/
Автор: Кадомцев Б.Б.
Теги: физика плазмы физика колебания сборник статей физические явления
Год: 1985
Текст
ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ПЛАЗМЫ
СБОРНИК НАУЧНЫХ СТАТЕЙ
ВЫПУСК
14
Под ред. академика
Б. Б. Кадомцева
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1985
УДК 533.9.01
Вопросы теории плазмы: Сб статей. Вып. 14/ Под ред-
акад. Б. Б. Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1985, 232 с.
Приведены обзоры по теории солитонов, циклотронным
колебаниям равновесной плазмы.
Для научных работников и инженеров.
Ил. 71. Библиогр. 267.
Редколлегия: А. А. Галеев, В. В. Параил»
О. П. Погуце, Д. Д. Рютов
1704040000-429 _ „ ,.„_
Своди, пл. подписных изд. 1984 © Энергоятомиздат, 1985
051@1)-85
СОЛИТОНЫ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
В. И. Петвиашвили, В. В. Яньков
Введение
Хорошо известно, что высокотемпературная плазма бывает не-
неустойчива относительно возбуждения разнообразных колебаний.
В случае возбуждения большого числа степеней свободы говорят,
что плазма турбулентна. С конца 50-х годов изучение турбулент-
турбулентности стало основным направлением в теории плазмы, что внача-
вначале привело к созданию теории слабой турбулентности. Уравнения
теории слабой турбулентности получаются усреднением по случай-
случайным фазам взаимодействующих волн. В последнее время стало
ясно, что для турбулентности очень существенна корреляция фаз,
приводящая к появлению структур. Структуры могут возникать в
вязкой жидкости, когда возбуждается всего несколько степеней
свободы, — таковы ячейки Бенара в подогреваемой жидкости,
ячейки Стюарта в жидкости между вращающимися цилиндрами.
Другим типом хорошо известных структур являются разрывы, в
обычной гидродинамике представленные ударными волнами и гре-
гребешками гравитационных волн на воде, а в плазме — самофоку-
самофокусировкой световых пучков и ленгмюровским коллапсом.
Данный обзор посвящен третьему типу структур — солитонам.
Солитоном будем называть устойчивое образование, локализован-
локализованное в пространстве и описываемое гамильтоновыми уравнениями.
Солитонные решения нелинейных уравнений для волн на мелкой
воде рассматривались в конце прошлого века Кортевегом и де
Фризом; в современную физику плазмы они были введены
Р. 3. Сагдеевым.
Важная роль частных решений в виде солитонов общепризна-
на. Она определяется тем, что обычно солитон является устойчи-
устойчивым образованием, поэтому возмущения в средах, где возможны
солитоны, имеют тенденцию распадаться на солитоны и свободные
волны. Главным свойством солитона является его устойчивость,
хотя существенна и локализованность в пространстве. Дисперси-
Дисперсионное расплывание пакета волн в солитоне сдерживается нели-
нелинейной корреляцией фаз. Устойчивые гидродинамические вихри
не имеют универсальной формы из-за бесконечного набора интег-
интегралов вмороженности, но в остальном играют ту же роль,
что и солитоны, поэтому они также рассматриваются в обзоре.
Поведение солитонов в уравнениях, решаемых методом обратной
задачи рассеяния (МОЗР), описывается хорошо развитой мате-
математической теорией и поэтому в данном обзоре не обсуждается,
хотя приводятся способы обнаружения таких уравнений.
3
Обзор общих вопросов турбулентности плазмы можно найти в
[1—4]. Авторы стремились написать настоящий обзор так, чтобы
он был пригоден для первого ознакомления с вопросом и в то же
время заметно отличался по содержанию от известных обзоров по
солитонам [5—11].
1. Простейшие солитоны и интегралы движения
Существуют два подхода к отысканию солитонных решений:
1) непосредственное нахождение локализованных решений урав-
уравнений; 2) отыскание минимума энергии при фиксированных ос-
остальных интегралах.
Уравнения одномерных стационарных волн нередко удается ре-
решить в квадратурах. Такая возможность существует благодаря
тому, что для волн, стационарных в некоторой системе координат,
закон сохранения импульса имеет простой вид <I>(x)=const, где
Ф-—поток импульса в точке х. Если волна в диспергирующей
среде характеризуется некоторой величиной и(х), то выражение
для Ф(х) должно содержать производные по х. Одно из простей-
простейших выражений
ф(*) = (ц,)»+/(и)=с, A.1)
где f(u)-+-O. Уравнение A.1) легко интегрируется:
и-иО
Решениям, убывающим при х->±<х>, очевидно, соответствует слу-
случай с=0, так что поток импульса равен нулю всюду. Посмотрим,
как возникает уравнение A.1) из уравнения К.ортевега — де Фри-
Фриза (КдФ)—фундаментального уравнения теории слабодисперги-
рующих волнт
т-\-иих+иххх=0. A.3)
Это уравнение описывает волны, дисперсия которых близка к
звуковой, если перейти в систему координат, движущуюся со ско-
скоростью звука. Таковы волны на мелкой воде, ионно-звуковые вол-
волны в плазме и многие другие. Ищем решение в виде и{х—c\t),
при этом A.3) превращается после интегрирования в
ихх=С2+сц1—и2/2. A.4)
Роль константы с2 сводится к преобразованию и-^-аи-\-Ъ, поэтому
положим с2=0. Уравнение A.4) имеет вид уравнения Ньютона
для частицы, движущейся в заданном потенциале, если и рас-
рассматривать как координату, а х — как время. Поэтому A.4) име-
имеет интеграл «энергии»:
(«,O2 + J(uV2-*lU)<fo = <v A.5)
Заметим, что мы пришли к уравнению A.1), где f(u)=u3/3—С\и1.
Мы специально начали изложение с формулы A.1), чтобы под-
4
черкнуть, что понижение порядка урав-
уравнений A.4)->-A.5) не случайно; оно свя-
связано с законом сохранения потока им-
импульса. При использованном выборе /(«)
уравнение A.2) интегрируется в эллип-
эллиптических функциях, но исследовать реше-
решения удобнее, рассматривая график «по-
«потенциальной энергии» f(u)/2 (рис. 1.1).
Финитному движению, при котором
частица заключена в потенциальной яме,
соответствуют имеющие физический
смысл [при которых и(х) не обращается
\У
Рис. 1.1. График «потен-
«потенциальной энергии» для
уравнения КдФ
в бесконечность] решения, при этом и(х)—периодическая волна,,
период которой стремится к бесконечности, когда «энергия» час-
частицы стремится к нулю и когда она почти все время х проводит на
вершине барьера. Именно этот случай, при котором и->0 при х-+
->-±°о, соответствует солитону, при этом с=0 и A.2) дает
и=
—, ¦ х' = х — c.t.
2) 1
A.6),
Если сохранить константу сг в формуле A.4), то солитонное ре-
решение при х—н+оо будет стремиться не к нулю, а к константе.
Например, для волн на мелкой воде это означает, что рассмат-
рассматривается возмущение, изменяющее начальную глубину жидкости.
Вернувшись к формуле A.6), видим, что с ростом отличия
скорости солитона от звуковой его амплитуда растет, а ширина
уменьшается. Это, впрочем, видно и из исходного уравнения A.3) „
если потребовать, чтобы все члены в A.3) были одного порядка.
Нелинейность в отсутствие дисперсии привела бы к опрокидыва-
опрокидыванию волны. Солитонное решение соответствует балансу дисперсии
и опрокидывания.
Уравнение КдФ — фундаментальное для описания трехволново-
го взаимодействия волн, дисперсия которых близка к звуковой.
Для четырехволнового взаимодействия высокочастотных волн та-
таким является нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)
\Et+Exx=— \Е\2Е. A.7)
Это уравнение описывает ленгмюровские волны при групповой
скорости, значительно меньшей скорости звука, и многие другие..
Отыскивая решения в виде E=E'exp[i(at-\-kx)], обнаруживаем,
что уравнение для Е' приводится к виду A.2): /(?') = (<»—^)Х
Х(?'J—'(?'L. Это уравнение также интегрируется в эллиптиче-
эллиптических функциях. Если изобразить «потенциальную энергию» /¦(?')¦
(рис. 1.2), то видно, что в отличие от КдФ при любой «кинетиче-
«кинетической энергии» движение финитно, причем при а—?2<0 (именно
этот случай изображен на рис. 1.2) существуют два типа перио-
периодических решений а и ft, в качестве общей асимптотики имеющие
солитон:
т-*«=_х\ A.8)
&
При заданной амплитуде солитоны A.8) могут двигаться с
любой скоростью, так как НУШ галилеево инвариантно.
Существует также метод анализа, основанный на рассмотре-
рассмотрении фазовой плоскости. Для этого в координатах Ех, Е изобража-
изображают линии уровня потока импульса. Для случая НУШ при со—/г*<0
фазовый портрет приведен на рис. 1.3. Солитонному решению со-
соответствует сепаратриса, разделяющая две области периодических
в пространстве волн и входящая в точку Ех=0, Е=0.
Рис. 1.2. График «потенциаль-
«потенциальной энергии» для НУШ (слу-
(случай отрицательной частоты)
Рис. 1.3. Фазовый портрет
НУШ в случае отрицатель-
отрицательной частоты
Итак, мы рассмотрели локализованные решения уравнений ти-
типа A.2). Чем они выделены физически? Мы уже знаем, что соли-
тонные решения соответствуют нулевому потоку импульса. Го-
Гораздо более важно, что солитон минимизирует (или максимизиру-
максимизирует) энергию при заданном втором интеграле движения (импульсе
для КдФ, числе волн для НУШ) и этим отличается от стационар-
стационарных решений в виде периодических волн. Действительно, НУШ «
КдФ сохраняют энергию, так как они гамильтоновы:
i Et = W/ЬЕ*; Н = [ {ЕХЕХ — I ЕЕ* Г/2) dx;
' дх 8и J V 2 ЗУ
A.9)
A.10)
(более подробно этот вопрос рассмотрен в [10, с. 44]. Помимо со-
сохранения гамильтониана Н, A.9) сохраняет также число волн
ЛГ = Г Е\Ых,
A.11)
что связано с инвариантностью Н относительно замены Е—>-
—>-?exp(ia). Проще всего в сохранении N убедиться прямым диф-
дифференцированием N по времени. Оба гамильтониана, A.9) и
A.10), трансляционно инвариантны, поэтому сохраняется импульс,
который для уравнения КдФ имеет вид
Р = \иЧх. A.12)
Выбирая волновой пакет в виде плавного горба достаточно боль-
большой ширины, можно добиться отрицательности гамильтонианов
при любом числе волн N или импульсе Р. Если теперь начать
уменьшать ширину пакета при сохранении jV, to будет расти от-
рицательный член в гамильтониане A.9), но положительный будег
расти еще быстрее. Это означает, что существует минимум га-
гамильтониана при фиксированном Р; соответствующее ему решение
и называют солитонным. Можно строго доказать ограниченность
гамильтониана снизу и тем самым, с учетом его отрицательности
на пробных функциях, существование нетривиального абсолютно-
абсолютного минимума. (Нетривиальность гарантируется отрицательностью'
на пробных функциях.) Впервые этот способ был применен
В. Е. Захаровым и Е. А. Кузнецовым для доказательства сущест-
существования трехмерного ионно-звукового солитона в магнитном поле'
[12]. Проиллюстрируем его на примере НУШ. Оценим гамильто-
гамильтониан снизу. Имеем интерполяционное неравенство
) (\y. A.13).
Обозначая J | Exfdx — T, получаем
откуда очевидно существование минимума Я при фиксированном
N, Этот минимум, вообще говоря, может не достигаться на глад-
гладких решениях, но для систем с конечным числом фиксированных
интегралов эта трудность не возникает (подробнее см. § 15).
Метод Захарова — Кузнецова применим и в неодномерном-
случае. Приведем сравнительно громоздкий пример [13], в кото-
котором рассматривается двумерный аналог уравнения КдФ [14]:
Это уравнение можно записать в гамильтоновом виде:
дх .«' 2 ^ 2
/dV; /2 = ] WyCTr, /3 = ] Й!г; wx = u.
Помимо гамильтониана уравнение A.15) сохраняет импульс
Р=\игйгг. A.17)
Оценим единственный отрицательный член в гамильтониане f «3dV<.
J aVV < 4 (J «2dVI/2 j ulfr (J teigd
(подробнее см. в [13], откуда /3<2Р3/4/!/2/У2,
+ C/2) /2 - 2Р3/4/1/2/У4 5= - B/3) Р3).
Гамильтониан ограничен снизу при фиксированном Р, его ми-
минимуму соответствует двумерный солитон, численно обнаружен-
обнаруженный в [15], а аналитически — в [16].
7
2. Солитон — статистический аттрактор
Солитон реализует минимум энергии, поэтому произвольное
начальное возмущение эволюционирует к состоянию солитоны+
+свободные волны.
Солитон — весьма частное решение даже в классе стационар-
стационарных решений и может играть в турбулентности важную роль,
лишь если является притягивающим решением. (В каком смыс-
смысле— уточним далее.) Обратимся к аналогии. Механическая си-
система, например шарик в потенциальной яме, стремится к состоя-
состоянию устойчивого равновесия лишь в том случае, если есть воз^
можность сбросить энергию в другие степени свободы. Таким об-
образом, стремление системы к минимуму энергии на макроскопи-
макроскопической степени свободы связано с тенденцией равнораспределения
Рис. 2.1. Распад системы одномерных
волн на невзаимодействующие подсисте-
подсистемы (изображены две подсистемы):
сплошная линия—дисперсионная кривая леиг-
мюровских волн; пунктир — и и к для звуко-
звуковых волн
энергии по степеням свободы и является термодинамическим
принципом. Поэтому необходимо рассмотреть термодинамику не-
нелинейных волн [17, 18]. Сделаем это на примере одномерных
ленгмюровских и звуковых волн. Эти волны можно описывать
уравнениями [19], многократно использовавшимися при числен-
численном моделировании,
iEt+Exx=nE; пи—пхх—\Е\*хх. B.1)
Отметим, что в рамках слабой турбулентности перекачка энер-
энергии в мелкомасштабные волны запрещена, поэтому система спо-
способна эволюционировать без затухания много характерных времен
Действительно, ленгмюровская волна может распасться на ленг-
¦мюровскую и звуковую, вторичная ленгмюровская волна также
может испытать распад, и так до тех пор, пока не получится вол-
волна, которая уже ни на что распасться не может. Обратные слия-
слияния в эту систему новых волн не вводят, и система распадается
на ряд невзаимодействующих подсистем (рис. 2.1). Учет нелиней-
нелинейных сдвигов частоты в солитоне приводит « зацеплению подсистем,
но при длинах волн, в несколько раз меньших размера солитона,
¦слаботурбулентный спектр обрезается, и установление термоди-
термодинамического равновесия возможно.
Равнораспределение по гиперповерхности, заданной интегра-
интегралами движения, осуществляется в канонических переменных, по-
поэтому перепишем систему B.1) в виде
Н — Hnkwk-\-J:yrnklnk2nksGk1k, sin(aki—oiki — aks), B.2)
где (rtfe, ak) — канонические переменные. В пренебрежении нели-
нелинейными членами это переменные действие — угол, поэтому для
слаботурбулентного спектра можно получить функцию распреде-
распределения по числам заполнения. Для этого предположим, что сохра-
сохраняется энергия е=2п*со*=2е*, и введем одночастичную функцию
распределения
f(Bk)=cv(ek), B.3)
где v(Ek) —площадь гиперповерхности, выделенной условием
е=М0Т-гк. B.4)
Формула B.3) уже предполагает равнораспределение по гиперпо-
гиперповерхности B.4). Формы гиперповерхности при различных е& по-
подобны, лишь размер по каждой оси уменьшен в A—Ek/NoT) раз.
Отсюда
f Ш @) = A - **/ЛОТ« — ехР (- skJT). B.5)
Число степеней свободы выпало из анализа. Поскольку оно
велико и понижается интегралами движения ненамного, их мож-
можно учитывать независимо. Рассуждая, как и с энергией, учтем со-
сохранение импульса и числа легмюровских волн:
f(tik) =ехр [—'(cofe—©о+ЙУо) Т-1] nk. B.6)
Переходя к средним числам заполнения, получаем модифици-
модифицированный закон Рэлея— Джинса:
Nkl = J л* f (nk)dnk / \\{nk)dnk = Г/К + со0 + kva). B.7)
Распределение B.7) характеризуется по числу интегралов
движения тремя термодинамическими параметрами: Т, wo, v0. По-
Поскольку число звуковых волн не сохраняется, для звука
B.8)
Рассмотрим равновесие слабо турбулентного спектра с солито-
нами, играющими роль конденсированной фазы. Солитон — бес-
бесструктурное образование, полностью характеризуемое нескольки-
несколькими параметрами, поэтому (если расстояние между солитонами
много больше их размера) число солитонных степеней свободы
много меньше числа слаботурбулентных, так что энтропией соли-
тонов можно пренебречь и считать, что вся она заключена в сла-
слаботурбулентном спектре. В этом смысле солитон — макроскопи-
макроскопическая степень свободы, а свободные волны — микроскопические
степени свободы. Из формулы B.6) видно (S~\nV), что энтро-
энтропия растет с ростом энергии и числа волн в слаботурбулентном
спектре. Предположим, что полный импульс волн равен нулю,
т. €. 1^0=0. Переход некоторой части волн в солитон выгоден, если
выделяемая при этом энергия увеличивает энтропию слаботурбу-
слаботурбулентного спектра в большей степени, чем ее уменьшает потеря
части ленгмюровских волн. Термодинамическому равновесию со-
соответствует равенство нулю вариации фазового объема, пропор-
диональной 6(е-|-'Мйо)=О. Учитывая, что в солитоне энергия есть
функция числа волн, d&(N)/dN==A(xin, находим условие равнове-
равновесия:
Дй)„=—(о0. B.9)
Это — естественный результат. Плотность волн в B.7) обращает-
ся в бесконечность при со*=—соо, что соответствует конденсации
волн в солитоне, имеющем именно такой сдвиг частоты Дсо„. Бо-
Более интенсивные солитоны поглощают волны, а более слабые по-
постепенно испаряются под ударами волн, что ведет к увеличению
амплитуд солитонов при уменьшении их числа. Этот процесс улуч-
улучшает применимость сделанных предположений: система все лучше
разделяется на солитоны и слабонелинейные свободные волны.
Слияние солитонов термодинамически выгодно, так как при этом
выделяется энергия, уносимая свободными волнами, обратный же
процесс практически не идет.
Конечномерные гамильтоновы системы не могут иметь аттрак-
аттракторы— этому препятствует сохранение фазового объема. В беско-
бесконечномерной системе начальный фазовый объем неизмеримо мал,
поэтому система может притянуться к солитонному решению.
Термином «статистический аттрактор» мы подчеркиваем, что в
результате флуктуации солитоны могут распасться под ударами
слабонелинейных волн.
Распад системы на солитон и свободные волны можно рас-
рассматривать как фазовый переход, например, капля — пар, но это
равновесие отличается от равновесия капля — пар в двух отно-
отношениях:
1) солитон не имеет внутренних степеней свободы, а значит —
температуры, химического потенциала и других термодинамиче-
термодинамических характеристик. К системам с солитонами нельзя применять
доказательство невозможности существования фаз в одномерных
системах [20];
2) энергия связи волн в солитоне, играющая роль теплоты ис-
испарения, сильно зависит от амплитуды солитона. Такая зависи-
зависимость есть и в каплях жидкости, но там это поверхностный эф-
эффект, исчезающий с ростом капли.
Рост энергии связи с увеличением числа волн в солитоне при-
приводит к эффекту росы, заключающемуся в уменьшении числа со-
литоков из-за испарения слабых при росте сильных. Этот эффект
подтвердился при численном моделировании [21].
В приведенных рассуждениях специфика ленгмюровского со-
солитона практически не использовалась; аналогичное рассмотрение
можно провести и для других типов солитонов. Существует, на-
например, большое количество солитонов на ветвях колебаний, дис-
дисперсия которых близка к звуковой:
Для одномерных волн, распространяющихся в одну сторону,
•имеется два почти совпадающих интеграла движения — это энер-
энергия е и импульс волн р, умноженный на скорость звука cs. В ре-
10
зультате упрощения по методу КдФ обычно получают малую раз-
разность между интегралами движения бе (играющую роль гамиль-
гамильтониана) и грубо определенный интеграл, который можно рас-
рассматривать и как энергию, и как импульс. Для построения тер-
термодинамики достаточно зависимости энергии солитона от им-
импульса 6е(р), которую будем считать известной. Термодинамиче-
Термодинамически равновесное распределение свободных волн известно B.6):
-1}; Nk=T/((Dk+kv0). B.11)
Здесь Т и и— термодинамические параметры.
Варьируя In / с учетом связи между бе и р, находим условие
равновесия
6e/6p=w0. B.12)
Подведем итоги раздела. Термодинамическое рассмотрение
показало, что солитон в статистическом отношении является при-
притягивающим решением. В практически интересных ситуациях тер-
термодинамическое равновесие, как правило, отсутствует, однако раз-
разделение на солитоны и свободные волны все равно законно. Гак, в
обыденной жизни мы легко отличаем водяной пар от конденсата,
хотя влажность обычно далека от 100%. и никакого равновесия
нет. Направление процессов также правильно указывается термо-
термодинамикой и в отсутствие равновесия: при столкновении солито-
нов типична передача части энергии более интенсивному солитону
с испусканием свободных волн, а интенсивность солитонов растет
за счет уменьшения их числа.
В приведенном анализе предполагалось, что интегралы движе-
движения, связанные с МОЗР [10], отсутствуют. Поскольку эти интег-
интегралы, вообще говоря, устраняются малыми гамильтоновыми до-
добавками, появляющимися в следующих порядках теории возму-
возмущений, рассмотренные процессы могут йдги, хотя и замедленно,
и для систем, близких к точно интегрируемым. Для точно инте-
интегрируемых уравнений типа НУШ солитон не играет роли макро-
макроскопической степени свободы, и концентрации энергии в нем не
происходит. Если, например, начальное условие для НУШ задать
на всем пространстэе, а нелинейная энергия — порядка дисперси-
дисперсионной, решение не распадется на солитоны и свободные волны.
Точно интегрируемые уравнения можно находить методом Заха-
Захарова— Шульмана (см. § 11). Методы анализа уравнений, близких
к точно решаемым, рассматриваются в работах [22, 23] и цити-
цитируемой в них литературе.
3. Примеры получения упрощенных уравнений.
Многомерные обобщения уравнения КдФ, уравнение
МГД-волны, распространяющейся вдоль магнитного поля
Получим упрощенные уравнения волн акустического типа в
плазме. В отсутствие магнитного поля в плазме имеется лишь од-
одна ветвь такого типа — ионно-звуковая волна. Магнитное поле
существенно влияет на эту ветвь только на частотах меньших
11
или порядка ионной циклотронной частоты: появляются анизо-
анизотропия и циклотронный резонанс. Все же при одномерном распро-
распространении ионно-звуковая ветвь описывается уравнением КдФ.
Неодномерный же пакет ионно-звуковых волн в зависимости от
эффекта магнитного поля описывается одним из двух обобщений
КдФ на неодномерный случай [12, 14]. Кроме того, при наличии
магнитного поля в плазме имеются непотенциальные ветви акус-
акустического типа: магнитозвуковая и альфвеновская. При распростра-
распространении вдоль магнитного поля они отличаются друг от друга
направлением вращения плоскости поляризации и знаком диспер-
дисперсии. Однако под влиянием нелинейных эффектов, если они порядка
дисперсионных, эти ветви зацепляются друг за друга [24, 25]. Это
вызвано тем, что вдоль магнитного поля обе ветви имеют почти
^одинаковые скорости.
Рассмотрим сначала ионно-звуковые колебания, в которых
электрическое поле потенциально.
Пусть температура ионов много меньше электронной темпера-
температуры. Тогда уравнения движения и неразрывности ионов имеют
вид
<3v/<^+v/W=—(e/M)Vcp+g|>]; C.1)
drii/dt~\-dlv n,v=0. {6.2)
Здесь ф — электрический потенциал; Q — циклотронная частота
ионов; ?— единичный вектор вдоль магнитного поля; щ — плот-
плотность ионов. Электроны в ионно-звуковой волне распределены по
закону Больцмана:
пе=поехр(еф/Г). F.3)
Плотности электронов и ионов связаны уравнением Пуассона:
Дф=4яе(пе—щ). C.4)
Если магнитное поле пренебрежимо мало, то система C.1) — C.4)
дает дисперсионное уравнение:
c2s==t/M; D2=T/Dne2n0). C.6)
Выберем ось г в направлении распространения волнового па-
пакета. Пусть характерные волновые числа и амплитуда скорости
в пакете малы:
JfeD<l; *!<#, о «с,. C.7)
Второе неравенство C.7) означает, что пакет почти одномерный.
В процессе эволюции звуковые пакеты выходят на это неравенст-
неравенство из-за эффекта опрокидывания. С учетом C.7) дисперсионное
уравнение принимает вид
. C.8)
Ютсюда видно, что если ищем все величины в пакете как функ-
функции вида
v=v(z—cj, t, x, у), C.9)
12
то согласно C.7) зависимость от первого аргумента в ^(ШЗ) йудет
гораздо сильнее, чем от остальных. Поэтому в малых членах- мож-
можно положить d/dt=—csd/dz, а зависимость от второго и третьего
аргументов учитывать только в первом приближении. В C.9) v —
z-компонента скорости ионов в пакете, которая из-за потенциаль-
потенциальности и ввиду второго, неравенства C.7) много больше других
компонент. Ограничимся только квадратичными по нелинейности
членами, считая их порядка дисперсионных и дифракционных по-
поправок в C.8). Отбрасывая члены более высокого порядка и пе-
переходя в систему отсчета, движущуюся вдоль оси z со скоростью
cs, из системы C.1) — C.4) при Q=0 получаем одно упрощенное
уравнение. Надлежащим выбором единиц оно приводится к сле-
следующему безразмерному виду:
, 1- ]=±Д|«. (оЛО)
дг \ dt dz dz3)
Дифференцирование по t здесь проводится только по второму ар-
аргументу в C.9). Для ионного звука в правой части уравнения
получается минус, но имеются случаи, когда дисперсия положитель-
положительна, и тогда в C.10) стоит верхний знак. Так обстоит дело, напри-
например, с гравитационно-капиллярными волнами и с магнитно-звуко-
магнитно-звуковыми волнами, распространяющимися поперек магнитного поля в
плазме с конечной температурой ионов. Дисперсионное уравнение
для магнитного звука в этом случае имеет вид
Здесь Са — скорость Альфвена; магнитное поле направлено* под уг-
углом оси z.
Длина дисперсии, входящая в C.11), имеет вид
Таким образом, распространение магнитного звука под углом
к магнитному полю тоже описывается уравнением C.10), но в от-
отличие от ионного звука с верхним знаком в правой части. Поря-
Порядок всех членов в этом уравнении может быть одинаковым, и это
не противоречит неравенствам C.7).
Рассмотрим теперь трехмерный пакет ионно-звуковых волн
при наличии магнитного поля, направленного вдоль оси z, следуя
работе [12]. Пусть характерная частота в пакете много меньше
ионной циклотронной частоты Q. Тогда дисперсионное уравнение,
получаемое из C.1) — C.4), имеет вид
k2 г2!2У )
} C-13)
Почти во всех интересных случаях дебаевский радиус много
меньше гв- В этих условиях скорость колебаний ионов поперек
13
е
МО?
/Tfl
cs
2|
d
dz
" V i ?•
C.
C.
14)
15)
магнитного поля меньше, чем вдоль поля. Тогда из C.1) прибли-
приближенно
MQ
Считая еф/7<1, из C.4) получаем
Положим, что скорость пакета близка к са, а по направлению — к
оси z. Подставим C.14), C.15) в уравнение непрерывности C.2)
и в 2-компоненту уравнения C.1). После этого выразим щ, <р при-
приближенно через vz, что даст одно замкнутое уравнение относитель-
относительно vz. После приведения к безразмерному виду и перехода к си-
системе отсчета, движущейся вдоль магнитного поля со скоростью
ионного звука cs, получим [12]
^?. + «— + —= + А±— • C-16)
dt ' dz ^ dz3 + -1- dz K '
Как и в C.10), это уравнение в случае ионного звука имеет в
правой части знак минус. Однако для некоторых мод в правой
части может получиться зйак плюс. Продольную координату из-
измеряют в единицах D, поперечные координаты — в единицах г в.
Таким образом, звуковые волны в изотропных средах описы-
описываются уравнением C.10), а в анизотропных средах — уравнени-
уравнением C.16). Эти уравнения в отсутствие зависимости от поперечной
координаты переходят в уравнение КдФ и имеют одномерные со-
литонные решения. Методом, развитым в [14], нетрудно показать,
что в неодномерном пространстве это решение устойчиво при ниж-
нижних знаках в правых частях этих уравнений. При верхних же
знаках одномерное солитонное решение неустойчиво относительно
искривления фронта солитона. Такое различие вызвано тем, что
при выборе верхних знаков фазовые скорости бесконечно малых
возмущений вдоль оси z меньше скорости одномерного солитона;
при нижних знаках фазовые скорости вдоль z произвольны.
Когда одномерное солитонное решение неустойчиво, уравнения C.10), C.16)
допускают двумерные и трехмерные солитонные решения вида
u = f(z — АН, г±); /^ = х2+</2. C.17)
При подстановке C.17) уравнение C.16) переходит в обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение [12]:
r~*~ir'2~irf==f~f2; '2=z2+ri- <зл8>
Для простоты считаем Л = 1. Уравнение C.17) имеет солитонное решение, в ко-
котором f@) =4 и полуширина порядка 1,5 [12], Подставляя C.17) в C.10), по-
получаем уравнение
д*{ д2
14
которое существенно неодномерно. Поэтому его солитонное решение находится
численно методом стабилизирующего множителя [15].
В двумерном случае, когда <Э/<Э</=0, уравнение C.10) полностью интегри-
интегрируемо [16]. В случае положительной дисперсии в этой работе найдено аналити-
аналитическое выражение в виде двумерного солитона:
f= 12 C—22-fx2) C-fz2-f*2) -2. C.20)
Это решение согласуется с численным решением, полученным ранее в [15]. Дву-
Двумерные многосолитонные решения уравнения C.10) также имеют простой вид
[16]. Трехмерные решения этого уравнения и неодномерные решения уравнения
C.16) в аналитическом виде неизвестны.
Рассмотрим теперь распространение непотенциальных МГД-волн, частота
которых меньше Q, вдоль магнитного поля [24, 25]. Дисперсионное уравнение
этих волн имеет вид
<o=cAkI(l±rA\kz\/2); w<Q; rA=cA/Q. C.21)
Знак плюс в C.21) соответствует магнитозвуковой волне, электрическое
поле в которой вращается в направлении циклотронного вращения электронов,
нижний знак соответствует альфвеновской волне, в которой электрическое поле
вращается в сторону вращения ионов. При распространении вдоль оси z у этих
волн продольная компонента скорости возникает только из-за нелинейных
эффектов, поэтому нелинейность в этом случае кубическая. Найдем эту нели-
нелинейность, пренебрегая дисперсионными эффектами, которые возникают в C.21)
при учете инерции ионов в законе Ома. Тогда уравнения МГД имеют вид
C-23)
dt ' " dz j ' 2P dz x-
C.24)
"^- + -^(f2p)=O; Яг = const. C.25)
В малых нелинейных членах можно положить d/dt=—Слд/dz, тогда
1
f C-26)
Учитывая вид дисперсионной поправки в C.21) и переходя в систему отсчета,
движущуюся со скоростью Са, в пренебрежении малыми высшего порядка из
C.22) —C.26) получаем
J? ^ =0; x = Qt/2; S = z/rA. C.27)
Это уравнение имеет солитонное решение вида
h = Va]2 [exp ( — AK) + i ехр(Л?)] ехр (— i A4)ch~*BAK), C.28)
где А — амплитуда солитона.
15
В работе [26] показано, что уравнение C.27) интегрируется методом обрат-
обратной задачи рассеяния. Сравнивая с дисперсионным уравнением C.21), легко за-
заметить, что C.27) описывает смесь волн, вращающихся в сторону циклотронно-
циклотронного вращения электронов (магнито-звуковая компонента) и в сторону вращения
ионов (альфвеновская волна). Солитон C.28) также представляет смесь этих
ветвей. В пренебрежении дисперсией эти ветви образуют тороидальный солитон,
бегущий со скоростью Альфвена (см. § 7).
4. Численный метод получения солитонных решений
В большинстве случаев легко можно определить, имеет данное
уравнение солитонное решение или нет. Сложнее показать, как
будет спадать решение на бесконечности: степенным образом или
экспоненциально быстро.
Общая математическая теория этих вопросов в случае неодно-
неодномерных задач, если они относятся к неинтегрируемым, пока не
разработана. Здесь изложим два численных простых приема на-
нахождения солитонных решений, которые дают хорошие результа-
результаты на практике. Оба представляют собой модифицированный ме-
метод итераций (последовательных приближений). Уравнение соли-
тона с помощью преобразования Фурье — Бесселя, функции Гри-
Грина или как-нибудь иначе приводится к однородному нелинейному
интегральному уравнению вида
f=U[f]. D.1)
Здесь I — нелинейный интегральный оператор, зависящий от ко-
координат; % — некоторое собственное число задачи. Оно определя-
определяется из условия, что уравнение D.1) должно иметь достаточно
гладкое решение, стремящееся к нулю на бесконечности. Часто
может быть, что такое решение имеется при произвольном X. На-
Например, рассмотрим уравнение солитона, получаемое из двумер-
двумерного уравнения КП C.10), которое имеет вид
o^)FJLp =±-i. D.2)
дх? ду* дх* 1 дх2
Представим F в виде интеграла Фурье:
F = Jfkexp(ikr)dk. D.3)
Тогда D.2) приводится к виду
fk = GkNk; Gk = *!/(*'+ °ф;|
I D-4)
Выше упоминалось, что наличие солитонного решения можно
определить по простым признакам. Здесь это видно из выражения
G в D.4). Чтобы выражение D.3) было уединенным, требуется
уединенность fk. Но уравнение D.4) имеет уединенное гладкое ре-
решение только в случае, если его ядро G гладкое и уединенное, а
это достигается только при а=1, т. е. в случае положительной
16
дисперсии. С первого взгляда кажется, что D.4) решается мето-
методом итераций. Но оператор в правой части D.4) оказывается не-
сжимающим, и последовательность итераций, получаемая с по-
помощью ЭВМ, расходится. Для подавления расходимости в рабо-
работах [15, 27] разработан метод стабилизирующего множителя, с
помощью которого найдено решение уравнения D.2) в виде дву-
двумерного солитона. Метод состоит в следующем. Вместо D.4) ре-
решается уравнение
h=sGkNkSSI[f]; s=[lfkdk/^fkGkNkdk\". <4.5)
Стабилизирующий множитель s эффективно изменяет степень не-
нелинейности уравнения. Опытным путем установлено [15], что наи-
наилучшая сходимость достигается, когда степень нелинейности рав-
равна нулю, т. е. в данном случае, когда п=2. Уравнение D.5) дает
быстросходящуюся последовательность итераций по формуле
Ь+, = Ш; ^ = о, 1, 2...; |
j
при этом одновременно стабилизирующий множитель s с ростом
числа итераций стремится к 1.
В расчетах магнитных поверхностей в тороидальных плазмен-
плазменных ловушках применяется метод стабилизации сходимости по-
последовательных приближений, предложенный в [28]. Приведем
этот метод видоизмененным для однородных граничных условий
(применительно к уравнениям солитонов). Исходим из уравнения
D.1), которое перепишем в виде
Ф=о)/[сф/||ф||]. D.7)
Здесь со, с — постоянные, которые подбираются вместе с началь-
начальным приближением фо. Норма ||ф|| определяется аналогично нор-
норме в D.6). Проведя итерационную процедуру, аналогичную D.6),
приблизимся (если решение существует) к предельному выраже-
выражению фоо с соответствующей нормой. Сравнивая в этом случае D.7)
с уравнением D.1), получаем решение последнего в виде
/=сф»/|1ф«||; Х=сос/||фос||. D.8)-
Этот метод выгоднее применять, когда нелинейный член в урав-
уравнении солитона не имеет определенной степени нелинейности и
когда нужно искать собственное число задачи.
Если уравнение солитона сводится к обыкновенному диффе-
дифференциальному уравнению второго порядка, то эти методы по точ-
точности уступают другим. Если же нелинейное уравнение содержит
производные высокого порядка или оно дано в частных производ-
производных, его лучше решать одним из этих методов.
5. Устойчивость солитонов и периодических волн
Следует ясно различать устойчивость в линейном приближении
и «ляпуновскую» устойчивость. Если анализ, проведенный в ли-
2—67 1?
"нейном приближении, показал неустойчивость, — это надежный ре-
результат, который сохранится и при конечной, но малой нелиней-
нелинейности, а также при малой вариации членов в гамильтониане. Ес-
Если же анализ показал устойчивость, результат может измениться
при учете следующих членов разложения по амплитуде или иному
параметру. Помимо метода линеаризации существует также под-
подход, основанный на анализе законов сохранения. Если солитон
реализует максимум какого-либо интеграла движения при фикси-
фиксированных остальных интегралах, он устойчив и по отношению к
конечным возмущениям. Устанавливать максимум можно, напри-
например, методом Захарова — Кузнецова (см. § 1). Если же солитон
не реализует никакого максимума — это еще, вообще говоря, не
означает неустойчивость: может оказаться, что существуют упу-
упущенные при анализе интегралы, которые запрещают распад соли-
тона.
Можно сказать, что неустойчивость солитона лучше устанав-
устанавливать методом линеаризации, а устойчивость — анализом законов
сохранения.
Иногда солитон устойчив по причинам топологического ха-
характера, как, например, в работе [29]. Следует подчеркнуть, что
одной топологической нетривиальности недостаточно для сущест-
существования устойчивого солитона; результат зависит и от вида га-
гамильтониана (см. § 15).
Исследование устойчивости солитонных решений обычно проводят в рамках
уравнений, упрощенных по методу КдФ, что значительно облегчает анализ.
В случае недиссипативных систем об устойчивости солитонных решений
можно судить по количеству и свойствам интегралов движения. Обычно у упро-
упрощенных уравнений этих интегралов больше, чем у исходного, поэтому их реше-
решение может быть устойчивым, в то время как точное уравнение не имеет устой-
устойчивых решений. Это связано с тем, что в предельных условиях, при которых
обычно получается упрощенное уравнение, солитонные решения исходного урав-
уравнения слабонеустойчивы и при упрощающих предположениях эта неустойчи-
неустойчивость теряется. Другими словами, если у исходного уравнения кроме точных
интегралов движения имеются адиабатинеские инварианты, эти последние могут
стать точными интегралами движения при упрощении по методу КдФ. По этой
же причине у упрощенного уравнения иногда появляется солитонное решение,
которому нет аналога в точных решениях исходного уравнения.
Одно из первых исследований устойчивости солитона было проведено в ра-
работе [30] для нелинейного уравнения Клейна — Гордона -со степенной, нели-
нелинейностью (НКГ):
Дф—<Э2ф/дг2=<р— (<рф*)«ф. E.1)
Это уравнение сохраняет во времени интегралы — полную энергию Н и заряд Q:
Н = \ [ | df dt\* + | у? |М n* — (п*)п+1/(п + 1I dг; E.2)
. E.3)
Осциллирующее солитонное решение уравнения E.1) вида ф=/(г) ехр (—\Et),
где f обращается в нуль на бесконечности так, что интегралы E.2) — E.3) схо-
18
дятся, имеет условный экстремум Н при фиксированном Q. Вариационным ме-
методом в работе [30] доказывается, что /n-мерные солитонные решения в /п-мер-
ном пространстве устойчивы, если тп<2, а частота Е находится в интервале
тп/2<Е*<1; п>0. E.4)
Отсюда видно, что при росте амплитуды, что, как легко проверить, соответствует
уменьшению Е2, солитон теряет устойчивость.
В пределе малой амплитуды и малости |Дф| (что в релятивистской теории
соответствует малости кинетической энергии по сравнению с энергией покоя) иа
уравнения E.1) получаем нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). Для этого,
надо положить q>=t|)(r, t) exp (it) и, подставив это выражение в E.1), прене-
пренебречь второй производной if по времени. НУШ имеет сохраняющиеся интегралц
и солитонные решения аналогично НКГ. Как будет показано ниже, при анало-
аналогичном вариационном исследовании устойчивости солитонных решений НУЩ
условие устойчивости Пгп<2 сохраняется, однако устойчивость солитонных ре-
решений НУШ при нелинейности вида E.1) вообще не зависит от амплитуды. Эти
результаты были получены вариационным методом [31].
Приведем несколько измененное по сравнению с [31] исследование устой-
устойчивости 3-мерных солитонных решений НУШ. Это выявит ряд общих свойств,
присущих аналогичным решениям других уравнений.
Нелинейное уравнение Шредингера с произвольной нелинейностью имесг вид
Здесь U — нелинейный потенциал НУШ.
Это уравнение имеет следующие интегралы движения. Число частиц
= С
E.6;
и гамильтониан
Сохранение гамильтониана следует из гамильтоновской формы записи урав-
уравнения E.5)
idyk>/dt==oll/oil) . E.8)
Стационарные решения уравнения E.5) в общем случае имеют вид
о = ехр {![-(?,-*«)* +*г]}. / E"9)*
где к — произвольный постоянный вектор; Ео — постоянная энергия решения.
Подстановкой E.9) в E.5) получаем уравнение, которому должна удовлетво-.
рять i|H:
Дя|эо=— [?о—f (po) ] фо; Ро=^о2, E.10)
откуда видно, чт» ур0 — действительная функция. Зависимость t|H от координат
называют модуляцией по амплитуде, множитель а дает модуляцию решения по
фазе. Это уравнение может иметь решения в виде 3-мерных периодических волн
и 3-мерных сферически симметричных солитонов. Исследуем солитонные решения
E.10). Для наличия солитонного решения необходимо иметь потенциальную
яму в области малых р, что выполняется при условии, что U'<0 в этой окрест-
окрестности. Штрих обозначает производную по р. Для удобства положим ?/@)=0.
2* 19
В такой яме энергия солитона Ео отрицательна. Для удобства положим Ео=
= —А2. Солитонное решение устойчиво, если при таком решении гамильтониан
Н имеет условный минимум с условием постоянства числа частиц N. Тогда
малые отклонения от такого решения не будут расти неограниченно из-за поло-
положительности соответствующего отклонения гамильтониана от минимума как
функционала 6Ч|з. Исследуем, при каком U гамильтониан может иметь относи-
относительный минимум на стационарных решениях E.10). Для этого, очевидно, до-
достаточно, чтобы вторая вариация Н была положительной при всех отклонениях
i|) от стационарного решения, сохраняющих N постоянным. Действуя по Ла-
гранжу, составим функционал:
W=A2N-\-H, E.11)
где А2 — множитель Лагранжа.
Приравнивание первой вариации функционала E.11) нулю дает уравнение
E.10), где Ео~—А2. Возьмем вариацию в виде
¦ф=фо+б'ф; бф = ф1-|-1ф2> E.12)
где ф1, ф2> как и ij)o, — действительные функции. Фазовый множитель в E.9) не
влияет на результат, и его здесь можно опустить. Подставляя E.12) в E.11)
с учетом E.10), получаем
b*W = J (HLm + «p2z,0?2) dr. E.13)
где La, Lx — операторы:
Io= -A + Ug+A*,- U0 = U(p0); 1
L1 = LB+U0'p0. I
Здесь штрих обозначает производную по р. Условие постоянства N при вариа-
вариации E.12) в первом приближении дает
J
= 0. E.15)
Из сравнения уравнений E.10) и E.14) следует:
М>о=0; E.16)
?iVto=O; Lid^0/dA=—2A^ E.17)
"Видно, что г|H является безузловой собственной функцией оператора Lo, откуда
следует, что она есть функция основного состояния с минимальной энергией —¦
собственным числом оператора. Поэтому для произвольной функции фг имеем
O. E.18)
Теперь достаточно показать, что интеграл от первого члена в правой части E.13)
положителен, и тогда можно считать решение i|Jo устойчивым. Как видно из
,E,14), L\ отличается от La отрицательной добавкой, поэтому если бы не усло-
условие E.15), выражение E.13) заведомо было бы отрицательным и солитон — не-
неустойчивым.
Оператор L\ эрмитовский и имеет полную систему собственных функций %е
о собственными значениями Е, удовлетворяющими уравнениям
r = 8(E-E'). E.19)
Разложим т|)о и cpi по этой полной системе ортогональных функций:
? ?i = 2??Xr E-20)
Е
Тогда, подставляя эти разложения в E.13), с учетом E.18), E.19) получаем
62Ц7>^?| ?Е|2. E.21)
Е
С учетом E.19), E.20) из E.15) следует, что спектр функции <р не произволь-
произвольный, а должен удовлетворять условию постоянства ./V:
2(Р?Ф? = 0. E.22)
Е
Согласно первому уравнению E.17) оператор Li имеет собственную функ-
функцию VPo с нулевым собственным значением ?=0. Поскольку мы рассматриваем
безузловое решение уравнения E.16), то получается, что при ?=0 оператор L\
имеет решения с одним узлом. Отсюда следует, что Lx имеет одно безузловое
решение %е с собственным числом ?=?g<0, а все остальные собственные зна-
значения положительны. Подставляя <pg из E.22) в E.21), получаем
62№:&2'?|фЕ|2+(?я/|гЫ2) (З'ф***)*. E.23)
Здесь tyg —¦ коэффициент разложения -ф0 при функции основного состояния %g.
Заметим, что в виду ортогональности -ф0 к собственной функции состояния с ?=
=0, которая согласно E.17) есть V4>o> имеем \|)e|e=o=O, и суммирование 2'
я E.23) охватывает только состояние с Е>0.
Неравенство Гельдера дает:
B'фЕ-фЕ)^B'?|фя|2)B'|г|>Е|7?)- E.24)
Подставляя E.24) в E.23), получаем более простое неравенство:
в*1Р^-с»[Ц>«|7?«+2'1Ч>*|7?]. E.25)
Здесь, с учетом того, что ?«<0, величина с2 — положительная константа. Из
последнего уравнения в E.17) переходим к разложению по собственным функ-
функциям E.19):
Ед$Е/дА = —2Лт|)Е. E.26)
¦С учетом этого равенства E.25) принимает вид
с2 сч
it Ъ
E-27)
Здесь суммирование проводится по всем собственным состояниям. С помощью
первого разложения E.20) и выражения для числа частиц E.6) из E.27) по-
получаем условие устойчивости солитонного решения (условие положительности
второй вариации от W):
dN/dA>0. E.28)
Это и есть критерий Вахитова — Колоколова. Его наглядный смысл состоит
в следующем: для устойчивости достаточно, чтобы полная энергия солитона
росла при росте его амплитуды.
21
Рассмотрим частный случай ?/=—рп. Тогда, учитывая, что Ео——А2, полу-
получаем N~AWn-m\ где т — размерность пространства. Из E.28) следует, что при
степенном потенциале в /п-мерном пространстве солитон устойчив, если тп<2.
В противном случае солитонное решение в зависимости от вида начального воз-
возмущения или коллапсирует, или расплывается. В работе [31] рассмотрены са-
литонные решения E.10) при U=—p/(l-j-p). Это нелинейный потенциал, в ко-
котором с ростом амплитуды нелинейность насыщается. При малых амплитудах А
решение неустойчиво, так как насыщение не достигается и эффективно n=L
С ростом А степень нелинейности п эффективно уменьшается и солитон должен
стать устойчивым. На рис. 5.1 дается зависимость N от А2. Видно, что при таком,
потенциале трехмерный солитон становится устойчивым при Л2>0,08.
Рис. 5.1. Зависимость «числа частиц» .V от
амплитуды А в случае безузлового соли-
тонного решения уравнения E.16) с насы-
насыщающейся нелинейностью
Критерий E.28) имеет, по-видимому, большую общность, чем в доказанном
Случае, например в случае сложных операторов и отклонения от сферической.
симметрии, хотя бывает, что интегралы движения имеются, но строгого доказа-
доказательства устойчивости стационарных решений нет.
В работе [12] указывается, что в некоторых случаях наличие минимума Н~
при постоянстве N можно доказать, используя неравенство Гельдера
f иЧт \
u*dr
E.29>
и сравнительно мало известное неравенство (для двумерного и трехмерного про-
пространства соответственно)
ф|«</г<2
E.30>
(J
Этим способом в [12] доказана устойчивость найденного там же сферически-
симметричного ионно-звукового солитона в магнитном поле [см. уравнение
C.16)]. Солитон неустойчив, если при таком же, как у него, значении N су-
существует волновой пакет с меньшим, чем у солитона, значением гамильтониа-
гамильтониана Н.
Рассмотрим, например, устойчивость трехмерного солитона в уравнении KIL
Запишем это уравнение в виде
д
<5-32>
22
Здесь а= + 1 определяет знак дисперсии. Это уравнение сохраняет интегралы:
N=[ (du./dz)*dr; \
\ dz ) + (VJ-;X) + 3 { дг } \ Т' )
При 0=1, т. е. при положительной дисперсии, уравнение E.32) имеет двумерные
м трехмерные солитонные решения [15].' В трехмерном пространстве такие дву-
двумерные солитоны неустойчивы. Покажем, что и трехмерные солитонные решения
E.32) едва ли устойчивы.
Пусть трехмерное солитонное решение уравнения E.32) имеет вид ц=
=/(z—ct, г), где г, z — цилиндрические координаты; с — скорость солитона. Вве-
Введем новую функцию:
E.34)
Здесь |, г\ — некоторые малые параметры, моделирующие возмущения солитона,
такие, что число частиц Ы, как видно из E.33), остается таким же, как и у со-
солитона. Поскольку интегралы E.33) не меняются во времени, положим для про-
простоты ?=0. Подставляя E.34) в Н, видим, что гамильтониан есть функция ?, т|
Чзида
Высшие степени разложения отброшены. Поскольку солитонное решение осу-
осуществляет условный экстремум гамильтониана, имеется еще второе условие,
а именно Af=const. С учетом E.33) и E.35) из него легко получаем
Вп = 10/; В1г = — 8/; Вм = 21; \
E.36)
Таким образом, в трехмерном случае солитонное решение является лишь
седловой точкой в пространстве функции и поэтому оно, видимо, неустойчиво.
Приведенные рассуждения недостаточны для доказательства устойчивости со-
солитона, потому что рассматриваются не все виды допустимых вариаций.
Проблеме устойчивости солитонов посвящен подробный обзор [32].
Обратимся теперь к устойчивости периодических волн. Хорошо известно, что
монохроматическая периодическая волна, описываемая нелинейным уравнением
Шредингера, модуляционно-неустойчива [19, 33, 34]. Хотя нелинейные периоди-
периодические решения НУШ легко выражаются через эллиптические интегралы (см.
¦§ 1), их устойчивость долгое время не была исследована. Трудность связана
с тем, что в этом случае собственными функциями линеаризованной системы
¦являются не синусы, а функции Флоке, как и во всякой среде с периодически
зависящими в пространстве свойствами. Если период нелинейной волны равен
л/ко, то решение Флоке имеет вид
¦ф(*. t)=u(x) exp [i(b— <¦><)], E.37)
где ц(х) —периодическая в пространстве функция с периодом 2я/А0. которая
может быть представлена в виде
и (х) =Есп exp (inkox). E.38)
23
Если подставить так выбранное ip(*, t) в' линеаризованное уравнение Шредин-
гера и собрать члены при одинаковых экспонентах, получится бесконечная си-
система линейных уравнений для коэффициентов сп, а для исследования устой-
устойчивости необходимо найти собственные значения бесконечной матрицы. Если
ограничиться конечной, но достаточно большой матрицей, то ее собственные зна-
значения можно найти с помощью ЭВМ.
Весь описанный выше анализ выполнен в работе [35], где показано, чта
размер матрицы не влияет на неустойчивые корни, начиная с размера матрицы
19X19. Как и следовало ожидать, в периодической среде зависимости u>(k\
имеют зонную структуру. Интересным результатом этой работы является обна-
обнаружение устойчивой периодической волны. Устойчивость имеет место только,
для одного из трех типов периодических решений и не при всех значениях мо-
модуля эллиптической функции. Причина устойчивости может быть связана с пол-
полной интегрируемостью НУШ.
Экспоненциально малым оказался инкремент модуляционной неустойчивости
для периодической решетки солитонов, сильно удаленных друг от друга; этого
результата следовало ожидать.
6. Взаимодействие солитона со свободными волнами
В теории слабой турбулентности хорошо известна важная роль матричных
элементов взаимодействия волн. В сильной турбулентности с участием солито-
солитонов роль матричных элементов играют коэффициенты поглощения свободных
волн солитоном. Рассмотрим этот процесс на примере ленгмюровских солитонов;,
взаимодействующих с ленгмюровскими и звуковыми волнами. Рассмотрение бу-
будем вести на основе уравнений Захарова B.1):
dnit-css8nxx=(l/ie«M)\E\2xx, I
которые имеют хорошо известное солитонное решение [36]. Для неподвижного»
солитона
E=(E0/chk0x)exp{i[C/2)<ope(k0rDL]}, ко = еЕ/2УбТ. F.2)
Скорость поглощения солитоном монохроматической ленгмюровской волны
с излучением звука и скорость обратного процесса выбивания волн из солитона
взаимно связаны. Аналогичная связь хорошо известна в теории слабой турбу-
турбулентности — в конечном счете она следует из гамильтоновости уравнений. В со-
состоянии термодинамического равновесия скорости прямого и обратного процес-
процессов очевидным образом совпадают:
NhlvnQi=NhsvTSQ3. F.3)«
Здесь Vri.e — групповые скорости ленгмюровских и звуковых волн; Qi,s — коэф-
коэффициенты поглощения;
iV*;=r/(wfti+u)o); Nhs = T/mhs. F.4)
Волновые векторы ленгмюровской и звуковой волны связаны распадным со-
соотношением на частоты
C/2)o)p(^rz>J-C/2)(Op(Vi>J=^c.> F.5),
24
откуда по данному сдвигу частоты в солитоне находим vri и из F.3), F.4)
Qi=(clVri)Q.. F.6)
Теперь достаточно вычислить Qj; для этого найдем интенсивность звука, излу-
излучаемого биениями падающей ленгмюровской волны и солитона.
Рассмотрим «дозвуковой» случай ?;, ks<^.r~j^VmlM, когда длина волны
излучаемого звука много больше размера солитона, что сильно упрощает задачу.
В пренебрежении излучением звука амплитуда солитона осциллирует с частотой
расстройки.
Подставляя такое решение из работы [37] в уравнение для звука, находим
энергию, идущую на излучение звука, откуда получаем коэффициент погло-
поглощения
и темп роста солитона
Здесь Е — амплитуда падающей волны; ее искажением в зоне солитона пре-
небрегалось.
При k<^k0VM/m (korD) коэффициент поглощения F.7) превышает единицу,
что невозможно. Это означает, что поле падающей волны сильно искажается
из-за поглощения звука.
Коэффициент поглощения звука находится из F.6) и F.7):
(feor?)J -, / М Г / k \2 /я k \ 3u>p?korD
Q^ 6я—г I/ — +1 ch~2 . F.9)
krD V /и L Uo / J \ 2 k0 J cs
В противоположном, „сверхзвуковом" случае (koro ^Vm/M) можно считать
яму плотности солитона заданной, что упрощает рассмотрение — уравнение Шре-
дингера с потенциалом сп-'&ол: решается в гипергеометрических функциях (при
&=0 решение совсем простое: Е=А th kox). Однако темп такого процесса неве-
невелик, так как в сверхзвуковом случае длина волны излучаемого звука мала
{ks'S'ko), поэтому коэффициент поглощения экспоненциально мал. В этой ситуа-
ситуации нет смысла точно вычислять предэкспоненциальный множитель, и коэффи-
коэффициент поглощения, вычисленный в работе [38], имеет вид
Т ,, 1. F.10)
orD> J
п0' D
При сдвиге частоты в солитоне, большем, чем (op;, звук вообще не способен
унести энергию, выделяемую при поглощении ленгмюровской волны, поэтому
в [38] рассматривался четырехволновой процесс, при котором два ленгмюров-
ских кванта поглощаются солитоном и один излучается, унося избыточную
энергию. Этот процесс идет через виртуальное ионно-звуковое возмущение,
экспоненциально спадающее при и-»-±оо. Для этого процесса
т \ C/2) 1
26
Все приведенные результаты переносятся на электрозвуковые солитоны [7];
для этого достаточно в дисперсии ленгмюровских волн вместо тепловой скорости
электрона подставить с/гЗ, здесь с — скорость света.
7. Взаимодействие солитонов с частицами
Понятие фазового резонанса волна-частица сохраняет свою
роль и в случае солитонов. Нередко частицы можно описывать
обычным уравнением квазилинейной диффузии, а для солитонов
появляется система обыкновенных дифференциальных уравнений,
описывающих изменение интегралов движения.
Если скорость частицы велика по сравнению с приращением
скорости в поле солитона, а разброс фазовых скоростей волн в со-
литоне велик (это имеет место в высокочастотных солитонах), то
можно пользоваться уравнением квазилинейной диффузии. Если
же разброс фазовых скоростей отсутствует (как в трехволновом
солитоне или волне ВЧ-давления четырехволнового солитона), то
ситуация близка к затуханию Ландау линейной волны фиксиро-
фиксированных амплитуды и фазы.
В качестве первого примера рассмотрим линейное по амплитуде
волны взаимодействие быстрых электронов с единственным ленг-
мюровским солитоном [36]. Пусть солитон неподвижен и имеет
электрическое поле
Ei=A ch-1 (Ло*) sin (<x>Pt+a). G.1)
При пролете сквозь солитон электрона с начальной скоростью v0
он в первом приближении получает приращение скорости
00
yx = 'sejm) J E1(x-vot)dt^lEJip = mpv9. G.2)
Таким образом, изменение скорости электрона пропорционально
фурье-гармонике электрического поля, имеющей фазовую скорость,
равную скорости электрона. Если теперь предположить, что соли-
солитонов много и их фазы случайны, то для функции распределения
электронов f(v) можно написать уравнение диффузии с коэффици-
коэффициентом, пропорциональным v2iv, где v — частота столкновений с со-
литонами. С учетом G.2) такое уравнение совпадает с уравнением
квазилинейной диффузии [39]:
± = ^DIL. G.3)
dt dv dv '
D (v) = (ъе2Iт2) J E\ (»A — kv)dk, G.4)
а факт вхождения волн в солитон не очень существен. Заметим,
что для случая ленгмюровских солитонов большой амплитуды,
v^>aiJkQ, ?).—v~l и зависит только от числа солитонов, но не от их
амплитуды.
Воздействие электронов на солитон связано с модуляцией элек-
электронного пучка солитоном и дальнейшим воздействием модулиро-
26
ванного пучка на этот же солитон. Изменение энергии волн описы-
описывается уравнением
il = _f™!_Lz>-&<fo. G.5)
dt J 2 dv dv
Подставляя D—v~x и интегрируя по частям, что законно, если f{v)
описывает пучок, находим de/dt=Q [36], т. е. пучок испытывает
уширение, не усиливая солитоны. Если фазы соседних солитонов
скоррелированы, то пучок, модулированный одним солитоном, спо-
способен усиливать соседний солитон, при этом de/dtX) [40].
Может показаться, что учет корреляции фаз способен привести
к появлению в уравнении диффузии члена с динамическим трением
(djdv)Bf, ВФ const. Но это запрещено теоремой Лиувилля. Если
взять в качестве начальной функции распределения /=const, то
получим df/dt=fdB/dv=?O, но этого не может быть, так как пере-
перестановка различных участков функции распределения с последую-
последующим усреднением ничего не изменяет.
Квазилинейный подход редко применим для описания взаимо-
взаимодействия частиц с ионно-звуковыми и другими трехволновыми со-
литонами (подробные разъяснения см. в [41]). При анализе таких
задач полезно классифицировать частицы на захваченные, пролет-
пролетные и отраженные. Похожая ситуация имеет место при взаимодей-
взаимодействии ленгмюровских солитонов с медленными электронами и ио-
ионами через низкочастотные биения ленгмюровских волн. Как пока-
показано в [42, 43], солитоны тормозятся при отражении частиц от свя-
связанных с солитонами потенциальных горбов. При вычислении дли-
длины торможения следует учитывать сильное излучение звука тор-
тормозящимся солитоном (см. § 9). При обобщениях следует быть
осторожным — в случае торможения солитона на ионах, например,
надо учитывать существование двух типов ленгмюровских солито-
солитонов [44], один из которых представляет потенциальную яму и по-
поэтому при равномерном движении не тормозится на ионах (все
ионы пролетные).
Рассеяние частиц на биениях, созданных солитоном и свободной
волной, способно приводить к захвату волны в солитон, но этот
процесс, видимо, никем не рассматривался.
3. Излучение солитонами электромагнитных волн
Электростатические волны, составляющие солитон, могут сли-
сливаться, давая дипольное и квадрупольное излучения на кратных
гармониках.
Рассмотрим излучение локализованного сгустка ленгмюровских
волн на А'-й гармонике, предполагая фазовую скорость малой по
сравнению со скоростью света. В этом случае нелинейность можно
считать электростатической, и изменение дипольного момента, свя-
связанное с обменом импульсом между электронами и ионами,
27
описывается формулой
d = _^pe = -^p; = _-?!. Uv<P</V, (8-1)
т т J
т
где rii — плотность ионов; ф=1т„ „. x_^. . _„,,
Интегрируя по частям, приходим к формуле
Гг, (8.2)
имеющей два очевидных следствия [45]:
1) в однородной плазме суммарный импульс, переданный ио-
ионам электростатическим полем, равен нулю, поэтому излучение
квадрупольное;
2) учет вариации ионной плотности приводит к появлению ди-
польного излучения.
Квадрупольное излучение в фурье-представлении рассмотрено
в известных работах по теории слабой турбулентности [46, 47],
а в /--представлении — в [48, 49]. Дипольному излучению на сла-
слаботурбулентном языке соответствует процесс l-j-l±s-*-t; по срав-
сравнению с квадрупольным процессом /-)-/->-^-дипольный содержит до-
дополнительную малость ,Ьп/п, где 8п — вариация плотности в кавер-
каверне. Дипольное излучение доминирует над квадрупольным при
выполнении неравенства
дп/п>ф, (8.3)
где г — характерный размер сгустка; Я— длина излучаемой волны.
Квадрупольное излучение рассчитывалось в работе [49], дипольное
можно оценить из (8.2) с учетом ф^ — q\(vlv$)N~*, где v—осцилля-
торная скорость электрона в волне; Уф — фазовая скорость волн,
составляющих солитон. В приведенных выше формулах специфика
солитона отсутствовала; она появляется, если учесть связь между
v, r и Ьп. В результате выражение для интенсивности излучения
солитона на N-и гармонике принимает вид
Здесь первый член во вторых квадратных скобках соответствует
квадрупольному излучению, а второй — дипольному. Видно, что
для интенсивных солитонов дипольное излучение доминирует и
способно ограничивать их время жизни. При применении формулы
(8.4) следует проявлять осторожность в двух отношениях. Во-пер-
Во-первых, одномерный солитон не излучает, оценка (8.4) написана для
солитона с одним характерным размером г. В магнитном поле со-
солитон может быть дискообразным с большим размером R. В этом
случае правую часть уравнения (8.4) надо умножать на (Rfr)*.
Для применимости формулы необходимо выполнение неравенства
/?<СЯ. Во-вторых, дипольное излучение может обращаться в нуль,
если подынтегральная функция в (8.2) нечетна. Поскольку V«, фь
фз, Ф5 — нечетны, а ф2, ф4 ••• — четны, то дипольная часть излуче-
излучения на четных гармониках может обращаться в нуль.
28
Магнитное поле может оказывать влияние на излучение гармо-
гармоник, однако для рассмотренных в работе [50] случаев это влияние
невелико, и изложенный метод применим при описании излучения
электронно-циклотронных солитонов [51].
В заключение упомянем одну распространенную ошибку — ча-
часто не замечают, что дипольное излучение плазмы с однородным
ионным фоном отсутствует. Для дискообразного ленгмюровского
солитона, например в нулевом приближении по r/R, электростати-
электростатическое поле совпадает с полем одномерного солитона, а интеграл
от него по объему в кажущемся противоречии с формулой (8.2) не
равен нулю. Парадокс разрешается тем, что в первом приближении
по rjR вокруг солитона в радиусе порядка R появляется «ореол»—-
находящееся вне солитона электростатическое поле, энергия кото-
которого мала, но с его учетом обращается в нуль интеграл ( Edsr.
9. Высокочастотный солитон под действием медленно
изменяющихся возмущений
Нод действием внешних сил солитон может замедляться или-
ускоряться без разрушения, поэтому его движение можно описать
обыкновенным дифференциальным уравнением, играющим роль
уравнения Ньютона.
Одномерный высокочастотный солитон характеризуется двумя
интегралами движения — импульсом и числом волн. Уравнения для:
изменения числа волн получены в § 6, 7; здесь же рассмотрим из-
изменение скорости солитона. Сложность связана с наличием силь-
сильного излучения звука солитона, который может уносить почти весь-
переданный ему импульс. Следуя работе [52], рассмотрим ускоре-
ускорение ленгмюровского солитона на плавном градиенте концентрации
на основе уравнения Захарова B.1). Под положением солитона
будем понимать положение центра инерции
Дифференцируя (9.1) по времени и интегрируя по частям, полу-
получаем
Г | E\'dx?b-= (V±imdjc = _ f | Ef^dx. (9.2),
J ' dt* J dx J ' dx v '
В этом уравнении еще нет специфики солитона; оно описывает
произвольный ленгмюровский пакет. Специфика солитона прояв-
проявляется при расшифровке выражения для п{х, t). Возмущение кон-
концентрации плазмы п(х, t) можно разбить на три части: солитоннук>
(которая не дает вклада в ускорение), внешнюю и связанную с из-
излучением звука. В качестве первого приближения выберем соли-
солитон, движущийся с заданным ускорением. Тогда в уравнении
пи—пхх=\Е2\хх (9.3)
29)
будет известна правая часть и можно восстановить п(х, t) излу-
излученного звука [52]:
k0
I
(х- Г Vdx)
l J ^ggГ ' ' 11 (94)
ch260 fx— Г vdi\
Подставив пзв в (9.2), найдем выражение для ускорения солитона:
V — — V д'" _ с? + 5о2 и2 ^4 5n0 y. ,g ej*
в этой формуле для справочных целей восстановлена размерность:
-• (9-6)
Последний член в формуле (9.5) учитывает отдачу звука и доми-
доминирует, если амплитуда солитона не очень мала (ёп/п^т/М).
В результате ускорения в неоднородной плазме солитон прибли-
приближается к скорости звука лишь за бесконечное время (cs—v—t~l/3).
Уравнение (9.5) независимо было получено также Торнхилом
и Тер Хааром [53]. Если солитон находится в поле низкочастот-
низкочастотной звуковой волны, то он попеременно ускоряется и тормозится.
Результирующее среднее ускорение за много периодов было вычис-
вычислено В. В. Куриным и Г. М. Фрайманом [54]; оно направлено
.в сторону движения звуковой волны:
— Мэф V = ЯотрЯзв ' . (9.7)
dt 4 со 1 + kv/ta
Характеристики звука, излученного ускоряющимся солитоном,
подробно рассмотрены также в работе [55].
В формуле (9.5) в качестве причины, вызывающей ускорение
солитона, можно подставить и передачу импульса за счет затуха-
затухания Ландау. При этом, однако, начнет изменяться число волн в со-
литоне, что приводит к дополнительному излучению звука. Если
солитон неподвижен, звук излучается вправо и влево симметрично;
? обратном случае солитон ускоряется при затухании ленгмюров-
ских волн. Это хорошо видно в ультрарелятивистском случае
(c2s—»2<c2s), когда почти вся энергия находится в бегущей зву-
звуковой волне, в которую захвачены ленгмюровские волны, слегка
уменьшающие общую скорость движения. Естественно, что по мере
затухания ленгмюровских волн их скорость стремится к скорости
звука. В этом предельном случае ускорение солитона под действи-
действием затухания впервые рассмотрел В. И. Карпман [56].
В общем случае произвольных скоростей ускорение соли-
солитона при изменении импульса и числа волн описывается
30
уравнением
v==
dp
dt
lc
nc
50)
2 ,
+ 3p ; (9.8)
dt J
? |2 dx. (9.9)
Передача импульса солитону dp/dt нормирована на число волн_
10. Связанные многосолитонные состояния — мультисолитоны
Поправки к интегрируемым уравнениям типа КдФ или НУШ
могут дать качественно новые эффекты, так что их иногда следует
учитывать, даже если они малы. К таким поправкам относятся по-
поправки к дисперсии. Если поправочный член ослабляет дисперсию,,
солитон может стать неустойчивым или излучающим. Последнее
означает, что уравнение с поправкой может не иметь строго стаци-
стационарных уединенных решений. Если поправка усиливает диспер-
дисперсию, могут появиться мультисолитонные решения. Рассмотрим, на-
например, уравнение КдФ с поправкой к дисперсии. В стационарном
случае, когда решение уединенно и распространяется со скоростью
с, это уравнение имеет вид
$дЩдх*=0. A0.1)
Скорость с определяет и амплитуду солитона. Представим v в ви-
виде интеграла Фурье:
Тогда, преобразуя уравнение A0.1) по Фурье, получаем интеграль-
интегральное уравнение относительно Vh'.
$,vk_k.dk'; A0.3)
Отсюда видно, что, если C<0, то интегральное уравнение A0.3)
имеет ядро с особенностью при действительных k, и поэтому урав-
уравнения A0.1), A0.3) не могут иметь локализованных решений. При
Р>0 поправка усиливает дисперсию. Тогда, как видно из A0.1) —
A0.4), при 4|3с>1, т. е. при достаточно большой амплитуде, у со-
литонных решений появляются осциллирующие хвосты. В ямках
на хвосте солитона возможен захват других солитонов с близкими
скоростями (и амплитудами), так что возможно образование соли-
тонных цугов, состоящих из большого числа почти одинаковых со-
солитонов. Это явление было замечено В. В. Папко на радиотехни-
радиотехнической аналоговой модели уравнения A0.1) [57].
Дисперсионные поправки к НУШ также приводят к аналогич-
аналогичным мультисолитонам, только солитоны в мультисолитоне КдФ
бегут с одинаковой скоростью, а в мультисолитонах НУШ имеют
одинаковую скорость перемещения и частоту осцилляции. Здесь
31
«следует отметить, что в двумерном и трехмерном случаях НУШ и
¦без поправок имеет сравнительно сложные солитонные решения.
Эти решения зависят только от радиуса и многократно изменяют
знак прежде, чем исчезают экспоненциально быстро на бесконеч-
бесконечности [58] (рис. 10.1).
