THEORY
OF
FULLY IONIZED
PLASMAS
GUNTER ECKER
Professor of Physics
Institut fur theoretische Physik
Ruhr-Universitdt
Bochum, BRD
1972
ACADEMIC PRESS
New York and London

Г. ЭККЕР
ТЕОРИЯ
ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ
ПЛАЗМЫ
Перевод с английского
Л. С. Богданкевич и И. С. Данилкина
Под редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф. А. А. Рухадзе
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
МОСКВА 1974

УДК 533.9.01
Г. Эккер — известный западногерманский физик-теоретик. Его
книга «Теория полностью ионизованной плазмы»— учебный курс,
в котором глубоко и систематически излагаются теоретические
аспекты физики плазмы (в отсутствие внешних полей). Часть I
посвящена обоснованию статистической механики для систем заря-
заряженных частиц с кулоновским взаимодействием. В этой части
рассматриваются все существующие статистические методы решения
данной проблемы и проводится их сравнительный анализ. В части II
исследуются вопросы использования общих уравнений при
решении задачи о взаимодействии электромагнитного излучения
с плазмой.
Книга может служить учебным пособием для студентов старших
курсов и аспирантов, специализирующихся в области газовой элек-
электроники, физики плазмы и статистической физики; она полезна
также научным работникам, занимающимся соответствующими про-
проблемами.
Редакция литературы по физике
20409	070
¦ 70—74 (с) Перевод на русский язык, «Мир», 1974
041 @1)—74

Предисловие редактора перевода
Модель газа, состоящего из заряженных частиц с куло-
новским взаимодействием, или, как принято говорить,
модель полностью ионизованной плазмы, — одна из мате-
математически строго обоснованных и завершенных моделей
статистической механики сплошных сред. Формулировка
этой модели и ее обоснование были даны в классических
работах А. А. Власова, Л. Д. Ландау, Н. Н. Боголюбова,
Ю. Л. Климонтовича, В. П. Силина, А. Ленарда и Р. Ба-
леску. Особая роль в создании и развитии статистической
физики плазмы принадлежит советским ученым, что
должным образом отражено в предлагаемой русскому
читателю книге известного западногерманского физика-
теоретика Г. Эккера «Теория полностью ионизованной
плазмы».
Книга Г. Эккера содержит последовательное изложе-
изложение теории полностью ионизованной плазмы на основе
динамического уравнения Климонтовича для плотности
микроскопического распределения частиц. Исходя из это-
этого уравнения выводятся все основные уравнения (уравне-
(уравнения Власова, Ландау и Ленарда — Балеску) газовой
плазмы в условиях, когда энергия взаимодействия частиц
мала по сравнению с их средней кинетической энергией.
Такой метод позволил автору совместить достаточно высо-
высокую степень математической строгости с физически ясным
и наглядным изложением теории газовой плазмы.
Следует отметить, что теория плазмы па основе дина-
динамического уравнения для плотности микрораспределения
частиц уже излагалась в монографии Ю. Л. Климонтовича
«Статистическая теория неравновесных процессов», вы-
вышедшей небольшим тиражом в 1963 г. в Издательстве

Предисловие редактора перевода
МГУ. С тех пор в этой области был достигнут значительный
прогресс, и этот прогресс хорошо отражен в книге Г. Эк-
Эккера.
Нет сомнения, что книга Г. Эккера окажется весьма
полезной для специалистов, занимающихся теорией плаз-
плазмы и статистической физикой, и в особенности для сту-
студентов старших курсов и аспирантов, изучающих эти
области физической науки.
А. А. Рухадзе

Предисловие автора к русскому изданию
В последнее время на книжном рынке появился ряд
полезных и содержательных книг, посвященных частично
или полностью ионизованному газовому состоянию. Одна-
Однако мне кажется, что они имеют два существенных не-
недостатка.
Первый из них состоит в том, что нет строгого теорети-
теоретического анализа таких обычных газовых разрядов, как
дуговой, тлеющий, коронирующий и искровой разряды,
которыми в течение некоторого времени почти не занима-
занимались, но которые в последнее время представляют значи-
значительный интерес в связи с их практическим применением.
Второй недостаток заключается в некоторой непосле-
непоследовательности вывода основных законов для наиболее
простого плазменного состояния — полностью ионизован-
ионизованной системы — из фундаментальных принципов статисти-
статистической механики и электродинамики.
Работа над учебником по газовому разряду может
оказаться трудной и неблагодарной задачей. Теорети-
Теоретические представления в этой области еще недостаточно
ясны, и имеется заметное число разногласий. Наоборот,
решая вторую задачу, можно достичь известной степени
завершенности, определенности и последовательности.
Поэтому меня привлекла возможность попробовать свои
силы во второй задаче, хотя и к первой я отношусь
с большим интересом.
Я надеюсь, что настоящая книга может дать аспиран-
аспирантам и научным сотрудникам, работающим в области физй-
Ки Плазмы, астрофизики и смежных областях, ту глубину
Понимания, кото^ай rie только приводит к удовлетворен-
удовлетворенности в работе и уверенности в себе, но и создает надеж-
надежный фундамент для научно-исследовательской работы.

Предисловие автора к русскому изданию
Я рад, что моя книга переведена на русский язык.
Беглый взгляд на имена авторов библиографического
списка показывает, что основная часть исследований
в этой области выполнена в СССР. Такие ученые, как
Н. Н. Боголюбов, Л. Д. Ландау, Ю. Л. Климонтович,—
вот лишь некоторые из имен, — внесли решающий вклад
в основы данного раздела науки. Более того, в настоящее
время физика плазмы успешно и глубоко изучается в СССР
многими широко образованными и блестящими учеными.
Я надеюсь, что мои советские коллеги сочтут эту книгу
полезной для себя.

Предисловие автора к английскому изданию
Необычная сложность экспериментальных работ
в области газовой электроники, с которыми я был знаком
в силу прежних связей с некоторыми пионерами в данной
области, всегда привлекала мое внимание. Мой интерес
был направлен на анализ этих физических явлений,
которые, как я вскоре осознал, требуют более глубокого
понимания основных особенностей физики плазмы. На
этой основе возник курс лекций, который я читал в тече-
течение многих лет главным образом в университетах Бонна
и Бохума, а также в университетах Америки, которые
мне иногда удавалось посещать.
По мере того как совершенствовался курс лекций, меня
все более и более стала интересовать математическая
строгость и четкость формулировок основных концепций
физики полностью ионизованной системы. Поэтому посте-
постепенно основной акцент в моих лекциях переместился
с газовой электроники на обсуждение полностью ионизо-
ионизованной плазмы.
В настоящее время имеются работы, в которых рас-
рассмотрены многие вопросы, относящиеся к полностью
ионизованной системе при различных частных условиях.
Но содержание любой из этих работ очень трудно предста-
представить в систематической и полной форме так, чтобы изло-
изложение основных теоретических способов описания равно-
равновесных и неравновесных состояний исходило из перво-
первоначальных принципов. Цель данной книги заключается
в стремлении дать именно такое изложение.
Само собой разумеется, что, когда стремишься развить
такой общий подход, соблюдая известную строгость, необ-
необходимо использовать единую простую модель. Поэтому
в книге не рассматривались ни эффекты^ вызываемые

10	Предисловие автора к английскому изданию
внешними полями, ни вопросы приложения к конкретным
задачам.
Книга предназначена для аспирантов и научных сотруд-
сотрудников, работающих в области физики плазмы, астрофизи-
астрофизики или в смежных с ними областях. Читатель должен быть
знаком с основными понятиями классической теорети-
теоретической физики.
Я обязан многим людям. Это прежде всего авторы ори-
оригинальных работ, цитировавшихся или изложенных в кни-
книге. Я хотел бы особо отметить таких выдающихся ученых
в области физики плазмы, как М. Розенблют, А. Кауфман,
В. Кункель и П. Стэррок, которые прослушали мои лек-
лекции и участвовали в дискуссиях, принесших книге значи-
значительную пользу. Я также признателен за бесчисленные
обсуждения моим сотрудникам. За критику, постоянную
помощь и содействие я приношу особую благодарность
К. Фишеру, Г. Фрёмлингу, К. Риману и К. Шпачеку.
Оглядываясь назад и перелистывая страницы,
я чувствую, что в содержании книги есть много мест,
которые можно расширить и улучшить. Но здесь, как
и все другие, я вижу, насколько справедливо изречение
Гёте: «Такую работу в сущности никогда нельзя завер-
завершить; ее можно лишь объявить завершенной, если с учетом
времени и обстоятельств сделано все возможное».

Список обозначений
Общие замечания
1.	В настоящей книге используется огромное коли-
количество функций. Имеющихся в распоряжении обозначений
не хватает для того, чтобы различить их. Поэтому одно
и то же обозначение функции, отличающейся аргументом,
может характеризовать разные функциональные зави-
зависимости.
2.	В данный список не включены обозначения, исполь-
используемые для сокращений в очень небольшой части текста.
3.	Переменные (^-пространства имеют индексы слева
вверху в отличие от переменных Г-пространства, у которых
индексы располагаются справа внизу.
4.	В нескольких случаях различные величины, смысл
которых ясен из контекста, обозначаются одинаково.
Обозначения общего характера
У — фурье-образ функции у
у — образ функции у в преобразовании Лапласа
у — вектор
| у | — у — модуль вектора
у — единичный вектор
у — тензор п-то ранга (п = 2, . „ .)
п
у) (у —диада
у — оператор
{#> у} —скобки Пуассона
у — набор величин
(У) — среднее значение
Обозначения латинскими буквами
а — внешний термодинамический параметр
Л — обобщенная сила

12	Список обозначений
А — векторный потенциал
Ъ — прицельный параметр
Ъг —групповой интеграл порядка I
bvll — коэффициент Грэда
В — вектор магнитной индукции
Д» — спектральная плотность излучения черного
тела
A —N) BN —N-& вириальный коэффициент
Bjk — коэффициент прямой передачи тепла двум
компонентам
с — скорость света
С — постоянная Эйлера
Cv — теплоемкость
D — вектор электрической индукции
De — электрический дипольный момент
Dm — магнитный дипольный момент
D° — область столкновений
D (к, р) —диэлектрическая проницаемость
е — элементарный заряд
ze, e+ — заряд ионов
~е, €_ — заряд электронов
Е — полная энергия
Е —вектор электрического поля
Щ — энергия электрона
%у — плотность энергии в единице объема
в вакууме, приходящаяся на единичный
интервал угловой частоты
f р — плотность энергии в единице объема
в плазме, приходящаяся на единичный
интервал угловой частоты
fN — функция распределения в Г~пространстве
fW — равновесная функция распределения в
Г-пространстве
fs — частная функция распределения порядка s
ps) — общая функция распределения порядка s
/v} — общая функция распределения для v-й
компоненты
Д,1} ^r /v — общая одночастичная функция распределе-
распределения

Список обозначений	13
fs — нормированная функция распределения
порядка s
/о — функция распределения в нулевом при-
приближении
/ — возмущение функции распределения
fu — функции групповых разложений
F — свободная энергия Гельмгольца или соот-
соответственно сила
^*(г? Р) — плотность распределения Климонтовича
для i-й частицы
F<fe> — плотность распределения Климонтовича
для всех частиц сорта к
F(u) — функция распределения, зависящая от од-
одной компоненты скорости
g — относительная скорость
gtj — парная корреляционная функция частиц i
и /
gtjk — тройная корреляционная функция частиц
i, j w к
gtj — функция групповых разложений в методе
Майера
G, G, G — факторы Гаунта
Н — постоянная Планка
ht — сферическая функция Ханкеля
h^ — тепловой поток
h^ — тензор теплового потока
3
Н — Я-функция Больцмана
Н — гамильтониан
Н — вектор магнитного поля
Нг — функция Ханкеля
r)j j <s)jf) — интеграл столкновений частиц, описывае-
описываемых функциями распределения (Г)/ и (S>/
/о — интенсивность излучения
j — плотность электрического тока
ji —сферическая функция Бесселя
/щ — коэффициент излучения
J — поток в пространстве скоростей
Ji — функция Бесселя
к — волновой вектор

14	Список обозначений
kD — обратная дебаевская длина
Kv — модифицированная функция Бесселя
I — средняя длина свободного пробега
Хо — оператор Лиувилля
т+ — масса ионов
tti_ — масса электронов
т0 — масса покоя
М — вектор намагничения
M^v — приведенная масса
п — плотность частиц; показатель преломления
N — полное число частиц
р — давление
р — импульс
Р — вектор поляризации
PN —нормированная функция распределения в
конфигурационном пространстве
Ps —частная молекулярная функция распреде-
распределения порядка s
jP(s) — общая молекулярная функция распределе-
распределения порядка s
P(s + 1 | s) — плотность условной вероятности
$* — главное значение Коши
Pj — полином Лежандра
q^ — поток энергии
qp, — тензор потока энергии
з
Ча — функция групповых разложений с учетом
экранирования
qi/m — термодинамический коэффициент переноса
Q —тепловая энергия
Q — тензор рассеяния
Qe — электрический квадрупольный тензор
2
Q(gy,v) — поперечное сечение
г — координата конфигурационного простран-
пространства
г — расстояние
г0 — среднее расстояние между частицами
rw — классический радиус взаимодействия
R — коэффициент отражения

Список обозначений	15
S — энтропия
S — вектор Пойнтинга
cfs —s-частичный оператор временного сдвига
t — время
tc — время взаимодействия двух частиц
Т — термодинамическая температура
и — компонента скорости
ир — фазовая скорость
ug — групповая скорость
U — внутренняя энергия
v — удельный объем
v — скорость
vT — средняя тепловая скорость
V — объем
w (Q) — энергия излучения за секунду в единичном
угле
wT — полная энергия излучения за секунду
W — энергия
W (G) — функция распределения величины G
х — координата конфигурационного простран-
пространства в задачах излучения
Z — статистическая сумма (интеграл)
Zg — статистическая сумма (интеграл) макро-
канонического ансамбля
Z — вектор Герца
Z (I) — дисперсионная функция
Обозначения греческими буквами
а — коэффициент поглощения
Р — автокорреляционная функция; отноше-
отношение vie
pfe — неприводимый групповой интеграл поряд-
порядка к
ys — конфигурационное пространство 5-й ча-
частицы
Г — фазовое пространство
Г {х) — гамма-функция

16	Список обозначений
б — число частиц в дебаевской сфере
б (х) — функция Дирака
8tj — символ Кронекера
А — оператор Лапласа
А (х, у) — функция Дирихле
s — тензор диэлектрической проницаемости
&j — функция групповых разложений
ц — коэффициент трения
г\ф — дифференциальная излучательная способ-
способность
г)т — полная излучательная способность
9 —модуль распределения Гиббса
к — коэффициент теплопроводности
хв — постоянная Больцмана
xd — постоянная Дебая
к© — коэффициент пространственного поглоще-
поглощения
X — длина волны
X — длина волны де Бройля, соответствующая
тепловой скорости
Хс — средняя длина свободного пробега
^d — дебаевская длина
Л — плазменный параметр
\i — фазовое пространство
jj, — химический потенциал
\i — подвижность электронов
[л0 — магнитная проницаемость
vc — частота столкновений
Псв — параметр связи
Ппл — параметр плотности
р — плотность массы; плотность заряда
р — сопротивление
о — тензор проводимости
а — дифференциальное поперечное сечение
х — характерное время
тс — время свободного пробега

Список обозначений	17
хр — период плазменных колебаний
Ъз — время взаимодействия
Th — гидродинамический масштаб времени
я|э — общая потенциальная энергия
%е — электрическая восприимчивость
%т —магнитная восприимчивость
сор — плазменная частота
(dL — ларморовская частота
Q — телесный угол
Ф — потенциал
фи —потенциальная энергия
фс — характерное значение потенциальной
энергии
2—01291

Модель полностью ионизованной плазмы
и кулоновская система
В исследуемой ниже модели полностью ионизованной
плазмы электроны и ионы представляют собой устойчивые
образования. Они характеризуются только массой и заря-
зарядом. При этом частицы рассматриваются как точечные.
В принципе допускается образование из электронов
и ионов подсистем (атомов и молекул). Частицы в таких
подсистемах характеризуются тем, что их время корреля-
корреляции значительно больше среднего времени флуктуации
в системе, которое определяется отношением среднего рас-
расстояния между частицами к средней скорости частиц.
Мы предполагаем, что число нейтральных подсистем
настолько мало, что их влиянием можно пренебречь.
Последнее исключает из рассмотрения частично ионизо-
ионизованные системы.
Далее, модель полностью ионизованной плазмы харак-
характеризуется следующими условиями:
1. Во всех случаях, кроме упомянутых выше подсистем
и случая полуклассической аппроксимации выражения
для статистической суммы, предполагаем, что h = 0 (h —
постоянная Планка).
Общего критерия применимости классической механи-
механики вообще не существует. Пренебрежение эффектами
вырождения оправдано, если выполняется неравенство
Здесь г0 — среднее расстояние между частицами, а К —
длина волны де Бройля, соответствующая тепловой ско-
скорости. С другой стороны, возможность пренебрежения
квантовомеханическими эффектами зависит от рассматри-
рассматриваемых явлений. Большинство квантовомеханических
2*

20	Модель полностью ионизованной плазмы
эффектов можно не учитывать, если выполняется следую-
следующее условие:
Х	<Г	B)
где rw — классический радиус взаимодействия. Если нару-
нарушается условие B), то при рассмотрении процессов рас-
рассеяния, приводящих к сильным отклонениям, необходимо
учитывать квантовомеханические поправки. Однако при
решении этих вопросов следует помнить, что для куло-
новского рассеяния классические результаты в первом
приближении совпадают с квантовомеханическими.
2.	Поскольку мы не рассматриваем релятивистские
эффекты или магнитное взаимодействие, vn/cn = 0 для
гс>2.
3.	Система имеет достаточно большие размеры, так
что наличие границ не влияет на поведение частиц.
4.	Скорость света с = оо. В той части книги, где
используется это допущение, рассматриваемая полностью
ионизованная плазма называется кулоновской системой.

Часть I
Полностью ионизованная система
в квазистатическом электромагнитном
поле. Кулоновская система

Глава 1
Равновесные состояния
кулоновской системы
§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Измерения некоторой величины F (р, г), являющейся
функцией переменных риг рассматриваемой нами систе-
системы, приводят к понятию наблюдаемого среднего этой вели-
величины
г+%
<*•>* = v J *Чр,г)Л,	A.1)
v
где т — интервал измерений, a f — время начала изме-
измерений.
Чтобы выяснить смысл понятия наблюдаемого среднего
( )t, целесообразно рассмотреть эволюцию изучаемой
системы в Г-пространстве, т. е. фазовом пространстве,
образованном совокупностью координат и сопряженных
импульсов всех частиц системы. В этом пространстве
исследуемая система представляется отдельной точкой,
а ее развитие во времени — линией, называемой «фазовой
траекторией».
Прямой, хотя и наивный, метод состоял бы в расчете
фазовой траектории путем решения уравнений Гамильто-
Гамильтона, описывающих поведение нашей механической системы
при заданной совокупности начальных условий. Невоз-
Невозможность подобной процедуры ясна из очевидных прин-
принципиальных и практических соображений. Вместо этого
мы воспользуемся методом, развитым Гиббсом [2]. Рас-
Рассмотрим ансамбль систем, обладающих тождественными
свойствами. Любой из таких виртуальных гиббсовых
ансамблей представится системой точек, которая может
быть описана с помощью функции плотности распределе-
распределения fN (p, r, t) в Г-пространстве. Предполагая, что эта
функция распределения для рассматриваемого ансамбля

24	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновскои системы
Гиббса, находящегося в равновесии, известна и задана
функцией /$} (р, г), мы, следуя Гиббсу, постулируем, что
среднее по ансамблю
A.2)
совпадает с наблюдаемым средним, полученным из изме-
измерений, т. е.
(F)s = {F)x.	A.3)
Очевидно, что данный постулат предполагает следую-
следующие три допущения.
1.	Наблюдаемое среднее совпадает со средним по вре-
времени, определяемым формулой
(F)t = \im(F)x.	A.4)
Т-*оо
2.	Среднее по времени (F)t совпадает со средним по
ансамблю (F)s.
3.	Среднее по ансамблю может быть рассчитано
с помощью функции распределения, усредненной по круп-
крупным ячейкам Г-пространства.
Эти допущения сыграли важную роль в историческом
развитии статистической физики и известны в литературе
под названиями типа «эргодической гипотезы», «необра-
«необратимости» или «парадокса Лиувилля».
Принимая постулат Гиббса, мы сводим задачу к нахож-
нахождению средней функции распределения /$} для виртуаль-
виртуального ансамбля равновесных систем.
1.1. Теорема Лиувилля
Составляющие элементы ансамбля Гиббса не могут ни
взаимодействовать друг с другом, ни разрушаться, ни
вновь возникать. Следовательно, для любой функции
распределения должно выполняться простое уравнение
непрерывности
где Vr=

§ 1. Исходные положения	25
ИЛИ
^L=0.	A.6)
Используя канонические уравнения классической меха-
механики в виде
Vr.Vr==0,	A.7)
из уравнения A.6) находим
r/JV=i^ + {/Wrtf}=o) A.8)
где мы использовали скобки Пуассона { }. Соотношение
A.8) представляет собой формулировку теоремы Лиувилля.
Теперь можно высказать утверждение: стационарная
функция распределения в Г-пространстве в любом случае
может выражаться лишь через инварианты движения.
Доказательство такого утверждения для любой функ-
функции распределения, удовлетворяющей уравнению Лиувил-
Лиувилля, непосредственно следует из этого уравнения: из га-
мильтонова формализма известно, что всегда можно найти
такое каноническое преобразование, что новые координаты
и импульсы R, Р будут константами:
dR (г, р, t) __ dV (г, р, t) 0	м Q
di ~ dt ~u*	, ^'у'
В этих новых переменных уравнение Лиувилля записыва-
записывается в виде
d f т Р А - dfN dR л. dfN dV j_ dfN - df* ~ 0
dt In\ix> r' t>-~m~'~lF'i~~dF"~dF'i дГ~~~дГ~и'
A.10)
Отсюда видно, что fN есть функция только инвариантов
движения R и Р.
Для консервативной системы таким инвариантом
является функция Гамильтона Я, хотя, разумеется, не
только она. В зависимости от физической ситуации могут
оказаться важными и другие инварианты движения. Одна-
Однако, следуя Гиббсу, мы ограничимся рассмотрением лишь
таких функций распределения, которые зависят только
от гамильтониана,

26	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
1.2. Статистические ансамбли
Использовав условие нормировки
=l,	A.11)
Гиббс ввел определения следующих статистических
ансамблей.
Микроканонический ансамбль — совокупность консер-
консервативных систем в Г-пространстве с заданными энергией Z?,
числом частиц N и внешними термодинамическими пара-
параметрами а. Соответствующая ему функция распределения
в фазовом пространстве есть
±-
A.12)
где Q — нормировочный коэффициент.
Канонический ансамбль — совокупность систем в
Г-пространстве с заданными значениями статистического
параметра (модуля распределения) в, числа частиц N
и внешних параметров а. Соответствующая этому ансамб-
ансамблю функция распределения в фазовом пространстве есть
н (р*г* а)
	5
Здесь Z — статистический интеграл (статистическая сум-
сумма), который, согласно условию нормировки A.11), име-
имеет вид
Вывод термодинамических соотношений с помощью
данной функции распределения и сравнение с термодина-
термодинамической шкалой температур показывают, что параметр в
связан с термодинамической температурой Т соотношением
в=ив7\	A.15)
где Хв — постоянная Больцмана.
Макроканонический ансамбль — совокупность систем
в Г-пространстве с заданными значениями двух статисти-
статистических параметров © и т! и внешдими параметрами д.

§ 1. Исходные положения	27
Соответствующая функция распределения в фазовом про-
пространстве для него выражается формулой
Здесь результирующий статистический интеграл макро-
канонического распределения Zg определяется с помощью
модифицированного условия нормировки, учитывающего
суммирование по всем частицам ансамбля,
N=0
Параметр в связан с температурой Т соотношением A.15).
Аналогичным образом можно убедиться, что параметр т'
тождествен химическому потенциалу \х.
Очевидно также, что выполняется соотношение
A.18)
Интересно обсудить, какие физические системы соот-
соответствуют перечисленным ансамблям.
Микроканонический ансамбль по определению пред-
представляет собой виртуальный ансамбль систем с постоян-
постоянными энергией и числом частиц. Он используется для опи-
описания термодинамически замкнутых систем.
Канонический ансамбль описывает системы с постоян-
постоянным числом частиц, но с переменной энергией. Вариация
энергии определяется статистическим параметром в. Физи-
Физический смысл этой вариации энергии можно понять из
рассмотрения подсистемы какой-либо микроканонической
системы со многими степенями свободы. Такой анализ
показывает, что распределение канонического ансамбля
аналогично распределению для выделенной подсистемы
и обмен энергией соответствует системе, находящейся
в тепловом контакте с термостатом, температура которого
определена параметром в.
Макроканонический ансамбль характеризуется вариа-
вариациями энергии, определяемыми параметром в, а также
вариациями числа частиц, определяемыми параметром т1',

28	Гл. 1. P авновесные состояния кулоновской системы
Снова, обращаясь к рассмотрению некоторой подсистемы
для микроканонической системы со многими степенями сво-
свободы, можно показать, что макроканонический ансамбль
описывает такие системы, которые находятся в кон-
контакте с большим термостатом, характеризуемым пара-
параметром в, и большим резервуаром частиц, характеризуе-
характеризуемым параметром т'. Таким образом, этот ансамбль соот-
соответствует термодинамически незамкнутым системам.
Функции распределения, описываемые с помощью пере-
перечисленных статистических ансамблей, совместно с посту-
постулатом Гиббса, позволяют рассчитать микроскопические
и макроскопические свойства физических систем, находя-
находящихся в равновесии. Вначале мы изучим макроскопические
свойства систем, в частности связь между статистической
суммой (или интегралом) и термодинамическими потен-
потенциалами. После этого обратимся к исследованию их
микроскопических характеристик,
§ 2. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
2Л. Соотношения между термодинамическими потенциала-
потенциалами и статистической суммой для канонического ансамбля
Дифференциал свободной энергии Гельмгольца опре-
определяется соотношением
dF =dU -TdS -SdT.	B.1)
Совместно с первым и вторым законами термодинамики,
записанными в форме
dQ ^dU — A-da -\idN,
B2)
соотношение B.1) преобразуется к виду
^	B.3)
Здесь через а снова обозначена экстенсивная обобщенная
координата, а через А —сопряженная ей интенсивная
переменная — обобщенная сила.
Рассмотрим теперь дифференциал функции (—6 In Z).
Это выражение является функцией параметров ©? а

§ 2. Макроскопические свойства	29
и числа частиц N. Для получения полного дифференциала
применим соотношение
Хехр(—J)dpdr, B.4)
которое есть следствие A.14). Используя выражения для
B-5)
и
А= <-вГ> = 1й?^ J "^еХр ( —5") dpdr' B'6)
полученные согласно определению среднего значения по
формуле A-2), находим
d (-6 In Z) = (-0In Z-U) din0 + A-
|L)?Mr. B.7)
Теперь, предполагая по-прежнему справедливость соот-
соотношения
в = ивГ,	B.8)
которое может быть доказано на основе определения
термодинамической температурной шкалы, видим, что
с точностью до констант, не представляющих интереса,
F = -6 In Z.	B.9)
Это соотношение связывает статистическую сумму для
канонического ансамбля с термодинамическими потенциа-
потенциалами. Имея выражение для свободной энергии Гельм-
гольца, все остальные термодинамические характеристики
можно найти путем простого дифференцирования. Исполь-

30
Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
зуя соотношение B.3) и полагая а = V, получаем
А=-р,
dF
dF
dF
T,V
B.10)
e2 a
5/62 д
dU
dT
2.2. Соотношения между термодинамическими потенциала-
потенциалами и статистической суммой для макроканонического
ансамбля
В данном случае наиболее целесообразно рассмотреть
величину pF, которая является термодинамическим потен-
потенциалом относительно переменных Т, V = а и |i. Диффе-
Дифференциал этой величины имеет вид
B.11)
B.12)
что легко получить из формулы
т. dF
dV
Левая часть формулы B.12) представляет собой следствие
теоремы Эйлера, справедливой при условии, что свобод-
свободная энергия Гельмгольца есть однородная линейная функ-
функция V и N. Это предположение правильно в рамках при-
применимости теоремы Ван-Хова.
Обратимся теперь к выражению для дифференциала
величины (в In Zg), рассматриваемой как функции пара-
параметров в, rnf и а. Согласно определению A.2), средние
энергию и величину обобщенной силы для макроканони-

§ 2. Макроскопические свойства
ческой системы запишем в виде
2V=0
/дН\ ъ	1	С дН	{ H — m'N\, Д
B.14)
Кроме того, поскольку N — переменная величина, среднее
число частиц есть
rhpr l(^г)dpdr' BЛ5)
N=0 g
Используя приведенные формулы и выражение для диф-
дифференциала
1 дН л 	/ H — m'N
"""F^T#daJ ехр \	е—
находим
d (в In Zg) = [в In Z^ + U — т' (N)] d In в +
+ (iV)d^' — A-da. B.17)
Применяя далее соотношения
0 = квТ, m' = jut,	B.18)
справедливость которых может быть доказана из термоди-
термодинамических определений этих величин, и сравнивая выра-
выражения B.17) и B.11), получаем
0 1nZg.	B.19)

32	Гл. 1. Равновесные состояния пулоновспой системы
Представляющие интерес остальные термодинамические
величины, как видно из соотношения B.11), могут быть
найдены путем простого дифференцирования. В результате
мы имеем
с
N =
d(pV)
d(PV)
dV
d(pV)
д\х,
г,
д .г\. у .
V 9Тдч
T, У1
B.20)
	XT и
v dV
n, г
Поскольку все макроскопические термодинамические
свойства рассматриваемой системы могут быть выражены
через ее статистическую сумму (или интеграл), проблема
определения этих макроскопических характеристик, таким
образом, сводится к вычислению соответствующей стати-
статистической суммы (интеграла).
§ 3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА ДЛЯ КУЛОНОВСКОЙ СИСТЕМЫ
3.1. Постановка задачи
В предыдущем параграфе мы показали, что при расчете
термодинамических характеристик различных систем цен-
центральную роль играет вычисление статистической суммы.
Без потери общности в настоящем параграфе мы можем
ограничиться рассмотрением статистической суммы кано-
канонического ансамбля, так как статистическая сумма макро-
канонического ансамбля может быть выражена через
статистическую сумму канонического ансамбля. Кроме
того, оказывается достаточным рассмотреть кулоновскую
систему, состоящую из равного числа N электронов
и однократно заряженных ионов. На примере такой
системы обнаруживаются все характерные трудности,

§ S. Статистическая сумма для кулоковской системы 33
а используемые методы вычислений могут быть легко обоб-
обобщены на случай систем с большим числом ионных ком-
компонент.
Применяя выражение A.14) непосредственно к куло-
новской системе, мы должны были бы вычислить величину
для функции Гамильтона Я, .определяемой соотношением
4^+—1+
+ ' т_ J ~
4з
2 ^
г, 3	г, j
Невозможность такой процедуры очевидна. Она никоим
образом не может учесть образования связанных водородо-
подобных состояний. Более того, учет взаимодействий
противоположно заряженных частиц на малых расстоя-
расстояниях приводит к расходимости приведенного выражения
для статистической суммы.
Причина состоит в том, что выражение A.14) представ-
представляет собой лишь полуклассическое приближение к точному
выражению для статистической суммы. Чтобы учесть вклад
связанных состояний, что недоступно в рамках полуклас-
полуклассического рассмотрения, мы должны использовать кванто-
вомеханическое представление для суммы по всем состоя-
состояниям, т. е.
Z = Sp[«p(—?)],	C.3)
где $? — оператор Гамильтона данной системы.
Если бы при этом мы могли определить матричные эле-
элементы в самом общем случае, то получили бы точный
результат для искомой статистической суммы. Однако
в настоящее время мы еще далеки от подобного общего
решения рассматриваемой задачи.
Вместо этого во всех практических случаях при вычис-
вычислении статистической суммы для кулоновской системы
явным или неявным образом используется так называемая
3-01291

34	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
модель свободно-связанных состояний [2]. В модели свобод-
свободно-связанных состояний предполагается, что стационарное
состояние данной системы можно рассматривать как бы
состоящим лишь из двух независимых групп состояний
электронов и ионов: группы классических свободных
состояний слабо взаимодействующих частиц, с одной сто-
стороны, и группы квантовомеханических связанных состоя-
состояний сильно взаимодействующих противоположно заряжен-
заряженных частиц — с другой.
Разумеется, подобное приближение идет гораздо даль-
дальше, чем та упрощенная схема, которой соответствуют
формулы C.1) и C.2). Однако, с другой стороны, оно все
еще является грубьш приближением действительного пове-
поведения системы. Так, в любом стационарном состоянии
системы существует группа состояний частиц, которая
вследствие свободно-связанных взаимодействий в действи-
действительности не может быть отнесена ни к одной из упомяну-
упомянутых выше групп. Это обстоятельство делает границу между
«свободными» и «связанными» состояниями неопределен-
неопределенной. Более того, принадлежность частицы к группе «сво-
«свободных» или «связанных» может зависеть от исследуемого
эффекта, и при рассмотрении разных явлений можно
ожидать возникновения различных границ свободно-свя-
свободно-связанных состояний.
Мы не будем здесь вдаваться в подробности вывода
соответствующих этому обстоятельству соотношений.
Поэтому приведем только результаты анализа, проведен-
проведенного Эккером и Крёлем [2].
Эти авторы на основе квантовомеханической теории
возмущений показали, что граница для свободно-связан-
свободно-связанных состояний грубо может быть охарактеризована фор-
формулой
вь= ~.	C.4)
где гъ — энергия пары, образуемой частицей с ближайшей
к ней противоположно заряженной частицей в системе
их центра масс, вычисленная в пренебрежении всеми
остальными взаимодействиями. Отметим, что эта энергия
соответственно имеет положительное или отрицательное
значение для состояний, уровни которых находятся выше

	§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 35
или ниже предельного уровня невозмущенного атома.
Однако подобное введение предельной энергии е&
остается искусственным приемом со всей присущей ему
неопределенностью.
Если пренебречь взаимодействием между двумя опре-
определенными выше группами свободных и связанных частиц,
гамильтониан S? можно разделить на две независимые
части Stj и $fo, соответственно относящиеся к свободным
и связанным группам. В этом случае статистическая сум-
сумма C.3) может быть представлена в виде произведения
-^a)]. C.5)
Вводя собственные функции оператора 3f0 при вычислении
величины Zo, получим
>еK/ 2 ехр ( -? )]Щ . C.6)
)	( )]
П
Здесь No —число связанных частиц, гп —гг-е собственное
значение энергии для связанных состояний, и суммиро-
суммирование проводится по всем энергетическим уровням связан-
связанных состояний. Следует заметить, что вследствие ограни-
ограничения, устанавливаемого формулой C.4), не возникает
хорошо известной расходимости статистической суммы для
атома, обусловленной накоплением числа суммируемых
членов в пределе гп ->- 0.
При вычислении величины% Z/ сначала вводятся соб-
собственные функции оператора импульса и затем использует-
используется метод возмущений, развитый Кирквудом [3]. Обозначим
через rw радиус классического взаимодействия, а через X —
длину волны де Бройля. Можно показать, что когда нет
ограничений по энергии и отсутствует вклад' взаимодей-
взаимодействий между частицами на расстояниях г2 < Xrw, то
классическое выражение для статистической суммы кано-
канонического ансамбля дает вполне удовлетворительное при-
приближение для величины Zf. Исключение вклада ближних
взаимодействий устраняет трудность, связанную с расхо-
расходимостью исходного выражения, на которую было обра-
обращено внимание в начале раздела как на одно из основных
препятствий его использования. Однако это не влияет на
3*

36	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
результаты вычислений, полученные с помощью излагаемо-
излагаемого ниже в общих чертах метода расчета Z/ путем исполь-
использования групповых разложений, так как ближние взаимо-
взаимодействия в этом случае неявным образом исключаются.
Таким образом, в рамках модели свободно-связанных
состояний выражение для полной статистической суммы
кулоновской системы может быть представлено в виде
произведения двух множителей, один из которых Zo
соответствует вкладу связанных состояний, а другой, Z/,
связан с вкладом свободных состояний.
Множитель Zo описывается соотношением C.6), и его
вычисление не представляет каких-либо трудностей, так
как энергетические уровни гп можно рассчитать, исходя
из квантовомеханического решения задачи взаимодействия
двух частиц. Поскольку нас интересует лишь вклад сво-
свободных частиц, обозначим далее число свободных электро-
электронов или ионов через N.
Следовательно, выражение для Z/ запишется в виде
Zi== *«*(*!)» lexp (~ir)	|
C.7)
где функция Гамильтона Н определяется из соотношения
C.2). Вычисление интеграла в выражении C.7) по про-
пространству импульсов тривиально. Известную проблему
вследствие дальнодействующего характера кулоновских
сил представляет вычисление конфигурационного интегра-
интеграла по координатному пространству.
Итак, в дальнейшем мы остановимся на вычислении
с помощью метода групповых разложений величины
+ J
L У,.	1—Л dr. C.8)
г,
Прежде, однако, напомним основные черты этого метода.

§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 37
3.2. Элементы метода групповых разложений
С целью упрощения перепишем выражение C.8) в форме
где знак потенциальной энергии ф^ зависит от индексов
в соответствии с формулой C.8)!
Теперь мы можем разложить Z' следующим образом:
h о
+ 2 2 Iifijhifmn+ ...)dr, C.10)
где использовано обозначение
-^-)-1.	C.11)
Чтобы отличать различные произведения /-функций
в выражении C.10), мы прибегнем к следующему способу
описания. Представим индексы функций в виде системы
пронумерованных точек на изображающей плоскости,
а функции/^- —в виде линий,
соединяющих соответствую- [
щие точки. Пример такой
диаграммы для члена вида •
/2,3/4.5/4,lo/l3,14/l6,17/2O>2l/l6»23 X #
C.12)
13
20 21
22 23 24 25 26 27 28
приведен на фиг. 1.
Определим частную груп- Фиг. 1. Диаграмма произ-
пу как схему связей между	ведений /-функций,
группой пронумерованных
точек на изображающей плоскости, каждая из которых
прямо или косвенно связана со всеми остальными.
Таким образом, частная группа характеризуется набо-

38	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
ром всех пронумерованных элементов и схемой связи
между ними.
Если опустить различия между элементами частной
группы, то придем к понятию обобщенной группы. Обобщен-
Обобщенная группа характеризуется числом частиц разного сорта
и схемой связи между ними.
Если данная группа содержит полное число элемен-
элементов Z, состоящих из lk элементов сорта /с, то число различ-
различных реализаций наборов I = {Z1? . . ., lk, . . ., la} из
исходного набора N ={N±, . . ., Nk, . . ., Na} опреде-
определится соответствующим числом комбинаций
Поскольку перестановка элементов в рамках заданной
группы схемы связей приводит к новому типу частной
группы, то каждый из таких наборов позволяет образовать
большое число частных групп. Ниже мы рассмотрим груп-
группы, состоящие лишь из одного сорта частиц. Приведем
для иллюстрации ряд обобщенных групп, состоящих
из четырех элементов, и укажем число содержащихся
в каждой из них частных групп:
П ? Ы N И
/2	3	6	12	4	1
Так как любая диаграмма типа приведенной на фиг. 1
может быть представлена в виде набора частных групп
и, кроме того, любому члену разложения C.10) можно
сопоставить соответствующую диаграмму, ясно, что любой
член в C.10) может быть задан в виде набора частных
групп. Этот набор будет однозначной характеристикой
данного члена разложения в C.10).
Ниже мы увидим, что во многих прикладных случаях
подобной детализации не требуется. Может оказаться
достаточным задать набор чисел mz обобщенных групп
типа Z, содержащихся в диаграмме, представляющей рас-
рассматриваемый член разложения C.10). Например, для
диаграммы, изображенной на фиг. 1, соответствующий

	§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 39
набор чисел есть
rrii = 12, т2 = 3, т3 = 2, т4 == 1, 7% = 0. C.15)
Введем теперь определение группового интеграла по-
порядка Z:
J2n/**	C.16)
который окажется полезным при вычислении выражения
C.10). В подынтегральном выражении C.16) суммируются
все произведения /-функций для линий связи, которые
соответствуют частным группам в рамках обобщенной
группы типа I.
Очевидно, что размерность группового интеграла рав-
равна V1. Приведем для примера первые четыре групповых
интеграла
оо
&2 = -^г j +— dvidv2 = -^r J /12dridr2 = -2' \ f(rLnr2dr,
о
&a=^r J [A + A + Д + A] dridr2drs=
^2/31/21] dr4 dr2 dr3, C.17)
247
X dr4 dr2 dr3 dr4 =
1 Г
— 247 ] 112/41/32/21 + I2/42/41/32 /21 + ^43/42/41 +
+ З/43/41/32/21 + 6/43/42/41/32/21 +
+ /43/42/41/32/31/21] drt dr2 dr3 dr4.
Обозначим через Уш величину характерного объема
для области парных взаимодействий. Тогда, если выпод-

40	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
няется соотношение
~>VWJ	C.18)
то значение группового интеграла не зависит от объема V.
Представим теперь статистический интеграл C.9) через
групповые интегралы. Для этого сначала отберем из сум-
суммы все те диаграммы, которые объединяют одни и те же
изображающие точки в группы. При этом допускается,
что схемы связей в таких группах могут быть неодинако-
неодинаковыми. Затем выберем из отобранной совокупности диаг-
диаграмм все те диаграммы, которые содержат какой-либо
один определенный вид частной группы. Припишем данной
частной группе символ С A, . . ., s), где посредством С
обозначим тип схемы связи /-функций, а последователь-
последовательностью 1, . . ., s —содержащиеся в группе частицы
(изображающие точки). Тогда, рассматривая вклад этой
подсистемы в выражение C.9), можно выделить множитель,
описывающий вклад выделенной схемы связей /-функций
данной частной группы, в следующем виде:
где величина R учитывает вклад остальных диаграмм.
Теперь можно тем же способом поступить со всеми частными
группами, связывающими изображающие точки 1, . . ., s.
Каждая из них приведет к появлению члена типа C.19).
Суммируя по всем таким подгруппам и выполняя интегри-
интегрирование в C.9), находим, что рассматриваемой группе
диаграмм отвечает множитель
(bJIV) R (/„).	C.20)
Последовательное применение данного метода дает для
выбранного нами набора диаграмм множитель вида
IX(MF)W'.	C.21)
i
Итак, мы сразу вычислили вклад всех диаграмм, связы-
связывающих одинаковые изображающие точки в группы. Сле-
Следовательно, статистический интеграл Ъ' представится
в виде суммы по всем вкладам вида C.21).

§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 41
Из полученного результата видно, что вклады под-
подгрупп, состоящих из одинаковых наборов тг обобщенных
групп, одинаковы. Поэтому суммирование по всем таким
подгруппам сводится просто к умножению на число
диаграмм, имеющих тот же набор обобщенных групп.
Это число равно
N\
TTn,.i,mV	'	C<22)
что можно получить исходя из следующих соображений.
Число возможных перестановок всех частиц равно N1.
В пределах каждой группы имеется 1\ излишних переста-
перестановок частиц, которые должны быть исключены, так как
они уже содержатся в величинах Ъг. Поскольку группы
из I частиц встречаются всего тг раз, то в общей сложности
необходимо исключить (l\)mi перестановок. И наконец,
нужно исключить перестановки целых совокупностей
частных групп, которые не дают новых состояний системы.
Перемножая C.22) и C.21), находим вклад всех
диаграмм, содержащих одинаковые наборы тг обобщен-
обобщенных групп, в виде
N\]J (T2|| l .	C.23)
i
Таким образом, статистический интеграл дается формулой
C.24)
при условии
N
2 mll=N,	C.25)
представляющем следствие сохранения числа частиц.
Вычисление Z' с помощью формулы C.24) очень слож-
сложно. К счастью, для больших значений N сумма может
быть заменена максимальным ее членом Т^.

42	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Это вытекает из соотношения
Tm<^r<Tmvp,	C.26)
где vp — полное число членов в сумме. Значение vp —
partitio numerorum — тождественно совпадает с числом
возможных представлений N в виде суммы чисел I в слу-
случае, когда их перестановка не рассматривается как новый
способ представления. Оно определяется формулой
.	C.27)
Анализируя выражение для логарифма соотношения
C.26) с учетом формулы C.27) и того обстоятельства, что
логарифм максимального члена, In Tm, как будет показа-
показано ниже, пропорционален N, легко удостовериться в том,
что в пределе N -> оо величина Тт совпадает с Z'lN\.
Используя метод неопределенных множителей Лагран-
жа F и формулу Стирлинга, можно получить для чисел тг
следующее соотношение:
mi = NvbiFl при v = jf,	C.28)
где множители F определяются из условия C.25), запи-
записанного в виде
N
S lubiFl = l.	C.29)
Следовательно, максимальный член Тт, а вместе с ним
и статистический интеграл определяются выражением
N
lnTm=ln(-§T)=NB1vblFl-lnF) C.30)
1=1
совместно с условием C.29).
В такой формулировке расчет статистического интегра-
интеграла сводится к вычислению групповых интегралов. Задачу
можно упростить, введя понятие неприводимых группо-
групповых интегралов. Чтобы показать, как это делается, нам
понадобится ряд дополнительных общих определений.
Будем называть две изображающие точки диаграмм
непосредственно связамшми, если на линии связи между

§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 43
ними нет других изображающих точек, или же связанными
цепочкой порядка п, если на линии связи находятся п
точек, каждая из которых не имеет иных связей. Назовем
точки многократно связанными, если от одной точки
к другой можно указать по крайней мере две совершенно
независимые линии связи.
Изображающая точка диаграммы называется независи-
независимо связанной с п другими точками, если она связана с ними
независимыми путями связи. Точка называется узлом
порядка п, если она непосредственно связана с п другими
точками, или точкой пересечения, если она представляет
собой узел третьего или более высокого порядка. Изобра-
Изображающая точка называется точкой ветвления группы, если
устранение этой точки вместе с ее линиями связи приводит
к возникновению по крайней мере двух независимых
групп.
Группа называется неприводимой, если в ней отсутству-
отсутствуют точки ветвления. Таким образом, в неприводимой груп-
группе каждая точка по крайней мере дважды связана с любой
другой точкой.
3.3. Неприводимые группы
Чтобы свести обычные групповые интегралы к неприво-
неприводимым, отметим сначала все точки ветвления рассматри-
рассматриваемой нами обычной группы. Для примера обратимся
к диаграмме, изображен-
изображенной на фиг. 2, где точки 2, /
3, 4 и 6 являются точками
ветвления.
Выберем теперь произ-
произвольно одну из этих точек
ветвления и в выражении
C.16) введем относитель-
относительные координаты ДЛЯ всех Фиг. 2. Диаграмма
связанных с ней точек	группы,
диаграммы. Тогда коор-
координаты точки ветвления выпадут из выражений для
/-функций, отвечающих линиям связей, и дадут вклад
лишь в объемный фактор. Групповой интеграл пред-
представляет собой произведение двух независимых множите-

44	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
лей, каждый из которых соответствует только своей части
группы, полученной в результате деления исходной груп-
группы по точке ветвления. Последовательное применение
этого способа ко всем точкам ветвления группы приведет,
очевидно, к произведению интегралов по неприводимым
группам.
Определим теперь неприводимый групповой интеграл
порядка к:
Р*=-щ- J S П fu
Здесь суммирование проводится по всем произведениям
функций fij, соответствующим связям неприводимой груп-
группы, содержащей {к + 1) точек.
Первые четыре неприводимых групповых интеграла
имеют вид
1 Г
C.32)
В аналитической форме интегралы р4, р2 и Рз могут быть
записаны как
Pi = 7^
Р2=-о!Г ? /32/21/
^3=="б7" I [3/43/32/21/14 + 6/43/32/21/14/
31 +
+ /43/32/21/14/31/42]

§ S. Статистическая сумма для кулоновской системы 45
По очевидным соображениям мы здесь воздержимся от
аналитического представления интеграла C4.
Используя описанную выше процедуру, легко пока-
показать, что между первыми четырьмя обычными групповыми
интегралами и неприводимыми интегралами существуют
следующие соотношения:
1	11
C.34)
4
В общем случае
где суммируются все произведения, для которых выпол-
выполнено условие
2 &f*h = z—1.	(з.зб)
fc=l
Поскольку нас интересуют прикладные вопросы примене-
применения метода групповых разложений к кулоновским систе-
системам, мы не будем здесь приводить строгое доказательство
соотношения C.35). Подробное рассмотрение данного
вопроса можно найти в любой книге, где используется
метод групповых разложений (см., например, [4]).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы выразить Z'
через неприводимые групповые интегралы с помощью
соотношения C.35), которое следует подставить в выраже-
выражения C.30) и C.29). Путем подстановки можно удостове-
удостовериться, что решением уравнения C.29) является
C-37)
Используя выражение для F C.37) и соотношение C.35)
в формуле C.30) и разлагая результат в ряд по отрицатель-
отрицательным степеням удельного объема v = V/N, находим окон-

46	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
нательное выражение
3.4. Прототипы групповых разложений
В предыдущем разделе мы выразили вклад кулоновско-
го взаимодействия в статистическую сумму через непри-
неприводимые групповые интегралы Cfe. Полученное выраже-
выражение C.38) можно переписать в следующей форме:
C.39)
где основной член равен
Связь Si с физическими свойствами системы можно
установить, перейдя к уравнению состояния, которое,
согласно B.10), имеет вид
Очевидно, что величина S± определяет отклонения в пове-
поведении системы, связанные с кулоновским взаимодействием.
Следовательно, величина S± должна также определять
коэффициенты вириального разложения.
Обычно в литературе в качестве переменных использу-
используют плотности вместо удельных объемов и вириальные коэф-
коэффициенты взамен неприводимых групповых интегралов.
Этот переход в C.39) — C.41) нетрудно осуществить
с помощью следующих преобразований:
C-42)

	§ 8. Статистическая сумма для кулоновской системы 47
Тогда получаем
s=4 = 2 ттг f^-(ft+1)= 2 B»nN <3-43)
и
что дает
-f- = n - 2 (ЛГ -1) BNn».	C.45)
Из последнего соотношения следует, что величина
A — N)*B N совпадает с iV-м вириальным коэффициентом.
С целью простоты изложения мы до сих пор ограничи-
ограничивались рассмотрением однокомпонентной системы. Но
такую однокомпонентную кулоновскую систему в связи
с возникающей проблемой поля и энергии трудно реали-
реализовать при сколько-нибудь заметной плотности. Обычно
мы встречаемся с двухкомпонентной электрон-ионной
системой. К ней и будут в дальнейшем применяться ре-
результаты нашего исследования. Необходимые при этом
обобщения не вносят принципиально новых проблем.
Однако их следует сделать, чтобы надлежащим образом
обобщить используемый перечень понятий и обозначений.
Не входя в детали строгих доказательств, мы приведем
здесь результаты исследований Майера [5] и Меерона [6],
которые кажутся «более или менее очевидными» при их
сравнении с формулами C.39) — C.45) (более взыскатель-
взыскательного читателя мы отсылаем к цитируемой литературе).
Рассмотрим систему, состоящую из сг компонент, отли-
отличающихся индексами 1, . . ., 5, . . ., г, . . ., а. Пусть
N={NU ...,#„.. ., Nr, . . ., NG} C.46)
— набор, определяющий группировку чисел частиц раз-
различных сортов, и
п={пи . . ., ns1 ., пп . . ., Па} C.47)

48	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
— набор, характеризующий плотности частиц рассматри-
рассматриваемых сортов. Используем далее соотношения
дГ	-^1 -^2	N г:	ЛТ\ 	 ЛГ I ЛГ I	717" I	/О / О\
П1У = П\ П2 . • • TiQ а, iv ! = iv 1! 1V2• • • • -iVa!, (оЛо)
]\г	Vat -n "V n	(^ aq\
i	г
S =22S-S, где #= 2 ЛГ„ C.50)
а также
Здесь в соответствии с определением неприводимых групп
под знаком интеграла C.51) стоят все произведения, отве-
отвечающие диаграммам, в которых N = 2 Ns изображающих
точек многократно связаны.
Используя введенные обозначения в формулах для
многокомпонентной системы, находим по аналогии с одно-
компонентной системой, что
S= _2 BNn»	C.52)
и уравнение состояния многокомпонентной системы есть
>=.- — /f i " »^ — /i 7^7 ~л	?	(OiOd)
или аналогично соответствующему уравнению C.45)
J~ = n- 2 (N-QBjjn".	C.54)
При вычислении коэффициентов Б^ для рассматри-
рассматриваемой кулоновской системы мы сталкиваемся с характер-
характерной трудностью, связанной с вычислением групповых
интегралов.
Наилучшим образом возникающая проблема прояв-
проявляется на простом примере системы из частиц двух сортов.
Обозначим их соответственно s и i. Второй вириальный

§ 3. Статистическая сумма для пулоновской системы 49
коэффициент Bsi1 связанный с эффектом их взаимодей-
взаимодействия, имеет вид
оо
v	C.55)
где bsi — символ Кронекера, a rsi — расстояние между
двумя частицами.
Для больших расстояний rsi функцию fsi можно разло-
разложить в ряд:
V=l
где через zt, zs обозначены заряды частиц обоих сортов.
Подставляя это выражение в C.55), находим, что первый
член разложения C.56) приводит к расходящемуся вкладу.
Возникшая проблема не столь серьезна, поскольку в
нейтральной системе суммирование по всем сортам частиц
перед операцией интегрирования устраняет эту расходи-
расходимость. С другой стороны, следующий член разложения
C.56) также расходится, и здесь учет нейтральности систе-
системы оказывается бесполезным, ибо соответствующий вклад
не зависит от знака заряда частицы. Кроме того, логариф-
логарифмически расходится и третий член разложения.
Если бы мы выбрали обычный метод вычисления S —
интегрирование произведений /, входящих в В^, сумми-
суммирование по всем диаграммам, принадлежащим к одному
из наборов JV, с последующим суммированием по всем
возможным наборам, — то вследствие указанной расходи-
расходимости операцию интегрирования нельзя было бы выпол-
выполнить.
Чтобы обойти трудность, связанную с расходимостью,
обусловленной вкладом дальних взаимодействий, Майер
[5] предложил следующий способ.
Во-первых, можно ввести множитель, обеспечивающий
формальную сходимость, в формуле для потенциала вза-
взаимодействия
ij).	C.57)
В»-
окончательном результате мы устремим а к нулю.
4-01291

50	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Во-вторых, при вычислении сумм по всем диаграммам
и всем наборам частиц можно изменить последователь-
последовательность суммирования, т. е. начать с суммирования по набо-
наборам частиц.
Наконец, следует ввести новую систему диаграмм,
Соответствующих разложению
C.58)
возникающую в том случае, когда каждому множителю g
сопоставляется своя схема g-связей. В конце расчета
нужно провести суммирование по всем различающимся
диаграммам.
В соответствии с ограничениями, налагаемыми на груп-
группы/-представления C.51) и свойства неприводимых групп,
необходимо провести классификацию групп ^-представле-
^-представления в выражении C.58). Поскольку в неприводимых груп-
группах /-представления все частицы многократно связаны,
это тем более верно для соответствующих им групп ^-пред-
^-представления, которые в отличие от первых содержат много-
многократные прямые связи.
Будем различать следующие три существенно отли-
отличающиеся группы ^-представления, характеризуемые осо-
особыми свойствами связанных с ними диаграмм.
1.	Одиночная диаграмма, представляемая схемой
N=z •	•	C.59)
2.	Петли, характеризуемые тем, что каждая из точек
диаграммы представляет собой узел второго порядка.
Некоторые из примеров петель приведены на следующих
схемах:
N- г	з	4 5	в
C.60)
3. В третью группу входят все остальные диаграммы.
Она характеризуется тем, что в рассматриваемых диаграм-

§ 3, Статистическая сумма для кулоповской системы 51
мах всегда есть две или большее число точек, связанных
более чем дважды. Примерами могут служить следующие
схемы:
N=2
Ф Ф> С
0Ф> U
7<
C.61)
где показаны диаграммы, содержащие лишь по две точки
с числом связей больше двух. Диаграммы, показанные
ниже, содержат более двух точек, имеющих связи высшего
порядка:
& 0N3 CD
C.62)
Прототипы диаграмм 3-й группы отличаются тем, что
их точки являются узлами выше второго порядка. Будем
характеризовать этот прототип диаграмм символами т
и v, где через т обозначен набор частиц, a v характеризует
схему связей.
Все диаграммы 3-й группы могут быть классифициро-
классифицированы по прототипам диаграмм, если к каждому прототипу
(т, v) отнести все диаграммы, которые можно образовать
от данного прототипа путем замены прямой связи на цепоч-
цепочку. При этом в каждой цепочке могут оказаться произ-
произвольные последовательности различных сортов частиц.
Используя приведенную выше классификацию, можно
высказать ряд следующих утверждений:
1.	Одиночные диаграммы не дают вклада в статисти-
статистическую сумму для нейтральной системы.
2.	Вклад диаграмм типа петель приводит к закону
взаимодействия Дебая — Хюккеля.
3.	Суммарный вклад диаграмм 3-й группы может быть
выражен только через прототипы диаграмм с помощью
перехода от ^-представления к ^-представлению, опре-
4*

52Гл. 1. Равновесные состояния кулоиовской системы,
деляемому соотношением
Р (^j),	C.63)
где
— постоянная Дебая.
Выскажем замечания по поводу изложенных утвержде-
утверждений.
1.	Первое утверждение тривиально.
2.	Доказательство второго утверждения наиболее лег-
легко выводится из доказательства третьего, на основе кото-
которого оно и будет получено.
3.	Для доказательства третьего утверждения рассмот-
рассмотрим произвольную диаграмму в ^-представлении и введем
ряд обозначений.
Напомним, что через N обозначен набор всех частиц,
содержащихся в рассматриваемой ^-диаграмме, а через Ns
обозначено число частиц сорта s. Величина N представляет
полное число всех частиц в наборе. Предположим, что
^•-диаграмма относится к некоторому прототипу, содержа-
содержащему подгруппу с набором т частиц из набора N. Обозна-
Обозначим через ms число частиц сорта s в подгруппе и через т
полное число частиц в прототипе диаграммы.
Пусть [х — дополнительный набор групп т, содержа-
содержащийся в наборе N. Это означает, что набор \х включает все
частицы, расположенные в пределах связующих цепочек.
Соответственно через \is мы обозначим число частиц сортам,
а через \х — полное число частиц в наборе [х.
Далее подразделим набор (л на подгруппы [хг-, относя-
относящиеся к частицам в г-й цепочке. Через \iis и \it обозначим
число частиц сорта s и полное число частиц в данной
цепочке.
Для характеристики структуры цепочки используем
три величины. Пусть v определяет общее число связей
в прототипе диаграммы или число цепочек в g-диаграмме,
a vs —число концов цепочек, связанных с частицами
сорта s набора иг, содержащегося в прототипе диаграммы.

§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 53
Обозначим через vsi число прямых связей или цепо-
цепочек нулевого порядка, связывающих частицы i и s в диа-
диаграмме.
Для определенных выше величин выполняются сле-
следующие тривиальные соотношения:
C-65)
Вклад рассматриваемых диаграмм в величины В^
обозначим через B^v). Здесь нижний индекс характери-
характеризует структуру прототипа, а верхний — набор частиц
в цепочках диаграммы. Соответствующий вклад опреде-
определится выражением C.51), в которое следует подставить
разложение C.58), используя введенные нами определе-
определения:
I TT T~r /	^ЭТ 9 \ *S	(LI.)/	4 1	/о л/^ч
x J П LII (--w z°) J и1 W drm. C-66)
г	s
В этом выражении употреблено сокращенное обозначение
Хг г = \ g {rhl) g {ri2J • • • g (Г(М-7--1)Щ-) ^ {rJli;) X
• • *Viv C.67)
Мы обращаем особое внимание на то обстоятельство, что
в выражении для функции % интегрирование проводится
только по координатам частиц в цепочках, тогда как
интегрирование по координатам частиц, которые при-
принадлежат набору т, обозначено в C.66) символом \ dr—.
Следуя способу, предложенному Майером (см.
стр. 49), попытаемся в соответствии с формулой C.52)
провести суммирование по наборам частиц TV, выбранным

54	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
надлежащим образом. Чтобы это можно было выполнить,
необходимо, разумеется, сначала умножить величину
BUl на множитель nN.
(m,v)		 	 _
Рассмотрим теперь заданные наборы частиц N, m, \i
и fij. Сохраняя их неизменными, с помощью 1) переста-
перестановок частиц внутри набора \xis, 2) перестановок частиц
внутри набора ms и 3) перестановок частиц между набора-
наборами ms и \xs можно образовать новые диаграммы, при-
принадлежащие к группам, дающим одинаковый вклад
в величину В — .
Перестановки в пределах \iis соответствуют изменению
порядка частиц в цепочках. Число диаграмм, образующих-
образующихся таким способом, определяется соотношением
Перестановки элементов в пределах ms здесь не рас-
рассматриваются, поскольку соответствующие им новые
диаграммы учтены при суммировании в выражении C.51)
как новые прототипы диаграмм.
Число новых диаграмм, возникающих от перестановок
элементов между группами т$ и \xs, описываются соотно-
соотношением
C.69)
г
Вклад всех диаграмм, образованных перестановками ча-
частиц в случаях 1) и 3), учитывается с помощью умножения
величины nNB— , определяемой формулой C.66), на
(m,v)
множители C.68) и C.69). Таким образом находим
X TT fi! TT '-^."Ч " №dv-. C.70)
Чтобы определить вклад, представляемый всеми диаграм-
диаграммами с одинаковыми длинами, но разной структурой

§ 3, Статистическая сумма для кулоновской системы 55
цепочек \ьь, просуммируем результат C.70) по всем набо-
наборам (Xj, в которых числа \it постоянны. При этом исполь-
используем соотношение
2j
2 Hs
и в результате получим
1»Чц v)l" = Ц" ^^ П ^ J П (- хЬ)
sr s	г
C.72)
где иЬ определено формулой
хЬ=Е^г^-	C-73)
S
В выражении C.72) учтен вклад всех диаграмм, соот-
соответствующих данному прототипу и имеющих равные длины
цепочек. Чтобы найти полный вклад всей группы диаграмм,
соответствующих данному прототипу, просуммируем
результат, определяемый формулой C.72), по всем возмож-
возможным длинам цепочек. Рассматриваемая операция услож-
усложняется наличием величины vsr! в знаменателе выраже-
выражения C.72). Это связано с тем обстоятельством, что незави-
независимое суммирование для каждой цепочки дает излишне
много состояний. При этом нам пришлось бы учитывать
такие пары диаграмм, все отличие которых состоит лишь
в том, что в них переставлены две цепочки, соединяющие
одни и те же изображающие точки. Однако такого рода
состояния неразличимы. Не входя подробно в детали
соответствующих доказательств (см., например, [7]), мы
позволим себе привести лишь результат, сводящийся
к тому* что суммирование по всем цепочкам от [х^ = 0 до
\it = оо может быть проведено независимо при условии,
если в знаменатель выражения C.72) вместо vsr! подста-

56	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
вить величину v°sr\ —число прямых связей между части-
частицами г и s данного прототипа группы.
Учитывая это, получим выражение, описывающее
вклад S(p) группы диаграмм, соответствующей данному
прототипу, т. е.
4F H	C.74)
s	i
где функция %г определяется выражением
x^)^-2(-*b)V*W	C.75)
Рассчитаем теперь эффективное взаимодействие по зако-
н!у C.63). Применяя теорему о свертке (для преобразова-
преобразования Фурье) к выражению C.67), получаем соотношение
между спектральными компонентами %^г){1) и g (%):
&1.	C.76)
С другой стороны, из выражения C.75) следует
X^^i-xhf'xf'K	C.77)
После подстановки соотношения C.76) в C.77) нетрудно
выполнить суммирование, что дает
V	C'78>
Спектральная компонента g (с учетом фактора а, обеспечи-
обеспечивающего сходимость) равна
оо
g (I) = j r*g (г) -^i dr = (a2 +12)'1, C.79)
0
откуда при а -> 0 следует, что
Х,= (хЫ-РГ1.	C-80)
Наконец, обратное преобразование Фурье дает
^	C.81)

§ 3, Статистическая сумма для кулоновской системы 57
Это соотношение доказывает справедливость ранее выска-
высказанного 3-го утверждения.
Замечание по поводу 2-го утверждения. Доказательство
2-го утверждения нетрудно связать с выводами, содержа-
содержащимися в доказательстве 3-го утверждения. Рассмотрим
диаграмму-петлю, состоящую из групп частиц as. Подоб-
Подобную диаграмму можно рассматривать как замкнутую
цепочку. Числа а и as соответствуют использованным выше
обозначениям \it и \ii$. Совершенно аналогично выраже-
выражению C.70) для вклада такой петли в функцию S получаем
выражение
S(a, О = Д | [-Dя/6)ф,Г | _1_ %{а_ 4) (г = 0)_ C>82)
S
Как и в предыдущем случае, мы сначала поменяем поря-
порядок всех частиц, сохранив неизменным их набор а. Затем
учтем все возможные наборы, сохранив постоянным только
число частиц а. После этого просуммируем результат по
всем возможным значениям а от 0 до оо. В результате
получим
е(с)	 ^	(	\/%Ла __ Vе1 (г	ГЛ	(Ч ЯЯ^
Осуществить суммирование в формуле C.83) и получить
непосредственно величину S{C) не удается, ибо коэффициен-
коэффициенты слагаемых имеют индексы, отличные от индексов %,
а знаменатель явно содержит индекс а. Однако, если про-
продифференцировать величину S{0) по хЬ, можно получить
выражение
Т^Г 5ГвЗ (»*)• х<«>С = 0) =
= --5Г[%(г = 0)-%0(г = 0)], C.84)
что позволяет непосредственно перейти к функции % (г).
Имея в виду, что %@) есть функция g, в пределе при г-*- О
и а —у 0 находим

58	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновскои системы
откуда следует, что
<*(С) = -Йг--	C-86)
Подставив данный результат в уравнение состояния, мы
получим хорошо известный закон Дебая — Хюккеля:
Рассмотренные петлевые диаграммы определяют вклад
в вириальное разложение, связанный с взаимодействием
по закону Дебая — Хюккеля.
3.5. Разложение по большим группам
Предложенное Майером разложение по группам в g-
представлении устраняет расходимость, связанную с даль-
дальним взаимодействием. К сожалению, при этом возникает
новая расходимость для областей близких взаимодействий,
когда г -> 0. Это неудивительно, так как степенной ряд
от функции ехр(—1/г) при г ->- 0 расходится.
Подобная расходимость не сказывалась на оригиналь-
оригинальных исследованиях самого Майера, поскольку он интере-
интересовался поведением ионов в электролитах, и взаимодей-
взаимодействия на близких расстояниях рассматривались им отдель-
отдельно, что устраняло возникающую расходимость. Для иссле-
исследуемой же нами кулоновскои системы из точечных зарядов
расходимость по-прежнему остается. Однако мы хотим
подчеркнуть, что данная проблема представляет собой
только лишь результат использовавшихся нами специаль-
специальных математических приемов.
Чтобы избежать расходимости, возникающей на корот-
коротких расстояниях, Абё [8] предложил использовать разло-
разложение по большим группам.
Для понимания этого метода достаточно рассмотреть
лишь однокомйонентную систему (z* = е2). Полученное

§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 59
ранее выражение для S можно тогда написать в виде
т=2
C.88)
где S^ есть вклад от петлевых диаграмм, соответствующий
дебаевскому взаимодействию, а 5(Р) — вклад от диаграмм-
прототипов. Первое суммирование в выражении C.88)
проводится по всем диаграммам-прототипам с различными
числами т, а второе распространяется на все диаграммы-
прототипы (v), принадлежащие данному набору частиц т.
Поскольку при этом предполагается, что подынтегральное
выражение не зависит от положения соответствующей
группы частиц в пространстве, можно выполнить интегри-
интегрирование по rm и возникающий в результате множитель
сократить с объемным множителем, входящим в знаме-
знаменатель.
Простейшая диаграмма-прототип и ее вклад в S суть
СО
=	ЗР~ \ — exp i — 3xDr) dr.	C.89)
о
Входящий в это выражение интеграл расходится.
Так как мы уже указывали, что возникающая в области
малых расстояний расходимость обусловлена разложением
в степенные ряды по ^-функциям, предложенным Майером,
можно надеяться, что эта расходимость устранится, если
просуммировать ряд по критическим диаграммам.
Проиллюстрируем это на примере двуузловых диаграмм
возрастающего порядка, представленных в виде следующе-
следующего ряда:
~ ~ ~ ~	C.90)

60	Гл. 1, Равновесные состояния кулоновской системы
Члены такого ряда соответствуют разложению Майера
по g-функциям с той лишь разницей, что в нашем случае
вместо ^функций используются функции %. Однако для
малых г эти функции совпадают друг с другом. Таким
образом, можно надеяться, что суммирование по диаграм-
диаграммам типа C.90) устранит упомянутую выше расходимость.
Вклад двуузловых диаграмм C.90) может быть записан
в виде
О v =
о
или с учетом обозначений
в виде выражения
C.93)
которое не расходится.
Изучим теперь прототипы диаграмм с тремя узлами.
Рассмотрим основные их типы
C.94)
От каждого из этих прототипов можно образовать осталь-
остальные виды путем замены двойных связей в основных диаг-
граммах на многократные. Проведем суммирование по
всем этим дополнительным группам диаграмм и исходным
четырем типам C.94). В результате получим
?C) = Jg- J Wo A2) w2 B3) w2 C1) dridr2 +
B3) ^ C1) dridr2f C.95)

§%3. Статистическая сумма для кулбндвской системы 61
где первый член соответствует вкладу первых трех
диаграмм.
Обобщение описанной выше процедуры на прототипы
диаграмм с числом узлов более трех очевидно.
Снова мы видим, что вкладыjjS4p> могут быть пред-
представлены как интегралы от произведений функций wt. Это
наводит на мысль о том, что в качестве упорядочивающей
схемы теперь можно ввести диаграммы в ^-представлении.
Однако в противоположность диаграммам в /- и g-пред-
ставлении мы должны отличать разные типы связей wt
между изображающими точками. Для этого мы используем
следующие обозначения:
C.96)
Применяя данные обозначения, можно записать вклады
SB> и 5<3) в виде
C.97)
Искомая функция S снова представляет собой сумму
по некоторым неприводимым диаграммам, выражающуюся
через групповые интегралы в шгпредставлении. В полной
аналогии с методом Майера запишем выражение C.43)
для S в форме
оо
C>98)
где мы определили в качестве неприводимого группового
интеграла в ^-представлении величину
В сумму под интегралом C.99) входят лишь «неприводи-
«неприводимые м;гдиаграммы».

