бесконечно дифференцируемых
функций является линейным с поточечными операциями сложе¬
ния функций и умножения на скаляры (такое пространство мож¬
но брать вещественным или комплексным). Множество H(U) всех
функций, голоморфных в круге U С С, является комплексным ли¬
нейным пространством.
§3.1. Линейные пространства
161
Во всех этих пространствах молено брать линейные подпро¬
странства, что значительно умножит число примеров.
В конечномерной линейной алгебре важную роль играют ли¬
нейные базисы в векторных пространствах. В бесконечномерном
случае аналогичное понятие тоже имеет смысл, но уже не играет
такой важной роли и используется изредка для построения каких-
либо контрпримеров. Причина этого будет указана ниже.
Линейно независимая система векторов {г>а} в линейном про¬
странстве Е называется алгебраическим базисом (базисом Гамеля)
пространства Е, если всякий вектор из X является конечной ли¬
нейной комбинацией векторов va, т. е. х — c\vai + • • • + Cnvan для
некоторых скаляров и некоторых векторов vC4 данной системы.
В нулевом пространстве базисом считается нуль.
Мы покажем, что всякое линейное пространство обладает бази¬
сом Гамеля. Доказательство этого факта использует аксиому вы¬
бора и одно ее следствие. Приведем необходимые понятия.
Аксиома выбора. Если дана совокупность непустых попарно
непересекаюгищхся множеств, то существует множество, содер¬
жащее ровно по одному элементу из каждого из этих множеств.
Это утверждение лишь на первый взгляд кажется самоочевид¬
ным. Немногим более ста лет назад с его помощью были получены
первые парадоксы теории множеств, осмысление которых привело
к кардинальному пересмотру взглядов на основания математики.
Использование аксиомы выбора существенно для многих вопросов
функционального анализа, а без этой аксиомы хотя бы для счет¬
ных совокупностей мало что останется от непрерывной математи¬
ки вообще. Тем не менее полезно помнить, что это действительно
аксиома, не вытекающая из основных положений так называемой
наивной теории множеств.
Говорят, что на множестве X задано отношение частичного по¬
рядка или частичный порядок, если выделена некоторая совокуп¬
ность Г пар (х,у) Е X хХ, для которых пишут х <; у, причем
(i) х ^ х, (И) если х ^ у и у ^ z, то х ^ г. Если х ^ у, то пи¬
шут также у ^ х. Отметим, что мы не требуем равенство х — у
при х ^ у И1 у ^х в отличие от ряда других учебников. Однако
это условие выполнено на множестве классов эквивалентности, ес¬
ли положить х ~ у при х ^ у и у ^ х. Например, на множестве
измеримых функций на отрезке неравенство /(£) ^ g(t) п.в. задает
частичный порядок в смысле нашего определения, но не в смысле
указанного более узкого.
162
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
При этом не требуется, чтобы все элементы были попарно срав¬
нимы. Например, на IR2 можно ввести такой частичный порядок:
х = (ж1,®2) < У = (2/1.г/г), если xi < у\ иг2< у2.
Если же все элементы множества X оказались попарно сравни¬
мы, то X называется линейно упорядоченным. Например, прямая
с обычным порядком линейно упорядочена, а указанный выше по¬
координатный порядок на плоскости не является линейным. Од¬
нако на плоскости можно ввести естественный линейный порядок:
так называемый лексикографический порядок, при котором х ^ у,
если либо х\ < ух, либо х\ = у\ и х2 ^ у2 ■
В частично упорядоченном множестве некоторые части мо¬
гут оказаться линейно упорядоченными. Такие части называют
цепями. Например, вещественная прямая как часть плоскости
с покоординатным порядком является цепью.
Если X — частично упорядоченное множество и М С X, то
элемент у g X называется мажорантой множества М, если т ^ у
для всех т € М. Если т — такая мажоранта М, что т ^ m для
всякой другой мажоранты гп множества М, то m называется точ¬
ной верхней гранью М. Элемент т € X называется максималь¬
ным, если т' ^ т для всякого такого т! € X, что т ^ т! (но не
требуется, чтобы все элементы X были меньше т; например, если
х ^ у лишь при х — у, то каждый элемент максимален). Аналогич¬
но определяются миноранта, точная нижняя грань и минималь¬
ный (или наименьший) элемент. Максимальных и минимальных
элементов может быть много, если не все элементы попарно срав¬
нимы между собой.
3.1.2. Пример. Введем на квадрате [О, I]2 такой частичный
порядок, уже упомянутый выше: х = (хг,х2) < у = (уг,у2), если
х\ ^ у\ и х2 ^ у2. Здесь не все векторы сравнимы, однако есть мак¬
симальный элемент (1,1). Рассмотрим треугольник в этом квад¬
рате, выделенный условием х\ + х2 < 1. Каждый вертикальный
отрезок этого треугольника является цепью, причем его верхняя
точка — максимальный элемент (не только цепи, но и во всем тре¬
угольнике), однако эти максимальные элементы попарно несравни¬
мы, и нет других максимальных элементов треугольника.
Вот еще один пример, когда может быть много максимальных
элементов. Студентов (и студенток) курса частично упорядочим
следующим образом: будем считать, что студент С\ лучше студен¬
та С2, если он старше и выше (неравенства нестрогие). Если на
этом курсе более старший студент не всегда является более высо¬
ким, то возникнут группы, объединенные тем, что в каждой из них
§3.1. Линейные пространства
163
для всяких двух студентов один старше и выше другого. Во вся¬
кой такой группе есть свой «лучший» студент (или студентка), но
лучший в одной группе может оказаться старше и ниже лучшего
в другой (однако он не может оказаться младше и ниже, иначе оба
были бы в одной группе). Может, конечно, случиться, что каждая
группа состоит из одного студента, но это маловероятно.
Линейно упорядоченное множество X называется вполне упо¬
рядоченным, если всякая непустая часть X имеет минимальный
элемент. Например, множество натуральных чисел с естественным
порядком вполне упорядочено, а множества рациональных и ве¬
щественных чисел — нет. Читатель может убедиться, что весьма
непросто указать пример несчетного вполне упорядоченного мно¬
жества.
Аксиоме выбора равносильно следующее утверждение (если его
принять в качестве аксиомы, то теоремой станет аксиома выбора);
доказательство можно прочитать в [20].
Теорема Цермело. Всякое непустое множество можно
вполне упорядочить.
Приведем еще одно следствие аксиомы выбора (которое также
оказывается ей эквивалентным).
Лемма Цорна (Куратовского—Цорна). Если всякая цепь
в частично упорядоченном множестве X имеет мажоранту, то
в X есть максимальный элемент.
Теперь применим введенные понятия для доказательства суще¬
ствования базисов Гамеля (алгебраических базисов).
3.1.3. Предложение. Всякое вещественное или комплексное
линейное пространство обладает алгебраическим базисом. При
этом всякие два таких базиса равномощны. Кроме того, алгебра¬
ический базис линейного подпространства можно дополнить до
алгебраического базиса всего пространства.
Доказательство. Можно считать, что наше пространство X
отлично от нуля. Тогда в нем есть системы линейно независимых
векторов. Обозначим совокупность всех таких систем через А и вве¬
дем на А следующее отношение подчиненности: А ^ А', если А С А'.
Ясно, что получено отношение частичного порядка. Нам надо уста¬
новить, что в множестве Л есть максимальный элемент, т. е. систе¬
ма А линейно независимых векторов, не являющаяся собственным
подмножеством никакой другой системы независимых векторов.
164
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Такая максимальная система будет базисом, поскольку суще¬
ствование вектора V, не представимого в виде линейной комбина¬
ции векторов из Л, означало бы, что система Л U v тоже независима
вопреки максимальности Л. Существование максимального элемен¬
та следует из леммы Цорна, для применения которой необходимо
проверить, что всякая цепь Ло в Л имеет мажоранту. Иначе гово¬
ря, имея такое множество Ло независимых наборов векторов, что
всякие два набора из них сравнимы (т. е. один из двух содержится
в другом), надо найти независимую систему векторов, содержащую
все системы из Ло. В качестве таковой следует взять просто объ¬
единение Л всех систем из Ло- Покажем, что получена независимая
система. Если векторы v\,...,vn входят в Л, то существуют такие
системы Ai,..., Хп € Ло, что 'щ € Аг при г = 1,..., п. Посколь¬
ку системы А г попарно сравнимы, среди них есть наибольшая Aj0.
Тогда все векторы гц входят в А*0 и потому линейно независимы.
Небольшая модификация этого рассуждения позволяет дополнять
алгебраические базисы подпространства до базиса всего простран¬
ства: достаточно брать в качестве элементов Л независимые систе¬
мы, содержащие фиксированный базис из данного подпростран¬
ства. Кстати, эти рассуждения верны для любого поля.
Наконец, утверждение о равномощности алгебраических бази¬
сов пространства X в случае конечномерного пространства извест¬
но из линейной алгебры. Если же X бесконечномерно и 71 и 72 —
два его алгебраических базиса, то мощность 72 не выше мощно¬
сти 7i. В самом деле, каждому элементу v <Е 72 сопоставим конеч¬
ное множество элементов S С 71, через которые он линейно вы¬
ражается. Такое конечное множество S сопоставлено не более чем
конечному числу элементов из 72 (не превосходящему мощности S,
ибо через к векторов нельзя линейно выразить более к линейно
независимых векторов). Значит, мощность 72 не выше мощности
множества конечных подмножеств 71, которое равномощно 71 (за¬
дача 2.8.1). Итак, мощность 72 не выше мощности 71, причем верно
и противоположное неравенство. □
Так как любое линейно независимое множество векторов мож¬
но дополнить до алгебраического базиса, то для всякого линейного
подпространства Е\ линейного пространства Е найдется такое ли¬
нейное подпространство Е% в Е, что Е\ Г) = 0 и Е = Е\ + Е2,
т. е. Е — Е1ФЕ2 (базис в Е\ дополним до базиса в Е и линей¬
ную оболочку дополнительных векторов возьмем в качестве E%).
Размерность Е% называют коразмерностью Е\ (codim Е\).
§ 3.2. Нормированные и евклидовы пространства
165
§ 3.2. Нормированные и евклидовы пространства
Для функционального анализа особо важны линейные про¬
странства, в которых задана некоторая сходимость. Один из основ¬
ных способов задания сходимости — введение нормы.
3.2.1. Определение. Нормированным пространством назы¬
вается линейное пространство X над полем вещественных или
комплексных чисел с заданной па нем функцией || • ||: X —> [0, +оо),
называемой нормой и удовлетворяющей следующим условиям:
(i) ||ж|| = 0 лишь при х — О,
(и) ||а:ж|| = |ск|||ж|| для всех х <Е X и всех скаляров а,
(iii) (неравенство треугольника) ||ж + у\\ ^ [|ж|| +.||у|| для всех
векторов х, у 6 X.
Из условий (i) и (iii) следует, что всякое нормированное про¬
странство оказывается метрическим пространством, если в каче¬
стве расстояния между ж и у взять \\х — у||. Неравенство треуголь¬
ника для метрики вытекает из соотношений
II® - z\\ = \\x-y + y— z\| ^ ||rc - у|| + \\у - z\\.
Сходимость и фундаментальность по этой метрике в нормирован¬
ном пространстве называют соответственно сходимостью и фунда¬
ментальностью по норме.
В классе нормированных пространств имеется важный под¬
класс евклидовых пространств (называемых так в честь выдаю¬
щегося античного математика Евклида).
3.2.2. Определение. Евклидовым пространством называет¬
ся вещественное или комплексное линейное пространство X с за¬
данным скалярным произведением, т. е. функцией (•, •) на ХхХ
со значениями в соответствующем поле скаляров, удовлетворя¬
ющей следуют,им условиям-.
(i) (х,х) ^ 0, причем (х,х) = 0 лишь при х = О,
(и) (х,у) = (у, х) для всех х, у Е X (в вещественном случае
это значит, что (х,у) = (у,х)),
(iii) (ах + /Зу, z) = a(x,z) + /3(y,z) для всех x,y,z 6 X и всех
скаляров а, /3.
Если (а, 6) = 0, то пишут a J. b и называют векторы а и Ъ
взаимно ортогональными.
В комплексном случае (х,ау) = а(х, у); здесь говорят, что по
второму аргументу скалярное произведение сопряженно-линейно.
Например, (х, у) = ££=1 XiVi в ГОД но (ж, у) = ]Г£=1 х$Ц в Сп.
166
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Положив ||ж|| := у/(х, ж), получаем норму на евклидовом про¬
странстве X (называемую евклидовой нормой). Неравенство тре¬
угольника
у/(ж + у, ж + у) < \/(х,х) + у/{у, у)
после возведения в квадрат и очевидных преобразований сводится
к неравенству Коши-Буняковского
\(х,у)\2 < (х,х)(у,у), т.е. |(ж,у)| < ||ж|| \\у\\.
Для его проверки вспомним, что (х + ty,x + ty) ^ 0 при всех
t Е Ж1. Значит, соответствующий дискриминант неположителен,
откуда |11е(ж,у)|2 < (ж,ж)(у,у). Теперь заменим у на егву, где ве¬
щественное 9 выбрано так, что | (ж, у) | = 11е(ж,е'г0у). Нетрудно про¬
верить, что если |(ж, у)| = ||ж|| ||у|| и у ф 0, то ж = Лу (задача 3.8.7).
Отметим неравенство
|1М1 - Ibil'i < ||® — 1/Ц,
вытекающее из неравенства треугольника в нормированном про¬
странстве. Из него видно, что если последовательность {хп} фунда¬
ментальна, то числовая последовательность {||ж„||} сходится, при¬
чем если {хп\ имеет предел ж, то ||ж|| = Пт ||жп||.
71—>00
Не всякая норма может быть получена из скалярного произве¬
дения. Простейшим примером является следующая норма на плос¬
кости: ||ж|| = тах(|жа|, |жг|). Единичный шар по этой норме — квад¬
рат. Имеется следующий критерий (теорема Иордана-фон Нейма¬
на) того, что данная норма || • || на линейном пространстве X по¬
рождается скалярным произведением: равенство параллелограмма
||ж + у||2 + ||ж - у||2 = 2||ж||2 + 2||у||2
должно быть выполнено для всех ж, у 6 X. Необходимость этого
условия проверяется тривиально, а достаточность отнюдь не оче¬
видна (см. [20, с. 162]).
Поскольку нормированные и евклидовы пространства оказы¬
ваются метрическими пространствами, то можно говорить об их
полноте (относительно метрики, порожденной нормой).
3.2.3. Определение. Полное нормированное пространство
называется банаховым пространством.
Полное евклидово пространство называется гильбертовым
пространством.
§ 3.2. Нормированные и евклидовы пространства
167
Эта терминология связана с именами выдающихся математи¬
ков Стефана Банаха и Давида Гильберта.
3.2.4. Пример, (i) Важнейшим примером банахова простран¬
ства является пространство С[а, b} всех непрерывных функций на
отрезке [а,Ь] с нормой
IMI 1 mrax И*)1-
Соответствующее расстояние задается формулой
= max |ip{t) - ф{£)\.
te[a,b]
Поэтому полнота этого пространства нам уже известна.
(и) Упомянутое в примере 3.1.1 множество В (ft) всех ограни¬
ченных вещественных (или комплексных в комплексном случае)
функций на непустом множестве О с поточечно заданной линей¬
ной структурой, т.е. (f + д)(и) = /(ш) + д(и), (A/)(w) = A/(w),
является банаховым пространством с нормой
11/11 = sup |/(m)|.
хеи
Его полнота тоже уже известна.
(iii) При С = IN получаем в (ii) пространство 1°° ограниченных
вещественных последовательностей х — (хп) с нормой
||ж|| = sup \хп\.
П
(iv) Пространство со вещественных последовательностей, стре¬
мящихся к нулю, наделяется той же нормой, что и 1°° в (iii); оно
банахово, ибо замкнуто в 1°° (проверку оставляем читателю).
(v) Пространство Съ(Т) всех ограниченных непрерывных (ве¬
щественных или комплексных в зависимости от поля скаляров)
функций на метрическом (или топологическом) пространстве Т ба¬
нахово относительно нормы ||/|| = supteT |/(t)|.
(vi) Пространство A(U) всех комплексных функций <р, анали¬
тических в открытом круге U в С и непрерывных на замыкании U,
полно с нормой ||<р|| = supz6(y |v?(z)|, ибо равномерный предел по¬
следовательности аналитических в U функций аналитичен (в слу¬
чае отрезка это неверно!).
Две нормы р и q на линейном пространстве называются экви¬
валентными, если существуют такие числа с\ и сг, что
cip(x) ^ q(x) ^ С2р{х) для всех х.
168
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Не все нормы сравнимы: на пространстве последовательностей с ко¬
нечным числом ненулевых координат нормы р(х) = и
q(x) = E^°=i Сп\хп\, где с2„ = пи с2п+1 = га"1, не оцениваются одна
через другую. С помощью базиса Гамеля норму можно ввести на
всяком линейном пространстве (скажем, положив р{х) — J2a 1жа|
для х = xote-a-, где {еа} — базис Гамеля), но в приложениях та¬
кие нормы не используются (но используются в контпримерах). По¬
мимо неконструктивности построения самих базисов Гамеля, при¬
чина этого состоит в том, что разложения по таким базисам плохо
согласованы с нормой, в частности, как мы увидим в примере 4.1.7
следующей главы, коэффициенты ха разложения х по базису мо¬
гут оказаться разрывными функциями.
Рассмотрим важнейшие примеры евклидовых пространств.
3.2.5. Пример, (i) Множество I2 бесконечных вещественных
последовательностей х = (хп) таких, что \хп\2 < °о, является
евклидовым пространством со скалярным произведением
ОО
(Х,у) = 5>Уп.
71= 1
В комплексном случае надо положить
ОО
(ж, у) = ^2хп1м-
71=1
Пространство I2 полно, т. е. гильбертово (а потому и банахово).
(ii) Рассмотрим пример, предполагающий минимальное знаком¬
ство с материалом гл. 1. Пусть ц — неотрицательная счетно-адди¬
тивная мера на пространстве О и L2 (у) — класс эквивалентностей
квадратично-интегрируемых функций, введенный в гл. 1. Скаляр¬
ное произведение на L2 (jj) вводится по формуле
{f,9)= [ f(w)g(w)n(dw),
Jn
где под интегралом фигурируют произвольные представители
классов эквивалентности (напомним, что интеграл не меняется при
переопределении функции на множестве меры нуль). Норма в про¬
странстве L2(p) задается формулой
\ 1/2
\fH\2p(duj)J ,
где также используется произвольный представитель класса экви¬
валентности. Пространство L2(p) полно (см. теорему 2.2.3). Однако
§ 3.2. Нормированные и евклидовы пространства
169
если ограничиться лишь интегрируемыми по Риману функциями,
то получится неполное пространство. Здесь видно одно из преиму¬
ществ интеграла Лебега.
Из сказанного видно, что не все евклидовы пространства
полны. Есть еще более элементарные примеры. Скажем, под¬
пространство Iq в 12, образованное всеми последовательностями
с конечным числом ненулевых координат, неполно: его элемен¬
ты (1,1/2,...,1/п,0,0,...) образуют фундаментальную последова¬
тельность, у которой нет предела в 1%. Неполно и множество непре¬
рывных функций на [0,1] со скалярным произведением из L2[0,1].
Это видно из того, что функцию /, равную 0 на [0,1/2] и 1
на (1/2,1] можно приблизить в метрике L2[0,1] последовательно¬
стью непрерывных функций /п; тогда {/„,} (фундаментальна, но не
имеет предела среди непрерывных функций (если она сходится в L2
к непрерывной функции д, то /(ж) = д(х) почти всюду в [0,1], но
из этого видно, что д обязана иметь разрыв в 1/2).
Здесь следует обратить внимание на то обстоятельство, что
в качестве такого примера не может служить функция /, равная 1
в 1/2 и 0 в остальных точках (такой неверный пример студенты
часто приводят на экзамене). Дело в том, что новая функция /, бу¬
дучи по-прежнему разрывной в 1/2, уже оказывается почти всюду
равной 0, т. е. ее не только не требуется приближать непрерывны¬
ми в L2, но она сама уже с точки зрения метрики L2 совпадает
с непрерывной функцией, тождественно равной нулю.
Ниже мы увидим, что все конечномерные нормированные про¬
странства полны, поэтому примеры неполных можно найти только
среди бесконечномерных (другой излюбленный ошибочный пример
неполного евклидова пространства, часто встречающийся в ответах
на экзамене, — полуинтервал [0,1); хотя полуинтервал и неполон
с обычной метрикой, он не является линейным пространством, как
того требует определение евклидова пространства).
Пространства С[0,1] и L2[0,1] особенно важны как в теории ба¬
наховых пространств и теории линейных операторов, так и в прило¬
жениях. Геометрия этих пространств весьма различна даже в дву¬
мерных плоскостях. Например, в двумерном пространстве, поро¬
жденном функциями fit) = t и g{t) =4 + 1, метрика из L2[0,1]
порождает привычную евклидову геометрию. Скажем, на прямой,
порожденной /, есть лишь одна ближайшая к д точка — это функ¬
ция h{t) — 1 — 4/2. На ней достигает минимума по а интеграл от
Ig(t) ~ otf(t)|2.
170
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Относительно равномерной метрики из С[0,1] ближайших то¬
чек много: минимум по а расстояния от д до af есть минимум
величины тах-( |1 + t — at\ = max(l, |2 — о:|), равный 1. Этот ми¬
нимум достигается при всех a 6 [1,3]. Таким образом, ближайшие
точки образуют целый отрезок с концами в д — 3/ и д — /. Из ска¬
занного легко усмотреть, что рассмотренная двумерная плоскость
с геометрией из С[0,1] вообще не может быть изометрично вложена
Интересно отметить, что все пространство Ь2\0,1] можно вло¬
жить линейно и изометрично в качестве замкнутого линейного под¬
пространства в С[0,1] (это вытекает из более общей теоремы Ба¬
наха, см. [7, теорема 6.10.24]).
Не следует думать, что всякая разумная сходимость в функци¬
ональном пространстве задается нормой. Например, покоординат¬
ную сходимость в пространстве К00 всех вещественных последова¬
тельностей нельзя задать нормой (задача 3.8.50), хотя она задается
метрикой (2.1.2). В пространстве С^ДГО,1) всех бесконечно диф¬
ференцируемых функций с ограниченными производными имеет¬
ся естественная сходимость: равномерная сходимость производных
всякого фиксированного порядка. Такую сходимость тоже можно
задать метрикой, но нельзя задать нормой (задача 3.8.52). Другие
примеры нам встретятся в гл. 6.
Множества {х: ||ж|| ^ 1} и {ж: ||ж|| = 1} в нормированном про¬
странстве называются единичным шаром и единичной сферой со¬
ответственно.
Линейная структура позволяет рассматривать в нормирован¬
ных пространствах сходимость не только последовательностей, но
и рядов. Будем говорить, что ряд Y^=i хп из векторов нормиро¬
ванного пространства X сходится к вектору х G X, если выполнено
равенство
3.2.6. Предложение. Полнота нормированного простран¬
ства X равносильна тому, что из сходимости числового ряда из
норм ll^nll следует сходимость ряда из векторов хп.
Доказательство. Если X полно, то ряд из таких векторов
сходится, ибо неравенство треугольника показывает фундаменталь¬
ность последовательности его частичных сумм. С другой стороны,
пусть сходимость ряда из норм влечет сходимость самого ряда.
в L2[0,1].
т
п=1
§3.2. Нормированные и евклидовы пространства
171
Пусть {хп} — фундаментальная последовательность в X. Возьмем
подпоследовательность {хПк} с ||a;rafc — жПк+1|| ^ 2~к. Тогда сходится
ряд из векторов хПк — хПк+1, что означает сходимость последова¬
тельности векторов хП1 — хПк. Значит, сходится и {хп}. □
3.2.7. Пример. В пространстве Т[0,1] всех многочленов на
отрезке [0,1] с нормой из С[0,1] ряд tn/nl не сходится, хотя
ряд из норм слагаемых сходится.
3.2.8. Определение. Пополнением нормированного простран¬
ства X называется такое банахово пространство X, что про¬
странство X вложено линейно и изометрично в качестве всюду
плотного линейного подпространства в X.
Пополнением евклидова пространства X называется такое
гильбертово пространство X, что X вложено линейно с сохра¬
нением скалярного произведения в качестве всюду плотного ли¬
нейного подпространства в X.
3.2.9. Замечание. В следующей главе (§ 4.4) мы увидим, что
всякое нормированное пространство естественным образом вкла¬
дывается в банахово пространство, что позволяет легко получить
пополнение. Здесь укажем, что изложенная в замечании 2.2.8 кон¬
струкция пополнения пространства X как пространства X классов
эквивалентности фундаментальных последовательностей х — (хп)
пространства X дает и пополнение в указанном выше смысле (лю¬
бое пополнение в категории общих метрических пространств еще
не решает нашу задачу, ибо теперь требуется согласование с линей¬
ной структурой). Действительно, линейные операции в X задаются
покомпонентно, что очевидным образом дает линейное простран¬
ство (если {хп} и {уп} фундаментальны, то таковы и {хп + уп}
и {Лжп}). Норма вводится так: ||ж|| := Нш ||жп||. В случае евкли-
п—»оо
дова пространства полагаем еще (ж, у) := Ит (хп,уп). Легко ви¬
деть, что действительно получены норма и скалярное произведе¬
ние, ибо нормы элементов фундаментальных последовательностей
{жп} и {уп} сходятся, нормы векторов хп + уп также сходятся,
\\хп + УпII < ||жп|| + \\уп\\ и ||Ажп|| = |А| ||жп||. Случай скалярного
произведения аналогичен. Всякий вектор х 6 X задает элемент X
с хп = х. Это дает линейное вложение X в X, сохраняющее норму
(и скалярное произведение в случае евклидова пространства). Мы
уже знаем, что пространство X полно.
172
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Наименьшее линейное подпространство, которое содержит мно¬
жество А в линейном пространстве X, называется линейной обо¬
лочкой А или линейным подпространством, порожденным А.
Если X нормировано, то замкнутая линейная оболочка А — это
наименьшее замкнутое линейное подпространство, содержащее А
(оно совпадает с замыканием линейной оболочки А).
Если даны нормированные пространства Х\,..., Хп, то их про¬
изведение Х\ ХХ2 х • • • х Хп, которое состоит из всех наборов вида
ж = (х’1,..., хп) с Xi G Xi, наделяется естественной линейной струк¬
турой (с покомпонентными операциями) и нормой
11*11 = Ых, Н Н1жп||хя-
Это пространство называют еще прямой суммой Х\,..., Хп и обо¬
значают через Х\ ф ф Хп. В случае евклидовых пространств
Xi,...,Хп на пространстве X = ATi® • • • £)Хп вводятся скалярное
произведение (ж, у) := {x\,y\)Xi -I I- (хп,уп)Хп и норма
Легко проверить, что если все Xi полны, то полно и X.
Если даны нормированное пространство X и его замкнутое ли¬
нейное подпространство Y, то фактор-пространство X/Y, состо¬
ящее из классов смежности [ж] = х + Y, где х € X, становится
нормированным пространством относительно нормы
НИН :=inf{||z||: z G [ж]}.
Действительно, если ||[ж]|| = 0, то найдутся векторы zn G [ж]
с ||^п|| —> 0. Имеем zn = х + уп, где уп G Y. Поэтому уп —> —х
и х G Y ввиду замкнутости Y, т. е. [ж] = 0. Если z £ [ж], z’ € [ж'],
TO Z + z' € [ж + ж']. Поэтому ||[ж] + ИИ ^ ||г + z'|| ^ ||z|| + ||Д||.
Значит, ||[ж] -(- ИИ ^ НИН + ||ИII- Аналогично проверяем, что
||А[ж]|| = |А|||[ж]|| для всех скаляров А.
Если X полно, то Х/Y также полно относительно введенной
нормы. Действительно, пусть элементы [жп] таковы, что сходится
ряд из их норм. Возьмем такие х'п G [жп], что ||жД| ^ ||[жп]|| + 2~п
при всех п. Тогда ряд из х'п сходится к некоторому ж G X. Легко
видеть, что ряд из [хп\ сходится в Х/Y к [ж].
Следует иметь в виду, что банахово пространство X не обязано
быть линейно гомеоморфным произведению Y х (X/Y), где Y —
замкнутое линейное подпространство в X, хотя линейный изомор¬
физм есть.
§ 3.3. Конечномерные пространства
173
Введем также комплексификацию нормированного простран¬
ства X и евклидова пространства Е следующим образом. Ком¬
плексное пространство Хс есть пространство ХхХ, векторы кото¬
рого обозначаются посредством ж + iy, где ж, у € X, операция сло¬
жения задана естественным образом, а умножение на комплексные
числа а + i/З, где а, /3 G Ж1, задано так:
(а + г/3) (х + iy) ах — Ру + г(ау + /Зх).
Норма на Хс задается формулой ||ж + гу\\ := ||ж|| + ||у||.
В случае евклидова пространства Е конструкция аналогична,
но вместо указанной нормы задается скалярное произведение по
формуле
(ж + iy,u + iv) := (х,и) + (y,v) + г(у, и) -i(x,v).
Легко проверить, что Хс и Ес — нормированное и евклидово про¬
странства, причем они полны, если были полны ХиВ.
Например, комплексификация Жп совпадает с С”, а комплекси-
фикации вещественных пространств C[a,b], L2[a,b) и I2 естествен¬
ным образом отождествляются с соответствующими комплексны¬
ми пространствами.
Наконец, отметим, что если в определении нормы отказаться
от условия ||ж|| > 0 при ж Ф 0, то получим определение полунормы.
Полунормы играют важную роль в функциональном анализе (см.,
например, §4.3 и §6.1). Линейное пространство X с полунормой р
иногда называют преднормированным пространством. Множество
Хо := р_1(0) является линейным подпространством в X. Фактор-
пространство Х/Хо становится нормированным пространством, ес¬
ли мы положим || [ж] || := р(ж) для всякого класса эквивалентности
[ж] с представителем ж. Определение корректно, ибо ввиду нера¬
венства треугольника имеем р(ж + z) — р(ж) при p(z) = 0.
§ 3.3. Конечномерные пространства
В следующей теореме заключено характеристическое свойство
конечномерных линейных пространств.
3.3.1. Теорема. На всяком конечномерном линейном про¬
странстве X все нормы эквивалентны.
Доказательство. Возьмем в X базис ei,..., еп и с помощью
разложения ж = жхех + \-хпеп введем норму
р{ж) = |эд| Н 1- \хп\-
174
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Пусть q — еще одна норма на X. Положим с = max* q(et). Тогда
п
q{x) ^ |Xi\q(ei) ^ ср(х).
г=\
В частности, |g(x) — q(y)\ ^ д(ж — у) ^ ср(х — у), т.е. функция q
липшицева, а потому и непрерывна на X с нормой р. Легко видеть,
что единичная сфера S = {х: р(х) = 1} в X с нормой р компактна.
Значит, функция q достигает на этой сфере минимума т. При этом
т > О, ибо q не обращается в нуль вне нуля. Из оценки q(x) ^ т
на S следует оценка q(x) ^ тр{х) на X, так как q(tx) = \t\q{x)
и p(tx) — \t\p(x). Итак, тр(х) ^ q(x) ^ ср{х). □
Используя тот очевидный факт, что конечномерное простран¬
ство с указанной в доказательстве нормой р полно, а его замкнутые
шары компактны, получаем ряд полезных следствий.
3.3.2. Следствие. В конечномерном линейном пространстве
замкнутые шары и замкнутые сферы компактны.
3.3.3. Следствие. Всякое конечномерное нормированное про¬
странство полно.
3.3.4. Следствие. Всякое конечномерное линейное подпро¬
странство нормированного пространства замкнуто.
Иная ситуация в бесконечномерных пространствах: здесь шары
положительного радиуса не могут быть компактными. Это выте¬
кает из следующего результата.
3.3.5. Теорема. Пусть Хо — замкнутое линейное подпро¬
странство в нормированном пространстве X, отличное от X.
Тогда для всякого е > 0 найдется такой вектор х£ Е X, что
||же|| =1 « ||Же — у|| > 1 — £ для всех у Е Xо-
Доказательство. По условию найдется элемент z Е X\Xq.
Положим
5 = inf{||z-y||: уЕХ0}.
В силу замкнутости Хо имеем 5 > 0. Выберем такое во > 0, что
5/{5 + ец) > 1 — е. Возьмем уо Е Xq с ||z — уоII < 5 + во- Пусть
хе = (z — уо)/\\z — уо\\. Тогда для всякого у Е Xо мы получаем
||®е-у|| = и—-—n II 2 -уо - \\z Уо II • У || > 7-^— > 1 -е,
\\z — уо || о + ео
ибо v уо + ||г — уо|| ■ у Е Xq и потому ||z — ц|| ^ 5.
□
§ 3.3. Конечномерные пространства
175
3.3.6. Замечание. Если подпространство Хо конечномерно,
то существует такой элемент ж, что ||ж|| = 1 и ||ж — у\\ ^ 1 для
всех у Е Хо. Действительно, в изложенном доказательстве можно
воспользоваться компактностью шаров в Хо и выбрать вектор гуо
так, что ||z — уо || = 6.
3.3.7. Следствие. Во всяком бесконечномерном нормирован¬
ном пространстве X найдется бесконечная последовательность
векторов хп с ||жп|| = 1 и ||жга — xk\\ ^ 1 при п ф к. Значит, все
шары в X положительного радиуса некомпактны.
Доказательство. С помощью предыдущего замечания по ин¬
дукции легко построить последовательность векторов хп единич¬
ной длины с ||жп — ccfc|| ^ 1 при п ф к. □
Из сказанного явствует, что никакой шар положительного ради¬
уса в бесконечномерном нормированном пространстве не является
вполне ограниченным.
Отметим еще один полезный факт, идейно близкий содержанию
этого раздела. Алгебраическая сумма множеств Х\ и Х2 в линей¬
ном пространстве определяется как
Хо + Xi := {xi + Х2 ■ Х\ Е Xi, Х2 € Х2}.
3.3.8. Предложение. Пусть Хо — замкнутое линейное под¬
пространство в нормированном пространстве X. Тогда для вся¬
кого конечномерного линейного подпространства Х\ в X алгебра¬
ическая сумма Хо + Xi замкнута.
Доказательство. Утверждение сводится к одномерному
пространству Х\, порождаемому вектором v (n-мерный случай
получается гг-кратным применением одномерного). Можно счи¬
тать, что v не входит в Хо- Тогда ввиду замкнутости Хо имеем
dist(n, Хо) = inf{||n — ж||: ж 6 Хо} > 0. Пусть элементы вида
уп = хп + Xnv, где хп Е Хо, сходятся к у Е X. Заметим, что
dist(An, Хо) = |A|dist(n, Хо)
для всех скаляров А. Так как уп — Ук — (Ап — Xk)v — (жк — жп), где
Хк~ хп Е Х0, то ||уп - ук|| > |An - Afe|dist(n, Х0). Итак, последова¬
тельность {An} фундаментальна и сходится к некоторому числу А.
Тогда существует ж = lim хп Е Xq. Значит, у = x + Xv. □
71—» ОО
Для двух бесконечномерных подпространства это не всегда вер¬
но (см. задачу 3.8.45).
176
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
§ 3.4. Проекции и базисы
Важнейшими понятиями, относящимися к евклидовым прост¬
ранствам, являются ортогональные проекции и базисы.
3.4.1. Определение. Система взаимно ортогональных век¬
торов единичной длины в евклидовом пространстве X называет,-
ся ортонормированной.
Такая система {еа} называется ортонормированным базисом
в X, если для всякого х G X найдутся не более чем счетная подси-
стема {еап} С {еа} и конечный или счетный набор скаляров {сп},
для которых х = спеап, где ряд сходится в X.
Система векторов называется полной, если ее линейная оболоч¬
ка всюду плотна. Ортонормированный базис — полная система.
В случае счетного ортонормированного базиса {еп} (а имен¬
но такой случай и встречается в большинстве приложений) всякий
вектор пространства имеет сходящееся по норме разложение
ОО
X — У ) Сцвп.
п=1
Напомним, что это означает сходимость сумм
N
Sn :== ^ ^ спеп
п—1
к вектору х при N —> оо. Для таких сумм имеет место очевидное
равенство
N „ N N N
ll-S'ivU2 = |У^Сцвп
п=1 п=1 п=1 п=1
Для различных N и N' с N' > N находим
N' ..г, N'
= J2 |сп|2-
n—N+l n=N+1
Эти простые равенства лежат в основе большинства основополага¬
ющих результатов теории гильбертовых пространств и операторов
в них (в том числе весьма нетривиальных результатов).
Числа Сп, называемые коэффициентами Фурье х, однозначно
задаются равенствами
||5дг' - Sn\\2 = ^2 °пеп
— ^ Спеп, 'У ^ cnen^j — У ^ |Сп
сп — (х, е-а-п)-
§ 3.4. Проекции и базисы
177
Это следует из непрерывности скалярного произведения: ведь если
ип —* и и vn —> v по норме в X, то (un,vn) —» (u,v) ввиду оценки
|(«n,w„) - (гг, г;)| = |(un,vn) - (un,v) + (un,v) - (гг, г>)| <
< \\un\\ \\vn - ц|| + ||ц|| ||ип - гг||.
Из этого же следуют соотношения
ОО
(равенство Парсеваля) ||ж||2 = ^ |с„|2, (3.4.1)
П= 1
ОО ОО ОО
(а,b) У 'если а = ^ ,^п^апi b — У ^Ьпеап.
п—1 П=1 П=1
Таким образом, если ряд Y^=\ спеп по ортонормированной систе¬
ме {ега} сходится по норме, то Yl^Li k-n|2 < оо. Обратно, сходи¬
мость последнего ряда дает фундаментальность последовательно¬
сти сумм У2п=1 спеп, а в случае полного X и сходимость этих сумм.
Установим теперь важное неравенство Бесселя.
3.4.2. Теорема. Пусть {еа} — ортонормироваппая система
в евклидовом пространстве X. Тогда для каждого ж Е X множе¬
ство всех тех а, для которых (ж,еа) ф 0, не более чем счетно,
причем справедливо следующее неравенство Бесселя:
^ |(ж,еа)|2 ^ ||х||2 = (ж,ж). (3.4.2)
а
Доказательство. Для всякого конечного ортонормированно-
го набора е\,..., еп имеем
п п п
(ж, 5^(ж, е<)е*) = Y (ж>ei)(®.е») = Y Кж’ е*)|2-
i=l г=1 г=1
Левая часть оценивается через ||ж||(^”=1 |(ж, е,)|2)'^2 в силу нера¬
венства Коши-Буняковского, что дает оценку
П
Y1 Кж, е*)|2 ^ ini2-
i= 1
Следовательно, (3.4.2) верно и для счетной ортонормированной си¬
стемы. В частности, для всякого натурального числа к может су¬
ществовать не более чем к\\х\\2 индексов а с |(ж, eQ)|2 ^ \/к. Это
показывает, что отличными от нуля числа (ж, еа) могут быть лишь
для конечного или счетного семейства индексов а. □
178
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.4.3. Предложение. Если даны конечное ортонормирован-
ное семейство ... ,еп и вектор х, то вектор х — Y77=i(x>ei)ei
является единственным блиэюайшим к х элементом линейного
подпространства, порожденного векторами е\,..., еп.
Доказательство. При г < п имеем (ж, е*) = (ж, еД поэтому
х — х -L ец Для всех у — yj е± + ■ ■ ■ + уп^п получаем
\\х-у\\2 = \\х-х + х-у\\2 =
— ||ж — ж||2+211е (х — х,х — у) + \\х — у\\2 = ||ж — ж||2 + ||ж — у||2,
ибо х — х 1 х — у. Минимум по у достигается лишь при у = ж. □
3.4.4. Лемма. Пусть Eq — линейное подпространство евкли¬
дова пространства Е, а £ Е, а Eq. Тогда следующие условия
равносильны для вектора b £ Eq:
(i) а — Ь _L Eq, т. е. (а — Ь, х) = 0 для всех ж £ Eq;
(и) ||о - Ь|| = inf{||a — ж||: х 6 Eq}.
Доказательство. Пусть а - b Т Ео. При х £ Eq имеем
||а — ж||2 = ||а - b + Ъ — ж||2 = ||а - 6||2 + ||Ь — ж||2 ^ ||а — Ь||2,
так как Ь — х £ Eq. Пусть выполнено (и) и х £ Eq. Покажем, что
а—Ъ _L х. В линейном подпространстве, порожденном Ь и ж, возьмем
такой вектор а, что а — а Т 6 и а — а 1 ж. Ввиду доказанного выше
предложения а = Ь, ибо иначе ||о — о|| < ||а — 6||. □
Доказанная лемма дает существование ортогональной проек¬
ции и ортогонального разложения в гильбертовом пространстве.
Для всякого множества М в евклидовом пространстве Е его
ортогональное дополнение зададим равенством
Мх := {ж £ X: (ж, т) = 0 для всех т £ М].
Тогда М1 — замкнутое линейное подпространство в Е. Действи¬
тельно, если векторы хп £ сходятся к ж, то
(ж, т) = lim (хп, т) = 0 для всех т £ М,
п—XX)
т. е. х £ М1. Значит, М1 замкнуто. Аналогично проверяется ли¬
нейность МА Ясно также, что М П М1- = 0, ибо т X ж при всех
ш £ М, ж £ М1. Наконец, если L — линейная оболочка М, то
lA = М1, откуда следует также, что и для замкнутой линейной
оболочки L множества М мы имеем L = МА
§3.4. Проекции и базисы
179
Следующая теорема об ортогональном разложении — одна из
важнейших в геометрии гильбертовых пространств.
3.4.5. Теорема. Если Хо — замкнутое линейное подпростран¬
ство в гильбертовом пространстве X, то Xq- — замкнутое ли¬
нейное подпространство в X, причем X — Хо ф Xq-, где слагае¬
мые ортогональны. В частности, для всякого вектора х £ X су¬
ществует единственный вектор xq £ Xq с тем свойством, что
х - хо -L Хо, т. е. х — хо ± у для всех у £ Хо- При этом xq —
ближайший к х элемент Хо, т. е.
11®-®о|| =inf{||a:-y||: у€Х0}.
Вектор хо называется ортогональной проекцией вектора х на под¬
пространство Xq и обозначается через РХох-
Доказательство. Ввиду' сказанного выше Xq является за¬
мкнутым подпространством, ортогональным Хо. Покажем, что вся¬
кий элемент х £ X входит в сумму Хо ф Xq- . Пусть
5 := inf{11ж — у\\: у £ Х0}.
Возьмем такие уп £ Хо, что \\х — уп\\ —► 6. Покажем, что после¬
довательность {уп} фундаментальна. Пусть г > 0. Найдется такой
номер N, что ||ж - уп||2 < 52 + е2/4 при п ^ N. Пусть п,к ^ N.
Тогда ||ж - (уп + ук)/2\\ ^ 5, ибо (уп + ук)/2 £ Х0. Ввиду равенства
параллелограмма получаем
IIУп - Ук\\2 = 2||ж - уп||2 + 2||ж - ук\\2 - 4\\х - (уп + ук)/2||2 ^
«С 462 + е2- 452 = е2.
В силу полноты X и замкнутости Хо последовательность {уп} схо¬
дится к некоторому вектору хо £ Хо. Легко видеть, что выполнено
равенство ||ж — жо | = 1™ \\х — уп|| — 6. Согласно лемме имеем
п—> оо
х — Xq -L Хо- Полнота в этой теореме важна: см. задачу 3.8.14;
очевидно, что достаточно потребовать полноту Хо- □
Если в X дана ортонормированная последовательность {<рп},
то ближайшим к х элементом замкнутого линейного подпростран¬
ства Х0, порожденного {<р„}, оказывается вектор
ОО
п=1
180
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Это видно из того, что жо € Хо и жо — ж _L ipn для всех п, откуда
мы получаем жо — ж J_ Xq.
3.4.6. Следствие. Пусть Xq — замкнутое линейное подпро¬
странство в гильбертовом пространстве X. Тогда отображение
РХц: ж I—> PXqx, называемое ортогональным проектором на Xq,
линейно, т.е. PXq (ах + (Зу) — аРХо х + /дРХд у, непрерывно, причем
IIРх х\\ ^ ||ж|| и Р^. — Рх .
II х0 II ^ II II Х0 -Ч)
Доказательство. Пусть ж е X. Для всякого скаляра А век¬
тор АРХцж входит в 1о, а разность Аж — APXq х ортогональна Xq.
Ввиду единственности проекции имеем РХо (Ах) = АРх0х- Анало¬
гично РХо (ж + у) = PXqх + РХоу, ибо мы имеем PXqx + PXQy G Х0
и ж + у — PXqx — PXQy -L Хо. Поскольку ж — Рхх i- PXqж, то
||ж||2 = ||РХцж||2 + ||ж — РХож||2, откуда ||РХож|| ^ ||ж||. В силу ли¬
нейности РХц получаем ||Рх-цж — РХоу\\ ^ ||ж — у\\, что показывает
непрерывность отображения PXq . Наконец, при всех х G Xq спра¬
ведливо равенство Рх х = ж. □
Ортогональный проектор называют также оператором ортого¬
нального проектирования.
3.4.7. Следствие. Пусть {еа} — ортонормированное семей¬
ство в гильбертовом пространстве X. Тогда для всякого ж S X
ряд Y^a(xXn)ea сходится и его сумма является ближайшим к х
элементом замкнутого линейного подпространства, порожденно¬
го векторами еа.
Доказательство. Из неравенства Бесселя сразу следует схо¬
димость ряда ]Ра(ж, еа)еа, в котором не более чем счетное множе¬
ство членов отлично от нуля. Его сумма является проекцией ж на
упомянутое подпространство. □
3.4.8. Следствие. Пусть X — гильбертово пространство,
{еа} ~ ортонормированное семейство. На заданном элементе ж
неравенство Бесселя для этой системы обращается в равенство
в точности тогда, когда ж входит в замкнутую линейную обо¬
лочку {еа}.
Доказательство. Сумма ряда из |(x,eQ)|2 равна квадрату
нормы проекции ж на замкнутую линейную оболочку {eQ}. Поэто¬
му равенство в неравенстве Бесселя возможно лишь тогда, когда
элемент ж совпадает с указанной проекцией. □
§ 3.4. Проекции и базисы
181
3.4.9. Замечание. Итак, ортонормированная система {еа}
в гильбертовом пространстве полна в точности тогда, когда для
всякого х выполнено равенство Парсеваля по этой системе. По¬
следнее свойство называют замкнутостью системы. Тем самым
замкнутость равносильна полноте. Это же равносильно тотально¬
сти системы, т. е. равенству {еа}-*- = 0. В общем случае ортонор¬
мированная система — базис в замыкании ее линейной оболочки.
Любая конечная или счетная последовательность векторов хп
дает ортонормированную последовательность с той же линейной
оболочкой с помощью стандартной процедуры ортогонализации
Грамма-Шмидта. Для этого при х\ ф 0 положим е\ — ®i/||a;i||,
возьмем в {хп} первый линейно независимый с х\ вектор х^2
и в двумерном пространстве, порожденном е\ и дд2, возьмем еди¬
ничный вектор е-2, ортогональный е\. Построение продолжается по
индукции: если векторы ei,...,en уже построены и их линейная
оболочка Еп не совпадает с линейной оболочкой {хп}, то возьмем
первый вектор адп+1, не попавший в Еп, и в линейном простран¬
стве, порожденном адп+1 и Еп, найдем единичный вектор en+i, ор¬
тогональный Еп. В итоге получится искомая ортонормированная
система. В сепарабельном пространстве описанная процедура поз¬
воляет легко получить ортонормированный базис.
3.4.10. Теорема. В каждом сепарабельном евклидовом про¬
странстве Е ф 0 существует конечный или счетный ортонор¬
мированный базис. При этом базис можно выбрать в линейной
оболочке произвольного всюду плотного счетного множества.
Доказательство. Возьмем всюду плотное счетное множество
{хп} и применим к нему процесс ортогонализации. Полученная ор¬
тонормированная последовательность {еп} — базис.
Действительно, для всякого вектора х и всякого е > 0 найдет¬
ся такой вектор хп, что \\х — хп\\ < е. По построению хп входит
в линейную оболочку векторов ei,...,ejv при некотором N ^ п.
Следовательно, ||ж — YliLi(xi ei)ei\\ ^ ||ж — хп\\ < е. Тогда при всех
k ^ N имеем ||ж - J2i=i(xi ei)ei\\ < \\х ~YliLi(x’ei)ei\\ < е, т.е. ряд
с общим членом (аде^е* сходится по норме к х. □
Из существования базиса вытекает следующий классический
результат об изоморфизме бесконечномерных сепарабельных гиль¬
бертовых пространств — теорема Рисса-Фишера. Под изоморфиз¬
мом здесь понимается существование линейной изометрии (назы¬
ваемой также унитарным изоморфизмом, см. §5.7).
182
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.4.11. Теорема. Всякое бесконечномерное сепарабельное
гильбертово пространство линейно изометрично простран¬
ству 12 над соответствующим полем,. Поэтому все бесконечно¬
мерные сепарабельные гильбертовы пространства над одним по¬
лем линейно изометричны между собой.
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис
сепарабельного гильбертова пространства Н. Формула
Jx = (хп)п=г, хп = (ж, е„)
задает линейное отображение в I2, причем (Jx, Jy) — (х,у). Кроме
того, J(H) — I2. Действительно, для всякого элемента из
пространства 12 ряд хпеп сходится по норме в Н, ибо
т+к
'У ^ хпеп
п=т
2
т+к
п=т
что дает фундаментальность последовательности частичных сумм.
Для суммы ж этого ряда имеем Jx — (xn)^L1. □
Отметим, что J сохраняет и скалярное произведение.
Несепарабельные гильбертовы пространства также имеют ор-
тонормированные базисы. В следующем параграфе приведен также
пример несепарабельного гильбертова пространства.
3.4.12. Теорема. Всякое ненулевое гильбертово простран¬
ство обладает ортонормированным базисом.
Доказательство. Пусть © — множество всех ортонормиро-
ванных систем в гильбертовом пространстве X, частично упоря¬
доченное по включению. Всякая цепь ©о С © имеет мажоранту,
в качестве которой можно взять объединение V всех векторов, вхо¬
дящих в семейства из ©о- Всякие два различных вектора ж и у
из V ортогональны, ибо ж £ Vi 6 ©о, у € V2 € ©о, причем ли¬
бо Vi С "\?2, либо V2 С Vi из-за линейной упорядоченности ©о-
По лемме Цорна в © есть максимальный элемент, т. е. ортонор-
мированное семейство {еа}, которое не является частью никакой
большей ортонормированной системы. Это означает, что нет нену¬
левых векторов, ортогональных всем еа. Из полноты X и теоре¬
мы 3.4.5 следует, что линейная оболочка {еа} плотна в X. Значит,
для всякого ж G X есть некоторый счетный набор {eQn}, замыка¬
ние линейной оболочки которого содержит ж. Из теоремы 3.4.10
очевидно, что тогда ж = Х^ЦЦж, eaJean. □
3.5. Примеры базисов
183
В несепарабельном неполном евклидовом пространстве может
и не быть ортонормированного базиса (см. пример в § 5.4 книги [7]).
В следующем параграфе приведены примеры ортонормированных
базисов. В бесконечномерном гильбертовом пространстве ортонор-
мированный базис не может быть базисом Гамеля, ибо последний
использует лишь конечные линейные комбинации.
Для общих сепарабельных банаховых пространств имеется по¬
нятие базиса Шаудера или топологического базиса. Так называется
линейно независимая последовательность {<дп} со следующим свой¬
ством: для каждого вектора х существует единственная последова¬
тельность коэффициентов {сДж)}, для которой х = сп(%)<Рп,
где ряд сходится по норме. Можно показать, что при этом функции
х н-» сп(х) автоматически непрерывны. Однако не все сепарабель¬
ные банаховы пространства обладают базисами Шаудера (правда,
в течение долгого времени не удавалось это выяснить; лишь в 70-х
годах XX века, через 40 лет после возникновения этой проблемы,
шведский математик П. Энфло построил первый такой пример).
Базисы Гамеля в бесконечномерных банаховых пространствах ни¬
когда не являются базисами Шаудера сразу по двум причинам: во-
первых, они несчетны, во-вторых, разложения по ним не сходятся
по норме (см. пример 4.1.7).
§ 3.5. Примеры базисов
Пусть //. — неотрицательная конечная борелевская мера на от¬
резке [а, Ъ\. Тогда множество многочленов всюду плотно в Т2(д).
Следовательно, процесс ортогонализации функций 1, ж, ж2,... при¬
водит к последовательности многочленов рп степени п, образую¬
щих базис в Г2(д). Для меры с конечным носителем эта после¬
довательность конечна. Выбирая различные отрезки и различные
меры, получаем множество ортогональных систем из полиномов.
Этот способ восходит к П.Л. Чебышёву. Например, в случае от¬
резка [—1,1] с мерой Лебега получаются многочлены Лежандра
Ln{x) = сп-^п{х2 — 1)п, Го = 1, где Сп — нормирующие постоянные.
Так как очевидно, что Ln — многочлен степени п, то в обосновании
нуждается лишь взаимная ортогональность полученных функций.
Она легко усматривается из формулы интегрирования по частям
и того факта, что при п > к производная порядка п от Lk равна
нулю. Рассмотрим менее очевидный пример.
184
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.5.1. Пример, (i) Пусть 7 — стандартная гауссовская мера
на И1 с плотностью ехр(—х2/2)/л/2п, В пространстве Ь2(7) орто-
нормированный базис образуют многочлены Чебышёва-Эрмита
Нп(х) =
(— ~'~)П х2 /2 dn Х212
Vri. dx-e ’
Яо(ж) '= 1.
Очевидным образом Нп — многочлен степени те, поэтому линей¬
ная оболочка {Нп} есть множество всех многочленов. Взаимная
ортогональность функций Нп проверяется по индукции. Для этого
сначала заметим, что функции Нп четны при четных те и нечетны
при нечетных. Поэтому Нп J_ Hn-i- Если же те > к + 2, то формула
интегрирования по частям дает
/.
+0° dn
,х2/2_
dxn
-х2/2 _^_е~х2/2 dx _
dxk
/+00
хе*2'2-
-ОО (
т— 1
dxn
-1
dxk
-/
+~ ,V2 у»-1
dxn~l
0—х2 /2
dk+1
dxk+1
Гх2/2 dx,
где оба интеграла в правой части равны нулю по предположению
индукции, ибо функция Нп-\ ортогональна в L2(7) многочленам
степени не выше те — 2. Наконец, при п = к — 2 в правой части
предыдущего равенства мы получаем интеграл по мере 7 от функ¬
ции вида cFn-i(x)[xFk(x) + Fk+i(x)}, где Fn(x) := е*2/2
При этом xFk{x) + Ffc+i(a:) — многочлен степени менее к + 1, ибо,
как легко видеть, старший член Fn(x) имеет вид (—1)пхп. Таким
образом, и в данном случае применимо предположение индукции.
Полнота этой системы будет проверена в гл. 6 с помощью преобра¬
зования Фурье. Здесь как раз неочевидно, что многочлены плотны
в L2(7). В задаче 3.8.42 дан пример конечной меры р на Ж1, для
которой класс всех многочленов входит в L2(p), но не плотен там.
Если вместо вероятностной гауссовской меры 7 взять ненорми¬
рованную меру ехр(—ж2) dx, то ортонормированным базисом в про¬
странстве Т2(ехр(—ж2) dx) оказывается другая система многочле¬
нов Чебышёва-Эрмита (получаемая из предыдущей линейной за¬
меной), описываемая формулой
Hn(t) = Но(х) = тг-1/*.
yn! dxn
§ 3.5. Примеры базисов
185
(и) Если {<дп} — ортонормированный базис в 1,2(д), где д —
некоторая мера, а мера и эквивалентна мере д и задана плотностью
в относительно /г, т. е. и = д ■ д, то функции фп := <-рп/\/!> образу¬
ют ортонормированный базис в L2{v). Действительно, мы имеем
/, д <5 L2{y) в точности тогда, когда f фд, дфд G L2(v). При этом
(/>9)l?(v) = (f^,9y/o)i?М- Поэтому (фп,Фк)ь» = {Тп,Рк)ь
Если / _L 'фп в Ь2(у) для всех п, то /уф _L ipn в Е2(д), откуда
/уф = 0 как элемент L2 (д). Значит, / = 0 как элемент L2 (i/).
(iii) Функции Эрмита (2л)~1^Нп(х) ехр(—ж2/4) образуют орто¬
нормированный базис в L2(IR1). Это следует из (i) и (и). Другие
функции Эрмита е~х /2Нп(х) также образуют ортонормированный
базис в L2(Hi).
Теперь мы приведем пример несепарабельного гильбертова про¬
странства, в котором молено явно указать базис.
3.5.2. Пример. Пусть Г — несчетное множество и £2(Г) — ли¬
нейное пространство всех таких вещественных функций ж на Г,
что Е76г 1ж(7)|2 < °°) т. е. множество точек 7 € Г с х(-у) ф 0 не
более чем счетно и сумма указанного ряда по таким точкам ко¬
нечна. Положим (х,у) := Х)7ег ж(7)у(7)- Ясно, что это превраща¬
ет /2(Г) в евклидово пространство, причем оно полно из-за полно¬
ты I2 (для всякой счетной последовательности элементов хп € £2(Г)
имеется общее счетное множество, вне которого все хп равны ну¬
лю). Функции е7 вида е7(/Д = 0 при уф 7 и е1(/у) — 1 образуют
несчетный ортонормированный базис в /2(Г). Поэтому /2(Г) несе¬
парабельно. Отметим, что существуют вероятностные меры д, для
которых L2 (д) несепарабельно (например, несчетная степень меры
Лебега на [0,1]).
Обратимся к очень важной тригонометрической системе.
3.5.3. Предложение. Тригонометрические функции
(2я)~1//2, л-1/2 cos(nx), л-1/2 sin(пх), где п Е IN,
образуют ортонормированный базис в вещественном простран¬
стве L2 [0,2л]. В комплексном случае ортонормированный базис
образуют функции (2л)-1/2 ехр(тж), п 6 Z.
Доказательство. Ортонормированность обеих систем прове¬
ряется непосредственно. Для проверки полноты тригонометриче¬
ской системы достаточно сослаться на известный из анализа факт
186
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
(он будет доказан независимо в конце параграфа): всякая 27г-перио-
дическая непрерывная функция равномерно приближается конеч¬
ными линейными комбинациями этих функций, поэтому их линей¬
ная оболочка всюду плотна и в L2[0,27т]. □
Предыдущий результат дает приближения в L2 любых функ¬
ций из L2 тригонометрическими многочленами. В этом смысле три¬
гонометрическая система ничем не отличается от любого другого
базиса. Однако она имеет значительную специфику с точки зрения
поточечной сходимости, а также в случае приближения функций
с дополнительными свойствами гладкости. Эти вопросы мы сейчас
кратко обсудим.
Прежде всего отметим, что для произвольного ортонормиро-
ванного базиса {еп} в L2(p) из сходимости сумм Sn — J2n=i хпеп
к ж в L2(p) следует существование такой подпоследовательно¬
сти {iVfc}, что 5jvfc(w) —> х(ш) при д-п.в. ш (вспомним теорему Рисса
из §1.6). Однако такая подпоследовательность может существенно
зависеть от функции х. Известно, что даже в случае отрезка [а, Ь\
с мерой Лебега существуют такие ортонормированные базисы {е„},
относительно которых некоторые функции из L2 [а, 6] имеют разло¬
жения, не сходящиеся ни в одной точке.
Случай тригонометрической системы оказался очень сложным.
Еще Н.Н. Лузиным в 1915 г. был поставлен вопрос о сходимо¬
сти почти всюду рядов Фурье по тригонометрической системе для
квадратично-интегрируемых функций на [0,27г], но даже для непре¬
рывных функций вопрос был открыт в течение полувека. Лишь
в 1966 г. Л. Карлесон получил утвердительный ответ для всех
функций из L2[0,2л]. Однако доказательство теоремы Карлесона
столь сложно, что оно не приводится даже в большинстве специаль¬
ных книг по рядам Фурье и близким вопросам (книги, в которых
приведено это доказательство, указаны в [6] и [7]). Представление
о сложности этой задачи дают и такие два факта: ее не смог ре¬
шить молодой Колмогоров, но он получил следующий выдающийся
результат. Для всякой функции / € XI/1 [0, 2к\ рассмотрим формаль¬
ный ряд Фурье
+оо
спехр(тж),
п=—оо
Числа Сп называются коэффициентами Фурье интегрируемой
функции /. В 1925 г. А.Н. Колмогоров построил пример такой
§ 3.5. Примеры базисов
187
функции / из Л1 [0, 2тт], что ее формальный ряд Фурье не сходится
ни в одной точке! Впоследствии, уже в 1970-х годах, С.В. Бочка¬
рев установил, что для всякой равномерно ограниченной бесконеч¬
ной ортонормированной последовательности {еп} в Ь2[0, 2-к] можно
найти функцию / € jC1[0,2tt], формальный ряд Фурье которой по
этой системе расходится на множестве положительной меры.
Таким образом, с поточечной сходимостью рядов Фурье функ¬
ций общего вида возникают значительные проблемы, причем даже
в случае положительных ответов (как, например, для тригономет¬
рических рядов Фурье квадратично-интегрируемых функций) об¬
основания весьма трудны. Это заставляет искать условия поточеч¬
ной сходимости при каких-то дополнительных условиях на функ¬
ции. Ниже доказан один из наиболее употребительных результатов
такого рода, дающий сходимость ряда Фурье в точках дифферен¬
цируемости функции. Сразу отметим, что одна лишь непрерыв¬
ность функции не гарантирует сходимость ее ряда Фурье всюду
(как и для общих функций из L2, теорема Карлесона дает здесь
только сходимость почти всюду). В гл. 4 мы увидим, что существу¬
ют 2-7г-периодические непрерывные функции, ряды Фурье которых
расходятся в некоторых точках. Для коэффициентов Фурье про¬
извольной интегрируемой функции верен лишь следующий факт:
теорема Римана-Лебега.
3.5.4. Теорема. Пгустъ даны функция / G С1 (Ш1) и числа
а„ -> оо. Тогда
/+оо /“+00
f(t) sin ant dt = lim / f(t) cos antdt = 0.
-00 П—КХ) J_QO
В частности, коэффициенты Фурье всякой интегрируемой функ¬
ции стремятся к нулю.
Доказательство. Если / = 7[сд), то равенство проверяется
явно. Оно остается в силе и для конечных линейных комбинаций
индикаторов промежутков. Наконец, что для всякого е > 0 найдет¬
ся такая линейная комбинация индикаторов д, что интеграл функ¬
ции [/ — д\ меньше е. Тогда интеграл от f(t) sinani отличается от
интеграла g{t) sin ant меньше чем на е, а последний по абсолютной
величине меньше е при всех достаточно больших п. Для cos ant
обоснование аналогично. □
При этом какой-либо определенной скорости стремления к ну¬
лю здесь нет.
188
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Далее в этом параграфе при рассмотрении интегрируемых фун¬
кций на отрезке [0,2л] будем переопределять их в 2тт равенством
/(2л) — f(0) и периодически продолжать на всю прямую. Для ис¬
следования сходимости тригонометрических рядов Фурье полезно
следующее представление частных сумм, получаемое с помощью
тождества
+ cos г + cos 2z Н—
и элементарных преобразований:
+ cos kz —
sin ДДД
2 sin §
Sn(x) : = ^ cos kx + bk sin kx\
k=1
r2ir
1 f2n . sin
— — / /(ж-ft) Д-
7Г Jo ' ' 2 sin i
t
dt.
(3.5.1)
Действительно, из равенства
cos kx cos kt + sin kx sin kt — cos k(t — x)
находим
Sn(x) = - I
К J 0
г27Г
П
f(t) x + 2^cosk(t-x)
k= 1
dt,
что в силу указанного выше тождества дает представление
5„(ж) =
тг ./о
= 1/'
2тг
№
2ж—х
sm
2нЧ 1
(*-*)
2 sin ДД
dt —
sin ^hlu ,
Из-за 2л-периодичности подынтегральной функции получаем нуж¬
ное равенство. Если подставить / = 1, то ап — Ьп = 0 при n ^ 1
и ао = 2, поэтому придем к полезному тождеству
I
2тг sin ■—Д-t
2 sin |
dt = 1.
Функция
Dn(z)
1 sin
2n+l.
7Г 2 sin |
3.5. Примеры базисов
189
называется ядром Дирихле. Формула (3.5.1) лежит в основе раз¬
личных достаточных условий поточечной сходимости рядов Фурье.
С помощью 27г-периодичности / и Dn и четности Dn получаем
г 2п
/ f(x +1)
J 7Г
sin^t
sin I
Г°
sin 2n„+1t
= / fix
+1) . 2
dt =
J — 7Г
smf
Г ,
sin 2%+1t
= / fix
-t)-. * ■■
dt.
Jo
smf
Это дает представление
1 z*71" sin:
Sn{x) = — [f(.X + t) + f(x~t)} 7
2л J о si
2n+l g
dt.
sin;
(3.5.2)
Сходимость в точке дается следующим условием Дини.
3.5.5. Теорема. Пусть функция / имеет период 2к и инте¬
грируема на отрезке [0,2л], х — фиксированная точка, причем
функция ф: t н-> t_1[/(cc + t) — 2f(x) + fix — t)] интегрируема
на [0, л]. Тогда lim Sn(x) — f(x). Например, это верно, если функ-
п—юо
ция t t—1 [/(ж4-1) — fix)] интегрируема на [—1,1], в частности,
если / дифференцируема в точке х.
Доказательство. Равенство (3.5.2) позволяет получить сле¬
дующее представление:
Sn(x) - f[x) -
2л
1
[fix +1)
фф)-
fix - t)
. 2 ti H- 1
, 41sin^±i t
2/ 0*0] —<7— dt
sin
2л j0 sin
sm ■
tdt.
По теореме Римана-Лебега правая часть стремится к нулю при
п —> оо ввиду интегрируемости функции ф и ограниченности функ¬
ции t/ sin(i/2) на [0, л]. □
Условие Дини выполнено, если |fix + t) — fix) | ^ C\t|“ при
некотором а > 0 или хотя бы |/(ж + t) — fix) \ ^ C|l + In |t|| ".
В случае всюду дифференцируемой функции / получаем пото¬
чечную сходимость ряда Фурье. Если же / непрерывно дифферен¬
цируема, то верно больше.
190
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.5.6. Предложение. Пусть / € С1{0,2л]; /(0) = f(2ir). То¬
гда тригонометрический ряд Фурье функции / сходится равно¬
мерно и абсолютно, причем
Доказательство. Указанная оценка следует из формулы ин¬
тегрирования по частям применительно к интегралу от f'(t)e~int
по [0,2тх]. Поскольку /' £ L2 [0,2-тг], то для коэффициентов Фурье
Cn(f) функции / имеем J2n |сп(//)|2 < оо. Поэтому вместе с уста¬
новленной оценкой и сходимостью ряда из п~2 это дает абсолютную
и равномерную сходимость ряда Фурье для /. □
Условие /(0) = /(27г) важно: например, если /(ж) = ж на [0,2л],
то М/)| = ?г-1.
Из доказательства очевидно, что это утверждение верно для
всех таких абсолютно непрерывных функций /, что f £ L2[0,2л]
и /(0) = /(2л). Например, оно верно для липшицевых 2л-пери-
одических функций. Это дает равномерные приближения таких
функций тригонометрическими полиномами. Так как непрерыв¬
ные функции равномерно приближаются липшицевыми (например,
кусочно-линейными), то приходим к теореме Вейерштрасса о рав¬
номерных приближениях непрерывных 2л-периодических функций
линейными комбинациями функций emt.
§ 3.6. Пространства I/ и пространства Соболева
В этом параграфе мы еще расширим наш список наиболее упо¬
требительных банаховых пространств функционального анализа.
