Вопросы теории плазмы. Сборник статей. Выпуск 7 - Леонтович М.А.

Автор: Леонтович М.А.

Теги: физика плазмы физика сборник статей турбулентность

Год: 1973

Похожие

Вопросы теории плазмы: Сборник статей. Выпуск 14

Вопросы теории плазмы 01

Вопросы теории плазмы. Сборник научных статей. (Выпуск 15)

Теория полностью ионизованной плазмы

Текст

ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
пллзлы
Пой ред. акад. М. А. ЛЕОНТОВША
ВЫПУСК 7
МОСКВА
АТОМИЗДАТ 1973

УДК 533.9
Вопросы теории плазмы. Сб. статей. Вып. 7. Под
ред. акад. М. А. Леонтовича. М., Атомиздат, 1973,
с. 304.
В настоящем выпуске серии сборников «Вопросы
теории плазмы» с единой точки зрения излагается тео-
теория явлений распространения и взаимодействия коле-
колебаний сплошной среды, рассмотрены такие эффекты,
как трансформация волн в неоднородной среде, не-
нелинейное ограничение кинетических неустойчивостей
плазмы, приводящих к появлению аномального со-
сопротивления и турбулентной диффузии плазмы; дан
обзор неоклассической теории процессов переноса
в тороидальных системах, рассмотрено также цикло-
циклотронное излучение плазмы.
Таблиц 4, рисунков 80, библиография 324.
02*1
25—73 © Атомиздат, 1973.
034 @1)—73

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ
А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев
ВВЕДЕНИЕ
В линейной теории плазмы произвольное возмущение можно
представить в виде суперпозиции собственных колебаний, каждое
из которых независимо от других. В нелинейной теории колебания
в результате нелинейностей взаимодействуют друг с другом. Это вза-
взаимодействие во многом напоминает взаимодействие движений раз-
разных масштабов в гидродинамической турбулентности. Для плазмы,
однако, картину такого взаимодействия часто можно представить
на знакомом языке суперпозиции линейных собственных колебаний,
но учитывая слабое взаимодействие между модами вследствие не-'
линейности. Это означает, что коэффициенты в разложении по соб-
собственным колебаниям становятся медленно меняющимися функция-
функциями времени и в конце концов сильно отклоняются от своих перво-
первоначальных значений, предсказываемых линейной теорией.
Такой подход теперь общепринято называть теорией слабой тур-
турбулентности. Уравнения этой теории можно вывести из первых прин-
принципов с помощью разложения исходных уравнений для плазмы по
малому параметру — отношению энергий колебаний к полной энер-
энергии плазмы. Источником энергии для возбуждения колебаний в этой
теории обычно служат различные неустойчивости плазмы.
Теория слабой турбулентности возникла в начале шестидеся-
шестидесятых годов, в настоящее время с ее помощью удалось объяснить це-
целый ряд важных нелинейных явлений: взаимодействие пучка заря-
заряженных частиц с плазмой; турбулентный нагрев плазмы; механиз-
механизмы диссипации в бесстолкновительных ударных волнах; аномаль-
аномальное сопротивление. Метод слабой турбулентности перешагнул рамки
физики плазмы и с успехом применяется в теории нелинейных дис-
диспергирующих сред вообще и, в частности, в нелинейной динамике
волн на воде. Таким образом, удалось построить количественную
теорию «ряби на воде» — явления, долго не имевшего количествен-
количественной интерпретации.
Хотя теории слабой турбулентности в течение прошедшего де-
десятилетия и уделялось внимание в книгах и обзорах*, тем не ме-
* Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. В сб.: Вопросы теории плаз-
плазмы. Под ред. акад. М. А. Леонтовича. Вып. 4. М., Атомиздат, 1964.

нее назрела необходимость подытожить с единой точки зрения ре-
результаты теории слабой турбулентности, не ограничиваясь рамка-
рамками только лабораторной физики плазмы.
Удобно изложить нелинейную теорию плазмы в терминах трех
основных типов взаимодействия: нелинейные взаимодействия вол-
волна — волна, взаимодействие волна — частица и, наконец, взаимо-
взаимодействие волна — частица — волна (иногда называемое нелинейным
взаимодействием волна — частица).
Первое взаимодействие волна — волна часто называют резонанс-
резонансным рассеянием волн друг на друге. Условие такого резонанса можно
записать как
Есо* = 0, Skj = 0, i = 1, 2, ...,
i i
где @; и kj — частота и волновой вектор волн, участвующих во вза-
взаимодействии, соответственно. Простейшим из взаимодействий тако-
такого сорта является случай трех волн. Особенно сильна связь между
ними, если выполнено условие резонанса. Поскольку такое взаимо-
взаимодействие не включает резонансные частицы, его можно описать с
помощью гидродинамических уравнений (иначе говоря, нет необ-
необходимости пользоваться кинетическими уравнениями). Взаимодей
ствия волна — волна лежат в основе многих эффектов в нелинейной
волновой динамике: параметрической неустойчивости волн (случай
малых амплитуд соответствует известной распадной неустойчиво-
неустойчивости); модуляционной неустойчивости волновых пакетов в плазме
и в нелинейной оптической среде; самофокусировке волн в нелиней
ной оптике. Интерпретируя шик как энергию и импульс кванта,
связанного с (со, к)-волной, можно заметить, что условия резонанса
приводят к сохранению энергии и импульса в элементарном процес-
процессе распада одного кванта на два других или в обратном процессе.
Поэтому неудивительно, что взаимодействующие волны сохраняют
полную энергию и суммарный импульс.
Второе взаимодействие можно считать почти линейным (или ква-
квазилинейным). Взаимодействие волна — частица особенно сильно
вблизи резонанса со = к • v, (v — скорость частицы, участвующей
во взаимодействии). Если выполнено условие такого резонанса Лан-
Ландау, частица сохраняет постоянную фазу относительно волны и эф-
эффективно ускоряется (или замедляется) электрическим полем
волны. Аналогичный резонанс в магнитном поле осуществляется
при условии
to — /соя = k-v, / = О, ±1. • ••>
где соя — ларморова частота частиц. Поскольку взаимодействие
такого типа включает резонансные частицы, необходимо пользо
ваться кинетическими уравнениями. С квантовой точки зрения ус-
условие резонанса для такого взаимодействия — это услов не сохра-
сохранения энергии и импульса в элементарном процессе излучения
или поглощения кванта с энергией %® и импульсом Кк частицей,
движущейся со скоростью v. Поэтому неудивительно, что взаимо-.

действие волна — частица сохраняет суммарную энергию и импульс
волн и частиц (но не просто волн самих по себе). Изменение ампли-
амплитуды волн, связанное с таким взаимодействием, называется затуха-
затуханием Ландау (или обращенным затуханием Ландау), а соответствую-
соответствующее изменение в распределении частиц по скоростям — квазилиней-
квазилинейной диффузией.
Третье взаимодействие волна — частица — волна часто называ-
называют нелинейным затуханием Ландау. Условие резонанса для такого
взаимодействия имеет вид щ — со2 = (кх — к2) • v, а основ-
основной механизм его напоминает механизм линейного взаимодей-
взаимодействия волна — частица. В данном случае.частица сохраняет посто-
постоянную фазу по отношению к биениям двух волн. Это взаимодействие
также включает резонансные частицы и должно рассматриваться
в рамках кинетической теории. Условие резонанса, написанное вы-
выше, взятое со знаком плюс, соответствует элементарному процессу
одновременного излучения или поглощения частицей двух квантов.
При знаке минус условие резонанса относится к элементарному про-
процессу излучения одного кванта и поглощения другого (иначе говоря,
к процессу рассеяния). Помимо сохранения суммарной энергии и
полного иыпульса волн и частиц в процессе рассеяния сохраняется
также полное число квантов. Число квантов в классическом случае
можно определить как энергию Wk волны, деленную на частоту
[т. е. Wk/(ak —действие (со, к)-волны].
Разумеется, в общем случае в плазме в одно и то же время про-
происходят взаимодействия всех трех типов, и поведение плазмы опре-
определяется суммарным влиянием всех этих взаимодействий. В отдель-
отдельной главе рассматривается проблема аномального сопротивления
плазмы как пример взаимодействия такого типа.
Нелинейные явления в плазме не всегда можно трактовать с по-
помощью теории слабой турбулентности. Многие эффекты в плазме
относятся к случаю сильной турбулентности, подобно обычной гид-
гидродинамической турбулентности. В теории сильной турбулентно-
турбулентности до сих пор отсутствуют надежные количественные методы. Речь
идет, как правило, о получении разумных оценок по порядку ве-
величины. Некоторые приемы такого сорта обсуждаются в различных
разделах обзора.
Первоначальным толчком к написанию этой статьи послужили
лекции, прочитанные авторами в Международном институте теоре-
теоретической физики в Триесте в 1966 г. Конспекты лекций [I] были от-
отредактированы Д. Буком и Т. О. Нейлом и изданы в 1969 г.
За прошедшее время в нелинейной теории плазмы было получе-
получено настолько много новых результатов, что пришлось подвергнуть
первоначальный вариант коренной переработке. Кроме того, появи-
появилась новая глава об аномальном сопротивлении плазмы. Чтение
настоящего обзора предполагает некоторое знакомство с линейной
теорией волн и неустойчивостей плазмы*.
* Михайловский А. В. Теория плазменных неустойчивостей. М., Атом-
издат, 1969.
5

ГЛАВА 1
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНА —ВОЛНА
§ 1.1. Резонансное взаимодействие плазменных волн
Рассмотрим нелинейное взаимодействие типа волна — волна в си-
системе из трех плазменных волн. Примером такого взаимодействия
может служить процесс распада волны конечной амплитуды на два
волновых возмущения, впервые рассмотренный В. Н. Ораевским
и Р. 3. Сагдеевым [1]. Чтобы взаимодействие имглэ мэсто, волнэвыз
векторы и частота волн должны удовлетворять условию резонанса,
т. е. к0 = кх ± к2, (о0 = сох -f- co3. Разумеется, что частоты и вол-
волновые векторы каждой из волн связаны линейным дисперсионным
уравнением © = w (к). Характер дисперсии играет важную роль
при решении вопроса о том, возможно или невозможно резонансное
t-0
Рис. 1. Укручение профиля звуковой волны конечной
амплитуды.
взаимодействие в данной группе волн. Чтобы проиллюстрировать
это утверждение, укажем на различие между нелинейными резонан-
сами, доминирующими в обычной газовой динамике, и теми, которые
важны для физики плазмы. В случае монохроматической звуковой
волны большой амплитуды теория газодинамических явлений пред-
предсказывает, что основным нелинейным эффектом искажения этой
волны будет укручение волнового фронта (рис. 1). Такое укруче-
укручение можно понять в терминах резонансного генерирования высших
гармоник. Если исходная волна большой амплитуды имела частоту.©
и волновой вектор к, то нелинейное взаимодействие волны приводит
к появлению второй гармоники B<в, 2к). Поскольку дисперсионное
уравнение для звуковой волны является линейным со = kcs, то гар-
гармоники, как и основное колебание, это собственные колебания си-
системы, и поэтому они все время находятся в резонансе с основным
колебанием и растут во времени. Аналогично возникают более вы-
высокие гармоники, и появление более высоких значений к, т. е. более
коротких волн, обусловливает укручение фронта (см. рис. 1).
С другой стороны, колебания плазмы, как правило, обладают
сильной дисперсией (т. е. со обычно 'зависит от к нелинейно), так что
гармоники собственных колебаний сами уже не являются собствен-
собственными колебаниями среды. Следовательно, гармоники плазменной
волны большой амплитуды обычно ограничиваются на очень низком

уровне и приводят только к небольшому нелинейному искажению
формы волны [2]. Однако последнее не означает, что плазменные
волны всегда распространяются без изменения формы. Даже если
эти волны не могут взаимодействовать со своими гармониками, они
могут все же попасть в резонанс с двумя другими волнами.
Резонансного генерирования гармоник можно также избежать
выбором поляризации волны, так что матричный элемент оператора
взаимодействия волны с ее гармониками исчезает тождественно.
Пример этого — поперечные колебания типа альвеновских волн.
Тем не менее, как уже быдо замечено ранее, это не означает, что та-
такие колебания распространяются в плазме без изменения формы.
Для иллюстрации рассмотрим взаимодействие типа волна —
волна между геликоном конечной амплитуды, геликоном малой
амплитуды и звуковым возмущением. Представим магнитное и элек-
электрическое поля, скорость электронной жидкости и ее плотность
в виде
Н- Ho + 6Hl(z,'O +h±(z, t);
Е = 6Е± (z, t) + ех (г, /);
v = 8X±(z, t) + v±(z, O + V||(z, t);
N = No + N (г, t),
A.1)
где Но — напряженность постоянного магнитного поля, направлен-
направленного вдоль оси г; функции 6НХ (z, t), 6ЕЛ (z, t) и 6V±(z, t) описывают
геликон конечной амплитуды; h±, ех, \х— возмущения поля и ско-
рссти жидкости в геликоне малой амплитуды; N, уц — возмуще-
возмущения плотности и скорости жидкости в звуковой волне. Заметим, что
Есе три волны распространяются вдоль постоянного магнитного
поля Но.
Будем решать уравнения двухжидкостной магнитной гидроди-
гидродинамики по теории возмущений, рассматривая Но, No, Ш±, 6Ej_,
6Vj_ как невозмущенные величины, a hx, ej_, Vj_, Af и уц — как
бесконечно малые возмущения.
Геликон конечной амплитуды представляет собой циркулярно-
полйризованную волну и его можно представить в виде
8VX — i8Vy = 8V exp (—i wQt + ikoz) + к. с. A.2)
Связь между амплитудами полей ЬЖ, ЬЩ, определенных анало-
аналогичным образом, и скоростью течения б У дается уравнениями дви-
движения электронной жидкости и уравнениями Максвелла:
—i (coo + юя)бУ = — (е/т)№;
W = (шо/с)8Ж;
<°Hj = ejHjmp, mm = «я, соя,- = &н, те == т, тг = М.

Решение этих уравнений приводит к линейному дисперсионному
уравнению
= co§e(co0); в(©) = 1 - [со*/сй(со + ©д)];
alt = 4яе}Щ ту, < = <о?; <- = Й*.
Уравнения первого порядка для возмущений имеют вид
дщ/dt + (cVN0)(dN/dz) = — (d/dz)(h±-6Hx/4jtAVW); A.5)
аЛ^/5^ + No (dvii/dz) = 0; . A.6)
т (dvjdt) + e{ej. + (l/c)[vj_ X Ho]} = —mo\\ (d/dzNV± —
—(e/c)[vn X 6HJ; A.7)
rot h± — {lie) (dejdt) + Dne/c)N0v± = (—4nelc) N8V±; A.8)
rot ex + (l/c)(dhx/dt) = 0. A.9)
Левая часть уравнений A.5) и A.6) описывает звуковую волну, а
правая часть этих уравнений связывает звуковую волну с двумя
геликонами. Аналогичным образом левая часть уравнений A.7) —
A.9) описывает геликон малой амплитуды, а правая — связывает
этот геликон со звуковой волной и геликоном конечной амплитуды.
Чтобы упростить уравнения A.7) — A.9), сделаем дополнитель-
дополнительное предположение: р = c\h\ < 1 {р\ = Ho/4nNoM). Можно оп-
определить порядок величины членов в правой части этих уравнений,
сравнивая их с линейными членами:
-1 — (N8V±/Nov±).
Используя линейные связи между параметрами hj_, v± и N,
волне, можно переписать предыдущие отношения в виде
Следовательно, в уравнениях A.7) и A.8) следует удержать лишь
нелинейность, соответствующую R3, т. е. член 4neN8VJ_/cJ в урав-
уравнении A.8).
Так как нас интересует эволюция возмущения во времени, раз-
разложим амплитуды возмущений как функции координат в ряд Фурье.
Пусть кд — волновой вектор возмущения геликонного" типа,
а к3' — звукового. Тогда нелинейный член в правой части урав-
уравнения A.5) должен иметь пространственную зависимость вида
exp(i&s2). Это означает, что произведение двух экспонент hbH* ~
~ exp [i (кд — к0) г] имеет ту же зависимость, т. е. ks = &д — k0.
При том же условии пространственная зависимость нелинейного
члена в уравнении для геликона, пропорционального произведению
N8H ~ exp[i(fes + ko)z], совпадает с exp (iA)

В однородной плазме правая часть уравнения A.5) равна нулю
и из системы уравнений A.5) — A.6) получаем дисперсионное урав-
уравнение для звука «I = klcf. При наличии невозмущенной волны
она не исчезает и звуковое колебание оказывается связанным с ге-
геликоном hx со ехр (Игл?). Это приводит к сдвигу частот 8<а таких свя-
связанных колебаний. Частоты колебаний геликонного типа, как
правило, много больше звуковых (©л 3> «>5). Поэтому будем счи-
считать, что сол > бсо, и представим решение уравнений A.7)—A.8)
в виде произведения медленно меняющейся амплитуды и быстро
осциллирующей экспоненты:
hx — Shy = hx (/)ехр [i (kAz — a>At)]. A.10)
Зависимость же звуковых возмущений от времени пока конкрети-
конкретизировать не будем:
N(z, t) = N (t) exp (\ksz). A.11)
Исключая из системы уравнений A.5) — A.9) переменные ej_, v±,
v\\, получаем два уравнения для N(t) и hj_ (t):
(t) = (kA — koJ{8M*h± (t)IAnN0M) x
X exp [i (kA — k0 — ks)z — i (сод — щ)п\ A.12)
\kA — (солоде2) e (<oA)]/h± (t) = k0 (8MN/N0) X A.13)
X exp [i (ks + k0 — kA)z — i (co0 — <x>A)t].
Усреднив эти уравнения по быстрым осцилляциям в пространстве
и во времени, получим N, hx = const, если только три волновых
вектора не удовлетворяют резонансным условиям kA — k0 + ks,
а частоты геликонов не близки (сол — щ оо N/N).
Если же резонансные условия по k удовлетворены, а частоты ге-
геликонов близки, то можно искать решение уравнений в виде
N(t) оо ехр [—\Ш\, /*_l exp [ — iaAf\ со ехр [ — i(Q +'ato)t].
Тогда система уравнений A.12) — A.13) сводится к матричному
уравнению
/Q2—k2sc? kim*lAnM \/N\
\ko8M/No ^-[(coo + ^J/^c2]8((oo + fi)/UJ = 0- AЛ4)
Условие разрешимости этого уравнения (равенство нулю детерми-
детерминанта) представляет собой дисперсионное уравнение для Q.
Распадная неустойчивость. В случае малой амплитуды невоз-
невозмущенного геликона решение системы уравнений A.14) следует
искать по теории возмущений. В первом приближении оно описывает
распространение собственных колебаний с частотами, удовлетворя-
клцими условию резонанса:
; ?лС2 = со|е(соЛ;)
(U5>

В следующем приближении следует учесть недиагональные элемен-
элементы в матрице A.14), а в диагональные произвести разложение по
малому сдвигу частоты (8Q = Q — ©s). В результате получаем
<Ы6>
Из условия разрешимости находим дисперсионное уравнение [31
A.17)
Входящие сюда собственные частоты и волновые векторы удовлет-
удовлетворяют условиям резонанса
ko^=kA — ks; ©о •= «>а — «s- A-18)
Поскольку в'дисперсионные уравнения входят лишь квадраты вели-
величин k0, кл, ks и cos, то знаки их могут быть выбраны произвольно.
Знаки частоты геликонов фиксированы и являются положитель-
положительными. Если, кроме того, одинаковы знаки волновых векторов (на-
(направления распространения), то из уравнений A.17) ks = 0 и, сле-
следовательно, 6Q = 0.
Поэтому знаки k0 и &л должны быть разными. В силу неравенства
©о *5> ws отсюда сразу получаем &л ~ — &о. ks та — 2k0. Как
видно из уравнения A.17), малые возмущения нарастают только
в том случае, если cos < 0. Другими словами, если энергия кванта
исходной волны больше энергии каждого из квантов волн возму-
возмущений (т. е. оH > юл, | cos |), то она неустойчива по отношению к рас-
распаду на две волны — распадная неустойчивость.
Модуляционная неустойчивость. Изменение термодинамических
параметров среды (плотности, давления и т. д.) под действием при-
присутствующего в ней электромагнитного поля приводит к изменению
диэлектрических свойств среды, т. е. частота колебаний зависит от
амплитуды волны. В случае, когда по плазме распространяется ге-
геликон, изменение диэлектрической проницаемости среды обуслов-
обусловлено локальным возмущением плотности под действием давления
электромагнитного поля. Поэтому частота геликона пропорцио-
пропорциональна квадрату его магнитного поля:
соо = со (к0) + а \&3е\ 2/2л. A.19)
Зависимость частоты колебаний от амплитуды приводит к возмож-
возможности явления самомодуляции волны и разбиению ее на отдельные
пакеты, если выполнен критерий Лайтхилла [4]
a (d2a/dkl) < 0. A.20)
Механизм неустойчивости нетрудно пояснить с помощью рис. 2, на
котором изображено изменение магнитного поля в слегка промоду-
10

лированном геликоне. При а> Ов областях максимума амплитуды
волны фазовая скорость больше, чем в областях минимума. В соот-
соответствии с этим волновое число, пропорциональное числу узлов
функции ЬЖ{г), растет при приближении к области минимума ампли-
амплитуды и падает при удалении от него. Если групповая скорость умень-
уменьшается с увеличением волнового числа ( v'g s — < 0 ), то колеба-
колебания в области / перед минимумом амплитуды отстают, а в области 2
после него забегают вперед. Минимум амплитуды при этом углуб-
углубляется. Первые примеры модуляционных неустойчивостей обнару-
обнаружены в 1957 г. Р. 3. Сагдеевым была рассмотрена неустойчивость
электромагнитного поля на границе с плазмой [5], а Т. Ф. Волков
обнаружил, что электромагнитные колебания неустойчивы и при
распространении по плазме [6] (см. задачу 6 к наст, параграфу).
Рис. 2. Развитие модуляции амплитуды гели-
геликона.
Модуляционную неустойчивость можно описать в терминах ре-
резонансного взаимодействия волн на основе нелинейных уравнений
{1.5)—A.9). Однако теперь возмущение состоит из пары колеба-
колебаний типа геликонов с волновыми векторами k± = k0 ± <7 и ампли-
амплитудами h± и несобственного колебания плотности электронной жид-
жидкости с частотой Q = (dw0/dk0) q. Соответственно этому в правую
часть уравнения для колебаний плотности дают вклад биения основ-
основного колебания с колебаниями на верхней со(&+) и нижней со(&_)
боковых частотах. Кроме этого в матрицу уравнения A.14) "следует
добавить еще одну строку — уравнение для возмущений на нижней
боковой частоте:
(К~К?
4пМ
4лМ
k0
X
11

A.21)
Дисперсионное уравнение для колебаний геликонного типа здесь
следует разложить по малой разности [Q — q{da>Jdk0)]:
Условие разрешимости уравнения A.21) дает дисперсионное урав-
уравнение для ?2:
4 д2соо дщ
Q-q—- -q
Возмущения, обусловливающие модуляцию волны, распространя-
распространяются с групповой скоростью (Ш<7) « (dbnldk) и нарастают с инкре-
инкрементом
где a — k0— IAMNAcl — (—°| —коэффициент пропорциональ-
пропорционально / L \dko} J
ности, связывающий нелинейное изменение частоты с \ЬЖ\*12п.
Соотношение A.24) доказывает справедливость критерия Лайт-
хилла A.20). Здесь же следует подчеркнуть, что неустойчивость
имеет место лишь для небольших q, соответствующих низкой часто-
частоте модуляции. Максимальный инкремент модуляционной неустой-
неустойчивости при этом пропорционален второй степени амплитуды поля,
как и в случае распада второй гармоники исходной волны на пару
колебаний боковых частот, распространяющихся в том же направ-
направлении, что и исходная волна (см. § 1.3).
В рассматриваемом здесь пределе плазмы низкого давления.
(Cs С va) коэффициент а отрицателен [а = — k0/MN0(d(o0/dk0)],
поэтому условие модуляционной неустойчивости принимает вид [7]
(d2a/dk2) > 0 или ш< A/4) | <вн |. A.25)
Апериодическая неустойчивость. В плазме малого давления
Ф <С 1) инкремент распадной неустойчивости волны малой ампли-
амплитуды (ЬЖ < #о) может превысить частоту собственных. звуковых
колебаний, нарастание которых носит характер почти апериодиче-
12

ского экспоненциального роста начальной амплитуды. Эта ветвь
неустойчивости является продолжением распадной на область v ^>
^> cos и ее естественно назвать модифицированным распадом.
Распадные неустойчивости имеют параметрическую природу, ана-
аналогичную параметрическому резонансу в системе двух связанных ос-
осцилляторов (связь осуществляется через исходную волну большой
амплитуды — волну накачки). В § 1.3 рассматривается структура
соответствующих зон Матье.
В случае, если волной накачки является электромагнитная вол-
волна (&о <С ks), возникает вырождение и нужно рассматривать три
осциллятора [8, 9].
Для обсуждаемой здесь неустойчивости имеется- область пара-
параметров, при которых по-прежнему справедлива теория возмущений
(малый параметр 8Ж/Н0 <^ 1).- Поэтому для описания процесса на-
нарастания возмущений можно воспользоваться уравнением A.14).
Пренебрегая в первой строке детерминанта членом kfcl по сравне-
сравнению с Q2, получаем дисперсионное уравнение:
Q = A±{У3\ \kok\ vg 18ЗД8лЛГ0Л1I'/з » («„-I,). A.26)
Инкремент неустойчивости максимален для случая рождения гели-
геликона, распространяющегося в сторону, противоположную исход-
исходному геликону и, естественно, растет с увеличением амплитуды бо-
более медленно.
ЗАДАЧИ
1. Найти инкремент неустойчивости ленгмюровской волны (со0> k0) по
отношению к распаду на ленгмюровскую (со*, kf) и звуковую ((Bs, ks) волны
(процесс 1^-1 + s) [2], [III]).
Инкремент неустойчивости оказывается максимальным в случае возму-
возмущений, распространяющихся в ту же сторону, что и исходная волна. По-
Поэтому можно ограничиться рассмотрением одномерной картины распада.
Кроме того, ограничимся описанием колебаний с длинами волн, много боль-
большими дебаевского радиуса, когда плазма в процессе звуковых колебаний
остается квазинейтральной
Нелинейное воздействие ленгмюровских колебаний на медленное дви-
движение среды можно описать с помощью силы динамического давления (иногда
называемой силой Миллера), в действительности выведенной независимо
в работах [5, 10 и 11]
д д е2 Е1 ЬЕ*
F = -m—(^бо*)=—— ^^ exp [i(fti_ft,)r_i(|
Тогда уравнение Движения и уравнение непрерывности в процессе медленного
движения можно свести к уравнению типа A.26), в которое вместо магнитного
давления входит динамическое:
. A)
13

В уравнениях для ленгмюровских колебаний достаточно удержать нелинейный
член, соответствующий модуляции плотности электронов звуковыми волнами:
(kt) )El(t) = Dne*/m)N(t)bEexp[i(k04>ks—ki)z-iQQt]. B)
В матричном виде уравнения A) и B) имеют вид
->2_ь2„2 .2(
C)
Отсюда находим инкремент распадной неустойчивости:
т ®п • е&Е
v2!=-[6Q2!=—— —Л- ft,2 во 2, 6i. = -- . D)
2. Найти инкремент распада электромагнитной волны на электромагнит-
электромагнитную и звуковую (обратное параметрическое рассеяние).
Задача по существу не отличается от предыдущей. Инкремент неустой-
неустойчивости, соответствующий рассеянию электромагнитной волны на угол в,
равен (ср. с формулой D) задачи 1)
При v > @s вместо обычного распада следует рассматривать модифицирован-
модифицированный:
3. Найти порог распадной неустойчивости, рассмотренной в задаче I,
в случае, если плазма изотермическая и звуковые возмущения затухают с де-
декрементом затухания vs < ws [12].
Наличие затухания ионного звука не останавливает развитие неустой-
неустойчивости, а лишь замедляет его. Поэтому для определения порога следует
учесть редкие соударения электронов с частотой ve. Система уравнений C)
(см. задачу 1) в данном случае принимает вид:
2 2 '"О^ЬЕ
cs fes — \ / N
ар-
= 0. A)
В первой строке детерминанта, описывающей 3ByKqB0e возмущение, при раз-
разложении диагонального элемента по малой разности (Й2 — k\ c\) можно
пренебречь медленным изменением амплитуды и учесть лишь вклад от затуха-
затухания Ландау (считая vs > v<j). Во второй строке удержим малые члены, опи-
описывающие диссипацию плазменной волны из-за соударений частиц. Из усло-
условия разрешимости системы A) находим необходимое уравнение для инкре-
инкремента неустойчивости:
Vg.rjM»;. 1б?[2 _ 1
2 L2vevs 4nN0Te У
14
1
У

Особый интерес представляет случай, когда затухание vs связано с ре-
зонансным взаимодействием колебании т- = г г- — VT с ионами. Не-
трудно видеть, что параметрическая неустойчивость может иметь место и при
условии Ti ^ Ti, т. е. когда нельзя говорить об ионном звуке. Этот случай
подробнее рассмотрен в § 3.1, так как параметрическую неустойчивость тако-
такого типа удобно интерпретировать как индуцированное рассеяние плазмонов
на ионах. Здесь же, используя известное выражение для диэлектрической
проницаемости сильно неизотермической плазмы
e(Q, ki-ko)=l-—7-
а&П
k! с!
C)
перепишем детерминант уравнения A) в терминах диэлектрической прони-
проницаемости:
пр 8 (СО;— СОр,
|ее(сог—to0> ki — ko)\2
сор б?/ No co0
г — Кг
тМщ сог
Отсюда нетрудно получить инкремент неустойчивости:
де . . |8?|а
—— v = — Ime(co/,
= 0.
1
8 (СО; — СОо)
E)
4. Найти инкремент апериодической неустойчивости электромагнитной
волны (со0 зй сор) в холодной плазме, приводящей к нарастанию возмущений
ленгмюровского и звукового типов (процесс t ->- I + s [13]).
Уравнения, описывающие процесс распада поперечной волны на ленгмю-
ровскую и звуковую волны, совпадают с уравнениями для случая распада
ленгмюровской волны на ленгмюровскую и звуковую (см. задачу 1). Причина
этого заключается в том, что в уравнения A), B) задачи 1 входит лишь элект-
электрическое поле волны накачки и скорость электронов в волне. Конкретная же
природа электрического поля (является ли волна накачки поперечной или
продольной) не играет никакой роли.
В случае немалых амплитуд появляется существенная особенность дан-
данной задачи, связанная с малостью волнового вектора волны накачки по срав-
сравнению с волновым вектором плазменной волны. Положим k0 = 0 и рассмот-
рассмотрим такие большие амплитуды волны накачки, что инкремент распадной не-
неустойчивости становится больше частоты собственных звуковых колебаний.
Тогда оказывается, что оба биения волны накачки со звуковой волной (как
с суммарной, так и с разностной частотой Я ± w0) находятся в резонансе
с частотой собственных плазменных колебаний. Поэтому детерминант матрич-
матричного уравнения C) задачи 1 следует дополнить еще одной строкой:
тМ(йо СО;
СОр
2
— (Op
, k)
б?*
0
—С0„) 8 (Й—СОо,
= 0.
A)
Пренебрегая в первой строке &2с| по сравнению с Q2 и разлагая диагональные
элементы следующих двух строк по малой разности Д = соо — со„, получаем
15

уравнение для Q:
Л2 1 Гд а |б?|21/2
-Im»- — -T[AcoscoP^LJ . B)
Инкремент достигает максимума \>макс = (Уз~/2) (&>s2 (Op | б? |2/8япТ)'^3 при
Д = 2vMaKJV3 ¦
5. Решить задачу о распадной неустойчивости в неоднородной среде.
В неоднородной плазме помимо эффектов, связанных с затуханием, су-
существует еще одна причина, накладывающая ограничение снизу на амплитуду
волны накачки, для того чтобы возникла параметрическая неустойчивость.
Дело в том, что при наличии неоднородности любой волновой пакет в процес-
процессе движения будет смещаться также в пространстве волнового вектора (иначе
говоря, будет меняться его среднее волновое число). Поэтому условия ре-
резонанса можно выполнить лишь в некоторой точке, которую для простоты
поместим в начало координат. В любой другой точке выполнение резонансного
условия для волновых векторов влечет за собой появление расстройки час-
частоты. Действительно, пусть волновые пакеты волны накачки (а>0, k0) и первой
волны (%, kj) движутся в неоднородной,по оси х плазме, и, следовательно,
волновые векторы kOli, меняются от точки к точке в соответствии с уравне-
уравнениями
C0j(s, kix(x)) = const. A)
Тогда частота второго возмущения меняется в силу двух причин: благодаря
изменению резонансного волнового вектора k2x = kix — kox и явной зависи-
зависимости частоты со2 от х, т. е.
dklx dkox
) ( '
dx дх + dk2x { dx dx
Но вынуждающая сила в уравнении второго колебания пропорциональна
ехр [—i(<a0 — <*>])*] и сохраняет свою частоту. Поэтому резонанс между <в2 (*)
и оз0 — % постепенно нарушается. Когда же расстройка частоты б = <оо +
+ <о2 — % превысит максимально допустимую (ширину зоны неустойчи-
неустойчивости), рост пары связанных волн прекратится. В конце концов, волновой
пакет может даже попасть в область затухания, т. е. параметрическая не-
неустойчивость в рассматриваемой задаче должна проявиться лишь в том слу-
случае, когда коэффициент усиления при прохождении волнового пакета плаз-
монов через резонансную область (| б | < 2vd) окажется достаточно большим.
Коэффициент усиления можно оценить следующим образом. При сносе вол-
волнового пакета по х приращение времени dt = dx/ {dmldkx). Тогда интенсив-
интенсивность колебаний в области неустойчивости увеличивается как
ехр (Г) = 'ехр [2 Jv (х) (да^дк^)-^ dx\, C)
где интегрирование нужно ограничить зоной неустойчивости.
Вычислим этот интеграл в некоторых частных случаях. Пусть вблизи
точки резонанса разложение волновых векторов как функций координат
имеет вид
Тогда расстройка частоты, обусловленная изменением частоты, оказывается
также пропорциональной смещению волнового пакета по оси х:
= -4г- \~Т~
от2ж I dx
х'
где производная вектора kj вычислена при постоянной частоте ш;. Инкре-
Инкремент распадной неустойчивости в общем случае наличия расстройки частот
есть (см. § 1.2)
16

Интегрирование уравнения C) приводит к формуле Пилия — Розенблюта:
Эта формула несправедлива, если одна из волн находится в окрестности точки
поворота (й1Ж = 0). При этом групповая скорость является малой (да^/дк^ -х.
ж 0) и интеграл C) нужно вычислить с учетом этого обстоятельства. Коэф-
Коэффициент усиления выражается в терминах полных эллиптических интегралов
первого и второго рода:
Г =(8/3)/С (х) 2и2
К (и) \К{к)
X
dk
lx
1/2
dx dx
О < и2 = 1 — 0,5 [1 + 6 @)/2v . — k\x @)Л2] < 1,
A-2 = 2vrf | dk2lx/dx \/\ddidx\.
6. Получить дисперсионное уравнение для колебаний границы «плазма-
стоячая электромагнитная волна» [5].
Мы исследуем устойчивость относительно одномерных возмущений гра-
границы плазмы (см. рис. 3). Неустойчивость заключается в модуляции элек-
электромагнитного поля в вакуумной полости и сопровождается возбуждением
магнитозвуковых колебаний в плазме. Внутри вакуумной полости и в плазме
колебания описываются линейными уравнениями для вакуумного электриче-
электрического поля и вектора смещения плазмы ?
[А—
0, 0<z<L,
V div g = 0.
A)
Связь между этими колебаниями возникает из условия баланса давлений й от-
отсутствия тангенциальной компоненты электрического поля на поверхности
плазмы и металла:
z=L
4я
B)
где
= 6Е0 sin coz/c, дН['>Idct = дЕ^/дг.
Решение уравнений A) при граничных условиях B) приводит к следующему
уравнению для инкремента неустойчивости
1/@а/С2 — A2 Ctg V ОJ/С2
j/ й2 + V2/ (cf + t)^
17

§ 1.2. Взаимодействие волн конечной амплитуды
В § 1.1 рассмотрена задача устойчивости геликона конечной
амплитуды. Для возмущений в виде суммы звуковой волны и гели-
геликона мы написали два связанных уравнения для возмущений про-
продольной скорости и поперечного магнитного поля. Эти уравнения
описывают взаимодействие звуковой волны с геликонами.
Показано, что правило частот для распадной неустойчивости
соответствует квантовомеханическому закону сохранения. Следо-
Следовательно, можно ожидать, что уравнения значительно упростятся,
если написать их в гамильтоновой форме, используя такие кванто-
вомеханические параметры, ках энергия кванта волны и число
квантов. Чтобы сделать это, заменим N и hj_ на [N(t), h±(t)\ X
X exp (ikz — ico^), где N(t) и h±(t) — медленно меняющиеся ампли-
амплитуды, а аз и к удовлетворяют линейным дисперсным уравнениям зву-
звуковой волны и геликона соответственно. Кроме того, пометим индек-
индексом 1 параметры геликона, а индексом 2 — звуковой волны:
Тогда уравнения A.14)—A.15) примут вид
^r*o^^^exp[iK+cDo-aI)fl. A.29)
at ok1 2Nd
Число квантов определим как полную энергию в данной моде коле-
колебаний, деленную на частоту волны. Для звуковой волны
A.30)
Энергию геликона найдем согласно известным формулам энергии
поля в диспергирующей среде [14]
д Г со2 ,. xilS^fl2 /I on
Пк = — —e(k, to) ' L . A-31)
• dU2 V ;J 4яй2 V
Уравнения A.28)—A.29) можно записать в симметричной форме,
вводя амплитуды вероятности (| С,-12 = л^). В рассматриваемом здесь
случае амплитуды вероятности определяются следующим образом:
; с@=; с(о =
-A-32)
В этих переменных уравнения A.28) и A.29) можно переписать
в форме уравнения Шредингера в представлении взаимодействия
П5]:
if1 = Vkl>k0(k2C0C2; A.33)
18 .

-77
at
где
Г | ko Vg0 fei Vgl 0J I
L
V2
sign co2.
Уравнения в виде A.33), A.34) для С-амплитуд справедливы для
любых незатухающих волн. Отличие всякий раз связано лишь с
конкретным выражением для матричного элемента, который всегда
удовлетворяет условиям симметрии (в силу гамильтоновости си-
системы). Уравнения A.33) и A.34) можно несколько обобщить на
Рис. 3. Возмущение границы плазма — стоячая
электромагнитная волна.
случай расстройки частоты б = соо + со2 — щ Ф 0. Тогда в пра-
правой части A.33) добавляется множитель exp (i6^), а в A.34)
ехр (—Щ.
Задача о распаднои неустойчивости в общем виде с учетом рас-
расстройки частоты описывается с помощью уравнений A.33) и A.34).
Эти уравнения имеют неустойчивые решения с инкрементом
= [-|Vkllk..k,|" | Со |3 sign(сохсо2) ^
A.35)
Аналогия с параметрическим резонансом в системе двух связан-
связанных осцилляторов становится особенно наглядной, если в уравне-
уравнениях для С-амплитуд не выделять быстро осциллирующие множите-
множители ехр (i«0 (см., например, уравнение A.12)), тогда вместо системы
уравнений A.33), A.34) получим
Эти уравнения описывают не только распадную неустойчивость,
но и модифицированный распад с инкрементом
л | Kkl ,1с„ ,ь212 f Co I2I/3 - A.36)
19

До сих пор мы получили только уравнения, описывающие нара-
нарастание волн — возмущений, и совсем не рассматривали обратную
реакцию со стороны этих волн на исходную (распадающуюся) вол-
волну. Чтобы описать релаксацию исходной волны, нужно рассмотреть
эффект конечных амплитуд возмущений и удержать нелинейные
члены в уравнении для исходной волны. В случае, когда Со, Сх
и С2 — величины одного порядка, можно ожидать, что соответст-
соответствующее уравнение для Со имеет вид
i|-e = Vk..k1.-k.C1C$. (L37)
Это уравнение, конечно, можно вывести из тех же уравнений гидро-
гидродинамики, которые мы использовали для вывода уравнений A.33)
и A.34). Чтобы решить систему связанных уравнений A.33), A.34)
и A.37), представим амплитуду вероятности в виде
С} (t) = a,- (t) exp (id>} (t)), Im a, = Im Ф/ = 0.
В случае со0 > a>i > | со21 и со2 <С 0 из соотношений симметрии для
V имеем
Vk1.k(,,k,= —Н\
Vu2,-к,кх = Vk,,ko,ks sign (щ-со2) = Я;
Vya ,k, ,_k2 = Vut ,k0 ,ka sign (сох -соо) = —Я.
Разделяя действительную и мнимые части уравнений A.33),
A.34), A.37) и используя переменные aj(t) и в = Ф^ — Ф»—Ф2,
получаем следующие уравнения [16]:
(daxldt) = Ha2a0 sin в;
dajdt = Haxa0 sin в;
(dajdt) = —На&ъ sin в;
(d&/dt) = Я [(ao^/ai) + {аоах1а^
— (ахаг1а^)] cos в = ctg в (dldt) In ^a0aia2;.
A.38)
Интегрируя последнее уравнение, находим a0aiG2 cos 0 = Г =
= const. Используя условие резонанса для частот, можно получить
первый интеграл остающихся уравнений:
а\щ*+ а\ 1 со21 — flo®o = const. A.39)
Интегрируя ao(daQ/dt) + a^dajdt) и т. д., находим следующие кон-
константы движения;
тх = п0 + «1 = const; 1
m2 = п0 + п2 = const; | A.40)
т3 ^ «! — п2 = const. J
В теории параметрических усилителей [17] эти уравнения хорошо
известны как векторные соотношения Мэнли—Роу, взятые в направ-
20

лении распространения. Их нетрудно понять на основе диаграммы
трехволнового процесса (рис. 4), если заметить, что при исчезнове-
лии одного кванта волны соко появляются кванты волн сок, и @к2,
таким образом, А/г0 = — 1, Д% = 1 = Ап2. Используя соотноше-
соотношения A.38)—A.40), получаем уравнение для п0:
{dnjdt) = —2Я [п0 (т1 — по)(т2 — п0) — Г2]1/2. A.41)
Если три корня уравнения п0 (nix — п0) (т2 — щ) = Г2 распо-
расположить в убывающем порядке, то уравнение A.41) можно преобра-
преобразовать к виду
«о (О
n(t — L) = ^~
dn0
0.
"о (U)
Входящий сюда интеграл
можно свести к эллиптиче-
эллиптическому заменой переменных
Выбирая момент времени
t0 так, чтобы,y(t0) = 0, пере-
переписываем полученное урав-
уравнение в стандартной форме:
Рис. 4. Графическое представление
взаимодействия трех волн.
v (О
H(t-U) Vnc-na= -
A.42)
¦Следовательно,
y(t) = sn [HV~ne—na(t0 — t); x],
и из определения y(t) получаем общее решение:
no(t) = na + (nb—na)sn2(HYnc—no(to — t); x).
A.43)
Рассмотрим два простых примера [16].
Случай А. В момент времени t = 0, яо@) = 0, пх @) > п2@).
Без потери общности можно положить Г = 0 в уравнении A.41).
Тогда три корня nOi bi с запишем так: т^ ^ п^ @) = пс > тг ^
s«2@) = пь> 0 ='па.
Можно упростить решение, пренебрегая х2г/2 в уравнении A.42),
так как в рассматриваемом случае х2 <^ 1. Тогда
я0 (/) = пг @) sin2 [Ht
п2 @ = л2 @) cos2 (
21

«i @ = «l (°) —«2 @) sin2
Зависимость чисел заполнения от времени изображена на рис. 5..
Этот рисунок описывает случай, когда частота волны конечной ам-
амплитуды меньше, чем частоты волны-возмущения, и, следовательно,
она устойчива по отношению к распаду. Небольшое периодическое
изменение ее амплитуды происходит вследствие того, что небольшая
доля энергии первоначально была запасена в возмущении с малой
частотой и впоследствии в результате процесса слияния квантов
могла перейти в энергию^возмущения с большой частотой.
?0)
п2@)
Рис. 5. Зависимость от времени амплитуды волны, устой-
устойчивой по отношению к распаду.
Случай Б. Рассмотрим теперь распад волны конечной амплитуды,
когда в момент t = 0 я2@) = 0, яо(О) > пх@). Полагая снова Г = 0,
находим константы па, ь_ с : пс = тх s= до(О) + rti@) > пь =
= т2 е= по(О) > па = 0. Из уравнений A.40) и A.43) в этом
случае имеем:
«о @ = «о @) sn2 [Я (t — 4)К«7; х];
«1 (t) = «1 @) + «о @) {1 - sn2 [Я (/ - t0) V%> «]Ь
«2 @ = «о @) {1 - 8П2 [Я (/ - to)Vn~e\ А ).
где 1 — х2 = пх@)/[«0@) + %(())] <^ 1. Поскольку их = % @) при:
t = 0, то можно написать 1 — зп2[Я41/А«с; и] = 0. Следовательно,,
величина Ht0Y~n^ равна одной четверти периода sn : Я^о К«с =
= /С(и). Поскольку 1 —я2 <С 1. то полный эллиптический инте-
интеграл первого рода /С(х) можно разложить по малому параметру
К (х) да — (и'/2J + In D/х')П + (х72J + 0 (х'4)].
В результате получаем
t0 = A/2НУп^@)Iп (по @)//*! @)).
22

'За это время амплитуда исходной волны п0 @) уменьшится до нуля,
так что можно назвать эту величину временем распада. Величина,
обратная t0, отличается от линейного инкремента неустойчивости
НУ п0 только логарифмическим множителем. Этот множитель учи-
учитывает, что даже при экспоненциальном росте амплитуда малых
возмущений достигает амплитуды исходной волны за время поряд-
порядка t = A/2 v) In (njrij). Поведение чисел квантов колебаний во вре-
времени показано на рис. 6. Оказывается, что по истечении достаточ-
достаточного времени амплитуда возмущений снова падает до нуля. Таким
-образом, процесс распада в схеме взаимодействия трех отдельных
(Волн обратимый.
по(О)
Y
У "V.
ф) '
м
no{t) -
V
N
-Л
2to=T
Рис. 6. Поведение во времени амплитуды волны неустой-
неустойчивой по отношению к распаду.
В данном параграфе мы ограничились рассмотрением взаимодей-
взаимодействия трех волн, хотя сейчас уже получено точное решение системы
уравнений, описывающей взаимодействие четырех волн. Читателя,
интересующегося этим решением, а также многочисленными зада-
задачами нелинейной оптики, где это взаимодействие играет важную
роль, мы отсылаем к книгам [18, 19].
ЗАДАЧА
Найти инкремент распадной неустойчивости в случае, когда возмущения
затухают е декрементами затухания ^ и v2.
В уравнениях A.33) и A.34) следует заменить дС, Jdt на 1>2 _l
dt
-f- vlj2C1>2. Представляя решение в виде exp (v/), находим
dt
Нетрудно видеть, что неустойчивость имеет порог, определяемый уравнением
120]
|С„|2>"
I ki. k0, k2 |
В частности, отсюда можно получить решение задачи 2 § 1.1.
23

§ 1.3. Параметрические неустойчивости высших порядков
Необходимое условие возникновения резонансного взаимодей-
взаимодействия в системе из трех плазменных волн — выполнение соотноше-
соотношений A.18) для частот и волновых векторов. Естественно, что не при
всяком спектре волн выполняются эти соотношения.
На рис. 7 изображены различные формы реализующихся спект-
спектров волн. Используя векторное неравенство \кг -+¦ к^г^к^ +
+ | k2|, нетрудно показать, что условия резонанса могут быть вы-
выполнены только для волн со спектром, аналогичным кривым / и 4
1
Зщ
Рис, 7. Различные типы дисперсий
войн в плазме.
Рис. 8. Диаграмма устой-
устойчивости в плоскости час-
частота — амплитуда волны
(область неустойчивости
заштрихована).
(см. рис. 7), и наоборот, для волн со спектрами типа 2 и 3 это невоз-
невозможно. Если дисперсионное соотношение имеет более, чем одну
ветвь, то условие резонанса может быть выполнено для волн, соот-
соответствующих различным ветвям. В общем случае, условию резонан-
резонанса удается удовлетворить тогда, когда через три точки, соответству-
соответствующие колебаниям (щ, к0), (со1( кг) и (оJ. к2) (эти точки МОГУТ ле-
жать на различных ветвях), можно провести кривую, аналогичную
кривым / или 4.
В тех случаях, когда условия резонанса для трех волн выпол-
нены быть не могут, можно включить в рассмотрение четыре волны.
Разумеется, чтобы получить конечный инкремент неустойчивостиt
эта четвертая волна должна иметь конечную амплитуду. Следова-
Следовательно, необходимо рассмотреть устойчивость второй гармоники
волны конечной амплитуды. Условие резонанса теперь принимает
вид
2ш (к0) = со (kj + ю (к2); 2к0 = кх + к2. A.44)
Используя условие распада 21 со(к0) | > | Цк^ |, | со(к2) | и эти
условия резонанса, можно показать, что во втором порядке усло-
условия резонанса удается выполнить для колебаний со спектром 3
24

<см. рис. 7) и невозможно выполнить для колебаний со спектром 2.
Следует ожидать, что диаграмма неустойчивых областей в плоскости
частота — амплитуда волны качественно выглядит так же, как соот-
соответствующая диаграмма для задачи о параметрическом резонансе
(рис. 8).
Ширина неустойчивой зоны вблизи п-и гармоники порядка ин-
инкремента неустойчивости и пропорциональна n-й степени ампли-
амплитуды. Разумеется, условия наличия резонанса при этом должны
быть выполнеьы:
л со (ко) = со (кх) + со (к2); лк0 = кх + к2.
Интересным примером распадной неустойчивости высокого по-
порядка является неустойчивость альвеновской волны большой ам-
амплитуды с пилообразным профилем по отношению к распаду на воз-
возмущения с частотами щ и со2, причем max (сох, со2) ^> Va/K Я —
длийа волны, соответствующая расстоянию между зубьями профиля
альвеновской волны [21].
Рассмотрим более простую задачу о распаде второй гармоники
колебаний на поверхности глубокой жидкости [22, 23].
Колебания поверхности жидкости можно описать с помощью
двух функций: потенциала скорости <р(х, у, z, t) и величины смеще-
смещения поверхности жидкости от равновесной ч$х, у, t). Уравнения для
этих функций хорошо известны [24]:
Дф = V2cp + ф22 = 0;
% + Vti • [Уф]г=Т1 — [ф,]2=Т1 = 0;
gT\ + Е<Рг+ A/2) №) + A/2) ф!]2=Т) = 0.
В интересующем нас случае малых колебаний величину [ф]2=ч
можно разложить в ряд по степеням (kr$ < 1- Сохраняя члены до
третьего порядка включительно, находим
<рг = тп + div (t)V?) + div[ A/2IгП7фг] — ф22т) - A/2) <pzzzrf; j
~gr\ = <pt + <p2tri + <pzztrf/2 + A/2)[(VT)Z + ф«] + A.46)
J
A.45)
где потенциал скоростей вычисляется на невозмущенной поверх-
поверхности. Сводя эти уравнения к одному уравнению для ф, получаем
динамическое уравнение для волн на поверхности воды
Ф« + № = {
{-ф^ф+ A.47)
Нелинейные члены второго порядка в уравнении A.47) описывают
генерацию второй гармоники. Сохраняя лишь эти члены, нетрудно
получить два члена разложения Стокса исходной волны. При этом
25

оказывается, что вторая гармоника в разложении потенциала ско-
скоростей по амплитудам отсутствует:
бф0 = а0ехр ([ к01z)sin (к0-г—<й0 t).
Как и в случае взаимодействия трех волн, удобно ввести амплитуду
вероятности Со таким образом, чтобы поверхностная плотность энер-
энергии волны была ра вна | Со |2оз(ко). Нетрудно видеть, что
С0 = (|к0|/4со(к0))У*а0,
где плотность жидкости для простоты принята равной единице.
Члены третьего порядка в уравнении A.47) ответственны за нелиней-
нелинейный сдвиг частоты и описывают также взаимодействие возмущений
(шь к,) и (ft>2, k2) со второй гармоникой поверхностных колебаний,
если частоты и волновые вектора возмущений удовлетворяют резо-
резонансным условиям A.44). Как было показано впервые Бини [25],.
уравнения для Со, Съ С2 имеют симметричную форму:
i (dCJdt) = а101 Со |2 Сх +A/2) рС§ С*2 х
X ехр( — i Bсо0 —щ~(о2) t);
i (dC2/.dt) = сс201 Со |2 С2 + A/2) рС§ С1 х
X ехр (— i Bю0 — щ — со2) /);
A.48).
где ai0, p — вещественные однородные функции третьей степени.
Нелинейный сдвиг частоты волны конечной амплитуды известен,
из разложения Стокса:
Нелинейный сдвиг частоты возмущэний в общем случае дается гро-
громоздким выражением, которое значительно упрощается в ел учае-
одномерных возмущений, распространяющихся в ту же сторону,
что и исходная волна. При малой амплитуде волны распад проис-
происходит на возмущения с близкими волновыми векторами кх 2 ==
= к0 ± Q, Q <С к0. Поэтому очевидно, что [25] a10 = a2o = Р =
= 2а00. Решение системы уравнений A.48) ищем в виде Сх> 2 =
= ехр (v^ — ia120|C0|2/). Тогда для Rev получаем дисперсионное-
соотношение
Rev.= ±(l/2){p2|C0|*-[^C2u)/a^L- (alo + aM- 2a00) |C0|2]3>^-=
= ± q { —(д*/«>/д/г2) [a001 Co |2 + A/4)
Таким образом, в одномерном случае необходимое условие для рас-
распада второй гармоники — нелинейная компенсация разбаланси-
ровки частот из-за дисперсии групповой скорости, математически'
совпадающая с критерием Лайтхилпа. В случае возмущений, рас-
26

прсстранякщихся под большим углом к исходной волне, резонанс-
резонансные условия удается удовлетворить только для спектра типа 3
(см. рис. 7). Так как для этого спектра д2со/дй2 < 0, а00 > 0, то
спять требуется выполнение критерия Лайтхилла.
§ 1.4. Приближение геометрической оптики
Взаимодействие волн с существенно разными частотами и ма-
масштабами, результат которого — медленное изменение амплитуды
и частоты исходной волны (см. § 1.1), можно описать на языке гео-
геометрической оптики. Действительно, пусть по плазме распростра-
распространяется почти монохроматическая волна геликонного типа. В разло-
разложении Фурье такой волны присутствуют только компоненты, близ-
близкие к некоторым средним значениям частоты и волнового вектора.
Поэтому в уравнении для амплитуд компонент [со — со(к)]6Щсо, к)=
= 0 можно воспользоваться разложением функции со(к) по малому
отклонению волновых векторов от его среднего значения
[со — со (k0) — d<x>/dk0 (kz — k0) — 1/2 d2a/dkl (kz —
— koJ]8M (со, kz) = 0.
Переходя теперь к переменным z, t и учитывая нелинейную добавку
к частоте геликона, получаем параболическое уравнение, использо-
наЕшееся ранее в целом круге задач дифракции [26], теории сверх-
сверхпроводимости [27], самовоздействия света [28] и нелинейной теории
распространения волн [29]:
L^^^=o) A.49)
\dt dk dz 1 2 dk2 dz*
где a = k/4nNM(d(i>/dk) [см. уравнение A.24)].
Рассмотрим в качестве примера задачу о модуляционной неустой-
неустойчивости геликона. Комплексная амплитуда невозмущенного коле-
колебания представляется в виде ЬЖ(г, f) = a exp (icp). Медленное изме-
изменение амплитуды в пространстве и во времени можно описать с по-
помощью малых возмущений амплитуды и фазы
а = а0 + а'; ср = ср0 + ф\ A.50)
где величины а' и ср' предполагаются действительными. Уравнение
для последних нетрудно получить из уравнения A.49), подставив
в него комплексную амплитуду aexp (icp) и разделив действительную
и мнимую части:
\dt dk dg ) 2 dk2 \ dz j 2 dk2 dz2 V
+)a + i
dt dk dz ) dk2 dz \ dz
27

Линеаризуя эти уравнения относительно малых возмущений, на-
находим
а , ды д \ , 1 а2ша2а'
Поскольку полученные уравнения являются линейными, то реше-
решение их можно искать в виде ехр (—1Ш + \qz). В результате нетрудно-
получить дисперсионное соотношение для Q, совпадающее с урав-
уравнением A.24):
„ а« . га2» 91 «.I а2ш лт^
Q — q — ± — <7 аа*-) о*\\ .
dk [5й2 \ 4 dk* /J
Уравнение A.49) допускает стационарное решение, описывающее-
самосжатый волновый пакет. Как и в динамике нелинейных перио-
периодических волн [II], возможность стационарного решения обуслов-
обусловлена конкуренцией двух факторов: нелинейного самосжатия вол-
волнового пакета и расплывания его вследствие дисперсии групповых
скоростей. Поэтому размер пакета и его амплитуда оказываются свя-
связанными.
Стационарное решение уравнения A.49) ищем в виде
ЬЖ =f (z — vgt) ехр (—ibat). A.53>
Для функции / имеет место уравнение
а2/ _ 2а «
Как и в задачах нелинейной динамики периодических волн [II],
уравнение для огибающей волнового пакета можно представить в
виде уравнения движения нелинейного осциллятора в потенциаль-
потенциальном поле U(f) = —a/4/2ug + 6(of2/vg. При av'g < 0 потенциал
U(f) имеет форму ямы. Поэтому уравнение A.53) допускает решения
в виде периодических или уединенных волн огибающих. Решение
для уединенных волн, например, имеет вид [30]
A.54)
В заключение заметим, что если не ограничиваться одномерным
рассмотрением, а учесть также возмущения, распространяющиеся,
под небольшим углом к оси г, то аналогичным образом можно
рассмотреть явление самофокусировки света, впервые описанное
Г. А. Аскарьяном [31].
§ 1.5. Взаимодействие волн в приближении хаотических фаз
Поскольку условия резонанса могут быть выполнены для боль-
большого числа наборов из трех волн, то их взаимодействие в плазме
обычно не носит характера упорядоченного процесса (см. рис. 6).
28

Обратимость процесса при этом нарушается (рис. 9) так, что если
частоты различных мод колебаний несоизмеримы, то сдвиги фаз
между ними через некоторое время можно считать случайными.
Для описания эволюции волновых возмущений в этом случае мож-
можно воспользоваться приближением хаотических фаз (т. е. будем сле-
следить только за амплитудами волн, а по фазам проводить усреднение).
Поскольку теперь нет смысла отличать исходную волну от многих
других, перепишем уравнение для волновых амплитуд в виде
i(dCk/dt) = S Vk.k'.k-k' Ck> (t)Ck_k- @ exp[—i(cok. -j-cok_k<—cok) t).
A.55)
При определенной нормировке амплитуды волн Ck имеют смысл
амплитуд вероятности, так что числа заполнения равны квадрату
этих амплитуд:
nk=|Ck|2. A.56>
При таком выборе нормировки матричные элементы обладают сле-
следующими свойствами симметрии (ср. с матричными элементами, опи-
описывающими взаимодействие геликонов со звуком):
Vk,k',k-k' = Vk-k',-k',kSign (d)k«>k-k'); 1
Vk ,k' ,k —k' = V'k.k—k' ,k' = —V_k,—k' ,k'—k- J
Поскольку нас интересует поведение во времени амплитуд волн,
а не их фаз, то необходимо получить уравнение, в которое входили
бы только числа заполнения як. Для этого воспользуемся кванто-
вомеханической теорией возмущений. Разлагая Ск в ряд по опе-
оператору взаимодействия V
и, подставляя затем в уравнение A.55), получаем
t
Vk.k' ,k"(i)at;
о о
A.58)
) = Wk',k-k- ехр[цсок—©к'— w
A. к = Я
29-

Величины Ск0) не зависят от времени и соответствуют решению в от-
отсутствие взаимодействия между модами. Их можно представить
в виде произведения положительной амплитуды на фазовый множи-
множитель ехр Юк- Хотя фазы Фк задаются начальными условиями в каж-
каждом конкретном эксперименте, тем не .менее разумно предположить
их случайными, имея в виду их размешивание во времени [32]
(т. е. <Ck0)Ck')> = |Ck0> |26k> _k')- Используем это свойство, что-
¦ no(t)
Рис. 9. Поведение во времени амплитуды волны,
распадающейся на спектр волн.
•бы провести усреднение изменения числа заполнения (т. е. величины
Ск (t) |2 — \ Ск (t0) |2). В низшем порядке по амплитуде получаем
<|Ck (/)/•> = I ск0) (t0) 12+ + <ск°> сГ + сГ ск2) >. A.60)
Подставляя сюда найденные ранее значения из уравнения A.58),
находим
|С„(ОР-|С,,(О)|' =
= 2
k', k", q', q"
x
I о
Ck0)* C0' С
x
X
~Re2 Ck0)*
\dt'Ук,к'Л" (П \ dt"Vk',q-,q' (f)
A.61)
В результате усреднения этого уравнения по случайным фазам про-
произведение четырех амплитуд Ск0) сводится к произведению двух чи-
чисел заполнения. Два возможных варианта спаривания амплитуд
30

показаны здесь пунктирной и непрерывной скобками. В первом чле-
члене амплитуды Ск0) комбинируются в произведение | Ск°' |2 • | С^»' |2=
= Лк°' «к"', а в двух других — соответственно в | Ск0) |2| Ск9> |2 =
= пк0) лк9> и | Ск0) |21 С\Р |2 = 40) /zk»>. Использование свойств сим-
симметрии матричных элементов приводит к тому, что произведение
любых двух матричных элементов, входящих в уравнение A.61),
t
можно записать в виде квадрата его модуля ^ Vk, k-, k" (t)dt
о
со знаком, зависящим от знаков частот а>к; <*>к'", ©к_к'. Для ин-
интервалов времени, много больших периода колебаний величин в лю-
любой из волн, интегрирование по времени можно выполнить прибли-
приближенно:
V, и ь (t)dt - 4sin2[K-"k--"k-)^] .., 2
' к, к' к" \ljul — \ V к , к', к" X
(а>к-шк,-шк„)
X бк, к' + к" = 2яб (Юк — <?>к Ик")бк, к' + к" I У к, к', к" |2 • t.
Следовательно, изменение во времени чисел заполнен ия можно за-
записать в виде
21 I Vk, к', 1
к', к"
—sign («к сок<) пк0) "к"'] б (сок—сок- —юк.) бк, к- + к». A.62)
Предположим, что в результате эволюции системы не происходит
коррелирования фаз. Тогда можно представить полученный резуль-
результат в виде дифференциального уравнения, считая, что процедуру
усреднения, использованную выше, можно провести в любой мо-
момент времени, тем самым определив изменение чисел заполнения
к следующему времени t + Д?. Другими словами,
Дпк/Д^ s& dtikldt; nk0)= nk (t).
Описанная процедура, таким образом, приводит к кинетическому
уравнению для волн [15, 33, 34]:
dtlkldt = 4n 2 I Vk k', k" |2{«k'«k" — Sign ((OfcCOk") «krtk' —
k', k"
— sign(cok'cok.)nknk'<}6((»k—«v— (ok"Nk, k\ k". A.63)
Это уравнение, написанное для волн с положительными частотами,
можно получить непосредственно из динамического уравнения для
амплитуд с помощью квантовомеханической теории возмущэний и
«золотого правила». Рассмотрим, например, взаимодействие волны
Пк с другими волнами меньшей частоты (т. е. ©к > сок-, сок» > 0).
Процессы взаимодействия в этом случае состоят из набора про-
процессов распада волны с частотой <вк и обратного процесса слияния

двух волн с частотами ©к-, ©к"- Изменение числа заполнения в этих
¦процессах можно записать как [35]
dnk/dt=— 4я 2 l^k,k',k»|2{«k(nk' + l)(«k» + l)~
к', к"
— «к'Ик»(пк + П}б((ок— .©к'.—o)k»)Sk,k'+k". ¦ A.64)
В классическом пределе, когда число квантов велико (п.к > 1),
получаем отсюда уравнение A.63). Аналогичным образом выводится
«соударительный член» для четырехволнового взаимодействия. Он
пропорционален уже третьей степени чисел заполнения. Следова-
Следовательно, в отсутствие трехволнового взаимодействия (как это имеет
место, например, для волн на поверхности воды [36]) взаимодейст-
взаимодействие мод возникает лишь в третьем порядке по энергии волн.
Кинетическое уравнение в форме A.63) уже давно использова-
использовалось в теории твердого тела для описания взаимодействия фононов
с нерегулярностями решетки [35]. Однако существует принципиаль-
принципиальная разница между применениями этого уравнения к фононам и
к плазменной турбулентности. В твердом теле мы обычно имеем дело
с состоянием, близким к термодинамическому равновесию. В этом
•случае нелинейные явления приводят лишь к небольшим поправкам
к равновесным числам заполнения. В плазме же, напротив, нелиней-
нелинейные явления часто играют главную роль, так как длина свободного
пробега волны в турбулентной плазме может быть очень мала и рав-
равнораспределение энергии между различными колебаниями не реа-
реализуется.
ЗАДАЧИ
1. Дано динамическое уравнение для волн с нераспадным спектром
+ 2 ^kk.k.k.cj.Ck.c,,,. (i)
k2 + k3 = k + k,
Вывести кинетическое уравнение для волн.
Прежде всего следует заметить, что биения двух колебаний в случае не-
-распадного спектра никогда не попадают в резонанс с собственным колебанием
среды. Следовательно, они не расходуют свою энергию и их можно рассмат-
рассматривать как дополнительный набор колебаний среды, число квантов которых
в низшем порядке разложения по энергии сохраняется. Изменение чисел
квантов в четырехволновых процессах удобно описывать с помощью динами-
динамического уравнения, в правой части которого на равных правах учтены как
члены, описывающие резонансное взаимодействие четырех волн, так и члены,
•ответственные за резонансное взаимодействие двух биений
цаск/щ= 2 tfkk.k.k.cf.Ck.Ck,, B)
k, + k8 = k + kt
где
k' = W' ^ V ,, кг, ka/
32
, к,, k-kj^k-ks.-ktk. 2Ук, к,, к-к3 Ук-к,,-к„ к,
—@
к,

Кинетическое уравнение для волн получается из приведенного динамического
уравнения либо с помощью процедуры, описанной в тексте, либо с исполь-
использованием золотого правила и имеет вид
dnkldt= 6л 2 |*/kk1kkl*(/lk'Ik'Ik + nknknk-
- "k «k, nk, - "k «кЙк,) S.(Mk + «k, -fflk2 - Wk,). C)
2. Найти интенсивность излучения электромагнитной волны с частотой
<о ж 2<Вр при наличии газа ленгмюровских колебаний в плазме [37].
Уравнение для электрического поля электромагнитной волны имеет вид
[?2са — со2б(ю)]Е' = — 4я(@]-неЛ) A)
где колебания тока на частоте 2в>р обусловлены присутствием ленгмюровских
колебаний (щ, кх ) и (<ва> к2)
Возмущение скорости электронов, квадратичное по амплитудам волн, не дает
вклада в уравнение A), так как
vB) =(l/O)i-f co2) [(vi k2) v2 + (v2 kO vj =(k1 + k2/cOi+©2) (Viv2).
Используя линейные соотношения, переписываем выражение для тока в виде
Подставляя уравнение B) в A) и умножая на Е(*, получаем динамическое
уравнение для амплитуд в симметричной форме
(-i/2)^-|Ck|2= 2 Vkkik,Ck»CkiCki, C)
w ki + k2=k
где
8я
ky k<i k \ COi , CO2 / I hM
Интенсивность излучения находим из кинетического уравнения
Следует заметить, что ввиду низкой частоты излучения волновые векторы
плазменных колебаний должны быть близки друг к Другу (| кх — ка | Яо <С
^ vtJc)- Поэтому интенсивность излучения содержит фактор (vTe/c) в высо-
высокой степени
2 Зак. 112 • 33

§ 1.6. Слабая турбулентность в терминах
кинетического уравнения для волн
В § 1.5 мы вывели кинетическое уравнение для волн, используя
приближение случайных фаз. Здесь мы исследуем свойства этих
уравнений и рассмотрим некоторые их решения.
Исследования устойчивости плазмы, удерживаемой магнитным
полем, показывает, что под действием малых возмущений плазма
нередко приходит в состояние беспорядочного движения. В общем
случае это движение нужн'о описывать с помощью набора всех фи-
физических величин — скорости, температуры и др. (в случае гидро-
гидродинамического описания плазмы) — в каждой точке пространства
и времени. Если отклонение от равновесного состояния невелико
(или полная энергия турбулентного движения мала), то можно пред-
представить это турбулентное движение в виде суперпозиции линейных
собственных колебаний:
v(r, 0 = 2vkexp[ —i<ok* + ik.r], A.65)
k
где частоты удовлетворяют дисперсионному соотношению ак =
= со(к). Таким образом, состояние турбулентности описывается за-
заданием амплитуд этих собственных колебаний как функций вол-
волнового вектора и.времени t. Распределение энергии между различ-
различными масштабами турбулентности можно найти на основе урав-
уравнений, описывающих взаимодействие волн. Эти уравнения нетрудно
получить в приближении хаотических фаз, которое, по-видимому,
справедливо для случая взаимодействия большого числа мод.
Описанный подход получил название теории слаботурбулент-
слаботурбулентной плазмы. Результаты такого рода решения задачи могут быть да-
даны либо в терминах энергии волн, либо в терминах чисел заполне-
заполнения пк. В последнем случае кинетическое уравнение для волн мож-
можно представить в виде
A.66)
Интеграл соударений, входящий в это уравнение, получен нами
в предыдущем параграфе. Кроме того, в нелинейной задаче об устой-
устойчивости должен присутствовать источник и сток энергии, которые
в уравнении A.66) описываются первым членом в правой части. При
отыскании состояния квазистационарной турбулентности можно
опустить член dnjdt и приравнять правую часть уравнения A.66)
нулю.
Здесь мы обсудим соотношение между теорией слаботурбулент-
слаботурбулентной плазмы и колмогоровской теорией турбулентности. В теории
гидродинамической турбулентности очень трудно найти строгое опи-
описание обмена энергией между различными масштабами турбулент-
турбулентности, так как турбулентное движение уже нельзя представить в
виде набора собственных мод и поэтому у нас нет эквивалента такого
статистического описания, какое дает кинетическое уравнение для
34

волн, полученное выше. Поэтому в обычной гидродинамике наиболее
надежные оценки дают соображения размерности.
Представим себе ситуацию, когда источник крупномасштабного
(малые к) турбулентного движения (рис. 10, область раскачки /)
отделен от области, где турбулентное движение быстро затухает
из-за увеличения вязкой диссипации в мелких масштабах (область
затухания 2). При этом энергия непрерывно перетекает от больших
масштабов к малым в k-пространстве. Хорошо известные размерно-
стные соображения приводят к следующему спектру в промежуточ-
промежуточной области (между / и 2): Wv. ~ k~5/3 (закон Колмогорова —
Обухова), где Wk — энергия единицы объема на единичный интер-
интервал волнового числа. При выводе этого закона предполагалось, что
турбулентность изотропна и ее можно описать в терминах локальных
W
о
Рис. 10. Спектр турбулентности в случае посто-
постоянства потока энергии по спектру в интервале
равновесия между областями раскачки и зату-
затухания.
характеристик среды, а энергия передается от малых масштабов
к большим при резонансном взаимодействии мод, проходя последо-
последовательно все уменьшающиеся масштабы турбулентности [24].
Интересно найти аналог колмогоровского спектра в случае сла-
слаботурбулентной плазмы, поскольку для нее имеется уравнение для
спектральной плотности энергии, выведенное из первых принципов.
Однако в плазме можно возбудить большое число различных мод
собственных колебаний, так что универсального спектра с простой
степенной зависимостью пь ~ k~s не существует. Поэтому искать
такой простой спектр имеет смысл лишь в некоторых случаях, когда
возбужден определенный тип волн.
Интересный пример слаботурбулентной среды, в которой воз-
возбужден один тип волн, дает известная задача о спектре волн на по-
поверхности глубокой жидкости. Дисперсионное соотношение для по-
поверхностных волн
= Ygk
A.67)
таково, что трехволновое резонансное взаимодействие невозможно
(см. рис. 7). Четырехволновое взаимодействие происходит лишь
35

в третьем порядке по энергии волн и описывается кинетическим
уравнением вида (см. § 1.4, задача 1)
dnkldt= \ Ukklkikaупк1пкгпкз -^-пкпкгпкз —nknklnkl —
~nk nklnks{) б (со -f- co1—co2—cog) б (к + ki —k2 —k3) d2 kx d2 k2 d2 k3,
A.68)
где f7kk,k2k3 — однородная функция шестой степени (см. § 1.3).
Стандартная программа нахождения спектра турбулентности,
предложенная В. Е. Захаровым [38], основана на предположении
об однородности и изотропно-
и4 , |, сти турбулентности, наличии
интервала равновесия и ис-
использует факт однородности
ядра интегрального уравне-
уравнения A.68) и его свойств сим-
симметрии
A-69)
и
Рис. 11. Область интегрирования
в плоскости (coi, Юг).
сводится к отысканию степенных
Viki k2 k3 = ^k, kk2 k3
= ?/kk1k, k, = ?Ac, k,kk •
Согласно этой программе
уравнение A.68) усредняет-
усредняется по углам в к-простран-
стве, а в полученном таким
образом уравнении перехо-
переходят к переменным со = со(к)
(спектр частот, разумеется,
тоже должен быть изотроп-
изотропным). В результате задача
решений уравнения
* СО,
i — СО, СО],
со2 = 0. A.70)
Интегрирование здесь происходит по области, изображенной на
рис. 11, где кривые /—4 описываются соответственно уравнениями
(сох + ю2 — соJ = —со! — col + со2;
(сох + со2 — соJ = со? + со! + со2;
(o>i -+- со2 — соJ = —со? + col — со2;
(сох + со2 — соJ = со| — «1 — со2.
Ядро уравнения A.70) остается по-прежнему однородным (сте-
(степень однородности можно найти, если сравнить это уравнение
с A.68); она равна 20) и положительным. Решение уравнения пред-
представим в виде
= Лео3.
A.71)
36

При этом удается отобразить каждую из областей //, ///, IV на
область / по следующим правилам.
1. Для области II щ ->¦ «^/(сох + со2 — со); со2 -> ос^со/ (ы1 +
+ со2 — со).
2. Для области /// со2->- со2/со2; щ ->- (а»! + со2— со) со/со 2.
3. Для области /У «! -*- аР/щ; со2 ->- (% + со2 — со) со/сох.
Воспользуемся симметрией и однородностью ядра 71, тогда ин-
интегралы по областям //—IV можно выразить через интеграл по об-
области /. В результате уравнение A.70) запишем в виде
¦-»• *¦¦ »¦
со2 -со)*
2
СО8 Ш» СО| — 2cOs CO» (COj + С02 — ©)»] {К С02 (СО, + С02 — C
+ lcoco1co2]23+3s— 21C0C02K + C02 — ea)p+3«}d(B1d©a. A.72)
Подынтегральное выражение обращается в нуль при s = — 1 и
s = — 8. Первое из найденных решений — это распределение Рэ-
лея — Джинса и при выполнении интегрирования оказывается,
что интеграл расходится на больших k. Второе решение соответст-
соответствует колмогоровскому спектру гидродинамической турбулентности
и дает для поверхностных волн спектр энергии [36]
^и=со*/г0) = Л'со-*. A.73)
Преобразование интегрального уравнения к виду A.72) может ока-
оказаться полезным при нахождении уровня турбулентности. Что
же касается показателя степенного спектра, то, как и в задаче о кол-
могоровском спектре, его можно найти из соображений постоянства
потока энергии по спектру в интервале равновесия, а также учиты-
учитывая, что взаимодействие турбулентных масштабов можно описать
в рамках теории слаботурбулентной среды.
Постоянство потока энергии по спектру запишем с помощью
соотношения
Wkk/xk = const, A.74)
где Wudk — поверхностная плотность энергии турбулентных пуль-
пульсаций с масштабом k~x ъ интервале волновых чисел dk; хк — харак-
характерное время взаимодействия турбулентных пульсаций с масшта-
масштабом к. Поскольку для поверхностных волн взаимодействие появ-
появляется лишь в третьем порядке по энергии, то хк * = a)U(k) (WkkJ.
В случае, когда в задаче нет характерных величин размерности
длины, функция U{k) заведомо однородная. Степень ее однород-
однородности определяется из соображений размерности и поэтому функция
U(k) должна иметь размерность обратного квадрата плотности энер-
энергии, т. е. U(k) = {ЛШ0(со/&J&-1}~2. Здесь N0M(o2/k2 — характерная
объемная плотность гравитационной энергии жидкости относитель-
относительно уровня невозмущенной поверхности воды. Множитель к~х учи-
учитывает, что амплитуда поверхности волн затухает на глубине по-
37

рядка k г, и поэтому в задачу должна входить гравитационная энер-
энергия поверхностного слоя жидкости толщиной k~x.
Таким образом, для тк получаем уравнение
Из уравнений A.74) и A.75) находим спектр турбулентности
Wk « Ak~5'2, A.73a)
что соответствует спектру Wa » ш~4.
Заметим, что весь вывод основывался не только на соображениях
размерности, но и на предположении о применимости теории слабо-
слаботурбулентной среды. Поэтому нет ничего удивительного, что пока-
показатель спектра A.73) отличается от полученного Филипсом [39]
для случая, когда сильное волнение приводит к образованию бараш-
барашков, и следовательно, теория слабой связи мод становится неспра-
несправедливой.
Таким образом, мы показали, что соображений постоянства по-
потока энергии по спектру в интервале равновесия и справедливости
слабой связи мод (в известном порядке по энергии мод) достаточно
для отыскания показателя спектра однородной изотропной турбу-
турбулентности в тех случаях, когда в задаче нет параметра размерности
длины. Если такой параметр / входит в задачу, то степень однород-
однородности ядра U(k) только из соображений размерности найти не удает-
удается, так как умножение на любую функцию (Ы) не меняет размер-
размерность ядра. В этом случае степень однородности надо найти пря-
мым вычислением.
ЗАДАЧА
Найти спектр турбулентности капиллярных волн [40].
Спектр частот капиллярных колебаний описывается дисперсионной кри-
кривой типа / (см. рис. 7)
A)
где а — коэффициент поверхностного натяжения; р = N0M. Поэтому в си-
системе волн с таким спектром возможно трехволновое взаимодействие. В соот-
соответствии с этим характерное время взаимодействия оказывается обратно про-
пропорциональным энергии волн (а не квадрату энергии волн, как в случае че-
тырехволнового взаимодействия, рассмотренного в тексте) [29]
B)
Ро (CO/ftJ
Комбинируя это уравнение с уравнением A.74), получаем следующий спектр
турбулентности:
Wk~k~uli. C)
38