62	Гл. 1. Равновесные состояния пулоиовской системы
Соотношение C.99) при к = 1 и к = 2 сводится к фор-
формулам C.97). Для к = 3 мы имеем
ОD) 	 п у/
X
C.100)
Абё использовал свою идею при рассмотрении электрон-
электронной системы с размазанным ионным фоном. Он также
вычислил член ?B), чтобы оценить вклад членов высшего
порядка.
Непосредственное вычисление дает формулу
где константа А равна
A = Tc+TSln3~W-	<3-102>
Здесь через С обозначена постоянная Эйлера. Порядок
величины членов третьего приближения есть
Si3) = O((xDrwy°).	C.103)
Если теперь вспомним, что вклад петлевых диаграмм был
равен
то увидим, что вклад от прототипов диаграмм второго
порядка в (хо^ш) Р&3 меньше, а от прототипов третьего
порядка в (xdO раз меньше по сравнению со значением
5(С), соответствующим приближению Дебая — Хюккеля.
На фиг. 3 приведена величина отношения вкладов
прототипов диаграмм и петлевых диаграмм в уравнение
состояния:
Ас S^-n(dS'C)/dn)	XB/rw

§ 4. Микроскопические свойства кулоиовской системы
63
которая зависит только от отношения Wrw — дебаевского
радиуса ^d = 1/xd к радиусу классического взаимодей-
взаимодействия.
Вновь подчеркнем, что расходимость для области
близких взаимодействий, рассмотренная Абё и другими
авторами [9], является чисто математическим эффектом
10'
10'
лг
1 1 1	1 1 1	lJh
10
104
Фиг. З. Отношение вклада, обусловленного прототипами групп,
к вкладу групп с петлевыми диаграммами в зависимости от отноше-
отношения дебаевской длины к радиусу классического взаимодействия.
в разложении Майера. Ее следует отличать от расходи-
расходимости принципиально физического происхождения, встре-
встречающейся при рассмотрении взаимодействия двух про-
противоположно заряженных частиц на малых расстояниях.
Последняя по происхождению связана с тем фактом, что
для точечных зарядов нельзя пренебрегать квантовомеха-
ническими эффектами. Используя свой метод разложения
по большим группам, Абё не мог встретиться с подобным
явлением, поскольку он исследовал лишь однокомпонент-
ную систему с равномерно размазанным фоном зарядов
противоположного знака.
§ 4. МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КУЛОНОВСКОЙ
СИСТЕМЫ
В настоящем параграфе мы рассмотрим функции рас-
распределения для кулоновской системы. Будем различать
две группы этих функций. В качестве первой группы

64	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновспой системы
рассмотрим распределение по таким фазовым переменным,
как геометрические координаты, импульсы и внутренние
состояния в фазовом пространстве. Например, мы изучим
распределение по выбранному набору координат с задан-
заданными корреляциями. Вторая группа будет включать
функции распределения характеристик, являющихся
функциями заданного набора фазовых переменных.
В качестве примера мы рассмотрим распределение микро-
микроскопических полей.
4.1. Распределение частиц в фазовом пространстве
Статистическое поведение рассматриваемой системы
описывается функцией распределения для ансамбля
в фазовом Г-пространстве. Согласно модели свободно-
связанных состояний, изложенной в § 1, это распределение
по фазовому пространству можно представить в виде
произведения двух величин. Одна из них соответствует
вкладу связанных состояний, которые в общем случае
должны рассматриваться на основе квантовой механики,
а вторая —- вкладу от свободных частиц, который может
быть описан в рамках классического рассмотрения.
Поскольку проблемы, обусловленные вкладом кванто-
вомеханических связанных состояний, здесь для нас не
представляют какого-либо интереса, мы сконцентрируем
внимание на классической части функции распределения.
Согласно формуле A.13), распределение «свободных
частиц» определяется функцией
Функция Гамильтона Н описывается выражением вида
1, ..., г*),	D.2)
i=i
а потенциальная энергия взаимодействия ф— выражением
г, j	г, i

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 65
Подставляя D.2) в формулу D.1), находим
-¦/в.	D.4)
В тепловом равновесии отсутствует корреляция между
распределениями системы в конфигурационном простран-
пространстве и пространстве импульсов. Этот результат нетривиален
и справедлив лишь тогда, когда потенциальная энергия
не зависит от импульсов.
Благодаря отсутствию корреляций можно рассматри-
рассматривать распределения в координатном и импульсном про-
пространствах независимо друг от друга.
Из соотношения D.4) следует, что в распределении по
пространству импульсов нельзя ожидать каких-либо но-
новых эффектов. В пространстве импульсов мы будем иметь
распределение Максвелла со статистическим параметром
в, который связан со средним квадратом импульса по-
посредством соотношения
Поскольку распределение Максвелла хорошо известно,
обратимся к распределению в конфигурационном про-
пространстве.
В соответствии с выражением D.4) нормированная
функция распределения в этом пространстве имеет вид
ехр
[-A/20)
PN (rlf ...,rN)=	=	1 , '¦'	. D.6)
J exP L —2вГ ^ *ИJ dTi " *# dTN
Непосредственная информация, содержащаяся в подобной
функции распределения, не имеет большого практи-
практического значения, так как невозможно экспериментально
достичь столь детальных сведений о системе.
Поэтому наше дальнейшее теоретическое рассмотрение
будет главным образом касаться приведенных частных
молекулярных функций распределения низшего порядка,
5-01291

66	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
т. е. для s =1, 2, 3:
Ps (гь ..., г«) = J PN (гь ..., tn) drs+i ... dvN. D.7)
Сравнение выражений C.9) и D.6) показывает, что
при вычислении молекулярных функций распределения
можно использовать метод разложения по группам. Это
было сделано рядом авторов (см., например, [10] и [11]).
Однако мы не будем следовать такому способу, поскольку
основные черты метода групповых разложений мы уже
изучали в параграфе, посвященном вычислению статисти-
статистических сумм. Поэтому мы предпочтем ознакомить читателя
с рассмотрением задачи на основе цепочек уравнений для
приведенных функций р ас пр еделения.
4.2. Цепочки уравнений
Сначала целесообразно ввести ряд определений. Назо-
Назовем s-конфигу рацией какое-либо расположение s частиц
в координатном пространстве. Число частиц сорта т
обозначим через vw. Пусть частная молекулярная функция
распределения порядка s в соответствии с D.7) определяет
плотность вероятности того, что s различимых частиц имеют
координаты ти . . ., rs.
Общая молекулярная функция4 распределения порядка s,
представляющая особый практический интерес, определяет
плотность вероятности того, что набор из s частиц характе-
характеризуется координатами (аги . . ., arV(x, . . ., °ги . . ., %а).
Через vm будем обозначать число частиц сорта /п, содержа-
содержащихся в рассматриваемой конфигурации. Следует заме-
заметить, что в случае частной молекулярной функции распре-
распределения Ps каждой из v различимых частиц мы должны
сопоставить координатный вектор rv. Что же касается
общей молекулярной функции распределения P(S\ то
положение vm частиц сорта m в s-конфигурации описывает-
описывается набором координатных векторов тгь . . ., mrVm, при-
причем различием частиц в пределах группы vm пренебрегает-
ся. Очевидно, что в этом случае имеет место соотношение
а
2 v» =s-
|Ы=1

	§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 67
Если через P(S) обозначить общую молекулярную
функцию распределения, через Nm — полное число частиц
сорта т во всей рассматриваемой системе, а через тгг —
координаты i-й частицы сорта т в данной конфигурации,
то общая и частная молекулярная функции распределения
связаны следующим соотношением:
^(^.,4 D.8)
Множитель перед величиной Ps представляет собой число
возможных реализаций группы s из подгрупп с числом
частиц vm, состоящих из заданного набора N различимых
частиц, распределенных по подгруппам Nm (m= I, ..., a).
Чтобы получить цепочку уравнений, вычислим гра-
градиент от частной молекулярной функции распределения Ps
по i-й координате
N
ViPs = —$
Разобьем сумму, стоящую под интегралом, на две части, т. е.
JV	s	N
S' = S'+ S •	D.Ю)
j=l .7=1 J=s+1
i'
Первая из них — сумма по всем частицам в пределах рас-
рассматриваемой 5-конфигурации, а другая — по всем осталь-
остальным частицам. В результате получим
iV
iV
J v***y) ^e+d (ri	re, r^) drj, D.11)
5*

68	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновспой системы
или после деления правой и левой части на Ps
Последнее соотношение и есть цепочка уравнений, опреде-
определяющих последовательность частных молекулярных функ-
функций распределения.
Чтобы получить соответствующую цепочку уравнений
для общих молекулярных функций распределения, под-
подставим соотношение D.8) в D.12). Затем обратим внимание
на то, что суммирование в D.12) проводится как по одина-
одинаковым, так и по различающимся сортам частиц.
Однако в пределах отдельной группы частиц все члены
дают одинаковые вклады в полную сумму. Следовательно,
цепочку уравнений D.12) можно записать в виде
-з№-
Индекс к означает, что суммирование распространяется
на все сорта частиц. С учетом соотношения
Ps+i (Г1, ..., rs, >rj) (Nk-vh- 1)! P
Ps(Ti, ...,vs) ~ (Nk-vk)l P^ -(Nk-vk) p"»
D.14)
получаем цепочку уравнений для общих молекулярных
функций распределения

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 69
Прежде чем искать приближенное решение полученной
выше цепочки уравнений для функций распределения,
дадим физическую интерпретацию различных членов,
входящих в эту цепочку. Это особенно необходимо,
поскольку мы встретимся с такими важными для после-
последующего рассмотрения понятиями, как средняя сила,
потенциал средних сил и средняя потенциальная энергия.
4.3. Физическая интерпретация цепочек уравнений
Рассмотрим сначала среднюю силу, которую испытыва-
испытывает 1-я частица ^-конфигурации. Сила, воздействующая на
t-ю частицу в iV-конфигурации, есть
F,=-2'(Ў,*,,).	D.16)
Таким образом, для средней силы, действующей на частицу
s-конфигурации, получаем выражение
4jeZZ()
\ e **" drs+1 ... drN
С учетом D.7) это означает, что
ги . . ., re),	D.18)
Если затем мы определим потенциал {Wt)s средних сил,
действующих на i-ю частицу 5-конфигурации с помощью
соотношения
D.19)
то найдем общее выражение для функции Ps:
	• D>20)
Заметим, что выражение D.20) имеет самый общий
характер и при его выводе не использовалось никаких

70	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
допущений. [Отметим также, что плотность вероятности
найти i-ю частицу в точке rt данной s-конфигурации
соответствует распределению Болъцмана, с той лишь разни-
разницей, что потенциальную энергию кулоновского взаимодей-
взаимодействия следует заменить на потенциал средних сил.
Следует четко отличать потенциал средних сил, опре-
определяемый соотношением D.19), от средней потенциальной
энергии i-й частицы данной s-конфигурации. Потенциаль-
Потенциальная энергия i-й частицы iV-конфигурации есть
Ф« = 2'Ф«.	D-21)
i=l
С учетом этого обстоятельства выражение
является определением такого важного понятия, как
средняя потенциальная энергия i-й частицы в s-конфигура-
ции. Здесь, как и в D.10), мы вновь представим сумму,
входящую в D.22), в виде двух вкладов и найдем
или, используя выражение D.20),
"A/в)[<^>'<ДУ>] 1 -«т<"* ...dr.
D.24)
Полученный результат отражает сложный характер зави-
зависимости между средней потенциальной энергией i-й части-
частицы и потенциалом средних сил, действующих на нее.

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 71
Обратим внимание на то обстоятельство, что в выраже-
выражение D.24) входят также члены, отвечающие (s + ^-кон-
^-конфигурации.
Теперь можно выяснить физический смысл цепочки
уравнений для функций распределения. Из выражения
D.18) следует, что левая часть цепочки уравнений D.12)
представляет собой среднюю силу, действующую на мю
частицу 5-конфигурации. Первый член справа в D.12)
описывает силы, действующие со стороны остальных
частиц s-конфигурации. Чтобы выяснить смысл второго
члена, входящего в правую часть, рассмотрим величину
PS+JP8. Элементарные сведения из теории вероятности
подсказывают, что эта величина является условной вероят-
вероятностью Р (s + I/5) найти (s + 1)-ю частицу в элементе
объема drs+i при условии, что все частицы с номерами
1, . . ., s находятся в элементах объема dvu . . ., drs.
Таким образом,
^.	D.25)
Согласно этому выражению, второй член в правой части
D.12) определяет среднюю силу, действующую со стороны
частиц с номерами s + 1, . . ., N на г-ю частицу s-конфи-
гурации.
Итак, полученная цепочка уравнений, как мы видим,
отображает тот тривиальный факт, что сила, испытываемая
i-й частицей ^-конфигурации, состоит из вклада от (s— 1)
остальных частиц s-конфигурации и средней силы, дей-
действующей со стороны всех других частиц рассматриваемой
системы.
Поскольку цепочка уравнений для общей функции
распределения выводится из уравнений для частной
функции распределения с помощью простой подстановки,
ясно, что физический смысл членов в цепочке уравнений
для общих функций распределения будет таким же.
В качестве дополнения, которое нам потребуется
в дальнейшем, рассмотрим, кроме того, физический смысл
понятия общей молекулярной функции распределения.
Известно, что вклад vm частиц сорта т данной s-конфигу-
рации в среднюю плотность всей системы определяется

72	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
выражением
(n)Vm = J
Vm
Vm
m
= 2 (m^i(riN(r~r7.)dr^vm-Pi(r), D.26)
где mPi относится к рассматриваемому сорту частиц т.
Разумеется, этот результат не зависит от порядка s данной
конфигурации.
Отсюда видно, что частная функция распределения
первого порядка для частиц сорта т представляет собой
средний вклад отдельной частицы сорта т в общую плот-
плотность.
Если обратиться теперь к соотношению D.8), то из
него следует, что общая функция распределения первого
порядка тРМ (г) описывает вклад в среднюю плотность
от всех частиц сорта иг, содержащихся в системе.
Попытаемся теперь вычислить вклад в среднюю плот-
плотность от (N — s) частиц, не входящих в данную «-конфигу-
«-конфигурацию. Обращаясь к формуле для условной вероятности
P(N/s) = -^L,	D.27)
получаем вклад в среднюю плотность в виде
N
б (r ~ rj) dr*+i • • • dvN =
b •• •* *si r)
N
~ 2j
s (r4, . • •, Гв) #
s+1
С учетом соотношения D.14) мы имеем
( rt, .... rVG, г)

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 73
где к по-прежнему обозначает сорт частиц, находящихся
в данной точке наблюдения г. Это соотношение показывает
что для выделенной s-конфигурации вклад в плотность от
всех остальных частиц сорта к определяется отношением
ftp(+i)/p()
4.4.	Приближенное решение цепочки уравнений для моле-
молекулярных функций распределения
Цепочка уравнений для молекулярных функций рас-
распределения приводит нас к бесконечной системе связанных
интегро-дифференциальных уравнений. Получить решение
этой системы в общем случае не представляется возмож-
возможным. Чтобы сделать задачу разрешимой, цепочку уравне-
уравнений обычно обрывают на некоторой ступени при s =• s',
выражая P<s'+i) B виде более или менее обоснованной
функции или функционала от Р^ для всех s = 1, . . ., s\
Рассмотрим два наиболее важных случая.
1.	Одночастичное приближение. В этом случае мы"
исследуем только первое уравнение цепочки, заменяя
парные распределения произведением одночастичных
функций распределения.
2.	Приближение парных корреляций. В этом прибли-
приближении мы исследуем первые два уравнения цепочки. При
этом пренебрежем всеми корреляциями выше второго
порядка и, кроме того, предположим, что корреляции
второго порядка малы.
4.5.	Одночастичное приближение
Начнем рассмотрение с первого уравнения цепочки
D.15)
j (}	^_AdUth D.30)
Введем определение функции парных корреляций gtj для
частной молекулярной функции распределения *):
D.31)
х) Следует заметить, что это не единственный способ определе-
определения функции парных корреляций (см.? например, стр. 132J.

74	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
С учетом D.8) при тфк отсюда следует, что для общей
молекулярной функции распределения выполняется соот-
соотношение
D.32)
В случае т = к мы имеем
ййр<2» (kTh utj) = Hptv {kti) kp<v {ktj) {i+gkh) Ijz± . D.33)
В пределе, когда А^->оо, D.33) сводится к соотноше-
соотношению D.32).
Основное условие, соответствующее одночастичному
приближению, имеет вид
grab = О-	D.34)
Комбинируя выражения D.30), D.32) и D.34), получаем
v. lnmp<v (™r.) = __|. ^ Vt j kpw frj) 4>fjd hrj. D.35)
Отсюда видим, что основной эффект условия D.34) состоит
в сведении бесконечной цепочки уравнений к замкнутой
системе с числом уравнений, равным числу имеющихся
сортов частиц.
Используя выражение D.23) совместно с D.8), D.32)
и D.34), находим
j ihp'V (\)dkrj. D.36)
Подставляя эту формулу в D.35) и сравнивая полученный
результат с D.18) и D.19), имеем
™<^><i> = m(Wi)t = m{Wt)^\	D.37)
В рамках одночастичного приближения величина сред-
средней потенциальной энергии совпадает с потенциалом сред-
средних сил. Этот результат важен, поскольку он служит
фундаментом для обоснования уравнения Больцмана —
Пуассона, которое мы получим ниже. Интегрирование
уравнения D.35) с использованием соотношения D.36)

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 75
и условий нормировки дает
трA) ™= г / 4,<А— • <4-38)
J ехр (	i!gL)
Далее, вместо потенциальной энергии введем потенциал,
который связан с ней соотношением
.	D.39)
Произведя такую замену в D.36) и одновременно применяя
оператор Лапласа, получим «уравнение Пуассона»
д .фга> = -4я 2 ** *^A)-	D-40)
Теперь подставим полученный ранее результат D.38)
в уравнение D.40) и найдем дифференциальное уравнение
для среднего потенциала Ф|1}:
ekNk ехр (	й—
;> °	. D.41)
ft J ехр (	_L
Это и есть основное уравнение Больцмана — Пуассона,
справедливость которого в рамках одночастичного при-
приближения была нами доказана выше.
4.6. Уравнение Больцмана — Пуассона
Поскольку уравнение Больцмана — Пуассона линейно
по высшим производным, его можно отнести к типу квази-
квазилинейных. Его характерные математические свойства
идентичны свойствам уравнения Пуассона. В общем слу-
случае уравнение Больцмана — Пуассона приходится решать
численно. Однако мы покажем, что пренебрежение пар-
парными корреляциями gtj, необходимое для выполнения
одночастичного приближения, эквивалентно требованию
« 1.	D.42,

76	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Поэтому линеаризация уравнения Больцмана — Пуассо-
Пуассона вследствие условия D.42) в рамках одночастичного
приближения является вполне последовательной проце-
процедурой.
Но прежде мы хотели бы обратить внимание на то, что
до сих пор мы рассматривали произвольную многокомпо-
многокомпонентную систему. В дальнейшем без потери общности
мы перейдем к рассмотрению двухкомпонентной системы,
состоящей из точечных положительных (е+) и отрицатель-
отрицательных (е_) заряженных частиц г). Тогда уравнение D.41)
примет вид
e+N+ ехр	±-	) eJV_ ехр —
D.43)
Здесь уже без каких-либо осложнений можно опустить
индекс i.
При нахождении решения воспользуемся тем обстоя-
обстоятельством, что вид уравнения Больцмана — Пуассона
не зависит от выбора нулевой точки потенциала. Следова-
Следовательно, точку отсчета потенциала можно выбрать таким
образом, чтобы выполнялось соотношение
e+N+	—e_i\L	// //\
+	—	=р. D.44)
J/ е.ФA> \ Г / е_ФA> \	^'
ехр ^	±-^—j rfr	\ exp ^	^—j dr
Тогда уравнение D.43) запишется в форме
= —4яр ехр I	^— ) — ехр [	^— 1 . D.45)
Из уравнения D.45) следует, что при условии D.44)
нулевая точка потенциала совпадает с точкой, где плазма
нейтральна. Это не означает, что такая точка должна
существовать внутри плазмы. Для математического описа-
описания тот факт, что нейтральная точка может оказаться вне
плазмы, не имеет никакого значения.
х) Отметим, что е„ — отрицательная величина.

§ 4. Микроскопические свойствй Кулоновской системы 77
Линеаризация уравнения D.45) дает
ДФа>=+-^-Ф«\	D.46)
Р
где использовано сокращенное обозначение
^D.47)
Дифференциальное уравнение D.46) имеет большое число
решений. Нужное решение должно удовлетворять соот-
соответствующим граничным условиям. Эти граничные усло-
условия определяются физическими требованиями и геометрией
рассматриваемой задачи. Здесь мы рассмотрим только
случай сферически-симметричной геометрии. Тогда реше-
лие дифференциального уравнения D.46) можно написать
как
±[()A^)] . D.48)
Это решение содержит две произвольные константы. Одна
из них может быть определена из требования регулярности
функции Ф^) при г — 0. Вторая определяется граничным
условием при г = R.
В равновесном состоянии частицы не могут ни погло-
поглощаться, ни испускаться рассматриваемой сферической
поверхностью. Так как рассматриваемое нами решение
содержит лишь один параметр, то он должен выражаться
через единственную физическую величину. Это может
быть значение потенциала на поверхности или результи-
результирующий заряд всей системы, который в конечном счете
определяет значение потенциала на поверхности рас-
рассматриваемого объема.
Учитывая эти два условия, т. е. заданное значение
потенциала Ф(д на выделенной поверхности и регуляр-
регулярность функции Фс1) при г = 0, запишем решение в виде
ф	ф	{AAQ)
Здесь величина Dp определена формулами D.44) и D.47).
Решение Фвнутр относится к области 0 < г < /?, а Фвнеш»

78	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
которое мы обсудим ниже, — к области R < г < сю.
Будем далее иметь в виду это различие.
Уравнение Больцмана — Пуассона является диффе-
дифференциальным уравнением второго порядка. Следователь-
Следовательно, при заданном распределении плотности заряда рас-
распределение потенциала полностью определяется условием
регулярности в выделенном центре и выбором точки нуле-
нулевого потенциала. В нашем случае распределение плотности
частиц двух сортов описывается формулой D.49), если
заданы полные числа частиц iV+ и N_ каждого сорта.
Положение нулевой точки потенциала уже выбрано соглас-
согласно выражению D.44). Следовательно, если бы числа N+
и iV_ можно было считать заданными, то выбор решения
для потенциала ФA) исключал какую бы то ни было
возможность произвола.
Сомнение относительно возможности независимого оп-
определения JV+ и N~ оказывается правильным. Из первого
соотношения D.44) видно, что числа N+ или iV_ можно
найти только в том случае, если задано распределение Фд\
Иными словами, любая из рассматриваемых величин N+
или iV_, а также значение потенциала Ф^ определяются
полным пространственным зарядом системы.
Обозначим полный заряд через
Q = e+N+ + eJV_.	D.50)
С помощью простых вычислений, используя соотношения
D.42) и D.44), получаем
exp(—е
V-(e+/S) l
1Э
в
Зная величину Q, можно также определить потенциал
в области г у> R.

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 79
Используя решение уравнения Пуассона без правой
части и сшивая решение для потенциала на выделенной
поверхности, находим
Выражения D.49) и D.52) представляют собой распре-
распределение потенциала в пределах всего конфигурационного
пространства для заданных значений N+ или iV_ и потен-
потенциала Ф$ на поверхности R.
Выражение D.47) для параметра D9 можно упростить.
Из соотношения для р D.44) и условия D.42) вытекает
D.53)
V —
и, следовательно,
С помощью D.47) получим окончательный результат:
Варьируя параметры N+ (или NJ) и Ф$\ можно, ра-
разумеется, получить все возможные распределения потен-
потенциала. К сожалению, классификация решений по этим
параметрам не очень удобна для интерпретации и, кроме
того, практически все кривые, соответствующие найденным
решениям, имеют отличающиеся друг от друга нулевые
точки потенциала. Заметим, однако, что рассматривавшая-
рассматривавшаяся в предыдущем параграфе методика расчета была выбра-
выбрана исходя лишь из ее математического удобства. Поэтому
с целью более подходящего графического представления
полученных результатов перенормируем распределения
потенциала таким образом, чтобы все они имели нулевую
точку на бесконечности, а также пронормируем значение
потенциала при г = R на единицу. Тогда получим
фш _фA,
^внеш ^ооR

Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
и
ВНутр
3
при условии
D.57)
А)]=^.. D.58)
Эти результаты приведены на фиг. 4.
Из графиков видны две характерные особенности реше-
решений. Во-первых, оказывается, что глубина потенциальной
r/R
О
В? -0,5
i
-1,5
Фиг. 4. Распределение потенциала для плазменной сферы, отне-
отнесенного к потенциалу на поверхности сферы, при различных значе-
значениях параметра Dp.
ямы зависит только от разности N+ — iV.. Во-вторых,
и это более удивительно, оказывается, что распределение
потенциала внутри рассматриваемой кулоновской системы
зависит только от средней плотности числа частиц

§ 4. Микроскопические свойства кулоиовской системы 81
(N+ + NJ)IV, хотя, исходя из упрощенных представле-
представлений, здесь можно было бы ожидать проявления результи-
результирующего пространственного заряда.
Любопытно проанализировать полученные результаты
на примере, представляющем более общий интерес.
Наиболее широко распространенное определение плаз-
плазмы сводится к следующему: плазма есть такая система
заряженных частиц, в которой действие поля обнару-
обнаруживается практически лишь в небольшой области среды
вблизи ее границ — пограничном слое.
Рассмотрим, какие соотношения можно получить для
подобной системы исходя из полученных нами результа-
результатов. Из выражения D.49) ясно, что данное выше определе-
определение плазмы сводится к требованию
#р < R.	D.59)
В этом случае D.51) приближенно выражается в виде
Ueg.^.	D.60,
Обращаясь теперь к условиям D.59) и D.42), мы видим,,
что правая часть выражения D.60) представляет собой
член второго порядка малости. В рамках используемой
линейной теории он пренебрежимо мал. Следовательно,
упомянутое определение плазмы по необходимости требу-
требует ее квазинейтральности, т. е.
N+e+ « —Nje..	D.61)
Подставляя это условие в соотношение D.55), получаем,
что
N_el \ 1	2	„ соч
"Т-) = -ВГ = >сЬ,	D.62)
и обнаруживаем тем самым, что параметр Z), характери-
характеризующий экранирующий слой в плазме, совпадает с дебаев-
ским радиусом Xjy.
Выскажем, наконец, ряд предостерегающих замеча-
замечаний. При анализе данных результатов мы всегда должны
помнить, что ойи получены в рамках линейного приближе-
приближения. При этом также следует иметь в виду допущения,
6-01291

82	Гл. 1. Равновесные состояния кулбновской системы
справедливые для равновесной системы, которые исключа-
исключали возможность потерь частиц на любых поверхностях,
так же как и испускание их с этих поверхностей. Если
хотя бы одно из этих предположений не выполняется, то
толщина экранирующего слоя в плазме может отличаться
от дебаевской длины, определяемой соотношением D.62).
4.7. Приближение парных корреляций
к^Щ В соответствии с данным выше определением прибли-
приближения парных корреляций мы пренебрежем всеми корре-
корреляциями выше второго порядка, полагая корреляции
второго порядка малыми:
gti < I-	D-63)
В рамках рассматриваемого приближения парных корре-
корреляций докажем следующие три положения:
1)	существует простое соотношение между функцией
распределения РО) и средней потенциальной энергией
(<j>i){S) для частиц s-конфигурации, аналогичное соотно-
соотношению D.36);
2)	существует обобщенное уравнение Больцмана —
Пуассона для средней потенциальной энергии частиц
s-конфигурации, аналогичное уравнению D.41);
3)	средняя потенциальная энергия частиц s-конфигу-
рации может быть представлена в виде суммы эффектив-
эффективных потенциальных энергий парного взаимодействия для
данной конфигурации. Эта эффективная потенциальная
энергия зависит как от сорта двух выбранных взаимо-
взаимодействующих частиц, так и от системы остальных частиц,
не входящих в данную s-конфигурацию. Наиболее простым
частным случаем проявления этого закона является хоро-
хорошо известный случай взаимодействия по закону Дебая —
Хюккеля в рамках двухчастичной конфигурации.
Доказательство первого положения. Рассмотрим цепоч-
цепочку уравнений D.15)
D.64)

§ 4, Микроскопические свойства кулоповской системы 83
Подставляя D.14) в D.23), мы найдем выражение для сред-
средней потенциальной энергии i-ж частицы ^-конфигурации
-S ¦U+S
.7 = 1	«
Далее, применив оператор V^ к обеим частям выражения
D.65) и подставив полученный результат в D.64), получим
D.66,
V
Для вычисления второго члена в правой части уравнения
надо найти явное выражение для отношения P(s+1>/p(s\
справедливое в рамках приближения парных корреляций.
Рассмотрим выражение для частной молекулярной
функции распределения порядка s в виде *)
р. = п pi (г0 П A+agtj) П A+'ем) Л D.67)
В этом выражении величины sgj... k суть корреляционные
функции системы 5-частиц, характеризуемой функцией
распределения Ps. При вычислениях, приведенных ниже
в настоящей главе, мы используем предположение о том,
что корреляционные функции sgt.. ,h для любых значений s
одинаковы. Последнее является хорошим приближением
до тех пор, пока s <^ N.
Порядок корреляционной функции характеризуется
числом индексов, совпадающих с индексами коррели-
коррелирующих частиц. Символ к (д) указывает, что произведение
следует брать по всем комбинациям индексов частиц
порядка д.
В приближении парных корреляций мы пренебрегаем
всеми корреляциями выше второго порядка. Тогда выраже-
См, примечание на стр. 73.
6*

84	Гл. 1. Равновесные состояния лулоновской система
ние D.67) можно переписать в виде
• D-68)
i	42)	\±[Pl (Гг
i
Отсюда следует, что
Пр2(г*,г;)
Pe+i( ...rj) =	i
sl*";
ИЛИ
fept((v::)'J)=р* w n [i
Согласно соотношению D.14), мы имеем
(ftr;-, «r,) = P2 (rj, n) NkNg при к Ф q, D.71)
i><2> (ftry, 9r0 = P2 (r,, r«) iVfe (iVft -1) при к = g.
Поэтому, учитывая выражение D.67), получаем, что
при k^q
рф {nrh qti) = рт (*Гу) />(i) (чг.) [1 + gft9 (ftr7-, «г,)], D.72)
а используя это соотношение, согласно D.70), находим
Jh^ра) ^ п
D.73)
Второй член в правой части уравнения D.66) теперь можно
записать в виде
= 2 ^1^ j pa) ^) (V'W hi d S- D-74)
При выводе этого уравнения в соответствии с определени-
определением приближения парных корреляций мы пренебрегли все-
всеми произведениями ^-функций. Следует заметить, что

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 85
оператор Vf действует лишь на координаты i-ш частицы
5-конфигурации и, следовательно, не влияет на функции
распределения первого порядка, входящие в соотноше-
соотношение D.73), которые относятся к группе остальных частиц.
В предположении однородности и изотропности систе-
системы корреляционная функция gkq зависит только от
абсолютной величины вектора г = йг/ — qrt —расстоя-
—расстояния между i-й и ;-й частицами. Это означает, что
Vignq = -Vjgkq.	D.75)
Используя полученное равенство, находим
f
X Pa) (hrj) $ijV} [gkq (qti, hrj)] d htj. D.76)
Потенциальная энергия взаимодействия <f>tj, согласно ее
определению, также зависит только от абсолютной вели-
величины вектора г. Таким образом, сместив систему коорди-
координат в точку qYi, соотношение D.76) можно представить
в виде
')!*¦ D-77)
Из предположения об однородности системы следует,
что Ра) — постоянная величина. Поэтому
и, следовательно,
6V^lnP(S>- —^г(фг)(8).	D.79)
Просуммировав теперь результат D.79) по всем частицам
^-конфигурации, найдем уравнение
= - 2 V*<<M(S\	D.80)

86	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
где
Ў=2*,	D.81)
есть оператор V в координатном пространстве s-конфигу-
рации.
Выразим теперь правую часть уравнения D.80) через
среднюю энергию частиц ^-конфигурации
D.82)
Первый член в правой части этого выражения представля-
представляет собой энергию взаимодействия частиц данной s-конфи-
гурации между собой, второй — среднюю энергию взаимо-
взаимодействия (N — s) оставшихся частиц системы с частицами
5-конфигурации, а последний член C^N~S^ описывает среднюю
энергию взаимодействия остальных (N —s) частиц друг
с другом. Величина C(N~S) не зависит от координат частиц,
образующих рассматриваемую ^-конфигурацию.
Применим оператор V сначала к выражению D.82),
а затем к D.65), после чего вычтем полученные уравнения
одно из другого. В результате имеем
или с учетом D.74)
+ 2 ТГ 1 РФ {hrj) ^ViSmk(mTi, "vj) d hvj. D.84)
В соответствии с исходным допущением об однородности
системы множитель Pd) по-прежнему предполагается
постоянным по величине.
Здесь следует обратить особое внимание на то обстоя-
обстоятельство, что во втором члене в правой части уравнения
D.84) в функцию §qj входят координаты с индексами

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 87
(q, ;), тогда как в функции gmk координаты имеют индексы
(?, /). Если бы набор индексов у координат в этих функци-
функциях был одинаков, то в силу соотношений D.76) и D.77)
второй член можно было бы опустить. Тем не менее рас-
рассматриваемый член все же обращается в нуль, поскольку
выполняется следующее равенство:
Чтобы убедиться в этом, вспомним, что функция g зависит
только от расстояния между частицами. Следовательно,
суммирование по всем значениям i и q во втором члене
правой части уравнения D.84) дает нуль.
Итак, мы показали, что
г	I
Учитывая этот результат в D.80), получаем простое соот-
соотношение между общей молекулярной функцией распре-
распределения 5-го порядка и средней потенциальной энергией
частиц рассматриваемой 5-конфигурации:
6V In Р«»> = - V( ф >«.	D.87)
Доказательство второго положения. Для вывода обоб-
обобщенного уравнения Больцмана — Пуассона применим опе-
оператор V^ к выражению D.65) и используем уравнение
D.78). В результате найдем
s t	N
Vj(<^)C> = 2 ^г^г.7 + 2 ) *P(s)Y " ) * С^гФи)*}1**]' D.88)
Произведя скалярное умножение этого уравнения на
оператор V^ и принимая затем во внимание хорошо изве-
известные соотношения теории потенциала, получаем следую-
следующее уравнение:
S
= 4Я 2j * \ Г; **z) &h€q —
N
-4я 2

88	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Обратим внимание на третий член, содержащийся
в правой части уравнения D.89), наличие которого обус-
обусловлено тем обстоятельством, что функция распределения
плотности пространственного заряда в данном случае
зависит от координаты пробной частицы ftr7-. Согласно
D.87), можно написать соотношение
pis)
Здесь Ak — нормировочная постоянная. Исходя из условий
нормировки
Psdv, ... drs = l,
D.91)
j Pd
и выражений D.7), D.8), а также D.68) в пределах приме-
применимости приближения парных корреляций, можно полу-
получить условие
pay
Подставляя соотношение D.73) в D.90) и учитывая, что
— константа, с помощью условия D.92) находим выра-
выражение
г
ехр ^ -
Подстановка полученного результата в уравнение
D.89) дает обобщенное уравнение Больцмана — Пуас-

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 89
N
s	N
+ 2j	г г
i=e+i	J exp [ -
D.94)
Заметим, что D.94) содержит уже не одну функцию
(ф)\ а три различные функции (</>j)(S), (ф)(г5)и (<?)(S+1).
Обобщенное уравнение Больцмана — Пуассона являет-
является довольно сложным, и его решение можно рассмотреть
только на основе метода суперпозиции средней потен-
потенциальной энергии парного взаимодействия частиц данной
^-конфигурации, к изложению которого мы и перейдем.
Доказательство третьего положения. Попытаемся теперь
представить среднюю потенциальную энергию частиц
s-конфигурации в виде суперпозиции эффективных потен-
потенциальных энергий парного взаимодействия для данной
конфигурации. Запишем следующее исходное выражение:
<ф>(в)=2^#(***Л>),	D.95)
*<2)
где через к B) обозначены все возможные парные комбина-
комбинации частиц г, / в пределах s-конфигурации.
Можно ожидать, что эффективная потенциальная энер-
энергия взаимодействующей пары зависит от набора v, обра-
образуемого частицами s-конфигурации, и, в частности, от
числа s. Индекс (д, к) указывает на то, что эффективная
потенциальная энергия будет также зависеть от сорта (д, к)
двух взаимодействующих частиц ^-конфигурации.
После того как мы учли сорт частиц (д, к), влияние
системы на эффективную энергию взаимодействия частиц
в сущности сводится к действию подсистемы остающихся
(N —5) частиц. Имея это в виду, заметим, что из общегр

90	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
приближенного соотношения
NkttNk-l	D.96)
следует
:T ^<?<2).	D.97)
Используя последнее приближенное равенство, а также
выражение D.95) и линеаризуя экспоненциальную функ-
функцию (что, как мы покажем, вполне соответствует рас-
рассматриваемому приближению парных корреляций), с по-
помощью уравнения D.94) получаем
S	S
4л
exp [ -ч-^	e K*' jdTi... drs+i
- vfe)
Г <Ф>) —<Ф><«I 7 I
exp I — i^	Q ^; I dri ... drs+i
D.98)
Заметим, что первый член в правой части этого уравнения
содержит знак суммы со штрихом, а в остальных членах
он отсутствует. Последний член не содержит суммирова-
суммирования по индексу Z, поскольку оператор Vf исключает все
члены, кроме тех, у которых I = i.
Интегрирование по частям в четвертом члене приводит
к результату
Г <*)(
^ -i-^	e	J *, ... drs+i
N ekeq (Nk-vh) Vs. J >$ (ft,, h^) бEгг-htj) d
2
)expL	e—Jdti • • ¦ dr*+i
D.99)

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 91
из которого видно, что этот член взаимно сокращается со
слагаемыми j = Z, и = к, входящими в третий член правой
части уравнения D.98). Таким образом,
S	S
Л* 2' 4% (%. h*j) ^ - 4я 2 S (hvj - *г,) eqeh -
3 = 1
N-s
4я 2
ft
ехр
) п
J dn ... drs+i
V
4-41ТV
4
=i J exp
z=i J exp	g	j drt ... dr$+i
Эффективная энергия парного взаимодействия удовле-
удовлетворяет тривиальному соотношению
В нашем рассмотрении нормировочная постоянная
в выражении D.93) является произвольной величиной.
Потребуем, чтобы
Ак = ^^.	D.102)
Перегруппируем также слагаемые суммы по Z. Тогда, учи-
учитывая соотношения D.102) и D.101), мы получим уравне-
уравнение D.100) в виде
S	S
-4я 2Г^^^- + 4я2
ft	1=1
ф
D.103)
Ясно, что последовательность суммирования в третьем
члене правой части уравнения D.103) не имеет значения,

92	Гл. 1. Равновесные состояния пулоно вспои системы
Поэтому вместо суммирования по I и по соответствующему
сорту частиц и мы сначала проведем суммирование по
индексу j и соответствующему ему сорту частиц к.
Далее учтем, что однородная и изотропная плазма
должна быть нейтральной. Это требует выполнения усло-
условия
lv
2*АЛГА = О.	DЛ04)
k
Используя данное соотношение, второй член правой части
уравнения D.103) можно записать в виде
= + ^2****^т-2'
k	1=1
где штрих у знака суммы означает, что в ней должен быть
исключен заряд i-ж частицы. Здесь также учтено, что вы-
выполняется приближенное равенство vq — 1 « vq.
Подставив D.105) в уравнения D.103), нетрудно
свести их к системе уравнений того же типа для отдельных
слагаемых
rj) = -
J\T~S
( 2 ^V )^^(gr» S). D-106)
Ниже мы покажем, что данная система уравнений (для
эффективной потенциальной энергии) обладает решениями
типа Дебая — Хюккеля. А это означает, что третье поло-
положение будет доказано.
Напомним его: средняя потенциальная энергия частиц
данной 5-конфигурации может быть представлена в виде
суперпозиции потенциалов отдельных взаимодействующих
пар. Потенциальная энергия каждой взаимодействующей
пары может быть найдена из обобщенного уравнения
Больцмана — Пуассона D.106). Она зависит от сорта двух
выбранных частиц и набора v групп частиц рассматри-
рассматриваемой s-конфигурации.

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 93
Полученный выше результат интересен во многих
отношениях. Например, из него очевидно, что в виде сум-
суммы эффективных потенциальных энергий парного взаимо-
взаимодействия можно представить не только среднюю потен-
потенциальную энергию данной s-конфигурации, но также
и взаимодействие некоторой пробной частицы с частицами
этой ^-конфигурации. Такой результат легко получить,
если рассмотреть выделенную ^-конфигурацию плюс проб-
пробная частица в виде единой системы из (s + 1) частиц,
а исходную 5-конфигурацию — в качестве другой, отдель-
отдельно существующей системы. Вычитая среднюю энергию
частиц 5-конфигурации из энергии частиц конфигурации
(s + пробная частица), можно заметить, что возникающая
разность представляет собой сумму эффективных потен-
потенциальных энергий по всем взаимодействующим парам.
Однако подобный результат верен только в том случае,
если величины уф^ можно соответственно отождествить
с величинами v+1<?B). Пренебрежение эффектом от одной
частицы при вычислении этих величин не выходит за рам-
рамки общей системы допущений, использованных в настоя-
настоящем параграфе [см., например, D.97)].
Полученный результат позволяет рассчитать поле
частиц s-конфигурации, действующее на пробную частицу.
Пусть пробная частица имеет заряд +1. Будем искать
поле частиц s-конфигурации, действующее на данную
пробную частицу, в виде суперпозиции эффективных
полей отдельных частиц ^-конфигурации. Это эффективное
поле пропорционально градиенту потенциала взаимодей-
взаимодействия V4>gfc\ где под q следует понимать индекс пробной
частицы.
Приведенные примеры окажутся полезными при об-
обсуждении вопроса о суммарном поле, создаваемом ионной
компонентой в системе, состоящей из ионов и электронов.
4.8. Решение обобщенного уравнения Больцмана — Пуас-
Пуассона
Уравнение D.106) можно упростить, если вспомнить,
что функция v</>$ зависит только от абсолютного значения
г ==(дгг —ftr7«). Таким образом, представив потенциаль-

94	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
ную энергию в виде суммы энергий взаимодействующих
пар, приведем обобщенное уравнение Болъцмана — Пуассо-
Пуассона к следующей форме:
+ -J—^V4>$\ D.107)
где использована сокращенная запись
^-.	D.108)
Здесь величина VA,D представляет собой дебаевскую длину
для системы с числом частиц Nk—vfe. Общее решение
уравнения D.107) имеет вид
C2exp ( +у-)] • D.109)
^) + 2p ( +у
Рассмотрим предельный случай, когда У-^оо. При
сх) потенциальная энергия уф$ должна быть конечной
б
величиной, следовательно, С2 = 0. При г-> 0 необходимо
учесть сингулярность б-функции Дирака в уравнении
D.107), откуда следует С4 = eqek. В результате решение
имеет вид
D.110)
Таким образом, для частного случая 5=2 полученное
решение совпадает с формулой Дебая.
Прежде чем закончить данный параграф, уместно сде-
сделать два дополнительных замечания.
Во-первых, выше утверждалось, что линеаризация
экспоненциальных функций, входящих в выражение для
потенциальных энергий взаимодействующих пар, не выхо-
выходит за рамки применимости приближения парных корре-
корреляций. Чтобы проанализировать это утверждение, обра-
обратимся к выражениям D.72) и D.87), из которых в рамках
общей применимости приближения парных корреляций

§ 4. Микроскопические свойства пулоновской системы 95
найдем
^(^), D.111)
откуда сразу следует, что
V*. B)
*«*=—#*-.	D.112)
Вместе с основным условием применимости приближения
парных корреляций D.63) это означает, что линеаризация
экспоненциальных функций не только допустима, но лишь
она в действительности и имеет смысл. Любые попытки
улучшить теорию за счет включения членов более высокого
порядка в разложении экспоненты являются заблужде-
заблуждением и несовместимы с используемым приближением.
Во-вторых, хотя используемый нами метод представля-
представляет собой обычную процедуру, неявно употребляемую
практически во всех работах, посвященных рассмотрению
данной дроблемы, мы не должны пройти мимо того факта,
что решение уравнения Больцмана — Пуассона было рас-
распространено нами на расстояния вплоть до г =0, несмотря
на то что упомянутая выше линеаризация в области
малых г невозможна. В самом деле, полученное нами
решение удовлетворяет условию D.63) только в области
г >«*,-„, =ig*.,	D.113)
где qkrw — радиус классического взаимодействия.
Поэтому константу С^ из предельного перехода г ->¦ 0
определить в действительности нельзя. Мы должны были
бы определить константу С1? сшивая решение для полей
на радиусе г ж qkrw. Однако для выполнения такого
условия непрерывности требуется знать распределение
потенциала в пределах области 0 < г < qkrw. В случае
когда вклад третьего члена правой части уравнения D.107)
пренебрежимо мал, в данной области значений г можно
было бы использовать выражение для потенциальной
энергии кулоновского взаимодействия.

Об	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
^\ В области 0 < г <; qhrw упомянутый третий член
представляет собой вклад от среднего заряда всех частиц,
не содержащихся в s-конфигурации. Однако мы должны
согласиться с тем, что в настоящее время нет теории,
адекватно описывающей решения для рассматриваемых
значений г. В этой области становятся важными квантово-
механические эффекты и свойства отдельных частиц.
Если принять довольно правдоподобное допущение
о том, что вклад от среднего заряда всех остальных частиц
в этой области пространства пренебрежимо мал, то куло-
новское приближение будет справедливо при условии
е2- уу	( 4я N \-Уз	.
r" = -e"<ro=(-r ~) '	(
которое можно также переписать в форме неравенства
где через п кр обозначено значение критической плотности-
Таким образом, в рамках обсуждавшегося выше пред.
положения можно ожидать, что выражение для потен-
потенциальной энергии D.110) является хорошим приближением
для систем, плотность которых много меньше критического
значения.
С другой стороны, по мере приближения к критической
плотности парные корреляции оказываются уже не столь
малыми и становится важным последовательный учет
корреляций более высокого порядка. Поэтому требование,
вытекающее из условия справедливости решения D.110),
не является дополнительным ограничением и вполне
совместимо с общим условием применимости приближе-
приближения парных корреляций D.63).
4.9. Уравнение Борна — Грина
В^предыдущем разделе мы нашли метод определения
функций распределения в приближении парных корреля-
корреляций, исходя из уравнения Больцмана — Пуассона, реше-
решение которого позволяет найти средние потенциальные
энергии взаимодействующих пар. Для простейшего случая
парных корреляций в двухчастичной конфигурации резуль-
результат сводится к выражениям D.110) и D.111). В данном

	§ 4, Микроскопические свойства кулоновской системы 97
разделе мы поставим целью изучить другой приближен-
приближенный метод расчета функций распределения, представляю-
представляющий фундаментальный интерес* Этот метод не требует
рассмотрения задачи о средних потенциальных энергиях.
Для краткости ограничимся исследованием лишь наиболее
важного случая двухчастичной конфигурации примени-
применительно к нейтральной кулоновской системе из двух ком-
компонент, содержащих равные числа противоположно заря-
заряженных частиц. Основным уравнением здесь является
уравнение Борна — Грина, которое можно вывести рас-
рассматриваемым ниже способом.
Используя выражения D.72), D.8) и D.71) в рамках
общего условия применимости приближения парных кор-
корреляций D.63), мы имеем
ti Г2> *з)	г— \ij, l3) г^-> Ki2, 13/	/^ ||0ч
(ri, r2)	РA)(п)РA)(г2)РA)(г3) '
Для простоты при описании рассматриваемого двухком-
понентного ансамбля введем следующие сокращенные
обозначения:
qk =
D.117)
Используя эти обозначения и уравнение D.11) для двух-
двухчастичной функции распределения Р(++), получаем урав-
уравнение Борна — Грина в виде
1, га) + Р<++> (гь г,) Viftr =
i, г») Г 1***{гита)Р<++Цтг,т,)
(*i) J
1 (r3
х j ^(rt^^h,^ Vif+-, (гь Гз) ,Гз. D.118)
Очевидно, что данное уравнение содержит кроме функции
Р<++) еще и функцию Р(+">. Поскольку аналогичные урав-
уравнения можно получить также для функций Р(+~> и Р{ \
7-01291

98	Гл. 1. Равновесные состояния кулондвской системы
ясно, что в рассматриваемом случае действительно возни-
возникает замкнутая система их трех связанных уравнений
Борна — Грина для функций P<qh\
В принципе можно пытаться решить эти три связанных
интегро-дифференциальных уравнения как единую систе-
систему, однако мы предпочтем хотя и менее общепринятый,
зато более простой способ. Предположим, что [в обозначе-
обозначениях D.117)] выполняются следующие равенства:
g(++) = ef<-)=== _g<+-> = g*a,	D.119)
где g— функции парных корреляций, определяемые D.31).
(Конечно, мы должны показать совместность данного
предположения с окончательным результатом.)
Это предположение позволяет исключить связь между
уравнениями. С помощью соотношения
*)Р<->(г/) х)
и выражений D.32) и D.119), применяя преобразование
координат
г, = г, г2 = 0, г8 = г',	D.121)
можно перейти от уравнения D.118) к следующему интегро-
дифференциальному уравнению для функции g:
=-2ne* J g(r') V^(|r-r'|) dr'-
g (| r — r' |) Vip (| r — r' |) ^r'. D.122)
Здесь использованы обозначения
Поскольку мы рассматриваем неограниченную в простран-
пространстве плазму в отсутствие внешнего поля (т. е. плазма одно-
однородна и изотропна), можно утверждать, что второй член
в правой части уравнения D.122) тождественно обращается
в нуль. Аргументы в пользу этого вывода аналогичны
изложенным на стр. 87.

§ 4. Микроскопические свойства ЩлЬндёСкой системы 99
Ограничимся исследованием области
г »*•« = -?.	D.124)
Ниже мы докажем, что соотношение
)	DЛ25)
не находится в противоречии с окончательным результа-
результатом. Принимая во внимание условие D.124) и соотноше-
соотношение D.125) в уравнении D.122), можно пренебречь третьим
членом в левой части этого уравнения по сравнению
с остальными членами. Тогда получим
(г) + V* (г) = — 2пе2 j g (г') Тф (| г —г' |) dt' D.126)
или
$	D.127)
Из предельного перехода приг->оо следует, что С — О.
Применим теперь к уравнению D.127) преобразование
Фурье и, использовав теорему о свертке, найдем
D.128)
Отсюда после простых преобразований
?U <4Л29)
где
хЬ=8^	D130)
— постоянная Дебая для рассматриваемой системы. Обрат-
Обратное преобразование Фурье дает
g= — -^-exp(-^xDr).	D.131)
Таким образом, функция парной корреляции для ионов
имеет вид
g<++> = _ А ехр (- xDr).	D.132)
7*

100	Гл. 1. Равновесные состояния НуЛдндвбНдй системы _^__
Полностью аналогичным способом могут быть получены
функции корреляции #(--) и g(+~). После этого нетрудно
показать, что введенное нами предположение D.119) так
же, как и соотношение D.125), выполняется в области
r>rw. Последнее ограничение не является1 каким-либо
дополнительным требованием, а есть необходимое условие
применявшейся в некоторых случаях процедуры линеари-
линеаризации. Интересно отметить, что D.125) идентично условию
D.115), ограничивающему применимость рассмотренных
теорий областью субкритических плотностей.
4.10. Функции распределения для характеристик системы,
зависящих от фазовых переменных
До сих пор мы исследовали вопрос о том, каким обра-
образом распределены частицы данной системы по совокупно-,
сти фазовых переменных. Каноническое распределение
вида D.1) по Г-пространству позволяет вычислить рас-
распределение вероятности для любой величины, являющей-
являющейся функцией фазовых переменных.
Пусть G (г4, . . ., tn, р4, . . ., pN) есть такая задан-
заданная функция. Тогда функция распределения вероятности
W (G) для этой величины может быть выражена с помощью
функции fffi следующим образом:
W(G) = j b(G-G(ti, ..., pN))fffdtdT?t D.133)-
Здесь интегрирование должно проводиться по всему
Г-пространству. Подставляя в D.133) выражение D.1),
для р$ находим
Г в((ЗГ-в(г„ ..
ш (G) — i
D.134)
где Н (гь . . ., р^) определяется формулой D.2). При
вычислении функции распределения вероятности W (G)
удобно перейти от представления D.134) к спектральной
функции Фурье
WG (I) = j e-*G W (G) dG = j <ГВДГ1< -• p*}/№ dvdV. D.135)

§ d* Микроскопические свойства кулоновской системы 101
Если G—векторная величина, то, очевидно, мы имеем
соответственно
G A) = J
. D.136)
Дальнейшие вычисления по этим формулам возможны
только в том случае, когда известен конкретный вид
функции G. Поэтому ниже мы обратимся к рассмотрению
такого конкретного случая.
4.11. Распределение микрополен
Одним из наиболее важных и характерных для плазмы
распределений является распределение внутренних микро-
микроскопических полей. Поле, возникающее в заданной ней-
нейтральной точке наблюдения, может быть представлено
в виде линейной суперпозиции полей от всех частиц дан-
данной системы:
Е=|]Е,(г,).	D.137)
Подставив это выражение в D.136), найдем спектральную
функцию Фурье WE (I) от распределения микрополей:
Е,)]
rff. D.138)
Поскольку корреляция между импульсами и координа-
координатами в конфигурационном пространстве отсутствует, а
вклады в электрическое поле от отдельных частиц не
зависят от импульсов, мы проинтегрировали выражение
D.138) по всем импульсам и перешли от функции распре-
распределения /$} в Г-пространстве к функции распределения PN
в конфигурационном пространстве.
Трудность вычислений по формуле D.138) связана,
конечно, с наличием экспоненциального множителя перед
функцией PN.
В свете общего успеха метода групповых разложений
Барашке и Мозер [13] использовали для этой цели разло-
разложение по группам в ^-представлении t определяемом

102	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
выражением
p.~-p-i&''Ej)	A	(A /|QQ\
С j 	 v	J ^^ X •	\~?» ± «J «7^
Подставим данное выражение в формулу D.138) и вычис-
вычислим соответствующие произведения е-функций. Тогда
можно надисать
N
*М1) = 2 WsE(l),	D.140)
8=0
где функции W% равны
2 в^ ... BjsPN dti ... dvN. D.141)
Теперь, вводя, согласно формуле D.7), частную функцию
распределения, можно написать г)
#Е (» - {N~s)\s\ J • • • J ^ • • • BsP*dri ' • • *- DЛ42>
Здесь комбинационный множитель перед интегралом отра-
отражает тот факт, что каждая группа из s частиц дает одина-
одинаковый вклад в поле и поэтому интеграл следует умножить
на число возможных комбинаций N частиц по подгруппам
из s частиц.
Используем теперь для функции Р$ представление
в виде (см. стр. 83)
Л = П^(г;) Па + 'ЫШ1+**л«) ••• . D-143)
где символами k (i), как и выше в D.67), обозначены все
сочетания по i частиц из набора s заданных частиц. После
этого вычислим в явной форме произведения в выражении
D.143). Функция распределения Ps представляется в виде
суммы членов, каждый из которых выражается произве-
произведением либо функций sgh и Ри либо только 8gh или Ри
где индекс h определяет число индексов jl . . . т и, сле-
следовательно, обозначает порядок корреляционной функции.
х) Следует заметить, что здесь рассматривается система частиц,
лишь одного сорта. Однако в действительности нас интересует
реальная плазма, состоящая из электронной и ионной компонент.
Поэтому ниже мы покажем, как можно применить полученные
«однокомпонентные результаты» к реальной плазме.

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 103
Рассмотрим один из таких членов. Структура этого чле-
члена, определяемая функциями sgt, в соответствии с исполь-
используемым методом предполагает разбиение s элементов на
подгруппы. В пределах каждой подгруппы элементы имеют
прямые или косвенные связи. Связи между самими под-
подгруппами отсутствуют. Проведем суммирование по всем
членам, содержащим одинаковые наборы s элементов
в подгруппах. Затем введем новую корреляционную
функцию
v
8Ь = 21Г^.	D-144)
В этом выражении произведения под знаком суммы рас-
распространяются на любые возможные комбинации диаграмм
связей для v частиц внутри подгруппы. Например,
в частном случае v = 3 такие диаграммы имеют вид
ЛЛЛ Д.
D.145)
Вклад подобной подгруппы в искомую спектральную
функцию теперь имеет вид произведения функций sgi
и полностью определяется набором чисел и, причем через
vh обозначено число подгрупп, каждая из которых содер-
содержит h частиц. Таким образом, числа vh должны удовлетво-
удовлетворять тривиальному условию нормировки
2 vhh = s.	D.146)
h=i
Распространим теперь суммирование на все группы,
имеющие одинаковую структуру v, но отличающиеся
распределением s элементов внутри этих подгрупп. Каж-
Каждая из таких подгрупп дает одинаковый вклад в ]?&.
Следовательно, суммирование по рассматриваемым груп-
группам сведется к умножению на коэффициент
S

104	Гл, 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Здесь в числителе содержатся все возможные перестанов-
перестановки s элементов, а в знаменателе с помощью первого мно-
множителя исключаются перестановки тех подгрупп, которые
не должны учитываться, поскольку они представляют
собой перестановку целиком всей подгруппы. Второй
множитель знаменателя исключает перестановки внутри
отдельной подгруппы. Напомним, что
л =4--	с4-148)
Используя сокращенную запись
%> A) = J • • • { 8, ... *hs~gh dr, ... dth D.149)
и приближенное равенство
т
(N-s)\
->NS,	D.150)
получаем для спектральной функции W^ (I) следующее
выражение:
N
We (I) = 2 if [ 2 С & °Ш? • • • *$**] ' <4Л51)
Здесь внутри квадратных скобок суммируются все комби-
комбинации s элементов по подгруппам vh, состоящим из h
частиц каждая и удовлетваряющим условию D.146).
Подставив выражение D.147) для коэффициента C(s)
и перегруппировав члены с учетом условия D.146), найдем,
что при постоянной плотности п = NIV в пределе при
N ->• оо и V ->¦ оо
D.152)
Поскольку в выражении D.152) мы распространили
произведение по индексу h от единицы до бесконечности;
в нем содержатся члены, не входящие в исходное выраже-
выражение D.151). Однако относительный вклад этих дополни-
дополнительных (неправильно учитываемых) членов равен нулю

§ 4, Микроскопические свойства кулоновской системы 105
при N ->- оо. Итак, получаем
оо
WE (|) = ехр { 2 -Sr & (I)} •	D-153)
Л=1
Здесь, следуя Баранже и Мозеру {13], в последних двух
соотношениях мы использовали аппроксимацию
Шн(I) = *8Л(I) для s= 1, 2, 3, ... . D.154)
С помощью формулы D.153) рассматриваемая нами
задача сводится теперь к вычислению величин §д, опре-
определяемых формулой D.149). Последнее, однако, представ-
представляет собой непреодолимую трудность, ибо нам неизвестны
корреляционные функции gh при h > 2. Поэтому мы огра-
ограничимся приближением типа
W* (I) = ехр [д»4 A) + \ пЧг A)] , D.155)
надеясь лишь на то, что рассматриваемое разложение
достаточно быстро сходится, так что членами более высо-
высоких порядков можно будет пренебречь.
Теория Холыпсмарка
В работе Хольтсмарка [14], в которой впервые было
приведено вычисление распределения микрополей, пол7
ностью пренебрегалось всеми корреляциями. В нашем
подходе это означает, что надо определить лишь член
8i(|), положив член ?2(Ю тождественно равным нулю.
В таком приближении спектральная функция имеет вид
D.156)
Пусть поле задано соотношением Е = —ег/г3. Тогда,
введя полярные координаты, нетрудно вычислить инте-
интеграл, входящий в выражение D.156),
2зх я
2зх я оо
III
0 0 0
0 0
= _?B«|)»/.. D.157)

fO6	Гл. 1. Равновесные состояния пулоновспой системы
В предположении изотропности системы распределение
для абсолютного значения напряженности электрического
поля можно записать в виде .
ее
W (Е) = AnEzW (E) =~ J sin {Щ х
=~ J si
хехр[—^BnelK?*]ldt. D.158)
Отсюда, переходя к безразмерной величине
Р = -^-. где So = 7f,	D.159)
и используя сокращенную запись v = %Е0, получаем
формулу для распределения относительной величины
напряженности электрического поля E:
-A- Jysini;exp[-(y)]di;. D.160)
Это распределение для малых и больших значений Р
имеет следующие асимптотические разложения:
W(f>)~-^-$2 при р-^0	D.161)
и
T7(P)^i-p-5/2 при р^оо.	D.162)
В общем случае интеграл в D.160) должен рассчитываться
численными методами.
Теория, развитая Хольтсмарком, является хорошим
приближением в предельных случаях высоких температур
и (или) малых плотностей. Поэтому при таких условиях
любая теория, учитывающая парное взаимодействие, так-
также должна приводить к распределению Хольтсмарка.
Следует сделать одно замечание относительно расходи-
расходимости второго момента (Е2) для распределения D.158).
В противоположность широко распространенному мне-
мнению, данную расходимость нельзя устранить за счет кван-
товомеханических поправок. Эта расходимость, как пока-
показал Энгельманн [16], обусловлена нефизическим предпо-
предположением о точечных зарядах и представляет собой
принципиальный недостаток теории, применяемой ддя
вычисления микрополей.

§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 107
Приближение экранировки частиц
Эккер и Мюллер [15] впервые попытались учесть корре-
корреляции для низкочастотной компоненты электрического
поля, создаваемого ионами. Авторы использовали модель
некоррелированного распределения ионов с экранирован-
экранированным полем. В этом приближении эффективные поля опре-
определяются выражением
Е = — г A + xDr) e-*»r.	D.163)
Естественно, что вследствие более сложной зависимости Е
от г в формуле D.163) вычисления становятся более труд-
трудными.
Подставляя выражение для поля D.163) в D.156)
и используя обозначения
1^	D.164)
находим спектральную функцию распределения в виде
X -^-lzi	:	^L- \ a 165)
1—r"ll""r~ X\"	7? /2 J
Нижний предел в интеграле учитывает ограничения,
налагаемые условиями применимости теории приближе-
приближения парных корреляций, что в свою очередь ограничивает
рамки применимости результатов тем, что число частиц
в дебаевской сфере б должно подчиняться следующему
условию:
1	vv 1.	D.166)
Распределейие микрополей, вычисленное Хольтсмар-
ком, и результаты, полученные в приближении экрани-
экранировки частиц [15], приведены на фиг. 5. Как и предпола-
предполагалось, результаты Хольтсмарка соответствуют случаю
S =s оо.

108
Гл. 1, Равновесные состояния кулоновской системы
Влияние корреляций, учитываемое этой теорией через
эффективное поле, создаваемое ионами, весьма заметно
возрастает по мере того, как система приближается к кри-
критической плотности при уменьшении величины б.
В случае низкочастотных микроскопических полей,
создаваемых ионами, введение эффективного поля, которое
учитывает электронную экранировку, представляется
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,Z
0,1
0
С
-
и?
?
1/ i 1
l I
i 1
2
<SX\^50
i Г" г—i—
3 4 5
Фиг. 5. Распределение Хольтсмарка для микрополей в плазме
F = оо) и распределения, в которых учтены корреляционные по-
поправки, вычисленные в приближении экранированных частиц.
вполне оправданным. Однако не столь очевидно, что эф-
эффективная ионная экранировка учитывает как раз корре-
корреляции именно тех ионов, которые в действительности
содержатся в члене %г выражения D.155). Именно эти
соображения и лежат в основе метода -групповых разло-
разложений Баранже и Мозера [13].
Учет корреляций ионов совместно с дебаевской экранировкой
Исследуя плазму, Баранже и Мозер [13] определили
низкочастотную компоненту как среднее по времени поле,
причем усреднение проводилось по интервалу, достаточно
большому по сравнению со временем релаксации электрон-
электронных флуктуации, но малому по сравнению с характерным

§ 4.-Микроскопические свойства кулдновской системы 109
временем ионных флуктуации. Разность между определяе-
определяемой таким образом низкочастотной компонентой микропо-
ля и истинным его распределением должна, очевидно,
представлять высокочастотную компоненту. Она может
быть найдена с помощью соответствующих спектральных
разложений истинного поля и его низкочастотной компо-
компоненты.
Без какого-либо обоснования Баранже и Мозер в каче-
качестве низкочастотного эффективного поля ввели экрани-
экранированное кулоновское поле
Щ	+*D-r,) ехр ( -*1)_Г,).	D.167)
Основой для подобного допущения может служить прове-
проведенный нами анализ уравнения Больцмана — Пуассона
на стр. 93. При вычислении S2 Баранже и Мозер предпо-
предположили, что функцию парной корреляции можно предста-
представить в виде
41] .	D-168)
Здесь параметр xd учитывает экранирующий вклад как
ионов, так и электронов:
D.169)
Из проведенного выше тщательного анализа зависимости
парных корреляций от характера рассматриваемой s-koh-
фигурации, следует, что предположение о виде корреля-
корреляционной функции D.168) не очень обоснованно.
Чтобы вычислить §2? Баранже и Мозер разложили
подынтегральное выражение по сферическим гармоникам.
Если ввести полярные координаты и использовать
соотношения ортогональности, а также хорошо извест-
известную теорему сложения для сферических функций, то
интегрирование по углам выполняется элементарно.
В результате остается бесконечная сумма двойных инте-
интегралов, содержащих радиальную часть, причем аналити-
аналитическое вычисление даже простейшего из этих членов
невозможно. К счастью, результаты расчетов на вычисли-
вычислительной машине показывают хорошую сходимость данного

0,6
0,5
0,3
0,Z
0,1
О
1 1 1 1 1 1
/////vc^<—
f/\ 1 i 1 i
7С]),Гд — 0
^— = 0,2
Z^=0,4
-^Z~ =0,6
^Z-=0,8
Фиг. 6. Распределение микрополей, учитывающее корреляции
частиц в рамках приближения Баранже и Мозера.
р
Фиг. 7. Сравнение распределений, полученных для микрополей
в разном приближении.
Сплошная кривая — распределение Хольтсмарка; штрих-пунктирная
кривая — нескорректированные результаты вычислений Баранже и Мозера;
пунктирная кривая — скорректированные результаты Баранже и Мозера;
штриховая кривая — распределение, полученное Эккером и Мюллером.

	§ 5. Флуктуационно-диссипационная теорема	111
разложения, что позволяет получить удовлетворительное
приближение уже при учете лишь первых трех членов.
Не входя в подробности численных расчетов, для
изложения которых здесь нет места, приведем лишь окон-
окончательные результаты (фиг. 6). Наряду с результатами,
полученными в приближении Баранже и Мозера, на
фиг. 6 представлено также распределение Хольтсмарка*
Следует заметить, что приведенные кривые в действитель-
действительности не являются теми зависимостями, которые были
вычислены самими авторами, а скорректированы с учетом
ошибки, допущенной при их численных расчетах [17].
На фиг. 7 для одного из значений числа частиц в де-
баевской сфере (б ^ 5) представлены результаты прибли-
приближенного расчета Эккера и Мюллера и вычислений Баран-
Баранже и Мозера. Обе теории дают заметные поправки к рас-
распределению Хольтсмарка. По сравнению с этой поправкой
различие результатов обеих теорий по существу незначи-
незначительно.
Следует также отметить, что в обоих подходах исполь-
использовалась модель экранированных частиц, предложенная
Эккером и Фишером [18]. Однако строгого обоснования
подобной модели до сих пор еще не дано.
§ 5. ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА
5.1, Вывод теоремы для общего случая
В предыдущем параграфе мы рассмотрели распределе-
распределение полной вероятности электрического микрополя для
системы, находящейся в равновесном состоянии. Однако
при изучении динамики поведения кулоновскои системы,
близкой к равновесию, особенно важное значение имеет
другая величина, а именно распределение условной вероят-
вероятности W (Ef/Ef+x). Данная величина определяет плотность
вероятности обнаружить в заданной точке значение поля
Ef+T в момент времени t + т, если известно значение
поля Е* в момент времени t. Вычислить W (Е*/ Et+X)
чрезвычайно трудно, и поэтому данная проблема до сих
пор еще не решена. Решить ее пытались Чандрасекар [19]
и Коган и Селидовкин [20]. Более успешными оказались
попытки Ростокера [21] вычислить автокорреляционную

112 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
функцию для электрического поля, определяющего харак-
характеристики явлений переноса в плазме. Автокорреляцион-
Автокорреляционная функция связана с распределением условной вероят-
вероятности электрического поля:
<ЕО(Е/+Т>= { dE J dE'E)(E'W(E/E', т). E.1)
В настоящем параграфе мы выведем флуктуационно-
диссипационную теорему, которая в дальнейшем может
послужить основой при вычислении автокорреляционной
функции. Рассмотрим задачу в общем виде. Проанализиру-
Проанализируем поведение какой-либо системы, находящейся под воз-
воздействием внешних сил, определяемых набором обобщен-
обобщенных внешних параметров А$ (?), которые зависят только
от времени и не связаны с фазовыми координатами г4, ...
. . ., р^ исследуемой системы. Тогда в приближении
«линейного отклика» гамильтониан системы можно запи-
записать следующим образом:
Я (рл, гл, t) = Но (pfc, rh) + 2 Bs (pft, rk) As (t). E.2)
s
Здесь через Но обозначен гамильтониан невозмущенной
системы; коэффициенты В зависят только от фазовых коор-
координат pfe, rk и не содержат явно времени t.
Сначала исследуем вопрос о том, каким образом дисси-
диссипация энергии данной системы может быть выражена
через введенные выше величины. Диссипация в заданный
момент времени определяется уравнением
2 <*
S
где угловые скобки означают усреднение по ансамблю.
Применяя теорему Лиувилля и используя канонические
уравнения движения, найдем, что в линейном приближе-
приближении
BsAs}) + -If 2 (BsAs) =
s
= - 2 (В.)А. + -§Г 2 (B.A.). E.4)

	§ 5. Флуктуациокно-диссипационная теорема	113
Здесь скобками {. . ., . . .} обозначены скобки Пуассона.
Если потребовать, чтобы значения внешних параметров
А8 обращались в нуль при t = ± ос, то суммарная дисси-
диссипация энергии, согласно теореме Парсеваля, равна
+ ОО
= -2 J <Я->«2&>Ао. E.5)
Свяжем теперь диссипацию энергии со спектром флук-
флуктуации, используя выражение E.5) и формулу Кубо [22].
Чтобы вывести формулу Кубо, обратимся сначала к урав-
уравнению Лиувилля
-^-= -{/*, #}= -{fк, Но}- 3 {In, Bs}As. E.6)
Вводя оператор Лиувилля
Й5о = {...,Яо},	E.7)
мы получим следующее уравнение:
9fN
dt
E.8)
Преобразуя это линейное дифференциальное уравнение
первого порядка в эквивалентное интегральное уравнение,
находим
ОО
/* = /»'+ 2 J e-**o*{Bai fN}As(t -%)d%. E.9)
Здесь предполагается, что fN(t= — оо) = /^ есть равно-
равновесное распределение, определяемое формулой /$} —
Уравнение E.9) можно решить с помощью метода
итерации. В рамках поставленной задачи мы ограничимся
линейными по {^4S} членами. Это означает, что в правой
части этого уравнения функция fN заменяется на fff.
8-01291

114	Гл. 1. Равновесные состояния крлоновской системы
Вспоминая, что dfff = - A/6) /#» dH0, a {Ba, Яо} = ?8,
получаем
оо
h = № ~ 4" 2 j e-^W^. (*- т) dr. E.10)
s 0
Поскольку величина е~1-%ох коммутирует с /$' и сдви-
сдвигает значения всех переменных р&(?), rfe(?) по времени,
преобразуя их к Рь(? —т), rfe(?— т), окончательно имеем
j
s 0
E.11)
Согласно этой формуле, среднее по ансамблю от произ-
произвольной функции координат R определяется выражением
х
(R) (t) = (Д)о--|- 2 J <R (Pfe
0
хД.(й(*-т), rh(t-x))HA9(t-%)dT. E.12)
Здесь величины с индексом «0» соответствуют равновесно-
равновесному состоянию. Выражение E.12) и есть искомая формула
Кубо.
Чтобы сформулировать флуктуационно-диссипацион-
ную теорему, положим R = Bs. Тогда
v^e/w — e z
XD (f\ ('/¦ ___ <t\ 1»-. // ___ Tl^\ ^4 # I / ~_ T"\ /jT	(^ \ Q\
Рассмотрим теперь параметры 5, s' в качестве характери-
характеристик некоторой системы точек г, г' пространства и заменим
соответствующую сумму интегралом. Заметим, что пере-
переменные г, г' не следует путать с координатами частиц
Определяя автокорреляционную функцию по простран-
пространству и времени для стационарной и однородной системы

	§ 5. Флуктуационно-диссипационная теорема	Й5
с помощью формулы
р(г-г', г) = <В(г; pfc(*). Ъ®)В(г'; р*(*—О, rh(t-x))H,
E.14)
получаем
оо
(В)(г, t)= —L \ dt' J Р(г-г', %)А{т', t~x)dx. E.15)
О
Используя теорему о свертке, мы можем ввести понятие
«обобщенной проводимости» С (к, со), согласно формуле
<?>(к, ©) = — &2С(к, ©) Л (к, со).	E.16)
Из соотношения E.5), если применить теорему Парсе-
валя к переменным г, к, получаем выражение для дисси-
диссипации энергии
W = j dk j FC (к, со) Л (к, со) 1* (к, со) Жо ==
, co)|2dco. E.17)
Таким образом, величина Re [С (к, со)] является основным
параметром, определяющим диссипацию энергии. Из E.15)
и E.16) следует, что
оо
@к2С (к, со) = { dt \ ei(**-*-rp (r, t) the, E.18)
о J
откуда, учитывая свойство симметрии |3(r, —t) = $(v, t),
находим
2e/c2Re[C(k, (о)]= [ dt ( <*<¦>*-*•'р(г, «)Л = Bя)а|(к, со).
E.19)
Это соотношение и представляет собой формулировку
флуктуационно-диссипационной теоремы, связывающей
параметр диссипации Re [С (к, со)] с равновесным спект-
ром флуктуации функции отклика Bs.
8*

116 Та. 1. Равновесные состояния НулОновской системы
5.2. Флуктуационно-диссипационная теорема для куло-
новской системы
Рассмотрим возмущение кулоновской системы, обус-
обусловленное внешним потенциалом ФВНеш (г, t). Тогда
, *), E.20)
и обобщенные параметры, введенные выше, можно свести
к следующим частным случаям:
А (Г, 0 = Фнееш!.(г, *)> В (*> г*) = 2 ^(г-Г,). E.21)
Используя тождество (d/d?) б (г — г^) = — (d/dr) • б (г — r^) \t,
находим
<i)(k, (o)=-ik.l(k, со),	E.22)
так что соотношение E.16) примет вид
Тп (к, со) = С (к, ©) (- ЛФвееш (к, со)) =
= С(к, соIПвнеш(к, со). E.23)
Здесь через j обозначена плотность электрического тока,
связанная с внутренним электрическим полем Е посред-
посредством формулы j = сгЕ, где а — проводимость. Поскольку
это внутреннее поле в свою очередь связано с помощью
комплексной диэлектрической проницаемости с внешним
полем формулой еЕ = ЕВнеш> для обобщенной проводи-
проводимости получаем соотношение вида
С (к, со)= в^'в? .	E.24)
V ' '	8 (к, @)	V	'
Если система состоит лишь из электронов с заряда-
зарядами (—е), автокорреляционная функция определяется вы-
выражением
р(г, *) =eHn(r, t)n(O, 0)>0>	E.25)

Литература	117
где п — значение микроскопической плотности. По ана-
аналогии с вычислениями, приведенными в § 4 гл. 6, находим
1= lim i^L_ (|n(k, co)P)o =
»2<|тг(к, со) IV E.26)
Итак, формулировка флуктуационно-диссипационной тео-
теоремы для кулоновской системы сводится к соотношению
Используя выражение 8 = 1 + 4я?сг/со [см. формулу
B.35) в гл. 6], можно также придать соотношению E.27)
иную форму:
-. E.28)
Здесь рг и pi обозначают действительную и мнимую части
удельного сопротивления р = 1/а. Выражение E.28) свя-
связывает фурье-компоненту спектра флуктуации плотности
с характерным параметром, определяющим диссипацию,—
удельным сопротивлением р.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Cibbs /. W.j Elementary Principles in Statistical Mechanics,
Dover, New York, 1902 (см. перевод: Дж. Гиббс, Основные
принципы статистической механики, Гостехиздат, М., 1946).
2.	Ecker G. and Kroll W., Zs. Naturforsch., A21, 2012, 2033 A966).
3.	Kirkwood /. ?., Journ. Chem. Phys., 2, 767 A934).
4.	Mayer J. E., Mayer M. G., Statistical Mechanics, Wiley, New
York, 194О'(см. перевод: Дж. Майер, M. Гепперт-Майер, Ста-
Статистическая механика, ИЛ, М., 1952).
5.	Mayer /. E., Journ. Chem. Phys., 18, 1426 A950).
6.	Meeron, E., Journ. Chem. Phys., 28, 630 A958).
7.	Friedman H. L., Ionic Solution Theory, Wiley (Interscience),
New York, 1962, p. 147.
8.	Abe R., Progr. Theor. Phys., 22, 213 A959).
9.	Morita Г., Progr. Theor. Phys., 20, 920 A958).
10. Meeron E., Journ. Math. Phys., 1, 192 A960).
H. De Witt H. E., Phys. Rev., 140, 466 A965).