Эти пространства играют важную роль в теории. Кроме того, они
используются в приложениях для построения других пространств
(либо как «блоки» для построения более сложных объектов, либо
как образцы методов построения). Весьма характерным примером
являются пространства С.Л. Соболева, вводимые ниже.
Пусть (Г/Л., ц) — пространство с некоторой неотрицательной
мерой ц (возможно, бесконечной), 1 < р < оо и ЬДд) — простран¬
ство классов эквивалентности /i-измеримых функций (веществен¬
ных или комплексных в зависимости от поля скаляров), интегри¬
руемых в степени р. Это пространство уже рассматривалось выше
в гл. 1. Сложение элементов и умножение на скаляр задаются с по¬
мощью представителей классов эквивалентности (сумма классов
§ 3.6. Пространства Lp и пространства Соболева
191
эквивалентности с представителями fug задается представите¬
лем / + д). Пространство Lp (р) наделяется нормой
где под интегралом фигурирует произвольный представитель клас¬
са эквивалентности /, обозначаемый тем же символом. Тот факт,
что получено линейное пространство с нормой, выражается нера¬
венством Минковского (см. теорему 1.9.6). Его полнота уже извест¬
на из теоремы 2.2.3. Таким образом, имеет место следующий факт.
3.6.1. Теорема. Пространство LP(p), где 1 ^ р < оо, полно
относительно указанной нормы, т. е. банахово.
3.6.2. Пример. Пусть 1 р < оо. Пространство 1Р беско¬
нечных вещественных последовательностей х = (xi,X2, • ■ ■, хп,...),
для которых \хп\р < оо, наделенное линейной структурой
Это следует из предыдущей теоремы, ибо 1Р есть 1Р(р), где р —
мера на IN , относительно которой каждая точка имеет меру 1 (см.
пример 1.7.5). Нетрудно и непосредственно проверить полноту 1Р.
Особым образом вводится пространство L°°(p) классов эквива¬
лентности всех ограниченных д-измеримых функций на простран¬
стве (П, р), упоминавшееся в § 1.9. Для / е L°°(p) полагают
где inf берется по всем представителям класса эквивалентности /.
Эта же величина есть inf{M ^ 0: |/(ж)| ^ М п.в.}, где взят какой-
либо представитель класса эквивалентности. Нетрудно видеть, что
получена норма. Необходимость рассмотрения классов эквивалент¬
ности связана с тем, что, как и для интегральной нормы, норма
Ц/Цоо может быть нулевой для индивидуальной функции, не всюду
равной нулю (а лишь почти всюду), но переход к классам эквива¬
лентности это исправляет.
(Х1,Х2, ■ ■ ■) + (УъУ2,- ••) = (xi +У1,Х2 + У2,- ■ ■),
\{xi,x2,...) = (Axi, Хх2,...)
банахово с нормой
II/IIl°°(m) := ll/lloo := inf sup |/(ж)|,
/ x€d
192
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.6.3. Теорема. Пространство L°°(fi) полно, т. е. банахово.
Доказательство. Предположим, что дана фундаментальная
по норме || • ||оо последовательность {/„}. Пусть /п — какие-либо
представители классов эквивалентности. Тогда для каждой пары
индексов п и к найдется такое множество Еп^ меры нуль, что
1/пМ - ДМ| ^ ||/п - ЛИОО ДЛЯ всех а; £ Еп'к. При этом мно¬
жество Е = Un к Еп,к имеет меру нуль. На множестве По ;= П\.Е
полной меры указанные неравенства выполнены сразу для всех п
и к, что означает равномерную сходимость {/п} на По. Полученная
функция является пределом {/„} в □
3.6.4. Предложение. Пусть / £ £p(IRn), где р 6 [1,+оо).
Пусть функция g из класса СдДИ”) имеет инт.еграл 1 по про¬
странству. Положим ge(x) := e~ng(x/e) при е > 0. Тогда f * де
входит в C“(IRn) П Lp(IRn) и f * ge —у f в Lp(IRn) при е —* 6.
Следовательно, класс Co°(lRn) всюду плотен в 1Д(1ЫП).
Доказательство. Мы уже знаем, что f * д£ £ (след¬
ствие 1.15.6), причем || f * p£\\lp ^ \\f\\bp (оценка (1.15.10) с учетом
того, что д£ —- вероятностная плотность), но надо проверить сходи¬
мость в ЬДШ”). Для / € Co(lRn) функции f *дЕ имеют равномерно
ограниченные носители и сходятся к / равномерно, что дает и схо¬
димость в IT. В общем случае для фиксированного 5 > 0 выберем
функцию р £ Co(IR") так, что ||/ — р\\ьг> ^ 5. Затем найдем такое
£о > 0, что \\р * д£ — ip\\LP ^ 6 при е < sq. Для таких е имеем
II/ *ве~ f\\bP ^ ||f * ве~Р* Qe\\LP + \W * ве ~ <p\\bP + \\Т ~ f\\bP
^ И1/5 ~ /ЦтрЦ^еЦт1 + 25 ^ 35,
что завершает доказательство первого утверждения. Для доказа¬
тельства второго заметим, что f * де имеет ограниченный носитель
для / с ограниченным носителем. □
3.6.5. Замечание. Пусть у, — неотрицательная борелевская
мера на IRn, конечная на шарах (например, мера Лебега). Тогда
пространства Ьр(р) при р £ [1,+оо) сепарабельны. Из доказатель¬
ства следствия 1.9.11 видно, что в них плотно множество линейных
комбинаций с рациональными коэффициентами индикаторов кубов
с ребрами, параллельными координатным осям. Оставляя только
кубы с ребрами рациональной длины и центрами в точках, имею¬
щих рациональные координаты, мы получим счетное множество,
которое по-прежнему плотно, что легко проверить.
§ 3.6. Пространства 27 и пространства Соболева
193
Пространства L°°[a,b] и L°°(lRn) несепарабельны. Например,
несепарабельность L°°[a,b} ясна из того, что при t =2 s расстояние
между индикаторами [а, 2] и [о, s] в L°° равно 1.
Из приведенного рассуждения видно, что для сепарабельности
пространства 27(д) при р < оо достаточно, чтобы мера р, была
задана на сг-алгебре Л, порождаемой счетным набором множеств.
Надо иметь в виду, что бывают вероятностные меры р, для кото¬
рых все пространства Lp(p) несепарабельны (например, произве¬
дение континуума мер Лебега на [0,1]; см. § 3.5 в [6] о бесконечных
произведениях мер).
Перейдем к пространствам С.Л. Соболева.
Пусть П — открытое множество в IRn, р е [1, +эо), к € IN.
3.6.6. Определение. Пусть / G 27(П). Функция д G 27(П)
называется Соболевской или обобщенной производной / по пере¬
менной Х{, если выполнено тождество
Функция g обозначается символом дXj f. Если существуют Со¬
болевские производные дХ1 /,..., dXnf, то Соболевским градиентом
называется отображение V/ (<ЭЖ1/,..., dXnf): П —»ГО”.
Отметим, что если Соболевская производная dXif существует,
то она определяется однозначно как элемент 27 (П), ибо однознач¬
но определены интегралы от ее произведений с функциями клас¬
са С0°°(П).
3.6.7. Пример, (i) Если функция / непрерывно дифференци¬
руема в П и обычные частные производные dXif входят в класс
27(0), то они служат Соболевскими производными. Это следует из
формулы интегрирования по частям.
(и) Пусть f \x) = |ж| на интервале О = (—1,1). Тогда функция
g{x) = sgna?, где sgnx — знак х и д(0) = 0, является Соболевской
производной / во всех 27(2/). Это следует из формулы интегриро¬
вания по частям для абсолютно непрерывных функций, но легко
проверяется и непосредственно, поскольку выполнено равенство
для всех гладких р с носителем в (—1,1), а для (—1,0) верна ана¬
логичная формула.
194
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
(Ш) Из того что функция / почти всюду имеет интегрируемую
производную, не следует, что она имеет Соболевскую производную.
Например, известная функция Кантора (см. предложение 1.5.14)
почти всюду имеет нулевую производную, но не имеет соболевской
производной, ибо ниже будет показано, что функция с соболевской
производной с точностью до постоянной есть неопределенный ин¬
теграл от этой производной.
В гл. 6 мы увидим, что Соболевские производные представляют
собой важный частный случай производных в смысле обобщенных
функций.
Соболевская производная высгиего порядка dXi ■ ■ ■ dxim f опре¬
деляется по индукции как Соболевская производная по переменной
хп от функции дхи ■ ■ ■ dXimf. Из определения следует тождество
/ f(x)dXil ■ ■ • dXimtp(x) dx = (-l)m [ <p(x)dXii ■ ■ ■ dXimf(x) dx.
J n Jfi
Это тождество можно принять за определение соболевской произ¬
водной dXii ■■■dXimf.
Отметим, что соболевская производная dXi ■ ■ ■ dXim f является
также соболевской производной dXj • • ■ dXjm f для всякой переста¬
новки j\,, jrn индексов i\,..., гт (в отличие от обычных произ¬
водных). В частности, dXidXjf = dXj дХг/. Это следует из того, что
такое равенство верно для гладких функций <д.
3.6.8. Определение. Обозначим через Wp,k(0.) класс всех та¬
ких функций / 6 Lp(Cl), что для всякого т ^ к и каждого муль¬
тииндекса где ij € {1,...,п}, соболевская производная
дх^ ■ ■ ■ dXim/ есть функция из LP(Q). Класс Wp-k{И) (простран¬
ство Соболева) наделяется соболевской нормой
или-11/ь.+ Е Е ,.
Как и в случае пространств Lp(fl), почти всюду равные функ¬
ции считаются одним и тем же элементом, т. е. Wp,k(0) есть про¬
странство классов эквивалентности.
Можно также сказать, что класс Wp,k(fl) есть подпространство
в 1^(0), состоящее из элементов с конечной нормой || • ||р^. Ясно,
что Wp>fc(]Rra) — линейное подпространство в LP(fi).
§ 3.6. Пространства Lp и пространства Соболева
195
3.6.9. Пример, (i) Функция / входит в класс И/1,1 (IR1) в точ¬
ности тогда, когда она интегрируема и имеет абсолютно непрерыв¬
ную версию с интегрируемой на И1 производной.
(н) Функция / входит в класс W2’1 ((0,1)) в точности тогда,
когда имеет версию, которая абсолютно непрерывна на [0,1] и об¬
ладает производной (существующей почти всюду) из L2[0,1].
Доказательство, (i) Если функция / интегрируема и абсо¬
лютно непрерывна, причем f € L1(1R1), то формула интегрирова¬
ния по частям для абсолютно непрерывных функций показывает,
что f служит соболевской производной. Обратно, пусть / имеет
Соболевскую производную д € L1(H1). Положим
/о(ж) / g(t) dt.
J —со
Для всякой функции ip € СдДМ1) имеем
/+00 r+оо г+оо
dt = — I p(t)g(t) dt= dt.
-oo J—oo J—со
Из этого легко вывести, что функция / — /о почти всюду равна
некоторой постоянной С (см. предложение б.3.3 ниже). Так как /
интегрируема и /о(ж) —> 0 при х —> —оо, то эта постоянная равна
нулю (иначе |/(ж)| > С/2 почти всюду на некотором луче).
(ii) Если / абсолютно непрерывна на [0,1] и f € L2[0,1], то из
определения очевидно, что / € РЕ2,1 ((0,1)).
Обратно, если / € ТЕ2,1 ((0,1)), то из рассуждений в (i) видно,
что / имеет версию с указанными свойствами, причем эта версия
лишь постоянной отличается от неопределенного интеграла от со¬
болевской производной / (в отличие от предыдущего случая в опре¬
делении /о интеграл берется по [0, ж]). □
Как мы сейчас увидим, пространства Соболева — банаховы про¬
странства.
3.6.10. Теорема. Пространство Соболева Wp’k(Cl) полно от¬
носительно указанной нормы || • |L fc.
Доказательство. Пусть последовательность {/Д фундамен¬
тальна по норме || • Цр^. Тогда она имеет предел / в ТР(П) вви¬
ду полноты этого пространства, а все частные производные вида
дхч • • • dXimfj, где т С к, имеют пределы дХч ■ ■ ■ dXimf в ЬР(П).
196
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Проверим, что получены Соболевские частные производные со¬
ответствующего порядка для /. Для всякого <р € С§°(П) и всех
индексов j мы имеем
[ Л (я-)dXi ■ ■ ■ дх 4>{x) dx = (-l)m / ip(x)dXi ■ ■ ■ dx fj(x) dx.
J n m
При j —> oo в пределе получаем такое же равенство для функции /
вместо fj. □
3.6.11. Лемма. Пусть / Е Wp,k(U) и ( Е С£°(П). Тогда име¬
ем С/ € Wv,k{Tt), причем соболевские частные производные (f до
порядка к вычисляются формальным применением правила Лейб¬
ница. Например, dXi(Cf) =(dXif + fdXi(.
Доказательство. При к = 1 имеем (dxJ+fdXi( е Lp(f2). По¬
скольку для всех ip Е Со°(П) интеграл от fdXi((ip) равен интегралу
от —C,pdXif по определению dXif, то интеграл от С fdXi<fi равен инте¬
гралу от — v{(,dxJ+fdXiQ. Это доказывает утверждение при к — 1.
По индукции получаем наше утверждение для всех к Е ЕМ. □
Следующий результат дает характеризацию irp,fe(IRn) через по¬
полнение по соболевской норме.
3.6.12. Теорема. Пространство совпадает с попол¬
нением Со°(Ш,п) по соболевской норме || • \\р^.
Доказательство. Ввиду полноты FTp,fc(IRn) упомянутое по¬
полнение входит в VTp'fe(IRn). Покажем, что всякая функция / из
Wp,k(JRn) приближается функциями класса Со°(Ш”) по соответ¬
ствующей соболевской норме. Сначала заметим, что / приближает¬
ся в Wp,fc(IRn) функциями с ограниченными носителями. Для этого
возьмем последовательность гладких функций £Дж) = ((x/j), где
С € Со°(И"), 0 < С ^ 1, С(ж) = 1 ПРИ М < 1, С0*0 = 0 при |ж| ^ 2.
Тогда по лемме ф/ G Vrp,fc(IRn), а производные вычисляются по
правилу Лейбница. При этом при j —*• оо имеет место сходимость
dXil • • ■ dXim((jf) dXil ■ ■ ■ dXimf в Тр(Ш,'г),
что следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и того
факта, что (Дж) = 1 и dXiQ(x) = 0 при |ж| ^ j. Например, в равен¬
стве
dMf) = @Xicj)f + cjdXif
первое слагаемое стремится к нулю, а второе — к dXif.
§ 3.6. Пространства Lp и пространства Соболева
197
В случае, когда / имеет носитель в шаре радиуса R с цен¬
тром в нуле, в качестве приближений берем свертки /7 := / * ipj,
где tpj(x) = jd<p(jx) и ip — гладкая вероятностная плотность на Ш”
с носителем в единичном шаре (см. предложение 3.6.4). Ясно, что
fj € С'о°(Ш,?г). Заметим, что dXifj = dXif *<pj- Для этого достаточно
проверить, что функции ipdXifj и xpdXif*ipj имеют равные интегра¬
лы для всякой функции ф £ Cg°(IRn). По определению обобщенной
производной для каждого фиксированного х имеем
/ дуг/(у)п(х -y)dy = - / f{y)dyitpj(x - у) dy.
J Ж71 JJRn
Умножив обе части этого равенства на ф(х) и проинтегрировав
по х, затем использовав теорему Фубини и равенства
dyiPj(x - у) = -dXiipj{x - у),
получаем следующие соотношения:
/ dxif * <Р](х)ф(х) dx = — / f(y)dViipj(x — у)ф{х) dydx —
J]Rn Jm.nJm.n
= / / f(y)^xilPj(x — у)ф(х) dx dy =
JtRnJmn
= - / f{y)vj(x - У)дХ{ф(х) dx dy =
JjRnJTRn
f *<Pj(x)dx^(x)dx= / dXi(f * щ)(х)ф(х) dx.
JEn J]Rn
По индукции получаем dXii ■ ■ ■ dXim (/ * щ) = dXii ■ ■ ■ dXimf * щ для
всех m ф к я ij ф п. Ввиду предложения 3.6.4 это дает сходимость
/ * ipj к / по соболевской норме. □
Как мы видели, при п = 1 всякая функция из класса Соболева
WPil имеет непрерывную модификацию. При п > 1 это уже не так.
3.6.13. Пример, (i) Функция f(x) = <^(ж)1п|ж| на И2, где
р € Cq°(IR2) имеет носитель в единичном круге, р ^ 0 и ip — 1
в окрестности нуля, входит в WP>1{ГО.2) при 1 < р < 2, но не имеет
ограниченной модификации. Действительно, / £ 17 (ГО2) для всех
степеней р < оо. Функции
dXif(x) = Lp(x)xi\x\~2 + dXi<p(x) In |ж|
198
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
определены вне нуля и входят в 17(IR2) при р < 2. С помощью
формулы интегрирования по частям непосредственно проверяется,
что они служат обобщенными частными производными /.
(и) Аналогично /(ж) = ip(x) ln(-In |ж|) входит в VF2>1(IR2).
(iii) Функция /(ж) = (/з(ж)|ж|-1 на Ш3, где ip G С^ДШ,3) и ip — 1
в окрестности нуля, входит в H^P>1(IR3) при 1 ^ р < 3/2, но не
имеет ограниченной модификации. Это проверяется аналогично.
(iv) С помощью указанных функций / строится функция вида
д(х) — /(ж — Xj), где {xj} — всюду плотное множество.
Эта функция входит в соответствующее И^’-^ИГ1), но не имеет мо¬
дификации, ограниченной хотя бы в некоторой окрестности.
§ 3.7. Выпуклые множества
Здесь кратко обсуждаются выпуклые множества, играющие
важную роль в функциональном анализе и его приложениях. Эта
тема продолжена в § 4.4, а в § 7.5 доказан один из важнейших ре¬
зультатов нелинейного анализа — теорема Шаудера о неподвижной
точке непрерывного отображения выпуклого компакта.
3.7.1. Определение. Множество V в линейном простран¬
стве называется выпуклым, если для всяких элементов х, у € V
и всякого числа А G [0,1] имеем Хх + (1 — А)у G V.
Множество V называется уравновешенным, если Xv € V для
всех v € V и всех скаляров X с |А| ^ 1.
Множество точек вида Аж+(1 —А)у, где А пробегает [0,1], назы¬
вается отрезком с концами ж и у. Таким образом, выпуклое мно¬
жество содержит все отрезки с концами из этого множества.
Для всякого множества V в линейном пространстве X имеет¬
ся минимальное выпуклое множество, содержащее V (пересечение
всех выпуклых множеств, содержащих V). Это множество называ¬
ется выпуклой оболочкой V и обозначается через conv V.
Нетрудно проверить, что выпуклая оболочка V состоит из всех
сумм вида
tiVi Н Ь tnvn, гдеп eJN, Vi е V, U G [0,1], h 4 b tn = 1.
В самом деле, с одной стороны, множество таких сумм выпукло,
для двух таких сумм и = Ym=i ^iVi и v> = 1 Av'i Для всякого
А € (0,1) вектор Ап + (1 - А)и' является линейной комбинацией
векторов Vi, v[ с неотрицательными коэффициентами Xti, (1 — A)i(,
§3.7. Выпуклые множества
199
сумма которых равна 1. С другой стороны, всякая такая сумма
входит в выпуклую оболочку У. Это проверяется индукцией по п.
При п = 2 это верно по определению. Если для некоторого п ^ 2
сказанное верно, то для п + 1 при tn+\ < 1 мы можем записать
t\v 1 Н h tn+ivn+1 в виде
tiV\ -f • • • + tn+\Vn+i = (1 — £ra+l)[sH;l + • • • + Snvn] + tn-i-lVn+l)
где Si := £,;/( 1 — tn+i). Тогда si + • • • + sn — 1. Поэтому точка
и := s\V\ + • • ■ + snvn входит в выпуклую оболочку У по предпо¬
ложению индукции. Значит, туда входит и точка и, лежащая на
отрезке, соединяющем и и wn+i-
Отметим, что для образования выпуклой оболочки недостаточ¬
но взять все отрезки с концами в точках данного множества (на¬
пример, в случае трех вершин треугольника это даст не весь тре¬
угольник, а лишь его границу).
Пересечение всех выпуклых уравновешенных множеств, содер¬
жащих У, называется уравновешенной выпуклой оболочкой У и обо¬
значается через absconv У. Она состоит (задача 3.8.32) из всех сумм
вида Ya=i xiVi, где п € IN, тд е V и £”=i |Л*| < 1.
Для множества У в нормированном пространстве пересечение
всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих У, называется
замкнутой выпуклой оболочкой V, а пересечение всех замкнутых
уравновешенных выпуклых множеств, содержащих У, называется
замкнутой уравновешенной выпуклой оболочкой У, Эти множества
обозначаются через conv У и absconv У соответственно.
В § 4.4 показано, что замкнутое выпуклое множество в норми¬
рованном пространстве есть пересечение полупространств.
3.7.2. Предложение. Замкнутая выпуклая оболочка V равна
замыканию выпуклой оболочки V, а замкнутая уравновешенная
выпуклая оболочка V равна замыканию уравновешенной выпуклой
оболочки У.
Доказательство. Нам достаточно проверить выпуклость за¬
мыкания выпуклой оболочки У. Если х и у входят в замыкание
conv У, то х = lim хп, у — lim уп, где хп,уп G conv У. Тогда для
п—>00 71—КХ)
всякого t € [0,1] имеем tx + (1 — t)y — lim txn + (1 — t)yn, где
П—+ОС
txn + (1 — t)yn 6 conv У. Случай замкнутой абсолютно выпуклой
оболочки аналогичен. □
При решении многих задач оптимизации полезен следующий
любопытный факт.
200
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.7.3. Теорема. Гильбертово пространство имеет следую¬
щее свойство Банаха-Сакса: каждая ограниченная последователь¬
ность векторов Vi содержит такую подпоследовательность {vin},
что средние арифметические (% Н Ь г^п)/п сходятся по норме.
Доказательство. Так как замкнутая линейная оболочка {vn}
сепарабельна, то можно иметь дело с сепарабельным простран¬
ством и считать, что vn — (щпд, г>П)г, ■ ■ .) € I2. При фиксированном к
последовательность чисел vn^ ограничена. Поэтому можно выде¬
лить подпоследовательность {гп}, для которой каждая координата
vin,k при та —> оо имеет предел с& (находя вложенные подпоследо¬
вательности для к — 1,2,...). Заметим, что v — (сД € I2, ибо
т т
4 < sup Е 4,к < м := sup 1КЦ2
n fc=i
для всех т. Можно считать, что in — та. Кроме того, можно счи¬
тать, что v — 0, перейдя к разностям vn — v. Тогда lim vn k = 0
п—юо ’
для фиксированного к. Из этого следует, что lim (vn,y) = 0 для
п—юо
каждого фиксированного вектора у G I2. Действительно, это верно
для векторов вида у = е&, где {еД — стандартный базис в I2. Зна¬
чит, это верно для всех векторов у с конечным числом ненулевых
координат. Для произвольного у при всяком е > 0 можно найти
вектор уо с конечным числом ненулевых координат, для которого
у = yQ -\- z и ||z|| «С е. Так как верно неравенство
|(«п>у)| ^ |(«,Уо)| + |(«r»*)f < \{v,y0)\ + М1/2е,
то при всех достаточно больших п получаем \{vn,y)\ ^ е + М1/2е,
что и доказывает сказанное.
Положим п\ — 1. Так как (vni,vn) —> 0, то найдется таг > п\
с |(uni,vn2)| ^ 1. Если уже выбраны номера п\ < пг < • • • < щ, то
мы находим такой номер n^.+i > п^. что выполнены неравенства
|(«в^,«п»,+1).|к~г, j = 1,... ,к.
Это возможно ввиду сходимости скалярных произведений (у, vn)
к нулю при каждом фиксированном у. Поэтому
Iku + '-' + UnJ2 ^ кМ + 2 • 1 + Ь 2(fc — 1)(А: — I)-1 ^ М + 2
к2 ^ к2 ^ к ’
что дает сходимость средних арифметических по норме. □
3.7. Выпуклые множества
201
Применим эту теорему для построения ближайшей точки из
выпуклого множества.
3.7.4. Следствие. Пусть V — непустое замкнутое выпуклое
множество в гильбертовом пространстве Н. Для всякой точки
х £ Н имеется ближайшая к х точка Ру (ж) £ V, т. е.
|| Ру (ж) — ж || = min{||y — ж ||: у £ У}.
Кроме того, такая точка единственна.
Доказательство. Если ж £ У, то положим Ру (ж) = ж. Если
х $ V, то найдется последовательность точек хп € У, для которых
5п ■— ||жп - ж|| —> 5 := dist (ж, У) = inf{11у — ж||: у £ У}.
Ввиду доказанной выше теоремы, перейдя к подпоследовательно¬
сти, можно считать, что векторы sn = (х\ Л Ьжп)/п сходятся по
норме к некоторому вектору s £ X. Тогда s £ У ввиду выпуклости
и замкнутости У. При этом
||«п - ж||=п_1||(ж1 - ж) Н 1- (жп - ж)|Кп_1(^1 -| 1- 5п) -> 5,
ибо 5п —у 5. Поэтому ||s — ж|| ^ 6. Так как s £ У, то ||s — ж|| ^ 6,
откуда ||s — ж|| = 5. Положим Ру(ж) := s. Проверим единственность
решения. Если s' £ У, s' Ф s и ||У — ж|| = ||s—ж||, то из рассмотрения
равнобедренного треугольника с вершинами в точках ж, s, s' в дву¬
мерной плоскости получаем, что расстояние от точки s" — (s+s')/2
до ж меньше ||s — ж||, что невозможно ввиду включения s” £ У. □
Точка Ру (ж) называется метрической проекцией ж на У. Су¬
ществуют и другие пространства (например, LP с 1 < р < оо),
для которых верны предыдущая теорема и ее следствие. Однако
для пространства С[0,1] все эти утверждения теряют силу (зада¬
ча 3.8.34). Для пространства К2 с нормой ||ж|| = max(|xi|, |ж21)
теорема верна и верно утверждение о существовании ближайшего
элемента из следствия, однако утверждение о единственности нару¬
шается. Например, все точки отрезка [—1,1] первой координатной
прямой удалены на расстояние 1 от точки (0,1).
3.7.5. Предложение. Выпуклая оболочка и выпуклая урав¬
новешенная оболочка вполне ограниченного множества в норми¬
рованном пространстве вполне ограничены. Замкнутая выпуклая
оболочка и замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка компак¬
та в банаховом пространстве компактны.
202
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
Доказательство. Пусть Xi,... ,хп — е-сеть множества V. То¬
гда выпуклая оболочка S конечного множества {ад,..., хп} явля¬
ется е-сетью выпуклой оболочки V множества V. Действительно,
для всякого х <Е V найдутся такие векторы щ,...,гд 6 V и точ¬
ки <Е [0,1], что J2j=i tj = I а х — J2j=i bvj- Существуют
точки Xi-, для которых \\xij — VjII < е. Тогда г = Ylj=i tj%i3 G S
и ||ж — Д| < е. Множество S в конечномерном пространстве ограни¬
чено, значит, имеет конечную е-сеть, которая будет 2е-сетью для V.
Случай выпуклой уравновешенной оболочки аналогичен. Второе
утверждение следует из компактности замкнутого вполне ограни¬
ченного множества в банаховом пространстве. □
Надо иметь в виду, что выпуклая оболочка компакта в беско¬
нечномерном пространстве не всегда компактна (задача 3.8.33).
3.7.6. Предложение. Пусть К — компакт в банаховом про¬
странстве X. Тогда К содержится в замкнутой выпуклой обо¬
лочке некоторой последовательности, сходящейся к нулю.
Доказательство. Для каждого п найдем для К конечную
4-п-2_сеть Кп С К. Множество U^Li Кп плотно в К. Положим
Si := 2К\. Затем при п > 1 выберем конечные множества Sn в X
следующим образом: для каждого v € Кп найдем элемент и е Кп-1
с ||н — «|| ^ 4-тг и образуем элемент х := 2n(v — и) € X. Множе¬
ство Sn, составленное из так образованных элементов, имеет мощ¬
ность, не превосходящую мощности Кп. Так как \\2n(v — u)\\ ^ 2-п,
то последовательность {жп}, полученная поочередной нумерацией
точек из Si, S2, ■ ■сходится по норме к нулю. Заметим, что каж¬
дый элемент v € Кп имеет вид v — 2_1ац1 Н \-2~nXin и потому ле¬
жит в уравновешенной выпуклой оболочке {ж,;} = (J^=i &п- Значит,
U“=1 Кп входит в замкнутую выпуклую оболочку {хп} U {—хп}.
Остается вспомнить, что К есть замыкание U^Li Кп. □
Таким образом, компакты — это в точности замкнутые подмно¬
жества замкнутых выпуклых оболочек последовательностей, стре¬
мящихся к нулю. Задача 3.8.33 дает простое явное описание таких
замкнутых выпуклых оболочек.
Во многих задачах, связанных с выпуклыми множествами, важ¬
ную роль играют крайние точки. Точка х множества М в линей¬
ном пространстве называется крайней, если она не является вну¬
тренней точкой никакого отрезка с концами в М, т. е. равенство
§ 3.8. Задачи
203
х = tm\ + (1 - t)rri2, где t € (0,1) и mi, m2 € M, возможно лишь
при mi = m2 = х. Согласно теореме Крейна-Мильмана (см., на¬
пример, [7, §8.6(iv)]), выпуклые компакты являются замкнутыми
выпуклыми оболочками своих крайних точек.
3.8.1? Доказать, что замыкание линейного подпространства норми¬
рованного пространства является линейным подпространством.
3.8.2? Доказать, что нормированное пространство является полным
и u
в точности тогда, когда в нем сходится каждый такой ряд i_,n=1 Хп> что
3.8.3? Найти пополнение пространства многочленов на [0,1] относи¬
тельно следующих норм:
3.8.4? Показать, что нормированное пространство сепарабельно
в точности тогда, когда его единичная сфера сепарабельна.
3.8.5? (i) Показать, что замкнутая линейная оболочка сепарабель¬
ного подмножества нормированного пространства сепарабельна, (и) С
помощью теоремы 2.1.13 и (i) показать, что всякое сепарабельное метри¬
ческое пространство изометрично подмножеству некоторого сепарабель¬
ного банахова пространства.
3.8.6? Показать, что пространства СДШ1) и С&((0,1)) с их естествен¬
ными sup-нормами несепарабельны.
3.8.7? Показать, что если для двух векторов х и у евклидова про¬
странства выполнено равенство \(х,у)\ = ||ж|| ||y|j и у ф- 0, то х = Ху
с некоторым числом А.
3.8.8? Показать, что ортогональное дополнение множества четных
функций в L2[— 1,1] есть множество нечетных функций.
3.8.9? Пусть Ь\ и 1/2 —- линейные подпространства гильбертова про¬
странства. Доказать, что (L\ + £г)х = £х П L%.
3.8.10? Пусть b ^ 0 — вектор гильбертова пространства Н. Найти
ортогональную проекцию вектора а € Н на подпространство Ьх.
3.8.11? Пусть Ъ ф 0 — вектор гильбертова пространства Н. Найти
ортогональную проекцию вектора а € Н на подпространство Ьх.
§ 3.8. Задачи
204
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.8.12? В пространстве I/2[0,1] найти ортогональную проекцию функ¬
ции f(t) = t на двумерное подпространство, порожденное функциями
u(t) = t2 и v(t) = t3, и на трехмерное подпространство, порожденное
функциями u(t) = 1, v(t) =. sin(27rt), w(t) = cos(27rt).
3.8.13? Пусть ц — неотрицательная мера на пространстве {Х,А)
и Е — /х-измеримое множество. Найти ортогональное дополнение в Г2(/х)
множества функций, почти всюду равных нулю на Е.
3.8.14? Линейное подпространство Е С 12, состоящее из всех векто¬
ров вида (х±,... ,жп, 0,0,...), наделим скалярным произведением из I2.
Положим Е0 := {х € Е: Y^=i п-~1хп = 0}. Доказать, что Е0 — замкну¬
тое подпространство в Е коразмерности 1, но Eq = 0, где ортогональное
дополнение берется в Е (определение коразмерности см. на с. 164).
3.8.15. Доказать, что во всяком неполном евклидовом пространстве
существует такое замкнутое линейное подпространство Eq коразмерно¬
сти 1, что К = о.
Указание: пусть Н — пополнение Е и h € Н\Е; рассмотреть под¬
пространство {х € Е: х -L К].
3.8.16. (i) Привести пример неполной ортонормированной системы
в Г2 [0,1], состоящей из непрерывных функций и обладающей тем свой¬
ством, что не существует ненулевой непрерывной функции, ортогональ¬
ной всем элементам этой системы.
(и) Показать, что в любом незамкнутом линейном подпространстве
L сепарабельного гильбертова пространства имеется ортонормированная
система векторов еп е L, не являющаяся полной в Н, но для которой нет
ненулевого вектора в L, ортогонального всем еп.
3.8.17? Доказать, что множество неотрицательных функций в L2 [0,1]
замкнуто, но не имеет внутренних точек.
3.8.18? Построить пример бесконечномерного полного замкнутого
линейного подпространства в неполном нормированном пространстве.
3.8.19. Показать, что во всяком бесконечномерном сепарабельном
банаховом пространстве есть всюду плотное счетное множество линейно
независимых векторов.
3.8.20. Доказать, что вещественное (или комплексное) линейное про¬
странство не может быть объединением конечного набора своих собствен¬
ных линейных подпространств.
3.8.21. С помощью базиса Гамеля доказать, что на всяком бесконеч¬
номерном линейном пространстве X есть неэквивалентные нормы.
3.8.22. Доказать, что в бесконечномерном банаховом пространстве
базис Гамеля несчетен.
§ 3.8. Задачи
205
Указание: использовать теорему Бэра и замкнутость конечномер¬
ных подпространств.
3.8.23. Доказать, что базис Гамеля бесконечномерного банахова про¬
странства равномощен самому пространству.
Указание: использовать задачу 2.8.1.
3.8.24. Пусть Г — непустое множество и I1 (Г) — пространство всех
функций ж на Г, отличных от нуля не более чем в счетном числе то¬
чек и имеющих конечную норму ||ж|| := Х)7|ж(7)|. Доказать, что /1(Г)
банахово.
3.8.25. Пусть Г — множество мощности не менее континуума. Дока¬
зать, что пространства Г(Г) и 12(Т) также имеют мощность Г.
Указание: использовать тот факт, что Г равномощно своей счетной
степени.
3.8.26. Показать, что если базис Гамеля линейного пространства X
имеет мощность не менее континуума, то на X есть норма, относительно
которой X полно.
Указание: взять в X базис Гамеля мощности Г, из предыдущих
двух задач вывести, что базис Гамеля в Г (Г) имеет ту же мощность,
установить линейное взаимно однозначное соответствие между X и /Ду).
3.8.27. Доказать, что всякие два ортонормированных базиса в гиль¬
бертовом пространстве равномощны, причем их мощность равна наи¬
меньшей возможной мощности всюду плотного множества.
Указание: использовать то, что для ортонормированного базиса
{е7}7ег множество конечных линейных комбинаций е7 с рациональными
коэффициентами имеет мощность Г, причем множество мощности, мень¬
шей Г, не может пересекаться со всеми шарами радиуса 1/4 с центром
в точках е7.
3.8.28. Пусть {Вп} — последовательность замкнутых шаров в ба¬
наховом пространстве X и Вп+\ с Вп. Доказать, что их пересечение
непусто.
3.8.29. Привести пример последовательности убывающих ограни¬
ченных замкнутых выпуклых множеств в (7[0,1] с пустым пересечением.
Указание: для возрастающих множеств Тп с (0,1) рассмотреть
множества вида {ж: ||ж|| ^ 1,ж(0) = 1,ж(t) = 0, t е Тп}\ выбрать Тп
подходящим образом.
3.8.30? Пусть множества А и В в нормированном пространстве за-
мкнуты, причем В компактно. Доказать, что А-\- В замкнуто. Молено ли
отказаться от компактности Б?
3.8.31? Пусть А и В — вполне ограниченные множества в нормиро¬
ванном пространстве X. Доказать, что их алгебраическая сумма А + В
вполне ограничена.
206
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.8.32. (i) Доказать, что уравновешенная выпуклая оболочка мно¬
жества V в линейном пространстве состоит из всевозможных сумм вида
Eh гДе n € IN, € V и ЕГ=1М ^ 1 (числа \i вещественны или
комплексны в зависимости от того, каково пространство).
(и) Показать, что выпуклая оболочка компакта в К" компактна.
(Hi) Привести пример замкнутого множества на плоскости, выпуклая
оболочка которого не замкнута.
(iv) Показать, что выпуклая оболочка открытого множества открыта.
3.8.33. (i) Пусть X — банахово пространство, хп € X, ||жп|| -4 0.
Доказать, что conv {хп} = {E^=i *п.хп ■ tn > 0, E“=i *n < l}-
(ii) Пусть {en} — ортонормированный базис l2. Показать, что выпук¬
лая оболочка компакта {п~1еп} U {0} не замкнута.
3.8.34. Пусть f(t) — tub — подмножество пространства С[0,1],
состоящее из таких функций р, что интегралы от ц> по [0,1/2] и [1/2,1]
равны. Доказать, что в замкнутом линейном подпространстве L в С[0,1]
нет ближайшего к / элемента.
3.8.35. Найти крайние точки замкнутого единичного шара в С[0,1]
с обычной нормой.
3.8.36. ° Доказать, что множество К с ср вполне ограничено в точ¬
ности тогда, когда есть такой элемент у е со, что |жп| ^ \уп\ при всех
пЕНихеГ.
3.8.37. Пусть А — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом
пространстве Н и х 6 Н. Доказать, что точка р € А является ближайшей
к х точкой в А в точности тогда, когда (а - р,х — р) <0 при всех а € А
3.8.38. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство с ор-
тонормированным базисом {еп} и К с Я — компакт. Доказать, что К
содержится в компактном эллипсоиде вида
3.8.39? Пусть 0 < а < 1 и На — пространство Гёльдера таких функ¬
ций р на [0,1], что
IMU := sup \ip(t) - v{s)\/\t - s\a + sup |</?(s)| < 00.
(i) Доказать, что пространство (Я“, || • ||„) банахово и несепарабель¬
но. (ii) Доказать, что замкнутые шары пространства (На, || • ||а) ком¬
пактны в пространстве (Н13, || • Ц^) при а > р.
3.8.40? Предположим, что вещественная функция f на нормирован¬
ном пространстве X равномерно непрерывна. Доказать, что найдется
число С ^ 0, для которого \f{x)\ < |/(0)| + С\\х\\ при всех х € X.
ОО
п— 1
8
§3.8. Задачи
207
3.8.41. Многочлены Чебышёва-Лагерра задаются формулой
ЗД:=е*|^е-4), к = 0,1,2,...
Доказать, что функции ipk(t) := k\~1e~t/2Lk(t), называемые функциями
Чебышёва-Лагерра, образуют базис в L2[0,+оо).
3.8.42. Пусть ц — мера на [0, +оо) с плотностью д(х) = х~1пж отно¬
сительно меры Лебега. Показать, что при п = 0,1,... функции хп входят
в L2 (ц) и ортогональны функции sin(27rlna;), т. е. многочлены не плотны
в
3.8.43? Пусть x{t) = 1 при t € [0,1/2), x(t) = —1 при t € [1/2,1),
x(t) = 0 при t g [0,1). Функции Хаара на [0,1] зададим теперь формулой
Хп,fc0) = х(2’Л - к), п = 0,1,..., 0 < к < 2п. Доказать, что {1,2fc/2x„,fc)
является ортонормированным базисом в Ь2[0,1].
3.8.44. Пусть А — всюду плотное множество в нормированном про¬
странстве X. Доказать, что для каждого х € X найдутся такие € А,
что х = а* и Иа®11 < 00> причем последнюю сумму можно сде¬
лать сколь угодно близкой к || х ||.
Указание: при г > 0 можно взять ai G А с ||ж — ai|| < е/2 и затем
брать сц £ А так, что ||ж — а\ — • • • — а*|| < е2_г.
3.8.45. В пространстве 11 рассмотрим множества
Ei := {(ж„): х2п — 0 Vn G М},
Е2 ■■= {(Дп): х2„_1 = пх2П Vn е IN).
Доказать, что Е\ и Е2 — замкнутые линейные подпространства, но их
прямая алгебраическая сумма не замкнута.
3.8.46. Пусть дим — неотрицательные меры на пространствах X
и Y, F е £2(ц0v), {</>„} и {фк} — такие ортонормированные системы
в Л2(ц) и L2(v) соответственно, что F входит в замкнутую линейную
оболочку функций <рп(х)фк(у) в пространстве Л2(ц0г/). Доказать, что
при г'-п.в. у функция х F(x, у) входит в замкнутую линейную оболочку
последовательности функций <рп в £2(ц).
3.8.47. Пусть К — компакт диаметра менее 2 в единичном шаре U
бесконечномерного гильбертова пространства и п € N. Доказать, что
найдутся такие точки щ,... ,ип е U, что множества К + и\,... ,К + ип
дизъюнктны и лежат в U.
3.8.48? Пусть C,fc[0.1] — множество всех функций, имеющих к непре¬
рывных производных на [0,1]. Доказать, что пространство Ск [0,1] бана¬
хово с нормой ||/||c7fc — maxt[|/(i)| + ••• + |/^WI]> причем множество
многочленов плотно в нем.
208
Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства
3.8.49. Для ограниченной области U С С рассмотрим пространство
A(U) комплексных функций, голоморфных в U и непрерывных на за¬
мыкании U, причем наделим A(U) нормохх ||/|| = max-gy \f(z)\. Выяс¬
нить, плотно ли множество многочленов от комплексного переменного г
в A(U), если U — единичный круг и кольцо 1/2 < \z\ < 1.
3.8.50. Доказать, что на пространстве К00 всех последовательностей
нет нормы, непрерывной относительно покоординатной сходимости.
Указание: для всякой нормы найдутся такие числа сп, что векторы
(0,..., 0, сп, 0,...) имеют норму 1, но эти векторы покоординатно стре¬
мятся к нулю.
3.8.51. Доказать, что замкнутый единичный шар из пространства
Соболева W2,1 ((0,1)) компактен в L2[0,1] и даже в С[0,1].
Указание: для абсолютно непрерывной версии функции / из класса
W2'1 ((0,1)) оценить \f(t)—f(s)\ с помощью формулы Ньютона-Лейбница
XI неравенства Коши-Буняковского; заметить, что для / из единичного
шара в W2,1 ((0,1)) найдется точка tо € (0,1) с |/(t0)| < 1; использовать
критерий компактности в <7[0,1].
3.8.52. В пространстве С^ДЛТ1) всех бесконечно дифференцируемых
функций с ограниченными производными рассмотрим следующую схо¬
димость: равномерную сходимость производных всякого фиксированного
порядка. Показать, что эта сходимость задается метрикой
ОС
d{f,g) ■= ^2~fcmin(pfe(/-s0,l), Pk{y) :=sup|^(fe)(t)|.
к=0 t
Показать, что такая сходимость не порождается никакой нормой.
Указание: предположив, что тахсая норма р существует, показать,
что она допускает оценку р < С\ро + • • • + Рк] при некоторых С > 0
и к, заметив, что в противном случае найдутся такие функции ipki что
Po(v?fc) Н bpfc(v?fc) < 1 и р(рк) > к, а тогда 1рк = ipk/k -» 0 по указанной
метрике, хотя p(V'fc) ^ 1- Существование полученной оценки означает, что
из равномерной сходимости первых к производных следует равномерная
сходимость последующих, что неверно.
3.8.53. Пусть А — мера Лебега на [0,1] и d — метрика на простран¬
стве L°(А) классов эквивалентности измеримых функций, задающая схо¬
димость по мере, введенная в задаче 2.8.31. Показать, что выпуклая обо¬
лочка всякого открытого шара с центром в нуле есть все пространство.
Вывести из этого, что сходимость по мере не задается нормой (нет даже
нормы, непрерывной относительно сходимости по мере).
Указание: для всякой измеримой функции / и всякого г > 0 пред¬
ставить / в виде / = (/г 4 b f„)/n, где /» = nfk, IL = [(г - 1)/п,г/п]
и п достаточно велико, так что d(0, /*) < г.
Глава 4
Линейные операторы
Эта глава посвящена одной из центральных тем курса функ¬
ционального анализа — линейным функционалам и операторам.
Здесь доказывается важнейший результат линейного анализа, име¬
ющий множество применений, — теорема Хана-Банаха о продолже¬
нии линейного функционала вместе с ее геометрическими следстви¬
ями о разделении выпуклых множеств гиперплоскостями. Кроме
того, здесь установлены три основных результата теории линейных
операторов: принцип равномерной ограниченности, теорема Бана¬
ха об обратном операторе и теорема о замкнутом графике. Нако¬
нец, кратко обсуждаются слабая сходимость и компактные линей¬
ные операторы.
§ 4.1. Непрерывные линейные операторы
Пусть (X, || • ||х) и (У, || • ||у) — нормированные пространства,
А: X —» Y — линейное отображение, т.е.
А(ах + /Зу) — аАх + /ЗАу
для всех векторов ж и у и всех скаляров а и /3. Линейные отобра¬
жения называют также линейными операторами. Если X = Y, то
оператор I: х ь-> х называют единичным. Такого рода отображе¬
ния уже должны быть знакомы читателю из курса линейной ал¬
гебры, но здесь появляется значительная специфика, кардинально
меняющая весь облик теории, — бесконечномерность пространств.
Множество Ran Л := А(X) называется образом линейного опе¬
ратора, а множество Кег А := Л-1(0) = {ж: Ах = 0} называется
ядром оператора А. Легко видеть, что образ и ядро линейного опе¬
ратора являются линейными подпространствами.
Линейные отображения со значениями в Y = IR или Y = С
называют линейными функционалами.
210
Глава 4. Линейные операторы
Одним из характерных отличий бесконечномерного случая яв¬
ляется то, что во всех основных результатах рассматриваются не
все линейные отображения, как в конечномерной линейной алге¬
бре, а операторы, имеющие конечную норму.
Положим
ИИ := SUP \\Ах\\у>
IMIxO
если эта величина конечна, и будем называть ||Л|| нормой опера¬
тора А. Например, норма линейного функционала I задается ра¬
венством
||*|| := SUP \КХ)\-
Ых5?1
Линейный оператор с конечной нормой называется ограниченным.
Отметим, что такая терминология не согласована с терминологией
для случая общих отображений, когда ограниченными называются
отображения с ограниченными образами. У ограниченного линей¬
ного оператора А ограничен лишь образ шара, но образ А(Х) всего
пространства может быть ограничен лишь тогда, когда А{Х) = 0.
Заметим, что ||Л|| есть наименьшее из таких чисел М, что
||Лж||у ^ М||ж||х для всех х 6 X.
Это видно из того, что норма вектора ж/||ж||А. равна 1 при х ф 0,
причем ||Л(ж/||ж||х)|| = ||Лж||у/||ж||х. Ясно также, что в определе¬
нии || Л || можно брать sup по единичной сфере вместо единичного
шара (если X ^ 0).
Если X, Y и Z — нормированные пространства, А: Y —> Z
и В : X —» Y — ограниченные линейные операторы, то линейный
оператор АВ: X —> Z, где АВх А(Вх), ограничен и
\\АВ\\^\\А\\\\В\\.
Действительно, ||АВж|| ^ ||Л|| ||£ж|| ^ ||Л|| \\В\\ ||х||. Указанное нера¬
венство может быть строгим; легко построить соответствующий
пример в ВТ2 или С2 (например, композиция ненулевых операто¬
ров может быть нулем).
Для ограниченных линейных операторов А, В: X —у Y и вся¬
кого скаляра Л заданы линейные операторы
А + В: х ь-> Ах + Вх, \А: х н-» ХАх,
причем для всех х € X выполнены соотношения
НИ + В)х\\у ^ \\Ах\\у + \\Вх\\у, \\ХАх\\у = |Л| ||Аг||у.
§ 4.1. Непрерывные линейные операторы
211
Следовательно, для операторных норм мы получаем соотношения
Таким образом, множество £(Х, Y) всех ограниченных линей¬
ных операторов, действующих из нормированного пространства X
в нормированное пространство У, само становится нормированным
пространством с операторной нормой А >—> ||А||.
4.1.1. Определение. Пусть X — нормированное простран¬
ство. Пространство X* := £(Х, И) всех непрерывных линейных
функций на пространстве X называется сопряженным (или то¬
пологически сопряженным) к пространству X. В комплексном
случае X* := £(Х,С). Пространство X' всех линейных функций
на X называется алгебраически сопряженным.
Значение линейного функционала / на векторе х часто обо¬
значают через (/, х). На конкретных пространствах легко строить
явные примеры ненулевых непрерывных функционалов. Оказыва¬
ется, такие функционалы существуют на всяком отличном от нуля
нормированном пространстве. Этот неочевидный, но очень важный
для всей теории факт будет установлен ниже с помощью теоремы
Хана-Банаха. Алгебраические сопряженные используются редко.
Рассмотрим несколько примеров вычисления норм функциона¬
лов и операторов (см. также важный пример 5.2.2).
4.1.2. Пример, (i) Пусть X — С[0,1] с обычной нормой. Поло¬
жим 1(f) = /(0). Тогда ||1|| = 1, ибо \l(f)\ < 1 при ||/|| С 1, причем
имеем Z('l) = 1.
(ii) Пусть X — С[0,1] с обычной нормой, 1(f) — /(0) — /(1).
Тогда \\1\\ = 2, ибо \l(f)\ < 2 при ||/|| < 1 и 1(f) — 2 для функ¬
ции /: t ь-> 1 — 2t.
(iii) Пусть X — С[0,1] с обычной нормой,
где g(t) — -1 при t < 1/2, g(t) = 1 при t > 1/2. Тогда имеем
\\1\\ = 1, ибо |/(/)| < 1 при ||/|| < 1, а для всякого е > 0 найдется
непрерывная функция / с \f(t)\ < 1 и 1(f) > 1 - е. Заметим, что
в этом примере не существует такого элемента / с ||/|| < 1, что
1(f) = ||/||. ибо если интеграл от fg равен 1 и |/(t)| < 1, то f(t) = -1
при £ < 1/2 и /(i) = 1 при t > 1/2.
Таким образом, непрерывный линейный функционал может не
достигать максимума на замкнутом шаре.
ЦА + В||<||А|| + ||В||, \\ХА\\ = |А| ||А||.
(4.1.1)
212
Глава 4. Линейные операторы
Более общим образом, для всякой интегрируемой функции д на
отрезке [0,1] для функционала (4.1.1) имеем
и = 1ыь= fm\
J о
Оценка \\l\\ ^ ||g||Li очевидна, а для доказательства равенства на¬
до заметить, что для всякого е > 0 найдется такая ступенчатая
функция дЕ, что \\д - д€\\ьг ^ е. Аналогично предыдущему случаю
замечаем, что существует функция fe £ С[0,1] с ||/Е|| < 1 и
[ fe(t)g£(t)dt^ \\g£\\Li - е.
J о
Так как \\geWb1 ^ \\9Wl1 ~ е> т0 эт0 Дает соотношения
life) > [ fe(t)9e(t) dt - е > \\gE\\Li - 2e ^ \\g\\Li - 3s.
Jo
Ввиду произвольности e получаем оценку ||Z|| ^ \\gWb1-
(iv) Пусть X — евклидово пространство,
l(x) = {x, а), где a £ X.
Тогда \\l\\ = ||a||, ибо \1{х)\ ^ ||cc||||a||, что дает ||Z|| ^ ||a||. С другой
стороны, если а ф 0, то Z(a/||a||) = ||a||.
(v) Пусть X — 1?[0,1] с обычной нормой,
Kf) = [ /(<М<) dti
J о
где д £ L2[0,1]. Тогда ||Z|| = ||ff||z,2.
(vi) Пусть X = С[0,1 ], Y — L2[0,1] с обычными нормами, опе¬
ратор А: С[0,1] —> L2[0,1] задан формулой
Ax(t) — (J x(s)y(s)dsyф(г),
где у £ L1 [0,1], ф £ L2[0,1]. Тогда ||А|| = \\y\\Li\\ip\\L2. Это вытекает
из (ш) и равенства
||Аж
ть-
Обратим внимание на то, что оператор А может рассматриваться
и как оператор из Ь2[0,1] в Т2[0,1]. Тогда его норма может из¬
мениться! В самом деле, аналогичное вычисление показывает, что
§4.1. Непрерывные линейные операторы
213
она будет равна ЦуЦьаЦ^Ц^г. Наконец, если ф € (7(0,1], то та же
самая формула задает операторы из (7(0,1] в (7[0,1] и из L2[0,1]
в С [0,1]. Читателю предлагается проверить, что соответствующие
нормы оператора будут равны \\y\\Li ||^||с и \\у\\Ь2 \\ф\\с-
(vii) Диагональный оператор в сепарабельном комплексном ги-
льбертовом пространстве Н — это оператор вида
оо
Ах — ^ ^ Oin(x, en)en,
п=1
где {еп} — ортонормированный базис в Н и {ап} — ограниченная
последовательность в С. При этом
1И11 — SUP |«n|,
п
поскольку \\Ах\\ ^ supn|an| и ||Леп|| = |ап| для всех п, откуда
PH > SUPn |«п|-
(viii) Для оператора А, заданного матрицей (оД) в К”, непросто
вычислить норму в терминах матричных элементов. В принципи¬
альном отношении эта задача тривиальна: нам надо найти макси¬
мум неотрицательной квадратичной формы (Ах, Ах) на единич¬
ной сфере и извлечь квадратный корень. Эта форма записывается
в виде (А*Ах,х), где оператор А*А уже симметричен. Поэтому он
приводится к диагональному виду в некотором ортонормирован¬
ием базисе, что сводит задачу к простейшему случаю предыдущей.
Тем самым надо найти корень из наибольшего собственного числа
оператора А*А. Однако если на Ш,п взять норму ||ж||оо = max* \xi\,
то норма А легко выражается в терминах аД (задача 4.10.1).
(ix) Оператор Волътерра задается формулой
Vx(t) = ( x(s)ds.
Jo
Этот очень интересный оператор можно рассматривать как опе¬
ратор из С[0,1] в (7(0,1], из 17(0,1] в 17(0, 1], из L2[0,1] в L2[0,1],
как оператор из какого-нибудь из этих трех пространств в любое
другое (что, конечно, отнюдь не исчерпывает интересных пар про¬
странств, между которыми он действует). При этом могут полу¬
чаться разные нормы оператора. В случаях V: <7(0,1] —» (7[0,1]
и V■ Z7[0,1] —> 17 [0,1] легко проверяется, что нормы оценивают¬
ся сверху числом 1, причем в первом случае она и достигается на
функции x(t) — 1- Во втором случае норма уже не достигается, но
214
Глава 4. Линейные операторы
нетрудно догадаться брать неотрицательные функции с единич¬
ным интегралом, что приводит к задаче максимизации интеграла
J{x) — ( f x(s)dsdt = 1— f tx(t)dt.
Jo Jo Jo
Теперь понятно, что надо брать функции, сосредоточенные около
точки 0, скажем, хп = nl[o,i/np что дает J(xn) — 1 —(2n)_1. Однако
норму V: L2[0,1] —> L2[0,1] так прямолинейно не сосчитать. В гл. 5
мы увидим, как это делается по аналогии с примером из (viii).
Оператор Вольтерра относится к классу так называемых инте¬
гральных операторов, т. е. операторов вида
Kx(t) = J X(t,s)x(s) ds,
где функция X называется интегральным ядром. Например, опе¬
ратор Вольтерра задается ядром X(t,s) = I[o,t](s)- В зависимости
от пространств, между которыми должен действовать такой опера¬
тор, от X требуются те или иные свойства. Скажем, если функция
X на [0,1] х [0,1] ограничена и непрерывна по первому аргументу,
то К действует из С[0,1] в С[0,1] (или из L^O, 1] в С[0,1]). Правда,
для оператора Вольтерра это условие не выполнено.
4.1.3. Пример. Пусть X Е L2([a,b\x[a,b}). Тогда оператор К,
заданный формулой
Kx(t) = / X(t, s)x(s) ds,
J a
ограничен в L2[a,b\ и ||if|| ^ ||ЗС||^2([01]2).
Доказательство. Для всякой функции х е 1?[а,Ъ\ функция
X(t, s)x(s) интегрируема по s при почти всех t Е [а, Ь], ибо по те¬
ореме Фубини X(t, ■) Е Л-2 [а, Ь] при почти всех t Е [а, 6]. Поэтому
функция Кх определена почти всюду на [а, Ь\. При этом в силу
неравенства Коти Буняковского имеем
\Kx(t)\2 =
pb 2 рЬ рЪ
/ X(t, s)x(s) ds < / \X(t, s)|2ds / |a;(s)|2d.s,
Ja a a J a
что дает оценку
rb
f \Kx(t)\2 dt < ||a;||2 f f \X(t,s)\2 dsdt.
J a J a J a
Итак, Hit'll ^ ||3C|Ll2(M2).
□
§4.1. Непрерывные линейные операторы
215
Следует помнить, что, как показывает пример в (Ш), даже
в случае линейного функционала на бесконечномерном простран¬
стве норма может не достигаться на единичном шаре, т. е. не всегда
sup можно заменить на шах. На гильбертовом пространстве такой
неприятности не может случиться (это будет видно из теоремы Рис-
са, доказываемой в §4.5).
4.1.4. Теорема. Для линейного оператора А: X —> Y следую¬
щие условия равносильны:
(i) оператор А ограничен;
(ii) оператор А непрерывен;
(ш) оператор А непрерывен в некоторой точке.
Доказательство. (i)=>(ii). Если оператор А ограничен, то мы
имеем ||Ах — Ау\\ ^ ||А||||ж — у||, т. е. отображение А удовлетворяет
условию Липшица с постоянной ||А|| и потому непрерывно. Ясно,
что (ii) дает (Ш).
(i.ii.)=>(i). Пусть оператор А непрерывен в некоторой точке жо-
Из равенства Av = А(жо+и) — Axq следует непрерывность А в нуле:
если хп —► 0, то жо + жп —> жо, откуда А{xq + хп) —» Axq и потому
Ахп — А(жо + хп) — Лжо —> 0. Поэтому найдется такое г > 0, что
||Аж|| ^ 1 при ||ж|| < г. Это дает оценку ||Аж|| ^ г-1 при ||ж|| ^ 1.
Итак, ||Л|| ^ г-1. □
4.1.5. Следствие. Линейное отображение между нормиро¬
ванными пространствами непрерывно в точности тогда, когда
оно переводит сходящиеся к нулю последовательности в ограни¬
ченные последовательности.
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна;
достаточность следует из того, что если ||жп|| ^ 1 и ||Лжп|| —> оо, то
уп := ||Лж„||_1/2жп 0 и ||Ау„|| = ||Аж„||1/2 -+ оо. □
Согласно доказанному, линейное отображение, разрывное в од¬
ной точке, разрывно всюду. На конечномерном нормированном
пространстве все линейные операторы непрерывны и потому огра¬
ничены. В бесконечномерном случае положение иное.
4.1.6. Пример. На всяком бесконечномерном нормированном
пространстве существует разрывный линейный функционал. Дей¬
ствительно, пусть {va} — базис Гамеля (см. §3.1), состоящий из
векторов единичной длины. Возьмем в нем счетную часть {га,г},
положим I (van) = п для каждого п, на остальных элементах базиса
216
Глава 4. Линейные операторы
зададим I нулем и доопределим по линейности на все пространство,
т. е. воспользуемся формулой
к к
^(У yCnVQ‘n Т У , cavaj — У ] ПСп ■
п=1 а£{ап} п=1
Очевидно, что получен неограниченный линейный функционал. Он
разрывен в каждой точке по предыдущей теореме.
Рассмотрим еще один идейно близкий пример.
4.1.7. Пример. Пусть {г>7}7бг — базис Гамеля в бесконечно¬
мерном банаховом пространстве X и Ц{х) — коэффициенты разло¬
жения х по этому базису. Тогда среди функционалов Z7 обязательно
есть разрывные.
Доказательство. Предположим, что все /7 непрерывны. Без
потери общности можно считать, что ||и7|| = 1. Возьмем какую-
либо счетную часть индексов {7„} С Г и рассмотрим ряд из 4-пг>7п,
который сходится ввиду полноты X. Пусть v — его сумма. Вви¬
ду непрерывности всех Z7 имеем ф(г>) — Значит,
= 0, если у ^ {7n}, Z7(-y) = 2_п, если 7 = 7„ при каком-то п.
В частности, v ф 0, ибо — 2~1. Вектор v разлагается в ко¬
нечную линейную комбинацию векторов г>7, но из сказанного выше
следует, что векторы г>7 с 7 ^ {7} не участвуют в этом разложении.
Таким образом, ненулевой вектор v разлагается по некоторому ко¬
нечному числу векторов vln. Пусть к — наибольший номер, участ¬
вующий в этом разложении. Тогда 1-(к+1 {у) — 0, что противоречит
указанному выше равенству ljk+1(v) = 2~к~1. Некоторое усиление
доказанного имеется в задачах 4.10.23 и 4.10.24. □
На некоторых неполных нормированных пространствах можно
явно (без использования базиса Гамеля) задать разрывные линей¬
ные функционалы. Например, пространство непрерывных функ¬
ций на [0,1] можно наделить нормой из Г2[0,1] и задать I формулой
1(х) — ж(0). Однако явных примеров неограниченных линейных
функционалов на банаховых пространствах нет.
4.1.8. Теорема. Пусть Y — банахово пространство. Тогда
для всякого нормированного пространства X npocm.jMHcm.eo опе¬
раторов &(Х, Y) полно относительно операторной нормы.
В частности, пространство X* полно для всякого нормиро¬
ванного пространства X (даже и неполного).
§ 4.2. Принцип равномерной ограниченности
217
Доказательство. Пусть {Ап} с £(Х,У) — фундаменталь¬
ная последовательность. Для каждого ж £ X последовательность
{Апх} фундаментальна в У, так как \\Апх — А}~х\\ ^ ||An — Ак\\ ||ж||.
Поэтому в Y существует Ах = Ит Апх. Ясно, что А £ £(Х, У),
п—*со
||Я|| ^ supn ||ЯП||. Однако надо проверить, что ||Л — Яп|| —*• 0. Пусть
дано е > 0. Найдем такое iV, что ||ЯП — Ak\\ ^ £ для всех п, к ^ N.
При всех N имеем ||Аж — Апж|| = Пт || А^х — Апх || < в для
к—юо
всякого вектора х £ X с ||ж|| ^ 1, откуда ||Я — Д,|| ^ г. □
В частности, если Y полно, Ап £ £(Х, У) и ||Аг|| < оо,
то ряд из операторов Аг сходится в £(Х, Y).
Полнота Y важна для полноты £(Х, У): если в Y есть фунда¬
ментальная, но не сходящаяся последовательность {уп}> то после¬
довательность операторов Ant = tyn в ^(IR1, У) фундаментальна
по операторной норме, но не сходится по ней, ибо не сходится даже
на векторе 1. Аналогичный пример строится для любого X ф 0.
§ 4.2. Принцип равномерной ограниченности
Этот параграф посвящен важному результату Банаха и Штейн-
гауза — теореме Банаха-Штейнгауза или принципу равномерной
ограниченности, — согласно которому поточечно ограниченное се¬
мейство непрерывных операторов равномерно ограничено на шаре,
т. е. ограничено по норме.
4.2.1. Теорема. Пусть дано семейство {Аа} ограниченных
линейных операторов на банаховом пространстве X, принимаю¬
щих значения в нормированном пространстве Y, причем
sup ||Яаж|| < оо для каждого ж £ X.
а
Тогда sup ||Аа|| < оо.
а
Доказательство. Если бы не было равномерной ограничен¬
ности норм, то нашлась бы последовательность таких индексов ап>
что ||АаД —> +оо. Так как функции ж нч ||Яапж|| непрерывны, то
ввиду примера 2.3.3 эти функции были бы равномерно ограниче¬
ны на некотором шаре U(a,r) с центром в а и радиусом г > 0.
Поскольку Аах — Аа(х + а) — Ааа и supa ||Яао|| < оо, то полу¬
чаем равномерную ограниченность ||Д*|| на шаре [7(0, г), что дает
равномерную ограниченность на единичном шаре. □
218
Глава 4. Линейные операторы
Полнота X существенна в этой теореме (хотя требование пол¬
ноты можно ослабить до требования, чтобы для X выполнялась
теорема Бэра, что очевидно из доказательства). Например, на ли¬
нейном подпространстве в 12, состоящем из всех векторов с ко¬
нечным числом ненулевых компонент, ограниченные функционалы
1п{х) — пхп поточечно ограничены (на каждом фиксированном эле¬
менте х они обращаются в нуль с некоторого номера), но их нормы
не ограничены в совокупности: ||Zn|| = п. Таким же свойством обла¬
дают функционалы 1п{Ф) — шр{1/п) на линейном подпространстве
в С[0,1], состоящем из функций, равных нулю в окрестности нуля
(своей для всякой функции). Важно и то, что речь идет о линейных
отображениях.
4.2.2. Следствие. Пусть X и Y — банаховы пространства,
Ап: X —* Y — непрерывные линейные операторы, причем для
каждого х существует предел Ах = lim Апх в Y. Тогда А —
п—юо
непрерывный оператор.
Доказательство. Ясно, что А — линейное отображение. По
теореме Банаха-Штейнгауза имеем supn 1|ЛП|| ^ С < оо. Тогда
||Ас|| = lim ||А*|| < С||ж||, т. е. ||Л|| < С. □
п—►ОО
4.2.3. Следствие. В ситуации предыдущего следствия для
всякого компакта К С X имеем
lim sup 11Ас — Anx\\ = 0.
n-^°° хек
Доказательство. Если мы проверим непрерывность функ¬
ций /п(ж) — supj^n ||Аж — Аг|| , то можно будет применить те¬
орему Дини (см. теорему 2.6.10), ибо /га(ж) 0 и fn+\ ^ fn-
Покажем, что /п удовлетворяет условию Липшица, с постоянной
С= ||А|| + supn ||Яп||, где С конечно ввиду теоремы Банаха-Штейн¬
гауза. Действительно, /п(х) ^ С||ж||, ибо выполнено неравенство
||Аж — Ах\\ ^ ||АН ||*|| + |И|| ||ж||. Кроме того, мы имеем также
оценку /п(ж + у) < /„(ж) + /„(у) ввиду неравенства
11(А - А)(х + у)|К IKA - А)х\\ + ||(А - А)у\\.
Значит, |/п(ж + у) - /п(ж)| < fn{y) < С||у||. □
Теорема Банаха-Штейнгауза может применяться и для получе¬
ния отрицательных результатов (что иногда называют «принципом
сгущения особенностей»).
§ 4.3. Теорема Хана-Банаха
219
4.2.4. Пример. Пусть последовательность непрерывных ли¬
нейных операторов Ап из банахова пространства X в нормирован¬
ное пространство Y не является ограниченной по норме. Тогда най¬
дется такой элемент х £ X, что supn ЦЛпжЦ = оо.
4.2.5. Пример. Для всякого а € [0,2тг] существует такая не¬
прерывная 27г-периодическая функция, у которой частичные сум¬
мы ряда Фурье в точке а не являются равномерно ограниченными,
значит, не имеют конечного предела.
Доказательство. Достаточно рассмотреть а = 0. Если бы
для каждой функции из пространства СД непрерывных функций
/ на [0, 27г] с /(0) = /(27г) и нормой maxtfE[oi27r] |/(£)| частичные
суммы ряда Фурье в нуле были ограничены, то в силу представ¬
ления (3.5.1) для частичных сумм была бы поточечно ограничена
последовательность функционалов
Как и в примере 4.1.2(ш), легко видеть, что норма такого функци¬
онала на Сгя- равна
Пока мы рассмотрели принцип равномерной ограниченности
для множеств операторов или функционалов на данном простран¬
стве, но в теореме 4.4.6 мы увидим, что из него можно извлечь
полезную информацию и о множествах в самом пространстве.