В работах [59, 60] был исследован интересный случай поправ-
поправки к НУШ в виде нелокальной нелинейности, вызванной дисперси-
дисперсией низкочастотной (звуковой) компоненты, когда вместо НУШ рас-
Рис. 10.1. Двухузловое солитонное решение
уравнения (г~1д/дг) (гд\р/дг) =\р—\р3
сматривается система, состоящая из уравнений высокочастотной и
низкочастотной компонент:
0; A0.5)
п— pArt=|i|>|2. A0.6)
Здесь усиление дисперсии имеет место, если р>0, т. е. при поло-
положительной дисперсии звука. Амплитуда Ф стационарного решения
A0.5) ip=cp(r) exp (iEt) удовлетворяет уравнению
АФ+(л—?)Ф=0. A0.7)
Как известно, при р=0 солитонные решения A0.6), A0.7)
ъ двух- и трехмерных случаях неустойчивы. Пользуясь критерием
Вахитова-—Колоколова, можно показать, что при р>0 солитоны
с достаточно большим значением Е становятся устойчивыми. При-
Примерно в этом же случае появляются решения в виде мультисолито-
нов. Согласно [60] мультисолитонные решения уравнений A0.6),
2 -
-2 -
Рис. 1U.2. Одномерное четырехсоли-
тонное решение системы уравнений
A0.6), A0.7):
— уровень Ф; п
Рис. 10.3. Двумерное двусолитонное
решение системы A0.6), A0.7) для
рельефов Ф
32
A0.7) появляются при р?>1. На рис. 10.2 показано одномерное
решение этой системы при р?=4, на рис. 10.3 — двумерные реше-
решения этой системы в виде бисолитона, а на рис. 10.4 — в виде чет-
четверного солитона.
В случае ядерного вещества трехмерные уравнения A0.5) —
A0.7) описывают взаимодействие нуклонов посредством потенци-
потенциала Юкавы. Здесь мультисолитонным решениям соответствует
ядро, состоящее из нескольких нуклонов. При этом систему урав-
Рис. 10.4. Рельеф п двумерного четырехсолитонного ре-
решения системы A0.6), A0.7)
нений следует дополнить соответствующим числу нуклонов услови-
условием нормировки и принципом Паули. При больших энергиях ($Е^>
3>1) первым членом в A0.6) можно пренебречь, и тогда вместе
с условиями нормировки получаем уравнение, описывающее куло-
новское самовоздействие волновой функции. В этом случае урав-
уравнение A0.6) есть уравнение Пуассона [60].
11. Методы обнаружения скрытнолинейных уравнений
Многие уравнения, описывающие нелинейные волны, после пре-
преобразования приводятся к линейным. Такие уравнения обладают
необычными свойствами, поэтому важно уметь их обнаруживать.
Общего метода здесь нет, но есть довольно действенные испытан-
испытанные правила.
Рассмотрим линейное уравнение диффузии
Если сделать нелинейную замену переменной вида
и=—2AпФ)«, A1.2)
то для и получается уравнение Бюргерса
щ+иих=ихх. A1.3)
Замена A1.2) была независимо предложена Коулом и Хопфом;
она позволяет дать полное аналитическое описание решений урав-
уравнения Бюргерса. Взяв простое линейное уравнение и сделав в нем
нелинейную замену переменных, каждый может получить сколько
угодно точно решаемых уравнений, но, как правило, они не будут
3—67 33
иметь физического смысла. Подстановка Коула — Хопфа и еще не-
несколько имеющих физический смысл примеров содержатся в [61].
Таким образом, свойства скрытнолинейных уравнений — это
свойства линейного «материнского» уравнения и нелинейного пре-
преобразования, с помощью которого замаскировали линейность.
Все известные скрытнолинеиные уравнения, имеющие солитон-
ные решения, относятся к классу решаемых методов обратной за-
задачи (МОЗР). Сложность этого метода связана с тем, что для
этих уравнений нелинейное преобразование является интегральным,
а не локальным [10]. В таких уравнениях солитоны обладают
свойством восстанавливать свою форму и амплитуду после про-
прохождения друг сквозь друга. В одномерном случае такую проверку
можно выполнить с помощью численного моделирования. Этот ме-
метод хорошо известен, так как именно с его помощью были заложе-
заложены основы метода обратной задачи [62].
Аналитический метод обнаружения уравнений, решаемых МОЗР, создан
В. Е. Захаровым и Е. И. Шульманом [63]. Бесконечные серии интегралов дви-
движения, встречающиеся в МОЗР, имеют нетривиальную квадратичную часть, по-
поэтому они должны быть и в слабой турбулентности, описываемой кинетическим
уравнением. Это означает, что на распадной поверхности, задаваемой в трех-
волновом случае уравнениями
k2), A1.4)
кожет быть задана функция f(k), для которой выполнены условия
f (*>)+/№) =/(*!+*2) (П.5)
и которая не является линейной комбинацией a>(k) и к, т. е. существует неза-
независимый интеграл движения I=)f(k)dx.
Размерность распадной поверхности в JV-мерном случае 2N—1, тогда как
/ — функция N переменных. Это означает, что уже в двумерном случае урав-
уравнение A1.5), вообще говоря, не имеет решений BJV—1>N). Такие дисперсион-
дисперсионные зависимости, по терминологии [63], невырожденны. Можно показать, что
в двумерном случае существуют и вырожденные законы дисперсии. Следуя
[63], параметризуем распадную поверхность соотношениями
Можно видеть, что теперь A1.5) удовлетворяется тождественно, если
f(k)=F(ky/kx+kx)-F(kv/kx-kx), A1.7)
где F((i)—произвольная функция. Действительно,
откуда следует A1.5). В частности, выбирая F(\i)=\i3, получаем дисперсионное
уравнение ti>=kx3+3k12/kx для линейной части уравнения Кадомцева — Пет-
виашвили, решаемого МОЗР [14]. Обобщение этой параметризации указано
С. В. Манаковым:
34
Выбирая f(*i)=ft(i.)-b(g3); f(b)=b(h)—b(b); f(fti+fea) = Ь(Ei)ЬFз), Убеж-
Убеждаемся в вырожденности при произвольных а(ц), &(|х). В. Е. Захаров и
Е. И. Шульман высказал гипотезу, что A1.8)—наиболее общая параметри-
параметризация в двумерном случае. При N>2 вырожденные законы дисперсии неизвест-
неизвестны. В [63] рассмотрен также случай нескольких ветвей колебаний. Е. И. Шуль-
Шульман показал [64], что дисперсия использованной в § 2 системы ленгмюров-
ские+звуковые волны невырожденна.
Методом Захарова — Шульмана показано, что дисперсия приведенных ниже
уравнений невырожденна:
>*-И>*х+1|>*у=-№21Ф; A1.9)
1фН-ф**—ф»»=|ф|2Ф- A1.10)
В этой связи удивительным выглядит результат численного моделирования
уравнения A1.10) ([65, рис. 6]). Уравнение решалось в квадрате с периодиче-
периодическими граничными условиями, и в широком классе начальных условий решение
с большой точностью возвращалось к начальному состоянию.
Одно из объяснений заключается в следующем. При решении в квадрате
линейное уравнение
iq>H-q>xx—ф!/у=0 (П-П)
относится к числу уравнений с кратным спектром, а>пт=Шо(я2—т2)> где п и
т — целые числа. При решении такого уравнения через время Г=2я/со0 все соб-
собственные функции в точности восстановят фазу и произойдет возврат к началь-
начальному условию. Если теперь сделать замену ф(*, t)=Nv(x, t), где N — произ-
произвольный оператор, не затрагивающий время, являющееся параметром, то и урав-
уравнение для v будет обладать свойством возврата. Возможно, что уравнение
A1.10) относится к этому классу. Заметим, что A1.10) описывает двумерные
квазигармоничные скалярные волны, дисперсионная поверхность которых a>(k)
имеет отрицательную кривизну, например гравитационные волны на глубокой
воде [66].
Линейное двумерное уравнение Шредингера также обладает кратным спект-
спектром при решении в квадрате, поэтому интересно было бы проверить уравнение
A1.9) на явление возврата.
12. Двумерные вихри в несжимаемой жидкости
В двумерной жидкости сохранение rot и вдоль траекторий при-
приводит к существованию устойчивых вихрей; по этой же причине
поток энергии направлен' в большие масштабы, и в результате тур-
турбулентной эволюции возникают крупномасштабные устойчивые
вихри.
В двумерной жидкости уравнение вихря принимает вид
drotv/dt=0. A2.1)
С учетом несжимаемости это приводит к бесконечному набору ин-
интегралов движения
jf (rot o)dV = const, A2.2)
3* 35
где / — произвольная функция. Большой набор интегралов затруд-
затрудняет образование разрывов, для уравнения A2.1) даже доказано
существование глобального по t решения [67].
Оценим поток энергии по масштабам, считая, что, как и в трех-
трехмерном случае, верна оценка ie^v3rr~l, которую перепишем в виде
е~ (rot vrJr2. В силу сохранения rot у вдоль траекторий rotiv не
может расти, и поток энергии в малые масштабы быстро убывает
с уменьшением г. В этих условиях поток оказывается направлен-
направленным в большие масштабы, и при достижении им внешнего разме-
размера турбулентной области могут появиться устойчивые вихри.
При исследовании устойчивости полезно использовать электро-
электростатическую аналогию, согласно которой rot v соответствует сохра-
сохраняющемуся заряду р. Тогда интегралы, связанные с инвариантно-
инвариантностью относительно сдвигов по времени, по пространству и относи-
относительно поворотов, имеют вид
И = J Р (/•¦) Р (',) In | г, - г, | dV/fr,; A2.3)
(r)rdV; A2.4)
/ = j p (r) r'd'r. A2.5)
Заметим что такая аналогия имеет и вполне непосредственный
физический смысл — по таким законам движется замагниченная
однородная плазма, когда основным членом в гамильтониане яв-
является энергия электростатического поля, а главный вклад в им-
импульс дает вектор Пойнтинга Р=с[ЕХВ]. Эти условия реализу-
реализуются при В2/8л>рс2. Практически такие условия встречаются
редко.
Пример 1. Из приведенной аналогии очевидно, что круглые вихри с мо-
монотонно спадающим до нуля ротором скорости устойчивы, поскольку реализуют
абсолютный максимум энергии. Действительно, энергия зарядов одного знака
максимальна, когда они прижаты друг к другу как можно теснее, а участки
жидкости с наибольшей плотностью заряда находятся ближе к центру. Этот
пример известен давно [68]. Заметим, что хотя в приведенном примере rot v
локален, скорость медленно убывает на бесконечности, так что энергия и момент
импульса расходятся. Однако выражения A2.3), A2.5) дают конечные значе-
значения, они как бы перенормированы, поэтому они удобнее.
Пример 2. Рассмотрим два круглых вихря из примера 1 с характерным
размером г, различающихся лишь знаком ротора скорости. По отдельности они
устойчивы, учет интеграла A2.4) означает, что сохраняется расстояние R между
центрами заряда вихрей и дипольный момент. Если теперь положить /•¦<•/?, то
энергия взаимодействия вихрей будет мала по сравнению с самовоздействием
каждого вихря, и максимум энергии реализуется на почти круглых вихрях со-
степенью эллиптичности r/R. Такой двойной вихрь движется по прямой, перпен-
перпендикулярной дипольному моменту.
Аналитическое решение для вихря такого типа содержится в [69]; его
устойчивость не исследована (r^R). Подобные вихри, но со ступенчатой завих-
завихренностью (rotu=+l, 0), исследовались в [70]; по результатам численного
моделирования вихри из приведенного там примера устойчивы.
36
Максимум энергии из примера 2 —не абсолютный, в чем убеждает следую-
следующий контрпример. Разделим один из вихрей пополам и перенесем половину
вокруг оставшегося вихря, после чего будем раздвигать вихри, сохраняя «ди-
польный момент». Из формулы A2.3) видно, что энергия при этом логарифми-
логарифмически растет.
Пример 3. Устойчивые вихри из примеров 1, 2 имели локализованный
ротор, скорость же убывала с расстоянием лишь степенным образом. Если по-
потребовать сохранения момента A2.5), то можно построить устойчивый вихрь,
в котором за некоторым радиусом скорость равна нулю. Таков круглый вихрь
со ступенчатым распределением завихренности p=iPi при 0<ir<rb р=рг при Г\<
<г<г2, Р=0 ПРИ Г>Г2- При условии rot v \ri2=—(r22—Ti2)TotV2 скорость обра-
обращается в нуль при г>Г2~, полагая Г2~3>г\, можно доказать устойчивость. Макси-
Максимум энергии, реализуемый этим вихрем, также не абсолютный, в чем можно
убедиться построением контрпримера.
При построении примеров 2, 3 кроме энергии сохраняли либо A2.4), либо
A2.5). Потребовав их одновременного сохранения, можно получить и более бо-
богатый набор устойчивых вихрей.
Рассмотрим процесс рождения вихрей. Пусть в неограниченной
области задано турбулентное пятно масштабом L. В результате
перекачки по масштабам через время т=1/и система должна рас-
распасться на глобальные устойчивые вихри масштабом L, существо-
существование которых показано. В таких вихрях на фоне усредненного
ротора существуют мелкомасштабные осцилляции rot v, которые,
однако, несущественны — в них содержится мало энергии. Ситуа-
Ситуация здесь напоминает положение с бесстолкновительным затухани-
затуханием Ландау в уравнении Власова. Рождение глобальных вихрей из
мелкомасштабной турбулентности наблюдалось в численных экс-
экспериментах [71], что навело Глэза на мысль о существовании ат-
аттрактора [72]. Как показано в § 2, для бесконечномерных систем
гамильтоновость не является препятствием для существования ста-
статистических аттракторов, поэтому не нужна предпринятая Глэзом
попытка объяснить рождение глобальных вихрей малой вязкостью,
не приводящей к полному затуханию турбулентности, но разреша-
разрешающей существование аттракторов. Малая вязкость действительно
сглаживает мелкомасштабные осцилляции rot v, но глобальные
вихри рождаются и без вязкости. В отличие от солитонов (см. §2)
для двумерной жидкости не удается провести корректное термоди-
термодинамическое рассмотрение. Этот вопрос обсуждается в § 13.
13. Проблемы конечномерных аппроксимаций
Для термодинамического описания турбулентности необходимо
вводить меру. На функциональных пространствах не существует
меры, поэтому ее вводят с помощью конечномерных аппроксима-
аппроксимаций. К сожалению, эти аппроксимации нередко плохо аппроксими-
аппроксимируют исходную систему. В частности, результат зависит от выбора
аппроксимации.
В § 2 была использована термодинамика для анализа асимп-
асимптотического поведения нелинейных волн. Аналогичный подход ис-
37
пользуется для описания эволюции в уравнении Власова [73] и
двумерной жидкости [74, 75]. У уравнения двумерной жидкости и
уравнения Власова много общего: в обоих случаях вдоль траекто-
траекторий сохраняется некоторая величина, сходно вводится гамильтоно-
ва структура [76], сходны проблемы аппроксимации, поэтому рас-
рассмотрим подробно только гипотезу Линден — Белла [73]—в дву-
двумерной жидкости проблемы те же самые.
Суть гипотезы заключается в том, что функцию распределения
f(r, v, t) можно разбить на макрочастицы или баллистические
моды. Если макрочастицы считать жесткими, то уравнения их дви-
движения конечномерны гамильтоновы, и в результате взаимодейст-
взаимодействия макрочастиц устанавливается равновесное распределение. При
учете только кинетической энергии устанавливается фермиевское
распределение, если размеры макрочастиц одинаковы. В предель-
предельном случае размеров макрочастиц, малых по сравнению с рассто-
расстоянием между ними, устанавливается максвелловское распределе-
распределение.
Недостаточность этих рассуждений в следующем. Пока на ха-
характерном размере функции распределения укладывается много
макрочастиц, аппроксимация дает удовлетворительную точность.
Однако термодинамическое равновесие устанавливается в резуль-
результате парных взаимодействий макрочастиц, когда характерный раз-
размер функции распределения порядка расстояния между макроча-
макрочастицами. В этих условиях аппроксимация незаконна, что проявля-
проявляется, например, в следующем факте. Если взять макрочастицы N
размеров, то возникнет Л^-максвелловское распределение
Поскольку при столкновении макрочастицы дробятся, распреде-
распределение утрачивает всякую универсальность. Дополнительной труд-
трудностью является стремление времени релаксации к бесконечности
при измельчении макрочастиц. Таким образом, для появления уни-
универсальных распределений в уравнении Власова не имеется доста-
достаточных оснований. По этой же причине недостаточно обоснована
теория термодинамики двумерной турбулентности, построенная
в работах [74, 75] с помощью аппроксимации точечными или ко-
конечными вихрями.
При попытке аппроксимировать двумерную завихренность
фурье-гармониками, как в [72], возникает проблема учета беско-
бесконечного набора интегралов вмороженности A2.2), а при построе-
построении термодинамики надо учитывать все интегралы. Тем не менее
термодинамика турбулентности двумерной жидкости верно указы-
указывает на тенденцию образования крупномасштабных вихрей, а по-
полученные с помощью термодинамики [75] вихри автоматически
устойчивы, а потому интересны.
Трудности с аппроксимацией встречаются не только при по-
построении термодинамики. Рассмотрим линейный звуковой пакет
в виде бегущего горба плотности. Нетрудно убедиться, что помимо
38
квадратичного по амплитуде импульса такой пакет имеет и линей-
линейный по амплитуде импульс
p1 = cs^n(x)dx, A3.2)
где п(х)—вариация плотности. Аппроксимируя пакет суммой
фурье-гармоник, у которых \k\^-e>0, обнаруживаем, что для сум-
суммы /?!=(), так как ^^пк((х = 0. Это связано с существованием
«ореола» у суммы фурье-гармоник (рис. 13.1). Таким образом, им-
импульс суммы фурье-гармоник не сходится к импульсу пакета при
Рис. 13.1. Аппроксимация горба
плотности суммой гармоник Фурье ¦
А
е-»-0. В теории слабой турбулентности гармоника k=0 отсутствует,
квадратичный и линейный импульсы сохраняются независимо.
В сильной турбулентности гармоника /г=0 принципиально присут-
присутствует в солитоне, поэтому, по-видимому, сохраняется лишь сумма
линейного и квадратичного импульсов, что следует учитывать при
анализе торможения солитонов на частицах (см. § 7). Возможно,
что это вводит новые эффекты.
14. Дрейфовые вихри в атмосфере и плазме
В данном параграфе рассмотрены солитоноподобные вихри на
ветвях волн Россби в атмосфере планет, потенциальных дрейфовых
волн и желобковых волн в плазме и электронной жидкости.
Экспериментальные данные показывают, что даже в спокойной
с виду плазме перенос теплоты нельзя объяснить парными столк-
столкновениями частиц. По-видимому, основная часть теплоты перено-
переносится конвекцией, возможно, из-за образования дрейфовых вихрей,
рассмотренных ниже.
Начнем с более наглядного случая мелкой атмосферы, которую
можно представить в виде несжимаемой жидкости на поверхности
вращающейся планеты. Если размер возмущений много больше
глубины жидкости Н, а частота много меньше параметра Кориоли-
са Q=2(oosina, где юо — угловая частота вращения планеты, a —
широтный угол, то эти возмущения описываются одним безразмер-
безразмерным уравнением
A4.1)
in(HJQ). A4.2)
/=0
Здесь ij) — относительное возмущение глубины жидкости; q— обоб-
обобщенная завихренность; ось х направлена на восток, ось у — на се-
39
вер, длина измеряется в единицах длины Россби rR =
время —в единицах 1/Q; g — векторная сумма гравитационного и
центробежного ускорений; Яо —невозмущенная глубина; 0 — ско-
скорость Россби. Если размер возмущения невелик, т. е. |Ai|?A|)|^ 1,
то можно положить qN=0. Тогда A4.1) называют обыкновенным
геострофическим уравнением. В работе [77] показано, что в обрат-
обратном случае необходимо вводить поправку, которая для жидкости
равна:
Яы=—$н№-?у*/2, A4.3)
где
й, Q о* Но
Уравнение A4.1) справедливо в достаточно узкой зоне широт
|рг/|<1, где применимо разложение по у— отклонению от задан-
заданной широты.
Внутренние волны, которые возможны на границе раздела меж-
между двумя жидкостями с близкими плотностями, если длина волны
много больше глубины жидкостей и если имеется сила Кориолиса,
также описываются уравнениями A4.1) — A4.3) [78], только g
надо заменить g6p/p, где р — плотность; бр—разность плотностей
нижней и верхней жидкостей. Уменьшается также характерный
размер дисперсии. В этой же работе дается доказательство устой-
устойчивости решений в виде солитонов-антициклонов методом, изло-
изложенным в [12].
Уравнения A4.1) — A4.3) описывают и потенциальные дрейфо-
дрейфовые волны в плазме [77], только в этом случае надо положить
т\)=е<(/Те, где ф—электрический потенциал; Те — температура элек-
электронов; Q — циклотронная частота ионов (считается постоянной);
$=д\ппо/ду; fiN=d\nTefdy, {$'=A//»<,) (d2fdy2)n0. За единицу дли-
длины принимается ларморовская длина: г2в=7У (ЛШ2), где щ — сред-
средняя плотность; М—масса ионов. Это уравнение получается в пред-
предположении малости частоты по сравнению ей и волнового числа по
сравнению с 1/гв. Кроме того, фазовая скорость вдоль магнитного
поля должна быть много меньше тепловой скорости электронов и
скорости Альфвена и много больше тепловой скорости ионов. Ха-
Характерный размер вдоль магнитного поля много больше попереч-
поперечного размера. В таких условиях плотность электронов распределе-
распределена по Больцману: п=щ{у) ехр {еу/Те(у)}. Это выражение счита-
считается равным плотности ионов и подставляется в уравнение нераз-
неразрывности ионов, выведенном в [88, формула G.44)]:
L nMQ.
40
где pi — давление ионов; ? — единичный вектор вдоль оси z и маг-
магнитного поля, что и дает выражение A4.1), если пренебречь про-
производной по z.
Согласно линейной теории [1, 88] дрейфовые волны в плазме
легко возбуждаются при различных неравновесных распределени-
распределениях частиц, если имеется механизм локализации дрейфовых волн
в области неустойчивости. Покажем, что нелинейность в A4.1) —
A4.3) приводит к такой локализации [77].
Стационарное решение A4.1), бегущее вдоль х со скоростью и,
имеет вид
q^Fft+uy); 4|)=ip(*—ut, у), A4.5)
где F — произвольная функция. Если выбрать F в виде квадратич-
квадратичной функции с соответствующими коэффициентами, то из A4.5)
получим
Р'-"Ы У212. A4.6)
Это уравнение имеет «круглое» солитонное решение, если u=$f/fiN
и если амплитуда а2=1—р/ы положительна. Из условий примени-
применимости уравнения A4.1) следует, что амплитуда должна быть мно-
много меньше 1. Отсюда видно, что стационарные дрейфовые солито-
ны могут возникнуть не всюду, а только на определенных участках.
При этом все параметры солитона зависят от локальных парамет-
параметров среды. Если последний член A4.6) отличен от нуля, но мал,
то солитон испытывает слабую накачку или затухание, которое
может быть скомпенсировано соответственно диссипацией или
подкачкой за счет кинетической или другой неустойчивости
в плазме. Как показано в [89], слабый зональный поток во вра-
вращающейся жидкости также может скомпенсировать эту нестацио-
нестационарность. График решения A4.6) без последнего члена приведен
в [78]. Размер солитона порядка 1/а. Если а3/и>1, то жидкость
в области максимума солитона переносится вместе с солитоном.
Это аналогично наличию в волне захваченных частиц [3, 4].
Уравнение A4.1) сохраняет во времени интегралы
A4.7)
=-$ 1Ш + A + М) f 1ds> ds
Y=\yqis; /, [D] = U{q)ds.
J Ъ
Здесь D — произвольная область, граница которой перемещается
по A4.1) со скоростью v; / — произвольная функция. Решение
A4.5) дает минимум функционала — суммы интегралов A4.7)
с соответствующими множителями Лагранжа. Поэтому решение
устойчиво [89]. В этой же работе доказывается устойчивость соли-
тонных решений, найденных в [80]. Такие решения имеют место,
если в A4.2) можно пренебречь поправкой qN. Тогда у A4.1) по-
появляется новый важный интеграл X — f (х— §t)qds. Доказатель-
41
ство проводится вариационным методом. Вводится сохраняющий-
сохраняющийся во времени функционал
= J (Gq1 + <| + 2ш/<?) ds, qN = 0, A4.8)
где G=(l-|-^2)~1 в области D, перемещающейся со скоростью v;
вне этой области G=(l— и2), где х2=1—р/ы A4.8) имеет экстре-
экстремум на решениях уравнений
A4.9)
5=0; (x, y)<?D. A4.10)
Согласно уравнению A4.1) допускаются только такие вариации,
которые сохраняют площадь D. Это приводит к ty+uy—const на
границе D, т. е. граница перемещается со скоростью и. Сама об-
область D оказывается кругом с произвольным радиусом г0. Реше-
Решение A4.9) равно г|)—aI/o+6i/it//r-f-c«/, где /0, /i — функции Бесселя
от kr. Вне D решение A4.10) имеет вид: т^агДо+^гЯь где Ко,
К\ — функции Макдональда от -кг.
Условие непрерывности скорости приводит к связи между ко-
коэффициентами а, Ь, с и к дисперсионному уравнению [80]
—Ы{ (kro)JJ2 (kr0) =kKi (xr0) /K2 (кго), A4.11)
которое связывает параметры решения друг с другом. Для устой-
устойчивости решения достаточно 62W>0. Согласно [89] при ограни-
ограниченном классе вариаций 6#, которые не меняют интегралы движе-
движения X, Y, iqds и для которых 6(v-V^) всюду конечно, это усло-
Ъ
вие выполняется, если а.\=?0, т. е. когда q терпит разрыв на гра-
границе. В случае если ai=0, т. е. когда решение антисимметрично по
у и q непрерывно, выполняется лишь условие 62№^з=0.
В [77] указано, что дрейфовые солитоны можно создать в мел-
мелкой жидкости во вращающемся сосуде с параболоидальной фор-
формой дна, волны в которой также описываются уравнением A4.1).
В [79] в таком сосуде были получены солитоны размером много
больше rR, которые перемещались со скоростью, близкой к р.
В подтверждение теории [77] они оказались антициклонами, т. е.
вращение в них происходило против вращения сесуда, а поверх-
поверхность была выпуклая. Недавно был построен сосуд [81], в кото-
котором rR и глубина жидкости были значительно больше, чем в со-
сосуде, описанном в [79]. В нем были реализованы солитоны раз-
размером порядка гд, которые согласно теории [80] в зависимости от
начального возмущения были или циклонами, или антициклонами,
или парой циклон — антициклон.
Рассмотрим теперь желобковые дрейфовые волны, которые от-
отличаются от рассмотренных тем, что фазовая скорость вдоль z
много больше тепловой скорости электронов. Тогда имеем уравне-
42
ние неразрывности для электронов с1п/Ш-\-дпиге/д2=0, что совмест-
совместно с A4.4) дает
p ; dpjdt^Q; U = ln[B(y)[B@)].
Здесь;|, —-плотность электрического тока вдоль магнитного по-
поля; добавлен эффект неоднородности магнитного поля в виде без-
безразмерного потенциала U, который может привести к желобковой
неустойчивости [1, 88]. Как показано в [90], из уравнений Мак-
Максвелла следует
V,, /„ =(B.v/ll)/B = (c/4icfi)[Vi4, VA^1; dAJdt^Q. A4.13)
Здесь А — компонента векторного потенциала вдоль магнитного
поля; В^ =;[?, ЧА]. Таким образом, система A4.12) — A4.13) сно-
снова получилась двумерной (все величины зависят только от х, у).
В [91] показано, что при и=квУ система A4.12) имеет реше-
решение в виде вихрей Ларичева — Резника. В стационарном случае
ф=ф(д:—ut, у), если считать <р локализованной функцией, из
A4.12), A4.13) имеем
А=ВХ (у+Ци); р=р0 [ 1 +хР {у+ф) ]; Ч>=сф/В. A4.14)
Такой выбор А означает, что магнитное поле вдали от области
локализации <р имеет постоянный наклон в плоскости х, г. Под-
Подставляя A4.13), A4.14) в A4.12), в стационарном случае полу-
получаем
"«/Я ф = 'И*~- ut, у); |
Wo , Вх2 \ ,
п0Ми \ ' "~ п„МиЯ + 4wio,W«» ) — conSt'
io,
где F — произвольная функция; A4.15) эквивалентно уравнению
A4.5), если там ^=0. Выбирая F в виде кусочно-линейной функ-
функции, приводим A4.15) к A4.9), A4.10), решение которых, как упо-
упоминалось, выражается через функции Бесселя и Макдональда.
Таким образом, уравнение A4.12) имеет решение в виде дву-
двумерного вихря, наклоненного под малым углом Вх/В к основному
магнитному полю. Интересно, что потенциал U, приводящий к же-
желобковой неустойчивости, необходим для локализации этих же
волн. Возможно, развитие желобковой неустойчивости приводит
к образованию хаотического набора таких вихрей [91].
Посмотрим теперь, как возникает уравнение A4.1) в теории
электронной жидкости. Уравнение движения одной из компонент
в пренебрежении диссипацией и давлением имеет вид
v,+ (vV)v=(ea/ma) (?+[vXH]/c). A4.16)
Взяв от него ротор и подставив crotE=H(, сразу получим, чго
в каждую компоненту вморожен ротор обобщенного импульса:
rotp(=rot [vXrotp]; p=mv-{-eA/c. A4.17)
43
В крупномасштабных движениях вморожено магнитное поле;
в этом случае в обобщенном импульсе доминирует член е«А/с;
в мелкомасштабном (Я<с/а>ра) A4.17) превращается в уравнение
движения идеальной жидкости. Рассмотрим движения с масшта-
масштабом c/wpe<^<c/coPi. В этом случае ионы можно считать неподвиж-
неподвижными, скорости — нерелятивистскими, 4nJ=crotH. Тогда A4.17)
в безразмерных переменных приобретает вид (дополнительно счи-
считаем n=const)
(д/dt) (H+rot rot H)=rot [rot HX(H+rotrot H)]. A4.18)
Для конфигурации z-пинча, когда имеется лишь одна компонента
магнитного поля, #ф(г, z), в цилиндрических координатах и в пред-
предположении квазиклассичности A4.18) принимает вид уравнения
A4.1)
tf(?/++tf2/2)[V] УДЯ, A4.19)
имеющего солитонные решения.
Таким образом, инерция электронов останавливает образова-
образование разрывов. Солитоны такого типа могут образовываться не толь-
только в z-пинчах, но и в других конфигурациях, не имеющих шира.
Похожие солитоны также могут образовываться на ветвях потен-
потенциальных дрейфовых колебаний с учетом конечного ларморовско-
го радиуса частиц [9].
15. Трехмерные локализованные вихри в обычной и
магнитной гидродинамике
Имеются разнообразные стационарные вихри, однако в случае
идеальной жидкости ни для одного из них не удается доказать
устойчивость. В магнитной гидродинамике существуют устойчивые
вихри.
Начнем с рассмотрения уравнений-«близнецов»:
rotv;=rot [vXrotv]; A5.1)
vt=rot [vXrotv], A5.2)
где A5.1)—хорошо известное уравнение движения несжимаемой
невязкой жидкости; A5.2) —уравнение электронной магнитной ги-
гидродинамики, a v имеет смысл магнитного поля. Оба уравнения
сохраняют энергию, одинаково выраженную через v:
, A5.3)
однако канонические переменные вводятся по-разному [76]. Если
можно ввести канонические переменные Клебша
щ=—8HJ8K, A5.4)
то для уравнения A5.1) rotv=>[VA,XV|i], а для A5.2) v=[VA,X
XV]
n]
Нетрудно видеть, что стационарные решения уравнений A5.1)
и A5.2) совпадают, однако условия их устойчивости, вообще гово-
44
ря, различны. Это различие вызвано тем, что в A5.1) rotv вморо-
вморожен в v, а в A5.2) v вморожен в rotv.
Посмотрим, как возникают уравнения стационарных векторных
полей из вариационного принципа. Будем минимизировать энер-
энергию магнитного поля при единственном ограничении — div В=0.
Это означает, что вариация имеет вид 6B=rotA, где А — произ-
произвольный малый вектор, а
6 J (B2/2) dV — С В rot A dV = J rot BAdV = 0, A5.5)
откуда следует, что rot В=0, т. е. токи отсутствуют.
Наложим более сильное ограничение — потребуем вмороженной
эквивалентности полей В и В+бВ, т. е. 6B=rot [бгХВ], где бг —
произвольный малый вектор, тогда
S j (B'/2) dV = J rot В [8г X В] dV = J Sr [rotBXB] dV = 0, A5.6)
откуда BXrot: B=0; B=c(r)rotB; поле—бессиловое.
Наконец, наложим еще более сильное ограничение—вморозим В
в несжимаемую жидкость:
6B=rot [rot б АХ В];
S С (В2/2) d2r — \ rot В [rot 8AXB] dV =
= f rot8А [rotBXB] dV=J 8Arot [rotBXB] dV = 0, A5.7)
откуда
[BXrotB] = Vp. A5.8)
Топологическая классификация векторных полей, удовлетворя-
удовлетворяющих уравнению A5.8), принадлежит В. И. Арнольду [68, 82]. Им
было показано, что поверхности уровня р — тороиды (за исключе-
исключением вырожденных случаев), на которых линии В и rot В образу-
образуют винтовые обмотки. Если Vp=0 в конечной области, то инте-
интегральные линии могут плотно заполнять трехмерные области (это,
по крайней мере, не запрещено). Рассмотрим эту возможность по-
подробнее. Пусть [BXrotB]=0 в конечной области, тогда cB=rot В,
где с (г)—гладкая функция. Такие поля называют бессиловыми.
Согласно В. И. Арнольду [82] и в этом случае линии поля укла-
укладываются на двумерные торы, если с — не константа и В не обра-
обращается в нуль. Действительно, из div cB=div rot B=0, BVc=0 сле-
следует, что с равно константе вдоль интегральных линий; если они
плотно заполняют область, то с в этой области — константа.
Численный эксперимент Хэнона показал, что в одной части объ-
объема бессиловое поле ВХ=А sin z-\-c cos у; ВУ=В slnx-\-A cos 2;
Bz=c sin y-\-B cos z имеет магнитные поверхности, а в другой ли-
линии поля плотно заполняют пространство. Аналитические примеры
такого рода, видимо, неизвестны.
Перейдем к рассмотрению локализованных конфигураций.
Пусть В вморожено в несжимаемую жидкость. Это означает, что
45
сохраняется величина |В|/а, где а — локальная длина силовой ли-
линии, и энергия поля может быть устремлена к нулю, лишь если
длина всех силовых линий стремится к нулю. Рассмотрим пример
аксиально-симметричной конфигурации с одной компонентой маг-
магнитного поля Ву(<г, z). Преобразование вида B<p(r/a, z, а2)/а обес-
обеспечивает вмороженность, энергия же убывает как сг~2 и стремится
к нулю при а->-0. Если силовые линии зацеплены, то устремить их
длину к нулю не удается, и энергия отграничена от нуля. Однако
это еще не означает существования гладкого минимального реше-
решения с предписанной нетривиальной топологией [82]. Действитель-
Действительно, векторное поле общего положения плотно заполняет трехмер-
трехмерные области и не может быть уложено на тороидальные поверх-
поверхности. Бессиловые поля без магнитных поверхностей также не мо-
могут появиться в задаче без границ, так как все они имеют беско-
бесконечную энергию. Для доказательства этого утверждения заметим,
что работа не совершается и энергия поля не изменяется при де-
деформациях, оставляющих конфигурацию бессиловой. Деформация
бессилового поля вида сг2В(г/а) уменьшает энергию как а (хотя
уменьшаться энергия не может), и это означает, что она беско-
бесконечна.
Таким образом, при начальном магнитном поле общего вида
решения вариационной задачи нет, что, возможно, означает об-
образование разрывов. В качестве исходного можно, например, взять
поле, все линии которого представляют окружности, зацепленные
друг с другом один раз. Аналитическое выражение поля такого
вида приведено в [83].
Таким образом, уравнение A5.2) имеет устойчивые стационар-
стационарные локализованные решения с магнитными поверхностями, что
доказывает существование локализованных вихрей в идеальной
жидкости, устойчивость которых не выяснена.
Много решений можно построить численно с помощью метода
Греда — Шафранова. В [84] найден новый класс гладких реше-
решений уравнений обычной и магнитной гидродинамики в виде торо-
тороидальных вихрей, экспоненциально быстро исчезающих на беско-
бесконечности. Эти решения автомодельны, т. е. переходят друг в друга
при преобразовании подобия. Возможно, что это структурные эле-
элементы развитой турбулентности.
В системе покоя стационарного вихря уравнения идеальной
магнитной гидродинамики можно записать в виде
[q rot q] - [В rot В] = V Dяр—q2/2): A5.9)
divq=0; rot [qB]=O; A5.10)
/^ A5.11)
Здесь предположено, что плотность жидкости р постоянна вдоль
силовых линий магнитного поля и скорости v жидкости и силовые
линии и линии тока лежат на поверхностях постоянной плотности.
Рассмотрим следующие конфигурации. Первая, когда q=MB, где
46
М — константа, имеет смысл числа Маха (отношения скорости
жидкости к скорости Альфвена), причем имеется как полоидаль-
ная, так и тороидальная компонента полей. Такие вихри в [84]
названы параллельными. В других случаях магнитное поле имеет
полоидальную компоненту, а скорость — только тороидальную,
или наоборот. Они названы в [84] магнитным и динамическим
вихрем соответственно.
В случае р—ро—q2/(8n), q=B, где р0 — давление на бесконеч-
бесконечности, имеется вырождение: поле может иметь любую конфигура-
конфигурацию. Здесь особый интерес представляет случай, когда на беско-
бесконечности магнитное поле — постоянный вектор и плотность также
постоянна. Тогда любая конфигурация движется со скоростью,
равной альфвеновской скорости на бесконечности (в том числе и
конфигурации с замкнутыми поверхностями; q—сгустки плазмы).
Рассмотрим параллельный вихрь q=AfB с Л?=тИ, имеющий
осевую симметрию. В цилиндрической системе координат, вводя
потенциал Стокса по формулам
A5.12)
и считая, что тороидальная компонента магнитного поля Bv явля-
является произвольной функцией ij), деленной на г, приводим уравне-
уравнение A5.9) к уравнению Греда—Шафранова [85]:
ЬЧ = -г*Р— ff; Д* =¦ г-|- —-?-+-?-. A5.13)
т ' ' дг г дг ' дг2 v '
Штрих обозначает производную по аргументу. Здесь предположено
также, что давление есть функция вида
4лр=A— M2)F(ф)— <72/2, M=const. A5.14)
Отсюда видно, что при отличии скорости от нуля (Af^O) давление
не является поверхностной функцией. Переходу к гидродинамике
без магнитного поля соответствует предел М~>-оо с соответствую-
соответствующим переопределением if, F, f.
В магнитном вихре магнитное поле задается формулами A5.12),
и, чтобы удовлетворить условию A5.10), нужно положить qv=
=rS(i>), <7r=<7z=O, где g — произвольная функция. Подставляя эти
выражения в A5.9), получаем
A^^—W—ff'—-r*gg'. A5.15)
Здесь давление дается той же формулой A5.14), где нужно поло-
положить Л1=0.
Уравнение динамического вихря получается аналогично, пере-
перестановкой выражений скорости и магнитного поля, и также имеет
вид A5.15).
Уравнения A5.13), A5.15) становятся солитонными при опре-
определенном выборе входящих в них произвольных функций, а именно
нужно, чтобы они были степенными функциями Пр. Положим
в A5.3) F=—аф2; f=6i|J, где а и b — произвольные постоянные.
Тогда после преобразований подобия A5.13) приводится к виду
A5.16)
47
Уравнение магнитного вихря принимает типичный для солитонов
вид, если, например, положить
F = ap; f=.O; g = Ybl-bif. A5.17)
Тогда после преобразования подобия из A5.15) получим
ДМ|)=г4а|>—А|>3- A5.18)
Уравнения A5.16), A5.18) имеют локализованные решения. За-
Заметим, что при некоторых других выборах произвольных функций,
например, таких, которые дают уравнения
ДМ1з=ф—rV; A5.19)
Д^г^г2^—rV> A5.20)
солитонных решений нет. В самом деле, умножим эти уравнения
на r~3dtyjdr и проинтегрируем по всему объему. Тогда после интег-
интегрирования по частям, если решение локализовано, справа полу-
получим отрицательную величину, а слева — неотрицательную, откуда
следует, что эти уравнения не имеют уединенных решений.
Уравнения A5.16), A5.18) решаются методом стабилизирую-
стабилизирующего множителя, причем функция Грина тоже вычисляется с помо-
помощью ЭВМ [84]. На рис. 15.1, 15.2 приведены рельефы этих реше-
решений, а на рис. 15.3, 15.4 — распределения тороидальной компонен-
компоненты завихренности Q=A*ty/r в этих решениях, которая после обез-
размеривания равна rot» v или rot»B.
Из рисунков видно, что величина Q в отличие от \|з меняет знак.
Центральная область вокруг максимума if> окружена более слабой
завихренностью противоположного знака, распределенной таким
образом, что происходит полная экранировка, аналогичная экра-
экранировке внешнего заряда в плазме. В ранее известных решениях
такая экранировка отсутствовала.
Представляет интерес сравнить размещение области завихрен-
завихренности вокруг максимума т|> в солитоне при квадратичной нелиней-
нелинейности, приведенной на рисунках в [84], и при кубической нелиней-
нелинейности на рис. 15.3, 15.4. В первом случае центральная область при-
прижимается к оси симметрии солитона, а во втором экранирующий
вихрь окружает центральную часть и с внешней, и с осевой сто-
стороны.
Распределение давления в параллельном вихре таково, что р
минимально в центре вихря, где г|з максимальна. Такой вихрь удер-
удерживается внешним давлением плазмы ро- Когда нет магнитного
поля, в отличие от вихря Хилла такой вихрь не перемещается от-
относительно жидкости, что вызвано наличием тороидальной компо-
компоненты скорости и экранировкой. Во внешнем постоянном магнит-
магнитном поле при числе Маха М=\ имеет место вырождение, т. е. воз-
возможны стационарные решения довольно произвольной формы.
В работе [86] доказывается, что такие решения безразлично устой-
устойчивы. Однако в этом случае солитонные решения важны из-за их
уединенности. При доказательстве устойчивости приведенных соли-
солитонных решений в общем случае возникают те же трудности, что
48
и при доказательстве устойчивости плазмы в тороидальных ловуш-
ловушках, и пока оно остается открытой проблемой.
Внимание к локализованным структурам в последнее время уве-
увеличивается (см., например, [75]). Наглядный пример таких струк-
структур— солитоны на пленке стекающей вязкой жидкости [87]. Рас-
Рассмотренные в этом параграфе вихри также могут играть роль
структур.
Рис. 15.1. Рельеф потенциала Стокса
г)) солитонного решения уравнения
A5.19) (максимальное значение до-
достигается при /-=1,6 и равно 3,8)
-Z L
Рис. 15.2. Рельеф солитонного реше-
решения уравнения A5.20) (максималь-
(максимальное значение достигается при г =1,5
и равно 3,3)
Рис. 15.3. Рельеф тороидальной ком-
компоненты завихренности в решении
уравнения A5.19) (минимальное зна-
значение достигается при г= 1,5 и рав-
равно —29, максимальное — при г = 2,3
и равно 1,9)
4-67
Рис. 15.4. То же, что и на рис. 15.3,
для уравнения A5.20) (минималь-
(минимальное значение достигается при г=1,5
и равно —43, максимальное — при
г=2,0 и равно 6,1)
49
16. Устойчивые вихри в уравнении Власова
В одномерном случае понижение плотности в фазовом прост-
пространстве способно реализовать максимум энергии при фиксирован-
фиксированных интегралах движения.
Уравнение Власова—одно из фундаментальных уравнений фи-
физики плазмы, однако для него содержательной теории турбулент-
турбулентности без участия волн не построено, так как отсутствуют долго-
живущие структурные элементы. В качестве структурного элемента
обычно предлагают макрочастицу в фазовом пространстве, назы-
называемую также баллистической модой, гранулой, клампом, дыркой,
волной ван Кампена или Бернштейна—Грина—Крускала и т. д.
Если такая макрочастица устойчива, ее шансы на важную роль
в турбулентности существенно повышаются.
Уравнение Власова очень похоже на уравнение двумерной
жидкости—в обоих случаях вдоль траекторий потока с нулевой ди-
дивергенцией сохраняется в одном случае Дав другом rot v. Други-
Другими словами, уравнение Власова имеет вид df/dt=O; в развернутой
форме
|L + y^-+— ¦#- = (), A6.1)
dt ' дх ' т ov v •
откуда следует сохранение бесконечного числа интегралов:
A6.2)
Покажем, что при условии сохранения / вдоль траекторий пони-
понижения плотности способны реализовать максимум энергии, как и
вихри в двумерной жидкости. Представим функцию распределения
в виде /=/0+f, где /о—константа. Тогда сохраняется величина е,
равная энергии с точностью до аддитивной постоянной:
« = \>f{mv*]2)dxdv — 2ъег J f(xlt у,) f(x2, v2)\x1 — x2\dxldvldx2dv2.
A6.3)
Второй член в A6.3) отрицателен при любых возмущениях,
а первый—при возмущениях, у которых /<0. С учетом сохранения
площади возмущения AxAve*const видно, что при /<0 A6.3) име-
имеет нетривиальный (ненулевой) максимум Ео<0. Ему соответствует
устойчивое решение в виде локализованной волны БГК, причем f
монотонно убывает от периферии к центру. Если учесть также со-
сохранение импульса, то такие решения могут двигаться. Характер-
Характерные размеры определяются оценкой
mAv2l2^e2Ax2Av. A6.4)
Находить точные решения не имеет особого смысла, так как их
бесконечно много.
Электрическое поле сосредоточено в основном вне дырки.
С учетом спадания f при больших скоростях поле экранируется на
дебаевском радиусе. При f^/o и при AvAx<tivTrD обнаруживается,
50
что Ax-^rD. Это допускает аналогично двумерным вихрям (см.
§ 12) пары «вальсирующих» дырок с расстоянием между центрами
много меньше rD.
В трехмерном случае также удается построить локализованные
образования, реализующие максимум энергии. К сожалению, гипо-
гипотеза о локальности невыполнена, так как в трехмерном случае
Ax^rD, поэтому вопрос о существовании устойчивых вихрей оста-
остается открытым. При взаимодействии понижений плотности они дол-
должны проявлять тенденцию к слиянию. Энергия и импульс пониже-
понижения плотности отрицательны, но производная дг/др имеет обычный
знак и равна скорости. Если дырка образована на ионной функции
распределения, то при отражении от нее резонансных электронов
ее энергия уменьшается и она ускоряется. При достижении дыркой
скорости порядка тепловой ионной ее существование прекраща-
прекращается.
Заключение
Подводя итоги, можно сказать, что выделение солитонных сте-
степеней свободы целесообразно и важная роль солитонных решений
очевидна. Солитоны оказались структурными элементами, из кото-
которых (наряду со свободными волнами) строится картина сильной
турбулентности. Степень завершенности частей этой картины раз-
различна.
Задача нахождения солитонных решений и анализа их устойчи-
устойчивости в основном решена при любом числе измерений. Трудности
с выяснением устойчивости возникают лишь в случае векторного
поля, например, для трехмерных вихрей в идеальной жидкости.
Элементарные процессы с участием солитонов типа поглощения
свободных волн и взаимодействия с частицами также в основном
понятны, хотя конкретных задач решено пока мало.
Количественной теории турбулентности с участием солитонов.
еще не создано, но ход процесса в целом ясен. Происходит перекач-
перекачка по спектру с увеличением интенсивности солитонов как за счет
слияния солитонов при столкновениях, так и за счет поглощения
солитонами свободных волн. Выделяющаяся при этом энергия по-
поглощается при рассеянии на частицах или уносится свободными
волнами.
Все более широким становится понятие солитона. Его часто
применяют даже к полностью диссипативным структурам. В случае
гамильтоновых систем в солитоне могут быть захваченные части-
частицы, т. е. солитон может переносить вещество или даже быть пол-
полностью вмороженным в веществе. Солитоны могут быть и в дис-
дискретных средах, в том числе и в радиотехнических линиях переда-
передачи сигналов. Общая черта всех этих уединенных структур—устой-
структур—устойчивая компенсация эффектов расплывания из-за дисперсии, диффу-
диффузии или неоднородного растяжения нелинейными эффектами кор-
корреляции фаз или нелинейной активностью среды.
4* 51
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы/
Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1964, вып. 4, с. 188—339.
2. Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М.: Наука, 1967.—287 с.
3. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1975.—238 с.
4. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. — М.: Атом-
Атомиздат, 1979.— 320 с.
5. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. Нелинейные волны. — УФН, 1971, т. 103,
с. 193—232.
6. Сагдеев Р. 3. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной
плазме. — В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.:
Атомиздат, 1964, вып. 4, с. 20—80.
7. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука,
1973.— 340 с.
S. Скотт Э., Чу Ф., Мак-Лафлин Д. Солитон — новое понятие в прикладных
науках. — ТИИЭР, 1973, т. 61, с. 79—120.
9. Данилов Ю. А., Петвиашвили В. И. Солитоны в плазме. — В кн.: Итоги
науки и техники. Сер. Физика плазмы. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1983, с. 5—54.
10. Теория солитонов/ В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Пи-
таевский. М.: Наука, 1980.— 320 с.
11. Солитоны в действии: Пер. с англ./ Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и
Л. А. Островского. М.: Мир, 1981. — 312 с.
12. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. О трехмерных солитонах. — Журн. эксперим.
и теорет. физ., 1974, т. 66, с. 594—600.
13. Кузнецов Е. А., Турицын С. К. О двумерных и трехмерных солитонах всла-
бодиспергирующих средах. — Там же, 1982, т. 82, с. 1457—1463.
14. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. Об устойчивости уединенных волн в
слабодиспергирующих средах. — Докл. АН СССР, 1970, т. 192, с. 753—755.
15. Петвиашвили В. И. Об уравнении необыкновенного солитона. — Физика
плазмы, 1976, т 2, с. 469—472.
16. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvily equation and their
interaction/ L. A. Bordag, A. R. Its, A. V. Matveev e. a. —Phys. Lett., 1979,
vol. 63A, p. 205—206.
17. Яньков В. В Фазовый переход в системе сильнонелинейных волн. — В кн.:
Всес. конф. по взаимодействию электромагнитных волн с плазмой: Тезисы
докладов. Душанбе, 1979, с. 53.
18. Крылов С. Ф., Яньков В. В. О роли солитонов в сильной турбулентности.—
Журн. эксперим. и теорет. физ, 1980, т. 79, с. 82—86.
19. Захаров В. Е. Коллапс ленгмюровский волн —Там же, 1972, т. 62, с. 1745—
1758.
20. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.—М.: Наука, 1976.—
584 с.
21. Крылов С. Ф., Яньков В. В. Модели сильной турбулентности. — Препринт
3542/6, ИАЭ им. И. В. Курчатова, М., 1962, 17 с.
22. Карпман В. И., Маслов Е. М. Структура хвостов, образующихся при воз-
воздействии возмущения на солитоны. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1978,
т. 75, с. 504—512.
23. Мак-Лифлин Д., Скотт Э. Многосолитонная теория возмущений.— В кн.:
[11], с. 210—268.
24. Modified nonlinear schrodinger equation for Alfven waves propagating along
the magnetic field in cold plasmas/ K. Mio, T. Ogino, K. Minamy, S. Takeda. —
J. Phys. Soc. Japan, 1976, vol 41, p. 265—273.
25. Mjolhus E. On the modified instability of hydromagnetic waves parallel to the
magnetic field. — J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 321—327.
26. Каир D. J., Newell A. C. An exact solution for a derivative nonlinear schro-
schrodinger equation.— J. Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 798—801.
27. Петвиашвили В. И. Неодномерные солитоны.—В кн.: Нелинейные волны./
Под ред. А. В. Гапонова-Грехова.—М.: Наука, 1979, с. 5—21.
28. Lakner К. Computation of ideal MHD equilibria. — Computational Phys. Co-
munikations, 1976, vol. 12, p. 33—44.
52
29. Белавин А. А., Поляков А. М. Метастабильные состояния двумерного изот-
изотропного ферромагнетика. — Письма ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 503—506.
30. Заставенко Л. Г. Частицеподобные решения нелинейного волнового уравне-
уравнения.— Прикл. матем. и механ., 1965, т. 29, с. 430—439.
31. Вахитов Н. Г., Колоколов А. А. Стационарные решения волнового уравне-
уравнения в среде с насыщающейся нелинейностью. — Изв. вузов, сер. Радиофизи-
Радиофизика, 1973, т. 16, с. 1020—1028.
32. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А., Рубенчик А. М. Устойчивость солитонов. —
Препринт Ин-та автоматики и электрометрии СО АН СССР, 1982, № 18,
48 с.
33. Веденов А. А., Рудаков Л. И. О взаимодействии волн в сплошных средах.—
Докл. АН СССР, 1964, т. 159, с. 767—770.
34. Lighthill M. J. On the stability on nonlinear waves. — J. Instn. math. Appl.,
1965, vol. 1, p. 269—278.
35. Павленко В. П., Петвиашвили В. И. Зонная теория устойчивости нелинейных
периодических волн в плазме. — Физика плазмы, 1982, т. 8, с. 206—210.
36. Рудаков Л. И. Торможение электронных пучков в плазме с высоким уров-
уровнем ленгмюровской турбулентности. — Докл. АН СССР, 1972, т. 207, с. 821—
824.
37. Нелинейная теория модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн/
А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев, Ю. С. Сигов и др. — Физика плазмы, 1975, т. 1,
с. 10—17.
38. Чукбар К. В., Яньков В. В. Взаимодействие высокочастотных и звуковых
волн с солитонами. — Физика плазмы, 1981, т. 7, с. 653—656.
39. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. Квазилинейная теория колеба-
колебаний плазмы. —• Ядерный синтез, приложение 2, 1962, с. 465.
40. Яньков В. В. Баллистические моды и торможение электронного пучка на
ленгмюровских солитонах. — Физика плазмы, 1977, т. 3, с. 710—711.
41. Карпман В. И. Эффекты взаимодействия ионно-звуковых солитонов с резо-
резонансными частицами плазмы. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1979, т. 77,
с. 1382—1395.
42. Горев В. В., Кингсеп А. С, Рудаков Л. И. Сильная ленгмюровская турбу-
турбулентность.— Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1976, т. J9, с. 691—712.
43. Веряев А. А., Цытович В. Н. О нелинейном затухании Ландау для сильно-
сильнонелинейных волн в плазме. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1977, т. 20,
с. 1639—1652.
44 Яньков В. В. Два типа ленгмюровских солитонов.— Письма в ЖЭТФ, 1979,
т. 29, с. 179—180.
45. Яньков В. В. Последствия ленгмюровского коллапса в лазерной короне.—
Физика плазмы, 1982, т. 8, с. 86—91.
46.' Ахиезер И. А., Данелия И. А., Цинцадзе Н. Л. К теории трансформации и
рассеяния электромагнитных волн в неравновесной плазме. — Журн. экспе-
эксперим и теорет. физ., 1964, т. 46, с. 1331 —1341.
47. Aamodt R., Drumtnond W. On the radiation of turbylent plasmas. J. Nucl.
Energy, 1964, vol. 6, p. 147.
48. Галеев А. А., Красносельских В. В. Сильная ленгмюровская турбулентность
в магнитосфере Земли как источник километрового излучения. — Письма
ЖЭТФ, 1976, т. 24, с. 558—559.
49 Breizman В. N.,. Pekker L. S. Electromagnetic radiation from a localised Lang-
muir perturbation. — Phys. Lett., 1978, vol. 65A, p. 121—122.
50. Ishichenko JW. В., Yan'kov V. V. Dipole and quadrypole radiation at harmonics
of electron waves in plasmas. — Phys. Lett., 1982, vol. 90A, p. 248—249.
51 а) Петвиашвили В И. Высокочастотный диамагнетизм и трехмерные элек-
электронно-циклотронные солитоны в плазме. — Письма ЖЭТФ, 1976, т. 23,
с. 682—684.
б) Некрасов А. К., Петвиашвили В. И. Самофокусировка и трехмерные со-
солитоны циклотронных волн, бегущих вдоль магнитного поля. — Физика плаз-
плазмы, 1981, т. 7, с. 1145—1151.
52. Чукбар К. В., Яньков В. В. Ленгмюровские солитоны в неоднородной плаз-
плазме. — Физика плазмы, 1977, т 3, с. 1398—1401.
53. Thornhill S., Тег Нааг D. Langmuir turbulense and modulational instability. —
Phys. Rep., 1978, vol. 43, p. 45—61.
53
54. Курин В. В., Фрайман Г. М. Взаимодействие ленгмюровских солитонов со
звуком. — Физика плазмы, 1981, т. 7, с. 716—726.
55. Коу П. К., Цинцадзе Н. Л., Цхакая Д. Д. Излучение ионно-звуковых волн
ускоренно движущимся ленгмюровским солитоном. — Журн. эксперим. и тео-
рет. физ., 1982, т. 82, с. 1449—1457.
56. Karpman V. I. On the dynamics of sonic-longmuir solitions. — Phys. Scripta,
1975, vol. 11, p. 261—265.
57. Горшков К. А., Островский Л. А., Папко В. В. Взаимодействие и связанные
состояния солитонов как классических частиц. — ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 586-^
591.
58. Янкаускас 3. К. Радиальные распределения поля в самофокусировавшемся
пучке света.— Изд. вузов. Сер. Радиофизика, 1966, т. 9, с. 412—415.
59. Миронов В. А., Сергеев А. М., Шер Э. М. О неодномерных связанных соли-
тонах в нелинейных уравнениях поля. — Докл. АН СССР, 1981, т. 260,
с. 325—327.
60. Горшков К. А., Миронов В. А., Сергеев А. М. Препринт № 49, ИПФ АН
СССР, 1982.
61. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ./ Под ред. А. Б. Ша-
бата. — М.: Мир, 1977.— 622 с.
62. Method for solving the Kortweg de Vries equation/ С S. Gardner, J. M. Green,
M. D. Kruskal, R. M. Miura. — Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 19, p. 1095—1097.
63. Zakharov V. E., Schulman E. I. Degenerative dispersion laws, motion inva-
invariants and kinetic equations. — Physica, 1980, vol. ID, p. 192—202.
64. Шульман Е. И. Об интегрируемости уравнений резонансного взаимодействия
длинной и короткой волн.— Докл. АН СССР, 1981, т. 259, с. 579—581.
65. Юэн Г., Лэйк Б. Теория нелинейных волн в приложении к волнам на глубо-
глубокой воде.— В кн.: [11], с. 103—137.
66. Захаров В. Е. О нелинейных гравитационных волнах на поверхности жид-
жидкости. — Прикл. матем. и теорет. физ., 1968, с. 86—90.
67. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной
жидкости сквозь заданную область.—Матем. сборник, 1964, т. 64, с. 562—
588.
68. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука,
1974. —432 с.
69. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947. — 720 с.
70. Дим Г., Забуски Н. Стационарные V-состояния, их взаимодействие, возврат
и разрушение. — В кн.: [11], с. 289—304.
71. Deem A., Zabusky N. Ergodic boundary in numerical simulations of two-dimen-
two-dimensional turbulence. — Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 27, p. 7—8.
72. Глэз X. а) Два подхода к моделированию двумерной турбулентности. — В
сб.: Математика. Новое в зарубежной науке, вып. 22; б) Странные аттрак-
аттракторы/ Пер. с англ., М.: Мир, 1981, с. 75—87.
73. Linden-Bell D. — Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1967, vol. 136, p. 101
(обсуждается в книге [3], с. 227—230).
74. Montgomery D. Two-dimensional vortex motion and «negative temperatures».—
Phys. Lett., 1972, vol. 39A, p. 1—3.
75. Кузьмин Г. А. Статистическая механика завихренности в двумерной коге-
когерентной структуре. — В кн.: Структурная турбулентность. Сб. тр. Ин-та теп-
теплофизики СО АН СССР, Новосибирск, 1982, с. 103—115. ¦
76. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для систем гид-
гидродинамического типа. Препринт ИАЭ СО АН СССР, № 186, Новосибирск,
1982.
77. Петвиашвили В. И. Красное пятно Юпитера и дрейфовый солитон в плаз-
плазме. — Письма ЖЭТФ, 1980, т. 32, с. 632—635.
78. Петвиашвили В. И., Яньков В. В. Двухслойные вихри во вращающейся стра-
стратифицированной жидкости. — Докл. АН СССР, 1982, т. 267, с. 825—828.
79. Солитон Россби в лаборатории/ С. В. Антипов, М. В. Незлин, Е. Н. Снеж-
кин, А. С. Трубников. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1982, т. 82, с. 145—
153.
80. Ларичев В. Д., Резник Г. М. О двумерных уединенных волнах Россби. —
Докл. АН СССР, 1976, т. 231, с. 1077—1079.
54
81. О дрейфовых солитонах в мелкой быстровращающейся жидкости/ Р. Л.Анто-
Л.Антонова, Б. С. Жвания, Дж. Г. Ломинадзе и др. — Письма в ЖЭТФ, 1983, т. 37,
с. 545—548.
82. Арнольд В. И. Асимптотический инвариант Хопфа и его приложения. — В
кн.: Материалы Всесоюзной школы по дифференциальным уравнениям (Ди-
лижан, 1973). Ереван, изд. АН АрмССР, 1974, с. 229—256.
83. Камчатнов А. М. Топологический солитон в магнитной гидродинамике. —
Журн. эксперим. и теорет. физ., 1982, т. 82, с. 117—124.
84. Петвиашвили В. И., Похотелов О. А., Чудин И. В. Уединенные тороидальные
вихри. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1982, т. 82, с. 1833—1839.
85. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле. — В кн.: Вопросы
теории плазмы. Т. 2. М.: Атомиздат, 1963, с. 92—132.
86. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford, 1961.
87. Петвиашвили В. И., Цвелодуб О. Ю. Подковообразные солитоны на стекаю-
стекающей вязкой пленке жидкости. — Докл. АН СССР, 1978, т. 238, с. 1321—1323.
88. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 2. М : Атом-
Атомиздат, 1977, с. 127.
89. Петвиашвили В. И. Циклоны и антициклоны в зональном потоке. Доклад
на II Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным про-
процессам в физике. Киев, 1983.
90. Кадомцев Б. Б., Погуце О. П. Нелинейные винтовые возмущения плазмы
в токамаке.—Журн. эксперим и теорет. физ., 1973, т. 65, с. 575—586.
91. Павленко В. А., Петвиашвили В. И. Уединенный вихрь при желобковой не-
неустойчивости.— Физика плазмы, 1983, т. 9, с. 1034—1037.
ЦИКЛОТРОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ
А. В. Тимофеев
Предисловие
В физике плазмы циклотронными принято называть колебания,
частота которых близка к циклотронной частоте одной из компо-
компонент плазмы (электронов или ионов). Благодаря явлению цикло-
циклотронного резонансного взаимодействия циклотронные колебания
могут интенсивно обмениваться энергией с заряженными частица-
частицами. Этим определяется важная роль, которую играют циклотрон-
циклотронные колебания. Так, циклотронные колебания используют для
диагностики плазмы — активной (просвечивание плазмы цикло-
циклотронными колебаниями) и пассивной (по регистрации спонтанного
циклотронного излучения).
С помощью циклотронных колебаний, вводимых извне, осу-
осуществляют нагрев плазмы. Причем интересно, что в одном из ти-
типов мощных генераторов электромагнитных колебаний (мазеры на
циклотронном резонансе) явление циклотронного резонанса ис-
используется для передачи энергии в обратном направлении от пучка
заряженных частиц к электромагнитным колебаниям.
Спонтанное излучение циклотронных колебаний высокотемпе-
высокотемпературной термоядерной плазмой может привести к ее сильному
охлаждению. Если плазма термодинамически неравновесна, то
циклотронные колебания могут возбуждаться когерентно — раскачи-
раскачивается так называемая циклотронная неустойчивость. В некоторых
магнитных ловушках, как, например, адиабатических, раскачка
циклотронных колебаний сопровождается интенсивным выбросом
плазмы.
Ввиду интереса, проявляемого к циклотронным колебаниям, они
затрагиваются в той или иной степени в большинстве руководств
по физике плазмы и практически во всех, посвященных колеба-
колебаниям плазмы [1 —14]. Имеются обзоры, в которых рассматривают-
рассматриваются отдельные аспекты циклотронных колебаний [15—23]. Цели-
Целиком посвящена циклотронным колебаниям монография [24]. В ней
анализируются собственно циклотронные колебания (см. § 1.4
настоящей работы) как в равновесной, так и в неравновесной
плазме.
В настоящей работе систематически анализируются основные
аспекты теории циклотронных колебаний равновесной плазмы,
обсуждается также идейная сторона практических приложений
циклотронных колебаний (нагрев плазмы и ее диагностика). Не-
56
посредственно к экспериментальным данным мы обращаемся лишь
в тех случаях, когда они допускают четкое сопоставление с пред-
предсказаниями теории.
Первый раздел посвящен циклотронным колебаниям в однород-
однородном магнитном поле. Он начинается с анализа резонансного взаи-
взаимодействия отдельных заряженных частиц с циклотронными коле-
колебаниями. Элементарные закономерности, определяющие это явле-
явление, неоднократно проявляются и в более сложных явлениях,
обсуждаемых в дальнейшем. В двух последующих разделах рас-
рассматривается влияние неоднородности магнитного поля и ограни-
ограниченности плазмы на циклотронные колебания. Эти факторы, как
правило, необходимо учитывать при использовании теории цикло-
циклотронных колебаний для анализа реальных ситуаций. Так, даже
сравнительно небольшая неоднородность магнитного поля может
привести к ограничению области резонансного циклотронного
взаимодействия малой окрестностью резонансной точки, где цикло-
циклотронная частота заряженных частиц совпадает с частотой элек-
электромагнитных колебаний.
Теория циклотронных колебаний равновесной плазмы развита
в такой степени, что можно составить законченную (в общих чер-
чертах) картину явления. Что касается теории циклотронных колеба-
колебаний неравновесной плазмы, то она еще далека от своего заверше-
завершения. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, отклоне-
отклонения от состояния равновесия могут быть весьма многообразны.
Каждой из таких возможностей соответствует своя разновидность
циклотронной неустойчивости, возникающей, когда отклонение от
равновесия становится достаточно заметным. Обзор большого чис-
числа циклотронных неустойчивостей можно найти в [9, 13, 17]. Тем
не менее пока еще нельзя сказать, что список циклотронных не-
неустойчивостей исчерпан. Во-вторых, теория циклотронных колеба-
колебаний неравновесной плазмы, для того чтобы быть логически завер-
завершенной и давать ответы на вопросы, которые ставит эксперимент,
должна быть нелинейной. Трудности, которые стоят на этом пути,
общеизвестны. В то же время при рассмотрении циклотронных ко-
колебаний разновесной плазмы и анализе соответствующих экспе-
экспериментальных данных, как правило, можно не обращаться к не-
нелинейной теории. В настоящей работе элементы нелинейной теории
вошли лишь в разд. 3.
Хотя пути, по которым развиваются теория циклотронных ко-
колебаний равновесной плазмы и теория циклотронных колебаний
неравновесной плазмы, несколько различны, эти разделы теории
отнюдь не разделены непроницаемой перегородкой. Напротив, их
взаимодействие ведет к более глубокому пониманию проблемы и
дает стимулы к дальнейшему развитию теории. Так, выяснению
основных закономерностей, определяющих процесс резонансного
циклотронного взаимодействия, способствовал его анализ в экстре-
экстремальных условиях предельно неравновесной плазмы, когда одна
из ее компонент (ионы) образовывала бесконечно тонкое кольцо
(ларморовскую окружность), вращающееся в магнитном поле
с циклотронной частотой. В качестве другого примера укажем про-
57
блему возникновения стохастического движения заряженных ча-
частиц в циклотронных колебаниях. В случае равновесной плазмы
она возникла в связи с вопросом об истинном (необратимом) на-
нагреве плазмы циклотронными колебаниями, а в случае неравно-
неравновесной — в связи с вопросом о потере частиц из адиабатических
ловушек под действием циклотронных колебаний (так называемая
проблема нарушения суперадиабатичности).
Взаимодействие между двумя разделами теории циклотронных
колебаний, без сомнения, будет продолжаться и в дальнейшем.
В частности, автор надеется, что методы исследования циклотрон-
циклотронных колебаний равновесной плазмы, излагаемые в настоящей ра-
работе, найдут применение при анализе циклотронных колебаний
неравновесной плазмы.
1. Циклотронные колебания в однородном магнитном поле
1.1. Механизм резонансного циклотронного взаимодействия
1.1.1. Особенности резонансного взаимодействия в магнитном
поле. Если плазма помещена в магнитное поле, то тепловое дви-
движение заряженных частиц в направлении поперек поля приобрета-
приобретает характер ларморовского (циклотронного) вращения, причем все
частицы с одинаковым отношением заряда к массе вращаются с
одной и той же частотой (Oj=|e3|В/(nijc). (Последнее справедли-
справедливо в пренебрежении релятивистской зависимостью массы от ско-
скорости.) Появление у плазмы в магнитном поле «собственной» ча-
Рис. 1.1. Схема
( траектория
частицы)
циклотрона
ускоряемой
Рис. 1.2. Электрическое поле колеба-
колебаний вида ТЕи в цилиндрическом
волноводе ( ларморовская
окружность заряженной частицы; не-
невозмущенное магнитное поле пер-
перпендикулярно плоскости рисунка —
параллельно оси волновода)
стоты создает условия для интенсивного (резонансного) обмена
энергией между заряженными частицами и электромагнитными ко-
колебаниями. Следует, однако, отметить, что эта возможность была
впервые использована не в плазменных системах, а в ускорителях
заряженных частиц — циклотронах (рис. 1.1). По названию этих
устройств термин «циклотронный» стал использоваться для обо-
обозначения всего комплекса явлений, обусловленных вращением за-
58
ряженных частиц в магнитном поле. Отметим два условия, обеспе-
обеспечивающих успешную работу циклотрона: 1) электрическое поле,
действующее на ускоряемую частицу, имеет постоянную фазу;
2) оно параллельно вектору скорости частицы. Эти условия вы-
выполняются потому, что геометрия циклотрона соответствует геоме-
геометрии движения частицы (вращение по циклотронной окружности),
а дуанты защищают частицу от действия электрического поля в
моменты, когда оно могло бы ее замедлить.
При циклотронном резонансе в плазме ни одно из этих усло-
условий, вообще говоря, не выполняется. Действительно, пространст-
пространственная зависимость электрического поля колебаний, как правило,
определяется граничными условиями или условиями возбуждения
и поэтому не согласована с геометрией движения заряженных ча-
частиц. В результате выполнение условия циклотронного резонанса
со=(ор, (или (n=n(x)j, где п — целое, см. ниже) приводит лишь к то-
тому, что фаза электрического поля колебаний в фиксированной точ-
точке циклотронной окружности остается одной и той же при после-
последовательных прохождениях частицы через эту точку. Однако от
точки к точке значение фазы может меняться. Точно так же может
меняться и направление электрического поля по отношению к на-
направлению вектора скорости частицы. (Одна из возможных задач
о резонансном взаимодействии электромагнитных колебаний с
ограниченной плазмой проиллюстрирована на рис. 1.2). Поэтому
выполнение условия циклотронного резонанса в общем случае не
обеспечивает постоянства электрического поля на траектории про-
произвольно выбранной заряженной частицы и, следовательно, не
говорит о том, что все частицы будут систематически ускоряться
или замедляться.