118	Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
12.	Born M., Green H. ?., Proc. Roy. Soc. Ser., A188, 10 A946).
13.	Mozer В., Baranger M., Phys. Rev., 115, 521 A959); 118, 696
A960).
14.	Holtsmark /., Ann. Phys. (Leipzig), 58, 577 A919).
15.	Ecker G., Muller K. G., Zs. Phys., 153, 317 A958).
16.	Engelmann F., Zs. Phys., 169, 126 A962).
17.	Pfenning #., Trefftz E., Zs. Naturforsch., Л21, 697 A966).
18.	Ecker G., Fischer K. G., Forschungsber. NRW, № 1949 A968).
19.	Chandrasekhar S., Rev. Mod. Phys., 15, 1 A943).
20.	Коган В. И., Селидовкин А. Д., Beitr. Plasmaphys., 9, 199 A969).
21.	Rostoker TV., Nucl. Fusion, 1, 101 A960).
22.	Kubo i?., Journ. Phys. Soc. Jap., 20, 439 A957).
Дополнительная литература
К § 1
Ehrenfest P., Ehrenfest Т., The Conceptual Foundations of the
Statistical Approach in Mechanics, Leipzig, 1911 (Engl. Transl.:
Cornell Univ. Press, Ithaca, New York, 1959).
Miinster A., Prinzipien der statistischen Mechanik в
книге Handbuch der Physik (ed. S. Flugge), Vol. III/2, Springer,
Berlin, 1959.
Tolman /?., The Principles of Statistical Mechanics, Freeman, San
Francisco, California, 1938.
К 8 2
Hill T. L., An Introduction to Statistical Thermodynamics, Addi-
son-Wesley, Reading, Massachusetts A960).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, изд-во
«Наука», М., 1964.
Montr oil E. Л?., Topics on statistical mechanics of interacting
particles в книге La theorie des gaz neutres et ionises (eds. G. De
Witt and J. F. Detoeuf), Hermann, Paris, 1960.
К § 3
Ebeling W\, Ann. Phys. (Leipzig), 19, 104 A967).
Ebeling W.y Hoffmann H. /., Kelbg ?., Beitr. Plamaphys., 3,
233 A967).
Kelbg ?., Ann. Phys. (Leipzig), 14, 394 A964)..
Kelbg G., Extensions of the Debye—Huckel limiting law; Appli-
Application to ionic solutions and plasmas в книге Chemical Physics of
Ionic Solutions (eds. В. Е. Conway and R. G. Barradas). Wiley, New
York, 1966.
К § 4
The Equilibrium Theory of Classical Fluids, (eds. H. L. Frisch,
J. L. Lebowitz), Benjamin, New York, 1964.
Graboske H. C, jr., Harwood D. /., De Witt H. ?., Phys. Rev.,
A3, 1419 A971).

Литература	119
Gundel Я., Beitr. Plasmaphys., 10, 455 A970).
Hirt С. W., Phys. Fluids, 8, 693 A965).
Hirt С W.4 Phys. Fluids, 10, 565 A967).
Kirkwood J. C, Journ. Chem. Phys., 3, 300 A935).
Kirkwood J. C, BoggsE. M., Journ. Ghem. Phys., 10, 394 A942).
Matsuda #., Phys. Fluids, 11, 328 A968).
Meeron E., Journ. Ghem. Phys., 27, 1238 A957).
Meeron E., Phys. Fluids, 1, 139 A958).
Meeron #., Rodemich E. i?., Phys. Fluids, 1, 246 A958).
O'Neil Г., RostokerN., Phys. Fluids, 8, 1109 A965).
Onsager L., Ghem. Rev., 13, 73 A943).
Веденов А. А., Термодинамика плазмы, в сб. «Вопросы теории
плазмы», т. 1, М., 1963, стр. 273.
Алямовский В. Я., 5jK9TO. 42, 1536 A962).
Broyles A, A., Zs. Phys., 151, 187 A958).
Ecker ?., Zs. Phys., 148, 593 A957).
Hooper C. F.y Phys. Rev., 149, 77 A966).
Hooper C. F., Phys. Rev., 165, 215 A968).
Jackson /. L., Phys. Fluids, 3, 927 A960).
Kelbg G., Ann. Phys. (Leipzig), 13, 385 A964).
Weise K., Zs. Phys., 183, 36 A965).
Weise K., Zs. Phys., 212, 458 A968).
К § 5
Callen H. В., Welton T. A., Phys. Rev., 83, 34 A951).
Kubo R.y Some aspects of the statistical mechanical theory of
irreversible processes, в книге Lectures in Theoretical Physics (eds.
W. E. Brittin, L. G. Dunham), Vol. I,] Wiley (Interscience), New
York, 1959.
Lax M., Rev. Mod. Phys., 32, 25 A960).
Nyquist Я., Phys. Rev., 32, 110 A928).
Takahashi Я., Journ. Phys. Soc. Jap., 20, 439 A952).
Taylor /. В., Phys. Fluids, 3, 792 A960).
Thompson W. В., Hubbard /., Rev. Mod. Phys., 32, 714 A960).

Глава 2
Неравновесные состояния
кулоновской системы. Общее описание.
§ 1. ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ
1.1. Уравнения Климентовича
В данном параграфе мы рассмотрим истинную плот-
плотность распределения однокомпонентной системы в jx-npo-
странстве. Очевидно, эта величина должна отличаться от
соответствующей средней плотности распределения по
ансамблю Гиббса.
Вклад i-ж частицы в полную плотность распределения
для нашей системы представим с помощью функций Дира-
Дирака в виде
Ft (г, р) == а (г - г, (*» б (р - Рг (<)). (l.i)
Тогда полная плотность распределения всех частиц сорта к
равна
*¦<*>= 2 б (г-г, (*)) б (р-р, (*)).	A.2)
i(h)
Здесь через i (к) обозначены все частицы, принадлежащие
к данному сорту к.
Прежде чем сформулировать законы движения для
плотности распределения Fu напомним некоторые прави-
правила, которым подчиняются функции Дирака. Функция
Дирака не является обычной функцией, она принадлежит
к группе «распределений Шварца». Соотношения, которые
приводятся ниже, основываются частично на определении
функции Дирака и частично на теории распределений
Шварца. В тех случаях, когда соотношения не содержат
интегрирования, их следует понимать символически. Итак,
мы имеем

§ 1. Точные уравнения для плотн. распр. однокомп. системы 121
+0О
8(х) = 0 для хфО, j 8(x)dz = l,
— оо
+ОО	+00
j f(x)8(x)dx = f@), j f(x)8(x-a)dx = f(a),
— oo	—oo
x8 (x) = 0, / (x) 8 (x — a) = / (а) б (х — a),
8( — x) = 8(x), 8 (ax) = . ^ для a=^=0, A.3)
б (a:2 — a2)=	^	 Для <^>0,
+OO
-oo
+00
+
J /We'^.Ac^I/WeWl+S- J f'(x)8(x)dx=-f{0),
Производная функции Ft по времени определяется
следующим образом:
dt /r, p l
dt /r, p l \ dn /r,p,p. ' Vl \ дрг /г, p, r
Если через Е) обозначить поле, действующее со стороны
частицы/ на частицу ?, то из законов классической механи-
механики находим
dFt
ИЛИ

122 Гл. 2. Неравновесные состояния. Общее описание
поскольку Е) не зависит от импульса частицы и имеет
вид
Используя свойства функции Дирака A.3), получаем
=-е,-j dr'{ ф'(^г ^^рр) б (r-rO б (р-рО X
X б (г' - г,) б (р' - р,) = - е, J dt' { dp' X
Таким образом, в результате подстановки A.8) в A.6)
имеем
i*l-LjL III.—
dt *~ пц ' дг
Следует заметить, что в уравнении A.9) учитывается
только кулоновское взаимодействие вйутри системы и пре-
небрегается внешними полями. Если же имеются такие
поля Евнеш? то в правую часть уравнения A.6), а также
в последующие формулы необходимо добавить соответ-
соответствующее слагаемое. Индексом i в A.9) можно обозначить
любую частицу рассматриваемой системы. Поэтому A.9)
в действительности представляет собой систему совмест-
совместных дифференциальных уравнений, порядок которой
определяется числом частиц в данной системе.
В уравнениях A.9) суммирование производится по
плотностям распределений всех частиц одного и того
же сорта к. Если использовать определение A.2), то в ре-

§ 1. Точные уравнения для плотн. распр. однокомп. системы 123
зультате суммирования получим
dF<h) p
dt ' mk dr
х F(ft) 2 ^(v) (r'> p'. 0 *v}=о.
Здесь учтены слагаемые, первоначально исключенные
[поэтому в A.9) использовался знак суммы со штрихом].
Это оправдано, поскольку такие слагаемые дают пренеб-
пренебрежимо малый вклад по сравнению с другими N — 1 чле-
членами суммы. Уравнения A.10) также представляют собой
систему совместных дифференциальных уравнений. Одна-
Однако порядок этой системы уравнений определяется теперь
числом различных сортов частиц.
Уравнения A.10) можно переписать в виде
где
Е= - j dv' J 2 ^<V) (r', P', t) ev (-?--T_LT) dp'. A.12)
V
Для величины Е выполняется равенство
V
2 }г, Р\ t)evdp',	A.13)
V
если вспомнить, что
Уравнения A.11) и A.12) называются уравнениями
Климонтовича [1] для истинной плотности распределения
частиц рассматриваемой системы. Эти уравнения являют-
являются точными и свободными от приближений.
Следует заметить, что уравнения Климонтовича иден-
идентичны уравнениям Власова в статистической механике,
описывающим среднюю плотность по ансамблю. Однако

124 Гл. 2. Неравновесные состояния. Общее описание
уравнения Власова не являются точными и имеют огра-
ограниченную область применения. Отсюда может возникнуть
вопрос, почему вообще мы ищем статистическое решение
приближенных уравнений Власова, когда, как показано, те
же самые уравнения описывают точное поведение истинной
плотности распределения частиц рассматриваемой систе-
системы. Дело в том, что решение уравнений Климонтовича под-
подчиняется очень жестким условиям: для любого момента вре-
времени все решения должны быть представлены в форме
A.2). Такие жесткие ограничения приводят к тому, что
решение уравнений Климонтовича практически невозмож-
невозможно, а это в свою очередь отражает хорошо известные труд-
трудности эргодической проблемы.
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, УСРЕДНЕННЫЕ ПО АНСАМБЛЮ
ГИББСА
2.1. Вывод цепочки уравнений Боголюбова — Борна —
Грина — Кирквуда — Ивона (ББГКИ) из уравнений Кли-
Климонтовича
Как и в случае статистики равновесных систем, рас-
рассмотрим теперь виртуальный ансамбль Гиббса в Г-про-
странстве, характеризующийся плотностью вероятности
fN (гь . . ., rN, Pi, . . ., pN; t).	B.1)
Плотность вероятности i-й частицы в данной точке (гг, *р)
[i-пространства определяется следующим образом*):
lfFidri...dptf.	B.2)
В более общем виде плотность вероятности найти набор
частиц A, . . ., s) в точках (хг, . . ., sr, *р, . . ., sp)
дается частной функцией распределения порядка s:
/albr	'г, хр, ...,sp; t)=^fNF± ...Fadr± ...dp* .B.3)
*) Обратим внимание на разницу в написании индексов. Индекс
внизу справа (г^, р^, гу, р7) характеризует положение частиц
(точек) в Г-пространстве. Индекс вверху слева (% *р, ir, Jp)
характеризует точку наблюдения в jLt-пространстве, в которой мы
рассматриваем эффекты от частиц i и /.

§ 2. Распределения, усреднённые ПО ансамблю Риббса 125
Здесь мы использовали небольшое видоизменение соот-
соотношения A.1):
Ft (*г, <р) = б (<г - г, (*)) б («р - рг (*)). B.4)
Чтобы получить цепочку уравнений ББГКИ, которым
удовлетворяет частная функция распределения /s, необ-
необходимо умножить уравнения A.9) на плотность вероятно-
вероятности B.1) в фазовом пространстве, а затем проинтегриро-
проинтегрировать по Г-пространству. Тогда
[f
j tN
h |*r—J
B.5)
Плотность вероятности в фазовом пространстве
fN (rl7 . . ., r^, Pi, . . ., ря; 0 не зависит от координат
*г,*р, и поэтому выполнить интегрирование во втором
и третьем члене левой части уравнения весьма просто.
Первый же член требует дополнительного рассмотре-
рассмотрения. Сначала вспомним, что имеет место следующее соот-
соотношение:
_ dfNFt \	( dfN
гр~ [Г-)	^
dfN
dfNFt
Используя соотношение B.6) и равенство
dfNFt
/ dfNFt \ _ i
dt
получаем
lpP
B-8)

126 Гл. 2. Неравновесные состояния. Общее описание
Отсюда находим
dF* \ Jr Л, I dh (h, *p; t)
-bT)iCt i/Fi • • • dV"= {	at
Здесь учтено, что второй член в B.8) исчезает при интегри-
интегрировании по частям и применении уравнений движения.
Окончательно, исходя из определения частных функций
распределения /в, находим уравнение для средних распре-
распределений
dt "г тг # q гг
-^ (dV (dV (—	—) •
.^. 2'/2D V, *p, V; *)^=o. B.Ю)
Это и есть первое уравнение цепочки зацепляющихся урав-
уравнений для функций распределения. Следующее уравне-
уравнение выражает /2 через /3 и т. д. Прежде чем вывести такую
цепочку уравнений, упростим задачу путем введения сле-
следующей частной модели.
1.	Без ограничения общности допустим, что в системе
имеется только один сорт частиц. Не представляет труда
распространить изложенный формализм на многокомпо-
многокомпонентную систему частиц.
2.	Будем считать, что плотность вероятности в фазовом
пространстве f N является симметричной. Поскольку урав-
уравнение Лиувилля симметрично относительно координат,
такое предположение всегда справедливо, если начальное
распределение для fN симметрично относительно коорди-
координат частиц. Однако следует заметить, что в целом ряде
интересных задач это предположение не выполняется.
Например, требование симметрии нарушается в проблеме
пробной частицы. С другой стороны, пользуясь развитым
ниже формализмом, нетрудно написать соотношения так-
также и для несимметричных случаев.
Используя эти упрощающие задачу допущения, вели-
величину etej можно заменить на е2. Тогда уравнение B.10)

§ 2. Распределения, усредненные по ансамблю Риббса 127
запишется в виде
0/i | *Р ,
dt * т
(
J
V
1 гр
V, *Pf V;Q^V = o. B.И)
Это уравнение является первым уравнением цепочки
ББГКИ. Оно связывает частную одночастичную функцию
распределения /4 с двухчастичной функцией распреде-
распределения /2.
Чтобы решить уравнение B.11), мы должны получить
уравнение для двухчастичной функции распределения /2.
С этой целью рассмотрим два уравнения Климонтовича
для частиц сорта i и к в виде
dF i гр dF i
' m Qif
и	1 \
dt
4 x
X ^Cr, *p) 2 ^(V, V) } d JP' = 0 B.12)
Зфг
, fep
dhr | *r—V |
X Fh (fer, fep) 2 ^ (jr', jp')} d V = 0. B.13)
Умножив B.12) на FhfN, a B.13) на FJN и сложив оба
Уравнения, проинтегрируем полученный результат по Г-
пространству, используя при этом соотношение B.3).

128 Гл. 2. Йеравноёёсные состояния. Общее описание
Тогда получим
$ гг
r-^—)
kr-h'\ I
p
V)*i ... ^ = 0. B.14)
Рассмотрим два последних члена в левой части этого
уравнения. Поскольку функция fN в фазовом простран-
пространстве зависит только от переменных с нижними индексами,
расположенными справа, fN можно вносить под знак
дифференцирования. Оба члена содержат слагаемые двух
типов. Одни содержат jF-функции, индексы которых отли-
отличаются друг от друга и довольно просто интегрируются
по Г-пространству, давая трехчастичную функцию рас-
распределения /3 (*г, fer, V, *p, fep, гр'; ?). Другие слагаемые
содержат две F-функции с совпадающими индексами:
-е2 f dV f dV f dr4 ...dp(
У) JP, (V, <p) /^ (rlf ..., V
r J V ^^r |fer—V| /
X /jv (r1? ..., pN; t) dt± ... dvN. B.15)
В этом выражении интегрирование проводится сначала
по координатам kr', ftp' и ir', *p' соответственно, а затем
по координатам Г-пространства. В результате получаем
j гг — fer |
1	*	)

	§ 2. Распределения, усредненные по ансамблю Гиббса 129
Подставляя эти результаты в B.14), мы приходим
к уравнению
d/2 , *р df2 . fep df2
dt *~ m dh m ' dkr
-e*{N-2)\d*r>[H-°	L_
J	J I \ д *r \4—з'г'
^ip /3 V » > , P» P, p ,
. ^- /8 Cr, ftr, V, «pf ftp, V; ')} dV = 0. B.17)
Это и есть второе уравнение цепочки ББГКИ, которое
связывает двухчастичную функцию распределения /2
с частной трехчастичной функцией распределения /3.
Легко видеть, что такая процедура может быть продол-
продолжена до получения общего вида цепочки уравнений:
^r f
V
r', •.-, V; t)dV = O. B.18)
Для реальных физических задач обычно частные моле-
молекулярные функции распределения f8 не представляют инте-
интереса, так как в принципе невозможно различить между
собой частицы одного и того же сорта. Значительно боль-
больший интерес представляет изучение общих функций
распределения /(S), которые дают среднюю плотность
любых s частиц в наперед заданных положениях г). Общие
г) Для сравнения см. аналогичное рассуждение в начале
§ 4 гл. 1.
9-01291

130 Гл. 2. Неравновесные состояния. Общее описание
функции распределения определяются следующим обра-
образом:
Вводя эти общие функции распределения /(S) в це-
цепочку уравнений B.18), приходим к окончательному виду
цепочки уравнений
ip 0/<s)	2 ^ ' / д	1	\ ^/(s>
dt ~T~	Qv
__/<>(..., V, ..., V; *)dV = 0. B.20)
В литературе принято использовать вместо частных
функций распределения fs нормированные функции рас-
распределения /8, определенные следующим образом:
7a = Vafs.	B.21)
Для этих функций цепочка уравнений B.18) принимает
вид
i=l	i,h	{	l	P
\ N — s f jj , f jj_, s^ / д	1
—— с
г=1	1
...,V,..., V;O=o. B.22)
Кроме того, следует заметить, что все интегралы, кото-
которые встречаются при выводе цепочки уравнений, берутся
в бесконечных пределах. Если рассматривается ограни-
ограниченный объем, то в цепочку уравнений следует ввести
дополнительные члены, которые возникают в результате
учета граничных условий. Поэтому в системе уравнений

Литература
B.20) и соответственно B.22) неявно подразумевается пре-
предельный переход, при котором У->-ооиЛ^->оо,но N/V=
= const.
Очевидно, чтобы получить конечную систему уравне-
уравнений, необходимо оборвать цепочку уравнений. Различные
кинетические приближения отличаются друг от друга
прежде всего тем, как и где обрываются бесконечные
цепочки уравнений. Наиболее простым приближением
является полное пренебрежение корреляцией между
частицами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Климонтович Ю. Л., Статистическая теория неравновесных про-
процессов в плазме, изд-во МГУ, 1964.
Дополнительная литература
Chappell W. #., Journ. Math. Phys., 8, 298 A967).
Chappell W. R., Microscopic kinetic theory, в книге Lectures in
Theoretical Physics, Vol. IX, G, Kinetic Theory (ed. W. E. Brittin),
Univ. of Colorado Press, Denver, Colorado, 1967.
Wu С S., Plasma kinetic theory in the Klimontovich formalism,
в книге Lectures in Theoretical Physics, Vol. IX, C, Kinetic Theory
(ed. W. E. Brittin), Univ. of Colorado Press, Denver, Colorado, 1967.

Глава 3
Неравновесные состояния кулоновской системы.
Приближенное описание в отсутствие
корреляций между частицами
§ 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЛАСОВА
1.1. Уравнение Власова
Рассмотрим первое уравнение цепочки B.20), получен-
полученное в гл. 2, и обобщим его на случай нескольких сортов
частиц (|л, v, . . .) *)
r, *V t) ^р 0/<Р (*У »р; t)
dt	"Г" т^ •	дИг
P4^,r',^p,V>t) = 0. A.1)
Определяя корреляционную функцию g^ следующим
образом 2):
/B) (|4rf vr? ^р? р; Q = /A) (»гг? ^р; Q /A) (vr> Vp; t) +
+fov(|ir, vr, ^p,vp;O» A.2)
находим из A.1) уравнение для общей функции распре-
распределения /A) частиц сорта |х:
A.3)
г) Латинскими буквами обозначаются различные частицы,
а греческими буквами — разные сорта частиц.
2) Заметим, что корреляционные функции g^ отличаются в дан-
данном рассмотрении от корреляционных функций, применяемых для
описания равновесных систем (см. примечание на стр. 73).

§ 1. Приближение Власова	133
где
X/A'(V, VjO + Еиюпн. A-4)
Здесь через ЕвнеШн обозначено внешнее электрическое
поле. Уравнение A.3) в отсутствие корреляций, когда
ftw = 0,	A.5)
совпадает с уравнением Власова [1]
причем (Е) дается выражением A.4).
Условие A.5) накладывает ограничения на примени-
применимость уравнения Власова. В реальных системах это усло-
условие выполняется только приближенно. Для того чтобы
обсудить, насколько существенный вклад дает член с пар-
парными корреляциями, приведем здесь некоторые резуль-
результаты, которые будут получены ниже, при исследовании
уравнений цепочки более высокого порядка. Мы покажем,
что при определенных условиях вклад от члена, стоящего
в правой части уравнения A.3), порядка величины
/A)/тс, где тс — время между столкновениями электронов *)
Здесь
зе8/2
I Ыпе* \V2 .	36 /2	Пя	/Л оч
-= 	) ; Л =	J7— = 96, A.8)
где сор_ — хорошо известная электронная плазменная
частота, а Л — плазменный параметр, который пропорци-
пропорционален числу частиц б в дебаевской сфере.
Пренебрежение корреляциями возможно только при
рассмотрении явлений с характерным временем т, удов-
удовлетворяющим условию
		т<тс.	A.9)
х) См. для сравнения определения, приведенные в приложении..

134 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Если плотность плазмы значительно ниже критической,
т. е. когда Л^> 1> мы можем пренебречь корреляциями
вплоть до характерных времен порядка времени электрон-
электронных плазменных колебаний тр_. Это очень важное заме-
замечание, поскольку большинство коллективных явлений,
описываемых уравнением Власова, имеют характерные
времена порядка тр_.
Чтобы оценить возможности применения приближения
Власова к реальным физическим системам, в табл. 1 при-
Таблица 1
Характерные параметры для некоторых плазменных сред
Плазма (полностью
ионизованная)
Межзвездный газ
Солнечная корона
Разряд низкого
давления . . .
Разряд высокого
давления . . .
Термоядерная
плазма ....
п, см-з
1
106
10"
1Q15
1016
6/ив, К
102
106
5-10*
5-103
108
Л
107
ЮЮ
4» 105
10
108
10-7 .
4-10-ю
4-10-12
Ю-12
тс,с
10
10
2-10-6
3.10-12
Ю-6
ведены характерные параметры для некоторых типичных
плазменных сред.
Заслуживает внимания тот факт, что Власов сам пред-
предложил некоторую гипотетическую систему, которая точно
описывается уравнением Власова, — так называемую
дисперсионную модель [2]. Эта модель основана на беспре-
беспредельном разбиении каждой частицы на равные части,
так что п-*- оо. Процесс такого разбиения подчиняется
следующим условиям:
lim (пе) = const, lim (nm) = const.
A.10)
Из выражений A.10) следует, что elm = const, и посколь-
поскольку тепловая скорость — постоянная ведичина, © ->• 0,

§ 1. Приближение Власова	135
Совершенно очевидно, что при условиях A.10) урав-
уравнение Власова и время плазменных колебаний тр_ оста-
остаются неизменными. То же самое справедливо и для дебаев-
ской длины, которая является произведением времени
плазменных колебаний и тепловой скорости. Из всего ска-
сказанного следует, что
Итб = ИтЛ = оо.	A.11)
П-
Из этого условия и выражения A.7) получаем тс->оо,
что означает отсутствие корреляций между частицами.
1.2. Общие свойства
В дальнейшем для простоты будем рассматривать одно-
компонентную систему, а поэтому в уравнениях A.4)
и A.6) опустим индексы \i и v. При этом, чтобы избежать
расходимости электрического поля в пределе N -> оо
и V -> оо, предположим, что в системе существует ком-
компенсирующий фон, равномерно распределенный в про-
пространстве с полным зарядом, равным по величине и проти-
противоположным по знаку полному заряду частиц рассматри-
рассматриваемого сорта. Для удобства плотность частиц этого фона
пс вводится в уравнение A.4) следующим образом г):
V.EBnemj, = 4nnce = _ *? j/a>(r', v'; t)dv'dv\ A.12)
Отсюда для однокомпонентной системы имеем следующие
соотношения:
^^ + ^(E).i^ = O,	A.13)
<Е>= ~е 1 di^Fj) {i /A) (r''v'; o^'-nc} л-.
A.14)
1. Уравнение Власова является уравнением типа Лиу-
вилля в [1-пространстве:
х) Здесь мы заменили зависимость от импульса на зависимость
от скорости, как это общепринято в литературе.

136 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Это весьма удивительный факт, поскольку при выводе
соотношений A.13) и A.14) мы пренебрегали только
взаимодействием между отдельными частицами, а не кол-
коллективным взаимодействием всех частиц. Уравнение A.15)
означает, что функция распределения /^> остается посто-
постоянной вдоль траектории частицы.
2. Без ограничения общности можно представить функ-
функцию распределения /A) в виде функционала fiy>(Av). Под-
Подставляя этот функционал в уравнение Власова, полу-
получаем
Отсюда видно, что любая функция /A> от интегралов дви-
движения Av есть решение уравнения Власова. Например,
если взаимодействие между частицами пренебрежимо мало
и они движутся в консервативном внешнем поле, то любая
функция от гамильтониана является решением уравнения
Власова.
3. Легко найти производную функции Н по времени,
если предположить, что fM удовлетворяет периодическим
граничным условиям в произвольно большом, но ограни-
ограниченном объеме ^-пространства:
O. A.17)
Отсюда следует, что функция Н, а вместе с ней и энтропия
S = —квН являются постоянными. Уравнение Власова
и его решения обратимы во времени, что легко показать,
заменяя в соотношениях A.13) и A.14) время t на — t
и скорость v на — v.
4. Если распределение /A) является положительно
определенным в начальный момент времени, оно остается
положительно определенным и для всех остальных момен-
моментов времени.
Допустим, что /A> принимает отрицательные значения,
тогда должна существовать точка (г0, v0), в которой в мо-
момент времени t0 функция /A) в первый раз становится нулем.

	§ 1. Приближение Власова	137
Поскольку в окрестности этой точки функция /A> положи-
положительна, в самой точке должны выполняться следующие
соотношения:
W?V=° для Bcexv<*'
A.15)
где
H)	A.19)
С другой стороны, уравнение Власова может быть записа-
записано в операторной форме
^i	A.20)
откуда получаем производные по времени более высокого
порядка
— = Iе (<Ь '"да) /A) + члены, содержащие производные
dtv
-г- более низкого порядка, чем v.	A.21)
Учитывая A.18), получаем
{О	для v<.a,
U(q,t).~\af^	для v=a (положи- С1-22)
4	тельно определена),
причем следует отметить, что оператор d/dq действует так-
также на с (q, t). Однако соответствующие слагаемые не дают
вклада благодаря первому соотношению A.18). Из соотно-
соотношений A.21) и A.18) следует, что daj^ldta — положитель-
положительно определенная функция.
5. Любая 'функция вида
/(i)(r, v, t) = h(\)	A.23)
является решением уравнения Власова при условии, что
выполняется соотношение (Е) = 0. Это соотношение безу-
безусловно справедливо в линейной теории Ландау, где имеет

138 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
место следующее равенство:
(v)dv = nc.	A.24)
1.3, Линейное приближение
Нелинейное уравнение Власова можно решить только
в нескольких частных случаях. Поэтому до сих пор основ-
основные усилия были направлены на решение линеаризован-
линеаризованного уравнения Власова. Представим функцию /A) в виде
/a) = (O)/(i)-j.(i)/(i)>	A.25)
предполагая, что
-	A.26)
Будем также считать, что функции @)/A) и A)/A) являются
гладкими, так что дифференцирование и интегрирование
не меняет порядок их величины. Функция распределения
нулевого порядка <0)/A) предполагается однородной и ста-
стационарной, а внешние поля — равными нулю. В осталь-
остальной части этой главы будем пользоваться упрощенными
обозначениями:
(O)f(l)	i	A)/A)	 {	(\ 97\
У —/О?	У —У*	V1*^'/
Тогда линеаризованные уравнения запишутся в виде
A.28)
fd\.
Эти уравнения образуют систему интегро-дифференциаль-
ных уравнений для /. Для решения такой системы уравне-
уравнений применяются различные методы.
§ 2. РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА
2.1. Метод собственных решений
Для того чтобы найти собственные решения системы
A.28), отделим зависимость от пространственных коорди-
координат и зависимость от скорости и времени, т. е. представим/

§ 2. Решения линейного уравнения Власова	139
в виде
/=/(r)/(v, t).	B.1)
Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело с боль-
большим числом различных функций, невозможно для каждой
из них ввести свое обозначение. Удобнее характеризовать
различные функции их независимыми переменными, за ис-
исключением фурье-преобразования, которое отмечается
символом ~.
Подставляя B.1) в A.28) и применяя хорошо известную
процедуру вычислений (метод разделения переменных),
получаем функцию, характеризующую пространственную
зависимость функции распределения
/(г) =А ехр(Ь.г).	B.2)
Чтобы обеспечить ограниченность / (г) при всех значениях
г, необходимо выбрать постоянную разделения X чисто
мнимой величиной, т. е.
/(г) =^exp(^k.r),	B.3)
где к — действительная величина. Известно, что решения
в виде нормальных мод позволяют к любому явлению в про-
пространстве координат г применить фурье-анализ:
U (k, v, t) = Bя)-3/2 ( Q (г, v, t) *-*•' Лг,
Q (r, v, t) = BяГ3/2 J Q (к, v, t) e*-*dk.
Фурье-преобразование в A.28) дает следующие диффе-
дифференциальные уравнения:
?^ B.5)
Ё(к, *)=-$
B.6)
Уравнение для поля Е можно также получить непосред-
непосредственно из A.14) и A.25), используя теорему свертки

140 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
из фурье-анализа и соотношение
Очевидно, что составляющая скорости, перпендику-
перпендикулярная волновому вектору к,
Vl = v-k(v.k), k = 4	B.8)
входит в уравнения B.5) и B.6) только как параметр. Обыч-
Обычно эта составляющая не представляет особого интереса,
а поэтому все величины в B.5) и B.6) удобно преобразовать
согласно выражению
u, *)= JQ(k, v, tN(u — k-v)dv.	B.9)
Здесь через и обозначена компонента скорости, параллель-
параллельная, вектору к. В результате получаем
B.10)
Чтобы найти собственные значения задачи, восполь-
воспользуемся соотношением
f	fu)e-**,	B.11)
которое приводит к v
Г л л	L 4яе2 1 d/о (ц)
J T(u)du , B.
где Up — комплексная фазовая скорость, равная
со
Здесь и в дальнейшем для простоты записи мы не всегда
будем отмечать зависимость от величины к. Фазовая ско-
скорость, вообще говоря, является комплексной величиной
вследствие комплексности частоты со. Причина этого
заключается в том, что уравнение B.12) не является само-
самосопряженным. Из уравнения B.12) непосредственно нахо-
находим функцию распределения / (и), поскольку интеграл
в правой части этого соотношения представляет собой
постоянную величину, определяемую нормировкой самой

§ 2. Решения линейного уравнения Власова	141
функции распределения, которая в линейной теории про-
проводится обычным способом.
В результате интегрирования уравнения B.12) полу-
получаем дисперсионное соотношение
jg^r Voiuyau	B14
т J (и — ир) '	v '
которое определяет фазовую скорость ир (к) и частоту
со (к) как функции волнового вектора к. В общем случае
интегрирование B.14) представляется сложной пробле-
проблемой, поскольку значение этого интеграла не является одно-
однозначно определенным из-за наличия полюса при и = ир.
В дальнейшем мы увидим, как решается эта проблема.
Рассмотрим сначала два примера, в которых такой
проблемы не возникает. Это имеет место либо в случае,
когда df0 (и)/ди = 0 вблизи и = ир, либо когда ир —
комплексная величина. Такое положение имеет место во
многих практически интересных случаях.
Прежде чем перейти к обсуждению этих задач, опреде-
определим функцию распределения F (и) следующим образом:
o(u')du' = F{u)n. . B.15)
Предполагая, что полная функция распределения вклю-
включает различные сорта частиц v (вследствие многокомпо-
многокомпонентное™ плазмы), запишем
/ov (и) = Fv (и) J /ov (ur) du' = Fv (и) nv. B.16)
Плазменная частота каждой из компонент равна
Тогда дисперсионное соотношение B.14), обобщенное на
случай многокомпонентной плазмы, запишется в виде
%l^^	B.18)
V=l	Р
Конечно, теперь имеется столько кинетических уравнений,
сколько компонент частиц плазмы, но все они приводят
к одному и тому же дисперсионному соотношению B.18).

142 Рл. 3. Йеравновесныё сЬсшдяния йулоновскои система
В последующих параграфах мы обсудим физичес-
физический смысл соотношения B.18) для различных важных
примеров.
2.2. Моноэнергетические пучки частиц с заданным направ-
направлением скорости
Рассмотрим систему пучков заряженных частиц, кото-
которые движутся в направлении вектора к с различными, но
строго определенными скоростями:
Fv(u) = 8 (и — иу).	B.19)
Будем считать, что ни один из этих пучков не обладает
тепловым разбросом скоростей. Подставляя B.19) в B.18)
и используя соотношения B.1.3) *)', получаем
B-20)
Можно показать, что условие / (и) <^ /0 (и) выполняется
для функции Дирака B.19) всюду, за исключением
области, в которой скорость пучка приближается к фазо-
фазовой скорости ир. Чтобы удостовериться в этом, целесооб-
целесообразно рассмотреть функцию Дирака как предел соответ-
соответствующей истинной функции.
1. uv = 0. Этот случай, когда скорости пучков всех
заряженных частиц равны нулю, является особенно про-
простым, но до некоторой степени представляет лишь теорети-
теоретический интерес. Дисперсионное соотношение в этом случае
принимает вид
<*=%«&=«&•	B-21)
V
Все частицы осциллируют с одной и той же частотой сор(Ь
которую можно назвать плазменной частотой системы,
причем со не зависит от к. Поэтому групповая скорость
ug = ^	B.22)
х) Для ссылок на формулы другой главы здесь и далее употреб-
употребляется запись тремя числами: первое обозначает номер главы,
второе — параграф и третье -— порядковый номер формулы. —
Прим. ред.

U. Решения линейного уравнения Ёласова
в системе равна нулю. Никакие сигналы не могут распро-
распространяться через такую систему. Действительно, мы имеем
дело не с волнами, а скорее с колебаниями.
2. щ Ф 0. В этом случае к — функция фазовой скоро-
скорости и определяется соотношением
^-1 (uv—ирJ
Поскольку из комплексности фазовой скорости следует
комплексность частоты, а комплексность частоты означает
экспоненциальное затухание или усиление рассматривае-
рассматриваемой моды колебаний, интересно понять, при каких усло-
условиях уравнение B.23) имеет комплексные решения.
Уравнение B.23) является полиномом порядка 2N
относительно ир. Поэтому оно имеет 2N решений для ир.
Эти решения могут быть как действительными, так и ком-
комплексными, причем последние всегда попарно сопряжен-
сопряженные.
В дальнейшем, изучая число действительных решений,
можно сделать выводы о числе комплексных решений.
Рассмотрим функцию G (ир) для действительных значений
ир. Заметим, что при ир ->- оо функция G (ир) стремится
к нулю, в то время как при приближении ир к одному из N
различных значений uv она стремится к бесконечности.
Поскольку функция G (ир) является положительно опре-
определенной, между этими значениями uv она имеет (N — 1)
минимумов, которые соответствуют волновым числам
к\, &2» • • •> &?f-i» расположенным в порядке возрастания.
Приведенный выше анализ функции G (ир) показывает,
что в интервале значений /$-i < &2 < &v уравнение B.23)^
имеет 2v действительных решений и, следовательно,
Zc = 2 (N — v)	B.24)
комплексных решений. Здесь мы имеем
N > v > 1, Щ = 0, к% = оо. B.25)
Поскольку комплексные решения попарно сопряженные,
наша система будет всегда неустойчива, если среди корней
&о и Щ имеются комплексные решения.

144 Гл. В. Неравновесные состояния кулоновской системы
Однопучковая система
Для однопучковой системы N = 1 , v = 1 и, следова-
следовательно, zc = О, т. е. дисперсионное уравнение не имеет
комплексных корней во всем интервале значений Щ — к^.
Поэтому такая система является устойчивой. Дисперси-
Дисперсионное соотношение имеет вид
со — кщ ± сор.	B.26)
Это соотношение можно истолковать так, что в системе
существуют плазменные колебания с допплеровским сдви-
сдвигом частоты. Групповая скорость при этом не зависит от к
и равна скорости пучка:
и§ = ^=щ.	B.27)
Полученный результат можно интерпретировать также
следующим образом: частицы пучка в системе коорди-
координат, движущейся вместе с пучком, совершают обычные
плазменные колебания, как и в рассмотренном случае A)
для щ = 0. Трансляционнре движение с групповой ско-
скоростью ug = Ui приводит при этом к допплеровскому сдви-
сдвигу частоты.
Двухпучковая или многопучковая система
Для N ^ 2 всегда имеется по крайней мере два комп-
комплексных решения в интервале значений й&__2 < &2 < #n-i-
Таким образом, система из двух или более пучков, про-
проникающих один через другой, всегда неустойчива. Число
комплексных мод колебаний уменьшается с увеличением
.к. Для очень больших значений к (т. е. малых длин волн)
имеются только действительные решения, которые при-
приближенно записываются в виде
cov = kuv ± topv.	B.28)
Как видно, решения B.28) для очень малых длин волн
расцепляются. Это означает, как и в случае однопучковой
системы, независимое существование плазменных колеба-
колебаний пучка, на которые накладывается соответствующий
допплеровский сдвиг.

§ 2. Решения линейного уравнения Власова	145
Система из пучков электронов и ионов
В качестве следующего примера, представляющего
практический интерес, рассмотрим систему, состоящую
из пучка электронов и пучка ионов и характеризующуюся
следующими соотношениями:
<«•>
Первое условие всегда выполняется благодаря малости
отношения массы электрона к массе иона. Из второго же
условия следует, что направленная скорость ионов долж-
должна быть значительно меньше скорости электронов: такое
положение имеет место во многих практических случаях.
Дисперсионное соотношение для рассматриваемой систе-
системы записывается в виде
Для того чтобы найти критическое значение волнового
вектора /скр, продифференцируем уравнение B.30) по ир:
dup
Учитывая B.29), получаем
(^f.	B.32)
Подставим это значение ир в B.30) и вновь используем
B.29), тогда для &кр найдем
Система из электронно-ионных пучков устойчива для зна-
значений волнового вектора к > кяр и неустойчива для к <<
< /скр.
10-01291

146 Гл. В. Неравновесные состояния кулоиовской системы
2.3. Сферическое распределение моноэнергетических частиц
по скоростям
Рассмотрим теперь моноэнергетические заряженные
частицы со сферическим распределением по скоростям,
проходящие через неподвижный фон, компенсирующий
заряд этих частиц.
Дисперсионное уравнение, согласно B.18), запишется
в виде
OF (и)/ди л
) uUp	B.34)
Здесь
F (и) = ± J /о (v) б (и —k.v) dv.	B.35)
В рассматриваемом случае
fo(v) = An8(v*-vl), где 4 = -^^. B.36)
Отсюда следует, что
F (и) --¦= А \ б (z;j_ -[- yf| — i/J) б (и — Уц) y_i dyj_ dv{\ d<j> =
oo
= 4я J6[yi-(^-u2)]^i.	B.37)
u
Или после простой замени
J	{	^} , B.38)
— сю
где
А(х, 0) = Л0(ж) = я j б@Л —у	B.39)
— оо
— частное значение функции Дирихле
оо
A (#»J/)= ] t~x sin xt cosytdt.	B.40)

§ 2. Решения линейного уравнения Власова
147
На фиг. 8 для наглядности дано графическое представ-
представление функции Дирихле. Согласно B.38) и фиг. 8, функция
\
-я/г
-я/г
/
0
0
0
/
\
0
/
+я/г
.+Л/2
\
F(u)
X
АХ
-v0	+и0 и.
Фиг. 8. Графическое пред- Фиг. 9. Сферически симметрич-
ставление функции Дирихле. ные функции распределения моно-
моноэнергетических частиц со ско-
скоростью и для однокомпонентной
системы.
распределения F (и) имеет вид, показанный на фиг. 9.
Это так называемое распределение в виде пакета. Оно
может быть записано следующим образом:
B.41)
B.42)
B.43)
d&0 (x)	s . .
находим
M
Это приводит к следующему дисперсионному уравнению:
(» + »o)-S("-"o) du==
U U
10*

148 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Учитывая, что F (и) — нормированная функция, получаем
=--Аг	B.45)
ИЛИ
со2 = k2v20 + со*.	B.46)
Отсюда следует, что сферически расширяющаяся система
моноэнергетических частиц всегда устойчива. Произведе-
Произведение групповой скорости на фазовую представляет собой
квадрат скорости частиц, т. е. ugup = v\.
2.4. Распределения в виде пакетов
В этом разделе мы рассмотрим более общую систему
распределений в виде пакетов. Пусть uiv и u2v — наи-
наименьшее и наибольшее значения скорости и для v-ro паке-
пакета распределения. Тогда из B.41) и B.42) получаем
lv)-6(M-M2v)]. B.47)
Учитывая это, дисперсионное уравнение запишем в виде
№= У. 3Xilv©Sv (	) =
p u2v
V
B.48)
Здесь введены следующие обозначения:
<U)V= у (Uiv + U2v), Mav —Wlv= Amv.	B.49)
Используя условие нормировки, ^получаем
со2
B-50)
В качестве примера рассмотрим функцию распределения
F (и), представленную на фиг. 10. Характеристическая
функция G (ир) при этом очень похожа на соответствующую

§ 2. Решения линейного уравнения Власова
149
функцию для системы пучков, за исключением поведения
ее в окрестности каждой средней скорости (и)у внутри
F(uI
и н игг и12ип и13	игз и
Фиг. 10. Неперекрывающиеся пакеты.
области ulv ^ и ^ u2v, где характеристическая функция
принимает отрицательные значения, в то время как для
отдельных пучков частиц она является всюду положитель-
положительно определенной. На фиг. 11 приведен схематически гра-
Ф и г. 11. Характеристическая функция для распределения, пред-
представленного на фиг. 10.
фик характеристической функции для функции распреде-
распределения F (и), показанной на фиг. 10.
Из анализа, аналогичного тому, который был проведен
для многопучковой системы, видно, что распределение
в виде неперекрывающихся пакетов всегда неустойчиво,
если число пакетов больше, чем один.

150 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
2.5. Кусочно-гладкие распределения с провалами
В данном разделе исследуются распределения произ-
произвольного вида, имеющие в некоторых областях провалы,
в которых F (и) = 0. Мы рассмотрим случаи, когда значе-
значения ир попадают в эти провалы.
Длинноволновые ленгмюровские колебания
Рассмотрим N произвольных распределений Fv (и),
каждое из которых имеет провал, простирающийся от uv
до оо. Обозначим через ит максимальное значение скоро-
скорости для всех uv. В дальнейшем будем считать, что ир ^> ит.
Дисперсионное соотношение B.18) после интегрирова-
интегрирования по частям перепишем в виде
J du u—up	ZJ
V=l	-<x>	V=l
B.51)
Подынтегральное выражение B.51) можно представить
в виде ряда
B-52>
Учитывая, что upfe = co, из B.51) находим
N оо	-f-°°
СО2-
— оо
или соответственно
N оо
СО = >| >•
B.53)

§ 2. Решения линейного уравнения Власова	151
Если этот ряд оборвать при |л = т, то получим неявное
уравнение порядка (т + 2), связывающее со и к.
Чтобы прийти к результату Ленгмюра, который спра-
справедлив при ир^> ит, оборвем ряд при \i = 2. Используя
соотношения
V	V
и условие
2j COpV(u)v= U,	(Z.OD)
v
окончательно получаем
B.57)
Условие B.56) может быть всегда удовлетворено соответ-
соответствующим выбором системы координат.
Поскольку в B.56) мы пренебрегли членами четвертого
порядка, то в правой части соотношения B.57) следует
положить о = (оро. Тогда
со2-о)^ + 3/с2(^2).	B.58)
Очевидно, что соотношение B.58) дает дисперсию, зави-
зависящую от квадрата средней скорости. Групповая скорость,
согласно B.58), определяется как
ug^^- = 3— <u2> = 3^ = 3 — (u2).	B.59)
При этом учтено, что наше рассмотрение является после-
последовательным для значений к, которые удовлетворяют
условию
!*!«-?-.	B-60)
Ионно-звуковые волны
Рассмотрим систему, состоящую из холодных ионов
и горячих электронов. Распределение ионов описывается
функцией Дирака:
F+ (а) - б (и).	B.61)

152 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
При этом провал в распределении ионов простирается от
нуля до бесконечности. Электроны же описываются функ-
функцией распределения
(?) для \и\>п,
F- (и) = О	для | и | < и,
где с — нормировочная постоянная. Провал в электронной
функции распределения соответствует области \ и | < й,
при этом ир < й. Простые преобразования приводят
к следующему дисперсионному соотношению:
\и\>и
B.63)
Разложим теперь величину A — Up/u)'1 в ряд по степеням
Uplu.
На данном этапе выберем й в интервале
8<u)-<u<(u>_.	B.64)
Это означает, с одной стороны, что большинство электро-
электронов участвует в нашем распределении, а с другой, что
выполняется условие и ^> ир. Поскольку функция распре-
распределения F'_ (и) является четной, из B.63) находим
Отсюда следует, что
„2 „2 (^D-J	/о аа\
где через %в- обозначен дебаевский радиус электронов.
Для очень больших значений (&^D_) мы получаем несвя-
несвязанные колебания на ионной плазменной частоте сор+.
Интересным является случай, когда (/&D_) <C !• Диспер-

§ 2. Решения линейного уравнения Власова	153
сионное соотношение тогда принимает вид
uj=—.	B.67)
Эта фазовая скорость совпадает со скоростью звуковых
волн, распространяющихся в системе частиц с массой т+
и тепловой энергией 6_ в предположении, что процесс
изотермический. Поэтому волны, для которых (&?чо_)<^ 1?
часто называют ионно-звуковыми волнами.
На первый взгляд может показаться удивительным то,
что мы нашли структуру, подобную звуковой волне,
поскольку в рассматриваемом приближении Власова от-
отсутствуют столкновения или корреляции между частица-
частицами. С другой стороны, можно привести физические
соображения, согласно которым наличие ионно-звуковой
скорости вполне возможно.
Колебания ионов по сравнению с колебаниями электро-
электронов представляют собой медленный процесс. Поэтому
электроны, участвующие в таких колебаниях, можно рас-
рассматривать находящимися в равновесии с потенциалом Ф:
[|р]	, B.68)
Следовательно, мы имеем
I*t=l2==_?.	B.69)
Подставляя B.69) в уравнение движения свободного иона,
находим
т+п+ *? = еп+Е = - п+в_-^± =-Ў•?-• B-70)
Сравнивая это уравнение с основным уравнением рас-
распространения звука, легко понять, почему в данном слу-
случае мы имеем «звуковое поведение» колебаний бесстолкно-
вительной плазмы.
2.6. Произвольные распределения. Критерий Пенроуза
До сих пор нам удавалось избежать трудностей, воз-
возникающих из-за наличия пуля в знаменателе дисперсион-
дисперсионного соотношения, так как мы ограничивались рассмот-

154 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
рением некоторых частных распределений. Теперь перей-
перейдем к рассмотрению распределений произвольного вида.
Поскольку значение интеграла в дисперсионном соотно-
соотношении не определено для действительных значений мр,
сосредоточим сначала внимание на комплексных фазовых
скоростях. Это позволит нам сделать выводы относительно
устойчивости систем с распределениями произвольного
вида. Выясним, имеет ли дисперсионное соотношение
B.18) для однокомпонентной системы (v = 0) с размазан-
размазанным нейтрализующим фоном
-j-oo	-f-oo
U
— oo
f
\ . F° (u),2 du B.71)
J (it — UpJ	*>	I
oo
решение, в котором Im (up) > 0.
Экспоненциально возрастающие моды существуют, если
функция G (ир) принимает действительное положительное
значение где-либо в верхней полуплоскости комплексного
переменного ир. Экспоненциальное возрастание является
наиболее важным случаем неустойчивости. Поэтому мы
выведем необходимый и достаточный критерий для суще-
существования экспоненциально возрастающей неустойчивости
и необходимое условие для устойчивости системы. Иссле-
Исследование, которое проводится ниже, справедливо только
для совершенно гладких функций Fo (и) с соответствую-
соответствующим поведением на бесконечности. На математическом
языке это означает, что для действительных значений и
должны выполняться следующие условия:
-j-oo
J F'0(uJdu<oo, j
o	— oo
B.72)
+00
Из B.71) и B.72) следует, что G (ир) является голоморфной
функцией в плоскости ир с разрезом вдоль действительной
оси.

§ 2. Решения линейного уравнения Власова
155
Поведение этой функции на верхней границе разреза
описывается следующим образом:
G (ир + Ю) = со* { ^ J 5г
inF'°
При написании этого соотношения использована извест-
известная формула Племеля
(через ffi обозначено главное значение в смысле Коши).
Справедливость выражения B.74) очевидна из следую-
следующего равенства:
T
где G± есть полуокружность малого радиуса 8 -> 0 с цент-
центром в нуле, проведенная соответственно в верхней или
в нижней полуплоскости. Отсюда получаем
-foo	-f°°	О
±п
B.76)
Рассмотрим условия B.72). Из ограниченности произ-
производной F'o (и) следует условие Липшица, накладываемое
на Fo (и), что в свою очередь приводит к требованию
ограниченности и непрерывности функции G (ир + ?0).
Ограниченность G (ир + Ю) нетрудно получить из B.72):
-J-oo _	-j-oo	Up+A
*
+
A
J
Up—A

156 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Таким образом, функция G (ир + Ю) ограничена, посколь-
поскольку А — произвольная, но фиксированная величина.
Здесь следует остановиться на свойствах функции G (ир),
которые обнаруживаются при изучении отображения
G (ир + Ю) верхней границы действительной оси ир.
Поскольку функция G (ft + Ю) ограничена и непре-
непрерывна, это отображение должно иметь вид кривой с выде-
выделенным направлением обхода. Эта кривая начинается
и оканчивается на нуле в точке, где G = О, потому что
G (±оо) = 0.
Далее, если Go — любая точка, не лежащая на
? (ft + Ю), то кривая G (ft + Ю) обходит вокруг Go
столько раз против часовой стрелки, сколько раз G(up)
принимает значение Go в верхней полуплоскости. Это лег-
легко показать, применяя теорему Коши. Действительно,
*>=»» B'77)
Здесь No — число нулей функции F (ир) = G (ир) — Go
в области, ограниченной контуром интегрирования.
Поэтому
°'{пр) du 1 & dG 2пШ м B 7&
G(up)-G0 aUP-2niyG-G0- 2ni "Ш' ^¦'°>
Здесь интеграл ф (G —Go) dG есть интеграл Стильтье-
са, а М —целое число, равное числу обходов контура
отображения вокруг Go. Таким образом, получаем М = iV0.
Отсюда следует, что отображение любой точки верхней
полуплоскости (up-плоскости) должно находиться либо
внутри G OR + iO), либо на самом контуре, поэтому
внутренняя область, ограниченная контуром G A1 + Ю),
является отображением верхней полуплоскости. Следо-
Следовательно, G(up) принимает положительные значения
в верхней полуплоскости тогда и только тогда, когда
внутри контура G (Ш + Щ содержится часть положи-
положительной действительной оси G. Это в свою очередь имеет
место тогда и только тогда, если G (ft + Ю) пересекает
положительную действительную ось G. Поскольку точка
G (ир + ?0) перемещается вдоль контура G (ft + Ю) про-
против часовой стрелки, то, пересекая действительную поло-

§ 2. Решения линейного уравнения Власова	157
жительную ось G в своем самом крайнем правом положе-
положении, она движется снизу вверх.
Это эквивалентно такому изменению знака мнимой
части Im G (ир + Ю) = со?я F'o (wp), которое соответству-
соответствует минимуму функции Fo (и). Кроме того, действительная
часть Re G (ир + Ю) в силу соотношения B.73) может
быть записана в виде
Re G (ир + Ю) - со^ ( -^- du.	B.79)
J W Up
Отсюда можно сформулировать критерий Пенроуза [3]:
для существования экспоненциально возрастающих мод
необходимо и достаточно, чтобы: а) функция распределе-
распределения имела по крайней мере один минимум и б) в одном
из этих минимумов удовлетворялось условие
Интересно отметить, что критерий Пенроуза имеет такой
же вид и для существования экспоненциально затухающих
' мод. Это легко можно показать из комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженного дисперсионного соотношения
B-м)
откуда следует, что ир является решением тогда и только
тогда, когда решением является также и и$.
[Следуя изложению Пенроуза, найдем отображение
G D1 — Ю) для нижней границы действительной оси ир.
Согласно соотношению Племеля, получаем, что
G @1 — Ю) совпадает с G (Л + Ю). Однако направление
обхода контура G E1 — Ю) противоположно обходу кон-
контура G (TI + Ю). G (ир) является конформным отображе-
отображением и поэтому отображение любой области остается
с той же самой стороны от границы контура. Следователь-
Следовательно, и в этом случае нижняя полуплоскость отображается
во внутреннюю область G {К ± Ю). Исследование пересе-
пересечения G E1 — Ю) в самом крайнем правом положении

458 Га. $. Йеравновесиые состояния кулоиовской сисЫемы
с действительной осью к2 снова приводит к соотношению
B.80), поскольку одновременно изменяется направление
обхода G @1 + Ю), а также знак мнимой части.]
Проиллюстрируем применение полученных результа-
результатов на двух примерах.
Распределения с одним максимумом
Наиболее простым случаем является распределение
с одним максимумом. Исходя из первого критерия, легко
получить результат Найквиста, заключающийся в том,
Фиг. 12. Отображение верхней полуплоскости ир на плоскость
к2 для максвелловского распределения.
что функции распределения с одним максимумом не могут
приводить к экспоненциально растущим колебаниям.
На фиг. 12 показана кривая G @1 + Ю) для максвеллов-
ской функции распределения Fo (и) = С ехр (—иш2/20).
Отображение верхней полуплоскости представляется за-
заштрихованной областью и не содержит положительных
действительных значений. На фиг. 13 приведены такие
возможные кривые G C1 + Ю), которые содержат внутри
себя положительные действительные значения.

§ В, Преобразование Фуръе по времени
159
Фиг. 13. Два примера отображения плоскости ир на плоскость
А;2 для неустойчивых распределений.
Устойчивость изотропного распределения
Рассмотрим произвольную изотропную функция рас-
распределения /0 (z;2), которая является результатом диффе-
дифференцирования следующей функции:
= я f /о (vi + и2) dv\ = n f /о (х) dx, B.82)
т. е.
F' (и) = -2nufo{u2).
B.83)
Легко видеть, что на основании критерия Пенроуза
(п. «а») такое изотропное распределение всегда устойчиво.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПО ВРЕМЕНИ
В предыдущем параграфе был изложен метод собствен-
собственных решений для анализа линеаризованного уравнения
Власова. Этот метод, который иногда называют разложе-
разложением по нормальным модам, весьма удобен для решения
начальной задачи, если набор собственных решений
является полным. Такие полные наборы собственных

160 Гл. 8. Неравновесные состояния кулоновской системы
решений были найдены для некоторых частных функций
распределения. В случае произвольных распределений
исследовались лишь такие собственные решения, которые
имеют комплексные частоту и фазовую скорость. В § 5
мы рассмотрим «моды Ван Кампена», которые дополняют
комплексные решения до полного набора.
3.1. Воздействие внешних возмущений
Рассмотрим случай, когда возмущения задаются внеш-
внешним потенциалом ФВНешн (r> t), приложенным в момент
времени t = 0. Для t < 0 потенциал возмущения ФВНешн =
= 0; поэтому будем считать, что функция / также равна
нулю при t < 0. Это означает, что / есть так называемая
«причинная функция». Такое предположение нарушает
обратимый характер нашего исследования, хотя как было
показано выше, само уравнение Власова является обра-
обратимым. В соответствии с B.5), B.6) и B.15) линеаризован-
линеаризованное уравнение Власова после преобразования Фурье
в конфигурационном пространстве записывается в виде
(u, К f) = t±
Ф (М) = -?- J / {и, k, t) du + Фвнешн.
Здесь ФВнешн соответствует внешнему возмущению.
Прежде чем приступить к преобразованию Фурье
по времени, следует удостовериться, что интегралы в пре-
преобразовании Фурье существуют. Функции, которые пре-
преобразовываются, должны быть квадратично интегрируемы.
Если плазма неустойчива, что является весьма распро-
распространенным случаем, то функции экспоненциально воз-
возрастают во времени и вышеуказанное условие не может
быть выполнено. Однако эту трудность довольно просто
обойти. Пусть цт — максимальное значение инкремента
нарастания некоторой функции Q в неустойчивой плазме.
Рассмотрим преобразование Фурье функции
Q' (r, t) = Q (r, t) e-"i\	C.2)

§ 8, Преобразование Фурье по времени	161
где (д( > цт. Функция Q' квадратично интегрируема,
так как она удовлетворяет условию Q = 0 при t < 0.
К функции ?2' поэтому можно применить действительное
разложение Фурье. В результате получим
Й' (г, юР) =-J= f G (r, t) e^dt = Q (r, со).	C.3)
Здесь
со = сог + ш*, где (Oj = const >> цт, C.4)
и
Q(r,
). C.5)
V2S. -
Заметим, что в противоположность действительному пре-
преобразованию Фурье контур интегрирования в C.5) сме-
смещается на частоту со$ в верхнюю со-по л у плоскость.
Применяя преобразование C.3) к уравнению C.1),
находим г)
и) }(и, k,(o) = i — kn \д °^ц> V] Ф {к, со),
где	C.6)
С, 0)).
Огсюда следует, что
dFo (и, к)
/ («, ft, со) =^	^— Ф (Л, со)	C.7)
И
б (Л, со) =	а+5нешя(А'С°)	• C.8)
х) Знаком « сверху обозначается двойное пространственно-
временное преобразование Фурье.
11-01291

±62 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Отметим, что знаменатели выражений C.7) и C.8) не вызы-
вызывают никаких осложнений, поскольку со — комплексная
величина.
Для устойчивой плазмы можно рассмотреть лредел
coj = -j- 0. Учитывая соотношение B.74), тогда получаем
Ф (Л, СО) =	5	Фвнешн(&, СО)
C.9)
В принципе задача решена. Так как потенциал возмуще-
возмущений Фвнешн (А, со) задан, то из C.8) можно найти Ф (ft, со)
и, подставляя эту функцию в C.7), можно вычислить воз-
возмущенную функцию распределения.
Знаменатель выражения C.9) представляет собой ли-
линейный отклик системы на внешнее возмущение, который
в случае многокомпонентной плазмы записывается в сле-
следующей обобщенной форме:
и — у) Ida. C.10)
Величина е (ft, со) тесно связана с диэлектрической про-
проницаемостью плазмы. В этом легко убедиться для случая
изотропной и однородной плазмы, для которой уравнение
Пуассона имеет вид
8 (СО) АФ = — 4ятвнешн	C.11)
или
S(k ш\ — 4я<?7гвнеШн (К со) __ Фвнешн (^» со)	* C 12)
^ ' '	№& (со)	8 (со)	'	\ ' /
Сравнивая C.12) с C.9), находим, что 8 (ft,, со) есть ди-
диэлектрическая проницаемость плазмы, в которой распро-
распространяется одиночная волна с волновым вектором к

§ 3. Преобразование Фурье по времени	163
и частотой со. Однако следует заметить, что, вообще гово-
говоря, 8 (&, со) не является фурье-образом диэлектрической
проницаемости 8 (г, со), зависящей от пространственных
координат.
Рассмотрим функцию 8 (&, со) в пределе низких и высо-
высоких частот для частиц с максвелловским распределе-
распределением Fv.
В пределе низких частот (сог-^0) выражение C.10)
принимает вид
8 (к, С0 = 0) = 1 - 2 ^ j К (U, к) [> A) + Шб (и)] UU.
V
C.13)
Конкретизируем далее вид функции распределения для
различных сортов частиц системы, каждый из которых
находится в тепловом равновесии:
^]	C.14)
Подставляя эту функцию в C.13), окончательно полу-
получаем
где	C.15)
V
V
0V
Для фурье-компоненты потенциала мы имеем
, со = 0) _ 4яв^внешн (к, со = 0) (о лп\
С помощью теоремы свертки обратное преобразование
выражения C.16) дает
ф (г, со = 0) = е j Пвнешн (г', со = 0)	V|r_rf° ; А'.
C.17)
11*

{64 Гл. &. Йеравновесные состояния кулдновской сибШМы
При получении формулы C.17) было учтено, что
Таким образом, мы нашли, что реакция плазмы на внеш-
внешние квазистатические возмущения приводит к хорошо
известному дебаевскому экранированию.
В пределе высоких частот сог ->- оо знаменатель в выра-
выражении C.10) можно разложить в ряд
Т	v=o
Затем, подставив функцию распределения C.14) в C.10),
найдем
в(*,<о-оо) = 1 —§-.	C.20)
Как и следовало ожидать, электрическая восприимчи-
восприимчивость, пропорциональная 8—1, из-за наличия инерции
частиц в пределе очень высоких частот стремится к нулю
как Юр/со2.
3.2. Начальная задача
Чтобы решить начальную задачу, рассмотрим опять
уравнения C.1), но без внешнего возмущения ФВНешн-
При этом
Умножим эти уравнения на Ai ехр(ш^) и проинтегриру-
проинтегрируем по t от —оо до +оо. Функция Ai связана с функцией
Дирихле следующим образом:
Д^МЪОЦ.!..	C.22)

§ 3, Преобразование Фурье по времени	165
Согласно B.39), производная функции А4 равна
¦^ = «(*)•	C-23)
Отсюда следует, что
f Ajgtot 1L # = _ f 7(И> к, t) [б (*) + icoAj] ei<B< A C.24)
—	00	—ОО
и соответственно
j А1в<«'^-Л= -7(w, Л, 0)-1© J Ь1ешУ(и, к, t)dt.
—	00	—ОО
C.25)
Используя вместо C.3) разложение1)
Q (и, г, о) = -4= ( Q («*. г, 0 Aiei<0< dt, C.26)
г -оо
а также выражение C.25), можно уравнение C.21) пере-
переписать в следующем виде:
i (ки - о) 7(Ц, fef (о) - < — fa Г aF°^' k) 1 Ф (fe, со) =
772-	|_ O'W' _J
(»,*,*=о),
4 ,	C-27)
=-^i j T(u,k,<o)du.
Разделив первое уравнение на i (ки — со) и проинтегри-
проинтегрировав по и от —оо до +оо, а также используя второе
уравнение C.27), мы получим потенциал Ф (&, со),
выраженный через заданное его начальное значение. При
этом можно также найти / (и, к, со) из первого уравнения
C.27). Обратное преобразование по пространству и вре-
времени дает искомые функции. Таким образом в принципе
задача решена.
г) Знаком *-^ сверху здесь и в дальнейшем обозначается изобра-
изображение Лапласа..

166 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Прежде чем перейти к оценкам, сделаем еще одно заме-
замечание. Вводя обозначения
со = ф, рг = со,, рг = —сог,	C.28)
имеем
оо
(и, г, р) = -—L С *-*' Q (u, r, *) Л.	C.29)
У2п{
Q
Здесь Q (и, г, р) является теперь изображением Лапла-
Лапласа для функции Q (и, г, t). Конечно, мы должны отме-
отметить, что контур интегрирования обратного преобра-
преобразования в р-плоскости отличается от соответствующего
контура в со-плоскости. Действительно, р — pr + ipt,
где рг изменяется от —оо до +°°? а рт — постоянная
величина, которая больше максимального инкремента
нарастания цт.
§ 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА МЕТОДОМ ЛАНДАУ
4.1. Решение Ландау
Подставляя C.28) и C.29) в C.27) и исключая функ-
функцию f(u, к, р), находим выражение для потенциала
"]/2я
	Z^—.p=	¦ D.1)
Отсюда имеем
+ 0О
с+гоо
D.2)

§ 4» Решение уравнения Власова методом Ландау
167
Ы(и)
\т(и)
Отметим, что контур интегрирования представляет собой
вертикальную линию в комплексной ^-плоскости са> т]т,
т. е. находящуюся справа от
всех сингулярностей подынте-
подынтегрального выражения.
Ограничимся теперь рассмо-
рассмотрением функций распределения
вида FQ (и), которые, согласно
критерию Пенроуза, являются
устойчивыми и поэтому не при-
приводят к комплексным корням ир
дисперсионного соотношения.
Следовательно, подынтеграль-
подынтегральное выражение D.2) представ-
представляет собой регулярную функ-
функцию как в полуплоскости при
рг > 0, так и при рг << 0, поэ-
поэтому величину а > 0 можно
выбрать произвольным образом.
Непосредственно вычислить
интеграл D.2) невозможно, по-
поскольку выражение под инте-
интегралом имеет разрыв на мни-
мнимой оси р, что легко видеть,
если применить формулу Пле-
меля B.74). Поэтому мы будем
следовать методу, предложен-
предложенному Ландау и основанному на
аналитическом продолжении
функций. Помимо тех условий,
которые были уже наложены на
Fo (и), потребуем, чтобы функ-
функции Fo (и) и / (и, к, t = 0)
имели аналитическое продолжение, а функция Ф (к, р)
достаточно быстро стремилась к нулю при \ р | ->¦ оо.
Накладывая эти требования, мы стремимся к тому, чтобы
можно было применить теорию вычетов к вычислению
интеграла D.2), в котором путь интегрирования замы-
замыкается по большой полуокружности в отрицательной
полуплоскости. В общем случае этого сделать нельзя
1т (и)
Re (и)
Фиг. 14. Деформация
контура интегрирования
при аналитическом продол-
продолжении.