§ 1.7. Неустойчивость мод с отрицательной энергией
В динамике плазмы имеется гораздо большее разнообразие фи-
физических явлений, чем в механике жидкостей. Одним из примеров,
подтверждающих это, является возможность существования волн
с отрицательной энергией. Термин отрицательная энергия имеет
тот смысл, что-суммарная (кинетическая и электромагнитная) энер-
энергия среды уменьшается с ростом амплитуды волны. На возможность
появления в плазме волн с отрицательной энергией впервые обра-
обратили внимание Б. Б. Кадомцев, А. Б. Михайловский и А. В. Тимо-
Тимофеев [41]. Чтобы выяснить, какие причины могут привести к изме-
изменению знака энергии волн, рассмотрим известное выражение для
энергии электромагнитного поля в диспергирующей среде
A.76)
где е, (л — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды
соответственно. Если ограничиться электростатическими волнами,
то отсюда следует, что знак энергии зависит только от de/dot и может
быть отрицательным в термодинамически неравновесной среде
(в равновесном состоянии это исключается соотношениями Крамер -
са — Кронига). Неравновесность среды может быть вызвана ее не-
неизотропностью или неоднородностью.
Для примера рассмотрим плазму с анизотропным распределением
ионов по скоростям (а именно T\\/Tj_->- 0). Диэлектрическая про-
проницаемость для случая волны с частотой вблизи ионной циклотрон-
циклотронной частоты йя = еН0/МС дается следующим выражением:
2,2 О2 „ ,2
^_ 1 мр _«j "р *п «и /1 77\
3 со* ' *» (со-пОяJ- ki ' [l-">
где Гп = 1п (Ь±) ехр (—Ь±)\ Ь± = (?1ТХ)/ЛШЯ; /„ — модифициро-
модифицированная функция Бесселя n-го порядка. Уже в рамках линейного рас-
рассмотрения такие волны обладают специфическими свойствами. Так,
амплитуда волны, отраженной от области с отрицательной диспер-
дисперсией (da>/dk < 0), больше амплитуды падающей волны. В обычной
гидродинамике хорошо известно, что амплитуда волны, отражаю-
отражающейся от границы, движущейся со сверхзвуковой скоростью (v >
> cs) , возрастает по той же причине. В случае v > 2cs существует
такой угол падения, что при бесконечно малой амплитуде падающей
волны прошедшая и отраженная волны имеют конечную амплитуду.
(Это, разумеется, обычное излучение Вавилова — Черенкова.) Ана-
Аналогичным образом поглощение такой волны средой, по которой она
распространяется [42], или уход ее через торцы системы [43] при-
приводит к росту амплитуды.
В системе волн с разным знаком энергии возможна своеобраз-
своеобразная нелинейная неустойчивость'. Причина ее заключается в том,
что если волна отрицательной энергии отдает энергию волне с по-
положительной энергией, то амплитуды обеих волн нарастают. Про-
Проза

стейшим механизмом неустойчивости (в литературе она получила
название взрывной) может служить процесс распада волны с отри-
отрицательной энергией на две волны каждого типа. Впервые такая не-
неустойчивость была проиллюстрирована с помощью кинетического
уравнения, корректно учитывающего взаимодействие волн со слу-
случайными фазами и с разным знаком энергии [44].
Рассмотрим случай волн с фиксированными фазами, когда эво-
эволюция возмущений во времени описывается аналитически подобно
тому, как это было сделано для взаимодействия волн с положитель-
положительной энергией в § 1.2. Динамическое уравнение для волн получим,
проведя замену:
sign cok->sign [(лк(д/д o)k)»k e (o)k)] = sign (de/dcok).
A.78)
Отсюда вытекают следующие свойства симметрии для матричных
элементов:
де де
2, -k,,k, =Vk,,k0, k2sign
/ де _ де \
\ дш1 дщ }
A.79)
В результате вместо уравнений A.39) получаем
dajdt — Наоаг sin 0;
da^ldt — Наоаг sin 6;
dao/dt = Наха% sin 0;
d®/dt = ctg 0 ~- In
A.80)
где волны (co0, k0) и (<olt k^ имеют отрицательную энергию. Соотно-
Соотношения Мэнли — Роу для рассматриваемого случая выглядят также
симметрично:
т1 = п0 — /jj = const;
m2 = п0 — n2 = const; A-81)
trig = n1 — n2 = const.
Чтобы не усложнять вычисления, ограничимся рассмотрением ча-
частного случая, когда 0 = я/2 (более общий случай разобран в ра-
работе [45]). Тогда, используя соотношения Мэнли — Роу, первое из
уравнений A.80) перепишем в виде
2Ht = "J dno
— m1)(n0 — m2).
(«oH
Полагая по(О) > т1 > т2 и вводя новые переменные
у @ = [mjtio (t)V/*, x = (т%1пцУ12,
40
A.82)
A.83)

преобразуем интеграл A.82) к стандартной форме эллиптического
интеграла:
У(П
= - J' с1у/УA-у*)A-хУ).
Следовательно,
п0 @ = m^imjna (О)I/2 — sn (H^m^t, и)]2. A.84)
Поскольку по условию волна с частотой со0 имела наибольшую ам-
амплитуду вероятности, т. е. яо(О) > тъ то это выражение обращается
в бесконечность как (?» — tJ при некотором конечном tx. Иными
словами, неустойчивость носит взрывной характер.
ЗАДАЧА
Найти решение кинетических уравнений, описывающих взаимодействие
волн со случайными фазами и с различным знаком энергии в одномерном
сдучае [44].
Воспользовавшись заменой A.78), из уравнения A.63) получаем кине-
кинетическое уравнение для чисел заполнения пк = | Ск |2:
/ де де
де де
X b(k — k' — k")\nk, пк„ — sigr
nfcn*']- (О
Пусть имеются три ветви колебаний: две с положительной энергией и одна
с отрицательной. Тогда в одномерном случае для каждого фиксированного
k, как правило, существует лишь одна пара значений k', k", для которых
возможно выполнить резонансные условия. Поэтому система взаимодействую-
взаимодействующих волн разбивается на отдельные тройки. Рассмотрим три взаимодейст-
взаимодействующих волны, одна из которых имеет отрицательную энергию. Уравнение для
чисел заполнения в этом случае принимает вид
i = | Vl2312 (П1 + Я1«з~г-Л2"з)> B)
где
(ka) dw
Ма
С помощью вытекающих отсюда законов со-хранения
mi = e33ni — 8i2«3 = const. '7*2 = 831 «2 — 812«з = const C)
сводим систему уравнений B) к одному уравнению для п3
~ТГ" «з = —— {п\ 8i2 (е12 + е2з + e3i) +
at 8 е e
D)
41

Общее решение этого уравнения выглядит слишком громоздко. Рассмотрим
предельный случай, когда одна из величин eag (пусть это будет в1а) мног»
меньше двух других
8i2€ei3 = e28- E)
Тогда решение уравнения D) принимает чрезвычайно простой вид
я3 = 40) (А — 1) (ехр В/)/(Л-ехр Bt), F)
где
Видим, что числа заполнения обращаются в бесконечность при некотором
too = В-1 In А по закону п3 ~ \ too — t | -1, т. е. более медленное, чем
в случае волн с фиксированными фазами [см. уравнение A.84)].
§ 1.8. Адиабатическое приближение (взаимодействие между
высокочастотными и низкочастотными волнами)
Вычисление ядра кинетического уравнения для волн даже с ис-
использованием ряда упрощающих задачу предположений (в § 1.1 это
малость Р) оказывается весьма сложной задачей. Поэтому полезно
упростить схему вычислений. Одним из примеров, когда это удает-
удается сделать, может служить взаимодействие мод с Существенно раз-
разными масштабами, исследованное впервые А. А. Веденовым и
Л. И. Рудаковым [46]. Если рассматривать взаимодействие мод
с частотами cot, Qq такими, что a>k 3> fiq и | к | ^> | q |, то приме-
применимо адиабатическое приближение. Термин «адиабатическое» здесь
означает, что одна из мод распространяется в медленно меняющейся
и слабо неоднородной среде. Изменение параметров среды обуслов-
обусловлено наличием второй (низкочастотной) моды. Последняя, конечно,
испытывает реакцию со стороны высокочастотных мод, причем при
рассмотрении этой реакции можно провести усреднение по быстрым
колебаниям высокочастотных мод.
Для примера рассмотрим задачу о взаимодействии высокочастот-
высокочастотных геликонов с низкочастотными звуковыми колебаниями. Эта
задача исследовалась в § 1.1 и 1.2 для случая трех волн с фиксиро-
фиксированными фазами.
Пусть основным уравнением будет уравнение Луивилля для
чисел заполнения геликонов в фазовом пространстве координат
и волновых векторов:
дак dnh дш dnh
dk д д dk
dt dkz дг дг dkz
8я/г2 с2
A.85)
В однородной плазме изменение частоты (a>(z)) как функции коор-
координат обусловлено наличием звуковых колебаний, которые мы по-
42

прежнему описываем гидродинамическими уравнениями типа ис>
пользованных в § 1.1:
N(^+VII±VA = -Cl™-±.L^_. A.86)
\ dt " dz ) dz dz 8nM v
dN/dt + dNv\\ /dz = Q. A-87)
Вводя новую переменную ? — смещение элемента объема жидкости,
уравнения A.85)—A.87) можно записать в симметричном виде:
drib, da>h drib d2 g drib
__± + _J_._l_s—»._l=0; A.88)
dt dkz дг дг2 dkz
где мы воспользовались дисперсионным соотношением k2 —
— (©2/с2)з(со, N) = 0 для вычисления производной частоты по ко-
координате
dak da2e/dN dN d2l
dz дш2е/д<о дг дг2
A.90)
Затухание звуковых волн в газе геликонов. Эволюция малых
звуковых возмущений в газе плазмонов описывается уравнениями
A.88) и A.89), линеаризованными относительно \. Из уравнения
A.88) находим поправку к функции распределения геликонов из-
за наличия малых возмущений
_6« = li—^_ qi % JO..
Q—qdu/dk dk
Подставляя этот результат в A.89), получаем дисперсионное соот-
соотношение, связывающее частоту Й и волновой вектор q ионно-зву-
ковой волны:
c^Ldk
2.MN Q_^
dk
При малой амплитуде геликонов декремент затухания звуковых ко*
лебаний мал и поэтому можно представить частоту Я в виде
1 я —'
A.92)
Аналогия с затуханием Ландау на частицах очевидна: здесь звуко-
звуковые колебания затухают на квазичастицах, имеющих скорости
43

du)/dk и функцию распределения nh. Разумеется, что под действием
звуковых волн данное распределение должно релаксировать
(см. задачу к § 2—3).
Неустойчивость газа геликонов. Покажем теперь, что для си-
системы, состоящей из газа геликонов с близкими частотами и звуко-
звуковых волн, справедлив критерий неустойчивости Лайтхилла
(см. § 1.1). В случае узкого спектра геликонов их можно рассматри-
рассматривать как монохроматическую волну:
nh = 2лпо8 (k — ko). A.93)
Подставляя уравнение A.93) в A.91), получаем
¦ A-У4)
Для возмущений нерезонансного типа (Q « qdca/dk + iv) отсюда
находим инкремент модуляционной неустойчивости:
, о2 s2 п0 а2 ш
No M (дш/dk)* dft2
¦О.
С учетом определения чисел заполнения A.85) и того, что нелиней-
нелинейная поправка к частоте бсоо = —s2n0/N0M(da)/dkf, полученный кри-
критерий сводится к критерию Лайтхилла. Однако в дисперсионном
уравнении отсутствуют члены, описывающие стабилизацию не-
неустойчивости при наличии групповой скорости (см. § 1.1).
ЗАДАЧА
Найти условия пересечения распадной и модуляционной ветвей неустой-
неустойчивости плазменных колебаний (А. А. Веденов, Л. И. Рудаков [46]).
Для системы газ плазмонов плюс звуковые возмущения справедливы
уравнения A.85)—A.87) стой лишь разницей, что во второе из этих уравне-
уравнений входит не сила магнитного'Давления, а динамическая сила —(Af0e2/2m) X
X V 2 I Ek I2/©2;. Соответственно этому величина s = Шр/2. Поскольку для
к
плазменных колебаний д2со/д?2 > 0, то согласно критерию Лайтхилла плаз-
плазменные колебания неустойчивы относительно возмущений модуляционного
типа, если нелинейная поправка к частоте отрицательна. Последнее имеет
место при условии
дсо/дй<Сс т е й2 Х| С cJvTe.
дсо/дй<Сс3, т. е. й2 Х|, С cJv
Малость групповой скорости плазменных волн обусловливает возможность
пересечения ветвей распадной и модуляционной неустойчивостеи (cs ss dm/dk),
когда инкремент неустойчивости оказывается порядка корня четвертой сте-
степени из энергии исходной волны. При достаточно больших амплитудах такое
пересечение может иметь место в широком интервале волновых чисел. Чтобы
рассмотреть этот эффект, будем искать решение уравнения A.94) в виде
» qcs. B)
1/2
В результате для v получаем дисперсионное уравнение
а2 о) d3 к
1
44

Отсюда находим критерий неустойчивости
пк(^к/BП^)>(М,т)Ы0Те(кХо)^^-^^_ C)
и ее инкремент
М С d3k / 11/4
j/iVTj . D)
Условие применимости приближения слаботурбулентной плазмы и неравен-
неравенство B) для инкремента неустойчивости налагают ограничения на интервал
волновых векторов, в котором может иметь место неустойчивость mlM ]>
ГЛАВА 2
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНА — ЧАСТИЦА
§ 2.1. Взаимодействие волна — частица
в случае монохроматической волны
Рассмотрим линейное (или квазилинейное) взаимодействие вол-
волна—частица, связанное с условием резонанса. Когда частица и волна
удовлетворяют такому условию, частица сохраняет постоянную фа-
фазу относительно волны и эффективно ускоряется в постоянном элект-
электрическом поле волны. Поскольку взаимодействие имеет место для
резонансных частиц, его нельзя описать гидродинамическими урав-
уравнениями, а надо воспользоваться кинетическими уравнениями
и уравнениями Максвелла для самосогласованного поля.
Рассмотрим относительно простую задачу о резонансном взаимо-
взаимодействии между электронами и монохроматической ленгмюровской
волной (одномерная задача). Запишем систему уравнений, которая
используется для решения этой проблемы:
dfldt + v dfldx + (e/m)(dO/dx)(df/dv) = 0; \
д*ф/дх2 = Anne (I — J fdv). ) BЛ)
Здесь f(x, v, t) — функция распределения электронов, Ф(х, t) =
= A/2) Ф cos (kx— at) — электрический потенциал в монохрома-
монохроматической волне. Единственный нелинейный член в этих: уравне-
уравнениях — это третье слагаемое в кинетическом уравнении (йФ/йх)
(dfldv). Это слагаемое можно линеаризировать, заменив dfldv на
dfjdv или, полагая амплитуду волны постоянной [т. е. заменяя
Ф cos {kx — со/) на Ф0со5(&л; — со^)], Л. Д. Ландау [47] заменил
df/do на dfo/dv и получил хорошо известный результат:.затухание
амплитуд волны по закону exp (y^t), где yL = (я/2) (сор(о//г2)х
X (dfoldv) 11=ш/к- При (d/o/d0> 0 имеет место нарастание колебаний
{неустойчивость так называемого «размытого» пучка).
Выясним, в чем заключается различие между двумя способами
упрощения (линеаризации) задачи, Щели заменить <Dcos (kx — со/)
на Фо cos (kx — со/), то можно проследить за поведением функции
45

распределения в области резонансных скоростей. Можно ожидать,
что характерный временной масштаб существенного изменения функ-
функции распределения в этой области будет порядка периода колебаний
резонансных электронов, захваченных электрическим полем волны
У2/к2Ф
Процедура линеаризации Ландау справедлива, если амплитуда
волны меняется значительно быстрее, чем dfldv. Запишем это усло-
условие в следующей форме: | yLxb | > 1. Иначе говоря, амплитуда вол-
волны должна быть меньше некоторого значения, т. е. Фо <^ у\т1№е.
Противоположный предельный случай имеет место, когда dfldv
меняется значительно быстрее, чем амплитуда волны. Это условие
Рис. 12. Фазовые траектории частиц, движущихся
в поле монохроматической волны.
можно записать так: | yL% | < 1 или Фо > myl/k2e. Разумеется,
если yLxb, задача становится существенно нелинейной и не допускает
линеаризации вообще.
Для исследования эволюции функции распределения удобно
рассмотреть траектории электронов на фазовой плоскости. В систе-
системе отсчета, движущейся вместе с волной <D0cos(fex — at) (рис. 12),
эти траектории описываются уравнением S = mv2/2—A/2) e(b0cos6x.
Электроны с $ <С еФ0/2 захвачены волной, а электроны с ^>
> еФ0/2 не захвачены. Удобно перейти к переменным энергия и
угол ($, ¦0), где Щ определяет некоторую траекторию, aft — точку
на этой траектории. Функция распределения в новых переменных
есть /(¦0, Щ). Она может не зависеть от времени лишь в том случае,
если / не зависит от Ь (иначе говоря, постоянная вдоль траекторий
частиц). Если такую функцию распределения сделать самосогласо-
самосогласованной с электрическим полем, то можно сконструировать стацио-
стационарное решение системы уравнений B.1), описывающее установив-
установившиеся нелинейные волны. Такие решения называются решениями
Бернштейна — Грина — Крускала (сокращенно БГК.) [48]. В рас-
рассматриваемой задаче / сначала зависит и от •&, и от $, но со временем
асимптотически стремится к одному из частных решений БГК.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим поведение захваченных частиц.
Две частицы на близких траекториях, т. е. две частицы с несколько
отличающимися энергиями Щ имеют, вообще говоря, несколько отли
46

чающиеся частоты обращения в фазовом пространстве (см. рис. 12)
<о2 — щ — (d<a/de)($2 — $х). Если эти частицы начинают двигаться
с одинаковыми фазами О, через интервал времени А? ж 1/со2 —
—о)х) фазы частиц разойдутся на А# ~ 1. Так происходит размеши-
размешивание фаз и / становится постоянной вдоль траектории, если рассмат-
рассматривать функцию распределения, усредненную даже по небольшим
интервалам $. Подобные аргументы можно отнести и к незахвачен-
ным частицам, если / является периодической в пространстве.
В реальной плазме сглаживание мелкомасштабных флюктуации
функции распределения происходит само собой в результате столк-
столкновений между частицами. Когда фазы перемещаются, функция
распределения становится очень шероховатой функцией ё или -б1.
Через достаточно большое время масштаб этих шероховатостей
становится настолько мелким, что нельзя далее пренебрегать чле-
членом d2f/dv2 в интеграле столкновений Ландау, так что даже в бес-
бесстол кновительной плазме столкновения в конце концов сглажи-
сглаживают шероховатости функции распределения и она приближается
к усредненной. Время, в течение которого происходит этот процесс,
конечно и практически нечувствительно к частоте столкновений. Эти
рассуждения показывают, как может увеличиваться энтропия
в бесстолкновительной плазме (подобное «рождение» энтропии об-
обсуждалось в работах [49, 50]).
Рассмотренная здесь картина качественно близка к ситуации
в теории гидродинамической турбулентности: турбулентность сна-
сначала развивается в больших масштабах, а затем все в меньших и
меньших. В конце концов, в достаточно малых масштабах включает-
включается настоящее затухание (из-за вязкости) и энергия турбулентного
движения диссипирует. Отличие заключается в том, что дробление
масштабов здесь происходит в „пространстве скоростей (/ = f{v)).
Задача об эволюции функции распределения в поле волны задан-
заданной амплитуды
ф = ф0 A _ cos kx)l2 =s ф0 sin2 (kx/2) B.2)
(такую нормировку потенциала волны удобно ввести для дальней-
дальнейших вычислений) решается методом интегрирования по траектории.
Для волны не слишком большой амплитуды начальное распреде-
распределение (при / = 0) в резонансной области можно разложить
/о (о) = /о (©/*) + (dfo/dv) | 0=a>/k(v - ulk) + ... B.3)
Функцию распределения при t > 0 можно получить методом инте-
интегрирования по траекториям. Это сводится к замене в уравнении
B.3) скорости
(V — (x)/k) -У
-> аУB/т) {% — еФ0 [sin {k/2)x0 (х, Ш, t)]2},
где хо(х, $, t) — начальная координата электрона с энергией Щ, по-
попадающего в момент времени t в точку х; о = ±1 определяет на-
направление движения. Движение частиц в поле волны можно выра-
47

зить в терминах эллиптических функций с помощью замены sin? =
= xsin kx/2, x2 = еФ0/&.
Интегрируя уравнение движения для запертых частиц
dx/lB/m)(S — еФ0 sin2
= dt,
получаем
F A/x, kxo/2) = F A/x, kx/2) — tlxb,
где F(x, cp) = \ d\ A — и2 sin2!)"/2 — эллиптический интеграл
-хъ = [2m/k2eO0V/2.
B.4)
t* т
t »т
v О
GJ/K
V
Рис. 13. Искажение функции распределения резонансных частиц в поле
монохроматической волны.
Представим функцию распределения для запертых электронов
f(v, t) в виде
2m(&-
kx_
2
Косинус эллиптический является осциллирующей функцией к,
причем период осцилляции по и уменьшается с ростом t. Вследствие
этого осциллирует и функция распределения. Качественный ход
функции распределения изображен на рис. 13. После усреднения
такой функции распределения второе слагаемое обращается в нуль.
Усредненная функция распределения </($)>, таким образом, оди-
одинакова для всех траекторий (т. е. </> = f(a)/k)). Иначе говоря,
в области фазового пространства, соответствующей захваченным
электронам (рис. 14), формируется плато. Образование такого пла-
плато — весьма общее следствие взаимодействия волна — частица и мы
встретимся с ним и в случае многих волн (т. е. взаимодействия ча-
частиц с волновым пакетом). Для траекторий, соответствующих не за-
48

хваченным электронам, функцию распределения можно найти ана-
аналогично
B.5>
Среднее значение эллиптической функции dn [...] отлично or
нуля. Поэтому в результате усреднения выражения B.5) получаем.
X
X
(и) %ь
2т (g' —
B.6>
где /С(х) s=s f(x, я/2) — полный эллиптический интеграл первого
рода.
П
Рис. 14. Усредненная функция распределения, обра-
образующаяся в результате релаксации в поле моно-
монохроматической волны.
До сих пор амплитуду волны считали постоянной и вычисляли
изменение функции распределения вследствие взаимодействия с та-
такой волной. Теперь можно воспользоваться найденным изменением
функции распределения и вычислить малую поправку к амплитуде-
волны. Эта поправка порядка АФ ~ Y^t^o, так что подобную про-
процедуру можно рассматривать как разложение по малому параметру
у/.ть. Введем зависящий от времени декремент затухания
V @ = dW/2Wdt, B.7>
4»

где W(t) = ] (йх/к)(йФ/йх)Щл — энергия волны.
Для нахождения dW/dt воспользуемся законом сохранения энер-
энергии.
К +00
dW/dt =- пе ^ (dx/ЩдФ/дх) $ dvf {x, v, t)v. B.8)
О —оо
Выражение для функции распределения f(x, v, t), зависящей от
времени, нужное при вычислении интеграла в выражении B.8),
было найдено для двух различных типов профиля электрического
потенциала волны. В простейшем случае, рассмотренном в работе
[51], потенциал предполагался имеющим вид последовательности
Рис. 15. Модель волны с потенциалом прямо-
прямоугольной формы.
прямоугольных барьеров (рис. 15). Затухание такой волны начи-
начинается со значения уи определяемого линейной теорией Ландау,
а затем осциллирует с периодом, имеющим порядок хъ среднего
периода колебаний электронов, захваченных волной. Затухание
исчезает, когда фазы захваченных электронов полностью переме-
перемещаются.. Для такого идеализированного профиля волны вклад в за-
затухание дают только захваченные электроны.
Случай синусоидальной волны был рассмотрен О'Нейлом [52].
Вклад в затухание такой волны вносят также незахваченные элект-
электроны. Коэффициент затухания можно найти, подставив в B.8) най-
найденные функции распределения B.4) и B.5):
B.9)
где К' = K(Vl — к2) и q = ехр[я/С7/С]. Зависимость коэффициента
затухания от времени изображена на рис. 16. Как недавно было за-
замечено Моралесом и О'Нейлом [53], в рассмотренном выше прибли-
приближении, когда учитывалось лишь изменение амплитуды волны вслед-
вследствие затухания Ландау, изменение энергии электронов из-за пере-
50

стройки функции распределения не компенсируется изменением
энергии волны при изменении ее амплитуды. Это и не удивительно,,
так как, меняя лишь одну переменную (амплитуду), нельзя удов-
удовлетворить двум законам сохранения: импульса и энергии. Оче-
Очевидно, что надо учитывать изменение частоты колебаний. Чтобы
правильно описать изменение частоты, надо удержать следующие-
члены в ра°~;ожении B.3):
dv*
v= a/k
B.3').
Оценку для нелинейного сдвига частоты нетрудно получить, зная
изменение известного выражения для диэлектрической проницае-
Рис. 16. Поведение во времени коэффи- Рис. 17. Зависимость от времени
циента затухания синусоидальной волны, сдвига частоты синусоидальной
волны.
мости вследствие нелинейных эффектов, приводящих к образованию»
плато на функции распределения:
п . д ...
бсо f_cc — да -~
д<х> k2
со—kv
dv,
где Iql — значение функций распределения B.4) и B.5), усреднен-
ных по быстрому движению частиц в волне (см. уравнение B.6)).
Из соображений четности изменение частоты обусловлено лишь
последним членом в уравнении B.3). Основной вклад в интеграл,
дает область частиц со скоростями До да ]/ 2еФ0/т:
п
—Qo=—
Г
Более точные расчеты приводят к следующему ответу [53]:
Зависимость сдвига частоты от времени изображена на рис. 17.
5И

Решение БГК, являющееся асимтотическим пределом в рассмот-
рассмотренной теории, в конце концов, может быть искажено за счет эффек-
эффектов, не включенных в нашу теорию. Например, оно может быть не-
неустойчиво по отношению к распаду из-за нелинейного взаимодей-
взаимодействия волна — волна на другую плазменную волну и ионно-акусти-
ческую волну (см. § 1.1). Разумеется, решение БГК в конце концов
искажается и из-за обычных столкновений. Влияние столкновений
на взаимодействие волна — частица в некоторых случаях весьма
важно.
о
Рис. 18. Начальное распределение частиц
(а) и спектр шумов (б) в случае размы-
размытого пучка.
В линейной теории (в приближении Ландау) задачи о затухании
волны (dfo/dv(v = to Ik) < 0) и нарастании: (dfjdv) (v = <a/k) > 0
решаются одинаково. Но при попытке рассмотреть нелинейное
искажение функции распределения в резонансной области v «
jw a>/k для нарастающей (неустойчивой) волны {dfoldv) (v = a Ik) >
> 0 мы сразу встретимся с трудностью, если захотим перенести на
этот случай приближение Мазитова — О'Нейла. Действительно,
исходная волна малой амплитуды в этом случае должна по опреде-
определению нарастать, так что выражение для потенциала волны должно
иметь вид
Ф = A/2)Ф0 @ cos {kx — at). B.10)
Движение частиц в поле меняющейся во времени потенциальной ямы
усложн яется. Один из наиболее важных эффектов здесь — это пе-
переход частиц из области с 1> еФ0/2 через сепаратрису в область
с $ < еФо/2, т. е. превращение незахваченных частиц в захвачен-
захваченные. В конце концов, в области захваченных частиц возникает рас-
распределение типа «плато». Это приводит к тому, что рост амплитуды
52

неустойчивой волны со временем должен прекратиться. Несмотря на
сложность задачи мы можем получить количественную оценку по-
порядка величины амплитуды насыщения при неустойчивости.
На рис. 18 для наглядности изображена неустойчивая функция
распределения /0(и) с размытым пучком. Пусть в спектре начальных
флюктуации по какой-то причине выделено возмущение в виде моно-
монохроматической волны малой амплитуды Ф = A/2)O0cos(/ja: — <at).
Разложим начальную функцию распределения в резонансной об-
области
/о (v) = /о (ю/Л) + (dfjdv) | v=a/k(v - a/k).
В конце концов, когда амплитуда волны достигнет максимального
значения и установится плато (f(v) = /0(w/&)) в резонансной об-
области с шириной Да = У2еФ0/т, часть кинетической энергии ча-
частиц
xfifo(v)dv-!f
перейдет в энергию волны
И7 = Л8ФЗ/16я. B.12)
Из закона сохранения энергии AS = W следует (AS вычисляем
с помощью разложения для /0 B.3))
) *»** B.13)
3 \ т ) \ k I dv 16л
Отсюда для амплитуды волны находим
dfo
Г еФ0 16 /2 ,wi\
у 2m 3 Р
dv
B.14)
С помощью формулы, связывающей наклон начальной функции
распределения dfjdv с инкрементом нарастания в линейной теории
¦уь это соотношение можно представить в виде
ub/yL = 32/Зя, B.15)
где соь = ?уЛеФ0/2/ге — средняя частота осцилляции захваченных
частиц в поле волны.
Таким образом, окончательный ответ принимает простой универ-
универсальный вид. Проделанная оценка не может, конечно, претендовать
на большую точность.
В работе [54] приведено численное решение этой задачи с помо-
помощью быстродействующей ЭВМ (см. также работу [55]). При таком
решении учитывалось совокупное движение всех электронов в поле
53

нарастающей волны. В результате оказалось, что численный коэф-
коэффициент в правой части формулы B.15) следует изменить примерна
в 1,5 раза:
/«3,2. B.16)
Зависимость амплитуды волны от времени, полученная в работе
[54], изображена на рис. 19. Осцилляция амплитуды происходит
Рис. 19. Установление амплитуды не-
неустойчивой волны в плазме с размы-
размытым пучком.
с частотой порядка &>ь (как и в задаче Мазитова — О'Нейла) и долж-
должна затухать при / -*¦ оо из-за размешивания фаз частиц.
§ 2.2. Случай многих волн (одномерный спектр)
Рассмотрим сначала задачу с двумя волнами одинаковой ампли-
амплитуды. Если эти волны имеют достаточно далеко разнесенные фазовые
скорости, то они не взаимодействуют друг с другом и можно рассмат-
рассматривать возникающую здесь ситуацию как результат суперпозиции
процессов, происходящих с каждой отдельной волной. Однако если
фазовые скорости волн достаточно близки друг к другу Д(о)/&) ^
^ (еФ/mI/2, где Ф — потенциал волны, то картина становится со-
совершенно другой. Можно ожидать перекрытия или, иначе говоря,,
коллективизации захваченных частиц. Экстраполируя на случай
с тремя, четырьмя и т. д. волнами (строгий анализ становится
безнадежно сложным), можно попытаться прийти к грубым ка-
качественным выводам. Тем не менее в предельном случае очень
большого числа волн можно использовать статистический подход
и приближение случайных фаз.
Предположим, что внутри интервала скоростей (WA)MaKC >¦
> v >' (со/&)мин с волнами, фазовые скорости которых заполняют;
весь этот интервал, происходит коллективизация резонансных ча--
стиц между двумя любыми соединениями волн. Если фазы этих волн
случайны, скорость любой частицы испытывает броуновское движе-
движение, В фазовом пространстве это броуновское движение по оси ско-
скорости складывается со свободным движением частиц, так что резуль-
результирующие фазовые траектории частиц имеют вид, изображенный
на рис. 20.
В предыдущем параграфе мы пришли к выводу, что'асимптота-,
ческое во времени решение для функции распределения постоянно
вдоль траектории частиц, по крайней мере, когда существует сгла-
сглаживающий эффект кулоновских рассеяний на малые углы. Распро--
54

страняя этот вывод на случай многих волн, можно сказать, что функ-
функция распределения асимптотически будет стремиться к постоянному
значению на отрезке фазового пространства между и = (со/&)мин
и v = (W&)MaKC, так как траектории частиц хаотически заполняют
область между этими значениями скоростей (см. рис. 20). Следует
отметить, что без сглаживающего эффекта кулоновских рассеяний
функция распределения была бы чрезвычайно сложной и шерохо-
шероховатой. Сглаживание шероховатостей может быть достигнуто и в ре-
результате усреднения. Истинная (шероховатая) функция распре-
распределения, разумеется, сохраняет энтропию, а сглаженная — не со-
сохраняет. Эволюция во времени сглаженной (усредненной) функции
распределения определяется так называемым квазилинейным урав-
уравнением диффузии [2,56—58]. Наиболее строгий способ получения
квазилинейного уравнения вместе с критерием перекрытия резо-
Риог- 20. Броуновское движение электронов
в фазовом пространстве.
нансных областей соседних монохроматических волн был развит
Альтшулем и Карпманом [59] (см. также работу [60]). Ниже мы ог-
ограничиваемся более простым выводом.
Произведем преобразование Фурье по пространственной коор-
координате одномерного кинетического уравнения без столкновений
dv
do'
где штрих справа от знака суммы означает, что член с q = 0 выбра-
выбрасывается из суммы. Для k = 0 это уравнение принимает вид
dfo/dt = — (
D_g (dfq/dv). B.18)
Для случая k Ф 0 члены правой части уравнения B.18) описывают
нелинейную связь между различными модами-волнами. Дальше
учитывать эти эффекты не будем, поскольку речь идет лишь о линей-
линейном (или квазилинейном) взаимодействии волна — частица. Соот-
Соответственно для k Ф 0 будем пользоваться линейным уравнением
dfhldt + ivkfk ~ (\е/т)кФи (dfo/dv) = 0.
B.19)
Решение этого уравнения имеет вид
t
fh (v, t) = (\elm)k\df exp [ikv (/' —*)№* (/')(d/0 (v, f)ldv). B.20)
55

Теперь подставим это решение в уравнение Пуассона
к2Фк (/) = Anen J dvfh (v, t) B.21)
и воспользуемся ВКБ приближением по времени [иначе говоря,
предположим, что fo(v, t) слабо меняется за период колебаний Ир 1]:
t
®k (t) = Фк @) exp {I [-icofc + Yft (t')Ut'}, B.22)
о
Чтобы найти зависимость функции распределения fo(v, t) от вре-
времени, подставим B.20) и B.22) в B.18):
t
^2.23)
Если предположить, что ширина спектра волн достаточно велика^
т. е. A(kv — wk) > 7ft» xRl (гДе XR — время релаксации для /0 (v, t))\
то суммирование по k 2j^a|^ft@la exP ^{kv — coft)(^' — t)\ даст
нуль вследствие размещения фазы при (f — ^)>со* 1. Поэтому мож-
можно положить /0(у, t') та fo(v, t) и Yft(O ^ Yft @- Учитывая это и
проводя интегрирование по f, получим
dfa д е2 ж^| fc2 i rfs 12 ' — exp[j(kv—COft)/ + YA^] <Vo ,„„,,
dt dv m* ^d ' *' j (Aw—r- % ' - =-
Воспользовавшись асимптотическим соотношением
= p 1 + яб (b-«ft)
i(kv — u)A) + Ya
и условием (o_A = —wft, 7_ft = Yft . (вытекающим из действитель-
действительности электрического потенциала и функции распределения), можно
привести уравнение B.18) к виду
lh=^D(v)^, B.25)
dt dv dv
где
Разумеется, это уравнение диффузии следует дополнить уравне-
уравнением для амплитуд волн:
Yft = (я/2)<оЛ ((op/kJ (dfjdv)(v = alk).
56

Два слагаемых в коэффициенте диффузии (а именно, член с б-функ-
циейи член с главной частью) имеют различный физический смысл.
Член с б-функцией положительно определен и ответствен за сгла-
сглаживание функции распределения в резонансной области. Это необ-
необратимый процесс. G-другой стороны, член с главной частью описы-
описывает обратимый процесс (т. е. 2yk \ Фк |2 == д \<S)k(t) \2/dt меняет знак
при обращении времени). Это «кажущаяся» (или «адиабатическая»)
диффузия описывает отклик нерезонансных частиц на изменение
амплитуд волны. Например, когда амплитуда волны увеличивается,
осцилляторная кинетическая энергия частиц, связанная с волной,
также возрастает, и нерезонансные частицы как бы нагреваются
(см. § 2.6). Естественно, этот кажущийся нагрев не приводит к из-
изменению энтропии.
Компонента Фурье функции распределения с k = О, /o (v, t) иг-
играет в этой теории особую роль, поскольку она представляет собой
нулевое приближение к функции f{x, v, t). Физически это естест-
естественно, так как fo(v, f) есть среднее от f(x, v, t), взятое вдоль невозму-
невозмущенных траекторий частиц, и движение частиц в действительности
приводит к усреднению / (х, v, t) вдоль этих траекторий. В тех слу-
случаях, когда присутствует внешнее поле и невозмущенные траекто-
траектории частиц на фазовой плоскости имеют более сложный вид, для
получения нулевого приближения к f(x, v, t) следует производить
усреднение вдоль этих сложных траекторий (усредненная функция
распределения в этом случае не обязательно будет совпадать с ком-
компонентой Фурье с k = 0).
Если принять во внимание допплеровское смещение частиц,
то можно убедиться, что условие на ширину спектра волн A(kv —•
— wfe) ^> У, tR1 эквивалентно условию о разложении движения каж-
каждого электрона на быстро и медленно меняющиеся части. Дейст-'
вительно, для оценки тд в случае спектра волн шириной Д(со/&)
воспользуемся уравнением диффузии. Тогда xR ~ (Дш/&J/.0((о/й)«
« k(Ao)lkK(e2/m2) 2&2Ф1. Отсюда следует, что неравенство A(kv —
— wft) ^ tr1 эквивалентно условию, что ширина области захвата
частиц незначительно меньше разброса фазовых скоростей
[2i (е2/т2) X |CDfc|2]1/4 < Д(со/&). Теперь можно дать другой вы-
k
вод квазилинейной теории, напоминающей известный метод Ван-
дер-Поля, основанный на разделении этих двух процессов во вре-
времени (медленного и быстрого). Представим функцию распределения
в виде суммы, медленно меняющейся и быстро меняющейся частей
/=? + /'• B.27)
Для быстро меняющейся части можно пользоваться линеаризован-
линеаризованным уравнением
i'f-^.f^ B.28)
дх т дх dv
57

где мы пренебрегли произведением двух быстро меняющихся мно-
множителей (дФ/дх) (df'/dv). За один период колебаний / меняется не-
незначительно, следовательно для нахождения / можно воспользо-
воспользоваться приближением В КБ по времени [см. уравнение B.22)]. В урав-
уравнении для / мы проводим усреднение по быстрым движениям
dt
дх
е
т
дх dv
B.29)
Подставляя сюда /' и усредняя полученное в результате выраже-
выражение по невозмущенным траекториям, можно свести это уравнение
к виду B.25).
ГК'Ш/Vlt'oo)
Ц
/
\
V
о
<-^
о
Рис. 21. Установившиеся распределение частиц (а)
и спектр волн (б) в случае размытого пучка.
С помощью уравнений квазилинейного приближения B.25)
и B.26) была рассмотрена задача о релаксации неустойчивого рас-
распределения по скоростям с размытым пучком (см. рис. 17, а) [56—
57]. Предположим, что начальный спектр волн представляет собой
некоторую гладкую функцию w/k (см. рис. 17, б). Волны с фазовыми
скоростями, для которых df/dv > 0, должны нарастать и через до-
достаточное время амплитуды спектра таких волн становятся доста-
достаточно большими для того, чтобы привести к образованию плато на
функции распределения. После образования плато рост волн пре-
прекращается (рис. 21). Заметим, что в пределе t ->¦ сю нерезонансная
(или главная) часть функции распределения несколько смещается
вправо, как следует из сохранения количества движения. Импульс,
первоначально связанный с размытым пучком, переходит в осцилля-
торное движение. В резонансной области асимптотическое распре-
58

деление однозначно определяется сохранением числа частиц
^f(v,t=0)dv=~f(t=oO)(tlt-v1);
Vi (z.oU)
f(Vl,t = 0)=f(ot,t = 0) = J(t= oo).
Для нахождения асимптотической формы спектра нужно подставить
B.26) в B.25), сохраняя только член с б-функцией:
Предполагая, что начальная энергия в спектре мала по сравнению
с энергией размытого пучка, в результате интегрирования полу-
получаем
— У **|(Dv(/= oo)\4(kv— coft) =
m2 ^J I Я \ / \ Я/
К
V
= co* j dv {](( = 00)-/ (M = 0)]- B.32)
Разумеется, это еще не есть установившийся спектр: при выводе ква-
квазилинейного уравнения мы пренебрегли связью между модами (т. е.
нелинейными взаимодействиями волна — волна и волна — частица).
Через достаточно большой промежуток времени эти эффекты при-
приведут к изменению спектра. Время квазилинейной релаксации и
время нелинейного взаимодействия между модами, вообще говоря,
обратно пропорционально энергии колебаний, поэтому надо иметь
дополнительные малые параметры для того, чтобы можно было пре-
пренебречь взаимодействием между модами в процессе квазилинейной
релаксации.
ЗАДАЧА
Найти автомодельное решение квазилинейных уравнений, описывающих
релаксацию слабого размытого пучка электронов, двигающихся со скоростью
¦много большей тепловой скорости электронов плазмы [61].
Рассмотрим процесс установления во времени «плато» на функции рас-
распределения и покажем, что в каждый данный момент времени распределение
электронов пучка имеет вид ступеньки с крутым фронтом», движущимся в сто-
сторону меньших скоростей.
Вводя безразмерные переменные
^ = ясоР^Ч, A)
п
(V) fc(v); - ^; V ; т ясоР
пь 2nmnb vb Vi, п0
где №я = А21 Фй |2/4я — спектральная плотность энергии колебаний на еди-
единичный интервал волнового числа k; /ь (а) — функция распределения элект-
электронов пучка, нормированная на плотность частиц в пучке, переписываем
уравнения B.25) и B.26) в безразмерном виде
dF/dV); B)
59

dwj&T=wV2dF/dV; C)
Из уравнений B) и C) следует соотношение, связывающее функцию распреде-
распределения и шумы [см. уравнение B.31)]:
F(V, i)-F0(V)=(d/dV)[w(V,-c)-w0], E)
где Fo и w0 — функция распределения и функция w в начальный момент вре-
времени; С помощью этого соотношения исключаем F из уравнения C) и полу-
получаем уравнение, содержащее только w
dw д2 (w—w0) dF0
lh~= W dV2 + W~dV' ()
В области вне пучка, где dFJdV = 0, это уравнение напоминает уравнение,
описывающее распространение тепла в пространстве, когда коэффициент теп-
теплопроводности есть степенная функция количества тепла. Как известно,
в этом случае тепло распространяется в виде волны с крутым фронтом [24].
Будем искать автомодельное решение уравнения F) и в области, где
У Tb/mvl<<: 1-V« 1. G)
Введем автомодельную переменную и новую функцию
l = l—V/Y"x; ф = ю(У, т)— wo(V). (8)
Тогда уравнения E) и F) в области слева от пучка примут вид
F=— ф'/УтГ; (9)
Интегрируя уравнение (9) по V от точки перед передним фронтом ступеньки,
где ф = 0 до точки вблизи пучка, где еще можно пренебречь Fo, ки восполь-
воспользовавшись тем, что число частиц в ступеньке при условии G) примерно равно
полному числу частиц в пучке, получаем следующее граничное условие для ф
Ф@)= 1. A1)
Граничное условие при % —» оо, очевидно, есть
Ф (оо) = 0, A2)
так как перед фронтом распространяющейся влево ступеньки шумы еще не
наросли. Решение уравнения A0) при граничных условиях A1) и A2) в общем
случае удается получить только численно. Однако в реальном случае, когда
In ф/ш0 > 1, можно найти приближенное решение. Действительно, перепи-
перепишем уравнение A0) в виде dcp'/dl = —A/2) % (dld%) In (ф + w0). Тогда на
переднем фронте ступеньки (В, — §0 < ?0), где происходит резкое изменение
Ф, получаем следующее решение этого уравнения:
ф' = -(l/2)g0 In A + ф/а-о)- A3)
Нетрудно видеть, что уровень шумов спадает в область перед ступенькой
экспоненциально ф ~ ехр[(—?o/2a>o)g]. Уравнение A3) справедливо и при
\ —10 ~ ?0, но с логарифмической точностью. Интегрируя его с учетом гра-
граничного условия A2), находим:
ф = (l/2)g0 (|0 — S) In A/ш0). (И)
Константу ?0 можно найти из второго граничного условия ф @) = 1
СО

Отсюда нетрудно оценить характерное время, за которое происходит квази-
квазилинейная релаксация пучка на интервале Ди
2у Wq п0
§ 2.3. Случай многих волн (двух- и трехмерные спектры)
До сих пор мы рассматривали квазилинейную теорию лишь для
одномерного случая. В двух- или трехмерном случаях квазилиней-
квазилинейное уравнение диффузии внешне почти не отличается от своего
одномерного аналога:
х
Но решение становится значительно более сложным. Одномерную
проблему в известном смысле можно рассматривать как выражен-
выраженный случай, так как резонансные частицы ограничены в фиксирован-
фиксированной области по переменной v.
В двух- или трехмерном случае даже для волнового пакета, ло-
локализованного в пространстве к, резонансная область существенно
расширяется.
Рассмотрим двумерный случай. Линии уровня (равного значе-
значения) /, являющиеся, допустим, окружностями с центром в начале
координат на плоскости (vx, vy), изображены на рис. 22. Предполо-
Предположим, что в направлении х распространяется достаточно узкий вол-
волновой пакет. В результате образования квазилинейного плато внут-
внутри этой узкой резонансной области возникает новая система линий
уровней (параллельных vx). Они, разумеется, должны сшиваться
с окружностями в области скоростей вне резонансной зоны. Нетруд-
Нетрудно прийти к выводу, что для перестройки функции распределения
таким образом, как показано на рис. 22, необходимо конечное ко-
количество энергии.
Допустим, имеются волновые пакеты, распространяющиеся под
разными углами. На рис. 22 каждому пакету должна соответствовать
своя система лидий уровня. Так как линии уровня для разных па-
пакетов пересекаются, для того чтобы сделать функцию распределения
постоянной вдоль всех этих линий уровня, нужно чтобы / была по-
постоянна в некоторой области пространства, простирающейся до бес-
бесконечности. Отсюда следует, что такая перестройка функции рас-
распределения потребовала бы бесконечного количества энергии. Та-
Таким образом, поскольку квазилинейное плато в двумерном случае не
61

является установившимся состоянием даже для узких волновых
.пакетов, имеет смысл говорить лишь о «квазиплато».
Предположим, что волновые пакеты распространяются во всех
направлениях с фазовой скоростью, равной oalk. Резонансная об-
область на плоскости (vx> vy) расположена вне окружности с радиусом
{(silk), поскольку любая часть этой области принадлежит, по крайней
мере, двум разным резонансным полосам. Итак, для того чтобы ли-
линии уровня удовлетворяли
всем перекрывающимся ре-
зонансам с волновыми паке-
пакетами, функция распределе-
распределения вне окружности v% +
4tiy = (со/&J должна быть по-
постоянной. Но энергия такого
распределения бесконечна.
Отсюда можно сделать вы-
вывод, что установившееся ре-
решение, соответствующее вол-
волновому пакету конечной энер-
энергии, невозможно, и спектр
волн должен затухать до нуля
till].
Для того чтобы проиллю-
проиллюстрировать, что в действи-
действительности происходит с функ-
функцией распределения, рас-
рассмотрим простейший дву-
двумерный волновой пакет, обладающий цилиндрической симметрией
в пространстве. Тогда / изотропна: / = f(v% + v2y). Подставляя такой
вид функции распределения в уравнение B.27), находим:
Рис. 22. Начальные и конечные линии
уровня распределения частиц в случае
одномерного пакета волн.
dt
vdv
•-f-, B.34)
vdv
аде мы заменили суммирование по k интегрированием, и ограничи-
ограничились случаем достаточно узкого спектра |Фй|2 = 2я|Ф|2&-18(& —
— k0). Квазилинейная теория остается справедливой, поскольку
¦функция распределения размазывается по скоростям из-за разброса
по углам внутри волнового пакета.
Для со/? > v имеем df/dt = 0. Уравнение B.34) вместе с урав-
уравнением B.26) допускает отыскание точного решения, если ввести не-
некоторое добавочное упрощение. Если начальная энергия волн до-
достаточно велика, в результате диффузии в область больших ско-
скоростей в конце концов придем к состоянию, когда для основной части
пространства скоростей будет выполняться неравенство v >" co/fev
Теперь, упростив уравнение B.34), его можно решить. Примером
такой ситуации, когда можно пренебречь a/k по сравнению с v, яв-
является взаимодействие между электронами и ионно-звуковыми вол.
«2

нами, так как со/& = У~Те/М < ]/Ге/т ~ v. Для ленгмюровских
колебаний это справедливо лишь по истечении достаточного проме-
промежутка времени, когда функция распределения размажется до боль-
больших значений v.
Введем переменную
х = B5e2/m2) § (w2/k) | Ф |2 dt' = J D (Г) dt',
о о
тогда уравнение B.28) принимает вид
A] B.35)
(
дх 25 do2 \ v dv*
Для решения уравнения B.35) при заданном начальном распреде-
распределении /0 можно было бы воспользоваться преобразованием Лапласа
и выразить решение с помощью функции Грина в терминах модифи-
модифицированных функций Бесселя. Это решение не слишком удобно и его
стоит упростить, рассмотрев асимптотику при t -*¦ оо. При больших
временах / не зависит от структуры функции /0 и имеет самоподоб-
самоподобный (автомодельный) вид [62]:
[' 1~2/5 Г /' 1
5 D (О dt ехр — vb \ \ D (Г) dt' , B.36)
где
Л«E/ГB/5)) J fo(v)vdv;
(C/k
Чтобы найти у, воспользуемся формулой
Y=f Юк#1к-^ 6(cok-k.v)^v.
Подставляя сюда асимптотическое решение B.36), находим
Заметим, что a>/k не вошло в выражение B.37) для yh, так как ос-
основной вклад в ук дают скорости v > a/k.
Итак, исходная система уравнений сведена к одному уравнению
B.37), которое можно привести к виду дифференциального урав-
уравнения второго порядка. Решение этого уравнения довольно громозд-
громоздко. Но качественное поведение решетки достаточно очевидно. Энер-
Энергия волн затухает и в конце концов при <-><» образуется в нуль.
Декремент затухания сначала есть не что иное, как декремент Лан-
63

дау, затем он претерпевает существенные изменения (убывает)
вследствие изменения наклона функции распределения. При ?->•
—*¦ со ук -> const, так как в.конце концов будет исчерпана энергия,
необходимая для дальнейшей перестройки /. Это существенно от-
отличается от одномерного случая с образованием плато.
Рассмотренную картину можно применить в теории так называ-
называемого турбулентного нагрева. Предположим, что имеется система,
в которой осуществляется турбулентный нагрев. Это означает, что
ток, протекающий по плазме, генерирует некоторую неустойчивость
вследствие относительного движения электронов и ионов. Если
дрейфовая' скорость относительного движения превышает УТе/М,
могут раскачиваться ионно-звуковые волны [VI]. Как было отмечено
выше, u>/k выпадает из окончательного ответа, и даже не зная
-спектра возникающих вследствие неустойчивости волн, ясно, что
спектр электронов после нагрева будет не максвелловским и его
•форма будет определяться уравнением B.36). Возможно, форма
•спектра для очень больших скоростей будет отличаться от квазили-
квазилинейного результата B.36) вследствие неучтенных эффектов, таких
как взаимодействие волна — волна и т. п.
Следует отметить, что в проделанных выше вычислениях спектр
волн предполагался изотропным. В случае ионно-звукового турбу-
турбулентного нагрева это не так, потому что имеется выделенное направ-
направление (вдоль тока). Предположим, что ток направлен перпендику-
перпендикулярно магнитному полю (часто встречающаяся ситуация): / вдоль
направления х, Я направлена вдоль г. При малых, но конечных
значениях магнитного поля рассматриваемая задача в точности
эквивалентна случаю с изотропным спектром. Вследствие вращения
частиц в магнитном поле происходит перемешивание в плоскости
{Vx, vv)- Можно рассматривать это обстоятельство, как вращение
волнового пакета вместо вращения частиц и функция распределе-
распределения электронов будет зависеть только от v\ + v\ даже для одномер-
одномерного волнового пакета.
Таким образом, приходим к выводу, что имеется существенное
различие даже в одномерной квазилинейной теории, если добав-
добавляется магнитное поле. Естественно, Н должно быть не слишком
велико, иначе простую картину динамики плазмы, описанную выше,
необходимо существенно изменить. Магнитное пьле здесь приводит
лишь к перемешиванию частиц в плоскости (vx, vy). Но влиянием Н
можно пренебречь при рассмотрении свойств продольных электрон-
электронных колебаний, если юр > соя, что обычно и имеет место в типичной
ситуации с турбулентным нагревом.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что взаимодействие ионно-звуковых волн с частицами в 1-м
порядке разложения по параметру (ajkv) < 1 приводит к изотропизации рас-
распределения частиц [63].
Преобразуем сначала квазилинейное уравнение B.33) к сферическим коор-
координатам с осью вдоль направления внешнего электрического поля Е, вызы-
64

вающего ток. Пусть (k, 6', ф') — сферические координаты волнового вектора,
а (у, 6, ф) — скорости частицы. Интегрирование по разности азимутальных
углов (ф — ф'), входящей в аргумент о-функции в выражении для коэффи-
коэффициента диффузии, проводится в явном виде
9тг
я6(к • v)dro'= [1—cos2 6—cos2 б']" I/2.
Оставшиеся угловые переменные входят лишь как 5 = cos 0, х = cos0',
так что квазилинейное уравнение принимает вид
v2 dv dv
где
— 1
дг ^2|Фк|2 QI |Фк
Ло 8я s| 4я й
При вычислении коэффициентов диффузии мы отбросили малые члены по-
порядка (s/у) < 1. Нетрудно видеть, что основной эффект здесь — квазилиней-
квазилинейная диффузия по углам, приводящая к изотропизации распределения. По-
Поэтому решение уравнения A) можно искать в виде
f(v, I, t) = fo(v, t) + h(v, I, t). B)
Подставляя решение в таком виде в уравнение A) и удерживая лишь члены
первого порядка, находим
Af, e? 1/1—E2/m-4-t)D,,t a/o
-^±- = 2 l- C)
Во втором порядке разложения по малому параметру ?s/v) <g 1 из уравнения
A) получаем квазилинейное уравнение для /0 (v, t), описывающее нагрев час-
частиц
'IFI""W T2- D)
% -2% -J *
Выражение для инкремента нарастания колебаний в этом приближении при-
принимает вид
"о -,
3 Зак. 112

Решение этого уравнения в пределе t —* оо имеет тот же характер, что и в слу-
случае изотропного спектра волн (—ехр (—аи6)).
2. Получить релятивистское квазилинейное уравнение, описывающее
релаксацию релятивистского пучка электронов при инжекции его в плазму
[64, 65].
Квазилинейное уравнение для функции распределения электронов fe
и уравнение для спектральной плотности энергии плазменных колебаний
Wk в релятивистском случае имеет следующий вид (пучок распространяется
по оси 2):
3v\k dWk dm dWu
_Рг_ df a df
° p ' dz ~ dpa D«P aPp ¦ B)
где
af5 No J Bnf ' В k
rm2 С gf
=-^-J d3pk.-^-n8(<Op-k-
Так же, как и в предыдущей задаче, удобно использовать сферические коор-
координаты (р, 0, <р) в пространстве импульсов и (k, в', ф') в пространстве волно-
волновых векторов (углы вив' отсчитываются от оси г). Выражения для коэффи-
коэффициентов диффузии в сферических координатах несколько усложняются из-
за того, что теперь фазовая скорость колебаний (<ap/k) сравнима со скоростью
частицы. Как и прежде, интегрирование по ф' проводится в явном виде
2я
я J йф'6((ор—йс [sin в sin в'cos (ф' — ф)-ф-соз 0 cos6']) =
о
= 2n/kc [(cos 0^-cos в') (cos в'-cos в^)]"?, C)
где -
{cos0 ±sin0
Оператор дифференцирования с учетом условия резонанса в сферических коор-
координатах принимает вид
д _ сор { д д ) ^_ cos© —feccos Q7(Op
.аР = с {Рдр ^ Рдв}' l = itai ' D)
Используя соотношения C) и D), переписываем уравнения A) и B) в вид
3kvr Л/ dW top / Л, dW sin0' dW
o©'^2 0'
Л/ dW top / Л, dW sin0' dW \
cos©'^ —-2- cos0'-— . ~—-)=2yW, E)
df \
j F)
где
DPP
/игл4 /-» .. л <.;niQk'n?/f.iCb'\ леи
Д
ree
i- Г «.Г
L/ r-3 ] , 1
"Р/с ef
l
sine'W(A, G')d0'
cos0')(cos0' —
66

y(k, в') =
/исор Г sin Sd& / 1 dg \
4nN0k3c* J /(cos Gi —cos 0) (cos 6—cos 62) V^~ 2 30 /'
/ Й2 С2 \
' 1/ —^— — 11;
2 = -^- cos в' ±sin6' 1/ —^— — 11; g=2n\fpdp.
§ 2.4. Влияние столкновений на взаимодействие
волна — частица
Одним из наиболее важных следствий взаимодействия волна —
частица является деформация функции распределения частиц по
скоростям, в особенности вблизи резонансной области v = atlk.
Иногда искажение функции распределения настолько велико, что
•оказывается необходимым учитывать влияние столкновений. Ин-
Интеграл столкновений St{/} в форме Ландау содержит, в частности,
член со второй производной от функции распределения. Именно
этот член становится существенным, если взаимодействие волна —
частица искажает функцию распределения в узкой резонансной
области. Столкновения стремятся вернуть наклон функции распре-
распределения dfldv к равновесному значению. В результате возникает
конкуренция между влиянием волн и влиянием столкновений. Для
того чтобы проиллюстрировать это на количественном примере,
рассмотрим задачу об одномерном волновом пакете, приводящем
к коэффициенту квазилинейной диффузии в резонансной области
D {и) = (яе7т2J | Ек 12б (юк — k-v) « е\Е2)/т2(о.
к
В результате конкуренции между квазилинейным воздействием волн
на частицы и столкновениями в резонансной области должно устано-
установиться некоторое квазистационарное распределение (dfldt = 0),
подчиняющееся уравнению
(dD (v)ldv){dfldv) = St{/}. B.38)
В выражении для St{/} будем удерживать лишь член со старшей про-
производной d2f/dv2. Для простоты его можно представить в следующей
интерполяционной форме: v(a)/kJ(d2/dv2) (Jm — /), где v — средняя
частота столкновений электронов со скоростями v = a>/k. Такая уп-
упрощенная форма интеграла столкновений правильно учитывает
релаксацию к локальному равновесию (с / = fM, где /« — максвел-
довское распределение). Интегрируя уравнение B.38) один раз,
находим
dv dv 1 + е2 <E2>/m2cov((o/&J
Полученный наклон функции распределения подставим в формулу
для декремента затухания у =(я/2) (со3/&2) {dfldv) (v = ®lk). В ре-
3* 67

зультате получим выражение для декремента затухания:
у = yjll + e2<E2>//tt2wv (a/kJ]. B.39)
Проанализируем это выражение в разных предельных случаях.
Если амплитуда волн в пакете достаточно мала е2<Е2><^
<^ /n2(ov (co/&J, декремент затухания приближается к у с — обыч-
обычному декременту Ландау. Это связано с тем, что столкновения успе-
успевают выравнивать функцию распределения в резонансной области^
сохраняя максвелловский наклон dfuildv. При больших амплитудах
?2<Е2> ^> m2av((o/kJ декремент затухания становится сущест-
существенно нелинейным и, как следует из формулы B.39), убывает с ам-
амплитудой по закону ~ 1/<Е2>.
Формулу B.39) можно интерпретировать следующим образом.
Представим декремент в виде
У = yj(l + VT2), B.40)
где тх — характерное время для установления локального максвел-
ловского распределения; т2 — характерное время искажения функ-
функции распределения под действием волнового пакета. Если тх <^ т2>,
т. е. столкновения важнее, получаем обычное затухание Ландау.
С ростом амплитуды волны вносимые ею искажения в функцию рас-
распределения настолько велики, что соударений частиц оказывается
недостаточно, чтобы функция распределения стала максвелловской,
и декремент затухания падает.
Более сложная задача — учет влияния столкновений на взаимо-
взаимодействие с частицами монохроматической волны конечной амплиту-
амплитуды. Это связано с тем, что в отличие от уравнения B.33), которое
для стационарного случая dldt = 0 является обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением, при взаимодействии с монохроматической
волной Ф = Фо cos kx кинетическое уравнение — это уравнение
в частных производных (/ = f (х, v)). Однако декремент затухания
в случае монохроматической волны можно получить из качественных
соображений, пользуясь аналогией со случаем волнового пакета.
В работе [2] считали, что формула вида B.40) справедлива и для мо-
монохроматической волны при условии, что тх и т2 выбраны разумно.
В случае монохроматической волны ширина резонансной области,,
в которой функция распределения существенно искажается, по по-
порядку величины равна Av » УеФ/т. Кулоновские столкновения
с рассеянием на малые углы восстанавливают локальное равнове-
равновесие в такой области за время порядка х1 = \-1еФ/т((о/кJ. С дру-
другой стороны, время нелинейного искажения функции распределения
под действием поля волны (см. § 1.1) порядка т2 = Х/УеФ/т, где
Я, — длина волны. Итак, из формулы B.40) получаем
у.
Y (
Для малых амплитуд тх <^ т2 декремент затухания приближается
к линейному, а с ростом амплитуды при тх ^> т2 декремент падает
68

пропорционально Ф~3/2. Этот качественный вывод впоследствии был
подтвержден непосредственным исследованием уравнения для функ-
функции распределения в поле монохроматической волны с учетом столк-
столкновений [66].
В известном смысле речь идет о видоизменении функции распре-
распределения в установившейся волне Бернштейна —Грина —Крускала.
Затухание волны можно найти с помощью формулы у =
= A/2 W) (dW/dt) = — <jE>/2№, где j — ток, вызываемый волной
(в системе отсчета, где волна покоится); W — плотность энергии
в Еслне. Усреднение проводится по периоду волны.
Итак, задача сводится к нахождению функции распределения
электронов. Кинетическое уравнение для этой функции в системе
отсчета, движущейся вместе с волной, имеет вид
и dfldy — ф' (y)df/du = v' (d/du)[df/du + (а + и)/]. B.42)
Здесь мы ввели следующие безразмерные переменные:
Ф (у) = еФ/Т; у = kx, Ф (х) = Фо sin2 kx/2; vT =
и = о^2/ут; а = a,y2/kvT; v' =
td = т2со3/8ле4ЛУе3 Ln,
а интеграл столкновений приняли в форме Фоккера — Планка
(Ln — кулоновский логарифм).
Введем следующее упрощение для того, чтобы получить облег-
облегчающий решение задачи малый параметр v' < ф0 < 1, что соот-
соответствует волне конечной, но небольшой амплитуды, и случаю ред-
редких соударений. Далее перейдем к переменной энергии е = и2/2 +
+ ф(г/), где е — безразмерная энергия частицы в поле волны. Теперь
уравнение B.42) принимает вид
fL B-43)
Vf = а/"^2 = со/Ьг; v = Y
где а = ± 1 соответствует различным направлениям движения
электронов (знак «плюс» выбран для частиц, перегоняющих волну).
Роль малого безразмерного параметра в данной задаче играет v.
Соответственно будем искать решение в виде
f(e,y)=fo(e)+f1(B,y) + ... B.44)
При решении ураьнения B.43) необходимо различать две области:
е > ф0 (внешняя область) и е < ф0 (внутренняя область). Подстав-
Подставляя разложение B.44) в уравнение B.43), получаем
) B.45)
где /0(е) — (нулевое приближение) для внешней области опреде-
определяется из условия периодичности /х как функции координаты у,
69

если считать, что при е > <р0 функция /0(е) асимптотически прибли-
приближается к распределению Максвелла. Интегрируя уравнение B.45)
по у с учетом периодичности, получаем уравнение для /0 при е> ср0
Я/2
где Е(у) = \ |/—и2 sin21 dt — полный эллиптический интеграл
'о
второго рода. Запишем решение этого уравнения, переходящее
в максвелловское распределение вдали от резонансной области:
Е/ф0
Г _^-_vH. B.47)
Затем для получения решения нужно найти поправку из уравнения
B.45) и вычислить работу поля волны
2п Л, Л)ду
Однако с помощью интегрирования по частям и дальнейшего ис-
использования уравнения B.45) для определения dfjdy удается вы-
выразить работу поля через известную функцию /0(8) и вычислить
таким образом вклад от внешней области:
Аналогичную процедуру можно проделать для отыскания функ-
функции распределения во внутренней области е < ф0. Однако для ча-
частиц, осциллирующих внутри потенциальной ямы, функция рас-
распределения симметрична /(ст = ± 1) = /(а = — 1) с большой точ-
точностью. Это означает, что вклад внутренней области в затухание
мал и им можно пренебречь. Более строгие вычисления подтверж-
подтверждают этот вывод.
Наконец, необходимо исследовать, что происходит с функцией
распределения в узкой переходной области, лежащей между внеш-
70

ней и внутренней областями. Найдя функцию распределения в этой
области, нужно вычислить и ее вклад в работу поля волны. Нахож-
Нахождение функции распределения в этой области оказывается самой
сложной задачей. К счастью, как это обычно бывает в теориях, ана-
аналогичных теории пограничного слоя, окончательный ответ не за-
зависит от детальной структуры переходной области. В рассматрива-
рассматриваемой задаче работа поля волны, соответствующая этой области,
также нечувствительна к деталям поведения функции распреде-
распределения. Достаточно знать лишь значения fo(e) по обе стороны от пе-
переходной зоны. Действительно,
Ф» — б
где б —"ширина переходной зоны. Интегрируя по частям и учитывая
лишь старшие члены (по порядку производных функции распреде-
распределения), получаем
7перех=-™^Г I ^C0S*(y/2J°X
<Э/о(е, а) а/о (е) Л
= Фо—в/
68
дв
Теперь остается лишь подставить сюда значения dfQld& во внешней-
(е = ф0 + б) и внутренней (е = ф0 — б) областях с помощью най-
найденных для функции распределения в этих областях выражений
B.42). Окончательно имеем
Декремент затухания волны [66]
с точностью до коэффициента порядка единицы совпадает с форму-
формулой B.41), полученной на основе качественных рассуждений из ква-
квазилинейной теории.
Эффекты такого рода, возникающие при учете столкновений
в задачах о взаимодействии монохроматической волны с частицами,
оказались важными в так называемой неоклассической теории
диффузии плазмы в магнитных ловушках (см. наст, сб., стр. 205).
71

ЗАДАЧА
Для замедления растекания плазмы вдоль магнитного поля предлагается
использовать гофрировку поля с периодом I <^ X (К — длина свободного про-
пробега) [67, 68]. Вычислить тормозящую силу и оценить время ухода плазмы
из системы- длиной L > К.
Магнитное поле представляем в виде Я = #0 + АН cos2 (яг//). Работу
плазмы над магнитным полем при вытекании со скоростью U находим из урав-
уравнения B.43), заменяя в нем амплитуду поля Фо на |хД# (\i = mv2±/2H), а фа-
фазовую скорость (co/fe) на U. Работа равна произведению силы трения FTp на
скорость, так что из уравнения B.48) получаем
Г тт) —
Из уравнения баланса силы давления и силы трения определяем скорость
растекания и время выхода из системы
U ~(X/L)(H0/bHI/2cs, т = (?2/А,с8)(ЛЯ/Я0I''2. B)
§ 2.5. Квазилинейная теория электромагнитных мод
В этом разделе квазилинейная теория использована для рассмот-
рассмотрения взаимодействия частиц с электромагнитными модами в плаз-
плазме, находящейся в однородном магнитном поле Но. Для простоты
ограничимся простейшими случаями таких мод, а именно, ионными
и электронными циклотронными волнами (вистлерами), распрост-
распространяющимися вдоль Н0[2,69]. Ограничение случаем параллельного
распространения упрощает алгебру, не внося существенных изме-
изменений в физическую картину.
Будем исходить из кинетического уравнения
дт
f' = 0 B.50)
и уравнений Максвелла. Если представить функцию распределения
в виде медленно и быстро меняющихся частей, то уравнение для
медленно меняющейся части принимает вид .
kvz\ df} kv± df.
)+
Здесь введены цилиндрические координаты в пространстве скоро-
скоростей. Знак ± в резонансном знаменателе относится к право- или ле-
вополяризованным волнам. В резонансной области это уравнение
можно упростить следующим образом:
а | JL (
72

. , kvz\ d kv, д 1 -
Хя6К-Ьг±сон/) 1- —) 7ъг + -—— '
Основной вклад дают частицы с резонансными скоростями vz =
= со ± ®Hi/k. Частота волны в системе координат, движущейся
с такой скоростью, в результате эффекта Допплера равна гироча-
стоте. Поэтому, резонансные частицы вращаются в магнитном поле
#0 с той же частотой, что и электрический вектор Е± волны, и уско-
ускоряются. В качестве первого примера применения уравнения B.52)
рассмотрим задачу с одномерным волновым пакетом. Резонансная
область, соответствующая такому волновому пакету, изображена
на рис. 23. Она лежит в левой полуплоскости, так как со ± co#j
отрицательно для вистлеров. Окружности на этом рисунке изобра-
изображают линии уровня для первоначально изотропного распределения
по скоростям. Также, как и в квазилинейной теории ленгмюровских
колебаний, резонансные частицы диффундируют пока не достигает-
достигается установившееся состояние «плато». Для достаточно узкого волно-
волнового пакета (Д(со/&) <С со/&) установившееся состояние таково, что
-^)j. + ^±]-fi = 0. B.53)
- ' dv . ®h dvz '
Это уравнение определяет «плато» для рассматриваемого случая по
аналогии с dfldv = 0 (плато в квазилинейной теории ленгмюровских
колебаний). Линии уровня установившегося распределения по ско-
скоростям, удовлетворяющего уравнению B.53), даются уравнением
v*J2 + у 1/2 — avjk = const. B.54)
Они представляют собой также окружности, но их центры смещены
вправо на расстояние <a/k (см. рис. 22, пунктирные кривые). В тео-
теории линейных колебаний плазмы в магнитном поле известно, что
мнимая часть частоты для вистлеров обращается в нуль, если
f , ,|7, kvz\ dfj kv± df -I
J LV tOft/ av± «ft dvzj
со±ия.
=0. B.55)
Сравнивая условия «плато» B.53) с уравнением B.55), видим,
что декремент затухания вистлеров в состоянии плато обращается
в нуль (аналогично случаю ленгмюровских колебаний).
Чтобы развить эту аналогию дальше, приведем двухмерный опе-
оператор квазилинейной диффузии в уравнении B.52) к одномерной
форме. Если ввести переменную
w = v*j2 + vl/2—avjk, B.56)
73.