В этом параграфе доказывается важнейший результат линей¬
ного анализа — теорема Хана-Банаха. Этот результат имеет мно¬
гочисленные применения как в математике, так и в приложениях,
в частности в экономике. В отличие от большинства других утвер¬
ждений данного курса, теорема Хана-Банаха нетривиальна и в ко¬
нечномерном случае.
что при п —» оо стремится к бесконечности.
□
§ 4.3. Теорема Хана—Банаха
220
Глава 4. Линейные операторы
4.3.1. Определение. Пусть X — линейное пространство.
Функция р: X —* [0,+оо) называет,ся полунормой на X, если
р(ах) = \а\р(х) и р(х + у) < р(х) + р{у)
для всех скаляров а и всех векторов х,у.
4.3.2. Определение. Пусть X — действительное линейное
пространство. Функция р: X —» (—оо,+оо) называется выпук¬
лой, если
p(tx + (1 - t)y) ^ tp(x) + (1 - t)p(y) Ух, у 6 X, \/t € [0,1].
Функция р: X —* (—оо,+оо) называется однородно-выпуклой,
если
р(ах) = ыр{х) и р(х + у) ^ р{х) + р(у)
для всех а)0и всех х, у € X.
Ясно, что однородно-выпуклыми являются все полунормы и все
линейные функции. Из определения также видно, что однородно¬
выпуклая функция р выпукла:
p(tx + (1 - t)y) ^ p(tx) +р((1 - t)y) = tp(x) + (1 - t)p(y)
при t € [0,1]. Если р{—х) — р(х), то р оказывается и полунормой.
Простым примером однородно-выпуклой функции, не являю¬
щейся полунормой, является функция р(х) — max^n Xi на El”. На
пространстве 1°° можно взять р(х) — sup^n хг.
Следующий результат — знаменитая теорема Хана-Банаха.
4.3.3. Теорема. Пусть X — вещественное линейное про¬
странство, р — однородно-выпуклая функция на X, Xq — линейное
подпространство в X и Iq — линейная функция на Xq, удовлетво¬
ряющая условию
1о(х) ^ р{х) для всех х € Xq.
Тогда Iq можно продолжить до линейной функции I на всем X,
удовлетворяющей условию 1(х) ^ р(х) при всех х € X.
Доказательство. Отметим, что теорема нетривиальна даже
в двумерном случае. Как мы сейчас увидим, основная проблема со¬
стоит в продолжении функционала на большее пространство, в ко¬
тором Xq является гиперплоскостью. Предположим сначала, что
X — линейная оболочка Xq и вектора z, не принадлежащего Xq.
Всякий вектор х из X имеет вид х — xq + tz. Всякое линейное про¬
должение однозначно определяется выбором числа с — l(z). Тогда
§ 4.3. Теорема Хана-Банаха
221
l[x) = Iq(xq) + tc. Нам надо так выбрать с, чтобы иметь оценку
I ^ р. Итак, требуется выполнение неравенства
lo(xo)+tc^p(xo + tz). (4.3.1)
При t > 0 это неравенство равносильно неравенству
io(i-1.To) + с ^ р{Г1хо + z),
что можно записать в виде
с ^ р(Чхо + z) - lo{t~lxo).
Аналогично при t < 0 неравенство (4.3.1) равносильно оценке
с ^ -р{-Чхо - z) - loit^Xo).
Покажем, что существует число с, удовлетворяющее обоим этим
неравенствам при всех ад и t. Для этого нужно, чтобы выполнялось
неравенство
с':= sup [-p{~y-z) -h{y)\ ^ с" := inf [р(у + z) - l0(y)}. (4.3.2)
у£Х0 у^хо
В качестве с тогда можно взять любое число между с' и с". Нера¬
венство (4.3.2) равносильно оценке
-р(~у' - z) - Чу') ^ р{у" + z) - Чу") v у', у" е х0.
Эта оценка вытекает из соотношений
Чу")~Чу') <р(у"~у') =р{у" + z-y'-z) ^p(y" + z)+p(-y'-z).
Итак, в частном случае теорема доказана. В общем случае продол¬
жение строится постепенным расширением пространства на еди¬
ницу большей размерности, что осуществляется с помощью леммы
Цорна. Обозначим через Ш совокупность всевозможных продолже¬
ний Iq на более широкие подпространства с условием подчиненно¬
сти р. Каждое такое продолжение V имеет линейную область опре¬
деления L', на которой I' < р, причем I'\х0 — 1о■ Будем считать
продолжение I' подчиненным продолжению I", если для соответ¬
ствующих областей определения имеем L' С L" и 1"\и — Г. Оче¬
видно, что получен частичный порядок.
Условие цепей выполнено: если дана цепь продолжений 1а с об¬
ластями La, то мажоранта I € ЭДТ для нее строится так. Объедине¬
ние L всех La есть линейное пространство, ибо для всяких х,у Е L
найдутся La и Lp с х Е Ьа и у Е Lp, но по определению цепи либо
La С Lp, либо Lp С Ьа, т.е. в любом случае х + у Е L. Ясно, что
tx Е L для всех скаляров t. По этим же соображениям на L кор¬
ректно задана функция I формулой 1{х) — 1а{х) при х Е La, т.е.
222
Глава 4. Линейные операторы
1а{х) = 1р(х), если х € Laf~)Lp. При этом I ^ р на L. Итак, I £ Ш —
мажоранта для всед: 1а. По лемме Цорна в Ш есть максимальный
элемент I. По доказанному на первом этапе область определения I
совпадает со всем X: иначе I можно было бы линейно продолжить
на большее подпространство с подчинением р вопреки максималь¬
ности I. □
Применим доказанное в случае полунормы р.
4.3.4. Следствие. Пусть X — вещественное или комплекс¬
ное линейное пространство, р — полунорма на X, Xq — линейное
подпространство в X uIq — линейная функция на Xq, удовлетво¬
ряющая условию
\10(х)\^р(х) VxeXq.
Тогда Iq mooicho продолжить до линейной функции I на всем X,
удовлетворяющей условию \1(х)\ ^ р(х) при всех х € X.
Доказательство. В вещественном случае утверждение непо¬
средственно следует из теоремы Хана-Банаха. В комплексном слу¬
чае через Хщ обозначим овеществление X, т. е. X над полем Ж.
Применим теорему Хана-Банаха к функции Re Iq на овеществле¬
нии X0iir пространства Xq. Ясно, что |ReZo| ^ р па Хцщ.. По¬
лучим вещественную линейную функцию 1\ на Хщ, для которой
Zi|x0i]r = ReZo и 1\ ^ р. Заметим, что Д| ^ р. Положим
1(х) = 1\(х) — й\[гх), х G X,
что возможно, ибо гх € X, а X совпадает с Хщ как множество.
При х € Xq имеем гх е Xq, поэтому h(x) = Iq(x), l\(ix) = lo(ix),
откуда
h (х) — Hi (гх) = Re Iq (х) — Ще Iq (гх) = Re Iq (ж) + Пт Iq (х) = Iq (ж) .
Наконец, для всякого х G X найдется такое вещественное число в,
что 1(х) — ег9\1(х)\. Положим у — е~г9х. Тогда 1(у) = Дж)|. Так как
l(y) €Е Ж1 и также h(y),h(iy) G Ж1 ввиду вещественности 1\, то
получаем 1(у) = 1\(у) и h(iy) — 0. Значит,
|г(ж)| = 1(у) =5 h(y) ^ р(у) = р(х).
Следствие доказано. □
С помощью базиса Гамеля (см. предложение 3.1.3) легко полу¬
чить линейное продолжение I, но оно не всегда подчинено р. Напри¬
мер, если Ж2 наделить обычной нормой, то функционал 1(х) — х\
§ 4.4. Применения теоремы Хана-Банаха
223
на первой координатной прямой можно продолжить на И2 с сохра¬
нением оценки \1(х)\ ^ ||ж|| лишь одним способом: £(ег) = 0. Однако
если на Ш2 взять иную норму р(х) = \хг — 2х% \ + \х2\, то указанное
тривиальное продолжение уже не подходит: для вектора х = (2,1)
получаем 1(х) = 2, хотя р{х) = |2 — 2| + |1| = 1.
4.3.5. Следствие. Пусть Xq — линейное подпространство
нормированного пространства X (необязательно замкнутое)
и Iq — непрерывная линейная функция на Xq . Тогда Iq можно про¬
должить до непрерывной линейной функции на всем X, имеющей
ту же норму, что и функционал Iq на Xq.
Доказательство. По условию |£о(ж)| ^ IIMIIMI ПРИ х £ Xq.
Положим р(х) = ||Z0|||M|. Применив предыдущее следствие, про¬
должим Iq до линейной функции I на X с \1\ ^ р. Это дает оценку
||*|| < ||*о||- Так как ||Z0|| < ||Z||, то ||Z|| = ||Z0||. □
§ 4.4. Применения теоремы Хана-Банаха
В этом параграфе мы обсудим некоторые интересные приме¬
нения теоремы Хана-Банаха, важнейшими из которых являются
доказательство того заранее неочевидного факта, что сопряжен¬
ное к бесконечномерному нормированному пространству нетриви¬
ально (и даже бесконечномерно), а также теоремы о разделении
выпуклых множеств гиперплоскостями.
4.4.1. Теорема. Для всякого ненулевого элемент,а х норми¬
рованного пространства X найдется такой функционал I, что
||Z|| = 1 и 1(х) — ||ж||.
Доказательство. На порожденном вектором х одномерном
пространстве положим lo(tx) — £||ж||. Тогда Iq(x) = ||ж|| и ||Zo|| = 1.
Теперь продолжим Iq на X с сохранением нормы. □
С помощью аналогичного рассуждения легко получить следу¬
ющий результат (восстановите детали!).
4.4.2. Теорема. Пусть X — бесконечномерное нормированное
пространство. Тогда для всякого п можно найти такие векторы
х\,...,хп 6 X и функционалы Zi,...,Zn € X*, что k{xj) = %.
В частности, сопряженное пространство X* тоже оказывается
бесконечномерным.
4.4.3. Следствие. Пусть Xq — конечномерное подпростран¬
ство нормированного пространства X. Тогда Xq топологически
224
Глава 4. Линейные операторы
дополняемо в X, т. е. существует такое замкнутое линейное под¬
пространство Х\, что X является прямой алгебраической сум¬
мой Xq и XI, а естественные алгебраические проекции Pq и Р\ на
подпространства Xq и Х\ непрерывны.
Доказательство. Как указано выше, в Xq можно найти ба¬
зис xi,..., хп и элементы 1г € X* с k(xj) = 5ij. Положим
П П
Х\ := П KerZj, Pqx := ^Г^(ж)жз, Р±х := х — Pqx.
i=1 г= 1
Для всякого j имеем PqXj — lj(xj)xj = Xj. Ясно, что Po|xi = О,
Xq П Х\ = {0}, X — Xq ® Xi, ибо х — Pqx Е Х\ ввиду равенств
lj(х — Pqx) = lj(x) — lj(x)lj(xj) = 0. Непрерывность Pq и Pi ясна
из их определения. Очевидно также, что Р0 и Р[ совпадают с ал¬
гебраическими проектированиями на Xq и Х\. □
Бесконечномерное замкнутое линейное подпространство бана¬
хова пространства может не быть дополняемым (см. [7]).
Построим теперь изометрическое вложение нормированного
пространства X во второе сопряженное X**. Для каждого х Е X
рассмотрим функционал Jx: / i—> f(x) на X*.
4.4.4. Предложение. Отображение J: х ь-» Jx является ли¬
нейным изометрическим вложением X в X**.
Доказательство. Линейность J очевидна. Поскольку
\Ы/)\ = |/(®)| < INI при ||/|| < 1,
то || Jx\\ ^ ||х||. С другой стороны, согласно доказанному выше, если
X ф 0, то найдется / Е X* с ||/|| = 1 и /(ж) = ||ж||, т.е. Jx{f) = ||ж||,
откуда ||Jail ^ ||ж||. □
Если J(X) — X**, то пространство X называется рефлексив¬
ным. Ниже в § 4.5 будут приведены примеры рефлексивных и не
рефлексивных пространств. Следует иметь в виду, что рефлексив¬
ность пространства X не равносильна существованию изометрии
между X и X** (известен контрпример — знаменитое пространство
Джеймса, см. т); требуется, чтобы именно каноническое отобра¬
жение J было изометрией на все X**. Согласно теореме Джеймса,
банахово пространство рефлексивно в точности тогда, когда всякий
непрерывный функционал на нем достигает максимума на замкну¬
том единичном шаре.
§ 4.4. Применения теоремы Хана-Банаха
225
4.4.5. Определение. Множество А в нормированном про¬
странстве называется слабо ограниченным, если
sup |/(ж)| < оо
xGA
для всякого непрерывного линейного функционала I.
В вещественном случае достаточно иметь такую оценку без мо¬
дуля, ибо —I также является непрерывным функционалом.
4.4.6. Теорема. Множество в нормированном пространст¬
ве слабо ограничено в точности тогда, когда оно ограничено по
норме.
Доказательство. Слабая ограниченность множества А озна¬
чает, что семейство функционалов Jx, где х & А, ограничено на
каждом элементе X*. Так как X* банахово, то указанное семейство
ограничено по норме в X** по теореме Банаха-Штейнгауза. Ввиду
доказанного выше предложения множество А ограничено по норме.
Обратное утверждение очевидно. □
Например, множество А в гильбертовом пространстве Н огра¬
ничено в точности тогда, когда
sup |(а,/г)| < оо V/гбЯ.
авА
Это следует из теоремы Рисса об общем виде непрерывного линей¬
ного функционала на Н.
Еще одним полезным следствием существования изометриче¬
ского вложения X в X** является уже известный нам результат:
всякое нормированное пространство X обладает пополнением, яв¬
ляющимся банаховым пространством. Таким пополнением служит
замыкание образа X при вложении в X**.
В случае сепарабельного нормированного пространства с по¬
мощью теоремы Хана-Банаха легко получить счетное множество
функционалов, разделяющих точки.
4.4.7. Предложение. Пусть X — сепарабельное нормирован¬
ное пространство. Тогда существует такое счетное множество
функционалов ln £ X*, что из равенства 1п(х) — 0 при всех п
следует, равенство х = 0.
Доказательство. Пусть {хп} с X — некоторое счетное всю¬
ду плотное множество. Считая, что X ф 0, для каждого п най¬
дем ln £ X* с 1п(хп) = 11хп11 и ||гп|| = 1. Пусть 1п{х) = 0 при
226
Глава 4. Линейные операторы
всех п. Зафиксируем е > 0 и найдем хт с Цат — хт\\ ^ е. Тогда
||Жт|| - 1т(Хт) = 1т(хт ~ х) < \\хт - ж|| ^ £, Откуда ||ж|| < 2£.
Значит, х — 0. Из этого следует, что если х ф у. то 1п(х) ф 1п(у)
при некотором п, ибо х — у ф 0. □
Теперь мы перейдем к геометрическим следствиям теоремы
Хана-Банаха, связанным с разделением выпуклых множеств ги¬
перплоскостями. Как и сама теорема, эти следствия являются весь¬
ма нетривиальными и важными фактами даже в конечномерных
пространствах.
Пусть X — вещественное линейное пространство. Говорят, что
линейная функция I разделяет множества А, В С X, если
inf 1{х) ^ sup 1(х).
Х^А х€В
Иначе говоря, найдется такое число с, что
В С {ж: 1(х) < с} и А С {х: 1{х) ^ с}.
Геометрически это означает, что А и В находятся по разные сто¬
роны от аффинного подпространства В1 (с).
Если I ф 0, то множество {ж: 1(х) ^ с} называют полупро¬
странством, а {ж: 1(ж) = с} называют гиперплоскостью.
Назовем алгебраическим ядром множества А в линейном про¬
странстве X множество А всех таких точек ж € А, что для каждого
v € X найдется число е = е(и) > 0, для которого ж + tv € А при
\t| < £. Если X — нормированное пространство, то всякая внутрен¬
няя точка А входит в алгебраическое ядро, но алгебраическое ядро
может быть шире внутренности. Например, если в качестве X взять
пространство многочленов на [0,1] с нормой из С[0,1], то множе¬
ство многочленов ж с max* \x'(t)\ < 1 не имеет внутренних точек,
но совпадает со своим алгебраическим ядром. Для произвольно¬
го бесконечномерного нормированного пространства X множество
Z-1 {(—1,1)}, где I — разрывная линейная функция, также не имеет
внутренних точек, но совпадает со своим алгебраическим ядром.
Читателю предлагается проверить сказанное.
4.4.8. Лемма. Пусть V — выпуклое множество и V — его ал¬
гебраическое ядро. Тогда множество V выпукло или пусто и сов¬
падает со своим алгебраическим ядром.
При этом для всякой точки а & V и всякой точки Ь £ V
полуинтервал [а, Ъ) := [а + t(b — а): t € [0,1)} входит в V.
§ 4.4. Применения теоремы Хана-Банаха
227
Доказательство. Пусть ж £ V и дан вектор v. По определе¬
нию имеется такое е > 0, что х + tv £ V при |£| < е. Покажем, что
каждая точка у — х + tv при \t\ < е/2 входит в V. Надо проверить,
что для всякого вектора и найдется такое 8 > 0, что у + su £ V
при |s| < 8. Имеется г > 0, для которого х + su £ V при |s| < г.
Положим 8 — г/2. Тогда при |s| < 8 вектор у + su — х + tv + su
есть полусумма векторов х + 2tv и х + 2su, входящих в V. Итак,
элемент х входит в алгебраическое ядро V.
Пусть теперь есть два элемента х, у £ V и а £ (0,1). Проверим,
что z — olx Т (1 — а)у 6 V. Зафиксируем вектор v. Выберем е > О
так, что x + tveVny + tveV при \t\ < е. Тогда мы имеем
z + tv — а(х + tv) + (—la)(у + tv) £ V. Итак, ядро V выпукло.
При доказательстве последнего утверждения можно считать,
что а = 0. Покажем, что t.b £ V при всех t £ (0,1). Пусть дан
вектор v. Так как нуль входит в И, то при некотором е > 0 мы
имеем sv £ V при |s| < е. Тогда при |s| < е(1 — t) ввиду выпуклости
множества V получаем tb + sv — tb + (1 — £)(1 — £)_1sn £ И. □
Пусть V — выпуклое множество в линейном пространстве X.
Предположим, что алгебраическое ядро V содержит точку 0.
Функционал Минковского множества V есть функция
Pv(x) := inf> 0: t~xx £ V}.
Предположение о том, что 0 входит в алгебраическое ядро И, нуж¬
но лишь для того, чтобы функционал ру принимал конечные зна¬
чения. Ясно, что pv{x) ^ 1 при всех ж £ У.
4.4.9. Теорема. При указанных предположениях функционал
Pv является однородно-выпуклым и неотрицательным. При этом
алгебраическое ядро V есть {х: pv(x) < 1}. Если множество V
уравновешено (то. е. 9V С V при |6*| ^ 1), тору — полунорма.
Обратно, для всякой однородно-выпуклой неотрицательной
функции р м,нооюество U {ж: р(х) ^ 1} выпукло, его алгебраи¬
ческое ядро есть мноэюество {ж: р(х) < 1}, причем р = рц.
Доказательство. Как уже отмечалось, 0 ^ ру(х) < оо. Для
всякого а > 0 и всякого ж £ X имеем
ру (ах) = inf{t > 0: £_1аж £ V} =
= ainf{s > 0: s~lx € V} — ару(ж).
228
Глава 4. Линейные операторы
Пусть ж, у е X. Зафиксируем е > 0 и выберем такие s,t > 0, что
ру(ж) < s < ру (ж) + е, ру(у) < t < ру(у) + е. Тогда x/s € У,
y/i G У. Положим г = s + t. Тогда точка (х + y)/r = fx/s + £y/t
принадлежит отрезку с концами в x/s и y/t, т. е. из-за выпуклости
множества У входит в У. Итак, ру ((ж + у)/г) ^ 1, откуда
р{х + у) < г < ру (ж) + ру (у) + 2е.
В силу произвольности е получаем ру(ж + у) ^ ру(ж) +ру(у).
Если У уравновешено, то ру(бж) — ру(ж) при \в\ = 1, поэтому
ру оказывается полунормой.
Пусть ж входит в ядро У. Тогда существует такое е > 0, что
ж + еж € У, откуда ру (ж) < (1+е)-1 < 1. Обратно, пусть ру (ж) < 1.
Для всякого фиксированного вектора v при s > 0 получаем оценку
ру (ж + sv) ^ ру (ж) + spy (v) < 1, если spy (ж) < 1 — ру(ж).
Значит, найдется такое q > 1, что q(x + sv) € У. Тогда ж + sv € У.
Аналогично мы получаем, что ж — su € У при всех достаточно
малых s > 0. Итак, ж входит в алгебраическое ядро У.
Пусть р ^ 0 — однородно-выпуклая функция. В силу выпук¬
лости р множество U — {ж: р(ж) ^1} выпукло. Всякий элемент
ж е X с р(ж) < 1 входит в алгебраическое ядро U, ибо
р(ж + ty) < 1 при |t| < (1 - р(ж))/ max(р(у), 1).
Если же р(ж) ^ 1, то ж не входит в алгебраическое ядро U, так как
р(ж + еж) = (1 -Ь е)р(ж) ^ 1 + е > 1
при всех е > 0. Из определений очевидно, что ри = Р- □
4.4Л0. Теорема. Пусть U и V — выпуклые множества в ве¬
щественном линейном пространстве X, причем алгебраическое
ядро U не пусто и не пересекается с У. Тогда существует нену¬
левая линейная функция, разделяющая U и V.
Доказательство. Можно считать, что 0 входит в алгебраи¬
ческое ядро U (иначе можно было бы перейти к множествам U — а
и У—а для некоторой точки а из алгебраического ядра U). Возьмем
какую-нибудь точку vq Е V и положим
W := U - У + v0.
Ясно, что W — выпуклое множество, ибо
t(u - v + то) + (1 — t)(u' — v' + vq) = и'1 — v" + г>о,
§4.4. Применения теоремы Хана-Банаха
229
где и" = tu + (1 - t)u' G U, v" — tv + (1 — £)г/ € V при t, G [0,1],
«,«' G U, v, v' € У. Алгебраическое ядро W множества W содер¬
жит 0, так как для всякого вектора z есть такое е > 0, что tz € U
при |t| < е, а тогда tz = tz — vq + vо G U — V + vq. Кроме того,
vq W. В самом деле, в противном случае ядро U — V содержит 0.
Значит, 0 G U — V, т. е. U и V имеют общий вектор е (что не ис¬
ключено в данной ситуации), причем е ф 0, ибо в V нет точек из
ядра U. Найдется такое е > 0, что ее G U — V. Это значит, что
ее = и — v, где и G U, v G V. По доказанной выше лемме точка
(1 + е)~1и входит в ядро U. С другой стороны, эта точка входит
в множество V ввиду выпуклости последнего, ибо
(1 + e)~lu — (1 + е)_1(н — ее) + е(1 + е)_1е, и — ее = v.
Получаем противоречие с тем, что ядро U не пересекается с V.
Обозначим через р функционал Минковского множества W. То¬
гда р{у о) ^ 1. На одномерном подпространстве векторов вида tv о
зададим линейную функцию lo(tvo) = tp(vo). По теореме Хана-
Банаха можно продолжить 10 до линейной функции I на X, удо¬
влетворяющей неравенству I ф р. Тогда l(w) ^ 1 при w G W, ибо
p(w) ^ 1 при всех w G W. Действительно, по доказанной выше
лемме Xw G W при всех Л G (0,1), откуда Xp(w) = p(Xw) ^ 1, что
при Л —► 1 дает нужную оценку. Так как l(vо) = ф(то) — р{ро) ^ Т
то I разделяет множества W и vq. Значит, I разделяет U — V и {0},
но тогда I разделяет U и V. □
Отметим, что в предыдущей теореме не использовалась топо¬
логия: алгебраическое ядро определялось в чисто алгебраических
терминах. Применительно к нормированным пространствам полу¬
чаем такое утверждение.
4.4.11. Следствие. Пусть выпуклые множества U и V в ве¬
щественном нормированном пространстве X не пересекаются,
причем U открыто. Тогда существует ненулевая непрерывная ли¬
нейная функция, разделяющая U и V.
Доказательство. Алгебраическое ядро U совпадает с U вви¬
ду открытости U: всякая точка из U входит в U с шаровой окрест¬
ностью. Поэтому существует ненулевая линейная функция I, разде¬
ляющая U mV. Такая функция автоматически непрерывна в случае
открытого множества U. Это следует из такого очевидного заме¬
чания: если линейная функция I ограничена сверху или снизу на
непустом открытом множестве, то она непрерывна. В самом деле,
230
Глава 4. Линейные операторы
функция I ограничена сверху или снизу на некотором шаре ра¬
диуса г > 0. Поэтому она ограничена сверху или снизу на шаре
радиуса г с центром в нуле, что дает ограниченность по модулю на
этом шаре. □
Приведем еще один очень полезный близкий результат.
4.4.12. Следствие. Если V — замкнутое выпуклое множе¬
ство в вещественном нормированном пространстве X и х V,
то существует I Е X* с 1(х) > supveVl(v). Следовательно,
V есть пересечение семейства замкнутых полупространств. Ес¬
ли V линейно, то можно взять I так, что 1(х) = 1 и 1\у — 0.
Доказательство. В первом утверждении можно считать, что
х — 0. Возьмем такой открытый шар U с центром в нуле, что
U Г)У — 0. Как мы уже знаем, найдется ненулевой функционал
I Е X* с infueul(u) -3= s\xpveVl(v). Тогда infu€jrjl(u) < 0 = 1(0),
ибо в противном случае 1 — 0. Если V линейно, то 1\у — 0 (иначе
супремум бесконечен). □
§4.5. Сопряженные пространства
Здесь указаны сопряженные к важнейшим конкретным банахо¬
вым пространствам. Сначала докажем следующую очень важную
теорему Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала
на гильбертовом пространстве.
4.5.1. Теорема. Пусть Н — вещественное или комплексное
гильбертово пространство. Тогда для всякого v £ Н формула
lv(x) = (x,v)
задает непрерывный линейный функционал на Н и ||£Д| = ||н||.
Обратно, всякий функционал I € Н* задается таким способом,
а отображение v lv является изометрией, которая линейна
в вещественном случае и сопряженно-линейна в комплексном.
Доказательство. Равенство ||Z„|| = ||н|| следует из оценки
|(ж,н)| ^ IMHMI и равенства lv(v) = ||н||2. Пусть I € Н*. Если
I = 0, то v — 0. Если же Но ^-1(0) ф Н, то возьмем единич¬
ный вектор е J_ Но и положим v := 1(е)е. Тогда для всех х € Н
имеем l(x) — (x,v), ибо это верно при ж € Яо и при х — v ввиду
равенств l(v) = \l(e)\2 = (v,v), а всякий вектор х Е Н имеет вид
х — x — l(x)l(e)~1e + l(x)l(e)~1e, где х — l(x)l(e)~1e Е Но. Последнее
утверждение теоремы очевидно. □
§ 4.5. Сопряженные пространства
231
Из этой теоремы следует, что всякий непрерывный линейный
функционал F на Н* имеет вид F(l) = 1(a), где а Е Н (функционал
v е-> F(lv) = (v,a) линеен, поэтому F(lv) — (a,v) = lv(a), где а Е Н),
т. е. гильбертово пространство Н рефлексивно.
4.5.2. Замечание. Мы знаем (см. замечание 3.2.9), что всякое
евклидово пространство Е (необязательно полное) имеет пополне¬
ние Е, являющееся гильбертовым пространством. Отождествляя Е
с линейным подпространством в Е, мы получаем, что всякий непре¬
рывный линейный функционал на Е имеет вид
Поскольку Е плотно в Е, то вектор v определен однозначно. Таким
образом, сопряженное к Е можно отождествить с Е.
Выведем из теоремы Рисса теорему Радона-Никодима (гл. 1).
4.5.3. Теорема. Пусть р и и — конечные неотрицательные
меры на измеримом пространстве (Х,А) и о <С /л. Тогда имеет
место равенство и — g ■ р, где g Е И1{р).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим еще одну меру Л = р+и. Тогда,
всякая функция ф, интегрируемая относительно Л, интегрируема
и относительно р, причем ее интеграл по мере р не изменится при
переопределении ф на множестве A-меры нуль. Следовательно, на
вещественном Т2(А) корректно определена (не зависит от выбора
представителя р) линейная функция
причем в силу неравенства Коши-Буняковского мы имеем
что дает непрерывность L. По теореме Рисса существует такая
функция ф Е £2(А), что
для всех р Е L2(А). Будем иметь дело с ее Л-измеримой версией.
Подставив р = Iа, где А Е Л, находим
1{х) = (ж, и), где v Е Ё.
\Мт)\ < / / И^А^||1|Ь(л)|И1ь2(А)
(4.5.1)
р — ф ■ A, v = (1 — ф) ■ А.
232
Глава 4. Линейные операторы
Покажем, что функция {1-'ф)/ф подходит в качестве dvjdp. Пусть
П0 = {ж: ф(х) ^ 0}, Hi = {х: ф{х) > 1}. Тогда П0,П1 € Л. Подста¬
вив в равенство (4.5.1) функцию = 1р0, получаем
/х(По) = / фбХ^О,
Jcia
откуда //(По) = 0. Аналогично //(Hi) = 0, ибо //(Hi) ^ A(Hi), но
ц(Пi) — [ фйХ> A(Hi),
JCh
если ц(Пх) > 0. Поэтому функция д, заданная равенствами
д — {1 — ф)/ф вне По U Hi и д — 0 на По U Hi,
неотрицательна и Л-измерима. Кроме того, д € Т1 (//). В самом
деле, функции fn = gl{^\/n} ограничены и возрастают поточечно
к д. При этом fn • р = fnil> ■ А, /„V = l{f^i/n}0- ~ откуда
I fn dp — / i/n}(l — Ф) ^А / dv ^ ^(-^О-
Jx Jx Jx
Теорема Беппо Леви дает включение д € .С1 (//) и также сходимость
{fn} к д в L1(/i). Наконец, если A G Л, то IaI^i/п} 1а р-п.ъ.,
следовательно, и (у-п.в. (лишь в этом месте используется условие,
что и //). Поэтому ввиду равенств и — (1 — ф) - А, р — ф- А,
1{^1/„}(1 ~ Ф) = \/п}вФ, из которых следует соотношение
-fp/^i/n} • V = 1{ф>1/п}в ■ М, находим
НА)
lim
п—> оо
У 1/n} dv J — J
gdp
в силу сходимости {/п} к р в Lf{p). Итак, и = д ■ р. □
Приведем теперь другую важную теорему Рисса об общем виде
непрерывного линейного функционала на пространстве С[а.Ъ).
4.5.4. Теорема. Общий вид непрерывной линейной функции
на вещественном или комплексном пространстве С[а, Ь] таков:
1(х) — / x(t)p{dt),
J[a,b]
где р — ограниченная борелевская мера на [а, 6] (в комплексном
случае комплексная), причем ||Z|| = \\р\\.
§ 4.5. Сопряженные пространства
233
Доказательство. Для упрощения формул рассмотрим веще¬
ственный случай. По теореме Хана-Банаха всякий непрерывный
линейный функционал I на С [а, Ь] продолжается с сохранением нор¬
мы на пространство В[а,Ь] всех ограниченных функций на [а, Ь].
Продолжение обозначим также через I. Положим
т :=*(/[«,.]).
Покажем, что функция F имеет ограниченное изменение. Пусть
а = t0 < t{ < ■ ■ ■ < tn = 6 и ек := sgn(F(tfe) - F(tk-i)), где через
sgncc здесь и далее обозначается знак ж; sgnO = 0. Тогда
П П
Е \пи) - f(u-i) I = =
г=1 г=1
п п
i=l
г=1
ибо функция Ya=i £i{I[a,u} ~ I[a,U-i]) может принимать лишь зна¬
чения — 1,1,0. Итак, Va(F) ^ ||Z||. Функция F имеет не более чем
счетное множество Т точек разрыва (см. §1.12), причем эти точ¬
ки являются точками скачка. Переопределим F в этих точках так,
чтобы получить непрерывную слева функцию Fq. Легко проверить,
что Vb(Fo) ^ V>(F).
Пусть теперь х — непрерывная на [a, b} функция. Зафиксируем
е > 0 и выберем такое S > 0, что |x(t) — a;(s)| ^ е при \t — s| ^ 5
и выполнено неравенство
гЬ п
/ x(t)dF0(t) - ^2x(ti)(F0(ti) - Fo(ti_!))
Jo. j=i
^ e,
если точки a = to < t\ <•■■< tn = b таковы, что |ti — U-i\ ^ 5.
Выберем такие точки вне Т (в них Fo я F равны) и возьмем сту¬
пенчатую функцию ф, равную x(ti) на i = 1 ,...,п. По¬
ложим ф(а) = х(а). Ясно, что ||ж — 'ф|| ^ е. Поэтому получаем
11(х) - 1{ф)| ^ e||Z||. Наконец, 1(ф) = ^Г=1 x(ti)(F0(ti) - Ho^-i)),
откуда
/
x(t) dFo it) — 1{х)
^ Д1 +
Ввиду произвольности е величина 1{х) есть интеграл Стилтьеса
от х по функции Fq. Как мы знаем (см. §1.12), такой интеграл
234
Глава 4. Линейные операторы
можно представить в виде интеграла Лебега по борелевской мере д,
порождаемой Fq. Легко видеть, что интеграл Стилтьеса от х по Fq
не больше V^(Fo) sup4 |x(i)|, откуда ||Z|| < V^(Fq), т. e. выполнено
равенство ||2|| = V^(F).
Докажем равенство ||д|| — V^(Fq). Так как ||д|| есть супремум
сумм |/i(Ai)| + • • • + \(г(Ап)\ по дизъюнктным Д, то ||д|| не мень¬
ше супремума сумм |д([а*, ai+i)) | = |jPo(ai+i) — F(a,i)\ п0 всем на¬
борам а\ < ... < ап, откуда ||д|| ^ V^(Fq). С другой стороны,
при фиксированном £ > 0 и всякого набора дизъюнктных борелев-
ских множеств А\,..., Ап можно найти дизъюнктные промежутки
[ai,bi),...,[ak,bk), что
Im(^i)I + • ■ • + |/ДАг)| ^ |м([а11 Ф)) ] + •■• + |д([«ь bk)) | + £,
откуда ||д|| ^ V^(Fq) +£. Ввиду произвольности е получаем требу¬
емое. □
Теорема Рисса остается в силе для всякого компакта вместо от¬
резка (см. [7]), но в общем случае не обойтись кустарными постро¬
ениями типа приведенных выше (для компакта на прямой годится
данное доказательство). Возникает вопрос: нельзя ли получить ис¬
комую меру д сразу как действие продолжения I на индикаторы?
Оказывается, ответ отрицательный: полученная функция множе¬
ства может быть не счетно-аддитивной.
4.5.5. Пример. В пространстве В[0,1] всех ограниченных
функций на [0,1] с нормой ||<р|| = supt |y(i)| рассмотрим линейное
подпространство Е всех функций, отличных от нуля лишь в конеч¬
ном числе точек. Затем возьмем множество Q всех рациональных
чисел в [0,1] и рассмотрим линейное пространство L, порожденное
Е и индикатором Q (заметим, что Iq Е). На Е определен нулевой
функционал. Продолжим его на L, положив 1(1 q) — 1 и доопреде¬
лив по линейности. Заметим, что \1(<р) | ^ ||<д|| для всех ip € L.
Действительно, tp(t) — alg(t) + h(t) и 1(ф) = а, где а £ И1 и h € Е.
Функция h отлична от нуля в конечном числе точек и потому равна
нулю в некоторой рациональной точке t, откуда p(i) = а. Продол¬
жим I до непрерывного функционала на Н[0,1]. Тогда функция
множества А ь-> 1(1 а) не может быть счетно-аддитивна на классе
борелевских множеств, ибо в противном случае она была бы равна
нулю на Q, обращаясь в нуль на точках.
Рассмотрим функционалы на известных нам пространствах по¬
следовательностей.
§ 4.5. Сопряженные пространства
235
4.5.6. Теорема, (i) Общий вид непрерывной линейной функ¬
ции на со таков:
ОО
l(x) = Y^VnXn, где у = (у„) € I1 и ||Z|| = ||y||/i.
П—1
(И) Пусть 1 < р < оо. Общий вид непрерывной линейной функ¬
ции на 1Р таков:
ОО
Кх) = $ZvnXn, где У = (уп) е lq, l/p+1/q — \ и ||Zj| = \\у\\1ч.
п=1
(ш) Общий вид непрерывной линейной функции на 1г такое:
ОО
Кх) = ^2упХп, где у = (уп) € 1°° и ||Z|| = Цуфоо.
71= 1
Доказательство. Ясно, что всякий элемент у е Z1 задает
функционал I на со по указанной формуле, причем ||l|| ^ ||y||p.
Поскольку для вектора х = (sgn yi,... ,sgnyn,0,0,...) мы имеем
||х|| = 1 и l(x) — |у*|) т0 на самом деле ||Z|| = ||j/||p. Обрат¬
но, пусть I — непрерывный линейный функционал на со- Поло¬
жим уп :— 1(еп), где еп — последовательность с 1 на п-м месте
и 0 на остальных местах. Тогда имеем X^=i \уг\ — Кх) ^ |И| для
х = (sgnyi,... ,sgnyn, 0,0,...), откуда у € I1. Вектор у задает
функционал Zo> совпадающий с I на конечных линейных комбина¬
циях векторов еп. Поскольку такие комбинации плотны в со, а оба
функционала непрерывны, то получаем равенство 1 — 1о. Это до¬
казывает утверждение (i). Утверждения (и) и (ш) доказываются
совершенно аналогично, надо лишь воспользоваться неравенством
\хпУп\ ^ ||ж'||гр||у||гв. Например, в (И) это неравенство доказы¬
вает непрерывность функционала, заданного рядом. С другой сто¬
роны, чтобы представить непрерывный функционал I в виде такого
ряда, полагаем уп :— 1(еп). Числа -sm — \yi\q -\ (- \ym\q равномер¬
но ограничены. В самом деле, sm = l(v), v = (ci,..., cm, 0,...),
где ck = |yfe|9_1sgnyfe, если yk ф 0, ck = 0, если yk = 0. При
этом ||u||y, = YJk=\ \Vk\qi так как р{я — 1) — q- Мы знаем, что
\l(v)\ ^ ||/|| Цифр. Это дает оценку sm < \\l\\sUP, откуда sm ^ \\l\\q.
Теперь получаем, как и выше, что I задается рядом с помощью
чисел ук. □
Теорема верна и для комплексных пространств; в доказатель¬
стве вместо sgnуп берем дп € С так, что \вп\ = 1, впуп — \уп\.
236
Глава 4. Линейные операторы
Таким образом, имеет место равенство Сд* = 1°°. Это равенство
любопытно тем, что дает один из немногих известных примеров,
в которых явно вычисляется второе сопряженное нерефлексивно¬
го пространства. Конечно, образуя прямые суммы со с рефлексив¬
ными пространствами, можно умножить число примеров, но без
использования со обойтись трудно.
Теперь рассмотрим пространства 1Л
4.5.7. Теорема. Пусть р — неотрицательная а-конечная ме¬
ра на измеримом пространстве (О.Л).
(i) Пусть 1 < р < оо. Общий вид непрерывной линейной функ¬
ции на естественном или комплексном Lp(p) таков:
1{х) = / х{и)у{т) p(du), где у € Lq(p), 1 /р + l/q = 1.
Ja
При эт,ом \\1 = \\у\\Ья^).
(и) Общий вид непрерывной линейной функции на веществен¬
ном или комплексном Ьг(р) таков:
1{х) = / х(ш)у(ш) p(du>), где у € £°°(ц).
■т
При этом ||Z|| = ||y||i,oc(/i).
Доказательство. Для упрощения выкладок мы рассмотрим
вещественный случай. Из неравенства Гёльдера видно, что всякая
функция у £ Lq\p) задает на LP(p) линейный функционал, нор¬
ма которого не превосходит ||г/||щ(м). Если при р > 1 в качестве х
подставить функцию х(ш) — sgny(w)|y(w)|9/p, то с учетом соотно¬
шения q/p = q — 1 получим равенства
1М1др(м) = IMiLfo) и [ х{и)у{ш) p{du) = \\у\\1Ч1г),
показывающие, что ||/|| = ЦуДлцщ В случае р — 1 мы положим
с := НуНх/Щ/Ц- Если с = 0, то I — 0. Пусть с > 0. Рассмотрим
множества Еп :— {ш: с — 1/п ^ |у(а>)| ^ с} положительной меры
и возьмем функции хп := lEnsgay/p(En) с нормой 1. Тогда
1{хп) = / хп(ш)у(т) p(dui) ^ с - 1/п
JU
и потому || 1\\ ^ с—1/п, т. е. ||/|| ^ с. Обратное неравенство очевидно.
§ 4.5. Сопряженные пространства
237
Пусть дан непрерывный линейный функционал I на Lp{p). Раз¬
бивая пространство П на части конечной меры, легко свести общий
случай к случаю конечной меры. Поэтому далее будем считать, что
д(Г2) < оо. Функция
является счетно-аддитивной мерой на А. Если ц(А) — 0 при неко¬
тором 4 6 Л, то г/(И) = 0, т. е. мера v абсолютно непрерывна отно¬
сительно меры д. По теореме Радона-Никодима существует такая
д-интегрируемая функция у, что
Поэтому для всякой простой функции х величина 1(х) равна инте¬
гралу от ху. Следовательно,
Предельным переходом распространяем эту оценку на все ограни¬
ченные д-измеримые функции х. Пусть р > 1. Подставим в каче¬
стве х функцию х(ш) = sgny(w)|y(c<;)|,J/,p/{|2/|$;n}, где п £ IN. Это
дает оценку
Итак, \\у1{\у\^п}\\1,1М < \Щ\ 1И|уКп}11ЙРМ, откуда ввиду равенства
q — l+q/p получаем оценку Цу/^i <п}]|м(д) < Ш-По теореме Фату
\\у\\ьч{ц) ^ ||/||- Функция у задает на 17 (д) непрерывный линейный
функционал 1о, который совпадает с I на всех простых функциях.
Ввиду непрерывности обоих функционалов и плотности множества
простых функций в Ц>(ц) с р < оо получаем равенство I = Iq.
Наконец, в случае д = 1 из (4.5.2) получаем неравенство
Оно показывает, что д(ш: |y(w)| > ||Z||) = 0, т.е. ||у||ь°°(/и) < Ш,
и(А) := 1(1 А), АеА,
х(ш)у(ш) у(йш) ||2|| \\x\\lp^)- (4.5.2)
[ 1уИ19/{|уКп}Ид(с^) < ||2|| \\у1{Шп}\\ьцм)
•J Q
что завершает доказательство.
□
238
Глава 4. Линейные операторы
§ 4.6. Теоремы об обратном операторе и замкнутом
графике
Этот параграф посвягцен еще двум фундаментальным резуль¬
татам теории линейных операторов. Первый из них утверждает,
что обратный к непрерывному линейному оператору, отображаю¬
щему одно банахово пространство взаимно однозначно на другое,
автоматически оказывается непрерывным, а второй устанавливает
равносильность непрерывности линейного оператора в банаховом
пространстве замкнутости его графика. Эти результаты вытекают
из доказываемого ниже утверждения, что непрерывные линейные
сюръекции банаховых пространств переводят открытые множества
в открытые. Мы увидим, что на самом деле все три результата
равносильны. Хотя доказательства этих результатов не столь уж
длинны, но все же они не столь просты, как доказательства боль¬
шинства остальных теорем этой главы (кроме, возможно, теоремы
Хана-Банаха). Впрочем, совершенно тривиальным является сведе¬
ние какого-либо одного из упомянутых результатов к любому дру¬
гому; некоторых усилий требует лишь обоснование хотя бы одного
из них.
Следующий результат Банаха и Шаудера лежит в основе мно¬
гих важных результатов, связанных с образами операторов.
4.6.1. Лемма. Если X и Y — банаховы пространства с от¬
крытыми единичными шарами Ux uUY, а непрерывный линейный
оператор А: X —> У таков, что UY входит в замыкание A(UX),
то UY С A{UX). В частности, А{Х) = Y.
Доказательство. Из условия следует, что
A(sUx) П sUY плотно в sUY для всякого s > 0. (4.6.1)
Пусть у £ UY и 0 < е < 1 - ||у||. Тогда ||(1 - е)~1у|| < 1. Поэтому
есть вектор х\ £ Ux, для которого ||(1 - е)~1у — Ах\\\ < е, т.е.
(1 - е)~ху — Ах 1 € eUY. Ввиду (4.6.1) найдется вектор х2 £ eUx,
для которого ||(1—e)~ly—Ах\ —ДжгЦ < е2. По индукции с помощью
свойства (4.6.1) находим хп £ en~lUx с
||(1 - е)~1у - Ах 1 - ... - Ахп|| < еп.
ОО
У = (1 - е) Y2 Ахп-
П= 1
Тогда
§ 4.6. Теоремы об обратном операторе и замкнутом графике
239
Ввиду оценки ||жп|| < еп 1 и полноты X ряд (1 — е) хп схо¬
дится к некоторому х Е X. При этом
Ах = у и ||ж|| < (1 — е)(1 + е Н Ь ега_1+ •••) = 1,
т. е. х Е Ux. Итак, UY С A(UX). □
Следующая теорема об открытом отображении получена Бана¬
хом и Шаудером.
4.6.2. Теорема. Пусть X и Y — банаховы пространства,
A Е £(Х, Y), А(Х) ~ Y. Тогда для всякого открытого в X мно¬
жества V множество A(V) открыто в пространстве Y.
Доказательство. Пусть их— открытый единичный шар в X.
Поскольку У = U^Li A(nUx), то по теореме Бэра найдется та¬
кое к, что множество A{kUx) плотно в некотором открытом ша¬
ре UY (о, г) радиуса, г > 0 с центром в точке а Е У. Так как
A{kUx) = —A(kUx), то A{kUx) плотно и в шаре UY(—a,r). Зна¬
чит, A{kUx) плотно в шаре С7у(0,г). В самом деле, если ||у||у ^ г
и ип, vn € Ux таковы, что А(кип) —> а + у и A(kvn) —> —а + у, то
wn := (un + vn)/2 G Ux и A(kwn) —* у. Заменив А на г~1кА, можно
считать, что A(UX) плотно в открытом единичном шаре UY в У.
По доказанной выше лемме UY С A(UX). Значит, для всех х G X,
г > 0 имеем UY(Ax,r)cA(Ux(x,r)), где Ux(x,r) — шар в X.
Предположим теперь, что V — непустое открытое множество
в X. Пусть у G A{V), т. е. у — Ах, х G V. Найдем такое е > О,
что Ux(x,e) С V. Тогда UY(y,e) С A(Ux(x,e)) С A(V) в силу
доказанного выше. Итак, A(V) открыто. □
Важным следствием является теорема об обратном операторе:
еще один классический результат Банаха.
4.6.3. Теорема. Пусть А — взаимно однозначное линейное
непрерывное отображение банахова пространства X на банахово
пространство У. Тогда обратный оператор И-1 непрерывен.
Доказательство. Прообраз при отображении И-1 любого от¬
крытого в X множества V совпадает с A{V) ввиду взаимной одно¬
значности А. В силу предыдущей теоремы этот прообраз открыт
в У, что и означает непрерывность И-1. □
Для нелинейных отображений бесконечномерных банаховых
пространств заключение этой теоремы может быть неверным (но
при X = У = И” теорема верна и для нелинейных отображений!).
240
Глава 4. Линейные операторы
4.6.4. Следствие. Пусть линейное пространство X полно
относительно двух норм р и q. Предполоэюим, что найдется та¬
кое число с, что р(х) ^ cq(x) для всех х Е X. Тогда существует
такое число М, что q{x) ^ Мр(х) для всех х € X.
Доказательство. Условие означает непрерывность тождест¬
венного отображения из X с нормой q в X с нормой р. Тогда по
теореме Банаха непрерывно и обратное отображение, т. е. оно имеет
конечную норму, что и означает наличие нужного числа М. □
В условии валена полнота по обеим нормам: например, на С[0,1]
обычная sup-норма не эквивалентна В2-норме.
Естественно возникает вопрос, бывают ли несравнимые банахо¬
вы нормы. В задаче 4.10.20 предлагается показать, что такое можно
устроить на каждом бесконечномерном банаховом пространстве.
Правда, как и построение разрывных линейных операторов, для
этого приходится использовать что-то связанное с аксиомой выбо¬
ра или аналогичными аксиомами.
Для формулировки еще одного важного следствия теоремы об
открытом отображении введем новый объект.
График отображения А: X —> У есть множество
Г(Л) := {(х,Ах): i€l}c XxY.
Если при этом X и Y — банаховы пространства, то произведение
XxY наделяется естественной структурой линейного пространства
и естественной нормой ||(ж,г/)|| := ||ж|| + ||у||. Ясно, что XxY полно
относительно этой нормы.
Теперь докажем теорему о замкнутом графике.
4.6.5. Теорема. Линейное отображение А: X —* Y между
банаховыми пространствами непрерывно в точности тогда, ко¬
гда его график замкнут в XxY.
Доказательство. Любое непрерывное отображение имеет за¬
мкнутый график: если хп —> х, Ахп —► у, то Ахп —> Ах и потому
у — Ах. Обратное для нелинейных отображений неверно (зада¬
ча 4.10.8). В случае линейного отображения А с замкнутым гра¬
фиком замечаем, что этот график есть линейное подпространство
в X х У и потому ввиду замкнутости является банаховым про¬
странством. При этом оператор Т: Г(Л) —> X, (х, Ах) н-► х линеен,
непрерывен и отображает Г (Л) взаимно однозначно на X. По тео¬
реме об обратном операторе отображение х (ж, Ах) непрерывно.
Это и означает непрерывность А. □
§ 4.6. Теоремы об обратном операторе и замкнутом графике
241
4.6.6. Следствие. Пусть X.Y, Z — банаховы пространства
и j: Y —> Z — инъективный непрерывный линейный оператор.
Предположим, что линейное отображение А: X —*• Y таково,
чт,о композиция jo А: X —> Z непрерывна, т. е.
X у -U Z,
где непрерывно сквозное отображение. Тогда А непрерывно.
Доказательство. Проверим замкнутость графика отображе¬
ния А. Предположим, что хп —> х в X и Ахп —> у в Y. Из условия
следует, что
j(Axn) -» j(y), j(Axn) = joA(xn) -s- уоП(ж).
Значит, j(y) = joA(x), откуда у — Ат. □
Значительное преимущество проверки непрерывности операто¬
ра с помощью теоремы о замкнутом графике по сравнению с опре¬
делением состоит в следующем. Определение требует установить,
что если последовательность {хп} сходится к х, то, во-первых, по¬
следовательность {Ахп} тоже сходится, во-вторых, ее предел — Ах.
При использовании теоремы о замкнутом графике нам надо лишь
проверить, что в случае сходимости {Ахп} предел будет имен¬
но Ах, т. е. остается наиболее легкая часть работы.
Приведем характерные примеры использования полученных
выше результатов.
4.6.7. Пример. Пусть A: L2[a,b} —> L2[a,b\ — такой непре¬
рывный линейный оператор, что А{1?[а,Ъ\) С С[а,Ь]. Тогда дан¬
ный оператор А непрерывен как отображение из Ь2[а,Ь\ в С[а,Ъ\.
В терминах оценок: если ||Аг||х2 ^ МЦжЦ^а и A(L2[a,b}) С С[а,Ь],
то имеем ЦДагЦс ^ М'ЦжЦ^г.
4.6.8. Пример. Пусть банахово пространство X представле¬
но в виде прямой алгебраической суммы своих замкнутых подпро¬
странств Х\ и Хч- Тогда операторы алгебраического проектирова¬
ния Р\ : X —» Х\ и Рч: X —> Х2 непрерывны.
Доказательство. Можно рассмотреть X как прямую сумму
пространств Xi и Х2 с нормой (жржг) |—► ||а|| + \\%21|, относитель¬
но которой X полно. Ввиду неравенства \\х\ + хч\\ ^ ||xi|| + ЦжгЦ
следствие 4.6.4 показывает, что новая норма эквивалентна старой.
Поскольку проекции очевидным образом непрерывны относитель¬
но новой нормы, то они непрерывны и относительно старой. □
242
Глава 4. Линейные операторы
Следует иметь в виду, что алгебраическая прямая сумма двух
замкнутых линейных подпространств банахова пространства вовсе
не обязана быть замкнутой (см. задачи 3.8.45 и 4.10.15).
Отметим также, что, хотя условие полноты пространств в те¬
оремах об открытом отображении и замкнутом графике можно
несколько ослабить, эти теоремы не переносятся на произвольные
нормированные пространства. Например, линейное отображение
Т ь-> (хп) t—> (п~1хп) переводит линейное подпространство Iq С Z2,
состоящее из векторов с конечным числом ненулевых координат,
взаимно однозначно в это же подпространство. Ясно, что Т непре¬
рывно. Обратное отображение А — Т~г имеет вид (уп) (пуп) и
очевидным образом не имеет конечной нормы. При этом график А
замкнут (он получается из графика Т изоморфизмом (х, у) > (у, х)
пространства l^l2). Кроме того, образ открытого единичного шара
при Т не является открытым, так как не содержит никакого шара
положительного радиуса с центром в нуле. Недостаточно также по¬
требовать лишь полноту X. Например, возьмем X — I2 с обычной
нормой, выберем в X базис Гамеля {hq} из векторов единичной
длины и рассмотрим тождественное отображение из X в это же
пространство, но наделенное новой нормой ||t||i := \x0t\i ГДе
х — 52ажаг;а. Из оценки ||х|| ^ ||t||i следует, что тождественное
отображение имеет замкнутый график: если хп —► х по исходной
норме и хп —> у по новой норме, то хп —> у и по исходной норме,
откуда х = у. Однако это отображение разрывно, ибо иначе обе
нормы были бы эквивалентны, но по новой норме пространство X
несепарабельно, поскольку базис Гамеля несчетен (задача 3.8.22)
и \\va — ту||i = 2 при всех а ф /3. См. также задачу 4.10.22.
Наконец, не следует забывать, что обе теоремы в общем случае
неверны для нелинейных отображений даже на прямой.
§ 4.7. Слабая и ^-слабая сходимость
На пространстве Ш” имеется естественная покоординатная схо¬
димость. Эта сходимость равносильна сходимости по стандартной
норме, что, как мы знаем, влечет равносильность сходимости по
любой норме на IRn. На пространстве I2 тоже есть покоординатная
сходимость, но она значительно слабее сходимости по норме; поко¬
ординатная сходимость даже не влечет ограниченность по норме.
Например, неограниченная последовательность векторов пеп, где
{еп} — стандартный базис в /2, покоординатно сходится к нулю.
§ 4.7. Слабая и ж-слабая сходимость
243
В этом параграфе мы кратко обсудим очень важное для прило¬
жений понятие слабой сходимости в нормированном пространстве
(сводящееся к покоординатной в IRn), а также аналогичное понятие
*-слабой сходимости в сопряженном пространстве.
4.7.1. Определение. Пусть X — нормированное простран¬
ство. Последователъност,ъ векторов xn G X называется слабо
сходящейся к вектору х G X, если
lim f{xn) — fix) для всякого / € X*.
п—юо
Последовательность функционалов fn G X* называется *-слабо
сходящейся к функционалу / € X*, если
lim fn(x) = fix) для всякого х G X.
п—>оо
Аналогично вводятся слабая и ^-слабая фундаментальность.
Из теоремы Банаха-Штейнгауза и теоремы 4.4.6 получаем та¬
кое утверждение.
4.7.2. Предложение. Всякая слабо сходящаяся последова¬
тельность в произвольном нормированном пространстве. X огра¬
ничена по норме.
Всякая *-слабо сходящаяся последовательность в X* ограни¬
чена по норме.
Особенно большое значение в приложениях имеет слабая сходи¬
мость в гильбертовом пространстве. Поскольку здесь сопряженное
отождествимо с самим пространством, то слабую сходимость мож¬
но отождествить со ж-слабой.
4.7.3. Пример. Пусть Н — сепарабельное гильбертово про¬
странство с ортонормированным базисом {еп}. Последовательность
векторов hk £ Н слабо сходится к вектору h в точности тогда, ко¬
гда она ограничена по норме и для всякого п последовательность
чисел (hk,en) сходится к (/г, еп). В частности, последовательность
слабо сходится в I2 в точности тогда, когда она ограничена и схо¬
дится покоординатно.
Доказательство. Пусть supn||/in|| < оо и (hk,en) —> (h,en)
для всякого п. Ясно, что тогда (/г*,, ж) —» (h, х) для всякого х, явля¬
ющегося конечной линейной комбинацией еп. Это дает сходимость
на каждом элементе х € Н, ибо для всякого е > 0 найдется конеч¬
ная линейная комбинация z векторов базиса с ||.т — z\\ ^ е, откуда
имеем \(hk,x) - (,hk,z)\ ^ esupn \\hn\\. □
244
Глава 4. Линейные операторы
Однако слабая сходимость в I2 не равносильна покоординатной
сходимости: например, последовательность векторов пеп покоор¬
динатно сходится к нулю, но не сходится слабо из-за стремления
норм к бесконечности (конечно, здесь легко и явно указать вектор,
на котором нет сходимости, скажем, вектор х = (хп) с нулевыми
нечетными координатами и Х2п — п~г).
Простейший пример слабо сходящейся последовательности, ко¬
торая не сходится по норме, — ортонормированный базис {еп} бес¬
конечномерного гильбертова пространства (например, стандарт¬
ный базис в I2).
4.7.4. Пример. Последовательность функций /„ € С[а, Ь] сла¬
бо сходится к функции / G С[а,Ь\ в точности тогда, когда имеем
sup„ ||/nil < оо и fn(t) —> f(t) для каждого t € [а, Ь]. Достаточность
этих условий ясна из теоремы Лебега о мажорированной сходи¬
мости и того факта, что С [а, 6]* есть пространство ограниченных
борелевских мер на [а. Ь]. Необходимость очевидна из рассмотре¬
ния функционалов ip н-► <p(t), где t Е [а,6], и ограниченности слабо
сходящейся последовательности.
С помощью этого примера легко построить пример слабо сходя¬
щейся последовательности в С[0,1], которая не сходится по норме.
Однако можно показать, что в пространстве 1[ всякая слабо сходя¬
щаяся последовательность сходится по норме (задача 4.10.28).
На 12 нет вообще никакой метрики, сходимость по которой для
последовательностей была бы равносильна слабой сходимости.
В самом деле, пусть такая метрика d существует и {еп} — стан¬
дартный базис в I2] выше мы видели, что еп —► 0 слабо. Для всякого
к G IN векторы кеп также слабо сходятся к нулю, поэтому найдется
номер rik, для которого d(kenk, 0) < fc-1. Значит, кеПк —> 0 слабо, но
это невозможно, ибо ЦАе^Ц = к —*■ +оо. Конечно, сказанное верно
для любого бесконечномерного гильбертова пространства.
Для более основательной работы со слабой и ^-слабой сходи¬
мостью нужно вводить некоторую топологию (см. [7]), хотя сла¬
бую топологию бесконечномерного нормированного пространства
никогда нельзя задать метрикой. Открытыми в слабой топологии
объявляются пустое множество и всевозможные объединения баг
зисных окрестностей вида
U(a,h,... ,Z„,e) := {х € Х\ \k(x - а)| < е, г = 1,...,гг},
где а G X, li,... ,ln е X*, п е IN.
§ 4.7. Слабая и ^-слабая сходимость
245
Упомянутое выше совпадение сходимости по норме и слабой сходи¬
мости для последовательностей в I1 не означает совпадения топо¬
логий нормы и слабой топологии (которые всегда различны в бес¬
конечномерном случае). Хотя на всем пространстве 12 нет такой
метрики, сходимость по которой была бы равносильна слабой схо¬
димости, нетрудно проверить (сделайте это!), что на ограниченных
множествах в 12 слабая топология порождается метрикой
оо
d{x, у) = ^ ^ 2 \хп уп |.
п—1
Это верно и для любого сепарабельного гильбертова простран¬
ства с ортонормированным базисом {еп}, если взять хп — (х, еп).
Отметим следующий неожиданный на первый взгляд факт.
4.7.5. Теорема. Пусть А — линейное отображение между
нормированными пространствами X uY. Следующие условия рав¬
носильны:
(i) отображение А непрерывно;
(ii) если хп —> 0 слабо, то sup„ ||Ажп|| < оо;
(Ш) если хп —» 0 слабо, то {Ахп} слабо сходится.
Доказательство. Пусть ЦАЦ < оо. Если хп —> 0 слабо, то
supn ||жп|[ < оо, откуда supn ||Ажп|| < оо. Обратно, пусть выполне¬
но (и). Если ||жп|| —> 0, то хп —* 0 слабо, откуда supn ||Aa:n|| < оо
ввиду (и). Значит, ЦАЦ < оо согласно следствию 4.1.5. Итак, (i) и (ii)
равносильны. Ясно, что (Ш) влечет (ii) ввиду ограниченности сла¬
бо сходящейся последовательности. Наконец, импликация (i)=>(iii)
очевидна из того, что для всякого / GY* функционал foA непре¬
рывен на X. □
Следующий факт — несколько ослабленный аналог свойства
Банаха-Сакса для гильбертовых пространств (см. теорему 3.7.3).
4.7.6. Предложение. Если последовательность векторов хп
нормированного пространства слабо сходится к вектору х, то
найдется последовательность векторов vn из выпуклой оболочки
последовательности {жп}, сходящаяся к х по норме.
Доказательство. Покажем, что вектор х входит в замыка¬
ние V выпуклой оболочки последовательности {хп}. Достаточно
рассмотреть случай вещественного пространства. Если х $ V, то
по следствию 4.4.12 существует I е X* с l(x) > supu6y l(v). Однако
хп € V и 1{х) — lim 1(хп), что приводит к противоречию. □
246
Глава 4. Линейные операторы
Приведем два важных результата, связанных с компактностью
относительно слабой и ^-слабой сходимости.
4.7.7. Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное
пространство. Тогда из всякой ограниченной последовательности
линейных функционалов на X можно выделить *-слабо сходящу¬
юся. подпоследовательность.
Доказательство. Пусть /п е X* и ||/п|| ^ С. Возьмем в X
всюду плотное счетное множество {xk}. Выделим в {/„} подпо¬
следовательность {/i>n}, для которой числовая последовательность
{fi,n(xi)} сходится. Затем в {/i,n} выделим такую подпоследова¬
тельность {/2,4! чт0 последовательность {/2,«(^г)} сходится. Про¬
должая по индукции, мы построим вложенные последовательности
{fk,n}c{fk-i,n}, для которых сходится {fk,n(xk)} при всех к. По¬
следовательность {/п,4 сходится на каждом элементе ац,. Эта по¬
следовательность сходится и на всяком элементе х & X, ибо для
каждого е > 0 найдется вектор Xk, для которого ||ск — ж&|| ^ £, что
дает оценку |fn,n(x) ~ fn,n(xfc)| ^ Се для всех п. Таким образом,
равенство /(ж) = lim /пп(ж) задает элемент X* с ||/|| < С. □
4.7.8. Замечание, (i) В ситуации доказанной теоремы ^сла¬
бая сходимость на шаре в X* задается метрикой
ОО
d{f,g) ■— 2~n\f(xn) — g(xn)\,
П= 1
где {ж4 — какое-либо счетное всюду плотное множество в единич¬
ном шаре из X (обоснование — задача 4.10.11). Доказанное свой¬
ство означает компактность шара в X* относительно этой метрики.
Однако на всем пространстве X* слабая сходимость может и не за¬
даваться какой-либо метрикой. Скажем, так обстоит дело, если X —
сепарабельное гильбертово пространство (см. выше).
(н) Без условия сепарабельности X заключение теоремы может
быть неверным. Например, из последовательности функционалов
/п(ж) — хп на 1°° нельзя выделить поточечно сходящуюся подпосле¬
довательность (ибо для всякой подпоследовательности {/Пк} есть
такой элемент х El°°, что {хПк} не имеет предела). В общем случае
имеет место компактность замкнутого шара из X* в ^-слабой то¬
пологии (см. [7, гл. 6]). Однако такая компактность определяется
в терминах открытых покрытий и не равносильна секвенциальной
компактности, определяемой через последовательности.
§ 4.7. Слабая и ^-слабая сходимость
247
В случае гильбертова пространства Я получаем аналогичные
утверждения для слабой топологии, ибо при каноническом изомор¬
физме между Я и Я* слабую топологию (и слабую сходимость) на
пространстве Я можно отождествить со *-слабой на Я*. В этом
случае можно не требовать сепарабельность.
4.7.9. Теорема. Пусть Н — гильбертово пространство. То¬
гда из всякой ограниченной последовательности в Н можно вы¬
делить слабо сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть ||/гп|| ^ С. Замыкание линейной обо¬
лочки {hn} является сепарабельным гильбертовым пространством.
Обозначим его через Щ. По доказанному в Я0 можно выделить
слабо сходящуюся подпоследовательность из {hn}. Она будет сла¬
бо сходиться и в Я, ибо всякий функционал I <5 Н* задается век¬
тором v € Я, который можно разложить в сумму v — vq + г/, где
v' X Hq. Поэтому действие I на Яо совпадает с действием функци¬
онала, порожденного вектором vo. □
4.7.10. Теорема. При 1 < р < ос из всякой ограниченной по¬
следовательности в Ьр(Шп) можно выделить слабо сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. Мы знаем, что ТДИ”) отождествимо с со¬
пряженным к Lq(TRn), где д-1 + р~г — 1. При таком отождествле¬
нии слабая сходимость в LP{MT) соответствует ^-слабой сходимости
в сопряженном. Остается применить теорему 4.7.7. □
Эта теорема верна для всех рефлексивных пространств. Однако
нетрудно убедиться, что для р = 1 и р = оо она неверна. На самом
деле эта теорема характеризует рефлексивные пространства. Рас¬
смотрим конкретные примеры, показывающие, что в общем случае
слабая сходимость не обладает установленным в теореме 4.7.7 свой¬
ством ^-слабой сходимости.
4.7.11. Пример, (i) Последовательность функций xn(t) = tn
в С [0,1] не имеет слабо сходящихся подпоследовательностей (хо¬
тя значения на ней каждого непрерывного линейного функционала
сходятся). Действительно, иначе предельная функция была бы рав¬
на 0 на [0,1) и 1 в 1. Сходимость {1(хп)} для всякого непрерывного
функционала I на (ДО, 1] следует из того, что такой функционал за¬
дается некоторой мерохг р. Поэтому по теореме Лебега предел 1{хп)
равен д({1}).
248
Глава 4. Линейные операторы
(ii) Из последовательности функций xn(t) = sin(7rnt) нельзя да¬
же выделить подпоследовательность, которая была бы слабо фун¬
даментальна в С[0,1] (т. е. значения на ней всякого непрерывного
линейного функционала давали бы фундаментальную числовую
последовательность). В самом деле, если бы последовательность
{хПк} оказалась слабо фундаментальной, то мы бы получили схо¬
димость sin(nn^t) для каждого t к некоторому пределу p[t). Тогда
<p(t) = 0 почти всюду, ибо имеет нулевой интеграл по каждому
измеримому множеству (это следует из теоремы Римана-Лебега).
Поэтому интеграл от 8ш2(7гпД) по [0,1] также стремился бы к нулю
по теореме Лебега, что не имеет места.