168 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
из-за наличия разрывов в подынтегральном выражении.
Однако значение интеграла вдоль указанного контура
интегрирования (от а — ?оо до а + ioo) не зависит от
значений подынтегрального выражения вне этого кон-
контура. Следовательно, если можно найти аналитическое
продолжение подынтегрального выражения в области,
расположенной слева от 'пути интегрирования, то для
вычисления интеграла D.2) можно применить теорию
вычетов.
Как числитель, так и знаменатель подынтегрального
выражения D.2) представляют собой комплексные инте-
интегралы. Из теоремы Коши следует, что такие интегралы ста-
становятся аналитическими, если изменить путь интегри-
интегрирования так, как это показано на фиг. 14, когда рг изме-
изменяется от положительных значений к отрицательным.
Таким образом, знаменатель подынтегрального выраже-
выражения D.2) для различных значений рг можно представить
в виде
2 +°°
Д(Л|Р) = 1-5г \-^^du для Рг>0, D.3)
J
Щк,р) = 1-Щ® J Jk
К
lL^ дЛЯ рг==
К
D.4)
D(k,p) = l—Щ j IoS^L
L _*оо и — i -?-
D.5)
Аналогично строится аналитическое продолжение числи-
числителя подынтегрального выражения D.2).
При таком аналитическом продолжении функции
D (/г, р) ее нули могут лежать только в открытой левой
р-полуплоскости *). Эти нули являются изолированными,
х) Заметим, что при таком аналитическом продолжении функция
D (к, р) может иметь нули, хотя предполагалось, что знаменатель
в первоначальном виде никаких нулей не имеет,

§ 4. Решение уравнения Власова методом Ландау	169
поскольку существование неизолированных нулей (точек
сгущения) означало бы, что D (к, р) = О1).
Применяя теорему вычетов, сдвинем путь интегриро-
интегрирования в обратном преобразовании Лапласа на величину
а = — аи значения интеграла в полюсах представим
в виде суммы вычетов:
-a-f-ioo
Ф(М)=2<^' + 5й J &(bP)*ptdp- D-6)
v	-a-ioo
Здесь Ф' (к, р)—-аналитическое продолжение функции
Ф (fc, /?), а cv является вычетом функции Ф' (к, р) в полю-
полюсе pv. Суммирование распространяется на все нули/) (к, р).
Предполагая, что интеграл в D.6) стремится к нулю при
a -> оо, получаем
Ф(М)-2^~соеР0'.	D.7)
V	t-+oo
Таким образом, поскольку pvr < 0, начальное возмуще-
возмущение затухает. Это затухание называется затуханием
Ландау [5].
Как видно из D.7), в пределе t -> оо остается только
слагаемое, обладающее наименьшей по модулю действи-
действительной частью | рг |. Поэтому среди корней уравнения
*) Для максвелл овской функции распределения F0(u) не выпол-
выполняется предположение Ф (к, р) -+¦ 0 при \р \ -+¦ оо. В этом случае
D (к, р) имеет бесконечное число нулей в левой р-полуплоскости
[4], которые сгущаются на бесконечности и располагаются вблизи
линий arg р = ±Зя/4. Однако любая вертикальная узкая полоса
содержит только конечное число нулей D (&, р) [14]. Отсюда следует,
что обратное преобразование определяется следующим образом:
2 у
Pvr>9
где pv — полюса в полосе р < pVr < 0. Кроме того, можно пока-
показать, что вклад от пути интегрирования, сдвинутого в сторону беско-
бесконечности, становится исчезающе малым для произвольного момента
времени t >> 0, если начальное возмущение является максвелловским
с температурой не ниже, чем температура основной плазмы. Однако
для произвольного начального возмущения эта задача еще пол-
полностью не решена,

170 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
D (к, р) = 0 найдем корень р0 с наименьшей действитель-
действительной частью | рг |. С этой целью разложим функцию
D (к, р) в степенной ряд по мнимым значениям рг.
Это можно сделать с помощью обобщенной формулы
Племеля [12]. Допустим, что функция g (и) удовлетворяет
всем требованиям, которые предъявлялись к функ-
функции Fo (и); тогда интеграл
— оо
определяет регулярную функцию в верхней z-полуплоско-
сти (конечно, также и в нижней полуплоскости). Эта
функция может быть аналитически продолжена соответ-
соответственно в другую полуплоскость путем разложения в сте-
степенной ряд:
71^-Ч)п.	D.9)
Из D.8) для значения z0, лежащего в верхней полуплоско-
полуплоскости, находим
-{-оо	-|-оо
ГЫ= j^^du^ \ J^Ldu.	D.10)
— оо	—оо
Отсюда производная тг-го порядка может быть записана
по индукции в виде
\^UU-	DЛ1)
На основании формулы Племеля B.74) для z0 = х0 + iyQ
можно получить
+ ОО
\4^	(zo). D.12)
Отсюда следует, что при хо = х и i/0 = 0
] D.13)
П=0

§ 4. Решение уравнения Власова методом Ландау	171
Положим g (и) = F'Q (и), х = —ptlk и у = рг/&; тогда
разложение J9 (&, /?) по мнимым значениям р примет вид
п=0
X I ffi \ *•» w da + ш^п+1>( -^) |. D.14)
~oo U~\
Поскольку мы ищем нуль функции D (к, р) = 0 с наимень-
наименьшим значением | рг |, можно пренебречь членами с более
высокими степенями рг1к. Тогда, приравнивая правую
часть D.14) нулю, после разделения мнимой и действитель-
действительной частей получаем
Ш	ll)	D.15)
и
° = ^o(-f )+^г^ J -^^ + 0(|-). D.16)
Дифференцируя D.15) no fe, находим
2, ^t/fii
-оо	/С
Исключая интегралы в D.16) и D.17), приходим к сле-
следующему соотношению:
В это соотношение мы должны подставить р^ из D.15).
Для простоты ограничимся рассмотрением малых значе-
значений к. Тогда существенный вклад в интеграл дает только
область | и \<^pjk (случай низких температур), поэтому
можно разложить знаменатель в ряд по степеням к/

172 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Поскольку сингулярные точки подынтегрального выра-
выражения находятся в области вне круга сходимости этого
ряда, существенного вклада от них в интеграл ожидать
не следует. Это позволяет представить главное значение
в виде
—т-«— I F0(u)(l	s	о—\-.-Adu. D.19)
< Pi J °v ' \ Pi Pi Pi	I
*	-oo
Отсюда после интегрирования по частям получаем
-foo
—-z-tt	\ F0(u)[	h2u—г- — Зи2—з-+ ... ) da.
V	Pi jL	P*	^	Рг	'
D/ 0)
Учитывая, что (&) = 0, находим
D.21).
В нулевом приближении мы получаем решение р\ = со|,
и в первом приближении
рг-«±«рГ1 + 3<и2>-^-11/2«
L	Юр j
* ± сор.	D.22)
Это решение совпадает с формулой B.58). В самом деле,
приближение D.15) приводит нас обратно к мнимой оси р
(т. е. к действительной осиир). Более того, пренебрежение
сингулярностью сводит уравнение D.15) к дисперсионно-
дисперсионному уравнению, полученному для случая кусочно-гладкой
функции распределения с провалами. Так же как и ранее,
здесь мы ограничились рассмотрением малых значений к.
Для того чтобы найти соответствующее выражение для рг1
продифференцируем выражение D.22) по к. Простые вычис-
вычисления приводят к следующему результату:
, 3 . о, к2

§ 4, Решение уравнения Власова Методом ЛанЬау^	173
Подставляя это выражение в D.18), имеем
Рассмотрим теперь максвелловскую функцию распре-
распределения по скоростям
Учитывая, что яг {и2} = в, находим выражение для про-
производной
Таким образом, декремент затухания имеет вид
где Ad = //ю»р/к^.
На фиг. 15 представлена относительная величина зату-
затухания —рг/сор, вычисленная по формуле D.27). Легко
видеть, что при /dD <C 1 затухание очень слабое. Сущест-
Существенного затухания можно ожидать только в случае
кХъ ж 1. Однако при этом полученные результаты стано-
становятся неприменимыми, поскольку при вычислениях мы
предполагали, что к%ъ <^ 1.
Интересно рассмотреть возможность наблюдения зату-
затухания Ландау. С одной стороны, чтобы отличить затухание
Ландау от затухания, обусловленного столкновениями,
существует целый ряд экспериментальных трудностей.
Затухание Ландау превалирует в том случае/когда дек-
декремент затухания | pr | много больше частоты столкнове-
столкновений vc. Это означает, что
| р,. | ^> Vc«-—А ©р	D.28)
или
Аг%1>1.	D.29)
1П Л СОр

174 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской сидтемЫ
Из номограммы, приведенной на фиг. 42 (стр. 423),
можно видеть, что для обычной плазмы отношение Л/ln Л
вряд ли превышает значение 104. Это означает, что
I Рг \/®р^> Ю~4 и поэтому к%ъ > 0,2.
С другой стороны, для наблюдения затухания Ландау
постоянная затухания не должна быть слишком большой,
Ю"
w6 -
иг
| I
0,5
Фиг. 15. Постоянная затухания, вычисленная в приближении
Ландау.
чтобы колебания существовали по крайней мере несколько
(например, десять) периодов. Как следует из фиг. 15, это
приводит к условию кХ-?> ^ 0,4.
Таким образом, затухание Ландау можно обнаружить
только в очень узкой области значений kXjy, т. е. 0,2 ^
^ к%т> ^ 0,4. Даже если мы допустим, что отношение
Л/ In Л принимает много большие значения, это сущест-
существенно не расширит область допустимых значений кХъ,
так как | рг |/сор очень быстро падает с уменьшением &A,D.
Предыдущие вычисления являются только прибли-
приближенными, поэтому приведем здесь результаты строгого

Ш'	§4. Решение уравнения Власова методом Ландау	175
рассмотрения. Подставляя D.25) в выражение D.5), запи-
запишем уравнение D (/с, р) = 0 в виде
fe2 _	1 / т
х
D.30)
Вводя новую переменную t — и (пг/26I/2, получаем
Л + г^я^-С2 = /(?), D.31)
где
Найденные решения соответствуют рг < 0, т. е. ^ < 0.
Умножим далее числитель и знаменатель в D.31)
на величину t + ? и в зависимости от того, является функ-
функция четной или нечетной, прибавим или вычтем величину
+ОО
* [ e-*2dt=l.	D.33)
у 31 J
— оо
В результате получим
Учитывая равенство
о

176 Гл. В. Неравновесные состолнил кулоновской системы
выражение для / (Q можно записать как
/(?)-! I &~- »
+ОО	1
х( ( Г- [e-iP-ft'ds+it* — pv-ilvft-f?^). D.36)
Теперь проинтегрируем это выражение по t. Согласно фор-
формуле Коши, находим
+ ОО
С dt	t in	tr o_v
— oo
где знак «+» соответствует значениям ?$ > 0, а знак
«—» значениям ^ < 0. Следовательно, поскольку мьд рас-
рассматриваем случай ?| < 0,
j^ ^}. D.38)
Вводя новую переменную v = j?]/s, отсюда получаем
ij2)	D.39)
Таким образом, окончательно имеем
/@ = 1+ 2j?e-?2 j e-v2 dv = - fcUb. D.40)
— oo
r
Вводя дисперсионную функцию
%2	D.41)
легко записать уравнение, соответствующее нулям D(k, p),
а именно
= 4- Z' (О-	D-42)

§ 4. Решение уравнения Власова методом Ландау
177
Дисперсионная функция Z (?) и ее производная Z'(Q
были вычислены и табулированы Фридом и Контом [6Ь
Их результаты позволяют представить решения уравнения
D.42) в плоскости ?. Обозначим ? = v + ?10. Выбирая
фиксированное значение и?, можно получить мнимую
и действительную части функции Z' в зависимости от v*
-KeZ
400 -
200 -
-600
-800
Фиг. 16. Действительная и мнимая части^функции^' при посто-
постоянной мнимой части w =• — 2.
На фиг. 16 приведена функция Z' для значения w = —2.
Мнимая часть производной Z' принимает ряд нулевых
значений. При этом действительная часть может быть
либо положительной, либо отрицательной. Если она отри-
отрицательна, то соответствующие решения должны быть
отброшены; если же она положительна, то это дает воз-
возможные значения 2k2Xjy. Применяя этот метод для произ-
произвольных значений и;, можно найти геометрическое место
точек всех решений в плоскости ?• Для получения таких
кривых полезны асимптотические решения. В случае
больших значений к (к/к^ ^> 1) корни дисперсионного
уравнения велики по модулю, так что можно использо-
12-01291

178 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
вать асимптотическое разложение функции Z (?), тогда
VnWn =
где /cd=1Ad, a л = 0, 1, ..• . Для лг = О приближенно
имеем
еСЛИ»1
D.43а)
Для больших чисел п все решения располагаются
вблизи прямой w = — у и выражаются следующим обра-
образом, если k/kv^> I, w^> 1:
D.436,
Для малых значений fe (A:/&D <^ 1) мы получаем результат
Ландау (п =0):
На фиг. 17 представлены физически разумные решения,
соответствующие положительным (верхняя сплошная
кривая) и отрицательным (нижняя сплошная кривая)
значениям кЪ* Штриховые кривые соответствуют асимпто-
асимптотическим решениям.
Поскольку точкам каждой кривой на фиг. 17 отвечает
определенное значение к, можно построить зависимости w
и у от kjkjy. Такие кривые показаны на фиг. 18. На этой
фигуре также представлено (штриховая кривая) прибли-
приближенное решение Ландау (см. фиг. 15), причем данное
решение для больших значений к обрывается. Более того,
как видно из фиг. 18 и что можно было ожидать из данных

w
/ г з
-z
-j
Фиг. 17. Решения дисперсионного уравнения для положительных
и отрицательных значений А^.
п обозначает различные моды в вычислениях по асимптотическим формулам.
Z'10'l3 4 5 I Z 3 U 5 Ю Z0
Фиг. 18. Частота и затухание продольных плазменных волн в за-
зависимости от k/k-Q.
1 — первая мода; 2 — вторая мода.
12*

180 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
на фиг. 17, для каждого значения к имеется много реше-
решений х). Решение Ландау соответствует моде с наименьшим
декрементом затухания.
Интересно отметить, что функция Z (?) удовлетворяет
соотношению
Z{t*)= -Z*{-Q.	D.45)
Применяя это соотношение к D.42), можно непосред-
непосредственно убедиться в том, что если решением является ?,
то решением будет и —t*. А это означает, что волны,
распространяющиеся в направлении векторов к и — к,
затухают одинаково.
4.2. Общая физическая интерпретация затухания Ландау
Затухание и усиление продольных коллективных ^коле-
^колебаний является для нас уже привычным, поскольку мы
рассматривали нормальные колебания с комплексной
частотой. При этом было установлено, что каждому ком-
комплексному решению дисперсионного уравнения соответ-
соответствует комплексно-сопряженное. Поэтому мы имеем всег-
всегда одновременно затухающую и нарастающую моды.
Интересно отметить, что затухание Ландау не соот-
соответствует такой группе мод, поскольку не существует
процесса усиления, соответствующего затуханию Ландау.
Аналитически данное обстоятельство выражается в том,
что полюса Ландау не появляются в виде пар точек ?
и Z*. Это в свою очередь является следствием того, что
решения Ландау получаются из аналитического продол-
продолжения дисперсионной функции в плоскость отрицатель-
отрицательных значений рг [см. D.3) и D.5)]:
2 +°°
D(k, р) = 1—§¦ ( -^^-du для рг>0,
для рг<0,
*) Как показали Хейс [7, 8] и Синз [13, 14], в этом можно легко
убедиться с помощью теоремы Пикара.

§ 4. Решение уравнения Власова методом Ландау	181
в то время как комплексно-сопряженные решения полу-
получаются для дисперсионного соотношения, представленно-
представленного разрывной функцией
г (к, Р) = 1~4- I -^^Ли.	D.47)
Поэтому метод Ландау дает не только все полюса комплекс-
комплексных решений дисперсионного уравнения, но еще некото-
некоторые дополнительные полюса, которые называются «полю-
«полюсами Ландау».
Чтобы подойти ближе к физической интерпретации
явления затухания Ландау, допустим, что наша система
комплексных собственных решений, о чем говорилось
в начале § 3, не является полной. Мы должны дополнить
ее модами с действительными значениями со (модами
Ван Кампена). Эти моды будут детально рассмотрены
в следующем параграфе. Предполагая заранее, что набор
решений, состоящий из комплексных решений диспер-
дисперсионного уравнения и мод Ван Кампена, становится
полным, любое решение уравнения Власова можно пред-
представить в виде
ф (k,t) = ~ { % (со, к) е-** dco + 2 Ауе~шу\ D.48)
— оо	V
С другой стороны, применяя метод Ландау к неустойчи-
неустойчивой плазме, можно получить решение в виде
Ф (к, t) = Зландау + S Ауе~ы-\	D.49)
Здесь первый член правой части представляет собой сумму
D.7), а второй совпадает со вторым членом, стоящим
в правой части выражения D.48). Отсюда следует, что
первый член D.49), соответствующий решению Ландау,
должен соответствовать вкладу от мод Ван Кампена. Так
как моды Ван Кампена принадлежат к нормальным
модам с действительными значениями со, то каждая из них
является незатухающей. Однако наложение незатухаю-
незатухающих колебаний может приводить к затуханию колебаний
в результате их интерференции. Поэтому мы делаем вывод,

182 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
что затухание Ландау есть результат перемешивания фаз
в модах Ban Кампена.
Другим вопросом, представляющим физический инте-
интерес и связанным с затуханием Ландау, является вопрос
о диссипации энергии. Если мы рассмотрим устойчивую
плазму, для которой существуют только затухающие
решения Ландау, то в конечном состоянии системы будут
отсутствовать все возмущения вызванные коллективными
взаимодействиями за счет электрических сил; поэтому
возникает вопрос о том, в какой вид энергии перешла
электрическая энергия колебаний. Поскольку мы иссле-
исследуем изолированную систему, то эта энергия может перей-
перейти только в кинетическую. Полная энергия нашей систе-
системы в пренебрежении корреляциями записывается следую-
следующим образом:
W= { 2?- /<i> (r, v, t) drdv + J i||i dr. D.50)
Поэтому изменение кинетической энергии, связанное
с изменением энергии электрического поля, равно
mvZ 5/(г, v, t) I j	1
2	S^drdv= —5Г
Если электрическое поле вычислить в первом прибли-
приближении, то соответствующий энергетический член будет
членом второго порядка, а поэтому, чтобы обеспечить
необходимую точность в определении энергии, необхо-
необходимо знать функцию /A) до членов второго порядка мало-
малости. Это показывает, что существующая до сих пор линеа-
линеаризованная теория является недостаточной для решения
энергетической проблемы.
Вместе с тем имеется другая точка зрения на закон-
законность линейного приближения. Обратное преобразование
Лапласа для / (u, ft, p) приводит к выражению [см.
C.27)]
, р)-\	)=¦
+
1/2я J	iku + p	*
D.52)

§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 183
В противоположность электрическому полю и соот-
соответствующей энергии эта функция не дает нулевого
вклада при ?->оо. Преобразование Фурье — Лапласа
/ (и, &, р), помимо полюсов образа Фурье—Лапласа Ф,
имеет еще один полюс на мнимой оси, который возникает
из-за осциллирующего члена А (и, к) ехр (—ikut), не
испытыв ающего з атух ания.
Особенно заслуживает внимания тот факт, что частота
этого явления зависит от скорости и. Если проинтегриро-
проинтегрировать / по и в произвольных пределах, то вновь появится
затухание как результат перемешивания фаз, соответствую-
соответствующих членам с различными скоростями и.
Любые попытки более детально изложить энергети-
энергетическую проблему приводят к нелинейной теории (см. рабо-
работу [9] и приведенные в ней ссылки на литературу).
§ 5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА МЕТОДОМ
ВАН КАМПЕНА
В настоящем параграфе мы рассмотрим другой метод
решения уравнения Власова. Этот метод был разработан
Ван Кампеном [10], который разрешил проблему, связан-
связанную с наличием полюса при и = ир в дисперсионном соот-
соотношении B.14) с помощью теории обобщенных функ-
функций [11].
Будем исходить из преобразованного по Фурье линеа-
линеаризованного уравнения Власова в отсутствие внешнего
возмущения [см. C.6)]:
со2 +°°
Р М { ?( * )Л 0 E.1)
Рассмотрим теперь задачу нахождения нормальных мод
решений этого уравнения с действительным значением
co/fe = v, т. е. задачу, которую Ландау обошел путем
введения аналитического продолжения. Чтобы решить
эту задачу на собственные значения для действитель-
действительных v, запишем v как индекс, опуская зависимость от к.
Уравнение E.1) является однородным, так что функция
/ (и, к, со) определяется только с точностью до произ-
произвольного множителя. Поэтому можно наложить допол-

184 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
нительное условие нормировки
v(u)dtt=lf	E.2)
благодаря которому E.1) преобразуется в уравнение
&	со2
(u — v)% (и) = -yrF'o (и).	E.3)
Заметим, что решение этого уравнения не может быть
написано в виде
U (и) = -т? F'o (и) ——.	E.4)
Кроме того, следует установить однозначное правило,
определяющее вклад от сингулярности. Необходимо также
отметить, что для решения задачи достаточно определить
/v (и) как обобщенную функцию в смысле Шварца,
поскольку измеряемые величины являются усредненными,
вычисленными путем интегрирования по /v (и).
Используя результаты функционального анализа,
приходим к следующему соотношению:
f§^	-v), E.5)
где второй член в правой части представляет собой про-
произвольное решение соответствующего однородного урав-
уравнения]
(u-v)%(u) = 0.	E.6)
Из условия нормировки получаем
В результате находим
% [и) = -^-5* -^+ г, (и) б (u-v),	E.8)

§ 5, Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 185
Здесь мы ввели сокращенные обозначения &i и—е2 для
действительной и мнимой частей диэлектрической про-
проницаемости C.10), которая теперь может быть записана
в пределе vt = ± 0 следующим образом:
е± (й, v) = в! (A, v) + гЧ (*, v),
8^,^ = 1-^^ j -5^*1,	E.9)
В решении E.8) содержится удивительный результат,
что для любого v и для любого значения волнового числа
к можно найти собственную функцию /v (и). Спектр соб-
собственных значений уравнения Власова включает всю дей-
действительную ось. А это означает, что не существует
дисперсионного соотношения v =v(k).
5.1. Присоединенное уравнение Власова
Для решения начальной задачи мы должны разло-
разложить заданное начальное возмущение по собственным
функциям:
J(u, * = 0) = j К (v)% (и) dv.	E.10)
— оо
Так как уравнение Власова не является эрмитовым,
необходимо ввести систему функций /+, (и), ортого-
ортогональных модам Ван Кампена /v (и):
?Au)%>(u)du = C(v)8(v-v').	E.11)
Это позволяет определить коэффициенты разложения
в соответствии с формулой
1 +Г°°~
= cW J / (». « = °) ^'(W) dU-

186 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Отсюда следует, что необходимо рассматривать также
и присоединенное уравнение Власова. В общем случае
оператор ZA, присоединенный к линейному оператору L,
определяется из уравнения
htfh]dx^O.	E.13)
Из этого уравнения мы получаем, что собственные функ-
функции L и L? ортогональны:
lf2dx = O. E.14)
Оператор Власова содержит интегральный оператор
I = b(x) \ dg.	E.15)
— оо
Из равенства
/4 (х) Ъ (х) dx
— оо	—оо
= j h(x)dx j biDhl&dl	E.16)
—oo	—oo
можно легко получить оператор, присоединенный к ин-
интегральному оператору E.15), т. е.
E.17)
Таким образом, присоединенное уравнение Власова запи-
записывается в виде
2 +°°
(и - v) ft (и) - ^ J F'o (и) ft (и) du = 0. E.18)
— оо
Это уравнение является однородным и относится к тому
же типу, что и E.1); поэтому его можно решить тем же
методом, как и E.1). В частности, на функцию fl (и)
можно наложить произвольное условие нормировки,

§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 187
которое удобно выбрать следующим -образом:
I
-J- J F^u)fl(u)du=l.	E.19)
•«-00
Используя приведенную выше аргументацию, решение
уравнения E.18) запишем в виде
VM(tt-v),	E.20)
где В (v) определяется из условия нормировки как
Соотношение ортогональности E.11) может быть доказано
в самом общем виде с помощью уравнения E.14). Опре-
Определение величин С (v) отложим пока до того момента,
когда будет доказана полнота набора мод Ван Кампена.
Непосредственное вычисление С (v) провести весьма труд-
трудно, поскольку необходимо тщательно следить за тем,
чтобы не допустить изменения порядка интегрирования
в членах, содержащих произведение главных частей.
5.2. Полнота набора мод Ван Кампена
Разложение E.10) по собственным функциям можно
выполнять только тогда, когда набор функций /v (и)
является полным. Другими словами, эту задачу можно
сформулировать следующим образом: при каких усло-
условиях уравнение E.10) имеет решение для любого задан-
заданного начального возмущения / (и, t = 0)?
Будем считать, что начальное возмущение, опреде-
определенное только на действительной оси и, можно разбить
на две части: «плюс-функцию» и «минус-функцию». Плюс-
функция имеет аналитическое продолжение в верхнюю
полуплоскость комплексного переменного, а минус-функ-
минус-функция — в нижнюю полуплоскость. Такое разложение будет
единственным при условии, что f+ (оо) = 0. Тогда функ-

188 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
ция
u-z	\ /()	<0
определяет аналитические функции в соответствующих
полуплоскостях, если / (и) — интегрируемая функция.
На основании формулы Племеля в пределе zt = ± О
имеем
-f оо _
Отсюда получаем
и	E.24)
4
Теперь наложим на Fo (и) условия, которые накладыва-
накладывались на эту функцию при выводе критерия Пенроуза.
Подставляя в E.10) выражение E.8) для функции /v (w),
получаем эквивалентное соотношение
+ ОО
/(и, г = О) = ь(и)К{и)- ^-® j ^dv E.25)
— оо
или, пользуясь разложением E.24) для К(и) mj(u, t = 0),
находим
fr - 7- = ei (JC+-JL) - ie2 (JT+ + JCJ.	E.26)
Отсюда и из E.9) имеем
7+-7- = e+?+-e_JL.	E.27)
Уравнение E.27) представляет собой соотношение для
функции (ei? —/), состоящей из двух функций, анали-
аналитических на действительной оси и не имеющих скачка
на ней. Единственной функцией, удовлетворяющей ука-

§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 189
занным условиям, является константа; в нашем случае
эта константа равна нулю, т. е.
&(и) К (и) — / (и)-*-0 при|и|-*со. E.28)
Отсюда мы имеем
г±К±=7±.	E.29)
Рассмотренный метод допустим тогда и только тогда,
когда величина К± — /±/е± представляет собой плюс(ми-
нус)-функцию. А для этого необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось неравенство 8+ (z) Ф О при zt ^> 0.
Кроме того, из соотношения 8_ (z) = 8* (z) = 8+ (z*)
получаем также неравенство 8_ (z)^ 0 для zt k^ 0. Из ана-
анализа контуров G(R± Ю), проводившегося при выводе
критерия Пенроуза, ясно, что полученные неравенства
эквивалентны условию устойчивости распределения Fo (и)
в нулевом порядке. Таким образом, можно сформули-
сформулировать теорему: устойчивость функции Fo (и) означает
полноту системы собственных функций Ван Кампена
/v (и) для действительных значений v.
На следующем примере мы покажем, каким образом
можно обобщить предыдущий метод, включая неустойчи-
неустойчивые состояния. Для этого к непрерывному спектру дей-
действительных значений следует добавить набор дискретных
собственных значений, являющихся нулями функции
8± (z) соответственно для ^>0и Zt<CO. Тогда отвечаю-
отвечающие им нормированные собственные функции равны
М") = ^-^.	E-30)
Присоединенные собственные функции при этом записы-
записываются следующим образом:
Эти функции нормируются в соответствии с E.19). Нако-
Наконец, условие ортогональности изменяется вследствие
добавления суммы по дискретному спектру:
E.32)

190 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы
Рассмотрим опять только устойчивые состояния и най-
найдем нормировочную постоянную С (v), вычисляя К (v)
с помощью E.12) и сравнивая с полученным выражением
Подставляя сюда вместо /+ (и) выражения E.20) и E.21),
путем простых преобразований находим
E.34)
Это соотношение можно переписать в виде
К (v\ Яе+ (v) e-(v) Г **+(v) ^-(v) 1	/5 Я^
откуда, сравнивая с E.33), окончательно получаем
С (v) ="*B±W*.	E.36)
V ;	82(V)	V	'
5.3. Решение начальной задачи методом разложения по
собственным функциям. Сравнение с решением Ландау
Любое начальное возмущение вида E.10) развивается
во времени, согласно соотношению
+?°
/ (k, u, t) = J К (v) Д, (и) е-™ dv,	E.37)
— с»
поскольку для мод Ван Кампена временная зависимость
соответствует нормальным колебаниям.
Наибольший интерес представляет временная зави-
зависимость потенциала, который, согласно C.27), содержит
только функцию распределения первого порядка, про-
проинтегрированную по скорости и. Учитывая условие нор-

§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампеш 191
мировки мод Ван Кампена, получаем функцию
h(k, t)= \ f(k, и, t)du= \ K(v)e-ih^dv E.38)
— оо	—с»
или, подставляя сюда вместо K(v) выражение E.33),
h(k,t) = [ *-^ГМ^_М^1^	E.39)
V ; J ^ L8+ (V) 8_ (V) J	V *
— оо
Для ?>0 контур интегрирования от +оо до —оо
можно замкнуть в нижнюю v-полуплоскость. В нижней
полуплоскости функция /_/в- является регулярной, поэто-
поэтому для t > 0 мы имеем
+ ОО	~
h(k,t)= { e-^^dv.	E.40)
— оо
Для функции h (к, t) Ландау получил следующее выра-
выражение [см. D.2)]:
1 ePt~	мм	dp-
О—гоо
После подстановки р = — tco
«»+le	J Цки-to)
Напомним, что для устойчивой плазмы можно положить
а = + 0. Тогда, вводя новую переменную со = к (v + ?0),
получаем
Учитывая E.22), легко видеть, что последнее выраже-
выражение совпадает с выражением E.40). Это свидетельствует

192 Гл. В. Неравновесные состояния кулоновской системы
о полной эквивалентности решения начальной задачи
методом Ландау и методом Ван Кампена. Нет никакого
противоречия также и в том, что моды Ван Кампена
являются незатухающими и не удовлетворяют дисперси-
дисперсионному соотношению, в то время как колебания Ландау
затухают, ибо в устойчивой плазме любая физическая
функция распределения представляет собой суперпозицию
собственных функций Ван Кампена, а поэтому она зату-
затухает благодаря «перемешиванию фаз».
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Власов A. A., Journ. Phys. USSR, 9, 25 A945).
2.	Власов А, А., Теория многих частиц, ГИТТЛ, М., 1950.
3.	Penrose О., Phys. Fluids, 3, 258 A960).
4.	Denavit /., Phys. Fluids, 8, 471 A965).
5.	Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 16, 574 A946).
6.	Fried В. Z)., Conte S.D., The Plasma Dispersion Function, Acade-
Academic Press, New York, 1961.
7.	Hayes /., Phys. Fluids, 4, 1387 A961).
8.	Hayes /., Nuovo Gimento, 30, 1048 A963).
9.	Einaudi F., Sudan R. iV., Plasma Phys., 11, 359 A969).
10.	Van Kampen N. G., Physica, Utrecht, 21, 949 A955); 23, 647
A957).
11.	Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения,
изд-во «Наука», М., 1968.
12.	Jackson /. ?>., Journ. Nucl. Energy, Part С, 1, 171 A960).
13.	Saenz A. W., Rep. NRL-6125, U. S. Naval Res. Lab., Baltimore,
Maryland, 1964.
14.	Saenz A. W., Journ. Math. Phys., 6, 859 A965),
Дополнительная литература
Case К. M., Zweifel P. F., Linear Transport Theory, Addison-
Wesley, Reading, Massachusetts, 1967.
Magneto-Fluid and Plasma Dynamics (ed. H. Grad), Proc. Symp.
Appl. Math. (Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island), 18 A967).
Jackson J.D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1962.
Montgomery D., Tidman Z>., Plasma Kinetic Theory, McGraw-
Hill, New York, 1964.
Roos B. W., Analytic Functions and Distributions in Physics and
Engineering, Wiley, New York, 1969.
Stix T. #., The Theory of Plasma Waves, McGraw-Hill, New York,
1962 (см. перевод: Г. Х. Стикс, Теория плазменных волн, Гос-
атомиздат, М., 1965).
Wu Т. У., Kinetic Equations of Gases and Plasmas, Addison-
Wesley, Reading, Massachusetts, 1966.

Литература	193
К § 1
Власов А. А., ЖЭТФ, 8, 291 A938).
К § 2
Bohm ?., Gross E. P., Phys. Rev., 75, 1851, 1864 A949).
Fowler Т. К., Phys. Fluids, 4, 1393 A961).
Fowler Т. К., Journ. Nucl. Energy, Part C, 4, 391 A962).
Harrison E. #., Proc. Phys. Soc. (London), 79, 317 A962); 80,
432 A962).
Tonks L., Langmuir /., Phys. Rev., 33, 196 A929).
К § 3 и 4
Алътшулъ Л. М., Карпман В. И., ЖЭТФ, 49, 515 A965).
Backus G., Journ. Math. Phys., 1, 178 A960).
Bernstein I. В., Greene /. M., Kruskal M. D., Phys. Rev., 108,
546 A957).
Denavit /., Phys. Fluids, 9, 134 A966).
Derfler #., Simonen Т. C, Phys. Fluids, 12, 269 A969).
Drummond W. E.y Pines ?>., Nucl. Fusion Suppl., Pt. 2, 1049
A962).
Fried B. D., Gould R. W.y Phys. Fluids, 4, 139 A961).
Gary S. P., Phys. Fluids, 10, 570 A967).
Kallen G,, Intuitive Analyticity, в книге Preludes in Theoreti-
Theoretical Physics in Honor of V. F. Weisskopf (ed. A. Shalit), North-Hol-
North-Holland PubL, Amsterdam.
McGune J. ?., Phys. Fluids, 9, 2082 A966).
Taylor E. C, Phys. Fluids, 8, 2250 A965).
Turski A. J., Ann. Phys., 35, 240 A965).
Ведете А. А., Велихов Е. П., СагдеевР. 3.,|УФН, 73, 701 A961).
Weitzner Я., Phys. Fluids, 6, 1123 A963); 7, 476 A964).
Weitzner #., Comm. Pure Appl. Math., 18, 307 A965).
К §5
Case К. М., Ann. Phys. (New York), 7, 349 A959).
McGune J. E., Phys. Fluids, 9, 1788 A966).
Zelazny Л. S.y Ann. Phys., 19, 177 A962).
Van Kampen N. G., Theoretical Methods in Plasma Physics,
Wiley, New York, 1967.
13-01291

Глава 4
Неравновесные состояния кулоновской
системы с учетом корреляций между
частицами
1. ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ИЗ ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ББГКИ
1.1. Основные положения
Начнем рассмотрение опять исходя из цепочки урав-
уравнений ББГКИ [см. B.2.18)] для частных функций рас-
распределения. Поскольку нас интересуют только внутрен-
внутренние состояния кулоновской системы, мы не будем учиты-
учитывать внешние силы. В докритической области, когда
выполнено условие Л^>1, можно ограничиться случая-
случаями s<^ N. Тогда цепочка уравнений представляет собой
следующую систему:
г=1	г, k
s
= ? Jd*' J 2з*т*(". О-^/ж (¦••'', V; t)dv. (i.i)
г=1
Здесь ф (г^, гк) — потенциальная энергия взаимодей-
взаимодействия, зависящая только от расстояния | rt — rk |.
Вернемся к переменным Г-пространства (r^, v^), ко-
которые обычно используются в литературе, поскольку
различие между переменными fi-пространства (гг, г\)
и Г-пространства (r^, v^) было важно только в форма-
формализме Климонтовича.
Решение цепочки уравнений A.1) представляет собой
довольно известную проблему, ибо число неизвестных
функций на единицу больше, чем число уравнений.
Чтобы обойти эту трудность, предположим, что трех-
частичные корреляции можно выразить через парные
корреляции. Ниже мы обсудим решения, при которых
можно ограничиться двумя первыми уравнениями цепоч-
цепочки A.1), применяя разложение по малым параметрам.

§ 1, Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 195
Наряду с этим будут получены условия, при которых
кулоновскую систему с корреляциями можно прибли-
приближенно описать функциями распределения, в которых
корреляции не учитываются, т. е. парную корреляцион-
корреляционную функцию можно представить в виде (см. гл. 3) •
/а Ьп Ў«, Гл Ў*; t) =/t (*h v,; t) A (r,f \j; t). A.2)
Классификация по параметру связи и плотности
Для исследования этого вопроса целесообразно вна-
вначале рассмотреть систему, в которой закон взаимодей-
взаимодействия частиц позволяет ввести характерное значение
потенциальной энергии фс и характерную область взаи-
взаимодействия гс. Будем также считать, что функции рас-
распределения рассматриваемой системы позволяют ввести
характерное значение скорости vc. Применимость полу-
полученных здесь выводов к плазме мы рассмотрим ниже.
Пронормируем цепочку уравнений A-1) относительно
гс, vc и фс. В результате получим
д Л
г, к
s
= ПСВППЛ \ dv' \ 2 4- Ф (*ь r')-4" }•».&'. A-3)
Здесь введены следующие безразмерные переменные:
Уравнение A.3) в безразмерных переменных содержит
только два характерных параметра
Пвв = -^ и Пил = пг1	A.5)
Назовем Псв параметром связи, а Ппл — параметром
плотности. Эти параметры удобны для характеристики
метода разложения по малому параметру.
Если в качестве малого параметра взять величину
е <^ 1, то можно учесть все встречающиеся случаи различ-
13*

196 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
ных состояний, рассматривая всевозможные комбинации
следующих величин Псв и Ппл:
1)	Псв = 0(е),	1') Ппл = 0(е),
2)	Псв = 0A),	2') Ппл=0A),	A.6)
3)	Псв = 0(е-1),	3') Ът = О{гг*).
Четыре комбинации Псв и Ппл, возникающие из групп
B), C) и B'), C') соответственно, не удовлетворяют основ-
основным условиям разложения по малому параметру. Эти
четыре комбинации соответствуют критическим и над-
надкритическим состояниям, в которых имеется сильная
связь в одной или нескольких подсистемах. Такие состоя-
состояния представляют интерес в случае жидкостей и твердых
тел, но это выходит за рамки нашего рассмотрения,
поскольку мы исследуем лишь системы, находящиеся
в докритическом состоянии. Поэтому такие комбинации
параметров Псв и Ппл ниже исключаются из рассмот-
рассмотрения.
Одна из оставшихся пяти комбинаций также должна
быть исключена, поскольку, если скомбинировать пару
параметров
3) Псв = О (е-1) и 1') Ппл = О (е), A.7)
мы получаем строго парное взаимодействие, потому что
Ппл = 0 (s). Следовательно, согласно закону сохра-
сохранения энергии, значение Псв не может превышать
единицы.
Таким образом, остаются следующие четыре случая:
а)	Псв = О A), Ппл = 0 (е) разреженный газ,
б)	Псв = 0(е), Ппл = 0(е) слабая связь,	A.8)
в)	Псв = 0(е), ППЛ >• 0A) дальнодействующие силы.
Эта терминология говорит сама за себя и соответствует
той, которая была введена Фриманом [1].
Каждому случаю A.8) соответствует свое кинетическое
уравнение: разреженному газу — уравнение Болъцмана;
случаю слабой связи — уравнение Ландау — Фоккера —
Планка и случаю дальнодействующих сил — уравнение
Боголюбова — Ленарда — Балеску.

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 197
Применимость обычных кинетических приближений
к описанию плазмы
Исследование, проведенное выше, справедливо для
систем, в которых можно вводить характерную длину
взаимодействия гс и характерное значение потенциальной
энергии фс. В полностью ионизованной плазме этого сде-
сделать нельзя, поскольку взаимодействие между частицами
кулоновское. Поэтому в такой плазме не существует еди-
единых значений гс и фс, которые можно было бы использо-
использовать во всей области взаимодействия.
Однако эту трудность можно обойти, если разбить
область взаимодействия на такие три части, к каждой
из которых может быть применено одно из обычных урав-
уравнений.
Область 0 < г ^ О (rw). Здесь через rw обозначен
классический радиус взаимодействия г)
г» = -?-.	A.9)
В этой области можно ввести следующие характерные
величины:
rc = rw, фс=в, vc=[^L\	A.10)
поскольку при г <^ rw нет парных взаимодействий в силу
закона сохранения энергии, как это указывалось выше.
Отсюда следует, что
Псв=1, Ппл = ^2.	A.11)
Так как мы рассматриваем системы, находящиеся в докри-
тическом состоянии, то
^1' AЛ2)
*) В последующем разложении используется терминология
и соотношения, приведенные в приложении.

198 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
откуда получаем, что выражение для 8 в этой области
имеет вид
9 tl,	A.13)
а соответствующее кинетическое уравнение есть уравне-
уравнение Больцмана (Б).
Область О (rw) < г < О (г0). Чтобы установить пре-
пределы изменения параметров Псв и Ппл в этой области,
вычислим сначала соответствующие значения для г =
=? О (г0), где через г0 обозначено среднее расстояние меж-
между частицами, равное
Характерными величинами в этом случае являются
6 \i/2
> = го,
= —, ve=(—) ,	A.15)
которые приводят к следующим значениям параметров
связи и плотности:
1/3' Ппл = ^ = ОA).	A.16)
Исходя из значений г0 и rw, указанных выше, получаем
9	A.17)
1>ППЛ>7У
Из этих соотношений следует, что при Л^> 1 уравнения
Ландау — Фоккера — Планка (ЛФП) дают адекватное опи-
описание лишь для центральной части области rw < г <; г0,
на границе же этой области они неприменимы.
Облаешь О (г0) < г < оо. Для определения пределов
изменения параметров Псв и Ппл отметим сначала, что
при г -> оо
Псв->0, Ппд-voo.	A.18)

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 199
Используя предыдущие результаты, находим
>Псв>0, ^г<Ппл<схЭ. A.19)
Отсюда следует, что при Л ^> 1 в этой области применимо
уравнение Боголюбова —Ленарда —Балеску (БЛБ).
На фиг. 19 сплошными линиями показаны области
применимости различных кинетических уравнений.
О
	Больцман
уГакдау-Фоккер - Плат
Боголюбов-Ленард-Балеску
Фиг. 19. Область применимости трех кинетических уравне-
уравнений (см. текст).
Однако в действительности указанные приближения
справедливы и в областях, отмеченных на фиг. 19 штри-
штриховыми линиями. Это объясняется следующим образом.
Уравнение Б. Основные предпосылки приближе-
приближения Больцмана при многократных столкновениях в обла-
области значений rw < г ^ XD не нарушаются, так как они
приводят только к слабым отклонениям. Аналогично
парным взаимодействиям многократные столкновения не-
независимо можно учесть с помощью линейной теории.
Поэтому больцмановское приближение справедливо
вплоть до г = О(Хъ).
Уравнение БЛБ. В методике Боголюбова —
Ленарда —Балеску, которая справедлива до гмин = г0,
проводится точный учет коллективных эффектов экрани-
экранирования. Существенным ограничением данной методики
является тот факт, что в ней рассматриваются лишь
взаимодействия, приводящие к слабым отклонениям, а это
условие нарушается только для г < rw. Поэтому при-
приближение Боголюбова — Ленарда — Балеску дает пра-

200 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
вильное описание и может быть применено вплоть до
'"мин == rw»
Уравнение ЛФП. Ландау в своей работе [16]
утверждал, что его рассмотрение без учета экранировки
может и должно быть справедливым вплоть до г = О (A,D).
Ниже (см. п. 1.4), основываясь на уравнении Боголюбо-
Боголюбова — Ленарда — Балеску, мы покажем, что утверждение
Ландау было правильным.
Из фиг. 19 можно сделать заключение, что ни одно
из трех указанных уравнений не в состоянии описать
плазму во всей области взаимодействия. Вообще говоря,
это заключение правильное. Однако ниже будет показано,
что отдельные области взаимодействия дают всегда
пренебрежимо малый вклад, поэтому наши выводы
несколько изменятся.
Покажем, что вклад от областей 0 ^ г ^ rw и %¦& ^
^ г < оо пренебрежимо мал по сравнению с вкладом
от области rw ^ г ^ XD.
Чтобы доказать это утверждение, перепишем первые
два уравнения цепочки A.1)
dfi I- e /V\ dfi
/dfi\	N д Г , f дф (г4, Tj) <	^ ,
\ dt /столки m dVi J J J drx 6in 1} 7' i> 7» / J
A.20)
и
d
-4 J *- J (Hg

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 201
Здесь использовано представление /2 и /3 через корре-
корреляционные функции g:
/2 (ri> r2> vi> v2; t) = Л (г4, v4; t) Д (r2, v2; t) +gi2
и	A.22)
/s (Г1> • • •» V3; 0 = /l/l/l + /l#23 + /lgl3
В уравнении A.20) (E) является самосогласованным
полем в приближении Власова. Теперь используем тот
факт, что во всех трех обычных методах кинетического
приближения, рассматриваемых до сих пор, пренебрега-
лось тройной корреляционной функцией g123, поэтому
в A.21) можно опустить последний член. Далее, введем
безразмерные переменные A.4) в уравнение A.21) и полу-
получим, что для всех комбинаций рассматриваемых парамет-
параметров разложения выполняется соотношение
git = О (ПевДА).	A.23)
Так как корреляции] обусловлены взаимодействием, это
соотношение физически разумно. Подставляя его в A.20),
получаем уравнение, являющееся основным для даль-
дальнейших оценок:
(Чг) =О(— Мгь vi; f) [dr2x
\ Ot /столкн	\ mvc J1 v 1? a> ' J *
У j^fnCBA(r2, va;*)dv8). A.24)
Используя условие нормировки
i(r2,v2; t)dv2 = ±-	A.25)
и переходя к относительным координатам г = | гх — г2 |,
получаем
Ь (^ПсвЧг) . A.26)
столкн	\vcmJ1 J дг	)	v ;
0
Разобьем область интегрирования в A.26) на три части,
соответствующие трем областям Б, ЛФП и БЛБ, опре-

202 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
деленным выше. Тогда можно записать
(ТГ) = °Ксв + слфп + Свлб) /i]. A.27)
\ 01 /СТОЛКН
Оценим величину этих коэффициентов.
Область Б. г ^.0 (rw). Основной вклад в интеграл
A.26) дает область вблизи rw, поэтому на основании A.11)
можно подставить в интеграл значение Псв = 1. В ре-
результате получим
rw
СБ = О (?- j -J г* dr) = О (мЛ),	A-28)
о
или
где сор — плазменная частота системы. Св характеризует
порядок величины больцмановского корреляционного чле-
члена в области Б.
Облаешь БЛБ. r^O (XD). Вследствие того что дебаев-
ское экранирование уменьшается по экспоненциальному
закону, главный вклад в интеграл дает область вблизи
A,D, поэтому можно считать, что Псв = Л. Оценка вели-
величины A.26) в данной области приводит к
I —
, rnvc J	г2	Л
ИЛИ
Сблб = О ( —
Это означает, что в области БЛБ корреляционный член
в уравнении Боголюбова — Ленарда — Балеску по поряд-
порядку величины равен корреляционному члену в уравнении
Больцмана для области Б.
Область ЛФП. О (rw) < г < О (A,D). В этой области
параметр связи имеет порядок
A.32)

§ 1, Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 203
Отсюда находим порядок величины корреляционного чле-
члена в уравнении Ландау — Фоккера — Планка в области
ЛФП:
\ mvc J г2 гв
rw
rw
ИЛИ
A.34)
Оценка этой величины отличается от оценок соответ-
соответствующих вкладов в областях Б и БЛБ на множитель
1пЛ.
Из соотношений A.29), A.31) и A.34) очевидно, что
если выполнено условие
1пЛ>1,	A.35)
то основное влияние на функцию распределения оказывают
соударения, приводящие к слабым отклонениям в обла-
области rw < г < Xj). Ниже мы будем предполагать, что
условие A.35), которое значительно строже условия
Л^> 1, выполняется. Таким образом, сделанное выше
утверждение доказано.
Выводы
На основании фиг. 19 и проведенных выше оценок
можно сделать вывод, что каждое из трех указанных кине-
кинетических уравнений дает полное описание плазмы
с точностью
1пЛ>1
при условии, что области, в которых данное приближение
неприменимо, будут исключены соответствующим выбо-
выбором границ таких областей, а именно:
область Б
область ЛФП
область БЛБ
Важно отметить, что вышеуказанные методы можно
скомбинировать таким образом, что для устранения рас-

204 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
ходимости не потребуется введения соответствующих
пределов интегрирования. Символически такая комби-
комбинация может быть записана в виде
A.36)
Интерпретация этого метода очень простая.
В области г <irw члены столкновений Ландау — Фок-
кера — Планка (/дфп) и Боголюбова — Ленарда — Ба-
леску (/блб) взаимно сокращаются, точное же описание
системы дает член столкновений Больцмана (/в).
В области rw ^ r ^ Xjy все три члена совпадают,
поэтому рассматривается вклад только от одного из них.
Наконец, в области г > Х& взаимно сокращаются
члены столкновений Больцмана и Ландау — Фоккера —
Планка; остающийся член столкновений Боголюбова —
Ленарда — Балеску точно описывает столкновения в этой
области и не имеет расходимости.
Уравнения такого типа, как уравнение A.36), были
получены различными авторами [2—5].
1.2. Уравнение Больцмана
Вывод уравнения Больцмана иг цепочки уравнений ББГКИ
Уравнение Больцмана для разреженной системы
частиц с короткодействующими силами может быть полу-
получено различными путями. Для последовательности изло-
изложения выведем это уравнение из цепочки уравнений
ББГКИ.
Учитывая, что
Псв =О{\), Ппл =0(8)<1,	A.37)
и пренебрегая снова внешними силами, запишем два
первых уравнения цепочки в виде
ж +^й;= -4?- jтг/.<'.r" vb v- 0**. A-38)

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ВБГКЙ 205
v=l
Здесь введена относительная координата г = г2 — г±.
Заметим, что в левой части уравнения A.39) содержатся
члены, совпадающие с подынтегральным выражением
в правой части A.38).
Чтобы исключить эти члены, проинтегрируем A.39)
по v2 и г. Если ограничиться слагаемыми, линейными
по ППл> то можно пренебречь членами, стоящими в пра-
правой части уравнения. Применяя теорему Гаусса для ин-
интегрирования по скорости, получаем
Введем теперь область взаимодействия первой частицы
с s-й частицей
Д? = {Р.||г.-г1|<а}	A.41)
и область, дополнительную к данной, в конфигурацион-
конфигурационном уз-пространстве >й частицы
D°B = {rs |,rs-r1|>a} = Vs- Dl	A.42)
Через а здесь обозначена область взаимодействия a ^ гс.
Далее, определим укороченную функцию распределения
порядка s:
dr
s+1
dvs+1 ... J fNdvNdvN. A.43)

206 Рл. 4. Неравное, состояния Нулон. сист. с учетом корреляций
Из A.42) и A.43) получаем
а	f л
J
+ -s- \ drs+1dvs+1 \ drs+2 d\s+2fs+2	Ь-... A.44)
^ J	j
Так как в приближении Больцмана пренебрегается
функцией /3, то выражения для первых двух укорочен-
укороченных функций распределения имеют вид
ft = /i-N J rfr2 dv2/2, /2° = /a.	A.45)
Укороченная функция распределения /f дает плотность
вероятности найти частицы 1, 2, . , ., s в положениях
г4, . . ., ys при условии, что ни одна из частиц 5 + 1, ...
. . ., N не находится в области взаимодействия первой
частицы. Отметим, что /?(г4, v4; t) представляет собой
плотность вероятности найти частицу 1 с координатами
Г! и vi, которая не взаимодействует ни с одной из других
частиц. Заметим также, что, поскольку мы выделили
частицу 1 среди остальных частиц, симметрия функции
/J относительно координат нарушается.
Вводя укороченные функции распределения в урав-
уравнения A.38) и A.40), получаем
A.46)
или, применяя теорему Гаусса,
2 (Г, Г15 . ..)(V2 — V!)dS,
A.47)
где S является поверхностью сферы D%. Это уравнение
представляет собой второе уравнение Грэда, получен-

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 20?
ное из цепочки уравнений ББГКИ. Как показал Грэд
[6], это уравнение является точным и может быть полу-
получено даже, если не пренебрегать функцией /3.
В приближении Больцмана, когда Ппл<^1, можно
считать, что функция /J совпадает с /2. В результате полу-
получаем уравнение
dJ±
dt
A.48)
Это еще не уравнение Больцмана, но оно существенно
отличается от исходного общего соотношения, прибли-
приближаясь к уравнению боль-
цмановского типа.
В общем случае пред-
предполагается, что корреляци-
корреляционный член учитывает
плавное изменение числа
частиц, находящихся в за-
заданном состоянии в ре-
результате непрерывного
влияния сил взаимодейст-
взаимодействия. Однако в A.48) изме-
изменение числа свободных
частиц (не взаимодейст-
взаимодействующих с другими) опре-
определяется в виде разности
числа пар частиц, входя-
входящих в сферу взаимодей-
взаимодействия (уменьшение свобод-
свободных частиц), и числа пар
частиц, покидающих сферу
взаимодействия (увеличе-
(увеличение свободных частиц). Это
обусловлено применяемым здесь методом укороченных
функций распределения и разложением по параметру Ппл-
Чтобы привести уравнение A.48) к виду уравнения
Больцмана, введем полярные координаты (Ь, ф) в диамет-
диаметральной плоскости (фиг. 20) сферы S, перпендикулярной
вектору относительной скорости g = v2 — v4. При таком
описании сфера проецируется на диск С. Так как сфера
Фиг. 20. Сфера столкновений
для заданных прицельных пара-
параметров.

208 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
проецируется на диск С с двух сторон, необходимо разли-
различать две полусферы:
Полусферы S± относятся соответственно к удаляющимся
и приближающимся частицам (см. фиг. 20).
Поэтому уравнение A.48) можно переписать в виде
-/а (Г, ...)]Ар- A.50)
Функция /2 (г*, r4, Vi, v2; 0 пока еще не известна.
До сих пор мы пользовались условием
ППл<1.	A.51)
Из этого условия можно сделать еще одно заключение.
Малость этого параметра служит основанием того, что
можно ограничиться только парными столкновениями.
Поэтому каждая такая система, состоящая из пары частиц,
может рассматриваться как замкнутая, к которой приме-
применим закон Лиувилля в виде
/2 (г", г4, v;, v;; f) =/я (r+, г4, v4, v2; t). A.52)
Здесь штрихом обозначены величины до столкновения,
а через r+, v4, v2, t — соответствующие величины после
столкновения.
Введем еще два ограничения. Первое из них состоит
в том, что
cr<L, илиа<ус77,	A.53)
т. е. характерная длина L и характерное время Т изме-
изменения функции /2 велики по сравнению с длиной взаимо-
взаимодействия и временем взаимодействия. Если это условие
выполнено, мы можем записать
/2 (г-', r1? v;, v;-, t') =/2 (rt, r4, v;, Ў;-, t),
h (r+. ri» vi» v2; t) =/a (r4, r4, v4, v2; t).

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ВЕТКИ 209
Второе ограничение заключается в том, что на поверх-
поверхности 5" до начала столкновения частицы находятся
в молекулярном беспорядке, т. е. выполняются равенства
U (ri> *1* vi> v2; О = Л (rl9 v4; 0 A (rlf v2; t),
/2 (r4, rl7 v;, \'2; t) =ft (ru \[; t) fi (rj, vj; t).
Исходя из указанных ограничений, нарушающих об-
обратимость кинетического уравнения, получаем уравнение
Болъцмана
—/i(ri, vf; 0/i(ri, v2; t)] gb db dy dv2. A.56)
Другой способ получения уравнения Волъцмана
из уравнения Лиувилля
Уравнение Больцмана, приведенное выше, было полу-
получено методом Грэда [6]. Можно вывести уравнение Больц-
Больцмана из уравнения Лиувилля, причем в основном здесь
используются различные приближения. По-видимому,
впервые серьезные математические попытки в этом на-
направлении предпринял Кирквуд [7]. Основным в прибли-
приближении Кирквуда является предположение о сглаживании
всех процессов во времени, которое по существу приводит
к тому же самому эффекту, что и введение Трэдом укоро-
укороченных функций распределения. Кроме того, в резуль-
результате такого предположения получается уравнение, в кото-
котором учитываются только ближние столкновения. Конеч-
Конечно, в качестве основного допущения в приближении Кирк-
Кирквуда используется также и предположение о молекуляр-
молекулярном беспорядке.
В методе, предложенном Боголюбовым [8], уравнение
Больцмана получается как первый член общего разложе-
разложения. Основная идея метода Боголюбова заключается
в утверждении, что функции распределения более высо-
высокого порядка fs зависят от времени только через функцию
распределения первого порядка. Чтобы это утверждение
было справедливым, функция распределения s частиц,
которые находятся в достаточно перемешанном состоя-
состоянии, должна удовлетворять следующему соотношению:
14-01291

210 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
fs (*i, Vi» • • •» rs, v«) = /i (r4, Vi) . . . U (***> Ў«) и любая
функция распределения более высокого порядка при обра-
обращении времени должна автоматически достигать такого
состояния перемешивания.
Грин [9] использовал приближение, аналогичное мето-
методу Боголюбова. Имеются также другие выводы уравнения
Больцмана, в которых вместо уравнения Лиувилля исход-
исходным уравнением является так называемое основное урав-
уравнение. В классической области уравнение Больцмана,
например, было получено Проутом [10] и Проутом и При-
гожиным [11]. Поскольку обсуждение общих свойств урав-
уравнения Больцмана не является целью настоящего исследо-
исследования, читателя, интересующегося этим вопросом, мы от-
отсылаем к статье Грэда [6], в которой дано его полное рас-
рассмотрение.
Приближение, используемое Болъцманом [12]
В противоположность всем приведенным выше выводам
больцмановского уравнения Больцман в своем оригиналь-
оригинальном исследовании рассматривал однокомпонентную систе-
систему. Для того чтобы иметь возможность в последующем
использовать идеи гл. 2, запишем плотность распределе-
распределения в виде, данном Климонтовичем [см. B.1.1)]:
F(r, v; *) = Зв(г-г,@)в(у-у,(9). A.57)
г
Пренебрегая для простоты внешними силами, имеем
где через К обозначаются все внутренние силы взаимо-
взаимодействия. Однако истинная плотность распределения F
не рассматривалась Больцманом. Более того, он исполь-
использовал среднюю плотность числа частиц, получающуюся
в результате усреднения по времени и [х-пространству, т. е
dt „	,. спч
После соответствующего разбиения всего [i-пространства
на элементы Д|л, а времени на интервалы АГ в результате

§ i. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ВБРКЙ 211
усреднения A.59) получаем /Б в виде ступенчатой функ-
функции. Очевидно, чтобы это определение средней плотности
имело смысл, должно выполняться следующее условие:
А/б</б,	A.60)
где А/б — приращение функции /Б. Если это условие
выполнено, то ступенчатую функцию можно заменить
непрерывной. Далее во избежание сильных отклонений
от средних величин необходимо потребовать, чтобы
A.61)
Учитывая указанные требования, уравнение A.58) можно
записать в виде
лки	v '
dt ' дг \ bt
Здесь член, стоящий в правой части, определяется корре-
корреляциями.
В действительности основная заслуга Больцмана
заключается в получении приближенной функциональной
зависимости корреляционного члена от /Б в разреженном
газе на основании концепции ближних столкновений.
Болъцмановская концепция ближних столкновений
включает несколько постулатов:
1.	Взаимодействия являются короткими, сильными
и редкими Шсв =0A), ППл<С11- Это означает, что:
а) можно пренебречь корреляциями более высокого
порядка; б) парные взаимодействия длятся в течение
очень короткого времени по сравнению со временем сво-
свободного пробега, так что в любые интервалы времени все
частицы являются практически невзаимодействующими;
в) можно учесть эффект корреляции, если принять во вни-
внимание, что столкновения ближние.
2.	Если Т и L — характерные время и длина измене-
изменения /б в конвективном ^-пространстве, то выполняются
неравенства
Г>тс и ?>ЯС,	A.63)
где тс есть среднее время между столкновениями, а %с —
средняя длина свободного пробега.
14*

212 Рл. 4. Неравное, состояния пулон. сист. с учетом корреляций
3. Если на основании первого постулата ввести коор-
координаты взаимодействующих пар частиц до и после столк-
столкновения, то координаты пар частиц до столкновения
являются стохастически независимыми (молекулярный
беспорядок).
Исходя из указанных постулатов и фиг. 20, легко
видеть, что столкновительный член {$fi/bt)CT0J1Kll можно
представить, согласно правой части A.56), как разность
членов, один из которых учитывает возникновение состоя-
состояния с т± и vi, а другой — разрушение этого состояния.
Особенного внимания заслуживает тот факт, что
в принципе результат Больцмана сильно отличается от
уравнения A.56), полученного из цепочки ББГКИ. Уже
по своему смыслу функции /4 отличаются в том и другом
случае. Такое отличие находит отображение также в усло-
условиях A.60) и A.61), которые, если они нарушаются, могут
сделать уравнение Больцмана недействительным или,
более точно, сделать его неприменимым к одночастичной
системе. Эти интересные проблемы и следствия из них
с точки зрения экспериментальной проверки изучались
различными авторами [13, 14].
1.3. Уравнение Ландау — Фоккера — Планка
Уравнение Ландау со слабой связью
Согласно приведенной классификации A.8), уравнение
Ландау характеризуется следующей величиной парамет-
параметров связи и плотности:
Псв -О(е), Ппл = 0(в).	A.64)
Сравнивая эти соотношения с основными условиями A.37)
для уравнения Больцмана, мы напомним, что уравнение
Ландау можно получить из разложения уравнения Больц-
Больцмана для предельного случая слабого взаимодействия.
Такое разложение хорошо известно (см., например, [15]).
Однако, не нарушая общую линию настоящего изложе-
изложения, выведем уравнение Ландау непосредственно из цепоч-
цепочки уравнений ББГКИ. Это также обусловлено тем, что
в последующем выводе уравнения Ленарда — Балеску мы
будем исходить из такого приближения.

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 213
Используя разложение A.22) и пренебрегая, как
всегда, корреляционными функциями третьего порядка,
можно первые два уравнения цепочки A.20) и A.21) пере-
переписать в виде х)
dh
dt
и
д
— J (^•^f^3 + ^-^r3^)dr3dvs. A.66)
Здесь по-прежнему не учитываются внешние силы. Кроме
того, в этих уравнениях пренебрегается влиянием само-
самосогласованного поля на поток в пространстве скоростей,
что дает возможность отбросить третий член в левой
части уравнения A.20) и четвертый и шестой члены в ле-
левой части уравнения A.21). Очевидно, что для однородной
системы такая процедура выполняется точно. Неоднород-
Неоднородность системы можно считать допустимой, если соответ-
соответствующее самосогласованное поле мало по сравнению
со средним корреляционным полем.
Следует подчеркнуть, что малую пространственную
зависимость /d в A.65), A.66) и последующих формулах
следует понимать в указанном выше смысле.
Как и в случае уравнения Больцмана, мы стремимся
исключить член gi2 из A.65) с помощью уравнения A.66).
Теперь вспомним, что в безразмерном представлении A.4)
первый член в правой части A.66) пропорционален Псв,
а второй — произведению ПСВППЛ. Следовательно, вто-
вторым членом в A.66) можно пренебречь, как членом более
высокого порядка малости [см. A.64)].
х) Хотя используются частные функции распределения, но
в силу основного предположения, данного на стр. 126, эффект от
всех полевых частиц, представленный правой частью уравнения,
записывается в виде произведения N на эффект только от одной
полевой частицы с координатами (r2? v2).

214 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Физически это означает, что пренебрегается взаимо-
взаимодействием полевой частицы с третьей частицей, находя-
находящейся вблизи пробной частицы, что приводит к ослабле-
ослаблению механизма экранирования.
Учитывая A.23), пренебрежем также членом gi2 в пра-
правой части A.66). Тогда мы получим уравнение в частных
производных относительно функции gl2:
д , д , д
A.67)
Это уравнение можно переписать в виде
При интегрировании вдоль прямолинейных траекторий
второй член в правой части уравнения A.68) дает нуль.
Однако, используя приближенное интегрирование вдоль
прямолинейных траекторий, следует помнить, что пере-
переменные rt и \г связаны законом Ньютона. Из оценки вели-
величины
h<*v; *>**
можно показать, что относительная ошибка при таком
приближенном интегрировании вдоль прямолинейных
траекторий порядка Псв. Обозначая оставшиеся члены
в правой части уравнения A.68) через
i (rb v4; t) ft (r2, v2; t), A.71)
после интегрирования получаем
t
?i2(...; t)= ( 4(...; O*' + ^i2(..»; -°°)f (i-72)

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 215
Коррелированное состояние, соответствующее време-
времени t, получается из некоррелированного состояния
#12 (• • • » —°°) = 0 при t = —оо.
Предполагая, что изменением функции Д на длине
взаимодействия rc (L ^> гс) можно пренебречь, получаем,
что подынтегральное выражение зависит только от отно-
относительного расстояния между частицами. Вводя новую
переменную т = t — t', находим
fiTiz A г± — г2|, vt, v2; t) =
J Л(г!@ —v4t, r2(^)-v2T, vb v2; t — %)d%. A.73)
b
Определяя поток J в пространстве скоростей как
( Ж )столкн = ~ оЧх Ф J'	^ *74)
из формул A.65), A.71) и A.73) находим
. A-75)
Используя разложение
[/i(ri, vi5 0 /i (ri, v2; «)]*
и подставляя его в выражение A.75), получаем уравнение
Ландау с запаздыванием.
Если функция распределения заметно не изменяется
в течение времени взаимодействия (Т^> tc), можно огра-
ограничиться первым членом разложения A.76), т. е. пре-
пренебречь запаздыванием в системе. В результате мы полу-
получим
Т AT I е \2 Г /ХЛ Л7\ / 4 Л, лг • Л dfi (ГЬ V^; *)
J= — ^\"^j J <Е)(Е) (/(r V2 0

216 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Здесь коэффициент ( Е)(Е )Гя определяется выраже-
выражением
E[r12])(E[r12-v12T]dt, A.78)
a E является кулоновским полем.
Тензор ( Е)(Е )Г2 представляет собой автокорреля-
автокорреляционный тензор второго порядка, зависящий от v4 и v2
и вычисленный в приближении прямолинейных траекто-
траекторий. Индекс г2 указывает, что усреднение проводится
только по г2.
Уравнения A.74) и A.77) вместе представляют собой
уравнение Ландау, хотя в них не приводятся еще точные
значения автокорреляционных функций поля. Уравнение
Ландау в виде, приведенном здесь, соответствует урав-
уравнению Больцмана для слабых взаимодействий [см. A.8)].
Поэтому интересно отметить, что при его выводе мы
вынуждены были сделать те же самые основные допу-
допущения. Действительно, условие gi2 (. . .; —оо) = 0 соответ-
соответствует предположению Больцмана о начальном моле-
молекулярном беспорядке. Условия A.53) для пространствен-
пространственной и временной зависимости функции распределения
отражаются здесь в требованиях L ^> гс и Г > tc.
Вычисление корреляционных функций поля
Это вычисление представляет собой геометрическую
задачу. Для ее решения удобно выбрать цилиндрическую
систему координат с осью z, направленной вдоль вектора
относительной скорости g = v2 — vt. Радиальную коор-
координату мы вновь обозначим через Ъ (см. стр. 207).
В этой системе координат поле выражается следующим
образом:
A.79)

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. БВГКИ 217
При этом корреляционный тензор записывается как
Е |0)(E|t= e*{[b* + z*) [&» + (z_gTJ]}-s/2 x
(Ь2 cos2 ф b2 sin ф cos ф (z — gx) b cos ф\
Ь2зтфсо8ф &2вт2ф (z— grj&sincp], A.80)
• bz cos ф	bz sin ф	z(z — gx) )
а элемент объема как
dr2 =*dzbdbdy.	A.81)
Что касается пределов интегрирования по прицельному
параметру &, вспомним обсуждение области применимо-
применимости метода Ландау — Фоккера — Планка, которое при-
привело к значениям &мин = rw и ЬМакс = ^d- (Точное дока-
доказательство пределов применимости этого метода будет
дано в п. 1.4 в связи с выводом уравнения Боголюбова —
Ленарда — Балеску.) Интегрирование по углу q> в A.80)
тривиально и дает для недиагональных членов значение,
равное нулю. Интегрирование по ъ дает для члена Azz
тоже нулевое значение вследствие соотношения симметрии
оо	оо
{ А„ (-z, gx) dx=-\ Azz (z, gx) dx. A.82)
о	о
Члены Ахх nip интегрируются элементарно, так что
корреляционные функции поля принимают вид
1 0 0\
1 О),	A.83)
\0 0 0
или
(Е)(Е)Г2= 2я.2 (i|f) (gl-g)(g),	A.84)
где через I обозначается единичный тензор. Подставляя
2
этот результат и выражение A.77) в A.74), получаем
окончательный вид уравнения Ландау [16]
(гь v2, t) ¦	щ	/i (г4, Vi, г)	^
A,85)

218 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Уравнение Ландау является кинетическим уравне-
уравнением для случая слабого взаимодействия, не учитываю-
учитывающего эффекты экранирования. Интересно из цепочки
уравнений ББГКИ получить эквивалентное уравнение
Фоккера — Планка. Это можно сделать, исходя из A.77)
и связывая корреляционные функции поля с коэффи-
коэффициентами переноса в пространстве скоростей.
Связь корреляционных функций поля
с коэффициентами переноса в пространстве скоростей
В последующем изложении мы используем два первых
момента изменения скорости в единицу времени: коэффи-
коэффициент динамического трения
(j)	A.86)
и коэффициент диффузии в пространстве скоростей
J
A.87)
Здесь Е — полное поле, действующее на рассматривае-
рассматриваемую частицу 1; скобки () означают усреднение по фазо-
фазовым координатам всех остальных частиц; тс — среднее
время свободного пробега, которое пропорционально вели-
величине ТрЛ/lnA [см. C.1.7)].
Удобно рассмотреть сначала коэффициенты диффузии
в пространстве скоростей. Простая замена переменной
Г = ? + х в A.87) дает *
= 4-(^) \dt' ] (E|r)(E|r+T)dt, A.88)
с	о	*'
]
где подынтегральное выражение представляет собой авто"
корреляционную функцию поля. Оценим A.88), исполь"
зуя два приближения, которые уже применялись ранее-

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. БВГКИ 219
а)	Взаимодействия на расстояниях, больших гс, не
дают вклада в интеграл, так что существует максимальное
время tc = rc/vc, в течение которого могут взаимодей-
взаимодействовать частицы, причем
< Е |Г)(Е |г+т ) = 0 для т > tc. A.89)
б)	Изменения fi малы в смысле, указанном выше,
т. е. /4 (t — т) « /i (?), когда использовалось «приближе-
«приближение в отсутствие запаздывания». Точнее говоря, если Т
есть характерное время изменения Д, то условие Т^> te
приводит к тому, что ( Е | *')(Е] |г+т>3 не зависит от i
для f < Г. Отсюда следует, что
j <E|o)(E|,)dT =
|т|<«с
= 2(^-J j(E|0)(E|T)dT. A.90)
о
В этом выражении поле Е представляет собой линейную
суперпозицию кулоновских полей всех частиц. Так как
в методе Ландау предполагается, что тождественные поле-
полевые частицы не коррелируют между собой, коэффициент
диффузии в пространстве скоростей A.90) может быть
записан как сумма N средних полей, возникающих при
парных взаимодействиях, т. е.
(Av1)(Av1) = 2N (^J J (EJOEWi (rb v2; t) dv2. A.91)
Здесь мы использовали выражение A.78).
Рассмотрим теперь коэффициент динамического трения
Тс
j	A-92)
в котором подынтегральное выражение можно записать
в виде
v г
Е [г12 @1 - Е [г1210 + g |о V - 2 ±- J dtT j E [r12 (Г)] dt'"] .
о о
A.93)

220 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Поскольку мы ограничиваемся случаем слабых взаи-
взаимодействий, приводящих только к малым отклонениям
от прямолинейного пути, то имеем
V	V
т\щР,,йГ, A.94)
о
или, интегрируя по частям,
V
^-?L/2^((^-OEk^ A.95)
Первый член, стоящий в правой части этого равенства
(возникающий в приближении прямолинейных траекто-
траекторий), не дает вклада в среднее значение коэффициента
динамического трения A.92). Поэтому получаем
[о
Вводя новую переменную %=t' — t", находим
о о
или, усредняя по значениям г
f
о
Так как, согласно общему предположению, отношение
%Jtc ж Л/ln Л ^> 1, окончательно получаем
I1-")

§ 1. Вывод кинет, уравнений из Цепочки уравн. ВВРКЙ 221
что приводит к важному соотношению между коэффи-
коэффициентом динамического трения и коэффициентом диффу-
диффузии в пространстве скоростей:
^	A.100)
Уравнение Фоккера — Планка для слабого взаимодействия
С помощью соотношений A.91) и A.100) легко преобра-
преобразовать уравнение Ландау для слабого взаимодействия
к уравнению Фоккера — Планка. С этой целью в урав-
уравнения A.74) и A.77) подставим выражение A.91) и в ре-
результате получим
-ЛГ (-1-J j <Е)(Е>„/, (г„ V,; !)¦ °UO±2L&dr,] . A.101)
/
Интегрирование по' частям и использование выражения
A.91) дает
Отсюда, учитывая A.100), находим
Это уравнение является уравнением] Фоккера— Планка
для.слабого взаимодействия. Впервые полученное Фок-
кером и Планком для случая броуновского движения
больших молекул [17, 18], оно в общем случае описывает
движение частиц, испытывающих большое число слабых
отклонений.
Приведенный выше вывод уравнения Фоккера —
Планка не совпадает с выводом, данным самими автора-
авторами. Следуя общей линии нашего изложения, мы получили

222 Гл. 4. Неравное, состояния НулОн. сист. с учетом корреляций
это уравнение из цепочки уравнений ББГКИ для част-
частных значений параметров Псв = О (е) и Ппл = О (г).
Кроме того, мы использовали приближение парных столк-
столкновений, интегрирование по прямолинейным траекто-
траекториям и приближение в отсутствие запаздывания.
Для сравнения ниже приведем другой вывод урав-
уравнения, данный Чандрасекаром [19], который является
более коротким и не требует приближения парных столк-
столкновений, интегрирования по прямолинейным траекто-
траекториям и отсутствия запаздывания. Но при этом, как мы
увидим из дальнейшего, уравнение не будет содержать
всей той информации, которая была получена выше. Будем
исходить из основного уравнения Чепмена — Колмого-
Колмогорова для марковских процессов
/(v; t + At) = j /(v-Av; t)PAt{\-Ay, Av)dAv. A.104)
Здесь функция / есть одночастичная функция распределе-
распределения однородной системы в отсутствие внешних сил. Через
PAt (v, Av) обозначена вероятность того, что частица,
которая в момент времени t имела скорость v, за интервал
времени At изменит свою скорость на величину Av. Рас-
Раскладывая подынтегральное выражение A.104) в следую-
следующий ряд:
/ (v — Av; t) PAt (v — Av, Av) =
= / (v; t) PAt (v, Av) - Av.-^ (fPAt) +
из A.104) получаем
При этом были использованы следующие соотношения:
1 1 f 1
Av \PAtdbv=i At (Ay) \. A.107)
.Av)(AvJ	1J

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ЁВГКИ 223
Для At-+Q уравнение A.106) представляет собой урав-
уравнение Фоккера — Планка A.103). В этом выводе мы
использовали только два предположения, считая рас-
рассматриваемые процессы марковскими, а отклонения сла-
слабыми. Однако мы не употребили приближения парных
взаимодействий, интегрирования по прямолинейным тра-
траекториям и т. д.
Тем не менее вывод уравнения Фоккера — Планка
из основного уравнения Чепмена — Колмогорова фор-
формально сохраняет свою большую общность только до тех
пор, пока мы не интересуемся конкретным вычислением
коэффициентов переноса. Приступая к таким вычисле-
вычислениям, приходится делать те же самые упрощения, о кото-
которых говорится выше. Сравнивая уравнение A.85) с урав-
уравнением Фоккера — Планка, можно записать коэффи-
коэффициент диффузии в виде
v2;
/l(ri, y2;t)dv2, A.108)
а коэффициент динамического трения как
2. AЛ09)
Выражения A.108) и A.109) были впервые получены
Розенблютом, Макдональдом и Джадом [20].
1.4. Уравнение Боголюбова — Ленарда — Балеску
Как и выше, начнем исследование с оценки кинетиче-
кинетических параметров, основываясь на комбинации A.8):
Пев' = <Э(б), П„л > 0A).	A.110)
Это означает, что имеется слабая связь, как и в случае
уравнения Ландау — Фоккера — Планка, но теперь мы
можем рассматривать не только парные столкновения.

224 Гл. 4. Неравное, состояния пулон. сист. с учетом корреляций
Итак, воспользуемся в настоящем исследовании резуль-
результатами, приведенными в разд. 1.3 вплоть до того места,
где пренебрегается вторым членом в правой части урав-
уравнения A.66) как величиной более высокого порядка мало-
малости. Поскольку в данном случае параметр Ппл^0A),
такое пренебрежение уже больше несправедливо и сле-
следует учесть эффект парного взаимодействия третьей ча-
частицы с пробной (г4, \i) и полевой (r2, v2) частицами.
В результате система уравнений запишется в виде
gi2(t)= \ А (г4 — VtT, r2 —v2t, v4, v2; ? — т) dt +
oo	oo
-ft \ Bi(ri — Vit, v4; ? — тЫт-f- \ Б2 (r2 — v2t, v2; ^ — %)d%.
J	J
о	о
A.112)
Здесь А определяется, как и прежде, выражением
А (г4, r2, vi, v2; ^) =
a ?v — выражением
5v(rv, vVI O = ^j^3ja/l(y;O-^fga(a-v>rfv3, A.114)
где v — 1,2.
Чтобы найти g12, нужно решить уравнение A.112).
При этом проблема состоит в том, что приходится решать
интегральное уравнение, в котором взаимодействие поле-
полевой частицы с пробной учитывается функцией А, а изме-
изменение этого взаимодействия из-за наличия третьей части-
частицы — функциями Bi и В2.
Как и выше, предположим, что
fc = -jL<Z\ rc<^L.	A.115)

§ 1, Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ВЁГКЙ 225
Поэтому можно воспользоваться следующими соотноше-
соотношениями:
/ (* - т) « / (*),
Далее, будем считать (следуя Боголюбову [8]), что за
время изменения функции /4 функция gi2 является квази-
квазистационарной, так что gl2 зависит от времени только функ-
функционально через /4. Подробно на этом вопросе мы оста-
остановимся при рассмотрении многовременного формализма
Боголюбова. Исходя из сделанных предположений, запи-
запишем интегральное уравнение A.112) в виде
gl2 = К (г12, vi2) • [^ — -^-J / (ri, v4; t) f± (г2, v2; Q +
J dp К (r12 — p, v12) •
#23 ( — P» V2^ V3)	^	giS (p, Vi, V8)
A.117)
с ядром
oo
)	J ^()d где YU = vt-Yj.
= — J -^
A.118)
При получении A.117) мы заменили переменные интегри-
интегрирования в первом и втором членах, 5* и 52, следующим
образом:
г23 = — р и г18 = + р.	A.119)
Для решения уравнения A.117) следует выполнить
пространственное преобразование Фурье. Это сделать
довольно просто, если применить теорему свертки и ис-
использовать соотношение симметрии gi2 (— к) = gi2 (к),
которое следует из того факта, что gi2 (p) является дей-
действительной величиной. Фурье-образ ядра уравнения
имеет вид
00
K(k, Vl2)= -^- Jk^(k)exp(- jk.v12r)dT. A.120)
о
15-01291

226 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом Корреляций
Вводя фактор сходимости 8, получаем
оо
л
) lim \
	,	j
К (k, v12) =	к<? (к) lim \ ехр [ — i (к- v12 — 1г) х\ dx =
Подставим это выражение в A.117) и преобразуем полу-
полученное уравнение по Фурье. Тогда г)
g12 (к, vb v2) =
{ [??] ^' v- *) h (г„ v2; 0 +
,(_k| V2) V3)dv3-
з (к) у1) уз) d
С другой стороны, применяя теорему Дарсеваля, в ре-
результате преобразования по Фурье уравнения A.111)
находим
где
= J ?12 (k, Vl, v2) dv2.	A.124)
Отметим, что здесь, как и раньше, функции отличаются
не индексами, а аргументами.
Так как ф (г12) является действительной функцией
и зависит только от r12= | г12 |, то фурье-образ ф (к) также
действителен. Для g (k, vx) имеем очевидное соотношение
симметрии
g{-Kv±) = g*Qi,Vi).	AЛ25)
		*.
х) Здесь существенно отметить, что, согласно основному пред-
предположению, введенному на стр. 213 после формул A.65) и A.66),
пространственным изменением функции распределения f± можно
пренебречь по сравнению с пространственным изменением парной
корреляционной функции.