то производная d/dw исчезает и уравнение B.52) в новых переменных
aiHtisiij принимает форму
X (со— ко ± соя/) — • —;
4 со dv
dfj_
dt
eJ_
д
dv
, v)
I Hft |2 (v)
da
dk
dv
B.57)
Резонансная
область
Рис. 23. Начальные и конечные линии
уровня распределения частиц в случае
пакета вистлеров.
Рис. 24. Зависимость г\(х) в
случае распределения с конусом
потерь.
Интеграл B.55), определяющий мнимую часть частоты, также при-
приводится к одномерному виду в новых переменных B.56) [1,69]:
lmсо
\ dv, v2± I тг^-\
J L \ © / *j. © dvz\ vja.
оо
= f
J
(w, v) -tL dw.
B.58)
В плазме с анизотропным распределением по скоростям интегралы
в уравнениях B.55) и B.58) могут быть положительны, что означает
неустойчивость. Один из наиболее важных классов анизотропных
распределений по скоростям — это распределение, обладающее ко-
конусом потерь. Такое распределение имеет место в магнитных ловуш-
ловушках для удержания плазмы с магнитными зеркалами (пробками).
При наличии конуса потерь функцию распределения можно привести
к виду
A-vl), B-59)
где а == Ямакс — HIH и г\(х) изображена на рис. 24. Для заданного
а линии уровня имеют вид, изображенный на рис. 25. Подставляя
74

функцию распределения B.59) в критерий устойчивости для вист-
леров B.55), получаем
B.60)
где ех = mv\J2. Интегрируя первое слагаемое по частям и приводя
выкладки в двух других слагаемых, находим
B.61)
Второе слагаемое в этом вы-
выражении обращается в нуль
тождественно. Предполагая,
что область существенного
изменения функции мала в
сравнении с Vtj, заменим г)'(л:)
на б(л:) в третьем члене. Соот-
Соответственно этому получаем
Резонансная
область
где vz = (со ±
B.62)
a>HJ)lk. Так
как &2 отрицательна, соглас-
согласно критерию B.62) неустой-
неустойчивость имеет место для до-
достаточно больших vz или до-
достаточно малых а. С прибли-
приближением к области с макси-
максимальным значением магнит-
магнитного поля в пробке а стре-
стремится к нулю, так что все-
всегда можно найти пусть малую, но неустойчивую- область. Однако
нарушение условий устойчивости в малой области вдоль силовой
линии Дг еще не означает, что волны будут нарастать. Для того
чтобы амплитуда первоначально малых флюктуации наросла до су-
существенных значений, прежде чем соответствующий им волновой
пакет выйдет из этой неустойчивой зоны, необходимо, чтобы
Рис. 25. Линии уровня для распреде-
распределения с конусом потерь и квазилиней-
квазилинейная диффузия в конус потерь.
i
dz
lmco
d(ojdk2
75

Выполняя интегрирование, этот критерий можно переписать в ви-
виде неравенства
Дг » cF (p,)/<»p,,
где F — некоторая функция, зависящая от отношения давления
данной компоненты плазмы к давлению магнитного поля, р^- =
= 8nN0Tj/H% и неограниченно растущая с уменьшением |37- до
нуля. Можно показать, что в имеющихся сейчас эксперименталь-
экспериментальных установках этот критерий может быть выиолнен лишь для элек-
электронных вистлеров в том случае, если только |3^- не очень мало.
Согласно уравнению B.61) плазма неустойчива также, если ре-
резонансная скорость значительно превышает тепловую. В более или
менее термализованной плазме частиц с такими скоростями экспо-
экспоненциально мало и соответствующая им неустойчивость имеет экс-
экспоненциально малый инкремент. В магнитосфере Земли существуют
захваченные частицы с энергиями, значительно превышающими
среднюю тепловую. Магнитное поле Земли обладает свойствами
ловушки с магнитными зеркалами по отношению к таким частицам.
Физика квазилинейного взаимодействия частиц с волновым пакетом
вистлеров при наличии неустойчивости, изложенная выше, была
применена к случаю магнитосферы Земли. Оказалось, что квази-
квазилинейная диффузия в конус потерь — это важный механизм, оп
ределяющии время жизни частиц в радиационных поясах в магнит-
магнитном поле Земли [70—72].
ЗАДАЧА
Найти коэффициент квазилинейной диффузии электронов по питч-углу
a (sin а = Vx/v) для случая взаимодействия с вистлерами [71].
Переходя к сферическим координатам (у, а, ер), переписываем уравнения
B.51) в виде
dfe , Vf д , I , («> —|шя|) \ 1 д "I
~Т~=<»н 2л\ v+ cos2а— ¦ — • X
at ь L v°v \ (й I v cos а sin а да J
со! I Hft I2
X —я sin2 аб (fey cos а— со^|(Оя|)Х
k HQ
X
dv + VC0S a~
to у cos a sin a
Предположим, что диффузия происходит в основном по питч-углу, тогда это
уравнение значительно упрощается (ш < юя)
76
dfe д . |Н(*»<р„/Р)|» д
-тг- = -т— (соя v cos a I) — 1 -г—
dt да v "' l 1; Щ да

§ 2.6. Нерезонансное взаимодействие волна — частица
До сих пор мы рассматривали только резонансное взаимодей-
взаимодействие волн с частицами. При рассмотрении нерезонансного (или
адиабатического) взаимодействия необходимо учесть член с главной
частью в квазилинейном уравнении диффузии (см. уравнение B.25)).
Как было отмечено выше при обсуждении уравнения B.25), этот
член в квазилинейном уравнении диффузии для случая ленгмюров-
ских волн описывает отклик нерезонансных электронов (основной
части функции распределения) на плазменные колебания. Напри-
Например, увеличение осцилляторной кинетической энергии электронов,
связанное с увеличением амплитуды волны, приводит к кажущему-
кажущемуся нагреву основной части функции распределения. Для количест-
количественного исследования запишем уравнение B.25) с нерезонансной
частью
d)
di
e2 5 V
m2 dv ?
e2 d
m% dv
(kv
2
к
Vk|
— @
Yk
Ek|a
kJ +
df
dv
dt
dv
B.63)
где [(kv — ЮкJ + Ykl приближенно заменено на wp\ Вместе с урав-
уравнением для нарастания волны уравнение B.26) приводится к виду
df _ d I (d V 1**14* B.64)
Умножив обе части этого уравнения на mv42 и проинтегрировав
по скоростям, получим
d m
~dJT
Иными словами, кинетическая энергия электронов в основной ча-
части функции распределения увеличивается вместе с электростати-
электростатической энергией колебаний. Разумеется, это всего лишь следствие
хорошо известного результата, что полная энергия плазменной
волны содержит две одинаковые части: электростатическую энергию
и кинетическую энергию электронов. Чтобы убедиться в том, что
увеличение кинетической энергии электронов, осциллирующих под
действием поля колебаний, на языке квазилинейной теории выгля-
выглядит как кажущийся нагрев, в уравнении B.64) вместо t перейдем
к переменной т = 211 Еь |2/4яМ0:
к
-?=JL.?Z. B.66)
dx 2m dv* '
77

Для начальных условий
f (v, x = 0) = Y m/2nT exp [ — mv2/2T]. B.67)
Это уравнение имеет решение
-mt>2/2(T + t)l. B.68)
Аналогичным образом можно показать, что основная часть рас-
распределения также переносит количество движения, связанное с
волнами. Однако для этого нужно было бы сохранить зависимость
от скорости в знаменателе [(toi< — kvJ + yU уравнения B.63).
Эта зависимость дает сдвиг максимума функции распределения в на-
направлении распространения волны, что и соответствует учету
количества движения. В отличие от неустойчивостей, до сих пор рас-
рассматривавшихся в этой главе, многие плазменные неустойчивости
имеют алгебраическую природу и совершенно не связаны с резонанс-
резонансным взаимодействием волна—частица. В таких случаях необходима
пользоваться квазилинейной теорией с нерезонансной диффузией
при описании релаксации неустойчивости. Для примера рассмотрим
шланговую неустойчивость («центробежную)» [73]. Для этой не-
неустойчивости мнимая часть частоты оказывается равной
— Т±)/Т B.69)
при Р > 1. Действительная же часть частоты пренебрежимо мала,
если длина волны возмущения превышает средний ларморовский
радиус ионов kvn <С ^яг- Если плазма находится в состоянии, близ-
близком к границе устойчивости (Д7771 <^ 1), тоу^ <^ kvri и можно вос-
воспользоваться квазилинейной теорией. Так как соя/ ^> kvTl, в слу-
случае шланговой неустойчивости резонансные частицы не играют роли.
Чтобы получить уравнение диффузии в соотношении B.63), прове-
проведем замену cofe -*¦ iyk и воспользуемся условием У-h — Уъ,- В ре-
результате получим [74]
df}_e> 1~* k I. *t, , . i „ Ml
dt 2m) a hi c2
д af.\
B.70)
2vvz
dvz dv
При выводе применено также соотношение
|Efe|a = (co2/^c2)|Hft|2. B.71)
Уравнение B.70) можно приближенно решить следующим об-
образом. Поскольку состояние плазмы близко к границе устойчивости
(AT С Г), функцию распределения можно представить как / =
= fM + АТД/Т, где fM — максвелловская функция, Д—поправка,
78'

дающая анизотропию. Если линеаризовать правую часть квазили-
квазилинейного уравнения B.70), получим
Решение этого уравнения имеет вид
?_М„« 7;М , (fl/2-t/l) f у l"ftl2 /OVO4
/=Ы&л> f|i)i г /M^d H2 • B.73)
Эту функцию распределения теперь можно подставить в выражение
B.69) для инкремента неустойчивости:
= kvTI {(АТ1ТH-32\Нк\2/НЦ^2. B.74)
Таким образом, приходим к несложному нелинейному дифферен-
дифференциальному уравнению для амплитуды колебаний (krHi =
= УА77Г [75]):
[ ] B.75)
Решение этого уравнения имеет вид, изображенный на рис. 26 [74].
Квазилинейная релаксация рассмотренной неустойчивости, как ви-
видим, приводит к восстановлению изотропии распределения. Этому
процессу можно приписать следующий простой физический смысл.
Так как неустойчивость нарастает медленно, интеграл
B.76)
должен сохраняться (как адиабатический инвариант движения ча-
частицы в медленно меняющемся поле). Первоначально силовые ли-
линии представляли собой параллельные прямые, но по мере нараста-
нарастания амплитуды возмущений силовые линии все более и более искрив-
искривляются. Так как длина силовой линии (а вместе с ней и длина пути
интегрирования в уравнении A.76) увеличивается, то v\\ должно
уменьшаться, что и приводит к уменьшению Гц.
Хотя нерезонансная диффузия описывает взаимодействие волны
со всеми частицами, эффективность этого взаимодействия может су-
существенно отличаться для различных областей пространства ско-
скоростей. В таких ситуациях квазилинейная функция распределения
может в процессе релаксации принимать весьма необычную форму.
Для примера рассмотрим случай электромагнитной моды в плазме
при отсутствии внешнего магнитного поля Но. Если функция рас-
распределения электронов (или ионов) неизотропна, такие моды могут
оказаться неустойчивыми.
79

Рассмотрим неизотропную функцию распределения f(v%, vl).
Как это видно из рис. 27, эффективная температура в направлении х
превышает температуру в направлении z. Нетрудно показать, что
чисто поперечное возмущение неустойчиво даже для малой анизо-
анизотропии [76—78]. В линейной теории поправка к функции распре-
Рис. 26. Нелинейная эволюция спект-
спектральной плотности энергии в случае
шланговой неустойчивости.
Рис. 27. Линии уровня для анизо-'
тропного распределения частиц.
деления для возмущения вида exp[i(kzz — со^)] определяется урав-
уравнением
т,
dvz
B.77)
где поля Ех и Ну можно найти из уравнений Максвелла
—\kzHy = Dяе/с) I (ft — fe)vxd3v, B.78)
\kzEx — mHylc. B.79)
Итак, имеется четыре уравнения для четырех величин /г, fe, Hy,
Ех.. Выражая поля с помощью Ну, получаем
\{(u—kz vz)
Vz |__._^!?l B.80)
dvz dvx kz dvx
Предположим, что ионное распределение анизотропно (если /0{
изотропно, члены, соответствующие силе Лоренца, исчезают). Под-
Подставляя в уравнение B.79) плотность тока, с помощью найденной
поправки функции распределения имеем
X
B.81)
80

Дисперсионное уравнение теперь принимает простую форму:
*l- No). B.82>
i0 dvz °) T
В изотропной плазме это соотношение превращается в известный
закон дисперсии для электромагнитных волн в плазме в отсутствие
внешнего электромагнитного поля. Если же распределение анизо-
анизотропно, появляются новые корни этого уравнения, представляющие-
низкочастотные моды. Предположим, что / ~ ехр[ — (то\12Тх —
— (mv%l2Tz)\. Отсюда видно, что если A — TJTZ) <C 0, то для
достаточно малых k\ волна неустойчива. Для более общего вида
функций распределения условие неустойчивости имеет вид
0. B.83>
Поскольку отсутствует действительная часть со, неустойчивость
апериодическая. В противоположном случае Тх < Tz, неустойчи-
неустойчивость имела бы место для возмущения, распространяющегося в на-
направлении оси х. Таким образом, мы имеем дело с абсолютно неустой-
неустойчивой ситуацией даже для малой анизотропии. Для волнового век-
вектора kz на границе неустойчивости запишем следующее соотношение:
k\ ^ Л7Ър/Тс2. Применим теперь к анализу этой неустойчивости
квазилинейную теорию. Уравнение для усредненной функции рас-
распределения имеет вид
-§ + /J-(E' + -L[YX H'A.f > =0, B.84>
dt \ m \ с ] dv I
где штрихом отмечены быстро меняющиеся величины. Теперь под-
подставим выражение для быстро меняющейся функции /', найденное
в линейной теории, и усредним, как обычно, при выводе квазилиней-
квазилинейного уравнения:
где угловые скобки обозначают операцию такого усреднения. Ве-
Величину Im[l/(co — kzvz)\ можно представить как (dldt) (со2 +
+ klvl)-1 и пренебречь а»2 в знаменателе, так как w2 С klv2z.
Теперь проделаем вычисления, аналогичные тем, с которыми мы
имели дело при рассмотрении шланговой неустойчивости. В резуль-
результате квазилинейное уравнение принимает вид
dvJ
Физический смысл квазилинейной диффузии такого типа очевиден:
неустойчивость приводит к нарастанию флюктуирующих магнитных
81

полей. Эти магнитные поля влияют на движение частиц (возникает
рассеяние частиц на таких магнитных флюктуациях).
Хотя уравнение B.85) описывает адиабатическое взаимодействие
возмущений со всеми частицами, видно, что коэффициент квази-
квазилинейной диффузии особенно велик для частиц с малыми vz. По-
Поэтому можно ожидать, что заметная модификация распределения
частиц возникает вначале только для vz <C огс- Учитывая сказанное,
можно пренебречь в этом уравнении производной по vx. Вводя но-
новую переменную h = e2/m2c2I1k~2\Hh\2, сводим уравнение B.85)
к простому виду:
<L=JL .Л*. .If
dh dvz vl dvj'
Это уравнение допускает аналитическое решение в терминах началь-
начальной функции распределения. Пусть начальное распределение яв-
является максвелловским с разными температурами. Тогда получаем
следующее решение [79]:
J
( 6)
Нетрудно видеть, что упрощение распределения в области малых
vz (а не полное выравнивание температур) приводит к стабилизации
неустойчивости при h ~ (ДТУГL.
ЗАДАЧИ
1. Оценить уровень флюктуации магнитного поля вследствие неустой-
неустойчивости нейтрального слоя в хвосте магнитосферы [79].
Пусть магнитное поле в хвосте магнитосферы направлено по оси г и не-
неоднократно по вертикали (оси у)
A)
Неоднородность магнитного поля обусловлена протеканием электронного
тока по оси х, так что распределение электронов описывается сдвинутым на
величину токовой скорости и максвелловским распределением [80]
где Аах — векторный потенциал невозмущенного магнитного поля. Как было
впервые показано Лавалем и др. [81], такое состояние неустойчиво относи-
относительно электромагнитных возмущений, распространяющихся вдоль слабого
магнитного поля. Поскольку основной вклад в инкремент дают электроны
яз узкой полосы вблизи нейтрального слоя (| у \ < йе = ]/ rHeL), где можно
пренебречь влиянием магнитного поля на траектории движения электронов,
то уравнения для возмущений, а также квазилинейное уравнение для воз-
возмущенной функции распределения совпадают с уравнениями B.77) и B.85),
S2

полученными для случая, когда избыточная энергия частиц по оси х был»
обусловлена не электронным током, а несколько большей температурой, чем
по оси z. Для удобства линейного анализа устойчивости нейтрального слоя
выразим напряженность полей через векторный потенциал Ах
Ну— ikzAx(y)exp(i kzz—iat), Ex = (ia/c)Ax(y)X
Xexp(ikzz — iat). C)
Тогда уравнение Максвелла для Ах есть
' 'k, D)
Быстроосциллирующая часть функции распределения содержит две части.
Вне области нейтрального слоя (| у \ > de) влиянием турбулентности на за-
магниченные электроны можно пренебречь и считать, что они находятся
в магнитостатическом равновесии f^j = dfcjAJdA^^. Внутри слоя (| у | <С
< de) для функции распределения можно воспользоваться ранее найденным
уравнением B.81), в котором мы пренебрегли влиянием магнитного поля нэ
движение частиц. В результате уравнение D) принимает вид
-d2 Axldy* + V (y)Ax=XAx, ¦ E)
где
Q, \y\<d,
Ane
v< 4яе*
Of;
'z
Рост магнитных флюктуации и релаксация распределения частиц прекращает-
прекращается тогда, когда плазма достигает порога устойчивости. При этом уравнение
E) не должно иметь решений с собственным значением X < 0 и инкрементом
ш = 0 [82]. Так как V<>-0, то это, очевидно, имеет место при V<de— 1.
Воспользовавшись выражением B.86) для усредненной функции распределе-
распределения, переписываем это условие в виде
Отсюда находим амплитуду флюктуирующих полей
2. Вычислить скорость распространения слабой ударной волны вдоль,
магнитного поля в плазме с холодными электронами в предположении, чт&
диссипация энергии во фронте волны обеспечивается развитием шланговой
неустойчивости [83].
Задача сводится к втысканию критической скорости движения возмуще-
возмущения конечной амплитуды (—Uo), при которой квазилинейная релаксация
приводит к увеличению анизотропии давления на переднем фронте волны.
Отличие от случая квазилинейной релаксации во времени заключается в том,,
что теперь перестройка распределения «резонансных» ионов, движущихся
8S

•с волной, дает основной вклад в изменение анизотропии давления. Вводя
в уравнение B.70) переменную h = 2 I Нд |2///§ и оставляя в нем лишь член
к
со второй производной по продольным скоростям, получаем
(o,-i/0)(d//aft) = -i/oo»_(dv/ft>}). A)
В отличие от обычного «квазилинейного плато», параллельного оси абсцисс,
это уравнение описывает установление «плато» с определенным наклоном
к ней. Поэтому при малых скоростях волны частицы отдают ей часть своей
лродольной энергии, а при больших отнимают (разность рц —рх увеличи-
увеличивается). Воспользовавшись преобразованием Лапласа, можно найти искаже-
искажение распределения в малой окрестности скоростей резонансных частиц и вы-
вычислить изменение анизотропии
9/tM/jj
X
L Г 6 »(
X 2Г 6 Г3A/3)
Для скорости волны отсюда получаем
Удержав члены следующего порядка (~Л4/3) в разложении анизотропии давле-
давления по амплитуде волны, можно убедиться, что с дальнейшим ростом ампли-
амплитуды полей h анизотропия исчезает, так что за фронтом волны распределение
частиц изотропно.
§ 2.7. Квазилинейная теория дрейфовой неустойчивости
Дрейфовая неустойчивость неоднородной плазмы, обнаруженная
Л. И. Рудаковым и Р. 3. Сагдеевым [84], приводит к аномальному
увеличению потока частиц и тепла поперек магнитного поля и та-
таким образом накладывает существенные ограничения на время удер-
удержания плазмы в ловушках. В связи с этим важное значение приоб-
приобретает корректное описание нелинейной стадии развития неустой-
неустойчивости и возникающего турбулентного состояния.
Рассмотрим лишь одну из многочисленных ветвей дрейфовых
колебаний, которая развивается в плоском слое плазмы малого дав-
давления (Р <^ 1) с инкрементом, много меньшим частоты колебаний.
Отсылая за обоснованием и подробными ссылками к книге А. Б. Ми-
Михайловского [VI], разложим потенциал электрического поля возму-
возмущений в ряд по сумме плоских волн
ф= 2 Ф(к, (o)expU(k-r—©01 B-87)
к, (о
и будем описывать частицы плазмы с помощью.дрейфового кинети-
кинетического уравнения
1, , „ а , с дФ dfj ej «эф dfj
84

где ось г выбрана вдоль невозмущенного магнитного поля Но =
= {0,0, Но], а ось х — вдоль градиента плотности плазмы п(х).
Линеаризуя уравнения B.88) относительно малых возмущений,
находим быстроосциллирующую поправку к функции распределе-
распределения частиц:
е-Ф Г d/o,- kv д/о; I
^^b-*-'-»-1- <2-89>
Для колебаний с фазовыми скоростями в интервале vTi lkz ^
^ ил С vtc. Электроны (за исключением резонансных) успевают
распределиться по закону Больцмана в электростатическом поле
волны. В результате возмущение плотности электронов можно пред-
представить в виде
д ku д
где распределение нерезонансных электронов предполагается мак-
свелловским с температурой Те. В уравнении для ионов можно пре-
пренебречь членами, описывающими продольное движение, и учесть
лишь электрический дрейф. Оставшиеся члены можно записать
в форме уравнения непрерывности
dnjdt — (с/Н0)(дФ/ду)(дп0/дх) = 0. B.91)
Используя условие квазинейтральности плазмы из уравнения B.90)
и B.91), получаем дисперсионное уравнение для частоты и инкре-
инкремента нарастания колебаний:
—*•¦* "''—^:Ь <2-92>
Нетрудно видеть, что инкремент неустойчивости в плазме с максвел-
ловским распределением электронов и однородной температурой
обращается в нуль (безразличное равновесие). Эффект раскачки
колебаний в этом случае обусловлен неучтенной здесь конечностью
ларморовского радиуса ионов. В пределе, когда длина волны коле-
колебаний много больше ларморовского радиуса ионов, поправку к ча-
стоте,-связанную с указанным эффектом, находим, добавляя в урав-
уравнение непрерывности дрейфы высших порядков (инерционные
дрейфы)
Отсюда и из уравнения B.90) получаем
85

где y\f} — инкремент нарастания дрейфовых колебаний в случае
максвелловского распределения электронов. Видим, что инкремент
очень мал, так что уже небольшие нелинейные искажения функции-
распределения могут повлиять на устойчивость плазмы относитель-
относительно конечных возмущений.
Рассмотрим два таких нелинейных эффекта. Первый из них свя-
связан с уширением области резонансных скоростей в поле монохрома-
монохроматической волны конечной амплитуды на величину ~ |/еФ0//п. Такое
уширение способно ограничить рост дрейфовой волны. Затем рас-
рассмотрим самоподавление неустойчивости вследствие релаксации
распределения резонансных электронов.
Нелинейная устойчивость монохроматической дрейфовой вол-
волны. Выберем потенциал электрического поля монохроматической
волны в виде
Ф (у, z, t) = —Фо [cos (kyy + kzz — (оО + 0 (еФо/Г)],
полагая для простоты kz = 0. В системе координат, движущейся с
волной, скорость уменьшения кинетической энергии резонансных
частиц, равную инкременту нарастания волн, можно записать как
dt 2 J К J г\ z kj dt K Г
-V2
В дрейфовом приближении общее решение кинетического уравнения
имеет следующий вид:
/е (Г, V2, t) = fe [ГО (Г, Vz, t), Vz0 (Г, Vz, t), 0],
где /e(r0, vz0, 0) — начальное распределение, a (r0) vz0) — начальное
положение частицы. Можно разделить функцию распределения на
две части
fe (Го, vz0, 0) = /о (х0, vz0) -f Д (х0, vz0, 0) cos (kyy0 + kzz0), B.96)
где первая часть /0 — локально максвелловская функция, а вторая
часть описывает возмущение распределения частиц в присутствии
волны. Вторая часть дает вклад только в генерацию гармоник, а
при вычислении баланса энергии ею можно пренебречь. Следова-
Следовательно, получаем
dft__ dfe(x0, vz0, 0) ^о , dfe(x0,vz0, 0) ^ dvz0_
dt dx0 dt dvz0 dt
oSin(kuy0 + kzz0)(kt + ^^)fe. B.97)
m y \ dvz « dl

Здесь использованы дрейфовые уравнения движения частиц
= с (kv Фо/Яо) sin (ky у Л-К z); B.98)
z == — (ekz Ф0/т) sin (ky y+kz z).
Эти. уравнения имеют решения в терминах эллиптических интегра-
интегралов. Введем сначала новую переменную 2? = kyy + kzz и перепи-
перепишем уравнение сохранения энергии
1/2/П22 — е Фо cos (kyy + kzz) = # B.99)
в форме
|« = 1/х2т2 A — х2 sin2 I), B.100)
где х2 = 2еФ0/ (8 + еФ0), х = (mleO0klI'2.
В случае х2 <; 1 решение уравнения B.100)
F (х, у = F (х, I) — t/xx. B.101)
Для х2 > 1 воспользуемся следующей заменой:
х sin i = sin?, t2 = 1/т2 A — l/и2 sin2 p.
Решение последнего уравнения есть
B-Ю2)
Чтобы найти зависимость инкремента от времени, достаточно теперь
подставить найденные решения в уравнения B.95) и B.97). Эта
задача была решена О'Нейлом в таком приближении, что при t =
= 0 его результат сводится к линейному инкременту (см. § 2.1).
Мы хотим учесть нелинейные эффекты, присутствующие уже
при / = 0, так что нам необходимо учесть больше членов, чем это
сделал О'Нейл. После подстановки уравнения B.97) в B.95) полу-
получаем:
Л/2
16я0есоФо
dt
nk\
оо Л/2
J S J L
юя ' dxj
do\
df
д / dfoe ky a/oe
d\ \ z d со Э
dv
со
]¦
B.103)
где мы опустили четные степени по соображениям симметрии. Вы-
Выполняя интегрирование и ограничиваясь для простоты пределом
Их <С 1 (более общий случай изложен в работе [I], находим ин-
инкремент неустойчивости
2ТР
п0 е* | Фо
87

Следовательно, волна конечной амплитуды может стать устойчивой
в нелинейном режиме, если ее линейный инкремент был мал. Здесь
рассмотрен лишь конкретный случай раскачки колебаний при учете
конечного ларморовского радиуса, но эти результаты справедливы
и для случая раскачки током или любым другим механизмом. По-
Поэтому их можно было бы использовать при обсуждении неустойчи-
неустойчивости щелочных плазм. Поскольку -амплитуда колебаний, найден-
найденная из условия 7й = 0, мала еФ0/Те та -j-k2rni С 1, то амплитуды
высших гармоник, наблюдаемых в некоторых экспериментах,,
можно оценить простым разложением кинетического уравнения no-
отношению еФ0/Те. Для второй гармоники, например, таким спо-
способом получаем e&2k/Te « A/2) (еФ^'/ГеJ. Следовательно, можно,
ожидать, что амплитуда гармоник убывает экспоненциально как
функция частоты.
Описанная здесь картина имеет место лишь в случае узкого вол-
волнового пакета: A(co/&z) -С (еФ^тI/2. Однако в экспериментах не-
неустойчивость может развиваться в широком интервале фазовых ско-
скоростей и это условие нарушается. Тогда эффект стабилизации обу-
обусловлен релаксацией функции распределения электронов.
Квазилинейная релаксация распределения частиц и процессы
переноса [85, 86]. Как обычно, функцию распределения частиц,
представим в виде суммы медленно и быстро меняющихся частей
(T.e.fj = Jj + 8fj) и усредним кинетическое уравнение по быстрым
осцилляциям, получим квазилинейное уравнение для медленно ме-
меняющейся функции распределения:
dt \ Я2' " т дг dvz " /
Подставляя сюда ранее полученное выражение для быстро меняю-
меняющейся части функции распределения (см. уравнение B.89)), перепи-
переписываем его в виде
B.105)
Здесь мы пренебрегли главной частью оператора (а»к — kzvz), так
как релаксация распределения нерезонансных электронов проис-
происходит гораздо медленнее, чем распределение резонансных. В квази-
квазилинейном уравнении для ионов, наоборот, можно пренебречь эк-
экспоненциально малой долей резонансных частиц и рассматривать

лишь адиабатическое изменение распределения нерезонансных ча-
частиц
dt
dt M2 ** \ г dv
_1
dvz
cot
X
д \ -f
B.106)
В коротковолновом пределе сюда следует подставить электрическое
поле, усредненное по ларморовской орбите ионов (|<Фк > |2«
|Ф|*/;(*/Й))
Рассмотрим сначала про-
процесс формирования плато.
Для этого необходимо упро-
упростить уравнение диффузии в
пространстве (х, vz), предпо-
предположив, что основной вклад
в коэффициент диффузии да-
дадут колебания, имеющие мак-
максимальный инкремент (т. е.
учесть лишь колебания с
волновым вектором к = к,
где кг = G>k/vA, a ky оп-
определяется, как будет пока-
показано ниже, конкуренцией эф-
эффектов формирования плато
и установления максвеллов-
ского распределения из-за
соударений). Если ввести но-
новые переменные
Резонансная
обметь
Квазилинейное
плато
максвеляовское
распределение
Рис. 28. Линии уровня для максвел-
ловскего распределения и распределен
ния с квазилинейным плато в резо-
резонансной области.
Л - of/2, I = vl/2 — cok соя x/2ky, B.107)
то дифференциальный оператор в уравнении B.105) сведется к виду
дц
щ dvz соксоя дх
Следовательно, линии уровня, вдоль которых устанавливается
плато, описываются уравнением х — ky &i/2co//cok = I = const.
Так как vz < vre в резонансной области, то линии уровня максвел-
ловского распределения приближенно определяются соотношением
х — vI/2u>hvI = const. В случаях длинных волн cok = kyv% A —
— k\Rh) и два набора линий уровня отличаются друг от друга
только вследствие эффекта конечности ларморовского радиуса
ионов (рис. 28). Поэтому энергия, высвобождаемая в результате
релаксации распределения электронов, в этом пределе также мала.
Если изобразить релаксировавшее распределение электронов
по скоростям vz при фиксированном х, то увидим, что наклон функ-
8}

ции распределения в резонансной области становится более крутым,
благодаря чему затухание Ландау увеличивается и рост волн пре-
прекращается. В процессе релаксации электроны теряют энергию движе-
движения вдоль магдитного поля. Следовательно, можно сказать, что
источник энергии нарастающих флюктуации — энергия теплового
движения электронов вдоль поля. Можно оценить смещение элек^
тронов в процессе релаксации из условия ? = const
8х = —кЛ—-^-. B.108)
Так как bv\ «й, то смещение резонансных электронов много
меньше плазменного радиуса (Ьх ~ nov%/n'tvh)- Иными словами,
неустойчивость быстро самоподавляется, так что существенного
изменения электронной плотности не происходит. Интегрируя ква-
квазилинейные уравнения для ионов и электронов, нетрудно убедить-
убедиться, что обе компоненты плазмы диффундируют поперек магнитного
поля с одинаковой скоростью. Например, для электронов из урав-
уравнения B.105) имеем
— = — Z -*-• — |ФкГ dsvn8(a>k— kzvz)\kz — ¦+
* 1B.109)
dx)' K '
^ a>H dx)le dx\H20<? v] k| «t^t-l dx
где мы воспользовались уравнением B.93) для инкремента неустой-
неустойчивости Vk- Если, кроме того, учесть, что «к » kyV%, то обнару-
обнаружим, что коэффициент резонансной диффузии электронов совпадает
с коэффициентом диффузии нерезонансных ионов
Далее, поскольку в отсутствие соударений диффузии плазмы нет,
то для получения эффекта диффузии следует учесть редкие соуда-
соударения в правой части уравнения B.105). Соударения стремятся уста-
установить распределение Максвелла и тем самым помешать формиро-
формированию плато. Поэтому с учетом соударений мы уже вправе ожидать
наличия диффузии. Электронное уравнение принимает вид
ll, B.110)
где
Stcoll (/e) = ve vh (д* (fe-fMe)/dvl).
Так как нас интересует случай, когда соударения редки (т. е.
Stcoii С St^i.), то можно решать уравнение B.110) методом по-
последовательных приближений [86]. Представим функцию распре-
90

деления в виде/е = #0) + Д1', где/?0) есть решение квазилиней-
квазилинейного уравнения
StQL [/10)] = 0. B.111)
Тогда для /е1' получаем уравнение
SVffH + St^J/^O. B.112)
Уравнение B.111) имеет простое решение с плато, так что
B.113)
vz dvz ®к юя дх
Чтобы решить уравнение B.112), проинтегрируем его по vz:
О
X (kz i-4. iL. . _?Л /<¦> ,-_ ууп ±(fMe-rt<"). B.114)
V &>z СОН 5х/ 5уг
Поскольку /iX) зависит от oz гораздо сильнее, чем от х, то можно
пренебречь производной пол; впервой скобке уравнения B.114).
Если, кроме того, использовать уравнение для плато B.111),
чтобы оценить второй член в правой части уравнения B.114), то
получим
д \
)f B.115)
г dvz cok соя дх
Интегрирование этого выражения по (д. = mv\l2H дает
yk1)n8(&k~kzvz) = чеите<ркМ), B.116)
т
где введен инкремент для релаксировавшего распределения в при-
присутствии соударений yll) и инкремент для максвелловской плазмы
укМ) (см. уравнение B.94)). Хотя это выражение нельзя исполь-
использовать для оценки инкремента или энергии волн в отдельности, тем
не менее оно позволяет оценить коэффициент диффузии, зависящий
как раз от произведения этих величин. С помощью соотношения
B.116) и уравнения B.109) получаем коэффициент диффузии
?± = vJ—"-^ 24МттЧ ¦ BЛ17)
\ дпа1дх J kyvl \RzvTe/
Для оценки коэффициента диффузии следует найти характерное
волновое число к. В случае, когда соударения успевают установить
91

максвелловское распределение, спектр турбулентности имеет мак-
максимум при krm та 1. Это связано с тем, что индуцированное рас-
рассеяние волн на ионах быстро переводит частицы из коротковолновой
области, где линейный инкремент значительно больше, в область
krHi ~ 1 187]. В результате уменьшения частоты соударений про-
происходит релаксация распределения электронов, инкремент неустой-
неустойчивости для длин волн порядка ларморовского радиуса становится
отрицательным (затухание). Для .стабилизации коротковолновых
колебаний требуется гораздо больший наклон функции распреде-
распределения в области резонансных скоростей (Tedf(e0)/dmvl« (kvifj(?>\s. >1.
Поэтому в условиях, когда возмущения с длиной волны по-
порядка ларморовского радиуса ионов застабилизированы, нелиней-
нелинейная откачка энергии из коротковолновой части спектра уменьшается
и максимум спектральной плотности энергии смещается в эту об-
область. Коэффициент пространственной диффузии можно оценить
по формуле B.117)
4T()8/s *''"'• BЛ18)
Соотношения B.117) и ^2.118) допускают простую интерпретацию.
Оценим сначала энергию, высвобождающуюся в результате релак-
релаксации распределения частиц и идущего на увеличение энергии коле-
колебаний:
~т \vl[f«»(vz)-fM(vz)]dvz~
B.119)
Электрический дрейф резонансных электронов приводит к их сме-
смещению на расстояние, совпадающее с ранее данной оценкой B.108):
kyV* . B.120)
'o^k \_dnaidx \ \*zVTe/ cok
Теперь диффузионный поток электронов B.117) можно записать
в виде
^ ^-, B.121)
где- veff = ve I —j? ) — эффективная частота соударений ч астиц
с резонансными скоростями vz « oi/kz, а 6п = n0((o/kzvTe) — плот-
плотность резонансных электронов [инкремент неустойчивости пропор-
пропорционален числу резонансных электронов Yk « (bn/no)kyvel,].
В заключение несколько слов следует сказать о пределах приме-
применимости уравнения B.118). Во-первых, при выводе его предполага-
предполагалось, что неустойчивость слабая, т. е. уь <С «к или
92

Заметим, что в плазме конечного давления очень коротковолновые
колебания (k > k c) подавлены из-за резонанса между ионами, дви-
движущимися со скоростью диамагнитного дрейфа, и дрейфовой волной:
[VI]. Поэтому в пределе ve -> 0 в уравнение B.118) следует подста-
подставить kc($). Во-вторых, считали, что Stcoii С StQL. Последнее уело-
вие, очевидно, совпадает с условием
где коэффициент турбулентной диффузии получен из уравнения.
B.109) с учетом того, что спектральная плотность энергии дрейфо-
дрейфовых колебаний ограничивается на уровне, пропорциональном линей-
линейному инкременту неустойчивости и, таким образом, содержит малый
параметр Yk/юк (более подробное обсуждение см. в обзоре [881
и книге [III]).
ЗАДАЧА
Оценить инкремент нелинейной неустойчивости плазмы с неоднородной:
температурой электронов относительно возмущений с конечной амплитудой*
и коэффициент диффузии вследствие развития неустойчивости [89].
Рассмотрение квазилинейной стабилизации дрейфовых волн, приведен-
приведенное в тексте, показало, что соударения способны поддерживать нарастание-
флюктуации дрейфовых волн. Инкремент такой нелинейной неустойчивости,,
оцененный из уравнения B.16), есть (см. результаты § 1.3)
где хе = v~{f = v I — — время между соударениями резонансных час-
тиц, a Tql — время квазилинейного искажения функции распределения. Как.
и в § 2.3 предположим, что эта формула справедлива и в случае конечного воз-
возмущения в виде монохроматической дрейфовой волны. Только теперь следует
п'ровести замену хе —» v-1 (еФ0/Те), a XqL —» %ъ = A.z/"j/e(D0/m —время нели-
нелинейного искажения распределения электронов, запертых в волне. В пределе
ть С те из уравнения A) получаем
где мы воспользовались известной формулой для линейного инкремента у^1'1 =
= —со2т)/ | kz | vTe, ц = d In Teld In n0. Энергия колебаний черпается из про-
продольной энергии электронов, освобождающейся в результате релаксации все
новых порций захватываемых в потенциальную яму электронов. Диффузию,
сопровождающую процесс развития нелинейной неустойчивости, можно оце-
оценить из уравнения B.121), где смещение в поле волны и число резонансных,
частиц есть
А /~еФ
Оказывается, что диффузия слабо зависит от амплитуды поля
еФ кУ
9S

ГЛАВА 3
НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНА — ЧАСТИЦА
§ 3.1. Ленгмюровская турбулентность
Изложим последний механизм нелинейного взаимодействия волн
и плазмы, причем для простоты ограничимся рассмотрением плаз-
плазмы без магнитного поля.
Поскольку плазма — нелинейная среда, то при распространении
в ней двух волн с частотами щ, со2 возникают биения на смешанных
частотах (сох ± со2) с волновыми векторами (кх ± к2). Резонанс
между этим биением и третьей волной (со3, к3) лежит в основе распад-
ного взаимодействия волн и был описан в гл. 1. Кроме того, по ана-
аналогии с линейной теорией в резонанс с биением могут попасть ча-
частицы с такой скоростью v, что
(ki+k^-v^roi+coa. C.1)
Такой процесс впервые был рассмотрен Драммондом и Пайнсом
157] для случая одномерного волнового пакета и Б. Б. Кадомцевым
и В. И. Петвиашвили [34] в общем случае. На квантовом языке это
процесс индуцированного рассеяния волн на частицах. Темп об-
обмена энергией вследствие этого процесса поэтому оказывается про-
пропорционален спектральной плотности энергии в падающей и рассеян-
рассеянной волнах. Следовательно, в рамках классической теории возму-
возмущений, использованной для описания процесса индуцированного
рассеяния в работе [90], в разложении по амплитуде колебаний сле-
следует учесть члены вплоть до третьего порядка. Сам эффект при этом
может быть существен, когда число частиц, резонирующих с одним
колебанием, мало, а в резонанс с биением попадает много частиц.
В качестве первого примера рассмотрим волновой пакет ленг-
мюровских колебаний со случайными фазами. Частота ленгмюров-
-ских колебаний почти постоянна (т. е. ю2 = ©| A + 3k2Xh/2),
rjiekXD <C 1). Следовательно, взаимодействие волн с волнами прояв-
проявляется лишь в третьем порядке по энергии волн (только в этом по-
порядке появляется взаимодействие с участием четырех волн, для
которых можно выполнить условие резонанса a>i + ю2 = Из +
+ ю4). Этим взаимодействием можно пренебречь по сравнению с
процессом рассеяния плазмонов на частицах, который имеет место
уже во втором порядке по энергии колебаний.
Рассмотрим процесс рассеяния на частицах со скоростями, удов-
удовлетворяющими условию резонанса: щ — к>2 = (kx — k2) • v.
Для этого разложим сначала потенциал электрического поля коле-
колебаний в ряд Фурье как по времени, так и по пространству. Первое
предполагает хорошее поведение потенциала при t—>-oo. Хотя это
условие заведомо нарушается в линейном приближении, когда имеет-
имеется раскачка или затухание колебаний, нелинейные эффекты, огра-
ограничивающие рост возмущений, могут оправдать такое предположе-
94

ние. Как обычно, разлагаем функцию распределения по степеням
амплитуд волн, используя итерационную формулу
/,(к,со, v) = 2 f]n) (k, со, v),
л =0
ov
", co",v)
X
C.2>
Здесь fj, Ф — компоненты Фурье, домноженные на ехр [i (kr —
— со/)]. Подставляя это выражение в уравнение Пуассона, получим,
динамическое уравнение для волн
ек' > (со) Ф (к, со) + 2 е??> к- (со', со") Ф (к', со') Ф (к", со") +
к' + к" к
к
"= и
+ .
2 е1'Гк-.к'"(о»'. < со'")Ф(к', со')Ф X
Х(к", со")Ф(к'", ©'") + ...,
где. Ф(к, со)—фурье-образ потенциала, а
e^co^-l-
C.3>
ejt?) к»(©', со") = - У
X
со'^-со"— (k'
dv со"—k"-v+iO
к"х
к'.—
C.4>
Бесконечно малая положительная величина «+0» дает правил»
обхода полюсов при интегрировании по скоростям. Она не возникает
естественным образом, как это было в линейной теории при исполь-
использовании преобразования Лапласа для решения начальной задачи,.
а просто введена, чтобы соблюсти принцип причинности (обеспечи-
(обеспечивает медленное включение взаимодействия при t = —оо). Решим
динамическое уравнение, считая величины | Фь |2 — Tk/cok малым па-
параметром. Очевидно, что Ф(со, к) имеет узкий пик вблизи собствен-
собственных частот со = со(к) с шириной порядка ук, так что
Ф(к, со) «^"8 (со — со (к)),
C.5>

где ©(к) — решение уравнения Reekl) (ш) = 0. В следующем при-
приближении уравнение C.3) дает
2 Щ^--»). C.6)
Чтобы вывести кинетическое уравнение для волн, домножим урав-
уравнение C.3) на Ф* (k, со) exp [i (со — со) t] и проинтегрируем по dcodco.
Первый член в получающемся таким образом уравнении есть
dca JdcaeL1 * (со)Ф(к, со)Ф*(к, со)ехр [iE—©)*]. C.7)
Поскольку Ф(к, со) имеет пик вблизи сок, то можно переписать мни-
мнимую часть этого выражения в виде
Im [jj da J dcoe^ (со) Ф (к, со) Ф* (k, со) exp [i (со— со) *]] да
i^^J=4- C.8,
где бк1' (со) = ejt1'' (со) + iekl)"(to). Подставляя в оставшиеся чле-
члены выражения C.5) и C.6) и проводя усреднение по фазам (т. е.
<ФкХ) Фк1-1*) = |Фкг) |28к, к'), получаем хорошо известное урав-
уравнение для волн [34, 57, 90, 91, V3
=
Ч- + к» (ю
k^
4-k(kk)
-Зек-! -к'.к]|ФкФк'|2, .C.9)
где мы ограничились членами не старше второго порядка по энергии
волн и опустили верхний индекс у амплитуд волн ФкХ). Первый
член в правой части описывает линейное затухание (рост) колеба-
колебаний. Во втором члене вклад дают полюса, возникающие при сов-
совладении частоты биений с какой-либо из собственных частот
Imte*1) (о, к)] « —яб(еA> (о), к)). Очевидно, что этот член опи-
описывает слияние колебаний Фк', Фк» с образованием колебания
Фк. Третий член дает вклад в процессы распада (сок — ©к' =
= ©к") и в процесс индуцированного рассеяния (сок — ©к' =
= (к — к') • v), который мы интерпретировали ранее как распад
исходного колебания Фк на колебание с близкой частотой Фк- и на
-флюктуацию плотности, быстро затухающую из-за резонанса с ио-
ионами плазмы (со — со')/| к — к| « vn (§1.1 см. задачу 2). Чет-
Четвертый член, очевидно, ответствен за комптоновское рассеяние лен-
«6

гмюровских колебаний. (Подробнее о роли двух последних члено
в индуцированном рассеянии на электронах см. § 3.3.)
Поскольку для трех ленгмюровских колебаний нельзя выпол-
выполнить резонансное условие на частоты, то распадное взаимодействие
здесь отсутствует. Кроме того, как было показано Драммондом
и Пайнсом [57], вклад в индуцированное рассеяние колебаний элек-
электронами, описываемый двумя слагаемыми последнего члена в урав-
уравнении C.9), мал из-за взаимной компенсации слагаемых. Физиче-
Физический механизм ослабления рассеяния заключается в экранировке
заряда электрона ионной шубой. В случае узких волновых пакетов
биения могут попасть в резонанс с тепловыми ионами и тогда основ-
основной вклад в правую часть уравнения C.9) дает третий член, причем
нелинейность диэлектрической проницаемости е<2> по-прежнему
обусловлена нелинейностью уравнений движения электронов, а
вклад в мнимую часть е<1) даю,т ионы. Чтобы оценить ek(;"_k' X
X (a»k, —«k')> разложим интеграл в уравнении C.4) в ряд по
малому параметру (© — со')/| к — к' | vje-
2
(ok_(ok,-(k-k')-v /_ _а_ч , _g_,
@)к—k-v)(ok.-k'-v) \ dv ) V dvj'e
(k-k')-a/e/5v
2m cok cok, (k—k'J J cok—cok,—(к —к')-v-fiO
= ^r'— e,<i!k'(cok-cok-). C.10)
2m cok (Ok/
Аналогичным образом находим
6k' k_k' =— • (k—к )aEk_k' («k—«к') C.II)
2m wk cok/
X """*' W( ^^ К C.12)
где W(z) =-^- j . В результате уравнение C.9) прини-
мает
4 Зак
вид
1
2
. 112
д
dt
97

Х(к-к'J к~к'^ к к'> Imek'2k'K-(ok.). C.13)
Используя это уравнение, нетрудно убедиться в том, что число
волн сохраняется:
-§- V пк = (d/dt) V —т— f °>к ^ (°*)] к21 Фк |2/8я = 0.
Последнее нетрудно понять, если заметить, что в случае колебаний,
имеющих фазовую скорость, большую тепловой скорости частиц,
условие резонанса % + со2 = (кх + к2) • v невозможно выпол-
выполнить. Процесс, имеющий место при выполнении второго условия
резонанса coj — ©2 = (кх — к2) • v, представляет собой рассея-
рассеяние волн, причем условие резонанса обеспечивает сохранение энер-
энергии в этом процессе Аи" = d$Ap/dp = /i(kx — к2) • v = /i(a>k, —
— «kj. Естественно, что число волн в процессе сохраняется, и это
можно доказать в общем случае без привлечения квантовомехани-.
ческих аргументов на основе свойств симметрии коэффициентов е<">.
Уравнение C.13) допускает аналитическое решение в случае,
когда распределение волн в ^-пространстве изотропно, а разброс
фазовых скоростей волн много больше ионной тепловой скорости:
Д/г/?>(т/Л4)'/*. C.14)
В этом случае в спектре излучения интенсивно взаимодействуют лишь
близкие друг к другу по частотам волны, так что подынтегральное
выражение в C.13) (мы переходим к непрерывному спектру) можно
разложить по степеням разности частот взаимодействующих волн.
Возникающие при этом интегралы по частотам представляют собой
хорошо известные интегралы теории дисперсионных соотношений.
Проводя интегрирование, сводим уравнение C.13) к дифференциаль-
дифференциальному уравнению в к-пространстве:
^ ^ = 0. C.15)
0 /г2 Фк |2 4ятсо
где BяK^к = : • -1-; т =
4nN0eTe
Индуцированное рассеяние волн в длинноволновую область спек-
спектра приводит к уменьшению энергии волн и укручению переднего
фронта профиля линии излучения в к-пространстве [90], причем
уравнение C.15) становится неприменимым, если в процессе укру-
чения переднего фронта профиля линии образуется вертикальная
стенка. Картину эволюции профиля линии проще всего проследить
в случае, когда невысокая линия движется на фоне почти однород-
однородного спектрального распределения энергии волн. В этом случае
уравнение C.15) следует дополнить следующими членами разло-
разложения по параметру C.14). Из соображений четности очевидно, что
98

в уравнении C.15) появится член с третьей производной
и задача о профиле линии станет аналогичной задаче об эволюции
профиля начального возмущения в нелинейной среде с дисперсией.
Как известно [II], «дисперсия» скорости движения линии в к-про-
странстве останавливает укручение фронта, но вместе с тем от перед-
переднего фронта отделяются солитоны и убегают вперед или назад, в за-
зависимости от знака дисперсии.
Если нас интересует релаксация отдельной лцнии плазменных
волн в k-пространстве, то образующиеся в k-пространствё градиен-
градиенты не малы и малого параметра типа C.14) уже нет. В том случае
следует решать точное интегральное уравнение. Качественная кар-
картина релаксации. при этом остается прежней: передний фронт ли-
линии становится круче и от него отщепляются солитоны [92].
ЗАДАЧИ
1. Вычислить интенсивность рассеяния плазменных волн на флюктуа-
циях плотности электронов [VII—VIII].
Вычисления полностью аналогичны решениям, проделанным в задачах
1—3 в § 1.1, когда мы рассматривали рассеяние на звуковых колебаниях
плотности электронов. Ток, возбуждающий рассеянную волну
1Е A)
В случае, когда рассеянные волны продольные, их амплитуду находим из
уравнения
— icoe(a>, k)Ek = 4jxk(k-jk J/k2. B)
Вычисляя работу электронов в поле рассеянной волны, находим интенсив-
интенсивность излучения
at да 8я J BлK m2 со2 шк Ce/da>k) к2
В случае максвелловской плазмы с помощью уравнения A1) из приложения
А переписываем уравнение C) в виде
± iM^C^ko e2 Jk-EkJ» _(Дк)Мш „,,.„„. ,
dt 4я ~JB^m»ffl» - к2 Am|e(AB>,Ak)|»ulTW1 ее'
}• D)
2. Оценить уровень шумов и скорость нагрева плазмы с Г; ^ Те вслед-
вследствие развития распадной неустойчивости сторонней волны [93].
Электрическое поле, вводимое в плазму извне, представим в виде
.c. A)
Распад этой волны в почти изотермической плазме на ленг,мюровскую волну
и быстро-затухающее звуковое возмущение является по существу процессом
индуцированного рассеяния на ионах и описывается уравнением C.13). Од-
Однако вместо этого точного выражения мы используем для простоты прибли-
приближенное выражение для инкремента неустойчивости, полученное в рамках
гидродинамического описания в задаче 3 к § 1.1.
4* 99

В качестве механизма насыщения неустойчивости рассмотрим индуци-
индуцированное рассеяние ленгмюровских колебаний на ионах. Как и в работе [93],
будем считать, что возникающие ленгмюровские колебания имеют небольшой
угловой разброс B sin в/2 < 1), так что допплеровское уширение частоты
биений много меньше ширины спектра по частоте, и, следовательно, рассея-
рассеяние можно описывать дифференциальным уравнением типа уравнения C.15).
Учитывая кроме этих двух процессов также и процесс рассеяния волны A)
на флюктуациях плотности электронов (см. задачу 1), получаем следующее
приближенное уравнение для спектральной плотности ленгмюровских коле-
колебаний:
+ i
—1- —a jdi'(l-K')X
-1
Г „ 1 „1
X
где
W (Q, ?) = | Ек |2/4я; Q=((ok4-fi)s — <Bo)/vs; S = c
\2nM vevs N0Te
, юр El =
a>2v " 4jtJV ' Ve '
Здесь мы ввели полярную систему координат с осью вдоль Ео и воспользова-
воспользовались азимутальной симметрией задачи. Уравнение B) имеет следующее фор-
формальное решение, четное по переменной 1:
l2]. C)
Интеграл этого решения по | сразу же берется
V alb-\-\
ta-L±_ D)
а/6-1
Так как спонтанное излучение электронов, движущихся в поле волны, мало
(Е2 — 1 > аб), то в уравнении D) мы, очевидно, должны положить alb —
— 1 оо ехр (—W/6) и переписать уравнение C) в виде
W (Q, ?) = 6|2/ [1 —|2^2ехр( — "W/й)], E)
где
С помощью полученных соотношений нетрудно оценить высокочастотную
проводимость плазмы. Для эффективной частоты соударений имеем соотно-
соотношение
т. е. частота кулоновских соударений выпадает из ответа.
100

§ 3.2. Ионно-звуковая турбулентность
Одним из признанных механизмов возникновения аномального
сопротивления плазмы (эту проблему мы подробно обсудим в сле-
следующей главе) является возбуждение током ионно-звуковой турбу-
турбулентности.
Для ионно-звуковых волн с фазовыми скоростями между ионной
и электронной тепловыми скоростями линейное дисперсионное соот-
соотношение имеет вид
^[/^^)l (зле)
У J со2 ^ к2 с\ [ Т |/ 2M\\k\ct c
г" {
где cs = у TJM — скорость звука; Vd — токовая скорость элек-
электронов ив — угол между направлением волнового вектора к и'на-
и'направлением тока Vd- В длинноволновом пределе фазовая скорость
колебаний совпадает со скоростью звука а/к = cs, а в коротко-
коротковолновом пределе падает с уменьшением длины волны, так как ча-
частота остается постоянной (со = Qp, см. рис. 7, кривая 3). Для воз-
возбуждения длинноволновых колебаний токовая скорость должна
превышать звуковую. Возбуждение коротковолновых возмущений
в сильно неизотермической плазме (Те ^> Tt) может происходить
при меньших скоростях. Поскольку ионно-звуковая неустойчивость
принадлежит к типу резонансных неустойчивостей с малым инкре-
инкрементом, то возникающее в результате ее развития турбулентное со-
состояние можно представить в виде газа взаимодействующих волн
и описывать его с помощью кинетического уравнения для волн.
В гл. 1 показано, что для волн с дисперсией аналогичной кривой 3
на рис. 7 невозможно резонансное взаимодействие трех волн. Сле-
Следовательно, основной вклад в нелинейную релаксацию спектра тур-
турбулентности дает процесс рассеяния на частицах, описываемый по-
последними двумя членами уравнения C.9). Взаимодействием с элект-
электронами можно пренебречь, так как число частиц, попадающих в ре- ¦
зонанс с биениями, мало (Ьп as N0((o i <o')/| k + k' | Vre С No).' Кро-
Кроме того, поскольку фазовая скорость волн много больше ионной
тепловой, ионы могут только рассеивать (но не поглощать) волны,
так что число волн сохраняется. Считая «в" = сок — сок- ~ коп>
k" ~ k, в низшем порядке разложения по co'Voi получаем
к Jco" —k"-v + iO
е(к.к')
М «к юк'
C.17)
Однако если подставить эти выражения в кинетическое уравнение
для волн, то нелинейные члены сократятся. Следовательно, нужно
101

учесть члены более высокого порядка. Для е<3> находим
-Г.2 ,2 (к.к'J
-fd-vfl +--- + 10-^1
J I to «2 J
со.;к_к. = _=_-• — •-—— i cPv 1 -т--^—-+-0-*^- х
ft2 М2 со2
xk"^-'6(co"-k"-v). C.18)
dv
Чтобы выполнить интегрирование по скоростям, разделим к • v
на две части:
k-v= (k"-v)(k-k")/k+ [k"xv]-[k"xk]//e. C.19)
Первый член просто выражается через аргумент б-функции, а вто-
второй не зависит от нее. Следовательно, интегрирование по скоростям
в уравнении C.18) не представляет труда; перепишем его в виде
4(k.k")O)" J0(k.k»J<0 .
+ + +
___ + —_____
C.20)
Аналогичным образом вычислим
fck,jk»_R ek, _k-_ ^ . ^ x
X f 1 + -2(kf)m +3(fcx^o» 3[.x.T4i1 6A k
L йсо ^ йсо2 feca3 Jl
С помощью уравнений C.20) и' C.21) кинетическое уравнение C.8)
перепишем в виде [94, III].
flS
ХЙ1 фкр|фк.|2. C.22)
dv
Как и предполагали, число волн сохраняется в учтенных здесь не-
нелинейных процессах:
фк |2/4я) = const.
Следовательно, взаимодействие мод (рассеяние) не может остановить
роста числа волн вследствие линейной неустойчивости, и поэтому
необходимо учесть какой-либо дополнительный процесс, чтобы
спектр турбулентности' мог быть стационарным. В результате рас-
рассеяния на максвелловских ионах энергия перетекает по спектру от
ее коротковолновой области к длинноволновой.
102

Предположим, что затухание длинноволновых колебаний вслед-
вследствие ион-ионных соударений играет роль стока энергии и числа
волн [III]. Такое предположение позволяет обрезать спектр в об-
области длинных волн, а в остальном пространстве волновых век-
векторов построить стационарное решение, в котором линейный рост
неустойчивости сбалансирован оттоком энергии в длинноволновую
часть спектра.
В качестве примера такого рода турбулентности рассмотрим
случай, когда волновые векторы колебаний могут иметь только два
выделенных направления. Тогда, переходя от дискретного набора
волновых векторов к непрерывному, можно представить |Фк|2
в виде
|Фк|2=,/(/г)8(Ф)8(созв — cose0), HD<1, C.23)
где (k, В, Ф) — сферические координаты в k-пространстве с поляр-
полярной осью вдоль направления распространения тока.
Рассмотрим спектр турбулентности в длинноволновой области
и будем считать, что токовая скорость незначительно превышает
звуковую. Тогда в результате неустойчивости возбуждаются лишь
волны, бегущие под небольшим углом к направлению тока (т. е.
©0 <§^ 1) и уравнение C.22) значительно упрощается:
X -~- [k* I (k)\ cos2 Bв0) sin2 B80), C.24)
ok
где мы воспользовались соотношением
I
vk". ^oi 6 ((ok - ak. - k" • v) = - k" JL. б (cok - cok-)
и перешли от суммирования к интегрированию по k с помощью сле-
следующего правила:
2я Я оо
dk
2 JSj^
k 0 О О
Общее решение уравнения C.24) есть
)ЦXnkD. C.25)
(cose1)Ц
2М\с, ) Г, eg ft»
В этом уравнении мы обрезали спектр на некоторой длине волны D,
т. е. ИР) = 0.
Полученное решение, конечно, не единственное. Более того,
оно неустойчиво, так как любое возмущение, распространяющее-
распространяющееся вдоль направления тока, имеет больший инкремент нарастания
и меньше ограничено присутствием колебаний, распространяющих-
103

ся под углом в0. Высказанные соображения наводят на мысль,
что такой-спектр имеет тенденцию к схлопыванию.
Попытка построить более реальное решение уравнения C.22)
была предпринята И. А. Ахиезером [95], который нашел его авто-
автомодельное решение. Оказалось, что угловое распространение спект-
спектральной плотности энергии осциллирует между конусом Черен-
кова (т. е. /(в) ~ S (cosв — cJVd)) и линией тока, т. е. /(в) =
= 6A — cos в) с периодом, пропорциональным энергии волн.
ЗАДАЧА
Найти спектр турбулентности в коротковолновой области [I].
В коротковолновой области уравнение C.22) можно записать в виде
e t)
еа / (ft в t) Т- д ^л ~^"'
4- 9 Л*' -ф- №о)* — (к7кЬ) f dO' J dcos в/(ft, в', t)x
4R 1 e J e Ok ^ j
д (Qp t) k*cj \2М ) [с.
в t) Т- д
1 e J e Ok ^ j
x[ixr]2(i-i'J, '=j^j-
В стационарном случае это уравнение допускает степенное решение по k
B)
§ 3.3. Индуцированное рассеяние света
в плазме (основные уравнения)
Описание системы электромагнитное излучение + плазма
дается совокупностью кинетических уравнений для функции рас-
распределения частиц и уравнений Максвелла для электрических и маг-
магнитных полей. В случае малых амплитуд колебаний электрических
и магнитных полей, как и прежде, решение кинетического уравне-
уравнения будем искать в виде разложения по амплитудам электрических
полей [см. уравнение C.1)]*:
А2)к'+... C.26)
Bя)» ' JJ Bя)»
Функцию распределения в каждом следующем приближении по ам-
амплитуде волны можно найти из итерационной формулы
* Мы уже неоднократно отмечали, что нелинейное взаимодействие как
ленгмюровских, так и электромагнитных волн описывается одним и тем
же уравнением. Здесь приведен краткий вывод более полных уравнений,
по сравнению с теми, которые были получены в § 3.1.
104

I m. i ** ? i . /11 I I / I l I I и ,i int ,_ r»T\
(n ф 1)!
Здесь результат суммируется по всем возможным перестановкам
индексов к, к', ..., к(п>. Индуцированное рассеяние световых волн
со случайной фазой является эффектом второго порядка малости
по энергии волн, поэтому для правильного описания его следует вы-
вычислить ток рассеяния с точностью до третьего порядка по амплиту-
амплитуде волны, что предполагает нахождение поправки к функции рас-
распределения /<3>.
В линейном приближении задача о распространении электро-
электромагнитных волн в плазме сводится к определению диэлектрической
проницаемости среды:
д//@)
е (со, к) = 1 + У. е,- (со, к); е. == -^- — C.28)
^ш j tti k^ I (О к • v -\~ iO
При вычислении /'<2> следует иметь в виду, что допплеровские
поправки к частоте волны (но не биений!) в нерелятивистской плаз-
плазме очень малы. Удерживая поправки не выше первого порядка по
vie, находим
C.29)
(дк(Ок.
В выражении для /'<3> выделен лишь член, дающий вклад в ток
рассеяния волны с частотой ак:
т.] со—k-v { с
Интенсивность излучения рассеянной волны равна работе частиц
в поле рассеянной волны, взятой с обратным знаком. Однако вычис-
вычисленный таким образом ток рассеяния определяет лишь часть полного
эффекта рассеяния на свободных электронах. В плазме электроны
окружены экранирующим облаком электронов и ионов. Очевидно,
что колебания электрона и экранирующего его облака происходят
в противофазе, и поэтому рассеяние на экранирующем облаке ком-
компенсирует рассеяние на рассматриваемом электроне.
Колебания экранирующего облака описываются с помощью элек-
электростатического потенциала ФдУ, дш. Амплитуда колебаний нахо-
находится из уравнения Пуассона для потенциала , ,
Ak2 г (Асо, Дк) Ф&\ Дш = -4яе J #22k. d3 v, [C.31)
105

откуда с помощью уравнения C.29) получаем
B) е (Е^,) 8е(Аш,
2те сок (Ок- е (Дсо, Ак)
Лсо = СОк — ©к', Дк = к — к'.
Распределение электронов в поле виртуальной электростатиче-
электростатической волны Ф<2> есть
)
, До
Дсо —
F.66)
Колебания электронов в поле падающей волны с плотностью, про-
модулированной в поле виртуальной волны, дают вклад в ток рас-
рассеяния, сравнимый с ранее найденным. Этот эффект описывается
поправкой второго порядка к функции распределения частиц, если
в итерационное уравнение в качестве функции первого приближе-
приближения подставить распределение C.33):
№1ь =± -V{?k' + - FXHk-])-f№}. C.34)
т со — k-v { с ) dv
Суммируя вклады в рассеивающий ток из-за колебаний электронов
и экранирующей его шубы и вычисляя затем интенсивность излу-
излучения на частоте рассеянной волны, получаем уравнение для ампли-
амплитуд колебаний [96, 97, V]:
д |k| p |к? |
dt 4n 2m2 J BяK COk сф
Лк2 . ... . . . . ,
X
4я|е(Лсо, Ak)|a Vl
+1 ee (Aco, Ak) |2 Bt (Лео, Ак)}. C.35)
Уравнение для полей следует дополнить квазилинейным уравне-
уравнением для усредненной функции распределения частиц. Последнее
получается путем усреднения нелинейных членов в кинетическом
уравнении по времени быстрых колебаний электрических и магнит-
магнитных полей. Удерживая члены не старше второго порядка по энер-
энергии волны, получаем
1 1 d
г„ .у u*il / ri C) р г/BI\
IV X ПкН —— V/V, к, —к' + /к', Ак)~
dt /п.- BпK с dv
BлK dv
С помощью уравнений C.29) — C.34) находим
df<0) /dt= (d/dva)D^{df! t0) /aop)i C.36)
106

где
?>Lj = I • ' о о АкаДТс8б(Аю —Ak-v)X
X {6^|1 + ег(Д(о, Ак)|2 + бл|еЛА«, Дк)|2}/|е(Дш, Ак) |a.
Непосредственным вычислением с помощью уравнений C.35),
C.36) нетрудно убедиться, что энергия и импульс в системе частицы
плазмы + излучение сохраняются.
Приведенные выше уравнения получены интегрированием кине-
кинетических уравнений вдоль невозмущенных траекторий частиц.
Поэтому они справедливы только при условии, что энергия частиц
в высокочастотном поле значительно меньше, чем энергия теплового
движения. Учитывая, что энергии ионов в высокочастотном поле
равны потенциальной энергии ионов в электростатическом поле
биений с потенциалом, определяемым уравнением C.32), а к потен-
потенциальной энергии электронов в поле биений следует прибавить ки-
кинетическую энергию их колебаний в высокочастотном поле [97],
записываем условие применимости уравнений C.35) и C.36) в виде
— [[d3 kds к' Ф, (к, к') < Th C.37)
BяN JJ
где
е*(Еъ-Е?Л ее(Д(О, Дк) е2 /Et • ЕЙ') 1 + ej (Аса, Дк)
ф. — i _ К ' . . f фе = —ь—-—ILL • .
1 2гшк оок, е (Дсо, Дк) ' е 2та»к еок, е(Дсо, Дк)
Со стороны малых интенсивностей область применения уравнения
C.35) ограничена из-за спонтанного рассеяния света на неоднород-
ностях электронной плотности (см. задачу).
ЗАДАЧА
Вычислить интенсивность рассеяния света на флюктуациях плотности
электронов [VII—VIII].
В отличие от спонтанного излучения продольных колебаний в излучение
света дает вклад компонента тока рассеяния, перпендикулярная волновому
вектору. Учитывая, кроме того, наряду с процессом прихода колебаний в дан-
данную моду из всех других мод также и обратный процесс вместо уравнения C)
(см. задачу 1 §3.1), получаем
Ек|2\ 4яе* С d3k'
-^"^ш-ш'.к-к'Х
'2ш4
A)
dt \ мкдсок
к/ 8я / т2 J BяK
|2/й2со2 | [к'хЕк]|2/й'2ш
Последний член здесь описывает хорошо известное томпсоновское
рассеяние света с полным сечением оТ = (8я/3)(е2/тс2J.
107

§ 3.4. Релаксация линии излучения в плазме
Полученные выше уравнения применим к задаче о релаксации
линии излучения в плазме. Для упрощения будем считать излучение
неполяризованным и проведем усреднение по поляризации, поль-
пользуясь соотношениями <ецех> = 0, <ецец> = <е±е±> = 1/2,
где е\(, е± —проекции вектора поляризации на плотность рассея-
рассеяния и нормаль к ней. Для величины | Ек • Е?' |а отсюда получаем
<|Ек.ЕМ2>=A/4Н1+(Ы'J], 1^к/|к|,
где 1 — единичный вектор в направлении распространения волны.
Кроме того, при рассмотрении неполяризованного излучения удобно
ввести вместо амплитуд колебаний числа заполнения
n(v, 1) = | Ek |2/4яМ>, C.38)
где v = co/2it — частота световых колебаний; h — постоянная
Планка. Определенные, таким образом, числа заполнения очень
просто связаны со спектральной плотностью излучения
v = ^^n{v, I)d4. C.39)
Наконец, будем считать, что частота излучения много больше плаз-
плазменной v > vpe = y~Noe2/nm. В результате уравнение B.35) при-
принимает вид
dn(v, I, t)fdt= 3/tiy°qT n(v, 1,
16n2mcvpe
Xn(v',V, t)lm{\\+et\4e(\v, Ди)+|ее|2ег(Лг, Ax)}/|e(Av,
C.40)
где ат = (8я/3)(е2/тс2J — томсоновское сечение рассеяния света,
Av = v — v', еДх = vl — v'l'. Для коэффициента диффузии
частиц соответственно получаем-
DaP= — \dHd4' \vdvv'dv'[l+(l-l'f] n(v, I, t)x
32я/п| с2 J J
Xrt(V, 1', 0AxeAxpe(v-v'-Ax-v){6;e|H-^|» + 6w|ee|«}/|e|».
C.41)
Эти уравнения сильно упрощаются в двух предельных случаях,
когда ширина линии излучения больше или меньше допплеровского
уширения частоты биений:
D/ 2;/6a. C.42)
108

В случае наличия анизотропии излучения спектральную ширину
следует сравнивать с эффективным допплеровским изменением ча-
частоты квантов при рассеянии Avj = VdjV^I —cos© F — угловая
апертура пучка излучения).
Широкий спектр излучения. Поскольку в спектре излучения
интенсивно взаимодействуют лишь близкие друг к другу компо-
компоненты излучения, то подынтегральное выражение в уравнении C.40)
можно разложить по степеням разности частот взаимодействующих
компонент и свести его к дифференциальному уравнению подобно
тому, как это сделано для плазмонов. В результате получаем [98]
17«(v, 1, 0 =
dt
(V, Г, t)] , C.43)
Jv'=v
гпр +со
' " vrfv
l+ee(v,Ax)'
| ее @, Дх)|2 f vdv
w, = ' ey —'-1- Im I :
Ej(v, Ax)
интегралы берутся с помощью дисперсионных соотношений [14]
C 44)
Величины Wj характеризуют не само рассеяние, а эффективность
передачи энергии при рассеянии. Именно поэтому эффективные
сечения рассеяния на электронах и ионах не равны, а отличаются
в т/М раз. Из соотношений C.44) следует, что в случае широкого
спектра эффектами экранировки можно пренебречь. Если, кроме
того, vpe <^ voe, то эффекты экранировки отсутствуют и в рассея-
рассеянии света на флюктуациях плотности заряда электронов. В этом
случае в уравнении C.43) можно проинтегрировать по углам и полу-
получить хорошо известное уравнение А. С. Компанееца [99]:
dv h \ V ;
v
dt тс v2 д\ [ dv h \
где первый и последний члены обязаны рассеянию света на флюкту-
флюктуациях плотности электронов (см. § 3.3, задача 1). В данном случае
равновесное распределение излучения, обращающее в нуль пра-
правую часть этого уравнения, подчиняется распределению Планка.
Широкая линия излучения (vpe> б > vDe ]А — cos в). В этом
случае из уравнения C.43) следует исключить вклад процессов рас-
распада - кванта падающего электромагнитного излучения на квант
109

плазменной волны и квант рассеянной. Как мы уже отмечали в § 3.1,
последний определяется вкладами в интеграл C.43) от полюсов в
точках, где диэлектрическая проницаемость обращается в нуль,
(v, Дх)]. C.46)
Вычитая соотношение C.46) из C.44), находим эффективность пе-
передачи энергии при рассеянии на одних электронах (но не на коллек-
коллективных колебаниях):
6 (yDJvpey A -cos вJ, vpe > S > vDe у 1 -cosв. CA7)
Аналогичным образом в неизотермической плазме с горячими элект-
электронами рассеяние линии излучения с шириной меньше ионно-зву-
ковой частоты происходит только на ионах
^"¦ = 6^ /[vJ. + vLO-cose)]», 1< —<i/^. C.48)
Те I vDi V Ti
Поскольку полученные уравнения совпадают по структуре с урав-
уравнениями, описывающими релаксацию пакета ленгмюровских ко-
колебаний в плазме, то качественная картина релаксации остается
прежней: линия сдвигается в сторону, низких частот, передний
фронт ее профиля становится круче и от него отщепляются соли-
тоны [92]. Характерное время релаксации профиля линии можно
оценить из уравнения C.46).
Релаксация спектрально узкой линии. Задачу о релаксации спек-
спектрально узкой линии рассмотрим в предположении об изотропности
распределения частиц. Такое распределение часто реализуется по
целому ряду причин. Так, в случае, когда время парных соударений
много меньше времени квазилинейного искажения, функции рас-
распределения, соударения успевают изотропизировать распределе-
распределения. Мы уже показали ранее (см. § 2.3, задача 1), что квази-
квазилинейная диффузия в поле биений с.малой фазовой скоростью, соот-
соответствующей случаю узкой линии, также приводит к изотропизации
распределения даже при анизотропном спектре биений. Наконец,
в поле узкого аксиально симметричного >пучка излучения (в <^ 1)
распределение всегда изотропно в плоскости волновых векторов би-
биений (именно такая симметрия обеспечивает справедливость полу-
полученных ниже формул). Наряду с изотропизацией распределения
частиц по скоростям происходит нагрев плазмы ( использование ла-
лазерного излучения для нагрева плазмы было предложено в работах
[102 , 103]). Причем в поле узкой спектральной линии фазовая скс-
f есть биений может стать порядка тепловой скорости ионов, так что
появляется возможность нагрева ионов плазмы [104]. Распределение
частиц, устанавливающееся в поле биений с малыми фазовыми ско-
скоростями, было найдено в § 2.3 и в пределе t -> оо не зависит от на-
начального распределения. Средняя энергия частиц растет при этом
ПО

пропорционально энергии поля: т < v2 > ~ [2j?k]4/5)- Итак,
к
в случаях, перечисленных выше (включая, очевидно, случай пол-
полностью изотропного излучения), в уравнении C.36) можно провести
усреднение по направлениям скоростей резонансных частиц (для
узкого пучка излучения они лежат в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной пучку). Мнимые части диэлектрических проницаемостей, вхо-
входящие в уравнение для волн, в этом случае принимают вид
Ime,= — I d3vix6(Av—Ax-v)Ax —- =
Ди2 J dv
=—^- °jV± V±) —. C.49)
V Bw'/c2) v2. A—cos в)—Д\>2
Запишем уравнение для чисел заполнения:
х 2 ^ j \ v, X Ld4 C0)
где
A — v*t/ Av2J/A + vj^vb. A —cos в)—vjWAv2J,
/l— cos6
A—COS в + V^/vbiJ/(l-COS в + vliNbi +
— cos0;
HL
= HL /!?iV / [1-COS e + vj,/vb/ + Vle/Vhe}2, Av < VDi f 1—COS0.
Видим.что рассеяние волн в плазме, описываемое уравнениями C.43)
и C.50), имеет весьма сложную зависимость от отношения спект-
спектральной ширины линии к допплеровскому уширению, а также от
плотности плазмы. Качественный вид зависимости отношения интен-,
сивности процесса рассеяния в плазме к интенсивности томсонов-
ского сечения рассеяния неэкранированными электронами изобра-
изображен на рис. 29. Для иллюстрации' характера релаксации узкой
линии в плазме ограничимся случаем достаточно плотной плазмы
(vpe^>vDe), т. е. Nв^> т\гЬге1е2с*), и очень узкой линии изотроп-
изотропного излучения F < vDi), важным для приложений (см. задачу).
Уравнение C.50) в этом пределе принимает простой вид:
dn(v,t)/dt= —/C'@)n(v,0JV8n(v7) (v — v')dv',
где _
K'(O)=UVnhNotaT/5M\htc. C.51)
ill

Следуя работе [100], запишем решение уравнения C.51) через
неизвестную энергию квантов W(t), сохраняющееся полное число
квантов Ny и начальное распределение квантов n(v, 0):
t
n(v, t) = n(v,
где
I
W(t) = (h/c3)Iv3n(v, t)dv, Ny = c-3lv2n(v, t)d\.
г
C.52)
¦о
Рис. 29. Зависимость отношения интенсивности рассеяния
света в плазме к интенсивности томпсоновского рассеяния от
отношения спектральной ширины линии излучения и плазмен-
плазменной частоты к допплеровскому уширению частоты биений.
Пусть начальный профиль линии был гауссовым п (v, 0)=A / 1/2яб) х
X ехр [—(v — voJ/262]. В этом случае из уравнения C.52) полу-
получаем
n(v, /) = A//2яб)ехр{ —[v — v
' @) = -v0Nv
') dt'/h.
C.53)
Видно, что гауссовый профиль линии не искажается в результате
индуцированного рассеяния, а сдвигается как целое в сторону ма-
малых частот с постоянной скоростью. Оказывается, что гауссовый
профиль — это выделенный частный случай вырожденного спектра,
не искажающего формы со временем (все остальные профили пре-
претерпевают искажение). "Если спад крыльев линии происходит мед-
медленнее, чем у гауссового профиля (примером может служить лорен-
цовский профиль), то линия расплывается из-за перевода квантов
в низкочастотное крыло. Если же крылья сильно зарезаны (напри-
(например, равны нулю для прямоугольного профиля), то низкочастот-
112

ный край линии останавливается, а сама линия сужается вследст-
вследствие перевода квантов на край линии [100]*.
ЗАДАЧИ
1. Оценить предельную яркостную температуру насыщенного косми-
космического мазера [98].
Для простоты рассмотрим однородную изотропную среду, заполненную
активными молекулами ОН или Н2О, нейтральными атомами и молекулами,
электронами и протонами. Предполагается существование механизмов на-
накачки, обеспечивающих инверсную заселенность уровней молекул ОН
или Н2О. Учитывая, что допплеровское уширение линии излучения Дм из-за
теплового движения тяжелых молекул меньше допплеровского уширения
частоты биений на протонах плазмы, можно записать следующее уравнение
для чисел заполнения:
д , А д"н Г (
—и (v, г) = -¦/—=т—ехр —-
— К' @)n(v, ^)^(v —v')v'2rt(v', t)dv', (I)
где ин — число квантов, при котором мазер насыщается, а коэффициент В
выражается с помощью вероятности спонтанного перехода Атп заселенности
уровней fm с кратностью gm, и плотности активных молекул NM:
Bmn = (c3/8nvs)Amn [fm—(gm/gn)fn]NK. B)
Спонтанным излучением в уравнении A) мы пренебрегли. Качественная кар-
картина релаксации линии излучения, описываемая уравнением A), довольно
проста. Интенсивность излучения растет линейно со временем до тех пор,
пока в центре линии она не достигнет критического значения: п ~
— [Впн/\%А^К' (О)]1/2. При этом значении индуцированное комптоновское
рассеяние на протонах плазмы приводит к дрейфу линии с допплеровским про-
профилем в сторону меньших частот. Часть излучения по-прежнему присутст-
присутствует на частоте v0, оно связано с продолжающейся работой мазера. Интен-
Интенсивность его падает, так как комптон-эффект быстро переводит рождающиеся
кванты в дрейфующую линию. Когда линия сдвигается на расстояние поряд-
порядка vDi, появляется возможность формирования новой линии вблизи частоты
v0, и весь процесс повторяется. Предположим, что мазер находится в сильно
насыщенном режиме, так что излучение на частоте v0 даже уменьшаясь ос
тается больше, чем пороговое: n (v0) > лн (общий случай рассмотрен в рабо-
работе [98]). Число квантов в движущейся линии растет линейно со временем до
тех пор, пока не уйдет^на расстояние порядка vDi
* Для очень узкой линии гораздо быстрее может произойти нарастание
флюктуации поля далеко от линии в области максимума-инкремента рассеяния
волн. Такое скачкообразное смещение линии в низкочастотную сторону об-
обсуждается в работе [101].
113

Введем специальное обозначение для плотности потока излучения на частоте
у0, при которой время индуцированного рассеяния на протонах плазмы
К1 = ^оДм-К' @)rt* сравнивается с временем экспоненциального роста излу-
излучения /м (конечно, для ненасыщенного мазера)
^ VDi/ * ; ^ 1/ЙД/В X = c/v. D)
^М °Т NOi №
Тогда за время дрейфа линии
2vn- "I1/2 /vr.-X1/2/ „ \ 1/2
дрейфующая линия нарастает до предельной величины
(Ам \3/2
~7~ • F)
Яркостная температура связана с предельным числом заполнения соотно-
соотношением Тъ — hvn.
2. Вычислить силу индуцированного давления света в плазме в случае
широкого спектра излучения [105], см. также работу [98].
Эту силу можно вычислить из квазилинейного уравнения C.36) или по
убыли импульса электромагнитных волн. В случае широкого спектра излуче-
излучения, умножая уравнение C.43) на vl/c и интегрируя по фазовому пространст-
пространству, получаем
3h2N0eaT r » t
F,-== \ d2ld2l' \ v2 dv v2«(v 1 t)wi(v v 8)x
1 32ятс8 J J I v ' ' '
Xn(\, V, t) l + n(v, 1, ^UtTv'2^,-^, v', @)n(v', 1', t)\ v(l' —1).
J [pv Jv' =v
ГЛАВА 4
АНОМАЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ В ПЛАЗМЕ
§ 4.1. Постановка задачи. Законы сохранения
Общая схема процессов, включающая все описанные выше не-
нелинейные взаимодействия волн друг с другом и с частицами, реа-
реализуется в плазме, выведенной из ламинарного состояния вслед-
вследствие неустойчивости и перешедшей в турбулентное состояние.
Макроскопическим следствием подобного изменения состояния
плазмы становится изменение ее транспортных свойств (коэффици-
(коэффициентов переноса), таких как диффузия, теплопроводность, электриче-
электрическое сопротивление и т. д. В этой связи говорят об аномальных ко-
коэффициентах переноса. Задача теории заключается в том, чтобы свя-
связать величину аномальных коэффициентов переноса с причиной,
вызывающей исходную неустойчивость (иначе говоря, с источником
«свободной энергии», питающим неустойчивость).
114

Аномальное электрическое сопротивление — наиболее важ-
важный пример за/ач такого типа. В настоящей главе мы покажем, как
методы теории турбулентности плазмы, развитые в гл. 1—3, приме-
применяются к этой проблеме.
Аномальное сопротивление плазмы возникает тогда, когда вели-
величина электрического тока, протекающего по плазме, превышает не-
некоторое критическое значение. Иногда это критическое значение,
выше которого сопротивление плазмы резко возрастает, чрезвычай-
чрезвычайно мало. Плотность протекающего тока выразим с помощью так на-
называемой дрейфовой скорости Vd. Если электронная функция рас-
Таблица неустойчивостей плазмы с электрическим током,
относящихся к проблеме аномального сопротивления
Тип неустойчивости
Неустойчивость Бунемана
Ионно-звуковая
Неустойчивость Драммонда —
Розенблюта
Электрические моды k2^ > k^
Моды Бернштейна
Порог неустойчивости
Vd > vTe
Vd>cs
Vd>cs
Очень низкий,
иногда < vTi
Частота
<QP
«<°я
Инкремент
нарастания
<Q Vd
<Qp vTe
Y(oHQH
(i>HVd/VTe
пределения имеет некоторую скорость Vd относительно ионной
функции распределения, превышающую критическое значение,
возникает неустойчивость. Вследствие такой неустойчивости элек-
электроны в дополнение к обычной потере импульса из-за парных столк-
столкновений теряют еще часть его с излучением колебаний и волн раз-
различного типа. Удобно начать с таблицы неустойчивостей такого
типа, возникающих при превышении критического значения ско-
скорости (см. табл.). Здесь перечислены все основные неустойчивости,
имеющие отношение к проблеме аномального сопротивления в
плазме. Простейшая неустойчивость — это неустойчивость Буне-
Бунемана [106, 107]. Исходные функции распределения электронов
и ионов в этом случае имеют вид двух б-функций, сдвинутых друг
относительно друга на величину средней скорости Vd. Неустойчи-
Неустойчивость представляет собой раскачку продольных электростатических
колебаний плазмы со скоростью нарастания порядка плазменной
ионной частоты. Известное дисперсионное уравнение для бунема-
новской неустойчивости имеет вид
1 - (Q*/©2) - ©J/((d - kVdJ = 0.
D.1)
115

Инкремент нарастания равен
Im со « kVd (mlMI'2 < Qp D.2)
при kV d <C cop и достигает максимума
при kVd « (Op.
Другой пример неустойчивости, которую практически можно
считать модой того же типа, — это неустойчивость ионно-звукового
типа. Эти колебания возникают при дрейфовых скоростях электро-
электронов, меньших тепловых скоростей. Дисперсионное уравнение для
ионно-звуковой неустойчивости имеет вид
ffl>« A«ll \Ш) \kcs kcs)}' K '
а инкремент
:col/ — l-OL—Ш / 1+=-^ . D.5)
Инкремент нарастания ионно-звуковых колебаний (мнимая часть
частоты) — это плазменно-ионная частота, уменьшенная в отноше-
отношении дрейфовой к тепловой скорости электронов. В предельном слу-
случае Vd -*¦ vTe ионно-звуковая неустойчивость почти плавно перехо-
переходит в бунемановскую неустойчивость.
При наличии магнитного поля появляются и другие типы не-
устойчивостей. Одна из неустойчивостей, которая возникает также
вследствие электронной мнимой части (электронного полувыче»
та) в ионно-циклотронных волнах, называется неустойчивостью
Драммонда—Розенблюта [108]. Эта неустойчивость возникает тогда,
когда ток протекает вдоль магнитного поля, в то время как первые
две неустойчивости в известном смысле инвариантны по отношению
к существованию магнитного поля, если магнитное поле является
не очень большим (соя < <0р)- Неустойчивость Драммонда—Розен
блюта значительно меньше обсуждается в связи с проблемой ано-
аномального сопротивления, потому что она приводит к небольшим ско
ростям нарастания флюктуации и, по-видимому, легко подавляется
простыми квазилинейными эффектами', типа эффекта образования
плато.
Более важную роль играет класс неустойчивостей относительно
электростатических возмущений с k\ ^> k\. Иначе говоря, это
волны, у которых волновой вектор вдоль магнитного поля значитель
но меньше поперечной составляющей волнового вектора, и частоты
значительно меньше электронной ларморовской частоты, но больше
116