§ 4.8. Сопряженные операторы
Пусть X.Y — нормированные пространства. Для всякого опе¬
ратора Т Е &(Х, Y) и всякого функционала у* Е Y* функция Т*у*
на X, заданная формулой
(Т*у*,х) := (у*,Тх), т.е. (Т*у*)(х) := у*(Тх),
линейна и непрерывна на X. Полученное линейное отображение
лр* , "у* у X*
называется сопряженным оператором. Оно непрерывно, причем
ЦТ1 = ||Г|р.
Действительно,
ЦГ*У*11 = sup \Т*У*(х)\ = sup |у*(Гх)| < ||T||J|yl,
ибо \\Тх\\ ^ ||Т||. С другой стороны, при X ф 0 для всякого £ > О
найдется такой х € X, что ||х|| = 1 и ||Тж|| > ||Т|| — е. По теореме
Хана-Банаха существует у* Е Y*, для которого ||у*|| = 1 и
\Т*у*(х)\ = \у*(Тх)\ = \\Тх\\ > ||Т|| - е,
что дает ||Т*у*|1 > ||Г|| - е, откуда ||Т*|| ^ ||Т||.
Для всех А, В Е С(Х) выполнены равенства
(А + В)* = А* + В*, (АВ)* = В*А*, (4.8.1)
что легко проверить непосредственно с помощью определений.
Имеется следующая связь между замыканием образа операто¬
ра А, т.е. множеством А(Х), и ядром его сопряженного.
§ 4.8. Сопряженные операторы
249
4.8.1. Теорема. Пусть А € £>(Х, У). Тогда
Л(Х) = {убУ: f(y) — 0 V/eKerЛ*} = f| Кет/.
/еКег А*
Доказательство. Пусть у = Ах и / € Кег А*. Тогда
/(у) = /(Ас) = (A* f)(x) = 0.
Итак, Л(Х) входит в правую часть доказываемого соотношения.
Так как последняя замкнута, то она содержит и замыкание А(Х).
Обратно, пусть вектор у G Y входит в правую часть, но не входит
в Y\ := А(Х). По следствию 4.4.12 найдется / G Y* с /(у) — 1
и /|yi = 0. Для всякого х G X имеем (A*f)(x) = f(Ax) = 0.
Поэтому / G Кег Л*. Тогда /(у) = 0 ввиду нашего условия на у,
что дает противоречие. □
В случае гильбертова пространства Н (возможно, комплексно¬
го) для всякого оператора A G П(Н) зададим сопряженный опера¬
тор А* равенством
(Ах, у) = (х,А*у).
Поскольку левая часть непрерывна по х, то по теореме Рисса есть
однозначно определенный вектор А*у, удовлетворяющий указан¬
ному равенству. Ясно, что оператор А* линеен. Отличие от случая
банахова пространства состоит в том, что сопряженный оператор
задан на том же пространстве, что и исходный. Такое определение
согласовано с общим случаем банаховых пространств: отождествив
функционал I: х ь-» (x,v) с вектором v, мы получим равенства
(A*l)(x) = l(Ax) = (Ах, v) = (x,A*v).
Отметим, однако, следующий нюанс, возникающий в комплекс¬
ном случае: для гильбертова сопряженного выполнено равенство
(АЛ)* = АЛ*, а для банахова сопряженного (АЛ)* = АЛ*. Таким об¬
разом, в случае комплексного гильбертова пространства сопряжен¬
ный оператор в категории гильбертовых пространств не совпадает
с сопряженным оператором в категории банаховых пространств.
Это объясняется тем, что естественная изометрия между Н* и Н
сопряженно-линейна, а не линейна.
В случае гильбертова пространства X имеет место очевидное
равенство (Л*)* = Л. Поэтому здесь всякий ограниченный опера¬
тор является сопряженным к ограниченному оператору. Для общих
банаховых пространств положение иное: не всякий ограниченный
оператор в X* является сопряженным к оператору в X (см. [7,
задача 6.10.150]).
250
Глава 4. Линейные операторы
Следующее определение вводит весьма важный класс опера¬
торов в комплексных или вещественных гильбертовых простран¬
ствах.
4.8.2. Определение. Ограниченный линейный оператор А
в гильбертовом пространстве Н называется самосопряженным,
если А* = А, т. е.
(Ах,у) — (х, Ау) для всех х,у Е Н.
Иногда ограниченные самосопряженные операторы называют
эрмитовыми операторами или симметричными операторами. Мы
не будем использовать эти термины.
4.8.3. Пример, (i) Пусть Р — оператор ортогонального проек¬
тирования на замкнутое линейное подпространство Но в гильбер¬
товом пространстве Н (см. §3.3). Тогда Р самосопряжен. В самом
деле,
(Рх,у) = (Рх,Ру) = (х,Ру),
ибо Рх, Ру Е Н0, причем х — Рх _L Щ, у — Ру Т Н0.
(и) Диагональный оператор из примера 4.1.2(vii) самосопряжен
в точности тогда, когда все числа ап вещественны.
(in) Рассмотрим интегральный оператор К из примера 4.1.3,
заданный в Ь2[а,Ь] ядром X £ L2([a,b]x[a,b}). Оператор К* за¬
дается ядром X(t,s) = X(s,t), поэтому оператор К самосопряжен
в точности тогда, когда X(t,s) = X(s,i) почти всюду, что для ве¬
щественного ядра означает его симметричность. Действительно, по
теореме Фубини
X(t, s)x(s) ds
y(t) dt =
X(t,s)y(t) dt
ds.
Если дан ограниченный оператор А в вещественном гильберто¬
вом пространстве Н, то можно взять комплексификацию Нс про¬
странства и задать комплексификацию Ас оператора А формулой
Ас (ж + гу) := Ах + гАу, х,у £ Н. Оператор А в вещественном
пространстве самосопряжен в точности тогда, когда самосопряжен
оператор Ас- Действительно, если А = А*, то
(Ас(ж + iy),u + iv) = (Ах + iAy, u + iv) —
= (Ах, и) + (Ay, v) + г(Ау, и) — г(Ах, v) =
= (х, Аи) + (у, Av) + г(у, Аи) - i(x, Av) = (х + гу, Ас(и + iv)).
§ 4.8. Сопряженные операторы
251
Комплексификация самосопряженного оператора в веществен¬
ном пространстве фактически является прямой суммой двух копий
этого оператора. Большинство результатов спектральной теории
справедливо для комплексных пространств, но в случае самосо¬
пряженных операторов многие факты остаются в силе и для веще¬
ственных пространств.
В случае гильбертова пространства Н и сопряженного операто¬
ра в смысле гильбертовых пространств теорему 4.8.1 молено уточ¬
нить следующим образом.
4.8.4. Теорема. Пусть А Е £(Я). Тогда
~Щ) = (Кег А*)\ А*(Н) = (Кег А)^,
причем имеет место ортогональное разложение
Н = А{Н) © Кег А* = А*(Н) © Кег А.
Если оператор А самосопряжен, то А(Н) X Кег А, причем
Н = АЩ) ® Кег А.
Доказательство. Из теоремы 4.8.1 ясно, что подпростран¬
ства А(Н) и Кег И* взаимно ортогональны и А(Н) = (Кег И*)-1-,
что дает также ортогональное разложение Н. Так как А** = А, то
получаем оставшиеся равенства. □
Из этих равенств видно, что оператор А взаимно однозначно
отображает А*{Н) на А(Н), а если множества А*(Н) и А(Н) за¬
мкнуты, то первое взаимно однозначно отображается на второе.
Как и в конечномерной линейной алгебре, обратимость опера¬
тора равносильна обратимости его сопряженного, но доказатель¬
ство несколько менее тривиально в случае нерефлексивных про¬
странств.
4.8.5. Теорема. Пусть А £ £(Х, Y), где X, Y — банаховы про¬
странства. Оператор А обратим в точности т.огда, когда обра¬
тим А*.
Доказательство. Если оператор А имеет ограниченный об¬
ратный В — А-1, то А* тоже обратим, ибо А*В* — В*А* = I ввиду
соотношений АВ = В А = I.
Предположим, что А* обратим. Тогда ввиду уже доказанного
обратим оператор А**: X** —> Y**. Поэтому в случае рефлексив¬
ных пространств получаем обратимость А = А**. В общем случае
найдутся такие СфСг > 0, что СД|а;**|| ^ ||А**ж**|| ^ СсгПж**II для
252
Глава 4. Линейные операторы
всех х** 6 X**. Пусть Jx: X —> X** и Jy: У —> У**; — канони¬
ческое изометрическое вложение. Заметим, что для всякого х € X
выполнено следующее равенство:
JYA — A**JX. (4.8.2)
Действительно, для всех х € X и у* £ Y* имеем
(A**Jxx,y*) = (Jxx, А*у*) = (А*у\х) = (у*, Ах) = (JYAx,y*).
Следовательно, Ci||a:|| < ||Ас|| ^ СгЦжЦ для всех х G X. Если мы
покажем, что А(Х) = У, то обратимость А будет установлена. За¬
метим, что множество А{Х) плотно в У, ибо в противном случае
существовал бы у* 6 У*, для которого (у*, Ах) — 0 для всех х 6 X.
Тогда (А*у*,х) — 0 для всех х, откуда А*у* — 0. Значит, у* — 0
вопреки предположению. Теперь мы можем заключить, что образ
А не только плотен, но и равен У, ибо для всякого у 6 У мож¬
но найти такие хп G X, что Ахп —> у. Сходимость {Ахп} ввиду
полученной выше оценки влечет фундаментальность {хп} и суще¬
ствование х — Ит хп. Тогда у = Ах. □
71—> ОО
§ 4.9. Компактные операторы
В этом параграфе начинается изучение одного специального,
но весьма важного для приложений класса операторов.
4.9.1. Определение. Пусть X и У — банаховы простран¬
ства. Линейный оператор К: X —> У называется компактным,
если он переводит единичный шар в множество с компактным
замыканием. Класс всех компактных операторов из X в У обо¬
значим символом 0С(Х,У).
В терминах последовательностей компактность оператора озна¬
чает, что для всякой ограниченной последовательности {хп} в X
последовательность {Кхп} должна содержать сходящуюся подпо¬
следовательность (это видно из теоремы 2.6.8). Поскольку У пол¬
но, то множества с компактными замыканиями — это в точно¬
сти вполне ограниченные множества. Поэтому данное определе¬
ние можно переформулировать так: образ единичного шара вполне
ограничен (в случае произвольных нормированных пространств та¬
кие операторы называют вполне ограниченными).
Из определения ясно, что компактный оператор ограничен.
§ 4.9. Компактные операторы
253
Простейший пример компактного оператора — нулевой опера¬
тор. Другой очевидный пример — ограниченный оператор с конеч¬
номерным образом. Здесь важно то, что в конечномерном нормиро¬
ванном пространстве ограниченные множества вполне ограничены.
Следует предостеречь читателя: не всякий линейный оператор с ко¬
нечномерным образом компактен, ибо бывают неограниченные ко¬
нечномерные операторы (например, разрывные линейные функци¬
оналы). Простейший пример оператора, не являющегося компакт¬
ным, — тождественное отображение бесконечномерного банахова
пространства, т. е. единичный оператор.
Для дальнейшего отметим ряд элементарных свойств вполне
ограниченных множеств в нормированных пространствах.
4.9.2. Лемма, (i) Ограниченный линейный оператор перево¬
дит вполне ограниченные множества во вполне ограниченные.
(и) Если множества А и В в нормированных пространствах
X и Y вполне ограничены, то Ах В вполне ограничено в XxY.
(in) Если множества А и В в нормированном пространстве
вполне ограничены, то множество аА+{ЗВ вполне ограничено для
всяких скаляров а и /3. Если А и В компактны, то компактно
и указанное множество.
Доказательство. Липшицевость ограниченного линейного
оператора дает (i) (см. пример 2.6.6). Утверждение (и) следует
из задачи 2.8.18. Первое утверждение в (ш) следует из (i) и (И),
ибо аА и в В вполне ограничены очевидным образом, а оператор
(х,у) х + у пз X х X в X непрерывен. Это же рассуждение дает
и компактность аА + (3В в случае компактных А а В. □
Основные свойства компактных операторов собраны в следую¬
щей теореме.
4.9.3. Теорема. Пусть X, Y и Z — банаховы пространства.
(i) Класс %(Х, Y) является замкнутым линейным подпро¬
странством в пространстве К(Х, Y).
(и) Если A G ЗС(Х, Y) и В & L(Y,Z) или если A G £(Х, Y)
и В G X(Y, Z), то В A G Х(Х, Z).
(ш) Оператор К G -С (У, Y) компактен в точности тогда, ко¬
гда компактен оператор К*: Y* —► X*.
Доказательство, (i) Пусть А,В g Х(Х, У) и С/ — единичный
шар в X. Тогда
(А + B){U) С A{U) + B(U) и (\A){U) = XA(U).
254
Глава 4. Линейные операторы
Остается заметить, что алгебраическая сумма двух вполне ограни¬
ченных множеств и растяжение вполне ограниченного множества
вполне ограничены (лемма 4.9.2). Итак, А + В £ %(Х, У).
Пусть КпеОС{Х, Y), К££(Х, Y) и ||Кп — К\\ —» 0. Для всякого
е > 0 найдется такой номер N, что \\Кп — К\\ ^ е при п > N. Это
означает, что множество Kn(U) является е-сетью для K(U). Тогда
имеющаяся в Kn(U) конечная е-сеть служит 2е-сетью для K(U).
(ii) Если множество A(U) вполне ограничено в У, то B{A{U))
вполне ограничено в Z. Случай В £ ЗС(У, Z) очевиден.
(Ш) Пусть К £ ЭС{Х, У). Пусть V — единичный шар в У*.
Проверим, что множество K*(V) вполне ограничено в X*. Пусть
дана последовательность функционалов /п £ V. Нам надо устано¬
вить, что из последовательности функционалов К* fn можно выде¬
лить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на единич¬
ном шаре U пространства X. Для этого мы применим теорему
Асколи-Арцела (см. теорему 2.7.4). Поскольку выполнено равен¬
ство K*fn(x) = fn(Kx), а множество K(U) имеет компактное за¬
мыкание S, то нужно заметить лишь, что функции fn равномерно
ограничены на S' и равномерно липшицевы, ибо ||/n|| ^ 1, откуда
I fn(x) - fn(y)| = | fn(x - у)| < ||ж - y||. Итак, из всякой последова¬
тельности в К*(у) можно выбрать сходящуюся подпоследователь¬
ность, что означает компактность K*(V).
Предположим теперь, что К* £ ЗС(У*,А*). По доказанному
К**: А** —> У** — компактный оператор. Как было установлено
в доказательстве теоремы 4.8.5 (см. (4.8.2)), имеет место равенство
K**JX — JY К где Jx: X —» X** и JY : У —> У** — изометри¬
ческие вложения. Ввиду изометричности вложений получаем ком¬
пактность замыкания множества K(U) в У. Если X = У гильбер¬
тово, то К = К**, что сразу дает компактность К. □
Еще одно простое свойство компактного оператора К на про¬
странстве X: сепарабельность множества К(Х), вытекающая оче¬
видным образом из сепарабельности образов шаров радиуса п (ибо
эти образы также вполне ограничены).
Приведем некоторые примеры компактных операторов.
4.9.4. Пример, (i) Пусть {ап} — ограниченная последователь¬
ность чисел. Диагональный оператор
А. I > / , (тп) I > (апх?г),
компактен в точности тогда, когда lim ап = 0.
п—ноо
§ 4.9. Компактные операторы
255
(ii) Пусть X € С([0,1]2). Тогда оператор
Kx(t) = f X(t,s)x(s)ds
Jo
в пространстве С[0,1] компактен.
(ш) Пусть X € L2([0,1]2). Тогда оператор
Kx(t) — I X(t,s)x(s)ds
Jo
в пространстве L2[0,1] компактен.
(iv) Оператор Волътерра
Vx(t) — I x(s) ds
Jo
компактен как оператор из L2 [0,1] в L2 [0,1], как оператор из L2 [0,1]
в С[0,1], а также как оператор из С[0,1] в С[0,1].
(v) Оператор Вольтерра компактен и как оператор из L1 [0,1]
в Ll[0,1], но некомпактен как оператор из L1 [0,1] в С[0,1].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (i) Пусть lim ап = 0. Рассмотрим конеч-
п—»оо
номерные операторы
Кп; (хп) 1 * (оцЖ1, • • ■, ^n^ni 0,0,...).
Поскольку ||А" — Ап|| — supi>n \аг\ —» 0 при п —> оо, то А — ком¬
пактный оператор.
Если в {ап} найдется такая подпоследовательность {аПг}, что
|а?гг1 ^ с > 0, то из последовательности Keni = аПгеПг, где еп —
вектор с 1 на n-месте и 0 на остальных местах, нельзя выбрать
фундаментальную подпоследовательность. Поэтому оператор К не
является компактным.
(ii) Множество М функций Аж, где ||ж|| ^ 1, вполне огра¬
ничено по теореме Арцела-Асколи. В самом деле, это множество
ограничено ввиду ограниченности функции X. Кроме того, мно¬
жество М равностепенно непрерывно, ибо функция X равномерно
непрерывна. Действительно, для всякого е > 0 есть такое S > 0,
что \X(t, s) — X(t\ s)| < е при 11 — t!| < 5. Тогда
|Аж(^) — Kx(t')\ ^ [ \X(t,s) - X(t',s)\\x(s)\ds ^ e
Jo
при \t —1'\ ^ 5 и ||ж|| < 1.
256
Глава 4. Линейные операторы
(iii) Из примера 4.1.3 мы знаем, что ||АГ|| ^ ||3C||l2([o,i]2)- Возь¬
мем такую последовательность функций Хп на [О, I]2 вида
Xn(t,s) = ^2 где € L2[0,1],
i,j<n
что ||3Cn - ^||l2([o,i]2)- Это возможно, так как в L2([0,1]2) всюду
плотно множество функций с конечным числом значений, посто¬
янных на элементах разбиения квадрата на конечное число прямо¬
угольников. Операторы Кп, заданные функциями Хп. сходятся по
операторной норме к К ввиду полученной выше оценки. Остается
заметить, что эти операторы конечномерны: образ Кп содержится
в линейной оболочке функций <р-[,... ,ipn.
(iv) Компактность оператора Вольтерра на L2[0,1] со значени¬
ями в С[0,1] или L2[0,1] следует из оценки
|Vx(t) — Vx(t')\ <
f
|x(s)| ds
< 11- t' |1/2
/
|ic(s) |2 ds
1/2
которая имеет место по неравенству Коши-Буняковского, а также
аналогично доказываемой оценки supf |Кж(£)| ^ ЦжЦг- Для С{0,1]
применим оценки \Vx(t) — Vx(t')\ ^ \t — t'|, supt \Vx(t)\ ^ supf |a:(f)|.
Эти оценки показывают, что во всех указанных случаях образ еди¬
ничного шара оказывается равномерно ограниченным в С[0,1] и
равностепенно непрерывным, т. е. вполне ограниченным в С[0,1] по
теореме Асколи-Арцела. Тем более он вполне ограничен в L2[0,1],
так как компакты из С[0,1] компактны в Ь2[0,1].
(v) Для проверки компактности V в Тг[0,1] надо показать,
что для всякой ограниченной в L1 [0,1] последовательности {/„}
из {Vfn} можно выделить сходящуюся в L1 [0,1] подпоследова¬
тельность. Рассмотрев по отдельности /+ и /~, можно иметь дело
с неотрицательными функциями. Тогда неотрицательные функции
Vfn возрастают и равномерно ограничены. Ввиду теоремы Лебега
достаточно выбрать из них поточечно сходящуюся подпоследова¬
тельность. Для каждого рационального г из {/п(г)} можно выде¬
лить сходящуюся подпоследовательность. Пользуясь этим и запи¬
сав рациональные числа из [0,1] в виде последовательности {г*,},
можно выделить подпоследовательность в {/„), сходящуюся в каж¬
дой точке Гк (сначала берем подпоследовательность, сходящуюся
в п, в ней подпоследовательность, сходящуюся в гг и т.д., затем
берем «диагональную» последовательность). Теперь можно счи¬
тать, что исходная последовательность сходилась во всех точках г к-
§ 4.9. Компактные операторы
257
Остается заметить, что тогда она сходится во всех точках отрезка,
за исключением конечного или счетного множества точек. В самом
деле, если в точке t нет сходимости, то мы получаем
a(t) := liminf /n(t) < /3(<) := limsup
П—УОО n—*oо
что сопоставляет точке t непустой интервал (a(t), /3(£)). Если же
s > t — другая точка, где нет сходимости, то /?(£) ^ a(s), ибо име¬
ется точка г/. € (£,s), что дает (3(t) ^ /3(гк) — а(г^) < a(s). Таким
образом, разным точкам, где нет сходимости, сопоставлены дизъ¬
юнктные интервалы. Тем самым таких точек лишь конечное или
счетное множество. Еще раз перейдя к подпоследовательности, по¬
лучаем сходимость и на этом счетном множестве.
Наконец, оператор V: L1 [0,1] —> С'[0,1] не является компакт¬
ным, ибо для /„ = п/[од/п] из {V/„} нельзя выбрать равномерно
сходящуюся последовательность: Vfn(t) = nt при t ^ п~1. □
В случае гильбертова пространства X имеется следующее по¬
лезное равносильное описание компактных операторов. Оно верно
и для любых рефлексивных пространств.
4.9.5. Предложение. Пусть X — гильбертово пространство
uY — банахово пространство. Оператор К : X —> Y компактен
в точности тогда, когда lim ||КГжп|| = 0 для всякой последова-
п—>оо
тельности {хп}, слабо сходящейся к нулю в X.
Доказательство. Пусть К компактен и хп —> 0. Предполо¬
жим, что ||.ЙГжп|| не стремятся к нулю. Перейдя к подпоследова¬
тельности, можно считать, что ||КГжп|| ^ с > 0. Так как последо¬
вательность {хп} ограничена из-за слабой сходимости, то {Кхп\
содержится в компакте. Еще раз выбрав подпоследовательность,
можно считать, что векторы Кхп сходятся по норме к некоторо¬
му у. Тогда ||у|| ^ с. Это ведет к противоречию, ибо для каждого
/ 6 Y* мы имеем f(y) = lim f{Kxn) — 0, так как foK — непре-
п—>оо
рывный функционал и хп —> 0 слабо. Обратно, пусть К перево¬
дит слабо сходящиеся к нулю последовательности в сходящиеся по
норме. Покажем, что образ шара вполне ограничен. Пусть {хп} —
ограниченная последовательность в X. Чтобы увидеть, что {Кхп}
содержит сходящуюся подпоследовательность, выберем в {хп} под¬
последовательность {жП).}, слабо сходящуюся к некоторому х. Тогда
векторы хщ —х слабо сходятся к нулю. Значит, последовательность
{КхПг — Кх) сходится по норме, что дает сходимость {Кхщ}. □
258
Глава 4. Линейные операторы
Часто (но не всегда) для проверки компактности оператора
строятся его приближения конечномерными операторами. Во мно¬
гих конкретных пространствах класс компактных операторов сов¬
падает с замыканием множества конечномерных операторов. Прав¬
да, бывают сепарабельные банаховы пространства, для которых
это неверно, но такие пространства столь редки, что с 30-х годов
прошлого века в течение 40 лет оставался открытым вопрос об их
существовании (пример был построен лишь в 1972 г. шведским ма¬
тематиком П. Энфло).
4.9.6. Предложение. Если Н — гильбертово пространство,
то множество %{Н) компактных операторов совпадает с замы¬
канием множества ограниченных конечномерных операторов по
операторной норме. Если И сепарабельно и {еп} — ортонормиро-
ванный базис, то для всякого К € ЗС(Я) имеем, \\К—РПЯ|| —> 0, где
Рп — ортогональный проектор на линейную оболочку ei,... ,еп.
Кроме того, \\К — ЯРП|| —> 0.
Доказательство. Нам надо показать, что всякий оператор
К G %(Н) приближается конечномерными. Как отмечено выше,
образ компактного оператора сепарабелен, поэтому можно иметь
дело с сепарабельным пространством Н и доказывать последнее
утверждение предложения (взяв такое сепарабельное подпростран¬
ство Н\, что К {Hi) = К(Н)). Оно вытекает из критерия компакт¬
ности в Я, ибо образ шара при К входит в некоторый компакт S,
откуда ||К - РПЯ||2 < sup?,eS£“n+i |(j/,e,;)|2 -> 0.
Второе утверждение следует из первого, примененного к К*,
ибо К* компактен, {К — КРп)* = К* — РпК* и ||Н*|| = ||Н||. □
Укажем простое достаточное условие некомпактности операто¬
ра (можно показать, что в случае гильбертова пространства это
условие является и необходимым, см. [7, задача 7.10.98]).
4.9.7. Пример. Пусть X и Y — банаховы пространства,
А е £j{X,Y). Если А(Х) содержит бесконечномерное замкнутое
подпространство, то А не является компактным. Действительно,
если Е — замкнутое подпространство в А(Х) и U — единичный
шар в X, то по теореме Бэра есть такое п 6 IN, что замыкание
множества A{nU) П Е содержит шар из Е. Так как указанное за¬
мыкание вполне ограничено, то Е конечномерно.
Отметим, что образ замкнутого единичного шара при компакт¬
ном операторе не обязан быть замкнутым (а значит, и компакт¬
ным) .
4.10. Задачи
259
4.9.8. Пример, (i) Возьмем непрерывный линейный функци¬
онал I на С[0,1] из примера 4.1.2(ш), который не достигает макси¬
мума. Тогда образом замкнутого единичного шара при I является
интервал (—1,1).
(и) Образ замкнутого единичного шара в С[—1,1] при операто¬
ре Вольтерра
незамкнут в С[-1,1], ибо функция x(t) = \t\ входит в замыкание
этого образа, но не входит в сам образ.
С другой стороны, есть и положительный результат о компакт¬
ности образа шара.
4.9.9. Предложение. Пусть X — гильбертово пространство,
Y — банахово пространство и К: X —> Y — компактный опера¬
тор. Тогда образ всякого замкнутого шара из X комтактен в про¬
странстве Y.
Доказательство. Пусть уп = Кхп, хп £ В, где В — за¬
мкнутый шар в X. Перейдя к подпоследовательности, можно счи¬
тать, что {уп} сходится к некоторому у G У. Возьмем подпоследо¬
вательность {.хуц }, которая слабо сходится к некоторому х £ В.
Тогда Кх = у. Действительно, для всякого I £ Y* мы имеем
l(Kx) = lim l(Kxni) = lim l(yni) = I(у), ибо функционал 1оК
Однако это утверждение не гарантирует компактность образа
сферы. Например, если X = I2 и К имеет нулевое ядро, то об¬
раз единичный сферы незамкнут: он не содержит нуля, но нуль
является предельной точкой векторов Кеп, где {еп} — ортонорми-
ровагшый базис.
В следующей главе мы продолжим обсуждение компактных
операторов.
4.10.1? Возьмем на Ж” норму ||ж||оо = maxj |®*|. Найти норму опера¬
тора А, заданного матрицей (оД).
4.10.2? Пусть операторы Ап в нормированном пространстве сходятся
по норме к оператору А, а операторы Вп— к оператору В. Показать, что
АпВп —+ АВ по норме.
непрерывен на X. Итак, образ шара замкнут.
□
§4.10. Задачи
260
Глава 4. Линейные операторы
4.10.3? Найти нормы следующих линейных функционалов:
(i) 1(f) = [ (3t-l)f(t)dt на С[0,1];
J о
(ii) 1(f) = /(0) + [ (31- 1 )f(t) dt на С[0,1];
1 Jo
(iii) Kf) = f (3t - 1 )f(t) dt на L2[0,1];
Jo
rl/2
(iv) 1(f) = / tf (t) dt на L2[0,1];
Jo
(v) l(x) = £“=1 2~n(xn + xn+i) на l2.
4.10.4? Пусть H0 — линейное подпространство в гильбертовом про¬
странстве Н и I — непрерывный линейный функционал на Н0. Доказать,
что I имеет лишь одно продолжение до линейного функционала на Я
с сохранением нормы.
4.10.5? На Ж2 рассмотрим норму ||(aji, агг) || = |®i| + |жз|- Рассмотрим
линейный функционал l(xi) = х\ на Ж1. Найти все его продолжения
с сохранением нормы на Ж2 с указанной нормой.
4.10.6? Пусть X, Y — нормированные пространства, даны операторы
А, Ап е С(Х, Y) и lim Апх — Ах для всех х € X. Доказать неравенство
п—+оо
|| Л || < lim sup ||,АП ||, и привести пример, когда равенства нет.
п—>оо
4.10.7. В пространстве /2(Z) двусторонних последовательностей
с нормой ||(*п)|| = (Sfcez l^fel2)1^2 рассмотрим оператор А, переводящий
(zk) в вектор с компонентами (г*.-г + Zk+1)/2. Найти ||А||.
4.10.8. Привести пример разрывной функции /: Ж1 —> Ж1 с за¬
мкнутым графиком.
4.10.9. Пусть X — нормированное пространство и / е X*, ||/|| = 1.
Доказать, что dist(or, Кег /) = |/(ж)| для всех х.
4.10.10. Пусть X — нормированное пространство, / G X*, ||/|| = 1.
Доказать, что / достигает максимума на единичной сфере в точности
тогда, когда в /_1(1) есть вектор минимальной нормы. Это равносильно
также тому, что в Кег / есть ближайший элемент к какому-либо вектору
вне Кег /.
4.10.11? Обосновать сказанное в начале замечания 4.7.8.
4.10.12? Компактен ли оператор Ax(t) = х(\Д) в С[0,1]? Компактен
ли этот оператор в L2[0,1)?
§4.10. Задачи
261
4.10.13. Доказать, что линейный функционал на нормированном
пространстве (необязательно банаховом) непрерывен в точности 'тогда,
когда его график замкнут.
4.10.14. Пусть последовательность чисел ап такова, что ряд из чисел
апрп сходится для всех {/3„} 6 I2. Доказать, что {а„} € 12.
4.10.15* Придумать пример двух замкнутых линейных подпрост¬
ранств Н[ и Н-2 гильбертова пространства, для которых Hi П Hi = {0},
но алгебраическая сумма Hi и /Д не является замкнутой (см. также
задачу 3.8.45).
Указание: задать оператор Т в I2 формулой Тх = (2~пхп); пусть
Hi — график Т в 12ф12, #2 := Z2©{0} С 12ф12; тогда пространства Hi
и Hi обладают требуемыми свойствами.
4.10.16. * Пусть X, Y — банаховы пространства, А е L(X,Y). До¬
казать, что Л*(У*) = X* в точности тогда, когда А имеет нулевое ядро
и замкнутый образ.
4.10.17. Построить разрывное линейное отображение, которое вза¬
имно однозначно отображает нормированное пространство на банахово
пространство и имеет замкнутый график.
УКАЗАНИЕ: взять в пространстве 12 оператор А с собственными чис¬
лами п-1 и рассмотреть отображение А-1: A(l2) I2.
4.10.18. Доказать, что на всяком бесконечномерном банаховом про¬
странстве есть ббльшая норма, относительно которой оно неполно, рас¬
смотрев норму ||ж||о = ||х|| + Ц(в)|, где || • || — исходная норма, I — раз¬
рывная линейная функция.
4.10.19. Доказать, что для всякого множества Г сопряженное к про¬
странству I1 (Г) из задачи 3.8.24 совпадает с пространством В (Г) огра¬
ниченных функций на Г. Вывести из этого, что для бесконечного Г про¬
странства I1 (Г) и 12(Г) не являются линейно гомеоморфными.
4.10.20* Доказать, что на всяком бесконечномерном банаховом про¬
странстве X существует норма, не эквивалентная исходной, но также
превращающая X в полное пространство.
УКАЗАНИЕ: взяв базис Гамеля {г»7}7€р, ввести на X нормы из /2(Г)
и Iх (Г) (см. задачу 3.8.26), применить предыдущую задачу.
4.10.21* Построить пример двух таких норм на бесконечномерном
линейном пространстве X, что X полно относительно каждой из них, но
неполно относительно суммы этих норм.
Указание: рассмотреть сумму норм из предыдущей задачи.
4.10.22? Вывести из примера 4.1.7, что бесконечномерное линейное
пространство X с базисом Гамеля {«7}7бГ не может быть полным с нор¬
мой ||х|| = KtWIj где х = £z7(z)uy.
262
Глава 4. Линейные операторы
4.10.23. Усилить пример 4.1.7 так: если X — сепарабельное гильбер¬
тово пространство, то среди функционалов Ц, соответствующих разло¬
жению по базису Гамеля {v7}, непрерывны не более счетного числа.
Указание: считая, что ||н7||, заметить, что ||/7 - l01| ^ 1 при р Ф 7,
ибо (1.у — = 1.
4.10.24. * Распространить предыдущее на сепарабельные банаховы
пространства.
Указание: если счетное множество {хп} плотно в X, то лишь счет¬
ная часть Г0 базиса участвует в разложениях векторов хп\ заметить, что
17(хп) = 0 для всех п при 7 ф Г0.
4.10.25. * Пусть X — банахово пространство и I — разрывный ли¬
нейный функционал на X. Доказать, что для неполного нормированного
пространства Xq = 1~г (0) с нормой из X остается в силе заключение
теоремы Банаха-Штейнгауза.
Указание: если ограниченные линейные операторы Т„ на Ха та¬
ковы, что р(х) := supQ ||Тат|| < оо для всех х G Xq, то множество
V := {х е Xq : р(х) <1} замкнуто в Х0; пусть V — замыкание V в X; по¬
казать, что V содержит шар положительного радиуса в Xq, заметив, что
если V ф V, то V содержит шар из X, а если V = V. то V + {te: \t\ < 1},
где е Xq, содержит шар из X.
4.10.26. Пусть Ап,Вп е £j(X), где X банахово, Ах = Пт Апх,
п—> ОО
Вх — Пт Впх Vх. Доказать, что АВх = lim АпВпх Vх.
71—ЮО 71—ЮО
4.10.27. Пусть последовательность {хп} в нормированном простран¬
стве фундаментальна по норме и сходится слабо к некоторому вектору х.
Доказать, что {жп} сходится к о; по норме.
Указание: заметить, что это верно в полном пространстве, и перей¬
ти к пополнению пространства; другой способ: воспользоваться равен¬
ством IHI = sup{|/(^)|: / G X*, 11/11 1}.
4.10.28. * (Теорема Шура) Доказать, что в пространстве Г всякая
слабо сходящаяся последовательность сходится по норме.
Указание: рассмотреть случай слабой сходимости к нулю и рассу¬
ждать от противного.
4.10.29. * Доказать компактность оператора А в Г2[0,1], заданного
формулой
. . . Г1 x(s) ,
Ax{t) = Jo (t + s)1/2 dS•
4.10.30? Пусть 0 < a < 1 и (/? e С([0, l]2). Доказать компактность
оператора А в G[0,1], заданного формулой
Глава 5
Основы спектральной теории
Здесь мы обсудим основы спектральной теории операторов.
Этот очень важный для приложений раздел курса возник и продол¬
жает интенсивно развиваться в связи с разнообразными задачами
естествознания, в частности механики, физики и химии. Весьма
значительна его роль и в других областях математики.
§ 5.1. Спектр оператора
Из курса линейной алгебры читателю известны ключевые по¬
нятия, связанные с линейными уравнениями в конечномерных про¬
странствах. Многие из этих понятий переносятся и на бесконечно¬
мерный случай, но здесь появляется и немало существенных ню¬
ансов, так что отличий больше, чем аналогий. Основной объект
спектральной теории — спектр линейного оператора. Пусть X —
банахово пространство. Ограниченный оператор А: X —» X на¬
зывают обратимым, если он взаимно однозначно отображает X
на X. По теореме Банаха обратное отображение А~1 автоматиче¬
ски непрерывно. Как и в линейной алгебре, важную роль играет
вопрос об обратимости оператора А—XI при различных скалярах Л,
где I : х (-»• х — единичный оператор.
5.1.1. Определение. Спектр о-(А) ограниченного линейного
оператора А в комплексном банаховом пространстве X состоит,
из всех таких А £ С, что оператор А—XI не имеет ограниченного
обратного.
Для оператора в вещественном пространстве аналогично опре¬
деляется вещественный спектр.
Если пространство X состоит лишь из нуля, то все операторы
совпадают с нулевым, который имеет и нулевой обратный, поэтому
спектр всякого оператора пуст. Обычно этот случай по умолчанию
264
Глава 5. Основы спектральной теории
исключают из рассмотрения; в дальнейшем тоже не всегда будет
явно оговариваться, что речь идет о ненулевых пространствах.
Дополнение спектра называют резольвентным множеством
оператора А и обозначают через д(А). Точки резольвентного мно¬
жества называются регулярными.
Для всякого числа Л € q{A) оператор
RX{A) := (А -XI)-1
называется резольвентой А (надо иметь в виду, что нередко ре¬
зольвенту определяют как обратный к XI — А). При Л, д. G д(А)
верно тождество Гильберта
R\(A) - R,l{A) — {X- p)Rlx(A)Rx(A),
которое легко проверяется умножением справа на (А — XI) обеих
частей, а затем умножением слева на (А — pi).
Отметим, что оператор R\{A) перестановочен с оператором А,
а также со всяким линейным оператором В. перестановочным с А.
Действительно, равенство R\(A)B = BRX(A) равносильно равен¬
ству (A — XI)R\{A)B = (A — XI)BR\(A) ввиду обратимости А — XI,
но последнее равенство верно, ибо по условию
(А - XI)B = В(А - XI), {А - XI)Rx(A) = I.
По теореме Банаха об обратном операторе (см. §4.6) точка Л
входит в спектр в точности тогда, когда либо Ker(A — XI) ф О,
либо (А — Х1)(Х) ф X. В первом случае Л — собственное чис¬
ло, т. е. Av = Xv для некоторого вектора уф 0 (называемого соб¬
ственным). В конечномерном пространстве обе возможности мо¬
гут осуществляться лишь одновременно, но в бесконечномерном
пространстве положение иное. Поэтому читателю с самого начала
следует отрешиться от конечномерных аналогий (в частности, не
путать спектр с его малой частью, состоящей из собственных чисел
и называемой точечным спектром).
5.1.2. Пример. Оператор х ь-» (0, х\, хч, • • •) в 12 инъективен,
но не сюръективен. Оператор х (х2,хз,...) в I2 сюръективен, но
не инъективен (почему?). В обоих случаях точка 0 входит в спектр,
но по разным причинам (в первом случае 0 не является собствен¬
ным числом).
В бесконечномерном случае весьма различные по своим свой¬
ствам операторы могут иметь равные спектры.
§ 5.1. Спектр оператора
265
5.1.3. Пример. Пусть {гп} — все рациональные числа [0,1],
оператор А в I2 задан формулой
Ах = (rixi,r2x2,...),
а оператор В в Ь2[0,1] задан формулой
Bx{t) = tx{t).
Тогда оба оператора имеют спектр [0,1], хотя у А все числа тп —
собственные, а В не имеет собственных чисел. Действительно, по¬
скольку все собственные числа входят в спектр, то {г„} с о~(А),
откуда [0,1] С а (А) ввиду доказываемой ниже замкнутости спек¬
тра. Если же Л 0 [0,1], то существует ограниченный оператор
(А - Х1)~гх = ((п - Л)_1жх, (г2 - Л)_1ж2,...).
Всякая точка Л Е [0,1] входит в сг{В), поскольку нет такой функции
х € Т2[0,1], что (t — X)x(t) — 1 п.в. (напомним, что для Л € [0,1]
функция (t — Л)-1 не входит в L2[0,1]). При Л 0 [0,1] обратным
к оператору В—XI является оператор умножения на ограниченную
функцию tp(t) — (t — АД1. Собственных чисел у оператора В нет:
равенство Лx(t) — tx(t) п.в. возможно лишь при x(t) — 0 п.в.
Ниже мы увидим, что спектр всякого ограниченного оператора
(в ненулевом пространстве) является непустым компактом. Снача¬
ла установим следующий важный факт, играющий существенную
роль в дальнейшем.
5.1.4. Теорема. Множество обратимых операторов в бана¬
ховом пространстве X {комплексном или вещественном) откры¬
то в пространстве & (Х) с операторной нормой. Более того, если
оператор А € &{Х) обратим и оператор D G £(Х) таков, что
ЦП|| < 1/||Д-1||, то оператор А + D обратим, причем
||(А + Л)-1К
И-1!!
1 -\\А-Ц \\D\\ ■
Доказательство. Сначала заметим, что для любого операто¬
ра В с ||J3|| < 1 оператор I — B обратим и ||(/ —В)-1|| ^ (1 — ||.В||)-1.
В самом деле, простая проверка показывает, что ряд Схо_
дится по операторной норме, так как ||Bfc|| ^ ||I?||fe, а его сумма,
умноженная на I — В слева или справа, есть I (проверьте!). Итак,
СО оо
(I- В)-' = Y. в“. НИ - В)-1»« ЕР11‘ = (1 - РИГ1-
fc=0 fe=0
266
Глава 5. Основы спектральной теории
Так как А + D = A(I + A~lD), где ||Л_1П|| < ||Л-1|| ||Z>|| < 1,
то существует оператор (А + D)~x = (I + Л-1 Л)-1 Л-1, причем
мы получаем также и нужную оценку, применив доказанное выше
к оператору В — — A_1D. □
Из теоремы непосредственно вытекает, что резольвентное мно¬
жество открыто. Это утверждение можно уточнить.
5.1.5. Предложение, (i) Для всякого оператора А £ £(Х)
при |А| > ||Л|| имеем A £ д{А), причем
оо лк
К,(/1) = -Елет.
к=О
где ряд сходится по операторной норме.
(н) Для всякой точки Ао £ д(А) при |А — Ао| < ||1?Ао(^)||_1
имеем А £ д(А), причем
ОО
Rx(A) = J2(\-\0)kRXo(A)k+1,
fc=о
где ряд сходится по операторной норме.
Доказательство, (i) Мы имеем равенство А — XI = — XI + А,
где ||Л|| < |А| = 1/||(АТ)-11|. Сходимость ряда из —\~1~kAk по опе¬
раторной норме очевидна из оценки ||A“fcALfe|| < |A|_fe|^||fe. Прямая
проверка (проведите ее!) показывает, что для его суммы Sx спра¬
ведливы равенства 5а(И — XI) — (А - XI)Sx = I.
(И) Сходимость ряда по норме обосновывается аналогично. Для
его суммы 5а имеем
СЮ
5а(Л - XI) = £(А - X0)kRXo(A)k+1 (А - А0/ - (А - А0)/) =
к=О
оо
= ИА - xo)kRxM)k - (А - Ао/^аДЛ)^1] - I.
к=О
Аналогично (Л — XI)Sx — I. □
5.1.6. Пример. Пусть X — банахово пространство, даны опе¬
раторы Л, Ап £ £(Х), п € IN, ||Лп — Л|| —> 0 при п —> оо, причем
операторы Ап обратимы и supn 11Л~111 < М < оо. Тогда оператор Л
обратим и ||Л-11| < М.
§5.1. Спектр оператора
267
Доказательство. Запишем А в виде А — Ап + А - Ап. Мы
знаем, что при \\А — Ап\\ < \\А~1||-1 оператор Ап + А — Ап оказы¬
вается обратимым, причем норма обратного оценивается числом
p-'IKl - IIVII \\А - Anil)-1 < М(1 - ЦА-1!! ||А - Anil)-1. При
п —* оо левая часть стремится к М. □
Следующий факт имеет принципиальное значение для спек¬
тральной теории.
5.1.7. Теорема. Спектр всякого оператора А € £р!) в ком¬
плексном банаховом пространстве 1^0 является непустым
компактом в круге радиуса ||А|| с центром в нуле комплексной
плоскости.
Доказательство. Включение сг(А) с {z £ С: \z\ ^ ||А||}
и замкнутость <х(А) уже известны. Проверим непустоту <т(А). Пред¬
положим, что R\(A) существует для всех А £ С. Пусть ф 6 £(Х)*
и Р(А) — ф[П\(А)). Ввиду утверждения (И) предыдущего предло¬
жения функция F — целая, а ввиду утверждения (i) при |А| —> оо
мы имеем |Р(А)| —» 0. По теореме Лиувилля F = 0, откуда мы
получаем равенство R\(A) = 0, что невозможно при Х/0. □
Для всякого оператора А в комплексном линейном простран¬
стве и всякого многочлена P{z) = Y^k=о ckzk с комплексными ко¬
эффициентами оператор Р(А) зададим формулой
П
P(A) = ^cfcAfc, А0 := I.
к=0
Ясно, что оператор Р(А) ограничен.
Установим важный факт — теорему об отображении спектров.
5.1.8. Теорема. Пусть А — ограниченный линейный опера¬
тор в комплексном банаховом пространстве X. Тогда для всякого
многочлена Р комплексного переменного верно равенство
а (Р(А))=Р(ДА)),
т. е. спектр Р(А) есть образ спектра А при отображении Р.
Доказательство. Зафиксируем А 6 С. Пусть Ai,...,An —
корни многочлена Р — А. Тогда А = Р(Aj) при всех г = 1,... ,п,
P(z) - А = c(z - Ai) • • • (z — Ап) и
P(A) — XI — c(A - АД) ■■■{A- A nI).
268
Глава 5. Основы спектральной теории
Пусть с ^ 0 (иначе утверждение очевидно). Заметим, что обра¬
тимость оператора Р(А) — АI равносильна обратимости всех опе¬
раторов А — AjI, ибо они коммутируют. Действительно, если все
эти операторы обратимы, то обратимо и их произведение. Если же
некоторый оператор A — XiQI необратим, то либо Кег(А — Ai0I) ф О,
либо [А — Ai0I)(X) ф X. Поскольку из-за коммутативности сомно¬
жителей можно поставить A —Xi0I как на последнее место, так и на
первое, то такие же соотношения выполнены и для всего произве¬
дения. Итак, А входит в сг(Р(А)) в точности тогда, когда найдется
номер г с Aj G <т(А). Последнее равносильно тому, что А € Р (<т(Л)).
В самом деле, если такое г существует, то А = Р(\) G Р(сг(А)). Ес¬
ли же А € Р(<х(А)), то А = P(z), где г G сг(А), но тогда z — это
одно из чисел А,, поэтому \ — z лежит в а {А). □
5.1.9. Замечание. Если А € £(Х), где X — комплексное ба¬
нахово пространство, то а (А) — ст(А*) ввиду теоремы 4.8.5(H) и ра¬
венства (А - А/)* — А* — А/, ибо здесь (XI)* — XI. Однако для
комплексного гильбертова пространства X спектр су (А*) есть мно¬
жество {z: z G <т(А)}, комплексно-сопряженное <х(А), ибо здесь
(А — XI)* — А* — XI, так как А* действует в X. Отметим, что в слу¬
чае гильбертова пространства равносильность обратимости опера¬
торов В и В* очевидна из равенств (ВС)* = С*В*, В** — В, поэто¬
му теорема 4.8.5 не требуется. Заметим также, что (А*)-1 = (А-1)*,
если оператор А обратим.
§ 5.2. Примеры спектров
Явное нахождение спектра оператора в бесконечномерном про¬
странстве обычно оказывается трудной задачей; нередко приходит¬
ся довольствоваться менее полной информацией о расположении
спектра и его строении. Здесь мы рассмотрим несколько характер¬
ных примеров нахождения спектра, в которых не возникает серьез¬
ных проблем.
5.2.1. Пример, (i) Пусть оператор А: I2 —> I2 задан формулой
Ах (оцзц, - • -, супхп,...),
где {ап} — ограниченная последовательность в С. Тогда а (А) есть
замыкание множества {ап} в С.
(и) Пусть А: I2 —> I2, Ах — (0,xi,X2, ■ ■ •)■ Тогда су (А) есть круг
{А € С: |А| < 1}. При этом А не имеет собственных чисел.
§ 5.2. Примеры спектров
269
Доказательство, (i) Каждое число ап является собственным
для А с собственным вектором еп, имеющим единичную коорди¬
нату с номером п и нулевые прочие координаты. Ясно, что дру¬
гих собственных чисел нет. Ввиду замкнутости спектра замыкание
{ап} тоже входит в сг(А). Разумеется, это замыкание может быть
шире данной последовательности, что приводит к появлению то¬
чек спектра, не являющихся собственными числами. Всякая точка
Л из дополнения указанного замыкания регулярна. В самом деле,
найдется такое е > 0, что |А — ап| ^ е для всех п (иначе А была
бы предельной точкой {од}). Поэтому последовательность чисел
(ап — А)-1 ограничена и задает ограниченный оператор в I2. Этот
оператор является обратным к А — XI.
(ii) Очевидно, что ||Л(| = 1. Поэтому спектр А содержится
в замкнутом единичном круге. Если Ах — Хх, то имеем Axi = О
и хп — Ахп+1, откуда х = 0. Таким образом, собственных чисел
нет. Поскольку оператор А — XI оказался инъективным, то его
обратимость равносильна тому, что для каждого у G I2 уравне¬
ние Ах — Хх = у разрешимо в I2. Посмотрим, для каких А это так.
Мы имеем равенства — Xxi — у\, хп — Xxn+i — уп+1, откуда
XI — —A-1yi, х2 = -Х~2У! - Х~гу2, ХП^-Х~ПУ! А~1уп.
Из этой формулы видно, что при |А| < 1 оператор А — XI не сюръ¬
ективен. Например, при А €Е (0,1), вектор у = (An) € I2 не имеет
прообраза, ибо в противном случае мы бы получили хп < — А1_п,
что дает последовательность, не входящую в I2. Поскольку откры¬
тый круг вошел в спектр, то без дальнейших рассмотрений ясно,
что и замкнутый круг лежит в спектре. □
Рассмотрим очень важный оператор умножения на функцию.
5.2.2. Пример. Пусть у ф 0 — конечная неотрицательная ме¬
ра на пространстве О, р — ограниченная комплексная д-измеримая
функция. Зададим оператор Av умножения на сд в 1/2(ц) формулой
А<{,х(и) — ip(u>)x(uj).
Тогда справедливы следующие утверждения:
(i) Л* есть оператор умножения на ф, спектр Av есть множе¬
ство существенных значений ip, т. е. множество всех таких чисел
А € С, что д(са: |<д(са) - А| ^ е) > 0 для всех е > 0;
(и) <р(ш) G для /i-п.в. ш;
(iii) 11А^р11 = кроме того, оператор А^ самосопряжен
в точности тогда, когда (р(со) € IR1 для д-п.в. со.
270
Глава 5. Основы спектральной теории
Доказательство, (i) Заметим, что оператор Av ограничен,
причем ||ЛД| ^ |М1ь°°(м)- Вид сопряженного к Аv ясен из равен¬
ства
для всех х, у G L2(//). Найдем спектр Av. Если А не является суще¬
ственным значением р, то при некотором е > 0 для ц-почти всех со
имеем \р(ш) — А| ^ е. Переопределив р на множестве /i-меры нуль,
можно считать, что это неравенство верно для всех со £ О. Тогда
оператор умножения на ограниченную функцию А) является
обратным к Ау — А • I. Обратно, пусть А — регулярное значение.
Предположим, что А оказалось существенным значением р. Тогда
множества Вп = {со: |<ДсД — А| ^ 1 /гг} имеют положительные ме¬
ры и потому функции хп = 1вп/\/д(-Вп) имеют единичные нормы.
При этом (Ay — XI)хп —> 0, ибо
Значит, хп — (Ау - А/)_1(Л^ - А 1)хп —>• 0 вопреки равенству
||жп|| = 1. Итак, А не является существенным значением р.
(И) Множество Sv существенных значений функции р может
отличаться от множества ее фактических значений. Например, за¬
дадим функцию р на интервале (0,1) с мерой Лебега так: p(t) = t
при t ф 1/2, <г(1/2) = 2. Тогда принимаемое значение 2 не яв¬
ляется существенным, а не входящее в множество принимаемых
значений число 1 является существенным значением. Однако мож¬
но заменить функцию р функцией р, которая равна ей //-почти
всюду и принимает значения во множестве существенных значе¬
ний р. В самом деле, для каждой точки г е С, не являющейся
существенным значением р, найдем открытый круг U(z, г), для ко¬
торого р~г (U(z, г)) имеет //-меру нуль. Из полученного покрытия
С1\5¥, выберем счетное подпокрытие кругами U (zj, гД. Множество
Е — Uj р~х ('U(zj,rj)) имеет //-меру нуль. В частности, имеются су¬
щественные значения (иначе //(П) = 0). Вне Е сделаем функцию р
равной р, а на Е положим р равной какому-нибудь существенному
значению. Полученная модификация принимает значения в Sv.
(iii) Ввиду доказанного в (i) осталось проверить, что верна оцен¬
ка ||Л^|| ^ |М1г°°(м)- Это ясно из того, что наибольшее существен¬
ное значение функции |</?| есть |М|1,°°(Д).
Р(ВП)
1
§5.3. Самосопряженные операторы
271
Равенство Av = Л* равносильно тому, что операторы умноже¬
ния на ip и Тр равны, т. е. тому, что ср(ш) — <р(со) для д-п.в. и, ибо
оператор умножения на ограниченную функцию равен нулю, лишь
если эта функция равна нулю почти всюду. □
Важность рассмотренного примера ясна из того, что, как мы
увидим ниже, к такому виду приводятся все самосопряженные опе¬
раторы и все унитарные операторы в сепарабельных гильбертовых
пространствах.
§ 5.3. Самосопряженные операторы
Для непрерывного линейного оператора А в комплексном гиль¬
бертовом пространстве Н определены функции
ФдО, У) = (Ах, У), Qa(x) = (Ах, х).
Функция Qa называется квадратичной формой оператора А. Из
легко проверяемого тождества
4Фа(х, у) = Qa(x + у)~ Qa(x ~у) + iQa(x + iy) - iQA(x - гу)
следует, что функция Фд и оператор А однозначно определены
квадратичной формой Qa (в вещественном случае это неверно!).
Функция Фд, называемая билинейной формой оператора А, линей¬
на по первому аргументу, сопряженно-линейна по второму и непре¬
рывна.
Обратно, с помощью такой функции можно построить ограни¬
ченный оператор.
5.3.1. Лемма. Пусть Н — комплексное гильбертово про¬
странство и Ф - комплексная функция на Н х Н, линейная по
первому аргументу, сопряженно-линейная по второму и непре¬
рывная по каждому переменному при фиксированном другом. То¬
гда существует такой непрерывный линейный оператор А в про¬
странстве Н, что Ф(u,v) = (Au,v), u,v G H.
Доказательство. Отображение v i—> Ф(и,щ) при фиксиро¬
ванном и линейно и непрерывно. Теорема Рисса дает однозначно
определенный вектор Аи, для которого (v,Au) — Ф (u,v), откуда
(Au,v) — Ф(м, г>). Из линейности Ф(и, v) по и следует линейность
отображения и > Аи. Если ип —» 0, то Ф(ип, v) —* 0 при всех v Е Н,
т. е. Аип —> 0 слабо и потому supn || Aun|| < оо. Значит, оператор А
непрерывен (см. теорему 4.1.5). □
272
Глава 5. Основы спектральной теории
Для самосопряженного оператора А, т. е. удовлетворяющего ра¬
венству А* = А (см. определение 4.8.2), справедливо следующее
важное тождество:
4Rе(Ах,у) = Qa(x + у) -Qa{x- у).
Для доказательства достаточно преобразовать выражение
(А(х + у),х + у)- (А(х -у),х- у)
с учетом равенства (Ау,х) = (у, Ах).
5.3.2. Предложение. Оператор А самосопряжен в точности
тогда, когда его квадратичная форма Qa вещественна.
Доказательство. Если А = А*, то
(Ах,х) = (х,Ах) — (Ах,х).
Обратно, если Qa — вещественная функция, то Qa* — Qa, откуда
А — А*, ибо оператор однозначно определен квадратичной формой
(напомним, что речь идет о комплексном пространстве). □
Отметим еще одно полезное свойство самосопряженных опера¬
торов.
5.3.3. Предложение. Пусть А — самосопряженный опера¬
тор в гильбертовом пространстве Н, а линейное пространство
Е С Н таково, что А(Е) С Е. Тогда А(Е±) С Е1.
Доказательство. Пусть v _L Е. Тогда (Av,u) = (v,Au) = О
для всякого и G Е, ибо Аи е Е. Итак, Av ± Е. □
Для несамосопряженного оператора получим А*{Е^) с EL.
Ортогональным проектором в гильбертовом пространстве Н
называют оператор ортогонального проектирования на замкщ'тое
подпространство (см. следствие 3.4.6). Проекторы образуют специ¬
альный класс самосопряженных операторов.
5.3.4. Теорема. Ограниченный оператор Р является ортого¬
нальным проектором в точности тогда, когда Р* = Р = Р2.
Доказательство. Если Р — проектор на замкнутое подпро¬
странство Но, ТО Р2 = Р и (Рх,у) = (X, Ру), т. е. Р* = Р, что уже
отмечалось в примере 4.8.3. Обратно, если выполнены указанные
равенства, то положим
Н0 := Ker(I-Р), Н] := KerР.
§ 5.3. Самосопряженные операторы
273
Ясно, что IIо и Н\ замкнуты, причем Но ± Hi, ибо при ж € Hq
и у 6 Н\ мы имеем (ж, у) = (Рх, у) = (ж, Ру) = 0. Так как
ж — Рж € Ker Р, Рж € Кег (/ — Р),
то для всякого ж имеем разложение ж = (ж —Рж) +Рж, где Рж € Ро
и ж — Рж е Hi, т.е. Н есть сумма Но и Hi. На подпространстве
Н0 оператор Р совпадает с тождественным, а на Pi равен нулю.
Поэтому Р есть проектор на Hq. □
Установим критерий Вейля принадлежности к спектру.
5.3.5. Теорема. Число А £ С входит в спектр самосопряжен¬
ного оператора А в точности тогда, когда существует такая по¬
следовательность векторов хп, что
||жп|| = 1 и \\Ахп - Аж„|| —> 0.
Доказательство. Если такая последовательность существу¬
ет, то Л Е <х(Я), ибо в противном случае
хп = {А - МУ1 (А - XI)хп -» 0.
Пусть такой последовательности нет. Тогда
inf ||Лж — Лж|| = а > 0,
11*11=1
откуда
\\Ах — Аж|| ^ а||ж|| для всех ж. (5.3.1)
В частности, Кег (Я — XI) = 0. Положим Y = (А — Х1)(Н) и пока¬
жем, что Y — Н. Пусть а ± Y, т. е. (Ах — Аж, а) = 0 для всех ж.
Тогда (ж, Аа — Ха) — 0 и потому Аа = Ха. Если а ф 0, то А должно
быть вещественным ввиду вещественности Qa- Поэтому Аа — Ха
вопреки инъективности А — XI. Итак, замыкание Y совпадает с Р.
Пусть у € Р. Выберем уп — Яжп — Ххп —> у. Из фундаментально¬
сти {уп} и оценки (5.3.1) следует фундаментальность {жп}. Ввиду
полноты Р существует ж = Нт хп, откуда у — Ах — Аж. Итак,
п—>оо
оператор А — XI обратим.
□
5.3.6. Следствие. Если самосопряженный оператор А и ком¬
плексное число X таковы, что inf ||Яж — Аж|| > 0, то X — регу-
11*11=1
лярное значение.
Заметим, что как критерий Вейля, так и доказанное следствие
верны и в вещественном случае, что очевидно из доказательств.
Приведем еще одно полезное следствие.
274
Глава 5. Основы спектральной теории
5.3.7. Следствие. Спектр самосопряженного оператора
лежит на вещественной оси.
Доказательство. При ||®|| = 1 для всех вещественных чисел
а и (3 имеем
{Ах — ах — if3x, Ах — ах — i(3x) —
— (Ах — ах, Ах — ах) — {Ах — ах, i/Зх) — г@{х, Ах — ах) + г(3{х, г/Зх) =
= ||Л® — аж||2 + /32||х||2 ^ /З2.
Если Рф 0, то применимо предыдущее следствие. □
Следующая важная теорема позволяет уточнить расположение
спектра в терминах квадратичной формы оператора и характери¬
зует норму оператора как наибольшее по модулю число в спектре.
5.3.8. Теорема. Если А — самосопряженный оператор в не¬
нулевом комплексном или вещественном гильбертовом простран¬
стве, то справедливы равенства
||А|| = sup{|(A®, ж)|: ||®|| < 1} = хпах{|А|: Аесг(Л)}.
Кроме того, в спектр А входят точки
тд — inf {Ах, х), Мд = sup {Ах,х),
11*11-1 Ца;1|=1
причем а {А) с (тд, Мд].
Доказательство. Положим М = sup \{Ах,х)\. Ясно, что
ll*ll=1
М = Мд или М — -тд■ Имеем \{Ах,х)\ ^ М||ж||2 и М ^ ||А||,
ибо |(Яа;,х)| ^ ||А||||ж||2. С другой стороны, мы имеем
||А|| = sup ||Ат|| = sup Rе{Ах,у)—
11*11 <1 ||x||,||v||<l
= - sup [{А{х + у),х + у) - {А{х - у),х - у)] ^
4 11*11,ЫК1
sup [М\\х + у||2 + М\\х — у\\2] =
4 INUMK1
= \ sup [М\\х\\2 + М\\у\\2] = М.
2 11*11,1Ы1<1
§ 5.3. Самосопряженные операторы
275
Итак, М = ||Л||. Можно считать, что М — Мд, так как в случае
М = — тд можно перейти к оператору —А. Тогда найдутся векто¬
ры хп с ||ж„|| = 1 и (Ахп,хп) —> М. Это дает
IIАхп - Мхп\\2 = (.Ахп,Ахп) - 2М(Ахп,хп) + М2(хп,хп) ^
||Ч||2 + М2 - 2М(Ахп,хп) = 2М2 - 2М(Ахп,хп) -* 0.
По критерию Вейля М € <г (А). Значит, || А|| € сг(Л), но так как а(А)
содержится в круге радиуса ||Л||, то ||Л|| совпадает с максимумом
модулей чисел спектра.
Чтобы увидеть, что тд и Мд входят в сг(А), заметим, что
МА+с1 = Мд + с, тА+с1 = тд + с, а(А + с!) = а {А) + с
для всякого с € И1. Возьмем с = ||Л||. Поскольку
\(Ах,х)\ ^ ||Л||||ж||2,
то 0 ^ тд+С1 А; Мд+С1, откуда Мд+С[ £ а ( А + с/) по доказанно¬
му выше, т. е. Мд £ <т(Л) в общем случае. Из легко проверяемых
равенств тд — —М-д и сг(—А) = —сг(Л) получаем тд € сг(Л).
Включение а-(А) С [тд,Мд] также следует из критерия Вейля,
ибо если мы имеем ||Лжп — Лжп|| —► 0 и ||жп|| = 1, то (Ахп, хп) —► Л,
откуда тд ^ Л ^ Мд. □
Как указано в §4.8, для самосопряженного оператора А в ве¬
щественном гильбертовом пространстве Н его комплексификация
Ас в комплексификации Нс пространства II действует по форму¬
ле Ас: х + iy t-ч Ах + iAy и также оказывается самосопряжен¬
ным оператором. Овеществлением такого оператора (результатом
перехода к полю И) является прямая сумма двух копий операто¬
ра А. Нетрудно проверить, что спектры А и Ас равны (проведите
проверку!). Тем не менее рассмотрение комплексных пространств
имеет много преимуществ даже в случае самосопряженных опера¬
торов.
Если А,В — самосопряженные операторы и (Ах, х) ^ (Вх, х)
для всех х, то будем писать А ^ В я В ^ А. В частности, А ^ 0,
если (Ах, х) ^ 0 для всех х (как мы знаем, в комплексном случае
эта оценка дает и самосопряженность А, но в вещественном слу¬
чае самосопряженность требуется дополнительно). Такой оператор
называется неотрицательным. Из доказанного выше следует, что
А ^ 0 в точности тогда, когда а (А) с [0, +оо).
Отметим, что критерий Вейля остается в силе для нормальных
операторов (задача 5.11.33).
276
Глава 5. Основы спектральной теории
§ 5.4. Теорема Гильберта-Шмидта
В конечномерном пространстве любой самосопряженный опе¬
ратор является диагональным в некотором ортонормированном ба¬
зисе. В бесконечномерном же случае самосопряженный оператор
может вообще не иметь собственных векторов (например, как опе¬
ратор Ax(t) = tx(t) в L2[0,1]). Однако для компактных самосопря¬
женных операторов сохраняется полная аналогия с конечномер¬
ным случаем. В этом состоит следующий замечательный класси¬
ческий результат: теорема Гильберта-Шмидта.
5.4.1. Теорема. Пусть А — компактный самосопряженный
оператор в вещественном или комплексном сепарабельном гиль¬
бертовом пространстве Н ф 0. Тогда А имеет собственный ор-
тонорлшрованный базис {еп}, т. е. Аеп — апеп, где числа ап веще-
ственны и стремят.ся к нулю, если Н бесконечномерно. Спектр А
состоит из чисел ап и точки 0, если Н бесконечномерно.
Доказательство. Заметим, что А имеет собственные векто¬
ры. В самом деле, по теореме 5.3.8 инфимум и супремум функции
Qa(x) — (Ах,х) на единичной сфере входят в спектр. Если они
равны нулю, то А = 0. Если хотя бы одно из этих чисел отлично от
нуля, то из-за компактности А оно оказывается собственным. В са¬
мом деле, пусть, скажем, р = Мд > 0. По критерию Вейля найдут¬
ся векторы хп единичной длины, для которых \\Ахп — рхп\\ —> 0.
Из последовательности {Ахп} выберем сходящуюся подпоследова¬
тельность. Тогда из предыдущего соотношения получаем сходи¬
мость соответствующей подпоследовательности из {хп\ к некото¬
рому вектору х единичной длины, откуда Ах = рх. Все собствен¬
ные числа А вещественны. Собственные векторы, отвечающие раз¬
ным собственным числам, взаимно ортогональны. Действительно,
если Аа = аа и АЬ — (ЗЪ, то
(3(а, Ъ) — (а, АЬ) = (Аа, Ь) — а(а, Ь),
откуда (а, Ь) = 0 при а ф (3. Следовательно, в силу сепарабельно¬
сти Н собственных чисел не более чем счетное множество. Каждое
ненулевое собственное число имеет конечную кратность ввиду ком¬
пактности А. Пусть {ап} — все собственные числа А. В каждом
подпространстве Нп Кег(П — апГ) выберем ортонормирован-
ный базис (для ап ф- 0 такие базисы конечны). Объединение всех
этих базисов дает ортонормированную систему {еп} в Н. Оста¬
ется проверить, что {еп} — базис. Обозначим через Н' замкну¬
тую линейную оболочку {еп}. Легко видеть, что А(Н') с Н', ибо
§ 5.4. Теорема Гильберта-Шмидта
277
А(Нп) С Нп для всех п. Пусть Н" — ортогональное дополнение Н'.
Тогда А(Н") с И" ввиду предложения 5.3.3. По доказанному в Н"
есть собственный вектор А, что ведет к противоречию, если Н" ф 0.
Ввиду компактности А имеем ап —у 0, ибо если \а.гн \ ^ е > 0, то из
Аещ = anieni нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность,
ибо \\Аещ — Aenj || = (а2. + а2^)1/2 ^ е\/2. Утверждение о спектре
следует из примера 5.2.1. □
5.4.2. Замечание. Аналогичное утверждение верно и для
несепарабельного пространства Н. Здесь существует такое сепа¬
рабельное замкнутое подпространство Но с Н, что А(Щ) С Но
и A(Hq ) = 0. В качестве Щ можно взять замыкание А(Н), кото¬
рое сепарабельно в силу компактности А.
5.4.3. Пример. Найдем спектр и собственные функции опера¬
тора А в 1?[0,1], заданного ядром X(t,s) = min(t, s), т.е.
Оператор А интересен потому, что является ковариационным опе¬
ратором одного из важнейших случайных процессов — броуновско¬
го движения или винеровского процесса. Мы знаем, что этот опера¬
тор компактен. Ввиду симметричности и вещественности ядра он
самосопряжен (см. пример 4.8.3). По теореме Гильберта-Шмидта
существует собственный базис А. Пусть <р — собственная функция
с собственным числом Л. Тогда для почти всех t € [0,1] мы имеем
Правая часть непрерывна по t. Поэтому при Л ф 0 функция <д
имеет непрерывную версию, с которой и будем дальше работать.