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ВВГКЙ 227
Отсюда следует, что только мнимая часть g (k, v^ дает
вклад в рассматриваемое кинетическое уравнение, т. е.
Для того чтобы найти эту величину Im [g (k, v±)], про-
проинтегрируем A.122) no v2. Тогда
_ 1 С кф(к) tf( . dfi fa, vi) . , , fl/j (r2, v2)
? (k, v2) - aii^ g (k, vl
A.127)
и соответственно
l г кф(к) г. , _va/i(ri, vi) . ( v a/ifa, v2)
T J^=7* L/4 {Г2 V2) ~W	h (ri Vl)
l г кф(к) г. ,
= ^T J-k^=7o* L/4 {Г2>
(k, v2)] dvz. A.128)
Здесь введена сокращенная запись
^0.^|^>-dv2. A.129)
Исключим в правой части уравнения A.128) последний
член. Для этого проинтегрируем уравнение по компо-
компоненте скорости уц_, перпендикулярной вектору к. В ре-
результате получим х)
кф(к) t.( df fa, ut)
kulz-i0 \7i ^Г2' У2> ~~д^
A.130)
x) Заметим, что величина х зависит только от компоненты
скорости щ.
15*

228 Гл. 4. Йеравков. состоянии Нулдн. сибт. с уЧетЬм корреляций
Здесь введены следующие обозначения:
vi-k	v2-k
f (г4, Щ) = J /i (ri, Vi) dvu, ?\k> ui) = J g (k, Vi) ^vij_,
A.131)
M12 = Щ — U2.
Умножая A.128) на df{ru щ)/дщ, а A.130) на
d/i(ri, \1)/дщ и вычитая одно уравнение из другого,
получаем
A.132)
Если взять мнимую часть от этого уравнения, то найдем
искомую величину Im [g (k, Vj)] при условии, что
Im [g {k, щ)] = 0. Доказательство (несложное, но слиш-
слишком длинное) последнего утверждения можно найти
в приложении к оригинальной статье Ленарда [22]. Беря
мнимую часть от A.132), находим
Ф(кIтх
A.133)
Выражение для мнимой части функции % можно получить
из формулы Племеля:
im|X(k, Bl)i-
	Bп)'

§ 2. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 229
Подставляя выражения A.133) и A.134) в A.126), полу-
получаем уравнение
Ы /столки" т* d\i " J | 1 + A/ттг) ф% |2
х [f^ "Л -йг ~h (Гь Vi) ik]dkj A Л35)
ИЛИ
X /i (r1? Vi) Л (r2, v2) dv2, A.136)
где Q — тензор второго ранга
2
Q(Vl>Va)=_JL. f [Ф(к)ркКк 6Ь(
2 1 '	^2 J |1 + A/т)Фх|2
1 + A/т)Фх|2
Таким образом, мы вывели уравнение Ленарда — Балеску.
При выводе по существу был использован метод Ленарда,
который исходил из уравнений Боголюбова. Одновре-
Одновременно с Ленардом то же самое уравнение получил Балес-
ку [23]. Однако Балеску исходил не из уравнений Бого-
Боголюбова, а получил свой результат, основываясь на диа-
диаграммной технике. Его вывод справедлив, по крайней
мере для значений параметррв, изменяющихся в преде-
пределах A.17). Поэтому метод Балеску подобен методу, пред-
предложенному Ленардом.
Уравнение Ландау с учетом экранирования
ч
Вспомним, что в силу логарифмической расходимости
тензора Q для больших прицельных параметров Ландау
2
пришлось вводить искусственные пределы интегрирова-
интегрирования по прицельному параметру. При выводе кинетическо-
кинетического уравнения Ленард и Балеску учли взаимодействие
с третьей частицей и благодаря этому включили в урав-
уравнение эффекты экранирования. Поэтому можно надеяться
получить из A.136) и A.137) уравнение Ландау, в котором
не нужно вводить верхний предел интегрирования. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим цилиндрическую систему

230 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
координат с осью z, параллельной вектору относительной
скорости g = v2 — Vi, тогда
Qu = - Ar f в (kzg) l*(k)]2ki*i kL dk± dq> dkz. A.138)
Здесь kj_ — проекция вектора к на плоскость, перпенди-
перпендикулярную вектору g, а ф — угол ориентации вектора kjL
в этой плоскости. Интегрирование по kz дает
Гя
j
	я_ С
^2 J
Qu-{ - ¦ »+"?*У*<*У' (..,39)
ДЛЯ I, J =?= 2,
X
^ 0 для i = z или 7 —z*
Воспользуемся разложением
1	-	i
11 + (I/in) ф (к±) X (Ф, va) F 2 Im [A/m) Ф (к±) х (Ф, v1±)]
X Г	^	^	1
Ll + (l/m) ф (к±) х (Ф, у1±) 1 + A/т) Ф (к±) х* (Ф, va)J
A.140)
и спектральной функцией для кулоновского поля:
В результате подстановки этих соотношений в A.139)
и элементарного интегрирования получаем
A.142)
В действительности интеграл A.139) логарифмически
расходится при к± -> оо. Этой расходимости удалось
избежать выше путем введения верхнего предела инте-
интегрирования
&Лмакс = — = -^f •	С1 •143)

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 231
Как и следовало ожидать, такая расходимость, которая
своим происхождением обязана области малых прицель-
прицельных параметров, недоступна теории слабого взаимодей-
взаимодействия и не устраняется учетом в уравнении Боголюбова —
Ленарда — Балеску эффекта экранирования, возникаю-
возникающего в результате взаимодействия с третьей частицей.
С другой стороны, расходимость для малых значений к±,
которая соответствует области больших прицельных пара-
параметров и представляет собой расходимость в приближе-
приближении Ландау, действительно устраняется в теории Бого-
Боголюбова — Ленарда —Балеску. Это легко видеть из того
факта, что именно в приближении Ландау знаменатель
в A.139) для малых значений к возрастает быстрее, чем
числитель.
В выражении, стоящем под знаком In в A.142),
для функии % достаточно использовать приближенное
значение. Из формулы A.129) следует, что
Таким образом, для Qtj получаем
\ 0 для остальных значений i и /.
Вспоминая, что
®	г\ / А 9Л ^ Л	A.146)
пе6
и воавращаясь к произвольной системе координат, нахо-
находим общее представление
(&iM	A.147)
Сравнение полученного результата с уравнением Ландау
A.85) показывает, что уравнение Боголюбова — Ленар-
Ленарда — Балеску действительно |устраняет расходимость
в уравнении Ландау, обусловленную большими прицель-
прицельными параметрами без априорного искусственного введе-
введения пределов интегрирования.

232 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Относительная ошибка, возникающая из-за исполь-
использования приближенного значения % под логарифмом
в A.142), имеет порядок отношения
In % — In (ro/rwK
In (го/тъK
Эта ошибка становится существенной только для значе-
значений v^>( v ), т. е. в области, где функция /4 (^стано-
(^становится очень малой по величине и поэтому не дает сущест-
существенного вклада в {8fi/8t)CTOJlKK.
Физическая интерпретация уравнения
Боголюбова — Ленарда — Балеску
Анализируя уравнения Ландау — Фоккера — План-
Планка A.85) и Боголюбова —Ленарда —Балеску A.136)
и A.137), можно видеть, что они отличаются только
коэффициентами переноса Qtj, которые соответственно
имеют вид
оо
<Ьфп = — ¦?$¦ \ drz \ E [rj — r2])(E [ri — г2 — v4t + v2t] dx
J <!	A.149)
и
=	о- \	—тз—o(k-vi2)dk. A.150)
Если поле Е в A.149) задать в виде градиента общего
потенциала я|), то
eE(r)= "^
Уравнение A.149) тогда можно переписать в виде
A.152)
или
(Ьфп —Jf J k)(k6 (k • v12) | ф (k) |» &. A.153)
Сравнение A.153) и A.150) показывает, что уравнение
Боголюбова — Ленарда — Балеску можно интерпрети-

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ББГКИ 233
ровать как «неэкранированное» уравнение Ландау — Фок-
кера — Планка, согласно которому полевые частицы дей-
действуют на пробную частицу с силой, определяемой эффек-
эффективным потенциалом
Х(к) = —^(к) „ .	A.154)
1 + A/иОФХ
Используя спектральную функцию кулоновского потенциала
получаем соответствующий фурье-образ эффективного
потенциала
(k) = l/A	—=-^	. A.156)
Чтобы дать грубую интерпретацию эффективного
потенциала A.156), представим силы, действующие на проб-
пробную частицу, в виде суперпозиции парных взаимодействий,
в которых экранирование кулоновского взаимодействия
учитывается путем введения эффективной диэлектриче-
диэлектрической проницаемости плазмы. С этой целью вспомним
соотношение C.3.12), в котором пространственно-времен-
пространственно-временное преобразование Фурье потенциала в плазме связы-
связывается с соответствующей спектральной функцией плот-
плотности заряда п и диэлектрической проницаемостью 8 х).
Для эффективного потенциала имеем аналогичное соот-
соотношение
k-v—со + гО
где s в приближении квазистационарного поля, согласно
уравнению C.3.10), записывается следующим образом:
A-158)
В приближении прямолинейных траекторий плотность
распределения заряда полевых электронов равна
^	 п (г, *) = 6 (г - г2 -*
г) В связи с этим см. стр. 163.

234 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
а соответствующая спектральная функция —
л(к,©) = -^гб(©-к.у2).	A.160)
Таким образом, распределение потенциала в плазме, обу-
обусловленного полевыми частицами, может быть записано
в виде
~/Л ч 2е26(со—kv2)	/л лпа\
* <k'<fl)= fe2e(k, со) •	AЛ61)
Индекс 2 по-прежнему относится к полевой частице. Для
удобства поместим начало системы координат в начальное
положение полевой частицы (г2о). Обратное преобразова-
преобразование Фурье по времени дает
Следовательно, потенциал полевой частицы с учетом экра-
экранирования поля плазмой, определяемый по движению
пробной частицы, записывается в виде
i(k:Weik"vl2(- {1Л63)
Здесь введен дополнительный множитель exp (ik-\i2t),
учитывающий то обстоятельство, что изменение во вре-
времени потенциала плазмы рассматривается по отношению
к движущейся частице. Заметим, что, поскольку речь идет
об использовании полученного выражения для потенциа-
потенциала в уравнении A.153), то благодаря наличию в A.153)
функции Дирака 6(k«v12) можно опустить экспонен-
экспоненциальный множитель в A.163) и заменить v2 на v4 в ди-
диэлектрической проницаемости 8 (k, k«v2). Таким обра-
образом, можно записать
5 (k, t) = l/— 4--7Г-1	г-	A.164)
Y v ' ' У п к2 г (к, k-vi)	ч	;
Подставляя сюда соотношение A.158), получаем
что совпадает с выражением A.156).

§ 2. Макроскопические уравнения	235
Читателя, интересующегося более детальным обсуж-
обсуждением коэффициентов «экранированного уравнения Фок-
кера — Планка», мы отсылаем к работе Томпсона и Хаб-
барда [24].
Пределы применимости уравнения
Боголюбова — Ленарда — Балеску
Как видно из A.137) и A.154), уравнение Боголюбова —
Ленарда — Балеску справедливо только, если существует
потенциал я|) (k, t). Такое условие совпадает с требова-
требованием, чтобы 8 (k, k*Vi) не равнялось нулю. А это.означает,
что кривая, отображающая действительную ось k«Vi,
* AЛ66)
?-V — к
не пересекает положительную действительную ось в
G-плоскости. Условия такого пересечения были опреде-
определены Пенроузом и детально обсуждались в § 2 гл. 3.
Поэтому можно сделать заключение, что устойчивость
системы в смысле Пенроуза является необходимым усло-
условием справедливости уравнения Боголюбова — Ленар-
Ленарда — Балеску. Важно отметить, что условие устойчиво-
устойчивости должно выполняться для любого момента времени,
причем устойчивость функции /4 не обязательно следует
из уравнения Боголюбова — Ленарда — Балеску. Однако
если fi (v) является функцией изотропного распределения,
то она остается таковой для любых моментов времени
и представляет собой функцию с одним максимумом,
а поэтому всегда устойчива.
§ 2. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Уравнения моментов, получаемые из уравнения
Больцмана; метод Грэда
В предыдущем параграфе уравнение Больцмана было
получено из цепочки уравнений ББГКИ. Уравнение Боль-
Больцмана для общих функций распределения /JJ} = /ц в слу-
случае нескольких сортов частиц и при наличии внешних

236 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
сил имеет вид
V
Здесь
K-vv|	для v^i,
|^|1 —V2|i|	ДЛЯ V=|X,
а через dQ^ обозначено дифференциальное сечение рас-
рассеяния bdbd(p. Заметим, что разные сорта частиц отли-
отличаются координатами в пространстве скоростей, но не
отличаются по координатам конфигурационного про-
пространства. Это возможно только благодаря больцманов-
ской концепции ближних столкновений, когда взаимодей-
взаимодействие ограничено малыми расстояниями, так что коорди-
координаты пробной и полевой частиц в конфигурационном
пространстве практически совпадают.
Чтобы вывести уравнения переноса Максвелла — Болъц-
мана из уравнения Больцмана, рассмотрим произвольную
функцию W (г, Уц,; t) и определим для нее соответствую-
соответствующую макроскопическую величину, характеризующую
явление переноса,
(?>V(i (r, t) =-~7J) \ Y (г, v^; t)U(r, v^; t)<V B.3)
где ft^ (r, t) — плотность числа частиц сорта |ы, равная
т^(г, *)= j /ц (г, v^; Q dv^.	B.4)
Умножим уравнение B.1) на W (r, v^; t) и проинтегри-
проинтегрируем по пространству скоростей Vjx. Непосредственное
интегрирование по частям левой части уравнения при
разумном предположении, что W /^ достаточно быстро
стремится к нулю при v^ ->• сю, приводит к следующему
выражению для конвективных членов:
<ггЧ+
B.5)

^		j> 2. МаНросПопиЧескиё уравнения	23?
Заменяя штрихованные переменные на нештрихованные
в первом члене интеграла столкновений, что можно делать
в силу закона Лиувилля и инвариантности величин w*g
и dQ^y относительно такой замены, находим для первого
члена интеграла столкновений
dv» J »vg dvv J W (Vjx) /^ (v^) /v (v;) dQ^ =
g dv'v j ? (vy /^ (v,,) /v (vv) ^v -
= J d^ J ^g dVv J \p (v^) ^ (V|i) /v (Vv) d(?jxv. B.6)
Тогда столкновительный член в правой части уравне-
уравнения B.1) преобразуется к виду
2 { dv» j ^gdxv J ?
j (^' - V) ^v)y )v • B.7)
Приравнивая соотношения B.5) и B.7) друг другу,
мы получаем уравнение переноса Максвелла — Болъцмана
= % S »v «^ J (^ - ^) ^v)v )v • B-8)
Перечисленные ниже моменты скорости приводят
к макроскопическим величинам, которые характеризуют
явление переноса и имеют простой физический смысл.
1. Момент нулевого порядка ^? — т^ дает величину
= ^,	B.9)

238 Гл. 4. Неравное, состояния Кулон, сист. с учетом корреляций
которая приводит к уравнению переноса массы вещества,
причем
p = 2pv,	B.10)
где через р обозначена полная плотность массы.
2. Момент первого порядка W = m^g^, где
V
приводит к уравнению переноса импульса р^ ( g^) v отно-
относительного движения.
3. Момент второго порядка ЧР* = m^g^g^ дает уравне-
2
ние переноса для тензора давлений
V	B.12)
который связан с гидростатическим парциальным давле-
давлением р^ и температурой ©^
|) = iiIieil	B.13)
и с тензором напряжений
Pi ft jPi	()
2	2	2
Тензор ((а)п)° со шпуром, равным нулю, для п = 2,3 опре-
определяется следующим образом:
(аа)° = ((аJ)° = аа—|-Sp(aa)I,
3	2	B-15)
(ааа)° = ((аKH = ааа - -jr sym (a Sp (aa) I).
0	2
4. Момент третьего порядка
3
дает уравнение переноса для тензора потока энергии
Ц[1 = Рц <g|lg|lg|A>V »	B.16)
который связан с потоком энергии
1п-у B.17)

	§ 2. Макроскопические уравнения	239
и тензором теплового потока
B.18)
hli q|A3p|i<sym(glJ)}v .
3	3	2 »*
При этом тепловой поток определяется выражением
|	B.19)
Решение цепочки уравнений переноса
методом последовательного приближения
путем разложения функции распределения
Из уравнения Максвелла — Больцмана невозможно
найти какой-либо один определенный момент (*Р) v • Это
обусловлено тем обстоятельством, что дифференциальное
уравнение в левой части содержит также и моменты дру-
других порядков, например (у^Ч^у » характеризующие яв-
явление переноса, и, кроме того, зависимость столкнови-
тельных членов не может быть представлена в виде функ-
функции только величины (W) v .
Метод последовательного приближения при решении
рассматриваемой задачи заключается в следующем. Запи-
Запишем систему уравнений переноса для величин ЧГ= (Уц)п.
п
Тогда левые части уравнений будут содержать моменты
(*F>Vl, в то время как столкновительные члены, стоящие
в правых частях, не могут быть представлены просто
в виде функций от этих моментов (Ч?)у„ = ((vM,)n>v •
Поэтому разложим функцию распределения /^ и свяжем
коэффициенты такого разложения akll с моментами
(W)y посредством соотношения B.3). В результате полу-
п ^
чим столкновительные члены, выраженные через соот-
соответствующие моменты.
Этот метод приводит к цепочке уравнений для момен-
моментов {(yli)n)Y » которую следует оборвать в определенном
месте. Обрыв цепочки уравнений зависит от выбора раз-
разложения и от того, насколько сложными оказываются
соотношения между коэффициентами разложения и физи-
физическими моментами или столкновительными членами.

240 Гл. 4. Неравное. состояния кулон, сист. с учётом корреляций
Бопп и Мейкснер предложили следующее общее раз-
разложение (см. работу Сухи [25]):
4 1	Л _ / Л
где <0)^ — функция распределения нулевого порядка,
которая выбирается очень близкой к реально существую-
существующему распределению.
Если в качестве ^/^ взять распределение Максвелла
то разложение B.20) соответствует разложению Грэда по
полиномам Эрмита, которое имеет большое значение
в теории переноса (см. [6]).
Коэффициенты разложения Грэда очень просто свя-
связаны с физическими моментами. Это легко видеть, если
подставить разложение B.20) в соотношение B.3), опре-
определяющее макроскопические коэффициенты переноса.
Непосредственное интегрирование дает
— Рц = (gngn)vu — у <SP (g^gn))vu,
i 2	зе	<2-22)
M -3
Следуя изложенному методу, можно представить столк-
новительные члены через коэффициенты Грэда, а следо-
следовательно [посредством соотношений B.22)], и через
моменты. Это приводит к цепочке уравнений для моментов.
Здесь следует сделать одно предостерегающее заме-
замечание. Хотя моменты и могут быть вычислены, но нельзя
точно вычислить функцию распределения, даже если

	§ 2, Макроскопические уравнения		241
ограничиться системами, которые удовлетворяют условию
- B-23)
Для грэдовского случая сходимость разложения
Боппа — Мейкснера B.20) очень плохая. Можно показать,
что все коэффициенты малы по сравнению с единицей,
но они не уменьшаются по величине.
Вычисление столкновителъных членов
Сначала проинтегрируем столкновительные члены по
прицельным параметрам. С этой целью выразим скоро-
скорости и, связанные с движением центра масс, через относи-
относительные скорости частиц ^vgc и ^vg. В результате полу-
получим
X (^gG)n-ft [№)*—(Tg)hh B.24)
где
Wffi?* |lve = ^-Vv,	B.25)
а через М^ обозначена приведенная масса. Мы здесь
не будем давать подробного вывода полученных резуль-
результатов. Вообще, простые, но громоздкие алгебраические
преобразования, которые не представляют особого инте-
интереса, ниже приводиться не будут.
Компоненты тензора (**vg')fe можно рассматривать как
функции абсолютных значений wg и угла рассеяния %.
Интегрирование тензора (^vg')fe по азимутальному уг-
углу ф дает
J (^g'
I(fe~i)/21
= 2n ^ bV 8Ут Ш^УГ I(fe~i)/21 bdbPj (cos %), B.26
16-01291

242 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
где коэффициенты &feJ- равны
bkj = 0 для к + / = 2т +1,
л и 1 * 3	B-27)
0feft = 1, 02о = у » ^31 = " •
Теперь можно провести следующее интегрирование:
п k
щ ( №ПЫп№ ^
X sym [(»vgG) ({^ёУ)° I ] Q3 i^g), B.28)
2
где сечение рассеяния определяется выражением
Qj (**g) = 2я j [1 - Pj (cos x)] b db.	B.29)
Вычисление сечения рассеяния B.29) является про-
простой геометрической задачей и не представляет принци-
принципиальных трудностей при условии, что известен закон
взаимодействия. В наиболее простом случае, когда потен-
потенциал взаимодействия между частицами может быть пред-
представлен в виде степенного закона
Ф (г) = ± -? ,	B.30)
сечение рассеяния можно аппроксимировать следующими
функциями:
V \ б/ — у м f l^s V gJJ •	{4.O1)
Здесь А{ не зависит от ^vg для s > 1. Для s = 1 имеем
Х
Х
где
B.33)

	§ ?. Макроскопические уравнения	243
Усредняя столкновительный член B.28) два раза по функ-
функциям распределения /^ (г, Vp,; t) и /v (r, vv; t), получаем
интеграл столкновений в виде, соответствующем разло-
разложению Грэда:
1
Id . 1	д д	,
n fe
v ?)ь • svm \(№аЛп~к ((waVH T<ft~-?)/2l 0J (We} B %?\
S\ Ufij oy 111 l\ g(Jl	l^r g^ у X	J X \ О/*	l^.O^il
2
Вычисление B.34) проводится в следующем порядке.
Член га-го порядка в интеграле столкновений опреде-
определяется как сумма всех членов с дифференциальным опера-
оператором порядка тг, причем каждый из этих членов умно-
умножается на произведение двух коэффициентов Грэда. Чтобы
иметь возможность применить эти дифференциальные опе-
операторы, выразим операторы и аргументы через относи-
относительные скорости **vg и **vgG:
\ B.35)
Теперь можно проинтегрировать по углу и по ^vgG-
Полученный результат представляет собой сумму чле-
членов, каждый из которых пропорционален либо самим коэф-
коэффициентам Грэда, либо их произведениям. Эти члены
содержат множители, которые могут быть выражены в виде
линейной комбинации так называемых термодинамиче-
термодинамических коэффициентов переноса
ехр (_<
B.36)
Здесь использована сокращенная запись
16*

244 Гл. 4. Йеравнов. состояния пулой, сист. с учетом Корреляций
Цепочка уравнений переноса в приближении Грэда
Выше мы показали, что столкновительные члены могут
быть выражены через коэффициенты Грэда и термодина-
термодинамические коэффициенты переноса. Используя соотноше-
соотношения B.22), представим коэффициенты Грэда через момен-
моменты. Тогда уравнение переноса, левая часть которого
тривиально записывается через моменты, преобразуется
к цепочке уравнений, в которые, кроме моментов, входят
еще термодинамические коэффициенты переноса.
В левой части уравнений цепочки, помимо коэффи-
коэффициентов Грэда рассматриваемого порядка, могут содер-
содержаться только коэффициенты следующего порядка. Что
касается этих членов более высокого порядка, то при вы-
выполнении условия
/^ /fe*\fe/2 ^ 1	B.38)
цепочка уравнений обрывается на уравнениях, содержа-
содержащих нечетные моменты выше третьего порядка.
В столкновительных членах, стоящих в правых
частях цепочки уравнений, основной вклад дают коэффи-
коэффициенты Грэда рассматриваемого порядка. Если выполнено
условие B.38), то вкладом, зависящим нелинейно от
коэффициентов Грэда, можно пренебречь. Малым оказы-
оказывается также и дополнительный линейный вклад, если
удовлетворяется условие
gl\m = ql\m+l _ ql\m ^ gZ|m#	B.39)
Соотношение B.39) представляет собой основное требо-
требование для обрыва правой части цепочки уравнений.
Условие B.38) выполняется, если средние скорости
частиц малы по сравнению со средними тепловыми скоро-
скоростями. В дальнейшем это условие будет считаться выпол-
выполненным.
Неравенство B.39) зависит от закона взаимодействия
между частицами. Это легко видеть из соотношения

§ 2. Макроскопические уравнения	245
которое получено для закона взаимодействия вида
Ф(г) = ±-?.	B.41)
Если 5>2и«< — 2, то неравенство B.39) выполняется
достаточно хорошо.
Двадцатимоментное приближение
Ограничиваясь в разложении Грэда членами третьего
порядка, мы имеем двадцатимоментное приближение.
В этом приближении обрыв левой части уравнений
является корректным, если выполнено условие B.38).
Вопрос о том, можно ли ограничиться членами третьего
порядка в правой части, зависит, как указывалось выше,
от закона взаимодействия между частицами. В таком
приближении получаются следующие двадцать моментов:
момент нулевого порядка — значение плотности;
моменты первого порядка — три компоненты импульса;
моменты второго порядка — шесть компонент тензора дав-
давления и моменты третьего порядка — десять компонент
тензора потока энергии.
Тринадцатимоментное приближение
Это приближение получается из двадцатимоментного,
если пренебречь всеми компонентами тензора потока
энергии, за исключением компонент, которые определяют
плотность теплового потока. В тринадцатимоментном при-
приближении обрыв левой части цепочки уравнений не сле-
следует только из выполнения условия B.38): здесь должны
быть привлечены еще и дополнительные физические сообра-
соображения.
Восъмимоментное приближение
Тринадцатимоментное приближение дает еще довольно
сложную систему уравнений. Это приближение можно
свести к восьмимоментному, если заменить тензор давле-
давлений гидростатическим давлением. Такой переход
даляетсд последовательным, если рыполвдно условие B.38)

246 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
и закон взаимодействия между частицами имеет соответ-
соответствующий вид.
Ниже приводится система уравнений для восьмимо-
ментного приближения, которая еще очень сложна. Для
простоты выбираем такую систему координат, в которой
скорость перемещения массы равна нулю, а также пре-
пренебрегаем членами второго порядка малости на основании
B.38). Таким образом, мы имеем:
Уравнение непрерывности
^ i = 0.	B.42)
Уравнение переноса импульса
f^} . B.43,
Уравнение переноса энергии
О /)	i)	С
Уравнение переноса теплового потока
^nv qfc / h^ I hv \ I
+ 3 My^дт/Ьй_Ьу„\]\ т B.45)
Здесь
«!=^[^'i"-2^^3«"i-«">+i?»m] •
B.46)
fe[S4

	§ 2. Макроскопические уравнения	247
где
т =¦ "" "~~
lL Ч"
Использование приближения Грэда для
описания плазмы
До сих пор исследование носило общий характер, так
как не конкретизировался закон взаимодействия между
частицами, которым определяются коэффициенты ql^m
о
и ф™. Рассмотрим теперь кулоновскую систему, в кото-
которой потенциал взаимодействия определяется кулоновским
законом, т. е. формулой B.41) с s — 1. Разумеется, сред-
средние скорости, обусловленные внешними полями и неод-
нородностями, должны быть малыми по сравнению с теп-
тепловой скоростью. Вычисление термодинамических коэф-
коэффициентов переноса ql Im для случая 5 = 1 показывает,
что величина их уменьшается с ростом номера очень мед-
медленно. Поэтому разложение столкновительных членов
в ряды по моментам не является быстро сходящимся.
Следовательно, применимость рассмотренного выше при-
приближения к кулоновской системе не очевидна.
Если тем не менее считать, что восьмимоментное при-
приближение применимо к полностью ионизованной плазме,
то интересно сравнить соответствующие уравнения Грэда
с уравнениями, которые использовались для описания
полностью ионизованной плазмы [26, 27].
Ограничиваясь случаем в+ = в_ и используя соот-
соотношение
JIf+_»^-<l,	B.47)
находим из общего уравнения Грэда уравнения непрерыв-
непрерывности для электронной и ионной компонент
Ap± + -|_.p±(g±)==0.	B.48)
Как показывает сравнение, уравнения, полученные в ра-
работах [26, 27], совпадают с B.48).
Приближение Грэда дает следующее уравнение энер-
энергетического баланса для полного давления или соответ-

248 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
ственно температуры:
где величина h есть полная плотность теплового потока
h = h+ + h_.	B.50)
Уравнение B.49) и в этом случае совпадает с соответствую-
соответствующим уравнением, используемым в указанной выше лите-
литературе.
Из разложения Грэда и при условиях B.47) и B.23)
получаем уравнение баланса импульса для двухкомпонент-
ной системы:
f h. K\ ._ 5 V
\ p_ p+ / ~ 4 m_
[q2.n++M+_ {bq^-
x
X{(g->-(g+». B.52)
Здесь введены следующие сокращенные обозначения:
B.53)
qq+.nl

§ 2. Макроскопические уравнения	249
С другой стороны, соответствующие уравнения, полу-
полученные Маэкером и Питерсом [26], имеют вид
4?*. B.54)
Отсюда видно, что обе системы уравнений содержат одни
и те же основные члены. Однако коэффициенты при соот-
соответствующих членах сильно различаются даже своей за-
зависимостью от отношения плотностей.
Квазистационарное приближение, построенное Грэ-
дом [6], приводит к следующему выражению для полной
плотности теплового потока:
„) ± в+
B.55)
в то время как соответствующее соотношение, полученное
в литературе [26, 27], имеет вид
И в этих выражениях коэффициенты при соответствующих
членах резко различаются. Кроме того, весьма жестким
ограничением является требование квазистационарности.
Заслуживает внимания также тот факт, что если учесть
магнитные поля, то в B.55) появятся дополнительные
члецы,

250 Гл. 4, Неравное- состояния кулон» сист. с учетом корреляций
2.2. Вывод уравнений переноса из уравнений Больцмана;
метод Чепмена — Энскога
Чепмен [28] и Энског [29, 30] получили систему мак-
макроскопических уравнений из основного уравнения Больц-
Больцмана с помощью другого приближенного метода. Вначале
ради простоты рассмотрим предложенный ими метод для
случая однокомпонентной системы. Чепмен и Эыског
исходили из следующих трех уравнений для первых пяти
моментов функции распределения:
B.57)
B.58)
^- B'59)
(Вывод этих уравнений и соответствующая терминология
были приведены выше, в п. 2.1.) Далее они рассмотрели
систему, для которой функция распределения может быть
представлена в виде
/ (г, v; t) = / (г, v, p, и, в).	B.60)
При этом они использовали разложение
/- 2 ™и	B.6i)
в котором функции М/ определяются методом последова-
последовательных приближений из функции <v>/ при v < \i.
Если можно найти функцию распределения / с точно-
точностью до порядка s, то с такой же точностью можно вычис-
вычислить и тензор давлений р, и поток энергии q. Подстав-
2
ляя эти величины в B.57), B.58) и B.59), получаем мак-
макроскопические уравнения с точностью до <s+1)/.

§ 2. Макроскопические уравнения	251
Приближенные решения для
однокомпонентной системы
Для уточнения разложения B.61) запишем оператор
дифференцирования по времени в виде
B-62)
V=l
Действие операторов djdt на величины р, и и в опреде-
определяется следующим образом:
дп
_±U=_U._U+_F	_.<0>р,
6 id	B-63)
^H(V)? (>0)
Л 2 w /лЛ	ди
v)()P:sym
Так как в силу соотношения B.60) функция распределения
/ зависит от времени только через моменты р, и и 0, дей-
действие оператора djdt на / можно определить также в виде
^v (lib / д щ\ dv	/ д AХ)Л ^v .. , / ^ (nb\ ^v ^
B.64)
Подставляя B.61) и B.62) в уравнение Больцмана B.1),
получаем
B.65)

252 Гл. 4, Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Здесь использована сокращенная запись:
X Г/ (v') <8>/ К) - "•'/ (v) <8>/ (v,)} dQ. B.66)
Далее с помощью разложения B.65) определяют функ-
функции МД приравнивая члены, стоящие в левой части и име-
имеющие определенную сумму индексов, членам, стоящим
в правой части, сумма индексов которых на единицу
больше суммы индексов соответствующих членов левой
части этого уравнения. Такая процедура приводит к си-
системе уравнений
, B.67)
r-\-s—n
Решения этой системы интегродифференциальных урав-
уравнений не являются однозначными. Для однозначности
решений должны выполняться условия
= 0 для 5>0.	B.68)
Как следует отметить, эти условия не означают, что пер-
первые пять моментов не зависят от степени приближения s,
с которой производятся вычисления. Скорее функция рас-
распределения @)/ зависит от значения первых пяти момен-
моментов, вычисленных из B.57), B.58) и B.59) и зависящих
в свою очередь от порядка приближения s через величины
р и q.
2
Нулевое приближение
В этом приближении функция распределения находится
цз уравнения

§ 2. Макроскопические уравнение	253
тривиальным решением которого является функция рас-
распределения Максвелла
Вычисляя тензор давлений и поток энергии для функ-
функции распределения B.70) и подставляя найденные вели-
величины в B.57), B.58) и B.59), получаем систему уравне-
уравнений Эйлера
которые представляют собой гидродинамические уравне-
уравнения нулевого приближения.
Приближение первого порядка
Решение в первом приближении для функции A)/
находится из уравнения
)/==/(<0)/lA^ + /(<1)/l<0)/)- B-72)
в котором @)/ описывается распределением B.70), при-
причем функция A)/ должна удовлетворять условиям B.68).
Чтобы решить уравнение B.72), необходимо проде-
проделать ряд простых, но громоздких преобразований. Как
и выше, не будем вдаваться здесь в подробности этих пре-
преобразований, в результате которых левая часть уравне-
уравнения B.72) запишется в виде
B.73)
Здесь введено обозначение vr = v — u. Преобразование
правой части B.72) дает
B.74)

254 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
где С определяется выражением
C(Z)= jdVi j|v-Vi|<0>/(Vi)X
B.75)
Приравнивая B.73) и B.74) на основании B.72), полу-
получаем интегральное уравнение для A)/. Однородное реше-
решение этого уравнения имеет вид
A)/я= -<0)/{a + p-vr + 7v?}.	B.76)
Учитывая структуру левой части уравнения B.72), общее
решение будем искать в виде
. B.77)
Значения постоянных a, P и 7 определяются из условий
B.68). Поскольку а = у = О, решение B.77) можно пе-
переписать в виде
B.78)
Функции х = х (v?, p, в) и у = у (v*, p, в) определяются
из интегральных уравнений
B.79)
С[(УгУтHУ]=-{угУт)°,
которые могут быть решены, если известен закон взаимо-
взаимодействия между частицами.
Теперь, используя функцию распределения / = @)/ +
+ A)/, можно вычислить тензор давлений и плотность
потока энергии.
Для тензора давлений находим
@)
B.80)

§ 2. Макроскопический уравнения	255
где г) — коэффициент трения, определяемый выражением
г\ = -~ { v?jKp, в, v?) <•>/ dvT.	B.81)
Заметим, что коэффициент трения зависит только от
функции г/.
Для плотности потока энергии получаем
<«q= -х-Ц- •	B.82)
Здесь х — коэффициент теплопроводности, равный
Отсюда видно, что коэффициент теплопроводности зави-
зависит только от функции х.
Подставляя тензор давлений B.80) и плотность теп-
теплового потока B.82) в B.57), B.58) и B.59), находим
2 д
рв
Эти уравнения представляют собой обобщенные уравне-
уравнения Навье — Стокса. Обычные уравнения Навье — Сток-
са получаются из B.84), если пренебречь всеми производ-
производными от величин хит]:
f- + ^.(pu) = 0,	B.85а)

256 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
д .	д \ ~ 2	д д ~ 2 п д
4	/ 0 \2,2	Г д д 2 п / д д
д
B.85в)
Приближение второго порядка
Методом Чепмена — Энскога были получены решения
и во втором приближении. Эти решения являются крайне
сложными и приводят к поправочным членам в выраже-
выражениях для тензора давлений и плотности потока энергии.
Однако из этих решений не удается получить каких-либо
важных следствий общего характера (см. работу Чеп-
Чепмена и Каулинга [31]).
Приближенные решения для многокомпонентной
системы
Основные идеи, изложенные при исследовании одно-
компонентной системы, полностью применимы к случаю
многокомпонентной системы. Вместо уравнений B.57),
B.58) и B.59) для плазмы, состоящей из а сортов частиц,
имеем систему из (За + 4) уравнений: За уравнений не-
непрерывности, три уравнения для средней скорости пере-
перемещения массы и одно уравнение для средней темпера-
температуры. Эти уравнения записываются в виде
а
at + п дх ) и -	B.86)
О
2 д	2 du . ^ vi д
11=1
0
, 2 хп

$ %• Макроскопические уравнений,		257
Здесь введены обозначения
а	ас
п= 2 "и»	Р= 2 ft*' u = y 2 Pm.ujx»
h=i	n=i	n=i	9 R7
0 =— 2 ИЛ' Р = 2 РИ' Ч = 2 Чи-
Ц,=1	|Х=1	[1=1
Основным предположением в случае многокомпонент-
многокомпонентной системы является то, что функция распределения /
зависит от времени только через рц и средние величины и
и в.
Разложение функций распределения /^ и операторы
дифференцирования по времени полностью совпадают
с B.61) и B.62). В результате для каждого сорта частиц
получается уравнение типа B.65), но с измененным столк-
новительным членом в правой части, который теперь запи-
записывается в виде
S(/i*|/v)	B-88)
V=l
Что же касается уравнений для (г>Да, то они получаются
так же, как B.67) при условиях B.68).
Приближение нулевого порядка для
многокомпонентной системы'
И в этом случае решением для^ функций распределения
нулевого порядка являются смещенные распределения
Максвелла
4Г(И B<89)
Отсюда видно, что распределения Максвелла для всех
сортов частиц смещены на одну и ту же среднюю скорость
и, а это означает, что в таком приближении средние ско-
скорости всех компонент и^ совпадают со средней массовой
скоростью и. То же самое положение имеет место и для
температуры.
Если теперь, используя B.89), вычислить тензор дав-
давлений и плотность теплового потока и подставить резуль-
17—01291

258 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
таты в уравнения B.86), просуммировав в то же время
все уравнения непрерывности для р^,, то получим систему
уравнений Эйлера для р, и и 0, соответствующую B.71).
Приближение первого порядка
для многокомпонентной системы
Функции распределения первого порядка удовлетво-
удовлетворяют следующим уравнениям:
а
= 2 G <(% IШМ + ! ia% I @>/v}). B.90)
v=l
Следуя методу, используемому для случая однокомпонент-
ной системы, выразим функции распределения первого
порядка через функции распределения нулевого порядка:
О
. 2 СЯ) • B.91)
v=l
Здесь введено обозначение
f
Коэффициенты А^, В^ и С$ определяются сложными инте-
интегральными уравнениями, которые получаются, если
в уравнение B.90) подставить выражение B.91). Читателя,
интересующегося данным вопросом, мы отсылаем к соот-
соответствующей литературе [32].
С помощью функции распределения первого порядка
можно вычислить среднюю скорость, тензор давлений
и плотность потока энергии. Для средней скорости нахо-

$' 2. Макроскопические уравнения	259
ДИМ
аЧ = 1Йг 2 mvDldv-j-D^lne, B.93)
где
~ 3nmv V IB )
B.94)
= ^ У ^ \ A» (vril) yV% Агй.
Эти уравнения определяют коэффициенты подвижности,
диффузии и термодиффузии.
Тензор давлений имеет вид
)]	B.95)
где г] — коэффициент трения, равный
г
Наконец,
энергии
•
1-— У
находим
<i>q-_
mv j Bv(yrv)\'rv{0)
выражение для
а
д]ц® j -^
v=l
/vdvv. B.96)
плотности потока
dv. B.97)
Здесь Х0 и xv-—коэффициенты теплопроводности:
а
B.98)
Заметим, что полученные коэффициенты, представляющие
физический интерес, зависят каждый только от какой-либо
одной из величин А, В или С, которые существенным
образом определяются законом взаимодействия между
частицами.
17*

260 Рл. d. Йеравнов. состояния тгулон. сист. с учётдм корреляций
Сравнение с тринадцатимоментным
приближением Грэда
При нахождении функций х и у для однокомпонент-
ной системы из интегральных уравнений B.79) обычно
пользуются разложением этих функций по полиномам
Сонина. Если ограничиться в разложении функции х
первыми двумя членами, а в разложении у только пер-
первым членом, то функция распределения, найденная в пер-
первом приближении методом Чепмена — Энскога, совпадает
с функцией распределения, полученной в тринадцати-
моментном приближении Грэда.
Связь метода Чепмена — Энскога
с разложением Гильберта
Метод Грэда, изложенный в п. 2.1, основан на система-
систематическом разложении Боппа — Мейкснера. Описанный
выше метод Чепмена — Энскога нельзя связать просто
с таким систематическим разложением. Однако дополни-
дополнительные сведения по этому вопросу можно получить,
рассматривая разложение Гильберта [33, 34]. С этой
целью расстояние г будем измерять в единицах L (L есть
характерная длина изменения функции распределения /),
скорость v в единицах vT, время t в единицах L/vT, при-
прицельный параметр Ъ в единицах гс (гс — радиус взаимо-
взаимодействия), а функцию распределения нормируем на вели-
величину Lsvt.
Тогда уравнение Больцмана для общей функции рас-
распределения запишется в виде
-/(г, v; t) f (r, v2; t)\ gbdbdydw2 = i-/ (/1 /). B.99)
Заметим, что все величины в этом уравнении являются
безразмерными. Параметр 8 называется числом Кнудсена
и определяется следующим образом:
?=?'	BЛ00)
где Хс — средняя длина свободного пробега.

	§ 2. Макроскопические уравнения	261
Гильберт рассматривал случай малых чисел Кнуд-
сена и использовал 8 как малый параметр разложения
функции распределения / в ряд
/= § ev<v>/.	B.101)
v=0
Подставляя это разложение в уравнение B.99) и собирая
все члены одного и того же порядка 8, получим следую-
следующую систему Г уравнений:
п-1
m=l
= 2/{W/1 (»)/}. B.102)
Решение этих уравнений состоит из частного решения
неоднородного уравнения (П)/Неод и общего решения одно-
однородного уравнения, которое представляет собой линей-
линейную комбинацию инвариантов столкновений:
У>о=™>; ty=Vi, i = l, 2, 3; % = i;2.
Очевидно, что для определения коэффициентов (n)ys (r, t)
необходимо знать начальные условия. Поскольку для
каждого уравнения имеется пять таких коэффициентов,
должны существовать пять начальных значений для
каждой функции (п)/. В качестве таких начальных значе-
значений можно взять, например, первые пять моментов при
t =0:
т
U	( ) • B-104)
Если отвлечься от вопросов сходимости, то можно
взять произвольное разложение заданных величин ( ) *=о
в ряд по <v>( )г=о- Действительно, Гильберт показал, что
распределение в момент времени t не зависит от вида на-
начального разложения при t = 0. Помимо этого, Гильберт
дал необходимое условие существования и однозначности
функции распределения [33, 34].

262 Гл. 4, Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Однако в действительности вопрос о сходимости раз-
разложения B.101) представляет большой интерес. Резуль-
Результаты дальнейших исследований Гильберта показали, что
разложение B.101) принадлежит к группе асимптотиче-
асимптотически сходящихся рядов. Следовательно, чтобы решить,
насколько справедливо разложение Гильберта, необхо-
необходимо оценить величину остаточного члена. Грэд в своих
исследованиях [35] получил выражение для этого члена.
Сравнивая разложение Гильберта с методом Чепмена —
Энскога, легко установить их внутреннюю связь. Грэд
[35] показал, как можно использовать идеи Гильберта
при рассмотрении сходимости разложения Чепмена —
Энскога, и пришел к заключению, что разложение Чеп-
Чепмена — Энскога является также асимптотически сходя-
сходящимся.
2.3. Вывод уравнений моментов из уравнения
Батнагара — Гросса — Крука (БГК)
Основная проблема при выводе макроскопических
уравнений — это проблема столкновительного члена в ки-
кинетических уравнениях. В этой связи представляет ин-
интерес модель, предложенная Батнагаром, Гроссом и Кру-
ком [36], которые заменили интеграл столкновений одним
«релаксационным» членом. Основная идея их метода за-
заключается в том, что малые отклонения от локального
равновесного распределения всегда релаксируют к ло-
локальному равновесному распределению с постоянным вре-
временем релаксации порядка времени между столкновениями.
Исходя из этого утверждения, можно записать уравнение
БГК
в котором через т0 обозначено характерное время релак-
релаксации, а функция
представляет собой локальную равновесную функцию
распределения. Сущность метода БГК заключается в том,

§ 2. Макроскопические уравнения	263
что вышеприведенная функция равновесного распреде-
распределения содержит в качестве параметров, подобно функ-
функции Чепмена — Энскога в нулевом приближении, точные
значения первых пяти моментов функции распределения.
Поэтому уравнение БГК не является линейным уравне-
уравнением, как это могло показаться на первый взгляд.
Поскольку уравнение БГК есть не что иное, как упро-
упрощенный вариант уравнения Больцмана, можно ожидать,
что к нему применимы разложение Трэда и метод Чеп-
Чепмена — Энскога, описанные выше. Приведем здесь только
соответствующие уравнения, полученные с помощью раз-
разложения Трэда для случая двухкомпонентной системы:
Уравнение непрерывности
Уравнение переноса импульса
4t Р»<&> + ¦!"IJV-Рц(L) = ^ ТО- B-Ю8)
Уравнение переноса энергии
у P + 4 (К +
• B-109>
Уравнение переноса теплового потока
et % + TP^-W'l^-
BЛ1О)
Здесь использовались следующие сокращенные обозначе-
обозначения:
(gv) + F»v <gv>2,
-,	B.111)

264 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
где T/fe — среднее время между столкновениями, a Bjk —
коэффициент прямой передачи тепла от одной компоненты
к другой.
Отсюда коэффициент трения и коэффициент теплопро-
теплопроводности получаются равными
^	B.112)
Уравнения, приведенные выше, являются восьмимомент-
ными уравнениями, редуцированными из уравнений для
35 моментов, полученных в работе [37].
Применение метода Чепмена — Энскога приводит
к выражению для функции распределения в первом при-
приближении
B.113)
в котором при вычислении функций х и у использовался
столкновительный член в форме Батнагара — Гросса —
Крука. С помощью этой функции распределения можно
опять получить уравнения переноса и найти уравнения
Навье — Стокса, соответствующие соотношениям B.84)
и B.85). Однако заметим, что теперь коэффициенты в этих
уравнениях в силу основного предположения рассматри-
рассматриваемой модели зависят от феноменологической постоянной
т0 и, следовательно, могут быть использованы для полу-
получения сведений о ее свойствах.
Введенное понятие характерного времени релакса-
релаксации т0 может навести на мысль, что результаты, получен-
полученные из уравнения Батнагара — Гросса — Крука, должны
совпадать с результатами, полученными из уравнения
Больцмана для максвелловских молекул [s = 4 в формуле
B.30)]. Но такое заключение было бы неверным, посколь-
поскольку в уравнении БГК, кроме того, используется очень
упрощенная модель, в которой пренебрегается всеми
деталями процесса столкновений.
Релаксационный член в модели БГК имеет лишь чисто
эвристическое происхождение. Несколько авторов пыта-
пытались с математической строгостью доказать его законность

	§ 3. Обзор систематических методов	265
[38, 39]. С помощью линеаризованной теории им удалось
лишь определить условия применимости релаксационного
члена типа Батнагара — Гросса — Крука.
§ 3. ОБЗОР СИСТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
До сих пор приближенное решение цепочки уравне-
уравнений ББГКИ заключалось в выводе кинетических уравне-
уравнений путем обрыва и преобразования этой цепочки. Такой
способ был изложен в разд. 1.2—1.4. Теперь попытаемся
перейти к изучению более общих методов, в которых, по
крайней мере в принципе, не ограничиваются уравнениями
цепочки первого или второго порядка. В каждом из этих
методов возникает огромное количество проблем, которые
не могут быть решены полностью в рамках настоящего
исследования. Поэтому с самого начала ограничимся, как
мы это сделали в § 1 гл. 1, только обзором основных идей
и результатов, не останавливаясь на подробных преобра-
преобразованиях при выводе формул.
3.1. Теория Боголюбова
Ниже излагаются основные результаты теории Бого-
Боголюбова. Хотя эта теория первоначально была создана для
разреженных систем с преобладающим парным взаимодей-
взаимодействием, но она служит основанием также и для некоторых
современных приближений, применяемых для описания
плазмы.
Характерные постоянные, определяющие
изменения во времени
Будем снова исходить из общей цепочки уравнений
s	s
df* , хг\ dfs I v*' #	д
+ 2ъ-—^ 2 -щ
4
г=1	г, k
'JS¦?-

266 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Как и выше (на стр. 195), используем безразмерные пере-
переменные
г=	 у —	 %~—?- ф = — fs=VcVsfs» C.2)
гс	^с	гс	Фс
В результате уравнения C.1) запишутся в виде
_?_	S	_?,	S	J2_
s
= ПсвПпл \ dr I >. -г- Ф(г^ г )--т-/з+1йу » C-3)
где параметры связи и плотности равны
Псв=-|^-, Ппл = тгг?.	C.4)
С
Оценим члены в C.3) по порядку их величины. Для
этого отметим, что
ф = ОA) и ? = 0A),	C.5)
а следовательно, можно использовать соотношение
?*«=О(ш=о&).	C.6)
Далее предположим, что
Здесь L — характерная длина макроскопических измене-
изменений. Тогда для разреженной системы с Псв = О A) из
C.3) получаем
dfs "с dfs_ -ci (dfs\ idfs\ _n(vc 7 V
i=1 .	C-8)

	§ 3, Обзор систематических методов	267
или, определяя через характерные времена, имеем
C.9)
is " \тсг
Вошедшие в эти оценки три характерных времени в слу-
случае разреженной системы определяются как
Tt _ L	r 	 ГС	т 	 ГС	(О АГ)\
vc	vc	исппл
Обычно они имеют следующий смысл:
твз характеризует среднюю длительность внутрен-
внутреннего взаимодействия между s-частицами;
тс обозначает среднее время между столкновениями
5-частиц с другими частицами системы;
Тд характеризует время протекания макроскопиче-
макроскопических гидродинамических процессов в системе.
Тот факт, что эти три времени имеют различный поря-
порядок величины, и составляет основу теории Боголюбова.
Чтобы оценить их величину, вспомним, что
vcttvT,	C.11)
= %.	C.12)
Здесь q — поперечное сечение столкновения, а К — сред-
средняя длина свободного пробега. Учитывая C.11) и C.12),
находим
Тс~?, Тзз*^.	C-13)
Отсюда видно, что характерные времена xh, тс и твз, опре-
определяющие эволюцию функции /s, удовлетворяют соотно-
соотношениям
тл > тс > твз,	C.14)
если выполнены условия
L > X > гс.	C.15)
Заметим, что эти условия нарушаются в теории плазмен-
плазменных колебаний, где L « гс ^ Х^.

268 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Эволюция fs во времени
Три характерных масштаба времени, рассмотренные
выше, дают возможность соответствующим образом опре-
определить эволюцию /s во времени. Пусть в момент времени
t = О имеется произвольное состояние, характеризующее-
характеризующееся набором приведенных функций распределения fs @).
Функция fi остается практически постоянной в тече-
течение времени t ^ твв, поскольку характерное время ее
изменения порядка тс, а, как известно, тс ^> твз. С дру-
другой стороны, для s > 1 все функции fs за время твз релак-
сируют к среднему значению (fs >, продолжая быстро
флуктуировать около </s). Это явление обусловлено пря-
прямым взаимодействием выделенных s частиц. Среднее
значение (/s> зависит от функции Д. По истечении вре-
времени t = О (твз), за которое устанавливается это сред-
среднее значение, можно представить fs в функциональном
виде
fs «(/.>= fs (Г4, . . ., rs, Vl, . . ., Ve|/i).	C.16)
Однако очевидно, что такое представление не является
вполне корректным, так как величина fi не может описы-
описывать отдельные флуктуации fs около среднего значения
В течение времени порядка тс изменение всех функций
/s, включая 5=1, определяется средним взаимодействием
группы s частиц с другими частицами системы. Это взаи-
взаимодействие вызывает релаксацию /А к распределению,
которое изменяется только в зависимости от определен-
определенного набора моментов. В то же время, в силу предполо-
предположения %ъ. ^> тс, соответствующие моменты остаются
постоянными в интервалах времени О (тс).
Интервал времени 0 <С t < твз называют «синхрони-
«синхронизационной фазой» эволюции, а интервал твз <С t < тс —
«кинетической фазой».
Система функциональных уравнений
Исходя из соображений, изложенных выше, Боголю-
Боголюбов постулирует следующую функциональную зависи-
зависимость:
/. (г„ . . ., v.s; *) = /. (г1( . . ., v. | Л (*))• C.17)

	ff. Обзор сидтёмйтичёсНиХ методов 	 269
Это основное предположение в теории Боголюбова. Как
указывалось выше, оно приводит к некоторой потере
информации.
Разумеется, предположение C.17) само по себе не об-
обрывает цепочки уравнений. Однако для разреженного
газа можно получить ее решение методом последователь-
последовательных приближений, если использовать разложение по пара-
параметру плотности Ппл, эквивалентное вириальному разло-
разложению, применяемому к уравнению состояния. Дело в
том, что разложение по параметру плотности эффективно
обрывает цепочку уравнений на данном порядке по Ппл
независимо от предположения о функциональной зави-
зависимости. Это очевидно, так как корреляционные функции
более высокого порядка /в+1, через которые только и про-
происходит зацепление со следующим уравнением цепочки,
мультипликативно зависят от Ппл. Поэтому используем
для всех функций распределения fs (s > 1) разложение
/з = ^/8 + Ппл^/з4-ЩлB)/а+... .	C.18)
Существенно отметить, что /А не разлагается, а считается
функциональным параметром, который аналогичен гид-
гидродинамическим величинам в методе Чепмена — Энскога.
Чтобы найти решение цепочки уравнений, необ-
необходимо знать производные по времени от функций /s,
включая 5 = 1. Представим их также в виде ряда
^-= АГ + IW<1> + Щл.4<а>.	C.19)
В силу постулата Боголюбова /в = /8 (• • • I /t) можно
ожидать, что существует соотношение между коэффициен-
коэффициентами А(^ и А^ для 5^2. Это соотношение следует из
равенства *)
_
х) Заметим, что обозначение (bfs/dfi) о соответствует оператору,
который действует на dfjdt. Если, например,
т
)= J П
?'5 *) К F

270 Рл. 4. Неравное, состояния кулон* сист. с учетом корреляций
и имеет вид
г=0
Запишем теперь цепочку уравнений ББГКИ в сокра-
сокращенной форме
^+«5Л = П„л«./.41.	C.22)
Здесь ^s представляет собой корреляционный оператор,
a Xs = i{Hs, .. •} — s-частичный оператор Лиувилля. Под-
Подставляя C.18) и C.19) в C.21), получаем для s=l
4V) = «4 (v-1}/2	C.23)
и для s > 1
v .	C.24)
2 0 il)fs Av-i) , ?.y(vb c^ (v-Di
i=0
Решение системы уравнений C.23) и C.24) до данного
порядка v по Ппл в принципе заключается в следующем.
то
m
v=l гфч
Таким образом, оператор 6/s/6/i равен
v=l
а символ о, стоящий после б//б/!, означает интегрирование по ?.
Величина Z = П^б (^ — хг) включает произведения выражений,
используемых нише в качестве начальных условий.

§ В Обзор систематических методов	2*71
В нулевом порядке (v = 0) имеются уравнения
6<°>/8 .@) . @)г	лх	C.25)
б/i 1
которые выражают А^ и @)/8 (s = 2, ..., /г + 1) функцио-
функционально через Д. В (v-fl)-M порядке соответственно имеют
место соотношения
^ (v)/2,	C-26)
V
/s = ^s /e+i— 2 ~бГ
г=0
Эти соотношения определяют функциональную зависи-
зависимость А<у+1) и (v+^ /e (s =2, . . ., гг — v) от ft; при этом
предполагается, что все А® и <*)/в для i<vhs=1, ...
. . ., тг + 1 — i уже известны из аналогичных уравн^
ний более низкого порядка.
В частности, таким методом можно вычислить (П~1> /2,
исходя из соотношения
Л^> = «1^1)/2.	C.27)
При этом Д определяется из кинетического уравнения
Щ = 2 ^(iv) (А) = - «?i/i + «i S (v)/2 (/i) C-28)
v=0	v=0
с точностью до членов порядка Щл. Само собой разу-
разумеется, что из C.26) также могут быть вычислены функции
распределения более высокого порядка (v) f8 (v < w), ко-
которые не участвовали в данном методе.
Начальные условия
Для точного решения цепочки уравнений ББГКИ,
конечно, необходимо знать начальные значения f8 при
t = 0. Такие начальные функции распределения /в @)
можно выбирать произвольно, но при этом должно вы-

2?2 Рл, 4. Неравное* состояния кулон» сист. с учётом корреляций
подняться следующее условие:
fs = as j fs+i dvs+i d\s+i,	C.29)
где as — постоянная, зависящая от нормировки /s.
На основании постулата Боголюбова о функциональной
зависимости цепочка дифференциальных уравнений
ББГКИ преобразуется в систему функциональных диффе-
дифференциальных уравнений. Потеря общности возможных
решений из-за применения приближенного метода, ко-
конечно, отражается также и на начальных условиях.
Само собой разумеется, что можно выбрать какое-либо
начальное значение /1а. Если, далее, положить fsa =
= fsa(fia)i то из рассматриваемой системы функциональ-
функциональных уравнений можно найти общую функциональную
зависимость fs =fs(fi), где Д =f±(t). Однако в силу
ограничений, наложенных на процессы релаксации, нель-
нельзя произвольно выбрать начальную функциональную
.зависимость fsa = /sa(/la). He так просто определить
класс начальных условий, которые соответствуют дей-
действительности.
Эта проблема может быть решена путем преобразова-
преобразования, которое сводит систему функциональных дифферен-
дифференциальных уравнений C.26) к системе дифференциальных
уравнений, позволяющих ввести набор возможных на-
начальных условий.
Боголюбов ввел s-частичный оператор временного
сдвига
<fi%(ri, • • •> vs; т) = exp (it Х8),	C.30)
в котором временной сдвиг обозначен через т, чтобы не
смешивать его с текущим временем t. Этот оператор вре-
временного сдвига описывает изменение во времени коорди-
координат всех частиц, принадлежащих s-группе, только за счет
внутренних взаимодействий и не учитывает взаимодейст-
взаимодействий с другими частицами.
Дифференциальные уравнения получаются из функ-
функциональных путем * преобраз<5вания по т
— <?i (т) fi (r, v; t)=iXi^ih (r, v; t)= — A™ \tfx (x) /J, C.31)

_		§ 3. Обзор систематических методов	273
откуда
Таким образом, второе уравнение C.26) эквивалентно
дифференциальному уравнению
»(/;), (З.зз)
i=o v/1
причем правая часть C.33) представляет собой хорошо
известный функционал от /1# Боголюбов накладывает сле-
следующее условие при т = оо:
71=1
C.34)
которое приводит к требованиям
s
71=1
C.35^
Т->оо
Для однородной системы, поскольку оператор <5?! не со-
содержит потенциала взаимодействия, c^i обращается в еди-
единичный оператор. Поэтому мы имеем
S
Л (- т) /, (Л) —^> <5% (- т) П /i (г., vn; t). C.36)
71=1
Условие C.35) есть не что иное, как обобщение пред-
предположения Больцмана о первоначальном хаосе: если дви-
двигаться по траекториям частиц s-группы, не взаимодейст-
взаимодействующих с другими частицами системы, назад в прошлое,
то в силу условия C.35) придем к некоррелированному
18-01291

2?4 Гл. d. Неравное, состояний, Пулон. сист. с учетом корреляций
состоянию. Очевидно, что это условие вводит необрати-
необратимость в систему уравнений. Соответствующее предполо-
предположение для бесконечного будущего приводило бы к кинети-
кинетическому уравнению с «неправильным направлением вре-
времени». Этот случай не является интересным, поскольку
причинное рассмотрение обычно предпочитают телеоло-
телеологическому.
Что касается вычисления выражений C.32) и C.34),
то в силу причин, указанных в начале данного параграфа,
мы отсылаем читателя к соответствующей литературе.
Укажем лишь, что для однородных систем с короткодейст-
короткодействующими силами взаимодействия получается обобщен-
обобщенное уравнение Больцмана, в котором учитывается вклад
в интеграл столкновений корреляций более высокого по-
порядка. В случае неоднородных систем появляются сла-
слагаемые, учитывающие взаимное влияние интерференции
столкновительного члена с конвективными членами.
3.2, Распространение теории Боголюбова на плазму
В разд. 3.1, рассматривая в общем плане приближение
Боголюбова, основанное на предположении о функцио-
функциональной зависимости и исчезающе малых корреляциях
в бесконечно удаленном прошлом, можно было .видеть,
что цепочка уравнений ББГКИ в принципе решается даже
для случая плотных газов. Разложение по параметру
плотности соответствует последовательному учету пар-
парных, тройных и более высокого порядка корреляций.
Все свое внимание здесь мы сосредоточим на полно-
полностью ионизованной плазме. Поэтому прежде всего иссле-
исследуем вопрос о применимости основного приближения
в случае такой плазмы. При этом возникают трудности,
как только делается допущение о синхронизационной фазе
эволюции. В системе с короткодействующими силами
время взаимодействия твз резко отличается от характер-
характерных времен тс и Тд, в плазме же это различие становится
менее заметным.
Для времени внутреннего взаимодействия можно ис-
использовать следующую оценку:
Твз^-^-^сор1,	C.37)

§ 3. Обзор систематических методов	2?5
в то время как все процессы, вызывающие изменение
функции fi в однородной плазме, определяются временем
релаксации
Поэтому отношение этих времен равно
тс __ Л
твз ~ In Л •
Однако если система является неоднородной, то бла-
благодаря коллективным эффектам характерное время изме-
изменения /i порядка сор1, так что
тЛ « твз.	C.40)
Соотношения C.39) и C.40) показывают, что прибли-
приближение Боголюбова применимо к однородной плазме, если
ее плотность значительно ниже критической. В случае же
неоднородной плазмы для использования гипотезы Бого-
Боголюбова о синхронизационной фазе эволюции, несомненно,
должны быть привлечены дополнительные аргументы, по-
помимо исследования лишь порядка рассматриваемых здесь
величин. В этой связи следует обратить внимание на тот
факт, что при выводе кинетических уравнений (стр. 213)
рассматривались только системы, в которых пренебрега-
лось самосогласованным полем по сравнению с корреля-
корреляционным полем, что означало в известном смысле огра-
ограничение случаем однородной системы.
Начальные условия Боголюбова, соответствующие исче-
зающе малым корреляциям в бесконечно удаленном прош-
прошлом, сами по себе не являются строгим ограничением для
применения их к плазме. Практически любая теория, рас-
рассматривающая корреляции многих частиц кулоновской
системы, неизбежно приводит к соответствующей дебаев-
скому экранированию двухчастичной корреляционной
функции, для которой корреляции исчезают на расстоя-
расстоянии порядка дебаевского радиуса. Это в какой-то степени
оправдывает возможность применения начальных усло-
условий Боголюбова для времен t > (Op1.
Разложение по параметру плотности нельзя приме-
применить к плазме, поскольку параметр плотности, опреде-
18*

276 Гл. 4. Неравное, состояния йулон. diicm. с учетом корреляций
ляемый как
Ппл = пг\ « пХЬ « Л,	C.41)
всегда значительно больше единицы для плазмы с плотно-
плотностью ниже критической. Поэтому все разложения по Ппл
являются расходящимися г).
Отыскивая другой подходящий параметр разложения,
заметим, что параметр связи в плазме равен
^-Й-~Л-	C-42)
откуда следует, что в области ниже критической плотно-
плотности мы имеем случай слабого взаимодействия. Поэтому
в плазме параметр связи Псв является «хорошим пара-
параметром разложения».
Боголюбов уже в своей оригинальной работе [21]
использовал разложение по параметру Псв, получив
уравнения для однородной плазмы. Его результаты послу-
послужили основой вывода кинетического уравнения Ленардом
(см. разд. 1.4). Однако ниже мы рассмотрим приближение
Гернси [40], в котором используются результаты Бого-
Боголюбова, но которое является формально более общим,
поскольку в нем учитываются как силы взаимодействия
в системе, так и множественность столкновений.
Двойное разложение Гернси
Гернси вместо разложения по параметрам Ппл и Псв
использовал соответственно двойное разложение по двум
параметрам: по Псв» характеризующему силу связи, и по
Ппс = ППЛПСВ, учитывающему эффект корреляций. Мож-
Можно показать [42], что это разложение приводит к тем же
самым результатам, что и разложение по параметрам
Ппл и Псв.
Прежде чем перейти к двойному разложению, заме-
заметим, что в плазме параметр Ппс = ППЛПСВ в соответст-
соответствии с C.41). и C.42) по порядку величины равен единице.
х) В действительности разложение по параметру плотности даже
в случае короткодействующих сил взаимодействия при учете соуда-
соударений четырех или более частиц приводит к секулярным членам,
которые могут быть устранены только чрезвычайно сложными мето-
методами сингулярной теории возмущений [41].

§ 3. Обзор систематических методов	277
Чтобы обойти основную трудность, связанную с расхо-
расходимостью при разложении по параметру плотности в плаз-
плазме, необходимо в двойном разложении провести суммиро-
суммирование по всем степеням Ппс. Следует отметить, что двой-
двойное разложение вводится только как промежуточная
ступень, облегчающая вычисления и приводящая к боль-
большей общности.
Основной постулат Боголюбова
U (г1? . . ., v5; t) =fs (rlf . . ., vs I/O t C.43)
используется в двойном разложении по аналогии с C.18)
и C.19), т. е.
/.= S nc^BnSc/^v)(/i), s>2	C.44)
§==2 П&ПЗо^е *(/,).	C-45)
И в этом случае благодаря указанной функциональной
зависимости существует связь между коэффициентами
А&> v> для s^2i коэффициентом A№,v), которая следует
из соотношения
2пи nv л (|i, v)__dfs ^ п п ^/<г> ° dfi
1]свипсЛ3 ___ ^j ИсвААдс qj °~Qf =
li, v=0	г, i
= 2 m+^if^o^'0 C.46)
г, i, ft, г
и имеет вид
t )	^« А^г' v~j) №)• C-47)
г=0 j=0
Поскольку теперь играют роль оба параметра Псв и Ппс?
цепочку уравнений ББГКИ, полученную из C.22), можно
записать в следующем символическом виде:
d^	«в/Ж.	C.48)

278 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Здесь оператор
2=1
описывает эффекты, обусловленные потоком частиц в кон-
конфигурационном пространстве, а оператор
учитывает взаимодействия внутри группы s частиц. Опе-
Оператор %s по-прежнему описывает взаимодействие 5 частиц
с другими частицами плазмы [см. C.3)].
Подставляя C.44), C.45) и C.47) в C.48), получаем
следующую зависимость для s Ф 1:
C.51)
В случае 5=1 мы имеем
= %ft V-J).	C.52)
Эти уравнения позволяют вычислить коэффициенты мето-
методом последовательных приближений. В нулевом при-
приближении из C.52) получаем
0,	C.53)
а из C.51)
^4°	0) = 0.	C.54)
В следующем приближении необходимо вычислить коэф-
коэффициенты 40>1), 41>0) и функции ff^\ fsU0). Из C.52)
получаем соотношения для коэффициентов if'^nii1'^
4М) = Ои4М) = адBМ).	C.55)
Из C.51) находим уравнения для /s°'1} и fs1' 0)

	§ 3. Обзор систематических методов	279
И
6/i °^i +^s/s ' =	g^-o^i' ' + wi+i • C.57)
Уравнения C.55) — C.57) совместно с начальными усло-
условиями, соответствующими исчезающе малым корреля-
корреляциям в бесконечно удаленном прошлом, достаточны для
определения функции /4, необходимой для вычислений
в приближении первого порядка.
Кинетическое уравнение для определения функции /4
в приближении первого порядка имеет вид
%- = 40'0) + 41>0) + 40'1)=-^/1 + ^/B°'0), C.58)
где Д°'°> на основании C.53) и C.54) можно представить
в виде функционала от /4.
Аналогично находится решение в приближении более
высокого порядка (v + \i > 1). Конечно, система уравне-
уравнений в этом случае становится значительно сложнее.
Как уже отмечалось выше, можно ожидать разумные
результаты только в том случае, когда проводится сумми-
суммирование по всем значениям v. В нулевом приближении
(li = 0) такое суммирование по v приводит к уравнению
Власова. В приближении первого порядка (\i = 1, a v
произвольное) Гернси получил уравнение, выведенное
Ленардом из теории Боголюбова (см. стр. 276).
Согласно замечанию, сделанному в начале главы,
читателя, интересующегося деталями вычисления коэф-
коэффициентов и различными методами суммирования, отсыла-
отсылаем к работам [40, 43].
Особенного внимания заслуживает тот факт, что в тео-
теории Гернси так же, как в теории Балеску и Ленарда, ки-
кинетическое уравнение соответствует первому порядку
разложения по параметру Псв. Поэтому можно ожидать,
что эта теория, справедливая для достаточно больших
расстояний, будет неверна, если рассматривать близкие
столкновения, при которых параметр связи становится
порядка единицы. Кроме того, Гернси рассмотрел лишь
пространственно однородную плазму. By и Розенберг [42]
обобщили теорию Гернси на случай неоднородной плаз-
плазмы. Они учли первый порядок разложения по параметру
связи и все порядки до корреляционному параметру.