Обычно условию постоянства удовлетворяет не «все» электри-
электрическое поле, а лишь его некоторая «часть». Ее выделение — обя-
обязательный элемент анализа циклотронного резонансного взаимо-
взаимодействия. В часто используемом формализме кинетического урав-
уравнения эта операция присутствует в скрытом виде. Между тем
именно она обусловливает основные закономерности, определяю-
определяющие процесс резонансного циклотронного взаимодействия. Их вы-
выяснению и посвящен настоящий параграф.
В реальных условиях длина волны электромагнитных колеба-
колебаний часто мала по сравнению с размером системы. При теорети-
теоретическом анализе таких колебаний обычно используют приближение
плоских волн, т. е. пространственно-временную зависимость элек-
электромагнитного поля выбирают в виде '~/ехр(—ico^+ikr). Ввиду
сравнительной теоретической простоты, а также" широты возмож-
возможных приложений теория резонансного циклотронного взаимодейст-
взаимодействия плазмы с плоскими волнами разработана наиболее подроб-
подробно. Учитывая эти обстоятельства, начнем анализ со случая пло-
плоских волн.
Если магнитное поле отсутствует, то заряженные частицы, как
и плоская волна, движутся прямолинейно. Поэтому условие фазо-
фазового резонанса имеет простой вид: co=kv. Оно означает, что проек-
59
ция скорости частицы на направление распространения колебаний
совпадает с фазовой скоростью последних.
В магнитном поле заряженные частицы движутся по винтовым
траекториям:
@ ={¦*. +P. (sin ? (*)— sin 90);
У. — Р# (cos <р (*) — cos
0); 1
A.1)
Здесь используется декартова система координат, ось 0Z которой
направлена вдоль магнитного поля. Для определенности рассмо-
рассмотрим электронную компоненту плазмы?ре = у,/<»е—ларморовский
радиус электрона, q>(t)=(fo-\-(oet — фаза ларморовского вращения;
значками J_ и || отмечено направление по отношению к магнитно-
магнитному полю.
Рис. 1.3. Система координат, как
правило, используемая в настоя-
настоящей работе (- ларморов-
у. екая окружность одного из элек-
у тронов)
Чтобы согласовать геометрию электрического поля колебаний
с геометрией электронной траектории, исходную плоскую волну
разлагаем по винтовым, вращающимся коаксиально с данной ча-
частицей. Разложение осуществляется с помощью известного соот-
соотношения
A.2)
и имеет вид
A.3)
В левой части A.3) используется декартова система координат,
введенная выше, в правой — цилиндрическая, центр которой сов-
совпадает с центром ларморовской окружности данного электрона
(рис. 1.3); Jm — функция Бесселя индекса m;b = k.p (р— радиус
в цилиндрической системе координат). Предполагается, что коле-
колебания распространяются в плоскости XQZ, т. е.к = (&^; 0; kv).
В A.3) суммирование идет по азимутальному волновому числу,
множитель /m(i) дает амплитуду соответствующей парциальной
волны. Поскольку на траектории электрона ф = юе, z = vn, то для
60
парциальной волны с номером т суммарный доплеровский сдвиг,,
обусловленный ларморовским вращением и движением вдоль маг-
магнитного поля, равен ткое+/г ц v ц.Соответственно резонансное усло-
условие имеет вид
« = даю,+ *„»„. A.4)
Электрон движется по окружности радиусом р=ре, и поэтому
амплитуда резонансной составляющей равна Jm(\e) где Se = A,pe.
Отметим, что при некоторых значениях ларморовского радиуса
электрона функция Бесселя Jm{te) обращается в нуль. Такие
электроны не взаимодействуют с колебаниями (резонансной), не-
несмотря на выполнение условия A.4).
Магнитное поле не только модифицирует условие фазового ре-
резонанса. Иным становится и влияние поляризации колебаний на
резонансное взаимодействие. Действительно, в магнитном поле
поперечная компонента вектора скорости частицы V, вращается-
с циклотронной частотой. Так же должно вращаться и поле вол-
волны Е., чтобы обмен энергией между электромагнитными колеба-
колебаниями и заряженными частицами был достаточно эффективным.
(В дальнейшем увидим, что электрическое поле, вращающееся в-
противоположную сторону, также может резонансно взамодейст-
вовать с заряженными частицами, хотя в этом случае эффектив-
эффективность взаимодействия, как правило, меньше). Эти соображения по-
показывают, что при анализе резонансного взаимодействия в магнит-
магнитном поле наряду с выделением резонансной винтовой гармоники
необходимо исходное электрическое поле разделить на две состав-
составляющие, одна из которых вращается в ту же сторону, что и элек-
электроны в магнитном поле, другая — в ту же, что и ионы. При вы-
выбранной временной зависимости электрического поля колебаний
-~/ехр(—ia>t) им соответствуют сочетания Е-=ЕХ—\Еи и ?+=
=ЕХ+\ЕУ.
1.1.2. Циклотронное резонансное взаимодействие с плоскими
волнами. Взаимодействие отдельных частиц. Проана-
Проанализируем, следуя [25], циклотронное взаимодействие заряженных
частиц (электронов) с плоскими волнами более подробно. В наибо-
наиболее общем случае выражение для электрического поля плоской
волны имеет вид
где
k = (A.; U; А..); а—х, у, z.
Если с помощью одного из уравнений Максвелла, rot E-f-(l/c)X
X<3B/d*=0, выразить магнитное поле волны через электрическое,
то уравнение движения электронов те\=—е{Е+A/с) [vB]} при-
примет следующий вид:
v+©e[vb] =— (е/гпе) (Е A —kv/a>) + (k/и) (vE)). A.5)
61)
Здесь b — единичный вектор, направленный по оси Z, т. е. вдоль
основного магнитного поля Во.
Помножим A.5) поочередно на [b[vb]] и b(vb):
A.6)
где s, (S||) — энергия движения электрона в направлении поперек
(вдоль) основного магнитного поля.
Первые слагаемые в правых частях A.6), A.7) учитывают ра-
работу электрического поля над электроном. Слагаемые, включаю-
включающие сочетания k±v^ и k{lvS\, обязаны действию магнитного поля
волны. Магнитное поле поворачивает вектор скорости электрона и
поэтому переводит поперечную энергию в продольную и обратно.
При таком повороте полная энергия, как это и следует из A.6),
A.7), остается неизменной.
Предположим, что резонансное условие A.4) выполняется при
лг=/г, т. е. имеет место резонанс на л-й гармонике циклотронной
частоты. В этом случае, как было отмечено в предыдущем пара-
параграфе, электрическое поле волны может приводить к систематиче-
систематическому изменению энергии электрона. Это означает, что если элек-
электрическое поле представить в виде Е(г(^), t), где г(/) —траекто-
—траектория электрона, то в правых частях уравнений A.6), A.7) появят-
появятся слагаемые, не зависящие от времени. Выделим эти слагаемые.
Ограничиваясь, как и всюду в настоящем разделе, линейным при-
приближением, будем считать амплитуду колебаний достаточно ма-
малой. Траектория электрона, не возмущенная волной, дается A.1).
Подставляя A.1) в выражения для фаз, получаем
0-(со-Vi,)'т-
+ie (sin (со^+фо) — sin фо).
Теперь в соответствии с соображениями, высказанными в преды-
предыдущем параграфе, следует разложить исходную плоскую волну на
винтовые, вращающиеся коаксиально с данным электроном. Ис-
Используя A.2), а также соотношения
представим результат усреднения выражений A.6), A.7) по вре-
времени в виде
A.8)
A.9)
Здесь скобки <?...> означают усреднение по времени, а
62
$а = Ех sin W^nv± j- Jn (У - Ey cos V™nvJ'n (У
+ ?г8т1-<0)пУ||;„(и.
где хР^п = 1Р{°)-\-kro — tesm<pa-\-n<po, или в другом виде:
$n = v±E_,n + v±E+.a+vnEnia. A.10)
Здесь
Весь последующий анализ по существу состоит в интерпрета-
интерпретации выражения A.10). Постараемся понять, какие физические про-
процессы оно описывает. В п. 1.1.1 отмечено, что амплитуда парциаль-
парциальной винтовой волны, коаксиальной с данным электроном, пропор-
циальна Jm(le), где т — азимутальное волновое число. Таким
образом, первое слагаемое в A.10) должно описывать взаимодейст-
взаимодействие электрона с винтовой волной с т=п—1; оно пропорциональ-
пропорционально v±ja также компонентам электрического поля, перпендикуляр-
перпендикулярным Во. Поперечная компонента вектора скорости электрона v.
вращается против часовой стрелки с частотой «е. С той же часто-
частотой и в том же направлении должно вращаться Е. , чтобы его-
взаимодействие с электроном было резонансным. В системе ко-
координат, связанной с электроном, частота m-й парциальной состав-
составляющей из разложения плоской волны по винтовым а/т=со—
—mate—^nair Если частота колебаний удовлетворяет резонансно-
резонансному условию A.4), а номер азимутальной гармоники /п=/г—1, то
электрон будет «видеть» поле требуемой частоты <|/т=<йе.
Теперь установим связь между величиной ?_,„ и характеристи-
характеристиками составляющей электрического поля, вращающейся в сторону
вращения электронов в магнитном поле (в электронную сторону).
Как известно, поле плоской поляризации, меняющееся во времени:
по гармоническому закону, можно представить в виде суммы по-
полей с круговой поляризацией, вращающихся в противоположные'
стороны. Проделаем эту операцию с полями
г (/)) = хО ExJn_t (У sin
^ - met)
у. я_, (t. г (t)) = у(°) V,_, &) sin
Здесь гB)—траектория электрона, второй индекс у величин
Ех,п-! и Ej,,n-i означает, как и выше, выделение (п—1)-й азиму-
азимутальной гармоники на ларморовской окружности электрона.
Амплитуды составляющих с круговой поляризацией будут, очевид-
очевидно, равны (ll2)ExJn-i(te) и (ll2)EyJn-i(ie), причем выделенная-
6»
из E*,n_i составляющая, вращающаяся в электронную сторону, бу-
будет отставать по фазе на и/2 — ^'"^ +^'f)n_10T соответствую-
соответствующей составляющей, выделенной из Ej,,n_i. Поэтому суммарное
электрическое поле, вращающееся в электронную сторону E-,n-i (t),
будет характеризоваться амплитудой
Я-. ,_, = A /2) /_, ( i? Г'/2
и фазой
Ех cos Ф <%_,+?, sin
ш@) |
Угол между E_,n_i(^) и'вектором поперечной скорости электро-
электрона v^ (t) не меняется со временем и равен: (P:=4/_,ri-i(O+co^+
<ро— (n/2)^const. Учитывая это, находим, что скалярное произве-
произведение Е-.уП-г(t)v±(t) равно первому слагаемому A.10).
Связь между E-,n-i и составляющей, вращающейся в электрон-
электронную сторону, можно также установить, перейдя к комплексным
величинам: Eac(r> 0=?aexp(iDra@)—co^+kr)). При таком пред-
представлении опережение по фазе составляющей, выделенной из у-
компоненты электрического поля, учитывается умножением на
«хр(—т/2). Поэтому комплексная амплитуда суммарного поля,
вращающегося в электронную сторону, оказывается равной Е-с=
=?Л ехр(—i4V°>)—¦i.E,/exp(—-i4V0)). Мнимая часть этого выраже-
выражения, взятая с обратным знаком, действительно пропорциональ-
пропорциональна Е-,п-1.
Покажем теперь, что с электроном может взаимодействовать
и составляющая электрического поля, вращающаяся в ионную сто-
сторону. Рассмотрим парциальную волну с азимутальным волновым
числом т=п-\-\. Ее угловая скорость со/ (я+1)—<»ея/(«+1) мень-
меньше ©е. Электрон обгоняет эту волну, и поэтому фаза волны
W+>m(t)—(i>t—mcp(/)+const на траектории электрона не убывает,
а возрастает со временем — для электрона направление хода вре-
времени как бы меняет знак. В результате электрон будет «видеть»
волну, электрическое поле которой вращается в обратном направ-
направлении, т. е. в электронную сторону. Амплитуда этой волны, оче-
очевидно, пропорциональна /п+1(|в), и, как показывает рассмотрение,
аналогичное проведенному выше, величина E(.,n+i(')vj_@PaBHa BT0"
рому слагаемому в A.10).
Наконец, рассмотрим колебания, электрическое поле« которых
параллельно Во. Продольная компонента скорости электрона v..
постоянна во времени, поэтому постоянным должно быть и элек-
электрическое поле. Нетрудно видеть, что если выполнено резонансное
условие A.4), то с электроном взаимодействует парциальная со-
составляющая из разложения A.3) с азимутальным волновым чис-
числом т = п и амплитудой EzJn(%e) [см. третье слагаемое в A.10)].
>64
В силу сравнительной малости ларморовского радиуса электро-
электронов часто выполняется условие ?е= & ре<с1- Используя приближен-
приближенное равенство /п(?) = A/я!) (?/2)п, справедливое при ?<Cl, нахо-
находим, что в этом случае с электронами наиболее интенсивно взаи-
взаимодействуют колебания, обладающие электронной поляризацией.
В предельном случае ?=0 (холодные электроны) только такие
колебания и могут взаимодействовать с электронами, причем для
этого их частота должна быть равна циклотронной (п=1). Взаи-
Взаимодействие колебаний с иной поляризацией, а также колебаний
электронной поляризации на гармониках циклотронной частоты
(л^2) всецело обусловлено эффектами конечности ларморовского
радиуса электронов, причем колебания с электронной поляриза-
поляризацией взаимодействуют сильнее, чем колебания с Е||В0, а послед-
последние сильнее колебаний с ионной поляризацией. [Множители при
амплитудах соответствующих составляющих в A.10) пропорцио-
нальны 5 , 5 , ? •]
е ее '
Выражения A.8) — A-10) позволяют определить не только пол-
полное количество энергии, которым электроны обмениваются с ко-
колебаниями, но и распределение этой энергии по степеням свободы
(поперечной и продольной). С этой целью проанализируем движе-
движение электронов на плоскости v ц 0и^ под действием циклотронных
колебаний. Поделив A.8) на A.9), получим
Представим -<s±>< в виде <.e1>i=mev±v± и соответственно
<V >, = tf&ew.. ?>ц. Здесь под v ип, понимаются усредненные по
времени значения. Проинтегрировав A.11), найдем v2. —|— (t»..—wjkц)>=
—-const, откуда следует, что на плоскости v Qv. резонансные ча-
частицы перемещаются по окружностям, центры которых располо-
расположены в одной точке (<й/к\\, 0) (рис. 1.4). Этот результат хорошо
известен в квазилинейной теории [26, 27]. Дадим его физическую
интерпретацию. С этой целью перейдем в систему отсчета, дви-
движущуюся вдоль магнитного поля со скоростью со/'&ц. В этой си-
системе центры окружностей на плоскости в 0о. совпадают с нача-
началом координат и, следовательно, полная энергия электрона по-
постоянна. Действительно, в рассматриваемой системе координат
частота волны о/=со—k..v^ обращается в нуль, а сама электро-
электромагнитная волна вырождается в статическое пространственно-пе-
пространственно-периодическое возмущение с потенциальным электрическим полем.
Такое возмущение не может вызывать систематического изменения
полной энергии резонансных частиц, поскольку они движутся по
линиям постоянной фазы волны, а следовательно, и постоянного
потенциала. С точки зрения квантовой теории постоянство энер-
энергии резонансных частиц обусловлено обращением в нуль энергии
квантов (e=ftffl) при со=0. Однако импульс квантов отличен от
5—67 65
нуля, поэтому волна может изменить направление вектора скорости
электрона и, следовательно, соотношение между v и v *.
Отметим, что соотношение между приращениями поперечной и
продольной энергии не зависит от поляризации колебаний [см.
A.8), A.9)]. Это может приводить к довольно парадоксальным
следствиям. Например, рассмотрим обыкновенные колебания, рас-
распространяющиеся поперек магнитного поля. Электрическое поле
таких колебаний направлено вдоль Во (см. § 1.2). Поскольку мы
считаем, что ^||=0(о)/^ц = оо), то окружности на рис. 1.4 вырож-
вырождаются в вертикальные прямые. Это означает, что хотя Ej_—О, у
электронов при взаимодействии с колебаниями изменяется лишь
Рис. 1.4. Траектории движения электронов
на плоскости v ц Оу^ под действием элек-
электромагнитных колебаний
V,,
поперечная энергия. Парадокс разрешается, если учесть действие
магнитного поля волны. Магнитное поле поворачивает вектор ско-
скорости электрона и полностью переводит изменение продольной
энергии в поперечную [см. A.6), A-7)].
Взаимодействие ансамбля частиц. Покажем теперь, что ис-
использование формализма кинетического уравнения приводит к тем же резуль-
результатам, что и проведенный выше анализ движения отдельных частиц. L этой
целью рассмотрим движение ансамбля электрогов, у которых «начальные» фа-
фазы Ча.т меняются со временем хаотически. Предположим, что характерное вре-
время изменения фазы тс намного больше периода колебаний. К сбою фазы могут
приводить, например, кулоновские соударения, и в случае колебаний, излучае-
излучаемых внешним генератором, нестабильность фазы последнего. Отметим, что толь-
только при наличии случайных воздействий понятие резонанса становится физиче-
физически определенным, а именно: резонансными должны считаться колебания, час-
частота которых отличается от определяемой из условия A.4) не более чем на
бсодатс; соответственно скорости резонансных частиц должны лежать в ин-
интервале шириной 5 и и ^ (k цТс)". Эти утверждения, строго говоря, относятся
к колебаниям бесконечно малой амплитуды, которые только и рассматриваются
в настоящем подразделе. Если амплитуда колебаний достаточно велика, то не^
линейные эффекты могут занять место случайных воздействий (см., например,
[26, 28], а также ниже раздел 3).
Поскольку выражения для <е |_>с н <Ец>* являются гармоническими функ-
функциями фаз Ч^0' [см. A.8), A.9], то при усреднении по случайному ан-
ансамблю они обращаются в нуль. Это означает, что изменения ?¦ , t,, носят
* Предлагаемая интерпретация соотношения A.11), разумеется, справедлива
лишь для медленных волн cN^ >1, когда при переходе в движущуюся систему
координат величины ш, &ц и другие можно преобразовывать по нерелятивист-
нерелятивистским формулам.
66
диффузионный характер. По аналогии с обычными диффузионными процесса-
процессами запишем
= — ^i.i л? — D i и л» > A.12)
Здесь скобки со значком г означают усреднение по случайному ансамблю;
Ые_|_' гц)—функция распределения электронов;
у
величины <?j_*>; и <«||>; определяются A.8), A.9).
Суммируя A.12), A.13), получаем
Рассмотрим теперь вопрос об изменении функции распределения электро-
электронов под действием колебаний с помощью кинетического уравнения. Кинетиче-
Кинетическое уравнение, линеаризованное по малым возмущениям, вызываемым волной,
имеет вид
Jt те \ с l u) dv
Здесь f 1 (г, у, t) — возмущение функции распределения; полная производная в
левой части берется по невозмущенной траектории электрона; Е, Bi — напря-
напряженность электрического и индукция магнитного поля волны соответственно.
При анализе кинетического уравнения возмущенные величины удобно брать в
комплексном виде (см. выше):
?e~exp(-i(<D/-kr-Ve(»))).
Используя стандартный метод интегрирования по траекториям, из A.15)
получаем
00
exp(i n<p0 — 1 Ёе sin ?„) a_n(i)e_k p
— Jnv . Ех exp A Ф^') — ij'nv,Ey exp |
n<ae
- — Jnv ,,EZ exp A
(O "
-^-/„^ exp(l ??)-i Jn'v
5* 67
Изменение энергии электронов под действием колебаний дается выражением
dv—^- -j-= —eRe\ dv(vE*) ft1).
Определяя, как обычно, Im(co — пше — й^у )—1= —п8((о — пые — й ^ о.,) и
производя ряд простых преобразований, получаем
Здесь &пс — естественная модификация выражения A.10) на случай электри-
электрического поля колебаний, взятого в комплексном виде. А именно, в A.10) долж-
должна быть произведена замена sin 4ra,n@'-^-exp(—i4Vr>@))- В выражении для &„с
удобно опустить несущественный фазовый множитель ехр (—iDfa,n@)—^V0'));
Gcn = Ех ехр A Ч? № )vin-^-iEt) ехр (i Ф<°>) о j'n +
Здесь ?±=?xexp(i4;x<0))±i?'Hexp(i4f!/@)).
Выражение A.14) отличается от я-ro члена суммы вA.16) заменой тс/4-->-
-» п8 (со — п«ас = fc |, в и). Попытаемся понять смысл такой замены. В выражении
A.16) 8-функция получается при предельном переходе Hmlm(l/(co — тое —
v-»0
^||U|j+iv))= —л8 ((о — п<ле — k ,, v м). Включение в резонансный знаменатель
мнимой добавки i v эквивалентно предположению о сбое фаз *Р„ п за время хс =
= Bjtv)~x. Если интересуются широкими частотными интервалами Д<о §•> v и
«размазанными» распределениями с Дуц ^.v/fey, то при вычислении интегралов
типа A.16) конкретное значение v оказывается несущественным, и поэтому
можно пользоваться предельными выражениями, получающимися при v-H).
Однако следует помнить, что резонансное взаимодействие длится конечное вре-
время, и соответственно даже при точном выполнении резонансного условия A.4)
мнимая часть резонансного знаменателя равна конечному значению тс~'. 1аким
образом, эквивалентность A.12), A.16) можно считать установленной. Допол-
Дополнительный множитель 2 в A.16) обязан соотношению <|ехр(—\Ы) \2>t =
1.1.3. Циклотронный резонанс в системах с коаксиальными лар-
моровскими окружностями. Как уже отмечалось, центральным
пунктом анализа резонансного циклотронного взаимодействия
является выделение из исходной волны резонансной составляю-
составляющей. Для плоских волн процедура выделения подробно проанали-
проанализирована в предыдущих параграфах. Однако для систем с магнит-
магнитным полем характерна не плоская, а, скорее, аксиальная симме-
симметрия. Соответственно и колебания таких систем имеют вид ци-
68
линдрических или винтовых волн. Если ларморовский радиус за-
заряженных частиц мал по сравнению с радиусом системы, то в
первом приближении ее кривизной в пределах ларморовской
окружности можно пренебречь и считать систему плоской. Вместе
с тем в ряде случаев такой подход был бы заведомо неверным.
Так, в магнитной ловушке «Астрон» коаксиально вращающие-
вращающиеся релятивистские электроны создавали цилиндрической слой с
толщиной, малой по сравнению с ре [27]. Этот слой предполага-
предполагалось использовать для так называемого обращения магнитного по-
поля. Рассматриваются системы, в которых аналогичные слои обра-
образуются высокоэнергичными ионами [30]. Кольца, образованные
коаксиально вращающимися релятивистскими электронами, ис-
используются для коллективного ускорения ионов [31].
В ряде адиабатических магнитных ловушек ларморовский ра-
радиус ионов был сопоставим с радиусом ловушки. В ловушке АС
[32] ионы, вращающиеся вокруг оси системы, образовывали полый
цилиндр аналогично релятивистским электронам в ловушке
«Астрон». В ловушках ОГРА-1, ДСХ [33, 34] все ионы или их
значительная часть имели одно и то же значение ларморовского
радиуса рй причем центры ларморовских окружностей этих ионов
отстоят от оси симметрии системы на расстояние р;. Сравнитель-
Сравнительно высокие значения отношения рг/ро A ^p,-/popb0,l) характер-
характерны для многих адиабатических ловушек. Следует, однако, отметить,,
что наблюдается тенденция к уменьшению отношения р,/р0. Так,
на установках ОГРА оно уменьшилось от 1 для ОГРА-1 до 0,1 для
ОГРА-4.
Проанализируем сначала резонансное циклотронное взаимодей-
взаимодействие в простейшем случае системы с коаксиальным вращением,
в которой центры всех ларморовских окружностей лежат на ее оси.
Колебания таких систем исследовались довольно подробно в связи
с проблемой устойчивости плазмы в адиабатических ловушках и
проблемой СВЧ-генерации [30, 35—38]. В геометрическом отно-
отношении система с коаксиальным вращением аналогична циклотро-
циклотрону, причем использование собственных колебаний цилиндрическо-
цилиндрического объема позволяет обойтись без дуантов. Действительно, в силу
аксиальной симметрии системы пространственно-временная зави-
мость электрического поля собственных колебаний плазмы имеет
вид
F. (г, t) = Е (р)exp (im0+ik „ г—ieat).
Поскольку на траектории заряженной частицы (электрона) 0 =
= (ов, z=v,., условие фазового резонанса совпадает с A.4), где
т — азимутальное волновое число. Если резонансное условие вы-
выполнено, то электрическое поле колебаний будет вызывать систе-
систематическое изменение энергии электрона. Несложные подсчеты
¦*CS ">< и <ге,|>/, аналогичные проведенным в п. 1.1.2, приво-
приводят к выражениям A.8), A.9) с
(gn-vE^p(Ue?0+-j]|?lj. A.17)
6»
Видим, что при анализе резонансного циклотронного взаимодейст-
взаимодействия в системах с коаксиальным вращением не нужно из исходной
волны выделять резонансную винтовую гармонику, а поперечное
электрическое поле разделять на составляющие, вращающиеся в
электронную и ионную стороны. В результате описание резонанс-
резонансного циклотронного взаимодействия достигается простейшими
средствами. В частности, поскольку ларморовские окружности не
пересекаются, поперечное движение заряженных частиц может
быть описано гидродинамически. Воспользуемся этим обстоятель-
обстоятельством, чтобы посмотреть, как выглядит резонансное циклотронное
взаимодействие в терминах гидродинамики. Для того чтобы и
продольное движение электронов можно было описывать гидро-
гидродинамически, предположим, что в невозмущенном состоянии все
электроны движутся вдоль магнитного поля с одной скоростью.
Обобщение на случай произвольного -распределения по v\\ не со-
составляет труда.
Линеаризуя гидродинамические уравнения движения по малым
возмущениям скорости, вызываемым электрическим полем колеба-
колебаний, получаем
^( L) A.18)
Здесь Vo — начальная скорость; V+—ее возмущение электрическим
полем колебаний; -jf=Jf + me^-Tvn ~^-— ~ {(«>-№>е— knVn ) =
= — ico'/я. Отметим, что гидродинамическое уравнение A.18)
•совпадает по виду с уравнением движения отдельного электрона
при измененном знаке начального магнитного поля Во (второе
слагаемое в левой части). Изменение знака эффективного магнит-
магнитного поля обусловлено учетом инерционных — переносных слагае-
слагаемых, связанных с невозмущенным ларморовским вращением (под-
(подробнее см. ниже).
Из A.18) находим:
- ^Vj. (V.E) +
i»>.[Eb]-<oe[bV](V,E)};
A.19)
J
Используя A.19) и уравнение неразрывности, определяем воз-
возмущение плотности:
— Чг K.V,, (^oEu) — IV|I («,V,| (V.E))}. A.20)
m
7D
Выражения A.19), A.20) позволяют найти плотности тока w
заряда, которые входят в уравнения Максвелла. Анализ уравне-
уравнений Максвелла должен завершить исследование. Примеры подоб-
подобных исследований можно найти в указанных выше работах, где-
для ряда случаев, представляющих практический интерес, опреде-
определены условия неустойчивости собственных колебаний и их инкре-
инкременты раскачки. Однако нас будут интересовать не конкретные-
результаты такого рода, а общие закономерности, отличающие ре-
резонансное циклотронное взаимодействие в системах с коаксиаль-
коаксиальным вращением заряженных частиц.
Проанализируем с этой точки зрения выражения A.19), A.20).
Они обращаются в бесконечность при сот'=0, ±сое, что свидетель-
свидетельствует о резонансах. В плоском случае точно такой же вид имеют
резонансные условия для колебаний с продольной, электронной ю
ионной поляризациями электрического вектора соответственно.
Однако, как показано ниже, совпадение резонансных условий —
формально и отнюдь не свидетельствует о тождестве физических
процессов, приводящих к резонансу.
Резонанс (ог,/=0 уже обсуждался с точки зрения движения от-
отдельных частиц. Покажем, что анализ гидродинамических уравне-
уравнений приводит к тем же результатам. Из первого уравнения A.19);
при со™'—0 получаем
Р = V . = (VE).
Отсюда следует, что при тФО работа электрического поля коле-
колебаний над электроном приводит к систематическому изменению
ларморовского радиуса. Вполне естественно, что при dno/dp^O
стационарное распределение электронов по радиусу не достигает-
достигается [п\ обращается в бесконечность, см. A.20)].
В силу соотношения У0 = рше изменение энергии ларморовско-
ларморовского вращения дается выражением
Напомним, что при тфО, Е0—О изменение е обусловлено дейст-
действием магнитного поля колебаний (см. п. 1.1.2).
Изменение продольной энергии^находим, используя проекцию?
A.18) на направление магнитного поля:
Полученные выражения для е и е вполне согласуются с A.18),.
A.19), а также с A.17).
Проанализируем теперь резонансы второго типа (|сот'| =(ое).
Обращение в бесконечность V^, свидетельствует о том, что приг
|(о,п'|=сое колебания деформируют траекторию электронов, в то
время как при сот'=0 меняется лишь радиус ларморовскои окруж-
окружности.
71
Для выяснения физической природы резонансов второго типа
обратимся к уравнению A.18). Из него следует, что в отсутствие
переменного электрического поля малые возмущения скорости лар-
моровского вращения также вращаются с частотой ае в плоско-
плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, однако направление
вращения противоположно ларморовскому. Изменение направле-
направления вращения обусловлено инерционными силами, вызванными
начальным, невозмущенным движением. Действительно, учет «пе-
«переносного» ускорения в уравнении движения эквивалентен пере-
переходу в систему координат, движующуюся с невозмущенной скоро-
скоростью. Если невозмущенное движение является вращением с ча-
частотой Qrot = coe, то по теореме Лармора силы инерции оказывают
Рис. 1.5. Две цилиндрические системы ко-
координат, используемые в п. 1.1.4
( — ларморовская окружность)
такое же действие на частицу, как и магнитное поле BL=
= —2Qrot{mecjе) (Во/Во) =—2В0. Сумма «ларморовского» и ре-
реального магнитного полей равна Ве/= Bl-t-B0 =—Во, что и объяс-
объясняет вид левой части уравнения A.18). Если правая часть этого
уравнения меняется с частотой со = сое, то малые возмущения ско-
скорости нарастают во времени. Сложение двух вращений с равными,
но противоположно направленными угловыми скоростями приво-
приводит к движению по траектории, имеющей вид овала.
Напомним, что резонансы первого типа не искажают формы
траектории (окружности). В этом случае приЕ0 =?0 движение во
вращающейся системе координат выглядит как дрейф в постоян-
постоянных скрещенных полях Е0Ф" и Ве/= — Во. Если Е \\ф§ и т=^0,
то в колебаниях имеется ВРФО, т. е. силовые линии колеблются
в плоскостях, проходящих через ось системы. В результате дви-
движение вдоль магнитного поля с невозмущенной скоростью V и мо-
может также приводить к смещению по радиусу.
1.1.4. Циклотронный резонанс в аксиально-симметричных си-
системах с непрерывным распределением ларморовских центров.
Выше были рассмотрены два противоположных предельных слу-
случая: плоских систем (систему можно считать плоской при р^/ро—*-
->-0) и систем, в которых укладывается лишь один ларморовский
радиус (системы с коаксиальным ларморовским вращением). Меж-
Между гем в реальных установках отношение pj/po конечно, а про-
пространственное распределение ларморовских центров непрерывно.
Основу для анализа циклотронных колебаний в этом случае со-
составляет так называемая формула сложения Графа [39]. Она
играет для цилиндрической геометрии ту же роль, что и формула
A.2) для плоской. С помощью формулы Графа простейшее ре-
72
шение аксиально-симметричного волнового уравнения /т(хр)Х
Xexp(im0) (аналог плоской волны) может быть разложено по
цилиндрическим волнам, коаксиальным с произвольно расположен-
расположенным ларморовским кружком (рис. 1.5):
A-21)
Согласно A.21) при p'=pj вес я-й коаксиальной цилиндриче-
цилиндрической гармоники Лпт=/т+п(хрл)/п(хр;). При т^>п первый сомно-
сомножитель в этом выражении можно интерпретировать как амплиту-
амплитуду колебаний в месте расположения ларморовского центра, а вто-
второй — как собственно вес коаксиальной цилиндрической гармони-
гармоники. Может вызвать удивление то обстоятельство, что в аргумент
функции Бесселя /n(xpj) входит только радиальное волновое чис-
число х, а не полное (х2+(т/рJI/2. Здесь, однако, следует учесть,
что функция Бесселя /т(яр) приобретает волновую структуру
/т(ир) ~ Bл;/хр) 1/2cos [хр—(л/2) (т—1/2)] лишьпри р»т/х, ког-
когда полное волновое число практически совпадает с радиальным.
Азимутальное волновое число, определяемое формально как
tri/p, стремится к бесконечности при р-»-0. Однако в окрестно-
окрестности начала координат при разложении исходной волны по коак-
коаксиальным цилиндрическим гармоникам радиальная зависимость
решения столь же существенна, как и азимутальная. Это стано-
становится особенно ясным, если для разложения решения по коакси-
коаксиальным цилиндрическим волнам воспользоваться методом рабо-
работы [37]. В этой работе решение волнового уравнения предлага-
предлагалось разлагать по функциям pm/r(p2)exp(im0), где F(p2) —поли-
—полином конечной степени р2. Нетрудно заметить, что функции ртХ
X-F(p2) близки по структуре к функциям Бесселя, поэтому с их
помощью можно неплохо представить радиальную зависимость
колебаний.
Для разложения по коаксиальным цилиндрическим гармоникам
введем комплексную координату %=pexp(t0). При этом рассматри-
рассматриваемые функции принимают вид tyPim=%mFp.m( \%\2), где индекс
р дает число нулей функции FPtm на интервале О<р<ро (ро—
граница плазмы). В простейшем случае р=0 функция Fo,m, обра-
обращающаяся в нуль при р=ро, имеет вид F0,m—l—(|х|/роJ-
Величина % линейна по декартовым координатам х=*+Ч/> и
поэтому может быть представлена в виде %=Хл+х'> гДе %л — зна~
чение х в центре ларморовской окружности, a x=p'exp(i(p) —зна-
—значение х» отсчитываемое от этой точки. Очевидно, что функции
typ.m — довольно простые полиномы степени т величины exp(i<p)r
поэтому выделение множителя при exp(im'<p), определяющего вес
т'-и цилиндрической гармоники (m'^Lm), не составляет труда.
Так, для функции \ро,т соответствующий множитель равен
Х(р'/роJ)- В окрестности начала координат (при рл>р')» где ре-
73
тиение имеет вид—pmexp(im0), получаем Л™,^р'* т>р'т>. Есте-
Естественно, что тот же самый результат следует из A.21).
Ко всему сказанному выше следует сделать оговорку. Дело в
том, что среди плазменных колебаний имеются такие, область ло-
локализации которых удалена как от центра плазменного шнура, так
и от его края. Например, дрейфовые колебания локализуются в об-
области максимального градиента плотности плазмы. Размер обла-
области локализации может оказаться настолько малым, что в ее пре-
пределах систему можно считать практически плоской. Представле-
Представление соответствующих собственных решений волнового уравнения
в виде ряда по функциям Бесселя хотя и возможно, но крайне
неудобно. По этой причине вывод о том, что вес коаксиальных ци-
цилиндрических гармоник определяется лишь радиальной зависимо-
зависимостью возмущения, может оказаться неверным. Он приближенно
справедлив для отдельного члена ряда A.21), но не для всей
•бесконечной суммы.
Если т/р значительно больше радиального волнового числа,
то при определении веса коаксиальных цилиндрических гармоник
координатную зависимость можно приближенно брать в виде
-exp(im0). При pj<Cp, m»l вес /г-й цилиндрической гармоники,
очевидно, равен 7„(тр3/р). Покажем, что это выражение дей-
действительно получается из A.21). Перейдем в A.21) к пределу
0
A.22)
Представим величину г в виде г=(рл2—2рлр^ coscp+pj2I/2 (см.
рис. 1.5). Будем считать, что р;-/рл->0, но mpj^-K:onst. Восполь-
Воспользовавшись соотношениями
/ , г, '/ \т'2 ( Р/ \ — V т (тЬ\ и
II—2cos9^-l —*ехр у — т — coscp)— У, Ik\—I cos дер,
Л ' Л ft=-oo
00 1 \ к
\~рл~/:== 2j "feT" \ "pjT/ *
яолучаетя
oo
exp(i/n0j= V Jn(m-^)exo(iftcp). A.23)
4J V Рл У
Л= — 00
Соотношение A.22) позволяет найти поправку к весу коаксиаль-
коаксиальных цилиндрических гармоник, обусловленную конечностью отно-
аления (р,-/рл): Л„т=/п+(тр^2/4рл2) (/п-2Н-/п+2), где аргумент
"функций Бесселя ло-прежнему равен mpj/рл-
74
1.2. Циклотронное поглощение
1.2.1. Диэлектрическая проницаемость холодной плазмы. Ана-
Анализируя резонансное циклотронное взаимодействие, мы в основ-
основном обращали внимание на качественную сторону явления. В на-
настоящем параграфе вычисляется коэффициент пространственного
затухания циклотронных колебаний, который может служить ко-
количественной характеристикой интенсивности резонансного цик-
циклотронного взаимодействия. Как установлено выше, интенсивность,
резонансного циклотронного взаимодействия весьма существенно
зависит от поляризации колебаний. При наличии плазмы поляри-
поляризация не может задаваться произвольно, а определяется волновы-
волновыми свойствами плазмы. Поэтому для удобства читателей и связ-
связности изложения рассмотрим поляризацию электромагнитных
колебаний, распространяющихся по плазме (подробнее см., на-
например, [2, 3, 5]).
Предположим, что ларморовский радиус заряженных частиц
мал по сравнению с размером системы, и поэтому будем исполь-
использовать приближение плоских волн, выбирая пространственно-вре-
пространственно-временную зависимость переменных величин в комплексном виде
?аоэехр(—г'а>/+гкг). Для плоских волн уравнения Максвелла
сводятся к системе
где еар — тензор диэлектрической проницаемости плазмы.
Как показано выше, физическое значение имеют не отдельные
декартовы компоненты электрического поля Ех. Еу, а, скорее, их
комбинации Е±=Ех±\Еу, соответствующие составляющим, вра-
вращающимся в ионную и электронную стороны. В дальнейшем уви-
увидим, что и математический анализ электромагнитных колебаний
в терминах Е+, Е- значительно упрощается, а его результаты пред-
представляются в более удобной для физической интерпретации форме.
Заменяя в системе A.24) Ех, Еу на Е+, Е-, приводим ее к ви-
виду [40]
I * Я т2 I I 1 г ж Т |
Ie \
= 0.
Здесь е—=A/2)(в« + *уу) + iaxy> s-+ = A/2) (
A.25)
-j-ie^); e(]|| =^A/2)егг. В дальнейшем именно эту совокупность
величин, не являющуюся тензором, будем обозначать еар. Соответ-
Соответственно индексы а, р будут принимать значения —, -\-г ||. Их иное
использование будем специально оговаривать.
75
В практических целях (диагностика плазмы и ее нагрев), как
правило, используют колебания с длиной волны, значительно пре-
превышающей ларморовский радиус заряженных частиц. На поляри-
поляризацию таких колебаний эффекты, обусловленные тепловым движе-
движением заряженных частиц, оказывают лишь слабое воздействие, ко-
которое можно учесть методом последовательных приближений.
В нулевом приближении, считая плазму холодной G^=0), нахо-
находим, что отличные от нуля компоненты еар равны:
=1 — ш [ш (ш — сое) — со Jw (to -4- со,);
е++ —! — № /<° ((о+те) — ш1/ш (ш — ">«¦);
A.26)
1.2.2. Электронные циклотронные колебания холодной плазмы. Дисперси-
Дисперсионное уравнение, связывающее частоту колебаний с волновым вектором, полу-
получается приравниванием нулю определителя системы A.25). В случае холодной
плазмы это уравнение исследовалось во многих работах [2—5, 8, 10, 12, 14, 16].
Повторять здесь соответствующий анализ не будем, постараемся лишь нагляд-
наглядно представить себе его результаты. По нашему мнению, этого проще всего
достигнуть с помощью так называемой диаграммы Клемова — Малэли —
Аллиса (диаграмма КМА) [3, 5]. По осям этой диаграммы откладывают
безразмерные величины, пропорциональные плотности плазмы (по оси абсцисс)
и магнитному полю (по оси ординат), обычно <7j = <7,(coj/coJ [где Q) =
= (copj/wjJ] и pj = (o,-/(o соответственно. Каждой точке диаграммы "отвечает
определенное состояние плазмы. Волновые свойства плазмы на диаграмме КМА
характеризуются фазовыми полярами, изображающими зависимость фазовой ско-
скорости колебаний a>/kc—N~l от угла 9=kBg. (При заданных значениях л0 и Во
угол 6 остается единственным свободным параметром в дисперсионном уравне-
уравнении.) В однородной плазме фазовая поляра представляет собой фигуру враще-
вращения относительно оси, параллельной магнитному полю. Поскольку магнитное
поле является аксиальным вектором фазовая поляра симметрична к отраже-
отражениям относительно плоскости, проходящей через ее центр перпендикулярно
магнитному полю. Следовательно, фазовая поляра имеет центр симметрии. На
диаграмме КМА изображается сечение фазовой поляры плоскостью, проходя-
проходящей через ось вращения, причем фазовая скорость колебаний пропорциональна
расстоянию точки, лежащей на фазовой поляре, от центра симметрии. Ось враще-
вращения поляры располагается параллельно оси ординат, т. е. угол G следует отсчи-
отсчитывать от направления вертикально вверх Некоторые колебания не могут
распространяться в определенном интервале значений угла 8, когда их показа-
показатель преломления принимает мнимое значение (jV2<0). Свойства таких коле-
колебаний на диаграмме КМА никак не отражаются. Условия распространения ко-
колебаний меняются при определенных (критических) значениях параметров, на-
например при o)j = (o. На диаграмме таким критическим значениям параметров
соответствуют кривые, разбивающие ее плоскость на ряд областей. Чтобы со-
составить качественное предстаеление о волновых свойствах плазмы и тенден-
тенденциях их изменений, в каждой области изображают фазовые поляры, отнесенные
к одно» или нескольким точкам Отметим, что поскольку в холодной плазме
могут распространяться колебания двух типов, то каждой точке на диаграмме
КМА, вообще говоря, должны соответствовать две фазовые поляры.
76
На рис. 1.6 изображен участок диаграммы КМА в окрестности электронного
циклотронного резонанса (шлио,,). Из этого рисунка следует, что при <о<ше и
(Оре^Ые под любым углом 9 к магнитному полю могут распространяться ко-
колебания двух типов — обыкновенные и необыкновенные. Их фазовые поляры
¦будем отмечать индексом or (ordinary) и ex (extraordinary). Классификация
производится в соответствии с поляризацией колебаний при распространении
поперек магнитного поля (9 = я/2). У обыкновенных колебаний электрическое
поле параллельно Во, а магнитное перпендикулярно Во. У необыкновенных ко-
колебаний направления электрического и магнитного полей меняются местами.
Рис. 1 7. Поляризация электронных цик-
циклотронных колебаний:
/ — необыкновенные колебания; 2 — обыкно-
обыкновенные колебания
Рис 1.6. Диаграмма КМА электронных циклотронных колебаний (ре=<вв/'ей« 1):
Кривые abc, det — траектории волновых пакетов колебаний с ч>хи>е и @=2ше соответст-
соответственно в плазме токамака; кривая gh — траектория колебаний с ши(Ве в плазме открытой
ловушки; линии резонансов (iV2=°°); линии отсечки (iV2=0)
Известно, что при распространении вдоль магнитного поля (9 = 0) электри-
электрическое поле колебаний перпендикулярно Вд и вращается в электронную (вправо)
или в ионную стороны (влево). Направление вращения отмечается буквами е,
i. При ре<1 и 9 = 0 электрический вектор необыкновенных колебаний враща-
вращается в электронную сторону, обыкновенных — в ионную.
По мере увеличения частоты фазовая скорость необыкновенных колебаний
ладает (рис. 1.6), причем наиболее значительно для колебаний, распростра-
распространяющихся вдоль магнитного поля (9 = 0). При й)==сое фазовая скорость таких
колебаний обращается в нуль (iV=oo), т. е. имеет место циклотронный резо-
резонанс. В области рв<1 (со>сое), как следует из рис. 1.6, колебания с 9 = 0 не
распространяются, а резонанс переходит в так называемый плазменный и сме-
смещается на большой угол 6.
Проанализируем теперь поляризацию электронных циклотронных колебаний.
Из A.25) можно получить соотношения
?_ =
— г
•С и =
'II II
A.27)
A.28)
77
В силу простоты дисперсионного уравнения (оно квадратично по N2) иден-
идентификации колебаний при 0—>-0 не составляет труда. Зависимость поляризации
колебаний от угла в схематически изображена на рис. 1.7.
Случай чисто продольного распространения для необыкновенных колебаний
является выделенным, так как при 0=0 поляризация скачком изменяется на
чисто поперечную—электронную (Е_=И=0, Е+ = Ец =0). С учетом эффектов теп-
теплового движения электронов изменение поляризации растягивается на конечный
интервал углов 0~(угс/с)'/3 (см. п. 1.2.5). В этом же интервале изменяется
выражение для показателя преломления от ^|х^г2ец ц /sin2 9 к Л^х=^:е
Наиболее примечательная особенность колебаний с to=we — это отсутствие
составляющей электрического поля, вращающейся в электронную сторону (ис-
(исключение составляют необыкновенные колебания с 6=0). Ниже показано, что
при учете теплового движения электронов в колебаниях появляется составля-
составляющая Е-, однако она остается малой по сравнению с Е+ и Е ц. Это обстоя-
обстоятельство приводит к значительному ослаблению резонансного циклотронного
взаимодействия и имеет своим следствием как уменьшение коэффициента за-
затухания колебаний (см. ниже), так и подавление спонтанного теплового излу-
излучения на циклотронной частоте, см., например, [12].
Проведенный анализ относится к плазме не слишком большой плотности
(qe<l), колебания которой представляют наибольший интерес. Его без труда
можно распространить на колебания плотной плазмы, а также на колебания
на гармониках электронной циклотронной частоты.
Для колебаний, распространяющихся под углом к магнитному полю, линия
ре=1 (<о = Ю(.) на диаграмме КМА ничем не выделена. Такие колебания не
«чувствуют» циклотронного резонанса. Это возможно лишь, если ?_ = 0. Дей-
Действительно, в рассматриваемой холодной плазме резонансное взаимодействие
целиком обусловливается электронной составляющей электрического поля ко-
колебаний (см. выше). Поэтому только при ?_=0 циклотронный резонанс отсут-
отсутствует. Этот вывод подтверждается A.27), поскольку |е—|->-оо при to-»-(oe, и
если N2 — конечно, то ?_->0.
При ?_=0 дисперсионное уравнение циклотронных колебаний принимает
вид
Здесь и в дальнейшем Аа$ — алгебраическое дополнение элемента аар матрицы
волнового уравнения A.25).
Для колебаний, рапространяющихся поперек магнитного поля jV fI =0,
дисперсионное уравнение A.28) распадается на два: JV2=2e++ иЛ/2 = 2ец н-
Первое дает показатель преломления необыкновенных колебаний, второе —
обыкновенных. Если б^я/2, но [8—я/2]<1, то из A.28), A.29) в соответст-
соответствии с классификацией колебаний
(?,, /?+)ех - cos {Г-* 0, (?„ /?+)ог - 1/cos «_^ ~-
В другом предельном случае 6-М)
78
1.2.3. Ионные циклотронные колебания холодной плазмы. При анализе ион-
ионных циклотронных колебаний необходимо наряду с ионным вкладом в диэлек-
диэлектрическую проницаемость учитывать электронный вклад. При Те = Т{ = 0; ш»
«он; u)pi>o)i отличные от нуля компоненты еар имеют вид
ei\ 11 =*= ~ "?i С/2)
A.30)
Если |to—(Di]><o4 me/mt, то наибольшей среди компонент A.30) является
г || () | что обусловлено высокой подвижностью электронов вдоль основного маг-
магнитного поля. Благодаря этому электроны, быстро перераспределяясь вдоль Во,
успевают уничтожить продольную компоненту электрического поля низкочастот-
низкочастотных колебаний (Е , ^> Е « ).
Аналогичным образом, поскольку при <o=sa>j выполняется условие |е++|>
> | е— |, то | ?-1 > | ?+1. Последнее соотношение справедливо для магнитозвуко-
вых колебаний, показатель преломления ко-
которых №=2г—(l+cos26)-' (ан=0)
остается конечным при а> = й>; (сравнить с
электронными циклотронными колебаниями,
распространяющимися под углом к магнит-
магнитному полю, см. п. 1.2.2). На рис. 1.8 фа-
фазовая поляра магнитозвуковых колебаний
отмечена буквой М.
Колебания другого типа — альфвенов-
альфвеновские — могут распространяться, лишь если
(u<o)i, а угол в между Во и к не слишком
велик. При предельном значении угла 0 по-
показатель преломления альфвеновских коле-
колебаний обращается в бесконечность, что сви-
свидетельствует о плазменном резонансе. По
мере того как <о—>-CDi, предельное значение
6.сг уменьшается, и при ш = со*, когда плазменный резонанс переходи! в цикло-
циклотронный, 9СГ обращается в нуль (см. рис. 1.8). Это означает, что при цикло-
циклотронном резонансе альфвеновские колебания могут распространяться лишь вдоль
магнитного поля. Электрическое поле таких колебаний обладает чисто ионной
поляризацией (?+=^0, ?_ = ?„ =0).
1.2.4. Диэлектрическая проницаемость плазмы с учетом тепловых эффектов.
Совокупность компонент га$, у которых индексы аир принимают значения
плюс, минус и параллельно (см. выше), по аналогии с тензором е«р удобно
представить в виде
Рис. 1.8. Диаграмма КМА ионных
циклотронных колебаний (р,- =
/ 1)
A.31)
Здесь распределение частиц по скоростям предполагается максвелловским;
№(?пу)—интеграл вероятности от комплексного аргумента ?n=w—rw>:/V2k,, о,--;
vTj = (Tj/rrijI12; b= @, 0, 1); величины П^>е даются выражениями
79
я_2 - Ап);
П.32)
тт(")
II II
где
ехР ( —
Чтобы получить Пом(п), необходимо в A.32) произвести замены \те-+—|гч,
п-*-—п, при этом обозначение tm удобно использовать для величины
(to — no>i)/v 2k.I vTi. Учитывая соотношение Л_П=Л„, находим, что переход
к ионам требует в A.32) замены индекса + на — и обратно.
Если длина волны колебаний значительно превышает ларморовский радиус
электронов, то, разлагая в A.32) Ап по |гв<1, получаем
(л— 1)! V 2
П1Я'+
п(/г)„
— П(п
1
(л
II.
(л-1)! \T
_>e- (n-1)! I 2
и!
A.33)
тт(Л)
"ll I
. е^- л! \ 2 Ч'е j ''ne-
Диагональные элементы A.33) удовлетворяют соотношениям П ,в(в'^>
^> Л{"'ц tg^>H^\. e. Эти соотношения между элементами Пкр,е(п' отражают
иерархию интенсивности взаимодействия различных составляющих электрического
поля колебаний с заряженными частицами (см. п. 1.1.2). Отметим, что наличие
одного преобладающего элемента в совокупности компонент еаэ существенно
упрощает анализ дисперсионного уравнения циклотронных колебаний, так как
позволяет в каждом конкретном случае без труда выделить наибольшие сла-
слагаемые.
1.2.5 Поглощение на электронной циклотронной частоте
(о)ч=ме). Мерой интенсивности поглощения электромагнитных ко-
колебаний может служить безразмерный коэффициент пространст-
80
венного затухания x=(c/w)Im&. Коэффициент затухания будем
определять из дисперсионного уравнения, разрешая его относи-
относительно волнового вектора, в предположении, что частота колеба-
колебаний действительна. Чтобы выделить в дисперсионном уравнении
наибольшие слагаемые, полезно обратиться к равенству, следую-
следующему из закона сохранения энергии: х=(с/ш) (Q/2S). Здесь Q =
= (со/8п) Im еарЕа*Е$ — количество энергии, поглощаемой в едини-
единице объема за единицу времени; 5 — плотность потока электромаг-
электромагнитной энергии.
Антиэрмитова часть компонент еар, которая определяет погло-
поглощение электромагнитных колебаний, пропорциональна ImlF(?ie)X
X Па я е- Предположим, что выполняется условие gre-Cl- В этом
а я е-
случае из всех компонент е«р наибольшая е , которая в холодной
плазме обращается в бесконечность. Если бы в электромагнитных
колебаниях составляющие ?_, Е+ и Е ^ присутствовали с равным
весом, то поглощение в основном определялось бы Е-. Однако вы-
выше было показано, что в холодной плазме (s"r> = 0), где при цикло-
циклотронном резонансе |е |=°о, составляющая поля ?_ обращается
в нуль. Таким образом, слагаемое Ime |?-|2 в выражении для
Q содержит неопределенность. Неопределенность устраняется с
учетом эффектов, вызываемых конечной температурой электронов.
При Теф0 влияние эффекта Доплера приводит к размытию цикло-
циклотронного резонанса на область частот Зю-ч^А р . В этой области
г__ имеет хотя и большое, но конечное значение |е \-kj m/k ит^
"^Е7«* (При оценках по порядку величины считаем, что k[} <^>k .)
Из верхнего уравнения системы A.25) получаем Е-'~'Ъ>теЕ+. Таким
образом, слагаемое е |?-|2 в выражении для Q имеет порядок
%Те |?+|2. Поскольку в резонансной области e_h "чЛ, eN ц/>-'57.е, а
Еп^иЕ+ A.27), такой же по порядку и вклад слагаемых, в ко-
которые входит Еп. В то же время в слагаемые, содержащие Е+,
входит дополнительный малый множитель |Те2, и поэтому ими
можно пренебречь. Следовательно, оказывается, что при прибли-
приближенном вычислении х достаточно учесть мнимую часть величин
8—' е-п и % и-
Дисперсионное уравнение, получаемое приравниванием нулю
определителя системы A.25), будем решать методом последова-
последовательных приближений по малому параметру gTe. Сначала прирав-
приравняем нулю Аи — алгебраическое дополнение наибольшего элемен-
элемента матрицы A.25) (air—е -— ?~5^>1) и получим A.29). Это
уравнение определяет показатели преломления двух типов коле-
колебаний— обыкновенных и необыкновенных при ш=(ое, Те = 0.
Остальные члены дисперсионного уравнения являются малой по-
поправкой к основному а\\А\\. Их удобно преобразовать, используя
равенство A.29), из которого следует а22^=*Ьз2/азз. В результате
6—67 81
полное дисперсионное уравнение приобретает вид [40]
4 (N^+qe-l) ± (N2±+qe~l)
A.34)
где oie=(n/8)U2(qelN\\fie)W(t,ie), ре=иГе/с. Заметим, что обычно
используется более громоздкая запись этого дисперсионного урав-
уравнения [12, § 13]. Компактный вид — A.34) — оно приняло из-за
использования при вычислениях сочетаний Е± вместо Ех и Еу.
В нулевом приближении по | cfi^ | —J <^; 1 уравнение A.34) сво-
сводится к A.29); в следующем приближении коэффициент затуха-
затухания
х = ехр—V^cos6 »YN + 2qelf У (С,.), A.35)
F (8*)' '2 qe (^+^-1)^(9) le'' V '
где необыкновенным колебаниям соответствует знак плюс, обык-
обыкновенным минус; fF) = D(l— q-eJcos2e+sin46)!/2; V{t,) =
=ехр(—t,2) | W(t) \~2; функция Vit,) определяет профиль линии
поглощения. В предельных случаях малых и больших значений
аргумента для нее справедливы приближенные представления
Ы;гехр(— S2) |
Выражение A.35) значительно упрощается при 0<С1 (малые
углы) и л/2—9<С1 (большие углы). При 6<С1, подставляя в
в A.35) приближенное выражение для показателя преломления не-
необыкновенных колебаний
Nex^2(l-qe)/Q2, A.36)
получаем [8]
Xex^Bn)-1/2(pe/^)^V4V(Sie). A.37)
Из A.36), A.37) следует, что при 9-»-0 показатель преломле-
преломления jVex, а вместе с ним и коэффициент затухания хех не-
неограниченно возрастают. Рост хех обусловлен увеличением
J;(|'~jQ~1E+ (см. рис. 1.6), а также E-(E-coft-2E+). Однако при
6 -г ре1/3 нарушаются условия применимости метода последова-
последовательных приближений, использовавшегося при решении дисперси-
дисперсионного уравнения (N2 по порядку величины сравнивается с а\е).
В области углов 6<ре1/3 происходит переход к предельному слу-
случаю продольного распространения (8 = 0), когда в колебаниях от-
отлична от нуля лишь электронная составляющая электрического
поля. Дисперсионное уравнение таких колебаний имеет вид
a,,=yV2—2ia,<~=0. A.38)
"Уравнение \1.38), вообще говоря, довольно сложное — трансцен-
трансцендентное относительно N. Однако при со==сой его решение имеет
простой в;д [8]:
^ех=(я/2I/«ехр1(я/6)(^/реI/'. A.39)
;82
Показатель преломления и коэффициент затухания обыкно-
обыкновенных колебаний при 0—»-0 даются выражениями
1-Яе
Уменьшение хог при 0->О обусловлено падением Е (En^-'QE+) иг
Е-(Е-—92?+). Отметим, что действительная часть показателя
преломления Nor может быть получена из равенства а2г^—W2+
+е++=0. Однако если из него нашли бы и мнимую часть хог, та
получили значение, в р<г2 раз меньшее приведенного выше.
При 0-*-л/2 у необыкновенных колебаний Е- и ?(| уменьша-
уменьшаются (? |( ос cos 6, ?'_cv>cos1!6j> а у обыкновенных ?п увеличива-
увеличивается (Е [{ оо cos~'6)и ?_ стремится к постоянному значению. В со-
соответствии с этим ведут себя и коэффициенты затухания:
Чтобы получить последнее выражение из A.34), следует исполь^
зовать следующие приближенные выражения для показателей пре-
преломления, справедливые при 0->-я/2:
.Vex2«2—qe\ NOr2да (l—qe) (l+^cos26).
Проведенное рассмотрение опиралось на предположение, что<
вклад плазмы в диэлектрическую проницаемость существенно пре-
превышает «вклад вакуума» (|еар|>1). Между тем даже при точ-
точном выполнении резонансного условия @ = сог) электронный вклад
не превышает по порядку отношения qe/$e- Поэтому полученные
выше выражения для х справедливы лишь при выполнении усло-
условия qe^>fie- О необходимости такого ограничения свидетельству-
свидетельствуют, в частности, выражения для хех, содержащие зависимость
В плазме низкой плотности (qe<^fie) электроны слабо воздей-
воздействуют на колебания, это воздействие можно учитывать в рамках
метода последовательных приближений. В нулевом приближении
световые волны имеют показатель преломления N=\. Световые
волны различаются поляризацией электрического вектора. В слу-
случае вакуума отсутствует объективный критерий, по которому мож-
можно было бы выделить базисные колебания. Обычно в качестве
базисных рассматривают колебания с линейной поляризацией
электрического вектора, лежащего в плоскости X0Z и перпенди-
перпендикулярного этой плоскости, т. е. параллельного OF (см. рис. 1.3).
При наличии плазмы базисными естественно считать колебания,
наиболее резко различающиеся по затуханию. Такой выбор про-
происходит автоматически при анализе уравнений Максвелла, запи-
записанных в терминах ?_, Е+, ?р A.25). Оказывается, что при от-
отсутствии плазмы возможны колебания, у которых отличны от нуля
все три составляющие, и колебания с ?_=0. Колебания первого
6* 83
типа естественно отождествить с необыкновенными; коэффициент
затухания таких колебаний, как несложно показать, равен [8]:
а колебания второго типа — с обыкновенными:
'2 Q Sin4 9 Г2 Г2
Ue coseA+co&29) Че еХР ( Че)-
1.2.6. Поглощение на гармониках электронной циклотронной
частоты (со^&щое, гС^Т). Резонансное взаимодействие на гармони-
гармониках электронной циклотронной частоты всецело обусловлено эф-
эффектами конечного ларморовского радиуса электронов (см. выше).
При анализе колебаний с со^яше (п^2), как и в п. 1.2.5, будем
считать, что выполняется условие gre^l. В этом случае резонанс-
резонансные эффекты оказывают слабое воздействие на распространение
колебаний и могут быть учтены в рамках метода последователь-
последовательных приближений. В нулевом приближении по ?,те2 резонансное
взаимодействие отсутствует, и поэтому область частот ы^пае ни-
ничем не выделена. По этой причине электрическое поле колебаний
с сй^кИЮг, вообще говоря, включает в себя все три составляющие
?-, Ец, Е+ с равными по порядку весами. Ввиду того что элек-
электроны наиболее эффективно взаимодействуют с электронной со-
составляющей электрического поля, при вычислении коэффициента
затухания можно учесть лишь Im e—
Ограничимся рассмотрением предельных случаев малых F<С
<Cl) и больших (я/2—0<С1) углов, когда выражения для коэф-
коэффициента затухания принимают сравнительно простой вид. При
0-»-О поляризация необыкновенных колебаний стремится к чисто
электронной, поэтому дисперсионное уравнение принимает вид
,ап = 0. Из этого уравнения получаем следующие выражения для
показателя преломления и коэффициента затухания:
1 — qjn(n— 1);
Яе
K ^ (w/8I/a -L. -^ -*5_ eXp(- ? )
ex v ' I n[ \ 2 ' 6Л2 ne
A.40)
где ?,Te=n$eN sin 0; ?ne=((o—n(oe)/a>N cos 0У2р%. Коэффициент за-
затухания падает с переходом на высшие гармоники, а также при
уменьшении угла 0 и температуры плазмы.
При 0-»-О поляризация обыкновенных колебаний переходит в
ионную, поэтому они поглощаются слабее необыкновенных.
Оставляя в дисперсионном уравнении слагаемые с наименьшей
степенью sin 0->O, получаем из него следующее выражение для
коэффициента затухания:
or 2V \ апаяз
Здесь лишь в Im e необходимо учитывать эффекты конечного
ларморовского радиуса электронов.
84
При б—>-0 показатель преломления определяется уравнением
«22=0 и равен JVOr2=l—qeln(n-\-l). Подставляя это выражение в
A.41), приводим его к виду
ог ( ° ' 16
16 \ п ) п\ \ 2
X sin48exp(-S2). A.42)
Из сопоставления A.40) и A.41) следует, что различие в поляри-
поляризации обыкновенных и необыкновенных колебаний приводит к по-
появлению иог малого множителя sin4G.
При 8->я/2 у необыкновенных колебаний пропадает продоль-
продольная составляющая электрического поля, и поэтому дисперсионное
уравнение принимает вид Лзз=0. Из него получаем
f 1
п(п~\)!\ и(л+1)/1 п2—
/ j.2 \n-
L (JlL.)
/ j \n--l
X^=L (JlL)
Л
\ 2> nK j
"Отметим, что необыкновенные колебания не распространяются
(Лгех2<0) при п(п—\)<qe<n2—1 и qe>n{n-\-\). При qe=
¦=п2— 1 имеет место плазменный резонанс (/Vex2 = °°). Область
значений qe, близких к резонансному, требует специального ана-
анализа [8].
У обыкновенных колебаний при 6->я/2 электрическое поле пе-
переходит в чисто продольное, поэтому коэффициент затухания, как
и при 6-^0, существенно меньше хех. Для его вычисления выделим
в дисперсионном уравнении слагаемые с наименьшей степенью
cos8<Cl- В результате приходим к следующему выражению для
коэффициента затухания:
Йог» A/Агог) (а;:2а1з+#1зЯ2зJ^зз~211Т1 е A-44)
Здесь всюду, кроме Im e , можно использовать приближение хо-
холодной плазмы, положив |Ге=0. Из A.44) получаем
1 / я \ '/2 л* (д2 — 1)а cos 6Л'
4 \ 2 ) п\ qe?e
( Р2 \п~1
Х[_!И ехр(-!;2),
где показатель преломления Afor определяется уравнением а3з=0
и равен Л^ог2=^1—qe\n2.
1.2.7. Поглощение электронных циклотронных колебаний с уче-
учетом релятивизма (8=кя/2). Проведенный анализ справедлив при
выполнении условия я/2—6^>ре. В противном случае становится
существенной неучитываемая выше релятивистская зависимость
85
электронной циклотронной частоты от энергии ©/«««(I—v2/2c2).
Действительно, эффект Доплера приводит к размытию линии цик-
циклотронного поглощения на область частот порядка &yrcos6—реХ
XcosG, в то время как релятивистская зависимость циклохрен-
ной частоты от энергии — на <вере2. Эффект Доплера преобладает
при выполнении приведенного выше условия.
Обратный предельный случай почти поперечного распростране-
распространения (л/2—6<СРе) анализировался в большом числе работ, см., на-
например, [41—44J. Выражение для тензора диэлектрической про-
проницаемости при ?re<Cl, (Зе<С1 можно найти, например, в [45, 46],
Составленные с его помощью величины еар вблизи я-й циклотрон-
циклотронной гармоники имеют вид
Р4 F
A.45)
/—3/2
В A.45) оставлены первые члены разложения по малому пара-
параметру 1те- Если выполняется условие я/2—9<Сре, то при вычис-
вычислении коэффициентов затухания циклотронных колебаний распро-
распространение можно считать чисто поперечным, в частности величи-
величины е и е+|| положить равными нулю. Знак корня (—?п/I/2 в
выражении для Fi определен таким, чтобы величина (—?п/I/2
была мнимой и положительной при со>/гсйе. В этом случае функ-
функции Fi и W действительны и, следовательно, в области частот
аг>я<йе> поглощение отсутствует. Этот результат вполне естествен,
поскольку с учетом релятивизма циклотронная частота ©/ мень-
меньше (йе.
Учет релятивизма не меняет общей картины поляризации ко-
колебаний. Так, при со^Юр у необыкновенных колебаний ионная со-
составляющая значительно превышает, электронную Е-—$е2Е+, по-
поэтому при вычислении коэффициента затухания необходимо учи-
учитывать мнимые части как у е__, так и у е_+ и е++. В то же вре-
время при резонансе на гармониках циклотронной частоты Е-—•?+.
В этом случае коэффициент затухания определяется line
При чисто поперечном распространении из A.24) получаем
следующее дисперсионное уравнение необыкновенных колебаний:
-+) • A -46)
86
В случае ю^сое, используя соотношение | е— ] ^> |е+ + |, |е- + |, при-
приводим его к виду
Лгех2;;=2е++ 2(е +е++) 2/е A-47)
Учитывая в A.47) слагаемые порядка (ЗД находим следующее вы-
выражение для коэффициента затухания [45]:
2 3 ' 3 " ' /' ' ~1eF7/2 ^
6 ех ^ 8 9/2 4?е \ f5/2 yiy
2 „2
где /V = 2 — qe\ к" = т-
ех 21/2 V 2 1 се
При вычислении иех, как и в п. 1.2.5, считали, что вклад элек-
электронов в диэлектрическую проницаемость существенно превышает
«вакуумный вклад». Это предположение справедливо при qe^>[$e2-
В обратном предельном случае (де<ср2е), учитывая вклад плазмы
как малую поправку, находим
При резонансе на гармониках циклотронной частоты из A.46)
получаем [45]
.—_qejn(n+_\)\* л
2 г+1«!Г (п+3/2) iVp/ \ 1 — <7е/(л» — 1) / Гв
где показатель преломления дается формулой A.43).
Обыкновенные колебания при 8 = л/2 имеют чисто продоль-
продольную поляризацию, и поэтому описываются дисперсионным урав-
уравнением
N2 = 2e]nr (I.48;
откуда [45] Nor2=l—qe/n2 и
х ^^ С ) схо(^)
ог 2'+1п2«!Г(/г+5/2)Л'р/ ГеУ «; ' У ™''
1.2.8. Поглощение на ионной циклотронной частоте (
При анализе ионных циклотронных колебаний, как и в п. 1.2.3,
¦будем считать, что электроны уничтожают продольную компонен-
компоненту электрического поля. В этом случае дисперсионное уравнение
принимает вид Л3з = 0. В холодной плазме (|г,= О, ^е=оо) оно
распадается на два: уравнение альфвеновских колебаний а22 = 0
и уравнение магнитозвуковых колебаний ап==0, имеющих ионную
и электронную поляризацию соответственно. Естественно, что аль-
«фвеновские колебания взаимодействуют с ионами гораздо эффек-
87
тивнее, чем магнитозвуковые. В области ионного циклотронного!
резонанса альфвеновские колебания могут распространяться лишь
под очень малым углом к магнитному полю (Э-Cl). Дисперсион-
Дисперсионное уравнение таких колебаний совпадает с A.38), а его реше-
решение—с A.39), если у величин, входящих в A.38), A.39), заме-
заменить индекс е индексом i и соответственно qs= ((ope/o)eJ на <7,=
= (о)р,/(о,J=(с/слJ, где Сд — альфвеновская скорость.
Поглощение магнитозвуковых колебаний обусловлено ионной
составляющей электрического поля, которая появляется при уче-
учете эффектов, вызываемых тепловым разбросом ионов по скоро-
скоростям. (Сравнить с поглощением электронных циклотронных коле-
колебаний, распространяющихся под углом к магнитному полю, см.
п. 1.2.5.) Дисперсионное уравнение магнитозвуковых колебаний
Лзз^О представим в виде аи—a\i2\di2- Его правую часть следует
рассматривать как малую поправку, а эффекты теплового движе-
движения учитывать лишь в а22, при этом получаем [8]
sin* 8 cos 8 „ , "-{V^,). A.50)
m (8*)'" A+ccs2 О)»'
1.2.9. Поглощение на гармониках ионной циклотронной частоты
(ю^/мо,-, ге^2). В области частот a—nan (л^-2) существует лишь
одна ветвь колебаний — магнитозвуковая. У этих колебаний, как и
у электронных циклотронных колебаний с (й~«юе (и^2), электрон-
электронная и ионная составляющие электрического вектора имеют сопо-
сопоставимый вес. Естественно, что поглощение ионных циклотронных
колебаний обусловлено действием ионной составляющей.
В пренебрежении эффектами конечного ларморовского радиуса
ионов дисперсионное уравнение Лзз=0 дает
N = ^
м 2(n2-l)cos28 \ca
-(l+cos2e)}.