Случай Л = 0 можно сразу исключить, ибо правая часть почти
всюду имеет производную, равную интегралу от <д по [1, /;] (что
вытекает из формул дифференцирования интеграла по верхнему
и нижнему пределам). Если такой интеграл равен нулю, то <р = 0.
Для непрерывной функции ip правая часть указанного равенства
уже непрерывно дифференцируема, что ввиду сказанного дает сле¬
дующее интегральное равенство:
278
Глава 5. Основы спектральной теории
Поэтому функция <р' также непрерывна, что приводит к уравнению
ip(t) = ci ехр(—t/'v/—Л) + с2 exp(i/\/—А) при Л < 0.
Вроде бы задача решена, но подозрительно то, что мы нашли соб¬
ственных чисел больше, чем полагается: не все же числа Л — соб¬
ственные?! На самом деле мы решили не исходное уравнение, а его
следствие (не зря в школе учили, по крайней мере раньше, что при
решении уравнений надо делать равносильные переходы). Чтобы
при переходах от интегральных тождеств к дифференциальным
уравнениям множества решений не менялись, надо учесть еще гра¬
ничные условия <р(0) — 0 и <р'( 1) — 0. С учетом этих условий
у нас остается лишь одна серия решений ip(t) — csin(t/\/A), Л > 0,
причем cos(1/a/A) = 0, что возможно лишь для счетного набора
Хп = (7г/2+7гп)~2, п — 0,1,..здесь с — нормирующий множитель.
Итак, собственный базис состоит из функций с„ sin((7r/2 + тт)£),
где п ^ 0 — целые числа.
5.4.4. Пример. Найдем норму оператора Вольтерра в про¬
странстве L2[0,1] (см. пример 4.1.2(ix)). Этот оператор не само¬
сопряжен. Его сопряженный задается формулой
что проверяется явным вычислением, а также следует из того фак¬
та, что V задается ядром X(t,s) = /[0 t](s). Оператор V*V само¬
сопряжен и компактен. По теореме Гильберта-Шмидта он имеет
собственный ортонормированный базис {еп}. Норма V*V, очевид¬
ным образом равная квадрату нормы V, совпадает с наибольшим
собственным числом V*V. Из равенства V*Vx — Хх в Ь2[0,1] сле¬
дует, что функция х имеет непрерывную модификацию, ибо функ¬
ция V*Vx непрерывна и нас интересуют ненулевые А (впрочем, ну¬
левых собственных чисел нет). Тогда функция V*Vx оказывается
дважды непрерывно дифференцируемой. Однократное дифферен¬
цирование дает равенство
Xp"(t) = -<p(t).
Общий вид решения этого уравнения такой:
<p(t) = ci sin(t/-VX) + c2 cos[t/VX) при A > 0,
§ 5.5. Спектр компактного оператора
279
а второе дифференцирование приводит к знакомому уравнению
Лx"{t) — —x[t). Как и в предыдущем примере, здесь надо учесть
граничные значения х(1) = 0, ж'(0) = 0. В результате находим
x(t) = Сcos(t/y/\), где Л = (л/2 + тт)~2, п = 0,1,..., откуда
||И*У|| = 4/7г2 и \\V\\ = 2/тг.
Укажем и несколько иной способ нахождения нормы V. Из при¬
веденного способа видно, что основная проблема состоит в том, что
V несамосопряжен. Однако очень похожий на V оператор
fi-t
Wx(t) — / x(s) ds
Jo
уже оказывается самосопряженным, ибо задается симметричным
ядром 3C(t,s) = /[o:i-t](s) — -^[o,i](s + t) класса L2([0, l]2). Этот опе¬
ратор связан с V равенством W = UV, где оператор U в L2[0,1]
действует по формуле Ux(t) = ж(1 — t). Очевидно, что этот опера¬
тор сохраняет норму. Поэтому ||W|| — ||У||, где ||W|| вычисляется
путем явного нахождения собственных чисел (как ||Vr*V|| выше).
§ 5.5. Спектр компактного оператора
Изучим теперь спектр произвольного компактного оператора
в комплексном или вещественном банаховом пространстве X.
5.5.1. Лемма. Если К — компактный оператор в X, то
(i) ядро оператора I — К конечномерно,
(и) образ оператора I — К замкнут.
Доказательство, (i) На ядре оператора I — К оператор I
равен К и потому компактен, что возможно, лишь если это ядро
конечномерно.
(и) Пусть уп = хп — Кхп —> у. Покажем, что у G (J — К)(Х).
Предположим сначала, что supn ||жп|| < схз. Ввиду компактности К
из последовательности {Кхп} можно выбрать сходящуюся подпо¬
следовательность {Кхщ}. Так как xni — yni + Кхт, то сходится
и {xnj}. Обозначив предел через х, получим у — х — Кх.
Теперь рассмотрим случай, когда последовательность {хп} не
является ограниченной. Положим Z = Кег(/ — К) и
dn — inf {11я; - xn\\: 2 e Z}.
Найдутся zne Z c \\zn — xn\\ ^ 2 dn. Покажем, что последователь¬
ность {dn} ограничена. Тогда все сведется к первому случаю, ибо
280
Глава 5. Основы спектральной теории
мы имеем (I — К){хп — zn) — (I — К)хп — уп. Предположим про¬
тивное. Можно считать, что dn —* -foo. Положим
Vn — (З'П %п ) /11 — %п 11 •
Тогда
||^п I] = 1» Vn Kvn — (I К^хп/\\хп Zn || — Уп/dn > 0.
Выберем подпоследовательность {Kvni}, сходящуюся к некоторо¬
му v € X. Тогда vni = [ущ - Kvni) + Kvni -> Щ откуда KvHi-* Kv.
Значит, Kv = v, T. e. v € Z. Однако это невозможно, ибо
11 ^ 11 — г; и [ | x:n zn || xn — zn 11 • z 11 ^ , = л V z G Z,
113/ Д -2^77. 11 "
откуда ||v — ,z|| ^ 1/2 при z € Z. Итак, {dra} ограничена. □
5.5.2. Теорема. Пусть К — компактный оператор в ком¬
плексном или вещественном бесконечномерном банаховом прост¬
ранстве X. Тогда спектр К либо совпадает с точкой 0, либо име¬
ет вид
a(K) = {0}U{kn},
где все кп — ненулевые собственные числа К конечной кратности,
причем набор {кп } либо конечен, либо является сходящейся к нулю
последовательностью.
Доказательство. Ввиду некомпактности I оператор К необ¬
ратим и потому 0 G <х{К). Пусть Л € сг(К) и Л / 0. Покажем, что
Л — собственное число. Предположим противное. Перейдя к опера¬
тору А"1/б, можно считать, что А = 1. По лемме подпространство
Х\ = (К — 1){Х) замкнуто в X. При этом Х\ ф X, ибо иначе
оператор К — I был бы обратим. Положим
Хп:=(К-1)п(Х) = (К-1)Хп-Ъ пф2.
Ясно, что Xn+i с Хп, так как Х\ С X. По тем же соображениям,
что и выше, получаем, что все подпространства Хп замкнуты. Они
различны, ибо если
(■К - 1)(Хп) =Хп = {К- /)(*„-!),
то Хп — Xn_i ввиду инъективности К — I и неравенства Х\ ф X.
По теореме 3.3.5 существуют векторы хп € Хп, для которых
||жп|| = 1 и dist(a;n,Xn+i) ^ 1/2.
§ 5.5. Спектр компактного оператора
281
При всех номерах п < т справедливо равенство
Кхп КХщ — Хл Xfyi -{- (КГ J^Xji (К I)x77| j
где по нашему построению справедливы такие включения:
V Хт (КГ 1)хп Т (-К 1)хт €Е Хт Т Хп+\ + Хт С Хп | ^.
Поэтому ||Кхп - Кхт\\ = \\хп - и|| ^ 1/2 и из {Кхп} нельзя вы¬
делить фундаментальную последовательность вопреки компактно¬
сти К. Полученное противоречие означает, что Л — собственное
число К. По лемме dim Кег(К — XI) < оо, т. е. Л имеет конечную
кратность. Конечно, нуль может иметь бесконечную кратность.
Покажем, что {Л;п} не имеет отличных от нуля предельных
точек. Предположим, что Хп —> Л, где А„ — собственные числа
и А ф 0. Можно считать, что Ап различны и |АП| ^ а > 0. Возь¬
мем х„/0с Кхп = Хпхп. Легко видеть, что векторы хп линейно
независимы (задача 5.11.1). Обозначим через Хп линейную оболоч¬
ку xi,..., хп. Ясно, что К(Хп) с Хп. По теореме 3.3.5 найдутся
Уп е Хп, для которых \\уп|| = 1 И dist(yn,Xn-i) > 1/2, п > 1. Пусть
Уп = ®пХп + zn, Zji £ Х-п—1 •
Тогда при п> т мы имеем
Куп Кут — К((ХпХп) Т Kzn Кут — <УпХпХп Т Kzn Кут —
= АпУп Т Кzn Кут — Хп(уп — zn + \п Kzn \п Кут),
где Zn-X^Kzn + X^Kym е Хп-х. Поскольку dist(y„,Xn_i) ^ 1/2
и |АП| ^ а, то ||Куп — Кут\\ ^ <г/2, т. е. из {Куп} нельзя выбрать
фундаментальную подпоследовательность — противоречие. □
5.5.3. Следствие. Пусть К — компактный оператор в X.
Тогда (I — К)(Х) — замкнутое подпространство конечной кораз¬
мерности, т. е. X — (/ — К)(Х)®Е, где Е — конечномерное ли¬
нейное подпространство.
Доказательство. Замкнутость подпространства (/ — К)(Х)
уже доказана. По теореме 4.8.1 это подпространство есть пересече¬
ние ядер функционалов из Кег(/—КГ*). Так как dim Кег(I—K*) < оо
ввиду компактности К* (см. теорему 4.9.3), то найдутся линейно
независимые функционалы 1\,... ,ln € Кег(1 — К*), для которых
(J — К)(Х) — П£=1 КетЬ. Возьмем векторы Xi € X с k(xj) — Sij.
Тогда X есть сумма (/ — К') (КГ) и линейной оболочки х\,...,хп.
Действительно, для всякого х € X положим z — х — Ym=i k{x)xi.
Тогда lj(z) — lj(x) — lj(x)lj(xj) = 0 при всех j — 1,... ,п. □
282
Глава 5. Основы спектральной теории
Совершенно очевидно, что это следствие остается в силе и для
оператора XI — К при А ф О, ибо А~1К — компактный оператор.
В следующем параграфе используется это соображение.
На многих конкретных пространствах нетрудно явно ука¬
зать непрерывные операторы с несчетными спектрами (скажем,
в L2[0,1] и С[0,1] молено взять оператор умножения на аргумент).
Тем самым эти операторы нельзя записать в виде XI + К с ком¬
пактным оператором К. Однако несколько десятилетий оставался
открытым вопрос о существовании бесконечномерных сепарабель¬
ных банаховых пространств, в которых всякий ограниченный опе¬
ратор имеет указанный вид. Лишь совсем недавно появилась ра¬
бота С. Аргироса и Р. Хэйдона (S. Argyros, R. Haydon), в которой
такое пространство построено.
§ 5.6. Интегральные уравнения
Мы уже знаем, что если ненулевое число А не является соб¬
ственным для компактного оператора К в банаховом простран¬
стве X, то оператор К — XI обратим и потому уравнение
Кх — А х = у (5.6.1)
однозначно разрешимо для каждого у £ X. Здесь мы уточним
это утверждение и покажем, что из одного факта разрешимости
уравнения (5.6.1) при всех у следует его однозначная разреши¬
мость. Иначе говоря, нетривиальность ядра К — XI означает, что
(К — XI) (X) ф X, как и в конечномерном случае.
5.6.1. Теорема. Пусть К — компактный оператор в ком¬
плексном или вещественном банаховом пространстве X. Тогда
имеет место следующая альтернатива Фредгольма:
Кег{К — /) = 0 <*=*► (К- 1){Х) = X,
т. е. либо уравнение
Кх — х = у
однозначно разрешимо при всех у £ X, либо для некоторого век¬
тора у £ X оно не имеет решений и тогда однородное уравнение
Кх — х = О
имеет нетривиальные решения.
Доказательство. Если Кег(АГ - I) = 0, то по теореме 5.5.2
имеем 1 0 о(К). Значит, (К — I)(X) — X. Обратно, предположим,
что (К — I)(X) = X. Как мы знаем, оператор К* в X* также
§ 5.6. Интегральные уравнения
283
компактен. Заметим, что Кег (if* — I) = 0 ввиду теоремы 4.8.1
(иначе пересечение ядер функционалов из Кег (if* — I) меньше X).
По теореме 5.5.2 оператор К* — I обратим. Тогда по теореме 4.8.5
обратим и оператор К — I. □
Ясно, что альтернатива Фредгольма остается в силе для К — XI
при любом Л ф 0, т. е. разрешимость (5.6.1) со всякой правой ча¬
стью равносильна отсутствию нетривиальных решений уравнения
Кх-\х = 0. (5.6.2)
5.6.2. Замечание. Отметим еще, что если Т — обратимый опе¬
ратор между банаховыми пространствами X и У и S: X —> Y —
такой компактный оператор, что оператор Т + S инъективен, то
T+S также и сюръективен. Это следует из доказанного, ибо опера¬
тор Т~г(Т + £>) = I + T~1S\ X —> X инъективен, причем оператор
T~lS компактен. Конечно, компактность S здесь важна.
Прежде чем обратиться к рассмотрению классических резуль¬
татов Фредгольма, полученных в терминах интегральных уравне¬
ний, приведем еще один абстрактный результат — также входящий
в число так называемых теорем Фредгольма — о связи между раз¬
решимостью уравнений вида (5.6.1) и (5.6.2) и разрешимостью ана¬
логичных уравнений с сопряженным оператором. Напомним, что
для компактного оператора К в X сопряженный оператор К* в X*
также компактен. Так как <r(if) — о(К*) ввиду замечания 5.1.9, то
К и К* имеют одинаковые ненулевые собственные числа (но если X
гильбертово, то оператор К* задается в X и собственные числа К*
комплексно сопряжены к собственным числам К).
5.6.3. Теорема. Пуст,ъ К £ DC(X) и X ф 0. Уравнение (5.6.1)
разрешимо в точности для тех у, кот.орые входят в множество
{z £ X: f{z) = 0 V/ € Ker(K* — XI)} — f| Кег/,
/еКег(Л'*-Л/)
называемое аниулятором Кег (if* — ЛI) в X. При этом
dimKer (if — XI) — dim Кег (if* — XI) — codim (if — XI)(X). (5.6.3)
Если X гильбертово и if* задан в X, то вместо К* — XI следует
брать К* — XI.
Доказательство. Можно считать, что Л = 1. Первое утвер¬
ждение объяснено в доказательстве следствия 5.5.3. Там показа¬
но, что есть такие х\,... ,хп в X и Zi,..., ln £ Кег (if* — i), что
284
Глава 5. Основы спектральной теории
Кег (К* — I) совпадает с линейной оболочкой элементов 1г,.. , )1п,
выполнены равенства kixj) = <%, (К - I)(X) = f|"=1 Кег k, причем
n-мерное подпространство Е, порожденное xi,...,xn, дополняет
замкнутое подпространство (К — 1)(Х) до X. Итак,
dim Кег (К* — I) — dim К = codim (К — 1)(Х).
Покажем, что dim Кег (К — I) — п. Конечномерное подпростран¬
ство Хо := Кег (К — I) можно дополнить до X замкнутым линей¬
ным подпространством Х\ (следствие 4.4.3). Если dim Ко < п, то
найдем инъективный, но не сюръективный оператор Kq : Xq—^E.
Записывая х в виде х — xq © хг, хо € К0, х\ € Х\, зададим опера¬
тор К\: X —» X, х (-» Kqxq -\-Кх. Этот оператор компактен в силу
компактности К и указанного следствия. Ядро Кх — 1 тривиально:
если К\х = ж, то х — Кх — Kqxq € Е, откуда KqXo — 0 и xq — 0, ибо
Е П (К — /)(К) = 0 и Кег Kq = 0. Это дает ад — Кх\ = 0 и ад = 0
из-за инъективности К —I на Х\. Кроме того, образ К\—1 отличен
от X (не все Е входит в него), что невозможно ввиду альтернативы
Фредгольма.
Если dim Ко > п, то аналогичным образом имеется сюръек¬
тивный оператор Ко: Хо —> Е с нетривиальным ядром. Это дает
сюръективный оператор К\ — 1 с нетривиальным ядром, что также
исключается. Итак, dim Ко = п. Ввиду уже доказанного коразмер¬
ность образа К* — I также равна п. □
Применим доказанные абстрактные результаты к тем объек¬
там, с которых и начиналась теория Фредгольма, — интеграль¬
ным операторам. Пусть дана комплексная функция X из £2([а, Ь]2)
или, более общим образом, из £2(ПхП,ц®ц), где (О, А,ц) — про¬
странство с неотрицательной мерой. Эта функция, называемая ин¬
тегральным ядром, задает компактный оператор
Kx(t) = f X(t,s)x(s)ds
J а
в комплексном пространстве L2[a, b] или аналогично определяемый
оператор в L2(p) (см. пример 4.9.4(ш)). Не всякий компактный опе¬
ратор имеет такой вид, но в приложениях такие операторы типич¬
ны. Как мы знаем из примера 4.8.3(ш), сопряженный оператор К*
задается формулой
K*u(t) — / X(s,t)u(s) d-s,
J а
§ 5.6. Интегральные уравнения
285
т. е. соответствует интегральному ядру DC*{t,s) := X(s,t). Если яд¬
ро X вещественно и симметрично, то X = X*. Первый вопрос тео¬
рии интегральных уравнений — разрешимость уравнения
с заданной правой частью. Полученные выше результаты приводят
к следующим выводам относительно (5.6.4).
(1) Множество решений уравнения (5.6.4) с у = 0 имеет ко¬
нечную размерность п (возможно п = 0), и такую же размерность
имеет множество решений однородного уравнения, соответствую¬
щего интегральному ядру DC*;
(2) если ui,ип — линейно независимые решения однород¬
ного уравнения, соответствующего Xх, то множество всех тех у,
для которых уравнение (5.6.4) разрешимо, состоит из функций у,
удовлетворяющих условиям
Конечно, сказанное верно и для оператора в вещественном про¬
странстве, заданного вещественным ядром.
Рассмотрим аналогичный вопрос для интегрального операто¬
ра К, заданного непрерывным вещественным интегральным ядром
DC в С[а,Ь]. Оператор К тоже компактен. Поэтому к нему приме¬
нима теорема 5.6.3. Однако эта теорема привлекает сопряженный
оператор в сопряженном пространстве С[а,Ь]*, представляющем
собой пространство мер. Возникает вопрос, нельзя ли при реше¬
нии задачи о разрешимости уравнения х — Кх — у ограничиться
рассмотрением сопряженного оператора
лишь на функциях из С [а, 5] (оператор К' есть сужение К* на под¬
пространство в С[а,Ь}*, соответствующее мерам, заданным непре¬
рывными плотностями). Это оказывается возможным. В самом де¬
ле, по общей теореме надо исследовать уравнение а — К*а = 0 от¬
носительно а € С [а, 5]*, где К* а есть элемент пространства С [а, 6]*
(т. е. мера на [а, Ь\), действующи! на w £ С[а: Ь] по формуле
сЪ
(5.6.4)
а
•b
(K*cr)(w) = X(t, s)w(s) ds a(dt).
286
Глава 5. Основы спектральной теории
Это означает, что мера К* а задается непрерывной плотностью
g(t) — / X(t, s) a(ds).
J[a,b]
Поэтому наличие нетривиальных решений однородного уравнения
а — К*а = 0 в С[а,Ь]* равносильно существованию ненулевых ре¬
шений уравнения д — К' д = 0 в С[а,Ъ].
Следует иметь в виду, что здесь была использована непрерыв¬
ность X по обоим аргументам (точнее, здесь важно, что К* пере¬
водит С[а,Ь\* в С[а,Ь}). Рассмотрим ядро
X(t,s) = (3/2 )ts~1/2,
которое непрерывно лишь по одному аргументу, но, как легко ви¬
деть, порождает компактный оператор в С[0,1] с одномерным обра¬
зом. Оператор К* в С[0,1]* также имеет одномерный образ, а мера
ст — s-1/2 ds удовлетворяет уравнению К*а — а и порождает под¬
пространство Кег (К* — I). По теореме 5.6.3 условие разрешимости
уравнения х — Кх = у дается равенством
1
y(s)s-1/2 ds = 0.
Если же здесь действовать по формальной аналогии с предыду¬
щим случаем и искать собственные векторы сопряженного ядра
лишь в С[0,1] или L2[0,1] (а не в С[0,1]*), то, убедившись, что
их нет, можно сделать неверный вывод о разрешимости уравнения
х — Кх = у при всех у.
Дополнительные сведения об интегральных уравнениях имеют¬
ся в [22], [23] (см. также библиографические указания в [7]).
§ 5.7. Унитарные операторы
Пусть Н — комплексное гильбертово пространство и А — огра¬
ниченный оператор в Н. Напомним, что сг(А*) совпадает с множе¬
ством, комплексно-сопряженным а (А) (замечание 5.1.9).
5.7.1. Определение. Линейный оператор U в гильбертовом
пространстве Н ф 0 называется унитарным, если он отобража¬
ет Н на Н и сохраняет скалярное произведение, т. е.
(Ux, Uy) = (ж, у) для всех х,у € Н.
§ 5.7. Унитарные операторы
287
Унитарным изоморфизмом ненулевых гильбертовых прост¬
ранств Hi и Н2 называется взаимно однозначный линейный опе¬
ратор U: Hi —> Н2, сохраняющий скалярное произведение, т. е.
(Ux,Uy)H2 = (х,у)н! для всех х, у € Щ.
Равносильное определение унитарности — равенство
С/-1 = U*
или два равенства
UU* = U*U = I.
Отметим, что лишь одного из этих двух равенств недостаточно
для унитарности оператора, если не потребовать его обратимость.
Например, пусть Uх = (0, х\,Х2, ■ ..) в I2. Тогда U сохраняет ска¬
лярное произведение и U*U = I, однако UU* ф I.
5.7.2. Лемма. Любая линейная изометрия гильбертовых про¬
странств является унитарным изоморфизмом.
Доказательство. Пусть J: Hi —> Н2 — линейная изометрия.
Тогда \\Jx + Jy\\2 = \\х + у\\2, \\Jx\\2 = ||ж||2, ||Jy||2 = ||у||2, отку¬
да (Jx,Jy) + (Jy,Jx) = (ж, у) + (у, ж), т.е. Re(Jx,Jy) = Re(x,y).
Заменив а; на и в комплексном случае, получим равенство и для
мнимых частей. □
5.7.3. Пример. Пусть — рассмотренный в примере 5.2.2
оператор умножения в L2{p) на ограниченную ^-измеримую фун¬
кцию р. Тогда условие унитарности оператора Av состоит в равен¬
стве \<р(ю)\ = 1 для у-п.в. ui. В самом деле, равенство А^А^ — I
дает соотношение (p(uj)ip(uj) — 1 для р-п.в. ш. Обратно, из этого
соотношения ясно, что = I = А* Л^,.
5.7.4. Пример. В гильбертовом пространстве Н — i2(Z)
двусторонних комплексных последовательностей ж = {хп)п&%
с конечной нормой ||ж|| = SneZ 1жте|2 и скалярным произведением
(ж, у) = ^2пеХхпУп оператор U правого сдвига задается форму¬
лой (Ux)n — жга_1, а оператор V левого сдвига задается формулой
(Vх)п = жп+1. Оба оператора унитарны и V — U*.
5.7.5. Пример, (i) Пусть (И,Ъ,р) — пространство с неотри¬
цательной мерой, Т: О —► fl взаимно однозначно, Т~1(В) и Т(В)
измеримы для всех В € Ъ и р(В) — р(Т^1(В)) = р(Т(В)). То¬
гда оператор U: L2{p) —> L2(/r), Ux(u>) = х(Т(и>)), унитарен. Это
288
Глава 5. Основы спектральной теории
следует из формулы замены переменных, по которой мы имеем
[ \х(Т(ш)) |“ p{dw) — f |ж(ш)|2 n(du>)
Jn Jn
При этом U сюръективен, ибо хоТ~г €L2(p). Более общим образом,
если мера [toT~l эквивалентна ри д — ее плотность относительно р,
то унитарен оператор в L2(p), заданный формулой
Ux{u) =
»(ГИ)
еЖ)1/2'
Это проверяется аналогично, ибо
х
In
(ГИ)12 (т) 4\/*W= [ 1^И|2-77гМ°Г 1(du) =
0{T{u>)) Jn в{и)
= / Ix(u)\2-j-re((*))p(duj)= I \x(u)\2 p(dw).
Jn Q{w) Jn
(ii) Пусть p — мера Лебега на [а, b\. ф — непрерывное отображе¬
ние [а,Ь] на [а, Ь], непрерывно дифференцируемое в (а, Ь), причем
> 0 при t G (а, Ь). Тогда оператор в Ь2[а, 6], заданный форму¬
лой
C/x(i) = yjib'(t) x(4)(t)),
является унитарным в силу формулы замены переменных.
(ш) Пусть мера v ^ 0 эквивалентна мере р и задана относи¬
тельно нее плотностью о. Тогда оператор
Ux(uj) = — х(ш), х G L2(p)
\Л?М
является унитарным изоморфизмом пространств L2(p) и L2{v).
Это проверяется непосредственно.
5.7.6. Лемма. Спектр унитарного оператора находится на
единичной окружности.
Доказательство. Если U — унитарный оператор, то ||Е/|| = 1
и потому спектр U лежит в единичном круге. Это же верно и для
оператора U*, но U* = U-1, что исключает из спектра внутренние
точки круга: если оператор U—XI необратим, то таков же и /—At/*,
а потому и A-11 — U*, откуда |А_1| ^ 1 и |А| ^ 1. □
§ 5.7. Унитарные операторы
289
5.7.7. Определение. Оператор А\ в гильбертовом простран¬
стве Н\ называется унитарно эквивалентным оператору А%
в гильбертовом пространстве Н2, если существует такой уни¬
тарный изоморфизм J: Hi —> И2, что А\ = A2J, т. е. мы
имеем коммутативную диаграмму
Н2 Н2
5.7.8. Пример. В пространстве L2[0,1] оператор А умножения
на функцию ip(t) — t унитарно эквивалентен оператору В умноже¬
ния на любую функцию ip(t), которая непрерывно отображает [0,1]
на [0,1] и имеет в (0,1) непрерывную положительную производную.
В самом деле, пусть U — унитарный оператор из примера 5.7.5(H),
т. е. Ux(t) = Тогда
UAx(t) = у/= BUx(t).
Характеристики оператора, не меняющиеся при унитарной эк¬
вивалентности, называются унитарными инвариантами. Напри¬
мер, спектр и норма — унитарные инварианты (простая проверка
этого — задача 5.11.2).
5.7.9. Лемма. Пусть Hi и Н2 — гильбертовы пространст¬
ва, Щ С Hi — всюду плотное линейное подпространство,
U: Но —■» Н2 — линейное отображение, сохраняющее скалярное
произведение. Тогда U единственным способом продолжается до
линейного отображения из Hi в Н2, сохраняющего скалярное про¬
изведение и имеюш,его замкнутый образ. Если U(Но) ^ 0 плотно
в Н2, то продолжение является унитарным изоморфизмом.
Доказательство. Пусть X е Щ. Найдутся такие хп £ Н0,
что хп —> х. Тогда последовательность {Uхп} фундаментальна в Н2
и потому сходится к некоторому у £ Н2. Положим Ux у. Вви¬
ду унитарности оператора у не зависит от выбора сходящейся к х
последовательности (если также х'п —> х, то последовательность
х\, х’г, х2, х'2, ■. ■ также сходится, поэтому Uxi, Ux\, Ux2, Ux2,... то¬
же фундаментальна). Если zn —» z, то
ахп + (3zn —» ах + j3z и a.Uхп + (3Uzn —> allх + (3Uz,
290
Глава 5. Основы спектрачлытой теории
откуда U(ах + j3z) = oXJx + j3Uz. Итак, продолжение линейно.
Кроме того,
(Ux,Uz) — lim (Uxn,Uzn) = lim (.xn,zn) = (x,z).
n—>oo n—>oo
Поскольку U сохраняет норму, то множество U(H\) замкнуто (ес¬
ли Uxn —» у, то последовательность {хп} фундаментальна, значит,
сходится к некоторому вектору х ввиду полноты Hi, откуда нахо¬
дим у — Ux). Если U(Hi) плотно, то U(H\) = Я2- □
§ 5.8. Функции от операторов
Всякий линейный оператор А в пространстве X можно подста¬
вить в качестве аргумента многочлена / одного переменного и по¬
лучить оператор f(A). Здесь мы установим совершенно нетриви¬
альный факт, что самосопряженные операторы можно подставлять
в любые непрерывные функции.
5.8.1. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор в нену¬
левом комплексном гильбертовом пространстве и Р — многочлен
с комплексными коэффициентами. Тогда
||Р(И)|| - max \P(t)\ < max \P(t)\. (5.8.1)
tea(A) *е[-ЦД||,!!А||]
Доказательство. Пусть P(t) = YJk=ocktk- Тогда
П П
Р(А)*Р(А) = ]Tc^4fc = Q(A),
k=0 fc=0
где Q: t 1—> P(t)P(t) — многочлен, a P(A)*P(A) самосопрялсен.
Поэтому
||Р(Л)||2 = sup (P(A)x,P(A)x) =
= sup (P(A)*P(A)x,x) = \\Р(А)*Р(А)\\ =
11*11 <1
= sup |A| = sup \P(t)P(t)\= sup |P(*)|2,
A e<r(P(A)*P(A)) ie<r(A) tea(A)
где третье и четвертое равенства вытекают из теоремы 5.3.8, а пред¬
последнее равенство получено из теоремы 5.1.8. □
§ 5.8. Функции от операторов
291
С помощью этой леммы легко задавать непрерывные функции
от самосопряженного оператора. Напомним, что алгеброй называ¬
ют линейное пространство £, наделенное ассоциативным умноже¬
нием (а, Ъ) ь-► аЪ, для которого (а + b)(c + d) = ас + be + ad + bd,
(Xa)b = a(Xb) = Xab при всех a,b,c,d £ £ и всех скалярах А.
Алгебры более подробно обсуждаются в [7]. Важнейшие для нас
примеры — алгебра С(К) непрерывных комплексных функций на
компакте К (с поточечными операциями сложения и умножения)
и алгебра £(Н) операторов в гильбертовом пространстве Н, в ко¬
торой произведение операторов есть их композиция.
Линейное отображение алгебр ф: £г —> £-2 называют гомомор¬
физмом, если ф(фд) = ф(ф)ф(д).
5.8.2. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор
в комплексном гильбертовом пространстве Н ф- 0. Существует
единственный гомоморфизм J алгебры С (а(А)) в алгебру £(Н) со
следующими свойствами:
1) J(P) = Р(А) для всякого многочлена Р: Ж1 —» С,
2) \\J{f)\\ = sup \f(t)\ для всех / £ С {а {А)),
tecr(A)
3) </(/)* = J{f) для всех / £ С(сг(А)).
Доказательство. Для многочленов / положим
•Л/) :=/(А).
Для всякого / £ С [а (А)) найдется последовательность многочле¬
нов fn, равномерно сходящаяся к / на компакте с (А) вещественной
прямой. По лемме последовательность операторов fn(A) фунда¬
ментальна в£(Я)и потому сходится по операторной норме к неко¬
торому оператору </(/) € £(Н). Важно, что этот оператор не за¬
висит от приближающей последовательности: если многочлены дп
также равномерно сходятся к / на <т(А), то таковы и многочлены
/ь gi-, hi .92) • • •) что доказывает наше утверждение. Если многочле¬
ны рп сходятся в С (а(А)) к функции р, а многочлены фп сходятся
к функции 'ф, то р(А)ф(А) есть
lim ipn{A) Ига фп(А) = lim рп(А)фп(А) = (р-ф)(А),
п—»оо п—>оо п—>оо
ибо многочлены рпФп сходятся к функции рф. Итак, построен го¬
моморфизм. При этом ||/(А)|| — Иш ||/„(А)||, что доказывает 2).
71—ЮО
292
Глава 5. Основы спектральной теории
Кроме того, </(/) = «/(/)*• Из доказательства ясна единственность
гомоморфизма с указанными свойствами. П
В случае вещественных пространств лемма и теорема верны
для вещественных многочленов и вещественных С(а(А)) соответ¬
ственно.
Положив f(A) := J{f) для непрерывных функций /, получаем
равенство
\\f(A)\\ = sup |/(f)|.
t£cr(A)
Это равенство верно не для любых ограниченных операторов.
Например, оно может нарушиться, если А ф О, А2 = 0 и /(f) = 1 + f
(что возможно даже в двумерном случае).
5.8.3. Следствие. Для всех / £ С [а{А)) справедливо равен¬
ство cr(f(A)) = f(a(A)).
Доказательство. Найдем многочлены /„, равномерно сходя¬
щиеся к / на а (А). Пусть Л ф a(f{A)). Положим г := ||В||-1,
В := (f(A) — А/)-1. Ввиду компактности спектра найдется такое
Е £ (0, г), что |А - z\ > е для всех z £ сг(/(Л)). Существует такое
число щ, что для всех п > щ мы имеем || f(A) - fn(A)|| < е/2.
Заметим, что оператор
fn(A) — ц1 = f{A) — XI + fn(A) — f(A) — pi + XI
обратим при \р — А| < е/2, ибо \\fn(A) — f(A) — pi + XI\\ < г.
Это означает, что в круге радиуса е/2 с центром в А нет точек из
o(fn(A)) при п ^ п\. Поэтому А ф f(cr(A)), так как если А = /(f),
где t £ а(А), то X — Ит /„(f), но /„(f) £ <т(/„(А)) = fn(a(A)) по
теореме об отображении спектров (см. теорему 5.1.8).
Пусть теперь А ф f[a(A)). Тогда функция g(t) = (/(f) — А) 1
непрерывна на а(А). Поскольку g(t')(/(f) — А) = 1, то выполнено
равенство g(A){f(A) - XI) = (f(A) — Xl)g(A) = I, т.е. оператор
g(A) является обратным к f(A) — AI и А ф a(f(A)). □
5.8.4. Следствие. Пусть / £ С (а {А)) и /(f) ^ 0 для всех
точек t £ о-(А). Тогда оператор f(A) самосопряоюен и f(A) ф 0.
Доказательство. Мы имеем f{A)* = f(A) = f(A) по теореме
и <т(/(Л)) С [0,+оо) по предыдущему следствию. □
§ 5.9. Описание самосопряженных операторов
293
Взяв функцию f(t) = \Д на [0, +оо) для оператора А ^ О,
получаем оператор л/А, называемый квадратным корнем из опера¬
тора А.
5.8.5. Следствие. Если А ^ О, то оператор \[А самосопря¬
жен, неотрицателен и А — \fA\fA.
Отметим, что оператор -\[~А — единственный неотрицательный
оператор, квадрат которого равен А (задача 5.11.22).
5.8.6. Следствие. Для произвольного ограниченного операто¬
ра А в гильбертовом пространстве Н оператор
|Л| := (Л*А)1/2
определен и неотрицателен. Оператор |А| называют абсолютным
значением оператора А.
Доказательство. Имеем (А*Ах,х) = (Ах, Ах) ^ 0. □
5.8.7. Пример. Пусть А^ — оператор умножения в простран¬
стве L2(/t) на ограниченную /t-измеримую функцию р, рассмот¬
ренный в примере 5.2.2. Оператор А^ можно подставлять в лю¬
бые ограниченные борелевские функции / на комплексной плоско¬
сти (необязательно непрерывные), определив /(АД) как оператор
умножения Afoip на ограниченную //-измеримую функцию fop.
Ясно, что для многочлена / это дает оператор /(АД. Более того,
из теоремы 5.8.2 нетрудно усмотреть, что в случае вещественной
функции р построенный там оператор /(АД и есть оператор умно¬
жения на fop. Ниже, когда мы установим унитарную эквивалент¬
ность всякого самосопряженного оператора некоторому оператору
умножения Alf. это позволит легко определять борелевские функ¬
ции от самосопряженных операторов.
§ 5.9. Описание самосопряженных операторов
Основной результат этого параграфа показывает, что с точно¬
стью до изоморфизма самосопряженные операторы — это опера¬
торы умножения на вещественные функции. Это утверждение яв¬
ляется континуальным аналогом известного из линейной алгебры
факта о приведении симметричной матрицы к диагональному виду.
Нетривиальность обобщения состоит, в частности, в том, что в бес¬
конечномерном случае самосопряженный оператор может не иметь
собственных векторов. Приведение оператора к виду умножения на
функцию называют функциональной моделью оператора. В конце
294
Глава 5. Основы спектральной теории
этого параграфа мы рассмотрим представление самосопряженного
оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере. Сначала
мы изучим операторы, аналогичные конечномерным операторам
без кратных собственных чисел. Аналогом является следующее по¬
нятие (обсуждению аналогии посвящена задача 5.11.18).
5.9.1. Определение. Говорят, что оператор А в нормирован¬
ном npocmpancm.ee X имеет циклический вектор h, если линейная
оболочка векторов h, Ah, A2h,... всюду плотна в X.
5.9.2. Пример. Единичный оператор в любом пространстве
размерности выше 1 не имеет циклических векторов. Оператор
Ax(t) = tx(t) умножения на аргумент в L2(p), где р — ограни¬
ченная борелевская мера на отрезке, имеет циклические векторы.
Например, циклическим вектором является функция h(t) = 1, так
как линейная оболочка функций 1 .. состоит из всех много¬
членов и потому плотна в Ь2(р).
Будем говорить, что гильбертово пространство Н является ор¬
тогональной суммой конечного или счетного набора своих замкну¬
тых подпространств Нп, если Нп _1_ Нь при пфкж всякий вектор
h 6 Н является суммой ряда Pnh, где Рп — оператор ортого¬
нального проектирования на подпространство Нп.
5.9.3. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор в сепа¬
рабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда Н является ор¬
тогональной суммой конечного или счетного набора замкнутых
подпространств Нп> для которых А(Нп) С Нп и А\нп обладает
циклическим вектором.
Доказательство. Рассмотрим семейство S, элементы кото¬
рого — наборы таких попарно ортогональных замкнутых подпро¬
странств Е С Н, что А(Е) С Е и А\е имеет циклический век¬
тор. Это семейство частично упорядочено по включению. Всякая
цепь в S имеет мажоранту: объединение своих элементов. Поэто¬
му в S есть максимальный элемент S. Ввиду сепарабельности Н
этот элемент S состоит из конечного или счетного набора взаимно
ортогональных подпространств Нп с указанным свойством. Линей¬
ная оболочка всех Нп всюду плотна в Н, так как иначе нашелся
бы ненулевой вектор h _L Нп. Тогда замыкание Е линейной обо¬
лочки последовательности векторов Akh, к = 0,1,... было бы ор¬
тогонально всем Нп ввиду предложения 5.3.3, переходило бы под
действием А в себя, а вектор h был бы циклическим для А\е- Одна¬
ко такое невозможно ввиду максимальности S. Остается заметить,
5.9. Описание самосопряженных операторов
295
что h = Pnh для всякого h € Н (Рп — проектор на Нп), ибо
иначе вектор а = h — Pnh был бы ортогонален всем Нп и не
приближался векторами из линейной оболочки Нп. □
Следующий результат — ключевой в этом параграфе.
5.9.4. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор
с циклическим вектором в сепарабельном гильбертовом про¬
странстве Н ^ 0. Тогда существует такая неотрицательная бо-
релевская мера р на компакте а (А), что оператор А унитарно
эквивалентен оператору умножения на аргумент в Ь2(р), т. е.
оператору Av с <p(t) ■ t.
Доказательство. Пусть h — циклический вектор А. Зада¬
дим функционал I на С (о-(А)) формулой 1(f) = (f(A)h,h). Ясно,
что получен непрерывный линейный функционал. Если / ^ 0, то
1(f) ^ 0 согласно доказанному в предыдущем параграфе. По теоре¬
ме Рисса (см. теорему 4.5.4) найдется неотрицательная борелевская
мера р на компакте а(А) С [— ||Я||, ||Я||], для которой
КЛ = [ f(t)p(dt), / € С (а (А)).
Ja{A)
Для целых неотрицательных к положим
U(Akh) := рк, где pk(t) = tk.
По линейности распространим U на конечные линейные комбина¬
ции векторов Akh. Поскольку
(£akAkh,Y,PmAmh) = [(j2^Am)(Y,a^k)h,h) =
= J (X &*tm) (X)aktk) ^dtd>-
то отображение U корректно определено при распространении по
линейности (совпадающие линейные комбинации переходят в один
и тот же элемент Ь'2(р)) и сохраняет скалярные произведения. Мно¬
жество значений U всюду плотно в L2(p): так как в L2(p) всюду
плотно множество многочленов, т. е. линейная оболочка {рк}- По
лемме 5.7.9 можно продолжить U до унитарного оператора из Н
296
Глава 5. Основы спектральной теории
в L2(p). По построению U справедливы следующие равенства:
UA(^TakAkh) =C/(j>fcAfc+1/i) =
— ^ ^ акРк+\ — Аф ^ ^ акРк — AVU ) СУкА h'j,
где p(t) — t. Итак, UA — A^U, т. е. Av = UAU-1. □
Рассмотрим теперь общий случай спектральной теоремы.
Следующий результат дает функциональную модель самосопря¬
женного оператора, т. е. описывает такие операторы как операторы
умножения на функции (см. пример 5.2.2).
5.9.5. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор в се¬
парабельном гильбертовом пространстве Н Ф 0. Тогда на ве¬
щественной прямой найдутся такие конечная неотрицательная
борелевская мера р и ограниченная борелевская функция р, что
оператор А унитарно эквивалентен оператору умножения на
функцию р в L2 (р). При этом функцию р можно взять со значе¬
ниями в множестве сг(А).
Доказательство. Разложим Н в ортогональную сумму за¬
мкнутых подпространств Нп, которые переходят в себя под дей¬
ствием А, причем операторы А\нп имеют циклические векторы.
Ортогональную проекцию h на Нп обозначим через hn. Для каж¬
дого п на компакте а(А) С [— ||Й||, ||А||] найдем вероятностную
борелевскую меру рп, для которой оператор А\нп унитарно экви¬
валентен умножению на аргумент в L2(pn). Можно считать, что
||Я|| < 1, т.е. а(А) С [о, b} С (-1,1). Сдвигом на 2п перенесем меру
рп на интервал Пп = (—1 + 2n, 1 + 2п) и обозначим полученную
меру через ип (меры ип сосредоточены на дизъюнктных компактах
а(А) + 2п С Пп). Ясно, что оператор А\Нп унитарно эквивален¬
тен оператору умножения на функцию t <—>■ t — 2п в L2(vn). Пусть
Jn: Нп —> L2(vn) — соответствующая унитарная эквивалентность.
Положим
ОО
р=j>-vn
71=1
и p{t) = t - 2п при t S а ( А) + 2п. Вне этих компактов доопреде¬
лим р до борелевской функции; например, можно сделать равной
фиксированному числу из <т{А), что даст функцию со значения¬
ми в сг(А), а можно доопределить до непрерывной периодической
§ 5.9. Описание самосопряженных операторов
297
кусочно-линейной функции с <р(£) = t при t € [а, b\ (однако не все¬
гда можно получить непрерывную функцию со значениями в о (А)).
В пространстве Ь2(ц) действует оператор Av умножения на <р. За¬
дадим оператор J: Н —+ L2 (д) формулой
оо оо
J: h = 2n/2^n-
n=l n=l
Ряд в правой части сходится в L2(/x). ибо функции Jnhn имеют но¬
сители в дизъюнктных множествах и (А) +2п, а интеграл функции
по мере д равен сумме ее интегралов по мерам 2~пип. Проверим,
что получены искомые объекты. Для всякого h 6 Я справедливы
следующие равенства, означающие унитарность:
ОО ОО
ИЛИЬм = Ё2"”2”11-7«Л«11Ьк) = Е им2 = INI2-
п=1 п=1
Кроме того,
ОО ОО
ApJh = <p2n/2Jnhn = Y12П/2 JnAhn = JAh.
n=l n=1
Итак, J — унитарная эквивалентность операторов А и A^. □
Аналогичная теорема верна для более широкого класса нор¬
мальных операторов, т. е. таких операторов А, что А*А = АА*:
они приводятся к виду умножения на ограниченную комплексную
функцию (см. [7]). Например, унитарные операторы приводятся
к виду умножения на комплексную функцию <д, по модулю рав¬
ную 1. Приведение оператора к виду умножения на функцию поз¬
воляет подставлять его в борелевские функции.
5.9.6. Определение. Пусть А — самосопряженный опе¬
ратор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н ф О,
/ — ограниченная борелевская функция на прямой. По доказан¬
ному А унитарно эквивалентен посредством изоморфизма J
оператору умножения на ограниченную борелевскую функцию <р
в Е2(д). Определим оператор f(A) следующим образом:
ДА) := J~lAfoipJ.
Легко видеть, что такое определение согласовано с ранее вве¬
денной конструкцией непрерывной функции от самосопряженного
оператора. Действительно, для оператора А^ умножения на функ¬
цию р оператор /(АД в случае непрерывной функции / по этому
298
Глава 5. Основы спектральной теории
определению есть Afoip, а по старому определению это предел опе¬
раторов fn(Av), где многочлены /п равномерно сходятся к / на
отрезке, содержащем спектр А. Понятно, что для многочленов оба
определения дают одно и то же. Теперь равенство f(A) — Afolfi
следует из того, что операторы fn(A) = Afn0ip сходятся к опера¬
тору Afo^ по операторной норме, поскольку справедлива оценка
\\Afn°v - Af°v>II < SUPt1/(/) ~ /«(*)(-
Далее борелевские функции от самосопряженных операторов
будут выражены через интегралы по проекторным мерам, откуда
будет следовать, что наше определение борелевских функций от са¬
мосопряженного оператора не зависит от выбора функциональной
модели.
5.9.7. Следствие. Каждой ограниченной комплексной боре-
левской функции / на прямой это определение сопоставляет опе¬
ратор f(A) Е £/(#) со следующими свойствами: если f(t) = g(t)
при t Е с {A), mo f(A) — g(A) и fn(A)x —> f(A)x при всех х Е Н,
если fn(t) —> f(t) при всех t Е сг(А) и \fn(t)\ ^ С < оо при всех
п Е IN и t Е сг(А).
Доказательство. Приведем А к виду оператора умножения
на функцию р со значениями в а (А). Тогда первое утверждение
очевидно, а второе следует из теоремы Лебега. □
С учетом примера 5.2.2 можно дать другое обоснование фор¬
мулы из следствия 5.8.3.
5.9.8. Пример. Пусть А — самосопряженный оператор. Если
/ — непрерывная комплексная функция на сг(Л), то
aif(A)) = /Не¬
достаточно рассмотреть оператор А умножения на ограниченную
борелевскую функцию <д в Т2(д), где д —- ограниченная неотрица¬
тельная борелевская мера на прямой. При этом для д-п.в. t число
p{t) является точкой спектра А. Тогда f(A) есть умножение на
функцию /од, которая определена д-почти всюду. Если Л — суще¬
ственное значение <д, то /(А) — существенное значение /од, так как
множество |/(А) — z\ < г}) содержит окрестность точки А
для всякого г > 0. Если же точка ц не входит в компакт f(a(A)),
то она находится от него на положительном расстоянии е, поэто¬
му мы имеем | f(tp(t)) — ц\ ^ е для д-п.в. t, что дает обратимость
оператора f(A) — г}1.
§ 5.9. Описание самосопряженных операторов
299
Важным примером функции от самосопряженного оператора
А является его преобразование Кэли
U — (A — iI){A + И)-'1 = <р(А),
где ip(t) = (t — i)/(t + *). Поскольку |(p(i)| = 1, то оператор U
унитарен. Оператор А восстанав,ливается по U формулой
A = i(I + U){I-U)~\
поскольку спектр U не содержит 1 в силу предыдущего следствия.
Обратно, для всякого унитарного оператора U, спектр которого не
содержит 1, оператор г(1 + U)(I — U)~l самосопряжен, что прове¬
ряется непосредственно: сопряженный последнего оператора есть
—i(I + U*){I - U*)~\ но -(I + U*){I - U*)-1 = (/ + U)(I - U)~l,
так как после умножения обеих частей на обратимый оператор
(I — U*)(I — U) с учетом перестановочности U и U* мы приходим
к верному равенству —(I + U*)(I — U) = (I + U)(I — U*) (в обеих
частях стоит U — U*).
Если оператор А не имеет циклических векторов, то он не мо¬
жет быть унитарно эквивалентным оператору умножения на аргу¬
мент в I/2 (/./,) для какой-либо меры /г на отрезке, ибо такой опера¬
тор умножения обладает циклическим вектором, а наличие цикли¬
ческих векторов очевидным образом сохраняется при унитарных
изоморфизмах.
Сравним теорему Гильберта-Шмидта о диагонализации ком¬
пактного самосопряженного оператора А в сепарабельном гильбер¬
товом пространстве Н с теоремой о приведении к виду умножения
на ограниченную вещественную измеримую функцию tp в Г2(д).
Если оператор А не имеет кратных собственных чисел (в том числе
кратного нулевого), а Н бесконечномерно, то А унитарно эквива¬
лентен оператору умножения на аргумент в 1/2(д), где д — веро¬
ятностная мера, сосредоточенная на множестве {ап} собственных
чисел А; можно считать, что значение ц на ап равно 2~п. В случае
кратных собственных чисел можно разложить А в прямую сумму
операторов без кратных собственных значений и применить ту же
конструкцию, что и в общей теореме.
С другой стороны, теорему Гильберта-Шмидта можно вывести
из общей спектральной теоремы. Для этого достаточно проверить,
что если оператор умножения па р в Г2(д) компактен, то ограни¬
чение меры д на множество {t: <p(t) ^ 0} сосредоточено в счетном
числе точек (тогда их индикаторы — собственные функции). Эта
проверка — предмет задачи 5.11.30.
300
Глава 5. Основы спектральной теории
Обсудим кратко представление самосопряженного оператора
в виде интеграла по проекторнозначной мере.
5.9.9. Определение. Пусть (О, В) — измеримое простран¬
ство, Н — сепарабельное гильбертово пространство. Отображе¬
ние П из Ъ в пространство 'Р(Н) ортогональных проекторов в Н
называется проекторной мерой (или проекторнозначной мерой),
если для всяких а, Ъ Е Н комплексная функция
Па,ь: В^(П(В)а,Ь)
является ограниченной счетно-аддитивной мерой на Ъ.
Так как П(В) — проекторы, то
Па,а 0, Па>а(П) ^ ||й||2.
Равенство Rena>6 = (Па+6]а+ь - - Щ1г,)/2 дает для вариации
комплексной меры Па Ь (см. § 1.10) оценки
l|Rena,6|| < (3||а||2 + 3||6||2)/2, ||1тПв,ь|| ^ (3||а||2 + 3||6||2)/2,
||Па,ь||<3||а||2 + 3||Ь||2.
Для ограниченной комплексной S-измеримой функции / мы
определим интеграл
/ /М<шн
Jn
как такой ограниченный оператор Т, что
(Та,Ъ)= [ f(u)dUatb(uj)
J п
для всех a,b € Н. Оператор Т существует ввиду леммы 5.3.1, ибо
правая часть этого равенства линейна по а, сопряженно-линейна
по b и раздельно непрерывна по а и 6, что следует из приведен¬
ной выше оценки для вариации (достаточно также воспользоваться
непрерывностью функций Пад(В) при всех В е Ъ).
Покажем, что всякий самосопряженный оператор представим
в виде интеграла по проекторной мере: получим так: называемое
спектральное разложение самосопряженного оператора.
5.9.10. Теорема. Если А — самосопряженный оператор в се¬
парабельном гильбертовом пространстве Н -ф 0, то найдется
такая проекторная мера П на S(JRJ) с П(И1) = I, равная нулю
§ 5.9. Описание самосопряженных операторов
301
вне некоторого отрезка, что для всякой ограниченной борелевской
функции / выполнены равенства
f(A)= [ /(Л)с£П(А) = f /(A)cffl(A). (5.9.1)
Jff{A) Jm.1
В частности,
А= [ А(Ш(А)= / АсШ(А). (5.9.2)
Jcj(a) Jm1
Мера П сосредоточена на а (А), т. е. П(Ш}\а(А)) =0.
Доказательство. Положим П(П) := 1В(А). Тогда П(В) —
ортогональный проектор, ибо П(£?) ^ 0 и П(Н)2 = П(В). Если
оператор А реализован как оператор умножения в Ь2(р) на боре-
левскую функцию <р, то П(5) есть оператор умножения на функ¬
цию 1в° <Р — 1<р-цв)- При этом мера П„ь имеет вид
П0,ь(П) = [ 1в((р(ш))а(ш)Ь(и) = [ а(ш)Ь(ш) p{dio).
Ясно, что эта мера счетно аддитивна (функция аЪ интегрируема,
ибо а, Ъ 6 Мера П сосредоточена на. сг(А), т. е. П(Б) = 0 при
В Па (А) — 0, ибо по теореме 5.9.5 можно выбрать ц> со значениями
в а (А). Если / = 1м, где М е ЗДЮ1), то для всяких a,be Н имеем
[ 1м{р) dJJa,b(t) — f 1м (t) = Па^(М) — (1м{А)а, b),
Ja(A) Jm1
т. е. равенство (5.9.1) верно для простых /. С помощью равномер¬
ных приближений оно переносится на ограниченные /. □
Конечно, в (5.9.1) или (5.9.2) вместо а {А) можно брать какой-
либо отрезок [a, b) D сг(А), например, [— ||Я||, ||Я||]. Можно пока¬
зать (см. [7]), что проекторная мера, задающая оператор по фор¬
муле (5.9.2), определяется однозначно. То, что формула (5.9.1) вос¬
станавливает меру П однозначно, очевидно из того, что в качестве
функции / молено брать индикаторы множеств.
Проекторнозначная функция По(А) := П((—оо, А)) называется
разложением единицы оператора А.
Для оператора умножения на аргумент явное вычисление спек¬
тральной меры проведено в доказательстве: П(Л) есть умножение
на 1В. Там же указан и явный вид мер Па^ оператора у множения
на в Т2(ц): Па ;, = (ab-р)ор~1 для всех a, be L2(p). Например, для
302
Глава 5. Основы спектральной теории
оператора умножения на аргумент мера Па,ь задается плотностью
ab относительно р.
Если А — ортогональный проектор, то в случае А ф 0 и А ф I
мы имеем П = (I — И)5о + А5\, где и ф — дираковские ме¬
ры в точках 0 и 1. Наконец, если А — самосопряженный оператор
с собственным базисом {еп} и собственными числами {ап}, т. е.
Аеп = а„еп, то П = J2^=ipn^an, где Рп — проектор на линейную
оболочку вектора еп и 5ап — мера Дирака в точке ап.
Из предыдущей теоремы следует такой факт, отнюдь не оче¬
видный из определения: всякий самосопряженный оператор А яв¬
ляется пределом по операторной норме последовательности конеч¬
ных линейных комбинаций ортогональных проекторов. Впрочем,
в этом легко убедиться и с помощью теоремы о приведении А к ви¬
ду умножения на ограниченную вещественную функцию р, равно¬
мерно приблизив р простыми функциями.
Приведем без доказательства теорему, дающую ответ на во¬
прос, как по двум операторам умножения определить, эквивалент¬
ны они или нет. Самосопряженный оператор называется операто¬
ром однородной кратности т, где т — натуральное число или +оо,
если он унитарно эквивалентен прямой сумме т экземпляров неко¬
торого оператора А^ умножения на аргумент в Т2(ц) для некото¬
рой неотрицательной борелевской меры р, на отрезке.
5.9.11. Теорема. Всякий самосопряженный оператор А в се¬
парабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен
конечной или счетной сумме операторов Ат однородной крат¬
ности т, где т € [1,...,+оо], соответствующих некоторым
неотрицательным борелевским мерам рт на отрезках, причем
меры рт и pk взаимно сингулярны при т Ф к (некоторые слага¬
емые могут отсутствовать). Два таких разложения ф^=1 Ат
и ф“=1 А'т, где А!т соответствует мере р'т) унитарно эквива¬
лентны в точности тогда, когда в обоих разложениях присут¬
ствуют слагаемые с одними и теми же индексами т, причем
меры рт и р'т эквивалентны при каждом т (для которого есть
соответствующие слагаемые).
В случае оператора А в С” с собственными числами Ai,..., Ата
эта теорема дает иную форму оператора, чем классическая фор¬
ма из линейной алгебры, объединяющая блоки вида АДПо где щ —
кратность и 1Щ — единичная матрица размера щхщ. Последняя
форма допускается приведенной выше теоремой лишь при отсут¬
ствии собственных чисел одинаковой кратности: здесь разрешается
§5.10. Неограниченные операторы
303
использовать лишь блоки с разными собственными числами, при¬
чем размеры блоков обязаны отличаться.
Чтобы результат из линейной алгебры переписать в новом ви¬
де, мы упорядочим все различные собственные числа по возраста¬
нию кратностей (т. е. теперь числа А * различны, но имеют кратно¬
сти щ). Пусть Ai имеет наименьшую кратность mi, причем такую
же кратность имеют Аг,..., АТогда берем т\ копию оператора
А\ с числами Ах,..., Ах по диагонали (если кратность А2 больше
кратности Ai, то А\ одномерен). Это дает оператор однородной
кратности mi, так как А\ имеет циклический вектор. Затем ана¬
логичную процедуру проделываем с группой собственных чисел
А/с-ы,.. -, Ат кратности m2 > mi и так далее. Все такие группы
используют дизъюнктные наборы собственных чисел и дают опе¬
раторы различных однородных кратностей.
§5.10. Неограниченные операторы
Здесь мы очень кратко обсудим простейшие понятия, свя¬
занные с неограниченными линейными операторами. До сих пор
неограниченные функционалы или операторы встречались лишь
как некая экзотика, само существование которой зависело от при¬
влечения каких-то теоретико-множественных аксиом типа аксио¬
мы выбора. Однако так происходило лишь потому, что речь шла
о всюду определенных операторах. Положение кардинально изме¬
нится, как только мы допустим к рассмотрению операторы, опре¬
деленные не всюду. А их рассмотрение совершенно необходимо для
многих прикладных задач.
Основной источник примеров — дифференциальные операто¬
ры. Скажем, оператор дифференцирования разумно определен на
линейном подпространстве в С[0,1] или в L2[0,1], состоящем из
непрерывно дифференцируемых функций, но его нельзя доопреде¬
лить до непрерывного оператора на всем С[0,1] или L2[0,1], ибо
уже на своей области определения он не является непрерывным по
норме объемлющего пространства. Правда, можно было бы счи¬
тать, что он задан на пространстве С1 [0,1] с банаховой нормой
х н-> тах4 |ж(£)| + max^ |a/(t)|, но часто это бывает очень неудоб¬
но из-за того, что важно иметь дело с оператором, действующим
из пространства в это же пространство. Например, такая необходи¬
мость возникает при рассмотрении неограниченных самосопряжен¬
ных операторов — понятия, сыгравшего ключевую роль в создании
квантовой физики и ставшего важнейшим источником развития
спектральной теории абстрактных операторов.
304
Глава 5. Основы спектральной теории
Без преувеличения можно сказать, что даже спектральная те¬
ория ограниченных самосопряженных операторов, элементы ко¬
торой были представлены выше, обязана своим существованием
именно интересу к неограниченным операторам.
Здесь приведено лишь несколько основных понятий и приме¬
ров, причем только в случае гильбертовых пространств. Далее Н —
комплексное гильбертово пространство.
5.10.1. Определение. Пусть Э С Я - всюду плотное ли¬
нейное подпространство. Линейное отображение Т: 2) —» Н на¬
зывается плотно определенным оператором в Н с областью опре¬
деления 2) (Г) — 2).
Оператор Т на области 2) часто обозначается символом (Г, 2>).
Например, оператор дифференцирования Тх — х' — плотно
определенный линейный оператор в L2[0,1] с областью определе¬
ния 2) = С1 [0,1]. Конечно, здесь можно взять и 2) = С°°[0,1],
а также многие другие области.
Область определения неограниченного оператора является ха¬
рактеристикой не менее важной, чем само выражение, его задаю¬
щее. Нередко оказывается, что два оператора, заданные разными
выражениями на одной области, имеют более близкие свойства, чем
два оператора, заданные одним и тем же выражением на разных
областях. На самом деле большинство реальных неограниченных
операторов имеют некоторые естественные области определения.
В частности, так обстоит дело для сопряженных операторов.
5.10.2. Определение. Пусть (Т, 2)(Т)) — плотно определен¬
ный оператор в Н. Будем говорить, что вектор у £ Н входит
в область определения 2) (Т*) сопряженного оператора Т*, если
линейный функционал х н->• (Тх,у) непрерывен на 2)(Т) по норме
из Н, т. е. сходимость хп —* 0 влечет сходимость (Тхп,у) —» 0.
В этом случае по теореме Рисса существует такой вектор
z € Н (единственный ввиду плотности 2)(Т)), что
(Тх,у) — (x,z) Ух € 2)(Г).
Теперь положим
Т*у := z.
Таким образом, имеет место тождество
(Тх,у) = (х,Т*у) Ух € 2)(Т),У G 2)(Т*).
Для ограниченного оператора Т это приводит к прежнему опреде¬
лению сопряженного.
§ 5.10. Неограниченные операторы
305
Важнейшим обстоятельством здесь является то, что область
определения Т* уже не зависит от нас, сколь скоро задана область
определения Т. Более того, если Т не является непрерывным на
своей области, то Т* заведомо не будет определен всюду.
5.10.3. Предложение. Предположим, что 2)(Т*) = Н. Тогда
оператор Т непрерывен на Ю(Т). Следовательно, если 3)(Т) = Н
и оператор Т симметричен, то Т непрерывен.
Доказательство. Для фиксированного вектора у € Н имеем
\{Тх,у)| = \(х,Т*у)\ < ||Г*у|| при ||х|| < 1.
По теореме 4.4.6 это означает, что множество {Тх: ||.х|[ ^ 1} огра¬
ничено. Поэтому оператор Т непрерывен на D(T). □
Область определения сопряженного оператора может состоять
лишь из нуля (пример можно найти в [7, гл. 10]).
5.10.4. Определение. Плотно определенный линейный опера¬
тор (Т,®(Т)) называется самосопряженным, если Т* = Т, т.е.
2)(Т*) = £>(Т) и Тх = Т*х при всех х 6 D(T*) = V(T).
Сразу отметим, что в определении требуется больше, чем про¬
сто равенство
(Тх,у) = (х,Ту) \/х,уеЮ(Т).
Операторы с последним свойством называются симметричными.
Для неограниченных операторов самосопряженность не следу¬
ет из симметричности.
5.10.5. Пример. Пусть Н есть комплексное L2(IR1) и оператор
Т задан формулой Tx{t) = tx(t) на области ЗЭ(Т) = СоДК1). Тогда
оператор Т очевидным образом симметричен, но не самосопряжен,
ибо Т* является продолжением Т на область
©(Г*) = |ж е ^(IR1): J+°° t2\x(t)\2 dt < ooj.
Действительно, множество в правой части входит в Ю(Т*), ибо если
функция у такова, что функция z(t) = ty(t) лежит в L2(IR,1), то
(Тх,у) — (x,z) для всех х е С'о°(Ж1). С другой стороны, если
у € 2)(Т*) и z = Т*у, то для всех х е Cq0(IR:l) мы имеем
г-1-00 г+оо
/ tx(t)y(t) d,t= x(t)z(t) dt,
j— OO .7—00
откуда следует равенство ty(t) — z(t) почти всюду.
306
Глава 5. Основы спектральной теории
Как легко видеть из приведенных рассуждений, в рассмотрен¬
ном примере оператор Т* уже оказывается самосопряженным, т. е.
отсутствие самосопряженности исходного симметричного операто¬
ра вызвано лишь неудачным выбором области определения. В та¬
ком случае говорят, что симметричный оператор имеет самосо¬
пряженные расширения. Однако не всякий плотно определенный
симметричный оператор обладает самосопряженным расширени¬
ем. Такой пример будет указан ниже.
Обобщением предыдущего оператора является общий оператор
умножения на измеримую функцию.
5.10.6. Пример. Пусть р — неотрицательная мера на про¬
странстве (П,Д) и / — вещественная ц-измеримая функция, ко¬
нечная р-почти всюду. Тогда оператор умножения Aj, заданный
формулой Afxiuj) — на области
самосопряжен в L2(p).
Доказательство. Сначала отметим, что D(Af) — линейное
подпространство, плотное в L2(p), так как для всякой функции
х 6 Ь2(р) функции 1ипх, где fin = {ш: |/(а>)| ^ п}, сходятся к х
в L2(p). Действительно, возрастающие измеримые множества iln
покрывают И с точностью до множества меры нуль (именно здесь
важно, что функция / конечна почти всюду); ясно также, что
1ппх € D(Af). Из вещественности / следует симметричность Af
на указанной области.
Если у € D(Af), то очевидным образом у 6 T)(A*j) и функция
/ • у = Afy служит в качестве А*уу.
Наоборот, если у е D(A*f) и z — Ауу, то, согласно определе¬
нию А*р мы имеем
для всех х 6 D(Af). Из этого следует, что z(u>) = f(w)y(uj) почти
всюду, ибо в качестве х можно подставлять индикаторы любых из¬
меримых множеств конечной меры, лежащих в множествах Пп (ес¬
ли интеграл от интегрируемой функции по всем множествам из С1п
конечной меры равен нулю, то такая функция равна нулю почти
всюду на Qn). Итак, у еТ>(Ау) и А*^у — Ауу. □
®(Ау) := {х € L2(p): f-xGL2(p)},
§ 5.10. Неограниченные операторы
307
Значение этого простого примера объясняется следующей фун¬
даментальной теоремой, доказательство которой можно прочитать,
например, в [7]. Оператор (Ti,2)(Ti)) в пространстве Н\ называют
унитарно эквивалентным оператору (Т<2, 2)(Т2)) в пространстве Яг,
если найдется такой унитарный изоморфизм U: Н\ —> Н2, что
£/(£(Ti)) - Э(Т2) и T2{Ux) = UTxx для всех ж € 2>(Ti).
5.10.7. Теорема. Всякий самосопряженный оператор в сепа¬
рабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен
некоторому оператору вида Af из предыдущего примера.
Из этой теоремы вытекает, в частности, что квадрат А2 самосо¬
пряженного оператора А также является самосопряженным опера¬
тором на области определения {х е 2)(Л): Ах € 2)(Л)}. Более то¬
го, теперь можно подставлять А в любую борелевскую функцию д:
приведя А к виду умножения на /, задаем д(А) как оператор умно¬
жения на композицию <?(/).
5.10.8. Замечание. Если симметричный на плотной области
2)(5') с Н оператор S инъективен, то оператор S-1: Ran S —> 2)(S’),
где Ran S — образ S, тоже симметричен, ибо
(S~1Sx, Sy) = (ж, Sy) = {Sx, у) = (Sx, S-'Sy), x, у G 2»(5).
Как мы знаем, всюду определенный симметричный оператор обя¬
зан быть ограниченным (см. предложение 5.10.3). Следовательно,
если S симметричен и взаимно однозначно отображает 2) (S') на
все пространство Я, то S оказывается обратным к ограниченному
инъективному самосопряженному оператору Т — S-1 и тем самым
тоже самосопряжен (см. задачу 5.11.38). Из предыдущей теоремы
видно, что рассматриваемая ситуация соответствует случаю, ко¬
гда оператор S-1 есть оператор умножения на ограниченную ве¬
щественную функцию д, для которой g(t) Ф 0 почти всюду, а тогда
исходный оператор был умножением на функцию / = 1/д, в общем
случае уже неограниченную.