280 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист, с учетом корреляций
Формализм метода группового разложения
Ростокер и Розенблют [44] и Ишикава [45] независимо
предложили метод вывода кинетических уравнений из
цепочки уравнений ББГКИ, основанный на групповых
разложениях. Этот метод впоследствии успешно исполь-
использовался другими авторами [46—48].
Изложение метода начнем с рассмотрения цепочки
уравнений ББГКИ, записанной в виде C.48), причем
параметры связи и плотности имеют следующий порядок
величины:
Псв = О (А-*), Ппл = О (Л), Ппс = ППЛПСВ = О A). C.59)
Ростокер и Розенблют применили к цепочке уравнений
групповое разложение A.22) в общем виде
S	S	S
fs = II /t (г*, v,; t) + 2' II figjk + 2' П hgjki + ... .
гфз, k	гфэ, ft, I
C.60)
В результате они получили новую цепочку уравнений для
одночастичной функции распределения Д и корреляцион-
корреляционных функций gi...s, причем первые два уравнения этой
цепочки имеют вид [см. A.20) и A.21)]
^	vi; *)/i(r2, v2; t) + gi2)] C.61)
и
%	+ gi2) -
(r3, v3;	i) fta + gi2e) +Ппс«1 A) /i (r4, v4;
+ nno«iB)/i(r2,v2; 0^13- C.62)
Здесь в операторе %± (v) аргумент v означает переменную
дифференциальной части этого оператора.
До сих пор мы не использовали никакой дополнитель-
дополнительной информации. Просто, как и в уравнениях A.20)
и A.21), функции распределения fs были заменены корре-
корреляционными функциями gi.,.,r

§ 3. Обзор систематических методов	281
Основное допущение Ростокера и Розенблюта, кото"
рое во многих отношениях приводит к тем же самым след-
следствиям, что и предположение Боголюбова о функциональ-
функциональной зависимости, может быть сформулировано следую-
следующим образом:
s gi~'s	= О(Л~8).	C.63)
П/i (**,Ў*;*)
Помимо этого разложения, Ростокер и Розенблют исполь-
использовали также разложение функции /4 и корреляционных
функций gi...s по степеням параметра (Л). С учетом
C.63) это дает
Подставляя соотношения C.64) в C.61) и C.62) и записы-
записывая последние в виде разложения по степеням параметра
Л, получаем следующее уравнение в приближении ну-
нулевого порядка:
+ Л <°>А = «1 A) [<0)/i (ri, vi; t) <»>/i (r2, v2; *)]. C.65)
Уравнения для приближения первого порядка имеют вид
д-^Г + ^1 A>/i =«i A) [<0>/i (ri, vi; t) <»Л (r2) v2; t) +
+ A)/i (г», vl5 t) W/i (r2, v2; t) + @>g12] C.66)
и
P ^2 mgi2 = ^2 [<°>/l (Г1, V4; *) <»>/! (Г2, V2; 01 +
ГА (г„ v3; 0 <0)^2] + % A) [<0)/i (ri, уi, t) wg»] +
+ «1B)Г/1(га,уа;0@^18]. C-67)
Решения уравнений C.66) и C.67) с помощью группового
разложения C.60) позволяют тривиально вычислить все
функции распределения fs с точностью до Л.
Хотя эту процедуру в принципе можно продолжить
до произвольного порядка по параметру Л, но следует

282 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
признать, что с увеличением степени параметра Л уравне-
уравнения становятся практически неразрешимыми. Уже для
второго порядка уравнения являются настолько запутан-
запутанными, что до сих пор не найдены их решения.
Результаты использования метода
группового разложения
Уравнение для приближения нулевого порядка C.65)
представляет собой хорошо известное уравнение Власова.
Уравнения в первом порядке для случая однородной
плазмы сводятся*к тому же самому кинетическому урав-
уравнению, что и в теории Боголюбова. По крайней мере
с той степенью точности, с какой предположения Бого-
Боголюбова о функциональной зависимости и предположения
Ростокера и Розенблюта C.63) об ослаблении корреля-
корреляций эквивалентности.
Ростокер и Розенблют [44] применили вышеизложен-
вышеизложенный формализм к задаче о пробной частице в полностью
ионизованной плазме. Очевидно, что в этой задаче необ-
необходимо найти уравнения, связывающие два набора при-
приведенных функций распределения, один из которых (cos)
относится к пробной частице, другой (fs) — к полевым
частицам. В нулевом порядке уравнение для функции рас-
распределения пробной частицы (O)coi совпадает с уравнением
для функции распределения полевых частиц @)/i- В пер-
первом порядке эволюция функции распределения пробной
частицы A)о>1 во времени описывается уравнением типа
уравнения Фоккера —Планка
Коэффициенты Фоккера — Планка здесь определяются как
<Av>=^ (-»J *> J 4g A)/>(r2, ъ ^-^-А)
C.69)

	§ 3, Обзор систематических методов	283
И
<Av)(Av>=-2-g-A.	C.70)
Индекс Т относится к величинам, характеризующим
пробную частицу. Тензор А имеет вид
А (гь vi; t) = -n { dv2 J^)( P12<°>/1 (r2, v2; t) dv2, C.71)
где величина Р12 определяется согласно соотношению
<>' C-72)
Функция распределения A)/i для полевых частиц под-
подчиняется следующему уравнению, в которое подставлены
уже вычисленные коэффициенты:
dt
+ n J drB j ^H (D/, (Гз? v3; *) «^ (r2, v2; *) dv3} - 0. C.73)
Вышеприведенные результаты получены в предполо-
предположении, что функция распределения @)/i является мак-
свелловской, а парные корреляции полевых частиц соот-
соответствуют равновесному состоянию.
Отметим, что первоначальный формализм Ростокера
и Розенблюта носит более общий характер и не совпадает
с только что рассмотренным; уравнение, полученное с его
помощью, является инвариантным по отношению к пре-
преобразованию времени. Это уравнение только позже было
приведено к обычному виду.
Приближение, основанное на групповом разложении,
успешно применялось для описания неоднородных систем,
например, Ишикавой [45] и Гернси [48]. Оба автора рас-
рассматривали малые отклонения от равновесия, не исполь-
используя предположения о пространственной однородности
системы и достаточно большой величине времен релак-
релаксации. Исследования пространственно неоднородных си-
систем являются особенно важными, так как даже малые

284 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
отклонения от однородности могут приводить к большим
коллективным эффектам, как, например, в случае плаз-
плазменных колебаний при наличии столкновений.
3.3. Многовременной формализм
Кинетическое уравнение для функции распределения
первого порядка является уравнением вида
Щ.= А(т,у\П),	C.74)
где А обозначает общую функциональную зависимость от
и-
В § 1 мы вывели кинетическое уравнение Больцмана,
уравнение Ландау — Фоккера — Планка и уравнение
Боголюбова — Ленарда — Балеску путем обрыва цепоч-
цепочки уравнений на основе весьма грубого рассмотре-
рассмотрения только двух характерных параметров Псв, Ппл.
В разд. 3.1, с другой стороны, было дано более система-
систематическое приближение Боголюбова, которое, по крайней
мере в принципе, приводит к методу, позволяющему вы-
вывести кинетическое уравнение с учетом эффектов более
высокого порядка. Однако теория Боголюбова, основан-
основанная на предположении о функциональной зависимости
fs (• • • I fi)i использует метод, в котором не доказывается,
а постулируется существование кинетического уравнения
вида C.74).
Чтобы более глубоко проникнуть в природу кинети-
кинетической фазы и доказать существование кинетического
уравнения, необходимо вообще отбросить постулат о функ-
функциональной зависимости. Конечно, вряд ли можно на-
надеяться, что непосредственное применение разложения
вида
/•= S ev(v)/s (ri, ..., vs; *), где е = Псв, Ппл, C.75)
приведет к желаемому результату. Действительно, уже
Боголюбов показал [8, 21], что такое упрощенное разло-
разложение по малому параметру, произведенное в цепочке
уравнений, дает члены, монотонно растущие со временем.
Это означает, что разложение по теории возмущений при-
приводит к членам, которые астрономы называют «секуляр-

§ 3. Обзор систематических методов	235
ными». Для того чтобы устранить трудность, связанную
с такими секулярными членами, Пуанкаре [49] создал
более совершенную теорию возмущений, в которой по
степеням малого параметра раскладываются как функции,
так и независимые переменные. Для случая нелинейных
периодических систем теория возмущений, исключающая
секулярную зависимость, была развита Ван дер Полем
(см., например, [50, 51]).
В качестве продолжения указанных работ можно при-
привести работы Сэндри [52, 53] и Фримана [54], в которых
дается новое приближение для получения необратимых
уравнений, описывающих релаксацию системы мно-
многих частиц к равновесию. Эти исследования существен-
существенным образом проливают свет на понимание эволюции
таких систем.
Постановка задачи
Поскольку рассматриваемая проблема основывается
на понимании многовременного приближения, остано-
остановимся на этом вопросе более подробно. Как и прежде,
запишем цепочку уравнений
Щ + Jsfs = nCB^s/s + П„л«,/в+1.	C.76)
В случае кулоновской системы в докритическом состоя-
состоянии (Ппл = 1, Псв =Л"Х =8) функции распределения fs
можно представить в виде следующего разложения:
/«=2 ?v(v)/s-	C.77)
Подставляя C.77) в C.76) и собирая члены, пропорцио-
пропорциональные одной и той же степени параметра 8, получаем
систему уравнений
^ b (v)/s = %s (v- i)/s + «,<v)/e+1.	C.78)
Важно отметить, что система уравнений C.78) справедли-
справедлива, если только операторы, используемые в ней, не изме-
изменяют относительного порядка величины членов. Опера-
Операторы, удовлетворяющие этому условию, называются
«конформными».

286 Гл. 4. Йеравнов. состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Операторы 9&8 и %s по порядку величины равны еди-
единице, если время измеряется в единицах времени взаимо-
взаимодействия твз = rJvc (см- СТР- 267). В кулоновской си-
системе время взаимодействия твз я^ Ор1, а поэтому опера-
операторы 98s, %s и dldt являются конформными, если только
функция fs «изменяется в шкале» времени плазменных
колебаний.
Если изменения во времени характеризуются време-
временем между столкновениями
T«»fiM51-ET = 0(iTBB) ,	C.79)
то система уравнений C.78) уже не пригодна. В этом слу-
случае вводится новая переменная времени t' = е? так, чтобы
оператор
и операторы 98\ и %s стали конформными. Для этих опе-
операторов цепочка уравнений C.76) записывается в виде
8
Подставляя в C.81) разложение C.77), получаем систему
дифференциальных уравнений
^	~ «/e+i- C.82)
Очевидно, что эта система отличается от C.78).
Таким образом, ясно, что вид разложения по малому
параметру сильно зависит не только от типа системы, но
также и от характера изменения рассматриваемых явле-
явлений, в частности от их изменения во времени.
Распространяя разложение, справедливое для харак-
характерного времени изменения т4, на явления с характерным
временем т2, можно получить неверные результаты, если
между ti и т2 существует связь, зависящая от 8.
Формализм
Если стремиться к тому, чтобы разложение правильно
описывало изменения, происходящие в различных времен-
временных масштабах, то необходимо явно учесть неконформ-

	§ В. Обзор систематических методов	28?
ность оператора дифференцирования по времени. Исходя
из этого, Сэндри и Фриман [52—54] для своего метода
заимствовали разложение, применяемое в методах нели-
нелинейной механики. Вместо одного характерного времени
они ввели много масштабов времени, связанных со вре-
временем t соотношением
^=ev,	C.83)
в котором 8 — параметр малости (например, Псв или
Ппл).
В вышеуказанном смысле предполагается, что введен-
введенные таким образом масштабы времени должны явно раз-
различать те производные по бремени, которые отличаются
друг от друга на порядок величины 8. Независимость ре-
решений уравнения C.83), обусловленная выбором началь-
начальных условий, позволяет рассматривать tv как независи-
независимые переменные.
Логическим следствием замены / набором переменных
tv является введение «многовременных функций»
fa (*i, • • •> vs; t) =/8 (г4, . . ., ve; т0, %и •. •) C.84)
и оператора дифференцирования по времени
ж=2<^	C-85)
V
где все операторы d/dxv должны теперь рассматриваться
как конформные. Разложение функций распределения f$
по-прежнему имеет вид
...;To,Tl, ...).	C.86)
v
Из выражений C.85) и C.86) следует, что
Обратим внимание на тот факт, что введение много-
многовременных функций расширяет возможный класс решений.
Поэтому необходимы дополнительные требования, при-
приводящие к уменьшению произвола в выборе функций.

28§ Рл, 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
Таким требованием является условие «устранения секу-
лярности», которое очень существенно для данной теории.
Подставляя разложение C.87) в цепочку уравнений
C.76) и группируя коэффициенты порядка 8V, приходим
к системе уравнений для плазмы
v
4^	(v)/s+i- C.88)
Очевидно, что эти уравнения не являются еще расцеп-
расцепленными с частью цепочки более высокого порядка, так
как они содержат функцию /s+1, имеющую тот же самый
порядок v в разложении по малому параметру.
Само собой разумеется, что нельзя иметь дело одно-
одновременно со всеми порядками s; поэтому Сэндри [52, 53],
следуя Ростокеру и Розенблюту [44], использовал допу-
допущение, что корреляционные функции gi...e, определяемые
через групповое разложение
/.A, ...,*)= ПМ*)+ 2' &>li"M*) + ...+*!....,
fe=l	г, j=l й=1
C.89)
упорядочены в том смысле, что они подчиняются соот-
соотношению
%^ = O(es).	C.90)
Is
Это допущение отнюдь не является очевидным. В дей-
действительности можно ожидать, что соотношение C.90)
нарушается для малых расстояний между частицами.
Таким образом, цепочку уравнений C.88) можно
преобразовать в цепочку уравнений для функции /4 и кор-
корреляционных функций gi.,.8J используя групповое раз-
разложение C.89). Благодаря допущению C.90) достигается
обрыв цепочки. Корреляционная функция gi.,.s+u содер-
содержащаяся в уравнении для gi...5, не может давать связь
с частью цепочки более высокого порядка, поскольку эта
функция является величиной следующего порядка мало-
малости в разложении по малому параметру.
Что же касается самих вычислений, то читателю сле-
следует обратиться к оригинальной работе Сэндри [52, 53];
здесь же мы приведем только ее результаты.

Литература	289
Используя разложение, рассмотренное выше, и необ-
необходимое условие для исключения секулярных членов,
Сэндри показал, что релаксация системы к равновесному
состоянию описывается кинетическим уравнением только
тогда, когда корреляционные функции удовлетворяют
определенным условиям, связанным с относительными
скоростями движения частиц. Одно из этих условий, кото-
которое называется условием «отсутствия параллельных дви-
движений», имеет физическое обоснование, заключающееся
в том, что если система подчиняется кинетическому урав-
уравнению, то она не может иметь слишком много статистиче-
статистически независимых частиц, обладающих почти равными
скоростями. Интуитивно кажется очевидным, что такие
условия должны существовать и что релаксация в кине-
кинетическую фазу будет затруднена, если система содержит
большое число частиц, находящихся в покое относи-
относительно друг друга.
Полученное кинетическое уравнение для приближе-
приближения первого порядка, если начальные коэффициенты удо-
удовлетворяют указанным выше условиям, совпадает с урав-
уравнением Боголюбова, за исключением того обстоятельства,
что это уравнение, как утверждает Сэндри, является
полностью сходящимся для кулоновских потенциалов,
в то время как уравнение Ленарда — Балеску расхо-
расходится в случае малых расстояний.
Важность теории Сэндри и Фримана, использующей
многовременный формализм, заключается не в получе-
получении и обосновании кинетического уравнения, а в ее боль^
шей общности и гибкости. Она дает более глубокое пони-
понимание сложной природы необратимой релаксации к рав-
равновесию.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Frieman Е. A., Nucl. Fusion SuppL, Pt. 2, 487 A962).
2.	Frieman E. A.y Book D. L., Phys. Fluids, 6, 1700 A963).
3.	Hubbard /., Proc. Roy. Soc. Ser. A, 260, 114; 261, 371 A961).
4.	Kihara Т., Aono 6>., Journ. Phys. Soc. Japan, 18, 837, 1043 A963).
5.	Weinstock /., Phys. Rev., 132, 454 A963); 133, 673 A964).
6.	Grad #., в книге Handbuch der Physik (ed. S. Fliigge), Vol. XII,
Springer Berlin, 1958, p. 205.
7.	Kirkwood /., Journ. Ghem. Phys., 15, 72 A947).
8.	Боголюбов Я. #., Journ. Phys. USSR, 10, 256, 265 A946).
9.	Green M. S.y Journ. Ghem. Phys., 25, 836 A956).
19-01291

290	Литература
10.	Prout i?., Physica (Utrecht), 22, 509 A956).
11.	Prout i?., Prigogine /., Physica (Utrecht), 22, 621 A956).
12.	Boltzmann L., Wien. Ber., 66, 213 A872); 72, 427 A875).
13.	Ludwig G., Muller W. /., C, Schroter /., Physica (Utrecht), 30,
479 A964).
14.	Яс&ег G., Hoiling /., Phys. Fluids, 6, 70 A963).
15.	Van Kampen N. G., Felderhof B. U., Theoretical Methods in
Plasma Physics, Wiley, New York, 1967.
16.	Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 7, 203 1937, Journ. Phys. USSR, 10, 154
A936).
17.	FokkerA.D., Ann. Phys., 43, 812 A914).
18.	Plank M., Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. KL,
324, 1917.
19.	Chandrasekhar S., Rev. Mod. Phys., 15, 1 A943).
20.	Rosenbluth M. N.9 McDonald W. M., Judd D. L., Phys. Rev.,
107, 1 A957).
21.	Боголюбов Я. #., Проблемы динамической теории в статистиче-
статистической физике, Гостехиздат, М.—Л., 1946.
22.	Lenard A., Ann. Phys. (New York), 10, 390 A960).
23.	Balescu #., Phys. Fluids, 3, 52 A960).
24.	Thompson W. В., Hubbard /., Rev. Mod. Phys., 32, 714 A960).
25.	Suchy K., Ergeb. Exakt. Naturw., 35, 103 A964).
26.	Maecker #., Peters Т., Zs. Phys., 144, 586 A956).
27.	Schluter A., Zs. Naturforsch., 5a, 72 A950); 6a, 73 A951).
28.	Chapman S.,* Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 216, 279
A916); 217, 15 A917).
29.	Enskog D., Thesis, Uppsala, 1917.
30.	Enskog D., Arkiv Ast. Fys., 16, 1 A921).
31.	Chapman S., Cowling T. G., The Mathematical Theory of Non-
Uniform Gases, Cambridgo Univ. Press, London — New York,
1952 (см. перевод: С. Чепмен, Т. Каулинг, Математическая тео-
теория неоднородных газов, ИЛ. М., 1960).
32.	Kogan M. N., Rarefied Gas Dynamics, Plenum, New York, 1969.
33.	HilbertD., Math. Ann., 72, 562 A912).
34.	Hilbert D.r Grundztige einer allgemeinen Theorie der Lenearen
Integralgleichungen, Wien, 1924.
35.	Grad #., Phys. Fluids, 6, 147 A963).
36.	Bhatnagar P. L., Gross E. P., and Krook M., Phys. Rev., 94, 511
A954).
37.	Devanathan C., Bhatnagar P. ?., Proc. Nat. Inst. Sci. India, 106,
1398 A965).
38.	Gross E. P., Jackson E. A., Phys. Fluids 2, 432 A959).
39.	Liepmann H. W., Narusimha #., Chahine M. Г., Phys. Fluids, 5,
1313 A962).
40.	Guernsey R. L., The theory of fully ionized gases, Thesis, Uni-
University of Michigan, 1960.
41.	Dorfman J. i?., Cohen E* G. D., Phys. Letters, 16, 124 A965).
42.	Wu Т. У., Rosenberg R. L., Canad. Journ. Phys., 40, 463 A962).
43.	Wu Т. У., Kinetic Equations of Gases and Plasmas, Addison-
Wesley, Reading, Massachusetts, 1966.
44.	Rostoker N., Rosenbluth M. TV., Phys. Fluids, 3, 1 A960).

Литература	291
45.	Ichikawa Y. //., Progr. Theoret. Phys., 24, 1085 A960).
46.	Fried B. D., Wyld H. W., Phys. Rev., 121, 1 A961).
47.	Dupree Т. #., Phys. Fluids, 4, 696 A961).
48.	Guernesey R. L., Phys. Fluids, 5, 322 A962).
49.	Poincare //., Les Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste,
Vol. I, Paris, Ch. Ill (см. перевод: А. Пуанкаре, Новые методы
небесной механики, изд-во «Наука», М., 1971).
50.	Андропов А. А., Хайкин С. Е., Теория колебаний, М.—Л., 1937.
51.	Боголюбов Я. Е. Крылов Н. М., Основные проблемы нелиней-
нелинейной механики, Киев, 1937.
52.	Sandri G., Phys. Rev. Letters, 11, 178 A963).
53.	Sandri G., Ann. Phys., 24, 380 A963).
54.	Frieman E. A., Journ. Math. Phys., 4, 410 A963).
55.	Montgomery D. C, Tidman D. A., Plasma Kinetic Theory,
McGraw-Hill, New York, 1964.
Дополнительная литература
Kinetic Processes in Gases and Plasmas (ed. A. R. Hochstim),
Academic Press, New York, 1969.
Liboff R. L., Introduction to the Theory of Kinetic Equations,
Wiley, New York, 1969.
К § 1
Aono 0., Phys. Fluids, 11, 341 A968).
Baldwin 2)., Phys. Fluids, 5, 1523 A962).
Boltzmann L., Vorlesungen iiber Gastheorie, 2 Vol. Teubner,
Leipzig, 1896-1898 (см. перевод: Л. Болъцмап, Лекции по теории
газов, Гостехиздат, М., 1956).
Gaslorowicz ?., Neumann AT., Riddel R. /., Phys. Rev., 101, 922
A956).
Green M. S., Physica (Utrecht), 24, 393ГA958).
Колмогоров А. Я., Math. Ann., 104, 415 A931).
Ландау Л. Д., Phys. Rev., 77, 567 A949).
Perkins F., Phys. Fluids, 8, 1361 A965).
Prigogine /., Balescu i?., Physica (Utrecht), 25, 281, 302 A959).
Prigogine /., Balescu #., Physica (Utrecht), 26, 145 A960).
Rostoker N., Nucl. Fusion, 1, 101 A960).
Tchen С. М., Phys. Rev., 114, 394 A959).
Темко С. В., ЖЭТФ, 31, 1021 A956).
Weinstock /., Phys. Fluids, 10, 127 A967).
K§2
Bopp F., Meixner /., см . в книге: A. Sommerfeld, Thermodyna-
mic und Statistic, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (см.
перевод: А. Зоммерфелъд, Термодинамика и статистическая физика,
ИЛ, М., 1955).
19*

292	Литература
Cercignani С, Mathematical Methods in Kinetic Theory, Plenum,
New York, 1969.
Hirschfelder J. O., Curtiss С F., Bird R. В., Molecular Theory of
Gases and Liquids, Wiley, New York, 1954.
KirkwoodJ. G., Crawford В., Journ. Phys. Ghem., 56, 1048 A952).
Monchick L., Munn R. /., Mason E. A., Journ. Ghem. Phys., 45,
3051 A966).
Waldmann L., в книге Handbuch der Physik (ed. S. Flugge), Vol.
XII, Springer, Berlin, 1958.
К § 3
Balescu Л., Kuezell A., Journ. Math. Phys., 5, 1140 A964).
Боголюбов Н. Н. в книге Studies in Statistical Mechanics (eds.
J. DeBoer, G. E. Uhlenbeck), North-Holland Publ., Amsterdam, 1966.
Choh S. T.\ Uhlenbeck G. E., The kinetic theory of phenomena in
dense gases, Thesis, University of Michigan, 1958.
Gorman D., Montgomery D., Phys. Rev., 131, 7 A963).
Kalman G., Ron A., Ann. Phys. (N. Y), 16, 118 A961).
Kaufman A. TV., в книге La Theorie des Gaz Neutres et Ionises
(eds. C. de Witt, J. F. Detoeuf), Paris, 1960.
Kritz A. #., Ramanathan G. 7., Sandri G., Phys. Rev. Letters,
25, 437 A970).
Montgomery D., The foundations of classical theory, в книге
Lectures in Theoretical Physics, Vol. IX, G, «Kinetic Theory», (ed.
W. E. Brittin). University of Colorado Press, Denver, Colorado, 1967.
Oberman L., Ron A., Dawson /., Phys. Fluids, 5, 1514 A962).
Ron A., Kalman G.JAnn. Phys., 11, 240 A960).
Sandri G.j The foundations of nonequilibrium statistical mecha-
mechanics, Notes from lectures given at Rutgers University, Spring term,
1961-1962.
Sandri G., ARAP Report № 80, Princeton, N. J. A966).
Schram P. P. J. Af., Kinetic equations for plasmas, Thesis, Gar-
ching, 1964.
Uhlenbeck G. E., Ford G. W., Lectures in Statistical Mechanics,
American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1963.
Willis С i?., Phys. Fluids, 5, 219 A962).

Часть II
Полностью ионизованная система
при наличии произвольного
электромагнитного поля
До сих пор рассмотрение ограничивалось куло-
новской системой, взаимодействующей лишь с ква-
квазистатическими полями. В последующем изложении
учитывается произвольное электромагнитное поле.

Глава 5
Излучение отдельной частицы
§ 1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Соотношения, содержащиеся в первом параграфе дан-
данной главы, можно найти в большинстве учебников по
электродинамике. Мы приводим их здесь в сконцентриро-
сконцентрированном виде в сущности лишь для удобства ссылок.
1.1. Основные уравнения электродинамики
Электромагнитное поле является векторным. Фунда-
Фундаментальные эксперименты, выполненные Кулоном, Био-
Саваром и Фарадеем, показали, что электромагнитные
явления в вакууме могут быть описаны с помощью век-
векторов напряженности электрического поля Е и магнит-
магнитной индукции В, которые удовлетворяют следующей си-
системе уравнений:
а) Ў.Е = е-1рвфф> б) V.B = 0,
в) VxE=-|, г) ТхВ = |адэфф.	AЛ)
Здесь рЭфф обозначает плотность заряда, а ]Эфф — плот-
плотность тока, которые связаны между собой уравнением
-^рофф + ^-Зэфф = 0.	A.2)
Разумеется, величины 80 и |л0 зависят от выбора системы
единиц. Рассматривая кулоновскую систему в гл. 1—4,
мы без какой-либо потери общности достигли значитель-
значительного упрощения формул, использовав систему единиц
СГСЭ, в которой полагается 4яео = 1.
S3 В случае произвольной полностью ионизованной
системы константы е0 и \х0 играют важную роль, и, чтобы

2Уб	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
в дальнейшем можно было использовать любую систему
единиц, мы не будем конкретизировать эти константы.
Для численных расчетов приведем значения 80 и \х0
в системе единиц MKGM:
ео = 8,859.1О-12А.с/В.м, ^0 = 1,256.1()-6В.с/А.м. A.3)
Максвелл впервые отметил, что система уравнений
A.1)	может быть неверна, поскольку не выполняется необ-
необходимое условие V • [V X В] = 0. Анализируя уравнения
A.2)	и A.1г), он заключил, что A.1.г) следует заменить
уравнением
(	f)	A.4)
Если же рассматривать электромагнитное поле не
в вакууме, а при наличии материальной среды, то урав-
уравнения, определяющие поля Е и В, еще остаются справед-
справедливыми. Однако мы знаем, что взаимодействие электро-
электромагнитных полей с веществом вызывает дополнительные
заряды и токи, которые необходимо учитывать. Анализи-
Анализируя уравнение Пуассона A.1а), получим уравнение
У.Е^е^рэфф^е-^р^ешн-У.Р),	A.5)
в котором полная эффективная плотность пространствен-
пространственного заряда рЭфф является суммой плотности внешних
зарядов Рвнешн и дивергенции вектора поляризации среды,
взятой с отрицательным знаком. При этом соотношение
Р = боХеЕ	A.6)
определяет электрическую восприимчивость среды %е,
которую, разумеется, нельзя получить из законов элек-
электродинамики, а следует вычислить исходя из свойств
данной среды. С помощью соотношения A.6) и определе-
определения вектора электрической индукции
D= 80Е + Р- 80 A + %е) Е= 808Е	A.7)
преобразуем уравнение Пуассона к виду
V-D = рвнешн-	A-8)
Индуцированные пространственные заряды и токи
не сказываются на соотношениях A.16) и A.1в), и, еле-

§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля	297
довательно, в присутствии сред эти соотношения остаются
неизменными.
Анализируя уравнение A.1г), заметим, что полная
эффективная плотность тока в материальной среде состоит
из плотности внешних токов Звнешн» плотности тока
d?/dt, обусловленной поляризацией среды, и плотности
тока jm == [V хМ], связанной с намагничением среды.
Таким образом, уравнение A.4) преобразуется к виду
V х В- \х0 (ьнешн +-^- + ^ X М+ е0-^-) . A.9)
Введем величину магнитной восприимчивости %т с по-
помощью соотношений
М = ХтН	A.10)
В = Цо (Н + М) = ц0 A + Хт) Н = щц#.
A.11)
Используя A.7), из уравнения A.9) найдем
VxH-jBHeHiH + -^-.	A.12)
Итак, приведем систему уравнений Максвелла, опи-
описывающую электромагнитное поле при наличии мате-
материальной среды:
a) V.D-p,	б) V.B = 0,
в> VXE-~-S-> r)VXH = j + -f-,
д) j = aE,	e) D = 808E,	AЛЗ)
ж) В= fxo}xH.
К этим уравнениям добавлено соотношение, связы-
связывающее плотность тока и электрическое поле через прово-
проводимость а. Здесь мы опустили индекс «внешн», но всюду
подразумевается, что величины риз представляют собой
плотности внешнего пространственного заряда и внешних
токов.
Величины е, (л и а зависят от свойств материальной
среды. Кроме того, они могут зависеть от времени и ве-
величины поля. В случае, когда параметры среды 8, \i

298	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
и а зависят от длительности или соответственно от часто-
частоты процесса, но не зависят от величины поля, система
уравнений A.13) еще сохраняет свой вид для отдельной
спектральной компоненты поля при преобразовании
Фурье по времени. В этом случае оператор dldt следует
заменить на ш, используя в качестве величин 8, \х и а
их значения г^, \ia и о^ для данной частоты х), согласно
формулам
(m	+00	Г еоВсо 1 (Е(т
В {t) \ = Г J J eMt~%) \ № \ \
Lj (О J	-°°	I стоз i 1Е(т)
Поскольку мы не учитываем конвекционных токов, исполь-
используемые нами уравнения являются точными только для
покоящихся материальных сред.
1.2. Электродинамические потенциалы
Из уравнения A.136) следует, что магнитная индук-
индукция В может быть выражена через векторный потенциал А:
В = V х А.	A.15)
Из A.13в) вытекает, что электрическое поле Е можно
представить в виде
Е= ~4г
Тогда остающиеся уравнения Максвелла приводят к урав-
уравнения м
Дф-|_ JL V.A= —-JL	A.17)
и
A.18)
Скалярный потенциал Ф определен с точностью до произ-
произвольной аддитивной постоянной, а векторный потенциал
А — с точностью до произвольной величины V. А.
х) Из определения очевидно, что -обратное преобразование
Фурье от во, [Аи и стю не должно приводить к зависящим от времени
функциям г (t), \x (t) и a (t), как это могло бы показаться из формаль-
формальных соотношений A.7), A.11) и A.13д).

§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля	299
Эта свобода выбора выражения для векторного потен-
потенциала А позволяет нам перейти от данной системы функ-
функций А, Ф к другой системе А', Ф'. К вектору А можно
произвольно добавить градиент любой функции, не изме-
изменяя величины В:
А' = А — Vt|>.	A.19)
Согласно соотношению A.16), величина Е останется неиз-
неизменной, если мы используем замену
(D' = (D+^L .	A.20)
Соотношения A.19) и A.20) представляют собой так назы-
называемые калибровочные преобразования. Их основной смысл
состоит в гарантии того, что используемые физические
соотношения приводят только к таким результатам, кото-
которые могут выражаться непосредственно через поля взаи-
взаимодействующих частиц и токов. В частности, если в каче-
качестве калибровки выбрать V ¦ А — 0, то возникающее в этом
случае преимущество заключается в том, что уравнение
A.17) примет простой вид уравнения Пуассона. С другой
стороны, при этом весьма усложнится уравнение A.18).
Выбор указанного "условия для векторного потенциала
получил название кулоновской калибровки. Обычно гораздо
чаще используется так называемая лоренцевская калиб-
калибровка
V.A-f 80в4и0Ц-^-= -^<?Ф,	A.21)
обладающая тем преимуществом, что ее использование
приводит к симметризации обоих уравнений, определяю-
определяющих потенциалы. Используя условие A.21), получим
следующие уравнения:
ДА - 808[X0fX -^- - }Хо[Ш ~ = - [lo\X (j - GE) = -
A.22)
^» -¦? . A.23)

300	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Здесь следует напомнить, что плотность тока зэл пред-
представляет собой лишь ту часть плотности тока, которая
создается внешними электродвижущими силами. Она
не содержит вклада, индуцируемого электрическими
полями в проводящей среде, который описывается послед-
последним членом в левой части уравнения A.22).
Вводя оператор Даламбера
? =А-72"Ж' где Т*"^808^'	A>24)
перепишем уравнения для А и Ф в виде
? А — |хо[ха-^-:= — }Хо№л,	A.25)
Эти уравнения будут основными в наших дальнейших
исследованиях.
Решения для потенциалов
При рассмотрении полей в вакууме необходимо решить
уравнения
ПА=-|ад,	A.27)
? Ф= —?- .	A.28)
Поскольку структура этих уравнений одинакова, можно
рассмотреть единое уравнение вида
? М(х, t) = -a(x, t).	A.29)
Имеется множество различных способов решения этого
уравнения. Один из них, например, состоит в том, чтобы,
задаваясь выражениями для запаздывающих потенциа-
потенциалов, путем непосредственной их подстановки в уравнение
A.29) убедиться, что оно при этом удовлетворяется. Мы
здесь предпочтем более дедуктивный метод, основанный
на использовании преобразования Фурье:
АГ(х, оо) = Bя)/2 j е~шМ(х, t)dt. A.30)

§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля	301
Применение этого преобразования к уравнению A.29)
дает
АМ(х, co) + ^Af(x, ю)=—а(х, со). A.31)
Частное решение неоднородного уравнения A.31) с по-
помощью функции Грина, удовлетворяющей уравнению
Д&(х, х', co) + -J-G(x, х\ ©)= -б(х-х'), A.32)
можно представить в виде следующего интеграла:
Af (х, ©)= f G(x, x', (o)a(x', ©)dx'. A.33)
Функция Грина, удовлетворяющая уравнению A.32)
и условию обращения в нуль на бесконечности, опреде-
определяется выражением
G(x, х/1©) = -^ге±^/«, г=|г| = |х-х'|. A.34)
Таким образом, искомое частное решение уравнения
A.31) есть
Обратное преобразование Фурье дает
М (х, ft =	1—ТГ- [ [ а {х'' ^ ^(t±r/c) dx' dod мщ
или соответственно
M(X,t) = ±\ <V.*±r/e) ъ>.	A.37)
Таким образом, для произвольно заданных плотностей
внешних токов и пространственного заряда искомые
потенциалы определяются формулами
A.39)

302	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Здесь квадратные скобки означают, что заключенные
в них выражения следует брать в момент времени (t ±
± г 1с).
Формулы A.38) и A.39) напоминают формулы для реше-
решений в статическом случае с той лишь разницей, что в вы-
выражениях для плотностей токов и пространственного заря-
заряда следует заменить время на величину t ± г/с. Это озна-
означает, что при вычислении потенциалов нужно просумми-
просуммировать вклады от зарядов и токов в различные моменты
будущего и прошедшего времени.
В то время как суммирование по «запаздывающим
вкладам» в момент времени t — г/с представляется вполне
разумным результатом, учитывающим, что для достиже-
достижения точки наблюдения сигналу требуется конечное время
г/с, по-видимому, совершенно бессмысленно учитывать
вклады в поле от будущих положений заряда. Эти реше-
решения, содержащие величину t + rlc и известные под назва-
названием «опережающих потенциалов», противоречат элемен-
элементарному принципу причинности, устанавливающему, что
никакой эффект не может предшествовать во времени его
причине. По этим соображениям решениями данного
типа обычно пренебрегают, хотя с математической точки
зрения они вполне оправданы и представляют интерес
при изучении проблемы перенормировки. Однако необ-
необходимо отчетливо сознавать, что, исключая упомянутые
опережающие воздействия, мы по существу выходим за
рамки содержания исходных дифференциальных уравне-
уравнений.
Потенциал Герца
Уравнения Максвелла включают в себя условие
сохранения заряда
V-j + -|- = O.	A.40)
Уравнение A.40) всегда выполняется, если для плотно-
плотностей зарядов и токов использовать выражения
p=_V.X, j = -g-.	A.41)

§ 1. Общие уравнения электромагнитного поли	303
Аналогичным образом можно связать потенциалы Ф и А
с некоторым векторным полем Z {потенциалом Герца):
ф—v.z, А=^#-	t1-42)
Это приведет к тому, что будет тождественно удовлетво-
удовлетворяться условие лоренцевскои калибровки для вакуума.
Из уравнений A.41), A.42) и A.29) получим уравне-
уравнение, связывающее величины Z иХ:
DZ(x,t)=-l-X.	A.43)
Решение этого уравнения есть
Фурье-компонента от функции Z (х, t) равна
Очевидно, что электромагнитные поля посредством соот-
соотношений
E = VX[VXZ]-1X, B = i[^xf] A.46)
могут быть выражены через потенциал Герца Z.
1.3. Случай произвольного электромагнитного поля
Из соотношения A.15) следует, что фурье-компонента
вектора магнитной индукции В выражается через век-
векторный потенциал A.39) следующим образом:
р-шг/с
После элементарных вычислений и обратного преобра-
преобразования Фурье получим

304	Гл. 5. Излучение отдельной частицы	^
Аналогично из соотношения A.16) и выражений для
потенциалов A.38) и A.39) имеем
ЁЁ. A.49)
Дальнейшие вычисления второго члена, входящего в пра-
правую часть формулы A.49), несколько затруднительны.
Поэтому здесь мы приведем только общую схему необ-
необходимых расчетов.
Применив преобразование Фурье к уравнению непре-
непрерывности заряда
= 0,	A.50)
этот член EWR можно выразить только через фурье-ком-
поненту плотности тока зй:
A.51)
Затем с помощью обычных формул векторного ана-
анализа получим выражение
Ecor = — j {(jco-r)r — rX[jcoXr]} —^—dx' —
-шг/с
—5" J г X [j« X г] ^5— dx' A.52)
или после обратного преобразования Фурье найдем
^ А'+
A.53)
Из выражений для полей A.48) и A.53) видно, что
они содержат слагаемые с разной зависимостью от рас-

§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля	305
стояния г. Первые члены в правых частях этих выраже-
выражений представляют собой соответственно запаздывающую
магнитную индукцию и запаздывающее кулоновское поле,
которые изменяются в пространстве по крайней мере как
г, в то время как последние члены, содержащие поле
излучения, изменяются как г.
Заметим, что в общем случае электромагнитные поля
уже не представляют собой простого запаздывающего
эквивалента решений для стационарного или статиче-
статического поля, как в случае потенциалов Ф и А. Разумеется,
это объясняется тем, что вследствие эффекта запаздыва-
запаздывания оператор V также неявно действует как производная
по времени от запаздывающих величин. Это и только это
обстоятельство приводит к появлению полей излучения.
1.4. Потенциалы Лиенара — Вихерта
Применим теперь полученные выражения для потен-
потенциалов A.38) и A.39) к частному случаю системы заря-
зарядов, распределенных в малой области пространства и дви-
движущихся с одинаковой скоростью. Такая система часто
используется в качестве модели элементарных зарядов.
Мы не будем здесь предполагать, что эти элементарные
заряды являются «точечными» зарядами или обладают
«абсолютно жесткой структурой», поскольку такие пред-
представления приводят к математической расходимости фор-
формул и противоречат требованиям релятивистской теории.
Радиус заряда будет пониматься лишь в смысле харак-
характеристики предела применимости рассматриваемой нами
макроскопической электродинамики. В качестве такого
предела, в частности, можно было бы взять в случае необ-
необходимости классический радиус электрона
Приведем три основных положения, на которых осно-
основан вывод формул для потенциалов движущихся заря-
зарядов: 1) пространственная протяженность распределен-
распределенных зарядов неограниченно мала по сравнению с расстоя-
расстоянием до точки наблюдения; 2) система распределенных
20-01291

306	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
зарядов движется как единое целое со скоростью v; 3)
полный заряд сохраняется постоянным, т.е. \ р dx' = e.
Задача носила бы совсем тривиальный характер, если
бы в выражениях A.38) и A.39) вместо запаздывающих
величин [р], [j] содержались обычные значения р, j,
поскольку в таком случае можно использовать условия
ге<^ г и \ pdx' = const = e. Однако здесь это исключено,
так как
j	j(x', t)dx'.	A.54)
При наличии движения одна и та же часть заряда дает
вклад в наблюдаемый сигнал в разные моменты времени
из различных мест пространства.
Нетрудно связать между собой источник сигнала, при-
приходящего в момент t' = t — r/с, с долей de полного заря-
заряда е, которая дает вклад в излучение только в этот момент
времени t — г/с. Если бы заряд покоился, то выполнялось
бы соотношение
(de)^0 = [р (х', t)} do cdt',	A.55)
где через do обозначен элемент поверхности сферы, окру-
окружающей точку наблюдения. Реально излучающая часть
заряда de в случае, когда рассматриваемая система пере-
перемещается в направлении «собирающей сферы» к точке
наблюдения, будет меньше чем (de)v=0.
Таким образом,
', t)]docdt' — [v~p(x',
[^L]x'. A.56)
Разрешив это соотношение относительно плотности запаз-
запаздывающего заряда и подставив полученное для нее выра-
выражение в A.38) и A.39), найдем

§ 2. Общие соотношения для полей излучения 307
Отсюда, как следствие предположения о малой простран-
пространственной протяженности заряда по сравнению с г, полу-
получаем
A.58)
Lг с J	L
Описываемые этими формулами потенциалы являются
потенциалами Лиенара —Вихерта.
Более прямой, но несколько формальный способ их
вывода может быть осуществлен, если в исходные фор-
формулы ввести б-функции Дирака:
dx'
3 (х » т)
В результате получим
§ 2. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ
2.1. Мультипольное разложение поля с помощью вектора
Герца
Фурье-компонента вектора Герца A.45), равная
содержит функцию Грина G (х, х', со), определяемую
выражением A.34).
Ниже мы рассмотрим выражение B.1) исходя из раз-
разложения
B.2)
20*

308	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
которое справедливо при | х'^| < | х |. Здесь у — угол,
образуемый векторами х и х\ Рг — полином Лежандра
порядка I, a ji и Кг — сферические функции Бесселя
и Ханкеля [4]
(^)У(у), B.3)
где / и Я — цилиндрические функции Бесселя и Хан-
Ханкеля.
Разложение B.2) дает реальные преимущества при
вычислениях только в том случае, когда можно перейти
vC асимптотическим формулам. Эта возможность сущест-
существует в одном из следующих четырех случаев:
а) |х|, |х'|»*;	б) |х|»Х, |х'|<Х;
в) |х|<*. |х'|»Х; г) |х|, |х'|<*;	( •>
здесь % = с/со— длина исследуемой волны.
Условие B.4а) соответствует предельному случаю
поля излучения на высокой частоте при большой про-
пространственной протяженности системы зарядов. Мы его
не будем рассматривать, поскольку величина U (— | х' 11%)
при | х' | ^> X является периодической функцией вида
ад
подстановка которой в выражение B.1) приводит к инте-
интегралам от суммы произведений
Xm W) P, si
Кроме того, данный случай не позволяет выявить какие-
либо общие характерные свойства поля излучения.
Случай B.46) относится к пределу | х | ^> X, харак-
характерному для низкочастотного поля излучения и распреде-
распределенных зарядов, локализованных в малом участке про-
пространства. Данный случай практически весьма интересен
и позволяет, исходя из выражения B.1), сделать ряд
общих выводов. Он служит основой разложения по
мультиполям Герца.
Ьщ Случаи B.4в) и B.4г) мы здесь рассматривать не бу-
будем, поскольку вследствие ограничения | х | <^ k ни
один из них не соответствует излучению поля.

§ 2, Общие соотношения для полей излучения	309
Итак, остановимся на исследовании случая B.46),
реализующегося при условии 1| х' | <С X <^ | х |. При
этом воспользуемся асимптотическими выражениями
Ч\	со , , ,\*
Подстановка выражения B.6) в B.2) дает ряд по мульти-
польным потенциалам:
Zw= 5z2>,	B.7)
в котором
^ 2Ч\
Х
^ 4яе0 |х|
X { (±\х'\I%>(х')Рг(со8у)йк'. B.8)
Выше неявно% подразумевалось, что начало системы
координат выбрано внутри распределенного заряда; в про-
противном случае рассмотрение упоминавшихся четырех слу-
случаев было бы лишено смысла. С учетом этого замечания
из B.8) видно, что разложение по мультиполям учиты-
учитывает вклады в излучение в убывающем порядке, поскольку
величина потенциала отдельного мультиполя Z©* харак-
характеризуется параметром ((|х' |АУ)-
Так как -у есть угол между векторами х и х', выраже-
выражение B.8) может дать представление об угловой зависимо-
зависимости излучения только тогда, когда источники распреде-
распределены в пространстве в виде линии, а ось координатной
системы выбрана в направлении линии распределения.
Для рассмотрения же общего случая воспользуемся тео-
теоремой разложения по сферическим гармоникам [5]
7П=0
X Р? (cos #') cos m (<p — ф'), B.9)
Ят = 2 для пгфО;

310	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
здесь Ф и 'О1' —полярные углы, а ф и ф'— азимутальные
углы векторов х и х* соответственно.
Это дает ряд
~	l ~
со ~ Zj ^со ?	\?Л\))
в котором члены ряда определены соотношением
nr(l, ftx)	^ е	dt i/i	yi •— их) l тут / q,\
4я80 jxj	BZ)!	(l-\-m)\
Мультипольные потенциалы Герца Z(Z) связаны с муль-
типольными моментами распределения зарядов. Пока-
Покажем это на примере членов первого порядка, начав рас-
рассмотрение с члена Z^^ который определен формулой
_	-ш\х\/с * _
<7<0) _f	 I v /Y'\ л„'	f9 4 9\
Zco = /<<гто, i v i \ Aco (X ) rfx .	(Z.1Z)
4яе0 | х |
Используя равенство
yam f /^Г	' \	' X7 ' "\Г	I ЛГ	/О Л Q\
а также теорему Гаусса и соотношения A.41), найдем,
что
^	_-ш|х|/с с	_	-ш\х\/с
Z@) 	 е	'		— . - - ^
CD	П
0- BЛ4)
Здесь De — электрический дипольный момент системы
распределенных зарядов. Отсюда видим, что в низшем
порядке потенциал Герца определяется электрическим
дипольным моментом источника. Член первого порядка
в потенциале Герца равен
^	•	-гоо|х|/с л ..	_,
Z" = -5^ ^Тй— J f Iх' I Х- (х') Pi
ИЛИ

§ 2. Общие соотношения для полей излучения	311
Разложим тензор Х@)(х' на сумму симметричной и анти-
антисимметричной частей
Х~ \ /-«.' Х(»)(х ~гх ) (Х(о , ХфДХ х
со j ^Х =	^	1	g
Тогда получим
/. B.18)
Учитывая соотношение за> = гсоХа), найдем вклад от анти-
антисимметричной части

0) асимм —'
Здесь D — магнитный дипольный момент системы рас-
распределенных токов:
i-
B.20)
Таким образом, антисимметричная часть члена первого
порядка в потенциале Герца представляет собой поле,
обусловленное магнитным дипольным моментом. Физи-
Физически такой момент вызван осциллирующим круговым
током.
Вклад в член первого порядка вектора Герца от сим-
симметричной части
-го|х|/с
A)	—
-го|х|/с
1
1	— v
симм " 4я80 | х |2 с Х
х4- j {Xco)(x' +x')(X4-xdx' B.21)
с помощью выражения
V. (Х^зд) = (*'' Хсо) ^4 + ^сосс^Ь + Хшр*;, B.22)
теорема Гаусса и A.41) можно преобразовать к виду
)Х|2

312	Гл. 5, Излучение отдельной частицы
где величина
L Ах Рсо Iх )ах	B.24)
является электрическим квадрупольным тензором (момен-
(моментом) рассматриваемой системы распределенных зарядов.
Суммируя сказанное, приходим к выводу, что член
первого порядка в выражении для вектора Герца описы-
описывает вклады от магнитного дипольного и электрического
квадрупольного моментов, тогда как в нулевом порядке
разложения учитываются эффекты от электрического
дипольного момента. Аналогично проведенному выше
рассмотрению можно показать, что в общем случае 1-й
член разложения вектора Герца представляет собой
вклад в излучение', обусловленный электрическим муль-
мультиполем 2<z+1)-ro порядка и магнитным мультиполем 2*-го
порядка.
Выражения для электромагнитных полей соответ-
соответствующих мультиполей можно получить непосредственно
из соотношения A.46). Здесь мы приведем лишь некото-
некоторые необходимые нам результаты:
1.	Магнитное мультипольное излучение (Z, т)-то по-
порядка любого заданного распределения зарядов в общем
случае меньше электрического мультипольного излучения
того же порядка примерно в {vie) раз, где v —ско-
—скорость зарядов.
2.	В зоне излучения поля В и Е направлены перпен-
перпендикулярно радиусу-вектору и каждое из них убывает
с расстоянием как г.
3.	Угловое распределение мультипольного излучения
(Z, т?г)-го порядка в общем случае имеет весьма сложный
характер и в основном определяется членом
+ m*\P7\2. B.25)
4. Момент импульса, переносимый мультипольным из-
излучением (I, т)-то порядка в единицу времени, содержит
лишь z-компоненту (dLJdt). Отношение данной величины
к излучаемой мультиполем в единицу времени энергии

§ 2. Общие соотношения для полей излучения
313
ds/dt равно
dLJdt
d&ldt
т
со
mh
/гсо
B.26)
Этот результат хотя и получен в классическом рассмот-
рассмотрении, имеет квантовомеханическую интерпретацию,
заключающуюся в том, что фотон /ш, излучаемый муль-
типолем (Z, иг)-го порядка, уносит момент импульса,
равный mh.
2.2. Электромагнитное поле одиночного заряда
Электромагнитные поля, излучаемые одиночным заря-
зарядом, однозначно определены потенциалами Лиенара —
Вихерта
4яе0
и соотношениями
L г — v-r/c J '	4зх80 с2 [_ r — V't/c j ^ ' '
B-VxA.
B.28)
Напомним, что величины в квадратных скобках отно-
относятся к запаздывающему времени f = t — г/с, а опера-
операторы V и d/dt, входящие в соотношения B.28), имеют
смысл V |* и d/dt | х.
Трудности при использовании формул B.28) и B.27)
возникают в связи с тем, что величины v и х' обычно
задаются в виде функций от tf, так что в большинстве
случаев приходится иметь дело с функциями Ф (х, t')
и А (х, ?'), а не с Ф (х, t) и А (х, t). Поэтому при вычис-
вычислениях по формулам B.28), по-видимому, лучше выра-
выразить операторы d/dt | х и V |^ через операторы dldtf \ х
и V | v. Это можно сделать с помощью соотношений
• = с(* —*')>
dr
dt'
Отсюда находим
дг
dt
'/, dt' \__dr dt' __ __
-C\l dt x/ dt' dt x"
X
X
v-r
r
v-r
г
dt'
dt
B.29)
B.30)

314
Гл. 5. Излучение отдельной частицы
ИЛИ
dt
\	сг ) dt'
B.31)
Кроме того,
дг
или
= — cVt' U = Vr If -I	т ^tr I/ =
= iL_i2Lv<'L,	B.32)
•»,/ ] 1 Г	/л ОО\
vr / =	7— ,	B.0O)
1 С Г — Т'У/с	Ч '
c(r-r.v/c) "^F '	B'34)
Используя формулы B.28), B.31) и B.34), а также	сокра-
также	сокращенные обозначения
r-v
что приводит к формуле
U =
s= г —
и
находим выражения для электромагнитных полей
B.35)
B.36)
B.37)
И
Отсюда видно, что
В =
гхЕ
B.39)

§ 2. Общие соотношения для полей излучения	315
Обратим особое внимание на то, что, хотя для простоты
мы опустили квадратные скобки, все входящие в фор-
формулы величины содержат запаздывающее время.
2.3. Угловое и частотное распределение энергии, излу-
излучаемой одиночным зарядом
Анализ зависимости различных членов от г в выраже-
выражениях B.37) и B.38) показывает, что ответственными за
излучение являются вторые члены в правых частях. Это
позволяет однозначно определить энергию, переносимую
излучаемым полем, через вектор Пойнтинга.
Однако в данный момент нас интересует не столько
вопрос о том, какое количество энергии проходит через
элемент поверхности у точки наблюдения, сколько вели-
величина потери энергии данной частицы, обусловленной ее
излучением в заданных пределах телесного угла и частот-
частотного интервала за единицу времени t'.
В силу сохранения энергии излучаемого поля элек-
электромагнитная энергия, проходящая через элемент телес-
телесного угла йп за время dt, должна быть равна потере энер-
энергии электрона, обусловленной излучением в пределах
телесного угла dQ в течение времени dt', связанного по-
посредством соотношения B.31) с интервалом dt. Обозна-
Обозначив энергию электрона через §, таким образом получим
= e0cE2r2dQdt. B.40)
Отсюда видно, что вектор Пойнтияга S направлен парал-
параллельно г.
Используя формулу B.31), найдем, что
?w	(^)	B.41)
Это дает выражение
,»(Q\ - е2 {*X[(r-v/c)xv]}2	B 42\
Интегрирование выражения B.42) по телесному углу
приводит к результирующей формуле для суммарной

316	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
энергии, излучаемой электроном за одну секунду:
Величина wT тождественно совпадает с суммарным пото-
потоком излучаемой энергии за секунду, проходящим через
замкнутую фиксированную поверхность, окружающую
данный заряд. Заметим, однако, что величина w (Q) не
равна потоку энергии d2%/dt dQ, измеренному покоя-
покоящимся наблюдателем.
До сих пор мы интересовались угловым распределе-
распределением излучения. Теперь рассмотрим его спектральное
распределение. Обратимся с этой целью к теореме Парсе-
валя, согласно которой
j
W= j ВхН(Й= J ЁвхН_вЖ> =
— оо	— оо
с»	оо
= 2 JECBxHCDd<o = 2 JS^, B.44)
о	о
J
о
где Ею и Н(о — соответствующие фурье-компоненты величин
Е = Bя)~1/2 ( Ёое*** do, Н = Bя)~1/2 j Й^е*"'*da>'. B.45)
Заметим при этом, что величина S^ = Есо X Нш не
является фурье-компонентой вектора Пойнтинга S =
= Е X Н. Величина W имеет размерность энергии на
единицу площади, S — размерность энергии в единицу
времени на единицу площади, a Sto — размерность энер-
энергии на единицу площади в единичном интервале частот.
Поскольку разложение Фурье однозначно, энергия,
излучаемая в единичном интервале частот и приходя-
приходящаяся на единицу площади, должна быть равной
| = 21 Ёщ х Ню | = 2е0сЁ* ,	B.46)

§ 2. Общие соотношения для полей излучения
317
а соответствующие потери энергии электрона в пределах
единичного телесного угла определяются формулой
4-оо
dt
B.47)
Движение частицы обычно описывается функцией от t'.
Поэтому мы перейдем в выражении B.47) от времени t
к f:
7[(i
w
(l_v.r/cJ
B.48)
Использованное нами исходное допущение ограничи-
ограничивает движение заряда областью, размеры которой малы
по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Сле-
Следовательно, должны выполняться соотношения
х' + г,
х -
B.49)
По тем же соображениям будем считать в рассматривае-
рассматриваемом приближении величину г постоянной. В таком слу-
случае должно выполняться следующее соотношение:
1 rx[(f-v/c)xv]
т A_у.;/сJ
v/c
Интегрируя в B.48) по частям при условии v = 0 для
?-> -+- оо, с помощью соотношения B.50) найдем
B.51)
Заметим, что здесь (и ниже) во всех формулах для
спектрального распределения энергии частота должна
считаться положительной, так как вклад отрицательных
частот со мы уже учли в формуле B.44) с помощью мно-
множителя, равного 2.

318	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Выражения B.48) и B.51) позволяют ответить на все
вопросы относительно спектрального и углового распре-
распределения излучения движущегося заряда при условии,
что точка наблюдения достаточно от него удалена.
Диполъное приближение
Одним из важнейших частных случаев, к которому
приводят полученные формулы в пределе малой скорости
vie <^ 1, является диполъное приближение.
Угловое распределение энергии, излучаемой элек-
электроном в единицу времени, может быть получено с по-
помощью выражения B.42), которое в этом случае сводится к
>sin2#9 2JL = COS$^ B.52)
а соответствующее выражение для суммарной энергии
имеет вид
Поток энергии в единице телесного угла, приходящийся
на единичный интервал частот, в заданной точке наблю-
наблюдения можно получить из формулы B.48):
+ ОО
+
| [ *-ш'* X [г х v] Л' |2 . B.54)
Наконец, суммарная энергия, излучаемая во всех на-
направлениях в единичном интервале частот, равна
l\\	B.55)
Формула B.52) показывает, почему данное приближение,
соответствующее условию vie <^ 1, называется диполь-
ным. Выражения B.53) и B.55) соответственно представ-
представляют собой известные формулы Лармора и Герца.

§ 3. Тормозное излучение
§ 3. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
3.1. Классическое описание
Рассмотрим в исследуемой полностью ионизованной
системе эффект ускорения, обусловленный парными взаи-
взаимодействиями заряженных частиц. Излучение, возникаю-
возникающее при таких «свободно-свободных переходах», назы-
называется тормозным.
В последующем изложении мы будем исходить из ре-
результатов дипольного приближения, в рамках которого
поля излучения описываются выражениями
V	е ГХ[ГХУ] т> _ е УХГ	^о.ч
справедливыми в области скоростей v <^ с, что, таким
образом, исключает релятивистские эффекты.
Выражения C.1) показывают, что тормозное излуче-
излучение связано с ускорением центра заряда. Оно отсутствует,
если взаимодействующие частицы, имеющие равные отно-
отношения е/т, покоятся или движутся равномерно и прямо-
прямолинейно. Следовательно, такие частицы не дают вклада
в «тормозное дипольное излучение при парных столкно-
столкновениях».
Заметим далее, что при столкновениях различных
частиц их ускорения обратно пропорциональны их мас-
массам, поэтому мы можем пренебречь вкладом ионов в тор-
тормозное излучение по сравнению с вкладом электронов.
Чтобы рассчитать излучение электрона в процессе
его прохождения вблизи иона, обладающего кратностью
заряда Z, необходимо знать кинематику этого движения.
К счастью, последнее представляет собой хорошо иссле-
исследованную задачу. Известно, что в этом случае электрон
обладает плоской траекторией и в обозначениях, при-
приведенных на фиг. 21, зависимость г от ф может быть пред-
представлена в виде
1 1 — ecoscp	/о г>\
7	{6 >

320
Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Здесь параметры Ьо и 8 с помощью соотношений
) (^)
*-?
связаны с кинетической энергией падающей частицы
1/2mv<8 и моментом импульса /
У	(через vs обозначена начальная
скорость падающего электрона).
Из фиг. 21 нетрудно полу-
получить соотношения
Ъ = botg ф0,
е2 -1 = tg2?0 =ctg2(X/2),
C.4)
X = п — 2ф0,
откуда следует, что величина Ъо
является прицельным парамет-
параметром, соответствующим откло-
отклонению сталкивающегося элек-
электрона на 90°.
Для вычислений спектраль-
спектральной плотности излучаемой энер-
Ф и г. 21. Геометрия столк- гии используем формулу B.55).
новения частиц в случае Если выбрать систему коор-
кулоновских сил притяже-	г	х ол
ния.	динат, приведенную на фиг. 21,
то величины х& и ут входящие
в B.55), можно представить в следующей форме:
х<ь = Bя)/2 I х (t) cos (ot dt,
(*
C-5)
y&= — jBn)~ /2 j у (t) sin at dt,
где использованы свойства симметрии рассматриваемой
системы. Выразим теперь компоненты х и у через г и ф:
Г*'\ =	^_/созФ\	C
\ У I

§ 3. Тормозное излучение	321
Подставив этот результат в выражения C.5), получим
^	2я-фо
2n)~1/2 J cos со* cos ф Ар,
2я-фо
—1/ С
ФО
Здесь, используя закон сохранения момента импульса
dt
C.8)
мы произвели замену, перейдя от dt к йф. При вычисле-
вычислении интегралов в соотношениях C.7) необходимо было
бы заменить переменную t на <р. Это представляет собой
элементарную, но довольно громоздкую процедуру. Она
оказывается выполнимой до конца в приближении пря-
прямолинейного движения, которое будет рассмотрено ниже
в данном параграфе.
При исследовании общего случая оказывается более
целесообразным использовать подстановки, обычно упо-
употребляемые в небесной механике. С их помощью коорди-
координаты хжу выражаются в виде явных функций некоторого
надлежащим образом выбранного параметра [6]. В этом
случае можно выполнить интегрирование в выражениях
C.7) и, используя B.55), получить формулу для спек-
спектральной плотности суммарной энергии излучения
X
X { [±KiQ (и)\ъ]2 + ?=± [KiQ(Qe)]*} e"Q. C.9)
Здесь параметр Q определяется соотношением
<? = ^,	C.10)
а через Kv (и) обозначена модифицированная функция
Бесселя, которая связана с функцией Ханкеля Н^ [4]:
(|)(^)и).	C.11)
21-01291

322	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Формула C.9)^дает спектральное распределение энер-
энергии в дипольном приближении в предположении о том,
что можно пренебречь радиационным затуханием.
Теперь с помощью формулы для спектральной плот-
плотности энергии wT (со, Ь, vs), излучаемой при однократном
столкновении, определим величину дифференциальной
излучателъной способности электрона, обусловленной его
столкновениями с ионами:
оо 2Я
t|« Ы = -g-j- n+vs \ J wT (со, Ь, us) Ъ db Лр; C.12)
о о
здесь множитель 1/8я связан с переходом к величине,
нормируемой на е диницу телесного угла и одно направле-
направление поляризации. Подставив в формулу C.12) выраже-
выражение C.9), найдем, что дифференциальная излучательная
способность электрона равна
C.13)
Конечно, излагавшийся до сих пор общий подход к задаче
об излучении одиночного заряда будет не полным, если
в него не включить два широко используемых приближен-
приближенных метода: приближение прямолинейного движения и низ-
кочастотное приближение.
Приближение прямолинейного движения
При анализе интеграла
C.14)
нетрудно получить следующие оценки:
COS G)?
C.15)

§ S. Тормозное излучение
для со<-^- ,	C.15а)
У и/
для (о>-~-.	C.156)
Первая из приведенных выше оценок C.15а) является
результатом перемножения максимального значения
подынтегральной функции на полуширину интервала
интегрирования, а вторая C.156) объясняется интерфе-
интерференцией высокочастотных волн.
Следовательно, можно ожидать, что фотоны не очень
большой энергии будут излучаться главным образом при
косых столкновениях. Или, говоря на языке чисел, излу-
излучение в радиочастотной области для температур порядка
100—1000 градусов будет происходить преимущественно
при Ъ ~ 10~2 см. Соотношения C.3) и C.4) примени-
применительно к этому случаю дают
Ь ><5 Gig "тг /^> 1U «	^O.lDy
Оценка показывает, что для него хорошо выполнено
условие применимости приближения прямолинейного
движения. В данном приближении вычисление интегра-
интегралов, входящих в выражения C.7), не представляет труда.
Однако здесь мы предпочтем рассмотреть эквивалентный
предельный переход Q -> 0 в выражении C.9).
При осуществлении этого предельного перехода сле-
следует обратить внимание на то, что величина (?8 может
принимать конечное значение, несмотря на то, что Q стре-
стремится к нулю. Это вытекает из соотношений C.3) и (ЗЛО),
согласно которым в приближении прямолинейного дви-
движения выполняется условие
При данном условии предельный переход для спектраль-
спектральной плотности энергии C.9) приводит к формуле
х
^)]2} C.18)
21*

324
Гл. ?. Излучение отдельной частицы
Фиг. 22. Спектр энергии излучения электрона, вычисленный по
формуле C.18) и нормированный на величину
2*2
/ ZeL \2 vg
Зависимость, определяемая этой формулой, представлена
на фиг. 22. Выражение для дифференциальной излуча-
тельной способности C.13) в этом случае запишется сле-
следующим образом:
C.19)
где 7 = ехр С ж 1,781 (С » 0,577 — постоянная Эйлера).
Низкочастотное приближение
. Низкочастотная область в данном случае определяется
как такая область частот, в пределах которой можно пре-
пренебречь зависимостью от времени в тригонометрических
функциях, входящих в C.7), и рассматривать их постоян-
постоянными. Тогда интегрирование выражений C.7) проводится
тривиально, и в результате получаем
C.20)

§ 3, Тормозное излучение	325
Заметим, что полученная спектральная плотность не
зависит от со. Это означает, что мы аппроксимируем про-
процесс излучения импульсом исчезающе малой длительности.
Для количественного описания приближения, соответ-
соответствующего данному выше определению низкочастотного
предела, используем в общей формуле C.9) асимптотиче-
асимптотическое представление модифицированных функций Бесселя
при со ~> О. Это приводит к условию
(^е)-1 > In (tfe),	C.21)
ограничивающему применимость низкочастотного при-
приближения. Оно выполняется при
<?е -> 0.	C.22)
Очевидно, что такое условие является более сильным,
чем условие применимости приближения прямолинейного
движения, при котором величина Q& имеет конечное зна-
значение.
Поскольку условие Qe -> 0 включает в себя как част-
частный случай Q ->¦ 0, для дифференциальной излучатель-
ной способности в низкочастотном пределе мы имеем ре-
результат C.19), совпадающий с полученным в приближении
прямолинейного движения. Отметим, что в отличие от
расходящегося выражения для излучательной способ-
способности, которое можно было бы получить на основе фор-
формулы C.20), в формуле C.19) содержится зависимость от
со, устраняющая расходимость. Это и является причиной,
позволившей нам избежать предположения о бесконечно
малой длительности процесса излучения.
3.2. Некоторые результаты квантовомеханического
рассмотрения
Все проводившиеся до сих пор расчеты основывались
исключительно на классической теории излучения. Это
также неявно подразумевалось в общих принципах, содер-
содержащихся в определении рассматриваемой нами модели
плазмы. Условие h — 0 оправдывало пренебрежение по-
потерями энергии электрона на излучение в соответствии

326	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
с неравенством
Яо)<у^1,	C.23)
а также позволяло использовать приближенное описание
движения электрона с помощью классической траекто-
траектории, что справедливо только при условии
Приведенные выше соотношения указывают, что квантово-
механические эффекты становятся важными в тех случаях,
когда существенный вклад дают радиационное затухание
и излучение при столкновениях с прицельными пара-
параметрами
Ь«—.	C.25)
mvs	v '
Поскольку упомянутые эффекты при рассмотрении тор-
тормозного излучения действительно важны, мы здесь при-
приведем ряд результатов, полученных из квантовомехани-
ческого рассмотрения.
В этой связи заметим, что каждому шагу квантовомеха-
нического рассмотрения можно сопоставить неразреши-
неразрешимую в рамках классического рассмотрения задачу, свя-
связанную со всеми характеристиками излучения, не содер-
содержащими явной зависимости от прицельного параметра.
Обычно в теории излучения зависимость от темпера-
температуры, частоты и других эффектов учитывается с помощью
так называемого фактора Гаунта, который определяется
соотношением
Для изложенного выше классического рассмотрения фак-
фактор G (vs, со) был бы равен логарифмическому члену,
входящему в выражение C.19), умноженному на коэф-
коэффициент 31/2/я.
Квантовомеханическое рассмотрение дает для фактора
Гаунта выражение
С(")-^ч!1A-'-.)' C-27)

§ 3. Тормозное излучение	327
где
2^1 (*) = 2^1 (Чау Чи 1» —«)•
Здесь параметры gs и д/ определены соотношениями
Ze2	Ze*	/Q 9Я\
а величина я — соотношением
2Fi — обобщенная гипергеометрическая функция в
обычных обозначениях, введенных Ватсоном [4]; через
v8 и vf обозначены начальная и конечная скорости элек-
электрона, которые связаны между собой условием Борна
w^mv* h®-	C.30)
Приведенная выше общая формула C.27) была полу-
получена Зоммерфельдом [8]. Вычисления с ее помощью
довольно сложны, хотя она и широко используется при
расчетах тормозного рентгеновского излучения в рентге-
рентгеновских трубках и термоэмиссионных устройствах.
Рассмотрим снова два предельных случая низких
и высоких частот.
В низкочастотной области (приближение прямолиней-
прямолинейного движения)
^i^	C.31)
выражение для фактора Гаунта принимает вид
G= 3^.[ln(^-)-C-Re{*(l + ig.)>] • C.32)
Здесь С —постоянная Эйлера (С« 0,577), а я|) —лога-
—логарифмическая производная от гамма-функции, г|? (х) =
=?= d tin Г (x)]/dx. При малых скоростях электрона выра-
выражение для фактора Гаунта можно упростить:
C.33)
Здесь у = ехрС^1?781.

328	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Для больших скоростей электронов
Интересно заметить, что результат C.33) для малых
скоростей, полученный из формулы C.26), повторяет
результат классического рассмотрения, тогда как формула
C.34), вытекающая из C.26) в пределе больших скоро-
скоростей, в аргументе логарифма содержит явное проявление
типично квантовых эффектов. На первый взгляд это может
показаться несколько неожиданным.
Смысл этого обстоятельства заключается в том, что
предел применимости приближения прямолинейного дви-
движения при малых скоростях электронов ограничивает
область прицельных параметров значениями, значительно
превосходящими длину волны де Бройля.
При больших скоростях электронов классический
результат будет совпадать с результатом квантовомехани-
ческого рассмотрения, если в качестве минимального
значения прицельного параметра выбрать длину волны
де Бройля h/mvs.
Эльверт [9] на основе численных расчетов показал, что
классическое рассмотрение остается справедливым даже
для величин qs порядка единицы.
В высокочастотной области Эльверт [10] получил
формулу, которая несколько превосходит рамки приме-
применимости борновского приближения. Соответствующее вы-
выражение для фактора Гаунта имеет вид
C.35)
Здесь, как и прежде, величины qs и qf связаны между
собой условием Борна C.30), которое приводит к появле-
появлению зависимости от частоты в формуле C.35).
Введем теперь понятие коэффициента излучения,
который связан с дифференциальной излучательной спо-
способностью следующим образом:
dv.	C.36)
По аналогии с определением фактора Гаунта, использо-
использованным в выражении для дифференциальной излучатель-

§ 3. Тормозное излучение	329
ной способности, при определении коэффициента излуче-
излучения обычно используется средний фактор Гаунта G (в, со):
&*) ^-6F,@). C.37)
Общее выражение для этого фактора можно найти,
подставив формулу C.26) в C.36) и сравнив полученный
результат с C.37). Аналитического решения этой задачи
в общем случае не существует. Явные выражения могут
быть получены лишь в двух рассматривавшихся выше
предельных случаях.
В низкочастотном приближении для больших (но не-
нерелятивистских) скоростей электронов фактор Гаунта
определен формулой [6]
^(±?)	C.38)
а для малых скоростей электронов — формулой
Интересно отметить, что формула, полученная в прибли-
приближении малых энергий, справедливы вплоть до величины
qs « 1.
В высокочастотном приближении можно было бы вос-
воспользоваться формулой Эльверта. Однако при этом опять
не удается найти аналитическое решение. В рамках
борновского приближения, используя формулу, полу-
полученную Эльвертом в пределе больших значений v8 и vf,
получим
откуда следует
б (в, а) = ^-е-*»/2вКо (Ц.) .	C.41)
Здесь Ко — модифицированная функция Бесселя нуле-
нулевого порядка. Для очень высоких частот асимптотическое
представление Ко дает
G(9, co)= (A)vV*<o/e (-^)/2.	C.42)

330
Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Обратим внимание на то, что в выражении для /© вся
зависимость от частоты целиком содержится в факторе
Гаунта G.
Суммарное излучение, приходящееся на единицу объе-
объема, времени и телесного угла (для одного направления
1,5
1,*
1,3
Ы
/о
Ю
10"
10°
Фиг. 23. Зависимость величиныG от температуры при Z = 1 [11]
поляризации), определяется путем интегрирования коэф-
коэффициента излучения по частоте. При этом опять с помо-
помощью соотношения
v. g
тс*
C.43)
вводится понятие усредненного фактора Гаунта G.
Величина 5 была численно найдена Грином [11], ис-
использовавшим формулу Зоммерфельда,C.27). Соответству-
Соответствующий график представлен на фиг. 23. В борновском при-
приближении для высоких энергий электронов фактор Гаунта
приближается к предельному значению G = 2 У^З/я.
§ 4. ЦИКЛОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Циклотронное излучение возникает при ускорении
заряженных частиц в магнитных полях. В настоящем
параграфе мы сделаем исключение из нашего общего пра-

	§ 4. Циклотронное излучение	331
вила не рассматривать внешних магнитных полей, тат*
как циклотронное излучение представляет большой прин-
принципиальный интерес и, кроме того, по характеру анали-
аналитического рассмотрения оно тесно связано с тормозным
излучением.
Расчет характеристик циклотронного излучения в по-
постоянном магнитном поле в дипольном приближении
является довольно тривиальной задачей. Интересные
особенности возникают лишь в релятивистской области.
Итак, используем полученную ранее общую форму-
формулу B.51)
Для вычислений по этой формуле необходимо знать ско-
скорость v и координату х' как функции времени. Движение
частицы в релятивистском случае в любой инерциальной
системе координат описывается уравнением
|	хВ),	D.2)
где
1/ = ^,	D.3)
% — полная энергия рассматриваемой частицы, а р =
= у 1с.
В отсутствие электрического поля из уравнения D.2)
следует, что | р | = const. Мы пренебрегаем радиацион-
радиационным затуханием, что вполне допустимо для всех слу-
случаев, кроме случая частиц с ультрарелятивистскими ско-
скоростями.
При р = const уравнение D.2) описывает вращение
частицы с угловой частотой
coL = ^(l-P2I/2==coL0 A-P2I/2,	D.4)
где через colo обозначено нерелятивистское значение
ларморовской частоты.
Пусть частица движется с постоянной скоростью и^
вдоль магнитного доля. Тогда вицтовая траектория рас-

332
Гл. 5» Излучение отдельной частицы
сматриваемой частицы определяется уравнениями
х = —i- sin ©Lr et	— cos col^ e2 + v\\t e3,
Здесь знак заряда принят отрицательным, поскольку нас
интересуют только электроны. Смысл обозначений ясен
Фиг. 24, Винтовая траектория электрона, движущегося в одно-
однородном магнитном поле.
из фиг. 24. Выберем вектор г в плоскости (е4, е3). Тогда
г = sinfte! + соэФез.	D.6)
Подставив это выражение в D.1), запишем экспоненциаль-
экспоненциальный множитель в виде
ехр[ —tarf' + jij- х'.г] =
= ехрг
—1)©^'} , D.7)

§ 4. Циклотронное излучение	333
а двойное векторное произведение как
(Уц sin ftjcos Ф — v_i cos2 ft cos col/' \
— vj_sin(i)btf	I. D.8)
—z^H sin2 # + уj_sin/& cos ftcoscoi//
Сгруппируем теперь все члены, входящие в выраже-
выражение D.8), в соответствии с их функциональной зависимо-
зависимостью от времени. Чтобы провести расчеты по формуле
D.1), необходимо вычислить интеграл
= f ехр[ —iw (*'— ^j
X
X (c! + c2 sin (oi/ + c3 cos coi/) dt', D.9)
где величины с4, с2 и с3 представляют собой векторы, кото-
которые нетрудно получить с помощью D.8). Воспользуемся
теперь разложением
+ОО
ехр (% sin coi/) = 2 ехР (t™»it') Jm (I),	'D.10)
— oo
где S = -^P±sin#.
После этого вычисление члена, содержащего с4, стано-
становится тривиальным, и результат сводится к б-функции
Дирака. Чтобы рассчитать член с с2, продифференцируем
D.10) по g, а затем, интегрируя в D.9), снова придем
к б-функции. Член с с3 проинтегрируем по частям, рас-
рассматривая его совместно с первой частью экспоненциаль-
экспоненциального множителя как полный дифференциал. В результате
получим
X б (ifkDL — CO A —р,| COS #)). D.11)
Теперь разложим векторы с1? с2, с3 на компоненты вдоль
направлений е^ е2, е3 и подставим | D.11) в D.1),

334	Гл. 5. Излучение отдельной частицы
Поскольку нас интересует излучательная способ-
способность рассматриваемой системы, рассчитаем величину
излучения за единицу времени. Такая задача выглядела
простой в случае тормозного излучения, когда каждое
столкновение, длящееся лишь очень короткое время,
можно было рассматривать как полностью завершенное
и поэтому излучательная способность выражалась произ-
произведением излучения за один процесс столкновения на
число столкновений в секунду.
В случае циклотронного излучения, поскольку мы
пренебрегаем радиационным трением, процесс, в течение
которого происходит излучение, длится от момента вре-
времени —оо до + оо. Чтобы проанализировать переход от
излучательной способности w к дифференциальной излу-
излучательной способности г), рассмотрим процесс излучения
в течение конечного интервала времени Г, а затем перей-
перейдем к пределу Т -*~ оо. Тогда переход от суммарной энер-
энергии излучения к излучательной способности характе-
характеризуется соотношением
-f-T/2	+Г/2	+772
J е^г &'*-+(!- j ея*'Л')( j е-я*'Л') . D.12)
' -Т/2	-Т/2	-Т/2
В пределе Т ~> оо получаем
Jp — ilsit' Aif	9ттД Пк\	(A i ^\
— с»
и первый член в правой части соотношения D.12) при
Т -> оо и (о==0 стремится к предельному значению,
равному единице, а поэтому
4я262 E) -> 2яб (©).	D.14)
Используя D.14) в формулах D.1), D.9) и D.11), получим
выражение для излучательной способности в виде
(cos#-pn)/mE)_
—co(l — Pucos'O')) ,

§ 4. Циклотронное излучение	335
или в виде
m=l
X б [m©L — со A - pn cos #)]. D.16)
Члены с отрицательными т мы опустили, поскольку соот-
соответствующие им отрицательные значения со уже были
исключены (см. стр. 317).
Очевидно, что выражение для дифференциальной излу-
чательной способности описывает линейчатый спектр,
в котором, судя по виду б-функции Дирака в фор-
формуле D.16), частоты отдельных линий равны
(A 47\
N	~ 1 —p,,cosfl '	^' Ч
Частоты этих линий кратны ларморовской частоте с уче-
учетом релятивистского фактора и допплеровского смещения
вследствие движения вдоль магнитного поля, описывае-
описываемого знаменателем формулы D.17).
Угловое распределение различных гармоник является
весьма сложным. Это можно видеть из формулы D.16)
и фиг. 25, где представлены несколько первых гармоник
полученного разложения.
Полная излучательная способность на данной гармо-
гармонике определяется формулой (см. работу Шотта [12])
Т e^j0 1-р*
15
v \ 7"А (т\ /7т!	(А А Я^
о
в которой использовано обозначение
D.19)
Наконец, полная излучательная способность, равная
сумме излучений по всем гармоникам, имеет вид

336
Гл. 5. Излучение отдельной частицы
а
Фиг. 25. Угловое распределение некоторых гармоник циклотрон-
циклотронного излучения, нормированное на одинаковую величину суммар-
суммарной интенсивности.
а — для 3 = 0,9; б — для предельного значения C -»¦ 0»
Циклотронное излучение системы^
находящейся в тепловом равновесии
Для системы электронов, находящихся в тепловом
равновесии, коэффициент излучения равен
Ы (со, О) = { Что (со, р, О) / (р) dp.	D.21)

	§ 4. Циклотронное излучение	337
Здесь / — функция распределения. В случае, когда Рц <С Р_ь
выражение D.16) имеет более простой вид:
Л™(«о, Р. ®)=
+ $4% (тор)} 6 (ю - пивд) = Чт (Р, О) 6 (ю - mcoL). D- 22)
В результате формула D.21) для коэффициента излу-
излучения преобразуется к
Ы (со, О) = j 6 [ю - mcoL (p±)] ^m (Pj_, *) / (р±) #±. D.23)
Для скоростей электронов, когда можно пренебречь
членами более высокого порядка, чем |3^, максвелловское
распределение имеет вид
{i^l}	D.24)
где п_ — плотность электронов.
Выражения D.23) и D.24) были получены Хиршфиль-
дом, Болдуином и Броуном [13, 14]. Мы приведем их окон-
окончательную формулу, в которой уже выполнено интегри-
интегрирование по углу #:
X { J%m [2m A - х*)Щ - A - ж2
o
} . D.25
v=l
Здесь cop — электронная плазменная частота, а х =
/
O
На фиг. 26 представлены результаты расчетов спектра
излучения для двух значений температур по формуле
D.25), нормированного относительно спектра излучения
абсолютно черного тела
22-01291

О 1 Z 3 4 5 6 7 8 9 /О /1 1Z 13 tt
10
0/23456789/0
Фиг. 26. Спектр циклотронного излучения системы, находящей-
находящейся в тепловом равновесии, нормированный на поток излучения
черного тела,
а- 0 = 100 кэВ; б- 0 = 10 кэВ.