Учитывая далее Ime++ как малую поправку, получаем коэффи-
коэффициент затухания [8]:
м U2/ я! N2M \сА) V 2
[N2M A + cos28) - 2/(e + 1) (с/сАJ)
х'м
При 0->О коэффициент затухания обращается в нуль по закону
02(я+1>) причем множитель ^/я—1) дает б", а разность в скобках
в числителе — 04. Последний коэффициент отражает уменьшение
составляющей с ионной поляризацией. Значение 0 = д/2 среди
остальных значений угла ничем не выделено.
1.2.10. Циклотронный нагрев (выбор колебаний). Нагрев электронов.
Нагрев циклотронными колебаниями широко используется в физике плазмы. На-
Например, в токамаках, где токовый нагрев недостаточен для достижения термо-
термоядерных температур, используют оба варианта циклотронного нагрева (ионный
и электронный). Применяют циклотронный нагрев и в замкнутых ловушках дру-
другого типа — стеллараторах. Имеется ряд предложений относительно использова-
использования метода циклотронного нагрева в наиболее перспективной модификации
открьпых ловушек — амбиполярных ловушках.
С помощью циклотронных колебаний можно не только нагревать уже имею-
имеющуюся плазму, но и создавать ее самое — осуществлять так называемый цикло-
циклотронный разряд (обычно электронный). Такой метод создания плазмы все чаще
используют в токамаках [47, 48], где при обычном способе ионизации газа
индукционным электрическим полем на это приходится тратить дефицитные
¦«вольт-секунды».
Рис. 1.9. Сечение токамака плоскостью, j
проходящей через ось симметрии |
( ). Сечение плазменного шнура |
заштриховано; 1,2 — излучатели. Маг- i
нитное поле перпендикулярно плоско-
плоскости рисунка и монотонно спадает от оси I
симметрии |
I
С помощью коротковолновых электронных циклотронных колебаний можно
выделять тепловую энергию в любой наперед заданной области плазмы. В част-
частности, можно нагревать центральные области, тепловая энергия которых исполь-
используется в термоядерных установках с максимальной эффективностью. Эта воз-
возможность обязана неоднородности магнитного поля ловушек, применяемых для
удержания плазмы. Неоднородность магнитного поля приводит к тому, что ре-
резонансное условие <o = rtWj(r) выполняется на некоторой поверхности. Очевидно,
что энергия выделяется в месте пересечения траектории электромагнитного луча
с этой поверхностью.
Выбирая колебания, которые предполагается использовать для циклотронно-
циклотронного нагрева, следует позаботиться о том, чтобы источник электромагнитного излу-
излучения и резонансная точка не были разделены областью непрозрачности, а цик-
циклотронное поглощение было достаточно эффективным.
Покажем [23, 49], как на основании этих соображений осуществляется вы-
выбор колебаний для нагрева плазмы в системах с замкнутыми и разомкнутыми
силовыми линиями магнитного поля, характерными представителями которых
являются токамаки и открытые ловушки. Токамак является аксиально-симмет-
аксиально-симметричной системой (рис. 1.9). Предположим сначала, что источник электромагнит-
электромагнитного излучения расположен с наружной стороны тора (положение 1), а элек-
электромагнитный луч распространяется перпендикулярно силовым линиям магнит-
магнитного поля. Траектории луча в пространстве, занятом плазмой, соответствует
определенная кривая на диаграмме К.МА (см. рис. 1.6). Принимая во внимание
пространственную зависимость плотности плазмы и магнитного поля, находим,
что в интересующем нас случае траектория луча на диаграмме КМА будет да-
даваться кривой abc Эта кривая построена при условии ^е(г)<1.
Из рис. 1.6 следует, что между границей плазмы и точкой циклотронного
резонанса лежит точка отсечки необыкновенных колебаний, от которой они час-
89
тично отражаются. Область непрозрачности заканчивается точкой плазменного
резонанса (N=°o), где необыкновенные колебания трансформируются в корот-
коротковолновые плазменные, поглощающиеся в окрестности точки трансформации.
Из-за отражения и трансформации до точки циклотронного резонанса (центр
плазменного шнура) может дойти лишь небольшая часть первоначальной энер-
энергии необыкновенных колебаний. Эти затруднения можно устранить, если пере-
переместить излучатель внутрь тора (положение 2 на рис. 1.9), при этом направле-
направление движения по кривой abc на диаграмме КМА изменится на обратное. Однако
такое расположение излучающей антенны технически неудобно. Вместе с тем
коэффициент поглощения необыкновенных колебаний при прохождении через
область циклотронного резонанса под прямым углом к магнитному полю не-
небольшой (t]~pV) (см. п. 2.2.3). Взаимодействие усиливается с уменьшением
угла между к и Во. Однако при этом возникает новая трудность. Дело в том,
что из-за эффекта Доплера увеличение k ц =k cos 9 приводит к расширению
резонансной зоны. Так, высокоэнергетические электроны, продольная скорость
которых удовлетворяет условию Оц /с^Д(ое/ше, взаимодействуют с колебаниями
на периферии плазменного шнура (здесь Ао)е — изменение циклотронной часто-
>Г
Рис. 1.10. Сечение аксиально-симметрич-
аксиально-симметричной открытой ловушки плоскостью, про-
проходящей через ось симметрии. Область,
занятая плазмой, заштрихована, сило-
силовые линии магнитного поля нанесены
пунктиром (/, 2 — излучатели)
ты в области, занятой плазмой). В результате появляется опасность, что цикло-
циклотронные колебания не достигнут центра шнура. Отметим также, что условие
отсечки необыкновенных колебаний, имеющее вид {Oj,e2=(u(«>—а>е), не зависит
от угла 8. Поэтому и при Офл/2 излучатель следует располагать внутри тора.
Все эти соображения показывают, что использование для циклотронного нагрева
плазмы необыкновенных колебаний с частотой о)=^(ое, по-видимому, малоэффек-
малоэффективно. Более привлекательными представляются обыкновенные колебания. Дей-
Действительно, обыкновенные колебания могут беспрепятственно дойти до центра
плазменного шнура, а их взаимодействие с электронами примерно в fie~2 раз
сильнее (см. п. 2.2.3). Однако с повышением плотности плазмы точка цикло-
циклотронного резонанса может попасть в область непрозрачности обыкновенных ко-
колебаний (точка 6 кривой abc перемещается за прямую qe=\). В этом случае
необходимо увеличивать частоту колебаний, переходя на гармоники электронной
циклотронной частоты, и использовать для нагрева необыкновенные колебания.
Действительно, при (?> = пше (п$*2) и 8=я/2 выполняется соотношение »«ех/хог~-
~f$e~2, а критическая плотность, за которой происходит отсечка необыкновенных
колебаний, возрастает с номером гармоники qe,CT = n(n—1). На рис. 1.6 изобра-
изображена траектория электромагнитного луча с (о=*2<ое при ge(r)<2 (кривая def).
Для нагрева электронов в адиабатических ловушках удобно использовать
необыкновенные колебания с ш=ксое,т1п, располагая излучатель у торца ловушки-
(положение / на рис. 1.10). Распространяясь вдоль магнитного поля, необыкно-
необыкновенные колебания свободно подходят к точке циклотронного резонанса (кри-
(кривая gh на рис. 1.6), где весьма интенсивно поглощаются электронами (см;.
90
п. 1.2.5). Заметим, однако, что в ловушках с малым пробочным отношением,
когда выполняется условие Доое/(йее3Eе, где Дсое — изменение циклотронной ча-
частоты в пределах ловушки, колебания могут не дойти до центра системы ввиду
поглощения на высокоэнергетических электронах. В этом случае излучатель сле-
следует переместить в положение 2. Проблемы, возникающие при распространении
колебаний поперек магнитного поля, уже обсуждались выше.
Эксперименты по нагреву плазмы электронными циклотронными колебания-
колебаниями довольно многочисленны, однако они проводятся в сложных условиях реаль-
реальных установок и их целью является получение практического результата (на-
(нагрев плазмы), а не изучение закономерностей резонансного циклотронного взаи-
взаимодействия. Поэтому полученные в них данные трудно использовать для про-
проверки теории, изложенной в предыдущих подразделах. Вместе с тем ряд экспе-
экспериментов был проведен на небольших лабораторных установках специально
с целью изучения свойств электронных колебаний. Для создания плазмы обычно
использовали два способа: газовый разряд или поверхностную ионизацию ще-
щелочных металлов на накаленной пластине из тугоплавкого металла (Q-машины).
Получаемая плазма образовывала шнур, вытянутый вдоль магнитного поля.
Рис. 1.11
иис. 1.12
Рис. 1.11. Зависимость показателя преломления от частоты для электронных
циклотронных колебаний, распространяющихся вдоль магнитного поля:
Разряд в Аг, давление газа 6,6-10-3 Па E-Ю-5 мм рт. ст.); Ге-5,2 эВ, со_ /ш=1,5; сплош-
сплошные линии —расчет по A.38); / — ReiV; 2 ~ lmN
Рис. 1.12. То же, что на рис. 1.11, при давлении 1,33-10-2 Па (Ы0-4 мм от ст )¦
Те=17 эВ; <оре/«=1,7 v ¦ ¦},
В таких системах особенно удобно изучать колебания, распространяющиеся
вдоль магнитного поля (k^=0). При k± =0 колебания резонансно взаимодей-
взаимодействуют с электронами лишь на основной гармонике электронной циклотронной
частоты. Колебания с k± =0, со=»(й,,, распространяющиеся в однородном маг-
магнитном поле, исследованы довольно подробно [50—52] (несмотря на присут-
присутствие в заглавии некоторых из этих работ термина «магнитный берег», неодно-
неоднородность магнитного поля в условиях экспериментов не оказывала заметного
воздействия на колебания.) Обнаружено хорошее соответствие между пред-
предсказаниями теории и результатами эксперимента (см., например, рис. 1.11, 1.12,
взятые из [50]). Сопоставление рисунков показывает, что с ростом Те расши-
расширяется область частот, в которой x=lm ЫФО.
В заключение отметим, что подобные эксперименты удобно проводить с элек-
электронными циклотронными колебаниями, для которых из-за малой длины волны
(обычно 0,1—1 см) справедливо лучевое приближение. В случае длинноволновых
ионных циклотронных колебаний возбуждался бы сразу весь плазменный объем,
и поэтому сведения о коэффициенте пространственного затухания пришлось бы
извлекать из данных измерений добротности плазменного объема.
91
Нагрев ионов. Метод циклотронного нагрева ионов развивался главным
образом в применении к замкнутым системам — токомакам и стеллараторам.
Дело в том, что в открытых ловушках плазма, как правило, создается инжек-
цией быстрых нейтральных атомов; их ионизация дает высокоэнергетические
ионы, нагревать которые нет необходимости. В то же время при токовом нагре-
нагреве плазмы в токамаках непосредственно греются электроны, ионы же получают
энергию от электронов лишь в результате столкновений с ними. Следует, однако,
отметить, что в трехпробочных — амбиполярных — открытых ловушках высоко-
высокоэнергетические ионы занимают лишь концевые ловушки, а энергия ионов в сред-
tf
J
Аи h
Рис. 1.13. Зависимость N . от qL:
Точки отсечки цц^ з= Л^, (l±l//>j)! точка
фвеновского резонанса <?;а= Л'?, A + 1/PJ)
ней ловушке довольно низка. Их можно нагревать циклотронными колебания-
колебаниями [53].
В области частот ш=ка>* имеются две ветви колебаний: альфвеновские и
магнитозвуковые. Альфвеновские колебания обладают ионной поляризацией элек-
электрического вектора и поэтому весьма интенсивно взаимодействуют с ионами (см.
п. 1.2.3 и 1.2.8). Однако имеются трудности как в «доставке» альфвеновских
колебаний к центру плазменного шнура, так и в создании условий, обеспечи-
обеспечивающих их поглощение в этой области.
Антенны, возбуждающие колебания, располагаются вне плазмы у стенок
камеры. По мере проникновения колебаний в плазму изменяется лишь их попереч-
поперечное волновое число k^t в то время как k ц сохраняет свое вакуумное значение,
определяемое геометрией антенны. (Стенки камеры обычно параллельны Во, по-
поэтому плазменный шнур вытянут вдоль Во-) В силу довольно большой длины
волны колебаний лучевое приближение неприменимо для их описания, и вместо
весьма наглядной диаграммы КМА приходится прибегать к прямому анализу
дисперсионного уравнения. При | ец н |=^(шре/сйJ> |е++|, |е__| дисперсионное
уравнение можно представить в следующем приближенном виде [3].:
Из него следует
где <7*=(
На рис. 1.13 изображена зависимость N±2 от </i~«o при р; = со</ш>1. Ре-
Реальному плазменному шнуру может отвечать лишь часть этой зависимости, соот-
соответствующая интервалу <7i<<7t,max, где g;,max — значение qt в центре шнура.
Наличие зоны непрозрачности при малых qt, т. е. у границы шнура, затрудняет
проникновение колебаний в плазму. Альфвеновские колебания распространяются
в левой области прозрачности. В точке альфвеновского резонанса (N ц2 =
=1(Opt2/(coi2—ш2), т. е. Уг — Мц2 A—Pi~2) они трансформируются в коротковол-
коротковолновые плазменные. При qt>Nu2 A-j-pi) располагается вторая область про-
92
зрачности. Здесь колебания становятся магнитозвуковыми. Действительно, зави-
зависимость на рис. 1.2.8 смещается по оси qt с изменением N ^ . При достаточно
больших значениях V ц область прозрачности альфвеновских колебаний может
оказаться в таком интервале изменения qi, который для меньших А/ц соответ-
соответствовал второй области прозрачности. Это отражает двузначный характер зави-
зависимости N(pi, qt, 9), обусловленный наличием альфвеновских и магнитозвуковых
колебаний. Очевидно, что большие значения N ц должны иметь альфвеновские
колебания. Отметим, что при р;<1 остается лишь вторая зона прозрачности, со-
соответствующая магнитозвуковым колебаниям.
Альфвеновские колебания, проникшие в глубь плазмы, там и поглощаются,,
для чего требуется выполнение условия циклотронного резонанса. Внутри плаз-
плазменного шнура обычно выполняется условие </гЗ>1. В этом случае альфвенов-
альфвеновские колебания с co=s;coj распространяются лишь под очень малым углом 0 к маг-
магнитному полю и если (uj>w (см. рис. 1.8). Таким образом, приходим к выводу,
что область проникновения колебаний к центру шнура [ам(г)>ш] и область по-
поглощения [<»4(г)=ш] будут отделены друг от друга, но через них должньг
проходить одни и те же силовые линии. Требуемая конфигурация магнитного
поля получила название магнитного берега [3] (см. также п. 2.2.1). В ее пер-
первоначальном варианте предполагалось на некотором участке по длине шнура
усилить магнитное поле. Возбуждаемые в этой области альфвеновские колеба-
колебания, распространяясь под небольшим углом к магнитному полю, проникают
внутрь шнура и поглощаются на поверхности, где <Oi(r)=co, набегая на нее со
стороны большего магнитного поля. Искажение магнитного поля, при котором
появляется магнитный берег, приводит к ухудшению удержания плазмы. По-
Поэтому такой метод нагрева используют редко. Более привлекательно использо-
использование «естественных» градиентов магнитного поля в термоядерных ловушках.
Так, в стеллараторах с рейстреком (прямолинейной частью) колебания удобно
возбуждать в прямолинейных частях системы, причем их частота должна быть
несколько меньше локальной циклотронной частоты. Такие колебания поглоща-
поглощаются в криволинейных участках, где магнитное поле спадает по направлению от
оси системы [54].
Довольно большие продольные градиенты магнитного поля — в адиабати-
адиабатических ловушках и ловушках с остроугольной геометрией магнитного поля. На-
Нагрев плазмы с помощью альфвеновских колебаний использовали, например,
в японской остроугольной ловушке RFC-XX [55]. Интересные результаты дали
эксперименты на американской амбиполярной ловушке ТМХ, в ее крайних ча-
частях, где находились высокоэнергетичные ионы с неравновесной функцией рас-
распределения, самопроизвольно возбуждались альфвеновские циклотронные ко-
колебания. Они распространялись вдоль магнитного поля в среднюю ловушку, где
и поглощались более холодными ионами, имевшими равновесное распределение
по скоростям. Эффект нагрева был весьма значителен. Поглощение происходило
на спаде магнитного поля, т. е. в конфигурации магнитного берега [56].
Магнитозвуковые колебания с со^Ш; распространяются при произвольных
значениях угла 8. Однако они очень слабо взаимодействуют с ионами, так как
при (o=a>i обладают неблагоприятной — электронной — поляризацией электриче-
электрического вектора. Выход из положения состоит в нагреве небольшого количества
ионов примеси с другой циклотронной частотой со/ [57, 58]. При малой кон-
концентрации примеси поляризация колебаний определяется основной плазмой. Если
ш = Ш('^Ьшг, то, как следует из второго уравнения системы A.24) и выражений
A.26), компонента электрического поля Е+ отлична от нуля, поэтому ионы
93
яримеси весьма интенсивно нагреваются электрическим полем колебаний. Если
массы основных ионов и ионов примеси сопоставимы, как, например, в случае
водорода, дейтерия и трития, то энергия, полученная ионами примеси, эффектив-
эффективно перекачивается основным ионам при кулоновских соударениях. Следует, одна-
однако, отметить, что с ростом концентрации примеси ситуация усложняется, так как
сама примесь начинает влиять на волновые свойства плазмы, в том числе и на
поляризацию колебаний. Если концентрация примеси превышает некоторое кри-
критическое значение, то Е+ обращается в нуль и при со=со/. Одновременно
в интервале частот, лежащем между со и со/, появляется так называемый ион-
ионный плазменный резонанс [59, 60]. В этом нетрудно убедиться, вспомнив,
что частота плазменного резонанса определяется уравнением eaakak^/k2=0, где
индексы а, |3 принимают значения х, у, г. В простейшем случае поперечного
распространения колебаний (9 = я/2), учитывая A.26), нетрудно получить
0=е*х = е— + е+ +—2е_ +=—A/2) (<?i+<7/)—co2jh/co(co—со,) —
— (соР/)У<о('со—со/).
Если, например, со*>со/, то величина гхх проходит через нуль в частотном
интервале между со/ и со*, так как на его концах она имеет разные знаки
(е,хх—*¦—оо при со—мм/ и Ехх—>- + °опри со—>-cOi). В области плазменного резо-
резонанса магнитозвуковые колебания трансформируются в коротковолновые потенци-
потенциальные колебания, которые затем затухают, например, за счет вязкости. При
k || =5^0 значительная часть энергии передается электронам в процессе бес-
ютолкновительного резонансного поглощения потенциальных колебаний.
В заключение отметим, что в экспериментах на токамаках оба метода цик-
циклотронного нагрева плазмы (электронный и ионный) продемонстрировали свою
высокую эффективность. При вводимой мощности в сотни киловатт температура
возрастает на сотни электрон-вольт. До настоящего времени не обнаружено
каких-либо препятствий на пути дальнейшего повышения температуры плазмы,
и основная задача состоит в увеличении вводимой мощности.
1.3. Магнитстормозное (циклотронное) излучение
1.3.1. Излучение отдельных частиц. Собственно цикло-
циклотронное излучение. Излучение отдельного электрона на
л-й гармонике циклотронной частоты дается формулой [7]
cos%-v,,/c\* ,
— (vn/c)cosBJ [\ sin 8
A.51)
При Уц=О из A.51) получаем известную формулу Шотта, кото-
которая была выведена при расчете в рамках классической теории
излучения электрона, движущегося в атоме по круговой орбите
[61]. С развитием квантовых представлений стало ясно, что ее
излучения электрона, движущегося в атоме по круговой орбите
к результатам, полученным Шоттом, возобновился через несколько
94
десятилетий, когда обнаружилось, что они правил&но описывают
излучение движущихся в магнитном поле заряженных частиц.
Интересно, что и в этом случае область применимости A.51) огра-
ограничивается квантовыми эффектами. Впрочем, соответствующие
значения энергии настолько велики (е ^ (тес2K/4(Й шеI/4 [62]),
что они характерны, скорее, для ускорителей, а не для плазмы.
Формула A.51) содержит всю информацию об излучении элек-
электронов, однако ее не всегда удобно использовать в конкретных
расчетах. Более простые выражения получаются в нерелятивист-
нерелятивистском (u/'c<Cl) и ультрарелятивистском A—у/с<С1) пределах.
В первом случае излучение принято называть циклотронным, во
втором — синхротронным в соответствии с названиями ускорите-
ускорителей нерелятивистских и ультрарелятивистских частиц. [При уско-
ускорении ультрарелятивистских частиц приходится синхронно с уве-
увеличением энергии изменять индукцию магнитного поля, что отра-
отражено в названии ускорителя.] Циклотронное и синхротронное из-
излучения объединяются общим названием магнитотормозное. Иног-
Иногда вместо него используют термин «циклотронное излучение», в
которое тем самым вкладывают более широкий смысл.
В нерелятивистском пределе основная энергия излучается на
циклотронной частоте о>е (она может быть сдвинута за счет эф-
эффекта Доплера) и излучение по существу является дипольным.
Действительно, вращение по ларморовской окружности можно
представить в виде суперпозиции колебаний двух взаимно ортого-
ортогональных диполей, сдвинутых по фазе на я/2. Если, как и выше, ис-
использовать систему координат с осью 0Z, параллельной Во, то экви-
эквивалентные диполи будут направлены по QX и ОУ, при этом для
углового распределения излучения получаем выражение
dlm =(AVJ_/4c3)A + cos28)g'Q. A.52)
Разумеется, A.52) может быть получено из A.51). Для этого в
выражении для dlw следует перейти к пределу u/c<Cl.
Мультипольное излучение происходит на гармониках цикло-
циклотронной частоты и при u/c<Cl дает малые поправки к A.52). Так,
квадрупольное излучение имеет частоту 2©^, и его интенсив-
интенсивность в (с/уJ^1 раз меньше A.52).
Синхротронное излучение. В релятивистском случае
большое число циклотронных гармоник излучается с одной и той же
интенсивностью (по порядку), при этом излучение приобретает
качественно новые черты [7. 62—66]; 1) основная энергия излуча-
излучается на частотах со—сое(е/тес2J;|>сое; 2) излучение сконцентриро-
сконцентрировано в диапазоне углов |8—%\^.тес2/е<^1, где x=arctg (v±jvn) —
питч-угол электрона. Поскольку вращение по циклотронной
окружности равномерное, излучение, усредненное по циклотрон-
циклотронному периоду, не зависит от азимутального угла ф. Однако в каж-
каждый данный момент электрон излучает вдоль мгновенного вектора
скорости как прожектор с малым углом раствора луча ¦—/П(>с2/е<С
<Cl; 3) полная интенсивность излучения по порядку равна
~ (е2сое2/с) (е/теС2J; 4) в достаточно плотной холодной плазме
95
Рис. 1.14.
электрона
Геометрия движения
излучение ультрарелятивистских
электронов резко ослабевает. Для
этого плотность холодных электро-
электронов должна удовлетворять условию
ШреЗ>(йее/тес2, где <оре — ленгмю-
ровская частота холодных электро-
электронов.
Три первых свойства можно по-
получить из A.51). При использова-
использовании этой формулы свойства синхро-
тронного излучения получаются как
формальное следствие свойств функ-
функций Бесселя в пределе больших зна-
значений индекса и аргумента. Для вы-
выяснения физической природы осо-
особенностей синхротронного излуче-
излучения полезно рассчитать его интен-
интенсивность без использования формулы Шотта [65, 66], при этом
синхротронное излучение можно рассматривать как черенковское
излучение частиц, движущихся ускоренно (центростремительное
ускорение, обусловленное действием постоянного магнитного поля)
[67].
Вычисления значительно облегчаются тем обстоятельством, что
ультрарелятивистская частица излучает в основном вдоль направ-
направления своего движения, т. е. волновой вектор излучаемых колеба-
колебаний отклоняется от вектора скорости частицы лишь на малые углы
(см. выше свойство 2). Поэтому колебания с волновым вектором
к, лежащим в плоскости X0Z (рис. 1.14), излучаются, когда век-
вектор скорости электрона, прецессирующий вокруг Во, проходит че-
через эту плоскость. Это обстоятельство позволяет сравнительно про-
просто рассчитать синхротронное излучение с помощью известной фор-
формулы, обычно используемой для вычисления тормозного излуче-
излучения [63]:
dl=с (kR/2л) 2\Aa\2dQdu>,
где
ш=: (efcR) I" dt v (/) exp (i «>*—i k R (/));
A.53)
A.54)
R — вектор расстояния от частицы до точки наблюдения. В A.54)
время отсчитывается от момента прохождения вектора скорости v
через начало координат. Поскольку значение интеграла A.54)
определяется лишь малой окрестностью момента t=0 (см. ниже),
то пределы интегрирования для удобства вычислений взяты беско-
бесконечными.
Следует отметить, что циклотронное вращение является перио-
периодическим движением, и поэтому излучение должно состоять из
набора дискретных линий с частотами, кратными м/(е). Выбирая
в A.54) бесконечные пределы интегрирования, мы тем самым пе-
переходим к приближению непрерывного спектра. Это приближение
96
является обычным, поскольку согласно свойству 1 основная доля
излучаемой энергии распределена по частотному интервалу
Лю—швг(е//пес2J, значительно превышающему со/(е).
Траектория электрона, изображенная на рис. 1.14, описывается
выражениями
//)); vnt),
где р/ = о±/а>/*« (cjwe) (е[тесг) sin %.
При ш//<1 фазу экспоненты, стоящей под интегралом в
A.54), можно представить в виде
+(в;-х)«) ы—i-sin2e -^(^r f^iJ. A.55)
Здесь в соответствии со сказанным выше считается Э^=%, а также
используется представление vxc[l—A/2) (тес2/еJ]. Несущест-
Несущественная постоянная часть в A.55) опущена. Скорость \(t) при
/-й) дается приближенным выражением v(/)^c[sin%; sin % (со//);
x]
После сделанных упрощений интегралы в A.54) сводятся к
известным и выражаются через модифицированные функции Бес-
Бесселя индексов 1/3 и 2/3 или, что эквивалентно, через функцию
Эйри и ее производную. Как известно, по любому направлению
могут распространяться колебания с двумя независимыми поляри-
поляризациями электрического вектора. В данном случае, как и в п. 1.2.5,
в качестве базисных удобно выбрать колебания, электрический
вектор которых лежит в плоскости XUZ, и колебания с электриче-
электрическим вектором, перпендикулярным этой плоскости. Первые соот-
соответствуют обыкновенным колебаниям, вторые — необыкновенным.
Интенсивность излучения обыкновенных колебаний пропорцио-
пропорциональна | ЛшХ|2+|.4т2|2, необыкновенных— [Л^^|2:
dl =
ex
d/or = JL— (-1_)-^-(9-;
бп? са>„ V тйс2 / sin2 х
:\ (U)dmdQ; A.56)
1 е2соа е
5п? си>в ШрС3
тг 1 «О е I Г.. ч, . /теС2
где U = - (fl — X)8+ -f-
Поскольку A.53) дает энергию, излучаемую за один оборот
по ларморовской окружности, а нас интересует величина, усред-
усредненная по периоду, то в A.56), A.57) мы ввели дополнительный
множитель 2я/о)ег.
7—67 97
Угловая зависимость синхротронного излучения иллюстрирует-
иллюстрируется рис. 1.15 [62, 64—66].
Для определения полного излучения в данном частотном диа-
диапазоне da A.56), A.57) следует проинтегрировать по углам (такие
вычисления были проведены в [68]):
dI
oT
C1/2 Д.
»./8iA?) 0 (ldUKbl3 (U) - Кт ф)\ d<*>; A.58)
, = {2>me\l&K2cH\JdVKzli{U) + K3l^U))dw, A.59)
где C?=B/3)((o/coesinx)(mec2/eJ.
5 -
Рис. 1.15. Угловая зависимость синхронно-
синхронного излучения:
/ — обыкновенные колебания; 2 — необыкновен-
необыкновенные;
^=fi«a (са>е1е'юг) sin2 X {ш/тес')г dl/dadS; jtoT =
= F-ХJ (./mef2J (I + (в—XJ (»/mec2 ) ») /С2 (С/);
Частотная зависимость суммарного излучения определяется
оо
функцией
(рис. 1.16) [59, 61-63]. Из
и
рис. 1.16 следует, что в соответствии со свойством 1 в основном
излучаются частоты (B^coesinx(e//nec2J. Учитывая эту оценку, а
также рис. 1.15, находим, что излучение сконцентрировано в ин-
интервале углов |0—х|<тес2/е (свойство 2). (Раствор диаграммы
направленности мгновенного излучения по азимутальному углу
обсуждается ниже.) Свойство 3 следует из A.58), A.59) и оцен-
оценки частотного интервала Аы—сое sinx(e/mec2J.
Влияние холодной плазмы (см. свойство 4) приводит к умень-
уменьшению показателя преломления ЛР^1 — (tope/">J (со^>(ое). В ре-
результате первое слагаемое в выражении для фазы A.55) прини-
принимает вид A/2) [(те|С2/8J+(в—хJ+(соре/(оJ](В^, где считается
соре<Ссо. Соответственно изменяются величины в A.56), A.57) и
в A.58), A.59):
1 ы
3 tae /neea
~ ~ 2 <о
т.с>
-И-
3/2
813/2
Отсюда следует, что при соре> ©ее/тес2 излучение резко ослабе-
ослабевает.
Полученные, результаты допускают простую интерпретацию
Прежде всего покажем, что синхротронное излучение можно рас-
рассматривать как черенковское. Обычно считают, что в вакууме черен-
ковский резонанс невозможен, так как скорость частиц не может
сравняться со скоростью света. Однако на самом деле точное ра-
равенство скорости частицы и фазовой скорости электромагнитных
колебаний требуется, лишь если рознансное взаимодействие длит-
длится бесконечное время. При конечном времени взаимодействия At в
соответствии с соотношением неопределенности ДсоД^1 частица
не «успевает различить» колебания, частоты которых отличаются
от резонансной, определяемой условием o=kv, на Aa~l/At и со-
соответственно фазовая скорость отличается на k/At. (Длитель-
X
Рис. 1.16. Частотная зависи-
зависимость полного сихротронного 0,5
излучения
ность взаимодействия можно оценить как время, за которое на<
капливается фазовое рассогласование~я/2.) Скорость ультра-
ультрарелятивистских частиц мало отличается от скорости света —при-
—примерно на A/2)с(mec2jeJ. Если питч-угол электрона % близок кв,
то в какой-то момент времени вектор скорости электрона, прецесси-
рующчй около Во, окажется параллельным волновому вектору
колебаний к, при этом некоторое время фаза волны на траектории
электрона изменяется очень слабо. Выход из резонанса осущест-
осуществляется за счет поворота вектора скорости. Этот эффект учитыва-
учитывается последним слагаемым в A.55). Приравнивая его единице,
получаем оценку времени резонансного взаимодействия дг~
—sin-2/3x©-'/3(i)e-i/3(e/m<jC2J/3. [Чтобы отличие скорости электро-
электрона от скорости света не успело сказаться за время взаимодействия,
разность с—и» (с/2) (тес2/гJ не должна превышать с/шМ, см.
[1.55]). Сопоставляя эти два условия, находим время взаимодей-
взаимодействия Ar—^l/we) (I/sin5c) -Cl/oV и характерную частоту излучае-
излучаемых колебаний a)~fflesinx(e/mec2J. Формально ограничение на
спектр излучаемых частот связано с тем, что при (o<ot)esinxX
X(e/mec2J подынтегральное выражение в A.54) осциллирует с
периодом, значительно меньшим Д*. В результате интеграл по вре-
времени становится экспоненциально малым.
Развиваемый подход позволяет объяснить и особенности угло-
углового распределения синхротронного излучения. Действительно, для
частиц, движущихся со скоростью v^c, черенковское излучение
концентрируется в узком конусе около направления движения ча-
частицы. Угол раствора конуса оценим следующим образом. Из вы-
выражения для фазы A.55) следует, что разность между значения-
значениями углов 0 и % не сказывается на взаимодействии при выполнении
7* 99
условия |Э—х| <^тес2/е. Эта оценка (Ав^пгес2/г) дает ширину
диаграммы направленности излучения в направлении, перпендику-
перпендикулярном плоскости, соприкасающейся с орбитой электрона, т. е.
плоскости, проведенной через вектор мгновенной скорости и век-
вектор главной нормали к траектории. Для оценки раствора диа-
диаграммы направленности в соприкасающейся плоскости заметим,
что за время A^'—l / (ae sin х) вектор полной скорости электрона
v = vj_~H vj| отклоняется на угол порядка тес2/е. На такой угол
волновой вектор излучаемых колебаний может быть повернут отно-
относительно вектора мгновенной скорости электрона в соприкасающей-
соприкасающейся плоскости. Таким образом, по обоим взаимно перпендикуляр-
перпендикулярным направлениям раствор диаграммы направленности оказыва-
оказывается равным примерно тес2/г.
Зная ширину диаграммы направленности синхротронного излу-
излучения, можно оценить его интенсивность. С этой целью используем
известную формулу для интенсивности черенковского излучения
[65, 69]:
dl= (e2a>/c) sin2 0сЛо, A.60)
где 0с — черенковский угол. Принимая 0с^^ДЭ«»тес2/е<С1 и счи-
считая, что dl определяется A.60) при a)^(oesinx(e/mec2J и обра-
обращается в нуль при co^>(uesinx(e//nec2J, для полной интенсивно-
интенсивности излучения получаем следующее выражение:
Нетрудно видеть, что тот же самый результат (по порядку) сле-
следует из A.58), A.59).
Наконец, обсудим влияние холодной плазмы на синхротронное
излучение. Ее добавление приводит к возрастанию фазовой ско-
скорости колебаний со/&^с[1-|-A/2) (сйре/соJ]. Простые оценки по-
показывают, что если а>ре^>(Оее/тес2, то при характерных значениях
частоты со—•&е(г/тес2J разность между фазовой скоростью коле-
колебаннй и скоростью частицы существенно превышает допустимое
значение с(тес2[гJ. В результате излучение резко падает. Это
явление было обнаружено в [70]. В астрофизике оно называется
депрессией синхротронного излучения.
Таким образом, рассматривая синхротронное излучение как
черенковское, длящееся конечный интервал времени, можно объ-
объяснить все его характерные особенности. Другой пример резонанс-
резонансного взаимодействия, обусловленного конечностью времени взаи-
взаимодействия, рассмотрен в [71] (см. также п. 2.3.1). Оказывается,
что благодаря эффекту конечности времени взаимодействия в си-
системах с неоднородным магнитным полем, вообще говоря, может
осуществляться резонансный обмен энергией между электромаг-
электромагнитными колебаниями и частицами даже в том случае, когда
условие циклотронного резонанса (o=^Oj(r) не выполняется ни в
одной точке г.
100
О связи циклотронного резонансного взаимо-
взаимодействия с черенковским. Любой акт излучения или погло-
поглощения электромагнитных колебаний можно свести к процессам
резонансного взаимодействия между колебаниями и заряженными
частицами. Циклотронное резонансное и черенковское взаимодей^
ствия считаются существенно различными и даже противопостав-
противопоставляются друг другу, поскольку первое происходит при вращении
заряженных частиц по ларморовским окружностям, а второе — при
их равномерном движении. Однако, с одной стороны, в реальных
условиях строго равномерное движение невозможно, и с другой—
любое движение в достаточно малые интервалы времени можно
считать почти равномерным. Следовательно, черенковское и цик-
циклотронное резонансные взаимодействия при определенных усло-
условиях могут стать практически неразличимыми. Нетрудно понять,
что разница между ними стирается, если кривизна траектории на
расстоянии порядка длины волны колебаний пренебрежимо мала
(kp—>-oo), а частота колебаний значительно превосходит цикло-
циклотронную ((O/tttj-^oo).
Покажем, что при выполнении этих условий с циклотронными
колебаниями могут эффективно взаимодействовать лишь ультра-
ультрарелятивистские частицы. Черты, роднящие циклотронное резонанс-
резонансное взаимодействие ультрарелятивистских частиц с черенковским,
были выявлены выше.
Чтобы не загромождать- рассмотрение несущественными дета-
деталями, проанализируем излучение колебаний с &(/=0 электронами,
движущимися поперек магнитного поля (vn = 0). Для определен-
определенности будем считать, что волновой вектор колебаний направлен
по ОХ. Вектор-потенциал колебаний с частотой (а=гт)е дается
выражением [ср. с A.54)]
2ч /<ое
dtvy(t)exp(inuet-ikx(t)). A.61)
Используя A.1) — A.3), а также соотношение со=&с, приводим вы-
выражение для Ауп к виду
Ауп= (ev/cR)Jnr (nv/c) exp (ia), A.62)
где a — несущественный фазовый, сдвиг.
Функции Бесселя, появляющиеся при анализе резонансного цик-
циклотронного взаимодействия, определяют вес резонансных цилин-
цилиндрических гармоник в изучаемых колебаниях. При 9=х=я/2 из-
излучаются лишь необыкновенные колебания, которые в вакууме
имеют плоскую поляризацию. Электрическое поле необыкновенных
колебаний можно представить в виде суммы полей с ионной и
электронной поляризациями. Этой операции соответствовала бы
замена в A.62) 2Jn'=Jn~\—/n+i-
Проанализируем поведение функции Бесселя Jn(nv/c) с рос-
ростом числа п. В области скоростей, существенно отличных от ско-
скорости света, функция Бесселя экспоненциально спадает при п-*-оо.
101
Зависимость от числа п особенно проста при nv/c<^l, когда
Jn(nu/c) ~ (у/с)"=ехр [1—и In (у/с)]. С ростом и зависимость по-
показателя экспоненты от п усложняется [39]. Сколько-нибудь су-
существенное — не экспоненциально малое значение функция Бессе-
Бесселя имеет лишь, если v—*-с. В этом случае она выражается через
функцию Эйри или, что то же самое, через функцию К\/з [39]:
2 \1/2 / v М/2
) I1]
v \ 3/2 1
Соответственно
\3/2
)
Из полученных выражений следует, что при я—>-оо с колеба-
колебаниями эффективно взаимодействуют лишь ультрарелятивистские
электроны, для которых 1—v/c^nT13.
Отметим, что представление A.63) может быть получено не-
непосредственно из A.61), если учесть, что в интересующем нас
елучае интеграл по dt в A.62) определяется небольшим участком
траектории, на котором вектор скорости электрона примерно па-
параллелен волновому вектору колебаний. Именно это упрощающее
предположение использовалось при анализе синхротронного излу-
излучения в данном разделе.
1.3.2. Излучение высокотемпературной плазмы. Полная интен-
интенсивность / излучения отдельного электрона, движущегося в маг-
магнитном поле, дается выражением [63]
Этот результат может быть получен с помощью A.51) [63]. Если
бы все электроны теряли свою энергию в соответствии с этой
формулой, то потери на излучение сделали бы невозможным прак-
практическое использование даже наиболее доступной D—Т-реакции.
Например, в магнитном поле 3 Тл отдельный электрон «высвечи-
«высвечивает» свою энергию за время порядка 1 с.
Однако, как показано в [18, 72—75], излучение плазмы, содер-
содержащей N электронов, может оказаться значительно меньше N1.
Оно уменьшается за счет так называемого эффекта самопоглоще-
самопоглощения циклотронного излучения. Действительно, в соответствии с со-
соотношением Эйнштейна поглощательная способность плазмы про-
пропорциональна ее излучательной способности. Поэтому часть энер-
энергии, излучаемой электронами плазмы, поглощается внутри нее.
Для расчета излучения плазмы с учетом эффекта самопогло-
самопоглощения воспользуемся законом Кирхгофа
dlnn/d(>)dQ = x]((x), Q)dIgj/d(jidQ,
где dInn/dbidQ — плотность потока излучения с единицы поверхно-
поверхности плазмы в единичном телесном угле и единичном частотном
интервале; dlRJ/d<adQ. = со2Г/(8я3с2)—равновесная рэлей-джинсов-
102
екая плотность потока излучения; tj (со, 8) — коэффициент погло-
поглощения плазмы. В случае однородного плазменного слоя толщиной
Z-пл коэффициент поглощения связан с коэффициентом пространст-
пространственного затухания соотношением ц = \— ехр(—2х!„л). Если вы-
выполняется условие uLan^l, то излучение, падающее на плазму, по-
поглощается в тонком поверхностном слое толщиной ¦—х~1<^Ьпл. При
этом очевидно, что только этот слой и может свободно высвечи-
высвечиваться. В результате при кЬпл^>\ объемное излучение заменяется
значительно менее интенсивным — поверхностным.
Если в области частот, где выполняется условие %•—тЬпл, коэф-
фициент пространственного затухания достаточно резко меняется
с частотой, то при приближенных оценках излучения плазмы мож-
можно положить
\
\ 0Bн!пл<1).
При таком подходе задача расчета излучения сводится к нахож-
нахождению максимальной высвечиваемой частоты со*, определяемой
равенством 2x((o*)Ln.i=l [7, 73]. Соответственно для потока энер-
энергии, уносимого с единицы поверхности плазмы колебаниями с оп-
определенной поляризацией, /Пл=ш*37'/12я2с2.
Ниже показано, что основной вклад в излучение дают необык-
необыкновенные колебания, а поток энергии в обыкновенных колебаниях
пренебрежимо мал.
В области частот (о»(ое максимум энергии излучается под пря-
прямым углом к магнитному полю. По коэффициенту пространствен-
пространственного зтгухания именно таких колебаний и следует определять мак-
сималььую высвечиваемую частоту [7, 73].
Теперь проанализируем, сначала качественно, ход зависимости
х(со). В нерелятивистской плазме (Г<т/) коэффициент про-
пространственного затухания имеет резкие максимумы в окрестности
первых циклотронных гармоник (см. § 1.2). Линии циклотронного
поглощения уширяются за счет эффекта Доплера и релятивист-
релятивистской зависимости циклотронной частоты от энергии. Если Ьлл^1 м,
а 7^25 кэВ (только при такой температуре потери на излучение
могут оказаться существенными в энергобалансе плазмы), то да-
даже небольшой доли релятивистских электронов из максвелловско-
го распределения по энергиям достаточно для эффективного пере-
перекрытия первых циклотронных гармоник. В результате во всей
этой области частот выполняется условие xLrui»l- С переходом
на более высокие частоты (со»сое) излучаемая энергия концен-
концентрируется к углу 0=я/2. Для таких колебаний форма линии цик-
циклотронного поглощения дается выражением
х («>) со (— Дов/ш)" ехр (МеДсо/ш), A.64)
где Аш = со—лсое^к—л(оеу2/2с2; Ме=тес2/Т.
В A.64) экспоненциальный фактор дает долю резонансных
электронов в максвелловском распределении по энергиям, а пред-
экспонента учитывает то обстоятельство, что интенсивность резо-
103
нансного взаимодействия пропорциональна фактору Jn2 (kpe)
соэр,,2". Из A.64) находим, что поглощение максимально при
fepe<Cl, (A(o)o=—Weil/Me, а полуширина линии поглощения, опре-
деляемая по формуле (Дсо) i/2= | х/х" |^{?Шо, где со0= (Дсо)о+лше,
равна (Aco)i/2^<Dert3/2/Me. Если выполняется условие п^Ме2/3, то
линии поглощения сливаются, и ярко выраженные максимумы в
спектре поглощения пропадают. С увеличением частоты возраста-
возрастает энергия электронов, дающих основной вклад в поглощение
E-^nnieC2(Ме, и уже при /i<~-Ме получаем е'—'т,с2. Последняя оцен-
оценка показывает, что в области высоких частот для получения точ-
точных результатов необходимо в полной мере учитывать релятивист-
релятивистские эффекты, а также отказаться от разложения в ряд функций
Бесселя /п(|е). Этот вывод вполне согласуется с результатами
п. 1.3.1.
Одновременный учет большого числа циклотронных гармо-
гармоник— трудоемкая расчетная задача [72—74]. Имея в виду полу-
получение приближенных оценок, предположим, что максимальная вы-
высвечиваемая частота столь высока, что поглощение (излучение) ко-
колебаний СA)~ш* определяется не просто релятивистскими, а уль-
ультрарелятивистскими электронами. Ниже показано, что такой под-
подход дает неплохую точность и в области частот, где энергия резо-
резонансных частиц порядка тес2.
Для расчета коэффициента пространственного затухания вос-
воспользуемся соотношением Эйнштейна, связывающим этот коэффи-
коэффициент (поглощательную способность плазмы) с ее излучательной
способностью [см. A.56), A.57)].
В классическом пределе {%<я <С Т) соотношение Эйнштейна мож-
можно представить в виде [7, 68]
*? f^f (L65)
Функции /Cv, входящие в выражения A.56), A.57) для излуча-
излучательной способности, заменим их асимптотическим представлением:
Кы (?/)л*(и:/2[/I/2 exp (-U), а также предположим, что основной
вклад в интеграл дают питч-углы, удовлетворяющие условию
|Э—х|-Стес2/е. (Это предположение подтверждается при вычис-
вычислении.) После этого, считая распределение электронов по скоро-
скоростям максвелловским, вычислим интегралы по питч-углу % и энер-
энергии методом перевала. Положение точки перевала дается выра-
выражением е*» [D/3) ((х)/ае)Т(тес2J]1/3. Поэтому интеграл по энер-
энергии действительно определяется ультрарелятивистской частью
функции распределения при условии п=ы/ые^>тес2/Т. Выпол-
Выполняя в A.65) асимптотическое интегрирование, получаем
1/2 2
,в)
У 22/J35/3 fw
5/0 Г з2/3 / ш \1/3
104
"Г) +—Г
A.67)
Показатель экспоненты в A.66), A.67) имеет вид разложения
по параметру [(©«/и) (т^с2/^)] 1/3<СК Точность, даваемая выра-
выражениями A.66), A.67), в некоторых случаях оказывается недоста-
недостаточной. Для того чтобы получить следующие члены разложения
в показателе экспоненты, необходимо в A.65) удержать слагае-
слагаемые пятого порядка по со/^О, а для скорости использовать вы-
выражение у»с[1—A/2) (тес2/еJ+A/8) (тес2/гL]. Интегрирова-
Интегрирование по времени модифицированного выражения A.64) приводит к
выражениям A.66), A.67), в которых функции Бесселя заменены
их асимптотиками, причем показатель экспоненты оказывается
равным:
ЗсоД . М l 5 \ . / J 2»/'
Дальнейшие вычисления дают
«е* (». —) ^ — -^" \7~j fiXP П?7Г ( ^Г ) X
Мы привели наибольшую из величин хех, хОг, поскольку имен-
именно по ней следует определять максимальную высвечиваемую час-
частоту. В равенство
2Хех(©*, Я/2I„Л=1 A.69)
входят три безразмерных параметра: номер гармоники п=о>/а>е,
Ме=тес2/Т и Л=соре21пл/сОеС. Последнюю величину, как и в [7,
74], представим в виде Л=C/2) • КУр^Я (Тл) 1Пл(смO'-1 (кэВ),
где p<p)==8.nno^/S2. Результаты решения A.69) представлены на
рис. 1.17, на том же рисунке приведены значения п*(р'р>б?пл),
полученные для плоского слоя плазмы в [74]; см. также 118J.
Как видно из рисунка, значения максимальной высвечиваемой ча-
частоты, получаемые двумя способами, по порядку оказываются
одинаковыми; совпадает и общий ход зависимости n^p^BZ.™)-
Это показывает, что предположение об определяющей роли вы-
высокоэнергетических электронов (e^nteC2) в излучении высокотем-
высокотемпературной плазмы верно.
В приведенном расчете не учитывалось влияние низкоэнерге-
низкоэнергетической части функции распределения электронов на излучение-
Наличие холодных электронов приводит к увеличению фазовой
105
скорости (#2«1— шре2/сй2), что ослабляет резонансное взаимодей-
взаимодействие высокоэнергетических электронов с колебаниями (см.
п. 1.3.1). Если плотность плазмы удовлетворяет условию qe<€.
<и4/3Ме2/3, то слагаемое и>Ре2/а2 в выражениях для U', О' A.68),
A.69) ьюжет быть учтено как малая поправка. Дальнейшие вы-
вычисления приводят к A.66) —A.68), причем в показателях экс-
экспоненты паявляется дополнительное малое слагаемое: —©ре2/сосое=
=—qe/n. Результаты расчета с модифицированным выражением
для хех представлены на рис. 1.18. Как и следовало ожидать,
W3
J3eBLJn-c»
Рис. 1.17. Зависимость номера мак-
максимальной высвечиваемой гармоники
и* от параметров плазмы;
—расчет по формуле A.69);
— результаты, полученные в [74]
(см. также A8])
10'
Че
i
' 1
Л
w
/
/30
1 1
101 10г W3 W4 fleBL7*-tn
Рис. 1.18. Зависимость номера макси-
максимальной высвечиваемой гармоники
от параметров плазмы при Т=
= 100 кэВ и различных значениях
[2
влияние холодной плазмы особенно велико в области низких час-
частот. Здесь при qe^>>l0 учет холодной плазмы снижает потери на
излучение (/пл^—со*3) на порядок. Зависимости, аналогичные при-
приведенной на рис. 1.18, имеют место и при меньшей температуре
плазмы. Величину qe можно представить в виде qe—$(p)mec2/2T~:
Из этого представления следует, что при Т ^25 кэВ условие qe ~^?>
^10 может быть выполнено лишь при достаточно высоком дав-
давлении плазмы pVp) ^1.
В ряде систем (бампи-торы, модифицированные амбиполярные
ловушки и др.) электронная компонента плазмы состоит из двух
частей — основной с Те<^тес2 и высокоэнергетической е^>тес2.
В этом случае для существенного снижения синхротронного из-
излучения ленгмюровская частота холодных электронов должна
удовлетворять условию (ар(^> аег/тес2 (см. выше). Например, в
эксперименте [76] значение qe для этого должно быть увеличено
примерно в 10 раз.
В заключение обсудим вопрос, как отражение от стенок каме-
камеры, в которой находится плазма, влияет на излучательные поте-
потери. В интересующем нас частотном интервале «о^>1Оше (сэ/2я^
^lO3 ГГц при Во^ЗГ) коэффициент поглощения электромагнит-
электромагнитных волн металлическими поверхностями мал: tict^IO-1 175].
(Отметим, что эффективный коэффициент поглощения т]ст должен
106
также учитывать уход излучения из системы через отверстия в
камере.)
В случае малых значений tj(co), %т<<1 излучение, прежде чем
поглотиться, много раз пройдет по системе. Установившееся рав-
равновесное значение спектральной плотности потока излучения мож-
можно найти из очевидного уравнения баллгса:
dipt i \ dl
^71Н (
Здесь считается, что в результате многократных прохождений по
системе излучение изотропизируется.
В приближенных оценках, как и выше, можно принять ступен-
ступенчатую аппроксимацию для плотности потока излучения:
п ^ ** О-70»
где перенормированное значение максимальной высвечиваемой
частоты со** определяется из условия т)(со) =г)Ст. Аппроксимация
A.70) по существу соответствует предположению, что в области
частот, где tj (to) >т)ст, излучение находится в тепловом равнове-
равновесии с плазмой, а в области частот,, где г|(<°) <т1ст, — со стенкой,
температура которой считается пренебрежимо малой.
В соответствии с A.70) для мощности потерь с единицы пло-
площади поверхности плазмы получаем следующее выражение:
Таким образом, наличие частично отражающих стенок приво-
приводит к двум эффектам. Во-первых, возрастает максимальная вы-
высвечиваемая частота, и, во-вторых, в tiCt~' раз уменьшается мощ-
мощ( d
р р
ность, теряемая плазмой в частотном интервале (со,
1.3.3. Излучение «низкотемпературной» плазмы (измерение электронной тем-
температуры). Если температура плазмы не превышает нескольких килоэлектрон-
килоэлектронвольт (такую плазму будем условно называть низкотемпературной), то потери
на циклотронное излучение в ее энергобалансе не играют сколько-нибудь зна-
значительной роли, а само излучение представляет интерес, главным образом, для
диагностики электронной температуры. В низкотемпературной плазме спектр
излучения дискретный, состоящий из отдельных циклотронных гармоник. Переход
от сплошного спектра к дискретному с уменьшением температуры иллюстрирует-
иллюстрируется рис. 1.19 [73]. Из этого рисунка хорошо видно, что в области низких частот,
где коэффициент поглощения плазменного слоя близок к 1, излучение практиче-
практически совпадает с равновесным — рэлей-джинсовским. При Те ^ 25 кэВ циклотрон-
циклотронные частоты перекрываются за счет релятивизма и эффекта Доплера, и спектр
излучения является сплошным. Температура 10 кэВ не обеспечивает перекрытия,
в результате излучение концентрируется вблизи циклотронных частот.
Если температура плазмы не превышает нескольких килоэлектронвольт, те
в реальных системах уширение линии циклотронного излучения в основном обу-
обусловливается неоднородностью магнитного поля. (Этот эффект отмечен в [77],)
107
В этом случае спектральное распределение излучения позволяет судить о про-
пространственном распределении температуры. (Разумеется, при этом изменение
циклотронной частоты в области, занятой плазмой, не должно превышать ше)
Такие измерения наиболее информативны, если коэффициент поглощения ко-
колебаний, падающих на приемник излучения, близок к 1. В этом случае спек-
спектральная плотность потока излучения принимает рэлей-джинсовское значение,
причем каждому значению частоты соответствует своя температура Г (г), где г —
точка пересечения траектории принимаемого луча с поверхностью ш=пше(г).
Если т]((о)<1, но т)((о)>т)ст, то плотность потока излучения также близка
к рэлей-джинсовской. Отметим, что если rjCT«^ 1 и излучение, прежде чем погло-
Рис. 1.19. Спектральное распределение
интенсивности излучения слоя плазмы
(Л = ^пл<0ре2/СС1)е=Ю4) При рЭЗЛИЧНЫХ
значениях температуры:
1—Т= 10 кэВ; 2 Г=25 кэВ; 3 Г=50 кэВ; i —
нормированное релей-джинсовское распреде-
распределение
10
10u)lw e
титься стенкой, успевает изотропизоваться при многократных прохождениях по
системе, то температура, определяемая таким образом, будет некоторой средней
по резонансной поверхности <в=ло)е(г).
Из сказанного следует, что при использовании описанной диагностики не-
необходимо отдать предпочтение колебаниям с наибольшим коэффициентом погло-
поглощения.
Обычно температура плазмы выравнивается вдоль силовых линий магнитно-
магнитного поля. Поэтому, чтобы получить информацию об ее пространственном распре-
распределении, необходимо принимать лучи, пересекающие возможно большее число
силовых линий. Как в случае открытых магнитных ловушек, так и в случае си-
систем с замкнутыми силовыми линиями последнему требованию можно удовлетво-
удовлетворить, если регистрировать лучи, распространяющиеся перпендикулярно магнит-
магнитному полю, т. е. поместить приемник в положение / и 2 на рис. 1.10 и в по-
положение 2 на рис. 1.11. При 6=я/2 коэффициент поглощения максимален для
обыкновенных колебаний на первой циклотронной гармонике и необыкновенных
на второй (см.§ 1.2, а также § 2.2, где рассчитывается коэффициент поглощения
в неоднородном магнитном поле).
Выше мы нашли, что излучение электронов резко возрастает с увеличением
ях энергии. Поэтому наличие в плазме даже небольшой группы электронов
с энергией в>Т может существенно исказить характер циклотронного излучения.
При определенных условиях (немонотонность функции распределения электронов
по скоростям, ее анизотропия и т. п.) такие электроны могут «раскачивать» кол-
коллективные степени свободы плазмы. В этом случае излучение становится кол-
коллективным — когерентным и может на много порядков превышать рассчитанное
выше некогерентное излучение. В токамаках с не слишком высокой плотностью
влазмы (по<^Г1О13 см~3) указанные эффекты могут вызываться небольшой груп-
108
пой так называемых убегающих электронов, энергия которых доходит до не-
нескольких мегаэлектрон-вольт [78]. Успешные измерения температуры электронов
и ее пространственного распределения по циклотронному излучению в замкнутых
системах (токамаках и стеллараторах) проведены в работах [79—83]. В откры-
открытых ловушках использованию этого метода пока что мешают малые значения
коэффициента поглощения, обусловленные низкой температурой электронов и
малыми размерами плазмы.
Отметим, что задолго до использования в термоядерных исследованиях ме-
метод определения температуры электронов по циклотронному излучению приме-
применялся в холодной слабоионизованной плазме с Те < 10 эВ [84]. В этом случае
спектр излучения состоит из очень резких линий с а»=»п<ве. Лишь в их максиму-
максимумах коэффициент поглощения плазмы достигает значений, близких к 1, и соот-
соответственно интенсивность излучения близка к равновесной — рэлей-джинсовской.
1.4. Собственно циклотронные колебания
1.4.1. Общие свойства. Ввиду того что в магнитном поле все
частицы с одинаковым отношением С//т/ вращаются с одной и
той же частотой (О/, отклик плазмы на электромагнитные возму-
возмущения с содасо, оказывается очень большим — резонансным. Ьла-
годаря эффектам конечного ларморовского радиуса появляются
резонансы также и на гармониках циклотронной частоты (ш—
=пш/, п^2). В окрестности резонансных частот (сода/ко/, п^\)
диэлектрическая проницаемость плазмы, характеризующая ее от-
Рис. 1.20. Зависимость одной из ком-
компонент тензора диэлектрической прони-
00 п
цаемости е2г = 1 —
п——оо
от частоты при
= 0
/
/¦
/
г
1
г
е
клик на возмущение электрического поля, пробегает практически
весь интервал значений от —оо до +оо (см. рис. 1.20, на котором
для иллюстрации изображена компонента диэлектрической про-
проницаемости егг — 2s |М| в области частот <»^дое при &,, — 0).
Поэтому почти любое условие, налагаемое на еар дисперсионным
уравнением, может быть удовлетворено и, следовательно, в ши-
широком интервале изменения значений волнового вектора должны
существовать решения этого уравнения с частотами, близкими к
лю/. Соответствующие им ветви колебаний можно назвать собст-
собственно циклотронными. Иногда эти колебания называют просто
циклотронными, однако их необходимо отличать от других ветвей
колебаний (обыкновенных и необыкновенных, альфвеновских и
магнитозвуковых), которые также могут существовать в области
частот со ж псо/.
109
В реальных условиях всегда действуют факторы, приводящие
к расстройке циклотронного резонанса. Наиболее существенные
из них — неоднородность магнитного поля, эффект Доплера, вы-
вызванный тепловым движением частиц вдоль магнитного поля, и,
в случае электронного циклотронного резонанса, релятивистская
зависимость циклотронной частоты от энергии электронов. Расст-
Расстройка резонанса сопровождается двумя эффектами. Во-первых,
ограничивается значение диэлектрического отклика плазмы, в ре-
результате чего сокращается интервал изменения длин волн собст-
собственно циклотронных колебаний. Во-вторых, появляются частицы,
попадающие в точный резонанс с волной. Взаимодействие с ними
приводит к затуханию колебаний.
Чтобы устранить влияние этих эффектов, частота собственно
циклотронных колебаний должна отстоять от ишу достаточно далеко:
|ш — riiOjl »Мах [дД<0/, kyVTi, n<Joj(vTjlcf), где Дю,-— изменение цик-
циклотронной частоты в пределах системы. Второе из этих условий
можно представить в виде ?п<;|ю— яш^/и^.. Но для того чтобы
проявились резонансы на циклотронных гармониках, обязанные
действию эффектов конечного ларморовского радиуса, поперечная
компонента волнового вектора должна быть достаточно велика:
k, ^P/. Сопоставляя эти два условия, приходим к заключению,
что собственно циклотронные колебания должны распространять-
распространяться почти под прямым углом к магнитному полю:А||/Л,<с|№ — /г«о;-|/юу.
Эффекты конечного ларморовского радиуса играют определя-
определяющую роль в появлении собственно циклотронных колебаний.
Действительно, в холодной плазме дисперсионное уравнение алге-
алгебраическое— квадратичное относительно Л'2. Его решения соот-
соответствуют обыкновенным и необыкновенным колебаниям в обла-
области частот со~щое и альфеновским и магнитозвуковым в обла-
области со ~«ш/. При учете эффектов, вызываемых тепловым движением
частиц (эффекты Доплера, конечности ларморовского радиуса),
оно становится сложным — трасцендентным с большим числом
корней. Физические соображения, изложенные выше, позволяют
его упростить, ограничившись областью углов 9 ж я/2. В этом
случае из эффектов, связанных с тепловым движением частиц,
остаются существенными лишь эффекты конечности ларморовско-
ларморовского радиуса. Следует отметить, что даже это упрощенное диспер-
дисперсионное уравнение до сих пор не изучено с исчерпывающей пол-
полнотой. Тем не менее основные ветви колебаний, которые могут
проявляться в реальных условиях, по-видимому, уже исследованы.
Собственно циклотронные колебания представляют собой, су-
сугубо плазменное явление. Отражается это, в частности, в том, что
они могут распространяться, лишь если плотность плазмы превы-
превышает некоторое критическое значение. Это обстоятельство затруд-
затрудняет накачку циклотронных колебаний и их ьывод из плазмы, а
следовательно, и практическое использование собственно цикло-
циклотронных колебаний, например, для нагрева плазмы или ее диаг-
диагностики.
ПО
Но поскольку циклотронные колебания обусловлены эффекта-
эффектами теплового движения заряженных частиц, они «чутко реагиру-
реагируют» на изменение вида функции распределения заряженных ча-
частиц по скорости. Так, возникновение неравновесности может лег-
легко привести к их раскачке.
Довольно подробный анализ собственно циклотронных колеба-
колебаний можно найти в монографиях [8, 24], авторы которых сами
внесли немалый вклад в их изучение. Мы не будет повторять этот
анализ. В качестве характерного примера рассмотрим лишь не-
необыкновенные электронные колебания, которые понадобятся для
дальнейшего рассмотрения (см. п. 2.2.4).
1.4.2. Необыкновенные электронные колебания. Для колебаний, распростра-
распространяющихся поперек магнитного поля, величины е_ц, е+ || обращаются в нуль н
дисперсионное уравнение распадается на два:
Первое из них описывает колебания, которые ввиду их поляризации (?_=?+=
=0, ?цт^0) могут быть названы обыкновенными, второе — необыкновенными
колебаниями (?ц =0, Е-фО, Е+Ф0). Анализируя дисперсионное уравнение не-
необыкновенных колебаний, рассмотрим два предельных случая — малых (k <§; р^,')
и больших (k^> <ffe ) значений волнового вектора. При 5тс<С1 в Еа$ наряду
с резонансными необходимо учесть слагаемые с номерами я=1 (в е ) и п=—I
(в е++) (см. A.25)). «Резонансную» — пропорциональную (со—пше)~2 часть со-
сочетания е_+2—е—е++ можно представить в виде (е_+2—е B++)Tea = qe2(An^x
ХЛп+i—Ап2)&пе~, где Апе=((й—п(х>е)/<Ое. Уравнение необыкновенных колеба-
колебаний квадратично относительно ДПе- Разлагая Ап(%Те2) =/п(|те2) ехр (—|Те2)
в ряд по |Те2, находим, что два решения A.71) имеют разный порядок:
Лле ^ Че [-J~ tTeJ (n1)! Х
Лле ^ Че [J tTeJ (n—1)!
Х
' ('-
qejn (ll + 1)
Эти выражения справедливы при п^2, если п=1, то остается лишь второе ре-
решение A.73).
В обратном предельном случае \те~>п, используя асимптотическое представ-
представление для /п(§те2), из A.71) находим
дA.2)
Яг .( И» 'Je
±1(
ш
Полученные выражения для Д„« позволяют составить общее представление
о зависимости частоты циклотронных колебаний от волнового вектора. В пре-
предельном случае больших показателей преломления (iV2^^) конечным остается
лишь первое решение — АПсA), которое описывает потенциальные колебания.
При &~рге~"' условие потенциальности (Af2»^) можно представить в виде
ре(р)=8лио7'е/Во2<1- Потенциальные колебания удовлетворяют дисперсионному
уравнению б»*=0.
МГц
/00
75
50
Рис. 1.21. Зависимость частот необыкновен-
необыкновенных электронных циклотронных колебаний
от волнового вектора при 2«оВг/(й*<3,
1 — потенциальные колебания (моды Беряштей-
на); 2 — непотеициальнь,е колебания;
1Те-п
Z5
О
2 J Ч к, см
-1
Рис 1 22 Зависимость частоты потенциальных электронных циклотронных коле-
колебаний от волнового вектора [85] fe=o)e/2jt=23,7 МГц; /ре=«вре/2я = 93>7 МГц;
Во=5-1О-3 Тл; Ио=Ю8 см->; Ге=1,2 эВ.
Из A.72) следует, что при N,2»qe и ?Те<1 знак &п^1) зависит от соотно-
соотношения между частотой колебаний о)*л<ое и верхней гибридной частотой Швг=
= (ше2-(-й)рв2I/2. Если псав>Ювг, то An.f'^O, а если пю,«оВг, то Дп«A)<0. В то
же время при |те»« величина Дп.С' всегда положительна. На рис. 1.21 зави-
зависимость частоты потенциальных колебаний от волнового вектора изображена
кривыми /. Обратим внимание на ветку верхнегибридных колебаний, которая
при |те<1 может далеко отстоять от л©,. Эти колебания, так же как и цикло-
циклотронные, описываются уравнением A.71). Потенциальные колебания в области
частот (о^яш,, иногда называют модами Бернштейна.
Что касается существенно непотенциальных колебаний, то их частота при
любых значениях волнового вектора лежит ниже пше [см. A.73), A.74)]. На
рие. 1.21 графики зависимости частоты непотенциальных колебаний от с.Те отме-
отмечены цифрой 2. Отметим, что для непотенциальных колебаний характерные зна-
значения величины |ДП«| по порядку не превышают qe(vTe/cJ. Для того чтобы
устранить влияние релятивизма (см. предыдущий подраздел), должно выпол-
выполняться условие |Дпе|>@ге/сJ. Поэтому непотенциальные колебания сущест-
существуют лишь в плазме достаточно высокой плотности с q^l (pV*'»l).
Законы дисперсии [зависимость a>(k)] собственно циклотронных колебаний
проверяли в довольно многочисленных экспериментах с низкотемпературной газо-
газоразрядной или щелочной плазмой [7, 24, 85, 86]. В газоразрядной плазме
Г«<10 эВ, а Tt в 102—103 раз меньше; в плазме щелочных металлов темпера-
112
тура обеих компонент плазмы порядка 0,1 эВ. Плотность плазмы может изме-
изменяться в довольно широких пределах — от 10е до 1013 см~3. Магнитное поле-
выбирают таким, чтобы ларморовский радиус заряженных частиц был мал по
сравнению с размером системы поперек магнитного поля, а циклотронные ча-
частоты (Oj превышали частоты соударений Vj. При таких значениях индукции'
магнитного поля B~-10-2-j-10-' Тл давление плазмы пренебрежимо мало по
сравнению с давлением магнитного поля. Естественно, что в таких условиях
могут быть исследованы только потенциальные ветки циклотронных колебаний.
Обычно колебания возбуждаются зондом, потенциал которого изменяется с за-
заданной частотой. В эксперименте измеряют фазовый сдвиг сигнала, прступающе-
го на приемный зоид, и по нему определяют длину волны колебаний.
Приведем результаты характерного эксперимента [85]. В этой работе изу-
изучали дисперсию потенциальных электронных циклотронных колебаний (рис. 1.22).
Установлено, что экспериментальные результаты находятся в хорошем соответ^
ствии с предсказаниями теории. Подтверждено изменение характера зависимости:
»(й) при переходе из области частот ш<«Вг к со>«Овг.
2. Циклотронные колебания в неоднородном магнитном поле
2.1. Резонансное циклотронное взаимодействие в неоднородном
магнитном поле
2.1.1. Резонансное взаимодействие в плазме и псевдоволны.
Псевдоволны и индивидуальные степени свободы
в плазме. Динамику резонансного циклотронного взаимодейст+
вия в неоднородном магнитном поле невозможно описать, не при-
прибегая к понятию так называемых псевдоволн. В теории плазмы
это понятие используют не так уж часто. Поэтому представляется
уместным вкратце осветить роль, которую псевдоволны играют в.
физике плазмы и в особенности в процессах резонансного взаимо-
взаимодействия колебаний с заряженными частицами.
Анализ эволюции начальных возмущений в плазме показыва-
показывает, что самосогласованных (собственных) колебаний недостаточ-
недостаточно для определения эволюции произвольного начального возму-
возмущения, так как они не составляют полной системы [87, 88]. Не-
Недостаточность решений вида ехр (—iof+ikr) видна уже из того,
что они дают лишь со3 множество решений (соответственно трем
независимым параметрам: kx, ky, k2), между тем как в действи-
действительности должно иметься со6 — множество решений (уравнения
содержат шесть независимых переменных: х, у, z, vx, vy, vz) [87].
Действительно, с помощью самосогласованных колебаний, для
которых характерно организованное движение заряженных ча-
частиц, можно описать возбуждение коллективных степеней свободы.
Между тем в плазме кулоновское взаимодействие коллективи-
коллективизирует лишь малую долю степеней свободы заряженных частиц, и
основную часть степеней свободы следует считать индивидуаль-
индивидуальными [89]. Одновременное существование коллективных и инди-
индивидуальных степеней свободы является специфическим свойством
плазмы, отличающим ее от других сплошных сред. Эта особен-
особенность обусловлена дальнодействующим характером кулоновских
сил. Согласно А. А. Власову частица плазмы успевает «почувст-
8—67 118
вовать» влияние коллектива до того, как столкнется со своей бли-
ближайшей соседкой. На столь малых интервалах времени (в других
отношениях они могут оказаться достаточно большими) отдель-
отдельные заряженные частицы движутся почти свободно.
По-иному обстоит дело, например, в обычном газе. Разрежен-
Разреженный (кнудсеновский) газ является собранием независимых ча-
частиц, в нем коллективные степени свободы отсутствуют. С повы-
повышением плотности возникают коллективные степени свободы (зву-
(звуковые волны), однако одновременно индивидуальные степени сво-
свободы заканчивают независимое существование.
Образования, представляющие индивидуальные степени сво-
свободы, введены в теорию колебаний плазмы Ван-Кампеном [Ь8\.
В простейшем случае однородной незамагниченной плазмы это
¦однородные пучки заряженных частиц, плотность которых моду-
модулирована в направлении движения. Очевидно, что если скорость
пучка равна v, а длина волны модуляции 2n/k, то в лабораторной
системе координат наблюдается волна электрического потенциала
с частотой (i>=kv. Подобные волны называют волнами Ван-Кам-
пена, а в случае неоднородных течений плазмы и жидкости — вол-
волнами Ван-Кампена — Кейза, волнами, вызываемыми модулиро-
модулированными пучками, баллистическими модами и, наконец, псевдо-
псевдоволнами. Последнее название имеет преимущество в краткости
и подчеркивает «неполноценный» характер этих волн: их распро-
распространение есть лишь имитация волнового процесса. Проявляется
это, в частности, в крайней неустойчивости псевдоволн, «рассыпа-
«рассыпающихся» под действием малых возмущений.