Теперь мы рассмотрим примеры явного нахождения сопряжен¬
ного оператора к оператору дифференцирования.
Пусть АС — множество всех функций на [0, +оо), абсолют¬
но непрерывных на каждом отрезке [0,R] (см. §1.15). Символом
АС [0,1] будем обозначать множество всех абсолютно непрерыв¬
ных функций на [0,1]. Напомним, что всякая функция /, абсолют¬
но непрерывная на отрезке [а, Ь], почти всюду дифференцируема
на [а, Ь] и ее производная f интегрируема на [а, Ь] по Лебегу (однако
308
Глава 5. Основы спектральной теории
не обязана быть интегрируемой в квадрате). Далее рассматривают¬
ся комплексные пространства L2, так что скалярное произведение
(и, v) есть интеграл от uv.
5.10.9. Теорема. Оператор Ти — ги' симметричен на обла¬
сти определения 25 (Т) = Cq°(0, 1) в L2[0,1], состоящей из беско¬
нечно дифференцируемых функций с компактным носителем вну¬
три (0,1), причем его сопряженный Т* задается тем же выра¬
жением на области
25 (Т*) = {и £ Л(7[0,1]: и' £ Ь2[0,1]}
и не является симметричным. Наконец, оператор Т** задается
прежней формулой Т**и — ги', но на области определения
25 (Т**) = {«£ АС[0,1]: и(0) = и(1) = 0, и' £ L2[0,1]},
на которой он симметричен, но по-прежнему несамосопряжен.
Тем не менее исходный оператор имеет самосопряженные рас¬
ширения, причем все они описываются следующей параметриче¬
ской формулой, в которой 9 — комплексное число с |0| = 1:
2)(Тв) = {и £ АС[0,1]: н(0) — 6и(1), и’ £ L2[0,1]}, Тви = ги'.
Доказательство . Формула, интегрирования по частям
f iu'(t)v(t)dt= ( u(t)iv'{t)dt, и, v £ С^°(0,1),
Jo Jo
полученная с учетом равенств и(0) — «(1) = 0 и г — —г, до¬
казывает симметричность Т на Cq°(0, 1). Эта же формула верна
и для абсолютно непрерывных функций и, откуда следует, что ес¬
ли v' £ L2 [0,1], то v £ 25 (Т*) и T*v = iv'.
Предположим теперь, что v £ 25(Т*). Тогда w = T*v есть эле¬
мент Ь2[0,1], для всех и £ С'о°(0,1) удовлетворяющий равенству
f iu'(t)v(t) dt — f u(t)w(t) dt.
Jo Jo
(5.10.1)
Положим
fit) := f w(s) ds.
Jo
Тогда / £ AC[0,1] и потому
f и'{t) f (t) dt = — f u{t)w{t)dt
Jo Jo
§5.10. Неограниченные операторы
309
для всех функций и G С“(0,1), откуда вытекает равенство
Как будет показано в предложении 6.3.3, это означает, что функ¬
ция f(t) — iv(t) совпадает почти всюду с некоторой постоянной.
Итак, v € АС[0,1]; напомним, что включение v € АС[0,1] для эле¬
мента v G L2 [0,1] означает наличие почти всюду равной функ¬
ции из класса АС[0,1], ибо пространство L2 состоит не из инди¬
видуальных функций, а из классов эквивалентности. Поскольку
w — iv' G Z/2[0,1], то v G 2)(Т*). При этом из (5.10.1) следует и
равенство T*v — w — iv'. Отметим, что область определения Т*
совпала с классом Соболева И/Г2,1((0,1)), рассмотренным в приме¬
ре 3.6.9. Итак, оператор Т* вычислен. Ясно, что он несимметричен:
достаточно взять функцию u(t) — t, для которой (ги',и) ф (u,iu').
Найдем теперь его сопряженный. Как и выше, формула инте¬
грирования по частям показывает, что все функции v G ЯС[0,1],
для которых у' G П2[0,1] и г;(0) — гг(1) = 0, входят в 2)(Т**)
Пусть v G 2)(Т**) и T**v = w. Прежние рассуждения показы¬
вают, что v G AC\Q, 1] и T**v = iv, ибо по-прежнему верно равен¬
ство (5.10.1) для и G C'q°(0, 1). Однако теперь в нашем распоря¬
жении не только такие функции и, но и все функции и G 2>(Т*).
Это приводит к тому, что выражение uv|q, появляющееся в фор¬
муле интегрирования по частям, должно обращаться в нуль при
всех и G 2)(Т*). В частности, это должно выполняться для u(t) — t
и u(t) = 1—t, что дает равенства v(0) = г>(1) = 0. Тем самым полно¬
стью описан оператор Т**. Легко видеть, что он симметричен, но
также несамопряжен, ибо предыдущие рассуждения показывают,
что его сопряженный есть Т*. Обратим внимание на то обстоя¬
тельство, что Т** ф Т (в отличие от ограниченных операторов).
Наконец, анализ операторов Тд совершенно аналогичен и пред¬
лагается в качестве задачи 5.11.40. Отметим лишь, что при описа¬
нии самосопряженных расширений Т надо иметь в виду следую¬
щее: если такое расширение S существует (как мы увидим ниже,
его может и не быть), то его область определения 2)(S) — 2)(S1*)
должна входить в 2)(Г*), ибо для любого у G D(S*) мы имеем
(Тх,у) = (Sx,y) = (x,S*y) при всех х G 2)(Т) С 2)(S'). Это пока¬
зывает также, что Sy — S*y = Т*у при у G 2) (5). По аналогич¬
ным соображениям 2)(Т**) с 2)(5). Поскольку нам уже известны
и T**v — iv'.
310
Глава 5. Основы спектральной теории
подпространства Q(T**) и £(Т*), причем первое имеет коразмер¬
ность 2 во втором (из-за граничных условий ii(0) = u(l) = 1), то
получается, что S(S') отличается лишь одномерным подпростран-
Теперь рассмотрим идейно близкий пример, в котором, однако,
симметричный оператор не имеет самосопряженных расширений.
5.10.10. Теорема. На области
£(Т) := {и £ АС: и' £ L2[0, +оо), «(0) = 0}
зададим оператор Т формулой
Ти = iu'.
Тогда оператор Т симметричен, но не имеет самосопряженных
расширений.
Доказательство. Покажем сначала, что область определе¬
ния Т* есть множество
причем Т*и = iu', т. е. Т* есть продолжение Т на указанную об¬
ласть. Пусть и входит в эту область. Возьмем v £ £(Т). Тогда
для каждого R > 0 формула интегрирования по частям с учетом
равенств и(0) — 0 и г = —г дает
Интегрируемость ий дает последовательность точек Rn —> +оо, для
которой v(Rn)Ti(Rn) —> 0. Следовательно, (iv\u) = (v,iu'), что до¬
казывает включение и € 2?(Т*) и равенство Т*и — iu!.
Пусть теперь и £ Ю(Т*) и w = Т*и. Такие же рассуждения, как
и в предыдущей теореме, показывают, что w входит в указанную
выше область и T*w — iw'.
Предположим теперь, что существует такой самосопряженный
оператор (5, D (5')), что Э(Т) С Т> (5) и S = Т на Т>(Т). Тогда
очевидным образом
Э(5'*)С2(Г) и S*y = Т*у Vy£®{S*),
ибо, как и в предыдущей теореме, если у £ D(S*), то
(Тх, у) = (Sx, у) = (х, S*y) Ух£ 0(Г).
При этом также Э(Т) С £(S) — £(5*). Поскольку Т)(Т) имеет
коразмерность 1 в Э(Т*), то T)(S) = £(5*) может быть лишь одним
ством от £(Т**).
□
[и £ АС: и' £ L2[0,+oo)},
iv'{t)u{t) d,t — iv(R)u(R) + (t) dt.
§ 5.10. Неограниченные операторы
311
из двух пространств D(T) и 2)(Т*). Первым оно не может быть,
ибо Т несамосопряжен. Второе тоже исключается, ибо тогда на
Э(Т*) оператор S — S* совпадает с Т*и = in!, но такой оператор
несимметричен: скажем, (ги',и) ф (и, in!) для гладкой функции и,
равной 1 в нуле и нулю вне [0,1]. □
Аналогично можно рассматривать оператор id/dt и в L2 на всей
прямой. Из обсуждаемых в следующей главе свойств преобразо¬
вания Фурье в L2 следует, что это преобразование устанавливает
унитарный изоморфизм между оператором —id/dt и оператором
умножения на аргумент (задача 6.8.14).
Выше мы установили, что оператор D = id,/dt самосопряжен
в L2[0,1] на области, состоящей из абсолютно непрерывных функ¬
ций х с производной из I2[0,1], удовлетворяющих краевому усло¬
вию ж(0) = ж(1). Как было отмечено после теоремы 5.10.7, из этого
вытекает самосопряженность оператора D2x — —х" взятия второй
производной на области, состоящей из функций х, для которых
производная х' абсолютно непрерывна, х" G L2 [0,1], причем вы¬
полнены краевые условия ж(0) = ,т(1), .т'(0) = х'(\).
Исследуем теперь более общий оператор Штурма-Лиувилля
Lx = - {p{t)x'{t))' + q(t)x(t),
где для упрощения предположим, что функция р непрерывно диф¬
ференцируема и строго положительна на отрезке [0,1], а функция
q непрерывна и вещественна. Возьмем в качестве области опреде¬
ления 'S(L) подпространство всех абсолютно непрерывных функ¬
ций х на [0,1], для которых функция х' также абсолютно непре¬
рывна, х" G L2[0,1], причем выполнены краевые условия
ж(0) = т(1) = 0.
На этой области оператор L симметричен, ибо
/ Lx{t)y(t) dt = px'y\l + / [p(t)x'(t)y'(t) + q{t)x(t)y(t)] dt
Jo Jo
и то же самое получается для интеграла от x(t)Ly(t). Обратим вни¬
мание на то, что пока еще самосопряженность L не доказана! Из
симметричности L следует, что если L имеет собственные векто¬
ры, то соответствующие собственные числа вещественны, причем
собственные векторы, отвечающие двум различным собственным
числам, ортогональны. Поэтому имеется не более чем счетное мно¬
жество различных собственных чисел.
312
Глава 5. Основы спектральной теории
Предположим теперь, что 0 не является собственным числом,
т. е. Ker L = 0; к этому случаю можно перейти, заменив L на опе¬
ратор такого же вида L — А/, где А е IR не является собственным
числом (замена означает замену q на q — А).
Проверим самосопряженность L. Оператор Lqx = —х" также
инъективен на 23(B) и отображает 23(B) на В2[0,1]. В случае р = 1
возьмем оператор Вд 1 = -К2, где V — оператор Вольтерра взя¬
тия неопределенного интеграла, и заметим, что LLq1x = х — qV2x,
где оператор S: I н qV2x в В2 [0,1] компактен. Так как опера¬
тор LLq 1 имеет нулевое ядро, то по теореме Фредгольма он сюръ¬
ективен. Значит, сюръективен и В. Замечание 5.10.8 дает самосо¬
пряженность В. Оператор В-1 = Lq1(I — S')-1 = —V2{I — S')-1
компактен, а так как он еще и самосопряжен, то имеет собствен¬
ный ортонормированыый базис. Для непостоянной функции р рас¬
суждения аналогичны. Пространство 23 (В) — замкнутое подпро¬
странство в гильбертовом пространстве Н со скалярным произ¬
ведением (u,v)h ■— (u,v)L2 + {u',v')L2 + (u",v")L2. Оператор Во
оказывается обратимым оператором между 23(В) и В2[0,1]. Тогда
оператор L\x — —рх" из 23(В) в В2[0,1] тоже обратим, ибо умно¬
жение на положительную непрерывную функцию р — обратимый
оператор в пространстве L2[0,1].
Наш оператор В: 23(В) —> В2 [0,1] имеет вид В — Li+S, где опе¬
ратор Sx = —p'x' + qx, как нетрудно проверить, является компакт¬
ным из Н с указанной гильбертовой нормой в L2[0,1]; значит, он
компактен и на 23 (В). В силу инъективности В это означает сюръ¬
ективность (см. замечание 5.6.2). Как и выше, из замечания 5.10.8
получаем самосопряженность оператора В.
Рассмотрим оператор К — В-1: В2[0,1] —* 23(B). Этот опера¬
тор самосопряжен и компактен, ибо L-1 = (/ + L^1 Sy lL^[l. где
оператор 1ф1 = —V2 компактен, а оператор (I + Вф’ВД1 ограни¬
чен. В итоге В оказывается обратным к самосопряженному ком¬
пактному оператору К. Поскольку по теореме Гильберта- Шмидта
оператор К имеет собственный ортонормированный базис {е„.}, от¬
вечающий собственным числам кп —> 0 конечной кратности, то
В также имеет тот же собственный базис и собственные числа
Ата = кУ, причем |АП| —> оо. Напомним, что все это сделано в пред¬
положении инъективности В, т. е. нулевого собственного числа нет.
В общем случае, как указано вьппе, инъективным является опера¬
тор В — Ао I при некотором Aq G IR, поэтому для него существует
§ 5.10. Неограниченные операторы
313
собственный ортонормированный базис {еп} с вещественными соб¬
ственными числами Цт поэтому в этом базисе L также диагоналей
и имеет собственные числа \п = рп + Aq. Таким образом.
Конечно, не всегда можно явно найти еп и Хп, но информация
об их существовании весьма полезна. Например, решение урав¬
нения Lx — ус наложенными краевыми условиями имеет вид
ЕОО \ —1 v—voo
П=1 хп сп.еп, где у = 2^п=1 с,геп.
Из проведенного анализа следует такой заранее отнюдь не оче¬
видный вывод: уравнение Lx = у с нашими краевыми условиями
разрешимо в точности для тех функций у 6 L2 [0,1], которые
ортогональны в Г2 [0,1] подпространству Ker L, состоящему из
решений уравнения Lu — 0 с данными краевыми условиями.
Можно показать, что в случае Ker L — 0 оператор К = L-1
задается непрерывным вещественным ядром Q{t,s) = на¬
зываемым функцией Грина оператора L:
Функцию Грина можно построить так. Возьмем два решения и\
и U2 уравнения Lu = 0, соответствующие граничным условиям
ui(0) = 0, гф(0) = 1 и гх2(1) = 0, и'2( 1) = 1; их существование
известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Так как L инъективен, то щ и и2 линейно независимы. Тогда опре¬
делитель Вронского Д := р(и[и2 — uiu'2) — ненулевая постоянная
(его производная равна нулю). Наконец, положим
Непосредственно проверяется, что К совпадает с интегральным
оператором Kg, задаваемым G, т. е. LKgf — /.
Отметим, что самосопряженный оператор L с рассмотренны¬
ми граничными условиями не равен квадрату упомянутого выше
оператора id/dt. Однако можно ввести более общие самосопряжен¬
ные граничные условия вида оцж(0) +(3\х'{$) + «2ж(1) +/^2ж'(1) = 0,
71ж(0) + фа/(0) + 72*(1) + ^2ж'(1) = 0 с определенными соотношени¬
ями между коэффициентами (дающими формально симметричный
оператор), которые охватят и квадрат оператора id/dt] среди таких
Д 1'Ui(s)u2(t), если 0 ^ s ^ t ^ 1,
A-1«i(;fc)u2.(s), если 0 ^ t < s < 1.
314
Глава 5. Основы спектральной теории
самосопряженных расширений оператора —d2/dt2 на Cq°(0, 1) бу¬
дут операторы, не являющиеся квадратами самосопряженных рас¬
ширений id/dt.
Похожим образом исследуются многомерные краевые задачи
для эллиптических операторов второго порядка (например, для
оператора Лапласа Д), хотя, конечно, функции Грина так просто
уже не строятся. Более подробный учебный материал по неограни¬
ченным операторам, а также ссылки на книги, дающие углубленное
изложение этого предмета, можно найти в [7].
§ 5.11. Задачи
5.11.1? Пусть А — линейное отображение в линейном пространстве,
Av 1 = AiUi,... ,Avn = Xnvn, где числа А* различны, а векторы щ,... ,vn
отличны от нуля. Показать, что эти векторы линейно независимы.
5.11.2? Доказать, что унитарно эквивалентные операторы в гильбер¬
товом пространстве имеют одинаковые спектры и нормы.
5.11.3? Пусть А и В — линейные операторы в линейном простран¬
стве X. Показать, что операторы АВ yl В А имеют одни и те же ненулевые
собственные числа.
5.11.4? Пусть А е -С(Х) и X — комплексное банахово простран¬
ство. Доказать, что если А2 имеет собственное число, то А тоже имеет
собственное число.
5.11.5? Вычислить спектры операторов в I2: (i) Ах = (т2, т3,...);
(й) Ах= (0,xi,0,x2,0,x3,...); (iii) Ах = (ж2/2, х3/3,..., хп/п,...).
5.11.6? Вычислить спектры операторов в пространстве l2(Z) двусто¬
ронних последовательностей (ccn)n6z (см. пример 5.7.4):
(i) (Ах)п = хп+х) (п) (Ах)п = жп+1/(|п| + 1);
(ш) (Ах)п = 0, если п нечетно, (Ах)п = ж„+1, если п четно.
5.11.7? Оператор А в I2 задан формулой
Ах = (riXi,r2X2,... ,гпхп,..
где {гп} — некоторая нумерация рациональных чисел из [0,1]. Доказать,
что А имеет циклический вектор и спектр [0,1], однако не является уни¬
тарно эквивалентным оператору умножения на аргумент в Г2[0,1].
5.11.8? Пусть Н — гильбертово пространство, u,v £ Н и оператор
KU)V задан формулой Ku>vx := (х, u)v. (i) Найти спектр Ku,v-
(ii) Показать, что K*tV = KVjU и \Ku,v\x = ^/(v,v)(x,u)u.
5.11.9? Построить такой ограниченный линейный оператор в ком¬
плексном пространстве I2, что его спектр состоит из двух точек 0 и 1,
причем ни одна из них не является собственным числом.
§ 5.11. Задачи
315
5.11.10? Пусть Pi и Р2 — ортогональные проекторы на подпростран¬
ства Hi и Н.2- Доказать, что PiP2 — ортогональный проектор в точно¬
сти тогда, когда Р1Р2 = Р2Р1, причем в этом случае PiP2 — проектор
на Hi П #2-
5.11.11? Найти норму и спектр оператора А в С[0,1], заданного сле¬
дующей формулой: (i) Ax(t) = tx(t) — х(1); (И) Ax{t) = tx( 1 — t).
5.11.12? Вычислить спектр следующих операторов в Р2[0,1]:
5.11.13? Найти собственные числа, собственные функции и спектр
интегральных операторов в L2 [О, Т}, заданных в виде
(ш) Т = 1, X(t, s) = min(i, s) — ts.
5.11.14? Пусть X — банахово пространство, Р € £(X) и Р2 = Р.
Каким может быть спектр I - Р?
5.11.15? Пусть А п В — компактные самосопряженные операторы
в ненулевом гильбертовом пространстве, причем А = В. Доказать, что
А и В имеют общий собственный вектор.
5.11.16. Найти норму и спектр оператора, задающегося формулой
Ax(t) = tx(t) + (1 — t)x( 1 - t) в пространствах С[0,1] и L2[0,1].
Указание: заметить, что А1 = 1, Ах( 1 - t) = Ax(t) и А2 = А.
5.11.17. Среди следующих операторов умножения на функцию <р
в L2 [а, 6], где отрезок [а, 5] наделяется мерой Лебега, найти пары унитарно
эквивалентных: (a) <p(t) = t, [а, Ь] = [0,1], (b) <p(t) = |i|, [0,6] = [—1,1],
(с) <p{t) = t2, [а,Ь] = [0,1], (d) <p(t) = t3, [a, 5] = [0,1], (e) tp(t) = i1/2,
[a, b] = [0,1], (f) ip(t) = sint, [a, b\ = [0,1].
Указание: найти спектры, выяснить наличие циклических векто¬
ров, использовать пример 5.7.5.
для следующих функций X на [0,Т]2:
sinicoss, если 0 ^ t < s ^ 7г,
cos t sin s, если 0 ^ s < t < 7r.
t, если 0 ^ t < s ^ 1,
s, если 0 ^ s ^ t ^ 1.
316
Глава 5. Основы спектральной теории
5.11.18. (i) Доказать, что линейный оператор в С” обладает цикли¬
ческим вектором в точности тогда, когда он не имеет кратных собствен¬
ных чисел.
(и) Доказать, что компактный самосопряженный оператор в гильбер¬
товом пространстве обладает циклическим вектором в точности тогда,
когда он не имеет кратных собственных чисел.
5.11.19. Пусть ц — борелевская вероятностная мера на [0,1], вза¬
имно сингулярная с мерой Лебега Л, не имеющая точек положительной
меры, причем ц((о, Ь)) > 0 при 0 ^ а < b ^ 1. Доказать, что операто¬
ры умножения на аргумент в Х2(ц) и Г2(Л) имеют циклические векторы,
равные спектры и не имеют собственных чисел, но не являются унитарно
эквивалентными.
5.11.20. Пусть А — самосопряженный оператор и А > 0. Доказать,
что ||Лж||2 < ||А||(Ае,:г).
5.11.21. Пусть А и В — самосопряженные операторы, А. В ^ 0, при¬
чем А В = В А. Доказать, что А В > 0. Привести пример, показывающий,
что это не всегда верно, если /1 и В не коммутируют.
Указание: заметить, что \[А\[В — \fB\fA, причем
(АВх,х) = ('/А\/~А\ГВ\[Вх,х) = (V^VBx,VA\/Bx).
5.11.22. Пусть А = В2, где В — самосопряженный оператор и В Д.
Доказать, что В — ДА
Указание: привести В к виду умножения на функцию.
5.11.23. Используя пример 5.2.1(i), показать, что всякий непустой
компакт в С служит спектром некоторого ограниченного оператора в 12.
Показать также, что всякий непустой компакт в Н1 служит спектром
некоторого самосопряженного ограниченного оператора в I2.
5.11.24. Найти спектр оператора Ax(t) = tx(t2) в С[0,1/2].
5.11.25. Пусть А — ограниченный оператор в гильбертовом про¬
странстве X. Доказать, что существует такой оператор U, что А = U\A\,
причем (Ux, Uу) = (х,у) при х,у е |Л|(Х) nUx = 0 при х _L |Л|(Х).
Указание: положить U\A\x := Ах и заметить, что тогда выполнено
равенство (U\A\x,U\A\y) = (А*Ах,у) = {\А\х,\А\у).
5.11.26. Пусть К — компактный оператор в гильбертовом простран¬
стве Н. Доказать, что найдутся две ортонормированные последователь¬
ности {е„} и {'~рп\ и числа кп —> 0, для которых имеет место представле¬
ние Кх = 5Дг=1 kn(x, 6n)ipn-
Указание: записать \К\ в виде \К\х = кп(х, сп)еп, положить
<рп — Кеп при к„ > 0 или использовать предыдущую задачу.
§5.11. Задачи
317
5.11.27. Пусть ф — 27г-периодическая функция, сужение которой
на отрезок [—7г, 7г] входит в L2[—n,n\, причем ф(—Ь) = ф(Ь). Положим
%(t,s) = ф(Ь — s). Доказать, что функции sinnt и cos nt являются соб¬
ственными функциями интегрального оператора К с ядром % в L2 [—тг, я].
Указание: при вычислении интеграла от ф(Ь — s) cos ns по [—7г, 7г]
сделать замену t — s — u.
5.11.28. В пространстве l2(Z) двусторонних последовательностей
с нормой ||(z„)|| = (Sfcez \zk\2) рассмотрим оператор А, переводящий
(zk) в вектор с компонентами q2Zk-i — 2qzk + Zk+i, где q — фиксированное
число. Выяснить, при каких q этот оператор обратим.
5.11.29. ® Исследовать на разрешимость при различных значениях
параметра А следующие интегральные уравнения:
5.11.30. Пусть /х — ограниченная неотрицательная борелевская мера
на прямой и ip — ограниченная /х-измеримая функция, (i) Доказать, что
оператор Av умножения на <р в £2(/х) компактен в точности тогда, когда
ограничение /х на множество {t: <p(t)=/= 0} сосредоточено в конечном или
счетном числе точек ап, причем <р(ап) —> 0, если множество этих точек
бесконечно, (ii) Показать, образ Av замкнут в точности тогда, когда либо
Av обратим, либо точка 0 является изолированной точкой спектра Av.
5.11.31. Описать общий вид операторов в сепарабельном гильбер¬
товом пространстве, одновременно унитарных и самосопряженных.
5.11.32. Доказать, что изолированная точка спектра самосопряжен¬
ного оператора в ненулевом пространстве является собственным числом.
5.11.33. Доказать теорему 5.3.5 (критерий Вейля) для нормальных
операторов.
Указание: если А*А = АА*, то без труда проверяется включение
А(Кег(А* - А/)) С Кег (Л* - XI), откуда видно, что если выполнено
неравенство ||(Л — А/)ж|| > С'ЦагЦ, то образ А — XI плотен.
5.11.34. Показать, что множество линейных изометрий банахова
пространства замкнуто по операторной норме. В частности, замкнуто
множество унитарных операторов в гильбертовом пространстве.
5.11.35. Доказать замкнутость по операторной норме множества
операторов вида XI + К в банаховом пространстве, где А е С и К —
компактный оператор.
-1
318
Глава. 5. Основы спектральной теории
5.11.36* Пусть X — ограниченная измеримая функция на [О,I]2.
Рассмотрим оператор W в L2[0,1], заданный формулой
Wx(t) = f X(t,s)x(s) ds.
Jo
Доказать, что оператор I + W обратим в Ь2{0,1].
Указание: заметить, что Wn задается интегральным ядром Xn(t, s),
причем |9Cn(i,s)| ^ Cn\t - s|”_1/(n - 1)!, если |3C(i,s)| < С, откуда
||P7«||i/« —V о и потому a(W) = {0}; см. [22J.
5.11.37? Доказать, что формула
1 Гг
Ax(t) = - x(s) ds
t Jo
задает ограниченный оператор в L2[0,1] и найти его норму.
Указание: заметить, что функции ta при а > -1/2 являются соб¬
ственными с собственными значениями (а + I)-1; применив оценку
\Ax(t)\2
I/‘
s~1/4s1//lx(s)ds
t 2 f s 1!'2 ds f s1J2\x(s)\2 ds
Jo Jo
и то, что интеграл от 21 3/2J[0t](s) no t не больше 4s1/2, показать, что
||Ar||2 ^ 4||ж||2.
5.11.38? Пусть A — ограниченный самосопряженный инъективный
оператор в гильбертовом пространстве Я. Показать, что множество А(Н)
плотно в Я, а обратный оператор Т = А~х на области Э(Т) := А(Н)
самосопряжен (провести прямую проверку по определению).
5.11.39. (i) Пусть Я — прямая сумма гильбертовых пространств Я/,,
т.е. Я = {h = (hk)%U ■ hk е Нк, ||fr||2 = J2b=i НМнк < °°}> операторы
Ак е £(#*) самосопряжены, Э(Д) := {h = (hk)^Lx^H: (Akhk)^=1eH},
А = ® Ак: /и-» {Akhk)kLv Показать, что А самосопряжен.
(ii) Вывести из теоремы 5.10.7, что всякий самосопряженный опера¬
тор в сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен
оператору указанного в (i) вида.
5.11.40. Пусть АС[0,1] — множество всех абсолютно непрерывных
функций на [0,1], в — фиксированное комплексное число. На области
ЩТ0) := {« 6 АС[0,1]: и' € i2[0,1], u(l) - 0и(О)}.
зададим оператор Те формулой Тди = iv!. Доказать, что
(т;,зд*)) = (tv,v(tv)), = i/в.
В частности, оператор Тд самосопряжен, если |б| = 1. Показать также,
что такими операторами исчерпываются все самосопряженные расшире¬
ния оператора Т из теоремы 5.10.9.
Глава 6
Обобщенные функции
и преобразование Фурье
В этой главе дается краткое введение в теорию обобщенных
функций. Эта теория играет важную роль в дифференциальных
уравнениях в частных производных и математической физике.
Кроме того, здесь же мы обсудим преобразование Фурье обычных
и обобщенных функций.
§6.1. Пробные функции
Обобщенные функции вводятся как непрерывные линейные
функционалы на различных пространствах гладких функций.
Основная идея теории обобщенных функций, пришедшая из физи¬
ки, состоит в том, что во многих проблемах даже обычные функции
представляют интерес не столько с точки зрения их значений в от¬
дельных точках, сколько с точки зрения каких-то их средних зна¬
чений (например, интегралов по отрезкам или интегралов от про¬
изведений с гладкими функциями). Нечто похожее мы встречали
в теории интеграла, когда речь шла об эквивалентных функциях,
но здесь происходит более тонкое развитие этих мотивов.
Простейший пример обобщенной функции, не задаваемой обыч¬
ной функцией, является «дельта-функция» Дирака 5, сопоставляю¬
щая гладкой функции tp ее значение в нуле: 5(tp) := <р(0). Подобные
функции играют важную роль в дифференциальных уравнениях
и физике. Мы увидим, что дельта-функция является обобщенной
производной функции, равной нулю на отрицательной полуоси и
единице на положительной полуоси. Обычная производная послед¬
ней функции равна нулю всюду, кроме нуля, но эта обычная про¬
изводная оказывается мало информативной: по ней не отличить
эту функцию от постоянной. Напротив, обобщенная производная
320
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
определяет обобщенную функцию с точностью до постоянной. По¬
этому для не очень регулярных обычных функций обобщенные
производные оказываются гораздо более полезным объектом, чем
поточечные производные. Появление у решений дифференциаль¬
ных уравнений производных типа дельта-функции нередко имеет
существенный физический смысл.
Общая схема такова: берется некоторое пространство X так на¬
зываемых «пробных функций» с некоторой сходимостью и рас¬
сматривается пространство X' линейных функций на X, непре¬
рывных относительно этой сходимости. Затем над обобщенными
функциями вводятся различные операции, расширяющие извест¬
ные операции над обычными функциями. Мы рассмотрим приме¬
ры, в которых в качестве X берутся пространства гладких функций
Cq°, С°° или <S, определяемые ниже.
Обозначим символом D(Hn) пространство Со°(Жп) всех беско¬
нечно дифференцируемых функций на Жга с ограниченными носи¬
телями. Ясно, что '.D(IRn) — линейное пространство.
6.1.1. Определение. Будем говорить, что последователь¬
ность {ipj} с ©(К1) сходит,ся к функции р € ©(Ш1) в ©(К1),
если все функции ipj равны нулю вне некоторого общего компакта
и для каэюдого целого неотрицательного к имеет место равно¬
мерная сходимость р^ гД pW при j —> оо. Аналогично вводится
сходимость в D(IRn), где под равномерной сходимостью производ¬
ных понимается равномерная сходимость частных производных
всех порядков.
Например, если pj (ж) = po(x)/j, где р0 € ©(И1), то pj —> 0
в CD. Однако если Pj(x) = <ро(x/j)/j, причем ро не является тож¬
дественным нулем, то сходимости в D нет, поскольку нет общего
отрезка, вне которого все pj равны нулю, хотя при каждом фикси¬
рованном к имеет место равномерная сходимость р^ к нулю.
Приведем примеры нетривиальных функций из D.
6.1.2. Пример, (i) Пусть p0(t) = exp[(t2 - I)-1] при \t\ < 1,
p0(t) = 0 при \t\ ^ 1. Тогда ро 6 T^IR1).
(ii) Пусть -0(s) = p0(s) при s ^ 1, ф(в) = 0 при 1 s < TV - 1,
xp(s) = -p0(s - N) при s > N - 1, где N > 2. Положим
<Pl(t) = f ip(s)ds.
§6.1. Пробные функции
321
Тогда tpi € ©(ГО1), причем при 1 ^ t ^ N — 1 значение <pi(t)
постоянно. С помощью таких функций для всякого отрезка [а,/3]
и всякого е > 0 можно найти такую функцию <р G D, что <p(t) = О
при t [а — в, /3 + е], p{t) = 1 при £ € [«, j3\ и 0 ^ </?(£) ^ 1 при всех
вещественных £.
(Ш) Класс Х>(Е1'г) плотен в пространствах L1(IR'1) и Т2(Ж'г).
Доказательство. Утверждения (i) и (и) проверяются непо¬
средственно. Для проверки утверждения (iii) можно ограничиться
случаем п — 1, ибо функции <pi(x\) • • • ipn(xn), где щ € D(IRJ),
входят в D(IR,n). Кроме того, достаточно показать, что в L2[a,b\
плотны функции из D в носителем в [а, Ь]. Так как в L2[a, b] плот¬
ны ступенчатые функции, то достаточно уметь приближать в L2
индикаторы отрезков. Такие приближения легко строятся с помо¬
щью функций описанного в (и) типа. □
Отметим, что функцию типа (И) нельзя получить путем склей¬
ки 1—£2 и 1 справа от нуля, так как получится функция с разрывной
второй производной.
6.1.3. Замечание. Указанную сходимость в D нельзя задать
метрикой: нет такой метрики, что сходимость последовательности
в ней равносильна введенной выше сходимости. В самом деле, возь¬
мем функцию (ро G В. отличную от нуля на [—1,1], и для каждого
натурального к рассмотрим последовательность функций
/ \ , /п , ч <Ро(х/к) <А){х/к)
<Рк,Лх) = Шх/к), ч>к,2\х) = ,..., tpk,n{x) = , • - • >
& ть
которая сходится в D к нулю. Если сходимость задается метри¬
кой, то для каждого к найдется такое п*. > к, что Рк,пк попадает
в шар радиуса 1/к с центром в нуле. Это дает сходимость после¬
довательности {<Рк,пк} к нулю по метрике. Однако в Ю такая по¬
следовательность не может сходиться, так как функция <Рк,пк от¬
лична от нуля на [—к, к]. На пространстве D можно ввести топо¬
логию (см. замечание 6.1.8 и [7, гл. 8]) с помощью набора норм
P{ak,mk}(.v) = £b^ooa*maxte[fc,fc+i][Hi)| + •■• + |<p(mfe)(t)|], где
{ак} и {т-к} -- последовательности натуральных чисел.
Обозначим через S (ГО,1) пространство всех бесконечно диффе¬
ренцируемых функций (р на ГО,1, для которых конечны нормы
Рк,т(<р) ■= Slip (1 + \x\2)m\ip(k\x)\,
хеш.1
322
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
где т, к — целые неотрицательные числа. Таким образом, про¬
странство «5(ГО1) состоит из гладких функций, все производные
которых убывают на бесконечности быстрее всякой степени.
Аналогично вводится пространство <S(IRn) функций на И”:
Рк,т{ч>) := sup (1 + М2Г max |d(aV(®)(*
a(“V := 4тг) а = |a| := ад Н Ь ап.
6.1.4. Определение. Последовательность {<рД с <S(IRra) на¬
зывается сходящейся к функции <р € 5(IRn) в *S(IR7i), если для
всех фиксированных к, т мы имеем Pk,mWj — <р) —* 0 при j —* оо.
6.1.5. Замечание. Легко проверить (задача 6.8.1), что указан¬
ную сходимость в S можно задать метрикой
ОО
d(f,g)= Y min(pfc!m(/ — 5), l).
к,m=0
Относительно такой метрики пространство S оказывается полным.
Действительно, из фундаментальности {fj} по этой метрике сле¬
дует фундаментальность по каждой норме рк,т• Из этого следует,
что все производные функций fj сходятся равномерно на всем про¬
странстве. Читателю предлагается проверить, что полученная бес¬
конечно дифференцируемая функция / входит в класс S, причем
Pk,rn(.f ~ fj) —► о при j -> 00 для всех к, т.
Нетрудно привести пример функций fj из 2), сходящихся к ну¬
лю в S, но не сходящихся в 2).
Пусть £(Е1та) = С°° (IR“) — пространство всех бесконечно диф¬
ференцируемых функций на IRn.
6.1.6. Определение. Последовательность {<p>j} С £(IRn) на¬
зывается сходящейся к фунщии ip G £(ИП) в £(Ш,П), если все про¬
изводные функций ipj сходятся к соответствующим производным
функции <р равномерно на каждом компакте.
Метрику, задающую такую сходимость на £(Ш,1), можно задать
формулой
d{f, 9)
ОО
Е
к,т=О
mm
(Pfc,m(/- S'), 1)
2 к+т
Рк,т(<р)
max k>(fc)(i)|.
Аналогично вводится метрика на £ (]Rn). С этой метрикой про¬
странство £ полно, что легко проверить.
§ 6.2. Обобщенные функции
323
6.1.7. Замечание. Пространство © плотно в пространствах
S и 8. Действительно, можно взять такие функции гу. е ©(Ж1),
что 0 ^ Г)к ^ 1, Vk{t) = 1 При \t\ ^ к, 1]k(t) = 0 при |t| ^ к + 1,
причем Vt] (^)l ^ С?п < оо для каждого т. Например, можно
взять четную функцию гц такого вида и положить гд,(£) = 1 при
t G [0, fe], ?7fc(t) = r]i(t — fc + 1) при t > к и аналогично для t < 0.
Тогда для каждой функции / G <S (IR1) получаем fpj —> / в <S. Это
же верно и в Ж" при n > 1, а также для £.
Естественным образом вводятся комплексные пространства ©,
<S и 8. Например, комплексные функции класса © — это функции
вида и + iv, где и, v входят в вещественный класс ©.
6.1.8. Замечание. Пространства D, 5 и £ являются важ¬
ными частными случаями локально выпуклого пространства. Так
называется линейное пространство X, на котором задан некото¬
рый набор полунорм У, с помощью которого следующим образом
вводится топология: открытыми объявляются все множества вида
Upu...,pn,e-={x\ Рг{х) < e,i = 1,..., гг}, гдерь... ,рп € У и е > 0, их
всевозможные сдвиги и, наконец, любые объединения таких сдви¬
гов (пустое множество тоже считается открытым). Если набор У
состоит из одной нормы, это дает обычные открытые множества
в соответствующем нормированном пространстве. Однако в про¬
странствах D, 5 и £ обойтись одной нормой нельзя. Сходимость
хп —> х определяется как сходимость р(х — хп) —► 0 для всех р € У.
Скажем, в пространстве Ж00 всех вещественных последовательно¬
стей х = (хп) с полунормамирп(ж) = \хп\ это дает покоординатную
сходимость. Более подробное обсуждение имеется в [7, гл. 8].
§ 6.2. Обобщенные функции
Пусть ЗС — один из трех введенных выше классов ©, S или 8.
Эти классы являются линейными пространствами (над Ж или С).
6.2.1. Определение. Обозначим через X' множество всех
линейных функций F на X со следующим свойством: если <pj —> 0
в смысле сходимости в X, то Е(ср?) —> 0.
Элементы X' называются обобщенными функциями.
Таким образом, мы приходим к пространствам ©/ = ©'(Ж"),
S’ = <5'(Жга) и £' — £'(Ж?г). Элементы 5'(ЖТ') называются обоб¬
щенными функциями умеренного роста.
Очевидно, что ©', S' и £; — линейные пространства.
324
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Если DC — комплексное, то таково и X'. Поскольку в S и £
сходимость задается метрикой, пространства S' и £' совпадают
с множествами всех непрерывных линейных функций на 5 и £
соответственно. На © имеется естественная топология, для кото¬
рой множество непрерывных линейных функций есть ©', но эта
топология сложно устроена и потому здесь не обсуждается.
6.2.2. Пример, (i) Пусть F — локально интегрируемая по Ле¬
бегу функция на ГО”. Формула
р I—»■ / p(x)F(x) dx
■/lRn
задает элемент ©'(К”), который обозначается также через F.
(И) Всякая борелевская мера /л на ГО”, ограниченная на каждом
шаре, задает обобщенную функцию из ©'(ГО”) по формуле
р I—> / р(х) p,{dx).
Jwj1
(iii) Формула р у-у <Д0) задает обобщенную функцию, называе¬
мую ^-функцией (или 5-функцией Дирака). Аналогично для каж¬
дого а € ГОП определена обобщенная функция
5a{ip) := ¥>(а).
Ясно, что 5а соответствует мере Дирака 5а в точке а. Заметим,
что 5 не задается никакой локально интегрируемой функцией F:
достаточно взять последовательность таких функций pj € ©(ГО”),
что (pj(0) = 1, 0 ^ ipj ^ 1 и Pj(x) —*• 0 для каждого х ^ 0. Тогда
8{}pj) — 1, но интеграл от pjF должен стремиться к нулю ввиду
теоремы Лебега о мажорированной сходимости.
(iv) Обобщенная функция р ь-у — <Д(0), р G ©(ГО1) не задается
не только локально интегрируемой функцией, но даже и мерой,
ибо легко построить функции pj € ©(ГО1) с ф'-(0) = 1, которые
равномерно ограничены и поточечно сходятся к нулю.
Для рассмотренных нами трех классов DC справедлива следую¬
щая теорема (доказательство можно найти в [7, гл. 8]).
6.2.3. Теорема. Пусть Fj € DC', причем для всякого р из X
существует конечный предел F(p) lim Fj(p). Тогда F € DC'.
j—»oo
Сходимость обобщенных функций и определяют как такую схо¬
димость на пробных функциях. С помощью этого результата или
§ 6.2. Обобщенные функции
325
путем несложного непосредственного обоснования легко построить
еще несколько интересных примеров обобщенных функций.
6.2.4. Пример. Для каждого е «ДИ1) существует конечный
предел
V.P.-(</?) := lim [ dx, (6.2.1)
х е—>0 J\x\>e х
задающий обобщенную функцию V.P. Правую часть можно так¬
же интерпретировать как интеграл от (Дж) — Д0))/ж в смысле
главного значения, т. е.
нт Г
т-^оо J_m Ж
Аналогично обобщенные функции (ж + гОД1 и (ж — гО)-1 задаются
равенствами
(х + гО) *(Д \-
(х — г0)“
lim
е—*0+
lim
£^0+
/ -
./1R1 2
[
■Jm1
<р(х)
х + ге
<Р(х)
dx,
dx.
ДД :=: .
- " ' X — 1Е
Для обоснования существования предела в (6.2.1) заметим, что оно
очевидно для функций <р, равных нулю в окрестности нуля. Поэто¬
му достаточно рассмотреть функции € Н(Ш '). Пусть Дж) = 0
при |ж| ^ т. Функция [Дж) — Д0)]/ж интегрируема на
как она оценивается через supt \ip'(t)\. Значит,
f
J —)
ДД - Д0)
dx
lim /
e-0 Je
ДД - ДО)
£<|ж|^т
x
-m, m\, так
dx,
что доказывает наше утверждение, поскольку интеграл от Д0)/ж
□о [—т, — е]и[е, т] равен нулю. Существование (ж-ИО)-1 и (ж—гО)-1
обосновывается аналогично (приведите обоснования!).
Хотя обобщенные функции не являются функциями точки на
прямой, к ним применимы многие конструкции и понятия, извест¬
ные для обычных функций. Здесь мы рассмотрим умножение на
функцию и понятия носителя и сингулярного носителя, а в следу¬
ющем параграфе речь пойдет о дифференцировании.
Если F € ТДШД и / е С°°(1Е1П), то обобщенная функция fF
задается формулой
(/Д(Д := F(ftp).
326
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Ясно, что fF G 2У(ЖП). Аналогично, если даны обобщенная функ¬
ция F € 5'(lRn) и гладкая функция / € С'°°(ЖП), причем для каж¬
дого к при некотором т имеет место оценка
11/^0)11 < Cfc,m(l + M2)m,
то fF € <S'(IRn). Проверьте, что dXi(fF) = (dxJ)F + fdXiF.
Однако распространить такое умножение на все пары обобщен¬
ных функций разумным образом нельзя. Например, если бы име¬
лось ассоциативное и коммутативное умножение, то для трех функ¬
ций ж, V.P. ^ и Sмы бы получили (ж-V.P. ^)-<5 = <5, Y.P. ^.-(х-5) — О,
так как х - V.P. ^ = 1, х • 5 = 0.
Носитель supp / обычной функции / на ЖГ — замыкание мно¬
жества {х: /(ж) ф 0}.
6.2.5. Определение. Обобщенная функция F € 2У(Ж") назы¬
вается гладкой па открытом множестве U С Жп, если найдется
такая функция g G C°°(U), что
F(<p) = / p{x)g{x) dx
Ju
для всех p G D(]Rn) c suppy? c U. Если при этол1 g — 0, то будем
говорить, что F равна нулю на U.
Дополнение к объединению всех открытых множеств, на ко¬
торых F является гладкой, называется сингулярным носителем
F и обозначается символом singsupp F.
Дополнение к объединению всех открытых множеств, на ко¬
торых F равна нулю, называется носителем F и обозначается
символом supp F.
6.2.6. Пример. Справедливы равенства
supp б = {0}, suppV.P.- = Ж1, singsupp V.P.— = {0}.
х х
Из определения очевидно, что если F G 2У(Жга), р G 2)(ЖП)
и supp F П supp р = 0, то F(p) — 0.
6.2.7. Пример. Если F G 2)'(ЖП), / G С°°(Шп), причем / = 1
в открытом множестве U Э suppF, то fF = F, ибо носитель fp — p
не пересекается с supp F. Однако недостаточно равенства / = 1 на
suppF. Например, если F(p) = р'(0) и /(ж) = 1+ж, то suppF = {0}
и /(0) = 1, но fF = F + д, что видно из следующих равенств:
(.fF)(p) = F(fp) = (fp)'( 0) = у>(0) + р'(0).
§6.3. Производные обобщенных функций
327
Аналогично придается смысл композиции обобщенной функ¬
ции с преобразованием Ф пространства IR" (например, заменой ко¬
ординат). Если Ф таково, что р о Фе D(IR") для всех <р € D(lRn)
и отображение р ь-> <ро Ф непрерывно в D(lRn), то для всякого
F £ D'(]Rre) функционал F о Ф “1 из D'(lRn) задается формулой
(Fо Ф-1, р) := (F, р о Ф). Это согласовано с понятием образа меры
из §1.15. Например, сдвиг обобщенной функции F задается так:
(F(x + h),p) = (F,p(x — /г)). Если FoU~l — F для всех ортого¬
нальных операторов U, то F называют сферически-инвариантным.
Аналогичная конструкция работает и для «S^IR™).
§ 6.3. Производные обобщенных функций
Как известно, бывают даже непрерывные функщ1и, не име¬
ющие производной ни в одной точке. В рамках теории обобщен¬
ных функций производную можно определить не только для таких
функций, но даже для всюду разрывных локально интегрируемых
функций. Правда, эти производные будут не обычными функция¬
ми, а обобщенными.
6.3.1. Определение. Пусть F6D'(IRL). Обобщенная произ¬
водная F' обобщенной функции F определяется как элемент про¬
странства ФУДО1), заданный формулой
Е» = -EV).
Пусть F G D'(IRn). Обобщенная частная производная dXiF
определяется как элемент D^IR"), заданный формулой
dXiF(p) := —F(dXip).
Аналогично для любого мультииндекса а = (од,..., ап) положим
d^F(p) (-l)ai+-+anF(d^p), d(“V = dxl • ■ ■ д^р.
Аналогично определяется производная d^F для F £ <S'(]Rn).
Функционал (р ь-► —F(dXip) действительно является обобщен¬
ной функцией, ибо если <рj —> 0 в И(НП), то и dXitpj ->0в D(IRn);
случай S1 аналогичен. Таким образом, всякая обобщенная функция
имеет обобщенные частные производные любого порядка. В част¬
ности, обычная локально интегрируемая функция, далее не имею¬
щая обычной производной ни в одной точке, бесконечно дифферен¬
цируема в смысле обобщенных функций. Из определения очевидно,
что для функций из классов Соболева их Соболевские производные
совпадают с обобщенными.
328
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
6.3.2. Пример, (i) Пусть обобщенная функция F задается
обычной функцией х — ^[о,+оо) (ее называют функцией Хевисайда).
Тогда F' — х! — д в смысле обобщенных функций, ибо
гоо
F\ip) = -F{ip') = - / ip'(x) dx = ip(0) = 5(0),
Jo
y> e ©(IR1).
При этом x'(t) = 0 при всех t Ф 0, т. е. обобщенная производная не
задается обычной производной, существующей вне нуля.
(И) Пусть обобщенная функция F задается локально интегри¬
руемой функцией 1п|ж|. Тогда
В самом деле,
F' = V.P.—.
х
Т>) - -F&)
= — lim /
а
|ж|>е
/+оо
<-р'{х) In \х\ dx =
-ОО
— Иш /
^°J\x
<р'(х) In |ж| dx
V>(?)
dx.
(iii) Если у. — ограниченная борелевская мера на прямой, то
обобщенная производная монотонной функции h(t) = ц((—oo,i))
есть мера ц, ибо для всякой функции р € ©(Ш1) имеем
ip'[t)h{t) dt = —
p{t) y,(dt)
по формуле интегрирования по частям в интеграле Стилтьеса, ко¬
торая следует из формулы (1.15.3), где надо взять /(ж) = х и за¬
метить, что ц((—oo,t)) = iu(TRl) — /i((t, + оо)) для п.в. t. Скажем,
пусть / — функция Кантора (канторовская лестница, см. предло¬
жение 1.5.14), f{t) =? 0 при t < 0, /(£) = 1 при t > 1. Ее обычная
производная равна нулю почти всюду, но не она служит обобщен¬
ной производной, так как функция Кантора непостоянна на [0,1].
(iv) Пусть функция / непрерывно дифференцируема на проме¬
жутках (—оо,а) и (а,+оо), причем ее производная f ограничена
на [а — 1,а) и на (а, а + 1), но / имеет различные конечные пре¬
делы /(а—) = lim f(t) и /(а+) = lim fit). Тогда обобщенная
t—*a— t—ta+
производная / есть сумма ее обычной производной /' (существу¬
ющей вне а и задающей обобщенную функцию в силу локальной
ограниченности) и обобщенной функции (/(а+) — /(а—))5а.
§6.3. Производные обобщенных функций
329
Для обоснования берем пробную функцию ср и выписываем ра¬
венства (в первом из которых f обозначает обобщенную производ¬
ную, а в выражениях под интегралом — обычную производную)
Аналогично находится обобщенная производная кусочно-диффе¬
ренцируемой функции с несколькими скачками, имеющей локально
интегрируемую производную вне точек скачка.
Как и в случае обычных функций, обобщенная функция с ну¬
левой производной оказывается константой, т. е. задается постоян¬
ной обычной функцией (конечно, это не означает, что такая обоб¬
щенная функция является постоянным линейным функционалом:
линейная функция постоянна лишь в том случае, когда она тож¬
дественно равна нулю).
6.3.3. Предложение. Пусть F € ©'(Ж1) и F' — 0. Тогда F
задается некоторой постоянной с, т. е.
Если же F' = 0 па интервале U, то найдется постоянная с, для
которой указанное равенство верно для всех G Cq°(U).
Доказательство. Пусть <р0 о ©(Ж1) имеет интеграл 1 по
всей прямой. Положим с := F(<pq) и покажем, что получена иско¬
мая постоянная. Для всех 6 ©(Ж1) имеем
F(ip) = с / (р{х) dx.
./IR.1
Положим
330
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Заметим, что ф G 2ДЖ1), ибо если обе функции р и ро обращаются
в нуль вне некоторого отрезка [а, Ь]. то ф также обращается в нуль
вне [а, Ь), так как интеграл от р — вро по всей прямой равен нулю.
Ясно, что ф' — р — Oipo. Поэтому
F{p) = F^') + 0F{pо) = -F'(^) + св = св = с [ p{t) dt,
JjR1
что и требовалось. Случай интервала аналогичен. □
Как и локально интегрируемые функции, обобщенные функции
обладают первообразными.
6.3.4. Предложение. Для всякой обобщенной функции F из
©'(JR1) существует такая функция G6 ©'(Ж,1), что G' — F. Если
взять одну такую функцию, то всякая другая отличается от нее
на обобщенную функцию, задаваемую константой.
Доказательство. Для р е ©(Ж1) возьмем ту же функцию ф,
что и в предыдущем доказательстве. Положим
ад :=-ад.
Функция G линейна на 2ДЖ1), так как ф линейно зависит от р.
Покажем, что она непрерывна. Достаточно проверить, что линей¬
ное отображение р t—> ф непрерывно на ©(Ж1). Пусть pj —> О
в ©(Ж1). Тогда функции pj равны нулю вне некоторого отрез¬
ка, а их интегралы Qj стремятся к нулю. Функщш pj — djpо равны
нулю вне некоторого отрезка [а, Ь] и имеют нулевые интегралы.
Поэтому соответствующие функции ф^ равны нулю вне [а, Ъ]. По¬
скольку pj — вjpо -> 0 в ©(Ж1), то последовательность функций
фj также стремится к нулю в ЗДЖ1), что завершает наше доказа¬
тельство. □
Обобщенная функция G также имеет первообразную и т.д. Ока¬
зывается, если зафиксировать отрезок [а, Ь] и сузить F на функции
с носителями в [а, Ь], то через конечное число шагов мы придем
к обычной функции (непрерывной или даже непрерывно диффе¬
ренцируемой) .
6.3.5. Теорема. Пусть F G 2У(ЖП) имеет компактный но¬
ситель в открытом шаре U. Тогда найдутся непрерывная функ¬
ция Ф на U и число А; G IN, для которых выполнено равенство
F = д£ • • • Ф- В одномерном случае F = ф(0.
§ 6.4. Преобразование Фурье в L1
331
Доказательство можно найти в [7, гл. 8]. В случае п — 1 и од¬
ноточечного носителя предыдущую теорему можно конкретизиро¬
вать так.
6.3.6. Теорема. Пусть F € ТДШ1) и suppF = {0}. Тогда
F = соб + а5' + ■ • • + cn6{n\
где со,, cn — числа.
§ 6.4. Преобразование Фурье в L1
Ближайшие три параграфа посвящены преобразованию Фурье
обычных и обобщенных функций. Для интегрируемых комплекс¬
ных функций преобразование Фурье задается явной формулой.
6.4.1. Определение. Преобразованием Фурье функции / из
класса -С1 (Ш,п) (возможно, комплексной) называется комплексная
функция
Пу) = тЛщ ( <fe.
(27г)п/2 JJRU
Преобразованием Фурье элемента / € L1(IRn) называется функ¬
ция / для любого представителя класса эквивалентности f.
В одномерном случае формула такова:
Ку) =
е гух f(x) dx.
Необходимость проведения различия между версиями интегри¬
руемой функции при рассмотрении преобразования Фурье будет
ясна из дальнейшего, когда пойдет речь о восстановлении значений
/ в отдельных точках по функции /. Множитель (27г)_п/2 делает
преобразование Фурье унитарным оператором в Ь2(Шп). Наконец,
выбор знака минус в экспоненте связан лишь с тем, что такова тра¬
диция. Как мы увидим ниже, замена минуса на плюс дает опреде¬
ление обратного преобразования Фурье.
В некоторых случаях удается явно вычислить преобразование
Фурье. Рассмотрим один из важнейших примеров.
6.4.2. Пример. Пусть а > 0. Тогда
(27г)п/2 jun
exp[—г(у, ж)] ехр[—0!|ж|2] dx =
(2а)п/2
ехр
. 4 а
м5
332
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Доказательство. Вычисление интеграла по теореме Фубини
сводится к одномерному случаю, причем после очевидной замены
переменной достаточно рассмотреть случай а = 1/2. В этом слу¬
чае обе части доказываемого равенства являются аналитическими
функциями у, совпадающими при у — it, t £ IR, что известно из
курса анализа (читателю полезно воспроизвести детали). Поэтому
эти функции совпадают и при всех у € IR. □
6.4.3. Предложение. Пусть / G ^'(IR”). Тогда функция /
равномерно непрерывна, причем
1/(у)1 < (27г)-п/2||/||д1 и lim f(y) = 0. (6.4.1)
I у I —> оо
Доказательство. Первое соотношение в (6.4.1) очевидно. Ес¬
ли / — индикатор куба с ребрами, параллельными координатным
осям, то / легко вычислить явно с помощью теоремы Фубини, так
как в одномерном случае
rb p—iax _ p—ibx
/ e~ixydy = - .
Ja ' Ж
Здесь второе соотношение очевидно. Оно остается в силе для ли¬
нейных комбинаций индикаторов таких кубов. Остается взять по¬
следовательность fj указанных линейных комбинаций, сходящую¬
ся к / в L1 (mn), и заметить, что функции fj равномерно сходятся
к функции / ввиду первого соотношения в (6.4.1). □
Вот еще два полезных свойства преобразования Фурье.
6.4.4. Предложение, (i) Если непрерывно дифференцируемая
и интегрируемая функция / обладает интегрируемой частной
производной dXjf, то
dXjf(y) = Wjf(y).
В одномерном случае f (у) = iy f (у).
(И) Если функция / 6 £1(IRri') такова, что для некоторого
номера j € {1,...,п} функция g3: j и у^/(у) интегрируема, то
функция / имеет непрерывную производную по Xj, причем
dXjf(x) = -igj{x).
В одномерном случае / ' (х) — —iyf(y)(x).
333
§ 6.4. Преобразование Фурье в L1
Доказательство, (i) Если / имеет ограниченный носитель,
то доказываемое равенство следует из формулы интегрирования
по частям. Например, при п — 1 имеем
/+оо г+оо
e~iyxf'(x)dx = iy / e-iyxf(x)dx.
-оо J — оо
Чтобы свести к этому общий случай, достаточно взять последо¬
вательность функций Д € Co°(]Rn) со следующими свойствами:
о < Ск < 1, sup*. \dXjCk\ < с, ск(х) = 1 при |ж| < к. Тогда функции
Сkf сходятся в Т1(т.п) к /, а функции сЦ.(Д/) сходятся к
поскольку fdx.Qk —► 0 в Ta(IRn) в силу теоремы Лебега о мажори¬
руемой сходимости. Утверждение (И) очевидным образом следует
из теоремы о дифференцируемости интеграла по параметру и со¬
отношения \dXj exp[i(x,y)]f(y)\ = |уД(г/)|. П
Комплексификацию <S(IRn) обозначим тем же символом и бу¬
дем иметь с ней дело при рассмотрении преобразования Фурье.
6.4,5. Следствие. Если / 6 <S(]Rn), то / £ <S(IRn).
Доказательство. По доказанному выше, для всех j = 1,...,п
и к € ЛЧ функция d%.f = (~i)khj}k, где hj)k(y) = ykf(y), убывает на
бесконечности быстрее \х\~т при всех т. □
Ниже будет показано, что преобразование Фурье — изомор¬
физм пространства <S(IRn). Кроме того, будет установлено, что
преобразование Фурье инъективно на КДК”); этот факт совсем не
очевиден. Естественно возникает вопрос, как восстановить функ¬
цию / по ее преобразованию Фурье, определяющему эту функцию
с точностью до модификации. Для этой цели используется обрат¬
ное преобразование Фурье. Для интегрируемой функции / обратное
преобразование Фурье задается формулой
/И := /(-*) = (ЗтгГ"/2 [ e^f(y) dy.
J IRn
Мы увидим, что если прямое преобразование Фурье / интегриру¬
емо, то его обратное преобразование дает исходную функцию /.
На самом деле это верно и без предположения об интегрируемо¬
сти /, если определить обратное преобразование Фурье для обоб¬
щенных функций. Пока мы отложим этот вопрос, однако приведем
одно достаточное условие восстановления функции в фиксирован¬
ной точке по ее преобразованию Фурье, а затем докажем равенство
334
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Парсеваля, служащее основой определения преобразования Фурье
обобщенных функций.
6.4.6. Теорема. Пусть функция / интегрируема на прямой,
причем в некоторой точке ж она удовлетворяет условию Дини:
функция 11-> [f(x + t) - 2/(:г) + /(х - t)]/t, интегрируема в окрест¬
ности нуля. Тогда справедлива следующая формула обращения:
f{x) = lim —)L= [ elxyf(y) dy. (6.4.2)
R—>+oo V27T J-R
В частности, (6.4.2) верно во всех точках дифференцируемости
функции /.
Доказательство можно найти в [7, гл. 9] и [20]. Здесь для по¬
яснения связи между рядами и интегралами Фурье укажем вывод
частного случая (6.4.2) для R вида R = п + 1/2, где n G IN, из
теоремы 3.5.5 о сходимости ряда Фурье. Положим
;=j_ ГУ»-»)fe = lain(^-z
27Г J_r 7Г х - у
и заметим, что нас интересует сходимость значений интегралов от
/(2/)Фя(у) к f(x)- Если функция / равна нулю в некоторой окрест¬
ности точки ж, то такая сходимость следует из теоремы Римана-
Лебега, ибо функция f{y)/{х — у) оказывается интегрируемой на
прямой. Так как / можно записать в виде суммы функции с носи¬
телем в [ж—1/2, ж+1/2] и функции, равной нулю на [ж —1/2, ж+1/2],
то утверждение сводится к функциям с носителем в [0,1]. Тогда
мы оказываемся в ситуации теоремы 3.5.5 с той лишь разницей,
что там вместо ядер Ф д использовались ядра
1 sin
7Г 2 sin ^
При этом интегралы от функций
[ФяЫ - Dn(y)\f{y) =
= — sin((2n + 1)(ж - у)) (л • 7Г~ woT )/Ы
7г v ' \2sm[(T - у)/2] ж -у)
стремятся к нулю по теореме Римана-Лебега, поскольку функция
у >-> (2sin[(x - у)/2])-1 - (ж — уУ1 ограничена на [0,1].
Аг(у)
§ 6.4. Преобразование Фурье в L1
335
6.4.7. Замечание. Ранее в §3.5 упоминался построенный
А.Н. Колмогоровым пример интегрируемой функции / на [0,2л],
ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Из сказанного вы¬
ше следует, что если эту функции сделать нулем вне [0,2л], то для
полученной функции из L1(IR1) предел (6.4.2) не существует ни
в одной точке [0,2л]. С помощью такой функции можно построить
интегрируемую функцию, для которой предел (6.4.2) не существует
ни в одной точке прямой. Однако легко проверить, что непрерыв¬
ные функции в правой части (6.4.2) сходятся к / в S' (проверьте!).
Приведем результат, в котором вместо условия Дини в точке
требуется лишь непрерывность, если дополнительно известно, что
функция / ограничена, а функция / интегрируема (что, конечно,
не всегда имеет место).
6.4.8. Предложение. Если функция / 6 £/X(IRn) П £°°(IRn)
такова, что / € .C^IR”'), то для всякой точки х, в которой f
непрерывна, верно равенство
f(x) = (2л)-"/2 [ е^ф(у) dy. (6.4.3)
,/IR"
В частности, это верно, если / £ <S(IRn).
Доказательство. Для упрощения формул мы рассмотрим
случай п = 1. Тогда с помощью теоремы Фубини и примера 6.4.2
(а также замены переменных z = х + 2еи) получаем
[ °°е*ху/(У) dy = Иш /+°° eixye-£2y2f(y) dy =
J —оо е—>и ,/_00
r+оо г+оо 1
— lim / / -=elxye-e y e-iyzf{z)dzdy =
eiy^-z)e-s2y2 f(z) dydz =
/+оо 1
—-= f(z)e-<'x~z'> dz =
■ос eV2 У
/+оо
\/2 f(x + 2eu)e~n2 du — V2n f(x).
Последнее равенство следует из теоремы Лебега о мажорируемой
сходимости ввиду ограниченности / и непрерывности в точке х. □
336
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Особая роль пространства <S(lRn) видна из такого результата.
6.4.9. Следствие. Преобразование Фурье линейно и непрерыв¬
но отображает комплексное <S(IRn) на комплексное <S(IRn).
Доказательство. Выше было показано, что / е <S(IR") при
/ € <S(IRn) и что /(- ■) есть преобразование Фурье функции /.
Значит, преобразование Фурье — линейный изоморфизм простран¬
ства <S(IRn). Проверим непрерывность CF в 5 (ГОД. Для упрощения
обозначений рассмотрим случай п — 1. Мы имеем
У^РКу) = (-i)ky2mH(xkf)(y) = (-i)k+2mnxkf)(2m)](y)-
Функция (Д/Д"'1) — конечная сумма функций вида xlf(r>. При
этом
/+оо
\xlf^(x)\
-ОО
/"ТОО
(1 + |ж|2У+1|/(г)(ж)|(1
-оо
/+оо
-оо
+ |т|2) 1 dx <
(1 + |х|2)-гФг.
Итак, Pk,m(?f) оценивается через СЛ,г&т,И&+1РтАЛ> ГДе с не
зависит от /. Значит, если Д —> 0 в 5, то ТД —* 0 в S. □
Следующие равенства относятся к числу важнейших в теории
интегралов Фурье. Как и выше, все пространства — комплексные.
6.4.10. Теорема. Для всех ip, ф € Ь1(Шп) верны равенства
/ {pipdx— / pipdx, / (fhj)dx= I
Jr" Jmn J]Rn Jmn
рф dx. (6.4.4)
Если же Ф € <S(IRn), то справедливо равенство Парсеваля
/ <p(x)iip(x)dx = / <р(у)ф(у) dy. (6.4.5)
JUn JTRn
Доказательство. Применив теорему Фубини к равенству
[ <р(х)ф(х) с1х = \пЕ [ I е *x’v)v(y)il>(z)dydx,
J\Rn (2n)n/z Jr" Уш."
получим первую формулу в(6.4.4), а вторая следует из нее ввиду
тождества ф = ф. Чтобы проверить (6.4.5), вспомним, что / :=
входит в 5 (ГОД, и применим формулу обращения ф — Д
<-$- □
§6.5. Преобразование Фурье в L2
337
Взяв комплексное сопряжение во втором равенстве в (6.4.4),
получим еще одну формулу:
/ ifTpdx — / ipipdx.
JIR’’ JjR"
6.4.11. Следствие. Если f £ £<1(IRn) и f = 0, mo f(x) = 0
почти всюду.
Доказательство. Из равенства Парсеваля следует, что ин¬
теграл от f<p равен нулю для всех ip е Со°(ГО,п), откуда вытекает
доказываемое (см. предложение 1.9.12). □
Применим преобразование Фурье для доказательства полноты
системы функций Эрмита (см. пример 3.5.1).
6.4.12. Теорема. Предположим, что функция / 6 T2(IR1)
такова, что
/+00
tkf(t) ехр(—t2/2) dt — 0 для всех целых к ^ 0.
-оо
Тогда f(t) = 0 п.в.
Доказательство. Функция
/+оо
f(t) exp(itz — t2/2) dt
-oo
определена и аналитична в комплексной плоскости, ибо для каж¬
дого R > 0 функция f(t) exp(i?.jt| — t2/2) интегрируема, поскольку
функция exp(l?|t| — t2/2) входит в ИДТИ1). Из условия следует, что
все производные g в нуле равны нулю (включая значение g в нуле).
Значит, g(z) = 0. Поэтому интегрируемая функция fit) ехр(—t2/2)
имеет нулевое преобразование Фурье и потому почти всюду равна
нулю, откуда следует доказываемое. □
§ 6.5. Преобразование Фурье в L2
С помощью равенства Парсеваля для интегралов Фурье пре¬
образование Фурье распространяется на функции из L2(IRn). Для
этого применим лемму 5.7.9 к подпространству <S(IRri), плотному
в L2(IRn) и переходящему в себя под действием преобразования
Фурье, причем последнее на <S(JRn) сохраняет скалярное произве¬
дение в силу равенства (6.4.5). Мы получим унитарный оператор
в Z2(IRn), совпадающий с преобразованием Фурье на <S(IRn).
338
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
6.5.1. Определение. Преобразованием Фурье в комплексном
пространстве L2(IRn) называется унитарный оператор в L2(IRra),
продолжают,ий преобразование Фурье в комплексном S (Ш,п).
Преобразование Фурье элемента / G L2(IRn) обозначается че¬
рез ГГ/ или f.