ионной. Эта мода напоминает известную моду Поста—Розенблюта,
возникающую при наличии конуса потерь [109]
^<1
. D.6)
В приближении со > kvTi и kVd ^ k ц Уге уравнение D.6) перехо-
переходит в дисперсионное уравнение для так называемой модифициро-
модифицированной неустойчивости Бунемана [ПО]
J I _%>__5р Щ) k\/fe2 _q ^jj
<»? CO2 !
шн а2 (со—k-vdF—k]\ vTe
Инкремент нарастания имеет вид
D.8)
Приближение D.7) справедливо, если дрейфовая скорость заметно
превышает vti. Если это условие не выполнено, говорят о неустой-
неустойчивости типа «электронного звука» (сор ^> соя):
Imco^^-^- (co-kVd).
D.9)
Неустойчивости такого типа имеют место, когда ток течет поперек
магнитного поля. Неустойчивость D.7) приводит к очень малым ско-
скоростям нарастания и проявляется существенно лишь при сравни
тельно небольших токах, когда более сильные неустойчивости,
такие, например, как бунемановская или ионно-звуковая, не имеют
значения.
И наконец, в последнее время обсуждается неустойчивость, воз-
возникающая на бернштейновских модах [111]. Эта неустойчивость
имеет сравнительно большую скорость нарастания' и возникает
тогда, когда ток течет поперек магнитного поля. 'Дисперсионное
уравнение для такой неустойчивости имеет довольно громозд-
громоздкий вид.
Основное внимание до сих пор уделялось неустойчивостям пер-
первых двух типов: бунемановской и ионно-звуковой. Бунеман еще
в своей первой работе предложил эвристическую формулу для не-
нелинейной стадии неустойчивости. Он предположил, что эффективная
частота соударений электронов должна быть порядка мнимой части
частоты в линейной теории неустойчивости, т. е. порядка плазмен-
плазменной частоты ионов. Такая простая формула, в которой в закон Ома
подставляется вместо ve^f плазменная частота ионов, называется
формулой Бунемана для проводимости. Ясно, что эта формула не
дает полного описания эксперимента; она дает только правильный
порядок величины.
117

Строгая постановка задачи о проводимости а должна проводить
ся с учетом обмена импульсом между электронами и колебаниями.
Известная формула для проводимости плазмы
о = Ne*/mv D.10)
содержит частоту столкновений электронов v с рассеивающими цен-
центрами (ионами, нейтральными атомами) по отношению к потере им-
импульса. Если электроны плазмы раскачивают некоторые типы коле-
колебаний или волн вследствие неустойчивости, то имеет место аномаль-
аномальная потеря импульса (передача колебаниям, т. е. коллективным
движениям ионов). Для нахождения veff можно воспользоваться
законом сохранения количества движения в системе электроны +
+ волны. Средняя потеря импульса электронами за единицу време-
времени равна
¦vettmNx'dx— F.- D.11)
Если этот импульс отдается волнам с плотностью энергии W, то
изменение количества движения волн равно
lWkJL.^L D.12)
где ук — вклад электронов в мнимую часть частоты. Приравнивая
D.11) и D.12), получаем
D.13)
т. е.
* п t tQt_
D.14)
mNVdJ u>k BяK
Таким образом, задача сводится к нахождению Wk', yek следует
понимать в квазилинейном смысле.
В справедливости соотношения D.13) можно убедиться с помощью
квазилинейного уравнения диффузии для электронов. Например,
для ионно-звуковых колебаний
k|Ok|jt0>kkv)k. D.15)
Й mJJ flv1 V ' dv BяK V '
Умножая это уравнение на то и интегрируя по скоростям, получаем
^- ^ DЛ6)
так как Wk = (дсое/дю) (^2|Фк |2/8я), то справедливость уравнения
D.13) доказана.
Наличие аномального сопротивления приводит к аномальному
выделению джоулева тепла в плазме /7<хан. Такой нагрев плазмы
118

часто называют турбулентным, поскольку механизмом, определяю-
определяющим природу аномального сопротивления плазмы, является турбу-
турбулентность, вызванная неустойчивостью. При отсутствии парных
соударений турбулентный нагрев неодинаков для электронной и ион-
ионной компонент плазмы. Более того, нельзя даже говорить о возра-
возрастании температур электронов и ионов, подразумевая температуры
в традиционном смысле (максвелловского распределения частиц).-
Под температурой таких плазм обычно условно понимают средние
хаотические энергии компонент.
Как правило, в процессе турбулентного нагрева плазмы быстрее
увеличивается температура электронов. Можно установить простой
критерий, связывающий скорость нагрева электронов со скоростью
нагрева ионов. Вывод такого критерия основан на использовании
законов сохранения количества движения и энергии при взаимодей-
взаимодействии электронов и ионов с колебаниями. На электроны плазмы
действует, как мы установили, сила трения
F=~veffNmVd. D.17)
Работа этой силы, очевидно, затрачивается на нагрев электронов
плазмы
f veffmTCff^k. D.18)
dt J BяK cok
В стационарном состоянии насыщения, достигаемого, когда рост
неустойчивости ограничивается нелинейными эффектами, количест-
количество движения колебаний (а вместе с тем и их энергия) передается
ионам. Таким образом, в состоянии насыщения ионы должны погло-
поглощать энергию колебаний со скоростью порядка j" yekWkd?k. В резуль-
результате нагрев ионов должен происходить со скоростью
dt J
D.19)
k
Bя)»
Теперь разделим уравнение D.18) на D.19):
~е ~ f Tk Wk (-^Л d*k I f Vk Wk d3k. D.20)
d&i J cok / J
Если в формуле D.20) положить
Г yl Wk (±^ rf»k « ^ f Yk Wk d3k,
J «k cok J
то для отношения скорости нагрева электронов к скорости нагрева
ионов нетрудно получить следующую оценку [112]:
- Vd/a/k. D.21)
Это соотношение в том виде, в котором оно получено, не зависит
от типа неустойчивости и поэтому носит универсальный характер.
119

Для большинства неустойчивостей оно действительно приводит
к более быстрому нагреву электронов. Так, в ионно-звуковой
и бунемановской неустойчивостях Vd > a/k и, следовательно,
d&e/d&t > 1. Особенно велико (порядка УМ/т) отношение
d&e/dei для неустойчивостей Бунемана.
Для ионно-звуковой и бунемановской неустойчивостей полезно
•привести выражение D.14) к более наглядному виду. Подставим в
D.14) известную величину для максимума инкремента нарастания
колебаний ионно-звукового типа D.5). Максимум инкремента дости-
достигается при k ~ Я51. Подставляя yl. « <*>VdlvTe, получаем следую-
следующее соотношение:
= aPW/N0Te. D.22)
Таким образом, зная плотность энергии колебаний W в режиме
насыщения неустойчивости, можно было бы легко найти veff. Для
нахождения W в нелинейной теории плазмы имеется регулярный
метод — теория слабой турбулентности. Но этот метод не всегда
применим. Даже простейший случай неустойчивости Бунемана
следует рассматривать с позиций сильной турбулентности. Сущест-
Существующие теории сильной турбулентности могут претендовать лишь
на оценки по порядку величины. В случае неустойчивости Буне-
Бунемана подобную оценку можно было бы проделать, например, сле-
следующим образом. Перепишем соотношение между энергиями ионов
и электронов в виде &{/&е ~ (n/kVd, где Ще ~ /n<t>2)/2, а плот-
ность энергии колебаний W^&t. Поскольку w/k я^ ]/W/W ,
из D.14) получаем veff ~ йр.
§ 4.2. Аномальное сопротивление вследствие
ионно-звуковой неустойчивости
Ионно-звуковая неустойчивость представляет собой удобный
пример исследования с помощью метода слабой турбулентности.
Мнимая часть частоты в данном случае значительно меньше, чем
ее действительная часть, поскольку дрейфовая скорость может быть
много меньше средней тепловой скорости электронов. Нелинейной
теории ионно-звуковой неустойчивости и вычислению аномального
сопротивления посвящено много работ. Остановимся на этом во-
вопросе несколько подробнее. Плотность энергии Wk моды колебания
с волновым вектором к нарастает при малых амплитудах экспонен-
экспоненциально. Затем при больших амплитудах должны включиться эф-
эффекты нелинейного насыщения и возможно возникнет установившее-
установившееся или квазиустановившееся состояние. Тогда можно пренебречь
левой частью и найти спектр Wu, приравняв линейное нарастание
одному из эффектов, связанных с нелинейным насыщением. Не-
Нелинейные эффекты символически представим в следующем виде:
120

Квадратичные эффекты (пропорциональные квадратам амплитуд
волн) — это эффекты взаимодействия волна — волна. Для ионно-
звуковых колебаний запрещены резонансы трехволновых взаимо-
взаимодействий, поэтому единственным эффектом, который дает член
порядка W2, . может быть эффект нелинейного рассеяния волны
на ионах [III]. Это эффект, который обусловлен наличием знамена-
знаменателей типа со — со' = (к — к') • v, резонансов Ландау на нелиней-
нелинейных биениях, возникающих от каждой произвольно выбранной пары
волн. Эти биения попадают в резонанс с ионами и часть энергии
поглощается, а другая часть переходит в волну с меньшей частотой.
На самом деле квадратичный член представляет собой некое до-
довольно сложное интегральное выражение (см. § 3.2), в котором
интеграл берется по всем волновым векторам. Величину этого члена
оценим следующим образом: так как данный эффект связан с теп-
тепловым движением ионов, то оператор А содержит малый количе-
количественный множитель ТУТ'е (поскольку речь идет о ионном звуке,
то по определению необходимо, чтобы Tt <^ Те).
Следующий эффект — кубический — относится уже к четырех
волновому взаимодействию. Четырехволновое взаимодействие раз-
разрешено, и его учет приводит к довольно громоздкому нелинейному
оператору, содержащему плотность энергии волн в третьей степени.
В теории слабой турбулентности этот эффект слабее нелинейного
ионного рассеяния. Таким образом, основная задача, которая ре-
решается, это — баланс между линейным нарастанием и первым (квад-
(квадратичным) нелинейным членом. Задача подобного типа была при-
приближенно решена Б. Б. Кадомцевым, который свел сложный инте-
интегральный оператор к дифференциальной форме, учитывая, что при
таком нелинейном взаимодействии происходит лишь слабое изме-
изменение частоты (см. §3.2). Решая уравнения баланса, Б. Б. Кадом-
Кадомцев ббнаружил, что в области малых волновых чисел, существенно
меньших дебаевского волнового числа (длин волн, значительно боль-
больших дебаевской), имеется простая зависимость: плотность энергии
пропорциональна k~3 fill]. При kkD ~ 1 интегральные операторы,
иначе говоря, член соударений между волнами, не приводится к
простому виду. Но удается исследовать и обратный предельный
"случай больших волновых векторов, т. е. длин волн короче дебаев-
дебаевского радиуса (где закон дисперсии для ионного звука весьма прост:
со w Qp). Оказывается, спектр при k%D> 1 быстро падает (~-&~13),
(IAJ. Спектр Кадомцева обладает логарифмической расходимостью:
полная энергия волн расходится для малых волновых векторов. Но
эта логарифмическая расходимость не опасна, поскольку в выраже-
выражение D.14) для veff входит не плотность энергии, а потеря импуль-
импульса электронами, т. е. в D.14) берется уже другой интеграл (k и со
для длинных волн приблизительно пропорциональны друг другу).
Имеется еще дополнительный множитель — мнимая часть yh —•
величина, пропорциональная частоте, т. е. еще раз входит k. Итак,
теперь нет расходимости при малых к. Напротив, вклад в интеграл
дает область больших k%D ж 1. Далее естественно сделать предполо-
121

жение, что обрезание нужно проводить при волновых векторах
порядка дебаевского (дальше несправедлив спектр Кадомцева и на-
начинается резкое затухание). Вычисление этого интеграла приводит
к следующей формуле для эффективной частоты соударений [112]:
ve« = 10-2Qp (Уа/с3)(Те/Т№-\ D.24)
Малый множитель 10~2 возникает при вычислениях (см. также ра-
работу [113]). Таким образом, если бы удавалось по плазме пропускать
ток, существенно превышающий критическое значение, так что
электроны теряли бы импульс из-за когерентного излучения фоно-
нов, т. е. ионно-звуковых колебаний, в конце концов установился
бы некий стационарный спектр (вернее квазистационарный) и veff
определялось бы формулой D.24). Эта формула имеет более глубокий
смысл, чем выражение D.22) для проводимости Бунемана, хотя бы
по той причине, что она отражает специфику нелинейного насыщения
неустойчивости. Тем не менее, она носит приближенный характер,
связанный с тем, что стационарный спектр Кадомцева C.25) — лишь
приближенное решение задачи для установившихся ионно-звуко-
ионно-звуковых колебаний. Подобное решение было бы строгим только при от-
отсутствии угловой зависимости в выражении для инкремента ионно-
звуковой неустойчивости. Такое приближение иногда называют
приближением изотропного инкремента. В лучшем случае погреш-
погрешность, допускаемая при использовании такого приближения, остав-
оставляет неопределенным численный множитель порядка единицы. Но
существует опасность, что нелинейное установившееся решение
Кадомцева может само оказаться неустойчивым по отношению к стя-
стягиванию конуса неустойчивых волн в k-пространстве. Это могло
бы привести к уменьшению угла в, квадрат которого входит в зна-
знаменатель формулы для эффективной частоты соударений D*24).
Этот вопрос остается до конца неясным и сейчас, хотя в работе [95!
показано, что существуют решения, в которых угол в0 пульсирует
во времени около некоторого среднего значения.
В заключение укажем, что если по плазме с первоначально
изотермическими ионами и электронами (ионно-звуковые колебания
невозможны) протекает ток в режиме аномального сопротивления
Бунемана, то рано или поздно этот режим> должен смениться на
ионно-звуковой. Это связано с тем, что при бунемановской неустой-
неустойчивости электроны, как было отмечено, нагреваются в й^/сораз
быстрее, чем ионы, и плазма в конце концов становится неизотерми-
неизотермической. Ионно-звуковая же неустойчивость в этом смысле является
самоподдерживающейся, так как при V'd > cs электроны всегда
получают больше тепла, чем пионы.
В. Н. Цытович [114] обратил внимание на то, что хотя спектр
ионно-звуковых колебаний нераспадный, тем не менее в области
малых волновых чисел, там, где закон дисперсии почти линейный,
из-за небольшой мнимой части частоты, возникающей вследствие
нелинейного уширения линии, можно выполнить условие трехвбл-
нового резонанса. Он включил в кинетическое уравнение для волн
122

в качестве нелинейного члена, приводящего к насыщению колеба-
колебаний, трехволновой резонанс, т. е. распадный процесс, и решил
кинетическое уравнение. Был получен спектр, близкий к спектру
Кадомцева, так как нелинейность и здесь квадратичная, но отсутст-
отсутствует малый параметр TJTе, входивший в нелинейное рассеяние на
ионах. Естественно, что для Wk найдено несколько иное значение.
Однако спектр Цытовича может иметь место только при достаточно
малых волновых числах, где малой нелинейности достаточно для
перекрытия резонансов и, следовательно, для того, чтобы могло
осуществляться трехволновое взаимодействие. Но основной вклад
в потерю импульса (в отличие от энергии колебаний) дают короткие
волны. При коротких волнах (частотах порядка ионной плазменной)
отклонение от линейного закона дисперсии очень велико, и нужна
очень большая нелинейность для того, чтобы выполнялось условие
трехволнового взаимодействия. Таким образом, модель Цытовича
не имеет области применимости, тем более, что при больших нели-
нейностях мы вообще должны перейти в область сильной турбулент-
турбулентности.
Отметим, наконец, что формальное применение изложенной
в §3.1 теории возмущений для вычисления электронной функции
распределения приводит к довольно парадоксальному выводу: ли-
линейную теорию раскачки ионно-звуковых колебаний следует пере-
пересмотреть при уровне турбулентности гораздо более низком, чем до-
достигаемый в режиме установившейся турбулентности [115]. Дело
в том, что основной вклад в нелинейную поправку к работе в поле
волны, вычисленную с помощью функции распределения /f^k, -k-(v)
(см. § 3.1), дают частицы со скоростями не выше фазовой скорости
волн:
1 р ._Ё_\3 f@' ~ j'!). р ?2
— k-v + iO dv j
Таким образом, согласно этой оценке нелинейная поправка к инкре
менту неустойчивости становится больше линейного инкремента при
W > mNuT JM. Решение парадокса заключается в том, что на бо-
более ранней стадии развития неустойчивости следовало бы учесть
нелинейное уширение резонансных скоростей до величины порядка
Av « У eE/mk. Допплеровское уширение резонанса вследствие
этого эффекта начинает играть роль при YeElmk > со/&,.т. е.
при ?2/4я > mN0Te/M. Учитывая сказанное, нетрудно оценить
нелинейную поправку к инкременту неустойчивости [1151:
бу/?1- « E44rnmN0Av2 « (&HnN0Teyi* •€ 1.
Таким образом, вывод о важности учета нелинейного вклада элек-
электронов в инкремент неустойчивости был поспешным.
123

§ 4.3. Квазилинейные эффекты в аномальном сопротивлении
при ионно-звуковой неустойчивости
Имеются косвенные Экспериментальные данные, может быть еще
не очень надежные, в некоторых предельных случаях подтверждаю-
подтверждающие формулу D.24) для сопротивления. Однако к этим эксперимен-
экспериментальным данным нужно относиться с большой осторожностью. Дело
в том, что ни одна из четырех величин, которые входят в эту формулу,
Va, cs, Te> i, в настоящей плазме при отсутствии реальных парных
соударений, а только при наличии рассеяния на флюктуациях,
уже не может иметь своего обычного смысла. Начнем с электрон-
электронной температуры. Если нет парных соударений, то очень трудно
ожидать, что функция распределения будет максвелловской. Даже
Рис. 30. Максвелловское распределение частиц в плаз-
плазме с током.
если не требовать, чтобы функция распределения электронов была
максвелловской и характеризовать ее неким средним тепловым раз-
разбросом, необходимо, чтобы /е имела довольно быстро сходящиеся
«хвосты». В этом случае можно говорить об однотемпературных
электронах. Но с ионами ситуация еще более сложна, ведь с самого
начала очевидно, что ионная функция распределения будет вести
себя довольно экзотически, если ионы взаимодействуют только с вол
нами (нет парных соударений). И наконец, о средней скорости дрей-
дрейфа. Обычно распределение частиц в плазме с током изображают так,
как это сделано на рис. 30. Здесь имеются ионная функция распре-
распределения и смещенная относительно нее электронная функция
распределения в предположении, что электронное распределение
смещается относительно ионного как целое. Однако, в принципе,
можно представить себе такую картину (рис. 31), когда электронное
распределение сохраняет свой максимум там же, где и ионное, но
какая-то часть электронного распределения деформируется таким
образом, что возникает несимметричное электронное распределение
(см. рис. 31).
Перейдем к обсуждению возможного вида функций распределе-
распределений ионов и электронов. Удобно воспользоваться двумерной карти-
картиной, показанной на рис. 32. Здесь по оси абсцисс отложена компо-
компонента скорости частиц вдоль направления протекания тока, а по qch
124

ординат — поперечная компонента. Пусть первоначально имеет-
имеется обычное максвелловское распределение электронов и ионов. Для
максвелловского распределения линии равного значения функции
распределения в этой плоскости являются окружностями. Взаимо-
Взаимодействие волн с частицами особенно сильно тогда, когда осущест-
осуществляется резонанс Ландау. Волна с фазовой скоростью со/& взаимо-
Рис. 31. Пример устойчивого распределения электро-
электронов в плазме с током.
Конус диффузии
Рис. 32. Конус диффузии в случае ионно-звуковой турбу-
турбулентности в плазме с током.
действует с частицами, находящимися вблизи прямой А (см. рис. 32).
Именно для таких частиц осуществляется резонанс. Наконец, если
рассмотреть волны всевозможных направлений и разных значений
фазовых скоростей, то можно убедиться, что все частицы, находя-
находящиеся в той части плоскости (vx, vy), где можно провести линию, со-
соответствующую условию резонанса Ландау, испытывают действие
случайного поля волн. Но в ионно-звуковом спектре отсутствуют
волны со скоростями меньше некоторой ((o/k^VTi). Такие частицы
в квазилинейном приближении не взаимодействуют с волнами. Здесь
125

взаимодействие оказывается гораздо более слабым, оно связано с не-
нелинейными эффектами следующего приближения. Ионов в области
взаимодействия с волнами довольно мало, таким образом, лишь
малая доля ионов подвергается мощному воздействию со стороны
волн. В нулевом приближении функция распределения в основной
области практически не деформируется. В резонансной же области
возникает сильная деформация. Эта деформация на языке квазили-
квазилинейной теории есть не что иное, как диффузия частиц в пространстве
скоростей. Имеется большое количество промежуточных экспери-
экспериментов, в которых такая диффузия происходит сравнительно медлен-
медленно и парные столкновения частиц все-таки успевают создать некото-
некоторое подобие макевелловского распределения. Это относится к слу-
случаям, когда сопротивление плазмы незначительно превышает класси-
классическое. Здесь мы будем обсуждать лишь самые экстремальные случаи,
когда парные столкновения не играют никакой роли. Тогда такое
изменение функции распределения ионов очень существенно. Оно
сильно меняет ионную мнимую часть (ионный полувычет, пропор-
пропорциональный числу ионов, которые могут находиться в резонансе).
Это, как правило, весьма малое число, очень чувствительное к тому,
что происходит на «хвосте» ионного распределения. В настоящее
время еще нет самосогласованной теории, которая бы описывала
изменение ионной функции распределения при достаточно больших
временах (исключение составляют лишь одномерные случаи, см. ни-
ниже). Можно сделать некоторые оценки, в частности, довольно эффек
тивно использовать двухтемпературное приближение, т. е. услов-
условное разбиение ионов на две группы — холодные ионы, с которыми
практически ничего не происходит, и горячие, находящиеся на
хвосте функции распределения и имеющие достаточно большую
температуру.
С электронами же происходит следующее: область запрещенных
скоростей, внутри которой отсутствует резонанс между чавтицами
и волнами, сравнительно невелика, потому что скорость звука
в У М1т раз меньше средней тепловой скорости электронов. В прин-
принципе можно пренебречь тем, что происходит внутри этого неболь-
небольшого кружка. Но возникает другая сложность. Очень трудно пред-
представить себе такую ситуацию, когда ток, протекающий в этом на-
направлении, раскачивал бы волны, почти поперечные направлению
тока. Действительно, из теории ионно-звуковой неустойчивости из-
известно, что волны с большим волновым вектором поперек направле-
направления тока имеют малую мнимую часть и практически такие волны
можно считать устойчивыми. Таким образом, приходим к выводу, что
здесь образуется небольшой конус в пространстве скоростей, в ко-
котором нет волн для резонанса с электронами. Эти электроны свободно
ускоряются электрическим полем, вызывающим ток в плазме. Вклад
таких электронов может сильно уменьшить сопротивление плазмы.
Какая же доля электронов попадает в этот конус потерь и дальше
свободно ускоряется? Задачу можно разбить на два предельных
случая. Сначала целесообразно выделить более простой случай,
126

когда имеется хотя бы слабое магнитное поле Но в плоскости, перпен-
перпендикулярной Vа- Такое магнитное поле медленно вращает электро-
электроны (медленно в сравнении с частотой плазменных колебаний). Но
оно может быть достаточно быстрым в масштабе времени, в котором
появилось бы убегание электронов в «конус потерь». И, таким обра-
образом, в среднем все электроны за один ларморовский оборот оказы-
оказываются взаимодействующими с волнами. В этой задаче для электро-
электронов не возникает дополнительной трудности. Хотя fe и не сводится
к максвелловскому распределению, тем не менее можно говорить о
средней электронной температуре. Более того, при довольно общих
предположениях, считая лишь, что фазовая скорость возникающих
колебаний много меньше средней тепловой скорости электронов, и не
предполагая ничего о спектре колебаний, можно получить простую
формулу для функции распределения электронов. Спустя некоторое
время, когда энергия электронов станет существенно больше, чем
их начальная тепловая энергия, возникнет универсальное распре-
распределение по закону fe ~ ехр (—аи8) (см. § 2.3). Близкое к этому рас-
распределение в некоторых экспериментах наблюдается. При таком
распределении можно говорить о средней температуре, и все вы-
вычисления для электронов проводить практически так же, как и для
максвелловского распределения, но с учетом небольших изменений
численных коэффициентов. Таким образом, будем считать, что если
имеется слабое поперечное магнитное поле, то все результаты для
эффективного числа соударений можно переносить даже и на дале-
далекие моменты времени, когда могло бы существенно сказаться искаже-
искажение электронного распределения, его отклонение от максвелловско-
максвелловского распределения. Именно такая ситуация имеет место в экспери-
экспериментах с бесстолкновительными ударными волнами поперек магнит-
магнитного поля. В такой ударной волне ток течет поперек магнитного
поля.
Однако неприятности, связанные с ионным распределением, оста-
остаются и в этом случае. Дело в том, что ионы не успевают перемеши-
перемешиваться под действием магнитного поля, и поэтому ионное распределе-
распределение может приобрести довольно экзотическую форму и в конце кон
цов станет сильно отличным от максвелловского. Можно ожидать,
что основная часть ионов будет холодной, а какая-то часть ионов
начиная от скоростей порядка скорости звука, будет нагреваться.
По-видимому, нельзя в ближайшее время без использования числен-
численных методов найти вид такого сложного ионного распределения.
В то же время из общих соображений можно ожидать следующее.
Если в процессе протекания тока и возрастания энергии электронов
и ионов нет взаимодействия со стенками, т. е. не происходит потерь
тепла наружу, следует прийти к какому-то самоподобному виду
и для функций распределения, и для спектров.
Более простыми должны быть закономерности при малой нели-
нелинейности, когда достаточно ограничиться только квазилинейным
приближением. В таком приближении насыщение неустойчивос-
неустойчивости достигается вследствие квазилинейной деформации функции
127

распределения ионов, в результате которой даже в неизотермиче-
неизотермической плазме появляется группа ионов с большими скоростями
v ^ са. Такие ионы, резонансно поглощая ионно-звуковые волны,
должны уравновешивать раскачку колебаний электронами.
Рассмотрим процесс нелинейного насыщения колебаний в этом
случае. Пусть уравнение для спектра неустойчивых волн :имеет сим-
символический вид [сравни с уравнением D.23I
dWJdt = 2yekWk - 2ylWk - A (W/N0Te)Wk —
- В (W/N0TeyWk. D.25)
Нарастание колебаний при Vd > Vc приводит к увеличению со-
сопротивления, т. е. возникает сила трения, действующая на электро-
электроны. Если приложенное электрическое поле, создающее ток, не
слишком велико, то, как следствие реакции электронов на увели-
увеличившееся сопротивление, Vd должно уменьшаться до тех пор, пока
плазма не окажется на пороге неустойчивости. Это означает, что
нелинейные члены в уравнении D.25) играют малую роль, а насыще-
насыщение колебаний определяется условием ук « у1к для всех первона-
первоначально неустойчивых волн. Иначе говоря, для всех первоначально
неустойчивых волн должно выполняться условие
Yk = Tk - Yk « idfjdv + (m/MMJdv)] = 0. D.26)
Условие D.25) в такой форме не содержит амплитуды установив-
установившихся колебаний Wk и, следовательно, с его помощью сразу нель-
нельзя вычислить veff. Эффективную частоту столкновений для такого
режима насыщения неустойчивости (его иногда называют «порого-
«пороговым» или квазилинейным) можно найти из закона Ома, подставив
в него найденное выражение для / = eNV d « eNV с. Считая / =
= eNVс = оЕ, находим
veH = eElmVc. D.27)
Теперь с помощью соотношения D.14), связывающего vef{ с энер-
энергией колебаний, можно найти W:
W/N0Te « (eEkDe/N0Te)(vTJVc). D.28)
С ростом Е увеличивается W, и при достаточно больших полях Е
уже нельзя пренебречь нелинейными членами в уравнении D.25). Ка-
Кажущиеся простыми формулы для порогового (квазилинейного)
режима на самом деле сложны. Казалось бы, для нахождения
Vd & Ус достаточно линейного выражения для мнимой части ча-
частоты D.26). Однако ук очень чувствительно к виду ионного распре-
распределения при больших скоростях ионов, т. е. на хвосте функции рас-
распределения. Такие ионы, поглощая колебания, увеличивают энер-
энергию и быстро меняют (квазилинейным образом) вид своей функции
распределения. В результате быстро меняется ук и, следовательно,^.
128

Если тепловая энергия, поглощаемая частицами плазмы, не
отводится наружу, можно ожидать, что в конце концов установит-
установится универсальный самоподобный вид функции распределения ионов.
Предположение о том, что такое автомодельное решение, соответст-
соответствующее квазилинейному режиму, существует, проверено в работе
[116]. В этой работе найдены автомодельные переменные, в которых
уравнения теории слабой турбулентности принимают более простой
вид; однако эти уравнения еще не удалось решить для общего слу-
случая. Тем не менее можно поступить следующим образом. Для слу-
случая, когда ток течет поперек магнитного поля и спектр волн трех-
трехмерен, ионное распределение надо разбить на группу холодных и го-
горячих ионов. В таком двухгрупповом приближении можно найти
величины, характеризующие протекание тока. Группа ионов, кото-
которые попадают в резонанс с ионно-звуковыми колебаниями и затем
ускоряются, сравнительно невелика. Обозначим концентрацию
таких горячих ионов X. Введем эффективную температуру таких
резонансных ионов Thi. Тогда из D.21) имеем
TJThi да XVd/cs. D.29)
Оценивая ионный декремент как yt да (ю3/&3) (Xcs/(Thi/M3/2)
и сравнивая его с электронным D.5), получаем
D.30)
Vd да cs (M/my* (TJTm)*'*. D.31)
Далее рассмотрим импульс резонансных ионов.- Импульс, теряемый
электронами при рассеянии, переходит к ионам Р* = NmVdveu.
Так как Thi ^ Te, функцию распределения ионов можно предста-
представить в виде ft (v, ft) =/Oj (v) + fu (v, ft) (cm. § 2.3), где анизо-
анизотропная часть fu ~ [csl(ThiIMll2] foi < foi. Таким образом,|Р,| да
r» |J Mvs^i;d3v| да N0XMcs. Окончательно получаем
Vd да cs (М/тУ'\ Тм да Те, X да (т/МУ*. D.32)
Итак, средняя хаотическая энергия этих горячих ионов близка
к средней хаотической энергии основной массы электронов. Соот-
Соотношения D.32) содержат, конечно, множители порядка единицы,
определить которые, не зная точного решения, можно лишь сравни-
сравнивая их с экспериментальными данными. Исключение составляет
идеализованный случай одномерного спектра, допускающий точное
аналитическое решение. Это решение представляет известный мето-
методический интерес и на нем следует остановиться подробнее.
Пусть имеются колебания, распространяющиеся только вдоль
тока (|| х). Функция распределения ионов, взаимодействующих с та-
такими колебаниями, также одномерна. Электронное же распределе-
распределение вследствие влияния магнитного поля должно быть аксиально
симметричным в плоскости vx, vy вокруг точки Vd, 0. Взаимодейст-
Взаимодействие электронов с колебаниями в этой задаче соответствует случаю,
рассмотренному в § 2.3. Электронная функция распределения имеет
5 Зак. 112 129

вид /е ~ ехр (—av_L) с началом отсчета в точке Vd, 0. Однако не
все электроны взаимодействуют с колебаниями. Это становится осо-
особенно наглядным, если обратиться к рис. 33. Например, если в плаз-
плазме возбуждены лишь обычные ионно-звуковые колебания, фазовая
скорость не может быть больше со/&макс. Так как спектр одномерный,
то при скорости дрейфа Vd > «/^макс часть электронов внутри
круга (см. рис. 32) не будет взаимодействовать с колебаниями.
Поэтому электроны в этой области остаются «холодными» и соответст-
соответствующая величина функции распределения оказывается все больше
и больше в сравнении с величи-
величиной fe в резонансной области.
Это будет происходить до тех
пор, пока закон дисперсии для
ионно-звуковых колебаний не
изменится настолько, что по-
появятся колебания с фазовыми
скоростями в интервале от пер-
первоначального значения <о/&мак<.
до Vd- При этом круг (см. рис.
32) стягивается, а электроны
внутри этого круга можно
Рис. 33. Взаимодействие одномерных описывать распределением вида
колебаний с электронами в магнитном б-функции fe ~ Хе8 (v -— Vd)&
поле- (v y). Относительная доля таких
нерезонансных электронов Хе
будет найдена позднее.
Квазилинейное кинетическое уравнение для ионов в безразмер-
безразмерных переменных их = vx/Vd для функции распределения ft (vx, t) =
= (N/Vd)gi (их) можно привести к виду
—(dldux)uxgi = (mlMf (dldux)D (ux)(dgi/dux), D.33)
где D (vx) = ^ J Wh8 (cofe - kvx)dklBn).
По аналогии с предыдущей задачей можно ожидать, что основ-
основная доля ионов не будет взаимодействовать .с колебаниями. Обозна-
Обозначим относительную долю резонансных ионов, подчиняющихся урав-
уравнению D.33), A — Xt). Условие yt + Те = 0 в интервале фазовых
скоростей от 0 до Vа @ < их <С 1) теперь имеет вид
dgtldu, = (M/m)(dhe/dux), D.34)
где he (ux) — электронное распределение (типа ехр [—aVjJ) в ав-
автомодельных переменных, проинтегрированное по vy. Систему урав-
уравнений D.33) и D.34) можно решить (см. задачу к наст, параграфу).
Интересно отметить, что отношение токовой скорости электронов
Vd к их тепловой скорости Vre и число резонансных ионов 1 — Xt
можно оценить из простых соображений, основанных на законах
сохранения. Из-за рассеяния электронов на колебаниях возникает
сила электрон-ионного трения FTp, передающая импульс от элек-
130

тронов к ионам. Обозначая импульс последних Рь имеем: dPi/dt =*
= FTp. Это равенство эквивалентно вычислению первого момента
от кинетического уравнения для ионов. Атак как Pt~ A — Xt) MVd,
то FTp = A — Xt) MdVJdt. Работа силы трения идет на нагрев
электронов: dTe/dtxVdFTp. Отсюда следует, что vh ~A—Хг)МУа/т.
Сравнивая электронный инкремент с ионным затуханием, находим,
что равенство (т/М) A — Х{IУ% ~ (Vd/vj-e)- Отсюда сразу полу-
получаем, что 1 — Xt -~ (т/МI/5, Vjvre ~ (т/МJ/5. Этот результат'
естественно, подтверждается точным решением (см. задачу к наст,
параграфу).
В таком рассмотрении не учитывались «косые» волны, распро-
распространяющиеся под углом к направлению тока. Нетрудно убедиться
в том, что наличие резкого максимума у электронной функции рас-
распределения в точке vx = Vа приводит к неустойчивости ионно-
звуковых волн с волновым вектором к, направленным почти поперек
тока. Керн в электронной функции распределения при этом размы-
размывается и, по-видимому, возникает ситуация подобная описанной
в предыдущем разделе [см. формулы D.29) и D.32)].
Квазилинейное приближение, как уже отмечалось, можно приме-
применять при малой нелинейности. Это справедливо, если электрическое
поле невелико, так что сила трения из-за когерентного излучения
ионно-звуковых колебаний притормаживает электроны и запрещает
им приобретать среднюю скорость, большую, чем критическая ско-
скорость при неустойчивости. Иначе говоря, плазма все время находится
как бы на пороге неустойчивости. Тогда нелинейный режим, опи-
описанный в § 4.2, должен соответствовать случаю больших электриче-
электрических полей. Величину Ес, т. е. границу, разделяющую два рассмот-
рассмотренных режима, можно найти следующим образом. Пусть Vс —
скорость дрейфа электронов, соответствующая порогу неустойчи-
неустойчивости (у,- f- уе = 0). Случай больших электрических полей D.24)
осуществляется, если Vd, вычисленное с помощью формулы V' d =
= ef/mveit, превышает Ус (Vd > Vc). С помощью выражения
D.24) для veff находим
Е » 10-* (тМ3у/^рф. D.35)
В результате зависимость / = / (Е) можно качественно представить
как показано на рис. 34. Здесь имеется классическая область при
очень малых электрических полях, когда состояние плазмы далеко
от неустойчивости; при умеренных электрических полях / = eNVc
(квазилинейный режим); / ~ ?1/3 в нелинейном режиме, когда veff
определяется формулой D.24).
Все, о чем говорилось в этом параграфе, относится к случаю тока
поперечного или почти поперечного магнитному полю. Представим
себе теперь, что магнитное поле у нас либо совсем отсутствует,
либо действует в направлении протекания тока. Тогда сразу исче-
исчезает тот механизм, который перемешивает все электроны, и задача
об электронной функции распределения также усложняется. Как
поступить в этом случае? Предположим, что и здесь через некоторое
5* 131

время установится автомодельное распределение [117]. Функция
распределения электронов примет некий универсальный вид: про-
произойдет дальнейший нагрев электронов, увеличение их средней
скорости, но вид функции остается самоподобным. Но с этими авто-
автомодельными переменными практически сделать ничего не удается,
Рис. 34. Закон Ома в случае ионно-звуковой
турбулентности.
по-видимому, невозможно ввести двухтемпературное распределение
электронов, потому что нет явно выраженных двух групп электро-
электронов, как это было в случае с ионами. Наоборот, возникает плавный
переход от медленных электронов ко все более быстрым, и в конце
концов, с течением времени, как показывает качественный анализ
уравнений в автомодельных переменных, значительная доля элек-
электронов попадает в область скоростей, где практически нет волн. Это
явление напоминает убегание электронов в газе с лоренцовскими
столкновениями, когда частота соударений падает со скоростью v~3.
Взаимодействие электронов с ионно-звуковыми волнами обладает
именно такими свойствами [63].
Вопрос о том, какой вид в конце концов примет закон Ома в та-
такой плазме, на сегодняшний день остается открытым. Одна из рас-
распространенных точек зрения такова: значительная доля электронов
попадает в режим убегания, функция распределения электронов
в проекции на параллельную скорость оказывается сильно вытяну-
вытянутой в направлении тока, отношение средней дрейфовой скорости
электронов к средней тепловой скорости электронов может стать
равным единице [117]. Точное численное значение трудно предска-
предсказать. Данные лабораторного эксперимента пока еще очень бедны.
Дело в том, что большинство экспериментов, в которых исследова-
исследовалось явление аномального сопротивления, относится к разрядам
с так называемыми открытыми концами, т. е. к разрядам, в которых
электроны плазмы могут свободно уходить вдоль силовых линий
магнитного поля. Ясно, что в таких условиях невозможно получить
далекий автомодельный режим, поскольку имеется непрерывный
теплоотвод. Более того, так как длина пробега частиц с большими
скоростями велика, то в первую очередь уходят быстрые частицы.
Таким образом, происходит непрерывное обрезание хвоста электрон-
,32

ного распределения. Задача чрезвычайно усложняется, очень сильно
зависит от граничных условий и теряет универсальный интерес.
Может оказаться, что в этом случае отношение VJvTe будет оста-
оставаться много меньшим единицы. В принципе нельзя полностью
исключить существование и других механизмов, приостанавли-
приостанавливающих убегание электронов и тем самым ведущих к установлению
VdfoTe<?. 1.Так, в работе [118] обсуждается комбинированное дейст-
действие на электроны ионно-звуковой и циклотронной неустойчивостей.
В работе [119] для аналогичной цели привлекается идея о возмож-
возможности длительного существования в плазме так называемых мак-
макрочастиц [120]. Однако эти идеи еще носят феноменологический
характер.
Существуют некоторые идеализированные предельные случаи,
когда уравнения слабой турбулентности в задаче об аномальном
сопротивлении для тока могут быть точно решены. Это одномерные
случаи. Подобно тому как в статистической термодинамике имеется
класс одномерных решаемых моделей, так и в теории слабой турбу-
турбулентности одномерные модели оказываются значительно проще. В не-
некоторых случаях одномерные модели могут иметь реальный физиче-
физический смысл. Например, если магнитное поле настолько велико, что
ларморова частота электронов значительно превышает их плазмен-
плазменную частоту, ю движение электронов в направлении поперек сило-
силовых линий магнитного поля практически запрещено, и мы имеем дело
с чисто одномерным движением. В таком случае одномерная теория
может дать адекватное описание того, что здесь происходит. Авто-
Автомодельные уравнения в одномерной постановке для квазилинейного
режима решаются точно [117].
Пусть в однородной плазме имеется постоянное однородное
электрическое поле, параллельное магнитному. Когда через доста-
достаточно большой промежуток времени среднеквадратическая скорость
плазмы увеличится настолько, что плазма «забудет» о своем исход-
исходном состоянии, дальнейшая эволюция системы приобретает некото-
некоторый универсальный характер, не зависящий от начальных условий.
Формально такому режиму соответствует возможность перехода
в квазилинейных уравнениях к автомодельным переменным. Из
простых размерных соображений следует, что скорости частиц
должны измеряться в единицах eEt/m, а волновые векторы колеба-
колебаний — в единицах m<avkEt.
Функции распределения электронов и ионов /е> t и спектральная
плотность электростатической энергии колебаний W имеют вид
ft = mNgi (u)/eEt; W{k,t) muyU{q); I
и = mvleEt; q = keEtlma>v. I
Подставляя эти функции в квазилинейные уравнения, записанные
в системе отсчета, связанной со свободно ускоряющимися ионами,
получаем
(-J/du)(u - 1 - ii)ge = (d/du)D (u)(dgjdu); D.37)
133

—{dldu)ugi = (x2 (d /du)D (u)(dgi/du),- D.38)
где D (u) — квазилинейный коэффициент диффузии, а ц. = mlM.
Вместе с условием равенства нулю инкремента колебаний
(d/du)(ge + iigi) = 0 D.39)
уравнения D.37) и D.38) образуют замкнутую систему, которая
имеет следующее решение:
D.40)
при 0< u< 1;
ge = gi = D = 0 при ы<0, u> 1,
где С — произвольная положительная постоянная. К функциям
ge (и) и gj (и) можно добавить некоторое число свободно ускоряю-
ускоряющихся электронов и ионов, которым в автомодельном решении соот-
соответствуют б-функции в точке и = 1 для электронов и и = 0 для ио-
ионов. Обозначая доли свободно ускоряющихся частиц X е, Хь из
условия нормировки сразу находим, что Хе -\- С = \, Xt +
+2С|л In ц-1 = 1. Зная функции ge и glt легко записать диспер-
дисперсионное соотношение
8 (q, со) = 1 — A — С)/(со — qJ — fi/ю2 + С1щ — С/(со — <7)?.
Функция е (q, ю) должна удовлетворять следующим требованиям:
все колебания должны быть устойчивыми; должны существовать
колебания со всеми фазовыми скоростями в интервале @, 1). Из этих
условий можно однозначно определить константу С (которая ока-
оказывается равной 2fi1/2), и, тем самым, функции распределения gej.
Итак, в конце концов устанавливается универсальный авто-
автомодельный вид электронного распределения. Здесь имеется об-
область плато от V = 0 до скорости свободного ускорения, которую
приобретает основная доля электронов.
Численные эксперименты в одномерном случае дают приблизи-
приблизительно такой вид функции распределения [121]. Но есть и некоторое
отличие функции распределения в численных экспериментах от
автомодельной. В частности, в автомодельной теории число элек-
электронов в области плато пропорционально N0\ftn/M. В численном
же эксперименте в области плато находится заметная доля электро-
электронов. Это различие связано с тем, что квазилинейная теория игнори-
игнорирует нелинейные эффекты.
ЗАДАЧА
Найти точное решение уравнений квазилинейного приближения D.33),
D.34) для проблемы аномального сопротивления току, текущему поперек Н
в одномерной задаче [117].
Электронную функцию распределения fe (v±t t) = (N/v)ge (ux) можно
выразить через квазилинейный коэффициент диффузии ge =Схехр (—u^J5D),
134

где D = я-1 J D (ux) (ux — IJ dux, а константу Сх найти из условия нор-
о
оо
мировки 2я Г и ,gedu. = 1
о
С1=1/лГG/5)[5О]2/5.
Из условия у = 0 в интервале фазовых скоростей @,1) следует
? du
dgi _М_ dge _ 2М ^ ? du±
dux т dux т J u±
(при вычислении dgjdux) мы учли, что тепловая скорость электронов много
больше их дрейфовой скорости, которая в рассматриваемых переменных рав-
равна просто единице). Отсюда находим функцию распределения ионов
и из уравнения D.33) коэффициент диффузии D = 1/40я (т/МJ. Теперь из
соотношения
оо I оо
п±=[и3, g du, [и, g du, =E5J/5Г(9/5)/2ГG/5)
0 / О
можно найти среднеквадратичную скорость электронов V и2^, которая оказы-
оказывается равной 0,38 (М/тJ/5. Таким образом, отношение токовой скорости
электронов к тепловой в рассматриваемой модели равно 2,65 (т/М) ' .
Число ионов, взаимодействующих с колебаниями, по-прежнему мало
1
i(ux)dux(m/M)Jх
' 3(8яJ/5ГG/5)
а для определения Хе следует воспользоваться дисперсионным соотношением
<72 J ux dux (w — qJ
mgi @)
Мщ
8,2 / m V/5 Xe m 2,86 ( m \6/5
A4(j)^ coo
/ m y/s Xe
V M ) = (со—
Из требования устойчивости и присутствия колебаний со всеми фазовыми ско-
скоростями в интервале @, 1) совершенно аналогично случаю распространения
тока вдоль Н [см. формулы D.36)—D.40)] находим число частиц в электрон-
электронном корне Хе ж 8,2 (m/ML/5.
§ 4.4. Аномальное сопротивление
из-за других типов неустойчивости
Вернемся снова к таблице (см. §4.1) и рассмотрим оставшиеся
виды неустойчивости. Неустойчивость Драммонда—Розенблюта при-
135

водит к сравнительно слабым мнимым частям частоты и, кроме того,
с точки зрения квазилинейного приближения — это одномерная
неустойчивость. Поэтому возникающее электронное плато наподо-
наподобие того, которое появляется в одномерной ионно-звуковой модели
D.3), должно быстро остановить развитие неустойчивости. Ток может
нарастать и дальше, а в небольшой области пространства скоростей
электронное распределение будет иметь плато и не будет неустойчи-
неустойчивости.
Наиболее низким порогом возбуждения (малым значением) обла-
обладают электростатические неустойчивости с k\\ <^ k± в плазме с то-
током, текущим поперек магнитного поля. При со ^ kvn, Vd > k\\VrJk
это колебания типа D.6). Нелинейное насыщение этого вида неустой-
неустойчивости не поддается рассмотрению с помощью методов теории
слабой турбулентности. Обратимся, например, к случаю модифи-
модифицированной неустойчивости Бунемана [см. формулу D.7)]. Диспер-
Дисперсионное уравнение D.7) отличается от обычного уравнения Бунемана
лишь заменой Qp на Qp/y^l + Wp/соя и шр на (ор&ц/&]/1 + o)p/(oj/.
Можно оценить амплитуду колебаний в режиме насыщений так, как
это часто делается в теории сильной турбулентности. Сравним ли-
линейный dv/dt и нелинейный (v-V) v члены в уравнении для элек-
электронов:
dvldt + (v-V)v = е{Е + (l/c)[v х Н]}.
В нелинейной стадии эти члены конкурируют друг с другом, что
приводит к квазистационарному режиму насыщения неустойчиво-
неустойчивости. Приравнивая их по порядку величины, получаем kV d ~
~ {kclHQ) 2 q4>q. Отсюда можно сделать следующую оценку плот-
q
ности энергии колебаний:
2JVoe21 Фк |2/2Ге « mNVl, krHe » 1. D.41)
к
Теперь с помощью формулы D.14) получим [I]
^эфф = a>HVd/vTe. D.42)
Полезно еще оценить отношения скоростей нагрева электронов и ио-
ионов при этой неустойчивости из соотношения D.21)
fjft » VMi. D.43)
Эта.неустойчивость, как правило, раскачивается медленнее ионно-
звуковой (при Те ^> Ti), но она может иметь место и в плазмах
с большой ионной температурой (Tt ~ Те), когда ионно-звуковой
волны не существует. При уменьшении Т JTi ниже некоторого пре-
предела в дисперсионном уравнении D.6) становится невозможным
пренебрежение тепловым движением ионов. В этом предельном
случае мы имеем дело с модой типа чэлектронного звука» [см. форму-
формулы D.6) и D.9)]. И здесь оценку для уЭфф можно получить, действуя
136

аналогичным образом в соответствии со случаем сильной турбу-
турбулентности.
Для (ор^> (Он неустойчивыми в плазме с током могут стать моды
Бернштейна. Неустойчивость заключается в следующем. Моды
Бернштейна — это колебания с волновым вектором, строго или поч-
почти строго поперечным магнитному полю, частоты группируются
вблизи гармоник /соя- Представим себе чисто электронные колебания,
их частота довольно велика, никакого взаимодействия с ионами не
происходит. Пусть по плазме протекает ток, и в системе отсчета,
движущейся вместе с электронами, имеются такие колебания. Но
из-за эффекта Допплера в лабораторной системе отсчета, где поко-
покоятся ионы, частота колебаний оказывается сдвинутой /со# — k- Vd.
Если скорость дрейфа достаточно велика, при достаточно больших
k (a k можно выбрать вплоть до дебаевского волнового вектора)
можно существенно уменьшить частоту в системе отсчета ионов, так
чтобы эти колебания взаимодействовали с ионами (/соя — k-Vd) ~
~ ki'Ti- И тогда возникает эффект типа неустойчивости волн с от-
отрицательной энергией. Обычное максвелловское распределение ио-
ионов, если учесть мнимую часть взаимодействия ионов с модами Берн-
Бернштейна вследствие резонанса Ландау, дает нам неустойчивость.
Оказывается, что эта неустойчивость имеет довольно большую мни-
мнимую часть, порядка ларморовской частоты электронов, уменьшенной
в отношении дрейфовой скорости к тепловой скорости электронов.
Более того, эта неустойчивость мало чувствительна к отношению
температур. В отличие от ионного звука для этой неустойчивости
не требуется условия, чтобы электронная температура существенно
превышала ионную. Можно было бы ожидать большого аномаль-
аномального сопротивления. "Но оказывается очень малой нелинейности
{малой эффективной частоты соударений), возникающей в процес-
процессе развития неустойчивости, достаточно, чтобы полностью подавить
эту неустойчивость. Действительно, в этих колебаниях существенна
инерция электронов. Зто значит, что столкновения электронов будут
давать большой вклад в мнимую часть. Очевидно, что из инкремента
неустойчивости будет вычитаться v^. Казалось бы, приравнивая
¦эти две величины, можно сразу найти Увфф. Но на самом деле соуда-
соударения дают еще больший вклад. Для этого нужно вспомнить, что
осциллирующая часть функции распределения имеет множитель
exp (i FkTx х]/а>н), поэтому л?эфф будет входить с множителем Пи-
таевского k2rHe [122]. Поскольку речь идет об очень больших
кгце » Vre/Vd (коротких волнах), то этот множитель играет важную
роль. В результате малого уровня нелинейности достаточно, чтобы
подавить неустойчивость на модах Бернштейна.
Эффективную частоту столкновений v^ при неустойчивости на
модах Бернштейна приближенно можно найти следующим способом.
Видоизменим известное дисперсионное уравнение линейной теории
неустойчивости таким образом, чтобы включить в него столкновения
с искомой частотой Vj^. Зто можно сделать, добавив в линеаризо-
линеаризованное кинетическое уравнение для поправки к электронной функции
137

распределения интеграл столкновений в форме Фоккера—Планка
d2f/dvb±. В полученном дисперсионном уравнении будем считать, что
нелинейные эффекты (учтенные введением \эфф) приводят к насыще-
насыщению неустойчивости:
Vk—va^l^r%t = 0. D.44)
Подставляя сюда инкремент у = «яУУ^ге волновое число k
нарастающих возмущений, получаем [123]
чэЫ, = Ю-1 «я (Vd/vTeK. D.45)
Описанный подход,в котором влияние нелинейных процессов учиты-
учитывается путем введения в линейную теорию устойчивости турбулент-
турбулентных коэффициентов переноса такой величины, что система возвра-
возвращается к порогу устойчивости, уже неоднократно использовался
в задачах об аномальной диффузии и теплопроводности неоднород-
неоднородной плазмы [X]. Соотношение D.39) можно получить также на осно-
основе нелинейной теории устойчивости, использующей вместо невозму-
невозмущенных траекторий частиц траектории, соответствующие блуждани-
блужданиям в турбулентных полях [124]. Формально это соответствует учету
затухания из-за турбулентной диффузии частиц. В результате вме-
вместо D.44) получаем
0, D.46)
где D « -
Н
Отсюда нетрудно оценить уровень возникающей турбулентности:
W/N0Te да (a>h/v>l)(Vd/vTe)s. D.47)
Оценка для эффективной частоты соударений совпадает с урав-
уравнением D.45), так как D± та
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Соотношение между различными частями теории слаботурбу-
слаботурбулентной плазмы представим в виде общей схемы используемых урав-
уравнений.
Схема теории слаботурбулелтной плазмы
Уравнение Власова
(для каждого сорта
заряженных частиц)
Уравнения Максвелла
Используя статисти-
статистический подход
Кинетическое урав-
уравнение «для частиц»
Кинетическое урав-
уравнение для каждого
сорта плазменных волн
138

Зти уравнения символически запишем в общей форме:
dt
dt
Здесь столкновительный член имеет вид
В первом приближении
St[n(k)]=2Imcok[/(v)]-nk
Здесь Im со^ [/ (v)] символически отражает зависимость инкремен-
инкремента от функции распределения / (v). Зто приближение соответствует
квазилинейному приближению, изложенному во второй главе,
и учитывает только линейное взаимодействие между волнами и ре-
резонансными частицами при выполнении условия резонанса
со — k-v = 0.
Во втором приближении
а) Взаимодействие волна — волна (см. гл. 1)
щ + со2 = со3.
*1 Т »j = К3.
Соударительный член в ки-
кинетическом уравнении для
частиц описывает адиабати-
адиабатическое взаимодействие волн
с частицами, участвующими
в колебательном движении
St (n)=n-n — символическая
запись, отражающая квадра-
квадратичный характер трехволно-
вого взаимодействия
б) Нелинейное взаимодействие волна — частица (см. гл. 3)
щ — оJ = (кг — k2)-v.
Соударительный член по
существу описывает резо-
резонансное взаимодействие час-
частиц с биениями на смешан-
«ых частотах
St (п) — n-n-f—символическая
запись, отражает тот факт,
что частицы также участвуют
во взаимодействии
В третьем приближении
Снова имеется только адиа-
адиабатическое взаимодействие
частиц с волнами
()
Такие процессы важны в
случае нераспадного спектра
(см. § 1.3)
139

Описанный подход неприменим в случае сильной турбулентно-
турбулентности, когда малый параметр по существу отсутствует и поэтому вза-
взаимодействия высших порядков дают такой же вклад, как и члены,
удержанные здесь. Некоторые простые примеры оценок для этого
случая приведены в задаче об аномальном сопротивлении плазмы
(см. гл. 4).
В данном обзоре мы не рассматривали задач, связанных с эф-
эффектами типа плазменного эха, открытого Голдом, О'Нейлом и Малм-
бергом [127] (подробнее см. обзор Б. Б. Кадомцева [128]). Эффект
эха — это нелинейный эффект типа смещения мод и наличие его
обусловлено долго сохраняющейся модуляцией функции распре-
распределения частиц в поле волны типа exp (ikvt) (или, иначе говоря,
наличием «памяти» в системе).
В последнее время эффекты, связанные с наличием памяти, ин-
интенсивно исследуются в приложении к задачам распространения
волн в неоднородной плазме [129], эволюции волновых пакетов [130],
нелинейного взаимодействия мод [120].
ПРИЛОЖЕНИЕ
УЧЕТ ТЕПЛОВЫХ ФЛУКТУАЦИИ
В МЕТОДЕ СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ
Итак, в методе слабой турбулентности плазму описывают как совокуп-
совокупность газов: частиц (зарядов плазмы) и «квазичастиц» (волн). Роль источни-
источника волн играют неустойчивости плазмы. Однако в плазме имеются колебания,
возбужденные, правда, до малых амплитуд и при отсутствии неустойчивости.
Это тепловые флуктуации (или равновесные шумы). Коль скоро имеются та-
такие шумы, они также создают квазилинейную диффузию, и их легко учесть
как добавочный эффект в общей схеме метода слабой турбулентности. Пра-
Правильный учет равновесных колебаний требует рассмотрения спонтанного
излучения и поглощения колебаний отдельными частицами [VII—VIII].
Введем флуктуирующую часть функции распределения 6/ (г, v, t), удое»
летворяющую закону корреляции идеального газа для случая плазмы без
магнитного поля
v, *N/(г\ v, /')>=6(v-v'N[r-г'-
В простейшем случае продольных колебаний
б/к(й= б/(г, v,t)exp[mt — ik-x]dtdsr;
(П.2
; ft2 J co-1
Флуктуирующая часть df — дополнительный источник электрического поля-
Однако нас интересуют квадратичные флуктуации | Ф^а\ 2. Умножая уравне"
ние (П.2) на Ф?а, получаем
е(Ь, со) | Фкш |2 ~- -^ Фк*и f 6/k0)d3v (П.З)
140

Используя символическую запись
e(k, w) = e[k, Re о + idldt] ж е (к, Reo) + i (de/3co) (d/dt)
и усредняя б/• б/*, согласно закону корреляции (П.1), нетрудно получить
Зе(к,со,Л д I фк
1; Цг^паН ,Г! :8с-"^)^^.(п.5)
dcak d? ft4 J е* (к, к-у)
Этот дополнительный член, описывающий спонтанное излучение волн плаз-
плазмой, нужно добавить в правую часть кинетического уравнения для волн. Соот-
Соответствующий ему эффект отдачи (реакция частиц на спонтанное излучение)
даст дополнительный член в квазилинейном уравнении для функции распре-
распределения
df ' — (п.б)
где УбФ добавка к электрическому полю, возникающая из-за спонтанных
флуктуации. Усредняя бФб/ с учетом уравнения A) и B), находим искомый
дополнительный член в кинетическом уравнении
/df_\ ^_nNe* Г tf»k * д 8(k-v-k-v')
\dt 'finct /n2 J BяK/г4 J 3v j e(k, k-v) |2 leK '
dv' '
(П.7)
Разумеется, эти дополнительные члены [в кинетическом уравнении для волн
E) и в квазилинейном уравнении G) ] пренебрежимо малы, если речь идет
о неустойчивой плазме. В устойчивой плазме баланс между членом E)
и затуханием Ландау определяет равновесный уровень тепловых флуктуации
волн. Этот равновесный уровень после подстановки в квазилинейное урав-
уравнение дает
(dyk fv)k
dt)QLA~ m* JBn)«ftO dv |e(k,k.v)|» Mv)k dv
Вместе члены (П.7) и (П.8) представляют собой известную форму интеграла
столкновений Ленарда—Балеску [125, 126]. Таким образом, видим, как из-за
простого добавления эффектов бинарной функции распределения (f2) из мето-
метода слабой турбулентности выводится обычное кинетическое уравнение для
устойчивой плазмы. Наряду со спонтанным излучением волн плазмой в ки-
кинетическом уравнении для волн следует учесть черенковское излучение час-
частиц, движущихся в поле волны, введенной в плазму извне (неравновесное
излучение). В методе слаботурбулентной плазмы оно выглядит как рассеяние
волны на тепловых флуктуациях электронной плотности. Поэтому для пол
ноты необходимо вычислить величину
141

Флуктуирующую часть функции распределения электронов можно пред-
представить в виде
где потенциал Фкш связан с б/^щ соотношением (П.2), в котором теперь сле-
следует провести суммирование по сортам частиц. Подставляя (П.Ю) в (П.9),
получаем хорошо известный результат
е2<6п^=н77^^{Ле|1+8г12+Лг|ееП> (ПЛ1)
где
/o;(vN(co-k.v)d3v.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
МОНОГРАФИИ ПО НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
I. Sagdeev R. Z. ,GaIeev A. A. Lectures on nonlinear plasma theory. ICTP
Tiieste, 1966. Preprint IC/66/64; Nonlinear plasma theory. Ed. by T.
O'Neil, D. Book, Benjam., N. Y. — Amsterdam, 1969.
II. Сагдеев Р. З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной
плазме. В сб: Вопросы теории плазмы. В. 4. М., Атомиздат, 1964, с. 20.
III. Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. Там же, с. 188.
IV. Веденов А. А. Введение в теорию слаботурбулентной плазмы. В сб: Во-
Вопросы теории плазмы. В. 3. М., Госатомиздат, 1963, с. 203.
V. Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М., «Наука», 1967.
VI. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1,2. М.
Атомиздат, 1970, 1971.
VII. Ахиезер А. И. и др.Коллективные колебания в плазме. М., Атомиздат
1964.
VIII. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. Пер. с англ. М., «Мир»,
1971.
IX. Веденов А. A.j-Рютов Д. Д. Квазилинейные эффекты в потоковых неус-
тойчивостях. В сб.: Вопросы теории плазмы. В. 6. М., Атомиздат, 1972.
X. Кадомцев Б. Б., Погуце О. П. Турбулентные процессы в тороидальных
системах. В сб: Вопросы теории плазмы. В. 5. М., Атомиздат, 1967,
с. 209.
Оригинальные статьи
1. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. «Ж. техн. физ.», 1962, XXXII, 1291.
2. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. «Ядерный синтез», 1961, 1,
82.
3. Галеев А. А., Ораевский В. Н. «Докл. АН СССР», 1962, 147, 71.
4. Lighthill M. J. J. Inst. Math. Appl., 1965, 1, 269.
5. Сагдеев P. 3. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных
реакций. Т. 3. М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 346.
6. Волков Т. Ф. Там же. Т. 3, с. 336; т. 4, с. 98.
7. Taniuti Т., Washmi H. Phys. Rev. Lett., 1968, 21, 209.
8. Силин В. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1965, 48, 1679.
9. Du Bois D. F., Goldman M. V. Phys. Rev. Lett., 1965, 14, 544.
10. Талонов А. В., Миллер М. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1958, 34, 242\
11. Векслер В. И., Коврижных Л. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1958, 35,
1116.
12. Nishikawa К- J. Phys. Soc. Jap., 1968, 24, 916, 1152.
13. Андреев Н. Е., Кирий А. Ю., Силин В. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
1969, 57, 1024.
142

14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.,
Гостехиздат, 1957.
15. Галеев А. А., Карпман В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1963, 44, 592.
16. Armstrong I. A. e. a. Phys. Rev., 1962, 127, 1918.
17. Pierce J. R. Travailing wave tubes. Van Nostrand Co., N. Y., 1950.
18. Бломберген Н. Нелинейная оптика. Пер. с англ. М., «Мир», 1966.
19. Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики. М., ВИНИТИ,
1964.
20. Louisell W. H. Coupled modes and parametric electronics. J. Wiley and
Sons, N. Y., 1960.
21. Галеев А. А., Ораевский В. Н. «Докл. АН СССР», 1964, 154, 1069.
22. Захаров В. Е. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1966, 51, 1107; «Прикл. механ.
и техн. физ.», 1968, 2, 86.
23. Benjamin Т. В., Feir J. E. J. Fluid. Mech., 1967, 27, 417.
24. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат,
1953.
25. Benney D. J. J. Fluid. Mech., 1962, 14, 577.
26. Леонтович М. А. «Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1944, 81, 16.
27. Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1950, 20,
1064.
28. Беспалов В. И., Литвак А. Г., Таланов В. И. В сб: Нелинейная оптика.
Новосибирск, «Наука», СО АН СССР, 1968.
29. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. «Успехи физ. наук», 1971, 103, 193.
30. Chiao R., Gardmire F., Townes C. Phys. Rev. Lett., 1964, 13, 479.
31. Аскарян Г. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1962, 42, 1567.
32. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1967, 52,
1081.
33. Самас М., Kantrowitz A. R., Litvak M. e. a. Nucl. Fusion Suppl. 1, Part. 2,
423.
34. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1962,
43, 2234.
35. Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1956.
36. Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. «Докл. АН СССР», 1966, 170, 1292.
37. Aamodt R., Drummond W. В. J. Nucl. Energy, 1964, 6, 1.47.
38. Захаров В. Е. «Прикл. механ. и техн. физ.», 1965, 4, 35.
39. Филлипс О. М. В сб.: Ветровые волны. Пер. с англ. М., Изд-во иностр.
лит., 1962, с. 219.
40. Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. «Прикл. механ. и теор. физ.», 1967, 5,
62.
41. Кадомцев Б. Б., Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. «Ж. эксперим.
и теор. физ.», 1964, 47, 2266.
42. Пистунович В. И., Тимофеев А. В. «Докл. АН СССР», 1964, 159, 779.
43. Berk H. L. e. a. Phys. Rev. Lett., 1969, 22, 876.
44. Дикасов В. М., Рудаков Л. И., Рютов Д. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
1965, 48, 913.
45. Coppi В., Rosenbluth M. N., Sudan R. Ann. Phys., 1969, 55, 207.
46. Веденов А. А., Рудаков Л- И. «Докл. АН СССР», 1964, 159, 767.
47. Ландау Л. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1946, 16, 574.
48. Bernstein I., Green J., Kxuskal M. Phys. Rev., 1957, 108, 546.
49. Sagdeev R. Plasma Physics. IAEA, Vienna, 1965, p. 555.
50. Dungey J. J. Fluid. Mech., 1963, 15.
51. Мазитов Р. К. «Прикл. механ. и техн. физ.», 1965, 1, 27.
52. О'Neil Т. Phys. Fluids., 1965, 8, 2255.
53. Morales G. J., О'Neil Т. Phys. Rev. Lett., 1972, 28, 417.
54. Fried В., Liu C, Means R., Sagdeev R. Bull. Amer. Phys.. Soc, 1970, 15,
142.
55. Онищенко И. Н., Линецкий А. Р., Мациборко Н. Г. и др. «Письма ЖЭТФ»,
1970, 12, 407.
• 143

56. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. «Ядерный синтез», Прило-
Приложение II, 1962, с. 465.
57. Drummond W. E., Pines D. Nucl. Fusion Suppl., 1962, 3, 1049.
58. Романов Ю. А., Филиппов Г. Ф. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1961, 10,
123.
59. Альтшуль Л. М., Карпман В. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1964, 47,
1552.
60. Dupree T. Phys. Fluids, 1966, 9, 1773.
61. Иванов А. А., Рудаков Л. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1966, 51, 1522.
62. Galeev A., Kennel С, Sagdeev R. ICTP, Trieste 1966, rept. IC/66/83.
63. Рудаков Л. И., Кораблев А. Е. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1966, 50, 220.
64. Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 1969, 57, 967; Рудаков Л. И. Там же, 1970, 59, 2091.
65. Брейзман Б. Н., Рютов Д. Д. Там же, 1971, 60, 408.
66. Захаров В. Е., Карпман В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1962, 43, 490.
67. Post R. Phys. Rev. Lett., 1967, 18, 232.
68. Будкер Г. И., Мирное В. В., Рютов Д. Д. «Письма ЖЭТФ», 1971, 14, 320.
69. Роуландс Дж., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
1966, 50, 979.
70. Андронов А. А., Трахтенгерц В. Ю. «Геомагнетизм и аэрономия», 1964,
IV, 233.
71. Kennel С. F., Petshek H. J. Geophys. Res., 1966, 71, 1.
72. Kennel С. F. Rev. Geophys., 1969, 1, 379.
73. Веденов А. А., Сагдеев Р. 3. «Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций», 1958, 3, 278.
74. Шапиро В. Д., Шевченко В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1968, 45,
1612.
75. Заславский Г. М., Моисеев С. С. «Прикл. механ. и техн. физ.», 1962, 6,
119.
76. Moiseew S., Sagdeev R. J. Nucl. Energy, 1963, C5, 43.
77. Fried B. Phys. Fluids, 1959, 2, 337.
78. Furth H. Phys. Fluids, 1963, 6, 48.
79. Biskamp D., Sagdeev R., Schindler K. Cosmic Electrodyn, 1970, 1, 297.
80. Coppi В., Laval G., Pellat R. Phys. Rev. Lett., 1966, 16, 1207.
81. Laval G., Pellat R., Vuillemin M. In: Plasma Phys. and Contr..Nucl. Fu-
Fusion. Res., v. 2, IAEA, Vienna, 1966.
82. Schindler K. Proc. of the Seventh Int. Conf. on Phenomena in Ionised Ga-
Gases, Gradevinska Knigga, Belgrad 1966, Yugoslavia, v. 2, p. 736.
83. Галеев А. А., Сагдеев Р. З. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1969, 57, 1047.
84. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. «Докл. АН СССР», 1961, 138, 581.
85. Галеев А. А., Рудаков Л. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1963, 45, 647.
86. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. «Докл. АН СССР», 1963, 150, 775.
87. Кадомцев Б. Б. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1963, 45, 1231.
88. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3. «Ядерный синтез», 1965, 5, 20.
89. Кадомцев Б. Б., Погуце О. П. «Докл. АН СССР», 1969, 188, 69; Pogutze
О. P. Nucl. Fusion, 1972, 12, 39.
90. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3. «Докл-. АН СССР», 1964,
157, 1087.
91. Силин В. П. «Прикл. механ. и техн. физ.», 1964, 1, 31. .
92. Зельдович Я. Б., Сюняев Р. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1972, 62, 158.
93. Valeo Е., ОЬеппап С, Perkins F. Phys. Rev. Lett., 1972, 28, 340.
94. Петвиашвили В. И. «Докл. АН СССР», 1963, 153, 1295.
95. Ахиезер И. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1964, 47, 952; 47, 2269.
96. Коврижных Л. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1965, 48, 1114.
97. Литвак А. Г., Трахтенгерц Ю. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1971, 60,
1702.
98. Галеев А. А., Сюняев Р. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1972, 63, 1266.
99. Компанеец А. С. «Ж. эксперим. и теор. фи*.», 1956, 31, 876.
100. Зельдович Я. Б., Левин Е. В., Сюняев Р. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
1972, 62, 1392.
144

101. Кингесеп А. С, Рудаков Л. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1970, 5»„
582.
102. Peyraud P. I. J. de Phys., 1968, 299, 88; 308, 872.
103. Зельдович Я. Б., Левин Е. В. «Письма ЖЭТФ», 1970, 11, 497.
104. Коврижных Л. М. «Письма ЖЭТФ», 1965, 2, 142.
105. Левин Е. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1971, 61, 112.
106. Buneman О. Phys. Rev., 1959, 115, 603; Будкер Г. И. «Атомная энергия»,
195С, 5, 9.
107. Гордеев Г. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1954, 27, 19.
108. Drummond W., Rosenbluth M. Phys. Fluids, 1962, 5, 1507.
109. Sizonenko V., Stepanov К. Nucl. Fusion, 1967, 7, 131.
110. Buneman O. J. Nucl. Energy, 1962, C4, 111.
111. Курилко В. И., Мирошниченко В. И. Физика плазмы и проблема уп-
управляемого термоядерного синтеза. В. 3. Киев, 1963, с. 161. Wong H. V.
Phys. Fluids, 1970, 13, 757; Gary S. P., Sanderson J. J. Plasma Phys.
1970, 4, 739; LashmoreC. N.. Davies. J. Phys., 1970, A3, L40—45; Fors-
lund D.e. a. Phys. Rev. Lett., 1970, 25, 1266; Lampe M. e. a. Phys.
Rev. Lett., 1971, 26, 1221.
112. Sagdeev R. Z. Proc. Simp, in Appl. Math., 1967, 18, 281.
113. Gary S. P., Paul J. W. M. Phys. Rev. Lett., 1971, 26, 1097.
114. Tsytovich V. N. Culham Laboratory Rept. CLM — P244 A970).
115. Сизоненко В. Л., Степанов К. Н. «Письма ЖЭТФ», 1969, 9, 282.
116. Векштейн Г. А., Сагдеев Р. 3. «Письма ЖЭТФ», 1970, 11, 297.
117. Векштейн Г. А., Рютов Д. Д., Сагдеев Р. 3. «Письма ЖЭТФ». 1970,
12,419.
118. Рудаков Л. И. Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res., IAEA, Vien-
Vienna, 1971, p. 235.
119. Bers A., Coppi В., Dupree Т., Kulsrud R. Ibid., 1971, v. 3, p. 247.
120. Dupree T. H. Phys. Rev. Lett., 1970, 25, 789; Kadomtsev В. В., Pogutse
O. P. Phys. Rev. Lett., 1970, 25, 1115.
121. Biskamp D. Chodura Lab. rept of Max-Plank Inst. fur Plasmaphysik.
Garching, N IPP 6/97, 1971.
122. Питаевский Л. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1963, 44, 969.
123. Галеев А.*А., Ломинадзе Д. Г., Степанов К- Н. и др. «Письма ЖЭТФ»
1972, 15, 417.
124. Галеев А. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1969, 57, 1361; Phys. Fluids,
1967, 10, 1041.
125. Lenard A. Ann. Phys., 1960, 10, 390.
126. Balescu R. Phys. Fluids, 1960, 3, 52.
127. Gold R. W., O'Neil T. M., Malmberg J. H. Phys. Rev. Lett., 1967, 19,
219.
128. Кадомцев Б. Б. «Успехи физ. наук», 1968, 95, 111.
129. Ерохин Н. С, Моисеев С. С. Волновые процессы в неоднородной
плазме. См. наст, сб., стр. 146.
130. Denavit J., Sudan R. Phys. Rev. Lett , 1972, 28, 404.