Рассмотрим например, как влияет на описанную выше псев-
псевдоволну электрического потенциала небольшой разброс в значе-
значениях скорости заряженных частиц, образующих ее (би<Си). При
наличии разброса рассматриваемое образование можно считать
составленным из непрерывного набора псевдоволн, движущихся
с различными скоростями. В короткие интервалы времени ?<С
¦C(?6t>)~' влияние разброса не успевает проявиться. Однако через
время порядка (/гбу) отдельные псевдоволны сдвигаются отно-
относительно друг друга на расстояние порядка длины волны, при
этом начальная модуляция «замазывается», а следовательно, ко-
колебания затухают. Закон затухания легко можно найти; например,
в случае гауссовского распределения заряженных частиц по ско-
скоростям f(u)=n-l^{8v)-lexp[— (v—voJ/FvJ]. Если в начальный
момент плотность частиц модулирована по гармоническому зако-
закону п(х, 0)=nexp(ikx), то, используя уравнение траектории x{t) =
=x(Q)-\-vt, получаем
n(x,t) = n[dvf (v)exp [ik(x — vt)] — nexp [i k{x — vjt) — (ArfSw/2I].
B.1)
Очевидно, что по закону ехр{—[{\/2)ktbv]2} затухают и возму-
возмущения потенциала, вызываемые данным образованием.
Рассмотрим теперь влияние кулоновских соударений. Соуда-
Соударения должны приводить к уширению пучка в пространстве ско-
П4
ростей, причем в силу их диффузионного характера ширина би при
^«Cv-1 изменяется по закону 8южит(у(I/2, где v — частота куло-
новских соударений; vT — тепловая скорость. Подставляя выраже-
выражение для 8v в B.1), находим
п(х, t)wnexp[\k(x—vot) — (kvT/2Jvt3]. B.2)
Этот закон затухания получен в [90] более строгим методом.
Выражения B.1), B.2) показывают, что для псевдоволн ха-
характерно более резкое затухание, чем для самосогласованных ко-
колебаний, амплитуда которых в стационарных системах уменьша-
уменьшается во времени по простому экспоненциальному закону ехр(—yO-
«Задача» псевдоволн в теории плазмы — представить метода-
методами теории сплошной среды эффекты, обусловленные дискретно-
дискретностью строения плазмы. Сама постановка задачи противоречива,
поэтому не удивительно, что некоторые свойства псевдоволн не
согласуются с дискретностью плазмы. Так, хотя из псевдоволн
можно составить частицеподобное образование, неизбежные в ре-
реальных условиях случайные воздействия, а также разброс в скоро-
скоростях отдельных псевдоволн в конце концов приводят к его распаду.
Неадекватность методов теории сплошных сред избранной за-
задаче приводит также к тому, что при определенных условиях от-
отдельная псевдоволна становится неотличимой от самосогласован-
самосогласованных колебаний. Действительно, рассмотрим плазму плотностью
по, в которой имеется пучок электронов с плотностью п'о(п'о<С«о)
и со скоростью Vq. Дисперсионное уравнение, определяющее ча-
частоту самосогласованных потенциальных колебаний такой систе-
системы, имеет вид
1 _ю2 /Ш1 _ «,' 2/(ш __ kVaf = 0.
ре1 ре1У °'
При kVo~>oipe самосогласованные колебания разделяются на
«плазменные» с частотой ыт+(ире и «пучковые» с частотой со ж
fakVo±:<u'Pe. Пусть в начальный момент времени плотность пучка
промодулирована в направлении движения. При t^(aPe')~l отли-
отличие частот пучковых колебаний от kVo не успевает проявиться и
электрическое поле, вызванное модуляцией пучка, ведет себя как
псевдоволна. Однако при f& ((аре')~1 в лабораторной системе ко-
координат можно зафиксировать две волны с фазовыми скоростями,
отличными от kVo- Под влиянием кулоновских соударений ско-
скорость электронов пучка изменяется во времени, т. е. система ста-
становится нестационарной. Именно по этой причине собственные
колебания пучка затухают более резко, чем по простому экспонен-
экспоненциальному закону.
Псевдоволны и затухание Ландау. Поскольку псев-
псевдоволны представляют в колебаниях плазмы индивидуальные сте-
степени свободы, то вполне естественно, что резонансный обмен энер-
энергией между самосогласованными колебаниями и отдельными
частицами осуществляется через возбуждение псевдоволн. Пока-
Покажем, что это действительно так на примере наиболее известной и
лучше всего изученной задачи о резонансном затухании элек-
электронных легмюровских колебаний в однородной незамагниченной
8* 115
плазме с равновесным распределнием электронов по скоростям
(затухание Ландау). Рассмотрим плоскую стационарную волну
вида ехр (—iat+ikx), распространяющуюся по плазме. Произво-
Производя стандартную операцию линеаризации бесстолкновительного
кинетического уравнения
|0 + o
dt дх. те дх dv
ло малым возмущениям, вызываемым волной, получаем
<о — kv me dv
Здесь, как обычно, индексом 1 отмечены величины, характеризую-
характеризующие волну, индексом 0 — величины, относящиеся к невозмущен-
«ому состоянию плазмы.
Из B.3) следует, что возмущение функции распределения элек-
электронов обращается в бесконечность при скорости, равной фазовой
скорости волны. Сингулярность отражает неограниченное ускоре-
ускорение резонансных электронов, для которых электрическое поле волны
постоянно во времени. Однако величины, имеющие физический
смысл, а к ним относится и функция распределения, должны быть
конечны. Наличие же особенности свидетельствует о том, что на-
наше рассмотрение не учитывает каких-то процессов, существенных
для анализируемого явления. В данном случае к ограничению
ускорения могут привести, например, кулоновские соударения.
Действительно, соударения изменяют скорость частиц, а следова-
следовательно, выбивают их из резонанса с волной.
Проследим за динамикой резонансных электронов, принимая
во внимание действие кулоновских соударений. Рассмотрим волну
электрического потенциала, распространяющуюся вдоль ОХ
{рис. 2.1). Электроны, попавшие в ускоряющую фазу, увеличива-
увеличивают свою скорость. Это означает, что распределение электронов по
скоростям сдвинется по оси скоростей вправо. Если dfo/dv<iO, что
имеет место для максвелловского распределения, то число элек-
электронов, скорость которых равна фазовой, возрастет. В области, где
электрическое поле замедляет электроны, число резонансных элек-
электронов уменьшится. Иными словами, возникнет псевдоволна, дви-
движущаяся со скоростью, равной фазовой скорости исходной волны, и
сдвинутая по фазе относительно возмущения потенциала на — я/2
(рис. 2.1). Поскольку максимумы плотности псевдоволны попада-
попадают на ускоряющую фазу, а минимумы — на замедляющую, то в
среднем энергия будет переходить от самосогласованных колеба-
колебаний к псевдоволне. Этот результат вполне естествен. Действитель-
Действительно, количество энергии, приходящейся на степени свободы в со-
состоянии резонанса, должно выравниваться. Выше же предполага-
предполагалось, что первоначально была возбуждена лишь коллективная
степень свободы (самосогласованные колебания).
116
Из B.2) следует, что кулоновские соударения разрушат псев-
псевдоволну за время т~ (kvr)~2/3v-l/3. Однако если амплитуда само-
самосогласованных колебаний поддерживается на одном и том же
уровне, то они постоянно воссоздают псевдоволну. Таким образом,
при наличии кулоновских соударений имеет место «проток» элек-
электронов через состояние псевдоволны.
Отметим, что хотя взаимодействие резонансных частиц с вол-
волной и называют бесстолкновительным, только кулоновские соуда-
соударения создают условия для постоянной перекачки энергии от са-
самосогласованных колебаний к заряженным частицам. Да и само
Рис. 2.1. Образование псевдоволны при
резонансном взаш
ничейной плазме:
резонансном взаимодействии в кезамаг- ~/*\"~""\г-''' /* ^^""N.
/ — возмущение электрического потенциала; \» N. / /
2 —возмущение плотности резонансных элек- N^^v^_^/
тронов ь
понятие резонансных частиц, как отмечено в п. 1.1.3, становится
физически определенным лишь при наличии соударений. В данном
случае резонансными следует считать частицы, скорости которых
отличаются от фазовой скорости волны на би 3$ (kxa)~l. Посколь-
Поскольку, следовательно, число резонансных частиц пропорционально
Td-'cov1/3, а время пребывания отдельной частицы в состоянии
резонанса т<*со\-'/3, то результат взаимодействия (количество пе-
передаваемой энергии) не зависит от частоты соударений. Это об-
обстоятельство и оправдывает использование термина «бесстолк-
новительное резонансное взаимодействие». Влияние кулоновских
соударений можно учесть в исходном уравнении B.3), введя в
него слагаемое /i/t<k Этого достаточно для того, чтобы включить
в рассмотрение эффект уничтожения псевдоволны за время %а.
Наличие в B.3) дополнительного слагаемого приводит в B.3) к
замене (o-*-co-)-i/Td.
Моменты функции распределения fi определяют возмущение
плотности электронов и все другие макроскопические величины.
Если тепловая скорость электронов значительно превышает
(kxd)~\ то при вычислении моментов для резонансного знамена-
знаменателя можно использовать представление
> — kv).
to — kv -f- i/xrf to — kv
Соответственно вместо B.3) получаем
f, = P — k<bl —^ i itS (со — ko) —^— Аф, —^-. B.4)
to — &ц /ле dy me dv
Нетрудно заметить, что второе слагаемое в этом выражении дает
псевдоволну, описанную выше.
При вычислении моментов функции распределения выражения
B.3), B.4) приводят к одним и тем же результатам, если (^.3)
дополнить так называемым правилом обхода Ландау, т. е. рас-
117
сматривать колебания с Imco=0 как предельный случай колеба-
колебаний с ImcoX). Это правило, как известно, можно получить фор-
формально, если задачу о собственных колебаниях плазмы рассмат-
рассматривать как часть задачи об эволюции начальных возмущений и
решать последнюю методом преобразования Лапласа, т. е. пред-
представлять произвольное возмущение в виде суперпозиции возмуще-
возмущений с Im,(o>0. Однако при таком подходе остается в тени дина-
динамика процессов, приводящих к обмену энергией между самосо-
самосогласованными колебаниями и заряженными частицами.
Из проведенного рассмотрения следует, что псевдоволны, воз-
возбуждаемые при резонансном взаимодействии, характеризуются
той же пространственно-временной зависимостью, что и возбуж-
возбуждающие их самосогласованные колебания. Поэтому псевдоволны
обычно включают в «отклик» плазмы на электромагнитное поле
колебаний как его резонансную часть. В неоднородной стационар-
стационарной плазме псевдоволна имеет ту же частоту, что и возбуждаю-
возбуждающие ее самосогласованные колебания, однако волновой вектор
псевдоволны совпадает с волновым вектором самосогласованных
колебаний лишь в одной точке — резонансной. На достаточно
большом расстоянии от резонансной точки псевдоволна отделяет-
отделяется от самосогласованных колебаний и начинает самостоятельное
существование. Если спустя некоторое время для псевдоволны
опять выполняется условие фазового резонанса с самосогласован-
самосогласованными колебаниями, то последние переизлучаются. Это явление ле-
лежит в основе эффектов нелокального отражения [91] и просвет-
просветления волновых барьеров [92, 93]. В первом случае заряженные
частицы, образующие псевдоволну, дважды проходят через резо-
резонансную точку, причем при втором прохождении они движутся
навстречу исходной волне. (Изменение знака скорости может
быть вызвано, например, отражением от пробки адиабатической
ловушки.) Волна, излучаемая при повторном прохождении, дви-
движется в том же направлении, что и излучающие ее частицы, т. е.
принимает форму отраженной.
Эффект просветления волновых барьеров возникает, когда за-
заряженные частицы проходят через резонансные точки, разде-
разделенные барьером непрозрачности для самосогласованных колеба-
колебаний. Соответственно переизлучение, происходящее во второй
резонансной точке, проявляется как подбарьерное просачивание
волны.
Эти примеры показывают, что использование понятия псевдо-
псевдоволны особенно полезно при анализе резонансного взаимодействия
в' неоднородной плазме. Характерное для неоднородной плазмы
отделение псевдоволн от самосогласованных колебаний вызвано
тем, что заряженные частицы, из которых составлена псевдовол-
псевдоволна, в результате теплового движения выходят из зоны резонанс-
резонансного взаимодействия. Конечность времени резонансного взаимо-
взаимодействия является дополнительным фактором, который может огра-
ограничивать амплитуду псевдоволны. Напомним, что в однородной
плазме амплитуда псевдоволны ограничивается кулоновскими со-
118
ударениями (см. выше) или нелинейным эффектом изменения
траектории заряженных частиц под действием поля самосогласо-
самосогласованных колебаний [27, 28]. Нелинейность проявляется при доста-
достаточно большой амплитуде самосогласованных колебаний, возбуж-
возбуждающих псевдоволну. Нелинейные эффекты подобного рода рас-
рассмотрены в гл. 3.
2.1.2. Псевдоволны и резонансное циклотронное взаимодейст-
взаимодействие в неоднородном магнитном поле. Образование псевдо-
псевдоволн в однородном магнитном поле. Прежде чем при-
приступить к анализу резонансного циклотронного взаимодействия в
неоднородном магнитном поле, рассмотрим более простой случай
однородного магнитного поля. В области циклотронных частот
co^ouj (/=e, i) существует значительное число различных коле-
колебаний, различающихся поляризацией, показателем преломления и
точными значениями частоты колебаний (см. раз.''. 1). Рассмот-
Рис. 2.2. Образование псевдоволны при ре- I ,\ .
зонансном циклотронном взаимодействии в Е j IJ
однородном магнитном поле '
рим простейшие необыкновенные электронные циклотронные ко-
колебания, распространяющиеся вдоль магнитного поля. Электричес-
Электрическое поле таких колебаний перпендикулярно основному магнитному
полю и вращается в электронную сторону (см. п. 1.2.2). Его удоб-
удобно характеризовать сочетанием Е-=ЕХ—\ЕУ. В уравнении движе-
движения электрона вместо отдельных компонент скорости vx и vy так-
также удобно ввести величину v-=vx—ivy. При этом получаем *
v- -\- iwev_ = — (ejme) Е_ ехр (—'ш -\- \kv N t). B.5)
Электроны, для которых выполняется резонансное условие
<o=yfey-)-(o(?, испытывают систематическое изменение скорости лар-
моровского вращения под действием волны:
v-(t) = (v-(O) — {e/me)E_t)exp(—Ш).
Рассмотрим детально, как происходит образование псевдоволны
в этих условиях. На рис. 2.2 изображены некоторые из ларморов-
ских окружностей, проходящих через выбранную произвольным
образом точку 0. Пусть в начальный момент электрическое поле
волны направлено вертикально вверх. Оно увеличивает скорость
электронов, движущихся вниз, и уменьшает скорость электронов,
движущихся вверх. В точке 0 электроны первого типа принадле-
принадлежат к окружности /, второго — к окружности 3. Если в отсутствие
волны в точке 0 имела место компенсация микротоков, то под
действием волны возникнет электрический ток, направленный
* Если учесть действие магнитного поля волны, то в правой части уравне-
уравнения B.5) появится множитель (со—kv)/a>.
119
вверх (средняя скорость электронов будет направлена вниз).
Через четверть периода ток в точке 0 будет определяться элек-
электронами, движущимися по окружностям 2 и 4, причем вектор тока
будет повернут по часовой стрелке на я/2, и т. д. Таким образом,
в плоскостях z=const возникнут сфазированные токи, вращаю-
вращающиеся в электронную сторону. Они будут переноситься вдоль Во
со скоростью резонансных электронов v . Иными словами, в плаз-
плазме возникнет псевдоволна электрического тока. Как и в случае
потенциальных колебаний, рассмотренных выше, затухание цик-
циклотронных псевдоволн вызывается кулоновскими столкновениями,
изменяющими продольную скорость.
Образование псевдоволн в неоднородном маг-
магнитном поле. Предположим теперь, что колебания, рассматри-
рассматривавшиеся в п. 2.1.1, распространяются в неоднородном магнитном
поле. Будем считать, что v^o направлен вдоль вектора Во.
Для различных электронов из распределения по продольным ско-
скоростям резонансное условие т = тв(г)-\-кол будет выполняться в
различных точках zs(*>n)- Разброс в значениях zs(y|() несуществен
(см. ниже) при выполнении условия k{fj-.I'2 <? 1, где ?,=:
X (dmefd2i)]jlz — характерный масштаб изменения магнитного поля.
s
В этом случае можно говорить о единой резонансной точке для
всех электронов. В ее окрестности вектор скорости электрона и
электрический вектор волны некоторое время вращаются синхрон-
синхронно. За это время и происходит существенное — резонансное изме-
изменение скорости электрона. Найдем приращение скорости. В неод-
неоднородном магнитном поле частота сое на траектории электрона яв-
является функцией времени а>еA)=(ае(гA)), где z(t) — z@)-\-v^t.
При этом решение уравнения B.5) принимает вид
о
v t
+ i J .,((")<«" } exp (- i f ».(*')#')¦ B.6)
0 ' X 0
Рассмотрим большие интервалы времени t~^> Fае)~\ где 6(oe —
изменение электронной циклотронной частоты на траектории
электрона. В этом случае при вычислении интеграла по dt' в
B.6) можно использовать асимптотические методы. Если элект-
электрон еще не дошел до резонансной точки (f<?s. z(ts)=zs), то
асимптотика v~(t) имеет вид
120
Здесь первое слагаемое описывает «свободное» — циклотронное
вращение электрона, второе — движение, вызываемое полем вол-
волны. Во втором слагаемом учтен вклад только верхнего предела
интегрирования t'=t, так как считается, что электрон успел
«позабыть» о моменте «включения» поля t'=0.
При t>ts следует дополнительно учесть вклад резонансной
точки. Это точка стационарной фазы подынтегрального выраже-
выражения в B.6):
,f2 exp \-i(m-koa)ts+
s L
ts t
+ i j <oe (z (/')) dV + i */4J \ exp J - i J «, [z (*')] dV} -
__±Le l- exp[— i(« — ko«)t]. B.8)
Из сопоставления B.7) и B.8) следует, что после прохождения
резонансной точки амплитуда и фаза циклотронного вращения
изменяются, причем приращение таково, как если бы электрон
находился в состоянии резонанса, времяUs=\{2ii]v\\){dwe\dz)jlz ]1/2
а фаза приращения сдвинута относительно фазы поля в момент
прохождения резонансной точки на л/4. Время резонансного
взаимодействия можно оценить следующим образом. Введем фа-
фазу ларморовского вращения, отсчитываемую от фазы волны на
траектории электрона:
ЧB(П)-(°-*»и)('-*з). B.9)
Будем считать в этом выражении ше(г)=со—ko\\-\-(z—zs)(dioeldz)\z-zs>
z — zs = t»|i (t — ts). Из B.9) следует, что если определить состояние
резонанса как состояние, в котором \ Ф (t) | не превышает it/2, то
эффективное время резонансного взаимодействия окажется равным
Sfs = [Bn/O||)(d«oe'dz)^lz„]1/2 (см. выше). За время 8^s электрон прой-
пройдет расстояние 8zs= [2тоц (du>ejdzOlz ]1/2- Это расстояние можно
о
принять за размер зоны резонансного взаимодействия.
Предположим, что на резонансную точку набегает стационар-
стационарный поток электронов, движущихся со скоростью v... В пределах
резонансной зоны колебания взаимодействуют с электронами так
же, как в однородном магнитном поле. Следовательно, в этой
области должна образоваться псевдоволна. В силу стационарно-
стационарности системы частота псевдоволны во всем пространстве должна
быть равна «. Учитывая это обстоятельство, из B.8) находим,
121
что полная пространственно-временная зависимость фазы псев-
псевдоволны дается выражением
г
Фаза псевдоволны отличается от фазы первичных, возбуждаю-
возбуждающих колебаний последним слагаемым. Таким образом, как и
указывалось выше, благодаря неоднородности магнитного поля
псевдоволна «отделяется» от первичной волны.
Решение Брамбиллы. Псевдоволны возбуждаются
электрическим полем самосогласованных колебаний в резонанс-
резонансной точке и могут переносить информацию об этом поле на зна-
значительное расстояние. В результате электрический ток вне резо-
резонансной зоны оказывается связанным с полем в резонансной
точке и, следовательно, волновое уравнение становится нелокаль-
нелокальным. Это вполне естественно, так как обсуждаемая задача при-
принадлежит к классу задач об электромагнитных колебаниях неод-
неоднородной среды при учете пространственной дисперсии. (В дан-
данном случае пространственная дисперсия обусловливается движе-
движением электронов вдоль магнитного поля.) Такие задачи, как из-
известно, описываются нелокальными — интегральными волновыми
уравнениями. Однако в одном частном случае удалось интеграль-
интегральное волновое уравнение свести к дифференциальному, которое
затем было решено методом преобразования Лапласа [94]. Ре-
Результаты, полученные в [94], подтверждают качественные сооб-
соображения, приведенные выше. В [94] рассматривался поток элек-
электронов, движущийся со скоростью о|; вдоль магнитного поля, ли-
линейно меняющегося с координатой z. Считалось, что электромаг-
электромагнитные колебания распространяются в том же направлении.
Распространение колебаний описывается волновым уравне-
уравнением
?"-+ (а/с) 2?_= Dя i со/с2) /-, B.11)
где ток /_(z) =—etioV-(z). Возмущение скорости электронов, вы-
вызываемое волной, учитывая B.6), представим в виде
V\\ V
—оо ч г
Здесь считается о.,>0, и поэтому момент „включения" поля волны
отнесен на t — zjv. = — оо; зависимость Е_{г) в отличие от B.6),
где волна считалась плоской, не конкретизируется. Сдвигая нача-
начало координат в резонансную точку (сое(О)=(й) и принимая ли-
122
нейную зависимость магнитного поля от координаты, приводим
уравнение B.11) к виду
EL + ф* Е- + 1
ф. \ *'?_,Z')exp(_ i- ?«¦-/>). B.12)
—30
Умножим уравнение B.12) на exp[(i/2y il)(d(ae/dz)z2], после чего
продифференцируем его по z и, наконец, умножим на
ехр[—(i/2v[l)(du>e/dz)z2]. В результате получим
?"'__2i&2.Z?/'_+?'-+2iba. (Г/л—Z)?_=0. B.13)
Здесь Г = ж {^ре1тгс) (dme!dz)Vlzs, Ь\ = — A /2о „) (d«»,/rfz) (W®I > 0;
Z = za>/c.
При |Z|-voo решения уравнения B.13) делятся на два клас-
класса: медленно меняющиеся, описывающие волны в вакууме,—
Е-, 1,2-—'exp (±iZ), и быстро меняющейся — Е-^^ехр (i62*Z2).
Фаза последнего решения совпадает с пространственной частью.
Фр (?, z) [см. B.10)] при г->со, а само это решение описывает
псевдоволну, уходящую от резонансной точки z=0. Возникнове-
Возникновение в точке 2=0 псевдоволны следует из решения уравнения
B.13), полученного в [94] методом преобразования Лапласа.
Соответствующий анализ дан в приложении П.1, здесь же при-
приведем лишь конечные результаты.
Асимптотика решения, представляющего волну, набегающую
на резонансную точку со стороны отрицательных значений коор-
координаты z, имеет вид
?_(Z) = !
г-*—оо
продолжение
Z |-'r/2*exp(iZ).
этого решения
на
область
B.14)
Z>0
Аналитическое
дает
Е- (Z) =а | Z Г' г/2х exp (i Z — Г/2) +
+ И2 2Г/2Я \Ъ*Г (i Г/2* - 1)!] exp (i fcfz2 + (i/4) (Г + it)). B.15)
Из сопоставления B.14), B.15) следует, что при прохожде-
прохождении через резонансную точку амплитуда «вакуумного» решения
[см. B.14)] и первое слагаемое в B.15) уменьшаются в
ехр (Г/2) раз. Этот эффект обусловлен поглощением колебаний
в резонансной точке. Резонансное взаимодействие приводит к об-
образованию псевдоволны, уходящей от резонансной точки вместе
с потоком электронов [см. второе слагаемое в B.15)]. При
Z»b~2, характерный пространственный масштаб псевдоволны
мал по сравнению с 1 — безразмерной длиной волны света в
вакууме. Следовательно, образование псевдоволны можно рас-
рассматривать как перекачку энергии от крупномасштабных коле-
колебаний к мелкомасштабным. Подобные явления принято называть
трансформацией колебаний. В данном случае коэффициент транс-
123
формации (доля передаваемой энергии), как следует из B.14) и
B.15), равен:
ц = 1-ехр(-Г). B.16)
Явление трансформации характерно для колебаний, описывае-
описываемых уравнениями типа B.13). Такие уравнению имеют два класса
решений: крупномасштабные и мелкомасштабные (в данном слу-
случает Е--1,2 и ?-;з соответственно). В окрестности точки, где ко-
коэффициент перед второй производной обращается в нуль, масш-
масштабы решений сравниваются, а сами решения трансформируются
(переходят друг в друга).
Псевдоволны в экспериментах на установке
А С. Решение, описывающее псевдоволну, было получено выше
в предположении, что распределение электронов по продольным
скоростям имеет вид б-функции. Именно поэтому уменьшение
амплитуды псевдоволны с удалением от резонансной точки было
довольно слабым — степенным. Влияние разброса по продольным
скоростям на циклотронные псевдоволны подробно обсуждается
ниже. Здесь же заметим, что, представляя непрерывное распре-
распределение по у и в виде набора б-функций, приходим к выводу о
возбуждении в резонансной точке непрерывного спектра псевдо-
псевдоволн. Каждая из них характеризуется своим значением
by* = — (\]2v^)(dwejdz) (с/аJ, определяющим пространственный
масштаб псевдоволны. С удалением от резонансной точки отдель-
отдельные псевдоволны сдвигаются по фазе, и когда характерный чдаиг
превышает я, результирующая псевдоволна исчезает из-за интер-
интерференции.
Таким образом, приходим к заключению, что эксперименталь-
экспериментальное наблюдение псевдоволн облегчается с уменьшением разброса
по продольным скоростям. Распределения с довольно малым
разбросом по продольным скоростям создавались в эксперимен-
экспериментах на установке АС (ИАЭ им. И. В. Курчатова, 1965—1970 гг.)
[32]. Установка АС (адиабатическое сжатие) представляла со-
собой простейшую аксиально-симметричную адиабатическую ло-
ловушку. В ней ионная компонента плазмы состоит из двух пучков,
движущихся вдоль магнитного поля навстречу друг другу и отра-
отражающихся от магнитных пробок. Из-за того что и распределение
по поперечным скоростям также неравновесно —имеет вид 6-
функции (см. -п. 1.1.4), в установке возбуждается ионная цикло-
циклотронная неустойчивость. Спектр неустойчивых колебаний распо-
располагается вблизи минимального значения ионной циклотронной
частоты в ловушке (Oj-0^2-107 рад/с и довольно узкий Дю»
«106 рад/с. Весьма интересные результаты дали измерения про-
пространственной корреляционной функции
А1Л=<Е(ги t)E(z2, 0>/«?2(z., t)XE2(z2, *)})'/>.
Здесь скобки означают усреднение по времени (рис. 2.3) [95]. На
графике зависимости Ail2 от 22—Z\ выделяются два масштаба
корреляции: большой Zi«200 см и малый l2^0,Ui- Наличие двух
124
корреляционных масштабов свидетельствует о присутствии двух
волновых процессов. Они имеют одну и ту же частоту, но разли-
различаются пространственными свойствами. Очевидно, что длина
волны не может превышать характерного корреляционного мас-
масштаба. Поэтому следует считать, что плохо скоррелированный а
пространстве процесс обязан коротковолновым колебаниям с
длиной волны Я* ^ 20 см. В то же время непосредственные изме-
измерения показали, что в плазме имеются и длинноволновые коле-
колебания с Хг«130 см, которые естественно сопоставить с большим
масштабом корреляции. Заметим, что в силу низкой разрешаю-
Рис. 2.3. Корреляция циклотронных ко-
колебаний вдоль оси установки АС (Ли—
нормированная корреляционная функ-
функция колебаний в точках гь z2)
щей способности аппаратуры (зонды были разнесены на 30 см)
колебания с Аг<30см не могли быть обнаружены в измерениях.
По этой же причине значение /2«20 см —верхняя граница для
меньшего корреляционного масштаба.
Таким образом, при анализе экспериментов на установке АС
столкнулись с необычной ситуацией, когда одну и ту же частоту
имеют два типа колебаний с различной длиной волны и различ-
различным образом скоррелированных в пространстве. Однако именно
этого и следовало ожидать, если принять во внимание, что при
резонансном взаимодействии с ионами самопроизвольно возни-
возникающих самосогласованных циклотронных колебаний должны
возбуждаться псевдоволны [95, 96]. Действительно, фаза псевдо-
псевдоволны однозначно связана с фазой самосогласованных (первич-
(первичных) колебаний в момент образования псевдоволны, т. е. про-
прохождения потока ионов через точку циклотронного резонанса.
Если фаза первичных колебаний скоррелирована на интервалах
времени порядка At~ (До)-1, то при равномерном движении
ионов со скоростью уп вторичная волна (псевдоволна) за это
время уйдет от резонансной точки на расстояние Az^v^M.
Именно таким и будет пространственный масштаб корреляции
вторичных колебаний 12. Характерное время корреляции рассмат-
рассматриваемых колебаний Д?=&Л0~6 с примерно на порядок мень-
меньше периода колебаний иона по ловушке Tb — 2vLjvK «* Ю~6 с,
где L0=[(l/©e)(dWdz2)]-4=0«200 см, vn «^1,3-Ю8 см/с, точке
z=0 соответствует минимум магнитного поля. Таким образом,
в условиях установки АС действительно должен был наблюдать-
наблюдаться эффект пространственной расфазировки самосогласованных
колебаний и псевдоволн.
12S
При измерениях опорная точка z, была расположена у самого
края плазмы. В этой области ион движется по закону г — z, ==
^{v^v^^L^F, где t»1|0^5-107 см/с — продольная скорость иона
в минимуме магнитного поля. За характерное время изменения
фазы колебаний ион смещается примерно на 20 см, что хорошо
согласуется с экспериментальным значением малого масштаба
корреляции /2^ 20 см.
Больший корреляционный масштаб естественно связать с рас-
распространением самосогласованных колебаний /, ;=« VrpM, где V^=^
= tV/^n '—групповая скорость замагниченных электронных ленг-
мюровских колебаний (w^ay^k^fk). Ряд соображений [97] показы-
показывает, что в обсуждаемых экспериментах раскачивались именно
эти колебания. Определенное таким образом значение 1\ пример-
примерно согласуется с найденным в эксперименте.
К сожалению, излагаемая интерпретация была дана уже пос-
после окончания экспериментов на установке АС. По-видимому, по
этой причине измерениям пространственной корреляции не было
уделено достаточного внимания. Между тем более детальные
измерения могли бы дать довольно интересные результаты. Рас-
Рассмотрим, например, каков должен быть вид пространственной кор-
корреляционной функции при выполнении условия /2</з*С'ь где
/3 — характерный масштаб затухания псевдоволны, из-за разбро-
разброса в значениях продольной скорости ионов. Его можно оценить
следующим образом. При резонансе в минимуме магнитного поля
пространственную часть фазы псевдоволны находим, используя
аналогию со случаем линейно меняющегося поля B.10):
31* v.
где <в,0 — минимальное значение циклотронной частоты; влияние эф-
эффекта Доплера не учитывается. Из этого выражения следует, что
если разброс в значениях оп равен 8ог то псевдоволна затухает
на расстоянии /, я«(/,0!о^|/(вгв8о|)I/3.
Пусть опорная точка Z\ совпадает с минимумом магнитного
поля (точкой циклотронного резонанса). Для этого случая про-
пространственная корреляционная функция схематически изображена
на рис. 2.4. В области / корреляция полная (псевдоволна и само-
самосогласованные колебания скоррелированы). В области 2 фаза
псевдоволны «сбивается» относительно фазы самосогласованных
колебаний. В результате амплитуда корреляционной функции па-
падает. Однако в области 3, где псевдоволна отсутствует и остают-
остаются лишь самосогласованные колебания, амплитуда нормирован-
нормированной корреляционной функции опять возрастает до своего макси-
максимального значения A). Если опорная точка смещена от центра
J26
ловушки на расстояние, большее /2, но меньшее /3, пространст-
пространственная корреляционная функция принимает вид, показанный на
рис. 2.5. Характерный масштаб спада с удалением от опорной
точки по-прежнему равен /2. Симметрия рис. 2.4, 2.5 относительно
центра системы обусловлена симметрией профиля магнитного
поля адиабатической ловушки и симметрией функции распреде-
распределения ионов по продольным скоростям f (w|10) —f (—»)l0).
2.1.3. Адиабатические волновые уравнения и правило обхода
Ландау. Выше было отмечено, что распространение колебаний
через точку циклотронного резонанса описывается существенно
нелокальным-интегральным волновым уравнением. Это уравнение
J
z
hi
l
1
г
3
Рис. 2.4. Пространственная корреляция циклотронных колебаний при z, = zs:
в области / самосогласованные колебания и псевдоволна скоррелированы; в области 2'
корреляция между ними отсутствует; в области 3 псевдоволна затухла; резонансная точ-
точка z совпадает с минимумом магнитного поля
j
1
i
i
i
i
/i
i
Рис. 2.5. Пространственная корреляция циклотронных колебаний при 1$>Z\-
—zs>h, где h — корреляционный масштаб самосогласованных колебаний; 1%-
длина затухания псевдоволны
пока что удалось решить лишь в одном частном случае, когда
распределение заряженных частиц по продольным скоростям
имеет вид 6-функции (см. п. 2.1.2). Однако подобные распреде-
распределения выделенные, и в большинстве реальных ситуаций разброс
в значениях продольной скорости весьма велик. В таких случаях,
как правило, используют упрощенные, адиабатические волновые
уравнения. Это уравнения, взятые из теории распространения
электромагнитных волн в однородной плазме, в которых неодно-
неоднородность магнитного поля учитывается параметрически. Термин
«адиабатический» обычно используют для колебательных систем,
параметры которых изменяются незначительно за период коле-
колебаний. В п. 1.1.1. было показано, что в случае циклотронных ко-
колебаний эффективная частота, которую «видит» частица, равна
(о—ncoj. Эта частота изменяется на траектории частицы при дви-
12Г
жении ее вдоль неоднородного магнитного поля. Например, из
соображений размерности нетрудно найти, что условие адиаба-
тичности имеет вид |m — «co7 (r)|" ^> Itijjrfcoy/cfsJ и выполняется на
достаточно больших расстояниях от резонансной точки. Одно из
простейших адиабатических волновых уравнений — уравнение,
описывающее распространение необыкновенных колебаний вдоль
неоднородного магнитного поля, полученное в пренебрежении эф-
эффектами теплового движения заряженных частиц, т. е. в прибли-
приближении холодной плазмы:
E'L + (»/*/ [ 1 - - <о>, (« - «. (г))] Е_ = 0. B.17)
В точке циклотронного резонанса адиабатическое волновое урав-
уравнение имеет особенность, что свидетельствует о его неприменимо-
неприменимости в окрестности этой точки (см. выше условие адиабатичности).
Сингулярность возникает из-за того, что электроны, находящиеся
в резонансной точке, пребывают в состоянии резонанса бесконеч-
бесконечно долго. Учет теплового движения должен сделать волновое
уравнение регулярным, однако для этого требуется выход за
рамки адиабатического приближения.
Сравнительно простой способ регуляризации уравнений типа
B.17) состоит в учете столкновений. В данном случае столкнове-
столкновения меняют фазу циклотронного вращений электронов, тем са-
самым ограничивая время однонаправленного изменения скорости
ларморовского вращения. Для учета столкновений в B.17) сле-
следует заменить (ср. с п. 2.1.1). Вве-
дение в резонансный знаменатель положительной мнимой добав-
добавки означает, что при нахождении решения уравнения B.17) осо-
особая точка должна обходиться в соответствии с правилом обхода
Ландау. Волновое уравнение, ставшее теперь регулярным, может
быть решено во всей области изменения координаты
z(—oo<z<oo). Следует, однако, отметить, что, например, в ус-
условиях термоядерного эксперимента обычно с большим запасом
выполняется условие \v^da>e/dz |1/2 ^>v. Поэтому расфазировка в
результате выхода частиц из резонансной зоны происходит на-
намного раньше, чем успеет проявиться влияние столкновений.
Возможность использования адиабатических волновых уравне-
уравнений типа B.17), дополненных правилом обхода Ландау, и в
этих условиях была показана в [19, 97, 98]. Отметим также
предшествующую работу [99].
Для вывода волнового уравнения, описывающего распростра-
распространение необыкновенных колебаний в бесстолкновительной плазме
при произвольном распределении электронов по скоростям, бу-
будем исходить из выражения B.12), в котором последнее слагаемое
сдедует усреднить по и,, с функцией распределения fo(V\\). Для
дальнейшего полезно от интегрирования по координате в B.12) пе-
перейти к интегрированию по времени с помощью замены z(x) = z-(-
128
цс> а электрическое поле представить в виде интеграла Фурье
Е-(г) = {2ъ)~112 f d??"_(?)exp(i kz). При этом для тока /_ получаем
следующее выражение:
о
X [ diexp[~ 1Ф(х, г, о,,) — ierf + i kz], B.18)
где Ф(х, z, 0,|) = Д-с+6х2; Д = ов —(oe(z) —bN; 8 = — (v[{j2){dmejdz).
Используя одно из представлений интеграла вероятности
о
Г dx exp (- ifi^-i hj) = — (—УП W ( hl,l
—00
приводим B.18) к виду
BЛ9)
Цель дальнейшего анализа состоит в обосновании замены волно-
волнового уравнения B.11) с током B.19) упрощенным адиабатиче-
адиабатическим волновым уравнением B.17). Такая замена возможна лишь
на достаточно большом расстоянии от резонансной точки г^>
— (вне резонансной зоны), когда выполняется усло-
dz J
вие |/iI/2(ift2I/2| >1- Используя в этой области асимптотическое
представление интеграла вероятности
B.20)
получаем
X (u/i /г2)'/2 exp (i A.V4A,)} exp (— i arf + i kz). B.21)
Здесь C(sgnun, arg2)=l для Иц<0 при Tt<arg2<37t/2 и для
Оц >0 при 3ii/2<arg2<2Tc.
Вне этих секторов ?(sgno ,argz)=O. Для определенности рас-
рассматривается случай спадающего магнитного поля
Нетрудно установить соответствие между B.21) и последним,
«токовым» слагаемым в левой части B.12). Так, если в B.12)
9—67 129
считать ?~(z') = const и вычислить интеграл по dz' асимптотиче-
асимптотически, то вклад точки z'=z будет соответствовать первому слагае-
слагаемому в фигурных скобках B.21), а вклад точки стационарной
фазы (z' = 0)—второму. Второе слагаемое, как это следует из
пространственной зависимости его фазы [ср. с B.10)], описывает
псевдоволны, возбуждающиеся в резонансной точке. Выше уже
отмечалось, что наличие разброса в скоростях псевдоволн долж-
должно привести к их взаимному уничтожению на достаточно боль-
большом расстоянии от резонансной точки. Для того чтобы найти
Рис. 2.6. Плоскость комплексного пере-
переменного z в окрестности резонансной
точки:
область, в которой неприменимо упрощенное
адиабатическое волновое уравнение B.17)
заштрихована; С — контур, по которому сле-
следует обходить резонансную точку в соответ-
соответствии с правилом Ландау; 6zs = (pel)''
Imz
п'ь\гш///
fff7//////////,
—--.
¦ш
ш
с
^\
Л/8
У/////
Rez
//7?
область, в которой можно пренебречь вторым слагаемым в
B.21), необходимо проанализировать зависимость интеграла
00
1 = J (do и УТд exp (i A?/4A.) U (»п) B-22)
от координаты z(A1 = «>— we{z)-—kvn; we(z) — w-\-(z — zs)dme!dz).
Если выполняется условие
г — zs
(?eL)U2, где L =
о dz
то интеграл B.22) может быть вычислен методом перевала:
1/6/„ , .,-1/3
dz
3
X
(г — zs)
4'е3
4'3
2/3
dz
Из последнего выражения следует, что вне сектора
— Gл/8) arg B—zs) <—я/8 (рис. 2.6) интеграл / становится экс-
экспоненциально малым на расстояниях порядка (рД-)''г от резо-
резонансной точки, т. е. практически сразу вне резонансной зоны.
Однако в секторе—Gjt/8)<arg (z—zs)<n/8 интеграл не убыва-
убывает, а растет с увеличением \z—zs\. Этот результат означает, что
можно пренебречь вторым слагаемым в фигурных скобках, если
при нахождении решения волнового уравнения обходить резо-
резонансную точку Zs на достаточно большом расстоянии в верхней
полуплоскости комплексного переменного z. Поскольку в нашем
случае dcoe/dz<0, то правило обхода совпадает с правилом обхо-
обхода Ландау. В резонансный знаменатель входит разность ю—a>e(z),
130
поэтому смещение в верхнюю полуплоскость эквивалентно пере-
переходу к нарастающим колебаниям. То обстоятельство, что при
этом пропадают эффекты, связанные с псевдоволнами, вполне
естественно. Действительно, само существование псевдоволн
обусловлено фазовой памятью электронов, которые, двигаясь
вдоль магнитного поля, переносят информацию о поле волны в
резонансной точке. Однако если амплитуда колебаний возра-
возрастает с инкрементом у, то на состояние электронов в данный мо-
момент времени влияют электромагнитные поля, отделенные вре-
временным интервалом, не превышающим по порядку у~{. Иными
словами, в случае нарастающих колебаний фазовая память ча-
частиц охватывает интервал времени порядка y- Если этот интер-
интервал мал по сравнению с временем прохождения электрона через
резонансную зону &t^\vndwe[dz\~~ 2, то эффекты фазовой памяти
станут несущественными и при анализе распространения элек-
электромагнитных колебаний можно использовать локальное прибли-
приближение, в котором неоднородность магнитного поля учитывается
параметрически. Очевидно, что соответствующее смещение в
верхнюю полуплоскость по порядку равно размеру резонансной
зоны.
Если в фигурных скобках в B.21) оставить лишь первое сла-
слагаемое, то выражение для /_ примет такой же вид, как и в слу-
случае однородного магнитного поля, при этом зависимость магнит-
магнитного поля от координат будет учитываться параметрически:
i-=^^\dk^(k,)W^-^^)^(-iwt + \k,z). B.23)
menvTe j у к Ц vTe j
Предположим теперь, что радиус обхода превышает также kj\Lw/vTe.
В этом случае для интеграла вероятности в B.23) может быть
использовано асимптотическое представление B.20). Если на
контуре обхода по Ландау в асимптотике интеграла вероятности
оставить лишь наибольшее слагаемое, то получим выражение
?_B> t)> (
пге ю — сое (z)
которое входит в адиабатическое волновое уравнение, полученное
в гидродинамическом приближении B.17).
Анализ возможности использования адиабатического волново-
волнового уравнения, дополненного правилом обхода Ландау, мы прове-
провели на простейшем примере необыкновенных колебаний, распрост-
распространяющихся вдоль магнитного поля, причем считали уВо||Во.
Однако этот анализ может быть без труда обобщен на случай
колебаний произвольного типа [98]. Угол между v^o и Bfl также
может быть произвольным, однако он должен отличаться от я/2.
Если V So-LBo, то каждый из электронов движется в однородном
магнитном поле, и поэтому нелокальные эффекты, проявляющие-
проявляющиеся, в частности, в возбуждении псевдоволн, отсутствуют. В этом
случае использование правила обхода Ландау эквивалентно ис-
9* 131
пользованию линейного приближения при описании резонансно-
резонансного взаимодействия электромагнитных колебаний с заряженными
частицами. Можно показать, что для этого, как и в случае одно-
однородной незамагниченной плазмы (см. п. 2.1.1), частота кулонов-
ских соударений должна быть достаточно велика.
Использование адиабатических волновых уравнений для опи-
описания резонансного циклотронного взаимодействия может вы-
вызвать сомнения. Действительно, адиабатические волновые уравне-
уравнения справедливы лишь на достаточно большом расстоянии от ре-
резонансной точки и на первый взгляд не содержат в себе никакой
информации о процессах, происходящих в ее окрестности. Именно
поэтому мнимость, указывающая на процесс поглощения колеба-
колебаний, появляется в адиабатических волновых уравнениях лишь при
переходе к комплексным значениям координаты. Однако на са-
самом деле разделение процесса взаимодействия частиц с колеба-
колебаниями на адиабатическую и резонансную части в значительной
степени условно и соответствует выделению в асимптотике функ-
функции W [см. B.20)] мнимой и действительной частей. Между тем
лишь их совокупность образует единую аналитическую функцию.
Следовательно, каждая из них содержит информацию о другой
части. Именно по этой причине во всех случаях, когда удавалось
провести расчеты двумя способами (непосредственно анализируя
резонансное взаимодействие и используя адиабатическое волно-
волновое уравнение, дополненное правилом обхода Ландау, см. п. 2.2.1),
получаются одинаковые результаты.
В заключение остановимся на условиях, использованных выше
при обосновании правила обхода Ландау.
1. Предполагалось, что каждый электрон проходит через ре-
резонансную зону лишь один раз. Это предположение справедливо
для неограниченных систем. В системах конечного размера элект-
электрон совершает возвратно-поступательное движение, многократно
проходя через резонансную зону. В гл. 3 показано, что предысто-
предысторией движения электрона можно пренебречь, если случайные
воздействия (кулоновские соударения, нестабильность фазы
электромагнитного доля, отражающая немонохроматичность
спектра циклотронных колебаний) уничтожают фазовую память
электрона. При отсутствии же случайных воздействий амплиту-
амплитуда монохроматических циклотронных колебаний должна быть до-
достаточна велика. Если ни одно из этих условий не выполняется,
то резонансное взаимодействие ослабляется. Этот эффект может
быть учтен в адиабатическом волновом уравнении посредством
модификации правила обхода Ландау (см. приложение П.2).
2. В настоящем рассмотрении принималось, что вдоль линий
магнитного поля электроны движутся с постоянной скоростью.
В силу малого размера резонансной зоны это предположение хо-
хорошо выполняется для большинства электронов в случае распре-
распределений с достаточно большим разбросом по v п. Однако оно за-
заведомо нарушается для небольшой доли электронов, останавли-
останавливающихся в пределах резонансной зоны. В приложении П.З най-
132
дено, что при выполнении естественного условия u2reS>a6zs (a —
ускорение) наличие таких электронов не влияет на результаты
анализа резонансного взаимодействия.
3. Наконец, весьма существенно предположение о монотонном
изменении магнитного поля. В 2.3 показано, что в окрестности
экстремумов магнитного поля использование правила обхода
Ландау незаконно.
2.2. Циклотронные колебания в монотонно меняющемся магнитном поле
2.2.1. Циклотронные колебания, распространяющиеся вдоль
магнитного поля F=0), при v ??0|! Во. Формулы Баддена.
Колебания, падающие на область циклотронного резонанса, про-
проходят через нее не полностью — часть энергии поглощается w
часть отражается. Определение коэффициентов поглощения и
отражения колебаний является целью настоящего подраздела.
Рассмотрение начнем с простейшего случая необыкновенных ко-
колебаний с частотой со»сое, распространяющихся вдоль магнитно-
магнитного поля, градиент которого параллелен Во [1]. Адиабатическое-
волновое уравнение для этого случая приведено в п. 2.1.3, см.
B.17). Предполагая, что магнитное поле меняется по линейному
закону Bo(z)=B0(\—z/L), приведем уравнение B.17) к уравне-
уравнению Уиттекера:
где Z\ = —2zm/c; T=n(x>2peL/ac. Точка циклотронного резонанса
является регулярной особой точкой этого уравнения.
Рассмотрим сначала колебания, распространяющиеся со сто-
стороны большего магнитного поля, т. е. со стороны 2<0. Очевидно,
что в области z-+<x> имеется лишь волна, бегущая направо. Она
описывается следующим решением уравнения Уиттекера [100]:
?_ = const W_ ; г/2,; i/2 (z,) ^ Bшс/г)~'Г/2* exp (i mz/c). B.25)
г-* оо
Продолжая его справа налево в соответствии с правилом об-
обхода Ландау, т. е. через верхнюю полуплоскость (см. рис. 2.6),
находим, что в области z<0 это решение также описывает волну,
бегущую направо, а отраженная волна отсутствует:
i^c). B.26)
Из сопоставления B.25) и B.26) следует, что коэффициент про-
прохождения колебаний по мощности через область циклотронного-
резонанса
?=ехр(-Г). B.27)
В данном случае отраженная волна отсутствует, поэтому коэф-
коэффициент поглощения дается выражением г)=1—ехр(—Г). Оно
133;
совпадает с выражением B.16), полученным при рассмотрении
резонансного взаимодействия необыкновенных колебаний с моно-
моноэнергетическим пучком электронов. В последнем случае цикло-
циклотронное поглощение имело вид трансформации в коротковолно-
коротковолновые колебания, описывающие псевдоволну, уходящую от резо-
резонансной точки вместе с потоком электронов. Совпадение коэффи-
коэффициентов поглощения подтверждает соображения, высказанные в
п. 2.1.3, о возможности использования адиабатического волнового
уравнения для анализа резонансного циклотронного взаимодейст-
взаимодействия.
Решение, описывающее волну, распространяющуюся со сторо-
стороны меньшего магнитного поля, дается выражением [100]
ЯЛ Я / v | Сли I ' A. 4t I i\rr
_ = УИ_ i г/2,: 1/2 B,) + Г/2 V ' Г/2":
О—')
/ Ico . Г v
1L), exp(-T2+TJ
2rs
/ 2со
I!
\ i Г/2,
•e.p(~!i«--f).,<a
Сравнивая амплитуду падающей волны с амплитудами прошед-
прошедшей и отраженной волн, находим, что коэффициент прохождения,
как и выше, дается выражением B.27), а коэффициенты отраже-
отражения и поглощения
?=[1-ехр(-Г)]*; B.29)
Л = 1-?-Б = ехр(-Г)[1-ехр(-Г)]. B.30)
При Г<С1 (низкая плотность, большие градиенты магнитного по-
поля) плазма практически одинаково взаимодействует с колебания-
колебаниями, распространяющимися в противоположных направлениях.
В этом случае с точностью до значений порядка Г имеем |^0,
т)«;Г. В то же время при Г>1 колебания, падающие со стороны
¦большего магнитного поля, почти целиком поглощаются, а со
стороны меньшего отражаются. Причина различия становится
понятной, если воспользоваться аналогией между квантово-меха-
ническим уравнением Шредингера и адиабатическом волновым
уравнением B.17). В последнем величина W0=(a>/cJ играет
роль энергии частицы, движущейся в «потенциале» U(z) =
= (о2ре(и/с2[(л—(oe(z)] (рис. 2.7, 2.8). Из рисунков следует, что
134
области распространения колебаний (области прозрачности)
разделены потенциальным барьером (zs<z<.zr). Здесь zr — обыч-
обычная точка поворота, в которой обращается в нуль «кинетическая
энергия» [WQ=U(zr)]; zs — сингулярная точка поворота (точка
циклотронного резонанса), в которой «потенциальная энергия»
бесконечна.
Колебания, распространяющиеся со стороны большего маг-
магнитного поля, сначала попадают на точку циклотронного резо-
резонанса, где частично поглощаются. Остальная часть энергии «про-
«просачивается» под барьером непрозрачности в область z>zT.
и
Wo
zs zr z
и
Wo
\
zs zr г
Рис. 2.7. Распространение колебаний со стороны большего магнитного поля:
в области прозрачности, где колебания имеют вид бегущих волн, они схематически изо^
бражены волнистой линией; и(г)=аюрд2/с2(а—а>е(г)) — потенциальная энергия в уравне-
уравнении Шредингера, эквивалентном B.17); Wo= (со/сJ — полная энергия; zs—сингулярная точ-
точка поворота (резонансная точка); zf—обычная точка поворота
Рис. 2.8. Распространение колебаний со стороны меньшего магнитного поля
(обозначения те же, что на рис. 2.7)
Колебания, распространяющиеся со стороны меньшего поля,
сначала попадают на обычную точку поворота, от которой частич-
частично отражаются. К точке циклотронного резонанса проникает
лишь часть энергии колебаний. В результате в выражении для
коэффициента поглощения появляется малый множитель Е; [ср.
с B.6)]. Таким образом, для эффективного поглощения колеба-
колебаний необходимо, чтобы между излучателем и точкой циклотрон-
циклотронного резонанса индукция магнитного поля уменьшалась. Область
спадающего магнитного поля в [3] названа магнитным берегом.
Это название подчеркивает сходство между распространением
электромагнитных колебаний, приближающихся к точке цикло-
циклотронного резонанса со стороны меньшего магнитного поля при
Г^1, и волнами на поверхности воды, набегающими на отлогий
берег. В обоих случаях длина волны колебаний уменьшается по
мере их распространения, пока не происходит практически полно-
полного, безотражательного поглощения. Отметим, что в [3] анализи-
анализировалось ионное циклотронное поглощение альфвеновских коле-
колебаний. Из рис. 2.8 следует, что их область прозрачности, так же
135
как и область прозрачности необыкновенных колебаний, подходит
к циклотронному резонансу со стороны большего магнитного
поля.
В задачах, характерных для квантовой механики, безотража-
безотражательное прохождение частиц через неоднородности потенциала
¦возможно лишь в том случае, когда потенциал образует яму, а
энергия частицы принимает одно из дискретного набора «собст-
«собственных» значений [101]. В рассматриваемом случае ни одно из
этих условий не выполняется. Действительно, изменение частоты
колебаний [величина (со/сJ играет роль энергии частицы] не
влияет на вывод о безотражательном прохождении колебаний, а
эффективный потенциал образует барьер (область непрозрачно-
непрозрачности). Отличия от квантово-механических задач обусловлены ис-
использованием правила обхода Ландау при анализе адиабатиче-
адиабатического волнового уравнения B.17). В окрестности резонансной
точки Zs это уравнение можно привести к виду
Здесь опущено слагаемое (ю/сJ?_, которое несущественно при
Z~Zs.
Квазиклассическое решение, описывающее колебания, ампли-
амплитуда которых спадает в глубь области непрозрачности (z>zs),
дается выражением
?_ ^ (г - гв)-"< ехр {- 2 (оу/с) [L (z ~
При продолжении этого решения в область z<Zs в соответствии
с правилом обхода Ландау, т. е. над резонансной точкой,
arg(z—zs) получает приращение п. Следовательно, в области
z<Zs будем иметь волну, бегущую налево:
?_~ (z-zs)-'/. exp[—2i(oWc) (I|z—zs| )'/»]¦
Напомним, что временная зависимость колебаний выбрана в виде
«хр(—mt). Если бы при продолжении решения через точку Zs
она обходилась снизу (по правилу, обратному обхода Ландау),
то в области z<.zs была бы волна, убегающая от резонансной
точки:
?_« (z—zs)-V.exp.[2i(ape/c) (L\z-zs\)'/.],
т. е. не поглощение, а излучение колебаний резонансной точкой.
При продолжении решения через обычную точку поворота
правильный результат можно иногда получить, используя полу-
полусумму выражений, полученных обходом с противоположных сто-
сторон. Такой способ продолжения решения в данном случае давал
бы в области .перед точкой поворота стоячую волну, составлен-
составленную из падающей и отраженной волн равной амплитуды, т. е.
привел бы к выводу об отсутствии поглощения. Заметим, что ра-
равенство амплитуд падающей и отраженной волн обусловлено ис-
использованием приближенного волнового уравнения B.31), не со-
содержащего области прозрачности справа от резонансной точки.
1.36
В эту область просачивается часть энергии падающей волны,
поэтому даже при отсутствии поглощения амплитуда падающей
волны должна превышать амплитуду отраженной [см. B.28)].
После соответствующего переопределения величины Г форму-
формулы Баддена можно использовать при произвольной монотонной
зависимости индукции магнитного поля от координаты, если рас-
распространение колебаний по-прежнему описывать адиабатическим
волновым уравнением B.17). [Законность использования в этом
случае самого уравнения B.17) обсуждается ниже.] Действи-
Действительно, рассмотрим сначала колебания, падающие со стороны
большего поля. Вывод об отсутствии отражения от резонансной
точки обусловлен использованием правила обхода Ландау и оста-
остается неизменным при любой зависимости B0(z). Что касается
коэффициента прохождения колебаний через область непрозрач-
непрозрачности, то выражение B.27) с
zs
dz \ k (z)
B.32)
следует из самых общих соображений. Используя B.32) и равен-
равенство -rj = 1—?, получаем коэффициент поглощения B.16).
Теперь обратимся к колебаниям, распространяющимся со сто-
стороны меньшего поля. В соответствии с теоремой взаимности (см.
приложение П.4) коэффициент прохождения t, не зависит от на-
направления распространения колебаний. Поскольку в данном слу-
%
0,4
0,3
0,1
0,1
t
1
1
- / ^
/1
1 <
V ^f
4А/У/
г л,ю9сн3
0 1 2 n, 109cm'3
Рис. 2.9. Зависимость коэффициента поглощения ц от концентрации плазмы:
волна распространяется со стороны большего магнитного поля; 1=50 см; # —ВЧ-разряд
в Кг при давлении газа 6,6'Ю-1 Па E-10-3 мм рт. ст.); О —разряд постоянного тока в Аг,
давление 20 Па A,5-10—' мм рт. ст), X — ВЧ-разряд в Аг, давление 0,67 Па E-10-3 мм рт.
ст': расчет по формуле Баддена с учетом конечного значения частоты соударе-
соударений электронов с нейтралями.
Рис. 2.10. Зависимость коэффициента отражения | от концентрации плазмы:
ВЧ-разряд в Аг при давлении газа 6,6-1СН Па E-10-3 мм рт. ст.); —расчет по фор-
формулам Баддена с учетом соударений электрон — нейтрал; / — ?=50 см; 2—L — 12 см; # »
X — волна распространяется со стороны меньшего поля при L=50 и 12' см соответственно-
О и ? — волна распространяется со стороны большего поля ври L-50 и 12" см соответ-
соответственно
137
¦чае по сравнению с предыдущим амплитуда колебаний в окрест-
окрестности резонансной точки падает в ехр (Г/2) раз, то в коэффици-
коэффициенте поглощения по мощности появляется множитель ехр(—Г)
[см. B.30)]. Теперь, используя равенство ?=1—г\—?, получаем
B.29).
Формулы Баддена проверялись в экспериментах со слабоиони-
зованной плазмой газового разряда [102]. Разрядную трубку
ломещали в волновод, а в самой трубке создавали магнитное по-
поле, изменяющееся по линейному закону. Измеряли коэффициент
лрохождения колебаний через зону циклотронного резонанса Е,
и коэффициент отражения от этой зоны |. Первый из них впол-
вполне удовлетворительно согласовался с B.27). Пример зависимо-
зависимости т] = 1—?,, полученной в эксперименте, приведен на рис. 2.9.
Вместе с тем при измерениях коэффициента отражения обнару-
обнаружены заметные расхождения с теорией (рис. 2.10). Ниже показа-
показано, что адиабатическое волновое уравнение, вообще говоря, не-
непригодно для определения коэффициента отражения. Возможно,
что именно это обстоятельство и обусловило расхождение упро-
упрощенной теории, основанной на анализе адиабатического волново-
волнового уравнения, с данными эксперимента.
О точности адиабатического волнового
уравнения. Чтобы получить упрощенное адиабатическое вол-
волновое уравнение B.17), нам пришлось дважды использовать
асимптотику интеграла вероятности.
В первый раз разложение шло по параметру 2|»ц-^-х
\ d-z
/ k.,VTp \ 2
. второй — по ——¦—] . С увеличением
радиуса обхода резонансной точки дополнительные слагаемые в
.волновом уравнении можно сделать как угодно малыми. Однако
.даже такие слагаемые могут оказать весьма существенное влия-
влияние на некоторые характеристики решения, а именно амплитуда
¦отраженной волны, вообще говоря, не может быть определена с
помощью адиабатического волнового уравнения [103].
Чтобы выяснить причину этой неопределенности, рассмотрим
адиабатическое волновое уравнение на таком большом расстоя-
расстоянии от резонансной точки, где и резонансное слагаемое, пропор-
пропорциональное (со—u>e(z))~l, достаточно мало. В этой области урав-
уравнение B.17) может быть заменено уравнением ?"_-}-(ш/сJ?_=0,
которое описывает световые волны с волновым числом й = ш/с.
Если резонансное слагаемое учесть в качестве малой поправки,
то для волнового числа получим следующее выражение:
. _ « Г
z — z.
Этому значению волнового вектора соответствуют асимптотики
решений
?_ ^ (г - zsf 'г/2* ехр [(± i <¦>/<?) (z - zs)}. B.33)
138
Рассмотрим решение, описывающее волну, падающую со сто-
стороны меньшего магнитного поля. На действительной полуоси
2<«s оно должно иметь вид волны, бегущей налево, т. е. давать-
даваться выражением B.33) с нижними знаками. В верхней полуплос-
полуплоскости, куда мы должны попасть, обходя резонансную точку в со-
соответствии с правилом обхода Ландау (рис. 2.11), экспонента
ехр[—(ia>/c) (z—zs)] нарастает*. Точное решение волнового
уравнения отличается от асимптотики B.33) предэкспоненциаль-
ным множителем и экспоненциально малыми слагаемыми
~exp[(ico/c) (z—zs)] [см. B.33) с верхними знаками], которые,
Рис. 2.11. Плоскость комплексного пере-
переменного z для уравнения B.17):
¦ линии мнимой фазы квазиклассических
решений (линии Стокса); «/ч/х/1—разрез; С —
контур обхода Zg в соответствии с правилом
Ландау
вообще говоря, можно добавить в верхней полуплоскости. Воз-
Возникновение таких слагаемых в асимптотике решения называют
явлением Стокса [104, 105]. Условно это явление привязывают
к линиям мнимой фазы квазиклассических решений, выходящим
из точек поворота, т. е. в данном случае из точек zr и zs
(рис. 2.11). При переходе из верхней полуплоскости на действи-
действительную ось справа от точки Zs обе экспоненты сравниваются па
абсолютному значению. Здесь они описывают падающую и отра-
отраженную волны.
Из результатов, полученных выше, следует, что учет в волно-
L /(оре\2 г,
вом уравнении резонансного слагаемого —| с_ приводит к
z~zs\ с j
коэффициенту отражения B.29). Однако нельзя гарантировать, что
добавление слагаемых вида -. wj?- {п>2) не изменит этот ре-
(Z Zs)
зультат. Действительно, поскольку Е- содержит нарастающую
экспоненту, то на достаточно большом расстоянии от точки zs
эти слагаемые превысят спадающую экспоненту, описывающую
отраженную волну.
Хотя адиабатическое волновое уравнение непригодно для пол-
полного решения задачи о распространении колебаний через область
* Использование правила обхода Ландау задает направление разреза»
который должен выходить из резонансной точки га, являющейся особой точкой
уравнения B.17). В данном случае (dwe/dz<0) он должен быть направлен вниз.
13Э
циклотронного резонанса, тем не менее оно позволяет правильно
определить ряд их существенных характеристик [103]. С его по-
помощью получают верное- значение коэффициента прохождения
колебаний через резонансную область B.27). Оно может быть
найдено, например, из B.33). Так, амплитуда решения, описы-
описывающего волну, распространяющуюся со стороны большего маг-
литного поля [верхний знак в B.33)], возрастает при обходе
точки zs справа на ехр(Г/2), что соответствует коэффициенту
прохождения B.27). То же самое значение коэффициента про-
прохождения получается и с помощью выражения, дающего волну,
падающую на резонансную область со стороны меньшего поля и
прошедшую через нее [нижний знак в B.33)]. Уточнение пред-
экспоненты, связанное с учетом в адиабатическом волновом урав-
уравнении дополнительных слагаемых вида -. ?нЕ—. приводит
(с — Zs)
лишь к малым поправкам в B.27).
Верным является также вывод об отсутствии отражения при
падении колебаний со стороны большего поля. Действительно,
¦соответствующее решение [верхний знак в B.33)] спадает в верх-
лей полуплоскости. Следовательно, в данном случае изменение
асимптотики решения (явление Стокса) невозможно и отражен-
лая волна не возникает.
Поглощение колебаний в плазме низкой плотности. Рас-
tMOTpeime вопроса об описании резонансного взаимодействия в неоднородном
магнитном поле с помощью адиабатического волнового уравнения показало, что
оно пригодно для вычисления коэффициента прохождения колебаний через
область циклотронного резонанса и может приводить к ошибкам в расчетах ко-
коэффициента отражения от этой области. Этот вывод был получен при анализе
резонансного циклотронного взаимодействия в простейших условиях — предпо-
предполагалось, что магнитное поле изменяется по линейному закону, а электроны
вдоль магнитного поля движутся равномерно. При достаточно низкой плотности
плазмы (Г<К1) резонансное взаимодействие слабо влияет на распространение
колебаний. Учитывая его в рамках метода последовательных приближений, мож-
можно включить в рассмотрение такие эффекты, как ускорение электронов, нелиней-
нелинейность зависимости Во(г) и др. Если Т1=кГ<1, то коэффициент отражения ? по
порядку не превышает ц2 [см. B.29)] и может быть также ниже. Поэтому
? точностью до значений порядка г) включительно Т,= 1—ц, и, следовательно, для
определения ? достаточно найти коэффициент поглощения ц.
В настоящем разделе, содержание которого повторяет содержание работы
[97], правильность результатов, получаемых с помощью адиабатического вол-
волнового уравнения, проверяется прямым расчетом количества энергии, поглощае-
поглощаемой при резонансном циклотронном взаимодействии. Первый способ вычисления
основан на представлении волнового числа в виде k(z)^a>/c-\-6k(z), где малая
поправка 6k(z) учитывает влияние плазмы на колебания. В результате прохож-
прохождения через резонансную зону амплитуда колебаний уменьшается на ехр (—Г/2),
где
00
Г = 21т [dzik(z). B.34)
—00
И 40
При достаточно низкой плотности плазмы, когда Г<1, коэффициент поглощения
равен ц^Т. Если для определения волнового числа использовать уравнение
B.17), а профиль магнитного поля считать линейным, то 8k(z)^M>pe2L/2a>c(z—
—Zs), и для Г получим выражение, использовавшееся выше.
При другом способе вычисления для коэффициента поглощения используется
представление
¦n = Ae/S, B.35)
где 5= (с/4л) |?_|2 — поток энергии в плазме низкой плотности;
(v) о„ -^-|Д»_|« B.36)
— количество энергии, поглощаемое электронами в единицу времени; Ау_ —
изменение величины и_ = ох—ivv для отдельного электрона, вызванное прохож-
прохождением через зону циклотронного резонанса.
Опять сначала обратимся к простейшему случаю линейно меняющегося маг-
магнитного поля. Используя B.17), B.8), B.35), B.36), получаем, как и выше,
Таким образом, в простейшем случае линейного профиля магнитного поля
при равномерном движении электронов вдоль поля описанные выше способы
вычисления коэффициента поглощения дают результат, совпадающий с получен-
полученным в п. 2.2.1. Теперь проанализируем последовательно влияние на поглощение
ряда эффектов.
Эффект Доплера вызывает смещение резонансных точек для отдельных элек-
электронов на 8z^kv || \d(Oe/dz\~__z где zs определяется, как и ранее, равенством
to=(oe(zs). Из способа вычисления Ди_ (см. п. 2.1.2) следует, что такое сме-
смещение не влияет на |До-|, а значит, и г|~Де~|Ди_|2. При другом способе вы-
вычисления коэффициента поглощения используется величина 8k(z). На достаточ-
достаточно большом расстоянии от резонансной точки Zs эффект Доплера дает малые
поправки:
2
2 г
~~ 2;(ю-<о (г))
Если магнитное поле изменяется по линейному закону, то очевидно, что лишь
первое слагаемое в скобках дает вклад в величину Г [см. B.34)], при этом для
Г получается то же выражение, что и выше, т. е. r=no)j>e2L/<BC.
Точно так же можно показать, что на коэффициент поглощения не влияет
релятивистская зависимость циклотронной частоты от энергии электронов.
Учтем теперь одновременно влияние эффекта Доплера и ускорения электро-
электронов вдоль магнитного поля. Представим величину 6k(z) в виде
л2 " . . "и 1
IoK ' vn B)ш —we(z)—*о„ (г) •
Здвеь функция распределения электронов отнесена к точке zs, определяемой из
условия <оя=ше(г3); Уц (г) = (с2ц -{-2а(г — z5))''2 ; а — ускорение; множитель
v || /v || (г) учитывает изменение плотности электронов, вызванное изменением v ц.
При вычислении Г [см. B.34)] удобно изменить порядок интегрирования.
141
Интеграл по dz определяется коэффициентом, стоящим перед резонансным зна-
знаменателем (z—Zsr), где z'sя- 2S + L (Ьп/ю) [1 + (kL/ы)(dv{] (z)/dz)]находится
из условия со = сое B^) -f- kv и (zs). При линейном профиле магнитного поля
этот коэффициент пропорционален множителю
1
klM
z=t'S «о,, \*т 2 \ «о
Поправка к коэффициенту поглощения, связанная со вторым слагаемым в скоб-
скобках, равна:
C(a/vuJ>J- B-37)
Здесь скобки <. . .>у означают усреднение по распределению электронов, уско-
ускорение оставлено под знаком среднего, так как оно, вообще говоря, может зави-
зависеть от скорости. Так, ускорение, обусловленное взаимодействием магнитного
момента электрона с неоднородным магнитным полем, равно v2^/2L. Выраже-
Выражение B.37) расходится при г>ц -» 0. Расходимость связана с использованием
dv ||
в промежуточных вычислениях разложения v ц (z) =^= v „ -f- (z zs) .
z=Zs >
которое становится несправедливым в окрестности точки остановки, где о„ (г) =
=0. Резонансное взаимодействие «останавливающихся» электронов рассмотрено
в гл. 3. Здесь же ограничимся установлением эквивалентности различных подхо-
подходов к вычислению г\.
Второй способ вычисления требует нахождения Дс_. Эта величина, как сле-
следует из расчета по методу стационарной фазы, пропорциональна |Ф"|<^2 >
где Ф@— разность между фазой циклотронного вращения и фазой волны на
траектории электрона [см. B.9)]; tfs — момент прохождения электрона через
резонансную точку. В интересующих нас условиях
t
0)* + (
— k(v[{ @) t + -2~atA + const.
Время ts определяется из условия Ф'=0. В результате получаем Ф" [/_/с =
«={[(cd/L)w || @)]2-|-(йаJ}1/2. С помощью последнего выражения приходим к тому
же самому результату, что и выше [см. B.37)].
Отметим, что учет лишь одного ускорения (без эффекта Доплера) приводит
к поправкам более высокого порядка по а: 6х\^—E/8) f]L2a4/<o2yfj,.