Литература	339
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред,
Гостехиздат, 1957.
2.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М„ Теория поля, изд-во «Наука»,
М. 1967.
3.	Becker Д., Sauter F., Theorie der Elektrizitat, Vol. 1, Teubner,
Stuttgart, 1962.
4.	Watson G. N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Gam-
bridge Univ. Press., London and New York, 1962.
5.	Handbook of Mathematical Functios, eds. M. Abramowitz, I. A.
Stegun, Dover, New York, 1965.
6.	Oster ?., Rev. Mod. Phys., 33, 525 A961).
7.	Bekefi G., Radiation Processes in Plasmas, Wiley, New York,1966
(см. перевод: Дзк. Бекефи, Радиационные процессы в плазме,
изд-во «Мир», 1971).
8.	Sommerfeld A., Atombau und Spektrallinien, Vol. II, Vieweg,
Braunschweig, 1939.
9.	Elwert G., Zs. Naturforsch., A3, 477 A948).
10.	Elwert G., Ann. Phys. (Leipzig), 34, 178 A939).
11.	Greene /., Astrophys. Journ., 130, 693 A959).
12.	Schott G. A.f Electromagnetic Radiation, Cambridge Univ. Press,
London and New York, 1912.
13.	Hirshfield /. L., Brown S. C, Phys. Rev., 122, 719 A961);
14.	Hirshfield /. Z,., Baldwin D. E., Brown S. C, Phys. Fluids, 4,
198 A961).
Дополнительная литература
К § 3
Panofsky W. К., Phillips Af., Classical Electricity and Magnetism,
Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1955.
Berger J. M., Phys. Rev., 105, 35 A957).
Brussaard P. /., van de Hulst H. C, Rev. Mod. Phys., 34, 507
A962).
Гинзбург В. Л., Распространение электромагнитных волн
в плазме, изд-во «Наука», М., 1967.
Karzas W. /., Latter Л., Astrophys. Journ. Suppl. Ser., 6, 167
A961).
Kramers H. A., Phil. Mag., 46, 836 A923).
Scheuer P. A. G.> Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 120, 231 A960).
К § 4
Beard D. В., Phys. Fluids, 2, 379 A959); 3, 324 A960).
Bekefi G., Hirschfield J. L., Brown S. C, Phys. Rev., 122, 1037
A961).
Drummond W. E., Rosenbluth M. N., Phys. Fluids, 3,45A960).
Oster Z,., Phys. Rev., 119, 1444 A960).
Oster L., Phys. Rev., 121, 961 A961).
Rosner #., Rep. AFSWC-TR-58-47, Republic Aviation Corp.,
Farmingdale, Lond Island, New York, 1958.
Трубников Б, Л., Phys. Fluids, 4, 195 A961).
22*

Глава 6
Взаимодействие электромагнитных полей
с системой многих частиц
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Как мы уже видели, в качестве основы для описания
кулоновской системы можно использовать цепочку урав-
уравнений ББГКИ. Исходя из этого, следует ожидать, что для
полностью ионизованной системы, находящейся в произ-
произвольном электромагнитном поле, можно по аналогии
с методом, изложенным в гл. 2, получить более общую
цепочку уравнений. Эта цепочка уравнений должна быть
более сложной, так как в ней закон кулоновского взаимо-
взаимодействия заменяется системой уравнений Максвелла. При
выводе цепочки уравнений для частных функций распре-
распределения из уравнений Климонтовича возникает ряд
усредненных характеристик поля, которые выражаются
через эти частные функции распределения. В результате
требуются дополнительные уравнения, которые можно
получить из соответствующего усреднения уравнений
Максвелла.
В отличие от метода, излагавшегося в гл. 2, мы перей-
перейдем здесь к представлению уравнений в пространстве ско-
скоростей, поскольку при наличии уравнений Макс-
Максвелла формализм функции Гамильтона не дает
преимуществ. Поэтому во всех последующих приложе-
приложениях мы будем применять представление в пространстве
скоростей, которое в той или иной мере согласуется
с общей методикой, принятой в литературе.
Пусть плотность распределения отдельной i-й частицы
в фазовом пространстве описывается функцией
^(*г, Ч)=6(«г-г,(*)N(*у-у,(*)).	A-1)
Дифференцируя ее, получаем

§ 1. Основные уравнения	341
Здесь ускорение v^ определяется уравнением
у, = -^ [Е (г„ t; vj \эФг) + хг X В (г„ t; fo, v,} \,ф1)], A.3)
в котором напряженности электрического и магнитного
полей Е и В зависят не только от набора координат
{г/, \j) \^ остальных частиц системы, но также и от
внешних источников. Подставив A.3) в A.2), получим
уравнение
^ ^	В)'-& = °- A.4)
Умножим теперь уравнение A.4) на функцию распреде-
распределения по ансамблю fN (ru . . ., v^; t) и проинтегрируем
его по всему фазовому пространству:
1...dvff = 0. A.5)
Для этого используем полученное с помощью теоремы
Лиувилля соотношение B.2.6):
dt K,<v~V at 1^^	,
^^ + v/~ )t»Ft. A.6)
0
Интегрирование соотношения A.6) приводит к следую-
следующему результату:
J JN-§t-aTi • • • aVN	Jt	 ,	A./)
поскольку интеграл от последнего члена в правой части
A.6) обращается в нуль. Это можно показать, интегрируя
его по частям и используя уравнения движения.
Рассмотрим теперь приведенные частные функции рас-
распределения
/зОг, Ч ...Л, Ч ...,sr,sv; t)= \fNFl...Fsdri...dvN
A.8)

342 Гл.6. Взаимодействие' электромагн. полей с сист. многихчастиц
и усредненные величины полей (M)s порядка s
<М>.(г, h, xv, ...,8r, sv; t)=
lM(r,...)fNFi...Fsdri...dvN
=	/.<*,...,*;*)	' A-У)
Используя A.7) и A.9) в уравнении A.5), получаем
an (ir, *у, t) , ,„ ал («r, *v; t) ,
dt	+	dir "•"
+ ^ J *, j[<E>1(r = ri, г„ yt; t) +
= ri,rt, v,, *)]/t(r,, v,, t)!^dvf = O A.10)
или соответственно
dh («r, «t;
^V, Q = 0. A.11)
Выпишем теперь уравнения Максвелла для электромаг-
электромагнитных полей, создаваемых всеми частицами с номерами
]ф i и внешними источниками в точке г в момент вре-
времени t:
= 1ю {е0
2'J W Mj}	A.12)
A.13)
A.14)
V.B = 0.	A.15)
Чтобы найти усредненные поля (ЕL, (ВI? умножим
уравнения A.12) — A.15) на произведение f^Ft и про-

§ 1. Основные уравнения	343
интегрируем по Г-проетранству. В результате получим
V х <В>,(г, *r, *v; Q/iCr, *v;*) =
r, V, t) + 2' еЛ Va (% *Ў, r. 'Ў; *KV +
i J
-f-^ (r, *r, *v; <) h (*r, {v; <) } , A.16)
)/t(<r, *v; *) =
= -<-f-)i(r' *Г'Ч; ЪП&, *v; 0, A.17)
V.(E),(r, {r, 4; <)/,(*r, 4; t) = e {^„Z, (*r, «v; Q +
+ У' ej \ h ({r, *v, r, Jv; «) d >v } , A.18)
V^B^Cr, % 4; Q/i(*r, *v; 0 = 0.	A.19)
Применяя далее теорему Лиувилля, найдем выражение
для производных от поля по времени:
, *г, Ч; «)/,(*г, Ч;«) =
*v;
+ 4-gip- (/i <M>0 + j^,v*• -^7 (/WM) dr, ... dvN. A.20)
Отсюда, учитывая соотношение
} , A.21)
получаем
X ^-[h (*r, *v, jr, V, *) (M}2 (r, *r, 4, jr, V;«)]• A-22

344 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Входящая в выражение A.21) величина Щ представляет
собой полное электрическое поле, создаваемое /-й части-
частицей у i-й частицы.
Подставляя A.22) в уравнения A.16) —A.19) и ком-
комбинируя их с уравнением A.11), получим следующую
систему уравнений:
dfi (it, iy; t) j Sfi et д , „ , i , i ,u
	di	+ v<[^F + ^PF*WE)l(r= r' r' v'*) +
+ {v x <B)t (r = Jr, {r, {v; t)\ h (fr, 4; *)} = 0, A.23)
V x <В>,(г, *г, *Ў; О = |1
X <EJ (r, {r, 4, }r, jv; t)d \ } , A.24)
T Евнешн' -Qj^r f (/l <B>!) —
A-25)
)
= её1 [рвнепи + -^ 2' eJ J /2 ({r. *v, r, jv; 0 d V] , A.26)
V-<B>i(r, jr, *v; t) = 0.	A.27)
Уравнения A.23) —A.27) являются системой уравне-
уравнений в частных производных и служат для определения
функции /4 (*г, Ч; t) и величин (E)t (г, 'г, Ч; «)и
<В>4 (г, Ч Ч; t).

§ 2. Решение при наличии многочаст, коллект. корреляций 345
Разумеется, эта система не замкнута, поскольку она
содержит парные функции /2, (Е>2 и (В}2. Для их опре-
определения необходимо сформулировать следующую систему
уравнений, которая будет уже содержать тройные функ-
функции /3, (ЕK и (ВK. В результате по аналогии с методом,
использовавшимся при выводе уравнений ББГКИ, мы
опять придем к некоторой цепочке уравнений. Однако
мы воздержимся здесь от выписывания подобной системы
уравнений высших порядков, поскольку они весьма
сложны по структуре ц не будут использоваться в даль-
дальнейшем.
§ 2, РЕШЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ЛИШЬ МНОГОЧАСТИЧНЫХ
КОЛЛЕКТИВНЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ
2.1. Основные уравнения и их линейное приближение
В рассматриваемом приближенном методе выполняются
следующие соотношения, позволяющие упростить цепочку
уравнений для функций /, (В) и (Е):
s
fs{h, ...,Ч;0 = П /i(Vr> Vy; ')» гДе * = 2, ...,ЛГ,
V=1	,ч
B.1)
<Е>, == <Е>! (г; t), <B>j = <B>j (r; t),	B.2)
Ж^ <(ж),), = ^<В), B.3)
Соотношения B.3) можно получить из формулы A.20),
используя B.1) и B.2), а также теорему Лиувилля для
случая отдельной частицы. С помощью данных упрощаю-
упрощающих соотношений получим вместо уравнений A.11)
и A.16) —A.19) следующую систему:
f	+ ^KE) + ivx(B)]|^ 0, B.4)
V X <B>j = Цо ГJBHenm + 2Ч- (Ml (Г, Ч t)d'v
i J

346 Гл. 6, Взаимодействие"электромагн. полей с сист. многих частиц
B.6)
V. <E>i = 8-1 [рвнешн + 2 ' eJ J Л (Г' 'V' 0 d 'V] '	B'7)
V.<B)i = O.	B.8)
Будем предполагать, что внешние источники полей нахо-
находятся вне рассматриваемого объема.
Далее вместо частных функций распределения /i
удобно ввести общие функции распределения [см. B.2.19K
#4*, v; *)= 2 М'*> 'v; *)|w = ЗД> B.9)
i(|A)	*
где индекс / (fx) обозначает совокупность частиц сорта
\i, а АГц, — общее их число в системе.
Выполняя суммирование в системе дифференциальных
уравнений B.4) — B.7), получаем
§^ = 0, B.10)
X (B>1 = Fo { 2 ev j V/^dv' + во-^-} , B.11)
B.12)
B.13)
V.<B>! = 0.	B.14)
Уравнения B.10) —B.14) описывают функцию распреде-
распределения частиц /?} и поля (ЕL и (ВL в пределе исчезающе
малых корреляций отдельных частиц. Для простоты мы
далее опустим скобки у величин Б и В, имея, однако,
в виду, что Е и В представляют собой усредненные вели-
величины.
Теория в приближении малых амплитуд
Приближение малых амплитуд основано на предполо-
предположении, что поля Е, В можно рассматривать настолько
малыми, что они приводят лишь к небольшим отклоне-
отклонениям системы от положения равновесия (нулевое при-

§ 2. Решение при наличии многочаст, коллект. корреляций 347
б лишение). Примем далее, что члены нулевого порядка
в разложении
/м- == /м- ~Ь /|л ~"Ь • • •	B.15)
не создают каких-либо зарядов и токов, т. е,
2 *v J W' dv' = О, 2 ev f v' @)^1> dv' ^ 0# ^2'16)
V	V
Если состояние в нулевом приближении является стацио-
стационарным, то из уравнения B.10) следует, что функция
распределения нулевого порядка зависит только от v.
Поэтому будем считать, что х)
Перепишем рассматриваемую систему уравнений с учетом
этих обозначений в виде
), B.18)
B.19)
V
VxE=—JJ-,	B.20)
B.21)
2.2. Тензор проводимости и тензор диэлектрической
проницаемости
Применяя преобразование Фурье к уравнению B.18),
получаем
B.23)
х) Обратим внимание на то, что здесь мы ради простоты ввели
для общих функций распределения обозначения (аналогичные
обозначениям, введенным на стр.138), которые, однако, не следует
путать с обозначениями для частных функций распределения.

348 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полейесист .многих частиц
Отсюда находим
ДиГ 1иГ	xB).	B.24)
Здесь использовано обозначение
и=-|-к.	B.25)
Тогда плотность тока запишется в виде
', B.26)
где х определяется формулой
+ xB.	B.27)
Из уравнения B.20) получаем
?кхЕ = ?со6	B.28)
или
B = -ikxfU~kxE.	B.29)
и	с	ч '
Здесь мы ввели показатель преломления п = с/и.
Подставив B.29) в B.27), найдем выражение для тен-
тензора х
г 2
Определим теперь новую функцию распределения /0 по-
посредством соотношения
4 /ov,	B.3D

§ 2. Решение при наличии многочаст. КоллеКт. Корреляций 349
которая отличается от /ov тем, что она нормирована на
единицу, поскольку
JH- B-32)
Согласно B.26), B.30) и B.31), тензор проводимости
записывается следующим образом:
V
	dv xr\/ dfo It I л ?A \ i k) (v \ /o qq\
Подстановка соотношения j —a-E в B.19) приводит к урав-
2
нению
ik х В = tio8o { — гсоЕ + е^а-Е} =
2
==^|J-a-tol}.E = --^8.E, B.34)
отсюда сразу получаем выражение для тензора диэлект-
диэлектрической проницаемости
8 = 1Н——в.	B.35)
2 2 80@ 2
2.3. Дисперсионное соотношение
Итак, уравнение B.34) сводится к виду
°г 2
а уравнение B.29) можно переписать в форме
kv В	 п Ь \\г\ /fr Tl ^&	@ 37\
X -D = — ft (К) (К—AJ'lj.	\&»OI )
с	2
Вводя обозначение Ii =1—k)(k, найдем
2 2	^
^^_8(Ь) @I.1 = 0.	B.38)

350 Гл. в. Взаимодействие электромагн. полейте сист. мноёих частиц
Отсюда получаем дисперсионное уравнение
detail — 8(к, <о)}=0,	B.39)
2 2
в котором тензор диэлектрической проницаемости, согласно
B.35) и B.33), равен
B.40)
Анализ дисперсионного уравнения труден по двум
причинам. Одна из них объясняется сложным видом этого
соотношения, а вторая связана с расходимостью, обу-
обусловленной знаменателем подынтегрального выражения
B.40) для действительных значений и.
Вряд ли можно что-нибудь сделать с первой трудно-
трудностью, за исключением разве того, что в конце концов мы
можем ограничиться рассмотрением частных случаев рас-
распределений. Что же касается второй проблемы, то суще-
существуют две области, представляющие принципиальный
и практический интерес, для которых подобной проблемы
расходимости не возникает. Первая область относится
к большим фазовым скоростям и > с, где указанная
проблема отпадает, поскольку мы не ^рассматриваем реля-
релятивистских частиц. Эта область интересна тем, что она
позволяет судить о реакции плазмы на падающие электро-
электромагнитные волны. Вторая область относится к фазовым
скоростям с конечной величиной мнимой части ut. Плаз-
Плазменные волны, обладающие таким свойством, вообще*
говоря, непригодны для передачи сигналов. Но они пред-
представляют интерес вследствие возможности появления
неустойчивых нарастающих мод, приводящих, как пока-
показал Бунеман [1] для электростатических волн, к пере-
перегруппировке скоростей частиц. В этом смысле комплекс-
комплексные волновые решения приводят к тем же эффектам, что
и молекулярные столкновения в обычном газе.
1. Случай иТ > с. Предположим, что реальная часть
фазовой скорости равна или больше скорости света, что,
естественно, означает v <^ и.

§ 2. Решение при наличии многочаст* коллект. корреляций 351
В этом пределе
* = 1	B.41)
2 2
и имеет место соотношение
•-!+*H(-S-*- B-42>
Интегрирование по частям в данном случае приводит
к простому виду тензоров диэлектрической проницаемо-
проницаемости и проводимости
1&Q	о Т	/О / О\
а = —-<Dpol.	B.4d)
При этом дисперсионное соотношение записывается сле-
следующим образом:
= det
B.44)
Если координата z выбрана в направлении вектора к, то
дисперсионное соотношение имеет вид
о
о
о
1 —
= 0.
B.45)
Тензор, входящий в соотношение B.45), является диаго-
диагональным. Это означает, что продольные и поперечные
волны не связаны между собой. Поскольку компоненты
тензора, соответствующие поперечному полю, одинаковы
и отличаются от компонент, связанных с продольным
полем, решения для поперечных волн имеют отличающиеся
от продольных волн частоты. Кроме того, поле попереч-
поперечных волн может иметь произвольное направление поля-
поляризации.

352 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Частота продольных волн, согласно уравнению B.45),
равна
со = Шро-	B.46)
Таким образом, фазовая скорость продольных волн есть
B.47)
Сделанное нами предположение о том, что v <^ и, озна-
означает, что полученные результаты верны лишь в области
значений
()У\-ки.	B.48)
Отметим, что найденное нами решение для электростатиче-
электростатических волн соответствует результату, который ранее был
получен в разд. 2.5 гл. 3. Однако здесь не следует ожи-
ожидать проявления эффекта затухания Ландау, поскольку
оно обязано своим происхождением частицам со скоро-
скоростями, близкими к фазовой скорости волны.
Частоты поперечных волн удовлетворяют уравнению
^ = 1-„. = 1-?,	B.49)
или
?	B.50)
(O^q	U* — С*
Отсюда находим фазовую скорость поперечной волны
Таким образом, для поперечных мод выполняются нера-
неравенства
<о > сор0; и > с.	B.52)
Разумеется, при этом групповая скорость ug	= dco/dk,
которую можно получить из уравнения B.49),	записан-
B.49),	записанного в виде
со2 = со2р0 + №с\	B.53)

§ 2. Решение при наличии многочаст. Коллект. корреляций 353
всегда меньше скорости света и определяется соотноше-
соотношением
Полученные выше результаты показывают, что плазма
взаимодействует с поперечной электромагнитной волной,
частота которой выше плазменной, как среда с пока-
показателем преломления, меньшим единицы. Если же частота
электромагнитной волны намного превосходит плазмен-
плазменную частоту сор0, то показатель преломления практически
равен единице. В таком случае плазма никак не влияет
на распространение волны. При приближении частоты
электромагнитной волны к плазменной показатель пре-
преломления убывает, быстро приближаясь к нулю.
Решения для поперечных волн в области фазовых
скоростей и > с и частот со < сорО не существуют. В от-
отсутствие диссипации (а — чисто мнимая величина) падаю-
падающая волна на этих частотах о < соро не может погло-
поглощаться. Она должна полностью отражаться от поверхно-
поверхности плазмы. (Это также очевидно из условия и2 < 0.)
2. Случай и%Ф 0; иТ = О (vT) <^ с. Волны, рассма-
рассматриваемые в данном случае, следует четко отличать от
рассмотренных выше обычных электромагнитных волн,
распространяющихся с фазовыми скоростями, равными
или большими скорости света. Последние можно счи-
считать разновидностью радиоволн, модифицированных бла-
благодаря наличию плазмы. Волны, которые мы собираемся
рассматривать, обладают намного меньшими фазовыми
скоростями, равными по порядку величины среднеквад-
среднеквадратичной (тепловой) скорости vT частиц плазмы. Кроме
того, предполагается, что фазовые скорости принимают
комплексные значения.
Предвидя заранее, что инкремент неустойчивости для
таких волн в общем случае составляет величину порядка
®vqVtIc, можно сказать, что развитие этих неустойчиво-
стей происходит гораздо менее энергично, чем развитие
электростатических неустойчивостей. Таким образом, в тех
случаях, когда могут возникнуть обе неустойчивости
одновременно, преобладающей будет потенциальная элек-
электростатическая неустойчивость. Однако условия суще-
23-01291

354 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
ствования электромагнитных неустойчивостей являются
менее жесткими по сравнению с условиями существова-
существования потенциальных неустойчивостей. Поэтому во многих
системах электромагнитные неустойчивости оказываются
единственно возможными и, следовательно, важными.
Обратимся теперь к дисперсионному уравнению B.39)
и формуле для тензора диэлектрической проницаемости
B.40). Пусть v3 —компонента скорости v в направлении
волнового вектора k, a vi и v2 — компоненты, перпендику-
перпендикулярные к. Тогда дисперсионное уравнение запишется
в виде
4^к
Обозначим компоненты тензора А через А^. Тогда можно
написать, что
(^^)^	^, B.56)
где
Заметим, что тензоры А и С являются симметричными:
2 2
Напомним теперь, что мы исследуем случай иг ж vT <^ с
и поэтому можем пренебречь единицей по сравнению
с величиной с2/с2/со2, что физически означает пренебреже-
пренебрежение токами смещения. В результате придем к выражениям
где К = ^у- B.59)

§$'2. Решение при наличии многочаст, коллект. корреляций 355
для (Д; и v, не равных 3, и
+ W + С)}	B-60)
Связь между электромагнитными и электростатиче-
электростатическими волнами отсутствует при условии
А13 = AZ3 = 0 или С13 == С23 = 0. B.61)
Это условие можно также переписать в форме
B.62)
где используются обозначения
^о (i>s) = \ /о dVi dv2, (Vj) = v; , , f ^i/o ^i Jy2. B.63)
Тогда достаточным условием отсутствия связи между
волнами, очевидно, является тождество
(vi) = 0 для всех v3.	B.64)
В этом случае дисперсионное уравнение для электроста-
электростатических волн принимает вид
1 _ ^ A + сзз) = 0,	B.65)
откуда с учетом тождества
следует
^[J_^dv = 0.	B.67)
Интегрируя по частям, можно показать, что этот резуль-
результат совпадает с ранее полученным дисперсионным соотно-
соотношением для потенциальных электростатических волн [см.
формулу C.2:18)].
23*

356 Гл, 6. Взаимодействие электромйен. полей с сист. многих ЧаОпиЦ
При выполнении условия B.64) дисперсионное соотно-
соотношение для электромагнитных волн может быть записано
в виде
(|	) (|	)	B.68)
Чтобы решить это уравнение, следует сначала записать
интегралы Cll7 C22 и С12 следующим образом:
3 (Уз~""г)~^з~^3	f 1?Г 3
где 5Cm.v = \v\xPv) Fq (i78), затем выделить действительную
и мнимую части в дисперсионном соотношении и из полу-
полученной системы уравнений определить действительную
и мнимую составляющие частот или соответственно фазо-
фазовых скоростей волн. В результате это привело бы к слож-
сложным численным расчетам. Мы же хотим получить лишь
наиболее общие выводы, что можно сделать с помощью
ряда оценок по порядку величины.
Перепишем выражение для коэффициентов С^
d ,	„
где ti-1,2, v=l, 2, B.70)
5=5 J
и учтем, что \u\2tt{v2). Тогда
(VpPv) « | ^|2 « | v3 — и |2,
^v = O(l), |i=l, 2, v=l, 2.	B.71)
Из B.67) видно, что
*b. = O(ftSX*So = o(-^).	B.72)
Абсолютное значение волнового вектора /сэм рассматри-
рассматриваемой электромагнитной волны много меньше величины
волнового вектора кэс соответствующей электростатиче-
электростатической волны. Формула B.72) дает весьма полезную инфор-
информацию для оценки величины связи электростатических

§ 2. Решение при наличии многочаст, коллект. корреляций 357
и электромагнитных волн. Для этого запишем дисперсион-
дисперсионное соотношение, сохранив в нем все члены, в виде
к2	к2	к2
A+С)	t^
к2	к2	к2
¦р" С12 1 + "р" A + С22)	-р"
=0. B.73)
1
Рассмотрим вначале те волны, волновые векторы кото-
которых близки к &эс, где /с|с ^ С0р0/(г;2). Используя оценку
коэффициентов С^ по порядку величины, детерминант
B.73) можно переписать в виде
ИЛИ
1 + C33(fe, e>)-JJL= ()(§¦).	B.75)
С помощью разложения к = &эс + Д/с, где /сэс представ-
представляет собой решение уравнения B.75) с правой частью,
строго равной нулю, мы получим
B.76)
Полагая дСгг1дк — О (Сзг/к) = О A/&) и принимая во
внимание B.72), найдем,, что в соответствии с исходным
предположением
Отсюда следует, что связь электростатических и электро-
электромагнитных волн в плазме очень слабо влияет на диспер-
дисперсионное соотношение для потенциальных волн и их ча-
частоты. С другой стороны, связь волн приводит к важным
изменениям в соответствующем дисперсионном соотно-
соотношении для электромагнитных волн. Рассмотрим в каче-
примера волны? волновые ректоры которых б

358 Гл. 6. Взаимодействие электромаги, полей с сист. многих частиц
к &с, т. е. к2 ж к\. Тогда в дисперсионном соотношении
B.73) все коэффициенты по порядку величины будут
близки к единице и, следовательно, членами связи в этом
случае пренебрегать нельзя.
2.4. Электромагнитные неустойчивости
Детальный анализ дисперсионного соотношения B.73)
при рассмотрении вопросов устойчивости плазмы является
очень сложным и выходит за рамки данной книги. Поэто-
Поэтому здесь мы изложим результаты, полученные Каном [2],
который исследовал общий случай функций распределе-
распределения, обладающих центральной симметрией, когда выпол-
выполняется соотношение
/0(т) =/0(-v).	B.78)
Вычисления Кана показывают, что неустойчивость плаз-
плазмы по отношению к поперечным волнам может иметь
место для большого класса функций распределения в про-
пространстве скоростей.
Неустойчивость заведомо развивается в тех случаях,
когда не выполнены условия
оо
\ vf0 (v, О, ф) dv = const,	B.79)
о
*>2/o (v, ft, ф) dv = const,	B.80)
т. е. не выполнены условия, при которых число частиц,
движущихся в пределах данного телесного угла, и гар-
гармоники их средней скорости не зависят от направления.
Заметим, что эти условия не означают ни изотропии
распределения по скоростям, ни изотропии давления.
Для того чтобы распределение было изотропным, необ-
необходимо выполнение условия
оо
[ vnf0 (v, #, ф) dv = const	B.81)
"о

§ 2. Решение при наличии многочаст, коллекпъ. корреляций 359
для всех значений п. В частности, для изотропии давле-
давления нужно было бы потребовать выполнения условия
B.81) при п = 4. Тем не менее во всех практических слу-
случаях при выполнении условий B.79) и B.80) распределе-
распределение по скоростям в плазме вряд ли будет Анизотропным,
если она не приготовлена каким-либо особым способом.
В практических случаях трудно ожидать, чтобы функция
распределения обладала таким свойством.
Исследования Кана не дают ответа на все вопросы.
Из них не следует, что плазма заведомо будет устойчива,
если ее функция распределения удовлетворяет условиям
B.79) и B.80). Эти условия являются лишь необходимыми.
Кроме того, они не дают возможности получить резуль-
результаты, если распределение по скоростям не является цен-
центрально-симметричным. Однако Кан утверждает, что все
подобные распределения неустойчивы.
Чтобы проанализировать указанные результаты, вспом-
вспомним, что мы пренебрегли корреляцией. Следовательно,
приведенные выше утверждения справедливы, когда рас-
рассматриваемые интервалы времени малы по сравнению
с временем между столкновениями, т. е. когда [см. фор-
формулу (П.З) в приложении]
со>соро--^—•	B.82)
Поскольку мы приняли, исходя из соотношения B.72),
что | а/и | = О (сор0/с), и предположили, что | и | =
= О (vT), то рассматриваемые явления обусловлены вол-
волнами низких частот. Поэтому с учетом неравенства B.82)
получим
()JlLA..	B.83)
Л	v '
Отсюда вытекает, что описанные выше неустойчивости
могут проявляться только при достаточно низкой плот-
плотности и высокой (но нерелятивистской!) температуре
плазмы.
Фрид [3] и Фюрт [4] исследовали физический меха-
механизм усиления электромагнитных волн. Поскольку авто-
авторов интересовал лишь основной механизм, а не проявле-
проявление частных деталей, они изучали поведение системы
электронов в простых экспериментальных условиях,

360 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Начнем с рассмотрения начального возмущения маг-
магнитного поля типа
Вг = Beikx, Вх =Ву = 0,	B.84)
которое представляет собой волновое возмущение поля
в направлении координаты х. Вектор магнитного поля
направлен по оси z.
В начальный момент времени нет движения электронов
в направлениях z или х. В направлении у все электроны
обладают одинаковой скоростью. Тогда функция распре-
распределения электронов запишется следующим образом:
/0 (v) = a8(vx) 8{vz) 8(v* - а2) при а > 0.	B.85)
Электрон, имеющий начальную скорость vy,B магнитном
поле испытывает ускорение
vx = —-^vyBz= —tobVy,	B.86)
где соь = eBjm — переменная циклотронная частота.
Вследствие этого в направлении оси х возникает поток
^-компоненты импульса. Производная по времени от этого
потока определяется соотношением
mvyvx= —ти1(х)Ь.	B.87)
Проводя усреднение с помощью функции распреде-
распределения / =/0 +/i (r, v; t) и объединяя члены первого
порядка, получаем
^-Л»ь.	B.88)
В силу закона сохранения импульса этот поток (или дав-
давление) вызывает в соответствии с уравнением непрерыв-
непрерывности изменение компоненты скорости (иу):
d(vxvy)
Уравнение Максвелла, содержащее VxB, в пренебреже-
пренебрежении током смещения сводится к соотношению
ihBp = —у*1 у = + И'О еп- (vy)-	B.90)

§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 361
Исключая с помощью этого соотношения (vy) из уравне-
уравнений B.88) и B.89), найдем
-^—^ik-^a-Вг. B.91)
Отсюда следует, что начальное возмущение Вг нарастает
по экспоненциальному закону с инкрементом сор_а/с. Это
согласуется с выводами, полученными Каном.
Выражение B.91) не совпадает с результатами более
общего исследования Вайбеля [5]. Тем не менее рассмо-
рассмотренная грубая модель с ее частным случаем начального
распределения все же может дать некоторое качественное
объяснение неустойчивости.
Пренебрежение током смещения dEldt в уравнении
B.90) эквивалентно пренебрежению единицей по сравне-
сравнению с величиной с2к2/(й2 в дисперсионном соотношении.
Это показывает, что токи смещения не дают вклада в раз-
развитие рассматриваемой неустойчивости. Ее механизм
заключается просто в том, что начальное возмущение
магнитного поля приводит к такому ускорению электро-
электронов, что возникающий поток импульса воздействует на
начальное распределение токов в направлении усиления
флуктуации поля. С физической точки зрения усиление
начального возмущения поля можно рассматривать как
сжатие (пинч-эффект) плазмы в токовые слои. Если при
этом предположить, что компонента скорости vx не
равна нулю, то должен возникнуть эффект суперпозиции,
обусловленный движением частиц системы в направлении
оси х. Этот эффект противодействует развитию неустой-
неустойчивости, полученной в отсутствие движения в направле-
направлении оси х,
§ 3. РЕШЕНИЯ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРОН-ИОННЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ
В предыдущем параграфе мы исследовали эффекты,
возникающие в полностью ионизованной системе, без учета
влияния корреляций отдельных частиц на распростра-
распространение электромагнитных волн. Теперь мы займемся вопро-
вопросами излучения и поглощения этих волн. В таком слу-
случае, конечно, пренебрегать полностью корреляциям^
частиц уже нельзя.

362 Гл.6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Выше мы уже обсуждали вопрос об излучении, свя-
связанном с одночастичными взаимодействиями. В данном
параграфе мы исследуем процессы излучения и поглоще-
поглощения, обусловленные той частью ускорения частиц, кото-
которая приобретается при взаимодействии одновременно со
всеми частицами плазмы. Эффективное поле частиц плаз-
плазмы обычно представляется в виде суммы коллективного
поля, входящего в уравнение Власова, и поля, обуслов-
обусловленного корреляциями отдельных частиц и представляе-
представляемого остаточным членом правой части цепочки уравне-
уравнения ББГКИ. В принципе эффекты от обоих этих сла-
слагаемых могут быть названы «тормозным излучением».
Разумеется, вклад в тормозное излучение, обусловленный
коллективным полем, представляет собой явление, кото-
которое не может встретиться при одночастичном рассмотре-
рассмотрении. С другой стороны, вклад в тормозное излучение за
счет полей, обусловленных корреляциями, должен при-
присутствовать в расчетах, относящихся к одночастичным
процессам взаимодействия.
Нельзя доказать, что вкладом в излучение, обуслов-
обусловленным корреляциями частиц, можно пренебречь по срав-
сравнению с вкладом коллективных полей. Действительно,
поскольку амплитуда коллективного поля может быть
пренебрежимо мала во многих практически важных слу-
случаях, вероятно, будет правильным противоположное
утверждение.
В принципе мы должны были бы вновь обратиться к об-
общим уравнениям, рассмотренным в § 1, чтобы составить
цепочку уравнений для величин /2, (ЕJ и (J5J, сделав
при этом ряд предположений относительно корреляций
третьего порядка /3, (ВK и (E)s. Однако громоздкие вы-
выкладки, приведенные в § 1, показывают, что подобная
процедура малопривлекательна.
Поэтому мы прибегнем к другому, более приемлемому
методу. Определим насколько возможно точно тензор
проводимости для рассматриваемой системы с учетом
корреляций частиц и коллективных эффектов. Затем
найдем коэффициент поглощения, который связан с тен-
тензором проводимости, и из него, используя закон Кирх-
Кирхгофа, получим коэффициент излучения. Конечно, данный
метод це строг, но оц приводит к результатам, имеющим

§ 3, Решения с учетом электрон-ионных корреляций 363
достаточную точность для многих практических прило-
приложений.
Если можно считать, что время взаимодействия двух
частиц твз (см. разд. 1.3 гл.4) много меньше всех других
характерных времен, рассматриваемых в задаче, в част-
частности меньше периода колебаний поля, то эффекты, свя-
связанные с корреляциями частиц, можно сравнительно про-
просто учесть с помощью уравнения Фоккера — Планка или
иных сходных методов. В исследуемой модели плазмы это
эффективное время взаимодействия двух частиц порядка
величины обратной плазменной частоты, т. е. твз « G)pL.
Поэтому можно ожидать, что метод уравнения Фоккера —
Планка и другие аналогичные ему методы применимы,
когда выполнено условие со <^ сор_.
К сожалению, как мы видели выше, в области и > с,
представляющей практический интерес, приходится
иметь дело с частотами со > сор_, что не позволяет исполь-
использовать уравнение Фоккера — Планка. Поэтому в ука-
указанной области мы будем следовать методу, предложен-
предложенному Даусоном и Оберманом [6, 7].
3.1. Модель Даусона — Обермана
Применимость модели Даусона — Обермана ограни-
ограничена следующей областью частот и скоростей:
2л	In Л	vx
со>—^сор_-~д-, и>уг.
Приведем ряд предположений, которые лежат в основе
этой модели.
1.	Исследуемая система, как всегда, представляет собой
неограниченную пространственно однородную среду, со-
состоящую из электронов и равного числа ионов противо-
противоположного знака заряда. В среде присутствует слабое
однородное электрическое поле Еое-Ш. Предположение
относительно однородности электрического поля означает,
что область рассмотрения ограничена достаточно большими
длинами волн или, строго говоря, рассматривается об-
область фазовых скоростей, превосходящих среднеквадра-
среднеквадратичную скорость частиц.
2.	Ионы неподвижны (mjm+ = 0), а распределение
их	й

364 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
- 3. Магнитное взаимодействие частиц пренебрежимо
мало, поскольку оно по порядку величины в c2/v2 раз
меньше величины взаимодействия, определяемого элек-
электрическим полем.
4. Движение электронов достаточно хорошо описы-
описывается уравнением Власова. Поэтому на рассматриваемые
частоты налагается требование
vs. 2я	In Л	/о л
со> — ^сор-—?--,	C.1)
где тс — время между столкновениями.
В дипольном приближении электрон-электронные кор-
корреляции не дают вклада ни в проводимость, ни в эффекты
поглощения или излучения. В системе координат, свя-
связанной с колебательным движением свободных электронов
во внешнем поле, функцию распределения электронов
в нулевом порядке можно рассматривать как максвел-
ловскую. Таким образом, вообще говоря, в данном рас-
рассмотрении электрон-электронными корреляциями прене-
брегается лишь до тех пор, пока они не нужны, чтобы
оправдать предположение о максвелловском распределе-
распределении электронов.
Запишем уравнения Власова для электронов (т„ =
= т, е_ = — е)
ДФ= г;' (е j f-'dv-e 2 Цг-Т,)).	C.3)
i
Здесь через г/ обозначены координаты ионов.
Преобразуем теперь эти уравнения, перейдя к системе
координат, которая осциллирует синхронно с движением
свободных электронов во внешнем электрическом поле.
Соотношения, определяющие преобразование координат,
имеют вид
R-r	f-.Eo*-*>'f V = v + —Eo*-'®'. C.4)
Соответственно соотношения для преобразования произ-
врдццх запишутся следующим образов;

§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 365
\~оЧ)у, «""(Ж/У,*	\04)v,t\W)R,t
В результате уравнения Власова преобразуются к системе
а/1" , лг _^.,_?_i®_ д*-' о
dt "+" dR "•" /га 0R ' 9V "" '
i
Здесь использована сокращенная запись
е
Линеаризация уравнений C.6) сводит эту систему к виду
[см. B.15) и B.17)]
dt ^ дЯ ^ т
i = ^- [n-+ J /i-dV- 2 6
Предполагается, что функция /0_ имеет вид
/о- =	тг—з~ ехР (	?
/0 BjTK/2F F \ 2F
где Ft —среднеквадратичная скорость электронов.
Применим теперь к уравнениям C.8) преобразование
Фурье по пространству R:
(к)+	C.10)
ехр [-гк.(|е--' + г,)]}
i
(Вследствие предположения о нейтральности невозму-
невозмущенной плазмы первый и третий члены в преобразованном

Збб Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
по Фурье уравнении Пуассона для к = 0 взаимно сокра-
сокращаются.)
Преобразуем далее систему C.10) в эквивалентное ин-
интегральное уравнение с помощью формального примене-
применения метода вариации произвольной постоянной. Введем
обозначения
L=-iY-k, i?=—|к.(^-)Ф1[/;-]; C.11)
тогда рассматриваемое дифференциальное уравнение мож-
можно записать в общем виде
O^К.	C.12)
Однородное уравнение имеет решение St = exp ( — Lt).
Примем теперь, что 7i- = Stg- Тогда получим
t
^^SfR^S^tR, f±_= J St-t>R(t')dt'. C.13)
Потребовав, чтобы f1_(t= — oo) = 0, и использовав под-
подстановку % = t — t', найдем
l7^(t-x)]dx.	C.14)
Подставив это выражение во второе уравнение системы
C.10), получим, что
— Bох)-3/з 2 exp[-Jk. (le-^ + tj)]} . C.15)
3
Интегрирование по скоростям дает
-foo
f
f
	^	 f e-itfty exp ( -
— OO
= ixtfn. exp [ —i (FT/ftJ] . C.16)

§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 367
Отсюда сразу получаем
оо
Ф1 = - <. { ехР [ - Т 0W] tOj (t -x)dx +
о
-&.(&-<«« +г,)]. C.17)
Строгое определение проводимости существует лишь для
предельного случая Ео -> 0, т. е. для !• -> 0. Это позволяет
разложить последний член в правой части выражения
C.17):
i
= A — 1к-%е~ш) 2 ехр (-ik-r,). C.18)
j
(Вообще говоря, правомерность такого приближения нуж-
нуждается в доказательстве, так как вследствие сингулярно-
стей, возникающих в ионных членах, оказывается суще-
существенным вклад от очень больших значений к. Детальное
исследование данного вопроса показывает, что предполо-
предположение Ь>к <^ 1 дает правильные результаты в низших поряд-
порядках разложения по |, справедливые для любых зна-
значений к.)
Поскольку выражение C.18) состоит из постоянной
и переменной по времени части, предположим для функ-
функции <?>! аналогичное представление в виде Ф4 = Фс +
+ Фьсо (*)• Подстановка этого выражения в C.17) приво-
приводит к выражению для постоянного слагаемого в виде
Фс=	ят	f	>!ехр( —йЬг^. C.19)
Из структуры уравнения[C.17) также очевидно, что функ-
функция Ф1ш = С ехр (—icot) должна удовлетворять осцил-
осциллирующей части этого уравнения. Используя это обстоя-
обстоятельство, найдем
C-20)

368 Гл. 6. Взаимодействие влектромагн. полей с сист. многих Частиц
где
j(i^i)	C.21)
Было бы, конечно, более правильным вычислять по-
потенциал исходя из волнового уравнения, а не из уравне-
уравнения Пуассона. В результате выражение для Ofe@ изме-
изменится на множитель к2/(к2 — со2/с2), а выражение для Фс
останется неизменным. Однако асимптотические формулы
для Ak@ показывают, что основной вклад в общее выраже-
выражение для 0?! дают значения к ж co/VT ^> со/с (см. первое
предположение), так что величина корректирующего мно-
множителя близка к единице.
Получив формулу для потенциала, мы теперь можем
рассчитать среднюю силу, действующую со стороны
электронов на ионы. Она равна (но противоположно на-
направлена) средней силе, действующей со стороны ионов на
электроны. Чтобы вычислить плотность электронного
тока и тензор проводимости, необходимо иметь выраже-
выражение для этой средней силы.
Потенциал, создаваемый в точке г в лабораторной
системе координат, совпадает с потенциалом в точке R
в введенной нами движущейся системе координат, и по-
поэтому он определяется формулой для обратного преобра-
преобразования Фурье:
j	)дк. C.22)
Подставляя в C.22) выражения C.19) и C.20) и опуская
члены высших порядков по |, имеем
X 2 exp[ik.(r—rj)]dk. C.23)

§ 3. Решения с учетом длептрон-ионных корреляций 36§
Результирующее среднее поле, действующее на ионы,
тогда равно
<Е>=-^-2т«ф1(г«),	C.24)
г
где суммирование проводится по всем ионам в единичном
элементе объема. Это среднее поле создается только элек-
электронами, поскольку при суммировании вклад ион-ионных
взаимодействий выпадает.
Используя «приближение случайной фазы», которое
вытекает из предположения о случайном характере рас-
распределения ионов,
2ехр [&.(г,-г,)] = п+	C.25)
U о
и выражение C.23), из C.24) получим следующее выра-
выражение для средней напряженности электрического поля:
Здесь также учтено, что первый член под интегралом
в выражении C.23) не дает вклада в интеграл C.26).
Интегрирование по угловым координатам в C.26)
является тривиальным и сводит тензор к)(к к единичному
тензору, умноженному на Dя/3) А;2.Таким образом, резуль-
результирующее выражение для средней напряженности поля
можно записать в виде
макс *	а	\ ч
[ кЧ ь2 . \ /Т7, — —1—)dfe. C.27)
о
J
о
Обычный метод обрезания при Лмак0 = 2пг0тУт/е2 устра-
устраняет расходимость для малых значений прицельных пара-
параметров.
В лабораторной системе координат плотность тока,
который в данной модели создается только движением
электронов, определяется соотношением
j= —е J v/i-dv.	C.28)
24—01291

370 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Дифференцируя его по времени и используя уравнение
Власова, получаем
C.29)
В соответствии с предположением A) здесь можно прене-
пренебречь первым членом в правой части. Тогда интегрирова-
интегрирование по частям оставшихся членов дает
)	C.30)
Усредняя по всем возможным ионным конфигурациям,
как это было сделано при выводе формулы C,27), полу-
получаем
lgL^	C.31)
Вспомним теперь, что коэффициент электропроводно-
электропроводности а (со) связывает электрическое поле и плотность тока
j~(co)-g(co)E0(co).	C.32)
Сравнивая это соотношение с преобразованием Фурье
уравнения C.31), получим выражение для комплексной
проводимости
G ~ I&q	{1—1 (СО)},	(о.ОО)
где
C.34)
— малая в рассматриваемой области частот величина по-
порядка 1/(ОТс.
Удельное сопротивление плазмы описывается соотно-
соотношением
]- C>35)
В предельных случаях, когда со/сор. <^ 1 или соответствен-
соответственно со/шр-. ^> 1, величина р C.35) может быть вычислена

§ 3. Решения с учётом ёлектроп-ионных корреляций 371
аналитически. В случае со
id)
1L1 V1 8 ) 2лг0тУ3т _Н
— \1/2 >g ^^^ fln / 2^Г^макс
я / 2Ьпе0тУЫ |_ \ сор_
C.36)
Для со
Р= -
р-
C.37)
где С « 0,577 — постоянная Эйлера.
Заметим, что авторы работ [6, 7] рассчитали числен-
численными методами величину р во всей области изменения
Фиг. 27. Удельное сопротивление плазмы Refjp (со)] в области
частот со > vc [6].
Значения Re [р (со)] нормированы на величину р0 = [ /32 е2/3ш_ Dяе0J] х
X (т-/вK/2 ^ 5,8-10-5в3/2йт, где значения О даны в эВ.
частот. Их результаты для зависимости действительной
и мнимой {реактанса) частей р приведены на фиг. 27
и 28. Из фиг. 27 видно, что действительная часть удель-
удельного сопротивления на частотах ниже плазменной яв-
является постоянной величиной. Это также непосредственно
24*

372 Гл. 6. Взаимодействие электромаги, полей с сист. многих частиц
следует из формулы C.36). Сравнение данных резуль-
результатов с результатами, которые мы получим в следующем
параграфе для низких частот со ^ сор_, показывает, что
на верхнем пределе частот они совпадают. Это вполне
понятно, так как наши результаты верны и в области
1/тс < со <сор_.
Приведенная функциональная зависимость обнаружи-
обнаруживает небольшое возрастание удельного сопротивления
на частотах чуть выше плазменной. Даусон и Оберман
Ф и г. 28. Реактанс плазмы Im [р (со)] в области частот со > vc
(в тех же единицах, что и величина Re [p (со)] на фиг. 27) [6].
В приведенном графике из величины Im [P (соI вычитается реактанс свобод-
свободных электронов— (о/8о со f>-.
показали, что это возрастание связано с возбуждением
продольных плазменных колебаний. Убывание удельного
сопротивления в области высоких частот можно объяснить
уменьшением эффективного поперечного сечения столкно-
столкновений: столкновения с большими значениями прицельного
параметра представляют собой медленный процесс и не
дают вклада в высокочастотные поля. Таким образом,
максимальное эффективное значение прицельного пара-
параметра составляет величину порядка FT/co.
Формула C.37) и соответствующая ей зависимость на
фиг. 28 показывают, что изменение реактанса можно рас-

§ 3, Решения с учетом электрон-ионных корреляций 373
сматривать как результат изменения эффективной массы
электронов вследствие взаимодействия с ионами. Заме-
Заметим, что зависимость реактанса также обнаруживает
небольшой пик вблизи плазменной частоты, что объяс^
няется теми же причинами, что и возрастание действие
тельной части удельного сопротивления.
Теперь, после того как мы вычислили проводимость
и удельное сопротивление плазмы с учетом корреля-
корреляционных эффектов, можно также решить дисперсионное
уравнение B.39)
det (гг211 — I	— а) = 0	C.38)
V 2	2	Ч® 2/
и найти коэффициент поглощения. Он равен удвоенной
отрицательной мнимой части частоты, вычисленной из
дисперсионного уравнения для действительных значений
волнового вектора к.
Подставим выражение C.33) для проводимости а
в дисперсионное уравнение.
Для продольных электростатических волн получаем
со2 =ю"_[1-/(©)],	C.39)
а для поперечных электромагнитных волн
со2 = к2с2 + ©J_ A - / @)).	C.40)
Принимая во внимание неравенство | / (со) | <^ 1, кото-
которое уже было использовано выше, находим из C.39)
для потенциальных электростатических волн
C.41)
а для поперечных волн, согласно C.40), имеем
Таким образом получаем выражение для коэффициентов
поглощения в виде
ац = юр-Im [/(©)],	C.43)
C.44)

374 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Зависимость, приведенная на фиг. 27, оправдывает при-
применимость асимптотической формулы C.37) вплоть до
частоты со ^ сор_. Подстановка соответствующего выра-
выражения для / (со) в C.43) приводит к следующему соотно-
соотношению для коэффициента поглощения продольных волн:
/	3 \
=(w) °V —V1	2ЕЗГ7
3
V2ЕЗГ7 C-45)
или к соотношению
a,,«0(JL).	C.46)
Полученный результат вполне закономерен, поскольку
время между столкновениями тс есть время релаксации
возмущений, создаваемых в плазме. Вследствие сохране-
сохранения импульса при электрон-электронных взаимодейст-
взаимодействиях они не могут давать вклада в механизм релаксации
возмущений. Поэтому постоянная затухания продоль-
продольных волн практически равна величине, обратной времени
релаксации процессов при электрон-ионном взаимодей-
взаимодействии.
Не удивительно, что в области больших длин волн
затухание Ландау не проявляется. Дело в том, что в этой
области длин волн мы пренебрегли «диффузионным чле-
членом» в уравнении C.29), который в основном и отвечает
за эффект затухания.
Для коэффициента поглощения по. еречных волн имеем
1п[(ор.Л/со]
Г
L 2
Л	L 21п[(сор_Л)/со]
Поскольку мы интересуемся в общем областью плотно-
плотностей плазмы, достаточно низких по сравнению с критиче-
критической плотностью, должно выполняться условие In Л ^> 1.
Поэтому
(|)	<3-48>
Таким образом, при рассмотрении электромагнитных
волн в плазме, где в первую очередь интересны области

§ В. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 375
и > с и со > сор_, затухание поперечных мод колебаний
меньше затухания продольных мод. Из дальнейшего будет
ясно, что этот эффект зависит от частоты, причем физиче-
физическое происхождение такой зависимости уже объясня-
объяснялось при обсуждении выражения для удельного сопро-
сопротивления.	f
Теперь, получив необходимое представление о коэф-
коэффициенте поглощения, вернемся к исследованию вопроса
о коэффициенте излучения. При этом мы будем интере-
интересоваться главным образом поперечными волнами.
В соответствии с законом Кирхгофа мощность, излу-
излучаемая из единицы объема, связана с произведением
плотности энергии на коэффициент поглощения. Это
соотношение базируется на принципе детального равно-
равновесия для каждой моды колебаний. Кроме того, оно может
быть получено исходя из флуктуационно-диссипацион-
ной теоремы.
Таким образом, при вычислении коэффициента излу-
излучения используем выражения для aj_ и плотности энер-
энергии поперечных мод колебаний. Чтобы найти выражение
для плотности, рассмотрим число поперечных мод dn^
в интервале (к, к + dk), приходящееся на единицу объема.
Оно определяется формулой Щ*
dnh = п~2к4к.	C.49)
(Здесь к — возможные значения волновых векторов в ку-
кубическом элементе объема V = L3, образующие в про-
пространстве k-векторов решетку с постоянной 2n/L. Попе-
Поперечные волны имеют два направления поляризации.)
Плотность распределения поперечных мод, приходя-
приходящаяся на единичный интервал частот, описывается фор-
формулой
dnm __*,_«/..ч dk	^щ
в которой следует учитывать дисперсионное соотношение
для поперечных волн
*-<??±.	C.51)
Поправки к данному дисперсионному соотношению, свя-
связанные с эффектами поглощения, имеют порядок оотс.

376 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Чтобы найти плотность энергии, приходящейся на
единицу объема и единичный интервал угловой частоты,
нужно приписать каждой моде колебаний некоторое опре-
определенное значение энергии. Допустим, что для плазмы,
близкой к равновесию, эта энергия равна 9. Грубым обос-
обоснованием такого допущения могут служить следующие
соображения.
Рассмотрим равновесную плазму, заключенную в ящик
большого объема. Чтобы избежать существенного отраже-
отражения энергии для лучей, проникающих в плазму, будем
считать, что пограничный слой плазмы, с одной стороны,
достаточно размыт. С другой стороны, пусть этот слой
представляет собой резкую границу раздела, чтобы были
справедливы законы преломления Снелля. Тогда очевидно,
что ширина падающего перпендикулярно поверхности
плазмы луча, описываемая в вакууме телесным углом
dQy, будет внутри плазмы изменяться и описываться
телесным углом dQp. При этом в соответствии с зако-
законом дифракции имеем
Таким образом, выполняется соотношение
Щ duv = k2 dQp,	C.53)
где к и к0 = со/с — волновые числа для волн в плазме
и вакууме. Непрерывность потока энергии на границе
можно в этом случае записать в виде равенства
duy%v с = dQpSpug.	C.54)
Здесь %у ж %v — плотности энергии, приходящейся на
единицу объема и единичный интервал частот, в вакууме
и плазме, а величина иё — групповая скорость волн
в плазме. Поделив равенство C.54) на C.55), получим
Отсюда, учитывая тривиальное соотношение
ugdk =cdk0,	C.56)
найдем, что

§ 3, Решения с учетом электрон-ионных корреляций 377
Величина k2 dk по существу определяет число мод пк
в интервале волновых чисел (к, к + dk).
Таким образом, из равенства C.57) следует, что в рам-
рамках принятых допущений энергия, приходящаяся на
одну моду колебаний, одна и та же в плазме и вакууме
и для каждой моды с заданным направлением поляри-
поляризации равна в.
Из C.57) с помощью формулы C.51) найдем выраже-
выражение для плотности энергии излучения, приходящейся на
единичный интервал частот,
.	C.58)
Теперь, используя закон Кирхгофа, получим формулу
для коэффициента излучения через произведение плот-
плотности энергии C.58) на коэффициент поглощения:
Найденный коэффициент излучения определяет интен-
интенсивность тормозного излучения, обусловленного элек-
электрон-ионными взаимодействиями при учете коллектив-
коллективных эффектов. Электрон-электронными взаимодействиями
здесь пренебрегается. Это вполне оправдано, так кцк
известно, что в рамках дипольного приближения элек-
электронные корреляции не дают вклада в тормозное излу-
излучение.
3.2. Описание процессов с помощью уравнения
Фоккера —Планка
Применимость рассматриваемого метода ограничена
областью частот и скоростей
со < сор_, и > vT.
Хорошо известно, что в системах с дальнодействующими
силами эффект накопления большого числа малых откло-
отклонений, обусловленных дальними столкновениями? более

378 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
важен, чем влияние нескольких столкновений, приводя
щих к большим отклонениям. Этот эффект от дальних
столкновений можно учесть с помощью интеграла столк-
столкновений Ландау, применимость которого в соответствии
с разд. 1.3 гл. 4 определяется неравенствами со < (ор_,
In Л > 1. Уравнение первого порядка цепочки ББГКИ,
включающее корреляционный член, записанный в форме
Ландау [см. формулы A.74) и A.77) в гл. 4], в случае
многокомпонентной плазмы имеет вид
-*,) fey
r
Ш L
Здесь в интеграле столкновений использованы обозна-
обозначения, принятые в § 2 гл. 4.
Содержащееся в данном уравнении суммирование
по v распространяется на электроны и ионы. Величи-
Величиной gv = (v — vv) обозначена относительная скорость.
^ Используемая нами для изучения «области низких
частот» физическая модель не отличается от использо-
использовавшейся в предыдущем разделе модели для «области вы-
высоких частот». Поэтому приведенные на стр. 363 предпо-
предположения A) — D) здесь сохраняют свою силу, с той
лишь разницей, что вместо упомянутого в пункте D)
уравнения Власова мы используем теперь уравнение Фок-
кера — Планка, а вместо ранее рассмотренной области
частот исследуем область частот со < сор». Кроме того,
в качестве функции распределения нулевого порядка ис-
используем распределение Максвелла в лабораторной си-
системе координат.
Линеаризуем уравнение C.60) [см. B.15) и B.17I,
положив
, Г-/о+.	C.61)

	§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 379
Это приводит к разбиению интеграла столкновений на сла-
слагаемые
/ (/о- | /о-) + / (/о- | /о+) + / (/О- | П-) +
+ /(/,_! /0_) + /(/i_|/o+). C.62)
Первые два члена определяют функцию распределения
нулевого порядка и вследствие предположения о том,
что /о — максвелловская функция распределения, обра-
обращаются в нуль. Следующие два члена описывают влияние
электрон-электронных столкновений на возмущение и
в дипольном приближении не дают никакого вклада. По-
Поэтому нас будет интересовать лишь последний член.
Левая часть уравнения C.60) линеаризуется обычным
способом.
Предположение B) позволяет упростить интеграл
столкновений с ионами:
Й v2l — v) (v л,
|/) 1^^	%
т, __	e4	Dnem(v*)hD\
Интегрирование по v' в результате дает ионную плот-
плотность п+. Уравнение C.60) с линеаризованной левой
частью принимает вид
dh- eE dfo-_T д "?-Ў)(Ў dfi_
Здесь вследствие ограничения, налагаемого на фазовую
скорость сверху, мы опять опустили диффузионный член
fJ Функция /о_ есть распределение Максвелла
т_ \3/2
Если ввести безразмерную переменную
U = v(^)V\	C.66)
то кинетическое уравнение преобразуется к виду
a P»I-U)(U df
Т+п+Ж	?75	ж-
C.67)

380 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
В правой части этого уравнения член столкновений запи-
записан в виде произведения безразмерного выражения типа
дивергенции, представляющего диффузию в пространстве
скоростей, на частоту столкновений
2 -р 3 In Л	о ЛОЧ
Будем искать решение уравнения C.67) в виде
U) е~ш = ][_е-шт C.69)
Подстановка этих выражений в C.67) приводит к урав-
уравнению
tt.i? /о-
Здесь мы воспользовались особым свойством тензора
U2! — U)(U, состоящим в том, что он проецирует любой
2
вектор на плоскость, перпендикулярную U.
Вследствие этого оказывается возможным вынести
скалярные величины С/3, A (U) из-под дифференциаль-
дифференциального оператора, определяющего диффузию. Используя
равенство
^r.(Z72I^U)(U) = 2U-3U-U=-2U, C.71)
получаем
(ГМ + *Г- C-72)
Теперь мы можем найти плотность тока
h-dy= -e [^-)Z j VA
е (¦?-)* $ U*A(U)dUEo. C.73)
о
Подставляя в эту формулу выражения C.72) и C.65)
и учитывая определение проводимости а, получаем

§ 3. Решения с учетом элептрон-ионных корреляций 381
На фиг. 29 и 30 приведены частотные зависимости для
действительной и мнимой частей удельного сопротивле-
сопротивления р = 1/сг, вычисленные по формуле C.74).
Фиг. 29. Удельное сопро-	Фиг. 30. Реактанс Im [p (со)]
тивление плазмы Re [р (со)] в	в области частот со < сор_ (в тех
области частот со < сор_, нор-	же единицах, что и на фиг. 29).
мированное на величину
Vc/боСОр-.
Штриховая кривая (область боль-
больших частот) соответствует низко-
низкочастотному пределу зависимости,
показанной на фиг. 27.
Зная выражение для а C.74), из решения дисперсион-
дисперсионного уравнения
^-I (!+?)] =0
C.75)
мы можем определить коэффициент поглощения.
Частота продольных волн, полученная из этого урав-
уравнения, равна
соц =	,	C.76)
или, учитывая C.74),
1 / 2 \i/2 , 7 [7* ехр (-1/2/2) du

Й82 Гл. в. Взаимодействие электромаги, йолеи с сист. многих частиЦ
Соответственно частота поперечных волн определяется
выражением
«1 = ^-^,	C.78)
или после подстановки C.74) выражением
Коэффициент поглощения выражается, как обычно,
удвоенной мнимой частью со с отрицательным знаком.
Для асимптотических случаев со <^ vc, co^>vc
(&>, ^с <Cg>p-) все вычисления можно провести в аналитиче-
аналитической форме. При анализе этих случаев используем для
краткости следующее обозначение:
О
г (т — 1) (иг — 3) ... 1 для четных щ,	C.80)
\( —) 2 (т— 1) (т — 3) ... 2 длянечетных т.
Случай со<^ vc. Проводимость а имеет вид
а= з" VST) Г7Г^ГCl°) •	C-81)
Это выражение при со =0 приводит по существу к обычному
соотношению для подвижности электронов, обусловлен-
обусловленной эффектом близких соударений и определяемой фор-
формулой (л_ = а (со = 0I еп^ т. е.
Здесь (К) —эффективная длина свободного пробега, а
vT — тепловая скорость электрона.
Для частоты продольных волн мы имеем
Поскольку vc <^ о)р^, можно приближенно записать
co|l«-j-^vc=-i^,	C.84)

§ §. Решения с учетом электрйн-иойиых корреляций 383
откуда видно, что соц —чисто мнимая величина, a vc ха-
характеризует время релаксации возмущений, равное
2/ац.
Частота поперечных волн определится формулой
+ i^-Cn) • C.85)
В результате для мнимой частоты со, получим
Im (а)±) = -| С, -^ = - Ц- .	C.86)
Напомним, что по предположению cop_/vc = In Л/Л <^ 1.
Отсюда видим, что найденное решение не удовлетворяет
нашему первоначальному требованию, согласно которому
со <^ vc. Поэтому можно заключить, что для описания
рассматриваемого круга явлений уравнение Ландау ока-
оказывается непригодным.
Случай со ^> vc. Проводимость а здесь записывается
в виде
В пределе, когда vc/co ->¦ 0, это выражение приводит к про-
проводимости, определяемой свободными электронами.
Частота продольных волн в рассматриваемом случае
есть
ч-М'-т'Ф'Ч)- <3-88»
Если частота столкновений vc -> 0, то это дисперсионное
уравнение дает для рассматриваемой системы при vT <^
<? со//с решение cojj = @р_.
Мнимая часть соц определяет коэффициент поглоще-
поглощения, обусловленного затуханием за счет столкновений:
Im (со,,) = -4 DГ Vc= -^ '	C'89)
4
Частота поперечных волн в данном случае равна
C.90)

384 Гл. 6.'Взаимодействие элег&тромагн. полей с сист. многих частиц
Эта формула отличается от дисперсионного соотношения
для системы, в которой отсутствуют корреляции частиц,
только наличием мнимой части. Коэффициент поглоще-
поглощения при этом определяется мнимой частью частоты
Однако, поскольку из формулы C.90) следует, что
| coj_ | ^ сор_, то это нарушает наше исходное предполо-
предположение относительно условий применимости уравнения
Ландау. Поэтому данный результат представляется недо-
недостаточно обоснованным.
§ 4. УЧЕТ КОЛЛЕКТИВНЫХ ЭФФЕКТОВ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ
И ПРОЦЕССОВ ИЗЛУЧЕНИЯ В ОДНОЧАСТИЧНОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
В § 2 настоящей главы процессы, связанные с динами-
динамикой частиц и их излучением, рассматривались как коллек-
коллективные эффекты. В этом приближении тензор диэлектри-
диэлектрической проницаемости описывает когерентные эффекты
реакции системы на воздействие электромагнитных волн,
а сама система рассматривается в виде некоторой непре-
непрерывно распределенной среды.
В § 3 тот же метод описания с позиций коллективных эф-
эффектов использовался для электронов и динамики их движе-
движения и излучения. Однако ионы при этом рассматривались
в виде совокупности отдельных частиц, причем учитыва-
учитывались корреляции электронов, связанные с распределением
ионов.
Данный параграф отличается от предыдущих глав-
главным образом тем, что излучение, обусловленное элек-
электронами, будет описываться как одночастичный процесс
(по сравнению с которым излучение от ионов является
пренебрежимо малым). Это позволит нам учесть процессы
рассеяния света. Динамика же частиц в тех случаях,
когда это потребуется, будет учитываться лишь через
коллективные эффекты. Вследствие этого обсуждавшееся
в предыдущем разделе тормозное излучение окажется вне
рамок рассмотрения данного параграфа.

§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц 385
4.1. Излучение плазмы, обусловленное отдельными
электронами
Процессы рассеяния представляют особый интерес для
световых волн, ибо их частоты со ^> сор0 и они прони-
проникают в плазму, не вызывая относительно сильной реакции
среды, обусловленной коллективными эффектами. Из-
Известно, что для таких частот когерентные эффекты реак-
реакции плазмы на излучение пренебрежимо малы и ее тензор
диэлектрической проницаемости можно считать единич-
единичным. Следовательно, электроны в этом случае можно рас-
рассматривать как частицы, помещенные во внешнее элек-
электрическое поле. Зададим это поле в виде
Е = Ео exp U (ko-x' — ©о*)].	D.1)
Тогда ускорение пробного электрона запишется как
х' = -^EoexpU(ko-x'-~coo*)],	D.2)
поскольку в силу указанного выше условия 8=1 можно
пренебречь ускорением, связанным с коллективными вза-
взаимодействиями частиц, а также ускорением, обусловлен-
обусловленным взаимодействием с отдельными частицами, которое
приводит к рассмотренному в § 3 эффекту тормозного
излучения.
При получении соотношения D.2) предполагалось
также выполнение ряда других упрощающих допущений.
Так, движение электрона считается нерелятивистским,
т. е.
z'2 < c\	D.3)
Кроме того, предполагается, что можно пренебречь воз-
воздействием на электрон магнитного поля световой волны.
Это означает, что должны выполняться следующие два
более строгих условия:
Здесь второе условие также означает, что максимальная
амплитуда а колебаний электрона в электрическом поле
волны должна быть много меньше длины волны:
25-01291

386 Гл. 6, Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Наконец, для справедливости соотношения D.2) тре-
требуется, чтобы интенсивность рассеянной световой волны
была много меньше интенсивности падающей волны. Как
будет видно из результатов, это условие обычно хорошо
выполняется.
С помощью соотношения D.2) можно рассчитать излу-
излучение пробного электрона, обусловленное его ускорением
в поле внешней электромагнитной волны, т. е. эффект
ее рассеяния. Это можно сделать, вычислив соответст-
соответствующую величину вектора Пойнтинга. Вектор Пойн-
тинга So определяется фурье-компонентами полей, излу-
излучаемых ускоряющимся в волне электроном. Эти поля на-
находятся с помощью потенциалов Лиенара — Вихерта, ко-
которые в общем случае имеют вид
4Я г (?) -х' (?) -г (t')/c
ф=_	?	-	,	D.7)
Здесь для краткости введены обозначения
*' = *_l?l, г = х-х\	D.8)
где время t и координата х относятся к точке наблю-
наблюдения, а х' характеризует положение источника излуче-
излучения. Соответствующие выражения для полей определяются
формулами
«—?-¦&¦ "-Е-**-	(«-Ч
В частности, согласно формуле E.2.39), для излучаемой
части электромагнитного поля мы имеем
Е = ~Вхг.	D.10)
Это позволяет нам вычислить лишь магнитное поле рас-
рассеянной волны.
Поскольку нас интересует поле в волновой зоне, от-
откуда следует, что | х | ^> | х' |, можно использовать при-

^	§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц 38?
ближенное соотношение
D.11)
в котором мы пренебрегли всеми членами более высокого
порядка по сравнению с линейными членами по x'lx.
Пренебрегая также членами порядка х'х'lex, можно
написать выражение для векторного потенциала в сле-
следующем простом виде:
Ьпх Х
А
А~ Ы r{t)
Разумеется, в данном случае нельзя, формально руковод-
руководствуясь условиями D.4), пренебречь эффектами, опреде-
определяемыми векторным потенциалом D.12). Дело в том, что
здесь порядок vie имеет основной член, тогда как ранее
речь шла о пренебрежении в выражении D.2) магнитным
полем, учет которого приводил бы лишь к поправке по-
порядка vie. С помощью формулы D.12) найдем магнитное
поле, связанное с полем излучения,
которое, используя соотношение D.11), запишем в иной
форме:
Iх
D.14)
Подставим теперь сюда величину ускорения, опре-
определяемого формулой D.2), и найдем
Поскольку условие D.5) позволяет также пренебречь
членами порядка x'x'lck в аргументе функций х' (но не
в величине со0?')> мы можем опустить третий член разло-
разложения D.11) для t'.
Для краткости обозначим
k = ko—^-f = ko-|ko|i.	D.16)
25*

388 Гл. в. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Тогда, используя формулу D.11), перепишем выражение
D.15) в виде
xexp{*k.x'(*-^-)--*(*-^)co0} . D.17)
(Следует заметить, что здесь величина t — х/с является
аргументом функции х'.)
Отсюда видно, что в рамках рассматриваемого прибли-
приближения амплитудный множитель не содержит каких-либо
поправок первого порядка, зависящих от координаты
электрона. Однако такие поправки входят в фазовый
множитель, играющий основную роль в явлениях интер-
интерференции.
Очевидно, что волновой вектор к состоит из двух рав-
равных по величине векторов, угол между направлениями
которых образует угол рассеяния #. Абсолютная величина
волнового вектора равна
|k| = 2-^-sin-|-.	D.18)
Само собой разумеется, что в формулу D.17) следует под-
подставить траекторию пробного электрона x(t) с учетом
воздействия электромагнитной волны и микроскопических
полей среды.
При простой траектории пробной частицы смысл выра-
выражения D.17) довольно прозрачен и легко интерпрети-
интерпретируется. Если, например, пробная частица представляет
собой свободный электрон, движущийся с постоянной ско-
скоростью v, то по характеру экспоненциального множителя
в выражении D.17) нетрудно увидеть, что в этом случае
магнитное поле совпадает с полем дипольного излучения
со смещенным значением частоты со0 — к »v. Это смещение
частоты можно интерпретировать как результат двух
эффектов. Согласно разложению волнового вектора D.16),
один эффект связан с движением пробной частицы отно-
относительно электромагнитной волны, а другой — с движе-
движением пробной частицы (как источника излучения) относи-
относительно точки наблюдения. Оба упомянутых эффекта дают
соответствующие допплеровские сдвиги.