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
Н. С. Ерохин, С. С. Моисеев
ВВЕДЕНИЕ
Исследование влияния неоднородности плазмы на характер
распространения и взаимодействия волн начато довольно давно
(см. работы [1, 2] и литературу к ним). В последние годы этот раз-
раздел физики плазмы интенсивно развивается и его результаты имеют
большое практическое применение [3—5]. Можно назвать следующие
направления развития теории по интересующему вопросу: а) учет
неодномерной неоднородности среды; б) исследование совместного
влияния нелинейности и неоднородности (генерация гармоник, рас-
падныепроцессы, трансформация нелинейных типов волн); в) транс-
трансформация волн в неравновесных средах; г) учет кинетических эф-
эффектов при преобразовании волн в неоднородной плазме (линейное
и нелинейное нелокальные отражения волн, нелокальная транс-
трансформация волн); д) продолжение исследования вопросов распростра-
распространения волн в средах с одномерной неоднородностью в Линейном
гидродинамическом приближении, по которым теория еще далека
до завершения.
В неоднородной плазме свойства волновых движений во многих
существенных чертах качественно отличаются от случая однородной
плазмы. Так, в пространственно неоднородной плазме «завязыва-
«завязываются» продольные и поперечные волны, а волновой вектор к — это
функция координаты; далее «распадная» область взаимодействующих
волн пространственно ограничена, что может привести к срыву
распадных неустойчивостей вследствие выноса энергии из области
распада и сужения самой распадной области; наконец, возможна
фазовая фокусировка частиц неоднородностью и появление вслед-
вследствие этого дополнительных макроскопических токов и т. п. Указан-
Указанные особенности, в свою очередь, вызывают некоторые новые явле-
явления.
В частности, физически очевидно, что если в некоторой области
пространственно неоднородной среды фазовые скорости различных
типов нормальных колебаний становятся близкими друг к другу,
то следует ожидать интенсивного «взаимодействия» этих нормальных
колебаний. В этом случае возникает вопрос о степени трансформации
энергии падающей на область «взаимодействия» волны в энергию
146

других типов волн [1—3, 6—9]. В задачах теории устойчивости экви
валентным является вопрос о том-, насколько сильно изменяется дис-
дисперсионное уравнение для частот собственных колебаний в резуль-
результате учета указанного «взаимодействия» [10—13].
Зависимость волнового вектора к от координаты приводит и к
существенному изменению характера нелинейных явлений в неод-
неоднородных средах. Например, известно, что в нелинейной однородной
среде генерация второй гармоники может происходить только при
выполнении условий синхронизма со2 = 2(ох и к2 = 2кх. В случае
пространственно неоднородной среды условие k2=2kj уже не должно
выполняться точно, поэтому генерация второй гармоники воз-
возможна, вообще говоря, при любом законе дисперсии [5]. Хорошо
известно утверждение, что электромагнитные волны проникают
в плазму далеко не при всех значениях частоты со. Вместе с тем
«глубина проникновения» взаимодействующих с волнами частиц
плазмы может заметно превышать глубину проникновения волн.
Вследствие этого возможна передача информации о волновом дви-
движении в область пространства, недоступную исходной волне. Осо-
Особое значение указанное аномальное проникновение волн приобре-
приобретает в неоднородной плазме, где оно может проявляться уже в ли-
линейном по амплитуде волн приближении [141. Приведем некоторые
примеры.
1. Преобразование электромагнитных волн в плазменные (ион-
(ионные или электронные) можно применить для нагрева плазмы до
термоядерныхдемператур, причем из теории и эксперимента следует,
что нагрев возможен в устойчивой ламинарной плазме, если поле
волны не превышает некоторого критического значения [3, 15—17].
Такой нагрев может оказаться особенно эффективным в СВЧ-диа-
пазоне для крупномасштабных термоядерных реакторов [3, 18].
Он также весьма существен (при учете поверхностных явлений)
в проблеме получения высоких температур с помощью фокусиров-
фокусировки лазерного излучения на твердые мишени [19].
2. Трансформацию волн, а также их регенерацию, обусловлен-
обусловленную кинетическими эффектами [14], можно использовать для «про-
«просветления» и диагностики плазмы.
3. Трансформация плазменных волн в электромагнитные может
стать основой для создания плазменных источников электромагнит-
электромагнитного излучения. Теория и первые эксперименты показывают воз-
возможность достижения оптимальных условий для излучения попереч-
поперечных волн [1, 15, 20—24].
4. Трансформацию неустойчивых мод в устойчивые можно при-
применить для стабилизации неустойчивостей [25—26]. Предваритель-
Предварительные эксперименты находятся в согласии с теорией [22].
5. Эффект генерации гармоник в неоднородной плазме, по-ви-
по-видимому, представляет интерес для получения миллиметровых и суб-
субмиллиметровых волн.
Следует отметить, что теория волновых процессов в неоднород-
неоднородной плазме, имея важные «чисто плазменные» применения, вместе
147

¦с тем весьма нечувствительна к изменению объекта исследования.
Так, многие результаты этой теории легко переносятся на колеба-
колебания в других неоднородных средах (например, на случай неоднород-
неоднородного ферромагнетика), а также могут найти интересные применения
в самых разнообразных областях физики. Например, теория «пере-
«пересечения решений», которая используется при исследовании транс-
трансформации волн, начала развиваться в связи с изучением неупругих
¦атомных столкновений [27], где с успехом применяется и поныне
[28, 29]. С этой же математической теорией связан цикл вопросов по
«магнитному пробою» в металлах [30]. Кроме того, по-видимому,
в силу относительной простоты и физического разнообразия особен-
особенностей плазмы, влияние неоднородности для нее в некоторых слу-
случаях исследовано полнее, чем в других средах. Так, в плазме обна-
обнаружено три типа пересечения решений, различающихся как с физи-
физической, так и с математической стороны (см. раздел 1 настоящего
сборника). В то же время для «магнитного пробоя» и для случая
атомных столкновений пока, насколько нам известно, обнаружен
только один тип пересечения решений — так называемый над-
барьерный. Важное значение для квантовых и статистических си-
систем имеет теория «просветления» барьеров, интенсивно разрабаты-
разрабатываемая в случае плазмы.
Настоящий обзор содержит некоторые результаты по линейным
и кинетическим явлениям в неоднородной плазме, полученные в по-
последние годы. Что же касается линейной теории распространения
волн, то от аналогичных обзоров на эту тему [3, 12] он отличается
-более полным исследованием различных случаев «пересечения» .
решений и влияния неравновесности, а также неодномерной неод-
неоднородности среды.
1. ЛИНЕЙНАЯ ТРАНСФОРМАЦИЯ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 1. Типы «пересечения» решений и особенностей поля
электромагнитной волны в неоднородной плазме
1. Классификация пересечения решений в случае одномерной не-
неоднородности. Рассмотрим в линейном приближении различные
типы пересечения волновых решений для неоднородной среды. По-
Поскольку весьма обычна ситуация, когда свойства среды изменяются
мало на расстояниях порядка длины волны, можно применить метод
В КБ (приближение геометрической оптики)*. Если среда неоднород-
неоднородна вдоль оси х, возмущения выберем в виде ср (г, t) = <р (*) exp (ico^ —
— лкуу — \kzz. Тогда для ф (л:) в общем случае получим уравнение
2 ф"ит+х(х)(Ртч1A&т = 0, A.1)
0
1 * Именно в этом приближении имеет смысл говорить о нормальных коле-
колебаниях неоднородной среды, близких к нормальным колебаниям в однородной
среде.
148

тде р — малый параметр, характеризующий слабую неоднородность
среды, а функции ит (х) ~ 1 (исключая окрестности точек, в которых
они обращаются в нуль). В уравнении A.1) для простоты опущены
нечетные производные, так как в приложениях теории они часто
содержат производные от функций ит (х), которые дают лишнюю
•степень малого параметра р* и поэтому не влияют на результаты нуле-
нулевого приближения. Именно в этом случае особенно удобно класси-
классифицировать различные типы пересечения решений. Решение урав-
уравнения A.1) ищем в приближении В КБ, в виде ср (х) ~ Щх) ехр X
X
X [+ ip~'/2 | k (x')dx'], где Щх)— предэкспонента. Однако при-
<ближение В КБ нарушается вблизи точек, в которых либо волновой
вектор к обращается в нуль (точка поворота), либо волновые век-
векторы, соответствующие различным типам колебаний, совпадают,
т. е. кт -- k0 (точка пересечения решений [10]).
Рассмотрим различные случаи пересечения решений на нагляд
ном примере уравнения четвертого порядка. Представим выражение
для kXi 2 (*» <°) в виде
К* = 1/2 (*i + *2) ± 1/2 (kx - k2). A.2)
Можно указать на три наиболее характерных, качественно раз-
различных случая трансформации [16].
а) Трансформация первого типа, или «надбарьерная» трансфор-
трансформация. В этом случае вещественная ось х прозрачна для обоих типов
колебаний, но в комплексной х-плоскости находятся комплексно-
сопряженные точки пересечения решений, причем в области каждой
пары таких точек одно из выражений kx + k2, kx — k2 многозначно.
б) Трансформация второго типа (аномальный случай). В обла-
области трансформации находятся две точки пересечения решений, а на
вещественней оси х возникают-вследствие этого барьеры непрозрач-
непрозрачности. Наиболее часто этот тип трансформации встречается в слу-
случае, когда коэффициент при второй производной обращается в нуль
в некоторой точке хс. Как будет видно ниже, в области пересечения
решений обе функции kx + k2, kx — k2 многозначны, а точки пере-
пересечения решений окаймляют точку хс. Важный пример такого ти-
ла — это трансформация электромагнитных волн в плазменные
в области гибридных резонансов, которая исследовалась теоретиче-
теоретически и экспериментально в обзоре [3].
в) Трансформация при наличии одной точки пересечения реше-
решений встречается довольно редко, но с теоретической точки зрения
она весьма любопытна. Если точка пересечения решений находится
на вещественной оси х, области прозрачности для обеих волн рас-
расположены по одну сторону от нее (отражательный тип трансформа-
трансформации). В окрестности точки пересечения решений многозначна толь-
только функция kx — k2. В настоящее время известен только один при-
пример пересечения такого типа [11].
Н9

2. Об особенностях поля электромагнитной волны в холодной
плазме с одномерной и двумерной неоднородностью параметров. Из
физических соображений ясно, что в силу резкого"различия длин
волн трансформация электромагнитных волн в плазменные происхо-
происходит в областях, где в холодной плазме показатель преломления обра-
обращается в бесконечность (так называемые плазменные резонансы;
в магнитном поле их также называют гибридными резонансами).
При этом, как оказывается, поле электромагнитной волны в холод-
холодной плазме также имеет особенность в таких областях и для даль-
дальнейшего интересно выяснить характер этой особенности [1, 3;
31, 32].
Рассмотрим одномерную неоднородность. В неоднородной по
оси х плазме положение полюса показателя преломления определяет-
определяется условием [3]
гхх(х) = 0. A.3)
В малой окрестности корня х0 этого уравнения можно аппроксимиро-
аппроксимировать гхх (х) линейной зависимостью
е-хх = (х0 — x)/l; I-1 = dexx/dx\x=x, = d In njd\xx=Xo, A.4)
а остальные компоненты тензора eik считать постоянными. По-
Поскольку показатель преломления в окрестности х«х0 очень ве-
велик, то электрическое поле можно считать потенциальным Ес =
= —\ц>, ф = Ф (х) exp (\kvy + \kzz). Сохраняя в уравнении Пуас-
Пуассона только члены, содержащие производные от бчыстро меняющейся
функции Ф, имеем
(х — x0)d2O/dx2 + A — io)dO/dx = 0, A.5)
откуда Ф ~ (х — хо)'а lkxc = al(x — х0) — проекция волнового
вектора, для которого точка х0 — полюс]. Остальные электромаг-
электромагнитные волны не имеют особенности в точке х0, их поле можно
считать в малсй окрестности этой точки постоянным. Таким обра-
образом, при х ->¦ х0
Ехе-*гх + в W(x—x0)]ехр{—icr In [l/(xo—x)]}\ j
Eyc->ey + B(kyl/a)exV{-io\n[l/(x0-x)]}; A.6)
?zc-ve,-f B(kzl/a)exp{~i<r In [//(*„—x)]}, )
где В и es — постоянные, определяемые граничными условиями.
Рассмотрим теперь вопрос об особенностях поля электромагнит-
электромагнитной волны в холодной плазме с двумерной неоднородностью. Ниже
мы в основном будем следовать работе [31]. Используя уравнение
Пуассона div~eEc = 0 для потенциала ср, получаем
д^ * д^ ^ ^ , A.7)
гхх + 2а +гг + ах + аг 0,
дх2 dxdz dz2 дх дг
п двхг , dexv , ., , , ч дв2г . dezx
где 2а = е2Ж + еа2; ах = -^ + -^ + \ky (гху + гух); az = ^+-^
150

Прежде всего исследуем возможные типы особенностей решений
<1.7) качественно. Пусть некоторое решение ср (х, г) обладает осо-
особенностью | dcp/dn | -> оо на гладкой кривой х = х (г). Определим
вид эквипотенциалей вблизи этой кривой. Поскольку х (г) — глад-
гладкая кривая, эквипотенциали также будут гладкими и, следователь-
до, функция fi (x, z) = (ду/дг)/(ду/дх) должна быть конечной и не-
лрерывной в рассматриваемой области. Тогда, используя тождество
(ду/дг) — ]\, (д(р/дх), из уравнения A.7) приближенно находим
«ггН-2 + 20(л + ехх = 0. Таким образом, эквипотенциали удовлетво-
удовлетворяют уравнению
dxldz = А±УВ7 A.8)
где А '= ct/e2Z, В — (о2 — ежхек)/е1г и совпадают с характеристи-
характеристиками уравнения A.7), которое относится к смешанному типу [33].
Линия параболичности В (х, г) = 0 разделяет области эллиптич-
эллиптичности В < 0 и гиперболичности В > 0 уравнения A.7) и, вооэщэ
говоря, является особой, если характеристики A.8) касаются ее
[33]. Общий интеграл уравнения A.7) зависит от двух произвольных
функций, поэтому можно получить особенность на любой характери-
характеристике. Однако такие решения — это не аналоги особых решений,
рассматриваемых в случае одномерной неоднородности, так как для
них требуются специальные граничные условия, по-видимому, *не
реализуемые в физических задачах. Если же имеет место пересече-
пересечение характеристик — эквипотенциалей, принадлежащих к одному
семейству, то это должно приводить к возникновению особенности
для широкого класса граничных условий. Указанное пересечение
или сближение характеристик возможно при наличии особых точек
уравнения A.8) или асимптот его решений. Например, в плоском
случае sxx (d^tp/dx2) + (io + dexx/dx) (d(f/dx) = 0, [где вхх = (x—
— xo)ll) линия х = x0 — асимптота одного из семейств характери-
характеристик. Если область гиперболичности ограничена, то асимптотой
может быть только замкнутая кривая [34]. Однако в физических за-
задачах характеристики A.8) не могут быть замкнутыми кривыми
или спиралями и, следовательно, не могут иметь асимптот. Если
к тому же компоненты тензора sik не имеют особенностей, то особые
точки характеристик могут находиться только на линии парабэлич-
ности, причем в них характеристики должны касаться линии пара-
параболичности.
Таким образом, особые точки характеристик определяются из
условий
В (дг, z) = 0; дВ/дг + А дВ/дх = 0. A.9)
Исследуем поведение характеристик вблизи особой точки A.9),
которую примем за начало координат. При малых х, z можно счи-
считать, что
— B2/&!); о ^ ~г1Ьг; е„ = — е0 < 0. A.10)
151

Подставляя выражение A.10) в формулу A.8) и вводя безразмер-
безразмерные переменные ? = х1аъ ? = z/4aiY г0, получаем
— е0
Общий интеграл уравнений A.11) имеет вид
иа(?» ?) = «i (?>—?); «i,2 = const; y= 1/ 1 —16a,
где p = 16a2, a = a2 — a^/2. Из формул A.12) видно, что поведе-
поведение характеристик зависит от величины параметра а.
Если а > 1/16, через точку х = z = 0 не проходит ни одна
характеристика, точка является фокусом (рис. 1). При 1/16 > а > 0
в точке л: = г = 0 оканчивается бесконечное число характеристик,
а именно все характеристики, заключенные между параболами
| = р?а и Е = [р + A — тJ]?2 (рис. 2). В этом случае вблизи
начала координат указанные характеристики прижимаются к пара-
параболе ? = [р + A — тJ1?2 и имеют вид
?« [р + A— Л2+ 2A— Y)BH-v/|ua|-»)i/i-v|?|2/i-T
Особая точка — узел. Для а < 0, когда у>1, через точку
х = z = 0 проходит по одной характеристике каждого> семейства,,
соответствующих половинам парабол \ = [р + A + уJ]?2 при,
?^0и?=[р + A — yJJ?2 пРи ? ^ 0- Особая точка — это седло,
причем указанные полупараболы являются асимптотами характе-
характеристик соответственно при Z, -*¦ ± с» (рис. 3). С помощью выражений
A.12) нетрудно показать, что в окрестности «седла» происходит
сближение характеристик вблизи параболы ? = [р +(у— 1J]?2.
Это должно привести к особенности на данной параболе, а также на
характеристике, служащей ее продолжением. Если последняя при;
своем продолжении достигает границы гиперболической облает а
в узловой особой точке, то должно происходить отражение особен-
особенности, т. е. особой должна быть и вторая характеристика, выходящая
из точки встречи.
Кроме особенности на характеристиках, проходящих через сед-
седло, поле должно иметь особенность в узлах, а особая точка типа
фокуса не должна приводить к особенности поля.
Рассмотрим решения уравнения
(Х _ аг2)д\/дх2 — dV<?z2 + ду/дх = 0, A.13>
структура характеристик которого подобна исследованной выше.
Уравнение A.13) имеет частные решения вида
Ф1п(ы, z) = uHzuW)«F[(l-n)/2, -л/2; 1 + р Bл+ 1); ?1; 1
<р2п (и, г) = 2»ЛA-л)/2, -л/2; 1 - рBл + 1)/A +4|3); Ш ( '
152

где
1 + 4Р = 1Л — 16а; и = х + 1/2рг2, 4и = A+ 4р>2?; F —
гипергеометрические функции. Пусть |3 > 0 (седловая особая точка)
и регулярные начальные данные Коши
Ф («о, г) = г|з (z); дц/ди \ u=Uo = Ф (z) A.15)
заданы на линии и = ы0. Ясно, что начальным данным A.15) можно»
удовлетворить суперпозицией решений типа A.14), где п — поло-
положительные целые числа. При этом решение имеет, вообще говоря^,
ветвление на линии и = 0 (особая парабола, рассмотренная выше),
а поле Еи = dcp/ды обращается на ней в бесконечность как Ф~1
@<Р<1). Кроме указанных, существуют решения, имеющие
сколь угодно сильную особенность на линии и = 0, а также решения
с особенностью на второй особой параболе ? = 1, например решения
A.14), в которых п не является положительным целым числом..
Используя общий интеграл уравнения A.13), можно показать [31],
что для узловой особой точки (Р< 0) существуют решения, имеющие
особенность только в точке и = z = 0, причем характер особенности
зависит от направления подхода к началу координат.
Как будет видно из дальнейшего, с особенностью поля связано
конечное поглощение энергии электромагнитной волны в области
плазменных резонансов [1, 9, 31, 35—37].
§ 2. Надбарьерный тип трансформации
Пересечение указанного типа в случае, когда многозначно только
kx — кг, впервые исследовалось в работе [27] при изучении неупру-
неупругих атомных столкновений. В работе [38] метод работы [27] был при-
применен для решения задачи взаимной трансформации обыкновенной
и необыкновенной волн в магнитоактивной плазме. Задача на соб-
собственные значения при таком типе пересечения рассматривалась
в работе [25}. Случай, когда одновременно многозначны обе функ-
функции kx ± k2, впервые исследован в случае осцилляторов в рабо-
работе [39].
Некоторые особенности данного пересечения удобнее всего рас-
рассмотреть на примере двух связанных осцилляторов [39, 40]. С фор-
формальной точки зрения такая модель мало чем отличается от задачи
о трансформации волн в неоднородной плазме. Уравнения движения
для рассматриваемого случая запишем в виде
х + ©! (/)* = а (%; у + (о22 (% = а (/)*. A.16)
Умножая каждое из уравнений A.16) соответственно на х*, у*,
складывая их, а затем вычитая из уравнения комплексно сопряжен-
сопряженные A.16), каждое из которых тоже умножено соответственно на
х, у, получаем
¦^¦(хх* — х*х + уу*—у'у) = 0. A.17)
at
154

При постоянных соь со2, а уравнения для нормальных координат
имеют вид
Y = O (пг ф Qa), A.18)
где Qb il2 —- частоты нормальных колебаний, определяемые выра-
выражениями Qf,2= 1/2 [со| + col ± уЧа2 + (со? — со!J]. Связь между
х, у и нормальными координатами X, Y следующая:
v {Q2i~-col) л;—ay „ ах — (Ql — со!) у ,, 1ПЧ
Л = —— — •; * = —=г=г- A-1у)
Преобразование A.19) соответствует нормировке, при которой
X -*- х, Y ->- г/, если a -> 0 и со! > tol. При медленном изменении
во времен! коэффициентов системы уравнений A.16) общее решение
Z для нормальных координат можно представить в виде
Z = АУХ+ + Л2Г+ + А3Х_ + A,Y_,
t
Х± = Q1 (/)->/2exp [± i J Qi (t')dt'h
У± = ^a@-1/2exp[±ijQ2(Odn.
Тогда, подставляя в A.17) х, у из A.19), получаем
Л2 + В2 = const = /. A.20)
Учитывая, что амплитуды at квазинормальных колебаний равны
at = Ai/УЩ, из A.20) имеем
/ = | ах |2 Qj + |aa|2Q2 = E1/Q1 + ?2/Qs =/х + /2,
где Еъ ?2 — соответственно энергии X-,Y -колебаний. Таким
образом, сохраняется сумма величин, каждая из которых — адиаба-
адиабатический инвариант для отдельного «квазинормального» колебания
при отсутствии взаимодействия между колебаниями.
Обозначим А и В вектор-столбцы постоянных коэффициентов
общего решения соответственно слева и справа от области пересече-
пересечения решений (резонансной области). Тогда, используя аналитичность
точного решения A.16), нетрудно получить матрицу преобразова-
преобразования М вектор-столбцов В = ЛГА. Поскольку такой вывод хорошо
известен [2], приведем без доказательства вид матрицы М для слу-
случая пересечения Qx = ?22 [40]:
Мп = —Л1*22 = i|A — ехр (—26) ехр (—и|>);
М1а = М21 = ехр (-6), A.21)
где 26 = Ф dt ^ 1 ~ 2- > 0 (контур L охватывает обе точки пере-
пересечения), яр — неизвестная в методе ВКБ фаза, которая не влияет
на коэффициент трансформации Q между нормальными колебаниями
155

X+, Y+ и Х-, У_ [Q~exp (—б)]. Отметим, что инвариантность Г
следует также из унитарности матрицы М.
В плазме полным аналогом уравнений A.16) является, например,,
система уравнений, которая описывает поведение медленной и бы-
быстрой магнитозвуковых волн при медленном изменении во времени
плотности плазмы. Вывод, весьма сходный с выводом уравнений"
для пространственно неоднородной плазмы [41], приводит к следую-
следующей системе уравнений:
Здесь va, cs — соответственно альвеновская и звуковая скорости;
6 — угол между волновым вектором и магнитным полем Но = Ноег;
v0 — cs @); hy = Ноиг; р = р0и2; ро @ — невозмущенная плотность;
h,,, p — возмущения магнитного поля и плотности. Пересечение
происходит в области va « cs, при этом для малых углов 9 имеем
б « tk2v0Q2, где х — характерное время изменения р0. При б -> О
коэффициент трансформации Q -*~ 1. Однако следует подчеркнуть,
что речь идет о трансформации нормальных колебаний X, Y и в дан-
данном случае совсем не означает большого обмена энергией между
осцилляторами х и у [42, 43]. В самом деле, пусть при t -*¦ — оо будет
*/= 0, х = Лш1(/)-'/2ехр [i J coj (t')dt'] (a < <of 2). Тогда при
о
t^f + оо пол учим у = Всо2 (t)~l/2exp [i ] co2 (t')dt'\, где
о
В = o/2i J х (t) [со2 (t)\ ~ % ехр — i J ©2 (Г) Л' = аЛ/cog (я/2 ш0 тI^ X
-оо L 0 J
Хехр(—in/4); K>1(t) — GJ(t)=ti>0t/T.
Кроме того, в данном случае, как нетрудно видеть, 26 =
= л/2 (У соота/сооJ. Отсюда следует, что уменьшение б затрудняет
перекачку энергии из колебания х в колебание у. Для примера A.22)
это означает, что если при/-э—оо энергия была сосредоточена
в звуковых колебаниях, то она останется в них при t-*¦-{- оо-
для а->-0, б —> 0. Следовательно, при малых а более эффективным
оказывается адиабатический переход, когда б ^ 1 из-за большого
времени расхождения ветвей т.
Не представляет труда найти матрицу перехода в случае резо-
резонанса Qx = —Q2, а также при обходе области, в которой одновре-
одновременно имеются резонансы Qx = Q2 и Йг = —Q2.
Рассмотрим некоторые примеры интересующего нас типа пере-
пересечения колебаний. Весьма важным для приложений является слу-
случай взаимной трансформации обыкновенной и необыкновенной волн
в холодной плазме. Как уже отмечалось, нагрев плазмы при транс-
трансформации необыкновенной волны в плазменную весьма перспекти-
перспективен (этот тип трансформации рассмотрен в § 3 настоящего раздела).
156

Однако в крупномасштабных термоядерных установках ввод не-
необыкновенной волны в плазму существенно затрудняется из-за
наличия барьера непрозрачности и целесообразнее вводить энергию
в виде обыкновенных волн, используя «трехступенчатую» трансфор-
трансформацию: обыкновенную волну преобразовать в необыкновенную, а по-
последнюю в плазменную. Область отражения обыкновенной волны
при малых углах 0 и со < ©яе расположена в окрестности о>ч=; а>Ре{г),.
т.е. дальше от края плазмы,
чем область отражения не-
необыкновенной волны [1]
(ЗДеСЬ (дне. (дре ЛЭрМОрОВ-
ская и ленгмюровская часто-
частота соответственно). Транс-
Трансформация необыкновенной
волны в обыкновенную су-
существенна при выводе энер-
энергии из плазмы. Подробно раз-
различные случаи взаимодейст-
взаимодействия обыкновенных и необык-
необыкновенных волн рассмотрены
в работе [2].
Для иллюстрации приве-
приведем один из случаев при
«яе < (д. На рис. 4 изобра-
изображены квадраты показателей
преломления необыкновенной
и обыкновенной волн и амплитудные коэффициенты преобразова-
преобразования, считая амплитуду падающей волны единицей.
о пс я<в02 dv
Здесь 2бо1 =
Рис- 4-
^ \л —— —
2саA+со/шЯеK/2 dz
v= 1
V = (Op
Интересно отметить, что при 0 -> О происходит полный переход,
необыкновенной волны в обыкновенную. Однако в этом случае
свойства волн, соответствующих участкам ab и cd, мало отличаются
друг от друга и в согласии со сказанным выше, переход с изменением,
физических свойств не происходит (при 0 == 0 ab и cd лежат на одной
дисперсионной кривой). Приведем также уравнение, описывающее
преобразование быстрых и медленных магнитозвуковых волн друг
в друга [41]:
i—Ц) ф"+[©2/й (co2/ci— kl)—(co2/cl) k*\ ф=0. A.24)
Здесь Va — Но/4лМпо; с\ = TIM; M — масса иона. При выводе
A.24) было сделано предположение, что плотность п0 (г) неоднород-
неоднородна вдоль магнитного поля. Если коэффициент при фп не обращает-
обращается в нуль, то осуществляется надбарьерный тип пересечения в об-
области vA ~ св, как и в случае A.22).
157

В заключение кратко обсудим вопрос о трансформации волн в сре-
среде со случайными неоднородностями. При прохождении волн через
достаточно большой объем неоднородной среды число точек транс-
трансформации может быть очень большим. Естественно считать их рас-
распределение по объему хаотическим и заданным в виде некоторой
случайной функции. Тогда возникает вопрос об эволюции волн в та-
такой среде. Как и выше, удобнее, однако, исследовать аналогичную
задачу о прохождении системы осцилляторов через резонансы в слу-
случайные моменты времени. Поскольку адиабатический инвариант
каждого нормального колебания существенно изменяется только
в узкой области резонанса, т. е. фактически скачкообразно, то
в соответствии с работой [44] будем говорить о столкновениях
нормальных колебаний. Направление эволюции (устойчивость или
неустойчивость) зависит от вида инварианта дифференциального
уравнения, описывающего систему осцилляторов в области резонанса
[45, 46]. Если решение имеет вид 1*Ап,Хп, где Хп — квазинор-
п
мальные колебания, то инвариант является квадратичной формой
из постоянных Ап
Xsn | Ап |2 = const = invar (sn = ±1). A-25)
n
Допустим, что все sn одного знака, тогда | Ап | ограничен сверху,
т. е. движение осцилляторов финитно в фазовом пространстве.
В противном случае система может быть неустойчивой. Строгое
доказательство этого положения в общем виде затруднительно,
однако на частных примерах оно подтверждается.
Для одного осциллятора в случайном внешнем поле резонансами
являются точки, в которых о» (t) = 0. Инвариант имеет вид [А+\2 —
— Л_|2 = invar. Таким образом, можно ожидать, что' движе-
движение будет неустойчиво. Решение задачи [44] подтверждает этот
вывод.
В работе [47] рассматривалась трансформация волн в среде со
случайными неоднороднсстями. Формально ситуация эквивалентна
системе двух связанных осцилляторов с резонансами Qx = Q2.
Инвариант имеет вид | Аг |а + |Л2|2 = invar. Найдено, что неза-
независимо от начальных условий система приближается к равновесию,
в котором Ах = Л 2 (в соответствии со сказанным выше). В ра-
работе [45] исследовалась трансформация при случайных столкнове-
столкновениях, когда инвариант системы связанных осцилляторов имел вид
| Av\2 + |Л2|2 — [Л3|2 — I ^4 I2 = invar. Система осцилляторов
оказалась неустойчивой. Максимальное значение инкремента этой
трансформационной неустойчивости порядка частоты прохождения
резонансов (частоты столкновений). Отсюда следует важный вывод:
если не все sn одного знака, то каждое колебание при трансформа-
трансформации увеличивает свою амплитуду за счет энергии среды. Этот вывод
может иметь существенное значение, в частности, для задач по
устойчивости плазменных ускорителей.
158

§ 3. Аномальный тип трансформации волн
1. Аномальный тип пересечения. Вводные замечания. Второй тип
пересечения волновых решений с математической точки зрения
наиболее сложный, а кроме того, с ним связаны такие существенные
физические приложения, как СВЧ-нагрев плазмы в крупномасштаб-
крупномасштабных термоядерных установках [3, 18]. Отметим также, что указан-
указанным пересечением определяются многие из особенностей поведения
пучково-плазменных разрядов (см. § 4 настоящего раздела).
Второй тип трансформации назовем также аномальным, посколь-
поскольку, например, в случае гибридных резонансов, как уже отмечалось
выше, электрическое поле и показатель преломления имеют особен-
особенность в резонансном слое холодной плазмы, а коэффициент транс-
трансформации может достигать единицы [8].
Исследованию трансформации второго типа посвящено большое
число работ. Подробную библиографию по аномальной трансформа-
трансформации см. в работе [3]. Анализ работ по аномальному типу трансфор-
трансформации легко позволяет увидеть две тенденции при решении задач:
использование метода «холодного» уравнения и построение теории
при учете старшей производной. Метод холодного уравнения, полу-
получивший наиболее полное развитие в работе [9], основан на исполь-
использовании замечательной особенности аномальной трансформации:
равенстве коэффициента поглощения электромагнитной волны в хо-
холодной плазме коэффициенту трансформации электромагнитной
волны в медленную плазменную вблну в «горячей» плазме. Это об-
обстоятельство позволяет существенно упростить задачу и часто ее
удается свести к исследованию дифференциального уравнения
второго порядка. С помощью указанной методики авторам работы
[3] удалось проанализировать большое количество задач с теорети-
теоретической и экспериментальной точек зрения. Поэтому возникает сле-
следующий вопрос, особенно важный с точки зрения будущих исследо-
исследований:- является ли анализ трансформации второго типа на основе
дифференциального уравнения четвертого порядка нужным по су-
существу дела или он интересен лишь с методической и математиче-
математической сторон, как дополнительный способ доказательства? Назовем
некоторые из причин, вследствие которых, по нашему мнению, важен
анализ решений дифференциального уравнения четвертого порядка.
1. Эквивалентность поглощения волн в холодной плазме, опи-
описываемого уравнением видал7" (d\ldx2) + « (л:) ф = 0, их трансфор-
трансформации в тепловые колебания, описываемой уравнением a (di(p/dxi)+
+ хт (d\/dx2) + и (х) ф = 0, доказаны только для т = 1. В слу-
случае произвольного т эта эквивалентность не очевидна [48, 49].
2. Если параметр а в написанном выше уравнении четвертого
порядка комплексный, то даже при т = 1 необходимо дополнитель-
дополнительное исследование указанного уравнения для того, чтобы убедиться
в равенстве коэффициента поглощения коэффициенту трансформа-
трансформации длинноволнового колебания kt ^ Yui^u2 B коротковолновое
К « У~1ф- [50].
159

3. Укороченное уравнение, из которого получается правильное
выражение для коэффициента поглощения, равного коэффициенту
трансформации длинноволновой моды в коротковолновую, совпада-
совпадает с уравнением для волн в холодной плазме лишь в пределе доста-
достаточно слабого теплового движения [51].
4. Совместное исследование влияния диссипации, теплового
движения (в рамках дифференциального уравнения четвертого по-
порядка) и нелинейных процессов необходимо для выяснения характе-
характера распределения энергии электромагнитной волны, падающей на
¦область с особенностью (сингулярностью) показателя преломления.
В некоторых случаях ситуация проанализирована в основном с ка-
качественной стороны [5, 52].
5. Даже в тех случаях, когда исследование «холодного» урав-
уравнения дает правильную информацию о преобразовании длинновол-
длинноволновой моды в коротковолновую, исследование уравнения четверто-
четвертого порядка может дать дополнительную информацию об особенностях
пересечения решений [13].
6. Для некоторых задач, таких, например, как задача на соб-
собственные значения [10, 11] или задача об определении критических
токов в пучково-плазменных разрядах [26], при наличии аномаль-
аномального пересечения, анализ полного уравнения для обеих пересекаю-
пересекающихся мод вытекает из самой сущности проблемы.
7. Вопрос об эквивалентности теплового движения диссипации
в холодной плазме для случая трансформации второго типа при дву-
двумерной начальной неоднородности в настоящее время является от-
открытым [53].
Таким образом, как следует из сделанных замечаний, сущест-
существует широкий круг вопросов в задачах аномального типа пересече-
пересечения, при исследовании которых недостаточно ограничиться анализом
холодного уравнения*. Учитывая это, а также то, что-по методу
«холодного» уравнения имеется подробный обзор [3], рассмотрим
в следующем разделе некоторые результаты, вытекающие из реше-
решения дифференциальных уравнений четвертого порядка в интересую-
интересующем нас случае. Одновременно проиллюстрируем сделанные выше
замечания (см. также разделы 1 § 4 и 2 § 2).
2. Методы исследования аномального пересечения. В связи
с многочисленными приложениями (см., например, работу [54]
и приведенную там библиографию) важное значение имеет уравнение
а|52ф1У + К^)фп + Мф = 0 A.26)
с двумя малыми параметрами а и Р ~ (MLJ, где к, L — соответст-
соответственно длина волны и длина неоднородности (х = xlL). Дополни-
Дополнительный малый параметр а связан с конкретной физической ситуа-
* Разумеется, важность исследования трансформации первого и третьего
типов на основе дифференциальных уравнений четвертого порядка очевидна
ввиду отсутствия эквивалентности между тепловым движением и диссоциа-
диссоциацией.
160

цией и характеризует, например, влияние малой вязкости, либо сла-
слабого теплового движения и т. д. Волновой вектор k (x) удобно напи-
написать в следующем виде
A-27)
Вблизи нуля функции «2 (х) имеем и2 (х) = Ux, их = их @). При
этом из формулы A.27) видно, что пересечение решений уравнения
A.26) происходит в точках х1>2 = ± BIV)Yaul @), в которых
Рис. 5.
имеют ветвление соответственно функции kx — fe2 и kx + k2. Рас-
Расстояние между xi, х2 (размер особой области) Ах ~ a'/2L <^ L,
a kAx ~ (а/р2I/4. В работе [10] дифференциальное уравнение A.26)
исследовалось для случая, когда между точками пересечения реше-
решений х = ± B/?/) ^аы!^) укладывалось много длин волн пересе-
пересекающихся решений, что позволяло воспользоваться методом фазо-
фазовых интегралов при обходе каждой особенности в отдельности. При
таком подходе приходится, однако, пользоваться методом неопре-
неопределенных множителей Цваана (см., например, работу [40]), который
в некоторых случаях приводит к определенной неоднозначности
ответа [50]. Более удобным здесь оказывается метод Лапласа, поз-
позволяющий в сочетании с аналитическими свойствами решений с еди-
единой точки зрения провести исследование задачи при любых значе-
значениях а/§2 [13]. После замены переменной х = $у в окрестности
нуля «2 (х) из формулы A.26) получим
Ф^ + л2A/фП + УФ) = 0, A.28)
где Я,2 = р2/а, у = «! @) и для простоты считаем U = 1. Таким об-
образом, исходное уравнение A.26) сведено к уравнению A.28), кото-
6 Зак. 112
161

рое исследовалось в работе [55] при больших значениях параметра
X. Решение A.28) выражается в виде контурного интеграла
Выберем контур с, как и в работе [55] (рис. §); концы контуров,,
уходящих в бесконечность, лежат в секторах ^-плоскости, где
Re t3 < 0. Тогда, согласно теореме Коши, имеем следующую связь
между решениями:
Аг + Л2 + А3 = V; U3 — U2 = Лх; U1—Ua = A,— V. A.30)
Покажем теперь подобие асимптотических решений A.28) для боль-
больших и малых X. Рассмотрим решение V. Вычисляя вычет при t = 0,
получаем
/n=l
где а = 73/2/ЗЯ,2г/3/2; Jb УЪт-1 — функции Бесселя соответствую-
соответствующего индекса. Для достаточно больших значений у, когда \а\ < 1;
в выражении A.31) можно пренебречь суммой, и оно переходит в со-
соответствующее выражение, полученное в работе [55]. Рассмотрим
теперь решения Ah. Сделав в A.29) замену t = XYys, имеем
Из A.32) видно, что (как и в случае X > 1) для \у\ > у2/А,2 можно
пренебречь членом yl%Ynsi B показателе экспоненты и провести
дальнейшие вычисления, как это сделано в работе [55]. Приведем
здесь асимптотическое выражение решения Л3."
А
-3'2 у~5'* ехр (— i 1- iV/3); 0<arg
V — Bi у лД3/2у5/4) sin (я/4 +2г/3/2 Я/3); arg (гД2/3) = 0.
A.33)
Как видно из формулы A.33), в секторе Bя/3) < arg (гД2/3) <С
< Dя/3) решение А 3 ведет себя как наиболее быстро спадающее
и не содержит «примесей» других решений. В секторе | arg («А2/3) | <
< (л/3) (исключая линию' arg (г/Я,2/3) = 0) в пределах погрешности
метода перевала решение V не влияет на поведение А3- Подобие
асимптотик для Uh при больших и малых X доказывается аналогич-
аналогично. Таким образом, правила одновременного обхода точек ветвле-
ветвления фазы г/о = ± B/X)Yy не зависят от расстояния между точками
ветвления, если нас интересует асимптотический вид решения для
достаточно больших значений у. Отметим, что полученные выше зна-
значения у, начиная с которых справедливо отмеченное подобие, легка
162

вытекают из выражения для фазы асимптотических решений урав-
уравнения A.28)
A-34)
В самом деле, разлагая выражение A.34) по степеням уо/у, получим
---- A.35)
Требуя малость фазовых добавок асимптотических решений по срав-
сравнению с единицей, приходим к уже известным условиям на у (разу-
(разумеется, сам характер связи между решениями требует анализа фор-
формул A.29) и A.30), что и было проведено в работах [13,55] и частично
проиллюстрировано выше. Главный член асимптотического раз-
разложения решения V A.31), как нетрудно видеть, удовлетворяет так-
также укороченному уравнению г/<р" + уф = 0 в полной окрестности
у = 0. Приведем еще решение ?/2, совпадающее с решением укоро-
укороченного уравнения лишь в части окрестности у = 0. Для веществен-
вещественных у имеем [13, 55], [8, 15]:
при г/<0;
(in/4 + A-36)
Здесь Яу*—функция Ганкеля первого рода. Решение G2 описывает
полный переход длинноволновой моды колебаний в коротковолно-
коротковолновую и является наиболее существенным в теории трансформации
волн [8]. Легко показать, что в зависимости от знака у групповые
скорости пересекающихся волн либо параллельны у<0, либо ан-
типараллельны у>0 (при исследовании волновых процессов ы1>2 —
это функции х, со, ky, kz). Как следует из работ [8, 15], что также
ясно из проведенного здесь рассмотрения, для стопроцентной транс-
трансформации колебаний, описываемых уравнением A.26), помимо об-
обращения в нуль коэффициента при второй производной (и2 (х0) = 0,
Щ (хо) ?= 0) необходимо выполнение приведенных выше неравенств.
В частности, из условия \у№\ > 1 и требования \х\ <. L, следует,
что а < р (при этом, конечно, допустимо условие а > |52, т. е.
-Я-2 < 1). Как следует из формул связи A.30) (см. также [55]), медлен-
медленно меняющееся решение трансформируется в быстро меняющееся
в так называемом вязком секторе | arg (х№3) | < 2я/3 (при выборе
•arg^Y* = 1/2 arg (ух), 0 s^ arg (у/к2/3) < 2я). Если вязкий сек-
сектор не захватывает действительной оси, то характерный масштаб
решения за особой областью остается прежним, а энергия волны
целиком поглощается (см. замечание 2, стр. 159). Условия возникно-
возникновения аномальной трансформации были недавно вновь определены
в работе [56]. Необходимо сделать еще одно замечание относительно
¦свойств уравнения A.26). Из отмеченной выше многозначности
kx + k2, ky — k2 в ытекает возможность появления отраженных волн
6* 163

того же типа, что и падающая в окрестности особой области. Решения
A.31), A.32), A.36) не противоречат этому. Однако из этих решений
следует, что при падении длинноволновой моды такое возможно
в условиях, когда решение V приобретает физический смысл (т. е.
когда возможно усиление волн).
Проведенное рассмотрение показывает, что уже в случае урав-
уравнения A.28), для которого выполняется равенство между коэффи-
коэффициентом трансформации и коэффициентом поглощения длинновол-
длинноволнового колебания в холодной плазме (при а = 0 волна полностью
поглощается), несколько существенных особенностей можно полу-
получить из анализа уравнения четвертого порядка.
Рис. 6.
Выше исследовались асимптотические свойства решений урав-
уравнения A.26) при отсутствии_точек отражения, в которых &1>2 = 0.
Существует, однако, много случаев, когда это.не так. Подобное
предположение недопустимо, например, в задаче о трансформации
необыкновенной волны в плазменную при падении первой на неодно-
неоднородную плазму, находящуюся в постоянном однородном магнитном
поле [1]. Имея в виду такого типа задачи, рассмотрим в качестве
модели уравнение
«p'v + Ц [*ф+ (рх + Л)ф] = 0, A.37)
где %ъ а, р\—произвольные комплексные параметры [51]. Исключая
случай а = О, исследованный выше, сделаем замену у = ах. Обоз
начив № — к]/о3, р = р^а, окончательно получим
cpiv + V [г/ф» + (р + г/)Ф] = 0. A.38)
Решая A.38) методом Лапласа, получаем
ф (у; (х, X) = J ds (s + Us — i)* exp (?s + s3/3l2),
CD>)
A.39)
164

где I — у — Аг2; 2ц, = р + Ал2. Контур интегрирования С (ф)
надо выбрать так, чтобы на его концах выражение под интегралом
в формуле A.39) имело одинаковое значение или обращалось в нуль.
В отличие от A.29) интегральное ядро имеет две точки ветвления
s = rb i- Проводя контуры С (ф) (рис. 6 и 7), получаем восемь реше-
решений (рисунки соответствуют arg X = 0). Согласно теореме Коши
-имеем следующие формулы для этих решений:
A.40)
(—2л[х).
Рис. 7.
Решения Ah, V аналогичны Ak, V, изученным в работах [13, 55].
За фундаментальную систему решений уравнения A.38) выберем
Uu U2, Ах, A-i. Приведем для них асимптотические разложения*
Л « я'/2 Х-3'21-5/* exp (irt/4 + 2iA,E3
— Bя/3<а^(|Л2/3))<Dя/3); 4
N
[— 2Я1/Г A + in)]
х
X
— ip., 2; 2|exp( —in/2)], 0<arg(^2/3)<4n/3;
N
i « [- 2ni/r A — i(x)l exp ( — ig + i/ЗА,2 — яц) 2 (Li/nWa)X
71=0
+ i|i, 2; 2?ехрAя/2)], -DK
A.42)
Подробнее см. работу [51].
165

Здесь L1>2 = 1/3 (d/dlK =f \d2ld\2 — dld\; г|) — вырожденная ги-
гипергеометрическая функция, для которой при вычислении A.42)
использовано интегральное представление [57]. С помощью формул
дифференцирования функции ij> [57] можно показать, что разложение
в формулах A.42) справедливо, если выполняется условие
Для [х <, 1 и \%\ С 1 параметром разложения в A.42) является
рЛ2|. При выполнении A.43) малы также последующие члены асим-
асимптотических разложений в A.41).
В секторе | arg (\%21г) | < 2я/3, деформируя контуры С (t/lf2).
в левую полуплоскость s, находим
1] + Uli2, A.44)
где f/ii2 — ряды, заданные формулами A.42). Обсудим вытекаю-
вытекающие из формул A.41)—A.44) следствия для случая волны в неодно-
неоднородной среде, не ограничиваясь конкретным примером. Пусть X,
|х>0. В этом случае коротковолновая мода уравнения A.38)
имеет аномальную дисперсию (фазовая и групповая скорости анти-
параллельны). Рассмотрим падение длинноволновой моды справа
| > 0 на область взаимодействия. Граничные условия удовлетвб'-
ряются решением U2, поэтому из A.42), A.44) имеем
ф:
B |.g |)Ч* ехр (Л—i
—Ai[\— exp(—
¦ B11 \yv ехр 01 — i/ЗЛ,2 — Зя(л/2),
A.45)
Из A.45) для коэффициента прохождения D (определяемого отноше-
отношением квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн)
получим D = ехр (—2я[г). Так как уравнение A.38) имеет при ве-
вещественных р, X интеграл
и* d<p/dy — udy*/dy + y*du/dy —
3k2(q>d<f*/dy —
—<p*d<p%) = const, $k2 Ф — 1, и = d2y/dy2, A.46)
то коэффициент трансформации длинноволновой моды в коротковол-
коротковолновую
Q = 1 _ D = 1 — ехр (—2яц). A.47)
Если на область взаимодействия справа падает коротковолновая
мода, то, выбирая решение в виде ф = U2 — А3, легко показать,
что при этом возникает длинноволновая мода, просачивающаяся
влево на бесконечность со стороны отрицательных значений. Коэф-
Коэффициент трансформации равен
Q_ = ехр (—2яц)[1 — ехр (—2яц)]. A.48)
166

Кроме того, коротковолновая мода частично отражается обратно са-
сама, а также в виде длинноволновой моды. Коэффициенты отражения
и трансформации равны соответственно
R = ехр (—4л;ц); Q+ = 1 — ехр (—2яц). A.49)
Таким образом, видим, что при падении справа как длинноволновой
моды, так и коротковолновой происходит, в частности, отражение
в виде другой моды с коэффициентом [1 — ехр (—2nfi)]. Однако
интересно отметить и определенную асимметрию в исследуемых слу-
случаях: при падении длинноволновой моды отсутствует отраженная
мода того же типа.
Остановимся теперь на связи эффекта трансформации волн в урав-
уравнении четвертого порядка с конечным поглощением энергии волны
в уравнении второго порядка. Выше приведены асимптотические
ряды решений t/lj2 [см. формулу A.42)]. Легко проверить, что
главные члены асимптотических разложений A.42), которые исполь-
использовались при выводе формул A.45)—A.49), удовлетворяют укоро-
укороченному уравнению
Еф" + (I + 2^)Ф = 0, A.50)
Последнее уравнение дает конечное поглощение энергии длинновол-
длинноволновой моды в окрестности точки ? = 0 [1]. Причем коэффициент
поглощения равен (как легко проверить) коэффициенту трансформа-
трансформации длинноволновой моды в коротковолновую (см. выше). Таким
образом, для нахождения коэффициента трансформации достаточно
исследовать более простое укороченное уравнение.
Однако" следует обратить внимание на то, что величина \а в уко-
укороченном уравнении A.50) содержит параметр X [(см. формулу A.39)],
который (например, в случае волн в неоднородной плазме) связан
с учетом теплового движения. При условии | р*А,а| ^ 1, (х существен-
существенно зависит от Я, (см. замечание 3, стр. 160). В пределе слабого тепло-
теплового движения (А,-»- оо) уравнение A.50) переходит в уравнение для
поля электромагнитной волны в холодной плазме, поглощающие
свойства которого исследовались, например, в работах [1, 9]. За-
Зависимость \и от к приводит к интересному выводу для случая, когда
обе волны имеют нормальную дисперсию: Я, > 0, \i < 0. При этом
в формулах для D, Q вместо 2\х, стоит 2(хх = | Р| — 1/АА Поэтому
даже при больших [ |51 может быть 12\лг | <, 1, если | |ЗА,21 « 1.
Таким образом, зависимость \л от К в данном случае может привести
к значительному увеличению прозрачности барьера для волны.
3. Некоторые физические особенности и примеры аномальной
трансформации волн. Необходимо теперь больше внимания уделить
физическим свойствам аномального пересечения. Остановимся преж-
прежде всего на двух существенных вопросах: а) эквивалентности тепло-
теплового движения диссипации в области гибридных резонансов неодно-
неоднородной плазмы (в пределе слабого теплового движения), б) обосно-
обоснования случая 100%-ного перехода длинноволновой моды в ко-
коротковолновую (и наоборот) с помощью закона сохранения энергии.
167

Предположим, что в плазме имеются редкие столкновения с частотой
v <^ со, и вычислим энергию, которая поглощается при этом в слое
холодной плазмы. Мощность, поглощаемая 1 см2 поверхности слоя,
определяется выражением
где интегрирование ведется по всей толщине слоя, е„р — анти-
антиэрмитова часть тензора электрической проницаемости. Если v стре-
стремится к нулю, основной вклад вносит член вхх\ Ех\ 2 [см. формулу
A.6)]. Учитывая, чю | &"хх ~ i | v/co, подставляя для Ех выражение
A.6) и распространяя пределы интегрирования до бесконечности,
находим
W = (со/|В|2/16лст)[1 — ехр (—2яа)]. A.51)
Как видно, поглощаемая мощность не зависит от v, что связано с ро-
ростом Ех при уменьшении v. Здесь существенно то, что в известных
пределах W оказалось не зависящим от конкретного механизма,
«замывающего» особенность, и потому физически безразлична при-
причина поглощения электромагнитной энергии. Дальнейшая «судьба»
поглощенной энергии определяется конкурирующим влиянием дис-
диссипации, теплового движения и нелинейных процессов. Этот вопрос
уже нельзя решить в рамках модели «холодного» уравнения (см. за-
замечание 4, стр. 160, а также раздел 2, §2). Интересно отметить,
что если чисто формально рассмотреть случай v < 0, то вместо
поглощения энергии получим генерацию энергии в резонансном
слое ехх да 0 [3, 58]. Можно ожидать, что этот эффект приобре-
приобретает физический смысл в термодинамически неравновесных средах
с отрицательной диссипацией [59]. Заметим еще, что, как следует,
например, из формулы A.51), точка х0 — особая точка «холодного»
волнового уравнения независимо от применимости приближения
геометрической оптики. В то же время учет высшей производной
снимает данную особенность [см. уравнение A.26)].
Исследуем процесс аномальной трансформации с помощью зако-
закона сохранения энергии. В разделе 2 указаны условия 100%-ной
трансформации колебаний. Следует подчеркнуть нетривиальность
этого результата. Во-первых, как видно из формулы A.32), в случае
К ^> 1 амплитуда быстроосциллирующего слагаемого содержит ма-
льш множитель. Во-вторых, как уже отмечалось выше, характер
ветвления k12 допускает появление волн с волновыми векторами
к = —кг и к = —к2 при падении на резонансную область моды
& = ^i,2- Однако расчет для случая термодинамически равновесной
плазмы дает только переход kx <-> k2. Поэтому целесообразно убе-
убедиться с помощью прямого расчета потоков энергии в падающей
и «рожденной» волнах, что 100%-ный переход согласуется с энерге-
энергетическими соображениями.
168

Рассмотрим для примера трансформации плазменной и необыкно-
необыкновенной волн в области частот верхнего гибридного резонанса. Для
электронной компоненты плазмы имеем уравнения для возмущений:
тп0 dv/dt = — епЕ 0 — еп0Е — Те\п—еп0 (v/c X Но);
dE/dt = с rot Н + 4пеп0 v; dH/dt = —с rot E;
divE = —inert;
(dnldt) + div n0 v = 0; eE0 + Te V In n0 = 0.
Из A.52) вытекает закон сохранения энергии
A.52)
Теп* с
-^—; S=—(ЕхН)
2л0 4я
. A.53)
При поперечном распространении волн
Но = Но (x)ez; п0 = п0 (х)
и возмущения можно представить в виде / (х, t) = Re / (х) exp (iwt)^
Введем обозначения
и = (g)H(,/co2), v = (©pe/ft>J, Б = «»л;/с, Р2 = (TJmc2) < 1.
Из A.52) получаем для компонент электрического поля соотношения
A.54),
Как следствие A.53), система уравнений A.54) имеет инвариант
Е*уЕ'у—Еу E'y* + (^lv)(ExEx—ExEx*) = const. A.55)
В квазиклассическом приближении, отбрасывая члены порядка
Р2, для плазменной волны получаем
Ex = A(v/k1)l'2exp(iQ1), Ey=ExYuik\; k\ = {\—u—v)l§
Hz=—ExYulki, vx=\eEjrtvuv; vy = eExlmmv;
1
n = ak1EJ4niec; A = const; 0] (g) = C?ii?)c??-
Из A.56) для потока энергии в плазменной волне имеем Si1' =
= ср2| А |2/8я. Аналогично для необыкновенной волны следует
A_0I_В .
A.56)
Hz=—k2Ey; vx =
w
1 —и — v
'¦ЕУ . ..
mco(l—и—v)
УпЕу
X—u — v
\e(\—v)Ey
mco(l—и—v)'
I
4пес A—«—v)
; В = const; 9,F)==
A.57)
Г69

Из A.57) для потока энергии в необыкновенной волне получим
Si2) =c\B\2/8n.
Таким образом, в данном приближении волны распространяются
независимо. Для определения связи между постоянными А я В
нужно решить A.54) в области резонанса.
Пусть электромагнитная волна падает из вакуума в плазму. В од-
однородном магнитном поле точка отсечки и_ = 1 — Yu расположена
ближе точки резонанса и0 = 1 — и к краю плазмы и коэффициент
трансформации, вообще говоря, экспоненциально мал. Однако в не-
неоднородном магнитном поле, как впервые было указано в работе
[60], они могут поменяться местами. Действительно, пусть и, v—
линейные функции:
и = «о A — 5/Pi); v = v0 (I + ?/ра); щ + v0 = 1 (ръ р2 > 1).
При условии (wo/Pi) > (VP2) в области между вакуумом и резо-
резонансным слоем отсечка отсутствует. Множитель У wo регулярен
в области резонанса, поэтому, как видно из формул A.56) и A.57),
нужно наши связь между В и A]^uovo. После этого из A.54) полу-
получаем уравнение
+ alElyl — uQv0Ey = 0, а = uo/p,. — i>0/p2. A.58)
Используя асимптотические формулы [55], находим В = —р\4-
Отсюда SiX) = S{x\ т. е. потоки энергии в плазменной и необыкно-
необыкновенной волнах равны. Легко показать, что уравнение A.58) [также,
как A.54)] имеет инвариант
Р2 ($*difldl — Wt*ld\) + «o»o {Ey*dEvldl —
— EydEv*ldl) = const; г|з = d2Ey/dl2. A.59)
Фактически уже из A.59) можно определить | В/А\ . Здесь, как
и в общем случае, имеет место соответствие инварианта сохранению
потока энергии. Действительно, в отсутствие диссипации справед-
справедлив закон сохранения энергии A.53). Тогда в стационарном состоя-
состоянии дивергенция потока энергии равна нулю. Следовательно, су-
существует инвариантная билинейная форма возмущенных величин.
Для плоскослоистой неоднородной среды инвариантом является
компонента потока энергии вдоль неоднородности. Таким образом,
для получения правильных результатов необходимо, чтобы исполь-
используемая в области трансформации упрощенная система уравнений
обладала инвариантом. Разумеется, здесь предполагается регуляр-
регулярность .полей волн, так как даже в отсутствие диссипации возможно
конечное поглощение энергии в области особенности поля волны,
о чем уже говорилось выше.
Рассмотрим теперь ситуацию для верхнего гибридного резо-
резонанса в случае однородного магнитного поля Но = #oez и п0 (х).
Для компоненты Еу из формулы A.54) с требуемой точностью можно
записать уравнение
Р2?!/ + A — и — v)E]} + 1A — vf — ulEy = 0. A.60)
170

Для частот со, достаточно близких к соне, так что выполняется нера-
неравенство 1 — «С 1, точка отражения необыкновенной волны
V- = 1 — У и близка к точке резонанса v = 1 — и. Полагая v =s
= 1 — (Е/р) — и, из A.60) получаем
р$2Е™ + ЦЕ" + 2 (g — ру_)?у] = 0. A.61)
Уравнение A.61) вполне аналогично A.37). Используя приведенный
выше анализ решения A.37) [51], получаем, что коэффициент про-
.хождения электромагнитной волны в плазму равен ехр (—2я|л,1),
где [гх = р|/^2 (у_/2 — р2). Если 2п[А1 <, 1, то волна хорошо про-
проникает в плазму.
Аномальная трансформация для случая гибридных резонансов
подробно разбирается в работе [3]. Существуют и другие примеры
этого типа пересечения волновых решений в плазме. Так, при транс-
трансформации магнитозвуковых волн в пространственно неоднородной
плазме [см. уравнение A.24)], наряду с надбарьерным типом транс-
трансформации, возможен и аномальный случай, если существует точка,
в которой со2/й + со2/с? = k\ [8, 56].
Аномальная трансформация возможна также и в других неодно-
неоднородных средах, например в неоднородном ферромагнетике [16, 35,
61].
Остановимся кратко на вопросе отыскания спектра собственных
частот со финитных решений. По сравнению со случаем осциллирую-
осциллирующих решений на бесконечности, вопросу о спектре частот при ано-
аномальном пересечении решений посвящено значительно меньше работ
[8—13, 25, 62]. Один из примеров подобного типа разобран в §4
данного раздела. Здесь же приведем только удобный качественный
критерий для получения сведений о спектре частот. Именно, если
умножить A.26) на ф* и проинтегрировать вдоль вещественной оси,
то для финитных решений имеем [8]
ар2 jj | d2 y/dx* |2 dx + J рм21 dy/dx |2 dx + J % | <р |2 dx = 0. A.62)
Анализ A.62) показывает, что существует точка х0 в области локали-
локализации ф (х) (Re k% (x0) > 0), где выполняются условия
A.63)
В формуле A.63) вместо kx берется kx или k2 (kt ~ ]/a&2), в зависи-
зависимости от интегрального вклада мод в критерий устойчивости. Урав-
Уравнения A.63) могут служить для определения знака и порядка вели-
величины инкремента Im со. Поскольку соотношения A.63) получены
в предположении финитности решения, то необходимо знать его
поведение на бесконечности. Пусть нули их (х), и2 (х) расположены
в комплексной плоскости (рис. 8) соответственно в точках А, В,
х
С, D, а в секторах kxAL, k2BL фх ведет себя как ехр (— | jk^x'jdx' |)
171

'¦(соответственно ср2 ведет себя как ехр (—| j k2 (x')dx'\) в секторах
RxCSx, R2DS2). Тогда задача о финитности решения при х-> ± °°
сводится к вопросу, охватывают ли указанные сектора обе дейст-
действительные полуоси х.
1тх
Рис. 8.
ЗАДАЧА
Показать, что для отражательного типа пересечения решений имеет мес-
место 100%-ная трансформация волн [16].
Учитывая уравнение A.26), при а = 1 надо воспользоваться выраже-
выражением для &1]2 (х) A-27) и свойствами групповых скоростей пересекающихся
мод.
§ 4. Некоторые особенности трансформации волн
и переходного излучения при взаимодействии пучков
и зарядов с плазмой
Хорошо известно, что плазма, пронизываемая пучком заряжен-
заряженных частиц, представляет собой простейший пример неравновесной
неустойчивой среды [63—65]. В однородной плазме нерелятивист-
нерелятивистский пучок генерирует коротковолновые продольные колебания, не
удовлетворяющие условиям распространения в вакууме. В случае
неоднородной плазмы продольные и поперечные составляющие элек-
электромагнитных полей «зацеплены» и, следовательно, такая система
значительно более удобна с точки зрения вывода энергии из плазмы
вследствие возможности преобразования квазипродольных полей
в квазипоперечные. Хотя исследование трансформации продольных
колебаний в поперечные в системе плазма—пучок только начинает-
начинается [20—24, 66], тем не менее уже сейчас выявлены некоторые особен-
особенности этого процесса, которые мы проиллюстрируем на характерных
примерах.
1. Влияние пересечения колебаний на режим работы плазменно-
пучкового разряда. Пересечение колебаний может существенно вли-
влиять на самые различные свойства системы. Так, например, возможна
стабилизация неустойчивостей с помощью трансформации волн
125]. Часто пересекающиеся колебания kx и k2 локализованы в одной
172

и той же области L, которая отделена барьером непрозрачности ши-
ширины А от области осцилляции моды ?2, простирающейся до беско-
бесконечности. В этом случае, считая k2A > 1, условие развития неустой-
неустойчивости из-за нарастающего во времени «пакета» волн с волновым
вектором кх можно записать в виде
(y[L'/vgl) > (yiL/vgl) + (y,L/vg2). A.64)
Здесь v( — инкремент нарастания моды kx в области неустойчивости
V (U <. L); у12, vgli2 — соответственно декременты и групповые
скорости мод й12.
Применяя A.64) к случаю пучковой неустойчивости, можно в со-
согласии со сказанным выше выделить три режима работы плазменно-
пучкового разряда в зависимости от характера влияния пересечения
волновых решений: а) ламинарный режим, когда выполняется усло-
условие, обратное A.64); б) режим нагрева, когда A.64) справедливо
и область L достаточно велика; в) излучательный режим, когда при
выполнимости A.64) L и барьер непрозрачности малы.
Рассмотрим прежде всего ламинарный режим, соответствующий
токам пучка, меньшим критического. Отметим, что если у2 2> уъ
то критические токи из-за пересечения мод могут сильно возра-
возрасти. Это обстоятельство может оказаться существенным для работы
плазменных ускорителей.
Исследуем несколько подробнее вопрос о критических токах для
случая взаимодействия электронного пучка с высокочастотными
колебаниями радиально неоднородной плазмы [26].
В плазме, находящейся в магнитном поле, в области частот
<о ^ (йне существует два типа потенциальных колебаний: длинно-
длинноволновая мода с частотой
©! = 1/2 [< + ©№+"К « — ©?/,)«+ 4и«, ©Ь sin» 01 A.65)
(здесь 9 — угол между волновым вектором к и магнитным полем
Но, a kflTe -С ®не) и медленная коротковолновая мода Бернштейна,
распространяющаяся почти поперек магнитного поля, для которой
k\ = 2/3 De&f — со2)« + <*he — (*2У< vh- A.66)
При прохождении пучка через плазму в ней возбуждаются в ос-
основном длинноволновые колебания с частотой щ. Для горячего одно-
однородного пучка радиусом г в однородном- плазменном цилиндре с ра-
радиусом R неустойчивость развивается при условии уъг/&> ус,
где уьг/R — эффективный инкремент кинетической неустойчивости;
¦у с — декремент затухания волны в отсутствие пучка. В радиально
неоднородной плазме возбуждаемая пучком длинноволновая мода
распространяется в сторону спада плотности плазмы и в области
гибридного резонанса, где соре (г) = со2 — сояе отражается в виде
моды Бернштейна вследствие эффекта линейной трансформации
18, 58]. В этом случае условие развития пучковой неустойчивости
в согласии с A.64) имеет вид уэфф > yBVgl/vgi, где "\>в — декремент
173

затухания моды Бернштейна, a vgl, vg2 — компоненты групповых
скоростей соответственно длинноволновой и коротковолновой мод
вдоль неоднородности; так как ув > ус и vgX > vg2, то отсюда сле-
следует, что в неоднородной плазме для раскачки колебаний требуются
большие уэфф.
Иными словами, пороговый ток пучковой неустойчивости в не-
неоднородной плазме увеличивается [26]. Таким образом, трансформа-
трансформация неустойчивости моды в быстрозатухающую оказывает стабили-
стабилизирующее действие на развитие пучковой неустойчивости.
Из сказанного выше следует, что увеличение порогового тока
в неоднородной плазме примерно равно отношению декрементов
пространственного затухания бернштейновской и длинноволновой
мод «л_в/кХс. Отсюда следует, что пороговый ток пучковой неустой-
неустойчивости увеличивается для частот а, близких к ©яе. в vo/vTp раз, а для
частот со, близких к 2аНе, в (vo/vTpK раз, где v0, vTp — скорость
пучка и тепловая скорость плазмы соответственно.
При вычислении величины порогового тока рассмотрим для про-
простоты случай слабого и тонкого пучка, радиус которого мал по срав-
сравнению с радиусом плазмы R. Пучок предполагается горячим
(у/со) < (vTb/v0) и, следовательно, неустойчивость — кинетическая.
Постоянное магнитное поле Но = #oez. плазма слабонеоднородна
вдоль оси х, частоты возмущений находятся в области сояе < со <
2
Потенциал Е = — Vcp высокочастотных электростатических
колебаний плазмы подчиняется уравнению [65]
a>-na>He-kzvz
X
дх \ dvz
— — + — )\F(x, v±, vz) =0,
dv± aHe dxj\ j
A.67)
где /n {k±Vj_/(>)He) — функция Бесселя; F (x; w_j_, vz) — функция
распределения электронов, которую используем в виде
L Wb j'
Если частота волны не слишком близка к циклотронным гармо-
гармоникам ,kzVTe -С I <» — па>не\, а поперечная длина волны больше
ларморовского радиуса электронов, то в формуле A.67) можно про-
174

вести разложение по малым параметрам. В результате для щ(х) =
= J dkx-Ща, exp (i kxx) получим уравнение
(
Здесь /j§=|(co2-(oL)DcoL-coa)/^W"TP; в.,. = 1— «(*)/©»—
— й>яе); вц=1—(«ре (х)/а>2), 8ки—скалярная диэлектрическая про-
проницаемость плазмы с пучком [26].
В слабонеоднородной плазме
и ВКБ-решения
уравнения A.68) имеют вид
ex (if
* Т /Z. /*>\ „ /«\ г ~9> / «\ л, 2 /«\1 * \ * /
где
<7f
f.2 =-(
Ао1т(к?.2вк1>2.ш
A.70)
2<7i 2 (<7i — ?i)
Вне узкого слоя гибридного резонанса Sj_ я» 0 выражения A.70)
для q\,2 упрощаются:
—ftSej., <7l«—ftlen/ej.. A.71)
Учитывая, что инкремент пучковой неустойчивости максимален
для длинноволновой моды <72 (х), потребуем, чтобы в области плазмы,
занятой пучком | х | < г, мода ?2 могла распространяться: со|>в < а»2 <
<С ©!>,. + мяе- При этих условиях осциллирующие решения урав-
уравнения A.68) существуют в центральной части слоя плазмы, ограни-
ограниченной точками гибридного резонанса х = +х0 [ех (± х0) = 0].
Вблизи точек х = ± х0 ВКБ-приближение A.69) нарушается
<?! & ?2, поэтому необходимо сшить приближенные решения A.69)
с точными решениями уравнения A.68). Так как мы имеем дело с сим -
метричным слоем пр< ъ (х) = пр, ъ (—х), достаточно рассмотреть
решение для х ^ 0. Полагая в резонансном слое г± (х) = (х — xo)IL,
из формулы A.68) получаем
х
2D-шА./а>»)
X (ЩЩ\ A.72)
175

где | = A + iv) (kz L®HJ<o)* (-?=*> + i6) ,
а параметры б, ц, v равны соответственно
х Уясо((о2—о
1е
"l/itCO (иJ — (И Не) (ШНе — СО2 ) , г ч
: - ехр ^ l,2),
24kzvTp(OHe
(I.I О)
2@Яе fel Vrp
.
2,33
(ОЯе kz V-tD
Здесь ?„ = Ц*0 — псояе)/^тр]2- Уравнение A.72) подробно исследо-
исследовано в работе [67]. Ограниченные решения A.72) имеют вид
оо
Фа (I) = const J (ds/s) exp [(XV/3) — is — (l/s)]. A.74)
о
Интеграл в A.74) берется вдоль лучей arg s = ± я/3. Исполь-
Используя асимптотику интеграла A.74) при 111 ^> I и сшивая решение
ФаШ, получаем решение уравнения A.68) вдали от области резо-
резонанса фи (х) = Фи^х) + exp (inn) Фш2'^). а также правило кванто-
квантования, определяющее спектр собственных значений:
\dx \рх (х) — р2 (*)] = п (п + 1/2); р1>2 = qlt% + bc1>2. A.75)
о ....
Приравнивая мнимую часть интеграла A.75) нулю
J «71(91—92) j 92(91—92)
о о
находим пороговый ток пучковой неустойчивости в неоднородной
плазме It = ev01 пь (x)dx:
х
176

Здесь Sno =( 1 —) -?-• При получении формулы A.77) вместо
\ (?> > Vrp
kz подставляли неравенство ю /~ —, соответствующее
vo—vTb/V2 v0
vo—vTb/V2 v0
максимуму пучкового инкремента.
Для плазменного цилиндра радиусом R из A.77) с точностью до
числового множителя имеем
mwRv0 уть (со2 — сояе) Dсояе — сй2)
ех@)
<7а @) Щ
X
со
х lexp(-U) +4Ч^ехр(-?20I- A.78)
Приведем для сравнения пороговый ток пучковой неустойчивости
для однородной плазмы радиуса R
тр| ех
Учитывая, что (^Отр/сояе) < 1, из формул A.78), A.79) видим,
что пороговый ток пучковой неустойчивости в неоднородной плазме
увеличивается по сравнению со случаем однородной плазмы примерно
в vo/vrp раз для волн с частотой, близкой к циклотронной, и в (vo/vrp)a
раз для волн с частотой, близкой ко второй гармонике циклотронной
частоты.
Отметим еще, что для релятивистского пучка v0 ж с вследствие
«утяжеления» пучковых электронов следует ожидать дополнитель-
дополнительного увеличения порогового тока.
Рассмотрим два других режима работы плазменно-пучкового
разряда. В режиме нагрева мода Бернштейна эффективно взаимо-
взаимодействует с плазмой на большом участке L; при этом энергия от нее
идет в основном на нагрев плазмы и на развитие низкочастотных
колебаний. Возможность каскадного процесса развития неустойчи-
востей рассматривалась в работе [68]. Можно назвать следующие
причины НЧ-неустойчивостей в системе плазма — пучок: а) рост
эффективных электронных частот соударений при генерировании
ВЧ-шумов в плазме [68]; б) пороговое возбуждение высокочастот-
высокочастотными колебаниями низкочастотных. [69, 70]; в) неустойчивость ре-
режима «плато» для ВЧ-неустойчивости в пространственно-неоднород-
пространственно-неоднородной плазме [71].
Эксперименты показали, что при развитии НЧ-колебаний диффу-
диффузия плазмы поперек магнитного поля является бомовской; уменьше-
уменьшение плотности плазмы вследствие этого приводит к нежелательным
релаксационным колебаниям в системе. При уменьшении L (область
трансформации приближается к центру системы) и малой ширине
барьера излучение энергии из ллазмы должно расти, а низкочастот-
низкочастотные неустойчивости могут быть сорваны. Это подтвердилось экспе-
экспериментально: при создании разрядов с более крутым падением плот-
177

ности (поверхность трансформации расположена вблизи оси разря-
разряда) излучение из системы возрастало в 10—16 раз, а низкочастотные
неустойчивости подавлялись [22].
Следует также заметить, что при со ~ сор < соя холодная мода
и мода Бернштейна в радиально неоднородной плазме не «зацепля-
«зацепляются». В этом последнем случае рассмотрим влияние продольного
градиента плотности плазмы на характер излучения поперечных
волн (Vn01| v0). Оказывается, что излучение поперечных волн обла-
обладает выраженной анизотропией в
зависимости от того, движется ли
пучок в сторону роста плотности
или в обратную сторону [24]. Это
хорошо видно на рис. 9. Пучок воз-
возбуждает «холодную» моду в ок-
окрестности точки х, где сор (х) ~
co/cos9 [65]. При движении пучка
в сторону роста плотности усили-
усиливающееся возмущение «сносится»
по движению пучка в сторону роста
фазовой скорости (при соя > сор
групповая скорость параллельна
фазовой [65]). В областях, заштри-
заштрихованных на рис. 9, при малых
углах 0 происходит эффективная
трансформация холодной моды / в
моду // с большой фазовой ско-
скоростью, для которой, как извест-
известно, может быть получено хорошее
согласование с вакуумными условиями [1]. Коэффициент трансфор-
трансформации для этого процесса близок к единице в случае углов 0~ (Х/Ц\I/2
[1] (К — длина волны, Ьц — характерный размер изменения плот-
плотности). Если пучок движется в сторону спада ллотности, то воз-
возникающее возмущение, распространяясь в ту же сторону в окрест-
окрестности со ~ сор, трансформируется в быстрозатухающую плазменную
волну, для которой невозможно излучение в вакуум (k\\ ^> со/с).
Указанный эффект наблюдался экспериментально [23].
2. Анизотропия переходного излучения заряда в слабонеодно-
слабонеоднородной изотропной плазме. Рассмотренная анизотропия излучения
поперечных волн проявляется и в некоторых других случаях. Она
связана с наличием областей непрозрачности, резонансных слоев,
а также возникает при учете линейной трансформации волн. Проил-
Проиллюстрируем этот эффект еще на примере переходного излучения за-
заряда.
Предположим, что заряд движется вдоль направления неодно-
неоднородности плазмы, которое примем за ось г, плотность плазмы мо-
монотонно нарастает от нуля до некоторого значения. Разлагая поле
в интеграл Фурье
Е (г> 0 = И d(ndkx-E(z; k±, со) exp (ico/f — ikj_r),
178
Рис. 9.