Теперь найдем поправки к г\, обусловленные слабой нелинейностью зависи-
зависимости а>е(г). Если адиабатическое волновое уравнение получать из кинетики
методом интегрирования по траекториям, то в выражении для о- типа B.6)
необходимо учитывать лищь вклад верхнего предела интегрирования, игнорируя
точку стационарной фазы (резонансную). При учете нелинейности в зависимости
<0е(г) выражение для Ф(г, t) принимает вид
142
Ф B, t) = (< (z - zs) + ~ a>e" (z - zs)*\ t +
+ (o,|/2) (»'«> +»e" (z — zs)) *2 + (l/6) С1*„«>е"<», B.38)
откуда для переменной части и_, обусловленной взаимодействием с полем вол-
волны, находим
Если в последнем выражении не учитывать поправок, связанных с нелинейно-
нелинейностью, то, получив затем выражение для плотности тока ;'_ и подставив его
в уравнение Максвелла, пришли бы к адиабатическому волновому уравнению
B.17). Соответственно выражение для 8k(z) приняло бы вид 8&(z)=»<bP(,2L/2u)c
(см. выше). Из B.39) следует, что нелинейность зависимости a>e(z) приводят
к эффективной перенормировке L->-L[l—E/8)vц (<oe"L(L/<u)e]. В результате
коэффициент поглощения изменяется на
8yj= - E/8I) <02>?(«;УA/а>)в. B.40)
При втором способе вычисления коэффициента поглощения в фазе Ф(г, t)
координату z следует считать функцией времени z—zs-\-v ц t. В результате B.38)
принимает вид
Ф(<)= -(<i/2L)vn 2 e\3
При этом изменение скорости электрона Ли-, вызванное прохождением через
резонансную точку, равно:
—00
5i L \s ,, „ 11!!
X
Дальнейшие расчеты по формулам B.35), B.36) приводят к B.40). Оба способа
вычисления также дают одно и то же значение и для поправки 64], связанной
с третьей производной магнитного поля:
Таким образом, адиабатическое волновое уравнение пригодно для определе-
определения коэффициента прохождения колебаний через зону циклотронного резонанса.
Учет ряда эффектов, которые могут оказаться существенными в реальных усло-
условиях, требует модификации адиабатического волнового уравнения B.17), полу-
полученного для простейших условий. При низкой плотности плазмы коэффициенты
поглощения и прохождения связаны соотношением ?=1—х\. Это обстоятельство
позволило проверить результаты, получаемые с помощью адиабатического вол-
волнового уравнения, прямым подсчетом количества энергии, поглощаемой при ре-
резонансном взаимодействии.
Отражение колебаний в плазме низкой плотности. Те-
Теперь обратимся к вычислению коэффициента отражения, следуя в изложении
работе [106]. В плазме низкой плотности (Г<1) расчет коэффициента отраже-
отражения удается провести с использованием полного волнового уравнения. При его
выводе возьмем за основу уравнение B.12). В нем перейдем от интегрирования
по координате к интегрированию по времени z(i) — z + v^t + A/2) ais(
143
и произведем усреднение по функции распределения электронов. В отличие от
B.12) учтем релятивистскую зависимость электронной циклотронной частоты
от энергии, считая Оте<Сс. При этом получаем следующее интегродифференци-
альное волновое уравнение:
О
f0 (v)
—00
Хехр[1Ф(г> 01=0,
где
z — zs , и,, а
- 6L ' ш«^-
При низкой плотности плазмы интегральное слагаемое может учитываться
как малая поправка. В нулевом приближении, пренебрегая этим слагаемым, по-
получаем E[J (z) = exp I +i — z), где верхний (нижний) знак в показателе
экспоненты соответствует волне, распространяющейся со стороны большего (мень-
(меньшего) магнитного поля (dwe/rfz<0). Поправка к решению первого порядка по
плотности имеет вид
г
5 {(^) j^^) j dvf0 (v) X
0 oo
X
—oo
J^?L0)(s1@)exp[iO(^, ZiJ
О
— z1jldvf0(v) \ dtE^ (zx (t)) exp [i<I> (t, z)] }. B.41)
— 00
Проанализируем отражение колебаний, распространяющихся со стороны
меньшего магнитного поля. В этом случае отраженная волна дается первым
слагаемым в B4.1). Ее амплитуда при z->oo равна:
00
?iOTP) = ^ \ dzi \ ехР - 2i "Г гЛ dvf° W X
- v2/2c2)
~ ~ 2с2
0
х J*e
—00
yZl
—00
:хр [, Ц-
B.42)
Поменяем в B.42) порядок интегрирования. Интеграл по dz, дает b(t-\-2L/c),
что позволяет проинтегрировать по dt, после чего интеграл по d\ также без
144
труда вычисляется. (Распределение электронов по скоростям считаем максвел-
ловским.) В результате получаем
Выражение B.41) дает амплитуду падающей волны, отличную от 1. С уче-
учетом этого отличия коэффициент отражения оказывается равным:
В пренебрежении релятивистскими эффектами последнее выражение совпадает
с выражением B.29), взятым при Г<1. Учет релятивизма в адиабатиче-
адиабатическом волновом уравнении привел бы к появлению в нем малого слагаемого-
A/2) [cocofe/e2 (а>— а>г (z))]2T d\v2f0 (v) ?_. Можно показать, что в соответ-
соответствии с соображениями, высказанными выше, анализ модифицированного ади-
адиабатического уравнения дает неверный результат, отличный от B.43).
Заметим, что в случае волны, распространяющейся со стороны большего
магнитного поля, интегрирование по dz\ в выражении, аналогичном B.42), дало
бы d(t—2L/c). Интеграл по времени берется по области t<0. Ввиду наличия
б-функции подынтегральное выражение в этой области тождественно равно 0.
Таким образом, приходим к заключению, что колебания, падающие со стороны'
большего магнитного поля, проходят через резонанс без отражения.
Теперь обратимся к интерпретации полученных результатов.
При низкой плотности плазмы процесс отражения отличается
значительным своеобразием. Решение, волнового уравнения мето-
методом последовательных приближений выявляет характерные осо-
особенности этого процесса. При учете эффекта Доплера для волны,
распространяющейся справа [со стороны меньшего магнитного
поля ~ехр(—i<x>t—ziat/c)], резонансное условие выполняется в
точке z's=zs — V\\LJC- В этой точке возбуждается псевдоволна
с фазой
Фр(г, 0 = -erf-(«o/c)(z-zy + K2o,|L)B-zyV B.44):
Здесь для простоты рассуждений пока не учитывается реляти-
релятивизм и считается, что электроны движутся вдоль магнитного поля
равномерно.
Волновое число псевдоволны kp — d<5>pldz = — wJc-\-{a>Jv\\L)(z—-
— zs). В точке 2^ = z^4-2t>ii?/c оно совпадает с волновым числом
отраженных колебаний k = со/с. В этой точке псевдоволна излу-
излучает отраженную волну (трансформируется в нее). Заметим, что
если первичная волна распространяется со стороны меньшего
магнитного поля, то вне зависимости от знака скорости электро-
электроны проходят сначала через резонансную точку z's, а затем через
точку «трансформации» z"s. Последовательность прохождения*
обращается, когда первичная волна распространяется в противо-
противоположном направлении. Естественно, что в этом случае отраже-
отражение отсутствует.
10—67 145
Описанный процесс отражения аналогичен явлениям нело-
нелокального отражения [91] и просветления волновых барьеров
[92, 93] (см. также п. 2.1.1).
Рассмотрим теперь, как на отражение циклотронных колебаний влияет ряд
факторов, которые могут оказаться существенными в реальных условиях. Преж-
Прежде всего отметим, что наличие теплового разброса по продольным скоростям не
сказывается на отражении. Действительно, подставляя в B.44) координату точ-
точки, в которой происходит излучение отраженной волны Zs"=zs'-|-2a ц LJc, нахо-
находим, что все псевдоволны приходят в соответствующие точки Zs" сфазированны-
ми <DBs", f) =—4>t. В результате отраженная волна излучается когерентно-син-
когерентно-синхронно. Синхронизм нарушается, например, под влиянием релятивизма. Нетруд-
Нетрудно показать, что при учете релятивизма фазы парциальных отраженных волн за-
зависят от энергии электронов $>(zs", t)=—(?>t-\-kLvn2/c2. Их интерференция при-
приводит к уменьшению амплитуды отраженной волны, см. B.19).
Отражение уменьшается также и в том случае, если профиль магнитного
поля отличается от линейного:
2 ш/'1»\», —1/2
16
2.2.2. Циклотронные колебания ck^ ФО при у ^о11Во (обоб-
(обобщение формул Баддена). В случае циклотронных колебаний, рас-
распространяющихся вдоль магнитного поля (см. п. 2.2.1), неодно-
неоднородность последнего ослабляет резонансное взаимодействие, по-
поскольку именно этот фактор ограничивает размер резонансной
зоны. Если у колебаний имеется компонента волнового вектора,
перпендикулярная Во, то воздействие градиента Во, параллельно-
параллельного Во, прямо противоположно. Дело в том, что колебания с
о) = 0)е, распространяющиеся под углом к однородному магнитно-
магнитному полю, не взаимодействуют с электронами (резонансно) (см.
п. 1.2.2). Покажем, что если магнитное поле неоднородно и
V Boll Во, то резонансное взаимодействие появляется, причем его
интенсивность сравнима со случаем kL — Q.
Колебания с к^фО приу^о||Во рассматривались в работах
[107, 108], где получены аналогичные результаты. Первой из
этих работ будем следовать в настоящем изложении. Распростра-
Распространение колебаний будем описывать адиабатическим волновым
уравнением, полученным в приближении холодной плазмы. Необ-
Необходимые выражения для компонент тензора диэлектрической про-
проницаемости в области частот ш~(йе приведены в п. 1.2.1. При
куФ§ все три составляющие электрического поля колебаний
вообще говоря отличны от 0. Составляющую Еп удобно выразить
через Ех (или ?_ и Е+) из z-компоненты волнового уравнения
A.24) [см. также A.25) ]. После этого две остальные компонен-
компоненты волнового уравнения можно представить в следующем ком-
146
пактном виде:
=0; B.45>
О, B.46>
где E,=-LEx + iEu; Л = A -^е-^)/A -qe);
Р
л. = Л + [?./>./( 1 + Л)] [ 1 - Л + 2/( 1 + Q,)];
штрих означает дифференцирование по Z.
При kL =0 (р*=1) коэффициент по обращается в 0 и система
B.45), B.46) распадается на два несвязанных уравнения, описы-
описывающих независимое распространение необыкновенных и обыкно-
обыкновенных колебаний соответственно. Покажем, что и при {г^ФО вза-
взаимодействием колебаний можно пренебречь.
Характерная длина волны обоих типов колебаний по порядку
не превышает с/со. Эта величина обычно мала по сравнению с мас-
масштабом изменения магнитного поля, поэтому распространение ко-
колебаний может быть описано в рамках квазиклассического прибли-
приближения. Для продольной компоненты волнового вектора из B.45),
B.46) получаем следующие выражения:
В точке, где k(*x) = k§T) (подкоренное выражение обращается в 0)-
происходит взаимная трансформация колебаний. Нетрудно видеть,
что в данном случае эта точка смещена от действительной оси на
расстояние порядка L. Поэтому коэффициент трансформации дол-
должен быть экспоненциально мал [^ ехр (—^м^)] [109]. Фактически.
в рассматриваемом случае трансформация происходит не в одной
точке, а на расстоянии порядка L, и интерференция гасит появля-
появляющиеся при этом колебания. Ниже показано, что резонансное ци-
циклотронное взаимодействие оказывает гораздо более существенное
воздействие на колебания. Ограничиваясь задачей его изучения,
будем игнорировать явление трансформации и считать, что коле-
колебания разных типов распространяются независимо.
На небольших расстояниях от резонансной точки \z—zs\<€.L
выполняется условие а-^а*, ао, и для k2n можно использовать-
приближенные выражения
Волновое число необыкновенных колебаний может .быть получено
из дифференциального уравнения
Е- + [а- + a20/(a_ - a,)] ?_ = 0.
10* 147
Это уравнение имеет ту же структуру, что и уравнение B.17), по-
поэтому можно перенести результаты, полученные Бадденом, на ин-
интересующий нас случай (см. п. 2.2.1). При этом величину Г следу-
следует определить в соответствии с B.32). Если выполняется условие
<7е<С1, то для Г можно получить явное выражение. В этом случае
обычная точка поворота лежит поблизости от резонансной точки
(\z—2S|<cL), т. е. в области, где зависимость магнитного поля от
координаты Z=4zco/c можно аппроксимировать линейной функцией.
Разлагая (k^x)J по малому отношению Z/.L* (L*=Lcd/c), получаем
4A
Поскольку интеграл по dz в B.32) определяется характерным ин-
интервалом dzr-'lzr—Zsl'—'qeL, то разложение (k'^x)J по Z/L* пере-
переходит & разложение Г по qe:
?«(-3+?;>. + />.») ЗдеA-Р.)*
"Т" 8A + ) + 2«» (!
1
J"
B.47)
Проведенное рассмотрение относится к области промежуточных
значений qe{\ ^>qe^LT1).Анализ колебаний при qe??>l не со-
составляет труда. В этом случае колебания, распространяющиеся со
стороны большого поля, практически целиком поглощаются, а со
стороны меньшего отражаются. Ограничение на значения qe снизу
связано с использованием квазиклассического приближения, для
чего требуется, чтобы расстояние между точками поворота Zs и
zr(\zr—zs\^Lqe) значительно превышало характерную длину вол-
лы колебаний с/со. Это условие нарушается при qe^.L,,~l. Однако
в этом случае система уравнений B.21), B.22) может быть упро-
упрощена иным способом. Дело в том, что взаимосвязь уравнений осу-
осуществляется через члены, пропорциональные q2e. Пренебрегая ими,
сразу получаем два отдельных уравнения, описывающих незави-
независимое распространение необыкновенных и обыкновенных колеба-
лий. При линейном профиле магнитного поля уравнение B.10)
можно представить в виде уравнения Уиттекера (см. п. 2.2.1) с
Z ~+ Z { р^ — а.
2A + Л) ) '
где Г с точностью до членов первого порядка по qe (включительно)
совпадает с B.47). Естественно, что его анализ приводит к форму-
формулам Баддена. Приближение малых значений qe перекрывается
с квазиклассическим приближением при Z.*-1<^9e<C^*~I/3- В этом
интервале изменения qe значения Г, получаемые разными способа-
способами, совпадают.
148
Резонансное взаимодействие необыкновенных колебаний в рас-
рассматриваемых здесь условиях целиком обусловлено неоднородно-
неоднородностью магнитного поля. Действительно, у колебаний с <о=сое> рас-
распространяющихся под углом к однородному магнитному полю,
¦отсутствует компонента электрического поля, вращающаяся в элек-
электронную сторону (см. п. 1.2.2). Однако если магнитное поле меня-
меняется в продольном направлении (v^ollBo), то по мере приближе-
приближения к резонансной точке продольная компонента волнового вектора
необыкновенных колебаний неограниченно возрастает—волна «вы-
«выпрямляется» вдоль Во [6 = arctg(&|/&ц)~*0]. Такие колебания
уже могут резонансно взаимодействовать с электронами. Действи-
Действительно, из у-компоненты волнового уравнения A.24) находим
Ех!Ев = (-^+*яяI*хв. B.48)
Здесь при z-»-0 имеем еуу= A/2) (e+++e--)«=*7e?s/Z; гху= A/21) X
X (в_ _ — s+ +) «* ~ iqJsJZ и N~{ ^ qJL, (I + pJfZ. Последнее
•соотношение следует из B.45). Используя эти выражения, приво-
приводим B.48) к виду
Таким образом, рассматриваемые колебания обладают эллип-
эллиптической поляризацией, причем вектор электрического поля враща-
вращается в электронную сторону. При N. ->-0 поляризация переходит
в круговую.
Выше считалось, что магнитное поле изменяется в продольном
направлении. Такие конфигурации характерны для открытых маг-
магнитных ловушек. Однако и в этом случае условие v^ollBo выпол-
выполняется строго лишь на оси системы. Если угол г|> между \ Во и Во
отличен от нуля, то эффект выпрямления приводит не к циклотрон-
циклотронному резонансу, а к так называемому плазменному на частоте
.©resume—4|Jco2pe/o)e (i|)<tCl) [8]. Естественно, однако, ожидать, что
л в этом случае циклотронное резонансное взаимодействие проис-
происходит так же, как и при -ф=0, если изменение циклотронной часто-
частоты в пределах резонансной зоны превышает разность сое—cores, т. е.
тах^^; юе(рГе/1I/2)>ф2с0ре/еве. Оценку для max*,, ъ* («>/с2/3) X
X [{Яе'иТе)(^ -г~А*)]1/3 получаем с помощью уравнения B.45), поло-
положив в„нем wz/L «rf vTemaxk . В результате находим, что непарал-
дельность векторов Во и уВ0 несущественна, если
В заключение проанализируем поведение обыкновенных колеба-
колебаний в резонансной области. В окрестности резонансной точки вы-
выполняется условие а_~^>а^, а0, и поэтому для ?(°г> имеем прибли-
149
женное выражение (&(°г)/?«а^ — «07а-- Заменяя в B.46) Е" на
— (kf.T)f ?*, получаем ?_?«—(ajaj) Е^—*0. Таким образом, в
z-*zs
неоднородном магнитном поле, как и в однородном, поляризация
обыкновенных колебаний остается число ионной. Поэтому в прибли-
приближении холодной плазмы обыкновенные колебания не взаимодейст-
взаимодействуют с электронами резонансно.
2.2.3. Циклотронные колебания при v#o^B0. Наклонное
распространение по отношению к магнитному по-
полю (9=^я/2). Рассчитаем коэффициент поглощения электронных
циклотронных колебаний (со^со,,) при прохождении через зону ци-
циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле. Такие рас-
расчеты проводились [42—44, 49, ПО—117] в связи с проблемой элек-
электронного циклотронного нагрева плазмы в токамаках. В большин-
большинстве работ коэффициент поглощения вычисляли в ВКБ-приближе-
нии интегрированием локального коэффициента пространственного
затухания по траектории луча. Более простой способ вычисления,
которому и будем следовать, состоит в использовании адиабатиче-
адиабатического волнового уравнения, дополненного правилом обхода Ландау
[40, 103]. Ограничения, связанные с таким подходом, указаны
в п. 2.2.2. Аспекты проблемы, которые не могут быть проанализи-
проанализированы с помощью адиабатического волнового уравнения, рассмот-
рассмотрены ниже.
В холодной плазме лишь необыкновенные колебания, распро-
распространяющиеся вдоль магнитного поля @=0 при r-M"s), резонансно
взаимодействуют с электронами. Показатель преломления таких
колебаний в резонансной точке обращается в бесконечность (см.
выше). Если v^o направлен под некоторым углом *ф к Во, то не-
невозможно возбудить распространяющиеся вдоль магнитного поля
необыкновенные колебания с частотой ю^сое. Действительно, вдали
от резонанса показатель преломления конечен (#¦—1). По мере
приближения к резонансу меняется лишь проекция N=kc/w на
VB0, в то время как компонента N, перпендикулярная Во, остается
неизменной. Следовательно, условия Л/=оо, 6=0 не могут быть
удовлетворены одновременно. При распространении под углом
к магнитному полю необыкновенные колебания, как и обыкновен-
обыкновенные, в точке циклотронного резонанса имеют чисто ионную поля-
поляризацию электрического вектора (?_=0). Поэтому при 8=0 резо-
резонансное взаимодействие обусловлено эффектами теплового движе-
движения электронов (см. п. 1.2.5). Для их учета, так же как и выше,
будем использовать волновое уравнение в адиабатическом прибли-
приближении, учитывая неоднородность магнитного поля параметрически.
[Выход за рамки этого приближения осуществлялся лишь в рабо-
работе [40], где в условиях слабого поглощения (ti<;1) анализирова-
анализировалось нелокальное интегральное волновое уравнение, в котором учи-
учитывались эффекты теплового движения электронов вдоль неодно-
неоднородного магнитного поля. Для коэффициента поглощения было по-
получено выражение г^Г, согласующееся с B.50), — см. ниже-J
Соответствующее адиабатическому приближению волновое урав-
150
нение для случая однородного поля приведено в п. 1.2.1 (см. также
п. 1.2.5). Если Во зависит от координаты s=x sin ip+z cos ij), то при
анализе коротковолновых квазиклассических колебаний также
можно использовать уравнение A.25), считая в нем <ае и N=kc/«>
функциями координаты s. В рассматриваемом случае (vBoif. Bo)
удобно использовать систему координат, ориентированную таким
образом, чтобы \Bq лежал в плоскости X0Z (см. рис. 2.9). При
этом вектор к будет наклонен к плоскости X0Z под некоторым уг-
углом а, вообще говоря, отличным от 0. Для учета этого обстоятель-
обстоятельства элементы матрицы а12, а^, а2з в волновом уравнении A.25)
должны быть помножены на ехр (—2ia), ехр (—ia) и exp (ia) со-
соответственно. Для транспонированных элементов следует взять со-
сопряженные множители, диагональные элементы не меняются.
В квазиклассическом приближении выражение для электриче-
электрического поля колебаний имеет вид
Е(г, 0~
где ks=(ke)es; k'=k—ks; es= \ 1
Коэффициент поглощения можно найти, сопоставив амплитуду
колебаний по разные стороны от резонансной зоны. Нетрудно ви-
видеть, что коэффициент поглощения (по мощности) дается выраже-
выражением B.16) с Г — 2 \ ds Im ks, где контур интегрирования С выби-
с
рается в соответствии с правилом обхода Ландау. Для того чтобы
найти Im&s, используем адиабатическое волновое уравнение. Из
него находим так называемое локальное дисперсное соотношение,
по виду совпадающее с A.32), где индукцию магнитного поля сле-
следует считать функцией координаты s. Учитывая вид Ап, для
Лп удобно использовать представление
dks
Здесь-Лц определяется из A.25) в пренебрежении тепловыми эф-
эффектами.
То же самое выражение B.16) для коэффициента поглощения
можно получить, рассмотрев движение волнового пакета. При про-
прохождении через резонансную зону амплитуда пакета уменьшается
на множитель ехр (—Г72), где Г' = 2 i y(s(t))dt. Используя соот-
соотношения
^Re—!—: dt = -
Ve,rp '
у ды дАп I дА1Х
s>rp ~~ dks ~ dks I да '
получаем Г"=Г. Здесь Л' —второе слагаемое в A.34). Отметим,
что использование понятия групповой скорости может оказаться
151
непригодным в окрестности резонансной точки из-за сильного по-
поглощения [40].
Наиболее существенная зависимость Im&s от координаты s свя-
связана с аргументом функции W. Интеграл, входящий в выражение
для Г, проще всего вычислить, выбрав радиус обхода резонансной
точки E=0) настолько большим, чтобы для W(w) можно было
использовать асимптотическое представление B.20), при этом
с
Заметим, что этот результат на самом деле является точным Г12,
13]:
J = J dwRe W-1 (w) = (nI/2/2) Im lira In *3/2/2i -f J dw' exp (w*) =
—oo b»i-»oo [_ 0 J— m,
= ic3/2/2. B.49)
Используя B.49), находим следующее выражение для величины
Г, определяющей коэффициент поглощения:
+ %qe — 3) sin 8 cos a sin f + (N]_ — qe-\-2) cos б cos <j>]~'. B.50)
Распространение поперек магнитного поля @=
=л,/2). Колебания, распространяющиеся поперек магнитного поля
F=л,/2), требуют специального анализа. При б=я/2 показатель
преломления необыкновенных колебаний равен N2=2—qe. Поэтому
формула B.50) дает г|ех@—я/2)=0. Этот результат вполне поня-
понятен, поскольку при б=п/2 электрическое поле необыкновенных ко-
колебаний перпендикулярно В,о (.Е (| :=0), причем компонента Е-
в первом приближении по параметру ре=иГе/с обращается в 0 (см-
п. 1.2.5). [Только такие поправки учитывались при выводе B.50).]
Наличие Е-г-*$2еЕ+ приводит к т)ех'~-Тех'-'Р4е. Резонансное взаимо-
взаимодействие составляющей Е+ обусловлено эффектами конечного лар-
моровского радиуса электронов и дает вклад того же порядка ма-
малости в т)ех- Коэффициент пространственного затухания необыкно-
необыкновенных колебаний с такой точностью был вычислен в п. 1.2.7 для
случая однородного магнитного поля. При анализе была учтена
релятивистская зависимость электронной циклотронной частоты от
энергии электронов, что существенно при со«ксое. Выражение для
коэффициента пространственного затухания необыкновенных коле-
колебаний, полученное в п. 1.2.7, имеет довольно сложный вид. Однако»
оно существенно упрощается на достаточно большом расстоянии
от резонансной точки 6sS>Lp2<». В этой области можно воспользо-
воспользоваться асимптотическими выражениями для функций Fi, входящих
152
в хех- В результате получаем
B.51)
Использование правила обхода Ландау позволяет при вычислении
коэффициента поглощения необыкновенных колебаний обойтись
довольно простым выражением B.51), что приводит к следующему
выражению:
?e)).
J Це С COS a sin ф
С
Здесь учтен вклад второго — сингулярного слагаемого в скобках
в B.51).
При 8=п/2 показатель преломления обыкновенных колебаний
равен Af2=l—qe, поэтому выражение B.50) содержит неопреде-
неопределенность. Она раскрывается, если для N2 использовать приближен-
приближенное выражение
N2^l—qe+qe(l—qe) cos2'9. B.52)
Учитывая также равенство Л^=1—qe— A — qef cos2 6, которое
следует из B.51), находим
Релятивистские эффекты, существенные при 0=я/2 в окрестно-
окрестности резонансной точки, не влияют на распространение колебаний
на достаточно большом расстоянии от нее. Поэтому то же самое
выражение B.53) для Гог можно получить с использованием «ре-
«релятивистского» показателя преломления (см. п. 1.2.7).
Отражение колебаний при распространении по-
поперек магнитного поля. Выше при выводе коэффициента
поглощения использовалось квазиклассическое приближение. Об-
Обсудим условия его применимости. При if^O действительная часть
волнового вектора существенно изменяется на расстоянии порядка
L, а мнимая — в пределах резонансной зоны, т. е. на расстоянии
порядка А,г8я«тах {(ртеЬ cos о|зI/2, L$e cos 0). Если хотя бы один из
углов 0, i|) существенно отличается от я/2, то в условиях термо-
термоядерного эксперимента (L^W2 см; vTe ^ Ю8 см/с; coe^3s ЗХ
ХЮИ рад/с) размер резонансной зоны превышает длину волны,
примерно равную с/о>. В обратном случае @=^г|з«&;я/2) величина
Ars сравнивается с длиной волны колебаний, и, следовательно,
квазиклассическое приближение вообще говоря становится непри-
неприменимым. Однако даже при 0=г|з=я/2 квазиклассическое прибли-
приближение дает правильные результаты при вычислении коэффициента
прохождения колебаний Z, через резонансную область. Для этого
вычисления надо производить с использованием правила обхода
Ландау, обходя резонансную область на расстояниях, значительно
153
превышающих характерную длину волны колебаний с/ш. Действи-
Действительно, переход к комплексным значениям координаты приводит
к появлению Ira k, что соответствует эффективному «размытию»
зоны резонансного взаимодействия.
Вместе с тем, определив коэффициент прохождения колебаний,
не получаем никакой информации о том, какая часть энергии ко-
колебаний поглотилась, а какая отразилась от зоны циклотронного
резонанса. На основании общих представлений теории распростра-
распространения колебаний в неоднородных средах можно утверждать, что
при &rs^>X коэффициент отражения должен быть экспоненциально
мал по параметру бг8Д^>1. В то же время при 6rs? Я, когда ста-
становится несправедливым квазиклассическое приближение, коэффи-
коэффициент отражения может оказаться весьма значительным.
Вопрос об отражении колебаний от резонансной зоны был под-
поднят в работе [114], где для анализа обыкновенных колебаний
использовалось упрощенное асимптотическое волновое уравнение,
справедливое на достаточно большом расстоянии от резонансной
точки 8L2
V
f^ + V
dx \ 2 а —
=0. B.54)
Так как мы рассматриваем случай 1|з=я/2, то считается, что V #о
направлен параллельно оси ОХ (см. рис. 2.9). Уравнение B.54) без.
члена с первой производной (djdx)E^ можно получить, подставив
в «локальное» дисперсионное соотношение A.46) асимптотическое
представление для ец ц из A.43) и заменив kx на —id/dx. [Чтобы
получить полное уравнение B.54), включая член с первой произ-
производной, необходимо использовать кинетическое уравнение.]
х
Если в B.54) Е1{ заменить G = Г dxE,, и сместить начало отсчета
на xs—L', то B.54) примет вид
/cJ(l-?e) A-L'/*)G=O, B.55)
где Xs — резонансная точка; L'—A/2)Lqe$2e. Последнее уравнение
без труда сводится к уравнению Уиттекера. Поэтому вполне есте-
естественно, что анализ распространения колебаний с помощью урав-
уравнения B.55), дополненного правилом обхода Ландау сингулярной
точки, приводит к формулам Баддена для коэффициентов погло-
поглощения, прохождения и отражения (см. п. 2.2.1), причем величина
Г оказывается равной B.53). Из формул Баддена, в частности,
следует, что колебания, распространяющиеся со стороны меньшего
магнитного поля, при Г^>1 практически полностью отражаются от
зоны циклотронного резонанса. Этот вывод мог бы иметь важное
значение для проблемы циклотронного нагрева, так как он озна-
означает, что, например, в случае токамаков ВЧ-мощность не следует
вводить с внешней стороны тора. Между тем в п. 2.2.1 было пока-
показано, что для корректного решения вопроса об отражении колеба-
колебаний нельзя использовать правило обхода Ландау и необходимо
154
найти вид решения в самой резонансной зоне. Соображения, вы-
высказанные в этом подразделе по поводу необыкновенных колеба-
колебаний при >9=гр=0, сохраняют свою силу и в данном случае. А имен-
именно, коэффициент отражения колебаний, распространяющихся со
стороны меньшего магнитного поля, может быть определен только
с помощью полного волнового уравнения [103]. Коэффициент от-
отражения колебаний, распространяющихся в противоположном на-
направлении, равен 0. Что касается коэффициента прохождения через
резонансную зону, то он не зависит от направления распростране-
распространения и может быть вычислен с помощью приближенного асимптоти-
асимптотического уравнения B.55) — 'Q = exp(—ГОг).
Полное волновое уравнение, описывающее распространение
обыкновенных колебаний поперек неоднородного магнитного поля,
имеет вид [103]
-7-A + ^^(^))-7-^и + (—JA-?е)?„=0. B.56)
dx dx \ с j
Здесь F(x) = (ll2)FT,2(g(x)y, g(*) = pr2l°» — «°e (*)]/">;
/—3/2
Fi(g)= S {-~gT(l-m
m=0
W — интеграл вероятности от комплексного аргумента (см.
п. 2.1.3). Как и выше, считаем d(oe/dx<i0. Резонансная точка
xs [a=(?>e(xs)] является точкой ветвления функции ^(д:). Посколь-
Поскольку daeldx<0, то в соответствии с правилом обхода Ландау функ-
функция F(х) однозначно определена лишь в верхней полуплоскости
комплексного переменного х. При выводе B.56) в кинетическом
уравнении учтены эффекты, обусловленные конечностью ларморов-
ского радиуса электронов и релятивистской зависимостью цикло-
циклотронной частоты от энергии электронов, причем считалось
\pTed/dx\ <1; ре<1. На достаточно большом расстоянии от резо-
резонансной точки (х^>Ь$2е) уравнение B.56) сводится к B.55).
Используем B.56) для вычисления коэффициента отражения
колебаний, распространяющихся со стороны меньшего магнитного
поля. Предположим сначала, что выполняется условие ГОг<С1.
В этом случае решение уравнения B.56) всюду, в том числе и в
резонансной зоне, слабо отличается от плоской волны Е{°}^
=^ехр(—ikx), где &=(со/с)A—<7еI/2- Учитывая влияние резонанс-
резонансного взаимодействия по методу последовательных приближений,
находим поправку к решению Е (°':
— exo I— i k (x' — *)]}d 7"?<X)) ex? (i kx'). B.57)
155
Из B.57) получаем, что при единичной амплитуде прошедшей вол-
волны амплитуда отраженной дается выражением
00
Лотр = -L kqe J dx'F7l2 (g (x')) exp (- 2i kx'). B.58)
—00
При вычислении интегралов в B.58) для функции F7/2(g(x)) удоб-
удобно использовать представление [45]
о
Fr,2 (g (x)) = - -f J Л A + i 0-7/2 exp (- i ^ (Л-) f),
где g- (jc) = pe (x — xs)L \
Поменяем в B.58) порядок интегрирований. Интеграл по dx' да-
о
ет 8@- Полагая J dtb(t)f(t) = {lj2)f@), находим Лотр = Гог A —
—00
— 2i|xor)-7/2exp (—2i kxs), где (icr = &orLC/ — параметр квазиклас-
квазиклассичности; &Ог=((в/с) A—^Р)!/2. С помощью последнего выражения
получаем коэффициент отражения
1^ | Л отр 12=Г2оГ A + Vor) ~7/2. B.59)
При (Хог-С 1 из B.59) имеем |^Г2Ог. Этот результат можно было
бы получить из упрощенного асимптотического волнового уравне-
уравнения B.55), поскольку длинноволновые колебания не «чувствуют»
тонкой структуры резонансной зоны, где только и проявляется раз-
различие между точным волновым уравнением B.56) и приближенным
B.55). Однако коэффициент отражения коротковолновых колеба-
колебаний с |лОг^1 может быть значительно меньше Г20Г- Заметим, что
коэффициент отражения коротковолновых колебаний можно найти
при произвольных значениях ГОг- Их отражение обусловлено глав-
главным образом наличием точки ветвления Хв У функции F7/2(g(x))r
причем, поскольку эта особенность довольно «слабая» F7/2(g(x))«^
^Сх-\-С2(х—XsM/2, коэффициент отражения можно определить ме-
методом последовательных приближений:
B.60)
Нетрудно видеть, что при qe<g.l и (хог3> 1 выражения B.59) и
B.60) совпадают. (При цот^>1 условие Гог>1 выполняется только,
если <7е<1).
Метод последовательных приближений нельзя использовать при
Гог^1, если цюг^Ь Расчеты [103], выполненные с помощью
ЭВМ, позволили исследовать и эту область. При |лОг^ 1 длина
волны колебаний по порядку равна размеру резонансной зоны, и
отражение обусловлено «плавной» неоднородностью функции
Ртп(ё{х))- С увеличением цОг (при fiOr»l) область отражения стя-
стягивается к точке xs, особой для функции F7/2(g(x)).
156
На рис. 2.12 представлена типичная зависимость коэффициента
отражения колебаний Ь — %112 = |Anp'AiaJ От параметра квазиклас-
квазиклассичности fior при фиксированном значении qe=^0,5. Если рог<С
О™ах?«0,3, то зависимость ? от цог приближенно описывается
формулой ?=Гог = Aс/2)<7сцог. При fior>ji.™ax коэффициент отраже-
отражения падает с |хог> причем закон спада с увеличением рог становится
близким к определяемому из B.59), B.60). Отметим, что хотя зна-
значение qe=0,5 не слишком мало, рассчитанная зависимость |(|л,Ог)
во всей области изменения |лОг близка к определенной из B.59)
(рис. 2.12).
/«or
Рис 2 12
Рис, 2 13
Рис. 2.12. Зависимость коэффициента отражения по амплитуде |'/2 для обыкно-
обыкновенных колебаний, распространяющихся со стороны меньшего магнитного поля,,
от параметра квазиклассичности (гОг:
коэффициент отражения, рассчитанный по B.55); <?е=0,5
Рис. 2.13. Зависимость максимального коэффициента отражения ?тах =
= max i- (,u.or) A) и коэффициента поглощения г\ (м-?].ах) B) от qe; ^"/"соответст-
^"/"соответствует максимуму коэффицкента отражения [!• (^ах) = ^maxl
При изменении qe положение максимума кривой \{\^от) меняется1
слабо, так что всегда р,™ах^0,3. Величина максимума растет с
увеличением qe. На рис. 2.13 пОкйзана зависимость ?тах = \ (}А™ах )
коэффициента поглощения "'](^™ах) от qe. При (хог<(А™ах для прибли-
приближенного определения коэффициентов ? и т) можно использовать
формулы B.29), B.30), откуда получаем Е«^Г^г, tj ^=s Гог и, следова-
следовательно, ?<->]. (Напомним, что Гог = (г/4)^ецсг.) При ftor > (i™ax коэф-
коэффициент отражения падает, а коэффициент поглощения с хорошей
точностью дается формулой т]=1—|—-?=1—ехр (—Гог)- Следова-
157
тельно, максимум отношения ?/т] достигается вблизи р™хи, как
¦следует из рис. 2.12, не превышает 1/6.
Таким образом, рассмотрение показывает, что коэффициент от-
отражения колебаний, распространяющихся со стороны меньшего
магнитного поля, значительно меньше коэффициента поглощения
при произвольных значениях ц,Ог и qe. Что касается колебаний, рас-
лространяющихся в противоположном направлении, то для них ко-
коэффициент отражения равен 0 (см. выше). Поскольку коэффициент
прохождения не зависит от направления распространения колеба-
колебаний,, то коэффициент поглощения г)=1—|—? в первом случае при-
приближенно (с погрешностью не больше 15%), а во втором точно
дается формулой ti=1—ехр (—Гог)-
В заключение остановимся на необыкновенных колебаниях. Эти
колебания взаимодействуют с электронами слабее обыкновенных
(¦П^Гех'—ф4е, см. выше), поэтому при их анализе метод последова-
последовательных приближений применим с хорошей точностью. Для коле-
колебаний, распространяющихся со стороны меньшего магнитного поля,
он дает |«=Г2ех—$8е- Необыкновенные колебания, распространяю-
распространяющиеся в противоположном направлении, как и обыкновенные, про-
проходят через резонансную зону без отражения.
2.2.4. Колебания на гармониках электронной циклотронной ча-
частоты. Общий случай. При характерных для термоядерной
плазмы условиях qe ^С 1, Dre/c=|Je<cl резонансное взаимодействие
электронов с колебаниями на гармониках циклотронной частоты
слабое, и его влияние на распространение колебаний может быть
учтено в рамках метода последовательных приближений. (Исклю-
(Исключение составляют лишь необыкновенные колебания с а»з^2©е, рас-
распространяющиеся поперек магнитного поля, см. ниже.) При этом
коэффициент поглощения удобно рассчитывать по формуле
оо
tj^ST1 J Qds, B.61)
—ОО
где Q=(co/8n) lmea^E*aE(, — энергия, поглощаемая в единице объ-
объема за единицу времени; 5S — проекция плотности потока энергии
на направление градиента магнитного поля.
Смещая в B.61) контур интегрирования в комплексную пло-
плоскость в соответствии с правилом обхода Ландау, получаем воз-
возможность на всем контуре использовать для Im eap упрощенные
адиабатические выражения. Очевидно, что результат интегриро-
интегрирования не должен зависеть от того, какие эффекты определяют раз-
размер резонансной зоны (эффект Доплера, релятивизм и др.). Вклад
в интеграл B.61) дают те компоненты еар, которые пропорциональ-
лы [а—xoe^s)]. Из них наибольшие
S
>res
I. res
1
n\ \ 2 / u>(a>— no)e)
1-2
2л! \ 2 / (o(«o — n<oe) '
358
см. A.31). Здесь значок res означает, что учтена лишь резонансная
часть соответствующей компоненты; величина ?2те~р2е считаетсяг
малой. С помощью этих выражений получаем
B-62>
Здесь использованы соотношения A.27), A.28), связывающие раз-
различные составляющие электрического поля колебаний. Вектор-
Пойнтинга также можно было бы выразить через |?+|2, однако
это выражение в общем случае очень громоздко и поэтому здесь-
его не приводим.
Из B.62) следует, что коэффициент поглощения обращается
в нуль при чисто продольном распространении, когда \те—Л± = 0.
С увеличением угла в коэффициент поглощения возрастает, дости-
достигая значений, по порядку равных i\—¦(<D2PeL/.(oc)|3e2(n-1>. Для не-
необыкновенных колебаний эта оценка остается справедливой вплоть
до углов 6~л/2. Поляризация обыкновенных колебаний при Э =
=я/2 чисто продольная (Е. =0, ?|( =^0).Это обстоятельство ска-
сказывается в уменьшении поглощения на множитель р2е.
Необыкновенные колебания с а^2<ое при б=я/2.
При распространении поперек магнитного поля резонансное взаи-
взаимодействие достигает наибольшей интенсивности для обыкновен-
обыкновенных колебаний с ш^(йе и необыкновенных с (?>^2ц>е, причем соот-
соответствующие коэффициенты поглощения по порядку оказываются
одинаковыми (см. выше). Поскольку колебания с k_LB0 особенно
удобно вводить в замкнутые магнитные ловушки, а критическая
плотность, ниже которой могут распространяться необыкновенные
колебания в плазме с <а=2<де, в 2 раза превышает критическую
плотность для обыкновенных с со=:(ое, то изучению первых посвя-
посвящено значительное число работ [114, 118—121]. Анализ необыкно-
необыкновенных колебаний затрудняется явлением трансформации в берн-
штейновские потенциальные колебания, которые могут распростра-
распространяться в плазме в условиях, характерных для современного термо-
термоядерного эксперимента (gv—4, pe<Cl). Явление трансформации не
может быть рассмотрено в рамках метода последовательных при-
приближений [118], в ВКБ-приближении [119, 120] или с помощью*
адиабатического волнового уравнения [114]. Корректный анализ
вопроса требует использования дифференциального волнового
уравнения четвертого порядка [122]. Отметим также трудности,
связанные с вычислением коэффициента отражения колебаний (см.
п. 2.2.3).
В п. 1.4.2 было показано, что бернштейновские колебания по-
появляются из-за наличия особенности у диэлектрической проницае-
проницаемости плазмы при <о=П(ве, причем их частоты отстоят от цикло-
циклотронных на соре(^ргеJ("~1)(|йрГе'С1). Этот результат был получен?
в пренебрежении релятивистской зависимостью циклотронной ча-
159
стоты от энергии электрона. Релятивистские эффекты, существен-
существенные при \со—лю<*|^ П(о$2е, «размывают» циклотронный резонанс
и, следовательно, затрудняют существование бернштейновских ко-
колебаний. Из приведенных оценок следует, что при qe—1, k^a/p не-
необыкновенные колебания могут трансформироваться в бернштей-
новские только в окрестности второй гармоники электронной ци-
циклотронной частоты, причем и в этом случае учет релятивизма не-
необходим для корректного описания явления.
Рассмотрим сначала качественно, какие эффекты следует ожи-
ожидать при распространении интересующих нас колебаний в неодно-
неоднородном магнитном поле. На рис. 2.14 схематически изображена
зависимость частоты колебаний от волнового числа при 2
Рис. 2.14. Распространение необыкновен-
необыкновенных колебаний с <вя»2ше поперек неод-
неоднородного магнитного поля
Если бы бернштейновские и необыкновенные колебания могли рас-
распространиться независимо, то соответствующие кривые a(k) пере-
пересекались бы в точке а. Взаимодействие колебаний вызывает рас-
расщепление зависимостей со(&).
Из рис. 2.14 можно сделать вывод, что необыкновенные колеба-
колебания, распространяющиеся из области большего магнитного поля
(снизу на рис. 2.14), могут довольно эффективно трансформиро-
трансформироваться в бернштейновские (стрелка с цифрой 2). Разумеется, часть
энергии должна поглощаться в точке, где сое(г)=:©, а часть проса-
просачиваться через барьер непрозрачности и уходить от резонанса
в виде прошедшей волны (стрелка с цифрой 3). Рис. 2.14 показы-
показывает, что при распространении со стороны большего поля отражен-
отраженная волна не возникает (ср. с п. 2.2.3).
При распространении со стороны меньшего поля (сверху на
рис. 2.14) колебания набегают на точку отсечки, где &=0, от кото-
которой отражаются (стрелка с цифрой 4'). Отраженные колебания,
преодолевая барьер непрозрачности, частично трансформируются
в бернштейновские (стрелка с цифрой 2'). Следует ожидать, что
в этом случае коэффициент трансформации будет иметь меньшее
значение, чем при распространении со стороны большего магнит-
магнитного поля.
Отметим, что по мере удаления бернштейновских колебаний от
резонансной точки их волновое число возрастает. Когда оно по по-
порядку сравнится с р^ , групповая скорость da/dk поменяет знак,
и поток энергии начнет движение в обратном направлении. Из
рис. 2.14 следует, что приближение к резонансной точке сопровож-
сопровождается дальнейшим увеличением волнового числа. Поэтому берн-
J60
штейновские колебания должны в конце концов поглотиться элек-
электронами, например, за счет небольшого отличия угла Q от я/2.
Теперь изложим результаты работы [122], в которой распрост-
распространение необыкновенных колебаний описывалось с помощью диф-
дифференциального уравнения четвертого порядка. Это уравнение
можно получить, подставляя A.45) в уравнения Максвелла и про-
производя замену ft-*—id/dx. Оставляя слагаемые, пропорциональные
12те<1, получаем [122]
где ?„=A/20 (?+—?_); функция F(g(x)) та же, что и в B.45).
На достаточно большом расстоянии от резонансной точки ре-
решения уравнения B.63) расщепляются на два класса:
Eif ex/ exp[±i*ex(.*-*s)]. B-64)
описывающих длинноволновые необыкновенные колебания и корот-
коротковолновые бернштейновские моды:
где
В окрестности резонансной точки характерные масштабы $еше.
ний B.64), B.65) сравниваются. В этой ебласти колебания раз-
различного типа могут трансформироваться Друг в друга.
Аналогично тому как это было сделайо в п. 2.2.3, можно пока-
показать, что коэффициент прохождения необыкновенных колебаний не
зависит от направления распространения и рабен ехр(—ГB) ),
а также, что колебания, падающие со стороны большего магнит-
магнитного поля, проходят через резонанс без отражения. Что касается
коэффициента отражения колебаний, распространяющихся в про-
противоположном направлении, а также коэффициентов трансформа-
трансформации, то они, по-видимому, могут быть найдены лишь численно.
Такие расчеты производились в работе [122]. Их результаты при-
приведены на рис. 2.15—2.17. На них коэффициенты отражения и
трансформации определены как отношения потоков энергии сбОТ-
ветствующих колебаний к падающему. Отметим, что рис. 2.15 на-
напоминает рис. 2.11, на котором изображена зависимость коэффи-
коэффициента отражения обыкновенных колебаний. Их сходство об"ьясйя-
11—67 ГС1
ется одинаковой природой физических процессов, обусловливаю-
обусловливающих отражение. Однако коэффициент отражения на второй гармо-
гармонике электронной циклотронной частоты существенно больше и
возрастает по мере приближения плотности к критической (плот-
(плотность отсечки qe,cT=2). Отметим также, что в соответствии с сооб.
Рис. 2.15. -Зависимость коэффициента отражения колебаний, распространяющих-
распространяющихся со стороны меньшего поля, от параметра квазиклассичности ц:
J —?е=.0; 2 — ?е-1.2; 3—<7в-=1,7; iieI|2-=*ex2Z.(i>T(,/c)! —параметр квазиклассичности,
*ех _ а= (<"/f) IA—<?е/2) A — <?е/6)/A— <?e/3)l'/2 — волновое число необыкновенных колебан
с ш = 2ше при kfTe «
Рис. 2.16. Зависимость коэффициента
трансформации колебаний, распрост-
распространяющихся со стороны меньшего
магнитного поля, от параметра ква-
квазиклассичности ц
Рис. 2.17. Зависимость коэффициента
трансформации колебаний, распрост-
распространяющихся со стороны большего
магнитного поля, от параметра ква-
квазиклассичности ц
ражениями, приведенными в начале настоящего подраздела, коэф-
коэффициент трансформации колебаний, падающих со стороны больше-
большего поля, превыщает коэффициент трансформации колебаний, рас-
распространяющихся в противоположном направлении. С учетом яв-
явления трансформации коэффициент поглощения равен тр=
= 1—|—?—т. Однако поскольку бернштейновские колебания в кон-
конце концов поглощаются электронами, то полный коэффициент по-
поглощения следует рассчитывать по формуле г\=\—|—?.
162
2.2.5. Ионные циклотронные колебания. В области частот порядка ионной
циклотронной имеются две ветви колебаний: альфвеновская и магнитозвукоэая
Альфвеновские колебания распространяются только в области достаточно низ-
низкого магнитного поля (ш;<со), причем к точке циклотронного резонанса могут
подойти лишь колебания с к||В0 (см. п. 1.2.3). Соображения, аналогичные при-
приведенным в п. 2.2.3, приводят к выводу, что для этого V^o должен быть парал-
параллелен Во, т. е. должна осуществляться конфигурация магнитного берега [3]
(см. также п. 2.2.1). В этом случае волновое уравнение, описывающее распро-
распространение альфвеновских колебаний, имеет вид
о
соо> ¦
Здесь считается <?i»l. Обычно в термоядерных экспериментах это условие
выполняется с большим запасом <7i~l,O3. Если в окрестности резонансной точки
положить G)i(z)=co(l— z/L), то уравнение B.66) приводится к уравнению, рас-
рассматривавшемуся Бадденом, с параметром Г=°о. Отсюда следует вывод, чтв
альфвеновские колебания, набегающие на точку циклотронного резонанса, по-
поглощаются целиком. Генератор альфвеновских колебаний должен быть располо-
расположен в области, где <B((z)>a>, так как только эта область прозрачна для альфве-
альфвеновских колебаний.
Резонансное взаимодействие магнитозвуковых колебаний с ионами слабое,
и его можно учитывать в рамках метода последовательных приближений.
В области частот o)~<Oj взаимодействие ослабляется из-за -неблагоприятно* п*-
ляризации колебаний Ец^Е+яхО (см. п. 1.2.3),. На основании соотношений
A.49), A.50) с помощью метода, использованного в п. 2.2.3, нетрудно получить
следующее выражение для величины Гм, определяющей коэффициент погло-
поглощения:
Гм = (я/2) N (La/с) Р<2<7* sin4 9 cos2 9 A-f cos2 9) -2 B cos 9 cos ip-f
+sin6 cos a sin iJj) .
Здесь для углов, характеризующих геометрию задачи, используются те же обо-
обозначения, что и в п. 2.2.3.
Резонанс на гармониках ионной циклотронной частоты удобно анализиро-
анализировать тем же методом, что и в п. 2.2.4, при этом получаем
1@ q,
Здесь учтен лишь вклад составляющей электрического поля, вращающейся
в ионную сторону, поскольку в низкочастотных колебаниях с (о^пю* продоль-
продольное электрическое поле практически равно 0, а вклад составляющей, вращающей-
вращающейся в электронную сторону, содержит лишний малый множитель ~?ri4<l-
Выражение B.67) можно использовать для описания резонансного взаимо-
взаимодействия магнитозвуковых и альфвеновских колебаний с малой добавкой ионов
с другим значением ионной циклотронной частоты. В этом случае величины 9,-
и gTi в B.67) характеризуют ионы примеси. Отметим, что если и=1, то в B.67)
выпадает малый множитель gri2'"-», что отражает высокую эффективность
взаимодействия низкочастотных колебаний с ионами примеси.
163
2.3. Циклотронные колебания в немонотонно меняющемся магнитном поле
2.3.1. Циклотронное резонансное взаимодействие в немонотонно
меняющемся магнитном поле. При резонансе в монотонно меняю-
меняющемся магнитном поле во многих случаях можно было определить
коэффициент поглощения колебаний без выяснения их детальной
структуры в окрестности резонансной точки. Это удавалось сделать
с помощью адиабатического волнового уравнения, дополненного
правилом обхода Ландау. При немонотонном изменении магнитно,
го поля такой подход, как мы сейчас увидим, вообще говоря, ока-
оказывается непригодным.
Предположим для определенности, что магнитное поле в неко-
некоторой точке г имеет минимум. При co>niin<ue(sz) существуют две
резонансные точки, симметрично расположенные относительно ми-
минимума магнитного поля. В этих точках производные dae/dz раз-
различны по знаку. Если для продолжения решения волнового урав-
уравнения через область минимума магнитного поля использовать адиа-
адиабатическое волновое уравнение, то в соответствии с правилом об-
обхода Ландау резонансные точки должны обходиться в комплекс-
комплексной плоскости с разных сторон (рис. 2.18). Следовательно, контур
С, по которому продолжаем решение, должен обязательно пройти
между резонансными точками. При со-нтип <ое (z) резонансные точ-
точки сближаются, и, когда расстояние между ними окажется меньше
размера резонансной зоны, использование упрощенного адиабати-
адиабатического волнового уравнения станет невозможным. Полное волно-
волновое уравнение — интегральное (см. п. 2.1.3). Это уравнение до сих
пор не применялось для анализа резонансного взаимодействия
в окрестности экстремума магнитного поля. По существу удалось
рассмотреть лишь слабое резонансное взаимодействие, влияние
которого на распространение колебаний можно было учесть в рам-
рамках метода последовательных приближений как малую поправку.
Такой подход использован в дальнейшем изложении, см. также
[71].
Как и при анализе резонансного циклотронного взаимодействия
в монотонно меняющемся магнитном поле (см. п. 2.1.2), рассмот-
рассмотрим сначала простейшие необыкновенные электронные циклотрон-
циклотронные колебания, распространяющиеся вдоль магнитного поля. Бу.
дем считать, что магнитное поле меняется по параболическому за-
закону <оеB)=<йеоA+(г/?оJ). Скорость ларморовского вращения
электрона, как и выше, будем характеризовать величиной v-(t) =
=vx(t)—ivv(t)=v^ exp [i<p@]- Ее изменение, вызванное прохож-
прохождением через минимум магнитного поля, находим из уравнения
B.5):
00 j V -I
Да_ (/) = - (eE_Jme) f dt' exp — i m'f -f i [ dt"we [z (t")} \ . B.68)
-00 I t )
Здесь <в' = ю — kvtt; z(t) — zt-\-V\\t. Интервал интегрирования в B.68)
продолжен до /=±оо, поскольку считаем и^Шео, и, следовательно,
164
значение интеграла определяется малой окрестностью минимума
магнитного поля.
При сделанных предположениях интеграл в B.68) выражается
через функцию Эйри:
gg "I
I = — exp [— l <p (t) 4~ i Ф @) x
me I
f-^Y1*** (№)****=*¦). B.69)
Здесь Ф @) — разность между фазой циклотронного вращения и
фазой волны в момент прохождения электрона через минимум
магнитного поля.
Функция Эйри экспоненциально затухает при положительных
значениях аргумента и осциллирует при отрицательных. (Ампли-
(Амплитуда осцилляции спадает по степенному закону с ростом частоты.)
Аргумент функции Эйри отрицателен, если частота колебаний
с учетом доплеровского сдвига превышает ©ео- Очевидно, что такие
колебания могут резонансно взаимодействовать с ларморовским
вращением электрона. Ввиду того что зависимость циклотронной
частоты от продольной координаты г имеет вид параболы, резо-
резонансное условие выполняется в двух точках, расположенных сим-
симметрично относительно 2=0. Если разность «/—ateo достаточно ве-
велика со' — а>е0» (о)(/Z,O«>J/3, то расстояние между резонансными
точками значительно превышает размер резонансной зоны в окре-
окрестности каждой из точек (см. ниже) и их вклады в Д1и_ можно рас-
рассчитывать так же, как и в случае монотонно меняющегося магнит-
магнитного поля. Они складываются когерентно, т. е. с учетом фазы. По-
Поэтому при определенном расстоянии между резонансными точками,
когда разность Ф(^)—Ф(^) (h,2 — моменты прохождения электро-
электрона через резонансные точки) равна Bk-{-l)n, суммарное изменение
Дг>_ обращается в нуль. Эти соображения поясняют вид асимптоти-
асимптотики Ди_ при больших отрицательных значениях аргумента функции
Эйри:
[i Ф @)] №
Xsinf 2L°U2 K-c»eoK/2 + -fV B-70)
При сопоставлении B.70) с выражением для Дю_ в случае моно-
монотонно изменяющегося магнитного поля [см. B.9)] необходимо учи-
учитывать соотношения d<ae/dz=(Oeo^z/L2o; zs=Lo[(cu'—<йео) /©ео]1/г-
С уменьшением частоты резонансные точки приближаются к ми-
минимуму магнитного поля, а размер резонансной зоны —\daeldz\-1
возрастает. В конце концов резонансные зоны сливаются. Оценим
значение zs, при котором это происходит. С этой целью рассмот-
рассмотрим выражение для разности между фазой ларморовского враще-
вращения электрона и фазой волны, предположив, что выполняется усло-
165
вне а =(йео, т- е- чт0 резонанс имеет место точно в минимуме маг-
магнитного поля,
Из этого выражения следует, что электрон выходит из состояния
резонанса за время btsf&[Ci(l2)Le2[<oeov2..]113 и, следовательно на
расстоянии 8г5яа [Ci:/2)y||I02/toS()]1/3 от минимума магнитного поля.
Величину 262s естественно считать, с одной стороны, равной раз-
размеру резонансной зоны при резонансе в минимуме магнитного по-
поля, а с другой — расстоянию между резонансными точками при
*>'>(»ео, на котором происходит слияние резонансных зон.
При to'=cu^o резонансное взаимодействие достигает наибольшей
интенсивности. По порядку максимум \Av^\ должен быть равен
(eE_/me)(L02[<oeav йI/3;. Действительно, при (o'=fueo из B.69) по-
получаем
Существенно, что резонансное взаимодействие не прекращается,
даже если й/<соео, и резонансное условие не выполняется ни при
каком действительном значении z. В этом случае резонансное вза-
взаимодействие обусловлено эффектом конечности времени взаимо-
взаимодействия. Этот эффект рассматривался в п. 1.3.1, где анализиро-
анализировался механизм синхротронного излучения. Напомним, что эффект
конечности времени взаимодействия обусловлен неспособностью
частицы различить колебания, разность частот которых не превы-
превышает обратного времени взаимодействия. Благодаря этому эффек-
эффекту электроны весьма эффективно взаимодействуют с колебаниями
ири со<©ео, если выполняется условие <оеО—ш < F7s)~1=:
= ю!о@ц/?оJ/3- Эта оценка подтверждается видом асимптотики
выражения B.69) при больших положительных значениях аргу-
аргумента функции Эйри:
*»-=* ехр 1Ф(О) —а -—г—, ZJK X
те \ v\\ I (co'(ft>'. — (о.о)) '
¦ [ Зс-nto'1/2 J
2.3.2. Коэффициент поглощения. Если частота колебаний удов-
удовлетворяет условию а>'<(йео, то резонансное взаимодействие обус-
обусловлено эффектами, связанными с тепловым движением электро-
электронов (эффект Доплера, эффект конечности времени взаимодейст-
взаимодействия). С уменьшением частоты интенсивность взаимодействия осла-
ослабевает и при достаточно больших значениях разности ооео—а> ко-
166
эффициент поглощения становится существенно меньше 1. В этой
области частот для вычисления коэффициента поглощения можно
пользоваться методом последовательных приближений, считая
в первом приближении поле колебаний заданным (это предполо-
предположение было сделано выше при вычислении Д1у_). В плазме высокой
плотности таким способом можно определить лишь «хвост» линии
поглощения в области <а<'О)ео. Однако эта область наиболее инте-
интересна, так как именно в ней проявляется специфика резонансного
взаимодействия в немонотонно изменяющемся магнитном поле. По-
Поскольку при <й<соео резонансное взаимодействие обязано эффектам
теплового движения электронов, то коэффициент поглощения в этой
области частот существенно зависит от температуры электронов и,
следовательно, появляется возможность определения этой величи-
Рис. 2.18. Плоскость комплекс-
комплексного переменного z при немо-
немонотонной зависимости ше (г):
Область, в которой неприменимо
упрощенное адиабатическое волно-
волновое уравнение B.17), заштрихова-
заштрихована; С — контур обхода резонанс-
резонансных точек в соответствии с пра-
правилом Ландау; предполагается,
что со>ш @)
ны по измерениям коэффициента поглощения [71]. Напомним, что
при резонансе в монотонно меняющемся магнитном поле коэффи-
коэффициент поглощения необыкновенных колебаний, распространяющих-
распространяющихся вдоль поля, не зависит от температуры (см. п. 2.1.1).
При т)<С1 коэффициент поглощения можно определить по фор-
формуле i\=AeJS, где
B.71)
Де — л, j cfof0 (v) v |, (mJ2) | Ду_
— количество энергии, поглощаемое электронами в единицу вре-
времени; S=(fec2/4jwo) |?-|2 — поток энергии в колебаниях.
Из-за довольно сложной зависимости До_(иц) интеграл по dvi{
в B.71) удается вычислить, лишь сделав некоторые упрощающие
предположения. Допустим сначала, что температура электронов
достаточно высока [УГе»с3/2 (a>L0)-'/2; с5'3(свео — ш)-5/6] и для зна-
значительной части электронов выполняется условие m-\-k\vn | ><вео
(рис. 2.19). В этом случае можно усреднить по быстрым осцилля-
циям величину |iA!a_|2 и использовать для нее следующее пред.
ставление:
, B.72)
где е(х) — ступенчатая функция [Q(x)=l при х>0 и 8(jc)=0 при
х<0].
167
Подставляя B.72)' в B.71) и учитывая, что интеграл по dv^ оп-
определяется малой окрестностью значения 0 и =(«>,,„ — «>)/&, получаем
-{¦%¦)').
,2.73,
ГДе AQ=((B—(J
Экспоненциальная зависимость коэффициента поглощения от
AQ отражает максвелловский закон распределения электронов по
V||
Рис. 2.19. Функция распределения электронов при
низкой (J) и при высокой B) температуре; 3 —
I *»-(«> и )| 3
скоростям. Действительно, при определяющем воздействии эффек-
эффекта Доплера коэффициент поглощения пропорционален числу элек-
электронов су„ =(да — iDe0)/k, т. е. ~ехр (—(AQ / hvTeJ). Отметим, что
при <о<(йео с волной взаимодействуют электроны, движущиеся ей
навстречу, для которых kvn =ш—юео<О.
В случае низкой температуры Dre<c3/2(coLo)-1/2(AQM/6 число
резонансных электронов мало (рис. 2.19) и резонансное взаимо-
взаимодействие обусловлено эффектом конечности времени взаимодейст-
взаимодействия. В этом случае интеграл в B.71) можно вычислить методом
перевала. В результате получается следующее выражение для ко-
коэффициента поглощения:
B.74)
Волновое число необыкновенных колебаний, распространяю-
распространяющихся вдоль магнитного поля,
k (z) = (<в/с) [l+o)V«(Mz)-co)]1/2
(см. п. 2.1.1). Выше при вычислениях коэффициента поглощения
не учитывалась зависимость волнового числа от координаты. Меж-
Между тем при юя&соео такая зависимость может оказаться довольно
существенной. Вычисления, проведенные с ее учетом, дают следую-
168
щие обобщения B.73) и B.74) соответственно:
2I/2
л <oL0
2.3.3. Определение Те и некоторых других параметров плазмы в адиабати-
адиабатических ловушках по циклотронному поглощению. Выражения для коэффициента
поглощения, полученные в предыдущем подразделе, показывают, что закон спа-
спада т) с увеличением разности <вео—<*> (показатель экспоненты) определяется
температурой электронов. Это обстоятельство позволяет сравнительно просто
определить Те по измерениям зависимости г\ (со). Такие измерения — относитель-
относительные и поэтому для них не требуется предварительной калибровки излучателя и
приемника, что значительно упрощает их. Напомним, что калибровка приемника
требуется в распространенном методе измерения Те по циклотронному излучению.
Следует отметить, что высокая интенсивность резонансного взаимодействия
необыкновенных колебаний с (й^ж>е, распространяющихся вдоль магнитного
поля, в некоторых случаях может помешать их использованию для диагностиче-
диагностических целей. Дело в том, что при достаточно высокой плотности плазмы коэффи-
коэффициент поглощения таких колебаний приближается к 1 даже в области частог
(о<@ео- В этом случае измерения коэффициента поглощения становятся мало-
малоинформативными — плазма превращается в черное тело. Для уменьшения коэф-
коэффициента поглощения следует использовать колебания, распространяющиеся под
углом к магнитному полю, или переходить на гармоники электронной цикло-
циклотронной частоты [123]. Соответствующие вычисления проводились в приближе-
приближении т)<1, ?=const. Приводить здесь громоздкие выражения, полученные в [123],.
не будем. Отметим лишь, что при распространении колебаний под углом в
к магнитному полю, отличным от я/2, зависимость показателя экспонент от
электронной температуры совпадает с B.73), B.74), а переход на высшие гар-
гармоники приводит к появлению дополнительного множителя (k^ ртеJ{п~1) в вы-
выражениях для Ti (см. также п. 1.2.6). Если 9=я/2 (более точно я/2—8^ате/с),
закон спада коэффициента поглощения с ростом юе0—w определяется реляти-
релятивистской зависимостью электронной циклотронной частоты от энергии электрона
Г|~ехр [—B/ре2) |AQ|], а малый множитель k^pTe входит в г\ в степени 2п
(обыкновенные колебания) и 2(«-)-1) (необыкновенные колебания) (см. п. 1.2.7).
При измерениях электронной температуры направление зондирования следует
выбирать с учетом реальной геометрии магнитного поля. Необходимо, чтобы ре-
резонансная точка была точкой двойного экстремума магнитного поля, рассматри-
рассматриваемого как функция расстояния вдоль Во и вдоль зондирующего луча. Действи-
Действительно, если не выполняется первое условие, то имеет место резонанс в моно-
монотонно меняющемся магнитном поле, если же не выполняется второе, то измене-
изменение частоты зондирующих колебаний [что необходимо для определения профиля
11 (со)] приводит лишь к смещению резонансной точки вдоль луча. При зондиро-
зондировании вдоль магнитного поля эти условия очевидным образом совпадают. В слу-
случае адиабатической ловушки при зондировании под углом к магнитному полю
луч должен проходить через центр ловушки. В ловушке с min В эта точка
является точкой экстремума магнитного поля, в обычной ловушке — седловой
точкой.
169-
Помимо электронной температуры по коэффициенту поглощения циклотрон-
циклотронных колебаний можно определить и некоторые другие параметры плазмы. В част-
частности, если функция распределения отличается от максвелловской, то можно
составить представление о характере такого отличия. В открытых магнитных
ловушках не удерживаются электроны, продольная энергия которых превышает
перепад амбиполярного потенциала от центра ловушки до ее периферии eAtfo.
Если энергия электронов достаточно высока, то уширение линии поглощения
» области ш<га(о<>о определяется эффектом Доплера, В этом случае коэффициент
поглощения колебаний частоты со пропорционален числу электронов с о» =
= (/го)е0—w)/6 ||. Отсутствие электронов с vn > о° = BеЦ0/теI12 приводит
к резкому падению коэффициента поглощения при па>е0 — со > k (| и° .
Коэффициент поглощения на я-й гармонике циклотронной частоты пропорцио-
пропорционален (fe^ 9те>'П' где т — п> п+\. Причем, если распределение электронов по
скоростям анизотропно, ларморовский радиус следует рассчитывать по сред-
средней поперечной энергии электронов. Ее можно найти из сравнения коэффициен-
коэффициентов поглощения на разных гармониках электронной циклотронной частоты.
Bit) отнед
Z ЛВ,%
ис' ^'- Зависимость коэффициента поглощения ц =
1— % от частоты [AQ=(<»eo—и)/©] для Аг и Не
Рис. 2.20. Получаемая в эксперименте зависимость коэффициента прохождения
Z от магнитной индукции:
B(t)=B()+Bl, cos at; правый край осциллограммы соответствует полному прохождению
(?=1); масштаб по обеим осям линейный
В современных адиабатических ловушках электроны обычно имеют доста-
достаточно высокую температуру, так что их длина свободного пробега намного пре-
превышает размер системы. Поэтому все электроны, находящиеся на данной сило-
силовой линии магнитного поля, характеризуются одной температурой. В результате,
несмотря на то что при ш^мео колебания взаимодействуют с электронами лишь
в малой окрестности минимума магнитного поля, измерения коэффициента погло-
поглощения r](AQ) позволяют судить о температуре (функции распределения) всех
электронов, движущихся по данной силовой линии.
Коэффициент поглощения циклотронных колебаний зависит не только от
температуры электронов, но и от плотности плазмы в резонансной точке no(rs).
[При достаточно низкой плотности он пропорционален rco(fs); с повышением
плотности эта зависимость может усложниться — см. п. 2.2.1]. Поэтому, варьируя
частоту колебаний и тем самым смещая резонансную точку по плазме, можно
определить распределение плотности.
Такая диагностика была опробована сначала в модельных экспериментах
с газоразрядной плазмой [71]. В этих экспериментах газовый разряд зажигался
17G
ejre
Рис. 2.22. Функция распределения
электронов по продольной энер-
энергии
в магнитном поле той же конфигурации,
что и магнитное поле адиабатической
ловушки. Газоразрядную трубку помеща-
помещали в волновод и измеряли зависимость
коэффициента прохождения колебаний че-
через плазму от расстройки we0—<o. На
практике оказалось удобным, поддерживая
частоту постоянной, менять магнитное по-
поле по синусоидальному закону с такой
амплитудой, чтобы изменение 5coeo пере-
перекрыло интересующий частотный интервал.
Характерная осциллограмма, показываю-
показывающая изменение коэффициента прохождения
? от индукции поля, приведена на рис.
2.20. Теоретический анализ, а также
прямые измерения коэффициента отраже-
отражения 1 привели к выводу, что в условиях эксперимента [71] он мал по
сравнению с коэффициентом поглощения ц. Поэтому коэффициент поглощения
рассчитывали по формуле Т)=1—?. Результаты обработки осциллограмм типа
изображенной на рис. 2.20 приведены на рис. 2.21. Видно, что основная часть
зависимости lg ц от ДО ложится на прямую линию. Этого и следовало ожидать,
поскольку в силу низкой температуры электронов газоразрядной плазмы (Ге=
= 1-=-10 эВ) «хвост» линии поглощения определяет эффект конечности времени
резонансного взаимодействия [см. B.74)]. Расчет по этой формуле дал резуль-
результаты, хорошо согласующиеся с данными зондовых измерений.
После успешного опробования диагностики на газоразрядной плазме ее
использовали для определения температуры и функции распределения электро-
электронов в экспериментах на адиабатической ловушке ОГРА-ЗБ [124—126]. Низкая
плотность плазмы в этих экспериментах затрудняла использование стандартных
методик определения температуры по рассеянию лазерного излучения и по спон-
спонтанному циклотронному излучению. Поэтому для диагностики использовали не-
необыкновенные циклотронные колебания, распространяющиеся вдоль магнитного
поля, коэффициент поглощения которых максимален (см. выше). Измерения дали
довольно высокое значение температуры электронов (Ге~100 эВ), при котором
зависимость Т|(ДЙ) определяется эффектом Доплера. В этих условиях оказалось
возможным проверить, действительно ли функция распределения электронов по
скоростям максвелловская. Результаты проверки приведены на рис. 2.22 [125].
Видно, что максвелловский закон распределения соблюдается в интервале Те<
<е<ЗТе. В [125] не удалось определить граничную энергию, за которой про-
происходит обрезание функции распределения (см. выше), так как в соответствую-
соответствующей области частот коэффициент поглощения был слишком мал. В этих же
экспериментах был определен и профиль плотности плазмы вдоль оси ловушки.