Данное определение означает, что для нахождения преобразо¬
вания Фурье элемента / € L2(IRn) мы берем последовательность
функций fj € <S(IR”), сходящуюся к / в L2(IRn) (как мы видели
в примере 6.1.2(Ш), такая последовательность обязательно суще¬
ствует, можно далее взять fj £ С/ДК"')), и полагаем
/ := Ит fj,
]—*оо
где имеется в виду предел в пространстве L2, который существует
ввиду фундаментальности {fj} в L2 и равенства
llS-7ib = ll/i-/i||La.
Доказываемая ниже теорема Планшереля дает способ нахождения
преобразования Фурье в пространстве L2 без использования глад¬
ких приближений.
Из определения ясно, что на <S(IRn) оператор ГГ задается обыч¬
ным преобразованием Фурье. Однако если функция / из Ь2(Жп)
не входит в L1(lRn), то функцию ГГ/ уже нельзя задать кале лебе-
говский интеграл от (2я)-”/2 ехр[—г(х, y)]f(y)- С другой стороны,
для всех / G L2 П L1 данное определение согласовано с имеющимся
для интегрируемых функций.
6.5.2. Лемма. Если / 6 L2(IRn) flL1(IRn), то преобразование
Фурье функции / в L2(]Rn) задается ее преобразованием Фурье /
в Lx(IRn).
Доказательство. Пусть ГГ/ — преобразование Фурье функ¬
ции / в 1/2(ЕГ) и f — ее преобразованием Фурье в L1 (IR"). По¬
кажем, что ГГ/ = / п.в. Достаточно проверить, что для всякой
вещественной функции ip 6 D(]Rn) функции (ГГ/) у? и ftp имеют
равные интегралы. Пусть ф — обратное преобразование Фурье р.
Тогда ф € <S(IRn) и ф = <р. В силу равенства Парсеваля имеем
§ 6.5. Преобразование Фурье в L2
339
С другой стороны, взяв fj Е <S(IRn) так, что fj—*f в L2(IRn),
получаем (И/, p)L2 = lim (rJfj,p)L2 = lim (fjii’)b2 = (/,V’)l2> что
j—юо J-+OC
доказывает наше утверждение. □
Теперь легко доказать следующую теорему Планшереля, кото¬
рую иногда используют как способ задания преобразования Фурье
в пространстве L2.
6.5.3. Теорема. Пусть / Е L2(lRn). Тогда функции
9r{x) := -1-7 [ exp{-i{x,y))f(y)dy
(2n)n'z JlyKR
сходятся в L2(JRn) при R —> +оо к определенному выше преобра¬
зованию Фурье функции / в L2(IR”).
Доказательство. Пусть /я(у) := /(у)-Г{|у|<я}(у)- Ясно, что
/я —+ / в L2(]Rn) при Д —> Too. Поэтому Т/я —> Т/ в L2(IRn).
В силу доказанной выше леммы Т/я = /я! ибо fr Е L. □
Таким образом,
fix) = Пт - 1 / exp (—г(ж, у)) / (у) dy
Я—*+оо (27Г)П/2 7|у|^Я
в смысле сходимости в L2. В одномерном случае
fix) = lim —[ e~lxvfiy)dy в Ь2(Ш}).
Я->+оо у2я J-R
Возникает вопрос о сходимости почти всюду. Разумеется, сходи¬
мость в L2 по теореме 1.6.5 дает последовательность Rj —> оо, для
которохй {gRj} сходится почти всюду. При п = 1 известно, что схо¬
димость (да при R —► оо имеет место почти всюду, но вопрос об
этом оставался открытым более полувека и был разрешен лишь
в 1966 г. шведским математиком Л. Карлесоном, причем доказа¬
тельство этого факта весьма трудно. При п > 1 вопрос все еще
открыт (если шары заменить на кубы [—R, Д]п, то и здесь ответ
положительный).
С помощью преобразования Фурье в L2 можно следующим об¬
разом описать функции из класса Соболева W2,fe(IRn).
6.5.4. Теорема. Пространство W2,k(1Rn) состоит из всех та¬
ких / Е Ь2(Жп), что функция у н-> \y\kf(y) входит в L2(IR”).
340
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Доказательство. Если / е W2’k(TRn), то dkJ е L2(IRn), но
dxifiv) = ^ку\f(y)i чт0 следует из такого равенства для функций
из Со°(Ш"). Обратно, пусть функции дгъ...,гт{у) = *тУн ' • •Vimf{y)
при т ^ к лежат в L2(IRn). Тогда := 9п,...^т € Т2(ШП)
есть dXij ■ • ■ dXirti f в смысле обобщенных функций, ибо ввиду уни¬
тарности Т имеем (/, сЦ • • ■ dXim<p)L2 = (Т/, ■ ■ • dXimv)L2, что
равно (-1 )т{9п imi&L2 = □
Вычислим спектр преобразования Фурье как оператора в L?.
Ответ может показаться неожиданным.
6.5.5. Теорема. Спектр преобразования Фурье Т в Т2(Ш,1)
состоит из четырех точек {1,-1,i, —г}, имеющих бесконечные
кратности. При этом Т имеет собственный ортонормированный
базис ek, к — 0,1,..., для которого Тщ = {—г)кек-
Первоначальная неожиданность ответа обусловлена тем, что
довольно сложно заданный сингулярный интегральный оператор
оказывается в некотором базисе диагональным. Однако при бо¬
лее внимательном анализе результат уже не кажется неожидан¬
ным: ведь оператор Т2 есть оператор обращения аргумента, т. е.
3^/(ж) = /(—ж). Значит, Т4 = I, откуда по теореме 5.1.8 получа¬
ем ДТ)4 = {1}. Это дает включение сг(Эг) С {1,-1,г, —г}, но еще
не дает равенства. Чтобы получить полное утверждение теоремы,
надо догадаться использовать функции
Gk(t) := (t - G0(t), G0(t) = ехр(—i2/2).
Догадка базируется на знании того, что ЗТ?о = Gq и J опреде¬
ленным образом переставляет дифференцирование и умножение на
аргумент. Применив преобразование Фурье, находим
?Gk(s) = = H)fe(s - ~)kG0(s) = (-i)kGk(s).
Теперь покажем, что функции Gk с точностью до нормирующих
множителей представляют собой результат ортогонализации функ¬
ций xkGо (ж) в L2(IR i ) и потому, согласно доказанному в конце
предыдущего параграфа, образуют (после умножения на постоян¬
ные) ортонормированный базис. Воспользуемся индукцией по к.
При к = 0 утверждение верно. Пусть оно верно для некоторого
натурального к > 0. Легко убедиться, что функции Gk имеют вид
§ 6.5. Преобразование Фурье в I?
341
Gk(t) — где Рк — многочлен степени к, причем для
нечетного к этот многочлен включает только нечетные степени t,
а для четного к — только четные. Чтобы осуществить шаг индук¬
ции, следует проверить, что функция Gk+i ортогональна всем Gj
с j ф. к. Формула интегрирования по частям дает равенства
Ц(*-£)Ъ№№-
/+оо Л+ОО
tGk(t)Gj(t)dt+ / Gk(t)G'j(t)l
-оо J—оо
/+оо г+оо
2tGk(t)Gj(t) dt - / Gk{t)[tGj{t) - Gj(t)\ dt =
-oo J—oo
I dt —
-oo
r+oo
—oo
-boo
/-too r-roo
2tGk(t)Gj(t) dt — / Gk(t)Gj+i(t) dt.
-oo J—oo
Если j < к — 1, то правая часть написанного выше соотношения
равна нулю в силу предположения индукции. Если j = к — 1, то
в правой части стоит интеграл функции Gk(t)[2tGk-\(t) — Gk(t)],
который также равен нулю в силу предположения индукции, ибо
2tGk~i(t) — Gk(t) = Q(t)Go(t), где Q — многочлен степени к — 1,
так как коэффициент при tk в Pk(t) равен 2к (это легко прове¬
рить). Наконец, функция Gk+iGk нечетна и потому имеет нулевой
интеграл. Это дает равенство {Gk-кь Gk)k2 = 0. Заметим, что функ¬
ции Gk после нормировки совпадают с функциями Эрмита Нп из
примера 3.5.1(ш); проверку этого оставляется читателю.
Вычислим теперь спектр оператора свертки
Suffix) = ф * ф(х)
в L2(IRn), где ф € Lx(]Rn). Мы знаем (см. теорему 1.15.5), что
имеет место включение ф * <р е L2(JRn). Поэтому оператор S,p дей¬
ствительно является линейным оператором в L2(IRn). Кроме того,
согласно оценке (1.15.10), его норма не превосходит
Сначала установим следующий важный факт.
6.5.6. Теорема. Если f,g 6 £/1(IRn), то
/ * д(у) = (2 тг)п/2/{у)д(у)- (6-5.1)
Это равенство верно почти всюду, если f €(Шп), g 6-C2(IR”).
342
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Доказательство. Мы знаем, что f *д 6 Lx(IRn). По теореме
Фубини имеем
(2тг)-п/2 / / e~l{y'x)f{x- z)g(z) dzdx =
JIR" J\Rn
= (2ir)-n/2 ( [ e-i{y’u)e~i(y'z)f{u)g{z) dzdu,
Jun Jmn
что дает (6.5.1). Если / € £/1(IR,n), g € £/2(IRTl), то равенство по¬
лучается предельным переходом с помощью теоремы 1.15.5. Для
этого берем функции сд, Е L2 с ограниченными носителями, схо¬
дящиеся к д в L2. Тогда (% ■—> .9 и дк */—►<?*/ в L2 (поскольку
дк * f д * f в L2 ввиду утверждения (ii) теоремы 1.15.5), значит,
имеет место сходимость по мере на каждом отрезке. □
Положим / := Зч/>. Предыдущая теорема дает
= (2тг)п/2Тф ■ 3ip.
Следовательно, верно равенство (Г Д/Д-1 — (2ж)n/2Af, где Aj —
оператор умножения на ограниченную непрерывную функцию /.
Спектр последнего оператора нам известен: это множество суще¬
ственных значений /, т. е. замыкание множества значений / ввиду
непрерывности /. При этом 0 € <т(S</,), ибо спектр замкнут и / име¬
ет нулевой предел на бесконечности. Если функция / вещественна,
то спектр Sij) — отрезок вещественной прямой, содержащий начало
координат. Обратим внимание на то, что оператор свертки неком¬
пактен (в отличие от интегральных операторов из примера 4.9.4
в I/2 на отрезке), если не равен нулю.
§ 6.6. Преобразование Фурье и свертка обобщенных
функций
Равенство Парсеваля, использованное выше для определения
преобразования Фурье в L2, а также формула (6.4.4) подсказывают,
как продолжить его и на комплексные обобщенные функции. Ниже
рассматриваются комплексные пространства S и S’.
6.6.1. Определение. Пусть F € «S^ffi”). Положим
3F(tp) := F(ip) := F(p), где р € <S(IRn),
и назовем функционал 3\F = F на <S(IRn) преобразованием Фурье
обобщенной функции F.
§6.6. Преобразование Фурье и свертка обобщенных функций
343
Так как отображение р н-> р линейно и непрерывно в <S(IR")
и имеет непрерывное обратное, то F G «S'(IRn), причем преобразо¬
вание Фурье оказывается взаимно однозначным линейным опера¬
тором на пространстве «S^IR”): 3'~1F(p) = F{p).
Если обобщенная функция F задана посредством обычной ин¬
тегрируемой функции Fq по формуле
F{p) = / F0(x)p(x)dx,
J lRn
то F задается обычной функцией Fo, ибо по формуле (6.4.4) для
всех р 6 5(ЕГ) имеем
F{p) = F(p) = f F0(x)p(x) dx — ( F0(x)p{x) dx.
JlR"
Отметим, что если действие обычной функции как обобщенной за¬
давать через скалярное произведение в L2, т. е. в интеграле ставить
р вместо р, то для согласованности обобщенного и обычного пре¬
образований Фурье на интегрируемых функциях следует положить
<JF{p) = F(T_1cp), как сделано в некоторых учебниках.
Вычислим преобразования Фурье некоторых типичных обоб¬
щенных функций.
6.6.2. Пример, (i) Справедливы равенства
Т=(2тг)п/2ф ?=( 2фГп/2.
Действительно, для всякой функции р € <S(TR'') имеем
%р) = / p{x)dx = (2Tr)n/2p(Q) = (2тг)п/25(р).
Jtr71
Из этой же формулы для р вместо р получаем второе равенство,
ибо Э^р(х) = р(-х).
(ii) Для функции Хевисайда х := До,+оо) на прямой имеем
Для этого положим Хе := e-£XI[Oi+oo), е > 0. Для всех р € ^(И1)
имеем х{Ф) — 1™Хе(<р). Так как Хе(х) = (2л)_1/2(ж — ге)-1, то
указанное равенство верно по определению (ж — гО)-1.
344
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
(Hi) Пусть ц — ограниченная борелевская мера на Ш,п. Тогда ее
преобразование Фурье в <S'(Eln) задается функцией
Жх) = (2тг)“п/2 [ exp[~i(x,y)] n(dy).
JlRn
В самом деле, для всех € <S(IRn) с помощью теоремы Фубини
получаем
КФ) - (А*. <Р)= <p(v) А*(«*У) =
Jm71
= (2тг)“п/2 [ ( f ip(x) exp[—г(ж,у)] dx] y{dy) =
Jm.n \JiR" /
= (2tt)~”/2 [ <p(x)( f exp{-i(x,y)]n(dy))dx,
J]Rn \Jun /
что доказывает наше утверждение.
(iv) Для функции fix) — ехр(—а\х\) на прямой, где а > О,
непосредственным вычислением находим
/(У) =
1
+
<а — гу а + гу
V2 а
у/тг у2 + а2
Поэтому для функции д{у) = (у2 + а2) 1 получаем
9(х)
_ V2a '
Если в случае (ш) взять в качестве у меру Дирака 6а в точке а,
то получаем равенство
5а(х) = (2ir)~n/2 ехр[—г(ж, а)].
Это же равенство можно получить непосредственно аналогично
случаю (i). Кроме того, для функции еа(х) — ехр[г(ж, а)] имеем
ёк = (2тг )~п/26а.
С помощью этого равенства легко найти преобразования Фурье
обобщенных функций, задаваемых функциями sin х и cos ж. По¬
средством дифференцирования и умножения на многочлены запас
явно вычисляемых преобразований Фурье можно расширить, по¬
скольку для всех F € ДД!”) мы имеем
§ 6.6. Преобразование Фурье и свертка обобщенных функций
345
ввиду аналогичных соотношений для функций из <S(IRTi). Скажем,
первое соотношение проверяется следующим образом (для упроще¬
ния выкладок на прямой):
{F', Ф) = = -{F,<p') = — (F, —ix~Fp) = i(F ,x • ip) =
= i{x ■ F,<p).
Имеются другие классы обобщенных функций, для которых
можно определить преобразование Фурье. Преобразование Фурье
обобщенных функций играет важную роль в теории уравнений
с частными производными.
Обсудим теперь свертку f * F обычной и обобщенной функ¬
ций. Мы рассмотрим лишь два случая: / Е ©(IR"), F Е ©'(Ж71)
и / € 5(ЖП), F € 5'(ЖП). Наша цель — так определить свертку
f * F, чтобы она совпадала с классической для обобщенных функ¬
ций F, задаваемых интегрируемыми функциями. Для этого запи¬
шем действие свертки интегрируемых функций / и F на функцию
</>€ <S(IR") следующим образом:
[ / * F(x)<p(x) dx = f [ f(x - y)F(y)<p(x) dy dx =
J]Rn J\Rn J]R,n
= [ [ f(x- y)(p(x)F(y) dxdy = ( /(-•)* <p(y)F(y) dy,
JWLn J Rn JlRn
где /(— •) обозначает функцию x t-ч /(—ж).
Это подсказывает такое определение. Пусть либо / Е ©(Жп)
и F Е ©'(ЖГ1), либо / € 5(Ж”) и F € S'(Жп). Положим
f*F(<p) :=F(f
Заметим, что в первом случае /(— •) * ip Е ©(Ж") при у? Е ©(Ж"),
а во втором случае /(— ■) * Е 5(ЖП) при tp Е <S(IRn). Последнее
легко усмотреть из того, что преобразование Фурье свертки двух
функций из 5(ЖП) есть произведение двух элементов из 5(Ж”),
причем преобразование Фурье переводит <5(Жга) в <S(IRTl). Таким
образом, нами корректно определена свертка с нужным свойством
согласованности. Оказывается, полученные выше объекты являют¬
ся гладкими функциями.
6.6.3. Предложение. Если либо f Е ©(Жп) и F Е ©'(Ж71),
либо / Е <5(ЖП) и F Е S'(mn), то f*F задается гладкой функцией.
Доказательство см. в [7, §9.8].
346
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Имеются и другие случаи существования свертки (см. [10]). Ес¬
ли / е S', F G S', причем Т/ является гладкой функцией с произ¬
водными не более чем полиномиального роста (т. е. умножение на
нее задает оператор в S'), то свертку / * F молено определить как
(2тг)n/2J-1(3r/ • JF). Скажем, так можно сделать для / € S или
для F = 5а, что даст f * 5а = f( - — а). Если F,G е Т>' имеют ком¬
пактные носители, то теорема 6.3.5 позволяет определить свертку
так: записав F и G в виде
г = g^'-ss:•••«£*.
где Ф и Ф непрерывны, положим F * G = дк+т ■ ■ ■ dk^m(F * Ф).
Для разных специальных случаев используются и другие приемы.
Важно, однако, то, что свертку нельзя разумным образом продол¬
жить на все пары обобщенных функций из D' или S' по тем же
причинам, почему нельзя продолжить произведение.
§ 6.7. Уравнения с обобщенными функциями
Преобразование Фурье и свертка эффективно применяются для
решения дифференциальных уравнений с обычными и обобщен¬
ными функциями. Особенно полезны они при изучении линейных
уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим несколько
типичных примеров.
6.7.1. Пример. Рассмотрим уравнение с постоянными коэф¬
фициентами
CF = ckF■<*> + cfc_ + • • • + ci F' + c0F = G
в пространстве «S^IR1) с правой частью G € ^'(IR1). Взятие преоб¬
разования Фурье переводит его в алгебраическое уравнение
[ск(гх)к ■ F -t f сд(гаг) • F + cqF] = G = У(х) • F = G,
, где многочлен
Ф(ж) := ck(ix)k Н 1- а(гх) + со
называется символом дифференциального оператора £; он получа¬
ется подстановкой (гх)к вместо dk в С. Таким образом, для нахо¬
ждения F надо поделить G на Ф и взять обратное преобразование
Фурье. Если многочлен Ф не имеет вещественных нулей, то на него
можно поделить в обычном смысле. Например, если
CF = F" — F — G,
6.7. Уравнения с обобщенными функциями
347
то Ф(ж) = —ж2—1 и F = — (x2+l)~1G. При наличии нулей приходит¬
ся прибегать к некоторым процедурам регуляризации типа исполь¬
зованной при определении функции V-РД. В многомерном случае
ситуация аналогична, но появляются дополнительные сложности
из-за значительно более сложного устройства нулей многочленов.
Однако Л. Хёрмандер доказал, что для любого многочлена СР, не
равного тождественно нулю, уравнение 7 ■ F = G разрешимо в S'
при любой правой части из S'. Правда, доказательство этого до¬
вольно безобидно и элементарно выглядящего факта чрезвычайно
трудно и занимает много страниц. Если многочлен ф отделен от ну¬
ля на ШТ (для этого уже мало отсутствия вещественных корней),
то проблема деления тривиальна. Например, для уравнения
AF - F = G
получаем F = — (|ж|2 + l)~aG.
6.7.2. Пример. Предположим, что есть некоторая функция Ф
(обобщенная или обычная), для которой 1/ф = Ф, причем опре¬
делена свертка Ф * G. Тогда решение уравнения из предыдущего
примера можно записать формулой
F = (2тг)~п/2Ф * G.
Действительно, преобразование Фурье правой части есть как раз
Ф • G — G/Ф. HanpitMep, в одномерном случае функция (ж2 + I)-1
есть преобразование Фурье функции ^ж/2е~\х'. Поэтому решение
уравнения F" — F = G дается сверткой — G и е~^/2. Есть и много¬
мерные аналоги этого примера. Конечно, описанный прием полезен
и для решения уравнений с обычными функциями.
Отметим еще одно важное обстоятельство, в котором особо про¬
является роль обобщенных функций. Как уже говорилось, урав¬
нение с постоянными коэффициентами можно решить для любой
правой части, в частности для G — 5. Решение уравнения
называется фундаментальным решением для оператора С. Для
фундаментального решения в S' мы получаем Ф • £ = (2я)-”/2.
Таким образом, для нахождения фундаментального решения надо
разделить постоянную на символ оператора и взять обратное пре¬
образование Фурье. Если фундаментальное решение £ известно, то
решение уравнения £F — G дается формулой £ * G для тех G, для
которых свертка определена.
348
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
Аналогично решаются параболические линейные дифференци¬
альные уравнения с постоянными коэффициентами.
6.7.3. Пример. Рассмотрим уравнение
dF(t) дк дк~г д
~~дГ~ = Скд^т + Ск-1дх^т +' ■'+ Cldim + CoF + G(i)
с начальным условием F(0) = По, где G(t) G S' при каждом t G JR1,
Fq g S'. Под решением понимается отображение t t-* F(t) со зна¬
чениями в S', удовлетворяющее тождеству
(F(t),ip) = {Fot<p)+ f [{F{s),Cv) + {G{s),ip)]ds
Jo
при всех (p € S] здесь Ly> = + ■ • • + c^ip. Применение преоб¬
разования Фурье сводит это уравнение с частными производными
к обыкновенному дифференциальному уравнению
F(0)=Fb
в пространстве S'. Если все возникшие здесь преобразования Фу¬
рье оказались обычными функциями, то надо решить обыкновен¬
ное дифференциальное уравнение
^ты = пу) • ты+ты, ты = Шу)
при каждом фиксированном у, затем взять по у обратное преобра¬
зование Фурье. Например, для уравнения
dF(t) _ d2F(t)
dt дх2
с начальным условием По получаем уравнение
ftm(y) = -у2ты, ты = Шу),
решение которого есть функция F(t)(y) — е~4?;2Но(у). Теперь мож¬
но привлечь свертку, ибо e~ty есть преобразование Фурье функции
Фt(x) = (2t)~lt2e~x /(4t). Таким образом, получаем классическую
формулу
1
' + 0О
.2
§6.8. Задачи
349
представляющую решение нашего уравнения в виде свертки на¬
чального условия с гауссовским ядром. Для уравнения на вида
^=CF{t), F(0)=F0
ситуация совершенно аналогична. Преобразование Фурье также
сводит его к обыкновенному уравнению в S1. Если F(t) является
обычной функцией, то для ф(Д у) = F(t)(y) получаем обыкновен¬
ное дифференциальное уравнение
у) = ?(у) • у)> ^(0, у) = Fo(y),
решение которого при каждом у дается формулой ev}l'y>Fo(y). Те¬
перь F(t) находится обратным преобразованием Фурье, причем во
многих случаях решение можно записать в виде свертки началь¬
ного условия Fo с некоторым ядром, зависящим от
Дополнительные сведения об обобщенных функциях имеются
в [1], [Г], [9]-[11], [16], где приведена и подробная библиография.
§ 6.8. Задачи
6.8.1? Проверить, что указанная в замечании 6.1.5 метрика действи¬
тельно задает сходимость в <S(IRn).
6.8.2? Найти три первые производные в ©' следующей функции F:
F(x) = —х при х < 0, F(x) = х2 при х > 0.
6.8.3? Доказать, что (ж -НО) 1 = V-РД — ш5.
6.8.4? Доказать, что формула
V.P.1
;(*>) •= /
I J\x\<l
ip(x) - <р(0)
dx +
/
4|х|>1
у>{х)
dx
задает обобщенную функцию V.P.jly из классов ©'(Ж1) и <S;(JR.1).
6.8.5. Выяснить, существует ли при t —» +оо предел обобщенных
функций е“*(ж + г0)-1 в пространстве ©'(Ж1).
6.8.6? Доказать, что если сц < akN + /3, то ряд Y^kLi с*, sin for схо¬
дится в ©'(Ж1).
6.8.7? (i) Найти первые и вторые производные в ©'(Ж1) функций
sin |ж| и | sin ж|. (ii) Доказать равенство |sin®|" + | sin. ш| =
350
Глава 6. Обобщенные функции и преобразование Фурье
6.8.8? Решить в классе В7(Ж1) следующие уравнения:
(i) xF = 0, (ii) xnF = 0, (iii) x(x + 1 )F = 0, (iv) (sina;)F = 0,
(v) x2F = S, (vi) xF' = 5, (vii) xF' = 1, (viii) F" = <5, (ix) F" — F — 6.
6.8.9? Пусть f — непрерывно дифференцируемая функция на пря¬
мой. Доказать, что функции /п(ж) = п(/(ж + n_1) - fix)) сходятся к /'
в смысле сходимости в В'(Ж1).
6.8.10? Найти преобразования Фурье функций из Д^Ж1):
(i) fix) = хе~х\ (ii) f(x) = I[aM, (iii) f(x) = sinx/x,
(iv) f{x) = sin х/(x - л), (v) /(ж) = (x + i)-1.
6.8.11? Найти преобразование Фурье обобщенных функций из про¬
странства «S'(Ж1), заданных обычными функциями: (i) f(x) = ж sin ж;
(ii) f{x) = sg-пж, где sgnT — знак ж; (iii) /(ж) = |ж|; (iv) /(ж) = ехр(гаж2).
6.8.12. Пусть f,g 6 £2(ЖП). Доказать, что f*g= (27т)n^2fg, где
левая часть — преобразование Фурье в S' ограниченной функции / * д.
6.8.13. (i) Положим fix) = ж при ж е [0,2л) и продолжим / на
прямую с периодом 2л. Представить / в виде / = [ГДеzckeikx в смысле
сходимости в D' и 5' и показать, что с0 = п, с/.. = i/к при к ф 0.
(ii) Показать, что производная / в В' и в S' есть /' = 1—27т J2kez 62кп-
(iii) (Формула Пуассона) Доказать в В' и «S' равенство
£e<fc* = 27r£<W
fee z fee z
(iv) Показать, что для всех / € <5(ЖХ) верно равенство
fik)= ^ /(2/с7г)-
fee z fee z
6.8.14. Проверить, что преобразование Фурье в Г2(Ж.) задает уни¬
тарную эквивалентность оператора умножения на аргумент на области
{у>€Г2(Ж): £<Д£)еГ2(Ж)} и оператора —id/dt на области D = 1Г2,1(Ж).
6.8.15. Обобщенная функция F е В'(Ж1) называется периодиче¬
ской с периодом 2-гг, если F( ■ + 2л) = F, где F( ■ + 2л) определяется
в смысле предыдущей задачи.
(i) Пусть £2тг — неотрицательная бесконечно дифференцируемая чет¬
ная функция с носителем в [-Зл/2, Зл/2], равная 1 на [-л/2, л/2] и удо¬
влетворяющая условию 6тг(а:) + £27Г(ж + 2л) = 1 при ж 6 [-Зл/2, -л/2].
Проверить, что + 2л/с) = Д причем для всякой обобщенной
функции F с периодом 2л верно равенство F = (Fz-rF) * J2kez
(ii) Используя формулу Пуассона из задачи 6.8.13, доказать, что вся¬
кая обобщенная функция F с периодом 2л разлагается в сходящийся в В'
ряд Фурье F = Efeezcfc(F)eifc*, ck{F) = (2л)'“^(^e"***).
Глава 7
Введение в нелинейный анализ
В этой главе кратко обсуждаются три важнейших направления
нелинейного анализа: дифференциальное исчисление в бесконеч¬
номерных пространствах, нелинейные уравнения и экстремальные
задачи. Глава имеет вводный характер.
§7.1. Производные в нормированных пространствах
Для отображений бесконечномерных пространств имеется ряд
естественных аналогов производных функций многих переменных.
Здесь можно рассматривать частные производные функции в точ¬
ке или задавать производную в духе классической «главной ли¬
нейной части приращения функции», а можно вводить и Соболев¬
ские производные, что требует бесконечномерного интегрирования
и здесь не обсуждается. Пусть даны вещественные нормированные
пространства X и Y и отображение F : X —> Y.
7.1.1. Определение. Пусть х € X и h G X. Будем говорить,
что F имеет в х частную производную вдоль h (или по направ¬
лению К), если в Y существует предел
dhFix) := lim
F{x + th) — F(x)
t
Если существует непрерывный линейный оператор А: X —> Y,
для которого dh.F(x) = Ah при всех h, то F называется дифферен¬
цируемым в точке х по Гато, а оператор А называется производ¬
ной Гато в точке х и обозначается символами F'(x) или DF{x).
Даже если для каждого h € X частная производная dhF{x)
существует, отображение h i—> dh,F{x) может не быть линейным (см.
пример ниже). Часто бывает полезна не только линейность этого
отображения, но возможность приблизить им F «с точностью до
малых более высокого порядка».
352
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
7.1.2. Определение. Отображение F: X —> Y называется
дифференцируемым по Фреше в точке х, если существует та¬
кой непрерывный линейный оператор из X в Y, обозначаемый че¬
рез DF(x) или F'(x) и называемый производной Фреше отображе¬
ния F в точке х, что
\\F(x + h)-F(x)-F'(x)h\\
ЦЛЦ-o \\h\\
(7.1.1)
Последнее равенство равносильно тому, что соотношение
^F(x + №)-F(x)=F,(x)fc
(7.1.2)
выполнено равномерно по h из единичного шара. Отличие от диф¬
ференцируемости Гато заключается именно в этой равномерности.
Это различие проявляется уже в случае X — Ж2. Из последнего со¬
отношения видно, что производная Фреше является и производной
Гато и потому единственна.
7.1.3. Пример. (1) Зададим функцию /: Ж2 —» Ж1 формулой
f(x) = г cos Sip, х = (г cos tp, г sin <р), /(0) = 0
в полярных координатах;. В точке хо = 0 частные производные
dhf(xо) = lim t~l f(th) — A cos За
существуют при всех h = (A cos а, A sin а) 6 Ж2, однако отобра¬
жение h н-> dhf(0) не является линейным. Чтобы это увидеть, до¬
статочно взять векторы е\ = (1,0) и е% = (0,1) и заметить, что
deif(0) = 1, de2f(0) = 0, но <9е1+е2/(0) = —1) ибо выполнено равен¬
ство f(te 1 +te 2) — i(sin(37r/4) + cos(37r/4)).
(ii) Зададим функцию. /: Ж2 —» Ж1 следующим образом:
/0*0
Г1, если х — (х\,хф), где — х\ и х\ > 0,
(0 в остальных случаях.
В точке х — 0 производная Гато существует и равна нулю, ибо для
всякого h £ Ж2 мы имеем lim t,~J f(th) = 0 из-за того, что f(th) = 0
при \t\ < 5(h), где 5(h) > 0. Дифференцируемости по Фреше в нуле
нет, так как f(h) — 1 при h = (t,t2).
Ясно, что для непрерывного линейного оператора F: X —> Y
производная в каждой точке совпадает с ним самим: F'(x) — F.
§7.1. Производные в нормированных пространствах
353
Основная идея дифференцируемости — локальное приближе¬
ние отображения F линейным отображением, т. е. представление
F(x + h) — F(x) + DF(x)h + r(x, h),
где отображение h н-> r(x, h) является в определенном смысле «ма¬
лым более высокого порядка» по сравнению с h. Дифференцируе¬
мость по Фреше придает такой смысл понятию малости г:
lim
М-о
r-(ag, fa)H
IN
Символически это обозначают как г (ж, К) = o(h).
7.1.4. Пример. Пусть X — гильбертово пространство,
/(ж) = (ж, ж).
Тогда /'(ж) = 2ж. Действительно,
(ж + h, х + h) — (ж, ж) = 2(ж, h) + (h, h) и (h,h)—o(h).
Более общим образом, если А — непрерывный линейный оператор
в X, то для квадратичной формы
/(ж) = (Ах, ж)
аналогично находим /'(ж) = Ах + А*ж.
Промежуточной между дифференцируемостью по Гато и по
Фреше является дифференцируемость по Адамару, которая тре¬
бует выполнения равенства
lim
t-*o
r(x,th)
Т~
= 0
(7.1.3)
равномерно по h из каждого фиксированного компакта. Это рав¬
носильно тому, что [F(x + tnhn) — F(x)]/tn —> DF(x)h, если tn —» 0,
^ 0 и /г„ ^ /i в I. В конечномерном X дифференцируемости
Адамара и Фреше совпадают, а для отображений прямой совпада¬
ют все три упомянутых вида дифференцируемости.
Для локально липшицевых (т. е. липшицевых в окрестности вся¬
кой точки) отображений нормированных пространств совпадают
дифференцируемости Гато и Адамара (но не Фреше).
7.1.5. Теорема. Пусть X и Y — нормированные простран¬
ства и отображение F: X —> Y локально липшицево. Если отоб¬
ражение F в точке ж дифференцируемо по Гато, то в этой точке
F дифференцируемо и по Адамару, причем соответствующие про¬
изводные равны.
354
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
Доказательство. Пусть К — компакт в X и е > 0. Пусть
F удовлетворяет условию Липшица с постоянной L в шаре В(х,г)
с г > 0, К содержится в шаре B(0,R) и М:= max(L, R, \\DF(x)||).
Найдем конечную е-сеть h\,...,hm в К. Существует такое число
5 € (0,r/Д), что при \t\ < <5 для каждого г = 1,..., т мы имеем
Тогда при \t\ < 5 для всякого h € К получаем
||F(x + th) - F(x) - tDF(x){h)|| ^ e\t\ + 2Me\t\,
ибо найдется вектор hi, для которого ||Д — hi\\ ^ е, откуда
||F(x + th) — F{x + thi)|| < M\\th — thi\\ ^ Me\t\
и \\tDF{x)h — tDF(x)hi\\ ^ Me\t\. Итак, F дифференцируемо в x
по Адамару. Очевидно, что производная Адамара служит и произ¬
водной Гато, ибо последняя единственна. □
В бесконечномерных банаховых пространствах дифференциру¬
емость по Фреше сильнее дифференцируемости по Адамару.
7.1.6. Пример. Функция
всюду дифференцируема по Адамару, но нигде не дифференциру¬
ема по Фреше. То же самое справедливо для отображения
Доказательство. При доказательстве дифференцируемости
бывает полезно найти кандидата на производную путем вычисле¬
ния частных производных. Для функции / имеем
Дифференцирование по t с помощью теоремы Лебега о мажориру¬
емой сходимости дает равенство
dhf{x)= / h(s) cos x(s) ds.
Jo
Ясно, что производная Гато существует и дается функционалом
||F(x + thi) ~ F(x) - tDF(x)(hi)\\ ^ e\t\.
(7.1.4)
F: jL2[0, 1] —> Z/2[0,1], F(x)(s) — sinx(s). (7.1.5)
f{x + th) = sin[x(s) + th{s)} ds.
Df(x)h — h(s) cos x(s) ds.
§ 7.1. Производные в нормированных пространствах
355
Легко видеть, что |/(ж + ft) — /(ж)| Ч ||ft||£i. По теореме 7.1.5 по¬
лучаем дифференцируемость по Адамару. В случае F мы имеем
операторы DF{x) в L2[0,1], причем
(.DF(x)h)(s) = h(s) cost(s).
Выясним теперь, дифференцируемы ли / и F по Фреше. Пусть
х = 0. Тогда /(ж) = 0. Нам надо посмотреть, верно ли соотношение
/(/г) — Df(0)h. — o(\\h\\Li). Левая часть равна
/ [sin h(s) — h(s)]ds.
Jo
Тейлоровское разложение sinft(s) — ft(s) начинается c ft3, что на¬
водит на подозрение, что дифференцируемости Фреше здесь нет.
Чтобы убедиться в этом, предъявим такие элементы ft единичного
шара, на которых f(h)-Df(0)h не будет o(||ft||Li). Пусть ftfc(s) = irk
при 0 ^ s ^ 1/(7гА:)2 и ftfc(s) = 0 при s > 1/(тгк)2. Тогда
f(hk) ~ Df(0)hk = -1/(тrfc).
Эта величина не является o(||ftfc||x,i), ибо ||ftfe||^1 — 1 /(тгк). Для про¬
извольного х рассуждение аналогично, но использует существова¬
ние точек Лебега (см. [7, пример 12.1.5]). Похожие рассуждения
работают и в случае отображения F (задача 7.8.3). □
Если ту же самую функцию / рассматривать не на L1, а на
пространстве L2, то она станет дифференцируемой по Фреше!
7.1.7. Пример. Функция /, заданная формулой (7.1.4) на про¬
странстве L2 [0,1], всюду дифференцируема по Фреше. Отображе¬
ние F, заданное формулой (7.1.5) на С[0,1], всюду дифференциру¬
емо по Фреше, в отличие от этого же отображения на L2r0,1].
Доказательство. Различие между свойствами / на L1 и L2
состоит в том, что величина |/(ж + ft) — f(x) — Df(x)h\ с помо¬
щью неравенства | sin(.x + ft) — sin ж — ft cos ,x| ^ ft2, вытекающего
из формулы Тейлора, оценивается через интеграл от ft2, который
равен квадрату Д2-нормы (бесконечной для некоторых векторов ft
из L1). Аналогичное рассуждение применимо к отображению F на
пространстве С[0,1]. Здесь j|F(.z + ft) — F(x) — DF(x)h\\ оценивает¬
ся через || ft.||2 в случае sup-нормы, но не в случае Т2-нормы, когда
указанная оценка приводит уже к интегралу от ft4. □
356
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
Иногда используют так называемую строгую дифференцируе¬
мость, еще более сильную, чем дифференцируемость Фреше.
7.1.8. Определение. Пусть X и Y — нормированные про¬
странства, U — окрестность тонки xq € X и отображение
f:U—>Y дифференцируемо в ж о по Фреше. Если для всякого е > О
найдется такое 5 > 0, что при Цад — хо\\х ^ 5 и \\х2 — жо||х ^ ^
имеем
!!/(zi) - /(ж2) - /'(ж0)(ж1 “ Ж2)11у ^ е||ж1 - х2\\х,
то f называется строго дифференцируемым в точке хо-
Строго дифференцируемое в xq отображение непрерывно не
только в самой точке жо, но и в некотором шаре с центром в ад,
ибо из определения и неравенства треугольника следует, что в ша¬
ре радиуса д с центром в ад отображение / удовлетворяет усло¬
вию Липшица с постоянной ||/,(жо)|| + е. Поэтому даже для число¬
вых функций на прямой строгая дифференцируемость не сводится
к дифференцируемости по Фреше.
§ 7.2. Свойства дифференцируемых отображений
В различных применениях дифференцируемых отображений
весьма важны теоремы о среднем и цепное правило, т. е. прави¬
ло дифференцирования композиции. Основную роль в получении
бесконечномерных версий классических результатов играют соот¬
ветствующие утверждения для прямой, но есть здесь и ряд тон¬
костей, требующих некоторой осторожности. Сначала мы обсудим
дифференцируемость композиции. Предположим, что X, Y не¬
нормированные пространства, а отображения
F: X -+Y и G: Y Z
дифференцируемы в каком-то смысле. Будет ли отображение
G о F: X —> Z дифференцируемым в том же смысле? Ответ за¬
висит от вида дифференцируемости. Например, композиция диф¬
ференцируемых по Гато отображений не обязана быть дифферен¬
цируемой по Гато.
7.2.1. Пример. Зададим отображение д: Ж2 —> Ж2 формулой
д: (х\, х2) ь-» (ж-j , .х2). Возьмем теперь функцию /: Ж2 —> Ж1 из
примера 7.1.3(H). Тогда композиция fog: Ж2 —*■ Ж1 не дифферен¬
цируема по Гато в точке х = 0. Более того, эта композиция не имеет
§ 7.2. Свойства дифференцируемых отображений
357
в нуле частных производных по направлениям (1,1) и (1, —1). В са¬
мом деле,
f(g(x\) = J1’ если Xl = 1Ж21 > °>
' \0 в остальных случаях.
В этом примере внутренняя функция даже дифференцируема
по Фреше. Оказывается, если внешняя функция дифференцируема
по Фреше (или по Адамару), то положение становится лучше.
7.2.2. Теорема. Пусть X, Y и Z — нормированные простран¬
ства, отображение Ф: X —> Z являет,ся композицией отображе¬
ний F: X —* Y и G: Y —* Z, xq £ X и уо — F(xо). Предположим,
что отображение G дифференцируемо по Адамару в точке уо- Ес¬
ли отображение F дифференцируемо в точке xq либо по Гато, ли¬
бо по Адамару, то отображение Ф дифференцируемо в хо в таком
же смысле, причем
Ф'Ы = G'(yo)F'(xo). (7.2.1)
Если же в точке xq отображение F дифференцируемо по Фреше,
a G дифференцируемо в уо тоже по Фреше, то и Ф дифференци¬
руемо в хо по Фреше, причем выполнено (7.2.1).
Доказательство. Заметим сначала, что если F имеет част¬
ную производную DhF в ж0, то существует и частная производная
днЩя о) = G'(y0)dhF(x0).
В самом деле,
F(x0 + th) = F{x0) + tdhF(xo) + r(t) = y0 + tdhF(x0) + r(t),
где ||r(t)/t[J —> 0 при t —> 0. Кроме того,
^(yo + и) — G(yo) = G'(yo)u + g(u),
где lim t~1 g{tu) — 0 равномерно по и из всякого фиксированного
t—>о
компакта. Поэтому
Ф(ж0 + th) - Ф(ж0) = G'{y0)[tdhF(xо) + r(t)] + g(tdhF{x0) + r(t)),
где мы имеем равенство
lim i-1
t—>0
G'(yo)r(t) + g(tdhF(x о) +r(t))
= 0
в смысле сходимости по норме в Z.
Из доказанного вытекает дифференцируемость по Гато отобра¬
жения Ф в случае дифференцируемого по Гато отображения F.
358
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
Пусть отображение F дифференцируемо по Адамару в точ¬
ке .то, а отображение G дифференцируемо по Адамару в точке уа.
Для каждого фиксированного компакта К С X имеем
F(x0 + /г) = .F(so) + F'(xo)h + r(h),
где lim sup \\t~lr(th)\\ = 0. Следовательно,
heK
Ф(ж0 + h) - Ф(ж0) - G'(y0)F'(x0)h =
= G'{yo)[F'(xo)h + r(h)] - G'(yo)F'(x0)h + g(F'(x0)h + r(h)) =
= G'(y0)r(h) + g(F\x0)h + r(h)),
где lim sup \\t~1G1 (yo)r(th)\\ = 0 и выполнено равенство
4-*° heK
lim sup||i_1£i(iF'^o)/i + r(th)) || = 0.
t_>0 heK
Последнее равенство вытекает из того, что для всякой последова¬
тельности tn —> 0 и всякой последовательности {/>„,} с К последо¬
вательность векторов F'(xo)hn + t~1r(tnhn) содержится в компакте
F'(x0)(K) + ({t“V(in/in)} U {0}), ибо tnlr(tnhn) —» 0 по определе¬
нию дифференцируемости по Адамару.
Наконец, в случае дифференцируемости по Фреше применимо
это же рассуждение с шаром вместо компакта. □
7.2.3. Пример. Пусть отображение F: X —> Y нормирован¬
ных пространств дифференцируемо в точке .то либо по Гато, либо
по Адамару, либо по Фреше, и пусть G: Y —* Z — непрерывный ли¬
нейный оператор со значениями в нормированном пространстве Z.
Тогда композиция GoF дифференцируема в точке жо в том же
смысле, что и F, причем D(GoF) = GoDF.
Перейдем к теоремам о среднем. Напомним, что если веще¬
ственная функция / дифференцируема в окрестности отрезка [а, Ь],
то мы имеем
для некоторой точки £ € (а,Ь). На многомерные отображения (да¬
же на отображения из ИГ1 в Ш2) это утверждение в таком виде не
распространяется. Например, пусть
/(ж) — (sin х, cos ж), жёЕ1.
§ 7.2. Свойства дифференцируемых отображений
359
Тогда /(2л) = /(0), хотя производная / не обращается в нуль ни
в одной точке. Правильный многомерный аналог теоремы о сред¬
нем дается переходом либо к неравенствам, либо к выпуклым обо¬
лочкам множеств значений. Символами conv А и conv А обозначают
соответственно выпуклую оболочку и замкнутую выпуклую обо¬
лочку множества А в нормированном пространстве. Символом [а, 6]
будем обозначать отрезок с концами в точках а и b линейного про¬
странства, т. е. множество всех векторов вида а + t(b — a), t £ [0,1].
Аналогично определяется интервал (а, Ъ).
7.2.4. Теорема. Пусть X, Y — нормированные пространства,
множество U открыто и выпукло в X, а отображение F: U —> Y
дифференцируемо по Гато в каждой точке из U. Тогда для всяких
a,b <Е U имеет место включение
F(b) - F(a) € conv {F'(£)(a -b): £ £ (a, 6)}. (7.2.2)
Доказательство. Обозначим через E множество в правой
части. Пусть I G У*. Функция <р: t >—► l(F(a + tb — ta)) определена
в окрестности [0,1] согласно условию. Кроме того, она дифферен¬
цируема в окрестности [0,1]. По классической теореме о среднем
найдется такая точка t € (0,1), что
l{F(b)) - Z(F(a)) = ¥>(1) - ¥>(0) - ¥>'(*) = l{F\§{b - о)) ^
< sup|Z(y)|,
y£E
где £ := a + i(b — a) € U. По следствию теоремы Хана-Банаха
заключаем, что F(b) — F(a) € Е. □
Приведем ряд важных следствий полученной версии теоремы
о среднем, часто применяемых для проверки липшицевости или
дифференцируемости по Фреше конкретных отображений.
7.2.5. Следствие. Пусть в ситуации доказанной теоремы за¬
дано непрерывное линейное отображение А : X —> Y. Тогда для,
всяких а,Ъ 6 U имеет место включение
F(b) — F(a) - A (b-a) € conv {[F'(£) — A] (a — b): £ G (a,b)j. (7.2.3)
Например, это верно для A = F'(a).
Доказательство. Достаточно применить доказанную теоре¬
му к отображению F — А. □
360
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
7.2.6. Следствие. Пусть X, Y — нормированные простран¬
ства, U — открытое выпуклое множество в X, а отображение
F: U —>Y дифференцируемо по Гато в каждой точке из U. Тогда
для всяких a,b EU справедливо неравенство
||F(b)-F(a)\\^ sup ||Е'(Щ|а-Ь||. (7.2.4)
£б(а,6)
Доказательство. Для каждого с Е U мы имеем
\\F’(0(b-a)\\^\\F'm\\b-a\l
что ввиду (7.2.2) дает (7.2.4). □
7.2.7. Следствие. Пусть в ситуации предыдущего следствия
задано непрерывное линейное отображение Л: X —> Y. Тогда для
всяких a,b Е U справедливо неравенство
\\F(b)-F(a)-A(b-a)\\^ sup ||F'(0 - Л|| ||а - Ь||. (7.2.5)
?е(а,6)
7.2.8. Следствие. Пусть X uY — нормированные простран¬
ства, U — открытое выпуклое множество в X, а отображение
F: U —> Y дифференцируемо по Гато в каждой точке из U. Пред¬
положим, что отображение х ьч F'(x) из U в пространство опе¬
раторов JC(X,Y) с операторной нормой непрерывно в некоторой
точке хо Е U. Тогда отображение F дифференцируемо в точке xq
по Фреше. Более того, F строго дифференцируемо в точке хо.
Доказательство. Пусть е > 0 таково, что открытый шар
В{хо,е) радиуса е с центром жд входит в U. По доказанному для
всех he ||/г || < е получаем
1№о + Ь)~ F(Xо) - ^'(жо)(/г)|| ^ sup ||F'(0 - Е'(ж0)|| \\h\\.
5еВ(г 0>е)
В силу непрерывности F' в ад имеем
lim sup \\F'(0 — F'(x0)|| = О,
что дает дифференцируемость по Фреше. Строгая дифференциру¬
емость следует из (7.2.5). □
Если производная отображения F непрерывна по операторной
норме в области П, то F называется С1-отображением в О.
§ 7.3. Обратные и неявные функции
361
§ 7.3. Обратные и неявные функции
В этом параграфе мы обсудим локальную обратимость нели¬
нейных отображений и существование функциональной зависимо¬
сти у — у(х) между решениями уравнений типа F(x, у) — 0. В курсе
математического анализа такого рода результаты, называемые те¬
оремами об обратной функции и неявной функции, доказываются
для отображений в И71. Однако при совершенно аналогичных пред¬
положениях и с близкими обоснованиями основные факты остают¬
ся в силе и для бесконечномерных банаховых пространств.
7.3.1. Теорема. Пусть U — В(а,г) — открытый шар радиуса
г > 0 с центром в точке а в банаховом пространстве X и отоб¬
ражение F: U —> X таково, что
||F(x) - F(y)|| < Л||ж-у|| \/x,yeU,
где А € [0,1) — постоянная. Тогда существует такая открытая
окрестность V точки а, что отображение Ф: х >-> х + F(x) —
гомеоморфизм V и открытого шара W := В(Ф(а),г(1 — Л)). При
этом обратное отобраэюение Ф-1: W —> V удовлетворяет усло¬
вию Липшица с постоянной (1 — Л)-1.
Доказательство. Считаем, что F(a) — 0, заменив F(x) на
F(x) — F(a). Ввиду предложения 2.4.9 это отображение продолжа¬
ется до липшицева с постоянной А отображения замкнутого ша¬
ра В (а, г). Зафиксируем у € В (а. (1 — А)г). Тогда отображение
Fy: х ь-> у — F(x) лит готово на шаре В (а, г) с постоянной А,
причем Fy(B(a, г)) С В(а,г), ибо при ||ж — а|| ^ г мы имеем
||F(x)|| = ||F(t) - F(a)|| ^ A||s - а||, откуда
||у - F(x) - а|| ^ ||у - а|| + ||F(x)|| < (1 - А)г + А||ж - а|| ^ г.
По теореме 2.5.1 имеется единственный элемент ху € В(а,г), для
которого Fy(xy) = ху, т. е. у — ху + F(xy) — Ф(.т,у). Заметим, что
если у лежит в открытом шаре W, то ху входит также в открытый
шар В (а, г). Применив предложение 2.5.4, получаем оценку
II ху - Ху>\\ ^ (1 - А)_1||у - у'||, у,у1 € В (а, (1 - А)г)
Значит, отображение Ф: у г-> ху липшицево с постоянной (1 — А)-1
на шаре В(а, (1 — А)г). По построению мы имеем Ф(Ф(у)) = у
при всех у € В(а, (1 — А)г). Множество V := Ф“1(1П) открыто,
причем Ф отображает его непрерывно и взаимно однозначно на W,
362
7. Введение в нелинейный анализ
ибо Ф инъективно на В {а. г). В самом деле, если Ф(д) = Ф(ф, то
IIм ~ v\\ = И-^Сг) — F{u)\\ ^ А||м ~ ^||, откуда и — v. □
Отметим, что в теореме не утверждается (и, конечно, может
быть неверным), что некоторый шар отображается на шар.
7.3.2. Предложение. Пусть X и Y — банаховы простран¬
ства, UcXuVcY— открытые множества и F: U —> V —
гомеоморфизм, дифференцируемый по Фреше в некоторой точке
а & U. Для дифхференцируемости по Фреше обратного отображе¬
ния G — F~l: V —► U в точке b — F[a) необходимо и достаточно,
чтобы оператор F'{a) отображал X взаимно однозначно на Y.
Доказательство. Если отображение G дифференцируемо по
Фреше в точке Ь, то по правилу дифференцирования произведения
имеем G'(b)F'(а) = 1х и F'{a)G'(b) = 1у, где 1х и 1у — единичные
операторы в X и Y соответственно.
Предположим теперь, что оператор Л := F'(а) обратим. Перей¬
дя к отображению Л~1F, мы сводим утверждение к случаю X = Y
и F'(a) — I. Кроме того, молено считать, что а — 0 и F(a) = 0. Нам
надо показать, что G'(0) = I, т. е. что
G{y) - у = о(||у||) при ||у|| —+ 0.
Мы имеем
F(x) = х + \\x\\ip(x), lim ||¥>(ат)|| = 0. (7.3.1)
11*11—*о
Поскольку F — гомеоморфизм, то у = F(x), где х — G(y), для всех
у в некоторой окрестности нуля, причем для соответствующих х
выполнено (7.3.1). Итак,
G(y) =х = у- ||ж||(/з(ж).
Нам надо показать, что ||ж||<р(ж) = о(||у||). Найдем такую окрест¬
ность нуля По, что ||<р(ж)|| < 1/2 при х Е Uq. Тогда ||ж|| < 2||у|| для
таких х и у — F(x), т. е. ||ж|| ||<р(ж)|| ^ 2||у|| ||</>(ж)||. Остается заме¬
тить, что при ||у|| —» 0 мы имеем ||ж|| —» 0 ввиду непрерывности
отображения G и потому ip(x) —* 0. □
7.3.3. Теорема. Пусть F — непрерывно дифференцируемое
отображ-ение открытого шара U = В(хо,г) в банаховом про¬
странстве X в банахово пространство Y. Предположим, что
оператор Л := F'(xо) взаимно однозначно отображает X на
все Y. Тогда F взаимно однозначно отображает некоторую
§ 7.3. Обратные и неявные функции
363
окрестность V точки жо на некоторую окрестность W точ¬
ки F(xо), причем отображение G F_1: W —» V непрерывно
дифференцируемо и
G’(y)=[F'(F-\y))]-\ yeW.
Доказательство. Наше утверждение легко сводится к слу¬
чаю Y — X и F’(xо) = /, если перейти к отображению A~"lF.
Кроме того, можно считать, что хо = 0 и F(xо) = 0. Имея в виду
применить теорему 7.3.1, запишем F в виде F[x) = х + Fq(x), где
Fo(x) = F(x) - х. В силу непрерывности производной в жо, най¬
дется такой шар В(0,г), что \\F'(x) — 7||^(х) ^ 1/2 при х € В(0,г).
По теореме о среднем отображение Fq на В(0, г) липшицево с по¬
стоянной 1/2 (нам подошла бы липшицевость с любой постоянной,
меньшей 1). При этом F0(0) = 0. По упомянутой теореме в шаре
W — В(0, г/2) задано обратное к F непрерывное отображение G,
переводящее этот шар в некоторую окрестность нуля V. Из пред¬
ложения 7.3.2 следует дифференцируемость G в нуле по Фреше
и равенство G'(0) = L Отметим, что пока была использована лишь
непрерывность производной в нуле. Поскольку мы предположи¬
ли непрерывность производной во всех точках U, то в окрестно¬
сти жо эта производная обратима, что показывает дифференцируе¬
мость обратного отображения в окрестности точки F(xq). Наконец,
непрерывность отображения у ь-> G' (у) в этой окрестности следует
из формулы G'(y) — [F'(G(y))]-1, непрерывности G и непрерыв¬
ности отображения А ь-» А~1 на множестве обратимых операторов
(см. теорему 5.1.4). П
7.3.4. Следствие. Пусть F — С1-отображение открытого
множества U в банаховом пространстве X в банахово простран¬
ство Y. Для того чтобы F было С1 -диффеоморфизмом множе¬
ства TJ на открытое множество в Y, необходимо и достаточно,
чтобы F было инъективно и производная F'[x) при всех х € U
была обратимым оператором из X на Y.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость этих условий ясна. Дока¬
жем достаточность. Мы уже знаем, что каждая точка ж из U имеет
такую окрестность Ux С U, что F является С1-диффеоморфизмом
Ux на некоторый открытый шар Vx с центром в F(ж). Поэтому мно¬
жество F(U) = (Jх^и V-c открыто. Из сказанного ясно, что обратное
отображение F~l: V —> U непрерывно дифференцируемо. □
364
7. Введение в нелинейный анализ
7.3.5. Пример. Пусть X — гильбертово пространство,
Fix) = Ах + В(х,х), где А — обратимый линейный оператор в X,
В: X хX —> X — непрерывное отображение, линейное по каждо¬
му аргументу. Тогда F'(x)h = Ah + B(x,h) + B(h,x), поскольку
||В(/г, /г)|| ^ С'|Л.|2, что легко вывести из ограниченности В на неко¬
тором шаре с центром в нуле. Значит, F'(0) — А Следователь¬
но, F диффеоморфно отображает некоторую окрестность нуля на
окрестность нуля.
Перейдем к теореме о неявной функции. Пусть даны три бана¬
ховых пространства X,Y,Z и непрерывно дифференцируемое отоб¬
ражение F из открытого множества U с XxY в Z. Предположим,
что для некоторой точки (a, b) € U мы имеем F(a, b) — 0. Нас инте¬
ресуют решения (ж, у) уравнения F(x,y) = 0, достаточно близкие
к (а, 6). При этом мы хотели бы представить (локально) множе¬
ство решений в виде поверхности у = / (ж). Оказывается, для этого
нужно лишь одно условие. Через F'x и К обозначим частные про¬
изводные вдоль X и У, т. е. производные отображений ж ь-> F(x,y)
из X в Z и у нч F(ж, у) из У в Z.
7.3.6. Теорема. Предположим, что в описанной выше ситу¬
ации производная Fy(a, Ь) отображения F вдоль У в точке (а, Ь)
является линейным изоморфизмом У и Z. Тогда найдутся окрест¬
ность Va точки а в X, окрестность Wb точки b в У и непрерывно
дифференцируемое отображение /: Va —> У со следующими свой¬
ствами: Va х Wb С. U и условия
(ж,у) eVaxWb и F(ж,у) = 0
равносильны условиям ж G гг у = /(ж).
В частности, f(a.) = b. Таким образом, в области Va х Ид, ре-
шения уравнения F(x,y) = 0 задаются формулой у = /(ж).
Доказательство. Мы сведем эту теорему к теореме об об¬
ратной функции. Для этого рассмотрим вспомогательное отобра¬
жение
G: U X х Z, (ж, у) н-» (x,F(x,y)).
Легко видеть, что это отображение непрерывно дифференцируемо,
причем
G'(x,y)(u,v) = (и, F'x{x,y)u + Fy(x,y)v), и G X,v G У.
Поскольку Fy(a,b) — линейный изоморфизм У и У, то G'{a, Ь) —
изоморфизм XxY и X х Z. В самом деле, для заданных h G X
§ 7.3. Обратные и неявные функции
365
и к & Z однозначно находятся вектор и — h и затем вектор
t; = [J^(a>b)]-1(fe-J^(a,b)fc)
с G'(a,b)(u,v) = (h,k). По доказанному ранее найдется окрест¬
ность Uo точки (а, Ъ), которую G диффеоморфно отображает на
некоторую окрестность W точки (a, F{a, b)) = (а, 0). В Щ можно
взять меньшую окрестность вида Va х W&, где Va — окрестность а
и Wb — окрестность Ь. Пусть Wq = G(Va х Wb). Обратный к G
диффеоморфизм имеет вид (x,z) н-> (x,<p(x,z)), где отображение
(ж, z) I—* <р(х, z) со значениями в У определено в окрестности точки
(а, 0) в X х Z. Положим /(ж) = <р(х, 0) и покажем, что получе¬
но искомое отображение. Действительно, это отображение непре¬
рывно дифференцируемо. Кроме того, условия (х, у) е Va х Иф
и Fix, у) = 0 равносильны условиям (ж, 0) G Wo и 9?(ж,0) — у
ввиду взаимной однозначности отображения G на Va х W>. Мно¬
жество Уд := {ж: (ж,0) € Wo} является открытой окрестностью
точки а. Заменив Va меньшей окрестностью Va П Уф мы получим
нужные свойства /. Фактически мы доказали даже больше: для
всех г в некоторой окрестности нуля решения (ж,у) уравнения
F(x,y) = z, попадающие в достаточно малую окрестность (а, Ь),
имеют параметрическое представление у = ср{х, z). □
Дифференцируя тождество У(ж,/(ж)) =0, находим
f\x) = -[^(ж,/(ж))]_1^(ж,/(ж))
в окрестности а. В частности,
/>) =
Из доказательства ясно, что полученное представление охваты¬
вает все решения (ж, у) из достаточно малой окрестности (а, Ь). Но
это утверждение не следует понимать в том смысле, что в достаточ¬
но малой окрестности а нет других дифференцируемых отображе¬
ний / с F (ж, /(ж)) = 0: речь идет лишь о таких /, что у — /(ж) попа¬
дают в малую окрестность Ь. Например, для уравнения ж2 + у2 = 1
на плоскости в любой окрестности точки а — 0 на прямой есть две
дифференцируемые функции /Дж) = л/1 - ж2 и /2(ж) = — л/1 — ж2,
для которых ж2 + /х(ж)2 = 1 и ж2 + /2(ж)2 = 1. При этом функ¬
ция /1 однозначно задает решения из окрестности точки (0,1), а /2
однозначно описывает решения из окрестности точки (0, —1).
366
7. Введение в нелинейный анализ
Из сказанного явствует, что отображение / единственно в сле¬
дующем смысле: если отображение /о из окрестности точки а в мно¬
жество Wb удовлетворяет равенству У (ж, /о(ж)) = 0, то /о совпа¬
дает с / в некоторой окрестности точки а.
7.3.7. Пример. Пусть X и Z — банаховы пространства, отоб¬
ражение /: X х Z —> X непрерывно дифференцируемо по Фреше,
причем ||/х(жО)2о)|| < 1- Тогда в окрестности zq имеется непре¬
рывно дифференцируемое по Фреше отображение (р со значения¬
ми в X, для которого f(<p(z),z) = <p(z). В самом деле, для близ¬
ких к (xq,zq) точек (ж, г) имеем \\fx(x,z)\\ < 1, поэтому отобра¬
жения х >—> /(ж, z) являются сжимающими и имеют единственные
неподвижные точки <Дг). Применим теорему о неявной функции
к отображению F: (ж, z) t—* /(ж, г) — ж. Его производная вдоль X
равна F'x(x, z) — fx(ж, г) — J. Так как ЦДДжо, го)|| < 1, то оператор
F'x{жо, го) обратим в X. Значит, отображение ж = <p(z) непрерывно
дифференцируемо. Таким образом, неподвижная точка зависяще¬
го от параметра отображения оказывается дифференцируемой по
этому параметру (разумеется, при указанных условиях).
§ 7.4. Производные высших порядков
Если отображение F: X —> Y между нормированными про¬
странствами дифференцируемо, то возникает новое отображение
F': х I—-> F'[x) со значениями в пространстве £(Х, У) линей¬
ных операторов из X в У, которое наделено операторной нормой.
Значит, можно ставить вопрос о дифференцируемости отображе¬
ния F'. Если F' имеет производную Фреше в ж, то она обозначается
через F"{ж) или D2F{ж). При этом F"{ж) Е £(Х, £>(Х, У)).
Заметим, что пространство операторов £(Х, £(Х, У)) можно
канонически отождествить с пространством &2(Х2, Y) билинейных
(т. е. линейных по каждому аргументу) непрерывных отображений
из X х X в У. Для этого каждому Л Е fh(X, Я{Х, У)) сопоставим
билинейное непрерывное отображение Л по формуле
Ни, v) = [Л(п)](и).
Обратно, билинейное непрерывное отображение Ф: X х X —> У
порождает ограниченный оператор Л Е £(Х, £(Х, У)) по формуле
[Л(м)](г;) := Ф(п,у).
§ 7.4. Производные высших порядков
367
Полученное из этого оператора билинейное отображение есть как
раз Ф.
7.4.1. Пример. Пусть X — гильбертово пространство. Поло¬
жим /(ж) = (х,х). Тогда /'(ж) = 2х и /"(ж) = 21.
Дифференцируемость высших порядков определяется по ин¬
дукции: отображение F в точке жо имеет производную порядка
к > 1: если в некоторой окрестности жо существуют производные
DF(ж),..., Dk~1F(ж), причем отображение ж Dk~1F(ж) диффе¬
ренцируемо в жо-
Обозначим через Lk(Xk ,Y) пространство всех непрерывных к-
линейных отображений из Хк в Y, т. е. линейных по каждому ар¬
гументу. Это пространство линейно и имеет естественную норму
Эта норма конечна ввиду непрерывности Л, которая дает ограни¬
ченность на множестве ЦщЦ ^ г, . ..,||и*.|| ^ г при некотором г,
а тогда и при всяком г > 0. Аналогично случаю операторной нор¬
мы легко проверить, что JCk(Xk,Y) банахово, если банахово Y.
Производную Фреше DkF(xо) порядка к бывает удобно отожде¬
ствить с непрерывным к-линейным отображением из пространства
Хк в У, т. е. считать, что DkF(жо) G &к(Хк, У), где
на С[а, Ъ] бесконечно дифференцируема по Фреше, причем
Если Л = У"(ж), то значение Л на паре (и. v) вычисляется по
формуле
Л (u,v) = dvduF(x).
||Л|| := sup ||Л(г»1,..., Wfc)||.
||vi||<l IIVfclKl
DkF(x0)(v1,...,vk) := dVl ■■■dVkF(ж0).
7.4.2. Пример. Пусть ip € СУДГО,1). Функция
•b
368
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
7.4.3. Пример. Пусть X и У — нормированные пространства
и ф: X —» Y —- однородное степени к отображение, заданное фор¬
мулой ф(К) = ФД/г,..., /г), где Фд — непрерывное А;-линейное отоб¬
ражение, инвариантное относительно перестановок аргументов (та¬
кие отображения называются симметрическими). Тогда отображе¬
ние ф бесконечно дифференцируемо по Фреше, причем
Иф( x)h = &ФДж,... ,x,h).
Для доказательства распишем ФДж + /г,..., х + /г) — ФДж,..., х),
используя аддитивность Ф*. по каждому аргументу. Получим сла¬
гаемое &ФДж,..., х, К) и сумму слагаемых, в которые h входит ар¬
гументом в Фд хотя бы дважды. Значит, эта сумма есть о(||Л,||).
Например, ФД/i, h, х,... ,х) — |ф,||2Ф(е, е, х,..., х), где е = h/\\h\\
при кф 0.
7.4.4. Теорема. Пусть отображение F между нормирован¬
ными пространствам,и X uY имеет производную порядка к в не¬
которой точке то- Тогда k-линейное отображение DkF{xо) явля¬
ется симметрическим. В частности, при к — 2 имеем
D2F(xq)(u,v) = D2F(x0)(v,u).
Доказательство. Достаточно доказать это утверждение для
числовых функций, рассматривая композиции I о F, где I — эле¬
мент У*. При этом все сводится к известному из курса анализа
случаю X — Ш/\ Например, при к — 2 нужно взять функцию
f{h,t2) := F(xо + t\u + t2v) на IR2. Тогда
^-/(н, t2) = DF(xo + t\u + t2v)(u),
откуда получаем D2F(x0)(u,v) = ^^•/jtl=t2=0. Аналогичное ра¬
венство с переставленными частными производными по t\ и t2 вер-
но для величины D2F{xq)(v,u). □
Выведем теперь формулу Тейлора.
7.4.5. Теорема. Пусть U — открытое множество в норми¬
рованном пространстве X и отображение F : X —» Y со значе¬
ниями в нормированном пространстве Y имеет в U производные
Фреше до порядка п — 1.
(i) Если в некоторой точке xq Е U существует производная
Фреше DnF(xo), то при ||/i|| —> 0 имеем
1№о + h)-F(x0)-DF(x0)h iDnF(xo)(h,..., ft)|| =о(||Л||).