получаем уравнение для магнитного поля [72]
Я" = г'Н'/е + k\H = (ekJ2in2c) exp (—iaa/v) = F (z), A.80)
где е = 1 — (cope (г)/©2) [1 +i (v/co)]; v — частота столкновений;
k% = (а/сJ (e — a2); a = ckx/a>; v — скорость заряда. Амплитуда
поля переходного излучения пропорциональна интегралу
/=
J ~F(z)H1(z). A.81)
Здесь Ях — решение уравнения A.80) без правой части. Согласно
работе [72], величина интеграла A.81) определяется вкладом бли-
ближайшей к вещественной оси z особенности подынтегрального выра-
выражения. Кроме того, могут быть вклады точек синхронизма kz = w/v,
расположенных в комплексной плоскости г. В рассматриваемом
случае основной вклад в переходное излучение дают частоты
со <С (<йре). При этом ближайшая к вещественной оси особенность —
это точка резонанса, в которой е (со, z) обращается в нуль. Пола-
Полагая в переходном слое
co?8 (z) = (o2pm zIL, La = ЫгЫ1т, i = z — La
в окрестности точки резонанса, получаем е = — [(?/LM) + (iv/co)],
т. е. особенность находится в нижней полуплоскости z на расстоянии
(Leov/co) <^ L<o от вещественной оси. Отметим, что для слабонеодно-
слабонеоднородной плазмы (o)L/c) > 1. Учитывая вид F (z), нетрудно сделать
вывод, что точка резонанса дает вклад в интеграл A.84) только для
v > 0, что соответствует движению заряда в сторону роста плот-
плотности плазмы. При движении заряда в направлении спада плот-
плотности плазмы интенсивность переходного излучения экспоненци-
экспоненциально уменьшается [72]: / ~ ехр (—coL/u). Таким образом, пере-
переходное излучение имеет максимальную интенсивность при влете
заряда в слабонеоднородную плазму.
Спектральная плотность излучения в вакууме равна
2^ соз cos е / _ ^^_ sin3 9_ w \
d*I e* I со \5 . ,Q ГГB/3)]2 /copmL\5/3 /
= — sin2 0 cos 6 {—— exp I
при 03 «-^P-, A.82)
где 0 — угол выхода волны из плазмы в вакуум. Для потерь энер-
энергии зарядом имеем
AW - (e2copm/c)(copmL/cJ/3 exp (—2vL/v). A.83)
Сравнивая выражение A.83) с соответствующей формулой работы
[73], видим, что для нерелятивистского заряда потери на переходное
179

излучение из окрестности точки резонанса слабонеоднородной
плазмы могут превзойти уровень потерь на резкой границе
плазма — вакуум. Это связано с резонансными свойствами слоя
плазмы, в котором диэлектрическая проницаемость обращается
в нуль. Отметим, что излучение имеет резкий максимум в области
углов Э ж (сорт1/с)-'/3.
Наглядную физическую интерпретацию анизотропии переход-
переходного излучения можно дать при учете теплового движения частиц
плазмы. В этом случае заряд, двигаясь в направлении роста плотно-
плотности плазмы, возбуждает продольные плазменные волны, которые,
распространяясь в том же направлении, достигают области резонан-
резонанса и трансформируются в поперечные волны, выходящие в вакуум.
При движении заряда в сторону спада плотности плазмы возбужден-
возбужденные им плазменные волны распространяются от точки синхронизма
с зарядом, расположенной левее точки резонанса, к границе плазмы.
При этом трансформация продольных плазменных волн в попереч-
поперечные является надбарьерным эффектом, интенсивность переходного
излучения экспоненциально уменьшается.
В заключение сделаем следующие замечания. 1. Анизотропия
переходного излучения заряда сохраняется и в магнитоактивной
плазме. 2. Анизотропия переходного излучения справедлива и для
модулированного пучка частиц, причем вследствие эффектов коге-
когерентности излучения отдельных частиц потери энергии на пере-
переходное излучение могут быть порядка кинетической энергии пучка.
Однако в этом случае необходимо учитывать нелинейные эффекты.
§ 5. Каналирование и поглощение электромагнитных волн
в области особенности поля
при двумерной неоднородности плазмы
1. О возможности одновременного поглощения и каналирования
энергии в неоднородной среде. Распространение волн в среде, пара-
параметры которой зависят от нескольких координат, описывается диф-
дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными
коэффициентами. Волновые уравнения такого типа исследовались,
например, в работах [74—76]. Так, в работе [76] показано, что реше-
решения двумерного волнового уравнения, описывающего стационарное
распределение поля, при определенных условиях могут быть лока-
локализованы вблизи некоторой «волноводной» оси. Однако условие
волноводности [76] в приближении лучевой оптики нарушается
в окрестности особых точек коэффициентов волнового уравнения.
В то же время именно этот случай интересен для задач трансформации
и поглощения электромагнитных волн в плазме. Как будет видно
ниже, в среде с многомерной неоднородностью возможны эффекты
поглощения и трансформации волн, распространяющихся в виде
узких каналированных пучков, в окрестности особенностей решений
волнового уравнения. Имея в виду этот случай, рассмотрим урав-
уравнение
д\/дх2 + d\/dz2 + со2ср/с2 (*, г) = 0. A.84)
180

Уравнение подобного типа можно получить, например, для элек-
электромагнитной волны в холодной неоднородной плазме. Очевидно,
что поперечные размеры волны ограничены, если в этом направлении
коэффициент при ф в A.84) имеет характер «ямы». Для простоты
рассмотрим его в виде (со2/с2 (х, г)) = k2 (х) — z2/4a4 (x), соответст-
соответствующем каналу с переменным сечением. Ограниченное в поперечном
направлении решение A.84) дается формулой
Ф(*. г) = Bя)-1/«2 An(x)[n\a(x)]-^Dn[z/a(x)], A.85)
п = 0
где Dn -- функция параболического цилиндра. Отметим, что
fo оо
J dzq>2 (х, г) = ~2iAn (х). Для коэффициентов Вп (х) = Ап (х)\/ n!|
из формул A.84), A.85) с точностью до членов, пропорциональных
(в случае слабонеоднородного сечения канала) квадрату малого
параметра daldx, получим следующее уравнение:
dx* \ 2а2
)\ m A.8б)
dx dx J их
Как видно из A.86), в канале переменного сечения, возникающем
из-за двумерной неоднородности среды, моды с различными номерами
п «зацеплены». Поэтому при прохождении модой с заданным номером
в канале переменного сечения генерируются «сопутствующие»
волны. Однако учитывая формулы работы [78], в которой исследова-
исследовались свойства волновода переменного сечения в однородной среде,
можно сделать вывод, что интенсивность «сопутствующих» волн
экспоненциально мала, если сечение канала на всем протяжении
меняется медленно на расстояниях порядка длины волны основной
моды.
Рассмотрим теперь поглощения волн в канале в окрестности
полюса функции k2 (х) = Щ A + Ых). Основная мода имеет но-
номер п. С помощью уравнения A.86) в ВКБ-приближении нетрудно
показать, что в окрестности полюса х = 0 есть пересечение решений,
т. е. совпадают волновые векторы мод с различными номерами и воз-
возможна сильная генерация сопутствующих волн. Однако если
| kl bn da2/dx | > 1, то этот эффект можно не учитывать, так как точки
пересечения находятся достаточно далеко в области барьера х < 0.
На положительной полуоси х, вдали от полюса
A.87)
181

Так как поле A.87) экспоненциально затухает в верхней полуплос-
полуплоскости х, то формула A.87) остается справедливой и в области барь-
барьера х < 0 [79]. Следовательно, волна полностью поглощается в ок-
окрестности полюса. При этом для неоднородности рассмотренного
типа волноводные свойства среды сохраняются и в окрестности
полюса. При условиях klb2 ^> I, k\ab ^> 1 траектории лучей
в окрестности полюса идут почти параллельно оси х.
2. Поглощение электромагнитных волн в тороидальных системах.
Рассмотрим теперь поглощение электромагнитных волн в окрест-
окрестности особенности поля в тороидальных системах типов «Токамак»
и «Левитрон» [53]. В этом случае реальную геометрию можно за-
заменить более простой, в которой параметры плазмы зависят от коор-
координат х, у, а магнитное поле имеет параллельные силовые линии, ле-
лежащие в плоскости (у, г) под углом 0 к оси г. При этом координаты
х, у соответствуют малому радиусу тора к азимутальному углу в ма-
малом сечении тора, a z — направлению вдоль большого обхода тора.
Плотность плазмы неоднородна по оси х, а внешнее магнитное поле
равно Я2 = HI A + a cos ^/R)'1, где ij> = у/а и а < R. Компо-
Компоненты тензора диэлектрической проницаемости имеют вид
= 8=1 —
sx,= -Bvxm4g=-l * PS HS
(о„
©((O2 —(Ohs)
A.88)
Подставляя выражения A.88) в уравнение Пуассона div eV(p = 0,
находим уравнение для характеристик (см. 1, § 1)
(dxidyf = —е/ (е cos2 9 + т| sin29). A.89)
Границы гиперболической области определяются уравнениями
е (х, у) = 0, е (х, у) cos2 6 + Л (*) sin20 = 0. A.90)
Для высокочастотных колебаний © ^ сояе и при 0 <С 1 расстоя-
расстояние между кривыми A.90) мало, поэтому двумерность неоднород-
неоднородности несущественна. В области частот нижнего гибридного резо-
•нанса 1л I 3> 1 и расстояние между кривыми A.90) может быть по-
порядка малого радиуса тора.
Из формул A.89), A.90) следует, что в рассматриваемом случае
особые точки характеристик могут быть только на линии парабо-
личности е (х, у) = 0 в точках, где касательная к ней параллельна
оси у.
Исследуем особые точки характеристик A.89) для низких ча-
частот со <^ о>#е ~ <вре. Полагая, что поверхность е = 0 проходит не
182

слишком близко от оси системы, для е (х, у) вблизи линии параболич-
ности можно написать
е (х, у) = [(* — хо)/Ь] + аа>% (х0) cos Ц/R аЬе- A-91)
Используя выражение A.91), уравнение A.89) представим в виде
a(dl/d$y = I + cost|), A.92)
где I = Riuke (xo)(x — хоIаЬ(л1г (х0);
а = F8/со(оНеJ (©ре (xo)/aR); со2,,, (*„) = со2сояг/(юНе(онг — со2).
-1
Рис. 10.
Семейства характеристик A.92) схематически изображены на
рис. 10 и 11. Точки ? = 1, i|) = ± л — это седловые особые точки,
проходящие через них характеристики образуют особую поверхность
поля. Точка —\ = 1, ij) = 0 является узлом при ос < 1/8 и фокусом
при а > 1/8. Так как особая характеристика «отражается» от гра-
границы гиперболической области, то при а. > 1/8 особая поверхность
асимптотически приближается к фокусу после бесконечного числа
отражений. При а < 1/8 особая характеристика попадает в узел
сразу или после конечного числа отражений. Поле вблизи особой
поверхности ведет себя как Еи = дц>/ди = ыР~'Ф (su2P), где
1 + 4р = [/ — 8а, s, и — координаты вдоль и поперек особой по-
поверхности соответственно [533. Заменяя и на « + i6, находим энер-
энергию, поглощаемую вблизи особой поверхности Wq = б \\dsdu Еи |2.
Нетрудно видеть, что при б -> 0 W& остается конечной.
Можно ожидать, что в случае многомерной неоднородности вблизи
особых поверхностей в результате возрастания электрического поля,
а значит и уменьшения длины волны электромагнитной моды про-
происходит эффективная трансформация электромагнитных и плаз-
183

менных колебаний. Однако строгое решение задачи о трансформации
при двумерной и тем более трехмерной неоднородности еще не полу-
получено. Правда, можно ожидать, что влияние двумерности на транс-
трансформацию несущественно при достаточно малых р, когда «Р — мед-
медленно меняющаяся функция на расстояниях от особой поверхности
больших или порядка характерной длины волны плазменных коле-
колебаний.
Рис. 11.
2. ГЕНЕРАЦИЯ ГАРМОНИК, РАСПАДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
И СПЕКТРЫ ИЗЛУЧЕНИЯ В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 1. Особенности нелинейного взаимодействия волн
в неоднородной плазме
1. Нелинейное смешивание волн. Рассмотрим нелинейное смеши-
смешивание волн малой амплитуды, частным случаем которого является
генерация второй гармоники [5, 52]. В квазистационарном состоянии
амплитуда возбуждаемой при смешивании волны г|K (г) пропор-
пропорциональна матричному элементу взаимодействия V— ]&?§¦?§$>%,
в котором г|з12 описывают поля исходных волн и считаются задан-
заданными. В кваз'иклассической области функции г|>„ (г) имеют вид ipn~
~ exp [+i Jz kn (z')dz'], где волновой вектор kn (z) удовлетворяет
дисперсионному уравнению со = con (kn). В слабонеоднородной
плазме вопрос об оценке величины матричного элемента V вполне
аналогичен вопросу об оценке величины квазиклассического ма-
матричного элемента в квантовой механике [80]. Рассматривая г|;п,
kn в комплексной плоскости переменного z (как аналитическое про-
продолжение с вещественной оси), получим, что величина матричного
184

элемента определяется конкуренцией вкладов в интеграл от особен-
особенностей функции г|)„ (z) и вкладов точек z0, в которых выполняется
условие распада &i(z0) + ^г(го) = &з(го)- В последнем случае раз-
размер области генерации волны Д можно оценить из условия | j (кг +
д
+ k2 — k3)dz\ ~ 1. Таким образом, распады, запрещенные в одно-
однородной плазме (распадное условие на вещественной оси z не выпол-
выполняется), в неоднородной плазме происходят с экспоненциально малой
вероятностью, если поля взаимодействующих волн не имеют особен-
особенностей на вещественной оси.
Следует обратить внимание на изменение самой постановки зада-
задачи об ограничении амплитуд волн, нарастающих в результате нели-
нелинейного взаимодействия, и установлении квазистационарных спек-
спектров колебаний [52]. В однородной плазме нелинейное взаимодейст-
взаимодействие волн идет одновременно во всем объеме плазмы и приводит к пере-
перераспределению энергии по спектру волновых чисел. В случае неод-
неоднородной плазмы каждый распад происходит во вполне определен-
определенной части объема, занятого плазмой. Поэтому области распада можно
рассматривать, как набор локализованных источников излучения,
и, очевидно, при достаточно малых амплитудах вынос энергии из
области распада приведет к установлению квазистационарного со-
состояния. Этим, в частности, распад в неоднородной плазме отличает-
отличается от распадов в ограниченной плазме [81].
2. Распад волны конечной амплитуды. Рассмотрим теперь рас-
распад в слабонеоднородной среде волны большой амплитуды, называе-
называемой волной накачки. Задачи такого типа решались, например, в ра-
работах [82—85]. Так, в работе [85] изучалось распадное взаимодейст-
взаимодействие плазменной и ионно-звуковой волн в неоднородной плазме, на-
находящейся в высокочастотном однородном электрическом поле.
Основные черты этого распада можно проследить на следующем
простом примере. Если точки отражения находятся далеко от об-
области распада, уравнения для амплитуд ali2 (г) нарастающих
волн можно взять в виде
dali2/dz = к (ao/ac)a2,iexp ixk^lL), B.1)
где а0 — амплитуда волны накачки, которая считается неизменной;
и, а с — положительные нормировочные постоянные, условие рас-
z
пада выполняется в точке 2 = 0, так что k0z2/L = J lk0 (z') — kx (z1) —
о
— k2(z')]. Для функции Ьг = dx exp (—ikoZ2/2L) из B.1) получим
уравнение
d4xldz2 + l(kaz/LJ + (iko/L) — xV/aJl&i = О. B.2)
Для уравнения B.1) поставим следующие условия: |а1|2= 1,
| a212 = 0 при z -> — оо. Решая B.2) при z -*¦ + оо, имеем
a±\2 = exp (j,, |a2|2 = exp (u.) — 1; \i = (nL/ko)(xao/acJ. B.3)
185

Из формул B.2), B.3) видно, что в неоднородной среде распад
волны накачки приводит к конечному усилению волн а1>2. Размер
области распада, совпадающий с шириной барьера в B.2) Дг =
= L (xao/^o«c)> пропорционален амплитуде волны накачки а0
и длине неоднородности L, а коэффициент усиления ехр \х зависит
экспоненциальным образом от квадрата амплитуды волны накачки.
Из формулы B.3) следует условие срыва распадной неустойчивости
L<k0 (Л/я) \ас1%а0У, где Л « 5.
Рис. 12.
Рассмотрим еще случай, когда вблизи от области распада нахо-
находится точка отражения одной из нарастающих при распаде волн.
Для дальнейшего существенно, чтобы компоненты фазовой и груп-
групповой скоростей нарастающих волн на направление неоднородности
имели одинаковые знаки. Уравнения для амплитуд волн запишем
в виде
3! = а.ая; (d2a
+ klzajL = — a-ax. B.4)
Здесь &1>2 = const, a = x2a0/ac и a0 — амплитуда волны накачки.
Из уравнений B.4) следуют выражения для волновых векторов мод:
2q% = k\ +kl zIL ± Y(k\— k2 zILf— 4a2-
B.5)
Ход функций д± (г) показан на рис. 12, где z21=(L/kl) (k\ ± 2a) —
точки пересечения ветвей колебаний. Как видно из B.5), связь волн
ах, а2 через волну накачки (параметр а) приводит в данном случае
к появлению области усиления колебаний (zlt z2) (см. рис. 12),
ширина которой пропорциональна произведению длины неоднород-
неоднородности и амплитуды волны накачки. Интересно отметить, что в отли-
отличие от квантовомеханического случая [80] взаимодействие волн
186

приводит не к расталкиванию ветвей q± (z), а к их притяжению. За-
Заменим переменную k±z = % — k\Llk\. Тогда из системы B.4) для
амплитуды at получим уравнение вида
(dWdg*) + ЩЫ2аМ2) + E + РН] = 0, B.6)
подробно исследованное в работе [51]. Учитывая, что в данном
случае компоненты фазовой и групповой скоростей на направление
неоднородности имеют одинаковые знаки, и используя результаты
работы [51], нетрудно получить выражения для коэффициентов уси-
усиления волн. Например, при падении на область распада (гъ. z2)
моды с волновым вектором q«^2 (г/LI/2 (см. рис. 12, стрелками
указаны направления распространения мод), усиление ее по мощ-
мощности равно exp BnLa2lk1kl), т. е. логарифм коэффициента усиле-
усиления пропорционален квадрату амплитуды волны накачки.
§ 2. Генерация гармоник электромагнитной волны
в неоднородной плазме
Покажем, что в неоднородной плазме возможна эффективная
генерация гармоник электромагнитных волн даже при отсутствии
синхронизма между гармониками. Рассмотрим прежде всего падение
электромагнитной волны на холодную плазму без магнитного поля,
неоднородную вдоль оси г. Вектор электрического поля' находится
в плоскости падения Е = (О, Ey, Ez), магнитное поле имеет компо-
компоненту Нх. Считая нелинейные эффекты малыми и представляя маг-
магнитное поле второй гармоники в виде
Ж2' (г, у, t) = Я2 B) ехр BШ - 2\kjjj),
получим для #2 уравнение [5]
Н\ + /С|Яа = F(z), B.7)
где k\ = Dсо2/с2) (ег — а2), е2 = 1 — со?е/4со2 — диэлектрическая
проницаемость на второй гармонике, а = ckja), F (z) — нелиней-
нелинейный источник, имеющий вид
"** [ifeiEi rfei 2ifei Ez <feid / EyEz d&
dz e1 e2 dz dz\ ste2 dz
2
2 / \
Здесь 6j (со, z) = 1 I~J- I 1 +i —^ I — диэлектрическая про-
проницаемость на основной частоте. Обратим внимание на то, что F про-
пропорционален градиенту плотности и исчезает в однородной плаз-
плазме, где индуцируемые падающей волной нелинейные токи — чисто
продольные. Так как в рассматриваемом здесь случае слабонеодно-
слабонеоднородной плазмы без магнитного поля условия синхронизма не мо-
могут быть выполнены, то согласно развитой в § 1 идеологии поле излу-
излучения на второй гармонике будет определяться вкладом ближайшей
к вещественной оси z особенности F (z) — точки резонанса г± (со, г) =
187

= 0. Вблизи точки резонанса ех = — (zIL + iv^/co) = —
а поля первой гармоники имеют вид
xl). яо=Л»>@);
B.9)
Здесь С — постоянная Эйлера. Как видно из B.9), компоненты
электрического поля падающей волны при v^ -> 0 обладают осо-
особенностью в точке z = 0, происхождение которой связано с накоп-
накоплением энергии падающей волны в области точки резонанса ег яь. 0.
Для слабонеоднородной плазмы параметр квазиклассичности
р = (oL/c велик, поэтому заметная генерация второй гармоники
происходит при малых углах падения волны на плазму, когда
а С 1. При этом из формул B.7), B.9), считая, что ра3 > 1 и пре-
пренебрегая малыми слагаемыми, получаем
dz*
—] - B-10)
Решая уравнение B.10) граничными условиями излучения
#2 (г) -*¦ С± exp (=F ik2z) при z-> ± «э и учитывая, что особая
точка F (z) лежит в нижней полуплоскости г, нетрудно показать,
что вторая гармоника излучается в области резонанса ех ж 0 «назад»
и присутствует только в отраженном сигнале с амплитудой
moo \ 2 2^3 ' V о
B.11)
Эффективность генерации второй гармоники определяется отноше-
отношением потоков энергии Q = S^/Si1'
4- + |i + ini/-^Vlx
X expf -pa3—2/Зр^Ф*Л . B.12)
V 3 ш /
Здесь #о — магнитное поле Н{х1} в вакууме.
Оценим в используемом здесь приближении малой нелинейности
результат для максимально возможной генерации второй гармоники.
Критерий малости нелинейности имеет вид [5] \аеН @)/pmcco| С
С (л'эфф/(йM/2- Подставляя его в B.12), получаем
^) B.13)
Для сравнения укажем долю энергии Wv, поглощаемой в области
резонанса. При уэфф ->- 0 и pa3 > 1 она равна Wv = 2SzX) X
188

X exp I—o-pa • Таким образом, в исследованном случае во вторую
гармонику преобразуется малая часть энергии, поглощаемой в об-
области резонанса ех да 0. Однако можно ожидать, что они становятся
сравнимыми, когда 4ра8/3 < 1 и | Н @) | > (тсозр/еа) (v^/co)s/2.
В теплой плазме, когда столкновения достаточно редки, в об-
области резонанса становятся существенными эффекты конечной тем-
температуры плазмы. При учете теплового движения в резонансном
слое ех да 0 в результате линейной трансформации падающей волны
образуются плазменные колебания, которые уносят энергию из ре-
резонансного слоя, тем самым ограничивая продольное электрическое
поле. Как указано в работах [1, 5], в этом случае можно ввести эф-
эффективную диссипацию, для которой ^Эфф/(й) = (го/Ц2/3, где rD,
L — дебаевский радиус электронов и длина неоднородности плот-
плотности соответственно. Так как интенсивность излучения на второй
гармонике не зависит от Vэфф при Vэфф -> 0, ю естественно ожидать,
что в теплой бесстолкновительной плазме результат по генерации
второй гармоники сохраняется. Прямое вычисление излучения на
второй гармонике [43] подтверждает этот вывод. Таким образом,
излучение второй гармоники происходит в области особенности поля
волны и не зависит от конкретного вида механизма, ограничиваю-
ограничивающего электрическое поле. Иными словами, указанная выше эквива-
эквивалентность теплового движения диссипации сохраняется и в нели-
нелинейном случае [5,43]. Этот вывод остается в силе для неоднородной
плазмы, находящейся в магнитном поле [86].
Из сказанного следует, что в области резонанса неоднородной
плазмы энергия падающей электромагнитной волны рассеивается
по следующим каналам: поглощение на столкновениях, линейная
генерация продольных плазменных колебаний и генерация гармоник.
В последнем случае можно также ввести эффективную диссипацию,
для которой v^/co ~ | еаН @)/mccop |2/5. Конкуренция различных
процессов определяется сравнением соответствующих гЭфф.
В заключение сделаем несколько замечаний. 1. Генерация вто-
второй гармоники при нормальном падении необыкновенной волны на
холодную неоднородную плазму, находящуюся в однородном маг-
магнитном поле, исследовалась в работе [87]. Результаты принципиаль-
принципиально не отличаются от приведенных здесь. 2. В работе [88] исследова-
исследовались гистерезисные явления, возникающие в области резонанса при
наложении ВЧ-поля. В рассматриваемом случае, при выполнении
указанного выше критерия малости нелинейности, они отсутствуют.
Необходимо также отметить, что в магнитоактивной плазме
зависимость фазовой скорости волны от частоты, плотности плазмы
и других параметров носит немонотонный характер, поэтому условия
синхронизма гармоник могут выполняться. Например, при нормаль-
нормальном распространении необыкновенной волны в холодной магнито-
магнитоактивной плазме синхронизм между первой и s-й гармониками вы-
выполняется ВДОЛЬ КрИВОЙ СОреСОЯе = (S2«2 — СОр<.) {(И% — (О2) НЭ
плоскости параметров (со2ре, а>не)- Указанное обстоятельство должно
189

приводить к «рассыпанию» нелинейной волны, распространяющей-
распространяющейся через область синхронизма неоднородной плазмы [20].
Приведем еще выражение для потока энергии на второй гармо-
гармонике электромагнитной волны в неоднородной плазме, возникающей
при падении плазменной волны на область о)ре « <о [52]:
=(8/3) лррЦеаА/тмтеJ; (рр2 « 1) B.14)
9maivTe
Здесь р = Оге/с; ?zl = Л(со/с&г)!/2ехр — i^fe1B')dz' — поле па-
Г Л , Л
I ¦—i \ к, (z ) dz' —i
L г J
дающей плазменной волны; /l = const; kx = —У—z/L; Siz1) =
VTe
A?
= cB2 поток энергии на плазменной волне.
Как следует из B.14), генерация второй гармоники достигает
максимума при рр2 ~ 1; при этом по сравнению со случаем резкой
границы [89, 90] поток энергии на второй гармонике содержит боль-
большой параметр р, что являете;: следствием увеличения области
взаимодействия волн.
§ 3. Спектр излучения, захваченного
в плазменной полости
В результате качественного изменения нелинейного взаи-
взаимодействия волн в неоднородной плазме (пространственная огра-
ограниченность области взаимодействия, появление новых типов генера-
генерации волн и др.) должен существенно меняться стационарный спектр
волн, устанавливающийся в среде. Решение этой задачи требует
одновременного учета перекачки энергии по спектру из-за взаимо-
взаимодействия волн, а также влияния неоднородности. Чтобы проиллю-
проиллюстрировать роль неоднородности, рассмотрим более простую за-
задачу о спектре излучения, давление которого уравновешивается
давлением плазмы [91]. Отметим, что для случая монохроматиче-
монохроматического излучения такая задача исследовалась в работе [92].
Движение кванта в неоднородной плазме описывается уравне-
уравнениями
dr дай dk dwk 2яе2
dt дк dt дг .""о,
где
,/-—г-г—:—s"i~5 г 4ле2п(г)
cok = у ю0 (г) + са к2; соо = — .
т
190

С dk
Из последнего уравнения видно, что на все N (г) = )^
квантов в единице объема действует сила
Кроме того, можно показать [93, 94], что при однородной темпера-
температуре плазма в поле стационарных колебаний распределяется по за-
закону Больцмана п (г) = п (оо) ехр (—У/0), где 9 = Те + Tt. Обо-
Обозначив g (г) = п (тIп (оо) sg: 1, имеем
1 V 2nte2, с dk Nv
In— = —= '[ .-JL. B.17)
g 9 m9 J 8я3 wk
В одномерном случае Nk = N (kx) б (fey) б (kz) и м ножитель N (kx)
может зависеть лишь от единственного интеграла движения — ча-
частоты ©к; обозначая S = со2/©о (°°) и учитывая, что
IК | = Yсо2-ш§ (г)с-1 = (<в0 (оо)/с) /s—g, ¦
представим B.17) в виде
B.18)
i—= \f(s)ds/ys—g; f(s) ——-——— . B.19)
g J 8л3 отесок 9
Решение этого интегрального уравнения Абеля — функция
/(s) = B/я Y~s) arctg /(Г-s)/s, B.20)
которая позволяет рассчитать все спектральные характеристики
излучения, уравновешивающего заданный конкретный профиль
плотности п (х).
Отметим, что выше вопрос о спектре решался в приближении гео-
геометрической оптики. Отказ от этого приближения хотя и усложняет
задачу, однако может представлять интерес, поскольку дает возмож-
возможность строго оценить роль диапазона длинных волн, областей отра-
отражения, а также резонансных слоев, в которых возможно образование
плазменных волн (последнее, в частности, имело бы значение для
"выяснения вопроса о самоподогреве плазменной полости и времени
жизни электромагнитного излучения в ней).
191

3. ПРОСВЕТЛЕНИЕ ВОЛНОВЫХ БАРЬЕРОВ
В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 1. Вводные замечания
Одна из наиболее характерных особенностей неоднородной сре-
среды — это существование барьеров непрозрачности для распростра-
распространяющихся волн. В конечном счете волна не проникает в какую-
то область плазмы из-за того, что токи поляризации компенсируют
токи смещения (а поле в результате затухает). Существует несколько
возможностей избежать этого. Обсудим кратко некоторые из них,
неявно предполагая справедливость гидродинамического приближе-
приближения и откладывая исследование кинетических эффектов до следую-
следующего параграфа.
Проникновение поля в плазму из-за скин-эффекта связано с из-
изменением в результате столкновений (обычных или эффективных)
фазовых соотношений между токами поляризации и токами смеще-
смещения; при этом амплитуда поля спадает в глубь плазмы. Более инте-
интересно создать условия проникновения поля в виде незатухающих
волн. Существует возможность прорыва поля большой амплитуды
через непрозрачную среду, если предельно возможные токи поляри-
поляризации в ней / = епс не могут компенсировать токи смещения. Оче-
Очевидно, что это произойдет при амплитудах электромагнитного поля,
удовлетворяющих условию
Е>4пепс/а. C.1)
Такая возможность уже обсуждалась, например, в работе [95].
Однако строгого анализа задачи пока нет. Качественно также по-
понятно, что если нелинейная добавка к диэлектрической проницае-
проницаемости среды е положительна, то возможно проникновение волны
через область непрозрачности линейной среды. Действительно, если
е = е0 (г) + а | Е |2 и а > 0, то волна проникает через барьер не-
непрозрачности, если а | Е |2 > max | е0 (г) \(\ Е |2 — квадрат ампли-
амплитуды поля). Отметим, что случай а > О для однородной нелинейной
среды соответствует хорошо известному явлению самофокусировки
волны [96]. При выполнении написанного выше неравенства элек-
электромагнитное поле также нарастает и для неоднородной среды.
Весьма эффективным способом просветления волновых барьеров
являетс,я рассмотренная в предыдущих разделах трансформация
волн.
Напомним, что в результате пересечения мод просветление плаз-
плазмы происходит по следующим причинам: а) область плазмы, непро-
непрозрачная для падающей волны, является прозрачной для волны, об-
образовавшейся в результате процесса трансформации; б) барьер не-
непрозрачности уменьшается для пересекающихся мод с нормальной
дисперсией [51]; в) барьер непрозрачности, существующий для
«рожденной» волны, может исчезнуть в случае нелинейной трансфор-
трансформации энергии в гармоники этой волны (см. [52] и раздел 2, § 2).
192

Отметим, что вывод медленных волн из плазмы относится к тому
же кругу вопросов (непрозрачным здесь является внешнее простран-
пространство). При этом, наряду с изученной выше трансформацией волн,
причиной излучения энергии может служить образование так назы-
называемых вытекающих волн в неоднородных открытых волноводах [97].
Требуя, например, в случае двумерного поля, чтобы поле собствен-
собственной волны было лишь ограничено на бесконечности, можно сущест-
существенно расширить систему собственных волн и учесть поле излучения
(к поверхностным волнам добавятся псевдоповерхностные волны).
В результате и возникают вытекающие волны, энергия которых не
концентрируется полностью в волноводе и вблизи него, а преобра-
преобразуется в поле излучения, обычно с достаточно острой диаграммой на-
направленности. Такая волна должна всегда поддерживаться источни-
источником. В случае, когда поле излучения возбуждается одной поверх-
поверхностной волной, распространяющейся вдоль диэлектрической пла-
пластины переменной толщины и длины L, коэффициент трансформации
оказывается порядка (kJLf (K± — эффективная протяженность по-
поля поверхностной волны в поперечном направлении). (Подробное
изложение вопроса о вытекающих волнах см. в работе [97].)
§ 2. Нелокальные эффекты в неоднородной плазме
Прежде всего необходимо указать, что под словом нелокальные
здесь и ниже понимаются эффекты типа эха в однородной плазме.
Обычно эффект эха рассматривают в связи с затуханием Ландау
как проявление «памяти» в системе, оставленной исчезнувшими ма-
макроскопическими полями и содержащейся в микроскопических ос-
цилляциях функции распределения [98], которые, например, в изо-
изотропной однородной плазме имеют вид 8fk (x, v,t)=g (v) exp (ikx —
— xkvt) или 6До (x, v, t) = p (v) exp [ico (t — xlv)\ и соответствуют
наличию в плазме модулированных потоков частиц. В неоднородной
плазме в результате фокусирующего действия неоднородности и
вследствие неполного фазового перемешивания резонансных частиц
появляется несколько новых (по сравнению со случаем однородной
плазмы) эховых эффектов. В частности, в неоднородной плазме
память системы может проявиться уже в линейных эффектах типа
линейного нелокального отражения волн [99] и линейной регенера-
регенерации волны за барьером непрозрачности или областью сильного бес-
столкновительного затухания [14, 101, 102]. Кроме этого, в неодно-
неоднородной плазме без магнитного поля возможно эхо на суммарной ча-
частоте внешних сигналов [14] и связанное с этим раздвоение эха, ког-
когда во втором порядке по амплитуде поля от двух источников од-
одновременно возникают эховые сигналы на суммарной и разностной
частотах.
1. Линейная регенерация и всплески поля необыкновенной вол-
волны в неоднородном магнитном поле. Исследование вопроса о линей-
линейной регенерации волны, распространяющейся в том же направлении,
что и исходная, в результате фазовой фокусировки частиц неод.
7 Зак. 112 193

нородностью плазмы было рассмотрено в работах [14, 100]. Здесь
мы покажем, что наряду с переизлучающимися волнами могут су-
существовать неизлучающиеся всплески поля, а также проанализи-
проанализируем различные ситуации, в которых возможно переизлучение.
Распространение высокочастотной со —- сояе необыкновенной
циклотронной волны круговой поляризации вдоль неоднородного
магнитного поля описывается следующим уравнением:
Еа (г) + (c2/co2)(d2?co/dz2) = Dш/ю)(/Р + /ext), C.2)
полученным из уравнений Максвелла и Власова методом характе-
характеристик. Первое слагаемое в правой части уравнения C.2) представ-
представляет ток электронов плазмы
C.3)
где F (v) — невозмущенная функция распределения по продольным
г
скоростям; г|) = гр (z!, z, v) = J" [со — ©яе (у)\ (dy/v) — фаза воз-
- г'
мущения функции распределения электронов плазмы; сояе (z) =
= еН (г)/тс. Неоднородностью плотности плазмы, а также изме-
изменением продольной скорости частиц вследствие неоднородности маг-
магнитного поля пренебрегаем. Как оказывается, эти ограничения не
принципиальны. Второе слагаемое в уравнении C.2) представляет
возбуждающий волну сторонний ток /ext = /6 (z — а).
При слабой неоднородности внешнего магнитного поля решение
уравнения C.3) ищем в ВКБ-приближении Ею (г) = А (г) х
Z
X exp [ij& (y)dy]. Плазменный ток jp представим в виде суммы вкладов
Zo
резонансных и нерезонансных частиц. Для нерезонансных частиц
в уравнении C.3) под интегралом появляются большие фазы
z
6±(z', z; v) = j а (у, ± v) dy, где a(y,±v) = k (у) — а> — а>не (y)l± v,
z'
а знаки плюс и минус указывают на знак скорости частиц.
Интегрируя в C.3) для нерезонансных частиц по частям по г'
и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков малости по
параметру В КБ, получаем
A (z)A(fi), k) — iAi/2 (d/dz)[A (z)Al/2] = Dm/co)(/res +
+ 7«t) exp (-if Adz). C.4)
Здесь введены следующие обозначения:
Л (со, k) = е (со, к) — (с2А2/«2); е (со, k) = 1 +
+ (ю?,/юа) j ldv-F (v)/va (z, v)]; Ah = дА (со,
194

Локальное волновое число k = ka (z) найдем из дисперсионного
уравнения Л(со, ka) = 0. Вычисляя ток резонансных частиц, учтем
в выражении C.3) при интегрировании по z' вклад точек циклотрон-
циклотронного резонанса, в которых a (z', v) = 0. Это уравнение представляет
собой условие стационарности фаз 9± по г'; оно определяет в не-
неоднородном магнитном поле Но (г), вообще говоря, неоднозначную
зависимость z' = zr (v) координаты точки резонанса частицы с вол-
волной от значения ее скорости. Обратная зависимость имеет простой
вид vr (г') = [со —.(ояе (z')Vka (г').
Кроме условия a (z', v) = 0 потребуем стационарность фазы
6+ (г', z; v) по переменной v:
dv
2;y)= С dyd-^- = 0. C.5)
J dv
)
Уравнение C.5) определяет зависимость v = vf (z) и удовлетво-
удовлетворяется при наличии фазовой фокусировки для частиц, имеющих
в точке z скорость vf (г) и находящихся в резонансе с волной в точке
z' = zr (Vf (г)) = ?(г). Условие фазовой фокусировки частиц C.5)
тождественно выполняется для ? (г) = г. В данном случае ток резо-
резонансных частиц C.5)—это локальная функция амплитуды волны
и параметров плазмы; он приводит к обычному локальному затуха-
затуханию волны. В неоднородном магнитном поле условие C.5) может
выполняться для Z, (г)фг, когда ? и z расположены в различных об-
областях плазмы, недоступных исходной волне вследствие непрозрач-
непрозрачности или циклотронного затухания. В этом случае вблизи z воз-
возникает нелокальный макроскопический ток, который или переиз-
переизлучает волну, или проявляется в виде всплесков поля. Исходя из
этого, результат интегрирования для резонансных частиц представим
суммой локального и нелокального токов:
Г —i
[ 2J
где
/гев(г)ехрГ —i h(y)dy]=iK-M^ + 2i*^E«>M C.6)
я @ = [я< П2 (z)/cotv (г)] F (vr (г)) da(z' Vr[z));
dvr (г)
Частицы, создающие нелокальный ток, являются резонансными
в области поглощения исходной волны, а их скорость определяется
из условия фазовой фокусировки между точкой поглощения t,(z)
и данной точкой г. Очевидно, что vf (г) и vr (z) совпадают, если
а [г, Vf (z)] = 0. Отсюда находятся точка регенерации волны г^,
определяющая скорость переизлучающих частиц v0 = vf (z#), и
точка поглощения волны этими частицами zt = zr (v0). В окрест-
7*
195

ности точки z = а сторонний ток возбуждает волну, амплитуда
которой спадает по закону
At(z) = —Dя//со)П (г)П (а)ехр [—sgn B - а) J x (y)dy\. C.7)
Подставим выражения C.6) и C.7) в уравнение C.4). Учитывая,
что основной вклад в поле регенерированной волны происходит
от точки перевала z = zR, в которой выполняется условие а [г,
Vj (z)] = 0 стационарности фазы Эо (г) = 6+ [?, z, vf] по г, после
интегрирования получаем поле регенерированной волны:
X exp i 90 Ba) — sgn (z~z2) \x(y)dy \.
C.8)
Здесь
Интеграл
dz
¦ ПП=ПBП).
C.9)
±oo
вместе с экспоненциальным множителем локального затухания опи-
описывает форму сигнала переизлученной волны. Знаки в пределах
интегрирования в C.9) зависят от знака скорости частиц, переизлу-
переизлучивших волну (случаю и> 0 соответствует знак минус, и наоборот).
Форма сигнала асимметрична. Поле переизлученной волны про-
простирается в одну сторону от точки регенерации z2 на расстояние
%2 \ а в другую на расстояние R71/2 = (К^гI/2, где L2, Я,2 — длина
неоднородности и длина волны в точке z2 соответственно. Используя
C.8), находим отношение потоков энергии в регенерированной
и исходной волнах:
I Pa ЦП}
exp
.C.10)
На рис. 13 схематически представлены некоторая конфигурация
магнитного поля (кривая /) в безразмерной переменной а>не (z)/a>,
квадрат показателя преломления (кривая //) и отношение vr (z)lc
(кривая ///) для положительных ka при а>гре < 2ю2/3]/3. Области
непрозрачности 2, 4, 6, 8 для необыкновенной волны заштрихо-
заштрихованы и чередуются с областями прозрачности /, 3, 5, 7, 9. Как не-
нетрудно видеть, фазовая фокусировка для частиц может выполняться
между двумя областями прозрачности. Если условие резонанса
а = 0 выполняется в обеих областях — волна переизлучается.
196

В работе [14] подробно рассмотрен случай переизлучения из области
/ в область 5 и проведен анализ условий переизлучения на конкрет-
конкретном примере параболического распределения магнитного поля между
этими областями.
Выражение C.8) для поля переизлученной волны описывает все
указанные случаи. Отметим, что из-за различия направлений рас-
распространения волны и движения резонансных частиц имеются ка-
качественные различия в регенерации при «яе > со и сояе < со. На-
Например, из области 1 в область 3 возмущение переносит частицы
с vz > 0. Однако если исходная волна движется в положительном
Рис. 13.
направлении, то переизлученная — в отрицательном (именно эта
волна резонансна с частицами с vг > 0 в области 3). Из области 3
в область 7 возмущение переносится частицами с vz > 0, но исход-
исходная и переизлученная волны распространяются в отрицательном
направлении.
Если в данной точке z условие фазовой фокусировки выполнено
для частиц со скоростью Vf (z), а условие резонанса выполняется
для другой группы частиц со скоростью vr (z) или область фазовой
фокусировки непрозрачна для волны, то в этом случае макроскопи-
макроскопический ток сфокусированных частиц C.6) приводит к появлению
всплесков поля типа несобственного эха в однородной плазме. Форма
всплесков поля и размер занятой ими области определяются усло-
условиями резонансного поглощения поля исходной волны и параметра-
параметрами плазмы в области появления всплесков. В этих всплесках про-
проявляется остальная доля энергии исходной волны, поглощенной
сфокусированными частицами и не переизлученной в волну регене-
регенерации.
Для вычисления поля всплеска необходимо проинтегрировать
уравнение C.4), учитывая, что основной вклад в данном случае
197

происходит от конечной точки интегрирования г. Поэтому поле
всплеска повторяет поведение нелокального тока плазмы и его можно
представить в виде
I At (a)
П(»)П(рЛш,
vf(z)
г С
X exp] \\ dy
Г р@ —О
э i
J «f
L a
Для примера рассмотрим образование всплеска в области 3
(или 7) от источника, расположенного соответственно в области /
(или 5). Если для г « а выполняется условие xLx > 1, где Lx —•
длина неоднородности а (г), и исходная волна поглощается до точ-
точки отражения, то форма всплеска определяется фактором затухания
исходной волны ехр — J х (y)dy , а размер всплеска в переменной
La J
С (г) имеет порядок х. Форма и размер всплеска в области наблю-
наблюдения получаются преобразованием z = ср (?), обратным ?(z).
В случае, когда xLH С 1. форма и размер всплеска определяют-
определяются конкуренцией фактора затухания и изменением к (г).
2. Линейная регенерация волны при неполном фазовом переме-
перемешивании резонансных частиц. Для простоты рассмотрим нормальное
падение плазменной волны на прямоугольный барьер плотности
(рис. 14 [101]). Падающая волна вызывает в области / макроскопи-
макроскопический ток частиц, который можно разделить на ток тепловых ча-
частиц и ток резонансных. Поле волны экранируется в области барье-
барьера // на расстоянии порядка дебаевского радиуса rD, поэтому в слу-
случае барьера с шириной А > /-д волна в области /// за барьером
непрозрачности может возбуждаться только проникающим туда
нелокальным током. В случае монохроматической волны Е ~
~ ехр (ikz—ico?) возбуждаемые ею осцилляции функции рас-
п ределения в области // имеют вид
\^?Щ C.11)
где е — безразмерная энергия частиц (е = 1 соответствует тепло-
тепловым частицам), vr — тепловая скорость, а /?, (—а, е) можно пред-
представить в следующем виде:
к — @/i>tV8 V fT]/
C-12)
Здесь /0 (е) — невозмущенная функция распределения.
198

Макроскопический ток /ш (г), вызываемый внутри барьера осцил-
ляциями функции распределения C.11), запишем в виде
U (z) = 1/2еп0 v\ Г defa (-а, г) ехр [ i
•0' L
C.13)
где е0 — безразмерный прирост энергии частиц в области барьера
непрозрачности. Из соотношения C.13) нетрудно видеть, что при
ширине барьера А > (ут/со)[/1 + е0 в результате фазового переме-
перемешивания ток тепловых частиц, связанный с главным значением
в формуле C.12), исчезает за барьером.
Ж
Ш
-а
О
Рис. 14.
Однако вследствие почти монохроматичности резонансных ча-
частиц этого условия недостаточно для исчезновения тока резонансных
частиц, который дается выражением
/рез
4я
dk
Еа( — а) ехр Г—
ik(z-\-a)
+ ео(*1>т)/соГ
C-14)
Здесь k = k0 + iy—корень дисперсионного уравнения Л(ш, k) =
= 0; Л — продольная диэлектрическая проницаемость в области /.
Из C.14) следует, что ток резонансных частиц исчезает при условии
Поэтому при ширине барьера А, определенной неравенствами
(&т/со)|/ -Ь е0 < А < у"^ + е0 (kvja>J, резонансные частицы
возбуждают в области /// колебания электрического поля. Фак-
Фактически задача сводится к нахождению поля в полупространстве
z > а при заданной на границе функции распределения входящих
в это полупространство частиц. Соответствующее интегральное урав-
уравнение имеет вид
dyK(\z-y\)E»(y),
C.15)
199

где
— е
со
В результате решения уравнения C.15) методом, который опи-
описан в работе [101], для поля в области /// получим
Ee)(z) = i — E(u(~a)exm\k(z — a)-{
k L V
Коэффициент прохождения волны через барьер
]¦
2
V
k
= -г ехР
C.16)
Нетрудно видеть, что данный эффект существует для барьеров
произвольной формы, так как физическая картина при этом не ме-
меняется.
3. Линейная нелокальная трансформация волн в неоднородной
плазме. В случае нормального падения волны на барьер непрозрач-
непрозрачности, как рассматривалось выше, резонансные частицы возбуждают
за барьером волну того же типа, однако при падении волны на
барьер под углом магнитному полю резонансные частицы могут
возбуждать за ним волну другого типа, т. е. происходит линейная
нелокальная трансформация [102]. Рассмотрим для примера нело-
нелокальную трансформацию необыкновенной поперечной волны Е+
в продольную Ej. Для этого подставим в уравнение C.15) для поля
продольной волны функцию распределения возмущения резонансных
частиц /щ' (я. е) от падающей на барьер под малым углом к магнит-
магнитному полю поперечной волны:
eVnk±Et(—a) • . w-i . .. - /. со—а
а, «О-
kt
t)T у
где' kt, &j_ — продольная и поперечная компоненты волнового век-
вектора падающей, волны (kxVT С «не) и п = 0,1. Тогда для коэффи-
коэффициента трансформации поперечной волны в продольную получим
выражение
.2 2
4(О
2 С0№
kt
Ik
k=k,
— 1 )п X
200

X
i— a>kt]
-^
где Л = Bд) $° rfp In Л (p,-to)/(p-
волновой вектор продольной волны. Максимальный коэффициент
трансформации соответствует случаю пространственного резонанса
Отметим, что указанная трансформация может быть и в случае,
когда волна одного типа падает на .область непрозрачности, в кото-
которой выполняются условия распространения для волны другого ти-
типа, и, следовательно, она может возбуждаться резонансными ча-
частицами.
4. Нелинейная нелокальная трансформация поперечных волн
в продольные. Для примера нелокальной нелинейной трансформации
поперечных возмущений в собственные продольные колебания плаз-
плазмы рассмотрим продольное эхо от двух поперечных источников
2
j (г, 0 =еу J js8(z—as)cos(ost, co2>co1, a2—a1 = d> 0, C.18)
расположенных в области непрозрачности а>ре (а12) > «1J не-
неоднородной изотропной плазмы [14]. В этом случае во втором поряД-
ке по амплитуде внешнего сигнала на разностной частоте со3 = <*>2 —
— % возникает продольный эховый ток, который в плазме со
спадающей плотностью возбуждает вблизи точки zc = а2 + йщ/щ
ленгмюровские колебания, если частота со3 больше ленгмюровской
»ре (* с)-
Для упрощения выкладок будем считать основную часть плазмы
с тепловой скоростью VT и неоднородной плотностью ./V (г) почти
«холодной», к которой добавлена максвелловская «горячая» компо-
компонента с однородной плотностью п0 С Л'' и тепловой скоростью
vT > VT. При этих условиях создаваемый горячей компонентой
эховый ток имеет вид
<2) = tete'/iod/x/ag (ffl ч Fdv ехр ( _ *_+ j J\ (ЗЛ9)
201

где Z, = (<o3/fT) (г — zc). Продольное поле эха Е^2) подчиняется
уравнению
^ - ^) (з,0)
Здесь kl (С) = (co3/VTJ е3 (г), е3 (г) = 1 — (<Оре (г)/со§) — диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость плазмы на частоте щ.
Решая уравнение C.20) с учетом C.19), находим электрическое
поле ленгмюровской волны, которое при расположении точки эха
z = zc вдали от точки поворота k3 = 0 равно
(z t) = "" "°"^'»""* _±.ехр —
m3 с4 со3 ш2 е3 (zc) uT V
X[e3Bc)/e3B)]'/4exp i J *8 (z') rf2'-i-^~i(o8/ | , C.21)
L 2c
где Уф = m3/&3 (zc).
Таким образом, вследствие неоднородности плотности, спадаю-
спадающей к границе плазмы, поперечные источники нелокально возбуж-
возбуждают ленгмюровские колебания. Необходимо отметить, что ленгмю-
ровские волны, распространяющиеся почти нормально к резкой гра-
границе плазмы, излучаются в вакуум с коэффициентом трансформации
порядка единицы [103].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.,
«Наука», 1967.
2. Железняков В. В. Радиоизлучение солнца и планет. М., «Наука», 1964.
3. Голанд В. Е., Пилия А. Д. «Успехи физ. наук», 1971, 104, 413.
4. Моисеев С. С. Доклад на конференции по теории плазмы. Киев, 1971.
«Ж- эксперим. и теор. физ»., 19Г2, 62.
5. Ерохин Н. С, и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1969, 56, 179.
6. Денисов Н. Г. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1956, 31, 609.
7. Железняков В. В., Золотник Е. Я. «Изв. вузов. Сер. радиофизика», 1962,
5, 644.
8. Моисеев С. С. Proc. of the seventh Internet. Conf. on phenomena in Ionized
Gases. Beograd, 1966, v. 2, p. 645.
9. Пилия А. Д., Федоров В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1969, 57, 1198.
10. Заславский Г. М., Моисеев С. С, Сагдеев Р. 3. «Докл. АН СССР», 1964,
158, 1295.
11. Рухадзе А. А., Саводченко В. С, Тригер С. А. «Прикл. мех. и техн.
физ.», 1965, 6, 58.
12.- Тимофеев А. В. «Успехи физ. наук», 1970, 102, 185.
13. Ерохин Н. С, Моисеев С. С. «Прикл. мех. и техн. физ.», 1966, 2, 25.
14. Водяницкий А. А., Ерохин Н. С, Моисеев С. С. «Письма ЖЭТФ», 1970,
12, 529.
15. Моисеев С. С. «Прикл. мех. и техн. физ.», 1966, 3, 3.
16. Моисеев С. С. Автореферат диссертации. Харьков, УФТИ, 1969.
17. Геккер И. Р., Сизухин О. С. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1969, 9, 408.
18. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П., Павлова И. Л. Баланс энергии
и диффузии в тороидальных плазменных установках. М., Изд-во МГУ,
1970.
202

19. Виноградов А. В., Пустовалов В. В. «Письма ЖЭТФ», 1971, 13, 317.
20. Ерохин Н. С, Курилко В. И. и др. Доклад CN-28/E-13 на IV Между-
Международной конференции по исследованиям в области физики плазмы и уп-
управляемых термоядерных реакций. Мэдисон, Висконсин, 1971.
21. Александров В. О., Голант В. Е., Жилинский А. П. «Ж. техн. физ.», 1971,
41, 66.
22. Бакай А. С, Березин А. К. и др. Доклад CN-28/E-9 на IV Международ-
Международной конференции по исследованиям в области физики плазмы и управ-
управляемых термоядерных реакций. Мэдисон, Висконсин, 1971.
23. Березин А. К., Березина Г. П., Ерохин Н. С. и др. «Письма ЖЭТФ»,
1971, 14, 149.
24. Ерохин Н. С, Моисеев С. С. Доклад на конференции по теории плазмы,
Киев, 1971.
25. Моисеев С. С. Труды международного симпозиума по проблеме многих
тел и физике плазмы. М., «Наука», 1967, с. 183.
26. Кореску V. Czechosl. J. Phys., 1971, В21, 34.
27. Stuekelberg E. С. G. Helv. phys. acta, 1932, 5, 369.
28. Быховский В. И., Никитин Е. Е., Овчинникова М. Я. «Ж- эксперим.
и теор. физ.», 1969, 47, 750.
29. Дубровский Г. В. «Вестн. Ленингр. ун-та (физика), 1967, 16, 24.
30. Слуцкин А. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1967, 53, 767.
31. Пилия А. Д., Федоров В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1971, 60, 389.
32. Долго^олов В. Б. «Ж. техн. физ.», 1966, 36, 273.
33. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические урав-
уравнения. М., «Наука», 1966.
34. Трикоми В. Д. Дифференциальные уравнения. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1962.
35. Гильденбург В. Б. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1963, 45, 1978.
36. Омельченко А. Я., Степанов К. Н. «УФЖ», 1968, 13, 1552.
37. Dnestrovskii Yu. N., Kostomarov D. P., Pereverzev J. V. Tenth. Internal.
Conf. on phenomena in Ionized Gases, Contr. papers, 1971, 343.
38. Денисон Н. Г. «Уч. зап. Горьковск. ун-та», 1957, 35, 3.
39. Заславспий Г. М., Моисеев С. С. «Докл. АН СССР», 1965, 161, 318.
40. Заславский Г. М. Лекции по применению метода В КБ в физике. Ново-
Новосибирск, Изд-во НГУ, 1965.
41. Моисееве. С, Смилянский В. Р. «Магнитная гидродинамика», 1965, 2, 23.
42. Гребинский А. С. «Ж. техн. физ.», 1969, 39, 1166.
43. Ерохин Н. С. Автореферат диссертации. Харьков, УФТИ, 1970.
44. Заславский Г. М. «Прикл. мех. и техн. физ.», 1966, 6, 76.
45. Ерохин Н. С. «Прикл. мех. и техн. физ.», 1970, 6, 3.
46. Ерохин Н. С. «Дифференциальные уравнения», 1971, VII, 970.
47. Заславский Г. М., Филоненко Н. Н. «Прикл. мех. и техн. физ», 1967,
1,21.
48. Кондратьев И. F., Миллер М. А. «Изв. вузов. Сер. радиофиз.», 1968, 11,
885.
49. Федоров В. И. Автореферат диссертации. Л., ЛФТИ, 1971.
50. Timofeev A. V. Nucl. Fus., 1968, 8, 99.
51. Ерохин Н. С. «Укр. физ. ж.», 1969, 14, 2059.
52. Ерохин Н. С, Моисеев С. С. «Ж. техн. физ.», 1970, 40, 1144.
53. Пилия А. Д., Федоров В. И. Доклад на конференции по теории плазмы.
Киев, 1971.
54. Заславский Г. М., Моисеев С. С, Сагдеев Р. 3. «Прикл. мех. и техн. физ.»,
1964, 5, 44.
55. Wasow W. Ann. Math., 1950, 52, 350.
56. Давыдова Т. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1971, 69, 1001.
57. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В- 2. Пер. с
англ. М., «Наука», 1966.
58. Стикс Т. Теория плазменных волн. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1965.
59. Старр В. Физика явлений с отрицательной вязкостью. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1971.
203

60. Wong A. Y., Kuckes A. F. Phys. Rev. Lett., 1964, 13, 306.
61. Недлин Г. М., Шапиро Р. X. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1969, 57, 1961.
62. Давыдова Т. А. Доклад на конференции по теории плазмы. Киев, 1971.
63. Ахиезер А. И., Файнберг Я. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1951, 21,
1262.
64. Файнберг Я. Б. «Атомная энергия», 1961, 11, 313.
65. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. М., Атом-
издат, 1970; т. 2, 1971.
66. Сахаров И. Е., Федоров В. И. «Ж. техн. физ.», 1971, 41, 1539.
67. Rabenstein A. L. Arch. Rational Mechan. Analyses, 1958, 1, 418.
68. Коган Е. Я., Моисеев С. С, Ораевский В. Н. «Прикл. мех. и техн. физ.»,
1965, 6,41.
69. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. «Ж. техн. физ.», 1962, 32, 1291.
70. Бакай А. С. «Ядерный синтез», 1970, 10, 53.
71. Михайловский А. Б., Юнгвирт К- «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1966, 50,
1036.
72. Галеев А. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1964, 46, 1335.
73. Басе Ф. Г., Яковенко В. М. «Успехи физ. наук», 1965, 86, 189.
74. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М., Изд-во
МГУ, 1965.
75. Бабич В. М., Лазуткин В. Ф. В сб: Проблемы математической физики,
№ 2. Л., Изд-во ЛГУ, 1967.
76. Булдырев В. С. В сб: Проблемы математической физики, № 3. Л., Изд-во
ЛГУ, 1968.
77. Ерохин Н. С, Моисеев С. С. Препринт ХФТИ 70/20. Харьков, 1970.
78. Каценеленбаум Б. 3. «Докл. АН СССР», 1955, 102, 4, 711.
79. Furry W. H. Phys. Rev., 1947, 71, 360.
80. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963.
81. Карплюк И. С, Ораевский В. Н. «Ж- техн. физ.», 1968, 38, 1214.
82. Krenz F. H., Kino G. S. J. Appl. Phys., 1965, 36, 2387.
83. Ромазашвили Р. Р. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1967, 53, 2168.
84. Пилия А. Д. Доклад на конференции по теории плазмы. Киев, 1971.
85. Perkins F., Flick T. Phys. Fluids, 1971, 14, 2012.
86. Fidone Т., GranataG., Teichmann I. Phys. Fluids, 1971, 14, 737.
87. Долгополое В. В., Демченко В. В., Омельченко А. Я. «Изв. вузов. Сер.
радиофиз.», 1971, 14, 1321.
88. Гильденбург А. Б. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1964, 46, 2156.
89. Аланакян Ю. Р. «Ж. техн. физ.», 1965, 35, 1552.
90. Аланакян Ю. Р. «Ж. техн. физ.», 1970, 40, 70.
91. Трубников Б. А. Доклад на конференции по теории плазмы. Киев, 1971.
«Ж- эксперим. и теор. физ.», 1972, 62, 971.
92. Волков Т. Ф. В сб: Физика плазмы и проблемы УРТ, Т. 3. М., Изд-во
АН СССР, 1958, с. 336.
93. Талонов А. В., Миллер М. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1958, 34, 242.
94. Аскарьян Г. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1962, 42, 1567.
95. Мах С, Perkins F. Phys. Rev. Lett., 1971, 27, 1342.
96. Ахманов С. А., Сухорукое А. Г., Хохлов Р. Р. «Успехи физ. наук», 1967,
93, 19.
97. Шевченко В. В. Плавные переходы в открытых волноводах. М., «Наука»,
1969.
98. Кадомцев Б. Б. «Успехи физ. наук», 1968, 95, 112.
99. Berk Н. L., Horton С. W. e. a. Phys. Fluids, 1968, 11, 367.
100. Водяницкий А. А., Ерохин Н. С, Моисеев С. С. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 1971, 61, 629.
101. Лиситченко В. В., Ораевский В. Н. «Докл. АН СССР», 1971, 201, № 6,
1319.
102. Водяницкий А. А., Ерохин Н. С, Лиситченко В. В. и др. Доклад на
конференции по теории плазмы. Киев, 1971.
103. Field G. В. J. Astrophys., 1956, 124, 555.
204

«НЕОКЛАССИЧЕСКАЯ» ТЕОРИЯ ДИФФУЗИИ
А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев
ВВЕДЕНИЕ
При отсутствии конвективного движения и турбулентности утеч-
утечка плазмы поперек удерживающего ее магнитного поля вызвана
столкновениями между частицами плазмы и носит диффузионный
характер. Коэффициент диффузии легко оценить, воспользовавшись
классическим законом случайных блужданий D ~ (АгJ/т. Так,
для простейшего случая, когда магнитное поле имеет лишь одну
компоненту, за смещение Аг следует взять средний ларморовский
радиус вращения частицы в магнитном поле Дг ~ ит/со с (ст —
тепловая скорость = У~2Т/т, юс = еВ/тс), а т выбрать равным вре-
времени соударения. Действительно, за каждое столкновение частица
«перескакивает» на расстояние порядка ларморовского радиуса. Та-
Таким образом, легко получается известная зависимость!) ~ В~2Т~1/2,
послужившая в свое время отправной точкой в термоядерных иссле-
исследованиях магнитного удержания плазмы [1]. Более тонкий анализ,
кроме уточнения численных множителей, показывает также, что
столкновения между частицами одного сорта не приводят к такой
диффузии. Это вытекает из того, что в промежутке времени между
актами соударений сохраняется обобщенный импульс отдельных
частиц, а столкновения сохраняют суммарный импульс, так что центр
тяжести двух одинаковых частиц не смещается наружу. Например,
в двухкомпонентнои плазме из электронов и ионов одного сорта толь-
только перекрестные столкновения ионов и электронов приводят к диф-
диффузии, причем коэффициенты диффузии ионов и электронов авто-
автоматически оказываются одинаковыми (т. е. диффузия автоматически
амбиполярна). Эта особенность диффузии плазмы в магнитном
поле, не сразу вытекающая из закона случайных блужданий, легко
получается из другого простого подхода. Движение заряженной ча-
частицы поперек силовой линии магнитного поля носит дрейфовый
[FxB] „
характер со скоростью удр = с -—бг~ > где г — сила, действую-
действующая на частицу. Плазма, удерживаемая магнитным полем grad р =
= (—1/с) [j X В], переносит ток j = —cgradp/B, создаваемый от-
относительным движением электронов и ионов со средней скоростью
и = ]1пе = —с grad р/пВе. Это относительное движение должно
205

сопровождаться силой трения FTp = mulxei (xei — среднее время
столкновения между электронами и ионами). Оказывается, именно
дрейф под действием силы трения cFTp/eB и создает диффузионные
потоки электронов и ионов, естественно оказывающиеся равными.
Коэффициент такой диффузии
D± = rlJxeU A)
получившей в свое время название классической, численно оказы-
оказывается настолько малым, что описываемая им утечка плазмы не
представляла бы никакой опасности в магнитной ловушке с термо-
термоядерными параметрами.
Однако уже первые модельные эксперименты, проводившиеся
с плазмой газового разряда, показали, что утечка плазмы поперек
магнитного поля значительно выше скорости классической диффузии.
Вследствие различных неустойчивостей плазма легко переходит
в турбулентное состояние, в котором диффузия носит турбулентный
характер. Анализ ранних экспериментальных результатов привел
Д. Бома в 1949 г. к постулированию эмпирического закона турбу-
турбулентной диффузии плазмы в магнитном поле [2]
Db = cTe/l6eB. B)
Столь большая аномальная диффузия была бы катастрофой для проб-
проблемы управляемого термоядерного синтеза. Хотя в большом коли-
количестве экспериментальных исследований «бомовская» диффузия и
была подтверждена, она оказалась далеко не универсальным зако-
законом. Это стало совсем очевидным, когда была понята природа турбу-
турбулентности, приводящей к бомовской диффузии: почти двумерная
турбулентность в плоскости, перпендикулярной направлению маг-
магнитного поля. Возникновение такой турбулентности связано с так
называемой дрейфовой неустойчивостью плазмы. Повышение темпе-
температуры плазмы ведет, как правило, к стабилизации дрейфовой не-
неустойчивости, и вместе с тем исчезает источник турбулентности,
ведущей к аномальной диффузии.
Работы последних лет, посвященные удержанию плазмы в торо-
тороидальных магнитных ловушках (особенно в «Токамаке»), подтвер-
подтвердили, что можно избавиться от неустойчивостей, приводящих к ка-
катастрофически быстрому опустошению магнитных ловушек со ско-
скоростью «бомовской» диффузии B). Но сравнительно медленная утеч-
утечка плазмы, обнаруженная в этих ловушках, все же существенно
превышает то, что следовало бы из простой формулы классической
диффузии A). Дело в том, что в простой модели A) учитывалась лишь
одна разновидность отклонения заряженной частицы от магнитной
поверхности, связанная с быстрым ларморовским вращением. Если
магнитные силовые линии не являются прямыми линиями (а так
бывает в любой реальной магнитной ловушке), появляются еще
206

дополнительные смещения частицы, связанные с дрейфовым движе-
движением в неоднородном магнитном поле. Тогда Лг — смещение части-
частицы в законе случайных блужданий — может существенно возрасти.
В некоторых случаях Аг может оказаться порядка поперечных раз-
размеров самой магнитной ловушки.
Грубую оценку величины коэффициента диффузии можно полу-
получить, подставляя среднюю величину смещения Аг в закон случайных
блужданий. Но здесь нужно проявлять известную осторожность,
оценивая роль столкновений между одинаковыми частицами,
вклад которых исчезает, если сохраняется соответствующая ком-
компонента обобщенного импульса. Так, в одном из наиболее интерес-
интересных случаев тороидальных магнитных ловушек с аксиальной симме-
симметрией (а к ним относятся «Токамак» и «Левитрон») сохраняется акси-
аксиальная компонента обобщенного импульса, и для диффузии обяза-
обязательно нужны перекрестные столкновения ионов и электронов.
И в этом случае удобнее пользоваться другим подходом, основанным
на рассмотрении дрейфа частиц наружу под действием усреднен-
усредненной силы трения.
Уже давно известно, что диффузия плазмы в тороидальном маг-
магнитном поле может значительно превышать таковую в магнитном
поле с прямыми силовыми линиями. Дело в том, что для компенса-
компенсации разделения зарядов, возникающего вследствие градиентного
и центробежного дрейфов в тороидальном магнитном поле [3], не-
необходимо протекание дополнительного (к диамагнитному) тока
вдоль силовых линий магнитного поля. Сила трения, создаваемого
этим током, и приводит в конечном итоге к более быстрой, чем в пря-
прямых, системах, диффузии плазмы. Соответствующий коэффициент
диффузии был найден Д. Пфиршем и А. Шлютером [4], использо-
использовавшими простую гидродинамическую модель. Магнитное поле
в тороидальной ловушке с аксиальной симметрией в простейшем
случае имеет вид (рис. 1):
В = B0[ez + вво]/A + е cos ¦»),
в = ir/2nR, e = rlR <C 1.
Диффузионное равновесие плазмы описывается уравнениями двух-
жидкостной гидродинамики [5] (обозначение общепринятые):
О = — \nTj + ejn{ — V Ф + (l/c)[v X Q]} + R, + div я,
div nv = 0.
Здесь R; = —ejn (]'\\/в\\ + j±/o±) — сила электрон-ионного тре-
трения, а огц, Ох — проводимости плазмы вдоль и поперек силовых
207

линий соответственно*
<т_|_ = 0,51ац = пег/те\ ei; vei =
Найдем скорости движения компонент плазмы из первого уравнения
и подставим их в уравнение непрерывности. Линеаризуя затем по-
последнее относительно тороидальных поправок, получаем
где v0 = -5- • -j-5 — скорость вращения в равновесном электриче-
ском поле, Up = ^- • -j-. Величины с. индексом 1 представляют
собой поправки к равновесным значениям из-за тороидальности
магнитного поля. Как и в магнитном поле с прямыми силовыми ли-
линиями, дрейф вследствие градиента давления выпадает из урав-
уравнения непрерывности и остается только электрический дрейф. В то-
тороидальном магнитном поле, кроме того, появляется вклад от торо-
тороидального дрейфа.
Из уравнений непрерывности для ионов и электронов находим
величину равновесного продольного тока
/н = (—2e/e)(c/B0)(dp/dr) cos G. C)
Сила Лоренца, обязанная этому току, уравновешивает избыток дав-
давления плазмы на внешнем обводе тора, возникающий из-за диамаг-
диамагнитного выталкивания ее в область слабого поля вследствие дейст-
действия центробежной силы в тороидальном магнитном поле. Основная
же часть давления, как обычно, уравновешивается благодаря про-
протеканию диамагнитного тока: /# = (c/BQ) (dp/dr). Знание равновес-
равновесных токов позволяет определить диффузионные потоки частиц.
Величину скорости диффузии проще всего вычислить из уравнения
движения вдоль оси тороида:
О = (е}/с)п&тВъ + Rzj.
Усредняя значение потока по магнитной поверхности с весом A +
+ е cos Ф), учитывающим увеличение магнитной поверхности на
внешнем обводе тора, получаем
<лог> = (—пс*/В02)[\/а± + 2flay\dpldr, D)
где q = е/в — так называемый коэффициент запаса устойчивости
в системах типа «Токамак». При выводе этой формулы мы пренебре-
* В отличие от обзора С. И. Брагинского [5] здесь частоты ион-ионных
и электрон-электронных соударений определены одинаково. (Значение \i{
в~1/ 2 раз больше, чем в работе [5].) Кроме того, всюду ниже мы полагаем Z=
= 1 и, следовательно, vei = vee-
208

гли возмущениями температуры частиц. В действительности же это
некорректно, и более детальный учет температурных эффектов при-
приводит к увеличению классической диффузии не в q2 раз, а в l,31q*
[6]. Кроме того, теория диффузии Пфирша—Шлютера совсем недав-
недавно была пересмотрена некоторыми авторами с целью более коррект-
корректного учета влияния самосогласованных электрических полей на
диффузию плазмы. При этом весьма интересный эффект был обнару-
обнаружен Стрингером [7]. Он заметил, что в системе координат, вращаю-
вращающейся со скоростью электрического дрейфа плазмы, тороидальное-
магнитное поле воспринимается как вынужденная сила с простран-
пространственными и временными периодами, соответствующими моде т — 1
• с продольным волновым числом k\\ = в/г и частотой соо = ¦—volr-
Отклик на это воздействие обратно пропорционален диэлектриче-
диэлектрической проницаемости плазмы D (—volr; 6/R) и быстро растет, если
вынуждающая сила попадает в резонанс с дрейфовыми колебаниями
неоднородной плазмы.
Розенблют и Тейлор [8] указали позднее, что величина электри^
ческого поля не является задаваемым извне параметром, а целиком,
определяется самим процессом диффузии. Наложение условия квази-
Рис. 1. Система тороидальных координат г, О, ?).
нейтральности позволило им получить уравнение для изменения
электрического поля со временем, а уже из последнего найти вели-
величину равновесного электрического поля. При этом оказалось, что-
величина равновесной скорости вращения плазмы всегда далека от
резонанса, так что диффузия никогда существенно не превышает
найденную Пфиршем и Шлютером [6].
Поток тепла поперек тороидального магнитного поля также ока-
оказывается большим, чем в случае прямых силовых линий магнитного,
поля, и равен [9, 10]
<7j.= - *i (dToi/dr)[l + W
xi = V2 (Я|7>„/т,о&).
E)
209

ГЛАВА 1.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ
В АКСИАЛЬНОСИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМАХ*
§ 1. Коэффициенты переноса разреженной плазмы
(сводка результатов)
Коэффициенты переноса разреженной плазмы в тороидальных
системах, обладающих аксиальной симметрией, были впервые вычис-
вычислены в 1967 г. [1 П. Оказалось, что основной вклад в «перемешивание»
плазмы вносит особая группа частиц, запертых в области слабого
магнитного поля. Коэффициенты диффузии и теплопроводности
плазмы при этом значительно превышают рассчитанные по форму-
формулам Пфирша —Шлютера и Шафранова. Это позволяет выписать
здесь только ту часть вклада в коэффициенты переноса, которая
обязана наличию «запертых» частиц. Вклад же основной доли частиц,
вычисленный в рамках гидродинамической теории, следует просто
добавить к приведенным здесь.
Кроме выражения для потоков частиц и тепла выпишем также
и выражение для тока проводимости (закон Ома), имея в виду не-
небольшое увеличение сопротивления плазмы в неоднородном магнит-
магнитном поле. Вычисления, проведенные в работах [11—13] для модели
магнитного поля, описанной во введении, приводят к следующим
результатам:
+ (nvry
A.1)
A.2)
Входящие сюда коэффициенты зависят от частоты соударений:
а) при Vjj < ут;-е3/2в/г
аег = 0,70; аее=0,37; ае = 2Х,= 1,07; а; = 0,23;
* В настоящей главе предполагается, что длина свободного пробега мно-
много больше пространственного периода силовой линии тороидального магнит-
магнитного поля: к > L = г/в.
210

?- 7-Й = Д,33; уё= 1,П; Те? = 5/2; у'е =0,64; хв=1,18; хг =
1 mevei;
б) при yT
aei = °; aee=--\> «/=1,15; у" = ^ = у] = 3; Ye = 3,8;
§ 2. Коэффициенты переноса разреженной плазмы
(качественное рассмотрение)
1. Диффузия очень разреженной плазмы [1]. Увеличение коэффи-
коэффициентов переноса разреженной плазмы связано с появлением особой
труппы частиц, запертых между участками силовых линий с боль-
большим значением напряженности магнитного поля. Поскольку про-
пробочное отношение в тороидальных системах обычно близко к едини-
единице, то число запертых частиц оказывается малой величиной порядка
|/е = ~К(?макс — Вмии)/2Вмт. Тем не менее разделение частиц
на «пролетные» и «запертые» существенно влияет на диффузию плаз-
ъы поперек магнитного поля. Связано это с тем, что запертые ионы
и электроны имеют гораздо большее смещение Дг от магнитной
говерхности и создают большой дополнительный ток.
Для доказательства последнего утверждения рассмотрим про-
простейшее равновесие плазмы в тороидальном поле. Как известно»
в аксиально симметричном поле сохраняются три величины: энер-
энергия ё, магнитный момент ц. = mvx/2B и обобщенный импульс
г
J = тщ — (elc) J Bf,dr; v\\ — продольная скорость частиц в от-
0
сутствие электрического поля*. Поэтому функция распределения
частиц зависит от координат только через эти инварианты и для
плазмы с неоднородной плотностью ее нужно представить в виде-
/ (v, г, О) = N{J (r, ft; ц, S)}F (%), A.4>
/ т. N3/2
где F ($) = Utw exP (—v'Tj) — максвелловское распределе-
распределение основной доли частиц по скоростям. Легко видеть, что у за-
запертых частиц максвелловское распределение сдвинуто на величину,,
разную по знаку для электронов и ионов (рис. 2),
* Для простоты рассуждений здесь мы ограничиваемся только этим слу-
случаем.
21Й

Физическую причину появления такого сдвига легко понять, если
рассмотреть движение «запертых» частиц в плоскости (г, ¦&). На
рис. 3 изображено поперечное сечение тороидальной трубы. При
направленном на нас магнитном поле Bz и расположении оси тора
АВ слева тороидальный дрейф частиц направлен вниз. Поэтому для
положительного значения величины поля Б# ионы с положительной
скоростью в точке 0 отклоняются внутрь магнитной поверхности,
а с отрицательной — наружу. Оказывается, что все ионы с положи-
положительной скоростью приходят в точку 0 из внутренних областей
с большей плотностью частиц и, следовательно, плотность этих ионов
Рис. 2. Распределение электронов (нижний рису-
рисунок) и ионов (верхний) разреженной плазмы.
в точке 0 больше плотности ионов с отрицательной скоростью на
величину (см. рис. 3) Ant = — {dnjdr) Arti, где Arn — среднее
отклонение запертых ионов от магнитной поверхности. По порядку
величины это отклонение равно расстоянию, на которое смещается
частица под действием тороидального дрейфа за.время одного оборо-
оборота в плоскости (г, #): Art « vRp2nr/Avn& « гсг]'2/в.
Средняя скорость запертых частиц относительно пролетных
оказывается малой
n0AU{( = AnjAvn та е (cTj/ejnOjB^)dnoj/dr.
Тем не менее сила возникающего трения совпадает с ее оценкой для
специального вида распределения A.4), если учесть, что время рас-
рассеяния импульса частицы на величину mAv\\ в (R/r) раз меньше
времени, за которое устанавливается максвелловское распределение
RI « е'/2 (vjj/^tiomjAUll = г}1Н]}т} (cTj/ejB^(dnQj/dr).
Здесь фактор е1/2 учитывает малость числа запертых частиц.
В изотермической плазме основная доля частиц (пролетные элек-
электроны и ионы) движется вместе с запертыми ионами, так как наи-
212

более быстро происходит обмен импульсом между запертыми и про-
пролетными ионами и пролетными электронами. Следует иметь в виду,
что трение пролетных электронов о движущиеся сквозь них запертые
электроны может быть сбалансировано только в результате проте-
протекания дополнительного тока пролетных электронов:
—{me/e)(dj\\/df) = veezl^nme (щ1е — «„,) + vel/ne/||/e. A.5)
Протекание этого дополнительного тока, а также непосредственное
трение запертых электронов обо все ионы и обуславливает в ко-
Рис. 3. Траектория «запертых» (а) и пролетных (б) частиц в плоскости (г, •&):
нечном счете диффузию частиц поперек магнитного поля. Скорость
такой диффузии найдем из баланса сил по оси г
О = (е}/с) (потуВъ — veitnen [j\\lne — е1/2 (щц — u{le)]signej.
Видим, что диффузия амбиполярна и зависит от электрон-ион-
электрон-ионных и электрон-электронных соударений:
<даг> = —(ve( + vee)e1/2 (гсув2) (dnfdr). A.6)
В заключение отметим, что дополнительный ток имеется даже
в отсутствие электрон-электронных соударений. Наличие тока в этом
случае уже не связано с появлением каких-либо дополнительных
сил, подобных трению пролетных электронов о движущиеся сквозь
них запертые электроны, а целиком обусловлено процессом диффузии
электронов по скоростям на неподвижных ионах. На рис. 2 пунк-
пунктиром показано распределение пролетных электронов, образующих-
образующихся в результате такой диффузии. Последнее представляет собой
левую и правую части покоящегося максвелловского распределения,
причем плотности электронов, движущихся в разных направлениях,
отличаются равно настолько, чтобы распределение пролетных элек-
электронов непрерывно переходило в распределение запертых.
Таким образом, пролетные электроны покоятся относительно
ионов и сила электрон-ионного трения отсутствует. Однако отличие
213

плотностей электронов, движущихся в разные стороны на величину
порядка е1!2 (rce/@) (dnldr), приводит к возникновению дополни-
дополнительного тока
If = — е1/2 (clB«)(dpldr). A.7)
2. Диффузионно-электрические явления [13, 14]. Ранее было
показано, что в плазме с неоднородной температурой и плотностью
имеется дополнительный ток электронов относительно ионов, про-
пропорциональный градиентам плотности и температуры. Теперь, при-
применив принцип симметрии кинетических коэффициентов, можно пред-
предсказать,-что в ловушках типа «Токамак» должны существовать вкла-
вклады в потоки частиц и тепла, пропорциональные величине тороидаль-
тороидального тока. Коэффициент пропорциональности, связывающий потоки
частиц и тепла с величиной тока, найдем из принципа симметрии
кинетических коэффициентов, из которого следует, что этот коэффи-
коэффициент совпадает по величине с коэффициентом, связывающим ток
с градиентом химического потенциала. Для идеальной плазмы гра-
градиент химического потенциала следующим образом зависит от гра-
градиентов плотности и температур [15] V? = БГ,- V In л/Т//2. Ис-
пользуя это соотношение, представляем закон Ома с учетом допол
нительного тока (см. уравнения A.5) и A.7)) в форме
Мы не случайно выписали здесь отдельно вклад в дополнительный
ток в результате искажения распределения пролетных частиц и до-
дополнительную «движущую силу», приводящую в конечном счете
к еще большему увеличению дополнительного тока. Дело в том, что
это позволяет наиболее просто интерпретировать вклады в поток
частиц из-за наличия электрического поля и тока в плазме. С по-
помощью принципа симметрии кинетических коэффициентов [16] иа
уравнения A.8) получаем поток частиц
^^n-e'/'n^o,. A.9;
Здесь поток частиц, пропорциональный величине тока, представляет
собой дрейф центров «банановых» орбит под действием силы трения
запертых частиц о движущиеся пролетные. Последний же член
есть просто электрический дрейф банановых орбит. В этом легко
убедиться, если воспользоваться дрейфовыми уравнениями движе-
движения:
drldt = —цВ0 sin ¦&/(!) СЯ,
т (dv\\ldt) = — \iB0@ sin fl/7? + eEz.
Усредняя эти уравнения по времени и помня, что запертая частица
совершает быстрое почти колебательное движение в потенциальной.
ямецБ0 A — е cos 0), получаем (dv\\ldty = 0, (drldty = —cEJB{$K
214

Здесь нетрудно увидеть аналогию между дрейфом «ларморовского
кружка» и дрейфом траектории запертой частицы («банана»), распо-
расположенной в плоскости (г, z) (рис. 4).
Вклад в поток частиц от прямого дрейфового движения пропор-
пропорционален числу запертых частиц &nt « гх12п и их скорости.
Любопытно заметить, что в тороидальной системе с током даже на-
наличие турбулентности только в электронной компоненте плазмы
может приводить к диффузии (при этом, конечно, предполагается,
что обмен импульсом между запертыми и пролетными ионами про-
происходит достаточно эффективно).
Рис. 4. Траектория ведущего центра («банан»).
3. Проводимость плазмы в слабо неоднородном магнитном
поле. Проводимость плазмы в неоднородном магнитном поле ухуд-
ухудшается в силу двух обстоятельств. Во-первых, тороидальное элек-
электрическое поле приводит в движение вдоль поля лишь пролетные
электроны. Запертые электроны, как мы видели, под действием этого
поля просто дрейфуют внутрь плазменного столба и не приобретают
импульса вдоль поля. Поэтому эффективное число носителей тока
уменьшается на число запертых электронов, что приводит к умень-
уменьшению проводимости на величину Аац « —огц (bnjri).
Далее, в силу того, что запертые электроны в среднем стоят на
месте, электроны проводимости (т. е. пролетные) испытывают,
кроме трения о ионы, дополнительное трение о запертые электроны.
Поэтому уравнение баланса импульса пролетных частиц принима-
принимает вид
тепи (duo/dt) = —enuEz — veemeSnt («цг — ыце + и0) —
где пи = п — бп(, и0 = 1/пие — плотность и скорость пролетных
частиц. Отсюда нетрудно найти проводимость плазмы:
A.10)
215

Заметим также, что из уравнения баланса импульса запертых элек-
электронов
О = —ebntEz — (elc)bntvTBf, + vee8ntme (мцг — щ\е + и0)—
— veimebnt (ыце — ицг)
можно легко получить величину электродиффузионного потока ча-
частиц, найденного ранее из других соображений.
4. Теплспрсвсднссть разреженней плазмы [11]. Оценку для
величины коэффициента теплопроводности можно просто получить
на основе соображений, изложенных в разделе 1. Важно только
иметь в виду, что при не равном нулю градиенте температуры ни-
никаким сдвигом по оси г не удается привести распределение запертых
частиц к максвелловсксму из-за наличия в распределении членов,
пропорциональных произведению скорости оц на энергию:
—)—), «о = const.
Кроме того, частые ион-ионные соударения не позволяют распреде-
распределению пролетных ионов отклоняться от максвелловского f\?) =
= n0F(e) [I + const v\\]. Добавление члена, пропорционального
скорости, позволяет сдвинуть распределение пролетных ионов таким
образом, чтобы не было среднего движения пролетных ионов отно-
относительно запертых. В результате этого мы избегаем сильного обмена
импульсом между двумя сортами ионов и, следовательно, быстрой
диффузии. Однако с помощью одной постоянной нельзя обратить
в нуль и трение (диффузию) и более высокие моменты, ответственные
за теплопроводность ионов. Поэтому при равных температурах элек-
электронов и ионов теплопроводность ионов в корень квадратный из.
отношения масс превосходит теплопроводность электронов
Ъ « Гнв'/^/в1. A.11)
5. Диффузия плазмы в промежуточной области частот соударе-
соударений [11]. Для рассмотрения промежуточной области соударений ча-
частиц оказывается весьма полезной аналогия между «ларморовскими
кружками» и дрейфовыми орбитами частиц в тороидальном магнит-
магнитном поле. По аналогии со случаем диффузии ларморовских кружков
можно сразу же написать следующее выражение для коэффициента
диффузии дрейфовых орбит:
^ <U2>
где гу-8фф — эффективная частота соударений частиц сорта /,
Q (оц) = Qv\\/r — частота оборота частицы в плоскости (г, ¦&);
f/др =—? °е' sin О — дрейфовая скорость частиц сорта / по коор-
координате г. В частности, для запертых частиц эффективная частота со-
соударений значительно больше кулоновской (^/8фф да У//е). Свя-
216

зано это с тем, что для превращения запертой частицы в пролетную
достаточно изменить ее скорость малой величиной Лиц яй е'/2 vT.
Подставляя, кроме того, в выражение для коэффициентов диффузии
частоту оборота запертой частицы по «банану» Q « б^е'^/г
и учитывая, что число запертых частиц мало 8га, « гх12п, получаем
следующую оценку для коэффициента диффузии (см. раздел 1):
D±e » (vee/e) (t/<p/QeJ е = в1'8 vee г2се/в2.
Для пролетных частиц период обращения по замкнутой орбите
зависит лишь от продольной скорости. Вклад в интеграл дает об-
область малых скоростей, а величина самого интеграла не зависит от
частоты соударений:
D±j = n)b[tt(Vi)]U^f(v)d4 =г* '* .^-. A.13)
4 I kj I Г (&cj
В силу амбиполярности диффузии частицы диффундируют со
скоростью диффузии электронов.
Отметим, что изложенные соображения лишь иллюстрируют факт
независимости коэффициентов переноса от частот соударений. Ме-
Механизм диффузии в этом случае определяется более тонкими эффек-
эффектами и будет описан ниже.
§ 3. Движение отдельных частиц
Поскольку равновесие разреженной плазмы существенно зави-
зависит от характера движения отдельных частиц, то до рассмотрения
равновесия приведем описание траекторий отдельных частиц. По-
прежнему будем пользоваться аксиально симметричной моделью
магнитного поля. В этом случае достаточно рассмотреть проекцию
траекторий на (г, Ф)-плоскость. Уравнение для ведущего центра
частицы в радиальном электрическом поле с потенциалом Фо (г)
имеет следующий вид:
dr \bBoltn-\-V и . /1 лл\
—гг= 5—-SinTT, \1Л^>
ОХ (Ос *\
j^_ цВ„/т + 0Д C0Sft+JL. ^L + еРц. A.15)
dt WCR Bz dr r " K '
В правой части A.15) кроме диамагнитного, центробежного
и электрического дрейфов учтено вращение частицы вокруг основно-
основного магнитного поля при наличии вращательного преобразования.
Используя постоянство энергии частицы ё, сохранение адиабатиче-
адиабатического инварианта fx = mv]_/2 В, находим скорость частицы вдоль
магнитного поля
о, =ал/-^-[«~еФ0-\1Вг(г,Щ, <г = ±1. A.16)
V
217

Далее, не решая уравнений A.14) и A.15), можно сразу же написать
Еыражение еще одной сохраняющейся величины — обобщенного'
импульса частицы:
J' — mv\\ (I -f ecosft)-
c i
A.17)
В интересующем нас пределе малого ларморовского радиуса* раз-
разложим величину J вплоть до второго порядка малости по отклонению
Рис. 5. Траектория едва запертых (/) и мед-
медленно пролетных B) частиц:
Дга — максимальное смещение пролетных частиц;
^rt — максимальное смещение запертых частиц.
от точки (г0, 0). В результате уравнение для траектории частиц при-
принимает простой вид:
0,5@св2 (г - г0J + Доцв (г - г0) - vgr0 (cos* - 1) = 0, A.18)
где Дун = v\\ (r0, 0) + vo/@; vg = (ц,Б0 + mvf{)/mti)cR. .
не очень мало, то смещение описывается уравнением
г —/¦„ ---= [([хВ0 +/nyf|)//7Moc Av\\R] r0 (cos д— 1).
Таким образом, положительно заряженные пролетные частицы обхо-
обходят магнитную поверхность против часовой стрелки и отклоняются
внутрь от нее, если Av\\ > 0, и, наоборот, наружу от нее, если
Д»ц < 0 (см. рис. 4). В общем случае решение уравнения A.18)
имеет следующий вид [17]:
д
Если Диц
Более общий случай изложен в работе [17].
218