Ввиду сравнительной простоты описываемых диагностик измерения удалось про-
проводить непрерывно во времени. В результате были измерены флуктуации плот-
плотности и температуры, вызванные развитием неустойчивых колебаний с g)<Cuv
2.3.3. Квазистационарные колебания в немонотонно меняющем-
меняющемся магнитном поле. Выше обсуждались эффекты, в которых про-
проявлялась специфика резонансного циклотронного взаимодействия
при минимуме магнитного поля, т. е. при <D^»nweo. Однако немоно-
171
тонная зависимость магнитного поля от координат может приво-
приводить к довольно интересным результатам и в том случае, когда ча-
частота © существенно больше пюео- Рассмотрим опять необыкновен-
необыкновенные колебания, распространяющиеся вдоль магнитного поля. Их
взаимодействие с плазмой описывается формулами Баддена. Ис-
Используя аналогию между волновым уравнением и квантово-меха-
ническим уравнением Шредингера, можно получить наглядную ин-
интерпретацию результатов, полученных Бадденом (см. п. 2.2.1). Ес-
Если магнитное поле изменяется немонотонно, эффективный потен-
потенциал в эквивалентном уравнении Шредингера образует яму (рис.
2.23). При Г^>1 коэффициент проникновения через стенки ямы
Рис. 2.23. Квазистационарные ко-
колебания в параболическом маг-
магнитном поле:
амплитуда колебаний в области проз-
прозрачности схематически показана вол-
волнистой линией; ?/(г)=со2„(,/сг(ш-
—0) (г)) — эффективная
ре'
потенциаль-
потенциальная энергия в волновом уравнении
B.17); В70= (а/сJ —эффективная пол-
полная энергия;
точки
zsi, zS2 — резонансные
экспоненциально мал ?=ехр (—Г). В этом случае в яме должны
существовать квазистационарные уровни [127]. Действительно, ко-
колебания много раз пробегут между стенками ямы, прежде чем про-
просочатся через барьер. При этом в яме образуется волна, слабо от-
отличающаяся от стоячей, соответствующей обычным собственным
колебаниям. В качестве квантово-механического аналога рассма-
рассматриваемого явления можно указать квазистационарные уровни
а-частиц в атомном ядре.
Частота и декремент затухания рассматриваемых колебаний на-
находятся, как обычно, из условия сопряжения «начальной» волны
с волной, вернувшейся в «исходную» точку после прохождения по
системе. Если выполняется условие <upe/(oe<CZs/Lo> T0 вдали от ре-
резонансной зоны волна близка к плоской — вакуумной (Л^со/с), и
для продолжения решения через точку циклотронного резонанса
можно использовать асимптотику B.28) с ?= | {\jwe)d<»eldz\z-zs-
При этом в случае симметричной потенциальной ямы условие со-
сопряжения принимает вид
= ± 1.
При
кремента
172
B.75)
из B.75) находим приближенное выражение для де-
дезатухания колебаний
Спектр собственных частот имеет вид ш^=;(ля/2) c/zs- Если
при облучении ловушки электромагнитными колебаниями их ча-
частота совпадает с одной из собственных частот, то вследствие ре-
резонанса амплитуда колебаний внутри ловушки превышает ампли-
амплитуду во внешней области в ехр(Г/2) раз.
3. Циклотронные колебания в ограниченных системах
3.1. Циклотронный нагрев в регулярных колебаниях.
Возникновение стохастичности
3.1.1. Введение. В гл. 2 при исследовании резонансного цик-
циклотронного взаимодействия в неоднородном магнитном поле счи-
считали, что на резонансную точку из «бесконечности» набегает не-
невозмущенный волной поток заряженных частиц. Однако в реаль-
реальных, ограниченных системах заряженные частицы совершают воз-
возвратно-поступательное движение вдоль магнитного поля, причем
обычно за время жизни в системе каждая частица много раз про-
проходит через резонансную точку. Возникает вопрос: законно ли
каждый акт резонансного взаимодействия рассматривать незави-
независимо от предшествующих? С этим вопросом, как показано ниже,
тесно связаны два других: о возможности нагрева плазмы регу-
регулярными колебаниями и о потерях плазмы из адиабатических ло-
ловушек под действием самопроизвольно возникающих регулярных
циклотронных колебаний.
Для того чтобы каждый акт резонансного взаимодействия не
зависел от предшествующих, на первый взгляд необходимо, чтобы
какие-то внешние случайные воздействия разрушили фазовую па-
память частиц за время, меньшее периода колебаний вдоль магнит-
магнитного поля. Представляется, что без случайных воздействий невоз-
невозможен и нагрев частиц в регулярных колебаниях. Действительно,
под словом «нагрев» обычно подразумевают усиление теплового
(хаотического) движения, между тем как при отсутствии случай-
случайных воздействий движение заряженных частиц под действием
электромагнитных колебаний полностью детерминировано. (Во-
(Вообще говоря, мыслимо и непрерывное, детерминированное увели-
увеличение энергии частиц под действием колебаний. Однако, как по-
показано ниже, в реальных системах с неоднородным магнитным по-
полем доля частиц, которые могут быть нагреты таким образом,
весьма мала.) Если бы удалось показать, что движение частиц
под действием регулярных колебаний может стать стохастичным,
это имело бы принципиальное значение для обеих указанных выше
проблем (нагрев плазмы регулярными циклотронными колебания-
колебаниями и потери частиц из адиабатических ловушек под действием
самопроизвольно возникающих циклотронных колебаний). Пояс-
Поясним вкратце последнюю проблему. Как известно, удержание за-
заряженных частиц в адиабатических ловушках возможно лишь в
той мере, в какой сохраняется так называемый поперечный адиа-
адиабатический инвариант ц = /щ>^/2Б. Но в адиабатических ло-
ловушках удерживаются лишь частицы с достаточно большим ц, по-
173
этому распределение частиц по скоростям термодинамически
неравновесно. Неравновесность приводит к самопроизвольному воз-
возбуждению циклотронных колебаний — циклотронной неустойчиво-
неустойчивости. Встает вопрос: как влияют циклотронные колебания на по-
поперечный адиабатический инвариант? Если действие циклотрон-
циклотронных колебаний приводит лишь к модификации адиабатического
инварианта, то частицы по-прежнему удерживаются в адиабати-
адиабатической ловушке. (Согласно [128] движение с модифицированным
поперечным адиабатическим инвариантом принято называть су-
суперадиабатическим.) Если же движение принимает хаотический
характер и инвариант перестает существовать, то происходит раз-
развал плазмы.
Анализ возникновения стохастичности под действием цикло-
циклотронных колебаний, генерируемых внешним источником (пробле-
(проблема циклотронного нагрева) и возбуждающихся самопроизвольно
(проблема удержания частиц в адиабатических ловушках), про-
производился примерно в одно и то же время [127—135]. Он осно-
основывался на общей теории возникновения стохастичности в дина-
динамических системах. Согласно современным воззрениям стохастич-
ность является следствием неустойчивости траекторий, описываю-
описывающих поведение динамических систем в фазовом пространстве. Эта
неустойчивость приводит к тому, что фазовые траектории, перво-
первоначально расположенные близко друг к другу (различающиеся
микроскопически), в конце концов расходятся на большое (мак-
(макроскопическое) расстояние. Поскольку в реальных системах внеш-
внешние случайные воздействия неустранимы принципиально, то пове-
поведение неустойчивых систем на достаточно больших интервалах
времени становится непредсказуемым. Одна из моделей возникно-
возникновения неустойчивости траекторий в фазовом пространстве развита
Б. Н. Чириковым и Г. М. Заславским [136—139]. В ее основе
лежит так называемое явление перекрытия резонансов. Содержа-
Содержание этого понятия раскрыто в дальнейшем изложении. Пока же
поясним, о каких резонансах будет идти речь в интересующем нас
случае.
Выше отмечалось, что в ограниченных системах заряженные ча-
частицы помимо ларморовского вращения совершают периодическое
движение вдоль магнитного поля — в адиабатических ловушках
колеблются между пробками, в токамаках вращаются по большо-
большому азимуту и т. д. Поскольку продольное движение периодическое,
то каждый из циклотронных резонансов и==пш^ разбивается на
бесконечное число баунс-резонансов co = n(o,-|-pci)bj, р=1, 2, 3 .. .,
где cobj — частота периодического движения заряженной частицы
вдоль магнитного поля (баунс-частота). Стохастичность возникает,
когда под действием электромагнитного поля циклотронных коле-
колебаний «перекрываются» баунс-резонансы. В этой главе проанали-
проанализировано движение заряженных частиц в адиабатических ловуш-
ловушках в присутствии циклотронных колебаний. Распространение тео-
теории на случай других систем не представляет большого труда.
Математическую модель, на которой Б. Н. Чириков и Г. М. За-
174
славский изучали явление возникновения стохастичности, можно
без каких-либо изменений перенести в теорию циклотронных ко-
колебаний в ограниченных, системах. Поэтому результаты, получен-
полученные Б. Н. Чириковым и Г. М. Заславским, могут быть интерпре-
интерпретированы в терминах этой теории, а благодаря такой связи некото-
некоторые положения теории циклотронных колебаний приобретают
более общее значение. Так, результаты анализа совместного воз-
воздействия циклотронных колебаний малой амплитуды и случайных
возмущений на движение заряженных частиц в ограниченных си-
системах [127] могут быть использованы для изучений широкого
класса динамических систем, подвергающихся случайным воздей-
воздействиям. В общей постановке этот вопрос рассмотрен в [140, 141].
3.1.2. Гамильтониан электрона. Многопериодическое движение,
каким является движение электрона в адиабатической ловушке,
удобно анализировать в рамках гамильтонова формализма. При
таком подходе решение уравнений движения заменяется цепочкой
канонических преобразований.
Гамильтониан электрона, движущегося в статическом магнит-
магнитном поле при наличии электромагнитных колебаний, имеет в«д
где Р — обобщенный импульс и A0(r), Ai(r, /) —вектор-потенциал
статического магнитного поля и электромагнитных колебаний со-
соответственно. Чтобы не загромождать анализ несущественными
деталями, рассмотрим интересующую нас задачу в простейших
условиях. Наиболее простое магнитное поле, образующее
«адиабатическую ловушку», имеет вид B0=B0(rz/L02; 0; 1-f-
+ (?2-f-r2/2)L02). Здесь используется цилиндрическая система ко-
координат, коаксиальная с рассматриваемой системой. Такому маг-
магнитному полю соответствует вектор-потенциал Ао(г) = @>
(г/2) A+ (z2-\-r2/4)/L02), 0). Электрическое поле циклотронных
колебаний будем считать однородным, направленным поперек
основного магнитного поля и вращающим-ся в электронную сто-
сторону.
Прежде всего выделим в гамильтониане C.1) часть, учитываю-
учитывающую электромагнитное поле циклотронных колебаний. Это дости-
достигается с помощью канонического преобразования, описываемого
производящей функцией
FI = P1r-(e/c)Jdr'AI(r', *). C.2)
При этом гамильтониан принимает вид
г
dr'E(r\ *), C.3)
где Pi=P-|-(e/c)Ai(r, t) — новый обобщенный импульс; E(r, t) —
= — A/с) <3Ai (г, /) jdt — электрическое поле циклотронных коле-
колебаний. Первое слагаемое в C.3) можно интерпретировать как ки-
кинетическую энергию электрона, движущегося в статическом маг-
175
Рис. 3.1. Геометрическая интерпре-
интерпретация преобразований C.4)
нитном поле, второе — как потен-
потенциальную в электрическом поле
циклотронных колебаний. В ряде
работ [130, 142, 143] при анали-
анализе движения заряженных частиц
гамильтониан C.1) разлагают в
ряд по Аь и слагаемое (e/mec)PAi
учитывают в качестве малой по-
поправки. Такой подход представ-
представляется менее удобным, поскольку
в этом случае приходится иметь
дело не с обычным, а с обобщен-
обобщенным импульсом. Различие между
«ими сказывается в нелинейных задачах (см. ниже). Отметим, что
при отсутствии стационарного магнитного поля преобразование,
определяемое C.2), соответствовало бы переходу от обобщенного
импульса к обычному.
Предположим, что электромагнитные колебания имеют элек-
электронную поляризацию, причем электрическое поле не зависит от г.
В этом случае последнее слагаемое в гамильтониане C.3) прини-
принимает вид
#i = e?_(xcos at+у sin at),
где Е- — амплитуда электрического поля.
Теперь, следуя [144] (см. также [142]), введем канонические
неременные для ларморовского вращения. Такими переменными
являются фаза вращения ф и переменная действия У. = в. /юе =
= утес\е, где ц — магнитный момент. Преобразование, предложен-
предложенное в [142], отделяет ларморовское вращение от движения лармо-
ларморовского центра, которое характеризуется своими каноническими
переменными 0Л и /л. В приближении мелкой магнитной ямы
|г j
)
и малого ларморовского радиуса ре «=* B7 . \теюе0)
^ BУл/отеше0) фор мулы, связывающие старые и новые пере-
переменные, имеют вид
Р1Г = (
sin <
р / .
10— л>
C.4)
Они могут быть получены с помощью производящей функции
Ft = J dr (mjoj12 BУ± - (г (т. *J12 - BУ,I/2 ff2 - 0УЛ.
Геометрический смысл преобразований C.4) поясняется рис. 3.1.
176
В новых переменных для гамильтониана C.3) получаем сле-
следующее выражение:
Н = рг*[2те + шв0/± A + z W) + еЕ_ B/ Jm.vJ/2 X
Xcos(<p-0a-«rf). C.5)
Это выражение — приближенное. В нем опущены как слагаемые,
описывающие медленное — дрейфовое движение ларморовского
центра, так и его быстрые осцилляции, происходящие с циклотрон-
циклотронной частотой.
Теперь введем канонические переменные для продольного дви-
движения. Из C.5) следует, что оно представляет собой гармониче-
гармонические осцилляции с частотой (ов(/х) = Bшео///т1е102I/2:
1
J
C.6)
где /„=.-A/2*)$/^; в|,=»б-
Производящая функция, описывающая переход к каноническим
г
переменным J{[, 61|( имеет вид F3 = у] -(- f dz'pz(z', J(|, J^). Су-
Существенно, что при таком преобразовании изменяется и фаза, соот-
соответствующая J ср —>• 6,:
где
Новая фаза 6^ описывает ларморовское вращение, усредненное
по продольным осцилляциям. Действительно, частота Q, может
быть представлена в виде
где гт = ^0(а)ь7п/<оео/±I/2 — размах колебаний электрона вдоль маг-
магнитного поля; и|10 —Bшео7н//иеI/2—продольная скорость в мини-
минимуме магнитного поля.
Окончательно для гамильтониана получаем следующее выра-
выражение:
И = »J± + »ь Cj.) 1 и + еЕ_ {2JJnw>J/2 X
XcosF± — <7sin2eH — erf). C.7)
Здесь в аргументе косинуса опущен несущественный фазовый
сдвиг 0л и обозначено q = J9f4J±,
12-67 177
3.1.3. Возникновение стохастичности. Перейдем теперь к ана-
анализу движения, описываемого гамильтонианом C.7). Если ампли-
амплитуда электрического поля достаточно мала, то последнее слагае-
слагаемое в C.7) можно учесть в качестве малой поправки. Его влияние
сказывается лишь в слабом дрожании фазовой траектории. Поло-
Положение, однако, меняется при выполнении резонансного условия
Ql (J±< Jи) - 2^ (у±) ~ <" = °- C-8)
В этом случае у возмущения появляется секулярная составляю-
составляющая, под влиянием которой фазовые траектории могут существен-
существенно исказиться. Чтобы рассмотреть движение в резонансной обла-
области, разложим, используя A.2), возмущение в ряд Фурье по
б, —<d и в к и из всего разложения оставим лишь резонанс-
резонансный член. Эта процедура соответствует усреднению по ма-
малым колебаниям, вызываемым нерезонансными слагаемыми.
Затем с помощью производящей функции F4 = (б. —u>t — 2рЬ}])J, +
-f-0 Рц введем новые переменные Ф<р) = 6,—id — 2/?0F| и Рп =
= 7 -\~2pJ.. При этом гамильтониан C.7) принимает вид
"^'1)™*'", C-9)
где /р — функция Бесселя р-го порядка.
Следуя [138], разложим невозмущенную часть гамильтониана по
малой разности P<p)=J —] где /, удовлетворяет резонансному
условию C.8). В возмущенной части положим J =/^„. Опуская в
C.9) несущественные постоянные слагаемые, приводим гамильтониан
к стандартному виду
Н =^ A.PW 2-у-А2 cos Ф^), C.10)
где
d»//B
dl2,
Гамильтонианы вида C.10) описывают колебания маятника
в поле силы тяжести, движение заряженной частицы в простран-
пространственно-периодическом электрическом поле и т. д. Здесь не будем
приводить хорошо известные выражения для траектории [Р<р>(?),
Ф(р)@] [27, 137]. Чтобы напомнить, каким будет общий харак-
характер движения, используем фазовую плоскость Я<р>, ф^> (рис. 3.2).
176
Видно, что в окрестности резонансных значений У^ расположены
так называемые захваченные траектории, на которых фаза Ф<р> из-
изменяется в ограниченных пределах. Эти траектории описывают ко-
колебательное движение. Максимальный размах колебаний по оси 7^
равен ДУ, = 2|2Л2/Л,|1/2. Вдали от резонансных значений У^ лежат
так называемые пролетные траектории, на которых фаза Ф(>> изме-
изменяется неограниченно. Такое движение соответствует вращению
маятника.
Рисунок 3.2 соответствует случаю достаточно малого возмуще-
возмущения, когда размах колебаний ДУ = ДР(Р> мал по сравнению с рас-
расстоянием между соседними резонаНсами 8У »=s (<оь/у11|. Что произой-
произойдет, когда с увеличением электрического поля волны Е ->- Аг размах
Рис. 3.2. Фазовые траектории, описывае-
описываемые гамильтонианом C.15) в режиме
регулярного движения (слабое элект-
электрическое поле)
колебаний ДУ. превысит расстояние между соседними резонансами
8/,? Центральным пунктом теории Б. Н. Чирикова и Г. М. Заслав-
Заславского является утверждение, что в этом случае движение изобра-
изображающей точки по фазовой плоскости станет неустойчивым, а имен-
именно весьма малые различия в начальных условиях приводят к то-
тому, что изображающие точки, переходя от одного резонанса к
другому, в конце концов расходятся на значительное расстояние.
В соответствии со сказанным выше это означает, что поведение
реальной системы, описываемой данным гамильтонианом, стано-
становится непредсказуемым — случайным. Теория Б. Н. Чирикова и
Г. М. Заславского имеет эвристический характер, однако она не-
неоднократно подтверждалась численными экспериментами (см., на-
например, [138, 139] и приведенные там ссылки).
Условие возникновения стохастичности* ДУ >8У, можно пред
ставить в виде
(eEJLe/w)\Jp(q)\>J2L\8pJ±^Jn \~\ C.11)
где величина р, определяемая из резонансного условия C.8), рав-
равна р=A/2)(ю—®л))/ь>ео+Ч- Чтобы представить условие стоха-
стохастичности более наглядно, рассмотрим частный случай колебаний
* Это условие обеспечивает перекрытие наиболее «грубых» резонансов пер-
первого порядка. Учет высших резонансов облегчает возникновение стохастичности,
приводя к условию &Jj^{2/n)<8J {139].
12* 179
с (о=Юео при p—q~%>\. Используя асимптотику функции Бесселя
/р(/?)^ГA/3)C1/в22/3яр'/3)-1, приводим C.11) к виду
35/б г A/з)
V v
¦>!¦
(ЗЛ2)
Физическая интерпретация условия стохастичности дана в сле-
следующем подразделе. Здесь же постараемся взглянуть на явление
возникновения стохастичности с позиций, более привычных для
физики плазмы, а именно рассмотрим уравнение квазилинейной
диффузии электронов, движущихся в магнитной ловушке (B(z) —
= 5o(l+z2/i-o2)) и испытывающих воздействие со стороны цик-
циклотронных колебаний. Соответствующее уравнение получено в
приложении П.5 (см. также [145, 146]); оно имеет вид
dfidt+LDCf=O,
где
о 1
— T г-
СО —й).
Ml О
р=—со
В C.13) используются переменные
C.13)
C-14)
и е||0 для того, чтобы при-
придать уравнению более компактный вид.
Рис. 3.3. Образование плато на функции
распределения электронов под дейст-
действием монохроматической волны малой
амплитуды
^ C.13) следует, что в силу колебаний электронов в магнит-
магнитной яме одна волна с фиксированной частотой действует на них
так же, как целый спектр волн с частотами юр—со—2р<вь и ам-
амплитудами Ep-E-Jp(q). Хорошо известно, что отдельная монохро-
монохроматическая волна выравнивает функцию распределения (образует
плато) в области захваченных частиц. В данном случае образуется
дискретная последовательность плато (рис. 3.3).
На этом рисунке изображено сечение функции распределения
f(*±0> е и 0) при некотором фиксированном значении г 0. С увеличением
амплитуды электрического поля размеры плато возрастают, и,
когда соседние плато перекроются, по всей области перекрытия
пойдет квазилинейная диффузия. Такой режим соответствует ре-
режиму стохастического движения, описанному выше.
190
Для дальнейшего заметим, что хотя уравнение квазилинейной
диффузии получено усреднением по колебаниям электрона вдоль
магнитного поля, оно отражает тот фактор, что резонансное взаимо-
взаимодействие происходит в точке zs, где со=сое (zs) • Действительно, в си-
силу соотношения в 0 = A/2) me{v\ -\-v2.0(zfL9y) полная производная
d[del0 равна d[delo = dfdelO-\-(z!Lo)*djde]]tj. (Напомним, что рас-
рассматривается движение в мелкой яме, когда z < Lo и s me Q.)
Поскольку точка z, в которой происходит изменение е 0> совпадает
с резонансной, то оператор L, входящий в C.13), можно пред-
представить в виде L — djde 0,
3.1.4. Импульсное приближение. При анализе взаимодействия
заряженных частиц, движущихся в неоднородном магнитном поле,
с циклотронными колебаниями часто используют импульсное при-
приближение [127, 129, 131, 132, 145, 146]. В этом приближении при-
принимается, что электрическое поле колебаний действует на заря-
заряженные частицы импульсно — лишь в момент прохождения через
резонансную точку. Движение в остальное время считается сво-
свободным. По существу анализ резонансного взаимодействия в
в § 2.1, 2.3 проводился в рамках импульсного приближения.
Очевидно, что в случае заряженных частиц, движущихся в
магнитной яме, импульсное приближение можно использовать,
если размах колебаний частиц вдоль магнитного поля /=
= ццо^й значительно превьшпет размер резонансной зоны bzs. Ве-
Величина 8zs максимальна при резонансе в минимуме магнитного поля
8г5^Fта> „Lq/od^I/3. Интересно, что условие l^>bzs по порядку
совпадает с условием 7ц »/^, т.е. означает, что аргумент функций
Бесселя JP(q) значительно превышает 1. Последнее необходимо
для возникновения стохастичности. Действительно, в обратном
предельном случае <?<cl функции Бесселя быстро спадают с рос-
ростом номера р: Jp(q)^(\/p\) (<?/2)р. Поэтому явление перекрытия
резонансов в широком интервале изменения р становится невоз-
невозможным.
Таким образом, приходим к заключению, что для возникнове-
возникновения стохастичности помимо достаточно большой амплитуды элек-
электрического поля необходимо, чтобы электроны совершали доста-
достаточно большие экскурсии вдоль магнитного поля (l^>6zs).
Центральным пунктом анализа резонансного взаимодействия
в импульсном приближении является расчет приращения энергии
заряженной частицы при ее прохождении через резонансную зо-
зону. Получим общее выражение для этой величины в случае, когда
заряженные частицы (электроны) удерживаются в магнитной
яме — адиабатической ловушке. Для колебаний с электронной
поляризацией из уравнения движения B.5) получаем
13—67 181
у_ @ *= - (eE_lme) exp [- i <р (t)\ X
«72.6
X Г Л' exp[-i«rf' + if(/')]. C.15)
где 7 (Г) = j Л'Ч [г (Г)] = »«. [ 1 + A /2) ^, 0^J ' ~ ? sin
В C.15) интегрирование проводится по половине периода ко-
колебаний электрона вдоль ловушки. За это время электрон один
раз проходит через резонансную точку. [Если выполняется условие
°> — в)ео^<вёо3(у||</А>юJ/3 — то через две резонансные точки, распо-
расположенные симметрично относительно минимума магнитного поля.]
При <7»1 для любых значений индекса р, в том числе и нецелых,
можно использовать представление
*
J<#exp(— ipt+iqsint). C.16)
(При нецелом р оно приближенное [14].) С помощью C.16) ве-
величину Ди_ можно представить в виде Ла_(/)=—Ди. ехр[1Ф(О)—
i(t)] где
а индекс функции Бесселя р* равен:
2 Л
Выражение C.16) можно получить, если считать, что электрон
находится в состоянии резонанса в течение времени б^=(я/шь)Х
X.JP*(q). Соответственно размер резонансной зоны
52s = (w||SK)/p.(<7). C.18)
где v s—продольная скорость электрона в резонансной точке.
Покажем, следуя [145], что выражения для 8zs приводившие-
приводившиеся ранее в пп. 2.1.2, 2.3.1, есть частные случаи C.18). Для этого
воспользуемся асимптотиками функции Бесселя [39]:
(т
31/322/Зп/,1/3
182
JP(Q)
— ч\~р
cos p arccos — —
C.20)
p
2
Нетрудно видеть, что при резонансе в окрестности минимума
магнитного поля, когда выполняется условие | (<в — <°е<>)!тео ! *^
j|^0( \p* — q | </?*), выражение C.17) согласуется сB.69)>
а C.18) при (о=й)ео совпадает с выражением для 62s, приведен-
приведенным в п. 2.3.1.
Если (й>(ое0, причем со—<oeo»G)I/3(t>||0/LoJ/3, то при сопостав-
сопоставлении с п. 2.1.2 необходимо учесть, что имеются две резонансные
зоны, расположенные симметрично относительно минимума маг-
магнитного поля. Их вклады в Ду_ взаимно интерферируют. В ре-
результате Ду_=2Аи1 cos[(l/2)d>'], где Аи! — изменение энергии
в каждой из зон; Ф' — набег фазы Ф за время прохождения между
резонансными зонами. Соответственно 8zs связано с C.18) соот-
соотношением 8г8 = 28z's cos [A/2) Ф'].
В рассматриваемом случае можно считать, что в пределах ре-
резонансной зоны магнитное поле меняется по линейному закону
где L=-a>e(zs)
dz
-i
С помощью верхних формул C.19), C.20), а также соотношений
Цг — Р*2 = [(» — ».о)/«*1 [Я — (ш — »«)/4»*]; » - »м = (г,/
— v\o~z%w'l находим, что Ьг' = B-kLvn
II 0
*S~b
'uslmyi2< т- е- совпадает с
выражением, приведенным в п. 2.1.2.
Представление Лу_ в виде C.15) неудобно для использования,
если концы интервала интегрирования совпадают с моментами
прохождения через резонансные точки (zs— ±1, l = Lov Qlv.0 — ам-
амплитуда колебаний электрона вдоль магнитного поля). В этом
случае при подсчете Ди_-приращения и_ за половину периода дви-
движения сместим интервал интегрирования на я/2<й6: (—п/2а>ь,
я/2соь)->-(О, я/о)ь). Затем заменим переменную интегрирования:
t'-+t—n/2®b- При этом получаем выражение, отличающееся от
13* 183
C.15) фазовым множителем и другим знаком перед q в показате-
показателе экспоненты.
Условие zs = l означает ю.—яшеоA -|-»2|0/о^0) и может быть
представлено в виде p* = q. Напомним, что при zs=0 p*=-q. Та-
Таким образом, если не учитывать несущественный фазовый множи-
множитель, то выражения для Ду_ в этих двух случаях будут комплекс-
комплексно-сопряженными, а выражения для Av± [см. C.17)]—одинако-
C.17)]—одинаковыми.
Резонансное взаимодействие при zs=l подробно рассмотрено
в п. 3.3.2.
3.1.5. Условие стохастичности в импульсном приближении. Им-
Импульсное приближение позволяет по-иному подойти к возникнове-
возникновению стохастичности, а также сравнительно просто рассчитать ко-
коэффициент диффузии электронов по энергии в режиме стохастиче-
стохастического движения. Ниже при изложении этого подхода к проблеме
будем следовать работе [127].
Предположим для определенности, что резонансное условие
выполняется в минимуме магнитного поля (<й=соео), и, следова-
следовательно, имеется только одна резонансная точка z—0. Это обстоя-
обстоятельство делает анализ более компактным. Будем характеризо-
характеризовать состояние электрона скоростью поперечного движения v. и
фазой Фп, взятыми в момент времени, непосредственно следую-
следующий за /г-м актом резонансного взаимодействия. Из C.17) следует,
что после прохождения резонанса в выражении v- (t) — v. X
Хехр[—if{t)] величина v. заменяется выражением v^-\-Av^X.
Xexp[i Ф(у]. Отсюда следует, что резонансног взаимодействие
изменяет скорость циклотронного вращения и его фазу:
где с учетом C.19) А» ^^= ^/^У'3 ; Ф^Ф.,
набег фазы Ф=ф@—(at за половину периода колебаний электро-
электрона по ловушке. Напомним, что y(t) =arctg(vy(t)/vx(t)).
184
Рис. 3.4. Геометрическая интер-
интерпретация преобразований, описы-
описываемых C.26), C.27) на плоско-
плоскости v . , Ф)
Один из вопросов, который нас
интересует, — это определение ко-
количества энергии, поглощаемой элек-
электронами. Если эту величину вычис-
вычислять как работу поля колебаний Е
над током j, то при нахождении j
можно ограничиться линейным при-
приближением. Результат оказывается
квадратичными по Е. Поглощаемую
энергию можно определить и по-
иному, рассчитав эту величину
для отдельного электрона и затем
усреднив ее по ансамблю. При та-
таком способе подсчета необходимо в
выражении для приращения энергии
отдельного электрона удержать сла-
слагаемые, пропорциональные Е2. Это
обстоятельство учтено в C.21).
Рассмотрим движение частиц, описываемое уравнениями C.21),
C.22), на фазовой плоскости v ., Ф, используя цилиндрические
координаты. В импульсном приближении значения величин v±, Ф
берутся в дискретные моменты времени, разделенные промежут-
промежутками, равными п/(дъ, и поэтому само оно эквивалентно введению
дискретного времени. В соответствии с C.21), C.22) переход от
v±n, Ф„ к v±n+l, Ф„+1 происходит в 2 этапа. На первом меняется
лишь фаза: Фп—>-Фп'=Фп+^п- Это преобразование описывает дви-
движение частицы между двумя последовательными прохождениями
через точку циклотронного резонанса. Ему соответствует враще-
вращение плоскости v±, Ф (рис. 3.4). Весьма существенно, что это
вращение дифференциальное — угол поворота зависит от ».. На
втором этапе вся картина как целое сдвигается вдоль электриче-
электрического поля — горизонтальной оси на Д»^. (Ввиду того, что фаза
циклотронного вращения Ф отсчитывается от фазы волны, мы фак-
фактически используем вращающуюся систему координат, где элек-
электрическое поле постоянно во времени.)
Частицы, для которых выполняется условие Q=2np, резонанс-
резонансны в том же смысле, что и выше (см. анализ условия возникно-
возникновения стохастичности). Действительно, величина Q дает набег фазы
Q± — a>t за половину периода колебаний. Поскольку б± = о>е0 [ 1-f*
0foj0)], «> = u>eo' т0 условие Q = 2ic/7 эквивалентно C.8).
Проанализируем сначала уравнения C.21), C.22) при малой
напряженности электрического поля, когда характерный скачок
Аи. мал по сравнению с расстоянием между соседними резонансами
-V, (dQjdv )~l. Рассмотрение особенно простое вдали от резонансов,
где выполняется условие | v.
> [До, Kdurdv^}1'2. В этом
185
'!'
случае электрическое поле слабо влияет на движение частиц и его
можно учесть в рамках метода последовательных приближений.
В C.21), C.22) введем новую переменную wn — v2.n и представим
эти уравнения в виде ряда по малому отношению До, lwlj2. Уравне-
Уравнение C.21) уже имеет требуемый вид; а из C.22) получаем
C.23)
Из системы C.20), C.23) находим
C.24)
C.25)
C.26)
sin-1 (— Й<°>
(—
si
sin- (-i- QO ) [- cos (Фо + ± Q
C.27)
a>i2) = — (ДсхJ sin (— Qw\ [1 —cos(/iQ(*>)] -
+ cos BФ0 + ± QC) j _ cos [(/i + -I-) Й»] -
- cos ^0 +Ф<,0) + -LQ(')\ _ CosBФ0 + 3Q(°)) + cosBФ<0) + Q(°>)I.
C.28)
Здесь wo, Фо — начальные значения w и Ф.
Выражения C.24) — C.28) описывают движение электронов,
находящихся „далеко от резонанса" | v. —Vy> | ^>[До J{dQ,jdv, )]1/2.
Из них следует, что с точностью до значения порядка (Ду . J вклю-
включительно энергия нерезонансных электронов испытывает лишь ре-
регулярные колебания около некоторого среднего значения. Если
предположить, что резонансные электроны набирают энергию в
электромагнитных колебаниях, то такой набор должен прекра-
прекратиться, как только они покинут резонансную зону [v± — V^]^
^ [Да !(d?i[dv ,)]1/2. Вывод о том, что электроны не нагреваются
186
в поле циклотронных колебаний, в какой-то мере является неожи-
неожиданным. Действительно, в правой части C.21) имеется постоянное
слагаемое (До. J, которое на первый взгляд свидетельствует о не-
непрерывном наборе энергии всеми электронами. Заметим, однако
что систематический нагрев всех электронов говорил бы о несо-
несохранении (увеличении) фазовой площади на рис. 3.4 под действи-
действием преобразований C.21), C.22). Между тем выше было показа-
показано, что эти преобразования сохраняют фазовую площадь.
Рассмотрим теперь систему C.21), C.22) при выполнении обрат-
обратного условия До, ~^{dQJdv. )~"\ считая скачки До. достаточно ма-
малыми (До± <^ о ). В этом случае система C..21), C.22) становится
существенно нелинейной и ее решение методом последовательных
приближений, (см. выше) — неприемлемым. Исследования раз-
разностных уравнений подобного типа показали, что наиболее инте-
интересные эффекты обусловливаются зависимостью фазы от другой
переменной, в данном случае о Эта зависимость должна учи-
учитываться в полной мере. В остальном система C.21), C.22) мо-
может быть максимально упрощена. С этой целью используем раз-
разложение по малой величине До±/о± <§;1 и в C.21) оставим лишь
первый член разложения, а в C.22) — нулевой:
±п). C.30)
Здесь амплитуда приращения Д(о^) считается постоянной, и поэтом
у величины 2о±До^ опущен индекс п.
В соответствии с [136—138] система C.29), C.30)—одна из
простейших, моделирующих явление возникновения стохастично-
сти. Это ее свойство можно пояснить с помощью следующих со-
соображений. При выполнении условия До.dQ!dv.~^> 1 каждый акт
резонансного циклотронного взаимодействия «перебрасывает» ча-
частицу через несколько резонансов(До. 3> | У±+ ' — Vf D- Причем,
поскольку приращения о. зависят от фазы Ф, точки фазовой
плоскости(Ф, о.), вначале расположенные поблизости друг от дру-
друга, уже за один шаг могут разойтись на значительное расстояние
и их дальнейшие траектории будут совершенно различными. Вви-
Ввиду крайне неустойчивого характера движения естественно пред-
предположить, что в реальном случае оно будет стохастичным. С по-
помощью ЭВМ было найдено, что движение становится стохастич-
стохастичным при приближенном выполнении условия Av.dQfdv. > 1 [139].
В то же время, если потребовать перекрытия лишь наиболее гру-
грубых резонансов первого порядка [139], условие стохастичности
примет вид До.dQ'dv.>it2/4.Оно, как легко убедиться, совпадает
с C.12).
187
При выполнении условия стохастичности отдельные прираще-
приращения w= v2 нескоррелированы — фаза Ф в C.21) случайна. Это
обстоятельтво позволяет сразу написать коэффициент диффузии,
который равен половине приращения дисперсии величины w за
одно прохождение через резонансную зону:
Я = (До±Iда. C.31)
Такое определение предполагает безразмерное время, измеряемое
в единицах я/а>ь-
Выражение C.31) согласуется с C.14). Действительно, в ре-
режиме стохастического движения электроны беспорядочно переска-
перескакивают между резонансами с разными номерами р. Если усред-
усреднить коэффициент диффузии по интервалу Ар (l<Ap<Sp) и перей-
перейти в C.14) к другим переменным (е^—*ш = о^, t~*t'= <d^/ic)>
с учетом C.7) получим C.31). Лишний множитель 2 в C.14)
обусловлен тем обстоятельством, что в C.14) переменные величи-
величины предполагались комплексными —exp(iCD), а при выводе C.31) —
действительными ^собФ^ |exp(i<D) |2>=2<cos2O>).
Скорость нагрева характеризуется величиной {wyw, где <.. .>«,
означают усреднение по распределению электронов f(w). Исполь-
Используя уравнение диффузии
df d i-j df л /о оо\
dt' dw dw
получаем
C.33)
Если До. не зависит от w, то (ау)ш = да = (Ди. )г.
Заметим, что в диффузионные уравнения типа уравнения Фок-
кера — Планка наряду с коэффициентом диффузии входит и коэф-
коэффициент динамического трения Лтр. Однако, как показано в следу-
следующем подразделе, в интересующем нас случае выполняется соот-
соотношение Arv=4Dldw, и, следовательно, уравнение Фоккера—План-
Фоккера—Планка
dt' ow v да.
действительно имеет вид C.32).
Критерий стохастичности C.12) можно также представить
в виде
в±о< «1о = С ("*АI/4 «1/2 * {eEfi\ C.34)
где С — константа порядка единицы (С == 0,9). Из него следует, что
область диффузии частиц по энергии (нагрева) ограничена сверху
критическим значением •*.„. Разумеется, на самом деле область сто-
стохастического движения не имеет четкой границы. В работах [131,
188
132] выделялась промежуточная область фазовэгэ пространства
(е$,О±0<8$,). в которой на ряду со стохастическими траектори-
траекториями имеются островки регулярного (упорядоченного) движения. Ниж-
Нижнюю границу этой области «<Я определяли из условия потери устой-
устойчивости неподвижной точкой отображения типа C.29), C.30). При
этом найдено, что s<') =0,5e(f» Верхняя граница
е<2> имеет смысла
е,кэВ
Рис. 3.5. Зависимость энергии электронов от
напряжения электрического поля при цикло-
циклотронном нагреве в адиабатической ловушке
[134]:
О и ф — экспериментальные результаты; Д — ре-
результат численного моделирования; / — граница
области стохастического движения; ^—максималь-
^—максимальная энергия, до которой могут быть нагреты элек-
электроны; выше нее — область суперадиабатического
движения
10
1,0 3,0Е,кЪ/см
максимальной энергии, которую могут получить заряженные частицы
от циклотронных колебаний. Как численный [131], как и плазмен-
плазменный [134] эксперименты показали, что
(Я
^
(рис. 3.5).
3.2. Циклотронный нагрев при наличии случайных воздействий
3.2.1. Интенсивные случайные воздействия. В реальных систе-
системах частицы подвержены случайным воздействиям — частицы стал-
сталкиваются друг с другом, сбивается фаза генератора циклотронных
колебаний и т. д. Поэтому и при малой амплитуде электрического
поля циклотронных колебаний, когда не выполняется условие сто-
хастичности (см. выше), движение частиц не вполне детерминиро-
детерминировано. Наличие циклотронных колебаний приводит к увеличению
коэффициента диффузии по энергии, который может на много по-
порядков превышать коэффициент обычной диффузии, обязанной ку-
лоновским соударениям. Механизм аномальной диффузии родствен
неоклассическому — частицы совершают значительные колебания
по оси энергии, а случайные воздействия перебрасывают их с одной
траектории на другую [147].
Вопрос о влиянии случайных воздействий на движение заряжен-
заряженных частиц в магнитных ловушках в присутствии циклотронных
колебаний рассматривался в [127, 148—150]. В первой из этих
работ вычисления доведены до конечного результата — получено
значение коэффициента диффузии по энергии. Ниже, при анализе
проблемы, будем в основном следовать этой работе. Как ив [127],
используем импульсное приближение. В этом приближении слу-
чайные воздействия характеризуются величиной |„ — случайным
189
лриращением фазы Ф за время между двумя прохождениями через
резонанс. Величина |„ должна быть добавлена в правую часть
C.22). Примем, что |п распределена по нормальному закону
/ (?„) =[ Bя) "**] -1 exp (-g2n/2<r2) C.35)
и 6 коррелирована по индексу п (дискретному времени). В [140,
141] случайные воздействия C.35) введены в систему вида C.29),
C.30), которая для интересующей нас задачи является упрощенной
и которую в основном будем использовать в дальнейшем.
Примем сначала, что интенсивность случайных воздействий до-
достаточно велика, так что фазовая корреляция нарушается прежде,
чем волна успеет «захватить» электроны с резонансными значени-
значениями »1% Для этого должно выполняться условие о!>Дв ш1'2 dujdw .
Фактически оно означает, что за характерное время корреляции
Q(w) меняется слабо. В этом случае нелинейность в резонансной
области {w^&WW) не успевает проявиться, и поэтому на всей
фазовой плоскости траектории электронов можно найти методом
последовательных приближений по малому параметру Да ./до1'2.
Для вычисления коэффициента диффузии достаточно следующих
выражений:
<>=ш0; C.36)
П
*0)+ 2**; C.37)
w{n" = — 2Ду w\>2 2j cos ФГ• C.38)
Коэффициент диффузии, как известно, определяется формулой
D = Dw(t), где Dw{t) — дисперсия величины до. Если, как и
выше, за единицу времени принять время между двумя последова-
последовательными прохождениями через минимум магнитного поля, то для
коэффициента диффузии получим выражение
П-+ОО 2
где угловые скобки означают усреднение по случайной величине
|п. Разность wn—Wq дается C.38), поэтому C.39) принимает вид
C.40)
Используя соотношения
ао
(cos (Ф+ ?„)) = cos Ф J d6rtfEn)
— 00
190
где y<j—exp (—<гУ2-), приводим C.40) к виду
I *=i J
Производя в C.41) суммирование, получаем
D = (До±)г о, A - t)/{ 1 - 2Yo cos [Q, И] + т*}. C.42)
Если Yo^Cl, то отдельные приращения о. нескоррелированы друг
с другом й C.42) переходит в C.31).
Чтобы полностью определить вид диффузионного уравнения, не-
необходимо наряду с коэффициентом диффузии определить и коэф-
циент динамического трения Лтр =((дач+, —до„)) ¦ Отличное от нуля значе-
п-*оо
ние Лтр дает о?2). Его вычисление довольно громоздко и дает А^— D
[127]. Поэтому диффузионное уравнение должно иметь вид C.32).
Выше при выводе коэффициента диффузии мы следовали [127].
В [141] тот же самый результат получен более сложным спосо-
способом.
Представляет интерес еще одна процедура вывода C.42), при которой на
первый ^лан выступают резонансы Q(v^) =2np. Для ее демонстрации заменил!
упрощенную систему разностных уравнений C.29), C.30) эквивалентной диффе-
дифференциальной, а для учета случайных воздействий введем в уравнение для фазы
б-коррелированную во времени случайную величину %(t):
C.43)
C.44)
00
Здесь f@= 2.' *('—пТ)\ Т=г,/щ, а корреляционная функция случайной величи-
Л=—QO
ны 5@ нормирована таким образом, чтобы дисперсия фазы Ф (см. ниже) за
время Т возрастала на а2:
где ст'2=A/Г)а2.
Уравнение C.43) описывает изменение w под действием равноотстоящих во
времени толчков. Если функцию f(t) разложить в ряд Фурье, то C.43) приобре-
приобретает вид
cos [ф-^-t]. C.45)
Обратимся теперь к уравнению C.44). Поскольку функция ?(/) б-коррели-
рована во времени, то бфа, случайную часть приращения фазы за любой конеч-
конечный интервал времени, можно считать составленной из бесконечного числа не-
независимых частей. В соответствии с центральной предельной теоремой величина
191
8Ф. должна иметь гауссово распределение. Единственный параметр, определяю-
определяющий это распределение, — дисперсия — без труда находится из C.44):
C.46)
Определив таким образом функцию распределения фазы, можно найти корреля-
корреляционную функцию произвольного л-го слагаемого в правой части C.45):
—^3)J exp ^_ -i
а по ней с помощью соотношения, аналогичного C.46), — и дисперсию величи-
величины W.
00
0
А», п (О = 2< J Кп (х) dx = -jr w (Av
J
о
Используя соотношение Dw(t)=2Dt, находим вклад в коэффициент диффу-
диффузии я-го слагаемого из правой части C.45):
1 о*
Обратим внимание на то обстоятельство, что коэффициент диффузии про-
пропорционален спектральной плотности производной w на нулевой частоте [151]:
00
D-v. f К (х) dx = nS @).
О
Выражение C.47) соответствует простейшему лоренцевскому закону уширения
спектральной линии.
Суммирование парциальных коэффициентов диффузии производится с по-
помощью формулы
so
j{thM + i)I+th[ @ —i«)]> C.48)
Л=—00
и, как нетрудно показать, приводит к C.42).
Остановимся вкратце еще на одном методе анализа системы C.43), C.44).
Как известно, систему стохастических дифференциальных уравнений можно за-
заменить эквивалентным диффузионным уравнением Фоккера — Планка. В данном
случае последнее имеет вид
оо
df _2_ df 2 ,12 кл I 2пп
dt ' Т дФ Т -L /j \ Т
п=—оо
оо
е»/2
192
Считая приращение Aoj_ малым, будем решать C.49) методом последователь-
последовательных приближений, положив
f (Ш, Ф, t) = f0 (W) + fl (W, Ф, *)+•••.
где
00
fi- 2j fi ' f' я"Ло1ш da- @V2^ + (Q-2nn)« x
n=—oo
„2/2
Диффузионный поток по оси w, очевидно, равен:
00 *
/ Д1/2 V
sin ^Ф
^ ^(ffii, ф,
П=—00 —«
00
1'
1да' Ц
Используя соотношение /»=—Ddfo/dw и формулу суммирования C.48), для
коэффициента диффузии получаем выражение C.42).
В настоящем подразделе рассматривается случай й^>1 (см.
также выше). Если разброс в распределении по да —о^ не слиш-
слишком мал, то распределение захватывает большое число резонансов
Q(o>)=2jtp. Коэффициент диффузии колеблется при изменении ш,
принимая максимальные значения при aj=W<p).
Разумно использовать усредненный коэффициент диффузии
Dav Определим его таким образом, чтобы поток частиц по оси w,
вычисленный с помощью усредненных величин Dav, (d/dw)fav, рав-
равнялся истинному:
К = - Dav ~fav = -D-±- f. C.50)
dw dw
Функция D(w) включает в себя «быструю» зависимость, входящую
через cos [Q(t«)], и «медленную» [см. C.42)]. Наша цель состоит
в устранении быстрой зависимости. Функция cos[Q(a>)] близка
к периодической, и достаточно усреднить D(w) по одному «пе-
«периоду», т. е. по интервалу W{I] <щ < Wlf, где Wl?) = W{p) —
±n{dujdw)-1. Медленная зависимость w будет учитываться пара-
параметрически. Поскольку на интервалах порядка n{d?l/dw)~x усред-
усредненная функция распределения изменяется весьма мало, то про-
производная (d(dw)fav может быть заменена выражением
(Wlf —W™)-1 [f {W^^
Но из C.50) следует
w<p)
193
Сопоставляя эти два выражения, находим, что для определения
«усредненного», точнее, эффективного коэффициента диффузии, не-
необходимо усреднить/)^1. При этом получаем
dw'D~l[w, Q(w')]\ ^-(bv^w \. C.51)
w\p) I 1+Y°
Заметим, что прямое усреднение C.42) дало бы результат, не за-
зависящий от уа'. Dav=(i&vJw, что совпадает с истинным коэффици-
коэффициентом диффузии при Та^в, т. е. в приближении хаотических фаз
[см. C.31)]. Коэффициент диффузии C.31) следует использовать
в момент включения циклотронных колебаний, пока распределение
по w еще не промодулировано волной. Однако сравнительно быст-
быстро частицы перераспределяются таким образом, что их концентра-
концентрация повышается в области, где коэффициент диффузии мал, и по-
понижается там, где он велик. Естественно, что при этом среднее
значение коэффициента диффузии уменьшается [см. C.51)].
В [141] коэффициент диффузии C.51) был получен посредст-
посредством анализа фазовой траектории частицы на достаточно больших
интервалах времени. Эквивалентность обоих подходов следует из
эргодической гипотезы.
Вопрос об усреднении быстроменяющегося коэффициента диф-
диффузии рассматривался также в работе [152]. Ее авторы также
пришли к выводу, что усреднению подлежит не сам коэффициент
диффузии, а величина, ему обратная.
С помощью C.51) находим среднюю скорость прироста w = v2±y
т. е. силу динамического трения:
1 — y2
dt /a0 Uw -L I + yf
Из этого выражения следует, что при усилении интенсивности слу-
случайных воздействий, т. е. при y<r+Q, скорость нагрева электронов
возрастает. В предельном случае Vo=0, когда при рассмотрении
можно использовать приближение хаотических фаз, C.52) перехо-
переходит в выражение, полученное в конце § 3.1.
Следует отметить, что для распределений с малым разбросом
bw ^.n(dQldw)-1 нельзя использовать усредненные величины.
В этом случае скорость нагрева может существенно отличаться от
C.52). Более того, если частицы сконцентрированы в области, где
dDJdw<0, то они отдают энергию колебаниям, т. е. плазма не-
неустойчива.
3.2.2. Слабые случайные воздействия. Если фаговая корреляция сохраняется
в течение длительного времени а<Дв^ wll2dQ/dw, то случайные воздействия
слабо влияют на движение частиц по фазовой плоскости, и это влияние может
<>ыть учтено в рамках метода последовательных приближений. Вдали от резо-
резонансной зоны [\w—U7(p)| > (At)i)I/%1/*((iQ/d!4))-!/2], т. е. в области, где траек-
194
тории близки к прямым линиям, можно использовать результаты предыдущего-
подраздела. Однако окрестности резонансных прямых w=Wi>) требуют специ-
специального анализа.
Считая, что все величины за одно прохождение через резонанс меняются
мало, перейдем от разностных уравнений C.21), C.22) к дифференциальным.
(Приращение w мало, поскольку считается малым электрическое поле, а прира-
приращение Ф мало вследствие близости к резонансу.) Введем непрерывное безраз-
безразмерное время T=rtff, где « = Av^'V^ < I. Приращения wn+i—wn, Фп+i—Ф«
представим в виде
.... . . | C.54>
ф = мдф/ош J
где w, w, Ф, Ф — функции w, Ф, причем очевидно, что
w = wdw, dw
Используя C.21), C.23), C.19), C.20), получаем
ш = 2 (w W{P)I12 cos ф~6(о(Р) (w) (wW(P))U2 sin<f; C.55>
Ф= со(Р) (w) — (W(P)/wj'12 fin ф -5—— [(wW{P)I'2 co(P) (w)\ с вФ, C.56)
где @A>>(и>)=(Я(да)—2лр)/й. Здесь разность Я (да)—2яр считается малой (по-
(порядка б). Уравнения C.55), C.56) можно получить из гамильтониана
W
Н'= fda>'w(P) (ш') - 2 (o)U7(P))'/2 8)пф —8 (a>№(P)I/2 <о(Р) (да) соэф. C.5-7>
Последнее слагаемое в C.57) мало, и им, вообще говоря, можно пренебречь. Оно>
обязано членам, квадратичным по Ло^ в C.21), C.23), и учтено, чтобы пока-
показать, что соответствующие слагаемые также могут быть включены в гамильто-
нову схему. При да = №<р) частоту (й<р'(ю) можно разложить в ряд по малок
разности w—W<p). Опуская в C.57) последнее слагаемое, приводим гамильто-
гамильтониан к стандартному виду:
><Р>
C.58>
" ~ 2 dw
Соответствующие фазовые траектории изображены на рис. 3.2. Заметим, чт»
траектории, описываемые выражениями C.24) —C.28), которые могут быть по-
получены из разностных уравнений C.21), C.23), следует отнести к пролетным.
Для учета случайных воздействий введем в C.58) слагаемое ад|(т).
Переходя к новым переменным «=(ш—№(р)) B~x(W^'>)-'4id(u^'>ldw)x/2, т'=
—xBW4''>d<ul-pydw)ili и смещая угол Ф на л/2, получаем
Я=A/2)и2~со8Ф-(-«|,(т'). C.59)
Здесь случайная величина !*(*') связана с величиной ?(т), введенной в преды-
предыдущем подразделе, соотношением
195
Траектории, описывамые гамильтонианом C.59) без последнего члена, как
известно, выражаются через эллиптические функции. В области «пролетного»
движения имеем
Ф=2ат[(а,/л)КAД)]; C-60)
C.61)
где /»= Dй/я)ЕA/&); w(/s) =йяК~'A/^); Е и К —полные эллиптические инте-
интегралы; ft=[(l/2)(l+tf)]'/2 [137, 147].
Уравнения для поправок к действию и фазе /sA), asA), вызванных случай-
случайными воздействиями, имеют вид
C.62)
# ?C.63)
Из этих выражений получаем
т'
ЛЬ(х)-^-D, as(x)); C.64)
о</> = f dxk (х) -^- (/„ as (,)) -«' (/e) J
C.65)
Jdx J^xb (tx) X
да
С помощью C.64) находим выражение для коэффициента диффузии:
D (/,) = </^1)/;1)>вв = (oJ/2) <(dufda,y>as. C.66)
Здесь as2= (a2/6) BW<!))rfo)(i')/da))-I/2<i;l; скобки с индексом а, означают усред-
ление по начальной фазе.
Найдем теперь коэффициент динамического трения. Для этого представим
гамильтониан C.59) в виде Н=Н<г\-иЕ,а(т'), где Яо — невозмущенный гамильто-
гамильтониан C.58). Поскольку dH/dx'=udl/dx', то для dH0/dx' получаем
C.67)
Подставляя в C.67) выражение для dl^/dx' C.62) и используя при вычислении
<%$(х')ди[дх'> выражения C.64), C.66), получаем
dIf' \ «s2 /1 &"¦ д%и ди д*а
dasdfs ~ dls
\[das
Если полученное выражение проинтегрировать по частям, то нетрудно найти, что
<dIs/dx> = D'(I,). Этот же результат получен в [153] иным способом.
196
В силу того что коэффициент динамического трения и коэффициент диффу-
диффузии удовлетворяют соотношению ATV=D'(IS), уравнение Фоккера — Планка
имеет вид
'3'68)
В дальнейшем нас будут интересовать лишь пролетные частицы. Используя
C.66), для D(Ia) можно получить простые выражения в двух предельных слу-
случаях: &->-оо и k-*-l, т. е. в области почти прямолинейных траекторий и поблизо-
поблизости от сепаратрисы, разделяющей пролетные и захваченные траектории.
В первой из этих областей (k->-oo)
D(/S)*0GW. C.69)
Если выполняется условие du/dw^> |и>— №<р>| > (До^) l/2w(dQldw)-ip, то
C.69) совпадает с C.42). Чтобы убедиться в этом, необходимо в C.42) разло-
разложить cos(jQ(w)) по малой разности w—W<j>\ учесть, что в этой области 1,ши,
а также вспомнить определения и, т7, 5.
При fe-И A,-*4/л) коэффициент диффузии расходится по логарифмическому
закону.
D(/S)^2n-Mcr82|ln (Л—4/я) |,
00
где Л= Г dxx*exp (—*)[1+ехр (—х)]2.
Как и в предыдущем подразделе, рассмотрим размытые распределения, эво-
эволюция которых определяется средним значением коэффициента диффузии
Daw(w). Для таких распределений поток Sw в пределах одной ячейки W_c><ffi)<
<W+(p) изменяется на весьма малую величину б/ш//ю~A^+(^)—№_<?>>/№(*»<1
и при приближенном описании диффузия может считаться стационарной. Про-
Проанализируем процесс диффузии в области захваченных траекторий w^WIp\
Предположим, что у какой-то частицы действие L уменьшилось до значения
<4/я, т. е. она захватилась волной. Тогда в стационарном случае одновременно
другая частица должна из захваченных перейти в пролетные — ее действие
5олжно возрасти. Таким образом, в области захваченных траекторий результи-
результирующий поток равен нулю, и эту область можно вообще не рассматривать.
В области пролетных траекторий переменную w удобно заменить 1„ по-
поскольку при этом уравнение диффузии принимает вид C.68). Эта переменная
при /8>1 переходит в переменную f(l3), которая, в свою очередь, линейно свя-
связана с w (см. выше). Поэтому при /8>1 функция f(L) лишь нормировочным
множителем отличается от f(w). Для определения Dav(w) достаточно знать раз-
разность /(№+<!¦>)—f(W_<p>) (см. предыдущий подраздел). Поскольку /»Э>1, то для
Dav(w) получаем выражение
f dtsD-Hh)\ ¦ C.70)
j
Здесь интегрирование идет только по пролетным траекториям.
Частица быстро проходит через области, где коэффициент диффузии велик,
и надолго задерживается там, где он мал. Поэтому значение Dav(w) опреде-
определяется областями замедленной диффузии. Величина D(IS) уменьшается с ростом
/,, т. е. с удалением от сепаратрисы, разделяющей области пролетных и захва-
197
ценных траекторий. Разделим область интегрирования в C.70) на три части и
оценим вклад каждой из них. К первой отнесем область значений /s»l, именно
она и определяет значение интеграла. Вклад второй, если /s«l, в (Av ш'/2Х
XrfQ/da)K/2>l раз меньше. Наконец, в третьей области (/s-*-4/it) коэффициент
диффузии логарифмически расходится. Расходимость вызвана неприменимостью
метода последовательных приближений в окрестности сепаратрисы. Она устра-
устраняется при переходе к точной теории. Однако поскольку коэффициент диффузии
стоит в знаменателе подынтегрального выражения, то в любом варианте теории
вклад этой области конечен и составляет малую долю <С crs2 от вклада
второй области. Таким образом, приходим к заключению, что Dav(w) опреде-
определяется вкладом первой области (/S2>1). В ней траектории близки к прямым ли-
линиям, и поэтому могут быть использованы все результаты, полученные
в предыдущем подразделе. В частности, коэффициент диффузии Dav(w) с погреш-
погрешностью не хуже (До wll2dQfdw)-'il'2<ei\ должен совпадать с C.51).
В настоящем подразделе изучалось влияние случайных воздействий на ре-
резонансное циклотронное взаимодействие в режиме сильно разделенных резонан-
сов, когда критерий стохастически не выполняется и случайный элемент привно-
привносится извне. В [140, 141] случайные воздействия вводились в систему, аналогич-
аналогичную C.29), C.30), без какого-либо предположения о степени перекрытия резо-
наксов. Конечные выражения для коэффициента диффузии были получены
в двух предельных случаях. В глубине области стохастичности, где критерий
перекрытия резонансов выполняется с большим запасом, коэффициент диффузии
лишь малыми поправками отличается от вычисленного в приближении хаотиче-
хаотических фаз C.31). В обратном предельном случае сильно разделенных резонансов
выражения для коэффициента диффузии совпадают с C.42), C.51).
3.3. Эффекты, обусловленные резонансным циклотронным
взаимодействием в ограниченных системах
3.3.1. «Просвист» в циклотронных колебаниях. В предыдущих
параграфах предполагалось, что размер резонансной зоны bzs мал
по сравнению с амплитудой колебаний частицы вдоль магнитного
поля /= Lav.Qh.Q. Это условие можно записать в различныхэкви
валентных представлениях: Q= (я/2) (aeoLoV^Jv3^)» 1; |Qj_ — да | »
>о>6; <7>A/4) (/||/7±); /»(L0peI/2. Если q^>\, то в гамильто-
гамильтониане C.7) значительное число гармоник фазы продольного дви-
движения oocosFj — at—2/?6 „) входит примерно с одинаковым весом
—Jp{q). При достаточно большой амплитуде электрического поля
соответствующие резонансы C.8) перекрываются, что ведет к сто-
хастизации движения электронов.
Обратное условие Q<1 [/< (LopeI/2] означает, что размах ко-
колебаний электрона вдоль магнитного поля невелик и электроны
при своем движении не выходят за пределы резонансной зоны.
В этом случае, как показано ниже, колебания с @=40^0 при доста-
достаточно большой амплитуде электрического поля «захватывают»
электроны. В режиме захвата электрон вращается по ларморовскои
окружности не с локальной циклотронной частотой, меняющейся
в ловушке от точки к точке, а с фиксированной частотой электро-
198
магнитных колебаний. Захваченные электроны непрерывно ускоря-
ускоряются электрическим полем колебаний, несмотря на неоднородность
магнитного поля ловушки [142]. Непрерывное возрастание по-
поперечной энергии вызывает стягивание электронов к центру ло-
ловушки (l = Ltv.,olv ,Q уменьшается). Стягивание облегчает дальней-
дальнейшее ускорение электронов колебаниями с о—Юео. В результате
в центре ловушки образуется слой электронов с v.0^>v^Q. Куло-
новские соударения, сбивающие фазу ларморовского вращения, мо-
могут помешать образованию слоя электронов с Vj_0^>vnQ. Однако
уже при сравнительно небольших электрических полях, легко до-
достигаемых в современном эксперименте, влияние кулоновских со-
соударений оказывается несущественным [154]. Это обстоятельство
сближает описываемый режим нагрева электронов с известным яв-
явлением просвиста.
Рис 3.6. Фазовые траектории описываемые гамильтонианом C.71),
при ?<?_с (а) и ?_>?_<= (б)
Проанализируем процессы, ведущие к образованию слоя элек-
электронов с t>|03>W||0) следуя [154]. Если выполняется условие <?<Cl
(см. выше), то в разложении гамильтониана C.7) по гармоникам
фазы продольного движения 6 ц можно оставить лишь нулевой
член [ср. с C.9)]:
¦cos в Л. C.71)
Здесь считается, что co=(oe0, а также в силу условия q<*^\ функ-
функция Бесселя /о(<7) заменена единицей.
Фазовые траектории, описываемые гамильтонианом C.71), изо-
изображены на рис. 3.6. При ?¦_<?! = /иш/е?0 фаза на траекториях
изменяется монотонно, a Jj_ колеблется периодически. Если электри-
электрическое поле превышает критическое значение Е°_, то фазовые траек-
траектории уходят на бесконечность при фиксированном значении фазы
бх. определяемом условием cos 6j_ = ?L/2: Такой характер траек-
траекторий свидетельствует о захвате электронов волной (фаза 9j_ стре-
стремится к постоянному значению) и их неограниченном ускорении.
Отметим, что условию ?_>?f_ можно дать простую интерпретацию,
а именно, это условие означает, что фаза 9j_ изменяется медленнее,
199
чем сама частота (bj_=Q±—<в). Действительно, у электронов, во-
вошедших в режим непрерывного ускорения, поперечная скорость у
возрастает по закону v 0 =s= {eE-fme) sin 6^. В результате при ?_>
^>ЕС_ имеем | Qj_/(Qj_ — «>) | =2v1Qh±0'^)Q_L — m. При выполнении
последнего условия электрон в силу увеличения v|0 „затягивается"
в минимум магнитного поля, т. е.
к резонансной точке, быстрее, чем
успевает накопиться фазовое рас-
рассогласование, достаточное для
выхода из резонанса.
В режиме захвата волной элек-
электроны непрерывно и системати-
систематически увеличивают свою энергию.
В противоположность стохастиче-
стохастическому режиму нагрева такой на-
нагрев может быть назван детер-
детерминированным или нагревом в ре-
режиме просвиста (см. ниже). Со-
Сопоставим условия, требуемые для
стохастического и детерминиро-
детерминированного нагрева. Необходимое ус-
условие стохастичности имеет вид <7> 1, в то время как для осущест-
осуществления детерминированного нагрева требуется выполнение обрат-
обратного условия
0
'10
Рис. 3.7. Область стохастического
нагрева (заштрихована горизонталь-
горизонтально) и нагрева в режиме просвиста
(заштрихована вертикально)
На плоскости (и и 0) (рис. 3.7) граничная кривая q--=\
(у||0 —2a3'2(L()a>(,0)-1/2) отмечена цифрой /. Для возникновения стохас-
стохастичности требуется также, чтобы амплитуда электрического поля
удовлетворяла условию C.12). Его можно представить в виде и||0^
pSUjp?~3/4(шео^о)~5/4(Д>/-^-K/4' Аналогичным образом условие ?_>
>ЕС_, полученное в настоящем параграфе, запишем как vjj0^
^ (о осI/2 (?_/В0I/2. На рис. 3.7 соответствующие граничные кри-
ьые отмечены цифрами 2 (и1|0 = о^0с-3/4(ше/0)-5/4(В0/2?_K/4) и 3
(v Q = Bv „сI'2 (?_/В0)'/2). При 9=1 оба условия на напряженность
электрического поля совпадают по порядку, поэтому и точки пере-
пересечения кривых 2 (о^ = 27'8(свЛ0I'Я(?_/ВвI'2) и 3 (о<§ = 2-113Х
X(c<o\LoI/2(E-/Bo)U2) с кривой 1 близки друг к другу.
Рассмотрим теперь влияние ряда факторов, которые могут по-
помешать ускорению электронов или ограничить набор энергии в ци-
циклотронных колебаниях.
Кулоновские соударения. В режиме захвата электро-
электронов волной их поперечная скорость изменяется так же, как при
ускорении постоянным электрическим полем в отсутствие магнит-
магнитного: р,0 = — (еЕ_[те)sin 6е.. В случае незамагниченной плазмы ку-
200
лоновские соударения не препятствуют ускорению электронов, если
постоянное электрическое поле превышает некоторое критиче-
критическое — драйсеровское значение [155]. Выход в режим просвиста
при ускорении циклотронными колебаниями облегчается тем, что
напряженность их электрического поля может достигать сравни-
сравнительно больших значений, на несколько порядков превышающих
напряженность постоянного электрического поля, которое можно
поддерживать в незамагниченной плазме. Однако непрерывно
ускоряются лишь электроны, вектор скорости которых почти пер-
перпендикулярен магнитному полю. Поэтому даже слабые возмуще-
возмущения, вообще говоря, могут прервать процесс ускорения.
Под действием соударений дисперсия продольной скорости 23о1H
возрастает со временем по закону [155]
(d/dt)SDvu0 = 2vlp»TJv±0t C.72)
где ve — частота кулоновских соударений электронов, движущихся
с тепловой скоростью vTe. В режиме резонансного ускорения
dv.Jdt =еЕ~/те. Учитывая это соотношение, заменим d/dt в C.72) ,
выражением {eEJme) sin B^d/dv. 0.
Интегрируя в C.72) по времени, получаем приращение дисперсии
33v 0 при увеличении поперечной скорости от vTe до а •
2)v „ 0 = BvemeleE_ sin бс±) In (v±0!vTe).
Поскольку дисперсия продольной скорости в функции от v.o воз-
возрастает по логарифмическому закону, а предельное допустимое
значение а||0 — по степенному (см. рис. 3.7), то явление просвиста
должно иметь место. Последовательность, явлений, приводящих
к просвисту, такова: посредством диффузии в стохастическом ре-
режиме электроны подаются на границу области непрерывного уско-
ускорения, после чего электрическое поле уводит их в просвист. При-
Причем режим просвиста начинается с
-У!Л113о при v ^^Lif^Vo'3' и с v ~
Релятивизм. В релятивистском случае гамильтониан Н и
адиабатический интеграл J± даются выражениями
(Как и выше, рассматриваем колебания с Е ,,=0.)
14-67 201
Будем считать, что движение вдоль магнитного поля происходит
с нерелятивистскими скоростями и поэтому описывается уравне-
уравнениями
р =-
C.74)
C.75)
где ц =
Выражая в C.73) />^ через ] v разлагая результат по малым
значениям (z/Z,0)s, (p{jp±y и учитывая траекторию продольного
движения, определяемую уравнениями C.74), C.75), приходим
к выражению C.7), в котором первое слагаемое заменено ea(J ).
Вводя затем фазу Ф = б±— wt и усредняя по быстрым осцилля-
циям вдоль магнитного поля, получаем следующее выражение для
гамильтониана [ср. с C.71)]:
±
C.76)
Здесь, как и в C.71), считается J^ »/х. Частота продольных ко-
колебаний в релятивистском случае coB(/1)=(c/L0)BeB0c7 .) ll2e~\j ).
Рассмотрим движение электронов, описываемое гамильтониа-
гамильтонианом C.76), при <x>=G>eo в слаборелятивистском случае. Используя
разложение
0
«. Cj.) = тее + «,ео]± - A /2) (<Dt^J_)Vw.c1 + ...,
нетрудно показать, что в электрическом поле, превышающем кри-
критическое (Е_>ЕС_), фазовые траектории имеют вид, изображен-
изображенный на рис. 3.8. Из него следует, что релятивизм ограничивает
ускорение электронов. В результате их энергия меняется со време-
временем периодически [156]. Если в начальный момент скорость v
была пренебрежимо малой, то среднее по периоду значение v.Q
будет порядка с(?_/5()I/3. Такой
же характер имеет движение элек-
электронов при циклотронном резо-
резонансе в однородном магнитном
поле, если &=0 [157—159]. Если
же 1гфО, то в случае однородного
магнитного поля возможно непре-
непрерывное ускорение заряженных
частиц, несмотря на релятивист-
ское изменение массы [157, 159—
Рис. 3.8. Фазовые траектории, опи- h
сываемые гамильтонианом C.76) Поперечная неодно-
при (х>=(ое0, ?_>?'_с. родность магнитного по-
202
л я. В адиабатических ловушках магнитное поле неоднородно как
в продольном, так и в поперечном направлениях. Поэтому условие
<о=соео не может быть выполнено на всех силовых линиях магнит-
магнитного поля. Нетрудно показать, что максимальная скорость, которой
могут достичь электроны при афЫео, равна '—еЕ-/те| Дш|, где
ДA)=г(й—Юео-
Немонохроматичность циклотронных колеба-
колебаний. Выше электромагнитные колебания предполагались моно-
моноэнергетическими. Однако в действительности спектральная функ-
функция любых колебаний имеет конечную ширину -НДю, и поэтому
приближение моноэнергетических колебаний пригодно лишь на ин-
интервалах времени порядка (\Аа)~1. За это время v±0 изменяется на
'—'eEJm.eAa. На больших интервалах времени изменения v±0 име-
имеют диффузионный характер с шагом ^еЕ-/тек(й.
Когерентное излучение. До тех пор, пока не начнет ска-
сказываться влияние релятивизма, электроны стремятся сконцентри-
сконцентрироваться при одном и том же значении фазы б± (см. рис. 3.6).