§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц 389
Если же траектория пробной частицы вследствие на-
наличия флуктуирующего электрического микрополя более
сложна, то в этом случае следует ожидать появления не
только смещения частоты, но и дисперсии. Кроме того,
имеющееся различие в скоростях частиц рассматриваемой
плазмы, конечно, приводит к разбросу частот по целому
спектру.
Из принципа суперпозиции для электромагнитных
волн следует, что величину магнитного поля, создавае-
создаваемого всеми электронами плазмы, можно получить простым
суммированием выражений D.17) по всем частицам:
¦о	R) g2 Ео Хх к
4яс т„ х* А
2{(i)(*)} D.19)
i
Обратимся теперь к анализу частот рассеянных волн.
В этой связи воспользуемся формулой E.2.46), кото-
которая гласит, что излучаемая в единичном интервале частот
энергия, приходящаяся на единицу площади, равна г)
Stt =E0 х Щ = — Ёсо х В?,	D.20)
откуда, с учетом формулы D.10), получаем
Чтобы приблизить результат к потребностям физического
эксперимента, следует усреднить выражение D.21) по
ансамблю. Это дает
<S«> = -f--!<Btt.B5>.	D.22)
Выразим, как это принято в литературе, произведение
спектральных функций В в формуле D.22) через автокор-
автокорреляционную функцию величины В. Для случая стацио-
стационарной системы это можно сделать в самом общем виде.
г) Заметим, что, поскольку мы не использовали представление
полного решения в виде комбинации гармоник с положительными
и отрицательными частотами, в данном выражении следует опустить
множитель, равный 2.

390 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Пусть В (t) является функцией статистических пара-
параметров рассматриваемой системы. Тогда мы можем опре-
определить автокорреляционную функцию (во времени) как
среднее по ансамблю:
р (т) = (В (t + т) -В (*)>.	D.23)
Поскольку мы рассматриваем стационарную задачу,
автокорреляционная функция не зависит от времени t
Поэтому выражение D.23) можно переписать в виде
Т/2
-Г/2
Г/2
(В (t) -В [ — (т — *)]) dt. D.24)
-Г/2
Используя формулу D.24), будем рассматривать предель-
предельный случай Т -+* оо. Применим теперь теорему о свертке
и найдем фурье-образ Р (со) от функции р (т). Напомним,
что если 7 (ю) является фурье-образом от функции / (т),
то /(—со) представляет собой фурье-образ от /(—т).
Кроме того, для действительной функции / (т) должно
иметь место соотношение J (—со) =/* (со). В результате
мы получаем
Т/2
Т/
р (со) = -^ (В (со) .В* (©)>.	D.25)
Подставив полученный результат в выражение	D.22),
найдем
]	D.26)
Здесь индексом г обозначена действительная часть В.
Величина E©) равна интенсивности рассеянных волн,
излучаемых единичным объемом в единичном интервале
частот при данном значении со за единицу времени. Та-
Таким образом, выражение D.26) представляет собой фор-
формулу Винера — Хинчина,

§ 4, Учет коллективных эффектов движения частиц 391
Если дифференциальное сечение рассеяния в® опре-
определить с помощью соотношения
^|^,	D-27)
то, подставив в это соотношение формулу D.26) и выра-
выражение для действительной части поля из D.19), получим
Ео><х
а Ч
Еох
i, i
X
cos [к • x{ (t) — a)Ot]\ dr. D.28)
(Здесь, поскольку мы рассматриваем стационарные про-
процессы, можно опустить член х/с, характеризующий вре-
временной сдвиг.)
Применим в D.28) правило сложения для тригономе-
тригонометрических функций, тогда
cos [k-x'j (? + т) — % (? + т)] cos [k*xi (t)
^	D.29)
Усреднение по ансамблю приводит к обращению в нуль
первого из двух членов в правой части соотношения D.29),
поскольку вероятность любого состояния однородной
системы не должна зависеть от смещения координат всех
частиц на один и тот же вектор #. Отсюда следует, что
.2	v2/ ЕрХХ \\
)
_ 1 /
0@ ~ 2п \
V Eox
X I ei(*x / ^ cos{k• [xj(? + г) — x[ (t)] — 0ог}уйт. D.30)
hi
Полученный результат может быть использован в каче-
качестве исходной формулы для вычисления интенсивности
излучения рассеянных волн.
Прежде чем перейти к конкретным вычислениям, свя-
щем результат D.30) с плотностью частиц, как это обычно

392 Гл. 6» Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
делается в литературе по данному вопросу и в некото-
некоторых случаях может оказаться полезным. Рассмотрим
с этой целью микроскопическую плотность частиц
T -xj(*)].	D.31)
Суммирование здесь проводится по всем частицам, заклю-
заключенным в единице объема. Преобразование Фурье от
п„ (х', t) по пространственной координате дает
гг_ (к, ?) = BяГ3/25]ехр( — ik.xj(*))> D-32)
i
откуда получаем
(тг! (к, * + т) и! (к. ft e+i@()T) =
= Bя) 2 (cos{k-[x/ (t + %)— х/ (^)] — @0Т}>—•
i. ^
— Ц2я) 2 (sin{k.[xj (t + x) — xi Ш — щт:}). D.33)
;,«
Первый член в правой части соотношения D.33) пред-
представляет собой четную, а второй — нечетную функции т.
Это можно установить с помощью формального соотно-
соотношения
М (t; -т) = М (t + т;-т) = ± М (t; т),	D.34)
которое вытекает из рассмотрения аргументов тригоно-
тригонометрических функций в D.33), при учете независимости
операции усреднения по ансамблю от времени и переста-
перестановки индексов суммирования.
Перепишем теперь формулу D.30) в виде
>Хх
°а~ 4я \ 4яе0т_с2 ) \ Еох
X J<lL(k, < + T)»!(k, 0)Х
х [ei(u)-(Do)T_|_ei(O)+a>o)T]^T. D.35)
С помощью соотношений D.23) и D.25) мы можем теперь
преобразовать формулу для аи к следующему выражению:
X [< | п_ (к, о - соо) |2> + < | п_ (к, и0 + со)/ »>]. D.36)

§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц 393
Это и есть искомый результат для дифференциального сече-
сечения рассеяния, выраженный через флуктуации плотности
частиц. Отметим то обстоятельство, что автокорреляцион-
автокорреляционные функции (| тг_(к, со ± соо) | 2) зависят от волнового
вектора к = к0 — ыох/сх [см. D.16)].
Из выражения D.36) следует, что, если плотность элек-
электронов п_ постоянна, рассеяние в среде отсутствует, по-
поскольку в таком случае мы имеем
w. (к, со ± ©о) = BяJ б (к) б (со ± ©о) =
)(соЧ=со0). D.37)
Это означает, что электромагнитные волны излучаются
лишь в направлении волнового вектора падающей волны
и на той же частоте.
Итак, мы видим, что рассеяние волн обусловлено
только флуктуациями. Нетрудно убедиться из формул
D.36) и D.16), что флуктуации плотности с волновым
вектором к/ на частоте а>/ дают вклад в рассеяние только
тех волн, частоты и волновые векторы которых удовле-
удовлетворяют условию
где <о0 = |ю±
Так же как при рассмотрении комбинационного рассеяния,
эти два условия, если их умножить на постоянную План-
Планка, можно интерпретировать как законы сохранения
импульса и энергии соответственно для системы световых
квантов и плазмонов. [В действительности, однако, со-
согласно закону сохранения импульса, вместо со0 в правой
части первого соотношения D.38) должно было бы стоять
со. Это отличие связано с тем, что мы пренебрегали чле-
членами порядка ххЧсЬЛ
Обычно флуктуации плотности имеют частоты, мень-
меньшие или почти равные плазменной частоте. Поскольку,
согласно исходному допущению, о)о Э> ^ро» вряд ли
можно ожидать, что спектр флуктуации может дать суще-
существенный вклад в рассеяние на частотах со/ > со0. По-
Поэтому нетрудно заключить, что при положительных зна-
значениях частоты можно пренебречь вторым членом в квад-

394 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
ратных скобках в правой части формулы D.36). Соот-
Соответственно первый член не будет давать вклада в рассея-
рассеяние для отрицательных значений частот.
Следовательно, чтобы определить дифференциальное
сечение рассеяния, необходимо сосредоточить внимание
на вычислении члена
4-<1«-(к/.©/I9>.	D.39)
Конечно, подобное рассмотрение можно было бы точно
так же начать с анализа автокорреляционной функции,
входящей в выражение для 0& D.35).
4.2. Рассеяние в отсутствие корреляций
Поставленную задачу легко решить, если пренебречь
корреляциями. Предположим также, что траектории ча-
частиц в плазме прямолинейные. Запишем преобразование
Фурье от плотности частиц, согласно D.32), в виде
п_ (к,, со,) = Bя)~3/2 S ехр (-Лгх-) Bя)-1/2 X
J ехр [i ((of — krxj) t] dt D.40)
)~3/2
о
X
или соответственно
n_(kf, а>/) = Bл;)2 ехр ( — ikfXj) б (со/ —ky-xj). D.41)
3
Отсюда найдем, что
( |л_ (кЛ @/)|2>=Bя)-1<л-><[б(а>/—krv)]V D.42)
Здесь учтено, что в формуле D.41) множитель перед 6-функ-
цией обращает в нуль все члены в произведении D.42),
за исключением членов с одинаковыми индексами. По-
Поэтому в выражение D.42) в результате входит полное
число электронов, равное средней плотности (тг_).
Заметим, что усреднение по ансамблю в правой части
выражения D.42) проводится лишь по пространству ско-
скоростей. Если через / (v) обозначить распределение по ско-
скоростям, нормированное на единицу, то можно получить

§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц 395
оценку возникающего при усреднении интеграла
4	^
4 j [6(«»/-k/.v)]/(v)dv = -l-Jp(-^) Ito-^ , D.43)
со-* О
в котором функция .F определена соотношением
D.44)
Значение предела в соотношении D.43), согласно D.24),
равно
+Т/2
Bn)-4im4- ( e^dt^~,	D.45)
со-О "Т/2
Тогда мы получим
|^(?)	D.46)
и после подстановки этого результата в D.36) найдем
искомое выражение для дифференциального сечения рас-
рассеяния:
X , <re:},, Г^ /. "°. , \ + F I Ш^1Л | • D.47)
[F I м — ыо
Последующее интегрирование по частоте со с учетом нор-
нормировки функции F дает выражение для суммарного диф-
дифференциального сечения рассеяния от всех электронов,
содержащихся в единице объема, а именно:
. D.48)
Здесь б — угол, образуемый векторами Ео и х (который
следует отличать от угла рассеяния, образуемого векто-
векторами кр и х).

396 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Наконец, разделив полученное выражение на среднюю
плотность (тг_) и проинтегрировав результат по телес-
телесному углу для всех точек наблюдения, найдем полное сече-
сечение рассеяния волн одним электроном
8Я 2	// /п\
Это широко известная формула для томсоновского сече-
сечения рассеяния, в которой через ге обозначен классиче-
классический радиус электрона.
Оценивая данный результат, можно заключить, что пре-
пренебрежение корреляциями частиц в конце концов не
столь уж плохое приближение.
4.3. Рассеяние при наличии корреляций, обусловленных
коллективными эффектами
К сожалению, экспериментальные данные по рассея-
рассеянию электромагнитных волн от ионосферы совершенно не
соответствуют результату, полученному нами в преды-
предыдущем разделе. Допплеровский сдвиг частот рассеивае-
рассеиваемого ионосферой излучения, по-видимому, свидетельст-
свидетельствует о том, что рассеяние происходит не на флуктуациях
электронов, а скорее на флуктуациях ионов, хотя наше
основное предположение о том, что электроны рассеивают
электромагнитные волны значительно сильнее, чем ионы,
абсолютно правильно.
Это расхождение должно вызываться корреляциями
электронов и ионов. Качественно данный эффект можно
объяснить следующим образом.
Рассмотрим электрон, движущийся в системе, состоя-
состоящей из электронов и ионов. Он вызовет смещение сосед-
соседних с ним электронов, тогда как медленные положительно
заряженные ионы не подвергнутся практически никакому
воздействию. Следовательно, движение электрона сопро-
сопровождается движением облака пространственного положи-
положительного заряда, обусловленного образованием электрон-
электронной «дырки». Суммарная система, состоящая из электрон-
электронного заряда и положительного экранирующего заряда,
обусловленного электронной «дыркой», является ней-

§ 4. Учет Коллективных эффектов движения частиц 39?
тральной. Поэтому в данном случае никакого рассеяния
не должно наблюдаться.
С другой стороны, медленно движущиеся ионы приво-
приводят к смещению как соседних электронов, так и ионов.
В этом случае эффекты экранирования наполовину свя-
связаны, с ионами и наполовину —с электронами. Следо-
Следовательно, рассеяние волн такой системой соответствует
рассеянию, обусловленному примерно половиной эффек-
эффективного электронного заряда, который движется со ско-
скоростью иона и вместе с тем обнаруживает характерные
свойства электронного заряда.
Конечно, в случае быстрых ионов эффект экранировки
от других ионов может составить меньше половины сум-
суммарного эффекта экранировки, и в результате быстрые
ионы могут привести к более сильному рассеянию, чем
медленные. Последнее обстоятельство объясняет, почему
допплеровский сдвиг частот волн, рассеиваемых плазмой,
не описывается простым гауссовым распределением, кото-
которое можно было бы ожидать исходя из максвелловского
распределения частиц по скоростям. Так как в плазме
может существовать интенсивный фон флуктуации вблизи
электронной и ионной плазменных частот, обусловлен-
обусловленный коллективными эффектами, то вблизи этих частот
также можно ожидать появления соответствующих пиков
рассеяния.
Следует отметить, что приведенная выше интерпрета-
интерпретация эффектов рассеяния справедлива лишь в области
длин волн
X > Я*.	D.50)
В противном случае дебаевская сфера поляризации не
может синфазно двигаться с пробной частицей и простые
соображения, основанные на эффектах нейтрализации
заряда, окажутся несправедливыми.
Строгое изложение вопросов рассеяния света, включа-
включающее учет корреляций, выходит за рамки данной книги.
Даже приближенное рассмотрение с использованием
весьма упрощенной модели, представляющей лишь эври-
эвристическую ценность (метод пробных частиц), все еще
остается весьма громоздким и сложным. Эта модель рас-
рассматривалась Розенблютом и Ростокером [8], Бершптей-

398 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих ЧастиЦ
ном, Трианом и Вининком [9]. Здесь мы ограничимся
лишь тем, что приведем полученные ими результаты.
Модель пробной частицы применима к плазме,
которая предполагается существенно однородной и ста-
стационарной. Таким образом основные допущения сводятся
к выполнению условий
L > XD, \ < серо,	D.51)
где L и т представляют собой характерные длину и время
для рассматриваемой задачи. При вычислении автокорре-
автокорреляционной функции учет влияния электромагнитных волн
приводит лишь к возникновению эффектов второго по-
порядка малости. Поэтому приведенные выше условия D.51)
не означают требования X ^> A,D.
В рамках модели пробной частицы предполагается,
что эффективная плотность электронов определяется
вкладом от плотности некоррелированных точечных элек-
электронов, движущихся по прямолинейным траекториям
с постоянной скоростью, а также вкладом, обусловлен-
обусловленным стационарным статистически распределенным зарядом
сопровождающих электроны поляризаций, и вкладом
дебаевских сфер поляризации, связанных с ионами. Пред-
Предполагается, что ионы также движутся с постоянной ско-
скоростью по прямолинейным траекториям. Обсуждение
вопросов применимости данной модели можно найти в ра-
работах различных авторов (см., например, работу Росто-
кера и Розенблюта [10]).
Теория, основанная на изложенной выше модели проб-
пробной частицы, дает возможность получить выражение для
пространственно-временной фурье-компоненты плотности
п_ (к, со), которая определяет, нормированное дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния
2 ^(соо, Q)
I л-(к, со — ооо) |2>* D.52)
[Напомним, что в соответствии с утверждением на стр. 393
мы отбросили второй член в правой части формулы D.36).]

§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц 399
Результат вычислений с помощью модели пробной
частицы можно представить в виде
aw (©о) = - (^ ) кЧЬ- Im S (ю, ft)-	D.53)
В этом выражении функция S определяется формулой
2 (со, ft) =
I <°P+ f ldF+ (u)ldu] du\ /cap- Г [dF_ (u)/du] du \
__ 1 \ W J u — {a)Jk) — i~O) \~Ж J и — (co/fr) — Ю j
0)	со|+ Р [dF+ (u)/du] du сор- С [dF_ (u)/du] du
P~~ J u — ((o/k) — iO	W J и — (ю/к) — Ю
D.54)
где F+ и /^— одномерные максвелловские функции
распределения ионов и электронов, нормированные на
единицу. Контур интегрирования должен быть смещен
вниз относительно сингулярной точки подынтегрального
выражения.
Качественный характер поведения интенсивности рас-
рассеянных электромагнитных волн можно понять, если рас-
рассмотреть характерные свойства функции S, заданной
выражением D.54). Читателя, интересующегося данным
вопросом, мы отсылаем к соответствующей литературе [9].
Для сравнения полученных результатов с экспери-
экспериментальными наблюдениями удобно исследовать зависи-
зависимость от угла рассеяния Ф, зафиксировав параметры сор_
и т_1т+. При этом изменение угла рассеяния отражается
на изменении величины
к = 2^- sin -|-.	D.55)
С
Рассмотрим сначала область длин волн, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию k2tkj)^ ^> 1. В этом случае спектр рассея-
рассеяния, в сущности, определяется допплеровским сдвигом
частот, обусловленным некоррелированными электрона-
электронами [заметим, что здесь не выполнено условие D.50)].
В качестве типичного примера рассеяния в случае kvT_ =
— Зсор_ на фиг. 31 (кривая 1) приведена схематически
зависимость интенсивности рассеяния от частотного сдви-

400 Тль 6. Взаимодействие Электромаён. полей с сист. многих частиц
га. Поскольку величина kvT_ равна примерно полуширине
(сод) спектра, обусловленного допплеровским сдвигом,
следует ожидать, что со^ « Зо)р_.
При уменьшении угла рассеяния Ф уменьшается также
значение величины к. Кривая 2 на фиг. 31 соответствует
случаю kvT_ = сор_, когда в процессе рассеяния еще доми-
доминирует вклад электронов. Она свидетельствует о более
узкой полуширине спектра и
о большем уровне интенсив-
интенсивности рассеяния. При этом
кривая интенсивности, по
мере ее сужения и возра-
возрастания интенсивности в мак-
максимуме, становится более
плоской. Площадь, ограни-
ограниченная этой кривой и осью
абсцисс, определяющая пол-
полную интенсивность рассеян-
рассеянных волн, остается такой же,
как и в случае kvT_ = Зсор_.
Кривые 3 и 4 на фиг. 31,
вычисленные соответственно
для значений /ci;T_/cop_ =0,3
и 0,2, характеризуют процесс
рассеяния при дальнейшем
уменьшении /с. Сначала появ-
появляется максимум, лежащий
справа от электронной плаз-
плазменной частоты. Этот пик
вблизи плазменной электрон-
электронной частоты затем сужается
и возрастает, все более при-
приближаясь по частоте к плазменной. В то же время
возникает второй пик в центре линии. Эти два пика четко
отделяются друг от друга. Пик в центре линии стано-
становится все более высоким и узким. Его полуширина соот-
соответствует разбросу тепловых скоростей ионов и по поряд-
порядку ^величины равна kvT+. Площадь, ограниченная цен-
центральным пиком и осью абсцисс, приблизительно совпа-
совпадает с площадью, ограниченной кривой 1 в случае
kvTJ(dp_ — 3. Отделившийся от него пик по частоте при-
Ф и г. 31. Интенсивность рас-
рассеянного излучения S (/с, Дсо)
в зависимости от частотного
сдвига при изменении вели-
величины /dD_. (Пояснение к кри-
кривым 1—5 см. в тексте.)

§ 4. Учет Коллективных эффектов движения чйстиЦ 40l
ближается к электронной плазменной частоте, сужается
и быстро возрастает по высоте с уменьшением kvT^.
Если значения к задать еще меньше, то центральный
пик станет совсем узким, так как при этом преобладают
эффекты допплеровского уширения, обусловленные иона-
ионами. Здесь также образуется максимум, отделяющийся от
центра, как показано на графиках фиг. 32. Этот боковой
максимум связан с наличием в плазме ионных колебаний.
S1
Фиг. 32. Интенсивность рассеянного излучения S (к, Дю) в за-
зависимости от частотного сдвига при различной электронной и ион-
ионной температуре: в_ = в+ (кривая 1); в_ = 56+ (кривая 2)\ в_ =
= 10 6+ (кривая 3).
Изложенная выше качественная интерпретация может
быть подтверждена результатами исследований плазмы
с неодинаковой ионной и электронной температурой. Эти
результаты показаны на фиг. 32 в виде кривых 2 и 3 для
отношений температур, равных соответственно 5 и 10.
Как видно из кривых, с ростом электронной температуры
максимум интенсивности рассеяния сужается и сдви-
сдвигается на крыло линии спектра. За это явление опять-
таки ответственны коллективные флуктуации ионов.
Согласно вычислениям, проведенным в гл. 3, при этом сле-
следует ожидать возникновения «флуктуации большой ампли-
амплитуды», обусловленных ионными звуковыми волнами с фа-
фазовыми скоростями (Of/к =}/r@Jm+.
26-01291

402 Гл. в. Взаимодействие влектромаен. полей с сист. многих частиц
Важность рассматриваемых явлений при рассеянии
волн в плазме, обусловленных коллективными эффек-
эффектами, также видна на примере результатов, представлен-
представленных на фиг. 33. Схематические профили линий, приведен-
приведенные на этой фигуре, относятся к случаям, когда функции
Фиг. 33. Интенсивность рассеянного излучения S (к, А со) для
различных дрейфовых скоростей и электронов относительно ионов.
и = 0 (кривая 1); и = 1/2^у_ (кривая 2)\ и = vT-(кривая 3).
распределения ионов и электронов по скоростям несколько
смещены относительно друг друга. Это означает, что
электроны дрейфуют относительно ионов. Наиболее инте-
интересно здесь то, что показанные на фигуре кривые не обла-
обладают симметрией. Один из пиков интенсивности рассея-
рассеяния быстро возрастает с ростом дрейфовой скорости. На-
Напомним, что, согласно расчетам, проведенным в гл. 3,
электроны, дрейфующие относительно ионов, вызывают
неустойчивость, обусловленную коллективными эффек-
эффектами.
Кривые на фиг. 33 соответствуют такому положению,
когда состояние неустойчивости еще не достигнуто, так
как в противном случае пик в правой части спектра
возрастал бы до бесконечности.

§4: Учет коллективных эффектов движения частиЦ 403
Основные результаты
Просуммируем изложенные выше результаты по рас-
рассеянию света в плазме при наличии корреляций, полу-
полученные в приближении модели пробной частицы.
1.	При больших значениях M,D_ профиль линии рас-
рассеянной волны может быть описан эффектом допплеров-
ского уширения, обусловленным некоррелированными
электронами. Это не вызывает сомнений, поскольку
в данном случае не выполняется условие X ^> A,D—
2.	При уменьшении &A,D- на профиле линии появляются
два максимума, один — правее электронной плазменной
частоты, а другой — в центре линии. По мере дальней-
дальнейшего уменьшения &A,D_ эти максимумы раздвигаются.
Полуширина пика вблизи центра соответствует доппле-
ровскому уширению вследствие теплового движения
ионов. Образование максимумов в спектре обусловлено дву-
двумя эффектами. Один из них состоит в том, что возбужде-
возбуждение коллективных мод колебаний вблизи плазменной
частоты вызывает сильный эффект рассеяния вблизи этой
частоты. Другой эффект связан с тем, что при уменьше-
уменьшении AA,D_ начинает выполняться условие X ^> A,D_ и,
в соответствии с этим, возрастает значение ионных корре-
корреляций. Таким образом, в полном согласии с качественной
интерпретацией, изложенной выше, основная часть про-
профиля сужается до ширины, которая определяется доппле-
ровским уширением, обусловленным средней скоростью
теплового движения ионов.
3.	Полуширина пика в спектре рассеянной волны
вблизи электронной плазменной частоты определяется
затуханием Ландау. В рамках модели пробной частицы
данный результат неудивителен, так как в данном случае
мы рассматриваем влияние только коллективных эф-
эффектов. Однако в действительности полуширина этого
пика должна была бы быть существенно большей, по-
поскольку в области /cXD_ <^ 1 вклад от эффектов столкно-
столкновений превосходит вклад от эффектов затухания Ландау
(см. стр. 173).
4.	При очень малых значениях /cA,D_ на центральном
пике вновь возникает боковой максимум. Это явление
связано с коллективными эффектами ионов, аналогичными
26*

404 Гл. в. взаимодействие элёктромагк. полей с сист. многих Частиц
электронным флуктуациям, ответственным за пик
вблИЗИ СОр_.
5. Боковой максимум смещается на крыло линии
спектра и сужается при возрастании электронной темпе-
температуры выше температуры ионов. Это можно понять, если
вспомнить, что в плазме возбуждаются коллективные ион-
ионные колебания с фазовой скоростью
6. При наличии относительного дрейфового движения
электронов и ионов профиль линии спектра становится
асимметричным и один из пиков сильно возрастает. Этот
эффект тоже связан с возбуждением коллективных ион-
ионных волн. Как уже указывалось в гл. 3, относительный
дрейф электронов и ионов может приводить даже к неустой-
неустойчивости.
4.4. Применение флуктуационно-диссипационной теоремы
Как мы видели выше, эффекты, обусловленные корре-
корреляциями частиц, в теории рассеяния света все еще не
удается учесть достаточно последовательно. Кроме того,
мы показали на стр. 392, что рассеяние существенным
образом зависит от спектра флуктуации, имеющихся в си-
системе.
Весьма последовательным шагом было бы установле-
установление связи между результатами теории рассеяния и вычис-
вычислениями проводимости с помощью флуктуационно-дисси-
флуктуационно-диссипационной теоремы (см. § 5 гл. 1):
Однако подобные попытки, по-видимому, плодотворны
только в том случае, когда используется теория прово-
проводимости, более точно учитывающая динамику движения
ионов, чем подход, изложенный в настоящей книге.
§ 5. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
5.1. Уравнение переноса излучения
Теперь, вычислив макроскопические величины, опре-
определяющие поведение электромагнитных волн в полностью
ионизованной системе, обратимся к изучению распростра-

§ 5. Процессы переноса излучения	405
нения электромагнитной энергии в среде, которую можно
охарактеризовать комплексной диэлектрической прони-
проницаемостью e© (г) со слабой зависимостью от пространст-
пространственной координаты. Точнее говоря, потребуем, чтобы
выполнялось основное условие применимости геометри-
геометрической оптики
Здесь L — характерная длина изменения величины е^ (г).
Из уравнений Максвелла для сплошной среды
V.Hffl=0,	Т.(ешЁв) = О,
V х Нсо = — гсоеобсоЕю, VxEffl = м
получим волновое уравнение
(^ЁH.	E.3)
В рамках приближения геометрической оптики мы
можем (локально) задать решение в виде плоской волны,
распространяющейся в направлении s, и, учитывая усло-
условие E.1), опустить третий член в выражении E.3). Тогда
^. + ^8(оЁи = 0.	E.4)
С помощью метода Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна
(ВКБ) найдем приближенное решение в виде
Ей (s) = С0 ехр (i -?- j V^ds)	E.5)
для электрического поля и соответственно
Ню (s) = Da ехр (i -^ J V^ds)	E.6)
для магнитного поля. Из этих решений получаем абсо-
абсолютную величину вектора Пойнтинга
S = Bл)-1 j ЁтН*2 ехр [ — i {(о± — (о2) t] д,щ dco2. E.7)
Усреднение по периоду времени, достаточно большому
по сравнению с периодами всех колебаний, дающих вклад

406 Гл. в. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
в выражение E.7), приводит к формуле
(S) = лг1 Re { J ^Ш1ЯХ2вЧ?[--«(©1--©2)Ч d®iA»2>- E.8)
©1, ОJ>0
Подставив сюда решения в виде E.5) и E.6), найдем
Здесь мы ввели показатель преломления п^ и коэффи-
коэффициент пространственного поглощения х0:
(S) = я Re { J C^D*, exp [ - -i j (хЮ1 + х«я) &] X
©It 0J>0
X exp ii ус l (щп^— co2rcoJ)ds—
— (щ — co2) Л } dcoi dco21 . E.9)
и хв = ^1тУ^»1/^Г^1. E.10)
Рассмотрим теперь волновой пакет, содержащий ча-
частоты cot и со2, близкие к со. Тогда можно использовать
приближенное равенство х© + кф ж 2ка. В результа-
1	2
те мы имеем
V^_^i=(	} d »^р = а>1-ю,	E.Ц)
с	с	v 2 z/ dw с	Ug (со) '
где ^ (со) — локальная групповая скорость для волны
с частотой со. Таким образом, получим
(S)a = я-1 ехр [ — f Xco ds] Re j
0I, @2>0
Г .	. /
X'
exp [i (©! —©а) ( j 7Г15)—0] dc°idc°2. E.12)
Следовательно, величина (S)® удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
и описывает перенос энергии излучения данным волновым
пакетом в заданном направлении.
Суперпозиция таких волновых пакетов, распростра-
распространяющихся в направлениях, близких к s, дает узкий пучок
лучей в пределах небольшого телесного угла AQ. При

§ 5. Процессы переноса излучения	407
этом интенсивность- излучения равна
jffl= <^l.	E.14)
Используя закон Снелля, записанный в виде
n%AQ = const,	E.15)
а также уравнение E.13) и формулу E.14), получим
уравнение переноса излучения г)
Очевидно, что в правой части уравнения E.16) представ-
представлены эффекты поглощения волн и отсутствуют эффекты
излучения и рассеяния. Это не удивительно, поскольку
в уравнениях Максвелла E.2) не учитываются ни тепло-
тепловое излучение, ни флуктуации. Если же учесть эффекты
излучения, то вместо E.16) мы получим уравнение
* ^ /ф . д 1(о /со — Иа>-*а>	/с лп\
'ТГ ~й7 Т "Г -д:	Г~~	2	 »	\*>.и)
в котором через /ю обозначен коэффициент излучения
(т. е. мощность излучения на частоте о единицей объема
среды в единичный телесный угол в направлении луча s
и в единичном интервале времени и частоты). В это урав-
уравнение мы можем подставить выражение для коэффициента
излучения, полученное в гл. 5. Для системы, близкой
к равновесной, можно использовать закон Кирхгофа, со-
согласно которому
/и = п% КаДц.	E.18)
Здесь В& — спектральная плотность излучения черного
тела, определяемая формулой Планка:
г) Обратим внимание на то обстоятельство, что используемое
в нашем выводе приближение геометрической оптики в действитель-
действительности недостаточно для решения вопроса о том, следует ли ввести
величину п^ под знак дифференциального оператора d/ds или
оставить вне его. При более строгом выводе надо учитывать член
уравнения E.3), содержащий величину E<a»V e^. Для этого необхо-
необходимо учесть различие направлений поляризации волн и использо-
использовать ВКБ-метод в приближении более высокого порядка по %IL,

408 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
[Соотношение E.19) учитывает два возможных направле-
направления поляризации.]
Если в уравнение переноса также включить эффекты
рассеяния, то — по аналогии с уравнением Больцмана —
можно представить вклад этих процессов рассеяния в виде
дополнительного «члена столкновений» в правой части
уравнения E.17)
pace п<
XCT(D'(co, Q' — Q)dto'dQ'. E.20)
Здесь On* (со, Q' —Q) —дифференциальное сечение рас-
рассеяния, определяемое формулой D.27).
5.2. Замечания по поводу граничных условий
Уравнение переноса, рассмотренное выше, следует
дополнить граничными условиями. Получение этих гра-
граничных условий — довольно сложная задача. Предполо-
Предположим, что плазма ограничена объемом У. Тогда распре-
распределение полей излучения вне этого объема дает граничные
условия для решения уравнения переноса.
Обычно в плазме вблизи границы образуется особый
пограничный слой. В таком пограничном слое параметры
плазмы меняются настолько сильно, что это исключает
возможность описания поля с помощью полученного
уравнения переноса. Наличие подобного пограничного
слоя и представляет основную проблему при формули-
формулировке граничных условий, которая в общем случае до
сих пор еще не может быть решена. Однако существуют
два случая, которые могут быть рассмотрены и в то же
время представляют принципиальный интерес: случай
поверхности разрыва и случай нормального падения
волны. Если поверхностный слой можно рассматривать
как поверхность разрыва, то данная проблема решается
тривиальным образом с помощью формул Френеля для
отражения волн. В случае же нормального падения волн
при наличии пограничного слоя конечной толщины
@ < %К а), когда поле в нем может быть описано с помо-
помощью комплексной диэлектрической проницаемости, урав-

	§ 5. Процессы переноса излучения	409
нение E.3) принимает вид
Е = 0, где к* = ^г(х). E.21)
Предположим далее, что к (х) = к0 при х ^ 0, а при
х ^ а к {х) = fti. Тогда решения уравнения E.21) можно
записать как
(	) для
и	*	E.22)
E = Eoxeik^x для х>а.
Здесь р и т — коэффициенты отражения и прохождения
для амплитуд (но не интенсивностей!) полей.
Чтобы найти решение уравнения E.21) в интервале
значений х [0, а], используем несколько модифицирован-
модифицированный по форме обычный метод медленно меняющейся фазы
(см. [11]), в соответствии с которым будем искать решение
в виде
Е (х) = А ехр {i j [к (х) --$(*)](&}.	E.23)
Это приводит к дифференциальному уравнению Риккати
для ф (х):
f +21кф =к' + 1ф\	E.24)
Можно ожидать, что величина ф (х) в большинстве
случаев мала, поскольку при ф (х) ~ 0 решение E.23)
переходит в решение, совпадающее с приближением ВКБ.
Логарифмическое дифференцирование выражений E.22)
и E.23) с последующим их приравниванием при х = а
дает граничное условие
ф (а) = 0,	E.25)
а при х = 0 — коэффициент отражения
E.26)
Таким образом, рассматриваемая задача будет решена,
если с помощью уравнения E.24) и условия E.25) мы смо-
сможем определить ф @).
В общем случае найти решение дифференциального
уравцешш Риккатц в явцом виде цевозможно, цозтому

410 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
мы перейдем к эквивалентному интегральному уравнению,
которое можно решить методом итераций.
Используя метод вариации произвольной постоянной
и условие E.25), найдем
ф (х) = ехр [ — 2* ( k (I) dg] j exp [2i \ к (I) dg] x
0	a	0
X[/c'(z) + ^2(s)]dz. E.27)
Если <f> мало, то можно рассматривать лишь линейное
приближение. Тогда
a	z
ф @) = - j exp [2i { к (9 dg] /с' (*)
о	о
E.28)
и коэффициент отражения определяется простым соотно-
соотношением р = ф @)/2к0. Поскольку интенсивность рассма-
рассматриваемой волны равна ЕЕ*, то обычный коэффициент
отражения для интенсивности волны равен R = рр*. Это
приводит к окончательному результату для R\
\dx\ =
У 8@)
E.29)
В пределе, когда а->-0, из E.29) вытекает обычная фор-
формула Френеля
а->0
Уе(д)-Ув@)
Входящую в E.29) величину
dx
E.30)
E.31)
согласно формуле Френеля E.30), можно трактовать как
«дифференциальный коэффициент отражения» Этот диф-

§ 5. Процессы переноса излучения
411
ференциальный коэффициент отражения умножается на
E.32)
которая учитывает поглощение (через мнимую часть
Im ]/e) и явления интерференции в выделенном нами
слое плазмы.
Конечно, рассмотренное линейное приближение не
может учитывать влияние на коэффициент отражения В
Фиг. 34. Коэффициент отражения R как функция толщины погра-
пограничного слоя плазмы а, измеренной в длинах волны X; сор1 = 0,2 со,
Ai = оо.
1 — для распределения E.33) плотности электронов в слое; 2 — для линей-
линейного распределения плотности электронов в слое.
эффектов отражения внутри пограничного слоя. Учет
многократного отражения требует использования полного
выражения E.27) для ф.
В общем случае оказывается более удобным использо-
использовать численные решения дифференциального уравнения

412 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Риккати. Нами были проведены такие вычисления для
пограничного слоя плазмы с изменением плотности по
10'
ю
ш
-г
¦з _
2,5
7,5
Фиг. 35. Коэффициент отражения В как функция толщины по-
пограничного слоя плазмы а, измеренной в длинах волны К\ (opi =
= 0,8 со.
кривая 1 — Ai = с»; кривая 2 — Ai = 10.
закону
п_ (х) = -к- щ\ 1 —cos — .
E.33)
При этом использовались упрощенные выражения для
диэлектрической проницаемости:
Re 8 ^ 1 — -
0J
Im 8 :
JL / 2 \V2 cap- In Л
8 \ n j со3 Л
V2 (Op- In Л ^ 1 O)p-
j	^ Л со3 #
E.34)
На фиг. 34 и 35 приведены зависимости для коэффициента
отражения соответственно при copi/co = 0,2 и сор1/о) = 0,8
для величины Л4, равной 10 и сх>.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Випетапп О., Phys. Rev., 115, 503 A959).
2.	Za/m F. Z>., Journ. Fluid Mech., 14, 321 A962),
3.	Fried B. D., Phys. Fluids, 2, 337 A959).

Литература	__*
4.	Furth H. P., Phys. Fluids, 6, 48 A963).
5.	Weibel E. ?., Phys. Rev. Letters, 2, 83 A959).
6.	Dawson /., Oberman C, Phys. Fluids, 5, 517 A962).
7.	Dawson /., Oberman C, Phys. Fluids, 6, 394 A963).
8.	Rosenbluth M. iV., Rostoker N., Phys. Fluids, 5, 776 A962).
9.	Bernstein J. ?., Гге/шгс S. K., Weenink M. P. #., Nucl. Fusion,
4, 61 A964).
10.	Rostoker JV., Rosenbluth M. N., Phys. Fluids, 3, 1 A960).
11.	Geffcken И7., Ann. Phys. (Leipzig), 40, 835 A941).
Дополнительная литература
Bekefi 6?., Radiation Processes in Plasmas, Wiley, New York A966)
(см. перевод: Дж. Бекефи, Радиационные процессы в плазме, изд-во
«Мир», 1971).
Dawson /., Lecture Notes, Princeton University, Princeton, N. J.,
1964.
Dawson /., в книге Advances in Plasma Physics, Vol. I (eds.
A. Simon, W. B. Thompson), Wiley (Interscience), New York, 1968
(см. перевод в сборнике «Физика высокотемпературной плазмы»,
изд-во «Мир», 1972).
Dupree Г. Я., Phys. Fluids, 6, 1714 A963).
Dupree Т. Я., Phys. Fluids, 7, 923 A964).
Birmingham Г., Dawson /., Oberman C.t Phys. Fluids, 8, 297
A965).
Bernstein I. В., Trehan S. K., Nucl. Fision, 1, 3 A961).
Ramsden S. А., в книге Physics of Hot Plasmas (eds. B. J. Rye,
J. C. Taylor), Oliver and Boyd, Edinburgh, 1970.
Kofink W., Ann. Phys. (Leipzig), 1, 119 A947).
Rawer K., Ann. Phys. (Leipzig), 35, 385 A939).
Margenau #., Phys. Rev., 109, 6, 1958.

Приложение
Характерные параметры плазмы
Теория плазмы имеет дело с рядом характерных пара-
параметров. Исследование зависимости этих параметров от
свойств системы представляет интерес не только для чис-
численных расчетов, но также и для приближенных теоре-
теоретических методов. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим
некоторые из этих характерных параметров и приведем
их взаимные соотношения и численные значения.
С точки зрения применений, по-видимому, целесообраз-
целесообразно подробнее рассмотреть характерные параметры плазмы.
С этой целью исследуем характерные времена и харак-
характерные длины отдельно при взаимодействии пробной ча-
частицы определенной скорости с каждым сортом частиц
системы.
Рассмотрим равновесную, нейтральную систему, со-
состоящую из двух сортов частиц с плотностью п+ = тг_ = п
при заданной температуре в. Пусть частицы являются
однозарядными и характеризуются массой т^. Величины,
свободные от индекса, относятся к исследуемому сорту
частиц.
Очевидно, что характерные параметры взаимодейст-
взаимодействия пробной частицы с каким-либо сортом частиц должны
выражаться только через п и 0. Это означает, что их
внутреннюю связь можно выразить через один удобно
выбранный параметр, например Л.
Характерные частоты и длины
При исследовании кулоновской системы в от /утствие
корреляций имеется единственная характерная частота —
это частота плазменных колебаний
COn =

Характерные параметры плазмы
Соответствующей характерной длиной для плазмы в от-
отсутствие корреляций является дебаевский радиус
Если учитываются слабые корреляции, то дополни-
дополнительной характерной частотой является частота столк-
столкновений
3 In Л	/тт оч
Характерная длина, соответствующая этой частоте столк-
столкновений, есть средняя длина свободного пробега
Помимо средней длины свободного пробега, для описа-
описания плазмы с учетом корреляций используются класси-
классический радиус взаимодействия
и среднее расстояние между частицами
1/з.	(П.6)
Частота столкновений и средняя длина свободного
пробега характеризуют довольно грубым образом явле-
явление релаксации, обусловленное корреляционными эффек-
эффектами. Для более точного различия эффектов релаксации
имеется бесконечное число релаксационных времен, зави-
зависящих от рассматриваемых физических процессов. Ниже
мы дадим общую формулировку этих времен релаксации
для произвольной цилиндрически симметричной комби-
комбинации моментов скорости. При вычислениях (см. [55]
к гл. 4) обычно используются следующие три эффектив-
эффективные частоты: характерная частота изменения скорости
направленного движения

416	Приложение
характерная частота рассеяния импульса
характерная частота изменения энергии
где и — скорость пробной частицы, а и0 соответствует
скорости, для которой du2/dt =>0. Кроме того, определим
также средние времена и длины, характеризующие проб-
пробную частицу с данной скоростью:
<т»> = { 1м (и) —^ 4я«» du,	(П.10)
(h) = j 1м (и) ^ 4яи» du,	(П.11)
где /м (и) — функция распределения Максвелла. Здесь
мы предпочитаем использовать средние времена, по-
поскольку средние частоты при т/т^ ->¦ 0 стремятся к бес-
бесконечности. Этот эффект обусловлен в силу расходимо-
расходимости кулоновского поперечного сечения вкладом от очень
малых скоростей.
Общий формализм
Разложим функцию распределения по скоростям для
пробной частицы / (v) по сферическим гармоникам:
где cos 9 = (v *vl)Ivu. Рассмотрим произвольную функ-
функцию s (v), которую также представим через сферические
гармоники:
*(V) = 3^A7)^@08 в).	(П. 13)
Тогда изменение во времени скорости, усредненной по дан-
данной функции, обусловленное соударениями с частицами
сорта [х, определяется следующим выражением:

Характерные параметры плазмы	417
Член столкновений Фоккера — Планка в случае цилин-
цилиндрически симметричных возмущений имеет вид (см. [20]
к гл. 4)
) = Ц1 + 1)	^ 4
Здесь величины a^i pp, и y»x определяются следующим
образом:
1п Л Ц
оо
~ 2г; J ^
-3 J^/
=т (^г Т1п л [4- i v$»
0
(П.18)
Используя выражение (П.15), из (П. 14) после интегри-
интегрирования по частям получаем
о	о
Чтобы исследовать задачу пробной частицы, будем счи-
считать, что распределение / (v) имеет вид
7(v) = 8(v—u)	(П.20)
с коэффициентами разложения
27—01291

418	Приложение
Подставляя зто выражение для коэффициентов {l)f (v)
'в (П. 19), получаем
< (
то^ u2 di* + и?
Определим следующие величины:
(») = -^ - -p- [erf W -^ .-] , (П.23)
Учитывая то, что i/2 = mu2/2Q, & x2 = m^yVm, в резуль-
результате находим
Из этого уравнения следует, что все релаксационные ча-
частоты могут быть составлены из четырех характерных
частот: частоты vlM>, описывающей главным образом эф-
эффекты рассеяния, v2M,, описывающей эффекты изменения
величины по модулю, и частот v3lA и v4}x, которые учиты-
учитывают поправки за счет движения частиц, взаимодейст-
взаимодействующих при столкновении с пробной частицей.
В соответствии с определениями характерных частот
(П. 7), (П. 8) и (П. 9) релаксационные частоты, опреде-
определяющие изменение направленного движения, рассеяние
импульса и изменение энергии, можно записать в виде
v1Ill	(П.25)

Характерные параметры плазмы	419
Результаты
Более полная информация о полученных результатах
представлена на фиг. 36—39. На фиг. 36 и 37 приведены
характерные релаксационные частоты и длины для проб-
пробного электрона, движущегося в электронном газе (или
для пробного иона в ионном газе). На фиг. 38 и 39 даны
соответствующие величины для электронов, рассеянных
протонами. Результаты для релаксации ионов в элек-
электронном газе здесь не приводятся, так как эти эффекты
пренебрежимо малы по сравнению с эффектами рассеяния
ионов в ионном газе.
Зависимости, представленные на фиг. 36—39, отно-
относятся к области значений и ^ vT . Однако на основании
изменения кулоновского поперечного сечения по закону
w легко получить соответствующие зависимости и для
значений скоростей и > vT .
[X
Можно ожидать, что релаксационные частоты одновре-
одновременного взаимодействия с двумя сортами частиц можно
получить путем сложения соответствующих результатов,
приведенных на фиг. 36 и 37 или на фиг. 38 и 39. Это
справедливо только для процессов изменения скорости
направленного движения и рассеяния импульса. Что
же касается релаксации энергии, то легко видеть, что
величина м0, определенная согласно (П.9), не является
средней тепловой скоростью и, в частности, зависит от
отношения масс т/т^. Это в принципе исключает воз-
возможность сложения результатов для определения харак-
характерной частоты изменения энергии. С другой стороны,
время изменения энергии, представленное на фиг. 36,
является определяющим, так как соответствующим вкла-
вкладом от ионной компоненты можно пренебречь, во всяком
случае из-за большой величины отношения масс.
На фиг. 41 показана зависимость скорости и0 от отно-
отношения масс т/т^. Следует отметить один интересный
результат, что скорость и0, для которой нет изменения
средней энергии, всегда меньше средней тепловой скоро-
скорости, от которой она заметно отличается даже в случае
т = т^.
Для того чтобы облегчить вычисление релаксационных
частот для других физических явлений, отличающихся
27*

Фиг. 36. Характерные частоты
изменения скорости направленного
движения v$, рассеяния импульса vd
и изменения энергии для электронов
со скоростью и при столкновении с
тепловыми электронами с
температурой в.
Фиг. 37. Характерные длины Х8, kd
и %г для электронов со скоростью и
при столкновении с тепловыми
электронами с температурой в.
Фиг. 38. Характерные частоты
ve, vd is. v8 для электронов со
скоростью и при столкновении с
тепловыми протонами с температурой Э.

«е
«<
to3
to
I
яг'
№г
W3
rn-4
-
/
/
/
~ /
/
/
J
f /
-/
/_j
/
/
/
/
/
/
/
/
t«S+ у
/
/
1 ,1
/]
/A
/
/t=tf+
l
«/
(mu2/2®)'/2
10
Фиг. 39. Характерные длины Я5, A,d
и Яе для электронов со скоростью и
при столкновении с тепловыми
протонами с температурой в.
.5
f
0,5
G
1 = 1
.... 1 >w>
г г
-s^-4
/
Ч 1 1 1
0,1
(т^/гвуР
ю
Фиг. 40. Зависимость частот vljLl,
v2jli' v3m- и v4h' вычисленная по
формулам (П.23) и (П.24), от
скорости пробной частицы и.
I
0,5
№
W
_J I, I I 1 I L
Iff
,-*
m/mp
Ю6
W4
Фиг. 41. Зависимость скорости
пробной частицы щ (при которой
du2/dt = 0) от отношения масс т/т^.
1 — столкновения с частицами только
массы т\ 2 — столкновения с одинаковым
числом частиц массы тит.

422 Приложение
rw,CM
70"
10'
JO"
7 _J
Ю~6 -{
Ю
¦5 J-
-wь
Y-105
±-10*
-ю*
A In A
hzo
ios 4
юь
10*
10
г -A
Y-15
А-Ю
Y5
Xjj, см nf см
>Л-з
Ho~
-10~
*-1(Г*
*~Ю~
ю° 4
Ho tos-
10]
10'
Ш.
14 I
10
16 1
10l
Г0, Сир_, LOp+t
4
-io~
10K
to1
-10l
\-io°
\-!0*
По~5 ю1гА
юL4
Ho~{
wh
\-ww
i-to"
¦10J
4o«
Фиг. 42. Номограмма для вычисления значений некоторых
характерных параметров (XD, Л, In Л, а следовательно, и А,с).
Внешние шкалы номограммы непосредственно связывают величины rw с
температурой Т — ®/кв И 7*0, Сйр- И С0р+ с плотностью п.
от тех, которые представлены на фиг. 36—39, на фиг. 40
приведена зависимость четырех частот vilX9 . . ., v4M, от
скорости пробной частицы и от отношения масс. На номо-

Характерные параметры плазмы
423
грамме (фиг. 42) и в табл. 3 представлены также
соответствующие усредненные характерные величины.
Таблица 2
Соотношения между характерными длинами
го
^0
3-V8AVs
2Л2/9 In Л
з1/зл~2/з
1
3-2/зд1/з
2Л4/з/з5/з 1п д
ЗЛ
32/зд-1/з
1
2Л/3 In Л
9/2
In Л
Л2
35/3 In Л/2Л4/з
31п Л/2Л
1
Таблица 3
Средние величины для столкновения электронов
Сорт частиц, с
которыми сталкивается
пробный электрон
Электроны и протоны
г = s
2,45
3,75
1,43
<v
h
i = d
2,31
1,88
1,03
г — ъ
1,84
3,44-103
1,84
4bi' vc
г — s
1,70
2,26
0,91
i = d
1,45
1,13
0,63
г = 8
1,24
2,07-103
1,24

Предметный указатель
Абё , разложение по большим
группам 58
Ансамбль Гиббса 23
канонический 26 , 27
— — макроканонический 26 , 27
— — микроканонический 26 , 27
Батнагара — Гросса — Крука
уравнение 262
Боголюбова — Борна — Грина —
Кирквуда — Ивона (ББГКИ)
цепочка уравнений 127 , 129 , 194 ,
204 , 265
— безразмерный вид 195
— — — вывод 124
— групповое разложение 280
Боголюбова — Ленарда — Балеску
уравнение 196 , 199 , 223 , 276
— — интерпретация 232
— — пределы применимости 235
Боголюбова многовременной
формализм 225
— начальные условия 275
— теория 265 , 275
— — основное предположение 269
— — применимость к плазме 274
Больцмана предположение о
первоначальном хаосе 273
Больцмана — Пуассона уравнение 75
обобщенное 87 , 89 , 94
Больцмана распределение 70
Больцмана уравнение 196 , 198 , 209
— — вывод 204
— Больцмана 210
— — обобщенное 274
— Я-теорема 136
Боппа — Мейкснера разложение 240 ,
260
Борна — Грина уравнение 97
Ван Кампена метод 183
Ван Кампена моды 181
перемешивание фаз 182 , 192
полнота набора 187
Ван-Хова теорема 30
Взаимодействия время 208
— длина 208
— классический радиус 20 , 197
— потенциал 242
Вириальные коэффициенты 46
Власова уравнение 133 , 282
— — линеаризованное 13 8
Власова уравнение общие свойства
135
присоединенное 185
решение Ландау 166
метод Ван Кампена 183
— — — — нормальных мод 183
— — — — разложение Фурье 159
Волновое уравнение , функция
Грина 300
Восьмимоментное приближение 245
Восприимчивость магнитная 297
— электрическая 296
Времена характерные 267
Гамильтона функция , кулоновская
система 33
Гаунта фактор 326
средний 329
Герца потенциал 302
— — разложение по мультиполям
307
— формула 318
Гер ней двойное разложение 276
Гиббса ансамбль 23
Гидродинамические уравнения 253 ,
255
Гильберта разложение 260
Трэда коэффициенты 240
— метод 235
— приближение 244
— разложение 240
— уравнение , второе 206
Грина функция 301
Группа , классификация связей 42 ,
43
— метод суммирования Майера 49
— неприводимая 43
— обобщенная 38
— обычная 43
— точка ветвления 43
— частная 37
— /-представления 37
— ^-представления 50
— д-представления 51
— ад-представления 61
Групповое разложение 37
— — многокомпонентной системы 48
по большим группам 58
— — прототипы 46
— — распределения микрополей 101
— — цепочки уравнений ББГКИ
280
Групповой интеграл 39
— — неприводимый 44

Предметный указатель
42S
Давление гидростатическое
парциальное , тензор 238
Даламбера оператор 300
Дальнодействующие силы 196
Даусона — Обермана модель 363
Двадцатимоментное приближение 245
Дебаевская сфера 107
Дебаевский радиус 63 , 81 , 152 , 415
Дебаевское экранирование 202
Дебая постоянная 52
— формула 94
Дебая — Хюккеля закон 51 , 58
Де Бройля длина волны 19 , 35
Декремент затухания 173
Диаграмма двуузловая 59
— одиночная 50
— петлевая 50
— прототип 51
Дирака функция , общие свойства 120
Дирихле функция 146
Дисперсионная модель 134
— функция 176
— — асимптотическое разложение
178
Дисперсионное уравнение в случае
распределения в виде пакетов 148
— — — — сферического
распределения моноэнергетических частиц
146
Дисперсионное уравнение для ионно-
звуковых волн 153
— — — ленгмюровских волн 150
— — — поперечных
(электромагнитных) волн 352 , 356 , 373 , 382
— — — продольных
(электростатических) волн 141 , 352 , 355 , 373
— — — пучков частиц с заданным
направлением скорости 142
— распределения в виде
пакета 148
— — — связанных волн 357
холодной плазмы 351
— — общий вид 350
при учете поглощения 373
Диссипация энергии 113 , 182
Диэлектрическая проницаемость 162 ,
в пределе высоких частот 164
— — в пределе низких частот 163
Диэлектрическая функция D (k , р) ,
аналитическое продолжение 168
Допплеровский сдвиг 388
Закон Снелля 407
Затухание , обусловленное
столкновениями 173
Зоммерфельда формула 327
Излучательная способность 334 , 335
дифференциальная 322 , 334
Излучение одиночного заряда ,
энергия 315
— — — в пределе малой скорости
(дипольное приближение) 318
Излучение одиночного заряда ,
тормозное 319
— суммарное 330
циклотронное 335
— плотность энергии 377
— при учете коллективных эффектов
362 , 377
— уравнение переноса 407
граничные условия 408
— черного тела 407
Импульс относительного движения
238
Инварианты движения 25
— столкновений 261
Интеграл столкновений 209
— — разложение по моментам 240
Ионно-звуковые волны 153
Калибровочные преобразования 299
Квадрупольный тензор (момент) ,
электрический 312
Квазинейтральность 81
Кинетические уравнения 196 , 263
отсутствие корреляций , см.
Власова уравнение 133
для плазмы 197
неоднородной 279 , 283
— — область применимости 199
определение 284
— — условия существования 289
Кинетическая фаза 268 , 284 , 289
Кирхгофа закон 377 , 407
Климонтовича плотность
распределения 120 , 210
— уравнения 123
Кнудсена число 260
Конфигурация s- 66
Конформные операторы 285
Коэффициент динамического трения
218 , 221
— диффузии 259
— — в пространстве скоростей 218 ,
221
— излучения 328 , 375 , 377 , 407
— отражения 410
— поглощения 373 , 381 , 406
— подвижности 259
— теплопроводности 255 , 259 , 264
— термодиффузии 259
— трения 255 , 259 , 264
Коэффициенты вириальные 46
— переноса , термодинамические 243
Критическая плотность 96 , 276
Кубо формула 114
Кулоновская калибровка 299
Кулоновская система ,
микроскопические свойства 63
— — определение 20
— — функция Гамильтона 33
Ландау затухание 169 , 173 , 403
— — область экспериментального
наблюдения 174
Ландау уравнение 216
— — с запаздыванием 215

426
Предметный указатель
Ландау уравнение с учетом
экранирования 229
Ландау — Фоккера — Планка
уравнение 196 , 200 , 212
Лармора формула 318
Ларморовская частота ,
релятивистская 331
Ленарда — Балеску уравнение 229 ,
289
Ленгмюровские волны 150
Лиенара — Вихерта потенциалы 307 ,
313 , 386
Линейный отклик 112
Лиувилля закон 208
— оператор 113
— уравнение 25
Лоренцевская калибровка 299
Манера метод 49
Макроскопические уравнения 235
применимость к плазме 247
Максвелла — Больцмана уравнения
переноса 235
Максвелла распределение 65 , 264
— уравнения 297 , 342
Марковские процессы 222
Модель свободно-связанных
состояний 34
Молекулярный беспорядок 209
Момент дипольный магнитный 311
— — электрический 310
Многовременной формализм 284
«Многовременные функции» 287
Мультипольное разложение поля
излучения 307
Навье — Стокса уравнение 255
Начальные условия Боголюбова 273 ,
275
Неустойчивость пучковая 144
— электромагнитная 358
Обобщенная координата 28
— сила 28
Однокомпонентная система ,
плотность распределения 120
Одночастичное приближение 73
Опережаюпще потенциалы 302
Отсутствие параллельных движений ,
условие 289
Параметр малости 196
— плотности 195 , 212 , 223 , 266 , 275 ,
280
— связи 195 , 212 , 266 , 276 , 280
Пенроуза критерий 157
Плазма , определение 81
— характерные параметры 134 , 414 ,
420
Плазменные колебания , возбуждение
372
Плазменный параметр 133 , 203
Плазменная частота 133 , 414
Планка формула 407
Племеля формула 155
обобщенная 170
Плотность массы 238
Плотность распределения в Г-про-
странстве 23
— — для однокомпонентной системы
в jut-пространстве 120
заряда 233
по ансамблю Гиббса 124
— теплового потока 249
Показатель преломления 348 , 406 .
Полевые частицы 233
Потенциал Герца 303
— запаздывающий 302
— Лиенара — Вихерта 307 , 313
— опережающий 302
— термодинамический 28 , 30
— средних сил 69
— электродинамический 298
— эффективный 233
Потенциальная энергия 70
средняя 69 , 87
— — эффективная для
взаимодействующих пар 89
— — формула Дебая 94
Поток тепловой 239
плотность 248
— энергии 238
плотность 255
Предельные случаи излучения 308
Приближение в отсутствие
запаздывания 219 , 222
— парных корреляций 82
— прямолинейных траекторий 214 ,
220 , 322
— случайной фазы 369
— экранировки частиц 107
Прицельный параметр 320
Пробная частица 282
Проводимость 116 , 297
— комплексная 370
— обобщенная 115
Пространство импульсов 65
— конфигурационное 65
Г-Пространство 23
jut-Пространство 210
Прототипы диаграмм 51
— групповых разложений 46
Пуассона скобки 25
— уравнение 75
Пучки частиц с заданным
направлением скорости 142
— неустойчивость 143 , 144 , 404
— электрон-ионные 145
Равновесие локальное , функция
распределения 262
Разложение вириальное 47
— по большим группам , Абе 58
мультиполям Герца 307
параметру плотности 269 , 275
Распределение Больцмана 70
— в виде пакета 147

Предметный указатель 427
Распределение для функции фазовых
переменных 100
— кусочно-гладкое с провалами 150
— Максвелла 65
— микрополей 101
в отсутствие корреляций
(Хольтсмарка) 105
Рассеяние света в отсутствие
корреляций 394
дифференциальное сечение 391
допплеровский сдвиг 388 , 400
профиль линии 403
учет коллективных (ионных)
эффектов 397
Расходимость на больших
расстояниях 49 , 230
— — малых расстояниях 59 , 63 , 289
Реактанс 371 , 381
Самосогласованное поле 201
Свободная энергия Гельмгольца 28
Свободно-свободные переходы 319
Свободные состояния 34
Связанные состояния 34
Секулярность , устранение 288
Секулярные члены 284
Сечение рассеяния
дифференциальное 236 , 391
— — — в отсутствие корреляций
395
— выражение через
флуктуации плотности 392 , 393
— — — нормированное 398
— — полное , томсоновское 396
Синхронизационная фаза 268
эволюции 274
Слабая связь 196 , 223
Сопротивление плазмы , удельное 117 ,
370 , 381
Среднее наблюдаемое 23
— по ансамблю 24
— по времени 24
Среднее расстояние между частицами
18 , 415
Средняя длина свободного пробега
211 , 260 , 267
— сила 69
Статистическая сумма (интеграл) ,
расходимость 35 , 36
— — канонического распределения
26
— — макроканонического
распределения 27
— — метод групповых разложений
37
— — модель свободно-связанных
состояний 34 , 35
— — полуклассическое
приближение 33
Столкновения ближние 209
— многократные 199
— парные 208
Сумма по состояниям 33
Сфера столкновений 207
Температура 238
— термодинамическая шкала 26
Тензор давлений 238
Тензор диэлектрической
проницаемости 349
— напряжений 238
— потока энергии 238
— проводимости 349
— теплового потока 239
Теория Хольтсмарка 105
Термодинамические потенциалы 28 , 30
Томсоновское сечение рассеяния 396
Тормозное излучение в
высокочастотном приближении 329
— — — низкочастотном
приближении 329
— — квантовомеханические
поправки 325
— — приближение прямолинейных
траекторий 322
приближение Фоккера —
Планка 377
— — учет коллективных эффектов
361
формула Зоммерфельда 327
— Эльверта 328
Точка ветвления 43
— пересечения 43
Точки диаграмм , схемы связей 43
Тринадцатимоментное приближение
245 , 260
Узел порядка п 43
Уравнение баланса импульса 248
— — энергетического 248
— волновое 300
— для слабого взаимодействия ,
Ландау 212
— Фоккера — Планка 221
Уравнение непрерывности 246 , 247 ,
263
— переноса излучения 407
импульса 246 , 263
теплового потока 246 , 263
энергии 246 , 263
— состояния 28 , 46
— — вириальное разложение 46 , 47
— — при взаимодействии по закону
Дебая — Хюккеля 58
Уравнения Эйлера 253 , 259
Условная вероятность 72
Устойчивость изотропного
распределения 159
критерий Пенроуза 157
— пучков частиц 144
— распределения с одним
максимумом 158
Фазовая траектория 23
Фазовое пространство 23
Фаз перемешивание 182 , 192
Флуктуации плотности 393
Флуктуационно-диссипационная
теорема 111 , 117 , 404
Фоккера—Планка уравнение 221 ,
281
Функция автокорреляционная 112 ,
390

428
Предметный указатель
Функция , автокорреляционная
магнитного поля 389
— — плотности 392
— — электрического поля 216
— корреляционная 102 , 281
— — тройная 201
— парных корреляций 73 , 109
Функция распределения в
конфигурационном пространстве 66
— — — Г-пространстве 23
— — канонического ансамбля 26
макроканонического ансамбля
27
микроканонического
ансамбля 26
— — нормированная 65 , 130
общая 66 , 73 , 130
приведенная 65
— — разложение 83
Боппа — Мейкснера 240
Грэда 240
укороченная 205
— — функциональная зависимость
от /i 268
частная 66 , 124 , 194
Функция % 53
Характерная частота изменения
скорости направленного движения 415
— — — энергии 416
— — рассеяния импульса 416
Характерные времена 267 , 420 , 421
— — для плазмы 274 , 275
— параметры 134 , 414 , 420 , 421
Химический потенциал 27
Цепочка порядка п 43
Цепочка уравнений ББГКИ 129
Цепочка уравнений для функций
распределения равновесного
состояния 68
решение в одночастичном
приближении 73
приближение
парных корреляций 82
обрыв 244
переноса 239
приближение Грэда 244
Циклотронное излучение 330
линейчатый спектр 335
системы в тепловом
равновесии 336
Частота столкновений 415
Чепмена — Колмогорова уравнение-
222
Чепмена — Энскога метод 250 , 260
— — для многокомпонентной
системы 256
— — — однокомпонентной системы
251
Электродинамические потенциалы
298
Электромагнитные волны , связь
с электростатическими волнами 357
— неустойчивости 358
— поля , общие формулы 303
Эльверта формула 328
Энергия излучения отдельной
частицы 315
Энтропия 28 , 136
Эргодическая гипотеза 24
Эффективное поле 109
Эффекты экранирования 108 , 202 „
214 , 231 , 275
¦ коллективные 201

Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ .... 9
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 11
МОДЕЛЬ ПОЛНОСТЬЮ .ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ И КУЛОНОВ-
СКАЯ СИСТЕМА 19
Часть I. Полностью ионизованная система в
квазистатическом электромагнитном поле. Кулоновская
система
Глава i. Равновесные состояния кулоновской системы . . 23
§ 1. Исходные положения 23
1.1. Теорема Лиувилля 24
1.2. Статистические ансамбли 26
§ 2. Макроскопические свойства 28
2.1. Соотношения между термодинамическими
потенциалами и статистической суммой для
канонического ансамбля 28
2.2. Соотношения между термодинамическими
потенциалами и статистической суммой для макро-
канонического ансамбля 30
§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы 32
3.1. Постановка задачи 32
3.2. Элементы метода групповых разложений . . 37
3.3. Неприводимые группы 43
3.4. Прототипы групповых разложений 46
3.5. Разложение по большим группам 58
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 63
4.1. Распределение частиц в фазовом пространстве 64
4.2. Цепочки уравнений 66
4.3. Физическая интерпретация цепочек уравнений 69
4.4. Приближенное решение цепочки уравнений для
молекулярных функций распределения ... 73
4.5. Одночастичное приближение 73
4.6. Уравнение Больцмана — Пуассона .... 75

430
Оглавление
4.7. Приближение парных корреляций 82
4.8. Решение обобщенного уравнения Больцмана —
Пуассона 93
4.9. Уравнение Борна — Грина 96
4.10. Функции распределения для характеристик
системы , зависящих от фазовых переменных 100
4. И. Распределение микрополей 101
§ 5. Флуктуационно-диссипационная теорема .... 111
5.1. Вывод теоремы для общего случая 111
5.2. Флуктуационно-диссипационная теорема для
кулоновской системы 116
Литература 117
Глава 2. Неравновесные состояния кулоновской системы.
Общее описание 120
§ 1. Точные уравнения для плотности распределения одно-
компонентной системы 120
1.1. Уравнения Климонтовича . 120
§ 2. Распределения , усредненные по ансамблю Гиббса 124
2.1. Вывод цепочки уравнений Боголюбова —
Борна — Грина — Кирквуда — Ивона (ББГКИ) из
уравнений Климонтовича 124
Литература 131
Глава 3. Неравновесные состояния кулоновской системы.
Приближенное описание в отсутствие корреляций
между частицами 132
§ 1. Приближение Власова 132
1.1. Уравнение Власова 132
1.2. Общие свойства 135
1.3. Линейное приближение . 138
§ 2. Решения линейного уравнения Власова 138
2.1. Метод собственных решений 138
2.2. Моноэнергетические пучки частиц с заданным
направлением скорости 142
2.3. Сферическое распределение моноэнергетических
частиц по скоростям 146
2.4. Распределения в виде пакетов 148
2.5. Кусочно-гладкие распределения с провалами 150
2.6. Произвольные распределения. Критерий Пен-
роуза 153
§ 3. Преобразование Фурье по времени 159
3.1. Воздействие внешних возмущений 160
3.2. Начальная задача 164
§ 4. Решение уравнения Власова методом Ландау . . . 166
4.1. Решение Ландау 166
4.2. Общая физическая интерпретация затухания
Ландау 180
§ 5. Решение уравнения Власова методом Ван Кампена 183

Оглавление
431
5.1. Присоединенное уравнение Власова 185
5.2. Полнота набора мод Ван Кампена 187
5.3. Решение начальной задачи методом разложения
по собственным функциям. Сравнение с
решением Ландау 190
Литература 192
Глава 4. Неравновесные состояния кулоновской системы
с учетом корреляций между частицами 194
§ 1. Вывод кинетических уравнений из цепочки уравнений
ББГКИ 194
1.1. Основные положения 194
1.2. Уравнение Больцмана 204
1.3. Уравнение Ландау — Фоккера — Планка . . 212
1.4. Уравнение Боголюбова — Ленарда — Балеску 223
§ 2. Макроскопические уравнения 235
2.1. Уравнения моментов , получаемые из уравнения
Больцмана; метод Грэда 235
2.2. Вывод уравнений переноса из уравнений
Больцмана; метод Чепмена — Энскога 250
2.3. Вывод уравнений моментов из уравнения Бат-
нагара — Гросса — Крука (БГК) 262
§ 3. Обзор систематических методов 265
3.1. Теория Боголюбова 265
3.2. Распространение теории Боголюбова на плазму 274
3.3. Многовременной формализм 284
Литература 289
Часть П. Полностью ионизованная система при
наличии произвольного электромагнитного поля
Глава 5. Излучение отдельной частицы 295
§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля .... 295
1.1. Основные уравнения электродинамики . . . 295
1.2. Электродинамические потенциалы 298
1.3. Случай произвольного электромагнитного поля 303
1.4. Потенциалы Лиенара — Вихерта 305
§ 2. Общие соотношения для полей излучения 307
2.1. Мультипольное разложение поля с помощью
вектора Герца 307
2.2. Электромагнитное поле одиночного заряда 313
2.3. Угловое и частотное распределение энергии ,
излучаемой одиночным зарядом ....... 315
§ 3. Тормозное излучение 319
3.1. Классическое описание 319
3.2. Некоторые результаты квантовомеханического
рассмотрения 325
§ 4. Циклотронное излучение 330
Литература 339

432
Оглавление
Глава 6. Взаимодействие электромагнитных полей с системой
многих частиц : . . . . 340
§ 1. Основные уравнения 340
§ 2. Решение при наличии лишь многочастичных
коллективных корреляций 345
2.1. Основные уравнения и их линейное
приближение 345
2.2. Тензор проводимости и тензор
диэлектрической проницаемости 347
2.3. Дисперсионное соотношение 349
2.4. Электромагнитные неустойчивости 358
§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 361
3.1. Модель Даусона — Обермана 363
3.2. Описание процессов с помощью уравнения
Фоккера — Планка 377
§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц и
процессов излучения в одночастичном приближении.
Рассеяние света 384
4.1. Излучение плазмы , обусловленное отдельными
электронами 385
4.2. Рассеяние в отсутствие корреляций 394
4.3. Рассеяние при наличии корреляций ,
обусловленных коллективными эффектами 396
4.4. Применение флуктуационно-диссипационной
теоремы 404
§ 5. Процессы переноса излучения 404
5.1. Уравнение переноса излучения 404
5.2. Замечания по поводу граничных условий . . . 408
Литература 412
Приложение. Характерные параметры плазмы 414
Предметный указатель 424
Г. Эккер
ТЕОРИЯ ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ
Редактор А. Н. Куксенко
Художник В. И. Шаповалов Художественный редактор Е. Н. Самойлов
Технический редактор Л. П. Бирюкова Корректор Е.Г.Литвак
Сдано в набор 23/XI 1973 г. Подписано к печати 29/IV 1974 г.
Бумага № 1 84хЮ8Уз2=6 , 75 бум. л. 22 , 68 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 21 , 24.
Изд. № 2/6983
Цена 2 р. 28 к. Зак. 01291
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва , 1-й Рижский пер. , 2
Ордена Трудового Красного знамени Московская типография № 7
«Искра революции» Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств , полиграфии и книжной
торговли.
Москва , К-1 , Трехпрудный пер. , 9