Отсюда следует, что частицы оказываются запертыми при выпол-
выполнении условия Aif| <C 4со cvgr0. Появление таких частиц связано
с тем, что силовая линия магнитного поля в результате вращатель-
вращательного преобразования переходит с внутренней части тороидальной
трубы на внешнюю, и наоборот. Поэтому величина магнитного поля
оказывается переменной вдоль силовой линии (на внутренней части
тороида больше, а на внешней меньше). Наибольшее смещение от
магнитной поверхности имеют слабо захваченные частицы (рис. 5).
Такое же смещение имеют пролетные частицы, близкие к границе
захвата. Смещение пролетных частиц со скоростью Аоц » vT
оказывается малым, порядка е'^2 по сравнению со смещением запер-
запертых частиц. Качественно характер отклонения частиц от магнитной
поверхности объясняется тороидальным дрейфом, направленным для
положительно заряженной частицы при рассматриваемых условиях
вниз. Действительно, когда такая частица обходит магнитную по-
поверхность, то она движется от поверхности, если она имеет Av\\ < 0
и находится в нижней полуплоскости (г, ¦&) и снова приближается
к ней, когда переходит в верхнюю полуплоскость. Максимальное
отклонение имеют частицы, которые тратят больше всего времени
на этот обход.
В дальнейшем кроме траектории частицы нам понадобится также
и закон ее движения во времени. Разлагая правую часть уравнения
A.15) вблизи точки (г0, 0) и используя уравнение для траектории
частицы A.18), переписываем его в безразмерных переменных [18]
rdbldt = овне'/2 [2х2 — 1 + cos ft]1/
о* = 2\Щ — еФ0 (го)]/т,
2х2 = |Доц(го, 0)|2/Л, о = ± 1.
A.19)
Это уравнение пригодно лишь для описания запертых и медленно
пролетных частиц, так как здесь использовано разложение всех
величин по малому отклонению скорости частиц от величины —о0/8
<ДО|| « От)-
Из уравнения A.19) следует, что движение запертых частиц
можно описать в терминах эллиптических функций с модулем
^2 < 1. Период колебания их вдоль замкнутой траектории
'
evBe)i/zJ [x2—sin2 0/2]]
0
A.20)
где К (х) — полный эллиптический интеграл первого рода, а Фо —
нуль подкоренного выражения.
Следует иметь в виду, что частицы совершают усредненный по
периоду т дрейф вдоль малой оси тороида г. Скорость этого дрейфа
находим из условия неподвижности траектории в целом в пло-
219

скости {г, ¦&). А именно, усредним по периоду движения уравнение
A.15)
+
mti)cR\ /"о / r0
О) A)
где q (г) = е /в (г) — так называемый коэффициент запаса, а угло-
угловые скобки означают усреднение по периоду т.
В силу периодичности переменных (г — г0) и О левая часть и тре-
третий член в правой части A.21) обращаются в нуль. Кроме того, по-
последний член с помощью уравнения A.18) можно переписать в виде,
удобном для усреднения:
(г-г.»=-<Д0| (г,д)ДМг..
т(ос
Усреднение по времени здесь удобно заменить усреднением по
угловой координате в соответствии с уравнением A.19)
J Ух2 — sin2 5
В результате из A.21) получаем [18]
~ в"
A.22)
где Е (к) — полный эллиптический интеграл второго рода.
Таким образом, радиальное электрическое поле, центробежная
и диамагнитные силы по оси г вызывают прецессионное движение
запертых частиц вдоль тороида (здесь очевидна аналогия с прецес-
прецессией волчка). Кроме того, наложение тороидального электрического
поля должно тогда приводить к движению банана по оси г со ско-
скоростью
vr = —cEJBq. A.23)
Что касается пролетных частиц, то они просто разгоняются в таком
.поле вдоль тороида и их энергия более не сохраняется.
§ 4. Простая модель равновесия плазмы в торе
Чтобы проиллюстрировать метод вычисления коэффициентов
переноса разреженной плазмы в тороидальных системах и избежать
излишних усложнений, рассмотрим сначала идеализированную мо-
модель равновесия плазмы. Предположим, что: 1) температура частиц
220

обоих сортов одинакова и постоянна по сечению шнура; 2) электрон-
электронные соударения пренебрежимо малы по сравнению с элек-
электрон-ионными. Последние, как обычно, описываются интегралом
соударений Ландау [19]
Причины, по которым распределение ионов почти максвелловское,
обсудим позднее.
Функция распределения электронов подчиняется дрейфовому
кинетическому уравнению
Рассмотрим решение этого уравнения в пределе очень редких
соударений, когда за период обращения запертой частицы по замк-
замкнутой траектории распределение даже в узкой области с размерам»
Дуц ~ Dj-ee1/2 не успевает релаксировать к максвелловскому. Время,
установления равновесия можно оценить из,выражения для соуда-
рительного члена A.24), по порядку величины оно имеет следующее
значение:
хр = ev5\ vet = 16 /яде4 Z2 In A/3ml v%.
В результате ограничения на частоту соударений запишем
Ъ » те = г/вайе1'2. A.26)
В этом случае в первом приближении можно пренебречь столкнове-
столкновениями вообще и сразу написать решение кинетического уравнения
в виде функции от интегралов движения [20]
Ui = f\V(V-*,'(г,Ш hs=fuV((*,», J;о),
где ftj, fuj — функции распределения запертых и пролетных частиц.
Таким образом, как и в хорошо известной задаче Бернштейна—
Грина ¦— Крускала о распределении частиц в поле плазменной вол-
волны, в отсутствие соударений имеется большой произвол в выборе
распределения. Однако нас будет интересовать эффект диффузии
частиц поперек магнитного поля, обусловленный парными соударе-
соударениями частиц. Поэтому будем искать истинное распределение ча-
частиц с учетом соударений. Математически задача сводится к решению
уравнения с малым параметром при старшей производной. Проце-
Процедура решения подобного рода уравнений путем итераций хорошо
разработана и не раз применялась в задачах с пограничными слоя-
слоями. Воспользуемся здесь аппаратом, изложенным в обзоре [21}
и примененным затем в работе В. Е. Захарова и В. И. Карпмана [22]
к задаче Бернштейна — Грина—Крускала.
22 L

Процедура итерации применима лишь в области вне погранич-
пограничного слоя, разделяющего фазовое пространство запертых и пролет-
пролетных частиц. Решение задачи представим в виде
fi = fH) (и,», J; o) + f)" (ц, Ш, J; о; О). A.27)
Здесь поправка /(/> описывает перераспределение запертых и про-
пролетных частиц из-за редких соударений. Условие разрешимости
уравнения для поправки значительно сужает класс функций, кото-
которые можно использовать в качестве нулевого приближения. Полу-
Получим это условие.
Предварительно упростим уравнение для поправки к функции
распределения. Поскольку искажение распределения в основном
происходит по продольным скоростям и в малой окрестности вблизи
переходного слоя, то в члене, описывающем соударения, можно пре-
пренебречь всеми производными, кроме d/dv\\, и пренебречь квадратич-
квадратичными поправками по продольной скорости в коэффициенте диффу-
диффузии соударительного члена. Кроме того, перейдем к новым перемен-
переменным, используя соотношение
V]] = ~vo/Q + af 2хе evTe [x2 —sin2 8/2]' '2.
Этот шаг необходим потому, что невозмущенное распределение ча-
частиц является функцией инвариантов ц, &, х2, а, а не скоростей
частиц. В результате получаем
avTe 6 V2xe г tx2 — sin2 8/2]1/2 df^/rdd = St
4 e &* A.28)
л;е = u2/t)f-e.
Условие разрешимости этого уравнения получается в результате
интегрирования его по углу Ь в пределах [0, 2я] с весом [х2 —
¦— sin2 ¦в72]~'<'2. Из периодичности всех физических величин по угло-
угловой координате # следует, что
2л
J [х2 — sin2 0/2H-'2St d* = 0.
о
Физический смысл условия разрешимости заключается в том, что
соударения частиц не приводят к дивергенции потока частиц в про-
пространстве скоростей. Будем искать стационарное решение кинети-
кинетического уравнения и поэтому потребуем также отсутствия потока
частиц или
2" Г
dff a[xa—
J I
о
222

QvTe
A.29)
В установлении определенного распределения частиц по скоро-
скоростям конкурируют два фактора. С одной стороны, соударения элек-
электронов с ионами стремятся установить максвелловское распреде-
распределение, покоящееся относительно ионов. С другой, наличие отражаю-
отражающих магнитных пробок приводит к появлению запертых частиц,
роль соударений для которых относительно мала, и они распреде-
распределяются в поле внешней силы по закону Больцмана. Поэтому наибо-
наиболее просто можно найти функцию .распределения запертых частиц.
Последняя должна зависеть лишь от трех интегралов движения
[I, 8, J и соответствовать распределению Больцмана. Выбор такой
функции однозначен
Плотность частиц зависит лишь от положения центра траектории
запертой частицы, инвариантность которого следует из сохранения J.
В пределе малого ларморовского радиуса ее можно разложить в ряд
по отклонению частиц от магнитной поверхности. В переменных 8,
[I, у? распределение принимает простой вид:
НО) _ n0e(r) fi | О У2.Ее 6 d\nnge
U ~" «»"»?. L в ' dr X
Х[х2—sin2 ft/2] >/2lexp(—e/Te). A.31)
Что касается распределения пролетных частиц, то в пределе боль-
больших продольных скоростей, когда влияние неоднородности магнит-
магнитного поля на движение частиц становится несущественным, оно
должно переходить в покоящееся распределение Максвелла. Не-
Нетрудно видеть, что интегральному условию A.29) удовлетворяет
лишь одно распределение такого рода:
НО) — п°е (г~> ехР (— ^1Те) \ 1 о~У2хе е dlnnOe
fue n3'2v3 1 в *
X ([х2 —
К2 ч j
--f I • A-32)
4 J fl/2?(f-I/2) /
Итак, мы определили функцию распределения, которую можно
использовать в качестве нулевого приближения и найти следующее
приближение с помощью уравнения для поправки. Нас, однако,
интересует не явный вид этой поправки, а диффузионные потоки,
выражающиеся через определенные моменты от этой функции. По-
Покажем теперь, что для вычисления последних уже достаточно знания
функции нулевого приближения.
223

Диффузионный поток частиц, усредненный по магнитндй поверх-
поверхности, представляется следующим интегралом:
2Л оо оо
—2 И f
0= ± 1 0 0 sin* 0/2
[x2-sinfl/2]1''2 1 я j т K '
Мы пренебрегли здесь центробежным дрейфом, так как основной
вклад в интеграл дают частицы из переходного слоя, продольная
скорость которых очень мала.
Нетрудно видеть, что первый член в квадратных скобках пред-
представляет полную производную по углу и при интегрировании в ука-
указанных пределах исчезает. Таким образом, как и следовало ожидать,
в отсутствие соударений диффузии нет. Второй член можно проин-
проинтегрировать по углу # по частям. Воспользовавшись уравнением
{1.28) для вычисления производной dfl^lrdft, выразим весь инте-
интеграл через силу электрон-ионного трения:
(fe)d^y. A.34)
Здесь угловые скобки означают интегрирование по ¦& с весом A/2)я.
Чтобы применять оператор соударений к функции /?0), имею-
имеющей разрывы в производных, нужно соблюдать известную осторож-
осторожность. Разобьем область интегрирования по и2 на три интервала:
[0,1 — б], [1 — б, 1 + 6] и [1 + б, оо]. В первом и последнем интер-
интервалах можно подставлять в оператор соударений найденную нами
функцию [10). При этом вклад от первого интервала оказывается
малым, порядка е по сравнению со вкладом от последнего, величина
которого
txn
L^-
При интегрировании по области переходного слоя можно прене-
пренебречь всеми производными, кроме производных от той части функции
распределения, которая терпит разрыв. В результате интеграл вы-
выражается через разность значений производных по обе стороны от
переходного слоя
Jkf^f; Г do cos 0/2
J
224
8 6(йсе
о о
dfte 1 _ Зя _Гсе_ # _ЙПое
5х2 Jw«=i -81/2" ei 62 dr

Суммируя вклады от пролетных частиц и частиц из переходного
слоя, получаем следующее выражение для диффузионного потока:
Зл
8/2
1 —
A.35)
Найденное равновесие имеет две характерные особенности:
I) электроны движутся относительно ионов и создают дополнитель-
дополнительный ток, пропорциональный градиенту давления; 2) распределение
ионов по скоростям — локально максвелловское.
Величину дополнительного тока можно вычислить, умножая
распределение A.32) на продольную скорость и интегрируя по про-
пространству скоростей*. При этом следует переписать выражение A.32)
в форме, пригодной для интегрирования по всему пространству ско-,
ростей. Последнее нетрудно сделать, если учесть, что рассеяние элек-
электронов на ионах — почти упругое и все производные в уравнении
A.29) берутся при постоянной энергии. В результате получаем
/@) = —^f^exp( —»/Гв) I 1 + avv™ • "'""oe X
[x2 —sin2 ft/2]
X
A+2х2е)
1/2
я *Г dt \1
4 J *i/2(l+2eO3/2,E/J
Умножая это выражение на продольную скорость и интегрируя
по скоростям, находим величину дополнительного тока
Jei = —Bс1Вц)ае&^2Те (dnOe/dr). A.37)
Вторая особенность связана с тем, что ион-ионные соударения яв-
являются доминирующими. Интересно отметить, что в процессе релак-
релаксации распределения ионов к максвелловскому устанавливается
следующее соотношение между электрическим потенциалом и вели-
величиной макроскопической скорости ионов вдоль тора [12]:
щ = иы — vo/@, ?/»i = — {cTleZBb) (d In nldr).
В использованном нами дрейфовом приближении с учетом только
электрон-ионных соударений диффузия, очевидно, амбиполярна.
Учет конечности ларморовского радиуса, вязкости ионов и др. не-
* В работе [13] дополнительный ток, описываемый невозмущенным рас-
распределением f^p, не был учтен, что привело автора к утверждению о невыпол-
невыполнении принципа симметрии кинетических коэффициентов. Мы благодарны
Розенблюту и Тейлору, обратившим наше внимание на этот факт.
8 Зак. 112 225

сколько изменяет диффузионный поток [24]. Диффузия с учетом ука-
указанных эффектов амбиполярна лишь при определенном значении
электрического поля. Подставляя найденное из этих соображений
значение потенциала в соотношение для U\\, вычисляем скорость
ионов. Очевидно, что скорость ионов вдоль тороида не обязательно
равна нулю. Вместо того, чтобы вычислять неамбиполярные поправ-
поправки к диффузии частиц, можно сразу написать уравнение баланса
сил в направлении малой оси тора. Достаточно учесть лишь две силы:
силу вязкости ионов и потерю продольного импульса при уходе
частиц из ловушки. Скорость переноса продольного импульса плаз-
плазмы поперек шнура определяется тензором
яГ2 = trii j vprft (\)d\.
а. Если температура ионов постоянна по сечению шнура, то
распределение ионов отклоняется от максвелловского ровно на-
настолько, чтобы обеспечить поток запертых ионов наружу со скоро-
скоростью электронной диффузии. Учитывая, что запертые частицы уно-
уносят с собой продольный импульс triivJQ, сразу можно найти величи-
величину всего переносимого импульса
nrz Д7"г = 1
Баланс импульса в этом случае запишем в виде
0 = _L _ д аи , 1 д
гп% {mTZ,
or or r or
где х = A/Ю) (е/®)%\ыг%{ — коэффициент вязкости ионов.
В изотермической плазме, удерживаемой в крутой ловушке
(е > {mjmiI13), вязкость ионов в этом уравнении доминирует
и поэтому равновесная скорость ионов равна нулю. В стеллараторе
с большим тороидальным отношением и, следовательно, малым вра-
вращательным преобразованием частицы могут уходить на стенку за
время одного оборота по банану. В этом случае поток на стенку ока-
оказывается большим, что в свою очередь приводит к вращению плазмы
вДоль тора*.
б. В случае неоднородной температуры ионов распределение
ионов сильно отклоняется от максвелловского (см. §6) и появляется
дополнительный вклад в тензор вязкости, пропорциональный гради-
градиенту температуры ионов. Величину эффекта нетрудно оценить из
следующих соображений. В первом порядке разложения полармо-
ровскому радиусу ионов и частоте соударений функция оказывается
четной по продольной скорости и поэтому вклада в тензор вязкости
не дает. В следующем приближении по ларморовскому радиусу, но
* Бережецкий М. С. Гребенщиков С. Е., Коссый И. А. и др. Plasma
Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res., v. 3, IAEA, Vienna, 1971, p. 49.
226

по-прежнему в первом порядке разложения по частоте соударении
поправку к функции распределения можно оценить из уравнения
/¦dd /n* сосг дг
Подставляя /J) в выражение для ягг, находим
re аг V /¦ У ев0 дг
Более аккуратные расчеты дают k = 3,5 [23].
§ 5. Учет электрон-электронных соударений
Учет электрон-электронных соударений приводит к возрастанию
дополнительного тока из-за увеличения пролетных электронов ба-
банановым током запертых частиц. Следует иметь в виду, что сечение
соударений очень чувствительно к энергии частиц и поэтому ув-
увлечение электронов не сводится к простому перемещению максвел-
ловского распределения частиц. Как и в известной задаче об уско-
ускорении электронов в электрическом поле, их распределение имеет
слегка приподнятые «хвосты». Чтобы количественно рассчитать эф-
эффект, разложим поправку к функции распределения в ряд по обоб-
обобщенным полиномам Лягерра:
В области малых скоростей распределение электронов искажается,
кроме того, из-за наличия запертых частиц. Величину поправки мы
вычислили ранее:
вС0с
Г dt \ д , , а,.
4
1
Именно трение о шероховатости распределения, описываемые этой
поправкой, и увлекает пролетные электроны. Поведение увлекаемых
электронов описывается кинетическим уравнением
dfujdt + vn в (dfue/rd$) « Stue, te + Stei + Stee.
Здесь интеграл соударений линеаризован относительно малых откло-
отклонений от максвелловского распределения
227

Stee = Stee [fOe(e), 8fi\ + Ste
В области скоростей v\\ > vTel/2, для которых только и справед-
справедливо это уравнение, можно усреднить это уравнение по углу ¦&.
В результате из него выпадает левая часть (вернее главный член
v\\Qdf Jrdft) и оно сводится к уравнению для токовой скорости
Stee + Stei = —<Stue>,e>o или в матричном виде
I/_ „««1 te 1/2 2сТе dlntlOe
и — и.ро е —— ,
где
— аналогичным образом выражается через St
JL\ *l»
Интегрирование по скоростям для удобства вычислений распростра-
распространяется также и на область малых скоростей, что не приводит к по-
погрешности в пределе е -*¦ 0. Матрицы apq, a'pq были вычислены
в работе [5], а а^и в работе [13]. Необходимые для целей вычис-
вычисления (с точностью 2^-3%) первые девять матричных элементов
каждой из матриц приведены в приложении 1. После несложных
алгебраических выкладок получаем (для Z = 1)
Iee ^ — neU^ — 0,9е 42 (с/Въ) (dp/dr). A.38}
Теперь уже нетрудно вычислить диффузионный поток. Так как
все силы, действующие на пролетные электроны, находятся в равно-
равновесии, то вклад в поток дают только запертые и медленнопролетные
частицы. Соответственно с этим выражение для потока A.34) пере-
переписываем в виде
^ - (L39)
Амбиполярность диффузии следует из того, что диффузионный поток
можно выразить через силу трения запертых электронов о ионы и
силу трения, обусловленную токовым движением электронов отно-
относительно ионов
<nvr>= -lS7<JmeOll<St"'"< +SU<*3v\>. A.40)
228

Однако величину потока удобнее вычислять по формуле A.39), так
как для этого не нужно предварительно искать поправку к распре-
распределению, связанную с током. Сила трения запертых электронов
о пролетные вычисляется совершенно так же, как и трение запертых
электроново ионы. Следует только иметь в виду, что частота элект-
электрон-электронных соударений имеет более сложную зависимость
от энергии
' о
(сравните vei (v) = veix73/2). Повторяя вычисления предыдущего
раздела, получаем
<пог> = — (aei + aee)De(\ +Ti/Te)(dn/dr),
aee = aef[/2-ln A4-/2)]. A.41)
§ 6. Неоклассическая теплопроводность ионов
Вычисление коэффициента теплопроводности ионов упрощается
в результате того, что релаксация ионного распределения происхо-
происходит в основном за счет ион-ионных соударений, что позволяет вообще
исключить из рассмотрения электронную компоненту плазмы.
Естественным обобщением формулы A.30) для распределения
запертых частиц на случай неоднородной по сечению плазменного
шнура температуры служит выражение
, noi(rb)ml12
где rb = г—Диц/сйсв — ведущий центр банана. Разлагая это
выражение по малому отклонению запертой частицы от магнитной
поверхности, переписываем его в виде
в
X
X ( """"" 4-1— -1 dlnTi )}¦ A.42)
\ dr L Tt 2 J dr )f v
Для пролетных ионов соответственно получаем
•4-
4 J Tl2E(t-1^2)
A.43)
229

Нетрудно видеть, что теперь уже никаким выбором параметра noi[r)
(а только он и является свободным) не удается свести распределение
ионов к максвелловскому. Поэтому в области малых скоростей ионов
оно будет иметь особенность, и при решении задачи о диффузии и до-
дополнительном токе мы должны были бы учесть трение пролетных
электронов о запертые ионы, пропорциональное частоте электрон-
электронных соударений и градиенту температуры. Если же интересовать-
интересоваться только теплопроводностью ионной компоненты, то в изотермиче-
изотермической плазме (а точнее при Tt<.Te (m.i/mey/z) можно пренебречь
передачей импульса при соударениях ионов с электронами. В резуль-
результате закон сохранения импульса представляет собой дополнитель-
дополнительное условие, из которого мы получаем величину равновесного элек-
электрического поля в системе координат, где ионы покоятся
Это уравнение представляет собой обобщение уравнения A.36) на
случай плазмы с неоднородной температурой. Обращение в нуль
передачи импульса от запертых к пролетным ионам не означает, что
все остальные моменты от интеграла соударений St/iiUi равны нулю.
Поэтому в общем случае соударения пролетных ионов с запертыми
приводят к отклонению их распределения от максвелловского. Ве-
Величину отклонения б/^- можно найти из уравнения
SU „ + St» \&fui, foi} + Stl? {/„„ 6flt] = 0.
Так же, как и в случае пролетных электронов, функцию 8/J,- можно
разложить в ряд по обобщенным полиномам Лягерра и написать
матричное уравнение для коэффициентов. Однако здесь в этом нет
необходимости, ибо поток тепла можно выразить через первый мо-
момент от соударительного члена Sttl-iUi. Преобразуя выражение для
потока тепла так, как мы это делали в случае потока частиц, можно
свести его к выражению
^ A.44)
После элементарных вычислений, аналогичных ранее изложенным
(см. вычисление потока частиц), окончательно получаем
qt = -XiDitidTi/dr, xt = (9/4- 7)aei2-i/2. A.45)
§ 7. «Пинчевание» запертых частиц
Трудности расчета потока частиц, обусловленного наличием
тока в плазме, носят чисто вычислительный характер и состоят в
том, что оператор соударений приходится применять к функции
230

весьма сложного характера. Действительно, уже в однородной
плазме увлечение электронов в электрическом поле не сводится
к простой сдвижке максвелловского распределения на величину
токовой скорости U, а описывается более сложной функцией ско-
скоростей
Щие =(me/Ta)Uvn(\ +4(e/Te))fOe(g).
В неоднородном магнитном поле, когда существенно разделение ча-
частиц на запертые и пролетные, добавка, связанная с током, имеется
только у пролетных электронов. Кроме того, она является функцией
только интегралов движения. Условие разрешимости кинетического
уравнения с учетом соударений однозначно определяет вид такой
добавки
1
Если, наконец, воспользоваться известным разложением функции
^{хе) в ряд по обобщенным полиномам Лягерра 2aQL;)/2(.x:e)*, то
нахождение коэффициентов переноса сводится к вычислению инте-
интегралов вида
d3\.
A.46)
Знание матричных элементов от интегралов соударений (см. прило-
приложение 1) позволяет выразить численные коэффициенты в потоках ча-
частиц и тепла в виде линейной комбинации от коэффициентов разло-
разложения. Поток частиц, например, записывается в виде
1 -{^D ее1Т е){1В^1с), A.47)
где мы воспользовались известным соотношением, связывающим
величину тока в плазме с амплитудой приложенного электрического
поля:
0=— епЕг — veimenU
oo— Jjj щч ап
Кроме того а/ = а^ие — 1a^qUeaq. Поток тепла, в свою очередь,
выражается через следующий момент от соударительного члена
и может быть записан в виде
q= 1
* Коэффициенты ап вычислены в работе [5] (см. также раздел 3). Для пер-
первых значения ах = 0,287; а2 = 0,033.
231

§ 8. Термоэлектрические и термодиффузионные явления
В случае неоднородной температуры ионной и электронной ком-
компонент плазмы отклонение функции распределения от максвеллов-
ской в области малых продольных скоростей 8fJ можно разложить
в ряд по первым двум обобщенным полиномам Лягерра. В соответст-
соответствии с этим потоки тепла и частиц, выражающиеся только через ин-
интегралы соударений запертых и медленнопролетных частиц с тепло-
тепловыми (SUj, «/'), с помощью матриц а^' "' сразу же записываются
в виде линейной комбинации коэффициентов разложения [см. урав-
уравнения A.39) и A.44)]. Коэффициенты у", и,-, с помощью которых
записываем диффузионные потоки в стандартной форме, опреде-
определяются следующими выражениями:
Вычисление же эффекта Нернста в двухтемпературной плазме тре-
требует некоторого уточнения функции распределения частиц с тепло-
тепловыми скоростями. Уравнение для тепловых электронов включает
интегралы соударений как с ионами, так и с электронами
Stue.te {/оЖ1 + SU. „ М/П + Stei |/Oe, bfui\ =
где б/J, 8/L — искажение распределения частиц малых и тепловых
скоростей соответственно, причем в функцию bfue включена также
часть, описывающая дополнительный ток в отсутствие электрон-
электронных соударений (см. § 4). Разлагая все функции в ряды
по обобщенным полиномам Лягерра, сводим уравнение для поправ-
поправки к коэффициентам разложения невозмущенной функции распре-
распределения электронов в электрическом поле к виду
а;0 - | (а'„ + apq) aq] U= — Ez бр0 +
q = 1 ] tUeVei
5 ue.te , „ue, te \ л[~ 2c dTe
T p0 +a^apl~aP1 )Уг^-^
^PqM A.49)
Из этого уравнения была вычислена дополнительная сила трения,
приводящая к появлению дополнительного тока и уменьшающая
проводимость плазмы. Выражение для этой силы выписано в свод-
сводке результатов § 1 отдельно и, как легко видеть, удовлетворяет
принципу симметрии Онсагера.
232

§ 9. Коэффициент переноса в не очень разреженной плазме
В промежуточном интервале частот соударений / <
<^ V/ <^ vtjQ/г распределение запертых и медленнопролетных ча-
частиц сглаживается. Тем не менее и здесь существует аналог силы
трения, действующий на тепловые частицы со стороны частиц с ма-
малыми скоростями. Это хорошо известное трение резонансных
частиц о горбы потенциального поля, ответственное за эффект бес-
столкновительного затухания • Ландау и учитываемое в кинетиче-
кинетических уравнениях для частиц «квазилинейным соударительным чле-
членом». Для описания этого эффекта соударения, как известно, не
играют особой роли и поэтому при рассмотрении резонансных ча-
частиц и их диффузии соударениями вообще можно пренебречь.
Решение кинетического уравнения удобно искать в виде разло-
разложения по амплитуде потенциального поля. Последнее фактически
эквивалентно разложению по величине, обратной тороидальному
отношению.
В первом, линейном приближении кинетическое уравнение при-
принимает вид:
Сходстео этого уравнения с уравнением для малых колебаний
плазмы с азимутальным волновым числом т = 1 и частотой ш0 =
= —vo/r отмечалось неоднократно. Воспользуемся этой аналогией,
чтобы найти решение этого уравнения, правильно описывающее
трение резонансных частиц о «волну» (затухание Ландау). Это ре-
решение есть
0.50)
Нетрудно видеть, что плотность резонансных ионов в общем случае
больше плотности резонансных электронов в соответствии с тем, что
траектория запертых ионов сильнее отклоняется от магнитной по-
поверхности. Это приводит к возникновению разности потенциалов
вдоль магнитной поверхности, обеспечивающей перетекание частиц
с тепловыми скоростями и компенсацию разделения зарядов. Одна-
Однако возникающее таким образом электрическое поле оказывается
малым и не изменяет распределения резонансных частиц, а следо-
следовательно, и коэффициенты переноса в предельном случае малого
ларморовского радиуса.
233

Знание функции распределения позволяет вычислить потоки
тепла и частиц. Для потока частиц, например, имеем
2я
ла п и.Н. 1т. 4-Hf.
A.51)
_ ZH J (йГ1 К
О
— — \ \
J 2я J
Величину потока можно представить также в виде дрейфа под
действием силы трения резонансных частиц о волну
v, A.52)
<П0г>/= _7-1- \mj4StQL(f<°
.7 "О1 J
где
= в
(О
д
дг
не"
2г
X
X
т,
а>с
/@)
—квазилинейный «соударительный член», который получается усред-
усреднением по пространству квадратичных по амплитуде «волны» членов.
Результат интегрирования представим в виде линейной комбина-
комбинации коэффициентов разложения функции распределения (вернее
предэкспоненциального фактора) в ряд по обобщенным полиномам
Лягерра. Выражения для потока тепла и частиц представляется
при этом в стандартном виде уравнений A.1) и A.2) с коэффициентами
¦Vn
i e i
сТ,
ejB0
2
-2
0=1
^3,8;
A.53)
где
J
(см. приложение 1). При отыскании величины дополнительного
тока, как и в разреженной плазме, можно пренебречь линейной по-
поправкой /A) к распределению тепловых частиц. В результате урав-
уравнение для усредненной функции распределения принимает вид
У
Поскольку матричное представление квазилинейного оператора из-
известно (см. приложение 1),то решение этого уравнения не представ-
представляет труда. В отличие от случая разреженной плазмы здесь принцип
симметрии кинетических коэффициентов проверить легко (так как
нет дрейфового движения в тороидальном электрическом поле).
234

Всюду в настоящей главе мы учитывали лишь магнитное запи-
рание частиц (на неоднородности магнитного поля). Однако даже
в спокойной плазме в тороидальной ловушке могут существовать
электрические поля вдоль магнитной поверхности. Тогда запирание
частиц будет зависеть не только от неоднородностей магнитного
поля. Но следует иметь в виду, что заметные электрические ямЫ
могут появиться только в торе с малым углом вращательного пре-
преобразования. Это легко увидеть из следующих простых оценок.
Большее по сравнению с электронами смещение ионов относительно
магнитной поверхности Arti = г^У^еВ'1 должно привести к из-
избыточной плотности запертых ионов пи ж ^ейп/йгАгц (такой
же по величине вклад дают и пролетные ионы) на внешнем обводе
тора. Этот избыток заряда должен нейтрализоваться электронами,
перетекающими вдоль силовых линий. Чтобы скомпенсировать такой
заряд, электроны должны испытывать действие разности потенциа-
потенциалов фA>, величину которой легко оценить с помощью формулы рас-
распределения Больцманапе=поехр \~— . Действительно, поец>A) «
& П\еТе и из п1е да пи получаем порядок величины электрической
ямы ец>а)/Те ж егс(в~Ы In nldr. Таким образом, видим, что при
г d&^d In n/dr<il можно пренебречь захватом частиц в электриче-
электрической яме.
В противоположном предельном случае обязателен учет электри-
электрического поля. Однако по порядку величины коэффициенты переноса
не меняются, потому что в самом худшем случае электрическая яма
имеет примерно такую же глубину, как и магнитная (в итоге сум-
суммарная яма для ионов становится мельче, чтобы уменьшить смещение
ионов, а яма для электронов примерно вдвое глубже). Самосогла-
Самосогласованное решение этой задачи было дано Стрингером [24]. В прин-
принципе можно вообразить и запирание частиц, почти целиком
обусловленное электрическим полем. В таких случаях говорят
о ^-бананах. Это могли бы быть электрические поля, возникшие
из-за неустойчивостей или конвективных ячеек. Со времени публи-
публикаций первой работы по неоклассической теории диффузии в печати
появился ряд статей, в которых критиковался метод вычислений
работы [11 ] и предлагались другие численные коэффициенты в форму-
формулах для диффузии [25, 26, 35]. Как сейчас стало ясно, отличие чис-
численных коэффициентов этих работ является следствием неучета [25]
или приближенного учета [26, 35] соударений одноименных частиц.
Когда данный обзор уже был закончен, авторы получили работу
Розенблюта, Хазелтайна и Хинтона*, в которой с помощью вариа-
вариационного принципа найдены те же аналитические выражения для
* Коэффициент диффузии Lu в уравнении A.11) упомянутой работы Ро-
Розенблюта и др. (Phys. Fluids, 1972, IS, 116) совпадает с уравнениями C8)
и D0) работы [11]. Выражения A.11), A-72) и A.73) для теплопроводности
и термодиффузии после интегрирования сводятся к формуле A2) работы [12J.
И, наконец, коэффициент электродиффузии L13, L23 уравнения A.11) совпа-
совпадает с уравнениями B4) и B5) работы [13].
235

коэффициентов диффузии, теплопроводности, электродиффузии и до-
дополнительного тока (с учетом примечания к § 5), что и ранее опубли-
опубликованные в работах [11—13]. Естественно, поэтому, что численные
коэффициенты также совпали в пределах точности расчета (погреш-
(погрешность наших расчетов порядка 10%).
Наконец, несколько замечаний следует сделать об установившей-
установившейся терминологии. В разреженной плазме диффузию частиц можно
представить как случайные скачки траекторий запертых частиц,
имеющих форму банана, под действием электрон-ионных соударе-
плато
Банановый
режии
О 1 ("* f?
Рис. 6. Классификация режимов диффузии.
ний. Этот режим получил название бананового. Коэффициенты пере-
переноса в банановом режиме растут с увеличением соударений. Затем
мы переходим в область промежуточных частот соударений, где рост
всех коэффициентов переноса насыщается и они выходят на плато
(рис. 6). Отсюда этот режим называют режимом плато.
§ 10. Равновесие разреженного плазменного шнура
в «Токамаке» и предельное давление плазмы
Равновесие плазменного шнура в «Токамаке» в модели идеаль-
идеальной магнитной гидродинамики к настоящему времени изучено до-
довольно детально, а результаты исследований изложены в работах
[27, 28]. В области высоких температур плазмы, где становится су-
существенным разделение частиц плазмы на запертые и пролетные,
МГД не работает. Поэтому напомним здесь хорошо известные ре-
результаты МГД-теории и укажем на те изменения, которые вносит
учет запертых частиц.
Следуя Шафранову, будем пользоваться системой координат,
изображенной на рис. 7 (см. обзор [28], где вычислен метрический
тензор выбранной системы координат). При большом тороидальном
отношении магнитное поле с точностью до малых порядка е равно
Bz = Во A — е cos G), В# = В(<?> A — Л (г) cos ф), A.54)
где Во — значение тороидального магнитного поля на магнитной
оси, В& — поле собственного тока /z.
236

Входящий сюда параметр Л(г) нетрудно выразить с помощью
распределения давления плазмы и плотности тока, если воспользо-
воспользоваться уравнением Максвелла
rot В = Dя/с) / (Vp). A.55)
Здесь функциональная зависимость тока в плазме от градиентов
давления считается известной. В идеальной магнитной гидродинами-
гидродинамике последняя опеределяется уравнением баланса сил
Vp = c-4xB. A.56)
Пренебрегая сначала тороидальностью системы из соотношений
A.55)—A.56), получаем уравнение равновесия плазменного шнура
по малому радиусу
^ ^^&, A.57)
dr 4nr dr
где ларморовский ток/0# зависит только от магнитной поверхности.
В экспериментах на «Токамаке» с помощью этого уравнения связы-
связывают измеряемую величину изменений магнитного потока продоль-
продольного поля 6CDZ при возникновении разряда со средним давлением
плазмы <р>, полным током J и токовым радиусом шнура а. Для
вычисления ротора магнитного поля с точностью до величин поряд-
порядка е следует воспользоваться значениями -метрического тензора,
найденного в обзоре [28]. В этом приближении уравнение Максвелла
можно записать в виде
4"гВЬ0) (А(г)~8) + Щ cos# = ^Г
Если подставить в правую часть ток Пфирша—Шлютера, необходи-
необходимый для замыкания тороидального дрейфа частиц
Ipa = —BcB/Bii))(dp/dr) cos ft,
'го уравнение A.58) совпадает с уравнением, полученным В. Д. Шаф-
Шафрановым. Величина смещения плазменного шнура А (г) связана
с параметром Л следующим соотношением:
ь
A if) = - j [Л (г) - r/R]dr. A.59)
г
В разреженной плазме кроме ларморовского тока появляется бана-
банановый. В отличие от ларморовского тока, текущего строго поперек
магнитного поля, последний направлен вдоль силовых линий.
Величина бананового тока собственно запертых частиц пропорцио-
пропорциональна разнице числа частиц, охватываемых траекториями запер-
запертых частиц: d8ntArt/dr и скорости частиц Av\\ ж \fevT (рис. 8)
1М « -еЗ/2 (c/Bt) (dp/dr).
Как видно, эта величина меньше, чем ток Пфирша—Шлютера.
Однако ввиду большой частоты соударений запертых электронов
237

с пролетными сила трения между ними настолько велика, что увле-
увлекает за собой огромную массу пролетных частиц и создает гораздо
больший ток. Величину последнего находим из баланса сил трения,
действующих на пролетные электроны со стороны запертых электро-
электронов и со стороны ионов velmelb « veeE-1tne
Эта оценка хо-
хорошо согласуется с точными расчетами, выполненными в § 5. Если
принять во внимание экспериментально обнаруженный закон подо-
подобия профилей плотности и температур п (г) ~ Т,- (r), и, кроме того,
Рис. 7. Система координат.
Рис. 8. Проекция двух соседних траек-
траекторий запертых частиц на плоскость
(г, d) (U^p — скорость тороидаль-
тороидального дрейфа).
считать, что Те "}> Tt, то выражение для дополнительного тока
сильно упрощается
1Ъ « —1,46]/7(c/B^)(dp/dr).
Из рассмотрения рис. 7 может создаться впечатление, что банановый •
ток имеет переменную по магнитной поверхности составляющую
вследствие явной асимметрии внешнего и внутреннего обводов тора
для запертых частиц. Однако хотя сам по себе банановый ток запер-
запертых частиц действительно имеет максимум на внешней поверхности
тора, тем не менее при учете тока медленнопролетных частиц пере-
переменная составляющая полного тока отличается от тока Пфирша—•
Шлютера лишь на величину порядка в (а не у"е, как это было бы,
еели бы банановый ток запертых частиц не сокращался с током мед-
медленнопролетных). Имеющаяся неоднородность силы трения пролет-
пролетных частиц о запертые в горячей плазме также не приводит к неодно-
неоднородному по магнитной поверхности току электронов, а компенсирует-
компенсируется вследствие свободного перетекания пролетных электронов вдоль
силовых линий магнитного поля и установления больцмановского
распределения в эффективном потенциале. Составляющие банано-
бананового тока по малому и большому азимутам следует рассматривать
238

¦раздельно, так как они входят в существенно различные условия
удержания плазмы в «Токамаке». Составляющая бананового тока по
малому азимуту соответствует парамагнитному увеличению магнит-
магнитного потока и вычитается из диамагнитного тока частиц. В резуль-
результате несколько изменяется выражение для продольного магнитного
потока, используемое для определения параметров плазмы в То-
Токамаке [29]:
6Ф = Bл/Б0){/2/с2 — 2яа2(р)[1 — 1,46 j/7}.
Более существенным наличие дополнительного тока оказывается для
«Токамака» без омического тока [30—32]. Прежде всего в отсутствие
омического тока в горячей плазме обнаруженный нами дополнитель-
дополнительный ток обеспечивает вращательное преобразование магнитного по-
поля и, следовательно, равновесие плазмы. Поэтому кажется, что если
воспользоваться подходящим методом нагрева (например, адиаба-
адиабатическим сжатием плазмы по малому и большому радиусам, как это
предложено Л. А. Арцимовичем), то можно достичь значений Р/
более высоких, чем в «Токамаке» с джоулевым нагревом.
В действительности выигрыш в величине Р/ получается неболь-
небольшим, так как увеличение давления плазмы и вместе с этим допол-
дополнительного тока приводит к нарушению критерия Крускала—Ша-
франова q = (BOzrlBo®R) > 1, где магнитное поле В® теперь вычис-
вычисляется по величине дополнительного тока h
у.~гВ^ = 4п1ъ/с. A.60)
Численное значение р, получающееся при подстановке, найденной
из уравнения A.60) величины/^ в критерий Крускала—Шафранова,
зависит от деталей распределения плазмы по сечению шнура [30].
Приведем здесь результаты расчета для случая неизотермической
плазмы (Те "i Tt) с подобными профилями плотности и температур
(п (г) ~ Те (г)).
1. Параболическое распределение давления р = р @) A —г2/а2).
Решение уравнения Максвелла A.60) дает следующий профиль маг-
магнитного поля тока: В\ = l,3jAea 4лр @) (г/аM/2. Подставляя это
значение в критерий Крускала—Шафранова, получаем следующее
ограничение на давление плазмы:
2. Однородное распределение тока по сечению плазмы:
В# = В® (а) г/а, 4пр@)У"^а = 0,9В$ (а)[1 — (г/аK/2],
р<1,8е-3/2 q~\
При однородной температуре r=const предельное давление в обоих
случаях уменьшается в три раза.
239

§11. Тепловой баланс плазмы в «Токамаке»
Успехи удержания плазмы в установках типа «Токамак» [33,
34] позволили поставить вопрос о применимости «неоклассической»
теории процессов переноса для- описания поведения плазмы в этих
ловушках. Ю. Н. Днестровский и Д. П. Костомаров пытались рас-
рассчитать тепловой баланс плазмы в «Токамаке», пренебрегая процес-
процессами диффузии плазмы и теплопроводности электронов. Последнее
оправдано, поскольку коэффициенты диффузии и электронной тепло-
теплопроводности значительно меньше коэффициента ионной теплопро-
теплопроводности. Система использованных уравнений включала в себя урав-
уравнение баланса энергии ионов и электронов, а также уравнение диф-
диффузии магнитного поля и уравнение Максвелла:
dTt
-[r%^i)+Qie; A.61)
dt г дг \ дг !
ff A-62)
.fDo; A.63)
dt г дг ° дг ч '
1 = ^-.~гВ^, A.64)
4пг дг
vn(Tr); D
Здесь %±i — коэффициент ионной теплопроводности, вычисленный
ранее; Qte — количество тепла, передаваемое электронами ионам
при кулоновских соударениях; а — классическая проводимость,
параметр у учитывает увеличение сопротивления в эксперименталь-
экспериментальных условиях; Do — коэффициент диффузии магнитного поля. Си-
Система уравнений дополнялась граничными условиями В& (а, 1) =
= 2Cf/ca; Tt (a, t) = Ti0, где Cf— полный ток в плазменном шнуре.
Начальное распределение плотности, температуры и величины q~x
выбиралось параболическим.
Кроме температуры обеих компонент плазмы в рамках указан-
указанной модели рассчитывались также энергетическое время жизни
плазмы тэ и энергетическое время жизни ионов таг. Зти две вели-
величины уже давно использовались для оценки эффективности удержа-
удержания плазмы в «Токамаке» и определяются из соотношений
_ w _ Wi
T°~\m-dW/dt ' Tel~~ Я и '
где W = Wt -f We — тепловая энергия плазмы; фдж =
джоулево тепло, выделяемое током; q^i — поток тепла ионов на
стенку.
Расчеты показали, что хотя выбранная система уравнений дале-
далека от совершенства, результаты численного расчета и эксперимен-
экспериментальных измерений совпадают с удовлетворительной точностью.
240

Совсем недавно Фюрс и др. [35] снова вернулись к рассмотрен-
рассмотренной задаче и построили стационарное решение указанных уравнений
A.61)—A.64). При этом вместо задачи о диффузии начального про-
профиля тока (магнитного поля В&) они предпочли сразу же положить
ток равным стационарному
1г = у-1оЕх. A.65)
Далее вместо предположения о параболическом профиле плот-
плотности они использовали факт подобия профилей плотности и элек-
электронной температуры п (г) ~ Те (г), обнаруженный эксперименталь-
.1,0
Рис. 9. Радиальный профиль плотности и тем-
температуры f(x) и магнитного поля собственного
тока g(x):
О — Ге/Гое; X — п/щ.
но [34]. Предполагая, кроме того, что параметр зависит лишь от
отношения токовой скорости к тепловой у = у (IJnevTe), они полу-
получили из закона Ома B.95) соотношение / ~ [Те (г)]3/2. Аналогич-
Аналогично из B.92) следует, что Тг (г) ~ Те (г). Таким образом, задача
сводится к определению профиля любой из функций вида / (г/а) =
= TJTе0 = TtITi0 = П/ПО = /г/3//ог3 И ПрофиЛЯ МЭГНИТНОГО ПО-
ПОЛЯ g (г/а) = Въ (r)IB®a- Для нахождения этих функций имеются
два уравнения A.61) и A.64), вид которых существенно зависит
от того, находимся ли мы в режиме банановой диффузии или плато.
Для конкретных значений параметров плазмы в установке «То-
камак Т—3» в большей части плазменного шнура осуществляется
банановый режим. В этом случае в уравнение A.61) мы подстав-
подставляем значение коэффициента теплопроводности из уравнения A.2),
а затем приводим уравнения A.61) и A.64) к безразмерному виду:
*'/2/3/2 (dfldx) + %bgs = 0; A.66)
(\lx)(dldx)(xg) = fXb/3/2, A.67)
где 1Ъ = 0,5EMaa/8ncVmle*ml/2\nA;
lib = 0,29ЕгТе0У*а8л/уВ1>ае*т1/2 In Л.
24!

Дополняя эту систему уравнений граничными условиями dfldx =
= 0, g = 0 при х = 0; / ='0, g = 1 при х = а, получаем кривые,
изображенные на рис. 9, и значения параметров Хь = 0,7, цъ = 3.
На этом же рисунке нанесены экспериментальные точки из работы
[34]. Мы видим, что согласие с'экспериментом отличное.
Равновесная величина Р/ — функция неизотермичности плаз-
плазмы т = Тeo/Tto. Эту зависимость Р/ (т) получаем в явном виде,
исключив неизвестную величину электрического поля из формул
для Хъ и [ib:
р/ = B,75"|/7/М)т1/4 A + i/x), M = (amt/Rmey'4. A.68)
Степень неизотермичности плазмы определяем из закона Ома A.65)
и уравнения для [ib
A _ 1/х)т'/4 = VyM/ll,5N, N = neV/niiC2. A.69)
Для т = 1 отсюда получаем |3/ = Ъ,ЪУу1М, а для т ^> 1, р/ =
= 0,24y/./V. Таким образом, при сравнимых температурах ионов
и электронов величина Р/ оказывается порядка единицы и не за-
зависит от параметров разряда.
Авторы работы [35] исследовали также устойчивость полученного
ими стационарного решения уравнений A.61)—A.64) относительно
«перегревных» процессов. Они показали, что разряд при постоянном
электрическом поле Ez = const оказывается неустойчивым отно-
относительно низшей моды. Так что за времена порядка наибольшего
из времен — времени скин-эффекта xs = 4ла2в/у или времени на-
нагрева тн ~ p7Ts — происходит самосжатие токового шнура. Меха-
Механизм неустойчивости, заключающийся в перегреве тех участков шну-
шнура, где температура выше и, следовательно, сам ток подрастает,
был известен давно [29]. Его использовали для объяснения экспе-
экспериментально обнаруженного уменьшения токового радиуса.
Особо был исследован случай, когда плазменный ток, состоя-
состоящий из тока проводимости плазмы и тока убегающих электронов,
является постоянным. Развитием тепловой неустойчивости, способ-
способной перевести часть тока проводимости в ток убегающих электронов,
авторы объясняют быстрые выбросы плазменного шнура на стен-
стенку [33].
Как машинные расчеты, так и более простые оценки времени удер-
удержания плазмы уже неоднократно использовались для сравнения
наблюдаемых величин коэффициентов переноса плазмы с предсказа-
предсказаниями неоклассической теории. Неоклассические времена удержа-
удержания впервые были достигнуты в токамаках [33]. Однако конструк-
конструктивные особенности токамаков таковы, что плотность и температура
плазмы связаны в них с величиной собственного тока, создающего
вращательное преобразование магнитного поля, соотношением
джоулева нагрева. Поэтому менять эти параметры независимо нель-
нельзя и это не позволяет исследовать экспериментальную зависимость
коэффициента диффузии от длины свободного пробега. Впервые
Ж2

такая зависимость была получена для случая режимов Пфирша—
Шлютера и «плато» на стеллараторе «Proto—Cleo» [36]. Результаты-
экспериментов оказались в прекрасном соответствии с неоклассиче-
неоклассической теорией. Анализ применимости неоклассической теории для.
объяснения потерь по ионному каналу был дан Л. А. Арцимовичем
с сотрудниками [37]. Считая, что ионы получают тепло от электронов
посредством парных кулоновских соударений [38], а теряют его из-за
неоклассической теплопроводности, они установили линейную за-
зависимость температуры ионов от параметра -\f 1фф.Кг А~~х12 (А —
атомное число используемого в экспериментах газа).
Более сложно обстоит дело с потерями по электронному каналу.
Л. А. Арцимович [39] дает следующую эмпирическую формулу для
электронной теплопроводности, получившую название псевдоклас-
псевдоклассической:
где гЭфф — эффективная частота соударений, вычисляемая из экс-
экспериментально измеренной проводимости плазмы а = пе2/щудфф.
Можно думать, что этот результат является следствием развития
дрейфовых неустойчивостей плазмы. В пределе редких соударений
коэффициент квазилинейной диффузии в турбулентном электроста-
электростатическом поле с потенциалом ср, так же как и коэффициент неоклас-
неоклассической диффузии Е — бананов, пропорционален частоте соуда-
соударений и слабо зависит от параметра захвата. Величину коэффициента
диффузии можно оценить из уравнения A), полученного на основе
соображений о случайном шаге диффузии. В отличие от диффузии
в тороидальном магнитном поле захват теперь происходит не в маг-
магнитной, а в электрической яме, и мы полагаем е = еу/Те. Смещение
частиц вследствие электрического дрейфа со скоростью ck±(p/B0 за
время пролета частиц в поле волны т. = \lk\\ (еср/тI/2 оказывается
в (k±/k\\)Ye раз больше ларморовского радиуса. Подставляя в урав-
уравнение A) найденное смещение, получаем:
Наиболее вероятным кандидатом является дреифово-температурная
неустойчивость «запертых» электронов (см. приложение 2). Ква-
Квазилинейная теория позволяет оценить отношение потока тепла
к термодиффузионному потоку частиц (обычная диффузия при этом,
отсутствует) и дает для него значение, равное 5.
§ 12. Неоклассическая диффузия в «Токамаке»
с магнитными поверхностями произвольной формы
Оценка коэффициента диффузии в режиме плато в «Токамаке» с-.
эллиптическим сечением магнитных поверхностей показала, что
диффузия уменьшается с увеличением отношения полуосей эллипса
24а

140]. В этой связи представляет интерес рассчитать диффузию плазмы
в поле общего вида (система координат является Цилиндрической
с осью г, совпадающей с осью тора):
Bt = B0R0IR, BR = ^7'^-' *« = —'w'
где Ro — радиус кривизны магнитной оси.
Рассмотрим сначала банановый режим. Воспользуемся новыми
переменными к2, х:
щ = ov [е Bи2 —1 + xlr+)Yi2, х = R — Ro,
где ха = [е — |aJ50 A + г)]/2цВог, е = r+/R0, A.70)
R+ = Ro + r+ — координата дальней от оси тора точки магнитной
поверхности, которая предполагается симметричной относительно
плоскости (R, ?). Тогда кинетическое уравнение для функции рас-
распределения принимает вид, аналогичный уравнению A.28). Условие
разрешимости полученного таким* образом уравнения позволяет
найти функцию распределения пролетных электронов:
я(,)ехр(е/Ге)| a^.lnn/ 2_
3/2^ 1 со,* Ко ^ \
~1)
Поток частиц, усредненный по магнитной поверхности, выражается
через значение скачка производной функции распределения на гра-
граничной поверхности, разделяющей фазовое пространство запертых
и пролетных электронов:
, ч г /~ -• dx [ С dxlyty] ~\~1 dn /1-71\
<ntv>=— aeveir2ceye <ь—- ф 'VJ —, A.71)
J Vz t L J VzV 1 dty
Ззх Г 4
81/2 L я
где
8У2 L л
dt
В области промежуточных соударений
В кинетическом уравнении удобно перейти к переменным «действие—
фаза» (W, Ф) и разложить составляющую скорости диамагнитного
дрейфа вдоль магнитной поверхности в ряд Фурье по фазе:
244

Здесь коэффициенты разложения (Vz1F)m являются функцией
«действия» Y, а величина d$/d<p = со (W) связана с вращательным
преобразованием магнитного поля таким образом, что для Аф =
= 2я/со силовая линия возвращается в исходную точку в плоскости
(R, г). Решение этого уравнения и вычисление потока частиц фак-
фактически повторяет содержание § 9 и дает результат
•ч •
m=l
, в) Г ф
Из последних уравнений следует, что отношение коэффициента
диффузии плазмы в случае эллиптического сечения магнитной по-
поверхности к коэффициенту диффузии в «Токамане» с круглым сече-
сечением магнитных поверхностей как в банановом режиме, так и в ре-
режиме плато оказывается одинаковым:
Р(Ь/а) __ яЬ2
D(l) ~2a2?(l —
ГЛАВА 2
ТОРОИДАЛЬНЫЕ СТЕЛЛАРАТОРЫ
§ 1. Дрейфовые траектории «запертых» частиц
вблизи оси стелларатора
Траектории дрейфа частиц плазмы в тороидальных ловушках,
как правило, образуют поверхности, достаточно близкие к магнит-
магнитным [41]. Однако дрейфовые поверхности частиц, движущихся с ма-
малыми скоростями вдоль силовых линий магнитного поля, могут
испытывать довольно сильные отклонения от магнитных поверхно-
поверхностей. В аксиально симметричных тороидальных ловушках такие ча-
частицы «заперты» на внешнем обводе тора, где магнитное поле имеет
минимум, и отклоняются от магнитной поверхности на величину,
пропорциональнуюларморовскому радиусу (см. § 2 настоящей гла-
главы). Тороидальный стелларатор не обладает аксиальной симметри-
симметрией. Орбиты частиц в стеллараторе совершают довольно сложную про-
процессию и отходят от магнитных поверхностей на расстояние, конеч-
конечное даже при гс->-0 [42—47]. Картина движения частиц весьма
запутана из-за того, что они находятся в поле, представляющем со-
собой суперпозицию двух потенциальных ям, во-первых, связанной
с тороидальностью (как в аксиально симметричном случае) и, во-вто-
во-вторых, возникающей от винтового магнитного поля. Поэтому описать
траектории частиц во всех деталях не представляется возможным,
и мы воспользуемся методом усреднения, аналогичным усреднению
245

по ларморовским кружкам. Рассмотрим здесь предельный случай
стелларатора с малой тороидальностью. Если совсем пренебречь
тороидальностью, то в /-заходном прямом стеллараторе имеются t
минимумов магнитного поля на одной и той же магнитной поверх-
поверхности. Поэтому частицы с малой продольной скоростью будут запер-
заперты вблизи этих минимумов. Движение запертых частиц при учете
тороидальное™ можно представить теперь как медленный дрейф
замкнутых дрейфовых траекторий, имевшихся в прямом стеллараторе
(везде далее мы их называем банановыми по аналогии с ларморов-
скими кружками в прямолинейном магнитном поле).
Вычисление траекторий частиц значительно упрощается вблизи
оси стелларатора с заходностью / ^ 3, где справедливы следующие
предположения: а) сечения магнитных поверхностей представляют
собой концентрические окружности; б) вклад поперечных составля-
составляющих винтового магнитного поля в диамагнитный дрейф частиц пре-
пренебрежимо мал по сравнению с вкладом из-за неоднородности про-
продольного поля Вг.
Рассмотрим вначале в качестве модели /-заходный стелларатор.
Вблизи магнитной оси можно воспользоваться следующим выраже-
выражением для величины Bz [43]:
Bz = Во [1 — sh cos / (¦& — аг) — et cos*], / > 3, B.1)
где sh = [Ы{1— 1)!] (lar/2I, L = 2я/а — шаг винтового поля, а
последнее слагаемое в правой части представляет собой тороидаль-
тороидальную поправку, так что
е, « eft. B.2)
Уравнение движения заряженной частицы с энергией & и адиа-
адиабатическим инвариантом (х в дрейфовом приближении представим,
в следующем виде:
r rf(O-az) _ Г.. с ш б№01
dt [ " агВ0 йг J
.j(i)jr
X [/eftcos/(§—az) + etcos0]; B.3)
drldt = —(|я50/т7-ю/)[/ел sin / (d — az) + et sind]; B.4)
dzldt = uh; v\\ = + VBlnij)\% — еу-Ф0 — [iB0 x
X A — Eh cos / (¦» — аг) — st cos ¦&)] B.5)
В первом из этих уравнений пренебрегли членом, пропорцио-
пропорциональным (~ Вщ\1В0). Для запертых частиц, рассмотрению которых
посвящена большая часть данного параграфа, такое пренебрежение
справедливо вблизи магнитной оси. Для пролетных частиц этот член
отвечает за корректный учет движения по координате Ф вследст-
вследствие наличия вращательного преобразования силовых линий магнит-
магнитного поля и не может быть отброшен. Кроме того, при рассмотрении
движения запертых частиц с малым v\\ мы отбросили центробежный
дрейф в этих уравнениях.
246

Систему уравнений B.3)—B.5) в нулевом приближении (е4 = 0)
с помощью замены ф = / (Ф — ccz) можно привести к виду, напоми-
напоминающему уравнения движения частиц в аксиально симметричном
торе, и если пренебречь отклонением частиц Дг, от магнитной по-
поверхности (Art — действительно малая величина, пропорциональная
ларморовскому радиусу), то вместо указанной системы уравнений
можно записать одно, описывающее движение по координате (р:
i5 = _ /су0аУ|/\[2х2 — 1+coscp], B.6)
dt
где
-е,Ф0-рВ0A -eft)]-
Отсюда следует, что как и в аксиально симметричном торе, движение
запертых частиц можно описать в терминах эллиптических функций
с модулем:
к"<1. B.7)
Период колебания запертых частиц равен
4V§ KM. B.8)
J Ух2 —sin2q>/2 a/yl/eft
где /С (х) — полный эллиптический интервал первого рода; ср0 —
нуль подкоренного выражения. Соответствующие орбиты (бананы)
в плоскости (г, ¦&, а, г) изображены на рис. 10. Запертые частицы
движутся в интервалах углов
Bя//) (т — 1/2) < О < Bя//)(т + 1/2), т = 0, 1, 2
Орбиты частиц в среднем дрейфуют вдоль г. Скорость этого дрей-
дрейфа можно найти из очевидного условия
= 0, B.9)
откуда
a/\=с ¦ d<Do
\dt/ \dt/ rB0 dr mj<DCJr* [ К (x)
где угловые скобки обозначают операцию усреднения по периоду
колебания запертых частиц согласно правилу
J
При наличии слабой тороидальности е( Ф 0, очевидно, можно
считать, что быстрое бананообразное движение запертых частиц
между магнитными пробками сохраняется, но координата банана
г так же, как и <ft>, будет медленно меняться.
247

Уравнение, описывающее это медленное движение, можно найти
усреднением уравнения B.4):
(dr/dty =— (pB&t/mjacjr) <sin G>. B.12)
Но в использованном нами приближении B$/Bz, С а (т- е- в прене-
пренебрежении вращательным преобразованием) быстрое движение по Ф
отсутствует и, следовательно, <sin ¦№) = sin <•&>. Заметим, что
Рис. 10. Траектории запертых частиц в стеллара-
торе.
уравнения движения B.10) и B.12) можно было бы также получить
из закона сохранения второго адиабатического инварианта [48]:
В терминах сохраняющегося адиабатического инварианта J урав-
уравнения движения по координатам г и <v>
dr __ с dJ/rd <¦&> d <O> _ с _ dJ/dr
dt~ ' ' ~ '
с
еВ0
dJId'S'
dt
eB0
Из уравнения B.12) видно, что вследствие тороидальности банан
сдрейфовывает поперек магнитной поверхности. В процессе колеба-
колебаний частицы между областями с сильным винтовым магнитным полем
тороидальный дрейф по радиусу сохраняет свой знак до тех пор,
пока вследствие медленного движения по азимуту <Ф> частица не
попадает в область тороидального дрейфа противоположного знака.
248

Чем медленнее движется банан по <#> (и соответственно по г),
тем большим будет его отклонение от первоначальной магнитной
поверхности. Движение же по <*> в приближении малой тороидаль-
ности описывается уравнением B.10).
Рассмотрим сначала случай, когда электрическое поле йФ01йг =
= 0. Тогда при х2 = xg = 0,83 дрейфовая скорость банана вдоль
оси z обращается в нуль [обращается в нуль правая часть уравнения
{2.10I. Такие бананы в процессе медленного дрейфового движения
оказываются запертыми в пределах ограниченных участков сило-
силовых линий и имеют аномально большое отклонение от магнитной по-
поверхности. Разложим выражение для скорости дрейфа d <¦&> /dt
по малым отклонениям от точки (х0, г0):
[ ^) B.13)
В переменных
т = ц50г/ту<ос/8; х = (/¦//¦„) — 1 B.14)
система уравнений движения дрейфовых орбит (бананов) B.10)
и B.12) имеет простую форму:
хх =— et sin <#>; [ B.15)
<Ь\ = 1,8/ел Ы2 — хоа — д;]. B.16)
1^ешая систему уравнений B.15), B.16) при начальном условии
х (Ф = я) = 0, находим, что в процессе движения сохраняется ве-
величина
^Г^()Г\ BЛ7)
2
а изменение <0> описывается уравнением
г -^- = №>!. [0,9/eft е, Bц2 - 1 - cos *)]' /2, B.18)
dt rtij (О,;- г
где 2т]2 = 0,9/бдвГ1 [х2 —xg]2. Отсюда видно, что дрейфовые ор-
орбиты частиц с параметром 0 < г\ <! 1 прецессируют в пределах огра-
ограниченных участков силовых линий с периодом
B.19)
На рис. 11 изображен график максимального удаления (г — г0)
от магнитной поверхности в зависимости от х2. Наибольшее смеще-
смещение имеют бананы на границе захвата ц2 = 1:
= l =r0l/e//0,45teA. B.20)
249

Дрейфовые орбиты, которые в процессе дрейфа обходят вокруг
всего тороида (назовем их пролетными бананами), удаляются от
магнитной поверхности гораздо меньше:
B.21)
B.22)
B.23)
Период прецессии таких бананов равен
При наличии достаточно сильного электрического поля
Вп dr m
j С0с j I
Рис. 11. Зависимость смещения запертых частиц
от их скорости.
скорость дрейфа d($y/dt нигде не обращается в нуль. Вследствие
этого дрейфовые орбиты движутся вдоль тора с почти постоянной
скоростью и постепенно обходят участки с различными знаками
тороидального дрейфа. Траекторий же, заключенных в ограничен-
ограниченной области силовых линий магнитного поля, в этом случае не
существует вообще. Решая уравнение
B.24)
= v0
совместно с уравнением B.12), получаем
— г0 =
cos
§ 2. Численный расчет движения отдельных частиц
в стеллараторе
B.25)
Приближение малости тороидального отношения (е, С %), ис-
использованное при аналитическом расчете траектории частиц, строго
не выполняется ни в одном из существующих стеллараторов. По-
Поэтому траектории частиц в этих установках можно рассчитать
250

только с помощью ЭВМ. Впервые такой расчет был проделан Гибсо-
ном и Тейлором для весьма идеализированной модели магнитного
поля [46]. По виду траекторий они разбили все частицы на три
основные группы: пролетные, запертые на тороидальном поле
(траектории типа «серп») и запертые на винтовом поле (локализо-
(локализованные частицы или бананы). Однако уже из аналитического рас-
Рис. 12. Траектория пролетной час-
частицы.
Рис. 13. Типичная серповидная траек-
траектория.
чета видно, что такое разбиение — весьма грубое. Так, кроме ука-
указанных трех групп (рис. 12—14) следует различать пролетные бана-
бананы и запертые («супербананы») (рис. 14). Более детальные расчеты,
проведенные для стелларатора Института ядерной физики А. В. Ко-
миным, К. М. Лобановым и
В. Г. Устюжаниновым [49J,
обнаружили несколько слож-
сложных переходных форм, кото-
которые могут играть определяю-
определяющую роль в процессах пере-
переноса в плазме. Так, в част-
частности, в очень разреженной
плазме необходимо отдельно
рассматривать частицы, пре-
превращающиеся из пролетных
в запертые на неоднородно-
стях винтового поля. На рис.
15 изображена траектория
пролетной частицы, которая по мере смещения наружу, в область
более сильного винтового поля, становится запертой.
Знание топологии траектории позволяет оценить коэффициенты
переноса в плазме, пользуясь простыми соображениями о случай-
случайном шаге диффузии. Однако не менее важно знать, какая доля ча-
частиц, находящихся сначала внутри сепаратрисы, вообще не удержи-
удерживается в ловушке из-за конечных размеров орбит. В приближении
усредненного магнитного поля, совпадающего с полем аксиальна
симметричной ловушки, такая задача была решена Бишопом и
Смитом [50]. Более детально эта проблема исследовалась для реаль-
Рис. 14. Бананообразная траектория
частицы, отражающейся от неодно-
неоднородности тороидального поля.
251

ной модели магнитного поля Новосибирского стелларатора
А. В. Коминым и др. [49]. Они нашли область удержания частиц
с малым ларморовским радиусом rjrs = 0,0013 в зависимости от
параметров (v±/v2, r/rs; rs —
радиус сепаратрисы) (рис. 16).
В согласии с аналитическими
расчетами легче всего уходят
из стелларатора частицы со
скоростями в интервале 0,85 ^
^ v^/v2 ^ 0,95. Эти же авто-
авторы изучали влияние электри-
электрического поля на удержание
частиц. Было показано, что
область потерянных частиц в
плоскости (v]_/v2, rlrs) по мере
увеличения электрического
поля смещается вниз по оси
v2jv2 в соответствии с ростом
продольной скорости запертых
частиц v± /и2 « 1 — v% /в V.
Размеры области при этом
несколько увеличиваются.
Однако при достаточно боль-
большом поле еФ0 » 3/пу2/2 можно превратить все бананы в пролет-
пролетные и удержать в системе.
Рис. 15. Траектория частицы, превра-
превращающейся из пролетной в запертую
на неоднородностях винтового поля.
§ 3. Супербанановая диффузия в стеллараторе
с малой тороидальностью (качественное рассмотрение)
Прежде всего следует иметь в виду, что режим супербанановой
диффузии осуществляется только в достаточно разреженной плазме.
В плазме с «частыми» соударениями запертая частица переходит
в пролетную раньше, чем ее бананообразная траектория сместится
от магнитной поверхности на величину, большую чем толщина
банана. Для качественных оценок оказывается полезным ввести по-
понятие длины свободного дрейфа банана между соударениями:
Тогда условие разрушения супербананового движения запишется
.в виде
kj< Аь = (гс/аг)]/ё7,
где справа стоит величина порядка толщины банана в винтовом
поле, имеющем шаг L = 2п/а. Соударения, при которых последнее
условие выполнимо, будем считать частыми. В режиме частых со-
соударений тороидальность стелларатора не сказывается на движении
частиц и ею можно вообще пренебречь. Таким образом, задача вы-
вычисления коэффициентов переноса в магнитном поле с винтовой
252

симметрией сводится к аналогичной задаче для аксиально симме-
симметричного поля. Соответствующие формулы § 1 гл. 1 остаются спра-
справедливыми для прямолинейного стелларатора, если сделать в них
следующую замену: в -> аг, г -*- eh.
Рис. 16. Область удержания частиц с от-
отношением /•с/р„=0,0013 при направлен-
направленной начальной скорости, соответствую-
соответствующей отклонению пролетных частиц от
магнитной оси:
/ — область пролетных частиц; 2 — область
частиц, имеющих бананообразующую траек-
траекторию; 3 — область частиц, имеющих серпо-
серповидную траекторию; 4 — переходная область,
Область удержания заштрихована.
1. Режим редких соударений [47, 51]. Как следует из предыду-
предыдущей главы, коэффициенты переноса плазмы запертых частиц в ак-
аксиально симметричном магнитном поле можно оценить с помощью
соотношения
D± » (А/-J/тсоуд, B.26)
где Аг — величина «случайного шага» частиц между двумя соударе-
соударениями; х — характерное время соударений запертых частиц. Это
соотношение справедливо и в тороидальном стеллараторе, если
подставить сюда соответствующие значения (Аг) и т.
Нарушение винтовой симметрии, как показано в § 2, приводит
к значительному дрейфу запертых частиц от начальной магнитной
поверхности. Если соударения не очень редки (частота соударений
больше частоты обращения банана вокруг малой магнитной оси),
то запертая частица превращается в пролетную из-за соударений
с другими частицами раньше, чем успевает отклониться от магнит-
магнитной поверхности на максимальное расстояние. В этом случае в фор-
формулу для диффузии, величина которой определяется скоростью ухода
электронов, следует подставить вместо случайного шага диффузии
длину свободного дрейфа Xf
vTe
4
it- B-27)
Здесь коэффициент диффузии запертых электронов мы домножили
на их долю в общем числе Vzh и учли, что для рассеяния запертой
частицы в пролетную достаточно лишь небольшого изменения ско-
скорости До|| « vrY^h' поэтому частота таких соударений оказывает-
оказывается порядка
253

Хотя коэффициент диффузии ионов в корень из отношения масс
больше, чем у электронов, диффузионные потоки обоих компонент
плазмы сравниваются при определенном значении радиального
электрического поля
е (d/dr)Q>0 (r) ж (Vn)(d/dr)nTt. B.28)
Поток тепла ионов при этом остается по-прежнему большим.
L.lL. B.29)
Таким образом, нарушение винтовой симметрии магнитного поля
приводит к значительному увеличению коэффициентов переноса
в пределе очень редких соударений. Причем по мере уменьшения
частоты соударений коэффициенты переноса растут до тех пор, пока
длина свободного дрейфа банана не достигнет своего максимального
значения ггг. Комбинируя последнее условие с условием сосущество-
сосуществования супербанановой диффузии, получаем условие применимости
полученного выражения для ионной температуропроводности:
(l/7uJ) « сФо/Вог. B.30)
Выражение для коэффициента диффузии остается справедливым
для более разреженной плазмы, а именно до тех пор, пока растущая
(с уменьшением частоты соударений) диффузия электронов не
сравняется с диффузией ионов (см. § 4).
2. Случай очень редких соударений [48, 52, 53]. В пределе очень
редких соударений, когда запертая частица успевает между
двумя последовательными соударениями совершить полный
оборот вокруг магнитной оси, коэффициент диффузии запертых
частиц пропорционален частоте соударений и квадрату максималь-
максимального отклонения от первоначальной магнитной поверхности.
Строгий расчет коэффициентов переноса плазмы в магнитном
поле, обладающем аксиальной или винтовой симметрией, согласует-
согласуется с этой простой оценкой. Если же симметрия нарушена (в рассма-
рассматриваемом случае нарушение винтовой симметрии происходит из-за
малой тороидальности системы), то наибольший вклад в коэффи-
коэффициенты переноса дают не запертые частицы, а частицы с бананооб-
разными траекториями, переходящими в пролетные (см. рис. 15).
Разницу между этими двумя случаями легко понять, если сравнить
зависимость отклонения от магнитной поверхности от величины
продольной скорости на границе фазового пространства запертых
и пролетных частиц в обоих случаях.
В аксиально симметричном магнитном поле траектории запертых
и пролетных частиц отличаются по топологии, но непрерывно пе-
переходят друг в друга (см. рис. 5). Следовательно, малое изменение
скорости частицы вдоль поля, переводящее частицу из запертой
в пролетную, изменяет отклонение частицы от магнитной поверхно-
поверхности также на малую величину. Распределение частиц, являясь функ-
254

цией отклонения от магнитной поверхности, при этом оказывается
непрерывным (см. рис. 2).
С другой стороны, частицы, запертые в области слабого винтово-
винтового поля в стеллараторе — бананы — способны смещаться под дей-
действием тороидального дрейфа на конечное расстояние от магнитной
поверхности, а пролетные строго следуют ей. Изменение отклонения
от магнитной поверхности от конечной величины до нуля происходит
в узком интервале скоростей Аоц « Yzh e;°T/eft> соответствующем
частицам с переходным типом траекторий.
Если соударения, выводящие частицы из этого слоя, происходят
очень часто гяфф = (v/eft) (et/ehJ > аH, то между запертыми и про-
пролетными частицами образуется переходной слой с толщиной, пре-
Рис. 17. Распределение частиц
и смещение их от магнитной по-
поверхности, как функция пара-
параметра.
вышающей указанный интервал скоростей. В переходном слое про-
происходит более плавное изменение смещения частиц от магнитной
поверхности в отсутствие соударений (рис. 17). Ширина его устанав-
устанавливается такой, чтобы супербанановое движение в переходном слое
успевало разрушаться в результате соударений. Последнее имеет
место при
^эфф = v (vT/Avnf[\n OVl/eft/Awy)]-1 « со„-
Подставляя в соотношение B.26) эффективную частоту соударе-
соударений, величину смещения частиц кг » etr и учитывая, наконец,
что число частиц в пограничном слое порядка (Доц /vT) In vT ]/eh/Av ц,
получаем следующее выражение для коэффициента диффузии:
D±,=
±,
eB0
A=ln
B.31)
По мере нагрева плазмы предел очень редких соударений раньше
достигается для ионов, а соударения электронов по-прежнему
можно считать просто редкими. Поэтому диффузия частиц будет
определяться формулой B.27), а выражение B.31) следует исполь-
использовать для оценки ионной теплопроводности. При более редких
соударениях
<
= In (eh/et).
B.32)
255

Следует учесть, что существует промежуточный класс частиц
с бананообразными траекториями, переходящими в пролетные. Для
таких частиц отклонение от магнитной поверхности тем меньше, чем
меньшую часть траектории они заперты в области слабого винтового
•поля (см. рис. 15). Малое изменение скорости из-за соударений для
B.33)
Рис. 18. Траектории едва за-
запертой частицы A) и частицы
на дне потенциальной ямы B):
¦ магнитная поверхность;
— стенки камеры.
Рис. 19. Частота обраще-
обращения банана вокруг маг-
магнитной оси.
вих приводит к малому изменению отклонения. Вследствие этого
коэффициент диффузии, как и в аксиально симметричных системах,
оказывается пропорциональным частоте соударений
3. Возможность супербананового плато [47]. Хотя случай нуле-
нулевого радиального электрического поля реализуется только при
весьма специальных условиях, рассмотрение его представляет весь-
весьма определенный интерес. Особенность его заключается в том, что
скорость вращения бананов вокруг магнитной оси определяется
теперь средним значением диамагнитного дрейфа и существенно
зависит от предельной энергии запертой частицы. Действительно,
рассмотрим среднее значение диамагнитной скорости частицы (ча-
(частота оборота банана как целого вокруг магнитной оси)
dt/
г}В%г
где усреднение проводится по бананообразнои траектории частицы.
При очень малых скоростях частица заперта на самом дне потенци-
потенциальной ямы, где градиент магнитного поля направлен внутрь, а
едва запертые частицы большую часть времени проводят вблизи
точек поворота, где градиент магнитного поля направлен наружу
(рис. 18). Поэтому частота оборота банана должна проходить при
некотором промежуточном значении продольной энергии запертой
частицы через нулевое значение (рис. 19). Именно частицы с такой
255

энергией дают основной вклад в коэффициент диффузии разрежен-
разреженной плазмы. Суммируя вклады от запертых частиц различных энер-
энергий, получаем
В области частых соударений запертых частиц с пролетными
(v/e^1 >' ?2макс) это выражение переходит в полученное ранее урав-
уравнение B.27).
При более редких соударениях основной вклад в интеграл
дают частицы со скоростями, удовлетворяющими уравнению
Q (ии) = 0. Действительно, аппроксимируя первый множитель
в подынтегральном выражении б-функций, легко проводим инте-
интегрирование и получаем
[dQ/do,,] \e}BorJ ^ и у— е^Во '
У}
B.35)
В плазме с очень редкими соударениями этот результат переста-
перестает быть справедливым. Действительно, в этом случае при вычисле-
вычислении коэффициента диффузии становится существенным детальное
поведение функции Щоц) вблизи нулевого значения. Расчеты
показывают (см. §2), что медленные бананы (U (v\\) « 0) оказы-
оказываются запертыми в области слабого тороидального поля. Пользу-
Пользуясь аналогией со случаем запертых частиц, можно сразу написать
коэффициент диффузии для запертых бананов с размерами орбиты
Аг « (е^/вдI/2 г и эффективной частотой соударения гэфф = v/e,:
„d „1/2I/2
ntj (?>CJ Г*
§ 4. Коэффициенты переноса в тороидальном стеллараторе
(расчеты частных случаев)
1. Банановое кинетическое уравнение. При вычислении коэффи-
коэффициентов переноса в тороидальном стеллараторе будем следовать
раборе [47] и воспользуемся кинетическим уравнением, описываю-
описывающим усредненное движение бананов. Уравнение для бананов полу-
получается в результате усреднения обычного дрейфового кинетического
уравнения по периоду быстрого движения запертых частиц в маг-
магнитном поле. Введем функцию распределения для бананов & (г, (Ф),
li, х2, t). Она подчиняется кинетическому уравнению
" B.36)
dt dt d<0> it [ дг дг ду?
9 Зак. 112 257

где для d(fty/dt и drldt следует воспользоваться уравнен иями дрей-
дрейфа бананов B.10) и B.12), а
dv? _ j_
dV dr
Элемент фазового объема для бананов после интегрирования по
периоду имеет вид
Фо
B.37)
? i d [
mi J 2я /л,- J
¦* •* —Фо
mj
Интеграл столкновений в B.36) для бананов можно получить из
следующих соображений. При eh <^ 1 число бананов мало по срав-
сравнению с пролетными частицами. И, следовательно, интеграл столк-
столкновений можно линеаризовать, пренебрегая столкновениями бана-
бананов с бананами. Будем исходить из известного выражения для лине-
линеаризованного интеграла столкновений [54]
х [-—^J+^r-v)\^^"+^vf' i'( }
где X] = v2/vrj', Л; = B/я) \ ехр (—t)^tdt. Это выражение можно
о
еще более упростить, если учесть, что распределение запертых ча-
частиц наиболее чувствительно к изменениям продольной скорости
и поэтому в уравнении B.38) можно пренебречь всеми остальными
производными. Переходя, кроме того, к новым переменным \i, х2„
¦О согласно соотношению, следующему из уравнений B.3) и B.6),
2' B-39>
переписываем B.38) в форме
гдес^ ; Л(^)^
<хг Во vTj dr 4 J
Наконец, чтобы получить отсюда интеграл соударений для бана-
бананов, это выражение следует усреднить по периоду быстрого дви-
258