§ 7.4. Производные высших порядков
369
(ii) Если в U существует производная Фреше DnF(x), причем
\\DnF(x)\\ ^ М, то для всех х € U и всех h 6 X таких, что
отрезок с кони,ами в х и х + h лежит в U, им,еем
||F(x + h)~ F(x) - DF(x)h
- ^hyDn~lF^ • • •»M«. (7.4.1)
Доказательство, (i) Применим индукцию по п. При п = 1
утверждение верно по определению производной Фреше. Пусть оно
верно при некотором п — к. Если отображение F имеет в хо про¬
изводную Dk+lF(xо), то отображение
G: h > F(xо + К) — F(xq) — DF(xo)h
-ЩПyDk+1F(x0)(h,...,h)
дифференцируемо в окрестности нуля. Согласно примеру 7.4.3 на¬
ходим
DG(h)v = DF(x о + h)v - DF{xq)v —Dk+1 F(xo)(h,... ,h,, v),
что может быть записано как
DG(h) = Ф(х0 + h) - Ф(х0) - D4>{x0)v ^Dk*(x0)(h ...,h),
где Ф(ж) := DF(x). Применяя предположение индукции к отобра¬
жению Ф, получаем, что ||Z)G(/i)|| = o(||/i||). Так как G(0) = 0, то
ввиду теоремы о среднем ||G(/i)|| = o(||/i||), что доказывает наше
утверждение при п — к + 1.
(и) Для доказательства (7.4.1) достаточно рассмотреть случай
Y = И1. Если этот случай разобран, то общий случай сводится к
нему переходом к числовой функции 1(F), где I — такой функцио¬
нал с единичной нормой, что норма вектора в левой части (7.4.1)
есть значение I на этом векторе (напомним, что существование та¬
кого функционала — следствие теоремы Хана-Банаха). Для число¬
вой функции F имеет место равенство
F(x + h) = F(x) + DF(x)h + • • • + l_ ]Dn-lF(x)(h,..., h)+
[П 1J!
1 /-1
+ Д / (1 -t)n~lDnF(x + th)(h,...,h)dt,
n- Jo
(7.4.2)
370
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
которое вытекает из известного равенства для функций на отрезке,
если рассмотреть функцию ip(t) — F(x + th). На самом деле (7.4.2)
верно и для векторных отображений, но это требует введения век¬
торного интеграла. Ясно, что (7.4.1) следует из (7.4.2). □
Как и в случае числовых функций на прямой, в приложени¬
ях наиболее полезны и употребительны первые две производные.
С этими производными связано поведение функции в окрестности
точки локального экстремума, что мы обсудим в § 7.6.
§ 7.5. Нелинейные уравнения
В этом параграфе будет доказан один из наиболее важных ре¬
зультатов нелинейного анализа — теорема Шаудера о неподвиж¬
ной точке непрерывного отображения выпуклого компакта. Кроме
того, здесь мы обсудим метод Ньютона решения нелинейных урав¬
нений для дифференцируемых отображений.
Доказываемая ниже теорема Шаудера о неподвижной точке
представляет собой бесконечномерный аналог следующего класси¬
ческого результата: теоремы Боля-Брауэра.
7.5.1. Теорема. Пусть В — замкнутый шар в Жп. Для вся¬
кого непрерывного отображения F: В —> В существует такая
точка xq, называемая неподвижной для F, что F(xо) = xq.
Прежде чем доказывать эту теорему, сделаем несколько замеча¬
ний, позволяющих вывести ее из другого утверждения, возможно
интуитивно более очевидного. Во-первых, достаточно доказать тео¬
рему для отображений, представляющих собой сужения на В глад¬
ких отображений. В самом деле, можно найти такие отображения
Fj: В —> В, что они равномерно сходятся к F и являются суже¬
ниями на В бесконечно дифференцируемых отображений (такие
приближения можно построить с помощью свертки). Пусть Xj —
неподвижная точка Fj. Перейдя к подпоследовательности, можно
считать, что {x.j} имеет предел Жо € В. Тогда в силу равномерной
сходимости Fj получаем Fj(xj) —> F(x о), откуда Fix о) = xq. Итак,
далее имеем дело с F указанного вида.
Теперь мы установим один вспомогательный факт, представля¬
ющий и самостоятельный интерес: не существует такого отобра¬
жения /, непрерывно дифференцируемого в окрестности шара В,
что f(B) С дВ и /(ж) = х при х £ дВ. Для этого допустим,
что такое отображение есть, и рассмотрим семейство отображений
ft(x) = tf(x)+(l—t)x, t £ [0,1]. Ясно, что ft(B) С -В и ft(x) = х при
§ 7.5. Нелинейные уравнения
371
х € ОВ. При малых t > 0 отображение ft инъективно на В (точ¬
нее, при t < (L + I)-1, где L таково, что ||/(ж) - f(y)\\ ^ L\\x — у||,
IlffO) - g(y)II ^ Ц\х - у||), причем производные Dft(х) обратимы,
т. е. ft — диффеоморфизм. Более того, ft{B) — В. В самом деле,
если v G В не входит в ft {В), то возьмем внутри В точку у £ ft(B)
(такая есть, ибо ft{B) имеет внутренние точки и не может лежать
на сфере) и заметим, что на отрезке [у, v\ должна быть ближайшая
к v точка из компакта ft{B) П [y,v], что невозможно, так как по
теореме об обратной функции такая точка f t ( б) имеет некоторую
окрестность, входящую в ft(B) (напомним, что точка Ь, в которой
производная непрерывно дифференцируемого отображения обра¬
тима, имеет окрестность, переходящую в некоторую окрестность
образа 6). Из курса анализа известно, что объем множества ft{B)
вычисляется по формуле
K{ft(B)) = P(t) = [ det Dft(x) dx
Jb
для тех малых t, при которых ft — диффеоморфизм. Легко видеть,
что этот интеграл P(t) — многочлен по t, ибо det(/ + tDf(x) - tl)
есть многочлен по t с коэффициентами, зависящими от х. Посколь¬
ку при малых t мы имеем ft(B) = Б, то P(t) = Лп(В) при всех t, но
Р{ 1) = 0 из-за того, что det Df(x') - 0 в В (иначе f(B) обладало
бы внутренними точками).
Для доказательства теоремы 7.5.1 предположим, что F не име¬
ет неподвижных точек и непрерывно дифференцируемо в окрест¬
ности В. Тогда (х, Р(х)) ф 1 при х 6 В, ибо равенство возможно
лишь в случае, когда ||ж|| = 1 и F(x) = х. Поэтому отображение
д{х)
х —
1 — (ж, ж)
1 - (ж, F{ж))
F( х)
на В непрерывно дифференцируемо. При этом д(х) ф 0 для ж € В,
ибо иначе, как легко видеть, (ж, ж) = (ж, F(x)), откуда ж = F(ж).
Поэтому отображение G(ж) = у(ж)/||у(ж)|| переводит В в ЭВ и тож¬
дественно на дВ, что невозможно по доказанному выше.
Перейдем к теореме Шаудера.
7.5.2. Теорема. Пусть К — выпуклый компакт в нормиро¬
ванном пространстве X и /: К —> К — непрерывное отображе¬
ние. Тогда существует х G К с /(ж) = ж.
372
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
Доказательство. Покажем, что для всякого е > 0 найдет¬
ся хе € К с ||/(же) — же|| < е. Это дает существование решения ж.
В самом деле, из {xi/n} выделим последовательность {zn}, схо¬
дящуюся к некоторой точке х € К, тогда f(zn) —> /(ж), откуда
получаем /(ж) = ж, ибо мы имеем ||f(zn) — zn|| —> 0.
Пусть е > 0. Выберем в К некоторую е/2-сеть х\,... ,хт € К.
Пусть S — выпуклая оболочка этих точек. Ввиду выпуклости К
имеем S С К. При г = 1,..., т положим
А(ж) = е — ||ж — ж*|| при ||ж — ж*|| < е, fii(х) = 0 при ||ж — ж^Ц > е.
Легко проверить, что функции /% непрерывны. Заметим, что при
х & К мы имеем YmL\ А(ж) > 0? ибо для каждого ж € К есть такой
номер г, что ||ж — ж*|| ^ е/2. Поэтому функции
/ т \-1
“»(*) = &(*)( )
S'=i '
непрерывны на /Г. Заметим также, что при всех ж € К мы име¬
ем 0 ^ oti(ж) ^ 1 и YliL\ai(x) — 1- Теперь зададим непрерывное
отображение <? на К формулой
771
#0) = ^аДж)ж;.
г=1
Отображение ф — gof: К —> К тоже непрерывно, причем 'tp(S) С S
ввиду выпуклости S и условия f{K) С К. В силу тео]эемы Боля-
Брауэра существует z Е S с ф(г) = г. Оценим величину ||/(z) — z||.
Справедливы соотношения
il/М - *11 = ||/м-»(/«) 11 =
= ||Ё “*№))/(*)
г=1
т
т
Е
г=1
а,
(/(*))
ж,
^ ^а*(/(*))||/(г) -®»|| < s,
г=1
так как при || f(z) — а%|| > е мы имеем ач(/(з)) =0. □
7.5.3. Следствие. Пусть V — замкнутое выпуклое множе¬
ство в банаховом пространстве X и f: V —» V — непрерывное
отображение, причем f(V) содержится в компакте. Тогда / име¬
ет неподвижную точку.
§ 7.5. Нелинейные уравнения
373
Доказательство. Пусть К — замыкание выпуклой оболоч¬
ки /(V). В силу условия и доказанного выше предложения К —
выпуклый компакт. При этом f(K) С К. □
Теорема Шаудера — мощное средство доказательства разреши¬
мости интегральных и дифференциальных уравнений.
7.5.4. Пример. Пусть <р: [0,1] —> И1 и ф: [0,1]2 —> И1 —
ограниченные непрерывные функции. Тогда на отрезке [0,1] суще¬
ствует непрерывная функция и, удовлетворяющая интегральному
уравнению
u(t) = cp(t) + / ф(u(s), s) ds.
Jo
Действительно, в пространстве (ДО, 1] зададим отображение / фор¬
мулой
/(“)(*) = ¥>(*)+/ il>(u(8),s)d8.
J о
Множество значений / равномерно ограничено. Кроме того, это
множество равностепенно непрерывно ввиду равномерной непре¬
рывности на [0,1] и ограниченности ф:
\f(u)(t) - f(u)(tf)I I<p(t) - <p(t')\ + |t- t'\sup \ф(х,у)\.
x,y
Итак, множество значений / содержится в компакте. В силу оче¬
видной непрерывности / существует неподвижная точка.
Обсудим теперь бесконечномерный аналог известного метода
Ньютона решения уравнения f(x) -Ос гладкой функцией / на
отрезке [а, b}. Этот метод состоит в использовании рекуррентных
приближений xn+i := хп — f(xn)/f(xn), xq = а. Можно показать,
что если /'(ж) ф 0 на [а, Ь\ и х* — единственный корень этого урав¬
нения, то хп —> х*. В бесконечномерном случае имеется модифи¬
цированный метод Ньютона (метод Ньютона-Канторовича), раз¬
работанный Л.В. Канторовичем. Мы приведем один характерный
результат, отсылая за подробным обсуждением к [18, гл. XVIII].
Пусть X, Y — банаховы пространства, отображение F: X—>Y
дифференцируемо по Фреше в некотором шаре В = В(хо,г), при¬
чем его производная F' удовлетворяет в В условию Липшица с по¬
казателем L, т. е. ||jF'(x) — F’(y)|| ^ L\\x — у||. Предположим, что
оператор F'(xо) обратим. Тогда можно положить
Жп+1 ■= жп [F (ж0)] [-К(жп)].
374
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
Эти модифицированные приближения обладают худшими свойст¬
вами сходимости, но зато используют производную только в ®о-
Пусть М := ||[F/(a;o)]“1||) к :=||[F/(x0)]_1 (К(ж0))||, h := MkL, t0 —
меньший корень уравнения Ы2 — t + 1 = 0, и пусть г ^ Ыо.
7.5.5. Теорема. При h < 1/4 в шаре {ж: ||ж — жо|| ^ kto} урав¬
нение F(x) = 0 имеет единственный корень х*, х* — lim хп, при-
п—»оо
чем Цат* — хп\\ ^ kqn/(l — q), где q = hto < 1/2.
Доказательство. Перейдя к отображению [КДжо)]-1^, мы
можем считать, что X = Y, F'(xо) — I, М — 1. Кроме того, можно
считать, что хо = 0. Отметим, кстати, что 1 ф to ^ 2. Рассмотрим
отображение Ф(ж) — х — F(x). Так как производная отображения
х I—> х — F(x) + F(0) равна I — К'(ж), то по теореме о среднем
||Ф(ж)|| = 11ат - F(x) + F(0) - К(0)|| ^ Цат - F(x) + F(0)|| + k <
^ sup ||I — F'(y)|| ||ж|| + k T||z||2 + k ^ Lk2tQ + k — kto
IMKIMI
при ||ат|| ^ kto ^ r, t.e. Ф переводит шар {ж: ||zj| < kto} в него же.
В этом шаре Ф — сжатие, ибо
||Ф'(ж)|| - ЦТ - К'(ж)|| ^ Т||ж|| ^ Lkt0 = (1 - vT^l^)/2 = q< 1/2
ввиду равенств h — Lk и to = (2/i)_1(l — л/1 — 4h) в нашем случае.
Остается заметить, что xn+i = Ф(жп), и применить теорему 2.5.1
с полученной в ней оценкой скорости сходимости. □
§ 7.6. Гладкие экстремальные задачи
Здесь мы кратко обсудим задачу отыскания минимума или мак¬
симума гладкой функции на множестве в банаховом пространстве.
Точки минимума или максимума называют точками экстремума.
Простейшая задача такого рода — нахождение экстремума функ¬
ции / на всем пространстве. Конечно, экстремума может и не быть
даже для функций на прямой. В одномерном случае при отыска¬
нии экстремума функции на отрезке (эта задача имеет решение,
так как непрерывная функция достигает максимума и минимума
на отрезке) стандартный метод состоит в следующем: находятся
критические точки внутри отрезка и значения в них сравниваются
со значениями в концах.
§ 7.6. Гладкие экстремальные задачи
375
Хотя в бесконечномерном случае положение заметно сложнее
(например, из-за некомпактности шара даже гладкая функция мо¬
жет не иметь минимума и максимума на замкнутом шаре), некото¬
рые соображения из одномерного случая оказываются полезными.
В частности, полезно понятие локального экстремума функции /
на множестве Z. Если точка z € Z обладает такой окрестностью U,
что f(z) ^ /(z) при всех z € U П Z, то она называется точкой ло¬
кального максимума, а если f(z) ^ f(z) при всех z G U П Z, то z —
точка локального минимума.
7.6.1. Теорема. Пусть U — открытое множество в норми¬
рованном пространстве X и /: U —> Ж1 — дифференцируемая по
Гато функция.
(i) Если f имеет локальный минимум в точке х$ € U, то
Df{x о) = 0.
(И) Если / двйо/сды дифференцируема по Фреше в точке жо € U
и имеет, в ней минимум, то D2f(xo)(h, h) ^ 0 при всех h G X.
(iii) Пусть функция / дважды дифференцируема по Фреше в U,
а жо 6 U — такая точка, что П/(жо) — 0 и при некотором А > 0
имеем D2f(xo)(h,h) ^ A||/i||2 при всех h € X. Тогда жо является
точкой строгого локального минимума.
Доказательство. Применив одномерный случай к функции
t 1—1” f(x + th), определенной в некоторой окрестности нуля,
получаем (i) и (И), ибо Д(0) = Df(x0)h, <р"(0) = D2f(x0)(h, К).
Утверждение (iii) следует из части (i) теоремы 7.4.5, дающей оцен¬
ку f{xо + h) ~ f(xо) ^ А||Л,||2/2 при малых ||/i||. □
Условие D2f(xa)(h,h) > 0 при всех h ф 0 здесь недостаточно.
Например, для функции /(ж) = Yl™=i(n~3xn ~ хп) иа при ж0 = 0
оно выполнено, так как
ОО
11/(0) = О, D2f(0)(h, Л) = £ n~3hl
11=1
но жо не является точкой локального минимума, ибо во всякой
окрестности нуля есть точки ж с /(ж) < 0, например, точки ви¬
да п~1еп при больших п, где {еп} — стандартный базис в I2.
Следует иметь в виду, что на бесконечномерное гильбертово
пространство не распространяется классическая теорема Ролля.
Например, существует такая бесконечно дифференцируемая функ¬
ция /: I2 —► [0,1], которая равна нулю на единичной сфере, строго
376
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
положительна внутри единичного шара, но ее производная не об¬
ращается в нуль в открытом единичном шаре (в частности, функ¬
ция / не имеет максимума на замкнутом шаре). Из сказанного
ясно, что в бесконечномерном случае нахождение точек локаль¬
ного экстремума не столь эффективно, как в конечномерном. Это
относится и к следующему аналогу классического результата для
экстремальной задачи с гладкими ограничениями.
Пусть X — банахово пространство и F — отображение из X
в банахово пространство Y. Рассмотрим задачу нахождения экс¬
тремума функции / на множестве Z — jP_1(0), т. е. нахождения
минимума или максимума f(z) при ограничении F(z) = 0.
7.6.2. Теорема, (i) Пусть х — точка локального экстремума
/ па множестве Z, причем функция / и отображение F строго
дифференцируемы в х. Предположим, что DF(x)(X) — замкну¬
тое подпространство в Y. Тогда найдутся такие число А и функ¬
ционал у* Е У*, не равные одновременно нулю, что
XDf(x) + y*{DF(x)) =0.
Если DF(x)(X) = У, то можно взять А = 1.
(ii) Если функция / и отображение F имеют вторые произ¬
водные Фреше в х и DF(x)(X) — Y, то найдется такой функци¬
онал у* Е Y*, что Df(x) +y*[DF(x)) — 0,
D2 fix) (li, h) + (y*,D2F(x)(h,h)) ^ 0 V/i G Ker DF(x).
(iii) Если в (ii) при некотором a > 0 выполнено неравенство
D2f(x)(h,h) + {y*,D2F(x){h,h)) > а||/г||2 Vh E KerDF(x),
mo x — точка локального минимума.
Доказательство этой теоремы можно прочитать в [12].
§ 7.7. Экстремальные задачи с ограничениями
В этом параграфе будет упомянуто несколько по-настоящему
бесконечномерных экстремальных проблем, постановки и решения
которых не являются напрашивающимися аналогами конечномер¬
ных задач, как это было в предыдущем параграфе. Тем более инте¬
ресно, что именно с таких бесконечномерных экстремальных задач
началось классическое вариационное исчисление в трудах Ньюто¬
на, Бернулли, Эйлера, Лагранжа еще в XVII-XVIII веках. Про¬
стейшая задача вариационного исчисления состоит в нахождении
§ 7.7. Экстремальные задачи с ограничениями
377
экстремума нелинейного интегрального функционала вида
гъ
— / L(t,x(t),x(t)) dt
J a
на некотором множестве функций (например, непрерывно диф¬
ференцируемых или кусочно-дифференцируемых) при некоторых
возможных ограничениях на х. Одно из простейших таких ограни¬
чений — предписанные значения в концах ж (а) — х\, х{Ъ) — Х2-
Если функция (t,u,v) I—» L(t,u,v) непрерывна и имеет непре¬
рывные частные производные
Lu(t,u,v) := duL(t,u,v), Lv(t,u,v) := dvL(t,u,v),
то для всякой функции z, являющейся точкой локального экстре¬
мума относительно нормы из С1 [а, Ь], справедливо следующее урав¬
нение Эйлера:
-—Lv(t,z(t),z(t)) + Lu(t,z(t),z(t)) =0 Vi € [a, 6].
7.7.1. Пример. Рассмотрим задачу
j(x(-))= f x2(t)dt
Jo
min; ж(0) == 0, х(т) — 1.
Такая задача возникает, если надо за время г попасть из начала
координат в точку 1 с минимальными затратами, которые измеря¬
ются интегралом от квадрата x(t) (скажем, это могут быть затра¬
ты энергии или других ресурсов). Выписываем уравнение Эйлера
для L(t,u,v) = г2, которое ввиду соотношений Lv = 2v, Lu = 0,
Lv(t, z, z) = 2z записывается как z = 0. Решение с заданными кра¬
евыми условиями имеет вид z(t) —tfr. Однако это еще не значит,
что мы нашли решение исходной задачи. Пока найден лишь кан¬
дидат на решение: мы даже не знаем, является ли эта функция
точкой локального минимума. На самом деле функция z оказыва¬
ется глобальным минимумом, ибо для всякой функции h € С1[0, т],
равной нулю в концах отрезка, мы имеем
J(z + h) - J{z) = 2 / z(t)h(t) dt + I h2(t.)dt= f ii2(t)dt,
Jo Jo Jo
так как интеграл от z(t)h(t) = h(t) по [0, т] равен нулю ввиду ра¬
венства h{ 0) = /г(т) = 0.
Здесь уместно пояснить разницу между уравнением Эйлера и
равенством DJ(z) = 0, следующим из результатов предыдущего
378
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
параграфа. Например, если функция L является гладкой и зависит
только от и, то для точки г локального минимума мы получаем
лишь тождество
DJ(z){h) = I L'(z(t))h{t) dt = О
J а
для всех h € С[0,1] (при наличии краевых условий еще требуется
/г(а) — h(b) — 0). Необходима еще дополнительная работа (неслож¬
ная в данном случае), чтобы вывести из этого тождества уравнение
Эйлера.
Приведем пример, когда решение уравнения Эйлера дает ло¬
кальный минимум в пространстве С1, но не дает локального ми¬
нимума в классе кусочно-дифференцируемых функций с нормой
из (ДО,1].
7.7.2. Пример. Рассмотрим задачу
J(x(-)) = f x3(t) dt —> inf; ж(0) = 0, ж(1) = 1.
J о
Здесь Lv(t,u,v) = 3v2, Lu — 0, поэтому уравнение Эйлера имеет
вид d(z2)/dt — 0, откуда z — С, что с учетом граничных значений
дает z(t.) — t. При ||/i||ci < 3 имеем 3 + h(t) > 0, откуда
J(x + h) — J(x)= ( h3(t)[3 + h(t)\ dt > 0.
Jo
Однако найдутся такие функции zn с кусочно-постоянными произ¬
водными, что \\z - -> Ои J(zn) —> -оо при п —> оо. Для
этого положим zn = z + hn, где hn(t) = —ty/n при t Е [0,n_1],
hn(t) = -1/Vn при t € (n_1,l/2), hn{t) = 2t/yfn- 2/y/n при
t € [1/2,1]. Функция zn постоянна на каждом из трех указан¬
ных выше отрезков. Непосредственные вычисления показывают,
что J{zn) — 4 - s/n + 6/n + 4/(пу/п) —> —оо и ||/in]|c[o,i) —> 0. Лег¬
ко видеть, что для каждого п имеется такая функция хп G С71 [0,1]
с ж„(0) = 0 и хп(1) = 1, что J(xn) < J(zn) +1. Поэтому глобального
минимума в классе С1 [0,1] здесь нет.
Разумеется, тот факт, что при наличии локального минимума
может не быть глобального, не вызывает удивления. Скажем, так
же обстоит дело для функции /(ж) = х3 — х на прямой.
§ 7.7. Экстремальные задачи с ограничениями
379
Несколько более сложной является задача Вольца, в которой
к J добавляется еще и функция от х(а) и х(Ь). Более сложным ва¬
риантом последней является так называемая задача с подвижны¬
ми концами, в которой заданы еще условия ^(а, х(а),Ь, х(Ь)) = О,
г — 1,т, где 1г — некоторые функции. Существенное отличие
этой задачи состоит в том, что теперь и концы отрезка не фиксиро¬
ваны. Наконец, ограничения вида (ж( •)) = 0 могут быть заданы
также с помощью интегральных функционалов Такие задачи
называются изопериметрическими. Например, в предыдущем при¬
мере можно рассмотреть дополнительное ограничение
x(t) dt — 0.
Тогда найденное выше решение уже не будет допустимым. Однако
все перечисленные задачи исследуются единообразно с помощью
множителей Лагранжа и соответствующих уравнений Эйлера. На
самом деле они охватываются более общей задачей Лагранжа о ми¬
нимизации нелинейного функционала Ф вида
ГЬ
Ф(ж) = / L(t, x(t), x(t)J dt + l(a, x(a), b, x(b))
J a
при наличии конечного числа ограничений, выраженных равен-
ствами Ф*(ж) = 0 и неравенствами Ффж) < 0 с функционалами
Ф,: и Ф, аналогичного вида, а также дифференциальной связью ви¬
да x(t) — (p[t,x(t)). Для упрощения мы сформулировали задачу
для скалярных функций, но имеется и более общий векторный ва¬
риант (в котором дифференциальная связь может быть наложена
на часть компонент). Все эти задачи имеют аналоги и для старших
производных.
Выдающимся достижением в вариационном исчислении стал
принцип максимума, предложенный Л.С. Понтрягиным в середине
XX века. Этот принцип относится к еще более общему классу задач
оптимального управления, в которых минимизируемые функцио¬
налы, функционалы, задающие ограничения, а также функция ip,
задающая дифференциальную связь, зависят от так называемого
управления:
rb
Ф(ж) — / L(t,x(t),u(t)) dt + l[a,x(a),b,x(b)),
J a
причем задано также ограничение u(t) £ U при всех t £ [a,b], где
U — некоторое множество (скажем, отрезок). Например, равенство
380
Глава 7. Введение в нелинейный анализ
х = и с ограничением u(t) € [v\,Vq\ означает, что допустимы лишь
траектории со скоростями между v\ и V2, а ограничение u(t) € {0,1}
допускает лишь движения очень специального вида, когда можно
только стоять или двигаться с фиксированной скоростью. Суще¬
ственной особенностью таких задач (как, впрочем, и ряда клас¬
сических) оказывается то, что отнюдь не всегда заранее очевиден
выбор функциональных пространств, в которых существуют ре¬
шения (скажем, может не быть решений среди непрерывно диффе¬
ренцируемых функций, но в классе кусочно-дифференцируемых
функций решение может найтись). Это приводит к необходимости
рассмотрения различных обобщенных решений. Подробное обсу¬
ждение этой области имеется в [2], [12].
7.8.1? Пусть Н — гильбертово пространство и даны дифференци¬
руемые по Фреше отображения F, G: Н —> Н. Доказать, что число¬
вая функция /(ж) = (F(x), G'(t)) дифференцируема по Фреше, причем
V/(x) = F'(x)*G{x) + G'(x)*F{x).
7.8.2.° Пусть
Доказать, что отображение F из L2[0,1] в С[0,1] дифференцируемо по
Фреше, и вычислить его производную.
7.8.3.° Доказать, что отображение (7.1.5) не является дифференци¬
руемым по Фреше, но дифференцируемо по Адамару.
7.8.4? Пусть X — банахово пространство. Доказать, что отображение
А I—> А-1 на открытом единичном шаре в пространстве Д(Х) с опера¬
торной нормой дифференцируемо по Фреше.
7.8.5? Пусть функция z £ С[0,1] не имеет нулей. Доказать, что отоб¬
ражение /, заданное в достаточно малой окрестности точки z в С[0,1]
формулой f(x)(t) = 1 /x(t), дифференцируемо по Фреше.
7.8.6. Пусть Ф: [0,1] х [0,1] х Ж1 —> [а, 6] непрерывна. Доказать, что
для всякой функции ф € С[0,1] существует функция х £ С[0,1], удовле¬
творяющая уравнению
7.8.7. В пространствах /2 и со построить примеры непрерывных отоб¬
ражений, переводящих замкнутый шар в себя, но не имеющих неподвиж¬
ных точек.
7.8. Задачи
где Ф £ СЦЖ3).
* £ [0,1].
Примерные программы
Полугодовой курс «Действительный анализ»
1. Кольца, алгебры и сг-алгебры множеств; существование сг-алгебры, поро¬
жденной классом множеств. Структура открытых множеств на прямой. Боре-
левская ет-алгебра. §1.1.
2. Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Критерий счетной аддитивности
меры. § 1.2.
3. Счетная аддитивность меры, имеющей приближающий класс компактных
множеств. § 1.2.
4. Внешняя мера. Определение измеримого по Лебегу множества. Теорема Ле¬
бега о счетной аддитивности внешней меры на и-алгебре измеримых множеств.
Единственность продолжения. §1.3.
5. Построение меры Лебега на прямой и в Rn и ее основные свойства. § 1.4.
6. Функции, измеримые относительно сг-алгебры. Свойства измеримых функ¬
ций. § 1.5.
7. Теорема Лузина. § 1.5.
8. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. § 1.6.
9. Сходимость по мере и ее связь со сходимостью почти всюду. Фундаменталь¬
ность по мере. Теорема Рисса. § 1.6.
10. Интеграл Лебега: определение и основные свойства (линейность, монотон¬
ность). § 1.7.
11. Неравенство Чебышёва. Абсолютная непрерывность интеграла Лебе¬
га. §1.7.
12. Предельный переход в интеграле Лебега: теорема Лебега-Беппо Леви о мо¬
нотонной сходимости, теорема Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходи¬
мости. § 1.8.
13. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Лебега по параметру.
§1.8.
14. Признаки интегрируемости по Лебегу. § 1.8.
15. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобствен¬
ным). § 1.8.
16. Неравенство Гёльдера. Неравенство Минковского. §1.9.
17. Пространства Lp(/x) и их полнота. Связь различных видов сходимости из¬
меримых функций. § 1.9.
18. Теорема Радона-Никодима. § 1.10.
382
Примерные программы
19. Произведение пространств с мерами. Теорема Фубини. § 1.11.
20. Замена переменных. Свертка интегрируемых функций. § 1.15.
21. Фз'нкции ограниченной вариации. Абсолютно непрерывные функции. Аб¬
солютная непрерывность неопределенного интеграла. Связь абсолютно непре¬
рывных функций с неопределенными интегралами интегрируемых функций
(формулировки). Формула Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по
частям для абсолютно непрерывных функций. § 1.14.
Полугодовой курс «Функциональный анализ»
1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства I2
и С[а, Ь]. § 2.1, 3.2.
2. Полные пространства. Примеры. Существование пополнения. § 2.2.
3. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. § 2.3.
4. Непрерывные отображения. Теорема о неподвижной точке для сжимающих
отображениях. § 2.4, 2.5.
5. Компакты и их свойства. § 2.6.
6. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в тер¬
минах последовательностей. § 2.6.
7. Равносильность разных описаний компактности в метрическом простран¬
стве. § 2.6.
8. Критерии компактности в С [а, 6] и /2. § 2.7.
9. Ортонормированные системы и базисы. Неравенство Бесселя. Равенство
Парсеваля. § 3.4.
10. Существование ортогональной проекции и ортогонального разложения
в гильбертовом пространстве. § 3.4.
11. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евклидовом
пространстве. Примеры базисов. Теорема Рисса-Фишера. § 3.4, 3.5.
12. Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора. §4Л.
13. Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на
гильбертовом пространстве. § 4.5.
14. Теорема Хаиа-Банаха; следствия. Сопряженное пространство. §4.3, 4.4.
15. Теорема Банаха-Штейнгауза. §4.2.
16. Теоремы Банаха об обратном операторе и замкнутом графике. §4.6.
17. Компактные операторы и их свойства. Примеры компактных и некомпакт¬
ных операторов. § 4.9.
18. Спектр оператора. Компактность спектра. §5.1, 5.2.
19. Спектр компактного оператора и альтернатива Фредгольма (формулиров¬
ки). Применения к интегральным уравнениям. §5.5, 5.6.
20. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Общий вид са¬
мосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта. § 5.4, 5.7, 5.9.
21. Обобщенные функции и обобщенные производные. §6.1-6.3.
22. Преобразование Фурье. §6.4-6.6.
Годовой курс «Функциональный анализ»
(специальность «Математика», первое полугодие)
1. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Полнота и сепара¬
бельность. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. §2.1-2.3.
Примерные программы
383
2. Нормированные пространства. Примеры: пространства последовательно¬
стей, пространства непрерывных функций и интегрируемых функций. Изомет-
ричность метрического пространства М части банахова пространства В{М)
и существование пополнения М. § 3.2, 2.2.
3. Понятие, топологического пространства. Компактные множества и их свой¬
ства. §2.1, 2.6.
4. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в тер¬
минах фундаментальных последовательностей. §2.6.
5. Равносильность различных определений компакта в метрическом простран¬
стве. § 2.6.
6. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Некомпактность
шара в бесконечномерном нормированном пространстве. § 3.3.
7. Критерий компактности в В{М). Теорема Арцела. §2.7.
8. Теоремы о неподвижных точках: теорема о сжимающих отображениях и те¬
орема Шаудера. § 2.5, 7.5.
9. Евклидовы и гильбертовы пространства. Ортонормированные системы и ба¬
зисы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. § 3.2, 3.4.
10. Существование ортогональной проекции и ортогонального разложения
в гильбертовом пространстве. § 3.4.
11. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евклидовом
пространстве. Примеры базисов. Теорема Рисса-Фишера. Изоморфизм сепа¬
рабельных гильбертовых пространств. § 3.4, 3.5.
12. Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора и непре¬
рывность оператора. §4.1.
13. Теорема Банаха- Штейнгауза. §4.2.
14. Теорема об открытом отображении. § 4.6.
15. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике.
Примеры применения. § 4.6.
16. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Сопряженное пространство. Отделе¬
ние выпуклых множеств (формулировки). §4.3, 4.4.
17. Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на
гильбертовом пространстве. Явный вид сопряженных к конкретным простран¬
ствам. § 4.5.
18. Изометрическое вложение нормированного пространства во второе сопря¬
женное. Ограниченность слабо ограниченных множеств. § 4.4.
19. Слабая и *-слабая сходимость. Выделение *-слабо сходящейся под¬
последовательности из ограниченной последовательности функционалов на
сепарабельном нормированном пространстве. Слабая сходимость и слабая ком¬
пактность в гильбертовом пространстве. §4.7.
20. Компактные операторы и их свойства. Примеры компактных и некомпакт¬
ных операторов. §4.9.
Годовой курс «Функциональный анализ»
(специальность «Математика», второе полугодие) 1 21. Спектр оператора. Открытость множества обратимых операторов. Замкну¬
тость спектра. §5.1, 5.2.
2. Теорема об отображении спектров для многочленов от ограниченных опера¬
торов. §5.8.
384
Примерные программы
3. Спектр компактного оператора. § 5.5.
4. Альтернатива Фредгольма (Ker(i — K) = 0 <=> (I — K){X) = X) для ком¬
пактного оператора К. § 5.5, 5.6.
5. Норма и спектр оператора умножения на функцию. Циклические векторы.
Примеры. §5.2, 5.9.
6. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряженный
оператор и его квадратичная форма. Критерий Вейля и вещественность спек¬
тра самосопряженного оператора. § 5.3.
7. Равенства |jA|| = sup{|(Aa;,a:)|: ||ж|| < 1} = sup{|A|: А - точка спектра А}
для самосопряженного оператора А. § 5.3.
8. Теорема Гильберта-Шмидта. § 5.4.
9. Непрерывные функции от самосопряженных операторов и равенство
ЦДЛ)II =sup„6ff(A) |/(t)|- §5.8.
10. Унитарные операторы и унитарная эквивалентность операторов. Эквива¬
лентность самосопряженного оператора оператору умножения на функцию
(случай оператора с циклическим вектором и общий случай). §5.7, 5.9.
11. Проекторы и проекторнозначные меры. Представление самосопряженного
оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере. Явное вычисление
спектральной меры для оператора умножения на аргумент и для проектора.
Понятие неограниченного самосопряженного оператора. §5.9, 5.10.
12. Локально выпуклые пространства. Пространства 7? ж5и сходимость в них.
Плотность Т> в L2 (R1). §6.1.
13. Обобщенные функции классов V' и S'. Производная обобщенной функции.
Носитель и сингулярный носитель. §6.2, 6.3.
14. Преобразование Фурье интегрируемых функций и его свойства. Формула
обращения. § 6.4.
15. Преобразование Фурье в S и его непрерывность. § 6.4.
16. Равенство Парсеваля для интегралов Фурье. Полнота системы функций
Эрмита. Преобразование Фурье в S'. § 6.4, 6.6.
17. Преобразование Фурье в L2(R1) и теорема Планшереля. §6.5.
18. Свертка интегрируемых функций. Свертка обычной и обобщенной функ¬
ций. Использование преобразования Фурье и свертки для решения дифферен¬
циальных уравнений. §1.15, 6.6, 6.7.
19. Спектры операторов преобразования Фурье и свертки. § 6.5.
20. Пространства С.Л. Соболева Wp'k и их характеризация через пополнение
по Соболевской норме. Описание W2'k через преобразование. Фурье. §3.6, 6.5.
Годовой курс «Функциональный анализ»
(специальность «Механика», первое полугодие) 1 2 3 4 5 61. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства Z2
и С[а,Ь]. §2.1, 3.1, 3.2.
2. Полные пространства. Примеры. Существование пополнения. § 2.2.
3. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. § 2.3.
4. Непрерывные отображения. Теорема о сжимающих отображениях. § 2.4, 2.5.
5. Компакты и их свойства. § 2.6.
6. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в тер¬
минах последовательностей. § 2.6.
Примерные программы
385
7. Равносильность разных определений компакта в метрическом пространстве
(три равносильных описания). §2.6.
8. Критерии компактности в С[а,Ь} (теорема Асколи-Арцела) и в !2. §2.7.
9. Алгебры и сг-алгебры множеств; ст-алгебра, порожденная классом множеств.
Структура открытых множеств на прямой. Ворелевская <т-алгебра. § 1.1.
10. Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Критерий счетной аддитивности.
Счетная аддитивность меры с приближающим компактным классом. § 1.2.
11. Задача продолжения меры с алгебры. Внешняя мера. Измеримые множе¬
ства. Счетная аддитивность внешней меры на сг-алгебре измеримых множеств
(формулировка теоремы). Единственность продолжения. §1.3.
12. Построение меры Лебега на прямой и в Rn. Свойства меры Лебега. § 1.4.
13. Функции, измеримые относительно сг-алгебры и измеримые относительно
меры. Операции над измеримыми функциями. § 1.5.
14. Теорема Лузина. § 1.5.
15. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. § 1.6.
16. Определение интеграла Лебега. Лемма о монотонной последовательности
простых функций (формулировка). Монотонность и линейность интеграла Ле¬
бега. § 1.7.
17. Неравенство Чебышева. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. § 1.7.
18. Теорема Лебега-Б. Леви о монотонной сходимости. Теорема Фату. § 1.8.
19. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Дифференцируемость инте¬
грала по параметру. § 1.8.
20. Критерий интегрируемости по Лебегу в терминах рядов. § 1.8.
21. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобствен¬
ным). § 1.8.
22. Пространства L1 2 3 4 5 6 и L2 и их полнота. § 1.9.
23. Произведение пространств с мерами (конструкция произведения и форму¬
лировка результата). § 1.11.
24. Теорема Фубини и ее применение. § 1.11.
25. Абсолютно непрерывные функции, их связь с неопределенными интегра¬
лами интегрируемых функций и формула Ньютона-Лейбница (формулиров¬
ки). Вывод формулы интегрирования по частям для абсолютно непрерывных
функций. § 1.13, 1.14.
Годовой курс «Функциональный анализ»
(специальность «Механика», второе полугодие)
1. Ортонормированные системы и базисы. Неравенство Бесселя. Равенство
Парсеваля. § 3.4.
2. Существование ортогональной проекции и ортогонального разложения
в гильбертовом пространстве. § 3.4.
3. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евклидовом
пространстве. Примеры базисов. Теорема Рисса-Фишера. §3.4, 3.5.
4. Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора. §4.1.
5. Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на гиль¬
бертовом пространстве. Применение к теореме Радона-Никодима. § 4.5.
6. Теорема Рисса о представлении непрерывного линейного функционала на
пространстве С[а, 6] в виде интеграла (формулировка). Конструкция интеграла
Лебега-Стилтьеса. §4.5.
386
Примерные программы
7. Локально выпуклые пространства. Пространства IR°°, Ю и S. §6.1.
8. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Сопряженное пространство. § 4.3, 4.4.
9. Обобщенные функции классов Ю' и <S' и обобщенные производные. Приме¬
ры. §6.2, 6.3.
10. Преобразование Фурье в L1 и его основные свойства. Формула обращения
(формулировка). Равенство Парсеваля для преобразований Фурье. §6.4.
11. Свертка интегрируемых функций и ее свойства. Свертка обычной и обоб¬
щенной функций. § 1.15, 6.6.
12. Преобразование Фурье в L2. Функции Эрмита. §6.5.
13. Преобразование Фурье обобщенных функций. Применение к решению диф¬
ференциальных уравнений. §6.6, 6.7.
14. Пространства Соболева: определения через пополнения и обобщенные про¬
изводные. Описание W2,k через преобразование Фурье. § 3.6, 6.5.
15. Сопряженный оператор и его норма. Примеры. § 4.8.
16. Теорема Ванаха-Штейнгауза. Слабая сходимость. §4.2, 4.7.
17. Теоремы Банаха об обратном операторе (формулировка) и замкнутом гра¬
фике. §4.6.
18. Компактные операторы и их свойства. Примеры компактных и некомпакт¬
ных операторов. § 4.9.
19. Спектр оператора. Компактность спектра. Спектр оператора умножения
на функцию. §5.1, 5.2.
20. Спектр компактного оператора и альтернатива Фредгольма (формулиров¬
ка). Применения к интегральным уравнениям. §5.5, 5.6.
21. Унитарные операторы и унитарная эквивалентность операторов. Спектр
унитарного оператора. Примеры. § 5.7.
22. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве и их квадра¬
тичные формы. Критерий Вейля и вещественность спектра самосопряженного
оператора. Равенства
||Л|| = sup{|(yla;, а)|, ||ж|| < 1} = sup{|A|: А - точка спектра А}
для самосопряженного оператора А. §5.3.
23. Теорема об отображении спектров для многочленов. Непрерывные функции
от самосопряженных операторов и равенство ||/(А)|| = sup |/(i)|. §5.1, 5.8.
teo(A)
24. Эквивалентность общего самосопряженного оператора оператору умноже¬
ния на функцию (формулировка). Теорема Гильберта-Шмидта. §5.4, 5.9.
25. Неограниченные самосопряженные операторы. Примеры: операторы умно¬
жения и дифференцирования, операторы Штурма-Лиувилля. §5.10.
26. Производные Гато, Фреше и Адамара в нормированных пространствах.
Примеры. §7.1.
Сведения по истории развития функционального анализа можно найти
в [15] и литературе, указанной в комментариях в [7]; также рекомендуем чита¬
телю хотя бы полистать классический труд одного из основоположников этой
области математики Стефана Банаха [5]. Обширная учебная и научная лите¬
ратура по функциональному анализу приведена в [7]: из учебников, близких
к данному пособию по материалу и предполагаемой аудитории, укажем [4].
[20], [24], [25], [32].
Литература
[1] Агранович М.С. Обобщенные функции. М.: МЦНМО, 2008.
[2] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управ¬
ление. М.: Наука, 1979.
[3] Антонович А.Б., Князев П.Н., Радыпо Я.В. Задали и упражнения
по функциональному анализу. Минск: Высшая школа, 1978.
[4] Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начи¬
нающих специалистов по математической физике. 2-е изд. М. -
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.
[5] Банах С. Теория линейных операций. М. - Ижевск: НИЦ «Регу¬
лярная и хаотическая динамика», 2001.
[6] Богачев В.И. Основы теории меры: В 2 т. 2-е изд. М. - Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006.
[7] Богачев В.И., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный
анализ: университетский курс. 2-е изд. М. - Ижевск: НИЦ «Регу¬
лярная и хаотическая динамика», 2011.
[8] Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А. Задачи по функцио¬
нальному анализу. Ч. I, II. М.: Изд-во ЦПИ, 2009.
[9] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 4-е изд. М.:
Наука, 1981.
[10] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.
2-е изд. М.: Наука, 1979.
[11] Владимиров В. С. и др. Сборник задач по уравнениям математиче¬
ской физики. 3-е изд. М.: Физматлит, 2001.
[12] Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: УРСС,
2002.
[13] Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 4-е изд. М.: Наука,
1971.
[14] Городецкий В.В., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Методы реше¬
ния задач по функциональному анализу. 2-е изд. М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2010.
[15] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М.:
ИЛ, 1962.
388
Примерные программы
[16] Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Введение в теорию обобщенных
функций. М.: Лекционные курсы НОЦ. Матем. Ин-т им. В.А. Стек¬
лова РАН, 2006.
[17] Зорич В.А. Математический анализ: В 2 т. М.: Наука, 1981, 1984.
[18] Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ. М.: На¬
ука, 1977.
[19] Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функциональ¬
ного анализа. М.: Наука, 1979.
[20] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функ¬
ционального анализа. 4-е изд. М.: Наука, 1976.
[21] Колягин Ю.М., Саввина О.А. Дмитрий Федорович Егоров: путь
ученого и христианина. М.: Изд-во ПСТГУ, 2010.
[22] Краснов М.Л. Интегральные уравнения: Введение в теорию. 2-е
изд. М.: КомКнига, 2006.
[23] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные урав¬
нения: Задачи и примеры с подробными решениями. 4-е изд. М.:
КомКнига, 2007.
[24] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального ана¬
лиза. 2-е изд. М.: Наука, 1965.
[25] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального
анализа. М.: Высшая школа, 1982.
[26] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. 3-е
изд. М.: Наука, 1974.
[27] Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
[28] Теляковский С.А. Сборник задач по теории функций действитель¬
ного переменного. М.: Наука, 1980.
[29] Треногий В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упраж¬
нения по функциональному анализу. М.: Наука., 1984.
[30] Тыртышкин Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физ-
матлит, 2007.
131] Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис¬
числения: В 3 т. 7-е изд. М.: Наука, 1970.
[32] Федоров В.М. Курс функционального анализа. СПб.: Лань, 2005.
Предметный указатель
Обозначения
АС[а,Ь], 105
А, 130
1ИИ. 2Ю
А», 31
Л{?с, 39
Лх®Л2, 91
а X Ь, 165
absconv V, 198
absconvV, 199
В(П), 126, 134, 167
В(Х,У), 142
'В(Е), 19
£(IRn), 19
С[а,Ь\, 126, 167
С\ 360
Сь(Х), Сь(Х,¥), 142
сопуУ, 198
conv V, 199
со, 167
Ю(ЕГ), 320
£>'(НП), 323
diamA, 128
dv/dpi,, 88
8(КП), 322
£'(IRn), 323
esssup, 82
НА), 11
Г\Е), 11
Г1 (Л), 18
Г1 (У), П
/+, /", 48
f\E, И
1*9, И7
1л, 48
КегЛ, 209
0C{X,Y), 252
Ь°(р), £°(м), 53
Ь\П), 78
Ь\Х,ц), 78
1?{ц), 168
ЬР{Е), 81
Ьр(ц), £р(д), 81
82
l2, 126, 134, 160, 168
/2(Г), 185
lp, 191
l°°, 126
Мх, 178
Ял(Л), 264
5 (ИГ), 322
<S'(ИГ), 323
Wp'k, 194
Va\f), 101
V.P. i, 325
X+, X~, 85, 87
X*, 211
X\ ф ■ • • ©Xn, 172
(ж + iO)-1, (x — *0)_1, 325
6a, 24
ytt+, fj, , 87
/Л 30
Ati x fj.2, 93
At о /-1, 112
г/ <C /t, 88
и -L ц, 88
v ~ At, 88
<x(A), 263
^(T), 17
IHI> 87
JAf(x)iJ.{dx), 62
62
JA f(x) dx, 62
11/11ы(м). 79
ll/llwOO. II/IIp, 82
ll/lli-Ot). 82
Адамара производная, 353
Асколи-Арцела теорема, 154
абсолютная непрерывность
- интеграла Лебега, 67
- меры, 88
абсолютно непрерывная
функция, 105
аддитивная функция
множества, 22
аддитивность конечная, 22
390
Предметный указатель
аддитивность счетная, 22
аксиома выбора, 161
алгебра множеств, 16
- порожденная, 17
алгебраическая сумма
множеств, 175
алгебраически независимое
семейство, 159
алгебраически сопряженное, 211
алгебраический базис, 161
алгебраическое ядро, 226
альтернатива Фредгольма, 282
аннулятор, 283
Банаха теорема
- об обратном операторе, 239
- о замкнутом графике, 240
Банаха-Шаудера теорема, 239
Ванаха-Штейнгауза теорема, 217
Веппо Леви теорема, 70
Бесселя неравенство, 177
Боля-Брауэра теорема, 370
базис Гамеля, 161
базис алгебраический, 161
базис ортонормированный, 176
банахово пространство, 166
биекция, 11
билинейная форма оператора, 271
борелевская ег-алгебра, 19
борелевская функция, 49
борелевское множество, 19
борелевское отображение, 49
Витали пример (множество), 44
Вольтерра оператор, 213, 255
вариация меры, 87
вариация функции, 101
вероятностная мера, 22
версия функции, 53
взаимная сингулярность мер, 88
внутренность множества, 130
внутренняя точка, 130
внешняя мера, 30
вполне ограниченное
множество, 148
вполне ограниченный
оператор, 252
вполне упорядоченное
множество, 162
всюду плотное множество, 131
выпуклая оболочка, 198
выпуклая функция, 220
Гамеля базис, 161
Гато производная, 351
Гёльдера неравенство, 83
Гильберта тождество, 264
Гильберта-Шмидта теорема, 276
Грамма-Шмидта
ортогонализация, 181
гильбертово пространство, 166
гиперплоскость, 226
гомеоморфизм, 141
гомеоморфные пространства, 141
график отображения, 240
«5-кольцо множеств, 20
5-функция Дирака, 324
Дини теорема, 151
Дини условие, 189, 334
Дирака 5-функция, 324
Дирака (дираковская) мера, 24
декартово произведение, 11
диагональный оператор, 213
диаметр множества, 128
дифференцируемость, 352
- по Адамару, 353
- по Гато, 351
- по Фреше, 352
- порядка к, 367
е-сеть, 148
Егорова теорема, 56
евклидово пространство, 165
единичная сфера, 170
единичный оператор, 210
единичный шар, 170
Жордана измеримость, 14
Жордана мера, 14, 45
Жордана разложение, 87
Жордана-Хана разложение, 87
зависимость линейная, 159
замена переменных, 116
замкнутая выпуклая оболочка, 198
замкнутая система, 181
замкнутое множество, 129
замкнутый шар, 127
замыкание, 130
Предметный указатель
391
измеримая функция
- относительно меры, 52
- относительно сг-алгебры, 48
измеримое множество, 31
- по Каратеодори, 39
- по Лебегу, 31
измеримое отображение, 49
— по Ворелю, 49
— относительно д, 31
измеримое пространство, 16
измеримость
- Каратеодори, 39
- Лебега, 15
- Жордана, 14, 45
измеримый прямоугольник, 91
изолированная точка, 128
изометрия, 132
индикатор множества, 48
индикаторная функция, 48
интеграл
- Лебега, 62
- Лебега-Стилтьеса, 69
- комплексной функции, 68
- неопределенный, 107
интегрирование по частям, 111
интегрируемая функция, 62
инъекция, 11
Кантора
- множество, 13, 13
- функция, 54
Каратеодори измеримость, 39
Коши-Буняковского
неравенство, 83, 166
канторовская функция, 54
канторовское множество, 13, 13
квадратичная форма
оператора, 271
класс компактный, 28
класс монотонный, 21
колебание функции, 158
кольцо множеств, 20
компакт, 146
компактное пространство, 146
компактность, 146
- в С[а, Ь], 154
-в/2, 152
компактный класс, 28
компактный оператор, 252
комплексификация, 173, 250
конечно-аддитивная функция, 22
коразмерность, 164
коэффициент Фурье, 176, 186
критерий измеримости, 38
критерий интегрируемости, 74
Лебега
- мера, 28, 36, 40
- измеримое множество, 31, 41
- измеримость, 31
- интеграл, 62
- теорема о мажорированной
сходимости, 72
- теорема, 107
- точка, 110
Лебега-Стилтьеса интеграл, 69
Лебега-Стилтьеса мера, 47
Лежандра многочлен, 183
Линделёфа свойство, 133
Липшица условие, 142
Лузина теорема, 55
лебеговское пополнение меры, 38
лебеговское продолжение меры, 38
лемма Цорна, 163
линейная зависимость, 159
линейная независимость, 159
линейная оболочка, 172
линейная упорядоченность, 162
линейно упорядоченное
множество, 162
линейный оператор, 210
линейный порядок, 162
линейный функционал, 210
- разрывный, 215
липшицево отображение, 142
локально выпуклое пространство, 323
д-измеримая функция, 52
д-измеримое множество, 31
д-измеримость, 31
д-интегрируемая функция, 62
д-почти всюду, 56
д-п.в., 56
Минковского
- неравенство, 83
- функционал, 227
максимальный элемент, 162
мажоранта, 162
392
Предметный указатель
мера
- сг-конечная, 23
- Дирака (дираковская), 24
- Жордана, 14, 45
- Лебега, 28, 36, 40
- Лебега-Стилтьеса, 47
- Пеано-Жордана, 14, 45
- абсолютно непрерывная, 88
- борелевская, 22
- вероятностная, 22
- внешняя, 30
- знакопеременная, 85
- полная, 38
- сингулярная, 88
- счетно-аддитивная, 22
метрика, 125
метрическое пространство, 125
- полное, 134
многочлен
- Лежандра, 183
- Чебышёва-Эрмита, 184
множество
- р-измеримое, 31
- Кантора, 13, 13
- борелевское, 19
- вполне ограниченное, 148
- вполне упорядоченное, 162
- всюду плотное, 131
- второй категории, 139
- замкнутое, 129
- измеримое, 31
— по Жордану, 14, 45
— по Каратеодори, 39
— по Лебегу, 15, 31, 41
- канторовское, 13, 13
- компактное, 146
- линейно упорядоченное, 162
- неизмеримое, 44
- нигде не плотное, 131
- ограниченное, 128
- открытое, 129
- первой категории, 139
- предкомпактное, 148
- пренебрежимое, 38
- резольвентное, 264
- слабо ограниченное, 225
- существенных значений, 269
- частично упорядоченное, 161
- упорядоченное, 161, 162
модификация, 53
монотонный класс, 21
Ньютона-Лейбница формула, 111
независимость
- алгебраическая, 159
- линейная, 159
неизмеримое множество, 44
неопределенный интеграл, 107
неотрицательный оператор, 275
непрерывное отображение, 140
непрерывность меры в нуле, 24
неравенство
- Бесселя, 177
- Гёльдера, 83
- Коши-Буняковского, 83, 166
- Минковского, 83
- Чебышева, 63
- треугольника, 125, 165
нигде не плотное множество, 131
норма, 165
- оператора, 210
нормированное пространство, 165
носитель
- обобщенной функции, 326
— сингулярный, 326
обобщенная производная, 327
обобщенная функция, 323
- умеренного роста, 323
оболочка
- выпуклая, 198
- выпуклая уравновешенная, 198
- замкнутая выпуклая, 198
- замкнутая линейная, 172
- замкнутая уравновешенная
выпуклая, 199
- линейная, 172
образ меры, 112
образ оператора, 209
обратимый оператор, 264
обратный оператор, 239
ограничение меры, 39
ограниченное множество, 128
ограниченное отображение, 126
ограниченность слабая, 225
ограниченный оператор, 210
однородно-выпуклая функция, 220
Предметный указатель
393
оператор
- Вольтерра, 255
- Штурма-Лиувилля, 311
- вполне ограниченный, 252
- диагональный, 213
- единичный, 210
- компактный, 252
- линейный, 210
- неотрицательный, 275
- обратимый, 264
- обратный, 239
- ограниченный, 210
- ортогонального
проектирования,180
- самосопряженный, 250
- сопряженный, 248
— в гильбертовом
пространстве, 249
- унитарный, 286
оператора
- график, 240
- квадратичная форма, 271
- норма, 210
- образ, 209
- собственное число, 264
- собственный вектор, 264
- спектр, 263,
- ядро, 209
ортогонализация
Грамма-Шмндта, 181
ортогональное дополнение, 178
ортогональность векторов, 165
ортогональный проектор, 180
ортонормированная система, 176
- замкнутая, 181
- полная, 176
- тотальная, 181
ортонормированный базис, 176
открытое множество, 129
открытый шар, 127
отношение эквивалентности, 44
отображение
- к-линейное, 367
- борелевское, 49
- дифференцируемое, 352
— по Адамару, 353
— по Гато, 351
— по Фреше, 352
- измеримое, 49
— по Ворелю, 49
- липшицево, 142
- ограниченное, 126
- непрерывное, 140
- равномерно непрерывное, 141
- сжимающее, 144
- строго дифференцируемое, 356
Парсеваля равенство, 177, 336
Пеано-Жордана
- измеримость, 14, 45
- мера, 14
Планшереля теорема, 339
плотность Радона-Никодима, 88
полная а-алгебра, 38
полная вариация меры, 87
полная мера, 38
полная система, 176
полное метрическое
пространство, 134, 142
полуаддитивность, 24
полуалгебра множеств, 20
полукольцо множеств, 20
полупространство, 226
пополнение гг-алгебры, 38
пополнение евклидова
пространства, 171, 231
пополнение меры, 38
пополнение метрического
пространства, 136
пополнение нормированного
пространства, 171
порожденная «т-алгебра, 17
порожденная алгебра, 17
порядок линейный, 162
порядок частичный, 161
последовательность
- сходящаяся, 128
— по мере, 57
— почти всюду, 56
- фундаментальная, 128
— по мере, 57
— в L1, 79
— в среднем, 79
полунорма, 173, 220
почти всюду, 56
предел последовательности, 128
предельная точка, 128
394
Предметный указатель
предкомпактное множество, 148
пренебрежимое множество, 38
преобразование Фурье
— в L1, 331
- - в L2, 338
--в 5', 342
пример Витали, 44
принцип
- равномерной
ограниченности, 140, 217
- сжимающих отображений, 144
- сгущения особенностей, 218
пробная функция, 320
продолжение меры, 38
проектор ортогональный, 180
произведение п-алгебр, 91
произведение декартово, 11
произведение мер, 93
производная, 99, 352
- Адамара, 353
- Гато, 352
- Радона-Никодима, 88
- Фреше, 352
- обобщенной функции, 327
- обобщенная, 327
- порядка к, 367
промежуток, 14
простая функция, 49
пространство
- С[а,Ь], 126
- СЬ(Х), 142
- £>(IRn), 320
-D'(IRn), 323
- £(IRn), 322
- £'(IRn), 322
-Lp, 81, 191
- 12, 126, 134, 160, 168
- lp, 191
- 5(ЛГ), 322
- <S'(IRn), 323
- Wp’k, 194
- Соболева, 194
- банахово, 166
- гильбертово, 166
- евклидово, 165
- измеримое, 16
- компактное, 146
- локально выпуклое, 323
- метрическое, 125
— полное, 134, 142
- нормированное, 165
- рефлексивное, 224
- сепарабельное, 131
- сопряженное, 211
— алгебраически, 211
- топологическое, 130
прямая сумма пространств, 172
прямоугольник измеримый, 91
п.в., 56
Радона-Никодима
- теорема, 89, 231
- плотность, 88
- производная, 88
Римана-Лебега теорема, 187
Рисса теорема, 59, 230, 232
Рисса-Фишера теорема, 182
равенство Парсеваля, 177, 336
равенство параллелограмма, 166
равномерно непрерывное
отображение, 141
разделяющая линейная
функция, 226
разложение Жордана, 87
разложение Жордана-Хана, 87
разложение Хана, 85, 87
разложение единицы, 301
разрывный линейный
функционал, 215
регулярное число, 264
резольвента, 264
резольвентное множество, 264
рефлексивное пространство, 224
ряд Фурье, 186
сг-аддитивная функция, 22
ст-алгебра, 16
- борелевская, 19
- полная относительно д, 38
- порожденная, 17
<7-кольцо множеств, 20
ст-коиечная мера, 23
Соболева пространство, 194
самосопряженный оператор, 250
свертка
- интегрируемых функций, 117
- обобщенных функций, 345
сепарабельное пространство, 131
Предметный указатель
395
сжатие, 144
сжимающее отображение, 144
сингулярная мера, 88
сингулярный носитель, 326
система
- линейно независимая, 159
- ортонормированная, 176
— замкнутая, 181
- полная, 176
- тотальная, 181
скалярное произведение, 165
слабо ограниченное множество, 225
собственное число, 264
собственный вектор, 264
сопряженное пространство, 211
- алгебраически, 211
- топологически, 211
сопряженно-линейное
отображение, 165
сопряженный оператор, 248
- в гильбертовом
пространстве, 249
спектр, 263
спектральная теорема, 296
спектральное разложение, 300
строго дифференцируемое
отображение, 356
субадцитивность, 24
- счетная, 25
сужение меры, 39
сумма множеств
алгебраическая, 175
сумма пространств прямая, 172
существенно ограниченная
функция, 82
существенное значение, 269
сходимость
- p-почти всюду, 56
-вЮ, 320
- в L1, 79
- в среднем, 79
- обобщенных функций, 324
- по мере, 57
- последовательности, 128
счетная аддитивность, 22
счетная субаддитивность, 25
счетно-аддитивная мера, 22
сюръекция, 11
Тейлора формула, 368
Тонелли теорема, 97
теорема
- Асколи-Арцела, 154
- Банаха-Шаудера, 239
- Банаха-Штейнгауза, 217
- Беппо Леви, 70
- Воля-Брауэра, 370
- Бэра о категории, 139
- Гильберта-Шмидта, 276
- Дини, 151
- Егорова, 56
- Лебега, 107
- Лебега о мажорированной
сходимости, 72
- Лузина, 55
- Плаишереля, 339
- Радона-Никодима, 89, 231
- Римана-Лебега, 187
- Рисса, 59, 230, 232
- Рисса-Фишера, 182
- Тонелли, 97
- Фату, 71
- Фубини, 95
- Хана-Банаха, 220
- Цермело, 163
- Шаудера, 371
- о вложенных шарах, 138
- о замкнутом графике, 240
- о монотонных классах, 21
- о неподвижных точках для
сжимающих отображений, 144
- о неявной функции, 364
об обратной функции, 362
- об обратном операторе, 239
- об открытом отображении, 239
- об отображении спектров, 267
- спектральная, 296
тождество Гильберта, 264
топологически сопряженное, 211
топологическое пространство, 130
топология, 130
тотальная система, 181
точка
- Лебега, 110
- внутренняя, 130
- изолированная, 128
- конденсации, 128
396
Предметный указатель
- предельная, 128
- прикосновения, 128
- сгущения, 128
унитарный оператор, 286
упорядоченное множество, 161
уравновешенная выпуклая
оболочка, 198
уравновешенное множество, 198
условие Дини, 189, 334
условие Липшица, 142
Фату теорема (лемма), 71
Фредгольма альтернатива, 282
Фреше производная, 352
Фубини теорема, 95
Фурье
- коэффициент, 176, 186
- преобразование
— в L1, 331
— в L2, 338
— - в S', 342
- ряд, 186
фактор-пространство, 172
форма билинейная оператора, 271
форма квадратичная оператора, 271
формула
- Ньютона-Лейбница, 111
- Тейлора, 368
- замены
переменных, 112, 114, 116
- интегрирования по частям, 111
фундаментальная
последовательность, 128
фундаментальность
- в L1, 79
- в среднем, 79
- по мере, 57
функции эквивалентные, 53, 78
функционал Минковского, 227
функционал линейный, 210
функция
- S Дирака, 324
- д-интегрируемая, 62
- Кантора, 54
- Хевисайда, 328, 343
- абсолютно непрерывная, 105
- борелевская, 49
- выпуклая, 220
- измеримая
— относительно меры, 52
— относительно сг-алгебры, 48
— по Борелю, 49
- индикаторная, 48
- интегрируемая по Лебегу, 62
- канторовская, 54
- ограниченной вариации, 101
- однородно-выпуклая, 220
- обобщенная, 323
- пробная, 320
- простая, 49
- распределения, 46
- со значениями в [0, +оо], 51
- существенно ограниченная, 82
функция множества
- ст-адцитивная, 22
- аддитивная, 22
- конечно-аддитивная, 22
- полуаддитивная, 24
- счетно-аддитивная, 22
- счетно-субаддитивная, 25
- суб аддитивная, 24
Хана разложение, 85, 87
Хана-Банаха теорема, 220
Хевисайда функция, 328, 343
Цермело теорема, 163
Цорна лемма, 163
цепь, 162
Чебышёва неравенство, 63
Чебышёва-Эрмита многочлен, 184
частичный порядок, 161
число регулярное, 264
число собственное, 264
Шаудера теорема, 371
Штурма-Лиувилля оператор, 311
шар замкнутый, открытый, 127
эквивалентности отношение, 44
эквивалентность мер, 88
эквивалентность функций, 53, 78
эквивалентные меры, 88
эквивалентные нормы, 167
элемент максимальный, 162
ядро алгебраическое, 226
ядро оператора, 209
Учебное издание
Богачев Владимир Игоревич
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Верстка В. И. Богачев
Подписано в печать 25.08.2011. Формат 60x90/16
Объем 25 п. л. Тираж 300 экз. Заказ У 32041.
Издательство Православного Свято-Тихоновского
гуманитарного университета
115184, Москва, Новокузнецкая ул., д. 23, корп. 5а
E-mail: verlag@pstbi.ru
www.pstgu.ru
Отпечатано в соответствии с качеством
предоставленных издательством электронных носителей
в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. wwwsarpk.ru
AH'XWfe,
университет
«Свято-Тихоновский университет открывает возможности по¬
лучения богословского образования не только будущим пастырям,
но и мирянам, которые призваны трудиться как в церковной сфе¬
ре, так и в иных сферах общественной жизни — в науке, в школе,
в социальных учреждениях, в СМИ».
Святейший Патриарх Московский и всея Руси Кирилл
ПРАВОСЛАВНЫЙ СВЯТО-ТИХОНОВСКИЙ
ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Бесплатное обучение на дневном отделении.
Диплом государственного образца. Отсрочка от армии.
Общежитие. Стажировки за границей.
■ Факультеты:
Богословский, Миссионерский, Церковного пения,
Церковных художеств, Исторический, Филологический,
Педагогический, Социальных наук, Информатики
и прикладной математики, Дополнительного образования,
Хоровое училище (среднее профессиональное образование),
Центр духовного образования военнослужащих, Аспирантура
■ Подготовительные курсы. Олимпиада «Аксиос»
* Формы обучения: очная, очно-заочная (вечерняя), заочная
Дистанционное образование (Интернет-образование)
Выпускники Богословского института при ПСТГУ
имеют возможность принять священный сан
Дни открытых дверей в 2011/12 учебном году:
13 декабря, 12 февраля, 18 марта, 13 мая
Адрес: 115184, Москва, уд. Новокузнецкая, д. 23, стр. 5А
Приемная комиссия: тел. (495) 951-67-84,
(495) 953-92-53, 8-800-100-77-18 (звонок бесплатный)
E-mail: priemkom@pstgu.ru http://pstgu.ru/
Свидетельство о государственной аккредитации № 0801 от 16 июля 2007 г.
хникерситет
ПОДГОТОВЛЕНЫ К ПЕРЕИЗДАНИЮ
Д. Б. Павлов
Отечественная и зарубежная историография
государственно-церковных отношений
1917-1922 гг.:
учебное пособие
•
Протоиерей Олег Давыденков
Катихизис.
Введение в догматическое богословие:
курс лекций
•
Протодиакон Иван Швецов
Писания малых пророков:
учебное пособие
•
Д. В. Деопик
Библейская археология и древнейшая история
Святой земли:
учебное пособие
ХНШРСИТвТ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРЕДСТАВЛЯЕТ
В. Н. Катасонов
«Христианство. Наука. Культура».
В книге с разных сторон освещаются религиозные аспекты
общего цивилизационного кризиса XX столетия, вопросы
демаркации философии, науки и религии; обсуждаются
роль и значение Православия в генезисе фундаментальных
тем отечественной культуры, основных философем русской
религиозной мысли; роль христианства в становлении науки
Нового времени
Владимир Николаевич Катасонов -
доктор философских наук, профессор, заведующий
кафедрой философии религии и религиозных аспектов
культуры Богословского факультета ПСТГУ; лауреат премии
Фонда Джона Темплтона за курс лекций по науке и религии;
участник Оксфордовских семинаров по науке и религии;
член Европейского общества по изучению науки и религии.
Автор более 100 научных работ на русском и иностранном
языках, ряда теле- и радиопередач