В результате в области сое(г)^со образуется слой сфазированных
электронов. Его продольный размер (толщина) довольно мал б2<
<С (?-ореI/2, а поперечный определяется поперечной неоднородно-
неоднородностью магнитного поля (см. выше). Излучение электронов в этом
слое когерентное. Возможно такое стационарное состояние, когда
вся энергия, приобретаемая электронами от циклотронных колеба-
колебаний, затрачивается на излучение. При этом необходимо различать
две возможности: в зависимости от соотношения между длиной
волны излучаемых колебаний X?zwe/c и поперечным размером
слоя / . При /Х<СЯ электроны излучают когерентно повеем направ-
направлениям. Приравнивая энергию, получаемую от внешнего поля
NeE_v.o, излучаемой энергии—(New±oy c~' [62], находим v 0^
^(cE^/B0)mec3Je2(x>N, где N — полное число электронов в слое. При
выполнении обратного условия /, 3>Я фаза излучаемых колеба-
колебаний будет постоянна в пределах слоя, лишь если их волновой век-
вектор наклонен к магнитному полю под достаточно малым углом
Ь6<^Х/1±. В этом случае имеем v±0 ^c(EJB0)mec3/e2a)eNFeK.
Неустойчивости. В слое распределение электронов по
энергиям анизотропно—поперечная энергия значительно превыша-
превышает продольную. Это обстоятельство может иметь следствием разви-
развитие неустойчивости [9, 17]. При этом энергия из поперечной сте-
степени свободы будет переходить в продольную, что может привести
к разрушению слоя.
3.3.2. Возникновение группы «плещущихся» электронов. Если
магнитное поле изменяется вдоль силовых линий немонотонно
(имеет минимум), то при взаимодействии с циклотронными коле-
колебаниями электроны «затягиваются» в область минимума магнитного
поля как при ш=(й<?о, так и при а>>ал, хотя в последнем случае
механизм затягивания, естественно, отличается от рассмотренного
в предыдущем подразделе. При ю>©ео имеются две точки цикло-
14* 203
тронного резонанса, расположенные по разные стороны от мини-
минимума магнитного поля. В резонансном циклотронном взаимодейст-
взаимодействии участвуют электроны, которые при движении вдоль магнитного
поля заходят за резонансные точки. Резонансное циклотронное вза-
взаимодействие приводит к диффузии по е (см. § 3.1, 3.2), при этом
диффузионный поток направлен в сторону больших значений е ,
что и означает нагрев электронов. Из-за увеличения е±> а следо-
вательно, и магнитного момента p — eJB точка отражения элек-
электронов от области большего магнитного поля приближается к ре-
резонансной. (В токамаках, где наряду с частицами, запертыми на
внешнем обводе тора, имеются пролетные, последние под действи-
действием циклотронных колебаний сначала переходят в запертые, а затем
начинается процесс затягивания.) Критическим является поведение
электронов, у которых точка отражения попадает в резонансную
зону. Продолжение процесса затягивания к минимуму поля приве-
привело бы к прекращению резонансного взаимодействия. Однако было
показано [162], что затягивание прекращается, когда точка отра-
отражения подходит к точке циклотронного резонанса.
Проанализируем подробно, как влияют циклотронные колеба-
колебания на движение частиц, останавливающихся поблизости от резо-
резонансной точки. Используя A.9), представим уравнение продольного
движения, усредненное по ларморовскому вращению, в виде
где из-за неоднородности магнитного поля резонансная фаза
W-,n-i зависит от времени. В дальнейшем для упрощения обозна-
обозначений будем опускать индексы — и п—1 у фазы и амплитуды.
В C.77) не учитывается действие продольного электрического по-
поля, так как рассматривается движение частиц, останавливающихся
поблизости от точки циклотронного резонанса, а также электриче-
электрического поля с ионной поляризацией, поскольку обычно реальный
интерес представляют длинноволновые колебания с ?е = А,ре4С 1.
При тех же предположениях, что использовались и выше, урав-
уравнение для поперечной скорости принимает вид
v± = — (еЕ/т.) sin (W (/)). C.78)
При анализе C.77), C.78) используем метод последовательных
приближений, считая электрическое поле колебаний достаточно
слабым
о i / Ре \2/3 г I 1 dB0 -I
Е< В, -±-1 -j-1 , где ? = И}—1Г *=*s' г5 —резонансная точка.
В нулевом приближении по амплитуде электрического поля по-
поперечная скорость электронов в окрестности точки поворота посто-
постоянна, и, следовательно, электроны движутся вдоль магнитного
поля с постоянным ускорением a,= v2±0f2L. (Для определенности
204
рассматривается точка поворота, лежащая слева от минимума маг-
магнитного поля, в которой дВ01дг<0.) В этом приближении фаза
C.79)
Здесь zR — точка отражения, в которой продольная скорость обра-
обращается в нуль; начало отсчета времени взято в момент остановки
частицы в точке zR.
Нэлдем из C.73) поправку к v , вызванную действием электри-
электрического поля, затем линеаризуем C.77) по амплитуде электри-
электрического поля и проинтегрируем это-уравнение дважды по времени.
Преобразуя результат интегрирования по частям, получаем
00
где Л*) = fdttk sin [?(()]. Выражение C.80) описывает влияние ре-
—00
зонансного циклотронного взаимодействия на движение заряжен-
заряженных частиц вдоль магнитного поля. Поскольку в рассматриваемом
случае предполагается, что частица проходит через резонансную
область при конечном (малом) значении времени, то расширение
интервала интегрирования на всю временную ось не должно ска-
сказаться на значении интегралов /<ft> (см. также приложение П.6)
Выражение C.80) можно представить в виде
где а{ — изменение ускорения в результате резонансного взаимо-
взаимодействия с колебаниями; у^ —добавка к скорости продольного
движения; AzR — сдвиг точки отражения. Поскольку невозмущен-
невозмущенная траектория имеет вид Zo=a0t2/2-\-zR, то дополнительный сдвиг
Az'h, вызванный изменением момента отражения, оказывается ве-
величиной второго порядка по амплитуде электрического поля, и им
можно пренебречь.
Интегралы /<fe> выражаются через функцию Эйри и ее производ-
производные
7C> = -^-Aite)sin4T.;
205
где g = a34/3(a,a, — а\)\ a.1 = iozRjL; a2 — k{]aj2\ a3=maJ2L. Сле-
Следует заметить, что интеграл /'2), строго говоря, не определен, и по-
этому его вычисление дифференцированием под знаком интеграла
требует обоснования. Правомерность такого способа вычисления
/B) при нахождении Дгд показана в приложении П.6.
С помощью C.80), C.81) получаем следующее выражение для
смещения точки отражения под действием циклотронных колеба-
колебаний:
2nev , п (гр — Zo)
Аг« = meaaUl" Ai^Sin1F°- C-82)
Приведем также выражение для изменения, энергии электрона, вы-
вызванного резонансным циклотронным взаимодействием:
- Ai (g)sinir0. C.83)
В соответствии с анализом, проведенным в конце п. 3.1.4, выраже-
выражение C.83) согласуется с результатами, полученными в п. 2.3.1.
ИзC.82), C.83) следует, что если Де>0, то Агд>0 при zR<zs
и Дгд<0 при Zr>zs. Поскольку выше считалось dBJdz<0, это
означает, что увеличение энергии электронов в результате резонанс-
резонансного циклотронного взаимодействия сопровождается приближением
точки отражения zR к точке циклотронного резонанса zs. Для час-
частиц, у которых точка отражения лежит за точкой циклотронного
резонанса (zR<.zs), этот результат вполне естествен (см. выше).
Более неожиданно обращение в нуль и даже изменение знака AzR
при переходе точки отражения через точку циклотронного резо-
резонанса.
Состояние заряженных частиц, движущихся в неоднородном
магнитном поле, принято характеризовать значениями энергии по-
поперечного' и продольного движения, отнесенными к минимуму маг-
магнитного поля на данной силовой линии (е .„, е 0.) Вне резонансной
зоны сохраняются полная энергия электрона и его магнитный мо-
момент, поэтому изменения е^0 и е||0> вызванные резонансным взаи-
взаимодействием, можно представить в виде
C.84)
-В,
As,
где Bs — значение магнитного поля в резонансной точке; ^s — пе-
перепад потенциала от минимума магнитного поля до резонансной
точки; штрих означает дифференцирование по продольной коор-
координате г. Для определенности предполагается, что потенциал воз-
возрастает с удалением от минимума магнитного поля. Такое пове-
206
дение потенциала характерно, например, для адиабатических ло-
ловушек.
На плоскости (s е ) частицы, достигающие точки zs(\zR\^>
s|), располагаются выше прямой / (рис. 3.9), на которой s||0—
Из-за того что резонансная зона имеет конечный размер, в резо-
резонансном взаимодействии участвуют также электроны, не доходя-
г 1/3 2/3
щие до резонансной точки на расстояние порядка o?s^L pj
На рис. 3.9,а такие частицы расположены между прямой / и пунк-
пунктирной кривой 2. Расстояние между этими линиями по оси ординат
О
0 е ц „ под действием
ц „
Рис. 3.9. Движение, заряженных частиц на плоскости
циклотронных колебаний:
а) электронный циклотронный резонанс; на прямей / (е ц g = (В$1В0 — 1) е i q + е | Ф5 I ) раепб-
лагаются электроны, останавливающиеся в резонансной точре; между пунктирными кривыми 2 и
3 — электроны, останавливающиеся в пределах резонансной зоны
zs - -j- bzs<
bz
s;
эллектроы, лежащие над кривой 4, выбрасываются из ловушки; 5 —граница конуса потерь" на-
направление диффузии электровоз под действием циклотронных колебаний показано стрелками; об-
область, первоначально занятая электронами, заштрихована;
б) то же, что на рис. 4,о, в случае ионного циклотронного резонанса в адиабатиче-
адиабатической ловушке
В результате взаимодействия с циклотронными колебаниями
частицы перемещаются по плоскости (е^0, е||0). Из формулы C.84)
следует, что частицы перемещаются параллельно прямой /. Если
энергия электронов увеличивается, то их питч-угол %=
= arctg (slo/s||O)'/2 стремится к xs=arctg(Bs/S0—1)~1/2. Для та-
таких электронов, в соответствии со сказанным выше, точка zr сбли-
сближается с точкой циклотронного резонанса. При распределениях
типа максвелловского электроны располагаются на плоскости
0) в окрестности начала координат. Диффузия, возникаю-
*10'
207
щая под действием циклотронных колебаний, должна выравнивать
функцию распределения электронов вдоль линий, по которым они
смещаются. Это означает, что диффузионные потоки будут направ-
направлены от начала координат, т. е. так, как указано стрелками на
рис. 3,9,а. Таким образом, основная часть электронов, участвую-
участвующих в резонансном циклотронном взаимодействии, движется па-
параллельно прямой /, удаляясь от начала координат. Исключение
составляет небольшая группа электронов, расположенных над
тонкой кривой 4, которые в конце концов выбрасываются из ло-
ловушки. Число таких электронов должно быть невелико, так как
обычно перепад потенциала от центра открытой ловушки до проб-
пробки значительно превышает среднюю энергию электронов. Заметим,
что то же самое электрическое поле выталкивает ионы из простой
открытой ловушки. Соответственно в случае ионного циклотронно-
циклотронного резонанса рис. 3.9,а заменяется рис. 3.9,6. Очевидно, что при
таком расположении линий, характеризующих движение частиц
по плоскости sj^o, s „ 0, их потери из ловушки могут быть весьма
значительными.
По мере движения частиц вдоль прямой / эффективность нагре-
нагрева возрастает как из-за увеличения &аунс-частоты <ob=v.0jL9, так
и из-за роста энергии, которой обменивается частица с колебания-
колебаниями в одном акте резонансного циклотронного взаимодействия Ае
[см. C.83)]. В этом выражении множитель, стоящий перед функ-
функцией Эйри, пропорционален и'0, а сама функция Эйри при zr=
=zs (g=0) принимает значение, близкое к максимальному Ai@) «
да 0,35 (функция Эйри максимальна max Ai да 0,54 при ?да— 1).
Все частицы, расположенные на плоскости (е.о, е 0) на пря.
мой 1, отражаются от области максимума магнитного поля в одной
и той же точке, совпадающей с резонансной (zr=zs). Такие части-
частицы называют плещущимися (sloshing particles).
Плещущиеся частицы проводят относительно много времени
в окрестности точки циклотронного резонанса, поэтому их появле-
появление сопровождается увеличением плотности частиц соответствую-
соответствующего сорта в резонансной области. Сохранение квазинейтральности
плазмы достигается изменением электрического потенциала. На-
Например, область электронного циклотронного резонанса должна за-
заряжаться отрицательно. Такое электрическое поле отталкивает
медленные электроны от резонансной области. Если провал потен-
потенциала достаточно большой, то возникнут две популяции медленных
электронов, движущихся по разные стороны от области циклотрон-
циклотронного резонанса. Они не обмениваются между собой энергией и,
следовательно, могут иметь различную температуру. Это явление
можно использовать для создания термобарьера, играющего важ-
важную роль в проектах термоядерных реакторов на основе амбипо-
лярных ловушек [163].
Размах колебаний плещущихся электронов вдоль магнитного
поля зависит от соотношения между со и а»е0. Если ю—«Оео, то име-
имеет место ситуация, изложенная в предыдущем подразделе. В этом
2:8
случае диффузионное затягивание в минимум магнитного поля яв-
является первой стадией процесса, заканчивающегося просвистом.
Образование группы электронов с wl0»o||0t локализованных
в окрестности минимума магнитного поля, по-видимому, наблюда-
наблюдалось в экспериментах [164, 165]. Какую долю из их числа состав-
составляли просвистные электроны, сказать трудно, однако сам факт воз-
возникновения группы электронов с у,0^>и,,0> локализованных
в окрестности минимума магнитного поля, установлен весьма убе-
убедительно. В [164] эти электроны были названы, анизотропно пере-
перегретыми. Цель экспериментов [164, 165] состояла в изучении так
называемой дрейфово-конусной неустойчивости [13], характерной
для открытых магнитных ловушек. В [164, 165] было обнаружено,
что эта неустойчивость стабилизируется под действием подаваемого
извне импульса электромагнитных колебаний с частотой, примерно
равной электронной циклотронной частоте в центре ловушки ш^о-
Чтобы объяснить это явление, было выдвинуто предположение, что
действие электромагнитных колебаний ведет к образованию слоя
анизотропно перегретых электронов. (Обычно в открытых ловуш-
ловушках электроны имеют изотропное распределение по скоростям и
удерживаются амбиполярным электрическим полем, см. рис. 3.9,а.)
Если в центр ловушки затягивается группа «анизотропных» элек-
электронов, удерживаемых магнитной ямой, то, как было отмечено
выше, в этой области образуется ямка электрического потенциала.
В ней накапливаются холодные ионы, что и ведет к стабилизации
дрейфово-конусной неустойчивости [23].
Образование группы плещущихся заряженных частиц (ионов)
зарегистрировано также в экспериментах [166].
3.3.3. «Затыкание пробок» адиабатических ловушек. В преды-
предыдущем подразделе было показано, что воздействие электрического
ноля циклотронных колебаний приводит к сближению точки отра-
отражения частицы от магнитной пробки с точкой циклотронного резо-
резонанса. Этот результат был получен при условии (v±jc) (pe/Lf13 >
~^>Е-/В, т. е. для частиц с достаточно высокой энергией. В обрат-
обратном предельном случае низкоэнергетических частиц преобладает
противоположная тенденция: циклотронные колебания отталкива-
отталкивают частицы от резонансной зоны. Этот эффект обусловлен сильным
возрастанием поперечной скорости с приближением к резонансной
точке vi^eE-./me((i>e(z)—ю), что ведет к росту диамагнитной силы
F=—|a уВ. В результате частицы с малой продольной скоростью
оказываются не в состоянии подойти к точке циклотронного резо-
резонанса.
При анализе этого эффекта достаточно рассмотреть движение
на интервалах времени, малых по сравнению с периодом колеба-
колебаний. Поэтому вводить канонические переменные для продольной
степени свободы не нужно. Производя в исходном гамильтониане
C.1) преобразования C.2), C.4), а также переходя к фазе
t
Ф = С ше (f) dt — mt, получаем
о
209
Н = р\ }2те + у Дш — еЕ_ BJ ime«ae)m sin Ф,
где A(u=o)e(z)—со.
Введем новые переменные*:
1 C.85)
а =^ Ф — arcsin [(а j!1'2) cos Ф], J
1/9
Преобразование C.85) описывается производящей функцией
F = /. Ф 4- a2 (cos BФ) — cos Ф (/ /а . — сов2ФI/2) —
— /± arcsin [(а,//^2) cos Ф] 4~ ¦г/?', •
В случае однородного магнитного поля переменные 1а были
бы каноническими. При неоднородном магнитном поле переход
к новому продольному импульсу р' — Л, —dFjdz приводит к по-
появлению фазы в гамильтониане:
H = l^-e2E2j2me^-Y-±-p\ (p\, г, /±, а±). C.86)
Геометрическая интерпретация преобразования C.85) дана на
рис. 3.10. На нем траектория электрона имеет вид окружности,
центр которой сдвинут относительно начала координат на расстоя-
расстояние а±. Из C.86) следует, что в случае однородного магнитного
поля электрон вращается по этой окружности с постоянной часто-
частотой Дш=Юе—(о. Поскольку замена фазы ларморовского вращения
Ф на Ф=ф—(at эквивалентна переходу в систему координат, вра-
вращающуюся с частотой волны ©, то в исходной системе (vx, vy) тра-
траектория электрона представляет собой суперпозицию двух враще-
вращений.
Если неоднородность магнитного поля достаточно мала, так
что выполняется условие {еЕ JLme<oekw) (сое/ДсоK/2 < 1, то в C.86)
можно положить р ты р . В этом случае зависимость от фазы
а, в C.86) в первом приближении по 1/L выпадает, и величина/.
оказывается инвариантной. В том же приближении для силы, дей-
действующей на электрон в продольном направлении, находим вы-
выражение
+ (??=У_!\^. C.87)
\ Дсо / 2mewe J дг
* Это преобразование было рассмотрено совместно с А. В. Звонковым.
210
Рис. 3.10. Геометрическая интерпретация
преобразований C.85):
oj_- j_ W v'_1~ 112ше1'пе
Оно может быть также получено
менее строгим, но более наглядным
способом. В присутствии циклотрон-
циклотронных колебаний поперечная скорость
электрона получает приращение
v±—*vL + (eEJmsAku) cos Ф. Под-
Подставляя новое значение поперечной
скорости в выражение для магнит-
магнитного момента и производя усредне-
усреднение по фазе Ф, для диамагнитной силы Fz=—(ii}dB/dz получаем
выражение C.87). По существу при таком подходе переменная со-
составляющая поперечной скорости, пропорциональная Е, считается
малой. Строгая формулировка метода последовательных прибли-
приближений дана в [143].
Сила C.87) и потенциальная энергия продольного движения
[второе слагаемое в C.86)] неограниченно возрастают по мере
приближения к точке циклотронного резонанса. Однако высота
реального потенциального барьера, отделяющего резонансную точ-
точку от области, где а>>(ое, остается конечной. Дело в том, что в ре-
резонансной области /, изменяется под действием циклотронных
колебаний, при этом описание продольного движения в терминах
эквивалентной потенциальной энергии становится неверным.
Оценим максимальное значение разности Дсо, которое опреде-
определяет высоту эффективного потенциального барьера Umax=
= (eEJ) 2/2me(oe | Aco |.
Приведенное выше условие на характерный масштаб изменения
магнитного поля L можно представить в виде Aco^>A<oi=
= (еЕ-1те®2еЬJ/5ые- Но при малой амплитуде колебаний,
(y1/c)(pe/LJ/3 »?_/В0 (см. предыдущий подраздел), размер резо-
резонансной зоны равен 8zs»iZ,1/3p2/3 и, следовательно, должно выпол-
выполняться условие Ao)^>A@2=cue(p<,/LJ/3, где Д«2 — изменение цикло-
циклотронной частоты в пределах резонансной зоны. Таким образом, ре-
реальная высота потенциального барьера не превышает ?/тах=
=е2?_2/2тей)е>Лсо, где Асо=тах (Дсоь Дсог)-
Частицы, продольная энергия которых меньше Umax, отражают-
отражаются от эффективного потенциального барьера. Таким образом, ци-
циклотронные колебания достаточно высокой амплитуды могут суще-
существенно улучшить удержание заряженных частиц в адиабатиче-
адиабатических ловушках. Предложение об использовании циклотронных ко-
колебаний для затыкания пробок адиабатических ловушек было
сделано в [167], где анализировалось удержание электро-
электронов.
211
Экспериментальные работы в этом направлении в настоящее
время ведутся в Нагое (Япония). Здесь последовательно сооружа-
сооружается ряд магнитных ловушек с возрастающими размерами и мощ-
мощностью ВЧ-колебаний (ловушки с остроугольной геометрией серии
RCF). В этих установках ВЧ-колебания используют для удержа-
удержания ионной компоненты плазмы. Результаты теоретического и экс-
экспериментального анализа поведения плазмы в ловушках с остро-
остроугольной геометрией магнитного поля, дополненных ВЧ-пробками,
приведены в [168—171], а также в обзорной работе [172]. Перво-
Первоначальный этап исследования движения заряженных частиц в не-
неоднородном магнитном поле при наличии ВЧ-колебаний отражен
в обзорной работе [173]. На этом этапе большое внимание уделя-
уделялось использованию ВЧ-колебаний для ускорения заряженных ча-
частиц.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П.1. Решение уравнения B.13)
Решение уравнения B.13) удобно представить в виде контурного интеграла
<П1Л>
где Z=za>/c; b,2=c2/2L<ow ц. Контур интегрирования С выбирается таким обра-
образом, чтобы на его концах подынтегральное выражение обращалось в нуль. Каж-
Каждый из возможных контуров соответствует одному из решений уравнения B.13).
Imt
0
-i
ts
Ret
Рис. П1.1. Плоскость
комплексного переменно-
переменного t при Z<0;
1 — разрез,
щий из точки
ti t
выходя-
выходяветвления
s
С — контур интегрирования
Рис. П1.2. То же, что
на рис. П1.1, при Z>0
Контур, изображенный на рис. П1.1, дает при Z->-— oo волну, распространяю-
распространяющуюся со стороны большего магнитного поля. При интегрировании по этому
контуру интеграл (П1.1) определяется точкой ветвления t—i [см. B.14)]. Если
переход к положительным значениям Z осуществлять через верхнюю полупло-
полуплоскость (правило обхода Ландау), то при Z>0 контур интегрирования принимает
вид, изображенный на рис. П1.2. В этом случае в интеграле (П1.1) наряду
с вкладом точки ветвления необходимо учитывать вклад точки перевала ts =
= 2i6,2Z [см. B.15)], который соответствует псевдоволне.
213
П.2. Модификация правила обхода
При использовании адиабатического волнового уравнения вся информация
о процессах, происходящих в окрестности резонансной точки, вводится через
правило обхода. В ограниченных системах, когда при многократном прохожде-
прохождении частиц через резонансную точку отдельные акты резонансного взаимодей-
взаимодействия можно считать независимыми, следует использовать правило обхода Лан-
Ландау. В противном случае при учете эффектов «памяти» правило обхода следует
модифицировать [127].
Рассмотрим эту проблему на примере задачи о колебаниях, падающих на
адиабатическую ловушку. Предположим, что колебания распространяются вдоль
магнитного поля со стороны отрицательных значений координаты г. Предполо-
Предположим также, что резонансное условие co=coe(z) выполняется вдали от минимума
магнитного поля. В этом случае в окрестности резонансной точки волновое урав-
уравнение B.17) сводится к уравнению Уиттекера (см. п. 2.2.1). Интересующее нас
решение, описывающее в области z>0 волну, бегущую направо, имеет вид
?_ = №_j rj2iz. I/2Bi) tCM- B.25)]. Здесь Z\ =—2i(w/e)z, начало отсчета выбрано
в резонансной точке. Функция W_j r/2«; i/2(zi) имеет логарифмическую особен-
особенность в точке Zi=0 ?_^»l-)-(ir/2nJi In 2i (z>0). Возможные способы продол-
продолжения In 2 через эту точку представим в виде
In |z|+iji(l— Я)^*1п2. (П2.1)
При Я=0 получаем правило обхода Ландау.
Согласно (П2.1) в области z<0 (|zi|-Cl) имеем ?_^l-{-(ir/2n)zi In Z\—
— (Г/2) A—%)z\. Учитывая приближенное выражение для функции
^— iT/2n; 1/2 Bi)> ПРИ l2i|~*0 (см. выше), а также для второго линейно незави-
независимого решения уравнения Уиттекера M_iTi2K.lj2(z\)-^Z\, получаем, что в обла-
области 2<0 решение волнового уравнения дается выражением ?_=5=W_ir/,2]I. i/2Bi)+
+ (ЯГ/2) M_lTi2n. 1/2 (zt). С помощью асимптотических выражений B.25), B.28
находим плотность потока энергии падающей 5пад= (сТ/Ал) A—Я/2J и отра-
отраженной S0Tp= (сГ/4я) (Я/2J волн. Здесь для простоты считается Г»1 и опу-
опущены члены порядка ехр (—Г).
Введение в правило обхода величины Я=?0 привело к появлению отражен-
отраженной волны и изменению количества энергии, поглощаемой в резонансной точке
\W=SUan—Sotp- (Амплитуда прошедшей волны при Г>1 пренебрежимо мала.)
Величина AW может быть рассчитана так же, как работа, производимая
волной над частицами плазмы:
: Re f rfzjE = — (c2,'4nca) Im E* @) дЕ/дг
Соотношение, связывающее AW со скачком дЕ/дг в резонансной точке, можно
получить из волнового уравнения B.17) [174].
Используя приведенное выше выражение для E-(z) при z-»-0, получаем
Д№= (сГ/4я) A—Я)=5пад—S0Tp- Работа, производимая электрическим полем,
разумеется, равна энергии, полученной частицами Д№ = I dv^ v^ f0 (»ц ) Де,
где Ае — изменение энергии одного электрона в результате резонансного взаимо-
взаимодействия.
214
В § 3.2 было получено выражение C.52) для Де, учитывающее эффекты
многократного прохождения электронов через резонансную точку: Де=(е2/2/п)Х
X?'2@)F^sJ(l—Yo2)(l+Ya2)- в линейно меняющемся поле 6ts=Bn/v п X
XrfWe/dzI/2 (см. п. 3.2.4), и поэтому для AW получаем выражение AW=
= (сГ/4я) A—va2)/(l+Yo2)- Сопоставляя его с полученным выше Д№=(сГ/4я)Х
ХA—А), определяем величину %, входящую в модифицированное правило обхо-
обхода: X = 2Yo2/(l+Ya2)-
П.З. Правило обхода Ландау при ускоренном движении электронов
Будем считать для простоты, что все электроны движутся с одним и тем же
ускорением a[z(т) =z-\-v ц t-j-( 1/2)ах2]. При наличии ускорения можно исполь-
использовать то же выражение для тока, что и в случае равномерного движения
B.18), изменив в нем фазу Ф(т,г,о ) -* Ф* (т, z, v ) =Дт-рб,т2+8,т3, где б,=
=6—ka/2; e.=(oa/6L. В п. 2.3.1 при анализе выражения B.18) первым вычис-
вычислялся интеграл по dr. Теперь удобно сначала проинтегрировать по dv^. В по-
получающемся при этом выражении учитывается вклад всех электронов, в том
числе и тех, которые останавливаются в резонансной точке:
(х)),
где AQ(z) = (<¦>—<ое(г))/<в; F(x)
y2=kL; Y3=fc2aTe2/2(o2.
Интегрируя (П3.1) три раза по частям, получаем
где /_(°) дается B.24) и
00
1 Г d3
j d[iAQ()][i^] (ПЗ 2)
Интеграл (П3.2) удобно вычислить методом перевала. Предположим сначала,
что ускорение отсутствует (Yicoa=0). Значение интеграла определяется на-
начальной точкой интервала интегрирования х=0 и точкой перевала Х\ при 0<
<arg (г—zs) <я, лежащей в первом квадрате плоскости комплексного пере-
переменного х. На достаточно больших расстояниях от резонансной точки, когда
выполняется условие \AQ(z) | »V2(Y3, имеем х1^(\Ап(г)у22/у^)У3.
Точка х=0 дает вклад в интеграл, пропорциональный 1/Д?2, а точка хх —
пропорциональный exp [Ci/8)AQxi]. В результате получаем, что при —я/8<
<argz<5ix/8 /_«/_<°>. Однако если 5n/8<argz<7n/8, то вклад точки перевала
в (П3.2) оказывается определяющим. В этой области нельзя использовать упро-
упрощенное адиабатическое волновое уравнение B.17).
215
Учтем теперь влияние ускорения. Предположим, что выполняется условие
сTe2>a(peL)'/2. Оно означает, что скорость электронов мало изменяется в пре-
пределах резонансной зоны. В этом случае учет членов, пропорциональных уско-
ускорению, в выражении для F(x) приводит лишь к слабому сдвигу точки перева-
перевала Х\. Изменение предэкспоненциального множителя также невелико. Таким
образом, приходим к заключению, что наличие ускорения не препятствует воз-
возможности использования правила обхода Ландау.
П.4. О теореме взаимности
Для незамагниченной плазмы справедлива теорема взаимности [175], из
которой, в частности, следует, что коэффициент прохождения электромагнитных
колебаний через произвольный участок неоднородной среды не зависит от на-
направления распространения колебаний. При наличии магнитного поля для спра-
справедливости теоремы взаимности необходимо, чтобы одновременно с обращением
направления распространения колебаний переворачивалось и магнитное поле
[175]. Для колебаний, распространяющихся навстречу друг другу в фиксирован-
фиксированном магнитном поле, коэффициенты прохождения через неоднородную среду
могут оказаться различными. Более того, как отмечено в [176], с помощью по-
постоянного магнитного поля можно создать радиовентиль, пропускающий радио-
радиоволны лишь в одном направлении. Существенными элементами такого устрой-
устройства являются николи, пропускающие электромагнитные волны вполне опреде-
определенной поляризации, а роль постоянного магнитного поля сводится к повороту
электрического вектора волны. Однако если не интересоваться поляризацией
колебаний, то равенство коэффициентов прохождения колебаний, распростра-
распространяющихся навстречу друг другу, по-видимому, сохраняется и при наличии маг-
магнитного поля.
Докажем это утверждение для колебаний, распространение которых опи-
описывается простейшим волновым уравнением вида
Fx'x+e(x)F = 0. (П4.П
Предположим, что область, в которой среда сильно неоднородна (если такая
область имеется), расположена в окрестности начала координат, а при |х|->-оо
/ х \
решения (П4.1) приобретают квазиклассический вид F ^= Fi0^k~112 exp ( i I k lx ),
где fe=e'/2. В области, где 1тб(х)=0, т. е. где отсутствует обмен энергией между
колебаниями и средой, постоянна величина S= ~7~(F*XF—Fx F*) .которая с точ-
точностью до множителя совпадает с потоком энергии в колебаниях. Для доказа-
доказательства равенства S=const следует (П4.1) помножить на F* и вычесть сопря-
сопряженное выражение. Результат представляется в виде Sx'=0. В квазиклассиче-
квазиклассическом приближении имеем S=sgn k\Fi°)\2.
Рассмотрим две волны, распространяющиеся навстречу друг другу. Величи-
Величины, характеризующие волну, падающую слева, будем отмечать индексом 1, спра-
справа— 2. Запишем волновое уравнение (П4.1) для Fi и помножим его на Ft.
216
В полученном выражении поменяем f i и F2 местами и вычтем из первого вы-
выражения второе:
F2Fi,xx"-FiFi,xx"=0. (П4.2>
Из (П4.2) следует, что величина S.=F2Fl>x'—FiF2,x' не зависит от коорди-
координаты.
Рассмотрим величину S. при х->—«о. В этой области присутствуют падаю-
падающая волна 1, отраженная волна 1 и прошедшая волна 2.
Две последние имеют одинаковую пространственную зависимость, и поэтому
слагаемое, содержащие произведение соответствующих полей, выпадают из вы-
выражения для St. Аналогичным образом при х->- —оо в S, дают вклад падающая
волна 2 и прошедшая 1. В результате в квазиклассическом приближении ока-
оказывается справедливым равенство,
Й+|^2,пад| |Fl,npom|—fe-|Fl,naB| |F2,nponi|=0, (П4.3)
где k± равны значениям волнового вектора k при я-»-4;оо соответственно.
Поскольку в квазиклассическом приближении \F(x) |=wF<°>/ Vk(x), то из
(П4.3) следует
Учитывая выражение для потока энергии (см. выше), приходим к заключению,
что коэффициент прохождения не зависит от направления распространения ко-
колебаний.
П.5. Уравнение квазилинейной диффузии электронов
в адиабатических ловушках
Предположим, что в отсутствие колебаний функция распределения электро-
электронов зависит лишь от двух интегралов движения: энергии е и магнитного момен-
момента ц. Будем считать, что электроны локализованы в окрестности минимума маг-
магнитного поля, где В(г)=кВоA+B/^J)> |z|<L. В этом случае вместо е и (г
удобно использовать приближенные интегралы ai = o, ^ 2s/me, v\ 0 = v\ -\-
-\-Ыь2г2шB/р1е) (е—|Ц.В0). Продольная скорость электрона v n и z-координата
изменяются по гармоническому закону Оц = v i|0 sin [1(t)], z= (и,,0/иб) cos C@),
Используя линеаризованное по амплитуде внешнего поля кинетическое урав-
уравнение dfi/dt=(e/me)Ed}o/dv, методом интегрирования по невозмущенной траек-
траектории находим возмущение функции распределения электронов:
f,
u
e c_t
т., ш
Р=-х
p=—00
Здесь Ap(q, P) <=Jp(q) exp (—i? sinfl+ipP); Qp = co—ше0A+о „ 02/2w)-{- 2р<оь; за-
зависимость электрического поля от координат не учитывается.
15—67 217
Чтобы получить уравнение квазилинейной диффузии, учтем в кинетическом
уравнении слагаемые, квадратичные по Е:
_ = Re__b*-_> (П5.1)
а также предположим, что фаза р «сбивается» под действием случайных воз-
воздействий за время, существенно превышающее период колебаний электрона
вдоль ловушки 2л/(х>ь, но малое по сравнению с характерным временем измене-
изменения величин w и Чц0. Это предположение позволяет усреднить (П5.1) по фазе р.
Процесс усреднения оказывается довольно громоздким. Приведем некоторые со-
соотношения, использованные при вычислении правой части (П5.1) и ее усред-
лении:
Jp(q)J'p(q) и т. д.
Усреднение по р приводит к уравнению (ЗЛО).
П.6. Вычисление сдвига точки отражения электрона от магнитной пробки
Неопределенность в значении интеграла Л2), входящего в выражение для
AzH, обусловлена бесконечными пределами интегрирования. Разумеется, в рас-
рассматриваемом случае бесконечность имеет условный характер. Фактически под
бесконечным интервалом понимается интервал, существенно превышающий ха-
характерное время резонансного взаимодействия 8ts- Резонансное взаимодействие
наиболее продолжительно для частиц, останавливающихся в точке циклотрон-
циклотронного резонанса (гд=г3), когда первое слагаемое в C.79) обращается в нуль.
Опуская в C.79) также второе слагаемое, от которого можно избавиться сдви-
сдвигом начала отсчета времени, для 6^s получаем оценку >6ts^. A/<Ве) (L/peJl3.
Если, как и в предыдущих подразделах, считать, что электрон колеблется на дне
параболической магнитной ямы, то получим
2 U||0
Рассмотрим решение уравнения C.77) на интервалах времени порядка пе-
периода колебаний электрона вдоль магнитного поля А^-я/соь!3>б^, а затем пе-
перейдем к пределу tob<l; здесь @6 = и i/L0 (см. п. 3.1.1). Содержащий неопре-
неопределенность интеграл Л2) обязан учету второго слагаемого в правой части C.77).
218
Z целью упрощения задачи опустим в правой части C.77) первое слагаемое и-
линеаризуем это уравнение по амплитуде электрического поля:
= -v±ov±l (t)zo(t)L^2 . (П6.1)
Здесь zo(t) = Lo (Уцо/Djj,) cos (abt), v^{ (t) определяется из C.78).
Разрешим уравнение (П6.1) относительно гь проинтегрируем результат по
частям и затем перейдем к пределу малого времени ^Ссоь. При этом для со-
составляющей гь не зависящей от времени, получаем следующее выражение:
& = _ еЕ г¦р"°-
me La
где
00
/ = 2щ2 I dt sin D? (t)) A — cos B«^)).
—00
Интеграл 7 сходится, и поэтому переход к бесконечным пределам интегрирова-
интегрирования здесь вполне правомочен. Если подынтегральное выражение разложить по
1, то получим /BЬ«7. Прямое вычисление 7 дает
_)], (П6.2)
где gr±=g±2c0b/Ca3I/3.
Для частиц, останавливающихся в пределах резонансной зоны, велшина g
( ?е ||0\
может достигать значении g- -v. щ- ( —у . В этом случае
— e
8zs у
—— ) , где S2s=s= L[J3$3(v\\o/vj_0J*3 — размер резонансной зо-
R J
ны при zR=Zs. Разлагая в (П6.2) функции Эйри по малой разности \g±—g\,
получаем 7;«/B>. Этот результат оправдывает упрощенный способ вычисления,,
использованный выше.
15-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Budden К. G. Radio waves in the ionosphere. Cambridge, Cambr. Univ. Press,
1961. —542 p.
2. Ратклифф Дж. А. Магнитно-ионная теория и ее приложения к ионосфере.
М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 248 с.
3. Стикс Т. Теория плазменных волн. М.: Атомиздат, 1965. — 342 с.
4. Лонгмайр К. Физика плазмы. М.: Атомиздат, 1966. — 340 с.
5. Эллис В., Буксбаум С., Берс А. Волны в анизотропной плазме. М.: Атом-
Атомиздат, 1966. — 130 с.
6. Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука,
1970. — 206 с.
7. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. М.: Мир, 1971.-—437 с.
8. Электродинамика плазмы/ Ахиезер А. И. и др. М.: Наука, 1974. — 719 с.
9. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. Неустойчи-
Неустойчивости однородной плазмы. М.: Атомиздат, 1975. — 272 с.
10. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1975. —
287 с.
11. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975. — 525 с.
12. Железняков В. В. Электромагнитные волны в космической плазме. М.: Нау-
Наука, 1977. —432 с.
13. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. — Т. 2. Неустойчи-
Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат, 1977. — 360 с.
1-1. Александров А. Ф., Богданкевич Л. С., Рухадзе А. А. Основы электродинами-
электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978. — 406 с.
15. Иоффе М. С, Кадомцев Б. Б. Удержание плазмы в адиабатических ловуш-
ловушках. — Успехи физ. наук, 1960, т. 100, с. 601—639.
16. Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме. — В кн.: Вопросы тео-
теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963, вып. 3,
с. 3—140.
17. Пистунович В. И., Тимофеев А. В. Циклотронная неустойчивость анизотроп-
анизотропной плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича.
М.: Атомиздат, 1967.— Вып. 5, с. 361—393.
18. Трубников Б. А. Универсальный коэффициент выхода циклотронного излу-
излучения из плазменных конфигураций. — В кн.: Вопросы теории плазмы/
Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973, вып. 7, с. 274—300.
19. Тимофеев А. В. Циклотронные колебания плазмы в неоднородном магнит-
магнитном поле. — Успехи физ. наук, 1973, т. ПО, с. 329—355.
¦20. Балдвин Д., Бернстайн А., Винник М. Кинетическая теория плазменных
волн. — В кн.: Достижения физики плазмы/ Под ред. А. Саймона, В. Б. Том-
сона/ Пер. под ред. М. С. Рабиновича. М.: Мир, 1974, с. 172—305.
21. Baldwin D. E. End-loss processes from mirror machines. — Rev. Mod. Phys.,
1977, vol. 49, p. 317—340.
22. Чуянов В. А. Адиабатические магнитные ловушки. — В кн.: Итоги науки и
техники (Физика плазмы)/ Под. ред. В. Д. Шафранова. М.: ВИНИТИ,
1980, т. 1, ч. 1, с. 119—165.
23. Аликаев В. В. ВЧ- и СВЧ-методы нагрева плазмы. — В кн.: Итоги науки и
техники (Физика плазмы)/ Под ред. В. Д. Шафранова. М.: ВИНИТИ, 1981,
т. 1, ч. 2, с. 80—98.
24. Ломинадзе Д. Г. Циклотронные волны в плазме. Тбилиси: Мецниереба,
1975.— 222 с.
25. Тимофеев А. В. О механизме циклотронной неустойчивости. Препринт
ИАЭ-2569. М.: 1975.—13 с.
26. Веденов А. А., Рютов Д. Д. Квазилинейные эффекты в потоковых неустой-
чивостях. — В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.:
Атомиздат, 1972, вып. 6, с. 3—69.
27. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. Нелинейная теория плазмы. — В кн.: Вопросы
теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973, вып. 7,
с. 3—145.
28. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М., Наука, 1976. — 238 с.
29. Бишоп А. С. Программа США по управляемому термоядерному синтезу. М.:
Атомиздат, 1960. — 175 с.
220
30. Sudan R. N., Rosenbluth M. N. Stability of axisymmetric field-reversed equi-
equilibria of arbitrary ion gyroradius. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 282—293.
31. Саранцев В. П., Перельштейн Э. А. Коллективное ускорение ионов электрон-
электронными кольцами. М.: Атомиздат, 1979. — 214 с.
32. An investigation of cyclotron instability potential and adiabatic compression
of a plasma in a mirror machine/ A. V. Bortnicov, N. N. Brevnov, V. G. Zhu-
kovskii, M. K. Romanovskii. — Plasma Phys., 1967, vol. 9, p. 641—648.
33. О работах на термоядерной экспериментальной установке ОГРА/ И. Н. Го-
Головин, Л. И. Артеменков, Г. Ф. Богданов и др. — Успехи физ. наук, 1961,
т. 73, с. 685—700.
34. Ловушки с магнитными пробками/ М. Бино, Т. Консоли, П. Хуберт и др. —
В кн.: Физика плазмы и магнитная гидродинамика/ Пер. под ред. М. С. Ра-
Рабиновича. М.: Изд-во иностр. 1961, с. 135—214.
35. Burt P., Harris E. G. Unstable cyclotron oscillations in a cylindrical plasma
shell. —Phys. Fluids, 1961, vol. 4, p. 1412—1416.
36. Перверзев Г. В. Ионно-циклотронная неустойчивость плазмы, созданной пуч-
пучком быстрых ионов. —Жури. техн. физ., 1972, т. 42, с. 1085—1088.
37. Timofeev А. V. Cyclotron oscillations of a large-larmor radius plasma.—Nucl.
Fus., 1978, vol. 18, p. 955—963.
38. Axis encircling ion gyroinstability/ P. J. Catto, R. E. Aamodt, M. N. Rosen-
Rosenbluth e. a. —Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 764—770.
39. Справочник по специальным функциям/ Под ред. М. Абрамовича, И. Сти-
ган. М: Наука, 1979.— 830 с.
40. Тимофеев А. В., Чулков Г. Н. Электронный циклотронный резонанс в не-
неоднородном магнитном поле. Физика плазмы, 1979, т. 5, с. 1271—1280.
41. Суворов Е. В., Фрайман А. А. О циклотронном поглощении на первой гар-
гармонике при квазипоперечном распространении. — Изв. вузов. Радиофизика,
1977, т. 20, с. 67—71.
42. Wave absorption near the electron cyclotron frequency/ I. Fidone, G. Granata,
G. Ramponi, R. L. Meyer.— Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 645—652.
43. Bornatici M., Engelmann F. Inverse magnetic bremsstrahlung around the elec-
electron-cyclotron frequency. — Comments on Plasma Phys. and Control. Fus.,
1979, vol. 4, p. 139—145.
44. Bornatici M., Engelmann F., Lister G. G. Finite larmor radius effects in the
absorption of electromagnetic waves around the electron cyclotron frequen-
frequency.—Phys. of Fluids, 1979, vol. 22, p. 1664—1666.
45. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П., Скрыдлов Н. В. Волны в плазме
в окрестности циклотронных резонансов. — Журн. техн. физ., 1963, т. 33,
с. 922—928.
46. Shkarofsky I. P. Dielectric Tensor in Vlasov Plasma near cyclotron Harmo-
Harmonics.—Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 561—570.
47. Peng Y. K. M., Borowski S. K-, Kammash T. Microwave start-up of tokamak
plasmas near electron cvclotron and upper hybrid resonances. — Nucl. Fus.,
1978, vol. 18, p. 1489—1498.
48. Heating at the electron cyclotron frequency in the ISX-B tokamak/ R. M. Gil-
genbach, M. E. Read, К. Е. Hachett e. a, — Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 44,
p. 647—650.
49. Ott E., Hui В., Chu K. R. Theory of electron cyclotron resonance heating of
tokamak plasmas. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 1031—1045.
50. McVey В., Scharer J. Measurement of collisionless electron-cyclotron damping
along a weak magnetic beach. — Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 14—17.
51. Christopoulos C., Boswell R. W., Christiansen P. J. Measurements of spatial
cyclotron damping in a uniform magnetic field. — Phys. Lett., 1974, vol. 47A,
p. 239—240.
52. McVey B. D., Sharer J. E. Experimental verification of collisionless electron
cyclotron damping. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 142—147.
53. Microwave heated plasma in a symmetric mirror facility/ N. H. Lazar,
R. A. Dandl, W. F. Di Vergilio e. a.— Bull. Amer. Phys. Soc, 1980, vol. 25,
p. 993—994.
54. Экспериментальное исследование возбуждения ионных циклотронных волн
антенной щелевого типа/ О. М. Швец, С. С. Калиниченко, А. И. Лысойван
и др.— Физика плазмы, 1981, т. 7, с. 485—493.
221
55. Energy balance in RFC-XX./ S. Okamura, K. Adati, T. Aoki e. a. 10-th Euro-
European conf. on contr. fusion and plasma phys. Moscow, 1981, vol. 1, C-4—C-4.
56. Plasma confinement in the tandem mirror experiment/ E. B. Hooper, Jr.,
S. L. Allen, T. A. Casper e. a. — 10-th European conf. on contr. fusion and
plasma phys., Moscow, 1981, vol. 1, C-18—C-18.
57. Stix T. Fast wave heating of a two-component tokamak. — Nucl. Fusion, 1975,
vol. 15, p. 737—754.
58. Клима Р., Лонгинов А. В., Степанов К. Н. Циклотронное поглощение быст-
быстрых магнитозвуковых волн при наличии малой группы резонансных ионов. —
Журн. техн. физ., 1976, т. 66, с. 704—708.
59. Buchsbaum S. J. Resonance in a plasma with two ion species. — Phys. Fluids,
1960, vol. 3, p. 418—420.
60. Perkins F. W. Heating tokamaks via the ion-cyclotron and ion-ion hybrid re-
resonances. — Nucl. Fus., 1977, vol. 17, p. 1197—1224.
61. Shott G. A. Electromagnetic radiation. Cambridge, Cambr. Univ. Press, 1912.
62. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. М.: Наука, 1974. —
391 с.
63. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1973, —504 с.
64. Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1975.—
414 с.
65. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. — 702 с.
66. Байер В. Н., Катков В. М., Фадин В. С. Излучение релятивистских электро-
электронов. М.: Атомиздат, 1973. — 374 с.
67. Тимофеев А. В. О механизме синхротронного излучения. Препринт ИАЭ-3599,
1982.— 9 с.
68. Трубников Б. А. Излучение плазмы в магнитном поле. — Докл. АН СССР,
1958, т. 118, с. 913—916.
69. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,
1982. —620 с.
70. Цытович В. Н. К вопросу об излучении быстрых электронов в магнитном
поле при наличии среды. — Вест. Моск. ун-та, 1951, № 11, с. 27—36.
71. Сковорода А. А., Тимофеев А. В., Швилкин Б. Н. Определение температуры
плазмы по циклотронному поглощению в неоднородном магнитном поле. —
Журн. эксперим. и теорет. физ., 1977, т. 73, с. 526—536.
72. Трубников Б. А. Электромагнитные волны в релятивистской плазме при на-
наличии магнитного поля. — В кн.: Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Изд-во АН СССР,
1958, т. 3, с. 104—113.
73. Трубников Б. А., Бажанова А. Е. Магнитное излучение слоя плазмы. —
В кн.: Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций/ Под
ред. М. А. Леонтовича. М.: Изд-во АН СССР, 1958, т. 3, с. 121—147.
74. Drummond W. E., Rosenbluth M. N. Cyclotron radiation from a hot plas-
plasma.—Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 276—283.
75. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.— 719 с.
76. Ргос. of the workshop EBT ring physics. Oak Ridge, Ed. N. A. Uckan, 1979.
540 p.
77. Rosenbluth M. N. Synchrotron radiation in tokamaks. — Nucl. Fus., 1970,
vol. 10, p. 340—343.
78. Параил В. В., Погуце О. П. Ускоренные электроны в токамаке. — В кн.:
Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича, Б. Б. Кадомцева. М.:
Энергоатомиздат, 1982, вып. 11, с. 5—55. '
79. Hosea J., Arunasalam V., Cano R. Electron cyclotron emission from the prin-
ceton large tokamak.— Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 408—411.
80. Hutchinson I. H., Room D. S. Electron cyclotron emission in alcator toka-
tokamak.—Nucl. Fus., 1977, vol. 17, p. 1077—1084.
81. Акулина Д. К., Хольнов Ю. В. Исследование электронного циклотронного
излучения плазмы на стеллараторе Л-2. — Физика плазмы, 1978, т. 4,
с. 1015—1021.
82. Electron temperature measurements from cyclotron emission in the T-10 toka-
tokamak/ R. Cano, A. A. Bagdasarov, A. B. Berlisov e. a. — Nucl. Fus., 1979,
vol. 19, p. 1415—1421.
222
83. Efthimion P. С, Arunasalam V., Hosea J. C. Ordinary mode fundamental
electron-cyclotron resonance absorption and emission in the PLT. — Phys. Rev.
Lett., 1980, vol. 44, p. 396—400.
84. Hirshfield J. L., Brown S. С Incoherent microwave radiation from a plasma
in a magnetic field.— Phys. Rev., 1961, vol. 122, p. 7J9—725.
85. Observations of obliquely propagating electron bernshtein waves/ R. J. Arm-
Armstrong, J. J. Rasmussen, R. J. Stenzel, J. Trulsen.—Phys. Lett., 1981, vol.A85,
p. 281—284.
86. Schmitt J. P. M. Dispersion and cyclotron damping of pure ion bernshtein
waves.— Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 982—986.
87. Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы. — Журн. эксперим. и тео-
рет. физ., 1946, т. 16, с. 574—586.
88. Van Kampen N. G. On the theory of stationary waves in plasmas. ¦— Physica,
1955, vol. 21, p. 949—963. (Перевод в кн.: Колебания сверхвысоких частот
в плазме. М.: Изд-во иностр. лит., 1961, с. 37—70).
89. Бом Д. Общая теория коллективных переменных. М.: Мир, 1964.— 152 с.
90. Карпман В. И. Об «особых» решениях уравнений для плазменных колеба-
колебаний.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 907—914.
91. Nonlocal reflection in inhomogeneous plasma/ H. L. Berk, C. W. Horton,
M. N. Rosenbluth e. a. — Phys. Fluids, 1968, vol. 11, p. 365—371.
92. Водяницкий А. А., Ерохин Н. С, Моисеев С. С. О влиянии кинетических
эффектов в неоднородной плазме на проникновение и распространение элек-
электромагнитных волн.— Письма в ЖЭТФ, 1970, т. 12, с. 529—532.
93. Лиситченко В. В., Ораевский В. Н. «Просветление» волновых барьеров для
плазменных и электромагнитных волн, связанное с кинетическими эффекта-
эффектами.—Докл. АН СССР, 1971, т. 201, с. 1319—1321.
94. Brambilla M. Self-consistent propagation of an electromagnetic wave and po-
power absorption at the electron gyroresonance in a plasma immersed in a non-
uniform magnetic field. — Nucl. Fus., 1969, vol. 9, p. 343—351.
96. Жуковский В. Г., Тимофеев А. В. Модулированные пучки в циклотронных
колебаниях на установке АС.—-Физика плазмы, 1975, т. 1, с. 111—113.
96. Timofeev A. V., Zhukovskii V. G. Anisotropic cyclotron instability in the AS
device. — Plasma Phys.,1976 , vol. 18, p. 341—358.
97. Timofeev A. V., Nekrasov A. K. Cyclotron heating of a plasma in a non-uni-
non-uniform magnetic field.— Nucl. Fus., 1970, vol. 10, p. 377—381.
98. Тимофеев А. В., Чулков Г. Н. Правило обхода Ландау в проблеме цикло-
циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле. — Физика плазмы, 1981,
т. 7, с. 129—135.
99. Kuckes A. F. Resonanat absorption of electromagnetic waves in a nonuniform-
ly magnetized plasma. — Plasma Phys., 1968, vol. 10, p. 367—380.
100. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука,
1973.— 294 с.
101. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.—
752 с.
102. Сковорода А. А., Швилкин Б. Н. Изучение циклотронного поглощения элек-
электромагнитных волн в плазме в неоднородном магнитном поле. — Журн.
эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 70, с. 1779—1784.
103. Звонков А. В., Тимофеев А. В. Электронный циклотронный резонанс электро-
электромагнитных колебаний, распространяющихся поперек неоднородного магнит-
магнитного поля. — Физика плазмы, 1980, т. 6, с. 1219—1226.
104. Хединг Д. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир,
1965. —238 с.
105. Фреман Н., Фреман У. П. ВКБ-приближение. М.: Мир, 1967.— 168 с.
106. Звонков А. В., Чулков Г. Н. Кинетические эффекты при ЭЦР в неоднород-
неоднородном магнитном поле. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1983, т. 84, с. 60—70.
107. Тимофеев А. В., Чулков Г. Н. Электронный циклотронный резонанс для элек-
электромагнитных колебаний, распространяющихся под углом к неоднородному
магнитному полю. — Физика плазмы, 1978, т. 4, с. 624—632.
108. Batchelor D. В. Budden tunneling in parallel stratified plasmas. — Plasma
Phys., 1980, vol. 22, p. 41—55.
223
109. Ерохин Н. С, Моисеев С. С. Волновые процессы в неоднородной плазме.—
В кн.: Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат,
1973, вып. 7, с. 146—204.
ПО. О циклотронном нагреве плазмы в тороидальных системах/ Литвак А. Г.,
Пермитин Г. В., Суворов Е. В., Фрайман А. А. — Письма в ЖТФ, 1975, т. 1,
с. 858—862.
111. Перспективы использования электронно-циклотронных волн для нагрева
крупномасштабных установок токамак/ В. В. Аликаев, Ю. Н. Днестровский,
В. В. Параил, Г. В. Переверзев. — Физика плазмы, 1977, т. 3, с. 230—238.
112. Electron-cyclotron heating of plasma in. toroidal systems/ A. G. Litvak,
G. V. Permitin, E. V. Suvorov, B. A. Frajman. — Nucl. Fus., 1977, vol. 17,
p. 659—665.
113. Audenaerde K., Celata С. М. The spectral emissivity at the electron cyclotron
frequency. — Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 703—711.
114. Antonsen T. M., Manheimer W. JW. Electromagnetic wave propagation in inho-
mogeneous plasmas. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 2295—2305.
115. Baumgartel K. Electron cyclotron absorption of the ordinary wave at normal
incidence. — Nucl. Fus., 1979. vol. 19, p. 1543—1546.
116. Wave damping near the electron cyclotron frequency/ I. Fidone, G. Granate,
R. L. Meyer, G. Ramponi. — Plasma Phys., 1980, vol. 22, p. 203—205.
117. Batchelor D. В., Goldfinger R. C. A theoretical study of electron-cyclotron
absorption in EBT. — Nucl. Fu3., 1980, vol. 20, p. 403—418.
118. Федоров В. И. О циклотронном поглощении электромагнитных волн.—
Письма в ЖТФ, 1980, т. 6, с. 1307—1310.
119. Bornatici M. Dielectric effects in the electron cyclotron absorption. — Proc. of
Intern. Conf. on Plasma Phys. Nagoya, Japan, 1980, vol. 2, p. 271—277.
120. Propagation and heating by electron cyclotron wave in a toroidal plasma/
A. Crescentini, E. Lazzaro, M. Lontano e. a. — Plasma Phys. and Contr. Nucl.
Fus. Res., IAEA: Vienna, 1981, vol. 2, p. 537—546.
121. Lazzaro E., Ramponi G., Giruzzi G. Full-wave propagation analysis for the
X-mode at 2coce. — 10-th Europ. Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys.,
Moscow, 1981, vol. 1, K-l—K-l.
122. Звонков А. В. Резонанс на второй гармонике электронной циклотронной ча-
частоты при поперечном распространении волны в неоднородном магнитном
поле. — Физика плазмы, 1983, т. 9, с. 547—552.
123. Skovoroda A. A., Chulkov G. N. Electron cyclotron resonance as a tool for
plasma diagnostics in open traps. — Nucl. Fus., 1981, vol. 21, p. 787—802.
124. Skovoroda A. A., Zhiltsov V. A. ECR as a diagnostic for mirror trap plas-
plasma. — J. de Phys., 1979, vol. 40, p. C7-665—C7-665.
125. Experimental studies of loss mechanism under the influence of cyclotron insta-
instabilities in a rarefield plasma/ V. A. Zhiltsov, P. M. Kosarev, V. Kh. Likhten-
stein e. a. — Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fus. Res., IAEA: Vienna, 1979,
vol. 2, p. 469—481.
126. Electron heating under the influence of the ion cyclotron instability in
a min-B mirror trap/ V. A. Zhiltsov, P. M. Kosarev, D. A. Panov e. a. — 9th
European Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys., Oxford, 1979, p. 40—40.
127. Тимофеев А. В. Теория циклотронного нагрева в длинных адиабатических
ловушках. — Физика плазмы, 1975, т. 1, с. 88—НО.
128. Rosenbluth M. N. Superadiabaticity in mirror machines. — Phys. Rev. Lett.,
1972, vol. 29, p. 408—410.
129. Nekrasov A. K. Statistical description of cyclotron heating in a non-uniform
magnetic field.— Nucl. Fus., 1970, vol. 10, p. 387—390.
130. Jaeger F., Lichtenberg A. J., Lieberman M. Theory of electron cyclotron reso-
resonance heating-1. Short time and adiabatic effects. — Plasma Phys., 1972,
vol. 14, p. 1073—1100.
131. Lieberman M. A., Lichtenberg A. J. Theory of electron cyclotron resonance
heating-II. Long time and stochastic effects. — Plasma Phys., 1973, vol. 15,
p. 125—150.
132. Lieberman M. A., Lichtenberg A. J. Stochastic and adiabatic behaviour of par-
particles accelerated by periodic forces. — Phys. Rev., 1972, vol. A5, p. 1852—1866.
224
133. Timofeev A. V. Confinement of charged particles in adiabatic traps in the pre-
presence of monochromatic cyclotron oscillations. — Nucl. Fus., 1974, vol. 14,
p. 165—171.
134. Wyeth N. C, Lichtenberg A. J., Lieberman M. A. Elecrton cyclotron resonance
heating in a pulsed mirror experiment. — Plasma Phys., 1975, vol. 17, p. 679—
688.
135. Smith G. R., Byers J. A., Lo Destro L. L. Superadiabatk and stochastic ion
motion in the presence of a wave in a mirror-machine plasma. — Phys. Fluids,
1980, vol. 23, p. 278—286.
136. Чириков Б. В. Резонансные процессы в магнитном поле. — Атомная энергия,
1959, т. 6, с. 630—638.
137. Заславский Г. М. Статическая необратимость в нелинейных системах. М.:
Наука, 1970.—143 с.
138. Заславский Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных
колебаний. — Успехи физ. наук, 1971, т. 105, с. 3—39.
139. Chirikov В. V. Universal instability of many-dimensional oscillator systems. —
Phys. Rep., 1979, vol. 52, p. 263—379.
140. Rechester А. В., White R. B. Calculation of turbulent diffusion for the Chiri-
kov-Taylor model.— Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 44, p. 1586—1589.
141. Rochester А. В., Rosenbluth M. N., White R. B. Fourier-space paths applied
to the calculation of diffusion for the Chirikov-Taylor model. — Phys. Rev.,
1981, vol. A23, p. 2664—2672.
142. Seidl M. High frequency heating of electrons in a mirror machine. — J. Nucl.
Energy P. С (Plasma Phys.), 1964, vol. 6, p. 597—616.
143. Cary J. R., Kaufman A. N. Ponderomotive effects in collisionless plasma: a Lie
transform approache. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 1238—1250.
1-M. Lacina J. A solution of the motion of a charged particle in magnetic mirror
systems. — Czech. J. Phys., 1963, vol. B13, p. 401—417.
145. Тимофеев А. В. Уравнение квазилинейной диффузии ионов в адиабатиче-
адиабатической ловушке при дрейфово-конусной неустойчивости. М., Препринт
ИАЭ-3479/6, 1981. —11 с.
146. Berk H. L. Derivation of the quasi-linear equation in a magnetic field.-—J.
Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 205—219.
147. Галеев А. А., Сагдеев P. 3. «Неоклассическая» теория диффузии. — В кн.:
Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973,
вып. 7, с. 205—273.
148. Lichtenberg A. J., Melin G. Diffusion in electron resonance heating magnetic
mirrors. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 1660—1667.
149. Momota H., Takizuka T. Randomization of the gyration phase through binary
collisions. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 2290—2291.
150. Menyuk С R., Lee Y. C. Finite bandwith induced stochasticity in a magnetic
mirror. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 2225—2241.
151. Тимофеев А. В. Об уширении спектра плазменных колебаний и коэффициен-
коэффициентах переноса в режиме слабой турбулентности. — Физика плазмы, 1976, т. 3,
с. 419—421.
152. Cohen R. H., Nevins W. M., Rowlands G. Diffusion on two length scales. —
Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 1584—1585.
153. Smith G. R., Cohen B. I. Perturbed-trajectory derivation of quasi-linear diffu-
diffusion and application to mirror plasmas. — Phys. Fluids, 1983, vol. 26, p. 238—
246.
154. Тимофеев А. В. О циклотронном нагреве в коротких адиабатических ловуш-
ловушках.—Физика плазмы, 1977, т. 3, с. 913—919.
155. Трубников Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме.—
В кн.: Вопросы плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963,
вып. 1, с. 98—182.
156. Faulconer D. W., Liboff R. L. Relativistic cyclotron resonance heating. — Phys.
Fluids, 1972, vol. 15, p. 1831—1841.
157. Пилия А. Д., Федоров В. И. Нелинейный циклотронный резонанс в поле
плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль постоянного
магнитного поля. — Журн. техн. физ., 1968, т. 38, с. 1032—1042.
225
158. Голованивский К. С, Дугар-Жабон В. Д., Милантьев В. П. О механизме
электронно-циклотронного нагрева бесстолкновительной плазмы. — Физика
плазмы, 1975, т. 1, с. 655—661.
159. Roberts С. S., Buchsbaum S. J. Motion of a charged particle in a constant
magnetic field and a transverse electromagnetic wave propagating along the
field. —Phys. Rev., 1964, vol. 135, p. A381—A389.
160. Давыдовский В. Я. О возможности резонансного ускорения заряженных ча-
частиц электромагнитными волнами в постоянном магнитном поле. — Журн.
эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 43, с. 886—888.
161. Коломенский А. А., Лебедев А. Н. Резонансные явления при движении ча-
частицы в плоской волне. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 44,
с. 261—269.
162. Пилия Д. А., Френкель В. Я. Циклотронный резонанс электронов в магнит-
магнитной ловушке. 1. Функция распределения. — Журн. техн. физ., 1964, с. 34,
с. 1752—1768.
163. Baldwin D. E., Logan В. G. Improved tandem mirror fusion reactor. — Phys.
Rev. Lett., 1979, vol. 43, p. 1318—1321.
164. Стабилизация конусной неустойчивости столкновительной плазмы в зеркаль-
зеркальной ловушке/ М. С. Иоффе, Б. И. Канаев, В. П. Пастухов, Юшманов Е. Е.—
Журн. эксперим. и теорет. физ., 1974, т. 67, с. 2145—2156.
165. Kanaev В. I., Stabilization of drift loss-cone instability (DCI) by addition of
cold ions. —Nucl. Fus., 1979, vol. 19, p. 347—359.
166. High power fundamental and harmonic resonant ion cyclotron heating in
a mirror machine/ R. W. Clark, D. G. Swanson, P. Korn e. a. — Phys. Fluids,
1974, vol. 17, p. 1322—1328.
167. Watson С Y. H., Kuo-Petravic L. G. Charged-particle containment in rf-sup-
plemented magnetic mirror machines. — Phys. Rev. Lett., 1968, vol. 20,
p. 1231—1235.
168. Theory and experiment on radio-frequency plugging of magnetically confined
plasma an open-ended systems/ T. Watari, S. Hiroe, T. Sato, S. Ichimara. —
Phys. Fluids, 1974, vol. 17, p. 2107—2115.
169. Hatori Т., Watanabe T. Critical energy for adiabatic RF plugging. — Nucl.
Fus., 1975, vol. 15, p. 143—150.
170. Lichtenberg A. I., Berk H. L. Adiabacity limits to radio-frequency-augmented
magnetic mirror confinement. — Nucl. Fus., 1975, vol. 15, p. 999—1005.
171. Radio-frequency plugging of a high density plasma/ T. Watari, T. Hatori,
R. Kumazawa e. a. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 2076—2081.
172. Gormezano С Reduction of losses in open-ended magnetic traps. — Nucl. Fus.,
1979, vol. 19, p. 1085—1137.
173. Motz H., Watson С Y. M. RF confinement and acceleration of plasmas.—
Advances Electronics and Electron Phys., 1967, vol. 23, p. 153—302.
174. Kuckes A. F. Resonant absorption of electromagnetic waves in nonuniformly
magnetized plasma.— Plasma Phys., 1968, vol. 10, p. 367—381.
175. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Нау-
Наука, 1967. — 683 с.
176. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой
механике. М.: Наука, 1972. — 439 с.
СОДЕРЖАНИЕ
СОЛИТОНЫ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
В. И. Петвшшвили, В. В. Яньков
Введение °
1. Простейшие солитоны и интегралы движения 4
2. Солитон — статистический аттрактор '8
3. Примеры получения упрощенных уравнений. Многомерные обобще-
обобщения уравнения КдФ, уравнение МГД-волны, распространяющейся
вдоль магнитного поля 11
4. Численный метод получения солитонных решений 16
5. Устойчивость солитонов и периодических волн 17
6. Взаимодействие солитона со свободными волнами 24
7. Взаимодействие солитонов с частицами 26
8. Излучение солитонами электромагнитных волн 27
9. Высокочастотный солитон под действием медленно изменяющихся
возмущений 29
10. Связанные многосолитонные состояния — мультисолитоны . . .31
11. Методы обнаружения скрытнолинейных уравнений 33
12. Двумерные вихри в несжимаемой жидкости 35
13. Проблемы конечномерных аппроксимаций 37
14. Дрейфовые вихри в атмосфере и плазме 39
15. Трехмерные локализованные вихри в обычной и магнитной гидро-
гидродинамике 44
16. Устойчивые вихри в уравнении Власова 50
Заключение 51
Список литературы 52
ЦИКЛОТРОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ
А. В. Тимофеев
Предисловие 56
1. Циклотронные колебания в однородном магнитном поле ... 58
1.1. Механизм резонансного циклотронного взаимодействия . . 58
1.2. Циклотронное поглощение 75
1.3. Магнитотормозное (циклотронное) излучение . ... 94
1.4. Собственно циклотронные колебания 1С9
2. Циклотронные колебания в неоднородном магнитном поле . . .113
2.1. Резонансное циклотронное взаимодействие в неоднородном
магнитном поле 113
227
2.2. Циклотронные колебания в монотонно меняющемся магнит-
магнитном поле 133
2.3. Циклотронные колебания в немонотонно меняющемся магнит-
магнитном поле '64
3. Циклотронные колебания в ограниченных системах 173
3.1. Циклотронный нагрев в регулярных колебаниях. Возникнове-
Возникновение стохастичности 173
3.2. Циклотронный нагрев при наличии случайных воздействий 189
3.3. Эффекты, обусловленные резонансным циклотронным взаимо-
взаимодействием в ограниченных системах 198
Приложения
П.1. Решение уравнения B.13) 213
П.2. Модификация правила обхода 214
П.З. Правило обхода Ландау при ускоренном движении электронов 215
П.4. О теореме взаимности 216
П.5. Уравнение квазилинейной диффузии электронов в адиабатических
ловушках 217
П.6. Вычисление сдвига точки отражения электрона от магнитной
пробки 218
Список литературы 22J
УДК 533.951.7
Солитоны и турбулентность. Петвиашвили В. И., Яньков В. В. 1985, с. 3.
Представлен обзор теории солитонов в плазме и жидкости, отличающийся от
ранее опубликованных более подробным рассмотрением вопросов турбулент-
турбулентности. На основе статистического рассмотрения показана выделенная роль
солитонов в турбулентности. Изложены методы нахождения солитонных реше-
решений, исследования устойчивости, изучения взаимодействия солитонов со сво-
свободными волнами и частицами плазмы. Основное внимание уделено неинтегри-
руемым системам. Приводятся способы обнаружения интегрируемых систем.
Рассмотрены устойчивые вихри в двумерной жидкости, в том числе на вращаю-
вращающейся сфере. Изложены методы построения локализованных вихрей в трехмер-
трехмерной жидкости.
Ил. 14. Библиогр. 91.
УДК 533.951
Циклотронные колебания равновесной плазмы. Тимофеев А. В. 1985, с. 56.
Проанализирован механизм взаимодействия отдельных заряженных частиц
с циклотронными колебаниями. Получены компактные выражения для коэффи-
коэффициентов пространственного затухания циклотронных колебаний в однородном
магнитном поле. Циклотронное излучение термоядерной плазмы рассматривается
как синхротронное излучение высокоэнергетического «хвоста» максвелловской
функции распределения электронов. Выяснена роль псевдоволн при резонансном
циклотронном взаимодействии в неоднородном магнитном поле. Вычислены коэф-
коэффициенты поглощения, прохождения и отражения колебаний при их распрост-
распространении через точку циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле.
Рассмотрено явление возникновения стохастичности при взаимодействии цик-
циклотронных колебаний с заряженными частицами. Анализируется внияние
случайных воздействий на резонансное циклотронное взаимодействие. Обсужда-
Обсуждается ряд явлений, возникающих под действием циклотронных колебаний в
неоднородном магнитном поле: «просвист» в циклотронных колебаниях, возник-
возникновение «плещущихся» частиц, «затыкание» пробок адиабатических ловушек.
Ил. 57. Библиогр. 176.
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
Вып. 14
Редактор 3. Д. Андреенко
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Технический редактор Н. П. Собакина
Корректор М. Г. Гулина
ИБ № 971
•Сдано в набор 16.08.84 Подгисаво в печать 7.02.85 Т-0660Э
Формат бОХЭО'/и Бумага ти™ограрская № 1 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 14,5 Усл. кр.-отт. 14,5 Уч.-изд. л.17,14
Тираж 9J0 экз. Заказ 67 Цена 2 р. 70 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, M-I14, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна-
Знамени МПО «Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Ва-
Валовая, 28