жения запертых частиц в магнитном поле согласно правилу B.11).
В результате находим
B.40)
Следует иметь в виду, что банановое кинетическое уравнение
B.36) справедливо лишь тогда, когда за период быстрого движения
запертая частица совсем не испытывает соударений:
B.41)
В противном случае само понятие банан не имеет смысла.
2. Частные соударения. Рассмотрим сначала случай частых со-
соударений, когда дрейфовые орбиты (бананы) не успевают совершить
полный оборот по супербанановой траектории за время между
двумя последовательными соударениями, т. е.
Vjj/eh > Те1 = щ. B.42)
В этом случае характерный масштаб размешивания плазмы равен
длине свободного пробега дрейфовой орбиты до столкновения:
>с3г \ eh
С уменьшением частоты столкновений этот масштаб размешивания
растет и соответственно коэффициенты переноса уменьшаются.
Для численного расчета последних ищем решение кинетического
уравнения B.36) в виде разложения по малости длины свободного
пробега. В первом приближении функцию распределения частиц
можно считать максвелловской*, а затем искать малую добавку к ней
f)u из-за тороидальности, т. е.
f7. = f<.°>(r, ё) + ?\1)(г, О, ц, и2), B.43)
где
Кинетическое уравнение для §}Х) принимает вид
<'St(f(-"b—— — f@)Cr Ж\ A АА\
dt dr
Далее, в силу малости смещения пролетных частиц от магнитной
поверхности поправка к максвелловской функции распределения
* Движение запертых частиц по банану приводит к искажению этой
функции. Однако если длина свободного дрейфа К] больше толщины банана,
то этим искажением можно пренебречь.
259

также оказывается значительно меньше, чем для бананов. Поэтому
требование непрерывности функции распределения представляет
собой условие обращения в нуль поправки f )X) для бананов на
границе их фазового объема:
f{il) U>=o = O. B.45)
Используя граничное условие, находим решение линеаризованного
уравнения B.44):
е хУ2 ж
• v,,.. Лх'-1)
т.!
or
Рис. 20. Зависимость коэффициентов переноса от частоты со-
соударений в тороидальном стеллараторе.
Домножая эту функцию на дрейфовую скорость банана drldt и ин-
интегрируя его по фазовому объему, находим поток плазмы поперек
магнитного поля:
2я оо 1
9л3/2
V;V2
**} ) \dr~
do
dr
-Xj
dlnT.
dr
x)
rft>v,-/eft>CD0. B.46)
Здесь левое неравенство на частоту соударений отражает тот факт,
что прецессия бананов становится существенной только в достаточ-
достаточно редкой плазме, когда длина свободного тороидального дрейфа
банана превышает толщину самого банана. В противном случае
260

размешивание плазмы в процессе быстрого движения запертой ча-
частицы по банану (см. гл. 2) дает больший вклад в коэффициенты пе-
переноса, чем слабая прецессия банана (рис. 20).
Оценивая входящий в уравнение B.46) интеграл методом пере-
перевала (погрешность 10%), представляем ответ в стандартной форме:
<2-47>
5; а,=
Кроме того, мы считали, что температура ионов не превышает элек-
электронную, а точнее, TtITe < (milmeIt''. В этом случае коэффициент
диффузии ионов больше электронного и условие амбиполярности
сводится к следующему уравнению для электрического поля:
= 0. B.48)
dr Tt dr \2 U) dr
Найденное отсюда значение электрического поля мы использовали
при вычислении диффузионного потока электронов.
Поток тепла частиц находится аналогичным методом и имеет
следующее значение:
dTi
q. = y.<nvryTj-ajKjD}n—^; к, «5. B.49)
dr
3. Редкие соударения. Получим приближенное решение банано-
бананового кинетического уравнения в пределах редких соударений,
когда частота соударений заключена в интервале
<m0. B.50)
На основании качественных соображений, изложенных в предыду-
предыдущем параграфе, ищем решение типа пограничного слоя между за-
запертыми и пролетными частицами. Поэтому коэффициент при стар-
старшей производной в уравнении B.36) будем считать постоянным и рав-
равным его значению в центре пограничного слоя, что справедливо
с логарифмической точностью. Кроме того, пренебрежем диамаг-
диамагнитным дрейфом по сравнению с электрическим. В результате это
уравнение примет вид
mj(ocjr dr ^ ° дЪ ейЛ [дх2]2 '
B.51)
261

Представляя далее зависимость поправки к максвелловскои функ-
функции распределения от угловой координаты ® в явном виде
fiU = X(x2)cos& + Y(i*)sinQ, B.52)
сводим банановое кинетическое уравнение к системе двух обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоян-
постоянными коэффициентами:
co0X+<StF> = —
дг
B.53)
Решение типа пограничного слоя должно удовлетворять условию
непрерывности на границе запертых частиц с пролетными
Х[и*=1=0; Y\^=1= — (StX)\^=l=0 B.54)
«о
и переходить в решение укороченного уравнения без учета соударе-
соударений:
B.55)
Нетрудно увидеть, что этим условиям удовлетворяет следующее
решение:
дг
—1; B.56)
2AJ v '
2mj aCj a>o f dr
к'2 = 1-*°; A,=
Подставляя найденную диффузию в выражение для потока ча-
частиц и тепла (см. уравнение B.46)), записываем последние в стан-
стандартной форме B.47) со следующими коэффициентами:
7'1гГ B-58)
при а,- = 1, у}- = 7/2, = Kj.
Как и в предыдущем случае, диффузия становится амбиполярной
только при определенном значении радиального электрического
поля, которое можно найти из уравнения B.48) с новыми коэффи-
коэффициентами.
4. Коэффициенты переноса плазмы в отсутствие электрического
поля. В общем случае коэффициенты диффузии ионов и электронов
262

отличаются друг от друга и поэтому для того, чтобы диффузионные
потоки были равны, необходимо радиальное электрическое поле.
Сравнивая кривые зависимости от частоты соударений коэффициен-
коэффициентов диффузии, вычисленных в предположении наличия радиаль-
радиального электрического поля, видим, что в изотермической плазме
имеется только одна точка пересечения этих кривых (см. рис. 19).
Однако в этой точке наши вычисления уже несправедливы, и мы
должны проделать их в новом предположении:
соо (г) = 0. B.59)
При этом может оказаться, что вновь вычисленные коэффициенты
диффузии одинаковы в широком интервале частот соударений, и,
следовательно, условие отсутствия электрического поля выполнено
не в точке, а во всем этом интервале.
Для изотермической плазмы (Те = Tt), которую мы сейчас
рассмотрим, равенство коэффициентов диффузии справедливо, если
для ионов и для электронов одновременно выполнены неравенства
Воспользовавшись определениями периодов оборота запертых (Tt})
и пролетных (Ти}) бананов (см. § 1), находим, что эти интервалы
могут перекрываться при условии
Vmjtni (ед/тв); т"х = сТ1еВ0 г2. B.60)
В этом случае в малой окрестности «энергий» к2 запертых бананов
в результате столкновений успевает установиться максвелловское
распределение запертых частиц и поэтому полное решение банано-
бананового кинетического условия B.36) можно искать в виде разложения
по малому параметру e(/eft. Для этого выпишем функцию распре-
распределения § j в виде максвелловской функции fH) и малой добавки
к ней f у1' из-за тороидальности системы [см. уравнение B.43)].
В уравнении B.36) для f у11 ограничимся т-приближением для
интеграла столкновений и подставим явные выражения для скоро-
скоростей дрейфа бананов из уравнений B.10) и B.12). Полученное урав-
уравнение
= sin ft
dr
при выполнении условий B.60) имеет следующее решение:
leh dr \ 2E/K— 1 V К
где символ Р используется для обозначения главного значения
сингулярного выражения.
263

(х0) -^?_ . ^ = 1,
Умножая функцию B.60) на дрейфовую скорость банана
drldt и интегрируя по фазовому объему запертых частиц [см. урав-
уравнение B.46)], находим выражение для потока частиц и тепла в стан-
стандартной форме уравнения C.47) с коэффициентами
В заключение следует заметить, что нагревая или охлаждая
плазму в «Токамаке» и тем самым меняя частоту соударений частиц,
мы не можем перейти в режим ю0 (г) = 0> описанный здесь. Дейст-
Действительно, перейти в режим можно лишь в точкеDew Dt. Однако
при выполнении условия (е(/еЛ) <С (те//»г-I/'3 [см. уравнение B.60I
коэффициенты диффузии ионов и электронов сравниваются в обла-
области редких соударений в точке Уц1гкщ » [0,07т JntjA]1^3, кото-
которая не находится в интервале B.60). Поэтому следует считать, что
в указанном интервале могут осуществляться устойчиво оба
режима диффузии.
§ 5. Диффузия в стеллараторе с разрушенными
магнитными поверхностями
До сих пор речь шла о диффузии частиц плазмы в идеальных ло-
ловушках, т. е. в таких ловушках, где частицы в отсутствие соударе-
соударений удерживаются бесконечно долго. Реальные ловушки можно
считать идеальными лишь приближенно. Так, хорошо известно,
что сгибание магнитного поля с винтовой симметрией в тор (торс»
идальный стелларатор) приводит к разрушению магнитных поверх-
поверхностей вблизи сепаратрисы [55]. Силовая линия магнитного поля
области, раздвигаясь вдоль таких силовых линий, попадает на стен-
стенку. В ловушках с внутренними проводниками частицы, двигающие-
двигающиеся вдоль некоторых силовых линий (а иногда и все), рано или позд-
поздно попадают на поддержки и также гибнут.
Оценим темп ухода плазмы из ловушек с такими изъянами. Рас-
Рассмотрим сначала ловушку с разрушенными магнитными поверхно-
поверхностями. Поскольку тепловая скорость электронов намного больше
таковой для ионов, то они покидают ловушку быстрее. Остающиеся
в ловушке ионы удерживают электроны из-за электрического поля
пространственного заряда [56]. Величину радиальной компоненты
поля легко оценить из уравнения баланса электрической силы вдоль
разрушенных силовых линий магнитного поля и продольной компо-
компоненты силы давления электронов:
Ь± (еп\Ф0 — Те\п)/В0 = 0, B.61>
где Ь± — компонента магнитного поля поперек разрушенных по-
поверхностей. При написании этого уравнения мы учли, что вследствие
свободного движения электронов их температура быстро выравни-
выравнивается по всему объему.
264

Темп ухода частиц из ловушки целиком определяется скоростью
диффузии ионов [см. уравнения B.47) и B.58)]:
]- <2-62>
При этом, разумеется, мы считали, что диффузионная скорость за-
заключена в интервале между ионной и электронной скоростями ухода
вдоль силовых линий:
B0. B.63)
§ 6. Процессы переноса в крутом стеллараторе
Рассмотрим, наконец, случай крутого стелларатора: е, > &h.
В качестве модели используем здесь конфигурацию магнитного-
поля вблизи оси от двухзарядного стелларатора [43]:
В = ВоA — e,cosft)ez + arb (cos2(ft — аг)
I 2B0
+ arb sin 2 (ft—az) er;
В этой модели магнитные поверхности сильно искажены, несмотря
на то, что величина винтового поля меняется вдоль поверхности
на величину меньшую, чем тороидальная добавка к основному маг-
магнитному полю Во. Для любого крутого стелларатора это справедливо
по крайней мере вдали от оси и поэтому наши результаты следует
применить именно к этой области. Необходимо различать два сорта
запертых частиц. Одни из них имеют достаточно большую продоль-
продольную скорость и свободно проходят сквозь локальные магнитные проб-
пробки, возникающие из-за быстрых колебаний силовых линий около ее
среднего положения. Поэтому в процессе движения таких частиц
происходит усреднение по периоду винтового поля и этот случай
сводится к уже рассмотренному случаю аксиально симметричного
поля со средним вращательным преобразованием (см. гл. 1): в =
= агЬ212ВЬ.
Однако существует также группа частиц с очень малой продоль-
продольной скоростью у || ¦<.v±(be,t/2BoI/2, которые оказываются заперты-
запертыми в пределах периода винтового поля. Причина этого заключается
в том, что силовая линия за период дважды пересекает поверхность
псстоянного магнитного поля, на которой достигается максимальное
значение поля для данного участка силовой линии (на рис. 21
траектория запертой частицы изображена тонкой линией, а ее про-
проекция на плоскость (г, ft) — жирной линией). Так же, как и раньше,
разбиваем движение на быстрые колебания вдоль силовой линии
и дрейф в тороидальном магнитном поле
/¦ = </¦> + ги, ft = <ft> + *и, B.64)
265

где
/•« = /• (b/2B0) cos 2[<#> — аг];
¦&«, = (r&/250) sin 2 [<#.> — аг].
Тогда уравнение для быстрых колебаний сводится к стандартному
виду:
где
dazldt = ova
и
— sin2 [аг —
B.65)
Рис. 21. Траектории запертых частиц в крутом стеллара-
торе.
Усредняя далее уравнение дрейфа в плоскости (г, й), нетруд-
нетрудно убедиться, что в процессе дрейфа сохраняется величина
еФ0 (г) — ц50<е*> cos <*> — ixb(&t}lE (x)/K (и) — 1/2], B.66)
а следовательно, остается постоянной и к2.
Уравнение B.66) по существу представляет собой уравнение для
проекции траектории частицы на плоскость (г, ft). При наличии
электрического поля последнее совпадает с траекторией частиц
в случае некрутого стелларатора. Поэтому и коэффициенты перено-
переноса можно получить простой заменой:
^ B.67)
vkh-+(v/st)BB0/b); 8nt/n =
В результате находим коэффициенты переноса в области частых
соударений:
, . П._ 5/2/ Ь М/2 --
Di =--
щВ01Ь
B.68)
266

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРОВ СОУДАРЕНИЙ
Решение интегральных уравнений для функции распределения частиц
в неоднородном магнитном и электрических полях мы получаем методом раз-
разложения в ряд по обобщенным полиномам Лягерра. В соответствии с этим
операторы соударений записываются в матричном виде.
Элементы матриц от операторов соударений частиц с тепловыми скоростя-
скоростями были вычислены С. И. Брагинским [57]. Для целей данного обзора доста-
достаточно знать следующие матрицы:
.'°i V..)
Первые девять элементов каждой из этих матриц есть
/00 0 \ / 1 3/2 15/8 \
(a)=V2 0 1 3/4 ; (а') = 3/2 13/4 69/16 ;
\0 3/4 45/16/ V 15/8 69/16 433/64/
Операторы соударений запертых и медленнопролетных частиц с тепловыми
определены несколько иначе
Запишем первые девять матричных элементов, необходимых для получения
результатов § 4—8 первой главы
(аЧ, "/) =
35
_19y \
я \
5
2
35
8
— Y
19у
8
25
4
175
16
11 "V
4
193y
32
175
16
1225
64
193у
32
2893Y
256
te,ul
=
267

,«/.'/=,
_5_ ^ 197
2 ~^ JB ~ 8
277 15 357v 105
37—1 — —
Y 4 2 32 8
35y
~32~
373y
256
Наконец, нам следует привести выражение для матричных элементов от ква-
квазилинейного соударительного члена, описывающего резонансное взаимо-
взаимодействие частиц с потенциальным силовым полем:
где квазилинейный интеграл соударений на однородных функциях определен
следующим образом [см. уравнение A.52)]
а время t®l = nl^2vre&/r имеет порядок величины времени оборота тепло-
тепловых частиц вокруг малой оси тора.
Несложные вычисления дают
1 —
1
2
1
8
1
~~ 2
i!
4
23
~ 16
1
~ 8
23
~" 16
433
64
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
КРИТЕРИИ СТАБИЛИЗАЦИИ
ДИССИПАТИВНЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕИ
ЗАПЕРТЫХ ЧАСТИЦ
Возмущения, накладываемые на равновесное состояние плазмы, выберем
в виде электростатических колебаний с потенциалом
# №7-HZ?), / = 0* ±1, ±2.
I. Рассмотрим сначала плазму с однородной температурой частиц. В этом
случае в плазме возбуждаются дрейфовые колебания запертых ионов с час-
частотой, много меньшей частоты обращения запертых ионов по банану
(П2.2)
Для описания таких колебаний можно воспользоваться линеаризованным
банановым кинетическим уравнением B.36), которое в присутствии возму-
возмущенного электрического поля принимает вид
268

= (eJ f\
or
(П2.3)
где усреднение по углу О проводится согласно уравнению B.11), а выраже-
выражения для средней скорости тороидального дрейфа и соударительного члена
описываются соответственно уравнениями A.22) и B.40). Нас будет интере-
интересовать случай частых электронных и редких ионных соударений
ve/e>co» Vj/e. (П2.4)
Решение уравнения для ионов с подходящими граничными условиями
<2.54) и B.55) дается формулами B.56), B.57), которые в рассматриваемом
случае принимают вид [60]
l—exp( —>t'2/2A)cos(x'2/2A)]; (П2.5)
Uvs±vl)tr_
со
'2/2Д) sin (и'2/
Хехр ( —х'2/2Д) sin (и'2/2А);
2 cuelnA; (П2.6)
В уравнении для электронов соударения играют доминирующую роль. Учи-
Учитывая, что распределение пролетных электронов в поле медленной волны
{с фазовой скоростью, много меньше тепловой скорости электронов) является
больцмановским, решаем уравнение (П2.1) при граничных условиях
|х1 t/|Kl-=0 = 0. (П2.7)
В результате находим
/u) = f^_ _r_ .eexp(H</d)}X
Te ( l\eAe(x)
l\eAe(x)
a'
da2
Подставляя найденное решение (П2.5)—(П2.6) и (П2.8) в уравнение квази-
квазинейтральности и разлагая, кроме того, функцию фA)(#) в ряд Фурье
ср<1)@)= 2 <Pmexp(imfl),
т——оо
получаем уравнение для коэффициентов
СО j
269

,=0, (П2.9)
где
о о
1
я/2
f cos2sa
0 /
„ o ., 2 f cos2sa 2 f cos2
' it J Ух2 —sm2a it J yi—x-
sm2a
Здесь последний член учитывает резонансное взаимодействие пролетных ио-
ионов с медленными колебаниями, причем фазовая скорость длинноволновых
колебаний оказывается настолько малой, что в резонанс с волной попадает:
лишь небольшое число медленных ионов со скоростями о~ (i)XbiVTi/\ s I-
Ограничившись при решении уравнения (П2.9) системой уравнений третьего
порядка (для Фо ± j) и воспользовавшись численными значениями матричных
элементов для т = m@) x lq, т = m@) ± 1
#оо=1. #01 = 1/3, Яи = 0,28, /00=1; /oi= —1/2; 7ц = 1/4;
voo = 4/9, vol^O,142, vu=si0,132; Л0ож9,1; Л01ж1,9; Ап = 0М,
находим собственное значение частоты колебаний
@^ е In Л
Мы видим, что затухание Ландау оказывает наиболее слабое стабилизи-
стабилизирующее действие на длинноволновые колебания, которые, однако, подавляют-
подавляются слабыми соударениями запертых ионов. Критерий стабилизации всех.
мод колебаний выглядит следующим образом:
(П2.11*
Таким образом, совместное действие затухания Ландау на пролетных
ионах [59] и ион-ионных соударений [60] способно стабилизировать неустой-
неустойчивость при не слишком малой плотности плазмы.
2. В системах типа «Токамак» касание плазменного шнура стенок лайнера
или диафрагмы приводит к появлению градиента температуры ионов и элект-
270

ронов. В такой плазме обычно дрейфовые колебания пролетных ионов могут
раскачиваться из-за взаимодействия с запертыми электронами [58]. Диспер-
Дисперсионное уравнение для дрейфовых колебаний хорошо известно [61]
где 6' = (r/q2R) (dqidr) — величина shear'a* в системах типа « Токамак»,.
, d\nTt , din га
Для простоты мы здесь сохранили лишь первый член разложения потенциала-
в ряд Фурье и получили следующий член разложения функции распределе-
распределения запертых электронов по параметру а<< 1. Хотя представленные здесь
два члена разложения относятся к асимптотическому ряду, учет их позволя-
позволяет получить разумную оценку сверху на инкремент неустойчивости
Т<0,П/б|ю«;гте//-пе|. (П2.13>
Наличие shear'a оказывает стабилизирующее влияние на неустойчи-
неустойчивость. Наиболее трудно подавить решение в виде убегающих в обе стороны
волновых возмущений. Критерий стабилизации для них можно получить,,
сравнивая притоки энергии из-за неустойчивости и оттока ее на бесконеч-
бесконечность [62].
В результате находим
| (8/9) (d In q/d In Te | > 0,1 VtTeITe<t (l+rri/rn) 7V (П2.14>
Выполнить это условие для реальных токамаков довольно просто.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арцимович Л. А. Управляемые термоядерные реакции. М., Физмат-
гиз, 1960.
2. Guthrie A., Wakerling R. The Characteristic of Electrical Discharge in
Magnetic Field. N. Y., 1949.
3. Спитцер Л. Физика полностью ионизированного газа. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1965.
4. Pfirsch D., Schliiter A. Max-Plank Institute, Munich, Rept. MPI/PA/62,.
1962.
5. Брагинский С. И. Веб.: Вопросы теории плазмы. Вып. 1. М., Госатомиз-
дат, 1963, с. 183.
6. Галеев А. А. «Письма ЖЭТФ», 1969, 10, 353.
7. Stringer Т. Phys. Rev. Lett., 1969, 22, 770.
8. Rosenbluth M. N., Taylor J. B. Phys. Rev. Lett., 1969, 23, 367.
* shear — перекрещенность силовых линий магнитного поля.
271

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ВЫХОДА
ЦИКЛОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ИЗ ПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИИ
Б. А. Трубников
В данной статье проведен анализ численных расчетов по цикло-
циклотронному излучению плазмы и предложена «универсальная» аппрок-
симационная формула, описывающая излучение плоского слоя, ци-
цилиндра и тора.
В энергетическом балансе будущих термоядерных установок
довольно важную роль будет играть циклотронное излучение. Для
одиночного электрона в магнитном поле В энергия убывает по за-
закону
—dejdt = / = 2e2v2/3c3 = 2е2<*% i>i/3c3 = ejr A)
или b_l (t) = ех @) exp (—tli), где и>в = еВ/тс, а т = 3 mc3/4e2co! =
= 250/B2 сек (В в кгс) — время высвечивания (» 0,1 сек при
В = 50 кгс). При отсутствии поглощения пе электронов в единице
объема излучают энергию
и это излучение, как правило, превышает выделение энергии в ре-
результате термоядерных реакций. Однако в действительности зна-
значительная доля излучения B) поглощается в самой плазме.
В работе [1] был введен удобный для расчетов «фактор Ф» —
интегральный коэффициент выхода, показывающий, какая доля
суммарного циклотронного излучения электронов Wo = Q0V ре-
реально выходит наружу из сгустка плазмы с объемом V. Для плос-
плоского слоя плазмы толщиной а (рис. 1) коэффициент выхода зависит
лишь от двух безразмерных и не зависящих друг от друга параметров:
Ф = Ф (ра, t), ра = acoj)/c(fl?, t — Time2, C)
и в наиболее интересной для «термоядерной» проблемы области их
значений величину Ф целесообразно выражать в процентах. В слу-
случае произвольной конфигурации плазменного сгустка (слоя, цилинд-
цилиндра или тора) величина Ф равна
Ф = —— &dS Wco С du cos (Z. К N) J« @), D)
274

ч^
где § dS означает интегрирование по всей плазменной поверх-
поверхности (для слоя — двусторонней, см. рис. 1), J dQ со значком |е-*
есть интеграл по полусфере телесных углов, (-^.к, N) — угол между
выходящим лучом %к и нормалью к поверхности N, а ^©@)—
спектральный поток излучения с единицы поверхности, вычисленный
с учетом поглощения и наличия отражателей на границе плазмы.
Поскольку Ф зависит от формы сгустка, иногда для краткости будем
называть его просто форм-фактором
(для излучения).
Перечислим пять основных свойств
коэффициента выхода Ф, которые при-
придают ему некий «универсальный» ха-
характер и делают весьма удобным для i
проведения конкретных расчетов. [
1. Ф — безразмерный коэффициент, ч
и поскольку Ф < 1, его удобно выра-
выражать в процентах.
2. Цилиндр радиусом а и слой тол-
толщиной а обладают одинаковыми форм-
факторами Ф.
3. Ф — это монотонная функция
двух безразмерных параметров t =
= 77/яс2 и ра = аыо/шв; Ф возрастает
при увеличении температуры Т и падает
при увеличении параметра ра (толщины
или плотности).
4. Учет отражателей с коэффициентом отражения г, располо-
расположенных на границе плазмы, эквивалентен замене а -*- al(\ — г),
осуществляемой именно в аргументе форм-фактора Ф (а не в полном
излучении, например).
5. Учет неоднородности магнитного поля в торе эквивалентен
для форм-фактора замене аргумента а -*¦ а/(\ + %), где % — пара-
параметр неоднородности, который для тора равен
2а
1. Излучение плоского
слоя плазмы.
Эти свойства доказываются в приложениях. Заметим, что хотя
величину Ф можно подсчитать лишь численными методами, однако
поскольку Ф = Wreai/W0, причем Wo ~ V ~ а, то для предель-
предельных случаев имеем
E)
I ~1/а при а-»-со.
Последнее вытекает из того, что при а -*~ оо истинное излучение
W'reai должно быть чисто поверхностным и не должно зависеть от
толщины а.
10*
275

Учитывая предельные случаи E), можно для наиболее интерес-
интересной области промежуточных значений параметров ожидать «про-
«промежуточной» зависимости Ф <~ \lV~a.
В настоящее время опубликовано три цикла [1—3] численных
расчетов магнито-тормозного излучения термоядерной плазмы.
Проведенный в приложениях анализ этих данных показывает, что
с достаточной точностью (~ 50%) для всей области температур
5<Т'«<100 кэв, представляющих интерес для термоядерной
проблемы, для коэффициента выхода можно пользоваться простей-
простейшей аппроксимационной формулой
ф « m*i*rvja, F)
в которой заменой" а-»-а/A — г) A + %) можно учесть наличие
отражателей и неоднородность магнитного поля в торе. Причем
оказалось, что для согласования «универсальной» формулы F) с
данными Розенблюта [3], вычислявшим излучение в тороидальном
Токамаке, требуется некоторое уточнение расчетов Розенблюта
(см. приложения).
Заметим, что выделение термоядерной энергии в,реакции на сме-
смеси 1 часть дейтерия и 1 часть трития будет превышать циклотрон-
циклотронное излучение, если коэффициент выхода Ф ^ 8|3 е, где Р е = 8яр е/В2.
Это, по-видимому, достижимо даже без применения отражателей. Для
реакторов на чистом дейтерии циклотронное излучение является бо-
более опасным фактором и оно делает их менее перспективными.
Автор признателен Л. А. Арцимовичу, М. А. Леонтовичу,
В. Д. Шафранову, Л. С. Соловьеву и В. С. Муховатову за ценные
дискуссии.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФОРМ-ФАКТОРОВ СЛОЯ
И ЦИЛИНДРА И УЧЕТ ОТРАЖАТЕЛЕЙ
При максвелловском распределении электронов спектральный поток,
выходящий с единицы поверхности плазмы, равен (г = 1, 2 — две поляри-
поляризации)
( = 1,2
где yR j = ш2778я3с2 — поток Рэлея—Джинса; а1>2 — коэффициенты по-
поглощения^— путь луча в плазме. Из рис. 2 видно, что cos(^k, N) =
= sin в cos P, и путь луча в слое и цилиндре соответственно равен
s0ji = a/cos(^ k, N) = a/sin[0cos P; s4=s^/sin0=2acos P/sin 8. (П1.2)
Подставляя поток (П1.1) в формулу D), имеем
оо Я +Я/2
3/4л!
Фсл.ц =
-Я/2
276
2 f (l-exp(-a,s№I,))cosPdp.

При этом мы считали поле однородным и учли, что как для слоя, так и для
цилиндра отношение поверхности (для слоя — двусторонней) к объему равно
V <$> dS = 2/а. Коэффициенты поглощения аЬ2 F) зависят, очевидно, лишь
от угла между лучом hk и полем В, которое направлено по оси г. Обозначая
А = <Xj (9a/sin 6) и учитывая (П1.2), рассматриваем в (Ш.З) последний ин-
интеграл
+Р2< г / 1 mi
«^сл.ц(Л)= I {1— ехр — А[ -, или 2cos6 ncos6<$. (Ш.4)
•• I L \ cos p /II
—Я/24 L \ Г /M
При A < 1 экспоненту можно разложить, взяв первый неисчезающий член
A — ехр (—as) —» as), а при А > 1 можно, вообще, пренебречь экспонентой,
тогда как для слоя, так и для цилиндра находим
ffr
N
Рис. 2. Плоский слой
плазмы толщиной d и плазменный цилиндр
радиуса а.
Поскольку в промежуточной области (А — 1) функции, определяемые ин-
интегралами (П1.4), являются плавными и монотонно изменяются от одного
предела (при Л << 1) до другого (А > 1), то последнее приближенное объеди-
объединение двух предельных случаев в (П1.5) обладает точностью около 20%. Имен-
Именно с этой точностью форм-факторы слоя и цилиндра можно считать одинако-
одинаковыми и равными
2
о о
где v = ю/cog, ра = acog/ccog. Поскольку аьз (со, 0) имеют довольно сложный
вид, погрешность всех численных расчетов вряд ли может превысить при-
принятую оценку (примерно 20%).
277

Рассмотрим случай, когда на границах слоя или цилиндра имеются от-
отражатели с коэффициентом отражения г. Из рис. 3 видно, что в этом случае
выходящий поток излучения равен ^out = A —r)J\ и 33/ = rO\= Jxl,
причем
Из этих соотношений найдем
[l-exp(-as)].
J0RJ (i_exp( — as))(l— /¦)/(!— rexp( — as)). (П1.8)
Последняя дробь учитывает наличие отражателей. Далее воспользуемся
приближенной эквивалентностью двух функций
1 _ ехр (—*) ж х/{1 + х), (П1.9)
Рис. 3. Ход лучей в плоском слое ив ци-
цилиндре при наличии отражателей на гра-
границе плазмы:
1, 2, 3 — падающие лучи; 1' 2' 3' — отражен-
предельные значения которых совпадают как при «« I, так и при х >1,
а наибольшее отличие составляет 20% (при х = 2,5), что соответствует при-
принятой точности расчетов.
Тогда приближенно находим
1 — ехр (— as) 1—г
1+as r
as 1 —
¦x-{\~r)CfR.j {1— exp[ — as/(l— г)]}, (ШЛО)
причем первый множитель A — г) можно отнести к параметру а (радиус ци-
цилиндра или толщина слоя), стоящему в знаменателе форм-фактора (П1.6).
Таким образом, именно для форм-фактора учет отражателей эквивалентен
замене аргумента а —» а/ (I — г). В соответствии с универсальной аппрокси-
мационной формулой F) Ф (а) — 1/~]/а, и поэтому
фг (а) = Ф0 (о/A—г)) ж /1 — г Фо (а).
(П1.11)
Таким же образом, очевидно, отражатели будут ослаблять и полное излуче-
излучение плазмы
~У l—r(W)r==Q . (П1.12)
Например, при коэффициенте отражения г = 90% = 0,9 полное излучение
будет примерно в три раза меньше, чем без отражателей.
278

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ
Коэффициент выхода Ф для слоя был впервые введен и численно подсчи-
подсчитан в работе [1], где для него были получены кривые Ф (ра, Т) = const (рис. 4).
На рис. 5 те же зависимости показаны сплошными кривыми [1], в то время
как пунктирные кривые соответствуют зависимости
= 511 (Ф/60J/3р'/3 кэв (<D = const, 511 = mc2),
(П2.1)
вытекающей из аппроксимационной формулы F). Штрих-пунктирные кривые
построены согласно соотношению
4^7 кэв (П2.2)
Рис. 4. Зависимости коэффици-
коэффициента выхода излучения
Ф(Т, ра) = const от температуры
и параметра непрозрачности [I].
кэв
100
50
/
1
ра
и соответствуют аппроксимации
Ф* = 120?/4/Vp~a,
(П2.3)
которая несколько лучше описывает численные данные [1]. Полагая, однако,
что достоинство аппроксимационных формул заключается в их простоте -(при
необходимости более точных цифр можно обратиться непосредственно к чис-
численным данным) и считая показатель степени 7/4 «менее удобным», чем 3/2
[см. формулу F)], мы будем пользоваться аппроксимацией F), эквивалентной
формуле (П. 2.1). Из рис. 5 видно, что в области температур 10 < Т < 100 кэв
пунктирные кривые отклоняются от сплошных не более чем на 20—30%.
Следующей теоретической работой, в которой рассчитывалось цикло-
циклотронное излучение, была работа Драммонда и Розенблюта [2]. Авторы этой
работы не вводили коэффициент выхода Ф, а представили истинное излуче-
излучение с единицы поверхности слоя и цилиндра в виде
_ = 2 Jdco
12л2 с2
со*3, ю* = (
m*
(П2.4)
Здесь множитель 2 учитывает две поляризации, при наличии отражателей
нужно еще ввести множитель 1 — г. Таким образом, величина ш* указывает
усредненный по двум поляризациям эффективный номер максимальной вы-
279

свечиваемой гармоники. Зная величину (П2.4), можно найти форм-фактор
слоя или цилиндра по формуле
§ Wi dS = (W1/Q0) (IIV) § dS = m*sl2npa, (П2.5)
где ра = ай>оа/с?Од — введенный ранее параметр непрозрачности. Хотя рас-
расчеты Драммонда и Розенблюта [2], по-видимому, более точны, чем результаты
работы [1], поскольку они более детально учитывали распределение излу-
излучения по углам (различие поляризаций однако также учитывалось в работе
[1]), их конечные результаты весьма близки к результатам работы [1].
На рис. 6 приведены полученные в работе [2] графики зависимостей
m*3 = f(xDR), xDR=$eBL(B, гс; L, см). (П2.6)
10s ра
Рис. 5. Коэффициент выхода излучения Ф(Тра)= const и его анали-
аналитические приближения.
Переменная xDR = $еВа = B0/3)ра Т кэв, так что, пользуясь рис. 6 и фор-
формулой (П2.5),-нетрудно найти значения форм-фактора Ф (ра, Т). Заметим,
что различие двух рис. 6 в значительной степени обусловлено тем случай-
случайным обстоятельством, что в то время как для слоя авторы [2] полагают L =
= а, для цилиндра же принято L = D = 2а. Таким образом, феВЦп =
= 2($eBL)cll, и если сдвинуть ось абсцисс на правом рисунке для цилиндра
вправо на множитель 2, то оба рисунка оказываются практически неотличи-
неотличимыми, что подтверждает эквивалентность форм-факторов (и значений гп*) слоя
и цилиндра (см. приложение 1). С учетом этой эквивалентности на рис. 7
приведены графики пг*3 = / феВЬ) для слоя (сплошные линии). Пунктирны-
Пунктирными линиями изображены зависимости
построенные по аппроксимационной формуле F).
Из рис. 7 видно, что пунктирная прямая Т = 25 кэв весьма близка к свое-
своему численному прообразу, Т = 50 кэв — идет всюду несколько выше, а Т =
280

— 75 и Т = 100 кэв — в основном ниже соответствующих им численных кри-
кривых.
Можно сделать вывод, что формула F) примерно с точностью 50% соот-
соответствует численным кривым т*3 во всей области параметров, рассмотренной
Драммондом и Розенблютом.
Рис. 6. Зависимости m*3-f(T, §eBL) для числа высвечиваемых гармоник от*
при разных температурах и параметрах §eBL [2], для слоя L=a (слева) и для
цириндра L=2a (справа).
Наибольшие отклонения формулы F) от численных зависимостей на-
наблюдаются для промежуточной области температур 30—50 кэв (см. рис. 5 и 7).
Заметим, что в книге Бекефи [4] для температур, близких к 50 кэв, пред-
предложена аппроксимация т*6 = 0,57л;дЛ по данным [1] и /п*6 = 0,25хь^ по
данным Драммонда и Розенблюта [2], что неплохо передает численные ре-
10
Рис. 7. Зависимость m*3=f($eBa) для слоя и аппрокси-
мационные прямые.
зульуаты для Т —_ 50 кэв, однако не охватывает всей области «термоядерных»
температур 10 < Т < 100 кэв.
Другая работа, содержащая численные расчеты циклотронного излуче-
излучения в Токамаке для области «предтермоядерных» температур 1 < Т < 10 кэв,
— это работа Розенблюта [3], в которой, однако, совершенно не учитывается
допплеровское уширение линий спектра, что затрудняет прямое сравнение
его данных с результатами работ [1—2]. Тем не менее в дальнейшем (см. при-
281

ложение 4)" мы установим «правила соответствия» расчета, проведенного в ра-
работе [3], с результатами работ [1, 2], и покажем, что они отличаются примерно
в два раза, причем это расхождение уже нельзя приписать неточности числен-
численного счета и оно может быть исправлено физически обоснованным способом.
Наконец, отметим работу Каноббио и Гюффре [5], где рассмотрена об-
область температур 25 < Т < 200 кэв. Авторы, однако, не проводили числен-
численного интегрирования по углам и частотам, а определяли величину со* для
слоя из приближенной формулы аа? (со*) = 1, подставляя затем со* в (П2.4)
(формула C) в работе [5]). Вследствие этих достаточно грубых оценок найден-
найденные ими значения Ф (К^ в работе [5]) в 2—4 раза отличаются как от резуль-
результатов работы [1], так и от значений Ф, которые можно найти из работы [2].
В работе [6] автор учел зависимость коэффициента отражения г от уг-
углов, частоты и поляризации. Полученные результаты близки к результатам
работы [2].
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ
Для температур Т 5й 25 кэв линии спектра в .области частот ш*/шв ~
~ m* ~ 10 -г 20 можно считать эффективно перекрывающимися в резуль-
результате допплеровского уширения и образующими сплошной спектр.
В этом случае практически наиболее удобными для численных расчетов
выражениями для коэффициентов поглощения являются интегральные пред-
представления, полученные в работе [7], которые имеют следующий вид:
«i,2 (о), 0) = J \ аь2+ . -_.„- Ьг, 2 \dz, (П3.1)
о
где ц = гпс2/Т, v=co/coB; c1=l+cos28 (cos z—1); Ьг=—[v sin 0 cos 9 (z—sin г)]я;
a2 = cosz; 62 = [vsin 6A—cosz)]2; i? B) = n2—2i>vz+v2 sin2 6 B—2 cos z—z2),
при R > 1, ц > 1 для функций Макдональда можно использовать асимпто-
асимптотики Кп (х) ~ ехр (—x)~V'n/2x, и тогда
mn и5/2 С _ dz
~- \ exp(^-//?)Ti, ,777; Т1.2
g Z J К
о
Вычисляя интеграл методом перевала (при v = <в/сод > 1), получаем
sin3 9 Яь 2
^ соо Г nt si
1> 2 ~ ссов У 2 у
р (т) -cos2 9"K/2
ХехрГ—^'(¦^9-V/*(t)-cos»e-lH (П3.2)
где t = Tlmci=l/\i; t = /vsin*9;
/2
' ' t sin 9
282

причем функция / (т) определяется из уравнений f (т) = (ch у — 1)т, Shy—
—У = 1/т.
Таким образом, зависимость а1;2 от частоты со входит в формулу (П3.2)
лишь через параметр т = tv sin2 Э.
Коэффициент выхода можно записать в виде
- . • ~. , ^,. -хр( — Yi)]dQ, (ПЗ.З)
а о
где
;sin2e
пра / я? А.ь 2 sir
Yl,2 = —1/ —с
2 К 2 |/ т/ (f2 — cos2'
ХехрГ — 4" ( "Лг//2—cos26— ill . (П3.4)
L t \sin6 ,J
Хотя эти выражения содержат лишь элементарные функции, их не удается
проинтегрировать, не прибегая к численным методам.
В двух предельных случаях т = tv sin2 0 > 1 и т <1 из формулы (П3.2)
для а1|2 можно получить более простые асимптотические выражения. Напри-
Например, при т <g 1 найдем
Случай т > 1 рассмотрен в работе [7]. Заметим, что Драммонд и Розенблют
использовали для численных расчетов [2] в области сплошного спектра B5 <
< Т < 100 кзв) выражения (П3.1). В работе [1], однако, была численно рас-
рассчитана и область Т ^ 10 кэв, где начальные линии спектра еще не перекры-
перекрываются, так что рис. 4 и 5 содержат как сплошной спектр, так и спектр с раз-
разрешенными линиями.
^Отдельные линии спектра не перекрывают друг друга, если
п Y2nt | cos 6 | <1. Например, для углов 6~60°, | cos 0 | ~1/,2, при t= 10 кэв
это справедливо для начальных гармоник с п^б. Тогда коэффициенты по-
поглощения а; удобно представить в виде суммы по отдельным гармоникам
[см. работу [7], и в ней формулы C.3) и C.11)]
ш% /%{-пIъ Ч@)
Здесь е = тс2у; у=1/У\—^г; а = (у/сов) (соф'О—^ц уц), так что мнимая
часть
Im lim(l/(n—а)) = п (<ав/у) б (*ц1>ц—co + ncos/v),
а х^.п) согласно работе [7] имеют вид (^„—функции Бесселя)
l\n2 (cos 9 (Р± п/Ь)-рп sin 6J Jl (b); XS,">= [P± J\ (b)]2; b = P± k±/maB.
Скобки <...><0) в (П3.6) означают усреднение по максвелловскому распреде-
распределению (вообще говоря, релятивистскому). Считая, что показатель преломле-
преломления равен единице (Л' = kc/a -* 1 при ш > ш0 — «вакуумное приближе-
приближение»), можно формулу (П3.6) представить в соответствии с законом Кирхгофа
в виде
)>ne. (П3.7У
283

Здесь r| — излучатель пая способность среды, а Р; оказываются равными
соответственно
Р1;2 = (е»@»/2яс) ^ {((со8в-Р),/81пв)»^(п|(); Ъ2^'п2Ш)К, (П3.8)
где ^ = PJ_sin9/(l — P||cos6); б„ = 6 (со—k{{ vn—n<oB/y)
и совпадают со спектральными мощностями (а не интенсивностями) волн двух
линейных поляризаций, излучаемых индивидуальным зарядом в поле. Ин-
Интеграл от суммы величин (П3.8) определяет полную мощность излучения
Q- (ПЗ-9)
Заметим, что эта мощность, вообще говоря, не совпадает (при Р ц ф 0) с полной
интенсивностью излучения, которую зарегистрировали бы удаленные наблю-
наблюдатели (см. приложение 7).
Таким образом, величины а; можно было бы в «вакуумном приближении»
найти, зная излучение индивидуального релятивистского заряда и спектраль-
спектральные мощности (П3.8).
В случае с неперекрывающимися линиями Р мало (например, при Т =
= 10 кэв, Р ~ ~\/ъТ1тсг ~ 1/5), поэтому в формуле (П3.8) пренебрежем ве-
величиной рц всюду, кроме аргументов б-функций, так что
X б (t»n — cos 9— со + лсов ), (П3.10)
где х = P^sin G. При усреднении в формуле (П3.7) по нерелятивистскому мак-
свелловскоиу распределению 6-функции, которые содержат лишь v ц, и функ-
функции Бесселя, которые содержат лишь v±) усредняются независимо. Таким
образом,
где Дп — гауссовский профиль n-й линии
Дп= ( 6 1>ц-— cosG—а + шв ) = 1/к ехр — JL \
(П3.12)
с полушириной | Дсоп |г = п(ов/2<-| cos 9 |. Средние от функций Бесселя
Также вычисляются в конечном виде
)
=exp (—In) 1а (Ь); 1п = паЬ!пг6;
» ехр (-!„)/„ (In •' (П3.13)
Здесь 1п — модифицированные функции' Бесселя.
284

Считаем, что %п < 1, « ~ 1 или Ъ,п ~ 1 л > 1, так что
(О? „2
о(п) = г(п)дп. Г|">«я —{cos»e; 1}—ехр(-?»)МЫ- (П3.14)
С fen
Гауссовский профиль (П3.12) заменим прямоугольной площадкой той
же высоты и площади
при |°>-n®B|<A/2)lAe>nlf,; (пз.15)
^\ ||
Дсоп |gj [о при других со.
я
что
п) nog | cos в I*1
Здесь | Дсоп |ff = n(oB"]/2it^ I cos 6 |—эффективная ширина n-й линии, уши-
уширенной по Допплеру. Окончательно получим, что
cos в I*1
Xexp(-gn) ~In{ln) (П3.16)
6 71
в случае спектра с неперекрывающимися'линиями.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ФОРМ-ФАКТОР ДЛЯ ТОРА
В работе Розенблюта [3] рассмотрено циклотронное излучение плазмы в
тороидальном «Токамаке» (рис. 8) для области «предтермоядерных» температур
1 < Т < 10 кэв. Автор работы не учитывал допплеровского уширения линий,
а принял во внимание лишь уширение, обусловленное неоднородностью
тороидального магнитного поля
В (х) = const/(# + х) х В @) A — x/R). (П4.1)
Поэтому его расчеты не допускают прямого сравнения с коэффициентом выхо-
выхода Ф, найденным выше для цилиндра с однородным полем, где существенно
лишь допплеровское уширение.
Уширение n-й гармоники, обусловленное неоднородностью поля (П4.1),
по порядку величины равно
Ах
I Асо„ |а = «шв (Дсов/(ов) = «сов — ж шв a/R (П4.2)
и не приводит к перекрытию линий, если |Дшп |ж < ®в' Т- е* ПРИ п ^ Rla-
Кроме того, допплецовским уширением | Д<оп^ = n<uB~]/2nt \ cos 9 | можно
пренебречь по сравнению с неоднородным (П4.2) только лишь при | Дсоп \х >•
> | Дсоп \fj, иначе говоря при a/R > ~]/2nt [ cos 6 |. Найденные условия
n<(i?/a)</mc2/2nT(l/|cos9|)(^3/|cos9| при Т= 10 кэв) (П4.3)
ограничивают применимость расчетов Розенблюта в области 7"»E-r 10) кэв.
Кроме того, вместо использования формул (П3.13) Розенблют ограничился
первым членом разложения функций Бесселя
,Ш.4,
285

что соответствует первому члену разложения функций (П3.13) и допустимо
лишь при | С 1, в то время как в (П3.13) ехр (—%Iп (%) ~ 1/~|/2я1 для
1= пН sin2 e »i.
Использование приближения (П4.4) привело к появлению в результатах
работы [3] расходящихся рядов, которые нужно обрывать после того, как
последовательные члены перестанут убывать (обычная процедура для асимп-
асимптотических рядов). Пытаясь уточнить расчеты Розенблюта [3], будем вместо
формулы, которой он фактически пользовался
(cos2 6; 1) yi(En/2)"
*sin«e 2i n\
6 [м-п(ов(х)],
(П4.5)
применять для коэффициентов поглощения более точные формулы (П3.16).
Если поле неоднородно, то а зависят от координат, и тогда выходящий с по-
Рис. 8. Излучение плазмы в то-
тороидальном «Токамаке».
верхности плазмы поток излучения Уа (9) [см.,формулу D)] следует считать
равным
^a(Q) = ^Rj 2 O-«p(-Ja,ds)), (П4.6)
<=1 ,2
где j aids означает интегрирование по пути луча в плазме. Кроме того, при
отсутствии перекрытия линий a = 2a<-"', причем суммирование по п. мож-
можно опустить из экспоненты вниз, полагая
(П4.7)
Учитывая формулы (П4.6—П4.7), для форм-фактора. F) в случае тора полу-
получаем
(П4.8)
где ра ч= аш%1шв — обычный «параметр непрозрачности».
Следуя работе [3], заменим тор цилиндром с высотой 2nR, сохраняя не-
неоднородность поля (П4.1), однако считая теперь силовые линии прямыми.
Если бы поле можно было считать однородным, то уширение было бы чисто
допплеровским и тогда [см. формулу (П1.2)]
, при|Да>п#»|Да>»|«, (П4.9)
286

где для а\п) можно использовать формулу (П3.16) а<.п)=г|-п)/| Д<»п \?ft
В противоположном пределе | Ды„ |ff B
причем
(П4.11)
если со попадает в промежуток между значениями па>в (х) на входе и выходе
луча в плазме, или ja["'ds= 0, если не попадает. Интервал частот этого
промежутка равен (см. рис. 8)
п(Лв 2а
I Дмп \х = —^~ (-«out—xln) = п<лв —- cosP |cos(9 + P)|- (П4.12)
л Л;
Таким образом, для двух предельных случаев (П4.9) и (П4.11) имеем
I Дшп |?« при | Лео,, \% > | Дсоп |ж,
D (П4.13)
I Шл, \х РИ I - п |е/ Чч | П \Х>
!'
или приближенно для общего случая
ч 2аГ\п) cos p/sin 9
^dS^ , (П4.14)
lAlf + IAl
причем уширения линий также должны складываться, если учитываются
одновременно оба фактора — неоднородность поля и эффект Допплера:
Здесь 5( = — ~\/2ni—параметр неоднородности.
R I
Таким образом, формулу (П4.8) можно переписать в виде
! |Дсо"|+х
J
— expf — \ a<n)ds))= \ dQcos(_/ k, NJ2«3 & X
|э->
ХA-ехР;[-у/С(ф)])С(ф)йф, (П4.15)
где введены следующие обозначения:
2аТ\п) cos P
7 = 7= . С (ф) = | cos в t + X cos Р | cos (ф + р) 1. (П4.16)
пьзвУ 2K/sin 9
287

Здесь мы уже подставили явные выражения для Г|"' из'(П3.14). Для послед-
последнего интеграла (П4.20) при х С 1 и х > 1 имеем
р (/?) при х « 1
\%G (ра/%) при х » 1,
где функции F (у) и G (г) равны соответственно
л
д
G(z) =
zg|n) (9) sin2 QdQ n
2 ll; B»1)
(П4.21)
л.
ф<п)@ = ~ J gjn) (9) sin2 9 <Й =
Л 2
Для (П4.21), следовательно, имеем
A+Раф) Х при
-*. —1
Ра Ф \
14- 1 npi
Зях/8/
и форм-фактор (П4.20) можно записать в виде
~ ; и (А, /)=
(П4.22)
1+ЗяХ/8
1 + ЗЛХ/8
« п
(П4.23)
Если обозначить п2< = а, то для интегралов (П4.22) можно получить разло-
разложения в ряд по а:
1 V или ~1/2 dx fa/2)" V (-a)s
J ехр(-а*)/„(а*)A-*J — = *-^2_ 2j —Г
о д; я! s = o s'
•X
289

Г 1 1 n$n + s— $\22n+s (n—\)\
X или 1 —— = Bа)л — X
\2(« + s)+l f Bn + s)\ K ' Bя+1)!
1! л + 3/2 2! л + 5/2 3! (л + 3/2) (л + 7/2)
или
Bn)! 1 1! n+1/2^ 2!
(-Д)" n(n + 2)
3! (л+1/2)(л + 3/2) +'"
Фигурные скобки эквивалентны ехр (—a) как при a = л8/ < 1, так и при
« ~ 1, п >1, и, следовательно, функции (П4.22) приближенно можно считать
равными
Ф<"> (Л « (ф["%05 ехр (-пН) = ^2"щ ^Р (-/I'f), (П4.24)
где cpRos —значения, которые бы мы получили, если, следуя Розенблюту [3],
ограничились первым членом разложения функций Бесселя (П4.4), а не ис-
лользовали более точные формулы (П3.13).
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
СРАВНЕНИЕ Фтор С ДАННЫМИ РОЗЕНБЛЮТА [3]
В работе [3] численно рассчитано циклотронное излучение в тороидаль-
тороидальном «Токамаке» для области температур от 1 до 10 кэв в предположении, что
уширение линий, обусловленное неоднородностью поля, превосходит доп-
ллеровское уширение, однако линии не перекрываются. Для эффективного
излучения в расчете на один электрон получена формула [см. [3], формула
<15)]
и приведены графики функции (рис. 9)
25
l+zAr
(П5-2)
Для области 1 <^ Т <^ 5 кэв и параметров ^eRB, не слишком сильно
отличающихся от 104, Розенблют указывает аппроксимационную формулу
^точность ее около 50%) [см. [3], формула A8)]
пТт/2 г5/2 S2
i, ==3-10-17 =0,8-10-9— кэв/сек. (П5.3)
teWeRB VVeRB
которая означает зависимость у^ (Т) = 3,25~[/Т.
Поскольку Розенблют [3] не учитывал допплеровское уширение линий,
прямое сравнение его данных с ранее полученными результатами работ [1,2]
невозможно, однако «универсальная» формула (П4.23) позволяет устано-
установить определенное соответствие результатов указанных работ.
290

В самом деле, при % « 1 формула (П4.23) должна давать форм-фактор,
цилиндра с однородным полем при учете лишь допплеровского уширения
ФторEС« 1) =
Ра. t), pa = -^~,
(П5.4>
а при % > 1 должен получаться форм-фактор тора при учете лишь неоднород-
неоднородного уширения
(П5.5>
Рис. 9. Потери на циклотронное излучение:
/ — результаты работы [3]; 2 — аппроксимация Ут—Т3'*:
3 — выделение энергии на а-частицах в реакции d+t;
4 — тормозное излучение.
Между тем (см. приложение 2), для цилиндра в области температур 10
< Т < 100 кэв можно пользоваться аппроксимацией
которая в соответствии с формулой (П5.4) означает аппроксимацию для уни-
универсальной функции
U(А, /> =
60я
(П5.6)
что в свою очередь ввиду (П5.5) означало бы для случая Розенблюта
Фтор (X » 1) = U (А - 4ярл/3) ж 30 (9я/2) '^ t5/4}, "р~^ Х ШЪ1А1у' pj.
(П5.7>
Наконец, для величины у — 5n<D~l/fieRB/T формула (П5.7) означала бы ап-
аппроксимацию ут х- Т3/4 (см. рис. 9). Видно, что вблизи Т~ 10 кэв кривая
ут -х- Т3/4 проходит ниже численных кривых [3], которые слишком быстро-
291

Таблица 1
Вклад отдельных гармоник в излучение при реВа=106 [гс-см], Т=\0 кэв
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
• *
10
Sr
1
10
1
Результаты
On
1,000
0,997
0,960
0,777
0,487
0,267
0,129
. 0,064
0,032
0,019
i3Qn=322,4.
l3fin = 205,0.
работы [3]
n'Sn*
1,00
7,98
25,9
49,7
60,8
57,6
44,2
33,0
23,3
18,9
Расчет по форл
Он
1,000
0,997
0,957
0,728
0,400
0,168
0,057
0,020
0,007
0,003
«уле (П5.9)
1,000
7,98
25,8
46,6
50,0
36,2
19,5
10,2
5,0
2,8'
поднимаются в области 5 < Т < 10 кэв. Это расхождение можно частично
уменьшить, если вместо формул Розенблюта использовать более точные фор-
формулы (П4.23, П4.24).
Рис. 10. Циклотронные потери:
— кривые, построенные по формуле (П5.8) для
для крайних значений параметров fieBR — ап-
аппроксимация Розенблюта (П5.3); — — аппроксима-
аппроксимация, вытекающая из формул F) и (П4.23).
На рис. 10 приведены кривые у (Г), вычисленные по этим формулам
. (zA)Rogexp(-n4) ^ g)
292

Можно видеть, что теперь аппроксимация ут ¦х Г3'4 несколько лучше соот-
соответствует результатам расчета*, чем на рис. 9. В области,5 < Т *С 10 кэв точ-
точность формулы ут ж Т3^4 составляет примерно 50%.
Ниже, в табл. 1, иллюстрирующей роль множителя ехр (—пН), указаны
«статистические веса» [см. (П5.8)]
Й 2 (П59)
( = 1,2
l+(*A,R0.eip(-»-fl
и величины п3Йп, характеризующие вклад отдельных гармоник в излучение
при параметре xR = §eRB = 10е.
Таким образом, аппроксимационная формула Ф и 60/3'2~|/ро с точ-
точностью до 50% применима для всей термоядерной области температур от 5
до 100 кэв. При необходимости иметь более точные значения Ф следует
обратиться непосредственно к численным результатам и графикам.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС ТЕРМОЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ
Для реактора на смеси 1 часть дейтерия и 1 часть трития (d + t) выделе-
выделение термоядерной энергии в плазме (на заряженных продуктах реакции)
t^V-10-2%| Fdt (Tt) эрг/сек,
(П6.1)
где функция Fdt (T) определяется в приведенной ниже табл. 2 [8].
1 Таблица 2
Выделение энергии в системе d-\-t и значения Ф,
необходимые для самоподдерживания
Te = Ti, кэв
Fdt
Ф/Ре
3
0,017
1,2
5
0,124
3,1
10
1,2
7,5
15
3,0
8,0
20
5,4 '
8,5
30
8,9
6,0
40
11,0
4,5
50
12,0
3,0
Потери на циклотронное излучение
меньше ядерного выделения (П6.1) при условии
или Ф < FdtIFm =
= Kdt Ре-
(П6.2)
(П6.3)
Значения множителя Kdt Для случая Те = Ti приведены в табл. 2.
Таким образом, для системы с малым Ре коэффициент выхода Ф должен
¦быть достаточно мал.
* По-видимому, учет перекрытия линий, уширенных по Допплеру (для
Ь—10 кэв), улучшил бы это соответствие.
293

В экспериментах на «Токамаках» достигнуты [9] параметры пе ж 1013,
Те яг 1 кэв, В -х 50 кгс. При этом ре ж 10~4. Для эффективной термоядерной
реакции плотность и температура должны быть выше примерно в 10 раз.
Пусть, например, пе — 1014, Те — Т\ = 10 кэв, В = 50 кгс. При этом Eе =
= 1,6-Ю и для самоподдерживания реакции необходимы Ф< 12%, что
может быть достигнуто при вполне разумных размерах плазменного тора.
Менее перспективны реакторы на чистом дейтерии, ядерное выделение
в котором существенно меньше, чем в смеси дейтерия и трития. В этом слу-
случае большое значение имеет также обычное тормозное излучение №ьг элект-
электронов на ионах, с учетом которого условие самоподдержания запишем в виде
W<Wdd-Wbr или Ф < Fdd~oFbT = (Fad-F ы) B5/Г)" ре =
Fm
- (П6.4)
Соответствующие значения функций и коэффициентов Kdd
табл. 3.
приведены в
Таблица 3
Выделение энергии в чистсм дейтерии и значения коэффициента Ф
Te = Tt, кэв
Fdd
Fbr
Ф < ре Kdd
10
0,12
0,17
Kdd
20
0,51
0,24
0,42
30
1,0
0,29
0,5
40
1,5
0,34
0,45
50
2,1
0,4
0,43
60
2,7
0,44
0,4
80
4,0
0,54
0,34
100
5,2
0,63
0,29
Здесь Fdd рассчитано по оптимальному варианту с учетом второй ветви мед-
медленной реакции d + d —> He3 + п, Не3 + d —» Не4 + р [7]. Рассмотрим
конкретный пример реактора, обсуждаемого в работе [9] в качестве «про-
«промышленного Токамака» на смеси dt с полной тепловой мощностью 5-Ю9 em.
Предполагается, что в нем может быть достигнуто устойчивое удержание
плазмы в торе с параметрами
Я = 520 см; ^/а = 3,5; 6 = 40 кгс; яе = 3-1014; Гг = Гг-=15 кэв. (П6.5)
Здесь ре = пеТе8п/В3 = 0,11 и для поддержания реакции необходимы
(см. (П6.3)] Ф < 8ре ж 90%, что легко выполняется! В самом деле, при Т =
= 15 кэв допплеровское уширение линий составит Дсо/ш = ~|/2л^ = 0,428,
так что параметр неоднородности равен % = 2alR\/2nt = 1,34, а параметр
непрозрачности (а = 520/3,5 = 148 см)
= 6-10-12 ая/В = B/3) 104.
(П6.6)
По универсальной формуле F) находим коэффициент выхода Ф ~~[/l-\-%x
X 60 (t3l2l~\/pa) ~ 0,5% ¦& 90%. Как видно, для реактора с параметрам»
(П6.5) циклотронное излучение не опасно.
Рассмотрим далее реактор на чистом дейтерии с параметрами Т — 50 кэв-
пе = 1014 см-3; В = 50 кгс; а = 2 м; R/a = 3.
Здесь ре=8-10~2 и для поддержания реакции необходимы Ф < KddPe=
= 3,44%. Между тем имеем /= 50/511 = 0,1; ра = 2400; % = 0,85 и коэф-
коэффициент выхода равен Ф = ~\/\ + х 60 (*3/2/V/>a) ~5%. Эту цифру можно.
294

снизить до требуемого значения 3,44%, если ввести отражатели с коэффициен-
коэффициентом отражения г = 0,6. Повышение величины fSe ведет к снижению относи-
относительной роли циклотронных потерь.
Необходимо, однако, отметить, что условия равновесия и устойчивости
плазмы, удерживаемой магнитным полем от контакта со стенками камеры,
накладывают определенные ограничения на величину Ре. В тороидальной
геометрии основные характеристики плазменной конфигурации — это «запас
устойчивости» q = aB^IRB^ величина Р^ = 8пр/В^ и «аспектовое число»
А = Rla. В проведенных экспериментах на токамаках [9] достигнуты значе-
значения РЛ < 1(ж1/2); q > 3; А > 4. Полная величина E = 8яр/В2 ввиду того,
что В и »ВХ, равна Э = 2ре = Р± (BJB{]J = РХ/<?М2 (при Те = Тг) и рас-
растет при уменьшении q и А. Так, идеализированный пример (П6.5) состветст-
Рис. 11. Плазменный тор с эллипсоидальным сечением,
вытянутый по вертикали (слева) и по горизонтали (спра-
(справа). Стрелки указывают направление дальнейшей дефор-
деформации, повышающей устойчивость плазмы.
вует Р, = 3; q = 1; А = 3,5, т. е. в нем принято минимальное значение q,
допускаемое критерием Крускала—Шафранова <7> 1, однако, неясно, мож-
можно ли достигнуть р^ ж 3.
В частности, из работы [11] следует, что общегеометрический необходи-
необходимый критерий Мерсье [12] можно представить для тороидальных систем
с эллиптическими магнитными поверхностями (рис. 11) в виде
Рма«о</(о, Ь),А*; f(a, Ь) = (Ь F + а)/F-аJ) {[1 +3 (е/4) A +Д)]2/2+ е}.
(П6.7)
Здесь Ь и а — полуоси эллипсоидального сечения; е = (б2 — а2)(й2 + а2);
А — параметр, показывающий целесообразность дальнейшей деформации
вертикального эллипса наружу от оси, а горизонтального — внутрь к оси
(см. рис. 11). При Д = 0 для эллипса, сильно вытянутого в вертикальном на-
направлении (Ь > а; е —* 1), из (П6.7) имеем РмаКс ^1М2. Для чисто круговых
сечений (Ь = а, г —» 0) критерий (П6.7) не ограничивает Рмакс. однако в той
же работе [11] был получен еще один достаточный критерий, из которого сле-
следует ограничение
Рмакс v. ,„
2 + е
(П6.8)
В частности, для круглых сечений (а = Ь, г = О, Д = 0) рмакс < 1/4Л2,
и хотя это условие является лишь достаточным, а не необходимым, оно, види-
295

мо, близко соответствует значениям р\ полученным в экспериментах. Наконец,
циклотронное излучение W = </1>пеУФ полезно сравнить с выделением джо-
улева тепла в токамаках
/2 пегх 3 Т
Wj=-*-Va, o=2 — = -?—±—, (П6.9)
ст т 21/2Я eU
где А, = 15 — кулоновский логарифм; а»2—экспериментальный фактор
аномальности. Полагая / = Una2, В^ = 21/са и пользуясь аппроксимацион-
ной формулой для Ф, находим отношение мощностей
/асов\2 fie±t3'2 . tbp3j2
) Ф-^ ~ 10l/l+x/l— r — (qA)*. (П6.10)
с / аА РеХ
В современных экспериментах (р\?^= 1/2, Т1 ж 1 кзв, (жЗ, Лж 4, ра ^^
ж 100, х ~ 5) имеем IF/Wy ~ 10~4, однако уже при температурах порядка
Ts5 кэв джоулев нагрев оказывается малоэффективным и необходимо ис-
использовать отражатели или применять другие способы нагрева. Эти оценки
совпадают с выводами работы [3].
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ
Этот случай (е > тс2) не имеет отношения к термоядерной проблеме,
но рассмотрен здесь для полноты картины, поскольку излучение космических
туманностей, например Крабовидной, также обусловлено циклотронным
механизмом, о чем свидетельствует высокая степень поляризации излучения,
испускаемого отдельными участками туманности. Наблюдаемый спектр обыч-
обычно охватывает и радиодиапазон, и оптический, так что электроны должны
быть ультрарелятивистскими. В этих условиях нет оснований считать функ-
функцию распределения максвелловской, и ее обычно аппроксимируют степен-
степенной зависимостью
d& dv
dN = f (p) dp -* f (8) d* = K — = N-f | емин < e <eMaK0 I, (П7.1)
где Ncm~3 = const. Излучательные способности среды для обыкновенной
и необыкновенной волн можно найти по формуле (П3.7), интегрируя мощ-
мощности (П3.8) по функции распределения (П7.1)
rf^^ pif(p)dp=$rPiNdy!ys. (П7.2)
Здесь черта означает усреднение по направлениям скорости электронов.
Коэффициенты поглощения для ультрарелятивистского случая впервые были
рассмотрены в работах [13] и определяются формулами
(П73)
Так как для степенного распределения (П7.1) имеем — df (р)/д& —
= (s^2)Ndyimc2ys+1 то
y 8п3 - ,¦
^2) (П74>
Если исходить из картины излучения индивидуального заряда, то на
первый взгляд могло бы показаться, что-в формулах (П7.2), (П7.3) должны
296

присутствовать не излучаемые мощности Р', а наблюдаемые интенсивности
/дабл излучения отдельного электрона. Такая ошибка допущена, например,
в работе [13].
Различие величин Р' и /дабл было детально проанализировано в работах
[14], а рассмотрение указанных тонкостей, связанных с использованием этих
формул, проведено в работах [15].
Если функция распределения / (t, г, р) явно зависит от времени (неста-
(нестационарная плазма), то в формулах (П7.2) и (П7.3) необходимо учитывать за-
запаздывание. В частности, для одного электрона
/dp' dT'=dlr'-ro(t)]6(p'[l-pilN(p'[-p±)dp'll dp'xdr' (П7.5)
с нормировкой | fdp'dr' = J6 [г' — г0 (t)]dzr = 1.
Тогда наблюдаемая интенсивность излучения отдельного электрона в
соответствии с (П7.2)
= Р> J б (г' -г. (/')) dr' =P' J б (г' -г, (/')) dz', (П7.6)
где г0 (f) = z0 @) + v. t', t' = t — —-1 г — г' |, г1— точка наблюдения. Заме-
1 — — 1
чая далее, что dt'ldz' = — (г —г')/| г — г' | = — cos 6, и обозначая ф (г') =
С С
= г' — г0 (f), имеем
1 1 1
!¦
d<p(z')/dz' l—v^dt'ldz' I—f
Следовательно, из (П7.6) находим
/' _ —РЧ1\ R,, гпъ п\ (ТП 7\
так что /„абл Ф Р1, если |3 ц ф 0 и 0 ф-щ2. Этот пример, а также кинетичес-
кинетическое рассмотрение, проделанное как в работах [6, 12], так и во многих других
(см. например [16]), показывает, что в формулах (П7.2), (П7.3) фигурируют
именно мощности Р1, определяемые формулами (П3.8)*, в которых для
ультрарелятивистского случая можно сумму по п заменить интегралом
(S —> J dn), вычисляемым с помощью б-функций, так что имеем
(«F)l вд, (П7.8)
где | = (cosG — P||)/sin6; || = Р± sin 9/A—Р(| cos 6),
* Любопытно, что этот факт (справедливость формул (П7.2), (П7.3)) не-
некоторые авторы, использовавшие формулы излучения индивидуального
заряда в качестве исходных, склонны интерпретировать как «счастливое об-
обстоятельство » (см., например [4, 16]). При кинетическом подходе оно воз-
возникает вполне закономерно вследствие кинетического рассмотрения.
297

Для функций Бесселя вида Jn (n$) существуют приближения трех типов,
которые можно назвать соответственно «нерелятивистским» Jn (/if?) -x
~ {пР)(л> /2"п!, при яР < 1, «слаборелятивистским»
\/ -Г- (~—-' | exp(nly) при niy3 » 1, (П7.9)
и «ультрарелятивистским»
-^) (П7.10)
3W
при п > 1, y > 1 > ГДе
~ 1 sin 8 C0S9 — Pii
(i-t-_ctge), E = J
Y__= ?(it_ctge), E . x/i + |V-
I/ i D2 л Sin О
Полагая Р ц = P cos #, можно видеть, что при Р —» 1, у » 1 в (П7.10) важны
малые | и тогда приближенно % = 9 — ОС l.'y = у sin 6/х, а формулы (П7.8)
принимают вид
Р1 •* = Аух* {¦** № — \)к\1Ъ(хк*12); %*К\1Ъ{ху?12)), (П7.11)
где А = Зе2шв/8яс3, х = 2w/3<bby2 sin 6. Если частицы распределены сфе-
сферически симметрично, то мощности (П7.11) можно усреднить по углу ¦&,
и тогда
Я 4-<х>
^ Г Г ? = _sinef(*); (П7.12)
4
; = -^ Г Р''2я sin &<№:_— Г
0
Наконец, для степенного распределения электронов (П7.1) из формулы
(П7.2), (П7.3) и (П7.12) находим
г_. dy . /sine4--l
il' (s)= \ PlN —L = ANli sin9/ | 2 (П7.13)
J ys \<O/ff>? /
где численные множители
Ь1.2____1
s ~24(s + l
Коэффициенты поглощения в соответствии с формулой (П7.4) равны
___,.^3Li../5!__AiT1. (П7Л4)
1
1 lco/(oB
Поток излучения, выходящий из слоя плазмы с однородным полем, равен
ц' . (Т1 _ при а _ < 1,
/' = —A—ехр( —а_))= '. . .
а' v ' 1т)'/а' при a'L » 1.
298

Таким образом, для высоких частот, где поглощение не играет роли, имеем
I—s
спектр /' ~ т)' ~ со 2 со степенью поляризации
(П7Л5)
в то время как для запертых частот имеем спектр
со степенью поляризации
<П7Л7>
Приведенные формулы определяют основные закономерности циклотрон-
циклотронного излучения в^ультрарелятивистском случае. Заметим, что спектр запер-
запертых гармоник (П7.16), полученный впервые в работе [13], играет, по-видимо-
по-видимому, важную роль в формировании спектра космических лучей, которые
по современным представлениям образуются в плазменных туманностях
путем ускорения частиц при их'взаимодействии с волнами [18].
СЛИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трубников Б. А., Бажанова А. Е. В сб.: Физика плазмы и проблема уп-
управляемых термоядерных реакций. М., Изд-во АН СССР, 1958, т. 1П-,
с. 121; Trubnikow В. A., Kudryavtsev V. S. Ргос. II U. N. Conf. in Geneva,
1958, v. 31, p. 93.
2. Drummond W. E. Rosenbluth M. N. Phys. Fluids, 1963, 6, 276.
3. Rosenbluth M. N. Nucl. Fusion, 1970, 10, 340.
4. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. Пер. с англ. М., «Мир»,
1971, с. 253.
5. Canobbio E., Giuffre S. Nucl. Fusion, 1970, 10, 189.
6. Krajcik R. A. Nucl. Fusion, 1973, 13, 7.
7. Трубников Б. А. В сб. Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций. М., Изд-во АН СССР., 1958, т. III, с. 104.
8. Зубарев Д. Н. Климов В. Н. В сб.: Физика плазмы и проблема управляе-
управляемых термоядерных реакций. М., Изд-во АН СССР, 1958, т. I, с. 249.
9. Арцимович Л. А. и др. Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res., IAEA,
Vienna, 1969, v. 1, p. 172.
10. Golovin I. N. e. a. Proc. Nucl. Fusion Reactors Conf., Culham, 1969, p. 194
11. Соловьев Л. С, «Атомная энергия», 1971, 30, 14.
299

12. Merrier C. Int. Conf. Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion. Salzburg, 1961,
p. 95.
13. Трубников Б. А. В сб.: Физика плазмы и проблема управляемых терма-
ядерных реакций. М., Изд-во АН СССР, 1958, т. IV, с. 305; «Докл. АН
СССР», 1958, 118, 913.
14. Kawabata К. Publ. Astron. Soc. Japan, 1964, 16, 30.
15. Мычелкин Э. Г. «Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.», 1967, № 4, с. 83;
«Астрономический журнал», 1968, 45, 408.
16. Гинзбург В. Л., Сазонов В. Н., Сыроватский С. И. «Успехи физ. наук»,
1968, 94, 63; Scheuer P. A. G. Astrophys J. 1968, 151, L, 139; см. также [4],
с. 224.
17. Сазонов В. Н., Цытович В. Н. «Изв. вузов. Сер. радиофиз.», 1968, 11.
18. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. М., Атомиздат, 1971.

СОДЕРЖАНИЕ
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ. А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев 3
Введение 3
Глава 1. Взаимодействие волна—волна 6
§ 1.1. Резонансное взаимодействие плазменных волн 6
§ 1.2. Взаимодействие волн конечной амплитуды 18
§ 1.3. Параметрические неустойчивости высших порядков 24
§ 1.4. Приближение геометрической оптики 27
§ 1.5. Взаимодействие волн в приближении хаотических фаз ... 28
§ 1.6. Слабая турбулентность в терминах кинетического уравнения
для волн 34
§ 1.7. Неустойчивость мод с отрицательной энергией 39
§ 1.8. Адиабатическое приближение (взаимодействие между высоко-
высокочастотными и низкочастотными волнами) 42
Глава 2. Взаимодействие волна—частица 45
§ 2.1. Взаимодействие волна — частица в случае монохроматичес-
монохроматической волны 45
§ 2.2. Случай многих волн (одномерный спектр) 54
§ 2.3. Случай многих волн (двух- и трехмерные спектры) . ... 61
§ 2.4. Влияние столкновений на взаимодействие волна—частица . 67
§ 2.5. Квазилинейная теория электромагнитных мод 72
§ 2.6. Нерезонансное взаимодействие волна — частица 77
§ 2.7. Квазилинейная теория дрейфовой неустойчивости 84
Глава 3. Нелинейное взаимодействие волна—частица 94
§ 3.1. Ленгмюровская турбулентность 94
§ 3.2. Ионно-звуковая турбулентность 101
§ 3.3. Индуцированное рассеяние света в плазме (основные уравне-
уравнения) 104
§ 3.4. Релаксация линии излучения в плазме 108
Глава 4. Аномальное сопротивление в плазме 114
§4.1. Постановка задачи. Законы сохранения 114
§ 4.2. Аномальное сопротивление вследствие ионно-звуковой не-
неустойчивости 120
§ 4.3. Квазилинейные эффекты в аномальном сопротивлении при
ионно-звуковой неустойчивости 124
§ 4.4. Аномальное сопротивление из-за других типов неустойчивости 135
Заключение 138
Приложение 140
Список литературы 142
301

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ. Н. С. Ерохин.
С. С. Моисеев 146
Введение 146
Л. Линейная трансформация волн в неоднородной плазме 148
§ 1. Типы «пересечения» решений и особенностей поля электромаг-
электромагнитной волны в неоднородной плазме 148
1. Классификация «пересечения» решений в случае одномерной не-
неоднородности 148
2. Об особенностях поля электромагнитной волны в холодной плаз-
плазме с одномерной и двумерной неоднородностью параметров . 150
¦§ 2. Надбарьерный тип трансформации 154
¦§ 3. Аномальный тип трансформации волн 159
1. Аномальный тип пересечения. Вводные замечания 159
2. Методы исследования аномального пересечения 160
3. Некоторые физические особенности и примеры аномальной
трансформации волн 167
•§ 4. Некоторые особенности трансформации волн и переходного из-
излучения при взаимодействии пучков и зарядов с плазмой . . 172
1. Влияние «пересечения» колебаний на режим работы плазменно-
пучкового разряда 172
2. Анизотропия переходного излучения зарядов в слабонеоднород-
слабонеоднородной изотропной плазме 178
§ 5. Каналирование и поглощение электромагнитных волн в облас-
области особенности поля при двумерной неоднородности плазмы 180
1. О возможности одновременного поглощения и каналирования
энергии в неоднородной среде 180
2. Поглощение электромагнитных волн в тороидальных системах 182
2. Генерация гармоник, распадные процессы и спектры излучения
в неоднородной плазме 184
§ 1. Особенности нелинейного взаимодействия волн в неоднородной
плазме х . 184
1. Нелинейное смешивание волн 184
2. Распад волны конечной амплитуды 185
§ 2. Генерация гармоник электромагнитной волны в неоднородной
плазме 187
§ 3. Спектр излучения захваченного в плазменной полости . . . 190
3. Просветление волновых барьеров в неоднородной плазме .... 192
§ 1. Вводные замечания 192
§ 2. Нелокальные эффекты в неоднородной плазме 193
1. Линейная регенерация и всплески поля необыкновенной
волны в неоднородном магнитном поле 193
2. Линейная регенерация волны при неполном фазовом перемеши-
перемешивании резонансных частиц 198
3. Линейная нелокальная трансформация волн в неоднородной
плазме 200
4. Нелинейная нелокальная трансформация поперечных волн в
продольные 201
Список литературы 202
-«НЕОКЛАССИЧЕСКАЯ» ТЕОРИЯ ДИФФУЗИИ. А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев . . . 205
Введение 205
Глава 1. Кинетическая теория равновесия плазмы в аксиально
симметричных системах
210
§1. Коэффициенты переноса разреженной плазмы (сводка резуль-
результатов) 210
302

§ 2. Коэффициенты переноса разреженной плазмы (качественное
рассмотрение) 211
§ 3. Движение отдельных частиц 217
§ 4. Простая модель равновесия плазмы в торе 220
§ 5. Учет электрон-электронных соударений 227
§ 6. Неоклассическая теплопроводность ионов 229
§ 7. «Пинчевание» запертых частиц 230
§ 8. Термоэлектрические и термодиффузионные явления 232
§ 9. Коэффициенты переноса в не очень разреженной плазме . . . . 233
§ 10. Равновесие разреженного плазменного шнура в Токамаке и
предельное давление плазмы 23&
§ 11. Тепловой баланс плазмы в «Токамаке» 240
§ 12. Неоклассическая диффузия в «Токамаке» с магнитными поверх-
поверхностями произвольной формы 243
Глава 2. Тороидальные стеллараторы 243
§1. Дрейфовые траектории «запертых» частиц вблизи оси стеллара-
тора 245
j 2. Численный расчет движения отдельных частиц в стеллараторе 250
§ 3. Супербанановая диффузия в стеллараторе с малой тороидаль-
ностью (качественное рассмотрение) 252
§ 4. Коэффициенты переноса в тороидальном стеллараторе (расчеты
частных случаев) 257
§ 5. Диффузия в стеллараторе с разрушенными магнитными поверх-
поверхностями 264
§ 6. Процессы переноса в крутом стеллараторе 265
Приложение 1 267
Приложение 2 268
Список литературы 271
универсальный коэффициент выхода циклотронного излуче-
излучения ИЗ ПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ. Б. А. Трубников 274
Приложение 1 276
Приложение 2 279
Приложение 3 282
Приложение 4 285
Приложение 5 290
Приложение 6 293
Приложение 7 296
Список литературы 299